Getal & Ruimte - J.H. Dijkhuis vwo B deel 2 Uitwerkingen [2, 11 ed.] 9789001842482 [PDF]

Zitiervorschau

Uitwerkingen vwo B deel 2 ELFDE EDITIE, 2015

J.H. Dijkhuis C.J. Admiraal J.A. Verbeek G. de Jong H.J. Houwing J.D. Kuis F. ten Klooster S.K.A. de Waal J. van Braak J.H.M. Liesting -Maas M. Wieringa M.L.M. van Maarseveen R.D. Hiele J.E. Romkes M. Haneveld S. Voets I. Cornelisse

Noordhoff Uitgevers Groningen

1

Inhoud 4

5

Machten en exponenten

6

Differentiaalrekening

7

Goniometrische functies 76

8

Meetkunde met coördinaten 106

38

Wiskunde Olympiade 139 Gemengde opgaven 146 Voor sommige (computer)opgaven is geen uitwerking opgenomen. Deze zijn aangegeven met een *.

© Noordhoff Uitgevers bv

5 Machten en exponenten Voorkennis Machten en machtsfuncties Bladzijde 9

a1 a x2  x3 = x5 b 2p3  3p2 = 6p5 c 4a2b  5a3b2 = 20a5b3

d í2p4q3  í3pq = 6p5q4 e 5x2y  2x í 3x3y = 10x3y í 3x3y = 7x3y f 12a4b  14 ab í 8ab = 3a5b2 í 8ab

a2 a ( p2q)3 = p6q3 b (3x2)3 = 27x6 c (í5x2y3)2 = 25x4y6

d (í4ab4)2 = 16a2b8 e (3a)2 Â (2a2)3 = 9a2 Â 8a6 = 72a8 f (3a3)2 + (2a2)3 = 9a6 + 8a6 = 17a6

a3 a 5

24a4b2 = 4a3b 6ab

b

5x3y2 1 = xy 10x2y 2

c

(2ab)3 8a3b3 8 = = ab (3ab)2 9a2b2 9

a4 a (ab)4 Â a = a4b4 Â a = a5b4 b (í2ab)3 Â b = í8a3b3 Â b = í8a3b4 c (3a)2 + (2b)2 = 9a2 + 4b2

d (3a)3 í 8a3 = 27a3 í 8a3 = 19a3 2 e ( 12a) + (ía)2 = 14 a2 + a2 = 1 14 a2 f (5a4)2 + (ía2)4 = 25a8 + a8 = 26a8

a5 a a2n  an í 1 = a2n + n í 1 = a3n í 1 2 2 2 b an í 1  an í 1 = an í 1 + n í 1 = an + n í 2 2ín n a 2 2 2 c n í 1 = an í n í (n í 1) = an í n í n + 1 = an í 2n + 1 a Bladzijde 12

a6 a y = x2

b y = x3

verm. x-as,

1 3

verm. x-as, 14

y = 13 x2

y = 14 x3

verschuiving (2, í3)

f (x) =

1 3 (x y

í

2)2

verschuiving (í3, 1)

g(x) = 14 (x + 3)3 + 1

í3

y

g ƒ

x

O

(2, –3)

De top is (2, í3).

(–3, 1) O

x

Het punt van symmetrie is (í3, 1).

4

Hoofdstuk 5

© Noordhoff Uitgevers bv

c y = x4

d y = x5

verm. x-as, í0,2

verm. x-as, í0,3

y = í0,2x4

y = í0,3x5

verschuiving

(

í212 ,

h(x) = í0,2 (x +

2)

verschuiving (4, í3)

)

212 4

k(x) = í0,3(x í 4)5 í 3

+2

y

y

k

1

(–2 2 , 2) x

O x

O

(4, –3)

h

5

De top is (í212 , 2) .

Het punt van symmetrie is (4, í3).

a7 a

c

y

y

x

O

h

(–2, –3)

x

O ƒ (3, –4)

max. is f (í2) = í3.

min. is f (3) = í4.

b

d

y

y

g

O

x

1

(– 2 , –2)

(1, 4) k

O

Het punt van symmetrie is (í 12 , í2) .

© Noordhoff Uitgevers bv

x

Het punt van symmetrie is (1, 4).

Machten en exponenten

5

a8 y = í 12 x3 verschuiving (í3, í5)

y=

í 12 (x + 3)3 í 5 verm. x-as, í3

y = í3 (í 12 (x + 3) í 5) 3

ofwel y = 112 (x + 3)3 + 15 b y = í212 (x + 4)6 í 7

a9 a y = 12 (x í 3)4 + 7 verschuiving (1, 2)

y=

1 4 2 (x í 4) + verm. xías, 112

verm. x-as, 2

y = 2(í212 ( x + 4) í 7) y = í5(x + 4)6 í 14 6

9

verschuiving (í1, 3)

y = 112 ( 12 ( x í 4) + 9) 4

y = í5(x + 5)6 í 11 De top is (í5, í11).

ofwel y = 34 (x í 4)4 + 1312 De top is (4, 1312 ).

5 10 a

a y = 0,3x4

b y = 0,3x4

verschuiving (í5, 6)

verm. x-as, í3

y = 0,3(x + 5)4 + 6

y = í0,9x4

verm. x-as, í3

verschuiving (í5, 6)

y = í3(0,3(x + 5)4 + 6) ofwel y = í0,9(x + 5)4 í 18 De top is (í5, í18).

y = í0,9(x + 5)4 + 6 De top is (í5, 6).

5.1 Wortelvormen en gebroken vormen Bladzijde 13

a1 a

b

D = 3 0, m 9 en B = 3 0, m 9.

y = 冑x

2 naar links

Bladzijde 14

a2 a y = 冑x

translatie (3, í2)

f (x) = 冑x í 3 í 2

y = 冑x + 2

3 omhoog

y = 冑x + 2 + 3 y = 冑x verm. x-as, í2

y = í2冑x translatie (í3, 0)

g(x) = í2冑x + 3

6

Hoofdstuk 5

© Noordhoff Uitgevers bv

b

y

ƒ

(–3, 0)

x

O

(3, –2)

g

c Df = 3 3, m 9, B f = 3 í2, m 9, Dg = 3 í3, m 9 en Bg = 8 k, 0 4 . a3 a y = 冑x

y = 冑x

verm. x-as, 2

verm. x-as, í1

y = 2冑x

b

y = í冑x

translatie (0, í3)

translatie (í5, 0)

f (x) = 2冑x í 3

g(x) = í冑x + 5

5

y

ƒ (–5, 0)

x

O

(0, –3)

g

c D f = 3 0, m 9, B f = 3 í3, m 9, Dg = 3 í5, m 9 en Bg = 8k, 0 4 . Bladzijde 15

a4 a beginpunt (í5, 3), Df = 3 í5, m 9 en Bf = 3 3, m 9. b beginpunt (í3, í7), Dg = 3 í3, m 9 en Bg = 3 í7, m 9. c beginpunt (í1, 0), Dh = 3 í1, m 9 en Bh = 8 k , 0 4 .

d beginpunt (0, 1), Dk = 3 0, m 9 en Bk = 3 1, m 9. e beginpunt (1, í1), Dl = 3 1, m 9 en Bl = 8 k , í14 . f beginpunt (0, í3), Dm = 3 0, m 9 en Bm = 3 í3, m 9.

a5 Er geldt dat a í x2 • 0 íx2 • ía x2 ” a í冑a ” x ” 冑a D f = 3 í4, 4 4 en hieruit volgt dat a = 16. min. is f (í4) = f (4) = 冑16 í 42 + b = b geeft b = 5. max. is f (0) = 冑16 í 02 + b = 4 + b geeft c = 4 + b = 4 + 5 = 9. a6 a Het beginpunt is (í2, 1). b De tracecursor staat niet op het beginpunt van de gra¿ek van f. Dat komt omdat de GR een beperkt aantal pixels tekent. Eén pixel verder naar links dan het aangegeven punt valt buiten het domein van f. Bladzijde 17

a7 a a < 0 (verschuiving omlaag) b > 0 (geen spiegeling in de x-as) c < 0 (spiegeling in de y-as) d < 0 (verschuiving naar rechts)

© Noordhoff Uitgevers bv

b a > 0 (verschuiving omhoog) b < 0 (spiegeling in de x-as) c > 0 (geen spiegeling in de y-as) d < 0 (verschuiving naar rechts)

Machten en exponenten

7

a8 a 8 í 4x • 0 í4x • í8 x ” 2 dus Df = 8 k , 2 4 , beginpunt (2, 3) en Bf = 3 3, m 9. b 4x í 8 • 0 4x • 8 x • 2 dus Dg = 3 2, m 9, beginpunt (2, 3) en Bg = 3 3, m 9.

c 2x + 6 • 0 2x • í6 x • í3 dus Dh = 3 í3, m 9, beginpunt (í3, 5) en Bh = 8 k , 5 4 . d x • 0 dus Dk = 3 0, m 9, beginpunt (0, 3) en Bk = 8k , 3 4 .

a9 a 2x + 5 • 0 2x • í5 x • í212 dus D f = 3 í212 , m 9 en beginpunt (í212 , 3) . Voer in y1 = 3 í 冑2x + 5. x

í2,5

í2

í1

0

1

2

3

f(x)

3

2

1,3

0,8

0,4

0

í0,3

1

2

3

y

5 3 2 ƒ

–3

1

–2

–1

O

4

5

x

–1

B f = 8 k, 3 4 b f (x) = í2 geeft 3 í 冑2x + 5 = í2 冑2x + 5 = 5 kwadrateren geeft 2x + 5 = 25 2x = 20 x = 10 voldoet y (–2 12 , 3)

ƒ

–2 12

O

10

x

y = −2

f (x) > í2 geeft í212 ” x < 10

8

Hoofdstuk 5

© Noordhoff Uitgevers bv

c f(22) = í4 y 1

(–2 2 , 3)

1

–22

3

O

22

x

ƒ –4

x < 22 geeft í4 < f(x) ” 3 10 a

a 7 í 3x • 0 í3x • í7 x ” 213 dus Df = 8 k, 213 4

5

beginpunt (213 , í4) y ƒ

x

O

(2 13, –4)

Bf = 3 í4, m 9 b f (x) = í2 geeft 2冑7 í 3x í 4 = í2 2冑7 í 3x = 2

冑7 í 3x = 1

kwadrateren geeft 7 í 3x = 1 í3x = í6 x=2 voldoet y

ƒ

O

2

x

y = –2

(2 13, –4)

f (x) > í2 geeft x < 2

© Noordhoff Uitgevers bv

Machten en exponenten

9

c f(í3) = 4

y

ƒ

4

–3

O

x

2 13

–4

(2 13 , –4)

x • í3 geeft í4 ” f(x) ” 4 5

11 a

f (x) = g(x) geeft 2 + 冑7 í 2x = x

冑7 í 2x = x í 2

kwadrateren geeft 7 í 2x = x2 í 4x + 4 x2 í 2x í 3 = 0 (x + 1)(x í 3) = 0 x = í1  x = 3 vold. niet vold.

7 í 2x • 0 í2x • í7 x ” 312 Dus Df = 8k, 312 4 , beginpunt is (312 , 2) en Bf = 3 2, m 9. y

g

ƒ

(3, 2)

O

3 3 12

x

Dus f (x) < g(x) geeft 3 < x ” 312 12 a

5 + ax = 0 ax = í5 5 x = ía

( )

5 beginpunt í a , 4 5 ¶ 2Âía í1 = 4 y = 2x í 1 10 í a =5 a = í2

10

Hoofdstuk 5

© Noordhoff Uitgevers bv

13 a

f (5) = 3 geeft a冑5 + b = 3, dus a =

3

冑5 + b

9 f (13) = 9 geeft a冑13 + b = 9, dus a = 冑13 + b

t

3 9 = 冑5 + b 冑13 + b 9冑5 + b = 3冑13 + b 3冑5 + b = 冑13 + b kwadrateren geeft 9(5 + b) = 13 + b 45 + 9b = 13 + b 8b = í32 b = í4

3 3 geeft a = = 3. 冑5 + b 冑1 Dus a = 3 en b = í4. b = í4 en a =

14 a

a y = 2冑x kwadrateren geeft y2 = 4x y2 x= 4 Dus x = 14 y2.

Bladzijde 19

15 a

b y = 冑x í 2 kwadrateren geeft y2 = x í 2 x = y2 + 2 Dus uit y = 冑x í 2 volgt x = y2 + 2.

a F = 3冑2t í 1 3冑2t í 1 = F kwadrateren geeft 9(2t í 1) = F 2 18t í 9 = F 2 18t = F 2 + 9 1 t = 18 F 2 + 12

b A = 5 + 冑4 í 3B.

c 2x冑y í 5 = 0

d R冑q í 冑R = 6

2x冑y = 5 kwadrateren geeft 4x2y = 25 25 y= 2 4x

5

5 + 冑4 í 3B = A

冑4 í 3B = A í 5

kwadrateren geeft 4 í 3B = (A í 5)2 4 í 3B = A2 í 10A + 25 í3B = A2 í 10A + 21 B = í 13 A2 + 313 A í 7 R冑q = 冑R + 6

冑q =

冑R + 6

R kwadrateren geeft q=

16 a

c y = 2冑x í 2 kwadrateren geeft y2 = 4(x í 2) y2 = 4x í 8 4x = y2 + 8 x = 14 y2 + 2 Dus uit y = 2冑x í 2 volgt x = 14 y2 + 2.

R + 12冑R + 36 R2

30 Â (100 í 30) 450 × 1000 = 30% geeft a = 1,96 1500 1500 Å a § 2,3% De nauwkeurigheid van de schatting is 2,3%.

a p=

20,5 Â (100 í 20,5) 82 × 100 = 20,5% geeft a = 1,96 400 400 Å a § 4,0% Bij een steekproef van 400 personen hoort een schatting met een nauwkeurigheid van 4,0%. Dat wil zeggen dat het werkelijke percentage tussen 20,5 í 4 = 16,5% en 20,5 + 4 = 24,5% zal liggen. Van de 28 500 personen kunnen er met een zekerheid van 95% maximaal 28 500 × 0,245 § 6983 op partij Y gestemd hebben.

b p=

© Noordhoff Uitgevers bv

Machten en exponenten

11

c a = 4 en p = 40 geeft 4 = 1,96 Å 1,96

40 Â 60 n

2400 =4 Å n

2400 4 = 1,96 Å n kwadrateren geeft 2400 4 2 = 1,96 n 2400 n= = 576,24 4 2 1,96 De steekproef moet een omvang van 576 personen hebben.

( ) ( )

d a = 6 en n = 200 geven 6 = 1,96 Å

p(100 í p) . 200

x(100 í x) Voer in y1 = 1,96 en y2 = 6. Å 200 De optie intersect geeft x § 24,98 en x § 75,02. Dus bij de percentages 25% en 75% hoort een nauwkeurigheid van 6%.

5

p(100 í p) e a = 1,96 n Å kwadrateren geeft p(100 í p) 3,8416 Â = a2 n n=

3,8416p(100 í p) a2

n=

384,16p í 3,8416p2 a2

í3,8416p2 + 384,16p a2 Dus d § í3,84 en e § 384.

n=

17 a

a

b Als je x steeds groter kiest dan komt f (x) steeds dichter bij 0. Ook voor heel kleine x komt f (x) heel dicht bij 0. c

f (x) wordt heel klein als een negatieve waarde van x heel dicht bij 0 komt. f (x) wordt heel groot als een positieve waarde van x heel dicht bij 0 komt. 1 d Bij = ... hoort ... × 0 = 1. 0 Maar er is niets op de plaats van de stippeltjes in te vullen, want ... × 0 is altijd 0 en nooit 1. Dat betekent dat je niet door 0 kunt delen en dus geeft de GR voor x = 0 ERROR.

12

Hoofdstuk 5

© Noordhoff Uitgevers bv

Bladzijde 21

3 4+ x 4+0 4x + 3 18 a a lim = lim =4 = x m ` 5x í 4 x m` 4 5í0 5 5í x 8 8íx x í1 0í1 b lim = lim = í 13 = xm` 3x + 4 xm ` 4 3+0 3+ x 3 2í x 2í0 0 2x í 3 0 2x í 3 c lim = lim = lim =1 = x m ` 4x í 1 x m ` 4x í 1 x m` 1 4í0 2 4í x 5 5íx 5íx x í1 0í1 d lim = lim = í 13 = lim = x m ` 0 3x í 2 0 x m ` 3x í 2 x m` 2 3í0 3í x Bladzijde 22

í3 0 3 í 4x 0 í(3 í 4x) x +4 0+4 í3 + 4x 19 a a lim = lim = lim = lim =4 = x m` x í 1 x m` x m` x í 1 x m` xí1 1 1í0 1í x

5

5 2+ x 0 2x + 5 0 2x + 5 2x + 5 2+0 b lim = lim = lim =2 = = lim x m` 0 3 í x 0 x m ` í(3 í x) x m ` í3 + x x m ` í3 0+1 x +1

í3 03 í x0 + x í(3 í x) + x x +2 0+2 í3 + x + x í3 + 2x c lim = lim = í2 = lim = lim = = lim x m ` 0 x + 5 0 í 2x x m ` x + 5 í 2x x m ` íx + 5 x m ` íx + 5 x m` 5 í1 + 0 í1 + x 2 1í x 1í0 0x0 í 2 xí2 d lim = lim = í1 = = lim x m` 3 í 0 x 0 x m` 3 í x x m` 3 0í1 í 1 x 3 4í x 4í0 4x í 3 20 a lim f (x) = lim = lim =2 = x m` x m ` 2x + 1 x m` 1 2+0 2+ x Dus de horizontale asymptoot is de lijn y = 2. Bladzijde 24 21 a

a Neem a = 4, b = 8, c = 0 en d = 2. 4x + 8 4x + 8 4x 8 Dit geeft y = + = 2x + 4. = = 0Âx + 2 2 2 2 Van y = 2x + 4 is de grafiek geen hyperbool, maar een rechte lijn. b Neem a = 2, d = 4, b = 8 en c = 1, dan geldt dat ad = bc. 2x + 8 2(x + 4) Dit geeft y = = = 2 mits x  í4. x+4 (x + 4) De grafiek die hierbij hoort is geen hyperbool, maar een horizontale lijn met perforatie (í4, 2). b a+ x a+0 a ax + b c lim f (x) = lim = = lim = d c+0 c x m` x m` cx + d x m` c+ x a Dus de horizontale asymptoot is de lijn y = c .

© Noordhoff Uitgevers bv

Machten en exponenten

13

22 a

1 a y= x verm. x-as, 3

3 y= x translatie (í1, 2)

y=

3 +2 x+1

Dit geeft y =

2(x + 1) 3 + 2x + 2 2x + 5 3 + . = = x+1 x+1 x+1 x+1

3x í 4 3(x í 2) + 2 3(x í 2) 2 2 + = = =3+ xí2 xí2 xí2 xí2 xí2 1 y= x

b y=

verm. x-as, 2

2 y= x

5

translatie (2, 3)

y=3+

2 xí2

3x í 4 ontstaat uit de standaardgrafiek door de vermenigvuldiging met 2 xí2 ten opzichte van de xías en de translatie (2, 3). Dus de hyperbool y =

23 a

a noemer is 0 geeft 2x + 5 = 0 2x = í5 x = í212 Dus de verticale asymptoot is de lijn x = í212 . 3 2í x 2í0 2x í 3 lim f (x) = lim = lim =1 = x m ` 2x + 5 xm` 5 2+0 xm` 2+ x Dus de horizontale asymptoot is de lijn y = 1. b noemer is 0 geeft 4 í x = 0 íx = í4 x=4 Dus de verticale asymptoot is de lijn x = 4.

(

)

3 3x 3 = lim °2 + ¢ = 2 + 0 í 1 = 2 í 3 = í1 xm` 4íx 4 x í1 Dus de horizontale asymptoot is de lijn y = í1. c noemer is 0 geeft x + 2 = 0 x = í2 Dus de verticale asymptoot is de lijn x = í2. 8 3í x 3í0 0 3x í 8 0 3x í 8 lim h(x) = lim = lim = lim =3 = x m` x m` x + 2 x m` x + 2 x m` 2 1+0 1+ x 8 í3 + x í3 + 0 0 3x í 8 0 í(3x í 8) í3x + 8 lim h(x) = lim = lim = lim = lim = í3 = x m í` x m í` x + 2 x m í` x + 2 x m í` x + 2 x m í` 1+0 2 1+ x y = 3 voor x m ` Dus de horizontale asymptoten zijn de lijnen e y = í3 voor x m í ` lim g(x) = lim 2 +

xm`

14

Hoofdstuk 5

xm`

© Noordhoff Uitgevers bv

d Noemer is 0 geeft 0 3 í x 0 = 0 3íx=0 íx = í3 x=3 Dus de verticale asymptoot is de lijn x = 3. 4 2í x 0 2x 0 í 4 2x í 4 2x í 4 2í0 lim k(x) = lim = lim = lim =2 = lim = m m m m m 0 0 x ` x ` 3íx x ` í(3 í x) x ` í3 + x x ` í3 0+1 + 1 x 4 í2 í x 0 2x 0 í 4 í2x í 4 í2 í 0 lim k(x) = lim = lim =2 = lim = lim x m í` x m í` 0 3 í x 0 x m í` 3 í x x m í` 3 x m í` 0 í 1 x í1 Dus de horizontale asymptoot is de lijn y = 2. 24 a

a noemer is 0 geeft x + 3 = 0 x = í3 Dus de verticale asymptoot is de lijn x = í3. 1 2í x 2í0 2x í 1 lim f (x) = lim = lim =2 = 3 1+0 xm` xm` x + 3 xm` 1+ x Dus de horizontale asymptoot is de lijn y = 2.

5

x

í6

í5

í4

í2

í1

1

4

f(x)

4,3

5,5

9

í5

í1,5

0,25

1

De grafiek van g is de lijn door de punten (0, 1) en (1, í1). y

x = –3

y=2 1 O

ƒ 1

x

g

2x í 1 í2x + 1 = x+3 1 2x í 1 = (x + 3)(í2x + 1) 2x í 1 = í2x2 + x í 6x + 3 2x2 + 7x í 4 = 0 D = 72 í 4  2  í4 = 81 í7 í 9 í7 + 9 1 x= = í4  x = =2 4 4 voldoet voldoet 1 f (x) ” g(x) geeft x ” í4  í3 < x ” 2 c g(í3) = í2  í3 + 1 = 7 g(x) = 2 geeft í2x + 1 = 2 í2x = 1 x = í 12 Dus de oppervlakte van de ingesloten driehoek is 12  (í 12 í í3) (7 í 2) = 12  212  5 = 614 . b f (x) = g(x) geeft

© Noordhoff Uitgevers bv

Machten en exponenten

15

25 a

a noemer is 0 geeft x + 1 = 0 x = í1 Dus de verticale asymptoot van de grafiek van f is de lijn x = í1. 1 2í x 2í0 2x í 1 lim f (x) = lim = lim =2 = x m` x + 1 1 1+0 x m` x m` 1+ x Dus de horizontale asymptoot van de grafiek van f is de lijn y = 2. noemer is 0 geeft x í 1 = 0 x=1 Dus de verticale asymptoot van g is de lijn x = 1. 1 1+ x 1+0 x+1 lim g(x) = lim = lim =1 = 1 1í0 x m` x m` x í 1 x m` 1í x Dus de horizontale asymptoot van de grafiek van g is de lijn y = 1. y

5

g

ƒ

y=2 ƒ

g O

x = –1

y=1 x

x=1

2x í 1 x + 1 = x+1 xí1 (2x í 1)(x í 1) = (x + 1)(x + 1) 2x2 í 2x í x + 1 = x2 + 2x + 1 x2 í 5x = 0 x(x í 5) = 0 x=0x=5 vold. vold. f (x) < g(x) geeft í1 < x < 0  1 < x < 5 2x í 1 c f (x) = 4 geeft =4 x+1 2x í 1 = 4(x + 1) 2x í 1 = 4x + 4 í2x = 5 x = í212 , dus A (í212 , 4) x+1 g(x) = 4 geeft =4 xí1 x + 1 = 4(x í 1) x + 1 = 4x í 4 í3x = í5 x = 123 , dus B (123 , 4) b f (x) = g(x) geeft

AB = xB í xA = 123 í í212 = 416

16

Hoofdstuk 5

© Noordhoff Uitgevers bv

Bladzijde 25 26 a

1 1 1 1 1 1 = + f b vs + = b v 3 f =3 1 1 1 = í b 3 v 3 1 v í = b 3v 3v 1 ví3 = 3v b b(v í 3) = 3v 3v b= ví3 b noemer is 0 geeft v í 3 = 0 v=3 Dus de verticale asymptoot is de lijn v = 3. 3v 3 3 lim = lim =3 = v í 3 1 í 0 3 xm` xm` 1í v Dus de horizontale asymptoot is de lijn b = 3. a

5

v

0

1

2

4

5

6

9

12

b

0

í1,5

í6

12

7,5

6

4,5

4

b 5 4 b=3

3 2 1 O –1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

v

–2 –3 –4 –5 v=3

De praktische betekenis van v = 3 is: als de voorwerpsafstand 3 is, dan is er geen beeld. De praktische betekenis van b = 3 is: er is geen voorwerpsafstand waarvoor de beeldpuntsafstand 3 is. 3v c b= 3v ví3 s v= ví3 b=v v(v í 3) = 3v v2 í 3v = 3v v2 í 6v = 0 v(v í 6) = 0 v=0  v=6 vold. niet vold. Dus bij v = 6 zijn de beeldpuntsafstand en de voorwerpsafstand gelijk.

© Noordhoff Uitgevers bv

Machten en exponenten

17

( ) 3v

d `

`

b ` = v

† ví3 †

= `

v

3 ` ví3

b ` =2 v

3 ` =2 ví3 3 3 =2  = í2 (v í 3) (v í 3) 3 = 2(v í 3)  3 = í2(v í 3) 3 = 2v í 6  3 = í2v + 6 í2v = í9  2v = 3 v = 412  v = 112 vold. vold.

w `

5.2 Machten met negatieve en gebroken exponenten Bladzijde 27 27 a

a De exponenten worden telkens 1 minder en de getallen worden steeds door 2 gedeeld. 1 b 2í3 = 18 2í4 = 16 1 1 c xí1 = x xí3 = 3 x

5

Bladzijde 28 28 a

a b c

d e

1 = aí2 a2 1 a4 Â 6 = a4 Â aí6 = aí2 a an an = í4 = an í í4 = an + 4 a 1 a4 a8 = a8 í 0 = a8 a0 (a3 )í2 = aí6

f g h

( )

i

( )

1 a5 aí5 = 1 = aí5 í 1 = aí6 a a a = aí11 a12 1 Â (a3)n = aí8 Â a3n = a3n í 8 a8 1 an aín = = aín + 3 aí3 aí3

( )

Bladzijde 29 29 a

30 a

1 1 = 72 49 b ( 13 ) í2 = (3í1 )í2 = 32 = 9 1 1 3 c 3 Â 5í2 = 3 Â 2 = 3 Â 25 = 25 5 a 7í2 =

1 3 Âb = a5 1 1 b 13 aí3 = 13 Â 3 = 3 a 3a 1 c 5aí4b2 = 5 Â 4 Â b2 = a 3 3 í4 3 1 d 5a = 5 Â 4 = 4 a 5a a 6aí5b3 = 6 Â

e 31 a

18

( 12 a)

í3

( 25)í2 =

1

( 25)2

=

1 4 25

1 = 25 4 = 64

1 1 = 4 = 1 = 4Â 1000 1000 250 103 1 1 : 6í2 = 12 : 2 = 12 : 36 = 12 Â 36 = 18 6

e 4 Â 10í3 = 4 Â f

6b3 a5

1 2

1 4 b4 Âb = 2 a2 6a 1 1 4 g í4 Â (3a) í2 = í4 Â = í4 Â 2 = í 2 (3a) 2 9a 9a 1 1 1 h (3a)í2bí3 = Â 3= 2 3 2 (3a) b 9a b 3b 3 í1 3 1 i 8a b = 8 Â Âb = a 8a f

5b2 a4

= ( 2í1 Â a) = 23 Â aí3 = 8 Â í3

d

1 í2 4 6a b

= 16 Â

8 1 = a3 a3

2 1 = Â 27x6 Â 2 Â xí10 = 18xí4 x10 3 Dus y = 18xí4. 162 2 162 b y= = = 2xí8 4 = 2 (3x ) 81x8 x8 Dus y = 2xí8. c y = 3(3x)í2 Â 4x = 3 Â 3í2 Â xí2 Â 4x1 = 3 Â 19 Â 4 Â xí1 = 43 xí1 Dus y = 113 xí1. a y = 13 (3x2 )3 Â

Hoofdstuk 5

© Noordhoff Uitgevers bv

32 a

a y = ( 13 x2) Â x4 = ( 13 )í1 Â xí2 Â x4 = 3x2 Dus y = 3x2. 1 b y = 75 Â (5x)í2 Â 3x12 = 75 Â 5í2 Â xí2 Â 3x12 = 75 Â 25 Â 3 Â x10 = 9x10 10 Dus y = 9x . 5 c y = 2 Â (3xí2 )3 = 5 Â xí2 Â 27 Â xí6 = 135xí8 x Dus y = 135xí8.

33 a

(x )3 = x 3 3 s 3 (冑3 x )3 = x x(x =) 冑3=x (冑x )

í1

1 3

1 3

1 3

Bladzijde 31 34 a

1

1

b 12 aí4 b = 2

c 3aí3 =

35 a

3b 2b3 2 Â 冑 = 3a3 3a3 1

3a a 5a3 = 5 Â 冑

1

d 23 aí3 Â b3 =

b b 1 = 4a 2a4 2 Â 冑

冑3 b b3 Â b = 12 = 5冑a 5a 1

e

3 3 2 = 3 3 a 冑a 2

1 í 12 5a

1 3

1

f (5a)í2 =

3 a a Â冑 a = a 1 Â a 3 = a 13 1 1 1 b = = aí 2 冑a a12 1

1

1 1 c a = 1 = aí1 a 1 d 3 = aí3 a

1 1 1 = (5a)2 冑5a

f

2 1 3 í2 = 冑a = a í 3 2 Äa

g

冑3 a12 = a

5

3

12 3

= a4

1 1 2 1 3 Â 冑a = aí4 Â a3 = aí4 + 3 = aí33 a4 1 2 a3 a3 i 3 = 1 = a 3 í 3 = a 23 冑a a 3

h

e a2 Â 冑a = a2 Â a2 = a22 1

36 a

37 a

1

a 8冑2 = 23 Â 22 = 232 1

冑4 19 = 冑4 3í2 = 3í = 3í 1 冑10 = 10í2 Â 10 = 10í2 + = 10í1 g 100 1 3 í2 31 h 18 Â 冑 2 = 2í3 Â 2í = 2í3 í = 2í3 = 3 Â冑 4

1

冑3 = 3í1 Â 3 = 3í1 + = 3í 1 2

1 2

1 2

1 3

c

1 1 8 23 = 1 = 2 3 í 2 = 2 22 2 冑2 2

d

1 2

e

4冑2 22 Â 212 1 1 1 = = 2 2 + 2 í 3 = 2 26 1 冑3 2 23

2

 冑3 2 = 2í1  2 = 2í1 + = 2í 1 3

1 2

1 2

b

1 3

2 4

f

1 2

2 3

1 2

2 3

2 3

3 0,1 3 10í1 i 10 Â 冑 = 101 Â 冑 = 101 Â 10í3 = 101 í 3 = 103 1

2 3

1

2

3 a x 23 = x 2 Â x 3 = x 2 Â 冑 x 1

1

b 222 = 22 Â 22 = 4冑2 1

1

3 c 2x + 3 = 2x  23 = 2x  冑 2 x + 2 x 2 x d 3 = 3 Â3 = 9Â3 e 5a + 1 = 5a  51 = 5  5a aí2 a a í2 f ( 12 ) = ( 12 )  ( 12 ) = ( 12 )  (2í1 )í2 = 1 1 a g 4a í 3 = 4a  4í3 = 4a  3 = 64 Â4 4 h 22a í 1 = 22a  2í1 = (22 )a  12 = 12  4a 1

i

1

( 12 )a  22 = 4  ( 12 ) a

( 13 )1 í 3x = (3í1 )1 í 3x = 3í1 + 3x = 3í1 Â 33x = 13 Â (33 )x = 13 Â 27x

© Noordhoff Uitgevers bv

Machten en exponenten

19

38 a

a

x6

=

x6

=

x6

 冑x x2  x x2 7 x3 b x Â冑 = x1  x = x1 x2

1 2

3 7

c

1 2

1

( )

1 x2 1 1 xí2 f = 1 = xí2 í 2 = xí22 冑x x2 1 g x2 Â 3 = x2 Â xí3 = x2 í 3 = xí1 x

1

= x 6 í 22 = x 32

3 7

1 4 x1 x = = x1 í 5 = x5 冑5 x x15

冑6 x  冑3 x = x  x = x + = x 5 x4  冑 x x4  x x4 i 5 4 = 5 = 5 = x4 í 5 = xí1 x  冑x x  x x

d x4 Â 冑x = x4 Â x2 = x42 1

冑x x = =x 冑x x 3

e 39 a

1 3 1 2

1 3

í 12

1

1

= xí 6

5 5 5 í11 = 1 = 1 = 5x 2 x冑x x11 Â x2 x12 Dus y = 5xí12 .

b y = 5x 冑x3 = 5x1 Â x2 = 5x1 + 12 = 5x22 1 Dus y = 5x22 . 1 1 1 5 c y = 3 Â 2冑x = 5 Â xí3 Â 2 Â x2 = 10xí3 + 2 = 10xí22 x 1 Dus y = 10xí22 .

5

1

1 3

1 6

1 3

1 5

1 5

1 4

1 4

1 2

1 5

1 4

1 20

4 3 d y = 3 Â冑 x = 3x4 3 Dus y = 3x4 . e y = 5xí0,2 Â x1,3 = 5xí0,2 + 1,3 = 5x1,1 Dus y = 5x1,1. 50x1,9 f y= = 5 Â x1,9 í 1,1 = 5x0,8 10x1,1 Dus y = 5x0,8. 3

a y=

3

1 6

h

1

Bladzijde 33 40 a

a x1,6 = 50 1 x = 501,6 § 11,531 b xí4,1 = 5 1 x = 5 í 4,1 § 0,675 c

d xí1 = 21 1 1 x = 21 í 1 = 21í1 = 21 § 0,048 0,55 e (5x) = 18 1 5x = 180,55

( 12 x) í1,3 = 11 1 2x

1

= 11 í 1,3 1 x = 2 Â 11 í 1,3 § 0,316

x = 15 Â 180,55 § 38,313 1

f

冑3 x2 = 28 2

x3 = 28 3

x = 282 § 148,162 41 a

a 3x2,25 + 1 = 27 3x2,25 = 26 x2,25 = 26 31 2,25 § 2,611 x = (26 3) b (5x)í1,3 + 8 = 21 (5x)í1,3 = 13 1 5x = 13 í 1,3 1 x = 15 Â 13 í 1,3 § 0,028 c 4xí1,8 + 16 = 5000 4xí1,8 = 4984 xí1,8 = 1246 1 x = 1246 í 1,8 § 0,019

d 8 í 3x1,16 = 1 í3x1,16 = í7 x1,16 = 73 x=

( 73 )

1 1,16

§ 2,076

3 2x e 5 Â冑 =8

冑3 2x = 85 (2x)3 = 85 1

( 85)3 x = 12 Â ( 85 )3 = 2,048

2x =

4 3 f 3 Â冑 x í 1 = 36 4 x3 3 Â冑 = 37

冑4 x3 = 373 x4 = 37 3 3

x=

20

Hoofdstuk 5

( 373 )

4 3

§ 28,495

© Noordhoff Uitgevers bv

42 a

y = 20x3 20x3 = y 1 x3 = 20 y 1 3

( 201 y) 1 ) Ây x = ( 20 1 ) Dus a = ( 20 x=

1 3

1 3

1 3

§ 0,37 en b = 13 § 0,33.

Bladzijde 34 43 a

a y = 5x1,2 geeft 5x1,2 = y x1,2 = 0,2y 1 x = (0,2y)1,2 1

1

x = 0,21,2 Â y1,2 x § 0,26y0,83 Dus x = 0,26y0,83. b y = 0,1xí1,7 geeft 0,1xí1,7 = y xí1,7 = 10y 1 x = (10y) í 1,7 1

5 1

x = 10 í 1,7 Â y í 1,7 x § 0,26y0,59

Dus x = 0,26y0,59. c y = 125xí2,3 geeft 125xí2,3 = y xí2,3 = 0,008y 1 x = (0,008y) í 2,3 1

1

x = 0,008 í 2,3 Â y í 2,3 x § 8,16yí0,43 Dus x = 8,16yí0,43. 44 a

3x a y = 15x2 Â 冑 = 15x2 Â x3 = 15x23 1

1

1

1

y = 15x23 geeft 15x23 = y 1 x3 = 15 y 7

3 7

(151 y) 1 ) Ây x = (15 x=

3 7

3 7

x § 0,31y0,43

0,31y0,43.

Dus x = 1 6 6 6 b y = 4 3 = 4 1 = 41 = 6xí43 x  冑x x  x 3 x 3 1

1

y = 6xí43 geeft 6xí43 = y xí 3 = 16 y 13

3 13

( 16 y) í x = ( 16 )í Â y í x=

3 13

3 13

x § 1,51yí0,23 Dus x = 1,51yí0,23. 1 冑3 x 1 x3 12 3 c y= = 12 Â 11 = 12xí16 Â 冑x = 12 Â x冑x x冑x x2 1

1

y = 12xí16 geeft 12xí16 = y 1 xí6 = 12 y 7

6 7

( 121 y) í 1 í ) Âyí x = ( 12 x=

6 7

6 7

x § 8,41yí0,86 Dus x =

8,41yí0,86.

© Noordhoff Uitgevers bv

Machten en exponenten

21

45 a

b v = 25t冑t = 25t  t2 = 25t12 1

a K = 15qí1,6 geeft 15qí1,6 = K 1 qí1,6 = 15 K

1

1 í 1,6

1 í 1,6

3

t2 = 0,04v 1 í 1,6

2

t = (0,04v)3 2

q § 5,43Kí0,625 í0,625 Dus q = 5,43K .

F=

2

t = (0,04)3 Â v3 t § 0,12v0,67

Dus t = 46 a

1

v = 25t12 geeft 25t12 = v

(151 K) 1 ) ÂK q = (15 q=

1

0,12v0,67.

m冑m m冑m í 1

F(m冑m í 1) = m冑m m冑m  F í F = m冑m m冑m  F í m冑m = F m冑m(F í 1) = F F m冑m = Fí1 1 F m 12 = Fí1 2 F 3 m= Fí1

5

( )

47 a

a P = 800 Â lí2,25 800 P = 2,25 l Een grotere waarde voor l geeft een grotere noemer en dus een kleinere uitkomst van de breuk. Dus een grotere waarde voor l geeft een kleinere waarde voor P, dus grotere dieren leven gemiddeld verder van elkaar af . b l = 2,15 geeft P = 800 Â 2,15í2,25 § 143 exemplaren per km2. In het gebied leven ongeveer 250 Â 143 = 35 750 kariboes. c P = 800 Â lí2,25 geeft 800 Â lí2,25 = P 1 lí2,25 = 800 P 1 í 2,25

1 ( 800 P) 1 ) ÂP l = ( 800

l=

1 í 2,25

1 í 2,25

l § 19,5Pí0,44 Dus l = 19,5 Â

Pí0,44.

160 000 = 32 000 per km2 5 P = 32 000 geeft l = 19,5 Â 32 000í0,44 § 0,20, dus de gemiddelde lengte is ongeveer 20 cm.

d 160 000 per 5 km2 geeft P =

5.3 De standaardfunctie f(x) = gx Bladzijde 36 48 a

a

Hoe kleiner de waarden van x, hoe meer de grafiek nadert naar y = 0. b Er geldt dat lim f (x) = 0 en hoe groter de waarden van x, hoe groter de waarden van f (x). x m í`

Dus B f = 80, m 9.

22

Hoofdstuk 5

© Noordhoff Uitgevers bv

c

Hoe groter de waarden van x, hoe meer de grafiek nadert naar y = 0. d B g = 80, m 9 Bladzijde 38 49 a

a y = 3x

c y = 1,1x

translatie (í1, 5)

f (x) = 3x + 1 + 5 De horizontale asymptoot is de lijn y = 5. B f = 85, m 9 b y = 0,5x verm. x-as, í2

y = í2 Â 0,5x translatie (0, 3)

g(x) = 3 í 2 Â 0,5x De horizontale asymptoot is de lijn y = 3. Bg = 8 k , 39

50 a

verm. x-as, 4

y = 4 Â 1,1x translatie (0, 6)

h(x) = 6 + 4 Â 1,1x De horizontale asymptoot is de lijn y = 6. Bh = 86, m 9 d y = 12,5x

5

verm. x-as, 0,01

y = 0,01 Â 12,5x translatie (0, í150)

k(x) = 0,01 Â 12,5x í 150 De horizontale asymptoot is de lijn y = í150. Bk = 8í150, m 9

a lim f (x) = lim (25 í 5 Â 1,5x) = 25 í 5 Â 0 = 25 x m í`

x m í`

x m í`

x m í`

x m`

x m`

Dus de horizontale asymptoot is de lijn y = 25. b lim g(x) = lim (60 + 10  0,8x) = 60 + 10  0 = 60 Dus de horizontale asymptoot is de lijn y = 60. c h(x) = 1,5  1,81 í x í 12 = 1,5  1,8  1,8íx í 12 = 1,5  1,8  (1,8í1)x í 12 = 2,7  0,55...x í 12 lim h(x) = lim (2,7  0,55...x í 12) = 2,7  0 í 12 = í12 Dus de horizontale asymptoot is de lijn y = í12. d k(x) = 180  0,98x + 1 í 50 = 180  0,98x  0,98 í 50 = 176,4  0,98x í 50 lim k(x) = lim (176,4  0,98x í 50) = 176,4  0 í 50 = í50 x m`

x m`

Dus de horizontale asymptoot is de lijn y = í50. 51 a

a y = 3x verm. x-as,

c y = 3x 1 2

y = 12 Â 3x translatie (0, 3)

y = 12 Â 3x + 3 b y = 3x spiegelen in de x-as

y = í3x translatie (0, í1)

y = í3x í 1

translatie (4, í5)

y = 3x í 4 í 5 verm. x-as, 3

y = 3(3x í 4 í 5) ofwel y = 3 Â 3x í 4 í 15 ofwel y = 3x í 3 í 15 d y = 3x verm. x-as, 3

y = 3 Â 3x translatie (4, í5)

y = 3 Â 3x í 4 í 5 ofwel y = 3x í 3 í 5

© Noordhoff Uitgevers bv

Machten en exponenten

23

Bladzijde 39 52 a

a f (3) = 23 + 3 í 4 = 60 y = 2x translatie (í3, í4)

f (x) = 2x + 3 í 4 Dus de horizontale asymptoot is de lijn y = í4. y

x

O

ƒ

5

y = –4

x ” 3 geeft í4 < f (x) ” 60 b Voer in y1 = 2x + 3 í 4 en y2 = í1. Intersect geeft x § í1,42. f (x) ” í1 geeft x ” í1,42 53 a

a Voer in y1 = 2x í 2 en y2 = Intersect geeft x § 2,15.

( 12 )x í 1 + 2.

y ƒ g

y=2

x

O

y = –2

f (x) • g(x) geeft x • 2,15 b lim f (x) = lim (2x í 2) = 0 í 2 = í2, dus B f = 8í2,m9. x m í`

x m í`

Dus f (x) = p heeft geen oplossingen voor p ” í2. Bladzijde 40 54 a

24

a Voer in y1 = 2x í 2 í 3 en y2 = 4 Â 0,5x í 3 í 1. x

í1

0

1

2

3

4

5

6

7

f(x)

í2,9

í2,8

í2,5

í2

í1

1

5

13

29

g(x)

63

31

15

7

3

1

0

í0,5

í0,8

Hoofdstuk 5

© Noordhoff Uitgevers bv

y 6

ƒ

5 4

g

3 2 1 –3

–2

–1 O

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x y = –1

–2 y = –3

b B f = 8í3, m 9 en B g = 8í1, m 9, dus f(x) = p heeft één oplossing voor p > í3 en g(x) = p heeft geen oplossing voor p ” í1. Dus het antwoord is í3 < p ” í1. c f(2) = í2 x ” 2 geeft í3 < f(x) ” í2 d f(1) = í2,5 en g(1) = 15, dus A(1; í2,5) en B(1, 15). AB = yB í yA = 15 í í2,5 = 17,5 e Voer in y3 = 5. Intersect van y1 met y3 geeft x = 5, dus P(5, 5). Intersect van y2 met y3 geeft x § 2,415, dus Q(2,415; 5). PQ = xP í xQ § 5 í 2,415 = 2,585 55 a

a a < 0 (verschuiving omlaag) b > 0 (geen spiegeling in de x-as) c < 0 (spiegeling in de y-as)

56 a

2x í 3 = 冑2

5

b a > 0 (verschuiving omhoog) b < 0 (spiegeling in de x-as) c > 0 (geen spiegeling in de y-as)

1

2x í 3 = 22 x í 3 = 12 x = 312 Bladzijde 41

57 a

a 2x = 18 冑2 1 2x = 2í3 Â 22 1 2x = 2í22 x = í212 b 23x í 1 = 16 23x í 1 = 24 3x í 1 = 4 3x = 5 x = 123

c 2 Â 3x + 1 = 162 3x + 1 = 81 3x + 1 = 34 x+1=4 x=3 x d 62x + 1 = (16 ) 2x + 1 6 = (6í1)x 62x + 1 = 6í x 2x + 1 = íx 3x = í1 x = í 13

e 43x + 1 = 12 (22 )3x + 1 = 2í1 26x + 2 = 2í1 6x + 2 = í1 6x = í3 x = í 12 f 5 Â 162 í x = 40 162 í x = 8 (24)2 í x = 23 28 í 4x = 23 8 í 4x = 3 í4x = í5 x = 114

58 a

a 2x + 1 = 64 2x + 1 = 26 x+1=6 x=5 b 2x í 3 = 18 2x í 3 = 2í3 x í 3 = í3 x=0

c 22x = 2 22x = 21 2x = 1 x = 12 d 2x = 1 2x = 20 x=0

e 2x = 14 冑2 1 2x = 2í2 Â 22 1 2x = 2í12 x = í112

© Noordhoff Uitgevers bv

x

f 5x + 6 = ( 15 ) 5x + 6 = (5í1)x 5x + 6 = 5íx x + 6 = íx 2x = í6 x = í3 Machten en exponenten

25

59 a

a 32x + 1 = 27冑3 1 32x + 1 = 33 Â 32 1 32x + 1 = 332 2x + 1 = 312 2x = 212 x = 114 b 102x + 1 = 0,01 102x + 1 = 10í2 2x + 1 = í2 2x = í3 x = í112

c 3x í 2 = 25 3x = 27 3x = 33 x=3 d 5 Â 2x = 80 2x = 16 2x = 24 x=4

e 10 Â 3x = 270 3x = 27 3x = 33 x=3 f 3 Â 82 í x = 48 82 í x = 16 (23)2 í x = 24 26 í 3x = 24 6 í 3x = 4 í3x = í2 x = 23

60 a

a 3 Â 2x + 4 = 28 3 Â 2x = 24 2x = 8 2x = 23 x=3 b 52x í 6 = 0,04 1 52x í 6 = 25 2x í 6 5 = 5í2 2x í 6 = í2 2x = 4 x=2

c 3 Â 73x + 1 = 147 73x + 1 = 49 73x + 1 = 72 3x + 1 = 2 3x = 1 x = 13

e 5 Â 4x í 1 = 212 4x í 1 = 12 (22)x í 1 = 2í1 22x í 2 = 2í1 2x í 2 = í1 2x = 1 x = 12 f 8 Â 2x = 4x + 1 23 Â 2x = (22)x + 1 23 + x = 22x + 2 3 + x = 2x + 2 íx = í1 x=1

5

61 a

a f (x) = g(x) geeft

1 d 32x í 2 = 16 x í 2 (25) = 2í4 25x í 10 = 2í4 5x í 10 = í4 5x = 6 x = 115

(冑2 )x + 4 = ( 14)x (2 )x + 4 = (2í2)x 1 2

1

22 x + 2 = 2í2x 1 2x

+ 2 = í2x

212 x = í2 x = í 45 y=

(冑2 )x translatie (í4, 0)

f (x) =

(冑2 )x + 4 y g

ƒ − 45 O

x

f (x) • g(x) geeft x • í 45

26

Hoofdstuk 5

© Noordhoff Uitgevers bv

b g(x) = 冑2 geeft

(14)x = 冑2 x

1

(2í2) = 22 1

2í2x = 22 í2x = 12 x = í 14 y g

y= 2 − 14 O

x

g(x) • 冑2 geeft x ” í 14 62 a

5

f (x) = 2x verm. x-as, 6

y = 6 Â 2x translatie (0, í10)

g(x) = 6 Â 2x í 10 f (x) = g(x) geeft 2x = 6 Â 2x í 10 í5 Â 2x = í10 2x = 2 x=1 f(1) = 2, dus het snijpunt is S(1, 2). 63 a

a 2x + 1 = 2x  21 = 2x  2 = 2  2x Dus uit 2x + 1 + 2x = 48 volgt 2  2x + 2x = 48. b 2  2x + 2x = 2  2x + 1  2x = 3  2x Dus uit 2  2x + 2x = 48 volgt 3  2x = 48. 3  2x = 48 2x = 16 2x = 24 x=4

64 a

a 3x + 2 + 3x = 810 3x  32 + 3x = 810 9  3x + 3x = 810 10  3x = 810 3x = 81 3x = 34 x=4 b 2x í 1 + 2x + 1 = 10 2x  2í1 + 2x  21 = 10 1 x x 2  2 + 2  2 = 10 1 x 22  2 = 10 2x = 4 2x = 22 x=2

Bladzijde 42

© Noordhoff Uitgevers bv

c 2x + 3 í 2x = 78 2x  23 í 2x = 78 8  2x í 2x = 78 7  2x = 78 2x = 18 2x = 2í3 x = í3 d 3x + 2 = 24 + 3x 3x  32 = 24 + 3x 9  3x í 3x = 24 8  3x = 24 3x = 3 x=1

e 3x í 3x í 1 = 2冑3 3x í 3x  3í1 = 2冑3 3x í 13  3x = 2冑3 2 x 3  3 = 2冑3 3x = 3冑3 1 3x = 31  32 1 3 x = 3 12 x = 112 f 5x í 1 + 5x í 2 = 6冑5 5x  5í1 + 5x  5í2 = 6冑5 1 1 x x 5  5 + 25  5 = 6冑5 6 x 25  5 = 6冑5 5x = 25冑5 1 5x = 52  52 1 5 x = 5 22 1 x = 22

Machten en exponenten

27

65 a

a 3x + 1 = 9x + 2 3x + 1 = (32)x + 2 3x + 1 = 32x + 4 x + 1 = 2x + 4 íx = 3 x = í3 b 3x + 1 í 3x í 1 = 8冑3 3x  31 í 3x  3í1 = 8冑3 3  3x í 13  3x = 8冑3 223  3x = 8冑3 3x = 3冑3 1 3x = 31  32 1 3 x = 3 12 x = 112 xí6 2 c 3x = ( 13 ) 2 3x = (3í1)x í 6 2 3x = 3íx + 6 x2 = íx + 6 x2 + x í 6 = 0 (x í 2)(x + 3) = 0 x = 2  x = í3 6 d 5x + 5x + 1 = 25 6 x x 1 5 + 5  5 = 25 6 5x + 5  5x = 25 6 6  5x = 25 1 5x = 25 5x = 5í2 x = í2 2 e 5x + 5 = 125x + 1 2 x 5 + 5 = (53)x + 1 2 x 5 + 5 = 53x + 3 2 x + 5 = 3x + 3 x2 í 3x + 2 = 0 (x í 1)(x í 2) = 0 x=1x=2

66 a

a y = 3x

5

f 2x + 2 í ( 12 ) = 28 2x  22 í (2í1)íx + 1 = 28 4  2x í 2x í 1 = 28 4  2x í 2x  2í1 = 28 4  2x í 12  2x = 28 312  2x = 28 2x = 8 2x = 23 x=3 2 2 g 4x + 12 = 8x í 1 2 (22)x + 1 = (23)x í 1 2 2 22x + 2 = 23x í 3 2 2x + 2 = 3x2 í 3 íx2 = í5 x2 = 5 x = 冑5  x = í冑5 1 h 2x + 3 í 42 x í 1 = 378 1 2x  23 í (22)2 x í 1 = 378 8  2x í 2x í 2 = 378 8  2x í 2x  2í2 = 378 8  2x í 14  2x = 378 734  2x = 378 2x = 12 2x = 2í1 x = í1 íx + 1

translatie (í1, í4)

f (x) = 3x + 1 í 4 y = 3x verm. x-as, í1

y = í3x translatie (1, 6)

g(x) = 6 í 3x í 1 b Voer in y1 = 3x + 1 í 4 en y2 = 6 í 3x í 1.

28

x

í3

í2

í1

0

1

2

3

f(x)

í3,9

í3,7

í3

í1

5

23

77

g(x)

6,0

6,0

5,9

5,7

5

3

í3

Hoofdstuk 5

© Noordhoff Uitgevers bv

y

7 y=6

6

5

4

3

2 ƒ

g

1

5 –4

–3

–2

–1

O

1

2

3

4

x

5

–1

–2

–3 y = –4 –4

c B f = 8í4, m 9 en B g = 8k, 69 d f (x) = g(x) geeft 3x + 1 í 4 = 6 í 3x í 1 3x  31 í 4 = 6 í 3x  3í1 3  3x í 4 = 6 í 13  3x 313  3x = 10 3x = 3 x=1 f (x) ” g(x) geeft x ” 1 e f (212 ) = 322 + 1 í 4 = 332 í 4 = 27冑3 í 4, dus A (212 , 27冑3 í 4) . 1

1

g (212 ) = 6 í 322 í 1 = 6 í 312 = 6 í 3冑3, dus B (212 , 6 í 3冑3 ) . 1

1

AB = yA í yB = 27冑3 í 4 í (6 í 3冑3) = 30冑3 í 10 f f (x) í g(x) = 80 geeft 3x + 1 í 4 í (6 í 3x í 1) = 80 3x + 1 í 4 í 6 + 3x í 1 = 80 3x  31 í 10 + 3x  3í1 = 80 3  3x + 13  3x = 90 313  3x = 90 3x = 27 3x = 33 x=3 g g(x) í f (x) = p betekent de gra¿ek van g ligt p boven de gra¿ek van f. Dit geldt alleen voor p < 10. Dus de vergelijking heeft geen oplossingen voor p • 10.

© Noordhoff Uitgevers bv

Machten en exponenten

29

5.4 Exponentiële groei Bladzijde 44 67 a

a Jaarlijkse toename van 5%, dus de vermenigvuldigingsfactor is 1,05. Het bedrag op 1 januari 2011 is 1000 Â 1,05 = 1050 euro. Het bedrag op 1 januari 2015 is 1000 Â 1,055 = 1276,28 euro. b g = 1,05

68 a

a gjaar = 1,127 b gmaand = 0,932

69 a

a Stel L = b  gt b = 11,9 ¶ L = 11,9  0,988t g = 0,988 b Voer in y1 = 11,9  0,988x en y2 = 7,5. Intersect geeft x § 38,24. Dus in het jaar 2005 + 39 = 2044.

70 a

a tijd in jaren

Bladzijde 45

c 73,5% d 15,5%

e 142% f gdag = 0,993

5

hoeveelheid N

0

1

2

3

4

5

2

18

162

1458

13 122

118 098

b Per twee jaar met 92 = 81. c Per half jaar met 4,5 geeft per jaar met 4,52 = 20,25. Dus met (veel) minder dan 4,5 per half jaar. Bladzijde 47 71 a

a gkwartier = 1,12. guur = 1,124 § 1,574 De toename per uur is 57,4%. 1 b g5 minuten = 1,123 § 1,038 De toename per vijf minuten is 3,8%. c g5 uur = 1,1220 § 9,65 De toename per vijf uur is 865%.

72 a

a gdag = 0,84 gweek = 0,847 § 0,295 1 b guur = 0,8424 § 0,993 De afname is 0,7% per uur. 1 c gkwartier = 0,992...4 § 0,9982 Het groeipercentage is í1,18% per kwartier.

73 a

a gweek = 1,37 § 6,27 Het groeipercentage per week is 527%. 1 b g4 uur = 1,36 § 1,045 Het groeipercentage per 4 uur is 4,5%.

74 a

a guur = 0,805 1 gkwartier = 0,8054 § 0,947 De afname is 5,3% per kwartier. b gjaar = 1,086 25 g25 jaar = 1,086 § 7,87 De toename is 687% per 25 jaar. c gweek = 2,80 1 gdag = 2,807 § 1,158 De toename is 15,8% per dag.

30

Hoofdstuk 5

© Noordhoff Uitgevers bv

75 a

76 a

a g3 jaar = 2,5 1 gjaar = 2,53 § 1,357 Het groeipercentage per jaar is 35,7%. b g10 jaar = 5 1 gjaar = 510 § 1,175 Het groeipercentage per jaar is 17,5%. c g8 jaar = 0,85 1 gjaar = 0,858 § 0,980 Een afname van 2,0% per jaar. 300 000 a Tussen t = 5 en t = 9 zit 4 uur en de groeifactor in deze 4 uur is = 6. 50 000 b g4 uur = 6 1 guur = 64 § 1,565 Bladzijde 49

77 a

78 a

a Stel N = b  gt. 4100 g7 uur = = 2,5625 1600 1 guur = 2,56257 = 1,143... N = b  1,143...t f b  1,143...3 = 1600 t = 3 en N = 1600 1600 b= § 1070 1,143...3 Dus N = 1070  1,144t. b Stel N = b  gt. 1 250 000 g6 uur = = 8,333... 150 000 1 guur = 8,333...6 = 1,423... N = b  1,423...t f b  1,423...2 = 150 000 t = 2 en N = 150 000 150 000 b= § 74 000 1,423...2 Dus N = 74 000  1,42t. c Stel H = b  gt. 0,47 g3 dagen = = 0,783... 0,60 1 gdag = 0,783...3 = 0,921... H = b  0,921...t f b  0,921...5 = 0,60 t = 5 en H = 0,60 0,60 b= § 0,90 0,921...5 Dus H = 0,90  0,922t. Grafiek door (4, 1000) en (10, 2500), dus g6 dagen = 1

5

2500 = 2,5. 1000

gdag = 2,56 = 1,164... Stel N = b  gt f N = b  1,164...t f b  1,164...4 = 1000 g = 1,164... t = 4 en N = 1000 1000 § 543 b= 1,164...4 Dus N = 543  1,165t. 79 a

Stel N = b  gt. 606,63 g2 jaar = = 1,056... 574,031 gjaar = 1,056...2 = 1,02800... Dus het rentepercentage was 2,8%. 574,03 Het bedrag op 1 januari 2008 was § 500 euro. 1,0285

© Noordhoff Uitgevers bv

Machten en exponenten

31

Bladzijde 49 80 a

81 a

11 a Op t = 3 is A = 31 en op t = 7 is A = 11, dus g4 dagen = = 0,354... 1 31 gdag = 0,354...4 = 0,771... A = b  gt f A = b  0,771...t g = 0,771... f b  0,771...3 = 31 t = 3 en A = 31 31 b= § 67 0,771...3 Dus A = 67  0,772t. b De oorspronkelijke wond was 67 mm2. c 60 uur = 60 24 dag = 2,5 dag t = 2,5 geeft A = 67  0,7722,5 § 35 mm2. a

793 702 621 550 897 = 0,885... = 0,885... = 0,884... = 0,885... = 0,884... 1013 897 793 702 621 Elke factor is bij benadering 0,885, dus er is sprake van een exponentieel verband.

b Stel P = b  gh b = 1013 ¶ P = 1013  0,885h g = 0,885

5

c gkm stijgen = 0,885 g11,5 km dalen = 0,885í11,5 § 4,08, dus de luchtdruk is met 308% toegenomen. 82 a

a Stel Pr = b  gd 1 g5 m = 0,08 geeft gm = 0,085 § 0,603 ¶ Pr = 100  0,603d Pr = 100  0,603d Stel Pb = b  gd 1 g5 m = 0,17 geeft gm = 0,175 § 0,702 ¶ Pb = 100  0,702d b = 100 b Pr = 1 geeft 100  0,603d = 1 Voer in y1 = 100  0,603x en y2 = 1. Intersect geeft x § 9,10. Dus tot een diepte van 9,1 meter dringt 1% rood licht door. d = 9,10 geeft Pb = 100  0,7029,10 § 4% Dus 4% blauw licht dringt tot dezelfde diepte door. Bladzijde 50

83 a

b

c

d e

32

冑2 冑2 l 1189 l 297 en voor A4 is = . = = 1,41... § = 1,41... § 1 1 b 841 b 210 n = 4 geeft 841  g4 = 210 210 g4 = 841 1 210 4 g= § 0,707 841 Stel ln = b  gn 1 297 297 4 geeft g = g4 = § 0,707 t ln = 1189  0,707n 1189 1189 b = 1189 An = ln  bn = 1,189  0,707n  0,841  0,707n = 0,99...  0,7072n = 0,99...  (0,7072 )n = 0,99...  0,499...n Dus An = 0,5n. An = 0,01 geeft 0,5n = 0,01 Voer in y1 = 0,5x en y2 = 0,01. Intersect geeft x § 6,64. Dus vanaf het formaat A7.

a Voor A0 is

Hoofdstuk 5

( )

( )

© Noordhoff Uitgevers bv

84 a

a De bal heeft 4 + 2  4  0,8 + 2  4  0,82 + 2  4  0,83 = 1961,6 cm afgelegd. b Stel H = b  gn met g = 0,8 en b = 4, dus H = 4  0,8n. H = 0,1 geeft 4  0,8n = 0,1 Voer in y1 = 4  0,8x en y2 = 0,1. Intersect geeft x § 16,53. Dus na 17 keer stuiteren. c Stel H = b  gn. g = 0,8 H = b  0,8n f b  0,83 = 4 n = 3 en H = 4 4 b= = 7,8125 0,83 Dus de bal is op een hoogte van 7,8 m losgelaten.

Diagnostische toets Bladzijde 52

1

a y = 冑x

y = 冑x

translatie (2, 3)

5

verm. x-as, í1

f (x) = 3 + 冑x í 2

y = í冑x translatie (í4, í2)

b

g(x) = í2 í 冑x + 4

y ƒ

(2, 3) x (–4, –2)

g

c Df = 3 2, m 9 Bf = 3 3, m 9 Dg = 3 í4, m 9 Bg = 8 k , í2 4 2

a 3 í 4x • 0 í4x • í3 x ” 34 Dus Df = 8 k, 34 4 , beginpunt

( 34 , 3) en Bf = 8 k, 3 4 .

x

í5

í2

í1

0

3 4

f(x)

í1,8

í0,3

0,4

1,3

3 y

3

( 34 , 3)

2

1

–5

–4

–3

–2

–1

O

1

x

–1 ƒ

© Noordhoff Uitgevers bv

Machten en exponenten

33

b f (x) = 112 geeft 3 í 冑3 í 4x = 112 í冑3 í 4x = í112 kwadrateren geeft 3 í 4x = 214 í4x = í 34 3 x = 16 voldoet 3 f (x) > 112 geeft 16 < x ” 34

c f (í 14 ) = 1, dus x • í 14 geeft 1 ” f (x) ” 3 3

a N = 2冑 í 5t + 1

b 2x冑y í 6冑x = 1

2冑 í 5t + 1 = N kwadrateren geeft 4(í5t + 1) = N 2 í20t + 4 = N 2 í20t = N 2 í 4 1 t = í 20 N 2 + 15

5

4

2x冑y = 6冑x + 1 kwadrateren geeft 4x2y = 36x + 12冑x + 1 y=

36x + 12冑x + 1 4x2

7 7 í 2x x í2 0í2 a lim = lim = í 23 = x m ` 3x í 5 x m` 5 3í0 3í x

1 6+ x 6x + 1 6x + 1 6x + 1 6+0 b lim = lim = lim =3 = lim = x m ` 0 3 í 2x 0 x m ` í(3 í 2x) x m ` í3 + 2x x m ` í3 0+2 + 2 x 8 3 í í(5 í x) 3 í 05 í x0 3+5íx 8íx x í1 0í1 c lim = lim = lim = lim = í1 = = lim 0x0 + 6 x m` x m` x m` x m` x+6 x+6 6 1+0 x m` x + 6 1+ x 5

a noemer is 0 geeft 3 í 2x = 0 í2x = í3 x = 112 Dus de verticale asymptoot is de lijn x = 112 .

(

)

4x 4 4 = 1 í 2 = í1 = lim °1 + =1+ ¢ xm` 3 í 2x 3 0í2 í 2 x Dus de horizontale asymptoot is de lijn y = í1. b noemer is 0 geeft 2x + 3 = 0 2x = í3 x = í112 Dus de verticale asymptoot is de lijn x = í112 . í6 0 6 í 5x 0 í(6 í 5x) x +5 0+5 í6 + 5x lim g(x) = lim = lim = lim = lim = 212 = x m` x m ` 2x + 3 x m ` 2x + 3 x m ` 2x + 3 x m` 3 2+0 2+ x 6 0 6 í 5x 0 6 í 5x x í5 0í5 lim g(x) = lim = lim = lim = í212 = x m í` x m í` 2x + 3 x m í` 2x + 3 x m í` 3 2+0 2+ x lim f (x) = lim 1 +

xm`

xm`

Dus de horizontale asymptoten zijn de lijnen e

y = 212 voor x m ` y = í212 voor x m í `

c Noemer is 0 geeft 0 2 í x 0 = 0 2íx=0 x=2 Dus de verticale asymptoot is de lijn x = 2.

34

Hoofdstuk 5

© Noordhoff Uitgevers bv

4

lim h(x) = lim

x m`

x m`

3í x 0 3x 0 í 4 3x í 4 3x í 4 3í0 = lim =3 = lim = = lim m m m x ` x ` x ` + x 0 +1 í2 í2 í(2 í x) 02 í x 0 +1

x 4 í3 í x í3 í 0 0 3x 0 í 4 í3x í 4 lim h(x) = lim = lim =3 = lim = x m í` x m í` 0 2 í x 0 x m í` 2 í x x m í` 2 0í1 í 1 x Dus de horizontale asymptoot is de lijn y = 3. 6

a noemer = 0 geeft x + 1 = 0 x = í1 Dus de verticale asymptoot van de grafiek van f is de lijn x = í1. 1 2+ x 2+0 2x + 1 lim f (x) = lim = lim =2 = 1 1+0 x m` x m` x + 1 x m` 1+ x Dus de horizontale asymptoot van de grafiek van f is de lijn y = 2. x

í3

í3

0

1

3

f(x)

2,5

3

1

1,5

1,75

5

De grafiek van g is de lijn door de punten (0, 2) en (4, 0). y

ƒ 4

3

2

y=2

1

–4

–3

–2

–1

O

1

2

3

4

5

x

6

–1 y = – 21 x + 2 –2

–3

x = –1

2x + 1 b f (x) = g(x) geeft = í 12 x + 2 x+1 2x + 1 = (x + 1)(í 12 x + 2) 2x + 1 = í 12 x2 + 2x í 12 x + 2 1 2 1 2x + 2x í x2 + x í 2

1=0 =0 (x + 2)(x í 1) = 0 x = í2  x = 1 f (x) • g(x) geeft í2 ” x < í1  x • 1

7

a

8

a

冑a a =

a2

1 2

a2

(a í ) 3 = a í 1 4

1

= aí12 3 4

© Noordhoff Uitgevers bv

=

1 1 3 = 4 3 a a4 冑

3a b a2 Â 冑 = a 2 Â a 3 = a 23 1

1

b aí2 Â b5 =

1

冑5 b 1 5 冑 b = Â a2 a2

c

1

=

1

冑3 a2 a 1

3

2 3

2

= aí 3

c 7aí3 Â b5 = 7 Â

5 3 b 1 35 7 Â 冑 1 Âb = 3 冑a a3

Machten en exponenten

35

9

10 a

1 1 = 15 Â 2 = 15 xí2 2 5x x Dus y = 15 xí2. 1 12 2 3 b y = í3 = 12 5 Â í3 = 25 x 5x x Dus y = 225 x3. c y = 3 Â x0,3 Â (4x0,5)4 = 3 Â x0,3 Â 44 Â x2 = 768x2,3 Dus y = 768x2,3. a y=

a

5 3 b 7 Â冑 x = 48

1 í3,7 = 160 4x xí3,7 = 640

c (3x)1,6 + 2 = 7 (3x)1,6 = 5 1 3x = 51,6 1 1 x = 3 Â 51,6 § 0,911

冑5 x3 = 487

1

x = 640 í 3,7 § 0,174

x5 = 48 7 3

x=

( 487)

5 3

§ 24,750

Bladzijde 53 11 a 5

K = 7 Â (5q)í1,3 geeft 7 Â (5q)í1,3 = K (5q)í1,3 = 17 K 1 í 1,3

( 17 K) q = 15 Â ( 17 ) Â K 5q =

1 í 1,3

Dus q = 0,89 Â 12 a

Kí0,77.

1 í 1,3

q § 0,89 Â Kí0,77

a y = 4x verm. x-as, 0,3

y = 0,3 Â 4x translatie (0, í130)

f (x) = 0,3 Â 4x í 130 b lim g(x) = lim (45 + 12 Â 0,5x + 3) = lim (45 + 12 Â 0,53 Â 0,5x) = lim (45 + 1,5 Â 0,5x) = 45 + 1,5 Â 0 = 45 x m`

x m`

x m`

Dus de horizontale asymptoot is de lijn y = 45.

13 a

x m`

x

a Voer in y1 = 3x í 2 í 3 en y2 = 4 Â ( 13 ) í 6. Intersect geeft x § 0,22. y ƒ

g

0,22

x

O

y = –3

y = –6

f (x) • g(x) geeft x • 0,22 36

Hoofdstuk 5

© Noordhoff Uitgevers bv

b f (4) = 6 Voor x ” 4 is í3 < f (x) ” 6. c De gra¿ek van g en de lijn y = p hebben één snijpunt voor p > í6. Dus g (x) = p heeft één oplossing voor p > í6. x

14 a

a 5x í 1 = 125 Â 冑5 1 5x í 1 = 53 Â 52 1 5 x í 1 = 5 32 x í 1 = 312 x = 412

1 ) b 32x í 5 = ( 27 32x í 5 = (3í3)x 32x í 5 = 3í3x 2x í 5 = í3x 5x = 5 x=1

15 a

a 9x í 1 = 27x + 1 (32)x í 1 = (33)x + 1 32x í 2 = 33x + 3 2x í 2 = 3x + 3 íx = 5 x = í5

b 2x + 2 + 2x + 1 = 36 2x  22 + 2x  2í1 = 36 4  2x + 12  2x = 36 412  2x = 36 2x = 8 2x = 23 x=3

16 a

a gdag = 1,10 gweek = 1,107 § 1,949. Het groeipercentage per week is 94,9%. 1 b g8 uur = 1,103 § 1,032 Het groeipercentage per 8 uur is 3,2%.

17 a

a gjaar = 0,64 1 gmaand = 0,6412 § 0,963 De afname per maand is 3,7%. b g5 jaar = 0,645 § 0,107 De afname per 5 jaar is 89,3%.

18 a

Stel N = b  gt. 1 1200 g3 dagen = = 0,8, dus gdag = 0,83 = 0,928... 1500 N = b  0,928...t f b  0,928...4 = 1500 t = 4 en N = 1500௘ ௘ 1500 b= § 2020 0,928...4 Dus N = 2020  0,928t.

© Noordhoff Uitgevers bv

c 2 Â 42x í 1 í 3 = 61 2 Â 42x í 1 = 64 42x í 1 = 32 (22)2x í 1 = 25 24x í 2 = 25 4x í 2 = 5 4x = 7 x = 134 x

c 2x = ( 18 ) x 2 2x = ( 213) 2 2x = (2í3)x 2 x 2 = 2í3x 2 x = í3x x2 + 3x = 0 x(x + 3) = 0 x = 0  x = í3 2

5

Machten en exponenten

37

6 Differentiaalrekening Voorkennis Differentiëren Bladzijde 57

1

)y 1 í 0 1 = = . )x 3 í í1 4 %y í1 í 3 í4 b Het differentiequotiënt op [1, 4] is = = = í113 . 3 %x 4 í 1 %y yB í yA 1 í 2 í1 c De helling van lijn k is = = = í 15 . = %x xB í xA 5 í 0 5 y d a De gemiddelde verandering op [í1, 3] is

3

k

2

ƒ A

1 –2

B

–1 O

1

2

3

4

5

1

2

3

4

5

x

–1

6

helling

–2

2

–1 O

x

a f (x) = 12x4 í 3x2 + 6x í 1 geeft f'(x) = 2x3 í 6x + 6 b g(x) = (5x2 í 2)2 = 25x4 í 20x2 + 4 geeft g'(x) = 100x3 í 40x c h(x) =

(x2 + 4) Â 1 í (x í 3) Â 2x x2 + 4 í 2x2 + 6x íx2 + 6x + 4 xí3 geeft h'(x) = = = x2 + 4 (x2 + 4)2 (x2 + 4)2 (x2 + 4)2

d k(p) = í 16 p3 + 15 p2 í 8 geeft k'(p) = í 12 p2 + 25 p e l(q) = 10 í 5q2 + 9q3 í a4 geeft l'(q) = í10q + 27q2 f m(x) = 2x2 í

(x + 1) Â 0 í 6 Â 1 6 6 geeft m'(x) = 4x í = 4x + 2 x+1 (x + 1) (x + 1)2

Bladzijde 59 3

38

a f (x) = íx2 + 4x + 5 geeft f'(x) = í2x + 4 Stel k: y = ax + b. a = f'(3) = í2 Â 3 + 4 = í2 y = í2x + b r í2 Â 3 + b = 8 f (3) = 8, dus A(3, 8) í6 + b = 8 b = 14 Dus k: y = í2x + 14. b f'(x) = 8 geeft í2x + 4 = 8 í2x = 4 x = í2 f (í2) = í7, dus B(í2, í7).

Hoofdstuk 6

© Noordhoff Uitgevers bv

4

a f (x) = x3 í x2 í 4x + 2 geeft f'(x) = 3x2 í 2x í 4 Stel k: y = ax + b. a = f '(0) = í4 y = í4x + b r b=2 f (0) = 2, dus A(0, 2) Dus k: y = í4x + 2. b f'(x) = 1 geeft 3x2 í 2x í 4 = 1 3x2 í 2x í 5 = 0 D = (í2)2 í 4  3  í5 = 64 2í8 2+8 x= = í1  x = = 123 6 6 2 22 f (í1) = 4 en f (123 ) = í222 27 , dus B(í1, 4) en C (13 , í227 ) .

5

a f (x) =

6

(x + 1)  2 í (2x í 1)  1 2x + 2 í 2x + 1 3 2x í 1 geeft f'(x) = = = x+1 (x + 1)2 (x + 1)2 (x + 1)2 Stel k: y = ax + b. 3 a = f '(2) = =1 (2 + 1)2 3 y = 13 x + b 1 r Â2 + b = 1 f (2) = 1, dus A(2, 1) 3 2 3 +b=1 b = 13 Dus k: y = 13 x + 13 . 3 b f'(x) = 34 geeft =3 (x + 1)2 4 (x + 1)2 = 4 x + 1 = 2  x + 1 = í2 x = 1  x = í3 1 f (í3) = 32 en f (1) = 12 , dus B ( í3, 312 ) en C (1, 12 ) .

6

a s(t) = 1,5t2 geeft v(t) = s'(t) = 3t v(5) = 3 Â 5 = 15 en v(10) = 3 Â 10 = 30. Dus na 5 seconden is de snelheid 15 Â 3,6 = 54 km/uur en na 10 seconden is de snelheid 30 Â 3,6 = 108 km/uur. 100 100 b 100 km/uur is m/s geeft 3t = 3,6 3,6 100 t= § 9,26 3,6 Â 3 Dus na ongeveer 9,26 seconden is de snelheid gelijk aan 100 km/uur. c Gedurende de eerste 10 seconden legt de auto s(10) = 1,5 Â 102 = 150 m af. Op t = 10 is de snelheid van de auto s'(10) = 3 Â 10 = 30 m/s. Tussen t = 10 en t = 20 legt de auto 10 Â 30 = 300 m af. Dus in totaal legt de auto in de eerste 20 seconden 150 + 300 = 450 m af.

6.1 Toppen en buigpunten Bladzijde 60 1

In de toppen is de richtingscoëf¿cient van de raaklijn gelijk aan 0. f (x) = 13 x3 í 112 x2 í 18x + 50 geeft f '(x) = x2 í 3x í 18 f'(x) = 0 geeft x2 í 3x í 18 = 0 (x + 3)(x í 6) = 0 x = í3  x = 6 Dus xA = í3 en xB = 6.

© Noordhoff Uitgevers bv

Differentiaalrekening

39

Bladzijde 61 2

f (x) = 13 x3 + 12 x2 í 2x + 5 geeft f'(x) = x2 + x í 2 f'(x) = 0 geeft x2 + x í 2 = 0 (x + 2)(x í 1) = 0 x = í2  x = 1 y ƒ

–2 O

x

1

max. is f (í2) = 813 en min. is f (1) = 356 . 3 6

a f (x) = 3x4 í 16x3 + 18x2 + 2 geeft f'(x) = 12x3 í 48x2 + 36x f'(x) = 0 geeft 12x3 í 48x2 + 36x = 0 12x(x2 í 4x + 3) = 0 12x(x í 3)(x í 1) = 0 x=0 x=3 x=1 y

ƒ

3 O

x

1

min. is f (0) = 2, max. is f (1) = 7 en min. is f (3) = í25. b B f = 3 í25, m 9 4

a f (x) = 13 x3 í 3x2 + 8x + 3 geeft f'(x) = x2 í 6x + 8 f'(x) = 0 geeft x2 í 6x + 8 = 0 (x í 2)(x í 4) = 0 x=2x=4 y ƒ

O

2

4

x

max. is f (2) = 923 en min. is f (4) = 813 . b f (0) = 3 en f (3) = 9, dus Bf = 3 3, 923 4 . c f (3) = 9, dus Bf = 3 813 , m 9.

40

Hoofdstuk 6

© Noordhoff Uitgevers bv

5

(x2 + 4)  5 í 5x  2x 5x2 + 20 í 10x2 í5x2 + 20 5x geeft f '(x) = = = 2 x2 + 4 (x2 + 4)2 (x2 + 4)2 (x + 4)2 í5x2 + 20 f'(x) = 0 geeft 2 =0 (x + 4)2 í5x2 + 20 = 0 í5x2 = í20 x2 = 4 x = 2  x = í2

a f (x) =

y

ƒ –2

x

2

O

min. is f (í2) = í114 en max. is f (2) = 114 . f (x) = 0 geeft 5x = 0 x=0 De grafiek snijdt de x-as alleen in (0, 0), dus Bf = 3 í114 , 114 4 . b Stel k: y = ax + b. í5 Â 62 + 20 1 a = f '(6) = = í 10 (62 + 4)2 1 y = í 10 x+b 1 r í 10 Â 6 + b = 34 f (6) = 34 , dus A (6, 34 ) í 35 + b = 34 Dus k: y =

1 x í 10

7 120 .

6

7 b = 120

+ 5x c f (x) = 1 geeft 2 =1 x +4 2 5x = x + 4 x2 í 5x + 4 = 0 (x í 1)(x í 4) = 0 x=1x=4 y

y=1

O

1

4

x

ƒ

f (x) < 1 geeft x < 1  x > 4 6

a f (x) = 14 x4 í x2 í 4x + 3 geeft f'(x) = x3 í 2x í 4 b f'(2) = 23 í 2 Â 2 í 4 = 8 í 4 í 4 = 0 c Uit de schets blijkt dat er een laagste punt is met een horizontale raaklijn en omdat f'(2) = 0 is er dus een extreme waarde voor x = 2.

© Noordhoff Uitgevers bv

Differentiaalrekening

41

Bladzijde 62 7

a f (x) = 2x5 í 6x3 geeft f'(x) = 10x4 í 18x2 Stel l: y = ax + b. a = f '(2) = 10 Â 24 í 18 Â 22 = 88 y = 88x + b r 88 Â 2 + b = 16 f (2) = 16, dus B(2, 16) 176 + b = 16 b = í160 Dus l: y = 88x í 160. b f'(0) = 10 Â 04 í 18 Â 02 = 0 y

ƒ x

O

In de schets is te zien dat de gra¿ek geen top heeft voor x = 0. Dus f heeft geen extreme waarde voor x = 0. 8

f (x) = 14 x4 + 13 x3 í 112 x2 í 3x geeft f'(x) = x3 + x2 í 3x í 3 f' (冑3 ) =

6

(冑3 )3 + (冑3 )2 í 3冑3 í 3 = 3冑3 + 3 í 3冑3 í 3 = 0 y

3

x

O

f'(冑3) = 0 en in de schets is te zien dat de grafiek een top heeft voor x = 冑3. Dus f heeft een extreme waarde voor x = 冑3. Bladzijde 63 9

a f (x) = (x2 + 1)(x2 í 4) = x4 í 4x2 + x2 í 4 = x4 í 3x2 í 4 geeft f'(x) = 4x3 í 6x f'(1) = 4 Â 13 í 6 Â 1 = 4 í 6 = í2 f'(1) is niet gelijk aan 0, dus f heeft geen extreme waarde voor x = 1.

冑

冑

冑

冑

冑

冑

冑

b f ' ( 112 ) = 4 Â ( 112 ) í 6 Â 112 = 4 Â 112 112 í 6 112 = 6 112 í 6 112 = 0 3

y ƒ 1

O

12

x

f ' (冑112 ) = 0 en in de schets is te zien dat de gra¿ek een top heeft voor x = 冑112 . Dus de functie heeft een extreme waarde voor x = 冑112 .

42

Hoofdstuk 6

© Noordhoff Uitgevers bv

10

(x3 + 1) Â 1 í (x + 1) Â 3x2 x3 + 1 í 3x3 í 3x2 í2x3 í 3x2 + 1 x+1 geeft f'(x) = = = x3 + 1 (x3 + 1)2 (x3 + 1)2 (x3 + 1)2 1 1 1 3 1 2 1 3 í2 Â ( 2 ) í 3 Â ( 2 ) + 1 í2 Â 8 í 3 Â 4 + 1 í 4 í 4 + 1 0 = = = = 81 = 0 ( ( 12 ) 3 + 1) 2 ( 18 + 1) 2 ( 98 ) 2 64

a f (x) = f' ( 12 )

y

ƒ O

1 2

x

f' ( 12 ) = 0 en in de schets is te zien dat de grafiek een top heeft voor x = 12 . Dus f heeft een extreme waarde voor x = 12 . b (x + 1)(x2 í x + 1) = x3 í x2 + x + x2 í x + 1 = x3 + 1 x+1 x+1 1 mits x  í1. c f (x) = 3 = = x + 1 (x + 1)(x2 í x + 1) x2 í x + 1 De grafiek van f heeft een perforatie voor x = í1. x+1 x+1 1 lim 3 = lim = 13 = lim 2 2 m m m x í1 x + 1 x í1 (x + 1)(x í x + 1) x í1 x í x + 1

6

De perforatie is dus (í1, 13 ) d f (x) = f'(x) =

x+1 x+1 1 mits x  í1 geeft = = x3 + 1 (x + 1)(x2 í x + 1) x2 í x + 1 (x2 í x + 1)  0 í 1  (2x í 1) í2x + 1 = 2 (x2 í x + 1)2 (x í x + 1)2

f'(x) = 0 geeft í2x + 1 = 0 í2x = í1 x = 12 11

a Voer in y1 = 13x3 í 12x2 + 6x + 3. y

ƒ –3 O

2

x

b De optie minimum geeft x = í3 en y = í1012 . De optie maximum geeft x = 2 en y = 1013 . dalend op 8k, í39 en 8 2,m9 stijgend op 8í3, 29 toenemend stijgend op 8í3, í 12 9 afnemend stijgend op 8í 12 , 29

© Noordhoff Uitgevers bv

Differentiaalrekening

43

c f'(x) = íx2 í x + 6 y

ƒ'

–3

O

x

2

í1 = í 12 í2 e Bij x = xP gaat de grafiek over van toenemend stijgend in afnemend stijgend. d xP = í

12

a De raaklijnen raken aan de bovenkant voor x < 3. b De overgang vindt plaats in ( 3, í112 ) . c onderkant, bovenkant

6

Bladzijde 65 13

f (x) = x4 í 12x3 + 30x2 + 48x + 5 f'(x) = 4x3 í 36x2 + 60x + 48 f s(x) = 12x2 í 72x + 60 f s(x) = 0 geeft 12x2 í 72x + 60 = 0 x2 í 6x + 5 = 0 (x í 1)(x í 5) = 0 x=1x=5 f (1) = 72 en f (5) = 120. y ƒ

O

1

5

x

Uit de schets volgt dat de buigpunten (1, 72) en (5, 120) zijn. 14

44

f (x) = 13 x3 í 3x2 + 6x + 4 f'(x) = x2 í 6x + 6 fs(x) = 2x í 6 f s(x) = 0 geeft 2x í 6 = 0 2x = 6 x=3 Stel k: y = ax + b. a = f'(3) = 32 í 6 Â 3 + 6 = í3 y = í3x + b f í3 Â 3 + b = 4 f (3) = 4, dus A(3, 4) í9 + b = 4 b = 13 Dus k: y = í3x + 13. Hoofdstuk 6

© Noordhoff Uitgevers bv

Bladzijde 66

15

1 4 a f (x) = í 12 x í 13 x3

f '(x) = í 13 x3 í x2 f s(x) = íx2 í 2x f s(x) = 0 geeft íx2 í 2x = 0 íx(x + 2) = 0 x = 0  x = í2 f (0) = 0 en f (í2) = 113 . y

ƒ

–2

x

O

Uit de schets volgt dat (í2, 113 ) en (0, 0) de buigpunten zijn. b f s(0) = 0 en f '(0) = 0, dus in het punt (0, 0) is er sprake van een horizontale buigraaklijn. 16

6

a f5(x) = 14 x4 í 2x3 + 5x2 í 5x í 5 f5 '(x) = x3 í 6x2 + 10x í 5 f5 s(x) = 3x2 í 12x + 10 f5 s(x) = 0 geeft 3x2 í 12x + 10 = 0 D = (í12)2 í 4 Â 3 Â 10 = 24 > 0, dus twee oplossingen y ƒ5'

x

O

De grafiek van f5 heeft twee buigpunten, omdat f5 ' twee extremen heeft. b f6(x) = 14 x4 í 2x3 + 6x2 í 5x í 5 f6 '(x) = x3 í 6x2 + 12x í 5 f6 s(x) = 3x2 í 12x + 12 f6 s(x) = 0 geeft 3x2 í 12x + 12 = 0 D = (í12)2 í 4 Â 3 Â 12 = 0 De vergelijking f6 s(x) = 0 heeft één oplossing. y

ƒ6'

O

x

De grafiek van f6 heeft geen buigpunten omdat de grafiek van f6 ' geen extremen heeft.

© Noordhoff Uitgevers bv

Differentiaalrekening

45

17

fp(x) = 14 x4 í 2x3 + px2 í 5x í 5 fp '(x) = x3 í 6x2 + 2px í 5 fp s(x) = 3x2 í 12x + 2p De grafiek van fp s is een dalparabool met nul, één of twee snijpunten met de x-as. ƒp''

ƒp''

ƒp''

x

x

x

ƒp'

ƒp'

ƒp'

x

x

x

6

Heeft de grafiek van fp s twee snijpunten met de x-as, dan is de grafiek van fp ' stijgend-dalendstijgend en heeft de grafiek van fp ' twee extremen, dus de grafiek van f heeft twee buigpunten.

Heeft de grafiek van fp s één raakpunt met de x-as, dan is de grafiek van fp ' stijgend-stijgend en heeft de grafiek van fp ' geen extremen, dus de grafiek van f heeft geen buigpunten.

Heeft de grafiek van fp s geen snijpunten met de x-as, dan is de grafiek van fp ' stijgend en heeft de grafiek van fp ' geen extremen, dus de grafiek van f heeft geen buigpunten.

Dus de gra¿ek van fp heeft óf twee óf geen buigpunten. 18

a f (x) = ( 12 x3 í 4) 2 í 5 = 14 x6 í 4x3 + 16 í 5 = 14 x6 í 4x3 + 11 geeft f '(x) = 112 x5 í 12x2 Stel k: y = ax + b. a = f '(0) = 0 y=b r b = 11 f (0) = 11, dus A(0, 11) Dus k: y = 11. b f'(x) = 0 geeft 112 x5 í 12x2 = 0 3x5 í 24x2 = 0 3x2(x3 í 8) = 0 x2 = 0  x3 = 8 x=0x=2 In de ¿guur in het leerboek is te zien dat de gra¿ek een top heeft voor x = 2. f (2) = í5, dus top(2, í5). c f '(x) = 112 x5 í 12x2 geeft f s(x) = 712 x4 í 24x f s(x) = 0 geeft 712 x4 í 24x = 0 x (712 x3 í 24) = 0 x = 0  712 x3 = 24 x = 0  x3 = 315 3 1 x = 0  x =冑 35 2 1 2 1 1 3 3 3 f (冑35 ) = ( 2  (冑35 ) í 4) í 5 = ( 12  315 í 4) í 5 = 19 25 3 1 19 ) Dus B (冑 35 , 25 .

46

Hoofdstuk 6

© Noordhoff Uitgevers bv

19

20

fp(x) = x4 + px3 + 34 x2 + 10 fp '(x) = 4x3 + 3px2 + 112 x fp s(x) = 12x2 + 6px + 112 De grafiek van fp heeft twee buigpunten als de grafiek van fp ' twee extremen heeft, dus als fp s(x) = 0 twee oplossingen heeft. twee oplossingen, dus D > 0 r 36p2 í 72 > 0 D = (6p)2 í 4  12  112 = 36p2 í 72 36p2 > 72 p2 > 2 p < í冑2  p > 冑2 Dus de grafiek heeft twee buigpunten voor p < í冑2  p > 冑2. a f heeft twee extreme waarden wanneer f '(x) = 0 twee oplossingen heeft en de grafiek van f ' twee snijpunten met de x-as heeft. f (x) = ax3 + bx2 + cx + d geeft f '(x) = 3ax2 + 2bx + c De grafiek van f ' is een parabool, dus indien de vergelijking f '(x) = 0 twee oplossingen heeft, heeft de grafiek van f' ook twee snijpunten met de x-as. f '(x) = 0 geeft 3ax2 + 2bx + c = 0 twee oplossingen, dus D > 0 2 r 4b í 12ac > 0 D = (2b)2 í 4  3a  c = 4b2 í 12ac 4b2 > 12ac b2 > 3ac 3 2 b f (x) = ax + bx + cx + d f'(x) = 3ax2 + 2bx + c 2b b De grafiek van f ' heeft een extreme waarde voor x = í =í . 2  3a 3a Voor een derdegraadsfunctie geldt dat a  0 dus er is precies één buigpunt. Indien twee toppen, dan zijn de x-coördinaten van de toppen de oplossingen van f '(x) = 0 geeft 3ax2 + 2bx + c = 0 D = 4b2 í 12ac í2b í 冑D í2b + 冑D x=  x= 6a 6a xA + xB =

6

í2b í 冑D í 2b + 冑D í4b í2b íb = 2Â = 2xC = = 6a 6a 3a 3a

6.2 De afgeleide van machtsfuncties Bladzijde 68 21

6 = 6xí3 x3 3 3xí2 = 2 x

4 = 4xí2 x2 1 b xí4 = 4 x a

í2xí3 = í

x3 + 5x2 x3 5x2 = x + x = x2 + 5x x 4x2 + 7x 4x2 7x = 3 + 3 = 4xí1 + 7xí2 x3 x x 2x5 + 5x2 2x5 5x2 2 = 4 + 4 = 3 x + 123 xí2 3x4 3x 3x

22

a

23

a c b

5 = 5xí4 x4

1 = 1 xí2 3x2 3 1 1 í6 7x = 7x6

2 x3 b

x x+4 1 4 2 + 2= 2+ 2= 2x x 2x 2x 2x2 3 x x3 + 6 3 x 3 6 1 + 2= 2+ 2= 2x + 2 = 2 x x 2x 2x 2x2 2 3 8x3 í 9 3 8x 9 3 2x 2 2 í í = = = 3x í 4x 3 4x 12x 12x 12x

1 ' x2 Â 0 í 1 Â 2x í2x í2 = 4 = 3 d = x2 (x2)2 x x

1 = xí2 x2 1 ' 2 c 2 d = í 3 = í2 Â xí3 x x

c 3 xí5 4 ' = c

 3 xí2 4 ' = í2xí3

1 ' x5 Â 0 í 1 Â 5x4 í5x4 í5 = 10 = 6 = í5xí6 d= x5 (x5)2 x x

© Noordhoff Uitgevers bv

Differentiaalrekening

47

Bladzijde 69 24

De functies g en h zijn zonder quotiëntregel te differentiëren, omdat de noemers uit slechts één term bestaan.

25

a f (x) =

26

a f (x) =

2x í 1 2x 1 2 2 = 2 í 2 = 23 xí1 í 13 xí2 geeft f '(x) = í 23 xí2 + 23 xí3 = í 2 + 3 3x2 3x 3x 3x 3x

b g(x) =

(2x í 1) Â 6x í 3x2 Â 2 12x2 í 6x í 6x2 6x2 í 6x 3x2 geeft g'(x) = = = 2x í 1 (2x í 1)2 (2x í 1)2 (2x í 1)2

c h(x) =

3x6 í 3 3x6 3 9 9x6 9 9x6 + 9 = 3 í 3 = 3x3 í 3xí3 geeft h'(x) = 9x2 + 9xí4 = 9x2 + 4 = 4 + 4 = 3 x x x x x x x4

27

1 í6 = xí6 geeft f '(x) = í6xí7 = 7 x6 x 6 3 b g(x) = 5 í 2 = 5 í 3xí2 geeft g'(x) = 6xí3 = 3 x x b 4b 4 4 í4 c h(x) = ax í 4 = ax í bx geeft h'(x) = 4ax3 + 4bxí5 = 4ax3 + 5 x x

10 5 = 5x2 í 5xí2 geeft f'(x) = 10x + 10xí3 = 10x + 3 2 x x 5 4 5 2x2 5 í2 2 2 4 í3 b g(x) = 2 í = 2 x í 5 x geeft g'(x) = í5x í 5 x = í 3 í 5 x 5 2x x x2 1 x2 í 1 1 í1 c h(x) = 6 í x = 6 í x í x = 6 í x + x geeft h'(x) = í1 í xí2 = í1 í 2 x a f (x) = 5x2 í

(

6

)

Bladzijde 70 28

(x2 í 1)  1 í x  2x x2 í 1 í 2x2 íx2 í 1 x geeft f'(x) = = 2 = x2 í 1 (x2 í 1)2 (x2 í 1)2 (x í 1)2 Stel k: y = ax + b. í4 í 1 a = f '(2) = = í 59 (4 í 1)2 y = í 59 x + b í 59  2 + b = 23 f (2) = 23 dus A (2, 23 ) r 10 í 9 + b = 23 b = 179 Dus k: y = í 59 x + 179 .

a f (x) =

x2 í 1 x2 1 1 x2 + 1 í1 í2 x = x í x = x í x geeft g'(x) = 1 + x = 1 + x2 = x2 Stel l: y = ax + b. 4+1 a = g'(2) = = 114 4 y = 114 x + b 1 1 r 1 Â 2 + b = 12 g(2) = 112 , dus B ( 2, 112 ) 14 1 22 + b = 12 b = í1 Dus l: y = 114 x í 1. c g(x) = x í xí1 g'(x) = 1 + xí2 í2 g s(x) = í2xí3 = 3 x í2 g s(x) = 0 geeft 3 = 0 en deze vergelijking heeft geen oplossingen. x g' heeft geen extreme waarden, dus de grafiek van g heeft geen buigpunten. b g(x) =

48

Hoofdstuk 6

© Noordhoff Uitgevers bv

29

a f (x) = 0 geeft 3x + 3 = 0 3x = í3 x = í1 Dus A(í1, 0). 3 3x + 3 3x 3 f (x) = x = x + x = 3 + 3xí1 geeft f'(x) = í3xí2 = í 2 x Stel k: y = ax + b. 3 a = f '(í1) = í = í3 (í1)2 y = í3x + b r í3  í1 + b = 0 A(í1, 0) 3+b=0 b = í3 Dus k: y = í3x í 3. 3 b f ƍ(x) = í 34 geeft í 2 = í 34 x x2 = 4 x = 2  x = í2 f (2) = 412 en f (í2) = 112 , dus de raakpunten zijn (2, 412 ) en (í2, 112 ) .

30

a f (x) =

x2 + 4 x2 4 4 í1 í2 x = x + x = x + 4x geeft f '(x) = 1 í 4x = 1 í x2 Stel k: y = ax + b. 4 a = f '(3) = 1 í 2 = 1 í 49 = 59 3 y = 59 x + b r 5  3 + b = 413 f (3) = 413 , dus A ( 3, 413 ) 9 2 13 + b = 413 b = 223 5 2 Dus k: y = 9 x + 23 . 4 b f ƍ(x) = í3 geeft 1 í 2 = í3 x 4 í 2 = í4 x x2 = 1 x = 1  x = í1 f(1) = 5 en f (í1) = í5, dus de raakpunten zijn (1, 5) en (í1, í5). 4 c f '(x) = 0 geeft 1 í 2 = 0 x 4 1= 2 x x2 = 4 x = 2  x = í2

6

y

ƒ –2

O

2

x

max. is f (í2) = í4 en min. is f (2) = 4. 4 d f'(x) = 2 geeft 1 í 2 = 2 x 4 í 2=1 x x2 = í4 geen oplossingen Dus er is geen raaklijn met richtingscoëf¿ciënt 2.

© Noordhoff Uitgevers bv

Differentiaalrekening

49

31

冑x = x b x2 Â 冑x = x2 Â x = x2 1 2

a

1 2

32

1

c

x冑x

d

x3

a

1 í 12 2x

=

1

1 2

x1

=

1 í11 1 = x 2 1 x2

Âx  冑x = x3  x = x3 1 2

= 12 Â

1 2

1 2

1 1 1 = x2 2冑x

b 212 x12 = 212  x  x2 = 212 x冑x 1 3 3 1 c í112 xí22 = í 32  21 = í 1 = í 2 2 2x  冑x x2 2  x  x2 1

1

3 d 113 x3 = 113 Â 冑 x 1

Bladzijde 71 33

1

b 2 Â x 2 Â 3 x 2 4' = 1

1

1

a x2 Â x2 = x

1 1 x2 Â 3 x2 4' = 12

3 x12 Â x12 4' = 3 x 4' 3 x12 4' Â x2 + x2 Â 3 x12 4' = 1 1

1

3 x12 4' =

2 Â x 2 Â 3 x 2 4' = 1 1

6

34

1

1

1 2 1

x2

3 x12 4' = 12 xí2 1

3 3 1 1 1 1 3 í11 í21 1 = 1 = x 2 geeft f'(x) = í12  x 2 = í 2  1 = í 1 = í 1 x冑x x  x2 x 2 2x2  冑x x 22 2  x2  x2 1 1 1 1 1 b g(x) = 冑x í = x2 í 1 = x2 í xí2 geeft 冑x x2 1 1 1 1 1 1 1 1 g'(x) = 12 xí2 + 12 xí12 = 12  1 + 12  11 = + + 1 = x2 x 2 2冑x 2  x  x2 2冑x 2x冑x a f (x) =

c h(x) =

1

=

1 x2 x2 x2 x2 í 2 2 2 2 í11 í = = 1 í 1 = 1 í 1 = x 2 í 2x 2 geeft x冑x x冑x x冑x x  x2 x  x2 x12 x12

h'(x) = 12 xí2 + 3xí22 = 12 Â 1

1

3 3 3 1 1 1 + + 1 + 1 = 1 = x2 x22 2冑x x2 Â x2 2冑x x2 Â 冑x

d k(x) = x2 (x冑x í 3) = x3 Â 冑x í 3x2 = x3 Â x2 í 3x2 = x32 í 3x2 geeft 1

1

k'(x) = 312 x22 í 6x = 312 x2 Â x2 í 6x = 312 x2 Â 冑x í 6x 1

1

Bladzijde 72

35

a f (x) = x + 冑x = x + x2 geeft f'(x) = 1 + 12 xí2 = 1 + 12 Â 1

1

1 1 1 = 1 + 2冑x x2

3 3 b g(x) = x  冑 x = x  x3 = x13 geeft g'(x) = 113 x3 = 113  冑 x 1 1 1 1 1 1 1 1 c h(x) = = = xí2 geeft h'(x) = í 2 xí12 = í 11 = í 1 = í 冑x x12 2x冑x 2x 2 2x  x2 1

1

1

5 x3 5 x3 d k(x) = x3 Â 冑 = x3 Â x5 = x35 geeft k'(x) = 335 x25 = 335 x2 Â x5 = 335 x2 Â 冑 3

36

3

3

3

4x 4x a f (x) = x2  冑 = x2  x4 = x24 geeft f'(x) = 214 x14 = 214 x  x4 = 214 x  冑 1

b g(x) =

1

1

1

1 4x2 1 4x2 + 1 4x2 1 í11 = 1 + 1 = 1 + 1 = 4x 2 + x 2 geeft x冑x x  x 2 x  x 2 x 12 x 12

g'(x) = 2xí2 í 112 xí22 = 1

1

3 3 2 3 1 2 2 í í Â 1= 1 í 1 = x2 2 x22 冑x 2x2 Â x2 冑x 2x2 Â 冑x

c h(x) = (x2 + 1)(1 + 冑x) = x2 + x2  冑x + 1 + 冑x = x2 + x2  x2 + 1 + x2 = x2 + x22 + 1 + x2 geeft 1 1 1 1 1 h'(x) = 2x + 212 x12 + 12 xí2 = 2x + 212 x  x2 + 12  1 = 2x + 212 x冑x + 2冑x x2 2 1 xí4 x 4 d k(x) = 3 = 1 í 1 = x3 í 4xí3 geeft 冑x x 3 x 3 1 1 2 4 1 1 1 1 k'(x) = 23 xí3 + 43 xí13 = 23  1 + 43  11 = 23  1 + 43  + 1 = 3 3x 3 3 3 3 x x x xÂx 3  冑x 3x  冑 1

50

Hoofdstuk 6

1

1

1

© Noordhoff Uitgevers bv

37

a f (x) = ( x冑x í 3)2 = x3 í 6x冑x + 9 = x3 í 6x  x2 + 9 = x3 í 6x12 + 9 geeft f'(x) = 3x2 í 9x2 = 3x2 í 9冑x 2x í 3 3 3 2x 2x í11 í21 b g(x) = 2 = 1 í 1 = 1 í 1 = 2x 2 í 3x 2 geeft x Â冑x x2  x2 x2  x2 x22 x22 1 1 3 3 3 15 15 1 g'(x) = í3xí22 + 712 xí32 = í 21 + 15 +  1 = í 2 12 + 3 12 = í 2 x  冑x 2x3  冑x x 2 2 x 32 x Âx 2x  x 1

2

1

2

1

3 ) c h(x) = ( x í 冑 x = ( x í x3 ) = x2 í 2  x  x3 + ( x3 ) = x2 í 2x13 + x3 geeft 1 1 2 2 3 3x+2 1 h'(x) = 2x í 223 x3 + 23 xí3 = 2x í 223  冑 3  1 = 2x í 23  冑x + 3 x3 3 Â冑 x 3 1 x2 + 4 x2 4 x14 + 4xí4 geeft d k(x) = 4 + 冑x = x14 x14 = 3 1 1 1 3 4 3 3 4 3 4 x3 í 1 k '(x) = 134 x4 í x í14 = 134  冑 1 = 14  冑 x í 1 = 14  冑 x í 1 4 x4 x  x4 x Â冑 x 2

38

1

1

3 x2 f (x) = 冑 = x3 geeft f '(x) = 23 xí3 = 23 Â 2

1

Stel k: y = ax + b. 2 2 a = f ' ( 18 ) = = 1 = 113 31 冑 3Â 8 3Â2 y = 113 x + b 1 1 1 r 1 Â +b= f ( 18 ) = 14 , dus A ( 18 , 14 ) 1 3 8 1 4 6 +b=4 1 b = 12 1 1 Dus k: y = 13 x + 12 .

1

1

2

1 2 1 = 3 x3 3 Â 冑 x

6

Stel l: y = ax + b. 2 2 a = f '(8) = = 13 = 3 3 2 冑 3Â 8 Â y = 13 x + b 1 r Â8 + b = 4 f (8) = 4, dus B(8, 4) 3 2 23 + b = 4 b = 113 Dus l: y = 13 x + 113 . 1 Snijden van k en l geeft 113 x + 12 = 13 x + 113 1 4x + 4 = x + 4 3x = 334 x = 114 1 1 1 3 1 r y = 13 Â 14 + 12 = 14 y = 113 x + 12

Dus C ( 114 , 134 ) . 39

a f (x) = x冑x í 3x = x12 í 3x geeft f'(x) = 112 x2 í 3 = 112 冑x í 3 f'(x) = 0 geeft 112 冑x í 3 = 0 1

1

112 冑x = 3

冑x = 2 x=4

f (4) = 4冑4 í 3 Â 4 = í4

min. is f (4) = í4. b Stel k: y = ax. a = f'(0) = 112 冑0 í 3 = í3 Dus k: y = í3x. c f ƍ(x) = 3 geeft 112 冑x í 3 = 3 112 冑x = 6

冑x = 4

x = 16 l: y = 3x + b r 3 Â 16 + b = 16 f (16) = 16, dus A(16, 16) 48 + b = 16 b = í32 Dus A(16, 16) en l: y = 3x í 32.

© Noordhoff Uitgevers bv

Differentiaalrekening

51

40

1 1 x3 + 2 x3 2 = + = x22 + 2xí2 geeft 冑x x12 x12 1 1 1 1 1 1 1 f'(x) = 212 x12 í xí12 = 212 x  x2 í 11 = 212 x冑x í 1 = 22 x冑x í 2 2 x冑x x xÂx Stel k: y = ax + b. 1 a = f'(1) = 212  1  冑1 í = 212 í 1 = 112 1  冑1

a f (x) =

y = 112 x + b 1 r 12 Â 1 + b = 3 f (1) = 3, dus A(1, 3) 112 + b = 3 b = 112 1 1 Dus k: y = 12 x + 12 . Snijden met de x-as, dus y = 0 geeft 112 x + 112 = 0 112 x = í112 x = í1, dus B(í1, 0) y

A

3

2

6 1

B

O

–1

1

O(+OAB) = 12 Â 1 Â 3 = 112 b f'(x) = 0 geeft 212 x冑x í 212 x冑x =

x

2

1

x冑x

=0

1

x冑x

冑x  x冑x = 1

212 x

212 x3 = 1 x3 = 25 Dus p =

2 5.

Bladzijde 73

41

52

32 x =冑 5

a s(t) = 10t冑t = 10t12 geeft v(t) = s'(t) = 15t2 = 15冑t v(8) = 15冑8 = 15 Â 2冑2 = 30冑2 Dus de snelheid na 8 seconden is 30冑2 m/s. 108 b 108 km/uur = = 30 m/s 3,6 v(t) = 30 geeft 15冑t = 30 冑t = 2 t=4 Dus na 4 seconden is de snelheid 108 km/uur. c s(9) = 10 Â 9 Â 冑9 = 90 Â 3 = 270 en v(9) = 15 Â 冑9 = 15 Â 3 = 45 Dus in de eerste 9 seconden legt de trein 270 meter af en in de volgende 51 seconden 51 Â 45 = 2295 meter. Dus in de eerste minuut legt de trein 270 + 2295 = 2565 meter af.

Hoofdstuk 6

1

1

© Noordhoff Uitgevers bv

6.3 De kettingregel Bladzijde 75 42

a v(3) = 32 í 5 Â 3 = 9 í 15 = í6 u(v(3)) = u(í6) = (í6)4 = 1296 b u(v(4)) = u(42 í 5 Â 4) = u(16 í 20) = u(í4) = (í4)4 = 256

43

a f (x) = u(v(x)) met u(v) = v6 en v(x) = 3 í x5. b f (x) = u(v(x)) met u(v) = 冑v en v(x) = x2 + 1. 2 c f (x) = u(v(x)) met u(v) = 3 en v(x) = x + 8. v Bladzijde 77

44

a f (x) = (4x + 3)3 geeft f '(x) = 3(4x + 3)2 Â 4 = 12(4x + 3)2 b g(x) = 6 ( 12 x í 4 )5 geeft g'(x) = 5 Â 6 ( 12 x í 4 ) 4 Â 12 = 15 ( 12 x í 4 ) 4 c h(x) = 3x2 í

( 14 x í 2)3 geeft h'(x) = 6x í 3 ( 14 x í 2 )2 Â 14 = 6x í 34 ( 14 x í 2 )2

d j(x) = (4x2 í 3)4 geeft j '(x) = 4(4x2 í 3)3 Â 8x = 32x(4x2 í 3)3 4 e k(x) = 5x í = 5x í 4(3x + 2)í3 geeft (3x + 2)3 36 k '(x) = 5 í í3 Â 4(3x + 2)í4 Â 3 = 5 + 36(3x + 2)í4 = 5 + (3x + 2)4 1 2 f l(x) = 冑4x + 1 geeft l '(x) = Â4 = 冑4x + 1 2冑4x + 1 45

6

a f (x) = í2(2x + 1)4 geeft f'(x) = 4 Â í2(2x + 1)3 Â 2 = í16(2x + 1)3 1 í6 b g(x) = = (3x í 2)í2 geeft g'(x) = í2(3x í 2)í3 Â 3 = 2 (3x í 2) (3x í 2)3 2x + 2 1 c h(x) = 冑2x2 + 4x geeft h'(x) = Â (4x + 4) = 冑2x2 + 4x 2冑2x2 + 4x 1 1 1 í2 d j(x) = = (4x í 1)í2 geeft j'(x) = í 12 (4x í 1)í12 Â 4 = 冑4x í 1 (4x í 1)冑4x í 1 e k(x) = (x2 + 3)冑x2 + 3 = (x2 + 3)12 geeft k '(x) = 112 (x2 + 3)2 Â 2x = 3x冑x2 + 3 1 1 f l(x) = 2 = (x2 + 2x + 3)í2 geeft 冑x + 2x + 3 1 íxí1 l'(x) = í 12 (x2 + 2x + 3)í12 Â (2x + 2) = 2 (x + 2x + 3)冑x2 + 2x + 3 1

46

1

a f (x) = 4(x3 + 7x í 2)2 geeft f '(x) = 2 Â 4(x3 + 7x í 2) Â (3x2 + 7) = 8(3x2 + 7)(x3 + 7x í 2) 18(2x + 3) 6 = í6(x2 + 3x)í3 geeft g'(x) = í3 Â í6(x2 + 3x)í4 Â (2x + 3) = 2 3 + 3x) (x + 3x)4 2 1 2 x +1 3 3 c h(x) = 冑 x + 3x = (x3 + 3x)3 geeft h'(x) = 13 (x3 + 3x)í3 Â (3x2 + 3) = 3 2 冑(x + 3x)2 b g(x) = í

d j(x) =

(x2

1 1 3 1 = (4 í x)í12 geeft j'(x) = í112 Â (4 í x)í22 Â í1 = (4 í x)冑4 í x 2(4 í x)2 Â 冑4 í x

5(4x3 + x) 1 3 + 2x) + 8x (8x + 8x = Â 冑2x4 + x2 2冑2x4 + x2 x2 + 4 x 1 f l(x) = 2 = 冑x2 + 4 geeft l'(x) = Â 2x = 2 冑x + 4 冑x + 4 2冑x2 + 4 e k(x) = 5冑2x4 + x2 + 4x2 geeft k'(x) = 5 Â

© Noordhoff Uitgevers bv

Differentiaalrekening

53

47

a Voer in y1 =

( 12 x 2 í 2x ) 3.

y ƒ x

O

b f (x) = ( 12 x2 í 2x) 3 geeft f '(x) = 3 ( 12 x2 í 2x)2  (x í 2) f'(x) = 0 geeft 3 (12 x2 í 2x) 2  (x í 2) = 0 1 2 2 x í 2x = 0  x í 2 = 0 x2 í 4x = 0  x = 2 x(x í 4) = 0  x = 2 x=0  x=4  x=2 c Stel l: y = ax + b. a = f '(6) = 3 ( 12  62 í 2  6)2  (6 í 2) = 432 y = 432x + b r 432  6 + b = 216 f (6) = 216, dus A(6, 216) 2592 + b = 216 b = í2376 Dus l: y = 432x í 2376.

6

48

a f ( x) = ( 14 x í 1) 4 í x + 2 geeft f ' ( x) = 4 Â ( 14 x í 1)3 Â 14 í 1 = ( 14 x í 1)3 í 1 f' ( x ) = 0 geeft ( 14 x í 1)3 í 1 = 0 ( 14 x í 1)3 = 1 1 4x í 1 = 1 1 4x = 2 x=8 y

ƒ

8 O

x

min. is f (8) = í5, dus Bf = 3 í5, m 9. b Stel k: y = ax + b. a = rck = rcl = í2 f'(x) = í2 geeft ( 14 x í 1) 3 í 1 = í2 ( 14 x í 1)3 = í1 1 4 x í 1 = í1 1 4x = 0 x=0 y = í2x + b rb=3 f (0) = 3, dus door (0, 3) Dus k: y = í2x + 3. c f (4) = ( 14 Â 4 í 1) 4 í 4 + 2 = í2 Voer in y1 = ( 14 x í 1) 4 í x + 2 en y2 = í2. Intersect geeft x = 4 en x § 10,35, dus A(4, í2) en B(10,35; í2). AB § 10,35 í 4 = 6,35

54

Hoofdstuk 6

© Noordhoff Uitgevers bv

Bladzijde 79

49

50

a f (3) = 14 (2  3 í 5)3 + 2 = 14  13 + 2 = 214 g(3) = í 14 (3  3 í 10)4 + 212 = í 14  1 + 212 = 214 f (3) = g(3) dus A ligt zowel op de gra¿ek van f als op die van g. b f (x) = 14 (2x í 5)3 + 2 geeft f'(x) = 3  14 (2x í 5)2  2 = 112 (2x í 5)2 f'(3) = 112 (2  3 í 5)2 = 112 g(x) = í 14 (3x í 10)4 + 212 geeft g'(x) = 4  í 14 (3x í 10)3  3 = í3(3x í 10)3 g'(3) = í3  (3  3 í 10)3 = 3 f'(3)  g'(3) dus de raaklijnen in A hebben niet dezelfde richting. Emma heeft dus geen gelijk. c f'(x) = 1312 geeft 112 (2x í 5)2 = 1312 (2x í 5)2 = 9 2x í 5 = 3  2x í 5 = í3 2x = 8  2x = 2 x=4  x=1 f (4) = 834 en f (1) = í434 , dus de punten zijn (4, 834 ) en ( 1, í434 ) . a f (x) = 冑x2 + 9 í x2 + 5x geeft f'(x) = Stel k: y = ax + b. 4 a = f '(4) = 2 í 2  4 + 5 = í215 冑4 + 9

x 1 í 2x + 5 Â 2x í 2x + 5 = 2 冑x + 9 2冑x2 + 9

y = í215 x + b r í215  4 + b = 9 f (4) = 9, dus A(4, 9) í845 + b = 9 b = 1745 1 4 Dus k: y = í25 x + 175 . 3 3 b f'(3) = 2 í 2Â3 + 5 = í10 冑3 + 9 冑18 Dus de grafiek heeft geen horizontale raaklijn voor x = 3. c Stel l: y = ax + b. a = rcl = rcm = 5 x f '(x) = 5 geeft 2 í 2x + 5 = 5 冑x + 9 x = 2x 冑x2 + 9 kwadrateren geeft x2 = 4x2 2 x +9 4x2(x2 + 9) = x2 4x4 + 36x2 = x2 4x4 + 35x2 = 0 x2(4x2 + 35) = 0 x2 = 0  4x2 = í35 x = 0 geen opl. y = 5x + b r b=3 f (0) = 3, dus door (0, 3) Dus l: y = 5x + 3. 51

6

2 10 a De tijd nodig van A naar B via C is 80 + 100 = 18 uur = 450 seconden.

De afstand AB = 冑22 + 102 = 冑104 = 2冑26 km. 2冑26 1 = 40 冑26 uur = 458,9... seconden. 80 Het verschil is 458,9... í 450 § 9 seconden.

De tijd nodig van A direct naar B is

b t=

10 x AD BD 冑x2 + 22 10 í x 1 2 + + í = = 80 冑x + 4 + = 1 冑x 2 + 4 + 0,1 í 0,01x 80 100 80 100 100 100 80

1 冑x2 + 4 + 0,1 í 0,01x. Dus t = 80

© Noordhoff Uitgevers bv

Differentiaalrekening

55

1 冑x2 + 4 + 0,1 í 0,01x geeft t'(x) = 801 Â c t(x) = 80

t'(x) = 0 geeft

1 t ( 223 ) = 80

x í 0,01 = 0 80冑x2 + 4 x = 0,01 80冑x 2 + 4 kwadrateren geeft x2 = 0,0001 6400(x 2 + 4) 2 2 x = 0,64(x + 4) x2 = 0,64x2 + 2,56 0,36x2 = 2,56 x2 = 64 9 x = 223

冑(2

)

2 2 3

1

2冑x2 + 4

 2x í 0,01 =

x

80冑x2 + 4

í 0,01

+ 4 + 0,1 í 0,01 Â 223 = 0,115 uur = 414 seconden

De snelste route is 450 í 414 = 36 seconden sneller dan via C naar B. Bladzijde 79 52

6

f (x) = (ax í 2)4 + 12 ax geeft f'(x) = 4(ax í 2)3  a + 12 a = 4a(ax í 2)3 + 12 a f'(3) = 0 geeft 4a(a  3 í 2)3 + 12 a = 0 4a(3a í 2)3 + 12 a = 0 a ( 4(3a í 2)3 + 12 ) = 0 a = 0  4(3a í 2)3 + 12 = 0 a = 0  4(3a í 2)3 = í 12 a = 0  (3a í 2)3 = í 18 a = 0  3a í 2 = í 12 a = 0  3a = 112 a = 0  a = 12

a = 0 geeft f (x) = (í2)4 + 0 = 16 en deze functie heeft geen extreme waarde voor x = 3. a = 12 geeft f (x) = (12 x í 2)4 + 14 x y

ƒ

1 2

O

x

f heeft een extreme waarde voor a = 12 . 53

54

f (x) = x冑2x + 1 is het product van de factoren x en 冑2x + 1. Dus volgens de productregel is f'(x) = 3 x 4'  冑2x + 1 + x  3冑2x + 1 4 '. De afgeleide van 冑2x + 1 bereken je met de kettingregel. a f (x) = x冑3x + 1 geeft

2(3x + 1) 3x 3x 1 + = Â 3 = 冑3x + 1 + 2冑3x + 1 2冑3x + 1 2冑3x + 1 2冑3x + 1 9x + 2 6x + 2 + 3x = = 冑 冑 2 3x + 1 2 3x + 1

f'(x) = 1 Â 冑3x + 1 + x Â

b g(x) =

冑x2 + 1

geeft 2x + 1 1 (2x + 1) Â Â 2x í 冑x2 + 1 Â 2 2冑x2 + 1 (2x + 1) Â x í (x2 + 1) Â 2 2x2 + x í 2x2 í 2 g'(x) = = = (2x + 1)2 (2x + 1)2 Â 冑x2 + 1 (2x + 1)2 Â 冑x2 + 1 xí2 = (2x + 1)2 Â 冑x2 + 1

56

Hoofdstuk 6

© Noordhoff Uitgevers bv

c h(x) = x(3x + 1)3 geeft h'(x) = 1  (3x + 1)3 + x  3(3x + 1)2  3 = (3x + 1)3 + 9x(3x + 1)2 x2 í 1 geeft 冑4x + 1 冑4x + 1  2x í (x2 í 1)  1  4 2冑4x + 1 (4x + 1)  2x í (x2 í 1)  2 8x2 + 2x í 2x2 + 2 k'(x) = = = 4x + 1 (4x + 1)冑4x + 1 (4x + 1)冑4x + 1 6x2 + 2x + 2 = (4x + 1)冑4x + 1

d k(x) =

Bladzijde 80 55

f (x) = 12 x冑3x + 1 geeft

2(3x + 1) 3x 3x 1 + = Â 3 = 12 冑3x + 1 + 2冑3x + 1 4冑3x + 1 4冑3x + 1 4冑3x + 1 6x + 2 + 3x 9x + 2 = = 4冑3x + 1 4冑3x + 1 Stel k: y = ax + b. 9Â8 + 2 7 a = f'(8) = = 310 4冑3 Â 8 + 1 7 y = 310 x+b 7 r 310 Â 8 + b = 20 f (8) = 20, dus A(8, 20) 2935 + b = 20 b = í935 7 3 Dus k: y = 310 x í 95 . f'(x) = 12 Â 冑3x + 1 + 12 x Â

56

6

a 8 í 2x • 0 í2x • í8 x”4 Dus Df = 8 k , 4 4 . b f (x) = x冑8 í 2x geeft f'(x) = 1  冑8 í 2x + x Â

8 í 2x 8 í 3x 1 íx íx + = = Â í2 = 冑8 í 2x + 冑8 í 2x 冑8 í 2x 冑8 í 2x 冑8 í 2x 2冑8 í 2x

c f'(x) = 0 geeft 8 í 3x = 0 3x = 8 x = 83

冑8 8 冑8 冑3 8 冑24 8 Â 2冑6 16 = = 9 冑6 = 179 冑6 = Â Â = Â 冑3 3 冑3 冑3 3 3 9 Dus de top is ( 89 , 179 冑6 ) en Bf = 8k, 179 冑6 4 . f ( 83 ) = 83

冑

8 3

= 83 Â

d f '(x) = 1 geeft

8 í 3x

冑8 í 2x

=1

8 í 3x = 冑8 í 2x kwadrateren geeft (8 í 3x)2 = 8 í 2x 64 í 48x + 9x2 = 8 í 2x 9x2 í 46x + 56 = 0 D = (í46)2 í 4  9  56 = 100 46 í 10 46 + 10 x= = 319 =2  x= 18 18 voldoet voldoet niet f (2) = 4, dus A(2, 4).

© Noordhoff Uitgevers bv

Differentiaalrekening

57

57

a f (x) =

x+1

geeft

冑x2 + 4 冑x2 + 4 Â 1 í (x + 1) Â

f'(x) = =

1 Â 2x 2冑x2 + 4

x2 + 4

4íx (x2 + 4)冑x2 + 4

=

x2 + 4 í (x + 1) Â x x2 + 4 í x2 í x = 2 (x2 + 4)冑x2 + 4 (x + 4)冑x2 + 4

f'(x) = 0 geeft 4 í x = 0 x=4 5 5 5 冑5 5冑5 1 4+1 f (4) = 2 = 冑5 = = = Â = 冑4 + 4 冑20 2冑5 2冑5 冑5 10 2 De coördinaten van de top zijn ( 4, 12冑5 ) . 0+1 b f (0) = 2 = 1 , dus A ( 0, 12 ) . 冑0 + 4 2 Stel k: y = ax + b. 4í0 a = f'(0) = 2 =1 (0 + 4)冑02 + 4 2 y = 12 x + b 1 r b=2 door A (0, 12 ) Dus k: y = 12 x + 12 . k snijden met de x-as, dus y = 0 geeft 12 x + 12 = 0 1 1 2 x = í2 x = í1, dus B(í1, 0)

6

y

1

1 2

B –1

A

O

1 2

x

O(+OAB) = 12 Â 1 Â 12 = 14 58

a f (x) = 2x冑9 í 2x í 3 geeft

2(9 í 2x) 1 í2x í2x + = Â í2 = 2冑9 í 2x + 冑9 í 2x 冑9 í 2x 冑9 í 2x 2冑9 í 2x 18 í 4x í 2x 18 í 6x = = 冑9 í 2x 冑9 í 2x Stel k: y = ax + b. 18 í 6 Â 0 a = f '(0) = =6 冑9 í 2 Â 0 y = 6x + b r b = í3 f (0) = í3, dus A(0, í3) Dus k: y = 6x í 3. f'(x) = 2 Â 冑9 í 2x + 2x Â

58

Hoofdstuk 6

© Noordhoff Uitgevers bv

b f '(x) = 0 geeft 18 í 6x = 0 í6x = í18 x=3 voldoet y ƒ

O

x

3

max. is f (3) = 6冑3 í 3. c 9 í 2x • 0 í2x • í9 x ” 412 Dus D f = 8 k , 412 4 . Bf = 8k, 6冑3 í 34 d Raaklijn evenwijdig met y = 112 x dus f '(x) = 112 . 18 í 6x 3 f '(x) = 112 geeft = 冑9 í 2x 2 36 í 12x = 3冑9 í 2x 12 í 4x = 冑9 í 2x kwadrateren geeft (12 í 4x)2 = 9 í 2x 144 í 96x + 16x2 = 9 í 2x 16x2 í 94x + 135 = 0 D = (í94)2 í 4  16  135 = 196 94 í 14 94 + 14 x= = 338 = 212  x = 32 32 voldoet voldoet niet f ( 212 ) = 7 dus B ( 212 , 7) .

59

a f (x) =

6

1 1 x3 + 2 x3 2 x3 2 + = = 1 + 1 = x22 + 2xí2 geeft 冑x 冑x 冑x x2 x2

f'(x) = 212 x12 í xí12 = 212 x冑x í 1

1

212 x冑x  x冑x 212 x3 í 1 1 1 1 1 í = = 1 = 22 x冑x í x冑x x冑x x冑x x冑x x 12

f '(x) = 0 geeft 212 x3 í 1 = 0 212 x3 = 1 x3 = 25 32 x =冑 5 f (冑

32 5

)=

2 5

+2

冑冑

32 5

=

225

(( 25 ) ) 1 3

1 2

=

225

( 25 )

1 6

=

225

冑6 25

Dus a = 225 , b = 6 en c = 25 .

© Noordhoff Uitgevers bv

Differentiaalrekening

59

212 x3 í 1 3 = 2 x冑x

b f '(x) = 112 geeft

5x3 í 2 = 3x冑x 5x3 í 3x冑x í 2 = 0 Stel x冑x = u. 5u2 í 3u í 2 = 0 D = (í3)2 í 4  5  í2 = 49 3í7 3+7 u= u= 10 10 u = í0,4  u = 1 x冑x = í0,4  x冑x = 1 vold. niet x=1 vold. k: y = 112 x + b 1 r 12  1 + b = 3 f (1) = 3, dus door (1, 3) 112 + b = 3 Dus k: y =

112 x

+

112 .

b = 112

6.4 Toppen en snijpunten

6

Bladzijde 82

60

De lijn y = 10 ligt boven de top B ( 5, 813 ) , dus de lijn y = 10 snijdt de grafiek van f in één punt, dus de vergelijking í 13x3 + 3x2 í 5x = 10 heeft één oplossing. De top A ( 1, í213 ) ligt op de lijn y = í213 , dus de lijn y = í213 heeft twee punten met de grafiek gemeen, dus de vergelijking í 13 x3 + 3x2 í 5x = í213 heeft twee oplossingen.

61

a f (x) = 2x3 í 3x2 í 36x + 10 geeft f '(x) = 6x2 í 6x í 36 f '(x) = 0 geeft 6x2 í 6x í 36 = 0 x2 í x í 6 = 0 (x + 2)(x í 3) = 0 x = í2  x = 3 f (í2) = 2  (í2)3 í 3  (í2)2 í 36  í2 + 10 = 54 f (3) = 2  33 í 3  32 í 36  3 + 10 = í71 Dus de toppen zijn (í2, 54) en (3, í71). b De vergelijking f (x) = 25 heeft drie oplossingen. De vergelijking f (x) = 75 heeft één oplossing. c De vergelijking f (x) = p heeft drie oplossingen als de lijn y = p tussen de toppen ligt. Dus voor í71 < p < 54. d De vergelijking f(x) = p heeft één oplossing als de lijn y = p hoger ligt dan (í2, 54) of lager dan (3, í71) dus voor p < í71  p > 54. e Dat zijn p = í71 en p = 54.

60

Hoofdstuk 6

© Noordhoff Uitgevers bv

Bladzijde 83 62

a f (x) = íx3 í 3x2 + 24x + 10 geeft f'(x) = í3x2 í 6x + 24 f '(x) = 0 geeft í3x2 í 6x + 24 = 0 x2 + 2x í 8 = 0 (x í 2)(x + 4) = 0 x = 2  x = í4 y

38 ƒ

–4

O

x

2

–70

min. is f (í4) = í70 en max. is f (2) = 38. b De vergelijking f (x) = í50 heeft drie oplossingen. De vergelijking f (x) = 50 heeft één oplossing. c De vergelijking f (x) = p heeft drie oplossingen voor í70 < p < 38. d De vergelijking f (x) = p heeft één oplossing voor p < í70  p > 38. 63

6

f (x) = 0,75x4 í 2x3 í 36x2 + 300 geeft f'(x) = 3x3 í 6x2 í 72x f'(x) = 0 geeft 3x3 í 6x2 í 72x = 0 3x(x2 í 2x í 24) = 0 3x(x + 4)(x í 6) = 0 x = 0  x = í4  x = 6 y 300 ƒ 44 –4

O

6

x

–456

min. is f (í4) = 44 max. is f (0) = 300 min. is f (6) = í456 De vergelijking f (x) = p heeft precies vier oplossingen voor 44 < p < 300 precies drie oplossingen voor p = 44  p = 300 precies twee oplossingen voor í456 < p < 44  p > 300 precies één oplossing voor p = í456 geen oplossingen voor p < í456

© Noordhoff Uitgevers bv

Differentiaalrekening

61

64

a f (x) = x2 Â 冑2x + 5 í 6 geeft

2x(2x + 5) x2 4x2 + 10x + x2 5x2 + 10x 1 + = = Â2 = 冑2x + 5 冑2x + 5 冑2x + 5 冑2x + 5 2冑2x + 5 f'(x) = 0 geeft 5x2 + 10x = 0 5x(x + 2) = 0 x = 0  x = í2 vold. vold. f'(x) = 2x  冑2x + 5 + x2 Â

y

6

ƒ

4

2 1

–2 2

–3

–2

O

–1

1

x

2

–2

6

–4

–6

2x + 5 = 0 geeft x = í212, dus f ( í212 ) = í6, f (í2) = í2 en f (0) = í6, dus de toppen zijn (í2, í2) en (0, í6). b De vergelijking f (x) = p heeft geen oplossingen voor p < í6 precies één oplossing voor p > í2 precies twee oplossingen voor p = í6  p = í2 precies drie oplossingen voor í6 < p < í2. 65

a De lijn l: y = x heeft drie snijpunten met de grafiek van f. De lijn m: y = 3x heeft één snijpunt met de gra¿ek van f . y m: y = 3x

l: y = x ƒ

O

x

k: y = 2x

b f (x) = 0 geeft 6x = 0, dus x = 0. Dus de grafiek snijdt de x-as alleen in (0, 0). Voor 0 < a < 2 ligt de lijn y = ax tussen de x-as en de raaklijn k: y = 2x. Er zijn dus drie snijpunten met de grafiek van f voor 0 < a < 2. Dus de vergelijking f (x) = ax heeft drie oplossingen voor 0 < a < 2.

62

Hoofdstuk 6

© Noordhoff Uitgevers bv

66

6x geeft +5 2 (x + 5)  6 í 6x  2x 6x2 + 30 í 12x2 í6x2 + 30 f'(x) = = = 2 (x2 + 5)2 (x2 + 5)2 (x + 5)2 2 f '(x) = 0 geeft í6x + 30 = 0 í6x2 = í30 x2 = 5 x = 冑5  x = í冑5

a f (x) =

x2

y

ƒ – 5 O

min. is f (í冑5) = max. is f (冑5) =

x

5

6 Â í冑5 í6冑5 = = í 35 冑5. 2 10 (í冑5) + 5

6 Â 冑5 6冑5 3 = = 冑5. 2 10 5 (冑5) + 5

6

B f = 3 í 35 冑5, 35 冑5 4 1 b f'(0) = 30 25 = 15 y

1

y = 15 x

ƒ O

x

f(x) = 0 geeft 6x = 0, dus x = 0. Dus de gra¿ek snijdt de x-as alleen in (0, 0). De vergelijking f (x) = ax heeft precies één oplossing voor a ” 0  a • 115 .

© Noordhoff Uitgevers bv

Differentiaalrekening

63

67

a f (x) = x冑2x + 6 geeft f'(x) = 1 Â 冑2x + 6 + x Â

2x + 6 x 2x + 6 + x 3x + 6 1 + = = Â2 = 冑2x + 6 冑2x + 6 冑2x + 6 冑2x + 6 2冑2x + 6

f'(x) = 0 geeft 3x + 6 = 0 3x = í6 x = í2 y

ƒ

–3

x

O

–2

min. is f (í2) = í2冑2 2x + 6 = 0 geeft x = í3, dus beginpunt is (í3, 0). De vergelijking f (x) = p heeft precies twee oplossingen voor 2冑2 < p ” 0. 6 3Â0 + 6 b f'(0) = = = 冑6, dus y = 冑6 x is de raaklijn in (0, 0). 冑2  0 + 6 冑6

6

y ƒ

y = 6x

x

O

De vergelijking f (x) = ax heeft precies twee oplossingen voor 0 ” a < 冑6  a > 冑6. Bladzijde 84 68

a

y

y

y

y ƒ–2

ƒ–3 O

x

O

ƒ3

x

ƒ2 O

x

O

x

b f í 3 heeft twee extreme waarden f í 2 heeft geen extreme waarden f2 heeft geen extreme waarden f3 heeft twee extreme waarden

64

Hoofdstuk 6

© Noordhoff Uitgevers bv

69

Voor p > 12 is D < 0 dus heeft fp'(x) = 0 geen oplossingen. Er zijn dus geen extremen voor p > 12 . Voor p = 12 is D = 0, dus de grafiek van fp ' is een bergparabool die de xías raakt. x

ƒp'

grafiek van ƒp

dalend dalend horizontaal

x

ƒp

Er zijn dus geen extremen voor p = 12 . 70

6

fp(x) = í 13 x3 í 112 x2 + px + 5 geeft fp'(x) = íx2 í 3x + p fp heeft twee extreme waarden, dus fp'(x) = 0 heeft twee oplossingen. D>0 r 9 + 4p > 0 D = (í3)2 í 4 Â í1 Â p = 9 + 4p 4p > í9 p > í214 Dus twee extreme waarden voor p > í214 . Bladzijde 85

71

fp(x) = 14 x3 + px2 + 3x + 1 geeft fp '(x) = 34 x2 + 2px + 3 ƒp'

ƒp'

x

x

fp heeft geen extreme waarden, dus fp '(x) = 0 heeft geen of één oplossing. Geen of één oplossing, dus D ” 0 r 4p2 í 9 ” 0 D = (2p)2 í 4  34  3 = 4p2 í 9 4p2 ” 9 p2 ” 94 í112 ” p ” 112

© Noordhoff Uitgevers bv

Differentiaalrekening

65

72

1 3 a fp(x) = 12 x + x2 + px + 7 geeft fp '(x) = 14 x2 + 2x + p fp '(1) = 0 geeft 14 + 2 + p = 0 p = í214 fí214 '(x) = 0 geeft 14 x2 + 2x í 214 = 0 x2 + 8x í 9 = 0 (x í 1)(x + 9) = 0 x = 1  x = í9 y

ƒ–2 41

O

–9

1

x

max. is fí214 (í9) = 4712 . b fp '(x) = 14 x2 + 2x + p fp ' heeft twee extreme waarden, dus fp '(x) = 0 heeft twee oplossingen. D>0 r 4íp>0 D = 22 í 4  14  p = 4 í p íp > í4 p0 r 4p2 + 12 > 0 D = (2p)2 í 4  1  í3 = 4p2 + 12 4p2 > í12 p2 > í3 2 Voor elke p is p > í3, dus voor elke p heeft fp twee extreme waarden. b fp '(3) = 0 geeft 32 + 2p  3 í 3 = 0 9 + 6p í 3 = 0 6p = í6 p = í1 1 3 2 fí1(x) = 3 x í x í 3x + 1 en fí1'(x) = x2 í 2x í 3 f í1 '(x) = 0 geeft x2 í 2x í 3 = 0 (x + 1)(x í 3) = 0 x = í1  x = 3 y

ƒ–1 3 –1 O

x

6

max. is fí1(í1) = 223 . c fp '(í2) = rcl geeft (í2)2 + 2p  í2 í 3 = í1 í4p = í2 p = 12 1 3 1 2 f 12 (x) = 3 x + 2 x í 3x í 12 l: y = íx + q í í2 + q = 456 f 12 (2) = 13  (í2)3 + 12  (í2)2 í 3  í2 í 12 = 456 , dus B ( í2, 456 ) r q = 256 1 5 Dus p = 2 en q = 26 . 77

fp '(x) = í 14 x2 + px + 3 geeft fp '(x) = í 12 x + p fp '(x) = 0 geeft í 12 x + p = 0 p = 12 x Bladzijde 88

78

79

a x = 0 geeft y = í 12  03 + 0 + 3 = 3, dus (0, 3) ligt op de kromme. fp '(0) = 3  02 + 2p  0 + 2 = 2  0, dus voor elke waarde van p geldt dat fp '(0)  0, dus (0, 3) is geen top van de grafiek van fp. b De formule van de kromme waarop alle toppen liggen, wil zeggen dat niet elk punt op de kromme per se een top is. Het punt (0, 3) ligt dus wel op de kromme, maar hoeft dus geen top te zijn. fp(x) = 13 x3 + px2 + 3x + 5 geeft fp '(x) = x2 + 2px + 3 fp '(x) = 0 geeft x2 + 2px + 3 = 0 2px = íx2 í 3

íx2 í 3 íx2 í 3 2 ¶ y = 13 x3 + Â x + 3x + 5 2x 2x y = 13 x3 + px2 + 3x + 5 y = 13 x3 í 12 x3 í 112 x + 3x + 5 y = í 16 x3 + 112 x + 5

voor x  0 geldt p =

Dus de formule van de kromme waarop alle toppen liggen is y = í 16 x3 + 112 x + 5.

68

Hoofdstuk 6

© Noordhoff Uitgevers bv

80

fp '(x) =

px (x2 + 4)  p í px  2x px2 + 4p í 2px2 4p í px2 geeft f '(x) = = 2 = p x2 + 4 (x2 + 4)2 (x2 + 4)2 (x + 4)2

fp '(x) = 0 geeft 4p í px2 = 0 p(4 í x2) = 0 p = 0  x2 = 4 p = 0  x = 2  x = í2 p = 0 voldoet niet, want de grafiek van f0 heeft geen top. Dus de toppen van de grafieken liggen op de lijnen x = í2 en x = 2.

81

a fp(x) =

x+p (x2 + 4) Â 1 í (x + p) Â 2x x2 + 4 í 2x2 í 2px íx2 í 2px + 4 '(x) geeft f = = = p x2 + 4 (x2 + 4)2 (x2 + 4)2 (x2 + 4)2

í12 í 2p  1 + 4 =0 (12 + 4)2 í1 í 2p + 4 = 0 í2p = í3 p = 112 íx2 í 3x + 4 f112 '(x) = (x2 + 4)2

fp '(1) = 0 geeft

f112 '(x) = 0 geeft íx2 í 3x + 4 = 0 x2 + 3x í 4 = 0 (x í 1)(x + 4) = 0 x = 1  x = í4 í4 + 112 í212 f112 (í4) = = í 18 = (í4)2 + 4 20

6

y ƒ1 12 –4 O

1

x

Dus p = 112 en min. is f112 (í4) = í 18 . íx2 í 2px + 4 =0 (x2 + 4)2 íx2 í 2px + 4 = 0 í2px = x2 í 4 íx2 + 4 íx2 + 4 x+ voor x  0 geldt p = 2x 2x t y= 2 x+p x +4 y= 2 2x2 í x2 + 4 x +4 y= 2x(x2 + 4) x2 + 4 y= 2x(x2 + 4) 1 y= 2x 1 Dus alle toppen liggen op de kromme y = . 2x

b fp '(x) = 0 geeft

© Noordhoff Uitgevers bv

Differentiaalrekening

69

Diagnostische toets Bladzijde 90

1

a f (x) = (2x2 + 4) ( 12 x2 í 5) = x4 í 10x2 + 2x2 í 20 = x4 í 8x2 í 20 geeft f '(x) = 4x3 í 16x f'(x) = 0 geeft 4x3 í 16x = 0 4x(x2 í 4) = 0 x = 0  x2 = 4 x = 0  x = í2  x = 2 y

ƒ

–2

2

x

O –20 –36

min. is f (í2) = í36, max. is f (0) = í20 en min. is f (2) = í36. b B f = 3í36, m 9 6

2

f (x) =

(x2 + 1)  í1 í íx  2x íx2 í 1 + 2x2 x2 í 1 íx geeft f '(x) = = = 2 2 2 2 2 +1 (x + 1) (x + 1) (x + 1)2

x2

f '(x) = 0 geeft x2 í 1 = 0 x2 = 1 x = í1  x = 1 vold. vold. y

1 –1

x

O ƒ

max. is f (í1) = 12 en min. is f (1) = í 12 . Bf = 3 í 12 , 12 4 3

f (x) = 12 x4 í x3 í 12 x2 + 112 x geeft f'(x) = 2x3 í 3x2 í x + 112 f' ( 12 冑2 ) = 2 Â ( 12 冑2 )3 í 3 Â ( 12 冑2 )2 í 12 冑2 + 112 = 2 Â 18 Â 2冑2 í 3 Â 14 Â 2 í 12 冑2 + 112 = 12 冑2 í 112 í 12 冑2 + 112 = 0 y

O

ƒ

1 2

2

x

f'(12 冑2) = 0 en in de schets is te zien dat de grafiek een top heeft voor x = 12 冑2. Dus f heeft een extreme waarde voor x = 12 冑2.

70

Hoofdstuk 6

© Noordhoff Uitgevers bv

4

f (x) = x4 í x3 í 9x2 í 5x f'(x) = 4x3 í 3x2 í 18x í 5 f s(x) = 12x2 í 6x í 18 f s(x) = 0 geeft 12x2 í 6x í 18 = 0 x2 í 12 x í 112 = 0 ( x + 1) ( x í 112 ) = 0 x = í1  x = 112 Stel k: y = ax + b. a = f'(í1) = 4  (í1)3 í 3  (í1)2 í 18  í1 í 5 = 6 y = 6x + b r 6  í1 + b = í2 f (í1) = í2, dus buigpunt (í1, í2) í6 + b = í2 b=4 Dus k: y = 6x + 4. Stel l: y = ax + b. a = f ' (112 ) = 4  (112 )3 í 3  (112 )2 í 18  112 í 5 = í2514 y = í2514 x + b 1 1 ) f (112 ) = í2616 , dus buigpunt (112 , í2616

1 r í2514 Â 112 + b = í2616 1 í3778 + b = í2616

b = 1113 16

Dus l: y = í2514 x + 1113 16 . De buigraaklijnen zijn k: y = 6x + 4 en l: y = í2514 x + 1113 16 . 5

6

6

fp(x) = 12 x4 + x3 + px2 + 2x í 3 fp '(x) = 2x3 + 3x2 + 2px + 2 fp s(x) = 6x2 + 6x + 2p fp s(x) = 0 geeft 6x2 + 6x + 2p = 0 twee oplossingen als D > 0 r 36 í 48p > 0 D = 62 í 4 Â 6 Â 2p = 36 í 48p í48p > í36 p < 34 2 í10 = 2xí5 geeft f '(x) = í10xí6 = 6 x5 x 2x5 6 2x5 í 6 x5 + 2 x5 2 b f (x) = = 3 + 3 = x2 + 2xí3 geeft f'(x) = 2x í 6xí4 = 4 í 4 = 3 x x x x x x4 3 x í3 c f (x) = í = 3xí1 í 13 x geeft f'(x) = í3xí2 í 13 = 2 í 13 x 3 x 2 1 2 3 2 d f (x) = x3 + 冑 x = x3 + x3 geeft f'(x) = 3x2 + 23 xí3 = 3x2 + 3x 3 Â冑 a f (x) =

3 2 3 2 e f (x) = x3 Â 冑 x = x3 Â x3 = x33 geeft f'(x) = 323 x23 = 323 x2 Â 冑 x 2

2

2

x冑x x 12 geeft = 3 3 x +1 x +1 1 1 1 1 1 1 1 (x3 + 1) Â 112 x2 í x12 Â 3x2 112 x32 + 112 x2 í 3x32 í112 x32 + 112 x2 í3x3 Â 冑x + 3冑x f '(x) = = = = (x3 + 1)2 (x3 + 1)2 (x3 + 1)2 2(x3 + 1)2 1

f f (x) =

© Noordhoff Uitgevers bv

Differentiaalrekening

71

7

1 1 x2 í 3 x2 í 3 x2 3 = 21 = 21 í 21 = xí2 í 3xí22 geeft 2 2 2 2 冑 x  x x x x 15 15 15 15 í x2 1 íx2 í1 1 í112 1 í312 f '(x) = í 2 x + 72 x = í 11 + 31 = + 3 + 3 = 3 = 3 2 2 2x冑x 2x  冑x 2x  冑x 2x  冑x 2x  冑x 2x 2x Stel k: y = ax + b. 15 í 1 a = f '(1) = =7 2 k: y = 7x + b ¶ 7  1 + b = í2 1í3 f (1) = = í2 dus A(1, í2) b = í9 1 Dus k: y = 7x í 9. y = 0 geeft 7x í 9 = 0 7x = 9 x = 127 , dus B (127, 0) x = 0 geeft y = í9, dus C(0, í9).

f (x) =

y 1 27 B

O

x

9

6

C

11 O(+OBC) = 12 Â 97 Â 9 = 81 14 = 514

8

a f (x) = 3(x2 + 4x)4 geeft f '(x) = 4 Â 3(x2 + 4x)3 Â (2x + 4) = 12(2x + 4)(x2 + 4x)3 b g(x) = (x2 + 2)冑x2 + 2 = (x2 + 2)12 geeft g'(x) = 112 (x2 + 2)2 Â 2x = 3x冑x2 + 2 3 í90x2 c h(x) = = 3(2x3 + 2)í5 geeft h'(x) = í5 Â 3(2x3 + 2)í6 Â 6x2 = í90x2(2x3 + 2)í6 = 3 5 (2x + 2) (2x3 + 2)6 1

1

Bladzijde 91 9

a f (x) = 2x2(x2 í 4x)5 geeft f '(x) = 4x  (x2 í 4x)5 + 2x2  5  (x2 í 4x)4  (2x í 4) = 4x(x2 í 4x)5 + 10x2(2x í 4)(x2 í 4x)4 b g(x) = (x3 + x)  冑x3 + 2 geeft g'(x) = (3x2 + 1)  冑x3 + 2 + (x3 + x)  =

3x2(x3 + x) 1 2 2 + 1)冑x3 + 2 + (3x 3x = Â 2冑x3 + 2 2冑x3 + 2

2(3x2 + 1)(x3 + 2) 3x2(x3 + x) 2(3x5 + 6x2 + x3 + 2) + 3x5 + 3x3 + = 2冑x3 + 2 2冑x3 + 2 2冑x3 + 2

6x5 + 12x2 + 2x3 + 4 + 3x5 + 3x3 9x5 + 5x3 + 12x2 + 4 = 2冑x3 + 2 2冑x3 + 2 6x c h(x) = geeft (2x3 + 2)5 (2x3 + 2)5  6 í 6x  5(2x3 + 2)4  6x2 (2x3 + 2)5  6 í 180x3(2x3 + 2)4 h'(x) = = (2x3 + 2)10 (2x3 + 2)10 3 3 3 (2x + 2)  6 í 180x 12x + 12 í 180x3 í168x3 + 12 = = = (2x3 + 2)6 (2x3 + 2)6 (2x3 + 2)6 =

72

Hoofdstuk 6

© Noordhoff Uitgevers bv

10

a f (x) = x冑50 í x2 geeft f'(x) = 1 Â 冑50 í x2 + x Â

50 í x2 50 í 2x2 1 íx2 + = Â í2x = 2 2 2 冑50 í x 冑50 í x 冑50 í x2 2冑50 í x

f '(x) = 0 geeft 50 í 2x2 = 0 í2x2 = í50 2x2 = 50 x2 = 25 x = 5  x = í5 vold. vold. f (5) = 25 en f (í5) = í25 De punten met horizontale raaklijn zijn (5, 25) en (í5, í25). b Stel k: y = ax + b. a = f '(1) = 6 67 y = 667 x + b 6 f 67 + b = 7 f (1) = 冑49 = 7 dus A(1, 7) b = 17 6 1 Dus k: y = 67 x + 7 . 11

a f (x) = x3 í 4x2 + 4x + 3 geeft f '(x) = 3x2 í 8x + 4 f '(x) = 0 geeft 3x2 í 8x + 4 = 0 D = (í8)2 í 4  3  4 = 16 8í4 2 8+4 x= =3 x= =2 6 6 y

6

ƒ

O

2 3

x

2

5 max. is f ( 23 ) = 427 en min. is f (2) = 3. 5 b De vergelijking f (x) = p heeft precies één oplossing voor p < 3  p > 427 . 5 c De vergelijking f (x) = p heeft precies twee oplossingen voor p = 3  p = 427 . 5 d De vergelijking f (x) = p heeft precies drie oplossingen voor 3 < p < 427 .

12

(x2 + 1)  í4 í í4x  2x í4x2 í 4 + 8x2 4x2 í 4 í4x geeft f'(x) = = = 2 x2 + 1 (x2 + 1)2 (x2 + 1)2 (x + 1)2 f '(0) = í4 dus k: y = í4x is de raaklijn in (0, 0). f (x) =

y

x

O

ƒ

k

f(x) = 0 geeft í4x = 0, dus x = 0. Dus de gra¿ek snijdt de x-as alleen in (0, 0). De vergelijking f (x) = ax heeft drie oplossingen voor í4 < a < 0.

© Noordhoff Uitgevers bv

Differentiaalrekening

73

13

a fp(x) = í 13 x3 + 2x2 + px + 5 geeft fp '(x) = íx2 + 4x + p fp '(1) = 0 geeft í1 + 4 + p = 0 p = í3 2 f í3 '(x) = íx + 4x í 3 f í3 '(x) = 0 geeft íx2 + 4x í 3 = 0 x2 í 4x + 3 = 0 (x í 1)(x í 3) = 0 x=1x=3 y

ƒ–3

O

1

3

x

6

max is fí3(3) = 5. b fp heeft twee extremen dus fp '(x) = 0 heeft twee oplossingen. D>0 r 16 + 4p > 0 D = 42 í 4 Â í1 Â p = 16 + 4p 4p > í16 p > í4 Dus twee extreme waarden voor p > í4.

14

1 (x + 1)  2  í (2冑x + p)  1 2冑x x + 1 í 2x í p冑x íx í p冑x + 1 2冑x + p fp(x) = geeft fp '(x) = = = 2 x+1 (x + 1) (x + 1)2  冑x (x + 1)2  冑x í4 í p  冑4 + 1 fp '(4) = rck geeft = í0,1 (4 + 1)2  冑4 í3 í 2p = í0,1 50 í3 í 2p = í5 í2p = í2 p=1 2冑x + 1 x+1 k: y = í0,1x + q f1(x) =

¶ í0,1 Â 4 + q = 1 2冑4 + 1 = 1 dus A(4, 1) q = 1,4 4+1 Dus p = 1 en q = 1,4.

f1(4) =

74

Hoofdstuk 6

© Noordhoff Uitgevers bv

15

fp(x) = í 13 x3 + px2 + 3x í 4 geeft fp '(x) = íx2 + 2px + 3 fp '(x) = 0 geeft íx2 + 2px + 3 = 0 2px = x2 í 3

x2 í 3 x2 í 3 2 1 Â x + 3x í 4 2x ¶ y = í 3 x3 + 2x y = í 13 x3 + px2 + 3x í 4 1 3 1 3 y = í 3 x + 2 x í 112 x + 3x í 4

voor x  0 geldt p =

y = 16 x3 + 112 x í 4 De formule van de kromme waarop alle toppen liggen is y = 16 x3 + 112 x í 4.

6

© Noordhoff Uitgevers bv

Differentiaalrekening

75

7 Goniometrische functies Voorkennis Exacte waarden van goniometrische verhoudingen Bladzijde 95

a1 a 4cos(30°) + 9tan(30°) = 4 Â 12 冑3 + 9 Â 13 冑3 = 2冑3 + 3冑3 = 5冑3 b 3sin(30°) í 冑2 Â sin(45°) = 3 Â 12 í 冑2 Â 12 冑2 = 112 í 1 = 12 c 6tan(30°) í 3tan(60°) = 6 Â 13 冑3 í 3 Â 冑3 = 2冑3 í 3冑3 = í冑3 d

冑2 Â sin(60°) + 3冑3 Â sin(45°) = 冑2 Â 12 冑3 + 3冑3 Â 12 冑2 = 12 冑6 + 112 冑6 = 2冑6

a2 a 2sin(45°) cos(45°) = 2 Â 12 冑2 Â 12 冑2 = 1 b 2冑3 Â sin(60°) cos(30°) = 2冑3 Â 12 冑3 Â 12 冑3 = 112 冑3

冑2 Â sin(45°) sin(60°) í 2tan(60°) = 冑2 Â 12 冑2 Â 12 冑3 í 2 Â 冑3 = 12 冑3 í 2冑3 = í112 冑3 d 4sin(30°) tan(30°) + 2cos(30°) cos(60°) = 4 Â 12 Â 13 冑3 + 2 Â 12 冑3 Â 12 = 23 冑3 + 12 冑3 = 116 冑3 c

a3 a

1 冑3 cos(30°) 2 冑3 = = 1 冑 1 + sin(60°) 1 + 2 3 2 + 冑3

sin(30°) + sin(60°) b = sin(30°) í sin(60°)

1 2 1 2

+ 12 冑3 1 + 冑3 = í 12 冑3 1 í 冑3

7

a4 a sin(15°) = sin(60° í 45°) = sin(60°) cos(45°) í cos(60°) sin(45°) = 12 冑3 Â 12 冑2 í 12 Â 12 冑2 = 14 冑6 í 14 冑2 b sin(75°) = sin(45° + 30°) = sin(45°) cos(30°) + cos(45°) sin(30°) = 12 冑2 Â 12 冑3 + 12 冑2 Â 12 = 14 冑6 + 14 冑2

7.1 Eenheidscirkel en radiaal Bladzijde 96

PQ PQ = = PQ, dus PQ = sin(65°) § 0,91. OP 1 OQ OQ cos(Į) = = = OQ, dus OQ = cos(65°) § 0,42. OP 1 b P(0,42; 0,91) c “POQ = 180° í 115° = 65° PQ § 0,91, OQ § 0,42 en P(í0,42; 0,91) d cos(115°) § í0,42 en sin(115°) § 0,91 Dus xP = cos(115°) en yP = sin(115°).

a1 a sin(Į) =

Bladzijde 97

a2 a b c d

sin(0°) = 0 cos(0°) = 1 sin(90°) = 1 cos(90°) = 0

e sin(270°) = í1 f cos(270°) = 0 g sin(360°) = 0 0 h tan(360°) = = 0 1

i sin(450°) = 1 j cos(í90°) = 0 0 =0 í1 l cos(í180°) = í1

k tan(í540°) =

a3 a * b P(cos(110°), sin(110°)) § P(í0,34; 0,94) Q(cos(200°), sin(200°)) § Q(í0,94; í0,34) R(cos(í102°), sin(í102°)) § R(í0,21; í0,98) S(cos(í50°), sin(í50°)) § S(0,64; í0,77) 76

Hoofdstuk 7

© Noordhoff Uitgevers bv

Bladzijde 98 4

a

5

a

360° = 72°, dus B(2cos(72°), 2sin(72°)) § B(0,62; 1,90) 5 2 Â 72° = 144°, C(2cos(144°), 2sin(144°)) § C(í1,62; 1,18) 3 Â 72° = 216°, dus D(2cos(216°), 2sin(216°)) § D(í1,62; í1,18) 4 Â 72° = 288°, dus E(2cos(288°), 2sin(288°)) § E(0,62; í1,90) y 1 Q

0,5

O

P

1

x

b ȕ = 180° í 30° = 150° Bladzijde 99

a xP = 0,81, dus cos(Į) = 0,81. De GR geeft cosí1(0,81) § 35,9°. Dus Į § 35,9°. b yP = 0,94, dus sin(Į) = 0,94. De GR geeft siní1(0,94) § 70,1°. Dus Į § 180° í 70,1° = 109,9°. c xP = 0,26, dus cos(Į) = 0,26. De GR geeft cosí1(0,26) § 74,9°. Dus Į § í74,9°. d yP = í0,22, dus sin(Į) = í0,22. De GR geeft siní1(í0,22) § í12,7°. Dus Į § 180° + 12,7° = 192,7°.

6

7

Bladzijde 100 7

yP = 0,92, dus sin(ĮP) = 0,92. De GR geeft siní1(0,92) = 66,926...°, dus ĮP = 66,926...°. xQ = í0,87, dus cos(ĮQ) = í0,87. De GR geeft cosí1(í0,87) = 150,458...°, dus ĮQ = 360° í 150,458...° = 209,541...°. “POQ = ĮQ í ĮP = 209,541...° í 66,926...° § 142,6°

8

a omtrek cirkel = 2ʌr In de eenheidscirkel is r = 1, dus omtrek = 2ʌ Â 1 = 2ʌ. b Bij Į = 90° hoort een kwart cirkelboog, dus lengte cirkelboog = 14 Â 2ʌ = 12 ʌ. c Bij Į = 180° is de halve eenheidscirkel doorlopen, dus lengte boog = 12 Â 2ʌ = ʌ. d 112 ʌ is driekwart van 2ʌ, dus Į = 34 Â 360° = 270°. Bladzijde 102

c 2ʌ rad = 2 Â 180° = 360° 180° d 2 rad = 2 Â ʌ § 114,6°

e 114 ʌ rad = 114 Â 180° = 225° 180° f 114 rad = 114 Â ʌ § 71,6° g í213 ʌ rad = í213 Â 180° = í420° 180° h í213 rad = í213 Â ʌ § í133,7°

360 ʌ rad = 2ʌ rad 180 30 ʌ rad = 16 ʌ rad b 30° = 180 45 c 45° = ʌ rad = 14 ʌ rad 180 60 d 60° = ʌ rad = 13 ʌ rad 180

90 ʌ rad = 12 ʌ rad 180 135 ʌ rad = 34 ʌ rad f 135° = 180 300 g 300° = ʌ rad = 123 ʌ rad 180 210 h 210° = ʌ rad = 116 ʌ rad 180

a9 a

1 6ʌ

rad =16 Â 180° = 30°

b 14 ʌ rad = 14 Â 180° = 45°

10 a

a 360° =

© Noordhoff Uitgevers bv

e 90° =

Goniometrische functies

77

11 a

12 a

10 ʌ rad § 0,17 rad 180 57,3 b 57,3° = ʌ rad § 1,00 rad 180

1030 ʌ rad § 17,98 rad 180 90 d 90° = ʌ rad § 1,57 rad 180

a cos (58 ʌ) § í0,38

d sin ( 45) § 0,72 e cos(7,6ʌ) § 0,31 f cos(7,6) § 0,25

a 10° =

b cos ( 58 ) § 0,81 c sin ( 45 ʌ) § 0,59 13

14 a

a Į = sin í1(0,92) § 1,17 b Į = cos í1(0,85) § 0,55 5 ) § 0,43 c Į = sin í1 (12 a yP = 0,35 geeft sin(Į) = 0,35 siní1(0,35) = 0,357... Dus Į = ʌ í 0,357... § 2,78.

c 1030° =

3 ) § 1,39 d Į = cos í1 (17

e Į = sin í1 ( 13 冑5 ) § 0,84 f Į = cos í1 ( 14 冑2 ) § 1,21 b xP = í0,35 geeft cos(Į) = í0,35 cosí 1(í0,35) = 1,928... Dus Į = 2ʌ í 1,928... § 4,35.

Bladzijde 103 15 a

xP = í0,32 geeft cos(ĮP) = í0,32 cosí1(í0,32) = 1,896... Dus ĮP = 1,896... yQ = í0,88 geeft sin(ĮQ) = í0,88 siní1(í0,88) = í1,075... Dus ĮQ = ʌ + 1,075... = 4,217... “POQ = ĮQ í ĮP = 4,217... í 1,896... § 2,32

16 a

a cos (16 ʌ) = cos(30°) = 12 冑3

7

b sin ( 14 ʌ) = sin(45°) = 12 冑2

Bladzijde 104 17 a

a sin ( 34 ʌ) = 12 冑2 b cos (116 ʌ) = í 12 冑3 c tan ( 23 ʌ) =

18 a

19 a

sin (23 ʌ) 12 冑3 = 1 = í冑3 cos (23 ʌ) í2

e cos (123 ʌ) = 12 f tan (156 ʌ) =

sin (156 ʌ) í 12 1 冑3 = =í = í 1 冑3 Â 5 1 冑3 冑3 3 cos (16 ʌ) 2 冑3

g cos (113 ʌ) = í 12

d sin (113 ʌ) = í 12 冑3

h sin (í 14 ʌ) = í 12 冑2

a sin(Į) = 12 冑3 geeft Į = 13 ʌ  Į = 23 ʌ

d cos(Į) = 0 geeft Į = 12 ʌ  Į = 112 ʌ

b cos(Į) = í 12 geeft Į = 23 ʌ  Į = 113 ʌ

e cos(Į) = 12 冑3 geeft Į = 16 ʌ  Į = 156 ʌ

c sin(Į) = í 12 冑2 geeft Į = 114 ʌ  Į = 134 ʌ

f cos(Į) = 12 冑2 geeft Į = 14 ʌ  Į = 134 ʌ

a x = sin ( 56 ʌ) = 12 b sin(x) = í 12 冑3 met 0 ” x ” 112 ʌ geeft x = 113 ʌ c x = cos (134 ʌ) = 12 冑2 d cos(x) = 12 met 112 ʌ ” x ” 2ʌ geeft x = 123 ʌ

78

Hoofdstuk 7

© Noordhoff Uitgevers bv

7.2 Goniometrische vergelijkingen Bladzijde 106 20 a

..., í312 ʌ, í212 ʌ, í112 ʌ, í 12 ʌ, 12 ʌ, 112 ʌ, 212 ʌ, 312 ʌ, ... Bladzijde 107

21 a

a sin (3x í 12 ʌ) = 0 3x í 12 ʌ = k  ʌ 3x = 12 ʌ + k  ʌ x = 16 ʌ + k  13 ʌ b cos ( 12 x í 16 ʌ ) = 0 1 1 1 2x í 6ʌ = 2ʌ + kÂʌ 1 2 2x = 3ʌ + kÂʌ x = 113 ʌ + k  2ʌ

22 a

c sin 2(x) í sin(x) = 0 sin(x)  (sin(x) í 1) = 0 sin(x) = 0  sin(x) = 1 x = k  ʌ  x = 12 ʌ + k  2ʌ d cos 2(2x) + cos(2x) = 0 cos(2x)  (cos(2x) + 1) = 0 cos(2x) = 0  cos(2x) = í1 2x = 12 ʌ + k  ʌ  2x = ʌ + k  2ʌ x = 14 ʌ + k  12 ʌ  x = 12 ʌ + k  ʌ

a cos 2 (x í 15 ʌ) = 1 cos (x í 15 ʌ) = 1  cos ( x í 15 ʌ ) = í1 x í 15 ʌ = k  2ʌ  x í 15 ʌ = ʌ + k  2ʌ x = 15 ʌ + k  2ʌ  x = 115 ʌ + k  2ʌ Deze antwoorden kunnen (dit is niet verplicht) nog samengenomen worden tot x = 15 ʌ + k  ʌ. b sin 2 (2x í 14 ʌ ) = 1 sin ( 2x í 14 ʌ ) = 1  sin (2x í 14 ʌ ) = í1 2x í 14 ʌ = 12 ʌ + k  2ʌ  2x í 14 ʌ = 112 ʌ + k  2ʌ 2x = 34 ʌ + k  2ʌ  2x = 134 ʌ + k  2ʌ x = 38 ʌ + k  ʌ  x = 78 ʌ + k  ʌ Deze antwoorden kunnen (dit is niet verplicht) nog samengenomen worden tot x = 38 ʌ + k  12 ʌ. c sin3(x) í sin(x) = 0 sin(x)  (sin2(x) í 1) = 0 sin(x) = 0  sin2(x) = 1 sin(x) = 0  sin(x) = 1  sin(x) = í1 x = k  ʌ  x = 12 ʌ + k  2ʌ  x = 112 ʌ + k  2ʌ Deze antwoorden kunnen (dit is niet verplicht) nog samengenomen worden tot x = k  12 ʌ. d cos3(2x) í cos(2x) = 0 cos(2x)  (cos2(2x) í 1) = 0 cos(2x) = 0  cos2(2x) = 1 cos(2x) = 0  cos(2x) = 1  cos(2x) = í1 2x = 12 ʌ + k  ʌ  2x = k  2ʌ  2x = ʌ + k  2ʌ x = 14 ʌ + k  12 ʌ  x = k  ʌ  x = 12 ʌ + k  ʌ Deze antwoorden kunnen (dit is niet verplicht) nog samengenomen worden tot x = k  14 ʌ.

7

Bladzijde 108 23 a

sin(A) sin(A) , dus tan(A) = 0 geeft =0 cos(A) cos(A) sin(A) = 0 A = kÂʌ voldoet Dus tan(A) = 0 geeft A = k  ʌ.

a tan(A) =

b tan (2x í 16 ʌ ) = 0 2x í 16 ʌ = k  ʌ 2x = 16 ʌ + k  ʌ 1 x = 12 ʌ + k  12 ʌ

© Noordhoff Uitgevers bv

Goniometrische functies

79

24 a

a sin(4x í 13 ʌ) = 1 4x í 13 ʌ = 12 ʌ + k  2ʌ 4x = 56 ʌ + k  2ʌ 5 x = 24 ʌ + k  12 ʌ b cos(4ʌx) = í1 4ʌx = ʌ + k  2ʌ x = 14 + k  12 c sin 2 ( 14 ʌx) = 1 sin ( 14 ʌx) = 1  sin ( 14 ʌx) = í1 1 1 1 1 4 ʌx = 2 ʌ + k  2ʌ  4 ʌx = 12 ʌ + k  2ʌ x = 2 + kÂ8  x = 6 + kÂ8 Deze antwoorden kunnen (dit is niet verplicht) nog samengenomen worden tot x = 2 + k  4. d sin(2x) cos(2x) + sin(2x) = 0 sin(2x)  (cos(2x) + 1) = 0 sin(2x) = 0  cos(2x) = í1 2x = k  ʌ  2x = ʌ + k  2ʌ x = k  12 ʌ  x = 12 ʌ + k  ʌ Deze antwoorden kunnen (dit is niet verplicht) nog samengenomen worden tot x = k  12 ʌ.

25 a

a x = 16 ʌ geeft sin ( 16 ʌ) = 12 , dus x = 16 ʌ is een oplossing van sin(x) = 12 . b x = 216 ʌ geeft sin (216 ʌ) = sin ( 16 ʌ) = 12 , dus x = 216 ʌ is een oplossing van sin(x) = 12 . x = 416 ʌ geeft sin (416 ʌ ) = sin ( 16 ʌ) = 12 , dus x = 416 ʌ is een oplossing van sin(x) = 12 . c x = 56 ʌ geeft sin ( 56 ʌ) = 12 , dus x = 56 ʌ is een oplossing van sin(x) = 12 . d x = 256 ʌ geeft sin (256 ʌ) = sin ( 56 ʌ) = 12 , dus x = 256 ʌ is een oplossing van sin(x) = 12 . x = í116 ʌ geeft sin (í116 ʌ) = sin ( 56 ʌ) = 12 , dus x = í116 ʌ is een oplossing van sin(x) = 12 .

7

Bladzijde 110 26 a

a 2sin ( 12 x) = 1 sin ( 1 2x

1 2x

)=

y 1

1 2

= 16 ʌ + k  2ʌ  12 x = 56 ʌ + k  2ʌ

x = 13 ʌ + k  4ʌ  x = 123 ʌ + k  4ʌ

1 2

5 6π

–1

1 6

π

1

O

x

–1

b 2cos (x í 13 ʌ) = 1

y

cos (x í 13 ʌ ) = 12

1

1 3π

O

1 2

–1

– 31 π

x í 13 ʌ = 13 ʌ + k  2ʌ  x í 13 ʌ = í 13 ʌ + k  2ʌ x = 23 ʌ + k  2ʌ  x = k  2ʌ

–1

c 2sin (2x í 14 ʌ ) = í冑3

1

x

y 1

sin (2x í 14 ʌ ) = í 12 冑3 2x í 14 ʌ = 113 ʌ + k  2ʌ  2x í 14 ʌ = í 13 ʌ + k  2ʌ 7 1 2x = 112 ʌ + k  2ʌ  2x = í 12 ʌ + k  2ʌ

x=

19 24 ʌ

+ kÂʌ  x =

1 ʌ í 24

+ kÂʌ

O

–1

1

x

– 21 3 1 13 π

80

Hoofdstuk 7

–1

– 31 π

© Noordhoff Uitgevers bv

d 2cos(3x í ʌ) = í1 cos(3x í ʌ) = í 12 3x í ʌ = 23 ʌ + k  2ʌ  3x í ʌ = í 23 ʌ + k  2ʌ 3x = 123 ʌ + k  2ʌ  3x = 13 ʌ + k  2ʌ x = 59 ʌ + k  23 ʌ  x = 19 ʌ + k  23 ʌ

y 2 3π

–1

28 a

O

– 21

– 32 π

27 a

1

1

x

–1

a 2sin (2x í 16 ʌ) = 冑2 sin (2x í 16 ʌ) = 12 冑2 2x í 16 ʌ = 14 ʌ + k  2ʌ  2x í 16 ʌ = 34 ʌ + k  2ʌ 5 2x = 12 ʌ + k  2ʌ  2x = 11 12 ʌ + k  2ʌ 5 x = 24 ʌ + k  ʌ  x = 11 ʌ 24 + k  ʌ 5 5 11 3 4 x op 0, 2ʌ geeft x = 24 ʌ  x = 124 ʌ  x = 11 24 ʌ  x = 124 ʌ 1 b 2cos (3x í 2 ʌ ) = 冑3 cos (3x í 12 ʌ ) = 12 冑3 3x í 12 ʌ = 16 ʌ + k  2ʌ  3x í 12 ʌ = í 16 ʌ + k  2ʌ 3x = 23 ʌ + k  2ʌ  3x = 13 ʌ + k  2ʌ x = 29 ʌ + k  23 ʌ  x = 19 ʌ + k  23 ʌ x op 3 0, 2ʌ 4 geeft x = 29 ʌ  x = 89 ʌ  x = 159 ʌ  x = 19 ʌ  x = 79 ʌ  x = 149 ʌ c sin ( 23 x ) = í 12 冑2 2 1 2 1 3 x = 14 ʌ + k  2ʌ  3 x = í 4 ʌ + k  2ʌ x = 178 ʌ + k  3ʌ  x = í 38 ʌ + k  3ʌ x op 3 0, 2ʌ 4 geeft x = 178 ʌ d cos ( 12 x ) = í 12 冑3 1 5 1 5 2 x = 6 ʌ + k  2ʌ  2 x = í 6 ʌ + k  2ʌ 2 x = 13 ʌ + k  4ʌ  x = í123 ʌ + k  4ʌ x op 3 0, 2ʌ 4 geeft x = 123 ʌ a 2sin2(x) = 1 sin2(x) = 12 sin(x) =

冑

1 2

 sin(x) = í

7

冑

1 2

sin(x) = 12 冑2  sin(x) = í 12 冑2 b sin(x) = 12 冑2 geeft x = 14 ʌ + k  2ʌ  x = 34 ʌ + k  2ʌ sin(x) = í 12 冑2 geeft x = 114 ʌ + k  2ʌ  x = í 14 ʌ + k  2ʌ y

y

1 3 4π

1 2

–1

2

O

1 1 4π

1

x

–1

1

O

x

– 21 2 1

– 41 π

14 π

–1

–1

c x = 14 ʌ + k  2ʌ : ...,í134 ʌ, x = 34 ʌ + k  2ʌ : x = 114 ʌ + k  2ʌ : x = í 14 ʌ + k  2ʌ :

1 4 ʌ,

..., í114 ʌ,

214 ʌ, ... 3 4 ʌ,

...,í 34 ʌ, ..., í 14 ʌ,

234 ʌ, ... 114 ʌ, 134 ʌ,

314 ʌ, ... 334 ʌ, ...

Dus x = 14 ʌ + k  12 ʌ.

© Noordhoff Uitgevers bv

Goniometrische functies

81

d

y 1 3 4π

1 2

1 4π

2

1

O

–1

– 21 2

1

1 4π

x

1 43 π

–1

Uit de cirkel is af te lezen dat sin(x) = 12 冑2  sin(x) = í 12 冑2 geeft x = 14 ʌ + k  12 ʌ. 29 a

a 2cos 2 ( 12 x) = 1 cos 2 ( 12 x) = 12 cos ( 12 x) =

冑

1 2

y 1

 cos (12 x) = í

冑

3 4π

1 2

1 4π

cos ( 12 x) = 12 冑2  cos ( 12 x ) = í 12 冑2 –1 – 21 2

1 2x

= 14 ʌ + k  12 ʌ x = 12 ʌ + k  ʌ

O

1 2

2

1

x

3

1 41 π

1 4π

–1

b 4sin 2 (x í 16 ʌ) = 1 sin 2 (x í 16 ʌ ) = 14 sin(x í 16 ʌ) = 12  sin(x í 16 ʌ) = í 12 x í 16 ʌ = 16 ʌ + k  2ʌ  x í 16 ʌ = 56 ʌ + k  2ʌ  x í 16 ʌ = í 16 ʌ + k  2ʌ  x í 16 ʌ = 116 ʌ + k  2ʌ x = 13 ʌ + k  2ʌ  x = ʌ + k  2ʌ  x = k  2ʌ  x = 113 ʌ + k  2ʌ Deze antwoorden kunnen (dit is niet verplicht) nog samengenomen worden tot x = 13 ʌ + k  ʌ  x = k  ʌ. c 4cos 2 (x + 14 ʌ) = 3 cos 2 ( x + 14 ʌ ) = 34

7

cos(x + 14 ʌ) =

冑

3 4

 cos(x + 14 ʌ) = í

冑

3 4

cos(x + 14 ʌ) = 12 冑3  cos(x + 14 ʌ) = í 12 冑3 x + 14 ʌ = 16 ʌ + k  2ʌ  x + 14 ʌ = í 16 ʌ + k  2ʌ  x + 14 ʌ = 56 ʌ + k  2ʌ  x + 14 ʌ = í 56 ʌ + k  2ʌ 1 5 7 1 x = í 12 ʌ + k  2ʌ  x = í 12 ʌ + k  2ʌ  x = 12 ʌ + k  2ʌ  x = í112 ʌ + k  2ʌ Deze antwoorden kunnen (dit is niet verplicht) nog samengenomen worden tot 1 5 x = í 12 ʌ + k  ʌ  x = í 12 ʌ + k  ʌ. 3 d 4sin (x) í sin(x) = 0 sin(x)  (4sin 2(x) í 1) = 0 sin(x) = 0  4sin 2(x) = 1 sin(x) = 0  sin 2(x) = 14 sin(x) = 0  sin(x) = 12  sin(x) = í 12 x = k  ʌ  x = 16 ʌ + k  2ʌ  x = 56 ʌ + k  2ʌ  x = í 16 ʌ + k  2ʌ  x = 116 ʌ + k  2ʌ Deze antwoorden kunnen (dit is niet verplicht) nog samengenomen worden tot x = k  ʌ  x = 16 ʌ + k  ʌ  x = 56 ʌ + k  ʌ. e 2cos 2(x) = cos(x) + 1 2cos 2(x) í cos(x) í 1 = 0 cos 2(x) í 12 cos(x) í 12 = 0 (cos(x) í 1)  ( cos(x) + 12 ) = 0 cos(x) = 1  cos(x) = í 12 x = k  2ʌ  x = 23 ʌ + k  2ʌ  x = í 23 ʌ + k  2ʌ Deze antwoorden kunnen (dit is niet verplicht) nog samengenomen worden tot x = k  23 ʌ. f cos 2(x) í cos(x) + 14 = 0 (cos(x) í 12 )2 = 0 cos(x) = 12 x = 13 ʌ + k  2ʌ  x = í 13 ʌ + k  2ʌ

82

Hoofdstuk 7

© Noordhoff Uitgevers bv

30 a

a sin ( 12 ʌx) = 12 冑3 1 1 1 2 2 ʌx = 3 ʌ + k  2ʌ  2 ʌx = 3 ʌ + k  2ʌ 2 1 x = 3 + k  4  x = 13 + k  4 x op 3 0, 10 4 geeft x = 23  x = 423  x = 823  x = 113  x = 513  x = 913 b cos ( 13 ʌx ) = í 12 冑3 1 5 1 5 3 ʌx = 6 ʌ + k  2ʌ  3 ʌx = í 6 ʌ + k  2ʌ 1 1 x = 22 + k  6  x = í22 + k  6 x op 3 0, 10 4 geeft x = 212  x = 812  x = 312  x = 912 c 4sin2 (15 ʌx) = 1 sin2 ( 15 ʌx) = 14 sin (15 ʌx) = 12  sin ( 15 ʌx) = í 12 1 1 1 5 1 1 1 1 5 ʌx = 6 ʌ + k  2ʌ  5 ʌx = 6 ʌ + k  2ʌ  5 ʌx = í 6 ʌ + k  2ʌ  5 ʌx = 16 ʌ + k  2ʌ 5 1 5 5 x = 6 + k  10  x = 46 + k  10  x = í 6 + k  10  x = 56 + k  10 x op 3 0, 10 4 geeft x = 56  x = 416  x = 916  x = 556 d 2cos 2(0,1ʌx) + cos(0,1ʌx) = 1 2cos 2(0,1ʌx) + cos(0,1ʌx) í 1 = 0 cos 2(0,1ʌx) + 12 cos(0,1ʌx) í 12 = 0 ( cos ( 0,1ʌx ) + 1 ) (cos ( 0,1ʌx ) í 12 ) = 0 cos(0,1ʌx) = í1  cos(0,1ʌx) = 12 0,1ʌx = ʌ + k  2ʌ  0,1ʌx = 13 ʌ + k  2ʌ  0,1ʌx = í 13 ʌ + k  2ʌ x = 10 + k  20  x = 313 + k  20  x = í313 + k  20 x op 3 0, 10 4 geeft x = 10  x = 313

31 a

a Uit de figuur hiernaast volgt dat sin(x) = 0,7 geeft x § 0,775 + k  2ʌ  x § 2,366 + k  2ʌ b cos(x) = 0,8 x § 0,644 + k  2ʌ  x § í0,644 + k  2ʌ

y 1 π – 0,775 ≈ 2,366

–1

0,7 0,775

0,775 O

0,775

1

7 x

–1

32 a

a sin(x) = í0,85 x § í1,016 + k  2ʌ  x § 4,158 + k  2ʌ b cos ( 12 x) = 0,25 1 1 2 x § 1,318 + k  2ʌ  2 x § í1,318 + k  2ʌ x § 2,636 + k  4ʌ  x § í2,636 + k  4ʌ c sin(x + 2) = 0,9 x + 2 § 1,120 + k  2ʌ  x + 2 § 2,022 + k  2ʌ x § í0,880 + k  2ʌ  x § 0,022 + k  2ʌ d cos(2x + 1) = í0,4 2x + 1 § 1,982 + k  2ʌ  2x + 1 § í1,982 + k  2ʌ 2x § 0,982 + k  2ʌ  2x § í2,982 + k  2ʌ x § 0,491 + k  ʌ  x § í1,491 + k  ʌ

33 a

a 2sin(1,75x) = 1,4 sin(1,75x) = 0,7 1,75x § 0,775 + k  2ʌ  1,75x § 2,366 + k  2ʌ x § 0,443 + k  117 ʌ  x § 1,352 + k  117 ʌ x op 3 0, 2ʌ 4 geeft x § 0,443  x § 4,033  x § 1,352  x § 4,943 b cos 2(0,95x) = 0,86 cos(0,95x) = 冑0,86  cos(0,95x) = í冑0,86 0,95x § 0,383 + k  2ʌ  0,95x § í0,383 + k  2ʌ  0,95x § 2,758 + k  2ʌ  0,95x § í2,758 + k  2ʌ 2 2 2 2 x § 0,404 + k  219 ʌ  x § í0,404 + k  219 ʌ  x § 2,903 + k  219 ʌ  x = í2,903 + k  219 ʌ x op 3 0, 2ʌ 4 geeft x § 0,404  x § 6,210 x § 2,903 x § 3,711

© Noordhoff Uitgevers bv

Goniometrische functies

83

34 a

a sin(3x) = sin ( 16 ʌ) sin(3x) = 12 3x = 16 ʌ + k  2ʌ  3x = 56 ʌ + k  2ʌ 1 5 x = 18 ʌ + k  23 ʌ  x = 18 ʌ + k  23 ʌ 1 b cos(3x) = cos ( 6 ʌ) cos(3x) = 12 冑3 3x = 16 ʌ + k  2ʌ  3x = í 16 ʌ + k  2ʌ 1 1 x = 18 ʌ + k  23 ʌ  x = í 18 ʌ + k  23 ʌ Bladzijde 111

35 a

a sin(x + 1) = sin(2x + 3) x + 1 = 2x + 3 + k  2ʌ  x + 1 = ʌ í (2x + 3) + k  2ʌ íx = 2 + k  2ʌ  x + 1 = ʌ í 2x í 3 + k  2ʌ x = í2 + k  2ʌ  3x = í4 + ʌ + k  2ʌ x = í2 + k  2ʌ  x = í113 + 13 ʌ + k  23 ʌ b cos(2x í 1) = cos(x + 1) 2x í 1 = x + 1 + k  2ʌ  2x í 1 = í(x + 1) + k  2ʌ x = 2 + k  2ʌ  2x í 1 = íx í 1 + k  2ʌ x = 2 + k  2ʌ  3x = k  2ʌ x = 2 + k  2ʌ  x = k  23 ʌ c sin (2x í 12 ʌ) = sin (x + 13 ʌ) 2x í 12 ʌ = x + 13 ʌ + k  2ʌ  2x í 12 ʌ = ʌ í (x + 13 ʌ) + k  2ʌ x = 56 ʌ + k  2ʌ  2x í 12 ʌ = ʌ í x í 13 ʌ + k  2ʌ x = 56 ʌ + k  2ʌ  3x = 116 ʌ + k  2ʌ 7 x = 56 ʌ + k  2ʌ  x = 18 ʌ + k  23 ʌ 1 d cos (x í 3 ʌ) = cos(2x) x í 13 ʌ = 2x + k  2ʌ  x í 13 ʌ = í2x + k  2ʌ íx = 13 ʌ + k  2ʌ  3x = 13 ʌ + k  2ʌ x = í 13 ʌ + k  2ʌ  x = 19 ʌ + k  23 ʌ e sin(2ʌx) = sin(ʌ(x í 1)) sin(2ʌx) = sin(ʌx í ʌ) 2ʌx = ʌx í ʌ + k  2ʌ  2ʌx = ʌ í (ʌx í ʌ) + k  2ʌ ʌx = íʌ + k  2ʌ  2ʌx = ʌ í ʌx + ʌ + k  2ʌ x = í1 + k  2  3ʌx = 2ʌ + k  2ʌ x = í1 + k  2  x = 23 + k  23 x = í1 + k  2  x = k  23 f cos ( 12 ʌx) = cos(ʌ(x í 2)) cos ( 12 ʌx) = cos(ʌx í 2ʌ) 1 1 2 ʌx = ʌx í 2ʌ + k  2ʌ  2 ʌx = í(ʌx í 2ʌ) + k  2ʌ 1 1 í 2 ʌx = í2ʌ + k  2ʌ  2 ʌx = íʌx + 2ʌ + k  2ʌ x = 4 + k  4  112 ʌx = 2ʌ + k  2ʌ x = k  4  x = 113 + k  113 x = k  4  x = k  113 Deze antwoorden kunnen (dit is niet verplicht) nog samengenomen worden tot x = k  113 .

36 a

a sin (2x í 13 ʌ ) = sin ( x + 14 ʌ ) 2x í 13 ʌ = x + 14 ʌ + k  2ʌ  2x í 13 ʌ = ʌ í (x + 14 ʌ) + k  2ʌ 7 x = 12 ʌ + k  2ʌ  2x í 13 ʌ = ʌ í x í 14 ʌ + k  2ʌ

7

7 1 x = 12 ʌ + k  2ʌ  3x = 112 ʌ + k  2ʌ 7 2 x = 12 ʌ + k  2ʌ  x = 13 36 ʌ + k  3 ʌ 7 1 25 x op 3 0, 2ʌ 4 geeft x = 12 ʌ  x = 13 36 ʌ  x = 136 ʌ  x = 136 ʌ 1 1 b cos (3x + 2 ʌ ) = cos (2x í 4 ʌ) 3x + 12 ʌ = 2x í 14 ʌ + k  2ʌ  3x + 12 ʌ = í (2x í 14 ʌ) + k  2ʌ x = í 34 ʌ + k  2ʌ  3x + 12 ʌ = í2x + 14 ʌ + k  2ʌ x = í 34 ʌ + k  2ʌ  5x = í 14 ʌ + k  2ʌ 1 x = í 34 ʌ + k  2ʌ  x = í 20 ʌ + k  25 ʌ 1 7 3 19 x op 3 0, 2ʌ 4 geeft x = 14 ʌ  x = 20 ʌ  x = 34 ʌ  x = 120 ʌ  x = 111 20 ʌ  x = 120 ʌ

84

Hoofdstuk 7

© Noordhoff Uitgevers bv

7.3 Transformaties en functies Bladzijde 113 37 a

a

b De toppen zijn (í112 ʌ, 1) , ( í 12 ʌ, í1) , ( 12 ʌ, 1) en (112 ʌ, í1) . c De snijpunten met de x-as zijn (í2ʌ, 0), (íʌ, 0), (0, 0), (ʌ, 0) en (2ʌ, 0). 38 a

a

b De toppen zijn (í2ʌ, 1), (íʌ, í1), (0, 1), (ʌ, í1) en (2ʌ, 1). c De nulpunten zijn í112 ʌ, í 12 ʌ, 12 ʌ en 112 ʌ. d y 7 1

–2π

–π

O

g

π

2π

x

–1

Bladzijde 114 39 a

a f (x) = sin(x) translatie (0, 2)

g(x) = 2 + sin(x) De evenwichtsstand is 2. b f (x) = sin(x) translatie

( 13 ʌ, 0 )

h(x) = sin (x í 13 ʌ) h(x) = 0 geeft sin (x í 13 ʌ ) = 0 x í 13 ʌ = k  ʌ x = 13 ʌ + k  ʌ De nulpunten zijn 13 ʌ + k  ʌ. c f (x) = sin(x) verm. x-as, 4

k(x) = 4 sin(x) De amplitude is 4.

© Noordhoff Uitgevers bv

Goniometrische functies

85

40 a

a

b De periode is 6ʌ. Bladzijde 116 41 a

translatie (0, a)

vermenigvuldiging met b t.o.v. de x-as

vermenigvuldiging met 1c t.o.v. de y-as

translatie (d, 0)

tel a op bij de functiewaarde

vermenigvuldig de functiewaarde met b

vervang x door cx

vervang x door x − d

y

y

y

y

b

a

1 1 π

O –1

2π

1 π

O x –1

2π

x

1 π

O –1

2π

x

d

O –1

2π c

π

2π

y = a + cos(x)

y = b cos(x)

y = cos(cx)

y = cos(x − d)

evenwichtsstand is a

amplitude is b

periode is 2π c

beginpunt is (d, 1)

x

7 42 a

a y = sin(x)

c y = cos(x)

verm. x-as, 2

translatie (12, 0)

y = 2sin(x)

y = cos(x í 12) verm. y-as, 13

translatie (í3, 0)

f (x) = 2sin(x + 3) b y = sin(x)

h(x) = cos(3x í 12) d y = cos(x)

verm. x-as, 13

y=

verm. y-as, 4

y = cos ( 14 x )

1 3 sin(x) translatie (0, 15 )

verm. x-as, 112

j(x) = 112 cos ( 14 x )

g(x) = 13 sin(x) + 15 43 a

a y = cos(x)

c y = cos(x)

verm. x-as, 1,2

translatie (í4,2; 0)

y = 1,2cos(x)

y = cos(x + 4,2)

translatie ( 16 ʌ, 0 )

verm y-as, 13

y = 1,2cos (x í 16 ʌ)

y = cos(3x + 4,2)

translatie (0, 5)

verm. x-as, 0,29

f (x) = 5 + 1,2 cos (x í 16 ʌ) b y = sin(x)

verm. y-as, 13

verm. y-as, 5

y = sin ( 15 x )

y = sin(3x)

translatie ( í 13 ʌ; 0,4 )

g(x) = 0,4 + sin (

h(x) = 0,29 cos(3x + 4,2) d y = sin(x)

1 5

verm. x-as, 2

(x + )) 1 3ʌ

y = 2 sin(3x) translatie ( 12 ʌ; í0,8)

j(x) = í0,8 + 2 sin (3 ( x í 12 ʌ))

86

Hoofdstuk 7

© Noordhoff Uitgevers bv

Bladzijde 117 44 a

y = sin(x) verm. yías, 3

y = sin ( 13 x) translatie (4; í1,5)

f (x) = í1,5 + sin ( 13 (x í 4)) 45 a

a y = cos(x) translatie

b y = cos(x)

( 14 ʌ, 4)

y = 4 + cos(x í

verm. x-as, 3

1 4 ʌ)

y = 3 cos(x)

verm. x-as, 3

translatie

f (x) = 3 (4 + cos (x í ) ) ofwel f (x) = 12 + 3 cos (x í 14 ʌ) 1 4ʌ

46 a

( 14 ʌ, 4)

g(x) = 4 + 3 cos (x í 14 ʌ )

a Voer in y1 = í 12 + sin (x í 14 ʌ) . y 1 2

π

O

x 3π

2π

– 12 ƒ –1 12

b De gra¿ek van f snijdt de lijn van de evenwichtsstand in de punten c De toppen van de gra¿ek van f zijn ( 34 ʌ, 12 ) , (134 ʌ, í112 ) en (234 ʌ, 12 ) . d f (x) = 0 geeft í 12 + sin ( x í 14 ʌ ) = 0 sin (x í 14 ʌ ) = 12 x í 14 ʌ = 16 ʌ + k  2ʌ  x í 14 ʌ = 56 ʌ + k  2ʌ 5 1 x = 12 ʌ + k  2ʌ  x = 112 ʌ + k  2ʌ 5 5 1 x op 3 0, 3ʌ 4 geeft x = 12 ʌ  x = 212 ʌ  x = 112 ʌ 5 1 5 Dus xA = 12 ʌ, xB = 112 ʌ en xC = 212 ʌ. 1 5 8 AB = xB í xA = 112 ʌ í 12 ʌ = 12 ʌ = 23 ʌ

7

( 14 ʌ, í 12 ) , (114 ʌ, í 12 ) en (214 ʌ, í 12 ) .

e f (x) = í1 geeft í 12 + sin ( x í 14 ʌ) = í1 sin ( x í 14 ʌ ) = í 12 x í 14 ʌ = í 16 ʌ + k  2ʌ  x í 14 ʌ = 116 ʌ + k  2ʌ 1 5 x = 12 ʌ + k  2ʌ  x = 112 ʌ + k  2ʌ 1 1 5 x op 3 0, 3ʌ 4 geeft x = 12 ʌ  x = 212 ʌ  x = 112 ʌ y 1 2

ƒ 1 12 π

5

1 12 π

O

–1

1

2 12 π

x 3π

y = –1

–1 12

1 5 1 f (x) • í1 geeft 12 ʌ ” x ” 112 ʌ  212 ʌ ” x ” 3ʌ

47 a

f (x) = 2 geeft 0 1 + 2sin(x) 0 = 2 1 + 2sin(x) = 2  1 + 2sin(x) = í2 2sin(x) = 1  2sin(x) = í3 sin(x) = 12  sin(x) = í112 x = 16 ʌ + k  2ʌ  x = 56 ʌ + k  2ʌ

© Noordhoff Uitgevers bv

Goniometrische functies

87

x op 3 0, 2ʌ 4 geeft x = 16 ʌ  x = 56 ʌ y

3

ƒ y=2

2 1

O

1 6π

x 2π

π

5 6π

f (x) • 2 geeft 16 ʌ ” x ” 56 ʌ 48 a

a Voer in y1 = 0 1 + 3sin(2x) 0 . 4

y

3

2

1

π

O

7

2π

x

b De grafiek van y = sin(2x) ontstaat uit die van y = sin(x) bij vermenigvuldigen ten opzichte van de y-as met 12 . Dus de toppen van y = sin(2x) zijn ( 14 ʌ, 1) , ( 34 ʌ, í1) , (114 ʌ, 1) en (134 ʌ, í1) . Dus de toppen van de grafiek van f zijn ( 14 ʌ, 4) , ( 34 ʌ, 2) , (114 ʌ, 4) en (134 ʌ, 2) . c f ( 16 ʌ) = 0 1 + 3sin ( 13 ʌ ) ` = ` 1 + 3 Â 12 冑3 ` = 1 + 112 冑3 f (13 ʌ ) = ` 1 + 3sin ( 23 ʌ ) ` = ` 1 + 3 Â 12 冑3 ` = 1 + 112 冑3 f (23 ʌ ) = ` 1 + 3sin (113 ʌ ) ` = ` 1 + 3 Â í 12 冑3 ` = í1 + 112 冑3 f (56 ʌ ) = ` 1 + 3sin (123 ʌ ) ` = ` 1 + 3 Â í 12 冑3 ` = í1 + 112 冑3 Bladzijde 118 49 a

f: y = ísin(x) g: y = cos(x) h: y = cos(x)

j: y = ísin(x) k: y = ísin(x) l: y = ícos(x)

Bladzijde 119 50 a

a

b

y

y

1

1

sin(α) –1

O

α 1 1 cos(α – 2 π ) 1 α – 2π

–1

cos(Į í 12 ʌ) = sin(Į)

88

Hoofdstuk 7

x

sin(α ) α+π –1

α

O

1

x

sin(α + π)

–1

sin(Į + ʌ) = ísin(Į)

© Noordhoff Uitgevers bv

c

d

y

y

1

1

α+π cos(α + π) –1

O

α cos(α ) 1

x –1

–1

O

1 sin(α ) α x cos(α ) 1

–1

cos(Į + ʌ) = ícos(Į)

De stelling van Pythagoras geeft sin2(Į) + cos2(Į) = 1.

sin (x + 16 ʌ ) = cos (x + 16 ʌ í 12 ʌ ) = cos ( x í 13 ʌ) cos (2x + 13 ʌ ) = sin (2x + 13 ʌ + 12 ʌ) = sin (2x + 56 ʌ ) ísin (3x í 23 ʌ ) = sin (3x í 23 ʌ + ʌ ) = sin (3x + 13 ʌ) = cos (3x + 13 ʌ í 12 ʌ ) = cos (3x í 16 ʌ ) ícos (4x + 116 ʌ) = cos (4x + 116 ʌ + ʌ) = cos (4x + 216 ʌ) = sin (4x + 216 ʌ + 12 ʌ) = sin (4x + 223 ʌ ) = sin (4x + 23 ʌ )

51

a b c d

52 a

a (sin(x) í cos(x))2 = sin2(x) í 2sin(x) cos(x) + cos2(x) = sin2(x) + cos2(x) í 2sin(x) cos(x) = 1 í 2sin(x) cos(x) 2sin2(x) + cos2(x) 2sin2(x) cos2(x) sin(x) 2 2 b + + 1 = 2tan2(x) + 1 = = cos(x) cos2(x) cos2(x) cos2(x)

(

53 a

)

7

a sin2(x) + 4cos(x) = 1 í cos2(x) + 4cos(x) = ícos2(x) + 4cos(x) + 1 b 2cos2(x) + sin(x) í 2 = 2(1 í sin2(x)) + sin(x) í 2 = 2 í 2sin2(x) + sin(x) í 2 = í2sin2(x) + sin(x) c 2sin2(x) + cos2(x) + cos(x) = 2(1 í cos2(x)) + cos2(x) + cos(x) = 2 í 2cos2(x) + cos2(x) + cos(x) = ícos2(x) + cos(x) + 2

7.4 Grafieken van goniometrische functies Bladzijde 121 54 a

a

b De amplitude is 3 bij beide grafieken.

© Noordhoff Uitgevers bv

Goniometrische functies

89

Bladzijde 123 55 a

a f (x) = í2 + 3 sin(3x + ʌ) = í2 + 3sin (3 ( x + 13 ʌ )) evenwichtsstand í2 amplitude 3 2ʌ 2 periode = ʌ 3 3 3 > 0, dus grafiek stijgend door het punt (í 13 ʌ, í2) . y ƒ

O

x 2π

π

–1

(– 31 π, –2)

y = –2

–2

–3

–4

–5

b g(x) = 1 í 2sin (2x í 23 ʌ) = 1 í 2sin (2 (x í 13 ʌ )) evenwichtsstand 1 amplitude 2 2ʌ periode =ʌ 2 í2 < 0, dus grafiek dalend door het punt ( 13 ʌ, 1) .

7

y

3 g 2 1

1

O

( 3 π, 1)

y=1

π

x 2π

–1

90

Hoofdstuk 7

© Noordhoff Uitgevers bv

56 a

a f (x) = 1 + 3cos (2x + 13 ʌ ) = 1 + 3cos (2 (x + 16 ʌ )) evenwichtsstand 1 amplitude 3 2ʌ periode =ʌ 2 3 > 0, dus (í 16 ʌ, 4) is een hoogste punt. y

(– 61 π, 4)

4

3 ƒ

2

1

–π

π

O

x

–1

–2

7

b g(x) = í2 í cos (x í 12 ʌ) evenwichtsstand í2 amplitude 1 periode 2ʌ í1 < 0, dus ( 12 ʌ, í3) is een laagste punt. y

π

O

x 3π

2π

–1 y = –2

–2

–3

g

1

( 2 π, –3)

© Noordhoff Uitgevers bv

Goniometrische functies

91

57 a

a f (x) = 5 í 3sin ( 14 ʌx) evenwichtsstand 5 amplitude 3 2ʌ periode 1 = 8 4ʌ í3 < 0, dus grafiek dalend door het punt (0, 5). y

8 ƒ 6

(0, 5)

y=5

4

2

1

O

2

3

4

5

6

7

8

9

10

x

b f (x) = 3 í 4cos(ʌx) evenwichtsstand 3 amplitude 4 2ʌ periode ʌ = 2 í4 < 0, dus (0, í1) is een laagste punt.

7

y

6 g 4 y=3 2

O

1

2

3

4

5

6

x

(0, –1)

58 a

a A = 40 + 25 sin ( ʌ ( t í 112 ) ) evenwichtsstand 40 amplitude 25 2ʌ periode ʌ = 2 25 > 0, dus stijgend door het punt (112 , 40) .

A

60

50

40

30

20

10

O

92

Hoofdstuk 7

1

2

3

4

5

t

© Noordhoff Uitgevers bv

b Voer in y1 = 40 + 25 sin (ʌ (x í 112 )) en y2 = 30. Intersect geeft x § 0,63, x § 1,37, x § 2,63, x § 3,37, x § 4,63 en x § 5,37. A < 30 geeft 0,63 < t < 1,37  2,63 < t < 3,37  4,63 < t < 5,37 c De gra¿ek heeft de grootste helling in de snijpunten van de gra¿ek met de lijn van de evenwichtsstand. Dit is bijvoorbeeld bij t = 112 . dy De optie dy/dx geeft c § 78,5. d d x x = 112 Dus de maximale helling van de gra¿ek is 78,5. 59 a

a N = 112 cos (23 ʌ (t í 12 )) + 312 evenwichtsstand 312 amplitude 112 2ʌ periode 2 = 3 3ʌ 112 > 0, dus (12 , 5) is een hoogste punt. N

5

4

3

2

7

1

O

1

2

3

4

5

6

7

8

9

t

b Voer in y1 = 112 cos (23 ʌ (x í 12 )) + 312 en y2 = 4. Intersect geeft x § 1,09, x § 2,91, x § 4,09, x § 5,91, x § 7,09 en x § 8,91. N > 4 geeft 0 ” t < 1,09  2,91 < t < 4,09  5,91 < t < 7,09  8,91 < t ” 10 c De optie dy/dx geeft c

dy = 2,720... d dx x=0

De gevraagde helling is dus 2,72. d De gra¿ek heeft de grootste helling in de snijpunten van de gra¿ek met de lijn van de evenwichtsstand. Dit is bijvoorbeeld bij t = 2,75. De optie dy/dx geeft c

dy = 3,141... d d x x = 2,75

Dus de maximale helling van de gra¿ek is 3,14. 60 a

a evenwichtsstand 3 amplitude 2 periode ʌ b a=3 b=2 2ʌ c= ʌ =2 d = 13 ʌ

© Noordhoff Uitgevers bv

Goniometrische functies

93

Bladzijde 125 61 a

a De gra¿ek gaat dalend door de evenwichtsstand bij x = ʌ, dus y = 1 í 212 sin (112 (x í ʌ)) . b Een laagstepunt is (0, í112 ) , dus d = 0 en de formule is y = 1 í 212 cos (112 x) .

62 a

a De gra¿ek gaat dalend door de evenwichtsstand bij x = 3, dus y = 1 í 212 sin ( 12 ʌ (x í 3)) . b Een laagste punt is (0, í112 ) , dus d = 0 en de formule is y = 1 í 212 cos ( 12 ʌx) .

312 + 12 4 63 a a a = evenwichtsstand = = =2 2 2 1 1 b = amplitude = 32 í 2 = 12 Stijgend door de evenwichtsstand bij opvolgend x = 12 ʌ en x = 112 ʌ. 2ʌ De periode is 112 ʌ í 12 ʌ = ʌ, dus c = ʌ = 2. Stijgend door de evenwichtsstand bij x = 12 ʌ, dus d = 12 ʌ. Dus y = 2 + 112 sin (2 ( x í 12 ʌ )) . b Een hoogste punt is 64 a

7

65 a

( 34 ʌ, 312 ) , dus y = 2 + 112 cos ( 2 ( x í 34 ʌ )) .

4 + í2 2 = =1 2 2 b = amplitude = 4 í 1 = 3 Stijgend door de evenwichtsstand bij opvolgend x = 2 en x = 5. 2ʌ 2 De periode is 5 í 2 = 3, dus c = = ʌ. 3 3 Stijgend door de evenwichtsstand bij x = 2, dus d = 2. Dus y = 1 + 3sin ( 23 ʌ ( x í 2)) . b De gra¿ek gaat dalend door de evenwichtsstand bij x = 12 , dus y = 1 í 3sin ( 23 ʌ (x í 12 )) . a a = evenwichtsstand =

a De periode is 5 en de evenwichtsstand is 2. De gra¿ek snijdt y = 2 voor x = 0. Een top ligt een kwart periode rechts van een snijpunt met de evenwichtsstand, dus xA = 0 + 14 Â 5 = 114 . 6 + í2 4 b a = evenwichtsstand = = =2 2 2 b = amplitude = 6 í 2 = 4 Stijgend door de evenwichtsstand bij opvolgend x = 0 en x = 5. 2ʌ 2 De periode is 5 í 0 = 5, dus c = = ʌ. 5 5 Een hoogste punt is (114 , 6) , dus d = 114 en de formule is y = 2 + 4 cos ( 25 ʌ (x í 114 )) . c Een laagste punt is (334 , í2) , dus d = 334 en de formule is y = 2 í 4 cos ( 25 ʌ (x í 334 )) . Bladzijde 126

66 a

175 + 25 200 = = 100 2 2 b = amplitude = 175 í 100 = 75 Door de evenwichtsstand bij opvolgend t = 4 en t = 9.

a a = evenwichtsstand =

2ʌ 1 de halve periode is 9 í 4 = 5, dus periode = 10 en dit geeft c = = ʌ. 10 5 Stijgend door de evenwichtsstand bij t = 4, dus d = 4. Dus N = 100 + 75sin ( 15 ʌ (t í 4 )) . b Een hoogste punt is (612 , 175) , dus N = 100 + 75 cos ( 15 ʌ (t í 612 )) . 67 a

a

b De lijn x = 12 ʌ en de lijn x = 112 ʌ. 94

Hoofdstuk 7

© Noordhoff Uitgevers bv

Bladzijde 128 68 a

a tan (3x í 16 ʌ) = 13 冑3 3x í 16 ʌ = 16 ʌ + k  ʌ

d 3tan ( 12 ʌx) = 冑3 tan ( 12 ʌx) = 13 冑3 1 1 2 ʌx = 6 ʌ + k  ʌ x = 13 + k  2 e 2 + 冑3  tan ( 18 ʌx) = 5 冑3  tan ( 18 ʌx) = 3 tan ( 18 ʌx) = 冑3 1 1 8 ʌx = 3 ʌ + k  ʌ 2 x = 23 + k  8 f tan ( 16 ʌx) = tan ( 14 ʌ ( x í 1)) 1 1 6 ʌx = 4 ʌ(x í 1) + k  ʌ

3x = 13 ʌ + k  ʌ x = 19 ʌ + k  13 ʌ b 1 í tan ( 34 x ) = 2 tan ( 34 x) = í1 3 3 4x = 4ʌ + k ʌ x = ʌ + k  113 ʌ c tan(12 x) = tan (2x í 16 ʌ) 1 1 2 x = 2x í 6 ʌ + k  ʌ 1 1 í12 x = í 6 ʌ + k  ʌ x = 19 ʌ + k  23 ʌ

1 1 1 6 ʌx = 4 ʌx í 4 ʌ + k 1 1 í 12 ʌx = í 4 ʌ + k ʌ

x = 3 + k  12

69 a

a Beginpunt (0, 2), periode b

ʌ 1 2

Âʌ

Â

= 2ʌ en asymptoten zijn de lijnen x = ʌ en x = 3ʌ.

y ƒ 2

O

x

2π

7

x=π

x = 3π

c Voer in y1 = 2 + tan ( ) . De optie zero (TI) of root (Casio) geeft x § 4,07. Dus het nulpunt is 4,07. d f (x) = 3 geeft 2 + tan ( 12 x) = 3 tan ( 12 x) = 1 1 1 2x = 4ʌ + kÂʌ 1 x = 2 ʌ + k  2ʌ 3 4 x op 0, 3ʌ geeft x = 12 ʌ en x = 212 ʌ, dus ( 12 ʌ, 3) en (212 ʌ, 3) . 1 2x

70 a

a Beginpunt (0, 1), periode b

ʌ 2 3

= 112 ʌ en asymptoten zijn de lijnen x = 34 ʌ, x = 214 ʌ en x = 334 ʌ.

y

ƒ

1 O

1 12 π

x = 34 π

3π

x = 2 14 π

x

x = 3 34 π

c f (x) = 0 geeft 1 í tan ( 23 x) = 0 tan ( 23 x) = 1 2 1 3x = 4ʌ + kÂʌ 3 x = 8 ʌ + k  112 ʌ x op 3 0, 4ʌ 4 geeft x = 38 ʌ  x = 178 ʌ  x = 338 ʌ Dus de nulpunten zijn 38 ʌ, 178 ʌ en 338 ʌ.

© Noordhoff Uitgevers bv

Goniometrische functies

95

d f (x) = 2 geeft 1 í tan ( 23 x ) = 2 tan ( 23 x) = í1 2 3 3x = 4ʌ + kÂʌ x = 118 ʌ + k  112 ʌ x op 3 0, 4ʌ 4 geeft x = 118 ʌ  x = 258 ʌ y ƒ y=2

2 1 O

x

2 58 π

1 18 π

x = 2 14 π

x = 34 π

f (x) < 2 geeft 0 ” x
x geeft 0 ” x < 2  5,52 < x < 6  9,81 < x < 10

7.5 Goniometrische functies differentiëren Bladzijde 131 72 a

a Voer in y1 = sin(x) en y2 = ddx (y1) 0 x = x. 7

b Waarschijnlijk is y = cos(x) de afgeleide van y = sin(x).

c Voer in y1 = cos(x) en y2 = ddx (y1) 0 x = x.

Waarschijnlijk is y = ísin(x) de afgeleide van y = cos(x).

© Noordhoff Uitgevers bv

Goniometrische functies

97

Bladzijde 133 73 a

3 cos(x) 4' = 3 sin (x + 12 ʌ) 4' = cos ( x + 12 ʌ) = ísin(x) y

x+

1 2π

1

sin(x + 21 π ) sin(x)

–1

cos(x + 21 π ) O

x cos(x) 1

x

–1

f (x) = 3 + 4sin (2x í 13 ʌ ) geeft f '(x) = 4cos (2x í 13 ʌ )  2 = 8cos (2x í 13 ʌ ) g(x) = 10 + 16cos (12 ( x í 1)) geeft g'(x) = í16sin ( 12 ( x í 1))  12 = í8sin ( 12 (x í 1)) h(x) = x cos(x) geeft h'(x) = 1  cos(x) + x  ísin(x) = cos(x) í x sin(x) j(x) = x cos(2x) geeft j'(x) = 1  cos(2x) + x  ísin(2x)  2 = cos(2x) í 2x sin(2x) k(x) = x2  sin(3x) geeft k'(x) = 2x  sin(3x) + x2  cos(3x)  3 = 2x sin(3x) + 3x2  cos(3x) l(x) = 2x sin(3x í 1) geeft l '(x) = 2  sin(3x í 1) + 2 x  cos(3x í 1)  3 = 2sin(3x í 1) + 6 x cos(3x í 1)

74 a

a b c d e f

75 a

a f (x) =

cos(x) Â (2x + cos(x)) í (x2 + sin(x)) Â ísin(x) x2 + sin(x) geeft f ƍ(x) = cos(x) cos2(x) 2x cos(x) + cos2(x) + x2 sin(x) + sin2(x) 2x cos(x) + x2sin(x) + 1 = cos2(x) cos 2(x)

= 7

b g(x) =

sin(x) (x2 + cos(x)) Â cos(x) í sin(x) Â (2x í sin(x)) geeft g'(x) = x2 + cos(x) (x2 + cos(x))2 =

x2 cos(x) + cos2(x) í 2x sin(x) + sin2(x) x2 cos(x) í 2x sin(x) + 1 = (x2 + cos(x))2 (x2 + cos(x))2

c h(x) =

cos(x) sin(x) Â ísin(x) í cos(x) Â cos(x) ísin 2(x) í cos 2(x) í1 geeft h'(x) = = = sin(x) sin 2(x) sin 2(x) sin 2(x)

d j(x) =

x sin(x) (x + sin(x))(1  sin(x) + x  cos(x)) í x sin(x)(1 + cos(x)) geeft j'(x) = x + sin(x) (x + sin(x))2 x sin(x) + x2 cos(x) + sin 2(x) + x sin(x) cos(x) í x sin(x) í x sin(x) cos(x) (x + sin(x))2 x2 cos(x) + sin 2(x) = (x + sin(x))2

=

76 a

a b c d

f (x) = cos2(x) geeft f '(x) = 2cos(x) Â ísin(x) = í2 sin(x) cos(x) g(x) = 2sin2(x) geeft g'(x) = 4sin(x) cos(x) h(x) = 1 + 2cos2(x) geeft h'(x) = 4cos(x) Â ísin(x) = í4sin(x) cos(x) j(x) = x + 3sin2(x) geeft j'(x) = 1 + 6sin(x) cos(x)

Bladzijde 134 77 a

6 1 Â2 = cos 2(2x) cos 2(2x) sin(x) 2sin(x) 1 1 b g(x) = tan2(x) geeft g'(x) = 2tan(x) Â = 2Â = Â cos(x) cos2(x) cos3(x) cos2(x) a f (x) = 3tan(2x) geeft f '(x) = 3 Â

f (x) = cos3(x) geeft f '(x) = 3cos2(x) Â ísin(x) = í3sin(x) cos2(x) g(x) = cos(x3) geeft g'(x) = ísin(x3) Â 3x2 = í3x2 sin(x3) h(x) = cos2(2x) geeft h'(x) = 2cos(2x) Â ísin(2x) Â 2 = í4 sin(2x) cos(2x) j(x) = cos2(x) í sin2(x) geeft j'(x) = 2cos(x) Â ísin(x) í 2sin(x) Â cos(x) = í4sin(x) cos(x)

78 a

a b c d

98

Hoofdstuk 7

© Noordhoff Uitgevers bv

a 79

a f (x) = sin3(x) + sin(x) geeft f '(x) = 3sin2(x) cos(x) + cos(x) = 3 Â (1 í cos2(x)) cos(x) + cos(x) = 3cos(x) í 3cos3(x) + cos(x) = 4cos(x) í 3cos3(x) b g(x) = sin2(x) cos(x) geeft g'(x) = 2sin(x) cos(x) Â cos(x) + sin2(x) Â ísin(x) = 2sin(x) cos2(x) í sin3(x) = 2sin(x) Â (1 í sin2(x)) í sin3(x) = 2sin(x) í 2sin3(x) í sin3(x) = 2sin(x) í 3sin3(x) sin(x) cos(x) cos(x) Â 0 í 1 Â ísin(x) sin(x) tan(x) 1 geeft h'(x) = c h(x) = = = = sin(x) sin(x) cos(x) cos 2(x) cos 2(x)

(

80 a

)

f (x) = x sin2(x) geeft f'(x) = 1  sin2(x) + x  2sin(x) cos(x) = sin2(x) + 2x sin(x) cos(x) Stel k: y = ax + b. 2 a = f ' ( 34 ʌ) = sin2 ( 34 ʌ ) + 2  34 ʌ  sin ( 34 ʌ ) cos ( 34 ʌ) = ( 12 冑2 ) + 112 ʌ  12 冑2  í 12 冑2 = 12 í 34 ʌ y = ( 12 í 34 ʌ ) x + b ¶ f ( 34 ʌ ) = 34 ʌ  ( 12 冑2 )2 = 38 ʌ dus A ( 34 ʌ, 38 ʌ ) Dus k: y =

81 a

82 a

( 12 í 34 ʌ ) x + 169 ʌ2.

( 12 í 34 ʌ) Â 34 ʌ + b = 38 ʌ 3 8ʌ

9 2 í 16 ʌ + b = 38 ʌ 9 2 b = 16 ʌ

f (x) = cos3(x) geeft f '(x) = 3cos2(x)  ísin(x) = í3sin(x) cos2(x) f '(x) = 0 geeft í3sin(x) cos 2(x) = 0 sin(x) = 0  cos(x) = 0 x = k  ʌ  x = 12 ʌ + k  ʌ x op 3 0, 2ʌ 4 geeft x = 0  x = 12 ʌ  x = ʌ  x = 112 ʌ  x = 2ʌ De punten zijn (0, 1), ( 12 ʌ, 0) , (ʌ, í1), (112 ʌ, 0) en (2ʌ, 1). a f (x) =

7

3 cos(x) geeft 2 í sin(x)

(2 í sin(x))  í3 sin(x) í 3 cos(x)  ícos(x) í6 sin(x) + 3 sin 2(x) + 3cos 2(x) í6 sin(x) + 3 = = (2 í sin(x))2 (2 í sin(x))2 (2 í sin(x))2 f (x) = 0 geeft 3 cos(x) = 0 cos(x) = 0 x = 12 ʌ + k  ʌ x op 3 0, 2ʌ 4 geeft x = 12 ʌ  x = 112 ʌ De bijbehorende punten zijn ( 12 ʌ, 0) en (112 ʌ, 0) . Stel k: y = ax + b. í6  1 + 3 í3 a = f ' ( 12 ʌ ) = = í3 = 1 (2 í 1)2 y = í3x + b í3  12 ʌ + b = 0 door ( 12 ʌ, 0) f b = 112 ʌ Dus k: y = í3x + 112 ʌ. f '(x) =

Stel l: y = ax + b. í6 Â í1 + 3 9 a = f ' (112 ʌ ) = = =1 (2 í í1)2 9 y=x+b f 112 ʌ + b = 0 door (112 ʌ, 0 ) b = í112 ʌ 1 Dus l: y = x í 12 ʌ.

© Noordhoff Uitgevers bv

Goniometrische functies

99

b f '(x) = 0 geeft í6 sin(x) + 3 = 0 sin(x) = 12 x = 16 ʌ + k  2ʌ  x = 56 ʌ + k  2ʌ x op 3 0, 2ʌ 4 geeft x = 16 ʌ  x = 56 ʌ y ƒ 5 6π

O

1 6π

π

2π

x

3 cos ( 16 ʌ) 3 Â 12 冑3 = = 冑3 2 í sin ( 16 ʌ ) 2 í 12 3cos ( 56 ʌ ) 3 Â í 12 冑3 min. is f ( 56 ʌ ) = = = í冑3 2 í sin ( 56 ʌ) 2 í 12 max. is f (16 ʌ) =

Dus B f = 3 í冑3, 冑3 4 .

Diagnostische toets Bladzijde 136 1

xP = í0,81, dus cos(ĮP) = í0,81. De GR geeft cosí1(í0,81) = 144,095...°, dus ĮP = 144,095...°. yQ = í0,95, dus sin(ĮQ) = í0,95. De GR geeft siní1(í0,95) = í71,805...°, dus ĮQ = 360° í 71,805...° = 288,194...°. “POQ = ĮQ í ĮP = 288,194...° í 144,095...° = 144,098...° § 144,1°

2

a 10ʌ rad = 10 Â 180° = 1800°

3

a 60° =

4

a sin ( 56 ʌ) = 12

b cos ( 34 ʌ ) = í 12 冑2

c cos (113 ʌ) = í 12

a sin(Į) = 12 Į = 16 ʌ  Į = 56 ʌ

b sin(Į) = í 12 冑2 Į = 114 ʌ  Į = 134 ʌ

c cos(Į) = 12 冑3 Į = 16 ʌ  Į = 156 ʌ

a sin (2x + 12 ʌ ) = 0 2x + 12 ʌ = k  ʌ 2x = í 12 ʌ + k  ʌ x = í 14 ʌ + k  12 ʌ

b cos (2x + 16 ʌ ) = 1 2x + 16 ʌ = k  2ʌ 2x = í 16 ʌ + k  2ʌ 1 x = í 12 ʌ + kÂʌ

c sin 2 ( 12 x) í sin ( 12 x) = 0 sin ( 12 x)  (sin ( 12 x) í 1) = 0 sin ( 12 x) = 0  sin ( 12 x) = 1 1 1 1 2 x = k  ʌ  2 x = 2 ʌ + k  2ʌ x = k  2ʌ  x = ʌ + k  4ʌ

7

5

6

7

60 Â ʌ rad = 13 ʌ rad 180

b 23 ʌ rad = 23 Â 180° = 120° b í150° =

a sin ( 12 x + ʌ) = 12 冑2 1 1 1 3 2 x + ʌ = 4 ʌ + k  2ʌ  2 x + ʌ = 4 ʌ + k  2ʌ 1 3 1 1 2 x = í 4 ʌ + k  2ʌ  2 x = í 4 ʌ + k  2ʌ x = í112 ʌ + k  4ʌ  x = í 12 ʌ + k  4ʌ b cos (í 13 x + 12 ʌ) = í 12 í 13 x + 12 ʌ = 23 ʌ + k  2ʌ  í 13 x + 12 ʌ = í 23 ʌ + k  2ʌ í 13 x = 16 ʌ + k  2ʌ  í 13 x = í116 ʌ + k  2ʌ x = í 12 ʌ + k  6ʌ  x = 312 ʌ + k  6ʌ

100 Hoofdstuk 7

í150 Â ʌ rad = í 56 ʌ rad 180

c

2 3

180° rad = 23 Â ʌ § 38,2°

c 390° =

390 Â ʌ rad = 216 ʌ rad 180

© Noordhoff Uitgevers bv

c 4cos 2 ( 12 ʌx) = 3 cos 2 ( 12 ʌx) = 34 cos ( 12 ʌx) =

冑

3 4

 cos(12 ʌx) = í

冑

3 4

cos ( 12 ʌx) = 12 冑3  cos ( 12 ʌx) = í 12 冑3 = 16 ʌ + k  2ʌ  12 ʌx = í 16 ʌ + k  2ʌ  12 ʌx = 56 ʌ + k  2ʌ  12 ʌx = í 56 ʌ + k  2ʌ 1 x = 3 + k  4  x = í 13 + k  4  x = 123 + k  4  x = í123 + k  4 Deze antwoorden kunnen (dit is niet verplicht) nog samengenomen worden tot x = 13 + k  2  x = í 13 + k  2.

1 2 ʌx

a 2sin(2x) = í冑3 sin(2x) = í 12 冑3 2x = í 13 ʌ + k  2ʌ  2x = 113 ʌ + k  2ʌ x = í 16 ʌ + k  ʌ  x = 23 ʌ + k  ʌ x op 3 0, 2ʌ 4 geeft x = 56 ʌ  x = 156 ʌ  x = 23 ʌ  x = 123 ʌ

8

b 2cos (112 x í 16 ʌ) = í冑2 cos (112 x í 16 ʌ) = í 12 冑2 112 x í 16 ʌ = 34 ʌ + k  2ʌ  112 x í 16 ʌ = í 34 ʌ + k  2ʌ 1 7 112 x = 11 12 ʌ + k  2ʌ  12 x = í 12 ʌ + k  2ʌ 11 1 7 x = 18 ʌ + k  13 ʌ  x = í 18 ʌ + k  113 ʌ 17 17 x op 3 0, 2ʌ 4 geeft x = 11 18 ʌ  x = 118 ʌ  x = 18 ʌ

c sin 2(x) í 12 sin(x) í 12 = 0 (sin(x) í 1)  (sin(x) + 12 ) = 0 sin(x) = 1  sin(x) = í 12 x = 12 ʌ + k  2ʌ  x = í 16 ʌ + k  2ʌ  x = 116 ʌ + k  2ʌ x op 3 0, 2ʌ 4 geeft x = 12 ʌ  x = 156 ʌ  x = 116 ʌ 9

a sin(2x í 1) = sin(x + 2) 2x í 1 = x + 2 + k  2ʌ  2x í 1 = ʌ í (x + 2) + k  2ʌ x = 3 + k  2ʌ  2x í 1 = ʌ í x í 2 + k  2ʌ x = 3 + k  2ʌ  3x = í1 + ʌ + k  2ʌ x = 3 + k  2ʌ  x = í 13 + 13 ʌ + k  23 ʌ b cos (x + 13 ʌ) = cos (2x í 12 ʌ) x + 13 ʌ = 2x í 12 ʌ + k  2ʌ  x + 13 ʌ = í (2x í 12 ʌ) + k  2ʌ íx = í 56 ʌ + k  2ʌ  x + 13 ʌ = í2x + 12 ʌ + k  2ʌ x = 56 ʌ + k  2ʌ  3x = 16 ʌ + k  2ʌ 1 x = 56 ʌ + k  2ʌ  x = 18 ʌ + k  23 ʌ c sin ( 12 ʌx) = sin(ʌ(x + 1)) sin ( 12 ʌx) = sin(ʌx + ʌ) 1 1 2 ʌx = ʌx + ʌ + k  2ʌ  2 ʌx = ʌ í (ʌx + ʌ) + k  2ʌ 1 1 í 2 ʌx = ʌ + k  2ʌ  2 ʌx = íʌx + k  2ʌ x = í2 + k  4  112 ʌx = k  2ʌ x = í2 + k  4  x = k  113

10

a y = sin(x)

7

translatie ( 12 ʌ, 0)

y = sin ( x í 12 ʌ) verm. y-as, 13

y = sin (3x í 12 ʌ ) verm. x-as, 2

f (x) = 2 sin (3x í 12 ʌ)

© Noordhoff Uitgevers bv

Goniometrische functies 101

b y = cos(x) verm. y-as, 3

y = cos ( 13 x) translatie (í2, 5)

g(x) = 5 + cos (13 (x + 2)) c y = sin(x) translatie ( 14 ʌ, 0)

y = sin (x í 14 ʌ ) verm. y-as, 13

y = sin (3x í 14 ʌ) verm. x-as, 2

y = 2 sin (3x í 14 ʌ ) translatie (0, 1)

h(x) = 1 + 2 sin (3x í 14 ʌ ) Bladzijde 137 11

a Voer in y1 = í1 + 2cos(x í 13 ʌ). y 1 O –1

ƒ π

2π

x y = –1

7 –3

b f (x) = í1 geeft í1 + 2 cos (x í 13 ʌ) = í1 2 cos (x í 13 ʌ ) = 0 cos ( x í 13 ʌ ) = 0 x í 13 ʌ = 12 ʌ + k  ʌ x = 56 ʌ + k  ʌ x op 3 0, 2ʌ 4 geeft x = 56 ʌ  x = 156 ʌ Dus ( 56 ʌ, í1) en (156 ʌ, í1) . c y = 2 cos(x) heeft toppen (0, 2) en (ʌ, í2) dus de toppen van de grafiek van f zijn d f (x) = 0 geeft í1 + 2cos (x í 13 ʌ ) = 0 2cos (x í 13 ʌ) = 1 cos (x í 13 ʌ) = 12 x í 13 ʌ = 13 ʌ + k  2ʌ  x í 13 ʌ = í 13 ʌ + k  2ʌ x = 23 ʌ + k  2ʌ  x = k  2ʌ x op 3 0, 2ʌ 4 geeft x = 23 ʌ  x = 0  x = 2ʌ De nulpunten zijn 0, 23 ʌ en 2ʌ. 12

( 13 ʌ, 1) en (113 ʌ, í3) .

a ícos (3x í 14 ʌ ) = cos (3x í 14 ʌ + ʌ ) = cos (3x + 34 ʌ) = sin (3x + 34 ʌ + 12 ʌ ) = sin (3x + 114 ʌ) b (sin(x) + cos(x))2 = sin 2(x) + 2 sin(x) cos(x) + cos 2(x) = 1 + 2 sin(x) cos(x) c 2 + cos(x) í 2 sin 2(x) = 2 + cos(x) í 2(1 í cos 2(x)) = 2 + cos(x) í 2 + 2 cos 2(x) = 2 cos 2(x) + cos(x)

102 Hoofdstuk 7

© Noordhoff Uitgevers bv

13

a evenwichtsstand 2 amplitude 3 periode 2ʌ í3 < 0, dus grafiek dalend door het punt (í 13 ʌ, 2) . y

5 ƒ 4

3

1

(– 3 π, 2)

y=2

2

1

–2π

–π

π

O

x 2π

–1

b g(x) = 4 + cos (2x í 123 ʌ ) = 4 + cos ( 2 ( x í 56 ʌ )) evenwichtsstand 4 amplitude 1 2ʌ periode =ʌ 2 1 > 0, dus ( 56 ʌ, 5) is een hoogste punt.

7

y

5

5

( 6 π, 5) g y=4

4

3

2

1

O

14

π

x 2π

10 + í30 = í10 2 b = amplitude = 10 í í10 = 20 2ʌ 1 2ʌ c= = = ʌ periode 30 15 y = a + b sin(c(x í d)) met b > 0 Stijgend door de evenwichtsstand voor x = 10, dus d = 10. 1 ʌ(x í 10)) y = í10 + 20 sin (15

a a = evenwichtsstand =

© Noordhoff Uitgevers bv

Goniometrische functies 103

b y = a + b cos(c(x í d)) met b > 0 1 Een hoogste punt is (1712 , 10) , dus d = 1712 en de formule is y = í10 + 20 cos (15 ʌ ( x í 1712 )) . c y = a + b sin(c(x í d)) met b < 0 Dalend door de evenwichtsstand voor x = 25, dus d = 25. 1 ʌ (x í 25)) y = í10 í 20 sin (15 d y = a + b cos(c(x í d)) met b < 0 1 Een laagste punt is ( 212 , í30 ) , dus d = 212 en de formule is y = í10 í 20 cos (15 ʌ ( x í 212 )) . 15

a beginpunt (0, 1) ʌ periode = 1 = 4ʌ 4

De grafiek heeft de verticale asymptoten x = 2ʌ en x = 6ʌ. b

y

ƒ

1 x 8π

O

7

x = 2π

x = 6π

c f (x) = 0 geeft 1 í tan ( 14 x) = 0 tan ( 14 x ) = 1 1 1 4x = 4ʌ + kÂʌ x = ʌ + k  4ʌ x op 3 0, 8ʌ 4 geeft x = ʌ  x = 5ʌ y

ƒ

1 O

π

x 8π

5π

x = 2π

x = 6π

f (x) < 0 geeft ʌ < x < 2ʌ  5ʌ < x < 6ʌ 16

a 2 + 冑3  tan ( 14 ʌx) = í1 冑3  tan ( 14 ʌx) = í3 tan ( 14 ʌx) = í冑3 1 2 4 ʌx = 3 ʌ + k  ʌ 2 x = 23 + k  4

104 Hoofdstuk 7

b tan ( 13 x) = tan (2x í 16 ʌ) 1 1 3 x = 2x í 6 ʌ + k  ʌ 1 x = 6x í 2 ʌ + k  3ʌ í5x = í 12 ʌ + k  3ʌ 1 x = 10 ʌ + k  35 ʌ

© Noordhoff Uitgevers bv

17

a f (x) = cos (2 (x + 16 ʌ )) + sin(2x) = cos (2x + 13 ʌ) + sin(2x) geeft f ‫(މ‬x) = ísin (2x + 13 ʌ) Â 2 + cos(2x) Â 2 = í2 sin ( 2x + 13 ʌ) + 2cos(2x) 3x2 1 b f (x) = tan(x3) geeft f ‫(މ‬x) = Â 3x2 = 2 3 cos (x ) cos 2(x3) c f (x) =

cos(3x) sin(3x) Â ísin(3x) Â 3 í cos(3x) Â cos(3x) Â 3 í3sin2(3x) í 3cos2(3x) geeft f ‫(މ‬x) = = sin(3x) sin2(3x) sin2(3x) =

í3(sin2(3x) + cos2(3x)) í3 = sin2(3x) sin2(3x)

Alternatieve oplossing cos(3x) 1 geeft = sin(3x) tan(3x) 1 í3 í3 tan(3x)  0 í 1  Â3  cos 2(3x) cos 2(3x) cos 2(3x) cos 2(3x) í3 f ‫(މ‬x) = = = = 2(3x) sin 2(3x) tan 2(3x) tan 2(3x) sin 2(3x) cos  cos 2(3x) 1 d f (x) = x2  sin (2x í 2 ʌ) geeft f ‫(މ‬x) = 2x  sin (2x í 12 ʌ) + x2  cos (2x í 12 ʌ)  2 = 2x sin (2x í 12 ʌ) + 2x2 cos (2x í 12 ʌ) e f (x) = sin3 (2x) geeft f ‫(މ‬x) = 3 sin2(2x)  cos(2x)  2 = 6 sin2(2x) cos(2x) cos(x) f f (x) = geeft 1 í sin(x) (1 í sin(x))  ísin(x) í cos(x)  ícos(x) ísin(x) + sin2(x) + cos2(x) f ‫(މ‬x) = = (1 í sin(x))2 (1 í sin(x))2 1 í sin(x) 1 = = (1 í sin(x))2 1 í sin(x) f (x) =

(

18

) (

)

7

f (x) = 3x cos2(x) geeft f ‫(މ‬x) = 3  cos2(x) + 3x  2 cos(x)  ísin(x) = 3 cos2(x) í 6x sin(x)cos(x) Stel k: y = ax + b. a = f ‫(މ‬ʌ) = 3 cos 2(ʌ) í 6  ʌ  sin(ʌ) cos(ʌ) = 3  (í1)2 í 6  ʌ  0  í1 = 3 y = 3x + b 3  ʌ + b = 3ʌ f (ʌ) = 3  ʌ  (í1)2 = 3ʌ, dus A(ʌ, 3ʌ) r b=0 Dus k: y = 3x.

© Noordhoff Uitgevers bv

Goniometrische functies 105

8 Meetkunde met coördinaten Voorkennis Stelsels en kwadraatafsplitsen Bladzijde 140 1

20x í 28y = 4 5x í 7y = 1 4 ` ` geeft e 20x í 15y = 30 4x í 3y = 6 5 ௘ í ௘í 13y = í26 y=2 f 5x í 7 Â 2 = 1 5x í 7y = 1 5x í 14 = 1 5x = 15 x=3 De oplossing is (x, y) = (3, 2). 6x + 9y = 45 2x + 3y = 15 3 ` ` geeft e b e 10x í 9y = í5 10x í 9y = í5 1 ௘ + 16x = 40 x = 212 1 f 2 Â 22 + 3y = 15 2x + 3y = 15 5x + 3y = 15 3y = 10 y = 313 a e

De oplossing is (x, y) = ( 212 , 313 ) . 6x í 15y = 48 2x í 5y = 16 3 ` ` geeft e c e 3x + 4y = 10 ௘2 6x + 8y = 20 ௘ í í23y = 28 5 y = í123 5 f 2x í 5 Â í123 = 16 2x í 5y = 16 2 2x + 623 = 16 21 2x = 923

8

De oplossing is (x, y) =

(

5 422 23 , í123

x = 422 23

).

Bladzijde 141 2

a x2 + y2 í 4x + 10y í 6 = 0 x2 í 4x + y2 + 10y í 6 = 0 (x í 2)2 í 4 + (y + 5)2 í 25 í 6 = 0 (x í 2)2 + (y + 5)2 = 35 b x2 + y2 + 8x í 6y + 13 = 0 x2 + 8x + y2 í 6y + 13 = 0 (x + 4)2 í 16 + (y í 3)2 í 9 + 13 = 0 (x + 4)2 + (y í 3)2 = 12

c x2 + y2 + 3x í y í 1 = 0 x2 + 3x + y2 í y í 1 = 0 ( x + 112 )2 í 214 + ( y í 12 ) 2 í 14 í 1 = 0 ( x + 112 )2 + ( y í 12 )2 = 312 d x2 + y2 í 5x + 5y + 10 = 0 x2 í 5x + y2 + 5y + 10 = 0 (x í 212 )2 í 614 + ( y + 212 ) 2 í 614 + 10 = 0 (x í 212 )2 + (y + 212 )2 = 212

8.1 Lijnen en hoeken Bladzijde 142 1

a k:

106 Hoofdstuk 8

x

0

6

y

4

0

l:

x

0

334

y

212

0

© Noordhoff Uitgevers bv

y

5 4 k

3 2

l 1

–2

–1

O

1

2

3

4

5

6

x

–1 –2

b De lijnen k en l zijn evenwijdig en vallen niet samen, dus hebben geen enkel punt gemeenschappelijk. Dus het stelsel vergelijkingen heeft geen oplossingen. 2x + 3y = 12 2 4x + 6y = 24 ` ` geeft e c e 4x + 6y = 15 ௘ 4x + 6y = 15 1 Omdat de vergelijkingen zo te schrijven zijn dat de linkerleden van beide vergelijkingen gelijk zijn, zijn de lijnen evenwijdig. 2 3 Dit kan ook door te controleren dat = . 4 6 Bladzijde 143

2

3

p 3 = pí1 p+4 p(p í 1) = 3(p + 4) p2 í p = 3p + 12 p2 í 4p í 12 = 0 (p + 2)(p í 6) = 0 p = í2  p = 6 vold. vold. Dus voor p = 6 en q elk getal van » of voor p = í2 en q elk getal van ». b p = 6 geeft kp: 3x + 6y = 5 en lp,q: 5x + 10y = q. 3 6 5 Voor samenvallen geldt = = ofwel 3q = 25, dus q = 813 . 5 10 q p = í2 geeft kp: 3x í 2y = 5 en l p,q: í3x + 2y = q. 3 í2 5 Voor samenvallen geldt = = ofwel 3q = í15, dus q = í5. í3 2 q Dus voor (p, q) = (6, 813 ) en (p, q) = (í2, í5). a kp // lp,q, dus

8

p q 4 = = . q+3 pí1 1 q 4 Kruiselings vermenigvuldigen bij = geeft q = 4p í 4. pí1 1 p 4 Kruiselings vermenigvuldigen bij = geeft p = 4q + 12, dus q = 14 p í 3. q+3 1 q = 4p í 4 1 f 4p í 4 = 4 p í 3 q = 14 p í 3 334 p = 1 Voor samenvallen geldt

4 p = 15 4 4 p = 15 geeft q = 4 Â 15 í 4 = í214 15 4 Dus p = 15 en q = í214 15 .

© Noordhoff Uitgevers bv

Meetkunde met coördinaten 107

4

a

t

í2

í1

0

1

x

í2

1

4

7

y

5

3

1

í1

y

5

4

3

2

1

–2

–1

O

1

2

3

4

5

6

7

x

–1

–2

2x = 6t + 8 x = 3t + 4 2 ` ` geeft b 3y = í6t + 3 y = í2t + 1 3 + 2x + 3y = 11 c Door t te elimineren krijg je de vergelijking van de lijn 2x + 3y = 11, b

8

b

dus b

x = 3t + 4 stelt een lijn voor. y = í2t + 1

Bladzijde 144

5

x c Vrijmaken van t in x = at + c geeft at = x í c, dus t = a í a . x c x c Substitutie van t = a í a in y = bt + d geeft y = b  a í a + d b bc y = a Âx í a + d b Dus de richtingscoëf¿ciënt van de lijn is a .

( )

6

a

b

x = 5t + p 4 4x = 20t + 4p ` ` geeft b y = 4t + 3 5 ௘5y = 20t + 15 í ௘ 4x í 5y = 4p í 15 r 4p í 15 = í10 ௘4x í 5y = í10 4p = 5 p = 114

Alternatieve oplossing Kies een punt op 4x í 5y = í10, bijvoorbeeld (0, 2). 0 = 5t + p Hieruit volgt b ௘ 2 = 4t + 3 2 = 4t + 3 geeft 4t = í1, dus t = í 14 . Dus 0 = 5 Â í 14 + p geeft p = 114 .

108 Hoofdstuk 8

© Noordhoff Uitgevers bv

b (5, 2) invullen in x = 2t + p en y = ít í 2p geeft b

7

5 = 2t + p 5 = 2t + p 1 ` ` geeft b 4 = í2t í 4p 2 = ít í 2p 2 + 9= í3p p = í3

c b

x = 3t + p 2 2x ` ` geeft b y = 2t + 3 3 3y

= 6t + 2p = 6t + 9

a b

x = at í 3 b bx ` ` geeft b y = bt + 1 a ay

= abt í 3b = abt + a

í 2x í 3y = 2p í 9 r 2p í 9 = p 2x í 3y = p p=9

í bx í ay = í3b í a r 3b í 4a = í3b í a door (3, 4) 6b = 3a 2b = a

Dus kies bijvoorbeeld b = 1, dan is a = 2 r k: x í 2y = í5 bx í ay = í3b í a ௘ 1 í2 Omdat geldt dat  vallen k en l niet samen en snijden elkaar in (3, 4). 5 2 l: 2x + 5y = c r c = 2  3 + 5  4 = 26 door (3, 4) Dus mogelijke waarden zijn a = 2, b = 1 en c = 26. b k: bx í ay = í3b í a en l: 2x + 5y = c vallen samen als geldt

b ía í3b í a = = c . 2 5

b ía volgt dat 5b = í2a. Kies bijvoorbeeld a = 5, dus b = í2. = 2 5 ía í3b í a í5 í3 Â í2 í 5 = 5 c ¶ geeft 5 = c a = 5 en b = í2 í5 1 = 5 c c = í1 Dus mogelijke waarden zijn a = 5, b = í2 en c = í1. Uit

8

Bladzijde 145 8

a y = 0 geeft 2x = 18 x=9 Dus het snijpunt met de x-as is (9, 0). x = 0 geeft 3y = 18 y=6 Dus het snijpunt met de y-as is (0, 6).

x y b 2x + 3y = 18 links en rechts delen door 18 geeft + = 1 9 6 x c In de noemer van de breuk staat de x-coördinaat van het snijpunt met de x-as. 9 y In de noemer van de breuk staat de y-coördinaat van het snijpunt met de y-as. 6 9

a

x y + =1 x a b ¶ a+0=1 y=0 x a=1 x=a Dus het snijpunt met de x-as is (a, 0).

© Noordhoff Uitgevers bv

x y y + =1 ¶ 0+ =1 a b b x=0 y =1 b y=b Dus het snijpunt met de y-as is (0, b). b

Meetkunde met coördinaten 109

Bladzijde 146

x y + =1 4 í7 Dus k: 7x í 4y = 28. y x b l: + =1 2p íp Dus l: x í 2y = 2p. x y c m: q + = 1 5 5x + qy = 5q r 5  3 + q  í1 = 5q door (3, í1) 15 í q = 5q í6q = í15 ௘q = 212

10

a k:

11

a k:

x y + =1 2 í1 Dus k: x í 2y = 2. x y l: + =1 5 í3 Dus l: 3x í 5y = 15. 3 3x í 6y = 6 x í 2y = 2 ` ` geeft b 3x í 5y = 15 3x í 5y = 15 1 íy = í9 í y=9 r x í 2Â9 = 2 x í 2y = 2 x í 18 = 2 x = 20 Dus het snijpunt is (20, 9).

b b

12 8

13

x y a l: p + = 1 5 Dus l: 5x + py = 5p.

x y + =1 4 q Dus m: qx + 4y = 4q.

b m:

x y + =1 3r r Dus n: x + 3y = 3r.

c n:

x y a k: p + = 1 8 Dus k: 8x + py = 8p. b 8x + py = 8p r 8  1 + p  2 = 8p door (1, 2) 8 + 2p = 8p í6p = í8 p = 113 c k: 8x + py = 8p geeft py = í8x + 8p 8 y = íp x + 8 k // l geeft rc k = rc l 8 íp = 2 2p = í8 p = í4 Bladzijde 147

14

x y + =1 3 p Dus k: px + 3y = 3p. x y l: + =1 2p 5 Dus l: 5x + 2py = 10p.

a k:

110 Hoofdstuk 8

© Noordhoff Uitgevers bv

b k: px + 3y = 3p r p  1 + 3  2 = 3p door A(1, 2) p + 6 = 3p í2p = í6 p=3 l: 5x + 2py = 10p r 5  1 + 2p  2 = 10p door A(1, 2) 5 + 4p = 10p í6p = í5 p = 56 c k: px + 3y = 3p geeft 3y = ípx + 3p y = í 13 px + p k // m geeft rc k = rc m í 13 p = 4 p = í12 5 2p d l // n geeft = 2 3 4p = 15 p = 334 15

a Alle lijnen met vergelijking y = ax + 3 hebben een richtingscoëf¿ciënt. Jan mist dus lijnen zonder richtingscoëf¿ciënt, ofwel verticale lijnen. Dus Jan mist de y-as. x y Voor elke p  0 zit er een term met x in de vergelijking + = 1. Harm mist dus de horizontale lijn y = 3. Verder p 3 mag p geen 0 zijn, dus Harm mist ook de verticale lijn x = 0 ofwel de y-as. b Je mist de lijn x = 4. c Je mist de lijnen y = 0 en x = 4.

16

a px + 2y = 8 r pÂ3 + 2Â5 = 8 door (3, 5) 3p + 10 = 8 3p = í2 p = í 23 b px + 2y = 8 r pÂ3 + 2Â0 = 8 door (3, 0) 3p = 8 p = 223 c 3x + 5y = 10 evenwijdig met kp geeft

d

x y + = 1 geeft 5x + 2y = 10 2 5 5x + 2y = 10 evenwijdig met kp geeft

17

a

8

3 5 = p 2 5p = 6 p = 115 5 2 = , dus p = 5. p 2

y x + =1 3 p p+2 ¶ + 4 =1 p p+2 door (3, 4) 3(p + 2) 4p + =1 p(p + 2) p(p + 2) 3p + 6 + 4p =1 p(p + 2) 7p + 6 =1 p2 + 2p p2 + 2p = 7p + 6 p2 í 5p í 6 = 0 (p + 1)(p í 6) = 0 p = í1  p = 6

© Noordhoff Uitgevers bv

Meetkunde met coördinaten 111

b

y x + =1 p p+2 (p + 2)x + py = p(p + 2) py = í(p + 2)x + p(p + 2) p+2 y = í p Âx + p + 2 p+2 rc = 2 geeft í p = 2 p + 2 = í2p 3p = í2 p = í 23

Bladzijde 148

BC 2 = =2 AC 1 “CAB § 63,435° b De tangens van de hoek tussen l en m is 14 . Dit geeft dat de hoek ongeveer gelijk is aan 14,036°. c De hoek tussen k en m is 63,4349...° + 14,0362...° § 77,5°.

18

a tan(“CAB) =

19

Als de eenheden langs de assen verschillend zijn, dan maakt bijvoorbeeld de lijn y = x geen hoek van 45° met de x-as, maar is elke hoek afhankelijk van de keuze van de eenheden.

20

a y = 3x + 4, dus rc k = 3. tan(Į) = 3 geeft Į = 71,56...° y = 2x í 1, dus rc l = 2. tan(ȕ) = 2 geeft ȕ = 63,43...° Į í ȕ = 71,56...° í 63,43...° § 8° De gevraagde hoek is 8°.

Bladzijde 149

Bladzijde 150

8

b y = 112 x + 2, dus rcm = 112 . tan(Į) = 112 geeft Į = 56,30...° y = í 12 x + 3, dus rc n = í 12 . tan(ȕ) = í 12 geeft ȕ = í26,56...° Į í ȕ = 56,30...° í í26,56...° § 83° De gevraagde hoek is 83°. c y = 312 x í 1, dus rc p = 312 . tan(Į) = 312 geeft Į = 74,05...° y = í114 x + 5, dus rc q = í114 . tan(ȕ) = í114 geeft ȕ = í51,34...° Į í ȕ = 74,05...° í í51,34...° = 125,39...° De gevraagde hoek is 180° í 125,39...° § 55°. 21

a 3x í 2y = 5 í2y = í3x + 5 y = 112 x í 212 , dus rck = 112 . tan(Į) = 112 geeft Į = 56,30...° 4x í 3y = 6 í3y = í4x + 6 y = 113 x í 2, dus rcl = 113 . tan(ȕ) = 113 geeft ȕ = 53,13...° Į í ȕ = 56,30...° í 53,13...° § 3,2° De gevraagde hoek is 3,2°.

112 Hoofdstuk 8

© Noordhoff Uitgevers bv

b 4x + y = 1 y = í4x + 1, dus rc m = í4. tan(Į) = í4 geeft Į = í75,96...° 3x + 4y = 2 4y = í3x + 2 y = í 34 x + 12 , dus rc n = í 34 . tan(ȕ) = í 34 geeft ȕ = í36,86...° ȕ í Į = í36,86...° í í75,96...° § 39,1° De gevraagde hoek is 39,1°. c 5x + 3y = 4 3y = í5x + 4 y = í123 x + 113 , dus rc p = í123 . tan(Į) = í123 geeft Į = í59,03...° 6x í 5y = 1 í5y = í6x + 1 y = 115 x í 15 , dus rc q = 115 . tan(ȕ) = 115 geeft ȕ = 50,19...° ȕ í Į = 50,19...° í í59,03...° = 109,23...° De gevraagde hoek is 180° í 109,23...° § 70,8°. 22

a k: y = 23 x + 4 tan(Į) = 23 geeft Į = 33,69...° 6x í 5y = 3 í5y = í6x + 3 y = 115 x í 35 , dus rc l = 115 . tan(ȕ) = 115 geeft ȕ = 50,19...° ȕ í Į = 50,19...° í 33,69...° § 16,5° De gevraagde hoek is 16,5°. 5í0 b rc m = = í114 0í4 tan(Į) = í114 geeft Į = í51,34...° 1í0 1 rc n = = 0 í í2 2 tan(ȕ) = 12 geeft ȕ = 26,56...° ȕ í Į = 26,56...° í í51,34...° § 77,9° De gevraagde hoek is 77,9°. 6í1 c rc p = = 123 5í2 tan(Į) = 123 geeft Į = 59,03...° í6 í 1 rc q = = í125 2 í í3 tan(ȕ) = í125 geeft ȕ = í54,46...° Į í ȕ = 59,03...° í í54,46...° = 113,49...° De gevraagde hoek is 180° í 113,49...° § 66,5°.

© Noordhoff Uitgevers bv

8

Meetkunde met coördinaten 113

8.2 Afstanden bij punten en lijnen Bladzijde 152 23

a In +ABC is AB2 = AC2 + BC2 AB2 = 22 + 32 AB2 = 13 AB = 冑13 b M(

2, 312

y

B

5

)

83 + 89 61 + 69 c xN = = 86 en yN = = 65, dus N(86, 65). 2 2

4

3

2

C

A

1

O

1

2

3

x

Bladzijde 153

24

a M ( 12 (p + p + 2), 12 (3 + 2p)) M ( p + 1, 112 + p) M ( p + 1, p + 112 )

8

b d(A, B) = 冑(p + 2 í p)2 + (2p í 3)2 = 冑4 + 4p2 í 12p + 9 = 冑4p2 í 12p + 13 4p í 6 1 c d(A, B) = d(p) = 冑4p2 í 12p + 13 geeft d'(p) = Â (8p í 12) = 冑4p2 í 12p + 13 2冑4p2 í 12p + 13 d'(p) = 0 geeft 4p í 6 = 0 4p = 6 p = 112 voldoet d(A, B)

O

p

1 12

冑

De minimale afstand is d (112 ) = 4 Â ( 112 ) 2 í 12 Â 112 + 13 = 冑4 = 2. d y1 = 冑 í 12x + 13 en y2 = 5. Intersect geeft x § 3,80. 4x2

d(A, B) 5

O

3,80

p

d(A, B) > 5 geeft p > 3,80

114 Hoofdstuk 8

© Noordhoff Uitgevers bv

Bladzijde 154

25

a d = 冑(p + q í 0)2 + (q í p)2 = 冑(p + q)2 + (q í p)2 = 冑p2 + 2pq + q2 + q2 í 2pq + p2 = 冑2p2 + 2q2 b q = 2p geeft d = 冑2p2 + 2 Â (2p)2 = 冑2p2 + 2 Â 4p2 = 冑10p2 = p冑10 Dus c = 10. c q = 冑p en d = 12 geeft 2p2 + 2(冑p)2 = 12

冑

冑2p2 + 2p = 12

kwadrateren geeft 2p2 + 2p = 144 2p2 + 2p í 144 = 0 p2 + p í 72 = 0 (p í 8)(p + 9) = 0 p = 8  p = í9 vold. vold. niet

Dus p = 8. 26

a M ( 12 (3 + p + 5), 12 (4 + p + 2)) M ( 12 p + 4, 12 p + 3) 1 1 r 2 ( 2 p + 4) í 3 = 2 p + 3 y = 2x í 3 1 p + 8 í 3 = 2p + 3 1 2 p = í2 p = í4 b d = 冑(p + 5 í 3)2 + (p + 2 í 4)2 = 冑(p + 2)2 + (p í 2)2 = 冑p2 + 4p + 4 + p2 í 4p + 4 = 冑2p2 + 8 Dus a = 2 en b = 8. c d(B, C) = d(p) = 冑(2p í (p + 5))2 + (3p í (p + 2))2 = 冑(p í 5)2 + (2p í 2)2 = 冑p2 í 10p + 25 + 4p2 í 8p + 4 = 冑5p2 í 18p + 29 5p í 9 1 geeft d'(p) = Â (10p í 18) = 冑5p2 í 18p + 29 2冑5p2 í 18p + 29

8

d'(p) = 0 geeft 5p í 9 = 0 5p = 9 p = 145 voldoet d(B, C)

O

1 45

p

冑

冑

De minimale afstand is d (145 ) = 5 Â ( 145 ) 2 í 18 Â 145 + 29 = 1245 = 27

冑

64 5

=

8 冑5 Â = 13 冑5. 冑5 冑5 5

tan(Į) = rc k = 2 geeft Į = 63,434...° tan(ȕ) = rc l = í 12 geeft ȕ = í26,565...° Į í ȕ = 63,434° í í26,565...° = 90° De gevraagde hoek is 90°.

© Noordhoff Uitgevers bv

Meetkunde met coördinaten 115

Bladzijde 155 28

a Stel k: y = ax + b. k C l, dus rc k  rcl = í1 r rc k  3 = í1 rc l = 3 rc k = í 13 , dus a = í 13 1 y = í3 x + b 1 r í3  6 + b = 7 door A(6, 7) í2 + b = 7 b=9 Dus k: y = í 13 x + 9. b Stel m: y = ax + b. m C n, dus rc m  rc n = í1 rc 1 r m  2 = í1 rc n = 12 rc m = í2, dus a = í2 y = í2x + b r í2  í3 + b = 4 door B(í3, 4) 6+b=4 b = í2 Dus m: y = í2x í 2. c Stel p: y = ax + b. p C q, dus rc p  rc q = í1 2 r rc p  í 7 = í1 rc q = í 27 rc p = 312, dus a = 312 y = 312 x + b 1 r 32  2 + b = í5 door C(2, í5) 7 + b = í5 b = í12 Dus p: y = 312 x í 12.

29

8

30

31

a 2x í 3y = 5 geeft í3y = í2x + 5, dus y = 23 x í 123 . 3x + 2y = c geeft 2y = í3x + c, dus y = í112 x + 12 c. rc k  rc l = 23  í112 = í1, dus elke lijn van de vorm 3x + 2y = c staat loodrecht op k: 2x í 3y = 5. b l: 3x + 2y = c r c = 3  4 + 2  1 = 14 door A(4, 1) Dus l: 3x + 2y = 14. c m C n, dus m: 5x í 4y = c. 5x í 4y = c r c = 5  3 í 4  í1 = 19 door B(3, í1) Dus m: 5x í 4y = 19. a c y vrijmaken in ax + by = c geeft by = íax + c, dus y = í  x + . b b b d y vrijmaken in bx í ay = d geeft ay = bx í d, dus y = a  x í a . a b rc k  rc l = í  a = í1, dus k C l. b x y + = 1 geeft k: 5x + 3y = 15 3 5 b l C k, dus l: 3x í 5y = c. 3x í 5y = c r c = 3  2 í 5  í4 = 26 door A(2, í4) Dus l: 3x í 5y = 26. x y c m: + = 1 geeft m: 2x + y = 2p p 2p n C m, dus n: x í 2y = c. x í 2y = c r c = 5 í 2  í3 = 11 door B(5, í3) Dus n: x í 2y = 11. a k:

116 Hoofdstuk 8

© Noordhoff Uitgevers bv

Bladzijde 156 32

a Stel k: y = ax + b met a = y = 25 x + b r door A(2, 3)

2 5 4 5

5í3 2 = . 7í2 5

Â2 + b = 3

+b=3 b = 215

Dus k: y = 25 x + 215 . b Stel l: y = ax + b. l C k, dus rc k  rc l = í1 r rc k = 25

2 5

 rc l = í1 rc l = í212

y = í212 x + b 1 r í22  4 + b = 6 door C(4, 6) í10 + b = 6 b = 16 Dus l: y = í212 x + 16. í5 í 4 c Stel m: y = ax + b met a = = í145 . 2 í í3 n C m, dus rc m  rc n = í1 r í145  rc n = í1 rc m = í145 rc n = 59 n: y = 59 x + b r door F(3, 7)

5 9

Â3 + b = 7

123 + b = 7 b = 513

Dus n: y = 59 x + 513 . 33

a Stel k: y = ax + b. k C l, dus rc k  rc l = í1 3 r rc k  í 5 = í1 rc l = í 35 rc k = 123

8

y = 123 x + b 2 r 13  6 + b = 15 door A(6, 15) 10 + b = 15 b=5 Dus k: y = 123 x + 5. b m C n, dus m: 7x + 6y = c. 7x + 6y = c r c = 7  2 + 6  í2 = 2 door B(2, í2) Dus m: 7x + 6y = 2. x y + = 1 geeft 3x í 4y = í12 c í4 3 p loodrecht op 3x í 4y = í12, dus p: 4x + 3y = c. 4x + 3y = c r c = 4  í5 + 3  3 = í11 door C(í5, 3) Dus p: 4x + 3y = í11. í1 í 5 = í112 . 5í1 q staat loodrecht op deze lijn, dus rc q  í112 = í1 en dit geeft rc q = 23 .

d De lijn door E(1, 5) en F(5, í1) heeft richtingscoëf¿ciënt Dus q: y = 23 x + b r door D(í6, 4) Dus q: y = 23 x + 8.

© Noordhoff Uitgevers bv

2 3

 í6 + b = 4 í4 + b = 4 b=8

Meetkunde met coördinaten 117

3p í 0 3p = = í112 0 í 2p í2p aq í 0 aq a rc l = = =í 0 í 3q í3q 3 k C l geeft rc k  rc l = í1 a í112  í = í1 3 1 a í1 = 2 a = í2

34

rc k =

35

a Stel l: y = ax + b. k C l, dus rc k  rc l = í1 r rc k = 12

1 2

 rc l = í1 rc l = í2

y = í2x + b r í2 Â 1 + b = 3 door A(1, 3) b=5 Dus l: y = í2x + 5. k en l snijden geeft 12 x = í2x + 5 212 x = 5 x=2 x = 2 geeft y = 12 Â 2 = 1, dus B(2, 1). b d(A, B) = 冑(2 í 1)2 + (1 í 3)2 = 冑1 + 4 = 冑5 Dus de afstand van A tot k is 冑5. Bladzijde 157 36

8

a De lijn p gaat door A en staat loodrecht op k. rc k  rc p = í1 1 ¶ 2  rc p = í1 rc k = 12 rcp = í2 p: y = í2x + b r í2  3 + b = 0 door A(3, 0) í6 + b = 0 b=6 Dus p: y = í2x + 6. k en p snijden geeft 12 x + 1 = í2x + 6 212 x = 5 x=2 r y = 12  2 + 1 y = 12 x + 1 ௘ y=2 Dus C(2, 2). d(A, k) = d(A, C) = 冑(2 í 3)2 + (2 í 0)2 = 冑1 + 4 = 冑5 b De lijn q gaat door B en staat loodrecht op l. q: x í 2y = c r c = 6 í 2Â0 = 6 B(6, 0) Dus q: x í 2y = 6. q en l snijden geeft 2x + y = 2 2 4x + 2y = 4 ` ` geeft b x í 2y = 6 x í 2y = 6 1 + 5x = 10 x=2 r 2Â2 + y = 2 2x + y = 2 4+y=2 y = í2 Dus D(2, í2). d(B, l) = d(B, D) = 冑(2 í 6)2 + (í2 í 0)2 = 冑16 + 4 = 冑20 = 2冑5 b

118 Hoofdstuk 8

© Noordhoff Uitgevers bv

c De lijn r gaat door O en staat loodrecht op m. rc m  rc r = í1 r í3  rc r = í1 rc m = í3 rc r = 13 1 Dus r: y = 3 x. m en r snijden geeft 13 x = í3x + 10 313 x = 10 x=3 1 r y = 3 Â3 y = 13 x y=1 Dus E(3, 1). d(O, m) = d(O, E) = 冑(3 í 0)2 + (1 í 0)2 = 冑9 + 1 = 冑10 d De lijn s gaat door O en staat loodrecht op n, dus s: 4x + 3y = 0. s en n snijden geeft 3x í 4y = 12 3 9x í 12y = 36 ` ` geeft b 16x + 12y = 0 4x + 3y = 0 4 + 25x = 36 x = 111 11 25 r 4  125 + 3y = 0 4x + 3y = 0 19 525 + 3y = 0 3y = í519 25 y = í123 25 23 Dus F ( 111 25 , í125 ) . 23 36 2 48 2 2 2 d(O, n) = d(O, F) = ( 111 25 í 0) + ( í125 í 0) = ( 25 ) + ( í 25 ) = b

冑

37

冑

冑

De lijn k door de punten B(2, 1) en C(7, 3) heeft richtingscoëf¿ciënt k: y = 25 x + b r door B(2, 1)

2 5

Â2 + b = 1

4 5

+b=1

1296 625

+ 2304 625 =

冑

3600 625

12 2 = 60 25 = 5 = 25

3í1 2 = . 7í2 5

b = 15

8

Dus k: y = 25 x + 15 . l C k, dus rc k  rc l = í1 r rc k = 25 l: y = í212 x + b door A ( 312 , 412 ) Dus l: y =

í212 x

2 5

 rc l = í1 rcl = í212

1 1 1 ¶ í22 Â 32 + b = 42

í834 + b = 412

b = 1314 + 1314 .

k en l snijden geeft 25 x + 15 = í212 x + 1314 8x + 4 = í50x + 265 58x = 261 x = 412 ¶ y = 25 Â 412 + 15 = 2 y = 25 x + 15 Dus D ( 412 , 2) . d(A, k) = d(A, D) =

© Noordhoff Uitgevers bv

冑(4

1 2

冑

冑

í 312 ) 2 + ( 2 í 412 ) 2 = 1 + 614 = 714 § 2,69

Meetkunde met coördinaten 119

38

De lijn m gaat door A en staat loodrecht op k. m: 3x í y = c r c = 3 Â 1 í 4 = í1 door A(1, 4) Dus m: 3x í y = í1. k en m snijden geeft 1 x + 3y = 3 x + 3y = 3 b ` ` geeft b 3x í y = í1 3 9x í 3y = í3 + 10x =0 x=0 r 3y = 3 x + 3y = 3 ௘ y=1 Dus B(0, 1). d(A, k) = d(A, B) = 冑(0 í 1)2 + (1 í 4)2 = 冑1 + 9 = 冑10 De lijn n gaat door A en staat loodrecht op l. n: x í y = c r c = 1 í 4 = í3 door A(1, 4) Dus n: x í y = í3. x+y= 9 l en n snijden geeft b x í y = í3 + 2x = 6 x=3 r y=6 x+y=9 Dus C(3, 6). d(A, l) = d(A, C) = 冑(3 í 1)2 + (6 í 4)2 = 冑4 + 4 = 冑8 Nee, A ligt dichter bij l dan bij k.

39

a De lijn k door A(1, 0) en B(7, 4) heeft richtingscoëf¿ciënt k: y = 23 x + b r door A(1, 0)

8

2 3

Â1 + b = 0

2 3

+b=0

4í0 2 = . 7í1 3

b = í 23 Dus k: y = 23 x í 23 . De lijn l door C staat loodrecht op k, dus rc k  rc l = í1 2 3  rc l = í1 rc l = í112 1 l: y = í12 x + b 1 1 ¶ í12  32 + b = 6 door C ( 312 , 6) 1 í54 + b = 6 b = 1114 Dus l: y = í112 x + 1114 . k en l snijden geeft 23 x í 23 = í112 x + 1114 8x í 8 = í18x + 135 26x = 143 x = 512 s y = 23  512 í 23 y = 23 x í 23 y=3 Dus D (512 , 3) . d(C, k) = d(C, D) =

冑 (5

1 2

í 312 )2 + (3 í 6)2 = 冑4 + 9 = 冑13

b d(A, B) = 冑(7 í 1)2 + (4 í 0)2 = 冑36 + 16 = 冑52 = 2冑13 O(+ABC) = 12 Â d(A, B) Â d(C, AB) = 12 Â 2冑13 Â 冑13 = 13

120 Hoofdstuk 8

© Noordhoff Uitgevers bv

8.3 Cirkelvergelijkingen Bladzijde 159 40

a Dit volgt rechtstreeks uit de formule van de afstand tussen twee punten. b Als de afstand van P(x, y) tot M(1, 4) gelijk is aan 5, dan ligt P op de cirkel met middelpunt M en straal 5. c Een vergelijking van de cirkel met middelpunt M(1, 4) en straal 10 is (x í 1)2 + (y í 4)2 = 102 ofwel (x í 1)2 + (y í 4)2 = 100. d Middelpunt (í2, 3) en straal 冑16 = 4.

41

a c1: (x í 2)2 + (y + 5)2 = 9 b c2 met middelpunt (3, 1) raakt de x-as, dus straal 1. Dus c2: (x í 3)2 + (y í 1)2 = 1. c c3 met middelpunt (í4, 2) raakt de y-as, dus straal 4. Dus c3: (x + 4)2 + (y í 2)2 = 16. d c4 heeft middelpunt (3, 4) en gaat door de oorsprong, dus straal 冑(3 í 0)2 + (4 í 0)2 = 冑9 + 16 = 冑25 = 5. Dus c4: (x í 3)2 + (y í 4)2 = 25.

42

a De lijn l gaat door M en staat loodrecht op k. rc k = 13 , dus rc l = í3 l: y = í3x + b r í3 Â 5 + b = 5 door M(5, 5) í15 + b = 5 b = 20 l: y = í3x + 20 snijden met k geeft í3x + 20 = 13 x í313 x = í20 x=6 Het snijpunt van k en l is het raakpunt A(6, 2).

Bladzijde 160

r = d(M, k) = d(M, A) = 冑(5 í 6)2 + (5 í 2)2 = 冑1 + 9 = 冑10 Dus c1: (x í 5)2 + (y í 5)2 = 10. b De cirkels raken de x-as en de straal is 2 geeft yM = 2 of yM = í2. M op k, dus y = 2 geeft 13 x = 2 x = 6, dus M(6, 2) en y = í2 geeft 13 x = í2 x = í6, dus M(í6, í2) Dus c2: (x í 6)2 + (y í 2)2 = 4 en c3: (x + 6)2 + (y + 2)2 = 4. c De cirkels raken de y-as en de straal is 12 geeft xM = 12 of xM = í12. M op k, dus x = 12 geeft y = 13 Â 12 = 4, dus M(12, 4). en x = í12 geeft y = 13 Â í12 = í4, dus M (í12, í4). Dus c4: (x í 12)2 + (y í 4)2 = 144 en c5: (x + 12)2 + (y + 4)2 = 144. 43

8

a AB is middellijn, dus het middelpunt is het midden van AB. M ( 12 (í1 + 9), 12 (4 + 4) ) , ofwel M(4, 4). De straal is d(M, A) = 冑(9 í 4)2 + (4 í 4)2 = 5, dus (x í 4)2 + (y í 4)2 = 25. b Voor snijden met de x-as geldt y = 0. (x í 4)2 + (0 í 4)2 = 25 (x í 4)2 + 16 = 25 (x í 4)2 = 9 x í 4 = 3  x í 4 = í3 x=7  x=1 Dus de snijpunten met de x-as zijn (1, 0) en (7, 0). Voor snijden met de y-as geldt x = 0. (0 í 4)2 + (y í 4)2 = 25 16 + (y í 4)2 = 25 (y í 4)2 = 9 y í 4 = 3  y í 4 = í3 y=7  y=1 Dus de snijpunten met de y-as zijn (0, 1) en (0, 7).

© Noordhoff Uitgevers bv

Meetkunde met coördinaten 121

c Het middelpunt van c2 is (4, 0) en de straal is 3. Dus c2: (x í 4)2 + y2 = 9. Het middelpunt van c3 is (0, 4) en de straal is 3. Dus c3: x2 + (y í 4)2 = 9. Bladzijde 161 44

a Middelpunt A en raakt de x-as, dus straal is yA = 7. c1: (x í 3)2 + (y í 7)2 = 49 b Middelpunt B en door de oorsprong, dus straal is d(O, B) = 冑92 + 12 = 冑82. c2: (x í 9)2 + (y í 1)2 = 82 c Middellijn AB dus middelpunt is het midden van AB, dus M ( 12 (9 + 3 ) , 12 (1 + 7)) ofwel M(6, 4). De straal is d(A, M) = 冑(6 í 3)2 + (4 í 7)2 = 冑9 + 9 = 冑18. c3: (x í 6)2 + (y í 4)2 = 18 d De lijn l gaat door A en staat loodrecht op k. l: 4x í 3y = c r c = 4 Â 3 í 3 Â 7 = í9 door A(3, 7) Dus l: 4x í 3y = í9. l snijden met k geeft 16x í 12y = í36 4x í 3y = í9 4 b ` ` geeft b 3x + 4y = 12 3 9x + 12y = 36 + 25x =0 x=0 r 4y = 12 3x + 4y = 12 y=3 Dus het snijpunt is S(0, 3). r = d(A, S) = 冑(3 í 0)2 + (7 í 3)2 = 冑9 + 16 = 冑25 = 5 De gevraagde cirkel is c4: (x í 3)2 + (y í 7)2 = 25. e De lijn m gaat door O en staat loodrecht op k. m: 4x í 3y = 0 m snijden met k geeft 4 4x í 3y = 0 16x í 12y = 0 b ` ` geeft b 3x + 4y = 12 3 9x + 12y = 36 + 25x = 36 11 x = 125 11 r 3 Â 125 + 4y = 12 3x + 4y = 12 8 425 + 4y = 12 4y = 717 25 y = 123 25 23 Dus het snijpunt is T ( 111 25 , 125 ) .

8

r = d(O, T) =

冑(1

)

11 2 25

冑

19 2 + ( 123 25 ) = 525 =

De gevraagde cirkel is c5: x2 + y2 = 519 25 .

冑

144 25

2 = 12 5 = 25

45

x2 + y2 í 4x + 6y í 3 = 0 x2 í 4x + y2 + 6y í 3 = 0 (x í 2)2 í 4 + (y + 3)2 í 9 í 3 = 0 (x í 2)2 + (y + 3)2 = 16

46 a

a x2 + y2 + 6x í 4y + 4 = 0 x2 + 6x + y2 í 4y + 4 = 0 (x + 3)2 í 9 + (y í 2)2 í 4 + 4 = 0 (x + 3)2 + ( y í 2)2 = 9 Dus van c1 is het middelpunt (í3, 2) en de straal 3. b x2 + y2 í 8x + 10y + 31 = 0 x2 í 8x + y2 + 10y + 31 = 0 (x í 4)2 í 16 + (y + 5)2 í 25 + 31 = 0 (x í 4)2 + (y + 5)2 = 10 Dus van c2 is het middelpunt (4, í5) en de straal 冑10.

Bladzijde 162

122 Hoofdstuk 8

© Noordhoff Uitgevers bv

c x2 + y2 + 5x + 3y + 3 = 0 x2 + 5x + y2 + 3y + 3 = 0 (x + 212 )2 í 614 + ( y + 112 )2 í 214 + 3 = 0 (x + 212 )2 + ( y + 112 )2 = 512

冑

Dus van c3 is het middelpunt (í212 , í112 ) en de straal 512 = d x2 + y2 í 7x + 8y = 0 x2 í 7x + y2 + 8y = 0 (x í 312 )2 í 1214 + (y + 4)2 í 16 = 0 (x í 312 )2 + (y + 4)2 = 2814

冑

Dus van c4 is het middelpunt (312 , í4) en de straal 2814 = 47 a

冑

11 2

冑

113 4

=

冑11 冑2 1 Â = 冑22. 冑2 冑2 2

= 12 冑113.

a x2 + y2 + 6x í 8y + 15 = 0 x2 + 6x + y2 í 8y + 15 = 0 (x + 3)2 í 9 + ( y í 4)2 í 16 + 15 = 0 (x + 3)2 + (y í 4)2 = 10 Dus M(í3, 4) en r = 冑10. b d(M, A) = 冑(0 í í3)2 + (4 í 4)2 = 冑9 + 0 = 3 c A ligt binnen de cirkel want d(M, A) < r. d d(M, B) = 冑(í3 í í3)2 + (4 í 0)2 = 冑0 + 16 = 4 B ligt buiten de cirkel want d(M, B) > r. Bladzijde 163

48 a

a x2 + y2 í 6x í 8y = 0 x2 í 6x + y2 í 8y = 0 (x í 3)2 í 9 + (y í 4)2 í 16 = 0 (x í 3)2 + (y í 4)2 = 25 Dus r = 5 en M(3, 4). d(M, A) = 冑(í1 í 3)2 + (2 í 4)2 = 冑16 + 4 = 冑20 < r, dus A ligt binnen cirkel c1. b x2 + y2 í 8x í 4y + 2 = 0 x2 í 8x + y2 í 4y + 2 = 0 (x í 4)2 í 16 + (y í 2)2 í 4 + 2 = 0 (x í 4)2 + (y í 2)2 = 18 Dus r = 冑18 en M(4, 2). d(M, O) = 冑42 + 22 = 冑16 + 4 = 冑20 > r, dus O ligt buiten cirkel c2. c x2 + y2 + 4x í 6y + 3 = 0 x2 + 4x + y2 í 6y + 3 = 0 (x + 2)2 í 4 + (y í 3)2 í 9 + 3 = 0 (x + 2)2 + (y í 3)2 = 10 Dus r = 冑10 en M(í2, 3). d(M, B) = 冑(1 í í2)2 + (4 í 3)2 = 冑32 + 12 = 冑10 = r, dus B ligt op cirkel c3.

8

Bladzijde 164 49 a

a x2 + y2 í 6x í 4y + 3 = 0 x2 í 6x + y2 í 4y + 3 = 0 (x í 3)2 í 9 + (y í 2)2 í 4 + 3 = 0 (x í 3)2 + (y í 2)2 = 10 Dus r = 冑10 en M(3, 2). d(M, A) = 冑(2 í 3)2 + (1 í 2)2 = 冑1 + 1 = 冑2 d(A, c) = 冑10 í 冑2 b d(M, B) = 冑(í1 í 3)2 + (5 í 2)2 = 冑16 + 9 = 冑25 = 5 d(B, c) = 5 í 冑10 c d(M, C) = 冑(9 í 3)2 + (4 í 2)2 = 冑36 + 4 = 冑40 = 2冑10 d(C, c) = 2冑10 í 冑10 = 冑10

© Noordhoff Uitgevers bv

Meetkunde met coördinaten 123

50 a

x2 + y2 í 2x + 4y = 0 x2 í 2x + y2 + 4y = 0 (x í 1)2 í 1 + (y + 2)2 í 4 = 0 (x í 1)2 + (y + 2)2 = 5 Dus r = 冑5 en M(1, í2). d(M, A) = 冑(4 í 1)2 + (0 í í2)2 = 冑32 + 22 = 冑13 d(A, c) = 冑13 í 冑5 = 1,369... De lijn l gaat door A en staat loodrecht op k. l: 6x í 4y = e r e = 6 Â 4 í 4 Â 0 = 24 door A(4, 0) Dus l: 6x í 4y = 24, ofwel l: 3x í 2y = 12. l snijden met k geeft 3x í 2y = 12 3 ௘9x í 6y = 36 geeft e e 4x + 6y = 29 1 4x + 6y = 29 + 13x = 65 x=5 r 3 Â 5 í 2y = 12 3x í 2y = 12 15 í 2y = 12 í2y = í3 y = 112 1 Dus S (5, 12 ) .

0 0

冑

冑

d(A, k) = d(A, S) = (5 í 4)2 + (112 í 0)2 = 1 + 214 =

冑

13 4

= 12 冑13 = 1,802...

Dus A ligt dichter bij c dan bij k. 51 a

8

x2 + y2 í 8x + a = 0 x2 í 8x + y2 + a = 0 (x í 4)2 í 16 + y2 + a = 0 (x í 4)2 + y2 = 16 í a Dus c heeft middelpunt M(4, 0) en straal r = 冑16 í a. De lijn l gaat door M staat loodrecht op k, dus l: x í 2y = c. l: x í 2y = c f c = 4 í 2Â0 = 4 door M(4, 0) Dus l: x í 2y = 4. l snijden met k geeft 2x + y = 18 2 ௘4x + 2y = 36 geeft e e x í 2y = 4 x í 2y = 4 1 + 5x = 40 x=8 r 2 Â 8 + y = 18 2x + y = 18 16 + y = 18 y=2 Dus S(8, 2).

0 0

d(M, k) = d(M, S) = 冑(8 í 4)2 + (2 í 0)2 = 冑42 + 22 = 冑20

冑20 = 冑16 í a 20 = 16 í a a = í4

52 a

De cirkel heeft straal 1 en middelpunt O(0, 0). Bladzijde 165

53 a

a (x í 5)2 + (y + 1)2 = 4 x2 í 10x + 25 + y2 + 2y + 1 = 4 x2 + y2 í 10x + 2y + 22 = 0 b (x í 4)2 + (y í 3)2 = 1 x2 í 8x + 16 + y2 í 6y + 9 = 1 x2 + y2 í 8x í 6y + 24 = 0

124 Hoofdstuk 8

c

(x í 212 )2 + ( y í 312 )2 = 16

x2 í 5x + 614 + y2 í 7y + 1214 = 16 x2 + y2 í 5x í 7y + 212 = 0 d (x í 1)2 + (y í 2)2 = 9 x2 í 2x + 1 + y2 í 4y + 4 = 9 x2 + y2 í 2x í 4y í 4 = 0

© Noordhoff Uitgevers bv

54 a

a x = í3 + 冑10cos(t) œ y = í4 + 冑10sin(t) b x2 + y2 í 4x í 10y + 13 = 0 x2 í 4x + y2 í 10y + 13 = 0 (x í 2)2 í 4 + (y í 5)2 í 25 + 13 = 0 (x í 2)2 + (y í 5)2 = 16 Dus x = 2 + 4cos(t) œ y = 5 + 4sin(t). c x2 + y2 + 2y = 0 x2 + (y + 1)2 í 1 = 0 x2 + (y + 1)2 = 1 Dus x = cos(t) œ y = í1 + sin(t).

55 a

Een pv van c1 is x = 3 + 5cos(t) œ y = 4 + 5sin(t). Het midden Q van P(3 + 5cos(t), 4 + 5sin(t)) en A(í5, 2) is

(

Q

)

3 + 5cos(t) + í5 4 + 5sin(t) + 2 , = (í1 + 212 cos(t), 3 + 212 sin(t)) . 2 2

Dus Q ligt op de cirkel (x + 1)2 + (y í 3)2 = 614 x2 + 2x + 1 + y2 í 6y + 9 = 614 x2 + y2 + 2x í 6y + 334 = 0 2 2 Dus c2: x + y + 2x í 6y + 334 = 0. 56 a

a x2 + y2 í 12x í 4y + 30 = 0 x2 í 12x + y2 í 4y + 30 = 0 (x í 6)2 í 36 + (y í 2)2 í 4 + 30 = 0 (x í 6)2 + (y í 2)2 = 10 c1 met middelpunt M(6, 2) en r = 冑10. d(M, A) = 冑(2 í 6)2 + (0 í 2)2 = 冑16 + 4 = 冑20 > r, dus A ligt buiten de cirkel. d(M, B) = 冑(7 í 6)2 + (5 í 2)2 = 冑1 + 9 = 冑10 = r, dus B ligt op de cirkel. d(M, C) = 冑(8 í 6)2 + (1 í 2)2 = 冑4 + 1 = 冑5 < r, dus C ligt binnen de cirkel. b Een pv van c1 is x = 6 + 冑10 cos(t) œ y = 2 + 冑10 sin(t). Het midden van P(6 + 冑10 cos(t), 2 + 冑10 sin(t)) en A(2, 0) is

(

Q

8

)

6 + 冑10 cos(t) + 2 2 + 冑10 sin(t) + 0 , = (4 + 12 冑10 cos(t), 1 + 12 冑10 sin(t)) . 2 2

Het midden van P(6 + 冑10 cos(t), 2 + 冑10 sin(t)) en B(7, 5) is

(

R

)

6 + 冑10 cos(t) + 7 2 + 冑10 sin(t) + 5 , = (612 + 12 冑10cos(t), 312 + 12 冑10sin(t)) . 2 2

Het midden van Q en R is

(

S

4 + 12 冑10 cos(t) + 612 + 12 冑10cos(t) 1 + 12 冑10 sin(t) + 312 + 12 冑10 sin(t) = , 2 2

)

(514 + 12 冑10 cos(t), 214 + 12 冑10 sin(t)) . Dus S ligt op de cirkel ( x í 514 )2 + ( y í 214 )2 = 212

9 1 x2 í 1012 x + 2716 + y2 í 412 y + 516 = 212 1 1 1 2 2 x + y í 102 x í 42 y + 308 = 0 Dus c2: x2 + y2 í 1012x í 412y + 3018 = 0.

8.4 Raaklijnen en snijpunten bij cirkels Bladzijde 167 57 a

a (x í 2)2 + (y í 1)2 = 10௘ f (5 í 2)2 + (2 í 1)2 = 10 A(5, 2) 32 + 12 = 10 10 = 10 Dus A ligt op c. 2í1 1 b rc l = = 5í2 3

© Noordhoff Uitgevers bv

Meetkunde met coördinaten 125

c k staat loodrecht op l geeft 13 Â rc k = í1, dus rc k = í3. k: y = í3x + b f í3 Â 5 + b = 2 door A(5, 2) í15 + b = 2 b = 17 Dus k: y = í3x + 17. Bladzijde 168 58 a

a Stel l: y = ax + b. í1 í 1 n door M en B met rc n = = 2, dus a = rc l = í 12 . 2í3 y = í 12 x + b f í 12  2 + b = í1 door B(2, í1) í1 + b = í1 b=0 Dus l: y = í 12 x. b De lijn q gaat door M en staat loodrecht op r: y = 2x, dus rc q = í 12 . q: y = í 12 x + b f í 12  3 + b = 1 door M(3, 1) í112 + b = 1 b = 212 1 Dus q: y = í 2 x + 212 . r en q snijden geeft 2x = í 12 x + 212 212 x = 212 x=1 x = 1 geeft y = 2  1 = 2, dus E(1, 2). d(M, E) = 冑(3 í 1)2 + (1 í 2)2 = 冑4 + 1 = 冑5 = r, dus E ligt op de cirkel. Dus de lijn r: y = 2x raakt de cirkel. c Snijden met de x-as, dus y = 0 geeft (x í 3)2 + (0 í 1)2 = 5 (x í 3)2 + 1 = 5 (x í 3)2 = 4 x í 3 = 2  x í 3 = í2 x=5  x=1 Dus C(1, 0) en D(5, 0). Stel p: y = ax + b. 1í0 1 q door M en C met rc q = = , dus rc p = í2. 3í1 2 y = í2x + b í2  1 + b = 0 door C(1, 0) f í2 + b = 0 b=2 Dus p: y = í2x + 2.

8

59 a

a De richtingshoek van k is Į. tan(Į) = 12 geeft Į = 26,56...° De richtingshoek van l is ȕ. tan(ȕ) = í 12 geeft ȕ = í26,56...° Į í ȕ = 26,56...° í í26,56...° § 53,1°, dus de hoek tussen k en l is 53,1°. b k snijden met l geeft 12 x + 2 = í 12 x x = í2 y = í 12  í2 = 1 y = í 12 x f Dus S(í2, 1). AM 冑5 c MS = xM í xS = 3 í í2 = 5 en AM = 冑5 geeft sin(“MSA) = . = 5 MS Dit geeft “ MSA = 26,56...° en ook hieruit volgt dat de hoek tussen k en l gelijk is aan 53,1°.

126 Hoofdstuk 8

© Noordhoff Uitgevers bv

60 a

a x = 3 geeft 32 + y2 í 12  3 + 11 = 0 9 + y2 í 36 + 11 = 0 y2 = 16 y = 4  y = í4 yA > yB, dus A(3, 4) en B(3, í4). x2 + y2 í 12x + 11 = 0 x2 í 12x + y2 + 11 = 0 (x í 6)2 í 36 + y2 + 11 = 0 (x í 6)2 + y2 = 25 Dus M(6, 0) en r = 5. Stel k: y = ax + b. 0í4 m door M en A met rcm = = í113 , dus rc k = 34 . 6í3 y = 34 x + b r 3 Â3 + b = 4 door A(3, 4) 4 1 24 + b = 4 b = 134 Dus k: y = 34 x + 134 . Stel l: y = ax + b. n door M en B met rcn =

0 í í4 = 113 , dus rc l = í 34 , 6í3

y = í 34 x + b r í 34 Â 3 + b = í4 door B(3, í4) í214 + b = í4 b = í134

Dus l: y = í 34 x í 134 . b De richtingshoek van k is Į. tan(Į) = 34 geeft Į = 36,86...° Dus de hoek tussen k en l is 2 Â 36,86...° § 74°. y c

8

c C 5 M 6

O

x

D

De raaklijnen door O raken de cirkel in de punten C en D. In +OMC is “ C = 90°, OM = 6 en MC = 5. sin(“MOC) = 56 geeft “ MOC = 56,442...° “DOC = 2  “ MOC = 2  56,44...° = 112,88...° De hoek tussen de raaklijnen door O is 180° í 112,88...° § 67°.

© Noordhoff Uitgevers bv

Meetkunde met coördinaten 127

61 a

a x2 + y2 í 4x + 2y í 12 = 0 x2 í 4x + y2 + 2y í 12 = 0 (x í 2)2 í 4 + (y + 1)2 í 1 í 12 = 0 (x í 2)2 + (y + 1)2 = 17 Dus M(2, í1) en r = 冑17. c snijden met de x-as, dus y = 0 geeft x2 í 4x í 12 = 0 (x + 2)(x í 6) = 0 x = í2  x = 6 Dus A(í2, 0) en B(6, 0). í1 í 0 n door M en A met rc n = = í 14 , dus rc k = 4. 2 í í2 tan(Į) = 4 geeft Į = 75,96...° í1 í 3 p door M en C met rc p = = í4, dus rc m = 14 . 2í1 tan(ȕ) = 14 geeft ȕ = 14,03...° Į í ȕ = 75,96...° í 14,03...° § 62° Dus de hoek tussen de lijnen k en m is 62°. í1 í 0 1 b q door M en B met rc q = = , dus rc l = í4. 2í6 4 l: y = í4x + b f í4  6 + b = 0 door (6, 0) í24 + b = 0 b = 24 Dus l: y = í4x + 24. m: y = 14 x + b door C(1, 3)

1

s 4 1 4

Â1 + b = 3

+b=3 b = 234

Dus m: y = 14 x + 234 . l en m snijden geeft 14 x + 234 = í4x + 24 414 x = 2114 x=5 y = í4 Â 5 + 24 = 4 y = í4x + 24 f Dus S(5, 4). c d(S, c) = d(S, M ) í r = 冑(5 í 2)2 + (4 í í1)2 í 冑17 = 冑9 + 25 í 冑17 = 冑34 í 冑17

8

Bladzijde 169 62 a

a x2 + y2 í 10x + 15 = 0 f x2 + (x í 1)2 í 10x + 15 = 0 y=xí1 x2 + x2 í 2x + 1 í 10x + 15 = 0 2x2 í 12x + 16 = 0 x2 í 6x + 8 = 0 2 b x í 6x + 8 = 0 (x í 2)(x í 4) = 0 x=2  x=4 x = 2 geeft y = 2 í 1 = 1 x = 4 geeft y = 4 í 1 = 3 Dus de snijpunten zijn (2, 1) en (4, 3).

128 Hoofdstuk 8

© Noordhoff Uitgevers bv

Bladzijde 170 63 a

m loodrecht op y = 4x + q, geeft rc m = í 14 .

m: y = í 14 x + b 1 s í4  5 + b = 1 door M(5, 1) ௘ í114 + b = 1 b = 214 Dus m: y = í 14 x + 214 . Substitutie van y = í 14 x + 214 in (x í 5)2 + (y í 1)2 = 17 geeft (x í 5)2 + (í 14 x + 214 í 1)2 = 17 Voer in y1 = (x í 5)2 + (í 14 x + 114 )2 en y2 = 17. Intersect geeft x = 1 en x = 9. x = 1 geeft y = í 14  1 + 214 = 2 x = 9 geeft y = í 14  9 + 214 = 0 Dus A(1, 2) en B(9, 0). y = 4x + q f 4Â1 + q = 2 door A(1, 2) 4+q=2 q = í2 y = 4x + q f 4Â9 + q = 0 door B(9, 0) 36 + q = 0 q = í36 Dus q = í2  q = í36. Bladzijde 171 64 a

a Substitutie van y = x + 1 in x2 + y2 í 10x í 2y + 9 = 0 geeft x2 + (x + 1)2 í 10x í 2(x + 1) + 9 = 0 x2 + x2 + 2x + 1 í 10x í 2x í 2 + 9 = 0 2x2 í 10x + 8 = 0 x2 í 5x + 4 = 0 (x í 1)(x í 4) = 0 x=1 x=4 x = 1 geeft y = 1 + 1 = 2 x = 4 geeft y = 4 + 1 = 5 De snijpunten zijn (1, 2) en (4, 5). b l: x + y = 6 geeft y = 6 í x Substitutie van y = 6 í x in x2 + y2 = 26 geeft x2 + (6 í x)2 = 26 x2 + 36 í 12x + x2 í 26 = 0 2x2 í 12x + 10 = 0 x2 í 6x + 5 = 0 (x í 1)(x í 5) = 0 x=1x=5 x = 1 geeft y = 6 í 1 = 5 x = 5 geeft y = 6 í 5 = 1 De snijpunten zijn (1, 5) en (5, 1). c Substitutie van x = t + 1 en y = 2t + 1 in x2 + y2 í 8x í 4y + 10 = 0 geeft (t + 1)2 + (2t + 1)2 í 8(t + 1) í 4(2t + 1) + 10 = 0 t2 + 2t + 1 + 4t2 + 4t + 1 í 8t í 8 í 8t í 4 + 10 = 0 5t2 í 10t = 0 5t(t í 2) = 0 t=0  t=2 t = 0 geeft x = 0 + 1 = 1 en y = 2  0 + 1 = 1 t = 2 geeft x = 2 + 1 = 3 en y = 2  2 + 1 = 5 Dus de snijpunten zijn (1, 1) en (3, 5).

© Noordhoff Uitgevers bv

8

Meetkunde met coördinaten 129

65 a

a 2x í 3y + 4 = 0 geeft 2x = 3y í 4 ofwel x = 112 y í 2. Substitutie van x = 112 y í 2 in (x í 6)2 + (y í 1)2 = 26 geeft (112 y í 2 í 6 )2 + (y í 1)2 = 26

(112 y í 8)2 + (y í 1)2 = 26 Voer in y1 = (112 x í 8)2 + (x í 1)2 en y2 = 26.

Intersect geeft x = 2 en x = 6. Dus y = 2 en y = 6. y = 2 geeft x = 112 Â 2 í 2 = 1 y = 6 geeft x = 112 Â 6 í 2 = 7 De snijpunten zijn (1, 2) en (7, 6). b 3x + 4y = 19 4y = í3x + 19 y = í 34 x + 434 Substitutie van y = í 34 x + 434 in x2 + y2 í 4x + 6y í 12 = 0 geeft x2 + (í 34 x + 434 )2 í 4x + 6 (í 34 x + 434 ) í 12 = 0 Voer in y1 = x2 + (í 34 x + 434 )2 í 4x + 6 (í 34 x + 434 ) í 12. De optie zero (TI) of ROOT (Casio) geeft x = 5. x = 5 geeft y = í 34 Â 5 + 434 = 1 Het gemeenschappelijke punt is (5, 1). c Substitutie van y = 2x in (x í 3)2 + (y í 1)2 = 9 geeft (x í 3)2 + (2x í 1)2 = 9 Voer in y1 = (x í 3)2 + (2x í 1)2 en y2 = 9. Intersect geeft x = 0,105... en x = 1,894... x = 0,105... geeft y = 2 · 0,105... = 0,211... x = 1,894... geeft y = 2 · 1,894... = 3,788... De snijpunten zijn (0,11; 0,21) en (1,89; 3,79). 66 a 8

a Substitutie van y = ax + 1 in x2 + y2 í 10x í 2y + 6 = 0 geeft x2 + (ax + 1)2 í 10x í 2(ax + 1) + 6 = 0 x2 + a2x2 + 2ax + 1 í 10x í 2ax í 2 + 6 = 0 (1 + a2)x2 í 10x + 5 = 0 D = (í10)2 í 4  (1 + a2)  5 = 100 í 20 í 20a2 = 80 í 20a2 y = ax + 1 raakt c als D = 0 f 80 í 20a2 = 0 D = 80 í 20a2 í20a2 = í80 a2 = 4 a = 2  a = í2 b Geen gemeenschappelijke punten als D < 0, dus als 80 í 20a2 < 0 í20a2 < í80 a2 > 4 a < í2  a > 2 c Twee snijpunten als D > 0, dus als 80 í 20a2 > 0 í20a2 > í80 a2 < 4 í2 < a < 2

130 Hoofdstuk 8

© Noordhoff Uitgevers bv

67 a

a Substitutie van y = 12 x + b in x2 + y2 í 10x í 2y + 6 = 0 geeft x2 + ( 12 x + b)2 í 10x í 2 ( 12 x + b) + 6 = 0 x2 + 14 x2 + bx + b2 í 10x í x í 2b + 6 = 0 114 x2 + (b í 11)x + b2 í 2b + 6 = 0 y = 12 x + b raakt c als D = 0 1 f (b í 11)2 í 4  14  (b2 í 2b + 6) = 0 D = (b í 11)2 í 4  114  (b2 í 2b + 6) 2 b í 22b + 121 í 5b2 + 10b í 30 = 0 í4b2 í 12b + 91 = 0 D = (í12)2 í 4  í4  91 = 1600 12 í 40 12 + 40 b=  b= í8 í8 b = 312  b = í612 b Geen gemeenschappelijke punten met c als D < 0, dus als í4b2 í 12b + 91 < 0.

−6 12

3 12

b

D

Dus b < í612  b > 312 . c Twee snijpunten als D > 0, dus als í4b2 í 12b + 91 > 0.

−6 12

3 12

b

D

Dus í612 < b < 312 . 68 a

8

a Het midden M van het lijnstuk AB is M ( 12 (í1 + 7), 12 (3 + í1)) = M(3, 1). r = d(A, M) = 冑(3 í í1)2 + (1 í 3)2 = 冑16 + 4 = 冑20 en M(3, 1) geeft c: (x í 3)2 + (y í 1)2 = 20 x2 í 6x + 9 + y2 í 2y + 1 í 20 = 0 x2 + y2 í 6x í 2y í 10 = 0 Substitutie van y = í2x + p in x2 + y2 í 6x í 2y í 10 = 0 geeft x2 + (í2x + p)2 í 6x í 2(í2x + p) í 10 = 0 x2 + 4x2 í 4px + p2 í 6x + 4x í 2p í 10 = 0 5x2 + (í4p í 2)x + p2 í 2p í 10 = 0 y = í2x + p raakt c als D = 0 f (í4p í 2)2 í 4  5  (p2 í 2p í 10) = 0 D = (í4p í 2)2 í 4  5  (p2 í 2p í 10) 16p2 + 16p + 4 í 20p2 + 40p + 200 = 0 í4p2 + 56p + 204 = 0 p2 í 14p í 51 = 0 ( p + 3)( p í 17) = 0 p = í3  p = 17

© Noordhoff Uitgevers bv

Meetkunde met coördinaten 131

b Substitutie van y = qx í 512 in x2 + y2 í 6x í 2y í 10 = 0 geeft x2 + (qx í 512 )2 í 6x í 2 (qx í 512 ) í 10 = 0 x2 + q2x2 í 11qx + 3014 í 6x í 2qx + 11 í 10 = 0 (1 + q2 )x2 + (í13q í 6)x + 3114 = 0 Geen punten gemeenschappelijk als D < 0 1 s (í13q í 6)2 í 4  (1 + q2)  314 < 0 D = (í13q í 6)2 í 4  (1 + q2)  3114 2 169q + 156q + 36 í 125 í 125q2 < 0 44q2 + 156q í 89 < 0 44q2 + 156q í 89 = 0 D = 1562 í 4  44  í89 = 40 000 í156 + 200 1 í156 í 200 1 q= =2 q= = í422 88 88 D

1 –4 22

1 2

q

1 44q2 + 156q í 89 < 0 geeft í422 < q < 12

8.5 Meetkunde met GeoGebra Bladzijde 173 69 a

a b c d

* * De baan is een rechte lijn. t = í10 geeft (2 Â í10 í 1, 3 í í10) ofwel (í21, 13). t = 10 geeft (2 Â 10 í 1, 3 í 10) ofwel (19, í7). Dus A beweegt tussen (í21, 13) en (19, í7).

8

Bladzijde 174 70 a

a k: y = í0,75x + 3,25 of k: 4,5x + 6y = 19,5 b l: y = í2x + 9 of l: 6,6x + 3,3y = 29,7

71 a

a * b *

72 a

a * b *

73 a

a b c d

* * * *

Bladzijde 176 74 a

a b c d

d(A, k) § 2,24 d(B, c) § 4,47 d(O, m) § 3,16 d(O, n) = 2,4

75 a

d(A, k) § 3,16 en d(A, l) § 2,83. Dus A ligt dichter bij l dan bij k. Bladzijde 177

76 a

a d(A, c) = 3,83 b d(C, c) = 0,59

132 Hoofdstuk 8

© Noordhoff Uitgevers bv

77 a

a Teken lijnstuk AC. AC snijdt c1 en c2 in de punten E en F. d(c1, c2) = d(E, F ) § 1,61 b In +ABC is AC = 冑32 + 22 = 冑13 EF = AC í r1 í r2 = 冑13 í 1 í 1 = 冑13 í 2 c d(c1, BD) § 0,66

Diagnostische toets Bladzijde 178

a1 a kp // lp,q, dus

p pí5 = p + 1 í(3 í p)

p pí5 = p + 1 í3 + p p  (í3 + p) = ( p + 1)( p í 5) í3p + p2 = p2 í 4p í 5 p = í5 vold. Dus voor p = í5 en q kan elk getal van \
zijn. b p = í5 geeft kp: í5x í 10y = 2 en lp,q: í4x í 8y = q. í5 í10 2 = = en dit geeft í5q = í8, dus q = 135 . í4 í8 q Dus voor p = í5 en q = 135 . Voor samenvallen geldt

a2 (2, 7) invullen in x = 3t í 6p en y = í2t + p geeft e

3

4

3t í 6p = 2 ௘ 2 ௘ 6t í 12p = 4 geeft e í2t + p = 7 3 í6t + 3p = 21 + í9p = 25 7 p = í29

0 0

8

x y a k: p + = 1 geeft k: 3x + py = 3p 3 b A(3, 6) op k, dus 3  3 + p  6 = 3p 9 + 6p = 3p 3p = í9 p = í3 3 p 3Â5 c k // m geeft = , dus p = = 712 . 2 5 2 a y = 4x + 2, dus rc k = 4. tan(Į) = 4 geeft Į = 75,96...° y = í 12 x + 6, dus rc l = í 12 . tan(ȕ) = í 12 geeft ȕ = í26,56...° Į í ȕ = 75,96...° í í26,56...° = 102,52...° Dus de gevraagde hoek is 180° í 102,52...° § 77,5°. í2 í 0 2 b rc m = = 0í3 3 2 tan(Į) = 3 geeft Į = 33,69...° 5í0 rc n = = í212 0í2 tan(ȕ) = í212 geeft ȕ = í68,19...° Į í ȕ = 33,69...° í í68,19...° = 101,88...° Dus de gevraagde hoek is 180° í 101,88...° § 78,1°.

© Noordhoff Uitgevers bv

Meetkunde met coördinaten 133

c 2x + 3y = 6 geeft 3y = í2x + 6 y = í 23 x + 2, dus rc p = í 23 2 tan(Į) = í 3 geeft Į = í33,69...° y = 8x í 6, dus rc q = 8 tan(ȕ) = 8 geeft ȕ = 82,87...° ȕ í Į = 82,87...° í í33,69...° = 116,56...° Dus de gevraagde hoek is 180° í 116,56...° § 63,4°. 5

a d(A, B) = 冑(3 í 2p)2 + (p + 1 í 0)2 = 冑9 í 12p + 4p2 + p2 + 2p + 1 = 冑5p2 í 10p + 10 b d(A, B) = 5 geeft 冑5p2 í 10p + 10 = 5 kwadrateren geeft 5p2 í 10p + 10 = 25 5p2 í 10p í 15 = 0 p2 í 2p í 3 = 0 (p + 1)(p í 3) = 0 p = í1  p = 3 d(A, B)

5

–1 O

8

3

p

d(A, B) < 5 geeft í1 < p < 3 c d(A, B) = d(p) = 冑5p2 í 10p + 10 geeft d'(p) = d'(p) = 0 geeft 5p í 5 = 0, dus p = 1.

2冑

5p2

5p í 5 1 Â (10p í 10) = 2 冑5p í 10p + 10 í 10p + 10

d(A, B)

O

1

p

De minimale afstand is d(1) = 冑5 Â 12 í 10 Â 1 + 10 = 冑5. d Het midden van het lijnstuk AB is M ( 12 (2p + 3), 12 (0 + p + 1) ofwel M ( p + 112 , 12 p + 12 ) . M op x + y = 6 geeft p + 112 + 12 p + 12 = 6 112 p = 4 p = 223

134 Hoofdstuk 8

© Noordhoff Uitgevers bv

6

a Stel k: y = ax + b. k C l, dus rc k  rc l = í1 1 r rc k  í 3 = í1 rc l = í 13 rc k = 3 y = 3x + b 3Â2 + b = 3 door A(2, 3) r 6+b=3 b = í3 Dus k: y = 3x í 3. b m C n, dus m: 2x í 3y = c. 2x í 3y = c c = 2  2 í 3  í4 = 16 door B(2, í4) r Dus m: 2x í 3y = 16. c Stel p: y = ax + b. p C q, dus rc p  rc q = í1 s rcp  í113 = í1 4í0 rc q = = í113 rc p = 34 0í3 y = 34 x + b 3  í2 + b = 6 door C(í2, 6) r 4 í112 + b = 6 b = 712 Dus p: y = 34 x + 712 .

7

a De lijn m staat loodrecht op k en gaat door A(6, í1). rck = 2, dus rcm = í 12 m: y = í 12 x + b 1 r í 2 Â 6 + b = í1 door A(6, í1) í3 + b = í1 b=2 Dus m: y = í 12 x + 2. m snijden met k geeft 2x í 3 = í 12 x + 2

8

212 x = 5 x=2 y = 2Â2 í 3 = 1 y = 2x í 3 r Het snijpunt is S(2, 1). d(A, k) = d(A, S) = 冑(2 í 6)2 + (1 í í1)2 = 冑16 + 4 = 冑20 = 2冑5 b Stel l: y = ax + b. 5í1 4 a= = = í1 í2 í 2 í4 n: y = íx + b í2 + b = 1 door C(2, 1) r b=3 Dus l: y = íx + 3. l C n, dus rc n = 1. y=x+b 3+b=5 door B(3, 5) r b=2 Dus n: y = x + 2. n snijden met l geeft x + 2 = íx + 3 2x = 1 x = 12 y = 12 + 2 = 212 y=x+2 r Dus het snijpunt is T ( 12 , 212 ) . d(B, l) = d(B, T ) =

© Noordhoff Uitgevers bv

冑(

1 2

冑

冑

í 3)2 + (212 í 5)2 = 614 + 614 = 1212 =

冑

25 2

=

5 冑2 Â = 21 冑2 冑2 冑2 2

Meetkunde met coördinaten 135

Bladzijde 179 8

a c1: (x í 8)2 + (y í 2)2 = 25 b De straal is gelijk aan d(A, B), dus r = 冑(8 í 2)2 + (2 í í3)2 = 冑36 + 25 = 冑61 Dus c2: (x í 2)2 + (y + 3)2 = 61. c De cirkel heeft middelpunt A en raakt de y-as, dus r = xA = 2. Dus c3: (x í 2)2 + (y + 3)2 = 4. d Het middelpunt M van c4 is het midden van het lijnstuk AB, dus M ( 12 (2 + 8) , 12 ( í3 + 2)) = M (5, í 12 ) . De straal van c4 is de helft van d(A, B), dus r = 12 冑61. c4: (x í 5)2 + ( y + 12 )2 = 14 Â 61 c4: (x í 5)2 + ( y + 12 )2 = 1514 e De lijn l staat loodrecht op k en gaat door B. rc k = 3, dus rc l = í 13 y = í 13 x + b í1 Â 8 + b = 2 door B(8, 2) r 3 2 í23 + b = 2 b = 423 Dus l: y = í 13 x + 423 . l snijden met k geeft 3x í 6 = í 13 x + 423 313 x = 1023 10x = 32 x = 315 y = 3 Â 315 í 6 = 335 y = 3x í 6 r Het snijpunt is S (315 , 335 ) . De straal van c5 is d(B, S) = c5: (x í

9

8

8)2

+ (y í

2)2

=

2535

冑 (3

1 5

í 8)2 + (335 í 2)2 =

冑

576 25

+ 64 25 =

冑

640 25

冑

= 2535 .

a x2 + y2 í 6x + 8y í 11 = 0 x2 í 6x + y2 + 8y í 11 = 0 (x í 3)2 í 9 + (y + 4)2 í 16 í 11 = 0 (x í 3)2 + (y + 4)2 = 36 Dus het middelpunt is (3, í4) en de straal is 6. b x2 + y2 + 3x í 7y = 0 x2 + 3x + y2 í 7y = 0 (x + 112 )2 í 214 + ( y í 312 )2 í 1214 = 0

(x + 112 )2 + ( y í 312 )2 = 1412 冑29 冑2 1 Dus het middelpunt is (í112 , 312 ) en de straal is 冑1412 = 冑29 Â = 2 冑58. 2 = 冑2 冑2

10

a x2 + y2 í 16x + 8y í 1 = 0 x2 í 16x + y2 + 8y í 1 = 0 (x í 8)2 í 64 + (y + 4)2 í 16 í 1 = 0 (x í 8)2 + (y + 4)2 = 81 Dus M(8, í4) en r = 9. d(M, A) = 冑(3 í 8)2 + (í4 í í4)2 = 冑25 + 0 = 5 < r, dus A ligt binnen cirkel c1. b d(M, B) = 冑(2 í 8)2 + (5 í í4)2 = 冑36 + 81 = 冑117 = 3冑13 d(B, c1) = d(M, B) í r = 3冑13 í 9 c d(M, C) = 冑(3 í 8)2 + (4 í í4)2 = 冑25 + 64 = 冑89 d(C, c1) = d(M, C) í r = 冑89 í 9 d Een pv van c1 is x = 8 + 9cos(t) œ y = í4 + 9sin(t). Het midden Q van P(8 + 9cos(t), í4 + 9sin(t)) en A(3, í4) is

(

Q

)

8 + 9cos(t) + 3 í 4 + 9sin(t) + í4 , = (512 + 412 cos(t), í4 + 412 sin(t)) . 2 2

Dus Q ligt op de cirkel (x í 512 )2 + (y + 4)2 = 2014 x2 í 11x + 3014 + y2 + 8y + 16 = 2014 x2 + y2 í 11x + 8y + 26 = 0 2 2 Dus c2: x + y í 11x + 8y + 26 = 0.

136 Hoofdstuk 8

© Noordhoff Uitgevers bv

11

a x2 + y2 + 14x í 4y + 43 = 0 x2 + 14x + y2 í 4y + 43 = 0 (x + 7)2 í 49 + (y í 2)2 í 4 + 43 = 0 (x + 7)2 + (y í 2)2 = 10 Cirkel met middelpunt M(í7, 2) en r = 冑10. Invullen van x = í8 in c geeft (í8 + 7)2 + (y í 2)2 = 10 1 + (y í 2)2 = 10 (y í 2)2 = 9 y í 2 = 3  y í 2 = í3 y = 5  y = í1 Dus A(í8, 5) en B(í8, í1). m door M en A met rc m = k C m, dus rc k = 13 . k: y = 13 x + b door A(í8, 5) r

5í2 = í3. í8 í í7

1 3

 í8 + b = 5 í223 + b = 5 b = 723 1 Dus k: y = 3 x + 723 . í1 í 2 n door M en B met rc n = = 3. í8 í í7 l C n, dus rc l = í 13 . l: y = í 13 x + b í 1  í8 + b = í1 door B(í8, í1) r 32 23 + b = í1 b = í323 Dus l: y = í 13 x í 323 . b y = 13 x + 723 , dus rc k = 13 . tan(Į) = 13 , dus Į = 18,43...°

8

y = í 13 x í 323 , dus rc l = í 13 . tan(ȕ) = í 13 , dus ȕ = í18,43...° Į í ȕ = 18,43...° í í18,43...° § 37° De gevraagde hoek is 37°. c k en l snijden geeft 13 x + 723 = í 13 x í 323 2 3x

= í1113 x = í17 x = í17 geeft y = 13  í17 + 723 = 2, dus S(í17, 2). d(S, c) = d(S, M) í r = 冑(í17 í í7)2 + (2 í 2)2 í 冑10 = 10 í 冑10 d d(M, O) = 冑(í7)2 + 22 = 冑53 en r = 冑10. 冑10 In +OEM is sin(“ MOE) = 冑53 “ MOE = 25,74...° Vanwege symmetrie is “ MOF = “ MOE = 25,74...°, dus de hoek tussen de raaklijnen is 2  25,74...° § 51°.

y

c E 10 M 53

O

x

F

© Noordhoff Uitgevers bv

Meetkunde met coördinaten 137

12

a (x í 1)2 + (y í 2)2 = 5 x2 í 2x + 1 + y2 í 4y + 4 = 5 x2 + y2 í 2x í 4y = 0 y = í2x + p substitueren in x2 + y2 í 2x í 4y = 0 geeft x2 + (í2x + p)2 í 2x í 4(í2x + p) = 0 x2 + 4x2 í 4px + p2 í 2x + 8x í 4p = 0 5x2 + (í4p + 6)x + p2 í 4p = 0 D = (í4p + 6)2 í 4  5  (p2 í 4p) = 16p2 í 48p + 36 í 20p2 + 80p = í4p2 + 32p + 36 Voor raken geldt D = 0, dus í4p2 + 32p + 36 = 0 p2 í 8p í 9 = 0 (p + 1)(p í 9) = 0 p = í1  p = 9 Dus p = í1  p = 9. b y = 12 x + q substitueren in x2 + y2 í 2x í 4y = 0 geeft x2 + ( 12 x + q)2 í 2x í 4 ( 12 x + q) = 0 x2 + 14 x2 + qx + q2 í 2x í 2x í 4q = 0 114 x2 + (q í 4)x + q2 í 4q = 0 D = (q í 4)2 í 4  114  (q2 í 4q) = q2 í 8q + 16 í 5q2 + 20q = í4q2 + 12q + 16 Twee snijpunten, dus D > 0. D = 0 geeft í4q2 + 12q + 16 = 0 q2 í 3q í 4 = 0 (q + 1)(q í 4) = 0 q = í1  q = 4

–1

q

4 D

8

D > 0 geeft í1 < q < 4.

138 Hoofdstuk 8

© Noordhoff Uitgevers bv

Wiskunde Olympiade 2009 A-vragen Bladzijde 182 1

60% van 25 is 15, 70% van 30 is 21 en 80% van 45 is 36. Ze had dus in totaal 15 + 21 + 36 = 72 vragen goed van de 100, dus 72%. Dus antwoord C is het goede antwoord.

2

We kijken hoeveel van de getallen cijfersom 1, 2, … hebben. Er is 1 getal met som 1 (namelijk 10), er zijn er 2 met som 2 (namelijk 20 en 11), … 9 met som 9 (namelijk 90, 81, . . . , 18), ook 9 met som 10 (namelijk 91,82, . . . , 19), … tot en met 1 met som 18 (namelijk 99). Zie de tabel hieronder. som:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

aantal: 1

2

3

4

5

6

7

8

9

9

8

7

6

5

4

3

2

1

De som is een kwadraat (dus 1, 4, 9 of 16) voor 1 + 4 + 9 + 3 = 17 van de 90 getallen. Dus antwoord E is het goede antwoord. 3

De tweede dobbelsteen geeft altijd een even getal en de derde dobbelsteen altijd een oneven getal. De vraag is dus eigenlijk hoe groot de kans is dat de eerste dobbelsteen op een even getal valt. Dat is in 2 van de 6 gevallen, dus met kans 26 = 13 . Dus antwoord B is het goede antwoord.

4

Als we a, b en c in de bovenste drie vierkantjes plaatsen, is de uitkomst a + 2b + c. De grootste uitkomst krijgen we door voor b en daarna voor a en c zo groot mogelijke getallen te nemen. b = 9, a = 8 en c = 7 geeft uitkomst 33. De kleinste uitkomst krijgen we juist door voor b en daarna voor a en c zo klein mogelijke getallen te nemen. b = 1, a = 2 en c = 3 geeft uitkomst 7. Het verschil is 33 í 7 = 26. Dus antwoord D is het goede antwoord.

a

b

a+b

c

b+c

a + 2b + c 5

De diagonalen zijn 37 Â 56 = 24 en 47 Â 56 = 32. De halve diagonalen zijn dus 12 ( = 4 Â 3) en 16 ( = 4 Â 4). De ruit is dus 4 keer zo groot als de ruit in de ¿guur, die is opgebouwd uit vier 3-4-5 driehoeken. De zijde is dus in werkelijkheid 4 Â 5 = 20 en de omtrek 4 Â 20 = 80. Dus antwoord A is het goede antwoord.

5 4

5

6

3

5 4

3

5

De tijd die Wouter over de eerste kilometer gedaan heeft, noemen we voor het gemak een ‘kwartier’; dat is wellicht meer of minder dan 15 minuten, maar het zal er niet toe blijken te doen. Stel de gevraagde afstand is x. Hij is dus al een ‘kwartier’ aan het lopen over die ene km. Doorlopen kost hem dan x ‘kwartier’. Teruggaan naar huis en dan op de ¿ets kost eerst weer 1 ‘kwartier’ lopen en 1+x 1+x dan ‘kwartier’ ¿etsen; de ¿ets gaat immers 7 keer zo snel. Dan moet dus wel x = 1 + , dus 7 7 7x = 7 + (1 + x) ofwel 6x = 8. Conclusie: x = 86 = 43 . Dus antwoord E is het goede antwoord.

© Noordhoff Uitgevers bv

Wiskunde Olympiade 139

Bladzijde 183 7

In +ABC is “A de helft van 60°, dus 30°. Verder is “ C recht, dus +ABC is een 30-60-90 driehoek met BC = 1. Het is dus de helft van een gelijkzijdige driehoek met lengte van de zijden 2: AB = 2. Hieruit volgt dat AC = 冑22 í 12 = 冑3. Dus de gevraagde lengte is 冑3 + 1 + 冑3 = 1 + 2冑3. Dus antwoord D is het goede antwoord. B 2 A

8

1 C

3

Stel dat het getal n bestaande uit de cijfers a, b, c en d (n = 1000a + 100b + 10c + d) voldoet, dus deelbaar is door 44. Het is dan zeker deelbaar door 11. Omdat m = 1001a + 99b + 11c = 11(91a + 9b + c) ook een 11-voud is, moet m í n dat ook zijn, dus m í n = a í b + c í d moet een 11-voud zijn. Maar dit is maximaal de twee hoogste min de twee laagste (dus 13 – 7 = 6) en minimaal í6, dus het moet wel 0 zijn. Dus a + c = b + d. En omdat de cijfers samen 20 zijn, geldt dus a + c = b + d = 10. Stel d = 4, dan b = 6 en we krijgen 3674 en 7634 die echter beide niet voldoen (want 74 en 34 zijn niet deelbaar door 4). Stel d = 6, dan b = 4 en we krijgen 3476 en 7436 die allebei juist wel voldoen. Andere opties voor d zijn er niet, want d moet even zijn. Dat zijn in totaal 2 oplossingen. Dus antwoord A is het goede antwoord. B-vragen

1

2

3

We kunnen de ¿guur van 1012 vierkantjes als volgt opgebouwd denken. Eerst linksboven één vierkantje, dan twee L-vormige stukjes, één van drie vierkantjes (met één grijs vierkantje) en één van vijf vierkantjes (alle vijf grijs) daaromheen. Dan weer twee L-vormige stukjes, één van zeven vierkantjes (waarvan één grijs) en één van negen vierkantjes (alle negen grijs), en zo verder. Van de laatste twee L-vormige stukjes bestaat het eerste uit 199 vierkantjes (waarvan één grijs) en het tweede uit 201 vierkantjes (allemaal grijs). In totaal bekijken we 50 maal twee L-vormige stukjes. Het aantal grijze vierkantjes dat we tellen is 1 + (1 + 5) + (1 + 9) + (1 + 13) + ... + (1 + 201) = 1 + (6 + 10 + 14 + ... + 202) = 1 + 12 Â 50 Â (6 + 202) = 5201. 93 = 729; 993 = 970299; 9993 = 997002999. Het lijkt erop dat in het algemeen de derde macht van het getal n bestaande uit k negens er als volgt uit ziet: eerst k – 1 negens; dan een 7; dan k – 1 nullen; dan een 2; en ten slotte k negens. Om dat te bewijzen, schrijven we n als 10k – 1. Inderdaad: (10k í 1)3 = 103k í 3 Â 102k + 3 Â 10k í 1 = 102k(10k í 3) + (3 Â 10k í 1). Het getal 10k í 3 kun je uitschrijven als 999 . . . 997 met k – 1 negens. Vermenigvuldigd met 102k levert dat een getal met 2k nullen op het eind. Als we daar 3 Â 10k í 1 bij optellen, worden de laatste k + 1 nullen vervangen door 2999 . . . 999 met k negens. In totaal gaat het dan dus om (k í 1) + k negens; voor k = 2009 zijn dat er 4017. We kunnen volstaan met het bekijken van een kwart van de tegel: +ABC. De oppervlakte van +PQR is de helft van die van +ABC. De driehoeken zijn gelijkvormig, dus corresponderende zijden verhouden zich als 1 : 冑2, dus QR : BC = 1 : 冑2. In +BQQƍ is BQ' 2 + BQ2 = 12 2 Â BQ2 = 1 BQ2 = 12 BQ =

冑

1 2

B 1 − 2

Q'

2 Q

x

P

= 12 冑2

A

Stel QR = x en je krijgt x + 冑2 = 冑2 Â x, dus x (冑2 í 1) = 冑2 ofwel

冑2 + 1 冑2 (冑2 + 1) 2 + 冑2 = = x= = = 2 + 冑2. Â 冑2 í 1 冑2 í 1 冑2 + 1 (冑2 ) 2 í 12 2 í 1 Dus BC = x + 冑2 = 2 + 2冑2. 冑2

R

冑2

140 Wiskunde Olympiade

1 − 2

2 C

© Noordhoff Uitgevers bv

4

a + b + c = 18 geeft b + c = 18 í a a2 + b2 + c2 = 756 2 r b + 2bc + c2 = 756 + bc a2 = bc (b + c)2 = 756 + a2 r (18 í a)2 = 756 + a2 b + c = 18 í a 324 í 36a + a2 = 756 + a2 í36a = í432 a = í12 a = í12 geeft b + c = 30 en bc = 144. bc = 144 c(30 í c) = 144 b = 30 í c r 2 c í 30c + 144 = 0 (c í 24)(c í 6) = 0 c = 24  c = 6 c = 6 geeft b = 24 en c = 24 geeft b = 6. Dus (a, b, c) = (í12, 24, 6) of (a, b, c) = (í12, 6, 24).

2010 A-vragen Bladzijde 184 1

Twee cirkels snijden elkaar in hoogstens twee punten, een cirkel en een lijn snijden elkaar in hoogstens twee punten en twee lijnen snijden elkaar in hoogstens één punt. Er kunnen dus niet meer dan 6 + 6 + 6 + 1 = 19 snijpunten zijn. Dat dit aantal ook kan voorkomen, zie je hiernaast. Dus antwoord D is het goede antwoord.

2

De mogelijke eindscores zijn precies de oneven getallen í21, í19, ..., 19, 21. Dat alleen oneven scores mogelijk zijn zie je als volgt. Alle opgaven goed levert een score van 21 op. Voor iedere fout beantwoorde vraag gaat er een even aantal punten van deze 21 punten af, zodat de score oneven blijft. Dat alle oneven scores tussen í21 en 21 ook mogelijk zijn, zie je als volgt. Door geen of precies één opgave fout te beantwoorden, kun je scores 21, 19, 17, 15, 13, 11 en 9 halen. Fout beantwoorden van vraag 6 en een van de eerste vier opgaven levert 7, 5, 3 of 1 punt op. Door juist één opgave goed te maken of alleen opgave 6 en een van de eerste vier opgaven, krijg je scores í21, í19, ... í1. Dus antwoord B is het goede antwoord.

3

Verbind het middelpunt M met A, C en E. Verbind ook C met E. Zo wordt de zeshoek in zes gelijke driehoeken verdeeld, waarvan er 4 samen de vlieger vormen. Dus antwoord B is het goede antwoord.

A

F

B

M

4

5

6

Na drie ronden heeft iedereen 1 ¿che verloren en zijn er 3 in de pot beland. Na 12 Â 3 ronden hebben de spelers respectievelijk 1, 2 en 3 ¿ches over en zitten er 36 ¿ches in de pot. In de volgende ronde komt daar nog 1 ¿che bij en eindigt het spel. Dus antwoord B is het goede antwoord.

E

C

D

Het product van twee getallen die eindigen op een 1, eindigt zelf ook op een 1. Omdat het laatste cijfer van 74 = 2401 gelijk is aan 1, geldt dat dus ook voor iedere macht van 74. In het bijzonder is het laatste cijfer van ((((76)5)4)3)2 = (74)180 gelijk aan 1. Dus antwoord A is het goede antwoord. Stel a = (冑2 + 1) 7 en b = (冑2 í 1) 7. Dan is de gegeven uitdrukking gelijk aan (a + b)2 í (a í b)2 = 4ab = 4 (冑2 + 1) 7 (冑2 í 1) 7 = 4 ((冑2 + 1) (冑2 í 1)) 7 = 4 Â 17 = 4. Dus antwoord B is het goede antwoord.

© Noordhoff Uitgevers bv

Wiskunde Olympiade 141

Bladzijde 185 7

Na 9 kilometer verspringt het tweede wieltje van rechts. Nadat deze negenmaal is versprongen, dus na 9 Â 9 kilometer, verspringt het derde wieltje van rechts. Na 9 Â 9 Â 9 729 kilometer verspringt het vierde wieltje van rechts. Dus in de stand 002010 is het aantal afgelegde kilometers gelijk aan 2 Â 729  1 Â 9 1467. Dus antwoord B is het goede antwoord.

8

Van de 6 kortsten, is Piet de langste. Er zijn dus minstens 5 mensen korter dan Piet. Jan is de kortste van de 6 langsten, dus zijn er minstens 5 mensen langer dan Jan. Jan kan daarom niet 21 posities rechts van Piet staan, want dan zouden er van links naar rechts minstens 5  1  20  1 5 32 mensen naast elkaar staan. Alle andere posities zijn wel mogelijk. Hier controleren we dit alleen voor antwoord C: Jan en Piet staan naast elkaar. Nummer de mensen van klein naar groot van 1 tot en met 30. Zet nu personen 1, 2, 3, 4 en 10 in een rij en zet in elk van de andere rijen één van de personen 5, 6, 7, 8 en 9. De rest mag willekeurig verdeeld worden over de resterende posities. De kortsten van de rijen zijn nu 1, 5, 6, 7, 8, 9, dus Piet is nummer 9. Jan is nummer 10, want van zijn rij is hij de langste en in alle andere rijen staat iemand met een nummer groter dan 10. Dus antwoord E is het goede antwoord. B-vragen

1

De buitenste vier lucifers vormen een parallellogram. De vier basishoeken van de twee aangegeven gelijkbenige driehoeken zijn daarom allemaal gelijk, zeg Į en gelijk aan 180° minus de gevraagde hoek. De drie lucifers in het midden vormen een gelijkzijdige driehoek (met hoeken van 60°). De som van de hoeken van een driehoek is 180°, dus (180° í Į) + 2(120° í Į) = 180°. We vinden Į = 80° zodat de gevraagde hoek gelijk is aan 100°.

180 – α

120 – α

60

α

α

120 – α 60

α 60

α

2

Dat 2216 bij deling door a rest 29 geeft, betekent precies dat 2216  29 2187 deelbaar is door a en dat a groter is dan 29 (de rest is altijd kleiner dan de deler a). De delers van 2187 37 die groter zijn dan 29 zijn 81, 243, 729 en 2187. Er zijn dus 4 positieve getallen.

3

Noem het middelpunt van de omgeschreven cirkel O, het raakpunt met de kleine cirkel E en geef het midden van BC aan met M. In +OMC is OC2 = MC2 + OM2. Omdat OM = EM í OE = 112 í OC volgt hieruit dat OC 2 = ( 12 )2 + (112 í OC )2 OC2 = 14 + 214 í 3 Â OC + OC2 3 Â OC = 212 OC = 56 Dus de straal van de omgeschreven cirkel is

4

5 6.

E

A

D O

B

M

C

We nummeren de rijen van boven naar onder 0 tot en met 27 en de kolommen van links naar rechts 0 tot en met 36. Bekijk het vakje in rij r en kolom k. Het rode getal is hier 1  k  37r en het groene getal is 1  r  28k. Deze twee getallen zijn aan elkaar gelijk precies als 1 + k + 37r = 1 + r + 28k 36r = 27k 4r = 3k De oplossingen krijg je door voor r de drievouden 0, 3, …, 27 te nemen en voor k de bijbehorende viervouden 0, 4, …, 36. De bijbehorende gekleurde getallen zijn 1, 1 + 115, 1 + 2 Â 115, …, 1 + 9 Â 115. Optellen van deze tien getallen geeft de uitkomst (1 + (1 + 9 Â 115)) Â 5 = 5185.

142 Wiskunde Olympiade

© Noordhoff Uitgevers bv

2011 A-vragen Bladzijde 186 1

Merk eerst op dat alle vakjes in de tweede rij en in de tweede kolom wit gekleurd moeten zijn. We bekijken twee gevallen, afhankelijk van de kleur van het vakje linksboven. Als dit vakje wit is, moeten de laatste twee vakjes in de eerste rij en kolom zwart zijn. Dit legt de kleuring vast. Zie de bovenste ¿guur. Als dit vakje zwart is, moet in de eerste kolom en in de eerste rij elk nog één vakje zwart gekleurd worden. Voor elk van de 2 Â 2 = 4 keuzes is er precies één oplossing. Er is dan namelijk nog één rij en één kolom die een zwart vakje mist. Het vakje in die rij en kolom moet dus zwart worden en de rest wit, zie de onderste vier ¿guren. Dus antwoord D is het goede antwoord.

2 0 1 1 2

0

2

Het jaartal van de gezochte datum begint met een cijfer dat 2 of hoger is. We zoeken de eerste datum waarvan het jaartal met een 2 begint en alle acht de cijfers verschillend zijn. Als die bestaat is het de gezochte datum. Voor de maand vallen 11 (twee dezelfde cijfers) en 12 (cijfer 2 is al gebruikt in het jaartal) af. De maand (01 t/m 10) bevat dus het cijfer 0. De dag begint daarom of met een 1 of een 3. In het tweede geval is het de 31-ste, want de 0 is al bezet. In beide gevallen zit de 1 in de dag. Nu de 0 en 1 al bezet zijn, is het kleinst mogelijke jaartal 2345. De kleinst mogelijke maand die we dan nog kunnen kiezen is 06, ofwel juni, met als dag de 17e. We zien dat de gevonden datum 17-06-2345 inderdaad met acht verschillende cijfers wordt geschreven. Dus antwoord C is het goede antwoord.

3

De zevenhoek kan worden opgedeeld in twee vierkanten en drie gelijkzijdige driehoeken, allemaal met zijden van lengte 2. We weten dat de oppervlakte van zo’n vierkant gelijk is aan 4. De hoogte van de gelijkzijdige driehoeken is 冑3, dus de oppervlakte van elke driehoek is dan 12 Â 2 Â 冑3 = 冑3. De totale oppervlakte van de zevenhoek is dus 2 Â 4 + 3 Â 冑3 = 8 + 3冑3. Dus antwoord B is het goede antwoord.

1

1

B

A

C

G M

D

F E

4

Aangezien de voorspelling van Bram fout was, heeft Bram minstens zes vragen goed. De voorspelling van Aline was ook fout, zodat Bram hoogstens één vraag meer goed heeft dan Aline. Aline heeft dus minstens vijf vragen goed. Omdat de voorspelling van Cas fout was, heeft hij meer vragen goed dan Aline, dus minstens zes. Aline kan niet meer dan vijf vragen goed hebben. Immers, dan zou Cas minstens zeven vragen goed hebben en zijn er in totaal minstens 6  6 7 19 vragen goed, zoals de docent (fout) voorspelde. We concluderen dat Aline vijf vragen goed heeft. Aangezien de andere twee minstens zes vragen goed hebben, heeft Aline het kleinste aantal vragen goed. Dus antwoord A is het goede antwoord.

5

Jaap kan zeker 62 getallen opschrijven, bijvoorbeeld de getallen 1 tot en met 62 (want 62 + 61 < 125). Meer dan 62 getallen kan Jaap niet opschrijven. Immers, de getallen 25 tot en met 100 kun je opdelen in paren die samen steeds optellen tot 125: 25 + 100 = 125, 26 + 99 = 125, en zo verder tot en met 62 + 63 = 125. Van elk van die 38 paren moet hij dus minstens één getal missen. In totaal kan hij daarom niet meer dan 100 í 38 = 62 getallen opschrijven. Dus antwoord C is het goede antwoord.

© Noordhoff Uitgevers bv

Wiskunde Olympiade 143

6

Door met een staartdeling a = 11 … 11 (2011 enen) te gaan delen door 37, valt al gauw op dat 111 deelbaar is door 37. Dat feit gaan we gebruiken. We zien nu namelijk dat het getal 1110 … 0 deelbaar is door 37, ongeacht het aantal nullen aan het eind. In het bijzonder zijn de volgende getallen deelbaar door 37: 1110 … 0 (2008 nullen), 1110 … 0 (2005 nullen), 1110 … 0 (2002 nullen), en zo verder tot 1110 (1 nul). De som van deze getallen is 1 … 10 (2010 enen) en is dus ook deelbaar door 37. De rest van a bij de deling door 37 is dus gelijk aan 1, want a í 1 is deelbaar door 37. Dus antwoord B is het goede antwoord. Bladzijde 187

7

Na 140 seconden heeft Anne 7 rondjes afgelegd en Bob 5. De voorsprong van Anne is op dat moment twee hele rondjes. Na 140 4 = 35 seconden loopt Anne een half rondje voor. Dat is precies de eerste keer dat zij zo ver mogelijk van Bob verwijderd is. Dus antwoord B is het goede antwoord.

8

Noem het middelpunt van de vijftienhoek M en het snijpunt van AC en BD punt S (zie de ¿guur). In vierhoek MRST zien we dat “MRS = 90° en 2 “ STM = 90°. Verder zien we dat “TMR = 15  360° = 48°. De som van de hoeken van een vierhoek is 360°, dus geldt: “ RST = 360° í 2  90° í 48° = 132°. “ BSC = “ RST = 132° (overstaande hoeken) Dus antwoord B is het goede antwoord.

B

C S R

T

A

D

M

B-vragen

1 1 . We zien dat x  0, want 0  . 1+x 1 We kunnen dus links en rechts de breuk omkeren. 1 1 1 Dit geeft = x + 1. Hieruit volgt x í x = 1, dus x í x = í1. x

1

Gegeven is dat x =

2

Bekijk drie roltrappen naast elkaar: de eerste gaat omhoog, de tweede staat stil en de derde gaat naar beneden. Als Dion de eerste trap omhoog neemt, is hij na 12 stappen boven. Raymond, die omhoog gaat op de derde trap doet er 60 stappen over en is na 12 stappen dus pas op 15 . Als een derde persoon (zeg Julian), de middelste trap neemt (ook met hetzelfde tempo), is hij na 12 stappen precies + 15 3 = 5 van de trap. 2 Hij heeft dus 53 Â 12 = 20 stappen nodig om boven te komen. tussen Dion en Raymond in: op

3

5 5

Noem de oudste padvinder A. Er zijn 5 mogelijkheden om voor hem een partner B te vinden voor de eerste dag. Vervolgens zijn er 4 mogelijke partners C voor B op de tweede dag, want hij mag niet opnieuw met A gaan. Voor C zijn er nog 3 mogelijke partners D voor de eerste dag, want hij mag niet tweemaal met B, en A is al bezet. Voor D zijn er daarna nog 2 mogelijke partners E voor de tweede dag, want B en C zijn al bezet en A kan zijn partner niet zijn omdat er dan twee padvinders overblijven die op beide dagen een paar vormen. Ten slotte is er nog 1 padvinder over die geen keuze heeft en op de eerste dag met E meegaat en op de tweede dag met A. In totaal zijn er dus 5 × 4 × 3 × 2 = 120 manieren.

144 Wiskunde Olympiade

© Noordhoff Uitgevers bv

4

Bekijk de ingeschreven cirkel. Noem het middelpunt O en de straal r. Het raakpunt aan AB noemen we M en het raakpunt aan boog BC noemen we R. De drie punten A, O en R liggen op een lijn, zodat AO = AR í OR = 1 í r. Verder geldt OM = r en AM = 12 Â AB = 12 . In +AMO is AM 2 + OM 2 = AO2 ( 12 ) 2 + r2 = (1 í r)2 1 2 2 4 + r = 1 í 2r + r 3 2r = 4 r = 38

© Noordhoff Uitgevers bv

C

R O

A

M

B

Wiskunde Olympiade 145

Gemengde opgaven 5 Machten en exponenten Bladzijde 188 1

1

b

1

xí3 = xí5 x2

c x 2

3 8 1 4 38 d x  (冑 x ) = xí1  (x4) = xí1  x6 = x5 1 x3  xí5 xí2 e = 1 = xí22 冑x x2

3 a x4 Â 冑 x = x 4 Â x 3 = x 43

( x冑x )í3 = ( x1 Â x )í3 = ( x1 )í3 = xí4 1 2

f

1 1 1 = x  冑xí5 = x1  xí22 = xí12 Å x5

1 2

4 xí5 b 3 Â冑 = 16

a 2 Â (5x)2,4 í 12 = 18 2 Â (5x)2,4 = 30 (5x)2,4 = 15 1 5x = 152,4

冑4 xí5 = 163 xí4 = 16 3 5

x = 15 Â 152,4 § 0,618 1

3

1 2

x=

( 163 )í

4 5

§ 0,262

a y = 冑2 í 5x í 3

冑2 í 5x í 3 = y 冑2 í 5x = y + 3

kwadrateren geeft 2 í 5x = y2 + 6y + 9 í5x = y2 + 6y + 7 x = í 15 y2 í 115 y í 125

5 b B = 34 Â 冑 6A í 1 + 2 3 4

 冑5 6A í 1 + 2 = B

3 4

 冑5 6A í 1 = B í 2

冑5 6A í 1 = 43 (B í 2) (6A í 1)5 = 113 B í 223 1

6A í 1 = (113 B í 223 ) 5 6A = (113 B í 223 ) + 1 5

A = 16 Â (113 B í 223 ) + 16 5

c 4P冑Q í 冑Q = 3

冑Q(4P í 1) = 3 冑Q = 3

4P í 1 kwadrateren geeft 9 Q= (4P í 1)2

3 d x = 2t  冑 t substitueren in y = 3x2  冑x geeft 3 t ) 2 冑2t 冑 y = 3 (2t  冑   3 t = 3 (2t  t3 )  冑2t  t 3 = 3 (2t13 )  冑2t13 = 3  4t23  冑2  t3 = 12冑2t33 1

4

2

1

1

2

1

2

2

1

a lim f (x) = lim (10 í 3 Â ( 27 )x) = 10 í 3 Â 0 = 10 xm`

xm`

Dus de horizontale asymptoot is de lijn y = 10.

146 Gemengde opgaven

© Noordhoff Uitgevers bv

b noemer is 0 geeft 8 í x = 0 íx = í8 x=8 Dus de verticale asymptoot is de lijn x = 8.

(

)

3 3x 3 =6í3=3 = lim ° 6 + =6+ ¢ 8íx 8 0í1 xm ` x í1 Dus de horizontale asymptoot is de lijn y = 3. lim g(x) = lim 6 +

xm `

xm `

c lim h(x) = lim (í2 + 4 Â (116 )x ) = í2 í 4 Â 0 = í2 xmí`

xmí`

Dus de horizontale asymptoot is de lijn y = í2. d noemer is 0 geeft 3 í 2x = 0 í2x = í3 x = 112 Dus de verticale asymptoot is de lijn x = 112 . 2 2 + 6x x +6 0+6 + 3 Â 3x í 2¢ = + 3x + 1 í 2 = lim ° + 3 Â 0 í 2 = í3 í 2 = í5 lim j(x) = lim 3 í 2x 3 0 í2 x m í` x m í` x m í` í 2 x Dus de horizontale asymptoot is de lijn y = í5.

(

5

)

a Voer in y1 = 冑x + 6 í 3 en y2 =

1 í 1. xí2

x

í6

í5

í2

0

1

3

4

6

8

f (x)

í3

í2

í1

í0,6

í0,4

0

0, 2

0, 5

0,7

g(x)

í1,1

í1,2

í1,3

í1,5

í0,4

0

í0,5

í0,8

í0,8

y g 3

2

1

–6

–5

–4

–3

–2

–1

O

ƒ

1

2

–1

3

4

5

6

7

x

y = –1

–2

–3

x=2

B f = 3 í3,m 9 b Intersect geeft x § í2,791 en x = 3. f (x) ” g(x) geeft í6 ” x ” í2,791  2 < x ” 3 c f (x) = 1 geeft 冑x + 6 í 3 = 1 冑x + 6 = 4 x + 6 = 16 x = 10 f (x) ” 1 geeft í6 ” x ” 10

© Noordhoff Uitgevers bv

Gemengde opgaven 147

d f (í2) = 冑í2 + 6 í 3 = í1 x ” í2 geeft í3 ” f (x) ” í1 1 í 1 = í5 e g(x) = í5 geeft xí2 1 = í4 xí2 í4(x í 2) = 1 í4x + 8 = 1 í4x = í7 x = 134 g(x) • í5 geeft x ” 134  x > 2 1 1 f g(0) = í 1 = í112 en g(6) = í 1 = í 34 . 0í2 6í2 0 ” x ” 6 geeft g(x) ” í112  g(x) • í 34 Bladzijde 189 6

a noemer is 0 geeft 2x + 3 = 0 2x = í3 x = í112 Dus de verticale asymptoot van de grafieken van f en g is de lijn x = í112 . 2 4+ x 4+0 4x + 2 lim f (x) = lim = lim =2 = 3 2+0 xm ` xm` 2x + 3 xm ` 2+ x Dus de horizontale asymptoot van de grafieken van f is de lijn y = 2. 2 4+ x 4+0 0 4x + 2 0 4x + 2 lim g(x) = lim = lim = lim =2 = 3 2+0 xm ` xm` 2x + 3 xm` 2x + 3 xm ` 2+ x 2 í4 í x í4 í 0 0 4x + 2 0 í(4x + 2) í4x í 2 lim g(x) = lim = lim = lim = lim = í2 = 2+0 3 x m í` x m í` 2x + 3 x m í` 2x + 3 x m í` 2x + 3 x m í` 2+ x y = 2 voor x m ` Dus de horizontale asymptoten van de grafiek van g zijn de lijnen b y = í2 voor x m í ` ௘ 0 4x + 2 0 4x + 2 b g(x) = = voor 4x + 2 • 0 ofwel x • í 12 2x + 3 2x + 3 Dus f (x) = g(x) voor x • í 12 . 4x + 2 voor 4x + 2 • 0 ofwel x • í 12 2x + 3 c g(x) = • í4x í 2 voor 4x + 2 < 0 ofwel x < í 12 2x + 3 g(x) = 1 geeft

148 Gemengde opgaven

4x + 2 í4x í 2 =1 =1 2x + 3 2x + 3 4x + 2 = 2x + 3  í4x í 2 = 2x + 3 2x = 1  í6x = 5 x = 12  x = í 56 vold. vold.

© Noordhoff Uitgevers bv

y g

y=2 y=1 − 56 O

1 2

x

y = −2

x = −1 12

g(x) ” 1 geeft x < í112  í 56 ” x ” 12 7

g 3x í 3 + 3x í 4 = 43 冑3

a 30 í 33x + 1 = 3 í33x + 1 = í27 33x + 1 = 33 3x + 1 = 3 3x = 2 x = 23

3x  3í3 + 3  3í4 = 43 冑3 x

( 22 )3x + 1 = 2í3 Â 2

1 2

1

3 x = 3 32 x = 312

e

2x  22 í 2x  2í1 = 14冑2 4  2x í 12  2x = 14冑2 312  2x = 14冑2 2x = 4冑2

= Â 冑25 1 5

3

51 í 3x

= 5í1 Â 5 1 51 í 3x = 5í3 1 í 3x = í 13 í3x = í113 x = 49

( 12 )3 í x (22 )3x í x = (2í1)3 í x 2

2

26x í 2x = 2í3 + x 6x í 2x2 = í3 + x 2x2 í 5x í 3 = 0 D = (í5)2 í 4  2  í3 = 49 5í7 5+7 x=  x= 4 4 x = í 12  x = 3

© Noordhoff Uitgevers bv

1

2x = 22 Â 22 1 2 x = 2 22 1 x = 22

2 3

f 43x í x = 2

( 13)x + 2 = 92x í 5 (3í1)x + 2 = (32)2x í 5

3íx í 2 = 324x í 10 íx í 2 = 4x í 10 í5x = í8 x = 135 i 2x + 2 í 2x í 1 = 14冑2

= 6x + 2 = í212 6x = í412 x = í 34 51 í 3x

 3x = 43 冑3 1

1 2í22

26x + 2

4 81

3x = 33 Â 32

h

d 43x + 1 = 18 冑2

 3x + 811  3x = 43 冑3

3x = 27冑3

2

b 2x í 2 = 32 2 2x í 2 = 25 2 x í2=5 x2 = 7 x = 冑7  x = í冑7 c 2  3x í 1 + 5 = 59 2  3x í 1 = 54 3x í 1 = 27 3x í 1 = 33 xí1=3 x=4

1 27

j

( 12)íx + 2 + 2x + 3 = 418 ( 2í1)íx + 2 + 2x  23 = 418 2x í 2 + 8  2x = 418 2x  2í2 + 8  2x = 418 1 4

 2x + 8  2x = 418

814 Â 2x = 418 2x = 12 2x = 2í1 x = í1

Gemengde opgaven 149

8

a gjaar = 1,096 g10 jaar = 1,09610 § 2,50 De toename is 150% per 10 jaar. 1 b gmaand = 1,09612 § 1,008 De toename is 0,8% per maand.

c gdag = 0,83 gweek = 0,837 § 0,271 De afname is 72,9% per week. 1 d guur = 0,8324 § 0,992 De afname is 0,8% per uur.

9

a T = a  R1,5 r a  5,281,5 = 4,5 R = 5,28 en T = 4,5 4,5 a= § 0,37 5,281,5 b R = 35,6 geeft T = 0,37  35,61,5 § 78,6 Dus de omlooptijd T is ongeveer 78,6 dagen. c RRhea = 5,28 geeft RTitan = 25 11  5,28 = 12 T = 0,37  121,5 § 15,38 15,38 De omlooptijd is § 3,4 keer zo groot. 4,5 Alternatieve oplossing De omlooptijd is

1,5 ( 25 § 3,4 keer zo groot. 11 )

d 0,37R1,5 = T 1 R1,5 = ÂT 0,37 1 1,5 1 1 R= ÂT = 0,37 0,37

(

) ( )

1 1,5

1 1,5

 T § 1,94  T 0,67

Dus R = 1,94 Â T 0,67. e 15 uur geeft T = 15 24 . 0,67 R = 1,94 Â ( 15 § 1,42 24 ) De straal van de baan is 1,42 × 105 km.

Bladzijde 190 10

a y = 2x

y = 2x

verm. xías, 3

translatie (3, 1)

y = 3 Â 2x

g(x) = 2x í 3 + 1

translatie (0, í2)

f (x) = 3 Â 2x í 2 b Voer in y1 = 3 Â 2x í 2 en y2 = 2x í 3 + 1. x

í3

í2

í1

0

1

2

f (x)

í1,6

í1,3

í0,5

1

4

10

x

í1

0

1

2

3

4

5

6

g(x)

1,1

1,1

1,3

1,5

2

3

5

9

150 Gemengde opgaven

© Noordhoff Uitgevers bv

y

5 ƒ

g

4

3

2

y=1

–3

–2

–1

O

1

2

3

4

5

x

–1

–2

y = –2

–3

Bf = 8í2,m9 en Bg = 81,m9. c Intersect geeft x § 0,06 en y § 1,13, dus het snijpunt is (0,06; 1,13). d f (x) = í 12 geeft 3  2x í 2 = í 12 3  2 x = 112 2x = 12 2x = 2í1 x = í1 e g(7) = 27 í 3 + 1 = 16 + 1 = 17 Voor x ” 7 is 1 < g(x) ” 17. f Voer in y3 = 9. Intersect met y1 en y3 geeft xA § 1,874. Intersect met y2 en y3 geeft xB = 6. AB = 6 í 1,784 § 4,13 11

a Van 1 mei tot 21 mei zijn 20 dagen. Van 21 mei tot en met 31 mei zijn 11 dagen. Op 31 mei zijn er 1,0520 Â 0,9211 § 1,06 miljard bacteriën. b Noem de groeifactor per dag vanaf 21 mei g. Er geldt 1,0520 Â g11 = 1 1 g11 = 1,0520 1 11 1 g= § 0,915 1,0520

(

)

Dus de afname per dag zou 8,5% moeten zijn. c Stel toename n dagen, dan is er 31 í n dagen afname. Er geldt 1,05n  0,931 í n = 1. Voer in y1 = 1,05x  0,931 í x en y2 = 1. Intersect geeft x § 21,2. Hierbij hoort 22 mei. 12

a Stel Pb = c  gd 1 g2 cm = 0,5 geeft gcm = 0,52 § 0,707 ¶ Pb = 100  0,707d c = 100

© Noordhoff Uitgevers bv

Gemengde opgaven 151

b Pb = 10 geeft 100 Â 0,707d = 10 Voer in y1 = 100 Â 0,707x en y2 = 10. Intersect geeft x § 6,64. Dus om 90% van de intensiteit te absorberen, is 66 mm bot nodig. c Pl = 50 geeft 100 Â 0,03125d = 50. Voer in y1 = 100 Â 0,03125x en y2 = 50. Intersect geeft x = 0,2. Dus de halveringdikte is 2 mm. d Pl = 10 geeft 100 Â 0,03125d = 10 Voer in y1 = 100 Â 0,03125x en y2 = 10. Intersect geeft x § 0,664. Om 90% van de intensiteit te absorberen, is 6,6 mm lood nodig. 66 Dus je hebt = 10 keer minder lood dan bot nodig. 6,6

6 Differentiaalrekening Bladzijde 191 13

a f (x) = (x2 + 1)4 geeft f '(x) = 4(x2 + 1)3  2x = 8x(x2 + 1)3 1 1 x2 + 4x í 7 1 112 b g(x) = = 2 x + 2x2 í 312 xí2 2冑x 1 1 1 3x2 + 4x + 7 7 1 geeft g'(x) = 34 x2 + xí2 + 74 xí12 = 34 冑x + + = 冑x 4x冑x 4x冑x c h(x) = (x2 + 1)2  (3x2 í 5x) geeft h'(x) = 2(x2 + 1)  2x  (3x2 í 5x) + (x2 + 1)2  (6x í 5) = 4x(x2 + 1)(3x2 í 5x) + (6x í 5)(x2 + 1)2 4 3 x2  冑 x x 24 geeft = 3 3 x +2 x +2 3

d j(x) =

(x3 + 2) Â 234 x14 í x 24 Â 3x 2 3

j '(x) = =

14

a f (x) =

3

(x3 + 2)2 4 3 4 3 x + 512 x  冑 x í 14 x4  冑

(x3 + 2)2

=

234 x44 + 512 x14 í 3x 44 3

=

3

3

(x3 + 2)2

í 14 x44 + 512 x14 3

=

3

(x3 + 2)2

4 3 4 3 x + 22x  冑 x íx4  冑

4(x3 + 2)2

x2 í 2x + 2 geeft xí1

(x í 1)(2x í 2) í (x2 í 2x + 2)  1 2x2 í 2x í 2x + 2 í x2 + 2x í 2 x2 í 2x = = (x í 1)2 (x í 1)2 (x í 1)2 2 f '(x) = 0 geeft x í 2x = 0 x(x í 2) = 0 x=0  x=2 f '(x) =

y x=1

ƒ

O

2

x

max. is f (0) = í2 en min. is f (2) = 2. 152 Gemengde opgaven

© Noordhoff Uitgevers bv

b De vergelijking f (x) = p heeft geen oplossingen voor í2 < p < 2. c Stel k: y = ax + b. (í2)2 í 2 Â í2 8 a = f '(í2) = =9 (í2 í 1)2 y = 89 x + b 10 f (í2) = = í313 dus A (í2, í313 ) í3 Dus k: y = 15

8 9x

í

8 9

(3x + 5) Â 冑3x + 5 1

f '(x) = í9(3x + 5)í22 Â 3 =

í179 + b = í313

=

6 í11 1 = 6(3x + 5) 2 geeft 1 (3x + 5) 2

í27 í27 1 = 2 2 (3x + 5)2 Â 冑3x + 5 (3x + 5)

b g(x) = (2x + 6) Â 冑x2 + 6x + 10 geeft g'(x) = 2 Â 冑x2 + 6x + 10 + (2x + 6) Â =

 í2 + b = í313

b = í159

159.

6

a f (x) =

¶

(2x + 6)2 4(x2 + 6x + 10) 1 (2x + 6) + = Â 2冑x2 + 6x + 10 2冑x2 + 6x + 10 2冑x2 + 6x + 10

4x2 + 24x + 40 + 4x2 + 24x + 36 8x2 + 48x + 76 4x2 + 24x + 38 = = 2冑x2 + 6x + 10 2冑x2 + 6x + 10 冑x2 + 6x + 10 3x = 3x(x2 í 6x)í3 geeft (x2 í 6x)3

c h(x) =

h'(x) = 3 Â (x2 í 6x)í3 + í9x(x2 í 6x)í4 Â (2x í 6) = =

í9x(2x í 6) 3 + 2 (x2 í 6x)3 (x í 6x)4

3(x2 í 6x) í18x2 + 54x 3x2 í 18x í 18x2 + 54x í15x2 + 36x + = = (x2 í 6x)4 (x2 í 6x)4 (x2 í 6x)4 (x2 í 6x)4

d j(x) = x4  (2x2 í 1)3 geeft j'(x) = 4x3  (2x2 í 1)3 + x4  3(2x2 í 1)2  4x = 4x3(2x2 í 1)3 + 12x5(2x2 í 1)2 x e k(x) = 3 geeft 冑x + 1 冑x3 + 1  1 í x  13  3x2 2冑x + 1 2(x3 + 1) í 3x3 2x3 + 2 í 3x3 íx3 + 2 k'(x) = = = = 3 3 3 3 3 3 x +1 2(x + 1)冑x + 1 2(x + 1)冑x + 1 2(x + 1)冑x3 + 1 x冑x + 3x x12 + 3x 1 3 1 = = 1 + 3xí2 = 1 + 3冑x geeft l'(x) = 3  = 1 1 x冑x 2冑x 2冑x x2 1

f l(x) =

16

x+2 geeft x3 í x + 6 (x3 í x + 6) Â 1 í (x + 2) Â (3x2 í 1) x3 í x + 6 í 3x3 + x í 6x2 + 2 í2x3 í 6x2 + 8 f'(x) = = = (x3 í x + 6)2 (x3 í x + 6)2 (x3 í x + 6)2

a f (x) =

f'(1) =

í2 Â 13 í 6 Â 12 + 8 0 =0 = 36 (13 í 1 + 6)2 y

ƒ O

1

x

In de schets is te zien dat de grafiek van f een top heeft voor x = 1, dus f heeft een extreme waarde voor x = 1. © Noordhoff Uitgevers bv

Gemengde opgaven 153

b (x + 2)(x2 í 2x + 3) = x3 í 2x2 + 3x + 2x2 í 4x + 6 = x3 í x + 6 x+2 x+2 1 c f (x) = 3 mits x  í2 = = x í x + 6 (x + 2)(x2 í 2x + 3) x2 í 2x + 3 De grafiek van f heeft een perforatie voor x = í2. x+2 x+2 1 1 lim 3 = lim 2 = lim = 11 2 xmí2 x í x + 6 xmí2 (x + 2)(x í 2x + 3) xmí2 x í 2x + 3 1 ). De perforatie is dus ( í2, 11 x+2 x+2 1 d f (x) = 3 mits x  í2 geeft = = x í x + 6 (x + 2)(x2 í 2x + 3) x2 í 2x + 3

(x2 í 2x + 3) Â 0 í 1 Â (2x í 2) í2x + 2 = 2 (x2 í 2x + 3)2 (x í 2x + 3)2 f'(x) = 0 geeft í2x + 2 = 0 í2x = í2 x=1 voldoet f'(x) =

17

fp(x) = 12 x4 í 2px3 + px2 í 4x í 2 fp '(x) = 2x3 í 6px2 + 2px í 4 fp ''(x) = 6x2 í 12px + 2p fp ''(x) = 0 geeft 6x2 í 12px + 2p = 0 twee buigpunten als D > 0 f 144p2 í 48p > 0 D = (í12p)2 í 4  6  2p = 144p2 í 48p D = 0 geeft 144p2 í 48p = 0 3p2 í p = 0 p(3p í 1) = 0 p = 0  3p = 1 p = 0  p = 13 D

1 3

0

p

Dus de grafiek van fp heeft twee buigpunten voor p < 0  p > 13 . 18

fp(x) =

10x + p geeft x2 + 1

fp '(x) =

(x2 + 1) Â 10 í (10x + p) Â 2x 10x2 + 10 í 20x2 í 2px í10x2 í 2px + 10 = = (x2 + 1)2 (x2 + 1)2 (x2 + 1)2

fp '(1) = rc k geeft

í10  12 í 2p  1 + 10 = í112 (12 + 1)2 í2p 3 =í 4 2 í4p = í12 p=3

f3(x) =

10x + 3 x2 + 1

k: y = í112 x + b ¶ í11 Â 1 + b = 61 13 2 2 f3(1) = = 612 , dus A (1, 612 ) b=8 2 Dus k: y = í112 x + 8.

154 Gemengde opgaven

© Noordhoff Uitgevers bv

Bladzijde 192 19

(x2 + 4)  í10 í í10x  2x í10x2 í 40 + 20x2 10x2 í 40 í10x geeft f'(x) = = = 2 x2 + 4 (x2 + 4)2 (x2 + 4)2 (x + 4)2 2 f'(x) = 0 geeft 10x í 40 = 0 10x2 = 40 x2 = 4 x = 2  x = í2

a f (x) =

y

2 –2

x

O ƒ

max. is f (í2) = 212 en min. is f (2) = í212 . f (x) = 0 geeft í10x = 0, dus x = 0. De grafiek snijdt de x-as alleen in (0, 0), dus B f = 3 í212 , 212 4 . b f (x) = p heeft twee oplossingen voor í212 < p < 0  0 < p < 212 . 20

(x + 2) Â 0 í 1 Â 1 1 1 geeft f '(x) = 1 + =1í 2 x+2 (x + 2) (x + 2)2 Stel k: y = ax + b. 1 a = f'(0) = 1 í 2 = 34 2 y = 34 x + b ¶ b = 11 2 f (0) = 112 dus A (0, 112 )

a f (x) = x + 1 +

Dus k: y = 34 x + 112 .

1 =0 (x + 2)2 1 =1 (x + 2)2 (x + 2)2 = 1 x + 2 = í1  x + 2 = 1 x = í3  x = í1 f (í3) = í3 en f (í1) = 1, dus de horizontale raaklijnen zijn y = í3 en y = 1. De afstand tussen deze lijnen is 1 í í3 = 4.

b f '(x) = 0 geeft 1 í

c

y

x = –2

ƒ

1 –3 –1

x

O

–3

De vergelijking f (x) = p heeft precies twee oplossingen voor p < í3  p > 1.

© Noordhoff Uitgevers bv

Gemengde opgaven 155

1 = 15 (x + 2)2 16 1 = 1 (x + 2)2 16 (x + 2)2 = 16 x + 2 = 4  x + 2 = í4 x = 2  x = í6

d f '(x) = 15 16 geeft 1 í

21

a fp(x) = í 13 x3 í px2 í 4x + 1 geeft fp '(x) = íx2 í 2px í 4 fp '(4) = 0 geeft í16 í 8p í 4 = 0 í8p = 20 p = í212 fí212 '(x) = íx2 + 5x í 4 f í212 '(x) = 0 geeft íx 2 + 5x í 4 = 0 x2 í 5x + 4 = 0 (x í 1)(x í 4) = 0 x=1  x=4 y

ƒ–2 1 2

1 4

O

x

f í 212 (1) = í 13  13 + 212  12 í 4  1 + 1 = í 56 Het andere extreem is min. is f í 212 (1) = í 56 . b fp heeft twee extreme waarden dus fp '(x) = 0 heeft twee oplossingen. D>0 f 4p2 í 16 > 0 D = (í2p)2 í 4  í1  í4 = 4p2 í 16 4p2 > 16 p2 > 4 p < í2  p > 2 Dus fp heeft twee extreme waarden voor p < í2  p > 2. c fp '(x) = 0 geeft íx2 í 2px í 4 = 0 í2px = x2 + 4

x2 + 4 x2 + 4 2 1 Â x í 4x + 1 í2x ¶ y = í 3 x3 + 2x y = í 13 x3 í px2 í 4x + 1 y = í 13 x3 + 12 x3 + 2x í 4x + 1

Voor x  0 geldt p =

y = 16 x3 í 2x + 1

x = 0 geeft fp '(0) = 4  0, dus geen top. Dus de formule van de kromme waarop alle toppen liggen is y = 16 x3 í 2x + 1. 22 a

a fp(x) = x冑x í p冑x = x12 í p冑x geeft p p 3x í p 1 3x 1 fp '(x) = 112 x2 í p  í = 112 冑x í = = 2冑x 2冑x 2冑x 2冑x 2冑x 1

fp '(16) = 5 geeft

3 Â 16 í p =5 2冑16 48 í p =5 8 48 í p = 40 íp = í8 p=8

156 Gemengde opgaven

© Noordhoff Uitgevers bv

f8(x) = x冑x í 8冑x f8(16) = 16冑16 í 8冑16 = 32 dus A(16, 32) f 5 Â 16 + q = 32 k: y = 5x + q 80 + q = 32 q = í48 Dus p = 8 en q = í48. b fp '(x) = 0 geeft 3x í p = 0 íp = í3x p = 3x f y = x冑x í 3x冑x y = x冑x í p冑x y = í2x冑x Dus de kromme waarop alle toppen liggen is y = í2x冑x. c fp '(x) = 0 geeft p = 3x, dus x = 13 p.

冑 p í p冑 p = í p冑 p ¶ í p冑 p = í2 p冑 p = 1

ytop = fp ( 13 p) = 13 p ytop = í2

1 3

1 3

2 3

1 3

2 3

1 3

1 3

1 3

(13 p)1

1 2

=1

1 3p

=1 p=3

7 Goniometrische functies Bladzijde 193 23 a

A(cos(40°), sin(40°)) § A(0,766; 0,643) B(cos(160°), sin(160°)) § B(í0,940; 0,342) C(cos(í80°), sin(í80°)) § C(0,174; í0,985)

24 a

a A (cos ( 23 ʌ) , sin ( 23 ʌ)) = A ( í 12 , 12 冑3 ) b C(cos (í 16 ʌ) , sin ( í 16 ʌ)) = C ( 12 冑3, í 12 ) c cos(ȕ) = í 12 冑2 geeft ȕ = í 34 ʌ 5 d De langste cirkelboog BC is 2ʌ í 34 ʌ + 16 ʌ = 112 ʌ.

25 a

a cos ( 3x í 12 ʌ) = 12 冑2 3x í 12 ʌ = 14 ʌ + k  2ʌ  3x í 12 ʌ = í 14 ʌ + k  2ʌ 3x = 34 ʌ + k  2ʌ  3x = 14 ʌ + k  2ʌ 1 x = 14 ʌ + k  23 ʌ  x = 12 ʌ + k  23 ʌ

b sin (13 x + 14 ʌ) = í 12 1 3x

+ 14 ʌ = í 16 ʌ + k  2ʌ  13 x + 14 ʌ = 116 ʌ + k  2ʌ

1 3x

5 ʌ + k  2ʌ  13 x = 11 = í 12 12 ʌ + k  2ʌ

x = í114 ʌ + k  6ʌ  x = 234 ʌ + k  6ʌ c 1 + tan (3x í 34 ʌ) = 0 tan ( 3x í 34 ʌ) = í1 3x í 34 ʌ = 34 ʌ + k  ʌ 3x = 112 ʌ + k  ʌ x = 12 ʌ + k  13 ʌ

© Noordhoff Uitgevers bv

Gemengde opgaven 157

d sin ( 12 x í 13 ʌ)  cos(2x) = 0 sin ( 12 x í 13 ʌ) = 0  cos(2x) = 0 1 2x

í 13 ʌ = k  ʌ  2x = 12 ʌ + k  ʌ

1 2x

= 13 ʌ + k  ʌ  x = 14 ʌ + k  12 ʌ

x = 23 ʌ + k  2ʌ  x = 14 ʌ + k  12 ʌ e 3tan ( 14 x + 16 ʌ) = 冑3 tan ( 14 x + 16 ʌ) = 13 冑3 1 4x

+ 16 ʌ = 16 ʌ + k  ʌ

1 4x

= kÂʌ x = k  4ʌ f 4cos 2 ( 2ʌx í 12 ʌ) = 3 cos 2 ( 2ʌx í 12 ʌ) = 34 cos ( 2ʌx í 12 ʌ) =

冑

3 4

 cos ( 2ʌx í 12 ʌ) = í

冑

3 4

cos ( 2ʌx í 12 ʌ) = 12 冑3  cos ( 2ʌx í 12 ʌ) = í 12 冑3 2ʌx í 12 ʌ = 16 ʌ + k  2ʌ  2ʌx í 12 ʌ = í 16 ʌ + k  2ʌ  2ʌx í 12 ʌ = 56 ʌ + k  2ʌ  2ʌx í 12 ʌ = í 56 ʌ + k  2ʌ 2ʌx = 23 ʌ + k  2ʌ  2ʌx = 13 ʌ + k  2ʌ  2ʌx = 113 ʌ + k  2ʌ  2ʌx = í 13 ʌ + k  2ʌ x = 13 + k  1  x = 16 + k  1  x = 23 + k  1  x = í 16 + k  1 Deze antwoorden kunnen (dit is niet verplicht) nog samengenomen worden tot x = 13 + k  12  x = 16 + k  12 . 26 a

a cos ( 2x í 12 ʌ) = cos(ʌ í x) 2x í 12 ʌ = ʌ í x + k  2ʌ  2x í 12 ʌ = í(ʌ í x) + k  2ʌ 3x = 112 ʌ + k  2ʌ  2x í 12 ʌ = íʌ + x + k  2ʌ x = 12 ʌ + k  23 ʌ  x = í 12 ʌ + k  2ʌ b sin ( 2x + 13 ʌ) = sin ( x í 12 ʌ) 2x + 13 ʌ = x í 12 ʌ + k  2ʌ  2x + 13 ʌ = ʌ í ( x í 12 ʌ) + k  2ʌ x = í 56 ʌ + k  2ʌ  2x + 13 ʌ = ʌ í x + 12 ʌ + k  2ʌ x = í 56 ʌ + k  2ʌ  3x = 116 ʌ + k  2ʌ 7 x = í 56 ʌ + k  2ʌ  x = 18 ʌ + k  23 ʌ c sin(ʌx) = sin(2ʌx) ʌx = 2ʌx + k  2ʌ  ʌx = ʌ í 2ʌx + k  2ʌ íʌx = k  2ʌ  3ʌx = ʌ + k  2ʌ x = k  2  x = 13 + k  23 d cos(10ʌx) = cos(5ʌx í 6ʌ) 10ʌx = 5ʌx í 6ʌ + k  2ʌ  10ʌx = í(5ʌx í 6ʌ) + k  2ʌ 5ʌx = í6ʌ + k  2ʌ  10ʌx = í5ʌx + 6ʌ + k  2ʌ x = í115 + k  25  15ʌx = 6ʌ + k  2ʌ 2 x = k  25  x = 25 + k  15 2 x = k  25  x = k  15 2 Deze antwoorden kunnen (dit is niet verplicht) nog samengenomen worden tot x = k  15 .

27 a

a sin ( 112 x í 16 ʌ) = 12 冑3 112 x í 16 ʌ = 13 ʌ + k  2ʌ  112 x í 16 ʌ = ʌ í 13 ʌ + k  2ʌ 112 x = 12 ʌ + k  2ʌ  112 x = 56 ʌ + k  2ʌ x = 13 ʌ + k  113 ʌ  x = 59 ʌ + k  113 ʌ x op 3 0, 2ʌ 4 geeft x = 13 ʌ  x = 123 ʌ  x = 59 ʌ  x = 189 ʌ

158 Gemengde opgaven

© Noordhoff Uitgevers bv

b cos 3 ( 212 x) + cos ( 212 x) = 0 cos ( 212 x)  ( cos 2 ( 212 x) + 1) = 0 cos ( 212 x ) = 0  cos 2 ( 212 x ) = í1 212 x = 12 ʌ + k  ʌ geen oplossing x = 15 ʌ + k  25 ʌ x op 3 0, 2ʌ 4 geeft x = 15 ʌ  x = 35 ʌ  x = ʌ  x = 125 ʌ  x = 145 ʌ c sin 2 ( 112 x) = sin ( 112 x) + 2 sin 2 ( 112 x) í sin ( 112 x) í 2 = 0

( sin ( 112 x) í 2)( sin ( 112 x) + 1) = 0 sin ( 112 x) = 2  sin ( 112 x) = í1 112 x = 112 ʌ + k  2ʌ

geen opl.

x = ʌ + k  113 ʌ x op 3 0, 2ʌ 4 geeft x = ʌ d tan ( 2x + 13 ʌ) = tan ( 3x í 16 ʌ) 2x + 13 ʌ = 3x í 16 ʌ + k  ʌ íx = í 12 ʌ + k  ʌ x = 12 ʌ + k  ʌ x op 3 0, 2ʌ 4 geeft x = 12 ʌ  x = 112 ʌ 28 a

a Voer in y1 = 0 1 + 3sin ( 23 x) 0 . y 4 ƒ 2 1

O

π

2π

3π

x 4π

–2

b De periode is

2ʌ 2 3

= 3ʌ.

Dus de grafiek heeft een horizontale raaklijn voor x = 14 Â 3ʌ = 34 ʌ, x = 34 Â 3ʌ = 214 ʌ en x = 114 Â 3ʌ = 334 ʌ. De coördinaten zijn ( 34 ʌ, 4) , ( 214 ʌ, 2) en ( 334 ʌ, 4) .

© Noordhoff Uitgevers bv

Gemengde opgaven 159

c Voer in y2 = 2. Intersect geeft x § 0,51, x § 4,20, x = 214 ʌ (zie vraag b) en x § 9,93. y 4 ƒ

2

y=2

1

O 0,51

4,20

2 14 π

9,93

x 4π

–2

f (x) • 2 geeft 0,51 ” x ” 4,20  x = 214 ʌ  9,93 ” x ” 4ʌ d De maximale helling is waar de grafiek van y = 1 + 3sin ( 23 x ) stijgend door de evenwichtsstand gaat, dus als geldt f (x) = 1, bijvoorbeeld voor x = 0. dy Voor y1 is c = 2, dus de maximale helling is 2. d dx x=0 Bladzijde 194 29 a

a y = cos(x)

d y = cos(x)

translatie (0, í2)

y = í2 + cos(x) verm. x-as, 3

( 13 ʌ, 0)

y = cos ( x í 13 ʌ) verm. y-as, 12

y = cos(2x í c y = cos(x)

y = 3cos(2x) translatie (0, í2)

y = í2 + 3cos(2x) e y = cos(x) verm. x-as, 3

1 3 ʌ)

verm. x-as, 3

y = 3cos(x)

y = 3cos(x) verm. y-as, 12

y = 3cos(2x) translatie (0, í2)

translatie (0, í2)

y = í2 + 3cos(x) verm. y-as,

y = cos(2x) verm. x-as, 3

y = í6 + 3cos(x) b y = cos(x) translatie

verm. y-as, 12

1 2

y = í2 + 3cos(2x)

y = í2 + 3cos(2x) verm. y-as, 12

y = í2 + 3cos(4x) f y = cos(x) translatie

( 13 ʌ, 0)

y = cos ( x í 13 ʌ) verm. x-as , 3

y = 3cos ( x í 13 ʌ) verm. y-as, 12

y = 3cos ( 2x í 13 ʌ) translatie (0, í2)

y = í2 + 3cos ( 2x í 13 ʌ) 30 a

a sin ( 4x í 13 ʌ) = cos ( 4x í 13 ʌ í 12 ʌ) = cos ( 4x í 56 ʌ) b ícos ( 3x + 16 ʌ) = cos ( 3x + 116 ʌ) = sin ( 3x + 116 ʌ + 12 ʌ) = sin ( 3x + 123 ʌ) c 3sin 2(x) í 2cos(x) = 3(1 í cos 2(x)) í 2cos(x) = 3 í 3cos 2(x) í 2cos(x) = í3cos 2(x) í 2cos(x) + 3 d 3cos ( x í 12 ʌ) í 2cos 2(x) = 3sin(x) í 2(1 í sin 2(x)) = 3sin(x) í 2 + 2sin 2(x) = 2sin 2(x) + 3sin(x) í 2

160 Gemengde opgaven

© Noordhoff Uitgevers bv

31 a

a N = a + bsin(c(t í d)) 40 + 0 a= = 20 2 b = 40 í 20 = 20 2ʌ 1 = ʌ. 12 6 Stijgend door de evenwichtsstand bij x = í2, dus d = í2. Dus N = 20 + 20sin ( 16 ʌ ( t + 2)) . b N = 20 í 20cos ( 16 ʌ ( t í d)) Een laagste punt is (7, 0), dus d = 7. Dus N = 20 í 20cos ( 16 ʌ ( t í 7)) . Periode is 2 Â (4 í í2) = 12, dus c =

32 a

a y = cos(x) verm. x-as, 20

y = 20cos(x) verm. y-as,

1 ʌ

y = 20cos(ʌx) translatie (0, 15)

f (x) = 15 + 20cos(ʌx) b beginpunt (0, 30) ʌ periode is 1 = 2 2ʌ De asymptoten zijn x = 1 en x = 3. c Voer in y1 = 15 + 20cos(ʌx) en y2 = 30 í tan ( 12 ʌx) . x=1

y

x=3 g

35 30

ƒ

15

2

O

4

x

d Intersect geeft x § 0,24, x § 0,98, x § 1,78, x § 2,24, x § 2,98 en x § 3,78. x=1

y

x=3 g

ƒ

0,98 O

0,24

2,98 1,78

2,24

3,78

4

x

f (x) < g(x) geeft 0,24 < x < 0,98  1 < x < 1,78  2,24 < x < 2,98  3 < x < 3,78 © Noordhoff Uitgevers bv

Gemengde opgaven 161

33 a

a f (x) = 3 í sin ( 13 ( x í 14 ʌ)) geeft f '(x) = ícos ( 13 ( x í 14 ʌ)) Â 13 = í 13 cos ( 13 ( x í 14 ʌ)) b g(x) = x4 Â cos(3x í 4) geeft g'(x) = 4x3 Â cos(3x í 4) + x4 Â ísin(3x í 4) Â 3 = 4x3 Â cos(3x í 4) í 3x4 Â sin(3x í 4) sin(x) í cos(x) (sin(x) + cos(x)) Â 0 í 1 Â (cos(x) í sin(x)) 1 geeft h'(x) = c h(x) = = 2 sin(x) + cos(x) (sin(x) + cos(x)) (sin(x) + cos(x))2 3 3 d j(x) = 2ʌx í ʌ Â sin ( 13 ʌx í 1) geeft j '(x) = 2ʌ í ʌ Â cos ( 13 ʌx í 1) Â 13 ʌ = 2ʌ í cos ( 13 ʌx í 1) x2 + cos(2x) e k(x) = geeft sin(2x) k '(x) =

sin(2x) Â (2x í sin(2x) Â 2) í (x2 + cos(2x)) Â cos(2x) Â 2 sin 2(2x)

=

2xsin(2x) í 2sin 2(2x) í 2x2cos(2x) í 2cos 2(2x) sin 2(2x)

=

2xsin(2x) í 2x2cos(2x) í 2(sin 2(2x) + cos 2(2x)) sin 2(2x)

2xsin(2x) í 2x2cos(2x) í 2 sin 2(2x) f l(x) = 4cos 4(x) geeft l'(x) = 16cos 3(x)  ísin(x) = í16sin(x) cos 3(x) g m(x) = xsin 2(x) geeft m'(x) = 1  sin 2(x) + x  2sin(x)  cos(x) = sin 2(x) + 2xsin(x)cos(x) 15x2 1 h n(x) = 5x2 tan(3x) geeft n'(x) = 10x  tan(3x) + 5x2   3 = 10x tan(3x) + 2 cos (3x) cos 2(3x) =

Bladzijde 195 34 a

a f (x) = 2 sin(x) + sin 2(x) geeft f '(x) = 2 cos(x) + 2 sin(x)cos(x) Stel l: y = ax + b. a = f'(ʌ) = 2cos(ʌ) + 2sin(ʌ)cos(ʌ) = 2  í1 + 2  0  í1 = í2 y = í2x + b f í2  ʌ + b = 0 f (ʌ) = 2sin(ʌ) + sin 2(ʌ) = 0, dus A(ʌ, 0) b = 2ʌ Dus l: y = í2x + 2ʌ. b f '(x) = 0 geeft 2 cos(x) + 2 sin(x)cos(x) = 0 2 cos(x)  (1 + sin(x)) = 0 cos(x) = 0  sin(x) = í1 x = 12 ʌ + k  ʌ  x = 112 ʌ + k  2ʌ x op 3 0, 4ʌ 4 geeft x = 12 ʌ  x = 112 ʌ  x = 212 ʌ  x = 312 ʌ. y

ƒ

3 12 π

1 12 π O

1 2π

2 12 π

2π

4π x

f ( 12 ʌ) = f ( 212 ʌ) = 3 en f ( 112 ʌ) = f ( 312 ʌ) = í1, dus B f = 3 í1, 3 4 .

8 Meetkunde met coördinaten 35 a

a e

x = 2t + 12 2 2x = 4t + 1 ` ` geeft e y = 45t + p 5 5y = 4t + 5p ௘ í 2x í 5y = 1 í 5p

2x í 5y = 1 í 5p geeft x y í =1 5 2

162 Gemengde opgaven

x y 1 í 5p í = 5 2 10



1 í 5p =1 10 1 í 5p = 10 í5p = 9 p = í145 © Noordhoff Uitgevers bv

b e

c e

36 a

x = 2t + p 3 3x = 6t + 3p ` ` geeft e y = í112t í 1 4 4y = í6t í 4 ௘ + 3x + 4y = 3p í 4 f 3p í 4 = 2p 3x + 4y = 2p p=4 x = 3t í p p px = 3pt í p2 ` ` geeft e y = pt í 4 3 3y = 3pt í 12 ௘ í px í 3y = íp2 + 12 f p  3 í 3  14 = íp2 + 12 door (3, 14) 3p í 42 = íp2 + 12 p2 + 3p í 54 = 0 (p í 6)(p + 9) = 0 p = 6  p = í9

a 3x + y = 6, ofwel y = í3x + 6 geeft rc k = í3 tan(Į) = í3 geeft Į = í71,56...° y = í2x + 3 geeft rcl = í2 tan(ȕ) = í2 geeft ȕ = í63,43...° ȕ í Į = í63,43... í í71,56...° § 8,1° De gevraagde hoek is 8,1°. 4í0 b rc m = = í113 0í3 tan(Į) = í113 geeft Į = í53,13...° 3í1 rc n = =1 3í1 tan(ȕ) = 1 geeft ȕ = 45° ȕ í Į = 45° í í53,13...° = 98,13...° De gevraagde hoek is 180° í 98,13...° § 81,9°. c y = 12 x + 2 geeft rc p = 12 tan(Į) = 12 geeft Į = 26,56...° y = 13 x í 6 geeft rc q = 13 tan(ȕ) = 13 geeft ȕ = 18,43...° Į – ȕ = 26,56...° í 18,43...° § 8,1° De gevraagde hoek is 8,1°.

37 a

y x + =1 p + 1 3p Dus k: 3px + (p + 1)y = 3p(p + 1). b 3px + (p + 1)y = 3p(p + 1) f 3p  í1 + (p + 1)  6 = 3p(p + 1) door C(í1, 6) í3p + 6p + 6 = 3p2 + 3p í3p2 = í6 p2 = 2 p = 冑2  p = í冑2 c l: 2x + 3y = 6 3y = í2x + 6 y = í 23 x + 2 Dus rc l = í 23 . 3p 3p í 0 rc k = =í p+1 0 í (p + 1) a k:

rc k  rc p = í1 geeft í

3p  í 2 = í1 p+1 3

2p = í1 p+1 2p = í(p + 1) 2p = íp í 1 3p = í1 p = í 13

© Noordhoff Uitgevers bv

Gemengde opgaven 163

d d(A, B) = 冑(0 í (p + 1))2 + (3p í 0)2 = 冑p2 + 2p + 1 + 9p2 = 冑10p2 + 2p + 1 d(A, B) = 3 geeft 冑10p2 + 2p + 1 = 3 kwadrateren geeft 10p2 + 2p + 1 = 9 10p2 + 2p í 8 = 0 D = 22 í 4  10  í8 = 324 í2 + 18 4 í2 í 18 p= =5  p= = í1 20 20 d(A, B)

3

–1

O

4 5

p

d(A, B) < 3 geeft í1 < p < 45 e m C k en m door O, dus m: (p + 1)x í 3py = 0. M ( 12 (p + 1 + 0), 12 (0 + 3p)) , dus M ( 12 p + 12 ,112 p) . (p + 1)x í 3py = 0 1 1 1 f (p + 1)  ( 2 p + 2 ) í 3p  12 p = 0 door M ( 12 p + 12 ,112 p) 1 2 1 1 1 1 2 2 p + 2 p + 2 p + 2 í 42 p = 0 í4p2 + p + 12 = 0 D = 12 í 4  í4  12 = 9 í1 + 3 í1 í 3 1 p= = í 14  p = =2 í8 í8 38 a

a d(A, B) = 冑(6 í 3)2 + (8 í 4)2 = 冑9 + 16 = 冑25 = 5 b c1 heeft middelpunt M(2, 3) en straal r = 冑10. d(A, M) = 冑(2 í 3)2 + (3 í 4)2 = 冑1 + 1 = 冑2 d(A, c1 ) = r í d(A, M) = 冑10 í 冑2 c x2 + y2 í 4x + 2y = 0 x2 í 4x + y2 + 2y = 0 (x í 2)2 í 4 + (y + 1)2 í 1 = 0 (x í 2)2 + (y + 1)2 = 5 c2 heeft middelpunt N(2, í1) en straal r = 冑5. d(A, N) = 冑(2 í 3)2 + (í1 í 4)2 = 冑1 + 25 = 冑26 d(A, c2 ) = d(A, N) í r = 冑26 í 冑5 d l staat loodrecht op k, dus l: 4x í 3y = c. 4x í 3y = c f c = 4Â3 í 3Â4 = 0 door A(3, 4) Dus l: 4x í 3y = 0.

164 Gemengde opgaven

© Noordhoff Uitgevers bv

l snijden met k geeft e

16x í 12y = 0 4x í 3y = 0 4 ` ` geeft e 9x + 12y = 45 3x + 4y = 15 3 ௘ + 25x = 45 x = 145 4 f 4 Â 15 í 3y = 0 ௘ 4x í 3y = 0 í3y = í715 y = 225

Dus het snijpunt is S ( 145 , 225 ) .

冑

冑

d(A, k) = d(A, S) = (145 í 3)2 + (225 í 4)2 = (65 )2 + (85 )2 = 39 a

冑

36 25

+ 64 25 = 冑4 = 2

x = 12t + 6 8 8x = 4t + 48 ` ` geeft e y = 4t í 4 y = 4t í 4 1 ௘ í 8x í y = 52 Dus k: 8x í y = 52. b l C m, dus l: 3x + 2y = c. 3x + 2y = c f c = 3Â1 + 2Â2 = 7 door A(1, 2) Dus l: 3x + 2y = 7. c r gaat door O en B en staat loodrecht op n. 2í0 2 rcr = = , dus rc n = í112 . 3í0 3 n: y = í112 x + b f í112 Â 3 + b = 2 door B(3, 2) í412 + b = 2 a e

b = 612 Dus n: y = í112 x + 612. x y d q: + = 1 geeft q: 3x í 5y = 15 5 í3 p // q, dus p: 3x í 5y = c f c = 3 Â 3 í 5 Â í1 = 14 door C(3, í1) Dus p: 3x í 5y = 14. Bladzijde 196 40 a

a De middelloodlijnen van de zijden van een driehoek gaan door één punt. Dit punt is het middelpunt van de omgeschreven cirkel. De afstand van het middelpunt van de omgeschreven cirkel tot één van de hoekpunten van de driehoek is de straal van de omgeschreven cirkel. Wanneer het middelpunt en de straal van de omgeschreven cirkel bekend zijn, is de vergelijking van de cirkel op te stellen. 1í8 b rc AB = = í7 en k C AB, dus rc k = 17 . 7í6 N is het midden van AB, dus N ( 12 ( 6 + 7 ) , 12 ( 8 + 1 ) ) ofwel N ( 612 , 412 ) . k: y = 17 x + b door N (612 , 412 )

1 7x

t 1

7

 612 + b = 412

13 14

+ b = 412

b = 347 + 347 .

Dus k: y = 4í8 1 rc AC = = en l C AC, dus rc l = í2. í2 í 6 2 P is het midden van AC, dus P ( 12 ( 6 + í2 ) , 12 ( 8 + 4 ) ) ofwel N(2, 6). l: y = í2x + b f í2 Â 2 + b = 6 door P(2, 6) í4 + b = 6 b = 10 Dus l: y = í2x + 10.

© Noordhoff Uitgevers bv

Gemengde opgaven 165

k en l snijden geeft 17 x + 347 = í2x + 10 217 x = 637 x=3 x = 3 geeft y = í2 Â 3 + 10 = 4, dus M(3, 4). d(M, A) = 冑(6 í 3)2 + (8 í 4)2 = 冑9 + 16 = 冑25 = 5 Dus c: (x í 3)2 + (y í 4)2 = 25. 41 a

a c1 gaat door A(0, 2) en B(0, 8), dus het middelpunt M ligt op de lijn y = 5. c1 raakt de x-as in C(4, 0), dus M ligt op de lijn x = 4. Dus is M(4, 5) en is de straal gelijk aan 5. Dit geeft c1: (x í 4)2 + (y í 5)2 = 25. Het middelpunt N van c2 is N(0, 5) en de straal is gelijk aan 3. Dit geeft c2: x2 + (y í 5)2 = 9. b 3x + 4y = p geeft 4y = í3x + p, dus y = í 34 x + 14 p. (x í 4)2 + (y í 5)2 = 25 x2 í 8x + 16 + y2 í 10y + 25 = 25 x2 + y2 í 8x í 10y + 16 = 0 Substitutie van y = í 34 x + 14 p in x2 + y2 í 8x í 10y + 16 = 0 geeft x2 + ( í 34 x + 14 p) í 8x í 10 Â ( í 34 x + 14 p) + 16 = 0 2

9 2 1 2 x2 + 16 x í 38 px + 16 p í 8x + 712 x í 212 p + 16 = 0

c

9 2 1 2 116 x + (í 12 í 38 p)x + 16 p í 212 p + 16 = 0 25x2 + (í8 í 6p)x + p2 í 40p + 256 = 0 D = (í8 í 6p)2 í 4  25  (p2 í 40p + 256) = 64 + 96p + 36p2 í 100p2 + 4000p í 25600 = í64p2 + 4096p í 25536 Raken, dus D = 0 geeft í64p2 + 4096p í 25536 = 0 p2 í 64p + 399 = 0 D = (í64)2 í 4  1  399 = 2500 64 í 50 64 + 50 p= =7  p= = 57 2 2 y B

N 3

3 D

3

E

A 2 x

O

DN 3 = geeft “DON = 36,86...°. ON 5 De hoek tussen de raaklijnen is 2  36,86...° § 74°. d Een pv van c2 is x = 3cos(t) œ y = 5 + 3sin(t). Het midden van P(3cos(t), 5 + 3sin(t)) en C(4, 0) is In +DON is sin(“DON) =

(

)

3cos(t) + 4 5 + 3sin(t) + 0 , = Q(2 + 112 cos(t), 212 + 112 sin(t)). 2 2 2 Dus Q ligt op de cirkel (x í 2)2 + ( y í 212 ) = 214 Q

x2 í 4x + 4 + y2 í 5y + 614 = 214 x2 + y2 í 4x í 5y + 8 = 0 2 2 Dus c3: x + y í 4x í 5y + 8 = 0.

166 Gemengde opgaven

© Noordhoff Uitgevers bv

42 a

Een pv van c1 is x = 4 + 2cos(t) œ y = í3 + 2sin(t). Het midden van P(4 + 2cos(t), í3 + 2sin(t)) en A(0, í6) is 4 + 2 cos(t) + 0 í3 + 2sin(t) í 6 , Q = Q(2 + cos(t), í412 + sin(t)). 2 2 Het midden van P(4 + 2cos(t), í3 + 2sin(t)) en B(6, 0) is 4 + 2cos(t) + 6 í3 + 2sin(t) + 0 , R = R(5 + cos(t), í112 + sin(t)). 2 2

( (

) )

Het midden van P(4 + 2cos(t), í3 + 2sin(t)) en O is 4 + 2cos(t) + 0 í3 + 2sin(t) + 0 S , = S(2 + cos(t), í112 + sin(t)). 2 2 Het punt T is het midden van zijde QR, dus 2 + cos(t) + 5 + cos(t) í412 + sin(t) + í112 + sin(t) , T = T ( 312 + cos(t), í3 + sin(t)) . 2 2 Het zwaartepunt ligt op de zwaartelijn ST zo, dat geldt TZ : SZ = 1: 2, dus

( (

)

)

2 Â ( 312 + cos ( t)) + 1 Â (2 + cos(t)) 2 Â (í3 + sin(t)) + 1 Â ( í112 + sin ( t)) , = Z(3 + cos(t), í212 + sin(t)) 3 3 2 Dus z ligt op de cirkel (x í 3)2 + ( y + 212 ) = 1 Z

(

)

x2 í 6x + 9 + y2 + 5y + 614 = 1 x2 + y2 í 6x + 5y + 1414 = 0 Dus c3: x2 + y2 í 6x + 5y + 1414 = 0. 43 a

a x í 3y = q geeft 3y = x í q, dus y = 13 x í 13 q. Substitutie van y = 13 x í 13 q in x2 + y2 + 2x + 4y í 5 = 0 geeft x2 + ( 13 x í 13 q) 2 + 2x + 4  ( 13 x í 13 q) í 5 = 0 x2 + 19 x2 í 29 qx + 19 q2 + 2x + 113 x í 113 q í 5 = 0 119 x2 + ( 313 í 29 q) x + 19 q2 í 113 q í 5 = 0 10x2 + (30 í 2q)x + q2 í 12q í 45 = 0 D = (30 í 2q)2 í 4  10  (q2 í 12q í 45) = 900 í 120q + 4q2 í 40q2 + 480q + 1800 = í36q2 + 360q + 2700 Raken, dus D = 0 geeft í36q2 + 360q + 2700 = 0 q2 í 10q í 75 = 0 (q + 5)(q í 15) = 0 q = í5  q = 15 b 3x + y = p geeft y = í3x + p Substitutie van y = í3x + p in x2 + y2 + px + 4y í 5 = 0 geeft x2 + (í3x + p)2 + px + 4  (í3x + p) í 5 = 0 x2 + 9x2 í 6px + p2 + px í 12x + 4p í 5 = 0 10x2 + (í12 í 5p)x + p2 + 4p í 5 = 0 D = (í12 í 5p)2 í 4  10  (p2 + 4p í 5) = 144 + 120p + 25p2 í 40p2 í 160p + 200 = í15p2 í 40p + 344 Raken dus D < 0 geeft í15p2 í 40p + 344 < 0 Voer in y1 = í15x2 í 40x + 344. Optie zero geeft x § í6,30 en x § 3,64. D

−6,30

3,64

p

D < 0 geeft p < í6,30  p > 3,64

© Noordhoff Uitgevers bv

Gemengde opgaven 167

Bladzijde 197 44 a

a In +QNM is QN 2 + QM 2 = MN 2 QN 2 + 52 = 132 QN 2 = 169 í 25 = 144 QN = 12

y

O(OPNM) = 12 Â (4 + 9) Â 12 = 78 M 9 5

R

4

Q

N

4

4

O

b In +QNM is QN 2 + QM 2 = MN 2 QN 2 + (r í s)2 = (r + s)2 QN 2 = (r + s)2 í (r í s)2 QN 2 = r 2 + 2rs + s2 í (r 2 í 2rs + s2) QN 2 = 4rs QN = 2冑rs

P

x

y

O(OPNM) = 12 Â (r + s) Â 2冑rs = (r + s)冑rs

M r R r

Q

s N s

O

P

x

c In +QNM is QM 2 + QN 2 = MN 2 (r í s)2 + OP2 = MN2 (r í s)2 + 152 = 252 (r í s)2 = 625 í 225 (r í s)2 = 400 r í s = 20 MN = 25 geeft r + s = 25 r + s = 25 r í s = 20 + 2r = 45 r = 2212 f 2212 + s = 25 r + s = 25 s = 212 1 Dus r = 222 en s = 212 .

168 Gemengde opgaven

© Noordhoff Uitgevers bv

Verantwoording

Omslagontwerp: In Ontwerp, Assen Ontwerp binnenwerk: Ebel Kuipers, Sappemeer Technisch tekenwerk: OKS, Delhi (India) Lay-out: OKS, Delhi (India)

0 / 15 © 2015 Noordhoff Uitgevers bv, Groningen, The Netherlands. Behoudens de in of krachtens de Auteurswet van 1912 gestelde uitzonderingen mag niets uit deze uitgave worden verveelvoudigd, opgeslagen in een geautomatiseerd gegevensbestand of openbaar gemaakt, in enige vorm of op enige wijze, hetzij elektronisch, mechanisch, door fotokopieën, opnamen of enig andere manier, zonder voorafgaande schriftelijke toestemming van de uitgever. Voor zover het maken van reprogra¿sche verveelvoudigingen uit deze uitgave is toegestaan op grond van artikel 16h Auteurswet 1912 dient men de daarvoor verschuldigde vergoedingen te voldoen aan Stichting Reprorecht (postbus 3060, 2130 KB Hoofddorp, www.reprorecht.nl). Voor het overnemen van gedeelte(n) uit deze uitgave in bloemlezingen, readers en andere compilatiewerken (artikel 16 Auteurswet 1912) kan men zich wenden tot Stichting PRO (Stichting Publicatie- en Reproductierechten Organisatie, postbus 3060, 2130 KB Hoofddorp, www.stichting-pro.nl). All rights reserved. No part of this publication may be reproduced, stored in a retrieval system, or transmitted, in any form or by any means, electronic, mechanical, photocopying, recording or otherwise without prior written permission of the publisher. ISBN 978 90 01 84248 2