Geometrie Analitică 2 [PDF]

Zitiervorschau

GEOMETRIE ANALITICĂ Lungimea unui segment (distanţa dintre două puncte): AB = ( x B − x A ) 2 + ( y B − y A ) 2 x A + xB y + yB , yM = A 2 2 x A + x B + xC y + y B + yC , yG = A Centrul de greutate al triunghiului ABC: xG = 3 3 yB − yA Panta dreptei AB: m = xB − x A Ecuaţii ale dreptei: 1) d : ax + by + c = 0 (ecuaţia generală). 2) d : y = mx + n (ecuaţia normală; m – panta x − xA y − yA = dreptei, n – ordonata la origine). 3) AB : (ecuaţia dreptei care trece prin două puncte). xB − x A yB − y A 4) d: y − y 0 = m( x − x0 ) (ecuaţia dreptei care trece prin punctul M 0 ( x0 , y 0 ) şi are panta m); Mijlocul segmentului AB: x M =

x 5) AB : x A xB

y 1 y A 1 = 0 (ecuaţia dreptei AB sub formă de determinant) yB 1

xA y B − y A yC − y A = Condiţii de coliniaritate a punctelor A, B, C: ; xB xB − x A xC − x A xC

yA 1 y B 1 = 0 ; coordonatele unui punct yC 1

verifică ecuaţia dreptei determinate de celelalte două puncte Condiţia de paralelism, de perpendicularitate: d1 : y = m1 x + n1 , d 2 : y = m2 x + n2 ; d1 d 2 ⇔ m1 = m2 ; d1 ⊥ d 2 ⇔ m1 ⋅ m2 = −1 d1 : a1 x + b1 y + c1 = 0, d 2 : a 2 x + b2 y + c 2 = 0; d1 d 2 ⇔ Dreptele coincid dacă

a1 b1 c1 = ≠ a 2 b2 c 2

a1 b1 c1 = = a 2 b2 c 2

Distanţa de la punctul M 0 ( x0 , y 0 ) la dreapta h de ecuaţie ax + by + c = 0 : d ( M 0 , h) = xA 1 Aria triunghiului ABC: S = ∆ , ∆ = x B 2 xC

ax 0 + by 0 + c a2 + b2

yA 1 yB 1 yC 1

Probleme: V. 1 Să se determine m ∈ R , astfel încât distanţa dintre punctele A( 2, m ) şi B( m, − 2 ) să fie 4. V. 2 Să se calculeze lungimea medianei din A a triunghiului ABC, unde A( − 2, − 1) , B (2, 0), C (0, 6) . V. 3 Să se determine ecuaţia dreptei care trece prin punctul A(6, 4) şi este perpendiculară pe dreapta d : 2x − 3y + 1 = 0 . V. 4 Să se determine coordonatele vârfului D al paralelogramului ABCD dacă A( − 2, 9 ) , B (7, − 4), C ( 8, − 3) . V. 6 Se consideră triunghiul ABC cu vârfurile în A(1, 2), B( 2, − 2 ) şi C(4, 6). Să se calculeze cos B.

V.12 Să se determine ecuaţia simetricei dreptei d: 2x – 3y + 1 = 0 faţă de punctul A(– 3, 4). V.13 Să se calculeze distanţa de la punctul A(3, 0) la dreapta d: 3x – 4y + 1 = 0. V.14 Să se determine ecuaţia dreptei AB ştiind că A(2, 3) şi B(– 5, 4). V. 15 Să se determine ecuaţia dreptei care conţine punctul A(– 2, 2) şi este paralelă cu cu dreapta determinată de punctele C(2, 1) şi D(–1, –3). V. 16 Să se afle măsura celui mai mare unghi al triunghiului ABC ştiind că A(2, –2), B(2, 3), C(–2, 3). V. 17 Să se determine ecuaţia dreptei care trece prin punctul A(–1, 1) şi este perpendiculară pe dreapta d: 5x – 4y + 1=0. V. 18 Să se afle coordonatele centrului de greutate al triunghiului ABC, dacă A(–1, 0), B(0, 2), C(2, –1). V. 19 Să se determine ecuaţia medianei duse din vârful A al triunghiului ABC, unde A(1, 2), B(2,3), C(2, –5). V. 21 Să se determine ecuaţia perpendicularei duse din punctul A(1, 2) pe dreapta d: x + y – 1 =0. V. 22 Să se calculeze distanţa dintre dreptele de ecuaţii d1 : x − 2 y = 0 şi d 2 : 2 x − 4 y − 1 = 0 . V. 23 Să se afle coordonatele centrului de greutate al triunghiului ABC, dacă A(5, –3), B(2, –1), C(0, 9). V. 24 Să se determine ecuaţia înălţimii duse din B în triunghiul ABC, ştiind că A(0, 9), B(2, –1), C(5, –3). V. 26 În sistemul cartezian de coordonate xOy se consideră punctele A(–1, 3) şi B(1, –1). Să se determine ecuaţia mediatoarei segmentului AB. V. 27 În sistemul cartezian de coordonate xOy se consideră punctele O(0, 0), A(1, 2) şi B(3, 1). Să se determine măsura în radiani a unghiului AOB. V. 29 Fie punctele A(2, 0), B(1,1) şi C(3, –2). Să se calculeze perimetrul triunghiului ABC. V. 30 Se consideră punctele A(0, 2), B(1, –1) şi C(3, 4). Să se determine coordonatele centrului de greutate al triunghiului ABC. V. 31 În sistemul cartezian de coordonate xOy se consideră punctele A(2, –1), B(–1, 1) şi C(1, 3). Să se determine ecuaţia dreptei care trece prin punctul C şi este paralelă cu dreapta AB. V. 32 În sistemul cartezian de coordonate xOy se consideră punctele A(2, –1), B(–1, 1) şi C(1, 3). Să se determine coordonatele punctului D ştiind că patrulaterul ABCD este paralelogram. V. 33 În sistemul cartezian de coordonate xOy se consideră punctele A(2, –1), B(–1, 1), C(1, 3) şi D(a, 4), unde a ∈ R . Să se determine valorile lui a astfel încât dreptele AB şi CD să fie paralele. V. 34 În sistemul cartezian de coordonate xOy se consideră punctele A(2, –1), B(–1, 1), C(1, 3) şi D(a, 4), unde a ∈ R . Să se determine valorile lui a astfel încât dreptele AB şi CD să fie paralele. V. 35 În sistemul cartezian de coordonate xOy se consideră punctele A(0, –3) şi B(4, 0). Să se calculeze distanţa de la punctul O la dreapta AB. V. 36 Să se determine a ∈ R pentru care punctele A(1, –2), B(4, 1) şi C(–1, a) sunt coliniare. V. 38 Se consideră dreptele de ecuaţii d1 : 2 x + 3 y + 1 = 0, d 2 : 3 x + y − 2 = 0, d 3 : x + y + a = 0 . Să se determine a ∈ R pentru care cele trei drepte sunt concurente. V. 41 În sistemul cartezian de coordonate xOy se consideră punctele A(2, –1) şi B(–1, 1). Să se determine ecuaţia dreptei ce trece prin originea axelor şi este paralelă cu dreapta AB. V. 42 Să se arate că punctele A(–1, 5), B(1, 1) şi C(3, –3) sunt coliniare. V. 43 În sistemul cartezian de coordonate xOy se consideră punctele A(1, 3) şi C(–1, 1). Să se determine coordonatele punctelor B şi D astefl încât patrulaterul ABCD să fie pătrat. V. 44 În sistemul cartezian de coordonate xOy se consideră punctele B(–1, 2) şi C(2, –2). Să se determine distanţa de la punctul O la dreapta BC. V. 45 În sistemul cartezian de coordonate xOy se consideră punctele A(1, 3), B(–2, 1) şi C(–3, –1). Să se calculeze lungimea înălţimii duse din vârful A în triunghiul ABC. V. 46 În sistemul cartezian de coordonate xOy se consideră punctele M(2, –1), N(–1, 1) şi P(0, 3). Să se determine coordonatele punctului Q astfel încât MNPQ să fie paralelogram. V. 47 În sistemul cartezian de coordonate xOy se consideră punctele A(–1, 1), B (1, 3) şi C(3, 2). Fie G centrul de greutate al triunghiului ABC. Să se determine ecuaţia dreptei OG. V. 48 Să se calculeze distanţa dintre dreptele paralele de ecuaţii x + 2y = 6 şi 2x + 4y = 11.

V. 50 În sistemul cartezian de coordonate xOy se consideră punctele A(2, –1), B(–1, 1), C(1, 3) şi D(a, 4), unde a ∈ R . Să se determine valorile lui a astfel încât dreptele AB şi CD să fie perpendiculare. V. 51 Să se calculeze distanţa de la punctul A (1, 1) la dreapta d: 5x + 12y – 4 = 0. V. 57 Se consideră dreapta d: 4x – 8y + 1 = 0. Să se determine ecuaţia dreptei care trece prin punctul A şi este paralelă cu dreapta d. V. 58 Se consideră dreapta d: 2x + y – 1 = 0 şi punctul A(3, 2). Să se determine ecuaţia dreptei care trece prin punctul A şi este perpendiculară pe dreapta d. V. 59 Se consideră punctele A(2, m) şi B (m, –2). Să se determine m ∈ R astfel încât AB = 4. V. 60 Se consideră punctele A(2, 3), B(–3, –2). Să se determine ecuaţia dreptei AB. V. 62 Se consideră punctele A(3, 2) şi B(6, 5). Să se determine coordonatele punctelor M şi N ştiind că acestea împart segmentul [ AB] în trei segmente congruente, iar ordinea punctelor este A, M, N, B. V. 63 Să se determine m, n ∈ R astfel încât dreptele d1 : mx + 3 y + 2 = 0 şi d 2 : 2 x + ny − 8 = 0 să coincidă. V. 64 Să se determine m ∈ R , ştiind că dreptele d1 : mx + (m + 2) y − 1 = 0 şi d 2 : (m + 2) x + 4my − 8 = 0 sunt paralele. V. 65 Să se determine m ∈ R , ştiind că dreptele d1 : mx + 3 y − 2 = 0 şi d 2 : 12 x + 2 y + 1 = 0 sunt perpendiculare. V. 66 Se consideră punctele A(2, 3), B(4, 5), C(2, 2) şi D(m, n). Să se determine m, n ∈ R astfel încât patrulaterul ABCD să fie paralelogram. V. 69 Să se arate că dreptele d1 : 2 x − y + 1 = 0 şi d 2 : 2 x + y − 1 = 0 sunt simetrice faţă de axa Oy. V. 70 Să se determine m ∈ R , dacă distanţa de la punctul A( m, m + 1) la dreapta d: 3x – 4y – 1 = 0 este 1. V. 72 Se consideră punctul A(1, 2) şi dreapta de ecuaţie d: 4x – 2y + 5 = 0. Să se determine ecuaţia perpendicularei duse din punctul A pe dreapta d. V. 74 Să se determine m ∈ R astfel încât punctele A(3, 3), B(2, 4) şi C(2m, 1 – m) să fie coliniare. V. 75 Fie punctele A(4, –2), B(2, 4) şi C(m, n). Să se determine m, n ∈ R astfel încât punctul C să fie centrul cercului circumscris triunghiului AOB. V. 79 Fie punctele A(1, 2), B(–1, 3) şi C(0, 4). Să se calculeze lungimea înălţimii duse din vârful A al triunghiului ABC. V. 80 Se consideră dreapta d de ecuaţie x – 2y + 1 = 0. Să se determine ecuaţia dreptei care trece prin punctul P(4, –1) şi este paralelă cu dreapta d. V. 81 Să se determine a ∈ R ştiind că dreptele de ecuaţii x + y = 1 şi 3x – ay = 2 sunt paralele. V. 88 Fie punctele M(0, 3), N(1, 1), P(–1, 2). Să se calculeze coordonatele centrului de greutate al triunghiului MNP. V. 90 Se consideră punctele A(0, 2), B(1, –1) şi C(5,1). Să se determine ecuaţia dreptei duse din A perpendiculară pe dreapta BC. V. 93 Se consideră punctele A(1, 2) şi B(3, 4). Să se calculeze distanţa de la originea axelor la dreapta AB. V. 100 Fie ABC un triunghi şi G centrul său de greutate. Ştiind că A(1, 1), B(5, 2), G(3, 4), să se calculeze coordonatele punctului C.