Getal & Ruimte - J.H. Dijkhuis vwo B deel 1 [11 ed.] 9789001842321 [PDF]

Zitiervorschau

vwo B deel 1 ELFDE EDITIE, 2014

J.H. Dijkhuis C.J. Admiraal J.A. Verbeek G. de Jong H.J. Houwing J.D. Kuis F. ten Klooster S.K.A. de Waal J. van Braak J.H.M. Liesting-Maas M. Wieringa M.L.M. van Maarseveen R.D. Hiele J.E. Romkes M. Haneveld S. Voets I. Cornelisse

Noordhoff Uitgevers Groningen

Voorwoord Aan de docent(e), Het boek vwo B deel 1 Samen met de delen 2, 3 en 4 van vwo wiskunde B bevat dit boek de leerstof van het programma vwo wiskunde B, zoals dat met ingang van het jaar 2015 is vastgesteld. De totale studielast voor het vak vwo wiskunde B is 600 uur. De delen 1, 2, 3 en 4 bevatten samen 17 hoofdstukken, waarbij opgemerkt moet worden dat in het laatste hoofdstuk van deel 3 een keuzeonderwerp wordt aangeboden en dat in het vierde hoofdstuk van deel 4 de examentraining aan bod komt. In de vier hoofdstukken van dit boek, die elk een studielast van ongeveer 30 uur hebben, komen gedeelten van de domeinen B (Functies, gra¿eken en vergelijkingen), C (Differentiaal- integraalrekening) en E (Meetkunde met coördinaten) aan de orde. Afhankelijk van de verdeling van de studielast over de leerjaren kan deel 2 geheel of gedeeltelijk in de tweede helft van het vierde leerjaar worden doorgenomen. Opbouw Ook in de elfde editie is gekozen voor een paragraaf voorkennis waarmee elk hoofdstuk begint. In deze paragraaf wordt de voor het hoofdstuk vereiste voorkennis aangeboden. Elke paragraaf wordt afgesloten met een terugblik. In deze terugblik worden alle aspecten van de paragraaf op een rijtje gezet, vaak toegelicht met enkele voorbeelden. Aan het eind van elk hoofdstuk staat de diagnostische toets, die per paragraaf de basisvaardigheden toetst. Achter in het boek staan de gemengde opgaven, opgaven uit de Wiskunde Olympiade en het trefwoordenregister. Testopgaven en denkopgaven Nieuw in deze editie zijn de testopgaven en de denkopgaven. Met de testopgaven, aangegeven met een T, wordt een vorm van differentiatie aangeboden. Leerlingen kunnen na het foutloos maken van een testopgave enkele opgaven overslaan. De denkopgaven zijn aangegeven met een D en bieden een probleem aan dat bij de behandelde theorie hoort, maar dat vaak door de iets andere invalshoek of het ontbreken van tussenstappen een extra beroep doet op het denkvermogen van de leerling. Met de opgaven uit de Wiskunde Olympiade krijgen de leerlingen extra training met het oplossen van wiskundeproblemen. Online materiaal Het docentenpakket online bevat een studiewijzer bij elk hoofdstuk. Verder is onder meer het presentatiemateriaal aanwezig en zijn bij elk hoofdstuk toetsopgaven opgenomen. Nieuw in online is een oefenproefwerk bij elk hoofdstuk. Zoals altijd stellen we op- en aanmerkingen van gebruikers zeer op prijs. voorjaar 2014

© Noordhoff Uitgevers bv

Legenda 1

Voorkennis Kennis van enkele onderwerpen uit de onderbouw of uit voorgaande hoofdstukken die je in het hoofdstuk paraat moet hebben.

O 2

Oriënterende opgave Opgaven waarmee je je oriënteert op de theorie erna.

T 3

[ ŹŹ6]

4

Testopgave Een T-opgave volgt na een theorieblok. Als je de theorie en het voorbeeld goed begrijpt, dan kun je de testopgave maken. Gaat dit foutloos, dan mag je verder gaan met de opgave die achter ŹŹ staat.

Gewone opgave Na de theorie ga je oefenen met de gewone opgaven.

R 5

ReÀecterende opgave In een reÀectieopgave kijk je nog eens terug op een voorgaand probleem.

A 6

Afsluitende opgave De afsluitende opgaven geven het beoogde beheersingsniveau aan.

D 7

Denkopgave Een D-opgave doet een extra beroep op je denkvermogen. De denkopgave hoort bij de behandelde theorie, maar vaak wordt in de opgave een probleem op een iets andere manier gepresenteerd. [ ŹG R]

Verwijzing naar een module in de handleiding bij de gra¿sche rekenmachine. [ ŹWERKBLAD ]

Verwijzing naar een werkblad. [ ŹDEMO ]

Verwijzing naar een demo.

© Noordhoff Uitgevers bv

Inhoud 1

Functies en grafieken 6

3

Vergelijkingen en herleidingen 94

Voorkennis Lineaire vergelijkingen en

ongelijkheden 8 Lineaire functies 10 Tweedegraadsvergelijkingen 18 Extreme waarden en inverse functies 25 Tweedegraadsfuncties met een parameter 32 1.5 Gra¿sch-numeriek oplossen 38 Diagnostische toets 44 1.1 1.2 1.3 1.4

2

Voorkennis Stelsels lineaire

3.1 3.2 3.3 3.4

De afgeleide functie 46 4 Voorkennis Herleiden

2.1 2.2 2.3 2.4 2.5

vergelijkingen en kwadratische ongelijkheden 96 Hogeregraadsvergelijkingen 100 Stelsels vergelijkingen 109 Regels voor het oplossen van vergelijkingen 116 Herleidingen 125 Diagnostische toets 134 Meetkunde 136

48

Snelheden 50 Raaklijnen en hellinggra¿eken 59 Limiet en afgeleide 69 Toepassingen van de afgeleide 78 Hellingen en raaklijnen met GeoGebra 88 Diagnostische toets 92

Voorkennis Rekenen met wortels 4.1 Goniometrische verhoudingen en

gelijkvormigheid 141 4.2 De sinusregel en de cosinusregel 152 4.3 Lengten en oppervlakten 160 4.4 Vergelijkingen in de meetkunde 169

Diagnostische toets 176 Wiskunde Olympiade

178

Gemengde opgaven 186 Overzicht GR-handleiding 198 Trefwoordenregister 199 Verantwoording 201

© Noordhoff Uitgevers bv

138

Bij een constante snelheid is de afgelegde weg een lineaire functie van de tijd. Door op twee tijdstippen te meten welke afstand is afgelegd, is de formule bij deze functie op te stellen. De bijbehorende grafiek is een rechte lijn. Zo is bij elke lineaire functie de formule op te stellen als je van twee punten van de grafiek de coördinaten weet.

6

Hoofdstuk 1

Wat leer je? • Opstellen van de formule van een lijn waarvan twee punten zijn gegeven. • Werken met functies en vergelijkingen met een parameter. • Wat het domein en het bereik van een functie is. • Het begrip inverse functie • Hoe je met de grafische rekenmachine vergelijkingen en ongelijkheden oplost en extreme waarden berekent.

© Noordhoff Uitgevers bv

Functies en grafieken

1

© Noordhoff Uitgevers bv

7

Voorkennis Lineaire vergelijkingen en ongelijkheden

1

2

Theorie A Lineaire vergelijkingen De vergelijking 6x í 8 = 2x í 7 is een voorbeeld van een lineaire vergelijking. In deze vergelijking is x de variabele. Je lost zo’n vergelijking als volgt op. 6x í 8 = 2x í 7 Term met x naar het linkerlid, de rest naar het rechterlid. 4x = 1 Deel linker- en rechterlid door het getal dat voor x staat. x = 14 In plaats van x = 14 is een oplossing van de vergelijking, zeggen we ook x = 14 voldoet. Gebruik bij het oplossen van lineaire vergelijkingen het volgende werkschema.

3

4

5

Werkschema: het oplossen van lineaire vergelijkingen 1 Werk de haakjes en de breuken weg. 2 Breng alle termen met de variabele naar het linkerlid, de rest naar het rechterlid en herleid beide leden. 3 Deel beide leden door het getal dat voor de variabele staat.

6

7

Vervang je in een vergelijking de variabele door een getal en klopt het, dan zeggen we dat het getal voldoet aan de vergelijking. Het getal is dus een oplossing van de vergelijking. Vul je een getal in voor de variabele en klopt het niet, dan zeggen we dat het getal niet aan de vergelijking voldoet.

Bij de vergelijking 23 (x í 4) = 15 (2x + 5) staan zowel haakjes als Vermenigvuldigen van breuken. Je kunt eerst de haakjes wegwerken en dan de breuken, 2 3 (x í 4) met 15 betekent maar het kan ook andersom. 15 ? 23(x í 4) = 10(x í 4).

8

9

Eerst de haakjes, dan de breuken

Eerst de breuken, dan de haakjes

2 3 (x

2 3 (x

2 3x

10

í

8 3

= 25 x + 1

× 15

í 4) = 15 (2x + 5)

10x í 40 = 6x + 15

4x = 55

4x = 55

55 4

= 1334

× 15

10(x í 4) = 3(2x + 5)

10x í 40 = 6x + 15 x= 11

í 4) = 15 (2x + 5)

x=

55 4

= 1334

1 Los op.

a 10 í 3(x + 1) = 5x í (2x í 1) b

4 5x

c

2t í 3 = t í 113 4

12

8

í

113

Hoofdstuk 1

=

213 x

í3

d 1,6(2x í 1) = 1,4x í 2 e

2 7 (4x

f 5í

í 1) = 34 (1 í 5x) 3t í 1 5t + 1 2t + 3 = í 6 4 3 © Noordhoff Uitgevers bv

Theorie B Lineaire ongelijkheden 1

Voorbeelden van lineaire ongelijkheden zijn 2x í 1 < 5x + 3, 6a + 5 • 8 í (a + 3) en 34 p í 23 (p í 5) ” p + 2. Denk bij het oplossen van lineaire ongelijkheden aan het omklappen van het teken < of > in het geval je het linker- en rechterlid door een negatief getal deelt. Zo krijg je bij het oplossen van 2x í 1 < 5x + 3 2x í 1 < 5x + 3 í3x < 4 Omdat je beide leden door í3 deelt, klapt het teken < om in >. 1 x > í13

5 5x b c

3p í 4 ” 2p í 116 3

© Noordhoff Uitgevers bv

× 12 b 34 p í 23 ( p í 5) ” p + 2 9p í 8( p í 5) ” 12p + 24 9p í 8p + 40 ” 12p + 24 í11p ” í16 Je deelt door í11, dus 5 p • 111 het teken klapt om.

d 1,5(1,6x í 2) < 2,5(1,4x í 3)

1 6x

+3
14 (2x í 5) f 10 í

2a í 3 4a í 1 3a + 2 • í 6 5 15

Functies en grafieken

9

1.1 Lineaire functies 1

Theorie A De grafische rekenmachine 2

[ ŹG R] Bij het vak wiskunde werk je regelmatig met de grafische rekenmachine (GR). In de handleiding GR staat hoe je dit apparaat kunt gebruiken. Neem de module Berekeningen op het basisscherm door.

3 O 1

4

a Gegeven is de lijn k: y = 2x + 3. Welke informatie geeft het getal 2 over de lijn k? En het getal 3? b In ¿guur 1.1 is de lijn l getekend. Stel de formule op van l. c Stel de formule op van de lijn m die door het punt (0, í1) gaat en evenwijdig is met de lijn l in ¿guur 1.1.

y 2

l

1 O

1

2

3

4

5 ¿guur 1.1

Theorie B Richtingscoëfficiënt 6

De algemene vorm van een lineaire functie f is f (x) = ax + b met a ongelijk aan 0. De gra¿ek van f is een rechte lijn. De richtingscoëfficiënt is a en het snijpunt met de y-as is (0, b).

7

Is a = 0 dan heb je met een constante functie te maken.

8

Van de lijn l: y = 3x + 4 is de richtingscoëf¿ciënt 3. Notatie rcl = 3. De lijn m: y = 3x í 2 is evenwijdig met de lijn l, want ze hebben dezelfde richtingscoëf¿ciënt.

9

Van de lijn n: y = 5 is de richtingscoëf¿ciënt 0. Dus de lijn n is een horizontale lijn.

rcl = 3 betekent: 1 naar rechts en 3 omhoog. n: y = 5 ofwel n: y = 0x + 5.

De formule van een functie wordt ook het functievoorschrift van de functie genoemd.

10

De lineaire functie met functievoorschrift f(x) = ax + b heeft als grafiek de rechte lijn y = ax + b. Van deze lijn is a de richtingscoëfficiënt en (0, b) het snijpunt met de y-as. Lijnen met dezelfde richtingscoëfficiënt zijn evenwijdig.

11

De lijn y = b is de horizontale lijn door het punt (0, b) . Van een horizontale lijn is de richtingscoëfficiënt 0. 12

10

Hoofdstuk 1

© Noordhoff Uitgevers bv

x

Voorbeeld 1

Stel de formule op van de lijn k door het punt A(18, 7) die evenwijdig is met de lijn m: y = 12 x + 13. Uitwerking Stel k: y = ax + b. k // m, dus a = rcm = 12. y = 12 x + b f 1 Â 18 + b = 7 door A(18, 7) 2 9+b=7 b = í2 Dus k: y = 12x í 2.

Opgave 2 is een testopgave. Een T-opgave volgt na een theorieblok. Als je de theorie en het voorbeeld begrijpt, maak dan de T-opgave. Gaat dit foutloos, dan kun je verder gaan met de opgave die achter Ź Ź staat. Lukt opgave 2 niet, ga dan verder met opgave 3. Je kunt de testopgave ook overslaan en meteen met opgave 3 verdergaan.

T 2

[ ŹŹ6]

a De lijn k gaat door het punt A(4, 3) en is evenwijdig met de lijn l: y = í 12 x + 1. Stel de formule op van k. b De lijn m: y = ax + 3 gaat door het punt B(í4, 2). Bereken a. c De lijn n: y = 212 x + b snijdt de x-as in hetzelfde punt als de lijn p: y = í112 x + 6. Bereken b. 3

a De lijn l gaat door het punt A(í2, 3) en rcl = í2. Stel de formule op van l. b De lijn k gaat door het punt B(í5, 21) en is evenwijdig met de lijn m: y = 4x í 6. Stel de vergelijking op van k.

4

De lijn p gaat door het punt C(í18, 30) en is evenwijdig met de lijn q: y = í 13 x. a Stel de formule op van p. b In welk punt snijdt p de x-as? En in welk punt de y-as?

5

Gegeven is de lijn k: y = ax + 10. a Bereken a in het geval k de x-as in het punt P(í20, 0) snijdt. b Bereken a in het geval k door het punt Q(2, í4) gaat. c Is er een a waarvoor k door het punt O(0, 0) gaat? Licht toe.

© Noordhoff Uitgevers bv

In plaats van de formule van de lijn zeggen we ook wel de vergelijking van de lijn.

Functies en grafieken

11

A 6

Gegeven zijn de lijnen k: y = 12 x + 2, l: y = ax í 4 en m: y = í2x + b. a Voor welke b ligt het punt P(í8, 0) op m? b Voor welke a en b zijn m en l evenwijdige lijnen en ligt het punt Q(10, 7) op m? c Voor welke a en b gaan alle drie de lijnen door het punt R(8, 6)? d Voor welke a en b snijden k, l en m elkaar in hetzelfde punt op de x-as?

D 7

Gegeven zijn de lijnen k: y = ax + 1 en l: y = 2ax í 2a. Alle lijnen k gaan door het punt A en alle lijnen l gaan door het punt B. a Geef de coördinaten van A en B. b Voor welke waarde van a snijden k en l elkaar in het punt A? En voor welke a in het punt B? c Voor welke waarde van a snijden k en l elkaar in het punt C met xC = 10? Wat is de y-coördinaat van C?

O 8

De lijn l gaat door de punten A(2, 1) en B(6, 4). Zie ¿guur 1.2. a Voor de lijn l geldt: ga je 4 naar rechts, dan ga je 3 omhoog, dus ga je 1 naar rechts, dan ga je ... omhoog. Dus rcl = ... b In ¿guur 1.2 zie je xB í xA = 6 í 2 = 4 en yB í yA = 4 í 1 = 3. Hoe kun je met yB í yA en xB í xA de richtingscoëf¿ciënt van l berekenen?

1

2

3

4

5

6

7

y

l

B

4 3

3

2 A

1 –2 –1 O

1

2

4 3

4

5

6

7

8

x

¿guur 1.2 Met behulp van de coördinaten van de punten A en B kun je rcl berekenen.

Theorie C Een lijn door twee gegeven punten

8

Van een lijn l waarvan de coördinaten van twee punten bekend zijn, is de richtingscoëf¿ciënt te berekenen. Voor de lijn l in ¿guur 1.3 geldt: Ga je xB í xA naar rechts, dan ga je yB í yA omhoog. y í yA Dus ga je 1 naar rechts, dan ga je B omhoog, xB í xA y í yA dus rcl = B . xB í xA

9

10

y B

yB

l yB – yA

yA

A xB – xA

O

xA

xB

x

¿guur 1.3

Dus de richtingscoëf¿ciënt van de lijn l door A en B bereken je door de toename van de y-coördinaten te delen door de toename van de x-coördinaten.

11

12

12

Hoofdstuk 1

© Noordhoff Uitgevers bv

Dus rcl =

toename van de y-coördinaten . bijbehorende toename van de x-coördinaten

y B

yB

Voor de toename van de y-coördinaten schrijven we )y. De bijbehorende toename van de x-coördinaten is )x. rcl =

y(rechterpunt) í y(linkerpunt) x(rechterpunt) í x(linkerpunt)

l

1

Δy yA O

A Δx xA

x

xB

¿guur 1.4

De richtingscoëfficiënt van de lijn door de punten A en B is

) y yB í yA = . ) x xB í xA

Voorbeeld Stel de formule op van de lijn l door de punten A(2, í1) en B(6, 5). Uitwerking %y 5 í í1 Stel l: y = ax + b met a = = = 112 . %x 6í2 y = 112 x + b 1 door A(2, í1) f 12 Â 2 + b = í1 3 + b = í1 b = í4 Dus l: y = 112 x í 4. Bij toepassingen worden meestal andere letters dan x en y gebruikt. In de formule N = at + b is N uitgedrukt in t. De formule geeft een lineair verband tussen N en t. We zeggen ook wel N is een lineaire functie van t.

Neem je )y = í1 í 5 = í6 dan is de bijbehorende )x = 2 í 6 = í4. Ook nu is rcl = 112. Voor het berekenen van b kun je ook de coördinaten van B gebruiken.

N

ΔN Δt t

O

Zijn bij twee waarden van t de bijbehorende waarden van N gegeven, dan kun je de formule van N als functie van t opstellen. Is N een lineaire functie van t, dan is

N = at + b met a =

© Noordhoff Uitgevers bv

)N . )t

verticale toename rc = ––––––––––––––––– horizontale toename

Bij y = ax + b is t
y een functie van x t y uitgedrukt in x.

Functies en grafieken

13

Voorbeeld 1

Een auto begint op t = 0 te remmen zo, dat de snelheid lineair afneemt. Op t = 2 is de snelheid 90 km/uur, drie seconden later is de snelheid 45 km/uur. Druk de snelheid v in km/uur uit in de tijd t in seconden.

2

Uitwerking Stel v = at + b. %v 45 í 90 t = 2 en v = 90 = = í15 fa= t = 5 en v = 45 %t 5í2

3

v = í 15t + b f í15 Â 2 + b = 90 t = 2 en v = 90 í30 + b = 90 b = 120 Dus v = í15t + 120.

4

5

T 9

v

(2, 90) (5, 45)

O

t

[ ŹŹ13]

a De lijn k gaat door de punten A(8, 8) en B(20, 11) en de lijn l gaat door de punten C(2, 14) en D(50, í10). Stel van de lijnen k en l de formule op en bereken de coördinaten van het snijpunt E van deze lijnen. b Tussen M en N bestaat een lineair verband. Voor M = 5 is N = 62 en voor M = 20 is N = 86. Druk N uit in M en druk M uit in N.

6

7 10 Stel de vergelijking op van de lijn

a b c d

8

l door de punten A(í1, 1) en B(1, 4) k door de punten C(í3, 5) en D(2, 0) m door de punten E(5, 3) en F(í7, 3) n door de punten G(180, 360) en H(160, 250).

11 a K is een lineaire functie van m. 9

Voor m = 5 is K = 10 en voor m = 12 is K = 115. Schrijf K als functie van m. b F is een lineaire functie van R. Voor R =15 is F = 300 en voor R = 42 is F = 138. Stel de formule op van F. c In een assenstelsel met een horizontale n-as en een verticale g-as is de lijn door de punten (6, 35) en (10, 49) getekend. Stel de formule op van deze lijn.

10

11 12 Tussen p en q bestaat een lineair verband.

Bij q = 150 hoort p = 7,75 en bij q = 425 hoort p = 2,25. a Druk p uit in q en druk q uit in p. b Bereken p voor q = 250 en bereken q voor p = 4,25.

12

14

Hoofdstuk 1

© Noordhoff Uitgevers bv

A 13 Een auto rijdt met constante snelheid. Om

14:12 uur passeert de auto hectometerpaal 164,0 en om 14:18 uur paal 152,8. Tussen het getal h op de hectometerpalen en de tijd t in minuten bestaat een lineair verband. Neem t = 0 om 14:00 uur. a Stel de formule op van h als functie van t. b Hoe laat passeert de auto hectometerpaal 156,7?

1

D 27 D 14 Toon aan dat elke lijn door de punten A( p, p + 1) en B(2p, p + 2)

met p  0 de negatieve x-as snijdt. O 15 De functie f geeft voor elke x de afstand tussen de getallen x en 0

op de getallenlijn. Dus f (3) = 3 en f (í3) = 3. a Vul de tabel verder in. x f(x)

í4

í3 3

í2

í1

0

1

2

3 3

4

b Teken de gra¿ek van f.

Theorie D Modulusfuncties Er zijn twee getallen op de getallenlijn met afstand 5 tot 0. Dat zijn í5 en 5. We zeggen dat de modulus van 5 gelijk is aan 5 en dat de modulus van í5 gelijk is aan 5. Notatie 0 5 0 = 5 en 0 í5 0 = 5. In plaats van modulus zeggen we ook wel absolute waarde. Dus de absolute waarde van í10 is 10.

afstand 5

afstand 5

–5

0

5

0 x 0 is de absolute waarde ofwel de modulus van x. 0 x 0 is de afstand van het getal x tot 0 op de getallenlijn. x als x • 0 0 x 0 =e íx als x < 0 y

–

–x

+

x

=

=

y

2

3

3

3

y

Voor de modulusfunctie f (x) = 0 x í 3 0 geldt dus f (x) = x í 3 als x í 3 • 0, dus als x • 3 en f (x) = íx + 3 als x í 3 < 0, dus als x < 3. De gra¿ek van f bestaat uit twee halve lijnen, zie ¿guur 1.5.

1 O

1

2

3

4

5

x

6

¿guur 1.5

© Noordhoff Uitgevers bv

Functies en grafieken

15

Voorbeeld 1

Teken de gra¿ek van g(x) = 3 í 0 2x í 4 0 . Uitwerking g(x) = 3 í 0 2x í 4 0 = 3 í (2x í 4) = 3 í 2x + 4 = í2x + 7 als 2x í 4 • 0, dus als x • 2. g(x) = 3 í 0 2x í 4 0 = 3 í (í2x + 4) = 3 + 2x í 4 = 2x í 1 als 2x í 4 < 0, dus als x < 2.

2

y

3

3 2

g 1

4 O

1

2

3

4

5

6

x

–1

5

16 Teken in verschillende ¿guren de gra¿ek van

a f (x) = 0 12 x í 1 0

6

b g(x) = í 0 2x í 6 0 c h(x) = 2 í 0 13 x í 2 0 d k(x) = 5 í 0 6 í 112 x 0

7

17 Gegeven is de functie f met het functievoorschrift

f (x) = x + 2 í 0 2x í 1 0 . a Teken de gra¿ek van f. b Bereken de oppervlakte van het vlakdeel dat ingesloten wordt door de gra¿ek van f en de x-as.

8

9

A 18 De gra¿ek van f (x) = ax í 1 í 0 3x í 4 0 gaat door het punt (1, 0).

a Bereken a en teken de gra¿ek van f. b De lijn y = x snijdt de gra¿ek van f in de punten A en B. Bereken de coördinaten van A en B. c Voor welke waarden van p heeft de lijn y = px geen enkel punt met de gra¿ek van f gemeen?

10

D 19 Teken de gra¿ek van f (x) = 4 í 0 3 í 0 2x í 6 0 0 . 11

12

16

Hoofdstuk 1

© Noordhoff Uitgevers bv

Terugblik 1 Richtingscoëfficiënt

Bij een lineaire functie hoort een formule van de vorm y = ax + b met a  0. De gra¿ek is een rechte lijn met richtingscoëf¿ciënt a. rc = a betekent 1 naar rechts en a omhoog. De lijn y = ax + b snijdt de y-as in het punt (0, b). Lijnen met dezelfde richtingscoëf¿ciënt zijn evenwijdig.

y

y = ax + b a 1

b

x

O

De lijn k: y = 4 is de horizontale lijn door het punt (0, 4). Van een horizontale lijn is rc = 0. Het opstellen van de formule van een lijn

Van de lijn m door B(í1, 4) en C(5, í8) krijg je de formule als volgt. %y yB í yC 4 í í8 = = = í2. Stel m: y = ax + b met a = %x xB í xC í1 í 5 y = í2x + b door B( í1, 4) f í2 Â í1 + b = 4 2+b=4 b=2 Dus m: y = í2x + 2. Bij toepassingen komen andere letters dan x en y voor. Is het te betalen bedrag B een lineaire functie van het gasgebruik g, dan hoort %B . hierbij de formule B = ag + b met a = %g Modulusfuncties

De functie f (x) = x í 3 + 0 2x í 4 0 is een voorbeeld van een modulusfunctie. Omdat 0 2x í 4 0 = 2x í 4 als 2x í 4 • 0, dus als x • 2, is f (x) = x í 3 + 2x í 4 = 3x í 7 als x • 2. Omdat 0 2x í 4 0 = í2x + 4 als 2x í 4 < 0, dus als x < 2, is f (x) = x í 3 í 2x + 4 = íx + 1 als x < 2. In de ¿guur hiernaast zie je de gra¿ek van f.

y

3

f

2 1 O

1

2

3

x

4

–1

© Noordhoff Uitgevers bv

Functies en grafieken

17

1.2 Tweedegraadsvergelijkingen 1 O 20 a Het oplossen van de vergelijking 4x2 í 25x = 0 gaat anders dan het

oplossen van de vergelijking 4x2 í 25 = 0. Licht dit toe. b Wat kun je zeggen van de oplossing van de vergelijking 4x2 + 25 = 0? c Licht toe dat het oplossen van de vergelijking x(x + 2) = 0 anders gaat dan het oplossen van de vergelijking x(x + 2) = 8.

2

3

Theorie A Typen tweedegraadsvergelijkingen De algemene vorm van een kwadratische vergelijking, ofwel tweedegraadsvergelijking is ax2 + bx + c = 0 met a  0. Bij het oplossen van tweedegraadsvergelijkingen kun je gebruikmaken van onderstaand schema. In het schema wordt onderscheid gemaakt tussen vergelijkingen met twee en met drie termen.

4

5

aEHWHNHQW aQLHWJHOLMNDDQQXO

Het oplossen van tweedegraadsvergelijkingen Twee termen 6

ax2

+ bx = 0 Aanpak: breng x buiten haakjes. a 5x2 í 7x = 0 x(5x í 7) = 0 x = 0  5x = 7 x = 0  x = 75 = 125 b 3x = x2 3x í x2 = 0 x(3 í x) = 0 x=0x=3

7

8

ax2 + c = 0 Aanpak: herleid tot de vorm x2 = getal. a 3x2 í 30 = 0 3x2 = 30 x2 = 10 x = 冑10  x = í冑10 b 4x2 + 40 = 0 4x2 = í40 x2 = í10 geen oplossing

Drie termen ax2 + bx + c = 0 9

Het linkerlid is te ontbinden Aanpak: ontbind het linkerlid. a x2 í 6x í 7 = 0 (x + 1)(x í 7) = 0 x = í1  x = 7 b x2 = x + 6 x2 í x í 6 = 0 (x + 2)(x í 3) = 0 x = í2  x = 3

10

11

Het linkerlid is niet te ontbinden Aanpak: gebruik de abc-formule of ga kwadraatafsplitsen. a 2x2 í 5x í 7 = 0 D = (í5)2 í 4  2  í7 = 81 5í9 5+9 x= = í1  x = = 312 4 4 b x2 + 7x + 2 = 0 (x + 312)2 í (3 12)2 + 2 = 0 (x + 312)2 = 1014 1 冑41 x + 312 = 冑41 4  x + 32 = í 4

12

x = í312 + 18

Hoofdstuk 1

冑41  x = í312 í 12冑41

1 2

© Noordhoff Uitgevers bv

Het stap voor stap oplossen van een vergelijking, zoals in het schema op de vorige bladzijde is gedaan, heet algebraïsch oplossen. De opdracht bereken exact de oplossingen betekent dat je langs algebraïsche weg de oplossingen berekent en deze niet benadert. Je laat dus oplossingen als x = 冑3 en x =

1 7

1

staan.

18 2 í 冑36 en x = vereenvoudig je. 12 4 18 2 í 冑36 2 í 6 Dus x = = 112 en x = = = í1. 4 4 12 Oplossingen als x =

8 í 冑48 een factor voor het 4 wortelteken te brengen, krijg je

Door bij de oplossing x =

8 í 冑48 8 í 4冑3 = = 2 í 冑3. 4 4 Denk er dus aan om bij wortels een zo groot mogelijke factor voor het wortelteken te brengen.

Breng een zo groot mogelijke factor voor het wortelteken, dus niet 48 = 2 12, maar wel 48 = 4 3.

x=

Bij de abc-formule is aan de discriminant D te zien hoeveel oplossingen er zijn: voor D < 0 is er geen oplossing voor D = 0 is er één oplossing voor D > 0 zijn er twee oplossingen.

De abc-formule ax 2 + bx + c = 0 met a ≠ 0 geeft íb í D x= ∨ 2a íb + D x= 2a met D = b2 í 4ac.

Voorbeeld Bereken exact de oplossingen. a (2x + 1)2 = 25 b 3x2 í 6 = 3x

c 4x2 = 6x í 2 d x2 í 3 = 5x

Uitwerking a (2x + 1)2 = 25 2x + 1 = 5  2x + 1 = í5 2x = 4  2x = í6 x = 2  x = í3 b 3x2 í 6 = 3x 3x2 í 3x í 6 = 0 x2 í x í 2 = 0 (x + 1)(x í 2) = 0 x = í1  x = 2

c 4x2 = 6x í 2 4x2 í 6x + 2 = 0 2x2 í 3x + 1 = 0 D = (í3)2 í 4  2  1 = 1 3í1 1 3+1 x= =2x = =1 4 4 d x2 í 3 = 5x x2 í 5x í 3 = 0 (x í 212)2 í (212)2 í 3 = 0 (x í 212)2 = 914 x í 221 = 冑37  x í 212 = í冑37 4 4 x = 212 + 12冑37  x = 212 í

© Noordhoff Uitgevers bv

冑37

1 2

Functies en grafieken

19

Probeer bij een tweedegraadsvergelijking met drie termen eerst te ontbinden in factoren. Lukt dat niet, gebruik dan pas de abc-formule of kwadraatafsplitsen.

1

R 21 In deze opgave ga je de abc-formule bewijzen. Dat gaat met

behulp van kwadraatafsplitsen. Je begint met ax2 + bx + c = 0. b c Links en rechts delen door a geeft x2 + x + = 0. Vervolgens a a b 2 b2 c krijg je ¢ x + b í 2 + = 0. a 2a 4a a Licht de laatste stap toe. b Maak het bewijs af.

2

3

4

T 22

[ ŹŹ27] Los algebraïsch op. a 2x2 í 13x = 3(x í 10) b 3x2 + 2x + 7 = 7(x + 1) c 100(x2 í 1) = 525

5

d 2(x í 3)2 = 3x í 10 e 5(4x í 1)(6x í 5) = 0 f 14 (2x í 3)2 í 3 = 1

23 Bereken exact de oplossingen.

a (3x í 2)2 = 36 b (4 í 12 x)2 = 9 c x2 + 6 = 5x

6

24 Los algebraïsch op.

a 3x2 í 6x = 24 b 3x2 í 6x = í3(x í 6) c 2x2 í 3x = 2

7

25 Bereken exact de oplossingen.

a 6 í x2 = í2 b 2x2 = 9x + 5 c 3(x + 2)2 + 5 = 80

8

9

d x(x í 1) = 12 e 2x2 = 5x f x2 + 4 = 1 d 12 x2 í 2x í 6 = 0 e x2 í 3x = 5(x í 3) f 2x2 í 5x = 3x d 12 (x í 3)2 í 3 = 5 e í(2x í 1)2 + 5 = 1 f 8 í 3(4x í 5)2 = 5

26 Bereken exact de oplossingen.

a b c d

10

x2 í 5x = 0 x2 í 5x = 14 x2 í 5 = 14 x2 í 5 = 14x

e f g h

(2x í 1)(3x + 6) = 0 (2x í 1)(3x + 6) = 9x 3x(2x í 1) = 6 3x(2x í 1) = 6 í 9x

e f g h

(í4x + 3)2 = 36 í4(x + 3)2 = 4x x2 í (x + 1)2 = (x + 3)2 (x + 3)2 + (x + 2)2 = 25

A 27 Bereken exact de oplossingen.

a b c d

11

(x + 3)2 = 16x (2x + 3)2 = í16 2(x + 3)2 = í4x (2x + 3)(4 í x) = 9

12

20

Hoofdstuk 1

© Noordhoff Uitgevers bv

Geschiedenis Babylonisch rekenen Ruim 5000 jaar geleden losten de Babyloniërs reeds kwadratische vergelijkingen op. Deze vergelijkingen stonden op kleitabletten en werden gesteld in de vorm van een raadsel. Wat opvalt is dat de Babyloniërs geen problemen hadden met het optellen van lengten en oppervlakten. Voorbeeld: Wat is de zijde van een vierkant waarvan de oppervlakte vermeerderd met tien zijden gelijk is aan dertig eenheden? Om deze zijde te berekenen moet de vergelijking x2 + 10x = 30 worden opgelost. De Babyloniërs losten dit vraagstuk op met behulp van de figuur hiernaast. In onze notatie ziet de berekening er als volgt uit. x(x + 10) = 30 (x + 5)2 = 30 + 52 x + 5 = 冑55, dus x = 冑55 − 5 Je kunt dus zeggen dat de Babyloniërs de volgende elegante versie van de abc-formule gebruikten. x2 + bx = c geeft x = c +

1b 2 2

− 1 b.

1

x

x

Voor het benaderen van 冑55 hadden de Babyloniërs de volgende methode. Neem als eerste schatting 7. Het product van 7 en 55 is 55. 7 Omdat 7 kleiner is dan 冑55, is 55 groter dan 冑55. Neem als

5

x 5

x+ 5

2

x x + 10

5

x x+ 5

7

volgende schatting het gemiddelde van 7 en Dus

1 2

7+

55 7

55 . 7

= 7 3 is een betere schatting van 冑55. 7

D 28 Zie het geschiedeniskader over het Babylonisch rekenen.

a Los op deze manier de vergelijkingen x2 + 8x = 20 en x2 + 18x = 20 op. b Laat zien hoe met behulp van de abc-formule uit x2 + bx = c

冑

de oplossing x = c + (12 b)2 í 12 b is af te leiden. c Uit

x2

+ bx = c is met behulp van kwadraatafsplitsen de

冑

oplossing x = c + (12 b)2 í 12 b af te leiden. Toon dit aan. O 29 Gegeven is de vergelijking x2 + px í 6 = 0.

a Neem p = í1 en bereken de oplossingen van de vergelijking. b Neem p = 2. Hoeveel oplossingen heeft de vergelijking? c Beredeneer dat de vergelijking x2 + px í 6 = 0 voor elke p twee oplossingen heeft.

© Noordhoff Uitgevers bv

Functies en grafieken

21

Theorie B Vergelijkingen met een parameter In de vergelijking x2 í 5x + p = 0 heet p een parameter. Een parameter is een Met behulp van de parameter p worden oneindig veel hulpvariabele. vergelijkingen genoteerd. Parameter spreek je uit Neem je in deze vergelijking p = 4, dan krijg je x2 í 5x + 4 = 0.. met de klemtoon op de Oplossen geeft (x í 1)(x í 4) = 0 tweede lettergreep. x=1x=4 Neem je p = 7, dan krijg je x2 í 5x + 7 = 0. Deze vergelijking heeft geen oplossing, want D = (í5)2 í 4  1  7 = í3 < 0. Met behulp van de discriminant D = b2 í 4ac van de vergelijking x2 í 5x + p = 0 bereken je voor welke p de vergelijking twee, één of geen oplossingen heeft.

1

2

3

4

y = x2 – 5x + 4

y = x2 – 5x + 7

y = x2 – 5x + 6 41

x

x

x

5

De vergelijking De vergelijking x2 í 5x + 614 = 0 heeft één x2 í 5x + 4 = 0 heeft twee oplossingen, dus de parabool oplossing, dus de parabool y = x2 í 5x + 4 snijdt de x-as y = x2 í 5x + 614 raakt de x-as. in twee punten.

6

De vergelijking x2 í 5x + 7 = 0 heeft geen oplossing, dus de parabool y = x2 í 5x + 7 ligt geheel boven de x-as.

7

Voorbeeld a Bereken voor welke p de vergelijking x2 í 5x + p = 0 twee oplossingen heeft. b Bereken voor welke p de vergelijking x2 + px + 9 = 0 twee oplossingen heeft.

8

Uitwerking a D = (í5)2 í 4 ? 1 ? p = 25 í 4p f 25 í 4p > 0 twee oplossingen als D > 0 í4p > í25 p < 614

9

Deel door í4, dus klap het teken om.

y y = p2 – 36

b D = p2 í 4 ? 1 ? 9 = p2 í 36 f p2 í 36 > 0 twee oplossingen als D > 0 p2 > 36 p < í6  p > 6

10

–6

O

6

p

11

12

30 Bereken voor welke p de vergelijking twee oplossingen heeft.

a x2 í 7x + p = 0 b 2x2 í 5x í p = 0 22

Hoofdstuk 1

c í3x2 + 4x í p = 0 d 14 x2 í 3x + p = 0 © Noordhoff Uitgevers bv

31 a Bereken voor welke p de vergelijking x2 + px + 25 = 0

twee oplossingen heeft. b Bereken voor welke p de vergelijking x2 + px + 4 = 0 geen oplossing heeft. c Toon aan dat de vergelijking í2x2 + px + 3 = 0 voor elke p twee oplossingen heeft.

1

32 a Van de vergelijking x2 + 2x + p = 0 is x = 1 een oplossing.

Bereken p en de andere oplossing. b Van de vergelijking px2 í 11x + 10 = 0 is x = 2 een oplossing. Bereken p en de andere oplossing. 33 Als geldt p < 5 en bovendien p  0, dan noteren we dit als

p < 0  0 < p < 5. a Noteer op dezelfde manier p > í3 en bovendien p  0. b Noteer op dezelfde manier í4 < p < 4 en bovendien p  0. 34 Gegeven is de vergelijking px2 + 3x + 1 = 0.

a Hoeveel oplossingen heeft de vergelijking voor p = 0? b Licht toe dat de voorwaarde p  0 nodig is als je de discriminant van de vergelijking wilt berekenen. c Toon aan dat de vergelijking twee oplossingen heeft voor p < 0  0 < p < 214 . 35 Bereken voor welke p de vergelijking

a px2 + 5x + 2 = 0 twee oplossingen heeft b px2 í 3x í 4 = 0 twee oplossingen heeft. A 36 Bereken exact voor welke p de vergelijking

a 2x2 + x + p = 0 geen oplossing heeft b px2 + x + p = 0 twee oplossingen heeft c 2x2 + px + 1 = 0 twee oplossingen heeft. A 37 a De vergelijking px2 + 6x + 9 = 0 heeft één oplossing.

Bereken p en de bijbehorende oplossing. b De vergelijking x2 + px + 1 = 0 heeft één oplossing. Bereken p en de bijbehorende oplossing. D 38 Stel een tweedegraadsvergelijking op met de parameter p die

twee oplossingen heeft voor í4 < p < 0  p > 0.

© Noordhoff Uitgevers bv

Functies en grafieken

23

Terugblik 1 Typen tweedegraadsvergelijkingen

De algemene vorm van een tweedegraadsvergelijking is ax2 + bx + c = 0 met a  0. Deze vergelijkingen moet je algebraïsch, dat wil zeggen stap voor stap, kunnen oplossen.

2

Overzicht tweedegraadsvergelijkingen Twee termen

3

ax2 + bx = 0 Breng x buiten haakjes. 3x2 í 7x = 0 x(3x í 7) = 0 x = 0  3x = 7 x = 0  x = 73 = 213

4

ax2 + c = 0 Herleid tot de vorm x2 = getal. 3x2 í 75 = 0 3x2 = 75 x2 = 25 x = 5  x = í5

Drie termen ax2 + bx + c = 0

5

Het linkerlid is te ontbinden Ontbind het linkerlid. x2 í 5x í 14 = 0 (x + 2)(x í 7) = 0 x = í2  x = 7

6

Het linkerlid is niet te ontbinden Gebruik de abc-formule of ga kwadraatafsplitsen. 3x2 í 2x í 2 = 0 D = (í2)2 í 4 Â 3 Â í2 = 28, dus 冑D = 冑28 = 2冑7 x=

2 í 2冑7 1 í 冑7 2 + 2冑7 1 + 冑7 = =  x= 6 3 6 3

7

Als er exacte oplossingen worden gevraagd, dan ga je algebraïsch te werk en benader je de oplossingen niet. Vergelijkingen met een parameter

8

Het getal p in de vergelijking 2x2 + px + 8 = 0 heet een parameter. Op deze manier zijn oneindig veel vergelijkingen genoteerd. Zo krijg je voor p = 10 de vergelijking 2x2 + 10x + 8 = 0. Deze vergelijking heeft twee oplossingen want D = 102 í 4  2  8 = 36 > 0. Neem je p = 5 dan krijg je 2x2 + 5x + 8 = 0. Deze vergelijking heeft geen oplossing, want D = 52 í 4 ? 2 ? 8 = í39 < 0. Om te berekenen voor welke p de vergelijking 2x2 + px + 8 = 0 twee oplossingen heeft, gebruik je dat moet gelden D > 0. Je krijgt p2 í 64 > 0, ofwel p2 > 64 en hieruit volgt p < í8  p > 8.

9

10

Om te berekenen voor welke p de vergelijking px2 + 6x + 3 = 0 twee oplossingen heeft, bedenk je eerst dat voor p = 0 de vergelijking over gaat in 6x + 3 = 0 en deze vergelijking heeft één oplossing. Voor p  0 krijg je D = 36 í 12p. D > 0 geeft 36 í 12p > 0 í12p > í36 p 0 is de gra¿ek een dalparabool en voor a < 0 is de gra¿ek een bergparabool. Van de gra¿ek van de functie f (x) = ax2 + bx + c met a  0 is de b x-coördinaat van de top te berekenen met de formule xtop = í . 2a Let erop dat deze formule alleen voor tweedegraadsfuncties geldt.

y

Van de grafiek van de tweedegraadsfunctie f(x) = ax2 + bx + c is xtop = í

5

b . Verder is ytop = f (xtop). 2a

4 3 2

Bij de functie g(x) = x2 í 4x + 1 krijg je b í4 =í = 2 en xtop = í 2a 2?1 ytop = g(2) = 22 í 4 ? 2 + 1 = 4 í 8 + 1 = í3. Zie ¿guur 1.6. Omdat í3 de kleinste functiewaarde is van g zeggen we: het minimum van g is í3. Notatie: min. is g(2) = í3. Bij een bergparabool is er sprake van een maximum. Maxima en minima heten extreme waarden of kortweg extremen.

g

1 –1 O –1

1

2

3

4

x

5

–2 –3

¿guur 1.6

Voorbeeld Bereken de extreme waarde van de functie f (x) = í0,6x2 + 2,4x í 1. Uitwerking b 2,4 =í = 2 geeft ytop = í 0,6 ? 22 + 2,4 ? 2 í 1 = 1,4 2a í1,2 í0,6 < 0, dus bergparabool en max. is f (2) = 1,4. xtop = í

© Noordhoff Uitgevers bv

Een maximum is een grootste functiewaarde, dus een maximum is een y-coördinaat.

Functies en grafieken

25

40 In ¿guur 1.7 zijn de gra¿eken van de functies f, g en h getekend.

De coördinaten van de toppen staan in de ¿guur. De extreme waarde van f noteer je als min. is f (2) = í2. Geef de extreme waarden van g en h.

1

y

y

y

2 (1, 4)

f g

3

h x

O

O

x

(2, 1) O

4 (2, –2)

¿guur 1.7

5 41 Bereken de extreme waarde.

a f (x) = x2 í 4x + 1 b g(x) = 2x2 + 6x + 3

c h(x) = í0,3x2 + 6x í 2 d k(x) = 4x2 + 14x

6 O 42 Arie trapt een bal weg vanaf een balkon op 5 meter

hoogte. Bij de baan van de bal hoort de formule h = í0,01x2 + 0,4x + 5. Hierin zijn h en x in meter. Zie ¿guur 1.8. a Hoe hoog komt de bal maximaal? b Hoeveel meter verderop komt de bal op de grond?

7

8 ¿guur 1.8

Theorie B Domein en bereik 9

In praktische situaties heb je vaak maar met een gedeelte van een parabool te maken. In opgave 42 heb je hiervan een voorbeeld gezien. Omdat de bal 50 meter verderop op de grond komt, geldt de formule dus voor 0 ” x ” 50. We zeggen dat het domein het gesloten interval nul vijftig is. Notatie domein = [0, 50]. Een interval is een stuk van de getallenlijn. Met gesloten geven we aan dat de getallen 0 en 50 er bij horen. In de notatie zie je dat aan de teksthaken [ en ]. In opgave 42 heb je gezien dat de maximale hoogte van de bal 9 meter is. Voor de baan van de bal geldt dus 0 ” h ” 9. We zeggen dat het bereik het gesloten interval nul negen is. Notatie bereik = [0, 9].

10

11

12

Het domein van een functie bestaat uit alle originelen. Het bereik van een functie bestaat uit alle functiewaarden.

26

Hoofdstuk 1

© Noordhoff Uitgevers bv

x

Behalve gesloten intervallen zijn er ook open intervallen. Bij een open interval horen de grenzen –3 –1 0 1 3 6 ¿guur 1.9 De intervallen, 8í3, í19, [0, 19 en [3, 6]. er niet bij. Open intervallen worden met de haken 8 en 9 genoteerd. Zo bestaat het interval 8í3, í19 uit alle getallen tussen í3 en í1. In ¿guur 1.9 is dit interval aangegeven boven een getallenlijn. Aan de open rondjes bij í3 en í1 zie je dat de getallen í3 en í1 niet bij y het interval horen. Ook zie je de intervallen 3 0, 19 en 3 3, 6 4 . 4

Het interval 3 0, 19 spreek je uit als het links gesloten rechts open interval nul één.

3

Verder zijn er oneindig grote intervallen. Heb je te maken met de functie f (x) = (x í 2)2 waarbij x • 2 dan wordt het domein van f genoteerd als Df = 3 2, m 9. Spreek uit: het domein van f is het links gesloten interval twee oneindig. Het bereik van f is Bf = 3 0, m 9. In ¿guur 1.11 zie je nog de intervallen 8 k , í3 4 en 81, m 9. Bij 8 k , í3 4 is de uitspraak: het rechts gesloten interval min oneindig min drie. Het interval 8 k , m 9 wordt genoteerd als \.

1

f

Bf

2 1

Df O

2

1

3

x

4

¿guur 1.10

–5 –4 –3 –2 –1

0

1

2

3

4

¿guur 1.11 De intervallen 8 k , í3 4 en 81, m 9.

Voorbeeld Gegeven is de functie f (x) = 0,4x2 í 2,8x + 2. Neem Df = [0, 8] en bereken Bf . Aanpak Bereken van de gra¿ek de coördinaten van de eindpunten en de top. Schets de gra¿ek en lees het bereik af uit de schets. y

Uitwerking f (0) = 2 en f (8) = 0,4 ? 82 í 2,8 ? 8 + 2 = 5,2 xtop

(8; 5,2)

b í2,8 =í =í = 3,5 en 2a 0,8

ytop = f (3,5) = 0,4 ? 3,52 í 2,8 ? 3,5 + 2 = í2,9 Zie de schets hiernaast.

(0, 2)

8

O

x

B f = 3 í2,9; 5,2 4 (3,5; −2,9)

© Noordhoff Uitgevers bv

Functies en grafieken

27

43 Gegeven is de functie f (x) = íx2 + 6x í 3.

a Neem Df = [í1, 6] en bereken Bf . b Neem Df = [4, 8] en bereken Bf .

1

44 Bereken het bereik van de functie f (x) = í 12 x + 3 met Df = [í3, 4]. 2

A 45 Joost slaat een golfbal vanaf de tee naar een

h

green die 3,0 meter hoger ligt dan de tee. De baan van de bal is gegeven door de formule h = í0,004x2 + 0,62x. Hierin zijn h en x in meter. a Bereken het domein van h. b Bereken het bereik van h.

3

x

O

¿guur 1.12

4

5

6

7

8

9

y

O 46 In ¿guur 1.13 is de gra¿ek van de halve

parabool y = íx2 + 4x getekend. Neem deze ¿guur over en teken het spiegelbeeld van de halve parabool bij spiegeling in de lijn y = x.

4

y = –x2 + 4x

10

3

2

11 1

O

12

1

2

3

4

x

¿guur 1.13 28

Hoofdstuk 1

© Noordhoff Uitgevers bv

Theorie C Functie en inverse functie In ¿guur 1.14a is de parabool y = (x í 2)2 getekend. Deze parabool is de gra¿ek van een functie. Je hebt met een functie (van x naar y) te maken als bij elke waarde van x hoogstens één waarde van y hoort. De gra¿ek in ¿guur 1.14b is dus niet de gra¿ek van een functie, er horen immers bij positieve waarden van x telkens twee waarden van y. y

y

4

4

3

3

2

2

1

1

O

1

1

2 a

3

4

x

O

1

2

3

x

4

b

¿guur1.14 Bij de gra¿ek in ¿guur a hoort de formule y = (x í 2)2 en bij de gra¿ek in ¿guur b hoort de formule x = ( y í 2)2. De gra¿ek in ¿guur a is de gra¿ek van een functie van x naar y. De gra¿ek in ¿guur b is niet de gra¿ek van een functie van x naar y.

De gra¿eken in ¿guur 1.14 zijn elkaars spiegelbeeld bij spiegeling in de lijn y = x. Ook de gra¿eken van f en g in ¿guur 1.15 zijn elkaars spiegelbeeld bij spiegeling in de lijn y = x. Hier zijn f en g beide een functie. De gra¿ek van f is de helft van de parabool y = (x í 2)2. Het domein is 3 2, m 9.

y

4

g 3 2

y

=

x f

1

O

1

2

3

4

x

¿guur 1.15 De gra¿eken van de functies f en g zijn elkaars spiegelbeeld bij spiegeling in de lijn y = x.

Door bij een tweedegraadsfunctie het domein te beperken kan de gra¿ek na spiegeling in de lijn y = x de gra¿ek van een functie zijn. We zeggen dan dat de functie een inverse heeft. De inverse functie van een functie f noteren we met f inv. Functies f en g met de eigenschap dat hun grafieken elkaars spiegelbeeld zijn in de lijn y = x zijn elkaars inverse. Notatie: g = f inv en f = ginv.

© Noordhoff Uitgevers bv

Functies en grafieken

29

Voorbeeld 1

Gegeven is de functie f (x) = 0,4x2 í 2,8x + 2. Bereken de kleinste waarde van a waarvoor de functie f met Df = 3 a, m 9 een inverse functie heeft en teken in één ¿guur voor deze waarde van a de gra¿eken van f en f inv.

2

Aanpak Gebruik de coördinaten van de top van de gra¿ek. 3

Uitwerking

y

Parabool met xtop = í 4

x f(x)

3,5 í2,9

b í2,8 =í = 3,5, dus a = 3,5. 2a 0,8

5 í2

7 2

9 9,2

8

f inv 6 4

y

=

x f

2

5

x f

inv(x)

í2,9 3,5

í2 5

2 7

9,2 9

O

2

4

6

8

x

Zie de ¿guur hiernaast.

6

47 Gegeven is de functie f (x) = íx2 + 6x í 3. 7

8

Bereken de kleinste waarde van a waarvoor de functie f met Df = 3 a, m 9 een inverse functie heeft en teken in één ¿guur voor deze waarde van a de gra¿eken van f en f inv. 48 Gegeven is de functie f (x) = x2 + 4x.

a Neem Df = 8 k , í2 4 en teken de gra¿eken van f en f inv in één ¿guur. b Neem Df = 3 0, m 9 en bereken f inv(5). c De gra¿eken van f en f inv met Df = 3 0, m 9 hebben precies één punt gemeenschappelijk. Licht dit toe. d Bereken voor welke waarden van a de gra¿eken van f en f inv met Df = 8 k , a 4 precies één punt gemeenschappelijk hebben.

9

10

D 49 9 a Gegeven is de functie f (x) = í 14 x + 2.

Stel het functievoorschrift op van f inv. b Gegeven is de functie g(x) = 3 í x met Dg = 3 1, m 9. Stel het functievoorschrift op van ginv.

11

12

30

Hoofdstuk 1

© Noordhoff Uitgevers bv

Terugblik 1 Extreme waarden

De gra¿ek van een kwadratische functie f(x) = ax2 + bx + c (a  0) is een parabool. Voor a < 0 is de gra¿ek een bergparabool. Voor a > 0 is de gra¿ek een dalparabool. De functie f(x) = 2x2 í 6x + 7 heeft een minimum. b í6 Met de formule xtop = í krijg je xtop = í = 112 , dus ytop = f (112 ) = 212 . 2a 4 Dus het minimum van f is 212 voor x = 112 . Notatie: min. is f (112 ) = 212 . Maxima en minima heten extreme waarden. Intervallen

Een interval is een stuk van de getallenlijn. Het interval [í2, 1] is een voorbeeld van een gesloten –3 –2 –1 0 interval. De getallen í2 en 1 horen bij dit interval. Bij het open interval 82, 39 horen de getallen 2 en 3 niet bij het interval. Bij 3 4, m 9 heb je te maken met een oneindig groot interval, het links gesloten interval vier oneindig.

1

2

3

4

5

6

Domein en bereik

Bij een functie vormen alle originelen samen het domein van de functie. Alle functiewaarden samen vormen het bereik. Bij een gegeven domein is het bereik te berekenen. Om bij de functie g(x) = í2x2 + 6x + 3 met Dg = [í1, 3] het bereik te vinden, bereken je eerst van de gra¿ek de coördinaten van de eindpunten en de top. Je krijgt g(í1) = í5 en g(3) = 3, dus de eindpunten zijn (í1, í5) en (3, 3). b 6 = í = 112 en xtop = í 2a í4 ytop = g (112 ) = í2 ? (112 )2 + 6 ? 112 + 3 = 712 ,

y

1

1

(1 2 , 7 2 )

1

72

g

(3, 3)

–1 O

x

3

dus de top is (112 , 712 ) . Vervolgens maak je een schets van de gra¿ek. Zie hiernaast. Lees af: het bereik is Bg = 3 í5, 712 4 .

(–1, –5)

–5

Functie en inverse functie

Functies f en g met de eigenschap dat hun gra¿eken elkaars spiegelbeeld zijn in de lijn y = x zijn elkaars inverse. Notatie: g = f inv en f = ginv. Beperk je bij de functie g(x) = í2x2 + 6x + 3 het domein tot het interval 8 k , 112 4 , dan heeft g een inverse. De gra¿ek van de inverse functie ginv krijg je door de gra¿ek van g te spiegelen in de lijn y = x. Gebruik hierbij tabellen zoals x

í1

0

1

112

x

í5

3

7

712

g(x)

í5

3

7

712

ginv(x)

í1

0

1

112

© Noordhoff Uitgevers bv

Functies en grafieken

31

1.4 Tweedegraadsfuncties met een parameter

1

2

O 50 Gegeven is de functie f (x) = íx2 + 6x + p.

a Neem p = 1 en bereken de coördinaten van de top van de gra¿ek van de functie die je krijgt. b Onderzoek bij welke waarde van p de top van de gra¿ek op de x-as ligt.

3

Theorie A Discriminanten met een parameter Omdat je bij f (x) = x2 + 4x + p voor elke waarde van de parameter p een andere functie krijgt, heb je met oneindig veel functies te maken. Om al deze functies in één keer te noteren, schrijven we fp(x) = x2 + 4x + p. Zo krijg je voor p = 2 de functie f2(x) = x2 + 4x + 2, voor p = 8 de functie f8(x) = x2 + 4x + 8 en voor p = í5 de functie fí5(x) = x2 + 4x í 5. In de ¿guur hiernaast zie je de gra¿eken van deze drie functies. De ligging van de gra¿ek van fp(x) = x2 + 4x + p ten opzichte van de x-as hangt af van p. Je kunt je bijvoorbeeld afvragen voor welke waarden van p de gra¿ek geen snijpunten met de x-as heeft. Om deze vraag te beantwoorden is het schema hieronder van belang. Hierin is te zien hoe de ligging van een dalparabool y = ax2 + bx + c ten opzichte van de x-as afhangt van de discriminant D = b2 í 4ac.

4

5

6

7

y

f8

8 6 4

f2 –6

–4

f_5

2 –2 O –2

2

4

x

–4 –6 –8

¿guur 1.16

8

De gra¿ek van y = ax2 + bx + c met a > 0 9

10 x x x

twee snijpunten met de x-as D>0

11

één snijpunt (raakpunt) met de x-as D=0

geen snijpunt met de x-as D4 Dus de gra¿ek van fp(x) = x2 + 4x + p heeft voor p > 4 geen snijpunten met de x-as.

1

Voorbeeld Gegeven zijn de functies fp(x) = 2x2 í 10x + p. Bereken algebraïsch voor welke p de functie fp een negatief minimum heeft. Uitwerking ƒp

x

Er moet gelden D > 0 D = (í10)2 í 4 Â 2 Â p = 100 í 8p f 100 í 8p > 0 í8p > í100 p < 1212

51 Gegeven zijn de functies fp(x) = 2x2 í 6x + p.

Bereken algebraïsch voor welke p a de gra¿ek van fp de x-as raakt b fp een negatief minimum heeft.

R 52 Maak een schema zoals op de vorige bladzijde, maar nu voor

bergparabolen. 53 Gegeven zijn de functies fp(x) = í 12 x2 í 5x + p.

Bereken algebraïsch voor welke p a de top van de gra¿ek van fp op de x-as ligt b het maximum van fp kleiner is dan 0.

A 54 Gegeven zijn de functies fp(x) = 3x2 + px + 3.

Bereken algebraïsch voor welke p a de top van de gra¿ek van fp op de x-as ligt b fp een negatief minimum heeft.

O 55 Gegeven zijn de functies fp(x) = 4x2 + px + 5.

1 2 Toon aan dat xtop = í 18 p en dat ytop = í 16 p + 5.

© Noordhoff Uitgevers bv

Functies en grafieken

33

Theorie B Extremen met een parameter In opgave 55 heb je gezien dat bij de functies fp(x) = 4x2 + px + 5 1 2 p + 5. geldt ytop = í 16 Als gegeven is dat het minimum van fp gelijk is aan 1, dan geldt dus 1 2 í 16 p + 5 = 1. Hiermee is p te berekenen.

1

2

Voorbeeld Van de functie fp(x) = 2x2 + px + 3 is het minimum 1. Bereken p algebraïsch.

3

Uitwerking 4

xtop = í

b p =í = í 14 p 2a 2?2

í

p = í 14 p 4

ytop = fp(í 41 p) = 2 ? (í 14 p) 2 + p ? í 41 p + 3 1 2 p í 14 p2 + 3 = 2 ? 16

5

(í p) = (í ) . p = 1 4

2

1 2 4

2

1 16

p2

= 18 p2 í 14 p2 + 3 = í 18 p2 + 3

6

Het minimum is 1 geeft í 18 p2 + 3 = 1 í 18 p2 = í2

7

p2 = 16 p = 4  p = í4

8 56 Van de functie fp(x) = í2x2 + px + 1 is het maximum 9.

Bereken p algebraïsch.

9

57 De top van de gra¿ek van fp(x) = x2 + px + 3 ligt op de lijn y = x + 1.

Bereken p algebraïsch.

10

11

58 Van de functie fp(x) = px2 + 6x + 1 is de extreme waarde í2.

a Bereken p algebraïsch. b Is de extreme waarde een maximum of een minimum?

D 59 De top van vb de gra¿ek van fp, q (x) = 12 x2 + px + q ligt op de

parabool y = x2 + x + 1. a Druk q uit in p. b Bereken voor welke p en q de x-coördinaat van de top van de gra¿ek van fp,q gelijk is aan 2.

12

34

Hoofdstuk 1

© Noordhoff Uitgevers bv

O 60 a Gegeven zijn de functies fp(x) = x2 + px + 7.

Met p = −2xtop is p uitgedrukt in xtop.

Toon aan dat xtop = í 12 p en dat hieruit volgt p = í2xtop. Druk bij de volgende functies p uit in xtop. b fp(x) = 2x2 + px í 3

d fp(x) = px2 + 6x í 1

c fp(x) = í3x2 + 4px + 4

e fp(x) = p2x2 + 4px + 2

1

Theorie C Kromme door toppen Bij de functies fp(x) = px2 + 4x í 3 zijn xtop en ytop uit te drukken in p. b 4 2 Je krijgt xtop = í = í = í en p 2a 2p 4 8 2 2 2 2 4 4 8 ytop = fp a í b = p ? aí b + 4 ? í í 3 = p ? 2 í í 3 = í í 3 = í í 3. p p p p p p p p Je kunt nu ytop uitdrukken in xtop. 2 2 Uit xtop = í volgt p = í . p xtop Substitueren van p = í

2 xtop

Substitueren betekent vervangen door.

4 in ytop = í í 3 geeft p

xtop 4 ytop = í í 3 = 2 Â xtop í 3. í 3 = í4 ? í 2 2 í xtop

y

Hieruit volgt dat alle toppen van de parabolen y = px2 + 4x í 3 op de lijn y = 2x í 3 liggen.

5 4

Om de formule van de lijn y = 2x í 3 te 2 gesubstitueerd krijgen heb je p = í xtop in de formule ytop

4 = í í 3. p

2 ook kunnen invullen in de xtop formule ytop = p ? xtop2 + 4 ? xtop í 3. Je had p = í

Dit geeft ytop = í

2 xtop

y = 2x – 3

6

g2

g– 1 2

3 2 1 – 4 –3 –2 –1 O –1

1

2

3

–2

g1

4

5

6

x

7

g–1

–3 –4 –5

? xtop2 + 4 ? xtop í 3 =

–6

í2 ? xtop + 4 ? xtop í 3 = 2 ? xtop í 3.

–7

Met y = 2x í 3 is de formule gevonden van de kromme waarop de toppen van de parabolen y = px2 + 4x í 3 liggen. De gevraagde kromme is hier een lijn.

–8

g–2

–9

g1 2

–10 –11

¿guur 1.17 © Noordhoff Uitgevers bv

Functies en grafieken

35

Voorbeeld 1

Gegeven zijn de functies fp(x) = 14 x2 + px í 5. Stel de formule op van de kromme waarop alle toppen van de gra¿eken van fp liggen.

2

Uitwerking xtop = í

3

b p p = í 1 = í 1 = í 2p, dus p = í 21 xtop. 2a 2?4 2

ytop = 14 xtop2 + pxtop í 5 p=

í 12 xtop

1 1 2 f ytop = 4 xtop + í 2 xtop ? xtop í 5 ytop = 14 xtop2 í 12 xtop2 í 5

ytop = í 14 xtop2 í 5

4

Dus de formule van de kromme is y = í 14 x2 í 5. 5

61 Stel de formule op van de kromme waarop alle toppen van de

gra¿eken van fp liggen. 6

a fp(x) = í 18 x2 + px í 6

c fp(x) = p2x2 í 2px + 3

b fp(x) = px2 + 6x + p

d fp(x) = px2 í px + 1

A 62 Gegeven zijn de functies fp(x) = íx2 + px + 2p.

Stel de formule op van de kromme waarop alle toppen van de gra¿eken van fp liggen.

7

Informatief Parameters met GeoGebra 8 De tekening hiernaast is gemaakt met het programma GeoGebra. In het digitale boek staat een link naar een filmpje waarin je kunt zien hoe dat is gedaan.

9

10

11

12

36

Hoofdstuk 1

© Noordhoff Uitgevers bv

Terugblik 1 Discriminanten met een parameter

Met fp(x) = íx2 + 3x + p worden oneindig veel functies aangegeven. Neem je de parameter p = 2 dan krijg je f2(x) = íx2 + 3x + 2. Zoek je functies fp met een positief maximum, dan gebruik je D > 0. Je hebt immers te maken met een bergparabool waarvan de top boven de x-as ligt. Zie de ¿guur hiernaast. Omdat D = 32 í 4 Â í1 Â p = 9 + 4p krijg je 9 + 4p > 0, dus p > í214 .

x

fp

Extremen met een parameter

Om te berekenen voor welke waarde van p het maximum van de functie fp(x) = íx2 + px + p gelijk is aan 3, druk je eerst xtop en vervolgens ytop uit in p. p Je krijgt xtop = í = 12 p, dus í2 ytop = í( 12 p)2 + p ? 12 p + p = í 41 p2 + 12 p2 + p = 14 p2 + p. Omdat het maximum gelijk is aan 3 krijg je 14 p2 + p = 3. Dit geeft p2 + 4p í 12 = 0 (p í 2)(p + 6) = 0 p = 2  p = í6 Dus het maximum van de functie fp(x) = íx2 + px + p is gelijk aan 3 voor p = 2  p = í6. Kromme door toppen

De toppen van de gra¿eken van de functies fp(x) = íx2 + px + p liggen op een kromme. De formule van deze kromme krijg je door eerst p uit te drukken in xtop en vervolgens ytop uit te drukken in xtop. Uit xtop = 12 p volgt p = 2  xtop. Substitutie van p = 2  xtop in de formule van f geeft ytop = íxtop2 + 2  xtop  xtop + 2  xtop = íxtop2 + 2  xtop2 + 2  xtop = xtop2 + 2  xtop Dus de formule van de kromme waarop alle toppen liggen is y = x2 + 2x.

© Noordhoff Uitgevers bv

Functies en grafieken

37

1.5 Grafisch-numeriek oplossen 1 y

O 63 In ¿guur 1.18 is de gra¿ek van de

functie f (x) = x4 í 5x3 + 5x2 + 5x í 6 getekend. a Lees de x-coördinaten van de snijpunten van de gra¿ek met de x-as af uit de ¿guur. b Controleer dat de afgelezen x-coördinaten oplossingen zijn van de vergelijking x4 í 5x3 + 5x2 + 5x í 6 = 0.

2

3

ƒ –1

O

1

2

3

2

4

x

–2

–4

–6

4 ¿guur 1.18

5

y

O 64 In ¿guur 1.19 zijn de gra¿eken van de

functies f (x) = 12 x3 í 2x2 í 4x + g(x) = í 12 x3 + 2x2 í 8 getekend.

8 en 8

a Lees de x-coördinaten van de snijpunten van de gra¿eken af uit de ¿guur. b Geef de oplossing van de vergelijking 1 3 1 3 2 2 2 x í 2x í 4x + 8 = í 2 x + 2x í 8.

6

4

–4

7

–2

O –4

g

x

ƒ

–8

8

¿guur 1.19

9

Theorie A Toppen en snijpunten met de GR Op de GR kun je gra¿eken van functies plotten en vervolgens benaderingen berekenen van x-coördinaten van snijpunten. Deze x-coördinaten zijn oplossingen van een vergelijking. Het oplossen van een vergelijking op de GR met behulp van gra¿eken heet grafisch-numeriek oplossen. Aan de vraagstelling is te zien of je een vergelijking algebraïsch moet oplossen, of dat je gra¿sch-numeriek te werk mag gaan.

10

11

12

38

Hoofdstuk 1

© Noordhoff Uitgevers bv

Bij het oplossen van vergelijkingen kun je met drie soorten opdrachten te maken krijgen. • Bij de opdracht ‘Los algebraïsch op’ moet je de vergelijking stap voor stap oplossen. De oplossingen moet je soms benaderen. • Bij de opdracht ‘Bereken exact de oplossingen’ moet je algebraïsch te werk gaan en mag je de oplossingen niet benaderen. • Bij de opdracht ‘Los op’ of ‘Bereken de oplossingen’ mag je de werkwijze zelf kiezen. Het is dus toegestaan om gra¿sch-numeriek op te lossen. Je krijgt dan meestal benaderingen van oplossingen.

1

Neem de module Formules, grafieken en tabellen en de module Toppen en snijpunten door.

[ ŹG R]

Werkschema: Hoe noteer je de uitwerking bij het gebruik van de GR? 1 Vermeld de formules die je invoert. 2 Noteer de gebruikte optie en het resultaat dat de GR geeft. 3 Beantwoord de gestelde vraag.

Voorbeeld Gegeven is de functie f(x) = 13 x3 í x2 í 4x + 3. Rond in deze opgave de antwoorden af op twee decimalen. a Los op f (x) = 0. b Bereken de extreme waarden van f. c Los op f (x) = x í 2. Uitwerking a Voer in y1 = 13 x3 í x2 í 4x + 3. De optie zero (TI) of ROOT (Casio) geeft x § í2,69  x § 0,66  x § 5,03.

b De optie maximum geeft x § í1,24 en y § 5,79. De optie minimum geeft x § 3,24 en y § í9,12. Dus max. is f (í1,24) § 5,79 en min. is f (3,24) § í9,12. c Voer in y2 = x í 2. Intersect geeft x § í3,19  x § 0,89  x § 5,30.

© Noordhoff Uitgevers bv

Functies en grafieken

39

65 Gegeven is de functie f(x) = í 13 x3 í 12x2 + 5x + 4.

Rond in deze opgave de antwoorden af op twee decimalen. a Los op f (x) = 0. b Bereken de extreme waarden van f. c Los op f (x) = íx + 3.

1

2

66 Los op. Geef de oplossingen zo nodig in twee decimalen

nauwkeurig. a x3 í 4x2 + 3 = 0 b x4 í 4x3 + 2x2 + x í 1 = 0

c 0,4x3 + 2x2 + x í 2 = x + 2 d 0,2x5 í x4 + 4x2 = 0,2x + 3

3 67 Bereken van de volgende functies de extreme waarden. Rond af

op twee decimalen. a f(x) = 0,2x4 í x3 íx2 + 8x + 2 4

b g(x) = í113 x3 + 3x2 + 40x í28

68 Gegeven is de functie f (x) = 0 x3 í 9x 0 .

Op het GR-scherm hiernaast is de gra¿ek van f geplot. Hiervoor is ingevoerd y1 = abs(x3 í 9x) met Xmin = í5, Xmax = 5, Ymin = í5 en Ymax = 15. Op de TI zit abs in het MATH-NUM-menu. Op de Casio zit Abs in het OPTN-NUM-menu. Los de volgende vergelijkingen op. Geef de oplossingen in twee decimalen nauwkeurig. b 0 x3 í 9x 0 = x + 5 a 0 x3 í 9x 0 = 5

5

6

7

A 69 Los op. Rond zo nodig af op twee decimalen.

8

A 70 De top van de gra¿ek van fp(x) = 2x2 + p2x + p ligt op de lijn

9

a 0,5x3 í 5x2 + 20 = 0 b 0,1x4 + 0,1x3 í 12x2 + 50 = 25x

¿guur 1.20

c 0 x4 í x3 + x í 5 0 = x + 3 d 0 x3 í 5x2 í 2x + 24 0 = 20

y = 8x + 4. Bereken p en de bijbehorende extreme waarde. Rond zo nodig af op drie decimalen.

O 71 Op het GR-scherm hiernaast zijn de gra¿eken

van f (x) = í x2 + 6x en g(x) = x + 4 geplot. a Bereken de oplossingen van de vergelijking íx2 + 6x = x + 4. b Voor welke waarden van x ligt de gra¿ek van f boven de gra¿ek van g?

10

11 ¿guur 1.21

12

40

Hoofdstuk 1

© Noordhoff Uitgevers bv

Theorie B Ongelijkheden oplossen 1

In opgave 71 heb je gekeken voor welke waarden van x de gra¿ek van f (x) = í x2 + 6x boven die van g(x) = x + 4 ligt. Daarmee heb je de ongelijkheid íx2 + 6x > x + 4 opgelost.

y

x2
g(x) kijk je waar de grafiek van f boven die van g ligt.

Ook bij het oplossen van ongelijkheden kun je aan de vraagstelling zien of je algebraïsch te werk moet gaan, of dat je de gra¿sch-numerieke aanpak mag kiezen. Werkschema: het oplossen van de ongelijkheid f (x) < g(x) 1 Los de vergelijking f (x) = g(x) op. 2 Schets de gra¿eken van f en g. 3 Geef op de x-as aan waar de gra¿ek van f onder die van g ligt. 4 Geef de oplossing van de ongelijkheid. y

Voorbeeld Los op x2 > í8x + 5. Rond in het antwoord af op twee decimalen.

y = –8x + 5 y = x2

Uitwerking Voer in y1 = x2 en y2 = í8x + 5. Intersect geeft x § í8,58 en x § 0,58. Zie de ¿guur hiernaast. x2 > í8x + 5 geeft x < í8,58  x > 0,58

© Noordhoff Uitgevers bv

–8,58

O

0,58

Functies en grafieken

x

41

Voorbeeld 1

Los algebraïsch op x2 > 2x + 3. Uitwerking ƒ g

3

f

x2 > 2x + 3

y

6

2

f(x) x2

g(x)

= 2x + 3 x2 í 2x í 3 = 0 (x + 1)(x í 3) = 0 x = í1  x = 3

4 –1 O

3

x

x2 > 2x + 3 geeft x < í1  x > 3.

5

72 Los op. Rond in het antwoord zo nodig af op drie decimalen.

a b c d

6

7

x2 í 3x ” 14 x2 + 2x > 11 8x2 + 6x í 35 • 0 x3 + 4,5x2 < 19x + 60

73 Los algebraïsch op.

a x4 > 81 b x3 < í8 c 12 x4 + 1 < 9

8

d 13 (x í 1)3 > 9 A 74 Los op. Rond in het antwoord zo nodig af op twee decimalen. 9

a b c d

0,1x3 í 2x2 + 8x + 10 • íx + 15 í0,5x4 + 3x3 í 4x2 + 8 • x + 7 0 x3 í 10x 0 ” 2x + 8 0 x4 + x2 í 5x í 10 0 ” 8 í 0 2x í 4 0

10

11

12

42

Hoofdstuk 1

© Noordhoff Uitgevers bv

Terugblik 1 Vergelijkingen en ongelijkheden grafisch-numeriek oplossen

Elke vergelijking is gra¿sch-numeriek op te lossen. Je voert daarbij op de GR de formules y1 = linkerlid en y2 = rechterlid in. Vervolgens plot je de gra¿eken en met de optie intersect bereken je de coördinaten van de snijpunten. De x-coördinaten van de snijpunten zijn de oplossingen van de vergelijking. Zo voer je voor het gra¿sch-numeriek oplossen van de vergelijking x3 í 5x = x2 + 4x í 5 de formules y1 = x3 í 5x en y2 = x2 + 4x í 5 in. Kies het venster zo, dat alle snijpunten op het scherm te zien zijn. Zie het GR-scherm hiernaast. De optie intersect geeft de oplossingen x § í2,82, x § 0,54 en x § 3,28. Hierbij is afgerond op twee decimalen. De optie zero (TI) of ROOT (Casio) kun je gebruiken als het linker- of rechterlid nul is. Voor het oplossen van de ongelijkheid f (x) > g(x) ga je als volgt te werk: • Los op f(x) = g(x). • Schets de gra¿eken van f en g. • Geef op de x-as aan waar de gra¿ek van f boven die van g ligt. • Geef de oplossing van de ongelijkheid.

y

y = x3 – 5x y = x 2 + 4x – 5 –2,82

0,54 O

3,28

Voor de schets bij de ongelijkheid x3 í 5x ” x2 + 4x í 5 gebruik je het GR-scherm hierboven. x3 í 5x ” x2 + 4x í 5 geeft x ” í2,82  0,54 ” x ” 3,28 Toppen berekenen met de GR

Om de toppen van de gra¿ek van f(x) = x3 í 5x met de GR te berekenen, gebruik je de opties minimum en maximum. Je krijgt max. is f (í1,29) § 4,30 en min. is f (1,29) § í4,30. Modulusongelijkheden

Om de modulusongelijkheid 0 x3 í 2x2 í 5x + 3 0 ” x + 1 op te lossen voer je in y1 = abs(x3 í 2x2 í 5x + 3) en y2 = x + 1. Op de TI zit abs in het MATH-NUM-menu en op de Casio zit Abs in het OPTN-NUM-menu. In het scherm hiernaast is Xmin = í5, Xmax = 5, Ymin = í2 en Ymax = 8 genomen. Intersect geeft x § 0,31, x § 0,81, x § 2,90 en x § 3,54. Dus 0 x3 í 2x2 í 5x + 3 0 ” x + 1 geeft 0,31 ” x ” 0,81  2,90 ” x ” 3,54.

© Noordhoff Uitgevers bv

Functies en grafieken

43

x

Diagnostische toets 1 1.1 Lineaire functies 1

a De lijn k gaat door het punt A(í1, 6) en rck = 2. Stel de formule op van k. b De lijn l gaat door het punt B(9, 3) en is evenwijdig met de lijn m: y = í 12 x + 4. Stel de formule op van l. c De lijn n: y = ax + 5 snijdt de x-as in het punt (í10, 0). Bereken a.

2

a Stel de vergelijking op van de lijn k door de punten A(í5, 2) en B(3, í2). b Stel de formule op van de lijn l door de punten P(40, 60) en Q(65, 135).

3

W is een lineaire functie van t. Voor t = 4 is W = 500 en voor t = 12 is W = 2900. a Schrijf W als functie van t. b Bereken W voor t = 5,2.

4

Gegeven is de functie f (x) = 2x + 1 í 0 3x í 6 0 . a Teken de gra¿ek van f. b Bereken de oppervlakte van het vlakdeel dat ingesloten wordt door de gra¿ek van f en de x-as.

2

3

4

5

6

7

1.2 Tweedegraadsvergelijkingen 5 8

9

Bereken exact de oplossingen. a 3x2 í x = 0 b 3x2 í 9x = 12 c 3x2 í x = 2 d x2 + 14 = 16 e (2x í 3)2 = 81

f g h i j

(3x + 2)(x í 1) = 0 x2 = 7x + 13 (3x + 2)(x í 1) = x(x + 5) (x + 2)2 = 3x + 7 (x í 3)2 í (x + 1)2 = (x í 4)2

6

Bereken voor welke p de vergelijking a 2x2 + 4x + p = 0 geen oplossing heeft b 3x2 + px + 17 = 0 twee oplossingen heeft c px2 + 2x + 5 = 0 twee oplossingen heeft.

7

De vergelijking px2 í 6x + 12 = 0 heeft één oplossing. Bereken p en de bijbehorende oplossing.

10

11

12

44

Hoofdstuk 1

© Noordhoff Uitgevers bv

1.3 Extreme waarden en inverse functies 8

9

Bereken de extreme waarde. a f (x) = 2x2 + 8x + 5 b g(x) = í0,4x2 + 4x í 3

1

Gegeven is de functie f (x) = 0,6x2 í 4,8x + 3. a Neem Df = [0, 5] en bereken Bf. b Neem Df = [2, 10] en bereken Bf.

10 Gegeven is de functie f (x) = 12 x2 í x í 412 .

Bereken de grootste waarde van a waarvoor de functie f met D f = 8 k , a 4 een inverse functie heeft en teken in één ¿guur voor deze waarde van a de gra¿eken van f en f inv.

1.4 Tweedegraadsfuncties met een parameter 11 Gegeven zijn de functies fp(x) = íx2 + px í 3.

Bereken algebraïsch voor welke p a de top van de gra¿ek van fp op de x-as ligt b fp een positief maximum heeft.

12 Gegeven zijn de functies fp(x) = x2 + px + 6p.

a Bereken voor welke p de extreme waarde gelijk is aan í13. b Bereken voor welke waarden van p de top van de gra¿ek van fp op de lijn l: y = í5x + 10 ligt.

13 Gegeven zijn de functies fp(x) = x2 + 2px + p.

Stel de formule op van de kromme waarop alle toppen van de gra¿eken van fp liggen.

1.5 Grafisch-numeriek oplossen 14 Gegeven is de functie f(x) = í 15 x3 + x2 + 2x í 5.

Bereken in twee decimalen nauwkeurig de nulpunten en de extreme waarden van f.

15 Los op. Geef de oplossingen in twee decimalen nauwkeurig.

a x4 í 4x2 = 0,5x í 2 b 0 x3 í 3x 0 = í 12 x + 2 16 Los op. Rond in het antwoord af op twee decimalen.

a x2 + 5x ” x3 + 2x2 í 6x + 1 b 10 í 0 4 í 3x 0 < 0 x3 í 4x2 + x 0

© Noordhoff Uitgevers bv

Functies en grafieken

45

Bij een keuring moeten topsporters binnen korte tijd een zware inspanning verrichten. Er wordt gemeten wat de maximale hartslag is en ook hoe snel de hartslag weer op een normaal peil komt. De snelheid waarmee de hartslag afneemt zegt iets over de conditie van de sporter.

46

Hoofdstuk #

Wat leer je? • Differentiequotiënten gebruiken om gemiddelde snelheden en de snelheid op één moment te benaderen. • Hellinggrafieken tekenen en plotten. • De definitie van de afgeleide gebruiken om regels voor het differentiëren af te leiden. • Werken met de productregel en de quotiëntregel voor het differentiëren. • De formule van een raaklijn opstellen met behulp van de afgeleide functie.

© Noordhoff Uitgevers bv

De afgeleide functie

2

© Noordhoff Uitgevers bv

47

Voorkennis Herleiden Theorie A De merkwaardige producten Voor het wegwerken van de haakjes in (2x + 3)2, (4x í 1)2 en (5x + 2)(5x í 2) gebruik je de merkwaardige producten.

2

2AB heet het dubbele product van A en B.

(A + B)2 = A2 + 2AB + B2 (A í B)2 = A2 í 2AB + B2 (A + B)(A í B) = A2 í B2 De merkwaardige producten gebruik je om in één keer de haakjes weg te werken.

Voorbeeld Herleid. a (2x + 3)2 b (4x í 1)2

c (5x + 2)(5x í 2) d (3x + 2)2 í (x í 4)2 Het product van 2x en 3 is 2x  3 = 6x, dus het dubbele product is 2  6x = 12x.

Uitwerking Het kwadraat van 2x is (2x)2 = 4x2. a (2x + 3)2 = 4x2 + 12x + 9 2 2 b (4x í 1) = 16x í 8x + 1 c (5x + 2)(5x í 2) = 25x2 í 4 d (3x + 2)2 í (x í 4)2 = 9x2 + 12x + 4 í (x2 í 8x + 16) = 9x2 + 12x + 4 í x2 + 8x í 16 = 8x2 + 20x í 12 Denk aan de haakjes.

1 Herleid.

a (2x í 5)2 b (3 + h)2 c (12 x í 1)(12 x + 1)

d 2(3x í 2)2 + 3(2x í 1)2 e (3x + 2)2 í (2x í 6)2 f (6x í 5)2 í 12 (2x í 4)2

Theorie B Substitueren Bij de functie f (x) = 2x2 í 3x + 4 bereken je f (2p) door x = 2p te substitueren in de formule van f. f (2p) = 2 Â (2p)2 í 3 Â 2p + 4 = 2 Â 4p2 í 6p + 4 = 8p2 í 6p + 4 En zo is f (2 + p) = 2 Â (2 + p)2 í 3 Â (2 + p) + 4 = 2(4 + 4p + p2) í 6 í 3p + 4 = 8 + 8p + 2p2 í 6 í 3p + 4 = 2p2 + 5p + 6.

48

Hoofdstuk 2

© Noordhoff Uitgevers bv

Voorbeeld Gegeven is de functie f (x) = í 12 x2 + 4x í 3. Herleid. a f (x í 4) b f (x + h) 2

Uitwerking a f (x í 4) = í 12 (x í 4)2 + 4(x í 4) í 3 = í 21 (x2 í 8x + 16) + 4x í 16 í 3 = í 12 x2 + 4x í 8 + 4x í 16 í 3 = í 12 x2 + 8x í 27 b f (x + h) = í 12 (x + h)2 + 4(x + h) í 3 = í 12 (x2 + 2xh + h2) + 4x + 4h í 3 = í 12 x2 í xh í 12 h2 + 4x + 4h í 3

2

Gegeven is de functie f (x) = 14 x2 í x + 2. Herleid. a f (2x) b f (x + 5) c f (3x + 1)

d f (x + h)

Theorie C Herleiden van breuken In de breuk Je krijgt

15x kun je de teller en de noemer delen door 5. 20

15x 3x 3 = = x. 20 4 4

In de breuk

5ab kun je de teller en de noemer delen door a, 8a

mits a  0. Je krijgt

Delen door 0 mag niet.

Mits aEHWHNHQWGDWGH YRRUZDDUGHaJHOGW

5ab 5b 5 = = b, mits a  0. 8a 8 8

Voorbeeld Herleid de formule y =

2,8xh + 1,4h2 . h

Uitwerking y=

3

2,8xh + 1,4h2 h(2,8x + 1,4h) = = 2,8x + 1,4h, mits h  0 h h

Herleid de volgende formules. a y=

3xh + 2h2 h

© Noordhoff Uitgevers bv

b y=

axh + bh2 h

c y=

a(x + h)2 í ax2 h

De afgeleide functie

49

2.1 Snelheden O 16 2

In de ¿guur hiernaast zie je de gra¿ek van f (x) = 13 x3 í 3x2 + 5x + 6. De toppen zijn A(1, 813 ) en B(5, í213 ). Verder zie je het punt C(3, 3). Tussen A en B daalt de gra¿ek, maar tussen A en C verloopt de daling anders dan tussen C en B. Omschrijf dit verschil.

y A

C

f x

O B

¿guur 2.1

Theorie A Soorten van stijgen en dalen De gra¿ek in ¿guur 2.2 is stijgend op de intervallen 8k , 39 en 86, m 9.

y 4

De gra¿ek is dalend op het interval 83, 69.

3

In ¿guur 2.2 zijn de volgende soorten van stijgen en dalen te herkennen:

1

afnemend stijgend op 8k, 39 toenemend dalend op 83, 49 afnemend dalend op 84, 69 toenemend stijgend op 86, m 9.

Afspraak Op de vraag op welke intervallen een gra¿ek stijgend/dalend is, noem je de grootst mogelijke open intervallen.

2

–1 O

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

¿guur 2.2 Soorten van stijgen en dalen constant

toenemend

afnemend

constant

toenemend

afnemend

stijging

daling

¿guur 2.3

2

Welke soorten van stijgen en dalen kun je in ¿guur 2.4 herkennen? Geef de bijbehorende intervallen.

y

3 2 1

O

¿guur 2.4 50

Hoofdstuk 2

1

2

3

4

x

© Noordhoff Uitgevers bv

3

Welke soorten van stijgen en dalen kun je in ¿guur 2.5 herkennen? Geef de bijbehorende intervallen.

y 3

ƒ

1 O

–4

1

x

5

2

–5

¿guur 2.5

4

De gra¿ek van ¿guur 2.6 gaat over de snelheid van een ¿etser tijdens een 10 minuten durende tocht door een glooiend landschap. a Welke soorten van stijgen en dalen kun je in de ¿guur herkennen? Geef de bijbehorende intervallen. b Na hoeveel minuten heeft de ¿etser tijdens deze tocht te maken met de steilste klim? Licht toe.

v snelheid in km/uur 30

20

10

O

1

2

3

4

5

6

7

8 9 tijd in minuten

t

¿guur 2.6

O 65 In ¿guur 2.7 is van een motorrijder de

afgelegde afstand in meter uitgezet tegen de tijd t in seconden. Bereken de gemiddelde snelheid van de motorrijder gedurende de eerste vijf seconden.

s afstand in meter 100

O

1

5 tijd in seconden

t

¿guur 2.7 s in km

Theorie B Gemiddelde snelheid In ¿guur 2.8 zie je een tijd-afstandgrafiek. De gemiddelde snelheid op het interval [2, 6] is

8

afgelegde afstand )s 8 í 3 5 = = = = 1,25 km per minuut. tijd )t 6 í 2 4

4

6

Δs = 5 Δt = 4

2

O

1

2

3

4 5 6 tijd in minuten

¿guur 2.8

© Noordhoff Uitgevers bv

De afgeleide functie

51

t

In een tijd-afstandgrafiek is de afgelegde afstand s uitgezet tegen de tijd t. )s De gemiddelde snelheid is .

)t

2

6

R 76

Zie de tijd-afstandgra¿ek in ¿guur 2.9. a Bereken de gemiddelde snelheid in km per uur op de intervallen [20, 40] en [30, 60]. b Hoe zie je aan de gra¿ek dat de snelheid niet constant is? c Er is een p  20 zo, dat de gemiddelde snelheid op het interval [0, p] gelijk is aan die op het interval [0, 20]. Voor welke p is dat het geval? Gegeven is een tijd-afstandgra¿ek die afnemend stijgend is. Wat kun je zeggen van de gemiddelde snelheid op het interval [0, t] als je t steeds groter neemt?

s in km 15

10

5

O

10

20

30

40

50

60 70 tijd in minuten

t

¿guur 2.9

Theorie C Differentiequotiënten In ¿guur 2.10 is het aantal inwoners van een N plaats uitgezet tegen de tijd. Je ziet dat tussen 1970 en 1980 het aantal inwoners is toegenomen 16 800 van 15 000 tot 16 800. De gemiddelde verandering 15 000 in deze periode is )N 1800 = = 180 inwoners per jaar. )t 10

Δt = 10

ΔN = 1800

10 000

)N is de gemiddelde verandering van N per )t tijdseenheid.

1950

1960

1970

1980

t

1990

¿guur 2.10

Zie ¿guur 2.11. Op het interval [2, 6] is ǻ x = 6 í 2 = 4 en ǻ y = 3 í 1 = 2. )y 2 = = 0,5. De gemiddelde verandering is )x 4 )y heet het differentiequotiënt van y op het )x interval [2, 6].

y

B

3

2

Δy = 3 – 1 = 2 A

1

O

Δx = 6 – 2 = 4

1

¿guur 2.11 52

Hoofdstuk 2

2

3

4

5

6

7

x

© Noordhoff Uitgevers bv

Het woord differentiequotiënt kun je als volgt begrijpen. )y is een deling, dus een quotiënt • )x • onder en boven de breukstreep staan verschillen en een ander woord voor verschil is differentie. )y is de richtingscoëf¿ciënt )x van de lijn AB in ¿guur 2.12. In plaats van ‘de richtingscoëf¿ciënt van de lijn AB’ zeggen we ook ‘de helling van de lijn AB’. Het differentiequotiënt

2

y B

5 4

Δy = 5 – 2 = 3

3 A

2

Δx = 6 – 1 = 5

1 O

1

2

3

4

5

x

6

¿guur 2.12

)y van y op [xA, xB] is )x de gemiddelde toename van y op [xA, xB] de richtingscoëfficiënt van de lijn AB de helling van de lijn AB yB í yA . xB í xA

y

Het differentiequotiënt • • • •

B

yB

Δy = yB – yA A

yA

O

8

D 9

xA

[ ŹWERKBLAD ] Zie ¿guur 2.13. a Bereken de gemiddelde toename van y op [0, 4]. b Bereken het differentiequotiënt van y op [2, 6]. c Voor welke p is het differentiequotiënt van y op [0, p] gelijk aan 0,6? d Licht toe dat er drie waarden van q zijn waarvoor het differentiequotiënt van y op [1, q] gelijk is aan 14 .

differentiequotiënt

x

xB

y

5 4 3 2 1

Bij de gra¿ek van een functie f met domein [0, 10] en f (0) = í3 hoort de volgende tabel. interval

Δx = xB – xA

[0, 1]

[1, 3]

[3, 6]

[6, 10]

4

2

í2

í1

O

1

2

3

4

x

5

¿guur 2.13

Teken een mogelijke gra¿ek van f. Waarom zijn er meerdere mogelijkheden?

© Noordhoff Uitgevers bv

De afgeleide functie

53

D 10 a Teken op [0, 5] een gra¿ek door het punt (0, í4) waarvoor

geldt: voor p = 1, 2, 3, 4, 5 is op [0, p] het differentiequotiënt gelijk aan 12 p2 í 2p. b Teken op [í3, 3] een gra¿ek door het punt (0, 1) waarvoor geldt: voor q = í2, í1, 0, 1, 2, 3 is op [í3, q] het differentiequotiënt gelijk aan í 12 q2 + q + 1.

2

y

6 In ¿guur 2.14 zie je de gra¿ek van f (x) = x2 í 4x + 1. O 11

ƒ( x) = x 2 – 4x + 1

Op de gra¿ek liggen de punten A en B met xA = 1 en xB = 5. a Bereken yA en yB. b Bereken het differentiequotiënt van f (x) op [1, 5].

x

O

¿guur 2.14

Theorie D Differentiequotiënten berekenen bij een functievoorschrift Weet je van een functie de formule, dan kun je differentiequotiënten berekenen. Je hebt daarbij de gra¿ek niet nodig. Zo is bij de functie f (x) = x2 het differentiequotiënt van f (x) op [í3, 1] gelijk aan

) y f (1) í f (í3) 12 í (í3)2 í8 = = = = í2. )x 1 í í3 4 4

Het differentiequotiënt van f (x) op [a, b] is

f (b ) í f (a) )y = . )x b ía

y

B

ƒ(b) ƒ(a)

ƒ

Δy

A

ƒ(b) ƒ(a)

O

a

b

x

Δx

Voorbeeld Gegeven is de functie f (x) = í 12 x2 + 3x í 1. Bereken het differentiequotiënt van f (x) op [1, 4]. Uitwerking f (4) í f (1) 3 í 112 1 )y = = =2 )x 4í1 3

54

Hoofdstuk 2

© Noordhoff Uitgevers bv

12 Gegeven is de functie f (x) = x2 í 5x.

Bereken het differentiequotiënt van f (x) op a [í1, 3] c [í5, 1] b [1, 4] d [í5, 4] 6 Wat weet je van de differentiequotiënten van een lineaire R 13 2

functie? 6 Gegeven is de functie f (x) = x3 í 3x + 5. A 14

a b c d

Schets de gra¿ek. Bereken de gemiddelde toename van f (x) op [1, 3]. Bereken het differentiequotiënt van f (x) op [í2, 4]. Op de gra¿ek van f liggen de punten A en B met xA = í3 en xB = 1. Stel de formule op van de lijn l door de punten A en B.

A 15 6 Een steen wordt met grote kracht omhoog geslingerd. De hoogte

van de steen is gegeven door de formule h = í4,9t2 + 44,1t met h in meter en de tijd t in seconden. a Schets de gra¿ek van h. b Na hoeveel seconden is de steen op het hoogste punt? c Hoeveel meter stijgt de steen in de derde seconde? d Bereken de gemiddelde snelheid van de steen gedurende de eerste twee seconden. e Bereken de gemiddelde snelheid van de steen gedurende de laatste halve seconde van de val. 6 Voor een optrekkende motor is de afgelegde O 16

weg s gegeven door de formule s = t3 + t. Hierin is s in meter en t de tijd in seconden. a Bereken in m/s de gemiddelde snelheid op [2, 3]. b Bereken de gemiddelde snelheid op de intervallen [2; 2,1], [2; 2,01] en [2; 2,001]. c In onderdeel b is de gemiddelde snelheid berekend op een steeds kleiner interval [2; 2 + ¨t]. Achtereenvolgens was ¨t gelijk aan 0,1, 0,01 en 0,001. Welk vermoeden krijg je over de gemiddelde snelheid als je ¨t nog kleiner kiest? Controleer je vermoeden voor ¨t = 0,0001. d Roeland denkt dat je de snelheid op t = 2 krijgt door ¨t = 0 te nemen. Licht toe waarom dit mis gaat.

© Noordhoff Uitgevers bv

De afgeleide functie

55

Theorie E Snelheid op één moment Je hebt geleerd hoe je de gemiddelde snelheid berekent op een gegeven tijdsinterval. Maar hoe krijg je de snelheid op één moment, bijvoorbeeld op t = 4? Je krijgt een benadering van de snelheid op t = 4 door de gemiddelde snelheid op een heel klein interval [4, ...], bijvoorbeeld op [4; 4,01] of op [4; 4,001] te berekenen.

2

Bij de tijd-afstandformule s = 12 t3 met s in meter en t in seconden is de gemiddelde snelheid op het interval [4; 4,01] gelijk aan ¨s 12 ? 4,013 í 12 ? 43 = § 24,060 m/s. ¨t 0,01 ¨s 12 ? 4,0013 í 12 ? 43 En op [4; 4,001] is = § 24,006 m/s. ¨t 0,001 Je krijgt het vermoeden dat de snelheid op t = 4 gelijk is aan 24 m/s. Om de snelheid op t = 3 te krijgen, neem je een klein interval [3, 3 + %t], bijvoorbeeld [3; 3,001]. De gemiddelde snelheid op dit interval geeft een goede benadering van de snelheid op t = 3. Je krijgt

¨s 12 ? 3,0013 í 12 ? 33 = § 13,5 m/s. ¨t 0,001

Bij een tijd-afstandformule benader je de snelheid op het tijdstip t = a met het differentiequotiënt op het interval [a, a + %t], met bijvoorbeeld % t = 0,01 of %t = 0,001.

Informatief Inzoomen op de grafiek In de figuren hieronder is ingezoomd op de grafiek van s(t) = 12 t3. 50

100

35

32 32

32 0

2

4

6

20 3,5

4

4,5

29 3,9

4

4,1

Hoe verder je inzoomt, hoe meer de grafiek op een rechte lijn gaat lijken. De helling van deze lijn geeft de snelheid op t = 4. Zoom je in op de grafiek bij t = 3, dan krijg je de snelheid op t = 3.

56

Hoofdstuk 2

© Noordhoff Uitgevers bv

Voorbeeld Gegeven is de formule s = 2 + 冑t + 1. Hierbij is s de afgelegde afstand in meter na t seconden. Benader in m/s de snelheid op t = 5. Neem %t = 0,01 en rond af op twee decimalen.

2

Uitwerking Op [5; 5,01] is

) s ( 2 + 冑5,01 + 1 ) í ( 2 + 冑5 + 1 ) = § 0,20. )t 0,01

De snelheid op t = 5 is bij benadering 0,20 m/s.

6 T 17

Gegeven is de formule s = 10冑4t + 1 í 10. Hierin is s de afgelegde afstand in meter na t seconden. Neem in deze opgave %t = 0,01 en rond af op twee decimalen. a Benader in m/s de snelheid op t = 2 en op t = 20. b Onderzoek of de snelheid op t = 11 gelijk is aan het gemiddelde van de snelheden op t = 2 en t = 20.

[ ŹŹ20]

18 Gegeven is de formule s = 0,4t2. Hierin is s de afgelegde afstand

in meter na t seconden. Benader in m/s de snelheid op t = 3 en op t = 5. Neem %t = 0,01 en rond af op twee decimalen. 19 Gegeven is de formule s = 8 í

5 . Hierin is s de afgelegde t+2

afstand in meter na t seconden. Benader in m/s de snelheid op t = 1 en op t = 2. Neem beide keren %t = 0,01 en rond af op twee decimalen.

6 De oppervlakte van het kroos in de vijver van de familie Damen A 20

groeit volgens de formule A = 1,20 Â 1,15t. Hierin is A de oppervlakte in m2 en t de tijd in dagen. Benader de snelheid in m2/dag waarmee de oppervlakte van het kroos toeneemt op t = 3. Neem ¨t = 0,001 en rond af op twee decimalen. D 21 Gegeven is de formule s = 75冑2t + 4 í 150. Hierin is s de

afgelegde afstand in meter na t seconden. Op een tijdstip op het tijdsinterval [8, 9] is de snelheid gelijk aan de gemiddelde snelheid op het interval 3 212 , 16 4 . Toon dit aan.

© Noordhoff Uitgevers bv

De afgeleide functie

57

Terugblik y

Stijgen en dalen

We onderscheiden bij stijgen en dalen drie soorten: constant, afnemend en toenemend. De gra¿ek hiernaast is afnemend dalend op 80, 29, toenemend stijgend op 82, 39, afnemend stijgend op 83, 59 en constant dalend op 85, 69.

2

3 2 1

O

Het differentiequotiënt is gelijk aan de richtingscoëf¿ciënt van de lijn AB. De volgende begrippen komen op hetzelfde neer. • de gemiddelde toename van y op [xA, xB] • het differentiequotiënt van y op [xA, xB] • de richtingscoëf¿ciënt van de lijn AB • de helling van de lijn AB

2

3

4

x

5

y

Differentiequotiënt

Om veranderingen op intervallen met verschillende lengten te vergelijken, gebruik je differentiequotiënten. ) y yB í yA = . Het differentiequotiënt van y op [xA, xB] is ) x xB í xA

1

yB

B

Δy = yB – yA yA

O

A

xA

Δx = xB – xA xB

x

Het differentiequotiënt van een functie

Het differentiequotiënt van de functie f op [a, b] is )y f (b) í f (a) = . )x bía Weet je het functievoorschrift, dan kun je differentiequotiënten berekenen zonder de gra¿ek te gebruiken. Zo is het differentiequotiënt van f (x) = x2 í 3x op [í1, 2] f (2) í f (í1) í2 í 4 )y gelijk aan = = = í2. )x 2 í í1 3 Gemiddelde snelheid en snelheid op één moment

Bij een tijd-afstandgra¿ek is de afgelegde afstand s uitgezet tegen de tijd t. )s geeft de gemiddelde snelheid. Het differentiequotiënt )t Door het differentiequotiënt op een klein interval te berekenen, benader je de snelheid op één moment. Zo benader je de snelheid op t = 212 bij de formule s = 34 t3 met s de afstand in meter en t de tijd in seconden bijvoorbeeld door s(2,501) í s(2,5) § 14,1. Dus de snelheid is ongeveer 14,1 m/s. 0,001 58

Hoofdstuk 2

© Noordhoff Uitgevers bv

2.2 Raaklijnen en hellinggrafieken Door eerst paragraaf 2.5 Hellingen en raaklijnen met GeoGebra door te nemen zul je de theorie in de paragrafen 2.2, 2.3 en 2.4 beter begrijpen. s

6 Gegeven is de formule s = ít2 + 10t met t op O 22

2

raaklijn k

[0, 5]. Hierin is s de afgelegde afstand in meter na t seconden. a Bereken in m/s de gemiddelde snelheid op de intervallen [2, 5], [2, 4], [2, 3] en [2; 2,5].

B1

25 B2

B3 20

In ¿guur 2.15 is de bijbehorende gra¿ek getekend. Ook zijn de lijnen AB1, AB2, AB3 en AB4 getekend met A(2, 16), B1(5, 25), B2(4, 24), B3(3, 21) en B4(2,5; 18,75). b Voor welke van deze lijnen komt de richtingscoëf¿ciënt het dichtst in de buurt van de richtingscoëf¿ciënt van de lijn k die de gra¿ek van f raakt in A?

B4 A

15

10

5

O

1

2

3

4

5

t

¿guur 2.15

Theorie A Snelheid en richtingscoëfficiënt s In ¿guur 2.16 zie je een tijd-afstandgra¿ek. Door de gemiddelde snelheden op de steeds kleinere intervallen [a, b1], [a, b2], [a, b3], ... te berekenen, krijg je een steeds betere benadering van de snelheid op t = a. De gemiddelde snelheden zijn gelijk aan de richtingscoëf¿ciënten van de lijnen AB1, AB2, AB3, ... Hoe dichter B bij A komt te liggen, hoe meer de lijn AB zal lijken op de lijn k die de gra¿ek in A raakt. De lijn k is de raaklijn van de gra¿ek in A. De snelheid op t = a is dus de richtingscoëf¿ciënt van de raaklijn van de O gra¿ek in A. s

In een tijd-afstandgrafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de richtingscoëfficiënt van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt.

B2

B1

B3

A

a

b3

b2

t

b1

¿guur 2.16 raaklijn k

rck = snelheid op t = a.

A

O

raaklijn k

a

In de [ŹDEMO ] Het tekenen van een raaklijn wordt uitgelegd hoe je zo goed mogelijk een raaklijn in een punt van een grafiek kunt tekenen.

© Noordhoff Uitgevers bv

De afgeleide functie

59

In ¿guur 2.17 is de raaklijn k in het punt A(xA, yA) getekend. Net als bij een tijd-afstandgra¿ek is de richtingscoëf¿ciënt van de raaklijn de snelheid waarmee f (x) verandert voor x = xA. Voor de richtingscoëf¿ciënt van de raaklijn in het dy . punt A bestaat de notatie c d d x x = xA Spreek uit d y d x voor x is x a.

2

In plaats van de richtingscoëf¿ciënt van de raaklijn in het punt A zeggen we ook de helling van de grafiek in A. dy dx

x = xA

is

y

rck =

dy dx

k

x = xA

ƒ yA

O

A(xA , yA )

xA

x

¿guur 2.17

• de richtingscoëfficiënt van de raaklijn in A • de helling van de grafiek in A • de snelheid waarmee y verandert voor x = xA. [ŹG R]

De GR heeft een optie om bij een gegeven formule c

dy voor d d x x = xA

elke xA te berekenen. Hoe dat gaat leer je in de module Helling.

Voorbeeld De lijn k raakt de gra¿ek van f (x) = x2 í 2x í 1 in het punt A met xA = 3. Stel de formule op van k. Uitwerking Stel k: y = ax + b. Voer in y1 = x2 í 2x í 1. De optie dy/dx (TI) of d/dx (Casio) geeft a=

dy dx

x =3

= 4.

y = 4x + b f (3) = 2, dus A(3, 2) f 4 Â 3 + b = 2 12 + b = 2 b = í10 Dus k: y = 4x í 10.

6 T 23

60

2x + 4 en g(x) = 冑9x í 2. xí1 De gra¿eken van f en g snijden elkaar in het punt S. De lijn k raakt de gra¿ek van f in S en de lijn l raakt de gra¿ek van g in S. Stel van zowel k als van l de formule op. [ Ź Ź26]

Gegeven zijn de functies f (x) =

Hoofdstuk 2

© Noordhoff Uitgevers bv

a De lijn k raakt de gra¿ek van f (x) = x2 + x í 2 in het punt A met xA = í1. Stel de formule op van k. 2 + 3 in het punt B b De lijn l raakt de gra¿ek van g(x) = xí1 met xB = 3. Stel de formule op van l.

2

5x2 . x2 + 1 De lijn k raakt de gra¿ek van f in het punt A met xA = í2. De lijn l raakt de gra¿ek van f in het punt B met xB = 1. Bereken in twee decimalen nauwkeurig de coördinaten van het snijpunt S van k en l.

25 Gegeven is de functie f (x) = 1 +

26 Een auto rijdt weg. Gedurende de eerste vijf seconden

wordt de afgelegde afstand s in meter gegeven door de formule s = 0,6t2. Hierbij is de tijd t in seconden. a Bereken de snelheid op t = 3 en op t = 5. b Na vijf seconden verandert de snelheid niet meer. Hoeveel meter heeft de auto na tien seconden afgelegd?

Gebruik voor de snelheid op t = 3 de notatie ds . dt t = 3

6 Na toediening van een koortsdrukkend A 27

medicijn kan de lichaamstemperatuur van een patiënt gedurende de eerste drie uur beschreven worden door het model 3 . Hierin is T de T = 37 + 2t + 1 lichaamstemperatuur in graden Celsius na t uur. a Bereken met welke snelheid in graden Celsius per uur de lichaamstemperatuur afneemt op t = 2. b Vanaf t = 3 blijft de snelheid waarmee de temperatuur afneemt constant, tot het lichaam op een temperatuur van 37 °C is gekomen. Bereken voor welke t deze temperatuur van 37 °C is bereikt. Rond af op één decimaal.

© Noordhoff Uitgevers bv

De afgeleide functie

61

6 Bij sommige operaties in het onderlichaam krijgt de patiënt als A 28

verdoving een zogenaamde ruggenprik (spinale anesthesie). Er wordt dan een verdovend middel in het ruggenmergvocht gespoten. Het is van belang een zodanige hoeveelheid van het verdovend middel in te spuiten dat de verdoving lang genoeg werkt. In deze opgave gebruiken we voor de hoeveelheid verdovend 600t middel het model H = t . Hierin is H in mg en t de tijd in 4 uren met 0 ” t ” 2. a Bereken met welke snelheid de hoeveelheid verdovend middel afneemt op t = 1. Rond in het antwoord af op één decimaal. b Vanaf t = 2 blijft de snelheid waarmee de hoeveelheid verdovend middel afneemt constant. Bereken voor welke waarde van t het verdovend middel uit het lichaam is verdwenen. Rond af op één decimaal.

2

D 29 Bij een onderzoek naar de hartslagfrequentie van sporters moet

binnen enkele minuten een zware inspanning op een lopende band geleverd worden. Het blijkt dat de hartslag direct begint te stijgen na aanvang van de proef en onmiddellijk begint te dalen na het verrichten van de inspanning. Voor een hardloper hanteert men het model 200t2 + 1200t + 450 F= . Hierin is t de tijd in minuten vanaf de 4t2 + 9 aanvang van de proef en F de hartslagfrequentie in slagen per minuut. a Hoe lang duurde de inspanning? Wat is de maximale hartslagfrequentie? b Hoeveel seconden na het beëindigen van de inspanning duurt het tot de hartslagfrequentie is afgenomen tot 120 slagen per minuut? Met welke snelheid neemt de hartslagfrequentie op dat moment af? Voor een wielrenner hanteert men het model 240t2 + 1440t + 540 F= . 4t2 + 9 De maximale hartslagfrequentie van de wielrenner is k keer zo groot als de maximale hartslagfrequentie van de hardloper. c Bereken k. d Onderzoek of de snelheid waarmee de hartslagfrequentie van de wielrenner afneemt k keer zo groot is als de in vraag b berekende snelheid op het moment dat de hartslagfrequentie van de wielrenner is afgenomen tot 120k slagen per minuut.

62

Hoofdstuk 2

© Noordhoff Uitgevers bv

Geschiedenis Galileo Galileï Galileo Galileï (1564-1642) was de eerste die baanbrekend werk verrichtte met onderzoek op het gebied van snelheid en versnelling. Hierdoor konden later Newton (1642-1727) en Leibniz (1646-1716) hun theorie van de differentiaalrekening ontwikkelen. Bij zijn onderzoek kampte Galileï met het probleem dat er geen eenheid bestond voor snelheid. Volgens de verhoudingsleer van Euclides kon men slechts een verhouding tussen twee grootheden bepalen als deze soortgelijk zijn. Galileï kon dus wel een afstand door een afstand delen, maar niet bijvoorbeeld een afstand door een tijd. Ook nam men aan dat de valsnelheid constant was. Galileï bedacht enkele vernuftige proeven. De benodigde instrumenten maakte hij voornamelijk zelf.

2

Galileï toonde aan dat de valsnelheid niet constant is. Hij liet van verschillende hoogtes een balletje op een deflector vallen. De deflector die op een tafel stond zorgde ervoor dat de verticale snelheid werd omgebogen in een horizontale snelheid. Het balletje viel daarna 828 punten naar beneden (Galileï werkte met punten: 1 punt ≈ 0,9 mm). Bij het loslaten van het balletje op een hoogte van 300 punten boven de tafel kwam het balletje 800 punten ver. Hij berekende dat de horizontale afstanden bij de hoogtes 600, 800 en 1000 punten gelijk moesten zijn aan 1131, 1306 en 1460 punten. De resultaten van zijn experimenten waren hiermee in overeenstemming. Galileï ontdekte dat de formule afstand = c ? 冑hoogte past bij dit experiment . 800 Vul je hoogte 300 en afstand 800 in in de formule dan krijg je c = ≈ 46,2. Dit geeft de 冑300 formule afstand = 46,2 ∙ 冑hoogte . Deze formule klopt met de andere gevonden waarden. Bij een constante valsnelheid zouden afstand en hoogte evenredig zijn. Er geldt echter dat de afstand evenredig is met de wortel uit de hoogte. Dus de valsnelheid is niet constant.

© Noordhoff Uitgevers bv

De afgeleide functie

63

O 30 6 In ¿guur 2.18 zie je de gra¿ek van de functie

y

f (x) = íx2 + 4x. a Vul in positief of negatief. De gra¿ek is stijgend op 8 k , 29, dus de helling in de bijbehorende punten van de gra¿ek is ... De gra¿ek is dalend op 82, m 9, dus de helling in de bijbehorende punten van de gra¿ek is ... b Wat is de helling van de gra¿ek in de top T? c Vul de tabel in. Gebruik de GR.

2

x-coördinaat

í1

0

1

2

3

T

4

ƒ

3 2 1 O

4

1

2

3

x

4

–1

helling

–2

d Teken de punten die uit de tabel volgen en teken door deze punten een lijn. Zet helling bij de verticale as. e Wat stelt de lijn die je bij d hebt getekend voor?

¿guur 2.18

Theorie B Hellinggrafiek schetsen

Hoofdstuk 2

ijg

st

d en

da len d

B

ƒ x

O A

helling

neg ati ef

positief O

x

f tie ga ne

64

C

nd le

Bekijk in ¿guur 2.19 hoe de hellinggra¿ek samenhangt met de gra¿ek van f. Je ziet dat de toppen A en C de snijpunten opleveren van de hellinggra¿ek met de x-as. Tussen A en C stijgt de gra¿ek van f, dus daar ligt de hellinggra¿ek boven de x-as. In het punt B is de helling maximaal. Dit geeft het hoogste punt van de hellinggra¿ek.

y

da

Bij een gegeven functie kun je bij elke x de helling van de gra¿ek in het bijbehorende punt vinden. Zo ontstaat een nieuwe functie: de hellingfunctie. De gra¿ek van de hellingfunctie heet de hellinggrafiek. Uit een gegeven gra¿ek van f kun je bijzonderheden van de hellinggra¿ek aÀeiden. • Bij een dalend deel van de gra¿ek van f horen negatieve hellingen, dus de hellinggra¿ek ligt daar onder de x-as. • In een top van de gra¿ek van f is de helling nul. De hellinggra¿ek snijdt de x-as. • Bij een stijgend deel van de gra¿ek van f horen positieve hellingen, dus de hellinggra¿ek ligt daar boven de x-as.

hellinggrafiek van ƒ ¿guur 2.19 De hellinggra¿ek van f hangt samen met de gra¿ek van f.

© Noordhoff Uitgevers bv

Het verband tussen grafiek en hellinggrafiek: • grafiek stijgend hellinggrafiek boven de x-as • grafiek dalend hellinggrafiek onder de x-as • grafiek heeft top hellinggrafiek snijdt de x-as

Voorbeeld

2

Zie ¿guur 2.20a met de gra¿ek van een functie f. Schets de hellinggra¿ek van f.

y

ƒ

Aanpak a

gra¿ek van f

hellinggra¿ek van f

80, 29

dalend

onder de x-as

x=2

top

snijdt de x-as

82, 59

stijgend

boven de x-as

x=5

top

snijdt de x-as

85, 89

dalend

onder de x-as

x=8

top

snijdt de x-as

88, 109

stijgend

boven de x-as

1

O

2

3

4

3

4

5

6

7

6

7

8

9

x

helling

b 1

O

2

5

8

9

x

¿guur 2.20

Teken eerst de punten waar de hellinggra¿ek de x-as snijdt. Maak daarna de hellinggra¿ek af. Je krijgt een globale gra¿ek. Uitwerking Zie ¿guur 2.20b.

31

[ Ź WERKBLA D]

Schets de hellinggra¿eken van f en g.

y

y

g

f

O

1

5

x

O

1

5

x

¿guur 2.21

© Noordhoff Uitgevers bv

De afgeleide functie

65

6 Hieronder staan enkele gegevens over de gra¿ek van een R 32

functie f. Geef aan welke gevolgen deze hebben voor de hellinggra¿ek van f. a De gra¿ek is toenemend stijgend op 8a, b9. b De gra¿ek is afnemend dalend op 8c, d9. c De gra¿ek heeft een hoogste punt voor x = p. d De gra¿ek gaat bij x = q over van toenemend dalend in afnemend dalend.

2

33

Hiernaast is de hellinggra¿ek van de functie f getekend. a Vul de volgende tabel in. Vul in de middelste kolom in: snijdt de x-as, onder de x-as of boven de x-as en in de rechterkolom: dalend, stijgend of top.

helling

[ ŹWERKBLAD ]

hellinggra¿ek van f

2 1 –3

–2

–1 O

1

2

3

x

–1

gra¿ek van f

–2

8í4, í39 x = í3

¿guur 2.22

8í3, 09 x=0 80, 29 x=2 82, 49 b Teken een globale gra¿ek van f. 34

In ¿guur 2.23 zie je twee hellinggra¿eken. Teken globale gra¿eken van de oorspronkelijke functies.

[ ŹWERKBLAD ]

helling

O

helling

1

a

2

3

x

O

1

2

3

x

b

¿guur 2.23

66

Hoofdstuk 2

© Noordhoff Uitgevers bv

35 Gegeven is de functie f (x) = 3x4 + 4x3 í 12x2 + 2.

a Bereken de coördinaten van de toppen van de gra¿ek van f. b Schets de hellinggra¿ek van f. c Op de hellinggra¿ek ligt het punt P(í1, a). Bereken a. d Bereken in één decimaal nauwkeurig de x-coördinaten van de snijpunten van de gra¿ek van f met de x-as. e De gra¿ek van f is de hellinggra¿ek van een functie g. Teken een globale gra¿ek van g.

2 ¿guur 2.24

6 Gegeven is de functie f(x) = 0,1x3 + x2 í 6. A 36

a Schets de hellinggra¿ek van f. b De gra¿ek van f is de hellinggra¿ek van een functie g. Teken een globale gra¿ek van g. D 37 Gegeven zijn de functies f (x) = x2 í 4x + 5 en

g(x) = x2 í 4x í 5. a Schets de hellinggra¿ek van f en schets de hellinggra¿ek van g. b De hellinggra¿ek van f is ook de hellinggra¿ek van een functie h. De gra¿ek van h gaat door het punt (3, 4). Stel de formule op van h.

© Noordhoff Uitgevers bv

De afgeleide functie

67

Terugblik Snelheid op t = a en raaklijn

Door bij een tijd-afstandgra¿ek de gemiddelde snelheden op de steeds kleinere intervallen [a, b1], [a, b2], [a, b3], ... te berekenen, krijg je een steeds betere benadering van de snelheid op t = a. De gemiddelde snelheden zijn gelijk aan de hellingen van de lijnen AB1, AB2, AB3, . . . Hoe dichter B bij A komt te liggen, des te meer de lijn AB gaat lijken op de lijn k die in A de gra¿ek raakt. Bij een tijd-afstandgra¿ek is de snelheid op t = a gelijk aan de richtingscoëf¿ciënt van de raaklijn van de gra¿ek in het bijbehorende punt.

2

s raaklijn k B2

A

O

Snelheid en richtingscoëfficiënt

Op de gra¿ek van f (x) = í 12 x2 + 5 ligt het punt A(2, 3). De formule van de raaklijn k in A krijg je als volgt. Voer in y1 = í 12 x2 + 5. dy De optie dy/dx (TI) of d/dx (Casio) geeft dx dus rck = í2. y = í2x + b f í2 ? 2 + b = 3 A(2, 3) í4 + b = 3 b=7 Dus k: y = í2x + 7.

x =2

B1

B3

= í2,

a

dy dx

b3

b2

t

b1

x = xA

is • de richtingscoëf¿ciënt van de raaklijn van de gra¿ek in A • de helling van de gra¿ek in A • de snelheid waarmee y verandert voor x = xA.

Hellinggrafieken schetsen

Bij een functie f hoort een hellingfunctie die voor elke x de waarde geeft van de helling van de gra¿ek van f in het bijbehorende punt. De gra¿ek van de hellingfunctie heet de hellinggra¿ek van f. Bij een gegeven gra¿ek van een functie f kun je de hellinggra¿ek schetsen. Je gebruikt:

y

ƒ

a

8a, b9 x=b 8b, c9

68

Hoofdstuk 2

gra¿ek van f

hellinggra¿ek

stijgend top dalend

boven de x-as snijdt de x-as onder de x-as

O

b

c

x

helling

a

O

b

c

x

© Noordhoff Uitgevers bv

2.3 Limiet en afgeleide 6 Gegeven is de functie f (x) = O 38

x3 í 2x2 . xí2

a Plot de gra¿ek van f. b Bereken f (1), f (1,9), f(1,99) en f (2,01). c Licht toe dat je f (2) niet kunt berekenen.

2

5(x + 3) kun je de teller en de noemer delen door de x(x + 3) factor x + 3, mits x + 3  0. 5(x + 3) 5 = mits x  í3. Je krijgt x(x + 3) x Herleid. 6(x + 2) a x(x + 2)

6 In de breuk O 39

b

(x + 2)(x + 3) 2(x + 3)

c

(x í 1)(x í 4) xí1

d

x2 í x xí1

Theorie A De limiet als continumakende waarde x3 í 2x2 van opgave 38 kun je f (2) niet xí2 8í8 0 berekenen. Bij invullen van x = 2 krijg je = en dat is 2í2 0 onbepaald. In zowel de teller als de noemer van de breuk komt de factor x í 2 Bij de functie f (x) =

voor, immers

x3 í 2x2 x2(x í 2) = = x2, mits x  2. xí2 xí2

Voor x  2 is f(x) dus gelijk aan g(x) = x2. De functie g(x) = x2 heeft domein \ en de gra¿ek van g is een ononderbroken kromme. We zeggen dat de functie g(x) = x2 continu is in \. Je hebt met een ononderbroken kromme te maken als je de gra¿ek kunt tekenen zonder je potlood van het papier te halen. De functie f is continu in een open interval V als het bijbehorende deel van de grafiek van f een ononderbroken kromme is.

© Noordhoff Uitgevers bv

De afgeleide functie

69

x3 í 2x2 valt samen xí2 met de gra¿ek van g(x) = x2, maar voor x = 2 heeft de gra¿ek van f een perforatie. De coördinaten van de perforatie zijn (2, 4). Door het toevoegen van het punt (2, 4) aan de gra¿ek van f wordt de gra¿ek van f een ononderbroken kromme en is de functie f continu in \. We zeggen dat 4 de continumakende waarde van f is voor x = 2. Notatie: lim f (x) = 4. De gra¿ek van de functie f (x) =

2

y

4 3

f

2 1

xm2

Uitspraak: limiet voor x naar 2 van f(x) is 4.

–2

–1

O

1

2

x

¿guur 2.25 De gra¿ek van de functie

lim f (x) = b betekent dat f (x) onbeperkt tot b kan

f (x) =

xma

x3 í 2x2 heeft de perforatie (2, 4). x í2

naderen door x maar dicht genoeg bij a te kiezen.

De gra¿ek van de functie h(x) = perforatie voor x = 3.

x2 í 4x + 3 heeft een xí3

9 í 12 + 3 0 = . Dit betekent 3í3 0 dat zowel de teller als de noemer een factor x í 3 bevat.

Lim is de afkorting van limiet. Het Latijnse limes betekent grens.

Bij invullen van x = 3 krijg je

x2 í 4x + 3 (x í 1)(x í 3) = = x í 1, mits x  3. xí3 xí3 We noteren dit als volgt met een limiet.

h(x) =

x2 í 4x + 3 (x í 1)(x í 3) = lim = lim (x í 1) = 2 xí3 xí3 xm3 xm3 xm3 lim

De perforatie is dus (3, 2). Als de gra¿ek van de functie f een perforatie heeft voor x = a, dan bereken je de y-coördinaat b van de perforatie met b = lim f (x). Het getal b is de continumakende waarde voor x = a.

xma

x2 + x í 6 . xí3 xm2

In voorbeeld a op de volgende bladzijde gaat het om lim

x2 + x í 6 is continu in 2, dus lim f (x) = f (2). xí3 xm2 Ook omgekeerd geldt: als lim f (x) = f (2), dan is f continu in 2. De functie f (x) =

xm2

Als de functie f continu is in a, dan geldt lim f (x) = f (a). xma

Als voor de functie f geldt dat lim f (x) = f (a), dan is f continu in a. xma

70

Hoofdstuk 2

© Noordhoff Uitgevers bv

Voorbeeld Bereken. x2 + x í 6 a lim xí3 xm2

x2 + x í 6 xí2 xm2

b lim

2

Uitwerking x2 + x í 6 4 + 2 í 6 0 = = =0 xí3 2í3 í1 xm2

a lim

x2 + x í 6 (x í 2)(x + 3) = lim = lim (x + 3) = 5 xí2 xí2 xm2 xm2 xm2

b lim

6 Zie het voorbeeld. R 40

a Licht toe dat de gra¿ek van de functie f (x) = perforatie heeft voor x = 2. b De gra¿ek van de functie g(x) = Bereken hiervan de coördinaten. 41 Bereken.

x2 + x í 6 geen xí3

x2 + x í 6 heeft een perforatie. xí2

x2 í 5x + 6 xí4 xm2

c lim

x2 í 5x + 6 xí2 xm2

d lim

a lim b lim

42 Bereken.

x2 í 16 xm4 x í 4 x2 í 10x + 25 xí5 xm1

2x2 2 x m 0 3x

c lim

2x2 í x 3x xm0

d lim

a lim b lim

3x2 + ax x xm0 4h2 + 2ah h hm0

43 De gra¿eken van de volgende functies hebben een perforatie.

Bereken hiervan de coördinaten. x2 í 1 a f (x) = xí1 b g(x) =

xí2 x2 í 4

c h(x) = d j(x) =

x2 í 3x í 4 xí4 x2

x+1 í 3x í 4

x2 í a2 . xía Voor elke waarde van a heeft de gra¿ek van fa een perforatie. Bereken voor welke a deze perforatie op de lijn y = x í 1 ligt.

6 Gegeven zijn de functies f a(x) = A 44

© Noordhoff Uitgevers bv

De afgeleide functie

71

6 Gegeven zijn de functies f(x) = 3x en g(x) = 4. O 45

a De hellinggra¿ek van f is een horizontale lijn. Geef daar een verklaring voor en geef de formule van de hellingfunctie van f. b Geef de formule van de hellingfunctie van g. 2

Theorie B De afgeleide functie Bij een functie f hoort een hellingfunctie. In plaats van hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie, kortweg afgeleide, gebruikt. De afgeleide van f wordt genoteerd als f '.

Spreek f ' uit als f accent.

De afgeleide van een functie f geeft voor elke x • de richtingscoëfficiënt van de raaklijn van de grafiek van f in het bijbehorende punt • de helling van de grafiek van f in het bijbehorende punt.

Om de formule van de afgeleide van een functie f te vinden, kijken we naar het differentiequotiënt van f (x) op het interval [x, x + h], )y f (x + h) í f (x) f (x + h) í f (x) = = . )x x+híx h Neem je op het interval [x, x + h] de waarde van h heel klein,

dus naar

f (x + h) í f (x) een goede benadering van de h richtingscoëf¿ciënt van de raaklijn van de gra¿ek van f in het bijbehorende punt. dan geeft

ƒ(x + h)

y

y

ƒ(x + h) – ƒ(x) ƒ(x)

O

ƒ( x + h)

ƒ(x + h) – ƒ(x) ƒ(x + h)

ƒ(x)

h

x

y

x+h

x

O

ƒ(x)

h

x

x+h

x

O

h

ƒ(x + h) – ƒ(x)

x x+h

x

¿guur 2.26 Door h steeds kleiner te nemen, krijg je een raaklijn van de gra¿ek van f.

De limiet van

f (x + h) í f (x) voor h naar 0 is de afgeleide f '(x), h

f (x + h) í f (x) = f '(x). h hm0 Dus om de formule van de afgeleide f ' te vinden, bereken je

ofwel lim

lim

hm0

f (x + h) í f (x) . h

Definitie van de afgeleide De afgeleide f ƍ van een functie f is

f ƍ(x) = lim hm0

72

Hoofdstuk 2

f (x + h) í f (x) . h

De afgeleide is de limiet van het differentiequotiënt.

© Noordhoff Uitgevers bv

Voorbeeld Gegeven is de functie f (x) = 0,6x2. a Bereken f ' (3) met behulp van een limiet. b Toon aan dat f ' (x) = 1,2x. 2

Uitwerking f (3 + h) í f (3) 0,6(3 + h)2 í 0,6 ? 32 0,6(9 + 6h + h2) í 5,4 = lim = lim = h h h hm0 hm0 hm0

a f '(3) = lim

5,4 + 3,6h + 0,6h2 í 5,4 3,6h + 0,6h2 = lim = lim (3,6 + 0,6h) = 3,6 h h hm0 hm0 hm0 lim

f (x + h) í f (x) 0,6(x + h)2 í 0,6x2 0,6(x2 + 2xh + h2) í 0,6x2 = lim = lim = h h h hm0 xm0 hm0

b f '(x) = lim

0,6x2 + 1,2xh + 0,6h2 í 0,6x2 1,2xh + 0,6h2 = lim = lim (1,2x + 0,6h) = 1,2x h h hm0 hm0 hm0 lim

46 Gegeven is de functie f (x) = 112 x2.

a Bereken f '(4) met behulp van een limiet. b Toon aan dat f '(x) = 3x.

A 47 6 Gegeven is de functie f (x) = x2 í 4x.

a Bereken f '(3) met behulp van een limiet. b Toon aan dat f '(x) = 2x í 4.

Theorie C Differentieerregels aantonen Het berekenen van de afgeleide heet differentiëren. Met de de¿nitie van de afgeleide zijn regels voor het differentiëren aan te tonen.

Voorbeeld Toon aan: f (x) = ax2 geeft f '(x) = 2ax. Uitwerking f (x + h) í f (x) a(x + h)2 í ax2 a(x2 + 2xh + h2) í ax2 f '(x) = lim = lim = lim = h h h hm0 hm0 hm0 ax2 + 2axh + ah2 í ax2 2axh + ah2 = lim = lim (2ax + ah) = 2ax h h hm0 hm0 hm0 lim

© Noordhoff Uitgevers bv

De afgeleide functie

73

48 Toon aan.

a f (x) = ax geeft f '(x) = a. b f (x) = a geeft f '(x) = 0. 49 Toon aan.

a (x + h)3 = x3 + 3x2h + 3xh2 + h3 b f (x) = ax3 geeft f '(x) = 3ax2 c f (x) = ax2 + bx + c geeft f '(x) = 2ax + b

2

50 In deze opgave ga je de regels

f (x) = c  g(x) geeft f '(x) = c  g'(x) en s(x) = f (x) + g(x) geeft s'(x) = f '(x) + g'(x) aantonen. De laatste regel staat bekend als de somregel voor het differentiëren. Neem over en vul in. a f (x) = c ? g(x) geeft f (x + h) í f (x) c ? g(x + h) í c ? g(x) = lim = h h hm0 hm0

f '(x) = lim

c ? (...) ... = c ? lim ... = c  g'(x) h hm0 hm0 lim

b s(x) = f (x) + g(x) geeft s'(x) = lim

hm0

s(x + h) í s(x) f (x + h) + g(x + h) í ( f (x) + g(x)) = lim = h h m h 0

f (x + h) í f (x) + g(x + h) í g(x) ... ... ... = lim = lim a + b = h h hm0 h hm0 hm0 h lim

f (x + h) í f (x) g(x + h) í g(x) + lim = ... h h hm0 hm0 lim

Theorie D Differentiëren In de voorgaande opgaven heb je een aantal regels voor het differentiëren bewezen. De regel: f (x) = axn geeft f '(x) = n · axn í 1 geldt voor n = 2, 3, 4... In het voorbeeld op de vorige bladzijde staat het bewijs voor n = 2, in opgave 49b staat het bewijs voor n = 3. Het bewijs voor n = 4 gaat als volgt. Hierbij gebruiken we het resultaat van opgave 49a. (x + h)4 = (x + h)(x + h)3 = (x + h)(x3 + 3x2h + 3xh2 + h3) = x4 + 3x3h + 3x2h2 + xh3 + x3h + 3x2h2 + 3xh3 + h4 = x4 + 4x3h + 6x2h2 + 4xh3 + h4

74

Hoofdstuk 2

© Noordhoff Uitgevers bv

f (x + h) í f (x) = h hm0

f (x) = x4 geeft f '(x) = lim

x4 + 4x3h + 6x2h2 + 4xh3 + h4 í x4 = h hm0 lim

h(4x3 + 6x2h + 4xh2 + h3) 4x3h + 6x2h2 + 4xh3 + h4 = lim = h h hm0 hm0

2

lim

lim (4x3 + 6x2h + 4xh2 + h3) = 4x3

hm0

Door op deze manier door te gaan kun je vinden dat de regel f (x) = xn geeft f '(x) = n  xn í 1 ook geldt voor n = 5, 6, 7, ... Uit f(x) = xn geeft f '(x) = n  xn í 1 en g(x) = a  f (x) geeft g'(x) = a · f '(x) volgt g(x) = axn geeft g'(x) = naxn í 1. We zetten de gevonden regels voor het differentiëren op een rij. f (x) = a geeft f ƍ(x) = 0 f (x) = ax geeft f ƍ(x) = a f (x) = axn geeft f ƍ(x) = naxn í 1 voor n = 2, 3, 4, ... f (x) = c  g(x) geeft f ƍ(x) = c  gƍ(x) s(x) = f (x) + g(x) geeft sƍ(x) = f ƍ(x) + gƍ(x) xn geeft

nxn í 1 geldt

De regel f (x) = f ƍ(x) = van n. Het bewijs hiervan volgt later.

somregel

zelfs voor iedere waarde

Om de afgeleide van f (x) = 6x5 + 5x2 í 6x + 8 te berekenen, gebruik je de somregel. Je neemt term voor term de afgeleide. Dus f ƍ(x) = 5 Â 6x5 í 1 + 2 Â 5x2 í 1 í 6 = 30x4 + 10x í 6.

Voorbeeld Differentieer. a f (x) = í5x7 + 2x4 í x í 9 b g(x) = (3x4 í 1)(5x2 + 2) c h(t) = 2t3 í 4t2 + 3t í 2

g(x) = 6x5 5 ervoor en nieuwe exponent één lager g'(x) = 5 · 6x4 = 30x4

Uitwerking a f (x) = í5x7 + 2x4 í x í 9 geeft f ƍ(x) = í35x6 + 8x3 í 1 b g(x) = (3x4 í 1)(5x2 + 2) = 15x6 + 6x4 í 5x2 í 2 geeft gƍ(x) = 90x5 + 24x3 í 10x c h(t) = 2t3 í 4t2 + 3t í 2 geeft hƍ(t) = 6t2 í 8t + 3 51 Bereken de afgeleide.

a b c d

f (x) = 5x6 í 3x5 + 2x í 7 g(x) = í2x8 í 4x4 + 7,2 h(x) = í 13 x3 í 12 x2 í x í 1 k(q) = 1 + 3q í 3q2 í 5q7

© Noordhoff Uitgevers bv

De afgeleide functie

75

52 Differentieer.

a b c d 2

f (x) = (5x + 7)(4 í 3x) g(x) = (3x + 6)2 í 8x h(x) = 5(x í 3)2 + 5(2x í 1) k(x) = í3(x í 1)(5 í 9x) í 8(x í 7)

6 Differentieer. A 53

a b c d e f

f (x) = (3x í 1)(x2 + 5x) g(x) = (3x3 í 1)2 h(x) = (5x5 í 3)(3x í 2) k(x) = 5 í 3(x4 í x)(x + 1) l(t) = (5t3 í t)(3t5 + t) m(q) = 1 í (3q2 í 2)2

D 54 De afgeleide van een tweedegraadsfunctie is een lineaire functie.

a Licht dit toe. b De lineaire functie g(x) = 6x + 12 is de afgeleide van een functie h. Het minimum van h is gelijk aan í7. Stel het functievoorschrift op van h.

Geschiedenis Johannes Hudde (1628-1704) Johannes Hudde was een veelzijdig man met grote belangstelling voor wiskunde, natuurkunde, techniek en sterrenkunde. Het grootste deel van zijn leven was hij burgemeester van Amsterdam. Bekend is Huddes methode om toppen te bepalen van grafieken van functies met gehele machten van x, zoals bijvoorbeeld f(x) = 2x3 − 6x + 5. De door hem bedachte methode wordt de regel van Hudde genoemd. Hudde gebruikte hierbij onbewust de afgeleide van dit soort functies. Het toepassen van de regel op de functie f(x) = 2x3 − 6x + 5 leidt tot het oplossen van de vergelijking 6x2 − 6 = 0, dus tot het oplossen van f’(x) = 0. De oplossingen x = í1 en x = 1 zijn de x-coördinaten van de toppen van de grafiek van f.

76

Hoofdstuk 2

© Noordhoff Uitgevers bv

Terugblik De limiet als continumakende waarde

De functie f is continu in een open interval V als het bijbehorende deel van de gra¿ek van f een ononderbroken kromme is. Zo is de functie f (x) = x + 1 continu in \.

2

x2 í 3x í 4 is echter niet continu in \, want xí4 42 í 3 ? 4 í 4 0 = is onbepaald. g(4) = 4í4 0 De teller en de noemer van g(x) bevat de factor x í 4. De functie g(x) =

x2 í 3x í 4 (x + 1)(x í 4) = = x + 1, mits x  4. xí4 xí4 De gra¿ek van g heeft een perforatie bij x = 4. De coördinaten van de perforatie bereken je met een limiet. g(x) =

x2 í 3x í 4 (x + 1)(x í 4) = lim = lim (x + 1) = 4 + 1 = 5 xí4 xí4 xm4 xm4 xm4 lim

De perforatie is dus het punt (4, 5). We zeggen dat 5 de continumakende waarde van g is voor x = 4. lim f (x) = b betekent dat f (x) onbeperkt tot b kan naderen door x maar xma

dicht genoeg bij a te kiezen. Als voor een functie f geldt dat lim f (x) = f (a), dan is f continu in a. xma

Afgeleide functie

In plaats van de hellingfunctie van f zeggen we meestal de afgeleide (functie) van f. Notatie f ƍ. Het differentiequotiënt van de functie f op het interval [x, x + h] is

) y f (x + h) í f (x) = . )x h

Per de¿nitie is de afgeleide f ƍ van f gelijk aan de limiet voor h naar nul van het f (x + h) í f (x) . h hm0

differentiequotiënt, dus f ƍ(x) = lim Regels voor het differentiëren

Het berekenen van de afgeleide heet differentiëren. De afgeleide van f (x) = 5x3 í 7x2 + 8 krijg je door term voor term te differentiëren. Je krijgt f ƍ(x) = 15x2 í 14x.

functie

afgeleide

a ax axn c  f (x) f (x) + g(x)

0 a naxn í 1 c  f ƍ(x) f ƍ(x) + gƍ(x)

somregel

Om de afgeleide van g(x) = 5(3x í 1)(x3 í 4x) te berekenen, werk je eerst de haakjes weg. g(x) = 5(3x í 1)(x3 í 4x) = 5(3x4 í 12x2 í x3 + 4x) = 15x4 í 60x2 í 5x3 + 20x = 15x4 í 5x3 í 60x2 + 20x geeft g'(x) = 60x3 í 15x2 í 120x + 20

© Noordhoff Uitgevers bv

De afgeleide functie

77

2.4 Toepassingen van de afgeleide 6 Gegeven zijn de functies f (x) = x2, g(x) = 3x í 7 en p(x) = f (x) Â g(x). O 55

a Bereken pƍ(x), f ƍ(x) en g ƍ(x). b Onderzoek of pƍ(x) = f ƍ(x) Â gƍ(x). c Laat zien dat pƍ(x) = f ƍ(x) Â g(x) + f (x) Â g ƍ(x).

2

Theorie A De productregel Het product van de functies f en g is de functie p(x) = f (x) Â g(x). Om de functie p te differentiëren, gebruik je de productregel voor het differentiëren: afgeleide eerste maal tweede plus p(x) = f (x) Â g(x) geeft pƍ(x) = f ƍ(x) Â g(x) + f (x) Â gƍ(x) eerste maal afgeleide tweede

Informatief Het bewijs van de productregel p(x + h) í p(x) . h f (x + h) ? g(x + h) í f (x) ? g(x) p(x) = f(x) Â g(x) geeft p‫(މ‬x) = lim h h m0 Bij het bewijs van de productregel gebruik je p‫(މ‬x) = lim

h m0

eraf = lim h m0

erbij

f (x + h) ? g (x + h) í f (x) ?g(x + h) + f (x) ? g(x + h) í f (x) ?g(x) h

f (x + h) ? g(x + h) í f (x) ? g(x + h) f (x) ? g(x + h) í f (x) ? g(x) + lim h h h m0 h m0 f (x + h) í f (x) g(x + h) í g(x) ? g(x + h) + lim f(x) Â = lim h h h m0 h m0 f (x + h) í f (x) g(x + h) í g(x) ? lim g(x + h) + lim f (x) ? lim = lim h h h m0 h m0 h m0 h m0 = f ‫(މ‬x) Â g(x) + f(x) Â g ‫(މ‬x) = lim

In het volgende voorbeeld wordt de afgeleide van de functie f(x) = (x2 í 4)(x3 + 2x + 3) met de productregel berekend. Bij deze functie kun je f ƍook berekenen door eerst bij f(x) de haakjes weg te werken. Later kom je echter functies tegen waarbij zo’n herleiding niet mogelijk is. Het gebruik van de productregel is dan noodzakelijk. In het voorbeeld komt de notatie [x2 í 4]ƍ voor. Hiermee wordt de afgeleide van x2 í 4 bedoeld. Dus [x2 í 4]ƍ = 2x.

78

Hoofdstuk 2

© Noordhoff Uitgevers bv

Voorbeeld Bereken de afgeleide van f (x) = (x2 í 4)(x3 + 2x + 3). Gebruik de productregel. Uitwerking f(x) = (x2 í 4)(x3 + 2x + 3) geeft f ƍ(x) = [x2 í 4]ƍ Â (x3 + 2x + 3) + (x2 í 4) Â [x3 + 2x + 3]ƍ = 2x(x3 + 2x + 3) + (x2 í 4)(3x2 + 2)

g(x) = x3 + 2x + 3 geeft g'(x) = 3x2 + 2 wordt ook genoteerd als [x3 + 2x + 3]' = 3x2 + 2.

2

56 Bereken met de productregel de afgeleide van de

volgende functies. Laat in het antwoord de haakjes staan. a f(x) = (2 í 3x2)(2 + 7x) c h(x) = (x2 í 3x)(x3 + x2 + x) b g(x) = (2x í 5)2 d j(x) = (3x2 í 4)2 57 Je weet 冑x ? 冑x = x. Hieruit volgt 3冑x 4 ƍ ? 冑x + 冑x ? 3冑x 4 ƍ = 1.

Licht dit toe en bereken de afgeleide van f (x) = 冑x.

6 a De functie p(x) = f (x) Â g(x) Â h(x) is te schrijven R 58

als p(x) = j(x) Â h(x) waarbij j(x) = f(x) Â g(x). Toon door herhaald gebruik van de productregel aan dat p = fgh geeft pƍ = f ƍgh + fgƍh + fghƍ. b De functie p is het product van de functies f, g, h en j, dus p(x) = f(x) Â g(x) Â h(x) Â j(x). Geef de formule van pƍ.

De productregel in het kort is [ƒ · g]' = ƒ' · g + ƒ · g'.

t(x) . n(x) Kruiselings vermenigvuldigen geeft q(x) Â n(x) = t(x). a Differentieer beide leden, gebruik voor het linkerlid de productregel. tƍ(x) í q(x) ? nƍ(x) . b Toon aan dat uit a volgt q'(x) = n(x) t(x) c Gebruik q(x) = om qƍ(x) te herleiden tot n(x)

59 Gegeven is de functie q(x) =

qƍ (x) =

n(x) ? t ƍ(x) í t (x) ? nƍ (x) . (n(x))2

Theorie B De quotiëntregel Het quotiënt van de functies t(x) = 2x2 + 1 en n(x) = 3x + 5 is de functie q(x) =

t(x) 2x2 + 1 = . n(x) 3x + 5

Om de afgeleide van q te berekenen gebruik je de quotiëntregel. Deze regel heb je in opgave 59 bewezen. © Noordhoff Uitgevers bv

De afgeleide functie

79

q(x) =

t(x) n(x) ? tƍ(x) í t(x) ? nƍ (x) geeft qƍ(x) = n(x) (n(x))2

Om de quotiëntregel makkelijk te kunnen onthouden, kun je hem als volgt schrijven. t ƍ n ? at í t ? an nat min tan = . c d = 2 n n n2

2

Dus q(x) =

qƍ(x) =

2x2 + 1 geeft 3x + 5 n tƍ

t

n  at betekent noemer maal afgeleide teller. t  an betekent teller maal afgeleide noemer.

nƍ

(3x + 5) ? 3 2x2 + 1 4ƍ í (2x2 + 1) ? 3 3x + 5 4 ƍ (3x + 5)2

n2 ( 3x + 5 ) ? 4x í ( 2x2 + 1 ) ? 3 = ( 3x + 5 ) 2 =

De quotiëntregel in het kort is t ' nt' í tn' –– = ––––––– . n n2

Werk alleen in de teller de haakjes weg.

12x2 + 20x í 6x2 í 3 6x2 + 20x í 3 = ( 3x + 5 ) 2 ( 3x + 5 ) 2

Voorbeeld Differentieer. 3 a f (x) = 2 2x + 1

b g(x) =

2x + 1 3x í 1

Uitwerking

80

a f (x) =

í12x 3 (2x2 + 1) ? 0 í 3 ? 4x geeft f '(x) = = 2 2 2 2x + 1 (2x + 1) (2x2 + 1)2

b g(x) =

í5 2x + 1 (3x í 1) ? 2 í (2x + 1) ? 3 6x í 2 í 6x í 3 geeft g'(x) = = = 2 2 3x í 1 (3x í 1) (3x í 1) (3x í 1)2

Hoofdstuk 2

© Noordhoff Uitgevers bv

60 Differentieer.

a f (x) =

xí2 x+5

c f (x) =

x3 2x2 + 1

e f (x) =

3 í x2 + x3 xí2

b f (x) =

2 2x í 1

d f (x) =

xí2 3 í x2

f f (x) = x í

2 x+4 2

6 Op de gra¿ek van f (x) = O 61

x2

í 3x í 1 ligt het punt A met xA = 4. a Bereken f ƍ(x), f ƍ(4) en f(4). b Floris wil yA weten. Is dat f ƍ(4) of f (4)? c Bastiaan wil de helling in A weten. Is dat f ƍ(4) of f (4)?

Theorie C Raaklijn en afgeleide Voor het opstellen van de formule van een raaklijn heb dy je de optie gebruikt om de richtingscoëf¿ciënt dx te berekenen.

raaklijn k ƒ A

ƒ(a)

Je kunt nu de richtingscoëf¿ciënt berekenen met behulp van de afgeleide. Je gebruikt dan dat f ƍ(a) de richtingscoëf¿ciënt van de raaklijn van de gra¿ek in het punt (a, f(a)) is.

yA = ƒ(a) rck = ƒ´(a) O

Op de gra¿ek van f (x) = í 12 x2 + 2x + 3 ligt het punt A met xA = 4. Zie ¿guur 2.27.

x

a

y 5

Je krijgt yA door f (4) te berekenen. f (4) = 3, dus A(4, 3).

4 A

3

Met f ƍ(4) krijg je de richtingscoëf¿ciënt van de raaklijn k in A. f (x) = í 12 x2 + 2x + 3 geeft f ƍ(x) = íx + 2, dus f ƍ(4) = í4 + 2 = í2. k: y = í2x + b r í2 Â 4 + b = 3 door A(4, 3) í8 + b = 3 b = 11 Dus k : y = í2x + 11.

2 1

k –1

O

1

2

3

4

5

x

–1

ƒ ¿guur 2.27 De lijn k raakt de gra¿ek van f in A. Er geldt yA = f (4) en rck = f ƍ(4).

Je hebt op deze manier met behulp van de afgeleide de formule van de raaklijn opgesteld. We zeggen ook dat je de formule van de raaklijn algebraïsch hebt opgesteld of langs algebraïsche weg of met behulp van differentiëren.

© Noordhoff Uitgevers bv

De afgeleide functie

81

Voorbeeld Gegeven is de functie f (x) = 12 x3 í 4x + 3. Op de gra¿ek van f ligt het punt P met xP = í2. Stel met behulp van de afgeleide de formule op van de raaklijn k in P. 2

Uitwerking f (x) = 12 x3 í 4x + 3 geeft f ƍ(x) = 112 x2 í 4 Stel k : y = ax + b. a = f ƍ(í2) = 112 · (í2)2 í 4 = 2 y = 2x + b 2 · í2 + b = 7 f (í2) = 7, dus P(í2, 7) r í4 + b = 7 b = 11 Dus k: y = 2x + 11.

6 T 62

[ ŹŹ66]

a De gra¿ek van f (x) = 14 x3 í 3x2 + 6x + 5 snijdt de y-as in het punt A. Stel met behulp van de afgeleide de formule op van de raaklijn k in A. b Gegeven is de functie g(x) = 13 x2(x2 í 9) + 4. Op de gra¿ek van g ligt het punt B met xB = 2. Stel langs algebraïsche weg de formule op van de raaklijn l in B. x2 + 4x snijdt de x-as in de punten O c De gra¿ek van h(x) = 2 x +1 en C. Stel met behulp van differentiëren de formules op van de raaklijnen m en n in O en C.

63 Gegeven is de functie f (x) = 12 x3 í 2x2 + 2.

a Op de gra¿ek van f ligt het punt A met xA = 4. Stel met behulp van de afgeleide de formule op van de raaklijn k in A. b Op de gra¿ek van f ligt het punt B met xB = í2. Stel langs algebraïsche weg de formule op van de raaklijn m in B.

64 Gegeven is de functie g(x) = 2x2 í 6x.

a Het punt A met xA = í3 ligt op de gra¿ek van g. Stel met behulp van differentiëren de formule op van de raaklijn l in A. b De gra¿ek van g snijdt de x-as behalve in de oorsprong ook nog in het punt P. Stel langs algebraïsche weg de formule op van de raaklijn n in P.

82

Hoofdstuk 2

© Noordhoff Uitgevers bv

x2 í 4 . 2x + 5 a De gra¿ek van f snijdt de x-as in de punten A(í2, 0) en B(2, 0). Stel langs algebraïsche weg de formules op van de raaklijnen k en l in A en B. b De gra¿ek van f snijdt de y-as in het punt C. Stel met behulp van de afgeleide de formule op van de raaklijn m in C.

y

65 Gegeven is de functie f (x) =

2

ƒ

A –6

O

–4

C

x

B

2

–2

–4 x = –2–12

¿guur 2.28

Geschiedenis Differentiaalrekening In de differentiaalrekening, waarmee je in dit hoofdstuk kennis maakt, bestudeert men veranderingen van functies. Daarbij spelen begrippen als snelheid, helling van een grafiek en raaklijn van een grafiek een grote rol. Het heeft lang geduurd voor men het begrip snelheid wist te doorgronden. De beroemde geleerden Isaac Newton (1642-1727) en Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) hebben onafhankelijk van elkaar de differentiaalrekening ontwikkeld. Newton geldt als de grootste en invloedrijkste wetenschapper aller tijden. In zijn belangrijkste werk, de ‘Principia Mathematica’ uit 1687, zet hij de wiskundige beginselen van de natuurwetenschappen uiteen. Hij verklaart in dit boek hoe het zonnestelsel in elkaar zit en legt er de wetten van de zwaartekracht en de bewegingsleer (mechanica) in vast. Newton Newton werd geboren op 25 december 1642 in Lincolnshire in Engeland. Zijn vader stierf al voor zijn geboorte. Zijn moeder liet hem over aan de zorgen van zijn grootmoeder. Al vroeg werd duidelijk dat hij voor het werk thuis op de boerderij ongeschikt was. Hij had er geen belangstelling voor en verdiepte zich geheel in lezen en knutselen. Newton schreef in 1671 een verhandeling over raaklijnen, maar deze werd pas negen jaar na zijn dood gepubliceerd. Leibniz wordt gezien als een van de meest invloedrijke figuren in de westerse cultuurtraditie. Behalve aan wiskunde leverde hij ook belangrijke bijdragen aan filosofie, fysica, geologie, rechten, geschiedenis en geneeskunde. Hij was actief als politicus en raadsheer aan het hof van Hannover bij hertog Johann Friedrich. Hij ontwierp nieuwe soorten rijtuigen en drainagesystemen voor de mijnen in de Harz. Ook bedacht hij een manier om fosfor te produceren en was hij de uitvinder van de eerste rekenmachine die in staat was op te tellen, af te trekken, te vermenigvuldigen en te delen. In 1684 publiceerde hij het eerste artikel over de differentiaalrekening. Veel van de huidige notaties in de wiskunde zijn van hem afkomstig. Leibniz De vraag wie de ontdekker is van de differentiaalrekening heeft heel wat twistgesprekken opgeleverd. Terwijl de Engelsen Newton als de ontdekker beschouwden, ging men er in Duitsland vanuit dat dit Leibniz was. Deze vete heeft zelfs bijna een oorlog veroorzaakt tussen Engeland en Duitsland. © Noordhoff Uitgevers bv

De afgeleide functie

83

2x í 5 . x2 í 4 De gra¿ek van f snijdt de y-as in het punt A en de x-as in het punt B. Onderzoek langs algebraïsche weg of de volgende bewering waar is. De raaklijn k in A snijdt de gra¿ek in B.

6 Gegeven is de functie f (x) = A 66

6 Gegeven is de functie f(x) = (x2 í 4)(x + 1). A 67

a De lijn k raakt de gra¿ek van f in het punt A met xA = í3. Stel met behulp van differentiëren de formule van k op. b De gra¿ek van f snijdt de y-as in het punt B. Stel met behulp van de afgeleide de formule op van de raaklijn l in B. c De gra¿ek van f snijdt de x-as in drie punten. Het snijpunt met de positieve x-coördinaat is C. Stel algebraïsch de formule op van de raaklijn m in C. D 68 Voor elke a  0 is gegeven de functie f (x) = x3 + ax2 + a2x en het

punt A met xA = a op de gra¿ek van f. De lijn k raakt de gra¿ek van f in A. Stel de formule op van k. 6 Gegeven zijn de functie f(x) = x2 í 2x í 5 en de lijnen y = 4x í 6, O 69

y = 4x í 10, y = 4x í 14 en y = 4x í 18. a Plot de gra¿ek van f en de vier lijnen. Een van de gegeven lijnen raakt de gra¿ek van f in het punt R. b Welke lijn is dit? c Wat weet je van f ƍ(xR)?

Theorie D Raaklijn met gegeven richtingscoëfficiënt In ¿guur 2.29 zie je de gra¿ek van de functie f (x) = x2 í 3x + 1. Verder is een aantal evenwijdige lijnen met richtingscoëf¿ciënt 2 getekend. Eén van deze lijnen raakt de gra¿ek van f in het punt A. Om de coördinaten van A te berekenen, gebruik je dat de richtingscoëf¿ciënt van de raaklijn in A gelijk is aan 2, dus f ƍ(x) = 2. Om xA te berekenen, los je dus de vergelijking f ƍ(x) = 2 op. Algebraïsch gaat dat als volgt. f (x) = x2 í 3x + 1 geeft f ƍ(x) = 2x í 3 f ƍ(x) = 2 geeft 2x í 3 = 2 2x = 5 x = 212 1 Dus xA = 22 en yA = f (212 ) = í 14 . Dus A(212, í 14).

84

Hoofdstuk 2

y ƒ 5 4 3 2

raa klij n

2

1

O

1

2

A

3

4

x

–1

¿guur 2.29

© Noordhoff Uitgevers bv

Voorbeeld Gegeven is de functie f (x) = 13 x3 í x2 í 2x + 8. In de punten A en B van de gra¿ek van f is de richtingscoëf¿ciënt van de raaklijn gelijk aan 1. Bereken algebraïsch de coördinaten van A en B. Uitwerking f(x) = 13 x3 í x2 í 2x + 8 geeft f ƍ(x) = x2 í 2x í 2 f ƍ(x) = 1 geeft x2 í 2x í 2 = 1 x2 í 2x í 3 = 0 (x + 1)(x í 3) = 0 x = í1  x = 3 xA = í1 en yA = f (í1) = 823 , dus A(í1, 823). xB = 3 en yB = f(3) = 2, dus B(3, 2).

y

ƒ

A

2 B O

rc = 1

x

70 Gegeven is de functie f (x) = íx2 + 2x + 3.

a In het punt A van de gra¿ek van f is de richtingscoëf¿ciënt van de raaklijn gelijk aan 4. Bereken algebraïsch de coördinaten van A. b Op de gra¿ek van f ligt het punt B waarin de raaklijn k evenwijdig is met de lijn l: y = í6x + 8. Waarom is f ƍ(xB) = í6? Bereken met behulp van de afgeleide de coördinaten van B. 71 Gegeven is de functie f࣠ (x) = 13 x3 + 12 x2 í 10x + 6.

a In de punten A en B van de gra¿ek van f is de richtingscoëf¿ciënt van de raaklijn gelijk aan 2. Bereken algebraïsch de coördinaten van A en B. b In de punten C en D van de gra¿ek van f is de raaklijn evenwijdig met de lijn k: y = 10x + 2. Bereken algebraïsch de x-coördinaten van C en D.

6 Gegeven is de functie f (x) = 13 x3 í x2 í 1. A 72

a Op de gra¿ek van f ligt het punt P met xP = 4. Stel langs algebraïsche weg de formule op van de raaklijn k in P. b Zowel in het punt Q als in het punt R op de gra¿ek van f is de raaklijn evenwijdig met de lijn l: y = 3x + 6. Bereken algebraïsch de coördinaten van Q en R.

D 73 Voor welke waarden van p heeft de gra¿ek van

f p(x) = x3 + px2 + 2x í 3 twee raaklijnen met richtingscoëf¿ciënt í1?

© Noordhoff Uitgevers bv

De afgeleide functie

85

Theorie E Snelheid en afgeleide Je hebt geleerd dat de snelheid waarmee f(x) verandert voor x = a gelijk is aan de richtingscoëf¿ciënt van de raaklijn in het punt (a, f (a)). En deze richtingscoëf¿ciënt, dus de snelheid, is f ƍ(a). Je berekent de snelheid dus met de afgeleide.

2

y

ƒ

A

f ƍ(a) is de snelheid waarmee f (x) verandert voor x = a. We gaan dit toepassen op een tijd-afstandformule. Is de afgelegde weg s in meter na t seconden gegeven door de formule s = 2t2 + 4t, dan is de formule van de snelheid s ƍ = 4t + 4. Het is gebruikelijk de snelheid aan te geven met v. Dus bij s = 2t2 + 4t is v = 4t + 4. Op t = 5 is de snelheid gelijk aan v = 4 · 5 + 4 = 24 m/s.

rc = ƒ´ (a) O

a

x

74 Frits krijgt bij het voetballen de bal verkeerd op zijn schoen en

schiet hem verticaal omhoog. De hoogte h in meter na t seconden is te berekenen met de formule h = í5t2 + 25t. a Bereken met behulp van de formule van de snelheid met welke snelheid Frits de bal omhoog schiet. b Bereken de snelheid van de bal na drie seconden. c Wat weet je van de snelheid van de bal als deze het hoogste punt heeft bereikt? Na hoeveel seconden is dat het geval? d Na hoeveel seconden is de bal weer op de grond? Met welke snelheid komt de bal op de grond terug? 6 Een auto trekt op. Gedurende de eerste zes seconden is de A 75

afgelegde weg s in meter te berekenen met de formule s = 0,8t2. Hierbij is t de tijd in seconden. Na zes seconden verandert de snelheid niet meer. a Bereken algebraïsch de snelheid na drie seconden en na zes seconden. b Bereken in twee decimalen nauwkeurig na hoeveel seconden de snelheid gelijk is aan 30 km/uur. c Hoeveel meter legt de auto in de eerste tien seconden af?

86

Hoofdstuk 2

© Noordhoff Uitgevers bv

Terugblik De productregel en de quotiëntregel

Voor het differentiëren van het product van twee functies gebruik je de productregel: p(x) = f (x) Â g(x) geeft pƍ(x) = f ƍ(x) Â g(x) + f (x) Â gƍ(x). Bij f (x) = (x2 + x)(2x2 í x) krijg je f ƍ(x) = [x2 + x]ƍ Â (2x2 í x) + (x2 + x) Â [2x2 í x]ƍ = (2x + 1)(2x2 í x) + (x2 + x)(4x í 1). Voor het differentiëren van het quotiënt van twee functies gebruik je de quotiëntregel: q(x) =

t(x) n(x) ? t ƍ(x) í t(x) ? nƍ(x) geeft qƍ(x) = . n(x) (n(x))2

[ƒg]' = ƒ'g + ƒg' 2

t ' nt' – tn' –– = –––––– n n2

x2 + x krijg je 2x2 í 1 (2x2 í 1) ? 3 x2 + x 4 ƍí (x2 + x) ? 3 2x2 í 1 4ƍ (2x2 í 1) ? (2x + 1) í (x2 + x) ? 4x f ƍ(x) = = (2x2 í 1)2 (2x2 í 1)2 Bij f (x) =

=

4x3 + 2x2 í 2x í 1 í 4x3 í 4x2 í2x2 í 2x í 1 = . (2x2 í 1)2 (2x2 í 1)2

Raaklijn en afgeleide

Bij het opstellen van de formule van de raaklijn k met behulp van de afgeleide gebruik je dat voor een punt A op de gra¿ek van f geldt: f ƍ(xA) is de richtingscoëf¿ciënt van de raaklijn k in het punt A. Bij f (x) = íx2 + 5x + 2 en xA = 4 krijg je f ƍ(x) = í2x + 5, dus rck = f ƍ(4) = í2 Â 4 + 5 = í3. y = í3x + b r í3 ? 4 + b = 6 f (4) = 6, dus A(4, 6) í12 + b = 6 b = 18 Dus k: y = í3x + 18. Raaklijn met gegeven richtingscoëfficiënt

De coördinaten van het punt B op de gra¿ek van f (x) = íx2 + 5x + 2 waarin de richtingscoëf¿ciënt van de raaklijn gelijk is aan í5 bereken je als volgt. De richtingscoëf¿ciënt is í5, dus f ƍ(x) = í5 en dit geeft í2x + 5 = í5. Hieruit volgt x = 5, dus B(5, 2). Snelheid en afgeleide

f ƍ(a) is de snelheid waarmee f (x) verandert voor x = a. Is de afgelegde weg s in meter na t seconden gegeven door s = 1,2t2 + 0,8t, dan is de formule van de snelheid v = sƍ = 2,4t + 0,8. Na drie seconden is de afgelegde afstand s = 1,2 Â 32 + 0,8 Â 3 = 13,2 m en de snelheid v = 2,4 Â 3 + 0,8 = 8 m/s. Verandert de snelheid na t = 3 niet meer, dan is de afgelegde afstand op t = 10 gelijk aan 13,2 + 7 Â 8 = 69,2 m. © Noordhoff Uitgevers bv

De afgeleide functie

87

2.5 Hellingen en raaklijnen met GeoGebra 2

In deze paragraaf ga je met behulp van het computerprogramma GeoGebra raaklijnen tekenen en hellinggra¿eken schetsen. 6 Om met GeoGebra de gra¿ek van de functie f (x) = 2x2 í 3x te O 76

tekenen voer je f(x)=2x^2í3x in bij de invoerregel. Je kunt een punt op de gra¿ek van f tekenen door de optie Nieuw punt te selecteren, met de muis een punt op de gra¿ek aan te wijzen en te klikken met de linkermuisknop. Het punt krijgt een naam en de coördinaten hiervan zijn af te lezen in het algebravenster links op het scherm. Gegeven is de functie f (x) = 2x2 í 3x. a Teken met GeoGebra de gra¿ek van f. b Kies twee punten op de gra¿ek van f. GeoGebra noemt ze A en B. c Teken de lijn door de punten A en B met de optie Rechte door twee punten. GeoGebra noemt de lijn a. Klik rechts op de lijn en kies Naam wijzigen. Noem de lijn k. Je ziet dat de vergelijking van k in de vorm ax + by = c in het algebravenster staat. Klik rechts op de lijn en kies Vergelijking y = ax + b. d Verplaats de punten A en B met Verplaatsen. Je ziet dat de formule van de lijn k mee verandert.

Theorie A Grafieken tekenen met GeoGebra In de invoerregel van GeoGebra kun je bijvoorbeeld formules van functies en lijnen invoeren. Wat je invoert wordt getekend en in het algebravenster getoond. Door in het gra¿ekenscherm op een gra¿ek of in het algebravenster op een formule met de rechtermuisknop te klikken krijg je de mogelijkheid om eigenschappen te wijzigen. Bijvoorbeeld een andere kleur, andere naam, lijndikte, enzovoort. In deze paragraaf wordt met de opdracht Teken de gra¿ek bedoeld dat de gra¿ek moet worden getekend met GeoGebra. Bij een aantal opdrachten is het nodig dat je ver gaat inzoomen op de gra¿ek. Je kunt dat handig met het wieltje van je muis doen. Wijs dan wel altijd het punt aan waarop je in- of uit wilt zoomen. Zorg ervoor dat het algebravenster, de assen en het rooster aan staan. Je doet dit via de menu’s of door rechts op het tekenvenster te klikken. Zorg er verder voor dat een formule van een lijn steeds in de vorm y = ax + b staat. 88

Hoofdstuk 2

© Noordhoff Uitgevers bv

77 Gegeven is de functie f(x) = x2 í 4x í 2

en de lijn k: y = í2x í 3. a Teken de gra¿ek van f en de lijn k. De lijn k heeft een punt gemeenschappelijk met de gra¿ek van f. We noemen dit punt P. b Geef de coördinaten van P. c Teken met Nieuw punt de punten A en B op de gra¿ek van f en teken de lijn l door de punten A en B. d Versleep A naar (0, í2) en B naar (5, 3). Hoe kun je in het algebravenster het ¿guur 2.30 differentiequotiënt van f op [0, 5] aÀezen? e Houd A in (0, í2) en versleep B zo, dat l evenwijdig is met k. Geef de formule van l en de coördinaten van B. f Versleep A en B zo, dat l in het algebravenster dezelfde formule heeft als k. Gebruik de zoomfunctie. Merk op dat GeoGebra een foutmelding geeft als A en B samenvallen. g Versleep A en B zo dicht mogelijk naar het punt (4, í2) en geef de formule van l.

2

78 De helling in het punt P van een parabool kun je benaderen door

de punten A en B dichtbij P te tekenen en de richtingscoëf¿ciënt van de lijn l door A en B te bepalen. In het algebravenster van GeoGebra kun je deze richtingscoëf¿ciënt aÀezen. Gegeven is de functie f (x) = 6x í x2. a Teken de gra¿ek van f en ga op de hierboven beschreven manier na dat de helling van de gra¿ek in het punt (1, 5) gelijk is aan 4. Wat is de formule van de lijn l door de punten A en B? b Geef op dezelfde manier als bij vraag a de helling van de gra¿ek van f in de punten (0, 0), (2, 8), (3, 9), (4, 8) en (5, 5). c Bij de hellingen van de vragen a en b is een regelmaat te ontdekken. Gebruik deze regelmaat om de hellingen in de punten (6, 0) en (7, í7) te geven.

Theorie B Raaklijnen Bij de opgaven 77 en 78 heb je zo goed mogelijk lijnen getekend die precies één punt met een parabool gemeen hebben. Dit lukt niet precies omdat A en B verschillend moeten zijn. Maar door in te zoomen krijg je wel een goede benadering. De lijn k in opgave 77 had wel precies één punt gemeenschappelijk met de parabool. Zo’n lijn heet een raaklijn van de parabool. Het gemeenschappelijke punt heet het raakpunt. In het raakpunt hebben de raaklijn en de parabool dezelfde helling.

© Noordhoff Uitgevers bv

De afgeleide functie

89

De helling van de grafiek van f in het punt P is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn van de grafiek van f in P.

GeoGebra heeft een optie waarmee direct de raaklijn getekend wordt. Om de raaklijn van de gra¿ek van f in het punt A te tekenen tik je in de invoerregel in: Raaklijn[A,f]. Versleep je vervolgens het punt A over de gra¿ek dan schuift de raaklijn mee.

2

De optie Raaklijn[A,f] geeft de raaklijn van de gra¿ek van f in het punt A van de gra¿ek. 79 Gegeven is de functie f (x) = 12 x2 í 2x + 2.

a Teken de gra¿ek van f en een punt A op de gra¿ek. b Teken de raaklijn van de gra¿ek in A en ga na dat de raaklijn mee schuift als je A versleept over de gra¿ek. c Geef de formule van de raaklijn in het punt A(4, 2). d In welk punt van de gra¿ek heeft de raaklijn richtingscoëf¿ciënt 3? e Klik rechts op de raaklijn, zet voor de raaklijn het Spoor aan en versleep A over de parabool. Waar liggen de punten waar geen enkele raaklijn doorheen gaat?

¿guur 2.31

80 Gegeven is de functie f (x) = 4x í 12 x2.

a Teken de gra¿ek van f, een punt A op de gra¿ek en de raaklijn k in A. b Met de opdracht Helling[k] berekent GeoGebra de helling van de raaklijn k en noemt dit getal a. Geef deze opdracht en ga in het algebravenster na dat de helling van k inderdaad voortdurend gelijk is aan a. c Geef in de invoerregel de opdracht: P = (x(A),a). GeoGebra tekent een punt P waarvan de x-coördinaat gelijk is aan de x-coördinaat van A en waarvan de y-coördinaat gelijk is aan de helling van de raaklijn. Versleep A en merk op dat P over een rechte lijn lijkt te bewegen. Geef de formule van deze lijn. d We gaan de formule van vraag c controleren. Teken de lijn die bij de formule van vraag c hoort en zet voor P het Spoor aan. Versleep A. Klopt het antwoord van vraag c? De lijn waar P over beweegt heet de hellingra¿ek van f.

90

Hoofdstuk 2

© Noordhoff Uitgevers bv

81 a Teken de hellinggra¿ek van f (x) = x2 í 2x + 4 en geef de

formule van de hellinggra¿ek van f. b Teken de hellinggra¿ek van f (x) = 13 x3 í 2x en geef de formule van de hellinggra¿ek van f. c Teken de hellinggra¿ek van f (x) = 2x2 í x4. Hoeveel toppen heeft de hellinggra¿ek? 2 82 Gegeven is de functie f (x) =

x3

í 3x. a Teken de gra¿ek van f, het punt A op de gra¿ek en de raaklijn k in A. b In welke punten van de gra¿ek is de helling gelijk aan 9? c Welk punt van de gra¿ek heeft de kleinste helling? d Hoeveel raaklijnen van de gra¿ek gaan door het punt (5, 0)? e Hoeveel raaklijnen van de gra¿ek gaan door het punt (1, 0)?

Theorie C De formule van de hellinggrafiek GeoGebra heeft een optie waarmee je direct het functievoorschrift van de hellinggra¿ek van een functie f kunt krijgen. Je voert dan f ƍ(x) in bij Invoer. GeoGebra tekent de hellinggra¿ek van f en geeft hiervan het functievoorschrift. Met de opdracht f ƍ(x) tekent GeoGebra de hellinggra¿ek van f en geeft hiervan het functievoorschrift. In opgave 83 wordt het functievoorschrift van de hellinggra¿ek gevraagd. Geef het antwoord in de vorm f ƍ(x) = ... , gƍ(x) = ... of hƍ(x) = ... 83 Geef het functievoorschrift van de hellinggra¿ek.

a f (x) = 12 x2 í 6x + 2 b g(x) = 4x í 12 x2 + 2 c h(x) = 4x í 12 x2 + 6

6 Vergelijk de antwoorden van vraag 83b en 83c. Wat valt je op? R 84

Licht toe dat dit geen toeval is.

© Noordhoff Uitgevers bv

De afgeleide functie

91

Diagnostische toets y

2.1 Snelheden 1 2

Zie ¿guur 2.32. a Welke soorten van stijgen en dalen kun je in de ¿guur herkennen? Geef de bijbehorende intervallen. b Bereken de gemiddelde toename van y op [1, 4]. c Bereken het differentiequotiënt van y op [2, 6]. d Hoeveel waarden van p zijn er waarvoor het differentiequotiënt van y op [0, p] gelijk is aan 1? Licht toe.

8

f

4

O

2

4

6

8

x

–4 –8

¿guur 2.32

2

Gegeven is de functie f (x) = 12 x3 í x2 í 2x. a Bereken de gemiddelde toename van f (x) op [1, 4]. b Bereken het differentiequotiënt van f (x) op [í1, 1]. c Op de gra¿ek van f liggen de punten A en B met xA = í2 en xB = 3. Stel de formule op van de lijn l door A en B.

3

Gegeven is de tijd-afstandgra¿ek in ¿guur 2.33. a Bereken de gemiddelde snelheid in km/uur op [1, 9]. b Er is een interval [1, p] waarop de gemiddelde snelheid gelijk is aan die op het interval [0, 9]. Voor welke p is dat het geval? 10 . t+1 c Benader in km/uur de snelheid op t = 1. Neem ) t = 0,01 en rond af op gehelen.

Bij de gra¿ek hoort de formule s = 10 í

s afstand in km

8 6 4 2

O

2.2 Raaklijnen en hellinggrafieken

4

5

92

2

4

6 8 tijd in minuten

t

¿guur 2.33

Gegeven is de functie f (x) = 冑2x í 3. a Bereken de helling van de gra¿ek van f in het punt A met xA = 2. b Bereken de snelheid waarmee f (x) verandert voor x = 312. c Op de gra¿ek van f ligt het punt B met xB = 6. Stel de formule op van de raaklijn k in B. Een auto rijdt weg. Gedurende de eerste zes seconden wordt de afgelegde weg s in meter gegeven door de formule s = í 14 t3 + 3t2. Hierin is t in seconden. Na zes seconden verandert de snelheid niet meer. a Bereken de snelheid op t = 2. b Hoeveel meter heeft de auto na tien seconden afgelegd?

Hoofdstuk 2

© Noordhoff Uitgevers bv

6

7

[ Ź WERKBLA D] Zie de gra¿ek van f in ¿guur 2.34. a Schets de hellinggra¿ek van f. b De gra¿ek is de hellinggra¿ek van een functie g. Teken een globale gra¿ek van g.

y

f 2 1

Gegeven is de functie f (x) = í0,2x3 + x2 í 2. a Teken de hellinggra¿ek van f. b De gra¿ek van f is de hellinggra¿ek van een functie g. Teken een globale gra¿ek van g.

9

Bereken. x2 í 2x í 8 a lim xí2 x m í2

–1 O

1

2

x

3

–1

2

–2 –3

¿guur 2.34

2.3 Limiet en afgeleide 8

–2

x2 + 2x í 8 xí2 xm2

b lim

De gra¿ek van de functie f (x) = Bereken hiervan de coördinaten.

x2 í 4 xm2 x í 2

c lim

x+1 heeft een perforatie. x2 + 6x + 5

10 Gegeven is de functie f (x) = 5x2 + 4.

a Bereken f ƍ(3) met behulp van een limiet. b Toon met behulp van de de¿nitie van de afgeleide aan dat f ƍ(x) = 10x. 11 Differentieer.

a f(x) = 0,6x3 í 1,3x2 + 7

b g(p) = 4p3 + p2 í 11p + 20

12 Bereken de afgeleide.

c h(x) = x(2x í 1)2 d k(x) = 13 x3 + 2x2(x í 4) + 6

a f(x) = (3 í x)(5 + 2x) b g(x) = (3x + 1)2

2.4 Toepassingen van de afgeleide 13 Differentieer.

a f (x) =

2x í 3 3x í 1

b g(x) =

x4 +1

x2

c h(x) = x2 í

3 x+1

14 Gegeven is de functie f (x) = í 16 x3 + 12 x2 + 4x + 1.

De lijn k raakt de gra¿ek van f in het punt A met xA = 2. a Stel langs algebraïsche weg de formule op van k. b Stel met behulp van de afgeleide de formule op van de raaklijn l in het snijpunt van de gra¿ek van f met de y-as.

15 Op de gra¿ek van de functie f (x) = 13 x3 í x2 í x + 2 liggen de

punten A en B waarin de raaklijn evenwijdig is met de lijn k: y = 2x í 5. Bereken algebraïsch de coördinaten van A en B.

© Noordhoff Uitgevers bv

De afgeleide functie

93

Bij het fietsen in de bergen heb je met grote snelheidsverschillen te maken. Fiets je tegen een berg op met een gemiddelde snelheid van 10 km/uur en daal je daarna langs dezelfde weg weer de berg af met een gemiddelde snelheid van 50 km/uur, dan is je totale gemiddelde snelheid een stuk lager dan de 30 km/uur die je wellicht zou verwachten.

94

Hoofdstuk #

Wat leer je? • Algebraïsch oplossen van hogeregraadsvergelijkingen. • Oplossen van stelsels vergelijkingen. • Regels voor het algebraïsch oplossen van wortelvergelijkingen en gebroken vergelijkingen. • Herleiden van gebroken vormen. • Het vrijmaken van variabelen bij gebroken formules.

© Noordhoff Uitgevers bv

Vergelijkingen en herleidingen

3

© Noordhoff Uitgevers bv

95

Voorkennis Stelsels lineaire vergelijkingen en kwadratische ongelijkheden Theorie A Lineaire vergelijkingen met twee variabelen 3

De algemene vorm van een lineaire vergelijking met de variabelen x en y is ax + by = c. De bijbehorende gra¿ek is een rechte lijn. Om de lijn k: 2x + 3y = 12 te tekenen maak je een tabel met twee punten, bijvoorbeeld

x y

0 4

y

6 0

De getallenparen (x, y) = (0, 4) en (x, y) = (6, 0) voldoen aan de vergelijking 2x + 3y = 12. Je kunt bij de vergelijking 2x + 3y = 12 de variabele y vrijmaken. 2x + 3y = 12 3y = í2x + 12 y = í 23 x + 4 Hieruit lees je af: de lijn k heeft rck = í 23 en snijdt de y-as in het punt (0, 4). Met y = í 23 x + 4 is y uitgedrukt in x. We zeggen ook: y is als functie van x geschreven.

4

k 2

O

Gegeven zijn de lijnen l: 3x í y = 6, m: x + y = 1, n: x í y = 0 en p: x + 2y = 4. a Teken deze lijnen in één ¿guur. b Geef van elk van deze lijnen de richtingscoëf¿ciënt.

2

Gegeven is de lijn l: 4x í 3y = 24. a Bereken de coördinaten van de snijpunten van l met de x-as en met de y-as. b Onderzoek welke van de punten A(8, 3), B(18, 16) en C(í30, í48) op l liggen. c Het getallenpaar (x, y) = (16, p) voldoet aan de vergelijking 4x í 3y = 24. Bereken p. d Voor welke q is (x, y) = (q, 48) een oplossing van de vergelijking 4x í 3y = 24?

Hoofdstuk 3

4

6

x

¿guur 3.1 De lijn k: 2x + 3y = 12

1

96

2

© Noordhoff Uitgevers bv

Theorie B Stelsels vergelijkingen In ¿guur 3.2 zijn de lijnen k: 2x + y = 3 en l: x í 2y = 4 getekend. Het punt (2, í1) is het snijpunt van deze lijnen. Het getallenpaar (x, y) = (2, í1) is zowel oplossing van 2x + y = 3 als van x í 2y = 4. We zeggen dat (x, y) = (2, í1) oplossing is van het 2x + y = 3 x í 2y = 4 Het oplossen van een stelsel gaat in vier stappen. 1 Maak bij een van de twee vergelijkingen x of y vrij. 2 Substitueer de vrijgemaakte variabele in de andere vergelijking en los de verkregen vergelijking op. Je hebt nu een van de variabelen berekend. 3 Gebruik het antwoord van stap 2 om de andere variabele te berekenen. 4 Schrijf de oplossing van het stelsel op. stelsel e

y 3 2

k

1 O –1 –2

1

2

3

4

x

l

3

¿guur 3.2

2

Voorbeeld Los het stelsel e

2x + y = 3 op. x í 2y = 4

Uitwerking Uit 2x + y = 3 volgt y = í2x + 3. y = í2x + 3 en x í 2y = 4 geeft x í 2(í2x + 3) = 4 x + 4x í 6 = 4 5x = 10 x=2 x = 2 en y = í2x + 3 geeft y = í2 Â 2 + 3 = í1. De oplossing is (x, y) = (2, í1).

3

4

Substitueren betekent vervangen door. Je vervangt y door í2x + 3.

Los op. 3x + y = 7 a e x í 4y = 11 b e

4x í 3y = 10 x + 2y = í3

c e

x í 6y = 1 5x + 4y = 56

Gegeven zijn de lijnen k: 2x í 3y = 12 en l: x + 5y = 5. a Teken k en l in één ¿guur. b Bereken de coördinaten van het snijpunt van k en l.

© Noordhoff Uitgevers bv

Vergelijkingen en herleidingen

97

Theorie C Kwadratische ongelijkheden algebraïsch oplossen Bij het algebraïsch oplossen van ongelijkheden van de vorm f (x) < 0 of f (x) > 0 met f (x) = ax2 + bx + c ga je als volgt te werk. • Los de vergelijking f (x) = 0 algebraïsch op. • Schets de gra¿ek van f en lees de oplossing van de ongelijkheid uit de schets af.

Voorbeeld 3

Los algebraïsch op. a 2x2 í 9x + 4 < 0

b 4x2 í 12x + 9 ” 0

Uitwerking a 2x2 í 9x + 4 < 0

b 4x2 í 12x + 9 ” 0 f(x)

f(x)

f (x) = 0 geeft 2x2 í 9x + 4 = 0 D = ( í9)2 í 4 Â 2 Â 4 = 49 x=

9í7 1 9+7 =2–x= =4 4 4

f (x) = 0 geeft 4x2 í 12x + 9 = 0 (2x í 3)2 = 0 2x í 3 = 0 x = 112 ƒ

ƒ

1 – 2

4

x

f (x) < 0 geeft 12 < x < 4

112–

x

f (x) ” 0 geeft x = 112

5

Zie voorbeeld b. Geef de oplossing van a 4x2 í 12x + 9 < 0 b 4x2 í 12x + 9 • 0 c 4x2 í 12x + 9 > 0.

6

Los algebraïsch op. a x2 í 5x í 14 < 0 b 2x2 í 3x í 2 • 0

c 2x2 + x í 6 ” 0 d (x í 1)2 + 3x + 14 í 5(x í 2)2 • 0

Bereken exact de oplossingen. a x2 í 2x冑5 + 5 > 0 b x2 í 40 ” 0

c 9x2 í 24x + 16 ” 0 d (2x í 5)2 í (x í 7)2 í 2x(x í 3) • 0

7

98

Hoofdstuk 3

© Noordhoff Uitgevers bv

Theorie D Kwadratische ongelijkheden bij berekeningen met de discriminant Bij de vergelijking x2 + px í 2p = 0 hoort de discriminant D = b2 í 4ac = p2 í 4 ? 1 ? í2p = p2 + 8p. Om te berekenen voor welke p de vergelijking x2 + px í 2p = 0 twee oplossingen heeft, los je de ongelijkheid p2 + 8p > 0 op. Deze ongelijkheid los je op de gebruikelijke manier op. Dus los de vergelijking p2 + 8p = 0 op, schets de gra¿ek van de functie f (p) = p2 + 8p en geef de oplossing van de ongelijkheid.

3

Voorbeeld

2

Bereken voor welke p de vergelijking

x2

+ px í 2p = 0 twee oplossingen heeft.

Uitwerking 2 D = p2 í 4 ? 1 ? í2p = p2 + 8p e p + 8p > 0 twee oplossingen als D > 0 D D = 0 geeft p2 + 8p = 0 p( p + 8) = 0 p = 0 – p = í8 D

–8

0

p

De vergelijking heeft twee oplossingen voor p < í8 – p > 0.

8

a Bereken algebraïsch voor welke p de vergelijking x2 + px + 3p = 0 twee oplossingen heeft. b Bereken algebraïsch voor welke p de vergelijking x2 + 2px + p = 0 geen oplossing heeft. c Bereken algebraïsch voor welke p de vergelijking x2 + px í 3 = 0 twee oplossingen heeft.

9

Gegeven zijn de functies fp(x) = íx2 + px + 2p. Bereken algebraïsch voor welke p a fp een negatief maximum heeft b het maximum van fp groter is dan 12.

© Noordhoff Uitgevers bv

Vergelijkingen en herleidingen

99

3.1 Hogeregraadsvergelijkingen O 1

3

In ¿guur 3.3a is de gra¿ek van f (x) = x3 geschetst en in ¿guur 3.3b de gra¿ek van g(x) = x4. a Hoeveel oplossingen heeft de vergelijking x3 = 10? En x3 = í10? b Hoeveel oplossingen heeft de vergelijking x4 = 10? En x4 = í10?

y

y

ƒ O

g x

O

a

x

b

¿guur 3.3

Theorie A Hogeremachtswortels De vergelijking x2 = 5 heeft de oplossingen x = 冑5 en x = í冑5. Je weet (冑5)2 = 5, daarom heet 冑5 ook wel de tweedemachtswortel van 5. Er zijn ook hogeremachtswortels zoals derdemachtswortels, s, vierdemachtswortels, enzovoort. 3 20. De vergelijking x3 = 20 heeft als oplossing x = 冑 3 20)3 = 20. Dus (冑

De derdemachtswortel van 20 is 3 20 2 .

3 í20. Dus 冑 De oplossing van x3 = í20 is x = 冑 (3 í20)3 = í20.

4 20 een oplossing. Van de vergelijking x4 = 20 is 冑 4 Op het schoolbord hierboven zie je dat ook í冑 20 een oplossing is. 4 4 De oplossingen van x4 = 20 zijn dus x = 冑 20 en x = í冑 20. 4 De vergelijking x = í20 heeft geen oplossing, want de lijn y = í20 snijdt de gra¿ek van y = x4 niet.

De oplossingen van xn = p met n = 2, 3, 4, ...

= p geeft x = 冑p n

n oneven

xn

n even en p > 0

n n xn = p geeft x = 冑 p – x = í冑 p

n even en p < 0

xn = p heeft geen oplossing

100 Hoofdstuk 3

_í 4 20 + 4 = 20

2

Voor p schrijven we gewoon p.

© Noordhoff Uitgevers bv

Bij het exact berekenen van de oplossingen van een vergelijking 5 7 4 laat je wortels als 冑 30, 冑 í3 en 冑 100 staan. Maar wortels die mooi uitkomen, herleid je. Bijvoorbeeld

冑3 8 = 2, want 23 = 8 冑4 81 = 3, want 34 = 81

冑7 í1 = í1, want (í1)7 = í1 冑5 1 = 1, want 15 = 1.

Zo krijg je bij het algebraïsch oplossen van de vergelijking 8 í 12 x3 = 40 de uitwerking 8 í 12 x3 = 40

3

í 12 x3 = 32 x3 = í64 x = í4

2

Voorbeeld Bereken exact de oplossingen. a 5x4 + 8 = 43 b 2(x í 3)4 + 7 = 17 Uitwerking a 5x4 + 8 = 43 5x4 = 35 x4 = 7 4 7 – x = í冑 47 x =冑 b 2(x í 3)4 + 7 = 17 2(x í 3)4 = 10 (x í 3)4 = 5 4 5 – x í 3 = í冑 45 x í 3 =冑 4 4 x = 3 + 冑5 – x = 3 í 冑5

2

a Neem de tabel over en vul hem in. b Controleer de tabel en leer hem uit het hoofd, zodat je de getallen voortaan kunt herkennen als macht.

© Noordhoff Uitgevers bv

x 1 2 3 4 5 6

x2

x3

x4

x5

x6

Vergelijkingen en herleidingen 101

Bereken exact de oplossingen. + 60 = 6 b 100 í 3x4 = 55

c 12 (4x í 1)5 + 3 = 19 d 212 (1 í 2x)6 í 6 = 14

Bereken exact de oplossingen. a x6 = 20 b 5x3 = 135

c 1 í 3x5 = 97 d 14 x8 + 3 = 10

Bereken exact de oplossingen. a 5x4 í 1 = 4 b 5x3 í 1 = 9

c 8x3 + 2 = 1 d 5x6 + 7 = 97

6

Bereken exact de oplossingen. a 3(x í 2)4 + 7 = 37 b 100 í 13 (4x í 3)5 = 19

c 12 (3x í 1)4 = 8 d 6 í (2x í 1)3 = 1

A 7

Bereken exact de oplossingen. a 5x4 í 3 = 17 b 4x3 í 5 = 1367

c 3(4x í 5)3 = 15 d 17 í 2(1 í 3x)4 = 5

T 3

4

5 3

O 8

[ ŹŹ7] a 14 x3

Gegeven is de vergelijking x3 í x2 í 2x = 0. a Schrijf de vergelijking in de vorm x( . . . ) = 0. b Los de vergelijking algebraïsch op.

Theorie B Hogeregraadsvergelijkingen en ontbinden in factoren Sommige hogeregraadsvergelijkingen kun je algebraïsch oplossen met ontbinden in factoren. Soms lukt dit door een factor buiten haakjes te brengen, soms lukt dit met een substitutie.

Voorbeeld Bereken exact de oplossingen. a x3 í 3x2 + 2x = 0 Uitwerking a x3 í 3x2 + 2x = 0 x(x2 í 3x + 2) = 0 x(x í 1)(x í 2) = 0 x = 0 – x = 1– x = 2

102 Hoofdstuk 3

b x4 í 3x2 + 2 = 0 b x4 í 3x2 + 2 = 0 Stel x2 = u. u2 í 3u + 2 = 0 (u í 1)(u í 2) = 0 u = 1 u = 2 x2 = 1  x2 = 2 x = 1  x = í1  x = 冑2  x = í冑2

© Noordhoff Uitgevers bv

9

Los algebraïsch op. a x3 í 5x2 + 6x = 0 b x3 í 5x2 = 6x

c x3 = 4x2 + 12x d x4 í 13x2 + 36 = 0

A 10 Bereken exact de oplossingen.

a x4 í 10x2 + 9 = 0 b x4 í 8x2 í 9 = 0

c x4 + 16 = 10x2 d x3 + 25x = 10x2

D 11 Bereken exact de x-coördinaten van de punten op de gra¿ek van

í10x waarin de richtingscoëf¿ciënt van de raaklijn x2 + 2 5 gelijk is aan 9 . f (x) =

3

O 12 Gegeven is de vergelijking 2x4 í 11x2 + 12 = 0.

a Stel x2 = u en los de vergelijking die je krijgt op met de abc-formule. b Geef de exacte oplossingen van de vergelijking 2x4 í 11x2 + 12 = 0.

Theorie C Hogeregraadsvergelijkingen en de abc-formule Bij het oplossen van de vergelijking 2x4 í 13x2 + 20 = 0 stel je x2 = u. Je krijgt dan de vergelijking 2u2 í 13u + 20 = 0. Als je deze vergelijking oplost met de abc-formule, denk er dan aan dat je na het gebruik van de abc-formule de oplossingen van de vergelijking 2u2 í 13u + 20 = 0 hebt, maar nog niet de oplossingen van 2x4 í 13x2 + 20 = 0.

Voorbeeld Bereken exact de oplossing van 2x4 í 13x2 + 20 = 0. Uitwerking 2x4 í 13x2 + 20 = 0 Stel x2 = u. 2u2 í 13u + 20 = 0 D = (í13)2 í 4 ? 2 ? 20 = 9 u=

13 í 3 13 + 3 = 212  u = =4 4 4

x2 = 212  x2 = 4 x = 冑212 – x = í冑212 – x = 2 – x = í2 13 Bereken exact de oplossingen.

a 6x4 + 2 = 7x2 b 2x4 = x2 + 3

© Noordhoff Uitgevers bv

c 4x4 + 7x2 = 2 d 16x4 + 225 = 136x2

Vergelijkingen en herleidingen 103

2

Geschiedenis 5000 jaar vergelijkingen 3000 voor Christus Al rond 3000 voor Christus waren de Babyloniërs in staat om kwadratische vergelijkingen op te lossen. Dit blijkt uit kleitabletten uit die tijd waarop wiskundige teksten voorkomen. In die tijd werd een vergelijking en ook de oplossingsmethode omschreven in woorden: de abc-formule kende men nog niet in de vorm zoals jij die hebt geleerd.

3

800 na Christus Het systematisch oplossen van vergelijkingen kwam pas echt op gang in de Arabische wiskunde. Van grote invloed is het werk van Mohammed ibn Musa Al-Khwarizmi.

Musa Al-Khwarizmi

1100 Rond 1100 ontdekte de Perzische wiskundige Omar Khayyam een methode om enkele derdegaadsvergelijkingen met behulp van meetkundige hulpmiddelen op te lossen, maar het zou nog tot de 16e eeuw duren alvorens de derdegraadsvergelijking ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 kon worden opgelost. 1515 Scipio del Ferro, professor aan de universiteit van Bologna, vertelde rond 1515 aan zijn leerling Antonio Maria Fior hoe je vergelijkingen van de vorm x3 + cx = d kunt oplossen. 1535 Nicolo Tartaglia ontdekte een methode om derdegraadsvergelijkingen van de vorm x3 + bx2 = d op te lossen, maar hij hield zijn ontdekking aanvankelijk nog geheim.

Nicolo Tartaglia

1545 In zijn boek Ars Magna beschrijft Girolamo Cardano hoe je de vergelijking ax3 + bx2 + cx + d = 0 kunt oplossen. Tartaglia beschuldigde Cardano van plagiaat, maar de formule waarmee de oplossingen van een derdegraadsvergelijking kunnen worden gevonden is genoemd naar Cardano. In Ars Magna beschrijft Cardano ook dat een van zijn studenten, Ludovico Ferrari, in 1540 ontdekte hoe je vierdegraadsvergelijkingen kunt oplossen. 1750 Rond 1750 hield Leonhard Euler zich bezig met het vinden van een formule voor de oplossingen van een vijfdegraadsvergelijking, maar hij slaagde er niet in dit probleem op te lossen.

Leonhard Euler

1824 In 1824 bewees de Noorse wiskundige Niels Abel dat het onmogelijk is een formule voor de oplossingen van een vijfdegraadsvergelijking te vinden. 1832 De Fransman Evariste Galois, die reeds op 21-jarige leeftijd in een duel de dood vond, heeft een algemene theorie ontwikkeld waarin voor elke n-de graadsvergelijking wordt aangegeven onder welke voorwaarden deze kan worden opgelost.

104 Hoofdstuk 3

Evariste Galois

© Noordhoff Uitgevers bv

A 14 Bereken exact de oplossingen.

a b c d

4x4 + 153 = 53x2 4x4 + 21x2 = 148 4x6 + 35 = 24x3 64x5 + 27x = 224x3

D 15 In deze opgave bekijken we de volgende situatie.

Een schilder zet een ladder van 4 meter tegen een huis. Voor het huis staat een berging van 1 meter breed en 1 meter hoog. De ladder staat op de grond, raakt de berging en staat tegen het huis. Zie ¿guur 3.4. We vragen ons af hoe hoog de ladder tegen het huis staat. a Dit lijkt een eenvoudig probleem. Probeer het daarom eerst zelf op te lossen zonder dat je naar het vervolg kijkt.

3

2 ¿guur 3.4

Zie ¿guur 3.5. 1 We stellen CE = x. Hieruit volgt dat AD = . x b Licht dit toe.

C

2

1 Uit de ¿guur volgt nu dat (1 + x)2 + a1 + b = 16. x c Licht dit toe en laat zien dat deze vergelijking 2 1 te herleiden is tot x2 + 2x + 2 + + 2 = 16. x x 1 d Stel x + = u en herleid hiermee de x vergelijking van vraag c tot u2 + 2u = 16. e Los de vergelijking u2 + 2u = 16 algebraïsch op en bereken in cm nauwkeurig hoe hoog de ladder tegen het huis staat.

x 4 F

E

1 1

A

D

B

¿guur 3.5

O 16 Gegeven is de ongelijkheid x3 í 12x < x2.

a Los de vergelijking x3 í 12x = x2 algebraïsch op. b Schets de gra¿eken van f (x) = x3 í 12x en g(x) = x2 in één ¿guur. c Lees de oplossing van x3 í 12x < x2 af uit de ¿guur.

© Noordhoff Uitgevers bv

Vergelijkingen en herleidingen 105

Theorie D Hogeregraadsongelijkheden algebraïsch oplossen Bij het algebraïsch oplossen van hogeregraadsongelijkheden ga je als volgt te werk. Werkschema: het algebraïsch oplossen van de hogeregraadsongelijkheid f (x) < g(x) 1 Los de vergelijking f (x) = g(x) algebraïsch op. 2 Schets de gra¿eken van f en g. 3 Lees het antwoord van de ongelijkheid f (x) < g(x) uit de schets af. 3

Voorbeeld Bereken exact de oplossing van x4 ” 2x2 + 3. Uitwerking Stel f (x) = x4 en g(x) = 2x2 + 3. f (x) = g(x) geeft x4 = 2x2 + 3 x4 í 2x2 í 3 = 0 Stel x2 = u. u2 í 2u í 3 = 0 (u + 1)(u í 3) = 0 u = í1 – u = 3 x2 = í1 – x2 = 3 geen opl. x = 冑3 – x = í冑3 y

ƒ g

–√ 3

O

√3

x

x4 ” 2x2 + 3 geeft í冑3 ” x ” 冑3 17 Bereken exact de oplossingen.

a x3 • 2x2 + 8x b x3 + 2x2 < 3x

c x4 • 3x2 + 10 d 23 x4 + 9 ” 7x2

5 2 bx + p2x + 4p met p > 0. p Bereken exact voor welke waarden van p de functie fp een negatief minimum heeft.

D 18 Gegeven zijn de functies fp(x) = ap +

106 Hoofdstuk 3

© Noordhoff Uitgevers bv

O 19 Gegeven is de vergelijking 0 4x í 5 0 = 9.

Licht toe dat zowel x = í1 als x = 312 een oplossing is.

Theorie E Modulusvergelijkingen De modulusvergelijking 0 x 0 = 5 heeft als oplossing x = 5  x = í5. De vergelijking 0 3x í 1 0 = 8 los je op door te gebruiken 3x í 1 = 8  3x í 1 = í8.

Voorbeeld Los algebraïsch op. a 0 3x í 1 0 = 8 Uitwerking a 0 3x í 1 0 = 8 3x í 1 = 8 – 3x í 1 = í8 3x = 9 – 3x = í7 x = 3 – x = í213

3

b 0 1 í x2 0 = 8 2

x2 0

b 01í =8 1 í x2 = 8  1 í x2 = í8 íx2 = 7 – íx2 = í9 x2 = í7 – x2 = 9 geen opl. x = 3 – x = í3

20 Bereken exact de oplossingen.

a 0 2x í 1 0 = 8 b 0 x2 í 3 0 = 1

c 0 2x2 í 5 0 = 11 d 0 5 í x2 0 = 11

A 21 Bereken exact de oplossingen.

a 0 2x4 í 5 0 = 15 b 0 2x3 í 5 0 = 15

© Noordhoff Uitgevers bv

c 0 x4 í 5x2 0 = 6 d 0 x6 í 10x3 0 = 24

Vergelijkingen en herleidingen 107

Terugblik De vergelijking xn = p met n = 2, 3, 4, ...

3

Onderscheid de gevallen n is oneven en n is even. Bij oneven n heeft de vergelijking xn = p precies één oplossing. 5 x5 = 8 geeft x = 冑 8 5 í12 5 x = í12 geeft x = 冑 Bij even n heeft de vergelijking xn = p 4 18 4 18 • twee oplossingen als p > 0, bijvoorbeeld x4 = 18 geeft x = 冑  x = í冑 • geen oplossing als p < 0, bijvoorbeeld x4 = í18 heeft geen oplossing. Vergelijkingen zoals 3x 5 + 7 = 19

3x5

+ 7 = 19 = 12 x5 = 4 54 x =冑 3x5

Vergelijkingen zoals 3(x − 1)4 + 7 = 19

3(x í 1)4 + 7 = 19 3(x í 1)4 = 12 (x í 1)4 = 4 4 4 4 – x í 1 = í冑 4 x í 1 =冑 4 4 x = 1 + 冑4 – x = 1 í 冑4 Vergelijkingen zoals x 3 − 7x 2 + 10x = 0

x3 í 7x2 + 10x = 0 x(x2 í 7x + 10) = 0 x(x í 2)(x í 5) = 0 x=0–x=2–x=5

Modulusvergelijkingen

Vergelijkingen zoals x 4 − 7x 2 + 10 = 0

x4 í 7x2 + 10 = 0 Stel x2 = u. u2 í 7u + 10 = 0 (u í 2)(u í 5) = 0 u=2u=5 x2 = 2  x2 = 5 x = 冑2  x = í冑2  x = 冑5  x = í冑5

Vergelijkingen zoals 2x 4 − 7x 2 + 5 = 0

2x4 í 7x2 + 5 = 0 Stel x2 = u. 2u2 í 7u + 5 = 0 D = (í7)2 í 4 Â 2 Â 5 = 9 u=

7í3 7+3 = 1 u = = 212 4 4

x2 = 1  x2 = 212 x = 1  x = í1  x = 212  x = í 212

冑

冑

Het oplossen van de modulusvergelijking 0 1 í x2 0 = 3 gaat als volgt. 0 1 í x2 0 = 3 1 í x2 = 3 – 1 í x2 = í3 íx2 = 2 – íx2 = í4 x2 = í2 – x2 = 4 geen opl. x = 2 – x = í2

108 Hoofdstuk 3

© Noordhoff Uitgevers bv

3.2 Stelsels vergelijkingen f

O 22 Gegeven is het stelsel

7x + 4y = 1 5x í 4y = 13

Bij het oplossen van dit stelsel met behulp van substitutie ontstaan breuken. Licht dit toe en bereken de oplossing van het stelsel. 3

Theorie A Elimineren door optellen of aftrekken kken Je hebt geleerd hoe je een stelsel van twee lineaire Elimineren betekent vergelijkingen met twee variabelen kunt oplossen wegwerken. met behulp van elimineren door substitutie. Je maakt bij een van de vergelijkingen een van de variabelen vrij en substitueert de vrijgemaakte variabele in de andere vergelijking. Soms gaat dit moeizaam, zoals bijvoorbeeld in opgave 22. Daarom leer je nu een andere manier om een stelsel van twee lineaire vergelijkingen met twee variabelen op te lossen. Deze manier heet elimineren door optellen of aftrekken. 3x + y = 15 Bij het stelsel trek je de vergelijkingen van elkaar af, x+y=7 f

want dan valt de y weg. 3x + y = 15 x+y=7 í 2x =8 y is geëlimineerd. x=4 x = 4 en x + y = 7 geeft 4 + y = 7, dus y = 3. De oplossing van het stelsel is (x, y) = (4, 3). Dat je de vergelijkingen 3x + y = 15 en x + y = 7 van elkaar af mag trekken wordt verduidelijkt in de ¿guur hiernaast. f

3x + y

15

x+y 7 eraf Bij het stelsel 2x + 3y = í7 tel je de vergelijkingen eraf í2x í 5y = 11 op, want dan wordt x geëlimineerd. 2x + 3y = í7 í2x í 5y = 11 2x 8 + 3y + í5y = í2y í2y = 4 y = í2 ¿guur 3.6 Weer in evenwicht, want links en rechts y = í2 en 2x + 3y = í7 geeft 2x + 3 Â í2 = í7 en dit geeft x = í 12 . is hetzelfde eraf gehaald, immers x + y = 7.

f

f

Dus (x, y) = (í 12 , í2) is de oplossing van het stelsel.

© Noordhoff Uitgevers bv

Vergelijkingen en herleidingen 109

2

Kijk, voordat je gaat optellen of aftrekken, goed naar het stelsel wat het handigst is. x + 3y = 7 Zo ga je bij het stelsel optellen, want dan wordt y 2x í 3y = 8 f

geëlimineerd. Met aftrekken schiet je hier niets op. 2x í 3y = 15 En bij het stelsel ga je aftrekken. Hier schiet je met x í 3y = í2 optellen niets op. f

Voorbeeld Los het stelsel

2x í 3y = í5 algebraïsch op. 2x í 5y = 3

f

Uitwerking 2x í 3y = í5 2x í 5y = 3 í í3y í í5y = 2y 2y = í8 ࣠y = í4 f 2x í 3 Â í4 = í5 2x í 3y = í5 2x = í17 x = í812 f

De oplossing is (x, y) = (í812 , í4). 23 Los algebraïsch op.

5x í 4y = í8 íx + 4y = í12 f

f

O 24 Gegeven is het stelsel

b

f

a

í2x + y = 7 í2x + 3y = í1

c íx í 3y = í8 í2x + 3y = í1 f

3

3x í 4y = 7 2x + 3y = 16

a Tel de vergelijkingen van het stelsel bij elkaar op. Is na het optellen een van de variabelen geëlimineerd? b Trek de vergelijkingen van het stelsel van elkaar af. Is na het aftrekken een van de variabelen geëlimineerd?

Theorie B Elimineren na vermenigvuldigen In opgave 24 valt zowel bij het optellen als bij het aftrekken geen van de variabelen weg. Maar als je de eerste vergelijking met 2 vermenigvuldigt en de tweede vergelijking met 3, dan staat in beide vergelijkingen 6x en dan wordt bij aftrekken de variabele x wel geëlimineerd.

110 Hoofdstuk 3

© Noordhoff Uitgevers bv

3x í 4y = 7 2 geeft 6x í 8y = 14 6x + 9y = 48 2x + 3y = 16 3 í í17y = í34 f

f

Je krijgt

Tussen de verticale strepen staan de getallen waarmee vermenigvuldigd is. Je kunt bij dit stelsel ook y elimineren. Dit gaat als volgt. 9x í 12y = 21 3x í 4y = 7 3 geeft 8x + 12y = 64 2x + 3y = 16 4 + 17x = 85 f

3

f

Ga bij het oplossen van een stelsel eerst na welke variabele je het beste kunt elimineren. Doe het zo, dat je zo weinig mogelijk rekenwerk krijgt.

2

Voorbeeld 2x + 8y = 5 algebraïsch op. 3x í 2y = 4

Uitwerking 2x + 8y = 5 1 geeft 3x í 2y = 4 4 f

Om y te elimineren is het niet nodig om met 2 en 8 te vermenigvuldigen.

f

f

Los het stelsel

2x + 8y = 5 12x í 8y = 16 + 14x = 21 f x = 112 2 ? 11 + 8y = 5 2x + 8y = 5 3 + 28y = 5 8y = 2 y = 14

Dus (x, y) = (112 , 14 ).

[ ŹŹ30]

a Los het stelsel

4x í y = 13 algebraïsch op. 2x + 3y = í11

f

T 25

b Bereken algebraïsch de coördinaten van het snijpunt van de lijnen k: 3x í 2y = 7 en l: 5x í 4y = 10. c Een aannemer wil op een stuk grond van 8800 m2 twee typen huizen neerzetten. Voor een huis van type A is 325 m2 grond nodig. Voor een huis van type B is dat 175 m2. De aannemer wil in totaal 40 huizen op het stuk grond bouwen. Hoeveel huizen van type A gaat de aannemer bouwen?

© Noordhoff Uitgevers bv

Vergelijkingen en herleidingen 111

26 Los algebraïsch op.

b

f

3x + 5y = í7 2x + y = 0

2x í 4y = 6 3x í y = 19

c

f

f

a

4x + y = 13 x í 2y = 1

27 Bereken algebraïsch de coördinaten van het snijpunt van de lijnen.

a k: 3x í 2y = í12 en l: x + 4y = 38 b p: 2x + 5y = 26 en q: 3x í 2y = 1 28 Daan heeft in zijn spaarpot uitsluitend muntstukken van 1 en

2 euro. Met 50 munten heeft hij een bedrag van € 87. Stel het aantal munten van 1 euro is x en het aantal munten van 2 euro is y. a Welke vergelijking volgt uit het gegeven dat Daan 50 munten heeft en welke vergelijking volgt uit het gegeven dat het bedrag € 87 is? b Bereken hoeveel munten van 1 euro Daan heeft. Los hiertoe een stelsel op. 29 Een groenteman op de markt verkoopt appels en peren. De

appels kosten € 1,40 per kg en de peren € 1,70 per kg. Op een zaterdag verkoopt hij in totaal 295 kg appels en peren. De opbrengst is € 452. Hoeveel kg appels heeft hij die dag verkocht? A 30 Los algebraïsch op.

5x + 2y = 69 x + 3y = í7

b

f

f

a

2x í 5y = í19 5x + 4y = 35

c

f

0,8x + 0,2y = 1 0,3x í 0,3y = 1,5

A 31 Bereken algebraïsch de coördinaten van het snijpunt van de

lijnen p: 3x í 2y = í12 en q: x + 4y = 38. A 32 Op de verjaardag van Marjan is de gemiddelde leeftijd van de

15 aanwezige personen 16,4 jaar. De jongens zijn gemiddeld 15,6 jaar en de meisjes 16,8 jaar. Hoeveel jongens zijn er op de verjaardag? A 33 Van een rechthoek is de omtrek 26.

Leg je vijf van deze rechthoeken tegen elkaar aan, dan ontstaat een nieuwe rechthoek waarvan de omtrek 50 is. Bereken de lengte en de breedte van de eerste rechthoek. R 34 Gegeven is het stelsel

f

3

¿guur 3.7

3x + 2y = 18 6x + 4y = 15

Licht toe dat het stelsel geen oplossing heeft.

112 Hoofdstuk 3

© Noordhoff Uitgevers bv

O 35 Gegeven is de parabool y = x2 + bx + c die door de punten

(1, í2) en (2, 3) gaat. a De parabool gaat door het punt (1, í2). Licht toe dat hieruit volgt b + c = í3. b De parabool gaat ook door het punt (2, 3). Licht toe dat hieruit volgt 2b + c = í1. c Welke getallen b en c voldoen aan b + c = í3 ? 2b + c = í1 f

Theorie C Stelsels bij lijnen en parabolen

3

Is gegeven dat het punt (í3, 5) op de parabool y = ax2 + c ligt, dan volgt hieruit a  (í3)2 + c = 5, dus 9a + c = 5. Is bovendien gegeven dat het punt (2, 10) op de parabool ligt, dan krijg je ook nog a  22 + c = 10, ofwel 4a + c = 10.

2

Zo ontstaat het stelsel 9a + c = 5 4a + c = 10 f

Voorbeeld De parabool y = ax2 + bx gaat door de punten (1, 5) en (2, 14). Stel de formule op van de parabool. Uitwerking (1, 5) invullen geeft a  12 + b  1 = 5, dus a + b = 5. (2, 14) invullen geeft a  22 + b  2 = 14, dus 4a + 2b = 14. 1 a+b=5 a+b=5 geeft 4a + 2b = 14 12 2a + b = 7 í ía = í2 a = 2 f2+b=5 a+b=5 b=3 f

f

Dus y = 2x2 + 3x. 36 De parabool y = ax2 + c gaat door de punten (1, 8) en (2, 17).

Stel de formule op van de parabool. 37 De lijnen k: y = ax + b en l: y = íbx + 9a snijden elkaar in het

punt (3, 9). Bereken a en b. 38 De parabool y = x2 + px + q snijdt de lijn y = 2px í q in het punt

(2, í1). a Bereken p en q. b Bereken de coördinaten van het andere snijpunt van de parabool en de lijn. © Noordhoff Uitgevers bv

Vergelijkingen en herleidingen 113

A 39 De parabool y = ax2 + bx + c gaat door de punten (í2, í10),

(0, 4) en (3, 5). Stel de formule op van de parabool. D 40 Gegeven zijn de functie f (x) = ax2 + bx + c, de lijn k: y = x + 4

en de lijn l: y = í2x + 19. De lijn k raakt de gra¿ek van f in het punt (2, 6) en de lijn l raakt de gra¿ek van f in het punt (8, 3). Bereken a, b en c. f

O 41 Kun je het stelsel 3

x2 + y2 = 5 oplossen met behulp van x+y=3

elimineren door optellen en aftrekken?

Theorie D Elimineren door substitutie Om het stelsel van opgave 41 op te lossen maken we gebruik van elimineren door substitutie. Uit x + y = 3 volgt y = 3 í x. Substitutie van y = 3 í x in x2 + y2 = 5 geeft x2 + (3 í x)2 = 5 en deze vergelijking is op te lossen.

Voorbeeld f

Los het stelsel

y = x2 í 4 algebraïsch op. x + 2y = 2

Uitwerking Substitutie van y = x2 í 4 in x + 2y = 2 geeft x + 2(x2 í 4) = 2 x + 2x2 í 8 = 2 2x2 + x í 10 = 0 D = 12 í 4  2  í10 = 81 í1 í 9 í1 + 9 = í212  x = =2 x= 4 4 x = í212 invullen in y = x2 í 4 geeft y = (í212 )2 í 4 = 214 . x = 2 invullen in y = x2 í 4 geeft y = 22 í 4 = 0. Dus (x, y) = (í212 , 214 )  (x, y) = (2, 0). 42 Los algebraïsch op.

y = x2 í 3 x í y = í3

c

f

(x í 3)2 + y 2 = 8 2x + y = 4

c

x2 + y2 = 25 3x + y = 5

f

b

f

y = x2 í 18 xíy=2

f

f

a

(x + 2)2 + (y í 3)2 = 10 x + 4y = 9

A 43 Los algebraïsch op.

f

a

x2 + 4y2 = 100 3x + 2y = 10

114 Hoofdstuk 3

b

© Noordhoff Uitgevers bv

Terugblik Een stelsel oplossen met elimineren door optellen of aftrekken

3x í 5y = 18 van twee lineaire vergelijkingen met twee variabelen x í 3y = 14 kun je oplossen met elimineren door optellen of aftrekken. Vermenigvuldig de onderste vergelijking met 3 en trek daarna de vergelijkingen van elkaar af. Dan wordt x geëlimineerd. f

Het stelsel

3

3x í 5y = 18 1 3x í 5y = 18 geeft x í 3y = 14 3 3x í 9y = 42 í 4y = í24 y = í6 y = í6 invullen in x í 3y = 14 geeft x í 3 Â í6 = 14, dus x = í4. De oplossing is (x, y) = (í4, í6). f

f

2

Een stelsel oplossen met elimineren door substitutie

xy = 8 is niet op te lossen met elimineren door optellen x+y=6 of aftrekken. Bij dit stelsel ga je elimineren door substitutie. Uit x + y = 6 volgt y = 6 í x. Substitutie van y = 6 í x in xy = 8 geeft x(6 í x) = 8 6x í x2 = 8 x2 í 6x + 8 = 0 (x í 2)(x í 4) = 0 x=2x=4 x = 2 geeft y = 6 í 2 = 4 en x = 4 geeft y = 6 í 4 = 2. Dus (x, y) = (2, 4)  (x, y) = (4, 2). Merk op dat de oplossing van dit stelsel bestaat uit twee getallenparen. f

Het stelsel

Stelsels bij lijnen en parabolen

Bij het berekenen van de waarden van a en b waarvoor de lijn y = ax + b de parabool y = ax2 + 2bx í 3 snijdt in het punt (4, 5) krijg je met een stelsel te maken. (4, 5) invullen in y = ax + b geeft 4a + b = 5. (4, 5) invullen in y = ax2 + 2bx í 3 geeft a  42 + 8b í 3 = 5, dus 16a + 8b = 8, ofwel 2a + b = 1. 4a + b = 5 Zo ontstaat het stelsel dat je oplost met elimineren door aftrekken. 2a + b = 1 4a + b = 5 2a + b = 1 í 2a =4 a=2 f 4+b=1 2a + b = 1 b = í3 Dus de lijn is y = 2x í 3 en de parabool is y = 2x2 í 6x í 3. Nu zijn de coördinaten van het andere snijpunt van de lijn en de parabool te berekenen. Je krijgt het punt (0, í3). f

f

© Noordhoff Uitgevers bv

Vergelijkingen en herleidingen 115

3.3 Regels voor het oplossen van vergelijkingen O 44 Gegeven is de vergelijking 5x(x2 í 4) = 15(x2 í 4).

3

a Werk de haakjes weg en licht toe dat dit geen goede aanpak is om de vergelijking algebraïsch op te lossen. b Klaas deelt links en rechts door x2 í 4 en lost de vergelijking 5x = 15 op. Geef commentaar. c Gebruik de regel AB = AC geeft A = 0  B = C om de gegeven vergelijking op te lossen.

Theorie A Vergelijkingen van de vorm AB = 0, A2 = B2 en AB = AC Bij het oplossen van de vergelijking (x2 í 1)(2x2 í 1) = 0 gebruik je de regel A  B = 0 geeft A = 0 – B = 0 Dus (x2 í 1)(2x2 í 1) = 0 geeft x2 í 1 = 0  2x2 í 1 = 0 x2 = 1  x2 = 12 x = 1  x = í1  x = 12  x = í

冑

x = 1  x = í1  x =

1 2

冑

1 2

冑2  x = í 12 冑2

Uit x2 = 25 volgt x = 5  x = í5. De vergelijking x2 = 25 heeft de vorm A2 = B2. Bij het oplossen van een vergelijking van de vorm A2 = B2 gebruik je de regel A2 = B2 geeft A = B – A = íB Met deze regel los je de vergelijking (2x2 í 1)2 = x2 als volgt op. (2x2 í 1)2 = x2 2x2 í 1 = x – 2x2 í 1 = íx 2x2 í x í 1 = 0 – 2x2 + x í 1 = 0 D=1+8=9 D=1+8=9 1í3 1+3 í1 í 3 í1 + 3 1 x= = í2 – x = =1–x= = í1 – x = = 4 4 4 4

116 Hoofdstuk 3

A2 = B2 A2 í B2 = 0 (A í B)(A + B) = 0 A í B = 0 A + B = 0 A = B A = íB

1 2

© Noordhoff Uitgevers bv

Bij het oplossen van de vergelijking x2(2x2 í 1) = 4(2x2 í 1) mag je niet beginnen met beide leden te delen door 2x2 í 1, immers 2x2 í 1 zou gelijk aan nul kunnen zijn. Je hebt te maken met een vergelijking van de vorm AB = AC en bij het oplossen gebruik je de regel A  B = A  C geeft A = 0 – B = C

AB = AC AB í AC = 0 A(B í C ) = 0 A = 0 B í C = 0 A = 0 B = C

Het oplossen van de vergelijking x2(2x2 í 1) = 4(2x2 í 1) gaat dus als volgt. x2(2x2 í 1) = 4(2x2 í 1) 2x2 í 1 = 0  x2 = 4 2x2 = 1  x = 2  x = í2 x2 = 12  x = 2  x = í2

2

x = 12 冑2  x = í 12 冑2  x = 2  x = í2 Kies je C = 1 in de regel AB = AC geeft A = 0  B = C dan krijg je de volgende regel. A  B = A geeft A = 0 – B = 1

AB = A AB í A = 0 A(B í 1) = 0 A = 0 B í 1 = 0 A = 0 B = 1

Bij het oplossen van de vergelijking x2(x í 1) = x2 krijg je x2(x í 1) = x2 x2 = 0  x í 1 = 1 x=0x=2 Ga bij het oplossen van vergelijkingen eerst na of je een van de volgende regels kunt gebruiken. A  B = 0 geeft A = 0 – B = 0 A2 = B2 geeft A = B – A = íB A  B = A  C geeft A = 0 – B = C A  B = A geeft A = 0 – B = 1

© Noordhoff Uitgevers bv

3

Vergelijkingen en herleidingen 117

Voorbeeld Los algebraïsch op (5x2 í 3)2 = 4x2.

3

Uitwerking (5x2 í 3)2 = 4x2 (5x2 í 3)2 = (2x)2 5x2 í 3 = 2x  5x2 í 3 = í2x 5x2 í 2x í 3 = 0  5x2 + 2x í 3 = 0 D = 4 + 60 = 64 D = 4 + 60 = 64 x=

A2 = B2 geeft A = B  A = íB

2í8 2+8 í2 í 8 í2 + 8 3 = í 35  x = =1x= = í1  x = =5 10 10 10 10

45 Los exact op.

a (4x í 1)2 = (3x í 2)2 b (3x2 í 5)2 = 4x2 c (x2 í 4x)(x2 í 8) = 0

d x3(x í 3) = 8(x í 3) e 2x(x2 í 4) = 6(x í 2) f x(x í 2)(x2 í 3) = 0

A 46 Gegeven is de functie f (x) = (3x + 4)(x í 2)3.

a Schets de gra¿ek van f en geef het bereik van f. b Bereken algebraïsch de coördinaten van de snijpunten van de gra¿ek van f met de x-as. c De lijn k: y = 3x + 4 snijdt de gra¿ek van f in de punten A en B. Bereken algebraïsch de coördinaten van A en B. d Bereken algebraïsch de coördinaten van de snijpunten van de gra¿ek van f met de parabool y = (3x + 4)(x í 2). x x+4 = hoort de verhoudingstabel x 2

x x+4 2 x 2 a Licht toe dat uit deze verhoudingstabel volgt x í 2x í 8 = 0. b Bereken x.

O 47 Bij de vergelijking

Theorie B Gebroken vergelijkingen x+2 6 g. = is een gebroken vergelijking x+1 x+3 Je kunt deze vergelijking algebraïsch oplossen door middel van kruiselings vermenigvuldigen. Bij het oplossen van gebroken vergelijkingen kunnen oplossingen worden ingevoerd. Controleer daarom of de gevonden waarden van x voldoen. Het is daarvoor voldoende om na te gaan of er voor de gevonden waarden van x geen noemer nul wordt.

De vergelijking

118 Hoofdstuk 3

x+2= 6 x+1 x+3 kruiselings vermenigvuldigen geeft (x + 2)(x + 3) = 6(x + 1) x2 + 5x + 6 = 6x + 6 x2 í x = 0 x(x í 1) = 0 x=0x=1 vold. vold.

© Noordhoff Uitgevers bv

x+3 = 0 is een gebroken vergelijking. x+1 Omdat een breuk nul is als de teller nul is, krijg je x + 3 = 0, dus de oplossing van deze vergelijking is x = í3. Ook de vergelijking

2x í 4 x + 3 = zijn de noemers gelijk. x+1 x+1 Daarom krijg je een oplossing als ook de tellers aan elkaar gelijk zijn. Dus je krijgt 2x í 4 = x + 3 en dit geeft x = 7. Bij de vergelijking

x+3 x+3 = zijn de tellers gelijk. Als 2x í 4 x + 1 0 0 deze tellers gelijk zijn aan 0 staat er = en dit 2x í 4 x + 1 levert een oplossing. Dus een oplossing is x = í3. Maar ook als de noemers gelijk zijn heb je een oplossing. Dit geeft 2x í 4 = x + 1, dus x = 5. Bij de vergelijking

0 =0 1 1 kan niet 0 0 kan niet 0 0 10 = 0 Een breuk is nul als de teller nul is en de noemer niet.

2

∧

betekent en.

Regels voor het algebraïsch oplossen van gebroken vergelijkingen lijkingen

A B A B A B A B A B

= 0 geeft A = 0 • B  0 = C geeft A = BC • B  0 C geeft AD = BC • B  0 • D  0 D C = geeft A = C • B  0 B A = geeft (A = 0 – B = C ) • B  0 • C  0 C =

Voorbeeld Bereken exact de oplossingen. 6x2 í 12 =0 a 2 x í 12 Uitwerking 6x2 í 12 a 2 =0 x í 12 6x2 í 12 = 0 6x2 = 12 x2 = 2 x = 冑2  x = í冑2 voldoet voldoet

© Noordhoff Uitgevers bv

b

b

3

x2 í 1 x2 í 1 = x2 + 4 2x + 4 x2 í 1 x2 í 1 = x2 + 4 2x + 4 x2 í 1 = 0 – x2 + 4 = 2x + 4 x2 = 1 – x2 í 2x = 0 x = 1 – x = í1 – x(x í 2) = 0 x = 1 – x = í1 – x = 0 – x = 2 vold. vold. vold. vold.

Vergelijkingen en herleidingen 119

48 Los algebraïsch op.

a

xí3 = 112 x+1

c

3x + 4 x + 18 = x xí1

b

xí1 +1=3 x

d

x+2 2x í 5 = 4íx 3x í 4

49 Bereken exact de oplossingen.

a

5x2 í 15 =0 x2 + 5

c

x2 í 4 x2 í 4 = 2x + 5 x + 4

b

x2 í 3 x í 1 = x2 + 1 x2 + 1

d

x2 + 1 x + 3 = x+1 x+1

3

A 50 Bereken exact de oplossingen.

a

3x2 í 10 =2 x2 + 1

c

3x2 í 10 = (x2 + 1)2

b

x3 í 8 x3 í 8 = x2 + 2 x + 8

d

6x2 í 12 = 113 (x2 í 1)2

2 25

O 51 a Gegeven is de vergelijking 冑2x í 5 = 3.

Licht toe dat hieruit volgt 2x í 5 = 9 en los deze vergelijking op. b Gegeven is de vergelijking 冑2x í 5 = í3. Licht toe dat deze vergelijking geen oplossing heeft.

Theorie C Wortelvergelijkingen De vergelijking 冑2x í 3 = 5 is een voorbeeld van een wortelvergelijking. Bij het algebraïsch oplossen van de vergelijking 冑2x í 3 = 5 ga je als volgt te werk. • Kwadrateer het linker- en rechterlid. 冑2x í 3 = 5 • Los de verkregen vergelijking op. 2x í 3 = 25 2x = 28 x = 14 Bij de vergelijking x + 冑x = 12 breng je vóór het kwadrateren eerst x van het linkerlid naar het rechterlid. Je krijgt 冑x = 12 í x. Je hebt 冑x geïsoleerd. Kwadrateren geeft x = (12 í x)2 x = 144 í 24x + x2 x2 í 25x + 144 = 0 (x í 9)(x í 16) = 0 x = 9 – x = 16

120 Hoofdstuk 3

© Noordhoff Uitgevers bv

De getallen 9 en 16 zijn echter niet beide oplossing van de oorspronkelijke vergelijking x + 冑x = 12. Invullen van x = 9 in de vergelijking x + 冑x = 12 geeft 9 + 冑9 = 12 en dit klopt. Invullen van x = 16 in de vergelijking x + 冑x = 12 geeft 16 + 冑16 = 12 en dit klopt niet. Daarom is x = 9 de enige oplossing die voldoet. Door het kwadrateren is een oplossing ingevoerd. Het algebraïsch oplossen van wortelvergelijkingen gaat in drie stappen: isoleren, kwadrateren, controleren. Werkschema: het algebraïsch oplossen van wortelvergelijkingen 1 Isoleer de wortelvorm, dus zet de wortelvorm apart. 2 Kwadrateer het linker- en rechterlid en los de verkregen vergelijking op. 3 Controleer of de oplossingen van de gekwadrateerde vergelijking voldoen aan de oorspronkelijke vergelijking.

2

Voorbeeld Los algebraïsch op. a 3x = 冑8x + 1

b 2x í 冑x = 10

Uitwerking a 3x = 冑8x + 1 kwadrateren geeft 9x2 = 8x + 1 9x2 í 8x í 1 = 0 D = (í8)2 í 4  9  í1 = 100 8 í 10 8 + 10 = í 19  x = =1 x= 18 18 x = í 19 geeft í 13 = 19 voldoet niet

冑

x = 1 geeft 3 = 冑9 voldoet

b 2x í 冑x = 10 isoleren 2x í 10 = 冑x kwadrateren geeft (2x í 10)2 = x 4x2 í 40x + 100 = x 4x2 í 41x + 100 = 0 D = (í41)2 í 4  4  100 = 81 41 í 9 41 + 9 x= =4  x= = 614 8 8 x = 4 geeft 2  4 í 冑4 = 10 voldoet niet

冑

x = 614 geeft 2 Â 614 í 614 = 10 voldoet

52 Los algebraïsch op.

a x = 冑5x + 14

c 5冑x = x

b 3x = 冑8x + 20

d 3x = 冑18x + 72

53 Los algebraïsch op.

a 4 í 3冑x = 2

c 2x í 5冑x = 3

b 5冑x í 2x = 0

d 5 í 2冑x = 3

© Noordhoff Uitgevers bv

3

Vergelijkingen en herleidingen 121

A 54 Los algebraïsch op.

a 2x + 冑x = 10

c 2x + 冑x = 6

冑x + 12 = x

d 10 í x冑x = 2

b

O 55 Gegeven is de vergelijking ( x冑x ) + x冑x í 6 = 0. 2

3

Stel x冑x = u. a Welke vergelijking krijg je? Los deze vergelijking op. b Eén van de oplossingen van de vergelijking van vraag a geeft geen oplossing voor x. Licht dit toe.

Theorie D Substitutie bij wortelvergelijkingen De oplossing u = í3 in opgave 55 geeft x冑x = í3 en hierbij hoort geen waarde van x. De oplossing u = 2 geeft x冑x = 2. 3 4. Kwadrateren geeft x3 = 4, dus x = 冑 Omdat de vergelijking x冑x = 2 is gekwadrateerd, moet je 3 4 voldoet aan x冑x = 2. controleren of x = 冑 3 4 op de GR benadert en dat x = 冑 34 Hieronder zie je hoe je 冑 voldoet. Hogeremachtswortels op de GR 3 4? Hoe benader je 冑 TI Gebruik optie 5 van het MATH-MATH-menu.

Casio 3 .. Gebruik de toets 冑

[3][MATH][5][4][ENTER]

[3][SHIFT][^][4][EXE]

Op de TI kun je een derdemachtswortel ook benaderen met optie 4 van het MATH-MATH menu.

122 Hoofdstuk 3

© Noordhoff Uitgevers bv

Voorbeeld Bereken exact de oplossing van x5 í x2 ? 冑x = 2. Uitwerking x5 í x2 ? 冑x = 2 x5 í x2 ? 冑x í 2 = 0 Stel x2 ? 冑x = u. u2 í u í 2 = 0 (u + 1)(u í 2) = 0 u = í1  u = 2

3

x2 ? 冑x = í1  x2 ? 冑x = 2

2

冑x = í1 heeft geen oplossing x2 ? 冑x = 2 kwadrateren geeft x5 = 4 54 x=冑 2 5 5 5 x = 冑4 geeft (冑4) ? 冑冑4 = 2 voldoet x2 ?

R 56 Zie het voorbeeld.

5 4 in te De gevonden waarde van x is gecontroleerd door x = 冑 2 vullen in de vergelijking x ? 冑x = 2 en niet in de oorspronkelijke vergelijking x5 í x2 ? 冑x = 2. Waarom is dit toegestaan?

57 Bereken exact de oplossingen.

a x3 í 9x冑x + 8 = 0

c 8x3 + 8 = 65x冑x

b x3 + 27 = 28x冑x

d x5 í 33x2 ? 冑x + 32 = 0

A 58 Bereken exact de oplossingen.

a x3 + 30 = 11x冑x

c x5 + 10 = 7x2 ? 冑x

b x3 + 125 = 126x冑x

d 32x5 + 32 = 1025x2 ? 冑x

R 59 Gegeven is de vergelijking x í冑x = 12.

Deze vergelijking is algebraïsch op te lossen met • isoleren, kwadrateren, controleren • de substitutie 冑x = u. Welke manier heeft je voorkeur?

© Noordhoff Uitgevers bv

Vergelijkingen en herleidingen 123

Terugblik Vergelijkingen van de vorm AB = 0, A2 = B 2 en AB = AC

regel AB = 0 geeft A = 0  B = 0 A2

3

=

voorbeeld

eerste stap

(x2 í 2x)(x2 í 12) = 0 x2 í 2x = 0  x2 í 12 = 0

B2 geeft

A = B  A = íB (x2 í 2x)2 = (x2 í 12)2 x2 í 2x = x2 í 12  x2 í 2x = íx2 + 12 AB = AC geeft A = 0  B = C x2(x2 í 2x) = x2 í 2x x2 í 2x = 0  x2 = 1 Gebroken vergelijkingen

regel A = 0 geeft A = 0 œ B  0 B

voorbeeld

eerste stap

voorwaarde

x2

í 2x =0 2 x í4

x2

x2  4

A = C geeft A = BC œ B  0 B

x2 í 2x =2 x2 í 4

x2 í 2x = 2x2 í 8

x2  4

A C = geeft B D

x 2x = xí2 xí4

2x(x í 4) = x(x í 2)

x2œx4

AD = BC œ B  0 œ D  0 A A = geeft B C

x2 í 4 x2 í 4 x2 í 4 = 0  2x = x + 1 x  0 œ x  í1 = 2x x+1

(A = 0  B = C) œ B  0 œ C  0 A C = geeft A = C œ B  0 B B

2x x + 1 2x = x + 1 = x2 í 4 x2 í 4

í 2x = 0

x2  4

Wortelvergelijkingen

De drie stappen voor het algebraïsch oplossen van wortelvergelijkingen zijn isoleren, kwadrateren en controleren. De vergelijking x = 冑2x + 3 los je als volgt op. x = 冑2x + 3 kwadrateren geeft x2 = 2x + 3 x2 í 2x í 3 = 0 (x + 1)(x í 3) = 0 x = í1  x = 3 x = í1 geeft í1 = 冑1 voldoet niet en x = 3 geeft 3 = 冑9 voldoet. Dus de oplossing is x = 3. Wortelvergelijkingen zoals 8x 3 + 1 = 9x冑x

8x3 + 1 = 9x冑x Stel x冑x = u. Je krijgt 8u2 + 1 = 9u en dit geeft u = 18  u = 1. x冑x = 18 geeft x = 14 voldoet en x冑x = 1 geeft x = 1 voldoet. Dus de oplossingen zijn x = 14 en x = 1.

124 Hoofdstuk 3

© Noordhoff Uitgevers bv

3.4 Herleidingen O 60 Werk de haakjes weg.

a (3x í 2)2

b (4x + 3)(4x í 3)

c (x + 2)3

Theorie A Herleiden en merkwaardige producten Bij het herleiden van (5x + 2)2 gebruik je het merkwaardige product (A + B)2 = A2 + 2AB + B2. Dus (5x + 2)2 = 25x2 + 20x + 4. Door het merkwaardige product (A + B)(A í B) = A2 í B2 x4 í 1 te gebruiken, is 2 te herleiden. x +1 Je krijgt

(A + B)2 = A2 + 2AB + B2 (A í B)2 = A2 í 2AB + B2 (A + B)(A í B) = A2 í B2 In A2 + 2AB + B2 heet 2AB het dubbele product van A en B.

x4 í 1 (x2 + 1)(x2 í 1) = = x2 í 1. x2 + 1 x2 + 1

x4 í 1 moet gelden x2 í 1  0, ofwel x2  1, dus x  1 œ x  í1. x2 í 1 x4 í 1 (x2 + 1)(x2 í 1) Je krijgt 2 = = x2 + 1 mits x  1 œ x  í1. x í1 x2 í 1 Bij het herleiden van breuken moet je dus nagaan of er voorwaarden gelden.

Bij

Voorbeeld a Werk bij (x2 í 2)3 de haakjes weg. b Herleid

x5 í 9x . x2 í 3

Uitwerking a (x2 í 2)3 = (x2 í 2)(x2 í 2)2 = (x2 í 2)(x4 í 4x2 + 4) = x6 í 4x4 + 4x2 í 2x4 + 8x2 í 8 = x6 í 6x4 + 12x2 í 8 b

x5 í 9x x(x4 í 9) x(x2 + 3)(x2 í 3) = 2 = = x(x2 + 3) mits x  冑3 œ x  í冑3 x2 í 3 x í3 x2 í 3

61 Werk de haakjes weg.

a (2x í 1)3

b (2x2 + 1)3

62 Herleid.

a

2x5 í 32x x2 í 4

© Noordhoff Uitgevers bv

b

x4 + 4x2 + 4 x4 í 4

c ((x2 í 1)(x2 + 1))2

c

x4 í 9x2 x2 í 3x

Vergelijkingen en herleidingen 125

3

2

D 63 De lijn k snijdt de parabool y = x2 in de punten P en Q met

xP = p, xQ = q en p < q. Stel de formule op van k. O 64 a Herleid 2x í

1 x x + tot één breuk. tot één breuk en herleid x x+1 x+2

b Licht toe dat (x + 1) ? c Licht toe dat 3

x+2 x2 + 3x + 2 te herleiden is tot . x+3 x+3

x te herleiden is tot 12 x2. Voor welke waarde 2 ¢ < x

van x is deze herleiding niet juist?

Theorie B Breuken herleiden Bij het herleiden van breuken gebruik je de volgende regels. Optellen A A + BC +C= B B A C AD + BC + = B D BD

Vermenigvuldigen

A?

B AB = C C

Delen A C AC B = A ? B = B mits C  0 C A B = A C BC

A C AC ? = B D BD

Voorbeeld Herleid. a y=xí

2x í 1 xí1

b y=

20 2 ¢4 í < xí1 xí1

c y=

4x x+1 ¢ < xí1

Uitwerking 2x í 1 x(x í 1) 2x í 1 x2 í x í 2x + 1 x2 í 3x + 1 = í = = a y=xí xí1 xí1 xí1 xí1 xí1 b y= = c y=

80(x í 1) 20 2 80 40 40 ¢4 í x3

b

Bereken exact de oplossingen. a 0 x2 í 4 0 = 21

b 0 4x3 í 5 0 = 19

2 2 3x

+ 1 > 13 x4 í 4

3.2 Stelsels vergelijkingen 6

Los algebraïsch op. a 4x + 5y = 27 í2x + 3y = 25

b

f

f

2x + 3y = 7 5x í 2y = 8

7

Bereken algebraïsch de coördinaten van het snijpunt van de lijnen k: 2x í 5y = 1 en l: 6x + 15y = 39.

8

De parabool y = ax2 + bx gaat door de punten (2, 18) en (í4, 0). Stel de formule op van de parabool.

9

Los algebraïsch op. = 10 a 2x + 3y y = x2 í 4x + 6

b

f

f

3

Bereken exact de oplossingen. a 3x3 + 5 = 86 b 5x4 í 6 = 9 c 2x3 + 19 = 5

x2 + (y í 4)2 = 13 3x í y = 7

3.3 Regels voor het oplossen van vergelijkingen 10 Los exact op.

a (x2 í 6)(x2 í 2x) = 0 b (2x2 í 1)2 = (6x + 1)2

134 Hoofdstuk 3

c x(x2 í 1) = 4(x2 í 1) d (x3 í 9x)(x2 í 3) + 9x = x3

© Noordhoff Uitgevers bv

11 Bereken exact de oplossingen.

a

x2 í 5x + 6 =0 2x + 4

c

2x í 1 4x + 1 = x+1 5x í 1

b

x2 í 4 x2 í 4 = 2x + 1 x í 4

d

2x2 í 4 = 134 x+5

12 Bereken exact de oplossingen.

冑3x + 5 + 1 = 5 b 3x = 5冑x + 4

c x = 冑x + 6

a

d 2x + 3冑x = 2

13 Bereken exact de oplossingen.

a x3 í 189 = 20x冑x

3

b x5 + 12 = 8x2 ? 冑x 2

3.4 Herleidingen 14 a Werk bij (2x +

b Herleid

x4 x2

15 Herleid.

a y = 2x í 16 Herleid.

3)3

de haakjes weg.

í 16 . í4

xí1 xí2

b y=

x xí1 x+1

2 í3 x+1 b y= x 4í x+1

2x + a y=

3 x < ¢2 í x xí1

17 Deel uit.

a N=

4x2 í 50 2x

18 a Gegeven is de formule V =

Druk P uit in V.

b B= 3P í 2 . 2P í 3

b Gegeven is de formule R = 40 í Maak a vrij.

6p2 í 3p + 4 3p

8 . aí1

3 4 + = 6. p q Schrijf p als functie van q.

c Gegeven is de formule

© Noordhoff Uitgevers bv

Vergelijkingen en herleidingen 135

Bij geocaching wordt ergens een cache (een kleine waterdichte doos) verstopt. Via internet wordt de locatie van deze cache bekendgemaakt. Met behulp van een GPS-ontvanger of een mobiele telefoon kan men hiernaar op zoek gaan. Is eenmaal de cache gevonden dan kan men een logboek invullen en de aanwezige ‘schat’ inruilen voor iets anders voor de volgende vinder.

136 Hoofdstuk #

Wat leer je? • Rekenen met goniometrische verhoudingen en gelijkvormige driehoeken. • Bewijzen en gebruiken van enkele stellingen over cirkels en raaklijnen aan cirkels. • Berekeningen maken met de sinusregel en de cosinusregel. • Lengten en oppervlakten berekenen. • Vergelijkingen gebruiken bij meetkundige figuren.

© Noordhoff Uitgevers bv

Meetkunde

4

© Noordhoff Uitgevers bv

137

Voorkennis Rekenen met wortels Theorie A Rekenregels voor wortels Voor het vermenigvuldigen en delen van wortels gelden de regels

冑A ? 冑B = 冑AB mits A • 0 œ B • 0 冑A A = mits A • 0 • B > 0 冑B Å B 4

Dus 冑2 ? 冑5 = 冑10 en

冑22 = 冑11. 冑2

4 is te herleiden tot een vorm zonder wortelteken in de noemer. 冑5 Dit gaat door teller en noemer met 冑5 te vermenigvuldigen. 4 4 冑5 4冑5 4 = ? = = 冑5 冑5 冑5 冑5 5 5

Voorbeeld Herleid. a 3冑2 ? 5冑3

b

5 2冑3

c

Uitwerking a 3冑2 ? 5冑3 = 15冑6

冑12

1 2

d

( 13 冑6 ) 2

3 Â 5 = 15 en 冑2 ? 冑3 = 冑6

冑3 5冑3 5 = = 6 冑3 2冑3 Â 冑3 = 2 Â 3 = 6 2冑3 2冑3 冑3 6 25 冑25 5 冑2 5冑2 c 冑1212 = = = ? = = 212 冑2 冑2 冑2 冑2 Å2 2 d ( 13 冑6 ) 2 = ( 13 ) 2 ? (冑6 ) 2 = 19 ? 6 = 23 b

5

=

1 Herleid.

5

a 2冑3 ? 3冑5 b

5冑10 冑5

?

c 3a冑2 ? a冑7

e 12 a冑2 ? 12 a冑3

d

2冑14 3冑7

f

6 5冑2

c

冑4

e

( 12 a冑2 ) 2

d

( 12 冑5 ) 2

f

( 23 a冑3 ) 2

2 Herleid.

a b

1 冑3

冑

1 2

138 Hoofdstuk 4

1 2

© Noordhoff Uitgevers bv

Theorie B Factor voor het wortelteken brengen Let erop dat 冑2 + 冑5 niet te herleiden is. Omdat 冑8 = 冑4 ? 2 = 冑4 ? 冑2 = 2冑2 is 冑2 + 冑8 wel te herleiden. Je krijgt 冑2 + 冑8 = 冑2 + 2冑2 = 3冑2. Bij de herleiding van 冑8 tot 2冑2 is een factor voor het wortelteken gebracht. Dit lukt omdat 8 het product is van een kwadraat en een geheel getal. Bij 冑12 krijg je 冑12 = 冑4 ? 3 = 冑4 ? 冑3 = 2冑3.

C

2 2

B

1 1

A

1

1

AB2 = 12 + 12, dus AB = 2 AC = 2 Â AB = 2 2 AC 2 = 22 + 22 = 8, dus AC = 8 Dus 8 = 2 2.

Door factoren voor het wortelteken te brengen en door wortels uit de noemer van een breuk weg te werken, kun je soms termen die ogenschijnlijk niet gelijksoortig zijn toch samennemen.

} 4

Voorbeeld Herleid. a 冑8 + 冑32

b

冑45 í

1 冑5

c a冑6 ? 2a冑2

d

冑20a í 冑59 a

Uitwerking

冑8 + 冑32 = 冑4 ? 2 + 冑16 ? 2 = 2冑2 + 4冑2 = 6冑2 冑5 1 1 冑5 = 3冑5 í 15 冑5 = 245 冑5 b 冑45 í = 冑9 ? 5 í ? = 3冑5 í 冑5 冑5 冑5 5 c a冑6 ? 2a冑2 = 2a2冑12 = 2a2 ? 冑4 ? 3 = 2a2 ? 2冑3 = 4a2冑3 d 冑20a í 冑59 a = 冑4 ? 5a í 冑19 ? 5a = 2冑5a í 13 冑5a = 123 冑5a a

3 Herleid.

9

a

冑24 + 冑6

c

冑18a í 冑8a

b

冑80 í

10 冑5

d

冑12a + 冑34 a

c

冑2a + 冑12 a

e

( 14 a冑2 ) 2 + ( 34 a冑2 ) 2

d

( 23 a冑3 ) 2 + a2冑719

f

5a 3a í 3冑2 2冑2

4 Herleid.

a

冑12 + 冑24 1 2

b a冑8 í a冑2

© Noordhoff Uitgevers bv

1 2

í 冑2 4冑2 f 13 冑48 í 冑13 e

Meetkunde 139

Theorie C Wortels en merkwaardige producten Bij het herleiden van ( 冑10 + 冑3 ) 2 gebruik je een merkwaardig product. Je krijgt

(冑10 + 冑3 )

2

De merkwaardige producten (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 (A í B)2 = A2 í 2AB + B2 (A + B)(A í B) = A2 í B2

= 10 + 2冑30 + 3 = 13 + 2冑30.

Het dubbele product van 冑10 en 冑3 is 2 ? 冑10 ? 冑3 = 2冑30.

Voorbeeld 4

Herleid. a ( 2冑2 í 冑3 ) 2

b

( 3冑2 + 1 ) ( 3冑2 í 1 )

Uitwerking a ( 2冑2 í 冑3 ) 2 = 8 í 4冑6 + 3 = 11 í 4冑6 b c

( 3冑2 + 1 ) ( 3冑2 í 1 ) = 18 í 1 = 17 ( a í 冑2 ) 2 = a2 í 2a冑2 + 2

5 Herleid.

a b

( 3冑2 í 冑5 ) 2 ( 2冑2 + 3冑3 ) 2

c

( 2冑2 ) 2 = 22 Â 2 = 8 en 2 Â 2冑2 Â 冑3 = 4冑6 ( 3冑2 ) 2 = 32 Â 2 = 18

e

d

( 5冑3 + 2 ) ( 5冑3 í 2 ) ( a í 冑3 ) 2

c

6 Herleid.

( a í 冑2 ) 2

f

( a í a冑2 ) 2 ( 4 í 12 a冑2 ) 2

a

( 2a冑2 í a冑3 ) 2

c

( 2 í 冑2 ) 2

e (3冑2 + 5)(3冑2 í 5)

b

( 12 冑2 + 34 冑3 ) 2

d

( 112 冑2 í 12 冑3 ) 2

f a

1 2冑2

+

3 2 b 冑2

7 Van driehoek ABC is ∠A = 90°, AB = 冑3 í 冑2 en AC = 冑3 + 冑2.

Bereken BC exact.

140 Hoofdstuk 4

© Noordhoff Uitgevers bv

4.1 Goniometrische verhoudingen en gelijkvormigheid 1 In de rechthoekige driehoek ABC in ¿guur 4.1 is O 6

AB = 6 en “BAC = 30° . Op AB ligt het punt D zo, dat “BDC = 40°. We vragen ons af wat de lengte van BD is. BC a Licht toe dat tan(30°) = en bereken BC in 6 drie decimalen nauwkeurig. b Gebruik tan(“BDC ) om BD in twee decimalen nauwkeurig te berekenen.

C

A

30°

40°

B

D

4

6

¿guur 4.1

Theorie A Goniometrische berekeningen Met de goniometrische verhoudingen sinus, cosinus en tangens zijn hoeken en lijnstukken te berekenen. Bij de berekeningen met de GR gebruik je tussenresultaten om verder mee te rekenen. Rond tussenresultaten niet af, maar gebruik Ans en geheugenplaatsen van de GR. [ ŹG R] Neem uit de handleiding GR de module Het gebruik van Ans en lettergeheugens door.

Afspraak Bereken hoeken in één decimaal nauwkeurig.

Bij het berekenen van lijnstukken met behulp van goniometrische verhoudingen gebruiken we de regels b a = geeft b = ac en c b b a = geeft c = . a c AB Dus sin(40°) = geeft AB = 6 Â sin(40°) en 6 5 5 cos(35°) = geeft BC = . BC cos(35°)

© Noordhoff Uitgevers bv

C

A

B

sin(∠A) = BC AC AB cos(∠A) = AC tan(∠A) = BC AB

a = bc ac = b c = ab

Vermenigvuldig beide leden met c. Deel beide leden door a.

Meetkunde 141

Voorbeeld

D

C

Gegeven is de rechthoek ABCD met diagonaal AC = 10 en “BAC = 35°. Punt E ligt op AB zo, dat BE = 5. a Bereken “BEC. b Bereken “ACE.

10

Uitwerking BC a In +ABC is sin(35°) = 10 BC = 10 sin(35°) = 5,73... BC 5,73... = In +BEC is tan(“BEC) = BE 5 “BEC § 48,9°

4

?

35°

A

E

B

5

¿guur 4.2

∠BEC is de hoek die je krijgt door van B via E naar C te gaan.

b “AEC = 180° í “BEC § 180° í 48,9° = 131,1° In +AEC is “ACE = 180° í “EAC í “AEC § 180° í 35° í 131,1° = 13,9°.

2

C

Gegeven is de rechthoekige driehoek ABC in ¿guur 4.3. AC = 10 en het punt D ligt op AB. CD = 5 en “BDC = 70°. a Bereken “BAC. b Bereken “ACD.

10 5

?

70°

A

D

B

¿guur 4.3

3

Gegeven is de rechthoek ABCD in ¿guur 4.4. BC = 4, “BAC = 28° en M is het midden van AB. Bereken “BMC.

C

D

4

A

?

28°

¿guur 4.4

4

Gegeven is de rechthoekige driehoek ABC in ¿guur 4.5. AC = 10, “BAC = 40° en M is het midden van BC. Bereken “BAM.

142 Hoofdstuk 4

C

10

A

B

M

40° ?

¿guur 4.5

M

B © Noordhoff Uitgevers bv

5

Gegeven is de rechthoek ABCD met M het midden van AB, CM = 6 en “BMC = 50°. Bereken “BAC en “ACM.

D

C

6

?

50°

A

B

M

¿guur 4.6

A 6 Gegeven is driehoek ABC met AB = 10 en

C

∠B = 90°. De punten D en E liggen op BC zo, dat E het midden van BC is en D het midden van BE. Verder is ∠BAD = 20°. Zie ¿guur 4.7. Bereken ∠CAE.

4

F

E

D ? 20º

A

B

10

¿guur 4.7

D 7 In ¿guur 4.8 is op een rooster de zeshoek

ABCDEF getekend. a Bereken “F. b De diagonalen AD en BE snijden elkaar in S. Bereken “ASB.

D E C F

A

B

¿guur 4.8

O 8 In ¿guur 4.9 zijn twee gelijkvormige

C

driehoeken te ontdekken. a Welke driehoeken zijn dat? Zet de letters in de juiste volgorde. b Gebruik de gelijkvormigheid om DE te berekenen.

E 5

A © Noordhoff Uitgevers bv

¿guur 4.9

8

D 1 B Meetkunde 143

Theorie B Gelijkvormige driehoeken In ¿guur 4.10 is driehoek ADE gelijkvormig met driehoek ACB. Notatie +ADE ∼ +ACB. Deze gelijkvormigheid volgt uit gelijke hoeken. “A in +ADE is gelijk aan “A in +ABC én “E in +ADE is gelijk aan “B in +ABC.

C

E

A

B

D

¿guur 4.10

Twee driehoeken zijn gelijkvormig als ze twee gelijke hoeken hebben. 4

Let op de volgorde van de letters in +ADE _ +ACB. De overeenkomstige hoeken zijn met pijlen aangegeven. Met de overeenkomstige zijden maak je een verhoudingstabel. AD

AE

DE

AC

AB

CB

Voorbeeld In driehoek ABC met AB = 13 ligt het punt D op AB zo, dat AD = 7. Het punt E ligt op BC zo, dat ∠BED = ∠A. Verder is gegeven dat BE = 7 en DE = 4. Zie ¿guur 4.11. Bereken AC en CE. Uitwerking “BAC = “BED (gegeven) r +ABC ∼ +EBD “ABC = “DBE AB

AC

BC

BE

DE

BD

AC =

geeft

13

AC

BC

7

4

6

C E º

7

4 A

º 7

D

6

B

¿guur 4.11

13 ? 4 13 ? 6 = 737 en BC = = 1117 7 7

CE = BC í BE = 1117 í 7 = 417

144 Hoofdstuk 4

© Noordhoff Uitgevers bv

In ¿guur 4.12 zie je een bijzonder geval van gelijkvormige driehoeken. In deze ¿guur komen evenwijdige lijnstukken voor. Daarom heb je te maken met gelijke F-hoeken. “BAE = “CFE (F-hoeken) f + ABE ∼ +FCE “AEB = “FEC Ook in ¿guur 4.13 heb je met evenwijdige lijnstukken te maken. Daarbij komen gelijke Z-hoeken tevoorschijn.

E

D

F

A

C

B

+ABE ∼ +FCE ¿guur 4.12

“DAF = “FEC (Z-hoeken) +ADF ∼ +ECF “AFD = “EFC (overstaande hoeken f

E

D

In de ¿guur in het voorbeeld heb je te maken met gelijke F-hoeken. Om CQ te berekenen gebruik je dat uit + ABC ∼ +PQC volgt Invullen geeft

5

BC

2

CQ

AB

BC

PQ

CQ

4

F

A

C

B

+ADF ∼ +ECF ¿guur 4.13

Omdat BC en CQ beide onbekend zijn, lijkt het alsof je niet verder kunt. Maar door te bedenken dat BC = BQ + CQ, dus BC = 4 + CQ kun je CQ toch berekenen. Zie het voorbeeld.

Voorbeeld Gegeven is driehoek ABC met AB = 5. Het punt P ligt op AC en het punt Q ligt op BC zo, dat PQ evenwijdig is met AB, BQ = 4 en PQ = 2. Zie ¿guur 4.14. Bereken CQ. Uitwerking “ACB = “PCQ +ABC ∼ +PQC “BAC = “QPC (F-hoeken) f

C

P

Q

2 4

A

5

B

¿guur 4.14

Stel CQ = x, dan is BC = x + 4. AB

BC

PQ

CQ

geeft

5

x+4

2

x

Dus 5x = 2(x + 4) 5x = 2x + 8 3x = 8 x = 223 , dus CQ = 223

© Noordhoff Uitgevers bv

Meetkunde 145

9

In ¿guur 4.15 is AD = 3, BD = 6, AE = 5 en BC = 7. Verder is ∠AED = ∠B. Zie ¿guur 4.15 Bereken DE en CE.

E

C

º 7

5

A

º

D

3

B

6

¿guur 4.15

10 Gegeven is de rechthoek ABCD met AB = 10.

4

E

D

Op de zijde CD ligt het punt E zo, dat ∠AEB = 90°. Verder is gegeven dat AE = 6. Zie ¿guur 4.16. a Welke drie paren gelijkvormige driehoeken kun je in de ¿guur ontdekken? b Bereken BE. c Bereken AD en DE.

C

6

A

B

10

¿guur 4.16

11 Zie de rechthoek ABCD in ¿guur 4.17.

Bereken DS. C

D S

A

¿guur 4.17

12

25

D

C

5 15

S

E 2 B

A

10

B

¿guur 4.18 C

12 In het trapezium ABCD in ¿guur 4.18 staat de

diagonaal BD loodrecht op de zijde BC. Bereken BS. ∠B = 90°. Het punt D ligt op AB zo, dat AD = 8. Het punt E ligt op AC zo, dat ∠ADE = 90°. Het snijpunt van BE en CD is S. Zie ¿guur 4.19. Bereken DS.

15

E

6 Van driehoek ABC is AB = 20, BC = 15 en A 13

S A

D

8

12

B

¿guur 4.19 C

6 Gegeven is de gelijkbenige driehoek ABC met AB = 10 A 14

en AC = BC = 15. De lijn AE staat loodrecht op BC en de lijn DE is evenwijdig met AB. Zie ¿guur 4.20. Bereken DE. D A

E

10

B

¿guur 4.20 146 Hoofdstuk 4

© Noordhoff Uitgevers bv

D 15 In driehoek ABC in ¿guur 4.21 is DE

C

evenwijdig met AC en is S het snijpunt van AE en CD. Verder is AD = 7, BE = 4, CE = 6 en AC = 6. a Onderzoek met een berekening welke van de volgende beweringen waar is. I “ACB < 90° II “ACB = 90° III “ACB > 90° b Welk deel is AS van AE?

6 6

E 4

S A

7

D

B

¿guur 4.21

O 16 6 In ¿guur 4.22 is de cirkel met middelpunt M en middellijn AB

getekend. Het punt C ligt op de cirkel. In deze opgave ga je bewijzen dat “ACB = 90°.

4 C

C 1 A

A M

¿guur 4.22

2

M

B

B

¿guur 4.23

Zie ¿guur 4.23. a Licht toe dat “A + “B + “C12 = 180°. b Licht toe dat “A = “C1 en “B = “C2. c Licht toe hoe uit a en b volgt dat “ACB = “C12 = 90°.

Theorie C Stellingen en definities In opgave 16 heb je de stelling van Thales bewezen. Stelling van Thales Als C op de cirkel met middellijn AB ligt, dan is hoek ACB recht.

C A

M

B

In opgave 17 ga je de omgekeerde stelling van Thales bewijzen. Omgekeerde stelling van Thales Als hoek C in driehoek ABC recht is, dan ligt C op de cirkel met middellijn AB.

© Noordhoff Uitgevers bv

C A

M

B

Meetkunde 147

In opgave 18 bewijs je de stelling van de raaklijn aan een cirkel. Daarom geven we eerst de definitie van een raaklijn aan een cirkel. Definitie van raaklijn aan cirkel Een raaklijn aan een cirkel is een lijn die één punt met de cirkel gemeen heeft.

Informatief Definitie en stelling

4

Een definitie is een afspraak. Zo is hierboven afgesproken wat een raaklijn aan een cirkel is. Een stelling is een eigenschap of bewering die bewezen kan worden. Bij een bewijs mag je uitgaan van wat bekend is, dat wil zeggen dat je definities en eerder bewezen stellingen mag gebruiken. Zo heb je bij het bewijs van de stelling van Thales in opgave 16 gebruikt dat de som van de hoeken van een driehoek 180° is (stelling hoekensom driehoek) en dat in een gelijkbenige driehoek de hoeken tegenover de even lange zijden even groot zijn (stelling gelijkbenige driehoek). Om deze stelling over de gelijkbenige driehoek te bewijzen ga je uit van de volgende definitie: Een gelijkbenige driehoek is een driehoek met (minstens) twee even lange zijden (definitie gelijkbenige driehoek).

Stelling raaklijn aan cirkel Een raaklijn aan een cirkel staat loodrecht op de verbindingslijn van het middelpunt van de cirkel en het raakpunt.

Met behulp van de bovenstaande stelling zijn andere stellingen over raaklijnen aan cirkels te bewijzen. Zie de opgaven 19 en 20. Daarbij gebruik je het begrip afstand van een punt tot een lijn. P

Definitie van afstand punt tot lijn De afstand (kortste verbinding) van een punt tot een lijn is de lengte van het loodlijnstuk neergelaten vanuit dat punt op die lijn.

l

Stelling raaklijn in gemeenschappelijk raakpunt De raaklijn in het gemeenschappelijke raakpunt van twee elkaar rakende cirkels staat loodrecht op de verbindingslijn van de middelpunten.

Stelling afstand punt tot raakpunten Als vanuit een punt twee raaklijnen aan een cirkel getrokken worden, dan zijn de afstanden van dat punt tot de twee raakpunten gelijk.

N M

k

B P

M A

148 Hoofdstuk 4

© Noordhoff Uitgevers bv

17 In deze opgave ga je de omgekeerde stelling van Thales

bewijzen. Zie ¿guur 4.24. Omgekeerde stelling van Thales: Als hoek C in driehoek ABC recht is, dan ligt C op de cirkel met middellijn AB. In ¿guur 4.25 is het midden M van AB getekend. Verder is MN C BC. a Toon aan dat +ABC ∼ +MBN. b Toon aan dat BN = CN. c Toon met behulp van de stelling van Pythagoras aan dat BM = CM. d Maak het bewijs af.

C

A

B

¿guur 4.24 C N

A

B

M

¿guur 4.25

4

Geschiedenis Thales van Milete Thales van Milete (ca 624 – 547 v Chr.) leefde in Milete, een plaats in het huidige Turkije. Men veronderstelt dat Thales de grondlegger is van een logische opbouw in de meetkunde en dat hij, naast de naar hem vernoemde stelling, de volgende stellingen ontdekte. • Een cirkel wordt in twee gelijke delen verdeeld door elke middellijn. • Een gelijkbenige driehoek heeft gelijke basishoeken. • Bij snijdende lijnen zijn overstaande hoeken gelijk. • Twee driehoeken zijn gelijk als ze twee hoeken en een zijde gelijk hebben. Verder is hij waarschijnlijk de eerste die gebruik maakte van gelijkvormige driehoeken. 18 In deze opgave ga je de stelling van een raaklijn aan een

cirkel bewijzen. Zie ¿guur 4.26. Stelling raaklijn aan een cirkel: Een raaklijn aan een cirkel staat loodrecht op de verbindingslijn van het middelpunt van de cirkel en het raakpunt. In ¿guur 4.27 is een punt P op de raaklijn l getekend dat niet samenvalt met A. Uit de de¿nitie van de raaklijn aan de cirkel volgt dat MP > MA. a Licht dit toe. b Hoe volgt nu uit de de¿nitie van de afstand van een punt tot een lijn dat MA C l ?

l

r

M

A

¿guur 4.26

l

M P

r A

¿guur 4.27

© Noordhoff Uitgevers bv

Meetkunde 149

19 In ¿guur 4.28 is het punt A het gemeenschappelijke

raakpunt van de cirkels met middelpunt M en middelpunt N. De gemeenschappelijke raaklijn is l. Bewijs dat MN C l.

N A M

l

¿guur 4.28

20 Vanuit het punt A zijn de raaklijnen k en l aan de cirkel

met middelpunt M getekend. De raakpunten zijn P en Q. Zie ¿guur 4.29. Gebruik de stelling van Pythagoras om te bewijzen dat AP = AQ.

l Q

A

M

P

4

k

¿guur 4.29

21 Op de cirkel met middelpunt M, straal 3 en middellijn

AB liggen de punten C en D zo, dat AC = 3 en AD = 4. Zie ¿guur 4.30. a Bereken BC en BD. b Onderzoek met een berekening of het punt B op de cirkel ligt waarvan CD middellijn is.

C 3 A

M

B

3

4

D

¿guur 4.30

A 22 6 Gegeven is de cirkel c1 met middelpunt M en straal 3 en

de cirkel c2 met middelpunt N en straal 5. De lijn k raakt c1 in A en c2 in B. Het gemeenschappelijke raakpunt van c1 en c2 is P en de gemeenschappelijke raaklijn in P is l. De lijnen k en l snijden elkaar in Q. Zie ¿guur 4.31. Bereken PQ.

c1

c2

M

A

P

N

Q

l

B

k

¿guur 4.31

D 23 Luuk maakt van drie halve boomstammen een bankje

als in ¿guur 4.32. De diameter van de boomstammen aan de onderkant is 2 dm, de diameter van de bovenste stam is 4 dm. Bereken de hoogte van het bankje in mm nauwkeurig. ¿guur 4.32

150 Hoofdstuk 4

© Noordhoff Uitgevers bv

Terugblik Goniometrische berekeningen

Met de goniometrische verhoudingen zijn hoeken en zijden in rechthoekige driehoeken te berekenen. Gebruik je bij goniometrische berekeningen tussenresultaten, rond dan niet tussentijds af, maar gebruik geheugenplaatsen en/of Ans. In de ¿guur onder de post-it is BN = 13 BC. Bij het berekenen van “BAN ga je als volgt te werk. BC , In +ABC is sin(27°) = 8 dus BC = 8 sin(27°) = 3,63...,

C

A

B

sin(∠A) = BC AC AB cos(∠A) = AC tan(∠A) = BC AB

dus BN = 13 ? 3,63... = 1,21... AB , dus 8 AB = 8 cos(27°) = 7,12... BN 1,21... In +ABN is tan(“BAN) = = , AB 7,12... dus “BAN § 9,6°.

4

In +ABC is cos(27°) =

Gelijkvormige driehoeken

C

N 27°

(1) B

A

Twee driehoeken zijn gelijkvormig als ze twee hoeken gelijk hebben. In de ¿guur hiernaast is “BAC = “DAE f +ABC ∼ +AED “ACB = “ADE (gegeven) Uit deze gelijkvormigheid volgt de verhoudingstabel

C E

A AB AC BC AE AD DE Let bij evenwijdige lijnstukken op gelijke F-hoeken of gelijke Z-hoeken. In de ¿guur hiernaast is “QPR = “SPT +PQR ∼ +PST “PRQ = “PTS (F-hoeken) f P

Stellingen en cirkels

(2)

8

B

D R T

S

Je hebt de volgende stellingen bewezen: 1 Als C op de cirkel met middellijn AB ligt, dan is hoek ACB recht (stelling van Thales). 2 Als C in driehoek ABC recht is, dan ligt C op de cirkel met middellijn AB (omgekeerde stelling van Thales). 3 Een raaklijn aan een cirkel staat loodrecht op de verbindingslijn van het middelpunt van de cirkel en het raakpunt. 4 De raaklijn in het gemeenschappelijke raakpunt van twee elkaar rakende cirkels staat loodrecht op de verbindingslijn van de middelpunten. 5 Als vanuit een punt twee raaklijnen aan een cirkel worden getrokken, dan zijn de afstanden van dat punt tot de twee raakpunten gelijk. © Noordhoff Uitgevers bv

Meetkunde 151

Q

4.2 De sinusregel en de cosinusregel 6 Gegeven is +ABC met AB = 12, “A = 48° en “B = 76°. O 24

C

Om AC te berekenen kun je gebruikmaken van de hoogtelijn AD, dat is de lijn door A loodrecht op BC. Bereken AC in twee decimalen nauwkeurig. 48°

A

76° 12

B

¿guur 4.33

Theorie A De sinusregel 4

De berekening van AC in opgave 24 is omslachtig, omdat +ABC niet gelijkbenig of rechthoekig is. De berekening wordt een stuk eenvoudiger door gebruik te maken van de sinusregel. De sinusregel geldt in elke driehoek. In opgave 26 geef je het bewijs in scherphoekige driehoeken. In de sinusregel hieronder is de zijde tegenover hoek A aangegeven met de letter a en hoek A is aangegeven met Į. En b is de zijde tegenover hoek B en c is de zijde tegenover hoek C. In elke driehoek ABC geldt de sinusregel

C

Į alfa ȕ bèta Ȗ gamma

γ

a b c = = . sin(Į) sin(ȕ) sin(Ȗ)

b

A

a β

α c

B

Voorbeeld

C

Gegeven is +ABC met c = 12, Į = 48° en ȕ = 76°. Bereken a in één decimaal nauwkeurig. Uitwerking Ȗ = 180° í 48° í 76° = 56° a 12 = sin(48°) sin(56°) a=

A

48°

76° 12

B

12 ? sin(48°) § 10,8 sin(56°)

25 Van +ABC is Į = 50°, ȕ = 75° en a = 6,8.

a Bereken Ȗ. b Bereken b en c in één decimaal nauwkeurig.

152 Hoofdstuk 4

© Noordhoff Uitgevers bv

C

26 In deze opgave ga je de sinusregel bewijzen voor

scherphoekige driehoeken. Zie ¿guur 4.34. a Toon aan dat CD = bsin(Į) en CD = a sin(ȕ). b a = . b Licht toe dat uit a volgt sin(Į) sin(ȕ) Zie ¿guur 4.35. c Toon aan dat AE = c sin(ȕ) en AE = b sin(Ȗ). d Licht toe dat uit c volgt

b

A

β

α

B

D

¿guur 4.34

C

γ

b c = . sin(ȕ) sin(Ȗ)

e Hoe volgt uit b en d de sinusregel?

a

b

A

E

β

c

B

¿guur 4.35

4

6 In ¿guur 4.36 zie je de situatie op een plek bij de A 27

Grand Canyon. Een landmeter staat aan de kant waar hij heeft opgemeten dat de afstand tussen de markante punten A en B gelijk is aan 420 meter. Aan de overkant van de kloof ligt het markante punt C. Hij wil de afstand van A tot C bepalen. Hij meet “BAC = 88° en “ABC = 81°. Bereken AC in meter nauwkeurig.

¿guur 4.36

6 In ¿guur 4.37 is de stomphoekige driehoek ABC getekend. O 28

a Licht toe dat “DAC = 180° í Į. b Toon aan dat CD = b sin(180° í Į). c Toon aan dat CD = a sin(ȕ). b a = . d Licht toe dat uit b en c volgt sin(180° í Į) sin(ȕ)

C

a

b D

α

β

A

¿guur 4.37

Theorie B De sinusregel in stomphoekige driehoeken In hoofdstuk 7 zal je zien dat sin(180° í Į) = sin(Į). Dus bijvoorbeeld sin(170°) = sin(10°) en sin(95°) = sin(85°).. Zie het GR-scherm hiernaast. b a = . In opgave 28 heb je gezien dat sin(180° í Į) sin(ȕ)

sin(180º í Į) = sin(Į)

Hieruit volgt dat de sinusregel ook geldt in stomphoekige driehoeken.

© Noordhoff Uitgevers bv

Meetkunde 153

B

29 Van +KLM is “K = 20°, “L = 110° en LM = 5,3.

Bereken KL en KM in één decimaal nauwkeurig. 30 Van +ABC is Į = 50°, a = 5 en b = 6.

Er zijn twee driehoeken ABC mogelijk. a Teken de twee mogelijke driehoeken. Gebruik een passer. Noem de driehoek met de scherpe hoek B driehoek 1 en de driehoek met de stompe hoek B driehoek 2. b Bereken voor driehoek 1 de hoeken ȕ en Ȗ en de zijde c in één decimaal nauwkeurig. c Bereken voor driehoek 2 de hoeken ȕ en Ȗ en de zijde c in één decimaal nauwkeurig. 4

31 Van +ABC is “B = 46°, BC = 10 en AC = 8.

a Bereken beide mogelijkheden voor “A. b Bereken beide mogelijkheden voor AB. c Judith wil een driehoek tekenen met ∠B = 46°, BC = 10 en AC = 7. Waarom is dit niet mogelijk? 6 Bij de gegevens Į = 60° en b = 6 hangt het van de waarde van a A 32

af of er • geen driehoek ABC mogelijk is • één driehoek ABC mogelijk is • twee driehoeken ABC mogelijk zijn. Bereken in twee decimalen nauwkeurig de waarden van a waarvoor a er geen driehoek ABC mogelijk is b er precies één driehoek ABC mogelijk is c er twee driehoeken ABC mogelijk zijn. 6 In een gebied zijn de gemarkeerde punten A, B, C en D A 33

aanwezig. Een landmeter wil de afstand AB weten, maar deze afstand is niet op te meten omdat zich tussen A en B een waterpartij bevindt. Daarom meet hij de afstand CD en de hoeken BAC, BAD, ACD en ADB. Zie ¿guur 4.38. Hij vindt CD = 235 m, “BAC = 10,3°, “BAD = 16,1°, “ACD = 71,8° en “ADB = 152,7°. Bereken AB in meter nauwkeurig.

¿guur 4.38 154 Hoofdstuk 4

© Noordhoff Uitgevers bv

D 34 Om de afstand van Amsterdam tot een punt op de maan te

berekenen, gaat men als volgt te werk. Men kiest een plaats die op dezelfde lengtecirkel ligt als Amsterdam. Gekozen is voor Benin City in Nigeria. Als vast punt op de maan kiest men de krater Clavius. In Amsterdam en Benin City meet men op hetzelfde moment de hoek tussen de kijklijn naar de krater en de verticaal. Men kiest hiervoor het moment dat de maan het hoogst boven de horizon staat, want op dat moment liggen het middelpunt M van de aarde, Amsterdam (A), Benin City (B) en de krater Clavius (C) in één vlak. De opgemeten hoeken zijn in ¿guur 4.39 aangegeven met Į en ȕ. Men vindt Į = 37,72° en ȕ = 11,03° . 4

¿guur 4.39

Amsterdam ligt op 52,5° NB, Benin City op 4,5° NB en de straal van de aarde is 6378 km. Door in +ABC de sinusregel te gebruiken, is AC te berekenen. Bereken de afstand van Amsterdam tot de krater Clavius in honderden km nauwkeurig. 6 a Waarom kun je hoek A in ¿guur 4.40a niet met de sinusregel R 35

berekenen? b Waarom kun je QR in ¿guur 4.40b niet met de sinusregel berekenen? R C

5

A

5

4

6 a

B

P

50° 6 b

Q

¿guur 4.40

© Noordhoff Uitgevers bv

Meetkunde 155

6 In ¿guur 4.41 zie je +ABC met de zijden a, b en c en de O 36

C

hoogtelijn CD. Er is AD = x gesteld, dus BD = c í x. a Toon aan dat x2 + h2 = b2. b Toon aan dat a2 = c2 í 2cx + x2 + h2. c Licht toe dat uit a en b volgt a2 = b2 + c2 í 2cx. d Toon aan dat x = b cos(Į). e Licht toe dat uit c en d volgt a2 = b2 + c2 í 2bc cos(Į).

b

α

A

a

h

x

D

c–x

B

¿guur 4.41

Theorie C De cosinusregel In opgave 36 heb je een van de drie versies van de cosinusregel bewezen. Het bewijs van de andere versies gaat net zo. 4 In elke driehoek ABC geldt de cosinusregel

C

a2 = b2 + c2 í 2bc cos(Į) b2 = a2 + c2 í 2ac cos(ȕ) c2 = a2 + b2 í 2ab cos(Ȗ)

γ b

A

a

α

β c

Je kunt met de cosinusregel een hoek van een driehoek berekenen als de drie zijden van de driehoek zijn gegeven. Zie het voorbeeld op de volgende bladzijde. Ook kun je met de cosinusregel van een driehoek een zijde berekenen als de twee andere zijden en de ingesloten hoek zijn gegeven. Zo krijg je in +ABC hiernaast BC2 = 62 + 52 í 2 ? 6 ? 5 ? cos(40°) en dit geeft BC § 3,88. In hoofdstuk 7 zal je zien dat cos(180° í Į) = ícos(Į). Je gebruikt dit in opgave 37 bij het bewijs van de cosinusregel in stomphoekige driehoeken.

B C

5

A

40° 6

B

¿guur 4.42

cos(180º í Į) = ícos(Į)

Uit de regel cos(180° í Į) = ícos(Į) volgt bijvoorbeeld cos(170°) = ícos(10 °) en cos(95°) = ícos(85 °). Zie het GR-scherm hiernaast. Omdat de cosinus van elke scherpe hoek positief is en van elke stompe hoek negatief, hoort bij iedere waarde van de cosinus van een hoek precies één hoek. De GR geeft dus altijd de hoek die je zoekt. Zo krijg je bij cos(Į) = −0,6 dat Į § 126,9º.

156 Hoofdstuk 4

© Noordhoff Uitgevers bv

Voorbeeld Gegeven is +ABC met a = 4, b = 5 en c = 6. Bereken Į. Uitwerking C

b=5

A

a=4

α c=6

B

a2 = b2 + c2 í 2bc cos(Į) 42 = 52 + 62 í 2 ? 5 ? 6 ? cos(B) 16 = 61 í 60 cos(Į) 60 cos(Į) = 45 45 cos(Į) = 60 Į § 41,4° 4 C

37 In ¿guur 4.43 is de stomphoekige driehoek ABC getekend.

a b c d

Toon aan dat x2 + h2 = b2 en a2 = c2 + 2cx + x2 + h2. Toon aan dat uit a volgt dat a2 = b2 + c2 + 2cx. Toon aan dat x = b cos(180° í Į). Licht toe: omdat cos(180° í Į) = ícos(Į), geldt de cosinusregel ook voor stomphoekige driehoeken.

h

D

a

b α x A

β

B

c

¿guur 4.43 C

6 T 38

[ ŹŹ42] Van +ABC is AB = 8 en BC = 7. Het punt D ligt op BC zo, dat BD = 3. Verder is gegeven dat AD = 6. Zie ¿guur 4.44. a Bereken AC in drie decimalen nauwkeurig. b Bereken de oppervlakte van driehoek ABC in twee decimalen nauwkeurig.

4 D 6 A

3 B

8

¿guur 4.44

39 Van +ABC is a = 5, b = 6 en c = 7.

Bereken Į, ȕ en Ȗ. 40 Gegeven is +DEF met DE = 5, EF = 4 en DF = 7.

h

Bereken “D, “E en “F. b

1

opp = íbh 2

41 Van +ABC is Į = 50º, b = 5 en c = 6.

a Bereken a in twee decimalen nauwkeurig. b Bereken ȕ. h

6 Gegeven is +ABC met AB = 10, AC = 7 en BC = 8. A 42

Bereken de oppervlakte van +ABC in één decimaal nauwkeurig.

b

opp = bh

© Noordhoff Uitgevers bv

Meetkunde 157

6 Van parallellogram ABCD is AB = 10. De lengte van diagonaal A 43

AC is 14 en de lengte van diagonaal BD is 9. a Bereken BC in één decimaal nauwkeurig. b Bereken de oppervlakte van ABCD in één decimaal nauwkeurig. D 44 In deze opgave wordt met de koers bedoeld de

4

hoek ten opzichte van het noorden met de wijzers van de klok mee. Harm voert de volgende loopopdrachten uit. 1 Loop vanaf punt A 200 meter met koers 40°. Je komt in punt B. 2 Loop vanaf punt B 300 meter met koers 110°. Je komt in punt C. 3 Loop vanaf punt C 400 meter met koers 230°. Je komt in punt D. Zie ¿guur 4.45. Uit de gegevens volgt dat ∠ABC = 110°. a Licht dit toe.

N

B

N 300 m

N 40º

110º

200 m

C 230º

A

400 m

D

¿guur 4.45

Harm had ook in één keer van A naar C kunnen lopen. b Bereken in meter nauwkeurig de afstand die hij dan had moeten lopen. c Bereken in graden nauwkeurig de koers die hij dan had moeten lopen. Harm had ook in één keer van A naar D kunnen lopen. d Bereken de afstand in meter nauwkeurig en de koers in graden nauwkeurig die hij dan had moeten lopen.

Informatief Geocaching In Nederland beoefenen ongeveer 25 000 mensen actief het spel geocaching. Wereldwijd zijn dat er meer dan 6 miljoen. Bij geocaching wordt gebruik gemaakt van een GP S-ontvanger of mobiele telefoon om een zogenaamde cache (verstopte schat) te vinden. De cache zit gewoonlijk in een kleine waterdichte doos die voorzien is van een logboek. Na het verstoppen van de schat maakt de plaatser via internet de locatie bekend aan andere geocachers. Deze kunnen na het vinden van de schat vaak voorwerpen ruilen of toevoegen. Ook laat de vinder zijn naam achter in het logboek. Er zijn caches waarbij de gebruiker rechtstreeks op de juiste locatie af kan gaan, maar er zijn ook caches waarbij eerst een soort speurtocht moet worden gelopen. Het gaat daarbij, naast het vinden van de schat, ook veelal om de tocht en het ontdekken van mooie locaties in de natuur of in de steden.

158 Hoofdstuk 4

© Noordhoff Uitgevers bv

Terugblik De sinusregel

In elke driehoek is

C

a b c = = . Dit is de sinusregel. sin(Į) sin(ȕ) sin(Ȗ)

b

Om de sinusregel te kunnen gebruiken moet in elk geval een zijde met de overstaande hoek zijn gegeven.

dus

α

A

Om in de driehoek hiernaast DF te berekenen, bedenk je eerst dat “F = 180° í 42° í 28° = 110° . DF DE De sinusregel geeft = , sin(“E) sin(“F)

γ

a β

c

B

F ? 42°

D

28°

E

7

DF 7 = . sin(28°) sin(110°)

Zo krijg je DF =

7sin(28°) § 3,50. sin(110°)

R

Soms zijn bij de gegevens twee driehoeken mogelijk. Is van driehoek PQR gegeven dat “P = 42°, PR = 10 en QR = 7, dan kan “Q scherp zijn, maar ook stomp.

10

7

42°

P

Q

10sin(42°) 7 10 Uit = volgt sin(“Q) = . sin(42°) sin(“Q) 7

R

10

Dit geeft “Q § 72,9°, maar ook “Q § 180° í 72,9° = 107,1°. Bij “Q § 72,9° hoort “R § 180° í 42° í 72,9° = 65,1° en bij “Q § 107,1° hoort “R § 180° í 42° í 107,1° = 30,9°.

7 42°

P

Q

De cosinusregel

C

In elke driehoek is a2 = b2 + c2 í 2bccos(Į) b2 = a2 + c2 í 2accos(ȕ) c2 = a2 + b2 í 2abcos(Ȗ). Dit is de cosinusregel. Je kunt met de cosinusregel een zijde berekenen als de twee andere zijden zijn gegeven en de ingesloten hoek. Zo is in de ¿guur hiernaast de zijde BC te berekenen. Je krijgt BC2 = 32 + 22 í 2  3  2  cos(115°) BC2 = 18,07... BC § 4,25 Ook kun je met de cosinusregel een hoek berekenen als de drie zijden zijn gegeven. Zo is in de ¿guur hiernaast “A te berekenen. Je krijgt 42 = 32 + 22 í 2 ? 3 ? 2 ? cos(“A) 16 = 9 + 4 í 12cos(“A) 12 cos(“A) = í3 í3 cos(“A) = en dit geeft “A § 104,5° . 12

γ

© Noordhoff Uitgevers bv

b α

A

a β

c

B

C

? 2 115° A

3

B

3

B

C

4

2

A

?

Meetkunde 159

4

4.3 Lengten en oppervlakten 6 Bereken de oppervlakte van de ¿guur O 45

1 cm

hiernaast. Rond af op mm2.

¿guur 4.46 De middelpunten van de cirkelbogen zijn aangegeven met stippen.

4

Theorie A Oppervlakte van vlakke figuren Bij het berekenen van de oppervlakte van een vlakke ¿guur, splits je de ¿guur soms op in basis¿guren. Ook komt het voor dat je de ¿guur kunt aanvullen tot een basis¿guur. We herhalen de oppervlakteformules van de basis¿guren driehoek, parallellogram, trapezium en cirkel. b h

h

b

b

O=

1 2

bh

r

h

O = bh

O=

a 1 (a 2

M

+ b)h

O = πr 2

¿guur 4.47 Oppervlakteformules van de vier basis¿guren.

Voorbeeld Gegeven is +ABC met “A = 60°, “B = 50° en AC = 10. De cirkel met middelpunt C raakt zijde AB in D. Bereken in twee decimalen nauwkeurig de oppervlakte van het gebied dat binnen de cirkel en binnen de driehoek ligt. Uitwerking De straal van de cirkel is CD. CD , dus 10 CD = 10sin(60°) = 8,66...

In +ACD is sin(60°) =

C

10

A

60°

50° D

B

¿guur 4.48

“C = 180° í “A í “B = 180° í 60° í 50° = 70° 70 De oppervlakte van het gevraagde gebied is ? ʌ ? 8,66...2 § 45,81. 360 160 Hoofdstuk 4

© Noordhoff Uitgevers bv

46 Zie het voorbeeld op de vorige bladzijde.

Bereken in twee decimalen nauwkeurig de oppervlakte van het gebied dat binnen de driehoek maar buiten de cirkel ligt. 47 Gegeven is +ABC met AB = 6, AC = 5 en “A = 30°.

C

1

Punt A is het middelpunt van de cirkel met straal 4. Zie ¿guur 4.49. Bereken exact de oppervlakte van het vlakdeel dat binnen de driehoek maar buiten de cirkel ligt.

4

30°

A

4

B

2

¿guur 4.49

48 Van het trapezium ABCD in ¿guur 4.50 is AB = 6,

AD = 4, CD = 3 en “A = 60°. Punt A is het middelpunt van de cirkel met straal 4. Bereken in twee decimalen nauwkeurig de oppervlakte van het vlakdeel dat binnen het trapezium maar buiten de cirkel ligt.

D

3

C

4 4

A

60° 4

2

B

¿guur 4.50

49 Gegeven is de gelijkbenige driehoek ABC met

C

AB = 8 en AC = BC. De omgeschreven cirkel van de driehoek heeft straal 5. Zie ¿guur 4.51. Bereken exact de oppervlakte van het gebied dat binnen de cirkel maar buiten de driehoek ligt.

5

M

A

B

8

¿guur 4.51

6 Gegeven is de cirkel met middelpunt M en straal 5. A 50

AB is een middellijn en de punten C en D liggen op de cirkel. AC = 4 en DE staat loodrecht op AB met ME = 3. Zie ¿guur 4.52. De oppervlakte van het gele gebied is groter dan de oppervlakte van het blauwe gebied. Bereken exact het verschil tussen deze oppervlakten.

C

4 A

E 5

M

3

B

D

¿guur 4.52

© Noordhoff Uitgevers bv

Meetkunde 161

D

6 Gegeven is het parallellogram ABCD met A 51

AB = 6 en AD = 5. De cirkel met middelpunt A en straal 5 raakt de cirkel met middelpunt C en straal 5 in het punt E. Zie ¿guur 4.53. Bereken in twee decimalen nauwkeurig de oppervlakte van het vlakdeel dat binnen het parallellogram maar buiten de cirkels ligt.

5

E

A

5

1B

¿guur 4.53

6 Gegeven is +ABC met AB = 10, “A = 70° en A 52

4

C

C

“B = 45°. Cirkel c1 heeft middelpunt A en straal 5. Cirkel c2 heeft middelpunt B en straal 5. Zie ¿guur 4.54. Bereken in twee decimalen nauwkeurig de oppervlakte van het gebied dat binnen de driehoek maar buiten de cirkels ligt.

c1

A

c2

70°

45° 5

5

B

¿guur 4.54

D 53 a Vijf even grote cirkels met straal r raken elkaar

zoals in ¿guur 4.55 is getekend. De middelpunten van de buitenste cirkels zijn de hoekpunten van een vierkant. Welk deel van het vierkant is blauw?

¿guur 4.55

b De oppervlakte van het vierkant in ¿guur 4.56 is a en de oppervlakte van de cirkel is b. Druk de lengte van de rode lijn uit in a en b.

¿guur 4.56

c De bovenste halve cirkel in ¿guur 4.57 loopt tussen de bovenste punten van de twee onderste halve cirkels. Elke halve cirkel heeft een straal van 2 cm. Hoeveel cm2 is de oppervlakte van het blauwe gebied? ¿guur 4.57 162 Hoofdstuk 4

© Noordhoff Uitgevers bv

6 Gegeven is de regelmatige zeshoek met zijde 4 in O 54

¿guur 4.58. Om de oppervlakte van de zeshoek te berekenen bekijken we eerst +ABM apart. a Licht toe dat “AMB = 60°. b Teken +ABM en bereken in twee decimalen nauwkeurig de oppervlakte van deze driehoek. c Bereken in één decimaal nauwkeurig de oppervlakte van de zeshoek.

E

F

D

C

M

A

4

B

¿guur 4.58 In een regelmatige zeshoek zijn alle zijden even lang en de hoeken even groot.

4 6 Gegeven is +ABC in ¿guur 4.59 met “A = 70°. O 55

C

a Neem de driehoek over en teken de hoogtelijn CD. b Druk de oppervlakte van +ABC uit in AB en AC.

A

70°

B

¿guur 4.59

Theorie B Oppervlakte en goniometrische verhoudingen In ¿guur 4.60 zie je +ABC met de hoogtelijn CD. Er geldt O(+ ABC) = 12 ? AB ? CD. Verder is sin(“A) =

C

CD , dus CD = AC ? sin(“A). AC

Hieruit volgt O(+ ABC) = 12 ? AB ? AC ? sin(“ A). In woorden: De oppervlakte van een driehoek is de helft van de ene zijde keer de andere zijde keer de sinus van de ingesloten hoek. O(+ABC) = 12  AB  AC  sin(∠A)

A

D

B

¿guur 4.60

C

A

B

Deze formule is in het voorbeeld op de volgende bladzijde gebruikt. Hierin is een regelmatige zevenhoek gegeven waarvan de straal van de omgeschreven cirkel bekend is. © Noordhoff Uitgevers bv

Meetkunde 163

Voorbeeld Gegeven is de regelmatige zevenhoek ABCDEFG met zijn omgeschreven cirkel. De straal van de omgeschreven cirkel is 8. Bereken in twee decimalen nauwkeurig de oppervlakte van de zevenhoek.

E D

F 8 M

G

C

B

A

¿guur 4.61

4

Uitwerking O(+ ABM ) = 12 ? AM ? BM ? sin(“ AMB)

M

= 12 ? 8 ? 8 ? sin ¢ 8

A

8

B

360° < 7

= 25,01... O(ABCDEFG) = 7 Â 25,01... § 175,13

56 Gegeven is de regelmatige achthoek ABCDEFGH met

zijn omgeschreven cirkel. Zie ¿guur 4.62. De straal van de omgeschreven cirkel is 6. Bereken in twee decimalen nauwkeurig de oppervlakte van de achthoek.

F

E

D

G M H

C

6

A

B

¿guur 4.62

57 Gegeven is de regelmatige zevenhoek ABCDEFG met

E

zijde 3. Bereken in twee decimalen nauwkeurig de oppervlakte van de zevenhoek.

F

D

M G

C

A

3

B

¿guur 4.63 164 Hoofdstuk 4

© Noordhoff Uitgevers bv

58 Het ministerie van Defensie van de Verenigde Staten van

Amerika is gevestigd in het Pentagon te Arlington, vlakbij Washington D.C. De zijde van de buitenste regelmatige vijfhoek is 280 meter. Bereken hoeveel ha de oppervlakte van het gebied is dat binnen deze vijfhoek ligt. Rond af op één decimaal.

4

¿guur 4.64 Het Pentagon

6 De oppervlakte van een regelmatige negenhoek is 180. A 59

Bereken in twee decimalen nauwkeurig de omtrek van deze negenhoek. D 60 Twee cirkels met middelpunten M en N

snijden elkaar in de punten A en B. Zie ¿guur 4.65. “AMB = 50° en “ANB = 80°. De oppervlakte van de cirkel met middelpunt N is 10. Bereken in twee decimalen nauwkeurig de oppervlakte van +ABM.

A

M

50°

80°

N

B

¿guur 4.65

6 Zie ¿guur 4.66 met driehoek ABC en de hoogtelijnen AD O 61

C

en CE. a Druk de oppervlakte van driehoek ABC uit in AB en CE. b Druk de oppervlakte van driehoek ABC uit in BC en AD. c Licht toe dat uit a en b volgt dat AB × CE = BC × AD.

D

A

B

E

¿guur 4.66 © Noordhoff Uitgevers bv

Meetkunde 165

Theorie C De zijde × hoogte-methode Zie ¿guur 4.67. In opgave 61 heb je gezien dat AB × CE = BC × AD. We zeggen kortweg: zijde × hoogte = zijde × hoogte.

C

D

A

B

E

¿guur 4.67

4

De zijde × hoogte-methode Voor driehoeken geldt: ene zijde × bijbehorende hoogte = andere zijde × bijbehorende hoogte. Je gebruikt de zijde × hoogte-methode om in ¿guur 4.68 de lengte van AD te berekenen. Bereken eerst BC met de stelling van Pythagoras in +ABC. Je krijgt BC = 冑82 + 62 = 冑100 = 10. De zijde × hoogte-methode in +ABC geeft BC × AD = AB × AC 10 × AD = 8 × 6 8×6 = 4,8 AD = 10

C

D 6

A

B

8

¿guur 4.68

Voorbeeld Zie ¿guur 4.69 met de rechthoek ABCD. Bereken BF. Aanpak BF is in +ABE de hoogte bij zijde AE. Teken dus +ABE en gebruik hierin de zijde × hoogtemethode.

D

E 1

5

C

F 4

A

6

B

¿guur 4.69

Uitwerking D

E

5

C

F 4

A

G

B

AE = 冑42 + 52 = 冑41 De zijde × hoogte-methode in +ABE geeft AE × BF = AB × EG 冑41 ? BF = 6 ? 4 6?4 24 冑41 24 BF = = ? = 冑41 冑41 冑41 冑41 41

¿guur 4.70

166 Hoofdstuk 4

© Noordhoff Uitgevers bv

6 T 62

[ ŹŹ66] Gegeven is het rechthoekig trapezium ABCD in ¿guur 4.70. AB = 6, AD = 1 en BC = 4. Bereken BE.

C E 4 D 1 A

B

6

¿guur 4.70

63 Zie ¿guur 4.71.

C

Bereken AD.

D 2

A

B

4

4

¿guur 4.71

64 In ¿guur 4.72 is +ABC gelijkbenig met AC = BC = 13

C

en AB = 10. a Bereken de lengte van de hoogtelijn CD. b Bereken BE.

13 E

A

D

5

B

5

¿guur 4.72

65 Zie ¿guur 4.73 met het vierkant ABCD.

Bereken CF.

C

D

2

E

2 F A

B

4

¿guur 4.73 D

6 Gegeven is het parallellogram ABCD in ¿guur 4.74. A 66

AB = 8, AD = 5 en de oppervlakte van het parallellogram is 32. Bereken BE.

C E

5 A

8

B

¿guur 4.74

© Noordhoff Uitgevers bv

Meetkunde 167

Terugblik Oppervlakteformules

Bij oppervlakteberekeningen gebruik je de oppervlakteformules van de basis¿guren driehoek, parallellogram, trapezium en cirkel. Vaak kun je bij het berekenen van de oppervlakte een ¿guur opsplitsen in basis¿guren of aanvullen tot een basis¿guur.

1

Odriehoek = 2 bh Oparallellogram = bh 1

Otrapezium = 2 (a + b)h Ocirkel = ›r2

C

Goniometrische verhoudingen 4

Om de oppervlakte van +ABC in de ¿guur hiernaast te berekenen, heb je goniometrie nodig. Gebruik de formule O = 12 ? basis ? hoogte. Teken de hoogtelijn CD. C

tan(25°) =

25° 25°

A

3,5

D

CD =

3,5

B

3,5 CD

50°

A

B

7

3,5 = 7,50... tan(25°)

C 40°

O(+ABC) = 12 ? 7 ? 7,50... § 26,3 5

5

Van +ABC in de ¿guur hiernaast zijn twee zijden en de ingesloten hoek gegeven. Je kunt de oppervlakte berekenen met de formule O = 12 ? AC ? BC ? sin(“C).

B

A

1 2

Je krijgt O = ? 5 ? 5 ? sin(40°) § 8,03.

C D

De zijde × hoogte-methode

Met de zijde × hoogte-methode zijn lengten van lijnstukken te berekenen bij loodrechte stand. In driehoek ABC hiernaast geeft de zijde × hoogte-methode AB × CE = BC × AD. Kortweg: zijde × hoogte = zijde × hoogte. Bij het berekenen van DE in de ¿guur hiernaast gebruik je de zijde × hoogte-methode. Teken eerst BF loodrecht op AD en bereken AB in driehoek ABF. AF = 7 í 3 = 4 en BF = CD = 5, dus AB = 冑42 + 52 = 冑41. De zijde × hoogte-methode in driehoek ABD geeft AB × DE = AD × BF. 35 35 Invullen geeft 冑41 ? DE = 7 ? 5, dus DE = = 冑41. 冑41 41 168 Hoofdstuk 4

A

B

E D 5 7

C 3

A

E

B

D 3

5

F

C

4 A

3 E

B

© Noordhoff Uitgevers bv

4.4 Vergelijkingen in de meetkunde 6 Gegeven is de gelijkzijdige driehoek ABC met zijde 2a. Zie O 67

C

¿guur 4.75. a Toon aan dat CD = a冑3. b Gegeven is CD = 7冑3. Bereken AC.

2a

A

2a

a

D

B

a

¿guur 4.75

4

Theorie A Bijzondere rechthoekige driehoeken In opgave 67 heb je ontdekt dat de zijden van een halve gelijkzijdige driehoek de lengten a, 2a en a冑3 hebben. De verhouding van de zijden is dus 1 : 2 : 冑3. In ¿guur 4.76 is de gelijkbenige rechthoekige driehoek ABC met rechthoekszijden a getekend. In +ABC is AC 2 = AB2 + BC 2 AC 2 = a2 + a2 AC 2 = 2a2 Dus AC = 冑2a2 = a冑2. De verhouding van de zijden in een gelijkbenige rechthoekige driehoek is dus 1 : 1 : 冑2.

C

a

45°

A

a

¿guur 4.76 C

De zijden van een gelijkbenige rechthoekige driehoek verhouden zich als 1 : 1 : 冑2. 2

A

45˚

B

1

De zijden van een rechthoekige driehoek waarvan de scherpe hoeken 30° en 60° zijn, verhouden zich als 1 : 2 : 冑3.

R 60˚ 2

P

© Noordhoff Uitgevers bv

1

1

30˚ 3

Q

Meetkunde 169

B

In ¿guur 4.77 is AC = 12. 12 12 冑2 12冑2 = ? = = 6冑2. 冑2 冑2 冑2 2

Dit geeft AB =

C

12

Van QR naar PQ keer 3, dus van PQ naar QR gedeeld door √3.

Van AB naar AC keer 2, dus van AC naar AB gedeeld door √2. ( 2)

(2)

(1)

45˚

A

B

¿guur 4.77

(1)

( 3)

(1)

R 60˚

4

In ¿guur 4.78 is PQ = 12. 12 12 冑3 12冑3 = 4冑3 en = ? = 冑3 冑3 冑3 3 PR = 2 ? 4冑3 = 8冑3. Dit geeft QR =

30˚

P

Q

12

¿guur 4.78

68 Zie ¿guur 4.79.

Bereken AC, DE, KL en PQ. C

M

F 6 3

A

BD

8

30°

S 3

10 E K

R

30°

45°

30°

LP

N

Q

¿guur 4.79

69 In de regelmatige zeshoek ABCDEF met zijde 8 wordt

de regelmatige zeshoek KLMNOP getekend. Hierbij zijn K, L, M, N, O en P middens van zijden. Zie ¿guur 4.80. Bereken exact de oppervlakte van het gekleurde gebied

N

E

D

O

M

F

C P

L A

K 8

B

¿guur 4.80

6 In ¿guur 4.81 is BE = 1. A 70

D

a Bereken CD en BC. b Toon aan dat de exacte waarde van sin(15°) gelijk is aan

í 14

30°

冑2 + 冑6. 1 4

E

c Bereken de exacte waarde van cos(15°).

15° 1

A

45°

45°

60° 75° B

C

¿guur 4.81 170 Hoofdstuk 4

© Noordhoff Uitgevers bv

Theorie B Vergelijkingen bij meetkundige figuren Sommige meetkundige problemen kun je aanpakken door een lijnstuk x te stellen, andere lijnstukken in x uit te drukken en hiermee een vergelijking op te stellen.

Voorbeeld Gegeven is driehoek ABC met AB = 10, “A = 30° en “B = 45°. Bereken exact de oppervlakte van +ABC.

C

30˚

A

Uitwerking

45˚

10

B

¿guur 4.82

4

C

x A

30˚

D

45˚

B

Stel de hoogte CD = x, dan is AD = x冑3 en BD = x. Uit AD + DB = AB volgt x冑3 + x = 10 x(冑3 + 1) = 10 10 x= 1 + 冑3 10 50 O(+ABC) = 12 Â AB Â CD = 12 ? 10 ? = 1 + 冑3 1 + 冑3

71 Gegeven is driehoek ABC met AB = 12, “A = 60° en

C

“B = 45°. Bereken exact de oppervlakte van +ABC.

A

60˚

12

45˚

B

¿guur 4.83

72 Van het vierkant ABCD met zijde 6 worden bij de

D

C

hoekpunten driehoeken weggelaten zodat een regelmatige achthoek ontstaat. Zie ¿guur 4.84. Bereken exact de zijde van de achthoek.

6

A

B

¿guur 4.84

© Noordhoff Uitgevers bv

Meetkunde 171

6 In een gelijkzijdige driehoek met zijde 12 passen precies drie A 73

even grote cirkels. Zie ¿guur 4.85. In deze opgave ga je de straal van zo’n cirkel berekenen. Met deze berekening is in ¿guur 4.86 een begin gemaakt door enkele hulplijnen te tekenen. Bereken de exacte waarde van de straal. C

C

M r

4

r A

B

A

E

12

¿guur 4.85

¿guur 4.86

F B

D 12

D 74 In de gelijkzijdige driehoek met de drie even grote cirkels van

¿guur 4.85 past binnen deze drie cirkels precies een kleine cirkel. Bereken de exacte waarde van de straal van deze kleine cirkel. D 75 a De vier halve cirkels in ¿guur 4.87 raken elkaar. Ze

hebben straal 1 en hun middelpunten zijn de middens van de zijden van het vierkant. Bereken exact de straal van het cirkeltje dat elk van de halve cirkels raakt. ¿guur 4.87

b Een rechthoekig vel papier ABCD van 12 bij 24 cm wordt om de diagonaal AC omgevouwen. De stukken AED en ECB die dan buiten het dubbel overlapte gebied uitsteken, worden afgesneden. Het stuk papier dat je overhoudt wordt uitgevouwen. Je krijgt dan ruit AFCE. Zie ¿guur 4.88. Bereken de zijde van de ruit.

D

C

A

B B

D

E

C

A E

A

C

F

¿guur 4.88

172 Hoofdstuk 4

© Noordhoff Uitgevers bv

D 76 Binnen een cirkel bevinden zich twee kleinere cirkels: de

cirkels raken elkaar en de drie middelpunten liggen op één lijn. Zie ¿guur 4.89. De oppervlakte van het blauwe gedeelte is 2ʌ. De gemeenschappelijke raaklijn van de twee kleinere cirkels is k en deze lijn snijdt de grote cirkel in de punten A en B. Bereken de lengte van het lijnstuk AB.

k

A

B

¿guur 4.89

6 Gegeven is het gelijkbenig trapezium ABCD in ¿guur 4.90. O 77

D

“A = “B = 60°, AB = 6 en de hoogte DE = 3. a Toon aan dat CD = 6 í 2冑3. b Bereken exact de oppervlakte van het trapezium.

C

3

A

60˚

60˚

E

B

6

¿guur 4.90

Theorie C Zijden berekenen bij gegeven oppervlakte In opgave 77 is met de gegevens de oppervlakte van het trapezium te berekenen. In het voorbeeld zie je hoe je te werk gaat als je een zijde moet berekenen van een trapezium waarvan de oppervlakte is gegeven.

Voorbeeld Gegeven is het gelijkbenige trapezium ABCD met “A = “B = 60° en hoogte DE = 6. De oppervlakte van het trapezium is 30. Bereken de exacte lengte van CD.

D

C

6

A

60˚

E

60˚

¿guur 4.91

Uitwerking D

x

In +AED is “A = 60° en DE = 6,

C

dus AE =

6

A

60˚

E

F

60˚

B

6

冑3

=

6 冑3 6冑3 ? = = 2冑3. 冑3 冑3 3

Stel CD = x, dan is AB = 2冑3 + x + 2冑3 = x + 4冑3.

¿guur 4.92

O(ABCD) = 12 (AB + CD) Â DE = 12 (x + 4冑3 + x) Â 6 = 3(2x + 4冑3 ) = 6x + 12冑3 O(ABCD) = 30 geeft 6x + 12冑3 = 30 6x = 30 í12冑3 x = 5 í 2冑3 Dus CD = 5 í 2冑3. © Noordhoff Uitgevers bv

Meetkunde 173

B

4

78 Gegeven is het rechthoekig trapezium in ¿guur 4.92.

D

C

“A = 60° en BC = 9. De oppervlakte van het trapezium is 54. Bereken exact de lengte van CD.

9

A

60˚

B

¿guur 4.92

79 Gegeven is het trapezium ABCD met

4

AB = 10, “A = 60°, “B = 45° en hoogte h. a Neem h = 4 en bereken exact de oppervlakte van het trapezium. b Neem CD = 2 en bereken exact de oppervlakte van het trapezium. c De oppervlakte van het trapezium is 25. Bereken CD in twee decimalen nauwkeurig.

D

C

h

A

60˚

45˚

E

B

10

¿guur 4.93

6 Gegeven is de regelmatige zeshoek ABCDEF met zijde a A 80

en zijn ingeschreven cirkel. De ingeschreven cirkel van een veelhoek is de cirkel die raakt aan alle zijden van de veelhoek. Zie ¿guur 4.94. a Druk de oppervlakte van de zeshoek uit in a. b Druk de oppervlakte van de ingeschreven cirkel uit in a. c De totale oppervlakte van de vlakdelen die binnen de zeshoek, maar buiten de cirkel liggen is 10. Bereken a in twee decimalen nauwkeurig.

E

D

F

C

M

a

A

B

¿guur 4.94

6 Gegeven is de regelmatige zeshoek ABCDEF met zijde 1. A 81

Het punt P ligt op zijde AB en het punt Q ligt op zijde CD zo, dat PQ // BC. Zie ¿guur 4.95. Bereken exact de lengte van PQ in het geval O(APQDEF) = 2 Â O(PBCQ).

E

D Q

F

C

1 A

P

B

¿guur 4.95

174 Hoofdstuk 4

© Noordhoff Uitgevers bv

Terugblik Bijzondere rechthoekige driehoeken

De zijden van een gelijkbenige rechthoekige driehoek verhouden zich als 1 : 1 : 冑2. De zijden van een rechthoekige driehoek met scherpe hoeken van 30° en 60° verhouden zich als 1 : 2 : 冑3. Je gebruikt deze verhoudingen om in de driehoek hiernaast de lengte van AB te berekenen. 6 = 3冑2 en Je krijgt AD = CD = 冑2

2

60˚

2

1

1

30˚

45˚

3

1

C

6

3冑2 3冑2 冑3 3冑6 BD = = ? = = 冑6. 冑3 冑3 冑3 3

4 A

Dus AB = 3冑2 + 冑6.

45°

60° D

C

Vergelijkingen bij meetkundige figuren

Om exact de oppervlakte van +ABC in de ¿guur hiernaast te berekenen, teken je de hoogtelijn CD en stel je de hoogte CD = x. Daarna druk je AD en BD uit in x en gebruik je AD + BD = 8 om een vergelijking op te stellen. x 1 = x冑3, dus x + 13 x冑3 = 8 Je krijgt AD = x en BD = 冑3 3 x(1 + 13 冑3) = 8 8 24 x= = 1 1 + 3 冑3 3 + 冑3 Dit geeft O(+ABC) = 12 ? 8 ?

24 96 = . 3 + 冑3 3 + 冑3

A

45°

60° 8

A

45°

60° D

x2(1 + 13 冑3) = 40 40 120 x2 = = 1 1 + 3 冑3 3 + 冑3

BC = CD Â © Noordhoff Uitgevers bv

opp = 20 A

45°

60°

2

=x=

120 2 Â =2Â 冑 冑 3+ 3 3

120 3冑3 + 3

=2Â

B

C

x A

45°

60° D

120 en 3 + 冑3

冑3

B

C

De oppervlakte van de driehoek hiernaast is 20. Om exact de zijde BC te berekenen, teken je de hoogtelijn CD en stel je CD = x. Daarna druk je AD en BD uit in x en gebruik je O(+ABC) = 20 om x te berekenen. x 1 Je krijgt AD = x en BD = = x冑3, dus 12 (x + 13 x冑3) ? x = 20 冑3 3 1 2 1 2 x (1 + 3 冑3) = 20

B

C

x

Zijden berekenen bij gegeven oppervlakte

Dus x =

B

40 =4Â 1 + 冑3

10 1 + 冑3 Meetkunde 175

B

Diagnostische toets 4.1 Goniometrische verhoudingen en gelijkvormigheid 1

Gegeven is driehoek ABC met “A = 38°, “B = 90° en AC = 20. Het punt D ligt op AB zo, dat BD = 6. Bereken ∠BDC en ∠ACD.

2

Van +ABC is ∠A = 90°, AB = 12 en AC = 9. Het punt D ligt op AB zo, dat AD = 4. Het punt E ligt op BC zo, dat ∠BDE = 90°. Het snijpunt van AE en CD is S. Zie ¿guur 4.96. a Bereken BE en DE. b Bereken AS.

4

C E 9

A

S

4

D

8

B

¿guur 4.96

3

Cirkel c1 met middelpunt M en straal 5 raakt cirkel c2 met middelpunt N en straal 3. De lijn k door het punt P raakt c1 in het punt A en c2 in het punt B. De lijn l door het punt P raakt c1 in het punt C en c2 in het punt D. Zie ¿guur 4.97. Bereken exact de lengte van AP. 4.2 De sinusregel en de cosinusregel

k

A B c1

3

5 M

c2

P

D l

C

¿guur 4.97

4

Van +ABC is B = 40°, C = 55° en a = 6. Bereken in twee decimalen nauwkeurig O(+ABC).

5

Van +ABC is Į = 35° en b = 5. a Neem a = 3 en bereken beide mogelijkheden van Ȗ. b Voor welke waarden van a is er maar één driehoek mogelijk? Rond in het antwoord af op twee decimalen.

6

Van +PQR is PQ = 4, PR = 5 en QR = 6. Het punt M is het midden van QR. a Bereken “Q. b Bereken PM in twee decimalen nauwkeurig.

7

Van het parallellogram ABCD is AB = 15 en BC = 8. De lengte van diagonaal BD is 10. a Bereken in twee decimalen nauwkeurig O(ABCD). b Bereken in één decimaal nauwkeurig de lengte van diagonaal AC.

176 Hoofdstuk 4

N

© Noordhoff Uitgevers bv

C

4.3 Lengten en oppervlakten 8

9

Gegeven is +ABC met AB = 9, AC = 6 en BC = 8. De punten A, B en C zijn middelpunten van cirkels met straal 3. Zie ¿guur 4.98. Bereken in twee decimalen nauwkeurig de oppervlakte van het vlakdeel dat binnen de driehoek maar buiten de cirkels ligt. Van een regelmatige achthoek is de oppervlakte van de omgeschreven cirkel 25ʌ. Bereken in één decimaal nauwkeurig de omtrek en de oppervlakte van de achthoek.

3

3

2 3

3

A

3

3

B

3

¿guur 4.98 C

D

10 Zie de rechthoek ABCD in ¿guur 4.99 met

AB = 6 en BC = 4. M is het midden van AD en AE en CF staan loodrecht op BM. Bereken exact AE en CF.

M

4

E

4

F A

B

6

¿guur 4.99

4.4 Vergelijkingen in de meetkunde 11 Van de gelijkbenige rechthoekige driehoek ABC

C

is “B = 90° en AC = 12. Het punt D ligt op BC zo, dat ∠BAD = 30°. Zie ¿guur 4.100. Bereken exact de oppervlakte van driehoek ACD.

45° D

12 15° A

30°

B

¿guur 4.100

12 In het gelijkbenig trapezium ABCD is

D

“A = “B = 45°, AB = 18 en AD = BC = CD. Zie ¿guur 4.101. Bereken exact de lengte van AD. A

C

45°

45°

B

18

¿guur 4.101

13 Gegeven is het trapezium ABCD met “A = 30°,

D

“B = 60° en BC = 6. De oppervlakte van het trapezium is 36. Zie ¿guur 4.102. Bereken exact de lengte van AB.

C

6

A

30°

60°

B

¿guur 4.102

© Noordhoff Uitgevers bv

Meetkunde 177

Wiskunde Olympiade

178 Hoofdstuk #

© Noordhoff Uitgevers bv

De Wiskunde Olympiade is een jaarlijkse wiskundewedstrijd voor leerlingen tot en met de vijfde klas havo/vwo die wel houden van wat wiskundige uitdaging. In januari of februari vindt de eerste ronde plaats op alle scholen die zich hebben aangemeld. Je krijgt dan 12 speelse en uitdagende opgaven voorgeschoteld waar je 2 uur de tijd voor krijgt. Voorbeelden van de opgaven van de afgelopen jaren vind je hierna. Het gaat bij de A-vragen om meerkeuzevragen en bij de B-vragen alleen maar om de eindantwoorden 1 1 in exacte vorm, zoals 11 81 , 2 + 2 √5 of 4 π + 1. Je mag geen rekenmachine of een lijst met formules gebruiken, alleen pen en papier, passer en geodriehoek. Voor de opgaven kun je twee punten per A-vraag halen en vijf punten per B-vraag. Aan het eind van de vragen van elk jaar is in een tabel opgenomen welk percentage van de deelnemers uit klas 4 vwo de betreffende opgave goed had opgelost. Verder staat erbij hoeveel punten minimaal nodig waren om uitgenodigd te worden voor de volgende ronde.

Sinds 2010 is er een tweede ronde die in maart regionaal wordt georganiseerd. De beste 120 à 140 van de tweede ronde worden uitgenodigd voor de eindronde, die in september van het volgende schooljaar altijd op de Technische Universiteit Eindhoven plaatsvindt. Als je bij de eindronde hoog eindigt, krijg je een uitnodiging voor een trainingsprogramma dat parallel aan je schoolwerk loopt van november tot en met juni. De beste 6 leerlingen vormen het Nederlandse team voor de Internationale Wiskunde Olympiade. Die is in 2016 in Hong Kong en in 2017 in Brazilië. Er doen zo’n 100 landen aan mee. Je kunt aan je wiskundedocent laten weten dat het je wel leuk lijkt om mee te doen; hij of zij kan de school dan opgeven via de site www.wiskundeolympiade.nl of via de inschrijfformulieren die elke school in september krijgt opgestuurd via de SLO.

Het werk van de Stichting Nederlandse Wiskunde Olympiade wordt mogelijk gemaakt door financiële bijdragen en steun van: Technische Universiteit Eindhoven: Faculteit Wiskunde en Informatica, Ministerie van Onderwijs, Cultuur en Wetenschap, Stichting DIAMANT, Nederlandse Onderwijs Commissie Wiskunde, CITO, ORTEC, Transtrend BV, All Options BV, The Derivatives Technology Foundation, Centraal Bureau voor de Statistiek, Stichting Compositio

NEDERLANDSE WISKUNDE OLYMPIADE

Mathematica, Pythagoras wiskundetijdschrift voor jongeren, Epsilon Uitgaven, Veen Magazines, Natuurwetenschap & Techniek, CANdiensten. © Noordhoff Uitgevers bv

179

2006 A-vragen 1

Aan het begin van een gokspelletje hadden Ali, Bente en Chris geld in de verhouding 11 : 8 : 5. Aan het einde van het spel was dezelfde hoeveelheid geld verdeeld in de verhouding 4 : 3 : 2. Welke uitspraak is waar? A Ali verloor, Bente verloor en Chris won B Ali won, Bente verloor en Chris won C Ali won, Bente verloor en Chris speelde quitte D Ali verloor, Bente speelde quitte en Chris won E alle antwoorden A t/m D zijn niet juist

2

In de ¿guur is een aantal hoeken in termen van x gegeven. De waarde van x in graden is: A6 C 10 E 15 B 8 D 12

5x

3x

7x

4x 6x

3

Als je de getallen 1 t/m 12 achter elkaar opschrijft krijg je het getal 123456789101112 dat uit 15 cijfers bestaat. Als je de getallen 1 t/m n achter elkaar opschrijft dan krijg je een getal dat uit 1788 cijfers bestaat. Wat is de waarde van n? A 533 B 632 C 645 D 1599 E 1689

4

Hoeveel gehele positieve getallen kleiner dan 1000 zijn er waarbij de som van de cijfers gelijk is aan 6? A7 B 16 C 27 D 28

5

6

E 35

In een magisch vierkant is de som van de drie getallen in elke rij, de som van de drie getallen in elke kolom en de som van de drie getallen in elk van de twee diagonalen steeds hetzelfde getal. In het magische vierkant hiernaast zijn vier van de negen getallen gegeven. Wat is de waarde van N? A4 C 10 E 17 B 9 D 13 2143 en 3421 zijn twee voorbeelden van getallen die je kunt vormen door elk van de cijfers 1, 2, 3 en 4 precies één keer te gebruiken. Als je alle getallen die je kunt vormen door elk van de cijfers 1, 2, 3 en 4 precies één keer te gebruiken bij elkaar optelt, dan krijg je als antwoord: A 5555 B 9999 C 11110 D 33330

180 Wiskunde Olympiade

N 11

15

12

10

E 66660 © Noordhoff Uitgevers bv

7

8

Wat is het kleinste positieve verschil tussen twee breuken met zowel in de teller als in de noemer een positief geheel getal kleiner dan of gelijk aan 10? 1 1 1 1 A 100 B 99 C 90 D 70

E

1 10

Driehoek ABC is rechthoekig in C. Het punt P ligt op de zijde BC, het punt Q ligt op de zijde AC en het punt R ligt op de zijde AB zo, dat BP = BR en AQ = AR. Hoek PRQ is: A 30° B 45° C 50° D 55° E 60°

B-vragen 1

Gegeven is een vierkant ABCD. Je begint in hoekpunt A. Bij iedere beurt mag je langs een zijde van een hoekpunt naar een ander hoekpunt lopen. Hoeveel wandelingen van 10 beurten zijn er waarbij je na de 10 beurten weer in hoekpunt A terug bent? Tijdens een wandeling mag je onderweg A passeren.

2

Hoeveel getallen van vier cijfers zijn er met de volgende eigenschappen: • het tweede cijfer is het gemiddelde van het eerste cijfer en het derde cijfer, • het derde cijfer is het gemiddelde van het tweede cijfer en het vierde cijfer? (Een getal begint niet met het cijfer 0.)

3

Binnen een vierkant ABCD ligt een punt P. E is het midden van de zijde CD. Gegeven is: AP = BP = EP = 10. Wat is de oppervlakte van vierkant ABCD?

4

ab is de notatie voor het getal dat je opschrijft met de cijfers a en b, waarbij a  0. Geef alle positieve gehele waarden van K waarvoor het volgende geldt: • K is een positief geheel getal • er bestaat een getal ab dat niet deelbaar is door 9 met ab = K × (a + b). NB: Voor foute waarden van K worden punten afgetrokken! opgave

A1

A2

A3

A4

A5

A6

A7

A8

B1

B2

B3

B4

percentage

56

64

62

45

51

81

38

48

14

13

21

13

De 121 leerlingen met een score van 25 of meer zijn uitgenodigd voor de eindronde.

© Noordhoff Uitgevers bv

Wiskunde Olympiade 181

2007 A-vragen 1

Het getal M bestaat uit 2007 enen achter elkaar geschreven, M = 111...111. Wat is de som van de cijfers van het getal dat je krijgt als je M vermenigvuldigt met 2007? A 2007 B 18036 C 18063 D 18084 E 4028049

2

In de volgende rijtjes staan telkens dezelfde vijf getallen. Welk van de vijf rijtjes is juist geordend? 1 13 17 5 < < < 7 97 101 33

D

17 5 1 13 < < < < 0,16 33 7 97 101

B

17 1 5 13 < 0,16 < < < 101 7 33 97

E

13 1 5 17 < 0,16 < < < 97 7 33 101

C

1 5 17 13 < 0,16 < < < 7 33 101 97

A 0,16
0 c 0 g(x) 0 < 2 d f (x) · g(x) > 0

188 Gemengde opgaven

© Noordhoff Uitgevers bv

2 De afgeleide functie 13 Een mountainbiker rijdt in heuvelachtig gebied. De tijd-

500t2 . Hierin is s de afgelegde afstand t2 + 400 in meter na t seconden met 0 ” t ” 50. a Bereken in km/uur de snelheid van de mountainbiker op t = 15 en op t = 30. afstandformule is s =

Na 50 seconden verandert de snelheid niet meer. b Hoeveel meter heeft de mountainbiker na 1 minuut afgelegd? 14 Gegeven is de functie f (x) =

5x + 6

冑2x + 9

.

a De lijn l raakt de gra¿ek van f in het punt A met xA = í4. Stel de formule van l op. b De gra¿ek van f snijdt de y-as in het punt B. Stel de formule op van de raaklijn k in B. Rond de richtingscoëf¿ciënt af op twee decimalen. c De lijn m raakt de gra¿ek van f in het punt C met xC = 8. Bereken in twee decimalen nauwkeurig de x-coördinaat van het snijpunt van m met de x-as. 15

In ¿guur G.2 zie je de gra¿eken van de functies f en g. a Schets de hellinggra¿eken van f en g. b De gra¿ek van f is de hellinggra¿ek van de functie h. Teken een globale gra¿ek van h. [ ŹWERKBLAD ]

y

y

1

4 3 2

–2 –1 O –1

1

–2

–2 –1 O –1

ƒ

1

2

3

4

5

6

x

–2

1

2

3

4

5

6

x

g

–3 –4 –5

¿guur G.2

16 a Gegeven is de functie f (x) = 3x2 + 5x + 6.

Bereken f ƍ(x) met behulp van een limiet. b Gegeven is de functie g(x) = x3 í 4x. Bereken gƍ(x) met behulp van een limiet.

© Noordhoff Uitgevers bv

Gemengde opgaven 189

17 Bereken de afgeleide.

a f (x) = íx(2x í 7)

e f (x) = x(3x + 2)2

b f (x) = (x2 í 1)(x í 1)

f f (x) = 8 í (x í 1)2

c f (x) =

2x í 1 5 í 2x

d f (x) = 7 í

g f (x) =

x2 + 8x 16

x2 í 2x + x4 x+1

h f (x) = 3x2 í

18 Gegeven zijn de functies f (x) =

4x + 3 2x í 1

x2 + 3x + 2 xí3 en g(x) = 2 . 2 x í1 x í 2x í 3

De lijn k raakt de gra¿ek van f in het punt A met xA = 2. a Bereken lim f (x) en lim f (x). x m í2

x m í1

b Stel langs algebraïsche weg de formule op van k. c De gra¿ek van g heeft een perforatie. Onderzoek langs algebraïsche weg of deze perforatie op de lijn k ligt. 19 Gegeven is de functie f (x) = (x2 í 9)(x í 1).

a De lijn k raakt de gra¿ek van f in het punt A met xA = 2. Stel met behulp van differentiëren de formule van k op. b De gra¿ek van f snijdt de y-as in het punt B. Stel met behulp van de afgeleide de formule op van de raaklijn m in B. c Op de gra¿ek van f ligt het punt C met xC = í1. Onderzoek met behulp van differentiëren of de raaklijn in C horizontaal is. 20 Gegeven is de functie f (x) = 13 x3 í 12 x2 í 2x + 1.

a De gra¿ek van f snijdt de y-as in het punt A. De lijn k raakt de gra¿ek van f in A. Stel langs algebraïsche weg de formule van k op. b Bereken algebraïsch de coördinaten van de punten van de gra¿ek waar de raaklijn horizontaal is. c In de punten B en C op de gra¿ek van f zijn de raaklijnen evenwijdig met de lijn l: y = 4x + 10. Bereken algebraïsch de coördinaten van B en C.

21 Gegeven is de functie f (x) = (x2 + 2)(1 í x).

De lijn k raakt de gra¿ek van f in het punt A met xA = 2. a Stel langs algebraïsche weg de formule van k op. b Op de gra¿ek van f ligt het punt B waarin de raaklijn evenwijdig is met k. Bereken algebraïsch de x-coördinaat van B.

190 Gemengde opgaven

© Noordhoff Uitgevers bv

22 Een motor trekt op. Gedurende de eerste acht seconden is de

afgelegde weg s in meter te benaderen door de formule s = 0,06t3 + 1,2t2. Na acht seconden verandert de snelheid niet meer. a Bereken algebraïsch de snelheid na vier en na zes seconden. b Bereken in twee decimalen nauwkeurig na hoeveel seconden de snelheid gelijk is aan 100 km/uur. c Na hoeveel seconden heeft de motor 300 meter afgelegd? 4 . x+3 a De gra¿ek van f snijdt de y-as in het punt A. Stel langs algebraïsche weg de formule op van de raaklijn k in A. b De gra¿ek van f snijdt de x-as in de punten B en C met xB = í2 en xC = 1. De lijnen l en m zijn de raaklijnen in B en C. Bereken algebraïsch de coördinaten van het snijpunt van l en m.

23 Gegeven is de functie f (x) = x í 2 +

x2 í 2x + 2 . xí1 a Stel langs algebraïsche weg de formule op van de raaklijn k in het punt A met xA = í2. b De lijn l raakt de gra¿ek van f in het punt B met xB = í1 en de lijn m raakt de gra¿ek van f in het punt C met xC = 3. Onderzoek langs algebraïsche weg of de lijnen l en m evenwijdig zijn.

24 Gegeven is de functie f (x) =

3 Vergelijkingen en herleidingen 25 Bereken exact de oplossingen.

a b c d e f g h

17 í (2x í 1)4 = 1 x6 í 6x3 + 5 = 0 10x4 = 17x2 + 657 x3 + 5x • 6x2 (2x2 í 1)2 = x2 (2x í 1)4 í 5(2x í 1)2 + 4 = 0 冑2 í 2x + 2x = 0 x3 í 3x冑x í 108 = 0

26 Bereken exact de oplossingen.

a x5 í 16x3 + 28x = 0 b x4 < x2 + 12 c 0 x4 í 7x2 0 = 18 2x + 4 12 d = x x+1 e 6x5 + 10x2 ? 冑x í 464 = 0 f 冑3x í 2 + 2 = x g (2x í 3)(x2 í 3) + 3 = 2x x2 í 9 x2 í 9 = h 2x + 3 x + 4 © Noordhoff Uitgevers bv

Gemengde opgaven 191

27 Herleid.

a y=

x4 í x2 xí1

15x í 2x x+2 2x 10 í x+3 c y= 2 5+ x+3 3 3t + 3t2 í 6t d N= t2 + 2t

b y=

2a aí1 a+2 í ¢ < a+2 2a a2 q2 í2 2 q +1 f P= q í 2q q2 + 1

e K=

28 Los algebraïsch op.

a e 2x + 3y = 58 5x í 2y = 12 2 2 b e x + y = 58 2x + y = 13

c e 0,4x í 0,32y = 2 0,6x í 0,28y = 5 2 2 d e (2x í 1) + (3y í 1) = 73 x + 5y = 17

29 a Werk bij (4x2 í 1)2 í (3x í 1)3 de haakjes weg.

(2t í 1)(t + 2) . 2t2 a í2 2 a +1 c Werk bij B = 12a í 6 · de breuk uit de teller weg. 5a 3y í 2 4x d Gegeven zijn de formules K = en y = . 2y í 1 xí1 ax + b Schrijf de formule van K in de vorm K = . cx + d a+b 3 e Maak b vrij uit = . b+2 a b Deel uit bij T =

3x + 2 6y + 1 = . xí1 y+3 Druk y uit in x en druk x uit in y.

f Gegeven is

192 Gemengde opgaven

© Noordhoff Uitgevers bv

30 De gra¿ek van f (x) = 12 x3 + ax2 + bx + 6 gaat door de punten

(í4, 42) en (2, 12). Bereken a en b.

31 a Bereken exact voor welke p de vergelijking

px3 + 2px2 + x2 + 214 x = 0 drie oplossingen heeft. b Bereken exact voor welke p de vergelijking 2px4 í px3 + 5x3 + 2x2 = 0 precies één oplossing heeft.

32 Bereken exact de x-coördinaten van de punten op de gra¿ek van

f (x) =

10x waarin de richtingscoëf¿ciënt van de raaklijn +1

x2

gelijk is aan í 45 . 33 Gegeven zijn de functies f (x) = (2x í 3)(x í 4)2 en

g(x) = x2 í 8x + 16 en de lijn k: y = 2x í 3. a Bereken de extreme waarden van f. Rond zo nodig af op twee decimalen. b Neem Df = [2, 5] en bereken Bf.

Bereken algebraïsch de coördinaten van de snijpunten van c de gra¿ek van f en de lijn k d de gra¿ek van g en de lijn k e de gra¿eken van f en g. 34 Gegeven zijn de functies f (x) =

Bereken exact de oplossingen. a f (x) = g(x) b f (x) ? g(x) = í24 c 4 ? f (x) í g(x) = 8 d 112 ? f ƍ(x) í gƍ(x) = 0

2x 24 en g(x) = . xí2 x+1

35 a Het omsmelten van a cm3 koper en b cm3 zink levert 150 cm3

messing. De soortelijke massa’s van koper, zink en messing zijn achtereenvolgens 8,6 g/cm3, 7,0 g/cm3 en 7,9 g/cm3. Bereken a en b. b Een scheikundige heeft 600 ml natriumoplossing nodig met een concentratie van 22%. Hij heeft de beschikking over een Àes met een natriumoplossing van 15% en een Àes met een natriumoplossing van 30%. Hoeveel ml van ieder van deze oplossingen moet hij mengen om 600 ml natriumoplossing met een concentratie van 22% te krijgen?

© Noordhoff Uitgevers bv

Gemengde opgaven 193

4 Meetkunde 36 In driehoek ABC in ¿guur G.3 is DE evenwijdig

C

met AB en is S het snijpunt van AE en DB. Verder is AB = 5, AD = 3, CD = 5 en BD = 5. Bereken DS. 5

D

E

3

5

S

A

B

5

¿guur G.3

37 Gegeven is de rechthoekige driehoek ABC in

C

¿guur G.4 met “A = 45°. Het punt D ligt op AB zo, dat “BDC = 55°. Verder is BD = AD + 2. Bereken in twee decimalen nauwkeurig AB en CD.

A

55º

45º

x

x+2

D

B

¿guur G.4

38 Bereken in één decimaal nauwkeurig de omtrek

C

van driehoek ABC in ¿guur G.5. 48º 25º 6

A

62º D

B

¿guur G.5

194 Gemengde opgaven

© Noordhoff Uitgevers bv

39 Maaike wil van A naar B zeilen. De afstand van A naar B is

300 meter met een koers van 330°. Hierin is de koers de hoek ten opzichte van het noorden met de wijzers van de klok mee. Zie ¿guur G.6. Noord West

Oost

B 10 min

B Zuid

300 m

Noord

300 m

Noord 350º A

330º

A 330º

¿guur G.6

¿guur G.7

Na 1 minuut zeilen merkt Maaike dat ze van de koers is afgeweken. In plaats van met een koers van 330° te varen heeft ze met een koers van 350° gevaren. Zie ¿guur G.7. Gedurende deze minuut heeft ze 100 meter afgelegd. Maaike stelt haar koers bij en zeilt nu rechtstreeks naar B. Bereken hoeveel meter Maaike extra heeft afgelegd. 40 Gegeven is het trapezium ABCD met S het

snijpunt van AC en BD. Verder is AD = BC = 2, “ADB = “ACB = 90° en “BSC = 30°. Zie ¿guur G.8. Bereken exact AB en CD.

D

C

2

2

30º

S

A

B

¿guur G.8 D

41 In ¿guur G.9 zie je een regelmatige vijfhoek

met zijn omgeschreven cirkel. De vijfhoek heeft zijde a en de straal van de cirkel is r. a Neem r = 10. Bereken a in één decimaal nauwkeurig. b Neem a = 5. Bereken in één decimaal nauwkeurig de totale oppervlakte van de gekleurde vlakdelen.

C

E M

r a

A

B

¿guur G.9

© Noordhoff Uitgevers bv

Gemengde opgaven 195

42 Gegeven is het parallellogram ABCD in ¿guur G.10

met AB = 14 en AD = 10. Verder staan AE en CF loodrecht op de diagonaal BD. De oppervlakte van het parallellogram is 112. Bereken exact de lengte van het lijnstuk EF.

D

C E

10

F A

B

14

¿guur G.10

43 Van een ruit is de zijde 10 en de oppervlakte 60.

Bereken exact de lengten van de diagonalen van de ruit.

E

N

D

M

5

44 De regelmatige zeshoek ABCDEF met zijde 5

past precies in de rechthoek KLMN. Zie ¿guur G.11. Bereken exact de oppervlakte van KLMN.

F

C

K

A

L

B

¿guur G.11

45 In ¿guur G.12 is in het vierkant ABCD met zijde

D

R

Q

C

5 de symmetrische zeshoek ABPQRS met AS = BP = QR getekend. De oppervlakte van de zeshoek is 15. Bereken exact de lengte van AS. S

P

x

A

B

5

¿guur G.12 D

46 In ¿guur G.13 is de regelmatige vijfhoek

ABCDE met zijde 1 getekend. De lengte van de diagonalen stellen we x. De diagonalen AC en BE snijden elkaar in het punt S. Je mag ervan uitgaan dat diagonalen van een regelmatige vijfhoek evenwijdig zijn met zijden van de vijfhoek. Bereken de exacte waarde van EC.

x

E

C

S A

1

B

¿guur G.13

196 Gemengde opgaven

© Noordhoff Uitgevers bv

C

47 Gegeven is de vierhoek ABCD met “A = 60°

en “C = 45°. Verder is “ADB = “CBD = 90°, zie ¿guur G.14. De oppervlakte van de vierhoek is 712 . Bereken exact BD en AB.

45º

D

B

60º A

¿guur G.14

48 Een cirkel met straal 2 rolt rond een regelmatige

vijfhoek met zijde 4. Daarbij blijft de cirkel tegen de vijfhoek gedrukt tot hij weer in zijn uitgangspositie is aangeland. Bereken exact de oppervlakte van het gebied dat tijdens deze omwenteling door de cirkel bestreken wordt.

¿guur G.15

© Noordhoff Uitgevers bv

Gemengde opgaven 197

Overzicht GR-handleiding Module Berekeningen op het basisscherm • Het basisscherm • Eenvoudige berekeningen • Mintekens • Haakjes • Tussenstappen • De toets [ANS] • Fouten verbeteren • De toets [ENTRY] / [REPLAY] • Breuken invoeren • Decimaal getal omzetten in breuk • Breuken vermenigvuldigen

vwo B deel 1 hoofdstuk 1 bladzijde 10

Formules, grafieken en tabellen • Formules invoeren • Gra¿eken plotten • Het standaardscherm • Formules uitzetten • De trace-cursor • Functiewaarden berekenen met de trace-cursor • Functiewaarden berekenen op het basisscherm • Tabellen maken • Tabelinstelling veranderen

vwo B deel 1 hoofdstuk 1 bladzijde 39

Toppen en snijpunten • Toppen van gra¿eken • Snijpunten van gra¿eken • Berekenen van nulpunten

vwo B deel 1 hoofdstuk 1 bladzijde 39

Helling • De richtingscoëf¿ciënt van een raaklijn

vwo B deel 1 hoofdstuk 2 bladzijde 60

Het gebruik van Ans en lettergeheugens • De toets [ANS] • Het gebruik van lettergeheugens

vwo B deel 1 hoofdstuk 4 bladzijde 141

Allerlei • Speci¿eke mogelijkheden van het merk/type GR

198 Overzicht GR-handleiding

© Noordhoff Uitgevers bv

Trefwoordenregister A

abc-formule 19 Abel, Niels 104 absolute waarde 15 afgeleide 72 afgeleide functie 72 afnemend dalend 50 afnemend stijgend 50 afstand van punt tot lijn 148 Al Khwarizmi, Mohammed ibn Musa 104 algebraïsch oplossen 19

evenwijdige lijnen 10 exact oplossen 19 extreem 25 extreme waarde 25 F

factor voor wortelteken brengen 19, 139 Ferrari, Ludovico 104 Ferro, Scipio del 104 F-hoeken 145 functievoorschrift 10 G

B

Babylonisch rekenen 21 bereik 26 bereken exact 19 bergparabool 25 C

Cardano, Girolamo 104 constante functie 10 continu 69 continumakende waarde 70 cosinusregel 156 D

dalend 50 dalparabool 25 de¿nitie 148 differentiaalrekening 83 differentieerregels 73 differentiequotiënt 52 differentiëren 73 discriminant 19 domein 26 E

elimineren door optellen of aftrekken 109 elimineren door substitutie 109 Euler, Leonhard 104 © Noordhoff Uitgevers bv

Galileo Galileï 63 Galois, Evariste 104 gebroken vergelijking 118 gelijkvormige driehoeken 144 gemeenschappelijke raaklijn 148 gemiddelde snelheid 52 gemiddelde verandering 52 gemiddelden 129 geocaching 158 gesloten interval 26 gra¿sch-numeriek oplossen 38 H

harmonisch gemiddelde 129 helling van gra¿ek 60 helling van lijn 53 hellingfunctie 64 hellinggra¿ek 64, 90 hogeremachtswortel 100 horizontale lijn 10 Hudde, Johannes 76 I

inverse 29 invoeren van oplossing 121 isoleren 120 K

Khayyam, Omar 104 kruiselings vermenigvuldigen 118 kwadraatafsplitsen 18 kwadratische functie 25 kwadratische ongelijkheid 98 kwadratische vergelijking 18 L

limiet 70 lineair verband 13 lineaire functie 10 lineaire ongelijkheid 9 lineaire vergelijking 8 lineaire vergelijking met twee variabelen 96 M

maximum 25 merkwaardige producten 48 minimum 25 modulus 15 modulusfunctie 15 modulusvergelijking 107 O

omgekeerde stelling van Thales 147 omklappen van teken 9 oneindig groot interval 27 ononderbroken kromme 69 open interval 27 oppervlakteformules 160

interval 26 inverse functie 29

199

P

parabool 25 parameter 22 parameters met GeoGebra 36 perforatie 70 plotten 38 productregel voor het differentiëren 78

U

uitdelen 128 uitdrukken in 13 V

variabele 8 voldoen 8 vrijmaken van variabele 130 W

Q

quotiëntregel voor het differentiëren 79 R

wortelvergelijking 120 Z

Z-hoeken 145 zijde × hoogtemethode 166

raaklijn 59 raaklijn aan cirkel 148 raakpunt 89 raken 59 regels voor het differentiëren 75 richtingscoëf¿ciënt 10, 13 S

sinusregel 152 snelheid op één moment 56 somregel voor het differentiëren 74 stelling van Thales 147 stelling 148 stijgend 50 substitueren 35 substitutie 114 T

Tartaglia, Nicolo 104 Thales van Milete 149 tijd-afstandformule 56 tijd-afstandgra¿ek 52 toenemend dalend 50 toenemend stijgend 50 top van parabool 25 tweedegraadsfunctie 25 tweedegraadsvergelijking 18 tweedemachtswortel 100

200 Trefwoordenregister

© Noordhoff Uitgevers bv

Verantwoording Fotoresearch: B en U International Picture Service, Amsterdam Illustratieverwerving: Haasart, Wim de Haas, Rhenen Technisch tekenwerk: OKS, Delhi (India)

Colofon Omslagontwerp: In Ontwerp, Assen Ontwerp binnenwerk: Ebel Kuipers, Sappemeer Lay-out: OKS, Delhi (India)

Foto’s Hollandse Hoogte, Amsterdam: blz. 6–7, 94–95 Gerrit de Jong, Middelburg: blz. 15, 36, 37, 39, 40, 43, 57, 58, 67, 89, 90, 96, 122, 123, 142, 153, 156, 164, 187 Shutterstock: blz. 25, 55 Getty images: blz. 46–47 WFA, Den Haag: blz. 63, 76, 83, 104 Alamy/Imageselect, Wassenaar: blz. 136–137, 149, 158 Reuters/Jason Reed, Berlijn: blz. 165 Stichting Nederlandse Wiskunde Olympiade, Arnhem: blz. 178, 179, 183

1 / 15

Met betrekking tot sommige teksten en/of illustratiemateriaal is het de uitgever, ondanks zorgvuldige inspanningen daartoe, niet gelukt eventuele rechthebbende(n) te achterhalen. Mocht u van mening zijn (auteurs-)rechten te kunnen doen gelden op teksten en/of illustratiemateriaal in deze uitgave dan verzoeken wij u contact op te nemen met de uitgever.

© 2014 Noordhoff Uitgevers bv, Groningen, The Netherlands. Behoudens de in of krachtens de Auteurswet van 1912 gestelde uitzonderingen mag niets uit deze uitgave worden verveelvoudigd, opgeslagen in een geautomatiseerd gegevensbestand of openbaar gemaakt, in enige vorm of op enige wijze, hetzij elektronisch, mechanisch, door fotokopieën, opnamen of enig andere manier, zonder voorafgaande schriftelijke toestemming van de uitgever. Voor zover het maken van reprogra¿sche verveelvoudigingen uit deze uitgave is toegestaan op grond van artikel 16h Auteurswet 1912 dient men de daarvoor verschuldigde vergoedingen te voldoen aan Stichting Reprorecht (Postbus 3060, 2130 KB Hoofddorp, www.reprorecht.nl). Voor het overnemen van (een) gedeelte(n) uit deze uitgave in bloemlezingen, readers en andere compilatiewerken (artikel 16 Auteurswet 1912) kan men zich wenden tot Stichting PRO (Stichting Publicatie- en Reproductierechten Organisatie, Postbus 3060, 2130 KB Hoofddorp, www.stichting-pro.nl). All rights reserved. No part of this publication may be reproduced, stored in a retrieval system, or transmitted, in any form or by any means, electronic, mechanical, photocopying, recording or otherwise without prior written permission of the publisher. ISBN 978-90-01-84232-1