Getal & Ruimte havo D deel 3 [deel 3, 11e ed.] 9789001842109 [PDF]

Zitiervorschau

NOORDHOFF vins EUS

GETAL& RUIMTE havo D deel 3

ELFDE EDITIE, 2015

J.H. Dijkhuis C.J. Admiraal

J.A. Verbeek G. de Jong H.J. Houwing J.D. Kuis F. ten Klooster

S.K.A. de Waal J. van Braak J.H.M. Liesting-Maas M. Wieringa M.L.M. van Maarseveen R.D. Hiele J.E. Romkes M. Haneveld S. Voets L Cornelisse

Noordhoff Uitgevers Groningen

Voorwoord Aan de docent(e),

Het boek havo D deel 3 Samen met de delen l en 2 van havo wiskunde D bevat dit boek de leerstof van havo

wiskunde D, zoals dat door Getal & Ruimte is ingevuld op grond van het programma dat met

ingang van het jaar 2015 is vastgesteld. De totale studielast voor het vak havo wiskunde D is 320 uur. Elk van de delen 1, 2 en 3 bevat vier hoofdstukken.

In de hoofdstukken van dit boek komen de domeinen B: Statistiek en kansrekening, D: Wiskunde in technologie en E: Keuzeonderwerpen aan de orde. De hoofdstukken 9, 11 en 12 bevatten door Getal & Ruimte ingevulde onderwerpen in het

kader van de domeinen D en E. Het is dus mogelijk een of meer van deze hoofdstukken te vervangen door een zelf gekozen onderwerp. Elk hoofdstuk van dit boek heeft een studielast van ongeveer 25 uur. In hoofdstuk 10 Toetsen van hypothesen wordt het subdomein B5: Toepassingen van statistische verwerkingsmethoden behandeld. Het hoofdstuk sluit aan op de hoofdstukken 5 en 7 van havo D deel 2, waar de binomiale en de normale verdeling zijn besproken. Naast toetsen bij de normale verdeling en de binomiale verdeling is er in de laatste paragraaf ruimte voor de toets van Wilcoxon. Zoals gezegd komen in de hoofdstukken 9, 11 en 12 onderwerpen aan de orde die door Getal & Ruimte zelf zijn ingevuld. Het betreft onderwerpen uit de analyse die leerlingen in exacte vervolgstudies ongetwijfeld zullen tegenkomen. In hoofdstuk 9 Afgeleide en tweede afgeleide worden de productregel, de quotiëntregel en de (uitgebreide) kettingregel voor het differentiëren behandeld. Daarna komt de tweede afgeleide met het begrip buigpunt aan de orde. De tweede afgeleide speelt ook een rol bij berekeningen over afgelegde afstand, snelheid en versnelling. Daarbij maakt de leerling ook voorzichtig kennis met primitieve functies. In hoofdstuk 11 Periodieke functies komen de tangensfunctie, harmonische trillingen en het

differentiëren van goniometrische functies aan de orde. Ook moeten enkele modellen worden opgesteld waarin de variabele een hoek is. In hoofdstuk 12 Functies met e-machten en natuurlijke logaritmen worden ook de afgeleiden van exponentiële en logaritmische functies behandeld. Verder wordt aandacht besteed aan het omwerken van formules. Daarmee geven de hoofdstukken 9, 11 en 12, naast een uitbreiding van de analyse van havo wiskunde B, ook een flinke ondersteuning van dat vak.

Zoals altijd stellen we op- en aanmerkingen van gebruikers zeer op prijs. voorjaar 2015

© Noordhoff Uitgevers bv

Legenda 1

©

Voorkennis

Kennis van enkele onderwerpen uit wiskunde B of uit voorgaande hoofdstukken die je in het hoofdstuk paraat moet hebben.

Oriënterende opgave

Opgaven waarmee je je oriënteert op de theorie erna.

EO

oe rj Testopgave

Een T-opgave volgt na een theorieblok. Als je de theorie en het voorbeeld goed begrijpt, dan kun je de testopgave maken. Gaat dit foutloos, dan mag je verder gaan met de opgave die achter » » staat.

@ Gewone opgave

Na de theorie ga je oefenen met de gewone opgaven.

EB

Reflecterende opgave

In een reflectie-opgave kijk je nog eens terug op een voorgaand probleem.

Afsluitende opgave

De afsluitende opgaven geven het beoogde beheersingsniveau aan. ED

Denkopgave Een D-opgave doet een extra beroep op je denkvermogen. De denkopgave hoort bij de behandelde theorie, maar vaak wordt in de opgave een probleem op een iets andere manier gepresenteerd. De GR]

Verwijzing naar een module in de handleiding bij de grafische rekenmachine. [> WERKBLAD]

Verwijzing naar een werkblad.

© Noordhoff Uitgevers bv

Inhoud Afgeleide en tweede afgeleide Voorkennis Gebroken vormen Det 9.2 9.3 9.4

10

10.1 10.2 10.3 10.4 10.5

11

Periodieke functies

TL LLZ

Voorkennis Sinusoïden 88 Trillingen 89 De tangens en goniometrische

6

De productregel en de quotiëntregel

De kettingregel 16 De tweede afgeleide 23 Snelheid en versnelling 27 Diagnostische toets 34

Toetsen van hypothesen

6 10

formules

11.3 114

36

Voorkennis De binomiale verdeling en de normale verdeling 38 Discrete en continue verdelingen 42 Beslissen op grond van een steekproef 49 Eenzijdig en tweezijdig toetsen 58 Binomiale toetsen 65 De toets van Wilcoxon 76 Diagnostische toets 84

12

97

Goniometrische functies differentiëren 105 Goniometrische modellen Diagnostische toets 1/8

111

Functies met e-machten en natuurlijke logaritmen 120 Voorkennis Machten, logaritmen en

12.1 12.2 12.3

differentiequotiënten 122 Het grondtale 125 De natuurlijke logaritme 133 Formules met e-machten en natuurlijke logaritmen 741 Diagnostische toets 146

Kangoeroe-opgaven

148

Gemengde opgaven 158 Overzicht GR-handleiding Trefwoordenregister 173 Verantwoording 175

© Noordhoff Uitgevers bv

86

172

n met de productregel, ntregel

en de kettingregel. le afgeleide is en welke

n hij } n 1357 km/uur.

informatie de: Nat

buigpunte

en

hoe

je

hiervan de

de Alan Eus n afgelegde j

-

van een versnelling

en de snelheid op het tijdstip t 322 km/uur.

Afgeleide en tweede afgeleide

Voorkennis Gebroken vormen Theorie A Gebroken functies De grafiek van de gebroken functie f(x) =

3x + 1

6 heeft een

verticale en een horizontale asymptoot. De verticale asymptoot vind je door de noemer nul te stellen. Dit geeft 2x — 6 = 0 ofwel 2x = 6, dus de verticale asymptoot

is de lijn x= 3. Voor de horizontale asymptoot bedenk je dat voor grote x het getal 1 in de teller te verwaarlozen is ten opzichte van de 3x. En in de noemer is de —6 te verwaarlozen ten opzichte van de 2x.

Dus voor grote x is f(x) =EN = ER

figuur 9.1 fx) =

26)

| Ook voor sterk negatieve x

ne

B

krijgje /) == 1 Hieruit volgt dat de horizontale asymptoot de lijn y= 1} is. Asymptoten bij gebroken functies Verticale asymptoot Los de vergelijking noemer =0 op. Horizontale asymptoot Beredeneer wat de functiewaarde wordt voor grote x.

Voorbeeld Stel de formules op van de asymptoten van de grafiek van f(x) = en Uitwerking

noemer = 0 geeft 16 — 2x =0 16 a De verticale asymptoot is de lijn x= 8. Voor grote x is f(x) EN =

=-2, dus de horizontale asymptoot is de lijn y =-2.

Stel de formules op van de asymptoten van de grafiek. sei

a AO

DE

Gegeven is de functie fo

EEL Xeen|

_x+5

ze

_ 12

Oer

3x

a Beredeneer dat de grafiek van f geen verticale asymptoot heeft. b Beredeneer dat de x-as de horizontale asymptoot is van de grafiek van f. 8

Hoofdstuk 9

© Noordhoff Uitgevers bv

3

Stel de formules op van de asymptoten van de grafiek van x+3 2) dd

Theorie B Gebroken vergelijkingen Je kent de volgende regels voor het algebraïsch oplossen van gebroken vergelijkingen. A * —=0 geeft 4=0 B

A , —=C geeft E gee A= BC A

.

BD

C

A C in geek Ù

t

B

B

A A NR BC geeft 4 ES =0 v BG

geeft AD = BC

Voorbeeld Los algebraïsch op. me

ks

«+4?

«+4?

7?

Uitwerking Di

2x

a Serg

—

X

geeft

280 —4)= er De 4) 0 +

Be

vold._vold. _ ———jij P-8

31 ofwel vB

+4)?

2

x+8x+16

5

mn Ga bij het oplossen van een

vergelijking na of 5erebroken he geen noemer nul wordt voor de gevonden waarden van x.

2

Ux? — 2x 8) = 5x? + 3x + 16) 2x? — Ax — 16 = 5x? + 4Ox + 80 3x? + 4x +96 =O

D=44?—4-3-96=784

MAB 6

vold. 4

MB6

„22

vold.

Los algebraïsch op. xt4r5

+ 1?

=û

tds

=4

(«+ DD? © Noordhoff Uitgevers bv

9

Mtr EED? Mtd DE Afgeleide en tweede afgeleide

9.1 De productregel en de quotiëntregel ©

Gegeven zijn de functies f(x) =x?, g(x) = Ix — 7 en pe) =d)" 8x). a Bereken p'(x). b Onderzoek of p'(x) = f'(x)" g(x). e Laat zien dat p'(x) =f'(x)" g(x) +f(x)" 2'(x).

Theorie A De productregel van het differentiëren Het product van de functies fen g is de functie p(x) =f(x): g(x). Om de functie p te differentiëren, gebruik je de productregel.

1

pW =f@)"g@) geeft p'(x) = f'(x)" 3) + f(0)" 8')

Afgeleide eerste keer tweede

In het volgende voorbeeld wordt de afgeleide van de functie f(x) = (x? — 4x? + 2x + 3) met de productregel berekend. Bij deze functie is f'(x) ook te berekenen door eerst de haakjes bij f(x) weg te werken. Maar bij een functie als g(x) = 4x 3x — 1 lukt dat niet. Hoe je dit soort functies differentieert leer je in paragraaf 9.2.

plus

eerste keer afgeleide tweede.

In het voorbeeld komt de notatie [x? — 4]' voor. Hiermee wordt de afgeleide van x? — 4 bedoeld. Dus [x? — 4]'= 2x,

Voorbeeld Bereken de afgeleide van f(x) = (x? — 4)(x? + 2x + 3). Gebruik de productregel. g(x) =x? + 2x + 3 geeft

Uitwerking

JL)

==? — 4

+ 2x + 3) geeft

POEP 2e +3) + 2-4) + 2e +3 =2x(X + 2x + 3) + (Xx — 4x? + 2)

0

Bereken met de productregel de afgeleide van de volgende functies. Je mag in het antwoord de haakjes laten staan.

a fw) =xQx- 1)

b zg) = 2x? — 3) 8

+3)

wordt ook genoteerd als

[3 + 2x + 3]= 3x? +2,

De productregel in het kort is

etek

enke

d jw) = (2) + DG — 1)

Differentieer met de productregel. Je mag in het antwoord de haakjes laten staan. a fw)=(2- HLT) Ce A) =H + x)

b ga) = (2x 10

e AD) =D

3) = 322

Hoofdstuk 9

5)

d jw) = (Gr? — 47

© Noordhoff Uitgevers bv

Toon aan dat de differentieerregel

3) = cf) geeft 2x) = C° fx)

direct uit de productregel volgt.

CO

Gegeven is de functie fox) =S , Rob zegt f'(x) =

» Xx

E

+2] 2x LT =3 = 2.

Judith zegt 2

)

Jor

3

wege geeft f'@)=l-2tel- 53 Xx

Licht toe dat Rob ongelijk heeft.

Theorie B De quotiëntregel Het quotiënt van de functies ((%) = 2x? + 1 en n(x) = 3x + 5 is de . 1x) _ +1 functie q(x) = HE

TE

sn

Om de afgeleide van q te berekenen gebruik je de quotiëntregel. Deze regel ga je in opgave 6 bewijzen. |

_

ee

nt)

1)

a) = PE) geeft q'(x) Te

n (%)

Om de quotiëntregel makkelijk te kunnen onthouden, kun je hem als volgt schrijven. nat betekent noemer maal afgeleide teller. LE] ee en meat min ten € nl m2 n 72 ' t-an betekent teller maal afgeleide noemer. n us q) =S

Dus

Ee

16)

n

el

e eeft Á

t

ee

n°

_Gx+5)-[2? +1] (22+ 1): Br +5]

Gx +5}

De quotiëntregel in het kort is tE] nt'—tn ) rk

me

_ Gr +5)-4r-(L2+1)-3

Gr +5? _ 122 +20 6223 Gx+ 5? _62+20x-3 (Gx+ 5}

© Noordhoff Uitgevers bv

Werk alleen in de teller

de haakjes weg.

Afgeleide en tweede afgeleide

11

Voorbeeld Pillerentieer

a f@)=

b e-

ETSl

nd afo)=

po

+1):0-3-4x

j geeft f'o)=

(22+

1)?

er

1x

(22 + 1?

Let op de haakjes.

BEG ©

T

ftg

geefs

e=

Gegeven is de functieeon q(x)

Gr-1):2-(Ar+1):3 6x-2-6x-3

Ex 1?

Gr?

-5

Gr?

15. 0d

Kruiselings vermenigvuldigen geeft q(x) * n(x) = f(x). a Differentieer beide leden. Gebruik voor het linkerlid de productregel. b Toon aan dat uit vraag a volgt q '(x) = e Gebruik g(x)= n

zit @

12

LG) —q)n'x) nx)

om q'(x) te herleiden tot

nl): 1) — 1) n'(x) (1(2))? '

Differentieer.

af

€ IOT

3x +2 bemi

‚ d jm

Hoofdstuk 9

6x —9

© Noordhoff Uitgevers bv

Bereken de afgeleide.

2

3x

3

a ÍO)=eri

eh)

x—2

RA

EE

IO

2

es

In de figuur hiernaast zie je een schets van de grafiek 2

van

f@)

==

xts

xl

a De lijn x= 1 is verticale asymptoot van de grafiek. Licht toe hoe dit uit de formule van f volgt. b Wat denk je, heeft de grafiek een horizontale

asymptoot? c Bereken met de GR de coördinaten van de twee toppen van de grafiek.

figuur 9.2

Theorie C Extreme waarden bij gebroken functies Bij het algebraïsch berekenen van extreme waarden van gebroken functies gebruik je de quotiëntregel. Zie het voorbeeld.

Voorbeeld

B

Bereken algebraïsch het bereik van f(x) = Ee Uitwerking

fm

==

dd

ne

gee [ge ft

Dr)

(2-2 +5) 1

LOSE

Dd GI)

f'w) =O geeft x? — 2x

(el)

h

3=0

+ D@-3=0

x=-lvx=3 vold. _ vold. max. is f(-1) =-4 en min. is f(3) =4 Dus B, =R behalve (-4,4). Merk op dat in het voorbeeld het minimum groter is dan het maximum. Je ziet dat een schets onmisbaar is.

Het bereik bestaat uit de twee intervallen (—,-4] en [4, >).

Dat is ook te noteren als (&—,-4] v [4, —). In deze notatie is het verenigingsteken w gebruikt.

© Noordhoff Uitgevers bv

Afgeleide en tweede afgeleide

13

@D Zie het voorbeeld.

a Stel langs algebraïsche weg de formule op van de raaklijn van de grafiek in het snijpunt van de grafiek met de y-as.

b Bereken algebraïsch de coördinaten van de punten op de grafiek

waarin de richtingscoëfficiënt van de raaklijn gelijk is aan 3. x2

@ Gegeven is de functie fx) = En a Bereken algebraïsch de extreme waarden van fen geef het bereik. b Voor welke p heeft de vergelijking

x2

2

=p geen oplossingen?

c Stel langs algebraïsche weg de formule op van de raaklijn 4 in het puntA met x, = 6. d Bereken algebraïsch de coördinaten van de punten op de grafiek waarin de richtingscoëfficiënt van de raaklijn gelijk is aan -3.

®

: ; x-4 Gegeven is de functie fx) = EN a De grafiek van f snijdt de negatieve x-as in het punt A. Stel langs algebraïsche weg de formule op van de raaklijn k in A. b De grafiek van f snijdt de y-as in het punt B. Stel met behulp van de afgeleide de formule op van de raaklijn / in B. ec Er zijn twee punten op de grafiek van f met een horizontale raaklijn. Bereken algebraïsch de coördinaten van deze punten. x

A

ij

5x

Gegeven is de functie flx) = ERE

a Bereken algebraïsch de extreme waarden van fen geef het bereik. b Bereken algebraïsch de x-coördinaten van de punten op de

grafiek van f waarin de richtingscoëfficiënt van de raaklijn

gelijk is aan à.

CED De grafiek van de functie fx) =

x+px+2 +2

heeft een top

voor x =0. Bereken p en de coördinaten van de andere top.

14

Hoofdstuk 9

© Noordhoff Uitgevers bv

Terugblik De productregel

Voor het differentiëren van het product van twee functies gebruik je de productregel:

pe) = fl) gw) geeft p'x) = f'(x)" 82) +6)

8'C).

Bij f(x) = (x? + x)(2x? — ») krijg je L'@O)= tx} (2D) +) [2x] = (2x + I(2x? —x) + (Xx? + x)(4x — 1). De quotiëntregel

Voor het differentiëren van het quotiënt van twee functies gebruik je de quotiëntregel:

qe) = nd geeft q'(x) = deed aoe En De 5 6)

Bij fl) =d ,

krijgje

2

2-2

f'@=

AP

tr]

te

(2 - D?

Ie

(2x? 1

[2-1

AA?

Te

(2D

(AD) Ax (2

D?

-Iel

2-1

Extreme waarden bij gebroken functies

Bij het algebraïsch berekenen van de extreme waarden van de functie fa) =

X

5oe

…

los je de vergelijking f'(x) =O op en schets je de grafiek van f: :

_G2+1)-10-10x-2x

Je krijst f'@) = fiber

=

GZ 17

2

ES

B

+ DD

10x2+10-20x?

TD

-10x2+10

TD

ben dit geeft -10x? + 10 =0, dus x= 1 vx=-l.

Uit de schets volgt dat er bij x =-1 een minimum is en bij x= 1 een maximum. Je krijgt min. is f(-1) =-5 en max. is f(1) =5.

© Noordhoff Uitgevers bv

Afgeleide en tweede afgeleide

15

9.2 De kettingregel @B

Gegeven zijn de functies u(v) = v* en vx) =x° — 5x.

(0D

Gegeven is de functie flx) =(3x° + 7. Het functievoorschrift van fis te noteren als f(x) = u(v(x)) met u(v)= vt en vx) = 3 +7.

a Bereken v(3) en u(v(3)). b Bereken u(v(4)).

Noteer op dezelfde manier met functies u en v.

a fo)-G-x)

b fx) = vx +1 2

e f)=

+ 8)

Theorie A De afgeleide van een samengestelde functie De functie f(x) = (x? — 5x)“ is een voorbeeld van een samengestelde functie. De functie is samengesteld uit de schakels u(v)= vt en vx) =x? — 5x. Een functie die geschreven is als een ketting van schakels heet een kettingfunctie.

Voor het differentiëren van de functie f gebruik je de kettingregel. Kettingregel

Ff) = uv») geeft f'(x) = UW): v'@)

Bij f(@) = (@? — Sx)* krijg je f'@) = 4

— 5x)" (2x —5).

TED

Bij het differentiëren van f(x) = V3x° + 1 krijg je

JO) = NEE 1= Gt?+ 1) 1geeft

,

0) =7G ISet Or

Omdat van g(x) = vx de afgeleide is g'(x) =zE mag je in één keer opschrijven

S= EEFT

16

Hoofdstuk 9

geef Oer

fx) = (2 — 5x) is te schrijven als

{5} = u(vG0)), metu=v en v=x?— 5x.

5 ET:

e= xe? gee

de

(0)

3x

=

dll

gOeir=

2

2 ve

Jax +1

© Noordhoff Uitgevers bv

Voorbeeld Differentieer.

a [OT

b 2) =2x + [32 +4 € hx) =(4x +13 VA +1 Uitwerking

a fmD)= EEE

=5(2x? — 7x)* geeft

f'@)=-4 SHH — TI) (62 N= 2 b 2x) =2x+

3x? +4 geeft

ARN

rr

nk AE

€ hx) =(4x + 13 VA F1 = (4x + 1)P geeft

h')=3} (Ax + 1-4 = 144 + IP Ar +1 @ Bereken de afgeleide.

a IOT

NE

bg) =3x2— (lx 2)

e kl) = (23)+3

€ hd) (423

£ 1D= TE

Informatief De regel f(x) = (ax+ b)" geeft f'(x) =a: n(ax + b)" | Bij wiskunde B heb je gewerkt met de regel die hierboven staat. Zo krijg je met deze regel bij de

functie g(x) = (3x+ 1} de afgeleide g'(x)= 3-A(3x+ 1E = En bij de functie h(x) =

V3x+ 1 krijg je h'(x) =3-

(BX+ 1E

1 3 2WBxe1l 23xe

1

Hierbij heb je steeds te maken met een functie van de vorm f(x) = (ax+ b)®, dus met een lineaire vorm tot de macht n. Bij de notatie van de kettingregel fx) = ulv(x)) geeft f'(x) = u'(v(x))- v'(Xx) is v(x) dan van de vorm v(x) = aX + b. Je ziet dat de regel die je bij wiskunde B hebt geleerd een bijzonder geval is van de kettingregel.

© Noordhoff Uitgevers bv

Afgeleide en tweede afgeleide

17

Bereken de afgeleide.

af) A

val

+7Ix- 2

IP

b ZW) =S

e ko) = 52

c

f

(x? + 3x) hx) = =(«* (23 + 3x) 4

1x)

2

+? + Ax?

+4

PEA

@ Gegeven is de functie f(x) = (bx? — 2x). a

Schets de grafiek van f:

c

grafiek waarin de raaklijn horizontaal is. De lijn / raakt de grafiek van fin het punt A met x, = 6. Stel algebraïsch de formule op van /.

b Bereken algebraïsch de x-coördinaten van de punten van de

@D Gegeven is de functie fx) = (ix

1) —x+2.

a Bereken algebraïsch het bereik van f: b De lijn k raakt de grafiek van fen is evenwijdig met de lijn Ey =de. Stel langs algebraïsche weg een vergelijking op van K. Op de grafiek van f ligt het punt 4 met x,= 4. De horizontale lijn door A snijdt de grafiek van f ook in het punt B. Bereken in twee decimalen nauwkeurig de lengte van het lijnstuk 4B.

BE

Gegeven zijn de functies fx) = H(2x — 5)? + 2 en 2) = 4x — 104425. Het punt A(3, 25) ligt zowel op de grafiek van fals op de

grafiek van g. a Toon dit aan. b Emma beweert dat de grafieken van fen g in het punt A een gemeenschappelijke raaklijn hebben. Onderzoek langs algebraïsche weg of Emma gelijk heeft. Er zijn twee punten op de grafiek van f waar de richtingscoëfficiënt van de raaklijn gelijk is aan 135. Bereken algebraïsch de coördinaten van die punten.

AED

Gegeven is de functie flx) = VX? +9 —x? + 5x.

a De lijn k raakt de grafiek van fin het punt A met x, = 4. Stel algebraïsch de formule op van K. b Onderzoek met de afgeleide of de grafiek een horizontale raaklijn heeft voor x= 3. De lijn / raakt de grafiek vanf en is evenwijdig met de lijn m: y= 5x — 2. Stel algebraïsch de formule op van /.

y

B figuur 9.3

18

Hoofdstuk 9

© Noordhoff Uitgevers bv

A)

Bij een autorally leggen de deelnemers een parcours af dat gedeeltelijk over een terrein zonder wegen en gedeeltelijk over onverharde wegen gaat. In figuur 9.4 zie je een gedeelte van het parcours. De deelnemers rijden van A naar B. Punt B ligt 2 km oostelijk en 10 km zuidelijk van A. Tussen C en B ligt een onverharde weg, waar met een gemiddelde snelheid van 100 km/uur wordt gereden. Ten westen van deze onverharde weg is ruw terrein, waar de gemiddelde snelheid 80 km/uur is. Een deelnemer kan rechtstreeks van A naar B, maar

bijvoorbeeld ook via C naar B gaan. In het laatste geval is hij ongeveer 9 seconden eerder in B dan wanneer hij rechtstreeks van A naar B rijdt. a Toon dit aan. Het is ook mogelijk dat een deelnemer vanaf A schuin doorsteekt naar de onverharde weg tussen C en B en daarna zijn weg vervolgt over de onverharde weg richting B. Stel hij komt daarbij x km ten zuiden van C uit.

Dan geldt t= Bve +4 + 0,1 —0,01x. Hierin is t de tijd in uren

die de deelnemer over de afstand tussen A en B doet. b Toon aan dat deze formule juist is. ce Bereken exact voor welke waarde van x de tijd t voor de deelnemer minimaal is. Hoeveel seconden scheelt het met de situatie waarin hij via C naar B gaat?

CED) Bereken algebraïsch voor welke waarde van a de functie

{0 = (ax — 2)* + Fax een extreme waarde heeft voor x= 3.

OB

Gegeven is de functie flx) =x 2

+1.

Voor het berekenen van de afgeleide heb je de productregel én de kettingregel nodig. Licht dit toe.

Theorie B De kettingregel gecombineerd met de productregel of de quotiëntregel De functie f(x) = x°/2x° + 1 is het product van de factoren x® en v2x? + 1. Daarom gebruik je bij het differentiëren de productregel.

fl

eee

Om de afgeleide van 2x? + 1 te berekenen heb je de kettingregel nodig. Zie het voorbeeld op de volgende bladzijde. Daar zie je ook dat je bij het x+6 differentiëren van de functie g(x) = de kettingregel combineert met de v8x+9 quotiëntregel.

© Noordhoff Uitgevers bv

Afgeleide en tweede afgeleide

19

Voorbeeld Differentieer.

a f@)= +1 __x+6

b 20) 5 Uitwerking

a f@)=x222 +1 geeft

PONET

b 20)

tT DE

te

REET +

zite 1—(x+6) a 2E

8

geeft Kals

se

_Sx+O9-Ax+6)

(8x+9)VBr+9

Oel

Ber96) V&D

vs

(\Bx +9)

2x4

Tro

Extr

24

Var

4x — 15

(Bx+9VBr+9 (Bx +9)

Er +9

Je kunt de afgeleide van voorbeeld a als volgt herleiden. HN

=

A2

Zal+

2x

Le E+N) NDE

@ Differentieer.

a fx) =xv3x+

22

ZG Vaal va

De

1

2e

en

En

2x

Br va 1

1

x2 +1

b EO or

c h(x) =x(3x + 1)

21

UD

@D Gegeven is de functie flx) = haar + 1.

Stel langs algebraïsche weg de formule op van de lijn k die de grafiek van f raakt in het punt A met x,=8.

20

Hoofdstuk 9

© Noordhoff Uitgevers bv

@) Gegeven is de functie flx) = x/8 — 2x. In figuur 9.5 zie je een schets van de grafiek van f. a Bereken het domein van f.

wm

STE

b Toon aan dat f'(x) = VE

ce Bereken exact de coördinaten van de top van de grafiek van fen geef het bereik van f: d Op de grafiek van f ligt het punt A waarin de raaklijn richtingscoëfficiënt 1 heeft. Bereken algebraïsch de coördinaten van A. figuur 9.5 f(x) =xV8 2x

(ACE)

Gegeven is de functie flx) =

x+1

dA

+4

a Bereken exact de coördinaten van de top van de

grafiek van f. b De grafiek van f snijdt de v-as in het punt 4. De lijn k raakt de grafiek van f'in A en snijdt de x-as in het punt B. Bereken algebraïsch de oppervlakte van AOAB.

A

Oo

xl figuur 9.6 f(x) = Ver

(AED

Gegeven is de functie flx) =2x/9 — 2x — 3. De grafiek van f snijdt de y-as in het punt A. a Stel algebraïsch de formule op van de raaklijn k in A. b Bereken exact het maximum van f: ec Bereken het domein en geef het bereik van f. d Het punt B ligt op de grafiek van f: De raaklijn in B is

evenwijdig met de lijn y = Ijx.

Bereken algebraïsch de coördinaten van B. Cr

3

Gegeven is de functie f(x) = E Te

J

£

Oo A

figuur 9.7 flx) =2xv9 — W-3

De y-coördinaat van de top van de grafiek van fis te schrijven als ÁIJ We Bereken a, ben c.

t

RED Gegeven is de functie q(x) = JEL nx)

Toon de quotiëntregel aan door te gebruiken

4) = 1)" (16)!

© Noordhoff Uitgevers bv

Afgeleide en tweede afgeleide

21

Terugblik De kettingregel

Een functie die geschreven is als een ketting van functies heet een kettingfunctie of een samengestelde functie. Zo is de functie f(x) = vx? + x te schrijven als f(x) = u(v(x)) met de schakels u = v en v=x? tx. Bij het differentiëren van kettingfuncties gebruik je de kettingregel:

{) = ul) geeft f'(x) = UW): vx).

Dus de afgeleide van een kettingfunctie is het product van de afgeleiden van de afzonderlijke schakels. 2x + Gree

Bij fo) = Az krijgje f'G)=RE

1

De productregel en de kettingregel

Bij het differentiëren van h(x) = xvx® + x gebruik je de productregel.

In de berekening komt [x? + x]' voor. Deze afgeleide bereken je met de kettingregel. Je krijgt h' h'oo)=l: VX 2 rxe DE

2x +1) 7 rx (Atlj= yr LE rx

7 tit

tx

Ee

De quotiëntregel en de kettingregel

Bij het differentiëren van de functie k(x) =

2

T i

X

gebruik je de quotiëntregel.

In de berekening komt [x? + x]' voor. Deze afgeleide bereken je met de kettingregel. Je krijgt

1 +1) NEE

LD

WO)

(2x F1)

vx? Zr

—

.

1

Geel?

2x +1

CD

Tr

(«+ 1)?

en

at tx

_@rI@r+l)PF) Mrt 2 1 — 2? — 2e 2x + 1? Vr tx

_

22

x+1

rte

Hoofdstuk 9

err

_

2

Ux + 1? yr tx

1

Det

© Noordhoff Uitgevers bv

9.3 De tweede afgeleide ©)

In figuur hiernaast is de grafiek van de functie f met enkele raaklijnen getekend. a Sommige van de getekende raaklijnen raken de grafiek van f aan de bovenkant, andere raken de grafiek aan de onderkant. Voor welke waarden van x raken de raaklijnen aan de bovenkant? b Van links naar rechts over de grafiek nemen de richtingscoëfficiënten van de raaklijnen eerst af en daarna weer toe. Geef de coördinaten van het punt waar de e

overgang van afname naar toename plaatsvindt. Vul in. Voor afnemende f'(x) raken de

2 _s 4 figuur 9.8

raaklijnen de grafiek van f'aan de … kant. Voor toenemende f'(x) raken de raaklijnen de grafiek van faan de … kant.

Theorie A Buigpunt en buigraaklijn In figuur 9.9a zie je een grafiek die de bolle kant naar beneden heeft. In plaats van “de grafiek heeft de bolle kant naar

y

beneden’ kun je ook zeggen

A a

In figuur 9.9b zie je een grafiek die de bolle kant naar boven heeft. In plaats van “de grafiek heeft de bolle kant naar boven’ kun je ook zeggen * elke raaklijn ligt boven de grafiek (behalve in het raakpunt) * de afgeleide is dalend.

b

In figuur 9.9c zie je een grafiek die in het linkerdeel de bolle kant naar beneden heeft en in het rechterdeel de bolle kant naar boven. Deze delen sluiten in het puntA op elkaar aan. In het punt A geldt dus *_de raaklijn ligt links van het punt A onder de grafiek en rechts van het punt 4 boven de grafiek * de afgeleide heeft een maximum voor x =x4.

S

* elke raaklijn ligt onder de grafiek (behalve in het raakpunt) * de afgeleide is stijgend.

y

d Oo figuur 9.9

Het punt A heet een buigpunt. In figuur 9.9c gaat de grafiek in het buigpunt over van toenemend stijgend in afnemend stijgend.

© Noordhoff Uitgevers bv

Afgeleide en tweede afgeleide

23

Ook bij de overgangen * van afnemend stijgend naar toenemend stijgend * van afnemend dalend naar toenemend dalend «van toenemend dalend naar afnemend dalend heb je te maken met een buigpunt. Zie figuur 9.10.

a

b

e

figuur 9.10 De vier mogelijkheden voor een buigpunt.

Merk op dat in elk van de vier gevallen de afgeleide een extreme waarde heeft. |

De grafiek van f heeft een buigpunt als de afgeleide f' een extreme waarde

heeft.

Om buigpunten algebraïsch op te sporen bereken je dus de extremen van f'. Je hebt dan de afgeleide van f’ nodig. De afgeleide van f’ heet de tweede afgeleide van fen wordt genoteerd als f”. Uitspraak: f dubbel accent. De raaklijn in een buigpunt heet buigraaklijn. Voor het berekenen van de coördinaten van buigpunten gebruik je het volgende werkschema. Werkschema: berekenen coördinaten buigpunten 1

Bereken f'(x) en f'(x).

2 Los de vergelijking f(x) =0 op. 3 Schets de grafiek van f: 4 Kijk in de schets of oplossingen van f'(x) =O buigpunten opleveren.

Voorbeeld Bereken exact de coördinaten van de buigpunten van de grafiek van

fr la

As.

Uitwerking

fte

SO

fl) Nee

As

64

f'(x) =0 geeft” —x—6=0

+2)

3) =0

x=-2vx=3

SCD) =-1% en f3)=-7À

Uit de schets volgt dat (-2,-121) en (3,-73) de buigpunten zijn.

24

Hoofdstuk 9

© Noordhoff Uitgevers bv

® ®

Bereken exact de coördinaten van de buigpunten van de grafiek

van f(x) =x° — 12x® + 30x? + 48x + 5.

Stel langs algebraïsche weg de formule op van de buigraaklijn k

van de grafiek van f(x) =}x® — 3x? + x + 4.

ED Gegeven is de functie flx) = hat — Ix3.

a Bereken algebraïsch de coördinaten van de buigpunten van de grafiek van f. b De grafiek van f heeft een horizontale buigraaklijn.

Toon dit aan.

D Gegeven zijn de functies f,0) = $x* — 2 a Neem p = 5 buigpunten b Neem p =6 buigpunten

+ px? —Sx 5.

en toon algebraïsch aan dat de grafiek twee heeft. en toon algebraïsch aan dat de grafiek geen heeft.

GED Gegeven zijn de functies f(x) = ix — 2 + px? — 5x — 5 van

opgave 37. Licht met behulp van schetsen van de grafieken van f," en f,/ toe dat de grafiek vanf, óf twee, óf geen buigpunten heeft.

(A&E)

Bereken exact voor welke waarden van p de S grafiek van

A) =x + px? + jx? + 10 twee buigpunten heeft.

Gegeven is de functie f(x) = (hx? — 4} — 5.

a De grafiek van f snijdt de y-as in het punt A. Stel algebraïsch de formule op van de raaklijn k in A.

b De grafiek vanf heeft één top.

f

Bereken algebraïsch de coördinaten van de top. ec Bereken exact de coördinaten van het buigpunt B van de grafiek van f.

figuur 9.11

CED Gegeven is dat de derdegraadsfunctie f(x) = ax? + bx? +ex+d

twee extreme waarden heeft. a Toon aan dat hieruit volgt dat b? > 3ac. b Toon aan dat de grafiek van elke derdegraadsfunctie precies één buigpunt heeft. ce Als de grafiek van een derdegraadsfunctie twee toppen A en B heeft, geldt voor het buigpunt C dat 2x, =x4 + xp. Toon dit aan.

© Noordhoff Uitgevers bv

Afgeleide en tweede afgeleide

25

Terugblik Bolle kant naar boven/beneden

y

De grafiek van de functie f hiernaast heeft een deel met de bolle kant naar boven en een deel met de bolle kant naar beneden. Bij het gedeelte van de grafiek met de bolle kant naar boven hoort een dalend deel van de grafiek van f’. Bij het gedeelte van de grafiek met de bolle kant naar beneden hoort een stijgend deel van de grafiek van f'.

f 0

%

De tweede afgeleide en buigpunt

Je * * * *

hebt van van van van

te maken met een buigpunt bij de overgangen toenemend stijgend naar afnemend stijgend afnemend stijgend naar toenemend stijgend afnemend dalend naar toenemend dalend toenemend dalend naar afnemend dalend. a/f

mg

A £

Je vindt een buigpunt door te berekenen waar waarde heeft. Je hebt dan de afgeleide van de De afgeleide van de afgeleide heet de tweede Los de vergelijking f'(x) =O op en schets de

Ï

A

'

1

f

de afgeleide een extreme afgeleide nodig. afgeleide. grafiek van f.

Bij de functie f(x) =x* — 4x® + Ax — 5 krijg je f')= 4 — 122 +4 f'@)= 12? — 24x f')=0 geeft 12x? — 24x =0 12x(x — 2) =0

Ì

ï

3 dl

x

x=0vx=2

Uit de schets van de grafiek van f volgt dat er bij zowel x = 0 als x= 2 een buigpunt is. De buigpunten zijn (0, -5) en (2,-13). Buigraaklijn

De lijn die de grafiek raakt in een buigpunt heet buigraaklijn. Bij de grafiek van f(x) =x* — Ax? + 4x — 5 stel je de formule van de buigraaklijn k in het punt (2,-13) als volgt op. kiy=axtbmeta=f"(2)=4:2°— 12:22 +4=-12, dus kip =-12x + b. Invullen van de coördinaten van het buigpunt (2,-13) geeft b=ll, dus k:y=-12x+ 11, 26

Hoofdstuk 9

© Noordhoff Uitgevers bv

9.4 Snelheid en versnelling Gegeven zijn de tijd-afstandformule s = 0,2? + 0,Lt en de snelheidsformule v = Ee

=0,4t + 0,1. Hierin is s in meter, v in

m/s en f in seconden met t > 0.

a Bereken de gemiddelde snelheid op het interval [1, 3]. b Bereken de snelheid op f= 4 en op =5.

c Hoeveel m/s is de snelheid toegenomen op het interval [4, 5}? En hoeveel m/s neemt de snelheid toe op het interval [5, 61? d Licht toe dat op elk interval [t‚ f+ 1] de snelheid evenveel

toeneemt.

Theorie A Afgelegde afstand, snelheid en versnelling Bij de tijd-afstandformule s = 1,3 + 4,1f met s in meter en t in

seconden krijg je de formule van de snelheid v door &

ar

dt

berekenen. Dus v= En NEN

ermee

,

sentier: weg, pad

velocité: snelheid accélération: versnelling

nen

Om de formule te krijgen van de snelheid waarmee v verandert, bereken je

dv de

De snelheid waarmee de snelheid verandert heet de versnelling en wordt genoteerd met a. dv

Je krijgta = En 2,6. Omdat v in m/s is en tin s, is a in ms = m/s? Merk op dat je de versnelling krijgt door de tweede

Bij afnemende snelheid is

afgeleide van s te nemen, dus a = en he

de versnelling negatief.

Bij de tijd-afstandformule s(f) met s in meter en f in seconden is de snelheid v(t) = s'(f) met v in m/s en de versnelling a(f) = s"'(f) met a in m/s?.

© Noordhoff Uitgevers bv

Afgeleide en tweede afgeleide

27

Voorbeeld Voor een autorit geldt de formule s(f) =-0,00028£ + 0,14£, Hierin is de tijd t in seconden met 0 < f < 300 en s de afgelegde afstand in meter. Bereken algebraïsch a voor welke t de snelheid maximaal is b vanaf welke t de versnelling minder is dan 0,1 m/s? Uitwerking

ds a v(h)= a

-0,00084£

2

v

+ 0,28

dn -0,00168t + 0,28 dt d- 0 geeft -0,00168t + 0,28 =O

-0,00168:=-0,28 = 166,66.

De snelheid is maximaal op t= 167.

o

167

300

b ad) = z =-0,00168: + 0,28 a Iz) =3

b 5+2tan(5x)=3 e_tan(3x) =tan(x — Jz) Uitwerking

a tan(2x— lx) = 3

b 5+2tan(tx)=3

ini

2tan(lx) =-2

3x

Webntken

tan(x) =-1

Wweintken

x=dntkein

Erin

x===

tken

c tan(3x) =tan(x — 1x)

ken

inkeer aken

x= lin +k:2n @

98

Bereken exact de oplossingen.

a tan(3x— tr) =13

d 3tan(drmy) = /3

b 1 -—tan(?x)=2

e 2+3-tan(krx) =5

e tan(Ex) = tan(2x — kr)

f_tan(Lm) =tan(rn(x— 1)

Hoofdstuk 11

© Noordhoff Uitgevers bv

@® Op het interval [O, 3x] is gegeven de functie f(x) =2 +tan(Ìx). a Geef van de grafiek van f een beginpunt, de periode en de asymptoten.

b Schets de grafiek van f: e De functie heeft één nulpunt. Bereken dit nulpunt in twee decimalen nauwkeurig. d De lijn y= 3 snijdt de grafiek van f twee keer. Bereken de exacte coördinaten van deze snijpunten.

@® Op het interval [O, 4x] is gegeven de functie f(x) = 1 — tan(3x). a Geef van de grafiek van f een beginpunt, de periode en de asymptoten.

b Schets de grafiek van f: e

Bereken exact de nulpunten van f.

d Los exact op f(x) 4. d Los op f(x) > x. Rond zo nodig af op twee decimalen.

Informatief De tangensfunctie De naam tangens komt van het Latijnse woord tangere, dat raken betekent. Teken je aan de eenheidscirkel een raaklijn in het punt A(1, 0) en snijdt het tweede been van de draaiingshoek a deze raaklijn in het punt B, dan geldt tan(a) = AB, immers

hiernaast. Door bij elke hoek a op de x-as het lijnstuk AB verticaal uit te zetten, ontstaat de grafiek van de

tangens.

© Noordhoff Uitgevers bv

Periodieke functies

OE)

Zie figuur 11.10 met de grafieken van y = sin(x), y =-sin(x), y= cos(x) en yv =-cos(x).

y

y

ALL y= ma

d Oo -1

3

Ed

[

figuur 11.10

Van elk van de onderstaande functies is de grafiek gelijk aan een van de bovenstaande grafieken. Onderzoek bij iedere functie welke grafiek erbij hoort.

fw) = sin(x) g(x) = cos(-x)

hx) = sin(x + qz)

kx) = sin(x +7)

Jo) = cos(a + Jr)

1x) = cos(x + 7)

Theorie B Goniometrische formules aantonen Het punt P ligt op de eenheidscirkel en de draaiingshoek van P is a. Zie figuur 11.11. Je weet xp = cos(a) en y‚ = sin(a).

Punt Q is het spiegelbeeld van P in de x-as, dus de draaiingshoek van Q is -a en ook geldt x= xp en

Yo

Yp. Dus

sina) = vg =-Yp =-sin(a) en

cos(a) = x= Xp = COS(4).

figuur 11,11

Het punt P ligt op de eenheidscirkel en de draaiingshoek van P is a. Zie figuur 11.12. Punt R is het beeld van P bij draaiing om O over

Er rad, dus de draaiingshoek van R is a +}, en ook geldt xp =-vp en vp = Xp. Dus

sin(a +) = vp =xp = cos(a) en cos(a + br) = xp =p =-sin(a). Door de formule sin(a + 4x) = cos(a) te schrijven als

cos(a) = sin(a + Ir) kun je deze gebruiken bij het omzetten van een cosinus in een sinus. Voor het omzetten van een sinus in een cosinus gebruik je de formule sin(a) = cos(a — lx). Deze formule toon je aan in opgave 22. Verder toon je in deze opgave aan dat sin(a + 7) =-sin(a) en cos(a + z) =-cos(q).

100

Hoofdstuk 11

figuur 11.12

© Noordhoff Uitgevers bv

Uit de definities van sin(a), cos(a) en tan(a) volgt direct sin(a) tan(a) = ‚ In opgave 23 toon je aan dat tan(-a) =-tan(a) cos(a)

Hieronder staan deze formules genoteerd met A in plaats van a. Hiermee geven we aan dat je voor A elke uitdrukking kunt invullen. Neem je in de formule cos(4) = sin(A + Jr) voor A de uitdrukking

2x — In, dan krijg je eos (2x — kx) =sin(2x — kr + Er) = sin (2x + Ar). sin(-A) =-sin(A) =sin(A) = sin(A + 7)

sin(A) = cos(A — Ir) cos(-A) = cos(A) =cOsS(A) = cos(A + 77)

cos(A) = sin (A +) _ sin(4)

he

cos(A)

Voorbeeld

Herleid -cos(2x — Ir) tot de vorm sin(ax + b). Uitwerking

zeos(2x — Er) = cos(2x — An + 7)= cos (2x + 27) = sin (2x +2 + A7) = sin (2x + Ik)

Î

=cOS(Á) = cos(A + 7) @

Î

cos(A) =sin(A + Jz)

Toon aan met behulp van de eenheidscirkel.

a cos(a — 7) = sin(a)

b sin(a +) =-sin(a) e

cos(a + 7) =-cos(a)

@® Toon aan tan(-a) =-tan(a).

@) a Herleid sin(x + #7) tot de vorm cos(ax + b). b Herleid cos(2x + Er) tot de vorm sin(ax + b). ce _Herleid -sin(3x — 27) tot de vorm cos(ax + b). d_Herleid -cos(4x + lr) tot de vorm sin(ax + b). @

a Herleid cos(4r — x) tot sin(x). b Herleid sin(-x — Ex) tot-cos(x).

© Noordhoff Uitgevers bv

Periodieke functies

101

BD

Herleid. a sin(-2x) + 3sin(2x)

e 3sin(x +k) — 2eos(x)

b cos(x— br) + 4sin(x)

d cos(2x— br) + 3sin(-2x)

Herleid. sin(3x)

5 cos($(x—7))

sin(3x + Er)

cos(-4x)

Voer in y, = (sin(x))}? + (cos(x))? en plot de grafiek in het venster met Xmin =-27, Xmax = 27, Ymin=-2 en Ymax =2.

Welk vermoeden krijg je?

Theorie C De formule sin?(A) + cos2(A) = 1 In de figuur hiernaast is de rechthoekige driehoek OPO in de eenheidscirkel getekend. De stelling van Pythagoras geeft PQ? + OQ? = OP?,

4

y

dus v? + xf = OP? Yp = ces) sin(a) zr

: 24+ (cos(a) Di (sin(a))*

5

Ed

T

OP= |

In plaats van (sin(a)? noteren we sin’(a).

Zo krijg je de formule sin(a) + cos(a) = 1. figuur 11.13

1

sin?(A) + cos(A) =1

Voorbeeld Herleid.

a (sin(x) + cos(x)) sin?) + 2 cosx) cos°(x)

Uitwerking

a (sin(x) + cos(x))? =

sin%%) + 2 sin(x) cos(x) + cos°(x) = sin?) + cos) + 2 sin(x) cos(x) = 1 + 2 sin(x) cos(x)

Je

cos°(x) : ( sin(x)

uitdelen tot

Hoofdstuk

11

cos(x) _ cos)

j- 2= tan?) +2

1e 2

l *

—5

2

kunt

uitdelen tot — + 2, kun . * … sin2(x) + 2c0s°(x)

sin?) + 2cos(x) _ sin?) + 2e0s(x)

cos(x)

102

Net zoals je

NE)

sin?) OSX)

© Noordhoff Uitgevers bv

@D Herleid.

a (sin(x) — cos(x))? 2sin%x) + cos°(x) cos°(x)

@D Herleid.

a sin(v)cos(x — tx) — cos(v) sin (-x — Lr)

b 2eosx)- (1 + tan’)

@

Uit sin(A) + cos(A) =1 volgt sin2(A) = 1 — cos®(A) cos?(A) = 1 — sin?(A) a Licht dit toe.

Door een van bovenstaande regels te gebruiken kun je fx) = sin(x) + 2eos(x) — 1 herleiden tot de vorm fx) =ecos(x) : (a — cos(x)).

b Toon dit aan en geef a. ce Bereken de exacte oplossingen van de vergelijking f(x) =O op [O, 2x].

EED

EED

a Druk sin) + 4cos(x) uit in cos(x).

b Druk 2 cos°x) + sin(x) — 2 uit in sin(x). e_ Druk 2 sin(x) + cos°(x) + cos(x) uit in cos(x).

Je kunt sin) + cos(x) wel uitdrukken in cos(x), maar niet in sin(x). a Licht dit toe.

b Hoe zit het met sin(x) + cos2(x)? En met 2 sin?) + 3 cos)?

CED

Bereken exact de oplossingen op [O, 27].

a 2eos(x)— Ssin(x) + 1=0 b 2sin?(x) =cos(x) + 1

© Noordhoff Uitgevers bv

Periodieke functies

103

Terugblik De functie f(x) = tan(x)

De functie f(x) = tan(x) is periodiek met periode z. De grafiek heeft op het interval [O, 2] twee

verticale asymptoten. Dat zijn de lijnen x= 41 en x= lin. Vergelijkingen van de vorm tan(A) = C met

C=3, 1-53, 53, 1, 3 kunje exact

oplossen.

Zo geeft de vergelijking 6 + 3-tan(2x +1) =5

V3-tan(2r +) =1 5 tan(2r +) == etin=êntken entken = al x=grtkjn

Bij het exact oplossen van vergelijkingen van de vorm tan(A) =tan(B) gebruik je tan(A) =tan(B) geeft A= B + kn. Goniometrische formules

Met de formules hiernaast is -sin (2x + 7) te herleiden tot de vorm cos(ax + b).

Je krijgt -sin(2x + In) = sin(2x + 1x) = cos (2x + zr). Ook kun je bijvoorbeeld 2 sin(x) + 3 cos(x) uitdrukken in

cos(x). Hierbij gebruik je de formule sin?(A) + cos®(4) = 1 in de vorm sin%(4) = 1 — cos°(A).

Je krijgt 2 sin?(x) + 3cos(x) = U1 — cos°(%)) + 3cos(x) = 2 — 2 cos°(x) + 3 cos(x). :

5

2sin(x) + 3cos(x),

Bij het herleiden van TED 5

2sin(x) + 3cos(x)

2sin(x)

3cos(x)

cos(x)

cos(x)

__cos(x)

Ze

104

Hoofdstuk 11

…

sin(A) = cos(A — Jr)

sin (A) + cos°(A) = 1 cos(-A) = cos(A)

—cos(A) = cos(A + 7)

cos(A) = sin(A + In) _ sin(4)

IDT cos(4) _

.

krijg je

2tan(x)

sin(-A) =-sin(A) =sin(4) = sin(4 + 7)

tan(-A) =-tan(A)

+3.

ante

© Noordhoff Uitgevers bv

11.3 Goniometrische functies differentiëren

CD«

Zet je GR op radialen en plot de grafieken van v, = sin(x) en van de numerieke afgeleide van v‚. b Welke standaardfunctie vermoed je dat de afgeleide is van f(x) = sin(x)?

Controleer je antwoord op de GR met tabellen. Plot de grafieken van y = cos(x) en zijn numerieke afgeleide. Wat is de formule van de afgeleide van v = cos(x), denk je? Controleer je antwoord met de GR. d Wat zijn de formules van de afgeleiden van y=sin(x— 2) eny =cos(x + 1), denk je? Controleer je antwoorden met de GR.

REE

Ploti

Plot2

mNYs sin(x)

Plot3

ENV 2E CV)sex

ved

z=x

Gegeven is y, = sin(ax). Neem voor y‚ de numerieke

afgeleide van y‚. a Neem a = 2 en plot de grafieken van yv, en yv. Geef van beide sinusoïden de periode en de amplitude. b Neem a = 3 en maak dezelfde opdrachten als bij a. e Geef zowel voor a = 2 als voor a = 3 een formule voor y‚

figuur 11.14 Bij y, is de numerieke afgeleide van y, ingevoerd.

en controleer deze met de GR.

GE

Wat is de formule van de afgeleide van y = cos(3x), denk je? Controleer je antwoord met de GR.

Theorie A De afgeleide van y = sin(x) en van y = cos(x) In opgave 35 heb je gezien fla) = sin(x) geeft f'(x) = cos(x) en g(x) = cos(x) geeft g'(x) =-sin(x). fx) = sin(x) geeft f'(x) = cos(x) g(x) = cos(x) geeft g'(x) =-sin(x)

Bij het differentiëren van h(x) = 3 sin(x) gebruik je de regel

8) = ef) geeft zw) = cf).

Je krijgt h'(x) = 3: [sin(x)]'= 3 cos(x).

En j(x) =-5 cos(x) geeft j'(x) =-5 --sin(x) = 5 sin(x).

Voor de afgeleide van f(x) = sin(2x + Er) gebruik je de kettingregel.

Je krijgt f(x) =sin(2x + tr) geeft f'(x) = cos(2x + Er) 2 = 2eos(2x + Ir).

© Noordhoff Uitgevers bv

Periodieke functies

105

Voorbeeld Differentieer.

a fb) =1 + 2eos(3x— kr)

b g(x) =xsin(x) Uitwerking

a fl) =1 +2eos(3x— Ir) geeft fo) =2--sin(Jx-kn)-3=-6sin(3x- in)

b g(x) =xsin(x) geeft 2) = 1: sin(x) + x° cos(x) = sin(x) +xcos(x)

@D Differentieer. a fl) =cos(2x) b g(x) =xcos(x)

kettingregel _productregel

e h(x) =3+Asin(2x— ir) dj) =10 + 16sin(k(x— 1)

@D Differentieer. a flx) =xcos(2x)

ec

h(x) =2xsin(3x — 1)

b 2) = 2 sin(3x)

d_j@)= 1 + 3xcos(dr)

Om de afgeleide van f(x) = sin?) te berekenen, kun je op twee

manieren te werk gaan. 1 Schrijf f(x) als f(x) = sin(x): sin(x) en gebruik de productregel. IL Schrijf f(x) als f(x) = (sin(x)? en gebruik de kettingregel. a Werk beide manieren uit. b Welke manier heeft je voorkeur? Licht toe.

@

Differentieer.

a _flx) =cos°(x) b g(x) =2 sin)

€ hlx)= 1 + 2ec0S%) d _j@) =x + 3sin?(x)

Differentieer. a f(x) =sin?(x)

€ hx) = sin(x) 2 +

b_e(x) =xsin?)

d_j(@) = 2xcos(x?)

In opgave 35 heb je gezien dat f(x) = sin(x) geeft

f'@«) =cos(x). Daarbij heb je de GR op radialen gezet. Zet de GR op graden en onderzoek of deze regel nu ook geldt.

P

Gebruik de tabel.

106

Hoofdstuk

11

© Noordhoff Uitgevers bv

Gegeven is de functie f(x) = tan(x). a Gebruik f(x) =

aar b

sin(x)

en de quotiëntregel om aan te tonen

cos(x)

SE COS(%) + sin?)

Herlei

Hersid

cos°(x)

9

t

cos°(x)

en ook tot 1 + tan’(x).

Theorie B De quotiëntregel en de afgeleide van y = tan(x) In opgave 44 heb je met behulp van de quotiëntregel de afgeleide van de functie flx) = tan(x) gevonden. Je vond dat geldt fe) = tan(x) geeft f'(x) = 1 + tan?) en ook f'(x) = |

cos(x)

fe) = tan») geeft f'(x) = 1 + tan(x) en f'(x)EE =

Voorbeeld Differentieer.

a fx) =tan(3x)

b g(x) =x? + 2xtan(x) __2cos(x)

BA

2 + cos(x)

Uitwerking

a fw) =tan(!x) geeft

f'@)= (1 + tan? (5) 5 =d +5 tan? Go)

b ge) =2 + 2vtan(») geeft

20) = 2e + 2 tan(x) + 2e (1 + tan?)

fx) =tan(Àx) geeft ook

SO

Ô

or):

= 2x + 2tan(x) + 2x + 2xtan?(x) = Ax + 2tan(x) + 2x tan?(x)

__2cos(x) e

hO=

2 + cos(x) Bee

ft

(2 + cos(x)) --2 sin(x) — 2cos(x) : sin(x)

n=

(2 + cos(x))? _ =4 sin(x) — 2sin(x)cos(x) + 2sin(x) cos(x)

_

(2 + eos(x))?

__-4sin(x) _(2+ cos)?

© Noordhoff Uitgevers bv

Periodieke functies

107

@® Differentieer.

me

a flx) =tan(2x)

b fx) =x +tan(kx)

fx) =xtan(x)

ff) = sin(x): tan(x)

1 + cos(x)

e

1 + sin(x)

in

b/w)=

{o)= Jo)=n

sin(x) + cos(x)

{o)=

1 — sin(x)

Differentieer en herleid het antwoord. a JE — cos(x)

sin(x) sin(x)

b/w)=

1 + cos(x)

G

is de fancti

egeven is

de

functie f(x)

sin(2x) 2 + sin(x)

{o)=

e

afo= 2 1 + sin(x)

En

@D Bereken de afgeleide.

sin(x — Jz) 1 + cos(x)

sin(x) 4sin(x)

__2sin(x) 2

domein [O, 2]. In de figuur hiernaast zie je de grafiek van f. a Bereken exact de coördinaten van de toppen 4

en B van de grafiek van f: b Stel algebraïsch de formule op van de raaklijn k van de grafiek van f'in het punt C met x=.

figuur 11.15

Een trilling van een voorwerp wordt gegeven door sin(10Ozt) de formule u =

met

> 0.

100rt Hierin is u de uitwijking in mm en t de tijd in seconden. De snelheid van het trillende voorwerp wordt gegeven door de formule __10Ort cos(100zt) — sin(100nf) v

_

100n#?

met v in mm/s.

a Toon aan dat de formule van v juist is. b Op het tijdstip t, is de uitwijking voor de tweede keer gelijk aan 0. Bereken algebraïsch de snelheid van het

voorwerp op {= t.

figuur 11.16

108

Hoofdstuk 11

© Noordhoff Uitgevers bv

Gegeven is de functie f(x) = sin?(x).

a Toon aan dat f'(x) = 3 sin(x): cos(x). b Je kunt f’@) herleiden tot f(x) = 3 cos(x) — 3 cos°(x). Toon dit aan.

Theorie C Afgeleiden herleiden Je kunt de afgeleide van g(x) = cos°(x) uitdrukken in sin(x). Dit gaat als volgt. g(x) = cos’) geeft g'(x) = 3 cos’(x) : -sin(x) =-3cOS’(x) sin(x)

Substitutie van cos°(x) = 1 — sin(x) in de formule van g’ geeft

2x) =-3(1 — sin?(%)): sin(x) = 3sin®x) — 3sin(x).

Voorbeeld Gegeven is de functie f(x) = sin?(x) + sin(x). Druk f'(x) uit in cos(x). Uitwerking

fx) = sin(x) + sin(x) geeft f'C©) =3sin?(x) cos(x) + cos(x)

=3(1 — cos2(x)) « cos(x) + cos(x) = 3 COS(x) — 3 cOS°(%) + cos(x) = 4 cos(x) — 3 cos°(x)

Gebruik sin(x) = 1 — cos°(x).

(51) Gegeven is de functie g(x) = 2 cos°(x) + 3 cos(x). Druk g(x) uit in sin(x).

@

AE

Gegeven is de functie f(x) = sin(x): cos(x). a Druk f'(x) uit in sin(x). b Druk f(x) uit in cos(x).

Gegeven is de functie flx) = sin(x) cos(x) met

ï

domein [O, 7]. De punten 4 en B zijn toppen van

de grafiek. Zie figuur 11.17. a Druk f'(x) uit in sin(x).

b Toon aan dat voor 4 en B geldt sin(x) =5.

Á {

8

ce Toon aan dat voor A geldt cos(x) = 13

d Bereken exact de y-coördinaat van A en de

y-coördinaat van B.

B figuur 11.17

© Noordhoff Uitgevers bv

Periodieke functies

109

Terugblik De afgeleide van

f(x) = sin(x) en van g(x) = cos(x)

fx) = sin(x) geeft f'(x) = cos(x) en g(x) = cos(x) geeft g'(x) =-sin(x).

Bij het differentiëren van f(x) =x? sin(x) heb je de productregel nodig. Je krijgt f'(x) = 2xsin(x) + x? cos(x). Bij het differentiëren van g(x) =xcos(3x) gebruik je zowel de productregel als de kettingregel. Je krijgt g(x) = 1 + cos(3x) + x°-sin(3x): 3 = cos(3x) — 3x sin(3x).

.

…n

.

3 + sin(x)

Voor het differentiëren van de functie f(x) = 1 men 3 + sin(x) 1 + cos(x)

fo)

De

(Ll + eos(x)) « cos(x) — (3 + sin(x)

geeft f'(x) =

…

gebruik je de quotiëntregel. -sin(x)

(1 + cos(x))}?

_

cos(x) + cos(x) + 3sin(x) + sin(x) _ cos(x) + 3sin(x) + 1

(1 + cos(v))?

(1 + eos)?

De afgeleide van f(x) = tan(x)

Met de quotiëntregel zijn de afgeleiden van f(x) = tan(x) aangetoond. fe) = tan(x) geeft f'(x) = 1 + tan) fx) =tan(x) geeft f'«) = zo

@

Bij f(x) = tan(3x) krijg je f'(x) = (1 + tan°(3x))- 3 =3 + 3tan?(3x) en ook f'(x) =

cos%(3x)

Afgeleiden herleiden

Om de afgeleide van f(x) = sin(x): cos°(x) uit te drukken in cos(x) ga je als volgt te werk. fx) = sin(x): cos°(x) geeft f'@) = [sin(w)]'- cos) + sin(x): [eos”)]’ productregel

= eos(x) cos(x) + sin(x) 2cos(x)--sin(x) _ kettingregel = = = =

110

COS x) — cosSÌ(%) — coSÌ(%) — 3 COS (x)

Hoofdstuk 11

2 sin?(x) cos(x) 21 — cos): cos(x) 2 cos(x) + 2 cos*x) — 2cos(x)

Vervang sin(x) door 1 — cos°(x).

© Noordhoff Uitgevers bv

11.4 Goniometrische modellen Van zeshoek ABCDEF in figuur 11.18 is

AB=DE=6,BC=CD=EF=FA=4,

AB // DE en ZCFE = 25°, Het snijpunt van de lijnen AE en FC noemen we P. a Licht toe dat EP = 4 sin(25°) en FP = 4cos(25°).

figuur 11.18 De zeshoek is symmetrisch.

b Toon aan dat O(ABCDEF) = 32 sin(25°) cos(25°) + 48 sin(25°) en bereken O(ABCDEF) in twee decimalen nauwkeurig. e Bereken de oppervlakte van de zeshoek als ZCFE = 40°,

Theorie A Formules met variabele hoek In opgave 54 heb je gezien dat de oppervlakte van de zeshoek afhangt van de grootte van hoek CFE. Door deze hoek a te stellen, kun je de oppervlakte van de zeshoek uitdrukken in a. Met de verkregen formule zijn allerlei berekeningen te maken.

Voorbeeld Van zeshoek ABCDEF in figuur 11.19 is AB = DE =6,

BC=CD=EF=FA=4, AB // DE en ZCFE =a. Voor de oppervlakte O van de zeshoek geldt

O = 32 sin(a) cos(a) + 48 sin(a). Toon aan dat deze formule juist is.

Aanpak

Splits de zeshoek op in twee driehoeken en een

rechthoek. Druk de oppervlakten van de 9

En

driehoeken en van de rechthoek uit in sin(a) en/of cos(a). Uitwerking

dd

EP

In AFPE is sin(a) = 4 cos(a) = DE

figuur 11.19 De oppervlakte van zeshoek

DEED

hang Ed

4

dus EP = 4sin(a) en

E

dus FP = 4cos(a).

=2:5:AE-FP+AB:AE = 8sin(a)

4cos(a) +6: 8 sin(a)

= 32 sin(a) cos(a) + 48 sin(a)

© Noordhoff Uitgevers bv

D

7

\

AE=2:EP=8sin(a)

O= 2: O(AAEF) + O(ABDE)

6

al

1

8

d

4

c :

8

E

Periodieke functies

111

@

Zie het voorbeeld.

a Voer de formule van O in op de GR. Zet de GR op graden en plot de grafiek in het venster met Xmin =0,

Xmax = 90, Ymin =O en Ymax = 60. b Er zijn twee waarden van a waarvoor de oppervlakte

van de zeshoek gelijk is aan 50. Bereken deze waarden in graden nauwkeurig.

c

Bereken de maximale oppervlakte van de zeshoek

in twee decimalen nauwkeurig en de bijbehorende waarde van a in graden nauwkeurig.

ED In figuur 11.20 zie je een schematische tekening van een hijskraan. Punt 4 zit 10 m boven de grond en de arm AB is 8 m lang. De arm AB kan draaien om het punt A. a Stel een formule op waarin / wordt uitgedrukt in a. b Bereken in graden nauwkeurig voor welke a de hoogte A gelijk is aan 15 m. @

Van het trapezium ABCD is AB = 10, AD = 5 en ZB = 90°. Zie figuur 11.21. De oppervlakte O

van het trapezium hangt af van ZBAD =a.

a Toon aan dat deze formule juist is voor scherpe hoeken a. b Toon aan dat deze formule juist is voor stompe

figuur 11.20 De hoogte / van het punt B van de hijskraan hangt af van hoek a. D,

O

Er geldt O = 50sin(a) — 125sin(a) cos(a).

e Klopt de formule voor a = 90° d Voor welke waarden van a is O > 40? Geef je antwoord in graden nauwkeurig. e Bereken voor welke a de oppervlakte van het trapezium maximaal is. Geef je antwoord in graden nauwkeurig.

@

A

DD

hoeken a. Gebruik sin(180° — a) = sin(a) en cos(180° — a) =-cos(a).

10

figuur 11.21 De oppervlakte van het trapezium hangt af van hoek a.

Van een goot is de breedte van de bodem 20 cm en zijn de opstaande zijwanden 10 cm. Zie de dwarsdoorsnede van de goot in figuur 11.22.

10

10

De oppervlakte 4 van de dwarsdoorsnede hangt af

van de hellingshoek a van de opstaande zijwanden. Voor deze oppervlakte geldt

A = 200 sin(a) + 100 sin(a) cos(a) met 0° 200 cm? Rond af op hele graden.

© Noordhoff Uitgevers bv

Periodieke functies

113

CEN

Gegeven is de symmetrische vierhoek ABCD met ZA =090°, AB = AD en BC= CD = 1. Zie figuur 11.25. De oppervlakte van vierhoek ABCD hangt af van ZB=a. Bereken voor welke waarde van a de oppervlakte van

de vierhoek maximaal is. Gebruik bij het opstellen van de formule voor de oppervlakte een hulplijn door C loodrecht op AD.

figuur 11.25

Theorie B Optimaliseren met goniometrische formules In de vorige opgaven ben je na het aantonen van de formule steeds grafisch-numeriek te werk gegaan bij het beantwoorden van de

vragen.

In de rest van deze paragraaf bereken je extreme waarden met behulp van de afgeleide. Voor het differentiëren van goniometrische functies moet de hoek in de formule uitgedrukt zijn in radialen. Dit heb je gezien in opgave 43.

Voorbeeld In figuur 11.26 hiernaast zie je nogmaals de zeshoek van figuur 11.19, De oppervlakte van de zeshoek is

O = 32 sin(x) cos(x) + 48 sin(x) metx in radialen. Bereken met behulp van de afgeleide in graden nauwkeurig bij welke hoek de oppervlakte van de zeshoek maximaal is. Uitwerking

figuur 11.26

O = 32 sin(x) cos(x) + 48 sin(x) geeft En = 32cos(x)° cos(x) + 32 sin(x): -sin(x) + 48 cos(x) = 32 cos(x) — 32 sin’) + 48 cos(x) Voer in y, =32cos°(x) — 32sin(x) + 48 cos(x). De optie zero (TI) of ROOT (Casio) geeft x= 1,13. O

1

o

1,13

X

De oppervlakte is maximaal bij een hoek van 1,13. x

114

Hoofdstuk 11

180° IS

elo

© Noordhoff Uitgevers bv

@

Van de zeshoek ABCDEF in figuur 11.27 is AB=DE=5,BC=CD=EF=FA=4en AB // DE.

Stel ZCFE =x rad. Dan geldt voor de

oppervlakte van de zeshoek de formule

O = 32 sin(x) cos(x) + 40sin(x). a Toon aan dat deze formule juist is. b Bereken met behulp van de afgeleide in graden nauwkeurig bij welke hoek de

oppervlakte van de zeshoek maximaal is. figuur 11.27 De oppervlakte van de zeshoek hangt af van x.

Van een goot is de breedte van de bodem 30 cm. De opstaande zijwanden zijn 20 cm. Zie de dwarsdoorsnede van de goot in figuur 11.28. De oppervlakte van de dwarsdoorsnede hangt

af van de hellingshoek x van de opstaande zijwanden. Voor de oppervlakte A in cm? van de dwarsdoorsnede geldt de formule

D

c ©

5 X,

A

30 cm

B

figuur 11.28 4D = BC = 20 cm

A = 600 sin(x) + 400 sin(x) cos(x) met 0