Grand Oral Ilyas Maths 2 [PDF]

Zitiervorschau

PARADOXE DES ANNIVERSAIRES INTRO : Avant toute chose, je vais rappeler ce qu’est une probabilité : Le terme probabilité possède plusieurs sens, il désigne l'opposé du concept de certitude ; il est également une évaluation du caractère probable d’un évènement, c'est-à-dire qu'une valeur permet de représenter son degré de certitude ; récemment, la probabilité est devenue une science mathématique et est appelée « théorie des probabilités » ou plus simplement « probabilités ». La probabilité d'un événement est un nombre réel compris entre 0 et 1. Plus ce nombre est grand, plus la chance, que l'événement se produise est grand. Si la probabilité d’un évènement est égale à 0, il y a 0% de chance que cet évènement se produise et si la probabilité d’un évènement est égale à 1, il y a 100% de chance que cet évènement se produise. La somme d’un évènement X et de son évènement contraire doit être égale à 1. Ainsi, posons-nous la question suivante : Comment expliquer que sur un groupe de 23 personnes il y a au moins 1 chance sur 2 que 2 personnes soit née le même jour ? Cette question est tirée du paradoxe des anniversaires. Ce paradoxe est à l’origine une estimation probabiliste du nombre de personne que l’on doit réunir dans un groupe pour avoir 50% de chance que 2 personnes de ce groupe aient leur anniversaire le même jour. Dans ce groupe on parle de personne qui partage le même jour et mois de naissance mais pas forcément la même année Contre toute attente, il se trouve que ce nombre est 23. On dit même qu’à partir d’un groupe de 57 personnes, la probabilité est supérieure à 99% Cependant il ne s’agit pas d’un paradoxe dans le sens de contradiction logique ; c'est un paradoxe, dans le sens où c'est une vérité mathématique qui contredit l'intuition : la plupart des gens estiment que cette probabilité est très inférieure à 50 %. PARTIE 1 : Définir et expliquer les notions : factorielle, évènements, arbre pondéré…

PARTIE 2 : Illustrer avec un exemple PARTIE 3 : Démonstration et explication du paradoxe

EXPLICATION ET DEFINITION DES NOTIONS  : Avant toute chose, je vais vous expliquer quelques notions clés sur les probabilités afin que vous compreniez au mieux la résolution du paradoxe :  Factorielle d’un nombre : on appelle factorielle d’un nombre n le produit de tous les nombres de 1 à n, il se note n! et il se lit « factorielle n » Exemple : 3! = 1x2x3 = 6  Evènement : dans le cadre des probabilités, un événement lié à une expérience aléatoire est un sous-ensemble des résultats possibles pour cette expérience. Exemple : Lors d’une lancée de pièce on note X l’évènement « obtenir pile » et on appelle Xbar l’évènement contraire de X, en l’occurrence ici « obtenir face ». EXEMPLE POUR ILLUSTRER LES PROBABILITES  : Afin de mieux comprendre comment faire la probabilité d’un évènement donnée, je vais vous l’expliquer à l’aide d’un exemple précis : On considère l’expérience suivante : Une urne contient 3 boules blanches et 2 boules rouges. On tire au hasard une boule et on la remet dans l’urne. Qu’elle est la probabilité d’obtenir une boule blanche ? Et qu’elle est la probabilité d’obtenir une boule rouge ? Il faut d’abord se représenter l’ensemble et les sous-ensembles de cette expérience : L’ensemble désigne tous les éléments d’une expérience, ici c’est toutes les boules, donc l’ensemble est égal à 5 Un sous-ensemble désigne une partie de l’ensemble de l’expérience, ici on a 2 sous-ensembles : les 3 boules blanches et les 2 boules rouges. Ainsi pour pouvoir trouver une probabilité on fait le calcul suivant : sousensemble/ensemble. Dans notre exemple, la probabilité de tiré une boule blanche est égale à 3/5, qui nous donne 0,6. La probabilité de tiré une boule rouge est égale à 2/5, qui nous donne 0,4.

Comme je vous l’ai dit en introduction la somme d’un évènement X et de son évènement contraire doit être égale à 1, ce qui équivaut en probabilité à 100%. Dans notre exemple la somme des 2 probabilités : 0,6 + 0,4 est égale à 1, donc notre probabilité est vérifiée. RESOLUTION DU PARADOXE  : A présent nous avons tous les éléments nécessaires pour résoudre le paradoxe. Avant de commencer à expliquer le calcul, je vais simplifier le modèle qui va nous permettre de résoudre notre problème : au lieu de prendre en compte les variations saisonnières de natalité, on considère que tous les jours de l’année ont la même natalité. Deuxièmement, on va considérer que toutes les années possède 365 jours, qu’il n’y a pas d’années bissextiles. Maintenant que j’ai défini les paramètres du modèle, je peux commencer à expliquer le calcul : On pose : A= anniversaire en commun (on appelle A l’évènement « avoir un anniversaire en commun ») pA= probabilité d’au moins 1 anniversaire en commun dans le groupe Abar= pas d’anniversaire en commun (on appelle Abar l’évènement « ne pas avoir d’anniversaire en commun dans le groupe » pAbar= probabilité d’aucun anniversaire en commun dans le groupe Les 2 probabilités sont liés par une somme : pA + pAbar = 1 et en terme de probabilité cela équivaut à 100%. Sachant que ce qui nous intéresse c’est pA et que le plus simple à calculer c’est pAbar On peut réécrire notre égalité sous la forme : pA= 1 – pAbar Calculer la probabilité d’avoir au moins 2 personnes du groupe de 23 personnes qui soit née le même jour peut poser problème, car il va falloir calculer la probabilité d’avoir exactement 2 personnes du groupe qui soit née le même jour, 3 personnes, 4 personnes etc… Néanmoins, il est beaucoup plus simple de calculer la probabilité de n’avoir aucun anniversaire en commun dans le groupe.

Pour illustrer le calcul commençons d’abord par trouver la probabilité que sur un groupe de 2 personnes aucun ne partage la même date d’anniversaire : 1) Pour la 1ère personne, on peut choisir une date au hasard dans le calendrier, il y a donc 365 choix possible. 2) Pour la 2nd personne, on a déjà une date d’anniversaire qui nous est interdit de prendre, il y reste donc 364 choix possible. Ensuite il faut multiplier ces valeurs entre elles et comme à chaque fois le choix est fait parmi toutes les dates du calendrier, on divise le produit de ces 2 valeurs par 365. Donc pA pour 2 personnes = 1 – 365/365 x 364/365 ou plus simplement 1 – 365 x 364/365², ce qui nous donne environ 0,0027. Ce qui signifie que sur un groupe de 2 personnes il y’a 0,27% de chance d’avoir 2 personnes qui ont la même date d’anniversaire. Maintenant intéressons nous a la variation de cette probabilité sur un groupe de 23 personnes : Comme pour le calcul précédent on calcule pAbar d’abord, pour la 1 ère personne il y’a 365 choix possible, pour la 2 ème 364 etc… mais pour la 23 ème combien y a-t-il de choix possible ? On serait tenté de faire 365 – 23, mais n’oublions pas la 1 ère personne qui avait le choix parmi toutes les dates du calendrier, il faut alors faire 365 – 23 + 1, ce qui nous donne 343. Ensuite on multiplie toutes les valeurs de 365 à 343 ensembles et on les divise par 365 puissances 23. Mais ce produit serait trop long à faire, pour simplifier le calcul nous allons alors introduire la notion de factorielle : Au numérateur et au dénominateur on va ajouter une opération, on va multiplier toutes les valeurs de 343 à 1 ensemble. Ainsi, on aura 365!/365 puissance 23 x 343!. Donc pA pour 23 personnes = 1 – 365!/365 p23 x 343!, ce qui nous donne environ 0,51. Ce qui signifie que sur un groupe de 23 personnes il y a 51% de chance d’avoir au moins 2 personnes qui ont la même date d’anniversaire.

CONCLUSION : On a vu alors que le paradoxe des anniversaires est contre intuitif, alors qu’on imagine qu’il est nécessaire d’avoir un grand groupe pour trouver 2 personnes partageant la même date d’anniversaire, on remarque qu’au contraire un petit groupe nous permet d’atteindre des probabilités favorables. Certes notre modèle est imparfait car il ne prend pas en compte les années bissextiles, mais cette simplification du réel nous donne une valeur approchée de la réalité. J’ai pu essayer ce paradoxe dans ma classe, et il a fonctionné 2 personnes sont née le 29 octobre.