Getal & Ruimte - J.H. Dijkhuis vwo B deel 2 [11 ed.] 9789001842338 [PDF]

Zitiervorschau

vwo B deel 2 ELFDE EDITIE, 2015

J.H. Dijkhuis C.J. Admiraal J.A. Verbeek G. de Jong H.J. Houwing J.D. Kuis F. ten Klooster S.K.A. de Waal J. van Braak J.H.M. Liesting-Maas M. Wieringa M.L.M. van Maarseveen R.D. Hiele J.E. Romkes M. Haneveld S. Voets I. Cornelisse

Noordhoff Uitgevers Groningen

Voorwoord Aan de docent(e), Het boek vwo B deel 2 Samen met de delen 1, 3 en 4 van vwo wiskunde B bevat dit boek de leerstof van het programma vwo wiskunde B, zoals dat met ingang van het jaar 2015 is vastgesteld. De totale studielast voor het vak vwo wiskunde B is 600 uur. De delen 1, 2, 3 en 4 bevatten samen 17 hoofdstukken, waarbij opgemerkt moet worden dat in het laatste hoofdstuk van deel 3 een keuzeonderwerp wordt aangeboden en dat in het vierde hoofdstuk van deel 4 de examentraining aan bod komt. In de vier hoofdstukken van dit boek, die elk een studielast van ongeveer 30 uur hebben, komen de volgende (sub)domeinen aan de orde: 5 Machten en exponenten: B Functies, gra¿eken en vergelijkingen; 6 Differentiaalrekening: C1 Afgeleide functies en C2 Technieken voor differentiëren; 7 Goniometrische functies: D Goniometrische functies; 8 Meetkunde met coördinaten: E2 Algebraïsche methoden in de vlakke meetkunde. De delen 1, 2 en 3 zijn bedoeld voor de leerjaren 4 en 5. Afhankelijk van de verdeling van de studielast over deze twee leerjaren kunnen de hoofdstukken 7 en 8 samen met deel 3 in het vijfde leerjaar worden doorgewerkt. Opbouw Ook in de elfde editie is gekozen voor een paragraaf voorkennis waarmee elk hoofdstuk begint en waarin de voor het hoofdstuk vereiste voorkennis wordt aangeboden. Elke paragraaf wordt afgesloten met een terugblik. Aan het eind van elk hoofdstuk staat de diagnostische toets, die per paragraaf de basisvaardigheden toetst. Achter in het boek staan opgaven uit de Wiskunde Olympiade, de gemengde opgaven en het trefwoordenregister. Testopgaven en denkopgaven Nieuw in deze editie zijn de testopgaven en de denkopgaven. Met de testopgaven, aangegeven met een T, wordt een vorm van differentiatie aangeboden. Leerlingen kunnen na het foutloos maken van een testopgave enkele opgaven overslaan. De denkopgaven zijn aangegeven met een D en bieden een probleem aan dat bij de behandelde theorie hoort, maar dat door de vaak iets andere invalshoek of het ontbreken van tussenstappen een extra beroep doet op het denkvermogen van de leerling. Met de opgaven uit de Wiskunde Olympiade krijgen de leerlingen extra training met het oplossen van wiskundeproblemen. Online materiaal Het Docentenpakket online bevat een studiewijzer bij elk hoofdstuk. Verder is onder meer het presentatiemateriaal aanwezig en zijn bij elk hoofdstuk toetsopgaven beschikbaar. Voor de leerlingen is er in online een oefenproefwerk bij elk hoofdstuk en zijn er oefenapplets, animaties en demo’s. Zoals altijd stellen we op- en aanmerkingen van gebruikers zeer op prijs. voorjaar 2015

© Noordhoff Uitgevers bv

Legenda 1

Voorkennis Kennis van enkele onderwerpen uit voorgaande hoofdstukken moet je paraat hebben.

O 2

Oriënterende opgave Opgaven waarmee je je oriënteert op de theorie erna.

T 3

[ ŹŹ6]

4

Testopgave Een T-opgave volgt na een theorieblok. Als je de theorie en het voorbeeld goed begrijpt, dan kun je de testopgave maken. Gaat dit foutloos, dan mag je verder gaan met de opgave die achter ŹŹ staat.

Gewone opgave Na de theorie ga je oefenen met de gewone opgaven.

R 5

ReÀecterende opgave In een reÀectieopgave kijk je nog eens terug op een voorgaand probleem.

A 6

Afsluitende opgave De afsluitende opgaven geven het beoogde beheersingsniveau aan.

D 7

Denkopgave Een D-opgave doet een extra beroep op je denkvermogen. De denkopgave hoort bij de behandelde theorie, maar vaak wordt in de opgave een probleem op een iets andere manier gepresenteerd. [ ŹWERKBLAD ]

Verwijzing naar een werkblad.

© Noordhoff Uitgevers bv

Inhoud 5

6

Machten en exponenten

Voorkennis Machten en machtsfuncties 8 5.1 Wortelvormen en gebroken vormen 13 5.2 Machten met negatieve en gebroken

exponenten 27 5.3 De standaardfunctie f(x) = g x 5.4 Exponentiële groei 44

Diagnostische toets

6

36

52

Differentiaalrekening 54

Goniometrische functies 92 Voorkennis Exacte waarden van

goniometrische verhoudingen 94 Eenheidscirkel en radiaal 96 Goniometrische vergelijkingen 106 Transformaties en functies 113 Gra¿eken van goniometrische functies 121 7.5 Goniometrische functies differentiëren 131 Diagnostische toets 136 7.1 7.2 7.3 7.4

Voorkennis Differentiëren 6.1 6.2 6.3 6.4

56 Toppen en buigpunten 60 De afgeleide van machtsfuncties 68 De kettingregel 75 Toppen en snijpunten 82 Diagnostische toets 90

7

8

Meetkunde met coördinaten 138 Voorkennis Stelsels en

8.1 8.2 8.3 8.4 8.5

kwadraatafsplitsen 140 Lijnen en hoeken 142 Afstanden bij punten en lijnen 152 Cirkelvergelijkingen 159 Raaklijnen en snijpunten bij cirkels 167 Meetkunde met GeoGebra 173 Diagnostische toets 178 Wiskunde olympiade 180 Gemengde opgaven 188 Overzicht GR-handleiding 198 Trefwoordenregister 199 Verantwoording 200

© Noordhoff Uitgevers bv

Diepzeeduikers hebben de ervaring dat op grote diepte alles er blauwer uitziet. Dat komt doordat water rood licht meer absorbeert dan blauw licht. In de Caribische Zee bijvoorbeeld is op vijf meter diepte al 92% van het rode licht geabsorbeerd en van het blauwe licht nog maar 83%. Hieruit volgt dat op 9 meter diepte vier keer zoveel blauw licht doordringt dan rood licht.

6

Hoofdstuk #

Wat leer je? • Werken met grafieken van wortelfuncties, gebroken functies en exponentiële functies. • Het vrijmaken van variabelen bij wortelformules. • Wat de betekenis is van machten met negatieve en gebroken exponenten. • Algebraïsch oplossen van exponentiële vergelijkingen. • Formules opstellen bij exponentiële groei.

© Noordhoff Uitgevers bv

Machten en exponenten

5

© Noordhoff Uitgevers bv

7

Voorkennis Machten en machtsfuncties Theorie A Rekenregels voor machten Je weet dat a5 een macht van a is. In de macht a5 is a het grondtal en 5 de exponent. a5 is een korte schrijfwijze voor a · a · a · a · a, dus voor het product van vijf factoren a. Rekenen met machten gaat als volgt.

a2  a5 = a  a  a  a  a  a  a = a7 2 factoren

Bij het vermenigvuldigen van machten met hetzelfde grondtal tel je de exponenten bij elkaar op.

5 factoren

5

a5 a  a  a  a  a = = a3 aÂa a2

Bij het delen van machten met hetzelfde grondtal trek je de exponenten van elkaar af.

5 (a2) = a2 Â a2 Â a2 Â a2 Â a2 = a10

Bij de macht van een macht vermenigvuldig je de exponenten met elkaar.

5 factoren a2

(ab)4 = ab  ab  ab  ab = a  a  a  a  b  b  b  b = a4b4 Bij de macht van een product krijg je 4 factoren ab een product van machten. Zo krijg je de volgende rekenregels voor machten. ap · aq = ap + q

ap = ap í q aq

(ap)q = apq

(ab)p = apbp

Hieronder zie je hoe je de rekenregels gebruikt bij het herleiden. den. (í3a3)4 = (í3)4 · (a3)4 = 81a12 (í3a2)3 = (í3)3 · (a2)3 = í27a6 (2a3)2 í (a2)3 = 4a6 í a6 = 3a6 a5 · a2 + a5 + a2 = a7 + a5 + a2

(–2)4 = 16 en –24 = –16 (–3)3 = –27 en –33 = –27 Let op: a5 · a2 = a7 maar a5 + a2 kan niet korter.

12a3b = 4a2 3ab

8

Hoofdstuk 5

© Noordhoff Uitgevers bv

1

2

3

4

5

Herleid. a x2 Â x3

c 4a2b  5a3b2

e 5x2y  2x í 3x3y

b 2p3 Â 3p2

d í2p4q3 Â í3pq

f 12a4b  14 ab í 8ab

Herleid. a (p2q)3

c (í5x2y3 )

b (3x2 )3

d (í4ab4 )

Herleid. 24a4b2 a 6ab

b

2

e (3a)2 Â (2a2 )3

2

f (3a3 )2 + (2a2 )3

5x3y2 10x2y

c

(2ab)3 (3ab)2

( 12a)2 + (ía)2

Herleid. a (ab)4 Â a

c (3a)2 + (2b)2

e

b (í2ab)3 Â b

d (3a)3 í 8a3

f (5a4 )2 + (ía2 )4

Herleid. a a2n  an í 1

b an

2

2

í1

 an í 1

c

an í n an í 1

5

Theorie B Machtsfuncties Een functie van de vorm f (x) = axn met a  0 is een machtsfunctie. In het schema hieronder zie je hoe de gra¿ek van f er uitziet voor n > 1 en n geheel. n even

n oneven y

y

O

a>0

x

O

y

x

a0

x

a in. a Bij gra¿ek I geldt a ... 0, b ... 0, c ... 0 en d ... 0. b Bij gra¿ek II geldt a ... 0, b ... 0, c ... 0 en d ... 0.

y

I II x

O

¿guur 5.9

8

9

Geef van elk van de volgende functies het domein, het bereik en de coördinaten van het beginpunt van de gra¿ek. a f (x) = 3 + 冑8 í 4x b g(x) = 3 + 冑4x í 8 c h(x) = 5 í 冑2x + 6 d k(x) = í2冑x + 3 5

Gegeven is de functie f (x) = 3 í 冑2x + 5. a Teken de gra¿ek van f en geef Bf . b Los algebraïsch op f (x) > í2. c Welke waarden neemt f (x) aan voor x < 22?

A 10 Gegeven is de functie f (x) = 2冑7 í 3x í 4.

a Schets de gra¿ek van f en geef Bf . b Los algebraïsch op f (x) > í2. c Welke waarden neemt f (x) aan voor x • í3?

A 11 Gegeven zijn de functies f (x) = 2 + 冑7 í 2x en g(x) = x.

Los algebraïsch op f (x) < g(x).

D 12 Het beginpunt van de gra¿ek van f (x) = 4 í 冑5 + ax ligt op de

lijn k: y = 2x í 1. Bereken a.

D 13 De gra¿ek van de functie f (x) = a冑x + b gaat door de punten

(5, 3) en (13, 9). Bereken a en b.

O 14 a Toon aan dat uit y = 2冑x volgt x = 14 y2.

b Vul in: Uit y = 冑x í 2 volgt x = ... . c Vul in: Uit y = 2冑x í 2 volgt x = ... .

© Noordhoff Uitgevers bv

Machten en exponenten

17

Theorie C Variabelen vrijmaken bij wortelformules Bij de formule y = 2 + 冑x í 3 kun je de variabele x vrijmaken zodat x is uitgedrukt in y ofwel x als functie van y is geschreven. Dit gaat als volgt. Verwissel beide leden zodat x in het linkerlid komt. y = 2 + 冑x í 3 2 + 冑x í 3 = y Isoleer de wortelvorm. 冑x í 3 = y í 2 kwadrateren geeft x í 3 = y2 í 4y + 4 x = y2 í 4y + 7 Afspraak Bij het vrijmaken van variabelen hoef je geen voorwaarden te vermelden.

Voorbeeld Maak t vrij bij de formule N = 3 í 2冑t í 1.

5

Uitwerking N = 3 í 2冑t í 1 2冑t í 1 = 3 í N kwadrateren geeft 4(t í 1) = 9 í 6N + N 2 4t í 4 = 9 í 6N + N 2 4t = 13 í 6N + N 2 t = 14 N 2 í 112 N + 314

Informatief Voorwaarden bij vrijmaken van variabelen bij wortelformules De functie f (x) = 2 + 冑x í 3 heeft Df = 33, m 9 en Bf = 3 2, m 9, dat wil zeggen x ≥ 3 en y ≥ 2. Deze voorwaarden blijven gelden bij het vrijmaken van x. Maak je x vrij bij y = 2 + 冑x í 3, dan krijg je x = y 2 í 4y +7. Dus ook bij x = y 2 í 4y +7 is x ≥ 3 en y ≥ 2. Dat betekent dat je bij x = y 2 í 4y +7 bijvoorbeeld niet y = 0 mag nemen. De voorwaarde y ≥ 2 schrijven we er echter niet bij.

18

Hoofdstuk 5

© Noordhoff Uitgevers bv

15 a Maak t vrij bij de formule F = 3冑2t í 1.

b Schrijf B als functie van A bij de formule A = 5 + 冑4 í 3B. c Gegeven is 2x冑y í 5 = 0. Druk y uit in x. d Gegeven is R冑q í 冑R = 6. Schrijf q als functie van R.

A 16 Bij een verkiezing wordt door middel van een steekproef een

schatting gegeven van het percentage van de mensen dat op de politieke partij X stemt. De nauwkeurigheid van de schatting hangt af van de omvang n van de steekproef, maar ook van het gevonden p(100 í p) percentage p in het onderzoek. Met de formule a = 1,96 n Å is het 95%-betrouwbaarheidsinterval te berekenen. Daarmee weet je met een zekerheid van 95% dat het werkelijke percentage tussen p í a en p + a ligt. Zo hoort bij een steekproef van omvang 300 met een steekproefresultaat van 35,1% een nauwkeurigheid van 5,4%. Dat wil zeggen dat het werkelijke percentage met 95% zekerheid tussen 35,1 í 5,4 = 29,7% en 35,1 + 5,4 = 40,5% zal liggen. a In een steekproef van 1500 personen kiezen er 450 voor partij X. Bereken de nauwkeurigheid van de schatting. b Bij de gemeenteraadsverkiezingen in Amsterdam is bij een exitpoll aan 400 personen gevraagd op welke partij ze gestemd hebben. Van deze 400 personen hebben er 82 op partij Y gestemd. In totaal hebben 28 500 mensen een stem uitgebracht. Hoeveel daarvan kunnen er met een zekerheid van 95% maximaal op partij Y gestemd hebben? c Bereken hoe groot de steekproef moet zijn om met een nauwkeurigheid van 4% een percentage van 40% te voorspellen. d Uit een steekproef van 200 personen wordt met een nauwkeurigheid van 6% een percentage voorspeld. Bereken welk percentage. dp2 + ep . e De gegeven formule is te schrijven in de vorm n = a2 Bereken d in twee decimalen nauwkeurig en e in gehelen.

5

1

O 17 Gegeven is de functie f (x) = . x

a Plot de gra¿ek van f op het standaardscherm. b Wat kun je van f (x) zeggen als je x steeds groter kiest? En wat als je voor x steeds kleinere getallen (bijvoorbeeld í1000, í10 000, ...) kiest? c Maak een tabel op de GR. Neem beginwaarde í0,1 en stapgrootte 0,01. Wat gebeurt er met f (x) als je x dicht bij 0 kiest? d Lees de tekst hiernaast en verklaar dat in de tabel op de GR bij x = 0 ERROR staat.

© Noordhoff Uitgevers bv

12 = 4, want 4 · 3 = 12 3 í18 = í6, want ... 3 0 = 0, want ... 8 1 ..., want ... 0

Machten en exponenten

19

Theorie D Gebroken functies en limieten 5 1 Functies als f (x) = x , g(x) = en x+3 x h(x) = 5 + zijn voorbeelden van gebroken 2x í 1 functies. In een gebroken functie komt de variabele in de noemer van de breuk voor. De eenvoudigste gebroken 1 functie is de standaardfunctie f (x) = x . De gra¿ek van deze functie is een standaardgra¿ek en heet hyperbool. Omdat f (0) niet kan, bestaat de gra¿ek uit twee losse delen. Deze delen heten de takken van de hyperbool. Bij de gra¿ek van f spelen de x-as en de y-as een belangrijke rol. 5

y 3 ƒ(x) = 2

1 x

1 –3

–2

–1

O

1

2

3

x

–1 –2 –3

1 x heeft de x-as en de y-as als asymptoot. ¿guur 5.10 De gra¿ek van f(x) =

Neem je x heel groot, bijvoorbeeld 1000, dan ligt het bijbehorende punt van de gra¿ek heel dicht bij de x-as. Neem je x heel sterk negatief, bijvoorbeeld í1000, dan ligt het bijbehorende punt van de gra¿ek ook heel dicht bij de x-as. De x-as (de lijn y = 0) is de horizontale asymptoot van de gra¿ek van f. In ¿guur 5.10 zie je dat de y-as (de lijn x = 0) de verticale asymptoot van de gra¿ek is. Een asymptoot is een lijn waarmee de grafiek op den duur vrijwel samenvalt.

1 Dat f (x) = x nadert tot 0 als x heel groot wordt genomen noteren 1 we als lim x = 0. xm` 1 Uitspraak: de limiet van x voor x naar oneindig is nul. a 1 1 Uit lim x = 0 volgt lim = lim a  x = a  0 = 0. Dit geeft de xm` xm` x xm` a standaardlimiet lim = 0. x xm`

( )

lim f (x) = b betekent xm`

f (x) kan onbeperkt tot b naderen door x maar groot genoeg te nemen.

20

Hoofdstuk 5

© Noordhoff Uitgevers bv

6x í 5 maak je gebruik van de x m ` 2x + 4

Bij het berekenen van lim

a standaardlimiet lim x = 0. xm`

Hiertoe deel je teller en noemer van

6x í 5 door x. 2x + 4

5 6í x 6í0 6x í 5 lim = lim =3 = 4 2+0 x m ` 2x + 4 xm` 2+ x

Voorbeeld Bereken. 2x + 3 a lim xm` 3 í x b lim

xm`

5x í 1 04íx0

5

Aanpak 4 í x als 4 í x • 0 ofwel x ” 4 b 04íx0 =e í(4 í x) als 4 í x < 0 ofwel x > 4 Dus 0 4 í x 0 = í(4 í x) als x m `. Uitwerking 3 2+ x 2+0 2x + 3 a lim = lim = í2 = 0í1 xm` 3 í x xm` 3 í 1 x

1 5í x 5x í 1 5x í 1 5x í 1 5í0 b lim = lim = lim =5 = lim = 0+1 xm ` | 4 í x | x m ` í(4 í x) x m ` í4 + x xm` í 4 + 1 x

18 Bereken.

a lim

4x + 3 5x í 4

b lim

8íx +4

c lim

0 2x í 3 0 4x í 1

d lim

5íx 0 3x í 2 0

xm`

x m ` 3x

xm`

xm`

© Noordhoff Uitgevers bv

Machten en exponenten

21

19 Bereken.

a lim

0 3 í 4x 0 xí1

c lim

b lim

0 2x + 5 0 03íx0

d lim

xm`

xm`

xm`

03íx0 +x 0 x + 5 0 í 2x

0x0 í2 xm` 3 í 0 x 0

4x í 3 . 2x + 1 Bereken lim f (x). Wat volgt hieruit voor de horizontale asymptoot van de

6 Gegeven is de functie f (x) = O 20 xm`

gra¿ek van f ?

Theorie E Gebroken functies en asymptoten Bij de berekening van de formule van de horizontale asymptoot in a opgave 20 heb je de standaardlimiet lim x = 0 gebruikt. xm` a Ook lim x = 0 is een standaardlimiet. x m í`

5

Bij de functie f (x) =

4x í 3 krijg je 2x + 1

3 4í x 4í0 4x í 3 lim = lim = 2. = 1 2+0 x m í` 2x + 1 x m í` 2+ x Dus de horizontale asymptoot van de gra¿ek van f is de lijn y = 2. Als lim f (x) = b of als lim f (x) = b, dan is de lijn y = b x mí`

xm`

horizontale asymptoot van de grafiek van f.

De algemene vorm van een eerstegraads gebroken functie is ax + b y= met c  0 waarbij de gra¿ek geen perforatie heeft. cx + d Een voorbeeld van een functie waarbij je te maken hebt met een 6x í 3 3(2x í 1) 6x í 3 lim1 = lim1 = 1 . De perforatie is ( 2 , 3) . Zie ook perforatie is f (x) = x→ 2x í 1 x → 2 2x í 1 2 2x í 1 lim1 3 = 3 opgave 21. x→

22

Hoofdstuk 5

2

© Noordhoff Uitgevers bv

Aangetoond kan worden dat de gra¿ek van elke eerstegraads gebroken functie via transformaties kan ontstaan uit de gra¿ek van 1 1 y = x . Omdat de gra¿ek van y = x één horizontale asymptoot heeft (de x-as), heeft ook de gra¿ek van een eerstegraads gebroken functie één horizontale asymptoot. Daarom is het voldoende om de limiet voor x m ` te berekenen om de horizontale asymptoot van de gra¿ek van een eerstegraads gebroken functie te vinden. Bij de gra¿ek van de functie g(x) =

0 4x í 1 0

heb je te maken met x+1 twee horizontale asymptoten. Dit kun je als volgt inzien. 4x í 1 als 4x í 1 • 0 ofwel x • 14 x + 1 g(x) = Œ í4x + 1 als 4x í 1 < 0 ofwel x < 14 x+1 1 4í x 4í0 4x í 1 Daarom krijg je lim g(x) = lim = lim = 4 en = 1 1+0 xm ` xm ` x + 1 x m` 1+ x

5

1 í4 + x í4 + 0 í4x + 1 lim g(x) = lim = lim = í4. = 1+0 1 x m í` x m í` x + 1 x m í` 1+ x Dus voor x m ` nadert de gra¿ek de horizontale asymptoot y = 4 en voor x m í ` nadert de gra¿ek de horizontale asymptoot y = í4. In ¿guur 5.11 zie je de gra¿ek van g.

y

x = –1 y=4

Afspraak Bij het tekenen of schetsen van de gra¿ek van een gebroken functie stel je eerst de formules op van de asymptoten. Je tekent de asymptoten als stippellijnen in de ¿guur en zet de formule erbij.

g x

O

y = –4

¿guur 5.11

Bij gebroken functies krijg je formules van asymptoten als volgt. Verticale asymptoot Gebruik noemer = 0 en teller  0. Horizontale asymptoot Bereken lim en/of lim . xm`

© Noordhoff Uitgevers bv

xm í`

Machten en exponenten

23

R 21 De algemene vorm van een eerstegraads gebroken functie is

y=

ax + b met c  0 en ad  bc. cx + d

a Laat met een getallenvoorbeeld zien dat y = geen hyperbool is. b Laat met een getallenvoorbeeld zien dat y =

ax + b met c = 0 cx + d ax + b met cx + d

ad = bc geen hyperbool is. c Toon aan: de formule van de horizontale asymptoot van de a gra¿ek van een eerstegraads gebroken functie is y = c . 1 x worden achtereenvolgens de vermenigvuldiging ten opzichte van de x-as met 3 en de translatie (í1, 2) toegepast. ax + b . Noteer de formule van de beeldgra¿ek in de vorm y = cx + d b Welke transformaties moeten worden toegepast op de 3x í 4 1 standaardgra¿ek y = x om de hyperbool y = te krijgen? xí2

D 22 a Op de standaardgra¿ek y =

5

23 Stel de formules op van de asymptoten van de gra¿ek.

a f (x) =

2x í 3 2x + 5

b g(x) = 2 +

3x 4íx

c h(x) = d k(x) =

0 3x í 8 0

x+2 0 2x 0 í 4 03íx0

2x í 1 en g(x) = í2x + 1. x+3 a Teken de gra¿eken van f en g in één ¿guur. b Los algebraïsch op f (x) ” g(x). c De gra¿ek van g en de asymptoten van de gra¿ek van f sluiten een driehoek in. Bereken de oppervlakte van deze driehoek.

24 Gegeven zijn de functies f (x) =

2x í 1 x+1 en g(x) = . x+1 xí1 a Schets de gra¿eken van f en g in één ¿guur. b Los exact op f (x) < g(x). c De lijn y = 4 snijdt de gra¿ek van f in A en de gra¿ek van g in B. Bereken algebraïsch de lengte van het lijnstuk AB.

A 25 Gegeven zijn de functies f (x) =

24

Hoofdstuk 5

© Noordhoff Uitgevers bv

A 26 Voor lenzen met brandpuntsafstand f = 3 cm is de lenzenformule

3v 1 1 1 . Hierin is b de = + te herleiden tot de formule b = ví3 f b v beeldpuntsafstand en v de voorwerpsafstand in cm. +

V

F1

F2 B

v

b

¿guur 5.12

3v juist is. ví3 b Geef van de gra¿ek van b de formules van de asymptoten en teken de gra¿ek. Wat is de praktische betekenis van de asymptoten? c Bereken algebraïsch de waarde van v waarvoor de beeldpuntsafstand gelijk is aan de voorwerpsafstand. b d Bereken algebraïsch voor welke v de vergrotingsfactor 0 v 0 gelijk is a Toon aan dat de formule b =

5

aan 2.

© Noordhoff Uitgevers bv

Machten en exponenten

25

Terugblik y

Domein en bereik van wortelfuncties

De eenvoudigste wortelfunctie is de standaardfunctie f (x) = 冑x. De gra¿ek is een halve parabool met beginpunt (0, 0). Het domein is Df = 3 0,m 9 en het bereik is Bf = 3 0,m 9. Om de gra¿ek van g(x) = 1 í 冑5 í 2x te tekenen, maak je een tabel waarin ook het beginpunt staat. Daarom bereken je eerst het domein. Uit 5 í 2x • 0 volgt í2x • í5, dus x ” 212 .

ƒ 1

O

1

2

x

3

y (2 12 , 1)

Dus Dg = 8 k , 212 4 en het beginpunt is (212 , 1). −1

O

1

x

2

g −1

5

Variabelen vrijmaken bij wortelformules

Bij de formule K = 4 + 冑3p + 1 kun je p vrijmaken. K = 4 + 冑3p + 1 冑3p + 1 = K í 4 kwadrateren geeft 3p + 1 = K 2 í 8K + 16 3p = K 2 í 8K + 15 p = 13 K 2 í 223 K + 5 Gebroken functies en asymptoten

1 De gra¿ek van de standaardfunctie f (x) = x heet hyperbool. De x-as is de horizontale asymptoot van de gra¿ek en de y-as is de verticale asymptoot. 05íx0 De verticale asymptoot van de gra¿ek van g(x) = 2x + 3 volgt uit noemer = 0 en teller  0. Dit geeft de lijn x = í112 . De horizontale asymptoten volgen uit í (5 í x) í5 + x = = lim x m ` 2x + 3 x m ` 2x + 3

lim g(x) = lim

xm`

í5 x +1 0+1 1 lim = = 3 2+0 2 xm` 2+ x

O

Hoofdstuk 5

y=

1 2

y=

– 12

x

g

5 5íx x í1 0í1 en lim g(x) = lim = lim = í 12 . = 3 2+0 x m í` x m í` 2x + 3 x m í` 2+ x Dus de horizontale asymptoten zijn de lijnen y = 12 en y = í 12 . Bij het tekenen of schetsen van de gra¿ek van g stippel je eerst de asymptoten en zet je de formules erbij. 26

y

1

x = –1 2

© Noordhoff Uitgevers bv

5.2 Machten met negatieve en gebroken exponenten 27 In de tabel hiernaast kun je zowel in de exponenten als in de

25 = 32 24 = 16 23 = 8 22 = 4 21 = ... 20 = ... 2í1 = ... 2í2 = ... 2í3 = ...

getallen rechts van het =-teken een regelmaat herkennen. a Hoe volgt uit deze regelmaat dat 20 = 1 en 2í2 = 14 ? b Vul in 2í3 = ...1 en 2í4 = ...1 . Op dezelfde manier als hierboven kun je inzien dat 30 = 1 1 en 3í2 = 2 . 3 1 1 c Vul in: xí1 = ... en xí3 = ... .

5

Theorie A Machten met negatieve exponenten In opgave 27 komen de machten 20, xí1 en xí3 voor. Om de betekenis van Je weet

x2 = 1. x2

Gebruik je de regel

x0

x2 te begrijpen, kijken we naar 2 . x

ap x2 = ap í q, dan krijg je 2 = x2 í 2 = x0. q a x

We spreken daarom af dat x0 = 1. Om de betekenis van xí3 te begrijpen, kijken we naar

x0 = 1 x2 x5

.

xÂx x2 1 1 = x  x  x  x  x = x  x  x = 3. 5 x x ap x2 Gebruik je de regel q = ap í q, dan krijg je 5 = x2 í 5 = xí3. a x 1 We spreken daarom af dat xí3 = 3 . x 1 1 ín í6 En zo is x = 6 en x = n . x x

Je weet

Voor a  0 is a0 = 1 en aín =

Rekenregels voor machten ‡a p · a q = a S+ q a p = a Sí q ‡–– aq q ‡(a p) = a pq ‡(ab) p = a pb p

1 x í3 = ––3 x 1 í1 –x = x 1– = 5 í1 5

1 . an

In de opgaven mag je ervan uitgaan dat a  0.

© Noordhoff Uitgevers bv

Machten en exponenten

27

Voorbeeld Schrijf als macht van a. a a2 Â

b

1 a8

c

( ) 1 a2 a

d

Uitwerking 1 a a2 Â 8 = a2 Â aí8 = aí6 a 1 a2 aí2 b = 1 = a í2 í 1 = aí3 a a

c

1 a5 aín

1  (a3)2 = aíp  a6 = aíp + 6 ap

1 a5 aí5 d ín = ín = aí5 í ín = aí5 + n a a

Je kunt 6í2 als volgt herleiden. 6í2 = En zo is

( ) ( )

( )

5

1 Â (a3 )2 ap

1 1 = 62 36

( 12 )í3 = (2í1)í3 = 23 = 8 en ( 34 )í1 =

1

( 34 )

= 43 = 113 .

Je schrijft 5aí3b2 als volgt zonder negatieve exponenten. 5b2 1 5aí3b2 = 5 Â 3 Â b2 = 3 a a Je mag hierbij de tussenstap weglaten.

Voorbeeld Schrijf zonder negatieve exponenten. b 25 aí2b a 8aí5b3

Met tussenstappen: 1 8b3 8a í5b3 = 8 · ––5 · b3 = ––– a a5 2b 1 b = ––– –25 a í2b = –25 · –– · 5a2 a2

Uitwerking a 8aí5b3 =

8b3 a5

b 25 aí2b =

2b 5a2

28 Schrijf als macht van a.

a

1 a2

b a4 Â c

28

an 1 a4

d 1 a6

( )

Hoofdstuk 5

a8 a0

e (a3)í2 f

( ) 1 a5 a

a a12 1 n h 8 Â (a3) a 1 an i aí3 g

( )

© Noordhoff Uitgevers bv

29 Herleid.

a 7í2 b ( 13 )í2

c 3 Â 5í2 d ( 25 ) í2

e 4 Â 10í3 f 12 : 6í2

30 Schrijf zonder negatieve exponenten.

a 6aí5b3

d 35 aí4

b 13 aí3

e

( 12 a)í3

h (3a)í2bí3

c 5aí4b2

f

1 í2 4 6a b

i

g í4 Â (3a)í2 3 í1 8a b

Theorie B Formules met machten herleiden 4 is te schrijven in de vorm y = axn. x12 Je gebruikt hierbij de rekenregels voor machten. De formule y = 3(2x2 )5 Â

Voorbeeld Schrijf de formule van y =

3(2x2 )5

5

4 Â 12 in de vorm y = axn. x

Uitwerking y = 3(2x2 )5 Â

4 = 3 Â 25 Â (x2 )5 Â 4 Â xí12 = 3 Â 32 Â x10 Â 4 Â xí12 = 384 Â xí2 x12

Dus y = 384xí2.

4 1 = 4 Â 12 = 4 Â xí12 x12 x

31 Schrijf de volgende formules in de vorm y = axn.

a y = 13 (3x2 )3 Â

2 x10

b y=

162 (3x2 )4

c y = 3(3x)í2 Â 4x

A 32 Schrijf de volgende formules in de vorm y = axn.

a y= O 33 Uit

( 13 x2)í1 Â x4

b y = 75 Â (5x)í2 Â 3x12 c y =

(冑x ) 2 = x en (x )2 = x volgt x 1 2

1 2

5 Â (3xí2 )3 x2

= 冑x.

3 Licht op dezelfde manier toe dat x = 冑 x. 1 3

© Noordhoff Uitgevers bv

Machten en exponenten

29

Theorie C Machten met gebroken exponenten Met behulp van de regel (ap ) q = apq lichten we de betekenis van x5 toe. Je kiest daartoe p = 15 en q = 5. 1

Je krijgt ( x5 ) = x1 = x. 5

1

Je weet

(冑x ) 5

5

= x.

5 x. We spreken af dat x5 = 冑 1

s

1

q q p Algemeen is xq = 冑 x. En verder is xq = (xp )q = 冑 x. p

1

q q p aq = 冑 a en aq = 冑 a p

1

Bijzondere machten

Machten met een gebroken exponent kun je dus herleiden tott een (hogeremachts)wortel. 2 1 2 1 1 Zo is a5 =冑5 a2, aí3 = 2 = 3 2 en a2 =冑2 a1 = 冑a. a 3 冑a

–1

a2 = a 1 a í1 = a– a0 = 1

5

Voorbeeld Schrijf zonder negatieve en zonder gebroken exponent. 1

b 5abí 2

c

1 12 í 23 4a b

x2 3 冑x

c

冑4 x 冑3 x

1

a 4aí 3 Uitwerking 1 4 4 a 4aí 3 = 1 = 3 3 冑 a a 1 5a 5a b 5abí 2 = 1 = 2 冑b b

冑a a2 = 2 = 3 b2 3 4 Â冑 4b 1

c

1 12 í 23 4a b

Voorbeeld Schrijf als macht van x. 3 2 a x Â冑 x

b

Uitwerking 3 x2 a x Â冑 = x 1 Â x 3 = x 13 2 1 2 x2 x b 3 = 1 = x 2 í 3 = x 13 冑x x 3 2

c

30

冑4 x x = =x 冑3 x x

Hoofdstuk 5

1 4 1 3

1 4

í 13

2

1

= xí12

© Noordhoff Uitgevers bv

34 Schrijf zonder negatieve en zonder gebroken exponent. 1

1

d 23 aí3 Â b3

a 5a3 b 12 aí4 b

1 í 12 5a

1

e

2

f (5a)í 2

Âb

1

í–

–2

–2

3b 7 5a 3

3 ǜ 7 b2 5ǜ a

–35 a 3 b 7 = ––––1 = ––– 3

1 3

1

c 3aí 3 35 Schrijf als macht van a. 3a a a Â冑

b

1 a3

g

冑3 a12

e a2 Â 冑a

h

1 3 Â 冑a a4

1 Äa2

i

a3 冑a

d

1

冑a

1 c a

f

3

36 Je kunt 4 冑2 als macht van 2 schrijven: 4 冑2 = 1

1

Schrijf als macht van 2, 3 of 10. a 8冑2

d

1 2

冑3

e f

b c

1 3

8

冑2

 冑3 2

3

1 1 1 12 Â 2 = 2í2 Â 22 = 2í12 . 22

5

冑10

g

1 100

4冑2 冑3 2

h

1 8

冑4 19

3 i 10 Â 冑 0,1

 冑3 14

37 Je weet x2 Â 冑x = x2 Â x2 = x2 + 2 = x22 . Omgekeerd is x22 = x2 + 2 = x2 Â x2 = x2 Â 冑x. 1

1

1

1

1

1

En zo is 2a + 4 = 2a  24 = 2a  16 = 16  2a. Herleid op dezelfde manier. 1

a x 23 1 b 2 22 1 c 2x + 3

d 3x + 2 e 5a + 1 aí2 f ( 12 )

g 4a í 3 h 22a í 1 i ( 13 )1 í 3x

d x4 Â 冑x

g x2 Â

6 Schrijf als macht van x. A 38

a

x6

 冑x 7 3 b x Â冑 x x2

x c 5 冑x

e

f

冑3 x 冑x

( ) 1 x2 冑x

1 x3

h

冑6 x  冑3 x

i

5x x4 Â 冑 4x x5 Â 冑

A 39 Schrijf de volgende formules in de vorm y = axp.

a y=

5

x冑x

b y = 5x 冑x3

© Noordhoff Uitgevers bv

c y=

5 Â 2冑x x3

4 x3 d y = 3 Â冑

e y = 5xí0,2 Â x1,3 f y=

50x1,9 10x1,1 Machten en exponenten

31

Theorie D Vergelijkingen met gebroken exponenten Je weet dat de oplossing van de vergelijking x3 = 100 gelijk is 1 3 100 en ook dat 冑 3 100 aan x = 冑 = 1003 . 1 Dus de oplossing van x3 = 100 is 1003 § 4,64. 1 De oplossing van x1,23 = 100 is 1001,23 § 42,27 en de oplossing 1 van xí1,7 = 13 is x = 13í1,7 § 0,22. In het informatief hieronder kun je zien dat er problemen kunnen ontstaan als je bij machten met gebroken exponenten negatieve grondtallen toestaat. Vandaar dat we bij de vergelijking xp = c met p een gebroken getal het grondtal x positief nemen. 1

Voor c > 0 en x > 0 geldt xp = c geeft x = c p .

Informatief Gebroken exponenten en hogeremachtswortels

5

q p De regel aq = 冑 a passen we uitsluitend toe bij positieve grondtallen. p Bij negatieve grondtallen moet erbij dat de breuk q niet vereenvoudigd kan worden. Dus p

5 5 −128 § í 2,639 (−2)7 = 冑 (−2)1,4 = (−2)10 = (−2)5 = 冑 15 3 1,5 = 3 (−2) (−2)10 = (−2)2 = 冑(−2) = 冑−8 bestaat niet 16 8 5 2)8 = 冑 5 256 § 3,031 (í (−2)1,6 = (í 2)10 = (í 2)5 = 冑 p Laat je de voorwaarde dat de breuk q niet vereenvoudigd kan worden weg, dan krijg je 14

7

冑(−2)14 = 10冑16384 = 2,639 en dit klopt niet (−2)1,4 = (−2)10 = 10 14

4 4 64 § 2,828 en dit klopt niet. (−2)1,5 = (−2)10 = (í 2)4 = 冑 (−2)6 = 冑 In de opgaven mag je uitgaan van positieve grondtallen. 15

32

Hoofdstuk 5

6

© Noordhoff Uitgevers bv

Bij het algebraïsch oplossen zorg je ervoor dat je een exact antwoord hebt. Daarna benader je de oplossing als dat wordt gevraagd.

Voorbeeld Los algebraïsch op. Rond af op drie decimalen. a x1,21 = 70 b 5xí1,3 + 18 = 40 Uitwerking a x1,21 = 70 1 x = 70 1,21 § 33,487

b 5xí1,3 + 18 = 40 5xí1,3 = 22 xí1,3 = 22 5 x=

( 225 )í

1 1,3

§ 0,320

40 Los algebraïsch op. Rond af op drie decimalen.

a x1,6 = 50

d xí1 = 21

b xí4,1 = 5

e (5x)0,55 = 18

c

( 12 x)í1,3 = 11

f

5

冑3 x2 = 28

6 Los algebraïsch op. Rond af op drie decimalen. A 41

a 3x2,25 + 1 = 27

d 8 í 3x1,16 = 1

b (5x)í1,3 + 8 = 21

3 2x = 8 e 5 Â冑

c 4xí1,8 + 16 = 5000

4 3 f 3 Â冑 x í 1 = 36

6 De formule y = 20x3 is te schrijven in de vorm x = a  yb. O 42

Laat zien dat in twee decimalen nauwkeurig geldt a § 0,37 en b § 0,33.

Theorie E Variabele vrijmaken bij de formule y = ax p Het is mogelijk bij de formule y = ax p de variabele x vrij te maken. Bij y = 25x1,16 krijg je 25x1,16 = y 1 x1,16 = 25 y

( 251 y) 1 ) Ây x = ( 25 x=

1 1,16

1 1,16

Dus x = 0,062

© Noordhoff Uitgevers bv

y0,86.

1 1,16

x § 0,062 Â y0,86

Machten en exponenten

33

Voorbeeld Schrijf de formule y =

10 x2

 冑x

in de vorm x = a  yb.

Rond zo nodig af op twee decimalen. Uitwerking 10 10 1 = 21 = 10xí22 = 10xí2,5 y= 2 x  冑x x 2 y = 10xí2,5 geeft 10xí2,5 = y xí2,5 = 0,1y 1

x = (0,1y)í2,5 1

1

x = 0,1í2,5 Â yí2,5 Dus x = 2,51 Â

x § 2,51 Â yí0,4

yí0,4.

5 43 Maak x vrij. Rond af op twee decimalen.

a y = 5x1,2

b y = 0,1xí1,7

c y = 125xí2,3

44 Schrijf de formule in de vorm x = a  yb. Rond af op twee decimalen. 3x a y = 15x2  冑

b y=

6

x4

 冑x 3

c y=

12 3 Â 冑x x冑x

A 45 a Schrijf de formule K = 15qí1,6 in de vorm q = a  Kb. Rond a

af op twee decimalen. b Maak t vrij bij de formule v = 25t冑t. Rond af op twee decimalen.

D 46 Maak m vrij bij de formule F =

m冑m . m冑m í 1

A 47 Het verband tussen de populatiedichtheid P en de gemiddelde

lengte l in meter van een diersoort is te benaderen door de formule P = 800 · l í 2,25. Hierbij is P het aantal exemplaren per km2. a Onderzoek of de bewering ‘grote dieren leven gemiddeld verder van elkaar dan kleinere’ in overeenstemming is met de formule. b In een gebied met een oppervlakte van 250 km2 leven kariboes. Kariboes zijn gemiddeld 2,15 meter lang. Bereken het aantal kariboes in dit gebied. c Schrijf de formule in de vorm l = aPb. Rond a af op één decimaal en b op twee decimalen. d In een gebied van 5 km2 leven ongeveer 160 000 wandelende takken. Bereken de gemiddelde lengte van deze insectensoort.

34

Hoofdstuk 5

© Noordhoff Uitgevers bv

Terugblik Negatieve exponenten

5 1 í1 1 , 6 betekent en 56 qí4 betekent 4 . 6 53 6q 1 Algemeen is aíp = p met a  0. Ook is a0 = 1 met a  0. a 5 1 1 1 Uit de regel aíp = p volgt ook dat í3 = 53, í1 = 6 en í4 = 56 q4. a 5 6 6q 5í3 betekent

Gebroken exponenten

3 4 3 53 betekent 冑 5, 62 betekent冑6 en a4 betekent 冑 a. 1

1

3

q q p Algemeen is aq = 冑 a en aq = 冑 a . Hierbij is a > 0. De regels ap ap · aq = ap + q, q = ap í q, (ap)q = apq en (ab)p = apb p a gelden ook voor negatieve en gebroken exponenten. 1

p

5

3 2 x4 Â 冑 x = x 4 Â x 3 = x 43 2

2

3冑x 3x2 3 í11 = = x 2 5x2 5x2 5 1

( 2x2 Â 冑y )3 = 23 Â (x2 )3 Â ( y )3 = 8x6y1 1 2

1 2

= 8x6y  y2 = 8x6y冑y 1

Vergelijkingen met gebroken exponenten

Bij het algebraïsch oplossen van vergelijkingen als 6xí2,4 + 5 = 13 en 5(6x)1,3 = 24 1 gebruik je de regel: voor c > 0 en x > 0 geldt xp = c geeft x = c p . 6x í2,4 + 5 = 13 5(6x)1,3 = 24 í2,4 (6x)1,3 = 4,8 6x = 8 1

x í2,4 = 43 x=

(43)í

6x = 4,8 1,3

1 2,4

1

x = 16 Â 4,8 1,3

Daarna kun je de oplossingen benaderen op de GR. Zie hiernaast. Formules met machten

De formule y =

4 x 50  冑 is te herleiden tot de vorm y = axp. 3 2 冑 x  x

4x 50  冑 1 50x4 y = 2 3 = 21 = 50xí212 x  冑x x3 1

1

x = (0,02y) í2121 1

Om x vrij te maken bij y = 50xí212 ga je te werk zoals hiernaast. Je krijgt x = 6,54 Â yí0,48.

© Noordhoff Uitgevers bv

1

y = 50xí212 1 50xí212 = y 1 xí212 = 0,02y 1

1

1

1

x = 0,02 í212 Â y í212 x § 6,54 Â yí 0,48

Machten en exponenten

35

5.3 De standaardfunctie f(x) = gx O 48 Gegeven zijn de functies f (x) = 2x en g(x) =

a b c d

( 12 )x .

Plot de gra¿ek van f en licht toe dat lim 2x = 0. x m í` Licht toe dat Bf = 80, m9. x Plot de gra¿ek van g en licht toe dat lim ( 12 ) = 0. xm ` Geef het bereik van g.

Theorie A Exponentiële functies De functie f (x) = 2x is een exponentiële functie. De gra¿ek is stijgend en komt aan de linkerkant steeds dichter bij de x-as. De x-as is de horizontale asymptoot van de gra¿ek. Er geldt lim 2x = 0. xm í `

x

In opgave 48c heb je gezien dat lim (12) = 0. xm`

5

x

Het bereik van de functies f (x) = 2x en g(x) = ( 12 ) is 80, m9. Het domein van deze functies bestaat uit alle getallen. We noteren dit domein als \. Hierbij is \ de verzameling van de reële getallen. De functies f (x) = gx met g > 0 en g  1 zijn exponentiële standaardfuncties en de bijbehorende gra¿eken zijn standaardgra¿eken. Voor 0 < g < 1 is de gra¿ek dalend en voor g > 1 is de gra¿ek stijgend. De gra¿ek van f (x) = gx 0 1 is lim g x = 0. x m í`

© Noordhoff Uitgevers bv

Machten en exponenten

37

Voorbeeld Bereken van de gra¿eken van de volgende functies de formule van de horizontale asymptoot. a f (x) = 100 í 15  2,1x + 1 b g(x) = 2  0,73 í x + 1 Uitwerking a f (x) = 100 í 15  2,1x + 1 = 100 í 15  2,1x  2,1 = 100 í 31,5  2,1x lim f (x) = 100 í 31,5  0 = 100

g > 1 dus gebruik lim. x m í`

x m í`

Dus de horizontale asymptoot is de lijn y = 100. x b g(x) = 2 Â 0,73 í x + 1 = 2 Â 0,73 Â 0,7íx + 1 = 2 Â 0,73 Â ((0,7)í1) + 1 = 0,686 Â 1,42...x + 1 lim g(x) = 0,686 Â 0 + 1 = 1

x m í`

Dus de horizontale asymptoot is de lijn y = 1.

5

g > 1 dus gebruik lim. x m í`

49 Geef van de gra¿eken van de volgende functies aan hoe ze uit

een standaardgra¿ek ontstaan. Vermeld ook de formule van de asymptoot en het bereik van de functie. a f (x) = 3x + 1 + 5 b g(x) = 3 í 2 Â 0,5x c h(x) = 6 + 4 Â 1,1x d k(x) = 0,01 Â 12,5x í 150 50 Bereken van de gra¿eken van de volgende functies de formule

van de horizontale asymptoot. a f (x) = 25 í 5 Â 1,5x b g(x) = 60 + 10 Â 0,8x c h(x) = 1,5 Â 1,81 í x í 12 d k(x) = 180 Â 0,98x + 1 í 50 6 De volgende transformaties worden toegepast op de A 51

standaardgra¿ek y = 3x. Geef telkens de formule van de gra¿ek die zo ontstaat. a Eerst met 12 vermenigvuldigen t.o.v. de x-as, dan 3 omhoog. b Eerst spiegelen in de x-as, dan 1 omlaag. c Eerst de translatie (4, í5), dan met 3 vermenigvuldigen t.o.v. de x-as. d Eerst met 3 vermenigvuldigen t.o.v. de x-as, dan de translatie (4, í5).

38

Hoofdstuk 5

© Noordhoff Uitgevers bv

Theorie B Exponentiële ongelijkheden Bij het oplossen van exponentiële ongelijkheden gebruik je gra¿eken. Zie het voorbeeld.

Voorbeeld Gegeven is de functie f (x) = ( 23 ) í 1. a Welke waarden neemt f (x) aan voor x • 1? b Los op f (x) > 2. Rond in het antwoord af op twee decimalen. xí2

Uitwerking xí2 a f (1) = 0,5 en lim (( 23 ) í 1) = 0 í 1 = í1, dus de horizontale asymptoot xm`

is de lijn y = í1. y 4

ƒ

3

5

2 1 0,5 –2 –1 O

1

2

3

4

5

Teken de horizontale asymptoot als stippellijn en zet de formule erbij.

x y = –1

x • 1 geeft í1 < f (x) ” 0,5

Houd rekening met het bereik.

2 x í2 3

b Voer in y1 = ( ) í 1 en y2 = 2. Intersect geeft x § í0,71. y

ƒ

4 3 2

y=2

1 –2 –0,71 O 1

2

3

4

5

x y = –1

f (x) > 2 geeft x < í0,71 52 Gegeven is de functie f (x) = 2x + 3 í 4.

a Welke waarden neemt f (x) aan voor x ” 3? b Los op f (x) ” í1. Rond in het antwoord af op twee decimalen. 53 Gegeven zijn de functies f (x) = 2x í 2 en g(x) =

( 12 )x í 1 + 2.

a Los op f (x) • g(x). Rond in het antwoord af op twee decimalen. b Voor welke p heeft de vergelijking f (x) = p geen oplossingen? © Noordhoff Uitgevers bv

Machten en exponenten

39

A 54 Gegeven zijn de functies f (x) = 2x í 2 í 3 en g(x) = 4 · 0,5x í 3 í 1.

a Teken de gra¿eken van f en g in één ¿guur. b Voor welke p heeft de vergelijking f (x) = p één oplossing en de vergelijking g(x) = p geen oplossing? c Welke waarden neemt f (x) aan voor x ” 2? d De lijn x = 1 snijdt de gra¿ek van f in het punt A en de gra¿ek van g in het punt B. Bereken de lengte van het lijnstuk AB. e De lijn y = 5 snijdt de gra¿ek van f in het punt P en de gra¿ek van g in het punt Q. Bereken in drie decimalen nauwkeurig de lengte van het lijnstuk PQ.

D 55 Voor elke a, b en c is gegeven de functie

y

f (x) = a + b  2cx. In de ¿guur hiernaast zijn twee mogelijke gra¿eken getekend. Vul telkens < of > in. a Bij gra¿ek I geldt a ... 0, b ... 0 en c ... 0. b Bij gra¿ek II geldt a ... 0, b ... 0 en c ... 0.

5

I

x

O

II ¿guur 5.13

O 56 Je kunt de vergelijking 2x í 3 = 冑2 algebraïsch oplossen.

Je schrijft dan 冑2 als macht van 2. Los de vergelijking 2x í 3 = 冑2 algebraïsch op.

Uit 2 A = 2B volgt A = B.

Theorie C Exponentiële vergelijkingen algebraïsch oplossen Sommige exponentiële vergelijkingen moet je algebraïsch kunnen oplossen, bijvoorbeeld 2x í 3 = 冑2, 3x + 1 = 19 冑3 en 2 Â 32x í 1 = 18. Je werkt dan toe naar een vorm waarin het linkerlid en het rechterlid als macht van hetzelfde grondtal geschreven zijn. Daarna gebruik je gA = gB geeft A = B

40

Hoofdstuk 5

© Noordhoff Uitgevers bv

Voorbeeld Los algebraïsch op. a 3x + 1 = 19 冑3 Uitwerking a 3x + 1 = 19 冑3 1 3x + 1 = 3í2 Â 32 1 3x + 1 = 3í12 x + 1 = í1 12 x = í2 12

T 57

[ ŹŹ60] Los a 2x = 18 2

冑

c 2 Â 92 x í 3 = 6

b 2 Â 32x í 1 = 18 32x í 1 = 9 32x í 1 = 32 2x í 1 = 2 2x = 3 x = 1 12

c 2 Â 92 x í 3 = 6 1 92 x í1 3 = 3 (32 )2 x í 3 = 3 3x í 6 = 31 xí6=1 x=7

algebraïsch op. c 2 Â 3x + 1 = 162

b 23x í 1 = 16

1

b 2 Â 32x í 1 = 18

d 62x + 1 =

( 16 )x

58 Los algebraïsch op.

1

e 43x + 1 = 12 f 5 Â 162 í x = 40

a 2x + 1 = 64

c 22x = 2

e 2x = 14 冑2

b 2x í 3 = 18

d 2x = 1

f 5x + 6 =

c 3x í 2 = 25 d 5 Â 2x = 80

e 10 Â 3x = 270 f 3 Â 82 í x = 48

c 3 Â 73x + 1 = 147 1 d 32x í 2 = 16

e 5 Â 4x í 1 = 212 f 8 Â 2x = 4x + 1

5

( 15)x

59 Los algebraïsch op.

a 32x + 1 = 27冑3 b 102x + 1 = 0,01

A 60 Los algebraïsch op.

a 3 Â 2x + 4 = 28 b 52x í 6 = 0,04

A 61 Gegeven zijn de functies f (x) =

(冑2 ) x + 4 en g(x) = ( 14 )x.

a Los algebraïsch op f (x) • g(x). b Los algebraïsch op g(x) • 冑2.

A 62 Gegeven is de functie f (x) = 2x. De gra¿ek van f wordt eerst met

6 vermenigvuldigd ten opzichte van de x-as en daarna 10 omlaag verschoven. Zo ontstaat de gra¿ek van g. Bereken algebraïsch de coördinaten van het snijpunt S van de gra¿eken van f en g. 6 Gegeven is de vergelijking 2x + 1 + 2x = 48. O 63

a Licht toe dat uit 2x + 1 + 2x = 48 volgt 2 · 2x + 2x = 48. b Licht toe dat uit 2 · 2x + 2x = 48 volgt 3 · 2x = 48 en los deze vergelijking algebraïsch op.

© Noordhoff Uitgevers bv

Machten en exponenten

41

Theorie D Herleiden tot de vorm gA = gB De vergelijking 3x + 2 + 3x = 10 is algebraïsch op te lossen. Gebruik dat 3x + 2 = 3x · 32 = 9 · 3x en neem vervolgens de termen 9 · 3x en 3x samen. 3x + 2 + 3x = 10 3x · 32 + 3x = 10 9 · 3x + 3x = 10 10 · 3x =10 3x = 1 3x = 30 x=0 64 Los algebraïsch op.

a 3x + 2 + 3x = 810 b 2x í 1 + 2x + 1 = 10 c 2x + 3 í 2x = 78

5

d 3x + 2 = 24 + 3x e 3x í 3x í 1 = 2冑3 f 5x í 1 + 5x í 2 = 6冑5

A 65 Bereken exact de oplossingen.

a b c d

3x + 1 = 9x + 2 3x + 1 í 3x í 1 = 8冑3 2 xí6 3x = ( 13 ) 6 5x + 5x + 1 = 25

e f g h

2

5x + 5 = 125x + 1 x +1 2x + 2 í ( 12 )í = 28 2 2 4x + 1 = 8x í 1 1 2x + 3 í 42 x í 1 = 378

A 66 Gegeven zijn de functies f (x) = 3x + 1 í 4 en g(x) = 6 í 3x í 1.

a Hoe ontstaat de gra¿ek van f uit een standaardgra¿ek? En de gra¿ek van g? b Teken de gra¿eken van f en g in één ¿guur. c Geef Bf en Bg. d Los algebraïsch op f (x) ” g(x). e De lijn x = 212 snijdt de gra¿ek van f in het punt A en de gra¿ek van g in het punt B. Bereken exact de lengte van het lijnstuk AB. f Los algebraïsch op f (x) í g(x) = 80. g Voor welke p heeft de vergelijking g(x) í f (x) = p geen oplossingen?

42

Hoofdstuk 5

© Noordhoff Uitgevers bv

Terugblik De functie f (x) = g x

De functie f (x) = gx is een exponentiële functie met Bf = 80,m 9. De gra¿ek van f is een standaardgra¿ek, de x-as is de horizontale asymptoot. Voor g > 1 is de gra¿ek stijgend, voor 0 < g < 1 is de gra¿ek dalend. Asymptoot en limiet

Voor g > 1 is lim gx = 0 en voor 0 < g < 1 is lim gx = 0. x m í`

Zo is lim (10 í 3 Â ( 34 ) xm `

de gra¿ek van

xm `

) = 10 í 3 Â 0 = 10, dus de horizontale asymptoot van x f (x) = 10 í 3 Â ( 34 ) is de lijn y = 10. x

Transformaties op de grafiek van y = g x

De gra¿ek van y = gx í p + q ontstaat uit de standaardgra¿ek y = gx bij de translatie (p, q).

5

De gra¿ek van y = a · gx ontstaat uit de standaardgra¿ek y = gx bij de vermenigvuldiging met a ten opzichte van de x-as. De gra¿ek van y = 2x í 1 í 3 ontstaat uit de gra¿ek van y = 2x bij de translatie (1, í3). De horizontale asymptoot is de lijn y = í3. Teken deze lijn als stippellijn in de ¿guur. Het bereik is 8í3,m 9. Om de gra¿ek te tekenen maak je ook een tabel. x +1 ontstaat uit die van De gra¿ek van f (x) = 4 Â ( 13 ) x

y = ( 13 ) bij de translatie (í1, 0) gevolgd door de vermenigvuldiging ten opzichte van de x-as met 4.

y y = 2x 5 4 3 2 1 –5 –4 –3 –2 –1 O –1 y = 2x – 1 – 3

1

2

3

x

4

–2 –3

y = –3

Exponentiële vergelijkingen

Bij het algebraïsch oplossen van exponentiële vergelijkingen werk je vaak toe naar de vorm gA = gB. Daarna gebruik je gA = gB geeft A = B. 2x = 4x í 1 2 · 32x + 4 í 3 = 51 2x = 2x í 2 + 12 2x + 4 x 2 x í 1 2·3 2x í 2x í 2 = 12 = 54 2 = (2 ) 2x + 4 x 2x í 2 = 27 2 =2 3 2x í 2x · 2í2 = 12 2x í 14 Â 2x = 12 32x + 4 = 33 x = 2x í 2 3 x 2x + 4 = 3 íx = í2 4 Â 2 = 12 x 2 = 16 2x = í1 x=2 x = í 12 2x = 24 x=4

© Noordhoff Uitgevers bv

Machten en exponenten

43

5.4 Exponentiële groei O 67 Een bedrag neemt elk jaar met 5% toe. Op 1 januari 2010 is het

bedrag 1000 euro. a Hoeveel is het bedrag op 1 januari 2011? En op 1 januari 2015? b Bij het bedrag B in euro’s hoort een formule van de vorm B = 1000 Â gt. Hierin is t de tijd in jaren met t = 0 op 1 januari 2010. Welk getal is g?

Theorie A Groeifactor en groeipercentage In opgave 67 neemt het bedrag jaarlijks met 5% toe. Er is sprake van exponentiële groei met een groeipercentage van 5%. Bij een groeipercentage van 5% hoort een groeifactor van 1,05 per jaar. Bij exponentiële groei • wordt de hoeveelheid per tijdseenheid met hetzelfde getal vermenigvuldigd, dit getal heet de groeifactor per tijdseenheid • hoort een formule van de vorm N = b · gt, hierin is g de groeifactor per tijdseenheid en b de beginhoeveelheid.

5

N N=b

·g

b t

O

Bij de formule N = b · gt onderscheiden we twee gevallen. • g>1 De gra¿ek is stijgend. • 0 3ac. b Toon aan dat elke derdegraadsfunctie precies één buigpunt heeft en dat voor het geval de derdegraadsfunctie twee toppen A en B heeft voor het buigpunt C geldt dat 2xC = xA + xB.

66

Hoofdstuk 6

© Noordhoff Uitgevers bv

Terugblik Extreme waarden

Bij het algebraïsch berekenen van extreme waarden gebruik je dat de richtingscoëf¿ciënt van de raaklijn in een top van de gra¿ek nul is, dus f ƍ(x) = 0. Nadat je de vergelijking f ƍ(x) = 0 hebt opgelost maak je een schets van de gra¿ek waarin je kijkt of je met een maximum of een minimum te maken hebt. Bij de functie f (x) = 23 x3 í 3x2 + 4 krijg je f ƍ(x) = 2x2 í 6x. f ƍ(x) = 0 geeft 2x2 í 6x = 0 en dit geeft x = 0  x = 3. Zie de schets hiernaast. Je krijgt max. is f (0) = 4 en min. is f (3) = í5.

y

ƒ 3

x

O

y

Extreme waarden aantonen

Bij het algebraïsch aantonen dat de functie f (x) = x4 í 3x3 + 4x í 5 voor x = 2 een extreme waarde heeft, ga je als volgt te werk. 1 Bereken f ‫(މ‬x). Je krijgt f ‫(މ‬x) = 4x3 í 9x2 + 4.

ƒ

O

x

2

2 Bereken f ‫(މ‬2). Je krijgt f ‫(މ‬2) = 4 Â 23 í 9 Â 22 + 4 = 32 í 36 + 4 = 0. 3 f ‫(މ‬2) = 0 en in de schets is te zien dat de gra¿ek van f een top heeft voor x = 2, dus f heeft een extreme waarde voor x = 2. Tweede afgeleide, buigpunt en buigraaklijn

Het punt waar de gra¿ek overgaat van de bolle kant naar boven naar de bolle kant naar beneden (of omgekeerd) heet buigpunt. De x-coördinaat van een buigpunt van de gra¿ek van de functie f bereken je door de vergelijking f ƍƍ(x) = 0 op te lossen. In een schets van de gra¿ek van f zie je of een gevonden oplossing een buigpunt oplevert of niet. Bij de functie f (x) = x4 í 3x3 + 4x í 5 (zie hierboven) krijg je f ƍƍ(x) = 12x2 − 18x. f ƍƍ(x) = 0 geeft 12x2 í 18x = 0 en dit geeft x = 0  x = 112 . Uit de schets van de gra¿ek van f volgt dat er bij zowel x = 0 als x = 112 een buigpunt is. 1 ). De buigpunten zijn (0, í5) en (112 , í416 De lijn die een gra¿ek raakt in een buigpunt heet buigraaklijn. Bij de gra¿ek van f (x) = x4 í 3x3 + 4x í 5 stel je de formule van de buigraaklijn k in het punt (112 , í4161 ) als volgt op. k: y = ax + b met a = f ‫( މ‬112 ) = 4  (112 ) 3 í 9  (112 ) 2 + 4 = í234 , dus k: y = í234 x + b. 1 ) geeft b = 161 , Invullen van de coördinaten van het buigpunt (112 , í416 3 1 dus k: y = í24 x + 16 .

© Noordhoff Uitgevers bv

Differentiaalrekening

67

6

6.2 De afgeleide van machtsfuncties 6 a Schrijf in de vorm axn. O 21

6 5 4 2 3 x x x4 b Schrijf zonder negatieve exponent. 3xí2 xí4 í2xí3

6 a Schrijf in de vorm axn + bxm. O 22

x3 + 5x2 4x2 + 7x x x3 b Schrijf als één breuk. 1 3 2 1 + 2x + 2 2x x2 x

1 a íp = a p

1 3x2 1 í6 7x

2x5 + 5x2 3x4 2 2 3x

6 a Toon met behulp van de quotiëntregel aan dat c O 23

í

ap p íq aq = a

3 4x

1 ' í2 d = 3. x2 x

b Licht toe dat uit a volgt 3 xí2 4 ƍ = í2xí3. c Toon met behulp van de quotiëntregel aan dat 3 xí5 4 ƍ = í5xí6. 6

Theorie A De afgeleide van f (x) = xn voor gehele n In opgave 23 heb je gezien dat de regel 3 xn 4 ƍ = nxn í 1 ook geldt voor enkele negatieve waarden van n. We gaan nu bewijzen dat deze regel geldt voor elke negatieve gehele waarde van n. We gaan uit van f (x) = xíp, waarin p = 1, 2, 3, 4, ... f (x) = xíp =

1 xp  3 1 4‫ މ‬í 1  3 xp 4' geeft f ƍ(x) = xp (xp )2 =

xp  0 í 1  p  xp í 1 x2p

íp  xp í 1 x2p = íp  xíp í 1 Vervangen we íp door n, dan krijgen we f (x) = xn geeft f ƍ(x) = n  xn í 1 met n = í1, í2, í3, í4, ... Uit 3 x14 ƍ = 3 x 4 ƍ = 1 = 1  x0 en 3 x0 4 ƍ = 3 1 4 ƍ = 0 = 0  xí1 volgt dat deze regel ook geldt voor n = 1 en n = 0. =

f (x) = xn geeft f ƍ(x) = nxn í 1 voor elk geheel getal n.

68

Hoofdstuk 6

© Noordhoff Uitgevers bv

Voorbeeld Bereken de afgeleide. 6 a f (x) = 3 x b g(x) =

x3 + 1 3x2

Uitwerking 6 18 a f (x) = 3 = 6xí3 geeft f ƍ(x) = í18xí4 = í 4 x x x3 + 1 x3 1 = 2 + 2 = 13 x + 13 xí2 2 3x 3x 3x x3 x3 í 2 2 2 1 2 í3 geeft gƍ(x) = 3 í 3 x = 13 í 3 = 3 í 3 = 3x 3x 3x 3x3

1 1 1 = Â 2 = 13 xí2 2 3x 3 x

b g(x) =

Afspraak Is de functie gegeven zonder negatieve exponenten, dan noteer je de afgeleide ook zonder negatieve exponenten. Is de functie als één breuk geschreven, dan noteer je de afgeleide ook als één breuk. 6 6 In het voorbeeld lukte het om de afgeleiden te berekenen met R 24

behulp van uitdelen. Welke van de volgende functies kun je differentiëren door uit te delen? x2 + 4 x+2 4x 2x3 g(x) = h(x) = k(x) = f (x) = 2 3 x +4 2x 4x x+2 25 Bereken de afgeleide.

a f (x) =

1 x6

b g(x) = 5 í

26 Differentieer.

a f (x) =

2x í 1 3x2

© Noordhoff Uitgevers bv

5 x2

c h(x) = ax4 í

b g(x) =

3x2 2x í 1

c h(x) =

b g(x) =

5 2x2 í 2 2x 5

c h(x) = 6 í

6 Bereken de afgeleide. A 27

a f (x) = 5x2 í

3 x2

b x4

3x6 í 3 x3 x2 í 1 x

Differentiaalrekening

69

x x2 í 1 g en . = (x) x x2 í 1 a Op de gra¿ek van f ligt het punt A met xA = 2. Stel met behulp van de afgeleide de formule op van de raaklijn k in A. b Op de gra¿ek van g ligt het punt B met xB = 2. Stel langs algebraïsche weg de formule op van de raaklijn l in B. c Toon langs algebraïsche weg aan dat de gra¿ek van g geen buigpunt heeft.

6 Gegeven zijn de functies f (x) = A 28

y

3x + 3 . x De gra¿ek van f snijdt de x-as in het punt A. a Stel algebraïsch een vergelijking op van de raaklijn k van de gra¿ek in het punt A. b De gra¿ek van f heeft twee raaklijnen met richtingscoëf¿ciënt í 34 . Bereken algebraïsch de coördinaten van de raakpunten.

6 Gegeven is de functie f (x) = A 29

ƒ

n

x

O

A

m ¿guur 6.11

6

x2 + 4 . x Stel algebraïsch de formule op van de raaklijn k van de gra¿ek in het punt A met xA = 3. De gra¿ek van f heeft twee raaklijnen met richtingscoëf¿ciënt í3. Bereken algebraïsch de coördinaten van de raakpunten. Bereken algebraïsch de extreme waarden van f. Toon algebraïsch aan dat de gra¿ek van f geen raaklijn heeft met richtingscoëf¿ciënt 2.

y

6 Gegeven is de functie f (x) = A 30

a b

c d

6 Schrijf als macht van x. O 31

a

冑x

c

b x2 Â 冑x

1 í 12 2x

1

1

70

Hoofdstuk 6

ƒ

¿guur 6.12 De gra¿ek van f (x) = twee toppen.

x2 + 4 heeft x

1

c í112 xí22

b 212 x12

x

O

x冑x d x3 Â 冑x

6 Schrijf zonder negatieve en zonder gebroken exponent. O 32

a

ƒ

d 113 x3 1

p

q

a q = ap 1 q

a = qa 1

a2 = a

© Noordhoff Uitgevers bv

1

1

1

6 In deze opgave ga je bewijzen dat f (x) = x2 geeft f ƍ(x) = 2 xí 2 . O 33

a Toon aan dat uit x2 Â x2 = x volgt 2 Â x2 Â S x2 T' = 1. 1 1 1 1 b Licht toe dat uit 2 Â x2 Â S x2 T' = 1 volgt S x2 T' = 1 xí2 . 1

1

1

1

2

Theorie B De afgeleide van f (x) = xn voor elke n van \ De regel f (x) = xn geeft f ƍ(x) = nxn í 1 geldt ook voor gebroken waarden van n. Hiervan heb je in opgave 33 een voorbeeld gezien. De regel geldt zelfs voor elk getal n van \. Het bewijs van deze regel lever je in deel 3.

f (x) = xn geeft f ƍ(x) = nxn í 1 voor elke n van \.

Om f (x) = x冑x te differentiëren schrijf je eerst f (x) in de vorm xn. Je krijgt f (x) = x冑x = x1 Â x2 = x12 en dit geeft f ‫(މ‬x) = 112 x2 . Vervolgens schrijf je f ƍ(x) zonder gebroken exponent, dus f ‫(މ‬x) = 112 冑x. 1

1

1

Afspraak Bij het differentiëren mag je in het antwoord alleen gebroken exponenten laten staan als de functie zelf ook met gebroken exponenten is gegeven.

6

Voorbeeld Differentieer. a f (x) = x2 Â 冑x

3 b g(x) = x2 Â 冑 x

c h(x) =

冑3 x + 4 x2

Uitwerking 1 1 1 1 a f (x) = x2  冑x = x2  x2 = x22 geeft f ƍ(x) = 212 x12 = 212  x  x2 = 212 x冑x 3 3 b g(x) = x2  冑 x = x2  x3 = x23 geeft gƍ(x) = 213  x13 = 213  x  x3 = 213 x  冑 x 1

冑3 x + 4

1

1

1

1

2 x3 4 c h(x) = = 2 + 2 = xí13 + 4xí2 geeft x2 x x 2 5 8 1 1 hƍ(x) = í123 xí23 í 8xí3 = í 53  22 í 8  3 = í 2 3 2 í 3 3 x x x 3x  冑x

=í

6 T 34

冑3 x 24 í5 Â 冑3 x í 24 = 3 3x2 Â 冑 x 冑x 3x3 3x3 5

í 2Â 3

Differentieer. 1 a f (x) = x冑x

[ ŹŹ37]

b g(x) = 冑x í

© Noordhoff Uitgevers bv

1

冑x

c h(x) =

x2 í 2 x冑x

d k(x) = x2 (x冑x í 3)

Differentiaalrekening

71

35 Differentieer.

1 冑x

a f (x) = x + 冑x

c h(x) =

3x b g(x) = x  冑

5 x3 d k(x) = x3 Â 冑

36 Bereken de afgeleide. 4 a f (x) = x2 Â 冑 x

b g(x) =

4x2 + 1 x冑x

c h(x) = ( x2 + 1)(1 + 冑x ) d k(x) =

xí4 冑3 x

6 Bereken de afgeleide. A 37

a f (x) = ( x冑x í 3) 2 b g(x) =

2x í 3 x2 Â 冑x

3 ) c h(x) = (x í 冑 x

d k(x) =

2

x2 + 4 冑4 x

3 2 38 Gegeven is de functie f (x) = 冑 x.

De lijn k raakt de gra¿ek van f in het punt A met xA = 18 . De lijn l raakt de gra¿ek van f in het punt B met xB = 8. De lijnen k en l snijden elkaar in het punt C. Bereken langs algebraïsche weg de coördinaten van C.

6

y

ƒ

¿guur 6.13

39 Gegeven is de functie f (x) = x冑x í 3x.

a Bereken algebraïsch het minimum van f. b Stel algebraïsch de formule op van de raaklijn in de oorsprong. c De lijn l met richtingscoëf¿ciënt 3 raakt de gra¿ek van f in het punt A. Bereken algebraïsch de coördinaten van A en stel de formule op van l.

x

O

y

ƒ O

x

¿guur 6.14

x3 + 2 . 冑x a De lijn k raakt de gra¿ek van f in het punt A met xA = 1 en snijdt de x-as in het punt B. Bereken algebraïsch de oppervlakte van +OAB. 3 b De x-coördinaat van de top van de gra¿ek is te schrijven als 冑 p. Bereken p.

A 40 Gegeven is de functie f (x) =

72

Hoofdstuk 6

© Noordhoff Uitgevers bv

A 41 Een magneetzweeftrein trekt op. Gedurende de eerste negen

seconden is de afgelegde weg s in meter te benaderen door de formule s(t) = 10t冑t met t in seconden. Na negen seconden verandert de snelheid niet meer. a Bereken exact de snelheid na acht seconden. b Bereken algebraïsch na hoeveel seconden de snelheid gelijk is aan 108 km/uur. c Hoeveel meter legt de trein af in de eerste minuut?

6

© Noordhoff Uitgevers bv

Differentiaalrekening

73

Terugblik De afgeleide van f (x) = xn

De regel f (x) = xn geeft f ƍ(x) = n · xn í 1 geldt voor elk getal n van \. 1 1 4 Dus bij f (x) = 4 krijg je f (x) = 4 = xí4 geeft f ƍ(x) = í4xí5 = í 5 x x x en bij g(x) = x3 Â 冑x krijg je g(x) = x3 Â 冑x = x32 geeft g ‫(މ‬x) = 312 x22 = 312 x2 Â 冑x. 1

1

x2 + 1 deel je eerst uit. x 2 x +1 1 x2 í 1 Je krijgt h(x) = . = x + xí1 geeft h ‫(މ‬x) = 1 í xí2 = 1 í 2 = x x x2 x Bij het berekenen van de afgeleide van k(x) = 2 gebruik je de quotiëntregel. x +1

Bij het berekenen van de afgeleide van h(x) =

Je krijgt k ‫(މ‬x) =

1 í x2 (x2 + 1)  1 í x  2x . = (x2 + 1)2 (x2 + 1)2

Bij het berekenen van de afgeleide van k(x) = 6

k(x) =

x2 + 1 krijg je x冑x

1 1 x2 + 1 x2 + 1 = 11 = x2 + xí12 geeft x冑x x2

k ‫(މ‬x) = 12 xí2 í 112 xí22 = 1

1

x2 í 3 3 3 1 1 í 2 . = 2 1 í 1 = 2 2x2 2x 2 2冑x 2x  冑x 2x  冑x

Raaklijnen en toppen

x2 + 9 bereken je als volgt algebraïsch de coördinaten 2x van de punten van de gra¿ek waarin de raaklijn richtingscoëf¿ciënt í4 heeft. Bij de functie f (x) =

f (x) =

x2 í 9 x2 + 9 1 9 = 2x + 92xí1 geeft f ‫(މ‬x) = 12 í 92 xí2 = 12 í 2 = 2x 2x 2x2

f ‫(މ‬x) = í4 geeft

x2 í 9 = í4 2x2

Hieruit volgt x2 í 9 = í8x2 en dit geeft x = 1  x = í1. f (í1) = í5 en f (1) = 5, dus de punten zijn (í1, í5) en (1, 5). Voor het algebraïsch berekenen van de extreme waarden stel je f ƍ(x) = 0. x2 í 9 Je krijgt = 0 en dit geeft x = 3  x = í3. 2x2 Zie de gra¿ek. De extremen zijn max. is f (í3) = í3 en min. is f (3) = 3.

74

Hoofdstuk 6

y

ƒ

−3

O

3

x

© Noordhoff Uitgevers bv

6.3 De kettingregel O 42 Gegeven zijn de functies u(v) = v4 en v(x) = x2 í 5x.

a Bereken v(3) en u(v(3)). b Bereken u(v(4)). O 43 Gegeven is de functie f (x) = (3x3 + 7)2.

Het functievoorschrift van f is te noteren als f (x) = u(v(x)) met u(v) = v2 en v(x) = 3x3 + 7. Noteer op dezelfde manier met functies u en v. b f (x) = 冑x2 + 1

a f (x) = (3 í x5)6

c f (x) =

2 (x + 8)3

Theorie A De afgeleide van een samengestelde functie De functie f (x) = (x2 í 5x)4 is een voorbeeld van een samengestelde functie. De functie is samengesteld uit de schakels u(v) = v4 en v(x) = x2 í 5x. Een functie die geschreven is als een ketting van schakels heet een kettingfunctie.

6

Voor het differentiëren van de functie f gebruik je de kettingregel. Kettingregel

f (x) = u(v(x)) geeft f ‫(މ‬x) = u ‫(މ‬v(x)) Â v ‫(މ‬x)

s

t

Bij f (x) = (x2 í 5x)4 krijg je f ‫(މ‬x) = 4(x2 í 5x)3 Â (2x í 5) u ‫(މ‬v(x))

v ‫(މ‬x)

Bij het differentiëren van f (x) = 冑3x + 1 krijg je f (x) = 冑3x + 1 = (3x + 1)2 geeft f ‫(މ‬x) = 12 (3x + 1)í2 Â 3 = 1

1

Omdat van g(x) = 冑x de afgeleide is g ‫(މ‬x) = in één keer opschrijven f (x) = 冑3x + 1 geeft f ‫(މ‬x) =

© Noordhoff Uitgevers bv

1 2冑3x + 1

Â3 =

1 2冑x

3 . 2冑3x + 1

, mag je

3 2冑3x + 1

.

1

g(x) = x = x 2 geeft 1 g'(x) = 12 · x í 2 = 1 1 = 1 2x 2 2 x

Differentiaalrekening

75

Het bewijs van de kettingregel gaat als volgt. f ‫(މ‬x) = lim

hm0

= lim

h m0

f (x + h) í f (x) u(v(x + h)) í u(v(x)) = lim h h hm0

u(v(x + h)) í u(v(x)) v(x + h) í v(x) Â v(x + h) í v(x) h

Stel v(x + h) í v(x) = k, dus v(x + h) = v(x) + k. Hieruit volgt dat k nadert naar 0, als h nadert naar 0 (zie ¿guur 6.15). Dus u(v(x) + k) í u(v(x)) v(x + h) í v(x) = u‫(މ‬v(x)) Â v ‫(މ‬x). Â lim k h km 0 hm 0

f ‫(މ‬x) = lim

u(v(x))

v(x)

ƒ

v v(x + h)

u(v(x) + k) u(v(x + h))

v(x)

u(v(x))

h O

6

x

x+h

k

x

O

v(x)

v(x + h) v(x) + k

v(x)

¿guur 6.15

Voorbeeld Differentieer. a f (x) =

5 (2x3 í 7x)4

b g(x) = 2x + 冑3x2 + 4 c h(x) = (4x + 1)3 Â 冑4x + 1 Uitwerking a f (x) =

5 = 5(2x3 í 7x)í4 geeft (2x3 í 7x)4

f ‫(މ‬x) = í4 Â 5(2x3 í 7x)í5 Â (6x2 í 7) = í b g(x) = 2x + 冑3x2 + 4 geeft g ‫(މ‬x) = 2 +

20(6x2 í 7) (2x3 í 7x)5 1 3x  6x = 2 + 2 冑3x2 + 4 2冑3x + 4

c h(x) = (4x + 1)3 Â 冑4x + 1 = (4x + 1)32 1

geeft h ‫(މ‬x) = 312 Â (4x + 1)22 Â 4 = 14(4x + 1)2 Â 冑4x + 1 1

76

Hoofdstuk 6

© Noordhoff Uitgevers bv

44 Bereken de afgeleide.

a f (x) = (4x + 3)3

d j(x) = (4x2 í 3)4 4 e k(x) = 5x í (3x + 2)3

b g(x) = 6 ( 12 x í 4) 5 c h(x) = 3x2 í

f l(x) = 冑4x + 1

( 14 x í 2) 3

45 Differentieer.

a f (x) = í2(2x + 1)4 b g(x) =

冑4x í 1 e k(x) = (x2 + 3)冑x2 + 3

1 (3x í 2)2

c h(x) = 冑2x2 + 4x

f l(x) =

A 46 Bereken de afgeleide.

a f (x) = 4(x3 + 7x í 2)2 b g(x) = í

d j(x) =

6 (x2 + 3x)3

冑

x2

1 + 2x + 3

1 (4 í x)冑4 í x

e k(x) = 5冑2x4 + x2 + 4x2

3 x3 + 3x c h(x) = 冑

47 Gegeven is de functie f (x) =

1

d j(x) =

f l(x) =

x2 + 4 冑x2 + 4

( 12 x2 í 2x)3.

6

a Schets de gra¿ek van f. b Bereken algebraïsch de x-coördinaten van de punten van de gra¿ek waarin de raaklijn horizontaal is. c De lijn l raakt de gra¿ek van f in het punt A met xA = 6. Stel algebraïsch de formule op van l. 48 Gegeven is de functie f (x) =

( 14 x í 1) 4 í x + 2.

a Bereken algebraïsch het bereik van f. b De lijn k raakt de gra¿ek van f en is evenwijdig met de lijn l: y = í2x. Stel langs algebraïsche weg een vergelijking op van k. c Op de gra¿ek van f ligt het punt A met xA = 4. De horizontale lijn door A snijdt de gra¿ek van f ook in het punt B. Bereken in twee decimalen nauwkeurig de lengte van het lijnstuk AB.

© Noordhoff Uitgevers bv

Differentiaalrekening

77

A 49 Gegeven zijn de functies f (x) = 14 (2x í 5)3 + 2 en

g(x) = í 14 (3x í 10)4 + 212 . Het punt A (3, 214 ) ligt zowel op de gra¿ek van f als op de gra¿ek van g. a Toon dit aan. b Emma beweert dat de gra¿eken van f en g in het punt A dezelfde raaklijn hebben. Onderzoek langs algebraïsche weg of Emma gelijk heeft. c Er zijn twee punten op de gra¿ek van f waar de richtingscoëf¿ciënt van de raaklijn gelijk is aan 1312 . Bereken algebraïsch de coördinaten van die punten. A 50 Gegeven is de functie f (x) = 冑x2 + 9 í x2 + 5x.

y

a De lijn k raakt de gra¿ek van f in het punt A met xA = 4. Stel algebraïsch de formule op van k. b Onderzoek met de afgeleide of de gra¿ek een horizontale raaklijn heeft voor x = 3. c De lijn l raakt de gra¿ek van f en is evenwijdig met de lijn m: y = 5x í 2. Stel algebraïsch de formule op van l.

ƒ

O

x

¿guur 6.16

6 A 51 Bij een autorally leggen de deelnemers een parcours af

dat gedeeltelijk over een terrein zonder wegen en gedeeltelijk over onverharde wegen gaat. In ¿guur 6.17 zie je een gedeelte van het parcours. De deelnemers rijden van A naar B. Punt B ligt 2 km oostelijk en 10 km zuidelijk van A. Tussen C en B ligt een onverharde weg, waar met een gemiddelde snelheid van 100 km/uur wordt gereden. Ten westen van deze onverharde weg is ruw terrein, waar de gemiddelde snelheid 80 km/uur is. Een deelnemer kan rechtstreeks van A naar B, maar bijvoorbeeld ook via C naar B gaan. In het laatste geval is hij ongeveer 9 seconden eerder in B dan in het geval hij rechtstreeks van A naar B rijdt. a Toon dit aan. Het is ook mogelijk dat een deelnemer vanaf A schuin doorsteekt naar de onverharde weg tussen C en B en ¿guur 6.17 daarna zijn weg vervolgt over de onverharde weg richting B. Stel hij komt daarbij x km ten zuiden van C uit. 1 冑x2 + 4 + 0,1 í 0,01x. Hierin is t de tijd in Dan geldt t = 80 uren die de deelnemer over de afstand tussen A en B doet. b Toon aan dat deze formule juist is. c Bereken exact voor welke waarde van x de tijd t voor de deelnemer minimaal is. Hoeveel seconden scheelt het met de situatie dat hij via C naar B gaat? 78

Hoofdstuk 6

© Noordhoff Uitgevers bv

D 52 Bereken algebraïsch voor welke waarde van a de functie

f (x) = (ax í 2)4 + 12 ax een extreme waarde heeft voor x = 3.

O 53 Gegeven is de functie f (x) = x冑2x + 1.

Voor het berekenen van de afgeleide heb je de productregel én de kettingregel nodig. Licht dit toe.

Theorie B De kettingregel gecombineerd met de productregel of de quotiëntregel De functie f (x) = x冑2x + 1 is het product van de factoren x en

冑2x + 1. Daarom gebruik je bij het differentiëren de productregel f ƍ(x) = 3 x 4 ‫ މ‬ 冑2x + 1 + x  3冑2x + 1 4 ‫މ‬. Om de afgeleide van 冑2x + 1 te berekenen heb je de kettingregel nodig.

Voorbeeld Differentieer. a f (x) = x冑2x + 1 b g(x) =

6

x+6

冑8x + 9

Uitwerking a f (x) = x冑2x + 1 geeft f ‫(މ‬x) = 1  冑2x + 1 + x  b g(x) =

x+6

冑8x + 9

1 x 2x + 1 x 3x + 1 = + = Â 2 = 冑2x + 1 + 冑2x + 1 冑2x + 1 冑2x + 1 冑2x + 1 2冑2x + 1

geeft

冑8x + 9 Â 1 í (x + 6) Â g ‫(މ‬x) = =

(冑8x + 9 )

1 Â8 2冑8x + 9

2

=

8x + 9 í 4(x + 6) 8x + 9 í 4x í 24 = (8x + 9)冑8x + 9 (8x + 9)冑8x + 9

4x í 15 (8x + 9)冑8x + 9

54 Differentieer.

a f (x) = x冑3x + 1 b g(x) =

冑x2 + 1

© Noordhoff Uitgevers bv

2x + 1

c h(x) = x(3x + 1)3 d k(x) =

x2 í 1 冑4x + 1

Differentiaalrekening

79

55 Gegeven is de functie f (x) = 2 x冑3x + 1. 1

Stel langs algebraïsche weg de formule op van de lijn k die de gra¿ek van f raakt in het punt A met xA = 8.

56 Gegeven is de functie f (x) = x冑8 í 2x. In ¿guur 6.18

zie je een schets van de gra¿ek van f. a Bereken het domein van f. 8 í 3x . b Toon aan dat f ƍ(x) = 冑8 í 2x c Bereken exact de coördinaten van de top van de gra¿ek van f en geef het bereik. d Op de gra¿ek van f ligt het punt A waarin de raaklijn richtingscoëf¿ciënt 1 heeft. Bereken algebraïsch de coördinaten van A.

y

ƒ

O

4

x

¿guur 6.18 f (x) = x冑8 í 2x

A 57 Gegeven is de functie f (x) =

x+1 . 冑x2 + 4

y

ƒ

a Bereken exact de coördinaten van de top van de gra¿ek van f. b De gra¿ek van f snijdt de y-as in het punt A. De lijn k raakt de gra¿ek van f in A en snijdt de x-as in het punt B. Bereken algebraïsch de oppervlakte van +OAB.

6

A x

O

¿guur 6.19 f (x) =

x+1

冑x 2 + 4

A 58 Gegeven is de functie f (x) = 2x冑9 í 2x í 3.

De gra¿ek van f snijdt de y-as in het punt A. a Stel algebraïsch de formule op van de raaklijn k in A. b Bereken exact het maximum van f. c Bereken het domein en geef het bereik van f. d Het punt B ligt op de gra¿ek van f. De raaklijn in B is evenwijdig met de lijn y = 112 x. Bereken algebraïsch de coördinaten van B.

A 59 Gegeven is de functie f (x) =

x3 + 2 . 冑x

a De y-coördinaat van de top is te schrijven als Bereken a, b en c. b De lijn k met rc k = 112 raakt de gra¿ek van f. Stel algebraïsch de formule van k op.

y

a

冑b c

. ƒ

O

x

x3 + 2 ¿guur 6.20 f (x) = 冑x

80

Hoofdstuk 6

© Noordhoff Uitgevers bv

Terugblik De kettingregel

Een functie die geschreven is als een ketting van functies heet een kettingfunctie of samengestelde functie. Zo is de functie f (x) = 冑x2 + x te schrijven als f (x) = u(v(x)) met de schakels u = 冑v en v = x2 + x. Bij het differentiëren van kettingfuncties gebruik je de kettingregel: f (x) = u(v(x)) geeft f ‫(މ‬x) = u‫(މ‬v(x)) Â v‫(މ‬x). Deze regel zegt dat de afgeleide van een kettingfunctie het product is van de afgeleiden van de afzonderlijke schakels. 1 2x + 1 . Bij f (x) = 冑x2 + x krijg je f ‫(މ‬x) = Â (2x + 1) = 2 2冑x + x 2冑x2 + x De productregel en de kettingregel

Bij het differentiëren van h(x) = x冑x2 + x gebruik je de productregel. In de berekening komt 3冑x2 + x 4 ‫ މ‬tevoorschijn en dit bereken je met de kettingregel. Je krijgt x(2x + 1) 1 h ‫(މ‬x) = 1  冑x2 + x + x   (2x + 1) = 冑x2 + x + 2 2冑x + x 2冑x2 + x =

6

2(x2 + x) + 2x2 + x 4x2 + 3x = . 2冑x2 + x 2冑x2 + x

De quotiëntregel en de kettingregel

冑x2 + x Bij het differentiëren van de functie k(x) = gebruik je de x+1 quotiëntregel. In de berekening komt 3冑x2 + x 4‫ މ‬tevoorschijn en dit bereken je met de kettingregel. Je krijgt 1 2x + 1 í 冑x2 + x (x + 1)   (2x + 1) í 冑x2 + x  1 (x + 1)  2冑x2 + x 2冑x2 + x = k ƍ(x) = (x + 1)2 (x + 1)2 =

(x + 1)(2x + 1) í 2(x2 + x) 2x2 + x + 2x + 1 í 2x2 í 2x = 2(x + 1)2 Â 冑x2 + x 2(x + 1)2 Â冑x2 + x

=

x+1 . 2(x + 1)2 Â 冑x2 + x

© Noordhoff Uitgevers bv

Differentiaalrekening

81

6.4 Toppen en snijpunten y

O 60 In ¿guur 6.21 zie je de gra¿ek van f (x) =

í 13 x3

1

B(5, 8 3 )

3x2

+ í 5x en de lijn y = 4. De toppen van de gra¿ek van f zijn A (1, í213 ) en B (5, 813) .

De vergelijking í 13 x3 + 3x2 í 5x = 4 heeft drie oplossingen omdat de lijn y = 4 de gra¿ek van f drie keer snijdt. Hoeveel oplossingen heeft de vergelijking í 13 x3 + 3x2 í 5x = 10? En de vergelijking

í 13 x3

+ 3x2 í 5x =

y=4

ƒ

1 O

x

1

í213 ? 1

A(1, –2 3 )

¿guur 6.21

Theorie A Aantal oplossingen van de vergelijking f (x) = p Hiernaast is de gra¿ek van f (x) = 13 x3 + x2 í 3x geschetst.

y

(–3, 9)

De toppen van de gra¿ek zijn (í3, 9) en (1, í123 ) . De lijn y = 2 snijdt de gra¿ek van f in drie punten. Daarom heeft de vergelijking 13 x3 + x2 í 3x = 2 drie oplossingen.

6

ƒ

y=2 1 O

x

1 2

(1, –1 3 )

¿guur 6.22

61 In ¿guur 6.23 is de gra¿ek van

f (x) = 2x3 í 3x2 í 36x + 10 getekend. De coördinaten van de toppen zijn (í2, 54) en (3, í71). a Toon dit aan. b De horizontale lijn y = í25 snijdt de gra¿ek van f in drie punten. Hieruit volgt dat de vergelijking f (x) = í25 drie oplossingen heeft. Hoeveel oplossingen heeft de vergelijking f (x) = 25? En de vergelijking f (x) = 75? c De vergelijking f (x) = p heeft drie oplossingen voor í71 < p < 54. Licht dit toe. d Voor welke waarden van p heeft de vergelijking f (x) = p één oplossing? e Er zijn twee waarden van p waarvoor de vergelijking f (x) = p precies twee oplossingen heeft. Welke waarden van p zijn dat? 82

Hoofdstuk 6

y

40

ƒ 20

–4

–2

O

2

4

x

–20 –40 –60

¿guur 6.23

© Noordhoff Uitgevers bv

62 Gegeven is de functie f (x) = íx3 í 3x2 + 24x + 10.

a Bereken algebraïsch de extreme waarden van f. b Hoeveel oplossingen heeft de vergelijking f (x) = í50? En de vergelijking f (x) = 50? c Voor welke p heeft de vergelijking f (x) = p drie oplossingen? d Voor welke p heeft de vergelijking f (x) = p één oplossing? A 63 In ¿guur 6.24 is de gra¿ek van de functie

0,75x4

2x3

y

36x2

f (x) = í í + 300 geschetst. Voor welke p heeft de vergelijking f (x) = p • precies vier oplossingen • precies drie oplossingen • precies twee oplossingen • precies één oplossing • geen oplossingen? A 64 Gegeven is de functie f (x) = x2 Â 冑2x + 5 í 6.

a Bereken algebraïsch de coördinaten van de toppen van de gra¿ek van f. b Voor welke p heeft de vergelijking f (x) = p • geen oplossingen • precies één oplossing • precies twee oplossingen • precies drie oplossingen?

ƒ

x

O

¿guur 6.24

6

6x . x2 + 3 De lijn k: y = 2x raakt de gra¿ek van f in de oorsprong. a Hoeveel snijpunten heeft de lijn l: y = x met de gra¿ek van f ? En de lijn m: y = 3x? 6x b Licht toe dat de vergelijking 2 = ax drie x +3 oplossingen heeft voor 0 < a < 2.

y

65 Gegeven is de functie f (x) =

k ƒ x

O

¿guur 6.25

6x 66 Gegeven is de functie f (x) = 2 . x +5 a Bereken exact de extreme waarden van f en geef Bf. b Bereken algebraïsch voor welke a de vergelijking f (x) = ax precies één oplossing heeft. A 67 Gegeven is de functie f (x) = x冑2x + 6.

Bereken exact voor welke a p de vergelijking f (x) = p precies twee oplossingen heeft. b a de vergelijking f (x) = ax precies twee oplossingen heeft.

© Noordhoff Uitgevers bv

Differentiaalrekening

83

1

O 68 Gegeven zijn de functies fp(x) = 3 x3 + px2 + 5x.

a Schets de gra¿eken van f í3, f í2, f2 en f3 in aparte ¿guren. b Hoeveel extreme waarden heeft elk van de vier functies waarvan je de gra¿ek hebt geschetst?

Theorie B Derdegraadsfuncties met een parameter Bij de functies fp(x) = 13 x3 + px2 + 5x vragen we ons af voor welke p de functie twee extreme waarden heeft. De afgeleide is fp ‫(މ‬x) = x2 + 2px + 5. Er zijn twee extreme waarden als de vergelijking fp ‫(މ‬x) = 0 twee (verschillende) oplossingen heeft. Hierbij hoort de schets hiernaast van de gra¿ek van fp ‫މ‬. Er moet dus gelden D > 0. De discriminant is D = (2p)2 í 4  1  5 = 4p2 í 20 D > 0 geeft 4p2 í 20 > 0 4p2 > 20 p2 > 5 p < í冑5  p > 冑5 Dus de functie heeft twee extreme waarden voor p < í冑5  p > 冑5. 6

ƒp'

x

Voorbeeld Gegeven zijn de functies fp(x) = í 16 x3 + 12 x2 í px + 6. Bereken voor welke p de functie twee extreme waarden heeft. Uitwerking fp(x) = í 16 x3 + 12 x2 í px + 6 geeft fp ‫(މ‬x) = í 12 x2 + x í p fp heeft twee extremen, dus fp ‫(މ‬x) = 0 heeft twee oplossingen. D>0 1 í 2p > 0 D = 12 í 4 Â í 12 Â íp = 1 í 2p r í2p > í1 p < 12 Dus twee extreme waarden voor p < 12 . 1

R 69 Zie het voorbeeld. Hoeveel extreme waarden zijn er voor p > 2 ?

En voor p =

1 2?

Licht toe.

1

1

70 Gegeven zijn de functies fp(x) = í 3 x3 í 12 x2 + px + 5.

Bereken voor welke p de functie twee extreme waarden heeft.

84

Hoofdstuk 6

© Noordhoff Uitgevers bv

71 Bereken voor welke p de functie fp(x) = 14 x3 + px2 + 3x + 1 geen

extreme waarden heeft.

1 3 x + x2 + px + 7. A 72 Gegeven zijn de functies fp(x) = 12

a De functie heeft een extreme waarde voor x = 1. Bereken p en de andere extreme waarde. b Bereken voor welke p de functie fp twee extreme waarden heeft.

O 73 Gegeven zijn de functies fp(x) = 13 x3 + px2 + 5x í 3. De lijn k

met rck = 2 raakt de gra¿ek van fp in het punt A met xA = 3. Licht toe dat fp ‫(މ‬3) = 2 en bereken p.

Theorie C Raaklijnproblemen bij functies met een parameter Om te berekenen voor welke p de lijn k de gra¿ek van fp raakt in een punt A waarvan de x-coördinaat is gegeven, los je de vergelijking fp ‫(މ‬xA) = rck op.

Voorbeeld Gegeven zijn de functies fp(x) = x2 Â 冑x + p冑x. 6

De lijn k: y = 18x + q raakt de gra¿ek van fp in het punt A met xA = 4. Bereken p en q. Uitwerking fp(x) = x2 Â 冑x + p冑x = x22 + px2 geeft fp ‫(މ‬x) = 212 x12 + 12 px í 2 = 212 x冑x + 1

fp ‫( މ‬4) = rc k geeft

2 12

 4冑4 +

20 +

1

p 2冑4

1

1

p 2冑x

= 18

p = 18 4

p = í2 4 p = í8 fí8(x) = x2 Â 冑x í 8冑x

fí8(4) = 16, dus A(4, 16) r 18 Â 4 + q = 16 k: y = 18x + q 72 + q = 16 q = í56 Dus p = í8 en q = í56.

© Noordhoff Uitgevers bv

Differentiaalrekening

85

74 Gegeven zijn de functies fp(x) = 6x冑x + px2.

a Voor welke p heeft de functie fp een maximum voor x = 214 ? b De lijn k: y = 5x + q raakt de gra¿ek van fp in het punt A met xA = 1. Bereken p en q.

4x + p . x2 + 1 a De lijn k: y = ax + 4 raakt de gra¿ek van fp in het snijpunt van de gra¿ek met de y-as. Bereken a en p. b De lijn l met richtingscoëf¿ciënt í1 raakt de gra¿ek van fp in het punt A met xA = í1. Stel algebraïsch de formule op van l. c De functie fp heeft een extreme waarde voor x = 2. Bereken p en de andere extreme waarde.

75 Gegeven zijn de functies fp(x) =

1

A 76 Gegeven zijn de functies fp(x) = 3 x3 + px2 í 3x í p.

a Toon aan dat fp voor elke p twee extreme waarden heeft. b De functie fp heeft een extreme waarde voor x = 3. Bereken p en de andere extreme waarde. c De lijn l: y = íx + q raakt de gra¿ek van fp in het punt B met xB = í2. Bereken p en q.

6

1

O 77 Gegeven zijn de functies fp(x) = í 4 x2 + px + 3.

Toon aan dat uit fp ‫(މ‬x) = 0 volgt p = 12 x.

Theorie D Kromme door toppen Om een formule op te stellen van de kromme waarop alle toppen van de gra¿eken van de functies fp(x) = x3 + px2 liggen kun je xtop uitdrukken in p. Daartoe los je de vergelijking fp ‫(މ‬x) = 0 op. Je krijgt fp(x) = x3 + px2 geeft fp ‫(މ‬x) = 3x2 + 2px fp ‫(މ‬x) = 0 geeft 3x2 + 2px = 0 x(3x + 2p) = 0 x = 0  3x + 2p = 0 x = 0  3x = í2p x = 0  x = í 23 p xtop = 0 geeft top (0, 0). xtop = í 23 p, dus p = í112 xtop ytop =

86

3 xtop

Hoofdstuk 6

í

2 pxtop

1 3 3 í 11 x3 ¶ ytop = xtop 2 top = í 2 xtop

© Noordhoff Uitgevers bv

3 . Ook het punt (0, 0) voldoet aan ytop = í 12 xtop

Dus de formule van de kromme is y = í 12 x3. De methode hierboven is niet altijd handig. Zie het voorbeeld waarbij meteen p vrijgemaakt wordt uit de vergelijking fp ‫(މ‬x) = 0.

Voorbeeld Gegeven zijn de functies fp(x) = x3 + px2 + 2x + 3. Stel een formule op van de kromme waarop alle toppen van de gra¿ek van fp liggen. Uitwerking fp(x) = x3 + px2 + 2x + 3 geeft fp ‫(މ‬x) = 3x2 + 2px + 2 fp ‫(މ‬x) = 0 geeft 3x2 + 2px + 2 = 0 2px = í3x2 í 2

í3x2 í 2 í3x2 í 2 2 ¶ y = x3 + Â x + 2x + 3 2x 2x y = x3 + px2 + 2x + 3 y = x3 + 12 x(í3x2 í 2) + 2x + 3

voor x  0 geldt p =

y = x3 í 112 x3 í x + 2x + 3 y = í 12 x3 + x + 3

6

Dus de formule van de kromme waarop alle toppen liggen is y = í 12 x3 + x + 3. In de ¿guur hieronder is met GeoGebra voor enkele waarden van p de gra¿ek van fp van het voorbeeld getekend. Bovendien is de kromme y = í 12 x3 + x + 3 getekend. Je ziet dat alle toppen van de getekende gra¿eken op de kromme y = í 12 x3 + x + 3 liggen.

© Noordhoff Uitgevers bv

Differentiaalrekening

87

R 78 Zie het voorbeeld. De kromme waarop alle toppen liggen is

y = í 12 x3 + x + 3. Op deze kromme ligt het punt (0, 3). Het punt (0, 3) is niet een top van een van de gra¿eken van fp. a Toon dit aan. b Licht toe dat dat dit niet in tegenspraak is met de laatste zin in het voorbeeld. 1

79 Gegeven zijn de functies fp(x) = 3 x3 + px2 + 3x + 5.

Stel een formule op van de kromme waarop alle toppen van de gra¿ek van fp liggen.

px . +4 De toppen van de gra¿eken van de functies fp liggen op twee lijnen. Toon dit aan en geef de formules van deze lijnen.

80 Gegeven zijn de functies fp(x) =

x2

x+p . x2 + 4 a De functie fp heeft een extreme waarde voor x = 1. Bereken p en de andere extreme waarde. b Toon aan dat alle toppen van de gra¿eken van fp op de 1 kromme y = liggen. 2x

A 81 Gegeven zijn de functies fp(x) =

6

88

Hoofdstuk 6

© Noordhoff Uitgevers bv

Terugblik Aantal oplossingen van de vergelijking f (x) = p

Om te berekenen voor welke p de vergelijking x3 + 112 x2 í 6x í 4 = p drie oplossingen heeft, bereken je eerst de coördinaten van de toppen van de gra¿ek van f (x) = x3 + 112 x2 í 6x í 4. Je krijgt (í2, 6) en ( 1, í712 ) . AÀezen uit de ¿guur hiernaast geeft dat de vergelijking f (x) = p drie oplossingen heeft voor í712 < p < 6.

y

(–2, 6)

ƒ x

O

(1, –7 12 )

Derdegraadsfuncties met een parameter

Het aantal extreme waarden van een derdegraadsfunctie met een parameter hangt af van de discriminant van de afgeleide. Van de functie fp(x) = í 13 x3 + 112 x2 + px í 5 is de afgeleide fp ‫(މ‬x) = íx2 + 3x + p. fp ‫(މ‬x) = 0 heeft twee oplossingen als D > 0. Dit geeft 9 + 4p > 0 ofwel p > í214 . Dus de functie fp(x) = í 13 x3 + 112 x2 + px í 5 heeft twee extreme waarden voor p > í214 .

6

Raaklijnproblemen bij functies met een parameter

Raakt de lijn k met rck = í2 de gra¿ek van fp(x) = í 13 x3 + 112 x2 + px í 5 in het punt A met xA = 4, dan gebruik je fp ‫(މ‬4) = í2 om de formule van k op te stellen. fp ‫(މ‬4) = í2 geeft í42 + 3 Â 4 + p = í2, dus p = 2. xA = 4 invullen bij f2(x) = í 13 x3 + 112 x2 + 2x í 5 geeft het raakpunt A (4, 523 ) . Het punt A ligt ook op k: y = í2x + b. Hieruit volgt b = 1323 , dus k: y = í2x + 1323 . Kromme door toppen

De toppen van de gra¿eken van de functies fp(x) = í 13 x3 + 112 x2 + px í 5 liggen op een kromme. De formule van deze kromme krijg je door p met behulp van fp ‫(މ‬x) = 0 uit te drukken in xtop en dit in te vullen bij ytop = fp(xtop). fp ‫(މ‬x) = 0 geeft íx2 + 3x + p = 0, dus p = x2 í 3x. p = x2 í 3x invullen in y = í 13 x3 + 112 x2 + px í 5 geeft y = í 13 x3 + 112 x2 + (x2 í 3x) Â x í 5 = í 13 x3 + 112 x2 + x3 í 3x2 í 5 = 23 x3 í 112 x2 í 5. Dus de formule van de kromme waarop alle toppen liggen is y = 23 x3 í 112 x2 í 5.

© Noordhoff Uitgevers bv

Differentiaalrekening

89

Diagnostische toets 6.1 Toppen en buigpunten

1

6

Gegeven is de functie f (x) = ( 2x2 + 4)(12 x2 í 5) . a Bereken algebraïsch de extreme waarden van f. b Geef het bereik van f. íx . +1 Bereken algebraïsch de extreme waarden van f en geef het bereik.

2

Gegeven is de functie f (x) =

3

Gegeven is de functie f (x) = 12 x4 í x3 í 12 x2 + 112 x. Toon met de afgeleide aan dat de functie f een extreme waarde heeft voor x = 12 冑2.

4

Gegeven is de functie f (x) = x4 í x3 í 9x2 í 5x. Stel langs algebraïsche weg formules op van de buigraaklijnen k en l van de gra¿ek van f.

5

Bereken algebraïsch voor welke waarden van p de gra¿ek van fp(x) = 12 x4 + x3 + px2 + 2x í 3 twee buigpunten heeft.

x2

6.2 De afgeleide van machtsfuncties 6

7

Differentieer. 2 a f (x) = 5 x x5 + 2 b f (x) = x3 3 x c f (x) = í x 3

3 2 d f (x) = x3 + 冑 x 3 2 e f (x) = x3 Â 冑 x

f f (x) =

x冑x x3 + 1

x2 í 3 . x2 Â 冑x De lijn k raakt de gra¿ek van f in het punt A met xA = 1. De lijn k snijdt de x-as in het punt B en de y-as in het punt C. Bereken exact de oppervlakte van driehoek OBC. Gegeven is de functie f (x) =

6.3 De kettingregel 8

Bereken de afgeleide. a f (x) = 3(x2 + 4x)4 b g(x) = (x2 + 2)冑x2 + 2 3 c h(x) = 3 + 2) 5 (2x

90

Hoofdstuk 6

© Noordhoff Uitgevers bv

9

Differentieer. a f (x) = 2x2(x2 í 4x)5 b g(x) = (x3 + x) Â 冑x3 + 2 6x c h(x) = 3 + 2) 5 (2x

10 Gegeven is de functie f (x) = x冑50 í x2.

a Er zijn twee punten op de gra¿ek van f met een horizontale raaklijn. Bereken algebraïsch de coördinaten van deze punten. b Stel algebraïsch de formule op van de lijn k die de gra¿ek van f raakt in het punt A met xA = 1.

6.4 Toppen en snijpunten 11 Gegeven is de functie f (x) = x3 í 4x2 + 4x + 3.

a Bereken algebraïsch de extreme waarden van f. b Voor welke waarden van p heeft de vergelijking f (x) = p precies één oplossing? c Voor welke waarden van p heeft de vergelijking f (x) = p precies twee oplossingen? d Voor welke waarden van p heeft de vergelijking f (x) = p drie oplossingen?

6

í4x . +1 Bereken algebraïsch voor welke waarden van a de vergelijking f (x) = ax drie oplossingen heeft.

12 Gegeven is de functie f (x) =

x2

13 Gegeven zijn de functies fp(x) = í 13 x3 + 2x2 + px + 5.

a De functie heeft een extreme waarde voor x = 1. Bereken p en de andere extreme waarde. b Bereken voor welke p de functie fp twee extreme waarden heeft.

2冑x + p . x+1 De lijn k: y = í0,1x + q raakt de gra¿ek van fp in het punt A met xA = 4. Bereken p en q.

14 Gegeven zijn de functies fp(x) =

15 Gegeven zijn de functies fp(x) = í 13 x3 + px2 + 3x í 4.

Stel een formule op van de kromme waarop alle toppen van de gra¿ek van fp liggen.

© Noordhoff Uitgevers bv

Differentiaalrekening

91

In de oudheid werd de goniometrie vooral gebruikt bij het bestuderen van de sterren. Ook het navigeren op zee heeft de ontwikkeling van de goniometrie gestimuleerd. Tegenwoordig kunnen allerlei periodieke verschijnselen met goniometrische formules worden beschreven en onderzocht. Daarbij worden goniometrische vergelijkingen opgelost en goniometrische functies gedifferentieerd.

92

Wat leer je? • De definities van sinus, cosinus en tangens in de eenheidscirkel. • Werken met de hoekeenheid radiaal. • Algebraïsch oplossen van goniometrische vergelijkingen. • Tekenen van grafieken van goniometrische functies en het opstellen van formules bij getekende sinusoïden. • Het differentiëren van goniometrische functies.

© Noordhoff Uitgevers bv

Goniometrische functies

7

© Noordhoff Uitgevers bv

Hoofdstuktitel

93

Voorkennis Exacte waarden van goniometrische verhoudingen Theorie A Bijzondere rechthoekige driehoeken en goniometrische verhoudingen • De zijden van een gelijkbenige rechthoekige driehoek verhouden zich als 1 : 1 : 冑2.

C

2

A

1

45°

B

1

¿guur 7.1

• De zijden van een rechthoekige driehoek waarvan de scherpe hoeken 30° en 60° zijn, verhouden zich als 1 : 2 : 冑3.

R 60° 2

P

7

1

30° 3

Q

¿guur 7.2

Hieruit volgen de exacte waarden van de goniometrische verhoudingen bij hoeken van 30°, 45° en 60°. Uit ¿guur 7.1 volgt 1 1 1 1 sin(45°) = = 12冑2, cos(45°) = = 2冑2 en tan(45°) = = 1. 冑2 冑2 1 Uit ¿guur 7.2 volgt sin(30°) = 12, cos(30°) =

冑3 2

= 12冑3, tan(30°) =

冑3

1

= 1 冑3,

冑3 3 冑3

= 1冑3, cos(60°) = 12 en tan(60°) = = 冑3. 2 2 1 We zetten deze resultaten in een tabel. sin(60°) =

hoek

30°

sinus

1 2

cosinus

冑3 1 3 冑3

tangens

1 2

45°

60°

冑2 1 2冑2

1 2

1 2

1

冑3 1 2

冑3

Leer deze tabel uit het hoofd.

94

Hoofdstuk 7

© Noordhoff Uitgevers bv

Voorbeeld Bereken de exacte waarde. a 2 sin(45°) + 冑6 Â sin(60°) b 8 sin(45°) cos(30°) tan(30°) c sin(30°) í tan(30°) Uitwerking a 2 sin(45°) + 冑6 Â sin(60°) = 2 Â 12冑2 + 冑6 Â 12冑3 = 冑2 + 12冑18 =

冑2 + 12 Â 3冑2 = 冑2 + 112冑2 = 212冑2 b 8 sin(45°) cos(30°) = 8 Â 12冑2 Â 12冑3 = 2冑6 c

1

2

3

4

tan(30°) = sin(30°) í tan(30°)

冑3 2冑3 = 1 í 3 冑3 3 í 2冑3 1 3

1 2

Werk de breuken uit teller en noemer weg.

Bereken de exacte waarde. a 4 cos(30°) + 9 tan(30°) b 3sin(30°) í 冑2 Â sin(45°)

c 6 tan(30°) í 3 tan(60°) d 冑2 Â sin(60°) + 3冑3 Â sin(45°)

Bereken de exacte waarde. a 2 sin(45°) cos(45°) b 2冑3 Â sin(60°) cos(30°)

c 冑2 Â sin(45°) sin(60°) í 2 tan(60°) d 4 sin(30°) tan(30°) + 2 cos(30°) cos(60°)

Bereken de exacte waarde. cos(30°) a 1 + sin(60°)

b

7

sin(30°) + sin(60°) sin(30°) í sin(60°)

Gegeven zijn de formules sin(t + u) = sin(t) cos(u) + cos(t) sin(u) sin(t í u) = sin(t) cos(u) í cos(t) sin(u) Met deze formules kun je de exacte waarde berekenen van bijvoorbeeld sin(15°) en sin(75°). Voor de berekening van de exacte waarde van sin(15°) kun je als volgt te werk gaan. sin(15°) = sin(45° í 30°) = sin(45°) cos(30°) í cos(45°) sin(30°) = 12冑2 Â 12冑3 í 12冑2 Â 12 = 14 冑6 í 14 冑2 a Je kunt de exacte waarde van sin(15°) ook berekenen door te gebruiken sin(15°) = sin(60° í 45°). Werk dit uit. b Bereken de exacte waarde van sin(75°).

© Noordhoff Uitgevers bv

Goniometrische functies

95

7.1 Eenheidscirkel en radiaal y

O 1

In de ¿guren 7.3 en 7.4 is de cirkel getekend met middelpunt (0, 0) en straal 1. Het punt P draait tegen de wijzers van de klok in over de cirkel. P begint daarbij in (1, 0). De hoek waarover gedraaid is geven we aan met Į. In ¿guur 7.3 is Į = 65°. a Bereken PQ en OQ, beide in twee decimalen nauwkeurig. b Geef de coördinaten van P in twee decimalen nauwkeurig.

P 1

α

O

x (1, 0)

Q

¿guur 7.3 Į = 65° y

In ¿guur 7.4 is Į = 115°. c Hoeveel graden is “POQ? Geef in twee decimalen nauwkeurig PQ, OQ en de coördinaten van P. d Bereken cos(115°) en sin(115°) met je GR. Vergelijk de resultaten met de coördinaten van het punt P van vraag c. Wat merk je op?

P

1

α = 115°

Q

–1

x (1, 0)

O

–1

¿guur 7.4 Į = 115°

7

Theorie A Definitie van sinus, cosinus en tangens De cirkel met middelpunt O(0, 0) en straal 1 heet de eenheidscirkel. Het punt P beweegt over de eenheidscirkel en begint in het punt A(1, 0). Hierdoor ontstaat hoek AOP die we de draaiingshoek van P noemen. We geven deze hoek aan met Į. Het eerste been van n n een draaiingshoek is altijd de positieve x-as, het tweede been gaat door het punt P. Draait P tegen de wijzers van de klok in, dan is Į positief, draait P met de wijzers van de klok mee, dan is Į negatief. De draaiingshoek van P kan ook groter dan 360° zijn. y

y

α O

1

y

P

1

1

α x

α

O

1

x

O

P

P

α = 230°

–

y

1

1

+

α = 320°

1

x

O

α

1

x

P

α = 480°

α = −135°

¿guur 7.5 Draaiingshoeken kunnen zowel positief als negatief zijn. 96

Hoofdstuk 7

© Noordhoff Uitgevers bv

In ¿guur 7.6 is 0 < Į < 90°. Voor deze scherpe hoek geldt sin(Į) =

y

PQ yP OQ xP = = yP, cos(Į) = = = xP en OP 1 OP 1

P(xP, yP) 1

PQ yP tan(Į) = = . OQ xP

α

O

Q

A (1, 0)

x

Ook voor niet-scherpe hoeken nemen we per de¿nitie yP sin(Į) = yP, cos(Į) = xP en tan(Į) = x . P ¿guur 7.6

Voor de draaiingshoek Į van het punt P(xP, yP) op de eenheidscirkel geldt

y 1

P(xP, yP )

sin(Į) = yP cos(Į) = xP y tan(Į) = P xP

sin(α )

α −1

cos(α ) O

x

1

−1

Van draaiingshoeken die een veelvoud zijn van 90°, kun je de sinus en de cosinus eenvoudig uit de eenheidscirkel aÀezen. Zo hoort bij Į = 180° het punt P(í1, 0) dus sin(180°) = 0 en cos(180°) = í1. Ook kun je de tangens te weten komen van hoeken die een veelvoud 0 1 zijn van 90°. Zo is tan(180°) = = 0 en tan(90°) = , dus 0 í1 tan(90°) bestaat niet. 2

Lees uit de eenheidscirkel af. Maak zo nodig een berekening. g sin(360°) a sin(0°) h tan(360°) b cos(0°) i sin(450°) c sin(90°) d cos(90°) j cos(í90°) k tan(í540°) e sin(270°) l cos(í180°) f cos(270°)

3

Je GR benadert sin(Į) en cos(Į) voor iedere waarde van Į. Zo is sin(260°) § í0,98 en cos(260°) § í0,17. a Ga dit na. b Op de eenheidscirkel in ¿guur 7.8 liggen de punten P, Q, R en S. Bereken in twee decimalen nauwkeurig de coördinaten van de punten P, Q, R en S.

7

y P

(0, 1)

200° 110° −50°

Q

x (1, 0)

−102° S R

¿guur 7.8 © Noordhoff Uitgevers bv

Goniometrische functies

97

Geschiedenis Koorden en de sinus Vraagstukken uit de sterrenkunde en op het terrein van navigeren op zee hebben de ontwikkeling van de goniometrie vanaf de Oudheid gestimuleerd. De Griekse astronoom Ptolemeus (ca 85–165) rekende aan planeetbanen. Als hulpmiddel ontwikkelde hij koordentafels waarin hij lengten van koorden in de eenheidscirkel tot op vijf decimalen nauwkeurig berekende. hoek

koorde

59° 59° 30’ 60° 60° 30’ 61°

0,98485 0,99243 1 1,00755 1,01508

1

α

k

1

In de vijfde eeuw hebben Indiase wiskundigen het begrip sinus ingevoerd. De sinustafel verving de koordentafel. De notaties die tegenwoordig in de goniometrie gangbaar zijn, hebben we aan Leonhard Euler (1707–1783) te danken. Tegenwoordig bereken je de lengte van koorde k in de figuur hierboven simpel op je GR met k = 2 sin ( 12 Į) .

A 4

7

Op de cirkel met straal 2 van ¿guur 7.9 liggen de punten A, B, C, D en E zo, dat de cirkel wordt verdeeld in vijf cirkelbogen van gelijke lengte. Het punt A is het punt (2, 0). Bereken in twee decimalen nauwkeurig de coördinaten van de punten B, C, D en E.

y B

2 C

O

O 5

Op de eenheidscirkel liggen de punten P en Q met yP = yQ = 0,5, xP > 0 en xQ < 0. a Teken de eenheidscirkel met de punten P en Q. b Voor de draaiingshoek Į van P geldt Į = 30°. Gebruik dit en symmetrie om de draaiingshoek ȕ van Q, met 0 ” ȕ ” 360°, af te lezen uit de ¿guur van vraag a.

A (2, 0)

x

D E

¿guur 7.9

Theorie B Hoek berekenen bij gegeven xP of yP In ¿guur 7.10 zie je het punt P met xP = 0,63. Dus cos(Į) = 0,63. Je berekent Į op de GR met cosí1(0,63). Je krijgt Į § 51°.

y P

α O

0,63

1

x

xP = 0,63

¿guur 7.10 98

Hoofdstuk 7

© Noordhoff Uitgevers bv

y

y

0,63

α

O

1

0,63

x

α

O

1

P

x

P

xP = 0,63

¿guur 7.12

¿guur 7.11

xP = 0,63

Ook in ¿guur 7.11 is cos(Į) = 0,63. Maar de bijbehorende hoek Į § í51° krijg je niet met de GR. Je moet dit zelf bedenken. Je gebruikt daarbij symmetrie. Bij xP = 0,63 in ¿guur 7.12 hoort Į § 360° í 51° = 309°.

Voorbeeld

y

In ¿guur 7.13 is yP = 0,31. Bereken Į in graden. Rond af op één decimaal. P

Uitwerking yP = 0,31 dus sin(Į) = 0,31. De GR geeft siní1(0,31) § 18,1°.

α O

1

x

7

y

0,31 18,1°

¿guur 7.13 18,1°

O

1

yP = 0,31

x

Dus Į § 180° í 18,1° = 161,9°.

6

Bereken Į in graden. Rond af op één decimaal. y

y

y

y

P P

O

a

xP = 0,81

α

α

α 1

x

O

b

yP = 0,94

1

x

O

c

α

P xP = 0,26

1

x P

d

O

1

x

yP = –0,22

¿guur 7.14 © Noordhoff Uitgevers bv

Goniometrische functies

99

A 7

O 8

In ¿guur 7.15 is yP = 0,92 en xQ = í0,87. Bereken “POQ in graden. Rond af op één decimaal.

y P

a Licht toe dat de omtrek van de eenheidscirkel gelijk is aan 2ʌ. Het punt P begint in A(1, 0) en doorloopt de eenheidscirkel. De draaiingshoek Į is positief. De lengte van de cirkelboog hangt af van Į. b Licht toe dat bij Į = 90° de lengte van de door P doorlopen cirkelboog gelijk is aan 12 ʌ. c Bereken de lengte van de doorlopen cirkelboog bij Į = 180°. d Bereken Į in het geval dat de lengte van de doorlopen cirkelboog gelijk is aan 112 ʌ.

O Q

yP = 0,92 xQ = –0,87

¿guur 7.15

Theorie C De hoekeenheid radiaal

7

y

Voor de punten P en Q op een cirkel met middelpunt M heet hoek PMQ een middelpuntshoek. We de¿niëren met behulp van de eenheidscirkel de hoekmaat radiaal. Voor de punten P en Q op de eenheidscirkel is de middelpuntshoek POQ in radialen gelijk aan de lengte van de bijbehorende cirkelboog PQ. Dus hoek = booglengte. De hoekmaat radiaal wordt afgekort tot rad. De radiaal is dus zo gede¿nieerd, dat bij een booglengte van 1 op de eenheidscirkel een middelpuntshoek van 1 radiaal hoort. Bij een booglengte van 2 hoort een middelpuntshoek van 2 rad. En bij een booglengte van ʌ hoort een middelpuntshoek van ʌ rad.

1 Q P O

1

x

¿guur 7.16

Een hoek van 1 radiaal is de middelpuntshoek in de eenheidscirkel die hoort bij een cirkelboog met lengte 1.

y 1 1

1 1 rad 1

O

De hele eenheidscirkel heeft booglengte 2ʌ Â 1 = 2ʌ. Bij deze booglengte hoort dus een middelpuntshoek van 2ʌ rad. Hieruit volgt direct 2ʌ rad = 360°, dus ʌ rad = 180°.

x

1

1

x

› rad = 180º y

1 π π O

100 Hoofdstuk 7

1

x

© Noordhoff Uitgevers bv

Voor het omzetten van graden in radialen en omgekeerd kun je gebruik maken van de volgende verhoudingstabel. radialen

ʌ

1

ʌ 180

graden

180°

180° ʌ

1°

1

1 60° 1

1

1 1 rad 1

1 rad is bijna 60º.

ʌ rad = 180° Voorbeeld a Druk 23 ʌ rad uit in graden. b Druk 14 rad uit in graden. Rond af op één decimaal. c Druk 75° uit in radialen. Geef een exact antwoord. d Druk 107° uit in radialen. Rond af op twee decimalen. Uitwerking a

2 3ʌ

rad = 23 Â 180° = 120°

180° ʌ § 14,3° ʌ 5 c 75° = 75 Â ʌ rad rad = 12 180 ʌ d 107° = 107 Â rad § 1,87 rad 180

b

1 4

rad = 14 Â

7

Let goed op het verschil tussen 13 rad en 13 ʌ rad. 1 1 180° 1 1 3 rad = 3 Â ʌ § 19,1° en 3 ʌ rad = 3 Â 180° = 60°.

Informatief De hoekeenheid radiaal Sinds het oude Babylonische rijk (ca. 2000 v.Chr) worden hoeken uitgedrukt in graden. Maar in plaats van een volle hoek in 360° te verdelen, had er ook voor een andere hoekeenheid gekozen kunnen worden. Pas in de 18e eeuw werd duidelijk dat er voor het differentiëren van goniometrische functies een andere hoekeenheid nodig is. Deze hoekeenheid wordt met behulp van de straal van een cirkel en een cirkelboog op een natuurlijke manier gedefinieerd. Je stelt daarbij een middelpuntshoek gelijk aan de boog waarop hij staat. De boog is gelijk aan een aantal keren de straal, zo is dus ook de hoek gelijk aan een aantal keren de straal. Een andere benaming voor straal is radius, waaruit de naam radiaal is afgeleid.

© Noordhoff Uitgevers bv

Goniometrische functies 101

9

Druk uit in graden. Rond zo nodig af op één decimaal. a 16 ʌ rad c 2ʌ rad e 114 ʌ rad

g í213 ʌ rad

b 14 ʌ rad

h í213 rad

f 114 rad

d 2 rad

10 Druk uit in radialen. Geef een exact antwoord.

a 360° b 30°

c 45° d 60°

e 90° f 135°

g 300° h 210°

11 Druk uit in radialen. Rond af op twee decimalen.

a 10°

b 57,3°

c 1030°

d 90°

Afspraak In het vervolg laten we bij een hoek in radialen de eenheid rad meestal weg. Dus Į = 12 ʌ betekent Į = 12 ʌ rad. 12 Bereken in twee decimalen nauwkeurig.

7

a cos ( 58 ʌ)

d sin ( 45)

b cos ( 58 )

e cos(7,6ʌ)

c sin ( 45 ʌ)

f cos(7,6)

13 Bereken Į met 0 < Į < 12 ʌ in radialen in twee decimalen

nauwkeurig. a sin(Į) = 0,92

3 d cos(Į) = 17

b cos(Į) = 0,85

e sin(Į) = 13 冑5

5 c sin(Į) = 12

f cos(Į) = 14 冑2

14 Zie ¿guur 7.17.

Bereken Į in radialen in twee decimalen nauwkeurig. y

y

α

α

P O

1

x

O

1

x

P a

yP = 0,35

b

xP = –0,35

¿guur 7.17

102 Hoofdstuk 7

© Noordhoff Uitgevers bv

6 In ¿guur 7.18 is xP = í0,32 en yQ = í0,88. A 15

y

Bereken “POQ in radialen in twee decimalen nauwkeurig.

P

O

6 Bereken de exacte waarde. O 16

1

x

a cos (16 ʌ) b sin (14 ʌ)

Q

¿guur 7.18

Theorie D De exacte-waarden-cirkel Je kent de tabel hiernaast uit de voorkennis. Deze tabel breiden we uit met hoeken van 0° en 90°. Verder gebruiken we radialen in plaats van graden. Zo krijg je de tabel hieronder. Leer deze tabel uit het hoofd. hoek

0

sinus

0

cosinus

1

tangens

0

1 6ʌ

1 4ʌ

1 3ʌ

1 2

30° 45°

60°

冑2 12 冑3 cosinus 12 冑3 12 冑2 12 tangens 13 冑3 1 冑3 1 2

sinus

1 2ʌ

冑2 12 冑3 1 1 1 2 冑3 2 冑2 2 1 1 冑3 3 冑3 1 2

hoek

1 2

1 y

0

1 2π

í

In de kwart eenheidscirkel hiernaast zijn de sinus en cosinus van de hoeken uit de tabel verwerkt. Door te spiegelen in de y-as en de x-as krijg je de eenheidscirkel met exacte waarden, kortweg de exactewaarden-cirkel.

1 2

3

1 2

2

1 3π 1 4π

O

¿guur 7.19

7

1 6π

1 2

1 2

1 2

2

1 2

0 x 3

y 1 2π 2 3π 3 4π 5 6π

1 2

3

1 2

2

1 3π 1 4π 1 6π

1 2

π – 12 3 – 12 2 – 12

O

1 2

1 2

2

1 2

– 12

1

16π

– 12

1

14π 1 13π

0 x 3

5

16π 2

– 12 3

3

14π 2

13π

1 12π

¿guur 7.20 © Noordhoff Uitgevers bv

Goniometrische functies 103

Uit de exacte-waarden-cirkel lees je af cos (56 ʌ) = í 12 冑3 en sin (í 34 ʌ) = sin (114 ʌ) = í 12 冑2.

y 1 2π 2 3π 3 4π

Uit de de¿nities sin(Į) = yP, cos(Į) = xP en yP sin(Į) . tan(Į) = x volgt tan(Į) = cos(Į) P Zo is bijvoorbeeld tan ( 16 ʌ) =

sin ( 16 ʌ)

cos (

en tan ( 116 ʌ) =

)

1 6ʌ í 12 í 12

=

冑3

1 2

1 2

=

冑3

=

5 6π

1 1 = 冑3 冑3 3

1 2

3

1 2

2

1 3π 1 4π 1 6π

1 2

π – 12 3 – 12 2 – 12

1 1 = 冑3. 冑3 3

O

1 2

1 2

2

1 2

– 12

1

16π

– 12

1

14π 1 13π

0 x 3

5

16π 2

– 12 3

3

14π 2 13π

1

12π

¿guur 7.21

17 Geef de exacte waarde. Maak zo nodig een berekening.

7

a sin ( 34 ʌ)

e cos (123 ʌ)

b cos (116 ʌ)

f tan (156 ʌ)

c tan ( 23 ʌ)

g cos (113 ʌ)

d sin (113 ʌ)

h sin (í 14 ʌ)

18 Geef de exacte waarden van Į met 0 ” Į ” 2ʌ.

a sin(Į) = 12 冑3

d cos(Į) = 0

b cos(Į) = í 12

e cos(Į) = 12 冑3

c sin(Į) = í 12 冑2

f cos(Į) = 12 冑2

4 Geef de exacte waarde van x. A 19

a x = sin ( 56 ʌ)

c x = cos (134 ʌ)

b sin(x) = í 12冑3 met 0 ” x ” 112ʌ

d cos(x) = 12 met 112ʌ ” x ” 2ʌ

104 Hoofdstuk 7

© Noordhoff Uitgevers bv

Terugblik y P(xP, yP)

Eenheidscirkel en draaiingshoek

De eenheidscirkel is de cirkel met middelpunt O(0, 0) en straal 1. In de ¿guur hiernaast is het eerste been van Į de positieve x-as, het tweede been snijdt de eenheidscirkel in het punt P. We noemen Į de draaiingshoek van P. Hiernaast is Į positief, want het punt P draait tegen de wijzers van de klok in.

1

α

O

A (1, 0)

Q

x

y

Sinus, cosinus en tangens

Met behulp van de eenheidscirkel de¿niëren we ook voor nietscherpe hoeken Į wat sin(Į), cos(Į) en tan(Į) is. Zie hiernaast. yP sin(Į) = yP, cos(Į) = xP en tan(Į) = x P

P(xP, yP )

1

sin(α )

α cos(α ) O

−1

x

1

−1

Radialen

y

De radiaal is een hoekmaat. De middelpuntshoek in de eenheidscirkel die hoort bij een cirkelboog met lengte 1 is een hoek van 1 radiaal. Maak bij het omzetten van graden in radialen en omgekeerd gebruik van ʌ rad = 180°. ʌ = í 56 ʌ rad 113 ʌ rad = 113 Â 180° = 240° en í150° = í150 Â 180 De hoekeenheid radiaal mag weggelaten worden, maar de hoekeenheid graad niet. Dus sin(2,5) § 0,60 en sin(2,5°) § 0,04.

1 1

7

1 1 rad 1 O

1

x

y 1 2π

Exacte-waarden-cirkel

Bij hoeken die een veelvoud zijn van

1 6ʌ

2 3π

of

van 14 ʌ moet je de exacte waarde weten van de sinus, de cosinus en de tangens. Je gebruikt hierbij de exacte-waarden-cirkel. Je leest bijvoorbeeld af cos (114ʌ) = í 12 冑2,

3 4π 5 6π

1 2

3

1 2

2

1 3π 1 4π 1 6π

1 2

π – 12 3 – 12 2 – 12

O

1 2

1 2

2

1 2

0 x 3

sin ( í 23 ʌ) = sin (113ʌ) = í 12 冑3 en tan (

)=

123 ʌ

í 12 冑3 1 2

= í冑3.

– 12

1

16π

5

16π

– 12 2

1

14π 1 13π

– 12 3

3

14π 2 13π

1

12π

© Noordhoff Uitgevers bv

Goniometrische functies 105

7.2 Goniometrische vergelijkingen 4 De eenheidscirkel snijdt de x-as in de punten (1, 0) en (í1, 0). O 20

y

Bij deze punten horen de draaiingshoeken 0, ʌ, 2ʌ, 3ʌ, ... en ook íʌ, í2ʌ, í3ʌ, ... Welke draaiingshoeken horen bij de snijpunten van de eenheidscirkel met de y-as?

1

O

x 1

¿guur 7.21

Theorie A sin(A) = C en cos(A) = C met C = −1, 0, 1

7

In opgave 20 heb je gezien dat bij de snijpunten van de eenheidscirkel met de x-as de draaiingshoeken ..., í3ʌ, í2ʌ, íʌ, 0, ʌ, 2ʌ, 3ʌ, .... horen. Dit noteren we kort als k  ʌ, waarin k een geheel getal is. k is in dit hoofdstuk een De getallen k  ʌ zijn oplossingen van de vergelijking geheel getal. sin(x) = 0. Hiermee heb je alle oplossingen van de vergelijking sin(x) = 0, want de sinus van een hoek is de y-coördinaat van y het bijbehorende punt op de eenheidscirkel en de punten 1 (í1, 0) en (1, 0) zijn alle punten op de eenheidscirkel met y-coördinaat 0. En zo heeft de vergelijking cos(x) = 0 als oplossing x = 12 ʌ + k  ʌ.

O

1

x

Bij de vergelijking sin(x) = 1 hoort het punt op de eenheidscirkel met y-coördinaat 1, dus het punt (0, 1). Dus de vergelijking sin(x) = 1 heeft als oplossing x = 12 ʌ + k  2ʌ. ¿guur 7.22 Bij cos(x) = 0 horen

Bij het punt (0, 1) horen de draaiingshoeken 12 ʌ, 212 ʌ, 412 ʌ, ...

punten op de eenheidscirkel met x-coördinaat 0.

en ook í112 ʌ, í312 ʌ, í512 ʌ, ... De vergelijkingen sin(A) = C en cos(A) = C met C = í1, 0, 1 los je op met behulp van de eenheidscirkel.

sin(A) = 0 geeft A = k  ʌ sin(A) = 1 geeft A = 12 ʌ + k  2ʌ sin(A) = -1 geeft A = 112 ʌ + k  2ʌ

cos(A) = 0 geeft A = 12 ʌ + k  ʌ cos(A) = 1 geeft A = k  2ʌ cos(A) = -1 geeft A = ʌ + k  2ʌ

Voor A kun je elke uitdrukking invullen. Bij de vergelijking sin (4x í 13 ʌ) = 0 is A = 4x í 13 ʌ. 1 Je krijgt 4x í 13 ʌ = k  ʌ, dus 4x = 13 ʌ + k  ʌ ofwel x = 12 ʌ + k  14 ʌ. 106 Hoofdstuk 7

© Noordhoff Uitgevers bv

Voorbeeld Bereken exact de oplossingen. a sin (2x í 13 ʌ) = 1 b cos2(x) í cos(x) = 0 c sin2(2x) = 1

cos2(x) betekent (cos(x))2

Uitwerking a sin (2x í 13 ʌ) = 1 2x í 13 ʌ = 12 ʌ + k  2ʌ

b

2x = 56 ʌ + k  2ʌ

Deel alle termen door 2,

5 x = 12 ʌ + kÂʌ

dus k  2ʌ wordt k  ʌ.

cos2(x)

Breng cos(x) buiten haakjes. Gebruik A  B = 0 geeft A = 0  B = 0.

í cos(x) = 0 cos(x)(cos(x) í 1) = 0 cos(x) = 0  cos(x) = 1 x = 12 ʌ + k  ʌ  x = k  2ʌ

c sin2(2x) = 1 Gebruik A2 = 1 geeft A = 1  A = í1. sin(2x) = 1  sin(2x) = í1 2x = 12 ʌ + k  2ʌ  2x = 112 ʌ + k  2ʌ x = 14 ʌ + k  ʌ  x = 34 ʌ + k  ʌ In voorbeeld c krijg je als oplossing de twee rijtjes x = 14 ʌ + k  ʌ en

7

x = 34ʌ + k  ʌ. Uitschrijven van het rijtje oplossingen x = 14 ʌ + k  ʌ geeft ..., í134 ʌ, í 34 ʌ, 14 ʌ, 114 ʌ, 214 ʌ, ... Uitschrijven van het rijtje oplossingen x = 34ʌ + k  ʌ geeft ..., í114 ʌ, í 14 ʌ, 34 ʌ, 134 ʌ, 234 ʌ, ... Neem je deze rijtjes samen, dan krijg je ..., í134 ʌ, í114 ʌ, í 34 ʌ, í 14 ʌ, 14 ʌ, 34 ʌ, 114 ʌ, 134 ʌ, 214 ʌ, 234 ʌ, ... en dit is te schrijven als x = 14 ʌ + k  12 ʌ. Soms kun je in opgaven rijtjes oplossingen combineren, maar dat is niet verplicht. 21 Bereken exact de oplossingen.

a sin ( 3x í 12 ʌ) = 0

c sin2(x) í sin(x) = 0

b cos ( 12 x í 16 ʌ) = 0

d cos2(2x) + cos(2x) = 0

22 Bereken exact de oplossingen.

a cos2 ( x í 15 ʌ) = 1

c sin3(x) í sin(x) = 0

b sin2 ( 2x í 14 ʌ) = 1

d cos3(2x) í cos(2x) = 0

© Noordhoff Uitgevers bv

Goniometrische functies 107

23 Er geldt tan(A) = 0 geeft A = k  ʌ.

a Licht dit toe. b Bereken exact de oplossingen van tan ( 2x í 16 ʌ) = 0.

A 24 Bereken exact de oplossingen.

a sin (4x í 13 ʌ) = 1 b cos(4ʌx) = í1

c sin2 ( 14 ʌx) = 1 d sin(2x) cos(2x) + sin(2x) = 0

O 25 Gegeven is de vergelijking sin(x) = 12 .

a Licht toe dat x = 16 ʌ een oplossing is. b Waarom is x = 216 ʌ een oplossing? En x = 416 ʌ? c Licht toe dat x = 56 ʌ een oplossing is. d Waarom is x = 256 ʌ een oplossing? En x = í116 ʌ?

Theorie B sin(A) = C en cos(A) = C met C = í 12 冑3, í 12 冑2, í 12 , 12 , 12 冑2, 12 冑3 In opgave 25 heb je gezien dat bij de vergelijking sin(x) = 12 twee rijtjes oplossingen horen. Omdat sin ( 16 ʌ) = 12 is het ene rijtje x = 16 ʌ + k  2ʌ. Omdat ook sin ( 56 ʌ) = 12 is het andere rijtje x = 56 ʌ + k  2ʌ. De oplossingen 16 ʌ en 56 ʌ zijn gevonden met de exacte-waarden-cirkel. Merk op dat 56 ʌ = ʌ í 16 ʌ. 7

y

y 1

1 5 6π

1 2

5 6π

1 6π

–1

O

5 6π

1 6π

1

x

– 12 3

O

– 56 π

1

x

– 56 π –1

¿guur 7.23

¿guur 7.24

Bij het vinden van de rijtjes oplossingen van de vergelijking cos(x) = í 12 冑3 gebruik je ¿guur 7.24. Je krijgt cos(x) = í 12 冑3 geeft x = 56 ʌ + k  2ʌ  x = í 56 ʌ + k  2ʌ. De vergelijkingen sin(A) = C en cos(A) = C met C = í 12 冑3, í 12 冑2, í 12 , 12 , 12 冑2, 12 冑3 los je op door uit de exacte-waarden-cirkel één oplossing B af te lezen. Daarna gebruik je

sin(A) = C geeft A = B + k  2ʌ  A = ʌ í B + k  2ʌ cos(A) = C geeft A = B + k  2ʌ  A = íB + k  2ʌ

Neem je bij het rijtje x = 56 ʌ + k  2ʌ voor k de waarde í1, dan krijg je de oplossing x = 56 ʌ í 1  2ʌ = 56 ʌ í 2ʌ = í116 ʌ. Voor k = 3 krijg je de oplossing x = 56 ʌ + 3  2ʌ = 56 ʌ + 6ʌ = 656 ʌ. 108 Hoofdstuk 7

© Noordhoff Uitgevers bv

Zoek je de oplossingen van de vergelijking cos(2x) = 12 met x op [0, 2ʌ] dan schrijf je eerst de twee rijtjes oplossingen op. 2x = 13 ʌ + k  2ʌ  2x = í 13 ʌ + k  2ʌ

y 1

x = 16 ʌ + k  ʌ  x = í 16 ʌ + k  ʌ Het eerste rijtje oplossingen levert ... x = 16 ʌ + í1  ʌ = í 56 ʌ niet op [0, 2ʌ] x = 16 ʌ + 0  ʌ = 16 ʌ x=

1 6ʌ

+ 1Âʌ =

1 6ʌ

1 3π

O

wel op [0, 2ʌ]

116 ʌ

1 3π

– 13 π 12

x

1

– 13 π

wel op [0, 2ʌ]

¿guur 7.25

216 ʌ

x = + 2Âʌ = niet op [0, 2ʌ] ... Het tweede rijtje oplossingen levert ... x = í 16 ʌ + 0 Â ʌ = í 16 ʌ niet op [0, 2ʌ] x = í 16 ʌ + 1 Â ʌ = 56 ʌ x=

í 16 ʌ

+ 2Âʌ =

wel op [0, 2ʌ]

156 ʌ

wel op [0, 2ʌ]

x = í 16 ʌ + 3 Â ʌ = 256 ʌ niet op [0, 2ʌ] ... De oplossingen van de vergelijking cos(2x) = 12 met x op [0, 2ʌ] zijn dus x = 16 ʌ, x = 116 ʌ, x = 56 ʌ en x = 156 ʌ. 7

Voorbeeld a Bereken exact de oplossingen van 2 sin(3x) = 冑3. b Bereken exact de oplossingen op [0, 2ʌ] van 2 cos (2x í 13 ʌ) = í冑2.

y 1

2 3π 1 2

Uitwerking a 2 sin(3x) = 冑3

1 3π

3

O

1

x

sin(3x) = 12 冑3 3x = 13 ʌ + k  2ʌ  3x = 23 ʌ + k  2ʌ x = 19 ʌ + k  23 ʌ  x = 29 ʌ + k  23 ʌ

y

b 2 cos (2x í 13 ʌ) = í冑2 cos (2x í 2x í

1 3ʌ

1 3ʌ

=

1

) = 冑2

3 4ʌ

í 12

3 4π

+ k  2ʌ  2x í 13 ʌ = í 34 ʌ + k  2ʌ

5 2x = 13 12 ʌ + k  2ʌ  2x = í 12 ʌ + k  2ʌ

– 12 2 O

5 x = 13 24 ʌ + k  ʌ  x = í 24 ʌ + k  ʌ

x op [0, 2ʌ] geeft x =

© Noordhoff Uitgevers bv

13 24 ʌ

 x=

113 24 ʌ

 x=

19 24 ʌ

 x=

119 24 ʌ

1

x

– 34 π

Goniometrische functies 109

26 Bereken exact de oplossingen.

a 2 sin ( 12 x) = 1

c 2 sin ( 2x í 14 ʌ) = í冑3

b 2 cos ( x í 13 ʌ) = 1

d 2 cos(3x í ʌ) = í1

27 Bereken exact de oplossingen op [0, 2ʌ].

a 2 sin ( 2x í 16 ʌ) = 冑2

c sin ( 23 x) = í 12 冑2

b 2 cos ( 3x í 12 ʌ) = 冑3

d cos ( 12 x) = í 12 冑3

4 Gegeven is de vergelijking 2 sin2(x) = 1. R 28

a Licht toe dat uit 2 sin2(x) = 1 volgt sin(x) = 12 冑2  sin(x) = í 12 冑2. b Licht toe dat uit sin(x) = 12 冑2  sin(x) = í 12 冑2 volgt x = 14 ʌ + k  2ʌ  x = 34 ʌ + k  2ʌ  x = í 14 ʌ + k  2ʌ  x = 114 ʌ + k  2ʌ. c Licht toe dat de vier rijtjes van b te noteren zijn als x = 14 ʌ + k  12 ʌ. d Licht toe dat de oplossing x = 14 ʌ + k  12 ʌ ook direct uit de exacte-waarden-cirkel is af te lezen.

4 Bereken exact de oplossingen. A 29

a 2 cos2 ( 12 x) = 1

d 4 sin3(x) í sin(x) = 0

b 4 sin2 ( x í 16 ʌ) = 1

e 2 cos2(x) = cos(x) + 1

c 4 cos2 ( x + 14 ʌ) = 3

f cos2(x) í cos(x) + 14 = 0

4 Bereken algebraïsch de oplossingen op [0, 10]. A 30 7

a sin ( 12 ʌx) = 12 冑3

c 4 sin2 ( 15 ʌx) = 1

b cos ( 13 ʌx) = í 12 冑3

d 2 cos2(0,1ʌx) + cos(0,1ʌx) = 1

31 a Gegeven is de vergelijking sin(x) = 0,7.

Zie het GR-scherm hiernaast en licht toe dat uit sin(x) = 0,7 volgt x § 0,775 + k  2ʌ  x § 2,366 + k  2ʌ. b Los algebraïsch op cos(x) = 0,8. Rond in het antwoord af op drie decimalen. 32 Los algebraïsch op. Rond in het antwoord af op drie

decimalen. a sin(x) = í0,85 b cos ( 12 x) = 0,25

c sin(x + 2) = 0,9 d cos(2x + 1) = í0,4

4 Bereken algebraïsch de oplossingen op [0, 2ʌ]. Rond de A 33

oplossingen af op drie decimalen. a 2 sin(1,75x) = 1,4 4 Bereken exact de oplossingen. O 34

a sin(3x) = sin (16 ʌ)

110 Hoofdstuk 7

b cos2(0,95x) = 0,86 b cos(3x) = cos ( 16 ʌ)

© Noordhoff Uitgevers bv

Theorie C sin(A) = sin(B) en cos(A) = cos(B) Zoals uit sin(3x) = sin ( 16 ʌ) volgt 3x = 16 ʌ + k  2ʌ  3x = ʌ í 16 ʌ + k  2ʌ, volgt uit sin(3x) = sin(x) dat 3x = x + k  2ʌ  3x = ʌ í x + k  2ʌ. Zoals uit cos(3x) = cos ( 16 ʌ) volgt 3x = 16 ʌ + k  2ʌ  3x = í 16 ʌ + k  2ʌ, volgt uit cos(3x) = cos(x) dat 3x = x + k  2ʌ  3x = íx + k  2ʌ. sin(A) = sin(B) geeft A = B + k  2ʌ  A = ʌ í B + k  2ʌ cos(A) = cos(B) geeft A = B + k  2ʌ  A = íB + k  2ʌ

Voorbeeld a Los algebraïsch op sin(x + 1) = sin(2x í 3). b Bereken exact de oplossingen op [0, 2ʌ] van cos(3x) = cos (x í 14 ʌ) . Uitwerking a sin(x + 1) = sin(2x í 3) x + 1 = 2x í 3 + k  2ʌ  x + 1 = ʌ í (2x í 3) + k  2ʌ íx = í4 + k  2ʌ  x + 1 = ʌ í 2x + 3 + k  2ʌ x = 4 í k  2ʌ  3x = ʌ + 2 + k  2ʌ x = 4 + k  2ʌ  x = 13 ʌ + 23 + k  23 ʌ b cos(3x) = cos (x í 14 ʌ)

Omdat k een geheel getal is, mag je x = 4 í k  2ʌ ook schrijven als x = 4 + k  2ʌ.

3x = x í 14 ʌ + k  2ʌ  3x = í (x í 14 ʌ) + k  2ʌ 2x = í 14 ʌ + k  2ʌ  3x = íx + 14 ʌ + k  2ʌ x = í 18 ʌ + k  ʌ  4x = 14 ʌ + k  2ʌ 1 x = í 18 ʌ + k  ʌ  x = 16 ʌ + k  12 ʌ 1 9 1 9 ʌ  x = 16 ʌ  x = 116 ʌ  x = 116 ʌ x op [0, 2ʌ] geeft x = 78 ʌ  x = 178 ʌ  x = 16

35 Los algebraïsch op.

a sin(x + 1) = sin(2x + 3)

d cos (x í 13 ʌ) = cos(2x)

b cos(2x í 1) = cos(x + 1)

e sin(2ʌx) = sin(ʌ(x í 1))

c sin (2x í 12 ʌ) = sin ( x + 13 ʌ)

f cos ( 12 ʌx) = cos(ʌ(x í 2))

A 36 Bereken exact de oplossingen op [0, 2ʌ].

a sin (2x í 13 ʌ) = sin ( x + 14 ʌ)

© Noordhoff Uitgevers bv

b cos (3x + 12 ʌ) = cos (2x í 14 ʌ)

Goniometrische functies 111

7

Terugblik De vergelijkingen sin(A) = C en cos(A) = C met C = −1, 0, 1

Vergelijkingen van de vorm sin(A) = C en cos(A) = C met C = í1, 0, 1 los je op met de eenheidscirkel. Bij sin(x) = í1 hoort het punt met y-coördinaat í1 op de eenheidscirkel, dus het punt (0, í1) en hierbij hoort een draaiingshoek van 112 ʌ. Zo krijg je sin(x) = í1 geeft x = 112 ʌ + k  2ʌ. Hierin is k een geheel getal. Uit cos(A) = 0 volgt A = 12 ʌ + k  ʌ. Dit gebruik je bij het oplossen van cos (2x + 13 ʌ) = 0. 1 ʌ + k  12 ʌ. Je krijgt 2x + 13 ʌ = 12 ʌ + k  ʌ, dus x = 12

y 1

O

1

x

–1

De vergelijkingen sin(A) = C en cos(A) = C met C = −12 冑3, −12 冑2, − 12 , 12 , 12 冑2, 12 冑3

Vergelijkingen van de vorm sin(A) = C en cos(A) = C met C = í 12 冑3, í 12 冑2, í 12 , 12 , 12 冑2, 12 冑3 los je op met de exacte-waarden-cirkel. Bij sin(x) = 12 冑3 horen de draaiingshoeken 13 ʌ en ʌ í 13 ʌ = 23 ʌ. Er zijn twee rijtjes oplossingen: x = 13 ʌ + k  2ʌ  x = 23 ʌ + k  2ʌ.

7

y 1

2 3π 1 2

1 3π

3

O

1

x

Een vergelijking als cos(3x) = 34 is niet exact op te lossen. Zie het GR-scherm hiernaast. Je krijgt 3x § 0,722... + k  2ʌ  3x § í0,722... + k  2ʌ x § 0,241 + k  23 ʌ  x § í0,241 + k  23 ʌ.

De vergelijkingen sin(A) = sin(B) en cos(A) = cos(B)

Bij het algebraïsch oplossen van de vergelijkingen sin(A) = sin(B) en cos(A) = cos(B) gebruik je de regels sin(A) = sin(B) geeft A = B + k  2ʌ  A = ʌ í B + k  2ʌ en cos(A) = cos(B) geeft A = B + k  2ʌ  A = íB + k  2ʌ. Zo krijg je bij de vergelijking sin(3x) = sin (x + 14 ʌ) 3x = x + 14 ʌ + k  2ʌ  3x = ʌ í ( x + 14 ʌ) + k  2ʌ 2x = 14 ʌ + k  2ʌ  3x = ʌ í x í 14 ʌ + k  2ʌ x = 18 ʌ + k  ʌ  4x = 34 ʌ + k  2ʌ 3 x = 18 ʌ + k  ʌ  x = 16 ʌ + k  12 ʌ

Zoek je oplossingen van de vergelijking sin(3x) = sin ( x + 14 ʌ) op [0, 2ʌ] dan neem je k-waarden zo, dat 0 ” x ” 2ʌ. 3 3 11 Je krijgt x = 18 ʌ  x = 118 ʌ  x = 16 ʌ  x = 11 16 ʌ  x = 116 ʌ  x = 116 ʌ.

112 Hoofdstuk 7

© Noordhoff Uitgevers bv

7.3 Transformaties en functies 6 Gegeven is de functie f௘(x) = sin(x) met domein [í2ʌ, 2ʌ]. O 37

a Plot de gra¿ek van f. Neem Ymin = í2, Ymax = 2 en zorg voor de instelling op radialen. b Geef de exacte coördinaten van de toppen van de gra¿ek. c Geef de exacte coördinaten van de snijpunten van de gra¿ek met de x-as.

Theorie A De functie f (x) = sin(x) Het sinusbegrip wordt niet alleen bij hoeken, maar ook bij getallen gebruikt. De sinus van het getal 2 is de sinus van een hoek van 2 radialen. k We de¿niëren de functie f (x) = sin(x) als de functie die aan elk getal x de sinus van x radialen toevoegt. Hieronder is de gra¿ek van de goniometrische functie f௘(x) = sin(x) getekend. Op de horizontale as is 3 cm rechts van n de oorsprong het getal ʌ gezet.

hoek sin(x) = sin(x rad) getal

y periode 1 amplitude

periode

evenwichtsstand –π

O amplitude

1 6π

1 3π

1 2π

π

1

2π

12π

3π ƒ(x) = sin(x)

–1

¿guur 7.26 Op de x-as is 1 cm rechts van de oorsprong 13 ʌ gezet. Merk op dat 13 ʌ § 1,047 § 1.

De gra¿ek is periodiek met periode 2ʌ. De evenwichtsstand is 0 en de amplitude is 1. De nulpunten zijn ..., í2ʌ, íʌ, 0, ʌ, 2ʌ, 3ʌ, ... Een nulpunt van een functie f is een x-waarde waarvoor geldt f௘(x) = 0.

Een nulpunt is geen punt maar een getal.

38 Gegeven is de functie g(x) = cos(x) met domein

[í2ʌ, 2ʌ]. a Plot de gra¿ek. Neem Ymin = í2 en Ymax = 2. b Geef de exacte coördinaten van de vijf toppen van de gra¿ek. c Geef exact de nulpunten van g. d Teken de gra¿ek. Gebruik de schaalverdeling van ¿guur 7.26.

© Noordhoff Uitgevers bv

cos(x) = cos(x rad)

Goniometrische functies 113

x

7

6 Gegeven is de functie f࣠(x) = sin(x). O 39

a Hoe ontstaat de gra¿ek van g(x) = 2 + sin(x) uit de gra¿ek van f ? Geef de evenwichtsstand van de gra¿ek van g. b Hoe ontstaat de gra¿ek van h(x) = sin (x í 13ʌ ) uit de gra¿ek van f ? Bereken exact de nulpunten van h. c Hoe ontstaat de gra¿ek van k(x) = 4 sin(x) uit de gra¿ek van f ? Geef de amplitude van de gra¿ek van k. 6 Gegeven is de functie f௘(x) = sin(2x). O 40

a Plot de gra¿ek. Neem Xmin = í2ʌ, Xmax = 2ʌ, Ymin = í2 en Ymax = 2. b Geef de periode van de gra¿ek van g(x) = sin ( 13 x) .

Theorie B Sinusoïden De functies f௘(x) = sin(x) en g(x) = cos(x) zijn standaardfuncties. De bijbehorende gra¿eken mag je dus zonder toelichting tekenen. Beide gra¿eken hebben evenwichtsstand 0, amplitude 1 en periode 2ʌ. Een punt waar de gra¿ek van f௘(x) = sin(x) stijgend door de evenwichtsstand gaat, noemen we een beginpunt van de gra¿ek. Een hoogste punt van de gra¿ek van g(x) = cos(x) noemen we een beginpunt van de gra¿ek van g. y

y

1

1

y = sin(x)

y = cos(x)

7 O

1 2π

π

1

12π

x 2π

–1

π

1 2π

O

1

12π

x 2π

–1

¿guur 7.27 Van de standaardgra¿eken y = sin(x) en y = cos(x) is één periode getekend.

Uitgaande van deze standaardgra¿eken krijg je door translaties of vermenigvuldigingen andere periodieke gra¿eken. Zulke gra¿eken heten sinusoïden. Naast de bekende transformaties y • translatie in horizontale richting • translatie in verticale richting • vermenigvuldiging ten opzichte van de x-as krijg je ook te maken met de (x, y) (2x, y) • vermenigvuldiging ten opzichte van de y-as. (4, 3)

(8, 3)

x

O

Bij de vermenigvuldiging ten opzichte van de y-as met 2 heeft het punt (4, 3) als beeld het punt (8, 3). Het punt (x, y) heeft als beeld het punt (2x, y). 114 Hoofdstuk 7

¿guur 7.28 Vermenigvuldiging ten opzichte van de y-as met 2.

© Noordhoff Uitgevers bv

Vermenigvuldig je de gra¿ek van y = f௘(x) ten opzichte van de y-as met 2, dan geldt voor de beeldgra¿ek y = g(x) dat g(2x) = f௘(x) ofwel g(x) = f ( 12 x) . grafiek van

verm. y-as, a

y = f௘(x)

y

(x, ...) (2x, ...) 1 ( 2 x,

beeldgrafiek

...)

y = f ( Â x) 1 a

Bij de vermenigvuldiging ten opzichte van de y-as met a vervang je in de formule x door 1 a  x.

(x, ...) x

O

¿guur 7.29 Vermenigvuldiging ten opzichte van de y-as met 2.

Vermenigvuldig je de gra¿ek van y = x2 í 3x ten opzichte van de y-as met 2, dan is de 2 formule van de beeldgra¿ek y = ( 12 x) í 3 Â 12 x. Vermenigvuldig je de gra¿ek van f (x) = sin(x) met 2 ten opzichte van de y-as, dan krijg je de gra¿ek van y = sin ( 12 x) . De periode van y = sin (12 x) is 2 keer de periode van y = sin(x), dus de periode is 2 Â 2ʌ = 4ʌ.

g

ƒ

y y = x2 – 3x

1 O

1

3

x

6 1

y = ( 2 x)2 – 3

·

1 2x

De gra¿ek van de functie g(x) = cos(3x) ¿guur 7.30 ontstaat uit de standaardgra¿ek y = cos(x) bij de vermenigvuldiging met 13 ten opzichte van de y-as. De periode van g is 13 Â 2ʌ = 23 ʌ.

7

Pas je meer transformaties na elkaar toe, let dan goed op de volgorde. Vergelijk y = sin(x)

y = sin(x)

verm. x-as, 3

y = 3 sin(x)

translatie (0, 2)

y = 2 + sin(x)

translatie (0, 2)

y = 2 + 3 sin(x)

verm. x-as, 3

y = 3(2 + sin(x)) ofwel y = 6 + 3 sin(x)

En vergelijk ook y = sin(x) translatie

y = sin(x) ( 13 ʌ, 0)

y = sin (x í 13 ʌ) verm. y-as,

1 2

y = sin (2x í 13 ʌ)

verm. y-as, 12

y = sin(2x) translatie

( 13 ʌ, 0)

y = sin (2 (x í 13 ʌ)) ofwel y = sin (2x í 23 ʌ)

© Noordhoff Uitgevers bv

Goniometrische functies 115

Voorbeeld Gegeven is de functie f (x) = 12 + sin ( 2x í 23 ʌ) . Geef aan hoe de gra¿ek van f uit een standaardgra¿ek ontstaat. Uitwerking y = sin(x) translatie

( 23 ʌ, 0)

y = sin (x í 23 ʌ) verm. y-as,

1 2

y = sin (2x í 23 ʌ) translatie (0,

1 2

)

f(x) = 12 + sin (2x í 23 ʌ) R 41 Zie het schema voor de sinus hieronder. Hierin zijn a, b, c en d

positieve getallen. Maak net zo’n schema voor de cosinus.

7

translatie (0, a)

vermenigvuldiging met b t.o.v. de x-as

vermenigvuldiging met 1c t.o.v. de y-as

translatie (d, 0)

tel a op bij de functiewaarde

vermenigvuldig de functiewaarde met b

vervang x door cx

vervang x door x í d

y

y

y

y

a b 1 O

π

O

1

1

1 x 2π

π

x 2π

π

O

x 2π

2π periode c

O

d

π

x 2π

y = a + sin(x)

y = b sin(x)

y = sin(cx)

y = sin(x í d)

evenwichtsstand is a

amplitude is b

2ʌ periode is c

beginpunt is (d, 0)

42 Geef aan hoe de gra¿eken van de volgende functies uit een

standaardgra¿ek ontstaan. a f (x) = 2 sin(x + 3) b g(x) =

1 3 sin(x)

+

1 5

c h(x) = cos(3x í 12) d j(x) = 112 cos ( 14 x)

43 Geef aan hoe de gra¿eken van de volgende functies uit een

standaardgra¿ek ontstaan. a f (x) = 5 + 1,2 cos ( x í 16 ʌ)

c h(x) = 0,29 cos(3x + 4,2)

b g(x) = 0,4 + sin ( 15 (x + 13 ʌ))

d j(x) = í0,8 + 2 sin (3(x í 12 ʌ))

116 Hoofdstuk 7

© Noordhoff Uitgevers bv

44 De gra¿ek van f ontstaat uit die van y = sin(x) door eerst de

vermenigvuldiging ten opzichte van de y-as met 3 en daarna de translatie (4; í1,5) toe te passen. Stel het functievoorschrift van f op. 4 a De gra¿ek van f ontstaat uit die van y = cos(x) door eerst de A 45

translatie ( 14 ʌ, 4) en dan de vermenigvuldiging ten opzichte van de x-as met 3 toe te passen. Stel het functievoorschrift van f op. b De gra¿ek van g ontstaat uit die van y = cos(x) door de vermenigvuldiging ten opzichte van de x-as met 3 en vervolgens de translatie ( 14 ʌ, 4) toe te passen. Stel het functievoorschrift van g op.

4 Gegeven is de functie f (x) = í 12 + sin ( x í 14 ʌ) met domein A 46

[0, 3U]. a Schets de gra¿ek van f. b Geef de exacte coördinaten van de punten waar de gra¿ek van f de lijn van de evenwichtsstand snijdt. c Geef de exacte coördinaten van de drie toppen van de gra¿ek. d De gra¿ek van f snijdt de x-as achtereenvolgens in de punten A, B en C. Bereken exact de afstand tussen de punten A en B. e Los exact op f௘(x) • í1.

4 Gegeven is de functie f (x) = 0 1 + 2 sin(x) 0 met A 47

7

Df = [0, 2U]. In de ¿guur hiernaast is de gra¿ek van f geplot. Bereken exact de oplossingen van f (x) • 2.

4 Gegeven is de functie f (x) = 0 1 + 3 sin(2x) 0 met Df = [0, 2U]. A 48

a Schets de gra¿ek van f. b De gra¿ek heeft vier punten met een horizontale raaklijn. Bereken de exacte coördinaten van deze punten. c Bereken exact f ( 16 ʌ) , f ( 13 ʌ) , f (23 ʌ) en f ( 56 ʌ) .

© Noordhoff Uitgevers bv

Goniometrische functies 117

4 Zie ¿guur 7.31 met de gra¿eken van y = sin(x), y = ísin(x), O 49

y = cos(x) en y = ícos(x). y 1

y y = sin(x)

O –1

π

1

y y = –sin(x)

x 2π O –1

π

1

y

x 2π O –1

y = –cos(x)

1

y = cos(x)

x 2π O –1

π

x 2π

π

¿guur 7.31

Van elk van de onderstaande functies is de gra¿ek gelijk aan een van de bovenstaande gra¿eken. Zoek bij iedere functie welke gra¿ek erbij hoort. f (x) = sin(íx) h(x) = sin (x + 12 ʌ) k(x) = sin(x + ʌ) g(x) = cos(íx)

j(x) = cos (x + 12 ʌ)

l(x) = cos(x + ʌ)

Theorie C Goniometrische formules aantonen

7

Het punt P ligt op de eenheidscirkel en de draaiingshoek van P is Į. Zie ¿guur 7.32. Je weet xP = cos(Į) en yP = sin(Į). Punt Q is het spiegelbeeld van P in de x-as, dus de draaiingshoek van Q is íĮ en ook geldt xQ = xP en yQ = íyP. Dus sin(íĮ) = yQ = íyP = ísin(Į) en cos(íĮ) = xQ = xP = cos(Į).

y 1

P

–1

α –α

O

1

x

Q

–1

¿guur 7.32

Het punt P ligt op de eenheidscirkel en de draaiingshoek van P is Į. Zie ¿guur 7.33. Punt R is het beeld van P bij draaiing om O over 12 ʌ rad, dus de draaiingshoek van R is Į + 12 ʌ en ook geldt xR = íyP en yR = xP. Dus sin (Į + 12 ʌ) = yR = xP = cos(Į) en

y R

1

α + 21 π α –1

O

P

1

x

cos (Į + 12 ʌ) = xR = íyP = ísin(Į). Door de formule sin (Į + 12 ʌ) = cos(Į) te schrijven als cos(Į) = sin (Į + 12 ʌ) is deze te gebruiken om een cosinus om te zetten in een sinus. Voor het omzetten van een sinus in een cosinus gebruik je de formule sin(Į) = cos (Į í 12 ʌ) . Deze formule toon je aan in opgave 50. Verder toon je in deze opgave aan dat sin(Į + ʌ) = ísin(Į), cos(Į + ʌ) = ícos(Į) en sin2(Į) + cos2(Į) = 1. 118 Hoofdstuk 7

–1

¿guur 7.33

© Noordhoff Uitgevers bv

Uit de de¿nities van sin(Į), cos(Į) en tan(Į) volgt direct sin(Į) . tan(Į) = cos(Į) Hieronder staan deze formules genoteerd met A in plaats van Į. Hiermee geven we aan dat je voor A elke uitdrukking kunt invullen. Neem je in de formule cos(A) = sin ( A + 12 ʌ) voor A de uitdrukking 2x í 14 ʌ, dan krijg je cos (2x í 14 ʌ) = sin (2x í 14 ʌ + 12 ʌ) = sin (2x + 14 ʌ) . sin(íA) = ísin(A) ísin(A) = sin(A + ʌ) sin(A) = cos ( A í 12 ʌ) sin2(A) + cos2(A) = 1

cos(íA) = cos(A) ícos(A) = cos(A + ʌ) cos(A) = sin ( A + 12 ʌ) sin(A) tan(A) = cos(A)

Leer deze formules uit je hoofd!

Voorbeeld Herleid ícos ( 2x í 13 ʌ ) tot de vorm sin(ax + b). Uitwerking ícos (2x í 13 ʌ) = cos (2x í 13 ʌ + ʌ) = cos (2x + 23 ʌ) = sin (2x + 23 ʌ + 12 ʌ) = sin (2x + 116 ʌ) ícos(A) = cos(A + ʌ)

cos(A) = sin ( A + 12 ʌ) 7

50 Toon aan met behulp van de eenheidscirkel.

a cos (Į í 12 ʌ) = sin(Į) b sin(Į + ʌ) = ísin(Į)

c cos(Į + ʌ) = ícos(Į) d sin2(Į) + cos2(Į) = 1

51 a Herleid sin ( x + 16 ʌ) tot de vorm cos(ax + b).

b Herleid cos (2x + 13 ʌ) tot de vorm sin(ax + b). c Herleid ísin (3x í 23 ʌ) tot de vorm cos(ax + b). d Herleid ícos (4x + 116 ʌ) tot de vorm sin(ax + b). 52 Herleid.

a (sin(x) í cos(x))2

b

2sin2(x) + cos2(x) cos2(x)

4 a Druk sin2(x) + 4 cos(x) uit in cos(x). A 53

b Druk 2 cos2(x) + sin(x) í 2 uit in sin(x). c Druk 2 sin2(x) + cos2(x) + cos(x) uit in cos(x).

© Noordhoff Uitgevers bv

Goniometrische functies 119

Terugblik De grafieken van f (x) = sin(x) en g(x) = cos(x)

De gra¿eken van f௘(x) = sin(x) en g(x) = cos(x) zijn periodiek met periode 2ʌ. Van beide is de evenwichtsstand 0 en de amplitude 1. Een beginpunt van de gra¿ek van f is (0, 0) en van de gra¿ek van g is dat (0, 1). y 1

g(x ) = cos(x)

ƒ(x) = sin(x) periode

evenwichtsstand –π

O

1 6π

1 3π

amplitude

1 2π

π amplitude

121 π

2π

3π

–1 periode

Een nulpunt van een functie f is een x-waarde waarvoor geldt f௘(x) = 0. Zo heeft g(x) = cos(x) met domein [0, 2U] de nulpunten x = 12 ʌ en x = 112 ʌ. Vermenigvuldigen ten opzichte van de y-as

7

Bij de vermenigvuldiging van de gra¿ek van de functie f met a ten opzichte van de y-as worden alle x-coördinaten met a vermenigvuldigd, terwijl de y-coördinaten gelijk blijven. In 1 de formule van f vervang je x door a  x. Vermenigvuldig je de gra¿ek van f (x) = sin(x) met 5 ten opzichte van de y-as, dan krijg je de gra¿ek van y = sin ( 15 x) . De periode van de beeldgra¿ek is 5  2ʌ = 10ʌ. Transformaties

y = sin(x)

transformatie

beeldgra¿ek van y = sin(x)

translatie (0, a)

y = a + sin(x)

verm. x-as met b

y = b sin(x)

y=

1 verm. y-as met c

y = sin(cx)

y=

translatie (d, 0)

y = sin(x í d)

y = í2 + 3 sin(4x + 56 ›)

Hiernaast zie je hoe de gra¿ek van f௘(x) = í2 + 3 sin (4x + 56 ʌ) ontstaat uit de standaardgra¿ek y = sin(x). Goniometrische formules

Met de formules hiernaast is ísin (2x + 14 ʌ) te herleiden tot de vorm cos(ax + b). Je krijgt ísin (2x + 14 ʌ) = sin (2x + 114 ʌ) = cos (2x + 34 ʌ) . Ook kun je 2sin2(x) + 3cos(x) uitdrukken in cos(x). Je krijgt 2sin2(x) + 3cos(x) = 2(1 í cos2(x)) + 3cos(x) = 2 í 2cos2(x) + 3cos(x). 120 Hoofdstuk 7

y=

translatie (í56 ›, 0) sin(x + 56 ›) verm. y-as, 14 sin(4x + 56 ›) verm. x-as, 3 3 sin(4x + 56 ›) translatie (0, í2)

sin(íA) = ísin(A) ísin(A) = sin(A + ›) sin(A) = cos(A í 12 ›) sin2(A) + cos2(A) = 1 cos(íA) = cos(A) ícos(A) = cos(A + ›) cos(A) = sin(A + 12 ›) sin(A) tan(A) = cos(A) © Noordhoff Uitgevers bv

x

7.4 Grafieken van goniometrische functies O 54 Gegeven zijn de functies f (x) = 2 + 3 sin(x) en

g(x) = 2 í 3 sin(x). a Plot de gra¿eken. Neem Xmin = 0 en Xmax = 2ʌ. b De amplitude is een positief getal. Geef van beide gra¿eken de amplitude.

Theorie A Sinusoïden tekenen De amplitude is een positief getal, dus de gra¿ek van y = í3 sin(x) heeft amplitude 3. De amplitude van de gra¿ek van f௘(x) = b sin(x) is voor b > 0 gelijk aan b en voor b < 0 gelijk aan íb. Dus de amplitude van de gra¿ek is gelijk aan 0 b 0 . De sinusoïden y = a + b sin(c(x í d )) en y = a + b cos(c(x í d)) kun je tekenen door gebruik te maken van de vier kenmerken evenwichtsstand, amplitude, periode en beginpunt. In dit hoofdstuk kiezen we steeds c > 0.

7

| |

Let op het verschil tussen b > 0 en b < 0. De sinusoïden y = a + b sin(c(x í d )) en y = a + b cos(c(x í d )) b>0

b 0 dus gra¿ek stijgend door het

1 2

x

ƒ

y 1 2

O –1

π

1

( 3 π, –1)

ƒ

x 2π y = –1

1

–2 2

© Noordhoff Uitgevers bv

55 a Teken de gra¿ek van f (x) = í2 + 3 sin(3x + ʌ) met

Controleer de grafiek met de GR.

domein [0, 2U]. b Teken de gra¿ek van g(x) = 1 í 2 sin ( 2x í 23 ʌ) met domein [0, 2U].

56 a Teken de gra¿ek van f (x) = 1 + 3 cos (2x + 13 ʌ) met domein [íʌ, ʌ].

b Teken de gra¿ek van g(x) = í2 í cos (x í 12 ʌ) met domein [0, 3ʌ]. 57 a Teken de gra¿ek van f (x) = 5 í 3 sin ( 14 ʌx) met domein [0, 10].

b Teken de gra¿ek van g(x) = 3 í 4 cos(ʌx) met domein [0, 6]. 58 Gegeven is de formule A = 40 + 25 sin (ʌ ( t í 112 )) met

De grafiek van een sinusoïde is het steilst in de snijpunten van de grafiek met de lijn van de evenwichtsstand.

domein [0, 6]. a Teken de gra¿ek van A. b Los op A < 30. Rond in het antwoord af op twee decimalen. c Bereken in één decimaal nauwkeurig de maximale helling van de gra¿ek.

De helling bereken je op de GR met dy/dx (TI) of d/dx (Casio).

A 59 Gegeven is de formule N = 112 cos (23 ʌ (t í 12 )) + 312 met

domein [0, 10]. a Teken de gra¿ek van N. b Los op N > 4. Rond in het antwoord af op twee decimalen. c Bereken in twee decimalen nauwkeurig de helling van de gra¿ek in het snijpunt met de verticale as. d Bereken in twee decimalen nauwkeurig de maximale helling van de gra¿ek.

O 60 Gegeven is de sinusoïde in ¿guur 7.34.

a Lees de evenwichtsstand, de amplitude en de periode af. b De formule is van de vorm y = a + b sin(c(x í d)). Geef mogelijke waarden van a, b, c en d.

7

y

4 3 2 1

O

π

x 2π

¿guur 7.34

© Noordhoff Uitgevers bv

Goniometrische functies 123

Theorie B Een formule van een sinusoïde opstellen Bij een sinusoïde moet je een formule kunnen opstellen. Hoe dat gaat zie je in het voorbeeld.

Voorbeeld In ¿guur 7.35 is een sinusoïde getekend. Stel bij de sinusoïde een formule op van de vorm y = a + bsin(c(x í d )).

y

3

Uitwerking a = evenwichtsstand

2 1

1 1 maximum + minimum 32 + í12 2 = = = =1 2 2 2

π

O

2π

x

b = amplitude = maximum í evenwichtsstand = 312 í 1 = 212 Stijgend door de evenwichtsstand bij

¿guur 7.35

opvolgend x = 13 ʌ en x = 123 ʌ. Periode = 123 ʌ í 13 ʌ = 113 ʌ, dus c =

2ʌ 2ʌ = = 112 . periode 113 ʌ

Stijgend door de evenwichtsstand bij x = 13 ʌ, dus d = 13 ʌ. 7

Dus y = 1 + 212 sin (112 (x í 13 ʌ)) . Bij de sinusoïde van het voorbeeld is ook een formule van de vorm y = a + bcos(c(x í d)) op te stellen. Je neemt dan een hoogste punt als beginpunt. Een hoogste punt is ( 23 ʌ, 312 ) , dus d = 23 ʌ en de formule is y = 1 + 212 cos (112 ( x í 23 ʌ )) . In ¿guur 7.36 zie je een sinusoïde zoals in het voorbeeld, maar nu staan bij de horizontale as de getallen 1, 2, 3, ... 2ʌ 1 = ʌ. 4 2 1 1 Je krijgt y = 1 + 22 sin ( 2 ʌ (x í 1)) en ook De periode is 5 í 1 = 4, dus c = y=1+

212

cos (

1 2ʌ

y

3 2 1

( x í 2 )) . O

1

2

3

4

5

6

x

–1

¿guur 7.36

124 Hoofdstuk 7

© Noordhoff Uitgevers bv

61 Zie het voorbeeld.

Stel bij ¿guur 7.35 een formule op van de vorm a y = a + bsin(c(x í d)) met b < 0 b y = a + bcos(c(x í d)) met b < 0. 62 Zie de theorie hiervoor met ¿guur 7.36.

Stel bij deze ¿guur een formule op van de vorm a y = a + b sin(c(x í d)) met b < 0 b y = a + b cos(c(x í d)) met b < 0. y

63 In ¿guur 7.37 is een sinusoïde getekend.

Stel bij de sinusoïde een formule op van de vorm a y = a + b sin(c(x í d)) met b > 0 b y = a + b cos(c(x í d)) met b > 0.

3

2

1

x 2π

π

O

¿guur 7.37 y

64 In ¿guur 7.38 is een sinusoïde getekend.

Stel bij de sinusoïde een formule op van de vorm a y = a + b sin(c(x í d)) met b > 0 b y = a + b sin(c(x í d)) met b < 0.

4

7

2

O

1

2

3

4

5

2

4

6

8

10

x

–2

¿guur 7.38

65 In ¿guur 7.39 is een sinusoïde getekend.

Het punt A is een hoogste punt. a Beredeneer dat xA = 114 . Stel bij de sinusoïde een formule op van de vorm b y = a + b cos(c(x í d)) met b > 0 c y = a + b cos(c(x í d)) met b < 0.

y 6

A

4

2

O –2

¿guur 7.39

© Noordhoff Uitgevers bv

Goniometrische functies 125

x

A 66 In ¿guur 7.40 is een sinusoïde getekend.

Stel bij de sinusoïde een formule op van de vorm a N = a + b sin(c(t í d)) met b > 0 b N = a + b cos(c(t í d)) met b > 0.

N

150

100

50

O

2

4

6

8

10

t

¿guur 7.40

O 67 Gegeven is de functie f௘(x) = tan(x).

a Plot de gra¿ek. Neem Xmin = 0, Xmax = 2ʌ, Ymin = í5 en Ymax = 5. b De gra¿ek van f heeft op [0, 2ʌ] twee verticale asymptoten. Welke lijnen zijn dat, denk je?

Theorie C De tangensfunctie

7

Je weet dat voor de draaiingshoek Į van het punt P(xP, yP) op de yP eenheidscirkel geldt tan(Į) = x . P 1 Bij de draaiingshoek Į = 12 ʌ is P(0, 1), dus tan ( 12 ʌ) = en dit 0 bestaat niet. De lijn x = 12 ʌ is verticale asymptoot van de gra¿ek van f௘(x) = tan(x). í1 Bij de draaiingshoek Į = 112 ʌ is P(0, í1), dus ook tan (112 ʌ ) = 0 bestaat niet. Ook de lijn x = 112 ʌ is een verticale asymptoot van de gra¿ek van f௘(x) = tan(x).

126 Hoofdstuk 7

© Noordhoff Uitgevers bv

In ¿guur 7.41 zie je de gra¿ek van f௘(x) = tan(x) op het interval [0, 2ʌ]. Daarbij is de volgende tabel gebruikt. x

0

1 4ʌ

1 2ʌ

3 4ʌ

ʌ

114 ʌ

112 ʌ

134 ʌ

2ʌ

f௘(x) = tan(x)

0

1

í

í1

0

1

í

í1

0

Het punt (0, 0) is een beginpunt van de gra¿ek. y

x = 12 π

x = 112 π

ƒ

1

O

π

2π

–1

¿guur 7.41 De gra¿ek van f௘(x) = tan(x) op het interval [0, 2ʌ].

In opgave 23 heb je gezien dat geldt tan(A) = 0 geeft A = k  ʌ. Ook de vergelijkingen tan(A) = C met C = í 冑3, í1, í 13 冑3, 13 冑3, 1 en 冑3 zijn exact op te lossen. Je gebruikt de volgende tabel en dat de gra¿ek van f (x) = tan(x) periodiek is met periode ʌ. Į tan(Į)

1 6ʌ 1 3

冑3

1 4ʌ

1 3ʌ

2 3ʌ

3 4ʌ

5 6ʌ

1

冑3

í冑3

í1

í 13 冑3

7

Bij het exact oplossen van de vergelijking tan(A) = tan(B) gebruik je tan(A) = tan(B) geeft A = B + k  ʌ

© Noordhoff Uitgevers bv

Goniometrische functies 127

Voorbeeld Bereken exact de oplossingen. a tan (2x í 14 ʌ ) = 冑3 b 5 + 2 tan ( 12 x ) = 3 c tan(3x) = tan (x í 14 ʌ) Uitwerking a tan (2x í 14 ʌ) = 冑3 2x í 14 ʌ = 13 ʌ + k  ʌ 7 2x = 12 ʌ + kÂʌ 7 x = 24 ʌ + k  12 ʌ

b 5 + 2 tan ( 12 x ) = 3 2 tan ( 12 x) = í2 tan ( 12 x ) = í1 1 2x

= 34 ʌ + k  ʌ

x = 112 ʌ + k  2ʌ c tan(3x) = tan ( x í 14 ʌ) 7

3x = x í 14 ʌ + k  ʌ 2x = í 14 ʌ + k  ʌ x = í 18 ʌ + k  12 ʌ 68 Bereken exact de oplossingen.

a tan (3x í 16 ʌ) = 13 冑3

d 3 tan ( 12 ʌx) = 冑3

b 1 í tan ( 34 x ) = 2

e 2 + 冑3 Â tan ( 18 ʌx ) = 5

c tan (12 x) = tan (2x í 16 ʌ)

f tan ( 16 ʌx) = tan ( 14 ʌ ( x í 1))

69 Op het interval [0, 3ʌ] is gegeven de functie f (x) = 2 + tan ( 12 x) .

a Geef van de gra¿ek van f een beginpunt, de periode en de asymptoten. b Schets de gra¿ek van f. c De functie heeft één nulpunt. Bereken dit nulpunt in twee decimalen nauwkeurig. d De lijn y = 3 snijdt de gra¿ek van f twee keer. Bereken de exacte coördinaten van deze snijpunten.

128 Hoofdstuk 7

© Noordhoff Uitgevers bv

70 Op het interval [0, 4ʌ] is gegeven de functie f (x) = 1 í tan ( 23 x ) .

a Geef van de gra¿ek van f een beginpunt, de periode en de asymptoten. b Schets de gra¿ek van f. c Bereken exact de nulpunten van f. d Los exact op f௘(x) < 2.

A 71 Op het interval [0, 12] is gegeven de functie f (x) = 3 + tan ( 14 ʌx) .

a Geef van de gra¿ek van f een beginpunt, de periode en de asymptoten. b Schets de gra¿ek van f. c Los algebraïsch op f௘(x) > 4. d Los op f௘(x) > x. Rond zo nodig af op twee decimalen.

Informatief De tangensfunctie De naam tangens komt van het Latijnse woord tangere dat raken betekent. Teken je aan de eenheidscirkel een raaklijn in het punt A(1, 0) en snijdt het tweede been van de draaiingshoek Į deze raaklijn in het punt B, dan geldt tan(Į) = AB , immers AB AB tan(Į) = = = AB. Zie de figuur hiernaast. OA 1 Door bij elke hoek Į op de x-as het lijnstuk AB verticaal uit te zetten ontstaat de grafiek van de tangens.

© Noordhoff Uitgevers bv

y y

B

1

α –1

O

1

x A

O

α

1 2π

x

–1

7

Goniometrische functies 129

Terugblik Sinusoïden tekenen

De gra¿eken van y = a + b sin(c(x í d)) en y = a + b cos(c(x í d)) heten sinusoïden. De vier kenmerken van sinusoïden zijn b>0 • evenwichtsstand is a • amplitude is 0 b 0 stijgend door sin (d, a) 2ʌ 2ʌ • periode is c , dus c = (c > 0) periode (d, a + b) is een cos • beginpunt bij een sinusgra¿ek is (d, a) hoogste punt • beginpunt bij een cosinusgra¿ek is (d, a + b). Deze vier kenmerken gebruik je bij het tekenen van sinusoïden.

b 0 of b < 0. Bij de ¿guur hiernaast lees je af y 1 + í7 = í3 2 • de amplitude is 1 í í3 = 4 • de periode is 2. • de evenwichtsstand is

7

1 O –1

2

3

4

5

x

–2

Mogelijke formules zijn y = í3 + 4 sin (ʌ (x í 112 ))

–3

y = í3 í 4 sin (ʌ ( x í 12 ))

–5

y = í3 + 4 cos(ʌx)

1

–4

–6 –7

y = í3 í 4 cos(ʌ(x í 1)) y

De grafiek van f (x) = tan(x)

De gra¿ek van y = tan(x) is periodiek met periode ʌ. De gra¿ek heeft op het interval [0, 2ʌ] twee verticale asymptoten. Dat zijn de lijnen x = 12 ʌ en x = 112 ʌ. Bij het tekenen van de gra¿ek van y = tan(x) op [0, 2ʌ] gebruik je verder de punten (0, 0), ( 14ʌ, 1) , ( 34ʌ, í1) , (ʌ, 0), ( 114 ʌ, 1) , (134 ʌ, í1) en (2ʌ, 0).

x = 12 π

x = 1 12 π y = tan(x)

1

O

π

x 2π

–1

Vergelijkingen van het type tan(A) = C met C = í冑3, í1, í 13 冑3, 13 冑3, 1 en 冑3 kun je exact oplossen. De vergelijking tan(A) = tan(B) geeft A = B + k  ʌ.

130 Hoofdstuk 7

© Noordhoff Uitgevers bv

7.5 Goniometrische functies differentiëren O 72 Je kunt op de GR de gra¿ek van de afgeleide van een functie

plotten. Op de TI gebruik je hiervoor de optie nDerive uit MATHMATH-menu, op de Casio gebruik je de optie d/dx uit het OPTN-CALC-menu. a Plot in één ¿guur de gra¿eken van y = sin(x) en zijn afgeleide. Zie de GR-schermen hiernaast. Neem als domein [0, 2ʌ]. b Welke standaardfunctie is vermoedelijk de afgeleide van f௘(x) = sin(x)? Controleer je antwoord op de GR met tabellen. c Plot in één ¿guur de gra¿eken van y = cos(x) en zijn numerieke afgeleide. Wat is de formule van de afgeleide van y = cos(x), denk je? Controleer je antwoord met de GR.

Theorie A De afgeleide van sinus, cosinus en tangens In opgave 72 heb je het volgende ontdekt. f (x) = sin(x) geeft fƍ(x) = cos(x) g(x) = cos(x) geeft gƍ(x) = ísin(x)

We maken als volgt aannemelijk dat de regel f௘(x) = sin(x) geeft f ƍ(x) = cos(x) geldt. In de eenheidscirkel van ¿guur 7.42 is de draaiingshoek van punt A gelijk aan x en van punt B gelijk aan x + h. Uit de de¿nitie van de radiaal volgt dat booglengte AB = h. Voor kleine waarden van h is booglengte AB § lijnstuk AB en “ABC § x. Met de de¿nitie van de afgeleide krijg je f (x) = sin(x) geeft f ‫(މ‬x) = lim

hm0

sin(x + h) í sin(x) = h

yB í yC yB í yA = lim = h booglengte AB hm0 hm0

7 y 1

B C

A

x h x O

A'

1

¿guur 7.42

lim

lim

hm0

BC = lim cos(“ ABC) = cos(x). lijnstuk AB h m 0

© Noordhoff Uitgevers bv

Goniometrische functies 131

x

Merk op dat op de vorige bladzijde gebruikt is dat de lengte van boog AB gelijk is aan de bijbehorende middelpuntshoek. Dit is alleen het geval als de hoek in radialen is uitgedrukt. Daarom geldt de regel f௘(x) = sin(x) geeft f ƍ(x) = cos(x) alleen als x in radialen is uitgedrukt. In opgave 73 toon je aan [cos(x)]ƍ = ísin(x). Voor het berekenen van de afgeleide van f௘(x) = tan(x) sin(A) en de quotiëntregel. gebruik je de formule tan(A) = cos(A) Je krijgt f௘(x) = tan(x) = f ‫(މ‬x) =

sin(x) . Dit geeft cos(x)

cos(x) Â cos(x) í sin(x) Â ísin(x) cos2(x) + sin2(x) . = cos2(x) cos2(x)

[ƒ · g]' = ƒ' · g + ƒ · g' (productregel)

t ' = nt' í tn' n n2 (quotiëntregel)

Deze afgeleide kun je op twee manieren herleiden. • Met de formule sin2(A) + cos2(A) = 1 krijg je f ‫(މ‬x) = • Uitdelen en de formule tan(A) = f ‫(މ‬x) =

sin(A) geeft cos(A)

cos2(x) sin2(x) sin(x) + =1+ 2 2 cos(x) cos (x) cos (x)

f (x) = tan(x) geeft fƍ(x) = 7

(

1 . cos2(x)

)

2

= 1 + tan2(x).

A+B A B = + (uitdelen) C C C

1 en fƍ(x) = 1 + tan2(x) cos2(x)

Bij het differentiëren van goniometrische functies heb je vaak de kettingregel nodig. Bij het differentiëren van f (x) = sin(3x) krijg je f ‫(މ‬x) = cos(3x) Â 3 = 3 cos(3x). Bij het differentiëren van g(x) = sin(x3 ) krijg je g ‫(މ‬x) = cos(x3 ) Â 3x2 = 3x2 cos(x3 ). Bij het differentiëren van h(x) = sin3(x) krijg je h‫(މ‬x) = 3 Â (sin(x))2 Â cos(x) = 3 sin2(x) Â cos(x). Met behulp van de formule sin2(A) + cos2(A) = 1 is hƍ(x) uit te drukken in cos(x). Immers sin2(x) = 1 í cos2(x), dus h‫(މ‬x) = 3(1 í cos2(x)) Â cos(x) = 3 cos(x) í 3 cos3(x).

132 Hoofdstuk 7

© Noordhoff Uitgevers bv

Voorbeeld Differentieer. 1 ʌ )) a f௘(x) = 1 + 2 cos ( 3 ( x í 12 b g(x) = x sin(x) c h(x) =

x + cos(x) sin(x)

d j(x) = x2 tan(x) Uitwerking 1 a f௘(x) = 1 + 2 cos ( 3 ( x í 12 ʌ )) = 1 + 2 cos (3x í 14 ʌ ) geeft f ‫(މ‬x) = í2 sin (3x í 14 ʌ ) Â 3 = í6 sin (3x í 14 ʌ)

de kettingregel

b g(x) = x sin(x) geeft gƍ(x) = 1  sin(x) + x  cos(x) = sin(x) + x cos(x)

de productregel

c h(x) =

x + cos(x) geeft sin(x) sin(x) Â (1 í sin(x)) í (x + cos(x)) Â cos(x) sin2(x)

h‫(މ‬x) =

de quotiëntregel

sin(x) í sin2(x) í x cos(x) í cos2(x) sin(x) í x cos(x) í 1 = sin2(x) sin2(x)

௘=

d j(x) = x2 tan(x) geeft jƍ(x) = 2x  tan(x) + x2  (1 + tan2(x)) = 2x tan(x) + x2 + x2 tan2(x)

7

73 Gebruik cos(A) = sin ( A + 12 ʌ ) om aan te tonen dat

[cos(x)]ƍ = ísin(x).

74 Bereken de afgeleide.

a f (x) = 3 + 4 sin ( 2x í 13 ʌ )

d j(x) = x cos(2x)

b g(x) = 10 + 16 cos ( (x í 1))

e k(x) = x2 Â sin(3x)

c h(x) = x cos(x)

f l(x) = 2x sin(3x í 1)

1 2

75 Differentieer.

a f (x) =

x2 + sin(x) cos(x)

c h(x) =

cos(x) sin(x)

b g(x) =

sin(x) x2 + cos(x)

d j(x) =

x sin(x) x + sin(x)

76 Differentieer.

a f௘(x) = cos2(x) b g(x) = 2 sin2(x) © Noordhoff Uitgevers bv

c h(x) = 1 + 2 cos2(x) d j(x) = x + 3 sin2(x) Goniometrische functies 133

77 a Differentieer f௘(x) = 3 tan(2x).

b Toon aan g(x) = tan2(x) geeft g‫(މ‬x) =

2 sin(x) . cos3(x)

A 78 Bereken de afgeleide.

a b c d

f௘(x) = cos3(x) g(x) = cos(x3) h(x) = cos2(2x) j(x) = cos2(x) í sin2(x)

A 79 a Toon aan f௘(x) = sin3(x) + sin(x) geeft

f ƍ(x) = 4 cos(x) í 3 cos3(x). b Druk de afgeleide van g(x) = sin2(x) cos(x) uit in sin(x). c Toon aan h(x) =

tan(x) sin(x) geeft h ‫(މ‬x) = . sin(x) cos 2(x)

A 80 Gegeven is de functie f௘(x) = x sin2(x).

Op de gra¿ek van f ligt het punt A met xA = 34 ʌ. Stel met behulp van de afgeleide de formule op van de lijn k die de gra¿ek van f raakt in A. Rond niet af.

A 81 Gegeven is de functie f௘(x) = cos3(x) met domein [0, 2ʌ].

Bereken exact de coördinaten van de punten van de gra¿ek met een horizontale raaklijn. 3 cos(x) met domein [0, 2ʌ]. 2 í sin(x) a Stel langs algebraïsche weg formules op van de raaklijnen k en l van de gra¿ek van f in de snijpunten met de x-as. b Bereken exact het bereik van f.

A 82 Gegeven is de functie f (x) = 7

134 Hoofdstuk 7

© Noordhoff Uitgevers bv

Terugblik Afgeleide van sinus, cosinus en tangens

f௘(x) = sin(x) geeft f ƍ(x) = cos(x), g(x) = cos(x) geeft gƍ(x) = ísin(x) en 1 = 1 + tan2(x) h(x) = tan(x) geeft hƍ(x) = cos2(x) Bij het berekenen van de afgeleide heb je vaak de kettingregel nodig. f (x) = cos(4x) geeft f ‫(މ‬x) = ísin(4x) Â 4 = í4 sin(4x) g(x) = cos(x4 ) geeft g ‫(މ‬x) = ísin (x4 ) Â 4x3 = í4x3 sin(x4 ) h(x) = cos4(x) geeft h ‫(މ‬x) = 4 cos3(x) Â ísin(x) = í4 cos3(x) sin(x) De productregel en de quotiëntregel

Bij het differentiëren van f (x) = x3 Â sin(x) heb je de productregel nodig. Je krijgt f ‫(މ‬x) = 3x2 Â sin(x) + x3 Â cos(x). Bij het differentiëren van g(x) = Je krijgt g ‫(މ‬x) =

© Noordhoff Uitgevers bv

x3

sin(x) heb je de quotiëntregel nodig. + sin(x)

(x3 + sin(x)) Â cos(x) í sin(x) Â (3x2 + cos(x)) (x3 + sin(x))2

=

x3 Â cos(x) + sin(x) cos(x) í 3x2 Â sin(x) í sin(x) cos(x) (x3 + sin(x))2

=

x3 Â cos(x) í 3x2 Â sin(x) (x3 + sin(x))2

7

Goniometrische functies 135

Diagnostische toets y 1

7.1 Eenheidscirkel en radiaal 1

In ¿guur 7.43 is xP = í0,81 en yQ = í0,95. Bereken “POQ in graden. Rond af op één decimaal.

1

O

x

P Q xP = –0,81 yQ = –0,95

¿guur 7.43

Druk uit in graden. Rond zo nodig af op één decimaal. a 10ʌ rad b 23 ʌ rad

c

Druk uit in radialen. Geef een exact antwoord. b í150° a 60°

c 390°

4

Geef de exacte waarde. a sin ( 56 ʌ )

c cos (113 ʌ )

5

Geef de exacte waarden van Į met 0 ” Į ” 2ʌ.

2

3

7

a sin(Į) = 12

b cos ( 34 ʌ )

b sin(Į) = í 12 冑2

2 3

rad

c cos(Į) = 12 冑3

7.2 Goniometrische vergelijkingen 6

Bereken exact de oplossingen. a sin (2x + 12 ʌ ) = 0

7

b cos (í 13 x + 12 ʌ ) = í 12

c 4 cos2 ( 12 ʌx ) = 3

Bereken exact de oplossingen op [0, 2ʌ]. a 2 sin(2x) = í冑3

9

c sin2 ( 12 x) í sin (12 x ) = 0

Bereken exact de oplossingen. a sin ( 12 x + ʌ ) = 12 冑2

8

b cos (2x + 16 ʌ) = 1

b 2 cos (112 x í 16 ʌ) = í冑2

c sin2(x) í 12 sin(x) í 12 = 0

b cos (x + 13 ʌ ) = cos (2x í 12 ʌ )

c sin (12 ʌx) = sin (ʌ (x + 1))

Bereken exact de oplossingen. a sin(2x í 1) = sin(x + 2)

7.3 Transformaties en functies 10 Geef aan hoe de gra¿eken van de volgende functies uit een standaardgra¿ek

ontstaan. a f (x) = 2 sin (3x í 12 ʌ) 136 Hoofdstuk 7

b g(x) = 5 + cos (13 (x + 2))

c h(x) = 1 + 2 sin (3x í 14 ʌ) © Noordhoff Uitgevers bv

11 Gegeven is de functie f (x) = í1 + 2 cos (x í 3 ʌ) met domein [0, 2ʌ]. 1

a Schets de gra¿ek van f. b Bereken exact de coördinaten van de punten waar de gra¿ek van f de lijn van de evenwichtsstand snijdt. c Bereken exact de coördinaten van de twee toppen van de gra¿ek. d Bereken exact de nulpunten van f.

12 a Herleid ícos (3x í 14 ʌ) tot de vorm sin(ax + b).

b Herleid (sin(x) + cos(x))2. c Druk 2 + cos(x) í 2 sin2(x) uit in cos(x).

7.4 Grafieken van goniometrische functies

13 a Teken de gra¿ek van f (x) = 2 í 3 sin (x + 13 ʌ ) met domein [í2ʌ, 2ʌ].

b Teken de gra¿ek van g(x) = 4 + cos (2x í 123 ʌ) met domein [0, 2ʌ]. 14 In ¿guur 7.44 is een sinusoïde getekend.

Stel bij de sinusoïde een formule op van de vorm a y = a + b sin(c(x í d)) met b > 0 b y = a + b cos(c(x í d)) met b > 0 c y = a + b sin(c(x í d)) met b < 0

y 10 O –10

10

20

30

40

50

x

–20 –30

d y = a + b cos(c(x í d)) met b < 0. ¿guur 7.44

15 Gegeven de functie f (x) = 1 í tan (14 x) met domein [0, 8ʌ].

a Geef van de gra¿ek van f een beginpunt, de periode en de asymptoten. b Schets de gra¿ek van f. c Los exact op f௘(x) < 0.

16 Bereken exact de oplossingen.

a 2 + 冑3 tan ( 14 ʌx) = í1

7.5 Goniometrische functies differentiëren 17 Bereken de afgeleide.

b tan ( 13 x) = tan (2x í 16 ʌ)

a f (x) = cos (2 (x + 16 ʌ)) + sin(2x)

d f (x) = x2 sin (2x í 12 ʌ)

b f (x) = tan(x3 )

e f (x) = sin3(2x)

c f (x) =

cos(3x) sin(3x)

f f (x) =

cos(x) 1 í sin(x)

18 Gegeven is de functie f (x) = 3x cos2(x).

Op de gra¿ek van f ligt het punt A met xA = ʌ. Stel met behulp van de afgeleide de formule op van de lijn k die de gra¿ek van f raakt in A.

© Noordhoff Uitgevers bv

Goniometrische functies 137

7

Kogelslingeren is een onderdeel van de atletiek waarbij een kogel zo ver mogelijk moet worden weggeslingerd. De kogel is bevestigd aan een staalkabel met een handvat. Bij de mannen weegt de kogel 7,26 kg en deze wordt met snelheden van ongeveer 100 km/uur weggeslingerd. De kogel beschrijft tijdens het draaien vrijwel een cirkelbaan en vliegt na het loslaten weg volgens een raaklijn aan de cirkelbaan.

138

Wat leer je? • Berekenen van hoeken tussen lijnen waarvan vergelijkingen zijn gegeven. • Werken met vergelijkingen en parametervoorstellingen van cirkels. • Berekenen van afstanden tussen punten, lijnen en cirkels in een assenstelsel. • Opstellen van een vergelijking van een raaklijn aan een cirkel. • Berekenen van de coördinaten van de snijpunten van een lijn met een cirkel.

© Noordhoff Uitgevers bv

Meetkunde met coördinaten

8

© Noordhoff Uitgevers bv

Groeiprocessen 139

Voorkennis Stelsels en kwadraatafsplitsen Theorie A Stelsels lineaire vergelijkingen 2x í 3y = 10 kun je oplossen met behulp van elimineren x + 2y = 6 door optellen of aftrekken. Om y te elimineren vermenigvuldig je de eerste vergelijking met 2 en de tweede met 3. Daarna tel je de vergelijkingen bij elkaar op.

Het stelsel e

4x í 6y = 20 2x í 3y = 10 2 geeft e 3 3x + 6y = 18 x + 2y = 6 7x = 38 + 38 x = 7 = 537 f 3 57 + 2y = 6 x + 2y = 6 2y = 47 y = 27 3 2 De oplossing is (x, y) = (57 , 7 ) . e

Je kunt bij dit stelsel ook x elimineren. Dat gaat als volgt. e

2x í 3y = 10 2x í 3y = 10 1 geeft e 2 2x + 4y = 12 x + 2y = 6 í í7y = í2 2 f y=7 x + 2 Â 27 = 6 x + 2y = 6 x + 47 = 6 x = 537

8 1

Los op. a e

5x í 7y = 1 4x í 3y = 6

b e

2x + 3y = 15 10x í 9y = í5

c e

2x í 5y = 16 3x + 4y = 10

140 Hoofdstuk 8

© Noordhoff Uitgevers bv

Theorie B Kwadraatafsplitsen Om bij de vorm x2 í 4x een kwadraat af te splitsen vul je eerst x2 í 4x aan tot een kwadraat. Je krijgt x2 í 4x = x 2 í 4x + 4 í 4 = (x í 2)2 í 4. Bij y2 + 6y krijg je y2 + 6y = y2 + 6y + 9 í 9 = (y + 3)2 í 9. Dus bij x2 + y2 í 4x + 6y í 3 = 0 krijg je x2 + y2 í 4x + 6y í 3 = 0 x2 í 4x + y2 + 6y í 3 = 0 x2 í 4x + 4 í 4 + y2 + 6y + 9 í 9 í 3 = 0 (x í 2)2 í 4 + (y + 3)2 í 9 í 3 = 0 (x í 2)2 + (y + 3)2 = 16 Om in het voorbeeld hieronder het kwadraat af te splitsen bij x2 + 18x vul je x2 + 18x eerst aan tot (x + a)2. Omdat (x + a)2 = x2 + 2ax + a2 is 2ax = 18x, dus is a de helft van 18. Je krijgt x2 + 18x = x2 + 18x + 81 í 81 = (x + 9)2 í 81. En omdat de helft van í3 gelijk is aan í112 , krijg je y2 í 3y = y2 í 3y + (í112 )2 í (í112 )2 = ( y í 112 )2 í 214 .

Voorbeeld Schrijf x2 + y2 + 18x í 3y + 6 = 0 in de vorm (x + a)2 + (y + b)2 = c. Uitwerking x2 + y2 + 18x í 3y + 6 = 0 x2 + 18x + y2 í 3y + 6 = 0 (x + 9)2 í 81 + ( y í 112 )2 í 214 + 6 = 0 (x + 9)2 + ( y í 112 ) = 7714 2

2

8

Schrijf in de vorm (x + a)2 + (y + b)2 = c. a x2 + y2 í 4x + 10y í 6 = 0 b x2 + y2 + 8x í 6y + 13 = 0 c x2 + y2 + 3x í y í 1 = 0 d x2 + y2 í 5x + 5y + 10 = 0

© Noordhoff Uitgevers bv

Meetkunde met coördinaten 141

8.1 Lijnen en hoeken In paragraaf 8.5 Meetkunde met GeoGebra wordt georiënteerd op een aantal aspecten van dit hoofdstuk. Je kunt deze paragraaf op dit moment in een keer doornemen of in delen, passend bij de aangeboden onderwerpen. O 1

Gegeven zijn de lijnen k: 2x + 3y = 12 en l: 4x + 6y = 15. a Teken de lijnen k en l in één ¿guur. 2x + 3y = 12 b Hoe volgt uit vraag a dat het stelsel e geen 4x + 6y = 15 oplossing heeft? c Hoe kun je aan de formules van k en l zien dat de lijnen evenwijdig zijn?

Theorie A Strijdige en afhankelijke stelsels De lijnen k: 2x í 3y = 5 en l: 4x í 6y = 7 hebben dezelfde richtingscoëf¿ciënt en vallen niet samen. g Ook zonder y vrij te maken kun je zien dat k en l evenwijdig 2 í3 zijn, omdat = . 4 í6 Omdat je met evenwijdige en niet-samenvallende lijnen te maken hebt, heeft het stelsel e

2x í 3y = 5 geen oplossing. 4x í 6y = 7

k: 2x í 3y = 5 í3y = í2x + 5 2 2 y = 3 x í 13 l: 4x í 6y = 7 í6y = í4x + 7 2 1 y = 3 x í 16 Dus rck = rcl.

We noemen de vergelijkingen van het stelsel strijdig. 8

De lijnen k: 2x í 3y = 5 en m: 4x í 6y = 10 zijn niet alleen evenwijdig, maar ze vallen ook samen. Het stelsel e

2x í 3y = 5 heeft oneindig veel oplossingen. 4x í 6y = 10

We noemen de vergelijkingen van het stelsel afhankelijk. De lijnen k: ax + by = c en l: px + qy = r

a b c p=qur de vergelijkingen ax + by = c en px + qy = r zijn dan strijdig a b c • vallen samen als = = p q r de vergelijkingen ax + by = c en px + qy = r zijn dan afhankelijk. • zijn evenwijdig en vallen niet samen als

142 Hoofdstuk 8

© Noordhoff Uitgevers bv

Voorbeeld Gegeven zijn de lijnen kp: px + (p + 1)y = 5 en lp,q: (p í 1)x + (p í 3)y = q. Bereken algebraïsch voor welke p en q a de lijnen kp en lp,q evenwijdig zijn b de lijnen kp en lp,q samenvallen. Uitwerking a kp // lp,q, dus

p p+1 = pí1 pí3 p( p í 3) = ( p í 1)( p + 1) p2 í 3p = p2 í 1 í3p = í1 p = 13

Dus voor p = 13 en q kan elk getal van \ zijn. b p = 13 geeft k 1 : 13 x + 113 y = 5 en l1 ,q : í 23 x í 223 y = q. 3

3

Voor samenvallen geldt

1 3 í 23

=

113 í223

5 1 5 = , dus q = í10. = q ofwel í2 q

Dus voor p = 13 en q = í10.

2

Gegeven zijn de lijnen kp: 3x + py = 5 en lp,q: (p í 1)x + (p + 4)y = q. Bereken algebraïsch voor welke p en q a de lijnen kp en lp,q evenwijdig zijn b de lijnen kp en lp,q samenvallen.

A 3

De lijnen kp, q: px + qy = 4 en lp, q: (q + 3)x + (p í 1)y = 1 vallen samen. Bereken p en q.

O 4

Gegeven is x = 3t + 4 en y = í2t + 1. a Vul de volgende tabel in, teken de punten (x, y) die uit de tabel volgen en ga na dat deze punten op één lijn liggen. t

í2

í1

0

8

1

x y x = 3t + 4 b Elimineer t uit het stelsel e y = í2t + 1 c Hoe volgt uit vraag b dat je bij x = 3t + 4 en y = í2t + 1 met een lijn te maken hebt? © Noordhoff Uitgevers bv

Meetkunde met coördinaten 143

Bij het onderwerp parametervoorstellingen horen de paragrafen 8.5A en 8.5B waar je werkt met GeoGebra.

Theorie B De parametervoorstelling van een lijn x = 2t í 5 de variabele t te elimineren kun je Door bij het stelsel e y = 3t í 4 zien dat je met een lijn te maken hebt. x = 2t í 5 3 3x = 6t í 15 geeft e Je krijgt e y = 3t í 4 2 2y = 6t í 8 í 3x í 2y = í7 Dus de lijn heeft de vergelijking 3x í 2y = í7. We noemen x = 2t í 5 œ y = 3t í 4 een parametervoorstelling van de lijn. De parameter is t. De lijn 3x í 2y = í7 heeft oneindig veel parametervoorstellingen. Neem je bijvoorbeeld x = 4t í 1 dan krijg je 3(4t í 1) í 2y = í7 12t í 3 í 2y = í7 í2y = í12t í 4 y = 6t + 2 Dus ook x = 4t í 1 œ y = 6t + 2 is een parametervoorstelling (pv) van de lijn 3x í 2y = í7. x(t) = at + c œ y(t) = bt + d met a en b niet beide nul is een parametervoorstelling van een lijn. Door t te elimineren krijg je een vergelijking van de lijn.

R 56

Toon aan dat de richtingscoëf¿ciënt van de lijn die gegeven is b door de parametervoorstelling x(t) = at + c œ y(t) = bt + d gelijk is aan a .

8

6

x(t) = 5t + p a Bereken voor welke waarde van p de lijn e de y(t) = 4t + 3 vergelijking 4x í 5y = í10 heeft. b Bereken voor welke waarde van p de lijn e

x(t) = 2t + p y(t) = ít í 2p

door het punt (5, 2) gaat. x(t) = 3t + p c Bereken voor welke waarde van p de lijn e de y(t) = 2t + 3 vergelijking 2x í 3y = p heeft.

A 76

x(t) = at í 3 Gegeven zijn de lijnen k: e en l: 2x + 5y = c. y(t) = bt + 1 Bereken mogelijke waarden voor a, b en c zo, dat a k en l elkaar snijden in het punt (3, 4) b k en l samenvallen.

144 Hoofdstuk 8

© Noordhoff Uitgevers bv

O 86

O 96

Gegeven is de lijn l: 2x + 3y = 18. a Bereken de coördinaten van de snijpunten van l met de x-as en de y-as. b Licht toe dat de vergelijking 2x + 3y = 18 ook kan worden x y geschreven als + = 1. 9 6 x y c Hoe kun je in de vorm + = 1 de coördinaten van de 9 6 snijpunten van l met de assen herkennen? x y + = 1. a b a Toon aan dat de lijn de x-as snijdt in het punt (a, 0). b Toon aan dat de lijn de y-as snijdt in het punt (0, b). Gegeven is de lijn

Theorie C De assenvergelijking van een lijn x y as + = 1 snijdt de x-as in het punt (a, 0) en de y-as a b in het punt (0, b). Dit gebruik je om een vergelijking van een lijn op te stellen als de coördinaten van de snijpunten van de lijn met de assen gegeven zijn. De vergelijking x y + = 1 heet de assenvergelijking van de lijn. a b De lijn k:

x y – + – = 1 snijden met de a b x-as, dus y = 0, geeft x – =1 a x=a snijpunt (a, 0)

Snijdt de lijn l de assen in de punten (4, 0) en (0, í5), dan x y krijg je l: + = 1. 4 í5 Na vermenigvuldigen met 20 krijg je l: 5x – 4y = 20. De lijn door de punten (a, 0) en (0, b) heeft de vergelijking

x y + =1 a b

met a u 0 œ b u 0.

Heb je te maken met de lijn k door de punten (í1, 0) en (0, 2) en de x y + = 1 ofwel lijn l door de punten (3, 0) en (0, 4), dan krijg je k: í1 2 x y k: 2x í y = í2 en l: + = 1 ofwel l: 4x + 3y = 12. 3 4 Om het snijpunt van de lijnen k en l te berekenen los je het stelsel e

2x í y = í2 op. 4x + 3y = 12

© Noordhoff Uitgevers bv

Meetkunde met coördinaten 145

8

Voorbeeld De lijn k snijdt de x-as in het punt (6, 0) en de y-as in het punt (0, q). a Stel een vergelijking op van k in de vorm ax + by = c. b Bereken q in het geval het punt (4, í1) op k ligt. c Voor welke waarde van q is k evenwijdig met de lijn l: y = 3x + 2? Uitwerking x y a k: + = 1 Vermenigvuldig alle termen met 6q. 6 q Dus k: qx + 6y = 6q. b (4, í1) op k geeft q  4 + 6  í1 = 6q 4q í 6 = 6q í2q = 6 q = í3 c k: qx + 6y = 6q en l: 3x í y = í2 q 6 k // l geeft = 3 í1 íq = 18 q = í18

6 T 10

[ ŹŹ14]

a De lijn k gaat door de punten (4, 0) en (0, í7). Stel van k een vergelijking op van de vorm ax + by = c. b De lijn l gaat door de punten (2p, 0) en (0, íp). Stel van l een vergelijking op van de vorm ax + by = c. c De lijn m snijdt de x-as in het punt (q, 0) en de y-as in het punt (0, 5). Bereken q in het geval het punt (3, í1) op m ligt. 8

11 De lijn k gaat door de punten (2, 0) en (0, í1).

De lijn l gaat door de punten (5, 0) en (0, í3). a Stel van k en van l een vergelijking op. b Bereken algebraïsch de coördinaten van het snijpunt van k en l. 12 Stel een assenvergelijking op van de lijn en schrijf de

vergelijking vervolgens in de vorm ax + by = c. a l door (p, 0) en (0, 5) b m door (4, 0) en (0, q) c n door (3r, 0) en (0, r) 13 De lijn k snijdt de x-as in het punt (p, 0) en de y-as in het punt (0, 8).

a Stel een vergelijking op van k in de vorm ax + by = c. b Bereken p in het geval het punt (1, 2) op k ligt. c Voor welke p is k evenwijdig met de lijn l: y = 2x + 3?

146 Hoofdstuk 8

© Noordhoff Uitgevers bv

6 De lijn k snijdt de assen in de punten (3, 0) en (0, p) en de lijn l A 14

snijdt de assen in de punten (2p, 0) en (0, 5). a Stel van k en van l een vergelijking op in de vorm ax + by = c. b Voor welke p ligt het punt A(1, 2) op k? En voor welke p op l? c Voor welke p is de lijn k evenwijdig met de lijn m: y = 4x + 5? d Voor welke p is de lijn l evenwijdig met de lijn n: 2x + 3y = 10? 6 a Jan zegt dat met de vergelijking y = ax + 3 alle lijnen door R 15

(0, 3) zijn gegeven. Harm zegt dat met de vergelijking

x y + = 1 alle lijnen door p 3

(0, 3) zijn gegeven. Volgens Gerrit mist Jan één lijn en mist Harm twee lijnen. Welke lijnen bedoelt Gerrit? Licht toe. b Door de lijnen door (4, 0) te noteren als y = a(x – 4) mis je één lijn. Welke? x y c Door de lijnen door (4, 0) te noteren als + = 1 mis je twee lijnen. 4 p Welke? 16 Gegeven zijn de lijnen kp: px + 2y = 8.

Voor welke p a gaat de lijn door het punt (3, 5) b snijdt de lijn de x-as in het punt (3, 0) c is de lijn evenwijdig met de lijn 3x + 5y = 10 x y d is de lijn evenwijdig met de lijn + = 1? 2 5 y x 6 Gegeven zijn de lijnen lp: + A 17 = 1. p p+2 8

Voor welke p a gaat de lijn door het punt (3, 4) b is de richtingscoëf¿ciënt van de lijn gelijk aan 2?

Informatief De assenvergelijking van een vlak Om in de ruimte de coördinaten van een punt vast te leggen wordt gewerkt met een Oxyz-assenstelsel. Dit wordt meestal getekend zoals in de figuur hiernaast. In dit assenstelsel is een vlak V getekend dat de x-as snijdt in het punt A(a, 0, 0), de y-as in het punt B(0, b, 0) en de z-as in het punt C (0, 0, c). De assenvergelijking van dit vlak x y z is V : + + = 1. a b c

© Noordhoff Uitgevers bv

z C(0, 0, c)

V O

y B(0, b, 0)

x

A(a, 0, 0)

Meetkunde met coördinaten 147

O 18 In ¿guur 8.1 zijn de lijnen k: y = 2x + 1 en

l: y = 1 getekend. Het punt A(0, 1) is het snijpunt van k en l, het punt B(1, 3) ligt op k en het punt C(1, 1) ligt op l. Er geldt “ CAB § 63,435°. a Toon dit aan.

y

k

B

3 2

l

A C 2

1

O

3

x

4

¿guur 8.1

In ¿guur 8.2 is bovendien de lijn m: y = í 14 x + 1 getekend. De hoek tussen l en m is met een boogje aangegeven. Deze hoek is ongeveer 14,036°. b Toon dit aan. c Bereken de hoek tussen de lijnen k en m in één decimaal nauwkeurig.

y

k

3 2

l m O

1

2

3

x

4

¿guur 8.2

Theorie D De hoek tussen twee lijnen

8

In ¿guur 8.3 is de lijn k: y = 12 x í 1 getekend. De richtingshoek van deze lijn is de hoek Į waarover de x-as moet draaien om samen te vallen met k. Hierbij is í90° < Į ” 90°. Je ziet dat tan(Į) = 12 en dit geeft Į § 26,6°.

y

k 1 1

α 1

O

2

2

4

x

−1

Voor de richtingshoek Į van de lijn k geldt tan(Į) = rck en í90° < Į ” 90°.

De richtingshoek van de lijn l: y = í 23 x + 1 in ¿guur 8.4 is aangegeven met ȕ. Er geldt tan(ȕ) = rcl, dus tan(ȕ) = í 23 en dit geeft ȕ § í33,7°. De richtingshoek van de lijn l is dus negatief.

¿guur 8.3 y

1

O

1

3 2

−1

Bij berekeningen met richtingshoeken nemen we aan dat de eenheden op de assen gelijk zijn.

148 Hoofdstuk 8

x

β l

¿guur 8.4

© Noordhoff Uitgevers bv

In ¿guur 8.5 zijn zowel de lijn k: y = 12 x í 1 als de lijn l: y = í 23 x + 1 getekend. De hoek tussen de lijnen k en l is aangegeven met ij. Hier is ij = Į í ȕ § 26,6° í í33,7° = 26,6° + 33,7° § 60°. Voor de hoek ij tussen twee lijnen nemen we altijd de hoek waarvoor geldt 0° ” ij ” 90° .

y

k 1

ϕ 3

1

O

4

x

−1

l ¿guur 8.5

In ¿guur 8.6 heb je te maken met de lijnen m: y = 112 x + 1 en n: y = íx + 1. Voor de richtingshoek Į van m geldt tan(Į) = 112 , dus Į = 56,30...° en voor de richtingshoek ȕ van n geldt tan(ȕ) = í1, dus ȕ = í45°. Omdat Į í ȕ = 56,30...° í í45° § 101,3° geldt voor de hoek ij tussen m en n dat ij § 180° í 101,3° = 78,7°. Voor de hoek ij tussen twee lijnen met richtingshoeken Į en ȕ, waarbij Į > ȕ, geldt ij = Į í ȕ als Į í ȕ ” 90° ij = 180° í (Į í ȕ) als Į í ȕ > 90°.

y

m 3 2

101,3° 56,3°

1

45°

O

1

−1

2

3

4

x

n

¿guur 8.6

Voorbeeld Bereken in graden nauwkeurig de hoek tussen de lijnen k: 2x í 3y = 5 en l: 5x + 2y = 3. Uitwerking 2x í 3y = 5 í3y = í2x + 5 y = 23 x í 123 , dus rck = 23 tan(Į) = 23 geeft Į = 33,69...°

8

5x + 2y = 3 2y = í5x + 3 y = í212 x + 112 , dus rcl = í212 tan(ȕ) = í212 geeft ȕ = í68,19....° Į í ȕ = 33,69...° í í68,19...° § 102° De gevraagde hoek is 180° í 102° = 78°. 6 Om de hoek te berekenen waaronder lijnen elkaar snijden, wordt R 19

aangenomen dat de eenheden op de assen gelijk zijn. Licht toe dat deze aanname nodig is.

© Noordhoff Uitgevers bv

Meetkunde met coördinaten 149

20 Bereken in graden nauwkeurig de hoek tussen de lijnen.

a k: y = 3x + 4 en l: y = 2x í 1 b m: y = 112 x + 2 en n: y = í 12 x + 3 c p: y = 312 x í 1 en q: y = í114 x + 5 21 Bereken in één decimaal nauwkeurig de hoek tussen de lijnen.

a k: 3x í 2y = 5 en l: 4x í 3y = 6 b m: 4x + y = 1 en n: 3x + 4y = 2 c p: 5x + 3y = 4 en q: 6x í 5y = 1 6 Bereken in één decimaal nauwkeurig de hoek tussen de lijnen. A 22

a k: y = 23 x + 4 en l: 6x í 5y = 3 b m door (4, 0) en (0, 5) en n door (í2, 0) en (0, 1) c p door (2, 1) en (5, 6) en q door (í3, 1) en (2, í6)

8

150 Hoofdstuk 8

© Noordhoff Uitgevers bv

Terugblik Strijdige en afhankelijke stelsels

ax + by = c De vergelijkingen in het stelsel e zijn px + qy = r a b c a b c strijdig als geldt p = q  r en afhankelijk als geldt p = q = r . 2x í 6y = 13 met strijdige vergelijkingen te maken. Het stelsel Zo heb je bij het stelsel e 5x í 15y = 29 heeft geen oplossing, de lijnen k: 2x í 6y = 13 en l: 5x í 15y = 29 zijn evenwijdig en vallen niet samen. 13 2 í6 . De lijnen k: 2x í 6y = 13 en m: 5x í 15y = 3212 vallen samen omdat geldt = = 5 í15 3212 De parametervoorstelling van een lijn

Een lijn kan worden genoteerd met een parametervoorstelling (pv) van de vorm x(t) = at + c œ y(t) = bt + d. x = 3t + 4 Zo is e een pv van de lijn met vergelijking 2x í 3y = 11. Dit is te controleren y = 2t í 1 door uit de pv de variabele t te elimineren. Bij de vergelijking 2x í 3y = 11 zijn oneindig veel parametervoorstellingen te geven. Neem je bijvoorbeeld x = í6t + 1 dan krijg je 2(í6t + 1) í 3y = 11 en dit geeft y = í4t í 3. Dus ook x = í6t + 1 œ y = í4t í 3 is een pv van de lijn 2x í 3y = 11. De assenvergelijking van een lijn

x y De vergelijking a + = 1 heet de assenvergelijking van een lijn. b De lijn snijdt de assen in de punten (a, 0) en (0, b). Snijdt de lijn k de assen in de punten (5, 0) en (0, í6), dan hoort hierbij de vergelijking x y + = 1 ofwel 6x í 5y = 30. 5 í6

8

De hoek tussen twee lijnen

Voor de richtingshoek Į van een lijn l geldt í90° < Į ” 90° en tan(Į) = rcl. De lijn k: y = 23 x + 1 in de ¿guur hiernaast heeft richtingshoek Į.

y

k 2

2 3

Er geldt tan(Į) = en dit geeft Į § 33,69°.

1

De lijn l: y = í212 x + 212 heeft richtingshoek ȕ. Er geldt tan(ȕ) =

í212

en dit geeft ȕ § í68,20°.

De hoek tussen k en l is in de ¿guur aangegeven met ij. De hoek tussen de lijnen is de niet-stompe hoek tussen de lijnen. Omdat Į í ȕ § 33,69° í í68,20° = 101,89° is ij § 180° í 101,89° § 78°.

© Noordhoff Uitgevers bv

ϕ

α –1

O

1

β 2

x

–1

l

Meetkunde met coördinaten 151

8.2 Afstanden bij punten en lijnen 6 Gegeven zijn de punten A(1, 2) en B(3, 5). O 23

y

Zie ¿guur 8.7. a Bereken exact de lengte van het lijnstuk AB. b Het punt M is het midden van het lijnstuk AB. Geef de coördinaten van M. c Gegeven zijn de punten C(83, 61) en D(89, 69). Geef de coördinaten van het midden N van het lijnstuk CD.

5

B

4

3

2

A

1

O

1

2

x

3

¿guur 8.7

Theorie A De afstand tussen twee punten

8

De afstand tussen twee meetkundige ¿guren is de lengte van het kortste verbindingslijnstuk tussen die ¿guren. De afstand tussen de punten A en B is dus de lengte van het lijnstuk AB. Voor de lengte van het lijnstuk AB bestaat de notatie d(A, B). In deze notatie is de letter d van distance (afstand) gebruikt. In ¿guur 8.8 zijn de punten A(xA, yA) en B(xB, yB) getekend. Met de stelling van Pythagoras in de getekende driehoek vind je AB2 = (xB í xA )2 + (yB í yA )2, dus de afstand tussen de punten A en B is

y B(xB , yB)

yB − yA xB − xA A(xA , yA)

O

x

¿guur 8.8

d(A, B) = 冑(xB í xA )2 + (yB í yA )2. Om de coördinaten van het midden M van het lijnstuk AB te berekenen, neem je het gemiddelde van de x-coördinaten van A en B en het gemiddelde van de y-coördinaten van A en B. Zo krijg je M ( 12 (xA + xB ) , 12 ( yA + yB )) . Voor de punten A(xA, yA) en B(xB , yB) geldt • de afstand tussen A en B is d(A, B) = 冑(xB í xA)2 + ( yB í yA)2 • de coördinaten van het midden M van het lijnstuk AB zijn xM = 12 (xA + xB ) en yM + 12 (yA + yB ).

152 Hoofdstuk 8

© Noordhoff Uitgevers bv

Voorbeeld Voor q > 0 zijn gegeven de punten A(0, q) en B(q, 5). a Druk de afstand tussen de punten A en B uit in q. b Bereken exact de minimale afstand tussen A en B. c Bereken vanaf welke waarde van q de afstand tussen A en B groter is dan 7. Rond af op twee decimalen. Uitwerking a d(A, B) = 冑(q í 0)2 + (5 í q)2 = 冑q2 + 25 í 10q + q2 = 冑2q2 í 10q + 25 b d(A, B) = d(q) = 冑2q2 í 10q + 25 geeft d'(q) =

1

2冑2q2 í 10q + 25

 (4q í 10) =

2q í 5

冑2q2 í 10q + 25

d'(q) = 0 geeft 2q í 5 = 0 2q = 5 q = 212 vold. d(A, B)

q

2 12

O

冑

De minimale afstand is q (212 ) = 1212 = 212 冑2. c Voer in y1 = 冑2x2 í 10x + 25 en y2 = 7. Intersect geeft x § 6,772.

8

d(A, B) 7

O

6,772

Dus vanaf q = 6,78.

q

Let op met afronden.

24 Voor p > 0 zijn gegeven de punten A(p, 3) en B(p + 2, 2p).

a b c d

Druk de coördinaten van het midden M van het lijnstuk AB uit in p. Druk de afstand tussen A en B uit in p. Bereken exact de minimale afstand tussen A en B. Bereken vanaf welke waarde van p de afstand tussen A en B groter is dan 5. Rond af op twee decimalen.

© Noordhoff Uitgevers bv

Meetkunde met coördinaten 153

25 Voor p > 0 en q > 0 zijn gegeven de punten A(0, p) en

B(p + q, q). Voor de afstand d tussen de punten A en B geldt d = 冑2p2 + 2q2. a Toon dit aan. b Voor q = 2p is de formule van d te schrijven in de vorm d = p冑c. Bereken c. c Er geldt q = 冑p en d = 12. Bereken p algebraïsch. A 26 Gegeven zijn de punten A(3, 4) en B(p + 5, p + 2).

a Bereken voor welke waarde van p het midden M van het lijnstuk AB op de lijn k: y = 2x í 3 ligt. De afstand d tussen de punten A en B is te schrijven in de vorm d = 冑ap2 + b. b Bereken a en b. c Bereken exact de minimale afstand tussen de punten B en C(2p, 3p). 1

O 27 Bereken de hoek tussen de lijnen k: y = 2x í 2 en l: y = í 2 x + 3.

Theorie B Onderling loodrechte lijnen In opgave 27 heb je gezien dat de lijnen k met rck = 2 en l met rcl = í 12 loodrecht op elkaar staan. Ook de lijnen m met rcm = 5 en n met rcn = í 15 staan loodrecht op elkaar. 8

In het algemeen staan de lijnen k en l met 1 rck = a en rcl = í a loodrecht op elkaar. Dus als rck · rcl = í1, dan staan de lijnen k en l loodrecht op elkaar.

y

C

a C'

a

B'

A

1

1

B

P

A'

x

O

k

l

1 ¿guur 8.9 k ? l omdat rck = a en rcl = í . a

Als voor de lijnen k en l geldt rck · rcl = í1, dan staan de lijnen loodrecht op elkaar.

154 Hoofdstuk 8

© Noordhoff Uitgevers bv

Voorbeeld Stel een vergelijking op van de lijn k die door het punt A(6, 5) gaat en loodrecht staat op de lijn l: y = 4x í 1. Uitwerking Stel k: y = ax + b. k C l, dus rck  rcl = í1 f rck  4 = í1 rcl = 4 rck = í 14 , dus a = í 14 y = í 14 x + b r í1  6 + b = 5 door A(6, 5) 4 1 í12 + b = 5 b = 612 Dus k: y = í 14 x + 612 . 28 Stel een vergelijking op van de lijn

a k die door het punt A(6, 7) gaat en loodrecht staat op de lijn l: y = 3x í 2 b m die door het punt B(í3, 4) gaat en loodrecht staat op de lijn n: y = 12 x + 2 c p die door het punt C(2, í5) gaat en loodrecht staat op de lijn q: y = í 27 x + 3. 29 Gegeven is de lijn k: 2x í 3y = 5.

Elke lijn met een vergelijking van de vorm 3x + 2y = c staat loodrecht op k. a Toon dit aan. b De lijn l gaat door het punt A(4, 1) en staat loodrecht op k. Stel van l een vergelijking op van de vorm ax + by = c. c De lijn m gaat door het punt B(3, í1) en staat loodrecht op de lijn n: 4x + 5y = 6. Stel van m een vergelijking op van de vorm ax + by = c. 6 Toon aan dat de lijn k: ax + by = c loodrecht staat op de R 30

lijn l: bx í ay = d.

8

De lijn k: ax + by = c staat loodrecht op de lijn l: bxíay = d.

31 De lijn k gaat door de punten (3, 0) en (0, 5).

a Stel van k een vergelijking op van de vorm ax + by = c. b De lijn l gaat door het punt A(2, í4) en staat loodrecht op k. Stel van l een vergelijking op van de vorm ax + by = c. c De lijn m gaat door de punten (p, 0) en (0, 2p). De lijn n gaat door het punt B(5, í3) en staat loodrecht op m. Stel van n een vergelijking op van de vorm ax + by = c. © Noordhoff Uitgevers bv

Meetkunde met coördinaten 155

32 De lijn k gaat door de punten A(2, 3) en B(7, 5).

a Stel van k de vergelijking op in de vorm y = ax + b. b De lijn l gaat door het punt C(4, 6) en staat loodrecht op k. Stel van l een vergelijking op. c De lijn m gaat door de punten D(í3, 4) en E(2, í5). De lijn n gaat door het punt F(3, 7) en staat loodrecht op m. Stel van n een vergelijking op. A 33 Stel een vergelijking op van de lijn

a k die door het punt A(6, 15) gaat en loodrecht staat op de lijn l: y = í 35 x + 1 b m die door het punt B(2, í2) gaat en loodrecht staat op de lijn n: 6x í 7y = 3 c p die door het punt C(í5, 3) gaat en loodrecht staat op de lijn door de punten (í4, 0) en (0, 3) d q die door het punt D(í6, 4) gaat en loodrecht staat op de lijn door de punten E(1, 5) en F(5, í1). D 34 In deze opgave is p  0 en q  0.

De lijn k door de punten (2p, 0) en (0, 3p) staat loodrecht op de lijn l door de punten (3q, 0) en (0, aq). Bereken a. O 35 Gegeven is de lijn k: y =

en het punt A(1, 3). Zie ¿guur 8.10. De lijn l gaat door A en staat loodrecht op k. De lijnen k en l snijden elkaar in het punt B. a Toon aan dat B het punt (2, 1) is.

8

A(1, 3)

3

1 2x

De afstand van A tot k is de lengte van het lijnstuk AB. b Bereken exact de afstand van A tot k.

y

k

2 1

O

1

2

3

4

x

¿guur 8.10

Bij het onderwerp De afstand van een punt tot een lijn hoort paragraaf 8.5C waar je werkt met GeoGebra.

Theorie C De afstand van een punt tot een lijn Bij de afstand van een punt tot een lijn speelt het begrip loodrechte projectie een rol. In ¿guur 8.11 is Pƍ de loodrechte projectie van het punt P op de lijn l. De afstand van het punt P tot de lijn l is gelijk aan de lengte van het lijnstuk PPƍ. Notatie d(P, l) = PPƍ. Voor de berekening van de afstand van een punt tot een lijn gebruiken we het werkschema op de volgende bladzijde.

P

l P'

¿guur 8.11 De afstand van een punt P tot een lijn l is de afstand van P tot zijn loodrechte projectie Pƍ op l.

156 Hoofdstuk 8

© Noordhoff Uitgevers bv

Werkschema: het berekenen van de afstand van het punt A tot de lijn k 1 Stel een vergelijking op van de lijn l door A die loodrecht staat op k. 2 Bereken de coördinaten van het snijpunt B van k en l. 3 Gebruik d(A, k) = d(A, B).

Voorbeeld Bereken exact de afstand van het punt A(5, 5) tot de lijn k: 3x + 2y = 12. Uitwerking De lijn l gaat door A en staat loodrecht op k. l: 2x í 3y = c f c = 2 Â 5 í 3 Â 5 = í5 A(5, 5) Dus l: 2x í 3y = í5. k en l snijden geeft 9x + 6y = 36 3x + 2y = 12 3 geeft e e 4x í 6y = í10 2x í 3y = í5 2 13x = 26 + x= 2 3 Â 2 + 2y = 12 3x + 2y = 12 e 2y = 6 y=3 Dus het snijpunt van k en l is B(2, 3). d(A, k) = d(A, B) = 冑(2 í 5)2 + (3 í 5)2 = 冑9 + 4 = 冑13 36 Bereken exact de afstand van

a b c d

het punt A(3, 0) tot de lijn k: y = 12 x + 1 het punt B(6, 0) tot de lijn l: 2x + y = 2 de oorsprong tot de lijn m: y = í3x + 10 de oorsprong tot de lijn n: 3x í 4y = 12.

8

37 Bereken in twee decimalen nauwkeurig de afstand van het punt

A (312 , 412 ) tot de lijn door de punten B(2, 1) en C(7, 3).

38 Gegeven zijn de lijnen k: x + 3y = 3 en l: x + y = 9.

Onderzoek met een berekening of het punt A(1, 4) dichter bij k dan bij l ligt. A 39 Gegeven is +ABC met de punten A(1, 0), B(7, 4) en C ( 32 , 6 ) . 1

a Bereken exact de afstand van het punt C tot de lijn door de punten A en B. b Bereken algebraïsch de oppervlakte van +ABC.

© Noordhoff Uitgevers bv

Meetkunde met coördinaten 157

Terugblik De afstand tussen twee punten

Voor de punten A(xA, yA ) en B(xB, yB ) geldt • de afstand tussen A en B is d(A, B) = 冑(xB í xA )2 + (yB í yA )2 • de coördinaten van het midden M van het lijnstuk AB zijn xM = 12 (xA + xB ) en yM = 12 (yA + yB ). Voor de punten A(p, 3p) en B(2p, p + 6) geldt dus • het midden M is M ( 12 ( p + 2p) , 12 (3p + p + 6 )) = M (112 p, 2p + 3) • d(A, B) = 冑(2p í p)2 + (p + 6 í 3p)2 = 冑p2 + (6 í 2p)2 = 冑p2 + 36 í 24p + 4p2 = 冑5p2 í 24p + 36. De minimale afstand tussen de punten A en B krijg je door de vergelijking dƍ (p) = 0 op 5p í 12 te lossen. d‫(މ‬p) = = 0 geeft p = 225 en de minimale afstand is 115 冑5. 2 冑5p í 24p + 36 Onderling loodrechte lijnen

8

Als voor de lijnen k en l geldt rck  rcl = í1, dan staan de lijnen loodrecht op elkaar. De lijnen m: 4x + 3y = 1 en n: 3x í 4y = 2 staan loodrecht op elkaar, want rc m  rc n = í 43  34 = í1. Je krijgt de formule van de lijn k die door het punt A(5, 4) gaat en loodrecht staat op de lijn l door de punten B(í1, 3) en C(5, í2) als volgt. yC í yB í2 í 3 rc l = x í x = = í 56 , dus rc k = 65 = 115 . 5 í í1 C B

De lijn q door het punt S(4, í3) die loodrecht staat op de lijn p: 2xíy = 1 is van de YRUPx + 2y = c. c āāí3 = 14, dus qx + 2y = 14.

k: y = 115 x + b 1 1 f 15 Â 5 + b = 4, dus b = í2 en k: y = 15 x í 2. door A(5, 4) De afstand van een punt tot een lijn

De afstand van een punt P tot een lijn l is de afstand tot zijn loodrechte projectie Pƍ op l. Om de afstand van het punt A(2, 5) tot de lijn k: y = 13 x + 1 te berekenen ga je als volgt te werk. 1 Stel een vergelijking op van de lijn l door A(2, 5) die loodrecht staat op k. Omdat rck = 13 is rcl = í3. l: y = í3x + b door (2, 5) geeft b = 11, dus l: y = í3x + 11. 2 Bereken de coördinaten van het snijpunt B van k en l. y = 13 x + 1 en y = í3x + 11 geeft 13 x + 1 = í3x + 11, dus 313 x = 10 en dit geeft x = 3, dus B(3, 2). 3 De afstand van A tot k, dus d(A, k) is de afstand van A tot B. d (A, k) = d(A, B) = 冑(3 í 2)2 + (2 í 5)2 = 冑1 + 9 = 冑10

158 Hoofdstuk 8

© Noordhoff Uitgevers bv

8.3 Cirkelvergelijkingen O 40 Gegeven is het punt M(1, 4) en het variabele punt P(x, y).

Voor de afstand d tussen M en P geldt d2 = (x í 1)2 + (y í 4)2. a Licht dit toe. In het geval d = 5 krijg je de vergelijking (x í 1)2 + (y í 4)2 = 25. b Licht toe dat deze vergelijking hoort bij de cirkel met middelpunt M(1, 4) en straal r = 5. c Stel een vergelijking op van de cirkel met middelpunt M(1, 4) en straal 10. d Geef van de cirkel met vergelijking (x + 2)2 + (y í 3)2 = 16 de coördinaten van het middelpunt en de straal. Bij het onderwerp cirkelvergelijkingen hoort paragraaf 8.5D waar je werkt met GeoGebra.

Theorie A De cirkelvergelijking (x − a)2 + (y − b)2 = r2 Voor een punt P(x, y) op afstand r van M(a, b) geldt d(P, M) = 冑(x í a)2 + (y í b)2 en d(P, M) = r, dus

冑(x í a)2 + (y í b)2 = r.

Kwadrateren geeft (x í a)2 + (y í b)2 = r2. Hiermee is een vergelijking van de cirkel met middelpunt M(a, b) en straal r opgesteld. De cirkel met middelpunt M(a, b) en straal r heeft als vergelijking

(x í a)2 + (y í b)2 = r2. 8

In ¿guur 8.12 zie je de cirkel c met middelpunt M(3, 4) die de lijn k: y = 12 x raakt. Omdat een raaklijn van een cirkel loodrecht staat op de straal naar het raakpunt, is de straal van de cirkel gelijk aan de afstand van M tot k, dus r = d(M, k).

y 6

c

5 M(3, 4)

4 3 A

k

2

r k

1

M 1

O

2

3

4

5

d(M, k) = r MA ⊥ k

© Noordhoff Uitgevers bv

¿guur 8.12

Meetkunde met coördinaten 159

x

Voorbeeld Stel een vergelijking op van de cirkel c met middelpunt M(3, 4) die de lijn k: y = 12 x raakt. Uitwerking De lijn l gaat door M en staat loodrecht op k. Stel l: y = ax + b. rc k = 12 , dus a = rc l = í2. y = í2x + b r í2 Â 3 + b = 4 door M(3, 4) í6 + b = 4 b = 10 l: y = í2x + 10 snijden met k: y = 12 x geeft í2x + 10 = 12 x í212 x = í10 x=4 Het snijpunt van k en l is het raakpunt A(4, 2). r = d(M, k) = d(M, A) = 冑(4 í 3)2 + (2 í 4)2 = 冑1 + 4 = 冑5 Dus c: (x í 3)2 + (y í 4)2 = 5. 41 Stel een vergelijking op van de cirkel

a b c d

c1 met middelpunt (2, í5) en straal 3 c2 met middelpunt (3, 1) die de x-as raakt c3 met middelpunt (í4, 2) die de y-as raakt c4 met middelpunt (3, 4) die door de oorsprong gaat. 1

42 Gegeven is de lijn k: y = 3 x. 8

a Stel een vergelijking op van de cirkel c1 met middelpunt M(5, 5) die k raakt. b Er zijn twee cirkels c2 en c3 waarvan het middelpunt op k ligt, die straal 2 hebben en die de x-as raken. Stel van zowel c2 als c3 een vergelijking op. c Er zijn twee cirkels c4 en c5 waarvan het middelpunt op k ligt, die straal 12 hebben en die de y-as raken. Stel van zowel c4 als c5 een vergelijking op.

43 Gegeven zijn de punten A(í1, 4) en B(9, 4). Het lijnstuk AB is een

middellijn van cirkel c1. Een vergelijking van c1 is (x í 4)2 + (y í 4)2 = 25. a Toon dit aan. c1 snijdt de x-as in de punten C(1, 0) en D(7, 0) en de y-as in de punten E(0, 1) en F(0, 7). b Toon aan dat de coördinaten van C, D, E en F juist zijn door vergelijkingen op te lossen. Een middellijn van cirkel c2 is CD en een middellijn van cirkel c3 is EF. c Stel van zowel c2 als c3 een vergelijking op. 160 Hoofdstuk 8

© Noordhoff Uitgevers bv

A 44 Gegeven zijn de punten A(3, 7) en B(9, 1) en de lijn

k: 3x + 4y = 12. Stel een vergelijking op van de cirkel a c1 met middelpunt A die de x-as raakt b c2 met middelpunt B die door de oorsprong gaat c c3 met middellijn AB d c4 met middelpunt A die k raakt e c5 met middelpunt de oorsprong die k raakt. O 45 Gegeven is de vergelijking x2 + y2 í 4x + 6y í 3 = 0.

Door kwadraatafsplitsen is de vergelijking te schrijven in de vorm (x í a)2 + (y í b)2 = r2. Toon dit aan.

Theorie B De cirkelvergelijking x2 + y2 + ax + by + c = 0 Door bij de vergelijking x2 + y2 + 6x í 4y í 3 = 0 kwadraat af te splitsen is de vergelijking te schrijven in de vorm (x í a)2 + (y í b)2 = r2. Dit gaat als volgt. x2 + y2 + 6x í 4y í 3 = 0 x2 + 6x + y2 í 4y í 3 = 0 x2 + 6x + 9 í 9 + y2 í 4y + 4 í 4 í 3 = 0 (x + 3)2 í 9 + (y í 2)2 í 4 í 3 = 0 (x + 3)2 + (y í 2)2 = 16

x2 + 6x = x2 + 6x + 9 í 9 = (x + 3)2 í 9 y2 í 4y = y2 í 4y + 4 í 4 = (y í 2)2 í 4

De vergelijking x2 + y2 + 6x í 4y í 3 = 0 hoort dus bij de cirkel met middelpunt (í3, 2) en straal 4. De vergelijking x2 + y2 + 6x í 4y í 3 = 0 is van de vorm x2 + y2 + ax + by + c = 0. Niet elke vergelijking van de vorm x2 + y2 + ax + by + c = 0 stelt een cirkel voor. Zo is x2 + y2 + 6x í 4y + 15 = 0 te herleiden tot (x + 3)2 + (y í 2)2 = í2 en dit is niet de vergelijking van een cirkel.

© Noordhoff Uitgevers bv

Meetkunde met coördinaten 161

8

Voorbeeld Bereken van de cirkel c: x2 + y2 + 8x í 3y + 6 = 0 de straal en de coördinaten van het middelpunt. Uitwerking x2 + y2 + 8x í 3y + 6 = 0 x2 + 8x + y2 í 3y + 6 = 0 (x + 4)2 í 16 + ( y í 112 )2 í 214 + 6 = 0 (x + 4)2 + ( y í 112 ) = 1214 2

冑

Dus de straal is 1214 = 312 en het middelpunt is (í4, 112 ) .

46 Bereken van de volgende cirkels de straal en de coördinaten van het

middelpunt. a c1: x2 + y2 + 6x í 4y + 4 = 0 b c2: x2 + y2 í 8x + 10y + 31 = 0 c c3: x2 + y2 + 5x + 3y + 3 = 0 d c4: x2 + y2 í 7x + 8y = 0 O 47 Gegeven zijn de cirkel c: x2 + y2 + 6x í 8y + 15 = 0 en de punten

A(0, 4) en B(í3, 0). Van c is het middelpunt M(í3, 4) en is de straal 冑10. a Toon dit aan. b Bereken d(M, A). c Ligt A op, binnen of buiten c? Licht toe. d Ligt B op, binnen of buiten c? Licht toe. 8

Theorie C Afstanden bij cirkels Om te onderzoeken of een punt A op, binnen of buiten de cirkel c: x2 + y2 + 6x í 8y + 15 = 0 ligt, schrijf je de vergelijking in de vorm (x í a)2 + (y í b)2 = r2. Je leest het middelpunt M(a, b) en de straal r af. Daarna kun je met een berekening nagaan of d(M, A) = r, d(M, A) < r of d(M, A) > r. Als d(M, A) = r, dan ligt A op de cirkel. Als d(M, A) < r, dan ligt A binnen de cirkel. Als d(M, A) > r, dan ligt A buiten de cirkel.

162 Hoofdstuk 8

© Noordhoff Uitgevers bv

Voorbeeld Onderzoek met een berekening of het punt A(2, 4) op, binnen of buiten de cirkel c: x2 + y2 í 10x í 6y + 21 = 0 ligt. Uitwerking x2 + y2 í 10x í 6y + 21 = 0 x2 í 10x + y2 í 6y + 21 = 0 (x í 5)2 í 25 + (y í 3)2 í 9 + 21 = 0 (x í 5)2 + (y í 3)2 = 13 Cirkel met middelpunt M(5, 3) en r = 冑13. d(M, A) = 冑(2 í 5)2 + (4 í 3)2 = 冑9 + 1 = 冑10 < r, dus A ligt binnen de cirkel. In ¿guur 8.13 is de cirkel c van het voorbeeld met het punt A getekend. Om de afstand van het punt A tot de cirkel te berekenen gebruiken we dat de afstand van A tot c gelijk is aan de lengte van het kortste verbindingslijnstuk tussen A en c. De afstand van een punt tot een kromme is de lengte van het kortste verbindingslijnstuk tussen het punt en de kromme.

Dit betekent dat in ¿guur 8.13 de afstand van A tot c, dus d(A, c), gelijk is aan d(M, c) í d(M, A). Ofwel d(A, c) = r í d(M, A). Omdat r = 冑13 en d(M, A) = 冑10 is d(A, c) = 冑13 í 冑10.

y

c

A M

x

O

¿guur 8.13

8

Als je te maken hebt met een punt B buiten c, dan is d(B, c) = d(M, B) í r. Omdat in ¿guur 8.13 geldt d(M, O) = 冑52 + 32 = 冑34 is d(O, c) = 冑34 í 冑13. 48 Onderzoek met een berekening of

a het punt A(í1, 2) op, binnen of buiten de cirkel c1: x2 + y2 í 6x í 8y = 0 ligt b de oorsprong op, binnen of buiten de cirkel c2: x2 + y2 í 8x í 4y + 2 = 0 ligt c het punt B(1, 4) op, binnen of buiten de cirkel c3: x2 + y2 + 4x í 6y + 3 = 0 ligt.

© Noordhoff Uitgevers bv

Meetkunde met coördinaten 163

49 Gegeven zijn de cirkel c: x2 + y2 í 6x í 4y + 3 = 0 en de punten

A(2, 1), B(í1, 5) en C(9, 4). Bereken exact. a d(A, c) b d(B, c) c d(C, c) A 50 Gegeven zijn de cirkel c: x2 + y2 í 2x + 4y = 0,

y

de lijn k: 4x + 6y = 29 en het punt A(4, 0). Zie ¿guur 8.14. Toon op algebraïsche wijze aan dat het punt A dichter bij c dan bij k ligt. O

x

A

k

M

c ¿guur 8.14

D 51 Bereken voor welke waarde van a de lijn k: 2x + y = 18

raakt aan de cirkel c: x2 + y2 í 8x + a = 0. O 52 De parametervoorstelling x = cos(t) œ y = sin(t) stelt

een cirkel voor. Geef van deze cirkel de straal en de coördinaten van het middelpunt.

sin2(A) + cos2(A) = 1

Theorie D Een parametervoorstelling van een cirkel 8

In opgave 52 is een parametervoorstelling van een cirkel gegeven. Door met behulp van de formule sin2(t) + cos2(t) = 1 de parameter te elimineren, krijg je een vergelijking van de cirkel. Bij de parametervoorstelling (pv) x = 3 + 2cos(t) œ y = 4 + 2sin(t) krijg je x = 3 + 2 cos(t) œ y = 4 + 2 sin(t) x í 3 = 2 cos(t) œ y í 4 = 2 sin(t) (x í 3)2 + (y í 4)2 = (2cos(t))2 + (2sin(t))2 (x í 3)2 + (y í 4)2 = 4cos2(t) + 4sin2(t) (x í 3)2 + (y í 4)2 = 4(cos2(t) + sin2(t)) (x í 3)2 + (y í 4)2 = 4 Je hebt dus de cirkel met middelpunt (3, 4) en straal 2. De grafiek bij de parametervoorstelling x = a + r cos(t) œ y = b + r sin(t) is de cirkel

(x í a)2 + (y í b)2 = r2.

164 Hoofdstuk 8

© Noordhoff Uitgevers bv

Voorbeeld Het punt P doorloopt de cirkel c: (x + 4)2 + (y í 2)2 = 9. Het punt Q is het midden van het lijnstuk AP, waarbij A(6, 0). Op welke kromme ligt Q? Uitwerking Een pv van c is x = í4 + 3cos(t) œ y = 2 + 3sin(t). Het midden Q van P(í4 + 3cos(t), 2 + 3sin(t)) en A(6, 0) is

(

Q

)

í4 + 3cos(t) + 6 2 + 3sin(t) + 0 = Q(1 + 112 cos(t), 1 + 112 sin(t)). , 2 2

Dus Q ligt op de cirkel (x í 1)2 + (y í 1)2 = 214 . 53 Stel bij de parametervoorstelling een cirkelvergelijking op van

de vorm x2 + y2 + ax + by + c = 0. a x = 5 + 2cos(t) œ y = í1 + 2 sin(t) b x = 4 + cos(2t) œ y = 3 + sin(2t) c x = 212 í 4 cos(t) œ y = 312 + 4 sin(t) d x = 1 + 3sin(2t) œ y = 2 í 3cos(2t) 54 Stel bij de cirkelvergelijking een parametervoorstelling op van

de vorm x = a + r cos(t) œ y = b + r sin(t). a c: (x + 3)2 + (y + 4)2 = 10 b c: x2 + y2 í 4x í 10y + 13 = 0 c c: x2 + y2 + 2y = 0 55 Gegeven zijn de cirkel c1: (x í 3)2 + (y í 4)2 = 25 en het punt A(í5, 2).

Het punt P doorloopt c1 en het punt Q is het midden van AP. Zo doorloopt Q de cirkel c2. Stel van c2 een vergelijking op van de vorm x2 + y2 + ax + by + c = 0.

A 56 Gegeven zijn de cirkel c1: x2 + y2 í 12x í 4y + 30 = 0 en de

punten A(2, 0), B(7, 5) en C(8, 1). a Onderzoek met een berekening voor elk van de punten A, B en C of ze op, binnen of buiten de cirkel liggen.

Het punt P doorloopt c1. Het punt Q is het midden van het lijnstuk AP, het punt R is het midden van het lijnstuk BP en het punt S is het midden van het lijnstuk QR. b S doorloopt de cirkel c2. Stel van c2 een vergelijking op van de vorm x2 + y2 + ax + by + c = 0.

© Noordhoff Uitgevers bv

Meetkunde met coördinaten 165

8

Terugblik De cirkelvergelijking (x − a)2 + (y − b)2 = r2

De cirkel met middelpunt M(a, b) en straal r heeft vergelijking (x í a)2 + (y í b)2 = r2. Een raaklijn aan een cirkel staat loodrecht op de straal naar het raakpunt. In de ¿guur hiernaast geldt d(M, k) = r.

A r M

Om een vergelijking op te stellen van de cirkel c met middelpunt M(5, 2) die de lijn k: 2x í y = í2 raakt ga je als volgt te werk. 1 Stel een vergelijking op van de lijn l door M die loodrecht staat op k. Je krijgt l: x + 2y = 9. 2 Bereken de coördinaten van het snijpunt van k en l. Dit is het raakpunt A. Je krijgt A(1, 4). 3 Bereken de straal van de cirkel met r = d(M, A). Je krijgt r = d(M, A) = 冑(1 í 5)2 + (4 í 2)2 = 冑16 + 4 = 冑20. 4 Gebruik de coördinaten van M en de straal om een vergelijking van c op te stellen. Je krijgt c: (x í 5)2 + (y í 2)2 = 20.

k

De cirkelvergelijking x 2 + y 2 + ax + by + c = 0

8

Om de vergelijking x2 + y2 í 10x í 4y + 9 = 0 te herleiden tot de vorm (x í a)2 + (y í b)2 = c ga je kwadraatafsplitsen. Je krijgt x2 + y2 í 10x í 4y + 9 = 0 x2 í 10x + y2 í 4y + 9 = 0 (x í 5)2 í 25 + (y í 2)2 í 4 + 9 = 0 (x í 5)2 + (y í 2)2 = 20 Je hebt dus te maken met de cirkel met middelpunt M(5, 2) en straal r = 冑20 = 2冑5. Om de afstand van het punt B(1, 6) tot de cirkel c: x2 + y2 í 10x í 4y + 9 = 0 te berekenen, gebruik je de afstand van B tot M(5, 2). d(B, M) = 冑(5 í 1)2 + (2 í 6)2 = 冑16 + 16 = 冑32 = 4冑2. Omdat d(B, M) > r ligt B buiten c, dus d(B, c) = d(B, M) í r = 4冑2 í 2冑5. De parametervoorstelling x = a + r cos(t) œ y = b + r sin(t)

Bij de parametervoorstelling (pv) x = í3 + 4cos(t) œ y = 6 + 4 sin(t) hoort de cirkel (x + 3)2 + (y í 6)2 = 16. Algemeen hoort bij de pv x = a + r cos(t) œ y = b + r sin(t) de cirkel (x í a)2 + (y í b)2 = r2. Om bij de cirkel c: x2 + y2 í 10x í 4y + 9 = 0 een pv op te stellen, herleid je de vergelijking eerst tot (x í 5)2 + (y í 2)2 = 20. Zo krijg je de pv x = 5 + 2冑5  cos(t) œ y = 2 + 2冑5  sin(t).

166 Hoofdstuk 8

© Noordhoff Uitgevers bv

8.4 Raaklijnen en snijpunten bij cirkels O 57 Gegeven is de cirkel c: (x í 2)2 + (y í 1)2 = 10

y

k

en het punt A(5, 2) op c. De lijn k raakt c in A. Zie ¿guur 8.15. a Hoe kun je controleren dat A op c ligt?

c

De lijn l gaat door M en A. b Bereken de richtingscoëf¿ciënt rcl van l. De lijn k staat loodrecht op l. c Stel de formule van k op.

A M x

O

¿guur 8.15

Theorie A Raaklijnen aan cirkels In opgave 57 heb je de formule opgesteld van een raaklijn aan een cirkel in een gegeven raakpunt. Je gaat daarbij als volgt te werk. Werkschema: het opstellen van een vergelijking van een raaklijn k aan een cirkel c met middelpunt M in een gegeven punt A op c 1 Bereken de richtingscoëf¿ciënt rcl van de lijn l door M en A. 2 Gebruik k C l, dus rck · rcl = í1, om de richtingscoëf¿ciënt rck van k te berekenen. 3 Gebruik rck en de coördinaten van A om een vergelijking van k op te stellen.

Voorbeeld Het punt A(2, 3) ligt op de cirkel c: (x í 3)2 + (y í 1)2 = 5. Stel een vergelijking op van de lijn k die c raakt in A. Uitwerking Stel k: y = ax + b. M(3, 1) is het middelpunt van c. 3í1 m door M en A met rc m = = í2, dus a = rc k = 12 . 2í3 y = 12 x + b 1 r Â2 + b = 3 door A(2, 3) 2 1+b=3 b=2 Dus k: y = 12 x + 2. © Noordhoff Uitgevers bv

Meetkunde met coördinaten 167

8

58 Zie het voorbeeld met de cirkel c: (x í 3)2 + (y í 1)2 = 5.

De lijn l raakt c in het punt B(2, í1). a Toon aan dat l: y = 12 x. b De raaklijn l in B gaat door de oorsprong. Er is nog een lijn door de oorsprong die c raakt. Toon aan dat bij deze lijn de vergelijking y = 2x hoort door de afstand van het middelpunt van de cirkel tot deze lijn te berekenen. c c snijdt de x-as in de punten C en D met xC < xD. De lijn p raakt c in C. Stel een vergelijking op van p. y

59 Zie het voorbeeld en opgave 58.

In ¿guur 8.16 zijn c, de punten A en B en de raaklijnen k en l getekend. a Bereken de hoek tussen k en l door gebruik te maken van de richtingshoeken van k en l. Rond af op één decimaal.

k A

c S

Het snijpunt van k en l is S. b Bereken de coördinaten van S.

M x

O

Door gebruik te maken van de lengte van het ¿guur 8.16 lijnstuk MS en de straal van de cirkel is “ MSA in +AMS te berekenen. c Bereken op deze manier “ MSA en gebruik dit om de hoek tussen k en l te berekenen. Rond af op één decimaal.

B

l

60 Gegeven is de cirkel c: x2 + y2 í 12x + 11 = 0.

8

De punten A en B met xA = xB = 3 en yA > yB liggen op c. De lijn k raakt c in A en de lijn l raakt c in B. a Stel van k en van l een vergelijking op. b Bereken in graden nauwkeurig de hoek tussen k en l. c Er zijn twee raaklijnen aan de cirkel die door de oorsprong gaan. Bereken in graden nauwkeurig de hoek die deze raaklijnen met elkaar maken. A 61 Gegeven is de cirkel c: x2 + y2 í 4x + 2y í 12 = 0.

c snijdt de negatieve x-as in het punt A en de positieve x-as in het punt B. Verder ligt het punt C(1, 3) op c. De lijn k raakt c in A, de lijn l raakt c in B en de lijn m raakt c in C. a Bereken in graden nauwkeurig de hoek tussen k en m. De lijnen l en m snijden elkaar in het punt S. b Bereken de coördinaten van S. c Bereken exact de afstand van S tot c.

168 Hoofdstuk 8

© Noordhoff Uitgevers bv

O 62 Gegeven zijn de cirkel c: x2 + y2 í 10x + 15 = 0 en de lijn

k: y = x í 1. Door y = x í 1 te substitueren in de cirkelvergelijking krijg je de vergelijking x2 í 6x + 8 = 0. a Toon dit aan. b Los de vergelijking x2 í 6x + 8 = 0 op en bereken de coördinaten van de snijpunten van k met c.

Theorie B Snijpunten van lijnen met cirkels In opgave 62 heb je de coördinaten van de snijpunten van de lijn k: y = x í 1 met de cirkel c: x2 + y2 í 10x + 15 = 0 berekend. Dit deed je door y = x í 1 te substitueren in de cirkelvergelijking. Zo kreeg je een vergelijking met alleen de variabele x. Heb je te maken met de lijn l: y = x + 1 en c, dan krijg je x2 + (x + 1)2 í 10x + 15 = 0 x2 + x2 + 2x + 1 í 10x + 15 = 0 2x2 í 8x + 16 = 0 x2 í 4x + 8 = 0 D = (í4)2 í 4 Â 1 Â 8 = 16 í 32 = í16 < 0 Hieruit volgt dat de lijn l geen snijpunten heeft met c. Heb je te maken met de lijn m: y = 3x í 5 en c, dan krijg je x2 + (3x í 5)2 í 10x + 15 = 0 x2 + 9x2 í 30x + 25 í 10x + 15 = 0 10x2 í 40x + 40 = 0 x2 í 4x + 4 = 0 (x í 2)2 = 0 x=2 Hieruit volgt dat de lijn m precies één gemeenschappelijk punt met de cirkel heeft, dus dat m de cirkel raakt. Het raakpunt is (2, 1). Merk op dat de discriminant van de vergelijking x2 í 4x + 4 = 0 gelijk is aan nul.

8

De ligging van de lijn y = ax + b ten opzichte van een cirkel Ontstaat na substitutie van y = ax + b in de cirkelvergelijking een tweedegraadsvergelijking waarvan de discriminant • groter is dan nul, dan zijn er twee snijpunten • kleiner is dan nul, dan zijn er geen snijpunten • gelijk is aan nul, dan raakt de lijn de cirkel.

© Noordhoff Uitgevers bv

Meetkunde met coördinaten 169

Voorbeeld Gegeven is de cirkel c: (x í 5)2 + (y í 1)2 = 17. a Bereken de coördinaten van de snijpunten van de lijn k: 3x + 5y = 37 met c. b Bereken voor welke waarden van q de lijn y = 4x + q de cirkel raakt. Aanpak b Gebruik de vergelijking van de cirkel in de vorm x2 + y2 + ax + by + c = 0. Uitwerking a 3x + 5y = 37 5y = í3x + 37 y = í 35 x + 725 2 Substitutie van y = í 35 x + 725 in (x í 5)2 + (y í 1)2 = 17 geeft (x í 5)2 + (í 35 x + 625 ) = 17. Voer in y1 = (x í 5)2 + (í 35 x + 625 )2 en y2 = 17. Intersect geeft x = 4 en x = 9. x = 4 geeft y = í 35 Â 4 + 725 = 5

8

x = 9 geeft y = í 35 Â 9 + 725 = 2. De snijpunten zijn (4, 5) en (9, 2). b (x í 5)2 + (y í 1)2 = 17 x2 í 10x + 25 + y2 í 2y + 1 = 17 x2 + y2 í 10x í 2y + 9 = 0 Substitutie van y = 4x + q in x2 + y2 í 10x í 2y + 9 = 0 geeft x2 + (4x + q)2 í 10x í 2(4x + q) + 9 = 0 x2 + 16x2 + 8qx + q2 í 10x í 8x í 2q + 9 = 0 17x2 + (8q í 18)x + q2 í 2q + 9 = 0 D = (8q í 18)2 í 4 Â 17 Â (q2 í 2q + 9) = 64q2 í 288q + 324 í 68q2 + 136q í 612 = í4q2 í 152q í 288 Raken, dus D = 0. D = 0 geeft í4q2 í 152q í 288 = 0 q2 + 38q + 72 = 0 D = 382 í 4 Â 1 Â 72 = 1156 q=

í38 í 34 í38 + 34 = í36  q = = í2 2 2

R 63 Zie het voorbeeld b.

Je kunt q ook op een andere manier berekenen. Daartoe stel je een vergelijking op van de lijn m door het middelpunt M van c die loodrecht staat op y = 4x + q. De snijpunten A en B van m met c zijn raakpunten. Gebruik dat de lijn y = 4x + q door A of B gaat om de waarden van q te berekenen.

l1 l2

A M B

m

¿guur 8.17 170 Hoofdstuk 8

© Noordhoff Uitgevers bv

64 Bereken algebraïsch de coördinaten van de snijpunten van

a de lijn k: y = x + 1 met de cirkel c1: x2 + y2 í 10x í 2y + 9 = 0 b de lijn l: x + y = 6 met de cirkel c2: x2 + y2 = 26 c de lijn m: x = t + 1 œ y = 2t + 1 met de cirkel c3: x2 + y2 í 8x í 4y + 10 = 0. 65 Bereken de coördinaten van de snijpunten van de lijn met de

cirkel. Rond zo nodig af op twee decimalen. a De lijn k: 2x í 3y + 4 = 0 en de cirkel c1: (x í 6)2 + (y í 1)2 = 26. b De lijn l: 3x + 4y = 19 en de cirkel c2: x2 + y2 í 4x + 6y í 12 = 0. c De lijn m: y = 2x en de cirkel c3: (x í 3)2 + (y í 1)2 = 9. 66 Gegeven is de cirkel c: x2 + y2 í 10x í 2y + 6 = 0.

Bereken voor welke a de lijn y = ax + 1 a raaklijn is van c b geen punten gemeenschappelijk heeft met c c twee snijpunten heeft met c. 67 Gegeven is de cirkel c: x2 + y2 í 10x í 2y + 6 = 0.

Bereken voor welke b de lijn y = 12 x + b a raaklijn is van c b geen punten gemeenschappelijk heeft met c c twee snijpunten heeft met c.

A 68 Het lijnstuk AB met A(í1, 3) en B(7, í1) is een middellijn van de

cirkel c. a Bereken voor welke p de lijn y = í2x + p de cirkel c raakt. b Bereken voor welke q de lijn y = qx í 512 geen punten gemeenschappelijk heeft met c.

© Noordhoff Uitgevers bv

8

Meetkunde met coördinaten 171

Terugblik Een vergelijking van een raaklijn aan een cirkel opstellen

Bij het opstellen van een vergelijking van de raaklijn k aan een cirkel c met middelpunt M in een gegeven punt A op c ga je als volgt te werk. 1 Bereken de richtingscoëf¿ciënt rcl van de lijn l door M en A. 2 Bereken rck met behulp van rck  rcl = í1. 3 Stel een vergelijking op van k met behulp van rck en de coördinaten van A. Bij het opstellen van een vergelijking van de lijn k die de cirkel c: (x í 6)2 + (y í 2)2 = 17 raakt in het punt A(2, 3) krijg je 3í2 1 1 M(6, 2), dus de lijn l door M en A heeft rcl = = = í 14 . 2 í 6 í4 2 Uit rcl = í 14 en k C l volgt rck = 4. 3 k: y = 4x + b 4  2 + b = 3 geeft b = í5 door A(2, 3) f Dus k: y = 4x í 5. Snijpunten van lijnen met cirkels

8

Om de coördinaten van de snijpunten van de lijn l: y = íx + 3 met de cirkel c: (x í 6)2 + (y í 2)2 = 17 te berekenen, substitueer je y = íx + 3 in de cirkelvergelijking. Je krijgt (x í 6)2 + (íx + 1)2 = 17. Algebraïsch oplossen van deze vergelijking geeft x2 í 12x + 36 + x2 í 2x + 1 = 17 2x2 í 14x + 20 = 0 x2 í 7x + 10 = 0 (x í 2)(x í 5) = 0 x = 2 x = 5 De snijpunten van l en c zijn (2, 1) en (5, í2). Afhankelijk van de vraagstelling mag je de vergelijking die je na substitutie krijgt eventueel gra¿sch-numeriek oplossen. Om te berekenen voor welke p de lijn y = px + 5 de cirkel c: x2 + y2 í 10x í 4y + 12 = 0 raakt, substitueer je y = px + 5 in de cirkelvergelijking en gebruik je dat moet gelden D = 0 bij de vergelijking die je krijgt. Substitutie geeft x2 + (px + 5)2 í 10x í 4(px + 5) + 12 = 0. Herleiden geeft (p2 + 1)x2 + (6p í 10)x + 17 = 0. Hierbij hoort D = í32p2 í 120p + 32. D = 0 geeft í32p2 í 120p + 32 = 0 ofwel 4p2 + 15p í 4 = 0. Oplossen van deze vergelijking geeft p = í4 p = 14 . Dus de lijnen y = í4x + 5 en y = 14 x + 5 raken de cirkel.

172 Hoofdstuk 8

© Noordhoff Uitgevers bv

8.5 Meetkunde met GeoGebra O 69 Met de optie Schuifknop kun je met GeoGebra een variabele aanmaken.

¿guur 8.18

a Maak met Schuifknop een variabele t aan, waarvan de waarde varieert van í1 tot 4 met stapgrootte 0,01. b Voer in de invoerregel het punt A = (2t í 1, 3 í t) in. c Zet voor A het Spoor aan (rechts klikken op A) en verander de waarde van t door de knop te verschuiven. Wat kun je zeggen over de baan waarover A beweegt? d Zet voor de variabele t de Animatie aan (rechts klikken op de schuifknop). Tussen welke punten gaat het punt A heen en weer?

8

Theorie A Parameterkrommen In opgave 69 heb je gezien dat het punt A(2t í 1, 3 í t) over een rechte lijn beweegt als t verandert. Omdat de x-coördinaat van A gelijk is aan 2t í 1 en de y-coördinaat gelijk is aan 3 í t zeggen we dat A beweegt over de lijn met parametervoorstelling x = 2t í 1 œ y = 3 í t. Om met GeoGebra de formule van de lijn te vinden teken je deze lijn met de optie Rechte door twee punten en lees je de formule af in het algebravenster. Neem je voor de coördinaten van A formules die niet lineair zijn, dan kun je kromme lijnen in het platte vlak krijgen.

© Noordhoff Uitgevers bv

Meetkunde met coördinaten 173

Om de lijn l: x = 4t + 3 œ y = 1 í 3t te tekenen ga je als volgt te werk. • Maak een schuifknop voor t. • Teken het punt A(4t + 3, 1 í 3t) en zet voor A het Spoor aan. • Versleep t of zet voor t de Animatie aan. 70 Teken de volgende lijnen en geef de formule van de lijn.

a k: x = 4t + 3 œ y = 1 í 3t b l: x = 4 í t œ y = 2t + 1 71 Teken de volgende krommen.

a K: x = 8 í t2 œ y = 1 í 2t b L: x = 4t í t3 œ y = 2t í 1

Theorie B De opdracht Kromme De manier waarop je hiervoor bij een parametervoorstelling een kromme hebt getekend heeft een paar nadelen. Zo zijn er geen berekeningen mee te maken en zijn er geen raaklijnen te tekenen. GeoGebra heeft ook een optie om een parametervoorstelling rechtstreeks in te voeren in de invoerregel. De kromme K: x = 5 í t2 œ y = 2t3 í 4t voer je als volgt in.

8

De betekenis van de argumenten van de opdracht Kromme zijn achtereenvolgens: de x-coördinaat, de y-coördinaat, de parameter, de startwaarde van de parameter en de eindwaarde van de parameter. Bij de opdracht hierboven wordt dus de kromme K getekend van t = í10 tot t = 10. Het is leerzaam om te experimenteren met de opdracht Kromme en het niet te laten bij de aangeboden opdrachten. 72 Teken de volgende krommen met de opdracht Kromme voor t op

[í10, 10]. a K: x = 3 + 4 cos(t) œ y = 1 + 4 sin(t) b K: x = t + 2cos(2t) œ y = 3 + 3sin(t) 73 a Maak een schuifknop voor de parameter p die loopt

van 0 tot 2ʌ met stapgrootte 0,01. b Teken de kromme K: x = 3 + 2 cos(3t) œ y = 1 + 3 sin(t) waarbij t loopt van 0 tot p. c Zet voor de schuifknop p de Animatie aan. d Neem nu t van í0,5p tot 0,5p (klik hiervoor in het algebravenster op de formules) en zet de Animatie aan.

174 Hoofdstuk 8

ʌYRHUMHLQDOVSL

© Noordhoff Uitgevers bv

Theorie C De afstand van een punt tot een lijn Om met GeoGebra de afstand tussen de punten A en B te berekenen teken je het lijnstuk AB. Je leest de lengte van dat lijnstuk af in het algebravenster. GeoGebra noemt de lengten van lijnstukken a, b, c, ... Je kunt deze namen gebruiken in de invoerregel. De afstand tussen een punt A en een lijn k is de lengte van het loodlijnstuk vanuit A op k. Om met GeoGebra de afstand van het punt A tot de lijn k te berekenen kun je het volgende werkschema gebruiken. Werkschema: het berekenen van de afstand van een punt A tot de lijn k 1 Teken de lijn l door A die loodrecht staat op k. 2 Teken het snijpunt B van k en l. 3 Teken het lijnstuk AB en lees de lengte af. Bij de afstand van het punt A(5, 5) tot de lijn k: 3x + 2y = 12 krijg je uiteindelijk het volgende scherm. Je leest in het algebravenster af dat de afstand ongeveer gelijk is aan 3,61.

8

¿guur 8.19

© Noordhoff Uitgevers bv

Meetkunde met coördinaten 175

74 Bereken de afstand van

a b c d

het punt A(3, 0) tot de lijn k: y = 12 x + 1 het punt B(6, 0) tot de lijn l: 2x + y = 2 de oorsprong tot de lijn m: y = í3x + 10 de oorsprong tot de lijn n: 3x í 4y = 12.

75 Gegeven zijn de lijnen k: x + 3y = 3 en l: x + y = 9.

Onderzoek met een berekening of het punt A(1, 4) dichter bij k dan bij l ligt.

Theorie D De afstand van een punt tot een cirkel De cirkel met middelpunt M(a, b) en straal r heeft als vergelijking (x í a)2 + (y í b)2 = r2. Zo hoort bij de cirkel met middelpunt M(3, 5) en straal 2 de vergelijking (x í 3)2 + (y í 5)2 = 4. Werk je in deze vergelijking de haakjes weg, dan krijg je x2 í 6x + 9 + y2 í 10y + 25 = 4 ofwel x2 + y2 í 6x í 10y = í30. Zowel de vergelijking (x í 3)2 + (y í 5)2 = 4 als de vergelijking x2 + y2 í 6x í 10y = í30 kun je in de invoerregel invoeren. Door in het algebravenster op de formule rechts te klikken is de ene vergelijking om te zetten in de andere vergelijking.

8

¿guur 8.20

Gebruik in de volgende opgaven dat de afstand tussen twee meetkundige ¿guren de kortste afstand tussen deze ¿guren is.

176 Hoofdstuk 8

© Noordhoff Uitgevers bv

76 Gegeven is de cirkel c: x2 + y2 í 6x í 10y + 30 = 0 en het punt

A(8, 2). Om de afstand tussen A en c, dus d(A, c), met GeoGebra te berekenen ga je als volgt te werk. • Teken c, A en het middelpunt M van c. • Teken de lijn k door A en M. De lijn k snijdt c in twee punten. a Geef met behulp van de optie Lijnstuk de afstand van A tot c in twee decimalen nauwkeurig. b Teken het punt C(4, 6) en bereken d(C, c) in twee decimalen nauwkeurig. A 77 Gegeven zijn de punten A(1, 1), B(4, 1), C(4, 3) en D(1, 3).

c1 is de cirkel met middelpunt A en straal 1 en c2 is de cirkel met middelpunt C en straal 1.

8

¿guur 8.21

a Bereken de afstand tussen c1 en c2 in twee decimalen nauwkeurig. b Licht toe dat het exacte antwoord van vraag b gelijk is aan 冑13 í 2. c Bereken de afstand tussen c1 en de lijn BD in twee decimalen nauwkeurig.

© Noordhoff Uitgevers bv

Meetkunde met coördinaten 177

Diagnostische toets 8.1 Lijnen en hoeken 1

Gegeven zijn de lijnen kp: px + (p í 5)y = 2 en lp,q: (p + 1)x í (3 í p)y = q. Bereken algebraïsch voor welke p en q a de lijnen kp en lp,q evenwijdig zijn. b de lijnen kp en lp,q samenvallen.

2

Voor welke p gaat de lijn e

3

De lijn k snijdt de assen in de punten (p, 0) en (0, 3). a Stel een vergelijking op van k van de vorm ax + by = c. b Voor welke p ligt het punt A(3, 6) op k? c Voor welke p is k evenwijdig met de lijn m: 2x + 5y = 10?

4

Bereken in één decimaal nauwkeurig de hoek tussen de lijnen. a k: y = 4x + 2 en l: y = í 12 x + 6 b m door (3, 0) en (0, í2) en n door (2, 0) en (0, 5) c p: 2x + 3y = 6 en q: y = 8x í 6

x(t) = 3t í 6p door het punt (2, 7)? y(t) = í2t + p

8.2 Afstanden bij punten en lijnen 5

Gegeven zijn de punten A(2p, 0) en B(3, p + 1). a Druk de afstand tussen de punten A en B uit in p. b Bereken langs algebraïsche weg voor welke p de afstand tussen A en B kleiner is dan 5. c Bereken exact de minimale afstand tussen A en B. d Voor welke p ligt het midden van lijnstuk AB op de lijn k: x + y = 6?

6

Stel een vergelijking op van de lijn a k die door het punt A(2, 3) gaat en loodrecht staat op de lijn l: y = í 13 x + 5 b m die door het punt B(2, í4) gaat en loodrecht staat op de lijn n: 3x + 2y = 6 c p die door het punt C(í2, 6) gaat en loodrecht staat op de lijn q door de punten (3, 0) en (0, 4).

7

a Bereken exact de afstand van het punt A(6, í1) tot de lijn k: y = 2x í 3. b Bereken exact de afstand van het punt B(3, 5) tot de lijn l door de punten C(2, 1) en D(í2, 5).

8

178 Hoofdstuk 8

© Noordhoff Uitgevers bv

8.3 Cirkelvergelijkingen 8

Gegeven zijn de punten A(2, í3) en B(8, 2) en de lijn k: y = 3x í 6. Stel een vergelijking op van de cirkel a c1 met middelpunt B en straal 5 b c2 met middelpunt A die door B gaat c c3 met middelpunt A die de y-as raakt d c4 met middellijn AB e c5 met middelpunt B die k raakt.

9

Bereken van de volgende cirkels de straal en de coördinaten van het middelpunt. a c1: x2 + y2 í 6x + 8y í 11 = 0 b c2: x2 + y2 + 3x í 7y = 0

10 Gegeven zijn de cirkel c1: x2 + y2 í 16x + 8y í 1 = 0 en de punten

A(3, í4), B(2, 5) en C(3, 4). a Onderzoek met een berekening of het punt A op, binnen of buiten c1 ligt. b Bereken exact d(B, c1). c Bereken exact d(C, c1).

Het punt P doorloopt c1 en het punt Q is het midden van AP. Zo doorloopt Q de cirkel c2. d Stel van c2 een vergelijking op van de vorm x2 + y2 + ax + by + c = 0. 8.4 Raaklijnen en snijpunten bij cirkels 11 Gegeven is de cirkel c: x2 + y2 + 14x í 4y + 43 = 0. De punten A

en B met xA = xB = í8 en yA > yB liggen op c. De lijn k raakt c in A en de lijn l raakt c in B. Het snijpunt van k en l is S. a Stel van k en van l een vergelijking op. b Bereken in graden nauwkeurig de hoek tussen k en l. c Bereken exact d(S, c). d Er zijn twee raaklijnen aan de cirkel die door de oorsprong gaan. Bereken in graden nauwkeurig de hoek die deze raaklijnen met elkaar maken.

8

12 Gegeven is de cirkel c met middelpunt M(1, 2) en straal r = 冑5.

a Bereken voor welke p de lijn k: y = í2x + p de cirkel raakt. b Bereken voor welke q de lijn m: y = 12 x + q twee snijpunten met de cirkel heeft.

© Noordhoff Uitgevers bv

Meetkunde met coördinaten 179

Wiskunde Olympiade

180 Hoofdstuk #

© Noordhoff Uitgevers bv

De Wiskunde Olympiade is een jaarlijkse wiskundewedstrijd voor leerlingen tot en met de vijfde klas havo/vwo die wel houden van wat wiskundige uitdaging. In januari of februari vindt de eerste ronde plaats op alle scholen die zich hebben aangemeld. Je krijgt dan 12 speelse en uitdagende opgaven voorgeschoteld waar je 2 uur de tijd voor krijgt. Voorbeelden van de opgaven van de afgelopen jaren vind je hierna. Het gaat bij de A-vragen om meerkeuzevragen en bij de B-vragen alleen maar om de eindantwoorden in 1 1 exacte vorm, zoals 11 81 , 2 + 2 冑5 of 4 ʌ + 1. Je mag geen rekenmachine of een lijst met formules gebruiken, alleen pen en papier, passer en liniaal of geodriehoek en natuurlijk je gezonde verstand. Voor de opgaven kun je twee punten per A-vraag halen en vijf punten per B-vraag. Aan het eind van elk jaar is in een tabel opgenomen welk percentage van de deelnemers uit vwo 4 de betreffende opgave goed had opgelost. Verder staat erbij hoeveel punten minimaal nodig waren om uitgenodigd te worden voor de volgende ronde.

Sinds 2010 is er een tweede ronde die in maart regionaal wordt georganiseerd. De beste 120 a 140 van de tweede ronde worden uitgenodigd voor de eindronde, die in september van het volgende schooljaar altijd op de Technische Universiteit Eindhoven plaatsvindt. Als je bij de eindronde hoog eindigt, krijg je een uitnodiging voor een trainingsprogramma dat parallel aan je schoolwerk loopt van november tot en met juni. De beste 6 leerlingen vormen het Nederlandse team voor de Internationale Wiskunde Olympiade. Die is in 2014 in Zuid-Afrika, in 2015 in Thailand, in 2016 in Hong Kong en in 2017 in Brazilië. Er doen zo’n 100 landen aan mee. Je kunt aan je wiskundedocent laten weten dat het je wel leuk lijkt om mee te doen; hij of zij kan de school dan opgeven via de site www.wiskundeolympiade.nl of via de inschrijfformulieren die elke school in september krijgt opgestuurd via de SLO.

Het werk van de Stichting Nederlandse Wiskunde Olympiade wordt mogelijk gemaakt door financiële bijdragen en steun van: Technische Universiteit Eindhoven: Faculteit Wiskunde en Informatica, Ministerie van Onderwijs, Cultuur en Wetenschap, Stichting DIAMANT, Nederlandse Onderwijs Commissie Wiskunde, CITO, ORTEC, Transtrend BV, All Options BV, The Derivatives

NEDERLANDSE WISKUNDE OLYMPIADE

Technology Foundation, Centraal Bureau voor de Statistiek, Stichting Compositio Mathematica, Pythagoras wiskundetijdschrift voor jongeren, Epsilon Uitgaven, Veen Magazines, Natuurwetenschap & Techniek, CANdiensten. © Noordhoff Uitgevers bv

181

2009 A-vragen 1

Ella scoort 60% goed bij een toets van 25 vragen, 70% goed bij een toets van 30 vragen en 80% goed bij een toets van 45 vragen. Als de toetsen worden samengevoegd tot één toets met 100 vragen, wat is dan haar score voor die toets van 100 vragen? A 68% B 70% C 72% D 74% E 76%

2

Voor hoeveel van de gehele getallen 10 tot en met 99 geldt dat de som van de cijfers gelijk is aan het kwadraat van een geheel getal? (Een voorbeeld is het getal 27 met som van de cijfers 2 + 7 = 9 = 32.) A 13 B 14 C 15 D 16 E 17

3

Ronald gooit met drie dobbelstenen. Die zien er net zo uit als gewone dobbelstenen, alleen staan er op de zes zijvlakken andere getallen. Op de eerste dobbelsteen staan de getallen: l, l, 2, 2, 3 en 3. Op de tweede dobbelsteen staan de getallen: 2, 2, 4, 4, 6 en 6. En op de derde dobbelsteen staan de getallen: l, l, 3, 3, 5 en 5. Hij telt de drie getallen die hij gooit bij elkaar op. Hoe groot is de kans dat het resultaat een oneven getal is? B 13 C 12 D 23 E 34 A 14

4

Drie verschillende getallen uit de verzameling {l, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} worden in de bovenste drie vierkantjes geplaatst van de ¿guur hiernaast. Vervolgens worden de getallen opgeteld volgens het aangegeven schema. Noem het grootst mogelijke getal dat in het onderste vierkantje kan komen Max en het kleinst mogelijke getal dat in het onderste vierkantje kan komen Min. Wat is de waarde van Max í Min? A 16 B 24 C 25 D 26 E 32

5

De lengtes van de diagonalen van een ruit hebben een verhouding 3 : 4. (Een ruit is een vierhoek met vier zijden die even lang zijn.) De som van de lengtes van de diagonalen is 56. Hoe groot is de omtrek van de ruit? A 80 B 96 C 100 D 108 E 160

6

Wouter gaat lopend van zijn huis naar zijn sportclub. Hij had ook zijn race¿ets kunnen pakken; daarmee gaat de tocht zeven keer zo snel. Maar die liet hij thuis staan. Na 1 km is hij op een punt aangekomen dat het in tijd niets uitmaakt of hij verder doorloopt of juist naar huis terugloopt om alsnog met zijn race¿ets te gaan. Hoeveel km is hij op dat moment nog verwijderd van zijn sportclub? A 87 B 76 C 65 D 54 E 43

182 Wiskunde Olympiade

+

+ +

© Noordhoff Uitgevers bv

7

8

Op de zijden van een gelijkzijdige driehoek worden drie vierkanten getekend. De zijden van de vierkanten die evenwijdig zijn met de zijden van de driehoek worden verlengd tot ze elkaar snijden. De drie snijpunten vormen weer een gelijkzijdige driehoek. De lengte van de zijde van de oorspronkelijke driehoek is 1. Wat is de lengte van de zijde van de grote gelijkzijdige driehoek? A 1 + 2冑2 B 5 í 12 冑3 C 3冑2 D 1 + 2冑3 E 2冑6

1

1 1

Bekijk alle getallen van vier cijfers waarin elk van de cijfers 3, 4, 6 en 7 precies eenmaal voorkomt. Hoeveel van deze getallen zijn deelbaar door 44? A2 B 4 C6 D 8 E 12

B-vragen 1

Op een vel papier staat een rooster van 101 bij 101 witte vierkantjes. Er is een slang gevormd door vierkantjes grijs te kleuren zoals in bijgaande ¿guur. De slang begint linksboven en loopt door tot hij niet verder kan. Slechts een deel van het rooster is afgebeeld. Hoeveel vierkantjes zijn er in totaal grijs gekleurd in het volledige rooster van 101 bij 101 vierkantjes?

99999...99999 Het gehele getal N bestaat uit 2009 negens achter elkaar geschreven. Een computer berekent N 3 = (99999 ... 99999)3. Hoeveel negens bevat het uitgeschreven getal N 3 in totaal?

3

Met een brede kwast worden de diagonalen van een vierkante tegel geverfd, zie de ¿guur. Precies de helft van het oppervlak van de tegel is geverfd. De breedte van de verfkwast is l, zoals aangegeven. Bereken de lengte van de zijde van de tegel.

4

Bepaal een drietal gehele getallen (a, b, c) dat voldoet aan de vergelijkingen: a + b + c = 18 a2 + b2 + c2 = 756 a2 = bc

1

2009×

2

opgave

A1

A2

A3

A4

A5

A6

A7

A8

B1

B2

B3

B4

percentage

87

41

68

67

59

34

39

49

16

4

1

11

De 54 leerlingen uit vwo 4 met een score van 23 of meer zijn uitgenodigd voor de eindronde. © Noordhoff Uitgevers bv

Wiskunde Olympiade 183

2010 A-vragen 1

Een ¿guur bestaat uit drie cirkels en twee lijnen. Hoeveel snijpunten kunnen er maximaal zijn? A 15 B 16 C 18 D 19

E 20

2

Een toets bestaat uit zes vragen die achtereenvolgens l tot en met 6 punten waard zijn. Heb je een vraag goed beantwoord, dan wordt het aantal punten van die vraag bij je score opgeteld. Zo niet, dan wordt het juist ervan afgetrokken. Heb je alleen vragen l, 3 en 4 goed, dan is je score dus 1 í 2 + 3 + 4 í 5 í 6 = í5. Hoeveel verschillende eindscores zijn er mogelijk? A 20 B 22 C 41 D 43 E 64

3

Een regelmatige zeshoek ABCDEF heeft oppervlakte 1. Wat is de oppervlakte van de vlieger ACDE? A 14 冑6 B 23 C 34 D 56

A

E

1 2

冑3

B

F

C

E D

4

Drie spelers spelen een spelletje met ¿ches. Elke ronde geeft degene (of één van degenen) met het grootste aantal ¿ches één ¿che aan de pot en daarna één aan elk van zijn medespelers. De pot is in het begin leeg en de drie spelers beginnen met respectievelijk 13, 14 en 15 ¿ches. Het spel eindigt als een van de spelers al zijn ¿ches kwijt is. Hoeveel ¿ches zitten er in de pot op het moment dat het spel eindigt? A 36 B 37 C 38 D 39 E 40

5

Als het getal ((((76)5)4)3)2 wordt uitgeschreven, wat is dan het laatste cijfer? A1 B 3 C5 D7 E 9

6

Bereken

((冑2 + 1 )7 + (冑2 í 1)7 ) 2 í ((冑2 + 1 )7 í (冑2 í 1 ) 7 ) 2.

A2

184 Wiskunde Olympiade

B 4

C 8冑2

D 128

E 512

© Noordhoff Uitgevers bv

7

De kilometerteller van een auto geeft aan dat de auto 2010 km gereden heeft. Het is een kilometerteller met zes wieltjes en geen cijfer achter de komma, dus de stand van de teller is 002010. Deze kilometerteller slaat echter het cijfer 4 over en springt dus direct van 3 naar 5, bij elk van de wieltjes. Hoeveel kilometer heeft de auto werkelijk gereden? A 1409 B 1467 C 1647 D 1787 E 1809

8

Dertig mensen van verschillende lengte zijn opgesteld in een rechthoek van zes rijen van elk vijf personen. Uit elke rij kiezen we de kortste en van die zes kortsten nemen we de langste; dat is Piet. Ook kiezen we uit elke rij de langste en van die zes langsten kiezen we de kortste; dat is Jan. Vervolgens zetten we alle dertig mensen op volgorde van lengte naast elkaar, de kortste links en de langste rechts. Op welke positie kan Jan niet staan? A 21 posities links van Piet D 19 posities rechts van Piet B 19 posities links van Piet E 21 posities rechts van Piet C direct naast Piet B-vragen

1

Zeven even lange lucifers liggen op tafel en raken elkaar zoals in de ¿guur. Hoeveel graden is de aangegeven hoek?

2

Hoeveel positieve gehele getallen a zijn er, waarvoor geldt: als je 2216 door a deelt, is de rest 29.

3

Een ¿guur bestaat uit een vierkant ABCD en een halve cirkel met middellijn AD buiten het vierkant. De zijde van het vierkant heeft lengte 1. Wat is de straal van de omgeschreven cirkel van de ¿guur?

4

?

Op een bord met 28 rijen en 37 kolommen wordt in elk vakje met een rode pen een getal geschreven: in de bovenste rij van links naar rechts de getallen l tot en met 37, in de rij eronder van links naar rechts de getallen 38 tot en met 74, enzovoorts. Met een groene pen wordt daarna opnieuw in elk vakje een getal geschreven, maar nu komen de getallen l tot en met 28 van boven naar beneden in de linker kolom, in de kolom ernaast van boven naar beneden de getallen 29 tot en met 56, enzovoorts. In het vakje linksboven staat nu zowel in rood als in groen het getal 1. Tel de rode getallen op, van alle vakjes waar in rood en groen hetzelfde getal staat. Wat is de uitkomst?

A

D

B

C

opgave

A1

A2

A3

A4

A5

A6

A7

A8

B1

B2

B3

B4

percentage

54

20

68

42

44

16

21

24

21

8

5

1

De 243 leerlingen uit vwo 4 met een score van 12 of meer zijn uitgenodigd voor de regionale ronde. © Noordhoff Uitgevers bv

Wiskunde Olympiade 185

2011 A-vragen 1

De velden van een 4 × 4-bord worden wit of zwart gekleurd. Naast elke rij en onder elke kolom staat aangegeven hoeveel velden in die rij of kolom zwart moeten zijn. Op hoeveel manieren kan het bord gekleurd worden? A0 B1 C4 D5

2 0 1

E8

1 2

2

De datum 4 februari 2011 wordt genoteerd als 04-02-2011. We kijken in deze opgave naar de eerstvolgende dag na 4 februari 2011 waarvan de datum met acht verschillende cijfers wordt geschreven. In welke maand valt die dag? A januari B maart C juni D oktober E december

3

Gegeven is zevenhoek ABCDEFG, waarvan alle zijden lengte 2 hebben. Bovendien geldt “E = 120°, “C = “G = 90° en “A = “B = “D = “F. Wat is de oppervlakte van de zevenhoek? C 14 E 8 + 3冑6 A 10 + 2冑2 B 8 + 3冑3 D 10 + 2冑6

0

B

1

1

A

C

G

D

F E

4

Aline, Bram en Cas doen mee aan een wiskundewedstrijd met 12 vragen. Vooraf zijn ze enigszins pessimistisch en doen ze de volgende uitspraken. Aline: “Bram zal minstens twee vragen meer goed hebben dan ik.” Bram: “Ik zal niet meer dan vijf vragen goed hebben.” Cas: “Ik zal hoogstens zoveel vragen goed hebben als Aline.” Hun leraar probeert hun moed in te spreken en zegt: “Samen hebben jullie vast meer dan 18 vragen goed.” Na aÀoop blijken zowel alle drie de leerlingen als hun leraar een foute voorspelling te hebben gedaan. Wie heeft/hebben het kleinste aantal vragen goed beantwoord? A alleen Aline D zowel Aline als Bram B alleen Bram E dat kun je niet met zekerheid zeggen C alleen Cas

5

Van de getallen l tot en met 100 wil Jaap er zoveel mogelijk (verschillende) op een blaadje papier schrijven. Er mogen geen twee getallen op het blaadje komen die bij elkaar opgeteld 125 zijn. Hoeveel getallen kan hij hoogstens op het blaadje schrijven? A 50 B 61 C 62 D 63 E 64

6

Het getal a = 11…111 bestaat uit precies 2011 enen. Wat is de rest van a bij deling door 37? A0 B 1 C3 D7

186 Wiskunde Olympiade

E 11

© Noordhoff Uitgevers bv

7

8

Anne en Bob zitten in een kermisattractie. Ze bewegen in cirkels rond hetzelfde middelpunt en in dezelfde richting. Anne gaat één keer per 20 seconden rond, Bob één keer per 28 seconden. Op een gegeven moment zijn ze op de kleinst mogelijke afstand van elkaar (zie de tekening). Hoeveel seconden duurt het daarna voordat Anne en Bob juist zo ver mogelijk van elkaar verwijderd zijn? A 22,5 B 35 C 40 D 49 E 70 De hoekpunten van een regelmatige vijftienhoek worden verbonden zoals in het plaatje. (Pas op: de afmetingen in het plaatje kloppen niet precies!) Hoe groot is de hoek, aangegeven met een boogje, tussen AC en BD? A 130° B 132° C 135° D 136° E 137,5°

Bob

Anne

B C A D

B-vragen 1

1 1 Voor het getal x geldt x = . Bereken x í x . Vereenvoudig je antwoord zo 1+x ver mogelijk.

2

In een warenhuis loopt een roltrap van de begane grond naar de eerste verdieping. Dion gaat met deze roltrap omhoog; hij zet hierbij zelf ook nog een aantal stappen in een vast tempo. Raymond loopt over dezelfde roltrap, tegen de richting in, van boven naar beneden en zet hierbij stappen in hetzelfde tempo als Dion. Ze nemen allebei één trede per stap. Dion is na precies 12 stappen boven; Raymond is na precies 60 stappen beneden. Hoeveel stappen zou Dion nodig hebben om boven te komen als de roltrap stilstond?

3

Zes padvinders gaan op speurtocht. Op zaterdag gaan ze naar het bos en op zondag gaan ze de bergen in. Op beide dagen moeten ze in tweetallen hun weg vinden. Hun leider wil ze voor elk van beide tochten in paren verdelen, zó dat niemand op de tweede dag dezelfde partner heeft als op de eerste dag. Op hoeveel manieren kan hij dat doen?

4

In de ¿guur zie je een ‘spitsboog’ ABC en zijn ingeschreven cirkel. De spitsboog bestaat uit lijnstuk AB met lengte l, cirkelboog BC met middelpunt A en cirkelboog AC met middelpunt B. Hoe groot is de straal van de ingeschreven cirkel van de spitsboog?

C

A

B

opgave

A1

A2

A3

A4

A5

A6

A7

A8

B1

B2

B3

B4

percentage

55

47

22

37

67

29

54

27

6

6

5

6

De 273 leerlingen uit vwo 4 met een score van 13 of meer zijn uitgenodigd voor de regionale ronde. © Noordhoff Uitgevers bv

Wiskunde Olympiade 187

Gemengde opgaven 5 Machten en exponenten 1

Schrijf als macht van x. 1 4 3 8 d x (冑 x ) x3 Â xí5 e 冑x

3x a x4 Â 冑

b

xí3 x2

c x 2

3

4

1 Å x5

f

Los algebraïsch op. Rond de oplossingen af op drie decimalen. 4 í5 a 2  (5x)2,4 í 12 = 18 b 3 Â冑 x = 16 a Maak x vrij bij de formule y = 冑2 í 5x í 3. 5 6A í 1 + 2. b Maak A vrij bij de formule B = 34  冑 c Gegeven is de formule 4P冑Q í 冑Q = 3. Druk Q uit in P. 3 t. d Gegeven zijn de formules y = 3x2  冑x en x = 2t  冑 Druk y uit in t en herleid deze formule tot de vorm y = atb. Stel van elke asymptoot van de gra¿ek de formule op. a f (x) = 10 í 3  ( 27 ) b g(x) = 6 +

5

( x冑x ) í3

3x 8íx

x

c h(x) = í2 + 4 Â (116 ) d j(x) =

x

2 + 6x + 3x + 1 í 2 3 í 2x

1 í 1. xí2 Teken de gra¿eken van f en g in één ¿guur en geef Bf . Los op f (x) ” g(x). Rond in het antwoord zo nodig af op drie decimalen. Los algebraïsch op f (x) ” 1. Welke waarden neemt f (x) aan voor x < í2? Los algebraïsch op g(x) • í5. Welke waarden neemt g(x) aan voor 0 ” x ” 6?

Gegeven zijn de functies f (x) = 冑x + 6 í 3 en g(x) = a b c d e f

188 Gemengde opgaven

© Noordhoff Uitgevers bv

6

Gegeven zijn de functies f (x) =

0 4x + 2 0 4x + 2 en g(x) = . 2x + 3 2x + 3

a Stel de formules op van de asymptoten van de gra¿eken van f en g. b Voor welke waarden van x geldt f (x) = g(x)? c Los algebraïsch op g(x) ” 1. 7

Bereken exact de oplossingen. a 30 í 33x + 1 = 3 b 2x

8

2

í2

= 32

2

f 43x í x =

(12) 3 í x

g 3x í 3 + 3x í 4 = 43 冑3

( 13)x + 2 = 92x í 5

c 2 Â 3x í 1 + 5 = 59

h

d 43x + 1 = 18 冑2

i 2x + 2 í 2x í 1 = 14冑2

3 25 e 51 í 3x = 15 Â 冑

j

( 12) íx + 2 + 2x + 3 = 418

Een hoeveelheid neemt jaarlijks met 9,6% toe. a Hoeveel procent is de toename per 10 jaar? Rond af op gehelen. b Hoeveel procent is de toename per maand? Een hoeveelheid neemt per dag met 17% af. c Hoeveel procent is de afname per week? d Hoeveel procent is de afname per uur?

9

T in dagen De planeet Saturnus heeft vele manen. In de gra¿ek van ¿guur G.1 is voor drie van die manen het verband tussen de omlooptijd T in dagen en de straal R van de 5 baan in 105 km af te lezen. Sterrenkundigen hebben aangetoond dat T = a · R1,5. Uit de ¿guur volgt dat a in twee decimalen nauwkeurig gelijk is aan 0,37. a Toon dit aan. O b De baan van de maan Iapetus heeft een straal van 35,6 × 105 km. ¿guur G.1 Hoeveel dagen is de omlooptijd? 25 c De straal van de baan van de maan Titan is 11 keer de straal van de baan van de maan Rhea. Hoeveel keer zo groot is de omlooptijd? q d Schrijf de formule in de vorm R = pT . Rond p en q af op twee decimalen. e In 1980 heeft de Voyager enkele tot dan toe onbekende manen van Saturnus gefotografeerd. Van een van deze manen, de 1980S.27, is de omlooptijd 15 uur. Bereken de straal van de baan.

© Noordhoff Uitgevers bv

Rhea (5,28; 4,5) Dione (3,78; 2,7) Tethys (2,95; 1,9) 5

10 5 ×10 km

Gemengde opgaven 189

R

10 Gegeven zijn de functies f (x) = 3 · 2x í 2 en g(x) = 2x í 3 + 1.

a Hoe ontstaan de gra¿eken van f en g uit een standaardgra¿ek? b Teken de gra¿eken van f en g in één ¿guur en geef Bf en Bg. c Bereken de coördinaten van het snijpunt van de gra¿eken in twee decimalen nauwkeurig. d Los algebraïsch op f (x) = í 12 . e Welke waarden neemt g(x) aan voor x ” 7? f De gra¿eken van f en g snijden van de lijn y = 9 een lijnstuk AB af. Bereken de lengte van AB in twee decimalen nauwkeurig.

11 Op 1 mei start in een laboratorium een onderzoek met 1 miljard

bacteriën. Aanvankelijk groeit de populatie bacteriën met 5% per dag. Doordat de onderzoekers de temperatuur veranderen, neemt vanaf 21 mei het aantal bacteriën per dag met 8% af. Het onderzoek duurt de gehele maand mei. a Hoeveel bacteriën zijn er aan het eind van het onderzoek? b Met welk percentage zou het aantal bacteriën vanaf 21 mei per dag moeten afnemen, opdat er aan het eind van het onderzoek weer precies 1 miljard bacteriën zijn? c Een ander onderzoek met 1 miljard bacteriën start ook op 1 mei. Ook hier groeit de populatie aanvankelijk met 5% per dag. Vanaf een zekere dag neemt het aantal met 10% per dag af. Op 1 juni zijn er weer precies 1 miljard bacteriën. Op welke datum vindt de overgang plaats van toename naar afname? 12 Röntgenstraling wordt deels door het menselijk lichaam

geabsorbeerd. Hoeveel straling geabsorbeerd wordt hangt af van het soort weefsel en de dikte ervan. Voor bot geldt dat de halveringsdikte 2 cm is. Dit betekent dat er bot met een dikte van 2 cm nodig is om de intensiteit van de röntgenstraling te halveren. Pb is het percentage van de röntgenstralingsintensiteit dat door bot met een dikte van d cm doordringt. Er bestaat een exponentieel verband tussen Pb en d. a Stel de formule op van Pb. b Hoeveel mm bot is er nodig om 90% van de oorspronkelijke intensiteit van de röntgenstraling te absorberen? Rond af op gehelen. Voor lood geldt de formule Pl = 100 Â 0,03125d. Pl is het percentage van de röntgenstralingsintensiteit dat door lood met een dikte van d cm doordringt. c Bereken de halveringsdikte van lood. d Hoeveel keer minder lood dan bot heb je nodig om 90% van de oorspronkelijke intensiteit van de röntgenstraling te absorberen?

190 Gemengde opgaven

© Noordhoff Uitgevers bv

6 Differentiaalrekening 13 Differentieer.

a f (x) = (x2 + 1)4 b g(x) =

x2 + 4x í 7 2冑x

c h(x) = (x2 + 1)2 Â (3x2 í 5x) d j(x) =

4 x3 x2 Â 冑 x3 + 2

x2 í 2x + 2 . xí1 a Bereken algebraïsch de extreme waarden van f. b Voor welke p heeft de vergelijking f (x) = p geen oplossingen? c Stel langs algebraïsche weg de formule op van de raaklijn k in het punt A met xA = í2.

14 Gegeven is de functie f (x) =

15 Differentieer.

a f (x) =

6

(3x + 5) Â 冑3x + 5

b g(x) = (2x + 6) Â 冑x2 + 6x + 10 c h(x) =

(x2

3x í 6x)3

d j(x) = x4 · (2x2 í 1)3 e k(x) =

x

冑x3 + 1 x冑x + 3x f l(x) = x冑x

x+2 . x3 í x + 6 a Toon met de afgeleide aan dat de functie een extreme waarde heeft voor x = 1.

16 Gegeven is de functie f (x) =

De noemer is te ontbinden in (x + 2)(x2 í 2x + 3). b Toon dit aan. c Bereken de coördinaten van de perforatie van de gra¿ek van f. d Los de vergelijking f '(x) = 0 algebraïsch op door eerst de formule van f te vereenvoudigen. 17 Gegeven zijn de functies fp(x) = 12 x4 í 2px3 + px2 í 4x í 2.

Bereken exact voor welke waarden van p de gra¿ek van fp twee buigpunten heeft.

10x + p . x2 + 1 De lijn k met rck = í112 raakt de gra¿ek van fp in het punt A met xA = 1. Stel algebraïsch de formule op van k.

18 Gegeven zijn de functies fp(x) =

© Noordhoff Uitgevers bv

Gemengde opgaven 191

í10x . x2 + 4 a Bereken algebraïsch de extreme waarden van f en geef Bf . b Voor welke p heeft de vergelijking f (x) = p twee oplossingen?

19 Gegeven is de functie f (x) =

1 . x+2 De gra¿ek van f snijdt de y-as in het punt A. Stel langs algebraïsche weg de formule op van de raaklijn k in A. De gra¿ek van f heeft twee horizontale raaklijnen. Bereken exact de afstand tussen deze lijnen. Voor welke p heeft de vergelijking f (x) = p precies twee oplossingen? Bereken algebraïsch de x-coördinaten van de punten op de gra¿ek van f waarin de richtingscoëf¿ciënt van de raaklijn gelijk is aan 15 16 .

20 Gegeven is de functie f (x) = x + 1 +

a b c d

21 Gegeven zijn de functies fp(x) = í 13 x3 í px2 í 4x + 1.

a De functie fp heeft een extreme waarde voor x = 4. Bereken p en de andere extreme waarde. b Bereken voor welke p de functie twee extreme waarden heeft. c Stel een formule op van de kromme waarop alle toppen van de gra¿eken van fp liggen.

22 Gegeven zijn de functies fp(x) = x冑x í p冑x.

a De lijn k: y = 5x + q raakt de gra¿ek van fp in het punt A met xA = 16. Bereken p en q. b Stel een formule op van de kromme waarop alle toppen van de gra¿eken van fp liggen. c Bereken voor welke p de gra¿ek van fp een top heeft met ytop = í2.

192 Gemengde opgaven

© Noordhoff Uitgevers bv

7 Goniometrische functies 23 De hoekpunten van de gelijkzijdige driehoek ABC liggen

y

op de eenheidscirkel. De draaiingshoek Į is 40°. Zie ¿guur G.2. Bereken de coördinaten van de punten A, B en C in drie decimalen nauwkeurig

1 A B –1

α

O

1

x

C

–1

¿guur G.2

24 Op de eenheidscirkel liggen de punten A, B en C.

y

Gegeven is Į = 23 ʌ rad, xB = í 12 冑2 en Ȗ = í 16 ʌ rad. Zie ¿guur G.3. Bereken exact a de coördinaten van A b de coördinaten van C c ȕ in radialen d de lengte van de langste cirkelboog BC.

A

1

α γ

O

β

1 C

B

¿guur G.3

25 Bereken exact de oplossingen.

a cos (3x í 12 ʌ ) = 12 冑2

d sin ( 12 x í 13 ʌ ) cos(2x) = 0

b sin (13 x + 14 ʌ ) = í 12

e 3tan (14 x + 16 ʌ ) = 冑3

c 1 + tan (3x í 34 ʌ ) = 0

f 4 cos2 (2ʌx í 12 ʌ ) = 3

26 Los algebraïsch op.

a cos (2x í 12 ʌ ) = cos(ʌ í x)

c sin(ʌx) = sin(2ʌx)

b sin (2x + 13 ʌ ) = sin (x í 12 ʌ )

d cos(10ʌx) = cos(5ʌx í 6ʌ)

27 Bereken exact de oplossingen op [0, 2ʌ].

a sin (112 x í 16 ʌ ) = 12 冑3

c sin2 (112 x ) = sin (112 x ) + 2

b cos3 (212 x ) + cos (212 x ) = 0

d tan (2x + 13 ʌ ) = tan (3x í 16 ʌ )

28 Gegeven is de functie f (x) = 0 1 + 3 sin ( 23 x ) 0 met domein [0, 4ʌ].

a Schets de gra¿ek van f. b De gra¿ek heeft drie punten met een horizontale raaklijn. Bereken exact de coördinaten van deze punten. c Los op f (x) • 2. Rond in het antwoord zo nodig af op twee decimalen. d Bereken de maximale helling van de gra¿ek.

© Noordhoff Uitgevers bv

Gemengde opgaven 193

x

29 Gegeven zijn de volgende transformaties.

T1: translatie ( 13 ʌ, 0) T2: translatie (0, í2) T3: vermenigvuldiging ten opzichte van de x-as met 3 T4: vermenigvuldiging ten opzichte van de y-as met 12 Geef telkens de formule van de functie die ontstaat uit die van y = cos(x) door toepassing van achtereenvolgens de transformaties c T3, T2 en T4 e T3, T4, T2 en T4 a T2 en T3 b T1 en T4 d T4, T3 en T2 f T1, T3, T4 en T2

30 a Herleid sin (4x í 3 ʌ ) tot de vorm cos(ax + b). 1

b Herleid ícos (3x + 16 ʌ ) tot de vorm sin(ax + b). c Druk 3 sin2(x) – 2 cos(x) uit in cos(x). d Druk 3 cos (x í 12 ʌ ) í 2 cos2(x) uit in sin(x). 31 In ¿guur G.4 is een sinusoïde getekend.

N

Stel bij de sinusoïde een formule op van de vorm a N = a + b sin(c(t í d )) met b > 0 b N = a + b cos(c(t í d )) met b < 0.

40 30 20 10

–3

O

1

6

t

¿guur G.4

32 Op het interval [0, 4] zijn gegeven de functies

f (x) = 15 + 20 cos(ʌx) en g(x) = 30 í tan (12 ʌx ) . a Hoe ontstaat de gra¿ek van f uit een standaardgra¿ek? b Geef van de gra¿ek van g een beginpunt, de periode en de asymptoten. c Schets de gra¿eken van f en g in één ¿guur. d Los op f (x) < g(x). Rond zo nodig af op twee decimalen.

33 Differentieer.

a f (x) = 3 í sin ( 13 (x í 14 ʌ)) b g(x) = x4 cos(3x í 4) 1 c h(x) = sin(x) + cos(x) 3 d j(x) = 2ʌx í ʌ Â sin ( 13 ʌx í 1) 194 Gemengde opgaven

x2 + cos(2x) sin(2x) f l(x) = 4cos4(x)

e k(x) =

g m(x) = x sin2(x) h n(x) = 5x2 tan(3x) © Noordhoff Uitgevers bv

34 Gegeven is de functie f (x) = 2 sin(x) + sin2(x) met domein

[0, 4ʌ]. a Stel algebraïsch de formule op van de raaklijn l in het punt A met xA = ʌ. b Bereken exact het bereik van f.

8 Meetkunde met coördinaten 35 a Bereken voor welke p de lijn e

x(t) = 2t + 12 y(t) = 45 t + p

x y í = 1 heeft. 5 2 x(t) = 2t + p b Bereken voor welke p de lijn e y(t) = í112 t í 1 de vergelijking 3x + 4y = 2p heeft. x(t) = 3t í p c Bereken voor welke p de lijn e y(t) = pt í 4 door het punt (3, 14) gaat. de vergelijking

36 Bereken in één decimaal nauwkeurig de hoek tussen de lijnen.

a k: 3x + y = 6 en l: y = í2x + 3 b m door (3, 0) en (0, 4) en n door (1, 1) en (3, 3) c p: y = 12 x + 2 en q: y = 13 x í 6 37 De lijn k snijdt de assen in de punten A(p + 1, 0) en B(0, 3p).

Stel een vergelijking op van k van de vorm ax + by = c. Voor welke p ligt het punt C(í1, 6) op k? Voor welke p staat k loodrecht op de lijn l: 2x + 3y = 6? Bereken algebraïsch voor welke waarden van p de afstand tussen A en B kleiner is dan 3. e Voor welke waarden van p ligt het midden M van lijnstuk AB op de lijn m door O, die AB loodrecht snijdt?

a b c d

38 Bereken exact de afstand van het punt A(3, 4) tot

a b c d

het punt B(6, 8) de cirkel c1: (x í 2)2 + (y í 3)2 = 10 de cirkel c2: x2 + y2 í 4x + 2y = 0 de lijn k: 3x + 4y = 15.

39 Stel een vergelijking op van de lijn

x = 12 t + 6 y = 4t í 4 b l die door het punt A(1, 2) gaat en loodrecht staat op de lijn m: 2x í 3y = 6 c n die door het punt B(3, 2) gaat en de cirkel met middellijn OB raakt d p die door het punt C(3, í1) gaat en die evenwijdig is met de lijn q door de punten (5, 0) en (0, í3).

a k die wordt beschreven door het stelsel e

© Noordhoff Uitgevers bv

Gemengde opgaven 195

40 Om een vergelijking op te stellen van de cirkel door de

punten A, B en C, kun je gebruik maken van de constructie van de omgeschreven cirkel van +ABC. Zie het volgende werkschema. 1 Stel een vergelijking op van de middelloodlijn lijn k van lijnstuk AB. 2 Stel een vergelijking op van de middelloodlijn l van lijnstuk AC. 3 Bereken de coördinaten van het snijpunt M van k en l. 4 Bereken d(M, A). 5 Geef de vergelijking van de cirkel. a Licht bovenstaand werkschema toe. b Stel een vergelijking op van de cirkel c door de punten A(6, 8), B(7, 1) en C(í2, 4). 41 Gegeven zijn de punten A(0, 2), B(0, 8) en C(4, 0).

De cirkel c1 gaat door A en B en raakt de x-as in C. De cirkel c2 heeft middellijn AB. Zie de ¿guur hiernaast. a Stel van zowel c1 als van c2 een vergelijking op. b Bereken de waarden van p waarvoor de lijn k: 3x + 4y = p de cirkel c1 raakt. c Er zijn twee raaklijnen van c2 die door O(0, 0) gaan. Bereken de hoek die deze raaklijnen met elkaar maken in graden nauwkeurig. d Het punt P doorloopt c2 en het punt Q is het midden van CP. Zo doorloopt Q de cirkel c3. Stel van c3 een vergelijking op van de vorm x2 + y2 + ax + by + c = 0.

y

c1 B

c2

A O

C

x

¿guur G.5

42 Gegeven zijn de cirkel c1: (x í 4)2 + (y + 3)2 = 4

en de punten A(0, í6) en B(6, 0). Het punt P doorloopt c1. Het punt Q is het midden van het lijnstuk AP, het punt R is het midden van het lijnstuk BP en het punt S is het midden van het lijnstuk OP. Het punt Z is het zwaartepunt van driehoek QRS. Het punt Z doorloopt de cirkel c2. Stel van c2 een vergelijking op van de vorm x2 + y2 + ax + by + c = 0.

43 Gegeven is de cirkel cp : x2 + y2 + px + 4y í 5 = 0.

a Neem p = 2 en bereken voor welke q de lijn kq: x í 3y = q de cirkel raakt. b Bereken voor welke p de lijn lp: 3x + y = p geen punten gemeenschappelijke heeft met cp. Rond af op twee decimalen.

196 Gemengde opgaven

© Noordhoff Uitgevers bv

44 In de ¿guur hiernaast zijn in een assenstelsel de

cirkels c1 en c2 getekend. Het middelpunt M van c1 ligt op de y-as en de straal van c1 is r. Het middelpunt van c2 is N en de straal is s. Er geldt r > s. De cirkels raken de x-as in de punten O en P. De cirkels raken elkaar, dus d(M, N) = r + s. a Neem r = 9 en s = 4 en bereken exact de oppervlakte van vierhoek OPNM. b Toon aan dat de oppervlakte van vierhoek OPNM gelijk is aan (r + s)冑rs. c Bereken algebraïsch voor welke r en s geldt dat MN = 25 en OP = 15.

© Noordhoff Uitgevers bv

y

c1 c2

M r O

N s P

¿guur G.10

Gemengde opgaven 197

x

Overzicht GR-handleiding Module Berekeningen op het basisscherm • Het basisscherm • Eenvoudige berekeningen • Mintekens • Haakjes • Tussenstappen • De toets [ANS] • Fouten verbeteren • De toets [ENTRY] / [REPLAY] • Breuken invoeren • Decimaal getal omzetten in breuk • Breuken vermenigvuldigen

vwo B deel 1 hoofdstuk 1 bladzijde 10

Formules, grafieken en tabellen • Formules invoeren • Gra¿eken plotten • Het standaardscherm • Formules uitzetten • De trace-cursor • Functiewaarden berekenen met de trace-cursor • Functiewaarden berekenen op het basisscherm • Tabellen maken • Tabelinstelling veranderen

vwo B deel 1 hoofdstuk 1 bladzijde 39

Toppen en snijpunten • Toppen van gra¿eken • Snijpunten van gra¿eken • Berekenen van nulpunten

vwo B deel 1 hoofdstuk 1 bladzijde 39

Helling • De richtingscoëf¿ciënt van een raaklijn

vwo B deel 1 hoofdstuk 2 bladzijde 60

Het gebruik van Ans en lettergeheugens • De toets [ANS] • Het gebruik van lettergeheugens

vwo B deel 1 hoofdstuk 4 bladzijde 141

Allerlei • Speci¿eke mogelijkheden van het merk/type GR

198 Overzicht GR-handleiding

© Noordhoff Uitgevers bv

Trefwoordenregister A

afhankelijk stelsel 142 amplitude 113 assenvergelijking 145, 147 B

beeldgra¿ek 10 beginpunt 13, 114 buigpunt 64 buigraaklijn 65

H

hoek tussen lijnen 149 horizontale asymptoot 20 hyperbool 20 K

kettingfunctie 75 kettingregel 75 koorden en de sinus 98

D

E

eenheidscirkel 96 eerstegraads gebroken functie 22 evenwichtsstand 113 exacte-waarden-cirkel 103 exponent 8 exponentieel verband 49 exponentieel verval 44 exponentiële afname 44 exponentiële functie 36 exponentiële groei 44 exponentiële ongelijkheid 39 exponentiële standaardfunctie 36 exponentiële vergelijking 40 G

gebroken exponenten en hogeremachtswortels 32 gebroken functie 20 goniometrische formules 119 goniometrische functie 113 groeifactor 44 groeipercentage 44 grondtal 8

© Noordhoff Uitgevers bv

limiet 20 loodrechte projectie 156 M

macht 8 machtsfunctie 9 middelpuntshoek

100

tak van hyperbool 20 tangensfunctie 129 transformatie 14 translatie 13 tweede afgeleide 65 vermenigvuldiging ten opzichte van de x-as 11 vermenigvuldiging ten opzichte van de y-as 114 verticale asymptoot 20 vrijmaken van variabele 18 W

wortelfunctie 13

N

nulpunt

T

V

L

draaiingshoek 96

standaardlimiet 20 strijdig stelsel 142

113

P

parameter 84, 144 parametervoorstelling van cirkel 164 parametervoorstelling van lijn 144 periode 113 R

rad 100 radiaal 100, 101 reële getallen 36 rekenregels voor machten 8 richtingshoek 148 S

samengestelde functie schakel 75 sinusoïde 114 standaardfunctie 9 standaardgra¿ek 9

75

Trefwoordenregister 199

Verantwoording Fotoresearch: B en U International Picture Service, Amsterdam Illustratieverwerving: Haasart, Wim de Haas, Rhenen Technisch tekenwerk: OKS, Delhi (India)

Colofon Omslagontwerp: In Ontwerp, Assen Ontwerp binnenwerk: Ebel Kuipers, Sappemeer Lay-out: OKS, Delhi (India)

Foto’s ImageSelect, Wassenaar: blz. 6-7, 54-55 Shutterstock: blz. 47, 49 Corbis: blz. 73, 92-93 ANP Photo, Rijswijk: blz. 138-139 Stichting Nederlandse Wiskunde Olympiade, Arnhem: blz. 180, 181

0 / 15 © 2015 Noordhoff Uitgevers bv, Groningen, The Netherlands.

Met betrekking tot sommige teksten en/of illustratiemateriaal is het de uitgever, ondanks zorgvuldige inspanningen daartoe, niet gelukt eventuele rechthebbende(n) te achterhalen. Mocht u van mening zijn (auteurs-)rechten te kunnen doen gelden op teksten en/of illustratiemateriaal in deze uitgave dan verzoeken wij u contact op te nemen met de uitgever.

Behoudens de in of krachtens de Auteurswet van 1912 gestelde uitzonderingen mag niets uit deze uitgave worden verveelvoudigd, opgeslagen in een geautomatiseerd gegevensbestand of openbaar gemaakt, in enige vorm of op enige wijze, hetzij elektronisch, mechanisch, door fotokopieën, opnamen of enig andere manier, zonder voorafgaande schriftelijke toestemming van de uitgever. Voor zover het maken van reprogra¿sche verveelvoudigingen uit deze uitgave is toegestaan op grond van artikel 16h Auteurswet 1912 dient men de daarvoor verschuldigde vergoedingen te voldoen aan Stichting Reprorecht (postbus 3060, 2130 KB Hoofddorp, www.reprorecht.nl). Voor het overnemen van gedeelte(n) uit deze uitgave in bloemlezingen, readers en andere compilatiewerken (artikel 16 Auteurswet 1912) kan men zich wenden tot Stichting PRO (Stichting Publicatie- en Reproductierechten Organisatie, postbus 3060, 2130 KB Hoofddorp, www.stichting-pro.nl). All rights reserved. No part of this publication may be reproduced, stored in a retrieval system, or transmitted, in any form or by any means, electronic, mechanical, photocopying, recording or otherwise without prior written permission of the publisher. ISBN 978 90 01 84233 8