Georg Cantor [PDF]

Zitiervorschau

Universitatea de Stat din Tiraspol Facultatea de Fizica Matematica si Informatica

Referat la Logica matematica Tema:Georg Cantor

Elaborat de: Dordea Pavel, student gr.1i Verificat: Sali Larisa

Chișinău, 2020

Georg Cantor Date personale Născut Decedat Cauza decesului Cetățenie Etnie Religie Ocupație

19 februarie/3 martie 1845 Sankt Petersburg, Imperiul Rus 6 ianuarie 1918 (72 de ani) Halle (Saale), Imperiul German cauze naturale (infarct miocardic)  Imperiul German  evreu luteranism  matematician filozof profesor universitar 

Activitate Imperiul Rus Imperiul German   teoria mulțimilor Domeniu matematică   Instituție Universitatea din Halle-Wittenberg   University of Berlin Alma Mater Universitatea Humboldt din Berlin Universitatea din Halle-Wittenberg   Academia Leopoldină Academia de Științe Göttingen Organizații Royal Society of Edinburgh London Mathematical Society Ernst Kummer Conducător de doctorat Karl Weierstrass   Premii Medalia Sylvester (1904) Rezidență

„În fața paradisul său, pe care Cantor ni l-a dezvăluit, ne ținem respirația de mirare; știind, nu-l vom putea părăsi.”(David Hilbert)

Georg Cantor s-a născut în colonia negustorească vestică din Sankt Petersburg, Rusia, și a crescut în oraș până la unsprezece ani. Georg, cel mai mare din șase copii, era considerat un remarcabil violonist. Bunicul lui, Franz Böhm (1788-1846; frate cu violonistul Joseph Böhm), era un muzician bine-cunoscut și solist în orchestra imperială a Rusiei. Tatăl lui Cantor era membru al bursei de valori din Sankt Petersburg; atunci când el s-a îmbolnăvit, familia s-a mutat în Germania în 1856, mai întâi la Wiesbaden, apoi la Frankfurt, căutând ierni mai blânde decât cele din Sankt Petersburg. În 1860, Cantor a absolvit cu distincție Realschule din Darmstadt; abilitățile sale excepționale în matematică, trigonometrie în special, au fost remarcate. În 1862, Cantor a intrat la Politehnica Federală Elvețiană. După ce a primit o moștenire substanțială la moartea tatălui său, în 1863, Cantor s-a mutat cu studiile la Universitatea din Berlin, participând la cursurile lui Leopold Kronecker, Karl Weierstrass și Ernst Kummer. El și-a petrecut vara anului 1866 la Universitatea din Göttingen, care era și avea să rămână un mare centru de cercetare în matematică.Cantor și-a prezentat teza de teoria numerelor la Universitatea din Berlin, în 1867. După ce a predat pentru scurt timp într-o școală de fete din Berlin, Cantor a primit un post la Universitatea din Halle, unde și-a petrecut întreaga carieră. El a primit titlul de habilitat pentru teza sa, tot pe tema teoriei numerelor, pe care a prezentat-o în 1869, la numirea sa la Halle.În 1874, Cantor s-a căsătorit cu Vally Guttmann. Ei au avut șase copii, ultimul (Rudolph), născut în 1886. Cantor a putut să-și întrețină familia, în ciuda modestului salariu academic, datorită moștenirii de la tatăl său. În timpul lunii de miere, în munții Harz, Cantor a petrecut mult timp purtând discuții matematice cu Richard Dedekind, pe care îl cunoscuse cu doi ani mai devreme, în timp ce era în vacanță în Elveția.Cantor a fost promovat la gradul de profesor extraordinar în 1872 și a fost făcut profesor universitar în 1879. Atingerea acestui ultim rang la vârsta de 34 de ani era o realizare notabilă, dar Cantor dorea un post la o universitate mai de prestigiu, în special la Berlin, la acea vreme cea mai de seamă universitate germană. Cu toate acestea, munca lui a întâmpinat prea multă opoziție pentru ca acest lucru să fie posibil. Kronecker, care a condus catedra de matematică de la Berlin până la moartea sa în 1891, a devenit din ce în ce mai deranjat de perspectiva de a-l avea pe Cantor drept coleg, percepându-l drept un „corupător de tineret” pentru că își preda ideile unei generații mai tinere de matematicieni. Și mai rău, Kronecker, o figură bine așezată în cadrul comunității matematice și fostul profesor al lui Cantor, era într-un dezacord fundamental cu forța operei lui Cantor. Lui Kronecker, acum văzut ca unul dintre fondatorii perspectivei constructive în matematică, îi displăcea mare parte din teoria mulțimilor a lui Cantor pentru că afirma existența unor mulțimi care satisfac anumite proprietăți, fără a da exemple concrete de mulțimi ai căror membri satisfac într-adevăr aceste proprietăți. Cantor a ajuns să creadă că atitudinea lui Kronecker va face să-i fie imposibil să plece de la Halle.În 1882, corespondența matematică între Cantor și Richard Dedekind a încetat, se pare ca urmare a refuzului lui Dedekind de a primi postul de la Halle. Cantor a început însă o altă importantă corespondență, cu Gösta Mittag-Leffler, din Suedia, și în curând a început să publice în revista lui Mittag-Leffler, Acta Mathematica. Dar, în 1885, Mittag-Leffler s-a preocupat de natura filosofică și de noua terminologie dintr-o lucrare prezentată de Cantor la Acta. El i-a cerut lui Cantor să-și retragă articolul propus pentru Acta în timp ce era în corectură, scriind că este „... cu aproximativ o sută de ani prea devreme.” Cantor s-a conformat, dar apoi și-a limitat relația și corespondența cu Mittag-Leffler, scriind altcuiva: „Dacă ar fi după Mittag-Leffler, ar trebui să aștept până în anul 1984, ceea ce mie mi s-a părut o cerere prea mare! ... Dar, desigur, nu mai vreau să mai aud nimic despre  Acta Mathematica.” Cantor a suferit primul său episod cunoscut de depresie în 1884. Critica operei sale îi cădea greu: toate cele cincizeci și două de scrisori scrise către Mittag-Leffler în 1884 îl menționau pe Kronecker. Un pasaj dintr-una din aceste scrisori este revelator față de scăderea încrederii în sine a lui Cantor: „... Nu știu când voi reveni la continuarea muncii mele științifice. Momentan, nu pot face absolut nimic cu ea, și mă limitez la îndatorirea necesară a ținerii cursurilor; cât de mult mai fericit aș fi să fiu activ științific, dacă aș avea necesara prospețime mentală.[” Această criză l-a făcut să ceară să țină cursuri de filosofie, în loc de matematică. De asemenea, el a început un intens studiu al literaturii elisabetane, crezând că ar putea exista dovezi că Francis Bacon a scris piesele de teatru atribuite lui Shakespeare (vezi teoria conspirației despre Shakespeare); aceasta a dus, în final, la redactarea a două pamflete, publicate în 1896 și 1897.

Activitatea Matematica Munca lui Cantor între 1874 și 1884 stă la originea teoriei mulțimilor. Înainte de aceasta, conceptul de mulțime era unul destul de elementar, care a fost folosit implicit de la începutul matematicii, încă de la ideile lui Aristotel. Nimeni nu-și dădea seama că teoria lor poate avea vreu conținut netrivial. Înainte de Cantor, erau numai mulțimi finite (care erau ușor de înțeles) și „infinite” (considerate un subiect pentru discuții filosofice, mai degrabă matematice). Dovedind că există (infinit) mai multe posibile dimensiuni pentru mulțimile infinite, Cantor a stabilit că teoria nu este banală, și că trebuie studiată. Teoria mulțimilor a ajuns să joace rolul unui teorii fundamentale în matematica modernă, în sensul că interpretează propozițiile despre obiecte matematice (de exemplu, numere și funcții) din toate subdomeniile tradiționale ale matematicii (cum ar fi algebra, analiza și topologia) într-o singură teorie, și oferă un set standard de axiome care să le demonstreze. Conceptele de bază ale teoriei sunt acum folosite în toată matematica.Într-una din primele sale lucrări, Cantor a demonstrat că mulțimea numerelor reale este „mai numeroasă” decât mulțimea numerelor naturale; aceasta a dovedit, pentru prima dată, că există mulțimi infinite de mărimi diferite. El a fost și primul care a apreciat importanța corespondențelor unu-la-unu (în continuare denumite „corespondențe 1-la-1”) în teoria mulțimilor. El a folosit acest concept pentru a defini mulțimi finite și infinite, împărțindu-le pe acestea din urmă în mulțimi numărabile (sau infinit numărabile) și nenumărabile .Cantor a dezvoltat concepte importante în topologie și relația lor cu conceptul de cardinalitate. De exemplu, el a arătat că mulțimea Cantor este nicăieri densă, dar are aceeași cardinalitate ca mulțimea tuturor numerelor reale, întrucât mulțimea numerelor raționale este peste tot densă, dar numărabilă. De asemenea, el a arătat că toate ordonările liniare numărabile și dense fără puncte finale sunt izomorfe de ordine cu numerele raționale.Cantor a introdus construcții fundamentale în teoria mulțimilor, cum ar fi mulțimea părților unei mulțimi A, care este mulțimea tuturor submulțimilor posibile ale lui A. Mai târziu, el a demonstrat că mărimea mulțimii părților lui A este strict mai mare decât a lui A, chiar și atunci când A este o mulțime infinită; acest rezultat a devenit în curând cunoscut sub numele de teorema lui Cantor. Cantor a dezvoltat o întreagă teorie și o aritmetică a mulțimilor infinite, numită cardinali și ordinali, care a extins aritmetica numerelor naturale. Notația lui pentru numerele cardinale a fost litera ebraică (aleph) cu un indice număr natural; pentru ordinali, a folosit litera grecească ω (omega). Această notație este încă în uz astăzi.Ipoteza continuumului, introdusă de Cantor, a fost prezentată de către David Hilbert ca prima dintre cele douăzeci și trei de probleme deschise în discursul său de la Congresul Internațional al Matematicienilor  de la Paris din 1900. Activitatea lui Cantor a atras și observații favorabile dincolo de cunoscutul encomion al lui Hilbert. Filosoful american Charles Sanders Peirce a lăudat teoria mulțimilor a lui Cantor, și, după conferințe publice susținute de către Cantor la primul Congres Internațional al Matematicienilor, care a avut loc la Zürich, în 1897, Hurwitz și Hadamard și-au exprimat și ei admirația. La acel Congres, Cantor și-a reînnoit prietenia și corespondența cu Dedekind. Din 1905, Cantor a corespondat cu său admiratorul și traducătorul său britanic Philip Jourdain despre istoria teoriei mulțimilor și despre ideile religioase ale lui Cantor. Această corespodență a fost publicată ulterior, ca și mai multe expuneri ale lui.

Teoria numerelor, serii trigonometrice și ordinali Primele zece articole ale lui Cantor au fost pe tema teoriei numerelor, subiectul tezei sale de doctorat. La sugestia lui Eduard Heine, profesor la Halle, Cantor a apelat la analiză. Heine i-a propus lui Cantor să rezolve o problemă deschisă, care îi eluda pe Peter Gustav Lejeune Dirichlet, Rudolf Lipschitz, Bernhard Riemann, și pe Heine însuși: unicitatea reprezentării unei funcții prin serii trigonometrice. Cantor a rezolvat această problemă dificilă în 1869. În timp ce lucra la această problemă, el a descoperit ordinalii transfiniți, care apăreau ca indici n în a na mulțime derivată Sn a unei mulțimi S de zerouri ale unei serii trigonometrice. Având o serie trigonometrică f(x) cu S ca mulțime de zerouri, Cantor descoperise un procedeu care producea o altă serie trigonometrică care o avea pe S1 ca mulțime de zerouri, unde S1 este o mulțime de puncte de acumulare ale lui S. Dacă Sk+1 este o mulțime de puncte limită ale lui Sk, atunci el putea construi o serie trigonometrică ale cărei zerouri sunt Sk+1. Deoarece mulțimile Sk erau închise, acestea își conțineau punctele de acumulare, și intersecția șirului infinit descrescător de mulțimi S, S1, S2, S3,... formează o mulțime de acumulare, ceea ce am numi acum Sω, și apoi a observat că Sω ar trebui să aibă și ea o mulțime de puncte de acumulare Sω+1, și așa mai departe. El avea exemple care continuau la nesfârșit, și astfel a găsit un șir natural infinit de numere infinite ω, ω + 1, ω + 2, ...[ Între 1870 și 1872, Cantor a publicat mai multe lucrări despre seriile trigonometrice, și un articol în care definea numerele iraționale ca șiruri convergente de numere raționale. Dedekind, cu care Cantor s-a împrietenit în 1872, a citat acest articol mai târziu în acel an, în articolul în care a lansat celebra sa definiție a numerelor reale prin construcția Dedekind. Extinzând noțiunea de număr prin intermediul conceptului său revoluționar de cardinalitate infinită, Cantor se opunea, paradoxal, teoriilor infinitezimalilor ale contemporanilor săi, Otto Stolz și Paul du Bois-Reymond, descriindu-le ca fiind „o urâciune” și „bacilul holerei în matematică”.Cantor a publicat și o „demonstrație” eronată a inconsistenței infinitezimalilor.

Teoria mulțimilor

O ilustrare a argumentului diagonal al lui Cantor  despre existența  mulțimilor nenumărabile.  Șirul de pe rândul de jos nu poate apărea nicăieri în lista infinită de șiruri de mai sus. Începutul teoriei mulțimilor ca ramură a matematicii este marcat adesea prin publicarea articolului lui Cantor din 1874, „Uber eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen” („Despre o proprietate a colecției tuturor numerelor reale algebrice”). Această lucrare a fost prima care oferă o demonstrație riguroasă că există mai multe feluri de infinit. Anterior, toate mulțimile infinite erau implicit considerate a fi echinumeroase (adică de „aceeași dimensiune” sau având același număr de elemente). Cantor a demonstrat că colecția tuturor numerelor reale și colecția numerelor întregi pozitive nu sunt echinumeroase. Cu alte cuvinte, numerele reale nu sunt numărabile. Demonstrația lui diferă de argumentul diagonal pe care îl dăduse în 1891. Articolul lui Cantor conține, de asemenea, o nouă metodă de construire a numerelor transcendente. Acestea fuseseră construite pentru prima oară de Joseph Liouville în 1844.Cantor a stabilit aceste rezultate cu ajutorul a două construcții. Prima construcție arată cum se scriu numerele algebrice reale ca șir a1, a2, a3, .... Cu alte cuvinte, numerele algebrice reale sunt numărabile. Cantor începe a doua sa construcție cu orice șir de numere reale. Folosind acest șir, el construiește intervale imbricate a căror intersecție conține un număr real care nu aparține șirului. Deoarece orice șir de numere reale poate fi folosit pentru a construi un număr real care nu face parte din șir, numerele reale nu pot fi scrise ca secvență – și deci, numerele reale nu sunt numărabile. Prin aplicarea construcției lui asupra șirului de numere algebrice reale, Cantor produce un număr transcendent. Cantor subliniază că construcțiile lui demonstrează mai mult decât atât – și anume, ele oferă o nouă demonstrație a teoremei lui Liouville: Orice interval conține o infinitate de numere transcedente. Următorul articol al lui Cantor conține o construcție care demonstrează că mulțimea numerelor transcedente are aceeași „putere” (vezi mai jos) ca mulțimea numerelor reale.

Traducere în engleză a articolului lui Georg Cantor cu definiția mulțimilor Între 1879 și 1884, Cantor a publicat o serie de șase articole în Mathematische Annalen care împreună formează o introducere în teoria mulțimilor. În același timp, începea să crească opoziția față de ideile lui Cantor, în frunte cu Kronecker, care recunoștea concepte matematice numai dacă acestea pot fi construite într-un număr finit de pași pornind de la numerele naturale, pe care el le lua drept concept intuitiv dat. Pentru Kronecker, ierarhia de infinituri a lui Cantor era ceva inadmisibil, deoarece acceptarea conceptului de infinit actual va deschide ușa unor paradoxuri care ar contesta valabilitatea matematicii în ansamblul ei. Tot în această perioadă, Cantor a introdus și mulțimea Cantor.

Corespondențele unu-la-unu

O funcție bijectivă Articolul lui Cantor din Crelle din 1874 a fost primul care invoca noțiunea de corespondență 1-la-1, deși el nu a folosit această expresie. Apoi, el a început să caute o corespondență 1-la-1 între punctele pătratului unitate și punctele unui segment unitar de dreaptă. În scrisoarea din 1877 adresată lui Richard Dedekind, Cantor a demonstrat un rezultat mult mai puternic: pentru orice număr întreg pozitiv n, există o corespondență 1-la-1 între punctele de pe segmentul unitar de dreaptă și toate punctele dintr-un spațiu n-dimensional. Despre această descoperire, Cantor i-a scris lui Dedekind: „Je le vois, mais je ne le crois pas!” („Văd, dar nu-mi vine să cred!”) Rezultatul pe care îl considera atât de uimitor are implicații pentru geometrie și pentru noțiunea de dimensiune. În 1878, Cantor a prezentat un nou articol revistei Crelle, în care a definit clar conceptul de corespondență 1-la-1 și a introdus noțiunea de „putere” (un termen pe care l-a preluat de la Jakob Steiner) sau „echivalență” de mulțimi: două mulțimi sunt echivalente (au aceeași putere) dacă există o corespondență 1-la-1 între ele. Cantor definea mulțimile numărabile ca mulțimi care pot fi puse într-o corespondență 1-la-1 cu mulțimea numerelor naturale, și a demonstrat că numerele raționale sunt numărabile. De asemenea, el a demonstrat că spațiul Euclidian ndimensional Rn are aceeași putere ca mulțimea numerelor reale R, fiind un produs cartezian infinit numărabil de copii ale lui R. Deși a utilizat liber numărabilitate drept concept, el nu a scris nicăieri cuvântul „numărabil” până în 1883. Cantor a discutat și gândirea lui despre dimensiune, subliniind că aplicația sa definită pe intervalul unitar cu valori în pătratul unitar nu este continuă. Această lucrare l-a nemulțumit pe Kronecker, și Cantor a vrut să o retragă; cu toate acestea, Dedekind l-a convins să nu facă acest lucru și Weierstrass i-a acceptat-o la publicare. Cu toate acestea, Cantor nu a mai propus nimic la Crelle după aceea.

Date Este conceptul care reprezintă elemente ale unor mulțimi. Implică raportarea la Teoria mulțimilor, ramură a matematicii, lansată prin articolul matematicianului Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (prescurtat Georg Cantor), din 1874, „Uber eine Eigenschaft des Inbegriffs aller reellen algebraischen Zahlen” / „Despre o proprietate a colecției tuturor numerelor reale algebrice”). Definiția acestuia este următoarea: „Prin mulțime înțelegem o colecție de obiecte bine determinate și distincte. Obiectele din care este constituită mulțimea se numesc elementele mulțimii” . În contextul unei teze de pedagogie ne vom raporta la semnificația conceptului de mulțime, elaborat la nivel de teorie intuitivă (fără a exclude posibilitatea raportării și la semnificația mai elaborată, abstractă, construită la nivel de teorie axiomatică). Elementele unei mulțimi pot fi de orice tip: persoane, numere, țări, alte mulțimi, litere ale alfabetului, obiecte, acțiuni în cadrul unei activități (vezi predarea-învăţarea-evaluarea în cadrul activităţii de instruire) etc. În analiza structurii de funcționare a educației și a instruirii este posibilă valorificarea conceptului matematic de mulțime (preluat și de informatică), abordat încă din filozofia antică, evaluat în termeni de: a) „infinit actual” – o infinitate de obiecte, acțiuni etc. existente simultan; b) „infinit potențial” – o infinitate de obiecte, acțiuni etc., reprezentând o mulțime sau o mărime finită care se poate mări oricât de mult”, în raport de situațiile existente sau create (vezi valorificarea formativă pozitivă sau negativă a informației în cadrul mesajului didactic construit de profesor, realizat în context pedagogic deschis). Etimologic, cuvântul Date provenea inițial de la pluralul din latină „datum", care înseamnă „un singur fapt". În epoca noastră este folosit ca un singular colectiv . La nivel de concept fundamental, datele informatice reprezintă informațiile procesate cu ajutorul calculatorului. În Dicționarul editat de Microsoft, „datele reprezintă elementele componente ale informației”. În informatică sunt prezentate mai multe tipuri de date: dicționar de date, date convertite, date filtrate, date corupte, date încapsulate, date criptate, date de intrare, date intermediare, date de ieșire, date de control, fișier de date, date de transfer, câmpuri de date, flux de date, scheme de date (datagrame) format de date, director de date, catalog de date etc. În programarea calculatoarelor, intervine o plajă largă de tipuri de date, specifice informaticii: logice (adevărate–false), numerice (pozitive, negative, cu virgulă); text; calendaristice; memo etc. O categorie aparte sunt datele validate pe baza unor criterii specifice informaticii, dar și altor științe (cu respectarea logicii și epistemologiei informaticii