Geometria [PDF]

Zitiervorschau

© Typotex Kiadó

GEOMETRIA

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

Jegyzetek és példatárak a matematika egyetemi oktatásához sorozat

Algoritmuselmélet Algoritmusok bonyolultsága Analitikus módszerek a pénzügyben és a közgazdaságtanban Analízis feladatgyűjtemény I Analízis feladatgyűjtemény II Bevezetés az analízisbe Complexity of Algorithms Differential Geometry Diszkrét matematikai feladatok Diszkrét optimalizálás Geometria Igazságos elosztások Introductory Course in Analysis Mathematical Analysis – Exercises I Mathematical Analysis – Problems and Exercises II Mértékelmélet és dinamikus programozás Numerikus funkcionálanalízis Operációkutatás Operációkutatási példatár Parciális differenciálegyenletek Példatár az analízishez Pénzügyi matematika Szimmetrikus struktúrák Többváltozós adatelemzés Variációszámítás és optimális irányítás

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

´ bor Moussong Ga

GEOMETRIA

Eo os Lor´ and Tudom´ anyegyetem ¨tv¨ Term´ eszettudom´ anyi Kar Typotex 2014

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

c 2014–2019, Moussong G´

abor, E¨ otv¨ os Lor´ and Tudom´ anyegyetem, Term´eszettudom´anyi Kar Lektor´ alta: Fodor Ferenc Creative Commons NonCommercial-NoDerivs 3.0 (CC BY-NC-ND 3.0) A szerz˝ o nev´enek felt¨ untet´ese mellett nem kereskedelmi c´ellal szabadon m´ asolhat´ o, terjeszthet˝ o, megjelentethet˝o ´es el˝oadhat´o, de nem m´odos´ıthat´o. ISBN 978 963 279 257 6 K´esz¨ ult a Typotex Kiad´ o (http://www.typotex.hu) gondoz´as´aban Felel˝ os vezet˝ o : Votisky Zsuzsa M˝ uszaki szerkeszt˝ o : Gerner J´ozsef ´ K´esz¨ ult a TAMOP-4.1.2-08/2/A/KMR-2009-0045 sz´am´ u, Jegyzetek ´es p´eldat´ arak a matematika egyetemi oktat´as´ahoz” c´ım˝ u projekt ” keret´eben.

KULCSSZAVAK: affin, konvex, euklideszi, g¨ombi, inverz´ıv, projekt´ıv, hiperbolikus, poli´eder, polit´ op, transzform´aci´o, csoporthat´as, k´ upszelet, modell, ciklus, szf´era. ´ A Geometria c´ım˝ ¨ OSSZEFOGLAL AS: u jegyzet az ELTE Matematika alapszak´ an a matematikus szakir´ any´ u k´epz´es geometriaanyag´at ¨oleli fel. A line´aris algebra ´es az absztrakt algebra eszk¨ozeit haszn´alva bevezet´est ad a klasszikus geometriai terek magasabb dimenzi´os, modern elm´elet´ebe. Az affin geometria keretein bel¨ ul az affin terek ´es affinit´asok mellett a konvex halmazok, konvex poli´ederek ´es polit´ opok elm´elet´enek alapjait ismerteti. Az euklideszi geometri´ ar´ ol sz´ ol´ o fejezetben az euklideszi izometri´ak t´argyal´asa mellett g¨ ombi ´es inverz´ıv geometri´ ar´ol, a szab´alyos polit´opok oszt´alyoz´as´ar´ol, ´es a konvex testek elm´elet´enek alapjair´ol van sz´o. A projekt´ıv geometriai fejezet f˝ o t´emak¨ orei a projekt´ıv transzform´aci´ok ´es a k´ upszeletek k¨or´e csoportosulnak, ezzel el˝ ok´esz´ıtve a hiperbolikus geometria modelleken kereszt¨ ul t¨ort´en˝o t´ argyal´ as´ at.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

Tartalomjegyz´ ek El˝ osz´ o

1

Bevezet´ es : a klasszikus euklideszi t´ er

5

0.1. 0.2. 0.3.

A geometria axiomatikus alapjai . . . . . . . . . . . . A geometriai vektorfogalom . . . . . . . . . . . . . . . G¨ ombh´ aromsz¨ogek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Affin geometria 1.

2.

3.

5 10 21 29

Affin terek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1. Affin terek ´es affin lek´epez´esek . . . . . . . . . . . 1.2. Affin alterek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Affin kombin´aci´ok, f¨ uggetlens´eg, affin b´azis . . . . 1.4. Oszt´ oviszony, s´ ulypont, baricentrikus koordin´at´ak 1.5. Az affin geometria n´eh´any jellegzetes t´etele . . . . 1.6. Az affin geometria alapt´etele . . . . . . . . . . . . 1.7. Line´ aris kiterjeszt´es . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8. V´eges dimenzi´os val´os affin terek . . . . . . . . . . Konvex halmazok affin t´erben . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1. Konvex halmazok, konvex kombin´aci´ok . . . . . . 2.2. Konvex halmazokra vonatkoz´o alapt´etelek . . . . . 2.3. Konvex halmazok topol´ogiai tulajdons´agai . . . . . 2.4. Elv´ alaszt´ as, t´amaszhipers´ıkok . . . . . . . . . . . . 2.5. Hat´ arpontok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Konvex poli´ederek ´es polit´opok . . . . . . . . . . . . . . . 3.1. Konvex poli´ederek ´es lapjaik . . . . . . . . . . . . 3.2. Polit´ opok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Euler t´etele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. Pol´ aris halmazok . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29 29 34 39 44 48 51 57 60 67 67 70 73 78 81 84 85 90 95 98

i

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

Euklideszi geometria 4.

5.

6.

7.

105

Euklideszi terek ´es transzform´aci´oik . . . . . . . . . . . . . . 4.1. Euklideszi vektorterek ´es ortogon´alis transzform´aci´ok . 4.2. Euklideszi terek ´es izometri´ak . . . . . . . . . . . . . . 4.3. Alterek, mer˝olegess´eg, sz¨og, t¨ ukr¨oz´esek . . . . . . . . . 4.4. Az izometri´ ak szerkezete ´es oszt´alyoz´asa . . . . . . . . 4.5. Az ortogon´ alis csoportok szerkezete . . . . . . . . . . 4.6. Hasonl´ os´ ag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7. Magasabb dimenzi´os g¨ombi geometria . . . . . . . . . 4.8. Hopf-f´ele k¨ orrendszerek . . . . . . . . . . . . . . . . . Inverz´ıv geometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1. G¨ omb¨ ok, hatv´any . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2. Inverzi´ o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3. Az inverz´ıv csoport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4. K¨ orsorok az euklideszi s´ıkon . . . . . . . . . . . . . . . 5.5. K¨ orsorok az inverz´ıv geometri´aban . . . . . . . . . . . Szab´ alyos polit´ opok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1. Csoporthat´ asok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2. V´eges izometriacsoportok . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3. Szab´ alyos polit´opok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Konvex testek euklideszi t´erben . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1. T´erfogat ´es felsz´ın . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2. Sz´eless´eg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3. Hausdorff-t´ avols´ag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4. Paralleltartom´anyok t´erfogata . . . . . . . . . . . . . . 7.5. Steiner-f´ele szimmetriz´aci´o . . . . . . . . . . . . . . . . 7.6. Nevezetes egyenl˝otlens´egek . . . . . . . . . . . . . . .

Projekt´ıv geometria 8.

9.

105 105 108 113 118 122 129 133 141 146 146 154 161 168 173 177 177 182 190 201 201 207 211 214 220 224 227

A projekt´ıv t´er szerkezete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1. Projekt´ıv terek ´es alterek . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2. Koordin´ at´ ak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3. Projekt´ıv transzform´aci´ok . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4. Az affin geometria ´es a projekt´ıv geometria kapcsolata 8.5. Illeszked´esi t´etelek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.6. Kett˝ osviszony . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.7. A projekt´ıv egyenes geometri´aja . . . . . . . . . . . . K´ upszeletek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1. M´ asodrend˝ u hiperfel¨ uletek . . . . . . . . . . . . . . . .

227 227 230 238 244 247 252 261 272 273

ii

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

9.2. 9.3. 9.4.

Polarit´ as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285 K´ upszeletsorok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292 A k´ upszeletek projekt´ıv strukt´ ur´aja . . . . . . . . . . 302

Hiperbolikus geometria 10.

11.

12.

311

A hiperbolikus geometria modelljei . . . . . 10.1. Projekt´ıv modell . . . . . . . . . . . 10.2. Konform modellek . . . . . . . . . . 10.3. Hiperboloidmodell . . . . . . . . . . 10.4. A hiperbolikus t´er . . . . . . . . . . A hiperbolikus s´ık . . . . . . . . . . . . . . 11.1. P´ arhuzamoss´ag, sug´arsorok, ciklusok 11.2. A hiperbolikus s´ık egybev´ag´os´agai . 11.3. Trigonometriai t´etelek . . . . . . . . 11.4. Ciklusok ´ıvhossza . . . . . . . . . . . 11.5. Ter¨ ulet . . . . . . . . . . . . . . . . Magasabb dimenzi´ os hiperbolikus terek . . 12.1. Hipers´ıkok ´es szf´er´ak . . . . . . . . . 12.2. A hiperbolikus t´er izometri´ai . . . . 12.3. A szf´er´ ak bels˝o geometri´aja . . . . .

T´ argymutat´ o

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

311 312 324 333 347 350 350 359 365 371 379 387 387 397 402 409

iii

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

El˝ osz´ o Ez a jegyzet az E¨ otv¨ os Lor´ and Tudom´anyegyetem matematika alapszak´an a matematikus szakir´ any´ u hallgat´ok sz´am´ara oktatott h´aromf´el´eves Geometria c´ım˝ u tant´ argy tananyag´ at tartalmazza n´emileg kib˝ov´ıtett ´es ´atdolgozott ´ foly´o matematikusk´epz´esben a t¨obb form´ aban. Ez a tant´ argy az ELTE-n tant´ argyat is mag´ aban foglal´o geometriaoktat´as els˝o l´epcs˝oje. C´elja, hogy attekint˝ ´ o bevezet´est adjon a geometria klasszikus ´es modern fejezeteibe, kialak´ıtsa a geometria alkot´ o m˝ uvel´es´ehez sz¨ uks´eges eszk¨ozt´arat, ´es felk´esz´ıtsen a korszer˝ u, kutat´ oi szint˝ u geometriai ismeretek befogad´as´ara. A tant´ argy tananyaga a sok ´eve kialakult tanterv szerint az els˝o f´el´evben az affin geometria ´es a konvex geometria, a m´asodik f´el´evben az euklideszi geometria, a harmadik f´el´evben a projekt´ıv geometria ´es a hiperbolikus geometria bevezet˝ o fejezeteit tartalmazza. Ebben a jegyzetben is ezt a sorrendet, ´es az anyag fel´ep´ıt´es´enek ehhez a sorrendhez illeszked˝o bels˝o logik´aj´at k¨ovetj¨ uk. A magyar matematikai hagyom´anyok egyik leg´ert´ekesebb darabja Bolyai J´anos m˝ uve a hiperbolikus geometria megteremt´es´eben. Ez´ert a magyarorsz´agi matematikusk´epz´es tananyag´anak fontos c´elja, hogy a hiperbolikus geometria mibenl´et´er˝ ol, matematik´ an bel¨ ul elfoglalt hely´er˝ol, a modern matematikai elm´eletekkel val´ o kapcsolat´ ar´ ol alapos ismereteket ny´ ujtson. Ezt a c´elt k´ıv´anjuk ezzel a tananyaggal is el´erni oly m´odon, hogy a hiperbolikus geometria nem a Bolyai ´ altal k¨ ovetett, t¨ ort´eneti fel´ep´ıt´es´eben, hanem modern matematikai elm´eletk´ent, l´enyeges geometriai ´es algebrai el˝oismeretekre ´ep´ıtve az anyag v´eg´en szerepel. A megel˝ oz˝ o fejezetek nagy r´esze – ´ıgy p´eld´aul az inverz´ıv geometri´ ar´ ol vagy a projekt´ıv geometri´ar´ol sz´ol´o t¨obb fejezet – el˝ok´esz´ıt´esk´ent szolg´ al a hiperbolikus geometri´ahoz. Ezen k´ıv¨ ul a tananyagban olyan t´em´ak is helyet kaptak, amelyek r´eszben alkalmazhat´os´aguk miatt, r´eszben ¨onmagukban ´erdekesek, ´es az ´ altal´ anos matematikai m˝ uvelts´eghez tartoznak. Ilyenek p´eld´ aul a konvex geometri´ ar´ ol vagy a szab´alyos polit´opokr´ol sz´ol´o fejezetek. A jegyzet nem t¨ orekszik arra, hogy t´argya ¨onmag´aban, m´ashonnan szerzett ´ matematikai ismeretek n´elk¨ ul is feldolgozhat´o legyen. Eppen ellenkez˝oleg, hangs´ ulyozottan kihaszn´ alja a modern matematika eszk¨ozeit, ´ep´ıt a p´arhuzamosan fut´ o m´ as matematikai tant´argyakban bevezetett fogalmakra ´es elm´ele1

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

2

˝ szo ´ Elo

tekre. A jegyzet feldolgoz´ as´ ahoz a k¨oz´episkol´as szint˝ u geometria k´eszs´egszint˝ u ismeret´en k´ıv¨ ul elengedhetetlen bizonyos j´artass´ag az absztrakt matematika gondolkod´ asm´ odj´ aban ´es nyelvezet´eben. R¨ oviden v´ azoljuk, milyen t´ argyi el˝oismeretek sz¨ uks´egesek a tananyag egyes r´eszeinek a feldolgoz´ as´ ahoz. Az affin geometri´ ar´ ol sz´ ol´ o fejezetek tematik´aja l´enyeg´eben csak line´aris algebr´ ara ´ep´ıt. Mind az affin terekkel, mind a konvex halmazokkal foglalkoz´o anyagr´eszhez n´elk¨ ul¨ ozhetetlenek a topol´ogia legegyszer˝ ubb fogalmai, ezeket a tananyag r¨ oviden ¨ osszefoglalja. Csoportelm´eletre mint el˝oismeretre ehhez az anyagr´eszhez nincs sz¨ uks´eg, b´ar n´eh´any megfogalmaz´as a geometriai inform´ aci´ o t¨ om¨ or ´ atad´ asa ´erdek´eben a csoportok ´es homomorfizmusok fogalm´at haszn´ alja. Az euklideszi geometri´ at feldolgoz´o fejezetekben m´ar l´enyegesen ´ep´ıt¨ unk a csoportelm´elet eszk¨ ozeire ´es nyelv´ere. Egyes k´erd´esekben konkr´et speci´alis algebrai vagy anal´ızisbeli el˝ oismeretek (pl. kvaterni´ok, metrikus terek topol´ ogi´ aja, Jordan-m´ert´ek) is hasznosak. A projekt´ıv geometri´ ar´ ol ´es hiperbolikus geometri´ar´ol sz´ol´o tananyaghoz nincs sz¨ uks´eg az eddigieken t´ ulmen˝o t´argyi el˝oismeretre. Mindk´et t´em´aban fontos szerepet j´ atszik a kvadratikus alakok geometri´aja, az ehhez sz¨ uks´eges algebrai h´ atteret a jegyzet t¨ obb ponton is o¨sszefoglalja. A tananyag a geometria eg´esz´er˝ol v´allaltan egyoldal´ u k´epet mutat: a hangs´ ulyok eltol´ odnak az absztrakt matematikai strukt´ ur´ak, az algebrai szeml´eletm´ od ir´ any´ aba. Terjedelmi korl´atok miatt a geometria t¨obb fontos fejezete nem szerepel, vagy m´eltatlanul kev´es teret kap a jegyzetben. Gyakorlatilag egy´ altal´ an nincsen benne sz´ ou ´gynevezett elemi” geometri´ar´ol, az axiomati” kus geometria is csak ´erint˝ olegesen szerepel a tananyag egy-k´et pontj´an, ´es a geometria kombinatorikus vonatkoz´asai is csak ´att´etelesen jelennek meg. A jegyzet elker¨ uli ´es j´ or´eszt eml´ıt´es n´elk¨ ul hagyja a tananyag kapcsolatait a differenci´ algeometri´ aval m´eg azokon a pontokon is, ahol ennek term´eszetes helye lenne. Ennek az az oka, hogy a differenci´algeometria oktat´asa ´es appar´ atus´ anak kifejleszt´ese k¨ ul¨on tant´argy keret´eben t¨ort´enik. A jegyzetben a geometria fogalmait az ´altal´anoss´agnak a szok´asosn´al valamivel magasabb szintj´en, absztrakt keretek k¨oz¨ott t´alaljuk. A k¨ ul¨onf´ele geometriai tereket tetsz˝ oleges dimenzi´oban mutatjuk be. Ahol lehets´eges, nem csup´ an a val´ os sz´ amokra ´ep´ıtve, hanem tetsz˝oleges test f¨ol¨ott dolgozva fogalmazzuk meg a relev´ ans defin´ıci´okat ´es t´eteleket. El˝onyben r´eszes´ıtj¨ uk a fogalmi megk¨ ozel´ıt´est, a koordin´atamentes gondolatmeneteket a sz´amol´asokkal szemben. Ez p´eld´ aul abban mutatkozik meg, hogy ahol lehet, m´atrix helyett line´ aris lek´epez´est szerepeltet¨ unk, az affin t´er geometri´aj´aban az els˝ofok´ u egyenleteket az affin forma” fogalma helyettes´ıti, illetve a projekt´ıv geo”

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

˝ szo ´ Elo

3

metri´ aban m´ asodfok´ u egyenletek helyett kvadratikus alakok j´atszanak fontos szerepet. A tananyag ¨ ossze´ all´ıt´ as´ aban hi´anytalan dedukt´ıv fel´ep´ıt´esre ´es logikai k¨ovetkezetess´egre t¨ orekedt¨ unk. A t´etelek ´altal´aban bizony´ıt´asukkal egy¨ utt szerepelnek. Ha valamely ´ all´ıt´ as ut´an nem ´all bizony´ıt´as, akkor az az el˝ozm´enyek nyilv´ anval´ o, vagy rutinszer˝ uen egyszer˝ u gondolatmenettel tiszt´azhat´o folyom´ anya. A defin´ıci´ ok ut´ an gyakran p´eld´ak k¨ovetkeznek, amelyek seg´ıtik elhelyezni az u ´j fogalmakat matematikai k¨ornyezet¨ ukben. A p´eld´akban foglalt all´ıt´ ´ asok nem minden esetben vannak r´eszletesen megindokolva, ez´ert ezek az olvas´ ot´ ol ¨ on´ all´ o ut´ anagondol´ ast is ig´enyelhetnek. Az olvas´ o figyelm´ebe aj´ anlunk egy-k´et olyan magyar nyelv˝ u tank¨onyvet ´es jegyzetet, amelyek kieg´esz´ıthetik ´es teljesebb´e tehetik a geometri´ar´ol alkotott k´epet: • Haj´ os Gy.: Bevezet´es a geometri´aba (Nemzeti Tank¨onyvkiad´o, 2006) • Haj´ os Gy., Strohmajer J.: A geometria alapjai (ELTE jegyzet) • H. S. M. Coxeter: A geometri´ak alapjai (M˝ uszaki K¨onyvkiad´o, 1973) • D. Hilbert, S. Cohn-Vossen: Szeml´eletes geometria (Gondolat K¨onyvkiad´ o, 1982) Mindenk´eppen meg kell eml´ıten¨ unk azt a tank¨onyvet, amely az elm´ ult ´evtizedekben klasszikuss´ a v´ alt ´es sok tekintetben – felfog´as´aban, tartalm´aban – ehhez a jegyzethez is mint´ at adott. A tananyag t¨obb t´emak¨or´enek a fel´ep´ıt´es´ehez ´es n´eh´ any nevezetes t´etel (p´eld´aul 1.6.7, 7.6.2) bizony´ıt´as´ahoz ez a k¨ onyv adta a forr´ ast: • M. Berger: Geometry (Springer, 1987) A jegyzetben foglalt tananyag kialak´ıt´asa, rendszerbe foglal´asa, a matematikai appar´ atus f¨ ol´ep´ıt´ese ´es kidolgoz´asa az ELTE Geometriai Tansz´ek´enek kollekt´ıv munk´ aja. K¨ ul¨ on szeretn´em megk¨osz¨onni tansz´eki koll´eg´aim k¨oz¨ ul Csik´ os Bal´ azs ´es Lakos Gyula seg´ıts´eg´et, akikt˝ol az anyag kialak´ıt´as´aban rengeteg seg´ıts´eget kaptam. K¨osz¨onettel tartozom Fodor Ferencnek, a Szegedi Tudom´ anyegyetem docens´enek is, aki a jegyzet lektorak´ent az anyag gondos ´ atf´es¨ ul´es´evel ´es hasznos tan´acsokkal seg´ıtette munk´amat. A jegyzet a TAMOP-4.1.2-08/2/A/KMR-2009-0045 jel˝ u p´aly´azat seg´ıts´eg´evel k´esz¨ ult. Budapest, 2013. Moussong G´abor

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

Bevezet´ es : a klasszikus euklideszi t´ er Miel˝ ott elkezden´enk a magasabb dimenzi´os geometria absztrakt algebrai alapokra ´ep¨ ul˝ o szisztematikus t´ argyal´as´at, megismerked¨ unk a hagyom´anyos h´aromdimenzi´ os euklideszi geometria tanulm´anyoz´as´anak azzal a m´odszer´evel is, amely lehet˝ ov´e teszi a geometriai fogalmak bevezet´es´et puszt´an logikai alapokon, a t¨ obbi matematikai diszciplin´at´ol f¨ uggetlen¨ ul. Az ´altalunk k´es˝obb k¨ ovetend˝ o fel´ep´ıt´esben centr´alis szerepet j´atszik az algebrai vektorfogalom. A vektor absztrakt algebrai defin´ıci´oja sz´am´ara a geometria eszk¨ozeivel ´ertelmezett vektor ad mint´ at, ez´ert ebben a bevezet˝o fejezetben ´attekintj¨ uk a vektorok geometriai sz´ armaztat´as´at az axiomatikus geometria ´altal adott keretekb˝ ol kiindulva. A klasszikus euklideszi vektorgeometria alkalmaz´as´ara a g¨ ombh´ aromsz¨ ogek trigonometri´aj´aban mutatunk p´eld´at.

0.1. A geometria axiomatikus alapjai A modern matematika k¨ ul¨ onf´ele matematikai strukt´ ur´akat, azaz olyan logikai rendszereket vizsg´ al, amelyek ´altal´aban valamilyen alaphalmazon megadott alapfogalmakb´ ol: kit¨ untetett r´eszhalmazokb´ol, f¨ uggv´enyekb˝ol, rel´aciokb´ ´ ol, m˝ uveletekb˝ ol, vagy ezek valamilyen kombin´aci´oj´ab´ol ´allnak. Ezeknek a strukt´ uraelemeknek eleget tell tenni¨ uk bizonyos alapk¨ovetelm´enyeknek, az u ´gynevezett axi´ om´ aknak. A vizsg´alt elm´elet azoknak a defin´ıci´oknak, illetve t´eteleknek az ¨ osszess´eg´et jelenti, amelyeket a logika szab´alyait k¨ovetve az alapfogalmakb´ ol ´es az axi´ om´akb´ol lehet bevezetni, illetve bebizony´ıtani. A geometria a matematika – s˝ot, ´altal´aban a tudom´anyos gondolkod´as – legr´egebbi olyan ter¨ ulete, amelyben a fogalmak logikai tiszt´az´asa ir´anti ig´eny ebben a form´ aban felmer¨ ult. Az ´okori g¨or¨og matematika egyik cs´ ucsteljes´ıtm´eny´et jelent˝ o alkot´ as´ aban Euklid´esz ´all´ıtotta ¨ossze a geometria els˝o ismert axi´ omarendszer´et, mint´ at ´ all´ıtva ezzel a k´es˝obbi korok tudom´anya sz´am´a5

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

6

´s : a klasszikus euklideszi te ´r Bevezete

ra. Ezt az axi´ omarendszert a modern kori matematika precizit´asi ig´enyeinek megfelel˝ oen Hilbert dolgozta ´at, ´es tette az axiomatikus euklideszi geometria mai szok´ asos kiindul´ opontj´av´a. Az al´abbiakban v´azlatosan ´attekintj¨ uk a Hilbert-f´ele axi´ omarendszernek azt a valamelyest egyszer˝ us´ıtett v´altozat´at, amely a geometria megalapoz´asi lehet˝os´egei k¨oz¨ ul Haj´os Gy¨orgy el˝oad´asai nyom´ an Magyarorsz´ agon legink´abb ismert. Azt mondjuk, hogy az X halmaz euklideszi t´er (pontosabb sz´ohaszn´alattal klasszikus” euklideszi t´er, ha hangs´ ulyozottan meg akarjuk k¨ ul¨onb¨oztetni ” a k´es˝ obbi fejezetekben t´ argyaland´o, algebr´ara alapozott ´altal´anos euklideszi t´erfogalomt´ ol), ha a k¨ ovetkez˝o k´et felt´etelnek eleget tesz : (1) X el van l´ atva az euklideszi t´er strukt´ ur´aj´at alkot´o, al´abb ´ertelmezend˝o E, S, R, ≡ strukt´ uraelemekkel (ezek alkotj´ak az euklideszi geometria alapfogalmait), ´es (2) az (1)-beli stukt´ uraelemekre vonatkoz´oan ´erv´enyesek az al´abb felsoroland´ o (I1)–(I7), (R1)–(R4), (E1)–(E4), (F ) ´es (P ) ´all´ıt´asok (az euklideszi geometria axi´ om´ ai). (A form´ alis pontoss´ ag kedv´e´ert nem az X halmazt, hanem a teljes strukt´ ur´ at mag´ aban foglal´ o (X, E, S, R, ≡) rendezett ¨ot¨ost kellene euklideszi t´ernek nevezni, de a g¨ ord¨ ul´ekenys´eg ´erdek´eben most is ´es a k´es˝obbiekben is ink´abb csak az alaphalmaz jel´evel nevezz¨ uk meg a geometriai strukt´ ur´aval ell´atott teret.) A strukt´ uraelemek k¨ oz¨ ul az els˝o kett˝o a t´er illeszked´esi strukt´ ur´aj´at adja meg : E r´eszhalmazoknak egy rendszere X-ben, elemeit egyeneseknek nevezz¨ uk, ´es S is X-beli halmazrendszer, elemeit s´ıkoknak nevezz¨ uk. (Ezekkel az elnevez´esekkel ¨ osszhangban X elemeit pontoknak mondjuk.) Az E ´es az S halmazrendszerre az al´abbi illeszked´esi axi´om´ak vonatkoznak : (I1) Mindegyik E ∈ E egyenes legal´abb k´etelem˝ u. (I2) B´ armely k´et k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o A, B ∈ X ponthoz l´etezik egyetlen olyan E ∈ E egyenes, amelyre A, B ∈ E. (I3) Mindegyik S ∈ S s´ıknak van h´arom olyan pontja, amelyek nem tartoznak egy egyeneshez. (I4) Ha valamely A, B, C ∈ X pontok nem tartoznak egy egyeneshez, akkor l´etezik egyetlen olyan S ∈ S s´ık, amelyre A, B, C ∈ S.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

´s : a klasszikus euklideszi te ´r Bevezete

7

(I5) Ha egy E ∈ E egyenesnek ´es egy S ∈ S s´ıknak van legal´abb k´et k¨ ul¨onb¨ oz˝ o k¨ oz¨ os pontja, akkor E ⊆ S. (I6) Ha az S, T ∈ S s´ıkoknak van k¨oz¨os pontja, akkor S ∩ T legal´abb k´etelem˝ u. (I7) L´etezik X-ben n´egy olyan pont, amelyek nem tartoznak sem egy egyeneshez, sem egy s´ıkhoz. Az axi´ om´ ak k¨ ovetkez˝ o csoportja az eddigieken t´ ul a pontok elv´alaszt´as´ara is hivatkozik, ezzel kapcsolatos a soron k¨ovetkez˝o, R-rel jel¨olt strukt´ uraelem : R ⊆ X × X × X h´ aromv´altoz´os rel´aci´o. Ha (A, B, C) ∈ R, akkor azt mondjuk, hogy B elv´ alasztja az A pontot C-t˝ol (vagy hogy B az A ´es C k¨ oz¨ ott van). Az R rel´ aci´ ora az al´ abbi rendez´esi axi´om´ak vonatkoznak : (R1) Ha (A, B, C) ∈ R, akkor A, B ´es C egy egyeneshez tartoz´o, k¨ ul¨onb¨oz˝o pontok, ´es (C, B, A) ∈ R is ´erv´enyes. (R2) B´ armely k´et k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o A, B ∈ X ponthoz l´etezik olyan C pont, hogy (A, B, C) ∈ R. (R3) Tetsz˝ oleges A, B, C ∈ X-re (A, B, C) ∈ R, (B, C, A) ∈ R ´es (C, A, B) ∈ ∈ R k¨ oz¨ ul legfeljebb az egyik igaz. (R4) Ha A, B, C ∈ X nincs egy egyenesen, ´es E ∈ E olyan egyenes, amely A, B, C egyik´et sem tartalmazza, ´es benne fekszik az A, B, C-t tartalmaz´ o s´ıkban, akkor vagy pontosan k´et olyan P ∈ E pont l´etezik, vagy egyetlen olyan P ∈ E pont sincs, amelyre (A, P, B) ∈ R, (B, P, C) ∈ R vagy (C, P, A) ∈ R teljes¨ ul. (Az (R4) axi´ om´ at Pasch-f´ele axi´om´anak szok´as nevezni. Szavakkal megfogalmazva azt jelenti, hogy egy h´ aromsz¨ogvonalat egy a s´ıkj´aban fekv˝o, a cs´ ucsain at nem halad´ ´ o egyenes vagy pontosan k´et oldal´an metsz, vagy egy´altal´an nem metsz.) Az illeszked´esi ´es a rendez´esi axi´om´ak birtok´aban m´ar szabatosan bevezethet˝ ok a geometria olyan fogalmai, mint a szakasz, a f´elegyenes, a f´els´ık, a f´elt´er, a sz¨ ogvonal, a sz¨ ogtartom´ any, a h´aromsz¨og, a t¨or¨ottvonal, a soksz¨ogvonal, a soksz¨ ogtartom´ any, a konvex halmaz, a konvex burok, ´es bebizony´ıthat´ok ezek ismert tulajdons´ agai. A tov´abbi axi´om´ak r´eszben ezekre a fogalmakra is hivatkoznak. Az A ´es B v´egpontokkal adott szakaszt (ami az A ´es B k¨oz¨ ott l´ev˝ o pontok halmaz´ at jelenti A-val ´es B-vel egy¨ utt) [A, B]-vel jel¨olj¨ uk.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

´s : a klasszikus euklideszi te ´r Bevezete

8

Besz´elhet¨ unk h´ aromsz¨ ogek sz¨ogeir˝ol mint az egyes cs´ ucsokb´ol indul´o, az oldalakat tartalmaz´ o f´elegyenesek ´altal kifesz´ıtett konvex sz¨ogtartom´anyokr´ol. Az axi´ om´ ak k¨ ovetkez˝ o csoportja el˝ott az utols´o h´atralev˝o alapfogalmat, az ≡ strukt´ uraelemet vezetj¨ uk be: ≡ ekvivalenciarel´ aci´ o a szakaszok ´es a sz¨ogtartom´anyok halmaz´an. K´et szakaszt, illetve sz¨ ogtartom´anyt egybev´ag´onak mondunk, ha ebben a rel´ aci´ oban ´ allnak. Az ≡ rel´ aci´ ora vonatkoz´ oan az al´abbi egybev´ag´os´agi axi´om´akat tessz¨ uk fel: (E1) Ha adott egy P kezd˝ opont´ u F f´elegyenes, tov´abb´a egy Z szakasz, akkor l´etezik egyetlen olyan Q ∈ F pont, amelyre [P, Q] ≡ Z. (E2) Ha (A1 , B1 , C1 ) ∈ R ´es (A2 , B2 , C2 ) ∈ R, tov´abb´a [A1 , B1 ] ≡ [A2 , B2 ] ´es [B1 , C1 ] ≡ [B2 , C2 ], akkor [A1 , C1 ] ≡ [A2 , C2 ]. (E3) Ha adott egy H f´els´ık, a hat´ar´an egy P kezd˝opont´ u F f´elegyenes, tov´ abb´ a adott egy K konvex sz¨ogtartom´any, akkor l´etezik egyetlen olyan P kezd˝ opont´ u G ⊆ H f´elegyenes, hogy az F ∪G sz¨ogvonal ´altal hat´arolt konvex sz¨ ogtartom´ any egybev´ag´o K-val. (E4) Ha az ABC ´es A0 B 0 C 0 h´aromsz¨ogekre [A, B] ≡ [A0 , B 0 ] ´es [A, C] ≡ ≡ [A0 , C 0 ] teljes¨ ul, valamint az ABC h´aromsz¨og A-n´al lev˝o sz¨oge egybev´ ag´ o az A0 B 0 C 0 h´ aromsz¨og A0 -n´el lev˝o sz¨og´evel, akkor az ABC h´aromsz¨ og B-n´el lev˝ o sz¨oge is egybev´ag´o az A0 B 0 C 0 h´aromsz¨og B 0 -n´el lev˝ o sz¨ og´evel. Az eddigi axi´ om´ akb´ ol m´ ar igen sok tov´abbi geometriai fogalom sz´armaztathat´ o, illetve t´etel bizony´ıthat´o. P´eld´aul be lehet vezetni szakaszok ´es sz¨ogtartom´ anyok k¨ or´eben a nagys´ ag szerinti ¨osszehasonl´ıt´ast, felez´est, t¨obbsz¨or¨oz´est, az egyenesek ´es s´ıkok k¨ or´eben a mer˝olegess´eg fogalm´at, k¨ort, g¨omb¨ot, egy´ bev´ ag´ os´ agi transzform´ aci´ okat. Ertelmezni lehet a t´avols´agm´er´est, azaz olyan ρ : X × X → R f¨ uggv´enyt, amelyre az al´abbi tulajdons´agok ´erv´enyesek: (1) ρ(A, B) ≥ 0, ´es itt egyenl˝os´eg csak A = B eset´en ´all, (2) ρ(B, A) = ρ(A, B), (3) ρ(A, B) + ρ(B, C) ≥ ρ(A, C), (4) a (3) egyenl˝ otlens´eg hely´en akkor ´es csak akkor ´all egyenl˝os´eg, ha A = = B, B = C, vagy (A, B, C) ∈ R, (5) ρ(A, B) = ρ(C, D) akkor ´es csak akkor ´all, ha [A, B] ≡ [C, D].

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

´s : a klasszikus euklideszi te ´r Bevezete

9

Az (1)–(3) tulajdons´ agokat szok´as o¨sszefoglal´o n´even u ´gy mondani, hogy a ρ f¨ uggv´eny metrika az X halmazon. Az (5) tulajdons´ag azt fejezi ki, hogy a t´ avols´ agm´er´es ¨ osszhangban van az el˝oz˝oleg bevezetett egybev´ag´os´agfogalommal. Hasonl´ o m´ odon sz¨ogm´er´es is ´ertelmezhet˝o, azaz bevezethet˝o egy sz¨ ogm´ert´eknek nevezett pozit´ıv val´os f¨ uggv´eny a sz¨ogtartom´anyok halmaz´an, amely szint´en ¨ osszhangban van a sz¨ogtartom´anyokra vonatkoz´o egybev´ag´os´ agi rel´ aci´ oval, ´es amely addit´ıv abban az ´ertelemben, hogy ha egy K sz¨ogtartom´ anyt egy a cs´ ucs´ ab´ ol indul´o f´elegyenes k´et sz¨ogtartom´anyra, L-re ´es M -re bont, akkor K sz¨ ogm´ert´eke egyenl˝o L ´es M sz¨ogm´ert´ekeinek az ¨osszeg´evel. A t´ avols´ agm´er´es is ´es a sz¨ ogm´er´es is egy´ertelm˝ u abban az ´ertelemben, hogy ha egy el˝ ore tetsz˝ olegesen kiszemelt szakaszt, illetve sz¨oget egys´egnyi hossz´ unak, illetve m´ert´ek˝ unek ´ırunk el˝ o, akkor csak egyetlen olyan metrika, illetve sz¨ogm´ert´ek l´etezik, amely ennek a k¨ovetelm´enynek is eleget tesz. Meg´allapod´as szerint a sz¨ ogm´er´es m´ert´ekegys´eg´et u ´gy v´alasztjuk, hogy a der´eksz¨og m´ert´eke π/2 legyen. A k¨ ovetkez˝ o axi´ oma szeml´eletesen fogalmazva azt garant´alja, hogy az egyenesek folytonos vonalak”. Egy E ∈ E egyenes Dedekind-f´ele felbont´as´an olyan ” E = U ∪ V el˝ o´ all´ıt´ ast ´ert¨ unk, amelyben U ´es V az E egyenes nem¨ ures, diszjunkt r´eszhalmazai, ´es amelyn´el az (A, B, C) ∈ R elv´alaszt´as nem ´allhat fenn sem A, C ∈ U , B ∈ V eset´en, sem pedig A, C ∈ V , B ∈ U eset´en. Az al´abbi folytonoss´ agi axi´ oma ilyenkor elv´alaszt´o pont l´etez´es´et garant´alja. (F ) Ha E = U ∪ V az E ∈ E egyenes Dedekind-felbont´asa, akkor l´etezik olyan P ∈ E pont, hogy b´armely A ∈ U , B ∈ V , A 6= P 6= B eset´en (A, P, B) ∈ R. A folytonoss´ agi axi´ oma felhaszn´al´as´aval igazolhat´o, hogy b´armely egyenes ´es a val´ os sz´ amegyenes k¨ oz¨ ott az egyenes ment´en t¨ort´en˝o el˝ojeles t´avols´agm´er´es u ´tj´ an bijekt´ıv kapcsolat l´etes´ıthet˝o (m´as sz´oval: a t´er egyenesei t´avols´agtart´o m´ odon koordin´ at´ azhat´ ok a val´os sz´amokkal). A s´ıkoknak vagy a t´ernek az iskol´ ab´ ol ismert koordin´ at´ az´ as´ahoz ez m´eg kev´es, mert a koordin´atavonalak megad´ as´ ahoz a p´ arhuzamoss´ ag fogalm´ara is sz¨ uks´eg van. Ehhez m´ar csak egy tov´ abbi axi´ oma kell, a p´ arhuzamoss´agi axi´oma : (P ) Ha S s´ık, E ⊂ S egyenes, ´es Q az S s´ık E-hez nem tartoz´o pontja, akkor S-ben legfeljebb egy olyan egyenes l´etezik, amely Q-t tartalmazza ´es diszjunkt E-t˝ ol. B´ ar a p´ arhuzamoss´ agi axi´ om´anak az illeszked´esi axi´om´ak k¨oz¨ott volna a term´eszetes helye, k¨ ul¨ onv´ alaszt´ as´at ´es utols´ok´ent szerepeltet´es´et a matematika t¨ ort´enet´eben j´ atszott k¨ ul¨ onleges szerepe indokolja. Euklid´esz kort´arsai is ´es k´es˝ obbi korok matematikusai is a p´arhuzamoss´agi axi´oma tartalm´at j´oval kev´esb´e mag´ at´ ol ´ertet˝ od˝ o igazs´agnak gondolt´ak, mint Euklid´esz t¨obbi axi´om´ aj´ at. Ez´ert abban a rem´enyben, hogy erre az axi´om´ara nincs is sz¨ uks´eg,

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

10

´s : a klasszikus euklideszi te ´r Bevezete

megpr´ ob´ alt´ ak a t¨ obbi axi´ oma k¨ovetkezm´enyek´ent bebizony´ıtani. K´et ´evezreden ´ at h´ uz´ od´ o sikertelen pr´ ob´alkoz´asok nyom´an a p´arhuzamoss´agi axi´oma bizony´ıthat´ os´ ag´ anak k´erd´ese a matematika legh´ıresebb probl´em´ainak egyike lett. A tizenkilencedik sz´ azadban Bolyai ´es Lobacsevszkij egym´ast´ol f¨ uggetlen¨ ul, nagyj´ ab´ ol egyid˝ oben jutottak arra a felismer´esre, hogy a p´arhuzamoss´ agi axi´ oma f¨ uggetlen a t¨ obbi axi´om´at´ol. A t¨obbi axi´om´at megtartva ´es (P ) tagad´ as´ at f¨ olt´etelezve olyan geometriai rendszert ´ep´ıtettek ki, amely sok tekintetben k¨ ul¨ onb¨ ozik az euklideszit˝ol. Ezt a geometri´at mai elnevez´essel hiperbolikus geometri´ anak h´ıvjuk. A hiperbolikus geometria axi´omarendszere teh´ at az utols´ ot´ ol eltekintve megegyezik a fenti axi´omarendszerrel: az (I1)– (F ) axi´ om´ akb´ ol ´ all, hozz´ av´eve a (P ) axi´oma tagad´as´at. A hiperbolikus t´er ugyanolyan strukt´ uraelemekkel ell´atott halmaz, mint az euklideszi t´er, csak ennek a megv´ altoztatott axi´ omarendszernek tesz eleget. Az euklideszi geometri´ anak az axiomatikus kiindul´opontb´ol t¨ort´en˝o, minden r´eszletre kiterjed˝ o szabatos fel´ep´ıt´ese igen hosszadalmas ´es f´arads´agos munka m´eg akkor is, ha csak a k¨oz´episkol´as geometri´ahoz tartoz´o fogalmakig ´es t´etelekig akarunk eljutni. Ez´ert ezt a fel´ep´ıt´est ebben a tananyagban nem k¨ovetj¨ uk. Felhaszn´ aljuk viszont mindazokat az ismereteket, amelyeket az euklideszi s´ık- ´es t´ergeometri´ ar´ ol a k¨oz´episkol´as geometria t´argyal. Ezt abban a tudatban tessz¨ uk, hogy ezekhez a fogalmakhoz ´es t´etelekhez az itt v´azolt kiindul´ asb´ ol teljesen szabatos ´ep´ıtkez´essel is el lehet jutni. Az axiomatikusan ´ertelmezett euklideszi t´er geometri´aj´ab´ol csak a vektorok sz´armaztat´as´at, tulajdons´ agait ´es felhaszn´ al´ as´at tekintj¨ uk ´at a k¨ovetkez˝o alfejezetben. Nem j´ arjuk v´egig a vektorok bevezet´es´enek minden l´ep´es´et (p´eld´aul nem foglalkozunk a sz¨ ogf¨ uggv´enyek defin´ıci´oj´aval, ismertnek f¨olt´etelezve ˝oket), hanem csak azoknak a fogalmaknak az ismertet´es´ere szor´ıtkozunk, amelyeket k´es˝obb explicit m´ odon felhaszn´ alunk, vagy amelyek mint´at adnak k´es˝obbi ´altal´anos konstrukci´ oinkhoz.

0.2. A geometriai vektorfogalom Tegy¨ uk fel, hogy X euklideszi t´er az el˝oz˝o szakaszban tiszt´azott ´ertelemben. Az X-b˝ ol v´ alaszthat´ o rendezett pontp´arok (azaz l´enyeg´eben az X-beli ir´any´ıtott szakaszok) halmaz´ an, X × X-en a k¨ovetkez˝o ∼ rel´aci´ot vezetj¨ uk be : alljon f¨ ´ onn (A, B) ∼ (C, D) akkor ´es csak akkor, ha az [A, D] szakasz ´es a [B, C] szakasz felez˝ opontja egybeesik. A t´er axi´ om´ aib´ ol levezethet˝o, hogy ∼ ekvivalenciarel´aci´o. A tranzitivit´asi tulajdons´ ag szabatos bizony´ıt´asa hosszadalmas ´es egy´altal´an nem mag´at´ol ´ertet˝ od˝ o. A p´ arhuzamoss´ agi axi´oma a bizony´ıt´asban l´enyeges szerepet j´atszik,

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

´s : a klasszikus euklideszi te ´r Bevezete

11

amit az a t´eny is mutat, hogy a hiperbolikus geometri´aban az ilyen m´odon defini´ alt rel´ aci´ o nem lenne tranzit´ıv. Itt mi megel´egsz¨ unk azzal a szeml´eletes k´eppel, hogy a ∼ rel´ aci´ o az ir´ any´ıtott szakaszokat akkor sorolja egy oszt´alyba, ha azok egyenl˝ o hossz´ uak ´es azonos ir´any´ uak. 0.2.1. Defin´ıci´ o (Vektor). Az X euklideszi t´er vektorainak nevezz¨ uk a ∼ rel´ aci´ o szerinti ekvivalenciaoszt´alyokat. A vektorok halmaz´ara a V jel¨ol´est vezetj¨ uk be. Ha (A, B) ∈ X × X, akkor az (A, B) p´art tartalmaz´o ekviva−−→ −→ lenciaoszt´ alyt AB-vel jel¨ olj¨ uk. Z´erusvektornak h´ıvjuk ´es 0-val jel¨olj¨ uk az AA vektort, ez nyilv´ an f¨ uggetlen A ∈ X v´alaszt´as´at´ol. K¨ onnyen l´ athat´ o, hogy tetsz˝ oleges v ∈ V vektorhoz ´es O ∈ X ponthoz egy−→ ´ertelm˝ uen tal´ alhat´ o olyan A ∈ X pont, hogy v = OA. Megjegyz´es. A 0.2.1. Defin´ıci´o az u ´n. szabad vektor” fogalm´at vezeti be. Az” zal, hogy nem konkr´et ir´ any´ıtott szakaszokat, hanem ekvivalenciaoszt´alyokat tekint¨ unk vektornak, azt a meg´allapod´ast ¨ontj¨ uk prec´ız matematikai form´aba, hogy k´et ir´ any´ıtott szakasz k¨oz¨ott nem k´ıv´anunk k¨ ul¨onbs´eget tekinteni, ha hosszuk ´es ir´ anyuk megegyezik. A vektort reprezent´al´o ir´any´ıtott szakasz teh´ at szabadon eltolhat´ o a t´erben tetsz˝olegesen kiszemelt kezd˝opontba. Ha a t´er egy O pontj´ at mint kezd˝opontot r¨ogz´ıtj¨ uk, akkor ezzel bijekt´ıv kapcsolatot teremt¨ unk a szabad vektorok ´es az O-b´ol indul´o ir´any´ıtott szakaszok ( helyvektorok”) k¨ oz¨ ott. A helyvektorok pedig a v´egpont kijel¨ol´ese u ´tj´an a ” t´er pontjaival ´ allnak bijekt´ıv megfeleltet´esben. 0.2.2. Defin´ıci´ o (Vektorok hossza, sz¨ oge). A v ∈ V vektor hossz´an a −−→ |v| = ρ(A, B) sz´ amot ´ertj¨ uk, ahol v = AB. A v vektort egys´egvektornak mondjuk, ha |v| = 1. K´et nemz´erus vektor sz¨ og´et 0-nak, illetve π-nek tekintj¨ uk, ha az ˝oket reprezent´ al´ o k¨ oz¨ os kezd˝ opont´ u ir´any´ıtott szakaszok ugyanabba a f´elegyenesbe, illetve ellent´etes f´elegyenesekbe esnek. Ha az a ´es b nemz´erus vektorok nem ilyenek, akkor a ´es b sz¨ og´en annak a konvex sz¨ogtartom´anynak a sz¨ogm´ert´ek´et ´ertj¨ uk, amelyet k¨ oz¨ os O kezd˝opont´ u, A-n, illetve B-n ´athalad´o f´elegye−→ −−→ nesek fesz´ıtenek ki, ahol a = OA ´es b = OB. ´ Erdemes abban meg´ allapodni, hogy a z´erusvektornak b´armely vektorral k´epzett sz¨ og´et hat´ arozatlannak tekintj¨ uk. K´et vektort p´ arhuzamosnak mondunk, ha a sz¨og¨ uk 0 vagy π, illetve mer˝ olegesnek, ha a sz¨ og¨ uk π/2. A z´erusvektor teh´at p´arhuzamos is b´armely vektorral, ´es ugyanakkor mer˝oleges is b´armely vektorra. 0.2.3. Defin´ıci´ o (Vektorok ¨ osszead´ asa). Adott a, b ∈ V eset´en v´alasszunk tetsz˝ olegesen egy O ∈ X pontot, majd ehhez az A, B ∈ X pontokat u ´gy, hogy

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

´s : a klasszikus euklideszi te ´r Bevezete

12

−→ −−→ −−→ a = OA ´es b = AB teljes¨ ulj¨ on. Ekkor az OB vektort a ´es b ¨osszeg´enek nevezz¨ uk ´es a + b-vel jel¨ olj¨ uk. K¨ onnyen l´athat´o, hogy az ¨osszegvektor nem f¨ ugg az O pont speci´ alis megv´ alaszt´ as´at´ol. Szok´as u ´gy fogalmazni, hogy az ¨osszegvektort reprezent´ al´ o (O, B) ir´ any´ıtott szakaszt az (O, A) ´es az (A, B) ir´any´ıtott szakasz o sszef˝ u z´ e s´ e vel” kapjuk. ¨ ” A vektorok o as´ ara vonatkoz´o al´abbi m˝ uveleti tulajdons´agok k¨onnyen ¨sszead´ meggondolhat´ ok ´es j´ ol ismertek a k¨oz´episkol´as geometriaanyagb´ol: • (a + b) + c = a + (b + c), • 0 + a = a + 0 = a, • minden a ∈ V -hez l´etezik olyan a0 ∈ V , amellyel a + a0 = a0 + a = 0. Ez a h´ arom tulajdons´ ag ¨ osszefoglal´o n´even azt jelenti, hogy V csoport a vektor¨ osszead´ as m˝ uvelet´ere n´ezve. A h´arom k¨oz¨ ul az els˝o tulajdons´agot a m˝ uvelet asszociativit´ as´ anak nevezz¨ uk. A harmadik tulajdons´agban szerepl˝o a0 vektort az a ellentett vektor´anak h´ıvjuk ´es (−a)-val jel¨olj¨ uk. Haszn´alat´aval vektorok kivon´ as´ ar´ ol is besz´elhet¨ unk az a − b = a + (−b) szab´aly szerint. ´ enyes m´eg az Erv´ • a+b=b+a kommutativit´ asi tulajdons´ ag is, ez´ert V kommutat´ıv csoport. 0.2.4. Defin´ıci´ o (Vektor szorz´ asa skal´ arral). Adott v ∈ V vektor ´es λ ∈ R val´ os sz´ am eset´en az al´abbi m´odon ´ertelmezz¨ uk a λv vektort: – ha v = 0 vagy λ = 0, akkor λv = 0, −→ – ha v 6= 0 ´es λ 6= 0, akkor legyen v = OA egy tetsz˝olegesen v´alasztott O ponttal, majd λ > 0 eset´en az OA f´elegyenesen, λ < 0 eset´en pedig az OA-val ellent´etes f´elegyenesen v´alasszuk a B pontot u ´gy, hogy −−→ ρ(O, B) = λρ(O, A) teljes¨ ulj¨on, ezek ut´an legyen λv = OB. A skal´ arral val´ o szorz´ asra n´ezve ´erv´enyesek a k¨oz´episkol´ab´ol szint´en j´ol ismert al´ abbi m˝ uveleti tulajdons´ agok: • λ(a + b) = λa + λb, • (λ + µ)a = λa + µa, • λ(µa) = µ(λa) = (λµ)a, • 1a = a.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

´s : a klasszikus euklideszi te ´r Bevezete

13

Ezek az azonoss´ agok o ¨sszefoglal´o n´even azt jelentik, hogy V nem csup´an kommutat´ıv csoport az o sszead´ asra n´ezve, hanem vektort´er a val´os sz´amok teste ¨ f¨ ol¨ ott az ¨ osszead´ asra ´es a skal´arral val´o szorz´asra mint vektorm˝ uveletekre n´ezve. −→ Ha O, A, B ´es C n´egy nem egy s´ıkban fekv˝o pont, akkor az a = OA, b = −−→ −−→ = OB, c = OC vektorok b´ azist alkotnak V sz´am´ara, azaz b´armely x ∈ V vektor egy´ertelm˝ uen ´ all´ıthat´o el˝o a, b ´es c line´aris kombin´aci´ojak´ent, azaz x = αa + βb + γc alakban. A V vektort´er teh´at h´aromdimenzi´os. Az α, β, γ ∈ R sz´ amok az x vektor koordin´at´ai az a, b, c b´azisra vonatkoz´oan. Ha a, b ´es c p´ aronk´ent mer˝oleges egys´egvektorok, akkor az ´altaluk alkotott b´ azist ortonorm´ alt b´ azisnak nevezz¨ uk. Ilyenkor az O, A, B, C pontok Descartes-f´ele koordin´ atarendszert fesz´ıtenek ki X-ben, amelynek O az orig´ oja, A, B ´es C az egys´egpontjai. Ebben a koordin´atarendszerben valamely −−→ P ∈ X pont koordin´ at´ ai azok az x, y, z egy¨ utthat´ok, amelyekkel OP = xa + + yb + zc. 0.2.5. Defin´ıci´ o (Skal´ aris szorzat). Az a, b ∈ V vektorok skal´aris szorzat´ at, az ab ∈ R sz´ amot a k¨ ovetkez˝ok´eppen ´ertelmezz¨ uk : Legyen ab = 0, ha ak´ ar a, ak´ar b a z´erusvektor. Ha pedig a 6= 0 6= b, akkor legyen ab = |a||b| cos ϕ, ahol ϕ az a ´es b sz¨oge. A skal´ aris szorzat m˝ uveleti tulajdons´agai: • (a + b)c = ac + bc, • a(b + c) = ab + ac, • (λa)b = a(λb) = λ(ab), • ba = ab, • aa ≥ 0, ´es itt egyenl˝ os´eg csak a = 0 eset´en ´all. Az els˝ o h´ arom tulajdons´ agra ¨osszefoglal´o n´even u ´gy szok´as hivatkozni, hogy a skal´ aris szorz´ as mint V × V → R f¨ uggv´eny biline´aris (azaz mindk´et v´altoz´ oj´ aban line´ aris). A negyedik tulajdons´ag ennek a biline´aris f¨ uggv´enynek a szimmetrikus volt´ at, az ¨ ot¨ odik az u ´n. pozit´ıv definit volt´at fejezi ki. Ezeknek a tulajdons´ agoknak az indokl´asa az els˝o kett˝o kiv´etel´evel mag´at´ol ´ertet˝od˝o a skal´ aris szorzat defin´ıci´ oja alapj´an. Al´abb bebizony´ıtjuk az els˝o k´et pontban szerepl˝ o, j´ oval kev´esb´e nyilv´ anval´o disztribut´ıv tulajdons´agokat is. A skal´aris szorzat szimmetriatulajdons´aga miatt nyilv´an el´eg k¨oz¨ ul¨ uk a m´asodikkal foglalkozni.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

´s : a klasszikus euklideszi te ´r Bevezete

14

A bizony´ıt´ as el˝ ok´esz´ıt´ese c´elj´ab´ol gondoljuk meg, hogy ha r¨ogz´ıt¨ unk V -ben egy z´erusvektort´ ol k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o e vektort, akkor b´armely v ∈ V vektor egy´ertelm˝ uen ´ all´ıthat´ o el˝ o egy e-vel p´arhuzamos ´es egy e-re mer˝oleges vektor osszegek´ent. Ezeket a komponenseket mer˝oleges vet´ıt´esekkel ´all´ıthatjuk el˝o ¨ v-b˝ ol, m´egpedig a p´ arhuzamos komponenst egy e-vel p´arhuzamos egyenesre, a mer˝ oleges komponenst pedig egy erre mer˝oleges s´ıkra t¨ort´en˝o vet´ıt´essel. Ezek a vet´ıt´esek az ir´ any´ıtott szakaszok ¨osszef˝ uz´es´et megtartj´ak, ez´ert a vektor¨ osszead´ asnak az ¨ osszef˝ uz´esen alapul´o 0.2.3-beli defin´ıci´oj´at tekintetbe v´eve l´ athatjuk, hogy k´et vektor ¨osszeg´enek az e-vel p´arhuzamos, illetve az ere mer˝ oleges komponense egyenl˝o a k¨ ul¨on-k¨ ul¨on vett megfelel˝o komponensek osszeg´evel. (Ugyanez term´eszetesen a skal´arral val´o szorz´asra is ´erv´enyes.) ¨ Ha |e| = 1, akkor egy tetsz˝ oleges v ∈ V vektorral vett ev skal´aris szorzat a koszinuszf¨ uggv´eny szok´ asos tulajdons´agai alapj´an a v vektor e ir´any´ u vet¨ ulet´enek az el˝ ojeles hossz´ aval egyenl˝o. Ez´ert v ∈ V -nek az e-vel p´arhuzamos komponense az (ev)e vektor. A p´arhuzamos komponens k´epz´es´enek az im´
ent meg´ allap´ıtott ¨ osszegtart´ asi tulajdons´aga teh´at azt jelenti, hogy e(b+c) e = = (eb)e + (ec)e. Ebben az egyenl˝os´egben mindk´et vektor ugyanannak az e egys´egvektornak skal´ arszorosa, ez´ert a sz´oban forg´o skal´arok egyenl˝ok: e(b + + c) = eb + ec. Ez pedig ´eppen a bizony´ıtand´o m´asodik disztributivit´asi azonoss´ agnak az a speci´ alis esete, amikor a = e egys´egvektor. Az ´altal´anos eset ebb˝ ol nyilv´ anval´ o m´ odon k¨ovetkezik mindk´et oldalnak az |a| skal´arral val´ o szorz´ as´ aval. ´ ıt´ 0.2.6. All´ as. Ha az a ´es b vektorok koordin´at´ai valamely V -beli ortonorm´ alt b´ azisra vonatkoz´ oan a1 , a2 , a3 , illetve b1 , b2 , b3 , akkor ab = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 . Bizony´ıt´ as. Legyen e1 , e2 , e3 a sz´oban forg´o ortonorm´alt b´azis, ekkor b´armely i, j indexp´ arra az ei ej skal´ aris szorzat 1-gyel egyenl˝o, ha i = j, ´es 0-val, ha i 6= j. Ezt felhaszn´ alva  ! X X X X ab = ai ei  bj ej  = ai bj ei ej = ai bi . i

j

i,j

i

A skal´ aris szorzat a V vektorteret az u ´n. euklideszi vektort´er strukt´ ur´aj´aval ruh´ azza f¨ ol. Tetsz˝ oleges dimenzi´oj´ u val´os vektorterek eset´eben defin´ıci´o szerint egy a fenti m˝ uveleti tulajdons´agoknak eleget tev˝o biline´aris f¨ uggv´eny mint skal´ aris szorzat teszi a vektorteret euklideszi vektort´err´e. Ez a konstrukci´ o az alapja az euklideszi t´erfogalom magasabb dimenzi´os ´altal´anos´ıt´as´anak, amely k´es˝ obbi fejezetek t´ argya lesz.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

´s : a klasszikus euklideszi te ´r Bevezete

15

Az elemi geometri´ aban gyakran szerepet j´atszik az egyenes ir´any´ıt´asa a ny´ıllal kijel¨ olt befut´ asi ir´ any kijel¨ol´es´evel, a s´ık ir´any´ıt´asa a h´aromsz¨ogek k¨or¨ ulj´ ar´ asa vagy az el˝ ojeles forg´ assz¨og megad´as´aval, illetve a t´er ir´any´ıt´asa a bal´es jobbsodr´ as megk¨ ul¨ onb¨ oztet´ese (a jobbk´ezszab´aly”) form´aj´aban. Ennek ” a fogalomnak a prec´ız defin´ıci´oj´at fogjuk most t´argyalni. Miut´an az elj´ar´as a dimenzi´ ot´ ol f¨ uggetlen, az ir´any´ıt´assal kapcsolatos fogalmakat tetsz˝oleges (v´eges) dimenzi´ oj´ u val´ os vektorterek eset´ere vezetj¨ uk be. Erre fogunk majd hivatkozni az affin geometri´ ar´ol sz´ol´o anyagr´esz 1.8. szakasz´aban. 0.2.7. Defin´ıci´ o (Azonos ir´ any´ıt´ as´ u b´ azisok). Legyen V v´eges dimenzi´ os val´ os vektort´er, d = dim V ≥ 1. Tegy¨ uk f¨ol, hogy (a1 , a2 , . . . , ad ) ´es ´ ıtsuk el˝o a m´asodik (b1 , b2 , . . . , bd ) a V vektort´er k´et rendezett b´azisa. All´ b´ azis mindegyik vektor´ at az els˝o b´azishoz tartoz´o vektorok line´aris kombin´aci´ ojak´ent: d X bi = αij aj (i = 1,2, . . . , d) . j=1

Tekints¨ uk az egy¨ utthat´ ok alkotta A = (αij ) val´os n´egyzetes m´atrixot. Azt mondjuk, hogy (a1 , a2 , . . . , ad ) ´es (b1 , b2 , . . . , bd ) azonos ir´any´ıt´as´ u b´azisok, ha det A > 0. Ezt a t´enyt az (a1 , a2 , . . . , ad ) ∼ (b1 , b2 , . . . , bd ) jellel jel¨olj¨ uk. Ezzel bevezett¨ uk a ∼ rel´ aci´ ot a V -beli rendezett b´azisok halmaz´an. A d = 1 esetben egyetlen nemz´erus vektor alkot b´azist. A ∼ rel´aci´o ebben az esetben azt jelenti, hogy a k´et b´azis k¨oz¨ ul a m´asodikban szerepl˝o vektor az els˝ onek pozit´ıv sz´ amszorosa. 0.2.8. T´ etel. A ∼ rel´ aci´ o ekvivalenciarel´aci´o, amelyhez pontosan k´et ekvivalenciaoszt´ aly tartozik. Bizony´ıt´ as. A 0.2.7-beli k´et b´azis kapcsolat´at r¨oviden u ´gy fogalmazzuk, hogy a m´ asodikat az els˝ ob˝ ol az A m´atrix sz´armaztatja. B´ armelyik rendezett b´ azist saj´at mag´ab´ol az I egys´egm´atrix sz´armaztatja. ´Igy teh´ at det I = 1 > 0 miatt a ∼ rel´aci´o reflex´ıv. Ha a m´ asodik b´ azist az els˝ ob˝ ol A sz´armaztatja, akkor az els˝ot a m´asodikb´ol az A−1 inverz m´ atrix sz´ armaztatja. Ha det A > 0, akkor det A−1 = 1/ det A > 0, ez´ert a ∼ rel´ aci´ o szimmetrikus. Ha a m´ asodik b´ azist az els˝ ob˝ ol az A m´atrix, egy harmadikat a m´asodikb´ol a B m´ atrix sz´ armaztatja, akkor k´ezenfekv˝o sz´amol´as mutatja, hogy a harmadikat az els˝ ob˝ ol a BA m´ atrixszorzat sz´armaztatja. Ha mind det A, mind det B pozit´ıv, akkor ugyancsak pozit´ıv a det(BA) = det B · det A determin´ans, ez´ert a ∼ rel´ aci´ o tranzit´ıv. A (−a1 , a2 , . . . , ad ) b´ azist az (a1 , a2 , . . . , ad ) b´azisb´ol nyilv´an negat´ıv determin´ ans´ u m´ atrix sz´ armaztatja, teh´at az ekvivalenciaoszt´alyok sz´ama legal´abb kett˝ o.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

16

´s : a klasszikus euklideszi te ´r Bevezete

Ha h´ arom rendezett b´ azis k¨ oz¨ ul a m´asodikat az els˝ob˝ol negat´ıv determin´ans´ u m´ atrix sz´ armaztatja, valamint a harmadikat a m´asodikb´ol is negat´ıv determin´ ans´ u m´ atrix sz´ armaztatja, akkor az el˝obb meg´allap´ıtott szorz´asi szab´aly miatt az els˝ o ´es a harmadik b´azis ekvivalens. Emiatt nem lehet kett˝on´el t¨obb ekvivalenciaoszt´ aly. 0.2.9. Defin´ıci´ o (Vektort´ er ir´ any´ıt´ asa, pozit´ıv b´ azis). Legyen V v´eges dimenzi´ os val´ os vektort´er, d = dim V ≥ 1. A V vektort´er ir´any´ıt´as´an a 0.2.8. T´etelbeli k´et ekvivalenciaoszt´aly egyik´enek a kijel¨ol´es´et ´ertj¨ uk. Ir´any´ıtott vektort´erben a kijel¨ olt oszt´alyba tartoz´o b´azisokat pozit´ıv ir´any´ıt´as´ u b´ azisoknak, vagy r¨ oviden pozit´ıv b´azisoknak nevezz¨ uk, a m´asik oszt´alyba tartoz´ okat negat´ıvaknak. Mindennapi tapasztalatunk a minket k¨or¨ ulvev˝o t´err˝ol, hogy egyes t´argyakat nem lehet folytonos mozgat´ assal egym´asba vinni annak ellen´ere, hogy egybev´ ag´ ok. Ez k¨ ul¨ onb¨ ozteti meg p´eld´aul a bal kez¨ unket a (j´o k¨ozel´ıt´esel vele egybev´ ag´ o) jobb kez¨ unkt˝ ol, ´es ez az alapja a h´aromdimenzi´os mechanik´aban gyakran alkalmazott jobbk´ezszab´alynak. Ennek a jelens´egnek a t´er ir´any´ıt´as´ aval val´ o kapcsolat´ ara vil´ ag´ıtunk r´a. 0.2.10. Defin´ıci´ o (Egym´ asba deform´ alhat´ o b´ azisok). Tegy¨ uk f¨ol, hogy (a1 , . . . , ad ) ´es (b1 , . . . , bd ) k´et rendezett b´azis a d-dimenzi´os V val´os vektort´erben. Azt mondjuk, hogy ez a k´et b´azis egym´asba deform´alhat´o, ha l´eteznek olyan r1 , . . ., rd : [0,1] → V folytonos lek´epez´esek, amelyekre
ri (0) = ai , ri (1) = bi (i = 1, . . . , d), ´es minden t ∈ [0,1]-re r1 (t), . . . , rd (t) b´azis V -ben. K¨ onnyen meggondolhat´ o, hogy a rendezett b´azisok egym´asba deform´alhat´o volta ekvivalenciarel´ aci´ o. Ez magyar´azza az elnevez´es szimmetrikus megfogalmaz´ as´ at is. Nyilv´ an a [0,1] param´eterintervallum helyett b´armilyen m´as z´ art intervallum is szerepelhetne, ez a defin´ıci´o tartalm´at nem befoly´asolja. 0.2.11. T´ etel. K´et V -beli rendezett b´azis akkor ´es csak akkor egym´asba deform´ alhat´ o, ha azonos ir´ any´ıt´as´ u. Bizony´ıt´ as. Gondoljuk meg el˝osz¨or, mit jelent a 0.2.10-beli r1 , . . ., rd : [0,1] → V deform´ aci´ o az (a1 , . . . , ad ) b´azisra vonatkoz´o koordin´at´ak nyelv´en. R¨ogz´ıPd tett t param´eter mellett ri (t) = j=1 αij (t)aj alkalmas αij (t) val´os egy¨ utt
hat´ okkal, amelyeket az A(t) = αij (t) n´egyzetes m´atrixba rendez¨ unk. A defin´ıci´ o megk¨ oveteli, hogy az A(t) m´atrix folytonosan f¨ uggj¨on t-t˝ol (azaz mindegyik αij : [0,1] → R f¨ uggv´eny folytonos legyen), ´es minden t-re A(t) invert´ alhat´ o m´ atrix legyen. Ha l´etezik ilyen deform´ aci´ o az (a1 , . . . , ad ) ´es (b1 , . . . , bd ) rendezett b´azisok k¨ oz¨ ott, akkor a det A(t) f¨ uggv´eny folytonos ´es nem veheti fel a 0 ´ert´eket. Az A(0) m´ atrix az egys´egm´ atrix, det A(0) = 1, ez´ert a det A(t) f¨ uggv´enynek

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

´s : a klasszikus euklideszi te ´r Bevezete

17

pozit´ıvnak kell maradnia az eg´esz [0,1] intervallumon. A (b1 , . . . , bd ) b´azist az (a1 , . . . , ad ) b´ azisb´ ol a pozit´ıv determin´ans´ u A(1) m´atrix sz´armaztatja, teh´ at a k´et b´ azis azonos ir´ any´ıt´as´ u. A ford´ıtott ir´ any´ u bizony´ıt´ ashoz elemi deform´aci´os l´ep´eseket konstru´alunk, ´es a k´ıv´ ant deform´ aci´ o ilyen l´ep´esek egym´asut´anjak´ent lesz el˝o´all´ıthat´o. Az elemi l´ep´esek h´ arom t´ıpus´ at haszn´aljuk: – Az egyik kiszemelt b´ azisvektort pozit´ıv skal´arral szorozzuk, amely az 1 ´ert´ekb˝ ol kiindulva folytonosan v´altozik. A m´atrixok nyelv´en ez az egyik sor (tetsz˝ olegesen el˝o´ırhat´o) pozit´ıv sz´ammal t¨ort´en˝o szorz´as´at eredm´enyezi. – Az egyik b´ azisvektorhoz hozz´aadjuk egy m´asik b´azisvektornak egy 0b´ ol kiindulva folytonosan v´altoz´o val´os sz´ammal vett skal´arszoros´at. Ez a l´ep´es a m´ atrix egyik sor´ahoz hozz´aadja egy m´asik sor (tetsz˝olegesen el˝ o´ırhat´ o) sz´ amszoros´ at. – Kiszemel¨ unk k´et k¨ ul¨ onb¨oz˝o b´azisvektort, ai -t ´es aj -t (i 6= j), ezekre az ri (t) = cos t ai + sin t aj

´es rj (t) = − sin t ai + cos t aj

deform´ aci´ ot alkalmazzuk, mik¨ozben a t¨obbi b´azisvektort v´altozatlanul hagyjuk: az i-t˝ ol ´es j-t˝ol k¨ ul¨onb¨oz˝o k indexekre rk (t) = ak . Ha a t param´eter a [0, π/2] intervallumot futja be, akkor a defom´aci´o v´eg´ere a k´et kiszemelt b´ azisvektor helyet cser´el ´es az egyik¨ uk el˝ojelet v´alt. Ha pedig t v´egigfut a [0, π] intevallumon, akkor v´eg¨ ul mindk´et b´azisvektor az eredeti hely´ere ker¨ ul vissza ellent´etes el˝ojellel. Az egy¨ utthat´om´atrixokon ezek a deform´ aci´ok teh´at az egyik esetben azt eredm´enyezik, hogy k´et sor helyet cser´el, mik¨ozben az egyik¨ uk el˝ojelet v´alt, illetve a m´ asik esetben azt, hogy k´et sor egyidej˝ uleg el˝ojelet v´alt. Ha adottak az (a1 , . . . , ad ) ´es (b1 , . . . , bd ) rendezett b´azisok ´es A jel¨oli azt a m´ atrixot, amely a (b1 , . . . , bd ) b´azist sz´armaztatja az (a1 , . . . , ad ) b´azisb´ol, akkor az A m´ atrixon l´enyeg´eben v´egigk¨ovethetj¨ uk a Gauss-elimin´aci´o szok´asos l´ep´eseit az elemi deform´ aci´os l´ep´esek alkalmaz´as´aval. Miut´an a harmadik fajta deform´ aci´ os l´ep´esben sorcser´et csak el˝ojelv´alt´as ´ar´an tudunk megval´os´ıtani, illetve sorok el˝ ojel´et csak p´aros´aval v´altoztathatjuk meg, az elimin´aci´ o v´egeredm´enyek´ent nem felt´etlen¨ ul az egys´egm´atrixhoz jutunk el, hanem esetleg ahhoz a m´ atrixhoz, amely az egys´egm´atrixt´ol csak az utols´o elem el˝ ojel´eben t´er el. Ez azt jelenti, hogy (a1 , . . . , ad )-b˝ol deform´aci´oval el lehet jutni vagy (b1 , . . . , bd )-be, vagy (b1 , . . . , −bd )-be. A deform´aci´o sor´an a rendezett b´azis ir´any´ıt´ asa nem v´ altozik, ´es a k´et ut´obbi rendezett b´azis ellent´etes ir´any´ıt´as´ u, ez´ert

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

´s : a klasszikus euklideszi te ´r Bevezete

18

ha (a1 , . . . , ad ) ´es (b1 , . . . , bd ) azonos ir´any´ıt´as´ uak, akkor a deform´aci´o eredm´enye (b1 , . . . , bd ). Visszat´er¨ unk a klasszikus euklideszi geometri´ahoz, teh´at az axiomatikusan ´ertelmezett t´erhez ´es annak vektoraihoz. A tov´abbiakban V ism´et h´aromdimenzi´ os euklideszi vektorteret jel¨ol. A k¨ovetkez˝o vektorm˝ uveletek defin´ıci´oj´ ahoz sz¨ uks´eg van a t´er ir´ any´ıt´as´ara is, ez´ert mostant´ol f¨oltessz¨ uk, hogy V ir´ any´ıtott vektort´er. 0.2.12. Defin´ıci´ o (Vektori´ alis szorzat). Ha a, b ∈ V , akkor a ´es b vektori´ alis szorzat´ at, az a × b vektort az al´abbi k¨ovetelm´enyekkel ´ertelmezz¨ uk : – Ha a ´es b p´ arhuzamos, akkor a × b = 0. – Ha a ´es b nem p´ arhuzamos, akkor (1) |a × b| = |a||b| sin ϕ, ahol ϕ az a ´es b sz¨oge, (2) a × b mer˝ oleges a-ra is ´es b-re is, (3) a, b ´es a × b ebben a sorrendben pozit´ıv b´azist alkot. Ezek a tulajdons´ agok az a × b vektori´alis szorzatot nyilv´an egy´ertelm˝ uen meghat´ arozz´ ak. 0.2.13. T´ etel. Alkossanak az e1 , e2 , e3 vektorok pozit´ıv ir´any´ıt´as´ u ortonorm´ alt b´ azist V -ben, ´es legyen a = a1 e1 + a2 e2 + a3 e3 , b = b1 e1 + b2 e2 + b3 e3 . Ekkor a × b = (a2 b3 − a3 b2 ) e1 + (a3 b1 − a1 b3 ) e2 + (a1 b2 − a2 b1 ) e3 . Megjegyz´es. A formul´ at az 

e1 a × b = det a1 b1

e2 a2 b2

 e3 a3  b3

alakban ´erdemes megjegyezni, ahol a determin´ans form´alis kifejt´ese ut´an a k´eplet a t´etelbeli alakot o ¨lti. Bizony´ıt´ as. Defini´ aljuk a c = c1 e1 + c2 e2 + c3 e3 vektort a t´etelbeli formul´ aval, be kell l´ atnunk, hogy c rendelkezik a 0.2.12-ben a × b-re megk¨ovetelt tulajdons´ agokkal. Ha a ´es b p´ arhuzamos, akkor a c-t defini´al´o determin´ans k´et sora ar´anyos, ´es ez´ert c = 0.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

´s : a klasszikus euklideszi te ´r Bevezete

19

Tegy¨ uk f¨ ol, hogy a ´es b nem p´arhuzamos. Ekkor a |c|2

= (a2 b3 − a3 b2 )2 + (a3 b1 − a1 b3 )2 + (a1 b2 − a2 b1 )2 = = (a21 + a22 + a23 )(b21 + b22 + b23 ) − (a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 )2 = = |a|2 |b|2 − (ab)2 = |a|2 |b|2 (1 − cos2 ϕ) = (|a||b| sin ϕ)2

sz´ amol´ as mutatja, hogy c teljes´ıti az (1) k¨ovetelm´enyt. A (2) k¨ovetelm´eny ellen˝ orz´es´ehez azt kell megmutatni, hogy c skal´aris szorzata z´erus a-val is ´es b-vel is. A skal´ aris szorzat k¨onnyen sz´amolhat´o a determin´ansos k´epletb˝ol: csup´ an a, illetve b koordin´ at´ait kell rendre e1 , e2 ´es e3 hely´ere be´ırni. Viszont ilyenkor a m´ atrix k´et sora egyenl˝o lesz, ´es ´ıgy a determin´ans mindk´et esetben 0. V´eg¨ ul a (3) k¨ ovetelm´eny ellen˝orz´es´ehez sz´amoljuk ki az (e1 , e2 , e3 ) rendezett b´ azisb´ ol az (a, b, a × b) rendezett b´azist sz´armaztat´o m´atrix determin´ ans´ at:     a1 a2 a3 c1 c2 c3 det  b1 b2 b3  = det a1 a2 a3  = cc > 0 c1 c2 c3 b1 b2 b3 Az (a, b, a × b) rendezett b´ azis teh´at pozit´ıv ir´any´ıt´as´ u, azaz (3) is teljes¨ ul.

A 0.2.13. T´etelb˝ ol a determin´ans tulajdons´againak f¨olhaszn´al´as´aval azonnal k¨ ovetkeznek a vektori´ alis szorzat al´abbi m˝ uveleti tulajdons´agai: • (a + b) × c = a × c + b × c, • a × (b + c) = a × b + a × c, • (λa) × b = a × (λb) = λ(a × b), • b × a = −a × b. ´ ıt´ 0.2.14. All´ as. Ha e ∈ V egys´egvektor, akkor egy tetsz˝oleges v ∈ V vektornak az e-re mer˝ oleges komponense az (e × v) × e vektor. Bizony´ıt´ as: Ha v p´ arhuzamos e-vel, akkor az ´all´ıt´as nyilv´anval´oan igaz, hiszen a mer˝ oleges komponens is ´es az e × v vektor is 0. Tegy¨ uk fel teh´at, hogy a k´et vektor nem p´ arhuzamos, legyen a sz¨og¨ uk ϕ. A sz´oban forg´o v0 mer˝oleges komponenst v-nek egy e-re mer˝oleges s´ıkra t¨ort´en˝o mer˝oleges vet´ıt´es´evel kapjuk, ez´ert |v0 | = |v| sin ϕ, ami az e × v vektor hossz´aval egyenl˝o. A v0 vektor az e ´es v ´ altal kifesz´ıtett s´ıkban fekszik, m´ıg e × v erre a s´ıkra mer˝oleges. Az e-vel balr´ ol t¨ ort´en˝ o vektori´ alis szorz´as teh´at a t´er b´armely vektor´an u ´gy hat, hogy azt mer˝ olegesen levet´ıti az e-re mer˝oleges s´ıkra, majd ebben a s´ıkban elforgatja π/2 sz¨ oggel. (A forgat´as ir´any´at az e-vel nem p´arhuzamos vektorok eset´eben a 0.2.12-beli (3) k¨ ovetelm´eny szabja meg.) Ugyanezt a m´odszert kell

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

´s : a klasszikus euklideszi te ´r Bevezete

20

k¨ ovetni az e-vel jobbr´ ol t¨ ort´en˝o vektori´alis szorz´as eset´eben is, csak akkor a forgat´ as ir´ anya ellent´etes. Teh´at ha valamely v vektorra az e-vel val´o balr´ol, majd jobbr´ ol szorz´ ast egym´ as ut´an v´egrehajtjuk, vagyis az (e×v)×e vektort sz´ armaztatjuk, akkor a v0 mer˝oleges komponenst kapjuk. 0.2.15. Defin´ıci´ o (Vegyes szorzat). Az a, b, c ∈ V vektorok vegyes szorzat´ an az abc = (a × b)c sz´ amot ´ertj¨ uk. A k¨ ovetkez˝ o´ all´ıt´ as mag´ at´ ol ´ertet˝odik a 0.2.13. T´etel bizony´ıt´asa sor´an tiszt´ azottakb´ ol. ´ ıt´ 0.2.16. All´ as. Ha a, b ´es c koordin´at´ai valamely V -beli ortonorm´alt b´azisra vonatkoz´ oan a1 , a2 , a3 , b1 , b2 , b3 , illetve c1 , c2 , c3 , akkor   a1 a2 a3 abc = det  b1 b2 b3  . c1 c2 c3 Ebb˝ ol a determin´ ans tulajdons´agaira hivatkozva a vegyes szorzat m˝ uveleti tulajdons´ agait kapjuk: • (a1 + a2 )bc = a1 bc + a2 bc, • a(b1 + b2 )c = ab1 c + ab2 c, • ab(c1 + c2 ) = abc1 + abc2 , • (λa)bc = a(λb)c = ab(λc) = λ(abc), • abc = bca = cab = −bac = −acb = −cba . Az utols´ o azonoss´ agsorozat szerint a vegyes szorzat a h´arom vektor p´aros permut´ aci´ oja eset´en v´ altozatlan marad, p´aratlan permut´aci´o eset´en el˝ojelet v´alt. Az abc = bca speci´ alis esetet vektori´alis ´es skal´aris szorzatokra vissza´ırva az u ´n. felcser´el´esi t´etelt kapjuk: • (a × b)c = a(b × c) Megjegyz´es. A vektori´ alis szorzatnak ´es a vegyes szorzatnak a ter¨ ulet-, illetve t´erfogatsz´ am´ıt´ asban fontos szerepet j´atsz´o geometriai jelent´ese van. K´et nem p´ arhuzamos vektor eset´en a vektori´alis szorzat hossz´at defini´al´o |a × × b| = |a||b| sin ϕ formul´ aban r´aismerhet¨ unk az a ´es b ´altal kifesz´ıtett parallelogramma ter¨ uletk´eplet´ere. Ha pedig a, b, c h´arom nem egys´ık´ u (azaz line´ arisan f¨ uggetlen) vektor, ´es γ jel¨oli a c ´es az a × b sz¨og´et, akkor |abc| = = |a × b||c|| cos γ|. Itt |a × b| az a, b, c ´altal kifesz´ıtett parallelepipedon

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

´s : a klasszikus euklideszi te ´r Bevezete

21

(parallelogramma alap´ u has´ ab) alapter¨ ulete, |c|| cos γ| pedig az ehhez tartoz´ o magass´ ag. Az abc vegyes szorzat abszol´ ut ´ert´eke teh´at ennek a parallelepipedonnak a t´erfogata. Mindk´et formula ´erv´enyes az elfajul´o” esetekben ” is, amikor k´et p´ arhuzamos vektor z´erus ter¨ ulet˝ u elfajul´o parallelogramm´at, h´ arom egys´ık´ u vektor pedig z´erus t´erfogat´ u elfajul´o parallelepipedont fesz´ıt ki. 0.2.17. T´ etel (Kifejt´ esi t´ etel). B´armely a, b, c ∈ V -re ´erv´enyes az (a × b) × c = (ac)b − (bc)a vektorazonoss´ ag. Bizony´ıt´ as: Ha a ´es b p´ arhuzamos, azaz egyik¨ uk a m´asiknak skal´arszorosa, akkor behelyettes´ıt´essel r¨ ogt¨on l´athat´o, hogy mindk´et oldal 0. Tegy¨ uk fel teh´ at, hogy a ´es b nem p´ arhuzamos vektorok, ekkor a, b ´es a × b b´azist alkotnak V -ben. R¨ ogz´ıtett a ´es b mellett mindk´et oldal line´arisan f¨ ugg a v´altoz´o c vektort´ol, ez´ert a k´et oldal egyenl˝ os´eg´et elegend˝o azokban az esetekben bebizony´ıtani, amikor c egy b´ azis elemein fut v´egig. Erre a c´elra az a, b ´es a × b alkotta b´ azist haszn´ aljuk. Ha c = a × b, akkor mindegyik tag nyilv´an 0. A c = a ´es c = b esetek k¨oz¨ ul el´eg az els˝ ovel foglalkozni, a m´asik hasonl´oan kezelhet˝o. Legyen teh´ at c = a. Azt is feltehetj¨ uk (mindk´et oldalnak ugyanazzal a skal´arral val´ o szorz´ as´ aval), hogy a = e egys´egvektor. Ekkor a bal oldal, (e × b) × e, ´eppen a b vektor e-re mer˝ oleges komponense, a jobb oldal pedig b − (be)e, ami b-nek ´es az e-vel p´ arhuzamos komponens´enek a k¨ ul¨onbs´ege. Miut´an a k´et komponens ¨ osszege b, a k´et oldal val´oban egyenl˝o. 0.2.18. K¨ ovetkezm´ eny (Jacobi-azonoss´ ag). B´armely h´arom V -beli vektorra (a × b) × c + (b × c) × a + (c × a) × b = 0 . Bizony´ıt´ as: Mindh´ arom tagban a kifejt´esi t´etelt alkalmazva az o¨sszes tag kiesik.

0.3. G¨ ombh´ aromsz¨ ogek A klasszikus euklideszi geometri´ar´ol sz´ol´o bevezet˝o fejezet lez´ar´asak´eppen p´eld´ at mutatunk vektorok alkalmaz´as´ara a g¨ombh´aromsz¨ogek trigonometriaj´ ´ aban. A g¨ ombi geometria a g¨ombfel¨ ulet u ´n. bels˝o geometri´aja. Ezen azt

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

22

´s : a klasszikus euklideszi te ´r Bevezete

´ertj¨ uk, hogy a g¨ ombi t´ avols´ agokat nem a befoglal´o t´erben, hanem a g¨ombfel¨ uleten elhelyezked˝ o vonalak ment´en m´erj¨ uk. Az egyenesek szerep´et a g¨ombfel¨ uleten a g¨ omb f˝ ok¨ orei veszik ´at. Ez´altal a pontok ´es egyenesek illeszked´esi strukt´ ur´ aja alapvet˝ oen k¨ ul¨ onb¨ozik az euklideszi geometri´aban megszokott´ol: k´et k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o g¨ ombi egyenesnek nem csak egy k¨oz¨os pontja van, hiszen a g¨ omb¨ on k´et f˝ ok¨ or k´et ´ atellenes pontban metszi egym´ast. Ha viszont a g¨ombfel¨ uleten k´et k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o pont nem ´atellenes, akkor egyetlen f˝ok¨or k¨oti ¨ossze oket, m´egpedig az, amelynek a s´ıkj´at a k´et pont ´es a g¨omb k¨oz´eppontja fesz´ıti ˝ ki. Ennyiben a g¨ ombfel¨ ulet eml´ekeztet a s´ıkgeometri´ara. Ezen k´ıv¨ ul sok minden m´ asban is, p´eld´ aul h´ aromsz¨ogeket ´es azok trigonometriai ¨osszef¨ ugg´eseit lehet a g¨ ombfel¨ uleten tanulm´anyozni. 0.3.1. Defin´ıci´ o (Tri´ eder). Induljon ki a t´er valamely O pontj´ab´ol h´arom olyan f´elegyenes, amelyek nem fekszenek egy s´ıkban. Ezek p´aronk´ent egyegy konvex sz¨ ogtartom´ anyt fesz´ıtenek ki. A h´arom sz¨ogtartom´any egyes´ıt´ese kett´ev´ agja a teret. A k´et t´err´esz k¨oz¨ ul a kisebbiket (a hat´arol´o sz¨ogtartom´ anyokkal ´es a f´elegyenesekkel egy¨ utt) a h´arom f´elegyenes ´altal kifesz´ıtett tri´edernek (vagy h´ aromoldal´ u t´ersz¨ogletnek) nevezz¨ uk. A tri´eder sz´armaztathat´ o annak a h´ arom f´elt´ernek a k¨oz¨os r´eszek´ent is, amelyek hat´arol´o s´ıkjait a f´elegyenesek k¨ oz¨ ul v´ alaszthat´o p´arok fesz´ıtik ki, ´es amelyek tartalmazz´ak mindh´ arom f´elegyenest. A f´elegyenesek k¨oz¨os kezd˝opontj´at a tri´eder cs´ ucs´anak, a h´ arom f´elegyenest a tri´eder ´eleinek, a h´arom sz¨ogtartom´anyt a tri´eder lapjainak h´ıvjuk. A lapok sz¨ogm´ert´ek´et a tri´eder ´elsz¨ogeinek, az ´elek ment´en a lapok ´ altal bez´ art h´ arom sz¨oget pedig a tri´eder lapsz¨ogeinek nevezz¨ uk. (Az elnevez´eseket az magyar´ azza, hogy az ´elsz¨ogeket k´et-k´et ´el, a lapsz¨ogeket k´et-k´et lap fogja k¨ ozre.) 0.3.2. Defin´ıci´ o (G¨ ombh´ aromsz¨ og). Legyen G g¨ombfel¨ ulet a t´erben, A, B, C ∈ G h´ arom olyan pont, amelyek nem illeszkednek egy f˝ok¨orre. (Vegy¨ uk ´eszre, hogy ilyenkor A, B, C k¨oz¨ ul semelyik kett˝o sem lehet ´atellenes.) Ha O jel¨ oli G k¨ oz´eppontj´ at, akkor az OA, OB, OC f´elegyenesek nem fekszenek egy s´ıkban, ez´ert tekinthetj¨ uk az ´altaluk kifesz´ıtett T tri´edert. Az ABC g¨ombh´ aromsz¨ og¨ on a T ∩ G halmazt ´ertj¨ uk. A g¨ombh´aromsz¨og cs´ ucsai az A, B, C pontok, oldalai a cs´ ucsokat p´aronk´ent ¨osszek¨ot˝o f˝ok¨or´ıvek, amelyeket T lapjai metszenek ki G-b˝ ol. Az ABC g¨ ombh´ aromsz¨ og oldalait a T tri´eder megfelel˝o ´elsz¨ogeinek a sz¨ogm´ert´ek´evel m´erj¨ uk. Ez´ altal ezek az adatok f¨ uggetlenek a G g¨omb sugar´anak v´ alaszt´ as´ at´ ol. Ha G egys´egnyi sugar´ u, akkor ezek a sz¨ogm´ert´ekek t´enylegesen az oldalak mint f˝ ok¨ or´ıvek ´ıvhossz´aval egyenl˝ok. A g¨ombh´aromsz¨og sz¨ogeinek a tri´eder megfelel˝ o lapsz¨ ogeit tekintj¨ uk. Ugyanezeket a sz¨ogeket kapn´ank, ha ´erint˝ o f´elegyeneseket illeszten´enk a cs´ ucsokban az oldalakhoz, ´es az ezek ´altal bez´ art sz¨ ogeket tekinten´enk. A jel¨ol´eseket u ´gy szok´as megv´alasztani, hogy a, b, c jel¨ olje rendre az A-val, B-vel, C-vel szemk¨ozti oldalt, valamint α, β, γ

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

´s : a klasszikus euklideszi te ´r Bevezete

23

jel¨ olje rendre az A-n´ al, B-n´el, C-n´el lev˝o sz¨oget. Mind a hat mennyis´eg 0-n´al nagyobb ´es π-n´el kisebb sz¨ og´ert´ek. A k¨ ovetkez˝ o t´etelek bizony´ıt´ as´aban fontos szerepet j´atszanak a g¨omb k¨oz´eppontj´ ab´ ol a g¨ ombh´ aromsz¨ og cs´ ucsai ir´any´aba mutat´o egys´egvektorok. Ezeket a-val, b-vel ´es c-vel jel¨ olj¨ uk. Teh´at −−→ −−→ −→ OB OC OA , b= , c= . a= d(O, A) d(O, B) d(O, C) L´ assuk el a teret ir´ any´ıt´ assal oly m´odon, hogy az (a, b, c) rendezett b´azist pozit´ıvnak tekintj¨ uk. Ezekkel a vektorokkal kifejezhetj¨ uk a g¨ombh´aromsz¨og oldalait ´es sz¨ ogeit. Az oldalakra a skal´aris szorzat defin´ıci´oja szerint cos a = = bc, cos b = ca, cos c = ab ´all. A sz¨ogek meghat´aroz´asa c´elj´ab´ol vegy¨ uk el˝ osz¨ or ´eszre, hogy az a × b, b × c, c × a vektorok rendre a T tri´eder lapjaira mer˝ oleges nemz´erus vektorok, amelyek a tri´ederbe befel´e” mutatnak, azaz ” p´eld´ aul a × b az OAB lap s´ıkj´anak abba a f´elter´ebe mutat, amely a tri´edert tartalmazza. Ez´ert e szorzatvektorok ´altal p´aronk´ent bez´art h´arom sz¨og a g¨ ombh´ aromsz¨ og sz¨ ogeinek a kieg´esz´ıt˝o sz¨oge, p´eld´aul a c × a vektor ´es az a × b vektor sz¨ oge (π − α)-val egyenl˝o. 0.3.3. T´ etel (G¨ ombi szinuszt´ etel). B´armely g¨ombh´aromsz¨ogben az oldalak ´es sz¨ ogek szok´ asos jel¨ ol´ese mellett fenn´all a sin α sin β sin γ = = sin a sin b sin c egyenl˝ os´eg. Bizony´ıt´ as: Sz´ amoljuk ki k´etf´elek´eppen az (a × b) × (c × a) vektor hossz´at: Egyr´eszt a defin´ıci´ o alapj´ an (a × b) × (c × a) = |a × b| · |c × a| · sin(π − α) = sin c sin b sin α , m´ asr´eszt a kifejt´esi t´etel felhaszn´al´as´aval

(a × b) × (c × a) = a(c × a) b − b(c × a) a = − (bca)a = bca , teh´ at bca = sin b sin c sin α . A bet˝ uz´es ciklikus cser´ej´evel hasonl´o m´odon cab = sin c sin a sin β

´es

abc = sin a sin b sin γ

ad´ odik. A bal oldalak egyenl˝ ok, ez´ert a jobb oldalon ´all´o szorzatok is egyenl˝ok : sin b sin c sin α = sin c sin a sin β = sin a sin b sin γ , ahonnan ´ atrendez´es ´es egyszer˝ us´ıt´es ut´an a t´etel k¨ovetkezik.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

´s : a klasszikus euklideszi te ´r Bevezete

24

0.3.4. T´ etel (Az oldalakra vonatkoz´ o go etel). B´armely ¨mbi koszinuszt´ g¨ ombh´ aromsz¨ ogben az oldalak ´es sz¨ogek szok´asos jel¨ol´ese mellett fenn´all a cos a = cos b cos c + sin b sin c cos α egyenl˝ os´eg. Bizony´ıt´ as: Most az (a × b)(c × a) skal´aris szorzatot sz´amoljuk ki k´etf´elek´eppen. El˝ osz¨ or a defin´ıci´ o alapj´an (a × b)(c × a) = |a × b| · |c × a| · cos(π − α) = − sin c sin b cos α , majd a felcser´el´esi ´es a kifejt´esi t´etel alkalmaz´as´aval

(a × b)(c × a) = (a × b) × c a = (ac)b − (bc)a a = = (ac)(ab) − (bc) = cos b cos c − cos a . Ezekb˝ ol k¨ ozvetlen ´ atrendez´essel ad´odik a t´etel. 0.3.5. K¨ ovetkezm´ enyek (1) B´ armely g¨ ombh´ aromsz¨ogben az a, b, c oldalakra ´erv´enyesek az a+b > c, b + c > a, c + a > b h´ aromsz¨og-egyenl˝otlens´egek. (2) B´ armely g¨ ombh´ aromsz¨og ker¨ ulete 2π-n´el kisebb. Bizony´ıt´ as: (1): Nyilv´ an elegend˝o az a+b > c egyenl˝otlens´eget bebizony´ıtani, a t¨ obbi ebb˝ ol ´ atbet˝ uz´essel k¨ ovetkezik. Miut´an 0 < α < π, a g¨ombi koszinuszt´etelben szerepl˝ o cos α t´enyez˝o (−1)-n´el nagyobb. A sin b ´es sin c t´enyez˝ok pozit´ıvak, ez´ert a jobb oldalt cs¨okkentve a cos a > cos b cos c − sin b sin c = cos(b + c) egyenl˝ otlens´eget kapjuk. A koszinuszf¨ uggv´eny szigor´ uan cs¨okken a [0, π] intervallumon, ez´ert ha b + c ≤ π, akkor ebb˝ol a < b + c k¨ovetkezik. Ha pedig b + c > π, akkor a < π miatt vagyunk k´eszen. (2): Az ABC g¨ ombh´ aromsz¨og AB ´es AC oldalait hosszabb´ıtsuk meg az ˝oket tartalmaz´ o f˝ ok¨ or¨ ok ment´en a B, illetve C ponton t´ ul az A-val ´atellenes A0 0 metsz´espontig. Az ´ıgy el˝ o´ all´ o A BC g¨ombh´aromsz¨og oldalai rendre a, π −b ´es π −c, ahol a, b, c az ABC g¨ ombh´aromsz¨og oldalai a szok´asos jel¨ol´esek szerint. A h´ aromsz¨ og-egyenl˝ otlens´eget az A0 BC g¨ombh´aromsz¨ogre alkalmazva a (π − −b)+(π−c) > a egyenl˝ otlens´eget kapjuk, ahonnan ´atrendez´essel a+b+c < 2π ad´ odik. A g¨ ombh´ aromsz¨ ogtan ´erdekes jelens´ege, hogy a 0.3.4. T´etelnek egy du´alis” ” p´ arja is ´erv´enyes. Ennek el˝ ok´esz´ıt´ese c´elj´ab´ol ´ertelmezz¨ uk a pol´aris g¨ombh´aromsz¨ og fogalm´ at, amely t¨ obb olyan geometriai jelens´eggel kapcsolatban van, amellyel k´es˝ obb m´eg tal´ alkozunk (l. 3.4, 7.4, 9.2).

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

´s : a klasszikus euklideszi te ´r Bevezete

25

0.3.6. Defin´ıci´ o (Pol´ aris tri´ eder, pol´ aris go aromszo ¨mbh´ ¨g). Legyen adott a T tri´ederrel sz´ armaztatott ABC g¨ombh´aromsz¨og az O k¨oz´eppont´ uG g¨ omb¨ on. Legyen A∗ ∈ G az a pont, amellyel az OA∗ f´elegyenes mer˝oleges az OBC s´ıkra ´es annak az A-t nem tartalmaz´o f´elter´ebe mutat. (Ezt az ut´obbi −−→ −→ felt´etelt az OA∗ · OA < 0 egyenl˝otlens´eggel is megfogalmazhatjuk.) Hasonl´oan defini´ aljuk a B ∗ ´es a C ∗ pontot is: OB ∗ ´es OC ∗ mer˝oleges OCA-ra, illetve −−→ −−→ −−→ −−→ OAB-re, OB ∗ · OB < 0 ´es OC ∗ · OC < 0. Az OA∗ , OB ∗ , OC ∗ f´elegyenesek nem fekszenek egy s´ıkban, ellenkez˝o esetben ugyanis O-n ´at l´etezne mindh´ armukra mer˝ oleges egyenes, amelynek ´ıgy benne kellene fek¨ udnie az OBC, OCA, OAB s´ıkok mindegyik´eben, ilyen egyenes pedig nem l´etezik. A h´arom f´elegyenes teh´ at egy T ∗ tri´edert fesz´ıt ki, amelyet T pol´aris tri´eder´enek ne∗ vez¨ unk. A T tri´eder az A∗ B ∗ C ∗ g¨ombh´aromsz¨oget metszi ki G-b˝ol, amelyet az ABC pol´ aris g¨ ombh´ aromsz¨og´enek nevez¨ unk. R¨ ogt¨ on l´ atszik, hogy az OA f´elegyenes mer˝oleges az OB ∗ C ∗ s´ıkra, ´es az −→ −−→∗ OA · OA < 0 felt´etel miatt annak az A∗ pontot nem tartalmaz´o f´elter´ebe mutat. Hasonl´ okat OB-r˝ ol ´es OC-r˝ol is meg´allap´ıthatunk, teh´at az A∗ B ∗ C ∗ g¨ ombh´ aromsz¨ ogh¨ oz tartoz´ o pol´aris g¨ombh´aromsz¨og maga az eredeti ABC g¨ ombh´ aromsz¨ og. ´ ıt´ 0.3.7. All´ as. Ha a szok´ asos jel¨ol´esi meg´allapod´asokkal a, b, c, α, β, γ az ABC g¨ ombh´ aromsz¨ og oldalai ´es sz¨ogei, a∗ , b∗ , c∗ , α∗ , β ∗ , γ ∗ pedig az A∗ B ∗ C ∗ oldalai ´es sz¨ ogei, akkor a∗ = π − α , α∗ = π − a ,

b∗ = π − β , β∗ = π − b ,

c∗ = π − γ , γ∗ = π − c .

Bizony´ıt´ as: Az adatok k¨ oz¨ ott fenn´all´o logikai szimmetria miatt elegend˝o az a∗ = π − α egyenl˝ os´egr˝ ol meggy˝oz˝odni. Itt a∗ az a sz¨og, amelyet a T tri´eder OCA ´es OAB lapjaira mer˝ oleges, kifel´e mutat´o vektorok z´arnak be, amely val´ oban egyenl˝ o az e k´et lap k¨ozti lapsz¨ognek, α-nak a kieg´esz´ıt˝o sz¨og´evel. Megjegyz´es. Az O-b´ ol A∗ , B ∗ , C ∗ ir´any´aba mutat´o a∗ , b∗ , c∗ egys´egvektorokat k¨ onnyen ellen˝ orizhet˝ o m´odon a a∗ =

c×b , |c × b|

b∗ =

a×c , |a × c|

c∗ =

b×a |b × a|

k´epletek ´ all´ıtj´ ak el˝ o. A pol´ aris g¨ombh´aromsz¨oget ezek seg´ıts´eg´evel is defini´lhattuk volna. a 0.3.8. T´ etel (A sz¨ ogekre vonatkoz´ o g¨ ombi koszinuszt´ etel). B´armely g¨ ombh´ aromsz¨ ogre az oldalak ´es sz¨ogek szok´asos jel¨ol´ese mellett fenn´all a

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

´s : a klasszikus euklideszi te ´r Bevezete

26

cos α = − cos β cos γ + sin β sin γ cos a egyenl˝ os´eg. Bizony´ıt´ as: Az oldalakra vonatkoz´o koszinuszt´etelt a szok´asos jel¨ol´esek mellett alkalmazzuk a pol´ aris g¨ ombh´aromsz¨ogre, ´es haszn´aljuk a 0.3.7-beli ¨osszef¨ ugg´eseket: cos α = − cos a∗ = − cos b∗ cos c∗ − sin b∗ sin c∗ cos α∗ = = − cos β cos γ + sin β sin γ cos a . 0.3.9. K¨ ovetkezm´ enyek (1) A g¨ ombh´ aromsz¨ og sz¨ ogei egy´ertelm˝ uen meghat´arozz´ak az oldalait. (2) B´ armely g¨ ombh´ aromsz¨ogben a sz¨ogek ¨osszege π-n´el nagyobb. Bizony´ıt´ as: (1): A sz¨ ogekre vonatkoz´o koszinuszt´etelb˝ol egy oldal explicit m´ odon kifejezhet˝ o a sz¨ ogek seg´ıts´eg´evel. A jel¨ol´esek cser´ej´evel a t¨obbi oldal is hasonl´ oan el˝ o´ all´ıthat´ o. (2): ´Irjuk f¨ ol a 0.3.5.(2)-beli egyenl˝otlens´eget a pol´aris g¨ombh´aromsz¨og oldalaira: a∗ + b∗ + c∗ < 2π , majd alkalmazzuk a 0.3.7-beli ¨osszef¨ ugg´eseket. Ezzel (π − α) + (π − β) + (π − − γ) < 2π, ahonnan az ´ all´ıt´ as ´atrendez´essel k¨ovetkezik. Megjegyz´es. A 0.3.9. K¨ ovetkezm´eny jellegzetes p´eld´akat mutat arra, hogy egyes von´ asaiban a g¨ ombi geometria mennyire elt´er az euklideszi s´ık geometri´ aj´ at´ ol. A hiperbolikus geometri´ar´ol sz´ol´o fejezetben l´atni fogjuk, hogy hasonl´ o jelleg˝ u´ all´ıt´ asokkal lehet a hiperbolikus s´ıkgeometri´anak az euklideszit˝ ol k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o volt´ at is szeml´eltetni. A 0.3.9.(2)-beli egyenl˝ otlens´eget pontos´ıtani tudjuk. Egy g¨ombh´aromsz¨og sz¨ ogt¨ obblet´enek azt a sz´ amot tekintj¨ uk, amennyivel a sz¨ogei ¨osszege π-n´el nagyobb. Ha a g¨ ombh´ aromsz¨og ter¨ ulet´et az egys´egnyi sugar´ u g¨omb¨on elfoglalt felsz´ınnel m´erj¨ uk, akkor az al´abbi t´etel szerint a sz¨ogt¨obblet ´eppen a ter¨ ulettel egyenl˝ o. 0.3.10. T´ etel (Girard-formula). Az α, β, γ sz¨og˝ u g¨ombh´aromsz¨og ter¨ ulete α+β +γ −π.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

´s : a klasszikus euklideszi te ´r Bevezete

27

Bizony´ıt´ as: A g¨ ombfel¨ uletet k´et k¨oz¨os v´egpont´ u f´elf˝ok¨or egyes´ıt´ese k´et g¨ombk´etsz¨ ogre osztja. A g¨ ombk´etsz¨oget egybev´ag´os´ag erej´eig egy´ertelm˝ uen jellemzi a cs´ ucsaiban m´ert sz¨ oge, ´es a g¨ombk´etsz¨og felsz´ıne ar´anyos ezzel a sz¨oggel. A π sz¨ og˝ u g¨ ombk´etsz¨ ogek f´elg¨omb¨ok, amelyek felsz´ıne az egys´egg¨omb¨on 2πvel egyenl˝ o, ez´ert az ar´ anyoss´agi t´enyez˝o 2. Teh´at az egys´egg¨omb¨on egy ϕ sz¨ og˝ u g¨ ombk´etsz¨ og felsz´ıne 2ϕ-vel egyenl˝o. Legyen adott az O k¨ oz´eppont´ u G egys´egg¨ombfel¨ uleten az ABC g¨ombh´aromsz¨ og, amelynek a t ter¨ ulet´et keress¨ uk. Tekints¨ uk az oldalakat tartalmaz´o h´arom f˝ ok¨ ort. Ezek k¨ oz¨ ul b´ armelyik kett˝ot kiszemelve azok n´egy g¨ombk´etsz¨ogre v´ agj´ ak G-t. A n´egy g¨ ombk´etsz¨og k¨oz¨ ul az egyik tartalmazza a g¨ombh´aromsz¨ oget; v´ alasszuk ki ezt ´es a vele egybev´ag´o ´atellenes´et. Ilyen m´odon ¨osszesen hat darab g¨ ombk´etsz¨ oget v´ alasztottunk, k¨oz¨ ul¨ uk kett˝onek-kett˝onek a sz¨oge α, β, illetve γ. A hat kiv´ alasztott g¨ ombk´etsz¨og egy¨ utt lefedi a teljes g¨ombfel¨ uletet, m´egpedig az ABC g¨ ombh´ aromsz¨ oget ´es annak az O-ra vonatkoz´o k¨oz´eppontos t¨ uk¨ork´ep´et h´ aromszorosan, a g¨ ombfel¨ ulet t¨obbi r´esz´et egyszeresen. A hat g¨ombk´etsz¨ og felsz´ın´enek az ¨ osszege teh´at a g¨omb teljes felsz´ın´en´el, 4π-n´el 4t-vel t¨ obb, azaz 2 · 2α + 2 · 2β + 2 · 2γ = 4π + 4t , amib˝ ol ´ atrendezve a Girard-formul´at kapjuk.

Megjegyz´es. A g¨ ombh´ aromsz¨og oldalainak m´er´es´eben 0.3.2 szerint u ´gy ´allapodtunk meg, hogy trigonometriai formul´aink egys´egnyi sugar´ u g¨ombfel¨ uleten m´ert ´ıvhosszra vonatkoz´oan legyenek helyesek. Ugyanez mondhat´o 0.3.10-r˝ ol, amely az egys´egnyi sugar´ u g¨omb¨on m´ert felsz´ınr˝ol sz´ol. T´eteleinkb˝ ol nem neh´ez olyan formul´ akat sz´armaztatni, amelyek 1 helyett tetsz˝oleges r sugar´ u g¨ omb¨ on ´erv´enyesek. Legyen adott egy ABC g¨ ombh´aromsz¨og az O k¨oz´eppont´ u, r sugar´ u G g¨ombfel¨ uleten. Oldalhosszain most a f˝ok¨or´ıvek G-n m´ert ´ıvhossz´at ´erts¨ uk, ´es jel¨olj¨ uk oket rendre a-val, b-vel ´es c-vel; sz¨ogei legyenek rendre α, β ´es γ. ˝ Az O k¨ oz´eppont´ u, 1/r ar´ any´ u k¨oz´eppontos hasonl´os´ag G-t a vele koncentrikus egys´egnyi sugar´ u G0 g¨ ombbe viszi, az ABC h´aromsz¨oget pedig olyan A0 B 0 C 0 g¨ ombh´ aromsz¨ ogbe a G0 g¨ omb¨on, amelynek a sz¨ogei v´altozatlanul α, β ´es γ, az oldalhosszai rendre a/r, b/r ´es c/r, felsz´ıne pedig az eredeti felsz´ın (1/r2 )szerese. Alkalmazhatjuk t´eteleinket az A0 B 0 C 0 g¨ombh´aromsz¨ogre, ´es az ´ıgy kapott formul´ ak most m´ ar ´ altal´ anosan (tetsz˝oleges sugar´ u g¨omb¨on) ´erv´enyesek:

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

´s : a klasszikus euklideszi te ´r Bevezete

28

g¨ ombi szinuszt´etel: g¨ ombi koszinuszt´etelek:

a g¨ ombh´ aromsz¨ og felsz´ıne:

sin α sin β sin γ = = sin ar sin rc sin rb a b c b c cos = cos cos + sin sin cos α r r r r r a cos α = − cos β cos γ + sin β sin γ cos r r2 (α + β + γ − π)

A formul´ ak r-t˝ ol val´ o f¨ ugg´es´e´ert a k¨ ul¨onb¨oz˝o sugar´ u g¨ombfel¨ uletek k¨ ul¨onb¨oz˝ o m´ert´ek˝ u g¨ orb¨ ulete a felel˝os. Az 1/r2 sz´am az r sugar´ u g¨ombfel¨ ulet u ´n. Gauss-f´ele g¨ orb¨ ulete. A trigonometriai formul´akban ennek a n´egyzetgy¨oke ´ jelenik meg a t´ avols´ agadatok egy¨ utthat´ojak´ent. Erdekes anal´ogi´ara fogunk ezzel kapcsolatban r´ aismerni majd a hiperbolikus geometria hasonl´o formul´ aiban, l. 11.3, 11.5.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

Affin geometria Az affin geometria l´enyeg´eben a vektorterek geometri´aja. Azt vizsg´alja, milyen geometriai fogalmak ´ertelmezhet˝ok ´es milyen geometriai ¨osszef¨ ugg´esek t´ arhat´ ok fel kiz´ ar´ olag a vektort´er-tulajdons´agok felhaszn´al´as´aval. Teh´at p´eld´ aul m´ert´ekviszonyokr´ ol (t´ avols´agr´ol, sz¨ogr˝ol, t´erfogatr´ol) nincsen sz´o az affin geometri´ aban. Vannak viszont olyan geometriai fogalmak, mint p´eld´aul a p´ arhuzamoss´ ag vagy az oszt´ oviszony, amelyek sz´armaztathat´ok puszt´an a t´er line´ aris strukt´ ur´ aj´ ab´ ol, ez´ert ezek az affin geometri´ahoz tartoznak. Ilyen fogalmakr´ ol lesz sz´ o ebben a fejezetben. T´eteleink egy r´esz´en´el nincs is sz¨ uks´eg bizony´ıt´ asra, mert csup´ an ´ atfogalmaz´asai vagy k¨ozvetlen k¨ovetkezm´enyei a line´ aris algebr´ ab´ ol ismert ¨ osszef¨ ugg´eseknek. Fogalmainkat tetsz˝oleges test feletti, tetsz˝ oleges dimenzi´ oj´ u vektorterek felhaszn´al´as´aval vezetj¨ uk be. Ehhez term´eszetesen motiv´ aci´ o gyan´ant a val´os, legfeljebb 3-dimenzi´os eset, azaz a klasszikus geometria eszk¨ ozei szolg´alnak.

1. Affin terek 1.1. Affin terek ´ es affin lek´ epez´ esek 1.1.1. Defin´ıci´ o (Affin t´ er). Legyen F (kommutat´ıv) test, V vektort´er F f¨ ol¨ ott, ´es X egy tetsz˝ oleges halmaz. Affin strukt´ ur´anak (pontosabban, F f¨ ol¨ otti affin strukt´ ur´ anak) nevezz¨ uk a Φ : X × X → V lek´epez´est, ´es (F f¨ ol¨ otti) affin t´ernek az (X, V, Φ) h´armast, ha teljes¨ ul : (1) minden A ∈ X-re a ΦA : X → V , ΦA (B) = Φ(A, B) lek´epez´es bijekt´ıv, ´es (2) minden A, B, C ∈ X-re Φ(A, B) + Φ(B, C) = Φ(A, C). Gyakran mag´ at X-et nevezz¨ uk affin t´ernek, ha egy´ertelm˝ u, hogy mely affin strukt´ ur´ aval van ell´ atva. X elemeit pontoknak nevezz¨ uk. Az alkalmaz´asokban 29

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

30

Affin geometria

legt¨ obbsz¨ or F = R vagy C, ilyenkor val´os, illetve komplex affin t´err˝ol besz´el¨ unk. A v´eges testek f¨ ol¨ otti affin terek ´erdekes kombinatorikai strukt´ ur´akhoz vezetnek. A tov´ abbiakban, hacsak m´ask´ent nem hangs´ ulyozzuk, minden vektort´er ´es affin t´er ugyanazon F test f¨ol¨ott ´ertend˝o. Jel¨ ol´esek, meg´ allapod´ asok: −−→ • A, B ∈ X eset´en a Φ(A, B) ∈ V vektorra ink´abb az AB jel¨ol´est hasz−−→ −−→ −→ n´ aljuk. Ezzel (2) az AB + BC = AC alakban ´ırhat´o. R¨ogt¨on ad´odik −→ −−→ −−→ AA = 0 ´es BA = −AB minden A, B ∈ X-re. • A ∈ X-re XA jel¨ oli azt a vektorteret, amelynek az alaphalmaza X, ´es amelyre ΦA : XA → V izomorfizmus. Azt mondjuk, hogy az XA vektorteret az X affin t´er vektoriz´aci´oj´aval” nyerj¨ uk az A pontban. ” • X dimenzi´ oj´ anak defin´ıci´o szerint V dimenzi´oj´at tekintj¨ uk (´es dim Xszel jel¨ olj¨ uk). Affin egyenesnek mondjuk az egydimenzi´os affin tereket, affin s´ıknak a k´etdimenzi´osakat. 1.1.2. P´ eld´ ak • Ha X az axiomatikusan ´ertelmezett klasszikus euklideszi t´er, V az Xbeli szabad vektorok alkotta vektort´er R f¨ol¨ott, Φ pedig a rendezett pontp´ arokhoz mint ir´ any´ıtott szakaszokhoz az ekvivalenciaoszt´alyukat mint vektort rendeli, akkor (X, V, Φ) h´aromdimenzi´os val´os affin t´er. B´ armely r¨ ogz´ıtett A ∈ X-re az XA vektort´er az A kezd˝opont´ u helyvektorok tere. • Vektort´er term´eszetes affin strukt´ ur´aja : Ha V tetsz˝oleges vektort´er, akkor az X = V halmazon a Φ(x, y) = y − x (x, y ∈ V ) lek´epez´es affin strukt´ ur´ at ad meg. • Az F test, mint egydimenzi´os vektort´er, az affin egyenes standard p´eld´ aja ( sz´ amegyenes”). B´armely affin egyenes vektoriz´aci´o, majd a kelet” kez˝ o egydimenzi´ os vektort´erben b´azis r¨ogz´ıt´ese ´altal azonos´ıthat´o F-fel. Ez gyakorlatilag a 0 ´es az 1 testelemek kijel¨ol´es´evel egyen´ert´ek˝ u. • Alterek eltoltjai: Ha V tetsz˝oleges alt´er egy W vektort´erben, tov´abb´a v ∈ W tetsz˝ oleges r¨ ogz´ıtett vektor, akkor az X = V + v halmazon ugyancsak affin strukt´ ur´at defini´al a Φ : X × X → V , Φ(x, y) = y − x (x, y ∈ V + v) lek´epez´es. • Direkt szorzat: Ha (X1 , V1 , Φ1 ) ´es (X2 , V2 , Φ2 ) affin terek, akkor (X1 × × X2 , V1 × V2 , Φ1 × Φ2 ) is az.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

1. Affin terek

31

• Faktort´er: Ha adott az (X, V, Φ) affin t´er ´es a V vektort´er egy W altere, akkor vezess¨ uk be az X halmazon azt a ∼ ekvivalenciarel´aci´ot, amelyn´el −−→ az X-beli A ´es B pontokra A ∼ B pontosan akkor teljes¨ ul, ha AB ∈ W . Legyen X 0 = X/ ∼ az ekvivalenciaoszt´alyok halmaza ´es V 0 a V /W −−→ faktort´er, ekkor a Φ0 : X 0 × X 0 → V 0 , Φ0 ([A], [B]) = AB lek´epez´es affin strukt´ ura az X 0 halmazon. Az (X 0 , V 0 , Φ0 ) affin teret az X t´er W szerinti faktorter´enek nevezz¨ uk. 1.1.3. Defin´ıci´ o (Affin lek´ epez´ es). Legyenek (X, V, Φ) ´es (X 0 , V 0 , Φ0 ) af0 fin terek. Egy f : X → X lek´epez´est affin lek´epez´esnek nevez¨ unk, ha alkal
mas ϕ : V → V 0 line´ aris lek´epez´essel b´armely A, B ∈ X-re ϕ Φ(A, B) =


−−−−−−−→ −−→ = Φ0 f (A), f (B) azaz ϕ AB = f (A) f (B) teljes¨ ul. Nyilv´ an ϕ-t az f affin lek´epez´es egy´ertelm˝ uen meghat´arozza. Ezt a ϕ line´aris lek´epez´est az f lineariz´ altj´anak” (vagy f deriv´altj´anak) nevezhetj¨ uk. A ” tov´ abbiakban gyakran alkalmazzuk f lineariz´altj´ara az L(f ) jel¨ol´est. ´ Eszrevehetj¨ uk, hogy ilyenkor b´armely A ∈ X pont kiv´alaszt´as´aval a f

XA −−−−−−→ Xf0 (A)   Φ0 Φ y f (A) y A V

L(f )

−−−−−−→

V0

diagram kommutat´ıv, azaz Φ0f (A) ◦ f = L(f ) ◦ ΦA . Ebb˝ol r¨ogt¨on ad´odik az affin lek´epez´esek al´ abbi jellemz´ese. ´ ıt´ 1.1.4. All´ as. Egy f : X → X 0 lek´epez´es pontosan akkor affin, ha b´armely (vagy ak´ ar csak egyetlen) A ∈ X-re f : XA → Xf0 (A) line´aris. ´ ıt´ 1.1.5. All´ as. B´ armely affin t´er identikus lek´epez´ese ´es b´armely konstans lek´epez´ese affin, affin lek´epez´esek kompoz´ıci´oja affin, bijekt´ıv affin lek´epez´es inverze affin. 1.1.6. Defin´ıci´ o (Affin izomorfizmus, affinit´ as). A bijekt´ıv affin lek´epez´eseket affin izomorfizmusoknak nevezz¨ uk. K´et affin t´er izomorf, ha van k¨ oz¨ ott¨ uk affin izomorfizmus. Egy affin t´er saj´at mag´ara k´epez˝o affin izomorfizmusait affin automorfizmusoknak, vagy r¨oviden affinit´asoknak nevezz¨ uk. Az X affin t´er affinit´ asai a kompoz´ıci´o m˝ uvelet´ere n´ezve csoportot alkotnak, ezt a csoportot X affin csoportj´anak nevezz¨ uk ´es Aff (X)-szel jel¨olj¨ uk. Az affinit´ as fogalm´ anak seg´ıts´eg´evel ism´et k¨or¨ ul´ırhatjuk, mi az affin geometria t´ argya: azokkal a geometriai fogalmakkal ´es mennyis´egekkel foglalkozik, amelyek affinit´ asokkal szemben invari´ansak.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

32

Affin geometria

´ ıt´ 1.1.7. All´ as. Tetsz˝ oleges (X, V, Φ) affin t´er izomorf a term´eszetes affin strukt´ ur´ aval ell´ atott V vektort´errel. Bizony´ıt´ as: Tetsz˝ olegesen r¨ogz´ıtett P ∈ X ponttal ΦP : X → V affin izomorfizmus, melyre L(ΦP ) = idV , ugyanis minden A, B ∈ X-re Φ(A, B) = = Φ(A, P ) + Φ(P, B) = ΦP (B) − ΦP (A). L´ atjuk teh´ at, hogy az affin t´er ´es a vektort´er fogalma nem sokban k¨ ul¨onb¨ozik; az elt´er´es l´enyeg´eben csak annyi, hogy az affin t´er eset´eben elfelejtj¨ uk”, ” hol van az orig´ o. Az affin teret b´armely pontj´anak orig´ok´ent val´o kit¨ untet´ese vektort´err´e teszi. Ezt a t´enyt k´es˝obbi sz´amol´asainkban olyan form´aban t¨ obbsz¨ or is ki fogjuk haszn´ alni, hogy b´armely affin t´err˝ol feltehetj¨ uk, hogy valamely vektort´erb˝ ol keletkezik a term´eszetes affin strukt´ ura bevezet´es´evel. Ebb˝ ol r¨ ogt¨ on k¨ ovetkezik p´eld´aul, hogy k´et (ugyanazon test feletti) affin t´er pontosan akkor izomorf, ha a dimenzi´ojuk egyenl˝o. Az az elj´ ar´ as, amelynek sor´ an valamely X affin teret egy P ∈ X orig´o kiv´alaszt´ as´ aval az XP vektort´errel, majd azon kereszt¨ ul V -vel azonos´ıtunk, nem term´eszetes”. B´ ar ez az elj´ ar´as v´egrehajthat´o minden X affin t´erre, a P ” pont o alaszt´ as´ aval j´ar, amire nincs egys´eges”, X-t˝ol f¨ uggetlen ¨nk´enyes megv´ ” m´ odszer. Ezzel szemben l´ atni fogjuk majd a 7. szakaszban, hogy b´armely b X affin t´er felfoghat´ ou ´gy, mint egy az X-hez term´eszetes m´odon rendelt X vektort´erben egy line´ aris alt´er eltoltja. Az itt hangs´ ulyozott term´eszetess´eg” ” pontos matematikai jelent´es´et az absztrakt algebra tiszt´azza a kateg´ori´ak ´es a funktorok fogalm´ anak seg´ıts´eg´evel. ´ ıt´ 1.1.8. All´ as. L´ assuk el a V ´es W vektortereket term´eszetes affin strukt´ ur´ ajukkal. Egy f : V → W lek´epez´es pontosan akkor affin, ha f (x) = ϕ(x) + b alak´ u, ahol ϕ : V → W line´ aris ´es b ∈ W . Bizony´ıt´ as: Ha f affin, akkor alkalmas ϕ(= L(f )) : V → W line´aris lek´epez´essel ϕ(v − u) = f (v) − f (u) minden u, v ∈ V -re ; ekkor u = 0, x = v ´es b = f (0) v´ alaszt´ assal ad´ odik, hogy f (x) = ϕ(x) + b minden x ∈ V -re. Megford´ıtva, ha f a fenti alak´ u, akkor a ϕ(v − u) = (ϕ(v) + b) − (ϕ(u) + + b) = f (v) − f (u) egyenl˝ os´eg mutatja, hogy f affin. 1.1.9. Defin´ıci´ o (Affin koordin´ atarendszer). Ha X d-dimenzi´os affin t´er az F test f¨ ol¨ ott, akkor X-beli affin koordin´atarendszernek nevez¨ unk egy tetsz˝ oleges x : X → Fd affin izomorfizmust. Egy affin koordin´atarendszer megad´ asa egyen´ert´ek˝ u az orig´o kijel¨ol´es´evel X-ben ´es egy b´azis r¨ogz´ıt´es´evel V -ben. Ha r¨ ogz´ıtj¨ uk az x affin koordin´atarendszert, akkor egy P ∈ X pont affin koordin´ at´ ain az x(P ) ∈ Fd vektor koordin´at´ait ´ertj¨ uk. Ha x ´es y k´et affin koordin´ atarendszer X-ben, akkor az y ◦ x−1 Fd → Fd ´ ıt´as szerint y = Ax + b, ahol lek´epez´es affin izomorfizmus, azaz az 1.1.8. All´

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

1. Affin terek

33

A ∈ GL(d, F) ´es b ∈ Fn . (Itt GL(d, F) az F f¨ol¨otti d × d m´eret˝ u invert´alhat´o m´ atrixok csoportj´ at jel¨ oli.) 1.1.10. P´ eld´ ak, defin´ıci´ ok (Eltol´ as, homot´ ecia, dilat´ aci´ o) • Ha X 0 az X affin t´ernek egy W ≤ V alt´er szerinti faktortere, akkor az X → X 0 faktoriz´ al´ o lek´epez´es affin lek´epez´es. Megford´ıtva, ha f : : X → X 0 tetsz˝ oleges sz¨ urjekt´ıv affin lek´epez´es, akkor X 0 izomorf X faktor´ aval a Ker L(f ) ≤ V alt´er szerint. • f ∈ Aff (X) eltol´ as, ha L(f ) identikus. Az eltol´asok r´eszcsoportot alkotnak Aff (X)-ben. Az L : Aff (X) → GL(V ) hozz´arendel´es csoporthomomorfizmus (ahol GL(V ) a V → V invert´alhat´o line´aris lek´epez´esek csoportja); az X affin t´er eltol´asainak a csoportja ennek az L homomorfizmusnak a magja. A term´eszetes affin strukt´ ur´aval ell´atott vektorterek eset´eben az eltol´ asok valamely r¨ ogz´ıtett vektor hozz´aad´as´at jelentik. Ebb˝ol r¨ogt¨on l´athat´ o, hogy tetsz˝ oleges X affin t´er eltol´asainak a csoportja izomorf a V vektort´errel mint addit´ıv csoporttal. • Adott P ∈ X ´es λ ∈ F∗ (= F − {0}) eset´en P k¨oz´eppont´ u, λ ar´any´ u X-beli homot´eci´ anak nevezz¨ uk azt a HP,λ : X → X lek´epez´est, −−−−−−−→ −→ amelyn´el minden A ∈ X pontra P HP,λ (A) = λP A azaz HP,λ (A) =
= Φ−1 es L(HP,λ ) = λ · idV . Nyilv´an P (λΦP (A)) . Ekkor HP,λ ∈ Aff (X) ´ HP,λ ◦ HP,µ = HP,λµ , azaz a r¨ogz´ıtett k¨oz´eppont´ u homot´eci´ak egy F∗ gal (az F test multiplikat´ıv csoportj´aval) izomorf r´eszcsoportot alkotnak Aff (X)-ben. • Dilat´ aci´ onak nevezz¨ uk azokat az f affinit´asokat, amelyekre az L(f ) line´ aris lek´epez´es egy nemz´erus skal´arral val´o szorz´as. Az X affin t´er dilat´ aci´ oi r´eszcsoportot alkotnak Aff (X)-ben, hiszen defin´ıci´o szerint a dilat´ aci´ ok az L−1 (F∗ idV ) halmazt alkotj´ak. Ez r´eszcsoport, mert egy GL(V )-beli r´eszcsoport inverz k´epe az L homomorfizmusn´al. Mind az eltol´ asok, mind a homot´eci´ak egyben dilat´aci´ok is. Az identikus lek´epez´es egyszerre eltol´as is ´es homot´ecia is (tetsz˝oleges k¨ oz´epponttal), ´es csak az identit´as ilyen. ´ ıt´ 1.1.11. All´ as. Ha egy dilat´aci´o k¨ ul¨onb¨ozik az identit´ast´ol, akkor vagy eltol´ as, vagy homot´ecia. Bizony´ıt´ as: Legyen f ∈ Aff (X), melyre L(f ) = λ · idV , λ 6= 0,1. Azt kell bel´ atni, hogy l´etezik olyan P ∈ X, hogy f = HP,λ . Fixpontot keres¨ unk f sz´ am´ ara. Feltehet˝o, hogy X = V a term´eszetes affin ´ ıt´as szerint f (x) = ϕ(x) + b alak´ strukt´ ur´ aval, ekkor az 1.1.8. All´ u, ahol

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

34

Affin geometria

most ϕ(x) = L(f )x = λx. Az x = λx + b egyenletnek λ 6= 1 miatt l´etezik megold´ asa, m´egpedig a p = b/(1−λ) vektor, amely az f (egyetlen) fixpontja. Ezzel f (x) = λx + b = p + λ(x − p), azaz f = Hp,λ . 1.1.12. K¨ ovetkezm´ eny. A kompoz´ıci´o m˝ uvelete nem vezet ki a homot´eci´ak ´es eltol´ asok alkotta halmazb´ ol. Megjegyz´es. Az elemi geometri´ab´ol ismert euklideszi s´ıkot k´etf´elek´eppen is lehet az affin geometria keretei k¨oz´e illeszteni: tekinthetj¨ uk val´os affin s´ıknak is ´es komplex affin egyenesnek is. A k¨ ul¨onbs´eg j´ol l´atszik p´eld´aul abban, hogy a homot´eci´ ak m´ ast jelentenek a k´etf´ele felfog´asban: a val´os esetben k¨ oz´eppontos nagy´ıt´ ast, a komplex esetben pedig forgatva ny´ ujt´ast.

1.2. Affin alterek 1.2.1. Defin´ıci´ o (Affin alt´ er). Legyen (X, V, Φ) affin t´er ´es Y ⊆ X tetsz˝oleges r´eszhalmaz. Azt mondjuk, hogy Y affin alt´er X-ben, ha l´etezik olyan W ≤ V line´ aris alt´er, hogy az (Y, W, Φ|Y ×Y ) h´armas affin t´er. Ilyenkor Y a → − W alteret nyilv´ an egy´ertelm˝ uen meghat´arozza. W -re id˝onk´ent az Y jel¨ol´est → − haszn´ aljuk. (´Igy p´eld´ aul V = X .) ´ ıt´ 1.2.2. All´ as. Az X affin t´er tetsz˝oleges Y ⊆ X r´eszhalmaz´ara az al´abbi all´ıt´ ´ asok ekvivalensek: (i) Y affin alt´er; (ii) Y 6= ∅ ´es minden A ∈ Y -ra ΦA (Y ) ≤ V line´aris alt´er ; (iii) l´etezik olyan A ∈ Y , hogy ΦA (Y ) ≤ V line´aris alt´er ; (iv) l´etezik olyan W ≤ V line´aris alt´er ´es olyan A ∈ X, hogy Y = Φ−1 A (W ). Bizony´ıt´ as: Az (i) ⇒ (ii) ⇒ (iii) ⇒ (iv) implik´aci´ok a defin´ıci´okb´ol r¨ogt¨on ad´ odnak. A (iv) ⇒ (i) k¨ ovetkeztet´eshez azt kell meggondolni, hogy b´armely −−→ −−→ −→ B, C ∈ Y -ra BC ∈ W . Viszont Y = Φ−1 es ´ıgy A (W ) miatt AB, AC ∈ W , ´ −−→ −−→ −→ BC = BA + AC ∈ W . 1.2.3. P´ eld´ ak • Vektort´er term´eszetes affin strukt´ ur´aj´ara n´ezve az affin alterek pontosan a line´ aris alterek eltoltjai. (Ez 1.2.2.(iv)-b˝ol r¨ogt¨on l´atszik.)

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

1. Affin terek

35

• Tetsz˝ oleges f : X → X 0 affin lek´epez´es k´ephalmaza affin alt´er az X 0 ´ ıt´as alkalmaz´as´aval.) Ha affin t´erben. (Ez azonnal ad´odik az 1.1.8. All´ f injekt´ıv, akkor affin izomorfizmus X ´es az f (X) affin alt´er k¨oz¨ott. Ilyenkor azt mondjuk, hogy f affin be´agyaz´as X-r˝ol X 0 -be. • Tetsz˝ oleges affin t´erben a 0-dimenzi´os affin alterek pontosan az egypont´ u r´eszhalmazok (amelyeket azonosnak tekint¨ unk a t´er pontjaival). Az 1-dimenzi´ os affin alterek az affin t´er egyenesei, a 2-dimenzi´osak az affin t´er s´ıkjai. Egy d-dimenzi´os affin t´erben, ahol d v´eges, a (d − 1)dimenzi´ os affin altereket hipers´ıkoknak nevezz¨ uk. Teh´at pl. egy egyenes pontjai hipers´ıkok az egyenesen, illetve egy s´ık hipers´ıkjai a benne fekv˝o egyenesek. • Az X affin t´er pontjai egy rendszer´et kolline´arisnak nevezz¨ uk, ha valamely X-beli egyenes tartalmazza ˝oket. B´armely k´et pont kolline´aris, s˝ ot, ha A, B ∈ X k´et k¨ ul¨onb¨oz˝o pont, akkor egy´ertelm˝ uen l´etezik olyan −−→ X-beli egyenes, amely A-t ´es B-t tartalmazza, m´egpedig a Φ−1 A (F · AB) ponthalmaz. Erre az egyenesre bevezetj¨ uk az hA, Bi jel¨ol´est. Vektorterekben a koordin´ at´ akban fel´ırt homog´en line´aris egyenletrendszerek megold´ ashalmazai ´eppen a line´aris alterek. Ennek mint´aj´ara affin terekben az affin alterek inhomog´en line´aris egyenletrenszerek megold´ashalmazaik´ent nyerhet˝ ok. Ezt a t´enyt fogalmazza meg koordin´atamentes” form´aban az ” ´ ıt´ 1.2.5. All´ as, amelyet az affin form´ak defin´ıci´oj´aval k´esz´ıt¨ unk el˝o. Id´ezz¨ uk f¨ ol el¨ olj´ ar´ oban a line´ aris forma fogalm´at. A V vektort´eren ´ertelmezett line´ aris form´ an egy tetsz˝ oleges V → F line´aris lek´epez´est ´ert¨ unk. A line´aris form´ ak a term´eszetes m´ odon ad´od´o m˝ uveletekkel vektorteret alkotnak F f¨ol¨ ott, amit V du´ alis ter´enek nevez¨ unk ´es ´altal´aban V ∗ -gal jel¨ol¨ unk. 1.2.4. Defin´ıci´ o (Affin forma, Z(s)). Az F test feletti X affin t´eren ´ertelmezett affin form´ anak nevez¨ unk egy tetsz˝oleges s : X → F affin lek´epez´est. A term´eszetes (azaz pontonk´ent ´ertelmezett) ¨osszead´asra ´es skal´arral val´o szorz´ asra n´ezve az affin form´ ak F f¨ol¨ott vektorteret alkotnak, amelyre az X • jel¨ ol´est vezetj¨ uk be. B´ armely affin forma lineariz´altja egy V → F line´aris lek´epez´es, azaz a V ∗ du´ alis vektort´er eleme. Ez´ altal kapjuk az L : X • → V ∗ line´aris lek´epez´est, amely nyilv´ an sz¨ urjekt´ıv, ´es amelynek a magja a konstans affin form´akb´ol ´all. ´Igy teh´ at v´eges dimenzi´ os X eset´eben dim X • = dim X + 1. Valamely P ∈ X pont r¨ ogz´ıt´es´evel az s 7→ (L(s), s(P )) hozz´arendel´es izomorfizmus az X • ´es ∗ a V ⊕ F vektorterek k¨ oz¨ ott. Az affin form´ak ter´enek ez a direkt felbont´asa ugyanolyan ´ertelemben nem term´eszetes, mint ahogyan X azonos´ıt´asa a V vektort´errel nem az. Ha viszont eleve X = V a term´eszetes affin strukt´ ur´aj´aval, akkor persze X • = V ∗ ⊕ F az s(x) = ϕ(x) + b ←→ (ϕ, b) = (L(s), s(0)) megfeleltet´essel.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

36

Affin geometria

Tetsz˝ oleges X eset´en l´etezik k´et kit¨ untetett affin forma X-en : a konstans 0 ´es a konstans 1 ´ert´ek˝ u f¨ uggv´eny; ezeket 0-val, illetve 1-gyel jel¨olj¨ uk. • Ha s ∈ X tetsz˝ oleges affin forma az X affin t´eren, akkor Z(s) jel¨oli s z´er´ ohalmaz´ at, azaz az {A ∈ X : s(A) = 0} halmazt. P´eld´aul Z(0) = X ´es Z(1) = ∅. Ha S ⊆ X • tetsz˝ oleges nem¨ ures r´eszhalmaz, akkor T Z(S) jel¨oli az S-beli affin form´ ak z´er´ ohalmazainak k¨oz¨os r´esz´et: Z(S) = {Z(s) : s ∈ S}. Nyilv´ an Z(S) = Z(U ), ahol U az S ´altal az X • vektort´erben gener´alt line´aris alt´er. Ha dim X = d v´eges ´es x : X → Fd affin koordin´atarendszer X-ben, akkor ´ ıt´ az 1.1.8. All´ as alkalmaz´ as´ aval az s ∈ X • affin form´ak ´altal´anos koordin´at´as alakj´ at az s ◦ x−1 : Fd → F, s(x1 , . . . , xd ) = a1 x1 + . . . + ad xd + b inhomog´en line´ aris f¨ uggv´eny adja. Az a1 , . . ., ad , b ∈ F konstansok tetsz˝oleges megv´ alaszt´ asa affin form´ at defini´al. A k¨ ovetkez˝ o ´ all´ıt´ as csup´ an a line´aris egyenletrendszerekr˝ol sz´ol´o szok´asos line´ aris algebrai meg´ allap´ıt´ asok ´atfogalmaz´asa az affin geometria nyelv´ere. H´etk¨ oznapi” tartalma az, hogy egy d-dimenzi´os affin t´erben a k-dimenzi´os ” affin altereket d − k darab f¨ uggetlen inhomog´en line´aris egyenlet ´ırja le. ´ ıt´ 1.2.5. All´ as. Legyen X v´eges dimenzi´os affin t´er, d = dim X. Egy Y ⊆ X nem¨ ures r´eszhalmaz pontosan akkor k-dimenzi´os affin alt´er, ha l´etezik olyan (d − k)-dimenzi´ os U ≤ X • line´aris alt´er, hogy 1 ∈ / U ´es Y = Z(U ). Speci´ alisan ha H ⊂ X hipers´ık, akkor van olyan s ∈ X • affin forma, hogy H = Z(s), ´es megford´ıtva, b´armely nemkonstans affin forma z´er´ohalmaza hipers´ık. Ha s, t ∈ X • -ra Z(s) = Z(t), akkor t = λs alkalmas λ ∈ F, λ 6= 0val. 1.2.6. Defin´ıci´ o (Fu ¨ ggetlen hipers´ıkok). Azt mondjuk, hogy az X-beli H1 = Z(s1 ), H2 = Z(s2 ), . . ., Hk = Z(sk ) hipers´ıkok f¨ uggetlenek, ha az L(s1 ), L(s2 ), . . ., L(sk ) du´ alis vektorok line´arisan f¨ uggetlenek a V ∗ vektort´erben. A f¨ uggetlen hipers´ıkok al´ abbi tulajdons´agai a defin´ıci´ob´ol, illetve 1.2.5-b˝ol r¨ ogt¨ on ad´ odnak. ´ ıt´ 1.2.7. All´ as. Legyen dim X = d v´eges. Ekkor: (1) X-ben a f¨ uggetlen hipers´ıkok maxim´alis sz´ama d. (2) X-ben k darab f¨ uggetlen hipers´ık k¨oz¨os r´esze (d − k)-dimenzi´os affin alt´er. T (3) Ha H hipers´ıkok rendszere X-ben ´es Y = H 6= ∅, akkor b´armely H-beli f¨ uggetlen r´eszrendszer d − dim Y darab hipers´ıkb´ol ´all, amelyek k¨ oz¨ os r´esze szint´en Y .

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

1. Affin terek

37

1.2.8. Defin´ıci´ o (P´ arhuzamoss´ ag). Legyenek Y ´es Z affin alterek az X affin t´erben. → − → − Azt mondjuk, hogy Y ´es Z p´ arhuzamos (jelben : Y k Z), ha Y = Z . A p´arhuzamoss´ ag nyilv´ an ekvivalenciarel´aci´o X affin alterei halmaz´an. P´arhuzamos affin alterek dimenzi´ oja egyenl˝o. → − → − Azt mondjuk, hogy Y gyeng´en p´arhuzamos Z-vel (jelben : Y h|Z), ha Y ≤ Z . A gyenge p´ arhuzamoss´ ag r´eszben rendez´esi rel´aci´o X affin alterei halmaz´an. Y h|Z eset´en nyilv´ an dim Y ≤ dim Z. ´ ıt´ 1.2.9. All´ as. B´ armely X affin t´er Y ´es Z affin altereire ´erv´enyesek a k¨ovetkez˝ ok. (1) Ha Y k Z, akkor Y = Z vagy Y ∩ Z = ∅. (2) Ha Y h|Z, akkor Y ⊆ Z vagy Y ∩ Z = ∅. (3) Y h|Z akkor ´es csak akkor ´all fenn, ha l´etezik olyan Y 0 ⊆ Z affin alt´er, hogy Y 0 k Y . (4) B´ armely A ∈ X-hez egy´ertelm˝ uen l´etezik olyan Y 0 affin alt´er, hogy A ∈ Y 0 ´es Y 0 k Y . (5) Ha Y k Z ´es Y, Z v´eges dimenzi´osak, akkor belefoglalhat´ok egy legfeljebb eggyel magasabb dimenzi´os affin alt´erbe. (6) Ha Y, Z hipers´ıkok ´es Y ∩ Z = ∅, akkor Y k Z. Bizony´ıt´ as: (1), (2), (3) ´es (4) k¨ozvetlen¨ ul k¨ovetkezik a defin´ıci´ob´ol. Az (5) ´ all´ıt´ as bizony´ıt´ as´ ahoz v´alasszunk egy A ∈ Y ´es egy B ∈ Z pontot, −−→ legyen W = ΦA (Y ) ≤ V . Ha U a W ´es az AB vektor gener´alta alt´er V -ben, akkor S = Φ−1 er X-ben, Y ∪ Z ⊆ S, ´es dim S ≤ dim Y + 1. A (U ) affin alt´ A (6) ´ all´ıt´ as bizony´ıt´ as´ ahoz feltessz¨ uk, hogy X = V a term´eszetes affin strukt´ ur´ aval, Y = W + a, Z = U + b, ahol W ´es U line´aris hipers´ıkok V -ben. Ha indirekt feltev´essel Y ∦ Z, akkor W 6= U , ´es ´ıgy sz¨ uks´egk´eppen W + U = = V . Emiatt tal´ alhat´ o w ∈ W ´es u ∈ U u ´gy, hogy w − u = b − a. Ekkor x = w + a = u + b, ahonnan x ∈ Y ∩ Z, ami ellentmond az Y ∩ Z = ∅ felt´etelnek. Megjegyz´es. Ha X affin s´ık, E ⊂ X egyenes, P ∈ X − E, akkor (4)-b˝ol ´es (5)-b˝ ol k¨ ovetkez˝ oen egy´ertelm˝ uen l´etezik olyan E 0 ⊂ X egyenes, hogy P ∈ 0 0 ∈ E ´es E ∩ E = ∅. A p´ arhuzamoss´agi axi´oma ´all´ıt´asa teh´at automatikusan ´erv´enyes az affin geometri´ aban. ´ ıt´ 1.2.10. All´ as. B´ armely dilat´aci´o minden affin alteret vele p´arhuzamos affin alt´erbe visz.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

38

Affin geometria

Bizony´ıt´ as: Ha f dilat´ aci´ o, akkor L(f ), skal´arral val´o szorz´as l´ev´en, minden −−−→ V -beli line´ aris alteret ¨ onmag´aba visz. ´Igy tetsz˝oleges Y affin alt´erre f (Y ) = → − → − = L(f )( Y ) = Y , ´es emiatt f (Y ) k Y . ´ ıt´ Az 1.2.10. All´ as m´ odot ad dilat´aci´okn´al a k´eppont szerkeszt´essel” t¨ort´en˝o ” meghat´ aroz´ as´ ara.

1.2.11. K¨ ovetkezm´ eny. Legyen f tetsz˝oleges dilat´aci´o egy X affin t´erben, A ∈ X, A0 = f (A) 6= A, ´es E jel¨olje az hA, A0 i egyenest. Legyen B ∈ X tetsz˝ oleges, E-re nem illeszked˝o tov´abbi pont. Az ehhez tartoz´o B 0 = f (B) k´eppont az al´ abbi F ´es G egyenesek metsz´espontjak´ent ´all el˝o : F az a B-n ´ atfektetett egyenes, amelyet f ¨onmag´aba k´epez, azaz ha f homot´ecia P k¨ oz´epponttal, akkor F = hP, Bi, ha pedig f eltol´as, akkor F az E-vel p´ arhuzamos egyenes B-n ´at; G pedig az az A0 -n ´ atmen˝o egyenes, amely p´arhuzamos az hA, Bi egyenessel. 1.2.12. Defin´ıci´ o (Komplementarit´ as). Az Y ´es Z affin alterek komp→ − → − lementer alterek az X affin t´erben, ha V = Y ⊕ Z direkt o¨sszeg. Ilyenkor Y ∩Z egyetlen pont. A komplementarit´as szimmetrikus rel´aci´o X affin alterei halmaz´ an. Affin alterek p´ arhuzamoss´ ag´ at, illetve komplementarit´as´at haszn´alva affin lek´epez´esek n´eh´ any fontos t´ıpus´at tudjuk bevezetni. 1.2.13. Defin´ıci´ o (Vet´ıt´ es alt´ erre). Legyen Y affin alt´er az X affin t´erben, → − ´es r¨ ogz´ıts¨ uk az Y ≤ V alt´er egy U direkt kieg´esz´ıt˝oj´et a V vektort´erben. Defini´ aljuk a p : X → Y lek´epez´est a k¨ovetkez˝o m´odon. Tetsz˝oleges A ∈ Xhez egy´ertelm˝ uen tal´ alhat´ o olyan Z(A) ⊆ X affin alt´er, hogy A ∈ Z(A) ´es −−−→ Z(A) = U . Ekkor Z(A) ∩ Y egypont´ u ; legyen p(A) ez a pont. Vektoriz´alva ´es line´ aris algebr´ ara hivatkozva r¨ogt¨on l´atszik, hogy p affin lek´epez´es. Nyilv´an p ◦ p = p. A p lek´epez´est az X affin t´er Y affin alt´erre t¨ort´en˝o U ir´any´ u vet´ıt´es´enek nevezz¨ uk.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

1. Affin terek

39

1.2.14. Defin´ıci´ o (P´ arhuzamos vet´ıt´ es). Legyen Y ´es Z k´et egyenl˝o di→ − → − menzi´ oj´ u affin alt´er az X affin t´erben ´es r¨ogz´ıts¨ uk az Y , Z ≤ V alterek egy U k¨ oz¨ os direkt kieg´esz´ıt˝ oj´et a V vektort´erben. Ekkor az 1.2.13-beli p lek´epez´es Z-re t¨ ort´en˝ o lesz˝ uk´ıt´ese affin izomorfizmus Z ´es Y k¨oz¨ott. Ezt a p|Z lek´epez´est a Z alt´er Y -ra t¨ ort´en˝o U ir´any´ u p´arhuzamos vet´ıt´es´enek nevezz¨ uk. 1.2.15. Defin´ıci´ o (Affin szimmetria). Legyen Y affin alt´er az X affin t´erben ´es legyen p : X → Y a t´er U ir´any´ u vet´ıt´ese Y -ra. B´armely A ∈ X-hez −−−−−−→ −−−−→ egy´ertelm˝ uen l´etezik olyan τ (A) ∈ X pont, melyre p(A)τ (A) = Ap(A). Ekkor τ ∈ Aff (X) ´es τ ◦ τ = idX . Ezt a τ lek´epez´est az Y affin alt´erre vonatkoz´o U ir´ any´ u affin szimmetri´ anak nevezz¨ uk. Meggondolhat´o, hogy ha char F 6= = 2, akkor Y pontosan a τ fixpontjaib´ol ´all. A pontokra (azaz 0-dimenzi´os affin alterekre) vonatkoz´ o affin szimmetri´akat k¨oz´eppontos szimmetri´aknak is nevezz¨ uk, ezek ´eppen a −1 ar´any´ u homot´eci´ak.

1.3. Affin kombin´ aci´ ok, fu eg, affin b´ azis ¨ ggetlens´ Vektort´erben affin kombin´ aci´onak szok´as nevezni az olyan line´aris kombin´ aci´ okat, amelyekben az egy¨ utthat´ok ¨osszege 1. Ilyen fajta kombin´aci´okat vektorok helyett egy affin t´er pontjaib´ol is k´epezhet¨ unk. 1.3.1. Defin´ıci´ o (Affin kombin´ aci´ o). Legyenek A1 , A2 , . . . , Ak pontok az X affin t´ e rben, legyenek tov´ a bb´ a adva a λ1 , λ2 , . . . , λk ∈ F elemek, melyekre Pk λ = 1. Azt mondjuk, hogy a B pont az Ai pontok λi egy¨ utthat´os affin i i=1 −−→ Pk −−→ kombin´ aci´ oja, ha valamely O ∈ X-re OB = i=1 λi OAi . −−→ Pk −−−→ Vegy¨ uk ´eszre, hogy ilyenkor b´armely O0 ∈ X-re O0 B = i=1 λi O0 Ai ugyan−−→ −−→ −−→ −−→ Pk Pk −−→ csak fenn´ all, hiszen O0 B = O0 O + OB = ( i=1 λi )O0 O + i=1 λi OAi = −−0→ −−→
−−0−→ Pk Pk = i=1 λi O O + OAi = i=1 λi O Ai . Speci´alisan, O0 = B v´alaszt´assal Pk −−→ ul. Nyilv´an ez az ut´obbi egyenl˝os´eg is alkalmas a B 0 = i=1 λi BAi teljes¨ pont defini´ al´ as´ ara. Ha X = V a term´eszetes affin strukt´ ur´aval ´es az Ai , B pontok V -beli ai , b vektorokkal vannak azonos´ıtva, akkor O = 0 v´alaszt´assal l´athat´o, hogy az affin kombin´ aci´ o fogalma val´obanP az 1 ¨osszeg˝ u egy¨ utthat´okkal vett line´aris k kombin´ aci´ ot jelenti: ilyenkor b = i=1 λi ai . ´ ıt´ 1.3.2. All´ as. Az affin lek´epez´esek felcser´elhet˝ok az affin kombin´aci´ok k´epz´es´evel. Azaz: ha f : X → Y affin lek´epez´es, ´es X-ben a B pont az A1 , A2 , . . . , Ak pontok affin kombin´ aci´ oja, akkor Y -ban az f (B) pont az f (A1 ), f (A2 ), . . . , f (Ak ) pontok ugyanilyen egy¨ utthat´os affin kombin´aci´oja.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

40

Affin geometria

´ ıt´ Bizony´ıt´ as: Az 1.1.4. All´ ast ´es a fenti ´eszrev´etelt felhaszn´alva r¨ogt¨on ad´odik. ´ ıt´ 1.3.3. All´ as. Az X affin t´er egy nem¨ ures Y r´eszhalmaza pontosan akkor affin alt´er, ha z´ art az affin kombin´aP ci´ok k´epz´es´ere, azaz ha tetsz˝oleges k A1 , A2 , . . . , Ak ∈ Y , λ1 , λ2 , . . . , λk ∈ F, i=1 λi = 1 eset´en az Ai pontok λi egy¨ utthat´ os affin kombin´ aci´ oja is eleme Y -nak. Bizony´ıt´ as: Feltessz¨ uk, hogy X = V a term´eszetes affin strukt´ ur´aval. Ha Y affin alt´er, azaz Y = W + a valamilyen W ≤ V -vel ´ e Pk Pk s a ∈ Y -nal, tov´ abb´ a ai = xi + a, ahol xi ∈ W , akkor i=1 λi ai = i=1 λi (xi + a) = Pk Pk = ( i=1 λi xi ) + ( i=1 λi )a ∈ W + a = Y . Megford´ıtva, tegy¨ uk fel, hogy Y z´art az affin kombin´aci´ok k´epz´es´ere ´es v´alasszunk egy tetsz˝ oleges a ∈ Y elemet. Megmutatjuk, hogy az Y − a halmaz line´ aris alt´er V -ben. Legyenek xi = ai − a ∈ Y − a tetsz˝oleges elemek ´es λi ∈ F tetsz˝ oleges egy¨ utthat´ ok (i = 1, . . . , k). Bel´atjuk, hogy az xi vektorok λi egy¨ utthat´ os line´ aris kombin´aci´oja is Y − a -ban van. Legyen λk+1 = 1 − Pk Pk Pk − i=1 λi , ezzel a + i=1 λi xi = λk+1 a + i=1 (λi a + λi xi ) = λk+1 a + Pk + i=1 λi ai , ami az Y -beli a ´es ai elemek egy affin kombin´aci´oja, teh´at Y -beli. 1.3.4. K¨ ovetkezm´ eny. Ha affin alterek egy tetsz˝oleges rendszer´enek a metszete nem az u ¨res halmaz, akkor affin alt´er. 1.3.5. K¨ ovetkezm´ eny. B´ armely nem¨ ures S ⊆ X r´eszhalmazhoz l´etezik legsz˝ ukebb, S-et tartalmaz´ o affin alt´er. 1.3.6. Defin´ıci´ o (Affin burok). A nem¨ ures S ⊆ X r´eszhalmazt tartalmaz´ o legsz˝ ukebb affin alteret az S halmaz affin burk´anak nevezz¨ uk ´es hSi-sel jel¨ olj¨ uk. Ilyenkor u ´gy is fogalmazhatunk, hogy az S halmaz affin gener´atorrendszer az hSi affin alt´erben. Ha S1 , . . . , Sk az X r´eszhalmazainak vagy pontjainak (nem¨ ures egyes´ıt´es˝ u) list´aja, akkor hS1 , . . . , Sk i jel¨oli az egyes´ıt´es¨ uk affin burk´ at. ´ ıt´ 1.3.7. All´ as. Tetsz˝ oleges nem¨ ures S ⊆ X r´eszhalmazra az S affin burka pontosan az S-beli elemek affin kombin´aci´oib´ol ´all. Bizony´ıt´ as: Jel¨ olj¨ uk C(S)-sel az S-beli elemek affin kombin´aci´oib´ol ´all´o ponthalmazt. Bel´ atjuk, hogy hSi = C(S). Az hSi ⊇ C(S) tartalmaz´ as fenn´all, hiszen hSi affin alt´er, ´es ´ıgy z´art az affin ´ ıt´as). kombin´ aci´ ok k´epz´es´ere (1.3.3. All´ ´ ıt´as felhaszn´al´as´aval) el´eg Az hSi ⊆ C(S) tartalmaz´ ashoz (ism´et az 1.3.3. All´ azt bel´ atni, hogy affin kombin´aci´ok affin kombin´aci´ojaP a kiindul´asi pontokk nak is affin kombin´ aci´ oja. Val´oban, tekints¨ uk az x = i=1 λi xi affin kombin´ aci´ ot a V vektort´erben, ´es tegy¨ uk f¨ol, hogy mindegyik xi vektor maga is

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

1. Affin terek

41

Pk Pki Pki µij yij = µij yij affin kombin´aci´o. Ekkor x = i=1 λi j=1 egy xi = j=1 Pk Pki utt= i=1 j=1 λi µij yij az yij vektorok affin kombin´aci´oja, hiszen az egy¨ Pk Pk Pki Pk Pki hat´ ok ¨ osszege i=1 j=1 λi µij = i=1 λi j=1 µij = i=1 λi = 1. 1.3.8. P´ eld´ ak. B´ armely A ∈ X pontra hAi = {A}. Ha A, B ∈ X, A 6= B, akkor az 1.2.3-ban bevezetett jel¨ol´essel ¨osszhangban hA, Bi az A-n ´es B-n atfektetett egyenes. Ha X = V ´es A = a, B = b ∈ V , akkor hA, Bi = {ta + ´ + (1 − t)b : t ∈ F}. ´ ıt´ 1.3.9. All´ as. Tegy¨ uk fel, hogy char F 6= 2. Az X affin t´er egy nem¨ ures Y r´eszhalmaza pontosan akkor affin alt´er, ha b´armely A, B ∈ Y -ra hA, Bi ⊆ Y . ´ ıt´as speci´alis esetek´ent telBizony´ıt´ as: Affin alterekre a felt´etel az 1.3.3. All´ jes¨ ul. A ford´ıtott ir´ anyhoz feltehet˝o, hogy X = V ´es 0 ∈ Y ; azt kell bebizony´ıtani, hogy Y line´ aris alt´er V -ben. Val´oban, skal´arral val´o szorz´asra z´ art, mert x ∈ Y -ra Fx = h0, xi ⊆ Y , ´es ¨osszegre z´art, mert x, y ∈ Y -ra x+y es ´ıgy x + y ∈ h0, x+y 2 ∈ hx, yi ⊆ Y ´ 2 i⊆Y. Megjegyz´es. Az affin alterek fenti jellemz´ese nyilv´anval´oan nem ´erv´enyes a k´etelem˝ u test feletti (legal´ abb k´etdimenzi´os) affin terekben, hiszen az egye´ ıt´asban szerepl˝o felt´etel semmit sem nesek k´etelem˝ uek, ´es ´ıgy az 1.3.9. All´ ´ ıt´as olyan form´aban k¨ ovetel Y -r´ ol. Meggondolhat´o viszont, hogy az 1.3.9. All´ is igaz, hogy a char F 6= 2 kik¨ ot´es helyett csak azt tessz¨ uk fel, hogy F legal´abb h´ aromelem˝ u. ´ ıt´ 1.3.10. All´ as. Legyen Y v´eges dimenzi´os affin alt´er az X affin t´erben ´es A ∈ X. Ekkor dimhY, Ai ≤ dim Y + 1, ´es itt egyenl˝os´eg pontosan akkor ´all fenn, ha A ∈ / Y. Bizony´ıt´ as: Feltehet˝ o, hogy X = V ´es 0 ∈ Y , ezzel line´aris algebr´ab´ol j´ol ismert t´enyre vezett¨ uk vissza az ´all´ıt´ast. 1.3.11. K¨ ovetkezm´ eny. Affin t´erben b´armely k + 1 elem˝ u S r´eszhalmazra dimhSi ≤ k teljes¨ ul. Bizony´ıt´ as: K¨ ozvetlen¨ ul ad´ odik az 1.3.10. ´all´ıt´asb´ol k szerinti teljes indukcioval. ´ ´ ıt´ 1.3.12. All´ as. Az X affin t´er tetsz˝oleges A0 , A1 , . . . , Ak ∈ X pontjaira az al´ abbi felt´etelek ekvivalensek : (i) dimhA0 , A1 , . . . , Ak i = k ; (ii) Ai ∈ / hA0 , . . . , Ai−1 , Ai+1 , . . . , Ak i minden i = 0,1, . . . , k-ra ; −−−→ −−−→ −−−→ (iii) A0 A1 , A0 A2 , . . ., A0 Ak line´arisan f¨ uggetlen vektorok V -ben;

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

42

(iv) ha O ∈ X, λ0 , λ1 . . . , λk ∈ F, λ0 = λ1 = . . . = λk = 0.

Affin geometria

Pk

i=0

λi = 0, ´es

Pk

i=0

−−→ λi OAi = 0, akkor

´ ıt´as bizony´ıt´as´ahoz Bizony´ıt´ as: (i), (ii) ´es (iii) ekvivalenci´aja az 1.3.10. All´ hasonl´ oan j´ ol ismert line´ aris algebrai tulajdons´agokb´ol ad´odik. Pk −−−→ Pk −−→ −−→ −−→ −−→ (iii)⇒(iv): i=1 λi A0 Ai = i=1 λi (A0 O + OAi ) = −λ0 A0 O + (−λ0 OA0 ) = −−−→ = 0, ahonnan az A0 Ai vektorok line´aris f¨ uggetlens´ege miatt λ1 = . . . = λk = = 0, ´es ´ıgy λ0 = 0. Pk Pk −−−→ (iv)⇒(iii): Tegy¨ uk fel, hogy i=1 λi A0 Ai = 0. Legyen λ0 = − i=1 λi ´es Pk Pk −−→ −−−→ O = A0 , ekkor i=0 λi OAi = i=1 λi A0 Ai = 0, ´ıgy (iv) felhaszn´al´as´aval (λ0 =)λ1 = . . . = λk = 0. 1.3.13. Defin´ıci´ o (Fu eg). Azt mondjuk, hogy A0 , A1 , . . . , Ak ∈ X ¨ ggetlens´ f¨ uggetlen pontok az X affin t´erben, ha teljes´ıtik az 1.3.12. ´all´ıt´asban szerepl˝o felt´etelek valamelyik´et (´es ´ıgy mindegyiket). P´eld´ aul egyetlen pont mindig f¨ uggetlen, k´et pont akkor ´es csak akkor f¨ uggetlen, ha k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o, h´ arom pont akkor ´es csak akkor f¨ uggetlen, ha nem kolline´ aris. 1.3.14. Defin´ıci´ o (Affin b´ azis). Az X v´eges dimenzi´os affin t´erben affin −−−→ −−−→ b´ azisnak nevez¨ unk egy A0 , A1 , . . ., Ak pontrendszert, ha az A0 A1 , A0 A2 , . . ., −−−→ → − A0 Ak vektorok b´ azist alkotnak a V = X vektort´erben. Ilyenkor k = dim V = d, azaz egy affin b´azis sz¨ uks´egk´eppen d + 1 pontb´ol ´all. Az affin b´ azisok al´ abbi jellemz´ese k¨ozvetlen¨ ul ad´odik a defin´ıci´okb´ol. ´ ıt´ 1.3.15. All´ as. Legyen X v´eges dimenzi´os affin t´er, d = dim X. Egy X-beli pontrendszer pontosan akkor affin b´azis X-ben, ha f¨ uggetlen ´es (d+1) elem˝ u, illetve akkor, ha affin gener´ atorrendszer ´es (d + 1) elem˝ u. ´ ıt´ 1.3.16. All´ as. Legyen X v´eges dimenzi´os affin t´er, ekkor b´armely X-beli f¨ uggetlen pontrendszer kieg´esz´ıthet˝o affin b´aziss´a X-ben. Bizony´ıt´ as: 1.3.12.(iii)-ra hivatkozva az ´all´ıt´as r¨ogt¨on k¨ovetkezik a line´arisan f¨ uggetlen vektorrendszerek b´aziss´a val´o kib˝ov´ıthet˝os´eg´er˝ol sz´ol´o line´aris algebrai alapt´etelb˝ ol. Megjegyz´es. V´egtelen dimenzi´os affin terekben l´eteznek olyan v´egtelen pontrendszerek, amelyek b´ armely (nem¨ ures) v´eges r´eszrendszere f¨ uggetlen. Az ilyen pontrendszereket is k´ezenfekv˝o f¨ uggetlennek nevezni. Affin b´azisnak ezek ut´ an a maxim´ alis f¨ uggetlen pontrendszereket, illetve ezzel egyen´ert´ek˝ u m´ odon a minim´ alis affin gener´atorrendszereket tekinthetj¨ uk. A geometria szempontj´ ab´ ol els˝ osorban a v´eges dimenzi´os affin terek fontosak, ez´ert szor´ıtkoztunk a f¨ uggetlens´eg ´es az affin b´azis fentebbi defin´ıci´oj´aban a v´eges esetre.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

1. Affin terek

43

´ ıt´as v´egtelen dimenzi´os anaTranszfinit eszk¨ oz¨ oket felhaszn´alva az 1.3.16. All´ logonja is bebizony´ıthat´ o volna. 1.3.17. Defin´ıci´ o (Affin b´ azishoz csatolt affin koordin´ atarendszer). Ha az A0 , A1 , . . ., Ad pontok affin b´azist alkotnak X-ben, akkor tetsz˝oleges Pd −−→ −−−→ P ∈ X-re az A0 P = i=1 λi A0 Ai el˝o´all´ıt´asban szerepl˝o egy¨ utthat´okat tekints¨ uk egy x(P ) ∈ Fd vektor koordin´at´ainak. Ezzel egy x : X → Fd affin izomorfizmust defini´ altunk, amelyet az A0 , A1 , . . ., Ad affin b´azishoz csatolt affin koordin´ atarendszernek nevez¨ unk. Nyilv´ an b´ armely x affin koordin´atarendszer ilyen m´odon keletkezik, m´egpedig az A0 = x−1 (0) ´es Ai = x−1 (ei ) (i = 1, . . . , d) pontok alkotta affin b´ azisb´ ol. (Itt ei jel¨ oli az Fd -beli i-edik standard b´azisvektort, azaz ei = = (0, . . . ,1, . . . ,0).) 1.3.18. T´ etel. R¨ ogz´ıts¨ unk egy A0 , A1 , . . ., Ad affin b´azist az X affin t´erben. Ekkor b´ armely P ∈ X pont el˝o´all´ıthat´o az A0 , A1 , . . ., Ad pontok affin kombin´ aci´ ojak´ent, tov´ abb´ a az ehhez sz¨ uks´eges egy¨ utthat´okat a P pont egy´ertelm˝ uen meghat´ arozza. Bizony´ıt´ as: Legyenek λ1 , . . . , λd ∈ F az adott affin b´azishoz csatolt affin ko−−→ Pd −−−→ ordin´ atarendszerben a P pont koordin´at´ai, azaz A0 P = i=1 λi A0 Ai . Ekkor Pd Pd −−→ −−−→ a λ0 = 1 − i=1 λi jel¨ ol´est haszn´alva az A0 P = os´eg i=0 λi A0 Ai egyenl˝ mutatja, hogy P az A0 , A1 , . . ., Ad pontok λ0 , λ1 , . . . , λd egy¨ utthat´os affin kombin´ aci´ oja. Ha P valamely µ0 , µ1 , . . . , µd ∈ F egy¨ utthat´okkal is el˝o´all, mint az A0 , A1 , . . ., Ad pontok affin kombin´ aci´ oja, akkor egy tetsz˝oleges O ∈ X kezd˝opontot r¨ogPd Pd −−→ Pd −−→ Pd −−→ z´ıtve OP = i=0 λi OAi = i=0 µi OAi ´es i=1 λi = i=1 µi = 1 fenn´all. Pd Pd −−→ Ekkor i=0 (λi − µi )OAi = 0 ´es i=1 (λi − µi ) = 0, ´ıgy az affin f¨ uggetlens´eg 1.3.12.(iv)-beli tulajdons´ ag´ at felhaszn´alva λi = µi (i = 0, . . . , d). ´ ıt´ 1.3.19. All´ as. Legyen A0 , A1 , . . ., Ad affin b´azis az X affin t´erben. R¨ogz´ıtett i = 0,1, . . . , d mellett rendelj¨ uk hozz´a mindegyik P ∈ X ponthoz az 1.3.18. T´etelbeli el˝ o´ all´ıt´ asban szerepl˝o, Ai -hez tartoz´o λi egy¨ utthat´ot. Ekkor ez az si : X → F, P 7→ λi f¨ uggv´eny affin forma X-en. Az ´ıgy nyert s0 , s1 , . . . , sd affin form´ ak b´ azist alkotnak az X • vektort´erben. Bizony´ıt´ as: Vektoriz´ aljuk X-et az A0 pontban, azonos´ıtsuk V -vel az XA0 −−−→ vektorteret, ´es legyen a V -beli A0 Ai (i = 1, . . . , d) b´azishoz tartoz´o du´alis b´ azis ϕi ∈ V ∗ (i = 1, . . . , d). Ekkor az 1.3.18. T´etel bizony´ıt´asa szerint i = 1, . . . , d -re si = ϕi ´es s0 = 1 − (s1 + . . . + sd ). Emiatt s0 , s1 , . . . , sd gener´ atorrendszer az X • = V ∗ ⊕ F vektort´erben, ´es mivel a dimenzi´o d + 1, b´ azis is.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

44

Affin geometria

´ ıt´asban szerepl˝o 1.3.20. Defin´ıci´ o (Du´ alis affin form´ ak). Az 1.3.19. All´ s0 , s1 , . . ., sd ∈ X • affin form´akat az A0 , A1 , . . ., Ad affin b´azishoz tartoz´o du´ alis affin form´ aknak nevezz¨ uk. K¨ onnyen l´ athat´ o, hogy a du´ alis affin form´akat az si (Aj ) = δij (0 ≤ i, j ≤ d) egyenl˝ os´egek is egy´ertelm˝ uen meghat´arozz´ak; ez a k¨ovetkez˝o ´all´ıt´asnak egy speci´ alis esete. ´ ıt´ 1.3.21. All´ as. Ha A0 , A1 , . . ., Ad affin b´azis az X affin t´erben, tov´abb´a A00 , 0 0 A1 , . . ., Ad tetsz˝ olegesen adott pontok az X 0 affin t´erben, akkor egy´ertelm˝ uen l´etezik olyan f : X → X 0 affin lek´epez´es, melyre f (Ai ) = A0i (i = 0,1, . . . , d). Bizony´ıt´ as: Az A0 , illetve A00 pontokban t¨ort´en˝o vektoriz´aci´oval az 1.1.4. ´ All´ıt´ asra hivatkozva a megfelel˝o line´aris algebrai t´etelb˝ol r¨ogt¨on ad´odik. 1.3.22. K¨ ovetkezm´ eny. Ha A0 , A1 , . . ., Ad ´es B0 , B1 , . . ., Bd affin b´azisok az X affin t´erben, akkor egy´ertelm˝ uen l´etezik olyan f ∈ Aff (X) affinit´as, melyre f (Ai ) = Bi (i = 0,1, . . . , d). Megjegyz´es. Az 1.3.22. K¨ ovetkezm´enyben foglalt t´enyt a csoportelm´elet nyelv´en u ´gy szok´ as megfogalmazni, hogy az Aff (X) csoport egyszeresen tran” zit´ıvan hat” az X affin t´er rendezett affin b´azisainak halmaz´an. Csoportok hat´ as´ ar´ ol a k´es˝ obbiekben m´eg t¨obb alkalommal lesz sz´o.

1.4. Oszt´ oviszony, s´ ulypont, baricentrikus koordin´ at´ ak 1.4.1. Defin´ıci´ o (Oszt´ oviszony). Legyen A ´es B k´et k¨ ul¨onb¨oz˝o r¨ogz´ıtett pont az E affin egyenesen. Tetsz˝oleges P ∈ E, P 6= B ponthoz egy´ertelm˝ uen −→ −−→ l´etezik olyan λ ∈ F, hogy AP = λ · P B. Ezt a λ elemet (ABP )-vel jel¨olj¨ uk ´es a P pont A-ra ´es B-re vonatkoz´o oszt´oviszony´anak nevezz¨ uk. P´eld´ aul (ABA) = 0. Ha F = R, ´es P az [A, B] szakasz bels˝o pontja, akkor (ABP ) azt mondja meg, hogy a P pont milyen ar´anyban osztja az [A, B] szakaszt. P´eld´ aul a szakasz felez˝opontj´ara az oszt´oviszony ´ert´eke 1 : 1 = 1, az A-hoz k¨ ozelebbi harmadol´opontra 1 : 2 = 1/2, a m´asik harmadol´opontra 2 : 1 = 2. Ha a P pont nem tartozik az [A, B] szakaszhoz, akkor (ABP ) negat´ıv. ´ ıt´ 1.4.2. All´ as. (ABP ) = β/α, ahol a P pont az A ´es a B affin kombin´aci´oja α, illetve β egy¨ utthat´ okkal. −→ −−→ −→ −−→ Bizony´ıt´ as: 0 = α · P A + β · P B, ahonnan AP = β/α · P B.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

1. Affin terek

45

1.4.3. Ko eny. B´ armely affin lek´epez´es oszt´oviszonytart´o. Azaz, ha ¨vetkezm´ f : X → Y affin lek´epez´es, A 6= B 6= P
kolline´aris pontok X-ben ´es f (A) 6= 6= f (B) 6= f (P ), akkor f (A)f (B)f (P ) = (ABP ). ´ ıt´as o¨sszevet´es´evel. Bizony´ıt´ as: R¨ ogt¨ on ad´ odik az 1.3.2. ´es az 1.4.2. All´ ´ ıt´ 1.4.4. All´ as (1) (ABP ) 6= −1; (2) R¨ ogz´ıtett A ´es B mellett b´armely λ ∈ F, λ 6= −1 skal´arhoz tal´alhat´o olyan P , hogy (ABP ) = λ ; (3) (ABP ) = (ABQ) eset´en sz¨ uks´egk´eppen P = Q; (4) (ABP )(BAP ) = 1; (5) Ha A, B ´es C egy affin egyenes h´arom k¨ ul¨onb¨oz˝o pontja, akkor (ABC)(BCA)(CAB) = 1; (6) Ha P , Q, R ´es S egy affin egyenes n´egy k¨ ul¨onb¨oz˝o pontja, akkor (P QS)(QRS)(RP S) = −1. Bizony´ıt´ as: Az 1.4.3. K¨ ovetkezm´enyre hivatkozva feltehet˝o, hogy az affin egyenes az F testtel azonos, ekkor az a, b, p ∈ F elemek oszt´oviszonya (abp) = = (p − a)/(b − p) alakban ´ırhat´o. Ezzel mind a hat ´all´ıt´as ´atfogalmazhat´o egy-egy F-beli elemekre vonatkoz´o formul´av´a, ´es ´ıgy k¨ozvetlen sz´amol´assal ellen˝ orizhet˝ o. 1.4.5. Defin´ıci´ o (S´ ulypont). S´ ulyozott pontrendszert kapunk az X affin t´erben, ha v´eges sok A0 , A1 , . . ., Ak ∈ X ponthoz egy-egy mi ∈ F (i = = 0,1, . . . , k) s´ ulyt rendel¨ unk. (Form´alis defin´ıci´oval ´elve X-beli s´ ulyozott pontrendszeren X egy v´eges r´eszhalmaz´an ´ertelmezett F-be k´epez˝o f¨ uggv´enyt ´erthet¨ unk.) Azt mondjuk, hogy az S ∈ X pont ennek a s´ ulyozott pontrendPk −−→ szernek s´ ulypontja, ha i=0 mi SAi = 0. ´ Erdemes meg´ allapodni abban, hogy k´et s´ ulyozott pontrendszer k¨oz¨ott nem tesz¨ unk k¨ ul¨ onbs´eget, ha az egyik a m´asikb´ol z´erus s´ uly´ u pontok hozz´aad´as´aval vagy elv´etel´evel sz´ armazik. Vil´agos, hogy ez a meg´allapod´as a s´ ulypont defin´ıci´ oj´ at nem befoly´ asolja. ´ ıt´ 1.4.6. All´ as. Ha a s´ ulyok o¨sszege nem 0, akkor a s´ ulyozott pontrendszernek egy´ertelm˝ uen l´etezik s´ ulypontja, m´egpedig az az S pont, amelybe a t´er egy Pk −→ −−→ Pk tetsz˝ oleges O pontj´ ab´ ol az OS = ( i=0 mi OAi )/ i=0 mi vektor mutat.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

46

Affin geometria

Bizony´ıt´ as: Val´ oban, az 1.3.1. Defin´ıci´ot k¨ovet˝ ulypont Pko ´eszrev´etel szerint a s´ uttazonos az A0 , A1 , . . ., Ak pontoknak az mi / j=0 mj (i = 0,1, . . . , k) egy¨ hat´ okkal vett affin kombin´ aci´oj´aval. 1.4.7. P´ eld´ ak. Ha F = R ´es a pontokat egyenl˝o s´ ulyokkal l´atjuk el, akkor az ´ıgy kapott s´ ulyozott pontrendszer s´ ulypontja a k¨oz¨ons´eges ´ertelemben vett s´ ulypont. P´eld´ aul k´et pont eset´eben a s´ ulypont a szakasz felez˝opontja, h´arom nem kolline´ aris pont eset´eben a s´ ulypont a h´aromsz¨og (elemi geometriai ´ertelemben vett) s´ ulypontja. ´ ıt´ 1.4.8. All´ as (A s´ ulyok csoportos´ıthat´ os´ agi t´ etele). Ha egy nem 0 osszeg˝ u s´ ulyokkal s´ ulyozott pontrendszer pontjait diszjunkt csoportokba oszt¨ juk u ´gy, hogy az egyes csoportokban a s´ ulyok ¨osszege nem 0, majd mindegyik csoport s´ ulypontj´ at ell´atjuk a csoportban szerepl˝o s´ ulyok ¨osszeg´evel mint s´ ullyal, akkor az ´ıgy nyert s´ ulyozott pontrendszer s´ ulypontja azonos az eredeti s´ ulyozott pontrendszer s´ ulypontj´aval. ´ Bizony´ıt´ as: Alljon a pontrendszer az mij s´ ulyokkal ell´atott Aij pontokb´ol az {Ai1 , . . ., Aiki } (i = 1, . . . , l) csoportokba osztva olyan m´odon, hogy mi = Pki = j=1 mij 6= 0 (i = 1, . . . , l). Legyenek S1 , . . . , Sl az egyes csoportokhoz Pki −−−→ tartoz´ o s´ ulypontok, azaz tegy¨ uk fel, hogy j=1 mij Si Aij = 0 (i = 1, . . . , l). Pl Ekkor i=1 mi egyenl˝ o az ¨ osszes s´ uly ¨osszeg´evel, teh´at nem 0. Legyen S az m1 , . . ., ml s´ ulyokkal ell´ atott S1 , . . ., Sl pontrendszer s´ ulypontja. Ekkor Pki −−−→ ki l X l l X X −−−→ −−→ X j=1 mij SAij = mij SAij , mi Pki mi SSi = 0= j=1 mij i=1 j=1 i=1 i=1 ami azt mutatja, hogy S az eredeti teljes pontrendszer s´ ulypontja. 1.4.9. P´ eld´ ak, elemi geometriai k¨ ovetkezm´ enyek. Itt feltessz¨ uk, hogy F = R. Az al´ abbi p´eld´ ak az elemi geometri´ab´ol j´ol ismert ´all´ıt´asok, amelyeket felfoghatunk a csoportos´ıthat´os´agi t´etel k¨ozvetlen alkalmaz´asaik´ent. • A h´ aromsz¨ og s´ ulypontja illeszkedik a s´ ulyvonalakra ´es 1 : 2 ar´anyban osztja ˝ oket. • A tetra´eder s´ ulypontja illeszkedik a s´ ulyvonalakra (azaz a cs´ ucsokat a szemk¨ ozti lap s´ ulypontj´aval ¨osszek¨ot˝o szakaszokra) ´es 1 : 3 ar´anyban osztja ˝ oket, tov´ abb´ a felezi a szemk¨ozti ´elek felez˝opontjait ¨osszek¨ot˝o h´arom szakaszt. • B´ armely s´ıkbeli n´egysz¨og eset´eben a szemk¨ozti oldalak felez˝opontjait osszek¨ ot˝ o k´et szakasznak ´es az ´atl´ok felez˝opontj´at ¨osszek¨ot˝o szakasznak ¨ k¨ oz¨ os a felez˝ opontja.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

1. Affin terek

47

1.4.10. Defin´ıci´ o (Baricentrikus koordin´ at´ ak). R¨ogz´ıts¨ unk egy A0 , A1 , . . ., Ad affin b´ azist az X affin t´erben. Ha egy P ∈ X pontot az x0 , x1 , . . ., xd s´ ulyok seg´ıts´eg´evel lehet s´ ulypontk´ent el˝o´all´ıtani az A0 , A1 , . . ., Ad pontrendszerb˝ ol, akkor azt mondjuk, hogy ezek a s´ ulyok a P pont baricentrikus koordin´ at´ ai az adott affin b´ azisra n´ezve. ´ ıt´ Az 1.3.18. ´es 1.4.6. All´ asok k¨ovetkezt´eben b´armely P ∈ X-nek vannak baricentrikus koordin´ at´ ai, ´es azokat a P pont ar´anyoss´ag erej´eig egy´ertelm˝ uen hat´ arozza meg, tov´ abb´ a b´ armely nem 0 ¨osszeg˝ u x0 , x1 , . . ., xd testelem-(d + + 1)-es el˝ o´ all mint valamilyen X-beli pont baricentrikus koordin´at´ai. R¨ ogz´ıtett A0 , A1 , . . ., Ad affin b´azis mellett azt a t´enyt, hogy az x0 , x1 , . . ., xd elemek a P ∈ X pont baricentrikus koordin´at´ai, a P = [x0 : x1 : . . . : xd ] jel¨ ol´essel fejezz¨ uk ki. Nyilv´ an [x0 : x1 : . . . : xd ] = [x00 : x01 : . . . : x0d ] pontosan akkor teljes¨ ul, ha l´etezik olyan λ ∈ F, hogy x0i = λxi (i = 0,1, . . . , d). A baricentrikus koordin´ at´ ak haszn´alata teh´at azonos´ıt´ast teremt az X t´er ´es az d n o. X x = (x0 , x1 , . . . , xd ) ∈ Fd+1 xi 6= 0 ∼ i=0

faktorhalmaz k¨ oz¨ ott, ahol a ∼ ekvivalenciarel´aci´o az ar´anyoss´agot jelenti, azaz x ∼ y akkor ´es csak akkor ´all fenn, ha y = λx alkalmas λ ∈ F-fel. 1.4.11. P´ eld´ ak. Legyen A0 , A1 , . . ., Ad affin b´azis az X affin t´erben. • A0 = [1 : 0 : . . . : 0], A1 = [0 : 1 : . . . : 0], . . ., Ad = [0 : 0 : . . . : 1]. Ha F = R, akkor ezeknek a pontoknak a k¨oz¨ons´eges ´ertelemben vett s´ ulypontja [1 : 1 : . . . : 1]. • P = [x0 : x1 : . . . : xd ] akkor ´es csak akkor tartozik az hAi0 , Ai1 , . . . , Aik i affin alt´erhez, ha minden i 6= ij (j = 0,1, . . . , k) eset´en xi = 0. • i = 0,1, . . . , d -re jel¨ olje Hi azt az X-beli hipers´ıkot, amelyre Ai ∈ Hi ´es amely p´ arhuzamos az hAj : j 6= ii hipers´ıkkal. Az si du´alis affin form´ akat alkalmazva Hi = Z(1 − si ). EmiattP a P = [x0 : x1 : . . . : xd ] pont akkor ´es csak akkor tartozik Hi -hez, ha j6=i xj = 0. Megjegyz´es. A k´et utols´ o p´eld´aban bizonyos affin altereket a baricentrikus koordin´ at´ akban fel´ırt homog´en line´aris egyenletrendszerekkel tudtunk megadni. A 7. szakasz v´eg´en l´ atni fogjuk, hogy ez minden affin alt´erre ´ıgy van. A k´es˝ obbiekben kider¨ ul majd, hogy a baricentrikus koordin´at´ak a projekt´ıv geometri´ aban haszn´ alatos u ´n. homog´en koordin´at´ak” egy speci´alis v´altoza” ta. A homog´en koordin´ at´ ak elnevez´ese onnan sz´armazik, hogy seg´ıts´eg¨ ukkel az alakzatokat homog´en egyenletekkel lehet le´ırni.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

48

Affin geometria

1.5. Az affin geometria n´ eh´ any jellegzetes t´ etele 1.5.1. T´ etel (A p´ arhuzamos szel˝ ok t´ etele). Legyen H1 , H2 ´es H3 h´arom p´ arhuzamos hipers´ık az X affin t´erben, melyekre H1 6= H2 6= H3 . Tegy¨ uk fel, hogy E ´es F olyan egyenesek X-ben, amelyek egyike sem gyeng´en p´ arhuzamos az adott hipers´ıkokkal, ´es legyenek A1 , A2 , A3 , illetve B1 , B2 , B3 az E, illetve F metsz´espontjai rendre H1 -gyel, H2 -vel ´es H3 -mal. Ekkor (A1 A2 A3 ) = (B1 B2 B3 ). −→ Bizony´ıt´ as: Az E-nek F -re t¨ort´en˝o H1 ir´any´ u p´arhuzamos vet´ıt´ese (l. 1.2.14) A1 -et, A2 -t ´es A3 -at rendre B1 -be, B2 -be, illetve B3 -ba viszi, ´ıgy az 1.4.3. K¨ovetkezm´enyb˝ ol ad´ odik az ´ all´ıt´as. 1.5.2. Defin´ıci´ o (Sug´ arsor). Egy affin s´ıkon sug´arsornak nevezz¨ uk a s´ık egyeneseinek egy halmaz´ at, ha vagy a s´ık valamely pontj´ara illeszked˝o ¨osszes egyenesr˝ ol van sz´ o (metsz˝ o sug´arsor), vagy pedig a s´ık valamely egyenes´evel p´ arhuzamos ¨ osszes egyenesr˝ ol van sz´o (p´arhuzamos sug´arsor). B´ armely sug´ arsor egyes´ıt´ese az eg´esz s´ık. A s´ık b´armely k´et k¨ ul¨onb¨oz˝o egyenese egy´ertelm˝ uen foglalhat´ o sug´arsorba. A s´ık valah´any egyenese pontosan akkor tartozik egy sug´ arsorhoz, ha van k¨oz¨os pontjuk, vagy ha p´arhuzamosak. 1.5.3. T´ etel (Ceva t´ etele). Legyen A, B ´es C egy affin s´ık h´arom nem kolline´ aris pontja, legyenek tov´abb´a A1 , B1 ´es C1 rendre a hB, Ci, hC, Ai, illetve hA, Bi egyenesekre illeszked˝o, A-t´ol, B-t˝ol ´es C-t˝ol k¨ ul¨onb¨oz˝o pontok. Ekkor annak, hogy az hA, A1 i, a hB, B1 i ´es a hC, C1 i egyenes egy sug´arsorhoz tartozzon, sz¨ uks´eges ´es el´egs´eges felt´etele az (ABC1 )(BCA1 )(CAB1 ) = 1 egyenl˝ os´eg. Bizony´ıt´ as: A sz¨ uks´egess´eg bizony´ıt´as´ahoz tegy¨ uk el˝osz¨or fel, hogy a h´arom egyenesnek van k¨ oz¨ os P pontja. Legyenek α, β ´es γ a P pont baricentrikus koordin´ at´ ai az A, B, C affin b´azisra n´ezve, azaz P = [α : β : γ]. Ekkor

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

1. Affin terek

49

´ ıt´as k¨ovetkezt´eben sz¨ C = [0 : 0 : 1] miatt az 1.4.8. All´ uks´egk´eppen C1 = ´ = [α : β : 0], ´ıgy az 1.4.2. All´ıt´as miatt (ABC1 ) = β/α. Hasonl´oan A1 = [0 : : β : γ] ´es (BCA1 ) = γ/β, valamint B1 = [α : 0 : γ] ´es (CAB1 ) = α/γ. ´Igy (ABC1 )(BCA1 )(CAB1 ) = (β/α)(γ/β)(α/γ) = 1. Ha pedig az hA, A1 i, hB, B1 i, hC, C1 i egyenesek p´arhuzamosak, akkor az 1.5.1. T´etelt r´ ajuk mint hipers´ıkokra alkalmazva (ABC1 ) = (A1 BC) ´es (CAB1 ) ´ ıt´ast az A1 , B ´es C pontokra fel´ırva = (CA1 B) ad´ odik, majd az 1.4.4.(5) All´ kapjuk, hogy (ABC1 )(BCA1 )(CAB1 ) = (A1 BC)(BCA1 )(CA1 B) = 1. Az el´egs´egess´eg igazol´ as´ ahoz tegy¨ uk fel, hogy (ABC1 )(BCA1 )(CAB1 ) = 1. Ha a h´ arom egyenes nem p´ arhuzamos, akkor van k¨ozt¨ uk k´et metsz˝o ; feltehetj¨ uk, hogy pl. hA, A1 i ´es hB, B1 i metszik egym´ast egy P pontban. ´ ıtjuk, hogy a hC, P i egyenes nem lehet p´arhuzamos az hA, Bi egyenessel. All´ Ha ugyanis ´ıgy volna, akkor ´ırjuk f¨ol P -t baricentrikus koordin´at´akkal P = = [α : β : γ] alakban, ekkor az 1.4.11-beli utols´o p´elda alapj´an α + β = 0. A kor´ abbiakhoz hasonl´ oan (BCA1 ) = γ/β ´es (CAB1 ) = α/γ, ahonnan α + β = = 0 miatt (BCA1 )(CAB1 ) = −1. A felt´etelb˝ol ekkor viszont (ABC1 ) = −1 k¨ ovetkezne, ami lehetetlen. Vehetj¨ uk teh´ at a hC, P i egyenes ´es az hA, Bi egyenes C2 metsz´espontj´at. Ekkor a t´etel m´ ar bizony´ıtott ir´any´at felhaszn´alva (ABC2 )(BCA1 )(CAB1 ) = ´ ıt´ast haszn´alva C1 = C2 = 1 k¨ ovetkezik, amib˝ ol a felt´etelt ´es az 1.4.4.(3) All´ ad´ odik. ´Igy az hA, A1 i, a hB, B1 i ´es a hC, C1 i egyenes is tartalmazza a P pontot.

1.5.4. T´ etel (Menelaosz t´ etele). Legyen A, B ´es C egy affin s´ık h´arom nem-kolline´ aris pontja, legyenek tov´abb´a A1 , B1 ´es C1 rendre a hB, Ci, hC, Ai, illetve hA, Bi egyenesekre illeszked˝o, A-t´ol, B-t˝ol ´es C-t˝ol k¨ ul¨onb¨oz˝o pontok. Ekkor az A1 , B1 ´es C1 pontok kollinearit´as´anak sz¨ uks´eges ´es el´egs´eges felt´etele az (ABC1 )(BCA1 )(CAB1 ) = −1 egyenl˝ os´eg. Bizony´ıt´ as: Tegy¨ uk fel el˝ osz¨ or, hogy van olyan E egyenes, hogy A1 , B1 , C1 ∈ ∈ E. Legyen F , G ´es H rendre az A, B, illetve C ponton ´athalad´o, E-vel p´ arhuzamos egyenes. Ekkor E, F , G ´es H n´egy k¨ ul¨onb¨oz˝o, p´arhuzamos egyenes; mess¨ uk el ˝ oket egy vel¨ uk nem p´arhuzamos egyenessel rendre az S, P , Q ´es R pontban. Az 1.5.1. T´etelt a n´egy egyenesre mint hipers´ıkokra alkalmazva (ABC1 ) = (P QS), (BCA1 ) = (QRS) ´es (CAB1 ) = (RP S) ad´odik. ´Igy az ´ ıt´ 1.4.4.(6) All´ ast haszn´ alva a bizony´ıtand´o egyenl˝os´eget kapjuk.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

50

Affin geometria

Megford´ıtva, ha (ABC1 )(BCA1 )(CAB1 ) = −1 teljes¨ ul, tekints¨ uk az hA1 , B1 i ´ egyenest. All´ıtjuk, hogy ez nem lehet p´arhuzamos az hA, Bi egyenessel. Ha ugyanis p´ arhuzamos volna, akkor az 1.5.1. t´etel alkalmaz´as´aval (ACB1 ) = = (BCA1 ) ad´ odna, amib˝ ol 1.4.4.(4) miatt (BCA1 )(CAB1 ) = 1 k¨ovetkezne. Ekkor viszont a felt´etelb˝ ol az (ABC1 ) = −1 ´ert´eket kapn´ank, ami lehetetlen. Vehetj¨ uk teh´ at a hA1 , B1 i egyenes ´es az hA, Bi egyenes C2 metsz´espontj´at. Ekkor a t´etel m´ ar bizony´ıtott ir´any´at felhaszn´alva (ABC2 )(BCA1 )(CAB1 ) = ´ ıt´ast haszn´alva C1 = C2 = −1 k¨ ovetkezik, amib˝ ol a felt´etelt ´es az 1.4.4.(3) All´ ´ ad´ odik. Igy A1 , B1 ´es C1 kolline´aris. 1.5.5. T´ etel (Papposz t´ etele, affin v´ altozat). Legyen E ´es E 0 k´et k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o egyenes egy affin s´ıkban, A, B, C ∈ E ´es A0 , B 0 , C 0 ∈ E 0 egy-egy k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o pontokb´ ol ´ all´ o ponth´armas az egyeneseken. Ha E ´es E 0 metsz˝ok, akkor tegy¨ uk fel azt is, hogy a hat pont k¨ ul¨onb¨ozik a metsz´espontt´ol. Ha most hA, B 0 i k hA0 , Bi ´es hB, C 0 i k hB 0 , Ci, akkor sz¨ uks´egk´eppen hA, C 0 i k hA0 , Ci is teljes¨ ul. Bizony´ıt´ as: Tegy¨ uk f¨ ol el˝ osz¨or, hogy E ´es E 0 metszik egym´ast egy P pontban. Legyen f az a P k¨ oz´eppont´ u homot´ecia, amelyn´el f (A) = B. Ekkor az 1.2.11. K¨ ovetkezm´enyt felhaszn´ alva f (B 0 ) = A0 is teljes¨ ul. Hasonl´oan, legyen g az a P k¨ oz´eppont´ u homot´ecia, amelyn´el g(B) = C, ekkor g(C 0 ) = B 0 is teljes¨ ul. Mivel a k¨ oz´eppont k¨ oz¨ os, h = f ◦ g = g ◦ f is homot´ecia, tov´abb´a h(A) = C ´ ıt´as miatt hA, C 0 i k hA0 , Ci. ´es h(C 0 ) = A0 , ´ıgy az 1.2.10. All´

Ha E ´es E 0 p´ arhuzamos, akkor f ´es g homot´eci´ak helyett legyenek eltol´asok, melyekre f (A) = B, illetve g(B) = C, ezekkel az el˝oz˝o gondolatmenet l´enyeg´eben v´ altoztat´ as n´elk¨ ul elism´etelhet˝o.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

1. Affin terek

51

Megjegyz´es. A fenti bizony´ıt´ as l´enyegesen kihaszn´alta azt, hogy k¨oz¨os k¨oz´eppont´ u homot´eci´ ak sorrendje felcser´elhet˝o, azaz (az 1.1.10-beli meg´allap´ıt´asok alapj´ an) azt, hogy az F test multiplikat´ıv csoportja kommutat´ıv. 1.5.6. T´ etel (Desargues t´ etele, affin v´ altozat). Legyen A, B, C, A0 , 0 0 B ´es C hat k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o pont egy (tetsz˝oleges dimenzi´oj´ u) affin t´erben u ´gy, hogy az A, B, C, illetve A0 , B 0 ´es C 0 ponth´armasok nem kolline´arisak. Ha most hA, Bi k hA0 , B 0 i, hB, Ci k hB 0 , C 0 i ´es hC, Ai k hC 0 , A0 i teljes¨ ul, akkor az hA, A0 i, a hB, B 0 i ´es a hC, C 0 i egyeneseknek vagy van k¨oz¨os pontja, vagy p´ arhuzamosak. Bizony´ıt´ as: Az hA, Bi ´es az hA0 , B 0 i p´arhuzamos egyenesek 1.2.9.(5) miatt belefoglalhat´ ok egy affin s´ıkba. Ebben a s´ıkban 1.2.9.(6) miatt az hA, A0 i ´es 0 hB, B i egyenesek vagy metsz˝ok, vagy p´arhuzamosak.

Ha metsz˝ ok, legyen f az a homot´ecia, amelynek a k¨oz´eppontja a metsz´espont, ´es amelyre f (A) = A0 . Ekkor az 1.2.10. K¨ovetkezm´enyt felhaszn´alva f (B) = ´ ıt´as miatt hB, Ci k = B 0 is teljes¨ ul. Legyen C 00 = f (C). Ekkor az 1.2.9. All´ 0 00 0 00 k hB , C i ´es hA, Ci k hA , C i. Viszont 1.2.9.(4) miatt ekkor hB 0 , C 00 i = = hB 0 , C 0 i , illetve hA0 , C 00 i = hA0 , C 0 i, ahonnan C 00 = C 0 . Ez´ert a hC, C 0 i egyenes is ´ athalad hA, A0 i ´es hB, B 0 i metsz´espontj´an. Ha hA, A0 i k hB, B 0 i, akkor f legyen az az eltol´as, amelyre f (A) = A0 , ezzel az el˝ oz˝ o gondolatmenet l´enyeg´eben v´altoztat´as n´elk¨ ul elism´etelhet˝o ´es hC, C 0 i k k hA, A0 i ad´ odik. Megjegyz´es. Az 1.5.5. ´es az 1.5.6. T´etel k´et nevezetes projekt´ıv geometriai illeszked´esi t´etelnek, Papposz t´etel´enek ´es Desargues t´etel´enek egy-egy specialis esete. Az ´ ´ altal´ anos (projekt´ıv) Papposz-t´etelt ´es Desargues-t´etelt ezekb˝ol k¨ onnyen tudjuk majd sz´ armaztatni, l. 8.5.

1.6. Az affin geometria alapt´ etele Amikor az affin geometria f˝ o defin´ıci´oit, az affin terek ´es az affin lek´epez´esek fogalm´ at kialak´ıtottuk, er˝ osen t´amaszkodtunk a line´aris algebra fogalmaira

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

52

Affin geometria

´es a vektorterek strukt´ ur´ aj´ ara. Az, hogy egy affin t´ernek mely lek´epez´esek az affinit´ asai, m´egis l´enyeg´eben eld˝ol egy enn´el sokkal elemibb strukt´ ura, a pontok ´es egyenesek illeszked´esi strukt´ ur´aja ismeret´eben. Nevezetesen, p´eld´ aul a val´ os affin terek eset´eben egy kolline´aris pontokat kolline´arisakba viv˝o bijekt´ıv lek´epez´es automatikusan affinit´as lesz. Ezt a t´enyt szok´as az affin geometria alapt´etelek´ent emlegetni. 1.6.1. Defin´ıci´ o (Kolline´ aci´ o). Legyen f : X → X 0 bijekt´ıv lek´epez´es az X ´es X 0 affin terek k¨ oz¨ ott. Azt mondjuk, hogy f kolline´aci´o, ha b´armely, egy egyenesre illeszked˝ o A, B, C ∈ X-re az f (A), f (B) ´es f (C) pontok is egy egyenesre illeszkednek X 0 -ben. 1.6.2. P´ eld´ ak. • B´ armely affin izomorfizmus kolline´aci´o. • Ha dim X = dim X 0 = 1, akkor b´armely X → X 0 bijekt´ıv lek´epez´es kolline´ aci´ o. • Ha X ´es X 0 a k´etelem˝ u test f¨ol¨otti (tetsz˝oleges dimenzi´oj´ u) affin terek, akkor b´ armely X → X 0 bijekt´ıv lek´epez´es kolline´aci´o. • Legyenek X = X 0 = C2 mint C f¨ol¨otti affin terek ´es f : C2 → C2 a komplex konjug´ al´ as, azaz f : (z1 , z2 ) 7→ (¯ z1 , z¯2 ). Ekkor f kolline´aci´o ´ ıt´ (l. az 1.6.6. All´ ast al´ abb), de nem affin lek´epez´es (hiszen a konjug´al´as nem line´ aris lek´epez´es C f¨ol¨ott). 1.6.3. Defin´ıci´ o (Testautomorfizmus). A σ : F → F bijekt´ıv lek´epez´est az F test automorfizmus´ anak nevezz¨ uk, ha σ(0) = 0, σ(1) = 1, tov´abb´a minden x, y ∈ F-re σ(x + y) = σ(x) + σ(y) (azaz σ addit´ıv) ´es σ(xy) = σ(x)σ(y) (azaz σ multiplikat´ıv). P´eld´ aul a konjug´ al´ as a C test egy automorfizmusa. Nem neh´ez bel´atni, hogy Q-nak ´es R-nek az identit´ as az egyetlen automorfizmusa. C-nek rengeteg nemtrivi´ alis automorfizmusa van, k¨oz¨ott¨ uk az identit´ason k´ıv¨ ul egyed¨ ul a konjug´ al´ as folytonos. 1.6.4. Defin´ıci´ o (Szemiline´ aris lek´ epez´ es). Legyen ϕ : V → V 0 tetsz˝o0 leges lek´epez´es az F test f¨ ol¨otti V ´es V vektorterek k¨oz¨ott. Azt mondjuk, hogy ϕ szemiline´ aris, ha l´etezik F-nek olyan σ automorfizmusa, hogy ϕ(λx + µy) = σ(λ)ϕ(x) + σ(µ)ϕ(y) teljes¨ ul minden x, y ∈ V , λ, µ ∈ F eset´en.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

1. Affin terek

53

P´eld´ aul az 1.6.2-beli negyedik p´elda C f¨ol¨otti szemiline´aris lek´epez´es C2 -r˝ol o nmag´ ara. ¨ A defin´ıci´ ob´ ol r¨ ogt¨ on l´ atszik, hogy szemiline´aris lek´epez´esn´el alt´er k´epe alt´er, ´es az alt´er egy gener´ atorrendszer´enek a k´epe gener´atorrendszer az alt´er k´ep´eben. ´Igy az alt´er k´ep´enek dimenzi´oja nem nagyobb az alt´er dimenzi´oj´an´al. K¨ onnyen l´ athat´ o az is, hogy szemiline´aris lek´epez´esek kompoz´ıci´oja szemiline´ aris. 1.6.5. Defin´ıci´ o (Szemiaffin lek´ epez´ es). Az (X, V, Φ) ´es (X 0 , V 0 , Φ0 ) affin 0 terek k¨ oz¨ otti f : X → X lek´epez´est szemiaffin lek´epez´esnek nevezz¨ uk, ha alkalmas ϕ : V → V 0 szemiline´aris lek´epez´essel ϕ(Φ(A, B)) = Φ0 (f (A), f (B)) ´ ıt´as mint´aj´ara meggondolhat´o, teljes¨ ul minden A, B ∈ X-re. Az 1.1.4. All´ hogy ennek sz¨ uks´eges ´es el´egs´eges felt´etele, hogy valamely (illetve b´armely) A ∈ X pontra f : XA → Xf0 (A) szemiline´aris lek´epez´es legyen a megfelel˝o vektoriz´ aci´ ok k¨ oz¨ ott. ´ ıt´ 1.6.6. All´ as. Szemiaffin lek´epez´es kolline´aris pontokat kolline´aris pontokba k´epez. Bizony´ıt´ as: Haszn´ aljuk az 1.6.5. Defin´ıci´o jel¨ol´eseit. Legyen E ⊆ X tetsz˝ole→ − −1 ges egyenes ´es v´ alasszunk egy A ∈ E pontot. Ekkor f (E) = Φ0 f (A) (ϕ( E )). Itt → − → − E 1-dimenzi´ os alt´er V -ben, emiatt ϕ( E ) legfeljebb 1-dimenzi´os alt´er V 0 -ben, ´es ´ıgy f (E) is legfeljebb 1-dimenzi´os affin alt´er X 0 -ben. 1.6.7. T´ etel (Alapt´ etel). Tegy¨ uk f¨ol, hogy char F 6= 2 ´es legyen d ≥ 2 v´eges. Ekkor k´et F f¨ ol¨ otti d-dimenzi´os affin t´er k¨oz¨ott b´armely kolline´aci´o szemiaffin lek´epez´es. Bizony´ıt´ as: Legyen dim X = dim X 0 = d ´es legyen f : X → X 0 kolline´aci´o. 1. l´ep´es. Ha B az A0 , A1 , . . ., Ak ∈ X pontok egy affin kombin´aci´oja X-ben, akkor f (B) az f (A0 ), f (A1 ), . . ., f (Ak ) pontok (esetleg m´as egy¨ utthat´okkal vett) affin kombin´ aci´ oja X 0 -ben. Indukci´ ot alkalmazunk k szerint. Az ´all´ıt´as k = 0-ra trivi´alis, k = 1-re pedig a kolline´ aci´ o defin´ıci´ oj´ ab´ ol ad´ odik. Tegy¨ uk fel, hogy k ≥ 2 ´es k + 1-n´el kevesebb ´ pontra az ´ all´ıt´ ast m´ ar bebizony´ıtottuk. Alljon el˝o B affin kombin´aci´ok´ent a λ0 , λ1 , . . ., λk egy¨ utthat´ okkal. Feltehet˝o, hogy mindegyik λi k¨ ul¨onb¨ozik 0t´ ol, hiszen ha szerepel k¨ oz¨ ott¨ uk a 0 egy¨ utthat´o, akkor az indukci´os feltev´est a t¨ obbi pontra alkalmazva k´eszen vagyunk. Azt ´ all´ıtjuk, hogy ekkor a 0,1, . . . , k indexhalmaz felbonthat´ ures ´es P o nem¨ diszjunkt I ´ e s J r´ e szhalmazainak egyes´ ıt´ e s´ e re u ´ gy, hogy λ = 6 0 ´es i i∈I P λ = 6 0 teljes¨ u l. Ha ugyanis valamilyen i-re λ = 6 1, akkor I = {i} j i j∈J v´ alaszthat´ o, ha pedig minden i = 0,1, . . . , k -ra λi = 1, akkor csak arra kell

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

54

Affin geometria

u ¨gyelni, hogy char F ne legyen oszt´oja sem I, sem J elemsz´am´anak, ez pedig char F 6= 2 miatt el´erhet˝ o. P Az indukci´ os feltev´est alkalmazzuk az Ai (i ∈ I) pontokb´ol a λi P l∈I λl egy¨ utthat´ okkal k´epzett B1 , valamint az Aj (j ∈ J) pontokb´ol a λj / l∈J λl egy¨ utthat´ o epzett B2 affin kombin´aci´ora. V´eg¨ ul, mivel B a B1 ´es a B2 P kkal k´ P pont i∈I λi ´es j∈J λj egy¨ utthat´okkal vett affin kombin´aci´oja, a k = 1 eset alkalmaz´ as´ aval c´elhoz ´er¨ unk. 2. l´ep´es. Ha A0 , A1 , . . ., Ak f¨ uggetlen pontok X-ben, akkor f (A0 ), f (A1 ), . . ., f (Ak ) is f¨ uggetlen pontok X 0 -ben. Eg´esz´ıts¨ uk ki a f¨ uggetlen pontrendszert egy A0 , A1 , . . ., Ad affin b´aziss´a. Ha f (A0 ), f (A1 ), . . ., f (Ak ) nem lenn´enek f¨ uggetlen pontok X 0 -ben, akkor f (A0 ), f (A1 ), . . ., f (Ad ) sem lehetn´enek azok, ´ıgy dim X 0 = d miatt X 0 -nek egy val´ odi affin alter´et gener´ aln´ak. Viszont az 1. l´ep´esben bizony´ıtottak miatt ez az affin alt´er tartalmazn´ a f k´ephalmaz´at, ami lehetetlen, hiszen defin´ıci´o szerint egy kolline´ aci´ o sz¨ urjekt´ıv. 3. l´ep´es. Affin alt´er f -n´el sz´ armaz´o k´epe ugyanakkora dimenzi´oj´ u affin alt´er. Ha Y ⊆ X affin alt´er, k = dim Y , v´alasszunk egy A0 , A1 , . . ., Ak affin b´azist Y -ban. Legyen Y 0 = hf (A0 ), . . . , f (Ak )i. A 2. l´ep´es szerint Y 0 is k-dimenzi´os. Az 1. l´ep´es szerint f (Y ) ⊆ Y 0 . Ha B 0 tetsz˝oleges pont Y 0 -ben, legyen B = = f −1 (B 0 ). Ekkor a 2. l´ep´es szerint A0 , A1 , . . ., Ak ´es B egy¨ utt nem lehetnek f¨ uggetlen pontok, ´ıgy B ∈ Y . Ez´ert Y 0 = f (Y ). 4. l´ep´es. P´ arhuzamos X-beli affin alterek k´epe p´arhuzamos X 0 -ben. Ha Y ´es Z p´ arhuzamos affin alterek (´es Y 6= Z), akkor 1.2.9.(5) miatt egy n´ aluk eggyel magasabb dimenzi´oj´ u S affin alt´erben fekszenek. A 3. l´ep´est felhaszn´ alva az f (Y ) ´es f (Z) affin alterek benne fekszenek a n´aluk eggyel magasabb dimenzi´ oj´ u f (S) ⊆ X 0 affin alt´erben. Emellett f injektivit´asa miatt diszjunktak, ´ıgy 1.2.9.(6) miatt p´arhuzamosak. A tov´ abbiakban r¨ ogz´ıts¨ unk egy A0 , A1 , . . ., Ad affin b´azist X-ben ´es az e pontok k´epeib˝ ol ´ all´ o f (A0 ), f (A1 ), . . ., f (Ad ) affin b´azist X 0 -ben. Legyen x : X → Fd ´es x0 : X 0 → Fd az 1.3.17. Defin´ıci´o szerint hozz´ajuk csatolt affin koordin´ atarendszer X-ben, illetve X 0 -ben. Ezeket a koordin´atarendszereket haszn´ alva f -et a ϕ = x0 ◦ f ◦ x−1 : Fd → Fd lek´epez´essel helyettes´ıtj¨ uk. Azt kell igazolnunk, hogy ϕ szemiline´aris. Ekkor ugyanis f = (x0 )−1 ◦ ϕ ◦ x : : XA0 → Xf0 (A0 ) is szemiline´ aris, ´es ´ıgy f : X → X 0 szemiaffin. 5. l´ep´es. A ϕ lek´epez´es addit´ıv, azaz ϕ(x + y) = ϕ(x) + ϕ(y) minden x, y ∈ Fd -re. Ha x ´es y line´ arisan f¨ uggetlen vektorok Fd -ben, akkor az x + y pont annak a k´et egyenesnek a metsz´espontjak´ent ´all el˝o, amelyet az x ponton ´at a h0, yi, illetve az y ponton ´ at a h0, xi egyenessel p´arhuzamosan fektet¨ unk. A 3. ´es a 4. l´ep´est felhaszn´ alva emiatt ϕ(x + y) a ϕ(x)-en ´es ϕ(y)-on ´atfektetett,

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

1. Affin terek

55

h0, ϕ(y)i-nal, illetve h0, ϕ(x)i-szel p´arhuzamos egyenesek metsz´espontja, azaz ϕ(x) + ϕ(y). Ak´ ar x = 0, ak´ ar y = 0, a ϕ(x + y) = ϕ(x) + ϕ(y) egyenl˝os´eg ϕ(0) = 0 miatt nyilv´ anval´ o. Ha v´eg¨ ul x ´es y line´ arisan o¨sszef¨ ugg˝ok ´es egyik¨ uk sem a z´erusvektor, akkor d ≥ 2 miatt v´ alaszthatunk olyan z ∈ Fd vektort, amely line´arisan f¨ uggetlen x-t˝ ol (´es ´ıgy y-t´ ol is). Ekkor a f¨ uggetlen vektorp´arokra m´ar bebizony´ıtott additivit´ ast felhaszn´ alva

ϕ(x + y)

= (ϕ(x + y) + ϕ(z)) − ϕ(z) = ϕ(x + y + z) − ϕ(z) = = ϕ(x + z) + ϕ(y) − ϕ(z) = ϕ(x) + ϕ(z) + ϕ(y) − ϕ(z) = = ϕ(x) + ϕ(y).

6. l´ep´es. B´ armelyik i = 1, . . . , d mellett x ∈ Fd -re a ϕ(x) ∈ Fd vektor i-edik koordin´ at´ aja x-nek csak az i-edik koordin´at´aj´at´ol f¨ ugg. Val´ oban, az x vektor i-edik koordin´at´aj´aval megegyez˝o i-edik koordin´at´aj´ u vektorok egy olyan H affin hipers´ıkot alkotnak Fd -ben, amely p´arhuzamos az i-edikt˝ ol k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o koordin´atair´anyok kifesz´ıtette line´aris hipers´ıkkal. A ϕ lek´epez´es defin´ıci´ oja szerint ϕ(0) = 0 ´es ϕ(ej ) = ej (j = 1, . . . , d), ´ıgy ezt a line´ aris hipers´ıkot az 1. ´es a 3. l´ep´es szerint ϕ o¨nmag´aba k´epezi. Ez´ert a 4. l´ep´es alapj´ an ϕ(H) k H, ´es ´ıgy a ϕ(H)-beli vektorok i-edik koordin´at´aja egyenl˝ o. 7. l´ep´es. A 6. l´ep´es alapj´ an l´eteznek olyan σi : F → F lek´epez´esek, hogy a ϕ(x) vektor ϕ(x) = (σ1 (x1 ), . . . , σd (xd )) alakban ´ırhat´o minden x = (x1 , . . . , xd ) ∈ ∈ Fd -re. Itt mindegyik σi ugyanazzal a σ : F → F testautomorfizmussal egyenl˝ o (i = 1, . . . , d). Jel¨ olje 1 ∈ Fd az (1, . . . ,1) = e1 + . . . + ed vektort. A ϕ lek´epez´es additivit´asa ´es ϕ(ei ) = ei miatt ϕ(1) = ϕ(e1 + . . . + ed ) = ϕ(e1 ) + . . . + ϕ(ed ) = e1 + + . . . + ed = 1. Ez ϕ(0) = 0 miatt maga ut´an vonja, hogy a D = h0, 1i = = {x ∈ Fd : x1 = . . . = xd } ´atl´oegyenest ϕ ¨onmag´aba k´epezi. ´Igy x ∈ F-re ϕ(x, . . . , x) = (σ1 (x), . . . , σd (x)) ∈ D, ahonnan σ1 (x) = . . . = σd (x). A ϕ(0) = 0, ϕ(1) = 1 egyenl˝os´egeket ´es ϕ additivit´as´at felhaszn´alva kapjuk, hogy σ(0) = 0, σ(1) = 1, ´es σ addit´ıv. A multiplikativit´ast annak az euklideszi geometri´ ab´ ol ismert szerkeszt´esi elj´ar´asnak az adapt´al´as´aval mutatjuk meg, amely az 1, x ´es y hossz´ us´ag´ u szakaszokb´ol el˝o´all´ıtja az xy hossz´ us´ag´ u szakaszt.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

56

Affin geometria

Be akarjuk l´ atni, hogy x, y ∈ F-re σ(xy) = σ(x)σ(y). Feltehetj¨ uk, hogy x 6= 0 ´es x 6= 1. Szemelj¨ uk ki Fd valamelyik 2-dimenzi´os koordin´atas´ıkj´at, p´eld´aul az e1 ´es e2 ´ altal kifesz´ıtett line´aris alteret. Ezt az S s´ıkot ϕ ¨onmag´aba k´epezi, ahogyan ¨ onmagukba k´epezi az S-ben fekv˝o E1 = F · e1 ´es E2 = F · e2 egyeneseket is. Ugyanez ´erv´enyes b´armely 0 k¨oz´eppont´ u homot´eci´ara is. A 0 k¨ oz´eppont´ u, x ar´ any´ u homot´ecia az (1,0) = e1 pontot (x,0)-ba, a (0, y) pontot pedig (0, xy)-ba viszi. Az 1.2.11. K¨ovetkezm´enyt haszn´alva emiatt a (0, xy) pont el˝ o´ all mint az (x,0) ponton ´atfektetett, h(1,0), (0, y)i egyenessel p´ arhuzamos egyenesnek a metsz´espontja E2 -vel. Ez´ert a 3. ´es a 4. l´ep´esben bizony´ıtottakra hivatkozva a ϕ(0, xy) = (0, σ(xy)) pont el˝o´all mint a ϕ(x,0) = = (σ(x),0) ponton ´ atfektetett, hϕ(1,0), ϕ(0, y)i=h(1,0), (0, σ(y))i egyenessel p´ arhuzamos egyenesnek a metsz´espontja E2 -vel. Ez a metsz´espont pedig ism´et az 1.2.11. K¨ ovetkezm´enyre hivatkozva ´eppen a (0, σ(y)) pontnak a k´epe a 0 k¨ oz´eppont´ u, σ(x) ar´ any´ u homot´eci´an´al. ´Igy σ(xy) = σ(x)σ(y). 8. l´ep´es. A ϕ lek´epez´es szemiline´aris. Legyen x, y ∈ Fd ´es λ, µ ∈ F tetsz˝oleges. Ekkor ϕ(λx + µy)

= = = = =

ϕ(λx) + ϕ(µy) = ϕ(. . . , λxi , . . .) + ϕ(. . . , µyi , . . .) = (. . . , σ(λxi ), . . .) + (. . . , σ(µyi ), . . .) = (. . . , σ(λ)σ(xi ), . . .) + (. . . , σ(µ)σ(yi ), . . .) = σ(λ)(. . . , σ(xi ), . . .) + σ(µ)(. . . , σ(yi ), . . .) = σ(λ)ϕ(x) + σ(µ)ϕ(y).

A val´ os test feletti, klasszikus” affin geometria eset´eben az alapt´etel az al´ab” bi, j´ oval egyszer˝ ubben megfogalmazhat´o alakot ¨olti. A t´etelnek ezt a v´altozat´ at is szok´ as az affin geometria alapt´etel´enek tekinteni. 1.6.8. K¨ ovetkezm´ eny. Az 1-n´el nagyobb v´eges dimenzi´oj´ u val´os affin terek k¨ oz¨ ott b´ armely kolline´ aci´ o affin izomorfizmus. Bizony´ıt´ as: Val´ oban, mivel az R testnek az identikus lek´epez´es az egyetlen automorfizmusa, b´ armely val´os szemiaffin lek´epez´es affin.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

1. Affin terek

57

1.7. Line´ aris kiterjeszt´ es Megmutatjuk, hogy b´ armely v´eges dimenzi´os affin t´er term´eszetes m´odon felfoghat´ o egy eggyel magasabb dimenzi´os vektort´er affin hipers´ıkjak´ent. Ennek a konstrukci´ onak a felhaszn´ al´as´aval u ´j megvil´ag´ıt´asba ker¨ ulnek az els˝o n´egy szakaszban t´ argyalt affin geometriai fogalmak. 1.7.1. Defin´ıci´ o (Affin t´ er line´ aris kiterjeszt´ ese). Legyen (X, V, Φ) tetsz˝ oleges affin t´er az F test f¨ol¨ott. X line´aris kiterjeszt´es´enek nevezz¨ uk az b = (X • )∗ vektorteret. (Itt X • az affin form´ak vektortere, a ∗ pedig a du´alis X vektort´er k´epz´es´et jelenti.) Defini´ aljuk az X affin t´er minden A pontj´ara az i(A) : X • → F lek´epez´est az i(A)(s) = s(A) formul´ aval. K¨ozvetlen sz´amol´as mutatja, hogy i(A) line´aris b Ezzel egy i : X → X b lek´epez´est defini´altunk, amely f¨ uggv´eny, azaz i(A) ∈ X. injekt´ıv, hiszen b´ armely k´et k¨ ul¨onb¨oz˝o X-beli ponthoz tal´alhat´o olyan affin forma, amely k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o ´ert´eket vesz fel rajtuk. Defini´ aljuk minden v ∈ V vektorra a j(v) : X • → F lek´epez´est a j(v)(s) = = L(s)(v) (s ∈ X • ) formul´ aval. (Itt L(s) ∈ V ∗ az s affin forma lineariz´altja, b ´es a j : V → X b lek´epez´es is injekt´ıv, a fentihez l. 1.2.4.) Ekkor j(v) ∈ X hasonl´ o okok miatt. b lek´epez´es line´aris, az i : X → X b lek´epez´es pedig ´ ıt´ 1.7.2. All´ as. A j : V → X b vektort´erbe. affin lek´epez´es X-r˝ ol a term´eszetes affin strukt´ ur´aval ell´atott X Emellett j = L(i). Bizony´ıt´ as: A j lek´epez´es linearit´asa a defin´ıci´ob´ol nyilv´anval´o. Ezzel A, B ∈ −−→ −−→ ∈ X-re j(AB)(s) = L(s)(AB) = s(B) − s(A) = i(B)(s) − i(A)(s) = (i(B) − − i(A))(s) (s ∈ X • ) mutatja, hogy i affin ´es j = L(i). b → F f¨ ´ ıt´ 1.7.3. All´ as. Tekints¨ uk azt a µ : X uggv´enyt, amelyre µ(p) = p(1) b (p ∈ X). Ekkor µ line´ aris f¨ uggv´eny, ´es ´ıgy µ − 1 affin forma a term´eszetes b vektort´eren. Ha X dimenzi´oja v´eges, akkor j(V ) affin strukt´ ur´ aval ell´ atott X a Ker µ line´ aris hipers´ıkkal, i(X) pedig a Ker µ-vel p´arhuzamos Z(µ−1) affin hipers´ıkkal egyezik meg. Bizony´ıt´ as: A µ f¨ uggv´eny linearit´asa mag´at´ol ´ertet˝odik, emiatt µ − 1 affin b forma X-en. B´ armely v ∈ V -re µ(j(v)) = (j(v))(1) = L(1)(v) = 0, ´es b´armely A ∈ X-re µ(i(A)) = i(A)(1) = 1(A) = 1. Emiatt egyr´eszt a µ lek´epez´es nem azonosan 0, m´ asr´eszt j(V ) ⊆ Ker µ, harmadr´eszt i(X) ⊆ Z(µ − 1). Ha b vektort´erben Ker µ dim X = dim V = d v´eges, akkor a (d + 1)-dimenzi´os X line´ aris hipers´ık, Z(µ − 1) pedig affin hipers´ık, ´ıgy mindkett˝o d-dimenzi´os. Emiatt j(V ) = Ker µ ´es i(X) = Z(µ − 1). A k´et hipers´ık diszjunkt, ´ıgy 1.2.9.(6) miatt p´ arhuzamos.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

58

Affin geometria

Meg´ allapodunk abban, hogy V -t a j injekt´ıv line´aris lek´epez´es, X-et pedig az i affin be´ agyaz´ as seg´ıts´eg´evel azonos´ıtjuk j(V ), illetve i(X) k´ephalmazaikkal, b affin hipers´ık, amely a V < X b line´aris azaz u ´gy tekintj¨ uk, hogy X ⊂ X hipers´ık eltoltja. 1.7.4. P´ elda. Legyen V v´eges dimenzi´os vektort´er ´es X = V a term´eszetes b = (V ∗ ⊕ F)∗ = V ∗∗ ⊕ F = affin strukt´ ur´ aval. Ekkor X • = V ∗ ⊕ F ´es ´ıgy X = V ⊕ F. Itt V (mint j(V )) a V × {0} line´aris alt´errel, X pedig a V × {1} affin alt´errel van azonos´ıtva. 1.7.5. Defin´ıci´ o (Affin lek´ epez´ es line´ aris kiterjeszt´ ese). Ha f : X → X 0 b →X c0 tetsz˝ oleges affin lek´epez´es, defini´aljuk f line´aris kiterjeszt´es´et, az fb : X 0 0 0 0• b b line´ aris lek´epez´est az f (p)(s ) = p(s ◦ f ) (p ∈ X, s ∈ X ) formul´aval. ´ ıt´ 1.7.6. All´ as. Legyenek f : X → X 0 ´es g : X 0 → X 00 affin lek´epez´esek. Ekkor b ´es i0 : X 0 ⊂ X c0 ); (1) fb ◦ i = i0 ◦ f (ahol i : X ⊂ X b ´es j 0 : V 0 ⊂ X c0 ); (2) fb ◦ j = j 0 ◦ L(f ) (ahol j : V ⊂ X (3) g[ ◦ f = gb ◦ fb.

• Bizony´ıt´ as: (1): B´ armely A ∈ X-re ´es s0 ∈ X 0 -ra
(fb◦i)(A) (s0 ) = fb
(i(A)) (s0 ) = i(A)(s0 ◦ f ) = (s0 ◦ f )(A) = s0 (f (A)) = i0 f (A) (s0 ) = (i0 ◦ f )(A) (s0 ).

0 0• b ◦ j)v (s0 ) = fb(j(v)) (s0 ) = (2): B´ armely v ∈ V -re ´ e s s ∈ X -ra ( f


= j(v)
(s0 ◦ f ) = L(s0 ◦ f )v = L(s0 ) L(f )v = j 0 L(f )v (s0 ) = (j 0 ◦ ◦ L(f ))v (s0 ).
• b (3): B´ armely p ∈ X-re ´es s00 ∈ X 00 -ra g[ ◦ f (p) (s00 ) = p(s00 ◦ (g ◦ f )) =

= fb(p)(s00 ◦ g) = gb fb(p) (s00 ) = (b g ◦ fb)(p) (s00 ). Megjegyz´es. Ezek az 1.7.6-beli tulajdons´agok mutatj´ak, hogy az affin terek line´ aris kiterjeszt´ese term´eszetes” m´odon viselkedik az affin lek´epez´esekkel ”

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

1. Affin terek

59

szemben, azaz a line´ aris kiterjeszt´es konstrukci´oja term´eszetes” konstruk” ci´ o. A line´ aris kiterjeszt´es szerepet fog j´atszani k´es˝obbi projekt´ıv geometriai vizsg´ alatainkban, l. 8.4. 1.7.7. P´ eld´ ak. Tekints¨ uk ´ at kor´abban defini´alt affin geometriai fogalmainkat, ´es vizsg´ aljuk meg, hogyan interpret´alhat´ok az affin t´er line´aris kiterb az X line´aris jeszt´es´eben. Legyen teh´ at X v´eges dimenzi´os affin t´er ´es X b kiterjeszt´ese; a fenti meg´ allapod´as szerint V, X ⊂ X. • Affinit´ as. Az 1.7.6-beli tulajdons´agok alapj´an az f 7→ fb megfeleltet´es inb line´aris lek´epez´esei jekt´ıv homomorfizmus X affinit´asai csoportj´ab´ol X b L´athat´o, csoportj´ aba. Ez´ert u ´gy tekinthetj¨ uk, hogy Aff (X) ≤ GL(X). b egy eleme pontosan akkor tartozik az Aff (X) r´eszcsoporthogy GL(X) b affin hipers´ıkot ¨onmag´aba k´epezi. hoz, ha az X ⊂ X • Affin alt´er. X affin alterei pontosan az Y = W ∩X alak´ u halmazok, ahol → − b line´ W ≤X aris alt´er, melyre W  V . Emellett Y = W ∩V . Ha az 1.2.5. ´ ıt´ b ´es az U ≤ X • All´ as szerint Y = Z(U ), ahol U ≤ X • , akkor a W ≤ X • ∗ b alterek egym´ as annull´ atorai, azaz W = {p ∈ X = (X ) : minden s ∈ ∈ U -ra p(s) = 0} ´es U = {s ∈ X • : minden p ∈ W -re p(s) = 0}. • Affin kombin´ aci´ o. Az X-beli pontok affin kombin´aci´oi megegyeznek az b vektort´erbeli ugyanolyan egy¨ X utthat´okkal vett line´aris kombin´aci´oikkal. Ennek alapj´ an a tov´abbiakban az A1 , A2 , . . ., Ak ∈ X pontok λ1 , λ2 , . . ., λk egy¨ utthat´ okkal vett affin kombin´aci´oj´ara a λ1 A1 + λ2 A2 + + . . . + λk Ak jel¨ ol´est is haszn´alhatjuk. • F¨ uggetlens´eg. X-beli pontok akkor ´es csak akkor alkotnak f¨ uggetlen b rendszert, ha ˝ oket X-beli vektoroknak tekintve line´arisan f¨ uggetlenek. • Affin b´ azis. Pontok egy rendszere akkor ´es csak akkor affin b´azis Xb b ben, ha a pontok mint X-beli vektorok b´azist alkotnak X-ben. A du´alis affin form´ ak az ehhez a b´azishoz tartoz´o du´alis b´azist alkotj´ak X • -ban. b vektort´er du´alis ter´enek tekinthet˝o az X • ´es az (Itt X • val´ oban az X b ∗ k¨ (X • )∗∗ = X oz¨ otti term´eszetes izomorfizmus szerinti azonos´ıt´assal.) • Baricentrikus koordin´ at´ak. R¨ogz´ıts¨ unk egy A0 , A1 , . . ., Ad affin b´azist b vektort´erben az ezekre mint b´azisvektorokra X-ben. Haszn´ aljuk az X vonatkoz´ o x0 , x1 , . . ., xd koordin´at´akat. Ekkor az X affin s´ık egyenlete x0 + x1 + . . . + xd = 1, ´ıgy a V line´aris hipers´ık´e x0 + x1 + . . . + xd = 0. b ´es x ∈ Ha x = (x0 , x1 , . . . , xd ) ∈ X / V , akkor az F · x egydimenzi´os line´ aris alt´er egyetlen P pontban d¨ofi X-et, m´egpedig a baricentrikus koordin´ at´ akkal P = [x0 : x1 : . . . : xd ] alakban ´ırhat´o pontban.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

60

Affin geometria

• Homog´en line´ aris egyenletek. Az affin alterekre ´es a baricentrikus koordin´ at´ akra vonatkoz´ o fenti ´eszrev´etelekb˝ol k¨ovetkezik, hogy az X-beli affin altereket a baricentrikus koordin´at´akban fel´ırt homog´en line´aris egyenletrendszerek ´ırj´ ak le.

1.8. V´ eges dimenzi´ os val´ os affin terek Olyan fogalmakat tekint¨ unk ´at, amelyeket csak a val´os test f¨ol¨otti affin terekben ´ertelmez¨ unk, mert defin´ıci´ojukban felhaszn´aljuk a val´os sz´amok rendez´es´et vagy topol´ ogi´ aj´ at. Ezek k¨oz´e a fogalmak k¨oz´e tartozik az ir´any´ıt´as, a f´elt´er (azaz a hipers´ıkkal val´o elv´alaszt´as), a korl´atoss´ag ´es a folytonoss´ag. Ebben a szakaszban feltessz¨ uk, hogy F = R, ´es hogy az ´altalunk vizsg´alt affin terek dimenzi´ oja v´eges. A dimenzi´ot, mint kor´abban is, d jel¨oli. 1.8.1. Defin´ıci´ o (Affin t´ er ir´ any´ıt´ asa). Az (X, V, Φ) affin t´er ir´any´ıt´as´an a V val´ os vektort´er ir´ any´ıt´ as´ at ´ertj¨ uk. Teh´at X ir´any´ıtott affin t´err´e v´alik, ha kit¨ untetj¨ uk a V -beli rendezett b´azisok egyik ir´any´ıt´asi ekvivalenciaoszt´aly´at ´es pozit´ıv ir´ any´ıt´ as´ unak deklar´aljuk. A term´eszetes affin strukt´ ur´ aval ell´atott Rd affin teret az e1 , . . ., ed standard b´ azis oszt´ aly´ anak kiv´ alaszt´ as´aval ir´any´ıtottnak tekintj¨ uk. J´ ol ismert, hogy az elemi geometri´aban a s´ık ir´any´ıt´as´at a h´aromsz¨ogek k¨or¨ ulj´ ar´ as´ aval lehet szeml´eltetni. Ezt ´altal´anos´ıtja tetsz˝oleges dimenzi´o eset´ere a k¨ ovetkez˝ o fogalom. 1.8.2. Defin´ıci´ o (Pozit´ıv affin b´ azis). Legyen X ir´any´ıtott affin t´er. Pozit´ıv ir´ any´ıt´ as´ unak (vagy pozit´ıvnak) mondunk egy X-beli A0 , A1 , . . ., Ad −−−→ −−−→ rendezett affin b´ azist, ha az A0 A1 , . . ., A0 Ad vektorok pozit´ıv b´azist alkotnak V -ben. Ellenkez˝ o esetben a rendezett affin b´azist negat´ıvnak nevezz¨ uk. ´ ıt´ 1.8.3. All´ as. Legyen A0 , A1 , . . ., Ad pozit´ıv affin b´azis az X ir´any´ıtott affin t´erben. Az ugyanezen pontok egy σ ∈ Sd+1 permut´aci´oj´aval kapott Aσ(0) , Aσ(1) , . . ., Aσ(d) affin b´ azis pontosan akkor pozit´ıv, ha σ p´aros permut´aci´o. Bizony´ıt´ as: El´eg ellen˝ orizni, hogy b´armely transzpoz´ıci´o v´egrehajt´asa egy affin b´ azist ellent´etes ir´ any´ıt´ as´ u affin b´azisba visz. Ha σ(0) = 0, akkor ez (´es az ´ all´ıt´ as is) mag´ at´ ol ´ertet˝ od˝o az 1.8.2. Defin´ıci´o alapj´an. Tegy¨ uk fel teh´at, hogy σ = (0, i) valamilyen 1 ≤ i ≤ d mellett ´es hasonl´ıtsuk ¨ossze a V -beli −−−→ aj = A0 Aj (j = 0, . . . , d) b´azist a (0, i) transzpoz´ıci´o v´egrehajt´asa ut´an −−−→ −−−→ −−−→ nyert Ai Aj = aj − ai (j = 1, . . . , i − 1), Ai A0 = −ai , Ai Aj = aj − ai (j = i + 1, . . . , d) b´ azissal. L´athat´o, hogy az ut´obbi b´azist az el˝obbib˝ol az

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

1. Affin terek

61

i-edik b´ azisvektornak a t¨ obbib˝ol val´o kivon´asa, ´es az i-edik b´azisvektor (−1)gyel val´ o szorz´ asa u ´tj´ an kapjuk. Az ut´obbi b´azis teh´at az el˝obbivel ellent´etes ir´ any´ıt´ as´ u. 1.8.4. Defin´ıci´ o (Ir´ any´ıt´ astart´ as ´ es -v´ alt´ as). Legyen f : X → X 0 affin izomorfizmus az X ´es X 0 affin terek k¨oz¨ott. Azt mondjuk, hogy f ir´any´ıt´astart´ o, ha L(f ) : V → V 0 ir´ any´ıt´astart´o line´aris izomorfizmus (azaz pozit´ıv V -beli b´ azist pozit´ıv V 0 -beli b´azisba visz). Egy´ebk´ent f -et ir´any´ıt´asv´alt´onak nevezz¨ uk. Az f : X → X 0 affin izomorfizmus nyilv´an aszerint ir´any´ıt´astart´o, illetve ir´ any´ıt´ asv´ alt´ o, hogy valamely (vagy ami ezzel egyen´ert´ek˝ u, b´armely) X-beli pozit´ıv affin b´ azisnak az f -n´el sz´armaz´o k´epe pozit´ıv, illetve negat´ıv affin b´ azis X 0 -ben. Az f : X → X affinit´ asok k¨ oz¨ott az ir´any´ıt´astart´ok pontosan azok, amelyekre det L(f ) > 0. Ebben az esetben (amikor X = X 0 ) az, hogy f ir´any´ıt´astart´oe vagy sem, nem f¨ ugg az X-beli ir´any´ıt´as v´alaszt´as´at´ol. Teh´at az affinit´asok k¨ or´eben an´elk¨ ul is besz´elhet¨ unk ir´any´ıt´astart´asr´ol, -v´alt´asr´ol, illetve affin b´ azisok egym´ assal megegyez˝o vagy ellent´etes ir´any´ıt´as´ar´ol, hogy a t´er ir´any´ıt´ as´ at r¨ ogz´ıtett¨ uk volna. Az X affin t´er ir´any´ıt´astart´o affinit´asai 2 index˝ u r´eszcsoportot alkotnak az Aff (X) csoportban, amelyet Aff+ (X)-szel jel¨ol¨ unk. 1.8.5. P´ eld´ ak. • B´ armely eltol´ as ´es b´ armely pozit´ıv ar´any´ u homot´ecia ir´any´ıt´astart´o. A negat´ıv ar´ any´ u homot´eci´ak csak p´aros dimenzi´os affin t´erben ir´any´ıt´astart´ ok. • Legyen τ ∈ Aff (X) egy Y ⊆ X affin alt´erre vonatkoz´o (valamilyen ir´ any´ u) affin szimmetria. A τ affinit´as pontosan akkor ir´any´ıt´astart´o, ha dim X − dim Y p´ aros. Speci´alisan a hipers´ıkokra vonatkoz´o affin szimmetri´ ak ir´ any´ıt´ asv´alt´ok, a k¨oz´eppontos szimmetri´ak pedig p´aros dimenzi´ os affin t´erben ir´any´ıt´astart´ok, p´aratlan dimenzi´os t´erben ir´any´ıt´ asv´ alt´ ok. 1.8.6. Defin´ıci´ o (F´ elt´ er). Legyen dim X ≥ 1 ´es H ⊂ X hipers´ık. V´alasszunk olyan s ∈ X • affin form´at, hogy H = Z(s). A H hipers´ık hat´arolta z´ art f´elt´ernek nevezz¨ uk az {A ∈ X : s(A) ≤ 0} ´es az {A ∈ X : s(A) ≥ ≥ 0} halmazt, ny´ılt f´elt´ernek pedig ezek X-beli komplementereit. Az 1.2.5. ´ ıt´ All´ as utols´ o mondat´ ara hivatkozva, a H ´altal hat´arolt f´elterek val´oban csak a H hipers´ıkt´ ol f¨ uggnek, nem pedig s v´alaszt´as´at´ol. Egydimenzi´os t´erben a f´eltereket f´elegyeneseknek, k´etdimenzi´osban pedig f´els´ıkoknak nevezz¨ uk. A H hipers´ık ´ altal hat´ arolt k´et z´art f´elt´er lefedi X-et ´es a k¨oz¨os r´esz¨ uk H. A k´et ny´ılt f´elt´er diszjunkt, ´es egy¨ utt lefedik H komplementer´et. Ha Y ⊆ X

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

62

Affin geometria

affin alt´er, melyre Y h|H nem teljes¨ ul, akkor H ∩Y hipers´ık Y -ban ´es az ´altala hat´ arolt Y -beli (z´ art, illetve ny´ılt) f´elterek ´eppen a H ´altal hat´arolt X-beli (z´ art, illetve ny´ılt) f´elterek metszetei Y -nal. Ez r¨ogt¨on k¨ovetkezik abb´ol, hogy H = Z(s), s ∈ X • eset´en s|Y affin forma Y -on ´es H ∩ Y = Z(s|Y ). ´ ıt´ 1.8.7. All´ as. R¨ ogz´ıts¨ unk egy A0 , . . ., Ad−1 affin b´azist a H ⊂ X hipers´ık sz´ am´ ara. A t´er tetsz˝ oleges Ad , A0d ∈ / H pontjai pontosan akkor esnek ugyanabba a H hat´ arolta ny´ılt f´elt´erbe, ha az A0 , A1 , . . ., Ad ´es az A0 , A1 , . . ., A0d affin b´ azisok megegyez˝ o ir´ any´ıt´as´ uak. Bizony´ıt´ as: Legyen H = Z(s) valamilyen s ∈ X • affin form´aval, ´es v´alasszunk −−−→ −−−−−→ −−→ olyan A ∈ X pontot, hogy s(A) = 1. Az A0 A1 , . . ., A0 Ad−1 , A0 A b´azisban az − − − → −−−→ A0 Ad ´es az A0 A0d vektorokat fel´ırva az utols´o koordin´ata s(Ad ), illetve s(A0d ). −−−→ −−−−−→ −−−→ −−−→ −−−−−→ −−−→ Ez´ert az A0 A1 , . . ., A0 Ad−1 , A0 Ad b´azist az A0 A1 , . . ., A0 Ad−1 , A0 A0d b´azisba transzform´ al´ o m´ atrix determin´ansa s(A0d )/s(Ad ), ami pontosan akkor pozit´ıv, 0 ha Ad ´es Ad ugyanabba a H hat´arolta ny´ılt f´elt´erbe esik. ´ ıt´ Megjegyz´es. Az 1.8.7. All´ asb´ol r¨ogt¨on k¨ovetkezik, hogy ir´any´ıtott affin t´erben egy H hipers´ık ir´ any´ıt´ asa valamelyik H hat´arolta f´elt´er kiszemel´es´evel egyen´ert´ek˝ u. K´ezenfekv˝ o egy f´elt´er ir´any´ıt´as´an az eg´esz t´er ir´any´ıt´as´at ´erteni. Ezek ut´ an meg´ allapodhatunk abban, hogy egy ir´any´ıtott f´elt´er olyan m´odon sz´ armaztatja a hat´ arol´ o hipers´ıkja ir´any´ıt´as´at, hogy azokat a hipers´ıkbeli rendezett affin b´ azisokat tekintj¨ uk pozit´ıvnak, amelyeket a befoglal´o t´er pozit´ıv b´ azis´ av´ a eg´esz´ıt¨ unk ki azzal, hogy valamely a (ny´ılt) f´elt´erb˝ol v´alasztott pontot a t¨ obbi ut´ an sorolunk. 1.8.8. Defin´ıci´ o (Korl´ atos halmaz). A v´eges dimenzi´os, val´os X affin t´er egy T r´eszhalmaz´ at korl´ atosnak mondjuk, ha b´armely s ∈ X • affin form´aval az s(T ) ⊆ R sz´ amhalmaz korl´atos. Nyilv´ an korl´ atos halmaz b´ armely r´eszhalmaza is korl´atos, tov´abb´a v´eges sok X-beli korl´ atos halmaz egyes´ıt´ese is korl´atos. B´armely f : X → X 0 affin lek´epez´esn´el korl´ atos X-beli r´eszhalmaz k´epe is korl´atos X 0 -ben, hiszen T ⊆
0 0 • 0 0 ⊆ X ´es s ∈ (X ) mellett s f (T ) = (s ◦ f )(T ), ´es itt s0 ◦ f ∈ X • . Az X = Rd esetben az itt defini´alt korl´atoss´ag nyilv´an egybeesik az Rd koordin´ atat´erben haszn´ alt szok´asos korl´atoss´agfogalommal. Emiatt – felhaszn´ alva, hogy tetsz˝ oleges X-re az X-beli affin koordin´atarendszerek affin izomorfizmusok X ´es Rd k¨ oz¨ ott – meg´allap´ıthatjuk, hogy X egy T r´eszhalmaza akkor ´es csak akkor korl´ atos X-ben, ha b´armely (vagy ak´ar csak egyetlen) x : : X → Rd affin koordin´ atarendszer mellett az x(T ) halmaz korl´atos Rd -ben. A v´eges dimenzi´ os val´ os affin terekben term´eszetes (koordin´at´az´ast´ol f¨ uggetlen) u ´t k´ın´ alkozik lek´epez´esek folytonoss´ag´anak az ´ertelmez´es´ere. Ehhez olyan fogalmakat kell tiszt´ azni, mint az affin t´erben fekv˝o r´eszhalmazok ny´ılt, illet-

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

1. Affin terek

63

ve z´ art volta, pontok k¨ ornyezetei, halmazok belseje, illetve lez´ar´asa. Ezeket a fogalmakat tekintj¨ uk a t´er topol´ogiai viszonyainak. 1.8.9. Defin´ıci´ o (Ny´ılt ´ es z´ art halmazok, term´ eszetes topol´ ogia). Az X affin t´er egy r´eszhalmaz´at ny´ıltnak mondjuk, ha el˝o´all´ıthat´o olyan halmazok egyes´ıt´esek´ent, amelyek mindegyike v´eges sok ny´ılt f´elt´er metszete. Az X-beli ny´ılt halmazok rendszer´ere ´erv´enyesek az al´abbi tulajdons´agok: – ∅ ´es X ny´ılt halmazok, – b´ armely v´eges sok ny´ılt halmaz metszete is ny´ılt, – tetsz˝ olegesen sok ny´ılt halmaz egyes´ıt´ese is ny´ılt. A ny´ılt halmazok ´ıgy defini´ alt rendszer´et az affin t´er term´eszetes topol´ogiaj´ ´ anak szok´ as nevezni. Z´ artnak mondjuk X egy r´eszhalmaz´at, ha az X-re vonatkoz´ o komplementere ny´ılt halmaz. P´eld´ aul a ny´ılt f´elterek ny´ılt halmazok, a z´art f´elterek z´artak az 1.8.9. Defin´ıci´ o ´ertelm´eben is. K¨ onny˝ u meggondolni, hogy ha Y ⊆ X affin alt´er, akkor az Y -beli ny´ılt halmazok pontosan az Y ∩ U alak´ u halmazok, ahol U ny´ılt halmaz X-ben. 1.8.10. Defin´ıci´ o (Pontok k¨ ornyezetei). Azt mondjuk, hogy egy A ∈ X pontnak egy X-beli K r´eszhalmaz k¨ornyezete X-ben, ha l´etezik olyan U ⊆ X ny´ılt halmaz, amelyre A ∈ U ⊆ K. (Meggondolhat´o, hogy ezzel egyen´ert´ek˝ u defin´ıci´ ot kapn´ ank, ha U -r´ ol megk¨oveteln´enk, hogy el˝o´all´ıthat´o legyen v´eges sok X-beli ny´ılt f´elt´er metszetek´ent.) 1.8.11. Defin´ıci´ o (Bels˝ o pont, hat´ arpont, lez´ ar´ as). Legyen S ⊆ X. A t´er egy A pontj´ at az S halmaz bels˝o pontj´anak mondjuk, ha S az Anak k¨ ornyezete. Az S halmaz belsej´en az S bels˝o pontjai ´altal alkotott intS halmazt ´ertj¨ uk. A B ∈ X pontot S hat´arpontj´anak mondjuk, ha B b´armely K k¨ ornyezet´ere K ∩ S 6= ∅ ´es K − S 6= ∅ teljes¨ ul. Az S halmaz hat´ar´anak nevezz¨ uk az S hat´ arpontjaib´ol ´all´o ∂S halmazt. Az S halmaz lez´ar´as´anak mondjuk az S = S ∪ ∂S halmazt. Az al´ abbi tulajdons´ agok k¨ onnyen meggondolhat´ok: – intS a legb˝ ovebb S-ben fekv˝o ny´ılt halmaz,
– ∂S = X − intS ∪ int(X − S) , – S a legsz˝ ukebb S-et tartalmaz´o z´art halmaz,
– S = X − int(X − S) ,

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

64

Affin geometria

– egy halmaz akkor ´es csak akkor ny´ılt, ha azonos a belsej´evel, – egy halmaz akkor ´es csak akkor z´art, ha azonos a lez´ar´as´aval. 1.8.12. Defin´ıci´ o (Konvergens pontsorozat, limesz). Az X-beli An (n ∈ ∈ N) pontsorozatot konvergensnek nevezz¨ uk, ´es az A ∈ X pontot a sorozat limesz´enek mondjuk (jelben: An → A), ha A-nak b´armely k¨ornyezete a sorozat elemeit v´eges sok kiv´etellel tartalmazza. K¨ onnyen meggondolhat´ o, hogy b´armely S ⊆ X r´eszhalmazra S pontosan az S-beli konvergens sorozatok limeszeib˝ol ´all, tov´abb´a egy pont akkor ´es csak akkor tartozik ∂S-hez, ha el˝o´all S-ben fekv˝o sorozat limeszek´ent is ´es (X − S)-ben fekv˝ o sorozat limeszek´ent is. 1.8.13. Defin´ıci´ o (Folytonos lek´ epez´ es). Legyenek X ´es X 0 v´eges dimen0 zi´ os val´ os affin terek ´es f : X → X tetsz˝oleges lek´epez´es. Azt mondjuk, hogy f folytonos az A ∈ X pontban, ha az f (A) ∈ X 0 pontnak b´armely K 0 ⊆ X 0 k¨ ornyezet´ehez tal´ alhat´o az A pontnak olyan K ⊆ X k¨ornyezete, amelyre f (K) ⊆ K 0 . K¨ onnyen l´ athat´ o, hogy f akkor ´es csak akkor folytonos minden A ∈ X pontban, ha b´ armely U 0 ⊆ X 0 ny´ılt halmazra az f −1 (U 0 ) halmaz ny´ılt X-ben. Ennek alapj´ an az f lek´epez´est folytonosnak mondjuk, ha b´armely ny´ılt halmaz f -n´el sz´ armaz´ o˝ osk´epe ny´ılt. (Ezzel egyen´ert´ek˝ u felt´etel az is, hogy b´armely z´ art halmaz ˝ osk´epe z´ art.) A ny´ılt halmazokat ny´ılt f´elterekb˝ol sz´armaztattuk metsz´es ´es egyes´ıt´es seg´ıts´eg´evel. Halmazok ˝ osk´ep´enek k´epz´ese felcser´elhet˝o a metszet ´es az egyes´ıt´es m˝ uvelet´evel. Emiatt a folytonoss´ag ut´obbi felt´etel´et elegend˝o volna csak a ny´ılt f´elterekre mint U 0 halmazokra megk¨ovetelni. Ha f : X → X 0 affin lek´epez´es, akkor tetsz˝oleges s0 ∈ (X 0 )• affin forma eset´en az {A0 ∈ X 0 : s0 (A0 ) > 0} ny´ılt f´elt´er f szerinti ˝osk´epe az {A ∈ X : s(A) > > 0} halmaz, ahol s = s0 ◦ f ∈ X • . Ha s nem konstans, akkor ez a halmaz ny´ılt f´elt´er, egy´ebk´ent pedig vagy ∅, vagy X. Emiatt b´armely affin lek´epez´es folytonos. R¨ ogz´ıts¨ unk p´eld´ aul egy A0 , A1 , . . ., Ad affin b´azist X-ben ´es ´all´ıtsuk el˝o a P ∈ X pontokat P = λ0 A0 + λ1 A1 + . . . + λd Ad affin kombin´aci´ok´ent. Az ´ ıt´ 1.3.19. All´ as ´es az affin form´ak folytonos volta alapj´an a λi egy¨ utthat´ok folytonosan f¨ uggnek P -t˝ ol. Az affin alterek z´ art halmazok, hiszen folytonos f¨ uggv´enyek (nevezetesen az affin form´ ak) z´er´ ohalmazaik´ent, illetve ezek metszeteik´ent ´allnak el˝o. B´ armely H ⊂ X hipers´ık azonos b´armelyik H ´altal hat´arolt (ak´ar ny´ılt, ak´ar z´ art) f´elt´ernek az 1.8.11. Defin´ıci´o ´ertelm´eben vett hat´ar´aval. Ez p´eld´aul abb´ol

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

1. Affin terek

65

l´ athat´ o, hogy tetsz˝ oleges P ∈ H ponthoz v´alaszthatunk olyan E egyenest Xben, hogy P ∈ E ´es E * H, ekkor E ∩ H = {P } ´es ´ıgy P b´armely k¨ornyezete belemetsz az E egyenes mindk´et P szerinti ny´ılt f´elegyenes´es´ebe, ann´al ink´abb mindk´et H hat´ arolta f´elt´erbe. ´ Megjegyz´es. Altal´ aban folytonos lek´epez´esn´el z´art halmaz k´epe nem felt´etlen¨ ul z´ art, ´es ny´ılt halmaz k´epe sem felt´etlen¨ ul ny´ılt. J´ol ismert t´eny viszont, hogy az Rd -ben fekv˝ o korl´ atos z´art halmazok folytonos k´epei szint´en korl´ atosak ´es z´ artak. Egy v´eges dimenzi´os val´os affin t´erben fekv˝o r´eszhalmazt kompaktnak nevez¨ unk, ha korl´atos ´es z´art. Az ilyen halmazokra nyilv´anval´oan atvihet˝ ´ o az Rd -ben fekv˝ o korl´atos ´es z´art halmazok anal´ızisb˝ol ismert sz´amos tulajdons´ aga. ´Igy p´eld´ aul a Bolzano–Weierstrass-f´ele t´etel ´es a Weierstrassf´ele kiv´ alaszt´ asi t´etel is ´erv´enyes affin t´erben: kompakt halmazon ´ertelmezett b´ armely folytonos val´ os f¨ uggv´enynek l´etezik minimuma ´es maximuma, illetve egy kompakt halmazban fekv˝o b´armely pontsorozatb´ol kiv´alaszthat´o olyan r´eszsorozat, amely a halmaz valamely pontj´ahoz konverg´al. 1.8.14. Defin´ıci´ o (Homeomorfizmus). Egy bijekt´ıv lek´epez´est, amely folytonos, ´es amelynek az inverze is folytonos, homeomorfizmusnak nevez¨ unk. Nyilv´ an b´ armely affin izomorfizmus egy´ uttal homeomorfizmus. Egy X → X 0 homeomorfizmus bijekt´ıv megfeleltet´est l´etes´ıt az X-beli, illetve az X 0 -beli ny´ılt halmazok rendszere k¨oz¨ott (azaz X ´es X 0 topol´ogi´aja k¨oz¨ott). Ha r¨ ogz´ıt¨ unk egy x : X → Rd affin koordin´atarendszert, akkor az X-beli ny´ılt halmazokat (´es az ebb˝ ol sz´armaztathat´o tov´abbi topol´ogiai fogalmakat) az Rd koordin´ atat´erbeli v u d uX
x = (x1 , . . . , xd ), y = (y1 , . . . , yd ) ∈ Rd ρ(x, y) = t (xi − yi )2 i=1

t´ avols´ ag seg´ıts´eg´evel is defini´alhatn´ank: az U ⊆ X halmazt ny´ıltnak nevezhetn´enk, armely A ∈ U ponthoz van olyan ε > 0, hogy q ∈ Rd ,
ha b´ ρ x(A), q < ε eset´en q ∈ x(U ). Az al´abbi t´etel alapj´an ezzel a m´odszerrel is – f¨ uggetlen¨ ul a koordin´atarendszer megv´alaszt´as´at´ol – a term´eszetes topol´ ogia ny´ılt halmazait kapn´ank. Ez annyit jelent, hogy Rd -nek mint affin t´ernek a term´eszetes topol´ogi´aja azonos a fenti ρ t´avols´agf¨ uggv´eny ´altal sz´ armaztatott topol´ ogi´ aval. 1.8.15. T´ etel. Legyen S ⊆ Rd ´es p ∈ S. Az S halmaz akkor ´es csak akkor k¨ ornyezete p-nek az Rd affin t´er term´eszetes topol´ogi´aja ´ertelm´eben, ha l´etezik olyan ε > 0, hogy q ∈ Rd , ρ(p, q) < ε eset´en q ∈ S. Bizony´ıt´ as: Tegy¨ uk f¨ ol el˝ osz¨or, hogy S k¨ornyezete p-nek. Ekkor van v´eges sok olyan ny´ılt f´elt´er, amelyek tartalmazz´ak p-t ´es amelyek metszete S-nek r´esze.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

66

Affin geometria

Legyen H az egyik ilyen f´elt´er hat´arol´o hipers´ıkja. Ekkor H = Z(s) ⊂ Rd , ahol az s ∈ (Rd )• affin forma koordin´at´as alakja s(x) = a1 x1 + . . . + ad xd + + b (x ∈ Rd ). Miut´ an a p = (p1 , . . . , pd ) ∈ Rd pont pvalamelyik H hat´arolta ny´ılt f´elt´erbe esik, s(p) = c 6= 0. Legyen ε = |c|/ a21 + . . . + a2d . Ha most valamilyen q ∈ Rd -re ρ(p, q) < ε, akkor a Cauchy–Schwarz-egyenl˝otlens´eget felhaszn´ alva |s(p)−s(q)| = |a1 (p1 −q1 )+. . .+ad (pd −qd )| ≤

q a21 + . . . + a2d ·ρ(p, q) < |c|,

teh´ at q is ugyanabba a ny´ılt f´elt´erbe esik, mint p. Az ´ıgy kiv´alasztott ε-ok legkisebbike megfelel a k´ıv´ analmaknak. Megford´ıtva, ha adott az ε > 0 sz´am, akkor defini´aljuk i =p1, . . . , d -re az si ∈ (Rd )• ´es ti ∈p(Rd )• affin form´akat az si (x) = xi − pi − ε/d, illetve a ti (x) = xi − pi + ε/d formul´aval. Az si < 0 ´es a ti > 0 egyenl˝otlens´egekkel defini´ alt 2d darab ny´ıltpf´elt´ernek p k¨oz¨os pontja. B´armely tov´abbi q k¨oz¨os pontjukra |qi − pi | < ε/d teljes¨ ul minden i-re, ´ıgy ρ(p, q) < ε, ahonnan q ∈ S. Emiatt S k¨ ornyezete p-nek. ´ ıt´ 1.8.16. All´ as. B´ armely sz¨ urjekt´ıv affin lek´epez´es ny´ılt lek´epez´es, azaz ny´ılt halmazt ny´ılt halmazba visz. Bizony´ıt´ as: Az 1.1.10-beli els˝o p´elda alapj´an lineariz´al´as ´es alkalmas koordin´ atarendszer bevezet´ese ut´ an csak azt kell meggondolni, hogy k ≤ d eset´en az r : Rd → Rk vet´ıt´es ny´ılt lek´epez´es. Legyen teh´ at U ⊆ Rd ny´ılt ´es q ∈ r(U ), be kell l´atnunk, hogy az r(U ) halmaz k¨ ornyezete q-nak. V´ alasszunk p = (p1 , . . . , pd ) ∈ U -t u ´gy, hogy r(p) = q. Az 1.8.15. T´etel miatt alkalmas ε-nal a p pont ε-k¨ornyezete r´esze U -nak. Ha most y ∈ Rk ´es ρ(q, y) < ε, akkor az x = (y, pk+1 , . . . , pd ) ∈ Rd pontra ρ(p, x) = = ρ(q, y) < ε, ez´ert x ∈ U , tov´abb´a r(x) = y, ahonnan y ∈ r(U ).

Megjegyz´es. Egy´eb testek feletti v´eges dimenzi´os affin tereken is ´ertelmezhet˝o term´eszetes topol´ ogia az X = XA = V = Fd azonos´ıt´as u ´tj´an, valah´anyszor az F test alaphalmaz´ an adott egy olyan topol´ogia, amelyre n´ezve a testbeli m˝ uveletek folytonosak. Szok´as ilyen m´odon p´eld´aul a komplex affin tereket is topol´ ogi´ aval ell´ atni. Egy (X, V, Φ) d-dimenzi´os komplex affin t´er topol´ogi´ aj´ anak egy term´eszetes” sz´armaztat´asa ad´odik abb´ol, hogy a V vektort´er ” 2d-dimenzi´ os vektort´ernek tekinthet˝o a val´os test f¨ol¨ott, ´es ´ıgy (X, V, Φ) automatikusan 2d-dimenzi´ os val´os affin t´er.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

´rben 2. Konvex halmazok affin te

67

2. Konvex halmazok affin t´ erben A konvex halmazok elm´elet´enek jelent˝os r´esze csak a t´er affin strukt´ ur´aj´ara t´ amaszkodik ´es nem haszn´ alja a t´er metrikus viszonyait, azaz p´eld´aul t´avols´ agokat, sz¨ ogeket. Itt azokat a konvex halmazokkal kapcsolatos fogalmakat ´es osszef¨ ugg´eseket vessz¨ uk sorra, amelyek az affinit´asokkal szemben invari´ansak, ¨ ´es ´ıgy m´ ar az affin geometri´ aban is ´ertelmezhet˝ok, illetve bizony´ıthat´ok. Az al´ abbiakban (X, V, Φ) v´eges dimenzi´os val´os affin t´er, amelyet a term´eszetes topol´ ogi´ aval l´ atunk el. Az X t´er dimenzi´oj´at d jel¨oli.

2.1. Konvex halmazok, konvex kombin´ aci´ ok 2.1.1. Defin´ıci´ o (Szakasz). Adott A, B ∈ X mellett A, B v´egpont´ u szaka−−→ −1 szon (vagy az
A, B pontokat ¨osszek¨ot˝o szakaszon) az [A, B] = ΦA {t · AB : : 0 ≤ t ≤ 1} halmazt ´ertj¨ uk.
−−→ K¨ onnyen l´ athat´ o, hogy A 6= B eset´en [A, B] = Φ−1 A {t · AB : t ≥ 0} ∩
−−→ ∩ Φ−1 B {t · BA : t ≥ 0} , azaz az [A, B] szakasz az hA, Bi egyenesen annak a k´et z´ art f´elegyenesnek a metszetek´ent ´all el˝o, amelyek v´egpontja A, illetve B, ´es amelyek tartalmazz´ ak B-t, illetve A-t. ´Igy nyilv´an [B, A] = [A, B]. Ha A = B, akkor [A, B] = {A}, amelyet elfajul´o szakasznak tekint¨ unk. −−→ −→ −−→ Tetsz˝ oleges O ∈ X ponttal [A, B] = {P ∈ X : OP = t· OA+(1−t)· OB, 0 ≤ ≤ t ≤ 1}, azaz [A, B] = {tA + (1 − t)B : 0 ≤ t ≤ 1}. 2.1.2. Defin´ıci´ o (Konvex halmaz). Egy K ⊆ X halmaz konvex, ha b´armely k´et pontj´ aval egy¨ utt azok ¨osszek¨ot˝o szakasz´at is tartalmazza, azaz tetsz˝ oleges A, B ∈ K eset´en [A, B] ⊆ K. 2.1.3. P´ eld´ ak • B´ armely X-beli affin alt´er konvex, az u ¨res halmaz konvex, b´armely f´elt´er ´es b´ armely szakasz konvex. • A sz´ amegyenesen pontosan az intervallumok konvexek (k¨oz´ej¨ uk ´ertve az elfajul´ o vagy v´egtelenbe ny´ ul´o intervallumokat is). • Szakasznak affin lek´epez´esn´el sz´armaz´o k´epe (esetleg elfajul´o) szakasz, emiatt b´ armely konvex halmaznak affin lek´epez´esn´el sz´armaz´o k´epe, illetve ˝ osk´epe konvex. • Ha K1 ⊆ X1 ´es K2 ⊆ X2 konvex, akkor K1 × K2 ⊆ X1 × X2 is konvex.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

68

Affin geometria

S • Ha K ⊆ X konvex ´es P ∈ X, akkor a C = λ>0 HP,λ (K) halmaz is konvex, ahol HP,λ jel¨ oli a P k¨oz´eppont´ u ´es λ ar´any´ u homot´eci´at. Legyen ugyanis A = HP,λ (A0 ), B = HP,µ (B 0 ), A0 , B 0 ∈ K ´es t ∈ [0,1], ekkor k¨ ozvetlen sz´ amol´ assal ad´odik, hogy tA + (1 − t)B = HP,ν (uA0 + (1 − 0 −u)B ), ahol ν = tλ+(1−t)µ ´es u = tλ/ν. Az is k¨onnyen ellen˝orizhet˝o, hogy a C ∪ {P } halmaz is konvex. Egy val´ os vektort´erben konvex k´ upnak nevez¨ unk egy r´eszhalmazt, ha konvex ´es b´ armely elem´evel egy¨ utt annak ¨osszes pozit´ıv skal´arszoros´at is tartalmazza. A fenti C ´es C ∪ {P } halmazok konvex k´ upok az XP vektort´erben.
Pd 2 1/2 • Az Rd -beli ρ(x, y) = metrik´aval defini´alt B(a, r) = i=1 (xi −yi ) d = {x ∈ R : ρ(x, a) < r} ny´ılt, illetve B(a, r) = {x ∈ Rd : ρ(x, a) ≤ r} z´ art g¨ ombtestek, tov´ abb´a ezek affinit´assal nyert k´epei, a ny´ılt, illetve z´ art ellipszoidtestek konvex halmazok Rd -ben. • A V ×V → R szimmetrikus biline´aris f¨ uggv´enyek vektorter´eben a pozit´ıv definit (illetve a negat´ıv definit) szimmetrikus biline´aris f¨ uggv´enyek konvex k´ upot alkotnak. • Egy n´egyzetes val´ os m´atrixot dupl´an sztochasztikusnak nevez¨ unk, ha minden eleme nemnegat´ıv, tov´abb´a minden sor¨osszege ´es minden oszlop¨ osszege 1-gyel egyenl˝o. Jel¨olje Bn az n × n m´eret˝ u dupl´an sztochasztikus m´ atrixok halmaz´ at, ekkor Bn ⊂ Rn×n konvex halmaz. • Konvex halmazok tetsz˝oleges X-beli rendszer´enek a metszete konvex. Tov´ abbi ´erdekes p´eld´ ak sz´ armaztathat´ok a k¨ovetkez˝o konstrukci´o haszn´alat´ aval. 2.1.4. Defin´ıci´ o (Minkowski-kombin´ aci´ o). Legyenek K, L ⊆ X tetsz˝oleges r´eszhalmazok ´es α, β ∈ R r¨ogz´ıtett egy¨ utthat´ok, melyekre α + β = 1. A K ´es L halmazok α ´es β egy¨ utthat´okkal vett Minkowski-kombin´aci´oj´an az  αK + βL = αP + βQ : P ∈ K, Q ∈ L halmazt ´ertj¨ uk. Ha X = V vektort´er, akkor a Minkowski-kombin´aci´o az α + + β = 1 felt´etel n´elk¨ ul is ´ertelmezhet˝o. Az α = β = 1 esetben a K + L Minkowski-¨ osszegr˝ ol besz´el¨ unk. ´ ıt´ 2.1.5. All´ as. Konvex halmazok tetsz˝oleges Minkowski-kombin´aci´oja is konvex.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

´rben 2. Konvex halmazok affin te

69

Bizony´ıt´ as: Tegy¨ uk fel, hogy K ´es L konvex halmazok X-ben. Legyen az αK + βL Minkowski-kombin´ aci´o k´et tetsz˝oleges pontja A = αP + βQ ´es B = = αR+βS, ahol P, R ∈ K ´es Q, S ∈ L, tov´abb´a legyen C ∈ [A, B] tetsz˝oleges, azaz C = tA + (1 − t)B, t ∈ [0,1]. Ekkor C = t(αP + βQ) + (1 − t)(αR + + βS) = α(tP + (1 − t)R) + β(tQ + (1 − t)S), itt tP + (1 − t)R ∈ K ´es tQ + (1 − t)S ∈ L, ´ıgy C ∈ αK + βL. 2.1.6. Defin´ıci´ o (Konvex burok). A 2.1.3-beli utols´o p´elda k¨ovetkezt´eben b´ armely S ⊆ X halmazhoz az ˝ot tartalmaz´o X-beli konvex halmazok k¨oz¨ott l´etezik legsz˝ ukebb, m´egpedig az S-et tartalmaz´o ¨osszes X-beli konvex halmaz metszete. Ezt a halmazt nevezz¨ uk az S halmaz konvex burk´anak, ´es conv(S)sel jel¨ olj¨ uk. P´eld´ aul b´ armely szakasz a v´egpontjai konvex burka. Egy halmaz pontosan akkor konvex, ha azonos a konvex burk´aval. 2.1.7. Defin´ıci´ o (Konvex kombin´ aci´ o). Egy affin kombin´aci´ot konvex kombin´ aci´ onak nevez¨ unk, ha a benne szerepl˝o egy¨ utthat´ok nemnegat´ıvak. Teh´ at a P ∈ X pont az A1 , . . ., Ak pontok P konvex kombin´aci´oja, ha P = k = λ1 A1 + . . . + λk Ak , ahol λ1 , . . ., λk ≥ 0 ´es i=1 λi = 1. P´eld´ aul b´ armely szakasz pontosan a k´et v´egpont konvex kombin´aci´oib´ol ´all. 2.1.8. T´ etel. B´ armely ponthalmaz konvex burka a halmazb´ol vett v´eges pontrendszerek konvex kombin´aci´oib´ol ´all. Bizony´ıt´ as: Legyen S ⊆ X tetsz˝oleges, ´es jel¨olje c(S) az S-beli v´eges pontrendszerek ¨ osszes lehets´eges konvex kombin´aci´oi halmaz´at. Megmutatjuk, hogy c(S) = conv(S). c(S) ⊆ conv(S): Ha P ∈ c(S), akkor P valamely A1 , . . ., Ak ∈ S pontok λ1 , . . ., λk egy¨ utthat´ os konvex kombin´aci´oja. A pontok sz´ama, azaz k szerinti teljes indukci´ oval megmutatjuk, hogy P ∈ conv(S). A k = 1 eset trivi´alis, a k = 2 esetben pedig a konvexit´as defin´ıci´oja szerint ez igaz. Legyen k > 2 ´es tegy¨ uk f¨ ol, hogy a k-n´ al kevesebb tag´ u konvex kombin´aci´ok conv(S)-ben vannak. Ha a λi egy¨ utthat´ ok valamelyike 0, akkor az indukci´os feltev´est a t¨ obbi pontra alkalmazva k´eszen vagyunk. Egy´ebk´ent pedig legyen µ = λ1 + +. . .+λk−1 ´es µi = λi /µ (i = 1, . . . k −1). Ekkor B = µ1 A1 +. . .+µk−1 Ak−1 konvex kombin´ aci´ o, ez´ert az indukci´os feltev´esb˝ol B ∈ conv(S). V´eg¨ ul P a B ´es az Ak pont konvex kombin´aci´oja a µ ´es λk egy¨ utthat´okkal, ´ıgy P ∈ ∈ conv(S). conv(S) ⊆ c(S): El´eg bel´ atni, hogy c(S) konvex, hiszen az egytag´ u konvex kombin´ aci´ okkal S ⊆ c(S), ´es ´ıgy a konvex burok defin´ıci´oj´ab´ol conv(S) ⊆ c(S) k¨ ovetkezik. Legyen A, B ∈ c(S) ´es ´alljon el˝o A az A1 , . . ., Ak ∈ S pontok λ1 , . . ., λk egy¨ utthat´ os konvex kombin´aci´ojak´ent, B pedig a B1 , . . ., Bl ∈ ∈ S pontok µ1 , . . ., µl egy¨ utthat´os konvex kombin´aci´ojak´ent. Ha P ∈ [A, B],

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

70

Affin geometria

akkor P az A ´es a B konvex kombin´aci´oja valamilyen α ´es β egy¨ utthat´okkal. Ekkor a P pont el˝ o´ all´ıthat´ o az A1 , . . ., Ak , B1 , . . ., Bl ∈ S pontok konvex kombin´ aci´ ojak´ent rendre az αλ1 , . . ., αλk , βµ1 , . . ., βµl egy¨ utthat´okkal, ´ıgy P ∈ c(S). 2.1.9. K¨ ovetkezm´ eny. Egy S ⊆ X halmaz akkor ´es csak akkor konvex, ha z´ art a konvex kombin´ aci´ ok k´epz´es´ere, azaz ha b´armely v´eges sok S-beli pont b´ armely konvex kombin´ aci´ oja is eleme S-nek. Bizony´ıt´ as: Ha S konvex, akkor S = conv(S), ´ıgy a 2.1.8. T´etel miatt az S-beli pontok konvex kombin´aci´oi S-ben vannak. Megford´ıtva, ha S z´art a konvex kombin´ aci´ ok k´epz´es´ere, akkor ezt az S-beli pontp´arokra alkalmazva ad´ odik, hogy minden A, B ∈ S-re [A, B] ⊆ S.

2.2. Konvex halmazokra vonatkoz´ o alapt´ etelek 2.2.1. T´ etel (Carath´ eodory t´ etele). A d-dimenzi´os X affin t´erben egy S ⊆ X halmaz konvex burk´ anak b´armely pontja el˝o´all legfeljebb d + 1 darab S-beli pont konvex kombin´ aci´ojak´ent. Bizony´ıt´ as: A 2.1.8. T´etelt alkalmazva P ∈ conv(S) el˝o´all´ıthat´o valamilyen A1 , . . ., Ak ∈ S pontoknak valamilyen λ1 , . . ., λk egy¨ utthat´os konvex kombi−−→ −−→ n´ aci´ ojak´ent. Ekkor λ1 P A1 + . . . + λk P Ak = 0. Tegy¨ uk fel, hogy k a legkisebb olyan sz´ am, amellyel ilyen el˝ o´all´ıt´as lehets´eges, ekkor sz¨ uks´egk´eppen az o¨sszes λi pozit´ıv. Azt ´ all´ıtjuk, hogy k ≤ d + 1. Indirekt m´odon tegy¨ uk fel, hogy k > > d+1, ekkor az A1 , . . ., Ak pontrendszer nem f¨ uggetlen, ez´ert l´eteznek olyan, nem mind 0-val egyenl˝ o α1 , . . ., αk val´os sz´amok, hogy α1 + . . . + αk = 0 ´es −−→ −−→ α1 P A1 + . . . + αk P Ak = 0. Ekkor el´eg kicsi ε > 0 mellett a λ1 + εα1 , . . ., λk + εαk sz´ amok nemnegat´ıvak ; ehhez nyilv´an ε ≤ min{−λi /αi : αi < 0, 1 ≤ ≤ i ≤ k} elegend˝ o. V´ alasszuk ε-t ezzel a korl´attal egyenl˝onek. Ekkor a P pont az A1 , . . ., Ak pontok konvex kombin´aci´oja a λ1 + εα1 , . . ., λk + εαk egy¨ utthat´ okkal, amelyek k¨ oz¨ ott a 0 is el˝ofordul. P teh´at el˝o´all k-n´al kevesebb S-beli pont konvex kombin´ aci´ ojak´ent, ami ellentmond k minimalit´as´anak. 2.2.2. Defin´ıci´ o (Szimplex). Az X affin t´erben k-dimenzi´os szimplexnek nevezz¨ uk k + 1 darab f¨ uggetlen pont konvex burk´at. Jel¨ol´es: ha A0 , A1
, . . ., Ak ∈ X f¨ uggetlenek, akkor [A0 , A1 , . . . , Ak ] = conv {A0 , A1 , . . . , Ak } . Az A0 , A1 , . . ., Ak pontokat a szimplex cs´ ucsainak nevezz¨ uk. K¨ onnyen meggondolhat´ o (´es a 2.5. szakaszban r´eszletesen is t´argyaljuk majd), hogy a szimplex a cs´ ucsai halmaz´at egy´ertelm˝ uen meghat´arozza. A 0-dimenzi´ os szimplexek egypont´ uak, az 1-dimenzi´os szimplexek pontosan a nem elfajul´ o szakaszok, a 2-dimenzi´osakat h´aromsz¨ognek, a 3-dimenzi´osakat tetra´edernek nevezz¨ uk.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

´rben 2. Konvex halmazok affin te

71

Miut´ an egy szimplex a cs´ ucsai alkotta pontrendszer nemnegat´ıv egy¨ utthat´os affin kombin´ aci´ ob´ ol ´ all, b´ armely d-dimenzi´os szimplexet el˝o tudunk ´all´ıtani d + 1 darab z´ art f´elt´er k¨ oz¨os r´eszek´ent. Legyenek ugyanis A0 , A1 , . . ., Ad a szimplex cs´ ucsai, ekkor ezek a pontok affin b´azist alkotnak X-ben. Legyenek s0 , s1 , . . ., sd ∈ X ∗ az ehhez az affin b´azishoz tartoz´o du´alis affin form´ ak. (Eml´ekeztet˝ ou ¨l: si (P ) a P -t el˝o´all´ıt´o affin kombin´aci´oban szerepl˝o Td i-edik egy¨ utthat´ o.) Ekkor [A0 , A1 , . . . , Ad ] = i=0 {P ∈ X : si (P ) ≥ 0}, ´es ez a formula azt mutatja, hogy a szimplex el˝o´all´ıthat´o d + 1 darab z´art f´elt´er metszetek´ent. ´ ıt´ 2.2.3. All´ as. B´ armely S ⊆ X halmaz konvex burka el˝o´all azoknak a szimplexeknek az egyes´ıt´esek´ent, amelyeknek a cs´ ucsai S-nek elemei. Bizony´ıt´ as: B´ armelyik S-beli cs´ ucs´ u szimplex nyilv´an benne fekszik conv(S)ben, ´ıgy el´eg a ford´ıtott tartalmaz´ast bel´atni. Legyen P ∈ conv(S) tetsz˝oleges. A 2.1.8. T´etel szerint P benne van v´eges sok alkalmas S-beli pont konvex burk´ aban; v´ alasszunk egy olyan A0 , A1 , . . ., Ak minim´alis S-beli pontrendszert, amelynek P a konvex burk´aban van. El´eg megmutatni, hogy ez a pontrendszer f¨ uggetlen. Ha nem ´ıgy volna, akkor benne fek¨ udne egy kn´ al kisebb dimenzi´ oj´ u Y affin alt´erben, amelyre a 2.2.1. T´etelt alkalmazva az ad´ odna, hogy P el˝ o´ all az A0 , A1 , . . ., Ak pontok k¨oz¨ ul legfeljebb k darabnak a konvex kombin´ aci´ ojak´ent is. Ez ellentmond az A0 , A1 , . . ., Ak pontrendszer minimalit´ as´ anak. 2.2.4. Lemma (Radon t´ etele). Ha valamely S ⊆ X pontrendszer nem f¨ uggetlen, akkor S-nek l´eteznek olyan S1 ´es S2 diszjunkt r´eszhalmazai, amelyekre conv(S1 ) ∩ conv(S2 ) 6= ∅. Bizony´ıt´ as: Feltehet˝ o, hogy S = {A1 , A2 , . . . , Ak } v´eges. L´eteznek olyan λ1 , λ2 , . . ., λk nem csupa z´erus val´os sz´amok, amelyekre λ1 + λ2 + . . . + λk = 0 ´es −−→ −−→ −−→ valamilyen (tetsz˝ oleges) O ∈ X kezd˝oponttal λ1 OA1 +λ2 OA2 +. . .+λkP OAk = = 0. Legyen I = {i : λi > 0} ´es J = {j : λj < 0}, tov´abb´a λI = i∈I λi P −−→ P −−→ ´es λJ = j∈J λj . Ekkor az OP = i∈I (λi /λI ) · OAi egyenl˝os´eggel defini´alt −−→ P −−→ P pontra OP = j∈J (λj /λJ ) · OAj is teljes¨ ul. Mindk´et formul´aban konvex kombin´ aci´ ok ´ allnak, emiatt P ∈ conv(S1 ) ∩ conv(S2 ), ahol S1 = {Ai : i ∈ I} ´es S2 = {Aj : j ∈ J}. 2.2.5. T´ etel (Helly t´ etele, v´ eges v´ altozat). Legyen adott a d-dimenzi´os val´ os affin t´erben v´eges sok konvex halmaz. Ha k¨oz¨ ul¨ uk b´armelyik legfeljebb (d + 1)-nek van k¨ oz¨ os pontja, akkor az ¨osszesnek van k¨oz¨os pontja. Bizony´ıt´ as: Legyenek K1 , K2 , . . ., Kn az adott konvex halmazok. Teljes indukci´ ot alkalmazunk n szerint. Ha n ≤ d + 1, akkor nincs mit bizony´ıtani; legyen n = d + 2. B´ armelyik 1 ≤ m ≤ d + 2 indexhez a feltev´es szerint

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

72

Affin geometria

tal´ alhat´ o olyan Am pont, amelyre Am ∈ Ki teljes¨ ul minden i 6= m, 1 ≤ ≤ i ≤ d + 2 eset´en. Az A1 , A2 , . . ., Ad+2 pontok rendszere o¨sszef¨ ugg˝o, ez´ert a 2.2.4. Lemm´ at alkalmazva vannak olyan diszjunkt I ´es J indexhalmazok, hogy a conv({Ai : i ∈ I}) ´es a conv({A etezik P T j : j ∈ J}) halmazoknak l´ T k¨ oz¨ os pontja. Ekkor az {Ai : i ∈ I} ⊆ i∈I K ´ e s az {A : j ∈ J} ⊆ i j j ∈J / Kj
Td+2
T/ T tartalmaz´ asok miatt P ∈ j ∈J / Kj = m=1 Km . i∈I / Ki ∩ Tegy¨ uk fel most, hogy n > d + 2 ´es az n − 1 halmazb´ol ´all´o rendszerekre igaz az ´ all´ıt´ as. Legyen m = 1, . . . , n − 1 -re Lm = Km ∩ Kn . Ekkor az Lm halmazok is konvexek ´es k¨ oz¨ ul¨ uk b´armely (d+1)-nek van k¨oz¨os pontja, hiszen ennek az ellen˝ orz´es´ehez a Km halmazok k¨oz¨ ul (d + 2)-nek kell k¨oz¨os ponttal Tn Tn−1 b´ırnia, ezt pedig m´ ar bel´ attuk. Nyilv´an m=1 Km = m=1 Lm , ez´ert az L1 , L2 , . . ., Ln−1 halmazok rendszer´ere az indukci´os feltev´est alkalmazva ad´odik az ´ all´ıt´ as. A Helly-t´etelnek olyan v´ altozata is haszn´alatos, amelyben a konvex halmazok sz´ ama nem felt´etlen¨ ul v´eges. V´egtelen sok halmaz k¨oz¨os pontj´anak l´etez´es´ehez nem kell er˝ osebb geometriai feltev´est tenn¨ unk, ez puszt´an topol´ogiai okok k¨ ovetkezm´enye lesz. Az al´ abbi lemma az Rd -beli kompakt (azaz korl´atos ´es z´ art) halmazok egyik gyakran haszn´alt topol´ogiai tulajdons´aga, bizony´ıt´as´ at´ ol itt eltekint¨ unk. Az absztrakt topol´ogi´aban ´eppen ezt a tulajdons´agot haszn´ alj´ ak a kompakts´ ag defin´ıci´ojak´ent. 2.2.6. Lemma. Legyen K ⊆ X kompakt halmaz. Ha X-beli ny´ılt halmazok egy rendszere lefedi K-t, akkor ezek k¨oz¨ ul a halmazok k¨oz¨ ul v´eges sok is lefedi K-t. 2.2.7. T´ etel (Helly t´ etele, v´ egtelen v´ altozat). Legyen adott a d-dimenzi´ os val´ os affin t´erben tetsz˝ olegesen sok konvex z´art halmaz, amelyek k¨oz¨ott legal´ abb az egyik korl´ atos. Ha a halmazok k¨oz¨ ul b´armelyik legfeljebb (d + 1)nek van k¨ oz¨ os pontja, akkor az ¨osszesnek van k¨oz¨os pontja. Bizony´ıt´ as: Legyen K a halmazrendszer kompakt tagja. Indirekt m´odon tegy¨ uk fel, hogy a halmazoknak nincs k¨oz¨os pontja. Ekkor K-nak ny´ılt halmazokkal val´ o lefed´es´et alkotja a t¨obbi halmaz komplementere. Hivatkozva a 2.2.6. Lemm´ ara ´es K kompakts´ag´ara a halmazrendszer v´eges sok tagj´anak a komplementere is lefedi K-t, azaz ennek a v´eges sok tagnak K-val egy¨ utt nincs k¨ oz¨ os pontja. Ez pedig ellentmond a 2.2.5. T´etelnek. A Helly-t´etel alkalmaz´ asak´ent az al´abbi ´all´ıt´asban megmutatjuk, hogy egy kompakt konvex halmaz nem t´erhet el tetsz˝olegesen nagy m´ert´ekben att´ol, hogy k¨ oz´eppontosan szimmetrikus legyen.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

´rben 2. Konvex halmazok affin te

73

´ ıt´ 2.2.8. All´ as. Legyen K kompakt konvex halmaz a d-dimenzi´os val´os affin t´erben, d ≥ 1. Ekkor l´etezik olyan P ∈ K pont, hogy b´armely P -n ´atmen˝o E ⊆ X egyenesre K ∩ E = [A, B], A 6= B 6= P eset´en az (ABP ) oszt´oviszonyra 1/d ≤ (ABP ) ≤ d teljes¨ ul. Bizony´ıt´ as: Minden Q ∈ K pontra k´esz´ıts¨ uk el a KQ = HQ,d/(d+1) (K) konvex ´ ıtjuk, hogy ezek k¨oz¨ halmazt. All´ ul a halmazok k¨oz¨ ul b´armelyik (d + 1)-nek van k¨ oz¨ os pontja. Legyen ugyanis Q1 , Q2 , . . ., Qd+1 ∈ K tetsz˝oleges. Jel¨olj¨ uk S-sel ezek s´ ulypontj´ at ´es Si -vel az i-edik elhagy´asa ut´an a t¨obbi pont s´ ulypontj´ at: 1 1 Q1 + . . . + Qd+1 , d+1 d+1 1 1 1 1 Si = Q1 + . . . + Qi−1 + Qi+1 + . . . + Qd+1 ; d d d d S=

ekkor Si ∈ K ´es a s´ ulyok csoportos´ıt´as´aval minden i = 1, . . . , (d + 1) -re 1 d S = d+1 Qi + d+1 Si = HQi ,d/(d+1) (Si ) T∈ KQi teljes¨ ul. A 2.2.6. K¨ovetkezm´enyt alkalmazva v´ alasszunk egy P ∈ {KQ : Q ∈ K} pontot. Ha [A, B] a K halmaz P -n ´ atmen˝ o h´ urja ´es A 6= B 6= P , akkor P ∈ KA miatt P ∈ ∈ HA,d/(d+1) ([A, B]), ahonnan (ABP ) ≤ d. A m´asik egyenl˝otlens´eg A ´es B szerepcser´ej´evel ad´ odik. Megjegyz´es. A d-dimenzi´ os szimplex p´eld´aja mutatja, hogy d a lehet˝o legkisebb sz´ am, amellyel a 2.2.8-beli egyenl˝otlens´egek fenn´allnak, tov´abb´a szimplex eset´en a cs´ ucsok s´ ulypontja az egyetlen alkalmas P pont.

2.3. Konvex halmazok topol´ ogiai tulajdons´ agai Az al´ abbiakban (ahogyan m´ ar 2.2.6–2.2.8-ban is) a ny´ılt, z´art, kompakt stb. jelz˝ ok az X affin t´er term´eszetes topol´ogi´aj´ara vonatkoznak. Az intS, S, illetve ∂S jel¨ ol´eseket is egy S ⊆ X ponthalmaznak az X t´er term´eszetes topol´ogi´aj´ ara vonatkoz´ o belsej´ere, lez´ ar´as´ara ´es hat´ar´ara haszn´aljuk. ´ ıt´ 2.3.1. All´ as. Konvex halmaz lez´ar´asa konvex. Bizony´ıt´ as: Tegy¨ uk fel, hogy K ⊆ X konvex, legyen A, B ∈ K ´es P ∈ [A, B]. Ekkor valamilyen t ∈ [0,1]-re P az A ´es B konvex kombin´aci´oja t ´es 1 − − t egy¨ utthat´ okkal. L´eteznek olyan K-beli An ´es Bn sorozatok, hogy An → A ´es Bn → B. Ekkor az An ´es a Bn pont t ´es 1 − t egy¨ utthat´okkal vett Pn konvex kombin´ aci´ oja K-hoz tartozik. Affin koordin´at´akat haszn´alva ´es a vektorm˝ uveletek folytonoss´ ag´ara hivatkozva r¨ogt¨on l´athat´o, hogy Pn → P , ahonnan P ∈ K.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

74

Affin geometria

´ ıt´ 2.3.2. All´ as. Legyen K konvex halmaz. Ekkor : (1) Ha A ∈ K ´es B ∈ intK, akkor [A, B] − {A} ⊆ intK. (2) intK konvex. (3) intK pontosan akkor u ¨res, ha K benne fekszik egy hipers´ıkban. (4) intK = intK. (5) Ha intK 6= ∅, akkor K = intK. Bizony´ıt´ as: (1): Legyen P ∈ [A, B], P 6= A, B tetsz˝oleges pont ´es defini´aljuk −→ −−→ a λ val´ os sz´ amot a AP = λ · AB egyenl˝os´eggel, ekkor 0 < λ < 1. A P k¨ oz´eppont´ u, λ/(λ − 1) ar´ any´ u HP,λ/(λ−1) homot´ecia a B pontot A-ba, ´ıgy az intK ny´ılt halmazt A egy ny´ılt k¨ornyezet´ebe viszi.

Emiatt v´ alaszthatunk olyan C ∈ K pontot, amely A-nak ebbe a k¨ornyezet´ebe esik, azaz amelyn´el a Q = HP,(λ−1)/λ (C) pontra Q ∈ intK. Tekints¨ uk most a HC,λ homot´eci´ at. Egyr´eszt HC,λ (Q) = P , m´asr´eszt C ∈ K miatt HC,λ (K) ⊆ ⊆ K ´es ann´ al ink´ abb HC,λ (intK) ⊆ K teljes¨ ul. Teh´at P ∈ HC,λ (intK) ⊆ K, ahol HC,λ (intK) ny´ılt halmaz, ´es ´ıgy P ∈ intK. (2): R¨ ogt¨ on k¨ ovetkezik (1)-b˝ol. (3): Ha K nem r´esze semmilyen hipers´ıknak, akkor dimhKi = d, ez´ert K-ban van d + 1 f¨ uggetlen pont: A0 , A1 , . . ., Ad . Ekkor K lefedi az [A0 , A1 , . . . , Ad ] d-dimenzi´ os szimplexet. A baricentrikus koordin´at´akkal adott [1 : 1 : . . . : : 1] pont (azaz az A0 , A1 , . . ., Ad pontrendszer s´ ulypontja) a szimplexet metszetk´ent el˝ o´ all´ıt´ o f´elterek mindegyik´enek bels˝o pontja, ´ıgy a szimplexnek is bels˝ o pontja, ann´ al ink´ abb bels˝o pontja K-nak. Megford´ıtva, ha H hipers´ık ´es K ⊆ H, akkor intH = ∅ miatt intK = ∅. an intK ⊆ intK. Megford´ıtva, legyen P ∈ intK. (4): K ⊆ K miatt nyilv´ Ekkor intK nem lehet u ¨res, mert akkor (3) alkalmaz´as´aval K ´es ´ıgy K is benne fek¨ udne egy hipers´ıkban, ´es akkor intK is u ¨res lenne. V´alasszunk egy B ∈ intK pontot. Az intK halmaz ny´ılt volta miatt v´alaszthatunk olyan A pontot a hP, Bi egyenesen, amely intK-ba esik ´es amelyre P ∈ [A, B], A 6= P . Ekkor az (1) ´ all´ıt´ as alkalmaz´as´aval P ∈ intK.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

´rben 2. Konvex halmazok affin te

75

(5): A K ⊇ intK tartalmaz´as K ⊇ intK miatt nyilv´anval´o. A ford´ıtott ir´ any´ u tartalmaz´ as igazol´ as´ ahoz tekints¨ unk egy tetsz˝oleges A ∈ K pontot. V´ alasszunk egy A-t´ ol k¨ ul¨ onb¨oz˝o B ∈ intK pontot is, ekkor az A pont benne van az [A, B] − {A} halmaz lez´ar´as´aban. Ekkor az (1) ´all´ıt´as felhaszn´al´as´aval az A pont benne van az enn´el b˝ovebb intK halmaz lez´ar´as´aban is. ´ ıt´ 2.3.3. All´ as (1) Ny´ılt halmaz konvex burka ny´ılt. (2) Kompakt halmaz konvex burka kompakt. ´ ıBizony´ıt´ as: (1): Legyen S ⊂ X ny´ılt ´es P ∈ conv(S). Ekkor a 2.2.3. All´ t´ as szerint vannak olyan A0 , A1 , . . ., Ak ∈ S f¨ uggetlen pontok, hogy P ∈ ∈ [A0 , A1 , . . . , Ak ], azaz P az A0 , A1 , . . ., Ak pontok konvex kombin´aci´oja valamilyen λ0 , λ1 , . . ., λk egy¨ utthat´okkal. Feltehet˝o, hogy p´eld´aul 0 < λ0 < < 1. Legyen i = 1, . . . , k -ra µi = λi /(1 − λ0 ), ekkor Q = µ1 A1 + . . . + µk Ak is konvex kombin´ aci´ o, ´ıgy Q ∈ conv(S). A P pont A0 -nak ´es Q-nak λ0 ´es −−→ 1 − λ0 egy¨ utthat´ okkal vett konvex kombin´aci´ojak´ent ´all el˝o, ahonnan QP = −−→ = λ0 · QA0 . Emiatt a Q k¨ oz´eppont´ u, λ0 ar´any´ u homot´ecia az A0 pontot P -be k´epezi, ´es Q ∈ conv(S) miatt az S ny´ılt halmazt conv(S) egy r´eszhalmaz´aba. Ez a r´eszhalmaz a P pontnak olyan k¨ornyezete, amely conv(S)-ben fekszik. (2): Tekints¨ uk az Y = Rd+1 × X d+1 affin t´eren azt a ∆ : Y → X lek´epez´est, amelyn´el ∆(λ0 , . . . , λd , A0 , . . . , Ad ) = λ0 A0 + . . . + λd Ad . Az X t´erben affin koordin´ at´ ak felhaszn´ al´ as´ aval r¨ogt¨on l´athat´o, hogy ∆ affin lek´epez´es, ´es ´ıgy folytonos. Ha S ⊂ X nem¨ ures kompakt halmaz, akkor a d n o X T = (λ0 , . . . , λd , A0 , . . . , Ad ) ∈ Y : λi = 1, λi ≥ 0, Ai ∈ S (i = 0, . . . , d) i=0

halmaz is kompakt, hiszen korl´atos ´es z´art az Y t´erben. A 2.2.1. T´etel miatt conv(S) = ∆(T ), ´ıgy a ∆ lek´epez´es folytonoss´aga miatt conv(S) kompakt. Megjegyz´es. Z´ art halmaz konvex burka nem felt´etlen¨ ul z´art, amint azt a s´ıkon egy egyenes ´es egy r´ a nem illeszked˝o pont egyes´ıt´esek´ent el˝o´all´o halmaz p´eld´ aja mutatja. 2.3.4. Defin´ıci´ o (Konvex halmaz dimenzi´ oja). A K ⊆ X nem¨ ures konvex halmaz dimenzi´ oj´ an a K affin burk´anak dimenzi´oj´at ´ertj¨ uk, azaz dim K = = dimhKi. ´ ıt´ A 2.3.2.(3) All´ asb´ ol k¨ ovetkezik, hogy dim K = dim X pontosan akkor teljes¨ ul, ha K-nak van bels˝ o pontja.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

76

Affin geometria

2.3.5. P´ eld´ ak • Ha A0 , . . ., Ak f¨ uggetlen pontok, akkor dim[A0 , . . . , Ak ] = dimhA0 , . . . , Ak i = k, teh´ at egy k-dimenzi´os szimplex dimenzi´oja a 2.3.4. Defin´ıci´o ´ertelm´eben is k.
• Egy n-dimenzi´ os vektort´eren a szimmetrikus biline´aris f¨ uggv´enyek n+1 2 dimenzi´ os vektorteret alkotnak, amelyben
a pozit´ıv definit f¨ uggv´enyek alkotta konvex k´ up ny´ılt, ´ıgy szint´en n+1 -dimenzi´ o s. 2 • A dupl´ an sztochasztikus n×n-es m´atrixok Bn halmaz´at 2n−1 f¨ uggetlen egyenlet (´es n2 tov´ abbi egyenl˝otlens´eg) ´ırja le az Rn×n t´erben, ez´ert dim Bn = (n − 1)2 . 2.3.6. Defin´ıci´ o (Konvex halmaz relat´ıv belseje ´ es relat´ıv hat´ ara). Legyen K ⊆ X nem¨ ures konvex halmaz. K relat´ıv belsej´enek (relat´ıv hat´ar´ anak) nevezz¨ uk ´es relintK-val (rel∂K-val) jel¨olj¨ uk K bels˝o pontjainak (hat´ arpontjainak) halmaz´ at a hKi affin t´erre vonatkoz´oan. ´ ıt´ A 2.3.2.(3) All´ asb´ ol k¨ ovetkezik, hogy b´armely nem¨ ures konvex halmaz relat´ıv belseje sem u ot, 2.3.2.(5) miatt K = relint K ´erv´enyes b´armely K ¨res. S˝ konvex halmazra. ´ ıt´ 2.3.7. All´ as. Legyen K ⊂ X legal´abb egydimenzi´os kompakt konvex halmaz. Ekkor K = conv(rel∂K). Bizony´ıt´ as: Legyen P ∈ K tetsz˝oleges ´es v´alasszunk egy P -n ´athalad´o E egyenest az hKi affin alt´erben. Ekkor E ∩ K egy (esetleg elfajul´o) [A, B] szakasz E-ben, ahol A, B ∈ rel∂K. ´Igy P ∈ conv(rel∂K). ´ ıt´ 2.3.8. All´ as. Ha K, L ⊂ X nem¨ ures diszjunkt konvex z´art halmazok ´es legal´ abb az egyik¨ uk kompakt, akkor l´eteznek diszjunkt konvex ny´ılt k¨ornyezeteik, azaz olyan M, N ⊂ X konvex ny´ılt halmazok, amelyekre K ⊂ M , L ⊂ N ´es M ∩ N = ∅. Bizony´ıt´ as: Affin koordin´ atarendszer bevezet´es´evel feltehet˝o, hogy X = Rd . Legyen p´eld´ aul K kompakt. A ρ(x, L) = inf{ρ(x, y) : y ∈ L} (x ∈ Rd ) f¨ uggv´eny folytonos ´es L z´ arts´aga miatt L-en k´ıv¨ ul pozit´ıv, ez´ert a K kompakt halmazon pozit´ıv minimumot vesz fel; legyen δ ez a minimum´ert´ek. Ekkor az M = K +B(0, δ/2) ´es az N = L+B(0, δ/2) Minkowski-¨osszegek diszjunktak. ´ ıt´as miatt, tov´abb´a ny´ılt halmazok, hiszen a M ´es N konvexek a 2.1.5. All´ B(0, δ/2) ny´ılt halmaz eltoltjainak uni´oi. ´ ıt´ Megjegyz´es. A 2.3.8. All´ asban a kompakts´agi feltev´es nem engedhet˝o el. Tekints¨ uk p´eld´ aul ugyanis az R2 s´ıkban a K = {(x, y) : x > 0, y ≥ 1/x} ´es az L = {(x, y) : y ≤ 0} halmazt, ezeknek nincsenek diszjunkt konvex k¨ ornyezeteik.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

´rben 2. Konvex halmazok affin te

77

2.3.9. T´ etel (1) Ha M ⊆ X nem¨ ures konvex ny´ılt halmaz, akkor M homeomorf X-szel (azaz az Rd t´errel). (2) Ha K ⊆ X kompakt konvex halmaz ´es intK 6= ∅, akkor K homeod morf a B = B(0,1) ⊆ Rd z´art egys´egg¨ombtesttel, ∂K pedig az Sd−1 egys´egg¨ ombfel¨ ulettel. Bizony´ıt´ as: (1): Alkalmas affin koordin´atarendszer v´alaszt´as´aval feltehet˝o, hogy X = Rd ´es 0 ∈ M . Defini´aljuk a λ : Rd → R f¨ uggv´enyt a o n1 : λ > 0, λ · x ∈ M (x ∈ Rd ) λ(x) = inf λ formul´ aval. Nyilv´ an λ pozit´ıv-homog´en, azaz b´armely c > 0-ra ´es x-re λ(c·x) = ´ ıtjuk, hogy a λ f¨ = c · λ(x). All´ uggv´eny folytonos. R¨ ogt¨ on k¨ ovetkezik a defin´ıci´ob´ol, hogy x ∈ M -re λ(x) < 1, x ∈ ∂M -re λ(x) = 1 ´es x ∈ / M -ra λ(x) > 1 teljes¨ ul. Ez´ert λ(x) 6= 0 eset´en λ(x) azzal az ar´ annyal egyenl˝ o, amilyen ar´any´ u orig´o k¨oz´eppont´ u homot´eci´at M -re alkalmazva az x pont az M k´ep´enek hat´arpontja. (Tov´abb´a λ(x) = 0 pontosan azokra az x-ekre ´ all, amelyekhez nem tal´alhat´o ilyen homot´ecia.) Emiatt b´armely a > 0 val´ os sz´ amra λ−1 (0, a) = H0,a (M ) ´es λ−1 (a, +∞) = H0,a (Rd − − M ) ny´ılt halmazok, ´ıgy λ folytonos. Defini´ aljuk az f : M → Rd ´es a g : Rd → M lek´epez´est az x y f (x) = , g(y) = 1 − λ(x) 1 + λ(y) formul´ akkal. A λ f¨ uggv´eny folytonoss´aga miatt f ´es g folytonos, tov´abb´a λ(g(y)) = λ(y)/(1 + λ(y)) < 1 miatt g val´oban M -be k´epez. A λ f¨ uggv´eny pozit´ıv-homogenit´ as´ anak felhaszn´al´as´aval k¨ozvetlen sz´amol´as mutatja, hogy f ´es g egym´ as inverzei. (2): Legyen M = intK, a fentiekhez hasonl´oan tegy¨ uk f¨ol, hogyX = Rd , 0 ∈ d ∈ M , ´es defini´ aljuk a λ : R → R f¨ uggv´enyt. Most a ∂K halmaz kompakts´aga ´es 0 ∈ / ∂K miatt alkalmas c, C > 0 konstansokkal c < λ(x)/kxk < C fenn´all minden x ∈ ∂K-ra, ´ıgy λ pozit´ıv-homogenit´asa miatt minden x 6= 0-ra is. Ez´ert az F, G : Rd → Rd ,      kyk · y , ha y 6= 0  λ(x) · x , ha x 6= 0 ´es G(y) = λ(y) F (x) = kxk   0 , 0 , ha x = 0 ha y = 0 lek´epez´esek folytonosak (a 0 ∈ Rd pontban is). Nyilv´an F ´es G egym´as d inverzei, tov´ abb´ a F (K) = B ´es F (∂K) = Sd−1 .

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

78

Affin geometria

2.3.10. Ko eny. B´ armely k-dimenzi´os konvex halmaz relat´ıv belseje ¨vetkezm´ homeomorf Rk -val. B´ armely k-dimenzi´os korl´atos konvex halmaz lez´ar´asa k homeomorf B -val, hat´ ara homeomorf Sk−1 -gyel. Bizony´ıt´ as: Ha L konvex ´es dim L = k, akkor relintL nem¨ ures ´es ny´ılt a kdimenzi´ os hLi affin alt´erben. ´Igy M = relintL -re ´es X = hLi-re alkalmazhat´o a 2.3.9.(1) T´etel. Ha L m´eg korl´atos is, akkor a 2.3.9.(2) T´etelt alkalmazzuk K = L -ra.

2.4. Elv´ alaszt´ as, t´ amaszhipers´ıkok 2.4.1. Defin´ıci´ o (Elv´ alaszthat´ o halmazok). Legyen A, B ⊆ X. Azt mondjuk, hogy a H ⊂ X hipers´ık elv´alasztja A-t ´es B-t, ha A ´es B a H szerinti k´et k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o z´ art f´elt´erbe esik. K´et X-beli ponthalmaz elv´alaszthat´o, ha tal´ alhat´ o hozz´ ajuk olyan hipers´ık, amely elv´alasztja ˝oket. Azt mondjuk, hogy a H hipers´ık szigor´ uan elv´alasztja A-t ´es B-t, ha A ´es B a H szerinti k´et k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o ny´ılt f´elt´erbe esik. K´et X-beli ponthalmaz szigor´ uan elv´ alaszthat´ o, ha tal´ alhat´o hozz´ajuk olyan hipers´ık, amely szigor´ uan elv´ alasztja ˝ oket. Ha A ´es B konvex halmazok X-ben, akkor b´armely relintA-t ´es relintB-t elv´ alaszt´ o hipers´ık a 2.3.6. Defin´ıci´ot k¨ovet˝o ´eszrev´etel alapj´an egy´ uttal A -t ´es B -t, ´es ´ıgy A-t ´es B-t is elv´alasztja. A szigor´ uan elv´ alaszthat´ o halmazok sz¨ uks´egk´eppen diszjunktak, m´ıg az elv´ alaszthat´ o halmazok nem felt´etlen¨ ul azok. Sz´els˝os´eges p´eldak´ent b´armely hipers´ık elv´ alasztja saj´ at mag´at saj´at mag´at´ol. 2.4.2. Lemma (Banach–Hahn-t´ etel). Legyen M ⊂ X ny´ılt konvex halmaz ´es Y ⊂ X affin alt´er, melyekre M ∩Y = ∅. Ekkor l´etezik olyan H hipers´ık X-ben, hogy Y ⊆ H ´es M ∩ H = ∅. Bizony´ıt´ as: Feltehetj¨ uk, hogy M 6= ∅. El˝osz¨or bel´atjuk a lemm´at a s´ık eset´ere, azaz abban a speci´ u. S alis esetben, amikor dim X = 2 ´es Y = {P } egypont´ Tekints¨ uk az N = λ>0 HP,λ (M ) ny´ılt halmazt. A 2.1.3-beli ¨ot¨odik p´elda szerint az N halmaz konvex, ´es nyilv´an P ∈ ∂N . Az N halmaznak van tov´abbi Q 6= P hat´ arpontja, hiszen {P } semmilyen s´ıkbeli konvex ny´ılt halmaz hat´a´ ıtjuk, hogy az E = hP, Qi egyenes ekkor diszjunkt r´ aval nem lehet azonos. All´ N -t˝ ol, ´es ´ıgy M -t˝ ol is. Ellenkez˝o esetben ugyanis v´alasszunk egy R ∈ E ∩ N pontot. Ha R az E egyenesen a Q-t tartalmaz´o P szerinti f´elegyenesre esik, akkor Q = HP,λ (R) valamilyen λ > 0-val, ahonnan Q ∈ N k¨ovetkezik, ami lehetetlen, hiszen N ny´ılt ´es Q ∈ ∂N . Ha pedig R a m´asik f´elegyenes pont´ ıt´ ja, akkor a 2.3.2.(1) All´ ast N -re, Q-ra ´es R-re alkalmazva k¨ovetkezik, hogy P ∈ N , ami szint´en lehetetlen.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

´rben 2. Konvex halmazok affin te

79

Tekints¨ uk most az ´ altal´ anos esetet; feltehetj¨ uk, hogy d = dim X ≥ 3 ´es azt is, hogy dim Y ≤ d − 2. Legyen Z ⊇ Y maxim´alis dimenzi´os M -t˝ol diszjunkt affin alt´er X-ben, bel´ atjuk, hogy Z hipers´ık. Indirekt m´odon tegy¨ uk fel, hogy → − → − dim Z ≤ d − 2. Faktoriz´ aljuk X-et a Z alt´er szerint ´es legyen q : X → X/ Z → − a faktoriz´ al´ o lek´epez´es. Ekkor a q(M ) ⊂ X/ Z halmaz konvex, ny´ılt ´es a q(Z) → − pont nem tartozik hozz´ a. V´ alasszunk egy tetsz˝oleges S ⊆ X/ Z k´etdimenzi´os affin alteret a q(Z) ponton ´ at. Alkalmazzuk a lemma m´ar bizony´ıtott speci´alis eset´et a q(Z) pontra ´es az S ∩ q(M ) konvex ny´ılt halmazra az S affin s´ıkban. Ha E ⊂ S egyenes, melyre q(Z) ∈ E ´es E ∩ q(M ) = ∅, akkor q −1 (E) egy Zn´el magasabb dimenzi´ os, Y -t tartalmaz´o, M -t˝ol diszjunkt affin alt´er X-ben, ami ellentmond Z maximalit´as´anak. ´ ıt´ 2.4.3. All´ as. Legyenek M ´es N nem¨ ures diszjunkt konvex halmazok Xben, amelyek k¨ oz¨ ul legal´ abb az egyik ny´ılt. Ekkor M ´es N elv´alaszthat´ok. Ha mindk´et halmaz ny´ılt, akkor szigor´ uan is elv´alaszthat´ok. Bizony´ıt´ as: Tegy¨ uk fel, hogy M ny´ılt. Tetsz˝olegesen v´alasztott orig´oval azonos´ıtsuk X-et a V vektort´errel, majd k´epezz¨ S uk az N −M Minkowski-kombin´aci´ot. N − M ny´ılt halmaz, hiszen N − M = x∈N (x − M ) ´es itt mindegyik x − M tag az M k¨ oz´eppontos szimmetri´aval sz´armaz´o k´ep´enek egy eltoltja, teh´at ny´ılt. Tov´ abb´ a M ∩ N = ∅ miatt N − M nem tartalmazza az orig´ot, ez´ert a 2.4.2. Lemma felhaszn´ al´ as´ aval tal´alhat´o olyan s ∈ V ∗ line´aris forma, amely minden N − M -beli vektoron pozit´ıv ´ert´eket vesz fel. Emiatt az s(M ) ⊂ R intervallum minden eleme kisebb az s(N ) ⊂ R intervallum minden elem´en´el. V´ alasszunk egy elv´ alaszt´ o pontot, azaz a [sup s(M ), inf s(N )] z´art intervallum egy tetsz˝ oleges c elem´et. Ekkor a v 7→ s(v) − c affin forma z´er´ohalmaza olyan hipers´ık, amely elv´ alasztja M -et ´es N -et. Ha M ´es N is ny´ılt halmaz, akkor s(M ) ´es s(N ) ny´ılt intervallumok ´es ´ıgy c ∈ / s(M ) ∪ s(N ), emiatt ez a hipers´ık szigor´ uan v´ alasztja el M -t ´es N -et. 2.4.4. K¨ ovetkezm´ eny. Legyenek K ´es L nem¨ ures diszjunkt konvex z´art halmazok, amelyek k¨ oz¨ ul legal´abb az egyik kompakt. Ekkor K ´es L szigor´ uan elv´ alaszthat´ ok. ´ ıt´asokb´ol. Bizony´ıt´ as: R¨ ogt¨ on k¨ ovetkezik a 2.3.8. ´es a 2.4.3. All´ Megjegyz´es. A 2.4.4. K¨ ovetkezm´enyben a kompakts´agi feltev´es nem enged´ ıt´ast k¨ovet˝o megjegyz´esben szehet˝ o el, tekints¨ uk ugyanis p´eld´aul a 2.3.8. All´ repl˝ o K ´es L halmazokat. 2.4.5. Ko eny. Az X affin t´er egy r´eszhalmaza pontosan akkor kon¨vetkezm´ vex ´es z´ art, ha el˝ o´ all z´ art f´elterek metszetek´ent. A konvex z´art halmazok is ´es a konvex ny´ılt halmazok is el˝o´allnak ny´ılt f´elterek metszetek´ent. Bizony´ıt´ as: Z´ art f´elterek metszete nyilv´an konvex ´es z´art. Megford´ıtva, legyen K ⊆ X konvex z´ art halmaz. V´alasszunk a 2.4.4. K¨ovetkezm´eny alapj´an

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

80

Affin geometria

minden P ∈ X − K ponthoz egy P -t ´es K-t szigor´ uan elv´ T alaszt´o hipers´ıkot ´es annak a K-t tartalmaz´ o FP z´art f´elter´et. Ekkor K = P ∈X−K FP . Ha a fenti konstrukci´ oban FP -nek a megfelel˝o ny´ılt f´elteret v´alasztjuk, akkor K ny´ılt f´elterek metszetek´ent ´all el˝o. V´eg¨ ul, ha K ny´ılt, akkor a 2.4.3. ´ ıt´ All´ asra hivatkozva v´ alasztjuk a hipers´ıkokat, majd a ny´ılt f´eltereket. ´ ıt´ 2.4.6. All´ as. Ha K, L ⊆ X diszjunkt
konvex halmazok, akkor b´armely P ∈
X pontra K diszjunkt conv {P } ∪ L -t˝ol, vagy L diszjunkt conv {P } ∪ ∪ K -t´ ol.
Bizony´ıt´ as: Feltehet˝ o, hogy P ∈ / K ∪ L. Ha A ∈ K ∩ conv {P } ∪ L , akkor valamilyen B ∈ L pontra A ∈ [P, B]. Hasonl´ok´eppen ha C ∈ L ∩ conv {P } ∪
∪ K , akkor C ∈ [P, D] alkalmas D ∈ K-val. Az A, B, C, D, P pontok mindannyian egy s´ıkban vannak, ahol az hA, Di egyenes elv´alasztja B-t Ct˝ ol, valamint a hB, Ci egyenes elv´alasztja A-t D-t˝ol. Emiatt az [A, D] ⊆ ⊆ K ´es [B, C] ⊆ L szakaszok metszik egym´ast, ami ellentmond K ´es L diszjunkts´ ag´ anak. 2.4.7. T´ etel. Legyenek K, L ⊂ X nem¨ ures konvex halmazok, melyekre relintK ´es relintL diszjunktak. Ekkor K ´es L elv´alaszthat´ok. Bizony´ıt´ as: Nyilv´ an elegend˝ o relintK ´es relintL elv´alaszthat´os´ag´at megmutatni. Ha K ´es L k¨ oz¨ ul legal´ abb az egyik d-dimenzi´os, akkor relintK ´es relintL k¨oz¨ ul ´ ıt´ast alkalmazva k´eszen vagyunk. legal´ abb az egyik ny´ılt, ez´ert a 2.4.3. All´ Ha K ´es L mindketten d-n´el alacsonyabb dimenzi´osak, akkor el´eg teh´at megmutatni, hogy relintK ´es relintL belefoglalhat´ok olyan diszjunkt konvex hal´ mazokba, amelyek k¨ oz¨ ul legal´abb az egyik d-dimenzi´os. Ezt pedig a 2.4.6. All´ıt´ as ism´etelt alkalmaz´ as´ aval ´erj¨ uk el. Ha ugyanis M ´es N d-n´el alacsonyabb
dimenzi´ oj´ u diszjunkt konvex halmazok, akkor valamely P ∈ X −
hM i ∪ hN i pontot v´ alasztva 2.4.6 szerint M kib˝
ov´ıthet˝o a conv {P } ∪ M halmazz´a vagy N kib˝ ov´ıthet˝ o a conv {P } ∪ N halmazz´a u ´gy, hogy tov´abbra is k´et diszjunkt konvex halmazt kapjunk. E l´ep´es sor´an az egyik halmaz dimenzioja eggyel n˝ ´ ott, ez´ert ilyen kib˝ov´ıt´esek v´eges egym´asut´anj´aval el˝obb-ut´obb egyik¨ uk d-dimenzi´ os lesz. 2.4.8. Defin´ıci´ o (T´ amaszhipers´ık, t´ amaszf´ elt´ er). Legyen S ⊆ X tetsz˝oleges ponthalmaz. Egy H ⊂ X hipers´ıkot az S halmaz t´amaszhipers´ıkj´anak mondunk, ha S r´esze az egyik H szerinti z´art f´elt´ernek, ´es nincs olyan enn´el a f´elt´ern´el val´ odi m´ odon sz˝ ukebb z´art f´elt´er, amely S-et tartalmazza. Az S halmaz t´ amaszf´elter´enek mondjuk a H szerinti z´art f´elterek k¨oz¨ ul az S-et tartalmaz´ ot (illetve mindkett˝ot, ha S ⊆ H). P´eld´ aul ha S r´esze az egyik H szerinti z´art f´elt´ernek ´es ugyanakkor H ∩ ∩ S 6= ∅, akkor H sz¨ uks´egk´eppen t´amaszhipers´ık. Lehets´eges azonban m´eg

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

´rben 2. Konvex halmazok affin te

81

konvex halmazok eset´eben is, hogy egy t´amaszhipers´ık nem tartalmazza a ´ ıt´ast k¨ovet˝o megjegyz´eshalmaz egyetlen hat´ arpontj´ at sem, l. pl. a 2.3.8. All´ ben szerepl˝ o K halmazt ´es az x-tengelyt mint K t´amaszegyenes´et. Az S halmaz t´ amaszhipers´ıkjait z´er´ohalmazk´ent el˝o´all´ıt´o s ∈ X • affin form´akat nyilv´ an az a tulajdons´ ag jellemzi, hogy az s(S) halmaz r´esze a sz´amegyenes pozit´ıv vagy negat´ıv z´ art f´elegyenes´enek, ´es 0 ∈ s(S). 2.4.9. T´ etel. Konvex halmaz b´armely hat´arpontj´ahoz tal´alhat´o olyan t´amaszhipers´ık, amely ezt a pontot tartalmazza. Bizony´ıt´ as: Legyen K ⊂ X konvex ´es P ∈ ∂K. Ha l´etezik K-t tartalmaz´o hipers´ık, akkor az t´ amaszhipers´ık is. Ez´ert feltehet˝o, hogy dim K = d. Mivel ekkor P ∈ / relintK, alkalmazhatjuk a 2.4.7. T´etelt a K ´es az L = {P } halmazokra. B´ armely elv´ alaszt´ o hipers´ık egy´ uttal P -n ´atmen˝o t´amaszhipers´ık. ´ ıt´ 2.4.10. All´ as. Ha K konvex halmaz ´es H ∩ relintK 6= ∅ teljes¨ ul K-nak valamely H t´ amaszhipers´ıkj´ ara, akkor K ⊆ H. Bizony´ıt´ as: dim K = d eset´en H ∩ relintK 6= ∅ lehetetlen, hiszen ilyenkor relintK = intK ny´ılt. Ha pedig dim K < d, t´erj¨ unk ´at a hKi affin alt´erre ´es a hKi-beli H ∩ hKi t´ amaszhipers´ıkra. ´ ıt´ 2.4.11. All´ as. B´ armely konvex z´art halmaz azonos a t´amaszf´eltereinek a metszet´evel. Bizony´ıt´ as: Jel¨ olje L a K konvex z´art halmaz t´amaszf´eltereinek a metszet´et. A K ⊆ L tartalmaz´ as nyilv´anval´o. Megford´ıtva, ha A ∈ X − K, akkor a 2.4.5. K¨ ovetkezm´enyt alkalmazva tal´alhat´o olyan s ∈ X • affin forma, hogy s(A) < 0 ´es minden B ∈ K-ra s(B) ≥ 0. Legyen c = inf s(K), ekkor az s0 (P ) = s(P ) − c (P ∈ X) k´eplettel adott affin forma ´altal defini´alt {P ∈ X : : s0 (P ) ≥ 0} t´ amaszf´elt´er nem tartalmazza A-t, ´ıgy A ∈ / L. Teh´at L ⊆ K is ´erv´enyes.

2.5. Hat´ arpontok 2.5.1. Defin´ıci´ o (Hat´ arpont rendje, cs´ ucs, lap, hiperlap). Legyen A ∈ ∈ ∂K, ahol K ⊂ X konvex halmaz ´es dim K = d. Az A hat´arpont rendj´en az r(A) = dim Y sz´ amot ´ertj¨ uk, ahol Y a K halmaz A-t tartalmaz´o ¨osszes t´ amaszhipers´ıkj´ anak a metszetek´ent el˝o´all´o affin alt´er. B´armely A ∈ ∂K-ra 0 ≤ r(A) ≤ d − 1. Jegyezz¨ uk itt meg, hogy a hat´arpont rendj´enek fenti defin´ıci´oja a dim K < d esetben is ´ertelemmel b´ır, ´es K relat´ıv hat´arpontjaira vonatkoztatva ugyanezt a sz´ amot eredm´enyezi, K relat´ıv bels˝o pontjaira pedig dim K-t.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

82

Affin geometria

Az A pontot a K konvex halmaz cs´ ucs´anak nevezz¨ uk, ha r(A) = 0. Az L ⊆ ⊆ K halmazt K lapj´ anak nevezz¨ uk, ha L = ∅, L = K, vagy L = H ∩ K, ahol H a K egy t´ amaszhipers´ıkja. Az ∅-t´ol ´es K-t´ol k¨ ul¨onb¨oz˝o lapokat K val´odi lapjainak h´ıvjuk, ezek dimenzi´oja d-n´el kisebb sz´am. A (d − 1)-dimenzi´os lapokat hiperlapoknak nevezz¨ uk. Nyilv´ an b´ armely L ⊆ K nem¨ ures lapra L = hLi ∩ K. 2.5.2. P´ eld´ ak • Egy [A0 , A1 , . . . , Ad ] d-dimenzi´os szimplex eset´eben valamely hat´arpont rendje akkor ´es csak akkor r, ha benne van az A0 , A1 , . . ., Ad pontok k¨oz¨ ul (r+1)-nek a konvex burk´aban ´es nincs benne (r+1)-n´el kevesebbnek a konvex burk´ aban. A szimplexnek a 2.5.1. Defin´ıci´o ´ertelm´eben vett cs´ ucsai teh´ at ´eppen a 2.2.2. Defin´ıci´obeli sz´ohaszn´alat szerinti cs´ ucsai. • Az [A0 , A1 , . . . , Ad ] szimplex val´odi lapjai az [Ai0 , Ai1 , . . . , Aik ] alak´ u r´eszhalmazok (0 ≤ k < d, 0 ≤ i0 < i1 < . . . < ik ≤ d), amelyek maguk is szimplexek. • Ha A ∈ ∂K a K konvex halmaz cs´ ucsa, akkor {A} lapja K-nak. (Indokl´ as: r(A) = 0 miatt l´eteznek olyan s1 , . . ., sd line´arisan f¨ uggetlen affin form´ ak, melyekre si (A) = 0 ´es si (K) ≥ 0 minden i = 1, . . . dre; ekkor az s = s1 + . . . + sd affin form´aval Z(s) t´amaszhipers´ık ´es Z(s) ∩ K = {A}. Ha ugyanis valamely B ∈ K-ra s(B) = 0 teljes¨ ul, akkor sz¨ uks´egk´eppen minden i-re si (B) = 0, viszont r(A) = 0 miatt Td es ´ıgy B = A.) Az egyelem˝ u lapok viszont nem feli=1 Z(si ) = {A} ´ t´etlen¨ ul cs´ ucsok: p´eld´ aul egy ellipszoid minden val´odi lapja egypont´ u. ´ ıt´ 2.5.3. All´ as. Ha K ⊆ X d-dimenzi´os konvex z´art halmaz, akkor ∂K egyenl˝ o a K val´ odi lapjainak egyes´ıt´es´evel. Bizony´ıt´ as: R¨ ogt¨ on ad´ odik a 2.4.9. T´etelb˝ol. ´ ıt´ 2.5.4. All´ as. Ha L1 ´es L2 a K ⊆ X konvex halmaz k´et k¨ ul¨onb¨oz˝o lapja, akkor relint L1 ∩ relint L2 = ∅. Bizony´ıt´ as: Feltehet˝ o, hogy L1 ´es L2 val´odi lapok ; legyen i = 1,2 -re Li = Hi ∩ ∩K, ahol Hi t´ amaszhipers´ık, legyen tov´abb´a Fi a Hi -hez tartoz´o t´amaszf´elt´er. Tegy¨ uk fel, hogy A ∈ relint L1 ∩ relint L2 . Ekkor L1 ⊂ K ⊆ F2 ´es A ∈ ∈ H2 = ∂F2 . Ez´ert 2.4.10-re hivatkozva A ∈ relint L1 csak u ´gy lehets´eges, ha L1 ⊆ H2 . Hasonl´ o m´ odon L2 ⊆ H1 is k¨ovetkezik. Ekkor viszont L1 = H1 ∩ ∩ H2 ∩ K = L2 . 2.5.5. T´ etel. B´ armely konvex halmaz cs´ ucsainak a halmaza megsz´aml´alhat´o.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

´rben 2. Konvex halmazok affin te

83

Bizony´ıt´ as: Legyen A ∈ ∂K a K ⊂ X d-dimenzi´os konvex halmaz egy cs´ ucsa. Tekints¨ uk a C(A) = {s ∈ X • : s(A) = 0, s(K) ≥ 0} halmazt a (d + 1)dimenzi´ os X • vektort´erben. Nyilv´an C(A) konvex k´ up, ´es mivel A cs´ ucs, a 2.5.2-beli harmadik p´elda szerinti okoskod´assal dim C(A) = d. Az L : X • → V ∗ lineariz´ al´ o lek´epez´es magja a konstans affin form´akb´ol ´all. Emiatt (Ker L) ∩ hC(A)i = {0}, ´es L a C(A) halmazt injekt´ıven k´epezi a d-dimenzi´ os V ∗ vektort´erbe. ´Igy az L(C(A)) k´ephalmaz szint´en d-dimenzi´os konvex halmaz. Elegend˝ o megmutatni, hogy a K halmaz k´et k¨ ul¨onb¨oz˝o A ´es A0 cs´ ucs´ara 0 az L(C(A)) ´es az L(C(A )) halmaz belseje diszjunkt, ugyanis megsz´aml´alhat´ on´ al t¨ obb p´ aronk´ent diszjunkt ny´ılt halmaz nem f´er el a V ∗ t´erben. (Ez ut´ obbihoz annyit elegend˝ o tudni V ∗ -r´ol, hogy szepar´abilis, azaz l´etezik benne megsz´ aml´ alhat´ o s˝ ur˝ u ponthalmaz. Ez val´oban ´ıgy van a V ∗ ∼ = Rd t´erben.) 0 0 0 Tegy¨ uk fel, hogy s ∈ C(A), s ∈ C(A ) ´es L(s) = L(s ), azaz s − s0 ∈ Ker L. Ekkor 0 = s(A) ≤ s(A0 ) ´es 0 = s0 (A0 ) ≤ s0 (A) miatt s − s0 csak u ´gy lehet konstans, hogy s(A0 ) = s0 (A) = 0 is fenn´all. Ekkor viszont s ´es s0 nem relat´ıv bels˝ o pontja C(A)-nak, illetve C(A0 )-nek, ´es ´ıgy L-k´epeik sem bels˝o pontok. 2.5.6. Defin´ıci´ o (Extrem´ alis pont). A P ∈ K pontot a K konvex halmaz extrem´ alis pontj´ anak nevezz¨ uk, ha a K − {P } halmaz konvex. (Ez azzal egyen´ert´ek˝ u, hogy P nem ´ all el˝o semmilyen K-ban fekv˝o v´egpont´ u szakasz felez˝ opontjak´ent, vagy ak´ ar csak relat´ıv bels˝o pontjak´ent.) A K konvex halmaz extrem´ alis pontjainak halmaz´at E(K)-val jel¨olj¨ uk. Nyilv´an dim K > 0 eset´en E(K) ⊆ rel∂K. 2.5.7. P´ eld´ ak • Szakasz extrem´ alis pontjai a v´egpontok. • Ha A a K konvex halmaz cs´ ucsa, akkor A ∈ E(K). • Egy ellipszoidtest b´ armely relat´ıv hat´arpontja extrem´alis pont. • Ha egy konvex z´ art halmaz tartalmaz egyenest, akkor k¨onnyen l´athat´o ´ enyes a megford´ıt´as is, de nehezebb m´ odon nincs extrem´ alis pontja. (Erv´ bizony´ıtani: ha a K nem¨ ures konvex z´art halmazra E(K) = ∅, akkor van K-ban fekv˝ o egyenes.) • Az n × n-es dupl´ an sztochasztikus m´atrixok Bn halmaz´anak (l. 2.1.3.) extrem´ alis pontjai az n × n-es permut´aci´om´atrixok. 2.5.8. Lemma. Legyen K ⊆ X konvex. (1) Ha Y ⊆ X affin alt´er, akkor Y ∩ E(K) ⊆ E(Y ∩ K).

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

84

Affin geometria

(2) Ha H a K konvex halmaz t´amaszhipers´ıkja, akkor H ∩ E(K) = E(H ∩ ∩ K). Bizony´ıt´ as: (1): Ha P ∈ Y ∩ E(K), akkor (Y ∩ K) − {P } = Y ∩ (K − {P }) konvex. (2): El´eg az (1)-hez k´epest ford´ıtott ir´any´ u tartalmaz´ast bel´atni. Legyen P ∈ ∈ E(H ∩ K). Egyr´eszt ekkor P ∈ H ´es P ∈ K, m´asr´eszt ha P el˝o´allna valamely A, B ∈ K-val az [A, B] szakasz bels˝o pontjak´ent, akkor ez csak A, B ∈ H mellett volna lehets´eges, hiszen A ´es B ugyanabban a H szerinti z´ art f´elt´erben vannak. Ekkor viszont P nem lenne a H ∩ K halmaz extrem´alis pontja, mert [A, B] ⊆ H ∩ K. 2.5.9. T´ etel (Krein–Milman-t´ etel). B´armely kompakt konvex halmaz azonos az extrem´ alis pontjai konvex burk´aval. Bizony´ıt´ as: A K ⊆ X kompakt konvex halmaz dimenzi´oja szerinti teljes indukci´ oval megmutatjuk, hogy K = conv(E(K)). Legyen k = dim K. Az ´ all´ıt´ as nyilv´ anval´ o k = 0 eset´en. Tegy¨ uk fel, hogy k ≥ 1 ´es k-n´al kisebb ´ ıt´asra dimenzi´ oj´ u kompakt konvex halmazokra az ´all´ıt´as igaz. A 2.3.7. All´ hivatkozva el´eg bel´ atni, hogy rel∂K ⊆ conv(E(K)). Legyen A ∈ rel∂K ´es a 2.4.9. T´etel alapj´ an v´ alasszunk olyan H t´amaszhipers´ıkot K sz´am´ara a hKi affin t´erben, amelyre A ∈ H. Ekkor az indukci´os feltev´est ´es 2.5.8.(2)-t haszn´ alva A ∈ H ∩ K = conv(E(H ∩ K)) = conv(H ∩ E(K)) ⊆ conv(E(K)). ´ ıt´ 2.5.10. All´ as. Legyen αK + βL a K ´es L konvex halmazok tetsz˝oleges Minkowski-kombin´ aci´ oja. Ekkor E(αK + βL) ⊆ αE(K) + βE(L). Bizony´ıt´ as: Legyen C ∈ E(αK + βL), ekkor C = αA + βB alkalmas A ∈ K, ´ ıtjuk, hogy A ∈ E(K) ´es B ∈ E(L). Ha p´eld´aul A nem B ∈ L pontokkal. All´ volna K-nak extrem´ alis pontja, akkor l´etezne olyan S ⊆ K szakasz, amelyre A ∈ relint S. Ekkor αS + β{B} ⊆ αK + βL olyan szakasz volna, amelynek C relat´ıv bels˝ o pontja, ami ellentmond annak, hogy C extrem´alis pont az αK + βL halmazban. Ugyan´ıgy l´athat´o be, hogy B ∈ E(L).

3. Konvex poli´ ederek ´ es polit´ opok Olyan ponthalmazokat vizsg´ alunk, amelyek v´eges sok line´aris egyenl˝otlens´eggel vannak megadva valamely val´os affin t´erben. Ezek a halmazok egyr´eszt az egyenl˝ otlens´eg-rendszerekkel kapcsolatos alkalmaz´asok szempontj´ab´ol fontosak, m´ asr´eszt – els˝ osorban kombinatorikai szerkezet¨ uk folyt´an – a matematika legt¨ obbet vizsg´ alt t´ argyai k¨oz´e tartoznak. C´elunk ennek a kombinatorikai

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

´derek e ´s polito ´ pok 3. Konvex polie

85

szerkezetnek a tiszt´ az´ asa. Az al´abbiakban (X, V, Φ) v´eges dimenzi´os val´os affin teret jel¨ ol, d = dim X.

3.1. Konvex poli´ ederek ´ es lapjaik 3.1.1. Defin´ıci´ o (Konvex poli´ eder). A P ⊆ X halmazt konvex poli´edernek nevezz¨ uk, ha el˝ o´ all´ıthat´ o v´eges sok X-beli z´art f´elt´er metszetek´ent. Egy P ⊆ X r´eszhalmaz nyilv´an akkor ´es csak akkor konvex Tn poli´eder, ha l´eteznek s1 , s2 , . . ., sn ∈ X • affin form´ak u ´gy, hogy P = i=1 {A ∈ X : : si (A) ≥ 0}. 3.1.2. P´ eld´ ak • Nyilv´ an ∅, az eg´esz X (mint f´elterek u ¨res rendszer´enek a metszete), ´es b´ armely X-beli affin alt´er konvex poli´eder. • B´ armely szimplex konvex poli´eder. • Konvex poli´ederek tetsz˝oleges v´eges rendszer´enek a metszete konvex poli´eder. • Az n×n-es dupl´ an sztochasztikus m´atrixok Bn halmaza konvex poli´eder az Rn×n t´erben, hiszen v´eges sok line´aris egyenlet ´es egyenl˝otlens´eg defini´ alja. • Konvex poli´eder b´ armely lapja szint´en konvex poli´eder, hiszen a nem val´ odi lapokra ez nyilv´anval´o, egy val´odi lap pedig el˝o´all a poli´eder ´es egy affin alt´er (t´ amaszhipers´ık) metszetek´ent. ´ ıt´ 3.1.3. All´ as. Legyen d ≥ 1 ´es P ⊆ X konvex poli´eder, melyre int P 6= ∅ ´ ıtsuk el˝o a P halmazt X-beli z´art f´elterek metszetek´ent (azazTdim P = d). All´ n ´gy, hogy n a legkisebb sz´am, amelyre ilyen el˝o´all´ıt´as P = i=1 Fi alakban u lehets´eges. Legyen Hi = ∂Fi . Ekkor: (1) Li = Hi ∩ P a P hiperlapja (i = 1, . . . , n). Sn (2) ∂P = i=1 Li . (3) Ha H olyan t´ amaszhipers´ıkja P -nek, amely a Hi -k mindegyik´et˝ol k¨ ul¨ onb¨ ozik, akkor dim(H ∩ P ) < d − 1. (4) A P halmaz a sorrendt˝ol eltekintve egy´ertelm˝ uen meghat´arozza az F1 , . . ., Fn f´eltereket.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

86

Affin geometria

(5) Ha P valahogyan el˝ o´ all v´eges sok z´art f´elt´er metszetek´ent, akkor ezek k¨ oz¨ ott a f´elterek k¨ oz¨ ott szerepelni¨ uk kell az F1 , . . ., Fn f´eltereknek. T Bizony´ıt´ as: (1): R¨ ogz´ıtett i mellett legyen Q = j6=i Fj , ekkor n minimalit´asa miatt Q szigor´ uan b˝ ovebb P -n´el; v´alasszunk egy A ∈ Q − Fi pontot. Legyen B ∈ int P tetsz˝ oleges, ekkor az [A, B] szakasz belseje ´es ´ıgy az [A, B] ∩ Hi metsz´espont is Q belsej´ehez tartozik. Emiatt a Hi affin t´erre vonatkoz´oan int (Hi ∩ Q) 6= ∅, azaz dim Li = d − 1.
Tn teljes¨ ha A ∈ P (2): Egy A pontra A ∈ ∂P = ∂ i=1 Fi pontosan akkor
ul, S Sn n H ´es legal´ abb egy i-re A ∈ ∂F = H . Emiatt ∂P = P ∩ = i i i=1 i i=1 (P ∩ Sn ∩ Hi ) = i=1 Li . Sn (3): Az L = H ∩ P = H ∩ ∂P = i=1 (H ∩ Li ) el˝o´all´ıt´asban mindegyik H ∩ Li tag dimenzi´ oja H 6= Hi miatt (d − 1)-n´el kisebb, ´ıgy dim L < d − 1. (4): Az (1) ´es a (3) a ´ll´ıt´ as miatt az Li halmazok ´eppen P hiperlapjai, ez´ert P ˝ oket, ´es ´ıgy az Fi f´eltereket is egy´ertelm˝ uen meghat´arozza. (5): Legyen A ∈ relintLi . Ekkor A ∈ ∂P miatt A ∈ ∂F , ahol F a metszetel˝ o´ all´ıt´ asban szerepl˝ o f´elterek egyike. Ez´ert Li ⊆ ∂F , ahonnan F = Fi k¨ ovetkezik. ´ ıt´ 3.1.4. All´ as. Legyen P konvex poli´eder ´es L a P val´odi lapja. Ekkor: (1) P -nek l´etezik olyan hiperlapja, amelynek L lapja. (2) Ha dim L = dim P − 2, akkor P -nek pontosan k´et L-et tartalmaz´o hiperlapja l´etezik, ´es ezeknek L a metszete. Bizony´ıt´ as: Feltehetj¨ uk, hogy int P 6= ∅. Legyen L = H ∩ P ⊆ ∂P val´odi lap, ´ ıt´as jel¨ol´eseit: Li , Hi ´es Fi ahol H t´ amaszhipers´ık. Haszn´aljuk a 3.1.3. All´ (i = 1, . . . , n) a P hiperlapjai ´es aShozz´ajuk tartoz´o t´amaszhipers´ıkok, illetve n t´ amaszf´elterek. Ekkor L ⊆ ∂P = i=1 Li . (1): Bel´ atjuk el˝ osz¨ or, hogy L r´eszhalmaza valamelyik Li -nek. Ha nem ´ıgy volna, akkor minden i-re v´ alasszunk egy Ai ∈ L − Li = L − Hi pontot. Legyen A ezek s´ ulypontja, azaz A = n1 A1 + . . . + n1 An . Ekkor b´armelyik i-re A ∈ / Hi , hiszen az Aj pontok mindannyian ugyanabban a Hi szerinti z´ art f´elt´erben vannak, ´es legal´abb egy k¨oz¨ ul¨ uk (m´egpedig Ai ) nincs a Hi hipers´ıkban. Ez´ert A a P konvex poli´eder bels˝o pontja, ami lehetetlen, hiszen A ∈ L ⊆ ∂P . V´eg¨ ul L ⊆ Li eset´en L lapja is Li -nek, hiszen vagy H = Hi , amikor L = Li , vagy pedig H ∩ Hi az Li t´ amaszhipers´ıkja a Hi affin t´erben, ´es L = H ∩ P = = (H ∩ Hi ) ∩ Li . (2): El˝ osz¨ or megmutatjuk, hogy L legal´abb k´et k¨ ul¨onb¨oz˝o hiperlapnak lapja. Az (1) ´ all´ıt´ as alapj´ an v´ alaszthatunk olyan Li hiperlapot, amelynek L lapja.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

´derek e ´s polito ´ pok 3. Konvex polie

87

´ ıt´ Alkalmazzuk a 3.1.3. All´ ast Ta Hi affin t´erbeli Li konvex poli´ederre u ´gy,
T F hogy az Li = Hi ∩ P = Hi ∩ = (H ∩ F ) metszetel˝ o a ´ ll´ ıt´ a sb´ol i j j6=i j j6=i kiv´ alasztjuk a minim´ alis el˝ o´all´ıt´ast. Az Li -beli L hiperlap teh´at azonos az Li ∩ Hj halmazzal valamilyen i-t˝ol k¨ ul¨onb¨oz˝o j-re. ´Igy L ⊆ Hj ∩ P = Lj . Most bel´ atjuk, hogy L nem lehet kett˝on´el t¨obb hiperlapnak is r´esze. Indirekt m´ odon tegy¨ uk fel, hogy Li , Lj ´es Lk h´arom k¨ ul¨onb¨oz˝o hiperlap, amelyek mindannyian tartalmazz´ ak L-et. Tekints¨ uk az Fi , Fj , Fk f´eltereket, ezek hat´ arol´ o hipers´ıkjai mindannyian tartalmazz´ak a (d − 2)-dimenzi´os hLi affin alteret. Ekkor a h´ arom f´elt´er k¨oz¨ ul valamelyik kett˝onek a metszete r´esze a −→ harmadiknak (ez r¨ ogt¨ on l´ athat´o a hLi alt´errel val´o faktoriz´al´as ut´an ad´od´o s´ıkban a h´ arom f´els´ıkr´ ol), ami ellentmond annak, hogy az Fi f´elterek rendszere minim´ alis. Tegy¨ uk f¨ ol v´eg¨ ul, hogy az L lap az Li ´es Lj k¨ ul¨onb¨oz˝o hiperlapoknak r´eszhalmaza. Ekkor hLi ⊆ Hi ∩ Hj ´es dimhLi = d − 2, ´ıgy Hi 6= Hj miatt hLi = Hi ∩ Hj . Ez´ert L = hLi ∩ P = (Hi ∩ Hj ) ∩ P = (Hi ∩ P ) ∩ (Hj ∩ P ) = = Li ∩ Lj . 3.1.5. K¨ ovetkezm´ eny. B´ armely konvex poli´edernek v´eges sok lapja van. Bizony´ıt´ as: Legyen P 6= ∅ konvex poli´eder, d = dim P . Teljes indukci´ot alkalmazunk d szerint. Ha d = 0, akkor az ´all´ıt´as nyilv´anval´o. Tegy¨ uk fel, hogy d > 0 ´es minden d-n´el kisebb dimenzi´os konvex poli´edernek csak v´eges sok ´ ıt´ lapja van. A 3.1.3 All´ as alapj´an P -nek v´eges sok hiperlapja van, ´ıgy az indukci´ os feltev´es miatt ezeknek ¨osszesen v´eges sok lapja van. ´Igy a 3.1.4.(1) ´ ıt´ All´ ast alkalmazva k¨ ovetkezik, hogy P -nek is v´eges sok lapja van. 3.1.6. Ko eny. Ha P konvex poli´eder, akkor P lapjai tetsz˝oleges ¨vetkezm´ rendszer´enek a metszete szint´en lapja P -nek. Bizony´ıt´ as: El´eg v´eges sok lappal foglalkozni a 3.1.5. K¨ovetkezm´eny miatt. Legyenek L1 , TL2 , . . ., Lk ⊆ P lapok, feltehetj¨ uk, hogy mindannyian val´odi k lapok ´es L = i=1 Li 6= ∅. Legyen Li = Hi ∩ P , Hi = Z(si ), ahol si ∈ X • ´es si (P ) ≥ 0 (i = 1,2, . . . , k). Ekkor s = s1 +s2 +. . .+sk , H = Z(s) v´alaszt´assal H t´ amaszhipers´ık ´es L = H ∩ P . ´ ıt´ 3.1.7. All´ as. Legyen P ⊆ X konvex poli´eder. (1) B´ armely L ⊆ ∂P val´ odi lap egyenl˝o az L-et tartalmaz´o hiperlapok metszet´evel, az hLi affin alt´er pedig ezen hiperlapokat tart´o t´amaszhipers´ıkok metszet´evel. (2) B´ armely A ∈ ∂P eset´en az A-t tartalmaz´o t´amaszhipers´ıkok metszete azonos az A-t tartalmaz´o hiperlapokat tart´o hipers´ıkok metszet´evel.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

88

Affin geometria

Bizony´ıt´ as: (1): Nyilv´ an el´eg azt bel´atni, hogy L el˝o´all bizonyos P -beli hiperlapok metszetek´ent, ´es hogy hLi el˝o´all bizonyos P -beli hiperlapokhoz tartoz´o t´ amaszhipers´ıkok metszetek´ent. Legyen d = dim P ´es k = dim L, teljes indukci´ot alkalmazunk a t = d − k k¨ ul¨ onbs´eg ( kodimenzi´ o”) szerint. Ha t = 1, akkor az ´all´ıt´as nyilv´anval´o. Te” gy¨ uk f¨ ol, hogy t > 1 ´es minden konvex poli´ederben minden t − 1 kodimenzi´os lap eset´eben igaz az ´ all´ıt´ as. ´ ıt´ A 3.1.4.(1) All´ as szerint L lapja P valamely M hiperlapj´anak. A dim M − − dim L = (d − 1) − k = t − 1 > 0 egyenl˝otlens´eg miatt L val´odi lapja az M konvex poli´edernek, valamint M -re ´es L-re alkalmazhat´o az indukci´os feltev´es. Ts Eszerint L = i=1 Ni , ahol az Ni halmazok M hiperlapjai. Az M hiperlapjai viszont 3.1.4.(2) miatt el˝ o´ allnak P egy-egy hiperlapja ´es M metszetek´ent, ´ıgy NTi = M ∩ Li , ahol Li ⊂ P hiperlap, Li 6= M (i = 1, . . . , s). Ez´ert s L = i=1 (M ∩ Li ) = M ∩ L1 ∩ . . . ∩ Ls mutatja, hogy L el˝o´all P alkalmas hiperlapjainak metszetek´ent. Minden i-re hM i ´es hLi i k¨ ul¨onb¨oz˝o hipers´ıkok ´es dim Ni = d−2, ez´ert hNi i = = hM i ∩ hLi i. Az indukci´ o s feltev´es
miatt hLi = hN1 i ∩ . . . ∩ hNs i, ´ıgy hLi =
= hM i ∩ hL1 i ∩ . . . ∩ hM i ∩ hLs i = hM i ∩ hL1 i ∩ . . . ∩ hLs i. (2): Jel¨ olje Y az A-t tartalmaz´o ¨osszes t´amaszhipers´ık metszetek´ent el˝o´all´ o affin alteret, Z pedig jel¨ olje az A-t tartalmaz´o hiperlapok hipers´ıkjainak metszet´et. Nyilv´ an Y ⊆ Z. A ford´ıtott ir´any´ u tartalmaz´ashoz tekints¨ uk az L = Y ∩ P halmazt, amely a 3.1.6. K¨ovetkezm´enyre hivatkozva lapja P -nek, hiszen az ¨ osszes olyan H∩P lap metszet´evel egyenl˝o, ahol A ∈ H ´es H t´amaszhipers´ık. Az (1) ´ all´ıt´ ast felhaszn´ ∩ Ls , ahol az Li halmazok Ts alva L = L1 ∩ . . .T s hiperlapok, tov´ abb´ a hLi = i=1 hLi i. Ekkor Z ⊆ i=1 hLi i = hLi ⊆ Y . ´ ıt´ 3.1.8. All´ as. Legyen M a P konvex poli´eder lapja. Egy L ⊆ M r´eszhalmaz pontosan akkor lapja M -nek, ha P -nek lapja. Bizony´ıt´ as: Feltehet˝ o, hogy L 6= ∅, M . Ha L lapja P -nek, akkor L = H ∩ P a P alkalmas H t´ amaszhipers´ıkj´aval ; ekkor vagy hM i ⊆ H, amikor L
= M , vagy pedig H ∩ hM i az M t´ amaszhipers´ıkja ´es L = L ∩ M = H ∩ hM i ∩ M mutatja, hogy L az M lapja. Megford´ıtva, tegy¨ uk fel, hogy L lapja M -nek. A t = dim P − dim M kodimenzi´ o szerinti teljes indukci´oval megmutatjuk, hogy L lapja P -nek is. ´ ıt´as szerint L el˝o´all M Legyen el˝ osz¨ or t = 1, azaz M hiperlap. A 3.1.7(1) All´ ´ ıt´as bizonyos hiperlapjai metszetek´ent, ezek a hiperlapok pedig a 3.1.4(2) All´ ´ miatt P k´et-k´et hiperlapja metszetek´ent ´allnak el˝o. Igy L el˝o´all P bizonyos hiperlapjai metszetek´ent, a 3.1.6. K¨ovetkezm´eny szerint teh´at lapja P -nek. Tegy¨ uk fel most, hogy t > 1 ´es hogy az ´all´ıt´as t-n´el kisebb kodimenzi´o eset´eben igaz, azaz b´ armely Q konvex poli´eder b´armely t-n´el kisebb kodimenzi´ os lapj´ anak b´ armely lapja egy´ uttal Q-nak is lapja. V´alasszunk a 3.1.4(1) ´ ıt´ All´ as alapj´ an olyan N hiperlapot P -ben, melynek M lapja. Ekkor dim N −

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

´derek e ´s polito ´ pok 3. Konvex polie

89

− dim M = t − 1, ´ıgy az indukci´os feltev´es alkalmazhat´o Q = N v´alaszt´assal, ahonnan k¨ ovetkezik, hogy L lapja N -nek. Ekkor viszont u ´jra a t = 1 eset alkalmaz´ as´ aval L a P -nek is lapja. ´ ıt´ 3.1.9. All´ as. Legyen P ⊂ X konvex poli´eder, dim P = d ´es A ∈ ∂P . Ekkor: (1) r(A) = k eset´en l´etezik olyan L ⊂ P lap, melyre A ∈ relintL ´es dim L = = k. (2) A pontosan akkor extrem´alis pont P -ben, ha cs´ ucs. Bizony´ıt´ as: (1): Legyen L a legsz˝ ukebb olyan lapja P -nek, amely tartalmazza A-t, azaz L az A pontot tartalmaz´o ¨osszes P -beli lap metszete. 3.1.7.(1) miatt L egyenl˝ o az A-t tartalmaz´o P -beli hiperlapok metszet´evel, 3.1.7.(1) ´ ıtjuk, hogy A ∈ relintL. Ha A ∈ rel∂L ´es 3.1.7.(2) miatt pedig k = dim L. All´ volna, akkor L egy val´ odi lapj´ahoz tartozna, amely 3.1.8 miatt P -nek is lapja. Ez´ert 3.1.7.(1) miatt A-t P -nek olyan hiperlapja is tartalmazn´a, amelynek L nem r´esze; ez ellentmond L minimalit´as´anak. (2): B´ armely konvex halmazban a cs´ ucsok extrem´alis pontok, ´ıgy csak a megford´ıt´ ast kell bel´ atnunk. Ha A nem cs´ ucs, akkor (1) miatt valamely legal´abb egydimenzi´ os lap relat´ıv bels˝o pontja. Ekkor A nyilv´anval´oan nem lehet extrem´ alis pont. 3.1.10. K¨ ovetkezm´ eny. B´ armely konvex poli´ederben a nem¨ ures lapok relat´ıv belsejei part´ıci´ ot alkotnak. Bizony´ıt´ as: B´ armely konvex halmazban a lapok relat´ıv belsejei p´aronk´ent diszjunktak, konvex poli´eder eset´eben pedig 3.1.9.(1) k¨ovetkezt´eben lefedik az eg´esz poli´edert. 3.1.11. K¨ ovetkezm´ eny. B´ armely korl´atos konvex poli´eder a cs´ ucsai halmaz´ anak a konvex burk´ aval egyenl˝o. Bizony´ıt´ as: Ha P korl´ atos konvex poli´eder, akkor P kompakt, ez´ert a Krein– Milman-t´etel miatt az extrem´alis pontjai konvex burka. ´Igy 3.1.9.(2)-b˝ol ad´odik az ´ all´ıt´ as. 3.1.12. Defin´ıci´ o (Laph´ al´ o). Tetsz˝oleges P konvex poli´ederre jel¨olje L(P ) a P lapjai halmaz´ at. Jel¨ olje tov´abb´a L, M ∈ L(P )-re L ≤ M (illetve L < < M ), ha L lapja az M konvex poli´edernek (illetve, ha emellett m´eg L 6= M ´ ıt´ is fenn´ all). A 3.1.8. All´ as k¨ ovetkezt´eben ez a ≤ rel´aci´o tranzit´ıv, ezen k´ıv¨ ul nyilv´ an reflex´ıv ´es antiszimmetrikus, ´ıgy r´eszben rendez´est l´etes´ıt a L(P ) halmazon. A ≤ rel´ aci´ o szerint r´eszben rendezett L(P ) halmazt P laph´al´oj´anak nevezz¨ uk. (K¨ onny˝ u meggondolni, hogy nem¨ ures P eset´eben L(P ) val´oban h´ al´ o a sz´ o algebrai ´ertelm´eben.)

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

90

Affin geometria

3.2. Polit´ opok 3.2.1. Defin´ıci´ o (Polit´ op). Az X val´os affin t´erben v´eges sok pont konvex burk´ at polit´ opnak nevezz¨ uk. P´eld´ aul az u ¨res halmaz polit´op, ´es b´armely szimplex polit´op. A 2-dimenzi´os polit´ opokat konvex soksz¨ ogeknek nevezz¨ uk, a 3-dimenzi´osak pedig azok az idomok, amelyeket az elemi t´ergeometria hagyom´anyos sz´ohaszn´alat´aban konvex poli´edernek szok´ as nevezni. Miut´ an kompakt halmazok konvex burka – ´es ´ıgy speci´alisan v´eges halmazok konvex burka is – kompakt, a polit´opok kompakt halmazok. B´armely k´et polit´ op egyes´ıt´es´enek a konvex burka szint´en polit´op.
3.2.2. T´ etel. Legyen P = conv {A1 , A2 , . . . , An } ⊆ X polit´op. Ekkor P konvex poli´eder, amelynek a cs´ ucsai az A1 , A2 , . . . , An pontok k¨oz¨ ul ker¨ ulnek ki. ´ ıtjuk, hogy P b´armely H t´aBizony´ıt´ as: Legyen V = {A1 , A2 , . . . , An }. All´ maszhipers´ıkj´ ara H ∩ P = conv(H ∩ V ). Legyen ugyanis s ∈ X • olyan affin forma, hogy H = Z(s) ´es s(P ) ≥ 0. Ekkor P kompakts´aga miatt 0 ∈ s(P ) ´es H ∩ P = s−1 (0). Az s f¨ uggv´eny, affin lek´epez´es l´ev´en, b´armely konvex kombin´ aci´ ot a k´eppontok ugyanolyan egy¨ utthat´os konvex kombin´aci´oj´aba k´epez. Ez´ert ha egy A ∈ H ∩ P pontot V -beli pontok konvex kombin´aci´ojak´ent ´all´ıtunk el˝ o, akkor s(A) = 0 miatt ebben a kombin´aci´oban H-hoz nem tartoz´o pontok csak z´erus egy¨ utthat´ oval szerepelhetnek. ´Igy A ∈ conv(H ∩ V ). Speci´ alisan, ha A cs´ ucsa P -nek, akkor, miut´an H ∩ P = {A}, sz¨ uks´egk´eppen A∈V. A fentiekb˝ ol k¨ ovetkezik, hogy P -nek v´eges sok lapja van, hiszen H ∩ V alak´ u halmazb´ ol csak v´eges sok van. V´alasszunk P mindegyik hiperlapj´ahoz egyegy ˝ ot P -b˝ ol kimetsz˝ o t´ amaszhiperhipers´ıkot. Megmutatjuk, hogy P el˝o´all az ezekhez tartoz´ o t´ amaszf´elterek metszetek´ent, ´ıgy P konvex poli´eder. Feltehetj¨ uk, hogy dim P = d, azaz intP 6= ∅. Legyen A ∈ X − P tetsz˝oleges pont. V´ alasszunk olyan B ∈ intP pontot, hogy az hA, Bi egyenes ne legyen r´esze semelyik olyan hA, Li affin alt´ernek, ahol L a P legfeljebb (d−2)-dimenzi´os lapja. Ilyen B pont l´etezik, mert v´eges sok legfeljebb (d − 1)-dimenzi´os affin alt´er egyes´ıt´ese nem fedheti le az intP nem¨ ures ny´ılt halmazt. Az [A, B] szakasz metszi ∂P -t egy C pontban. A B pont megv´alaszt´asa folyt´an P -nek a C-t tartalmaz´ o lapja csak hiperlap lehet, ´es az ehhez tartoz´o t´amaszf´elt´er nem tartalmazza az A pontot. 3.2.3. K¨ ovetkezm´ eny. Egy X-beli r´eszhalmaz pontosan akkor polit´op, ha korl´ atos konvex poli´eder. Bizony´ıt´ as: Azonnal ad´ odik 3.1.5, 3.1.11 ´es 3.2.2 ¨osszevet´es´evel.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

´derek e ´s polito ´ pok 3. Konvex polie

91

3.2.4. Ko eny. Ha k´et konvex poli´eder metszete korl´atos, akkor ¨vetkezm´ polit´ op. Speci´ alisan, b´ armely k´et polit´op k¨oz¨os r´esze polit´op. Megjegyz´es. Polit´ opok eset´eben teh´at k´etf´ele, egym´ashoz k´epest du´alis” sz´ar” maztat´ asi elj´ ar´ as is alkalmazhat´o : egyr´eszt a defin´ıci´o szerinti, v´eges pontrendszer konvex burkak´ent t¨ort´en˝o el˝o´all´ıt´as, m´asr´eszt a konvex poli´ederek eset´en (´ altal´ anosabb k¨ orben) ´erv´enyes, v´eges sok f´elt´er metszetek´ent t¨ort´en˝o el˝ o´ all´ıt´ as. Ennek a dualit´ asnak a pontos matematikai jelent´es´et a 3.4. szakaszban j´ arjuk majd k¨ or¨ ul. 3.2.5. P´ eld´ ak. Polit´ opok n´eh´any konkr´et t´ıpus´at vessz¨ uk sorra. • Affinit´ as erej´eig egyetlen nulla-, illetve egydimenzi´os polit´op l´etezik, a pont, illetve a (nemelfajul´o) szakasz. • B´ armely d ≥ 0-ra az [A0 , A1 , . . . , Ad ] szimplex, ahol A0 , A1 , . . . , Ad ∈ X tetsz˝ oleges f¨ uggetlen pontok, d-dimenzi´os polit´op. • Parallelot´ op: Legyenek A0 , A1 , . . . , Ad ∈ X f¨ uggetlen pontok. Az ezekre a pontokra ´ep´ıtett parallelot´opnak a P = Φ−1 A0

d n X

o −−−→ λi A0 Ai : λi ∈ [0,1] (i = 1, . . . , d)

i=1

halmazt nevezz¨ uk. P nyilv´an d-dimenzi´os polit´op ´es Rd egys´egkock´aj´anak affin izomorfizmusn´al sz´armaz´o k´epe. P cs´ ucsai az AI = Φ−1 A0 (vI ) P − −−→ pontok, ahol I ⊆ {1, . . . , d} tetsz˝oleges r´eszhalmaz ´es vI = i∈I A0 Ai .
´Igy teh´ at P = conv {AI : I ⊆ {1, . . . , d} . P nem¨ ures lapjai
maguk is parallelot´ opok, m´egpedig PI,J = conv {AK : I ⊆ K ⊆ J} alak´ uak, ahol I ⊆ J ⊆ {1,2, . . . , d} indexhalmazok. (P´eld´aul P = P∅,{1,...,d} , {AI } = PI,I .) Nyilv´ an PI,J ≤ PI 0 ,J 0 pontosan akkor teljes¨ ul, ha I ⊇ I 0 0 ´es J ⊆ J . A k´et-, illetve h´ aromdimenzi´os parallelot´opokat hagyom´anyosan parallelogramm´ aknak, illetve parallelepipedonoknak nevezz¨ uk. • Keresztpolit´ op: Legyenek O, A1 , . . . , Ad ∈ X f¨ uggetlen pontok. Az ezek altal
gener´ ´ alt keresztpolit´opon a Q = conv {A1 , A1 0 , A2 , A2 0 , . . . , Ad , Ad 0 } polit´ opot ´ertj¨ uk, ahol Ai 0 az Ai pontnak az O pontra vonatkoz´o k¨ oz´eppontos t¨ uk¨ ork´epe (i = 1,2, . . . , d). A keresztpolit´op val´odi lapjai mind szimplexek, m´egpedig azok, amelyek el˝o´allnak QI,J = [Ai (i ∈ ∈ I), Aj 0 (j ∈ J)] alakban, ahol I, J ⊆ {1,2, . . . , d} diszjunkt indexhalmazok ´es I ∪ J 6= ∅. Nyilv´an QI,J ≤ QI 0 ,J 0 pontosan akkor teljes¨ ul, ha I ⊆ I 0 ´es J ⊆ J 0 .

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

92

Affin geometria

A k´etdimenzi´ os keresztpolit´opok parallelogramm´ak, a h´aromdimenzi´os keresztpolit´ opok hagyom´anyos neve pedig okta´eder. • G´ ula: Legyen Q ⊂ X tetsz˝oleges (d − 1)-dimenzi´os polit´op ´es C ∈ X − − hQi
tetsz˝ oleges pont. A Q alap´ u, C cs´ ucs´ u g´ ul´an a P = conv Q ∪ ∪ {C} d-dimenzi´ os polit´opot ´ertj¨ uk. A Q alap´ u, C cs´ ucs´ u g´ ul´ara a [Q, C] jel¨ ol´est is alkalmazhatjuk. P = [Q, C] lapjai gyan´ant egyr´eszt Q lapjai, m´ asr´eszt a Q lapjaira mint alapra ´all´ıtott C cs´ ucs´ u g´ ul´ak ´es {C} szolg´ alnak. B´ armely legal´abb 1-dimenzi´os szimplex egy´ uttal g´ ula is, amelynek alapj´ aul b´armelyik hiperlap, cs´ ucs´aul a fennmarad´o cs´ ucs v´ alaszthat´ o. Emiatt a szimplexek el˝o´all´ıthat´ok az egypont´ u polit´opb´ol a g´ ulak´epz´es iter´ al´ as´ aval. • Has´ ab: Legyen Q ⊂ X tetsz˝oleges (d − 1)-dimenzi´os polit´op ´es legyen −−→ f : X → X eltol´ as olyan vektorral, amely nem fekszik a hQi alt´er
ben. A P = conv Q ∪ f (Q) polit´opot Q alap´ u d-dimenzi´os has´abnak nevezz¨ uk. A d-dimenzi´ os parallelot´opok (d ≥ 1 eset´en) pontosan a d − − 1-dimenzi´ os parallelot´opokra ´all´ıtott has´abok, ez´ert a parallelot´opok felfoghat´ ok iter´ alt has´ abokk´ent. A Q alap´ u d-dimenzi´os has´ab lapjai egyr´eszt Q ´es f (Q) lapjai, m´asr´eszt a Q val´odi lapjaira ´all´ıtott has´abok. • Kett˝ os g´ ula: Legyen Q ⊂ X tetsz˝oleges (d − 1)-dimenzi´os polit´op ´es A, B ∈ X k´et k¨ ul¨ onb¨ oz˝o pont u ´gy, hogy relint
Q ∩ relint [A, B] egyetlen pontb´ ol ´ alljon. A P = conv Q ∪ [A, B] polit´opot Q-ra ´all´ıtott ddimenzi´ os kett˝ os g´ ul´ anak nevezz¨ uk. P nem¨ ures lapjai egyr´eszt Q val´odi lapjai, m´ asr´eszt az ezekre ´all´ıtott A cs´ ucs´ u ´es B cs´ ucs´ u g´ ul´ak, valamint {A} ´es {B}. Egy d-dimenzi´os keresztpolit´op olyan kett˝os g´ ula, amely egy (d − 1)-dimenzi´ os keresztpolit´opra van ´all´ıtva, ez´ert a keresztpolit´ opok felfoghat´ ok iter´ alt kett˝os g´ ul´akk´ent. • A dupl´ an sztochasztikus m´atrixok korl´atos halmazt alkotnak az Rn×n t´erben, ´ıgy a 3.2.3. K¨ ovetkezm´eny alapj´an a Bn konvex poli´eder polit´op, amelynek a cs´ ucsai az n × n-es permut´aci´om´atrixok. Bn -et Birkhoffpolit´ opnak nevezik. Tov´ abbi ´erdekes p´eld´ ak nyerhet˝ok a k¨ovetkez˝o ´all´ıt´as alkalmaz´as´aval. ´ ıt´ 3.2.6. All´ as. K´et polit´ op tetsz˝oleges Minkowski-kombin´aci´oja is polit´op. Bizony´ıt´ as: B´ armely polit´ opnak v´eges sok cs´ ucsa, ´ıgy 3.1.9.(2) miatt v´eges sok extrem´ alis pontja van. A Minkowski-kombin´aci´o extrem´alis pontjai a k¨ ul¨onk¨ ul¨ on vett extrem´ alis pontok kombin´aci´oi k¨oz¨ ul ker¨ ulnek ki, ez´ert ezekb˝ol is csak v´eges sok van. K´et kompakt halmaz tetsz˝oleges Minkowski-kombin´aci´oja

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

´derek e ´s polito ´ pok 3. Konvex polie

93

is kompakt, hiszen egy kompakt halmaznak (a k´et halmaz direkt szorzat´anak) folytonos lek´epez´esn´el (a r¨ogz´ıtett egy¨ utthat´oj´ u kombin´aci´o k´epz´es´en´el) sz´ armaz´ o k´epe. A k´et polit´ op Minkowski-kombin´aci´oja teh´at olyan kompakt konvex halmaz, amelynek v´eges sok extrem´alis pontja van, ez´ert a Krein– Milman-t´etel alapj´ an polit´ op. A 3.2.5-beli p´eld´ ak k¨ oz¨ ul a has´abok el˝o´allnak mint egy eggyel alacsonyabb dimenzi´ oj´ u polit´ op (az alap) ´es egy szakasz Minkowski-¨osszege. A d-dimenzi´os parallelot´ opok (d ≥ 1 eset´en) pontosan a d darab f¨ uggetlen ir´any´ u szakasz Minkowski-¨ osszegek´ent el˝ o´ all´o polit´opok. Polit´ opok felhaszn´ al´ as´ aval halmazok korl´atoss´ag´at az al´abbi m´odon jellemezhetj¨ uk. ´ ıt´ 3.2.7. All´ as. Egy X-beli r´eszhalmaz akkor ´es csak akkor korl´atos, ha belefoglalhat´ o egy alkalmas X-beli polit´opba. Bizony´ıt´ as: Vegy¨ unk fel egy x : X → Rd affin koordin´atarendszert. Ha M ⊆ ⊆ X korl´ atos, akkor l´etezik olyan c pozit´ıv val´os sz´am, hogy minden A ∈ M re ´es i = 1, . . . , d-re |x(A)i | ≤ c, azaz az x(A) halmaz benne fekszik abban az Rd -beli 2c ´el˝ u K kock´ aban, amelyet a −c ≤ xi ≤ c egyenl˝otlens´egek defini´ alnak. Ekkor P = x−1 (K) parallelot´op X-ben, ´es P mag´aban foglalja az M halmazt. Most r´ at´er¨ unk a polit´ opok lapjai ´altal alkotott kombinatorikai rendszer vizsg´ alat´ ara. ´ ıt´ 3.2.8. All´ as. Ha P polit´ op ´es dim P = d, akkor a P lapjai alkotta L(P ) r´eszben rendezett halmazban b´armely maxim´alis rendezett l´anc hossza d + 2. Bizony´ıt´ as: Legyen L−1 < L0 < . . . < Lk a P lapjainak maxim´alis l´anca. A maximalit´ as k¨ ovetkezt´eben nyilv´anval´oan L−1 = ∅ ´es Lk = P . Az L0 lapnak 3.1.11 miatt van cs´ ucsa, ´ıgy, ha L0 maga nem cs´ ucs volna, a l´anc ´ ıt´ast az b˝ ov´ıthet˝ o volna L0 egy cs´ ucs´aval. Teh´at dim L0 = 0. A 3.1.7.(1) All´ Li−1 < Li p´ arra alkalmazva ad´odik, hogy minden i = 1, . . . , k -ra Li−1 az Li -nek hiperlapja, hiszen k¨ ul¨onben a l´anc b˝ov´ıthet˝o volna Li -nek egy Li−1 -et tartalmaz´ o hiperlapj´ aval. Ez´ert dim Li = i (i = 0, . . . , k) ´es ´ıgy k = d. 3.2.9. Defin´ıci´ o (Kombinatorikai szerkezet, αk ). Egy P polit´op eset´eben az L(P ) laph´ al´ ot szok´ as P kombinatorikai szerkezet´enek nevezni. Azt mondjuk, hogy P ´es Q azonos kombinatorikai szerkezet˝ u (vagy kombinatorikailag ekvivalens) polit´ opok, ha L(P ) ´es L(Q) izomorf r´eszben rendezett halmazok, azaz l´etezik k¨ oz¨ ott¨ uk rendez´estart´o bijekci´o. P -t ´es Q-t du´alis kombinatorikai szerkezet˝ u polit´ opoknak mondjuk, ha L(P ) ´es L(Q) du´alisan izomorfak, azaz l´etezik k¨ oz¨ ott¨ uk rendez´esford´ıt´o bijekci´o.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

94

Affin geometria

P´eld´ aul ha a Q polit´ op P -nek valamely affin izomorfizmusn´al sz´armaz´o k´epe (azaz P ´es Q affin-ekvivalens), akkor P ´es Q kombinatorikailag ekvivalens. Tetsz˝ oleges P polit´ op ´es k ≥ 0 eg´esz sz´am eset´en jel¨olje αk = αk (P ) a P ´ ıt´as k¨ovetkezt´eben P lapjainak polit´ op k-dimenzi´ os lapjai sz´ am´at. A 3.2.8. All´ dimenzi´ oja L(P )-b˝ ol felismerhet˝o, ez´ert kombinatorikailag ekvivalens P ´es Q eset´eben minden k-ra αk (P ) = αk (Q). Hasonl´ok´eppen, ha P ´es Q du´alis kombinatorikai szerkezet˝ u d-dimenzi´os polit´opok, akkor minden k ≤ (d − 1) re αk (P ) = αd−k−1 (Q). P´eld´ aul b´ armely konvex soksz¨og eset´eben α0 = α1 a soksz¨og oldalsz´am´aval egyenl˝ o ; k´et konvex soksz¨ og pontosan akkor kombinatorikailag ekvivalens, ha az oldalsz´ amuk egyenl˝ o. (T¨ ort´enetesen ilyenkor du´alis kombinatorikai szerkezet˝ uek is.) ´ 3.2.10. P´ eld´ ak. Attekintj¨ uk n´eh´any polit´opt´ıpus kombinatorikai szerkezet´et. • B´ armely k´et egyenl˝ o dimenzi´oj´ u szimplex azonos kombinatorikai szerkezet˝ u (hiszen affin-ekvivalens), ´es du´alis kombinatorikai szerkezet˝ u is. A d-dimenzi´ os szimplex laph´al´oja egy (d+1)-elem˝ u halmaz r´ e szhalmaz
d+1 h´ al´ oj´ aval izomorf, ´es αk = k+1 . • B´ armely k´et egyenl˝ o dimenzi´oj´ u parallelot´op, illetve b´armely k´et egyenl˝ o dimenzi´ oj´ u keresztpolit´op kombinatorikusan ekvivalens (s˝ot, affin-ekvivalens). Egy d-dimenzi´os parallelot´op ´es egy d-dimenzi´os keresztpolit´ op du´ alis kombinatorikai szerkezet˝ u. Ezt a 3.2.5-beli P paralellot´op ´es Q keresztpolit´ op eset´eben a val´odi lapok k¨oz¨otti PI,J 7→ QI,{1,2,...,d}−J megfeleltet´es mutatja.
A P parallelot´ op eset´eben αk (P ) = 2d−k · kd , a Q keresztpolit´opra
d pedig (k < d eset´en) αk (Q) = αd−k−1 (P ) = 2k+1 · k+1 . • Kombinatorikailag ekvivalens alap´ u g´ ul´ak egym´assal is kombinatorikailag ekvivalensek. Ha P egy Q alap´ u g´ ula, akkor α0 (P ) = 1 + α0 (Q) ´es k ≥ 1 -re αk (P ) = αk (Q) + αk−1 (Q). • Kombinatorikailag ekvivalens alap´ u tetsz˝oleges has´abok is kombinatorikailag ekvivalensek. Ha P egy Q alap´ u has´ab, akkor α0 (P ) = 2α0 (Q) ´es k ≥ 1 -re αk (P ) = 2αk (Q) + αk−1 (Q). • Kombinatorikailag ekvivalens polit´opokra ´all´ıtott kett˝os g´ ul´ak egym´assal is kombinatorikailag ekvivalensek. Ha P a Q-ra ´all´ıtott d-dimenzi´os kett˝ os g´ ula, akkor α0 (P ) = 2 + α0 (Q), 1 ≤ k ≤ d − 2 -re αk (P ) = = αk (Q) + 2αk−1 (Q), ´es αd−1 (P ) = 2αd−2 (Q).

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

´derek e ´s polito ´ pok 3. Konvex polie

95

• Ha Q ´es R du´ alis kombinatorikai szerkezet˝ u polit´opok, akkor a Q alap´ u has´ ab ´es az R-re ´ all´ıtott kett˝os g´ ula is du´alis kombinatorikai szerkezet˝ uek. (Ennek az ´eszrev´etelnek az iter´al´as´aval u ´jra megkapjuk a kor´abban m´ ar meg´ allap´ıtott dualit´asi viszonyt a parallelot´opok ´es a keresztpolit´ opok k¨ oz¨ ott.)

3.3. Euler t´ etele Az al´ abbi t´etel a polit´ opok kombinatorik´aj´anak legalapvet˝obb ¨osszef¨ ugg´ese. A h´ aromdimenzi´ os polit´ opokra vonatkoz´o eset´et az elemi t´ergeometri´aban Euler-f´ele poli´edert´etelnek szok´as nevezni. Az egy-, illetve k´etdimenzi´os esetben a t´etel annyit ´ all´ıt, hogy b´armely szakasznak k´et v´egpontja van, illetve hogy b´ armely konvex soksz¨ ogben a cs´ ucsok sz´ama egyenl˝o az oldalak sz´am´aval. 3.3.1. T´ etel (Euler-formula). B´armely nem¨ ures polit´opra ´erv´enyes a X (−1)k αk = 1 k≥0

egyenl˝ os´eg. Bizony´ıt´ as: A t´etelben szerepl˝o el˝ojeles ¨osszeg nyilv´an egyenl˝o a X (−1)dim L ∅6=L≤P

osszeggel; err˝ ol az ut´ obbir´ ol l´atjuk be, hogy 1-gyel egyenl˝o. ¨ Legyen P ⊆ X tetsz˝ oleges d-dimenzi´os polit´op. Teljes indukci´ot alkalmazunk d szerint; d = 0 eset´en (s˝ ot, d ≤ 2-re is) tudjuk, hogy az ´all´ıt´as igaz. Tegy¨ uk fel, hogy d > 0 ´es b´ armely d-n´el alacsonyabb dimenzi´oj´ u polit´opra a t´etel all´ıt´ ´ asa igaz. V´ alasszunk olyan s ∈ X • affin form´at, amely P cs´ ucsain csupa k¨ ul¨onb¨oz˝o ´ert´eket vesz f¨ ol. Ilyen affin forma l´etezik, mert A, B ∈ X ´es A 6= B eset´en az A-n ´es B-n egyenl˝ o ´ert´eket felvev˝o affin form´ak line´aris hipers´ıkot alkotnak az X • vektort´erben, ´es s-nek csak v´eges sok ilyen hipers´ıkot kell elker¨ ulnie. Az s−1 (a) ⊂ X (a ∈ R) halmazok p´arhuzamos affin hipers´ıkok, amelyek, ha van k¨ oz¨ os pontjuk P belsej´evel, (d − 1)-dimenzi´os polit´opot metszenek ki P -b˝ ol. Ilyen hipers´ıkok egy v´eges rendszer´evel szeletelj¨ uk f¨ol” P -t ´es annak ” lapjait. Legyen n = α0 ´es legyenek a1 < a2 < . . . < an az s affin forma ´ert´ekei P cs´ ucsain. Legyen Ai az a cs´ ucs, amelyre ai = s(Ai ) (1 ≤ i ≤ n). V´alasszuk

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

96

Affin geometria

a b1 , . . ., bn−1 sz´ amokat u ´gy, hogy a1 < b1 < a2 < b2 < . . . < bn−1 < an teljes¨ ulj¨ on. Legyen Qi = P ∩ s−1 (ai ) ´es Rj = P ∩ s−1 (bj ) (i = 1, . . . , n, j = = 1, . . . n − 1), ekkor Q1 ´es Qn egypont´ u, a t¨obbi Qi ´es Rj pedig (d − 1)dimenzi´ os polit´ op. Alkalmazzuk az indukci´ os feltev´est a Qi ´es Rj polit´opokra az al´abbi form´aban: 1 = n − (n − 1)

=

n X X

k

(−1) αk (Qi ) −

i=1 k≥0

=

n X

n−1 XX

(−1)k αk (Rj ) =

j=1 k≥0

X

dim M

(−1)

−

i=1 ∅6=M ≤Qi

n−1 X

X

(−1)dim N

j=1 ∅6=N ≤Rj

Most ennek az ¨ osszegnek a tagjait a P polit´op lapjai szerint csoportos´ıtjuk. Vegy¨ uk ´eszre, hogy az M ≤ Qi ´es N ≤ Rj lapok el˝o´allnak L ∩ Qi , illetve L∩Rj alakban, ahol L ≤ P . Ilyen L ´altal´aban egy´ertelm˝ uen tal´alhat´o, ez al´ol csak az az eset kiv´etel, amikor M a P valamelyik cs´ ucsa. Ez´ert a sz´amol´asban c´elszer˝ u k¨ ul¨ onv´ alasztani P cs´ ucsait.

Tetsz˝ oleges L ≤ P nem¨ ures lapra s(L) = [am(L) , an(L) ], ahol 1 ≤ m(L) ≤ ≤ n(L) ≤ n. (P´eld´ aul m(P ) = 1 ´es n(P ) = n, illetve egy L ≤ P lap pontosan akkor cs´ ucs, ha m(L) = n(L).) Ezzel a jel¨ol´essel L ∩ Qi 6= ∅ (illetve L ∩ Rj 6= = ∅) azzal egyen´ert´ek˝ u, hogy m(L) ≤ i ≤ n(L) (illetve m(L) ≤ j ≤ n(L)). Ezeket felhaszn´ alva: ! n n−1 X X X X dim M 1 = 1+ (−1) − (−1)dim N = i=1

j=1 ∅6=N ≤Rj

∅6=M ≤Qi M 6={Ai } n(L)−1

= n+

www.interkonyv.hu

n(L)−1

X

X

L≤P dim L>0

i=m(L)+1

dim(L∩Qi )

(−1)

−

X

! dim(L∩Rj )

(−1)

j=m(L)

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

´derek e ´s polito ´ pok 3. Konvex polie

97

Itt minden m(L) < i < n(L)-re dim(L ∩ Qi ) = dim L − 1, valamint minden m(L) ≤ j < n(L)-re dim(L ∩ Rj ) = dim L − 1, ´ıgy a z´ar´ojelben l´ev˝o tagok egy h´ıj´ an kiesnek ´es X X
1=n + − (−1)dim(L∩Rm(L) ) = (−1)dim L , L≤P dim L>0

∅6=L≤P

amit bizony´ıtani akartunk. Most megmutatjuk, hogy az α0 , . . ., αd−1 sz´amokra vonatkoz´oan nincs m´as, az Euler-formul´ at´ ol f¨ uggetlen line´aris ¨osszef¨ ugg´es, amelyet b´armely d-dimenzi´ os polit´ op adatai teljes´ıtenek. 3.3.2. Defin´ıci´ o (Euler-hipers´ık, α(P )). d ≥ 1 eset´en az Rd t´erben (ahol a koordin´ at´ akat most x0 , x1 , . . ., xd−1 jel¨oli) tekints¨ uk az ed (x) = x0 − x1 + x2 − . . . + (−1)d−1 xd−1 + (−1)d − 1 k´eplettel adott ed ∈ (Rd )• affin form´at. Euler-hipers´ıknak nevezz¨ uk a Z(ed ) ⊂ ⊂ Rd affin hipers´ıkot. A 3.3.1. T´etel k¨ovetkezt´eben tetsz˝oleges d-dimenzi´os P polit´ op eset´en az α(P ) = (α0 , α1 , . . . , αd−1 ) ∈ Rd pont illeszkedik az Eulerhipers´ıkra. ´ ıt´ 3.3.3. All´ as. Legyen d ≥ 1. Az o¨sszes d-dimenzi´os P polit´ophoz tartoz´o α(P ) pontok affin burka az Rd -beli Euler-hipers´ık. Bizony´ıt´ as: Megmutatjuk, hogy ha s ∈ (Rd )• affin forma, melyre s(α(P )) = = 0 minden d-dimenzi´ os P polit´opra, akkor s = λ · ed alkalmas λ ∈ R-rel. Ez nyilv´ an egyen´ert´ek˝ u a bizony´ıtand´o ´all´ıt´assal. Teljes indukci´ ot alkalmazunk d szerint. A d = 1 esetben az ´all´ıt´as igaz, hiszen az Euler-hipers´ık az egyetlen x0 = 2 pontb´ol ´all. Tegy¨ uk fel most, hogy d ≥ 2 ´es d − 1 dimenzi´ oban az ´ all´ıt´as igaz. Legyen s(x) = a0 x0 + a1 x1 + . . . + ad−1 xd−1 + b az s affin forma koordin´ at´ as alakja. V´alasszunk egy tetsz˝oleges (d − 1)dimenzi´ os Q polit´ opot ´es legyen P1 egy Q alap´ u g´ ula, valamint P2 egy Q-ra all´ıtott kett˝ ´ os g´ ula. Ekkor a 3.2.10-beli meg´allap´ıt´asok szerint
α(P1 ) = α0 (Q) + 1 , α1 (Q) + α0 (Q) , . . . , 1 + αd−2 (Q)
´es α(P2 ) = α0 (Q) + 2 , α1 (Q) + 2α0 (Q) , . . . , 2αd−2 (Q) ´erv´enyes. ´Igy 0 = s(α(P2 ))−s(α(P1 )) = a0 +a1 α0 (Q)+. . .+ad−2 αd−3 (Q)+ad−1 (αd−2 (Q)−1).

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

98

Affin geometria

Tekints¨ uk azt az s0 ∈ (Rd−1 )• affin form´at, amelyet az s0 (y) = a1 y0 + . . . + ad−1 yd−2 + a0 − ad−1

(y ∈ Rd−1 )

k´eplet defini´ al, ekkor a fenti eredm´eny alapj´an s0 (α(Q)) = 0. Miut´an ez minden (d − 1)-dimenzi´ os Q polit´opra teljes¨ ul, az indukci´os feltev´es alapj´an s0 az ed−1 affin forma skal´ arszorosa. Mivel ed−1 els˝o egy¨ utthat´oja 1-gyel, s0 -´e pedig a1 -gyel egyenl˝ o, ez a skal´ ar csak a1 lehet. Ennek alapj´an az ai+1 a0 − ad−1

= a1 · (−1)i (i = 0,1, . . . , d − 2) = a1 · ((−1)d−1 − 1)

egyenleteket kapjuk, melyekb˝ol a k´et utols´o ¨osszevet´es´evel a0 = −a1 is k¨ovetkezik. Az s affin forma koordin´at´as alakja teh´at s(x) = a0 x0 − a0 x1 + . . . + (−1)d−1 a0 xd−1 + b =
= a0 · x0 − x1 + . . . + (−1)d−1 xd−1 + b. Ha most valamely (tetsz˝ oleges) d-dimenzi´os P polit´opot v´alasztva α(P )-t s-be helyettes´ıtj¨ uk, akkor a 3.3.1. T´etelt is felhaszn´alva
0 = s(α(P )) = a0 · α0 − α1 + . . . + (−1)d−1 αd−1 + b = a0 · (1 − (−1)d ) + b, ahonnan b = a0 · ((−1)d − 1) k¨ovetkezik. ´Igy s = a0 · ed .

3.4. Pol´ aris halmazok Felvet˝ odik a k´erd´es, vajon tal´alhat´o-e b´armely P polit´ophoz olyan polit´op, amely P -hez k´epest du´ alis kombinatorikai szerkezet˝ u. Az igenl˝o v´alasz tiszt´az´ asa c´elj´ ab´ ol ebben a szakaszban egy ilyen, u ´n. pol´aris polit´op konstrukci´oj´at t´ argyaljuk. Ennek a P ∗ polit´opnak a term´eszetes” helye nem ugyanaz az ” X affin t´er, ahol P tal´ alhat´ o, hanem a du´alis t´er. Miut´an a konstrukci´oban az orig´ o kit¨ untetett szerepet j´atszik, X helyett eleve egy V v´eges dimenzi´os val´ os vektort´erben fekv˝ o halmazokra ´es polit´opokra szor´ıtkozunk. 3.4.1. Defin´ıci´ o (Pol´ aris halmaz). Jel¨olje V ∗ a V du´alis vektorter´et. Tetsz˝ oleges nem¨ ures S ⊆ V halmazra defini´aljuk az S ∗ ⊆ V ∗ halmazt, amelyet az S pol´ aris halmaz´ anak nevez¨ unk: S ∗ = {α ∈ V ∗ : minden v ∈ S-re α(v) ≤ 1} . A defin´ıci´ oban α-ra kir´ ott k¨ ovetelm´enyt jel¨olhetj¨ uk α(S) ≤ 1-gyel is.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

´derek e ´s polito ´ pok 3. Konvex polie

99

Nyilv´ an a 0 ∈ V orig´ o (mint egyelem˝ u halmaz) pol´aris halmaza az eg´esz V ∗ , tov´ abb´ a az eg´esz V vektort´er pol´aris halmaza csak a 0 ∈ V ∗ pontb´ol ´all. (Itt jegyezz¨ uk meg, hogy a ∗ jel¨ol´es m´ar foglalt a vektorterek du´alisa sz´am´ara. Most ezzel valamelyest ellentmond´asba ker¨ ul¨ unk, de csak akkor, amikor mag´ anak V -nek vagy line´ aris altereinek a pol´aris halmazair´ol akarunk besz´elni. Miut´ an a pol´ aris halmazok ir´ant els˝osorban polit´opok eset´eben ´erdekl˝od¨ unk, ez a k´et´ertelm˝ us´eg nem fog k´es˝obb sem zavart okozni.) A v ∈ V vektorok mint egyelem˝ u r´eszhalmazok pol´aris halmaz´at jel¨olj¨ uk Fv -vel, azaz legyen Fv = {α ∈ V ∗ : α(v) ≤ 1}. ´ ıt´ 3.4.2. All´ as (1) Ha v ∈ V , v 6= 0, akkor Fv z´art affin f´elt´er V ∗ -ban, amelynek az orig´o bels˝ o pontja. T (2) S ∗ = v∈S Fv . (3) Ha Hv jel¨ oli az Fv f´elteret hat´arol´o hipers´ıkot, azaz v 6= 0 ´es Hv = = {α ∈ V ∗ : α(v) = 1}, akkor Hv1 , . . ., Hvk pontosan akkor f¨ uggetlen hipers´ıkok, ha v1 , . . ., vk line´arisan f¨ uggetlen vektorok. (4) Fu $ Fv akkor ´es csak akkor ´all, ha u 6= 0 ´es l´etezik olyan 0 ≤ λ < 1 skal´ ar, hogy v = λu. Bizony´ıt´ as: Haszn´ aljuk a V ∗∗ = V term´eszetes azonos´ıt´ast, amelyn´el a v : ∗ : V → R line´ aris forma α ∈ V ∗ -on az α(v) ´ert´eket veszi f¨ol, azaz v(α) = = α(v). (1): A v(α) ≤ 1 (azaz az Fv defin´ıci´oj´aban szerepl˝o α(v) ≤ 1) egyenl˝otlens´eg z´ art affin f´elteret defini´ al V ∗ -ban. Miut´an α(0) = 0 < 1, a 0 pont val´oban bels˝ o pontja az Fv f´elt´ernek. (2): Nyilv´ anval´ o S ∗ ´es Fv defin´ıci´oj´ab´ol. (3): R¨ ogt¨ on k¨ ovetkezik abb´ ol, hogy a Hv hipers´ık a V ∗ t´eren ´ertelmezett v − 1 affin forma z´er´ ohalmaza. (4): Az akkor” implik´ aci´ o mag´at´ol ´ertet˝odik. A ford´ıtott ir´anyhoz feltehet” j¨ uk, hogy v 6= 0. Ekkor Fu ⊆ Fv eset´en sz¨ uks´egk´eppen Hu k Hv ´es ´ıgy u k v, azaz v = λu alkalmas λ-val. Ha most Fu 6= Fv , akkor tetsz˝oleges α ∈ Fv v´ alaszt´ as´ aval α ∈ / Fu , ahonnan 1 < α(u) = α(v)/λ = 1/λ, azaz 0 < λ < 1. ´ ıt´ 3.4.3. All´ as. Legyen S, T ⊆ V . Ekkor: (1) S ∗ konvex z´ art halmaz V ∗ -ban ´es 0 ∈ S ∗ . (2) Ha S ⊆ T , akkor S ∗ ⊇ T ∗ .

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

100

Affin geometria


∗ (3) S ∗ = conv(S) . (4) Ha 0 ∈ int S, akkor S ∗ korl´atos. (5) Ha S korl´ atos, akkor 0 ∈ int S ∗ . T Bizony´ıt´ as: (1): A 3.4.2.(2) szerinti S ∗ = v∈S Fv el˝o´all´ıt´asban mindegyik Fv az orig´ ot tartalmaz´ o konvex z´art halmaz. (2): Nyilv´ anval´ o. (3): A ⊇ tartalmaz´ as (2) alapj´an mag´at´ol ´ertet˝odik. A ford´
ıtott ir´anyhoz
vegy¨ uk ´eszre, hogy tetsz˝ oleges α ∈
V ∗ mellett α conv(S) = conv α(S) , ez´ert ha α(S) ≤ 1, akkor α conv(S) ≤ 1 is teljes¨ ul. (4): Legyen s tetsz˝ olegesen adott affin forma a V ∗ t´eren, azt kell bel´atni, hogy az s(S ∗ ) ⊆ R halmaz korl´ atos. A V ∗∗ = V azonos´ıt´as mellett tetsz˝oleges α ∈ ∈ V ∗ -ra s(α) = α(v) + c valamilyen r¨ogz´ıtett v ∈ V -vel ´es c ∈ R konstanssal. Miut´ an az orig´ o bels˝ o pontja S-nek, l´etezik olyan r ∈ R, hogy v = rv0 ´es ±v0 ∈ S. Ekkor b´ armely α ∈ A∗ -ra |s(α)| = |α(v) + c| ≤ |rα(v0 )| + |c| ≤ |r| + |c|, felhaszn´ alva, hogy ±v0 ∈ S miatt |α(v0 )| ≤ 1. Ez´ert s(S ∗ ) val´oban korl´atos sz´ amhalmaz. (5): Ha S korl´ atos, akkor 3.2.7 alapj´an l´etezik olyan P ⊆ V polit´op, melyre S ⊆ P . Ez´ert S benne fekszik v´eges sok V -beli pont (nevezetesen P cs´ ucsai) konvex burk´ aban: S ⊆ conv({v1 , . . . , vk }). Ebb˝ol (2) ´es (3) alkalmaz´as´aval ad´ odik, hogy S ∗ ⊇ Fv1 ∩ . . . ∩ Fvk . Az itt szerepl˝o Fvi f´elterek mindegyike 3.4.2.(1) szerint a belsej´eben tartalmazza az orig´ot, ez´ert 0 ∈ int S ∗ . 3.4.4. K¨ ovetkezm´ eny. Ha K ⊆ V kompakt konvex halmaz, amely az orig´ot a belsej´eben tartalmazza, akkor K ∗ is ilyen tulajdons´ag´ u : kompakt, konvex, ´es V ∗ orig´ oj´ at a belsej´eben tartalmazza. Emellett b´armely v ∈ ∂K-ra Fv t´ amaszf´eltere K ∗ -nak. Bizony´ıt´ as: Az els˝ o mondat csup´an egyes´ıti a 3.4.3-ban tiszt´azottakat, ´ıgy csak az utols´ o ´ all´ıt´ ast kell bebizony´ıtanunk. Miut´an 0 ∈ int K v ∈ ∂K, a [0, v] szakasz nem hosszabb´ıthat´o meg v-n t´ ul K-ban, ez´ert 3.4.2.(3) miatt Fv minim´ alis a K ∗ -ot tartalmaz´o f´elterek k¨oz¨ott a tartalmaz´asra n´ezve, azaz val´ oban t´ amaszf´elt´er. Megjegyz´es. Azokat a kompakt konvex halmazokat, amelyeknek van bels˝o pontja, konvex testeknek nevezik. Azt kaptuk teh´at, hogy konvex test pol´aris halmaza is konvex test, ha az orig´o a test belsej´eben van. A K ∗ halmaz pol´ aris halmaza a V ∗ vektort´er du´alis´aban, azaz V ∗∗ = V ben fekszik. Nevezetes t´eny, hogy a 3.4.4-beli feltev´esek mellett ilyen m´odon mag´ at K-t kapjuk vissza.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

´derek e ´s polito ´ pok 3. Konvex polie

101

3.4.5. T´ etel. Ha K ⊆ V kompakt konvex halmaz, amely az orig´ot a belsej´eben tartalmazza, akkor K ∗∗ = K. Bizony´ıt´ as: A K ⊆ K ∗∗ tartalmaz´as tetsz˝oleges K ⊆ V r´eszhalmazra automatikusan f¨ onn´ all, ugyanis ha v ∈ K ´es α ∈ K ∗ , akkor v(α) = α(v) ≤ 1, ∗∗ ez´ert v ∈ K . A ford´ıtott ir´ any´ u tartalmaz´ashoz tegy¨ uk f¨ol, hogy v ∈ / K. Ekkor K-nak l´etezik olyan F t´ amaszf´eltere, amelyre v ∈ / F . Alkalmas β ∈ V ∗ line´aris form´ aval ´es c ∈ R konstanssal az F f´elt´er F = {u ∈ V : β(u) ≤ c} alakban ´ırhat´ o. Ekkor teh´ at β(v) > c. Itt c > 0, mert 0 ∈ int K miatt az orig´o F -nek is a belsej´eben van. Ez´ert az α = β/c form´ara ´erv´enyes, hogy minden u ∈ ∈ F -re, ´es ´ıgy speci´ alisan minden u ∈ K-ra is α(u) ≤ 1. Eszerint α ∈ K ∗ , ugyanakkor v(α) = α(v) > 1, ami azt mutatja, hogy v ∈ / K ∗∗ . ´ Erdemes kiemelni, hogy 3.4.4 ´es 3.4.5 polit´opokra szor´ıtkozva is ´erv´enyes : 3.4.6. T´ etel. Ha a P ⊆ V polit´op a belsej´eben tartalmazza V orig´oj´at, akkor a P ∗ pol´ aris halmaz is polit´op V ∗ -ban, amely az orig´ot a belsej´eben tartalmazza, tov´ abb´ a P ∗∗ = P . Bizony´ıt´ as: Csak azt kell bizony´ıtanunk, hogy P ∗ is polit´op, hiszen az ¨osszes t¨ obbi ´ all´ıt´ as 3.4.4, illetve 3.4.5 speci´alis esete. Tudjuk, hogy P ∗ korl´atos, ez´ert 3.2.3 alapj´ an el´eg annyit ellen˝orizni hogy konvex poli´eder, azaz v´eges sok f´elt´er metszete. Ezt pedig 3.4.3.(5) bizony´ıt´as´ahoz hasonl´oan a P cs´ ucsaihoz tartoz´ o pol´ aris f´eltereket szerepeltetve l´atjuk. Most kapcsolatot teremt¨ unk P ´es P ∗ lapjai k¨oz¨ott. Legyen teh´at a tov´abbiakban P r¨ ogz´ıtett konvex polit´op V -ben, melyre 0 ∈ int P . 3.4.7. Defin´ıci´ o (L ). Legyen L a P tetsz˝oleges val´odi lapja. Defini´aljuk az L ⊆ P ∗ halmazt az \ L = P ∗ ∩ Hv v∈L

formul´ aval. Itt 3.4.4 miatt mindegyik Fv t´amaszf´eltere, ´es ´ıgy P ∗ ∩ Hv pedig lapja P ∗ -nak. Az L halmaz teh´at lapok metszetek´ent ´all´ıthat´o el˝o, ez´ert maga is lap. Ha L ≤ P nem val´odi lap, azaz L = ∅ vagy L = P , akkor legyen ∅ = P ∗ ´es P  = ∅. Nyilv´ anval´ o, hogy ha a P -beli L1 , L2 lapokra L1 ⊆ L2 , akkor L1  ⊇ L2  . 3.4.8. T´ etel. B´ armely L ≤ P lapra dim L = d − dim L − 1. Bizony´ıt´ as: A nem val´ odi lapokra ez nyilv´anval´o a defin´ıci´ob´ol. Legyen a tov´ abbiakban L ≤ P val´ odi lap ´es k = dim L. El˝osz¨or megmutatjuk, hogy dim L ≤ d − k − 1. V´ alasszunk k + 1 darab affin-f¨ uggetlen pontot L-ben, legyenek ezek v0 , v1 , . . ., vk . Ekkor 0 ∈ / hLi miatt a v0 , v1 , . . ., vk vektorok

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

102

Affin geometria

line´ arisan f¨ uggetlenek. Ez´ert a Hv0 , Hv1 , . . ., Hvk hipers´ıkok f¨ uggetlenek, ´es ´ıgy a Hv0 ∩ . . . ∩ Hvk affin alt´er dimenzi´oja (d − k − 1)-gyel egyenl˝o. Az L lap benne fekszik ebben az alt´erben, ez´ert val´oban dim L ≤ d − k − 1. A ford´ıtott egyenl˝ otlens´eg igazol´asa c´elj´ab´ol ´all´ıtsuk el˝o az L ´altal kifesz´ıtett affin alteret, hLi-et, mint t´ amaszhipers´ıkok metszet´et. V´alasszunk ki ezek k¨ oz¨ ul a t´ amaszhipers´ıkok k¨oz¨ ul d − k f¨ uggetlent, M1 -et, M2 -t, . . ., Md−k -t u ´gy, hogy hLi = M1 ∩M2 ∩. . .∩Md−k legyen. V´alasszuk minden i = 1, . . . , d− − k-ra Mi -hez az αi ∈ V ∗ line´aris form´at u ´gy, hogy az {x ∈ V : α(x) ≤ 1} halmaz ´eppen a P -t tartalmaz´o Mi szerinti f´elt´er legyen. Ekkor α1 , . . ., αd−k line´ arisan f¨ uggetlenek. Azt ´ all´ıtjuk, hogy mindannyian hozz´atartoznak L hez. Val´ oban, egyr´eszt nyilv´ an αi ∈ P ∗ , m´asr´eszt ha v ∈ L, akkor v ∈ Mi (azaz αi (v) = 1) miatt αi ∈ Hv . ´ tekinthetj¨ Ugy uk, hogy az L 7→ L hozz´arendel´es b´armely olyan polit´op lapjaira ´ertelmezve van, amely valamely v´eges dimenzi´os val´os vektort´erben az orig´ ot a belsej´eben tartalmazza. Alkalmazhatjuk teh´at m´asodszor is, ez´ uttal P ∗ lapjaira. Ekkor u ´jra P lapjaihoz jutunk. 3.4.9. T´ etel. B´ armely L ≤ P lapra L = L. Bizony´ıt´ as: 3.4.8 k´etszeri felhaszn´al´as´aval dim L = dim L, ez´ert el´eg bel´atni, hogy L ⊆ L . Legyen v ∈ L tetsz˝oleges pont, azt kell megmutatnunk, hogy minden α ∈ L -re v ∈ Hα . Ha α ∈ L , akkor speci´alisan α ∈ Hv , azaz α(v) = 1 is ´erv´enyes. Ez azt jelenti, hogy v(α) = 1, azaz val´oban v ∈ Hα . 3.4.10. K¨ ovetkezm´ eny. P ´es P ∗ du´alis kombinatorikai szerkezet˝ u polit´opok. Bizony´ıt´ as: Val´ oban, a laph´ al´ok k¨oz¨otti  : L(P ) → L(P ∗ ) ´es  : L(P ∗ ) → L(P ) megfeleltet´esek rendez´esford´ıt´ok ´es 3.4.9 szerint egym´as inverzei, ´ıgy bijekt´ıvek. Teh´ at P ´es P ∗ laph´al´oi du´alisan izomorfak. 3.4.11. P´ elda. Az orig´ o P -n bel¨ uli elhelyezked´ese l´enyegesen befoly´asolja P ∗ alakj´ at. Ha p´eld´ aul P keresztpolit´op ´es az orig´o a k¨oz´eppontja, akkor P ∗ parallelot´ op. Viszont ha az orig´o a k¨oz´eppontt´ol k¨ ul¨onb¨oz˝o bels˝o pontja P -nek, akkor b´ ar P ∗ kombinatorikailag ekvivalens egy parallelot´oppal, szemk¨ozti hiperlapjai ´ altal´ aban nem p´ arhuzamosak, ´es ´ıgy P ∗ nem parallelot´op. Megjegyz´es. A pol´ aris test konstrukci´oja a polit´opokt´ol k¨ ul¨onb¨oz˝o konvex testek eset´eben is ´erdekes geometriai jelens´egekhez kapcsol´odik. Megmutathat´o p´eld´ aul, hogy ha K ellipszoidtest, amelynek az orig´o a k¨oz´eppontja, akkor K ∗ is az. Err˝ ol a projekt´ıv geometri´aban fontos szerepet j´atsz´o polarit´as kapcs´an lesz m´eg sz´ o, l. 9.2.17.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

´derek e ´s polito ´ pok 3. Konvex polie

103

A pol´ aris halmazok haszn´ alat´anak m´asik ´erdekes esete, amikor a V vektort´er egy konvex k´ upj´ ara alkalmazzuk a konstrukci´ot. Tegy¨ uk fel most teh´at, hogy K ⊆ V konvex k´ up. Vegy¨ uk ´eszre, hogy a pol´aris halmaz elemeit 3.4.1-ben defini´ al´ o α(v) ≤ 1 egyenl˝ otlens´eg helyett ilyenkor α(v) ≤ 0 is ´ırhat´o, azaz K ∗ = {α ∈ V ∗ : minden v ∈ K-ra α(v) ≤ 0}. Val´oban, egyr´eszt az ´ıgy defini´ alt halmaz nyilv´ anval´ oan r´esze K ∗ -nak. M´asr´eszt pedig ha valamilyen ∗ α ∈ V line´ aris forma nem tartozik hozz´a, akkor
valamilyen v ∈ K vektoron α(v) = a > 0, ekkor (2/a)v ∈ K ´es α (2/a)v = 2 mutatja, hogy α ∈ / K ∗. 3.4.12. Defin´ıci´ o (Pol´ aris k´ up). Ha K konvex k´ up a V val´os vektort´erben, akkor a K ∗ = {α ∈ V ∗ : minden v ∈ K-ra α(v) ≤ 0} halmazt K pol´ aris k´ upj´ anak nevezz¨ uk. ´ ıt´ 3.4.13. All´ as (1) K ∗ z´ art konvex k´ up V ∗ -ban. (2) Ha K z´ art, akkor K ∗∗ = K. Bizony´ıt´ as: (1): Ha most v ∈ K, v 6= 0-ra Fv az α(v) T ≤ 0 egyenl˝otlens´eggel adott z´ art f´elteret jel¨ oli V ∗ -ban, akkor ism´et K ∗ = v∈K Fv , de most az itt szerepl˝ o f´elterek mindegyike az orig´ot a hat´ar´an tartalmazza, ez´ert metszet¨ uk z´ art konvex k´ up. (2): A K ⊆ K ∗∗ tartalmaz´ as 3.4.5 mint´aj´ara automatikus. A ford´ıtott ir´anyhoz el´eg annyit ´eszrevenni, hogy ha v ∈ / K, akkor l´etezik olyan K-t tartalmaz´ o, orig´ on ´ athalad´ o hat´ ar´ u z´ art f´elt´er, amelyben v nincs benne, azaz l´etezik olyan α ∈ K ∗ , amelyre α(v) > 0. Egy ilyen α ´eppen azt tan´ us´ıtja, hogy v∈ / K ∗∗ . A tov´ abbiakban tegy¨ uk f¨ ol, hogy K val´odi konvex k´ up V -ben, azaz V -t˝ol k¨ ul¨ onb¨ ozik. Ilyenkor az orig´ o relat´ıv hat´arpontja K-nak. A k¨ovetkez˝o ´all´ıt´as a pol´ aris k´ up dimenzi´ oj´ at ´ all´ıtja kapcsolatba az orig´onak mint hat´arpontnak a rendj´evel, l. 2.5.1. ´ ıt´ 3.4.14. All´ as. B´ armely K ⊆ V val´odi konvex k´ upra dim K ∗ = d − r(0) ´erv´enyes. Bizony´ıt´ as: K b´ armely t´ amaszhipers´ıkja tartalmazza az orig´ot, teh´at K azonos az orig´ ohoz tartoz´ o t´ amaszf´eltereinek a metszet´evel. Ha Y jel¨oli a t´amaszhipers´ıkok metszet´et, akkor egyr´eszt defin´ıci´o szerint r(0) = dim Y , m´asr´eszt Y a K-ban fekv˝ o legb˝ ovebb line´aris alt´er V -ben. A K ∗ halmaz nyilv´ an benne fekszik Y annull´ator´aban, ami d − r(0) dimenzi´ os line´ aris alt´er V ∗ -ban. M´asr´eszt ha K ∗ egy enn´el val´odi m´odon sz˝ ukebb alt´erben is benne volna, akkor ez az alt´er egy Y -n´al val´odi m´odon b˝ovebb

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

104

Affin geometria

Z ≤ V alt´ernek volna az annull´atora. Ebb˝ol viszont Z ⊆ K ∗∗ k¨ovetkezne, ami ellentmond 3.4.13.(2)-nek. ´ ıt´ 3.4.15. All´ as. Ha K konvex poli´ederk´ up (azaz olyan konvex k´ up, amely egy´ uttal konvex poli´eder), akkor K ∗ is az. Bizony´ıt´ as: K val´ odi lapjai k¨oz¨ott l´etezik egy tartalmaz´asra n´ezve legkisebb, m´egpedig a t´ amaszhipers´ıkok metszetek´ent ad´od´o Y line´aris alt´er V -ben. V´ alasszunk b´ azist az Y alt´erben ´es soroljuk f¨ol a b´azisvektorok ±1-szereseit egy v1 , v2 , . . ., vk sorozatban. (Lehets´eges, hogy dim Y = 0, ekkor ebben a l´ep´esben egyetlen vektort sem v´alasztunk.) A dim Y -n´al eggyel nagyobb dimenzi´ oj´ u lapok relat´ıv belsej´eb˝ol szemelj¨ unk ki egy-egy tov´abbi vektort: vk+1 , vk+2 , . . ., vm . Azt ´ all´ıtjuk, hogy K ∗ = {α ∈ V ∗ : α(vi ) ≤ 0 (i = 1,2, . . . m)}. Ha ezt bel´ atjuk, akkor ezzel K ∗ -ot el˝o´all´ıtottuk v´eges sok f´elt´er metszetek´ent (nevezetesen az Fvi = {α ∈ V ∗ : α(vi ) ≤ 0} f´elterek metszetek´ent), azaz K ∗ -r´ol bebizony´ıtottuk, hogy konvex poli´ederk´ up. Vegy¨ uk ´eszre, hogy b´ armely v ∈ K vektor el˝o´all´ıthat´o a v1 , v2 , . . ., vm vektorok nemnegat´ıv egy¨ utthat´ os kombin´aci´ojak´ent. Ez k¨onnyen meggondolhat´o a v-t tartalmaz´ o lap dimenzi´oja szerinti indukci´oval. Nyilv´ an K ∗ ⊆ {α ∈ V ∗ : α(vi ) ≤ 0 (i = 1,2, . . . m)}. A ford´ıtott tartalmaz´ as pedig a fenti ´eszrev´etel k¨ovetkezm´enye : ha α nempozit´ıv ´ert´eket vesz fel mindegyik vi vektoron, akkor ugyancsak nempozit´ıv ´ert´eket vesz fel ezek b´ armely nemnegat´ıv egy¨ utthat´os kombin´aci´oj´an is, azaz K minden elem´en, ´es ez´ert K ∗ -hoz tartozik. Megjegyz´esek. (1) A konvex poli´ederk´ upok ´es pol´aris k´ upjaik lapstrukt´ ur´aja k¨ oz¨ ott a polit´ opok eset´ehez hasonl´o dualit´asi viszony ´all f¨onn. A 3.4.7–3.4.10beli defin´ıci´ ok ´es t´etelek csek´ely m´odos´ıt´asokkal ´atfogalmazhat´ok a k´ upok eset´ere. A konvex poli´ederk´ upok k¨or´eben a laph´al´ot u ´gy ´erdemes defini´alni, hogy az u uk lapnak. Ekkor K ´es K ∗ laph´al´oi du´alisan ¨res halmazt nem tekintj¨ izomorfak. (2) A konvex k´ upok ´es poli´ederk´ upok ´erdekes, geometri´an bel¨ uli alkalmaz´asi ter¨ ulete a g¨ ombi geometri´ aban a konvex halmazok ´es poli´ederek elm´elete. A g¨ ombi konvex halmazokat, illetve g¨ombi konvex poli´edereket ugyanis ´eppen a konvex k´ upok, illetve konvex poli´ederk´ upok metszik ki egy euklideszi vektort´er orig´ o k¨ or¨ uli g¨ ombj´eb˝ ol. A g¨ombh´aromsz¨ogekkel kapcsolatban 0.3.6-ban megismert polarit´ as is ´ıgy sz´ armazik a pol´aris k´ up konstrukci´oj´ab´ol a h´aromdimenzi´ os t´er tri´edereire mint poli´ederk´ upokra vonatkoz´oan.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

Euklideszi geometria Az euklideszi t´er hagyom´ anyosan a geometria tudom´any´anak els˝o sz´am´ u c´elpontja ´es terepe. A geometria sok ´evsz´azados t¨ort´enete hatalmas ismeretanyagot halmozott f¨ ol az euklideszi t´err˝ol. Ennek csak igen kis r´esz´et tudjuk itt ´erinteni. Els˝ osorban az ´ altal´anos, tetsz˝oleges dimenzi´oj´ u euklideszi terek matematikai kezel´es´ehez sz¨ uks´eges appar´atus kidolgoz´as´at, ´es egy-k´et jellemz˝ o eredm´eny bemutat´ as´ at t˝ uzz¨ uk ki c´elul. A magasabb dimenzi´os euklideszi t´erfogalom az affin geometri´ara ´es a line´aris algebra eszk¨ozeire ´ep¨ ul. A t´er ´es transzform´ aci´ oi szerkezet´enek ´attekint´ese ut´an az inverzi´oval, szab´alyos testekkel, ´es konvex testek metrikus tulajdons´agaival foglalkozunk.

4. Euklideszi terek ´ es transzform´ aci´ oik Az euklideszi t´er strukt´ ur´ aj´ aban az affin t´erhez k´epest a m´ert´ekviszonyok (t´ avols´ ag, sz¨ og, ter¨ ulet, t´erfogat stb.) jelentik a t¨obbletet. Mindezt egyetlen, a line´ aris algebr´ ab´ ol ismert fogalomnak, a vektorok skal´aris szorz´as´anak a felhaszn´ al´ as´ aval sz´ armaztatjuk. Az euklideszi terek szekezet´enek megismer´es´eben el˝ osz¨ or az egybev´ ag´os´agi ´es hasonl´os´agi transzform´aci´okat ´es azok csoportjait vizsg´ aljuk meg.

4.1. Euklideszi vektorterek ´ es ortogon´ alis transzform´ acio ´k Ebben a szakaszban eml´ekeztet¨ unk a skal´aris szorzat fogalm´aval kapcsolatos line´ aris algebrai el˝ oismeretekre.

105

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

106

Euklideszi geometria

4.1.1. Eml´ ekeztet˝ o (Euklideszi vektort´ er). A (V, B) p´art euklideszi vektort´ernek nevezz¨ uk, ha V v´eges dimenzi´os val´os vektort´er, ´es B : V × V → R pozit´ıv definit szimmetrikus biline´aris f¨ uggv´eny. Ezt a f¨ uggv´enyt V -beli skal´ aris szorz´ asnak nevezz¨ uk, ´es az u, v ∈ V vektorokon felvett ´ert´ek´et B(u, v) helyett ink´ abb u · v-vel (vagy puszt´an uv-vel) jel¨olj¨ uk. A tov´ abbiakban a B jel¨ ol´est a´ltal´aban nem t¨ untetj¨ uk fel, ha egy´ertelm˝ u, hogy mely skal´ aris szorz´ asr´ ol besz´el¨ unk. ´Igy p´eld´aul gyakran mag´at V -t nevezz¨ uk euklideszi vektort´ernek; ilyenkor mindig hozz´a´ertj¨ uk a skal´aris szorz´ast is. Az Rd koordin´ atateret az x · y = x1 y1 + . . . + xd yd skal´aris szorzat automatikusan euklideszi vektort´err´e teszi ; ezt nevezz¨ uk standard d-dimenzi´os euklideszi vektort´ernek. B´ armely euklideszi vektort´erben b´armely line´aris alt´er maga is euklideszi vektort´er, ha a skal´ aris szorz´ ast megszor´ıtjuk az alt´erre. 4.1.2. Eml´ ekeztet˝ o (Vektorok aja, sz¨ oge). Az u ∈ V vektor nor√ norm´ uk. Ha kuk = 1, akkor u-t m´ aj´ an (vagy hossz´ an) az kuk = u · u sz´amot ´ertj¨ egys´egvektornak h´ıvjuk. A Cauchy–Schwarz-egyenl˝ otlens´eg szerint b´armely u, v ∈ V -re |u · v| ≤ ≤ kuk · kvk. Ha u ´es v nemz´erus vektorok V -ben, akkor u ´es v sz¨og´en azt az egy´ertelm˝ uen meghat´ arozott 0 ´es π k¨oz¨otti α sz¨oget ´ertj¨ uk, amelyre cos α = = (u · v)/(kuk · kvk). (Ha a k´et vektor k¨oz¨ott a 0 is szerepel, akkor sz¨og¨ uket hat´ arozatlannak tekintj¨ uk.) A π/2 sz¨oget bez´ar´o (azaz z´erus skal´aris szorzatot ad´ o) vektorokat mer˝olegesnek vagy ortogon´alisnak mondjuk. 4.1.3. Eml´ ekeztet˝ o (Ortonorm´ alt vektorrendszer). A v1 , v2 , . . ., vk ∈ ∈ V vektorok ortonorm´ alt rendszert alkotnak, ha p´aronk´ent mer˝oleges egys´egvektorok, azaz vi · vj = 0, ha i 6= j, ´es vi · vj = 1, ha i = j. K¨ onny˝ u ellen˝ orizni, hogy b´ armely ortonorm´alt vektorrendszer line´arisan f¨ uggetlen. A line´ aris algebr´ ab´ ol ismert Gram–Schmidt-f´ele ortogonaliz´aci´os elj´ar´ ast haszn´ alva l´ atjuk, hogy b´ armely ortonorm´alt vektorrendszer kieg´esz´ıthet˝o ortonorm´ alt b´ aziss´ a. Ez´ert V -ben az ortonorm´alt b´azisok pontosan a maxim´ alis ortonorm´ alt vektorrendszerek. 4.1.4. Eml´ ekeztet˝ o (Ortogon´ alis felbont´ as). A V euklideszi vektort´er a V1 , V2 alterek ortogon´ alis direkt ¨osszege, ha V = V1 + V2 ´es b´armely v1 ∈ V1 , v2 ∈ V2 eset´en v1 ⊥ v2 (azaz v1 v2 = 0). Ha a V euklideszi vektort´erben adott az U ≤ V line´aris alt´er, akkor egy´ertelm˝ uen l´etezik olyan alt´er, amely U -val egy¨ utt V ortogon´alis direkt¨osszegfelbont´ as´ at adja, m´egpedig az U ⊥ = {v ∈ V : v · u = 0 minden u ∈ U -ra}

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

´s transzforma ´ cio ´ ik 4. Euklideszi terek e

107

alt´er. Ezt az alteret az U ortogon´alis komplementer´enek nevezz¨ uk V -ben. ´ enyes az (U ⊥ )⊥ = U egyenl˝os´eg. Erv´ 4.1.5. Eml´ ekeztet˝ o (Ortogon´ alis line´ aris transzform´ aci´ ok). Az euklideszi vektorterek mint algebrai strukt´ ur´ak k¨oz¨otti izomorfizmusokat ortogon´ alis transzform´ aci´ oknak nevezz¨ uk. Teh´at ha (V, B) ´es (V 0 , B 0 ) euklideszi 0 vektorterek, akkor egy ϕ : V → V lek´epez´es ortogon´alis transzform´aci´o, ha ϕ line´ aris izomorfizmus ´es ϕ tartja a skal´aris szorzatot, azaz minden u, v ∈ V -re ϕ(u) · ϕ(v) = u · v. Eml´ekeztet¨ unk arra a line´ aris algebr´ab´ol ismert t´enyre, hogy egy line´aris izomorfizmus pontosan akkor ortogon´alis, ha a vektorok norm´aj´at meg˝orzi, illetve akkor, ha b´ armely (vagy ak´ar csak egyetlen) ortonorm´alt b´azist ortonorm´ alt b´ azisba k´epez. Ebb˝ ol az is k¨ovetkezik, hogy b´armely adott dimenzi´oban izomorfizmus erej´eig pontosan egy euklideszi vektort´er l´etezik. 4.1.6. Eml´ ekeztet˝ o (Ortogon´ alis csoport, ortogon´ alis m´ atrixok). A V euklideszi vektorteret saj´ at mag´aba k´epez˝o, skal´arisszorzat-tart´o line´aris lek´epez´eseket V ortogon´ alis transzform´aci´oinak nevezz¨ uk. Ezek a GL(V ) ´altal´ anos line´ aris csoportnak egy O(V )-vel jel¨olt r´eszcsoportj´at, a V ortogon´alis csoportj´ at alkotj´ ak. A standard skal´ aris szorz´ assal ell´atott Rd koordin´atat´er ortogon´alis csoportj´ ara az O(d) jel¨ ol´est haszn´ aljuk, ennek elemei a d × d m´eret˝ u ortogon´alis m´ atrixok. Felid´ezz¨ uk az ortogon´alis m´atrixok line´aris algebr´ab´ol ismert jellemz´es´et: B´ armely A ∈ Rd×d m´ atrixra az al´abbi felt´etelek egyen´ert´ek˝ uek: (i) A ∈ O(d); (ii) minden x ∈ Rd -re kAxk = kxk ; (iii) A oszlopvektorai ortonorm´alt b´azist alkotnak Rd -ben; (iv) A sorvektorai ortonorm´alt b´azist alkotnak Rd -ben; (v) A> A = I ; (vi) AA> = I. B´ armely ortogon´ alis transzform´aci´o determin´ansa ±1. Az el˝ojel aszerint pozit´ıv vagy negat´ıv, hogy a sz´oban forg´o transzform´aci´o ir´any´ıt´astart´o vagy ir´ any´ıt´ asv´ alt´ o. A pozit´ıv determin´ans´ u ortogon´alis transzform´aci´ok alkotj´ak O(V )-ben a 2 index˝ u SO(V ) r´eszcsoportot, a V euklideszi vektort´er speci´alis ortogon´ alis csoportj´ at. A V = Rd esetben az SO(d) jel¨ol´est haszn´aljuk a d×d m´eret˝ u speci´ alis ortogon´ alis m´atrixok csoportja sz´am´ara.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

108

Euklideszi geometria

4.2. Euklideszi terek ´ es izometri´ ak 4.2.1. Defin´ıci´ o (Euklideszi affin t´ er). Az (E, V, Φ) v´eges dimenzi´os val´ os affin teret euklideszi affin t´ernek (vagy r¨ovidebben csak euklideszi t´ernek) nevezz¨ uk, ha V euklideszi vektort´er, azaz ha V -n adott egy pozit´ıv definit szimmetrikus biline´ aris f¨ uggv´eny, amelyet V -beli skal´aris szorzatnak nevez¨ unk. Az egyszer˝ us´eg kedv´e´ert a t´er jel¨ol´es´eben nem t¨ untetj¨ uk f¨ol a skal´aris szorzatot, mint a strukt´ ura alkot´oelem´et, hanem azt bele´ertj¨ uk a V jel¨ol´esbe. Gyakran mag´ at az E alaphalmazt nevezz¨ uk euklideszi t´ernek, ha egy´ertelm˝ u, hogy mely strukt´ ur´ aval van ell´atva. 4.2.2. P´ elda. Ha az axiomatikusan ´ertelmezett klasszikus euklideszi teret a geometriai u ´ton defini´ alt skal´aris szorz´assal l´atjuk el, akkor h´aromdimenzi´os p´eld´ at kapunk euklideszi affin t´erre. 4.2.3. Defin´ıci´ o (Ortonorm´ alt koordin´ atarendszer). Legyen x : E → Rd affin koordin´ atarendszer E-ben. Tekints¨ uk az e1 , e2 , . . ., ed standard b´ azisvektorokat Rd -ben ´es ´ all´ıtsuk el˝o az A0 = x−1 (0) ´es Ai = x−1 (ei ) (i = = 1, . . . , d) inverz k´epeket. Azt mondjuk, hogy x ortonorm´alt (vagy Descartes−−−→ −−−→ −−−→ f´ele) koordin´ atarendszer E-ben, ha az A0 A1 , A0 A2 , . . ., A0 Ad vektorok ortonorm´ alt b´ azist alkotnak a V vektort´erben. Tudjuk (l. 4.1.5), hogy k´et egyenl˝o dimenzi´oj´ u euklideszi vektort´er k¨oz¨ott egy line´ aris lek´epez´es pontosan akkor skal´arisszorzat-tart´o, ha b´armely (vagy egyen´ert´ek˝ u m´ odon legal´ abb egy) ortonorm´alt b´azist ortonorm´alt b´azisba k´epez. Ennek alapj´ an valamely x : E → Rd affin koordin´atarendszer pontosan akkor ortonorm´ alt, ha az x affin lek´epez´es L(x) : V → Rd lineariz´altja skal´ arisszorzat-tart´ o. 4.2.4. Defin´ıci´ o (Izomorfizmus). K´et euklideszi teret izomorfnak nevez¨ unk, ha l´etezik k¨ oz¨ ott¨ uk olyan affin izomorfizmus, amelynek a lineariz´altja skal´ arisszorzat-tart´ o. B´ armely d-dimenzi´ os euklideszi t´er izomorf a term´eszetes affin strukt´ ur´aval ´es skal´ aris szorzattal ell´ atott Rd koordin´atat´errel (azaz a standard d-dimenzi´os euklideszi vektort´errel); az izomorfizmust egy ortonorm´alt koordin´atarendszer felv´etele szolg´ altatja. ´ 4.2.5. Defin´ıci´ o (Az euklideszi t´ er metrik´ ap ja). Ertelmezz¨ uk A, B ∈ −−→ −−→ −−→ ∈ E-re A ´es B t´ avols´ ag´ at a ρ(A, B) = kABk = AB · AB formul´aval. Az Rd standard euklideszi t´erben koordin´at´akkal kifejezve ezt a t´avols´agot a szok´ asos p ρ(x, y) = (x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2 + . . . + (xd − yd )2

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

´s transzforma ´ cio ´ ik 4. Euklideszi terek e

109

k´eplet adja meg. A ρ t´ avols´ agf¨ uggv´eny az E euklideszi teret metrikus t´err´e teszi (´es ez a metrika a t´er term´eszetes topol´ogi´aj´at sz´armaztatja, l. 1.8.15). A h´aromsz¨ogegyenl˝ otlens´eg ´es annak az al´abbi szigor´ u v´altozata is a Cauchy–Schwarzegyenl˝ otlens´egb˝ ol k¨ ovetkezik Descartes-f´ele koordin´at´akat haszn´alva. ´ ıt´ 4.2.6. All´ as. ρ(A, B) + ρ(B, C) ≥ ρ(A, C). Egyenl˝os´eg csak B ∈ [A, C] eset´en ´ all f¨ onn. 4.2.7. Defin´ıci´ o (Izometria, izometriacsoport). Legyenek (X, ρ) ´es (X 0 , ρ0 ) metrikus terek. Egy f : X → X 0 lek´epez´est izometri´anak
nevez¨ unk X ´es X 0 k¨ oz¨ ott, ha bijekt´ıv ´es minden x, y ∈ X-re ρ0 f (x), f (y) = ρ(x, y) teljes¨ ul, azaz f t´ avols´ agtart´ o. K´et metrikus t´er izometrikus, ha l´etezik k¨oz¨ott¨ uk izometria. P´eld´ aul a d-dimenzi´os euklideszi t´er izometrikus a standard metrik´ aval ell´ atott Rd t´errel (hiszen az ortonorm´alt koordin´atarendszerek izometri´ ak). Ez´ert Rd metrikus tulajdons´agai ´at¨or¨okl˝odnek az euklideszi terekre; ´ıgy p´eld´ aul b´ armely euklideszi t´er teljes metrikus t´er. Ha X r¨ ogz´ıtett metrikus t´er, akkor az X-et saj´at mag´aba k´epez˝o izometri´ ak csoportot alkotnak a kompoz´ıci´o m˝ uvelet´ere n´ezve. Ezt a csoportot X izometriacsoportj´ anak nevezz¨ uk ´es I(X)-szel jel¨olj¨ uk. Az euklideszi terekkel kapcsolatos vizsg´alataink egy r´esze az I(E) csoport megismer´es´ere ir´ anyul, ahol E euklideszi t´er. Az euklideszi terek k¨oz¨otti izometri´ akat egybev´ ag´ os´ agoknak vagy egybev´ag´os´agi transzform´aci´oknak is nevezz¨ uk. Az I(E) csoport teh´ at az E euklideszi t´er egybev´ag´os´againak a csoportja. K´et euklideszi t´erben fekv˝o ponthalmazt egybev´ag´onak mondunk, ha l´etezik olyan egybev´ ag´ os´ ag a befoglal´o terek k¨oz¨ott, amely az egyiket a m´asikra k´epezi. R´ at´er¨ unk az I(E) csoport r´eszletes vizsg´alat´ara. P´eldak´ent el˝osz¨or az euklideszi izometri´ ak k´et konkr´et t´ıpus´at tekintj¨ uk. 4.2.8. P´ elda (Eltol´ asok). Legyen t : E → E tetsz˝oleges eltol´as, azaz olyan t ∈ Aff (E), amelyre L(t) = idV . Ekkor A, B ∈ E-re ρ(t(A), t(B)) = −−−−−−→ −−→ −−→ = kt(A)t(B)k = kL(t)(AB)k = kABk = ρ(A, B) mutatja, hogy t izometria. Tudjuk (m´ ar az affin terek elm´elet´eb˝ol), hogy az eltol´asok egy a V vektort´er addit´ıv csoportj´ aval izomorf r´eszcsoportot alkotnak Aff (E)-ben, ´ıgy I(E)-ben is. 4.2.9. P´ elda (Ortogon´ alis izometri´ ak). V´alasszunk az E euklideszi affin t´erben egy tetsz˝ oleges O ∈ E kezd˝opontot, ´es ez´altal (az affin geometri´ ab´ ol megismert vektoriz´ al´as” u ´tj´an) azonos´ıtsuk E-t az EO vektort´errel, ” illetve mag´ aval V -vel. Ha f ∈ O(V ) tetsz˝oleges ortogon´alis line´aris transz−−−−−−→ −−→ form´ aci´ o, akkor A, B ∈ E-re ρ(f (A), f (B)) = kf (A)f (B)k = kL(f )(AB)k = −−→ −−→ = kf (AB)k = kABk = ρ(A, B) mutatja, hogy f izometria.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

110

Euklideszi geometria

Mind a 4.2.8-beli, mind a 4.2.9-beli p´eld´ak olyan izometri´ak, amelyek egy´ uttal affin transzform´ aci´ ok az E euklideszi t´erben. Ezek felhaszn´al´as´aval k¨onnyen meggondolhat´ o p´eld´ aul, hogy E-ben b´armely k´et egyenl˝o dimenzi´oj´ u affin alt´er egybev´ ag´ o. Az al´ abbi t´etel a line´ aris algebra nyelv´en jellemzi E izometri´ait, ´es a f˝o tartalma az, hogy E b´ armely izometri´aja affinit´as. 4.2.10. T´ etel. Egy euklideszi t´er izometri´ai pontosan azok az affinit´asok, amelyeknek a lineariz´ altja ortogon´alis. Bizony´ıt´ as: Tegy¨ uk f¨ ol el˝ osz¨or, hogy f ∈ Aff (E) ´es L(f ) ∈ O(V ). Egy Ebeli ortonorm´ alt koordin´ atarendszer kiv´alaszt´as´aval feltehet˝o, hogy E = Rd . Miut´ an f affinit´ as, f (x) = Ax+b (x ∈ Rd ) alakban ´ırhat´o, ahol A = L(f ) ∈ ∈ O(d) ´es b ∈ Rd . Ekkor f az A ´altal l´etes´ıtett ortogon´alis izometria ´es a b vektorral t¨ ort´en˝ o eltol´ as kompoz´ıci´oja, teh´at f izometria. A ford´ıtott ir´ any bizony´ıt´ as´ ahoz legyen adott az f ∈ I(E) izometria. V´alasszunk E-ben egy tetsz˝ oleges A0 ∈ E kezd˝opontot ´es jel¨olj¨ uk t-vel az −−−−−→ f (A0 )A0 vektorral t¨ ort´en˝ o eltol´ast. Ekkor a g = t ◦ f izometri´anak A0 fixpontja. Azt akarjuk bel´ atni, hogy g ∈ O(EA0 ). V´ alasszunk E-ben egy A0 kezd˝opont´ u ortonorm´alt koordin´atarendszert, azaz −−−→ −−−→ −−−→ az A1 , A2 , . . ., Ad pontokat u ´gy, hogy az A0 A1 , A0 A2 , . . ., A0 Ad vektorok ortonorm´ alt b´ azist alkossanak V -ben. Legyen Bi = g(Ai ) (i = 1,2, . . . , d). −−−→ −−−→ −−−→ ´ All´ıtjuk, hogy az A0 B1 , A0 B2 , . . ., A0 Bd vektorok is ortonorm´alt b´azist alkotnak V -ben. Ehhez azt tudjuk kihaszn´alni, hogy k´et egys´egvektor pontosan akkor oleges, ha k¨ oz¨ os kezd˝opont´ u reprezent´ansaik v´egpontjai egym´as√ mer˝ t´ ol 2 t´ avol vannak. Val´ oban, g t´avols´agtart´o volta miatt egyr´eszt minden i-re ρ(A0 , Bi ) = ρ(g(A0 ), g(Ai )) = ρ(A0 ,√ Ai ) = 1, m´asr´eszt i 6= j eset´en ρ(Bi , Bj ) = ρ(g(Ai ), g(Aj )) = ρ(Ai , Aj ) = 2. L´etezik teh´ at olyan h ∈ O(EA0 ) ortogon´alis line´aris transzform´aci´o, amely az ut´ obbi ortonorm´ alt b´ azist az el˝obbibe viszi. Ekkor h ∈ I(E) olyan izometria, ´ ıtjuk, hogy h ◦ g = amelyre h(A0 ) = A0 ´es h(Bi ) = Ai (i = 1, . . . , d). All´ = idE . Innen m´ ar val´ oban k¨ ovetkezik, hogy g ortogon´alis izometria (hiszen a h ortogon´ alis izometria inverze), tov´abb´a innen a t´etel ´all´ıt´asa is k¨ovetkezik, hiszen f = t−1 ◦ g affinit´ as, amelynek (az EA0 = V azonos´ıt´as ut´an) g a lineariz´ altja. A j = h ◦ g ∈ I(E) izometri´ara j(Ai ) = Ai (i = 0,1, . . . , d) teljes¨ ul, azaz j egy E-beli affin b´ azis minden pontj´at helyben hagyja. Ekkor az al´abbi lemma szerint j csak az identikus lek´epez´es lehet. A lemm´at felhaszn´alva teh´at a t´etelt bebizony´ıtottuk. 4.2.11. Lemma. Tegy¨ uk fel, hogy az E euklideszi t´er valamely j ∈ I(E) izometri´ aja fixen hagy egy E-beli affin b´azist. Ekkor j = idE .

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

´s transzforma ´ cio ´ ik 4. Euklideszi terek e

111

Bizony´ıt´ as: Miut´ an valamely pontnak ´es e pont j-k´ep´enek a fixen marad´o pontokt´ ol m´ert t´ avols´ agai rendre egyenl˝ok, tulajdonk´eppen azt kell bebizony´ıtanunk, hogy a t´er b´ armely pontj´at egy r¨ogz´ıtett affin b´azis elemeit˝ol m´ert t´ avols´ againak a rendszere egy´ertelm˝ uen meghat´arozza. A koordin´ atarendszer alkalmas megv´alaszt´as´aval feltehetj¨ uk, hogy E = Rd ´es a sz´ oban forg´ o affin b´ azis az orig´ot tartalmazza ; ´alljon teh´at az affin b´azis az a0 , a1 , . . ., ad pontokb´ ol, ahol a0 = 0. Tegy¨ uk fel, hogy valamely x, y ∈ ∈ Rd -re ρ(x, ai ) = ρ(y, ai ) (i = 0, . . . , d). Az i = 0 esetben ez azt jelenti, hogy kxk = kyk, i > 0-ra pedig kx − ai k = ky − ai k. N´egyzetre emelve ´es atrendezve ´ (x − ai ) · (x − ai ) = (y − ai ) · (y − ai ) kxk − 2x · ai + kai k2 = kyk2 − 2y · ai + kai k2 x · ai = y · ai (x − y) · ai = 0 2

ad´ odik minden i = 1,2, . . . , d -re. Eszerint az x − y vektor mer˝oleges egy b´azis minden elem´ere a V euklideszi vektort´erben, ´ıgy csak 0 lehet. 4.2.12. K¨ ovetkezm´ eny. Az E euklideszi t´er eltol´asai norm´aloszt´ot alkotnak az I(E) csoportban, amely szerint vett faktorcsoport az O(V ) ortogon´alis csoporttal izomorf. Bizony´ıt´ as: Val´ oban, az L : Aff (E) → GL(V ) lineariz´al´o homomorfizmust az I(E) r´eszcsoportra megszor´ıtva sz¨ urjekt´ıv I(E) → O(V ) homomorfizmust kapunk, amelynek a magja az eltol´asokb´ol ´all. 4.2.13. Defin´ıci´ o (Szemidirekt kieg´ esz´ıt˝ o, szemidirekt szorzat). Tegy¨ uk fel, hogy N norm´ aloszt´o a G csoportban. Azt mondjuk, hogy a H ≤ G r´eszcsoport az N egy szemidirekt kieg´esz´ıt˝oje, ha N ∩ H = {1} ´es N H = = G. Ilyenkor G-t az N ´es a H szemidirekt szorzat´anak nevezz¨ uk ´es erre a G = N o H jel¨ ol´est haszn´ aljuk. (K¨onnyen l´athat´o, hogy a direkt kieg´esz´ıt˝o, illetve a direkt szorzat fogalm´at kapjuk abban a speci´alis esetben, amikor H is norm´ aloszt´ o.) Megjegyezz¨ uk, hogy – a direkt szorzat eset´et˝ol elt´er˝oen – a szemidirekt szorzatot az N ´es H o uen; ugyanabb´ol ¨nmagukban nem hat´arozz´ak meg egy´ertelm˝ az N -b˝ ol ´es H-b´ ol ´ altal´ aban t¨obbf´ele, egym´assal nem izomorf szemidirekt szorzatot lehet el˝ o´ all´ıtani. Ezek egyike a direkt szorzat. 4.2.14. K¨ ovetkezm´ eny. Az I(E) csoportban az eltol´asok norm´aloszt´oj´anak l´etezik szemidirekt kieg´esz´ıt˝oje, amely az O(V ) ortogon´alis csoporttal izomorf.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

112

Euklideszi geometria

Bizony´ıt´ as: Val´ oban, tetsz˝ oleges O ∈ E pont r¨ogz´ıt´es´evel kijel¨olhetj¨ uk az O(EO ) ≤ I(E) r´eszcsoportot, amelyet L izomorfan k´epez O(V )-re. Az O(EO ) r´eszcsoport nyilv´ an csak a trivi´alis eltol´ast tartalmazza, tov´abb´a a 4.2.10. T´etel alapj´ an b´ armely izometria egy O(EO )-beli elem ´es egy eltol´as kompoz´ıcioja. ´ Megjegyz´esek. (1) L´ athat´ o, hogy b´armelyik O ∈ E pont kiszemel´es´evel egyar´ ant szemidirekt kieg´esz´ıt˝ oh¨oz jutunk, azaz nincsen egy´ertelm˝ u term´esze” tes” v´ alaszt´ as a kieg´esz´ıt˝ o r´eszcsoport konkr´et megad´asakor. Ez a jelens´eg szoros ¨ osszhangban van azzal, hogy a kieg´esz´ıt˝o nem norm´aloszt´o, hanem csak r´eszcsoport. K¨ onnyen meggondolhat´o ugyanis, hogy az O(EO ) alak´ u r´eszcsoportok mind egym´ as konjug´altjai az I(E) csoportban. ´ (2) Erdemes felt´erk´epezni az I(E) csoport szerkezet´et egy ilyen szemidirekt felbont´ as seg´ıts´eg´evel. Legyen E = Rd ´es O = 0 az orig´o. Ekkor I(Rd ) = = Rd o O(d) ´es b´ armely f ∈ I(Rd ) izometria egy´ertelm˝ uen ´ırhat´o f (x) = = Ax + b alakban, ahol A ∈ O(d) ´es b ∈ Rd . Feleltess¨ uk meg f -nek az (A, b) p´ art, ez´ altal bijekt´ıv kapcsolatot l´etes´ıtett¨ unk I(Rd ) ´es az O(d) × × Rd szorzat k¨ oz¨ ott. (Az ut´ obbit nem csoportok direkt szorzatak´ent, hanem csak a k´et halmaz Descartes-szorzatak´ent fogjuk fel.) Ennek a bijekci´onak az u ´tj´ an az I(Rd )-beli csoportstrukt´ ura az O(d) × Rd szorzatot csoportt´a teszi. Meghat´ arozzuk a szorz´as m˝ uvelet´et, azaz (A1 , b1 ), (A2 , b2 ) ∈ O(d) × × Rd eset´en az (A1 , b1 ) · (A2 , b2 ) szorzat komponenseit. Legyenek f1 ´es f2 a megfelel˝ o izometri´ ak, ekkor (f1 ◦ f2 )(x) = A1 (A2 x + b2 ) + b1 = A1 A2 x + A1 b2 + b1 , vagyis (A1 , b1 ) · (A2 , b2 ) = (A1 A2 , b1 + A1 b2 ). L´atszik, hogy a m´asodik komponensben megjelen˝ o A1 szerepe miatt ez a csoportm˝ uvelet elt´er a direkt szorzatban haszn´ alatos m˝ uvelett˝ol. 4.2.15. P´ eld´ ak. T¨ obb, az algebrai vagy geometriai tanulm´anyainkb´ol ismert csoport ad tov´ abbi p´eld´ akat szemidirekt szorzatra : a Dn = Zn o Z2 di´edercsoport, az Sn = An o Z2 szimmetrikus csoport, b´armely (X, V, Φ) affin t´er eset´en az Aff (X) = V o GL(V ) affin csoport, az O(d) = SO(d) o Z2 ortogon´ alis csoport (l. 4.5.2). A 4.2.10. T´etel k¨ovetkezm´enyek´ent besz´elhet¨ unk az E euklideszi t´er ir´ any´ıt´ astart´o izometri´ainak I + (E) = I(E) ∩ Aff+ (E) csoportj´ ar´ ol; nyilv´ an b´ armely X v´eges dimenzi´os val´os affin t´erre Aff+ (X) = + = V o GL (V ) ´es b´ armely E euklideszi t´erre I + (E) = V o SO(V ), ahol + GL (V ) a pozit´ıv determin´ ans´ u V → V line´aris lek´epez´esek csoportja, az SO(V ) = O(V ) ∩ GL+ (V ) csoport pedig a V euklideszi vektort´er ir´any´ıt´astart´ o ortogon´ alis transzform´ aci´oib´ol ´all.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

´s transzforma ´ cio ´ ik 4. Euklideszi terek e

113

4.3. Alterek, mer˝ olegess´ eg, szo esek ¨g, tu ¨ kro ¨z´ B´ armely euklideszi affin t´erben b´armely affin alt´er maga is euklideszi t´err´e v´ alik a skal´ aris szorzat lesz˝ uk´ıt´ese u ´tj´an. 4.3.1. Defin´ıci´ o (Ortogon´ alis komplementer). Legyen S affin alt´er az → − E euklideszi t´erben, ´es legyen U = S ≤ V . Az U line´aris alt´ernek a V ⊥ euklideszi vektort´erben k´epezett U komplementer´et az S ortogon´alis komplementer´enek nevezz¨ uk, ´es a tov´abbiakban erre is az S ⊥ jel¨ol´est haszn´aljuk. Nyilv´ anval´ oan ´erv´enyes az (S ⊥ )⊥ = U egyenl˝os´eg. Vegy¨ uk ´eszre, hogy euklideszi t´erben egy alt´er ortogon´alis komplementere nem valamely j´ ol meghat´ arozott alt´er ugyanabban a t´erben, hanem csak alterek egy p´ arhuzamoss´ agi oszt´aly´anak felel meg. Ha az ortogon´alis komplementert mint egyetlen konkr´et alteret k´ıv´anjuk megadni, akkor az eddigieken t´ ulmen˝ oen m´eg legal´ abb egy pontj´at is el˝o kell ´ırnunk. Ha E1 ´es E2 euklideszi terek, akkor a V1 ´es V2 euklideszi vektorterek V ortogon´ alis direkt ¨ osszege euklideszi t´err´e teszi az E = E1 × E2 direkt szorzatot. Ekkor tetsz˝ oleges A1 ∈ E1 ´es A2 ∈ E2 pontokat kiszemelve E1 × {A2 } ´es {A1 } × E2 ortogon´ alis komplementer ir´any´ u affin alterek E-ben. 4.3.2. Defin´ıci´ o (Ir´ anyvektor, norm´ alvektor). Ha L ⊆ E egyenes, akkor → − az egydimenzi´ os L ⊂ V line´aris alt´er tetsz˝oleges gener´atorelem´et L ir´anyvektor´ anak nevezz¨ uk. Ha pedig H ⊂ E hipers´ık, akkor H norm´alvektor´an az egydimenzi´ os H ⊥ ⊂ V line´ aris alt´er tetsz˝oleges u gener´atorelem´et (azaz H ⊥ ir´ anyvektor´ at) ´ertj¨ uk. Ha kuk = 1, akkor norm´alis egys´egvektorr´ol besz´el¨ unk. Tegy¨ uk fel, hogy H valamely s ∈ E • affin forma z´er´ohalmazak´ent ´all el˝o. Vegy¨ unk fel E-ben egy ortonorm´alt koordin´atarendszert, ekkor s az s(x) = = a1 x1 + . . . + ad xd + b alakban ´ırhat´o (azaz a H hipers´ık egyenlete a1 x1 + + . . . + ad xd + b = 0). Ekkor az u = (a1 , . . . , ad ) vektor H-nak norm´alvektora. 4.3.3. Defin´ıci´ o (Ortogon´ alis vet´ıt´ es, ortogon´ alis szimmetria). Le→ − gyen S ⊆ E affin alt´er, amelynek az U line´aris alt´er az ir´anya, azaz U = S ≤ ≤ V . Az S alt´erre t¨ ort´en˝ o ortogon´alis vet´ıt´esnek (vagy mer˝oleges vet´ıt´esnek) nevezz¨ uk az U ⊥ ir´ any´ u p : E → S affin vet´ıt´est. Az S alt´erre vonatkoz´ o ortogon´alis szimmetri´anak nevezz¨ uk az U ⊥ ir´any´ u σS : : E → E affin szimmetri´ at. Egy S-ben felvett orig´oval t¨ort´en˝o vektoriz´al´as u ´tj´ an r¨ ogt¨ on l´ athat´ o, hogy σS ∈ I(E). Nyilv´an σS2 = idE . Az al´ abbi ´ all´ıt´ as az ortogon´ alis vet´ıt´es fontos t´avols´aggeometriai jellemz´es´et mondja ki, bizony´ıt´ as´ ahoz csak annyit kell felid´ezni, hogy der´eksz¨og˝ u h´aromsz¨ ogben az ´ atfog´ o hosszabb a befog´okn´al.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

114

Euklideszi geometria

´ ıt´ 4.3.4. All´ as. Legyen S ⊆ E affin alt´er ´es legyen B = p(A) ∈ S az A ∈ ∈ E pont ortogon´ alis vet¨ ulete S-en. Ekkor b´armely C ∈ S, C 6= B pontra ρ(A, B) < ρ(A, C). Teh´ at B az egyetlen olyan S-beli pont, amelyre ρ(A, S) = = ρ(A, B). 4.3.5. Defin´ıci´ o (Egyenes ´ es affin alt´ er mer˝ olegess´ ege, sz¨ oge). Legyen L ⊂ E egyenes, S ⊂ E affin alt´er, dim S ≥ 1. Azt mondjuk, hogy L ´es → − → − S mer˝ olegesek (jelben L ⊥ S vagy S ⊥ L), ha az L ´es S ≤ V line´aris → − → −
⊥ → − → −
⊥ alterekre L ≤ S (illetve, ezzel egyen´ert´ek˝ u m´odon, ha S ≤ L ) teljes¨ ul. K´et egyenes nyilv´ an akkor ´es csak akkor mer˝oleges, ha v1 , illetve v2 ir´ anyvektoraikra v1 v2 = 0. Az E-beli L1 ´es L2 egyenesek ^(L1 , L2 ) sz¨og´en az ir´anyvektoraik ´altal bez´art k´et lehets´eges (egym´ ast π-re kieg´esz´ıt˝o) sz¨og k¨oz¨ ul a nem nagyobbat ´ertj¨ uk. K´et egyenes pontosan akkor p´arhuzamos, ha a sz¨og¨ uk 0, ´es pontosan akkor mer˝ oleges, ha a sz¨ og¨ uk π/2. ´ Legyen L ⊂ E egyenes, S ⊂ E affin alt´er, dim S ≥ 1. Ertelmezz¨ uk L ´es S sz¨ og´et a k¨ ovetkez˝ o m´ odon. Ha L ⊥ S, akkor ^(L, S) = π/2. Ha L ´es S nem mer˝ oleges, akkor az S-re t¨ ort´en˝o ortogon´alis vet´ıt´esn´el L k´epe egy L0 egyenes, ´ıgy L ´es S sz¨ og´et defini´ alhatjuk az ^(L, S) = ^(L, L0 ) egyenl˝os´eggel. ´ ıt´as sz¨ogekre vonatkoz´o analogonj´anak. Az al´ abbi ´ all´ıt´ as tekinthet˝ o a 4.3.4. All´ ´ ıt´ 4.3.6. All´ as. Legyen L ⊂ E egyenes, S ⊂ E affin alt´er. Ha L ⊥ S, akkor L mer˝ oleges az ¨ osszes S-ben fekv˝o egyenesre, ha pedig L nem mer˝oleges S-re ´es M olyan S-ben fekv˝ o egyenes, amely nem p´arhuzamos L-nek az S-beli vet¨ ulet´evel, akkor ^(L, S) < ^(L, M ). Bizony´ıt´ as: A mer˝ olegess´eg esete mag´at´ol ´ertet˝od˝o. Egy´ebk´ent pedig szor´ıtkozhatunk V -nek arra a h´ aromdimenzi´os alter´ere, amelyet az L-hez, az L vet¨ ulet´ehez ´es az M -hez v´ alasztott ir´anyvektorok fesz´ıtenek ki. Ezeket az ir´ anyvektorokat v´ alaszthatjuk olyan m´odon, hogy p´aronk´ent legfeljebb der´eksz¨ oget z´ arjanak be. A sz´ oban forg´o h´aromdimenzi´os alt´ernek az egys´egg¨ ombj´en az ir´ anyvektorok der´eksz¨og˝ u g¨ombh´aromsz¨oget jel¨olnek ki. A g¨ombi szinuszt´etelb˝ ol egyszer˝ uen k¨ovetkezik, hogy b´armely olyan der´eksz¨og˝ u g¨ombh´ aromsz¨ ogben, amelynek az oldalai legfeljebb π/2 hossz´ us´ag´ uak, az ´atfog´o hosszabb b´ armelyik befog´ oj´ an´al. Ez ´eppen a bizony´ıtand´o egyenl˝otlens´eget jelenti. Megjegyz´esek. (1) Az alterek (vagy vektorok) viszony´ara vonatkoztatva az ortogon´ alis” ´es a mer˝ oleges” jelz˝oket egym´as szinonim´aik´ent haszn´alhatjuk. ” ” (2) A mer˝ olegess´eg ´es a sz¨ og fenti defin´ıci´oj´aban k¨oz¨omb¨os, hogy a sz´oban forg´ o k´et alt´er metszi-e egym´ast. A sz¨og nyilv´an v´altozatlan marad, ha a k´et alteret (nem felt´etlen¨ ul egyenl˝o vektorokkal vett) eltoltjaikkal helyettes´ıtj¨ uk.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

´s transzforma ´ cio ´ ik 4. Euklideszi terek e

115

(3) Ugyanezzel a m´ odszerrel egyenes ´es affin alt´er helyett k´et tetsz˝oleges affin alt´er eset´ere is ´ertelmezhetn´enk a mer˝olegess´eg fogalm´at. Ezzel az u ´n. tot´alisan mer˝ oleges alterek defin´ıci´oj´at kapn´ank, ami nem egyezik meg mindenben a mer˝ olegess´egr˝ ol alkotott intuit´ıv k´ep¨ unkkel (p´eld´aul h´aromdimenzi´os t´erben k´et s´ık nem lehetne mer˝ oleges). (4) K´et tetsz˝ oleges affin alt´er eset´eben a k¨ozt¨ uk fell´ep˝o sz¨og fogalm´an nem puszt´ an egyetlen sz´ amszer˝ u mennyis´eget szok´as ´erteni; a pontos defin´ıci´ot´ol itt eltekint¨ unk. C´eljainknak megfelel a sz¨og fogalm´anak bevezet´ese azokban a speci´ alis esetekben, amikor a k´et affin alt´er egyike egyenes, vagy pedig mindkett˝ o hipers´ık. 4.3.7. Defin´ıci´ o (Affin alt´ er ´ es hipers´ık mer˝ olegess´ ege, k´ et hipers´ık sz¨ oge). Legyen d ≥ 2 ´es legyenek H1 ´es H2 hipers´ıkok E-ben. Azt mondjuk, hogy H1 ´es H2 mer˝ oleges hipers´ıkok (jelben H1 ⊥ H2 ), ha a V euklideszi −→⊥ −→ −→ −→ vektort´erben H1 ≤ H2 (illetve ezzel egyen´ert´ek˝ u m´odon, ha H2 ⊥ ≤ H1 ) teljes¨ ul. Ezt a defin´ıci´ ot k´ezenfekv˝ o m´odon ki lehet terjeszteni tetsz˝oleges affin alt´er ´es hipers´ık eset´ere: az S affin alt´er mer˝oleges a H hipers´ıkra (jelben S ⊥ H), → − → − ha H ⊥ ≤ S . Ha H1 , H2 ⊂ E tetsz˝ oleges hipers´ıkok, v´alasszunk tetsz˝oleges L1 , L2 ⊂ E ortogon´ alis komplementer egyeneseket H1 -hez, illetve H2 -h¨oz. Ezekre L1 ⊥ ´ ⊥ L2 pontosan akkor ´ all f¨ onn, ha H1 ⊥ H2 . Altal´ aban pedig ´ertelmezz¨ uk H1 ´es H2 sz¨ og´et a ^(H1 , H2 ) = ^(L1 , L2 ) egyenl˝os´eggel. K´et hipers´ık nyilv´an akkor ´es csak akkor mer˝ oleges, ha u1 ´es u2 norm´alvektoraikra u1 u2 = 0. Ugyanezt a ^(H1 , H2 ) sz¨ oget a k¨ovetkez˝ok´eppen is lehet ´ertelmezni. Ha H1 k k H2 , akkor ^(H1 , H2 ) = 0. Egy´ebk´ent v´alasszunk M1 , illetve M2 ortogon´alis komplementer altereket a H1 ∩ H2 alt´er sz´am´ara a H1 , illetve a H2 alt´erben. Ekkor dim M1 = dim M2 = 1 ´es ^(H1 , H2 ) az M1 ´es M2 egyenesek sz¨og´evel egyenl˝ o. (Ez r¨ ogt¨ on l´ atszik p´eld´aul a H1 ∩ H2 alt´er E-re vonatkoz´o (2-dimenzi´ os) ortogon´ alis komplementer´ere t¨ort´en˝o ortogon´alis vet´ıt´es seg´ıts´eg´evel.) ´ ıt´ 4.3.8. All´ as. Az euklideszi t´er b´armely izometri´aja meg˝orzi a 4.3.5-ben ´es 4.3.7-ben defini´ alt sz¨ ogeket. Bizony´ıt´ as: Az izometri´ ak lineariz´altja ortogon´alis, teh´at vektorok sz¨og´et megtartja. Ez´ert az ´ all´ıt´ as r¨ogt¨on k¨ovetkezik abb´ol, hogy a sz´oban forg´o sz¨ogeket vektorok sz¨ og´en kereszt¨ ul defini´altuk. 4.3.9. Defin´ıci´ o (Tu oz´ es, line´ aris tu oz´ es). Ha H ⊆ E affin hipers´ık ¨ kr¨ ¨ kr¨ E-ben, akkor a σH ortogon´ alis szimmetri´at (l. 4.3.3) H-ra vonatkoz´o t¨ ukr¨oz´esnek nevezz¨ uk. A σH t¨ ukr¨ oz´est line´aris t¨ ukr¨oz´esnek mondjuk, ha E = V ´es 0 ∈ H.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

116

Euklideszi geometria

R¨ ogz´ıtett H mellett σH az egyetlen olyan nem-identikus izometria E-ben, amely a H hipers´ıkot pontonk´ent fixen hagyja. Ez abb´ol l´athat´o, hogy egy ilyen izometria lineariz´ altj´ anak a H ⊥ egydimenzi´os alteret kell ortogon´alisan onmag´ ara k´epeznie. ¨ Megjegyz´es. A szakirodalomban el˝ofordul, hogy t¨ ukr¨oz´esnek nevezik a σS ortogon´ alis szimmetri´ at tetsz˝ oleges S affin alt´er (nem csak hipers´ık) eset´eben. Mi a t¨ ukr¨ oz´es sz´ ot fenntartjuk a hipers´ıkra vonatkoz´o t¨ ukr¨oz´es megnevez´es´ere. Ez al´ ol kiv´etelt csak a k´et- ´es h´aromdimenzi´os geometri´aban tesz¨ unk, ahol hagyom´ anyosan k¨ oz´eppontos t¨ ukr¨oz´esnek nevezik az egypont´ u alt´erre vonatkoz´ o affin szimmetri´ at. 4.3.10. P´ elda. Ha H line´ aris hipers´ık a V euklideszi vektort´erben ´es u norm´ alis egys´egvektor H sz´ am´ ara (azaz H = u⊥ ´es kuk = 1), akkor a σH lek´epez´est a σH (x) = x − 2(ux)u (x ∈ V ) formula adja meg. Ez r¨ ogt¨ on l´athat´o abb´ol, hogy az (ux)u vektor az x vektornak a H hipers´ıkra mer˝ oleges komponense. A formula seg´ıts´eg´evel k¨ozvetlen sz´ amol´ assal is k¨ onnyen ellen˝ orizhet˝o, hogy σH meg˝orzi a vektorok skal´arn´egyzet´et, ahonnan 4.1.6 alapj´ an σH ∈ O(V ) k¨ovetkezik. ´ ıt´ 4.3.11. All´ as. Az I(E) csoportban (1) b´ armely t¨ ukr¨ oz´esnek b´armely csoportelemmel vett konjug´altja szint´en t¨ ukr¨ oz´es, tov´ abb´ a (2) b´ armely k´et t¨ ukr¨ oz´es konjug´alt ; pontosabban, ha H1 , H2 ⊂ E hipers´ıkok ´es az f ∈ I(E) izometri´an´al f (H1 ) = H2 , akkor σH2 = f ◦σH1 ◦f −1 . Bizony´ıt´ as: (1): Legyen H tetsz˝oleges hipers´ık E-ben, ´es tekints¨ uk az f ◦ ◦ σH ◦ f −1 izometri´ at, ahol f ∈ I(E) tetsz˝oleges. Ez az izometria pontonk´ent fixen hagyja az f (H) hipers´ıkot, ´es nyilv´an k¨ ul¨onb¨ozik az identit´ast´ol, ez´ert a 4.3.9. Defin´ıci´ ot k¨ ovet˝ o ´eszrev´etel szerint a σf (H) t¨ ukr¨oz´essel azonos. (2): Az (1) ´ all´ıt´ as bizony´ıt´ asa egy´ uttal (2)-t is adja. Ennek a szakasznak a h´ atralev˝o r´esz´eben megmutatjuk, hogy a t¨ ukr¨oz´esek gener´ atorrendszert alkotnak az I(E) csoportban (l. 4.3.15). Ehhez el˝osz¨or egy elemi geometri´ ab´ ol ismer˝ os konstrukci´ot ´altal´anos´ıtunk, ami maga ut´an vonja elegend˝ oen sok t¨ ukr¨ oz´es l´etez´es´et. ´ ıt´ 4.3.12. All´ as. A, B ∈ E, A 6= B eset´en a H = {P ∈ E : ρ(P, A) = ρ(P, B)} halmaz hipers´ık E-ben, amelyn´el σH (A) = B.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

´s transzforma ´ cio ´ ik 4. Euklideszi terek e

117

Bizony´ıt´ as: Legyen x : E → Rd olyan ortonorm´alt koordin´atarendszer Eben, amelyn´el az [A, B] szakasz felez˝opontja az orig´oba, A ´es B pedig a d-edik koordin´ atatengelyre esik, p´eld´aul x(A) = (0, . . . ,0, a) ´es x(B) = (0, . . . ,0, −a) (ahol a 6= 0). Az x lek´epez´es t´avols´agtart´asa miatt

x(H) = {y ∈ Rd : ρ y, x(A) = ρ y, x(B) }. Azt akarjuk megmutatni, hogy ez a halmaz az Rd−1 koordin´ata-hipers´ıkkal azonos. Ez a koordin´ at´ akkal ´es a t´avols´agokkal t¨ort´e
n˝o k¨ovetlen sz´
amol´assal k¨ onnyen ellen˝ orizhet˝ o : y = (y1 , . . . , yd )-re ρ y, x(A) = ρ y, x(B) pontosan akkor ´erv´enyes, ha q q 2 2 y12 + . . . + yd−1 + (yd − a)2 = y12 + . . . + yd−1 + (yd + a)2 , azaz ha yd = 0. Az Rd−1 hipers´ıkra vonatkoz´o Rd -beli t¨ ukr¨oz´es nyilv´an f¨olcser´eli az x(A) pontot az x(B) ponttal. A konstrukci´o folyt´an σH = x−1 ◦ σRn−1 ◦ x, ez´ert σH (A) = B. 4.3.13. Defin´ıci´ o (Felez˝ o mer˝ oleges hipers´ık). A 4.3.12-ben ´ertelmezett H hipers´ıkot az A ´es B pontok felez˝o mer˝oleges hipers´ıkj´anak nevezz¨ uk. 4.3.14. T´ etel. O(V ) b´ armely eleme el˝o´all´ıthat´o legfeljebb d darab line´aris t¨ ukr¨ oz´es szorzatak´ent. Bizony´ıt´ as: Azt az er˝ osebb ´all´ıt´ast bizony´ıtjuk be, hogy ha a ϕ ∈ O(V ) ortogon´ alis transzform´ aci´ o identikus egy i-dimenzi´os U ≤ V alt´eren, akkor ϕ el˝ o´ all´ıthat´ o legfeljebb d − i darab line´aris t¨ ukr¨oz´es szorzatak´ent. A t´etel ennek az ´ all´ıt´ asnak az i = 0 speci´alis esete. Teljes indukci´ ot alkalmazunk a k = d − i kodimenzi´o szerint. A k = 0 esetben ϕ = idV , ´ıgy az ´ all´ıt´ as trivi´alisan igaz. Tegy¨ uk f¨ol, hogy k > 0 ´es k-n´al kisebb kodimenzi´ o eset´ere az ´all´ıt´as igaz. Legyen adott egy ϕ ∈ O(V ) transzform´ aci´ o, amely pontonk´ent fixen hagy egy U alteret, melyre dim U = d − k. V´ alasszunk olyan x ∈ V vektort, amelyre ϕ(x) 6= x, ´es legyen H az x ´es ϕ(x) felez˝ o mer˝ oleges hipers´ıkja. Ekkor ϕ t´avols´agtart´o volta miatt U ⊆ H. ´Igy σH line´ aris t¨ ukr¨ oz´es, ´es a σH ◦ ϕ ∈ O(V ) kompoz´ıci´o egy U -n´al hat´arozottan b˝ ovebb alt´eren identikus (hiszen x-et is fixen tartja). Alkalmazzuk az indukci´ os feltev´est σH ◦ ϕ-re : σH ◦ ϕ = σ1 ◦ . . . ◦ σj , ahol j < k. Innen ϕ = σH ◦ σ1 ◦ . . . ◦ σj legfeljebb k t¨ ukr¨oz´es szorzata. Megjegyz´es. T¨ ukr¨ oz´esek egy szorzata nyilv´anval´oan elemenk´ent fixen tartja a t¨ uk¨ orhipers´ıkok metszet´et, ez´ert ha ϕ ∈ O(V ) fixpontjainak a halmaza idimenzi´ os alt´er, akkor ϕ-t nem lehet (d−i)-n´el kevesebb t¨ ukr¨oz´es szorzatak´ent el˝ o´ all´ıtani.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

118

Euklideszi geometria

4.3.15. Ko eny. I(E) b´armely eleme el˝o´all´ıthat´o legfeljebb d + 1 ¨vetkezm´ darab t¨ ukr¨ oz´es szorzatak´ent. Bizony´ıt´ as: Legyen f ∈ I(E) tetsz˝oleges. Vegy¨ uk ´eszre, hogy ha f -nek van fixpontja, akkor egy fixpontot orig´onak v´alasztva vektoriz´al´assal 4.3.14-b˝ol k¨ ovetkezik, hogy m´ ar d t¨ ukr¨oz´es is elegend˝o. Ha nincs fixpont, akkor egy tetsz˝ oleges A ∈ E pontot kiszemelve tekints¨ uk az A ´es f (A) pontok H felez˝o mer˝ oleges hipers´ıkj´ at, ´es alkalmazzuk az el˝oz˝o ´eszrev´etelt a σH ◦f izometri´ara, amelynek az A pont fixpontja. Megjegyz´es. Miut´ an a t¨ ukr¨ oz´esek ir´any´ıt´asv´alt´ok, a 4.3.15-beli el˝o´all´ıt´asban p´ aros sok t¨ ukr¨ oz´esnek kell szerepelnie, ha a transzform´aci´o ir´any´ıt´astart´o, ´es p´ aratlan soknak, ha ir´ any´ıt´ asv´alt´o.

4.4. Az izometri´ ak szerkezete ´ es oszt´ alyoz´ asa Az euklideszi t´er izometri´ ait koordin´at´asan, m´atrixok fel´ır´as´aval vizsg´aljuk. L´ atni fogjuk, hogy a transzform´aci´ohoz alkalmasan illesztett koordin´atarendszerben ez a fel´ır´ as ´ attekinthet˝ov´e v´alik (l. 4.4.6), ´es alacsony dimenzi´oban elvezet az izometri´ ak geometriai oszt´alyoz´as´ahoz (l. 4.4.9). Az elemi s´ık- ´es t´ergeometri´ab´ol j´ol ismert az eltol´as, s´ıkban a pont k¨or¨ uli forgat´ as ´es tengelyes t¨ ukr¨oz´es, t´erben az egyenes k¨or¨ uli forgat´as ´es s´ıkra vonatkoz´ o t¨ ukr¨ oz´es fogalma. K´es˝obb (l. 4.4.2, 4.4.8) tov´abbi transzform´aci´ot´ıpusokat is bevezet¨ unk. El˝ osz¨ or E-ben r¨ ogz´ıt¨ unk egy ortonorm´alt koordin´atarendszert, ez´altal feltehetj¨ uk, hogy eleve E = Rd . Ha f ∈ I(Rd ) tetsz˝oleges izometria, akkor a 4.2.10. T´etel alapj´ an f (x) = Ax + b, ahol A ∈ O(d) ´es b ∈ Rd . Tekints¨ uk el˝ osz¨ or a d = 1 ´es a d = 2 esetet: • d=1: O(1) = {±1} ´es SO(1) = {1}, ´ıgy ha f ∈ I(R), akkor vagy f (x) = x+b (eltol´ as b-vel), vagy pedig f (x) = b − x (t¨ ukr¨oz´es a b/2 pontra). • d = 2 : Ha A ∈ O(2), akkor A oszlopai mer˝oleges egys´egvektorok, ez´ert alkalmas α ∈ R mellett     cos α − sin α cos α sin α A = Rα = vagy A= . sin α cos α sin α − cos α Ezekr˝ ol a m´ atrixokr´ ol r¨ogt¨on leolvashat´o, hogy geometriailag milyen transzform´ aci´ ot l´etes´ıtenek R2 -ben: forgat´ast az orig´o k¨or¨ ul α sz¨oggel, illetve t¨ ukr¨ oz´est az orig´on ´atmen˝o α/2 ir´anysz¨og˝ u egyenesre.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

´s transzforma ´ cio ´ ik 4. Euklideszi terek e

119

Az ´ altal´ anos esetben – amikor d tetsz˝oleges – felid´ezz¨ uk az ortogon´alis transzform´ aci´ ok invari´ ans altereir˝ ol sz´ol´o line´aris algebrai t´etelt: Egy euklideszi vektort´er tetsz˝olegesen adott ortogon´alis transzform´aci´oja eset´en a vektorteret fel lehet bontani legfeljebb 2-dimenzi´os invari´ans alterek ortogon´ alis direkt ¨ osszeg´ere. 4.4.1 K¨ ovetkezm´ eny. B´ armely ortogon´alis transzform´aci´o m´atrixa alkalmas ortonorm´ alt b´ azisban a k¨ovetkez˝o alak´ u:   Rα1   ..   .     Rαp     1     ..   .     1     −1     . ..   −1 Itt a 2×2-es Rαi forgat´ asi blokkokon ´es az ´atl´obeli ±1 elemeken k´ıv¨ ul minden m´ atrixelem z´erus. Ez az alak a blokkok ´es a ±1 ´atl´oelemek sorrendj´et˝ol eltekintve egy´ertelm˝ u, ha megk¨ ovetelj¨ uk, hogy minden i = 1, . . . , p-re 0 < αi < π legyen. Ha a dimenzi´ o 3, akkor forgat´asi blokkb´ol legfeljebb egy szerepelhet. Aszerint, hogy a fennmarad´ o diagon´ alis elem 1 vagy −1, tengely k¨or¨ uli forgat´ast, vagy forgat´ as ´es a tengelyre mer˝ oleges s´ıkra t¨ort´en˝o t¨ ukr¨oz´es kompoz´ıci´oj´at kapjuk. 4.4.2. Defin´ıci´ o (Forgatva tu oz´ es). A 3-dimenzi´os euklideszi t´erben for¨ kr¨ gatva t¨ ukr¨ oz´esnek nevezz¨ uk valamely tengely k¨or¨ uli nem-identikus forgat´asnak ´es egy a tengelyre mer˝ oleges s´ıkra t¨ort´en˝o t¨ ukr¨oz´esnek a kompoz´ıci´oj´at. A k´et kompon´ aland´ o transzform´aci´o sorrendje k¨oz¨omb¨os ; k¨onnyen l´athat´o, hogy mer˝ oleges s´ık ´es tengely eset´eben ez a k´et izometria felcser´elhet˝o. B´armely forgatva t¨ ukr¨ oz´esnek egyetlen fixpontja van. A k¨oz´eppontos t¨ ukr¨oz´esek is tekinthet˝ ok forgatva t¨ ukr¨ oz´esnek, ilyenkor a forgat´asi sz¨og π. Vegy¨ uk ´eszre, hogy a k¨ oz´eppontos t¨ ukr¨ oz´es eset´et˝ol eltekintve a forgatva t¨ ukr¨oz´es a tengely´et ´es a s´ıkj´ at egy´ertelm˝ uen meghat´arozza (ugyanis ilyenkor a t¨ uk¨ors´ık az egyetlen invari´ ans s´ık). 4.4.3. K¨ ovetkezm´ eny. Az O(3) csoport minden (identit´ast´ol k¨ ul¨onb¨oz˝o) eleme vagy orig´ on ´ atmen˝ o tengely k¨or¨ uli forgat´as, vagy orig´on ´atmen˝o s´ıkra vonatkoz´ o t¨ ukr¨ oz´es, vagy pedig forgatva t¨ ukr¨oz´es.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

120

Euklideszi geometria

Bizony´ıt´ as: Ha a determin´ ans pozit´ıv (azaz SO(3) egy elem´er˝ol van sz´o), akkor a 4.4.1-beli fel´ır´ asban vagy p = 1 ´es a fennmarad´o diagon´alis elem 1, vagy pedig p = 0 ´es a diagon´alis elemek k¨oz¨ott egy darab 1 ´es k´et darab −1 szerepel. Mindk´et esetben tengely k¨or¨ uli forgat´asr´ol van sz´o. Tegy¨ uk f¨ ol, hogy a determin´ ans negat´ıv. Ha p = 1, akkor a fennmarad´o diagon´ alis elem −1, ´ıgy forgatva t¨ ukr¨oz´est kapunk. Ha p = 0, akkor a diagon´alis elemek k¨ oz¨ ul vagy egy, vagy mindh´arom −1, az els˝o esetben s´ıkra vonatkoz´o, a m´ asodikban k¨ oz´eppontos t¨ ukr¨oz´esr˝ol van sz´o. A k¨ ovetkez˝ okben meg´ allap´ıtjuk, hogy az euklideszi t´er adott izometri´aj´at egy´ertelm˝ uen lehet felbontani egy hozz´a a lehet˝o legjobban illeszked˝o” ortogo” n´ alis line´ aris transzform´ aci´ o ´es egy eltol´as szorzat´ara. (Eltol´asra csak akkor lesz sz¨ uks´eg, ha a transzform´aci´onak nincs fixpontja, hiszen egy fixpontot orig´ onak v´ alasztva a transzform´aci´o r¨ogt¨on ortogon´aliss´a tehet˝o.) Ehhez az elj´ ar´ ashoz nem c´elszer˝ u el˝ ore r¨ogz´ıteni a koordin´atarendszert, ez´ert most nem is haszn´ alunk koordin´ at´ akat. 4.4.4. Defin´ıci´ o (Fix (g)). Az E euklideszi t´er tetsz˝oleges g ∈ I(E) izometri´ aja eset´en Fix (g) = {A ∈ E : g(A) = A} a g fixpontjaib´ol ´all´o halmaz. Vektoriz´ al´ assal r¨ ogt¨ on l´ athat´o, hogy ha Fix (g) 6= ∅, akkor Fix (g) affin alt´er E-ben. 4.4.5. Lemma. Ha V euklideszi vektort´er, akkor b´armely ϕ : V → V ortogon´ alis transzform´ aci´ on´ al V el˝ o´all mint a Ker (ϕ − idV ) alt´er ´es az Im (ϕ − idV ) alt´er ortogon´ alis direkt ¨ osszege. Bizony´ıt´ as: A k´et alt´er dimenzi´oj´anak az ¨osszege egyenl˝o V dimenzi´oj´aval, ez´ert elegend˝ o az ortogonalit´
ast ellen˝orizni. Legyen x ∈ Ker (ϕ − idV ) ´es y ∈ V , ekkor x · ϕ(y) − y = x · ϕ(y) − x · y = ϕ(x) · ϕ(y) − x · y = 0. 4.4.6. T´ etel (Az izometri´ ak term´ eszetes felbont´ asa). B´armely f ∈ ∈ I(E) izometri´ ahoz egy´ertelm˝ uen tal´alhat´o olyan v ∈ V vektor ´es olyan g ∈ I(E) izometria, hogy (1) X = Fix (g) 6= ∅, → − (2) v ∈ X ´es (3) f = tv ◦ g, ahol tv jel¨ oli a v vektorral t¨ort´en˝o eltol´ast E-ben. Bizony´ıt´ as: Alkalmazzuk a 4.4.5. Lemm´at a ϕ = L(f ) : V → V ortogon´alis transzform´ aci´ ora. V´ alasszunk egy tetsz˝oleges A ∈ E pontot ´es bontsuk fel az −−−−→ −−−−→ Af (A) vektort a lemma szerinti mer˝oleges komponensekre : Af (A) = v + w, ahol ϕ(v) = v ´es w ∈ Im (ϕ − idV ). Legyen v´eg¨ ul g = t−v ◦ f .

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

´s transzforma ´ cio ´ ik 4. Euklideszi terek e

121

´ ıtjuk, hogy v ´es g eleget tesz a t´etel k¨ovetelm´enyeinek. A konstrukci´o miatt All´ w = ϕ(z) − z valamilyen z ∈ V vektorral. Tekints¨ uk a B = t−z (A) pontot, ezzel
−−−−→ −−→ −−−−→ −−−−−−→ Bf (B) = BA + Af (A) + f (A)f (B) = z + v + ϕ(z) − z + ϕ(−z) = v, −−−−−−−−−→
ahonnan eszt ad´ odik, hogy g(B) = B, azaz B ∈ X, m´asr´eszt f (B)f f (B) −−−egyr´ 
−→ = ϕ Bf (B) = ϕ(v) = v miatt g f (B) = f (B), azaz f (B) ∈ X, ´es ´ıgy → − v ∈ X is k¨ ovetkezik. A felbont´ as egy´ertelm˝ us´eg´enek igazol´as´ahoz tegy¨ uk f¨ol, hogy f = tv1 ◦ g1 ´es f = tv2 ◦g2 a t´etel szerinti felbont´asok. Legyen mint el˝obb ϕ = L(f ), ´es jel¨olje U a Ker (ϕ−idV ) alteret V -ben. Ekkor egyr´eszt v1 , v2 ∈ U , m´asr´eszt L(g1 ) = − → − → = L(g2 ) = ϕ miatt a hozz´ ajuk tartoz´o X1 ´es X2 alterekre X1 = X2 = U , ahonnan X1 k X2 . Miut´ an g1 az X1 alteret, g2 az X2 alteret pontonk´ent fixen tartja, az ezekhez k´epest ortogon´alis komplementer ´all´as´ u alterek, azaz az U ⊥ ir´ any´ u affin alterek mind invari´ans alterei g1 -nek is ´es g2 -nek is. De akkor a tv1 −v2 = g2 ◦ g1−1 eltol´ asnak is invari´ans alterei, azaz v1 − v2 ∈ U ⊥ . Viszont v1 , v2 ∈ U , ez´ert csak v1 = v2 lehet, ahonnan v´eg¨ ul g1 = g2 k¨ovetkezik. Megjegyz´esek. (1) K¨ onnyen l´athat´o, hogy tv ◦ g = g ◦ tv . (2) Az f izometria egy´ertelm˝ uen meghat´arozza az X affin alteret. X-et az f tengely´enek szok´ as nevezni. Nyilv´an X maxim´alis olyan affin alt´er E-ben, amelyet f ¨ onmag´ aban eltol´ assal mozgat. Ha f -nek van fixpontja, akkor persze g = f ´es X = Fix (f ). (3) A tengely ismeret´eben meghat´arozhat´o, hogy f -et minim´alisan h´any t¨ ukr¨ oz´es szorzatak´ent lehet el˝ o´ all´ıtani: d − dim X, ha f -nek van fixpontja, d − dim X + 2, ha f -nek nincs fixpontja. 4.4.7. K¨ ovetkezm´ eny. B´ armely f ∈ I(E) izometria alkalmas ortonorm´alt koordin´ atarendszerben f (x) = Ax + b alak´ u, ahol az A m´atrix a 4.4.1-ben le´ırt alak´ u, ´es a b vektornak csak azok a koordin´at´ai lehetnek z´erust´ol k¨ ul¨onb¨ oz˝ ok, ahol az A m´ atrix ´ atl´ oj´aban 1-es szerepel. Bizony´ıt´ as: A koordin´ atarendszert v´alasszuk u ´gy, hogy az orig´o illeszkedjen f tengely´ere, ´es a 4.4.6 szerinti g ortogon´alis transzform´aci´ohoz v´alasszuk a 4.4.1-beli b´ azist. 4.4.8. Defin´ıci´ o (Cs´ usztatva tu oz´ es, csavarmozg´ as). Cs´ usztatva t¨ uk¨ kr¨ r¨ oz´esnek nevezz¨ uk egy tetsz˝ oleges, legal´abb 2-dimenzi´os euklideszi t´er olyan

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

122

Euklideszi geometria

izometri´ aj´ at, amely el˝ o´ all egy hipers´ıkra vonatkoz´o t¨ ukr¨oz´esnek ´es egy a hipers´ıkkal p´ arhuzamos nemz´erus vektorral t¨ort´en˝o eltol´asnak a kompoz´ıci´ojak´ent. Csavarmozg´ ast csak a 3-dimenzi´os euklideszi t´erben ´ertelmez¨ unk: egy egyenes k¨ or¨ uli nem-identikus forgat´ asnak ´es egy a tengellyel p´arhuzamos nemz´erus vektorral t¨ ort´en˝ o eltol´ asnak a kompoz´ıci´oj´at nevezz¨ uk ´ıgy. K¨ onnyen l´ athat´ o, hogy mindk´et esetben a k´et kompon´aland´o transzform´aci´o felcser´elhet˝ o, tov´ abb´ a hogy mind a cs´ usztatva t¨ ukr¨oz´es, mind a csavarmozg´as egy´ertelm˝ uen meghat´ arozza ezeket a komponenseit. 4.4.9. K¨ ovetkezm´ eny. Az euklideszi s´ıkon b´armely izometria eltol´as, t¨ ukr¨ oz´es, cs´ usztatva t¨ ukr¨ oz´es vagy pont k¨or¨ uli forgat´as. A h´aromdimenzi´os euklideszi t´er b´ armely izometri´ aja eltol´as, t¨ ukr¨oz´es, cs´ usztatva t¨ ukr¨oz´es, egyenes k¨ or¨ uli forgat´ as, csavarmozg´ as vagy forgatva t¨ ukr¨oz´es. Ha az identikus transzform´ aci´ ot´ ol eltekint¨ unk, akkor ezek a transzform´aci´ot´ıpusok diszjunktak. Bizony´ıt´ as: Adott f izometri´ahoz tekints¨ uk a 4.4.6. T´etel szerinti X alteret ´es v vektort. A dim X = 3,2,1,0, illetve a v = 0 ´es v 6= 0 lehet˝os´egeket attekintve a felsorolt esetek ad´odnak. ´ Megjegyz´es. Ir´ any´ıt´ assal ell´ atott s´ıkban a pont k¨or¨ uli forgat´asok sz¨oge el˝ojelesen ´ertelmezhet˝ o, ´es ´ert´eke modulo 2π val´os sz´am. Ir´any´ıt´assal ell´atott h´aromdimenzi´ os t´erben a forg´ astengely ir´any´ıt´as´ara is sz¨ uks´eg van ahhoz, hogy az egyenes k¨ or¨ uli forgat´ as sz¨og´enek el˝ojelet tulajdon´ıthassunk (a jobbk´ez” szab´ aly” seg´ıts´eg´evel). Teh´ at az ir´any´ıtott t´erbeli ir´any´ıtott egyenesek k¨or¨ uli forgat´ asok sz¨ oge a s´ıkbeli esethez hasonl´oan modulo 2π val´os sz´am. Az, hogy a forgat´ as sz¨ og´et el˝ ojelesen tekintj¨ uk-e vagy sem, a csoportbeli konjug´alts´aggal is kapcsolatban van. Tekints¨ uk p´eld´aul az Rα , Rβ ∈ O(2) forgat´asokat. Ezek akkor ´es csak akkor konjug´alt elemek az O(2) csoportban, ha α ≡ ±β (modulo 2π). Viszont az SO(2) r´eszcsoportban pontosan akkor konjug´altak, ha egyenl˝ ok (hiszen SO(2) kommutat´ıv), azaz ha α ≡ β (modulo 2π).

4.5. Az ortogon´ alis csoportok szerkezete Az euklideszi vektorterekhez tartoz´o ortogon´alis csoportok mind algebrai, mind topol´ ogiai ´es geometriai szempontb´ol a leg´erdekesebb matematikai objektumok k¨ oz´e tartoznak. Az al´abbiakban ´attekintj¨ uk legfontosabb tulajdons´ agaikat. A dimenzi´ o n¨ ovekedt´evel ezek a tulajdons´agok egyre nehezebben felt´erk´epezhet˝ ok, ez´ert legt¨ obb meg´allap´ıt´asunk az alacsony dimenzi´os esetekre vonatkozik. A h´ arom-, illetve n´egydimenzi´os esetben ehhez a kvaterni´ ok algebrai strukt´ ur´ aja szolg´al hat´ekony eszk¨ozzel. R¨ogz´ıtett koordin´ata-

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

´s transzforma ´ cio ´ ik 4. Euklideszi terek e

123

rendszerben dolgozunk, ez´ert konkr´etan a standard euklideszi t´erhez tartoz´o O(d) ´es SO(d) csoportokat vizsg´aljuk. 2

Az O(d) csoport az Rd×d = Rd euklideszi t´er r´eszhalmaza, ez´ert topol´ogiai tulajdons´ agokat o ok¨ ol a befoglal´o t´erb˝ol. Miut´an a m´atrixm˝ uveletek folyto¨r¨ nos lek´epez´esek, O(d) u ´n. topologikus csoport. 4.5.1. Topol´ ogiai ´ eszrev´ etelek : 2

• O(d) kompakt halmaz, hiszen z´art ´es korl´atos Rd -ben. • Az O(d) halmaz nem ¨osszef¨ ugg˝o, hiszen det : O(d) → {±1} folytonos ´es sz¨ urjekt´ıv lek´epez´es. • Az SO(d) r´eszcsoport u ´tszer˝ uen ¨osszef¨ ugg˝o. Ezt a 4.4.1-beli blokkfelbont´ as seg´ıts´eg´evel lehet bel´atni azt felhaszn´   alva, hogy a t 7→ Rtαi 1 0 (t ∈ [0,1]) folytonos u ´t ¨osszek¨oti az identikus m´atrixblokkot az 0 1 Rαi m´ atrixblokkal. • Topologikus csoportban egy r´eszcsoport szerinti mell´ekoszt´alyok mind homeomorfak, hiszen a csoportbeli eltol´asok homeomorfizmusok. Emiatt O(d)-nek k´et u ´tszer˝ uen ¨osszef¨ ugg˝o komponense van, amelyek k¨oz¨ ul SO(d) az, amelyik az egys´egelemet tartalmazza (a csoport u ´n. egys´eg” komponense”). ´ ıt´ 4.5.2. All´ as. O(d) = SO(d) o Z2 szemidirekt szorzat. Bizony´ıt´ as: Az SO(d) r´eszcsoport norm´aloszt´o, mert az indexe 2. Szemidirekt kieg´esz´ıt˝ o gyan´ ant tetsz˝ oleges m´asodrend˝ u ir´any´ıt´asford´ıt´o line´aris izometria v´ alaszthat´ o ; erre a legk´ezenfekv˝obb v´alaszt´as Z2 = {I, σH }, ahol H tetsz˝oleges line´ aris hipers´ık. ´ ıt´ 4.5.3. All´ as. Az O(d) csoport centruma {±I}. Bizony´ıt´ as: Nyilv´ an {±I} a centrumhoz tartozik; megmutatjuk a ford´ıtott tartalmaz´ ast. Tegy¨ uk f¨ ol, hogy A ∈ O(d) felcser´elhet˝o O(d) minden elem´evel, ´ıgy speci´ alisan σH -val is b´ armely H line´aris hipers´ıkra. Minden x ∈ H-ra σH Ax = AσH x = Ax, azaz Ax ∈ H. Teh´at A-nak H invari´ans altere. Viszont ekkor A skal´ arszorzat-tart´asa miatt H ⊥ is invari´ans altere A-nak, azaz H (b´ armely) norm´ alvektora A-nak saj´atvektora. ´Igy teh´at A-nak minden nemz´erus vektor saj´ atvektora, amib˝ol k¨ovetkezik, hogy A csak skal´arm´atrix lehet. Miut´ an A t´ avols´ agtart´o, ez a skal´ar csak ±1 lehet. 4.5.4. K¨ ovetkezm´ eny. Ha d p´aratlan, akkor O(d) izomorf az SO(d) × Z2 direkt szorzattal, ha d p´ aros, akkor nem.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

124

Euklideszi geometria

Bizony´ıt´ as: Egy csoportban egy 2 rend˝ u r´eszcsoport csak u ´gy lehet norm´aloszt´ o, hogy a centrumhoz tartozik. Ez´ert SO(d)-nek akkor ´es csak akkor van direkt kieg´esz´ıt˝ oje O(d)-ben, ha l´etezik olyan m´asodrend˝ u elem O(d) centrum´ aban, amely nem tartozik SO(d)-hez. Ez az elem 4.5.3 szerint csak −I lehet, ´es det(−I) = (−1)d miatt −I ∈ / SO(d) pontosan akkor teljes¨ ul, ha d p´ aratlan. 4.5.5. Algebrai ´ eszrev´ etelek : Sorra vessz¨ uk d ≤ 3 mellett az O(d) csoport legegyszer˝ ubb algebrai tulajdons´ agait. • d = 1: O(1) = {±1} ∼ = Z2 , SO(1) = {1}. • d = 2: SO(2) Abel-csoport ´es izomorf a komplex egys´egk¨or multiplikat´ıv csoportj´ aval. Az O(2) − SO(2) mell´ekoszt´aly csupa m´asodrend˝ u elemb˝ol all. ´ • d = 3: 4.5.4 miatt O(3) ∼ = SO(3) × Z2 . 4.5.6. T´ etel. SO(3) egyszer˝ u csoport. Bizony´ıt´ as: A t´etel bizony´ıt´ as´aban kulcsszerepet j´atszanak SO(3) bizonyos elemei, m´egpedig az egyenesre vonatkoz´o ortogon´alis szimmetri´ak (azaz a t´erbeli π sz¨ og˝ u forgat´ asok). A sz´ohaszn´alat egyszer˝ us´ıt´ese v´egett nevezz¨ uk ezeket f´elfordulatoknak. El˝ orebocs´atunk h´arom ´eszrev´etelt a f´elfordulatokkal kapcsolatban. 1. A f´elfordulatok gener´ atorrendszert alkotnak SO(3)-ban. Val´oban, 4.4.3 szerint SO(3) minden eleme forgat´as, ´es b´armely α sz¨og˝ u t´erbeli forgat´ as el˝ o´ all k´et a tengely´ere mer˝oleges s´ıkban fekv˝o ´es egym´assal α/2 sz¨ oget alkot´ o tengely˝ u f´elfordulat szorzatak´ent. 2. B´ armely k´et f´elfordulat konjug´alt az SO(3) csoportban. Val´oban, ha egy t´erbeli f izometria az L egyenest az M egyenesre k´epezi, akkor az f -fel t¨ ort´en˝ o konjug´ al´ as az L k¨or¨ uli f´elfordulatot az M k¨or¨ uli f´elfordulatba viszi. (Az is r¨ ogt¨ on l´ atszik, hogy a f´elfordulatok pontosan a m´asodrend˝ u elemek SO(3)-ban, ´es egy konjug´altoszt´alyt alkotnak.) 3. Ha SO(3) egy h eleme valamely L egyenest megford´ıt (azaz h-nak az L-re val´ o megszor´ıt´ asa k¨oz´eppontos t¨ ukr¨oz´es L-en), akkor h f´elfordulat. Val´ oban, a π-t˝ ol k¨ ul¨onb¨oz˝o sz¨og˝ u forgat´asok semmilyen egyenest

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

´s transzforma ´ cio ´ ik 4. Euklideszi terek e

´ is okoskodhatunk, hogy a 3 × 3-as nem ford´ıtanak meg. (Ugy

125





Rα 1

m´ atrixnak csak α ≡ π (mod 2π) eset´en saj´at´ert´eke a −1 sz´am.) R´ at´er¨ unk SO(3) egyszer˝ u volt´anak igazol´as´ara. Legyen adott egy G E SO(3) norm´ aloszt´ o. Tegy¨ uk f¨ ol, hogy G 6= 1, azt kell bel´atnunk, hogy G = SO(3). Ehhez el´eg egyetlen f´elfordulatot tal´alni G-ben, mert akkor a m´asodik ´eszrev´etel miatt az ¨ osszes f´efordulat G-ben van, ´es ´ıgy az els˝o ´eszrev´etel miatt G = SO(3). V´ alasszunk egy f ∈ SO(3) nemtrivi´alis elemet, ez 4.4.3 miatt forgat´as valamilyen tengely k¨ or¨ ul. Az f alkalmas hatv´any´ara ´att´erve feltehet˝o, hogy ennek ´ ıtjuk, hogy l´etezik olyan L egyenes az a forgat´ asnak a sz¨ oge tompasz¨og. All´ orig´ on ´ at, amelyre f (L) ⊥ L. Val´oban, valamely v ∈ R3 nemz´erus vektorra a v ´es f (v) ´ altal bez´ art sz¨ og folytonosan f¨ ugg v-t˝ol, felveszi a 0 ´ert´eket is (az f forg´ astengely´en), ´es felvesz π/2-n´el nagyobb ´ert´eket is (az f tengely´ere mer˝ oleges s´ıkban). Ez´ert valahol a π/2 ´ert´eket is felveszi ; v´alasszunk egy ilyen vektort L ir´ anyvektor´ anak. Jel¨ olje g az L egyenes k¨ or¨ uli f´elfordulatot, ´es tekints¨ uk a h = f −1 ◦ g ◦ ◦ f ◦ g ∈ SO(3) transzform´ aci´ot. Ekkor h ∈ G, ugyanis egyr´eszt f −1 ∈ G, m´ asr´eszt g ◦ f ◦ g ∈ G, hiszen g ◦ f ◦ g az f egy konjug´altja ´es G norm´aloszt´o. Vegy¨ uk v´eg¨ ul ´eszre, hogy a h transzform´aci´o megford´ıtja az L egyenest, ez´ert a harmadik ´eszrev´etel miatt h f´elfordulat. Megjegyz´esek. (1) P´ aratlan d (≥ 5) eset´en hasonl´o (valamivel bonyolultabb) m´ odszerrel bebizony´ıthat´ o, hogy SO(d) egyszer˝ u csoport. (2) P´ aros d est´en {±I} E SO(d) mutatja, hogy SO(d) nem egyszer˝ u. (3) Az (1)-ben eml´ıtett bizony´ıt´as a d ≥ 6 p´aros esetben kimutatja, hogy SO(d)-ben {±I} az egyetlen nemtrivi´alis norm´aloszt´o (azaz SO(d) egyszer˝ u modulo centrum”, v¨ o. 4.5.3). A kimarad´o d = 4 esettel kapcsolatban l. al´abb ” a 4.5.13. K¨ ovetkezm´enyt. 4.5.7. Eml´ ekeztet˝ o (A kvaterni´ ok algebr´ aja) Megjegyz´es. Annak ´erdek´eben, hogy a kvaterni´ok szorz´as´aval ne legyen ¨osszet´eveszthet˝ o, az R4 -beli standard skal´aris szorzatot most hx, yi jel¨oli. • A kvaterni´ oalgebra alaphalmaza a H = R4 = R ⊕ R3 n´egydimenzi´os val´ os vektort´er, amelyben a standard b´aziselemeket az 1, i, j, k jelekkel jel¨ olj¨ uk. • A kvaterni´ ok szorz´ asa R-biline´aris H × H → H lek´epez´es, amelyet a b´ aziselemeken az 1x = x, i2 = j 2 = k 2 = −1, ij = −ji = k, jk = = −kj = i, ki = −ik = j formul´ak defini´alnak. Ezzel a m˝ uvelettel H

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

126

Euklideszi geometria

asszociat´ıv algebra R f¨ol¨ott az 1 egys´egelemmel. Az egys´egelem skal´arszorosai az R-rel izomorf R1 r´eszalgebr´at alkotj´ak H-ban, amelyet az x 7→ x1 izomorfizmus seg´ıts´eg´evel azonosnak tekint¨ unk a val´os sz´amtesttel. • Az i (illetve j, k) kvaterni´oval pontosan azok a kvaterni´ok felcser´elhet˝ ok, amelyek 1 ´es i (illetve 1 ´es j, 1 ´es k) line´aris kombin´aci´oi. • Az x = x0 + x1 i + x2 j + x3 k kvaterni´o val´os r´esz´enek az x0 sz´amot, k´epzetes r´esz´enek az x1 i + x2 j + x3 k kvaterni´ot, konjug´altj´anak az x = = x0 − x1 i − x2 j − x3 k kvaterni´ot nevezz¨ uk. • Az al´ abbi formul´ ak k¨ ozvetlen sz´amol´assal k¨onnyen levezethet˝ok: xy hx, yi kxk kxyk a, b ∈ R3 -ra ab

= y x, 1 = (xy + yx) (´es ´ıgy xx = hx, xi ≥ 0) , 2 √ = xx , = kxk · kyk , = −ha, bi + a × b .

(A vektori´ alis szorz´ as ´ertelmez´es´ehez R3 -ban az i, j, k rendezett b´azist d – az 1.8.1-ben R -vel kapcsolatban tett meg´allapod´assal ¨osszhangban – pozit´ıv ir´ any´ıt´ as´ unak tekintj¨ uk.) • Minden nemz´erus H-beli elemnek l´etezik multiplikat´ıv inverze : x−1 = = x/kxk2 . ´ 4.5.8. Eszrev´ etelek (A kvaterni´ ok geometri´ aja) • Az S3 = {u ∈ H : kuk = 1} kvaterni´o-egys´egg¨omb topologikus csoport a kvaterni´ ok szorz´ as´ ara n´ezve. • S2 = S3 ∩ R3 = {q ∈ H : q 2 = −1}. B´armely q ∈ S2 -re az 1 ´es q altal kifesz´ıtett H-beli k´etdimenzi´os alt´er a komplex sz´amtesttel izomorf ´ r´eszalgebra; az izomorfizmust az 1 ↔ 1, q ↔ i ∈ C megfeleltet´es adja. • B´ armely u ∈ S3 elem alkalmas q ∈ S2 ´es ϑ ∈ [0, π] v´alaszt´as´aval fel´ırhat´ o u = cos ϑ + q sin ϑ alakban. Ha u 6= ±1, akkor egy´ertelm˝ uen meghat´ arozza q-t ´es ϑ-t. 4.5.9. Defin´ıci´ o (az S3 → SO(3) fed˝ ohomomorfizmus). R¨ogz´ıtett u ∈ 3 ∈ S mellett a Φ(u) : H → H, Φ(u)(x) = uxu−1 lek´epez´es line´aris R f¨ol¨ott ´es normatart´ o, ´ıgy Φ(u) ∈ O(4). A val´os kvaterni´ok R ≤ H r´eszalgebr´aja pontonk´ent fix, ez´ert R3 = R⊥ invari´ans altere Φ(u)-nak. Szor´ıtsuk meg

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

´s transzforma ´ cio ´ ik 4. Euklideszi terek e

127

Φ(u)-t az R3 alt´erre, ez´ altal kapjuk a φ(u) ∈ O(3) ortogon´alis m´atrixot. A φ lek´epez´es az u v´ altoz´ o f¨ uggv´eny´eben folytonos homomorfizmus, ´ıgy S3 osszef¨ ugg˝ o volta miatt φ k´epe nem l´ep ki O(3) egys´egkomponens´eb˝ol, SO(3)¨ b´ ol (v¨ o. 4.5.1). Ezzel defini´ altuk a φ : S3 → SO(3) homomorfizmust.
4.5.10. Lemma. B´ armely u = cos ϑ + q sin ϑ ∈ S3 q ∈ S2 , ϑ ∈ (0, π) eset´en φ(u) ∈ SO(3) az Rq ir´any´ıtott egyenes k¨or¨ uli 2ϑ sz¨og˝ u forgat´as. Bizony´ıt´ as: φ(u)q = uqu−1 = (cos ϑ + q sin ϑ) q (cos ϑ − q sin ϑ) = q, emiatt a φ(u) forgat´ as tengelye csak az Rq egyenes lehet. A forgat´ as sz¨ og´enek meg´ allap´ıt´as´ahoz azt kell igazolnunk, hogy a ∈ S2 , a ⊥ ⊥ q eset´en a × φ(u)a = (sin 2ϑ)q. Az al´abbi sz´amol´asokban kihaszn´aljuk, hogy a ⊥ q miatt aq = −qa = a × q, valamint hogy a q vektornak az a egys´egvektorra mer˝ oleges ¨ osszetev˝oj´et (azaz mag´at q-t) az a × (q × a) formula szolg´ altatja (l. 0.2.14): φ(u)a = = = a × φ(u)a = = = =

(cos ϑ + q sin ϑ) a (cos ϑ − q sin ϑ) = a cos2 ϑ − qaq sin2 ϑ − aq sin ϑ cos ϑ + qa sin ϑ cos ϑ = a cos 2ϑ + qa sin 2ϑ, a × (a cos 2ϑ + qa sin 2ϑ) = a × (qa) sin 2ϑ = a × (q × a) sin 2ϑ = q sin 2ϑ .

4.5.11. T´ etel. A φ : S3 → SO(3) homomorfizmus sz¨ urjekt´ıv, ´es Ker φ = {± ±1}. Bizony´ıt´ as: Ker φ azokat az egys´egkvaterni´okat tartalmazza, amelyek minden kvaterni´ oval felcser´elhet˝ ok, ´ıgy a 4.5.7-ban tett ´eszrev´etelek miatt Ker φ = {± ±1}. A sz¨ urjektivit´ as r¨ ogt¨ on k¨ovetkezik a 4.5.10. Lemm´ab´ol, hiszen SO(3) minden eleme az orig´ on ´ athalad´o valamilyen egyenes k¨or¨ uli forgat´as. 4.5.12. K¨ ovetkezm´ eny. Az S3 csoportban k´et elem akkor ´es csak akkor konjug´ alt, ha a val´ os r´esz¨ uk egyenl˝o. Bizony´ıt´ as: Val´ oban, k´et elem konjug´alt volta pontosan azt jelenti, hogy alkalmas u-val Φ(u) egyik¨ uket a m´asikba viszi. A Φ(u) alak´ u transzform´aci´ok az R3 k´epzetes hipers´ıkkal p´arhuzamos affin altereket ¨onmagukban mozgatj´ ak, ´es 4.5.11 miatt egy ilyen alt´eren bel¨ ul az ¨osszes egyenl˝o norm´aj´ u vektort v´egigs¨ oprik. Megjegyz´es. A 4.5.11. T´etel ´erdekes topol´ogiai k¨ovetkezm´enyeket von maga ut´ an:

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

128

Euklideszi geometria

• Az SO(3) topologikus csoport izomorf az S3 csoportnak a {±1} k´etelem˝ u norm´ aloszt´ o szerinti faktor´aval. Eszerint SO(3) mint topologikus t´er u ´gy ´ all´ıthat´ o el˝ o az S3 g¨ombb˝ol, hogy annak ´atellenes pontp´arjait ekvivalensnek tekintj¨ uk ´es faktoriz´alunk ezzel az ekvivalenciarel´aci´oval. • A φ lek´epez´es k´etr´eteg˝ u fed´ese az SO(3) t´ernek. Miut´an S3 egyszeresen o sszef¨ u gg˝ o , ez az SO(3) univerz´alis fed´ese. ¨ • Az SO(3) t´er fundament´alis csoportja k´etelem˝ u (hiszen az univerz´alis fed´es k´etr´eteg˝ u). Tekints¨ uk b´armely r¨ogz´ıtett ir´any´ıtott egyenes k¨or¨ ul a t · 2π (0 ≤ t ≤ 1) sz¨ og˝ u forgat´asok sereg´et. Ez olyan hurok SO(3)-ban, amely a fundament´ alis csoport nemtrivi´alis elem´et reprezent´alja, hiszen az 1 ∈ S3 pontb´ ol indul´o S3 -beli felemeltje a 4.5.10. Lemma miatt a −1 elemben v´egz˝ odik, teh´ at nem hurok. 4.5.13. Defin´ıci´ o (az S3 × S3 → SO(4) fed˝ ohomomorfizmus). R¨ogz´ıtett (u, v) ∈ S3 × S3 mellett a ψ(u, v) : H → H, ψ(u, v)(x) = uxv −1 lek´epez´es line´ aris R f¨ ol¨ ott ´es normatart´o, ´ıgy ψ(u, v) ∈ O(4). (Nyilv´an φ(u) = ψ(u, u).) A ψ lek´epez´es az (u, v) v´ altoz´o f¨ uggv´eny´eben folytonos homomorfizmus az S3 × S3 topologikus csoportr´ol az O(4) topologikus csoportba, ´ıgy S3 × S3 osszef¨ ugg˝ o volta miatt k´ephalmaza az SO(4) egys´egkomponensben van. Ezzel ¨ defini´ altuk a ψ : S3 × S3 → SO(4) homomorfizmust. 4.5.14. T´ etel . A ψ : S3 × S3 → SO(4) homomorfizmus sz¨ urjekt´ıv, ´es Ker ψ = {±(1,1)}. Bizony´ıt´ as: Ha (u, v) ∈ Ker ψ, akkor 1 = ψ(u, v)(1) = uv −1 miatt u = = v. Ekkor viszont φ(u) = ψ(u, u) miatt u ∈ Ker φ, ´es ´ıgy a 4.5.11. T´etelt haszn´ alva u = ±1. A sz¨ urjektivit´ as igazol´ asa c´elj´ab´ol legyen A ∈ SO(4) tetsz˝oleges. Tekints¨ uk az u = A1 egys´egkvaterni´ ot, ´es defini´aljuk a B ∈ SO(4) m´atrixot a Bx = = u−1 Ax formul´ aval. (B val´ oban SO(4)-beli, mert az u-val t¨ort´en˝o balszorz´as normatart´ o, azaz ortogon´ alis line´aris lek´epez´es, ´es S3 ¨osszef¨ ugg˝o volta miatt benne van O(4) egys´egkomponens´eben.) A defin´ıci´o folyt´an B1 = 1, ez´ert R3 = 1⊥ invari´ ans altere B-nek, ´es B lesz˝ uk´ıt´ese R3 -ra SO(3) egy eleme. A 4.5.11. T´etel miatt ez az elem el˝o´all φ(v)-k´ent alkalmas v ∈ S3 -mal, ami azt jelenti, hogy B = Φ(v). Ekkor minden x ∈ H-ra Ax = uBx = uΦ(v)(x) = = uvxv −1 = ψ(uv, v)(x), azaz A = ψ(uv, v). 4.5.15. K¨ ovetkezm´ eny. Az SO(4) csoportban l´eteznek a centrumt´ol k¨ ul¨onb¨ oz˝ o nemtrivi´ alis norm´ aloszt´ok is. Bizony´ıt´ as: Val´ oban, az S3 ×{1} ´es {1}×S3 direkt szorzand´ok ψ-n´el sz´armaz´o k´epei ilyenek.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

´s transzforma ´ cio ´ ik 4. Euklideszi terek e

129

Megjegyz´esek. (1) Ha SO(4)-et mint az S3 g¨omb transzform´aci´oinak csoportj´ at tekintj¨ uk, akkor a 4.5.14-beli k´et norm´aloszt´o az S3 csoport balszorz´ asaib´ ol (azaz az x 7→ ux lek´epez´esekb˝ol), illetve jobbszorz´asaib´ol (az x 7→ xv lek´epez´esekb˝ ol) ´ all. A 4.5.14. T´etel szerint ennek a k´et norm´aloszt´onak csak I ´es −I a k¨ oz¨ os elemei, valamint az S3 g¨omb b´armely ir´any´ıt´astart´o ortogon´alis transzform´ aci´ oja el˝ o´ all egy balszorz´as ´es egy jobbszorz´as kompoz´ıci´ojak´ent. Erre a jelens´egre majd visszat´er¨ unk a 4.8. szakaszban, amikor a h´aromdimenzi´ os g¨ ombi geometria saj´ atoss´agait der´ıtj¨ uk f¨ol. (2) 4.5.14-b˝ ol is hasonl´ o topol´ogiai k¨ovetkeztet´eseket vonhatunk le, mint 4.5.11-b˝ ol: a ψ : S3 × S3 → SO(4) homomorfizmus k´etr´eteg˝ u fed˝olek´epez´es; itt is S3 × S3 egyszeresen ¨osszef¨ ugg˝o, ez´ert ψ az univerz´alis fed´es, ´es SO(4) fundament´ alis csoportja is a k´etelem˝ u csoport. (Topol´ogiai eszk¨oz¨okkel bebizony´ıthat´ o egy´ebk´ent, hogy minden d ≥ 3 eset´en SO(d) fundament´alis csoportja k´etelem˝ u.)

4.6. Hasonl´ os´ ag 4.6.1. Defin´ıci´ o (Hasonl´ os´ ag). Legyenek (X, ρ) ´es (X 0 , ρ0 ) metrikus terek. 0 0 Egy f : X → X lek´epez´est hasonl´os´agnak nevez¨ unk
X ´es X k¨oz¨ott, ha 0 bijekt´ıv ´es minden x, y ∈ X, x 6= y-ra a ρ f (x), f (y) /ρ(x, y) ar´any ugyanakkora, azaz f t´ avols´ agar´ any-tart´o. Ha X legal´abb k´etelem˝ u, akkor f ezt az ar´ anyt egy´ertelm˝ uen meghat´arozza. Ezt a pozit´ıv sz´amot nevezz¨ uk az f hasonl´ os´ ag ar´ any´ anak. (Az egypont´ u metrikus terek k¨oz¨otti lek´epez´esek mint hasonl´ os´ agok ar´ any´ anak az 1 sz´amot tekintj¨ uk.) Ha X r¨ ogz´ıtett metrikus t´er, akkor az X-et saj´at mag´aba k´epez˝o hasonl´os´ agok csoportot alkotnak a kompoz´ıci´o m˝ uvelet´ere n´ezve. Ezt a csoportot X hasonl´ os´ agi csoportj´ anak nevezz¨ uk ´es Sim (X)-szel jel¨olj¨ uk. Ha Sim (X) minden elem´ehez hozz´ arendelj¨ uk az ar´any´at, akkor a pozit´ıv val´os sz´amok multiplikat´ıv csoportj´ aba k´epez˝o Sim (X) → R+ homomorfizmust nyerj¨ uk. Ennek a homomorfizmusnak a magja az I(X) izometriacsoport. Els˝ osorban az E → E hasonl´os´agokat ´es a Sim (E) csoportot vizsg´aljuk, ahol E euklideszi t´er. Ebben az egybev´ag´os´agokr´ol m´ar megismert t´etelekre t´ amaszkodhatunk, ez´ert a hasonl´os´agok ´attekint´ese nem ig´enyel l´enyeges u ´j gondolatokat. K´et euklideszi t´erben fekv˝o ponthalmazt hasonl´onak mondunk, ha l´etezik olyan hasonl´ os´ ag, amely az egyiket a m´asikra k´epezi. 4.6.2. P´ eld´ ak • Legyen Sd−1 = {x ∈ Rd : kxk = 1} az Rd -beli egys´egg¨omb (d ≥ 1). Az Sd−1 metrikus t´er hasonl´os´agai sz¨ uks´egk´eppen izometri´ak (ahogyan ez

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

130

Euklideszi geometria

´ıgy van b´ armely korl´ atos metrikus t´erben), azaz Sim (Sd−1 ) = I(Sd−1 ). ´Igy teh´ at a g¨ ombi geometri´aban a hasonl´os´ag fogalm´ara nincs sz¨ uks´eg. • Ha E legal´ abb 1-dimenzi´os euklideszi t´er, akkor a (±1-t˝ol k¨ ul¨onb¨oz˝ o ar´ any´ u) E-beli homot´eci´ak p´eldak´ent szolg´alnak olyan hasonl´os´agi transzform´ aci´ okra, amelyek nem egybev´ag´os´agok. A HP,λ : E → E homot´ecia ar´ anya |λ|. 4.6.3. Lemma. Euklideszi t´erben b´armely hasonl´os´ag el˝o´all´ıthat´o egy egybev´ ag´ os´ ag ´es egy tetsz˝ olegesen el˝o´ırhat´o k¨oz´eppont´ u homot´ecia kompoz´ıci´ojak´ent. Bizony´ıt´ as: Legyen λ az f ∈ Sim (E) hasonl´os´ag ar´anya. V´alasszunk tetsz˝olegesen egy P ∈ E pontot ´es tekints¨ uk a g = HP,1/λ ◦ f kompoz´ıci´ot. Ekkor g ∈ I(E) ´es ´ıgy f = HP,λ ◦ g a k´ıv´ant el˝o´all´ıt´as. 4.6.4. Ko eny. Sim (E) = I(E) o R+ . ¨vetkezm´ Bizony´ıt´ as: Valamely (tetsz˝ olegesen) r¨ogz´ıtett P ∈ E pont mellett a P k¨oz´eppont´ u, pozit´ıv ar´ any´ u homot´eci´ak csoportja nyilv´an az R+ csoporttal izomorf. Ez a r´eszcsoport az I(E) E Sim (E) norm´aloszt´o egy szemidirekt kieg´esz´ıt˝ oje a Sim (E) csoportban, hiszen egyr´eszt ezek k¨oz¨ott a homot´eci´ak k¨ oz¨ ott csak az identit´ as t´ avols´agtart´o, m´asr´eszt 4.6.3 miatt a k´et r´eszcsoport egy¨ utt gener´ atorrendszer. Most ´ attekintj¨ uk az euklideszi egybev´ag´os´agok szerkezet´et le´ır´o f˝o t´eteleinknek (4.2.10-nek ´es 4.4.6-nak) a hasonl´os´agokra vonatkoz´o k¨ovetkezm´eny´et, illetve kieg´esz´ıt´es´et. A 4.2.10. T´etel hasonl´os´agokra ´erv´enyes megfelel˝oje azonnal k¨ ovetkezik a 4.6.3. Lemma felhaszn´al´as´aval : 4.6.5. T´ etel. Egy f : E → E lek´epez´es pontosan akkor hasonl´os´ag, ha f ∈ ∈ Aff (E) ´es L(f ) ∈ R+ · O(V ). Egyen´ert´ek˝ u´ atfogalmaz´ assal: az Rd → Rd hasonl´os´agok pontosan az f (x) = d = λAx + b (x ∈ R ) alak´ u lek´epez´esek. Itt a λ > 0, A ∈ O(d) ´es b ∈ Rd adatokat f egy´ertelm˝ uen meghat´arozza. Bizony´ıt´ as: A k´et megfogalmaz´as ekvivalenci´aja egy (tetsz˝oleges) ortonorm´alt koordin´ atarendszer felv´etele ut´an nyilv´anval´o. Ha az f lek´epez´es f (x) = λAx + b alak´ u, akkor f egy ortogon´alis line´aris transzform´ aci´ o, egy homot´ecia ´es egy eltol´as kompoz´ıci´oja, teh´at hasonl´os´ag. Legyen most f ∈ Sim (Rd ) tetsz˝olegesen adott. ´Irjuk f -et 4.6.3 felhaszn´al´as´ aval az f = H0,λ ◦ g alakban, ahol λ > 0 ´es g ∈ I(Rd ). Ekkor 4.2.10 miatt alkalmas A ∈ O(d)-vel ´es b ∈ Rd -vel g(x) = Ax + (1/λ)b, ez´ert f (x) = = λAx + b (x ∈ Rd ). Itt λ sz¨ uks´egk´eppen az f hasonl´os´ag ar´any´aval egyezik meg, A ´es b egy´ertelm˝ us´ege pedig a 4.2.10. T´etelbeli egy´ertelm˝ us´egi ´all´ıt´asb´ol k¨ ovetkezik.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

´s transzforma ´ cio ´ ik 4. Euklideszi terek e

131

4.6.6. Ko eny. B´ armely hasonl´os´ag sz¨ogtart´o : ha f : E → E 0 ha¨vetkezm´ sonl´ os´ ag, L ⊂ E egyenes, ´es S ⊂ E legal´abb 1-dimenzi´os affin alt´er, akkor f (L) ´es f (S) sz¨ oge egyenl˝ o L ´es S sz¨og´evel. Bizony´ıt´ as: K´et egyenes k¨ oz¨ott a sz¨oget az ir´anyvektoraik sz¨og´en kereszt¨ ul defini´ altuk, ezt pedig mind az ortogon´alis line´aris lek´epez´esek, mind a homot´eci´ ak, mind az eltol´ asok nyilv´anval´oan meg˝orzik. Az egyenes ´es affin alt´er sz¨ og´enek esete pedig 4.3.5 szerint visszvezethet˝o a k´et egyenes k¨ozti sz¨og eset´ere, felhaszn´ alva, hogy ha p : E → S, illetve p0 : E 0 → f (S) jel¨oli a megfelel˝o ortogon´ alis vet´ıt´eseket, akkor p0 ◦ f = f ◦ p. Az egybev´ ag´ os´ agok term´eszetes felbont´as´ar´ol sz´ol´o 4.4.6. T´etel val´odi (teh´at 1-t˝ ol k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o ar´ any´ u) hasonl´os´agokra vonatkoz´o megfelel˝oj´et egyszer˝ uv´e teszi a hasonl´ os´ agok fixpontjair´ol sz´ol´o al´abbi ´eszrev´etel. 4.6.7. Lemma. Ha f ∈ Sim (E) nem egybev´ag´os´ag, akkor f -nek l´etezik (egyetlen) fixpontja. Bizony´ıt´ as: A Banach-f´ele fixpontt´etel ( kontrakci´os elv”) alkalmazhat´o f ” re vagy f −1 -re (aszerint, hogy az f hasonl´os´ag λ ar´any´ara λ < 1, illetve λ > 1). Tegy¨ uk fel p´eld´ aul, hogy λ
< 1, ekkor egy tetsz˝olegesen kiszemelt P ∈ E ponttal a P , f (P ), f f (P ) , . . ., f n (P ), . . . sorozat Cauchy-sorozat az E teljes metrikus t´erben. A sorozat teh´at konvergens, ´es a Q limeszpontra f (Q) = Q. 4.6.8. T´ etel. Ha az f ∈ Sim (E) hasonl´os´ag nem izometria, akkor alkalmas ortonorm´ alt koordin´ atarendszerben f (x) = λAx alakban ´ırhat´o, ahol λ > 0 ´es az A m´ atrix a 4.4.1-ben le´ırt alak´ u. Bizony´ıt´ as: A 4.6.7. Lemm´ at alkalmazva vektoriz´aljunk az f fixpontj´aval mint orig´ oval, majd alkalmazzuk 4.6.3-at ´es 4.4.1-et. 4.6.9. Defin´ıci´ o (Hiperg¨ omb, g¨ omb). Tegy¨ uk fel, hogy d ≥ 1. Adott P ∈ ∈ E ´es r > 0 mellett P k¨ oz´eppont´ u, r sugar´ u E-beli hiperg¨ombnek nevezz¨ uk a G = {A ∈ E : ρ(P, A) = r} ponthalmazt. K¨ onnyen l´ athat´o, hogy a G halmaz egy´ertelm˝ uen meghat´arozza P -t ´es r-et. K´et (vagy t¨ obb) hiperg¨omb¨ot koncentrikusnak mondunk, ha k¨ oz´eppontjuk k¨ oz¨ os. G¨ ombnek nevezz¨ uk E-ben az E legal´abb egydimenzios affin altereiben mint euklideszi terekben fekv˝o hiperg¨omb¨oket. A G g¨omb ´ dimenzi´ oj´ an a dim G = dimhGi − 1 sz´amot ´ertj¨ uk. Az egydimenzi´ os esetben g¨ omb helyett k¨ort mondhatunk. Az E t´er 0-dimenzi´ os g¨ ombjei pontosan a k´et k¨ ul¨onb¨oz˝o E-beli pontb´ol ´all´o rendezetlen pontp´ arok. A d-dimenzi´ os t´erben a hiperg¨omb¨ok pontosan a (d − 1)-dimenzi´os g¨ omb¨ ok.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

132

Euklideszi geometria

Az A ∈ E pontot a P k¨ oz´eppont´ u, r sugar´ u G hiperg¨ombre vonatkoz´oan bels˝ o pontnak nevezz¨ uk, ha ρ(P, A) < r, k¨ uls˝o pontnak, ha ρ(P, A) > r. A G-re n´ezve bels˝ o pontok ny´ılt konvex halmazt alkotnak E-ben, amelynek a hat´ ara G-vel egyenl˝ o. ´Igy p´eld´aul ha A, B ∈ G, akkor az [A, B] szakasz minden relat´ıv bels˝ o pontja G-re n´ezve bels˝o pont. Emiatt b´armely E-beli egyenesnek legfeljebb k´et pontja tartozhat G-hez. 4.6.10. P´ elda. Legyenek P, A ∈ E, P 6= A adott pontok. Tekints¨ uk az A pont k´ep´et az E ¨ osszes olyan egybev´ag´os´ag´an´al, amely a P pontot fixen tartja (azaz az f (A) pontokat, ahol f ∈ O(EP )). Ezeknek a k´eppontoknak a halmaza a P k¨ oz´eppont´ u,
ρ(P, A) sugar´ u hiperg¨omb. Egyr´eszt ugyanis b´armelyik ilyen f -re ρ f (A), P = ρ(A, P ), m´asr´eszt pedig ha ρ(B, P ) = ρ(A, P ), akkor σH (A) = B, ahol H az A ´es B k¨ozti felez˝o mer˝oleges hipers´ık. (Nyilv´an ugyanezt a hiperg¨ omb¨ ot kapjuk A-nak a P pontra vonatkoz´o t¨ uk¨ork´ep´eb˝ol, vagy ak´ ar a kapott halmaz tetsz˝oleges m´asik elem´eb˝ol kiindulva is.) ´ ıt´ 4.6.11. All´ as. Az euklideszi terek k¨or´eben b´armely hasonl´os´ag g¨omb¨ot (ugyanakkora dimenzi´ oj´ u) g¨ombbe visz. Bizony´ıt´ as: Val´ oban, ha f : E → E 0 hasonl´os´ag, ´es F ⊆ E affin alt´er, akkor a P ∈ F k¨ oz´eppont´ u, r sugar´ u F -beli hiperg¨omb k´epe nyilv´anval´oan az f (P ) k¨ oz´eppont´ u, λr sugar´ u f (F ) alt´erbeli hiperg¨omb, ahol λ az f hasonl´os´ag ar´ anya. 4.6.12. T´ etel. Legyenek E ´es E 0 euklideszi terek, dim E = dim E 0 ≥ 2, f : 0 : E → E bijekci´ o. Ha minden G ⊂ E hiperg¨ombre f (G) ⊂ E 0 hiperg¨omb, akkor f hasonl´ os´ ag. Bizony´ıt´ as: El˝ osz¨ or az affin geometria alapt´etele (l. 1.6.8) felhaszn´al´as´aval megmutatjuk, hogy f affin izomorfizmus, vagy ami ezzel egyen´ert´ek˝ u, hogy f −1 affin izomorfizmus. Ez ut´obbihoz azt elegend˝o ellen˝orizni, hogy b´armely h´ arom (k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o) kolline´ aris E 0 -beli pont f −1 -n´el sz´armaz´o k´epei is kollinearisak. Ez viszont f hiperg¨ ´ ombtart´o volt´ab´ol nyilv´anval´o : ha nem voln´anak kolline´ arisak, akkor valamilyen E-beli G hiperg¨ombre illeszkedn´enek, ´es ´ıgy f -k´epeik (azaz az eredeti, E 0 -beli h´arom kolline´aris pont) az f (G) ⊂ E 0 hiperg¨ ombh¨ oz tartozn´ anak, ami lehetetlen. Teh´ at f affin izomorfizmus. Feltehet˝o (ortonorm´alt koordin´atarendszert v´alasztva ´es alkalmas E 0 → E izometri´aval kompon´alva), hogy E = E 0 = Rd , f ∈ Aff (Rd ), ´es f (0) = 0. Ekkor teh´at f ∈ GL(d, R). Az Sd−1 egys´egg¨omb¨ ot f az orig´ o k¨ or¨ uli λ sugar´ u g¨ombbe viszi valamilyen λ > 0-val. Emiatt az (1/λ)f line´ aris lek´epez´es normatart´o, ahonnan 4.1.6-ra hivatkozva (1/λ)f ∈ ∈ O(d), azaz f ∈ λO(d) k¨ ovetkezik. Megjegyz´es. L´enyeg´eben ugyanezzel a bizony´ıt´assal a t´etel olyan form´aban is igaz, hogy hiperg¨ omb¨ ok szerepeltet´ese helyett valamely r¨ogz´ıtett 1 ≤ k ≤

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

´s transzforma ´ cio ´ ik 4. Euklideszi terek e

133

≤ d − 1 mellett azt tessz¨ uk f¨ol, hogy minden E-beli k-dimenzi´os g¨omb f -n´el sz´ armaz´ o k´epe is k-dimenzi´ os g¨omb. Speci´alisan (a k = 1 esetben) azt kapjuk, hogy a legal´ abb 2-dimenzi´os euklideszi terek k¨ortart´o bijekci´oi pontosan a hasonl´ os´ agi transzform´ aci´ ok. A k¨ortart´o lek´epez´esek fontos szerepet j´atszanak az inverz´ıv geometri´ aban, ´es k´es˝obb majd a projekt´ıv geometri´aban ´es a hiperbolikus geometri´ aban is.

4.7. Magasabb dimenzi´ os g¨ ombi geometria A g¨ ombi geometria alapvet˝ o defin´ıci´oival ´es eszk¨ozeivel a h´aromdimenzi´os eulideszi t´erben fekv˝ o g¨ ombfel¨ ulet eset´eben m´ar 0.3-ban megismerkedt¨ unk. Most ´ attekintj¨ uk, hogyan lehet ezeket a fogalmakat tetsz˝oleges dimenzi´o eset´ere kiterjeszteni. A g¨ ombi geometria konkr´et modellj´eu ¨l egy euklideszi vektort´er egys´egg¨ ombj´et v´ alasztjuk ; ez´altal a g¨ombi geometria az euklideszi geometria r´eszek´ent t´ argyalhat´ o. 4.7.1. Defin´ıci´ o (G¨ ombi t´ er, g¨ ombi alt´ er). Legyen V tetsz˝oleges euklideszi vektort´er, dim V = d + 1 ≥ 1. G¨ombi t´ernek, pontosabban d-dimenzi´os g¨ ombi t´ernek nevezz¨ uk V egys´egg¨ombj´et, azaz az S = {a ∈ V : kak = 1} halmazt. Ha U ≤ V tetsz˝ oleges (k + 1)-dimenzi´os line´aris alt´er, akkor az S ∩ U halmaz maga is k-dimenzi´ os g¨ ombi t´er. Az S g¨ombi t´er ´ıgy keletkez˝o r´eszhalmazait k-dimenzi´ os g¨ ombi altereknek nevezz¨ uk (0 ≤ k ≤ d). P´eld´ aul az S-beli ´ atellenes pontp´arok a 0-dimenzi´os g¨ombi alterek. Az egydimenzi´ os g¨ ombi alterek pontosan S f˝ok¨orei; ezek j´atssz´ak az egyenesek szerep´et a g¨ ombi geometri´ aban. Ha V = Rd+1 a standard euklideszi koordin´atat´er, akkor egys´egg¨ombj´ere a szok´ asos Sd jel¨ ol´est haszn´ aljuk ; ez a standard d-dimenzi´os g¨ombi t´er. ´ 4.7.2. Defin´ıci´ o (Erint˝ ovektor, ´ erint˝ ot´ er). Legyen S g¨ombi t´er V -ben, a ∈ S. Egy v ∈ V vektort az S g¨ombi t´er a pontbeli ´erint˝ovektor´anak nevez¨ unk, ha v ⊥ a. R¨ ogz´ıtett a ∈ S mellett az a-beli ´erint˝ovektorok az a⊥ line´aris hipers´ıkot alkotj´ ak V -ben. Ezt a d-dimenzi´os vektorteret az S g¨ombi t´er a-beli ´erint˝oter´enek nevezz¨ uk, ´es Ta S-sel jel¨olj¨ uk. Ha S 0 ⊆ S g¨ ombi alt´er ´es a ∈ S 0 , akkor a Ta S 0 ´erint˝oteret az S 0 gener´alta V beli alt´erre vonatkoz´ oan ´ all´ıtjuk el˝o mint a ortogon´alis kieg´esz´ıt˝o hipers´ıkj´at, ez´ert ilyenkor Ta S 0 line´ aris alt´er a Ta S ´erint˝ot´erben. Megjegyz´es. Szeml´elet¨ unk azt k´ıv´ann´a, hogy az ´erint˝oterek a g¨omb¨ot val´oban ´erints´ek”, azaz annak csak egyetlen pontj´at tartalmazz´ak. Sz´amol´asainkban ”

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

134

Euklideszi geometria

nagyobb haszonnal j´ ar viszont, ha az ´erint˝oterek vektorterek, ez´ert a g¨ombb˝ol az egyetlen a k¨ oz¨ os pontot tartalmaz´o a + (a⊥ ) affin hipers´ık helyett a vele p´ arhuzamos line´ aris alteret, mag´at a⊥ -t tekintj¨ uk ´erint˝ot´ernek. Ezzel a megallapod´ ´ assal csak most, a g¨ombi geometria t´argyal´asa sor´an ´el¨ unk; k´es˝obb, amikor euklideszi affin t´erben fekv˝o g¨omb¨ok ´erint˝oaltereir˝ol besz´el¨ unk, azok a g¨ omb egyetlen pontj´ at tartalmaz´o affin alterek lesznek majd. 4.7.3. Defin´ıci´ o (F˝ oko anyvektora ´ es param´ eteres megad´ asa). Le¨r ir´ gyen K ⊆ S f˝ ok¨ or az S g¨ ombi t´erben, ´es legyen a ∈ K. Ekkor K = S ∩ U , ahol U ≤ V k´etdimenzi´ os line´aris alt´er. Egy u ∈ Ta S ´erint˝ovektort a K f˝ok¨ or a pontbeli ir´ anyvektor´ anak mondunk, ha a ´es u az U alteret gener´alj´ak. Nyilv´ anval´ o, hogy az u ⊥ a k¨ovetelm´eny miatt az u vektort K ´es a nemz´erus skal´ art´enyez˝ o erej´eig egy´ertelm˝ uen meghat´arozz´ak. Megford´ıtva, ha tesz˝ olegesen adott az a ∈ S pont ´es az u ∈ Ta S nemnulla ´erint˝ ovektor, akkor egy ´es csak egy olyan K f˝ok¨or l´etezik S-ben, amely ´athalad a-n ´es amelynek u ir´ anyvektora, m´egpedig K az a ´es u gener´alta line´aris alt´er metszete S-sel. Tegy¨ uk fel most, hogy u is egys´egvektor. Ekkor az r(t) = cos t a + sin t u k´eplet param´eteresen ´ all´ıtja el˝o a K f˝ok¨ort. Val´oban, egyr´eszt r(t) az a ´es u kombin´ aci´ oja l´ev´en hozz´ atartozik a sz´oban forg´o line´aris alt´erhez, m´asr´eszt k¨ ozvetlen sz´ amol´ assal r¨ ogt¨ on l´atszik, hogy kr(t)k = 1. (A t param´eter nyilv´an az el˝ ojeles k¨ oz´epponti sz¨ ogelfordul´ast m´eri az a ´es u gener´alta s´ıkban.) 4.7.4. Defin´ıci´ o (G¨ ombi szakasz). Ha a ´es b k´et k¨ ul¨onb¨oz˝o ´es nem ´atellenes pont az S g¨ ombi t´erben (azaz, egyen´ert´ek˝ u m´odon, a ´es b line´arisan f¨ uggetlen egys´egvektorok a V euklideszi vektort´erben), akkor egy´ertelm˝ uen l´etezik olyan K f˝ ok¨ or S-ben, amely a-t ´es b-t tartalmazza. Ennek a f˝ok¨ornek a r¨ ovidebbik (azaz π-n´el kisebb k¨oz´epponti sz¨og˝ u) ´ıv´et tekintj¨ uk az a, b v´egpont´ u g¨ ombi szakasznak. A K f˝ok¨or a-beli ir´anyvektorai k¨oz¨ott el tudjuk k¨ ul¨ on´ıteni a b ir´ any´ aba mutat´o vektorokat a t¨obbit˝ol: egy u ir´anyvektorr´ol akkor mondjuk, hogy b fel´e mutat, ha a b = λ a + µ u fel´ır´asban µ > 0. Ennek alapj´ an egy g¨ ombi szakasz v´egpontjaiban egy´ertelm˝ uen tudunk a m´asik v´egpont ir´ any´ aban egys´egnyi ir´anyvektorokat felvenni. 4.7.5. Defin´ıci´ o (G¨ ombi t´ avols´ ag). Az S ⊂ V g¨ombi t´erben az a, b ∈ ∈ S pontok ρg (a, b) g¨ ombi t´ avols´ag´an az a ´es b egys´egvektorok ´altal bez´art sz¨ oget ´ertj¨ uk. Teh´ at a g¨ ombi t´avols´agot a ρg (a, b) = cos−1 (a · b) k´eplet adja meg.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

´s transzforma ´ cio ´ ik 4. Euklideszi terek e

135

4.7.6. Lemma. Az S halmazon az euklideszi t´avols´ag ´es a g¨ombi t´avols´ag k¨ olcs¨ on¨ osen egy´ertelm˝ uen meghat´arozz´ak egym´ast a ρg = 2 sin−1 (ρ/2) formul´ aval. Bizony´ıt´ as: A k´et t´ avols´ ag kapcsolata r¨ogt¨on l´athat´o abb´ol az egys´egnyi ´atfog´ oj´ u der´eksz¨ og˝ u h´ aromsz¨ ogb˝ol, amelynek az orig´oban lev˝o ρg /2 sz¨og´evel szemben a ρ/2 hossz´ us´ ag´ u befog´oja ´all. Az x 7→ 2 sin−1 (x/2) f¨ uggv´eny val´ oban bijekt´ıv (szigor´ uan monoton n¨ov˝o) a [0,2] ´es a [0, π] intervallum k¨oz¨ ott. 4.7.7. Defin´ıci´ o (Szo aban). Tegy¨ uk fel, hogy az a ∈ ¨g a go ¨mbi geometri´ ∈ S pont a K1 , K2 ⊆ S f˝ ok¨ or¨ok k¨oz¨os pontja. Az a pontban K1 ´es K2 sz¨og´en az a-beli ir´ anyvektoraik ´ altal bez´art k´et lehets´eges (egym´ast π-re kieg´esz´ıt˝o) sz¨ og k¨ oz¨ ul a nem nagyobbat ´ertj¨ uk. Ha k´et g¨ ombi szakasz egy k¨ oz¨os v´egpontjukban, a-ban csatlakozik, akkor a k´et g¨ ombi szakasz ´ altal bez´ art sz¨oget u ´gy ´ertelmezz¨ uk mint az a pontb´ol a m´asik k´et v´egpontba vezet˝ o g¨ ombi szakaszokhoz tartoz´o k´et a-beli ir´anyvektor k¨ozti sz¨ oget. Ez a sz¨ og b´ armely legal´abb 0 ´es legfeljebb π ´ert´eket felvehet. ´ ıt´ 4.7.8. All´ as. A f˝ ok¨ or¨ ok 4.7.3-beli param´eterez´es´en´el tetsz˝oleges t1 , t2 ∈ R, |t1 − t2 | ≤ π eset´en
ρg r(t1 ), r(t2 ) = |t1 − t2 | , azaz a param´eter´ert´ekek k¨ ul¨onbs´ege (lok´alisan) a megfelel˝o pontok g¨ombi t´ avols´ ag´ at adja meg. Bizony´ıt´ as: Az ´ all´ıt´ as tulajdonk´eppen nyilv´anval´o abb´ol, hogy a 4.7.3-beli param´eterez´es a k¨ oz´eppontban m´ert sz¨ogelfordul´as szerint t¨ort´enik. A formula ak´ ar k¨ ozvetlen sz´ amol´ assal is ellen˝orizhet˝o, ha mindk´et oldal koszinusz´at vessz¨ uk ´es a koszinuszf¨ uggv´eny add´ıci´os k´eplet´et haszn´aljuk. Megjegyz´es. A g¨ ombi t´ avols´ ag k´eplete ugyanazt a t´avols´agfogalmat adja, mint amit 0.3-ban a k´etdimenzi´ os g¨ombi geometri´aban haszn´altunk. K´et, k¨oz¨os ponttal b´ır´ o g¨ ombi f˝ ok¨ or, illetve k´et csatlakoz´o g¨ombi szakasz mindig benne van egy legfeljebb k´etdimenzi´os g¨ombi alt´erben, ´es egy ilyen alteret tekintve nyilv´ anval´ o, hogy a sz¨ og mostani defin´ıci´oja egybeesik a g¨ombh´aromsz¨ogek kapcs´ an r´egebben tiszt´ azott sz¨ogfogalommal. Ezek miatt S k´etdimenzi´os g¨ ombi altereiben a t´ avols´ agokkal ´es a sz¨ogekkel kapcsolatban mindaz ´erv´enyes, amit a g¨ ombfel¨ ulet geometri´aj´ar´ol 0.3-ban meg´allap´ıtottunk. H´arom S-beli ponthoz is mindig tal´alhat´o olyan legfeljebb k´etdimenzi´os g¨ombi alt´er, amely ˝ oket tartalmazza, ez´ert a magasabb dimenzi´os g¨ombi t´erben fekv˝o g¨ ombh´ aromsz¨ ogek is ugyan´ ugy ´ertelmezhet˝ok, mint a k´etdimenzi´os g¨ombfel¨ uleten. A g¨ ombh´ aromsz¨ ogekkel kapcsolatos trigonometriai t´etelek ´es egyenl˝ otlens´egek is mind ´erv´enyesek a magasabb dimenzi´os g¨ombi geometri´aban.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

136

Euklideszi geometria

Ezek k¨ oz¨ ul a legalapvet˝ obbet, a g¨ombi koszinuszt´etelt most u ´jra bebizony´ıtjuk az itt bevezetett eszk¨ oz¨ ok seg´ıts´eg´evel. Ennek az az oka, hogy ez a gondolatmenet ad mint´ at a hiperbolikus s´ıkon k´es˝obb v´egzend˝o trigonometriai vizsg´ alatainkhoz, l. 11.3. 4.7.9. T´ etel (G¨ ombi koszinuszt´ etel). Ha a, b ´es c jel¨oli egy g¨ombh´aromsz¨ og oldalainak g¨ ombi hossz´at, ´es α jel¨oli az a oldallal szemk¨ozti sz¨oget, akkor cos a = cos b cos c + sin b sin c cos α . Bizony´ıt´ as: Legyenek a, b ´es c ∈ S rendre az a, b, c oldalakkal szemk¨ozti cs´ ucsok. Ekkor a g¨ ombi t´ avols´ag 4.7.5-beli defin´ıci´oja alapj´an cos a = b · c. V´ alasszunk egys´egnyi ir´ anyvektorokat az a v´egpontban az a-b´ol kiindul´o k´et oldalszakasz ir´ any´ aban, m´egpedig u mutasson b fel´e, v pedig c fel´e. Ekkor a sz¨ og 4.7.7-beli defin´ıci´ oja szerint cos α = u · v. Param´eterezz¨ uk 4.7.3 szerint a g¨ombh´aromsz¨og a-b´ol indul´o oldalait az a ´ ıt´as miatt kezd˝ opontot ´es az u, illetve v ir´anyvektort haszn´alva. A 4.7.8. All´ ezek a param´eterez´esek a t = c, illetve t = b helyettes´ıt´essel ´eppen a b, illetve a c cs´ ucsot ´ all´ıtj´ ak el˝ o: b = cos c a + sin c u c = cos b a + sin b v . Szorozzuk ¨ ossze skal´ arisan a k´et bal oldalt, illetve a k´et jobb oldalt, ebb˝ol, felhaszn´ alva, hogy a ⊥ u ´es a ⊥ v, a b · c = cos b cos c kak2 + sin b sin c u · v formul´ at kapjuk, ami b · c = cos a, kak = 1, ´es u · v = cos α alapj´an a t´etel ´ll´ıt´ a as´ aval egyen´ert´ek˝ u. 4.7.10. K¨ ovetkezm´ eny. A ρg g¨ombi t´avols´agf¨ uggv´eny metrika az S halmazon, ´es annak az euklideszi t´erb˝ol ¨or¨ok¨olt topol´ogi´aj´at sz´armaztatja. Bizony´ıt´ as: Egyed¨ ul a h´ aromsz¨og-egyenl˝otlens´eg nem nyilv´anval´o ρg defin´ıci´ oja alapj´ an a metrik´ at´ ol megk¨ovetelt tulajdons´agok k¨oz¨ ul. Ha S h´arom pontja egy f˝ ok¨ orre illeszkedik, akkor k¨ozt¨ uk a h´aromsz¨og-egyenl˝otlens´eg k¨ozvetlen szemrev´etelez´essel l´ athat´o, ha pedig nem, azaz a h´arom pont g¨ombh´ aromsz¨ oget fesz´ıt ki, akkor a g¨ombh´aromsz¨ogekre vonatkoz´o, 0.3.5.(1)-ben bebizony´ıtott szigor´ u h´ aromsz¨og-egyenl˝otlens´eget alkalmazhatjuk. Az S halmazra szor´ıtkozva a ρ euklideszi t´avols´agf¨ uggv´eny ´es a ρg g¨ombi t´ avols´ agf¨ uggv´eny egym´ as pozit´ıv konstansszorosaival becs¨ ulhet˝ok (m´egpedig 4.7.6-b´ ol ad´ od´ oan ρ ≤ ρg ≤ πρ), ez´ert ez a k´et metrika ugyanazt a topol´ogi´at sz´ armaztatja S-en.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

´s transzforma ´ cio ´ ik 4. Euklideszi terek e

137

A tov´ abbiakban az (S, ρg ) metrikus t´er izometri´aival ´es izometriacsoportj´aval foglalkozunk. Vil´ agos, hogy az S-et mag´aban foglal´o V euklideszi vektort´er b´ armely ortogon´ alis transzform´aci´oj´at S-re megszor´ıtva izometri´at kapunk. A k¨ ovetkez˝ o t´etel szerint a g¨ombi t´er minden izometri´aja ´ıgy ´all el˝o. 4.7.11. T´ etel. I(S, ρg ) = O(V ). Pontosabban, a k´et csoport k¨oz¨ott izomorfizmust l´etes´ıt a V -beli ortogon´alis transzform´aci´ok S-re t¨ort´en˝o lesz˝ uk´ıt´ese. Bizony´ıt´ as: Csak azt kell ellen˝orizn¨ unk, hogy b´armely S-et ¨onmag´ara k´epez˝o, ρg szerint izometrikus lek´epez´es kiterjeszthet˝o V ortogon´alis transzform´aci´oj´ av´ a. Egy ortonorm´ alt b´ azis r¨ ogz´ıt´es´evel azonos´ıtsuk V -t az Rd+1 koordin´atat´errel d ´es S-et az S standard g¨ ombbel. Legyen f ∈ I(S) tetsz˝oleges izometria. Ekkor az Rd+1 -beli standard b´ azisvektorok f -n´el sz´armaz´o k´epei szint´en ortonorm´ alt b´ azist alkotnak Rd+1 -ben, hiszen p´aronk´ent π/2 g¨ombi t´avols´agra l´ev˝o egys´egvektorok. L´etezik teh´ at olyan A ∈ O(d + 1) ortogon´alis transzform´aci´o, amelyn´el Aei = f (ei ) (i = 1, . . . , d + 1). Azt ´ all´ıtjuk hogy f = A | S . Ha x ∈ S tetsz˝oleges pont, akkor minden i = = 1, . . . , d + 1-re

ρg f (x), f (ei ) = ρg (x, ei ) = ρg (Ax, Aei ) = ρg Ax, f (ei ) , azaz az y = f (x) pontnak ´es a z = Ax pontnak ugyanakkora a g¨ombi t´avols´ aga az f (ei ) pontok mindegyik´et˝ol. Ez´ert a 4.7.6. Lemm´ara hivatkozva ugyanez a l´egvonalban m´ert” euklideszi t´avols´agokra is igaz. Miut´an mind ” y, mind z egys´egvektor, l´ atjuk, hogy y ´es z ugyanakkora euklideszi t´avols´agra van egy Rd+1 -beli affin b´ azis minden elem´et˝ol, m´egpedig a 0, f (e1 ), . . ., f (ed+1 ) pontokt´ ol. Ez pedig a 4.2.11. Lemma bizony´ıt´as´aban tett ´eszrev´etelek miatt azt mutatja, hogy y = z, amit bizony´ıtani akartunk. A g¨ ombi t´er izometri´ aival kapcsolatban most egy olyan jelens´eget tanulm´anyozunk, amely csak magasabb dimenzi´oban jelenik meg, a k´etdimenzi´os g¨ ombfel¨ ulet geometri´ aj´ aban m´eg nem. 4.7.12. Defin´ıci´ o (Clifford-eltol´ as). Legyen (X, ρ) tetsz˝oleges metrikus t´er. Egy f : X → X izometri´at Clifford-eltol´asnak nevez¨ unk, ha minden
pontot ugyanakkora t´ avols´ agra mozd´ıt el, azaz ha az x 7→ ρ x, f (x) val´os f¨ uggv´eny konstans X-en. Vegy¨ uk ´eszre, hogy ha az f ´es g izometri´ak konjug´altak az I(X) izometriacsoportban, ´es egyik¨ uk Clifford-eltol´ as, akkor a m´a


sik is az. Val´oban,

ha g = h ◦ f ◦ h−1 , akkor ρ x, g(x) = ρ x, h f h−1 (x) = ρ y, f (y) , ahol y = h−1 (x). Az euklideszi terek eltol´ asai nyilv´an Clifford-eltol´asok. A 4.4.6. T´etel birtok´ aban azt is k¨ onny˝ u l´ atni, hogy euklideszi t´erben egy Clifford-eltol´as csakis

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

138

Euklideszi geometria

eltol´ as lehet. Egy euklideszi izometria ugyanis a tengely´enek a pontjait (´es csak azokat) mozd´ıtja el a lehet˝o legkisebb m´ert´ekben, teh´at ha ez az elmozd´ıt´ as konstans m´ert´ek˝ u, akkor a tengely – amelyen az izometria eltol´assal hat – csak az eg´esz t´er lehet. A g¨ ombi geometri´ aban is l´eteznek Clifford-eltol´asok: az u ´n. antipod´alis lek´epez´es, amely minden ponthoz az ´atellenes´et (azaz minden vektorhoz a (−1)szeres´et) rendeli, b´ armely dimenzi´oban Clifford-eltol´as. Ez a p´elda azonban intuit´ıv szempontb´ ol nem igaz´an kiel´eg´ıt˝o, hiszen szeml´elet¨ unk az eltol´ast´ol valamif´ele folytonos mozg´ as lehet˝os´eg´et v´arja. Az euklideszi geometri´aban b´ armely tv eltol´ as val´ oban belefoglalhat´o eltol´asoknak egy u ´n. egyparam´e” teres csoportj´ aba”, m´egpedig a tsv eltol´asok sereg´ebe, ahol s val´os param´eter. (Vegy¨ uk ´eszre, hogy itt az s 7→ tsv hozz´arendel´es folytonos homomorfizmus a val´ os sz´ amok addit´ıv csoportj´ab´ol az euklideszi t´er izometri´ainak a csoportj´ aba.) Meglep˝ o m´ odon ha a g¨ ombi t´er dimenzi´oja p´aratlan, akkor az antipod´alis lek´epez´es belefoglalhat´ o Clifford-eltol´asok egyparam´eteres csoportj´aba. 4.7.13. P´ elda. P´ aratlan d mellett tekints¨ uk α ∈ R-re a   Rα   Rα   C(α) =   ∈ SO(d + 1) . .   . Rα m´ atrixot, ahol mindegyik 2 × 2-es Rα blokk ugyanaz az α sz¨og˝ u forgat´asm´atrix. Nyilv´ an az α 7→ C(α) lek´epez´es folytonos homomorfizmus ´es C(π) = −I. d Azt is k¨ onny˝ u ellen˝ orizni, hogy C(α) Clifford-eltol´
ast l´etes´ıt az S g¨ombi t´eren minden α-ra: ha kxk = 1, akkor a C(α)x · x = cos α skal´ a ris szorzat,
´es ´ıgy a ρg C(α)x , x g¨ ombi t´avols´ag is f¨ uggetlen x-t˝ol. P´aros dimenzi´oj´ u g¨ ombi t´er eset´eben viszont az identit´ason ´es az antipod´alis lek´epez´esen k´ıv¨ ul nincsen Clifford-eltol´ as. Ezt a 4.4.1 K¨ovetkezm´enyt haszn´alva tudjuk a legegyszer˝ ubben bel´ atni: ha a befoglal´o t´er dimenzi´oja p´aratlan, akkor b´armely ortogon´ alis transzform´ aci´ onak sz¨ uks´egk´eppen van 1 abszol´ ut ´ert´ek˝ u saj´at´ert´eke, ´es emiatt a g¨ ombi t´ernek van olyan pontja, amely vagy fixen marad, vagy az ´ atellenes´ebe k´epez˝ odik. P´ aratlan d eset´en a C(α) ∈ I(Sd ) Clifford-eltol´asokat eleg´ans m´odon lehet sz´ armaztatni komplex sz´ amok haszn´alat´aval. Ha ugyanis d = 2n − 1, akkor Sd felfoghat´ o mint a C felett n-dimenzi´os Cn komplex t´er egys´egg¨ombje. Az S1 ⊂ C komplex egys´egk¨ or valamely eαi elem´evel t¨ort´en˝o szorz´as, azaz a (z1 , . . . , zn ) 7→ (eαi z1 , . . . , eαi zn ) lek´epez´es az Sd g¨ omb¨ ot saj´ at mag´aba k´epezi, ´es ennek a lek´epez´esnek a m´atrixa a szok´ asos C = R2 azonos´ıt´as mellett ´eppen a fenti C(α)-val egyezik

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

´s transzforma ´ cio ´ ik 4. Euklideszi terek e

139

meg. Ha kiv´ alasztunk egy tetsz˝oleges z ∈ Cn vektort, akkor ennek az o¨sszes C(α)-val vett Clifford-eltoltjai az S1 z = (Cz) ∩ Sd halmazt alkotj´ak. Itt Cz komplex egyenes, ami k´etdimenzi´os line´aris alt´er R f¨ol¨ott, ez´ert Sd -vel vett metszete f˝ ok¨ or. Azt kaptuk teh´at, hogy a C(α) Clifford-eltol´asok sereg´et v´egrehajtva Sd b´ armely pontja f˝ok¨or ment´en mozog. Az ´ıgy el˝o´all´o f˝ok¨or¨ok nyilv´ an p´ aronk´ent diszjunktak ´es egy¨ utt lefedik Sd -t. ´ ıt´ 4.7.14. All´ as. Ha d p´ aratlan, akkor az Sd standard g¨ombi t´erben b´armely Clifford-eltol´ as alkalmas α mellett a 4.7.13-beli C(α) transzform´aci´o konjug´ altja az I(Sd ) izometriacsoportban. Bizony´ıt´ as: Az identit´ as α = 0, az antipod´alis lek´epez´es α = π mellett ´all el˝ o C(α)-k´ent. Ha adott egy ezekt˝ol k¨ ul¨onb¨oz˝o Clifford-eltol´as az Sd t´erben, akkor ´ırjuk f¨ ol az ˝ ot l´etes´ıt˝ o ortogon´alis transzform´aci´ot alkalmas ortonorm´ alt b´ azisban a 4.4.1 K¨ ovetkezm´eny szerinti blokkm´atrix-alakban. Az i-edik invari´ ans alt´erben az Rαi forgat´asi blokk a g¨omb pontjait αi g¨ombi t´avols´agra mozd´ıtja el. Ez´ert az ¨ osszes αi egyenl˝o, azaz a k¨oz¨os ´ert´eket α-val jel¨olve ebben a b´ azisban a transzform´aci´o m´atrixa C(α). A standard b´azisra ´att´erve teh´ at C(α) konjug´ altj´ at kapjuk. 4.7.15. Defin´ıci´ o (Clifford-p´ arhuzamos halmazok). Legyenek A ´es B tetsz˝ oleges nem¨ ures halmazok az (X, ρ) metrikus t´erben. Azt mondjuk, hogy A ´es B Clifford-p´ arhuzamosak, ha az a 7→ ρ(a, B) f¨ uggv´eny konstans az A halmazon ´es a b 7→ ρ(b, A) f¨ uggv´eny konstans a B halmazon. (Itt Y ⊆ X eset´en ρ(x, Y ) jel¨ oli az x ∈ X pont t´avols´ag´at az Y halmazt´ol az X t´erben, azaz az inf{ρ(x, y) : y ∈ Y } sz´amot.) P´eld´ aul euklideszi t´erben a p´arhuzamos affin alterek nyilv´an Clifford-p´arhuzamosak, ´es azt is k¨ onny˝ u l´ atni, hogy k´et affin alt´er csak u ´gy lehet Clifford´ p´ arhuzamos, ha a szok´ asos ´ertelemben p´arhuzamosak. Erdekes m´odon a g¨ombi geometri´ aban is b˝ os´egesen l´eteznek Clifford-p´arhuzamos g¨ombi alterek. 4.7.16. P´ elda. Tekints¨ uk a Clifford-eltol´asok 4.7.13-beli C(α) sereg´en´el a pontok mozg´ asa ´ altal le´ırt f˝ ok¨or¨ok rendszer´et. Azt ´all´ıtjuk, hogy e f˝ok¨or¨ok k¨ oz¨ ul b´ armelyik kett˝ o Clifford-p´arhuzamos. Legyen K = S1 z ´es L = S1 w k´et ilyen f˝ ok¨ or. Ha α a val´ os sz´ amokat futja be (el´eg persze egy 2π hossz´ us´ag´ u intervallumot befutnia), akkor a C(α)z pont a K f˝ok¨ort j´arja be. Ez´ert


ρg z , L = ρg C(α)z , C(α)(L) = ρg C(α)z , L mutatja, hogy az L-t˝ ol m´ert g¨ombi t´avols´ag konstans K ment´en, ´es ugyanez ´erv´enyes ford´ıtott szereposzt´ assal is L helyett K-t ´es z helyett w-t ´ırva. Legyen most K ´es L k´et tetsz˝oleges f˝ok¨or az S g¨ombi t´erben. Legyenek a ∈ ∈ K, b ∈ L olyan pontok, amelyekre ρg (a , b) = ρg (a , L) = ρg (b , K). (Ilyen

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

140

Euklideszi geometria

(a , b) ∈ K × L mindig l´etezik, hiszen K ´es L kompakt volta miatt a ρg f¨ uggv´enynek a K × L halmazon van minimumhelye.) V´alasszunk egy-egy egys´egnyi hossz´ u ir´ anyvektort, u-t K-hoz ´es v-t L-hez az a ∈ K, illetve b ∈ ∈ L pontban. 4.7.17. T´ etel. Tegy¨ uk f¨ ol, hogy K ´es L Clifford-p´arhuzamos f˝ok¨or¨ok S-ben. Ekkor az a, b, u ´es v vektorok fenti v´alaszt´asa mellett u ⊥ b,

v ⊥ a,

´es u · v = ± a · b .

Megford´ıtva, ha az a, b ∈ S pontokban ezeknek a felt´eteleknek eleget tev˝o u ∈ ∈ Ta S, illetve v ∈ Tb S ´erint˝ o egys´egvektorokat v´alasztunk, akkor az ezekkel mint ir´ anyvektorokkal megadott, a-n, illetve b-n ´athalad´o k´et S-beli f˝ok¨or Clifford-p´ arhuzamos. Bizony´ıt´ as: Param´eterezz¨ uk K-t ´es L-et az rK (s) = cos s a + sin s u, illetve rL (t) = cos t b + sin t v k´eplettel 4.7.3 szerint, ´es k´epezz¨ uk a fut´o vektorok skal´ aris szorzat´ at: = (cos s a + sin s u) · (cos t b + sin t v) = = cos s cos t a · b + sin s cos t u · b + cos s sin t a · v + sin s sin t u · v .
Ha K ´es L Clifford-p´ arhuzamosak, a ρg rK (s) , rL (t) = cos f (s, t) f¨ uggv´enynek minimumhelye, azaz mag´anak f -nek maximumhelye a (0,0) ∈ R2 pont. Emiatt f mindk´et parci´alis deriv´altja az orig´oban z´erussal egyenl˝o : (∂f /∂s)(0,0) = u · b = (∂f /∂t)(0,0) = a · v = 0. f (s, t)

Ezt felhaszn´ alva f (s, t) = cos s cos t a · b + sin s sin t u · v. Ism´et kihaszn´alva, hogy K ´es L Clifford-p´ arhuzamosak, az rK (π/2) pont ´es az L f˝ok¨or t´avols´ag´anak koszinusza szint´en a·b-vel egyenl˝o, ez´ert az f (π/2, t) f¨ uggv´eny maximuma is ennyi. Viszont f (π/2, t) = sin t u · v, ahonnan |u · v| = a · b k¨ovetkezik. A megford´ıt´ as indokl´ as´ aban feltehetj¨ uk, hogy u · v = a · b ≥ 0, ellenkez˝ o esetben ugyanis b-t vagy v-t (vagy mindkett˝ot) kicser´elhetj¨ uk a (− −1)-szeres´ere. A k¨ oz¨ os ´ert´eket p-vel jel¨olve az f f¨ uggv´enyre az f (s, t) = = (cos s cos t + sin s sin t) · p = cos(s − t) · p k´epletet kapjuk. Ebb˝ol r¨ogt¨on l´ atszik, hogy az f f¨ uggv´eny maximuma p-vel egyenl˝o, ´es ezt az ´ert´eket a f¨ uggv´eny b´ armely r¨ ogz´ıtett s mellett is ´es b´armely r¨ogz´ıtett t mellett is felveszi (m´egpedig nyilv´ an s = t eset´en). Ez´ert a k´et f˝ok¨or Clifford-p´arhuzamos. A 4.7.17. T´etel olyan er˝ os korl´atoz´ast ad a Clifford-p´arhuzamos f˝ok¨or¨ok ´all´ as´ ara n´ezve, hogy a sz´ oba j¨ov˝o legalacsonyabb dimenzi´oban, azaz amikor a g¨ ombi t´er dimenzi´ oja 3, az adott f˝ok¨orh¨oz adott ponton ´at h´ uzhat´o Cliffordp´ arhuzamosok sz´ am´ ara vonatkoz´o k¨ovetkeztet´est is levonhatunk bel˝ole.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

´s transzforma ´ cio ´ ik 4. Euklideszi terek e

141

4.7.18. Ko eny. Legyen adott a K f˝ok¨or ´es a b pont a h´aromdimen¨vetkezm´ zi´ os S g¨ ombi t´erben. Ha b ∈ K vagy a b vektor mer˝oleges K s´ıkj´ara, akkor pontosan egy b-n ´ athalad´ o, K-val Clifford-p´arhuzamos f˝ok¨or l´etezik S-ben, egy´ebk´ent pedig pontosan kett˝o. Bizony´ıt´ as: A b ∈ K esetben nyilv´an maga K az egyetlen K-val Cliffordp´ arhuzamos f˝ ok¨ or b-n ´ at. Ha a b vektor mer˝oleges K s´ıkj´ara, akkor b g¨ombi t´ avols´ aga K minden pontj´ at´ol π/2, ami a lehet˝o legnagyobb t´avols´ag egy pont ´es egy f˝ ok¨ or k¨ oz¨ ott. A K-t´ol π/2 g¨ombi t´avols´agra l´ev˝o pontok halmaza S-ben ´eppen egy f˝ ok¨ or, m´egpedig az, amelyet a K s´ıkj´anak ortogon´alis komplementere metsz ki S-b˝ol. (Itt kihaszn´altuk, hogy S h´aromdimenzi´os.) Ebben az esetben teh´ at ez az egyetlen f˝ok¨or Clifford-p´arhuzamos K-val a b-n athalad´ ´ o f˝ ok¨ or¨ ok k¨ oz¨ ul. Tegy¨ uk most f¨ ol, hogy a b vektor nem fekszik benne K s´ıkj´aban, ´es nem is mer˝ oleges r´ a. Legyen a ∈ K a b-hez legkisebb g¨ombi t´avols´agra lev˝o pont K-ban, ekkor a p = a · b sz´ amra 0 < p < 1 ´erv´enyes. V´alasszunk K-hoz u ∈ ∈ Ta S egys´egnyi hossz´ us´ ag´ u ir´anyvektort az a pontban, ekkor u ⊥ a mellett u ⊥ b is teljes¨ ul. A b-n ´ athalad´o, K-val Clifford-p´arhuzamos f˝ok¨or sz´am´ara a b pontbeli v ∈ Tb S egys´egnyi hossz´ u ir´anyvektort a 4.7.17-beli felt´etelek szerint kell v´ alasztanunk. A v egys´egvektornak egyr´eszt mer˝olegesnek kell lennie az a ´es b line´ arisan f¨ uggetlen vektorokra, azaz (u-val egy¨ utt) az {a, b}⊥ k´etdimenzi´ os alt´erhez kell tartoznia, m´asr´eszt eleget kell tennie az u · v = ± p k¨ ovetelm´enynek is. Ennek az egyenletnek a sz´oban forg´o alt´er egys´egvektorai k¨ oz¨ ul k´et ´ atellenes vektorp´ar tesz eleget, ez´ert ezek mint ir´anyvektorok pontosan k´et f˝ ok¨ ort hat´ aroznak meg. Megjegyz´es. B´ ar a f˝ ok¨ or¨ ok Clifford-p´arhuzamoss´aga reflex´ıv ´es szimmetrikus rel´ aci´ o, 4.7.18-b´ ol l´ atszik, hogy nem tranzit´ıv, hiszen egy f˝ok¨orrel k´et egym´ast metsz˝ o m´ asik f˝ ok¨ or is lehet Clifford-p´arhuzamos. Ezt az ´eszrev´etelt pontos´ıtani tudjuk majd a Clifford-p´arhuzamoss´ag 4.8.8. T´etelbeli jellemz´ese ut´an.

4.8. Hopf-f´ ele k¨ orrendszerek A h´ aromdimenzi´ os g¨ ombi t´er, azaz S3 f˝ok¨oreivel foglalkozunk. Miut´an S3 a kvaterni´ oalgebra egys´egg¨ ombje, itt a Clifford-eltol´asokat ´es a Clifford-p´arhuzamos f˝ ok¨ or¨ oket a kvaterni´ ok felhaszn´al´as´aval is lehet sz´armaztatni. A kvaterni´ okkal kapcsolatban a 4.5. szakaszban bevezetett fogalmakat ´es jel¨ol´eseket haszn´ aljuk. 4.8.1. T´ etel. Az S3 g¨ ombi t´erben a Clifford-eltol´asok pontosan a balszorz´asok ´es a jobbszorz´ asok valamely S3 -beli elemmel.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

142

Euklideszi geometria

Bizony´ıt´ as: Jel¨ olj¨ uk Ba -val, illetve Ja -val az a ∈ S3 elemmel t¨ort´en˝o balszorz´ ast, illetve jobbszorz´ ast az S3 csoportban, teh´at legyen Ba (x) = ax ´es Ja (x) = xa. Nyilv´ an Ba , Ja az I(S3 ) izometriacsoport elemei, tov´abb´a Ba−1 = −1 = Ba−1 ´es Ja = Ja−1 ´erv´enyes. Megmutatjuk, hogy minden a-ra Ba ´es Ja Clifford-eltol´ as. Vegy¨ uk ´eszre el˝ osz¨ or, hogy a 4.7.13-beli C(α) Clifford-eltol´ast (a d = 3 esetben) a z = eαi ∈ S1 kvaterni´ oval t¨ort´en˝o Bz balszorz´as adja. Ha pedig a ∈ S3 3 tetsz˝ oleges, akkor 4.5.12 miatt egy alkalmas z ∈ S1 -nek a konjug´altja

az S −1 −1 csoportban, a = bzb , ez´ert Ba (x) = bzb x = Bb Bz Bb−1 (x) . Teh´at Ba = Bb ◦ Bz ◦ Bb−1 , vagyis az a-val t¨ort´en˝o balszorz´as a Bz Clifford-eltol´as konjug´ altja az I(S3 ) csoportban. Ez´ert a 4.7.12. Defin´ıci´ot k¨ovet˝o ´eszrev´etelre hivatkozva Ba is Clifford-eltol´as. A kvaterni´ok x 7→ x konjug´al´asa defin´ıci´ o szerint a val´ os tengelyre vonatkoz´o σR ortogon´alis szimmetri´aval azonos, teh´ at S3 izometri´ aja. Ezt felhaszn´alva hasonl´o elven kaphatjuk, hogy a Ja jobbszorz´ asok is Clifford-eltol´asok, ugyanis Ja (x) = xa = a x = Ba (x), azaz Ja a Ba Clifford-eltol´ asnak a σR izometri´aval vett konjug´altja az I(S3 ) csoportban. Most megmutatjuk, hogy az S3 t´erben b´armely Clifford-eltol´as csak a Ba vagy Ja transzform´ aci´ ok valamelyike lehet. Tudjuk 4.7.14 szerint, hogy b´armely Clifford-eltol´ as egy alkalmas z = eαi ∈ S1 kvaterni´oval vett balszorz´as konjug´ altja az I(S3 ) = O(4) csoportban, teh´at elegend˝o annyit tiszt´azni, hogy Bz b´ armely konjug´ altja balszorz´as vagy jobbszorz´as. A 4.5.14. T´etelb˝ol tudjuk, hogy SO(4)-ben S3 balszorz´asai norm´aloszt´ot alkotnak, ez´ert Bz -nek b´ armely SO(4)-beli elemmel vett konjug´altja val´oban balszorz´as. Az SO(4)hez nem tartoz´ o, azaz ir´ any´ıt´asv´alt´o transzform´aci´ok k¨oz´e tartozik a kvaterni´ ok σR konjug´ al´ asa, ´es az im´ent l´attuk, hogy a σR -rel t¨ort´en˝o I(S3 )-beli konjug´ al´ as balszorz´ asb´ ol jobbszorz´ast ´all´ıt el˝o. B´armely A ∈ O(4) − SO(4) ir´ any´ıt´ asv´ alt´ o g¨ ombi egybev´ ag´os´ag A = σR ◦ B alakban ´ırhat´o alkalmas B ∈ ∈ SO(4)-gyel. Ekkor az A-val val´o konjug´al´as a B-vel val´onak ´es a σR -rel val´ onak az egym´ asut´ anja, ´es ez´ert b´armely balszorz´asnak az A-val vett konjug´ altja jobbszorz´ as. Megjegyz´es. Az SO(4) csoportban kiv´eteles m´odon jelen l´ev˝o k´et majdnem ” komplementer” norm´ aloszt´ ot (l. 4.5.15) teh´at pontosan a Clifford-eltol´asok alkotj´ ak. 4.8.2. Defin´ıci´ o (Sq1 ). Ha q ∈ S2 tetsz˝olegesen kiszemelt tiszt´an k´epzetes egys´egkvaterni´ o, akkor jel¨olje Sq1 annak a C-vel izomorf r´eszalgebr´anak 3 (l. 4.5.8) az S -mal vett metszet´et, amelyet 1 ´es q gener´al. Mindegyik ilyen Sq1 halmaz az 1 ∈ S3 ponton ´ athalad´o f˝ok¨or, amely egy´ uttal r´eszcsoport S3 -ban. 1 1 Nyilv´ an Sq = S−q , tov´ abb´ a b´armelyik, az egys´egelemet tartalmaz´o f˝ok¨or ´ıgy all el˝ ´ o. K¨ oz¨ ott¨ uk van az R2 standard euklideszi s´ıkbeli S1 egys´egk¨or is, m´eg-

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

´s transzforma ´ cio ´ ik 4. Euklideszi terek e

143

pedig a szok´ asos R2 = C = R + Ri ⊂ H azonos´ıt´as mellett S1 = Si1 . Az Sq1 r´eszcsoportok mindannyian egym´as konjug´altjai az S3 csoportban, ugyanis a tiszta k´epzetes kvaterni´ ok (azaz S2 elemei) 4.5.12 miatt mind konjug´alt csoportelemek. 4.8.3. Defin´ıci´ o (Hopf-f´ ele k¨ orrendszerek). R¨ogz´ıts¨ unk egy egys´egelemen ´ athalad´ o K f˝ ok¨ ort S3 -ban, azaz legyen K az Sq1 r´eszcsoportok egyike. Tekints¨ uk egyr´eszt a K szerinti ¨osszes bal oldali mell´ekoszt´aly alkotta halmazrendszert, m´ asr´eszt a K szerinti ¨osszes jobb oldali mell´ekoszt´aly alkotta halmazrendszert. Miut´ an mind a bal-, mind a jobbeltol´asok egybev´ag´os´agok S3 -ban, mindk´et halmazrendszer f˝ok¨or¨okb˝ol ´all, ´es S3 egy-egy part´ıci´oj´at alkotja. Ezeket a k¨ orrendszereket nevezz¨ uk a K-hoz tartoz´o bal oldali, illetve jobb oldali Hopf-f´ele k¨ orrendszereknek. 4.8.4. Lemma. S3 -ban b´ armelyik f˝ok¨or pontosan egy bal oldali, ´es pontosan egy jobb oldali Hopf-f´ele k¨ orrendszerhez tartozik hozz´a. Bizony´ıt´ as: Legyen L ⊂ S3 tetsz˝oleges f˝ok¨or. Szemelj¨ unk ki egy tetsz˝oleges u ∈ L elemet, ekkor u−1 L is ´es Lu−1 is az egys´egelemet tartalmaz´o f˝ok¨or, ´es a hozz´ ajuk tartoz´ o bal, illetve jobb oldali Hopf-f´ele k¨orrendszernek L is tagja. Az egy´ertelm˝ us´eg indokl´ as´ aul el´eg annyit megjegyezni, hogy egy csoportban b´ armely bal (illetve jobb) oldali mell´ekoszt´aly egy´ertelm˝ uen meghat´arozza azt a r´eszcsoportot, amelyhez tartozik. 4.8.5. Lemma. B´ armely k´et Hopf-f´ele k¨orrendszer egybev´ag´o, tov´abb´a Hopff´ele k¨ orrendszernek S3 b´ armely egybev´ag´os´ag´an´al sz´armaz´o k´epe is Hopf-f´ele k¨ orrendszer. Bizony´ıt´ as: El˝ osz¨ or bel´ atjuk, hogy b´armely k´et bal oldali Hopf-f´ele k¨orrendszer egybev´ ag´ o. Ha K ´es L az egys´egelemet tartalmaz´o f˝ok¨or¨ok, akkor alkalmas u ∈ S3 elemmel L = uKu−1 ; r¨ogz´ıts¨ unk egy ilyen u-t. Ekkor tetsz˝oleges a ∈ S3 -ra (uau−1 )L = u(aK)u−1 , ami azt mutatja, hogy a K-hoz tartoz´o bal oldali Hopf-f´ele k¨ orrendszer tagjainak az x 7→ uxu−1 egybev´ag´os´agn´al sz´ armaz´ o k´epei mind az L-hez tartoz´o bal oldali Hopf-f´ele k¨orrendszerhez tartoznak, s˝ ot, ki is mer´ıtik azt, mert b´armely b ∈ S3 elem el˝o´all b = uau−1 alakban alkalmas a-val. Hasonl´o okoskod´assal igazolhat´o, hogy b´armely k´et jobb oldali Hopf-f´ele k¨ orrendszer is egybev´ag´o. Az els˝o ´all´ıt´as bizony´ıt´as´ahoz csak annyit kell m´eg megjegyezn¨ unk, hogy a kvaterni´ok x 7→ x konjug´al´asa a bal oldali Hopf-f´ele k¨ orrendszereket jobb oldaliakba viszi, ´es viszont. Legyen most adott egy bal oldali Hopf-f´ele k¨orrendszer az egys´egelemet tartalmaz´ o K tagj´ aval, ´es legyen adott S3 egy tetsz˝oleges ir´any´ıt´astart´o egybev´ag´ os´ aga. A 4.5.14. T´etel szerint ez az egybev´ag´os´ag x 7→ uxv alak´ u lek´epez´es, ahol u ´es v r¨ ogz´ıtett elemek S3 -ban. A K r´eszcsoport bal oldali mell´ekoszt´ alyait, az aK alak´ u f˝ ok¨ or¨ oket ez a lek´epez´es az uaKv = (uav)(v −1 Kv)

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

144

Euklideszi geometria

halmazokba, azaz az egys´egelemet tartalmaz´o v −1 Kv f˝ok¨or bal oldali mell´ekoszt´ alyaiba viszi, teh´ at egy Hopf-f´ele k¨orrendszer k¨oreibe. Az ´ıgy el˝o´all´o f˝ ok¨ or¨ ok ki is mer´ıtik ezt a k¨orrendszert, hiszen b´armely b ∈ S3 elem el˝o´all b = uav alakban alkalmas a-val. A kvaterni´ ok konjug´ al´ asa egybev´ag´os´ag az S3 g¨omb¨on, amely az xy = y x formul´ anak k¨ osz¨ onhet˝ oen bal oldali mell´ekoszt´alyokat jobb oldaliakba k´epez. Emiatt a bal oldali Hopf-f´ele k¨orrendszereket jobb oldali Hopf-f´ele k¨orrendszerekbe viszi. A g¨ omb tov´ abbi ir´any´ıt´asv´alt´o egybev´ag´os´agai csak a konjug´ al´ assal t¨ ort´en˝ o kompoz´ıci´ oban t´ernek el az ir´any´ıt´astart´okt´ol, teh´at azok is a bal oldali Hopf-f´ele k¨ orrendszereket jobb oldaliakba k´epezik. Hasonl´ok´eppen l´ athatjuk be, hogy a jobb oldali Hopf-f´ele k¨orrendszereket az ir´any´ıt´astart´o egybev´ ag´ os´ agok jobb oldali, az ir´any´ıt´asford´ıt´ok bal oldali Hopf-f´ele k¨orrendszerekbe viszik. 4.8.6. Defin´ıci´ o (Komplementer f˝ ok¨ or). Az S3 g¨omb¨on tetsz˝oleges K 0 f˝ ok¨ orh¨ oz tekints¨ uk azt a K f˝ok¨ort, amelyet az K-t tartalmaz´o k´etdimenzi´os line´ aris alt´er ortogon´ alis komplementere metsz ki S3 -b´ol, azaz legyen K 0 = {v ∈ S3 : v ⊥ u minden u ∈ K-ra} . Ezt a K 0 -t nevezz¨ uk K komplementer f˝ok¨or´enek. A K ↔ K 0 megfeleltet´es nyilv´ an bijekt´ıv ´es ¨ onmaga inverze, teh´at p´arokba ´all´ıtja az S3 -beli f˝ok¨or¨oket. 4.8.7. Lemma. B´ armely Hopf-f´ele k¨orrendszer minden tagj´aval egy¨ utt annak komplementer f˝ ok¨ or´et is tartalmazza. Valamely K f˝ok¨ort tartalmaz´o bal oldali ´es jobb oldali Hopf-f´ele k¨orrendszernek e k´et k¨or¨on, K-n ´es K 0 -n k´ıv¨ ul nincs m´ as k¨ oz¨ os tagja. Bizony´ıt´ as: 4.8.5 miatt a lemma mindk´et ´all´ıt´as´at elegend˝o a K = S1 f˝ok¨or speci´ alis v´ alaszt´ asa mellett ellen˝orizni. 0

Az S1 f˝ ok¨ or s´ıkj´ at 1 ´es i, S1 s´ıkj´at a j ´es k egys´egkvaterni´ok fesz´ıtik ki. 0 Miut´ an j = j1 = 1j ´es k = j(−i) = ij, az S1 f˝ok¨or az S1 r´eszcsoportnak 0 bal oldali ´es jobb oldali mell´ekoszt´alya is egyszerre. Ez´ert S1 tagja az S1 -hez tartoz´ o bal oldali ´es jobb oldali Hopf-f´ele k¨orrendszernek is. 0

Most megmutatjuk, hogy S1 -en ´es S1 -n k´ıv¨ ul nincs m´as olyan f˝ok¨or S3 -ban, amely egyszerre bal oldali ´es jobb oldali mell´ekoszt´alya volna az S1 r´eszcsoportnak. Ezt olyan m´ odon tiszt´azzuk, hogy kiszemel¨ unk egy u ∈ S3 pontot ´es tekintj¨ uk az u-t tartalmaz´ o bal oldali ´es jobb oldali mell´ekoszt´alyt. Ezek u-n athalad´ ´ o f˝ ok¨ or¨ ok, amelyeket S1 -b˝ol az u-val val´o balszorz´as, illetve jobbszorz´ as mint S3 egybev´ ag´ os´ aga sz´armaztat. Ezekn´el az egybev´ag´os´agokn´al az S1 f˝ ok¨ or 1 pontbeli i ir´ anyvektora a sz´oban forg´o f˝ok¨or¨ok u-beli ir´anyvektor´aba kell, hogy ker¨ ulj¨ on. Ha ez a k´et f˝ok¨or azonos, akkor ez a k´et ir´anyvektor vagy egyenl˝ o, vagy egym´ as ellentettje. Teh´at a k´et f˝ok¨or csak ui = ± iu, azaz

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

´s transzforma ´ cio ´ ik 4. Euklideszi terek e

145

iui−1 = ± u eset´en lehet azonos. Tudjuk 4.5.10-b˝ol, hogy az i elemmel t¨ort´en˝o konjug´ al´ as, azaz a Φ(i) : H → H izometria ortogon´alis szimmetria, amelynek az 1 ´es i gener´ alta alt´er a fixponthalmaza, ´es a j ´es k gener´alta komplementer alt´er a −1 saj´ at´ert´ekhez tartoz´o saj´ataltere. Ez´ert iui−1 = ± u val´oban csak akkor lehets´eges, ha u valamelyik saj´atalt´erhez tartozik, azaz u ∈ S1 vagy 0 u ∈ S1 . 4.8.8. T´ etel. Az S3 g¨ ombi t´erben k´et f˝ok¨orh¨oz akkor ´es csak akkor l´etezik olyan Hopf-f´ele k¨ orrendszer, amely mindkett˝ot tartalmazza, ha a k´et f˝ok¨or Clifford-p´ arhuzamos. Bizony´ıt´ as: Tegy¨ uk f¨ ol el˝ osz¨or, hogy K ´es L k´et f˝ok¨or, amelyek hozz´atartoznak ugyanahhoz a Hopf-f´ele k¨orrendszerhez. Ez azt jelenti, hogy valamelyik Sq1 r´eszcsoport szerinti ugyanolyan oldali mell´ekoszt´alyok. Tekints¨ uk el˝ osz¨ or azt a speci´alis esetet, amikor K = S1 , ´es tegy¨ uk f¨ol, hogy 1 L az S -nek jobb oldali mell´ekoszt´alya, azaz L = S 1 a. Ekkor a 4.7.16-beli okoskod´ as (az n = 2, z = 1, w = a szereposzt´assal) ´eppen azt mutatja, hogy K ´es L Clifford-p´ arhuzamosak. Legyen most K tetsz˝ oleges f˝ ok¨or ´es L = Ka. Vigy¨ uk ´at S1 -et K-ba alkalmas egybev´ ag´ os´ aggal. A 4.5.14. T´etel szerint ez az egybev´ag´os´ag x 7→ uxv alak´ u alkalmas u, v ∈ S3 elemekkel. Ekkor K = uS1 v ´es L = uS1 va = uS1 bv, ahol b = vav −1 . Az el˝ oz˝ o speci´ alis eset felhaszn´al´as´aval kapjuk, hogy S1 ´es S1 b Clifford-p´ arhuzamos f˝ ok¨ or¨ ok. Ezekre az x 7→ uxv egybev´ag´os´agot alkalmazva kapjuk, hogy K ´es L is Clifford-p´arhuzamosak. Ha L baleltol´ assal kaphat´ o a K f˝ok¨orb˝ol, azaz L = aK, akkor alkalmazzuk r´ ajuk a kvaterni´ ok konjug´ al´ as´at: K ´es L is f˝ok¨or¨ok ´es L = Ka. Az el˝oz˝o esetet alkalmazva K ´es L Clifford-p´arhuzamosak, ´es ´ıgy a konjug´al´assal adott egybev´ ag´ os´ agn´ al sz´ armaz´ o k´epeik, K ´es L is azok. Megford´ıtva, legyen adott k´et Clifford-p´arhuzamos f˝ok¨or S3 -ban. Vigy¨ uk ´at S3 alkalmas egybev´ ag´ os´ ag´ aval az egyik¨ uket az S1 f˝ok¨orbe, ´es jel¨olje L a m´asik f˝ ok¨ or k´ep´et. Ekkor nyilv´an S1 ´es L is Clifford-p´arhuzamosak, tov´abb´a 4.8.5 miatt elegend˝ o azt bebizony´ıtani, hogy van olyan Hopf-f´ele k¨orrendszer, 0 amely S1 -et ´es L-et mag´ aban foglalja. Ak´ar L = S1 , ak´ar L = S1 , ezt tudjuk. (Ennek nincs most jelent˝os´ege, de 4.8.4 ´es 4.8.7 alapj´an azt is tudjuk, hogy mindk´et esetben pontosan k´et darab ilyen k¨orrendszer van.) Szemel0 j¨ unk ki egy tetsz˝ oleges u ∈ L elemet, ekkor u ∈ / S1 ´es u ∈ / S1 . Tekints¨ uk az S1 -hez tartoz´ o mindk´et Hopf-f´ele k¨orrendszernek az u-n ´athalad´o tagj´at. A 4.8.7. Lemma szerint ez a k´et f˝ok¨or k¨ ul¨onb¨oz˝o, ´es a t´etel m´ar bebizony´ıtott ir´ anya szerint mindkett˝ o Clifford-p´arhuzamos S1 -gyel. Viszont 4.7.18 szerint u-n ´ at csak k´et darab S1 -gyel Clifford-p´arhuzamos f˝ok¨or l´etezik, emiatt L ezek egyike. Teh´ at az S1 -hez tartoz´o egyik Hopf-f´ele k¨orrendszer val´oban L-et is tartalmazza.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

146

Euklideszi geometria

Megjegyz´es. B´ ar S3 -ban a f˝ ok¨or¨ok Clifford-p´arhuzamos volta nem tranzit´ıv rel´ aci´ o, a 4.8.8. T´etel arra mutat r´a, hogy nem ´all messze att´ol, hogy ekvivalenciarel´ aci´ o legyen. Tekinthetn´enk ugyanis k¨ ul¨on-k¨ ul¨on a balr´ol Clifford” p´ arhuzamos” ´es a jobbr´ ol Clifford-p´arhuzamos” rel´aci´okat, amelyek akkor ” allnak f¨ ´ onn k´et f˝ ok¨ or k¨ oz¨ ott, ha bal oldali, illetve ha jobb oldali Hopf-f´ele k¨ orrendszer tartalmazza ˝ oket. Mindkett˝o ekvivalenciarel´aci´o, ´es 4.8.8 alapj´an a Clifford-p´ arhuzamoss´ ag ezek egyes´ıt´ese.

5. Inverz´ıv geometria Az euklideszi t´er g¨ ombjeivel kapcsolatban a hiperg¨ombre vonatkoz´o inverzi´ o tulajdons´ agaival, majd a M¨obius-transzform´aci´okkal ismerked¨ unk meg. Ennek el˝ ok´esz´ıt´esek´eppen g¨ omb¨ok k¨olcs¨on¨os helyzet´et, ´erintkez´es´et, sz¨og´et, valamint pontnak hiperg¨ ombre vonatkoz´o hatv´any´at tekintj¨ uk ´at.

5.1. G¨ omb¨ ok, hatv´ any ´ ıt´as kiterAz al´ abbi ´eszrev´etelt a felez˝ o mer˝oleges hipers´ıkr´ol sz´ol´o 4.3.12. All´ jeszt´es´enek tekinthetj¨ uk. ´ ıt´ 5.1.1. All´ as. Legyen d ≥ 1 ´es tegy¨ uk fel, hogy A0 , A1 , . . ., Ak ∈ E f¨ uggetlen pontok. Ekkor l´etezik olyan E-beli hiperg¨omb, amely ´athalad mindegyik Ai ponton. Az ilyen hiperg¨omb¨ok k¨oz´eppontjai egy az hA0 , A1 , . . . , Ak i affin alt´erhez k´epest ortogon´ alis komplementer ´all´as´ u (d − k)-dimenzi´os affin alteret alkotnak E-ben. Bizony´ıt´ as: Tekints¨ uk i = 1, . . . , k-ra az A0 , Ai pontp´arhoz tartoz´o Hi felez˝o mer˝ oleges hipers´ıkot. Valamely E-beli pont akkor ´es csak akkor k¨oz´eppontja egy az A0 , A1 , . . ., Ak pontok mindegyik´en ´athalad´o hiperg¨ombnek, ha egyenl˝ o t´ avol van ezekt˝ ol a pontokt´ol, azaz mindegyik Hi -hez hozz´atartozik. A pontrendszer f¨ uggetlens´ege miatt a Hi hipers´ıkok norm´alvektorai line´arisan Tk → − f¨ uggetlenek, ´ıgy az S = i=1 Hi alt´erre dim S = d − k. Az S -beli vektorok −−−→ mer˝ olegesek mindegyik A0 Ai vektorra, ez´ert S ´es hA0 , A1 , . . . , Ak i ortogon´alis komplementer affin alterek. Ha k = d, akkor a sz´ oban forg´o alt´er egyelem˝ u, ´ıgy speci´alis esetk´ent a szimplex k¨ or´e ´ırhat´ o hiperg¨ omb egy´ertelm˝ u l´etez´es´et kapjuk.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

5. Inverz´ıv geometria

147

5.1.2. Ko eny. B´ armely E-beli d-dimenzi´os szimplexnek egy´ertel¨vetkezm´ m˝ uen l´etezik k¨ or¨ ul´ırt hiperg¨ombje, azaz olyan E-beli hiperg¨omb, amely ´athalad a szimplex cs´ ucsain. 5.1.3. K¨ ovetkezm´ eny. Legyen 1 ≤ k ≤ d ´es legyen G ⊂ E valamely kdimenzi´ os affin alt´erben fekv˝o tetsz˝oleges (k − 1)-dimenzi´os g¨omb, tov´abb´a P ∈ E − hGi tetsz˝ oleges pont. Ekkor egy´ertelm˝ uen l´etezik olyan k-dimenzi´os e g¨ e ´es P ∈ G. e G omb, amelyre G ⊂ G Bizony´ıt´ as: Val´ oban, egy A0 , A1 , . . ., Ak ∈ G, Ak+1 = P f¨ uggetlen pontrende g¨omb a Pi (i = 0,1, . . . , k + 1) cs´ szert v´ alasztva a keresett G ucs´ u (k + 1)dimenzi´ os szimplex k¨ or¨ ul´ırt g¨ombje; az egy´ertelm˝ us´eg nyilv´anval´o. ´ ıt´ 5.1.4. All´ as (Hiperg¨ omb ´ es affin alt´ er k¨ olcs¨ on¨ os helyzete). Legyen d ≥ 2, G ⊂ E hiperg¨ omb P ∈ E k¨oz´epponttal ´es r sug´arral, S ⊂ E affin alt´er, melyre 1 ≤ dim S < d. Jel¨olje Q ∈ S a P pont ortogon´alis vet¨ ulet´et S-en, ´es legyen q = ρ(P, Q). Ekkor: – Ha q > r, akkor G ∩ S = ∅. – Ha q = r, akkor G ∩ S = {Q}. – Ha q < r, akkor G ∩ S a Q k¨oz´eppont´ u, g¨ omb.

p

r2 − q 2 sugar´ u S-beli hiper-

Bizony´ıt´ as: Azonnal ad´ odik a Pitagorasz-t´etelb˝ol ´es abb´ol, hogy q = ρ(P, S). ´ 5.1.5. Defin´ıci´ o (Erint˝ ohipers´ık). Az 5.1.4-beli q = r esetben azt mondjuk, hogy S ´erinti G-t a Q pontban. Nyilv´anval´o, hogy b´armely G ⊂ E hiperg¨ omb b´ armely A ∈ G pontj´ahoz egy´ertelm˝ uen tal´alhat´o olyan H ⊂ E hipers´ık, amely G-t az A pontban ´erinti, m´egpedig az A pontot tartalma−→ z´ o, P A norm´ alvektor´ u hipers´ık, ahol P a G hiperg¨omb k¨oz´eppontja. Ezt a hipers´ıkot a G hiperg¨ omb A-beli ´erint˝ohipers´ıkj´anak nevezz¨ uk ´es TA G-vel jel¨ olj¨ uk. Ha G alacsonyabb dimenzi´ oj´ u g¨omb E-ben ´es A ∈ G, akkor a TA G ´erint˝oalt´er a hGi affin alt´erre vonatkoz´ o hipers´ık. Ha p´eld´ aul az S affin alt´er az 5.1.4-beli harmadik esetnek megfelel˝oen (dim S− − 1 dimenzi´ os) g¨ omb¨ ot metsz ki a G hiperg¨ombb˝ol, akkor b´armely A ∈ S ∩ G eset´en TA (S ∩ G) = S ∩ TA G. 5.1.6. Defin´ıci´ o (Hiperg¨ omb¨ ok ´ erintkez´ ese). Legyen G1 ´es G2 ⊂ E k´et k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o hiperg¨ omb. Azt mondjuk, hogy G1 ´es G2 ´erintkeznek az A pontban, ha A ∈ G1 ∩G2 ´es TA G1 = TA G2 . Az ´erintkez´est k¨ uls˝o ´erintkez´esnek

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

148

Euklideszi geometria

h´ıvjuk (illetve azt mondjuk, hogy G1 ´es G2 k´ıv¨ ulr˝ol ´erintik egym´ast), ha G1 ´es G2 egyike sem tartalmazza a belsej´eben a m´asik k¨oz´eppontj´at. Az ellenkez˝ o esetben bels˝ o ´erintkez´esr˝ol besz´el¨ unk (azaz azt mondjuk, hogy G1 ´es G2 bel¨ ulr˝ ol ´erintik egym´ ast). ´ ıt´ 5.1.7. All´ as (K´ et hiperg¨ omb k¨ olcs¨ on¨ os helyzete). Legyenek d ≥ 2 mellett G1 ´es G2 hiperg¨ omb¨ok E-ben P1 , illetve P2 k¨oz´epponttal ´es r1 , illetve r2 sug´ arral, tov´ abb´ a jel¨ olje q a ρ(P1 , P2 ) t´avols´agot. Ekkor: – Ha q < |r1 − r2 |, akkor G1 ´es G2 k¨oz¨ ul az egyik a m´asikat a belsej´eben tartalmazza. – Ha 0 < q = |r1 − r2 |, akkor G1 ´es G2 bel¨ ulr˝ol ´erintkeznek. – Ha |r1 − r2 | < q < r1 + r2 , akkor G1 ∩ G2 egy a hP1 , P2 i egyenesre mer˝ oleges hipers´ıkban fekv˝o (d − 2)-dimenzi´os g¨omb. – Ha q = r1 + r2 , akkor G1 ´es G2 k´ıv¨ ulr˝ol ´erintkeznek. – Ha q > r1 + r2 , akkor G1 ´es G2 egym´as k¨ ulsej´eben fekszenek. Bizony´ıt´ as: Egyed¨ ul a harmadik (metsz˝o) esetbeli ´all´ıt´as ig´enyel indokl´ast, a t¨ obbi r¨ ogt¨ on k¨ ovetkezik a defin´ıci´okb´ol a h´aromsz¨og-egyenl˝otlens´eg haszn´alat´ aval. A harmadik ´ all´ıt´ as s´ıkbeli, k¨or¨okr˝ol sz´ol´o speci´alis esete (azaz amikor d = 2) j´ ol ismert az elemi geometri´ab´ol. Az ´altal´anos esetben vegy¨ uk ´eszre, hogy a G1 -b˝ ol ´es G2 -b˝ ol ´ all´ o rendszer invari´ans E ¨osszes olyan egybev´ag´os´ ag´ ara n´ezve, amely a P1 ´es a P2 pontot (k¨ovetkez´esk´eppen a teljes hP1 , P2 i egyenest pontonk´ent) helyben hagyja. Ezek az egybev´ag´os´agok egy O(d − − 1)-gyel izomorf csoportot alkotnak, ez´ert (a d = 2 esetben haszn´alatos tengelyes szimmetria”, illetve a d = 3 esetben haszn´alatos forg´asszimmet” ” ria” elnevez´es mint´ aj´ ara) hivatkozhatunk a G1 -b˝ol ´es G2 -b˝ol ´all´o rendszer O(d − 1)-szimmetri´ aj´ ara. V´ alasszunk ki egy tetsz˝oleges, hP1 , P2 i-t tartalmaz´ o 2-dimenzi´ os S affin alteret, az ottani (G1 ∩ S) ∩ (G2 ∩ S) halmazra az O(d − 1)-szimmetri´ at jelent˝ o transzform´aci´okat alkalmazva a k´epeik egyes´ıt´esek´ent megkapjuk a G1 ∩ G2 halmazt. Viszont (G1 ∩ S) ∩ (G2 ∩ S) k´et, a hP1 , P2 i egyenesre szimmetrikusan ´all´o pontb´ol ´all, ´ıgy G1 ∩ G2 val´oban a hP1 , P2 i egyenesre mer˝ oleges hipers´ıkban fekv˝o (d − 2)-dimenzi´os g¨omb. ´ ıt´ Megjegyz´es. Az 5.1.7. All´ asb´ol r¨ogt¨on k¨ovetkezik, hogy k´et k¨ ul¨onb¨oz˝o hiperg¨ omb akkor ´es csak akkor ´erintkezik, ha egyetlen k¨oz¨os pontjuk van. Ha hiperg¨ omb¨ ok helyett alacsonyabb dimenzi´oj´ u g¨omb¨ok is sz´oba ker¨ ulhetnek, akkor ez m´ ar nem lesz ´ıgy. Az ´erintkez´es fogalm´at alacsonyabb dimenzi´oj´ u g¨ omb¨ ok eset´ere is az 5.1.6. Defin´ıci´o mint´aj´ara ´ertelmezhetj¨ uk.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

5. Inverz´ıv geometria

149

5.1.8. Defin´ıci´ o (Alacsonyabb dimenzi´ oj´ u go erintkez´ ese). Le¨mbo ¨k ´ gyen 1 ≤ k ≤ d, ´es legyen G1 , G2 ⊂ E k´et k¨ ul¨onb¨oz˝o (k − 1)-dimenzi´os g¨omb. Azt mondjuk, hogy G1 ´es G2 ´erintkeznek az A ∈ E pontban, ha A ∈ G1 ∩ G2 ´es TA G1 = TA G2 . 5.1.9. Lemma. Az E-beli (k−1)-dimenzi´os G1 ´es G2 g¨omb¨ok pontosan akkor ´erintkeznek, ha G1 -nek ´es G2 -nek egyetlen k¨oz¨os pontja van, ´es l´etezik olyan E-beli k-dimenzi´ os affin alt´er vagy k-dimenzi´os g¨omb, amely tartalmazza mind G1 -et, mind G2 -t. Bizony´ıt´ as: Tegy¨ uk fel el˝ osz¨or, hogy G1 ´es G2 ´erintkezik az A pontban. Feltehetj¨ uk, hogy nincs olyan k-dimenzi´os affin alt´er, amely tartalmazza mindk´et g¨ omb¨ ot. Ekkor a hG1 i, hG2 i k-dimenzi´os affin alterek egy (k − 1)-dimenzi´os alt´erben (m´egpedig G1 ´es G2 k¨oz¨os ´erint˝ohipers´ıkj´aban, TA G1 = TA G2 -ben) metszik egym´ ast, ez´ert egy¨ utt egy (k +1)-dimenzi´os T alteret gener´alnak. Tekints¨ uk erre a T alt´erre vonatkoz´oan a TA G1 alt´ernek az A ponton ´athalad´o ´ ıtsunk mer˝oleges egyeneseket S ortogon´ alis kieg´esz´ıt˝ oj´et, ekkor dim S = 2. All´ a G1 ´es a G2 g¨ omb k¨ oz´eppontj´an ´at a hG1 i, illetve hG2 i alt´erre mint hipers´ıkra T -ben. Ezek az egyenesek nem p´arhuzamosak (mert hG1 i ´es hG2 i nem p´ arhuzamos hipers´ıkok T -ben), ´es S-ben fekszenek (mert egyr´eszt a k´et g¨omb k¨ oz´eppontja illeszkedik S-re, hiszen a k¨oz´eppontokb´ol A-ba mutat´o vektorok mer˝ olegesek TA G1 -re, m´ asr´eszt mert ir´anyvektoraik is mer˝olegesek TA G1 -re). A k´et egyenes teh´ at metszi egym´ast egy P ∈ T pontban. A T -beli, P k¨oz´eppont´ u, ρ(P, A) sugar´ u, k-dimenzi´os G g¨omb tartalmazza G1 -et is ´es G2 -t is. A k´et g¨ ombnek az A-n k´ıv¨ ul nincs k¨oz¨os pontja, mert G1 ∩ G2 = (hG1 i ∩ G) ∩ ∩ (hG2 i ∩ G) = (hG1 i ∩ hG2 i) ∩ G = (TA G1 ) ∩ G ⊆ (TA G) ∩ G = {A}. ´ ıt´ast k¨ovet˝o megjegyz´es f´eny´eA ford´ıtott ir´ any bizony´ıt´ as´ ahoz (az 5.1.7. All´ ben) ism´et feltehetj¨ uk, hogy G1 ´es G2 nem egy k-dimenzi´os affin alt´erben, hanem egy k-dimenzi´ os G g¨omb¨on fekszik. Legyen {A} = G1 ∩ G2 , azt kell megmutatnunk, hogy TA G1 = TA G2 . Legyen P a G, P1 a G1 , ´es P2 a G2 k¨ oz´eppontja, ekkor P , P1 ´es P2 nem kolline´aris pontok. Az S = hP, P1 , P2 i

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

150

Euklideszi geometria

affin s´ıkra vonatkoz´ o ortogon´alis szimmetria mindh´arom g¨omb¨ot o¨nmag´aba viszi, ez´ert A ∈ S. Mind G1 , mind G2 eset´eben elmondhat´o, hogy a TA Gi affin alt´er a hP, Pi , Ai alt´ernek, azaz S-nek az A-n ´atmen˝o, hGi-re vonatkoz´o ortogon´ alis kieg´esz´ıt˝ oje, ez´ert val´oban TA G1 = TA G2 . Megjegyz´es. Az 5.1.9. Lemma nyilv´anval´o m´odon ´erv´enyben marad akkor is, ha megengedj¨ uk, hogy G1 ´es G2 egyike g¨omb helyett ugyanolyan dimenzi´oj´ u affin alt´er legyen. Ilyenkor ´erintkez´esen persze azt kell ´erteni, hogy a sz´oban forg´ o affin alt´er a g¨ ombnek egy ´erint˝ohipers´ıkja (a g¨omb ´altal kifesz´ıtett affin alt´erben). 5.1.10. Defin´ıci´ o (K´ et hiperg¨ omb sz¨ oge, g¨ omb ´ es hiperg¨ omb mer˝ olegess´ ege). Tegy¨ uk fel, hogy d ≥ 2 ´es G1 , G2 hiperg¨omb¨ok E-ben, melyekre ´ G1 ∩ G2 6= ∅. Ertelmezz¨ uk G1 ´es G2 sz¨og´et, a ^(G1 , G2 ) ∈ [0, π/2] sz´amot mint az ´erint˝ ohipers´ıkok sz¨ og´et valamely k¨oz¨os pontban, azaz v´alasszunk egy tetsz˝ oleges A ∈ G1 ∩ G2 pontot ´es legyen ^(G1 , G2 ) = ^(TA G1 , TA G2 ). Ez a ^(TA G1 , TA G2 ) sz¨ og nem f¨ ugg az A k¨oz¨os pont speci´alis v´alaszt´as´at´ol, m´egpedig a k¨ oz´eppontokon ´ athalad´o egyenes k¨or¨ uli O(d − 1)-szimmetria miatt. Nyilv´ an ^(G1 , G2 ) = 0 pontosan akkor ´all, ha G1 ´es G2 ´erintkezik. Ha pedig ^(G1 , G2 ) = π/2, akkor G1 -et ´es G2 -t mer˝olegesnek mondjuk, ´es ezt a viszonyt a G1 ⊥ G2 jel¨ ol´essel fejezz¨ uk ki. A mer˝ olegess´eg defin´ıci´ oj´ at ki tudjuk terjeszteni arra az esetre, amikor a k´et g¨ omb k¨ oz¨ ul az egyiknek a dimenzi´oja (d − 1)-n´el alacsonyabb is lehet: miut´an affin alt´er ´es hipers´ık mer˝ olegess´ege ´ertelmezve van, ezt kell megk¨ovetelni az ´erint˝ ohipers´ıkokt´ ol a k¨ oz¨ os pontokban. 5.1.11. Defin´ıci´ o (K¨ or vagy egyenes, ´ es g¨ omb vagy affin alt´ er sz¨ oge). Ahogyan k´et affin alt´er sz¨ og´et ´ertelmezni tudjuk abban az esetben, amikor az egyik alt´er egydimenzi´ os, k´et k¨oz¨os ponttal b´ır´o g¨omb sz¨og´et is defini´alhatjuk olyankor, amikor egyik¨ uk egydimenzi´os, azaz k¨or. Ugyan´ıgy egyenes ´es g¨ omb, illetve k¨ or ´es affin alt´er sz¨oge is ´ertelmezhet˝o. Legyen K ⊂ E k¨or vagy egyenes, G ⊂ E pedig (k − 1)-dimenzi´os g¨omb vagy affin alt´er, melyekre 2 ≤ k ≤ d ´es K ∩ G 6= ∅. V´ alasszunk egy tetsz˝oleges A ∈ K ∩ G pontot ´es ´ertelmezz¨ uk a ^(K, G) sz¨ oget a ^(K, G) = ^(TA K, TA G) formul´aval, ahol TA K-n mag´ at K-t ´ertj¨ uk, ha K egyenes, illetve TA G-n G-t ´ertj¨ uk, ha G affin alt´er. Ha K-nak ´es G-nek egyn´el t¨obb k¨oz¨os pontja van ´es K * G, akkor pontosan k´et k¨ oz¨ os pont van ´es a K-b´ol ´es G-b˝ol ´all´o rendszer szimmetrikus a k´et pont felez˝ o mer˝ oleges hipers´ıkj´ara, emiatt a ^(TA K, TA G) sz¨og nem f¨ ugg az A k¨ oz¨ os pont speci´ alis v´alaszt´as´at´ol. 5.1.12. Defin´ıci´ o (Hatv´ any). Legyen G ⊂ E r¨ogz´ıtett, P k¨oz´eppont´ u, r sugar´ u hiperg¨ omb. A t´er valamely A ∈ E pontj´anak a G hiperg¨ombre vonatkoz´ o hatv´ any´ an a hG (A) = q 2 − r2 sz´amot ´ertj¨ uk, ahol q = ρ(P, A).

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

5. Inverz´ıv geometria

151

Nyilv´ an hG (A) = 0 pontosan akkor teljes¨ ul, ha A ∈ G. A hatv´any a G-hez k´epest bels˝ o pontokra negat´ıv, a k¨ uls˝okre pozit´ıv. ´ ıt´ 5.1.13. All´ as. Ha L ⊆ E tetsz˝oleges egyenes az A ponton ´at ´es L ∩ G = −−→ −−→ = {B1 , B2 }, akkor hG (A) = AB1 · AB2 . Bizony´ıt´ as: Legyen a Q pont a P k¨oz´eppont mer˝oleges vet¨ ulete az L egye−−→ −−→ nesen, ekkor 5.1.4-re hivatkozva QB1 + QB2 = 0 ´es ´ıgy a Pitagorasz-t´etellel −−→ −−→ −→ −−→
−→ −−→
AB1 · AB2 = Q)2 −ρ(Q, B1 )2 = ρ(A, Q)2 +
AQ+ QB21 · AQ− QB2
1 = ρ(A, 2 2 + ρ(P, Q) − ρ(P, Q) + ρ(Q, B1 ) = q − r2 . ´ ıt´as szerint egy k¨ Megjegyz´es. A B1 = B2 speci´alis esetben az 5.1.13. All´ uls˝o pont G-re vonatkoz´ o hatv´ anya a pontb´ol G-hez h´ uzott ´erint˝oszakasz hossz´anak a n´egyzet´evel egyenl˝ o. ´ ıt´ 5.1.14. All´ as. Legyenek G0 , G1 ⊂ E nem koncentrikus hiperg¨omb¨ok. Ekkor a H = { A ∈ E : hG0 (A) = hG1 (A) } halmaz egy a hiperg¨ omb¨ ok k¨oz´eppontj´at ¨osszek¨ot˝o egyenesre mer˝oleges hipers´ık. Bizony´ıt´ as: Szor´ıtkozzunk el˝osz¨or az L = hP0 , P1 i egyenesre, ahol Pi a Gi hiperg¨ omb k¨ oz´eppontja (i = 0,1). Haszn´aljuk L-ben a P0 , P1 pontok koordin´ at´ aira a p0 , illetve p1 jel¨ ol´est, legyen tov´abb´a G0 ´es G1 sugara r0 , illetve r1 . Egy L-beli x koordin´ at´ aj´ u pont akkor ´es csak akkor tartozik H-hoz, ha x-re fenn´ all az (x − p0 )2 − r02 = (x − p1 )2 − r12 , azaz a 2x(p1 − p0 ) = r02 − r12 + p21 − p20 egyenlet, amelynek p1 − p0 6= 0 miatt egy´ertelm˝ uen l´etezik megold´asa. Ezzel bel´ attuk, hogy a H ∩ L halmaz egyetlen pontb´ol ´all; jel¨olj¨ uk ezt a pontot B-vel.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

152

Euklideszi geometria

Ha most A ∈ E tetsz˝ oleges, jel¨olj¨ uk T -vel az A mer˝oleges vet¨ ulet´et az L egyenesen. Ekkor i = 0,1-re hGi (A)

= ρ(A, Pi )2 − ri2 = = ρ(A, T )2 + ρ(T, Pi )2 − ri2 = = ρ(A, T )2 + hGi (T )

mutatja, hogy A ∈ H pontosan akkor teljes¨ ul, amikor T ∈ H. Emiatt H azoknak az E-beli pontoknak a halmaza, amelyeknek a vet¨ ulete a B pont, ez pedig az L egyenesre B-ben ´all´ıtott mer˝oleges hipers´ık. 5.1.15. Defin´ıci´ o (Hatv´ anyhipers´ık). Ha G0 , G1 ⊂ E nem koncentrikus hiperg¨ omb¨ ok, akkor az 5.1.14-beli H hipers´ıkot G0 ´es G1 hatv´anyhipers´ıkj´ anak nevezz¨ uk. (A d = 2, illetve d = 3 esetben a hatv´anyvonal, illetve a hatv´ anys´ık elnevez´eseket haszn´aljuk H-ra.) Megjegyz´esek. (1) Ha G0 ´es G1 koncentrikus ´es k¨ ul¨onb¨oz˝o sugar´ u, akkor az 5.1.14-ben defini´ alt H halmaz u ¨res. (2) Ha a G0 ´es G1 k¨ ul¨ onb¨oz˝o hiperg¨omb¨ok ´erintkeznek, akkor hatv´anyhipers´ıkjuk az ´erinkez´esi pontban h´ uzott k¨oz¨os ´erint˝ohipers´ık. Ha G0 ´es G1 metsz˝ ok, akkor H = hG0 ∩ G1 i. A pont hiperg¨ ombre vonatkoz´o hatv´any´anak fogalm´at k´ezenfekv˝o m´odon lehet az olyan elfajul´ o” esetekre is kiterjeszteni, amikor a g¨omb z´erus sugar´ u”, ” ” azaz egyetlen pontb´ ol ´ all. Ilyenkor a hatv´anyhipers´ık a felez˝o mer˝oleges hi´ ıt´as pers´ıkk´ a specializ´ al´ odik. Ebben az ´ertelemben az al´abbi t´etel az 5.1.1. All´ altal´ ´ anos´ıt´ asa. 5.1.16. T´ etel. Legyenek G0 , G1 , . . ., Gk olyan E-beli hiperg¨omb¨ok, amelyek P0 , P1 , . . ., Pk k¨ oz´eppontjai f¨ uggetlen pontrendszert alkotnak E-ben. Ekkor az { A ∈ E : hG0 (A) = hG1 (A) = . . . = hGk (A) } halmaz (d − k)-dimenzi´ os affin alt´er, amely a hP0 , P1 , . . . , Pk i affin alt´erhez k´epest ortogon´ alis komplementer ´all´as´ u. ´ ıt´ Bizony´ıt´ as: Az 5.1.1. All´ as bizony´ıt´as´anak mint´aj´ara r¨ogt¨on k¨ovetkezik 5.1.14b˝ ol. A k¨ ovetkez˝ o t´etel g¨ omb¨ ok mer˝olegess´eg´et jellemzi hatv´anyok seg´ıts´eg´evel. ´ ıt´ 5.1.17. All´ as. Legyen d ≥ 2 ´es i = 1,2-re Gi ⊂ E hiperg¨omb, melynek k¨ oz´eppontja Pi , sugara ri . Ekkor az al´abbi ´all´ıt´asok ekvivalensek:

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

5. Inverz´ıv geometria

153

(i) G1 ⊥ G2 . (ii) ρ(P1 , P2 )2 = r12 + r22 . (iii) hG2 (P1 ) = r12 . (iv) hG1 (P2 ) = r22 . Bizony´ıt´ as: (i) ⇒ (ii): Tetsz˝ oleges A ∈ G1 ∩ G2 ponttal a P1 P2 A h´aromsz¨ognek A-n´ al der´eksz¨ oge van, ´ıgy a Pitagorasz-t´etel alkalmazhat´o. (ii) ⇒ (i): A felt´etelb˝ ol |r1 − r2 | < ρ(P1 , P2 ) < r1 + r2 k¨ovetkezik, ´ıgy az ´ ıt´ 5.1.7. All´ ast haszn´ alva v´ alaszthatunk egy A ∈ G1 ∩ G2 pontot ´es alkalmaz−−→ −−→ hatjuk a Pitagorasz-t´etel megford´ıt´as´at. Az AP1 ´es AP2 mer˝oleges vektorok a TA G1 ´es TA G2 ´erint˝ ohipers´ıkok norm´alvektorai, ez´ert G1 ⊥ G2 . A (ii), (iii) ´es (iv) ´ all´ıt´ asok egym´as k¨ozvetlen ´atfogalmaz´asai. 5.1.18. Defin´ıci´ o (Hiperg¨ omb norm´ alegyenlete). Legyen G ⊂ E hiperg¨ omb, P jel¨ olje a k¨ oz´eppontj´at, r a sugar´at. Ha E-ben adott egy tetsz˝oleges x : E → Rd Descartes-f´ele koordin´atarendszer, amelyn´el x(P ) = p, akkor G egyenlete erre a koordin´ atarendszerre n´ezve vektoros alakban (x − p)2 − r2 = = 0, illetve koordin´ at´ akkal kifejezve x21 + x22 + . . . + x2d + a1 x1 + a2 x2 + . . . + ad xd + b = 0 alak´ u alkalmas a1 , a2 , . . . , ad , b konstansokkal. Ennek az egyenletnek b´armely nemz´erus skal´ arszorosa szint´en G egyenlete. Ezek k¨oz¨ott azt, amely a fenti fel´ır´ asban szerepel, azaz amelyben a m´asodfok´ u tagok egy¨ utthat´oja 1, a G hiperg¨ omb norm´ alegyenlet´enek nevezz¨ uk. A norm´ alegyenlet vektoros alakj´aban r´aismer¨ unk a G-re vonatkoz´o hatv´anyra: tetsz˝ oleges A ∈ E pontra hG (A) = (x(A) − p)2 − r2 . Ennek alapj´an a G hiperg¨ omb norm´ alegyenlete ismeret´eben tetsz˝oleges pont G-re vonatkoz´o hatv´ anya k¨ onnyen meghat´ arozhat´o : csak be kell helyettes´ıteni a pont koordin´ at´ ait a norm´ alegyenlet bal oldal´aba. Ennek az ´eszrev´etelnek az alapj´an a hatv´ anyhipers´ık egyenlet´et tudjuk k¨onnyen el˝o´all´ıtani. ´ ıt´ 5.1.19. All´ as. K´et nem koncentrikus hiperg¨omb norm´alegyenlet´enek a k¨ ul¨ onbs´ege a hatv´ anyhipers´ık egyenlet´et adja. Bizony´ıt´ as: Val´ oban, ha G1 ´es G2 norm´alegyenlet´enek vektoros alakja (x − − p1 )2 − r12 = 0, illetve (x − p2 )2 − r22 = 0, akkor a fentiek alapj´an ezek k¨ ul¨ onbs´eg´et mint egyenletet egy A pont koordin´at´ai akkor ´es csak akkor el´eg´ıtik ki, ha hG1 (A) − hG2 (A) = 0.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

154

Euklideszi geometria

5.2. Inverzi´ o 5.2.1. Defin´ıci´ o (Inverzi´ o). Legyen d ≥ 1 ´es G ⊂ E r¨ogz´ıtett hiperg¨omb, melynek k¨ oz´eppontja P , sugara r. A G hiperg¨ombre vonatkoz´o inverzi´on azt a σG : E − {P } → E − {P } lek´epez´est ´ertj¨ uk, amelyn´el P -ben felvett orig´oval t¨ort´en˝o vektoriz´al´as ut´an minden x ∈ EP , x 6= 0 eset´en σG (x) =

r2 · x. kxk2

M´ as sz´ oval, valamely A 6= P pont inverze (azaz a G-re vonatkoz´o inverzi´on´al sz´ armaz´ o k´epe) a P kezd˝ opont´ u, A-n ´athalad´o f´elegyenesnek az az A0 pontja, 0 2 amelyre ρ(P, A) · ρ(P, A ) = r . A P pontot az inverzi´ o p´ olus´anak, a G g¨omb¨ot az inverzi´o alapg¨ombj´enek nevezz¨ uk. A tov´ abbiakban (5.2.10 -ig bez´ar´olag) r¨ogz´ıt¨ unk E-ben egy P k¨oz´eppont´ u, r sugar´ u G hiperg¨ omb¨ ot ´es a σG inverzi´o tulajdons´agait vizsg´aljuk. ´ ıt´ 5.2.2. All´ as (1) σG ◦ σG = idE−{P } . (2) Tetsz˝ oleges λ 6= 0-ra σG ◦ HP,λ = HP, 1/λ ◦ σG . Speci´alisan, σG felcser´elhet˝ o a P k¨ oz´eppont´ u szimmetri´aval. (3) G = Fix (σG ), azaz valamely A ∈ E, A 6= P pontra σG (A) = A pontosan akkor ´ all, ha A ∈ G. (4) Ha S ⊆ E affin alt´er ´es P ∈ S, akkor σG |S−{P } = σG∩S . (5) B´ armely G-t˝ ol k¨ ul¨ onb¨ oz˝o E-beli G0 hiperg¨ombre σG (G0 ) = G0 akkor ´es csak akkor ´erv´enyes, ha G0 ⊥ G. (6) Ha G1 ´es G2 k¨ oz¨ os P k¨oz´eppont´ u, r1 , illetve r2 sugar´ u E-beli hiperg¨ omb¨ ok, akkor σG2 ◦ σG1 = HP,(r2 /r1 )2 | E−{P } . Bizony´ıt´ as: (1), (2), (3) ´es (4) a defin´ıci´o k¨ozvetlen k¨ovetkezm´enyei. (5): A σG (G0 ) = G0 felt´etel 5.1.13 miatt azzal egyen´ert´ek˝ u, hogy hG0 (P ) = r2 , 0 ez pedig 5.1.17 miatt G ´es G mer˝olegess´eg´et jelenti.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

5. Inverz´ıv geometria

155

(6): A k¨ oz¨ os k¨ oz´epponttal mint orig´oval vektoriz´alva tetsz˝oleges x ∈ V , x 6=

2

 = 0 -ra (σG2 ◦ σG1 )(x) = r22 (r12 /kxk2 ) · x · (r12 /kxk2 ) · x = (r2 /r1 )2 · x . ´ ıt´ 5.2.3. All´ as (Hipers´ık inverze). Legyen H ⊂ E hipers´ık. Ha P ∈ H, akkor σG (H −{P }) = H −{P }, ha pedig P ∈ / H, akkor a σG (H)∪{P } halmaz P -n ´ athalad´ o hiperg¨ omb, amelynek a P -beli ´erint˝ohipers´ıkja p´arhuzamos Hval.

Bizony´ıt´ as: A P ∈ H esetben az ´all´ıt´as nyilv´anval´o. Tegy¨ uk fel, hogy P ∈ /H ´es legyen T a P pont mer˝ oleges vet¨ ulete H-n. A G-b˝ol ´es H-b´ol ´all´o rendszer hP, T i egyenes k¨ or¨ uli O(d − 1)-szimmetri´aja folyt´an az ´all´ıt´ast elegend˝ o a s´ıkbeli (d = 2) esetre igazolni. Tetsz˝oleges A ∈ H, A 6= T pontra ρ(P, A) · ρ(P, σG (A)) = r2 = ρ(P, T ) · ρ(P, σG (T )) miatt ρ(P, A)/ρ(P, T ) = = ρ(P, σG (T ))/ρ(P, σG (A)), amib˝ol a P -n´el k¨oz¨os sz¨oggel b´ır´o P AT ´es P σG (T ) σG (A) h´ aromsz¨ ogek hasonl´os´aga k¨ovetkezik. Ez´ert az ut´obbi h´aromsz¨ ogben a σG (A) cs´ ucsn´ al der´eksz¨og van, ´ıgy a σG (A) pont a [P, σG (T )] ´atm´er˝ oj˝ u Thal´esz-k¨ orre illeszkedik. Megford´ıtva, e k¨or b´armely P -t˝ol k¨ ul¨onb¨oz˝o B pontja nyilv´ an el˝ o´ all valamely H-beli pont (m´egpedig a hP, Bi egyenes ´es H metsz´espontja) inverzek´ent. V´eg¨ ul ennek a k¨ornek a P -beli ´erint˝oje mer˝oleges a hP, T i egyenesre, azaz p´ arhuzamos H-val. 5.2.4. K¨ ovetkezm´ eny (Affin alt´ er inverze). Legyen K ⊂ E affin alt´er. Ha P ∈ K, akkor σG (K −{P }) = K −{P }, ha pedig P ∈ / K, akkor a σG (K)∪ ∪ {P } halmaz P -n ´ athalad´ o dim K-dimenzi´os g¨omb, amelynek a P pontbeli ´erint˝ oaltere p´ arhuzamos K-val. Bizony´ıt´ as: A P ∈ K esetben az ´all´ıt´as nyilv´anval´o. Ha pedig P ∈ / K, akkor 5.2.2.(4) miatt szor´ıtkozhatunk az S = hK, P i affin alt´erre, amelyben a K ´ ıt´ast. hipers´ıkra alkalmazhatjuk az 5.2.3. All´ ´ ıt´ 5.2.5. All´ as (Hiperg¨ omb inverze). Legyen G0 ⊂ E g¨omb. Ha P ∈ G0 , 0 akkor a σG (G −{P }) halmaz hipers´ık, amely p´arhuzamos a TP G0 hipers´ıkkal, ha pedig P ∈ / G0 , akkor σG (G0 ) hiperg¨omb.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

156

Euklideszi geometria

Bizony´ıt´ as: A P ∈ G0 esetben az ´all´ıt´as nyilv´anval´o 5.2.2.(1)-re ´es 5.2.3-ra hivatkozva. Tegy¨ uk fel el˝ osz¨ or, hogy P a G0 p hiperg¨omb k¨ uls˝o pontja, ekkor hG0 (P ) > e 0 u g¨omb, ekkor 5.1.17 miatt > 0. Legyen G a P k¨ oz´eppont´ u, hG (P ) sugar´ e ´es ´ıgy 5.2.2.(5) miatt σ e (G0 ) = G0 . Ez´ert 5.2.2.(6)-ot felhaszn´alva G0 ⊥ G G
σG (G0 ) = σG σGe (G0 ) = HP,r2 /hG0 (P ) (G0 ) val´oban hiperg¨omb. e Ha pedig P bels˝ o pontja G0 -nek, akkor v´alasszuk G-nak a P k¨oz´eppont´ u, p 0 0 −hG (P ) sugar´ u hiperg¨ omb¨ot. A P -b˝ol G -h¨oz h´ uzott szel˝oszakaszok ele sugar´anak lent´etes ir´ any´ıt´ as´ uak ´es szorzatuk (abszol´ ut ´ert´ekben) ´eppen G 0 0 n´egyzete, ez´ert σGe (G ) = HP,−1 (G ). Ezut´an az el˝oz˝o esethez
hasonl´oan, de most 5.2.2.(2)-t is felhaszn´ alva σG (G0 ) = σG HP,−1 (σGe (G0 )) = (HP,−1 ◦σG ◦ ◦ σGe )(G0 ) = HP,r2 /hG0 (P ) (G0 ) hiperg¨omb. 5.2.6. K¨ ovetkezm´ eny (Alacsonyabb dimenzi´ oj´ u g¨ omb inverze). Legyen 1 ≤ k ≤ d ´es legyen G0 ⊂ E (k − 1)-dimenzi´os g¨omb. Ha P ∈ G0 , akkor a σG (G0 − {P }) halmaz (k − 1)-dimenzi´os, TP G0 -vel p´arhuzamos affin alt´er, ha pedig P ∈ / G0 , akkor σG (G0 ) szint´en (k − 1)-dimenzi´os g¨omb. Bizony´ıt´ as: A P ∈ hG0 i esetben az ´all´ıt´as 5.2.5-b˝ol nyilv´anval´o a hG0 i affin alt´erre szor´ıtkozva. AP ∈ / hG0 i esetben tekints¨ uk az 5.1.3. K¨ovetkezm´eny szerinti k-dimenzi´os, 0 e g¨omb¨ot, valamint egy tetsz˝oleges olyan G -t tartalmaz´ o ´es P -n is ´ athalad´o G e ∩ H, tov´abb´a H ⊂ E hipers´ıkot, amelyre G0 ⊂ H ´es P ∈ / H. Ekkor G0 = G e − {P }) halmaz k-dimenzi´os affin alt´er, a σG (H) ∪ {P } halmaz pedig a σG (G e − {P }) ∩ σG (H) hiperg¨ omb E-ben. Ez´ert 5.1.4-re hivatkozva σG (G0 ) = σG (G val´ oban (k − 1)-dimenzi´ os g¨ omb. Megjegyz´es. Az 5.2.3–5.2.6-ban megfogalmazott tulajdons´agokat egy¨ uttesen u ´gy szok´ as o u g¨omb¨ok vagy ¨sszefoglalni, hogy inverzi´on´al tetsz˝oleges dimenzi´oj´ affin alterek k´epe ugyanolyan dimenzi´oj´ u g¨omb vagy affin alt´er. Ez a sz´ohaszn´ alat kiss´e pontatlan amiatt, hogy nem t´er ki a p´olus hovatartoz´as´ab´ol ad´od´o sz¨ uks´egszer˝ u lesz˝ uk´ıt´esekre. Az 5.2. szakasz h´atralev˝o r´esz´eben ezt a pontatlans´ agot a g¨ ord¨ ul´ekenyebb fogalmaz´as ´erdek´eben eln´ezz¨ uk. Az 5.3. szakaszban l´ atni fogjuk, hogy a t´er u ´n. inverz´ıv b˝ov´ıt´ese u ´tj´an ez a megfogalmaz´as is pontoss´ a tehet˝ o. 5.2.7. T´ etel (Az inverzi´ o ´ erintkez´ estart´ asa). Legyenek G1 , G2 ⊂ E egyenl˝ o dimenzi´ oj´ u E-beli g¨omb¨ok, illetve egyik¨ uk affin alt´er is lehet. Ha G1 ´es G2 valamely P -t˝ ol k¨ ul¨onb¨oz˝o pontban ´erintkeznek, akkor a P p´olus´ u inverzi´ on´ al keletkez˝ o k´epeik is ´erintkeznek. Ha pedig G1 ´es G2 a p´olusban ´erintkeznek, akkor inverzeik p´arhuzamos affin alterek.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

5. Inverz´ıv geometria

157

Bizony´ıt´ as: Az ´erintkez´es 5.1.9-beli jellemz´es´eb˝ol (bele´ertve az azt k¨ovet˝o megjegyz´est is) 5.2.4 ´es 5.2.6 alkalmaz´as´aval ad´odik. 5.2.8. T´ etel (Az inverzi´ o sz¨ ogtart´ asa). Legyen d ≥ 2 ´es tegy¨ uk f¨ol, hogy G1 ´es G2 k´et olyan E-beli g¨omb vagy affin alt´er, amelyek sz¨og´et ´ertelmezt¨ uk. (Teh´ at vagy dim G1 = dim G2 = d − 1, vagy G1 ´es G2 k¨oz¨ ul az egyik 1-dimenzi´ os, a m´ asik legal´ abb 1-dimenzi´os, tov´abb´a ha G1 ´es G2 nem mindkett˝ o affin alt´er, akkor G1 ∩ G2 6= ∅.) Ekkor a G-re vonatkoz´o inverzi´on´al
^ σG (G1 ), σG (G2 ) = ^(G1 , G2 ). Bizony´ıt´ as: Tekints¨ uk el˝ osz¨ or azt az esetet, amikor G1 is ´es G2 is affin alt´er. Ekkor i = 1,2-re a (dim Gi −1)-dimenzi´os σG (Gi )∪{P } g¨ombnek a P p´olusban vett ´erint˝ ohipers´ıkja p´ arhuzamos Gi -vel, emiatt val´oban

^ σG (G1 ), σG (G2 ) = ^ TP (σG (G1 )∪{P }), TP (σG (G2 )∪{P }) = ^(G1 , G2 ) . Ha G1 ´es G2 nem mindkett˝ o affin alt´er, akkor valamely A ∈ G1 ∩ G2 kiszemel´ese ut´ an az 5.2.7. T´etel miatt G1 -et ´es G2 -t helyettes´ıthetj¨ uk a TA G1 , illetve TA G2 affin alterekkel ´es alkalmazhatjuk r´ajuk a t´etel m´ar tiszt´azott eset´et. ´Igy ^(G1 , G2 )

= ^(TA G1 , TA G2 ) =
= ^ σG (TA G1 ) ∪ {P }, σG (TA G2 ) ∪ {P } =
= ^ σG (G1 ), σG (G2 ) ,

ahol az utols´ o l´ep´esben ism´et az 5.2.7. T´etelre hivatkozunk. ´ ıt´ 5.2.9. All´ as. Legyen d ≥ 2 ´es A, B ∈ E k´et k¨ ul¨onb¨oz˝o pont. Az al´abbi all´ıt´ ´ asok ekvivalensek: (i) σG (A) = B. (ii) B´ armely A-n ´es B-n ´ athalad´o E-beli hiperg¨omb vagy hipers´ık mer˝olegesen metszi a G hiperg¨omb¨ot. (iii) B´ armely A-n ´es B-n ´ athalad´o E-beli g¨omb vagy affin alt´er mer˝olegesen metszi a G hiperg¨ omb¨ ot. (iv) B´ armely A-n ´es B-n ´ athalad´o E-beli k¨or vagy egyenes mer˝olegesen metszi G-t. Bizony´ıt´ as: (i) ⇒ (ii): Ha G0 hiperg¨omb ´es A, B ∈ G0 , akkor 5.1.17 alkalmaz´ as´ aval hG0 (P ) = ρ(P, A) · ρ(P, B) = r2 miatt G0 ⊥ G. Ha H hipers´ık ´es A, B ∈ H, akkor P ∈ H ´es ´ıgy H ⊥ G. (ii) ⇒ (iii): B´ armely g¨ omb, illetve affin alt´er el˝o´all az ˝ot tartalmaz´o hiperg¨ omb¨ ok, illetve hipers´ıkok metszetek´ent. Ha mindegyik metszend˝o mer˝oleges

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

158

Euklideszi geometria

G-re, akkor az affin alt´er ´es hipers´ık mer˝olegess´eg´enek defin´ıci´oj´ab´ol (4.3.7), amit g¨ omb¨ ok eset´eben a G-vel vett metsz´espontokban az ´erint˝ohipers´ıkokra alkalmazunk, k¨ ovetkezik, hogy a metszet is mer˝oleges G-re. A (iv) ´ all´ıt´ as (iii) speci´ alis esete. (iv) ⇒ (i): Miut´ an hA, Bi ⊥ G, a P p´olus illeszkedik az hA, Bi egyenesre. Tekints¨ unk az A ´es B pontokon ´at k´et k¨ ul¨onb¨oz˝o k¨ort. Ezek mindegyik´et 5.2.2.(4) ´es 5.2.2.(5) miatt a σG inverzi´o ¨onmag´ara k´epezi, ez´ert metszet¨ uket, azaz az {A, B} halmazt is. Az A ´es B pontok nem tartozhatnak G-hez, mert akkor tal´ alhat´ o volna rajtuk ´athalad´o, G-t nem mer˝olegesen metsz˝o (p´eld´aul G-ben fekv˝ o) k¨ or. Ez´ert A ´es B nem fixpontok, ´es ´ıgy σG felcser´eli ˝oket. ´ ıt´ Megjegyz´es. Az 5.2.9. All´ as nyilv´an ´erv´enyes a G hiperg¨omb helyett egy H hipers´ıkkal ´es a σG inverzi´ o helyett a σH t¨ ukr¨oz´essel is. 5.2.10. K¨ ovetkezm´ eny. Valamely inverzi´on´al egy a G hiperg¨ombre n´ezve inverz pontp´ ar a G hiperg¨ omb inverz k´ep´ere n´ezve inverz pontp´arba (illetve ha a k´ep hipers´ık, szimmetrikus pontp´arba) k´epez˝odik. M´as sz´oval, tetsz˝oleges σ inverzi´ ora σ ◦σG ◦σ = σσ(G) . Hasonl´ok´eppen egy a H hipers´ıkra szimmetrikus pontp´ ar k´epe inverzi´ oban ´ all (illetve szimmetrikus) H inverz´ere n´ezve, azaz σ ◦ σH ◦ σ = σσ(H) . Bizony´ıt´ as: Az inverzi´ oban a´ll´o pontp´arok 5.2.9-beli jellemz´es´eb˝ol (illetve az azt k¨ ovet˝ o, t¨ ukr¨ os pontp´ arokr´ol sz´ol´o megjegyz´esb˝ol) valamint az inverzi´o g¨ ombtart´ as´ ab´ ol ´es sz¨ ogtart´ as´ab´ol ad´odik. 5.2.11. Defin´ıci´ o (Sztereografikus vet´ıt´ es). Tegy¨ uk fel, hogy d ≥ 2, legyen G ⊂ E hiperg¨ omb, O ∈ G tetsz˝olegesen r¨ogz´ıtett pont, ´es H ⊂ E az a hipers´ık, amely az O-val ´atellenes pontban ´erinti a G hiperg¨omb¨ot. A G hiperg¨ ombnek az O pontb´ ol t¨ort´en˝o sztereografikus vet´ıt´es´en azt a v : G − {O} → H lek´epez´est ´ertj¨ uk, amelyre az O, A ´es v(A) pontok kolline´arisak minden A ∈ ∈ G, A 6= O-ra. Ez a k¨ ovetelm´eny egy´ertelm˝ uen defini´alja a v lek´epez´est, mert a v(A) pont sz¨ uks´egk´eppen az hO, Ai egyenes ´es a H hipers´ık metsz´espontja ; −→ ez a metsz´espont pedig l´etezik H k TO G miatt, hiszen az OA vektor line´arisan −−→ f¨ uggetlen a TO G hipers´ıkt´ ol. Az is nyilv´anval´o tov´abb´a, hogy a v lek´epez´es bijekt´ıv az O pontj´ at´ ol megfosztott G hiperg¨omb ´es a H hipers´ık k¨oz¨ott. Megjegyz´es. A sztereografikus vet´ıt´es a fentin´el kiss´e ´altal´anosabb k¨or¨ ulm´enyek k¨ oz¨ ott is ugyanilyen m´odon ´ertelmezhet˝o. Miut´an az O pontot r¨ogz´ıtett¨ uk, a H hipers´ık megad´ as´an´al csak az l´enyeges, hogy p´arhuzamos legyen az O-beli ´erint˝ ohipers´ıkkal ´es k¨ ul¨onb¨ozz¨on t˝ole, nem sz¨ uks´eges ahhoz ragaszkodni, hogy ´eppen az ´ atellenes pontbeli ´erint˝ohipers´ık legyen. A H hipers´ık

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

5. Inverz´ıv geometria

159

k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o helyzeteihez tartoz´o k´epek csak O k¨oz´eppont´ u homot´eci´aban t´ernek el. ´ ıt´ 5.2.12. All´ as. Az 5.2.11-beli sztereografikus vet´ıt´es megegyezik annak az inverzi´ onak a G − {O} halmazra val´o lesz˝ uk´ıt´es´evel, amelynek a p´olusa az O pont, alapg¨ ombj´enek sugara pedig egyenl˝o a G g¨omb ´atm´er˝oj´evel. Bizony´ıt´ as: Val´ oban, enn´el az inverzi´on´al a pontok O-b´ol indul´o f´elegyenesek ment´en mozdulnak el, ´es a G − {O} halmaz k´epe ´eppen H. 5.2.13. Ko eny. A sztereografikus vet´ıt´es a G-ben fekv˝o alacso¨vetkezm´ nyabb dimenzi´ oj´ u g¨ omb¨ oket ugyanakkora dimenzi´oj´ u g¨omb¨okbe vagy affin alterekbe viszi, tov´ abb´ a ezeknek az idomoknak a k¨or´eben ´erintkez´estart´o ´es sz¨ ogtart´ o. 5.2.14. Defin´ıci´ o (G¨ ombi tu oz´ es). Tegy¨ uk fel, hogy d ≥ 2 ´es r¨ogz´ıts¨ uk ¨ kr¨ a G ⊂ E hiperg¨ omb¨ ot. Legyen G0 ⊂ G hiperg¨omb a G-re vonatkoz´oan, azaz (d − 2)-dimenzi´ os g¨ omb. Defini´aljuk a G hiperg¨ombnek a G0 -re vonatkoz´o τG0 g¨ ombi t¨ ukr¨ oz´es´et, a τG0 : G → G lek´epez´est a k¨ovetkez˝o m´odon.

Tegy¨ uk f¨ ol el˝ osz¨ or, hogy G0 k¨oz´eppontja nem esik egybe G k¨oz´eppontj´aval. A k¨ oz´eppontok egyenes´ere vonatkoz´o O(d − 1)-szimmetri´ara ´es a k´etdimenzi´ os esetre hivatkozva vegy¨ uk ´eszre, hogy a G hiperg¨ombnek a G0 pontjaiban vett ´erint˝ ohipers´ıkjai mind ´ athaladnak egyetlen C ∈ E ponton. (Ezt a pontot, amely nyilv´ anval´ oan k¨ uls˝o pontja G-nek, nevezhetj¨ uk a G0 -h¨oz tartoz´o ´erint˝ ok´ up” cs´ ucs´ anak. Az innen G-hez h´ uzott ´erint˝oegyenesek mindannyian ”0 G valamely pontj´ aban ´erintik a G hiperg¨omb¨ot.) Tetsz˝oleges A ∈ G pontra legyen τG0 (A) ∈ G az a pont, amelyre hC, Ai∩G = {A, τG0 (A)}, azaz a hC, Ai egyenes m´ asik metsz´espontja G-vel (illetve ´erint´es eset´en maga A). 0 Ha G ´es G k¨ oz´eppontja egybeesik, akkor a hC, Ai egyenesek szerep´et a hG0 i hipers´ıkra mer˝ oleges egyenesek veszik ´at, azaz ilyenkor a τG0 lek´epez´est u ´gy ´ertelmezz¨ uk, mint a σhG0 i t¨ ukr¨oz´esnek a G hiperg¨ombre val´o megszor´ıt´as´at. ´ Eszrevehetj¨ uk, hogy a defin´ıci´o els˝o eset´eben is (amikor a k¨oz´eppontok nem esnek egybe) egy j´ ol ismert lek´epez´es G-re val´o megszor´ıt´as´ar´ol van sz´o : ann´al

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

160

Euklideszi geometria

az inverzi´ on´ al, amelynek C a p´olusa ´es amelynek az alapg¨ombje tartalmazza G0 -t (ilyen hiperg¨ omb 5.1.3 szerint egy´ertelm˝ uen l´etezik), a G hiperg¨omb o¨n´ mag´ ara k´epez˝ odik. Igy az inverzi´ora vonatkoz´o g¨ombtart´asi, ´erintkez´estart´asi ´es sz¨ ogtart´ asi ´ all´ıt´ asok a g¨ ombi t¨ ukr¨oz´esekre is ´erv´enyesek. Ez a t´eny r¨ogt¨on k¨ ovetkezik az al´ abbi t´etelb˝ ol is, amely azt mutatja meg, hogy sztereografikus vet´ıt´esn´el a g¨ ombi t¨ ukr¨ oz´esek inverzi´okba vagy t¨ ukr¨oz´esekbe mennek ´at. 5.2.15. T´ etel. Legyen v : G − {O} → H sztereografikus vet´ıt´es ´es G0 ⊂ G tetsz˝ oleges (d − 2)-dimenzi´ os g¨omb. Ekkor: – ha O ∈ G0 , akkor σv(G0 −{O}) = v ◦ (τG0 |G−{O} ) ◦ v −1 , – ha pedig O ∈ / G0 , akkor σv(G0 ) = v ◦ τG0 ◦ v −1 ´erv´enyes ott, ahol a k´et lek´epez´es ´ertelmezve van. ´ ıt´ast a H hiperBizony´ıt´ as: Tegy¨ uk fel el˝ osz¨ or, hogy d ≥ 3. Ekkor az 5.2.9. All´ s´ıkra alkalmazva ´es 5.2.13-ra hivatkozva el´eg azt ellen˝orizni, hogy A ∈ G − G0 eset´en b´ armely A-n ´es τG0 (A)-n ´atfektetett, G-ben fekv˝o k¨or mer˝oleges G0 -re. 0 Ha G ´es G k¨ oz´eppontja egybeesik, akkor ez nyilv´anval´o a hG0 i hipers´ıkra vonatkoz´ o szimmetri´ ab´ ol. Ha nem, akkor egy ilyen k¨or s´ıkja tartalmazza a G0 -h¨ oz tartoz´ o ´erint˝ ok´ up C cs´ ucs´at. A C-n ´es egy k¨oz¨os ponton ´atfektetett egyenes egyr´eszt mer˝ olegesen metszi G0 -t, m´asr´eszt ´erinti a k¨ort, emiatt a k¨or val´ oban mer˝ oleges G0 -re. e = E×R szorzatteret, ´all´ıtsuk G-re ´es G0 -re Ee Ha d = 2, akkor tekints¨ uk az E e ⊃ G, illetve ban az eggyel magasabb dimenzi´oj´ u, ugyanolyan k¨oz´eppont´ uG f0 ⊃ G0 g¨ G omb¨ oket, valamint vegy¨ uk az E-re mer˝oleges, azt H-ban metsz˝o e ⊂ E e hipers´ıkot. Ezekre a t´etel m´ar bizony´ıtott h´aromdimenzi´os eset´et H alkalmazva, majd a lek´epez´eseket E-re megszor´ıtva ad´odik az ´all´ıt´as. ´ Megjegyz´es. Erdemes meggondolni, hogy a t´etel O ∈ / G0 eset´eben a v◦τG0 ◦v −1 kompoz´ıci´ o mely pontban nincs ´ertelmezve. Nyilv´an ott, ahol v −1 -et, majd τG0 -t alkalmazva ´eppen az O pontba jutunk. Ez a pont teh´at csakis az hO, Ci egyenes ´es H metsz´espontja lehet (illetve k¨oz¨os k¨oz´eppont´ u G0 ´es G eset´en az 0 O-b´ ol a hG i hipers´ıkra ´ all´ıtott mer˝oleges egyenes ´es H metsz´espontja). Ezzel a t´etelnek azt a kieg´esz´ıt´es´et kaptuk, hogy sztereografikus vet´ıt´esn´el a g¨ombi t¨ ukr¨ oz´es olyan inverzi´ oba megy ´at, amelynek a p´olusa az ´erint˝ok´ up cs´ ucs´anak a vet¨ ulete. Ahhoz, hogy ez a meg´allap´ıt´as k¨oz¨os k¨oz´eppont´ u G0 ´es G eset´en is ´erv´enyes legyen, szeml´elet¨ unk azt sugallja, hogy ilyenkor ´erint˝ok´ upon a G-t G0 ment´en ´erint˝ o hengert ´erdemes ´erteni, amelynek a cs´ ucsa v´egtelen t´avol” ” van a hG0 i hipers´ıkra mer˝ oleges ir´anyban. Ennek a szeml´eletnek a projekt´ıv geometria fogalmai adnak majd pontos matematikai form´at.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

5. Inverz´ıv geometria

161

5.3. Az inverz´ıv csoport A kor´ abban vizsg´ alt transzform´aci´ot´ıpusokkal ellent´etben az inverzi´okat nem tudjuk minden tov´ abbi n´elk¨ ul kompon´alni egym´assal, hiszen nincsenek az eg´esz t´eren ´ertelmezve. Annak ´erdek´eben, hogy az inverzi´ok is egy transzform´ aci´ ocsoport elemei lehessenek, ezt a hi´anyoss´agot a t´er kib˝ov´ıt´ese u ´tj´an sz¨ untetj¨ uk meg. 5.3.1. Defin´ıci´ o (Inverz´ıv b˝ ov´ıt´ es). Haszn´aljuk a ∞ szimb´olumot egy olyan r¨ ogz´ıtett matematikai objektumnak a jel¨ol´es´ere, amely nem eleme egyetlen, ´ altalunk vizsg´ alt euklideszi t´ernek sem. A tov´abbiakban ∞-t v´egtelen ” t´ avoli” pontnak k´epzelj¨ uk ´es hozz´acsatoljuk az E euklideszi t´erhez. Az E + = = E ∪{∞} halmazt az E euklideszi t´er inverz´ıv b˝ov´ıt´es´enek (vagy egyszer˝ uen csak inverz´ıv t´ernek) nevezz¨ uk. Ha S ⊆ E affin alt´er, akkor (miut´an S maga is euklideszi t´er) automatikusan S + = S ∪ {∞} ⊆ E + . Az inverz´ıv kib˝ov´ıt´es ut´an teh´at a ∞ pont k¨oz¨os eleme az ¨ osszes E-beli (kib˝ ov´ıtett) affin alt´ernek. Meg´ allapodunk abban, hogy az f ∈ Sim (E) hasonl´os´agokat az f (∞) = ∞ szab´ allyal kiterjesztj¨ uk E + -ra. ´Igy p´eld´aul b´armely H ⊂ E hipers´ıkra a σH t¨ ukr¨ oz´esnek ∞ is fixpontja, ¨osszhangban azzal, hogy ∞ ∈ H + . V´eg¨ ul meg´ allapodunk abban is, hogy b´armely G ⊂ E hiperg¨omb eset´en a Gre vonatkoz´ o inverzi´ ot a σG (∞) = P , σG (P ) = ∞ szab´allyal σG : E + → E + lek´epez´ess´e terjesztj¨ uk ki, ahol P a G k¨oz´eppontja. Ez´altal az ¨osszes inverzi´o ugyanazt az E + teret k´epezi bijekt´ıven ¨onmag´ara. Ez a meg´allapod´as 5.2.12 alapj´ an egy´ uttal a sztereografikus vet´ıt´eseket is kiterjeszti olyan m´odon, hogy a vet´ıt´es k¨ oz´eppontj´ anak a vet¨ ulete a ∞ pont. K¨ onnyen v´egiggondolhat´ o, hogy az inverzi´o 5.2.2–5.2.10-ben t´argyalt tulajdons´ agai a kiterjeszt´es ut´ an is ´erv´enyben maradnak, s˝ot helyenk´ent egyszer˝ us¨ odnek, mert bizonyos esetsz´etv´alaszt´asok sz¨ uks´egtelenn´e v´alnak. P´eld´aul ´erdemes abban meg´ allapodni, hogy k´et p´arhuzamos E + -beli (kib˝ov´ıtett) affin alteret a ∞ pontban ´erintkez˝onek tekint¨ unk, ez´altal az inverzi´o mindenfajta kiv´etel n´elk¨ ul ´erintkez´estart´ ov´a v´alik. Megjegyz´es. L´ assuk el az E + halmazt azzal a topol´ogi´aval, amelyben E pontjainak k¨ ornyezetb´ azis´ at alkotj´ak a szok´asos E-beli k¨ornyezetek, a ∞ pont sz´ am´ ara pedig az E + − C alak´ u halmazok alkotnak k¨ornyezetb´azist, ahol C ⊆ E kompakt. (Az ´ıgy konstru´alt E + topologikus teret az E t´er egy” pontos kompaktifik´ aci´ o”-j´ anak szok´as nevezni.) Ezzel a topol´ogi´aval az E + inverz´ıv t´er az Sd g¨ ombbel homeomorf. Legyen ugyanis E hipers´ık egy eggyel e euklideszi t´erben (lehet p´eld´aul E e = E × R), ´es magasabb dimenzi´ oj´ u E

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

162

Euklideszi geometria

e alkalmas legyen v : G → E + sztereografikus vet´ıt´es E + -ra, ahol G ⊂ E hiperg¨ omb. K¨ onny˝ u meggondolni, hogy ekkor v homeomorfizmus. 5.3.2. Defin´ıci´ o (Mo aci´ ok, inverz´ıv csoport). Miut´an ¨bius-transzform´ az inverzi´ ok ´es a t¨ ukr¨ oz´esek is E + → E + bijekci´ok, tekinthetj¨ uk az ´altaluk gener´ alt M(E) r´eszcsoportot az o¨sszes E + → E + bijekci´o alkotta csoportban. Ennek a csoportnak az elemeit nevezz¨ uk E-beli (vagy, ha pontosabbak akarunk lenni, E + -beli) M¨ obius-transzform´aci´oknak. Mag´at az M(E) csoportot pedig E M¨ obius-csoportj´ anak vagy inverz´ıv csoportj´anak szok´as nevezni. Ha G tetsz˝ oleges (legal´ abb egydimenzi´os) g¨omb, akkor tekinthetj¨ uk a G-beli g¨ ombi t¨ ukr¨ oz´esek ´ altal gener´ alt M(G) r´eszcsoportot az ¨osszes G → G bijekci´o alkotta csoportban. Ez a G g¨omb M¨obius-csoportja, elemei a g¨ombi M¨obiustranszform´ aci´ ok G-n. Az egyszer˝ us´eg kedv´e´ert a tov´abbiakban a M¨obius-csoportbeli m˝ uveletet a kompoz´ıci´ o ◦ jele helyett szorz´assal (egym´as mell´e ´ır´assal) jel¨olj¨ uk. A M¨ obius-transzform´ aci´ okra nyilv´anval´o m´odon ´at¨or¨okl˝odnek a t¨ ukr¨oz´esek ´es az inverzi´ ok invarianciatulajdons´agai. Teh´at az E-beli M¨obius-transzform´aci´ ok b´ armely g¨ omb¨ ot vagy affin alteret ugyanolyan dimenzi´oj´ u g¨ombbe vagy affin alt´erbe k´epeznek, tov´ abb´a ezeknek az idomoknak a k¨or´eben ´erintkez´es´es sz¨ ogtart´ ok. Ugyan´ıgy egy G g¨omb M¨obius-transzform´aci´oi is g¨ombtart´ok, ´erintkez´estart´ ok ´es sz¨ ogtart´ ok. ´ ıt´ 5.3.3. All´ as. (1) B´ armely µ ∈ M(E) M¨ obius-transzform´aci´ora ´es b´armely G ⊂ E hiperg¨ ombre vagy hipers´ıkra µ σG µ−1 = σµ(G) . (2) B´ armely µ ∈ M(G) g¨ombi M¨obius-transzform´aci´ora ´es G0 ⊂ G eggyel kisebb dimenzi´ oj´ u g¨ ombre µ τG0 µ−1 = τµ(G0 ) . Bizony´ıt´ as: Az (1) ´ all´ıt´ as 5.2.10-b˝ol, (2) pedig (1)-b˝ol ´es 5.2.15-b˝ol ad´odik.

´ ıt´ 5.3.4. All´ as. Ha dim G = dim E ´es v : G → E + sztereografikus vet´ıt´es, akkor M(E) = v ◦ M(G) ◦ v −1 , speci´ alisan M(E) ´es M(G) izomorf csoportok. Bizony´ıt´ as: K¨ ozvetlen¨ ul k¨ ovetkezik az 5.2.15. t´etelb˝ol. 5.3.5. Defin´ıci´ o (Md ). B´ armely d ≥ 1 eset´en d-dimenzi´os M¨obius-csoportnak d nevezz¨ uk az M = M(Rd ) csoportot. Az el˝oz˝o ´all´ıt´as alapj´an Md ∼ = M(Sd ), d d+1 ahol S az R koordin´ atat´er egys´egg¨ombje.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

5. Inverz´ıv geometria

163

´ ıt´ 5.3.6. All´ as. Ha dim E ≥ 2, akkor azok az E-beli M¨obius-transzform´aci´ok, amelyek a ∞ pontot fixen tartj´ak, pontosan E hasonl´os´agi transzform´aci´oi, azaz Sim (E) = {µ ∈ M(E) : µ(∞) = ∞}. Bizony´ıt´ as: A ⊆ tartalmaz´ asi rel´aci´o bel´at´as´ahoz el˝o kell tudnunk ´all´ıtani minden hasonl´ os´ agi transzform´aci´ot t¨ ukr¨oz´esek vagy inverzi´ok kompoz´ıci´ojak´ent. Tudjuk, hogy b´ armely hasonl´os´ag el˝o´all egy izometria ´es egy pozit´ıv ar´ any´ u homot´ecia egym´ asut´ anjak´ent. Az izometri´ak val´oban el˝o´allnak t¨ ukr¨oz´esek kompoz´ıci´ ojak´ent (l. 4.3.15), a pozit´ıv homot´eci´ak pedig 5.2.2.(6) alapj´ an k´et inverzi´ o kompoz´ıci´ ojak´ent ´all´ıthat´ok el˝o. A ford´ıtott ir´ any´ u ⊇ tartalmaz´ashoz csak a 4.6.12. T´etelt kell felid´ezni, amely szerint az euklideszi t´er hiperg¨ombtart´o bijekci´oi hasonl´os´agok. Megjegyz´es. A fenti bizony´ıt´as utols´o l´ep´es´eben kihaszn´altuk a dim E ≥ 2 ´ ıt´ felt´etelt. Az 5.3.6. All´ as azonban igaz a dim E = 1 esetben is. Ezt legegyszer˝ ubben az al´ abb t´ argyaland´ o Poincar´e-f´ele kiterjeszt´es seg´ıts´eg´evel l´athatjuk be, l. 5.3.10. 5.3.7. T´ etel. B´ armely legal´ abb 2-dimenzi´os G g¨ombre ´es f : G → G bijekci´ ora az al´ abbi felt´etelek egyen´ert´ek˝ uek: (i) f ∈ M(G). (ii) B´ armely 1 ≤ k ≤ dim G − 1 mellett az f lek´epez´es a G-ben fekv˝o k-dimenzi´ os g¨ omb¨ oket k-dimenzi´os g¨omb¨okbe k´epezi. (iii) B´ armely G-ben fekv˝ o k¨or f -n´el sz´armaz´o k´epe is k¨or. Bizony´ıt´ as: Az (i) ⇒ (ii) ⇒ (iii) implik´aci´ok nyilv´anval´ok. A (iii) ⇒ (i) ir´ any igazol´ asa c´elj´ab´ol tegy¨ uk fel, hogy f k¨ortart´o bijekci´o. Feltehetj¨ uk, hogy f -nek van fixpontja. Ha ugyanis nincs, akkor egy tetsz˝oleges A ∈ G pontot kiszemelve v´ alaszthatunk olyan τ g¨ombi t¨ ukr¨oz´est, amelyre τ (A) = f (A), ekkor a τ ◦ f kompoz´ıci´onak m´ar van fixpontja (az A pont), ´es ha τ ◦ f -r˝ ol tudjuk, hogy M(G)-beli, akkor τ ∈ M(G) miatt ez f -re is k¨ ovetkezik. V´ alasszuk f fixpontj´ at valamely v : G → H + sztereografikus vet´ıt´es p´olus´anak, ´es tekints¨ uk a g = v◦f ◦v −1 : H + → H + lek´epez´est. Nyilv´an g(∞) = ∞, ´es a (iii) feltev´es, valamint v k¨ortart´asa miatt g|H k¨ortart´o bijekci´o. Ez´ert ´ ıt´as alkalmaz´as´aval g|H a H hasonl´ os´ agi transzform´aci´oja, ´ıgy az 5.3.6. All´ g ∈ M(H). Ekkor viszont 5.3.4. miatt f ∈ M(G). Megjegyz´es. Az 5.3.7. T´etelt g¨omb helyett nyilv´an az euklideszi t´er M¨obiustranszform´ aci´ oira vonatkoz´ oan is ki lehet mondani, csak a megfogalmaz´as

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

164

Euklideszi geometria

kiss´e k¨ or¨ ulm´enyesebb, mert p´eld´aul a k¨ortart´as hely´ebe l´ep˝o felt´etelben k¨or¨ okr˝ ol ´es egyenesekr˝ ol kell egyszerre besz´elni. 5.3.8. Lemma. Tegy¨ uk fel, hogy dim E ≥ 2 ´es a µ ∈ M(E) M¨obiustranszform´ aci´ o pontonk´ent fixen hagyja a G ⊂ E hiperg¨omb¨ot vagy hipers´ıkot. Ekkor vagy µ = idE + , vagy µ = σG . Bizony´ıt´ as: Tegy¨ uk f¨ ol el˝ osz¨ or, hogy G hipers´ık. Ekkor µ(∞) = ∞, ez´ert 5.3.6 miatt µ ∈ Sim (E). Miut´ an dim E ≥ 2, a G hipers´ıknak egyn´el t¨obb pontja van, azaz a µ hasonl´ os´ agnak egyn´el t¨obb fixpontja van E-ben. Ez csak u ´gy lehet, hogy µ izometria. Ha az euklideszi t´er egy izometri´aja egy hipers´ıkon identikus, akkor ez az izometria vagy az identit´as, vagy t¨ ukr¨oz´es. Ha G hiperg¨ omb, akkor alkalmazzunk egy O ∈ G p´olus k¨or¨ uli tetsz˝oleges hiperg¨ ombre vonatkoz´ o σ inverzi´ot. Ekkor σ(G) hipers´ık, ´es a σ µ σ ∈ M(E) M¨ obius-transzform´ aci´ o pontonk´ent fixen hagyja σ(G)-t. Ez´ert a hipers´ık eset´ere m´ ar bel´ atott ´ all´ıt´ as szerint vagy σ µ σ = idE + , vagy pedig σ µ σ = σσ(G) . Az els˝ o esetben ´ atszorz´ assal µ = idE + ad´odik, a m´asodik esetben pedig 5.3.3.(1) felhaszn´ al´ as´ aval µ = σG -t kapjuk. Megjegyz´es. Az 5.3.8. Lemm´aban a dim E ≥ 2 felt´etel nem hagyhat´o el: az egydimenzi´ os geometri´ aban p´eld´aul egy r¨ogz´ıtett k¨oz´epponttal vett ¨osszes homot´ecia fixen tart egy hipers´ıkot. 5.3.9. Defin´ıci´ o (Poincar´ e-kiterjeszt´ es). Tegy¨ uk f¨ol, hogy dim E ≥ 2 ´es : M(H) → M(E) homomorfizmust legyen H ⊂ E hipers´ık. Defini´aljuk a pE H e azt a k¨ ovetkez˝ ok´eppen. Ha G ⊂ H hiperg¨omb vagy hipers´ık H-ban, jel¨olje G e az E-beli hiperg¨ omb¨ ot, illetve hipers´ıkot, amely H-ra mer˝oleges ´es G∩H = G. e k¨oz´eppontja ´es sugara azonos G-´evel.) Ha (Teh´ at ha G hiperg¨ omb, akkor G most µ ∈ M(H), µ = σGk σGk−1 . . . σG1 tetsz˝oleges M¨obius-transzform´aci´o H-ban, akkor legyen pE ek−1 . . . σG e1 ∈ M(E) . e k σG H (µ) = σG Ellen˝ orizni kell, hogy pE odon defini´alt lek´epez´es, azaz ha µ-t k´etH korrekt m´ f´elek´eppen ´ all´ıtjuk el˝ o inverzi´ok ´es t¨ ukr¨oz´esek kompoz´ıci´ojak´ent, akkor a k´et esetben a fenti formula ugyanazt az E-beli M¨obius-transzform´aci´ot ´all´ıtja el˝o. Legyen µ = σGk . . . σG1 = σG0l . . . σG01 a k´etf´ele szorzatel˝ o´ all´ıt´ as, ´ atszorz´as ut´an azt kell ellen˝orizni, hogy a σG ek . . . σG e1 f0 1 . . . σG f0 l σG kompoz´ıci´ o identikus. Ez olyan E-beli M¨obius-transzform´aci´o, amely a H hipers´ıkot pontonk´ent fixen hagyja (hiszen H-n a µ−1 µ kompoz´ıci´oval egyenl˝o),

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

5. Inverz´ıv geometria

165

valamint nem cser´eli fel a H szerinti k´et f´elteret. ´Igy 5.3.8 miatt csak idE + lehet. A defin´ıci´ ob´ ol mag´ at´ ol ´ertet˝ odik, hogy a pE epez´es injekt´ıv homomorfizH lek´ mus az M(H) csoportb´ ol az M(E) csoportba. Hasonl´ o m´ odon ´ertelmezhet˝ o a pE e-kiterjeszt´es G : M(G) → M(E) Poincar´ 0 0 akkor is, ha G ⊂ E hiperg¨ omb, illetve pG : M(G) → M(G ) akkor, ha G 0 0 G ⊂ G g¨ omb¨ ok, dim G = dim G + 1. Az R ⊂ . . . ⊂ Rd ⊂ Rd+1 ⊂ . . . be´agyaz´asokhoz tartoz´o Poincar´e-kiterjeszt´esek injekt´ıv homomorfizmusok v´egtelen sorozat´at adj´ak : M1

pR R

2

d+1

/ M2

/

...

/ Md

pR Rd

/ Md+1

/

...

´ ıt´as dim E = 1 eset´en is igaz : az euklideszi egye´ ıt´ 5.3.10. All´ as. Az 5.3.6. All´ nes hasonl´ os´ agai pontosan a ∞ pontot fixen tart´o M¨obius-transzform´aci´ok. Bizony´ıt´ as: Csak azt kell bel´ atnunk, hogy az egyenesen azok a M¨obius-transzform´ aci´ ok, amelyek a ∞ pontot fixen tartj´ak, hasonl´os´agok. A ford´ıtott ir´anyban ugyanis az 5.3.6-beli okoskod´as az egyenes eset´ere is ´erv´enyes. Alkalmazzuk a Poincar´e-kiterjeszt´est egy ilyen M¨obius-transzform´aci´ora, majd a ´ ıt´as s´ıkra vonatkoz´o kiterjesztett transzform´ aci´ ora alkalmazzuk az 5.3.6. All´ eset´et. 5.3.11. T´ etel. (1) Az M(E) csoport b´ armely eleme el˝o´all´ıthat´o legfeljebb d + 2 darab inverzi´ o vagy t¨ ukr¨ oz´es kompoz´ıci´ojak´ent. (2) Ha G tetsz˝ oleges d-dimenzi´os g¨omb, akkor M(G) b´armely eleme el˝o´all´ıthat´ o legfeljebb d + 2 g¨ombi t¨ ukr¨oz´es kompoz´ıci´ojak´ent. Bizony´ıt´ as: A k´et ´ all´ıt´ as tartalma az 5.2.15. T´etel alapj´an egyen´ert´ek˝ u, ´ıgy elegend˝ o (1)-et bizony´ıtani. Legyen µ ∈ M(E) tetsz˝oleges. K´et esetet k¨ ul¨onb¨ oztet¨ unk meg aszerint, hogy µ-nek fixpontja-e a ∞ pont, vagy sem. 1. eset: µ(∞) = ∞. Ekkor 5.3.6 alapj´ an µ hasonl´os´agi transzform´aci´o E-ben. Ha µ izometria, akkor el˝ o´ all legfeljebb d + 1 t¨ ukr¨oz´es szorzatak´ent ´es ´ıgy k´eszen vagyunk. Ha µ ar´ anya az 1-t˝ ol k¨ ul¨ onb¨oz˝o λ sz´am, akkor µ-nek van egy P fixpontja E-ben is. Alkalmas P k¨ or¨ uli G1 ´es G2 hiperg¨omb¨okkel σG2 σG1 = HP,1/λ (l. 5.2.2.(6)), ´ıgy σG2 σG1 µ izometria. Ennek az izometri´anak P fixpontja, ez´ert el˝ o´ all´ıthat´ o legfeljebb d darab t¨ ukr¨oz´es szorzatak´ent. Emiatt µ el˝o´all legfeljebb d t¨ ukr¨ oz´es ´es k´et inverzi´o szorzatak´ent. 2. eset: µ(∞) = P 6= ∞.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

166

Euklideszi geometria

Ha most G tetsz˝ oleges P k¨oz´eppont´ u hiperg¨omb E-ben, akkor ∞ fixpontja ´ ıtjuk, a σG µ M¨ obius-transzform´ aci´onak, ´ıgy 5.3.6 miatt σG µ ∈ Sim (E). All´ hogy G sugar´ at meg tudjuk u ´gy v´alasztani, hogy σG µ izometria legyen. Val´ oban, G helyett egy vele koncentrikus G0 hiperg¨omb¨ot v´alasztva σG0 µ = (σG0 σG ) (σG µ), ´es itt a σG0 σG homot´ecia ar´anya 5.2.2.(6) alapj´an tetsz˝oleges pozit´ıv sz´am lehet; v´ alasszuk G0 -t u ´gy, hogy ez az ar´any a σG µ hasonl´os´ag ar´any´anak a reciproka legyen. Feltehet˝ o teh´at, hogy σG µ izometria, ez´ert el˝o´all legfeljebb d+1 t¨ ukr¨ oz´es szorzatak´ent, innen ´atszorz´assal µ el˝o´all legfeljebb d+1 t¨ ukr¨oz´es ´es egy inverzi´ o szorzatak´ent. A szakasz h´ atralev˝ o r´esz´eben defini´alni szeretn´enk az ir´any´ıt´astart´as, illetve ir´ any´ıt´ asv´ alt´ as fogalm´ at a M¨obius-transzform´aci´ok k¨or´eben. Bizonyos t´ıpus´ u M¨ obius-transzform´ aci´ ok eset´ere, m´egpedig a hasonl´os´agokra, az ir´any´ıt´astart´ as m´ ar ´ertelmezve van az affinit´asok k¨or´eben. Term´eszetesen u ´gy k´ıv´anjuk az M(E) csoport elemei k¨ oz¨ ul az ir´any´ıt´astart´okat kijel¨olni, hogy a hasonl´os´ agok k¨ oz¨ ott pontosan azok legyenek ir´any´ıt´astart´o M¨obius-transzform´aci´ok, amelyek mint affinit´ asok ir´ any´ıt´astart´ok. 5.3.12. Defin´ıci´ o (Ir´ any´ıt´ astart´ as, -v´ alt´ as). Azt mondjuk, hogy a µ ∈ ∈ M(E) M¨ obius-transzform´ aci´o ir´any´ıt´astart´o, ha el˝o´all´ıthat´o p´aros sok olyan M(E)-beli elem szorzatak´ent, amelyek mindegyike inverzi´o vagy t¨ ukr¨oz´es. Ir´ any´ıt´ asv´ alt´ onak nevezz¨ uk µ-t, ha p´aratlan sok t´enyez˝ob˝ol ´all´o kompoz´ıci´ok´ent fejezhet˝ o ki inverzi´ okkal ´es t¨ ukr¨oz´esekkel. Azt v´ arjuk term´eszetesen, hogy egy M¨obius-transzform´aci´o ne lehessen egyszerre ir´ any´ıt´ astart´ o ´es ir´ any´ıt´asv´alt´o, azaz ne lehessen ugyanazt az M(E)beli elemet p´ aros hossz´ us´ ag´ u szorzatk´ent is ´es p´aratlan hossz´ us´ag´ u szorzatk´ent is el˝ o´ all´ıtani inverzi´ okb´ ol ´es t¨ ukr¨oz´esekb˝ol. Ehhez arra van sz¨ uks´eg, hogy p´ aratlan sok inverzi´ o ´es t¨ ukr¨ oz´es szorzata ne lehessen identikus ; ezt bizony´ıtjuk be al´ abb az 5.3.13. Lemm´aban. Ha G g¨ omb, akkor hasonl´ o m´odon µ ∈ M(G)-t ir´any´ıt´astart´onak mondjuk, ha p´ aros sok, ir´ any´ıt´ asv´ alt´ onak, ha p´aratlan sok g¨ombi t¨ ukr¨oz´es kompoz´ıciojak´ent ´ ´ all el˝ o. Az 5.3.4-beli M(E) → M(G), µ 7→ v ◦ µ ◦ v −1 izomorfizmus ir´ any´ıt´ astart´ o M¨ obius-transzform´aci´oknak ir´any´ıt´astart´okat feleltet meg. 5.3.13. Lemma. Ha k darab E-beli inverzi´o vagy t¨ ukr¨oz´es kompoz´ıci´oja hasonl´ os´ ag, akkor ez a hasonl´os´ag ir´any´ıt´astart´o, ha k p´aros, ´es ir´any´ıt´asv´alt´ o, ha k p´ aratlan. Speci´ alisan, ak´arhogyan ´all´ıtjuk is el˝o idE + -t inverzi´ok ´es t¨ ukr¨ oz´esek szorzatak´ent, akkor ebben a szorzatban a t´enyez˝ok sz´ama p´aros. Bizony´ıt´ as: El˝ osz¨ or a k ≤ 3 esetekben ellen˝orizz¨ uk a lemma ´all´ıt´as´at, majd k szerinti teljes indukci´ ot alkalmazunk.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

5. Inverz´ıv geometria

167

A k = 1 esetben csak t¨ ukr¨ oz´esr˝ol lehet sz´o, ami val´oban ir´any´ıt´asv´alt´o. Ha k = 2, akkor a kompoz´ıci´ o csak u ´gy lehet hasonl´os´ag, azaz a ∞ pont csak u ´gy maradhat helyben, ha vagy mindk´et transzform´aci´o helyben hagyja ∞t, vagy pedig az els˝ o transzform´aci´o valamely P ∈ E pontba k´epezi ∞-t ´es a m´ asodik visszaviszi P -t ∞-be. Az els˝o esetben k´et t¨ ukr¨oz´esr˝ol van sz´o, amelyek szorzata ir´ any´ıt´ astart´o egybev´ag´os´ag, a m´asodik esetben pedig k´et P k¨ oz´eppont´ u k¨ orre vonatkoz´ o inverzi´o szerepel a kompoz´ıci´oban, ami 5.2.2(6) alapj´ an pozit´ıv homot´ecia ´es ´ıgy ir´any´ıt´astart´o. Legyen most k = 3. Tekints¨ uk a µ = σG3 σG2 σG1 ∈ M(E) szorzatot, ahol G1 , G2 , G3 hiperg¨ omb¨ ok vagy hipers´ıkok E-ben, ´es tegy¨ uk fel, hogy µ ∈ ∈ Sim (E), azaz µ(∞) = ∞. Ak´ar G1 , ak´ar G3 hipers´ık, alkalmazhatjuk a k = 2 esetet a m´ asik kett˝ o alkotta kompoz´ıci´ora, ez´ert feltehetj¨ uk, hogy G1 is ´es G3 is hiperg¨ omb. Jel¨ olje P1 , illetve P3 a k¨oz´eppontjaikat, ekkor σG1 (∞) = = P1 , σG3 (P3 ) = ∞, ´es ez´ert σG2 (P1 ) = P3 . Ha ak´ar G1 , ak´ar G3 sugar´at megv´ altoztatjuk, akkor ez´ altal µ egy-egy pozit´ıv homot´eci´aval kompon´al´odik (jobbr´ ol, illetve balr´ ol), ami µ ir´any´ıt´astart´o, illetve -v´alt´o volt´at nem v´ altoztatja meg. Ha most P1 = P3 , akkor egyr´eszt σG2 (P1 ) = P3 miatt ez a pont illeszkedik G2 re, m´ asr´eszt a sugarak megv´alaszt´as´aval el´erhetj¨ uk, hogy G1 = G3 legyen. Ekkor 5.2.10 miatt µ = σG1 σG2 σG1 = σσG1 (G2 ) , ami t¨ ukr¨oz´es a σG1 (G2 ) hipers´ıkra, azaz val´ oban ir´ any´ıt´asv´alt´o.

Ha P1 6= P3 , akkor G2 vagy a [P1 , P2 ] szakasz felez˝o mer˝oleges hipers´ıkja, vagy pedig olyan g¨ omb, amelynek a k¨oz´eppontja kolline´aris P1 -gyel ´es P2 -vel. Mindk´et esetben G1 ´es G3 sugar´at alkalmasan megv´altoztatva el´erhetj¨ uk, hogy G1 , G2 ´es G3 egy k¨ oz¨os P pontban ´erintkezzen. V´alasszunk egy P k¨ oz´eppont´ u (egy´ebk´ent tetsz˝oleges) G hiperg¨omb¨ot, ´es tekints¨ uk a σG µ σG kompoz´ıci´ ot: σG µ σG = (σG σG3 σG )(σG σG2 σG )(σG σG1 σG ) = σσG (G3 ) σσG (G2 ) σσG (G1 ) . Itt mindegyik σG (Gi ) hipers´ık, m´egpedig a G1 , G2 ´es G3 k¨oz¨os P -beli ´erint˝ ohipers´ıkj´ aval p´ arhuzamos hipers´ıkok. Ez´ert σG µ σG h´arom p´arhuzamos hipers´ıkra vonatkoz´ o t¨ ukr¨ oz´es szorzata, azaz σG µ σG = σH valamilyen H hipers´ıkkal. Innen µ = σG σH σG = σσG (H) k¨ovetkezik, azaz µ maga is t¨ ukr¨oz´es

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

168

Euklideszi geometria

vagy inverzi´ o. Miut´ an µ hasonl´os´ag, csak t¨ ukr¨oz´es lehet, ´es ´ıgy ir´any´ıt´asv´alt´o. Ezzel a lemm´ at bel´ attuk a k = 3 esetben is. Legyen v´eg¨ ul k ≥ 4 ´es tegy¨ uk f¨ol, hogy k-n´al kevesebb t´enyez˝ob˝ol ´all´o kompoz´ıci´ okra a lemma ´ all´ıt´ asa igaz. Tekints¨ unk egy k-t´enyez˝os µ = σGk . . . σG1 szorzatot, amelyre µ ∈ Sim (E). Bontsuk sz´et a szorzatot k´et t´enyez˝ore ilyen m´ odon: µ = (σGk σGk−1 ) (σGk−2 . . . σG1 ) . Feltehetj¨ uk, hogy a k´et t´enyez˝o nem hasonl´os´ag, mert akkor az indukci´os feltev´es alapj´ an k´eszen lenn´enk. ´Igy a σk−2 . . . σG1 t´enyez˝o ∞-t egy P ∈ E pontba viszi. V´ alasszunk egy P k¨oz´eppont´ u G g¨omb¨ot, ezzel µ = (σGk σGk−1 σG ) (σG σGk−2 . . . σG1 ) . Itt mindk´et t´enyez˝ o ∞-t ∞-be viszi, azaz hasonl´os´ag. Az indukci´os feltev´es szerint a σG σGk−2 . . . σG1 t´enyez˝o pontosan akkor ir´any´ıt´astart´o, ha k p´ aratlan. A k = 3 esetet a m´asik t´enyez˝ore alkalmazva kapjuk, hogy µ ir´any´ıt´ astart´ o, ha k p´ aros, ´es ir´ any´ıt´asv´alt´o, ha k p´aratlan. 5.3.14. K¨ ovetkezm´ eny. Az ir´any´ıt´astart´o M¨obius-transzform´aci´ok 2 index˝ u r´eszcsoportot alkotnak a teljes inverz´ıv csoportban. Megjegyz´es. A M¨ obius-transzform´aci´ok elnevez´es´et illet˝oen a szakirodalom nem egys´eges. Vannak olyan szakk¨onyvek, amelyekben csak az ir´any´ıt´astart´o lek´epez´esekre haszn´ alj´ ak a M¨obius-transzform´aci´o nevet, tov´abb´a ezzel ¨osszhangban a M¨ obius-csoport megnevez´es nem az eg´esz inverz´ıv csoportot illeti, hanem csak a 2 index˝ u ir´ any´ıt´astart´o r´eszcsoportot.

5.4. K¨ orsorok az euklideszi s´ıkon Az euklideszi s´ık olyan k¨ orrendszereit vizsg´aljuk, amelyekben b´armely k´et k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o k¨ or hatv´ anyvonala ugyanaz. Ez´ert ebben a szakaszban a d = 2 esetre szor´ıtkozunk. Az egys´eges sz´ ohaszn´alat kedv´e´ert koncentrikus (´es k¨ ul¨onb¨oz˝o) k¨ or¨ ok eset´en az u uk a k´et k¨or hatv´anyvonal´anak. ¨res halmazt tekintj¨ 5.4.1. P´ eld´ ak. Az al´ abbi k¨orrendszerek mindegyik´eben b´armelyik k´et k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o k¨ or hatv´ anyvonala nyilv´anval´oan azonos: • koncentrikus k¨ or¨ ok tetsz˝oleges rendszere; • valamely k¨ oz¨ os pontjukban egym´ast ´erint˝o k¨or¨ok tetsz˝oleges rendszere ;

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

5. Inverz´ıv geometria

169

• a s´ık valamely k´et r¨ ogz´ıtett pontj´an ´athalad´o k¨or¨ok tetsz˝oleges rendszere. 5.4.2. P´ elda. R¨ ogz´ıts¨ unk az E s´ıkon k´et k¨ ul¨onb¨oz˝o pontot, A-t ´es B-t. Ha az hA, Bi egyenes k´et tov´ abbi pontja, P ´es Q, egym´as inverzei az [A, B] ´atm´er˝oj˝ u k¨ orre n´ezve, akkor a [P, Q] a´tm´er˝oj˝ u k¨ort Apoll´oniosz-f´ele k¨ornek nevezz¨ uk az A ´es B alappontokra vonatkoz´oan. (K¨onnyen l´athat´o, hogy egy k¨or akkor ´es csak akkor Apoll´ oniosz-k¨ or az A, B alappontokra vonatkoz´oan, ha A ´es B egym´ as inverzei a k¨ orre n´ezve.) Ha r = ρ(A, B)/2, akkor az [A, B] szakasz felez˝ opontj´ anak b´ armelyik Apoll´oniosz-k¨orre vonatkoz´o hatv´anya nyilv´an r2 tel egyenl˝ o, ez´ert b´ armelyik k´et Apoll´oniosz-k¨or hatv´anyvonala ugyanaz az egyenes, m´egpedig A ´es B felez˝o mer˝olegese.

Megjegyz´esek. (1) Legyen X a [P, Q] ´atm´er˝oj˝ u, O k¨oz´eppont´ u Apoll´oniosz-k¨or P -t˝ ol ´es Q-t´ ol k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o pontja. Az OBX h´aromsz¨og ´es az OXA h´aromsz¨og hasonl´ o volt´ at felhaszn´ alva elemi sz¨ogsz´amol´assal igazolhat´o, hogy az hX, P i ´es hX, Qi egyenesek felezik az hX, Ai ´es hX, Bi egyenesek k¨ozti sz¨ogeket. Ez´ert a sz¨ ogfelez˝ ot´etel alapj´ an a ρ(X, A)/ρ(X, B) f¨ uggv´eny konstans, amikor az X pont egy Apoll´ oniosz-k¨ or¨ on fut. Ennek a h´anyadosnak b´armely el˝o´ırt pozit´ıv ´es 1-t˝ ol k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o ´ert´ek´ehez egy-egy Apoll´oniosz-k¨or tartozik. Egyes´ıt´es¨ uk kit¨ olti a s´ıkot az A ´es a B pont, valamint a felez˝o mer˝oleges kiv´etel´evel. (2) Az egyszer˝ ubb sz´ ohaszn´ alat ´erdek´eben az 5.1.16. T´etelt megel˝oz˝o megjegyz´essel ¨ osszhangban a tov´abbiakban z´erus sugar´ u k¨ornek tekintj¨ uk, pontk¨ ornek nevezz¨ uk ´es a k¨ or¨ ok k¨oz´e soroljuk az egyetlen pontb´ol ´all´o alakzatokat ´ tekintj¨ is. Ugy uk, hogy a pontk¨or¨on ´athalad´o egyenes vagy k¨or ´erinti a pontk¨ ort, ´es ugyanakkor mer˝ olegesen is metszi. 5.4.3. Defin´ıci´ o (K¨ orsor). Az euklideszi s´ıkon az al´abbi n´egy t´ıpusba tartoz´ o, k¨ or¨ okb˝ ol ´es esetleg egyenesekb˝ol, pontokb´ol ´all´o halmazrendszereket nevezz¨ uk k¨ orsornak: – koncentrikus k¨ orsor: valamely pont mint k¨oz´eppont k¨or¨ uli ¨osszes k¨or alkotta rendszer, bele´ertve a k¨oz¨os k¨oz´eppontot is mint pontk¨ort; – ´erintkez˝ o k¨ orsor: egy egyenesb˝ol, egy rajta megadott pontb´ol ´es az egyenest ebben a pontban ´erint˝o ¨osszes k¨orb˝ol ´all´o rendszer;

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

170

Euklideszi geometria

– metsz˝ o k¨ orsor: k´et r¨ ogz´ıtett ponton ´athalad´o ¨osszes k¨orb˝ol ´es egyenesb˝ol all´ ´ o rendszer; – Apoll´ oniosz-f´ele k¨ orsor: k´et r¨ogz´ıtett pontb´ol, a felez˝o mer˝oleges¨ ukb˝ol ´es a k´et ponthoz mint alappontokhoz tartoz´o ¨osszes Apoll´oniosz-k¨orb˝ol all´ ´ o rendszer. Vil´ agos, hogy egy k¨ orsorb´ ol k´et k¨ort (ak´ar pontk¨ort) tetsz˝olegesen kiv´alasztva ezek hatv´ anyvonala ugyanaz, ´es a nem koncentrikus esetekben ez a hatv´anyvonal a k¨ orsor egyetlen egyenese. B´armely k¨orsor lefedi a s´ıkot, tov´abb´a a s´ık valamely pontja a k¨ orsornak vagy egyetlen tagj´ahoz tartozik hozz´a, vagy az ¨ osszes tagj´ ahoz hozz´ atartozik. Az ut´obbi esetben a sz´oban forg´o pontot a k¨ orsor tart´ opontj´ anak nevezz¨ uk. A metsz˝o k¨orsornak k´et, az ´erintkez˝o k¨orsornak egy tart´ opontja van, a t¨obbi k¨orsornak nincsen tart´opontja. A k¨orsorhoz tartoz´ o k¨ or¨ ok k¨ oz´eppontjai nyilv´an kolline´arisak, ´es a nem koncentrikus esetekben semelyik k´et k¨ oz´eppont nem eshet egybe. 5.4.4. Defin´ıci´ o (Mer˝ oleges k¨ orsorok). K´et k¨orsort mer˝olegesnek mondunk, ha az egyik k¨ orsor b´ armelyik tagja mer˝olegesen metszi a m´asik k¨orsor b´ armelyik tagj´ at.

P´eld´ aul k´et olyan ´erintkez˝ o k¨orsor, amelyek hatv´anyvonala mer˝oleges ´es tart´ opontja k¨ oz¨ os, nyilv´ anval´ o m´odon mer˝oleges k¨orsorok. Ett˝ol k¨ ul¨onb¨oz˝o p´el´ ıt´as. d´ aval szolg´ al al´ abb az 5.4.6. All´

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

5. Inverz´ıv geometria

171

5.4.5. Lemma. Ha egy K k¨or vagy egyenes egy K k¨orsor k´et k¨ ul¨onb¨oz˝o tagj´ ara mer˝ oleges, akkor K a K o¨sszes tagj´ara mer˝oleges. Bizony´ıt´ as: Ha K koncentrikus k¨orsor, akkor 5.1.17. alapj´an K csak egyenes lehet. A mer˝ olegess´eg ez esetben azt jelenti, hogy a K egyenesnek ´at kell haladnia a k¨ oz¨ os k¨ oz´epponton, ´es ´ıgy K val´oban mer˝oleges a k¨orsor ¨osszes tagj´ ara. A tov´ abbiakban feltessz¨ uk, hogy K nem koncentrikus k¨orsor. Ha K egyenes, akkor a mer˝ olegess´egi feltev´es miatt vagy k´et k¨oz´eppont is illeszkedik r´a, vagy pedig ´ athalad egy k¨ oz´epponton ´es mer˝oleges a hatv´anyvonalra. Mindk´et esetben K csak a k¨ oz´eppontokat felf˝ uz˝o egyenes lehet, amely K ¨osszes tagj´ara mer˝ oleges. A tov´ abbiakban feltehetj¨ uk teh´at, hogy K k¨or (pontk¨ort is megengedve). Az 5.1.17. Lemm´ at alkalmazzuk, amely nyilv´an a z´erus sugar´ u esetekben is ´erv´enyes. A lemm´ ab´ ol k¨ ovetkezik, hogy K k¨oz´eppontja a k¨orsor hatv´anyvonal´ara illeszkedik. Ekkor persze K mer˝oleges mag´ara a hatv´anyvonalra, tov´abb´a u ´jra 5.1.17 alkalmaz´ as´ aval nyerj¨ uk, hogy mer˝oleges a k¨orsor o¨sszes k¨or´ere is (a pontk¨ or¨ oket is k¨ oz´ej¨ uk ´ertve). ´ ıt´ 5.4.6. All´ as. Legyen A ´es B k´et k¨ ul¨onb¨oz˝o pont a s´ıkon. Ekkor az A, B tart´ opont´ u metsz˝ o k¨ orsor ´es az A, B alappontokhoz tartoz´o Apoll´oniosz-f´ele k¨ orsor mer˝ oleges k¨ orsorok.

Bizony´ıt´ as: A metsz˝ o k¨ orsor b´armelyik tagja mer˝olegesen metszi az Apoll´oniosz-f´ele k¨ orsor k´et pontk¨ or´et. Innen 5.4.5 alapj´an k¨ovetkezik az ´all´ıt´as. 5.4.7. Lemma. Legyen adott a s´ıkon k´et nem koncentrikus k¨or, K ´es L. Ekkor a mind K-t, mind L-et mer˝olegesen metsz˝o k¨or¨ok ´es az egyetlen ilyen egyenes egy¨ utt k¨ orsort alkotnak. Bizony´ıt´ as: Legyen H a k´et adott k¨or hatv´anyvonala. Ha valamely k¨or K-t is ´es L-et is mer˝ olegesen metszi, akkor 5.1.17 alapj´an k¨oz´eppontja illeszkedik H-ra.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

172

Euklideszi geometria

Ha K ´es L ´erintkezik, akkor a mindkett˝oj¨ uket mer˝olegesen metsz˝o k¨or¨ok (´es az egyetlen ilyen egyenes) nyilv´anval´o m´odon azt az ´erintkez˝o k¨orsort alkotj´ ak, amelynek a hatv´ anyvonala a K ´es L k¨oz´eppontj´at ¨osszek¨ot˝o egyenes, pontk¨ ore pedig K ´es L ´erintkez´esi pontja. Tegy¨ uk fel most, hogy K ´es L metszik egym´ast az A ´es B pontokban, ekkor A, B ∈ H. Ha M olyan k¨ or, amely mer˝olegesen metszi K-t ´es L-et, akkor 5.2.2.(5) alapj´ an az M -re vonatkoz´o inverzi´o K-t is ´es L-et is ¨onmag´aba viszi, ´es ez´ert felcser´eli A-t ´es B-t (´es ´ıgy a k¨oz´eppontja H-ra illeszkedik). Ebb˝ol az ´ ıt´ 5.2.9. All´ ast alkalmazva kapjuk, hogy az [A, B] ´atm´er˝oj˝ u k¨or mer˝olegesen metszi M -et. Ez´ert M az A, B alappontokhoz tartoz´o Apoll´oniosz-k¨or¨ok egyike. M´ asr´eszt 5.4.6 miatt ennek az Apoll´oniosz-f´ele k¨orsornak mindegyik tagja mer˝ olegesen metszi K-t ´es L-et, teh´at a k´erd´eses k¨or¨ok (´es egyenes) val´ oban k¨ orsort alkotnak. Ha K ∩ L = ∅, akkor a H hatv´anyvonal mindk´et k¨ornek a k¨ ulsej´eben fekszik. Legyen P a H-nak az a pontja, amely kolline´aris a k´et k¨oz´epponttal, ekkor P hatv´ anya is pozit´ıv K-ra ´es L-re vonatkoz´oan. Tekints¨ uk azt a P k¨oz´eppont´ u M k¨ ort, amelynek a sugara ennek a hatv´anynak a n´egyzetgy¨oke, ´es legyen A ´es B ennek a k¨ ornek a k´et metsz´espontja a K ´es L k¨oz´eppontj´at ¨osszek¨ot˝o egyenessel. Ekkor 5.1.17 szerint az [A, B] ´atm´er˝oj˝ u k¨or mer˝olegesen metszi K-t ´es L-et, ´ıgy 5.2.2.(5)-re hivatkozva k¨ovetkezik, hogy K ´es L Apoll´onioszk¨ or¨ ok az A, B alappontokra vonatkoz´oan. Ez´ert minden olyan k¨or, amely K-t ´es L-et mer˝ olegesen metszi, 5.4.5 miatt ´athalad A-n ´es B-n is, azaz hozz´ atartozik az A, B tart´ opont´ u metsz˝o k¨orsorhoz. Tov´abb´a megford´ıtva, 5.4.6 miatt ennek a k¨ orsornak minden tagja mer˝olegesen metszi K-t ´es L-et, teh´ at a sz´ oban forg´ o k¨ or¨ ok (´es az hA, Bi egyenes) most is k¨orsort alkotnak.

5.4.8. T´ etel. Ha a s´ıkon tetsz˝olegesen adott k´et k¨ ul¨onb¨oz˝o k¨or, akkor egy´ertelm˝ uen l´etezik olyan k¨ orsor, amelyhez mindkett˝o hozz´atartozik. Bizony´ıt´ as: Ak´ ar koncentrikus, ak´ar egym´ast metsz˝o, ak´ar ´erintkez˝o k¨or¨okr˝ol van sz´ o, a t´etel ´ all´ıt´ asa mag´ at´ol ´ertet˝od˝o. Csak azzal az esettel kell foglalkoznunk, amikor a k´et adott k¨ ornek nincs k¨oz¨os pontja ´es nem is koncentrikusak. Alkalmazzuk az 5.4.7. Lemm´at a k´et adott k¨orre, ´es v´alasszunk ki k´et k¨ort, K-t ´es L-et a lemma ´ altal sz´armaztatott k¨orsorb´ol. Ez a k´et k¨or nem lehet koncentrikus (hiszen l´etezik mindkett˝ot mer˝olegesen metsz˝o k¨or), ez´ert Kra ´es L-re alkalmazhatjuk u ´jra az 5.4.7. Lemm´at. Az ´ıgy kapott k¨orsorhoz nyilv´ an mindk´et eredetileg adott k¨or hozz´atartozik. B´ armely, a k´et adott k¨ ort mag´aban foglal´o k¨orsort tekint¨ unk is, 5.4.5 miatt annak minden tagj´ at K is ´es L is mer˝olegesen metszi. Ez´ert 5.4.7 alkalmaz´as´ aval ad´ odik, hogy csak egyetlen ilyen k¨orsor l´etezik.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

5. Inverz´ıv geometria

173

Megjegyz´es. Mind az 5.4.7. Lemma, mind az 5.4.8. T´etel igaz marad, ha a k´et k¨ or egyike helyett egyenes szerepel. Err˝ol a bizony´ıt´asok csek´ely, ´ertelemszer˝ u m´ odos´ıt´ as´ aval k¨ onnyen meggy˝oz˝odhet¨ unk. B´ ar a k¨ orsorokat egyenk´ent”, a geometriai k´ep le´ır´asa u ´tj´an ´ertelmezt¨ uk, ” nevezetes t´eny, hogy egys´eges elj´ar´asokkal is sz´armaztathat´ok. Az 5.4.8. T´etel is erre utal, hiszen levonhatjuk azt a k¨ovetkeztet´est bel˝ole, hogy a k¨orsorok pontosan a maxim´ alis olyan k¨orrendszerek a s´ıkon (a hatv´anyvonallal egy¨ utt, amennyiben az nem u ¨res), amelyekben b´armely k´et k¨or hatv´anyvonala ugyanaz. A k¨ ovetkez˝ o szakaszban olyan egys´eges sz´armaztat´asi lehet˝os´eget tiszt´ azunk, amely azt is megmutatja, mi´ert az inverz´ıv geometria keretei k¨oz¨ ott ´erdemes a k¨ orsorokat t´ argyalni. Ha a k¨orsor tagjait analitikusan, teh´at egyenlet¨ uk¨ on kereszt¨ ul adn´ ank meg, m´as jelleg˝ u egys´eges sz´armaztat´asukhoz juthatn´ ank. Ezt k´es˝ obb ´altal´anosabban fogjuk megvizsg´alni a projekt´ıv geometria keretei k¨ ozt.

5.5. K¨ orsorok az inverz´ıv geometri´ aban A tov´ abbiakban E h´ aromdimenzi´os euklideszi teret jel¨ol. G¨ombi k¨orsorokat ´ertelmez¨ unk az E-beli g¨ omb¨ok¨on, ´es megvizsg´aljuk kapcsolatukat a s´ıkbeli k¨ orsorokkal. 5.5.1. Defin´ıci´ o (S´ıksor). A h´aromdimenzi´os euklideszi t´er s´ıkjainak egy S rendszer´et s´ıksornak nevezz¨ uk, ha vagy egy k¨oz¨os egyenest tartalmaz´o ¨osszes s´ıkr´ ol, vagy pedig valamely s´ıkkal p´arhuzamos ¨osszes s´ıkr´ol van sz´o. Az els˝o esetben S metsz˝ o s´ıksor, a m´asodikban p´arhuzamos s´ıksor. Metsz˝o s´ıksor eset´eben a k¨ oz¨ os egyenest a s´ıksor tart´oegyenes´enek nevezz¨ uk. B´ armely s´ıksor egyes´ıt´ese az eg´esz t´er. A t´er b´armely k´et k¨ ul¨onb¨oz˝o s´ıkja belefoglalhat´ o egy ´ altaluk egy´ertelm˝ uen meghat´arozott s´ıksorba. 5.5.2. Defin´ıci´ o (G¨ ombi k¨ orsor). Legyen G ⊆ E g¨omb, ´es S s´ıksor E-ben. A G g¨ omb¨ on g¨ ombi k¨ orsornak nevezz¨ uk S nyom´at, azaz az S|G = {S ∩ G : : S ∩ G 6= ∅} halmazrendszert. Nyilv´ an S|G k¨ or¨ okb˝ ol, k¨ ozt¨ uk 0, 1 vagy 2 pontk¨orb˝ol ´all aszerint, hogy Snek h´ any eleme ´erinti G-t. Az S|G g¨ombi k¨orsor tart´opontj´anak nevezz¨ uk az A ∈ G pontot, ha A az S mindegyik elem´ehez hozz´atartozik. Ha S p´ arhuzamos s´ıksor, akkor S|G-nek nincs tart´opontja, metsz˝o s´ıksor eset´en pedig a tart´ opontok sz´ama 0, 1 vagy 2 lehet aszerint, hogy S tart´oegyenes´enek h´ any k¨ oz¨ os pontja van G-vel.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

174

Euklideszi geometria

A g¨ ombi k¨ orsort elliptikusnak nevezz¨ uk, ha nincs tart´opontja, parabolikusnak, ha egy, illetve hiperbolikusnak, ha k´et tart´opontja van. A parabolikus g¨ ombi k¨ orsorok a tart´opontban ´erintkez˝o k¨or¨okb˝ol ´allnak, ´es a k¨ or¨ ok k¨ oz¨ os ´erint˝ oje a k¨ orsort kimetsz˝o s´ıksor tart´oegyenese. Adott g¨omb¨on b´ armely k´et parabolikus k¨ orsor egybev´ag´o. Egy hiperbolikus g¨ombi k¨orsor a k´et tart´ oponton ´ athalad´ o, a g¨ombfel¨ uleten fekv˝o ¨osszes k¨orb˝ol ´all. 5.5.3. Defin´ıci´ o (Konjug´ alt s´ıksorok). Legyen G ⊆ E r¨ogz´ıtett g¨omb. Az S, T s´ıksorokat konjug´ alt s´ıksoroknak mondjuk G-re vonatkoz´oan, ha az al´ abbi k´et eset valamelyike fenn´all: – S ´es T k¨ oz¨ ul az egyiknek k´et tagja ´erinti G-t, a m´asiknak pedig a tart´ oegyenese ezen a k´et ´erint´esi ponton ´athalad, illetve – mind S, mind T tart´ oegyenese ´erinti G-t ugyanabban a pontban, ´es ott ez a k´et egyenes mer˝ olegesen metszi egym´ast. Vil´ agos, hogy a s´ıksorok konjug´alts´aga szimmetrikus rel´aci´o, ´es hogy b´armely s´ıksornak egy´ertelm˝ uen l´etezik konjug´alt p´arja. 5.5.4. Defin´ıci´ o (Konjug´ alt g¨ ombi k¨ orsorok). A G ⊆ E g¨omb¨on k´et g¨ ombi k¨ orsort konjug´ altnak mondunk, ha az ˝oket el˝o´all´ıt´o s´ıksorok konjug´altak G-re vonatkoz´ oan. Ha k´et g¨ ombi k¨ orsor konjug´alt, akkor az egyiknek a pontk¨orei a m´asiknak tart´ opontjai, ´es viszont. Parabolikus g¨ombi k¨orsor konjug´altja is parabolikus, elliptikus g¨ ombi k¨ orsor konjug´altja hiperbolikus (´es viszont). 5.5.5. Lemma. Konjug´ alt g¨ombi k¨orsorokb´ol egy-egy k¨ort tetsz˝olegesen v´alasztva azok mer˝ olegesen metszik egym´ast. Bizony´ıt´ as: Legyen a k´et g¨ ombi k¨orsor S|G ´es T |G, ahol S ´es T konjug´alt s´ıksorok G-re n´ezve. Ha S|G ´es T |G parabolikusak, akkor a t´etel ´all´ıt´asa mag´ at´ ol ´ertet˝ od˝ o, hiszen a k¨oz¨os tart´opontban a k´et sz´oban forg´o k¨or ´erint˝oje a konjug´ alts´ ag defin´ıci´ oja folyt´an mer˝oleges. Tegy¨ uk fel most, hogy a k´et g¨ombi k¨orsor k¨oz¨ ul az egyik elliptikus, a m´asik hiperbolikus, legyen p´eld´ aul S|G elliptikus. V´alasszunk egy-egy k¨ort bel˝ol¨ uk : legyen K ∈ S|G ´es L ∈ T |G. Feltehetj¨ uk, hogy K nem pontk¨or, hiszen akkor a mer˝ olegess´eg automatikusan igaz. Ekkor a K k¨or elv´alasztja egym´ast´ol S|G k´et pontk¨ or´et, A-t ´es B-t, amelyeken L ´athalad. Ez´ert K ´es L metszik egym´ ast; legyen P az egyik metsz´espontjuk. Vegy¨ uk ´eszre, hogy ha L f˝ ok¨ or, a s´ıkj´ara mindk´et s´ıksor szimmetrikusan ´all, ´es ez´ert K is szimmetrikus erre a s´ıkra. Ekkor pedig a k´et k¨or nyilv´an mer˝oleges. A tov´ abbiakban feltessz¨ uk, hogy L nem f˝ok¨or, ´es ez´ert vizsg´alhatjuk a hozz´a tartoz´ o ´erint˝ ok´ upot.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

5. Inverz´ıv geometria

175

A TA G ´es TB G ´erint˝ os´ıkok az S s´ıksorhoz tartoznak. Ha p´arhuzamosak (azaz A ´es B ´ atellenes pontok a g¨omb¨on), akkor T |G csupa f˝ok¨orb˝ol ´all, ez´ert ezzel az esettel nem kell foglalkoznunk. Tegy¨ uk fel teh´at, hogy TA G ´es TB G metszik egym´ ast az S s´ıksor tart´oegyenes´eben. Az L-hez tartoz´o ´erint˝ok´ upnak az A, illetve B ponton a´thalad´o alkot´oja benne fekszik TA G-ben, illetve TB G-ben, ez´ert az ´erint˝ ok´ up C cs´ ucsa rajta van S tart´oegyenes´en. Emiatt C benne van a K k¨ or s´ıkj´ aban. Az ´erint˝ok´ up hC, P i alkot´oja a TP G ´erint˝os´ıkban fekszik, ez´ert ´erinti a K k¨ ort a P pontban. Az ´erint˝ok´ up forg´asszimmetri´aja miatt b´ armelyik alkot´ o mer˝ olegesen metszi az L k¨ort, ez´ert a P pontban K mer˝ oleges L-re. 5.5.6. T´ etel. A G g¨ omb b´ armely M¨obius-transzform´aci´oja g¨ombi k¨orsort g¨ ombi k¨ orsorba k´epez; m´egpedig elliptikust elliptikusba, parabolikust parabolikusba ´es hiperbolikust hiperbolikusba. Bizony´ıt´ as: A hiperbolikus g¨ombi k¨orsorok a k´et tart´oponton ´athalad´o ¨osszes g¨ ombi k¨ orb˝ ol ´ allnak, ez´ert a M¨obius-transzform´aci´ok bijektivit´as´ab´ol ´es k¨ortart´ o volt´ ab´ ol a t´etel ´ all´ıt´ asa azonnal ad´odik. B´ armely parabolikus k¨ orsor megadhat´o mint egy g¨ombi k¨ort egy kiszemelt pontj´ aban ´erint˝ o¨ osszes g¨ ombi k¨orb˝ol ´all´o rendszer, ez´ert az eddigi tulajdons´ agokon k´ıv¨ ul a M¨ obius-transzform´aci´ok ´erintkez´estart´as´at haszn´alva parabolikus k¨ orsor eset´ere is k¨ ozvetlen¨ ul kapjuk a t´etelt. Ha G-n adott egy K elliptikus g¨ombi k¨orsor ´es egy µ ∈ M g¨ombi M¨obiustranszform´ aci´ o, akkor tekints¨ uk K konjug´altj´at, az L hiperbolikus g¨ombi k¨orsort. Az 5.5.5. Lemma szerint K elemei mer˝olegesen metszik L minden elem´et. Tudjuk, hogy µ az L-et hiperbolikus g¨ombi k¨orsorba viszi. A M¨obiustranszform´ aci´ ok k¨ ortart´ o ´es sz¨ogtart´o bijekci´ok, ez´ert µ(K) elemei az µ(L) minden tagj´ at mer˝ olegesen metsz˝o k¨or¨ok, amelyek egy¨ utt lefedik G-t. Ezek a k¨ or¨ ok pontosan a µ(L) hiperbolikus g¨ombi k¨orsor konjug´altj´at alkotj´ak, azaz egy elliptikus g¨ ombi k¨ orsort. Az 5.5.5. Lemma seg´ıts´eg´evel tiszt´azni tudjuk a g¨ombi k¨orsorok, illetve a s´ıkbeli k¨ orsorok ´es sug´ arsorok k¨oz¨ott fenn´all´o kapcsolatot is. A sz´ohaszn´alat egyszer˝ us´ıt´ese v´egett az euklideszi s´ık helyett annak inverz´ıv b˝ov´ıt´es´et haszn´ aljuk. Mostant´ ol u ´gy tekintj¨ uk, hogy az euklideszi s´ıkon adott k¨orsorok ´es

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

176

Euklideszi geometria

sug´ arsorok eset´eben a ∞ pont hozz´atartozik az o¨sszes sz´oban forg´o egyeneshez, tov´ abb´ a azokban az esetekben, amikor a k¨orsornak nincs egyenes tagja, a ∞ pontot a k¨ orsorhoz tartoz´o pontk¨ornek tekintj¨ uk. Ez´altal b´armely k¨orsor ´es b´ armely sug´ arsor lefedi az inverz´ıv s´ıkot. Tekints¨ unk most egy v : G → H + sztereografikus vet´ıt´est, ahol H az E euklideszi t´er egy s´ıkja. Jel¨ olj¨ uk O-val a v vet´ıt´es p´olus´at G-n. 5.5.7. T´ etel. A s´ıkbeli k¨ orsorok ´es sug´arsorok pontosan a g¨ombi k¨orsorok sztereografikus vet¨ uletei. Ha K g¨ombi k¨orsor G-n, akkor K sztereografikus vet¨ ulete – koncentrikus k¨ orsor, ha K elliptikus ´es O az egyik pontk¨ore, – Apoll´ oniosz-f´ele k¨ orsor, ha K elliptikus ´es O nem a pontk¨or¨ok egyike, – p´ arhuzamos sug´ arsor, ha K parabolikus ´es O a tart´opontja, – ´erintkez˝ o k¨ orsor, ha K parabolikus ´es O nem a tart´opontja, – metsz˝ o sug´ arsor, ha K hiperbolikus ´es O az egyik tart´opontja, illetve – metsz˝ o k¨ orsor, ha K hiperbolikus ´es O nem a tart´opontok egyike. Bizony´ıt´ as: El˝ osz¨ or meggondoljuk, hogy ha K g¨ombi k¨orsor G-n, akkor v(K) olyan k¨ orsor, illetve sug´ arsor a H + s´ıkban, amilyent a t´etel ´all´ıt. Azokban az esetekben, amikor K hiperbolikus vagy parabolikus, akkor ez k¨ozvetlen¨ ul k¨ ovetkezik abb´ ol, hogy v bijekt´ıv, k¨or¨oket k¨or¨okbe vagy egyenesekbe visz, ´es ´erintkez´estart´ o. Ha pedig K elliptikus, akkor 5.5.6 bizony´ıt´as´anak mint´aj´ara felhaszn´ aljuk K konjug´ altj´ at, az L hiperbolikus g¨ombi k¨orsort, ´es v sz¨ogtart´as´ ara hivatkozva l´ atjuk, hogy v(K) a v(L) minden tagj´ara mer˝oleges k¨or¨okb˝ol ´es egyenesekb˝ ol ´ all. Miut´ an v(L)-r˝ol m´ar tudjuk, hogy metsz˝o sug´arsor vagy metsz˝ o k¨ orsor, ebb˝ ol k¨ ovetkezik, hogy v(K) koncentrikus vagy Apoll´onioszf´ele k¨ orsor, m´egpedig aszerint, hogy O pontk¨ore vagy sem v(K)-nak. Meg kell m´eg gondolnunk, hogy b´armely H + -beli k¨orsor vagy sug´arsor el˝o´all valamely G-n fekv˝ o g¨ ombi k¨orsor sztereografikus vet¨ uletek´ent. Ez az el˝oz˝oh¨oz hasonl´ o okoskod´ assal t¨ ort´enhet: a koncentrikus k¨orsort´ol ´es az Apoll´onioszf´ele k¨ orsort´ ol k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o esetekben a sztereografikus vet´ıt´es k¨ortart´o ´es ´erintkez´estart´ o volt´ ab´ ol r¨ ogt¨ on ad´odik az ´all´ıt´as, a fennmarad´o k´et esetben pedig a konjug´ alt sug´ arsorra, illetve k¨orsorra val´o ´att´er´essel ´es a sz¨ogtart´asra hivatkoz´ assal k´eszen vagyunk. Megjegyz´es. Az 5.5.7. T´etelben tiszt´azott megfeleltet´es alapj´an a s´ıkbeli koncentrikus, valamint Apoll´ oniosz-f´ele k¨orsorokat szok´as egy¨ uttesen elliptikus

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

´ lyos polito ´ pok 6. Szaba

177

k¨ orsoroknak nevezni. Az ´erintkez˝o, illetve a metsz˝o k¨orsorok sz´am´ara pedig haszn´ alatban van a parabolikus, illetve hiperbolikus k¨orsor elnevez´es. 5.5.8. K¨ ovetkezm´ eny. A s´ıkbeli M¨obius-transzform´aci´ok (´es ´ıgy speci´alisan az inverzi´ ok) a k¨ orsorokat ´es a sug´arsorokat k¨orsorokba vagy sug´arsorokba k´epezik. Ha a p´ arhuzamos sug´arsorokat a parabolikus k¨orsorok k¨oz´e, a metsz˝ oket a hiperbolikusak k¨ oz´e soroljuk, akkor a M¨obius-transzform´aci´o a sor elliptikus, parabolikus, illetve hiperbolikus jelleg´et megtartja.

6. Szab´ alyos polit´ opok Az elemi s´ık- ´es t´ergeometria klasszikus alakzatai a szab´alyos soksz¨ogek ´es a szab´ alyos poli´ederek. Ezeket ´altal´anos´ıtjuk a magasabb dimenzi´oj´ u euklideszi terek eset´ere, majd elv´egezz¨ uk a szab´alyos polit´opok teljes oszt´alyoz´as´at. A szab´ alyos polit´ opok szoros kapcsolatban ´allnak az euklideszi t´er egybev´ag´os´ againak v´eges r´eszcsoportjaival. A szab´alyoss´ag krit´erium´at is a szimmetri´ak alkotta csoport tulajdons´ again kereszt¨ ul tudjuk majd megfogalmazni.

6.1. Csoporthat´ asok Matematikai tanulm´ anyainkban gyakran el˝ofordul´o jelens´eg, hogy bizonyos fajta transzform´ aci´ ok csoportot alkotnak, vagy hogy egy csoportot eleve valamif´ele strukt´ ur´ at meg˝ orz˝ o lek´epez´esek seg´ıts´eg´evel defini´alunk. Ebben a szakaszban ¨ osszegy˝ ujtj¨ uk az ezzel kapcsolatos alapvet˝o fogalmakat ´es ¨osszef¨ ugg´eseket. 6.1.1. Defin´ıci´ o (Csoporthat´ as). Legyen G csoport ´es X tetsz˝oleges nemu res halmaz. Azt mondjuk, hogy G hat az X halmazon (vagy hogy G transz¨ form´ aci´ ocsoport X-en), ha adott egy G×X → X,

(g, x) → gx

lek´epez´es, amelyre (1) minden x ∈ X-re 1x = x, ´es (2) minden g, h ∈ G-re ´es minden x ∈ X-re (gh)x = g(hx) teljes¨ ul.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

178

Euklideszi geometria

Jel¨ olj¨ uk SX -szel az X → X bijekt´ıv lek´epez´esek csoportj´at a kompoz´ıci´o m˝ uvelet´ere n´ezve. (Amikor X v´eges halmaz, akkor SX az Sn szimmetrikus csoporttal izomorf, ahol n = |X|.)
K¨ozvetlen¨ ul ellen˝orizhet˝o, hogy minden g ∈ G-re a ϕ(g) : X → X, ϕ(g) (x) = gx lek´epez´es bijekt´ıv (m´egpedig az inverze ϕ(g −1 )), ´es az ez´ altal defini´alt ϕ : G → SX lek´epez´es homomorfizmus. Az is r¨ ogt¨ on l´ athat´ o, hogy ϕ egy´ertelm˝ uen meghat´arozza G hat´as´at X-en, ez´ert egy ilyen ϕ : G → SX homomorfizmus megad´asa tekinthet˝o a csoporthat´ as egyen´ert´ek˝ u defin´ıci´oj´anak. Ha p´eld´ aul G eleve SX r´eszcsoportja, akkor a G-t identikusan ¨onmag´ara k´epez˝ o homomorfizmus a G csoport hat´as´at defini´alja X-en ; ezt G term´eszetes hat´ as´ anak szok´ as nevezni. Az al´abb k¨ovetkez˝o p´eld´ak t¨obbs´ege is term´eszetes hat´ as. 6.1.2. P´ eld´ ak • Ha X affin t´er, akkor az Aff (X) csoport hat X-en. • Ha V vektort´er, akkor a GL(V ) csoport hat V -n. • Ha X metrikus t´er, akkor az I(X) izometriacsoport hat X-en. • Ha V euklideszi vektort´er, akkor az O(V ) ortogon´alis csoport hat V -n. • Ha E euklideszi t´er, akkor a Sim (E) csoport hat E-n. • Legyen S az affin alterek halmaza az X affin t´erben. Ekkor az Aff (X) csoport hat az S halmazon. • Legyen G a g¨ omb¨ ok halmaza az E euklideszi t´erben, ekkor a Sim (E) csoport hat a G halmazon. • Az M(E) M¨ obius-csoport hat az E + inverz´ıv t´eren. Az el˝oz˝o p´eld´ahoz hasonl´ oan M(E) az E-beli g¨omb¨ok ´es affin alterek alkotta halmazon is hat. • Tetsz˝ oleges G csoport hat a saj´at alaphalmaz´an baleltol´asokkal ((g, h) 7→ gh), jobbeltol´ asokkal ((g, h) 7→ hg −1 ), illetve konjug´al´asokkal ((g, h) 7→ −1 ghg ). Az ut´ obbit (amelyn´el az els˝o kett˝ovel ellent´etben a G elemei ´altal induk´ alt transzform´aci´ok automorfizmusok a G csoportban) szok´as G adjung´ alt hat´ as´ anak nevezni. • Ha G = N o H szemidirekt szorzat, akkor H hat az N csoporton a (Gbeli) konjug´ al´ asokkal. Itt is H elemei automorfizmusokk´ent hatnak az N csoporton. Nevezetes t´eny, hogy a G csoport rekonstru´alhat´o ennek a hat´ asnak az ismeret´eben. (Akkor kapunk direkt szorzatot, ha a hat´as trivi´ alis, azaz minden h ∈ H-ra identikus.)

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

´ lyos polito ´ pok 6. Szaba

179

Megjegyz´es. Leggyakrabban az X halmazon valamilyen strukt´ ura is adott (p´eld´ aul topologikus, differenci´alhat´o, metrikus, line´aris, vagy egy´eb algebrai strukt´ ura, esetleg ezekb˝ ol egyszerre t¨obb is), ´es a G csoport ezt a strukt´ ur´ at meg˝ orz˝ o lek´epez´esekkel hat. Ennek megfelel˝oen besz´elhet¨ unk folytonos, differenci´ alhat´ o, izometrikus, line´aris stb. csoporthat´asokr´ol. A fenti p´eld´ak legt¨ obbje is ilyen jelleg˝ u. 6.1.3. Defin´ıci´ o (Invari´ ans halmaz, hat´ as lesz˝ uk´ıt´ ese). Tegy¨ uk f¨ol, hogy a G csoport hat az X halmazon. Egy Y ⊆ X r´eszhalmazt invari´ansnak (vagy G-invari´ ansnak) nevez¨ unk, ha minden g ∈ G-re ´es x ∈ Y -ra gx ∈ Y . (Ilyenkor sz¨ uks´egk´eppen minden g ∈ G-re nemcsak gY ⊆ Y , hanem gY = Y is teljes¨ ul, u ´gyhogy Y akkor ´es csak akkor invari´ans, ha GY = Y .) Ha Y ⊆ X invari´ ans, akkor tekinthetj¨ uk a G csoport hat´as´at csup´an az Y halmazon. Ilyenkor besz´el¨ unk a G-hat´asnak az Y -ra t¨ort´en˝o lesz˝ uk´ıt´es´er˝ol. 6.1.4. P´ eld´ ak • A 6.1.2-beli hatodik p´eld´aban az X-beli hipers´ıkok Aff (X)-invari´ans halmazt alkotnak S-ben. • Egy G csoport valamely r´eszcsoportja akkor ´es csak akkor norm´aloszt´o, ha az adjung´ alt hat´ asra n´ezve G-invari´ans. 6.1.5. Defin´ıci´ o (Orbit). Tegy¨ uk f¨ol, hogy a G csoport hat az X halmazon. A minim´ alis nem¨ ures invari´ans halmazokat a hat´as orbitjainak (vagy G-orbitoknak) nevezz¨ uk. Vezess¨ uk be a ∼ rel´aci´ot az X halmazon a k¨ovetkez˝ ok´eppen: x, y ∈ X eset´en legyen x ∼ y, ha l´etezik olyan g ∈ G, melyre gx = y. R¨ ogt¨ on l´ athat´ o, hogy ∼ ekvivalenciarel´aci´o, amely szerint az ekvivalenciaoszt´ alyok ´eppen a G-orbitok. Ha x ∈ X tetsz˝oleges elem, akkor az x-et tartalmaz´ o orbitra (amelyet x orbitj´anak is nevez¨ unk) bevezetj¨ uk a Gx jel¨ ol´est; nyilv´ an Gx = {gx : g ∈ G}. 6.1.6. P´ eld´ ak • A 6.1.2-beli els˝ o, o odik, hetedik ´es nyolcadik p´eld´aban szerepl˝o cso¨t¨ porthat´ asnak egyetlen orbitja van. Ha egy csoport o¨nmag´an bal- vagy jobbeltol´ asokkal hat, akkor is egyetlen orbit keletkezik. • A m´ asodik p´eld´ aban (hacsak a V vektort´er nem trivi´alis) pontosan k´et orbit van: az egyik csak a 0 elemet tartalmazza, a m´asik az ¨osszes nemz´erus vektorb´ ol ´ all. • A negyedik p´elda orbitjai az orig´o k¨or¨ uli hiperg¨omb¨ok ´es a {0} halmaz. • A hatodik p´eld´ aban az orbitok u ´gy ´allnak el˝o, hogy valamely 0 ≤ k ≤ ≤ dim X-re az ¨ osszes k-dimenzi´os affin alteret tekintj¨ uk.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

180

Euklideszi geometria

• A G csoport adjung´ alt hat´as´an´al a G-orbitok ´eppen a G-beli konjug´altoszt´ alyok. • Ha az S1 ⊂ C komplex egys´egk¨or szorz´assal hat a komplex t´erbeli S2d−1 ⊂ Cd egys´egg¨ omb¨on, akkor a hat´as orbitjai Clifford-p´arhuzamos f˝ ok¨ or¨ ok. Speci´ alisan, ha d = 2, akkor az orbitok Hopf-f´ele k¨orsereget alkotnak. 6.1.7. Defin´ıci´ o (Tranzit´ıv hat´ as). Azt mondjuk, hogy a G csoport tranzit´ıvan hat az X halmazon, ha a G-hat´asnak egyetlen orbitja van X-ben, azaz b´ armely x, y ∈ X elemekhez tal´alhat´o olyan g ∈ G csoportelem, hogy gx = y. 6.1.8. P´ eld´ ak • A 6.1.6-beli els˝ o pontban felsorolt csoporthat´asok tranzit´ıvak. • B´ armely csoporthat´ asnak egy orbitra t¨ort´en˝o lesz˝ uk´ıt´ese tranzit´ıv. 6.1.9. Defin´ıci´ o (Stabiliz´ ator). Tegy¨ uk f¨ol, hogy a G csoport hat az X halmazon. Valamely x ∈ X elem stabiliz´ator´an a Gx = {g ∈ G : gx = x} ≤ ≤ G r´eszcsoportot ´ertj¨ uk. 6.1.10. P´ eld´ ak • Ha E euklideszi t´er ´es P ∈ E, akkor I(E)P = O(EP ). • B´ armely E euklideszi t´erre M(E)∞ = Sim (E). • B´ armely G csoport adjung´alt hat´as´an´al a stabiliz´atorok az elemek centraliz´ atorai. A k¨ ovetkez˝ o´ all´ıt´ as az orbitok ´es stabiliz´atorok k¨oz¨ott fenn´all´o alapvet˝o ¨osszef¨ ugg´est r¨ ogz´ıti. Ezen alapulnak a v´eges csoportelm´elet egyes lesz´aml´al´asi technik´ ai, valamint ezt haszn´ alja majd a 6.2.10. T´etel bizony´ıt´asa is. ´ ıt´ 6.1.11. All´ as. Tegy¨ uk f¨ ol, hogy a G csoport hat az X halmazon ´es legyen x ∈ X tetsz˝ oleges. Ekkor: (1) B´ armely g ∈ G -re Ggx = gGx g −1 , ez´ert ugyanahhoz az orbithoz tartoz´o elemek stabiliz´ atorai konjug´altak. (2) Jel¨ olje G/Gx a Gx r´eszcsoporthoz tartoz´o bal oldali mell´ekoszt´alyok halmaz´ at. Ekkor a gGx 7→ gx hozz´arendel´es bijekci´ot l´etes´ıt a G/Gx halmaz ´es a Gx orbit k¨oz¨ott.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

´ lyos polito ´ pok 6. Szaba

181

Bizony´ıt´ as: (1): B´ armely h ∈ Gx -re (ghg −1 )(gx) = gx mutatja, hogy gGx g −1 ⊆ Ggx . A ford´ıtott tartalmaz´as az ugyanilyen elven ad´od´o g −1 Ggx g ⊆ Gx formul´ aval egyen´ert´ek˝ u. (2): Vegy¨ uk ´eszre, hogy g, h ∈ G -re gGx = hGx pontosan akkor ´all fenn, amikor h−1 g ∈ Gx , azaz amikor gx = hx. Ez mutatja egyr´eszt, hogy a gGx 7→ gx lek´epez´es j´ ol defini´ alt, m´ asr´eszt, hogy injekt´ıv. A sz¨ urjektivit´as nyilv´anval´ o. 6.1.12. K¨ ovetkezm´ eny. B´ armely X-beli elem orbitj´anak a sz´amoss´aga a stabiliz´ ator index´evel egyenl˝ o. 6.1.13. Defin´ıci´ o (Szabad hat´ as). Azt mondjuk, hogy a G csoport szabadon hat az X halmazon, ha b´armely X-beli elem stabiliz´atora trivi´alis. Szok´ as ezt u ´gy is mondani, hogy G fixpontmentesen hat X-en. 6.1.14. Defin´ıci´ o (Egyszeresen tranzit´ıv hat´ as). Kiemelt fontoss´aggal b´ırnak azok a csoporthat´ asok, amelyek egyszerre szabadok ´es tranzit´ıvak. Ezeket egyszeresen tranzit´ıv hat´asoknak is szok´as nevezni. A G csoport teh´at pontosan akkor hat egyszeresen tranzit´ıvan az X halmazon, ha b´armely x, y ∈ ∈ X -re egy´ertelm˝ uen l´etezik olyan g ∈ G csoportelem, hogy gx = y. Ilyenkor b´ armely x0 ∈ X elem r¨ogz´ıt´es´evel a g 7→ gx0 lek´epez´es bijekt´ıv G ´es X k¨ oz¨ ott, ´es X-et G-vel izomorf csoportt´a teszi, amelynek x0 az egys´egeleme. (Ha X-et ilyen m´ odon azonos´ıtjuk G-vel, akkor a hat´as G baleltol´asaival t¨ ort´enik.) Az egyszeresen tranzit´ıv csoporthat´assal ell´atott halmazra teh´at u ´gy is gondolhatunk, mint olyan csoportra, amelyben elfelejtett¨ uk”, hol van ” az egys´egelem. 6.1.15. P´ eld´ ak → − • Ha X affin t´er, akkor a hozz´a tartoz´o V = X vektort´er addit´ıv csoportja az eltol´ asok seg´ıts´eg´evel egyszeresen tranzit´ıvan hat X-en. K¨onny˝ u meggondolni, hogy ez a tulajdons´ag az affin t´er fogalm´anak egyen´ert´ek˝ u defin´ıci´ ojak´ent is szolg´alhat: ha valamely vektort´er addit´ıv csoportja egyszeresen tranzit´ıvan hat egy halmazon, akkor ezen a halmazon egy´ertelm˝ uen l´etezik olyan affin strukt´ ura, amelynek az eltol´asai ´eppen az adott hat´ ast alkotj´ ak. • Ha X affin t´er, akkor az Aff (X) affin csoport egyszeresen tranzit´ıvan hat az X-beli rendezett affin b´azisok halmaz´an. • Tetsz˝ oleges V vektort´er eset´en a GL(V ) ´altal´anos line´aris csoport egyszeresen tranzit´ıvan hat a V -beli rendezett b´azisok halmaz´an. • Ha V euklideszi vektort´er, akkor az O(V ) ortogon´alis csoport egyszeresen tranzit´ıvan hat a V -beli rendezett ortonorm´alt b´azisok halmaz´an.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

182

Euklideszi geometria

• Legyen E euklideszi t´er. Ha f : E → E egybev´ag´os´ag ´es x : E → Rd ortonorm´ alt koordin´ atarendszer, akkor jel¨olje f x az x◦f −1 kompoz´ıci´ot (amely szint´en ortonorm´alt koordin´atarendszer). Az (f, x) 7→ f x hozz´ arendel´es ´ altal az I(E) izometriacsoport egyszeresen tranzit´ıv hat´as´at defini´ altuk az E-beli ortonorm´alt koordin´atarendszerek halmaz´an. • A d-dimenzi´ os E euklideszi t´erben z´aszl´onak nevezz¨ uk az olyan Z = = (F1 , F2 , . . . , Fd ) sorozatokat, ahol minden k-ra Fk z´art f´elt´er egy kdimenzi´ os E-beli affin alt´erben, ´es Fk ⊂ ∂Fk+1 (k = 1,2, . . . , d − 1). Az I(E) izometriacsoport egyszeresen tranzit´ıvan hat az E-beli z´aszl´ok halmaz´ an. Ez az el˝ oz˝ o p´eld´ara hivatkozva legegyszer˝ ubben abb´ol l´atszik, hogy bijekt´ıv kapcsolat l´etes´ıthet˝o az ortonorm´alt koordin´atarendszerek ´es a z´ aszl´ ok k¨ oz¨ ott: a 4.2.3-beli jel¨ol´eseket haszn´alva az x : E → Rd ortonorm´ alt koordin´ atarendszerhez illesztett z´aszl´onak mondjuk Z-t, ha minden k-ra az Fk f´elteret az hA0 , A1 , . . . Ak−1 i affin alt´er hat´arolja ´es Ak ∈ Fk . • Tetsz˝ oleges csoportnak a saj´at alaphalmaz´an ak´ar bal-, ak´ar jobbeltol´ asokkal defini´ alt hat´ asa egyszeresen tranzit´ıv. Megjegyz´es. A 6.1.15-beli utols´o p´elda az egyszeresen tranzit´ıv csoporthat´asok protot´ıpusa” abban az ´ertelemben, hogy tulajdonk´eppen b´armely egy” szeresen tranzit´ıv hat´ as ilyen alak´ u. K´ezenfekv˝o ugyanis defini´alni a csoporthat´ assal ell´ atott halmazok k¨ or´eben az izomorfizmus fogalm´at, ´es a 6.1.14. Defin´ıci´ ot k¨ ovet˝ o ´eszrev´etel ´eppen azt mutatja, hogy egy egyszeresen tranzit´ıv csoporthat´ as izomorf a csoportnak o¨nmag´an baleltol´asokkal defini´alt hat´as´aval.

6.2. V´ eges izometriacsoportok Egybev´ ag´ os´ agok v´eges csoportjait vizsg´aljuk euklideszi terekben. A 2- ´es 3dimenzi´ os esetben ezek oszt´ alyoz´as´at is elv´egezz¨ uk ´es f´enyt der´ıt¨ unk kapcsolatukra a klasszikus szab´ alyos poli´ederekkel. ´ ıt´ 6.2.1. All´ as. Ha G ≤ I(E) v´eges r´eszcsoport, akkor G-nek l´etezik E-ben fixpontja, azaz olyan P ∈ E pont, hogy minden g ∈ G-re gP = P . Bizony´ıt´ as: A fixpont el˝ o´ all´ıt´as´ara szolg´al´o al´abbi ki´atlagol´asi” elj´ar´as a ma” tematika m´ as ter¨ uletein is gyakran alkalmazott m´odszer valamely v´eges csoporthat´ asra n´ezve invari´ ans objektum sz´armaztat´as´ara. Legyen X ∈ E tetsz˝ oleges pont ´es tekints¨ uk X orbitj´anak a s´ ulypontj´at, azaz a X 1 gX P = |G| g∈G

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

´ lyos polito ´ pok 6. Szaba

183

affin kombin´ aci´ ot. Bel´ atjuk, hogy P fixpontja minden h ∈ G transzform´aci´onak. A h izometria affinit´ as, ez´ert az affin kombin´aci´ok k´epz´es´evel felcser´elhet˝ o, ´ıgy hP =

X 1 X 1 X 1 h(gX) = (hg)X = kX = P , |G| |G| |G|

g∈G

g∈G

k∈G

ahol a k = hg elem ugyan´ ugy v´egigfut G elemein, ahogy g. A 6.2.1-ben tal´ alt P fixpontot orig´onak v´alasztva G ≤ O(EP ), azaz G egy ortogon´ alis csoport r´esze. M´ ask´ent fogalmazva : 6.2.2. Ko eny. Az I(Rd ) izometriacsoport b´armely v´eges r´eszcso¨vetkezm´ portja konjug´ alt O(d) egy r´eszcsoportj´aval. Bizony´ıt´ as: Val´ oban, ha a p ∈ Rd vektor a G ≤ I(Rd ) v´eges csoport fixpontja, akkor egy az orig´ ot p-be viv˝o izometri´at, p´eld´aul a tp eltol´ast felhaszn´alva a t−1 Gt r´ e szcsoportnak az orig´o fixpontja, ez´ert t−1 p p p Gtp ≤ O(d). Az euklideszi t´er v´eges izometriacsoportjainak vizsg´alatakor elegend˝o teh´at az ortogon´ alis csoport v´eges r´eszcsoportjaira szor´ıtkozni. Megvizsg´aljuk ´es oszt´ alyozzuk O(2) ´es O(3) v´eges r´eszcsoportjait. 6.2.3. P´ eld´ ak • Az R2 s´ıkban b´ armely n ≥ 1-re az orig´o k¨or¨ uli 2kπ/n (k = 0, . . . , n − − 1) sz¨ og˝ u forgat´ asok n-edrend˝ u ciklikus csoportot alkotnak, ´ıgy Zn ≤ ≤ SO(2). • Ha n ≥ 3, akkor a s´ıknak egy orig´o k¨oz´eppont´ u szab´alyos n-sz¨oget onmag´ ara k´epez˝ o egybev´ag´os´agai O(2)-h¨oz tartoznak ´es a 2n rend˝ u ¨ Dn (∼ = Zn o Z2 ) di´edercsoportot alkotj´ak. Meg´allapod´as szerint a di´edercsoportok k¨ oz´e soroljuk a k´et mer˝oleges tengely˝ u t¨ ukr¨oz´es ´altal gener´ alt D2 ∼ Z × Z ´ e s az egyetlen t¨ u kr¨ o z´ e s a ´ ltal gener´ alt D1 ∼ = 2 = Z2 2 csoportot is. ´Igy minden n ≥ 1-re Dn ≤ O(2). ´ ıt´ 6.2.4. All´ as. O(2) b´ armely v´eges r´eszcsoportja ciklikus vagy di´edercsoport. Bizony´ıt´ as: Legyen G ≤ O(2) v´eges. Tegy¨ uk f¨ol el˝osz¨or, hogy G ≤ SO(2). Ekkor G csupa orig´ o k¨ or¨ uli forgat´asb´ol ´all, v´alasszuk ki ezek k¨oz¨ ul a lehet˝o ´ ıtjuk, hogy r gener´alja Glegkisebb pozit´ıv α sz¨ og˝ u r = Rα forgat´ast. All´ t. Ha nem ´ıgy volna, akkor l´etezne olyan g ∈ G forgat´as, amelynek a sz¨oge valamilyen k pozit´ıv eg´eszre szigor´ uan kα ´es (k + 1)α k¨oz´e esne, viszont ekkor a gr−k ∈ G forgat´ as sz¨ oge α-n´al kisebb pozit´ıv ´ert´ek volna, ami ellentmond r v´ alaszt´ as´ anak.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

184

Euklideszi geometria

Ha G  SO(2), akkor a G+ = G ∩ SO(2) r´eszcsoport az eddigiek alapj´an ciklikus, tov´ abb´ a |G : G+ | = 2, hiszen SO(2) indexe 2 az O(2) csoportban. + Legyen n = |G | ´es r = R2π/n gener´atorelem G+ -ban. V´alasszunk egy t ∈ ∈ G − G+ elemet, ekkor t t¨ ukr¨oz´es valamely orig´on ´atmen˝o L egyenesre. Ekkor k = 1, . . . , n − 1 -re az rk t ∈ G elem t¨ ukr¨oz´es L-nek a kπ/n sz¨og˝ u elforgatottj´ ara, ez´ert t-vel egy¨ utt m´ar n darab k¨ ul¨onb¨oz˝o t¨ ukr¨oz´est tal´altunk G-ben. Ezek teh´ at kimer´ıtik az eg´esz G − G+ mell´ekoszt´alyt. Az n ≥ 3 esetben a G csoport teh´ at pontosan valamely szab´alyos n-sz¨og szimmetri´aib´ol all. (Egy ilyen n-sz¨ ´ oget megkaphatunk p´eld´aul u ´gy, hogy v´alasztunk egy orig´ ot´ ol k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o tetsz˝ oleges pontot valamelyik t¨ uk¨ortengelyen, ´es tekintj¨ uk e pont G-orbitj´ anak a konvex burk´at.) Az n = 1 ´es n = 2 esetekben pedig nyilv´ anval´ oan egyetlen, illetve k´et mer˝oleges tengely szerepel. ´ ıt´ast a szakirodalom n´ehol Leonardo da Vinci Megjegyz´esek. (1) A 6.2.4. All´ t´etel´enek nevezi. Fennmaradt jegyzeteinek tan´ us´aga szerint Leonardo val´oban meg´ allap´ıtotta, hogy a s´ıkbeli alakzatok ´es mint´azatok az egy pont k¨or¨ uli szimmetriatulajdons´ agaik alapj´an k´et v´egtelen sorozatot alkot´o t´ıpusokba sorolhat´ ok. Ezek a t´ıpusok a mai matematika nyelv´en ´eppen a 6.2.4-beli csoportoknak felelnek meg. ´ ´ ıt´as nem puszt´an absztrakt izomorfia, ha(2) Eszrevehetj¨ uk, hogy a 6.2.4. All´ nem konjug´ alts´ ag erej´eig oszt´alyozza O(2) v´eges r´eszcsoportjait. K¨ ul¨onbs´eget tett¨ unk a k´etelem˝ u csoportnak forgat´ascsoportk´ent, illetve di´edercsoportk´ent val´ o szerepeltet´ese k¨ oz¨ ott; ezek b´ar izomorf r´eszcsoportok, nem konjug´altak. A di´edercsoportokat egy´ebk´ent nem is mint konkr´et O(2)-beli r´eszcsoportokat adtuk meg: a 6.2.3-beli sz´armaztat´as csak konjug´alts´ag erej´eig defini´alja oket. ˝ 6.2.5. P´ eld´ ak • Az R2 ⊂ R3 tartalmaz´as ´altal induk´alt O(2) ≤ O(3) be´agyaz´as folyt´ an O(2) v´eges r´eszcsoportjai automatikusan megjelennek O(3) r´eszcsoportjaik´ent is. Az ´ıgy nyert ciklikus r´eszcsoportok k¨oz¨os tengely k¨or¨ uli forgat´ asokb´ ol ´ allnak (ez SO(3) r´eszcsoportja), a di´edercsoportok pedig egy k¨ oz¨ os tengely k¨or¨ uli forgat´asokb´ol ´es erre a tengelyre illeszked˝o s´ıkokra vonatkoz´ o t¨ ukr¨oz´esekb˝ol ´allnak. • Az O(2) csoport SO(3)-ba is be´agyazhat´o, m´egpedig az   0
0  A 7→  A A ∈ O(2) 0 0 det A formul´ aval. Az SO(2)-beli forgat´asok k´epei a harmadik koordin´atatengely k¨ or¨ uli forgat´ asok, az O(2) − SO(2) -beli t¨ ukr¨oz´esek k´epei f´elfordu-

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

´ lyos polito ´ pok 6. Szaba

185

latok az els˝ o k´et koordin´atatengely ´altal kifesz´ıtett s´ıkban fekv˝o tengelyek k¨ or¨ ul. Ezzel minden n-re Zn , Dn ≤ SO(3). A Z2 ´es a D1 csoport most – a s´ıkbeli esett˝ ol elt´er˝oen – nemcsak izomorf, hanem konjug´alt is SO(3)-ban, ez´ert meg´allapodunk abban, hogy nem szerepeltetj¨ uk a Dn sorozatban. 6.2.6. Defin´ıci´ o (Szimmetriacsoport, mozg´ ascsoport). Legyen X ⊆ ⊆ E tetsz˝ oleges halmaz az E euklideszi t´erben. Az X halmaz szimmetri´ainak mondjuk azokat az izometri´ akat E-ben, amelyekre n´ezve X invari´ans. A szimmetri´ ak ´ altal alkotott Sym (X) = {f ∈ I(E) : f (X) = X} ≤ I(E) r´eszcsoportot az X halmaz E-beli szimmetriacsoportj´anak nevezz¨ uk. Az X halmaz mozg´ ascsoportja a Sym+ (X) = Sym (X) ∩ I + (E) r´eszcsoport, amely X ir´ any´ıt´astart´o szimmetri´aib´ol, m´as sz´oval mozg´asaib´ol all. B´ ´ armely X ⊆ E-re a mozg´ascsoport indexe legfeljebb 2 a teljes szimmetriacsoportban. Megjegyz´es. B´ armely X ⊆ E halmaz E-beli szimmetri´ainak az X-re t¨ort´en˝o megszor´ıt´ asa az X metrikus t´er izometri´aja. Ez´altal egy Sym (X) → I(X) homomorfizmust defini´ altunk. Megmutathat´o, hogy ez a homomorfizmus sz¨ urjekt´ıv, azaz X izometri´ ai mindig kiterjeszthet˝ok a befoglal´o t´er izometri´aiv´a. Miut´ an egy izometri´ at egy affin b´azis ´es annak k´epe egy´ertelm˝ uen meghat´aroz, a Sym (X) → I(X) homomorfizmus injekt´ıv is abban az esetben, ha X affin burka az eg´esz E. ´ ıt´ 6.2.7. All´ as. Ha P ⊆ E polit´op, dim P = d, akkor P szimmetriacsoportja v´eges. Bizony´ıt´ as: Jel¨ olje X a P polit´op cs´ ucsai halmaz´at, ekkor hXi = E ´es ´ıgy az el˝ oz˝ o megjegyz´es utols´ o mondat´ahoz hasonl´oan ´ervelve a Sym (P ) → SX megszor´ıt´ o lek´epez´es injekt´ıv homomorfizmus a v´eges SX csoportba. V´eges izometriacsoportokra tov´abbi p´eld´ainkat a h´aromdimenzi´os szab´alyos polit´ opok (azaz a klasszikus ´ertelemben vett szab´alyos poli´ederek) szimmetriacsoportjai szolg´ altatj´ ak. Most ezek algebrai szerkezet´et vizsg´aljuk meg. Hasonl´ os´ ag erej´eig ¨ ot szab´ alyos poli´eder l´etezik : a szab´alyos tetra´eder, a kocka, az okta´eder, a dodeka´eder ´es az ikoza´eder. Ezek geometriai ´es kombinatorikai szerkezet´et ismertnek t´etelezz¨ uk fel. Felid´ezz¨ uk a kocka ´es az okta´eder, illetve a dodeka´eder ´es az ikoza´eder k¨oz¨otti dualit´asi viszonyt: mindk´et du´alis p´arban az egyik fajta poli´eder el˝o´all, mint a m´asik lapk¨oz´eppontjainak a konvex burka. Ez maga ut´ an vonja kombinatorikai szerkezet¨ uk du´alis volt´at is.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

186

Euklideszi geometria

6.2.8. P´ eld´ ak • Legyen T szab´ alyos tetra´eder. A szimmetri´ak a n´egy cs´ ucs permut´aci´oit induk´ alj´ ak, ezzel egy Sym (T ) → S4 injekt´ıv homomorfizmust kapunk. Miut´ an a tetra´eder ´eleihez tartoz´o felez˝o mer˝oleges s´ıkokra vonatkoz´o t¨ ukr¨ oz´esek az S4 -beli transzpoz´ıci´okat induk´alj´ak, amelyek gener´atorrendszert alkotnak S4 -ben, ez a homomorfizmus sz¨ urjekt´ıv is. Teh´at Sym (T ) az S4 szimmetrikus csoporttal azonos´ıthat´o. A Sym+ (T ) mozg´ ascsoport ezen bel¨ ul csak az A4 altern´al´o csoport lehet, hiszen S4 -nek nincs m´ as 2 index˝ u r´eszcsoportja. • Legyen K kocka. A k¨oz´eppontos szimmetria a Sym (K) csoport centrum´ ahoz tartozik, m´ asodrend˝ u, ´es nincs benne a Sym+ (K) mozg´ascsoportban. Ez´ert az ´ altala gener´alt Z2 -vel izomorf r´eszcsoport a mozg´ascsoport direkt kieg´esz´ıt˝oje, azaz Sym (K) ∼ = Sym+ (K) × Z2 ´erv´enyes. Vegy¨ uk sz´ amba Sym+ (K) identit´ast´ol k¨ ul¨onb¨oz˝o elemeit. Ezek mindannyian forgat´ asok, m´egpedig olyan tengely k¨or¨ ul, amely k´et ´atellenes cs´ ucsot k¨ ot ¨ ossze (0. t´ıpus), k´et szemk¨ozti ´el felez˝opontj´at k¨oti ¨ossze (1. t´ıpus), vagy pedig k´et szemk¨ozti lap k¨oz´eppontj´at k¨oti ¨ossze (2. t´ıpus). A 0. t´ıpusba 4 tengely k¨or¨ ul 2-2 forgat´as, az 1. t´ıpusba 6 tengely k¨or¨ ul 1-1 forgat´ as, a 2. t´ıpusba 3 tengely k¨or¨ ul 3-3 forgat´as tartozik, ez´ert ezeknek a forgat´ asoknak sz´ama ¨osszesen 4 · 2 + 6 · 1 + 3 · 3 = 23. Az identikus transzform´ aci´ ot is hozz´av´eve kapjuk, hogy a Sym+ (K) csoport rendje 24. Megmutatjuk, hogy Sym+ (K) az S4 szimmetrikus csoporttal izomorf. Tekints¨ uk a kocka n´egy test´atl´oj´at, ezeket a kocka szimmetri´ai egym´as k¨ ozt permut´ alj´ ak, ez´ altal nyer¨ unk egy Sym+ (K) → S4 homomorfizmust. B´ armely transzpoz´ıci´o el˝o´all alkalmas 1. t´ıpus´ u f´elfordulat k´epek´ent, ez´ert ez a homomorfizmus sz¨ urjekt´ıv. Miut´an a k´et csoport rendje egyenl˝ o, sz¨ uks´egk´eppen injekt´ıv is. Teh´at Sym+ (K) ∼ = S4 . A kocka ´es az okta´eder k¨oz¨ott fenn´all´o dualit´as k¨ovetkezt´eben az okta´eder szimmetriacsoportja ´es mozg´ascsoportja ugyanaz, mint a kock´a´e. • Legyen D dodeka´eder. Miut´an D is k¨oz´eppontosan szimmetrikus, a kocka eset´ehez hasonl´ oan Sym (D) ∼ = Sym+ (D) × Z2 . Sz´ amba vessz¨ uk D nem-identikus forgat´asait: a kocka eset´ehez hasonl´o m´ odszerrel t´ıpusokba sorolva 10 · 2 + 15 · 1 + 6 · 4 = 59 -et tal´alunk, az identit´ ast hozz´ av´eve |Sym+ (D)| = 60. Megmutatjuk, hogy Sym+ (D) az A5 altern´al´o csoporttal izomorf. Tekints¨ uk a dodeka´ederbe be´ırhat´o ¨ot kock´at, ezeket a dodeka´eder szimmetri´ ai egym´ as k¨ ozt permut´alj´ak, ez´altal a Sym+ (D) → S5 homomorfizmust nyerj¨ uk. Meggondolhat´o, hogy b´armelyik 0. t´ıpus´ u forgat´as

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

´ lyos polito ´ pok 6. Szaba

187

k´epe h´ armas ciklus, b´ armelyik 1. t´ıpus´ u´e k´et diszjunkt transzpoz´ıci´o szorzata, v´eg¨ ul a 2. t´ıpus´ uak k´epei o¨t¨os ciklusok. Teh´at ennek a homomorfizmusnak a k´epe csak p´aros permut´aci´okb´ol ´all. Viszont az ¨osszes p´ aros permut´ aci´ o el˝ o is ´all k´epk´ent, mert p´eld´aul a h´armas ciklusok gener´ atorrendszert alkotnak A5 -ben, ´es a 0. t´ıpus´ u forgat´asok seg´ıts´eg´evel az ¨ osszes h´ armas ciklus el˝o´all´ıthat´o. V´eg¨ ul a k´et csoport rendj´enek egyenl˝ os´ege miatt Sym+ (D) → A5 izomorfizmus. A dodeka´eder ´es az ikoza´eder du´alis viszonya miatt az ikoza´eder mozg´ ascsoportja is A5 , ´es szimmetriacsoportja A5 × Z2 . 6.2.9. Defin´ıci´ o (Poli´ edercsoportok). A 6.2.8. P´eld´aban vizsg´alt csoportok jel¨ ol´ese ´es hagyom´ anyos elnevez´ese : Sym+ (T ) tetra´edercsoport (izomorf A4 -gyel), Sym+ (K) okta´edercsoport (izomorf S4 -gyel), Sym+ (D) ikoza´edercsoport (izomorf A5 -tel); ¨ osszefoglal´o nev¨ uk : poli´edercsoportok. Ezek mindannyian fell´epnek SO(3) r´eszcsoportjaik´ent, ´es konjug´alts´ag erej´eig egy´ertelm˝ uen vannak ´ertelmezve. Az al´ abbi t´etel – a v´eges forgat´ascsoportok oszt´alyoz´asi t´etele – azt mondja ki, hogy a 6.2.5-ben ´es 6.2.8-ban le´ırt p´eld´akkal SO(3) ¨osszes v´eges r´eszcsoportj´at megtal´ altuk. 6.2.10. T´ etel. SO(3) b´ armely v´eges r´eszcsoportja ciklikus, di´eder- vagy poli´edercsoport, ´es ´ıgy izomorf a Zn (n ≥ 1), Dn (n ≥ 2), A4 , S4 ´es A5 csoportok k¨ oz¨ ul pontosan az egyikkel. Bizony´ıt´ as: Legyen G ≤ SO(3) v´eges, n = |G| ≥ 2. Az S2 egys´egg¨omb SO(3)invari´ ans r´eszhalmaz R3 -ban, ez´ert tekinthetj¨ uk G hat´as´at S2 -n. Jel¨olj¨ uk X2 szel S azon elemeinek a halmaz´at, amelyek stabiliz´atora nem trivi´alis. A G csoport b´ armely nem-identikus eleme k´et ´atellenes pontot tart fixen S2 -ben, m´egpedig a forg´ astengely d¨ of´espontjait. Ezt a k´et pontot nevezz¨ uk a sz´oban forg´ o csoportelem p´ olusainak. Vil´agos, hogy X azonos az ¨osszes lehets´eges p´ olus alkotta halmazzal, ´es ´ıgy v´eges. ´ ıt´ A 6.1.11.(1) All´ as alapj´ an az X halmaz G-invari´ans, ´ıgy tekinthetj¨ uk a G csoport hat´ as´ at az X v´eges halmazon. Minden p ∈ X-re jel¨olj¨ uk mp -vel a Gp stabiliz´ ator rendj´et, ekkor mp ≥ 2 eg´esz sz´am. Sz´aml´aljuk ¨ossze a p´olusokat (multiplicit´ assal) k´etf´elek´eppen. El˝osz¨or is G minden nem-identikus eleme 2 p´ olust sz´ armaztat, ´ıgy ¨osszesen 2(n−1) p´olust kapunk. Ekkor viszont mindegyik p´ olust annyiszor sz´amoltunk, ah´any nem-identikus csoportelemnek ugyanaz a p´ olusa, vagyis a p ∈ X p´olust (mp − 1)-szer. Ez´ert X 2(n − 1) = (mp − 1) . p∈X

(Eg´eszen pontosan ez a mennyis´eg azoknak a (g, p) ∈ G × X p´aroknak a sz´ ama, amelyekre g 6= 1 ´es gp = p.)

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

188

Euklideszi geometria

´ ıt´ A 6.1.11.(1) All´ as miatt ugyanahhoz az orbithoz tartoz´o p p´olusokra az mp rend ugyanakkora. Ez´ert a jobb oldali o¨sszeget ´erdemes az orbitok szerint csoportos´ıtani: X n 2(n − 1) = (mp − 1) , mp orbitok

ahol p az orbit egy (tetsz˝ oleges) reprezent´ansa, az n/mp sz´am pedig 6.1.11.(2) alapj´ an az orbit elemsz´ ama. Az n sz´ammal v´egigosztva az al´abbi alapegyenletet kapjuk:  X  1 2 1− . 2− = n mp orbitok

Az egyenlet bal oldala az [1,2) intervallumba, a jobb oldali ¨osszeg minden tagja pedig az [1/2,1) intervallumba esik. Ez´ert a tagok sz´ama, azaz a Ghat´ as orbitjainak a sz´ ama csak 2 vagy 3 lehet. 1. eset: 2 G-orbit van. Jel¨ olj¨ uk m1 -gyel ´es m2 -vel a megfelel˝o rendeket, ekkor az alapegyenletb˝ol atrendez´essel ´ 1 1 2 + = m1 m2 n ad´ odik. Ez m1 , m2 ≤ n miatt csak m1 = m2 = n mellett teljes¨ ulhet. Ekkor az eg´esz G csoport fixen hagy egy ´atellenes p´olusp´art, azaz G ∼ = Zn ciklikus. A tov´ abbiakban tegy¨ uk f¨ ol, hogy 3 G-orbit van. Legyenek a hozz´ajuk tartoz´o rendek n¨ ovekv˝ o sorrendben m1 ≤ m2 ≤ m3 . Az alapegyenletb˝ol ´atrendez´essel az 1 1 1 2 + + =1+ m1 m2 m3 n egyenletet kapjuk. Ebb˝ ol m1 = 2 k¨ovetkezik, ugyanis m1 ≥ 3 eset´en a bal oldal legfeljebb 1 lenne. Az alapegyenlet ezzel az 1 1 1 2 + = + m2 m3 2 n alakra reduk´ alhat´ o. Itt m2 csak 2 vagy 3 lehet, ugyanis m2 ≥ 4 eset´en a bal oldal legfeljebb 1/2 lenne. 2. eset: m2 = 2. Ekkor az alapegyenletb˝ ol m3 = n/2 k¨ovetkezik. Ez azt jelenti, hogy G-nek van egy n/2 rend˝ u, azaz 2 index˝ u r´eszcsoportja, amelynek az elemei ugyanazon tengely k¨ or¨ uli forgat´ asok. Emiatt ez a r´eszcsoport ciklikus. A G csoport fennmarad´ o elemei m1 = m2 = 2 miatt mindannyian m´asodrend˝ uek, azaz f´elfordulatok. Ezek a f´elfordulatok a harmadik, k´etelem˝ u orbitot ¨onmag´aba k´epezik, ez´ert tengelyeik mer˝olegesek az n/2 rend˝ u ciklikus r´eszcsoport tengely´ere. Ezek˝ ol a meg´ allap´ıt´asokb´ol m´ar l´atszik, hogy a 6.2.5-beli m´asodik p´eld´ aban szerepl˝ o Dn/2 di´edercsoportr´ol van sz´o.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

´ lyos polito ´ pok 6. Szaba

189

A tov´ abbiakban legyen m2 = 3. Ekkor az alapegyenlet az 1 1 2 = + m3 6 n alakot ¨ olti, ahonnan k¨ ovetkezik, hogy m3 csak 3, 4 vagy 5 lehet. 3. eset: m3 = 3. Ekkor az egyenletb˝ ol n = 12. Tekints¨ uk a harmadik orbitot: ez egy n´egy pontb´ ol ´ all´ o halmaz az S2 g¨ ombfel¨ uleten, amely invari´ans azokra a harmadrend˝ u forgat´ asokra, amelyeknek a tengelyei az orig´on ´es a n´egy pont valamelyik´en haladnak ´ at. Emiatt a pontok h´armank´ent szab´alyos h´aromsz¨oget fesz´ıtenek ki, azaz egy¨ utt szab´ alyos tetra´edert. A G csoport ennek a tetra´edernek a forgat´ asaib´ ol ´ all ´es 12 rend˝ u, ez´ert azonos a tetra´eder mozg´ascsoportj´aval. 4. eset: m3 = 4. Ekkor n = 24. Most a harmadik orbit hatelem˝ u ; megmutatjuk, hogy egy okta´eder hat cs´ ucs´ ar´ ol van sz´ o. V´alasszuk ki egyik¨ uket. A rajta ´atmen˝o tengely k¨ or¨ uli forgat´ asokb´ ol ´ all´ o negyedrend˝ u ciklikus r´eszcsoport a t¨obbi ¨ot pontb´ol all´ ´ o halmazt saj´ at mag´ aba k´epezi, ez´ert k¨ozt¨ uk kell lennie a kiv´alasztottal ´atellenes pontnak, valamint a marad´ek n´egynek n´egyzetet kell kifesz´ıtenie egy a tengelyre mer˝ oleges s´ıkban. Miut´an a kiv´alasztott pont b´armelyik lehet az orbit hat eleme k¨ oz¨ ul, k¨ ovetkezik, hogy az orbit k¨oz´eppontosan szimmetrikus, ´es ´ıgy val´ oban okta´edert fesz´ıt ki. A G csoport ennek az okta´edernek a forgat´ asaib´ ol ´ all ´es 24 rend˝ u, ez´ert azonos az okta´eder mozg´ascsoportj´aval. 5. eset: m3 = 5. Ekkor n = 60. A harmadik orbit 12 elem˝ u. Egyik elem´et kiv´alasztva a rajta atmen˝ ´ o tengely k¨ or¨ uli ¨ ot¨ odrend˝ u szimmetria miatt a marad´ek 11 pont csak u ´gy helyezkedhet el, hogy egyik¨ uk a kiv´alasztottal ´atellenes pont ´es a t¨obbi 10 k´et szab´ alyos ¨ otsz¨ oget alkot a tengelyre mer˝oleges s´ıkokban. Az orbit teh´ at k¨ oz´eppontosan szimmetrikus ´es a k´et ¨otsz¨og is egym´as k¨oz´eppontosan szimmetrikus k´epei. A 12 pont b´armelyik´enek egyenl˝o a t´avols´aga a hozz´a k¨ozelebb es˝ o¨ otsz¨ og mindegyik cs´ ucs´at´ol, ´es ez a t´avols´ag ugyanakkora a 12 pont b´ armelyike eset´en. Ezekb˝ ol a tulajdons´agokb´ol m´ar l´atszik, hogy az orbit egy ikoza´eder cs´ ucsaib´ ol ´ all. A G csoport ennek az ikoza´edernek a forgat´asaib´ol all ´es 60 rend˝ ´ u, ez´ert azonos az ikoza´eder mozg´ascsoportj´aval. Megjegyz´esek. (1) A 6.2.10. T´etel bizony´ıt´asa a v´eges forgat´ascsoportokat az SO(3)-beli konjug´ alts´ ag erej´eig oszt´alyozza. Ez egybeesik az izomorfia szerinti oszt´ alyoz´ assal. (2) Az O(3) ∼ = SO(3) × Z2 izomorfi´at felhaszn´alva a 6.2.10. T´etelb˝ol k¨onnyen levezethet˝ o O(3) v´eges r´eszcsoportjainak a teljes oszt´alyoz´asa. Nem neh´ez meggondolni p´eld´ aul, hogy ezek k¨oz¨ott a csoportok k¨oz¨ott csak a G × Z2 (G ≤ SO(3)) alak´ uak azok, amelyek nem izomorfak a 6.2.10-ben felsoroltak egyik´evel sem.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

190

Euklideszi geometria

6.3. Szab´ alyos polit´ opok Az el˝ oz˝ o szakaszban l´ attuk, hogy 2 ´es 3 dimenzi´oban szoros kapcsolat van a v´eges izometriacsoportok ´es a szab´alyos soksz¨ogek, illetve szab´alyos poli´ederek szimmetri´ ai k¨ oz¨ ott. A magasabb dimenzi´oj´ u szab´alyos polit´opokat is szimmetriatulajdons´ agaikon kereszt¨ ul defini´aljuk, majd hasonl´os´ag erej´eig oszt´ alyozzuk ˝ oket. 6.3.1. Defin´ıci´ o (Lapz´ aszl´ o). Legyen P ⊆ E polit´op, tegy¨ uk f¨ol, hogy dim P = d. A P polit´ op lapz´ aszl´oin azokat az (L0 , L1 , . . . , Ld−1 ) sorozatokat ´ertj¨ uk, ahol minden i-re Li < P lap, dim Li = i, ´es minden i < j -re Li < Lj . Az L(P ) laph´ al´ oban b´ armely val´odi lapokb´ol ´all´o maxim´alis rendezett l´anc hossza d, azaz 0-t´ ol (d − 1) -ig minden dimenzi´oban szerepel benne lap. Emiatt P lapz´ aszl´ oi pontosan az L(P ) laph´al´o val´odi lapokb´ol ´all´o maxim´alis rendezett l´ ancai. Ebb˝ ol az is k¨ ovetkezik, hogy P b´armely val´odi lapja (s˝ot, val´odi lapok b´armely tartalmaz´ asra rendezett r´eszhalmaza) belefoglalhat´o P -nek legal´abb egy lapz´ aszl´ oj´ aba. ´ ıt´ 6.3.2. All´ as. Ha a P polit´op egy szimmetri´aja P valamely lapz´aszl´oj´at onmag´ ara k´epezi, akkor ez a szimmetria identikus P -n. ¨ Bizony´ıt´ as: Feltehet˝ o, hogy dim P = d. Feleltess¨ uk meg az (L0 , L1 , . . . , Ld−1 ) lapz´ aszl´ onak azt az egyetlen E-beli (F1 , F2 , . . . , Fd ) z´aszl´ot (l. 6.1.15), amelyre hLi−1 i = rel∂Fi ´es Fi ⊂ hLi i (i = 1, . . . , d − 1), valamint Fd az hLd−1 i hipers´ık hat´ arolta, P -t tartalmaz´o f´elt´er. A megfeleltet´es egy´ertelm˝ us´ege miatt a sz´ oban forg´ o szimmetria fixen hagy egy E-beli z´aszl´ot, ez´ert a 6.1.15-beli hatodik p´eld´ ara hivatkozva ez a szimmetria csak identikus lehet. 6.3.3. Defin´ıci´ o (Szab´ alyos polit´ op). A P ⊆ E polit´opot szab´alyosnak mondjuk, ha a Sym (P ) csoport tranzit´ıvan hat P lapz´aszl´oi halmaz´an. ´ ıt´as miatt ez a hat´as egyszereHa dim P = d ´es P szab´ alyos, akkor a 6.3.2. All´ sen tranzit´ıv. Ez´ert ilyenkor a Sym (P ) csoport rendje egyenl˝o P lapz´aszl´oinak ´ ıt´as k¨ovetkezt´eben b´armely (nem felt´etlen¨ a sz´ am´ aval. Ugyancsak a 6.3.2 All´ ul szab´ alyos) d-dimenzi´ os P polit´op eset´eben egy lapz´aszl´ot valamelyik m´asikba P -nek legfeljebb egy szimmetri´aja vihet, ez´ert ´altal´aban a szimmetriacsoport rendje legfeljebb a lapz´ aszl´ ok sz´am´aval egyenl˝o. A szab´alyoss´ag defin´ıci´oja teh´ at a polit´ op lehet˝ o legnagyobb m´ert´ek˝ u szimmetri´aj´at k¨oveteli meg. K¨ onnyen ellen˝ orizhet˝ o, hogy d = 2 ´es d = 3 eset´en a szab´alyos polit´opok pontosan azok a soksz¨ ogek, illetve poli´ederek, amelyek a szok´asos h´etk¨oznapi ´ertelemben szab´ alyosak.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

´ lyos polito ´ pok 6. Szaba

191

´ ıt´ 6.3.4. All´ as. Legyen P ⊆ E szab´alyos polit´op. (1) P -nek l´etezik k¨ or¨ ul´ırt hiperg¨ombje (azaz olyan hiperg¨omb, amely P mindegyik cs´ ucs´ an ´ athalad), valamint be´ırt hiperg¨ombje (azaz olyan hiperg¨ omb, amelyet P mindegyik hiperlapja ´erint). E k´et hiperg¨ombnek k¨ oz¨ os a k¨ oz´eppontja. (2) P b´ armely val´ odi lapja szab´alyos polit´op. (3) Ha f : E → E 0 hasonl´ os´ag, akkor az f (P ) polit´op is szab´alyos. Bizony´ıt´ as: (1): A Sym (P ) ≤ I(E) v´eges izometriacsoportnak 6.2.1 szerint l´etezik fixpontja, legyen ez O. A P polit´op cs´ ucsai P szab´alyoss´aga miatt ennek a v´eges csoportnak egy orbitj´at alkotj´ak, ez´ert mindannyian ugyanolyan t´ avol vannak O-t´ ol ´es egy O k¨or¨ uli hiperg¨ombre illeszkednek. A hiperlapok halmaz´ an a Sym (P ) csoport ugyancsak tranzit´ıvan hat, ez´ert O t´avols´aga ugyanannyi mindegyik hiperlapot tart´o hipers´ıkt´ol, azaz ezek a hipers´ıkok egy O k¨ or¨ uli hiperg¨ omb¨ ot ´erintenek. Miut´an ez a hiperg¨omb P -nek r´eszhalmaza, az ´erint´esi pontok magukon a hiperlapokon vannak. (2): Ha L a P polit´ op tetsz˝ oleges val´odi lapja, akkor L lapz´aszl´oi pontosan a P polit´ op L-et tartalmaz´ o lapz´aszl´oinak az L valamely hiperlapj´aban v´egz˝od˝o kezd˝ oszeletei. Ez´ert Sym (P )-nek az a r´eszcsoportja, amely az L-et ¨onmag´ara k´epez˝ o szimmetri´ akb´ ol ´ all, tranzit´ıvan hat L lapz´aszl´oi halmaz´an. (3): Egyr´
eszt az f (P ) polit´op lapz´aszl´oi pontosan az f (L0 ), f (L1 ), . . . , f (Ld−1 ) alak´
u sorozatok, ahol (L0 , L1 , . . . , Ld−1 ) a P lapz´aszl´oja, m´asr´eszt Sym f (P ) = f ◦ Sym (P ) ◦ f −1 . Ezekb˝ol az ´all´ıt´as r¨ogt¨on k¨ovetkezik. Megjegyz´es. A tov´ abbiakban a P szab´alyos polit´op k¨oz´eppontj´anak mondjuk a k¨ or¨ ul´ırt (vagy be´ırt) hiperg¨omb k¨oz´eppontj´at. Miut´an 6.3.4.(2) szerint P lapjai is szab´ alyosak, tekinthetj¨ uk a lapok k¨oz´eppontjainak a rendszer´et, ezek is ´erdekes szimmetriatulajdons´agokat f¨olmutat´o v´eges pontrendszerek. Mindegyik lap k¨ oz´eppontja a sz´oban forg´o lap Sym (P )-beli stabiliz´ator´anak (azaz a lapot mint r´eszhalmazt ¨onmag´aba k´epez˝o csoportelemek alkotta r´eszcsoportnak) az egyetlen fixpontja a lap affin burk´aban. B´armely r¨ogz´ıtett 1 ≤ i ≤ d mellett az i-dimenzi´os lapok k¨oz´eppontjai Sym (P ) egy orbitj´ at alkotj´ ak, ´es ´ıgy egy (i-t˝ ol f¨ ugg˝o sugar´ u) hiperg¨omb¨on helyezkednek el P k¨ oz´eppontja k¨ or¨ ul. Tekints¨ uk p´eldak´eppen a d = 3, i = 1 esetet: a szab´alyos tetra´eder ´elfelez˝ o pontjai egy szab´alyos okta´eder cs´ ucsai, m´ıg a t¨obbi h´ aromdimenzi´ os szab´ alyos polit´op ´elfelez˝o pontjai f´elig szab´alyos” poli´edert ” fesz´ıtenek ki: kubokta´edert a kocka ´es az okta´eder eset´eben, ikozidodeka´edert az ikoza´eder ´es a dodeka´eder eset´eben. K¨ ul¨on¨os figyelmet ´erdemel az i = d−1 eset, azaz a hiperlapok k¨ oz´eppontjainak a rendszere, ezek a pontok ´eppen a be´ırt hiperg¨ omb ´erint´esi pontjai.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

192

Euklideszi geometria

6.3.5. T´ etel. Jel¨ olje Q a P ⊆ E polit´op hiperlapjai k¨oz´eppontjainak a konvex burk´ at. Ha P szab´ alyos, akkor Q is szab´alyos polit´op, ´es P -hez k´epest du´alis kombinatorikai szerkezet˝ u. Bizony´ıt´ as: A pol´ aris polit´ op 3.4-beli konstrukci´oj´at ´es tulajdons´agait haszn´ aljuk ki. V´ alasszuk orig´ onak a P polit´op k¨oz´eppontj´at, ez´altal az E teret azonos´ıtjuk a V euklideszi vektort´errel. A skal´aris szorz´as seg´ıts´eg´evel a V ∗ du´ alis teret V -vel azonosnak tekinthetj¨ uk. (Enn´el az azonos´ıt´asn´al a v ∈ V vektornak az az αv : V → R line´aris forma felel meg, amelyn´el αv (w) = = hv, wi (w ∈ V ); itt a v 7→ αv lek´epez´es nyilv´an line´aris izomorfizmus V ´es V ∗ k¨ oz¨ ott.) Mivel most V ∗ = V = E, a P ∗ ⊆ V ∗ pol´aris polit´op P -vel egy¨ utt ugyancsak az E t´erben van. Feltehetj¨ uk, hogy P be´ırt hiperg¨ombje egys´egnyi sugar´ u. Legyen w a P ∗ polit´ op cs´ ucsa. Ekkor a Hw = {v ∈ V : hv, wi = 1} affin hipers´ık P ∗∗ -nak, azaz P -nek egy hiperlapj´at tartalmazza ´es ´ıgy a P -be be´ırt egys´egg¨ omb¨ ot ´erinti. Ez´ert kwk = 1 ´es w az ´erint´esi pont. Teh´at w val´oban P egy lapj´ anak, m´egpedig a w lapnak a k¨oz´eppontja. Miut´an a w 7→ w megfeleltet´es bijekt´ıv P ∗ cs´ ucsai ´es P hiperlapjai k¨oz¨ott, a P ∗ pol´aris polit´opnak a cs´ ucsai val´ oban pontosan P hiperlap-k¨oz´eppontjai, azaz Q = P ∗ . Nyilv´ anval´ o, hogy Sym (Q) = Sym (P ). Az L(P ) ´es L(Q) laph´al´ok du´alisan izomorf volta miatt bijekt´ıv kapcsolat ´all fenn P ´es Q lapz´aszl´oi k¨oz¨ott, m´egpedig a laponk´enti dualiz´ al´ assal, azaz az (L0 , L1 , . . . , Ld−1 ) 7→ (Ld−1 , . . . , L1 ,  L0 ) hozz´ arendel´essel. B´ armely f ∈ Sym (P ) szimmetri´an´al f (Li ) = f (Li ) , ez´ert a szimmetriacsoport a Q polit´op lapz´aszl´oi halmaz´an is tranzit´ıvan hat. Megjegyz´es. Ha P ´es Q a 6.3.5. T´etel szerinti viszonyban ´all, akkor Q-nak a k¨ oz¨ os k¨ oz´eppontb´ ol t¨ ort´en˝o alkalmas ar´any´ u nagy´ıt´as´aval el´erhet˝o, hogy P cs´ ucsai essenek Q hiperlap-k¨oz´eppontjaiba. Teh´at a szab´alyos polit´opok hasonl´ os´ agi oszt´ alyai k¨ or´eben a t´etelben le´ırt geometriai dualit´asi viszony szimmetrikus rel´ aci´ o. 6.3.6. P´ eld´ ak
• Standard d-szimplexnek nevezz¨ uk a ∆d = conv {e1 , e2 , . . . , ed+1 } ⊂ ⊂ Rd+1 polit´ opot. A ∆d szimplex az x1 + x2 + . . . + xd+1 = 1 egyenlet˝ u hipers´ıkot fesz´ıti ki az Rd+1 koordin´atat´erben. ∆d lapz´aszl´oi bijekt´ıv kapcsolatban ´ allnak az {1,2, . . . , d + 1} halmaz permut´aci´oival annak az (L0 , L1 , . . . , Ld−1 ) ↔ σ ∈ Sd+1 megfeleltet´esnek a r´ev´en, amelyn´
el L0 = {eσ(1) } ´es minden 1 ≤ i ≤ (d−1) -re Li = conv Li−1 ∪{eσ(i+1) } . Az Sd+1 szimmetrikus csoport a koordin´at´ak permut´aci´oi r´ev´en izometrikusan hat az Rd+1 t´eren ´es az ∆d szimplexet ¨onmag´ara k´epezi. Ez´ert ∆d szimmetriacsoportj´ anak legal´abb annyi eleme van, mint a lapz´aszl´ok

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

´ lyos polito ´ pok 6. Szaba

193

sz´ ama, teh´ at ∆d szab´ alyos polit´op ´es Sym (∆d ) ∼ = Sd+1 . Egy polit´opot szab´ alyos d-dimenzi´ os szimplexnek nevez¨ unk, ha hasonl´o ∆d -hez.
• A d = conv {(±1, ±1, . . . , ±1)} ⊂ Rd polit´opot (ahol az el˝olejek kiv´ alaszt´ as´ at az o uk) stan¨sszes lehets´eges 2d m´odon tekintetbe vessz¨ dard d-kock´ anak nevezz¨ uk. A lapz´aszl´ok lesz´aml´al´as´ahoz k´enyelmesebb a hozz´ a hasonl´ o [0,1]d egys´egkock´at tekinteni, amelyben az orig´obeli cs´ uccsal kezd˝ od˝ o lapz´aszl´ok nyilv´anval´oan bijekt´ıv megfeleltet´esben allnak ∆d−1 lapz´ ´ aszl´ oival. Miut´an d cs´ ucsainak a sz´ama 2d , ebb˝ol az d ad´ odik, hogy a standard d-kock´anak 2 · d! lapz´aszl´oja van. Tekints¨ uk O(d)-nek azt a r´eszcsoportj´at, amely a koordin´at´akon (egym´ast´ol f¨ uggetlen¨ ul) v´egrehajthat´ o el˝ojelv´alt´asokb´ol, tov´abb´a a koordin´at´ak permut´ aci´ oib´ ol ´ all. Nem neh´ez ellen˝orizni, hogy ez a csoport a Zd2 o Sd szemidirekt szorzat (ahol Sd u ´gy hat a Zd2 norm´aloszt´on, hogy a t´enyez˝oket permut´ alja). Ezek a transzform´aci´ok mindannyian d szimmetri´ai, ´es ennek a csoportnak a rendje 2d · d! . ´Igy teh´at d szab´alyos polit´op, ´es Sym (d ) ∼ unk, = Zd2 o Sd . Egy polit´opot d-dimenzi´os kock´anak nevez¨ ha hasonl´ o d -hez. • A ♦d = conv ({±e1 , ±e2 , . . . , ±ed }) ⊂ Rd polit´opot standard d-dimenzi´ os keresztpolit´ opnak nevezz¨ uk. A conv ({e1 , e2 , . . . , ed }) hiperlap a ∆d−1 szimplexszel azonos, ´es ♦d -nek 2d egybev´ag´o hiperlapja van. Ez´ert ♦d lapz´ aszl´ oinak a sz´ ama 2d · d! . Miut´an ♦d cs´ ucsai ´eppen d hiperlapd ∼ d jainak a k¨ oz´eppontjai, Sym (♦ ) = Sym ( ), ´es d ´es ♦d egym´as geometriai du´ alisai. Teh´ at ♦d is szab´alyos polit´op ´es Sym (♦d ) ∼ = Zd2 o Sd . Egy polit´ opot szab´ alyos d-dimenzi´os keresztpolit´opnak nevez¨ unk, ha hasonl´ o ♦d -hez. 6.3.7. Defin´ıci´ o (Cs´ ucsalakzat). Legyen P ⊂ E szab´alyos polit´op, dim P ≥ ≥ 1, ´es legyen A a P polit´ op cs´ ucsa. Jel¨olj¨ uk V -vel a P polit´op A-val szomsz´edos cs´ ucsainak a halmaz´ at. A V halmaz teh´at azokb´ol a P -beli B cs´ ucsokb´ol all, amelyekre az [A, B] szakasz ´ele P -nek. A P polit´op A-beli cs´ ´ ucsalakzat´an a C(A, P ) = conv (V ) polit´ opot ´ertj¨ uk. A P polit´op szab´alyos volta miatt az osszes A ∈ P cs´ ucsra a C(A, P ) cs´ ucsalakzat egybev´ag´o, ez´ert bevezetj¨ uk r´a ¨ az A-t´ ol f¨ uggetlen C(P ) jel¨ ol´est. A C(P ) cs´ ucsalakzatot teh´at a P polit´op egybev´ ag´ os´ ag erej´eig egy´ertelm˝ uen hat´arozza meg. ´ ıt´ 6.3.8. All´ as. Legyen P szab´alyos polit´op, dim P = d ≥ 1, A ∈ P tetsz˝oleges cs´ ucs, L < P tetsz˝ oleges hiperlap, ´es O a P k¨oz´eppontja. Ekkor: (1) dim C(A, P ) = d − 1 ´es hC(A, P )i az hA, Oi egyenesre mer˝oleges hipers´ık. (2) C(A, P ) szab´ alyos polit´op.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

194

Euklideszi geometria


(3) P cs´ ucsainak a sz´ ama a |Sym (P )| |Sym C(A, P ) | h´anyadossal, hiperlapjainak a sz´ ama a |Sym (P )| |Sym (L)| h´anyadossal egyenl˝o. Bizony´ıt´ as: (1): Tekints¨ uk az A cs´ ucs stabiliz´ator´at a Sym (P ) szimmetriacsoportban, ez pontonk´ent fixen tartja az hA, Oi egyenest. Az A-val szomsz´edos P -beli cs´ ucsok V halmaza a Sym (P )A stabiliz´ator egy orbitja, ez´ert benne van egy hA, Oi-ra mer˝ oleges hipers´ıkban. V´eg¨ ul dimhA, V i = dim P = d miatt dim C(A, P ) = dimhV i = d − 1. (2): Jel¨ olje H a hC(A, P )i hipers´ıkot. Az L ↔ H ∩ L megfeleltet´es minden i-re bijekt´ıv a P polit´ op A-t tartalmaz´o (i + 1) -dimenzi´os lapjai ´es a C(A, P ) cs´ ucsalakzat i-dimenzi´os lapjai k¨oz¨ott. Ez´altal C(A, P ) lapz´aszl´oi ´es P -nek az A cs´ uccsal kezd˝ od˝o lapz´aszl´oi k¨oz¨ott kapunk bijekt´ıv megfeleltet´est. Az ut´ obbi halmazon a Sym (P )A stabiliz´ator tranzit´ıvan hat, ugyanakkor Sym (P )A ≤ Sym C(A, P ). Ez´ert C(A, P ) szab´alyos. (3): Tekints¨ uk a Sym (P ) csoport hat´as´at egyr´eszt a cs´ ucsok halmaz´an, m´asr´eszt a hiperlapok halmaz´ an; az ´all´ıt´as k¨ozvetlen¨ ul ad´odik 6.1.11.(2)-b˝ol. 6.3.9. P´ eld´ ak. B´ armely szab´alyos soksz¨og cs´ ucsalakzata szakasz. A h´aromdimenzi´ os szab´ alyos poli´ederek k¨oz¨ ul a tetra´eder, a kocka ´es a dodeka´eder cs´ ucsalakzata szab´ alyos h´ aromsz¨og, az okta´eder´e n´egyzet, az ikoza´eder´e szab´ alyos ¨ otsz¨ og. A 6.3.6-beli magasabb dimenzi´os szab´alyos polit´opok k¨oz¨ ul a szab´ alyos d-szimplex ´es a d-dimenzi´os kocka cs´ ucsalakzata szab´alyos (d − 1)szimplex, a szab´ alyos d-dimenzi´os keresztpolit´op´e szab´alyos (d−1)-dimenzi´os keresztpolit´ op. 6.3.10. Defin´ıci´ o (Schl¨ afli-szimb´ olum). A legal´abb 2-dimenzi´os szab´alyos P polit´ opokra a d = dim P dimenzi´o szerinti rekurzi´oval ´ertelmezz¨ uk az (s1 , s2 , . . . , sd−1 ) Schl¨ afli-szimb´olumot (m´egpedig 2-n´el nagyobb eg´esz sz´amoknak egy P -t˝ ol f¨ ugg˝ o, d − 1 hossz´ us´ag´ u sorozat´at) a k¨ovetkez˝ok´eppen. Ha d = 2, akkor s1 egyenl˝ o a P soksz¨og oldalsz´am´aval. Tegy¨ uk fel, hogy d > 2 ´es minden d-n´el alacsonyabb (legal´abb 2) dimenzi´oj´ u polit´ opra m´ ar defini´ altuk a Schl¨afli-szimb´olumot. Legyen ekkor s1 a P -beli 2-dimenzi´ os lapok oldalsz´ ama, ´es legyen (s2 , . . . , sd−1 ) a C(P ) cs´ ucsalakzat Schl¨ afli-szimb´ oluma. ´ ıt´ 6.3.11. All´ as. A P szab´ alyos polit´op Schl¨afli-szimb´olum´at az L(P ) laph´al´o egy´ertelm˝ uen meghat´ arozza, m´egpedig a k¨ovetkez˝ok´eppen : Legyen 1 ≤ i ≤ d − 1 tetsz˝oleges. V´alasszunk olyan Li−2 , Li+1 ∈ L(P ) elemeket, hogy dim Li−2 = i − 2, dim Li+1 = i + 1 ´es Li−2 < Li+1 teljes¨ ulj¨on. Tekints¨ uk a laph´ al´ o Li−2 ´es Li+1 k¨oz¨otti intervallum´at, azaz az [Li−2 , Li+1 ] = {L ∈ L(P ) : Li−2 ≤ L ≤ Li+1 }

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

´ lyos polito ´ pok 6. Szaba

195

r´eszben rendezett halmazt. Ez az intervallum izomorf valamilyen soksz¨og laph´ al´ oj´ aval; az si sz´ am ennek a soksz¨ognek az oldalsz´ama. Bizony´ıt´ as: Az ´ all´ıt´ ast i szerinti teljes indukci´oval l´atjuk be. Az i = 1 kiindul´o esetben az [∅, L2 ] intervallum a 2-dimenzi´os L2 lap laph´al´oja, ez´ert az ´all´ıt´as ekkor mag´ at´ ol ´ertet˝ od˝ o. Ha i > 1, akkor szemelj¨ unk ki egy A ∈ P cs´ ucsot, ´es az (i − 1)-re vonatkoz´ o indukci´os feltev´est a C(A, P ) cs´ ucsalakzatra alkalmazzuk: az [A, P ] intervallum a C(A, P ) cs´ ucsalakzat laph´al´oj´aval izomorf, ´es enn´el az izomorfizmusn´ al az [Li−2 , Li+1 ] ⊆ L(P ) intervallum eggyel
alacsonyabb dimenzi´ oj´ u lapok k¨ ozti intervallumnak felel meg L C(A, P ) -ben. 6.3.12. K¨ ovetkezm´ enyek. (1) Ha a P szab´ alyos polit´op Schl¨afli-szimb´oluma (s1 , . . . , sd−1 ) ´es L ≤ P tetsz˝ oleges k-dimenzi´ os lap, ahol 2 ≤ k ≤ d, akkor az L polit´op Schl¨afliszimb´ oluma (s1 , . . . , sk−1 ). (2) Ha a P ´es Q szab´ alyos polit´opok du´alis kombinatorikai szerkezet˝ uek ´es P Schl¨ afli-szimb´ oluma (s1 , . . . , sd−1 ), akkor Q-´e (sd−1 , . . . , s1 ). Bizony´ıt´ as: (1): Az L polit´ op laph´al´oja az [∅, L] intervallum L(P )-ben, ez´ert az si (i = 1, . . . , k − 1) sz´ amokat 6.3.11 szerint meghat´aroz´o [Li−2 , Li+1 ] intervallumok azonosak P ´es L eset´eben. (2): Az L(P ) ´es L(Q) laph´ al´ok du´alisan izomorfak, ez´ert 6.3.11-b˝ol r¨ogt¨on k¨ ovetkezik az eredm´eny. 6.3.13. P´ eld´ ak. A dodeka´eder Schl¨afli-szimb´oluma (5,3), az ikoza´eder´e (3,5). A dimenzi´ o szerinti indukci´ oval k¨onnyen l´athat´o, hogy a szab´alyos szimplex Schl¨ afli-szimb´ oluma (3, . . . ,3), a kock´a´e (4,3, . . . ,3), a keresztpolit´op´e (3, . . . ,3,4). 6.3.14. Defin´ıci´ o (η(P )). Tetsz˝oleges, legal´abb 2-dimenzi´os P szab´alyos polit´ opra η(P )-vel jel¨ olj¨ uk az l2 /4r2 mennyis´eget, ahol l a P ´el´enek a hossza, r pedig a P k¨ or´e ´ırhat´ o hiperg¨omb sugara. Az η(P ) sz´ am nyilv´ anval´ oan invari´ans a hasonl´os´agi transzform´aci´okkal szemben. K¨ ozvetlen sz´ amol´ assal k¨ onnyen ellen˝orizhet˝o, hogy η(∆d ) = (d+1)/2d, η(d ) d = 1/d ´es η(♦ ) = 1/2. 6.3.15. Lemma. Ha (s1 , . . . , sd−1 ) a P szab´alyos polit´op Schl¨afli-szimb´oluma, akkor cos2 sπ1
. η(P ) = 1 − η C(P )

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

196

Euklideszi geometria

Bizony´ıt´ as: Legyen O a P polit´op k¨oz´eppontja, A egy cs´ ucsa, B ´es C a C(A, P ) cs´ ucsalakzat k´et szomsz´edos cs´ ucsa, O0 a k¨oz´eppontja, l0 az ´elhossza. Jel¨ olj¨ uk 2ϕ-vel az ABO egyenl˝osz´ar´ u h´aromsz¨og O-n´al lev˝o sz´arsz¨og´et. Ekkor:

– az ABO h´ aromsz¨ ogb˝ ol η(P ) = l2 /4r2 = sin2 ϕ, – a BCA egyenl˝ osz´ ar´ u h´ aromsz¨ogb˝ol cos(π/s1 ) = l0 /2l, ´es – az ABO h´ aromsz¨ og B-hez tartoz´o magass´aga r0 = l cos ϕ.
2 2 Ezeket a formul´ akat, valamint az l0 = 4r0 η C(A, P ) egyenl˝os´eget ¨osszevetve η(P ) = sin2 ϕ = 1−cos2 ϕ = 1−

2 2 2 cos2 sπ1 r0 r 0 · l0

= 1− = 1− l2 η C(P ) l2 · 4r0 2 η C(A, P )

ad´ odik. 6.3.16. T´ etel. A legal´ abb 2-dimenzi´os szab´alyos polit´opokat a Schl¨afli-szimb´ olum hasonl´ os´ ag erej´eig egy´ertelm˝ uen meghat´arozza. Bizony´ıt´ as: A d dimenzi´ o szerinti teljes indukci´oval bel´atjuk, hogy ha P ´es Q k´et d-dimenzi´ os szab´ alyos polit´op, amelyeknek a Schl¨afli-szimb´oluma ugyanaz az (s1 , . . . , sd−1 ) sorozat, akkor P ´es Q hasonl´o. A d = 2 kiindul´ o esetben ez val´oban ´ıgy van, hiszen b´armely k´et egyenl˝o oldalsz´ am´ u szab´ alyos soksz¨ og hasonl´o. Tegy¨ uk fel, hogy d > 2 ´es d-n´el kisebb dimenzi´okban az ´all´ıt´as igaz. Legyen L < P ´es M < Q egy-egy hiperlap, ekkor 6.3.12(1)-et alkalmazva az indukci´ os feltev´es szerint L ´es M hasonl´o. Tekints¨ unk egy olyan f hasonl´os´agi transzform´ aci´ ot, amelyre f (M ) = L ´es amely a Q-t tartalmaz´o hM i szerinti f´elteret a P -t tartalmaz´ o hLi szerinti f´elt´erre k´epezi. Megmutatjuk, hogy ekkor f (Q) = P .

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

´ lyos polito ´ pok 6. Szaba

197

A C(P ) ´es C(Q) cs´ ucsalakzatok Schl¨afli-szimb´oluma is egyenl˝o
, ez´ert az in
dukci´ os feltev´es miatt a k´et cs´ ucsalakzat hasonl´o. ´Igy η C(P ) = η C(Q) . A 6.3.15. Lemm´ at alkalmazva (´es felhaszn´alva, hogy s1 ugyanannyi P ´es
Q eset´eben) ebb˝ ol η(P ) = η(Q) k¨ovetkezik. Emellett nyilv´an η(Q) = η f (Q) . Jel¨ olje O a P polit´ op k¨ oz´eppontj´at, r a k¨or¨ ul´ırt hiperg¨omb sugar´at, l az ´elhosszt. Az f (Q) polit´ op ´elhossza (miut´ a n megegyezik f (M ) = L ´elhossz´aval)
ugyancsak l, ez´ert η(P ) = η f (Q) miatt f (Q) k¨or¨ ul´ırt hiperg¨ombje is r sugar´ u. Mindk´et g¨ omb k¨ oz´eppontja az hLi hipers´ıkra L k¨oz´eppontj´aban ´all´ıtott mer˝ oleges egyenesen van ugyanabban a f´elt´erben. ´Igy a sugarak egyenl˝os´ege miatt a k´et hiperg¨ omb azonos. Tekints¨ uk L egy (d − 2)-dimenzi´os F lapj´at. Az L polit´op egy F -ben v´egz˝od˝o lapz´ aszl´ oj´ at pontosan k´etf´elek´eppen lehet kieg´esz´ıteni P lapz´aszl´oj´av´a. Az egyiket a m´ asikba viv˝ o szimmetria pontonk´ent helyben hagyja F -et, ´es ezen k´ıv¨ ul az O pontot is, ez´ert csak a H = hF, Oi hipers´ıkra vonatkoz´o t¨ ukr¨oz´es lehet. Ugyanezt P helyett az f (Q) polit´opra is elmondhatjuk, ez´ert a σH (L) polit´ op P -nek is ´es f (Q)-nak is hiperlapja. Miut´ an b´ armelyik hiperlapb´ ol b´armelyik m´asik hiperlapba el lehet jutni (d − − 2)-dimenzi´ os lapok ment´en csatlakoz´o hiperlapok alkalmas sorozat´aval, az el˝ oz˝ o l´ep´es indukt´ıv alkalmaz´as´aval kapjuk, hogy P ´es f (Q) hiperlapjai azonosak. Ez´ert P = f (Q). 6.3.17. K¨ ovetkezm´ eny. B´armely (legal´abb 2-dimenzi´os) P polit´opra az η(P ) sz´ am csak P Schl¨ afli-szimb´olum´at´ol f¨ ugg. A 6.3.17. K¨ ovetkezm´eny alapj´an olyan (s1 , s2 , . . . , sd−1 ) sorozat eset´eben, amelyhez tal´ alhat´ o olyan polit´op, amelynek ez a Schl¨afli-szimb´oluma, bevezethetj¨ uk az η(s1 , s2 , . . . , sd−1 ) jel¨ol´est. Most a dimenzi´ o szerinti indukci´oval ´attekintj¨ uk, hogy a 6.3.15. Lemma milyen korl´ atoz´ ast von maga ut´an a polit´opok Schl¨afli-szimb´olumaik´ent fell´ep˝o (s1 , s2 , . . . , sd−1 ) sz´ amsorozatokra n´ezve. El˝osz¨or a 6.3.15-b˝ol k¨ozvetlen¨ ul lesz˝ urhet˝ o egyenl˝ otlens´egeket r¨ogz´ıtj¨ uk. 6.3.18. Lemma. Ha a (s1 , s2 , . . . , sd−1 ) sorozat egy polit´op Schl¨afli-szimb´oluma, akkor: (1) cos2 (π/s1 ) < η(s2 , s3 , . . . , sd−1 )´es (2) η(s2 , s3 , . . . , sd−1 ) > 1/4. Bizony´ıt´ as: (1): Ha P a sz´ oban forg´o polit´op, akkor az egyenl˝otlens´eg 6.3.15b˝ ol η(P ) > 0 miatt k¨ ozvetlen¨ ul ad´odik. (2): R¨ ogt¨ on k¨ ovetkezik (1)-b˝ol, mert s1 ≥ 3 miatt cos2 (π/s1 ) ≥ 1/4.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

198

Euklideszi geometria

Amikor az indukci´ os okoskod´as sor´an eggyel magasabb dimenzi´oba l´ep¨ unk, 6.3.18.(2) korl´ atozza, hogy az el˝oz˝o l´ep´esben tal´alt sorozatok k¨oz¨ ul melyek l´ephetnek f¨ ol cs´ ucsalakzat Schl¨afli-szimb´olumak´ent, ´es 6.3.18.(1) korl´atozza, hogy ezek el´e mely sz´ amok ker¨ ulhetnek s1 -k´ent. Mivel a cos2 (π/x) f¨ uggv´eny (x ≥ 2 mellett monoton n¨ ovekedve) 1-hez tart, a 6.3.18.(1) egyenl˝otlens´eg csak v´eges sok s1 -´ert´eket enged meg. d = 2: Minden n ≥ 3-ra l´etezik szab´alyos n-sz¨og. Ennek a Schl¨afli-szimb´oluma (n), a hozz´ a tartoz´ o η-´ert´ek pedig η(n) = sin2 (π/n). d = 3: Ha (s1 , s2 ) egy 3-dimenzi´ os szab´alyos polit´op Schl¨afli-szimb´oluma, akkor 6.3.18.(2) miatt sin2 (π/s2 ) > 1/4, ahonnan s2 csak 3, 4 vagy 5 lehet. s2 = 3 eset´en 6.3.18.(1) alkalmaz´as´aval cos2 (π/s1 ) < 3/4, ahonnan s1 csak 3, 4 vagy 5 lehet. s2 ≥ 4 eset´en 6.3.18.(1)-b˝ ol cos2 (π/s1 ) < 1/2 ad´odik, ahonnan s1 = 3 k¨ovetkezik. A d = 3 esetben teh´ at csak a (3,3), (4,3), (5,3), (3,4) ´es (3,5) Schl¨afliszimb´ olumok fordulhatnak el˝o. Ezek val´oban rendre a szab´alyos tetra´ederhez, a kock´ ahoz, a dodeka´ederhez, az okta´ederhez ´es az ikoza´ederhez tartoznak. A megfelel˝ o η-´ert´ekek rendre √ 1 3− 5 2 η(4,3) = , η(5,3) = ≈ 0,127, η(3,3) = , 3 3 6 √ 5− 5 1 η(3,5) = ≈ 0,276. η(3,4) = , 2 10 d = 4: Ha az (s1 , s2 , s3 ) sz´ amh´ armas el˝o´all mint valamely 4-dimenzi´os szab´alyos polit´ op Schl¨ afli-szimb´ oluma, akkor 6.3.18.(2) miatt η(s2 , s3 ) > 1/4, ez´ert a fenti list´ ab´ ol csak (s2 , s3 ) = (3,3), (4,3), (3,4) vagy (3,5) j¨ohet sz´oba. (s2 , s3 ) = (3,3) eset´en 6.3.17.(1) alkalmaz´as´aval cos2 (π/s1 ) < 2/3, ahonnan s1 csak 3, 4 vagy 5 lehet. Ha (s2 , s3 ) = (4,3), (3,4) vagy (3,5), akkor 6.3.18.(1)-b˝ol cos2 (π/s1 ) < 1/2, ahonnan s1 = 3 k¨ ovetkezik. A d = 4 esetben teh´ at csak a (3,3,3), (4,3,3), (5,3,3), (3,4,3), (3,3,4) ´es (3,3,5) Schl¨ afli-szimb´ olumok fordulhatnak el˝o. Ezek k¨oz¨ ul (3,3,3), (4,3,3) ´es (3,3,4) a szab´ alyos 4-dimenzi´ os szimplexnek, kock´anak, illetve keresztpolit´opnak felel meg. A hat lehets´eges esetben a megfelel˝o η-´ert´ekek rendre √ 5 1 7−3 5 η(3,3,3) = , η(4,3,3) = , η(5,3,3) = ≈ 0,018, 8 4 16

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

´ lyos polito ´ pok 6. Szaba

1 η(3,4,3) = , 4

199

1 η(3,3,4) = , 2

√ 3− 5 η(3,3,5) = ≈ 0,095. 8

d ≥ 5: Megmutatjuk, hogy csak a (3, . . . ,3), a (3, . . . ,3,4), vagy a (4,3, . . . ,3) sorozat lehet valamilyen d-dimenzi´ os szab´alyos polit´op Schl¨afli-szimb´oluma. Teljes indukci´ ot alkalmazunk d szerint. Tegy¨ uk fel, hogy d − 1 dimenzi´oban csak a (d − 2 hossz´ us´ ag´ u) (3, . . . ,3) ´es a (3, . . . ,3,4) sorozat ad 1/4-n´el nagyobb η-´ert´eket. (Ez d = 5 eset´en az el˝oz˝o lista alapj´an m´ar ´ıgy van.) Ekkor a cs´ ucsalakzat Schl¨ afli-szimb´ oluma csak (s2 , . . . , sd−1 ) = (3, . . . ,3) (azaz szimplex, η = d/2(d − 1)) vagy (s2 , . . . , sd−1 ) = (3, . . . ,3,4) (azaz keresztpolit´op, η = 1/2) lehet. Ha (s2 , . . . , sd−1 ) = (3, . . . ,3), akkor 6.3.18.(1) miatt cos2 (π/s1 ) < d/2(d−1), ahonnan s1 csak 3 vagy 4 lehet, ezekkel η = (d + 1)/2d, illetve η = 1/d < 1/4. Ha (s2 , . . . , sd−1 ) = (3, . . . ,3,4), akkor pedig cos2 (π/s1 ) < 1/2, ahonnan s1 = = 3 k¨ ovetkezik, amellyel η = 1/2. Az indukci´ os ´ all´ıt´ as teh´ at tov´abb¨or¨okl˝odik, ezzel megmutattuk, hogy val´oban csak a mondott h´ arom Schl¨ afli-szimb´olum ´all el˝o, amelyek ´eppen a 6.3.6-beli p´eld´ akhoz tartoznak. A 4-dimenzi´ os esetben h´ arom olyan Schl¨afli-szimb´olum bukkant fel, amelyek nem illeszkednek az ismert p´eld´ak k¨oz´e : (3,4,3), (3,3,5) ´es (5,3,3). Ezek is szab´ alyos polit´ opokhoz tartoznak. Ezeket a polit´opokat szab´alyoss´aguk bizony´ıt´ asa n´elk¨ ul ismertetj¨ uk. 6.3.19. P´ eld´ ak • Tekints¨ uk a n´egydimenzi´os kockar´acs egy kock´aj´at ´es ´all´ıtsunk mind a nyolc hiperlapj´ ara kifel´e egy-egy olyan g´ ul´at, amelynek az u ´j cs´ ucs´at a szomsz´edos kocka k¨ oz´eppontj´aban vessz¨ uk fel. A kocka ´es a nyolc g´ ula egyes´ıt´ese szab´ alyos polit´op, amelyet 24-cell´anak neveznek. A 24-cella Schl¨ afli-szimb´ oluma (3,4,3). Ugyancsak 24-cell´ ahoz jutunk, ha k´epezz¨ uk ak´ar egy n´egydimezi´os kocka k´etdimenzi´ os lapjai k¨oz´eppontjainak, ak´ar egy n´egydimenzi´os szab´ alyos keresztpolit´ op ´elfelez˝o pontjainak a konvex burk´at. A 24-cella hiperlap-k¨ oz´eppontjai szint´en 24-cell´at fesz´ıtenek ki, azaz ez a szab´alyos polit´ op ¨ onmag´ anak a geometriai du´alisa. Ha R4 -ben tekintj¨ uk a ♦4 standard keresztpolit´op ´es a fel´ere zsugor´ıtott standard kocka, azaz az 21 4 polit´op egyes´ıt´es´enek a konvex burk´ at, szint´en 24-cell´ at kapunk. Azonos´ıtsuk R4 -et a szok´asos m´odon a kvaterni´ ok algebr´ aj´ aval, ´es tekints¨ uk az egys´egg¨omb¨on ´ertelmezett f : : S3 → SO(3) fed˝ ohomomorfizmust. Legyen az A4 ≤ SO(3) csoport

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

200

Euklideszi geometria

konkr´etan a 3 kock´ aba be´ırt (b´armelyik) szab´alyos tetra´eder mozg´ ascsoportja. Az f −1 (A4 ) ≤ S3 csoportot bin´er tetra´edercsoportnak nevezik. Konvex burka ´eppen a fenti m´odon R4 -ben defini´alt 24-cella. A 24-cell´ anak 24 cs´ ucsa ´es 24 hiperlapja van, cs´ ucsalakzatai ´es hiperlapjai mindannyian szab´ alyos okta´ederek. Szimmetriacsoportja 1152 rend˝ u. A bin´er tetra´edercsoport bal-jobb-szorz´asai (azaz az x 7→ axb alak´ u lek´epez´esek, ahol a ´es b r¨ogz´ıtett csoportelemek) a 24-cella ir´any´ıt´astart´ o szimmetri´ ai. Megmutathat´o, hogy ezek csoportja 4 index˝ u a szimmetriacsoportban, azaz a mozg´asok fel´et teszi ki. ´ • Alljon az A5 ≤ SO(3) csoport egy olyan R3 -beli ikoza´eder mozg´asaib´ ol, amelynek vannak mindh´arom koordin´atatengellyel p´arhuzamos ´elei. (P´eld´ aul a ♦3 okta´eder ´elein alkalmasan v´alasztott pontok konvex burkak´ent el˝ o´ all´ıtott ikoza´eder ilyen.) Az f −1 (A5 )
≤ S3 csoportot bin´er ikoza´edercsoportnak nevezik. A conv f −1 (A5 ) polit´op u ´jabb p´elda szab´ alyos n´egydimenzi´os polit´opra ; a neve 600-cella, Schl¨afliszimb´ oluma (3,3,5). A 600-cell´anak 120 cs´ ucsa ´es 600 hiperlapja van, cs´ ucsalakzatai ikoza´ederek, hiperlapjai szab´alyos tetra´ederek. Szimmetriacsoportja 14400 rend˝ u, benne a mozg´asok 2 index˝ u r´eszcsoportj´at a bin´er ikoza´edercsoport bal-jobb-szorz´asai alkotj´ak. • A 600-cella hiperlap-k¨oz´eppontjainak a konvex burka a 600-cella geometriai du´ alis´ at, a 120-cell´at szolg´altatja, amelynek a Schl¨afli-szimb´oluma (5,3,3). A 120-cell´anak 600 cs´ ucsa ´es 120 hiperlapja van, cs´ ucsalakzatai szab´ alyos tetra´ederek, hiperlapjai dodeka´ederek. Szimmetriacsoportja azonos a 600-cell´a´eval. Ezzel (a 6.3.19-beli p´eld´ ak szab´alyos volt´anak ellen˝orz´es´et˝ol eltekintve) bebizony´ıtottuk a szab´ alyos polit´opok al´abbi oszt´alyoz´asi t´etel´et. 6.3.20. T´ etel (Schl¨ afli t´ etele). B´armely legal´abb k´etdimenzi´os szab´alyos polit´ op hasonl´ o az al´ abbi (n´egy v´egtelen sorozatot alkot´o ´es tov´abbi ¨ot spo” radikus”) p´ aronk´ent egym´ ashoz nem hasonl´o p´eld´ak egyik´ehez : – d-dimenzi´ os szab´ alyos szimplex (d = 2,3, . . .), – d-dimenzi´ os kocka (d = 2,3, . . .), – d-dimenzi´ os szab´ alyos keresztpolit´op (d = 3,4, . . .), – n-oldal´ u szab´ alyos soksz¨og (n = 5,6, . . .), – dodeka´eder, ikoza´eder, 24-cella, 600-cella, 120-cella.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

´rben 7. Konvex testek euklideszi te

201

7. Konvex testek euklideszi t´ erben Az euklideszi t´erben fekv˝ o idomok n´eh´any metrikus jellemz˝oj´et (t´erfogat, felsz´ın, ´ atm´er˝ o, sz´eless´eg) vizsg´aljuk. Ennek fontos eszk¨oze a konvex testek polit´ opokkal t¨ ort´en˝ o approxim´aci´oja, ´es ezeknek a metrikus adatoknak a viselked´ese hat´ ar´ atmenet sor´ an. Ez´ert a konvex testeket egy alkalmasan defini´ alt metrikus t´er elemeik´ent tekintj¨ uk, ´es ennek a metrikus t´ernek a tulajdons´ agait der´ıtj¨ uk f¨ ol. V´eg¨ ul kit´er¨ unk a konvex testek metrikus jellemz˝oivel kapcsolatos n´eh´ any klasszikus egyenl˝otlens´egre.

7.1. T´ erfogat ´ es felsz´ın Az euklideszi t´erben fekv˝ o halmazok metrikus adatai k¨oz¨ ul az egyik legfontosabb a (magasabb dimenzi´ os) t´erfogat fogalma, amelyet az anal´ızisb˝ol ismert Jordan-m´ert´ek felhaszn´ al´ as´ aval ´ertelmez¨ unk. 7.1.1. Eml´ ekeztet˝ o (Jordan-m´ ert´ ek). Felhaszn´aljuk a Jordan-m´erhet˝o halmaz ´es a Jordan-m´ert´ek fogalm´at, amelyet az Rd koordin´atat´erre vonatkoz´ o t¨ obbv´ altoz´ os anal´ızisb˝ ol ismer¨ unk. Egy M ⊆ Rd Jordan-m´erhet˝o halmaz Jordan-m´ert´ek´ere itt a Vd (M ) jel¨ol´est haszn´aljuk. Felid´ezz¨ uk a Jordan-m´ert´ek anal´ızisb˝ ol ismert f˝ o tulajdons´agait: • A Jordan-m´ert´ek nemnegat´ıv, addit´ıv, eltol´asinvari´ans, ´es az egys´egkocka m´ert´eke 1. (Ezek a tulajdons´agok a Jordan-m´ert´eket egy´ertelm˝ uen meghat´ arozz´ ak.) • Ha M egy Rd -beli hipers´ıkban fekv˝o korl´atos r´eszhalmaz, akkor Vd (M ) = 0. • Egy M ⊆ Rd korl´ atos halmaz akkor ´es csak akkor Jordan-m´erhet˝o, ha Vd (∂M ) = 0. • Cavalieri-elv: ha Rd = Rd1 × Rd2 a d = d1 + d2 ¨osszegfelbont´ashoz tartoz´ o ortogon´ alis direktszorzat-felbont´as, i = 1,2-re pi : Rd → Rdi a felbont´ ashoz tartoz´ o ortogon´alis vet´ıt´es, ´es M ⊆ Rd , akkor Z

Vd (M ) = Vd2 p2 p−1 dVd1 , 1 (X) ∩ M X∈p1 (M )

ahol feltessz¨ uk, hogy minden sz¨ uks´eg szerint m´erhet˝o, illetve integr´alhat´ o.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

202

Euklideszi geometria


• Ha M ⊆ Rd ´es ϕ ∈ GL(d, R), akkor Vd ϕ(M ) = | det ϕ| · Vd (M ). Az utols´ o tulajdons´ ag speci´ alis esetek´ent k¨ovetkezik, hogy a Jordan-m´ert´ek az Rd t´er minden egybev´ ag´ os´ ag´ara n´ezve invari´ans (nem csak az eltol´asokra). Ennek alapj´ an a k¨ ovetkez˝ ok´eppen defini´alhatjuk a t´erfogat fogalm´at most m´ ar tetsz˝ oleges euklideszi t´erben: 7.1.2. Defin´ıci´ o (T´ erfogat). Legyen E euklideszi t´er ´es M ⊆ E. Az M halmazt Jordan-m´erhet˝ onek nevezz¨ uk, ha valamely x : E → Rd ortonord m´ alt koordin´ atarendszert v´ alasztva
x(M ) ⊆ R Jordan-m´erhet˝o. Ilyenkor M t´erfogat´ an a Vd (M ) = Vd x(M ) sz´amot ´ertj¨ uk. Miut´an b´armely k´et x, y : : E → Rd ortonorm´ alt koordin´atarendszerre x ◦ y−1 : Rd → Rd egybev´ag´os´ ag, az M halmaz m´erhet˝ o volta, illetve t´erfogata nem f¨ ugg x v´alaszt´as´at´ol. A t´erfogatot d = 1 eset´en hossznak, d = 2 eset´en ter¨ uletnek mondjuk. A 7.1.1-beli utols´ o tulajdons´agot felhaszn´alva meghat´arozhat´o az affin lek´epez´esek hat´ asa a t´erfogatra: ´ ıt´ 7.1.3. All´ as. Ha f : E → E 0 affin izomorfizmus az E ´es E 0 d-dimenzi´os euklideszi terek k¨ oz¨ ott, akkor b´armely M ⊆ E Jordan-m´erhet˝o halmazra
Vd f (M ) = | det L(f )| · Vd (M ) .

7.1.4. K¨ ovetkezm´ enyek. Legyen E euklideszi t´er. (1) Ha H, H 0 ⊂ E egym´ asra nem mer˝oleges hipers´ıkok ´es f : H → H 0 a H 0 re t¨ ort´en˝ o ortogon´ alis
vet´ıt´es, akkor b´armely M ⊆ H Jordan-m´erhet˝o halmazra Vd−1 f (M ) = cos α · Vd−1 (M ), ahol α a k´et hipers´ık ´altal bez´ art sz¨ og. (2) Ha valamely f : E → E hasonl´os´ag
ar´anya λ, akkor b´armely M ⊆ E Jordan-m´erhet˝ o halmazra Vd f (M ) = λd · Vd (M ). 7.1.5. P´ eld´ ak • B´ armely P ⊆ E polit´ op Jordan-m´erhet˝o, hiszen P korl´atos ´es ∂P el˝oall v´eges sok nullm´ert´ek˝ ´ u r´eszhalmaz (a d-n´el kisebb dimenzi´os lapok) egyes´ıt´esek´ent. Emellett Vd (P ) pontosan akkor pozit´ıv, ha dim P = d (azaz ha int P 6= ∅). • Ha a P polit´ op egy Q alap´ u, m magass´ag´ u d-dimenzi´os has´ab, akkor Vd (P ) = Vd−1 (Q) · m. Ez a Cavalieri-elv k¨ozvetlen k¨ovetkezm´enye.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

´rben 7. Konvex testek euklideszi te

203

• Legyen P az a1 , a2 , . . ., ad f¨ uggetlen vektorok ´altal kifesz´ıtett d-dimenzi¯ os parallelot´ ´ op. Ekkor Vd (P )2 = Γ(a1 , a2 , . . . , ad ) az a1 , . . ., ad vektorokhoz tartoz´ o Gram-m´atrix determin´ansa. Jel¨olje ugyanis A az ai vektorokb´ ol mint oszlopvektorokb´ol ¨ossze´all´ıtott m´atrixot, ekkor Vd (P ) = = det A. A Gram-m´ atrix ij-edik eleme ai aj = (A> A)ij , ez´ert Γ(a1 , a2 , > . . . , ad ) = det(A A) = det A> det A = (det A)2 = Vd (P )2 . • Ha a P polit´ op egy Q alap´ u, m magass´ag´ u os g´ ula, akkor R 1d-dimenzi´ 1 1 d−1 dλ = d formul´ab´ol Vd (P ) = d ·Vd−1 (Q)·m. Ez 7.1.4.(2)-b˝ol ´es a 0 λ ad´ odik a Cavalieri-elv felhaszn´al´as´aval. • Ha S jel¨ oli az a1 , a2 , . . ., ad f¨ uggetlen vektorok ´altal kifesz´ıtett d1 Γ(a1 , a2 , . . . , ad ). Ez az el˝oz˝o dimenzi´ os szimplexet, akkor Vd (S)2 = d! k´et p´eld´ ab´ ol ad´ odik d szerinti indukci´oval. 7.1.6. Defin´ıci´ o (Konvex test). A K ⊆ E r´eszhalmazt konvex testnek nevezz¨ uk, ha konvex, kompakt, ´es a belseje nem u ¨res. P´eld´aul b´armely ddimenzi´ os polit´ op konvex test E-ben. A d = 1 esetben a konvex testek a (nemelfajul´ o) szakaszok, d = 2 eset´en konvex test helyett ink´abb konvex lemeznek szok´ as nevezni ˝ oket. 7.1.7. Jel¨ ol´ esek, elnevez´ esek • C = C(E) = {C ⊆ E : C 6= ∅ kompakt halmaz }. • P = P(E) = {P ⊆ E : P 6= ∅ polit´op }. • P + = P + (E) = {P ∈ P(E) : dim P = dim E}. • K = K(E) = {K ⊆ E : K 6= ∅ kompakt ´es konvex }. Nyilv´an P ⊆ K ⊆ ⊆ C. • K+ = K+ (E) = {K ∈ K(E) : dim K = dim E} az E-beli konvex testek halmaza. Nyilv´ an P + ⊆ K+ . • Legyen d ≥ 1, O ∈ E ´es r > 0. A B(O, r) = {A ∈ E : ρ(O, A) < r} halmazt az O k¨ or¨ uli r sugar´ u ny´ılt g¨ombtestnek, a B(O, r) = {A ∈ ∈ E : ρ(O, A) ≤ r} = B(O, r) halmazt az O k¨or¨ uli r sugar´ u z´art g¨ ombtestnek nevezz¨ uk. Nyilv´an B(O, r) ∈ K+ . Az Rd -beli orig´o k¨or¨ uli d d egys´egsugar´ u g¨ ombtestekre a B = B(0,1), B = B(0,1) jel¨ol´est is haszn´ aljuk. • Legyen d ≥ 1 ´es M ⊆ E. Tetsz˝oleges r > 0 eset´en az M halmaz r sugar´ u S ny´ılt, illetve z´ art k¨ ornyezet´enek nevezz¨ uk a B(M, r) = A∈M B(A, r), S illetve B(M, r) = A∈M B(A, r) halmazokat. Ezeket a halmazokat szok´ as az M halmaz r sugar´ u ny´ılt, illetve z´art paralleltartom´anyainak is

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

204

Euklideszi geometria

nevezni. Ha az E teret valamely (tetsz˝olegesen v´alasztott) O kezd˝oponttal vektoriz´ aljuk, akkor a paralleltartom´anyok a B(M, r) = M +B(O, r) ´es B(M, r) = M + B(O, r) formul´ak szerint Minkowski-¨osszegk´ent ´allnak el˝ o. Emiatt b´ armely K ∈ K ´es r > 0 eset´en B(K, r) ∈ K+ . • Egy M ⊆ E nem¨ ures korl´atos halmaz ´atm´er˝oje alatt a diam (M ) = sup{ρ(A, B) : A,
B ∈ M } sz´amot ´ertj¨
uk. Nyilv´an d ≥ 1 eset´en A ∈ Ere diam B(A, r) = diam B(A, r) = 2r, valamint nem¨ ures korl´atos

M ⊂ E-re diam B(M, r) = diam B(M, r) = diam (M ) + 2r. • A ny´ılt g¨ ombtest, halmaz ny´ılt k¨ornyezete, ´atm´er˝o stb. elnevez´eseket ´es a B(O, r), B(M, r), diam M stb. jel¨ol´eseket nem csak euklideszi t´erben, hanem tetsz˝ oleges metrikus t´erben is haszn´alhatjuk (ugyanazokkal a defin´ıci´ okkal). 7.1.8. Lemma (Polit´ op-approxim´ aci´ o). Legyen K ∈ K+ tetsz˝oleges konvex test. (1) B´ armely L ⊆ int K kompakt halmazhoz ´es ε > 0-hoz l´etezik olyan P ∈ P + polit´ op, hogy L ⊆ int P , P ⊆ int K ´es K ⊆ B(P, ε). (2) B´ armely O ∈ int K ponthoz ´es η > 1 sz´amhoz l´etezik olyan P ∈ P + polit´ op, hogy P ⊆ int K ´es K ⊆ int HO,η (P ). Bizony´ıt´ as: (1): V´ alasszunk minden X ∈ L ponthoz olyan SX ⊂ int K szimplexet, hogy X ∈ int SX , majd L kompakts´ag´ara hivatkozva v´alasszunk ezek k¨ oz¨ ul v´eges sokat u ´gy, hogy lefedj´ek L-et: L ⊂ SX1 ∪ SX2 ∪ . . . ∪ SXm . Tekints¨ uk most a K bels˝ o pontjai k¨or¨ uli ε sugar´ u ny´ılt g¨ombtesteket. B´armely relint K, ez´ e rt ezek a ny´ılt g¨ombtestek lefedik Kkonvex K halmazra K ⊆ S t: K ⊂ Y ∈int K B(Y, ε). Most K kompakts´ag´at haszn´alva kiv´alaszthatunk v´eges sokat, amelyek lefedik K-t: K ⊂ B(Y1 , ε) ∪ B(Y2 , ε) ∪ . . . ∪ B(Yn , ε). Legyen P = conv {SX1 , . . . SXm , Y1 , . . . Yn }, ekkor mag´at´ol ´ertet˝od˝oen P ⊆ ⊆ int K ´es K ⊆ B(P, ε) teljes¨ ul. (2): Legyen L = HO,1/η (K), ekkor az L-hez (´es tetsz˝oleges ε-hoz) (1) szerint v´ alasztott P polit´ opra nyilv´ an P ⊆ int K, tov´abb´a HO,η (L) = K miatt K ⊆ ⊆ int HO,η (P ) is teljes¨ ul. ´ ıt´ 7.1.9. All´ as. B´ armely konvex test Jordan-m´erhet˝o. Bizony´ıt´ as: Legyen K ∈ K+ ´es ε > 0 adott. Elegend˝o azt bel´atni, hogy l´eteznek olyan P, Q ∈ P + polit´opok, hogy P ⊆ K ⊆ Q ´es Vd (Q) − Vd (P ) < ε. Ez pedig 7.1.8.(2) felhaszn´ al´ as´aval r¨ogt¨on ad´odik.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

´rben 7. Konvex testek euklideszi te

205

7.1.10. Ko eny. B´ armely K ⊆ E konvex testre ¨vetkezm´ Vd (K)

= sup{Vd (P ) : P ∈ P + , P ⊆ int K} = = inf{Vd (Q) : Q ∈ P + , K ⊆ int Q}.

7.1.11. P´ elda (G¨ ombtestek t´ erfogata). Jel¨olje κd az Rd -beli egys´egg¨ombtest t´erfogat´ at, ekkor oleges O k¨oz´eppont´ u, r sugar´ u E-beli g¨ombtest t´er
tetsz˝ fogata Vd B(O, r) = κd · rd . A dimenzi´o szerinti indukci´oval, a Cavalieri-elv alkalmaz´ as´ aval ´es integr´ al´ assal κd ´ert´ek´ere az al´abbi formula ad´odik:  d/2 π   , ha d p´aros    (d/2)! κd =   (d+1)/2 (d−1)/2  π  2 , ha d p´aratlan . 1 · 3 · ... · d Teh´ at p´eld´ aul κ1 = 2, κ2 = π, κ3 = 4π/3, κ4 = π 2 /2. A faktori´alist tartalmaz´ o nevez˝ o miatt a dimenzi´o n¨ovel´es´evel a κd sorozat gyorsan tart 0-hoz, k¨ ul¨ on¨ osen, ha a g¨ omb¨ ot mag´aban foglal´o 2 ´el˝ u kocka t´erfogat´aval, 2d -nel hasonl´ıtjuk ¨ ossze. A 10-dimenzi´os g¨ombtest p´eld´aul k¨or¨ ulbel¨ ul negyed sz´azal´eknyi t´erfogatot foglal el csup´an a k¨or´e ´ırt kock´ab´ol. 7.1.12. Defin´ıci´ o (Polit´ op felsz´ıne). Ha d = dim E ≥ 2 ´es P ⊆ E ddimenzi´ os polit´ op, akkor P felsz´ın´en a hiperlapok d − 1-dimenzi´os t´erfogatainak az ¨ osszeg´et ´ertj¨ uk. A felsz´ınt A(P )-vel jel¨olj¨ uk. (A d = 2 esetben felsz´ın helyett a P konvex soksz¨ og ker¨ ulet´enek nevezz¨ uk az A(P ) sz´amot.) Teh´at b´ armely P ∈ P + (E)-re X A(P ) = Vd−1 (L) . L≤P dim L=d−1

Ha f : E → E 0 hasonl´ os´ az ar´anya λ, akkor b´armely P ∈ P +
ag, amelynek d−1 · A(P ). +(E)-re nyilv´ an A f (P ) = λ A k¨ ovetkez˝ o ´ all´ıt´ ast a h´ aromsz¨ogegyenl˝otlens´eg d-dimenzi´os ´altal´anos´ıt´asak´ent is felfoghatjuk. ´ ıt´ 7.1.13. All´ as. A P ∈ P + polit´op b´armely L hiperlapj´ara Vd−1 (L)
0 ´es b´armely olyan polit´op-p´arra igaz az ´ all´ıt´ as, amelyhez enn´el kisebb r-´ert´ek tartozik. Legyen L ≤ P1 olyan hiperlap, amelyre L * ∂P2 . V´agjuk kett´e a P2 polit´opot az hLi hipers´ıkkal: legyen F 0 a P1 polit´ op L-hez tartoz´o t´amaszf´eltere, F 00 pedig az hLi szerinti m´ asik f´elt´er. A P20 = P2 ∩ F 0 polit´opra P1 ⊆ P20 ´es r(P1 , P20 ) < r(P1 , P2 ), ´ıgy az indukci´ os feltev´est a (P1 , P20 ) p´arra alkalmazva A(P1 ) ≤ A(P20 ). A P200 = ´ ıt´ast = P2 ∩ F 00 polit´ opra ´es annak L00 = hLi ∩ P2 hiperlapj´ara a 7.1.13. All´ alkalmazzuk, ezzel
A(P1 ) ≤ A(P20 ) ≤ A(P20 ) + A(P200 ) − 2Vd−1 (L00 ) = A(P2 ). ´ ıt´ Megjegyz´es. A 7.1.14. All´ asban nyilv´an szigor´ u egyenl˝otlens´eg is mondhat´o, ha P1 val´ odi r´esze P2 -nek. ´ ıt´ 7.1.15. All´ as. B´ armely K ∈ K+ konvex testre sup{A(P1 ) : P1 ∈ P + , P1 ⊆ K} = inf{A(P2 ) : P2 ∈ P + , K ⊆ P2 } . Bizony´ıt´ as: A ≤ egyenl˝ otlens´eg azonnal k¨ovetkezik 7.1.14-b˝ol. M´asr´eszt 7.1.8.(2) alapj´ an b´ armely η > 1-hez tal´alhat´ok olyan P1 ⊆ K ´es P2 ⊇ K polit´ opok, hogy A(P2 ) = η d−1 A(P1 ), emiatt a ≥ egyenl˝otlens´eg is ´erv´enyes. 7.1.16. Defin´ıci´ o (Konvex test felsz´ıne). d ≥ 2 ´es K ∈ K+ (E) eset´en K felsz´ın´enek nevezz¨ uk ´es A(K)-val jel¨olj¨ uk a 7.1.15-beli szupr´emum ´es infimum k¨ oz¨ os ´ert´ek´et. A d = 2 esetben felsz´ın helyett az L konvex lemez ker¨ ulet´enek nevezz¨ uk az A(L) sz´ amot, ´es A(L) helyett ink´abb a k(L) jel¨ol´est alkalmazzuk r´a. Ha f : E → E 0 hasonl´ os´ ag, amelynek az ar´anya λ, akkor (a polit´opokra vonatkoz´ o hasonl´ o tartalm´ u ´eszrev´etelb˝ol r¨ogt¨on ad´od´oan) b´armely K ∈ K+
+(E)-re A f (K) = λd−1 · A(K). ´ ıt´ 7.1.17. All´ as. Ha K1 , K2 ∈ K+ ´es K1 ⊆ K2 , akkor A(K1 ) ≤ A(K2 ).

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

´rben 7. Konvex testek euklideszi te

207

Bizony´ıt´ as: Azonnal k¨ ovetkezik 7.1.15-b˝ol. 7.1.18. P´ elda (G¨ omb¨ ok felsz´ıne). Legyen d ≥ 2. A 7.1.8.(2)-beli polit´opapproxim´ aci´ ora hivatkozva minden n ∈ N-re v´alaszthatunk olyan Pn ∈ P + d polit´ opot, hogy B ⊆ Pn ⊆ B(0,1 + 1/n). Ekkor
Vd B(0,1 + 1/n) = (1 + 1/n)d · κd → κd (n → ∞)
d d ´es A B(0,1 + 1/n) = (1 + 1/n)d−1 · A(B ) → A(B ) (n → ∞),
valamint κd ≤ Vd (Pn ) ≤ Vd B(0,1 + 1/n)
d ´es A(B ) ≤ A(Pn ) ≤ A B(0,1 + 1/n) d

miatt Vd (Pn ) → κd ´es A(Pn ) → A(B ) (n → ∞) ´erv´enyes. A P polit´op minden L ≤ P hiperlapj´ ara ´all´ıtsunk orig´o cs´ ucs´ u g´ ul´at, azaz k´epezz¨ uk a conv {0, L} polit´ opokat. A conv {0, L} g´ ul´anak az L alaphoz tartoz´o magass´ aga az orig´ onak a Pn polit´op L-et tartalmaz´o t´amaszhipers´ıkj´at´ol m´ert t´ avols´ ag´ aval, azaz a ρ(0, hLi) sz´ammal egyenl˝o. A g´ ul´ak Pn egym´asba nem ny´ ul´ o polit´ opokra t¨ ort´en˝ o felbont´as´at adj´ak, ez´ert X X 1 Vd (Pn ) = Vd (conv {0, L}) = · Vd−1 (L) · ρ(0, hLi) . d L≤Pn dim L=d−1

L≤Pn dim L=d−1

Itt mindegyik L-re 1 ≤ ρ(0, hLi) ≤ 1 + 1/n, emiatt 1 1 · A(Pn ) ≤ Vd (Pn ) ≤ · (1 + 1/n) · A(Pn ), d d d ahonnan hat´ ar´ atmenettel κd = d1 · A(B ) k¨ovetkezik. ´Igy teh´at b´armely O k¨ oz´eppont´ u, r sugar´ u E-beli g¨omb felsz´ın´ere az
A B(O, r) = d · κd · rd−1

k´eplet ad´ odik. P´eld´ aul 2, 3 ´es 4 dimenzi´oban az r sugar´ u g¨omb felsz´ıne rendre 2rπ, 4r2 π, illetve 2r3 π 2 .

7.2. Sz´ eless´ eg Ebben a szakaszban f¨ oltessz¨ uk, hogy d ≥ 1. Ha K ⊂ E konvex test, ´es r¨ ogz´ıt¨ unk E-ben egy tetsz˝ oleges hipers´ık´all´ast, akkor K-nak pontosan k´et olyan t´ amaszhipers´ıkja van, amely ehhez a hipers´ık´all´ashoz tartozik. Ezek t´ avols´ aga – a K test sz´eless´ege – ´altal´aban f¨ ugg a v´alasztott hipers´ık´all´ast´ol. Ez´ert a sz´eless´eget mint a norm´alvektor f¨ uggv´eny´et c´elszer˝ u ´ertelmezni.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

208

Euklideszi geometria

7.2.1. Defin´ıci´ o (Sz´ eless´ eg, wK (u)). Jel¨olje S a V euklideszi vektort´er egys´egg¨ ombj´et. Legyen K ⊂ E konvex test. V´alasszunk egy tetsz˝oleges O ∈ ∈ E pontot, ´es ´ertelmezz¨ uk a wK : S → R f¨ uggv´enyt a −→
−−→
wK (u) = max u · OA − min u · OB A∈K

B∈K

formul´ aval. A K halmaz kompakts´aga miatt a k´epletben szerepl˝o maximum ´es minimum l´etezik. Vil´ agos, hogy a k´eplet a k´et u-ra mer˝oleges t´amaszhipers´ık t´ avols´ ag´ at adja meg, ´ıgy nem f¨ ugg az O orig´o speci´alis v´alaszt´as´at´ol. ´ ıt´ 7.2.2. All´ as. B´ armely K ⊂ E konvex testre (1) wK : S → R pozit´ıv, folytonos, p´aros f¨ uggv´eny; (2) diam (K) = maxu∈S wK (u); (3) ha K 0 ⊂ E is konvex test ´es K ⊆ K 0 , akkor wK ≤ wK 0 ; (4) b´ armely r > 0 eset´en wB(K,r) = wK + 2r ; (5) ha a λ ar´ any´ u f : E → E hasonl´os´agnak a lineariz´altja λ · ϕ, ahol ϕ ∈ O(V ), akkor wf (K) = λ · wK ◦ (ϕ−1 |S ). Bizony´ıt´ as: A wK f¨ uggv´eny folytonoss´ag´an k´ıv¨ ul az ¨osszes ´all´ıt´as mag´at´ol ´ertet˝ odik. A folytonoss´ agot a wK defin´ıci´oj´aban szerepl˝o k¨ ul¨onbs´eg mindk´et −→
tagj´ ara bel´ atjuk. El´eg az u 7→ f (u) = maxA∈K u·OA f¨ uggv´ennyel foglalkoz−−→ ni, a m´ asik tag ugyan´ ugy kezelhet˝o. Jel¨olje C az {kOXkX ∈ K} sz´amhalmaz egy fels˝ o korl´ atj´ at (ami K kompakts´aga miatt l´etezik). Megmutatjuk, hogy b´ armely u, v ∈ S mellett |f (u) − f (v)| ≤ C|u − v|, ami elegend˝o f folytonos−→ −−→ s´ ag´ ahoz. Legyen A, B ∈ S olyan, hogy f (u) = u · OA ´es f (v) = v · OB, ekkor −→ −−→ −→ −→ −−→
f (u) − f (v) = u · OA − v · OB = (u − v) · OA + v · OA − v · OB ≤ (u − −→ − v) · OA ≤ C|u − v|, ´es hasonl´ok´eppen igazolhat´o f (v) − f (u) ≤ C|u − v| is. ´ Ertelmezni szeretn´enk a K ⊂ E konvex test ´atlagos sz´eless´eg´et, a w(K) sz´amot. K´ezenfekv˝ o, hogy ehhez a wK f¨ uggv´eny ´atlag´at kell venni az S g¨omb¨on. Ehhez g¨ orb¨ ult fel¨ uleteken t¨ ort´en˝o integr´al´ast kell alkalmazni, amit a t¨obbv´altoz´ os anal´ızis ´es a differenci´ algeometria eszk¨ozeivel lehet bevezetni. Mi itt a k´etdimenzi´ os esetre szor´ıtkozunk, amikor a sz´oban forg´o integr´al´as egyetlen v´ altoz´ o, a k¨ or¨ ulfordul´ as sz¨ oge szerint t¨ort´enhet. Tegy¨ uk f¨ ol teh´ at a tov´ abbiakban (7.2.6-ig bez´ar´olag), hogy dim E = 2, ´es legyen L ⊂ E konvex lemez. R¨ogz´ıts¨ uk a V vektort´er egy ir´any´ıt´as´at ´es egy u0 ∈ S kezd˝ ovektort, ezzel S elemei uα alakban ´ırhat´ok, ahol α sz¨og˝ u pozit´ıv

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

´rben 7. Konvex testek euklideszi te

209

forgat´ as viszi u0 -t uα -ba. Ekkor az α 7→ uα hozz´arendel´es egy u : R → S folytonos lek´epez´est eredm´enyez, amely 2π szerint periodikus. 7.2.3. Defin´ıci´ o (Konvex lemez ´ atlagos sz´ eless´ ege). Az L ⊂ E konvex lemez ´ atlagos sz´eless´eg´et, a w(L) sz´amot a Z 2π 1 wL (uα ) dα w(L) = 2π 0 k´eplettel ´ertelmezz¨ uk. A w(L) sz´am nyilv´an nem f¨ ugg sem V ir´any´ıt´as´anak, sem az u0 kezd˝ ovektornak a speci´alis megv´alaszt´as´at´ol. Az ´ atlagos sz´eless´eg al´ abbi tulajdons´agai r¨ogt¨on k¨ovetkeznek a 7.2.2-beli meg´llap´ıt´ a asokb´ ol. ´ ıt´ 7.2.4. All´ as. B´ armely L ⊂ E konvex lemezre (1) 0 < w(L) ≤ diam (L); (2) ha L0 ⊂ E is konvex lemez ´es L ⊆ L0 , akkor w(L) ≤ w(L0 ); (3) ha L-et λ ar´ any´ u hasonl´os´ag viszi M -be, akkor w(M ) = λw(L);
(4) b´ armely r > 0 eset´en w B(L, r) = w(L) + 2r. Nevezetes t´eny, hogy k¨ ozvetlen ¨osszef¨ ugg´es van konvex lemezek ´atlagos sz´eless´ege ´es ker¨ ulete k¨ oz¨ ott (l. 7.2.6). Ezt el˝osz¨or a soksz¨ogek eset´ere tiszt´azzuk. ´ ıt´ 7.2.5. All´ as. Legyen P konvex soksz¨og az E euklideszi s´ıkban. Ekkor k(P ) = π · w(P ) . Bizony´ıt´ as: Legyenek a1 , a2 , . . ., an a P soksz¨og ´elvektorai egy k¨or¨ ulj´ar´as szerint felsorolva. B´ armelyik u ∈ S egys´egvektort r¨ogz´ıtve az u-ra mer˝oleges k´et t´ amaszegyenesen kiszemelhetj¨ uk P egy-egy cs´ ucs´at. Ez a k´et cs´ ucs k´et r´eszre osztja P hat´ ar´ at, ´es ez´ altal az ´elvektorok halmaz´at k´et olyan r´eszhalmazra bontja, amelyek mindegyik´eben a vektorok u ir´any´ u o¨sszetev˝oi hossz´anak az o sszege w (u)-val egyenl˝ o . Emiatt ¨ P n

wP (u) =

1X |u · ai | , 2 i=1

ahonnan 1 w(P ) = 2π

www.interkonyv.hu

Z 0

2π

n Z 1 X 2π wP (uα ) dα = |uα · ai | dα . 4π i=1 0

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

210

Euklideszi geometria

Legyen αi az ai vektor forg´ assz¨oge az u0 kezd˝oir´anyt´ol sz´am´ıtva, ekkor uα ·ai = = |ai | cos(α − αi ). A | cos(α − αi )| f¨ uggv´eny integr´alja 0 ´es 2π k¨oz¨ott 4-gyel egyenl˝ o, ez´ert Z 2π n n 1 X 1X k(P ) w(P ) = |ai | | cos(α − αi )| dα = |ai | = . 4π i=1 π π 0 i=1 7.2.6. T´ etel. B´ armely L ⊂ E konvex lemezre ´erv´enyes a k(L) = π · w(L) osszef¨ ugg´es. ¨ Bizony´ıt´ as: A 7.1.8-ban tiszt´azott approxim´aci´os elj´ar´assal a t´etelt visszavezethetj¨ uk konvex soksz¨ ogek eset´ere. Ha ε > 0, akkor 7.1.8(1) ´es 7.1.15 alapj´ an v´ alaszthatunk olyan P konvex soksz¨oget, amelyre P ⊆ L ⊆ B(P, ε) ´es |k(L) − k(P )| ≤ ε ´erv´enyes. Ekkor 7.2.4 alapj´an |w(L) − w(P )| ≤ 2ε, ´es ´ ıt´ ´ıgy a 7.2.5. All´ ast is felhaszn´alva |k(L) − π · w(L)| ≤ |k(L) − k(P )| + |π · w(P ) − π · w(L)| ≤ (1 + 2π)ε . Ez az egyenl˝ otlens´eg minden ε > 0-ra ´erv´enyes, ´ıgy k(L) − π · w(L) = 0. Megjegyz´es. A magasabb dimenzi´os esetekben a konvex test felsz´ıne nem az ´ atlagos sz´eless´eggel van szoros kapcsolatban. A 7.2.5-beli bizony´ıt´ast nem volna neh´ez a h´ aromdimenzi´ os esetre ´atvinni (az egyetlen neh´ezs´eget a g¨ombfel¨ uleten t¨ ort´en˝ o integr´ al´ as szabatos ´ertelmez´ese jelenti). Ezzel 7.2.5. t´erbeli megfelel˝ ojek´ent azt kapn´ ank, hogy b´armely h´aromdimenzi´os polit´op felsz´ıne a k´etdimenzi´ os s´ıkokra es˝ o mer˝oleges vet¨ uletek ter¨ uletei ´atlag´anak a n´egyszeres´evel egyenl˝ o. Polit´ op-approxim´aci´oval ad´odik, hogy ugyanez ´erv´enyes b´ armely h´ aromdimenzi´ os konvex testre is. Ez a t´etel annak az u ´n. Cauchyf´ele integr´ alformul´ anak a h´ aromdimenzi´os esete, amely – mint a 7.2.6. T´etel messzemen˝ o´ altal´ anos´ıt´ asa – kapcsolatot teremt valamely magasabb dimenzios konvex test felsz´ıne ´es a hipers´ıkokra es˝o mer˝oleges vet¨ ´ uletek t´erfogatainak az ´ atlaga k¨ oz¨ ott (l. a 7.4.11. T´etelt k¨ovet˝o megjegyz´est). ´ 7.2.7. Defin´ıci´ o (Alland´ o sz´ eless´ eg˝ u konvex test). A K ⊂ E konvex testet ´ alland´ o sz´eless´eg˝ unek mondjuk, ha a wK : S → R sz´eless´egf¨ uggv´eny konstans. Egy E-beli r sugar´ u g¨ ombtest nyilv´an ´alland´o 2r sz´eless´eg˝ u test. Az al´abbi p´eld´ ak mutatj´ ak, hogy a g¨ ombtesteken k´ıv¨ ul m´eg igen sok ´alland´o sz´eless´eg˝ u konvex test l´etezik.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

´rben 7. Konvex testek euklideszi te

211

7.2.8. P´ eld´ ak • Legyen d = 2. Tekints¨ unk a s´ıkon egy w oldalhossz´ us´ag´ u szab´alyos h´aromsz¨ oget, ´es legyen L annak a h´arom w sugar´ u k¨orlemeznek a k¨oz¨os r´esze, amelynek a k¨ oz´eppontjai a h´aromsz¨og cs´ ucsaiban vannak. Ezt az L idomot w sz´eless´eg˝ u Reuleaux-h´aromsz¨ognek nevezik. K¨onny˝ u meggy˝oz˝ odni arr´ ol, hogy L ´ alland´o w sz´eless´eg˝ u konvex lemez. Ezt a konstrukci´ ot nyilv´ anval´ o m´ odon ´altal´anos´ıthatjuk h´aromsz¨og helyett tetsz˝oleges p´ aratlan oldalsz´ am´ u szab´alyos soksz¨og eset´ere. • Ha d > 2, akkor v´ alasztunk egy 2-dimenzi´os alt´erben fekv˝o tengelyesen szimmetrikus ´ alland´o sz´eless´eg˝ u konvex lemezt, ´es O(d − 2)szimmetri´ aval megforgatjuk a szimmetriatengelye k¨or¨ ul E-ben. A forgat´ as sor´ an s¨ op¨ ort E-beli konvex test is nyilv´an ´alland´o sz´eless´eg˝ u. (Lehet egy´ebk´ent nem forg´ asszimmetrikus ´alland´o sz´eless´eg˝ u konvex testeket is konstru´ alni, csak neh´ezkesebb m´odon.) • K¨ onnyen l´ athat´ o, hogy k´et ´alland´o sz´eless´eg˝ u konvex test tetsz˝oleges Minkowski-kombin´ aci´ oja is ´alland´o sz´eless´eg˝ u. Ilyen m´odon rengeteg u ´jabb p´elda nyerhet˝ o az eddigiekb˝ol. Speci´alis esetk´ent megeml´ıthetj¨ uk, hogy ´ alland´ o sz´eless´eg˝ u konvex testek paralleltartom´anyai is ´alland´o sz´eless´eg˝ uek. Megjegyz´esek. (1) A 7.2.6. T´etel k¨ovetkezt´eben minden ´alland´o w sz´eless´eg˝ u konvex lemeznek ugyanannyi a ker¨ ulete, m´egpedig wπ. K¨oz¨ott¨ uk a legkisebb ter¨ ulete Blaschke ´es Lebesgue nevezetes t´etele szerint a Reuleauxh´ aromsz¨ ognek van. A legnagyobb ter¨ uletet a k¨orlemez adja, m´egpedig nem csak az ´ alland´ o sz´eless´eg˝ u konvex lemezek k¨or´eben, hanem az ¨osszes r¨ogz´ıtett ker¨ ulet˝ u konvex lemez k¨ oz¨ ott; ez a k´es˝obb bizony´ıtand´o u ´n. izoperimetrikus egyenl˝ otlens´eg (7.6.2. T´etel) k´etdimenzi´os speci´alis esete. (2) Kett˝ on´el magasabb dimenzi´oban j´oval kevesebbet tudunk az ´alland´o sz´eless´eg˝ u konvex testekr˝ ol; nem ismeretes p´eld´aul a Blaschke–Lebesgue-t´etel h´ aromdimenzi´ os megfelel˝ oje sem.

7.3. Hausdorff-t´ avols´ ag Ebben a szakaszban ´ertelmezz¨ uk az euklideszi t´er r´eszhalmazai k¨oz¨ott azt a t´ avols´ agfogalmat, amelynek seg´ıts´eg´evel a konvex testek egy metrikus t´er elemeik´ent, a 7.1.8-beli approxim´aci´os ´all´ıt´asok pedig ennek a metrikus t´ernek a tulajdons´ agaik´ent foghat´ ok fel.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

212

Euklideszi geometria

7.3.1. Defin´ıci´ o (Hausdorff-t´ avols´ ag). Legyen X tetsz˝oleges metrikus t´er. Az M, N ⊆ X nem¨ ures korl´ atos halmazok Hausdorff-f´ele t´avols´ag´an a ρH (M, N ) = inf{η ∈ R : M ⊆ B(N, η) ´es N ⊆ B(M, η)} sz´ amot ´ertj¨ uk. ´ ıt´ 7.3.2. All´ as (1) ρH (M, N ) = 0 pontosan akkor teljes¨ ul, ha M = N . (2) Ha L ⊆ B(M, ξ) ´es M ⊆ B(N, η), akkor L ⊆ B(N, ξ + η). 7.3.3. K¨ ovetkezm´ eny. A ρH f¨ uggv´eny metrika az X-beli nem¨ ures korl´atos z´ art halmazok halmaz´ an. ´Igy p´eld´ aul az X-beli nem¨ ures kompakt halmazok alkotta C(X) halmaz is metrikus t´err´e v´ alik a Hausdorff-t´avols´ag bevezet´es´evel. Az X = E esetben ennek a t´ernek nevezetes altereit alkotj´ak a 7.1.7-ben bevezetett P + (E) ⊆ ⊆ K+ (E) ⊆ K(E) ⊆ C(E) halmazok.
´ ıt´ 7.3.4. All´ as. ρH B(K, r), B(L, r) = ρH (K, L) teljes¨ ul b´armely K, L ∈ ∈ K(E)-re ´es r > 0-ra. M´ as sz´oval, r¨ogz´ıtett r >
0 mellett a K 7→ B(K, r) hozz´ arendel´es t´ avols´ agtart´ o lek´epez´es a K(E), ρH metrikus t´erb˝ol saj´at mag´ aba. ´ ıt´ 7.3.5. All´ as (1) P + (E) s˝ ur˝ u r´eszhalmaz K+ (E)-ben. (2) K(E) z´ art r´eszhalmaz C(E)-ben. Bizony´ıt´ as: (1): R¨ ogt¨ on ad´ odik 7.1.8.(1)-b˝ol. (2): Ha C ∈ C(E) − K(E), akkor C nem konvex, ez´ert v´alaszthatunk olyan X, Y ∈ C ´es Z ∈ [X, Y ] pontokat, hogy Z ∈ / C. A C halmaz z´arts´aga mi´ ıtjuk, hogy ekkor C 0 ∈ C(E), att alkalmas ε > 0 sz´ amra B(Z, ε) ∩ C = ∅. All´ ρH (C 0 , C) < ε/2 eset´en a C 0 halmaz nem lehet konvex. Val´oban, C 0 tartalmaz X-hez ´es Y -hoz ε/2-n´el k¨ ozelebbi X 0 , illetve Y 0 pontokat, ez´ert az [X 0 , Y 0 ] szakasz belemetsz a B(Z, ε/2) halmazba, amely B(C, ε/2)-t˝ol, ´es ann´al ink´ abb C 0 -t˝ ol is diszjunkt. ´ ıt´ 7.3.6. All´ as. diam : C(E) → R ´es V, A : K+ (E) → R folytonos f¨ uggv´enyek. Bizony´ıt´ as: Ha M, N ⊆ E nem¨ ures korl´atos halmazok ´es M ⊆ B(N, η), akkor a h´ aromsz¨ og-egyenl˝ otlens´eget felhaszn´alva diam M ≤ diam N + 2η. Emiatt

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

´rben 7. Konvex testek euklideszi te

213

a diam f¨ uggv´eny Lipschitz-egyenl˝otlens´egnek tesz eleget a 2 sz´ammal mint Lipschitz-konstanssal. ´Igy diam : C(E) → R egyenletesen folytonos. Legyen K ∈ K+ , megmutatjuk, hogy a V : K+ (E) → R f¨ uggv´eny folytonos a K pontban. Legyen ε > 0 tetsz˝oleges. R¨ogz´ıts¨ unk egy O ∈ int K pontot. Ha µ < 1 < ν ´es K − = HO,µ (K), K + = HO,ν K, akkor 7.1.4.(2) felhaszn´al´as´aval Vd (K + ) − Vd (K − ) = (ν d − µd ) · Vd (K), ami ε-n´al kisebb´e tehet˝o µ ´es ν alkalmas megv´ alaszt´ as´ aval. Legyen δ = min{ρ(K − , E − int K) , ρ(K, E − + − − int K )}, ekkor K , K ´es K + kompakts´aga miatt δ > 0 ´es b´armely L ∈ ∈ K+ , ρH (K, L) < δ eset´en K − ⊆ L ⊆ K + teljes¨ ul. ´Igy Vd monotonit´as´at felhaszn´ alva |Vd (K) − Vd (L)| ≤ Vd (K + ) − Vd (K − ) < ε. Az A f¨ uggv´eny folytonoss´ ag´at sz´or´ol sz´ora ugyan´ıgy lehet bel´atni azzal a jelent´ektelen elt´er´essel, hogy a sz´amol´asban ν d − µd helyett ν d−1 − µd−1 l´ep fel. Az utols´ o l´ep´esben a 7.1.17-beli monotonit´asra hivatkozunk. Megjegyz´es. Az is k¨ onnyen igazolhat´o volna, hogy a w : K+ (E) → R f¨ uggv´eny is folytonos (legal´ abbis dim E = 2 eset´en, amikor az ´atlagos sz´eless´eget egy´ altal´ an ´ertelmezt¨ uk), de erre a k´es˝obbiekben nem lesz sz¨ uks´eg¨ unk.
7.3.7. T´ etel. Ha az X metrikus t´er kompakt, akkor C(X), ρH is kompakt metrikus t´er. Bizony´ıt´ as: Megmutatjuk, hogy b´armely C ⊆ C(X) v´egtelen halmaznak l´etezik torl´ od´ asi pontja C(X)-ben. El˝ osz¨ or r¨ ogz´ıts¨ unk minden n ∈ N-re egy Hn v´eges 1/n-h´al´ot X-ben, azaz olyan Hn ⊆ X v´eges halmazt, amelyre B(Hn ,1/n) = X fenn´all. Az X t´er kompakts´ aga miatt ilyen Hn minden n-re v´alaszthat´o. Rekurzi´ oval defini´ aljuk a C = C0 ⊇ C1 ⊇ . . . ⊇ Cn ⊇ . . . v´egtelen halmazrendszereket ´es az Fn ⊆ Hn r´eszhalmazokat u ´gy, hogy minden C ∈ Cn -re ρH (C, Fn ) < 1/n teljes¨ ulj¨ on. Tegy¨ uk f¨ ol, hogy n ≥ 1 ´es m´ar defini´altuk a Cn−1 v´egtelen halmazrendszert. Tekints¨ uk C ∈ Cn−1 -re a Hn ∩B(C,1/n) halmazt. Miut´an Cn−1 v´egtelen ´es Hn v´eges, l´etezik v´egtelen sok olyan C eleme Cn−1 -nek, amelyekre Hn ∩B(C,1/n) ugyanaz az Fn ⊆ Hn r´eszhalmaz. Ezek a Cn−1 -beli elemek alkotj´ak Cn -et. Ha C ∈ Cn , akkor egyr´eszt Fn ⊆ B(C,1/n), m´asr´eszt mivel a Hn halmaz 1/nh´ al´ o, C ⊆ B(Fn ,1/n) is teljes¨ ul. Ez´ert val´oban ρH (C, Fn ) < 1/n. S∞ ´ ıtjuk, hogy minden C ∈ Cn -re ρH (C, Qn ) Legyen n ∈ N-re Qn = k=n Fk . All´ ≤ 3/n. Val´ oban, egyr´eszt C ⊆ B(Qn ,1/n) nyilv´anval´oan teljes¨ ul, hiszen ρH (C, Fn ) < 1/n miatt C ⊆ B(Fn ,1/n) ´es Fn ⊆ Qn miatt B(Fn ,1/n) ⊆ ⊆ B(Qn ,1/n). M´ asr´eszt pedig b´armely k ≥ n eset´en tetsz˝oleges C 0 ∈ Ck -t v´ alasztva Ck ⊆ Cn miatt ρH (Fn , C 0 ) < 1/n ´es ´ıgy ρH (C, Fk ) ≤ ρH Fn ) + S(C, ∞ +ρH (Fn , C 0 )+ρH (C 0 , Fk ) < (1/n) +(1/n)+ (1/k) ≤ 3/n. Emiatt k=n Fk ⊆ S∞ ⊆ B(C,3/n) ´es ´ıgy ρH (C, Qn ) = ρH (C, k=n Fk ) ≤ 3/n.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

214

Euklideszi geometria

T∞ Legyen F = n=1 Qn . Kompakt t´erben nem¨ ures z´art halmazok fogy´o soro´ ıtjuk, hogy ρH (Qn , F ) → 0 zat´ anak a metszete nem¨ ures, ez´ert F ∈ C(X). All´ (n → ∞). Egyr´eszt F ⊆ Qn miatt nyilv´an minden η > 0-ra F ⊆ B(Qn , η), m´ asr´eszt ha volna olyan η > 0, hogy minden n-re Qn * B(F, η) ´allna, akkor a Qn − B(F, η) nem¨ ures z´art halmazok u u fogy´o sorozatot ¨res metszet˝ alkotn´ anak X-ben, ami lehetetlen. Az eddigiekb˝ ovetkezik, hogy a C halmaznak F torl´od´asi pontja a
ol k¨ C(X), ρH metrikus t´erben, hiszen egyr´eszt az n term´eszetes sz´amot el´eg nagynak v´ alasztva a ρH (Qn , F ) t´avols´ag tetsz˝olegesen kicsiv´e tehet˝o, m´asr´eszt C-nek v´egtelen sok eleme (nevezetesen Cn elemei) Qn -t˝ol 1/n-n´el kisebb Hausdorff-t´ avols´ agra van. Megjegyz´es. Egy metrikus teret teljesen korl´atosnak (vagy prekompaktnak) mondunk, ha minden ε > 0-ra l´etezik benne v´eges ε-h´al´o. K¨onny˝ u ellen˝orizni, hogy egy metrikus t´er akkor ´es csak akkor kompakt, ha teljesen korl´atos ´es teljes. A 7.3.7. T´etel bizony´ıt´as´ab´ol kiolvashat´o, hogy X teljesen korl´atos volta, illetve teljess´ege k¨ ul¨ on-k¨ ul¨on, egym´ast´ol f¨ uggetlen¨ ul is maga ut´an vonja C(X) teljesen korl´ atos volt´ at, illetve teljess´eg´et. 7.3.8. K¨ ovetkezm´ eny (Blaschke kiv´ alaszt´ asi t´ etele). Ha a Kn ⊆ E (n ∈ ∈ N) nem¨ ures kompakt halmazok mindannyian benne vannak valamilyen Ebeli korl´ atos halmazban (p´eld´aul egy el´eg nagy g¨ombtestben), akkor a {Kn } sorozatb´ ol kiv´ alaszthat´ o olyan r´eszsorozat, amely a Hausdorff-metrik´ara n´ezve konvergens.

7.4. Paralleltartom´ anyok t´ erfogata Ha S konvex n-sz¨ og az euklideszi s´ıkban ´es r > 0, akkor a B(S, r) paralleltartom´ any j´ ol ´ attekinthet˝ o m´odon felbomlik n´eh´any egym´asba nem ny´ ul´o konvex lemez uni´ oj´ ara. Ebben a felbont´asban mag´an S-en k´ıv¨ ul szerepel egyr´eszt n darab t´eglalap (melyek egyik oldala S egy oldala, m´asik oldala r hossz´ us´ ag´ u), m´ asr´eszt n darab r sugar´ u k¨orcikk, amelyek eltolt p´eld´anyaival egy k¨ orlemez ´eppen kit¨ olthet˝o. Ebb˝ol k¨onnyen nyerhet¨ unk k´epletet B(S, r) ter¨ ulet´ere:
V2 B(S, r) = π · r2 + k(S) · r + V2 (S) . Hat´ ar´ atmenettel r¨ ogt¨ on l´ athat´o, hogy ugyanez a formula ´erv´enyes S helyett tetsz˝ oleges L konvex lemezre. Ennek a szakasznak a c´elja, hogy ezt a formul´at altal´ ´ anos´ıtsuk tetsz˝ oleges dimenzi´ora (l. 7.4.11). Ehhez el˝osz¨or tiszt´azni kell az im´enti felbont´ as magasabb dimenzi´os ´altal´anos´ıt´as´at.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

´rben 7. Konvex testek euklideszi te

215

7.4.1. Defin´ıci´ o (Norm´ alis k´ up). Legyen K ⊂ E tetsz˝oleges d-dimenzi´os konvex z´ art halmaz ´es A ∈ ∂K. A K halmaz A-hoz tartoz´o norm´alis k´ upj´anak nevezz¨ uk ´es NK (A)-val jel¨ olj¨ uk a t´er azon pontjainak a halmaz´at, amelyekhez K pontjai k¨ oz¨ ul A van a legk¨ozelebb : NK (A) = {X ∈ E : ρ(X, K) = ρ(X, A)}. → − Jel¨ olj¨ uk N K (A)-val az NK (A) halmaz vele egybev´ag´o lineariz´alt v´altozat´at, −−→ vagyis az {AX : X ∈ NK (A)} r´eszhalmazt a V vektort´erben. ´ ıt´ 7.4.2. All´ as (1) A, B ∈ ∂K, A 6= B eset´en NK (A) ∩ NK (B) = ∅. (2) NK (A) az A ponton k´ıv¨ ul azokb´ol ´es csak azokb´ol az X ∈ E pontok−−→ b´ ol ´ all, amelyekre az AX vektor a K halmaz valamely A-t tartalmaz´o t´ amaszhipers´ıkj´ anak a K-t nem tartalmaz´o f´elter´ebe mutat´o norm´alvektora. → − (3) NK (A) z´ art konvex k´ up az EA vektort´erben (´es ugyan´ıgy N K (A) z´art konvex k´ up V -ben). Bizony´ıt´ as: (1): Valamely X ∈ E pontra X ∈ NK (A) nyilv´an akkor ´es csak akkor ´ all, ha a K halmaz az A pontj´at´ol eltekintve az X k¨oz´eppont´ u, ρ(X, A) sugar´ u G hiperg¨ ombnek teljes eg´esz´eben a k¨ ulsej´eben fekszik. Ez´ert X az A pontot egy´ertelm˝ uen meghat´arozza. (2): Ha X ∈ NK (A), akkor az ehhez a G hiperg¨ombh¨oz tartoz´o TA G ´erint˝ ohipers´ık K-nak t´ amaszhipers´ıkja, hiszen ha valamely B ∈ K pont ennek a hipers´ıknak az X-et tartalmaz´o f´elter´ebe esne, akkor az [A, B] szakasz bele−−→ metszene G belsej´ebe, ami K konvexit´asa miatt lehetetlen. Az AX ennek a t´ amaszhipers´ıknak a kifel´e mutat´o norm´alvektora. A ford´ıtott ir´any´ u ´all´ıt´as nyilv´ anval´ o. (3): Tekints¨ uk az EA vektort´erben a K halmaz A hat´arpontbeli sz¨oglet´et”, ” azaz az A-b´ ol K fel´e ir´ anyul´ o f´elegyenesek s¨op¨orte −−→ −→ KA = {C ∈ E : l´etezik olyan B ∈ K ´es ε > 0, hogy AB = ε · AC } halmazt. A KA halmaz nyilv´ an konvex k´ up EA -ban. Az EA euklideszi vektort´er du´ alis´ at a m´ ar kor´ abban (7.3.5-ben) tiszt´azott m´odon azonosnak tekintj¨ uk mag´ aval EA -val. Ekkor a (2) ´all´ıt´as alapj´an NK (A) ´eppen a KA pol´aris k´ upja (l. 3.4.12). Teh´ at 3.4.13.(1)-re hivatkozva NK (A) val´oban z´art konvex k´ up. Megjegyz´es. Ha A cs´ ucsa K-nak, akkor az NK (A) halmazban nemcsak KA pol´ aris k´ upj´ ara, hanem a 2.5.5-ben haszn´alt C(A) k´ upra is r´aismerhet¨ unk.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

216

Euklideszi geometria

7.4.3. Ko enyek ¨vetkezm´ (1) Ha L ⊂ K a K val´ odi lapja ´es A, B ∈ relint L, akkor NK (B) =
→ − → − − → NK (A) , ´ es ´ıgy N K (A) = N K (B). = t− AB S (2) E = K ∪ A∈∂K NK (A). (3) Ha K korl´ atos, akkor V =

S

A∈∂K

→ − N K (A).

− → Bizony´ıt´ as: (1): Az A-beli ´es a B-beli t´amaszhipers´ıkok azonosak, ´es a t− AB eltol´ as o nmagukban mozgatja o ˝ ket, ez´ e rt az a ´ ll´ ıt´ a s 7.4.2.(2)-b˝ o l k¨ o vetkezik. ¨ (2): Ha X ∈ E − K, akkor K z´arts´aga miatt l´etezik benne X-hez legk¨ozelebb fekv˝ o A ∈ ∂K pont, ´es ´ıgy X ∈ NK (A).

(3): Adott v ∈ V -vel tetsz˝ olegesen r¨ogz´ıtett O ∈ E orig´o mellett a B 7→ −−→ hOB, vi folytonos f¨ uggv´enynek a K kompakt halmazon l´etezik valamely A ∈ → − ∈ ∂K pontban maximumhelye, ekkor v ∈ N K (A). (Ha v 6= 0, akkor K-nak k´et v-re mer˝ oleges ´ all´ as´ u t´ amaszhipers´ıkja van, ezek k¨oz¨ ul A ahhoz tartozik, amelynek a K-t nem tartalmaz´o f´elter´ebe mutat a v vektor.) 7.4.4. P´ eld´ ak • Ha K egy E-beli d-dimenzi´os g¨ombtest, akkor minden A ∈ ∂K-ra NK (A) az A-b´ ol kifel´e indul´o, ∂K-ra mer˝oleges (azaz sug´arir´any´ u) f´elegyenes. • Ha K f´elt´er E-ben, akkor minden A ∈ ∂K-ra NK (A) az A-b´ol kifel´e indul´ o, a hat´ arhipers´ıkra mer˝oleges f´elegyenes. • Ha K k´et (nem p´ arhuzamos hipers´ıkokkal hat´arolt) z´art f´elt´er metszete, akkor a hipers´ıkok k¨ oz¨os pontjaiban a K-hoz tartoz´o norm´alis k´ up egy (a metszetalt´er k´etdimenzi´os ortogon´alis komplementer´eben fekv˝o) z´art sz¨ ogtartom´ any. A k¨ ovetkez˝ o´ all´ıt´ ast a pol´ aris k´ upra vonatkoz´o 3.4.14-beli ´es 3.4.15-beli eredm´enyek ´ atfogalmaz´ as´ aval kapjuk. ´ ıt´ 7.4.5. All´ as. Legyen P d-dimenzi´os konvex poli´eder E-ben, A ∈ ∂P ´es A ∈ ∈ relint L, ahol L ∈ L(P ). Ekkor NP (A) konvex poli´ederk´ up, dim NP (A) = = d − dim L, tov´ abb´ a hLi ´es hNP (A)i ortogon´alis komplementer alterek az EA euklideszi vektort´erben. 7.4.6. Jelo es. Ha P ⊂ E d-dimenzi´os konvex poli´eder ´es L ⊂ P val´odi lap, ¨l´ → − → − akkor N P (L) jel¨ oli az N P (A) ≤ V k´ upot, ahol A ∈ relint L. (7.4.3.(1) miatt ez a halmaz nem f¨ ugg az A pont v´alaszt´as´at´ol.)

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

´rben 7. Konvex testek euklideszi te

217

→ − → − Nyilv´ an ∅ 6= L ≤ L0 < P eset´en N P (L) ⊇ N P (L0 ). ´ ıt´ 7.4.7. All´ as. Legyen P ⊂ E d-dimenzi´os konvex poli´eder. Ekkor: → − (1) A P -beli L val´ odi lapokhoz tartoz´o V -beli N P (L) k´ upok a tartalmaz´asra n´ezve r´eszben rendezett halmazt alkotnak, amely du´alisan izomorf a P val´ o
di lapjai alkotta r´eszben rendezett halmazzal (azaz L(P ) − − {∅, P } -vel). S → − (2) Ha P korl´ atos, akkor V = { N P (A) : A ∈ P cs´ ucs}. Bizony´ıt´ as: (1): Az L 7→ NP (L) hozz´arendel´es 7.4.2.(1) miatt bijekt´ıv, ´es a 7.4.6-beli meg´ allap´ıt´ as miatt rendez´esford´ıt´o. (2): 7.4.3.(3) alapj´ an V -t lefedik a lapokhoz tartoz´o lineariz´alt norm´alis k´ upok. Miut´ an P korl´ atos, minden val´odi lapj´anak l´etezik cs´ ucsa. Ez´ert a 7.4.6beli meg´ allap´ıt´ as alapj´ an mindegyik sz´oban forg´o k´ up benne van egy cs´ ucshoz tartoz´ o k´ upban. Teh´ at m´ ar a cs´ ucsokhoz tartoz´o lineariz´alt norm´alis k´ upok is lefedik V -t. 7.4.8. Defin´ıci´ o (E norm´ alis felbont´ asa). Legyen P ⊂ E tetsz˝oleges ddimenzi´ os konvex poli´eder. El˝o´all´ıtjuk az E teret v´eges sok p´aronk´ent k¨oz¨os bels˝ o pont n´elk¨ uli konvex poli´eder egyes´ıt´esek´ent a k¨ovetkez˝ok´eppen. Minden L ≤ P val´ odi laphoz tekints¨ uk az [ NP (A) = {X ∈ E : ρ(X, P ) = ρ(X, L)} NP (L) = A∈relint L

→ − ´ ıt´ halmazt. A 7.4.5. All´ as miatt NP (L) egybev´ag´o az N P (L) × L ortogon´alis direkt szorzattal, ´ıgy NP (L) is d-dimenzi´os konvex poli´eder. Legyen v´eg¨ ul az L = P nem val´ odi lap eset´eben NP (P ) = P . Ekkor nyilv´ anval´ oan [ E= NP (L), ∅6=L∈L(P ) 0

tov´ abb´ a L 6= L eset´en int NP (L) ∩ int NP (L0 ) = ∅. Ezt az uni´o-el˝o´all´ıt´ast nevezz¨ uk a t´er P -hez tartoz´ o norm´alis felbont´as´anak. 7.4.9. Defin´ıci´ o (Paralleltartom´ any norm´ alis felbont´ asa). Az E t´er norm´ alis felbont´ asa k¨ ozvetlen¨ ul sz´armaztatja a benne fekv˝o d-dimenzi´os P konvex poli´eder b´ armely paralleltartom´any´anak is egy felbont´as´at d-dimenzi´os konvex z´ art r´eszhalmazokra. Legyen r > 0 tetsz˝oleges ´es defini´aljuk a DP (L, r) → − ⊂ E ´es D P (L, r) ⊂ V halmazokat a k¨ovetkez˝ok´eppen : DP (L, r) = NP (L) ∩ B(P, r),

www.interkonyv.hu

→ − → − D P (L, r) = N P (L) ∩ B(0, r),

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

218

Euklideszi geometria

ahol B(P, r) a P halmaz r sugar´ u z´art paralleltartom´anya E-ben, B(0, r) a V -beli r sugar´ u z´ art g¨ ombtest az orig´o k¨or¨ ul, L pedig P egy tetsz˝oleges val´odi lapja. Ekkor [ B(P, r) = DP (L, r), ∅6=L∈L(P ) 0

tov´ abb´ a L 6= L eset´en int DP (L, r) ∩ int DP (L0 , r) = ∅. Ezt a felbont´ast nevezz¨ uk a B(P, r) paralleltartom´any norm´alis felbont´as´anak. Ha L val´odi lap, → − akkor a felbont´ as L-hez tartoz´o tagja, DP (L, r), a D P (L, r) × L ortogon´alis direkt szorzattal egybev´ ag´ o. 7.4.10. P´ eld´ ak. → − • Ha L ≤ P hiperlap, akkor D P (L, r) egy r hossz´ us´ag´ u szakasz, ´es DP (L, r) egy L alap´ u, r magass´ag´ u has´ab. • Ha P korl´ atos, akkor a B(P, r) paralleltartom´any norm´alis felbont´as´ ab´ ol a P cs´ ucsaihoz tartoz´o tagokat k¨oz¨os kezd˝opontba tolva azok egy¨ uttesen egy r sugar´ u g¨ombtest felbont´as´at adj´ak. Ez 7.4.7.(2)-b´ol ´es → − abb´ ol k¨ ovetkezik, hogy ha L a P cs´ ucsa, akkor DP (L, r) ´es D P (L, r) egybev´ ag´ o. 7.4.11. T´ etel (Steiner–Minkowski-t´ etel). B´armely K ∈ K+ (E) konvex testhez l´eteznek olyan mi (K) ≥ 0 (i = 0,1, . . . , d) egy¨ utthat´ok, hogy minden r > 0-ra d
X Vd B(K, r) = mi (K) ri . i=0 +

Az mi : K → R f¨ uggv´enyek folytonosak, m0 = Vd , m1 = A ´es md = κd . Bizony´ıt´ as: El˝ osz¨ or tegy¨ uk f¨ ol, hogy K = P ∈ P + (E) polit´op ´es tekints¨ uk a B(P, r) paralleltartom´ any norm´alis felbont´as´at. Ha L ≤ P val´odi lap, akkor


→ − → − Vd DP (L, r) = Vd D P (L, r) × L = Vd−dim L D P (L, r) · Vdim L (L), ezzel X

→ − Vd B(K, r) = Vd (P ) + Vd−dim L D P (L, r) · Vdim L (L). ∅6=L 0 mellett d X




Vd B(Pn , r) =

mi (Pn ) ri ≤ κd · (R + r)d .

i=0

Emiatt minden i-re mi (Pn ) ≤ κd ·(R+r)d /ri , azaz az mi (Pn ) (n ∈ N) sorozat korl´ atos. Feltehet˝ o teh´ at (alkalmas r´eszsorozatra ´att´erve), hogy minden i-re ´ ıt´ast felhaszn´alva konvergens; legyen mi (K) a hat´ar´ert´ek. A 7.3.4. All´ B(K, r) = B( lim Pn , r) = lim B(Pn , r). n→∞

n→∞

Most 7.3.6-ra ´es a polit´ opokra m´ar bizony´ıtott ´all´ıt´asra hivatkozva


Vd B(K, r) = Vd lim B(Pn , r) = lim Vd B(Pn , r) = n→∞

=

lim

n→∞

d X i=0

n→∞

mi (Pn ) ri =

d X

mi (K) ri .

i=0


Ezzel bel´ attuk, hogy a Vd B(K, r) f¨ uggv´eny az r v´altoz´onak polinomf¨ uggv´enye. Miut´ an egy val´ os polinomf¨ uggv´eny az egy¨ utthat´oit egy´ertelm˝ uen meghat´ arozza, k¨ ovetkezik, hogy az mi (K) sz´amok val´oban csak K-t´ol ´es i-t˝ol f¨ uggnek, ´es att´ ol nem, hogy milyen Pn → K polit´opsorozatot v´alasztottunk. Ha d-edfok´ u val´ os polinomf¨ uggv´enyek egy sorozata a pozit´ıv sz´amokon pontonk´ent konverg´ al egy d-edfok´ u polinomf¨ uggv´enyhez, akkor az egy¨ utthat´ok is rendre konverg´ alnak a limeszf¨ uggv´eny egy¨ utthat´oihoz. Ebb˝ol k¨ovetkezik, hogy az mi f¨ uggv´enyek folytonosak,
hiszen Kn →
K eset´en 7.3.4 ´es 7.3.6 miatt minden r > 0-ra Vd B(Kn , r) → Vd B(K, r) . V´eg¨ ul az m0 = Vd , m1 = A, md = κd egyenl˝os´egek polit´opokra r¨ogt¨on l´athat´ ok a norm´ alis felbont´ as 7.4.9-beli ´es 7.4.10-beli tulajdons´agaib´ol, ´altal´anos konvex testekre pedig 7.3.5.(1)-b˝ol k¨ovetkeznek, mivel a sz´oban forg´o f¨ uggv´enyek folytonosak. 7.4.12. P´ eld´ ak • Legyen K g¨ ombtest E-ben, jel¨olje r0 a sugar´at. Ekkor a B(K, r) paralleltartom´ any r0 + r sugar´ u g¨ombtest, ´ıgy a t´erfogata  d   X
d d−i r0 κd ri , Vd B(K, r) = (r0 + r)d κd = i i=0 ahonnan mi (K) =

www.interkonyv.hu

d i


d−i r0 κd ad´odik i = 0, . . . , d-re.

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

220

Euklideszi geometria

• Legyen P d-dimenzi´ os kocka E-ben, jel¨olje a az ´elhossz´at. A norm´alis felbont´ ast haszn´ alva meghat´arozzuk B(P, r) t´erfogat´at. Ha L a P egy → − j-dimenzi´ os val´ odi lapja, akkor egyr´eszt Vj (L) = aj , m´asr´eszt D P (L,
r) egy (d − j)-dimenzi´ os g¨ombtest 2d−j -edr´esze. Ezekb˝ol Vd DP (L, r) =
j d−j d−j = a κd−j r /2 ad´ odik. Miut´an a kock´anak dj 2d−j darab j-dimenzi´ os lapja van, a paralleltartom´any t´erfogata  d−1   d   X X
d j d d−i d d−j d Vd B(P, r) = a + a κd−j r = a + a κi ri . j i j=0 i=1 Ebb˝ ol az mi (P ) =

d i


d−i a κi k´epleteket kapjuk (i = 1, . . . , d).

Megjegyz´es. A 7.4.11. T´etelben szerepl˝o mi (K) (i = 0,1, . . . , d − 1) egy¨ utthat´ ok a K konvex test fontos geometriai jellemz˝oi. Megmutathat´o, hogy ezek az egy¨ utthat´ ok b´ armely K-ra pozit´ıvak. Ez polit´op eset´en a bizony´ıt´asb´ol r¨ogt¨ on l´ atszik, viszont a hat´ ar´ atmenet alkalmaz´as´aval 
csak mi (K) ≥ 0 ad´odik k¨ ozvetlen¨ ul. Nevezetes t´eny, hogy az mi (K)κd−i di κd sz´am a K testnek a (d − i)-dimenzi´ os alterekre es˝o ortogon´alis vet¨ uletei (d − i)-dimenzi´os t´erfogatainak az ´ atlag´ aval egyenl˝ o. Ennek a t´etelnek az i = 1-re vonatkoz´o esete a 7.2.8. ut´ ani megjegyz´esben m´ar eml´ıtett Cauchy-f´ele integr´alformula, amely a felsz´ınt ´ all´ıtja el˝ o a hipers´ıkokra es˝o vet¨ uletek (d − 1)-dimenzi´os t´erfogatainak a seg´ıts´eg´evel. Az i = d − 1 eset szerint
pedig az md−1 (K) egy¨ utthat´o a K halmaz ´ atlagos sz´eless´eg´enek a d · κd /2 -szerese. A d = 2 speci´alis esetben ezekb˝ ol u ´jra megkapjuk a 7.2.6. T´etelt. 7.4.13. K¨ ovetkezm´ eny (Steiner–Minkowski-formula). B´armely K ∈ ∈ K+ (E) konvex testre
Vd B(K, r) − Vd (K) A(K) = lim . r→0 r Bizony´ıt´ as: B´ armely f (x) = a0 + a1 x + . . . val´os polinomf¨
uggv´eny eset´eben a line´ aris tag egy¨ utthat´ oj´ at az a1 = limx→0 f (x) − a0 /x hat´ar´atmenettel sz´ armaztathatjuk. Ezt a 7.4.11-beli polinomf¨ uggv´enyre alkalmazva kapjuk a formul´ at.

7.5. Steiner-f´ ele szimmetriz´ aci´ o Itt vezetj¨ uk be a k¨ ovetkez˝ o szakaszban bizony´ıtand´o nevezetes geometriai egyenl˝ otlens´egek technikai eszk¨oz´et. Adott konvex testet egy egyszer˝ u ´es szeml´eletes elj´ ar´ assal olyan, vele egyenl˝o t´erfogat´ u konvex testt´e alak´ıtunk

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

´rben 7. Konvex testek euklideszi te

221

´t, amely egy el˝ a ore kijel¨ olt hipers´ıkra szimmetrikus. Az el˝oz˝o szakasz eredm´enyeire t´ amaszkodva megmutatjuk, hogy a felsz´ın az elj´ar´as sor´an nem n˝o. 7.5.1. Defin´ıci´ o (Kompakt konvex halmaz szimmetriz´ altja). Legyen K ⊂ E kompakt konvex halmaz ´es H ⊂ E r¨ogz´ıtett hipers´ık. Jel¨olje π : : E → H az ortogon´ alis vet´ıt´est. B´armely A ∈ π(K) pontra az IA = K ∩ ∩ π −1 (A) halmaz (esetleg elfajul´o) szakasz. Legyen JA az IA szakasznak az az eltoltja, amelynek A a felez˝opontja. A K halmaz H-ra vonatkoz´o Steinerszimmetriz´ altj´ an az [ JA SH (K) = A∈π(K)

halmazt ´ertj¨ uk.

Nyilv´ an σH SH (K) = SH (K) = SH σH (K) , σH (K) = K eset´en SH (K) = = K, valamint K1 ⊆ K2 eset´en SH (K1 ) ⊆ SH (K2 ). ´ ıt´ 7.5.2. All´ as. Az SH (K) halmaz is kompakt ´es konvex. Bizony´ıt´ as: Nyilv´ an SH (K) korl´atos, bel´atjuk, hogy z´art. Tegy¨ uk fel, hogy az SH (K)-beli Xn pontok sorozata konverg´al az X ∈ E ponthoz, meg kell mutatnunk, hogy X ∈ SH (K). Az An = π(Xn ) ´es A = π(X) vet¨ uletekre An → A ´erv´enyes, ´ıgy π(K) kompakts´aga miatt A ∈ π(K). Jel¨olj¨ uk ln -nel a JAn szakasz hossz´ at, valamint l-lel a JA szakasz hossz´at. ´ All´ıtjuk, hogy l ≥ lim inf n→∞ ln . Azonos´ıtsuk E-t a H × π −1 (A) ortogon´alis ε direkt szorzattal. Legyen tetsz˝oleges ε > 0 mellett IA az IA szakasz ε sugar´ u −1 ny´ılt k¨ ornyezete a π (A) egyenesen. Ekkor tal´alhat´o az A pontnak olyan ε . (Egy´ebk´ent ugyanis U ny´ılt k¨ ornyezete H-ban, hogy K ∩ π −1 (U ) ⊆ U × IA −1 v´ alaszthat´ o volna olyan Pn = (Bn , Cn ) ∈ H × π (A) konvergens sorozat ε , ´es ennek a sorozatnak a hat´ar´ert´eke K-b´ ol, amelyre Bn → A ´es Cn ∈ / IA −1 π (A)-ban, de nem IA -ban lenne, ami ellentmond´as.) Ez´ert el´eg nagy n-re (An ∈ U eset´en bizonyosan) ln ≤ l + 2ε. Miut´an ez minden ε > 0-ra ´erv´enyes, val´ oban l ≥ lim inf n→∞ ln . Ebb˝ ol m´ ar k¨ onnyen k¨ ovetkezik, hogy X ∈ SH (K), hiszen ρ(X, A) = lim ρ(X, An ) ≤ lim inf ln /2 ≤ l/2. n→∞

n→∞

Az SH (K) halmaz konvexit´ as´anak igazol´as´ahoz legyenek X, Y ∈ SH (K) tetsz˝ oleges pontok. Tegy¨ uk fel, hogy X ∈ JA ´es Y ∈ JB . Tekints¨ uk a conv {IA , IB } ´es a conv {JA , JB } (esetleg elfajul´o) trap´ezokat. Az ut´obbi (szimmetrikus) trap´ez lefedi az [X, Y ] szakaszt, ´es ´eppen az el˝obbinek a H-ra vonatkoz´o Steiner-szimmetriz´ altja, ´ıgy r´esze SH (K)-nak. Megjegyz´esek. (1) A fenti bizony´ıt´asban szerepl˝o ln sorozat tulajdonk´eppen konvergens ´es a limesze l. Ennek legt¨om¨orebb indokl´asa az, hogy az A 7→ l

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

222

Euklideszi geometria

hozz´ arendel´es folytonos, hiszen konk´av f¨ uggv´eny a π(K) halmazon. T¨obbv´ altoz´ os f¨ uggv´enyeket akkor nevez¨ unk konk´avnak (vagy konvexnek), ha az egyenesekre t¨ ort´en˝ o megszor´ıt´asaik konk´avak (illetve konvexek). Az egyv´altoz´ os esethez hasonl´ oan a konk´av (illetve konvex) f¨ uggv´enyek folytonosak, s˝ ot majdnem minden¨ utt differenci´alhat´ok. Ez az ´eszrev´etel egy´ uttal SH (K) konvexit´ as´ anak indokl´ as´ ara is alkalmas. (2) Felmer¨ ul a k´erd´es, vajon a K 7→ SH (K) hozz´arendel´es folytonos-e az Ebeli kompakt konvex halmazok (Hausdorff-metrik´aval ell´atott) K(E) ter´en. Ez nincs ´ıgy: legyen E a s´ık ´es konverg´aljon egy a H egyenesre nem mer˝oleges szakaszokb´ ol ´ all´ o sorozat egy H-ra mer˝oleges szakaszhoz. A szimmetriz´alt szakaszok H-ban fekszenek ´es hosszuk 0-hoz tart, ´ıgy egypont´ u halmazhoz ´es nem a mer˝ oleges szakasz szimmetriz´altj´ahoz konverg´alnak. Meggondolhat´o viszont, hogy nem¨ ures belsej˝ u halmazokra szor´ıtkozva a Steiner-szimmetriz´aci´o folytonos K+ (E) → K+ (E) lek´epez´es.
´ ıt´ 7.5.3. All´ as. Vd SH (K) = Vd (K). Bizony´ıt´ as: K¨ ozvetlen¨ ul k¨ ovetkezik a Cavalieri-elvb˝ol.
´ ıt´ 7.5.4. All´ as. diam SH (K) ≤ diam (K). Bizony´ıt´ as: Legyenek X, Y ∈ SH (K) tetsz˝oleges pontok, X ∈ JA ´es Y ∈ ∈ JB . Tekints¨ uk a conv {IA , IB } ´es conv {JA , JB } (esetleg elfajul´o) trap´ezokat. K¨ oz¨ ul¨ uk az ut´ obbi (szimmetrikus) trap´ez ´atl´oj´anak j hossza legfeljebb akkora, mint az el˝ obbi hosszabbik ´atl´oj´anak h hossza. ´Igy ρ(X, Y ) ≤ j ≤ h ≤ ≤ diam (K). ´ ıt´ 7.5.5. All´ as. B´ armely k´et K, L ⊂ E kompakt konvex halmazra ´es b´armely λ, µ ≥ 0, λ + µ = 1 egy¨ utthat´okra λSH (K) + µSH (L) ⊆ SH (λK + µL). Ha E-t valamely O ∈ H orig´ o v´alaszt´as´aval vektoriz´aljuk, akkor ez a λ+µ = 1 felt´etel elejt´es´evel is ´erv´enyes. Bizony´ıt´ as: Nyilv´ an elegend˝ o a vektoriz´alt v´altozatot bebizony´ıtani. A π : : E → H lek´epez´es line´ aris, emiatt b´armely A, B ∈ π(K)-ra λIA + µIB ⊆ ⊆ IλA+µB , ´es ´ıgy λJA +µJB ⊆ JλA+µB . (Itt az A, B, illetve λA+µB indexszel ell´ atott J ´es I halmazok rendre a K, L, illetve λK + µLShalmaz Steinerszimmetriz´ oj´ ahoz tartoznak.) Ez´ert λSH (K)+µSH (L) = A∈K,B∈L λJA + Saci´ + µJB ⊆ A∈K,B∈L JλA+µB = SH (λK + µL). Megjegyz´es. A 7.5.5-beli tartalmaz´asi rel´aci´o ´altal´aban val´odi. P´eldak´ent legyen E a s´ık, K ´es L k´et, egym´assal ´es a H egyenessel sem p´arhuzamos szakasz. Ekkor K + L ´es SH (K + L) nem¨ ures belsej˝ u konvex lemezek, m´ıg SH (K), SH (L) ´es SH (K + L) mindannyian H-ban fekv˝o szakaszok.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

´rben 7. Konvex testek euklideszi te

223



7.5.6. Ko eny. B SH (K), r ⊆ SH B(K, r) . ¨vetkezm´
Bizony´ıt´ as: O ∈ H orig´ o v´ alaszt´as´aval ´es 12.4 felhaszn´al´as´aval B SH (K), r =
d d d = SH (K) + rB = SH (K) + rSH (B ) ⊆ SH (K + rB ) = SH B(K, r) . 7.5.7. K¨ ovetkezm´ eny. Vd B SH (K), r







≤ Vd SH B(K, r) .

Megjegyz´es. A 7.5.6-beli ´es a 7.5.7-beli tartalmaz´asi rel´aci´okban sem ´all ´altal´ aban egyenl˝ os´eg. S´ıkbeli p´eldak´ent K-nak b´armely, H-val nem p´arhuzamos szakasz vehet˝ o.
´ ıt´ 7.5.8. All´ as. B´ armely K ∈ K+ (E)-re A SH (K) ≤ A(K). Bizony´ıt´ as: 7.4.13, 7.5.7, 7.5.3, majd ism´et 7.4.13 felhaszn´al´as´aval



Vd B SH (K), r − Vd SH (K) ≤ A SH (K) = lim r→0 r


Vd SH B(K, r) − Vd SH (K) ≤ lim = r→0 r
Vd B(K, r) − Vd (K) = A(K). = lim r→0 r 7.5.9. T´ etel (Blaschke t´ etele a go ol). Legyen O ∈ E r¨ogz´ıtett pont, ¨mbr˝ ´es legyen F ⊂ K+ konvex testek olyan rendszere, amely (1) z´ art halmaz a C(E) metrikus t´erben (a Hausdorff-metrik´ara n´ezve) ´es (2) z´ art az O-n ´ athalad´ o hipers´ıkokra vonatkoz´o Steiner-szimmetriz´aci´okra n´ezve (azaz SH (F ) ∈ F, valah´anyszor H ⊂ E hipers´ık, O ∈ H ´es F ∈ F). Ekkor az F halmazrendszer tartalmaz O k¨oz´eppont´ u g¨ombtestet. Bizony´ıt´ as: Legyen r = inf {s > 0 : l´etezik olyan F ∈ F, hogy F ⊆ ⊆ B(O, s)}. Ekkor r > 0, hiszen k¨ ul¨onben az (1) felt´etel miatt {O} ∈ F k¨ ovetkezne, ami lehetetlen, mert F csupa (nem¨ ures belsej˝ u) konvex testb˝ol all. A Blaschke-f´ele kiv´ ´ alaszt´asi t´etelt (7.3.8. K¨ovetkezm´eny) ´es u ´jra az (1) felt´etelt alkalmazva kapjuk, hogy l´etezik olyan F ∈ F, amelyre F ⊆ B(O, r) (azaz az r-et defini´ al´ o infimum tulajdonk´eppen minimum); r¨ogz´ıts¨ unk egy ilyen F halmazt. Azt ´ all´ıtjuk, hogy F = B(O, r). Ehhez el´eg bel´atni, hogy a G = ∂B(O, r) g¨ omb r´esze F -nek, mert F konvex ´es B(O, r) = conv (G). Indirekt m´odon tegy¨ uk fel, hogy l´etezik X ∈ G − F pont. Az ε = ρ(X, F ) t´avols´ag F z´arts´aga miatt pozit´ıv. A G halmaz kompakts´aga miattSv´alaszthatunk v´eges sok X = n = X0 , X1 , . . ., Xn ∈ G pontot u ´gy, hogy G ⊆ k=0 B(Xi , ε) teljes¨ ulj¨on.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

224

Euklideszi geometria

Vegy¨ uk ´eszre, hogy ha H tetsz˝oleges hipers´ık az O ponton ´at ´es U
olyan G-beli ny´ılt halmaz, melyre F ∩ U = ∅, akkor SH (F ) ∩ U ∪ σH (U ) = ∅ is teljes¨ ul. (Val´ oban, az SH (F ) szimmetriz´altat alkot´o JA szakaszok k¨oz¨ ul azok, amelyekre A ∈ π(U ), a G g¨ ombnek szigor´ uan a belsej´ebe ker¨ ulnek.) Legyen k = 1, . . . , n-re Hk az X0 ´es Xk pontok felez˝o mer˝oleges hipers´ıkja, ekkor O ∈ Hk . Legyen U = G ∩ B(X, ε), ´es k = 1, . . . , n-re Uk = σHk (U ) = = G∩B(Xk , ε). A fenti ´eszrev´etelt iter´alva ad´odik, hogy minden k = 1, . . . , nre k

[ SHk SHk−1 . . . (SH1 (F )) . . . ∩ Ui = ∅. i=0 ∗



A k = n esetben legyen F = SS , ekkor a (2) Hn SHn−1 . . . (SH1 (F )) . . . n felt´etelt alkalmazva F ∗ ∈ F. Az i=0 Ui halmaz viszont G-vel egyenl˝o, ´ıgy F ∗ ∩ G = ∅ ad´ odik. Ez viszont ellentmond az r sug´ar minimalit´as´anak, hiszen ekkor az F ∗ halmaz, kompakt l´ev´en, belef´er egy r-n´el hat´arozottan kisebb sugar´ u g¨ ombbe.

7.6. Nevezetes egyenl˝ otlens´ egek 7.6.1. T´ etel (Izodiametrikus egyenl˝ otlens´ eg). R¨ogz´ıtett ´atm´er˝oj˝ u Ebeli konvex testek k¨ oz¨ ott a g¨ombtestnek a t´erfogata a legnagyobb. Egyen´ert´ek˝ u´ atfogalmaz´ assal: tetsz˝oleges K ∈ K+ (E)-re  d diam (K) Vd (K) ≤ · κd . 2 Bizony´ıt´ as: Az ´ atfogalmaz´ as val´oban egyen´ert´ek˝ u, mert (diam (K)/2)d · κd ´eppen annak a g¨ ombtestnek a t´erfogata, amelynek az ´atm´er˝oje diam (K). Legyen O ∈ E tetsz˝ oleges, ´es tekints¨ uk az F = {F ∈ K+ : Vd (F ) = Vd (K) ´es diam (F ) ≤ diam (K)} halmazrendszert. A 7.5.9. T´etel felt´etelei k¨oz¨ ul (1) teljes¨ ul 7.3.5.(2) ´es 7.3.6 miatt, (2) pedig 7.5.3-b´ ol ´es 7.5.4-b˝ol k¨ovetkezik. A t´etel alkalmaz´as´aval k¨ozvetlen¨ ul ad´ odik az ´ all´ıt´ as. 7.6.2. T´ etel (Izoperimetrikus egyenl˝ otlens´ eg). R¨ogz´ıtett felsz´ın˝ u E-beli konvex testek k¨ oz¨ ott a g¨ ombtestnek a t´erfogata a legnagyobb. Egyen´ert´ek˝ u´ atfogalmaz´ asokkal: tetsz˝oleges K ∈ K+ (E)-re  Vd (K) ≤

www.interkonyv.hu

A(K) d · κd

d  d−1

· κd ,

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

´rben 7. Konvex testek euklideszi te

225

illetve 

Vd (K) κd

 d1

 ≤

A(K) d · κd

1  d−1

.

Bizony´ıt´ as: Az ´ atfogalmaz´ asok val´oban egyen´ert´ek˝ uek, mert az A(K) felsz´ın˝ u
d/(d−1) · κd . g¨ ombtest t´erfogata ´eppen A(K)/(d · κd ) Legyen O ∈ E tetsz˝ oleges, ´es tekints¨ uk az F = {F ∈ K+ : Vd (F ) = Vd (K) ´es A(F ) ≤ A(K)} halmazrendszert. A 7.5.9. T´etel felt´etelei k¨oz¨ ul (1) teljes¨ ul 7.3.5.(2) ´es 7.3.6 miatt, (2) pedig 7.5.3-b´ ol ´es 7.5.8-b´ol k¨ovetkezik. A t´etel alkalmaz´as´aval k¨ozvetlen¨ ul ad´ odik az ´ all´ıt´ as. Megjegyz´esek. (1) A 7.6.2. T´etel tov´abbi, j´ol haszn´alhat´o ´atfogalmaz´as´at kapjuk, ha bevezetj¨ uk a konvex testek u ´n. izoperimetrikus h´anyados´at:  q(K) = Vd (K)d−1 A(K)d . (A kitev˝ ok ilyen megv´ alaszt´as´aval lesz az izoperimetrikus h´anyados invarians a hasonl´ ´ os´ agi transzform´aci´okra n´ezve.) A t´etel szerint az o¨sszes E-beli konvex test k¨ oz¨ ott a g¨ ombtesteknek van a legnagyobb izoperimetrikus h´anyad dosa, m´egpedig q(B ) = 1/(dd κd ). (2) A k´et egyenl˝ otlens´eg a konvexit´as k¨ovetelm´eny´enek elejt´ese mellett is igaz olyan E-beli kompakt Jordan-m´erhet˝o halmazokra, amelyeknek (7.6.2 eset´eben) van felsz´ıne. Az izodiametrikus egyenl˝otlens´eg ilyen kiterjeszt´ese minden tov´ abbi n´elk¨ ul k¨ ovetkezik a 7.6.1. T´etelb˝ol, hiszen a konvex burokra ´att´erve a t´erfogat nem cs¨ okken ´es az ´atm´er˝o nem v´altozik. Az izoperimetrikus egyenl˝ otlens´eg kiterjeszt´es´enek egyik akad´aly´at a felsz´ın nem konvex halmazokra vonatkoz´ o szabatos defin´ıci´oj´anak neh´ezs´egei jelentik. Tegy¨ uk fel, hogy a felsz´ınt kiel´eg´ıt˝ oen defini´ altuk. Szeml´elet¨ unkre alap´ıtva azt v´arjuk, hogy a konvex burokra ´ att´erve a felsz´ın nem n˝ohet. A k´etdimenzi´os esetben ez val´oban ´ıgy is van (´es elvezet az egyenl˝otlens´eg k´ıv´ant kiterjeszt´es´ehez), viszont m´ ar 3 dimenzi´ oban k¨ onnyen tal´alhat´o olyan ponthalmaz, amelynek a felsz´ıne kisebb a konvex burka felsz´ın´en´el. ´Igy a 7.6.2. T´etel nem konvex halmazokra val´ o kiterjeszt´es´ehez m´ as m´ odszereket kell haszn´alni. (3) Mindk´et t´etelnek ´erv´enyes az a kieg´esz´ıt´ese, hogy egyenl˝os´eg csak g¨ombtestek eset´eben ´ all f¨ onn. Ez annak a seg´edt´etelnek a meggondol´asa u ´tj´an igazolhat´ o, hogy ha egy konvex test ´atm´er˝oje vagy felsz´ıne b´armely hipers´ıkra vonatkoz´ o Steiner-szimmetriz´aci´o sor´an v´altozatlan, akkor a test sz¨ uks´egk´eppen g¨ ombtest.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

226

Euklideszi geometria

(4) A k´et egyenl˝ otlens´eg itt bemutatott bizony´ıt´asa, amely a Steiner-szimmetriz´ aci´ on ´es Blaschke t´etel´en alapul, t¨ort´enetileg az els˝ok k¨oz´e tartoz´o, hagyom´ anyos bizony´ıt´ as. Itt eml´ıtj¨ uk meg a konvex geometria egyik legalapvet˝ obb t´etel´et, a Brunn–Minkowski-egyenl˝otlens´eget, amely szerint a t´erfogat d-edik gy¨ oke konk´ av f¨ uggv´eny a konvex testek ter´en. A konk´avs´agot itt a Minkowski-kombin´ aci´ okra n´ezve kell ´erteni, teh´at pontos megfogalmaz´asban a t´etel u ´gy sz´ ol, hogy b´ armely K, L ∈ K+ (E)-re a [0,1] intervallumon ´ertelme
1/d zett t 7→ Vd (t K + (1 − t) L val´os f¨ uggv´eny konk´av. Ennek a t´etelnek az alkalmaz´ as´ aval m´ as jelleg˝ u, r¨ovid bizony´ıt´as volna adhat´o 7.6.1-re is ´es 7.6.2-re is.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

Projekt´ıv geometria A projekt´ıv geometria fogalmait t¨ort´enetileg az az ig´eny h´ıvta ´eletre, hogy a k¨ oz´eppontos vet´ıt´est (l. 8.3.10) kiel´eg´ıt˝oen kezelni k´epes matematikai appar´atust hozzunk l´etre. Ezt a c´elt a projekt´ıv geometria eredetileg a t´er v´egtelen ” t´ avoli” t´erelemekkel val´ o kib˝ ov´ıt´ese u ´tj´an ´erte el. Mi nem ezt az elj´ar´ast alkalmazzuk a projekt´ıv t´er defin´ıci´oj´aban, hanem enn´el absztraktabb, line´aris algebrai kiindul´ ast v´ alasztunk, ´es majd a 8.4. szakaszban tiszt´azzuk ennek kapcsolat´ at a kib˝ ov´ıt´eses m´ odszerrel. T´eteleink z¨ome tetsz˝oleges test f¨ol¨otti geometri´ aban is ´erv´enyes, ez´ert a projekt´ıv geometria fogalmait is ilyen ´altal´ anoss´ agban ´ertelmezz¨ uk. K´es˝obb egyes speci´alis k´erd´esekben majd a val´os vagy a komplex testre fogunk szor´ıtkozni.

8. A projekt´ıv t´ er szerkezete 8.1. Projekt´ıv terek ´ es alterek 8.1.1. Defin´ıci´ o (Projekt´ıv t´ er). Legyen F (kommutat´ıv) test, W vektort´er F f¨ ol¨ ott. A W vektort´er projektiviz´altj´anak (vagy a W -hez asszoci´alt projekt´ıv t´ernek) nevezz¨ uk a  P = P (W ) = W − {0} ∼ faktorhalmazt, ahol a nemz´erus u, v ∈ W vektorokra a ∼ ekvivalenciarel´aci´ot ´ıgy ´ertelmezz¨ uk: u ∼ v,

ha alkalmas λ ∈ F mellett v = λu .

Az ekvivalenciaoszt´ alyokat, azaz P (W ) elemeit a projekt´ıv t´er pontjainak nevezz¨ uk. Ezek pontosan az egydimenzi´os alterek W -ben (az orig´ot´ol megfosztva), ez´ert szok´ as a projekt´ıv teret az orig´on ´atmen˝o egyenesek ter´enek is tekinteni. 227

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

Projekt´ıv geometria

228

Ugyanezt az ekvivalenciarel´ aci´ot ´es oszt´alyoz´ast nyerj¨ uk, ha a W − {0} halmazon F∗ -nak, az F test multiplikat´ıv csoportj´anak a term´eszetes (szorz´assal t¨ ort´en˝ o) hat´ asa szerinti orbitjait tekintj¨ uk. ´Igy P (W ) = W − {0} F∗ . Ha w ∈ W , w 6= 0, akkor a w-t tartalmaz´o ekvivalenciaoszt´alyt [w]-vel jel¨ olj¨ uk. A w vektort a [w] pont reprezent´ans vektor´anak nevezz¨ uk. Ha W v´eges dimenzi´ os vektort´er, akkor a P projekt´ıv t´er dimenzi´oj´an a dim W −1 sz´ amot ´ertj¨ uk. A tov´abbiakban mindig feltessz¨ uk, hogy az ´altalunk ´ vizsg´ alt projekt´ıv terek v´eges dimenzi´osak. Altal´ aban P dimenzi´oj´at jel¨olj¨ uk d-vel, teh´ at dim W = d + 1. 8.1.2. P´ eld´ ak • Az Fd+1 koordin´ atat´er projektiviz´altj´at, P (Fd+1 )-et standard d-dimenzi´ os projekt´ıv t´ernek nevezz¨ uk ´es Pd -vel jel¨olj¨ uk. (A P d (F) ´es az FP d d jel¨ ol´es is haszn´ alatos P -re.) • A (−1)-dimenzi´ os projekt´ıv t´er az u ¨res halmaz, a 0-dimenzi´os projekt´ıv terek egyelem˝ uek. Az egydimenzi´osakat projekt´ıv egyeneseknek, a k´etdimenzi´ osakat projekt´ıv s´ıkoknak nevezz¨ uk. • Jel¨ olje szok´ as szerint W ∗ a W vektort´er du´alis ter´et. Ekkor az [α] ←→ Ker α megfeleltet´es bijekci´o a P (W ∗ ) projekt´ıv t´er ´es a W -beli line´aris hipers´ıkok halmaza k¨ oz¨ott. A P (W ∗ ) projekt´ıv teret a P (W ) projekt´ıv t´er du´ alis´ anak szok´as nevezni, ez teh´at az orig´on ´atmen˝o W -beli hipers´ıkok tere. • A v´eges testek f¨ ol¨ otti projekt´ıv terek (az al´abbiakban defini´aland´o projekt´ıv altereiket ´es projekt´ıv transzform´aci´oikat tekintve) ´erdekes p´eld´akat szolg´ altatnak er˝ os szimmetriatulajdons´agokkal b´ır´o kombinatorikai strukt´ ur´ akra. Egyszer˝ uen lesz´aml´alhat´o, hogy p´eld´aul egy q-elem˝ u test f¨ ol¨ otti d-dimenzi´ os projekt´ıv t´erben a pontok sz´ama (q d+1 − 1)/(q − 1). 8.1.3. Defin´ıci´ o (Projekt´ıv alt´ er). Ha U ≤ W tetsz˝oleges line´aris alt´er, akkor P (U ) ⊆ P (W ). Az ilyen m´odon keletkez˝o r´eszhalmazokat nevezz¨ uk P = P (W ) projekt´ıv altereinek. Az u armely projekt´ıv t´ernek projekt´ıv altere, m´egpedig az egyet¨res halmaz b´ len (−1)-dimenzi´ os projekt´ıv alt´er. A 0-dimenzi´os alterek pontosan az egyelem˝ u r´eszhalmazok (amelyeket azonosnak tekint¨ unk a projekt´ıv t´er pontjaival). Az egydimenzi´ os projekt´ıv altereket P -beli egyeneseknek, a k-dimenzi´osakat k-s´ıkoknak, a (d − 1)-dimenzi´osakat hipers´ıkoknak is nevezz¨ uk. Projekt´ıv alterek tetsz˝ oleges rendszer´enek a metszete is projekt´ıv alt´er. B´armely M ⊆ P r´eszhalmazhoz egy´ertelm˝ uen l´etezik legsz˝ ukebb, M -et tartalmaz´ o projekt´ıv alt´er, ezt az M a´ltal gener´alt alt´ernek nevezz¨ uk ´es az hM i jellel

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

´r szerkezete 8. A projekt´ıv te

229

jel¨ olj¨ uk. Nyilv´ an valamely A = [w] ∈ P pont akkor ´es csak akkor tartozik az hM i alt´erhez, ha a w vektor line´arisan f¨ ugg az M elemeit reprezent´al´o vektorokt´ ol. P´eld´ aul az A, B ∈ P pontok akkor ´es csak akkor k¨ ul¨onb¨oz˝ok, ha reprezent´ al´ o vektoraik line´ arisan f¨ uggetlenek. Ilyenkor hA, Bi az A-n ´es B-n atfektetett (egy´ertelm˝ ´ uen l´etez˝o) projekt´ıv egyenest jel¨oli. R¨ ogt¨ on l´ athat´ o, hogy P ¨ osszes projekt´ıv altere h´al´ot alkot, amelyben a 0 elem az u uveleteket pedig az S ∧ T = S ∩ T , S ∨ ¨res alt´er, az 1 elem az eg´esz P , a m˝ ∨ T = hS ∪ T i formul´ ak adj´ ak. Ez a h´al´o nyilv´anval´oan azonos a W vektort´er alt´erh´ al´ oj´ aval. 8.1.4. P´ elda. Feleltess¨ uk meg a W vektort´er tetsz˝oleges U ≤ W alter´enek a W ∗ du´ alis vektort´erben az U ⊥ = {α ∈ W ∗ : α | U = 0} alteret (azaz U annull´ ator´ at”). Ez az U 7→ U ⊥ lek´epez´es bijekt´ıv ´es rendez´esford´ıt´o, inverze T ” az a V 7→ V ⊥ hozz´ arendel´es, amelyn´el V ⊥ = α∈V Ker α ≤ W . ´Igy teh´at ∗ W ´es W alt´erh´ al´ oi term´eszetes m´odon du´alisan izomorfak. Emiatt ugyanez ´erv´enyes a P (W ) projekt´ıv t´er ´es a P (W ∗ ) du´alis projekt´ıv t´er alt´erh´al´oj´ara. Enn´el a du´ alis izomorfizmusn´al k-dimenzi´os P (W )-beli projekt´ıv altereknek (d − k − 1)-dimenzi´ os projekt´ıv alterek felelnek meg P (W ∗ )-ban. P´eld´ aul a P (W ∗ ) projekt´ıv t´er egyenesei a P (W )-beli hipers´ıksorok, azaz hipers´ıkok olyan halmazai, amelyek valamely r¨ogz´ıtett P (W )-beli (d − 2)dimenzi´ os alteret tartalmaz´ o ¨osszes hipers´ıkb´ol ´allnak. A hipers´ıksort sug´arsornak nevezz¨ uk, ha d = 2, azaz ha egyenesekb˝ol ´all. Legyen most d = 2 ´es tekints¨ unk egy P = P (W ) projekt´ıv s´ıkot ´es annak P ∗ = P (W ∗ ) du´ alis´ at. A P ∗ -beli pontok azonosak a P -beli egyenesekkel, a P ∗ -beli egyenesek pedig a P -beli sug´arsorokkal. Nem vezet f´elre´ert´esre, ha egy A ´es L illeszkednek egym´asra” t´ıpus´ u ´all´ıt´ast ak´ar u ´gy ´ert¨ unk, hogy az ” A pont illeszkedik az L egyenesre, ak´ar u ´gy, hogy az L egyenes illeszkedik az A tart´ opont´ u sug´ arsorhoz, hiszen mindk´et megfogalmaz´as ugyanazt jelenti. Ez´ert a P -beli sug´ arsorokat az illeszked´esi viszonyok szempontj´ab´ol azonos´ıthatjuk a P -beli pontokkal. ´Igy a P ∗ du´alis projekt´ıv s´ık egyenesei azonosak P pontjaival. Ebben az utols´ o azonos´ıt´ asi l´ep´esben r´aismerhet¨ unk a k´etszeres dualiz´al´assal kapott W ∗∗ vektort´ernek az eredeti W vektort´errel val´o term´eszetes izomorfi´ aj´ ara: val´ oj´ aban a P (W ∗∗ ) projekt´ıv teret P (W )-vel azonosnak tekintett¨ uk. ´ ıt´ 8.1.5. All´ as (Dimenzi´ oformula). Tetsz˝oleges S, T ⊆ P projekt´ıv alterekre dimhS ∪ T i + dim(S ∩ T ) = dim S + dim T. Bizony´ıt´ as: Ha P = P (W ), S = P (U ) ´es T = P (V ), ahol U, V ≤ W line´aris alterek, akkor dimhS ∪ T i = dim(U + V ) − 1, dim(S ∩ T ) = dim(U ∩ V ) − 1, dim S = dim U − 1 ´es dim T = dim V − 1 miatt el´eg a dim(U + V ) + dim(U ∩ ∩V ) = dim U +dim V line´ aris” dimenzi´oformul´at ellen˝orizni. Ez pedig r¨ogt¨on ”

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

Projekt´ıv geometria

230

ad´ odik abb´ ol, hogy ha az U ∩ V alt´er egy b´azis´at k¨ ul¨on-k¨ ul¨on kieg´esz´ıtj¨ uk egy-egy b´ aziss´ a U -ban ´es V -ben, akkor ezek a vektorok egy¨ uttesen b´azist alkotnak az U + V alt´er sz´ am´ara. A dimenzi´ oformula k¨ ozvetlen k¨ovetkezm´enye p´eld´aul az a projekt´ıv s´ıkgeometri´ ara n´ezve jellegzetes tulajdons´ag, hogy a projekt´ıv s´ıkon b´armely k´et k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o egyenesnek l´etezik egyetlen k¨oz¨os pontja. Felsorolunk m´eg n´eh´any, a dimenzi´ oformul´ ab´ ol azonnal levezethet˝o ´all´ıt´ast, amelyek k¨oz¨ ul egyik-m´asik k´es˝ obb is szerepet j´ atszik majd (l. 8.3.4, 8.3.10). 8.1.6. K¨ ovetkezm´ enyek. (1) P -ben d darab hipers´ıknak mindig van k¨oz¨os pontja. (2) Ha dim S + dim T ≥ d, akkor S ∩ T 6= ∅. (3) Ha S ∩ T = ∅ ´es dim S + dim T = d − 1, akkor az S alteret hipers´ıkk´ent tartalmaz´ o (´es ´ıgy (dim S + 1)-dimenzi´os) P -beli projekt´ıv alterek halmaza ´es T k¨ oz¨ ott bijekt´ıv lek´epez´est l´etes´ıt az L 7→ L ∩ H (L ⊆ P alt´er, dim L = dim S + 1, S ⊂ L) megfeleltet´es. Az inverz lek´epez´est az X 7→ hS, Xi (X ∈ T ) formula adja. Speci´ alisan: (4) Ha H ⊂ P hipers´ık ´es A ∈ P − H tetsz˝oleges pont, akkor az A ponton athalad´ ´ o P -beli egyenesek halmaza ´es H k¨oz¨ott bijekt´ıv lek´epez´est l´etes´ıt az L 7→ L ∩ H (L ⊆ P egyenes, A ∈ L) megfeleltet´es. Az inverz lek´epez´est a B 7→ hA, Bi (B ∈ H) formula adja.

8.2. Koordin´ at´ ak K¨ ovetkez˝ o c´elunk az, hogy koordin´at´akat ´es koordin´atarendszert vezess¨ unk be a projekt´ıv tereken. Ez t´avolr´ol sem olyan egyszer˝ u, mint az affin t´er vagy az euklideszi t´er eset´eben : a koordin´atarendszerrel szembeni szok´asos elv´ ar´ asainkb´ ol mindenk´eppen engedm´enyeket kell tenn¨ unk. Ha meg akarjuk ˝ orizni a koordin´ atarendszernek az elemi geometri´aban megszokott egyegy´ertelm˝ us´egi tulajdons´ ag´ at, a t´er val´odi r´eszhalmazaira kell szor´ıtkoznunk (hipers´ıkok komplementereire, l. 8.2.1–8.2.4) ´es az eg´esz t´er le´ır´as´ahoz k´enytelenek vagyunk egyn´el t¨ obb koordin´atarendszert egyszerre haszn´alni. Ez vezet el minket a 8.2.2-ben bevezetend˝o atlasz” fogalm´ahoz. Ha viszont ahhoz ra” gaszkodunk, hogy egyetlen koordin´atarendszerrel kezelj¨ uk a teret, akkor azzal a jelens´eggel kell egy¨ utt ´eln¨ unk, hogy a pont nem hat´arozza meg egy´ertelm˝ uen a koordin´ at´ ait, l. 8.2.5.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

´r szerkezete 8. A projekt´ıv te

231

Ha P = P (W ) projekt´ıv t´er ´es H ⊂ P hipers´ık, akkor a P projekt´ıv t´er strukt´ ur´ aj´ ab´ ol kanonikus elj´ ar´ assal lehet affin strukt´ ur´at sz´armaztatni a P − H komplementer halmazon. Nem k¨onny˝ u megmondani, hogy mely V vektort´erre kell ezt az affin strukt´ ur´ at ´ep´ıteni ahhoz, hogy az elj´ar´as term´eszetes” ” legyen, teh´ at V ne f¨ uggj¨ on tov´abbi v´alaszt´asokt´ol, p´eld´aul b´azis kijel¨ol´es´et˝ol W -ben. ´ ıt´ 8.2.1. All´ as. Legyen U < W line´aris hipers´ık ´es jel¨olje X a P (U ) projekt´ıv hipers´ık komplementer´et a P (W ) projekt´ıv t´erben. Jel¨olj¨ uk V -vel a d-dimenzi´ os Hom (W/U, U ) vektorteret. Ekkor a ϕ[w] = [ϕ(U + w) + w]

(ϕ ∈ V, [w] ∈ X )

formula a V vektort´er addit´ıv csoportj´anak egyszeresen tranzit´ıv hat´as´at defini´ alja az X halmazon. Bizony´ıt´ as: Nyilv´ an ϕ = 0-ra 0[w] = [0(U + w)] + w] = [w].
Ha ϕ, ψ ∈ V , akkor ψ(ϕ[w]) = ψ[ϕ(U + w) + w] = [ψ U + ϕ(U + w) + w + ϕ(U + w) + + w] = [ψ(U + w) + ϕ(U + w) + w] = [(ψ + ϕ)(U + w) + w] = (ψ + ϕ)[w] mutatja, hogy val´ oban csoporthat´asr´ol van sz´o. A tranzitivit´ as ellen˝ orz´es´ehez vegy¨ uk ´eszre, hogy ha [w1 ], [w2 ] ∈ X tetsz˝olegesen adott elemek, akkor egyr´eszt w2 -nek l´etezik olyan w20 skal´arszorosa, hogy w20 − w1 ∈ U , m´ asr´eszt U + w1 a W/U egydimenzi´os vektort´er nemz´erus eleme, ez´ert l´etezik olyan ϕ : W/U → U line´aris lek´epez´es, melyre ϕ(U + w1 ) = w20 − w1 . Ezekkel ϕ[w1 ] = [ϕ(U + w1 ) + w1 ] = [w20 ] = [w2 ]. V´eg¨ ul egy ϕ ∈ V vektor pontosan akkor tartozik a [w] elem stabiliz´ator´ahoz, ha [ϕ(U + w) + w] = [w], azaz ha a ϕ(U + w) vektor ´es a w vektor line´arisan osszef¨ ugg˝ ok. Viszont ϕ(U + w) ∈ U , ugyanakkor w f¨ uggetlen az U alt´ert˝ol, ¨ ´ıgy ez csak ϕ(U + w) = 0, azaz ϕ = 0 eset´en lehets´eges. 8.2.2. Defin´ıci´ o (Term´ eszetes affin strukt´ ura). Ha H = P (U ) tetsz˝oleges hipers´ık a P = P (W ) projekt´ıv t´erben, akkor a 8.2.1-beli csoporthat´as affin t´err´e teszi a P − H halmazt. Az ehhez tartoz´o affin strukt´ ur´aban va−−→ lamely A, B ∈ P − H pontok k¨oz¨otti AB ∈ V vektort a k¨ovetkez˝ok´eppen hat´ arozhatjuk meg: V´ alasszunk olyan w, z ∈ W reprezent´ans vektorokat A, illetve B sz´am´ara, amelyek ugyanabban az U szerinti U 0 = U + w = U + z mell´ekoszt´alyban vannak (ez lehets´eges, mert A-t is ´es B-t is U -t´ol f¨ uggetlen vektorok reprezen−−→ t´ alj´ ak ´es a W/U faktort´er egydimenzi´os), majd legyen AB = ϕ : W/U → U , melyre ϕ(U 0 ) = z−w. Ekkor a 8.2.1. szerinti hat´asn´al val´oban ϕ[w] = [ϕ(U + + w) + w] = [ϕ(U 0 ) + w] = [(z − w) + w] = [z]. Ezt az affin strukt´ ur´ at a P − H halmaz term´eszetes affin strukt´ ur´aj´anak nevezz¨ uk.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

232

Projekt´ıv geometria

8.2.3. P´ elda. Legyen X ⊂ W affin hipers´ık, melyre 0 ∈ / X. Jel¨olj¨ uk V -vel → − azt a W -beli line´ aris hipers´ıkot, amelynek X eltoltja, azaz V = X . Ekkor a w 7→ [w] (w ∈ X) megfeleltet´es nyilv´anval´oan bijekt´ıv m´odon k´epezi az X halmazt a P (V ) hipers´ık P (W )-beli komplementer´ere. Megmutatjuk, hogy ha X-et ennek a bijekci´ onak a seg´ıts´eg´evel azonosnak tekintj¨ uk a P (W ) − − P (V ) halmazzal, akkor X-nek a W vektort´erb˝ol ¨or¨ok¨olt affin strukt´ ur´aja megegyezik a 8.2.2-ben defini´alt term´eszetes affin strukt´ ur´aval. El˝ osz¨ or is a Hom (W/V, V ) vektorteret most azonosnak tekinthetj¨ uk V -vel, miut´ an a W/V egydimenzi´ os faktort´ernek van egy kit¨ untetett nemz´erus eleme, m´egpedig az X mell´ekoszt´aly. A k´et vektort´er azonos´ıt´as´at a ϕ 7→ ϕ(X) megfeleltet´es adja. Ezut´ an tetsz˝ oleges w, z ∈ X-re egyr´eszt a W -b˝ol ¨or¨ok¨olt affin strukt´ ur´aban −−−→ − → = z−w ∈ V , m´ wz asr´eszt 8.2.2 szerint [w][z] az a ϕ ∈ Hom (W/V, V ) vektor, −−−→ melyre ϕ(X) = z − w. Teh´ at a fenti azonos´ıt´as mellett val´oban [w][z] = z − − w. 8.2.4. Defin´ıci´ o (T´ erk´ ep, atlasz). A P projekt´ıv t´eren t´erk´epnek nevez¨ unk egy tetsz˝ oleges x : P − H → Fd affin koordin´atarendszert, ahol H ⊂ P projekt´ıv hipers´ık ´es a P − H halmazt a term´eszetes affin strukt´ ur´aj´aval ell´ atott affin t´ernek tekintj¨ uk. Td+1 Legyenek H1 , H2 , . . . , Hd+1 ⊂ P olyan hipers´ıkok, hogy i=1 Hi = ∅. (Ha p´eld´ aul P = P (W ) ´es a W ∗ du´alis vektort´erben α1 , α2 , . . ., αd+1 b´azis, akkor a Hi = P (Ker αi ) hipers´ıkok ilyenek.) V´alasszunk minden i-re egyegy xi : P − Hi → Fd t´erk´epet, akkor ezek ´ertelmez´esi tartom´anyai egy¨ utt lefedik az eg´esz P -t. Ilyenkor az x1 , x2 , . . ., xd+1 t´erk´epek rendszer´et P -beli atlasznak nevezz¨ uk. Megjegyz´es. Az atlasz fogalma a geometriai t´er modern matematikai felfog´as´ anak, a geometriai sokas´ ag defin´ıci´oj´anak fontos alkot´oeleme. A sz´oban forg´o geometri´ at az hat´ arozza meg, milyen tulajdons´agai vannak az egyes t´erk´epparok k¨ ´ ozti u ´n. ´ atmenetf¨ uggv´enyeknek, azaz azoknak a lek´epez´eseknek, amelyek meghat´ arozz´ ak, hogy a t´er egy darabj´an haszn´alt k´et k¨ ul¨onb¨oz˝o koordin´ atarendszer hogyan kapcsol´odik egym´ashoz, milyen geometriai viszonyban all. Ha az ´ ´ atmenetf¨ uggv´enyek valamely ismert transzform´aci´ot´ıpushoz tartoznak, akkor a koordin´ atat´er minden olyan lok´alis geometriai tulajdons´aga, amelyet ezek a transzform´ aci´ok meg˝oriznek, ´atvihet˝o a sokas´agra. Ez az elv teszi lehet˝ ov´e, hogy geometriai jelleg˝ u strukt´ ur´aval ruh´azzunk f¨ol topologikus sokas´ agokat, ´es besz´elhess¨ unk p´eld´aul differenci´alhat´o, komplex, affin, euklideszi, g¨ ombi, projekt´ıv, stb. sokas´agokr´ol. A projekt´ıv t´er fenti atlasz´anak atmenetf¨ ´ uggv´enyeit a 8.2.6. P´eld´aban vizsg´aljuk meg.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

´r szerkezete 8. A projekt´ıv te

233

8.2.5. Defin´ıci´ o (Homog´ en koordin´ at´ ak). R¨ogz´ıts¨ unk egy a1 , a2 , . . ., Pd+1 ad+1 b´ azist W -ben. Ha A = [w] ∈ P tetsz˝oleges pont, akkor w = i=1 xi ai eset´en az x1 , x2 , . . ., xd+1 ∈ F skal´arokat az A pontnak a r¨ogz´ıtett b´azisra vonatkoz´ o homog´en koordin´ at´ainak nevezz¨ uk. A b´azis r¨ogz´ıt´es´evel W -t azonos´ıtottuk a Fd+1 koordin´ atat´errel, ennek alapj´an a w = (x1 , x2 , . . . , xd+1 ) ´es A = [x1 : x2 : . . . : xd+1 ] jel¨ol´eseket is haszn´aljuk. L´ athat´ o, hogy nincs olyan P -beli pont, amelynek mindegyik homog´en koordin´ at´ aja 0 volna. A (0,0, . . . ,0)-n k´ıv¨ ul viszont b´armely testelem-(d + 1)-es el˝ o´ all alkalmas (egy´ertelm˝ uen meghat´arozott) P -beli pont homog´en koordin´ at´ aik´ent. Valamely P -beli pont a homog´en koordin´at´ait nem egy´ertelm˝ uen hat´ arozza meg, csak ar´ anyoss´ag erej´eig. Nincs ´ertelme p´eld´aul valamely pont i-edik homog´en koordin´ at´ aj´ anak konkr´et ´ert´ek´er˝ol besz´elni. Az viszont ´ertelemmel b´ır, ha egy pont valamelyik koordin´at´aj´anak z´erus vagy nemz´erus volt´ ar´ ol besz´el¨ unk, hiszen ez a tulajdons´ag egyform´an van ´erv´enyben a pont osszes reprezent´ ans vektor´ ara vonatkoz´oan. ¨ 8.2.6. P´ elda. Tekints¨ uk a Pd = P (Fd+1 ) standard projekt´ıv t´erben az Fd+1 beli standard b´ azishoz tartoz´o α1 , α2 , . . ., αd+1 du´alis b´azis ´altal meghat´arozott Hi = P (Ker αi ) koordin´ata-hipers´ıkokat (i = 1,2, . . . , d + 1), ´es ezek komplementereit a term´eszetes affin strukt´ ur´aval ell´atva. Minden i-re a Hi hez nem tartoz´ o Pd -beli pontok egy´ertelm˝ uen reprezent´alhat´ok olyan F d+1 beli vektorral, amelynek az i-edik koordin´at´aja 1-gyel egyenl˝o. Emiatt az i-edik koordin´ ata elhagy´ as´ aval nyert xi : Pd − Hi [x1 : x2 : . . . : xd+1 ]

Fd   xi−1 xi+1 xd+1 x1 ,..., , ,..., 7 → xi xi xi xi →

lek´epez´es t´erk´ep Pd -n. R¨ ogt¨ on l´athat´o, hogy xi inverz´et az x−1 i (x1 , x2 , . . . , xd ) = [x1 : . . . : xi−1 : 1 : xi : . . . : xd ] formula adja. Az x1 , x2 , . . ., xd+1 atlaszt a Pd projekt´ıv t´er standard atlasz´ anak nevezz¨ uk. Meghat´ arozzuk a standard atlaszhoz tartoz´o ´atmenetf¨ uggv´enyeket, azaz i < d d < j -re az xj ◦ x−1 : F → F kompoz´ ıci´ o kat, amelyek nem az eg´esz Fd i d t´eren, hanem csak az xi (Hj ) ⊂ F affin hipers´ık komplementer´en vannak ´ertelmezve. Eset¨ unkben ez azokat az Fd -beli pontokat jelenti, amelyek j-edik koordin´ at´ aja k¨ ul¨ onb¨ ozik 0-t´ ol. Tegy¨ uk f¨ol, hogy (x1 , x2 , . . . , xd ) ∈ Fd ´es xj 6= = 0, ekkor
(xj ◦ x−1 i )(x1 , x2 , . . . , xd ) = xj [x1 : . . . : xi−1 : 1 : xi : . . . : xd ] =   x1 xi−1 1 xi xj−2 xj xd = ,..., , , ,..., , ,..., . xj−1 xj−1 xj−1 xj−1 xj−1 xj−1 xj−1

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

234

Projekt´ıv geometria

L´ athat´ o, hogy a k´epletben szerepl˝o f¨ uggv´enyek egyszer˝ u szerkezet˝ uek : a koordin´ at´ ak h´ anyadosai. Megjegyezz¨ uk, hogy a standard atlasz helyett tetsz˝oleges atlaszt haszn´ alva is csak a koordin´at´ak u ´n. t¨ortline´aris f¨ uggv´enyei (azaz: legfeljebb els˝ ofok´ u polinomf¨ uggv´enyek h´anyadosai) szerepelhetn´enek a k´epletekben, hiszen m´ as affin koordin´at´akra val´o ´att´er´es inhomog´en line´aris helyettes´ıt´est jelent. Vizsg´ aljuk meg k¨ ul¨ on a d = 1 speci´alis esetet. Ilyenkor k´et t´erk´epet, x1 -et ´es x2 -t haszn´ alunk ´es az x2 ◦ x−1 : F − {0} → F lek´epez´es k´eplete (x2 ◦ 1 1 ◦ x−1 )(x) = 1/x. Emiatt a P projekt´ ıv egyenest felfoghatjuk olyan alakzat1 k´ent, amelyet az F alaptest k´et p´eld´any´ab´ol ´all´ıtunk el˝o az x 7→ 1/x lek´epez´es ment´en t¨ ort´en˝ o¨ osszeragaszt´ assal. 8.2.7. Defin´ıci´ o (Term´ eszetes topol´ ogia). Tegy¨ uk fel, hogy az alaptest R vagy C. Ekkor a W vektort´er term´eszetes topol´ogi´aj´ab´ol a faktortopol´ogia k´epz´ese u ´tj´ an a P (W ) projekt´ıv t´er is topologikus t´err´e v´alik; ezt a topol´ogi´at nevezz¨ uk a val´ os, illetve komplex projekt´ıv t´er term´eszetes topol´ogi´aj´anak. ´ Erdekes jelens´eg, hogy a val´ os ´es a komplex projekt´ıv terek topol´ogiai (els˝osorban algebrai topol´ ogiai) szerkezete az affin vagy euklideszi terek´en´el j´oval bonyolultabb. Az al´ abbi topol´ ogiai term´eszet˝ u ´eszrev´etelek k¨onnyen meggondolhat´ok. • A t´erk´epek homeomorf m´odon k´epezik a hipers´ıkok komplementereit a koordin´ atat´erre. M´ as sz´oval, a hipers´ık-komplementerek term´eszetes affin strukt´ ur´ aj´ ahoz tartoz´o term´eszetes topol´ogia azonos a projekt´ıv t´er term´eszetes topol´ ogi´aj´anak a megszor´ıt´as´aval. • A P 1 (R) val´ os projekt´ıv egyenes homeomorf az S1 k¨orvonallal, a P 1 (C) komplex projekt´ıv egyenes homeomorf az S2 g¨ombfel¨ ulettel (Riemannf´ele sz´ amg¨ omb, l. 8.4.3). Mindk´et esetben az affin egyenesnek mint topologikus t´ernek az egypontos kompaktifik´aci´oj´ar´ol van sz´o. • R¨ ogz´ıts¨ unk W -ben egy pozit´ıv definit biline´aris, illetve Hermite-f´ele form´ at ´es jel¨ olj¨ uk ki az ehhez tartoz´o S ⊂ W egys´egsugar´ u hiperg¨omb¨ot. Ekkor S metszi az ¨ osszes W -beli egydimenzi´os line´aris alteret (m´egpedig a val´ os esetben egy ´atellenes pontp´arban, a komplex esetben egy f˝ ok¨ orben), emiatt P (W ) el˝o´all az S g¨omb faktorak´ent. Az S topol´ogi´aj´ab´ ol sz´ armaz´ o faktortopol´ogia azonos P (W ) term´eszetes topol´ogi´aj´aval. Emiatt P (W ) kompakt. • A val´ os esetben az S → P (W ) faktoriz´al´o lek´epez´es k´etr´eteg˝ u fed´es. A W euklideszi vektort´er egys´egg¨ombje dim W ≥ 3 eset´en egyszeresen osszef¨ ugg˝ o, emiatt d ≥ 2 est´en P d (R) fundament´alis csoportja k´etele¨ m˝ u. A csoport nemtrivi´alis elem´et b´armelyik projekt´ıv egyenes (mint

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

´r szerkezete 8. A projekt´ıv te

235

P d (R)-beli hurok) reprezent´alja. Ha d = 3, az S = S3 g¨omb¨on az ´atellenes p´ arok szerinti faktoriz´al´as 4.5.11 alapj´an az SO(3) topologikus csoportot eredm´enyezi. Ez´ert P 3 (R) homeomorf SO(3)-mal. • A val´ os projekt´ıv geometri´aban az elv´alaszt´asi (azaz ¨osszef¨ ugg˝os´egi) tulajdons´ agok elt´ernek az affin vagy az euklideszi geometri´aban megszokott´ ol. P´eld´ aul egy hipers´ık a teret nem v´agja kett´e, hiszen komplementere affin t´er, ami ¨ osszef¨ ugg˝o. Ezzel ¨osszhangban a projekt´ıv egyenesen egyetlen pont nem k´epes k´et m´asikat egym´ast´ol elv´alasztani. Ez´ert a szakasz fogalma sem ´ertelmezhet˝o olyan m´odon, hogy a szakaszt a k´et v´egpontja egy´ertelm˝ uen meghat´arozza. Az egyenest k´et pontja k´et szakaszra bontja (ahogyan a k¨orvonalat k´et pontja k´et k¨or´ıvre bontja). A val´ os projekt´ıv egyenesre vonatkoz´o helyes elv´alaszt´asfogalom az egyenes pontp´ arjai k¨ oz¨ ott fell´ep˝o rel´aci´o : az {A, B} pontp´ar elv´alasztja a {C, D} pontp´ art, ha C ´es D az A ´es B ´altal meghat´arozott k´et k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o ny´ılt szakaszra esik. Ez´altal az elv´alaszt´ast mint szimmetrikus rel´ aci´ ot tudjuk ´ertelmezni az egyenes k¨ ul¨onb¨oz˝o pontokb´ol ´all´o rendezetlen pontp´ arjainak a halmaz´an. • A komplex esetben az S → P (W ) faktoriz´al´o lek´epez´esn´el a pontok ˝ osk´epei a Clifford-p´arhuzamos f˝ok¨or¨ok 4.7.13-ban t´argyalt sereg´et alkotj´ ak S-ben. Speci´alisan a komplex projekt´ıv egyenes eset´eben olyan sz¨ urjekt´ıv, folytonos S3 → S2 lek´epez´esr˝ol van sz´o (az u ´n. Hopflek´epez´esr˝ ol), amelyn´el a pontok inverz k´epei egy Hopf-f´ele k¨orrendszer tagjai. Ismeretes, hogy (a val´os esettel ellent´etben) a P d (C) terek egyszeresen ¨ osszef¨ ugg˝ ok. A 8.2.5. Defin´ıci´ o alapj´ an a projekt´ıv t´erben homog´en koordin´at´ak bevezet´es´ehez nem elegend˝ o a t´er bizonyos pontjait mint koordin´atarendszert r¨ogz´ıteni, hanem ki kell t¨ untetni azok konkr´et reprezent´ans vektorait (azaz fel kell venni egy b´ azist a W vektort´erben). Ett˝ol a k´enyelmetlens´egt˝ol meg tudunk szabadulni annak az ´ ar´ an, hogy a koordin´atarendszerben eggyel t¨obb pontot szerepeltet¨ unk. 8.2.8. Defin´ıci´ o (Projekt´ıv b´ azis). Tegy¨ uk fel, hogy d ≥ 1. A d-dimenzi´os P = P (W ) projekt´ıv t´erben projekt´ıv b´azisnak nevezz¨ uk a (d + 2)-elem˝ u A0 , A1 , . . ., Ad+1 ∈ P pontrendszert, ha l´etezik a W vektort´erben olyan a1 , a2 , . . ., ad+1 b´ azis, hogy i = 1, . . . , (d + 1) -re Ai = [ai ] ´es A0 = [a1 + a2 + . . . + + ad+1 ]. Szok´ as az A1 , . . ., Ad+1 pontokat a projekt´ıv b´azis alappontjainak, az A0 pontot egys´egpontnak nevezni.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

236

Projekt´ıv geometria

8.2.9. Lemma. Tegy¨ uk f¨ ol, hogy az A0 , A1 , . . ., Ad+1 ∈ P projekt´ıv b´azishoz a 8.2.8. Defin´ıci´ obeli ai vektorok mellett az a0i (i = 0, . . . , d+1) vektorrendszer is megfelel az ottani k¨ ovetelm´enyeknek. Ekkor alkalmas λ ∈ F∗ skal´arral minden i = 0, . . . , (d + 1) -re a0i = λai . Bizony´ıt´ as: L´eteznek olyan λ1 , . . . , λd+1 ∈ F∗ skal´arok, hogy a0i = λi ai (i = = 1, . . . , d + 1). Ezen k´ıv¨ ul [a01 + . . . + a0d+1 ] = A0 = [a1 + . . . + ad+1 ] miatt ∗ l´etezik olyan λ ∈ F , hogy a01 + . . . + a0d+1 = λ(a1 + . . . + ad+1 ). Ez azt jelenti, hogy λ1 a1 + . . . + λd+1 ad+1 = λa1 + . . . + λad+1 , ´es miut´an a1 , . . ., ad+1 b´ azis, innen λi = λ (i = 1, . . . , d + 1) k¨ovetkezik. 8.2.10. Defin´ıci´ o (Projekt´ıv koordin´ at´ ak). R¨ogz´ıts¨ uk a P projekt´ıv t´erben az A0 , A1 , . . ., Ad+1 projekt´ıv b´azist. Egy tetsz˝oleges P -beli pontnak erre a projekt´ıv b´ azisra vonatkoz´o projekt´ıv koordin´at´ain a pont homog´en koordin´ at´ ait ´ertj¨ uk valamely, a 8.2.8. Defin´ıci´o szerint v´alasztott W -beli a1 , a2 , . . ., ad+1 b´ azisra vonatkoz´oan. A 8.2.9. Lemma ´es a 8.2.5. Defin´ıci´o alapj´an a P -beli pontok ar´anyoss´ag erej´eig egy´ertelm˝ uen hat´ arozz´ak meg projekt´ıv koordin´at´aikat. 8.2.11. Defin´ıci´ o (Fu ¨ ggetlen pontrendszer). Egy P (W )-beli pontrendszert (projekt´ıv ´ertelemben) f¨ uggetlennek mondunk, ha elemei line´arisan f¨ uggetlen W -beli vektorokkal reprezent´alhat´ok. Nyilv´an ilyenkor tetsz˝oleges reprezent´ ans vektorokat v´ alasztva azok line´arisan f¨ uggetlenek. A line´ aris f¨ uggetlens´eg j´ ol ismert tulajdons´agaib´ol k¨ovetkez˝oen az A1 , A2 , . . ., Ak+1 pontrendszer akkor ´es csak akkor f¨ uggetlen, ha az ´altala kifesz´ıtett projekt´ıv alt´er k-dimenzi´ os, illetve ha a pontok egyike sincs benne a t¨obbi pont ´ altal kifesz´ıtett projekt´ıv alt´erben. Megjegyezz¨ uk, hogy projekt´ıv t´erben egy maxim´alis f¨ uggetlen pontrendszer nem alkot projekt´ıv b´ azist. ´ ıt´ 8.2.12. All´ as. Egy (d + 2)-elem˝ u P -beli pontrendszer akkor ´es csak akkor projekt´ıv b´ azis, ha minden (d + 1)-elem˝ u r´esze f¨ uggetlen. Bizony´ıt´ as: Ha Ai = [ai ] (i = 1,2, . . . , d + 1) egy projekt´ıv b´azis alappontjai Pd+1 alja az A0 egys´egpontot, akkor egyr´eszt defin´ıci´o ´es a0 = i=1 ai reprezent´ szerint az a1 , . . ., ad+1 vektorok b´azist alkotnak W -ben, m´asr´eszt nyilv´an ugyancsak b´ azist kapunk, ha valamelyik ai -t kicser´elj¨ uk az a0 vektorral. Megford´ıtva, tegy¨ uk fel, hogy az Ai = [ai ] (i = 1,2, . . . , d + 1) pontrendszer minden (d + 1)-elem˝ u r´eszrendszere f¨ uggetlen. Ekkor a1 , . . ., ad+1 b´azis W Pd+1 ben ´es a0 = utthat´okkal. Cser´elj¨ uk ki i = i=1 λi ai alkalmas λi 6= 0 egy¨ = 1, . . . , (d+1) -re mindegyik ai -t λi ai -vel, ezzel az A0 , A1 , . . ., Ad+1 pontokat a 8.2.8. Defin´ıci´ o k¨ ovetelm´enyeinek eleget tev˝o vektorokkal reprezent´altuk.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

´r szerkezete 8. A projekt´ıv te

237

Ennek a szakasznak a h´ atralev˝o r´esz´eben az alaptest megv´altoztat´as´anak k´erd´es´evel foglalkozunk. B´ ar ´altal´aban a sz´oban forg´o projekt´ıv terek egy r¨ ogz´ıtett alaptest felett vannak ´ertelmezve, ´es ez a test mindv´egig v´altozatlan marad, m´egis bizonyos k´erd´esekben hasznos lesz tiszt´azni, milyen viszonyban all k´et projekt´ıv t´er, ha a hozz´ajuk tartoz´o alaptestek k¨oz¨ ´ ul az egyik r´eszteste a m´ asiknak. A alkalmaz´ asokban ez a szitu´aci´o a leggyakrabban a val´os ´es a komplex sz´ amtest viszonylat´ aban fordul el˝o, ez´ert ezt az esetet alaposabban is megvizsg´ aljuk. Legyen teh´ at az F test a G r´eszteste. A G f¨ol¨otti vektortereket automatikusan F f¨ ol¨ otti vektortereknek is tekinthetj¨ uk. Ugyanezt a vektorterek projektiviz´ altjair´ ol m´ ar nem mondhatjuk, hiszen az ekvivalenciarel´aci´o, amelyet a projekt´ıv t´er sz´ armaztat´ as´ aban bevezet¨ unk, k¨ ul¨onb¨oz˝o a k´etf´ele test eset´eben. A G f¨ ol¨ otti projekt´ıv terekben viszont ki tudunk jel¨olni bizonyos r´eszhalmazokat, amelyeket F f¨ ol¨ otti projekt´ıv tereknek tekinthet¨ unk. 8.2.13. Defin´ıci´ o (R´ eszt´ er). Legyen P = P (W ) projekt´ıv t´er a G test f¨ ol¨ ott, d = dim P , azaz d + 1 = dimG W . V´alasszunk P -ben egy A0 , A1 , . . ., Ad+1 projekt´ıv b´ azist ´es a hozz´a tartoz´o a1 , a2 , . . ., ad+1 ∈ W vektorrendszert (amely b´ azis W -ben G f¨ol¨ott). Ezek a vektorok F f¨ol¨ott is line´arisan f¨ uggetlenek, ez´ert az F-beli egy¨ utthat´okkal vett line´aris kombin´aci´oik egy (d + 1)-dimenzi´ os V ⊆ W vektorteret alkotnak F f¨ol¨ott. Ha u, v ∈ V − {0}-ra v = λu valamilyen λ ∈ G-vel, akkor k¨onnyen ellen˝orizhet˝o m´odon csak λ ∈ F lehets´eges. A V −{0} halmazra szor´ıtkozva teh´at az F f¨ol¨otti ekvivalenciarel´aci´ o azonos a G f¨ ol¨ ottivel, ´es ez´ert az F f¨ol¨otti P (V ) projekt´ıv t´er r´eszhalmaza P -nek. Az ilyen m´ odon keletkez˝o P -beli r´eszhalmazokat a P projekt´ıv t´er F f¨ ol¨ otti d-dimenzi´ os r´esztereinek (vagy F-r´esztereinek) nevezz¨ uk. Vil´ agos, hogy egy r´eszt´erben felvett (F f¨ol¨otti) projekt´ıv b´azis egy´ uttal az eg´esz t´erben is projekt´ıv b´ azis (G f¨ol¨ott). Az F f¨ ol¨ otti alacsonyabb dimenzi´oj´ u r´eszterek (vagy F-alterek) sz´armaztat´ asa c´elj´ ab´ ol tekinthetj¨ uk egyr´eszt P altereinek az F-r´esztereit, m´asr´eszt az F-r´eszterek altereit F f¨ ol¨ ott. K¨onnyen l´athat´o, hogy a k´etf´ele elj´ar´assal ugyanazokhoz a P -beli r´eszhalmazokhoz jutunk. A P -beli k-dimenzi´ os F-altereket teh´at olyan A0 , A1 , . . ., Ak+1 pont-(k + + 2)-esekkel lehet egy´ertelm˝ uen kijel¨olni, amelyek projekt´ıv b´azist alkotnak P valamely (G f¨ ol¨ otti) k-dimenzi´os alter´eben. Az A1 , . . ., Ak+1 f¨ uggetlen pontrendszer kifesz´ıti azt G f¨ol¨otti k-dimenzi´os alteret, amelyen bel¨ ul A0 k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o kijel¨ ol´eseihez k¨ ul¨ onb¨oz˝o k-dimenzi´os F-alterek tartozhatnak. Teh´at p´eld´ aul m´ıg k´et k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o P -beli pont egy´ertelm˝ uen defini´al egy (G f¨ol¨otti) egyenest, az F-egyenesek egy´ertelm˝ u megad´as´ahoz h´arom G f¨ol¨ott kolline´aris pont kijel¨ ol´ese kell. Ezt a jelens´eget a k = d = 1 esetben j´ol illusztr´alja a P 1 (C) komplex projekt´ıv egyenes (azaz a szok´asos azonos´ıt´as u ´tj´an a

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

238

Projekt´ıv geometria

Riemann-sz´ amg¨ omb), amelyben a val´os egyenesek pontosan a g¨omb¨on fekv˝o k¨ or¨ ok, l. 8.7.4. Vizsg´ aljuk most meg a ford´ıtott helyzetet: tegy¨ uk f¨ol, hogy F ≤ G mellett most egy F f¨ ol¨ otti P projekt´ıv t´er adott, amelyb˝ol szeretn´enk – lehet˝oleg term´eszetes m´ odon, teh´ at b´ azis vagy koordin´at´ak haszn´alata n´elk¨ ul – olyan G f¨ ol¨ otti projekt´ıv teret sz´ armaztatni, amelynek P r´esztere. Az egyszer˝ us´eg kedv´e´ert szor´ıtkozzunk az F = R, G = C esetre. 8.2.14. Defin´ıci´ o (Komplexifik´ aci´ o). Val´os vektorterek ´es val´os projekt´ıv terek komplexifik´ altj´ at ´ertelmezz¨ uk. Legyen el˝osz¨or adott az R feletti W vektort´er. A W ⊕ W direkt ¨osszeget C feletti vektort´err´e tessz¨ uk. Ehhez (az R feletti m˝ uveletek megtart´asa mellett) csak annyit kell tiszt´azni, hogy az i ∈ C elemmel val´ o szorz´ as hogyan hat az (u, v) ∈ W ⊕ W p´arokon. A m´asodik komponenst k´epzetes r´esznek gondolva k´ezenfekv˝o az i(u, v) = (−v, u) defin´ıci´ oval ´elni. Az ´ıgy nyert C-vektorteret W komplexifik´altj´anak nevezz¨ uk, ´es W C -vel jel¨ olj¨ uk. A W = W ⊕ {0} azonos´ıt´as mellett a komplexifik´alt vektort´er W C = W ⊕ iW alakban is ´ırhat´o. Nyilv´anval´o, hogy W -beli vektorok egy rendszere pontosan akkor line´arisan f¨ uggetlen, illetve b´azis, ha W C -ben C f¨ ol¨ ott tekintve az. Legyen most P = P (W ) val´ os projekt´ıv t´er. P komplexifik´altj´anak a komplexifik´ alt vektort´er C feletti projektiviz´altj´at, azaz a P C = P (W C ) komplex projekt´ıv teret nevezz¨ uk. Ekkor P val´oban val´os r´esztere P C -nek. Ennek alapj´ an a tov´ abbiakban egy val´ os projekt´ıv teret mindig felfoghatunk egy komplex projekt´ıv t´er (konkr´etan a komplexifik´alt projekt´ıv t´er) r´eszterek´ent. Ha U ≤ W line´ aris alt´er, akkor U C automatikusan alt´er a W C komplex vektort´erben. Ez´ert ha S a P val´os projekt´ıv t´er altere, akkor S C alt´er a P C komplex projekt´ıv t´erben. ´Igy a val´os t´er alt´erh´al´oja r´eszh´al´ok´ent foghat´o fel a komplexifik´ alt t´er alt´erh´ al´ oj´aban. Megjegyz´es. Az ´ altal´ anos F ≤ G esetben egy F f¨ol¨otti W vektort´erb˝ol a W G = W ⊗ F G konstrukci´ oval nyerj¨ uk a G f¨ol¨otti W G vektorteret, ahol ⊗F az F feletti tenzori szorzatot jel¨oli. (Az F = R, G = C esetben ez a 8.2.14-ben le´ırt komplexifik´ aci´ ov´ a specializ´al´odik.) A projekt´ıv terek eset´eben a defin´ıci´o 8.2.14 mint´ aj´ at k¨ oveti: P (W )G = P (W G ).

8.3. Projekt´ıv transzform´ aci´ ok 8.3.1. Defin´ıci´ o (Projekt´ıv lek´ epez´ es). Legyen ϕ : W → W 0 tetsz˝oleges line´ aris lek´epez´es. Ekkor a [ϕ][w] = [ϕ(w)] formul´aval defini´alt lek´epez´est a ´ ϕ´ altal induk´ alt [ϕ] : P (W ) → P (W 0 ) projekt´ıv lek´epez´esnek nevezz¨ uk. Altal´ aban [ϕ] nincs az eg´esz P (W ) t´eren ´ertelmezve, csak a P (Ker ϕ) projekt´ıv

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

´r szerkezete 8. A projekt´ıv te

239

alt´er komplementer´en, hiszen a [ϕ(w)] kifejez´esnek nincs ´ertelme w ∈ Ker ϕ eset´en. ´ Eszrevehetj¨ uk, hogy egy projekt´ıv t´er saj´at mag´aba men˝o projekt´ıv lek´epez´esein´el a fixpontokat ´eppen az induk´al´o line´aris lek´epez´es (nemz´erus saj´at´ert´ekhez tartoz´ o) saj´ atvektorai reprezent´alj´ak. Nyilv´ anval´ o, hogy [idW ] = idP (W ) , tov´abb´a ϕ : W → W 0 ´es ψ : W 0 → W 00 eset´en [ψ ◦ ϕ] = [ψ] ◦ [ϕ]. Ezek miatt ha ϕ invert´alhat´o, akkor [ϕ] is bijekt´ıv ´es [ϕ]−1 = [ϕ−1 ]. K¨ onnyen meggondolhat´ o, hogy F = R vagy C eset´en a projekt´ıv lek´epez´esek folytonosak a projekt´ıv terek term´eszetes topol´ogi´aj´ara n´ezve. 8.3.2. P´ elda. A 8.3.1-beli ´eszrev´etelek alapj´an projekt´ıv lek´epez´essel nem lehet egy projekt´ıv t´er eg´esz´et alacsonyabb dimenzi´oj´ u projekt´ıv t´erbe k´epezni. Az elemi geometri´ aban megszokott, alacsonyabb dimenzi´oj´ u alt´erre t¨ ort´en˝ o vet´ıt´esek p´eld´ aul a projekt´ıv geometri´aban sz¨ uks´egk´eppen nincsenek minden¨ utt ´ertelmezve. Tekints¨ uk p´eldak´ent a val´ os projekt´ıv s´ıkot ´es egy abban fekv˝o projekt´ıv egyenest. M´ ar a topol´ ogiai viszonyokb´ol is l´athat´o, hogy az egyenes nem retrak” tuma” a projekt´ıv s´ıknak, azaz nem lehet a s´ıkot az egyenesre folytonosan r´ avet´ıteni, ugyanis a s´ık fundament´alis csoportj´anak (Z2 -nek) nincs sz¨ urjekt´ıv homomorfizmusa az egyenes fudament´alis csoportj´ara (Z-re). Ha viszont a s´ıkb´ ol elhagyunk egy az egyeneshez nem tartoz´o tetsz˝oleges pontot, akkor a marad´ek halmaznak m´ ar van projekt´ıv lek´epez´ese az egyenesre. (Topologikusan ez a lek´epez´es a ny´ılt M¨obius-szalag vet´ıt´ese a k¨oz´epvonal´ara.) 8.3.3. Defin´ıci´ o (Projekt´ıv transzform´ aci´ o). A bijekt´ıv projekt´ıv lek´epez´eseket, teh´ at azokat, amelyeket line´aris izomorfizmusok induk´alnak, projekt´ıv transzform´ aci´ oknak vagy projektivit´asoknak nevezz¨ uk. Projekt´ıv transzform´ aci´ on´ al b´armely projekt´ıv alt´er k´epe nyilv´an ugyanakkora dimenzi´ oj´ u projekt´ıv alt´er. A projekt´ıv transzform´ aci´ okat nevezhetj¨ uk projekt´ıv izomorfizmusoknak is, hiszen bijekt´ıvek ´es inverz¨ uk is projekt´ıv transzform´aci´o. Val´ os vagy komplex esetben a projekt´ıv transzform´aci´ok homeomorfizmusok. 8.3.4. P´ elda. R¨ ogz´ıts¨ unk a d-dimenzi´os P = P (W ) projekt´ıv t´erben egy tetsz˝ oleges k-dimenzi´ os S ⊆ P projekt´ıv alteret ; legyen S = P (U ), ahol U ≤ ≤ W . Az S-et tartalmaz´ o (k + 1)-dimenzi´os P -beli alterek halmaza term´eszetes m´ odon azonos´ıthat´ o a P (W/U ) projekt´ıv t´errel, hiszen az U -val t¨ort´en˝o faktoriz´ al´ as bijekci´ ot l´etes´ıt az U -t tartalmaz´o W -beli (k +2)-dimenzi´os line´aris alterek halmaza ´es a W/U faktort´er egydimenzi´os line´aris alterei halmaza k¨ oz¨ ott.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

240

Projekt´ıv geometria

Ha most kijel¨ ol¨ unk egy S-t˝ ol diszjunkt, (d − k − 1)-dimenzi´os T alteret P ben, akkor a 8.1.6.(3)-beli bijekt´ıv megfeleltet´es (´es ´ıgy a 8.1.6.(4)-beli is) projekt´ıv transzform´ aci´ o P (W/U ) ´es T k¨oz¨ott. Val´oban, ha T = P (V ), akkor a feltev´esek miatt W az U ´es V alterek direkt ¨osszege, ´es a ϕ : W/U → V term´eszetes faktoriz´ al´ o izomorfizmus a sz´oban forg´o megfeleltet´est induk´alja.

Ugyanazon alaptest f¨ ol¨ ott b´ armely k´et egyenl˝o dimenzi´oj´ u projekt´ıv t´er izomorf. Ilyenkor term´eszetesen az alt´erh´al´ok is izomorfak. Ennek az ´eszrev´etelnek a k¨ ovetkezm´enyek´ent a projekt´ıv s´ıkgeometria al´abbi nevezetes tulajdons´ ag´ at kapjuk. ´ ıt´ 8.3.5. All´ as (A dualit´ as elve). Tegy¨ uk f¨ol, hogy egy a projekt´ıv s´ık pontjair´ ol, egyeneseir˝ ol ´es a k¨ozt¨ uk f¨onn´all´o illeszked´esi viszonyokr´ol sz´ol´o all´ıt´ ´ as igaz. Ekkor az az u ´n. du´alis ´all´ıt´as is igaz, amelyet u ´gy nyer¨ unk, hogy az eredeti ´ all´ıt´ asban a pont” ´es az egyenes” szavakat egym´assal felcser´elj¨ uk. ” ” Bizony´ıt´ as: Val´ oban, az eredeti ´all´ıt´as a du´alis projekt´ıv s´ıkra vonatkoz´oan is igaz, ´es azt az ottani objektumokra megfogalmazva 8.1.4 alapj´an ´eppen a du´ alis ´ all´ıt´ ast kapjuk. Megjegyz´esek. (1) Az illeszked´esi ´all´ıt´asok dualiz´al´asa leggyakrabban csak n´emi ´ atfogalmaz´ as ´ ar´ an v´egezhet˝o el a szavak mechanikus cser´ej´evel. P´eld´aul a B´ armely k´et k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o ponton ´at egy ´es csak egy egyenes fektethet˝o” ´all´ıt´ast ” el˝ osz¨ or ilyen alakban fogalmazzuk meg : B´armely k´et k¨ ul¨onb¨oz˝o ponthoz egy ” ´es csak egy olyan egyenes l´etezik, amely mindk´et pontra illeszkedik”, majd alkalmazzuk a dualiz´ al´ asi elj´ar´ast ´es a B´armely k´et k¨ ul¨onb¨oz˝o egyeneshez ” egy ´es csak egy olyan pont l´etezik, amely mindk´et egyenesre illeszkedik” ´all´ıt´ ast kapjuk, amelyet v´eg¨ ul ´atfogalmazhatunk a g¨ord¨ ul´ekenyebb B´armely ” k´et k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o egyenesnek egyetlen k¨oz¨os pontja van” alakra. (2) A dualit´ as elve lehet˝ ov´e teszi, hogy t´etelekb˝ol dualiz´al´as u ´tj´an u ´jabb t´eteleket nyerj¨ unk. Erre a 8.4. szakaszban l´atunk majd ´erdekes p´eld´akat. (3) Vannak term´eszetesen a dualit´as elv´enek magasabb dimenzi´oj´ u projekt´ıv terekre vonatkoz´ o v´ altozatai is, ezek megfogalmaz´as´at´ol neh´ezkess´eg¨ uk miatt eltekint¨ unk. A du´ alis ´ all´ıt´ asban nyilv´an a k-dimenzi´os alt´er” kifejez´est kell ” a (d − k − 1)-dimenzi´ os alt´er” kifejez´esre kicser´elni. ” (4) B´ ar a W vektort´er izomorf a W ∗ du´alis vektort´errel, ´es ´ıgy a P = P (W ) projekt´ıv t´er is izomorf a P ∗ = P (W ∗ ) du´alis projekt´ıv t´errel, nincs k¨oz¨ott¨ uk term´eszetes izomorfizmus. Konkr´et izomorfizmus l´etes´ıt´es´ehez ´altal´aban valamilyen tov´ abbi strukt´ ura f¨ olv´etele sz¨ uks´eges W -n, illetve P -n. Ilyen strukt´ ura lehet p´eld´ aul egy nemelfajul´ o szimmetrikus biline´aris f¨ uggv´eny W -n, ami az u ´n. polarit´ as seg´ıts´eg´evel projekt´ıv izomorfizmust sz´armaztat majd P ´es P ∗ k¨ oz¨ ott (l. a 9.2. szakaszt).

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

´r szerkezete 8. A projekt´ıv te

241

Ez al´ ol az ´ altal´ anos elv al´ ol kiv´etelt jelentenek a d ≤ 1 esetek. Ha dim W = 1, akkor ugyan W ´es W ∗ m´eg mindig nem tem´eszetes m´odon izomorfak, de b´armely k´et izomorfizmus egym´ as konstansszorosa, ez´ert projektiviz´al´as ut´an az izomorfizmus egy´ertelm˝ u. Ez persze nem meglep˝o, hiszen a 0-dimenzi´os projekt´ıv terek pontok, ´es persze b´armely k´et pont term´eszetes m´odon izomorf projekt´ıv t´er. ´ Erdekesebb a d = 1 eset. Ilyenkor P ∗ elemei, P -beli hipers´ıkok l´ev´en, azonosak P elemeivel, ´es ´ıgy term´eszetes P → P ∗ bijekci´ot kapunk. Ez a bijekci´o projektivit´ as, hiszen induk´ alhat´o alkalmas ϕ : W → W ∗ line´aris izomorfizmussal. Egy ilyen ϕ lek´epez´esnek az x ∈ Ker ϕ(x) k¨ovetelm´enyt kell teljes´ıtenie minden x ∈ W -re. Mag´ at ϕ-t nem tudjuk term´eszetes u ´ton sz´armaztatni, de k¨ onnyen meggondolhat´ o, hogy (dim W = 2 eset´en) b´armely k´et ilyen line´ aris lek´epez´ es egym´ as konstansszorosa. A k´ıv´ant ϕ line´aris izomorfizmus  0 −1 megadhat´ o a m´ atrixszal, ha W -ben tetsz˝olegesen felvesz¨ unk egy 1 0 ∗ b´ azist, ´es W -ban az ehhez tartoz´o du´alis b´azist haszn´aljuk. ´ ıt´ 8.3.6. All´ as. A ϕ, ψ : W → W 0 line´aris izomorfizmusokra [ϕ] = [ψ] pontosan akkor ´ all, ha alkalmas λ ∈ F∗ skal´arral ψ = λϕ. Bizony´ıt´ as: ψ = λϕ eset´en nyilv´anval´oan [ϕ] = [ψ]. A megford´ıt´ashoz tegy¨ uk fel, hogy [ϕ] = [ψ] ´es tekints¨ uk a ψ −1 ◦ ϕ ∈ GL(W ) line´aris automorfizmust. Ekkor [ψ −1 ◦ ϕ] = [ψ]−1 ◦ [ϕ] = idW miatt a ψ −1 ◦ ϕ lek´epez´esnek minden W beli nemz´erus vektor saj´ atvektora, ´ıgy csak az identit´as skal´arszorosa lehet.

8.3.7. Defin´ıci´ o (Projekt´ıv csoport). A P → P projektivit´asok a kompoz´ıci´ o m˝ uvelet´ere n´ezve csoportot alkotnak. Ha P = P (W ), akkor ezt a csoportot a W vektort´er projekt´ıv csoportj´anak nevezz¨ uk.  uk ´es P GL(W )-vel jel¨olj¨ ´ ıt´ A 8.3.6. All´ as alapj´ an P GL(W ) = GL(W ) F∗ idW . Ha W = Fd+1 , akkor P GL(Fd+1 ) helyett szok´ as P GL(d + 1, F)-et is ´ırni, ez teh´at a (d + 1) × (d + + 1)-es invert´ alhat´ o m´ atrixok alkotta csoportnak a nemz´erus skal´arm´atrixok norm´ aloszt´ oja szerint vett faktorcsoportja. 8.3.8. T´ etel. Legyenek A0 , A1 , . . ., Ad+1 ´es A00 , A01 , . . ., A0d+1 projekt´ıv b´ azisok a P , illetve P 0 projekt´ıv t´erben. Ekkor l´etezik egy ´es csak egy olyan f : P → P 0 projekt´ıv transzform´aci´o, amelyn´el f (Ai ) = A0i (i = 0,1, . . . , d + + 1). Bizony´ıt´ as: Legyen P = P (W ), P 0 = P (W 0 ) ´es v´alasszunk az alappontokhoz a 8.2.8. Defin´ıci´ o szerint a1 , a2 , . . ., ad+1 ∈ W , illetve a01 , a02 , . . ., a0d+1 ∈ W 0 reprezent´ ans vektorokat. L´etezik olyan ϕ : W → W 0 line´aris izomorfizmus, amelyre ϕ(ai ) = a0i (i = 1, . . . , d + 1), ekkor automatikusan [ϕ](Ai ) = A0i ´es  Pd+1   Pd+1 0  0 [ϕ](A0 ) = ϕ( i=1 ai ) = at f = [ϕ] megfelel˝o. i=1 ai = A0 , teh´

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

242

Projekt´ıv geometria

Tegy¨ uk fel, hogy ϕ, ψ : W → W 0 ´es mind f = [ϕ], mind g = [ψ] az Ai pontokat rendre A0i -be viszi. Ekkor a (ψ −1 ◦ ϕ)(ai ) vektorok is az Ai pontokat reprezent´ alj´ ak (i = 0,1, . . . , d + 1) ´es kiel´eg´ıtik a 8.2.8. Defin´ıci´o k¨ovetelm´enyeit, ez´ert a 8.2.9. Lemma alapj´an alkalmas λ skal´arral minden i-re (ψ −1 ◦ ϕ)(ai ) = λai , azaz ϕ(ai ) = λψ(ai ). ´Igy ϕ = λψ, ahonnan f = g. 8.3.9. K¨ ovetkezm´ eny. A P GL(W ) csoport egyszeresen tranzit´ıvan hat a P (W )-beli rendezett projekt´ıv b´azisok halmaz´an. Az al´ abb k¨ ovetkez˝ o p´elda a projekt´ıv transzfom´aci´ok legfontosabb t´ıpusa. A projekt´ıv geometri´ at mint tudom´anyter¨ uletet az az ig´eny h´ıvta ´eletre, hogy ez a transzform´ aci´ ot´ıpus matematikailag kezelhet˝o legyen. Maga a projekt´ıv geometria elnevez´es is innen sz´armazik. 8.3.10. Defin´ıci´ o (Centr´ alis vet´ıt´ es, perspektivit´ as). Legyen H ´es H 0 ⊂ ⊂ P k´et hipers´ık a P projekt´ıv t´erben ´es legyen C ∈ P − (H ∪ H 0 ) tetsz˝oleges pont. A H hipers´ıknak H 0 -re t¨ort´en˝o C k¨oz´eppont´ u centr´alis vet´ıt´es´en azt az f : H → H 0 lek´epez´est ´ertj¨ uk, amelyn´el minden A ∈ H pontra C, A ´es f (A) kolline´ aris. Ez a k¨ ovetelm´eny 8.1.6.(4) miatt egy´ertelm˝ uen defini´alja minden A ∈ H-ra az f (A) ∈ H 0 pontot. Az is r¨ogt¨on l´atszik, hogy f bijekt´ıv ´es inverze a H 0 hipers´ık centr´ alis vet´ıt´ese H-ra ugyanabb´ol a C k¨oz´eppontb´ol. A centr´ alis vet´ıt´es fogalm´ ara haszn´alatban van a perspektivit´as elnevez´es is. K´et alakzatot (ponthalmazt) perspekt´ıvnek nevez¨ unk, ha alkalmas perspektivit´ assal egym´ asba vihet˝ ok. ´ ıt´ 8.3.11. All´ as. A centr´ alis vet´ıt´es projekt´ıv transzform´aci´o. Bizony´ıt´ as: Haszn´ aljuk a 8.3.10-beli jel¨ol´eseket. Legyen H = P (U ) ´es H 0 = = P (U 0 ), ahol U ´es U 0 line´aris hipers´ıkok W -ben, tov´abb´a C = [c], ahol a c ∈ W vektor line´ arisan f¨ uggetlen U -t´ol is ´es U 0 -t˝ol is. Jel¨olj¨ uk ϕ-vel a W -beli c ir´ any´ u p´ arhuzamos vet´ıt´est U -r´ol U 0 -re, ekkor ϕ : U → U 0 line´aris ´ ıtjuk, hogy f = [ϕ]. Val´oban, tetsz˝oleges a ∈ U vektorra izomorfizmus. All´ ϕ(a) benne van a c ´es a kifesz´ıtette 2-dimenzi´os line´aris alt´erben, azaz [c], [a] ´es [ϕ(a)] kolline´ aris. ´ ıt´ Megjegyz´es. A 8.3.11. All´ as r¨ogt¨on k¨ovetkezik a 8.1.6.(4)-ben ´es 8.3.4-ben (k = 1 mellett) vizsg´ alt projekt´ıv megfeleltet´es k´etszeri alkalmaz´as´aval is. Ennek a szakasznak a v´eg´en kit´er¨ unk a projekt´ıv transzform´aci´oknak az alaptest lesz˝ uk´ıt´es´evel, illetve kib˝ov´ıt´es´evel kapcsolatos viselked´es´ere.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

´r szerkezete 8. A projekt´ıv te

243

8.3.12. T´ etel. Legyenek P ´es P 0 projekt´ıv terek G f¨ol¨ott, ´es legyen F ≤ G r´esztest. (1) Ha f : P → P 0 projekt´ıv transzform´aci´o, akkor f a P t´er F-r´esztereit a P 0 t´er F-r´esztereire k´epezi. (2) Ha Q ⊆ P , Q0 ⊆ P 0 F-r´eszterek, akkor b´armely Q → Q0 projekt´ıv transzform´ aci´ o egy´ertelm˝ uen kiterjeszthet˝o P → P 0 projekt´ıv transzform´ aci´ ov´ a. (3) Ha P -ben r¨ ogz´ıt¨ unk egy Q r´eszteret F f¨ol¨ott, akkor b´armely P -beli F-r´eszt´er el˝ o´ all mint Q k´epe a P alkalmas projektivit´as´an´al. Bizony´ıt´ as: Mindh´ arom ´ all´ıt´ as k¨ozvetlen¨ ul k¨ovetkezik a r´eszt´er defin´ıci´oj´ab´ol a 8.3.8. T´etel felhaszn´ al´ as´ aval. A t´etel k¨ ovetkezm´enyek´ent kapjuk, hogy a komplex projekt´ıv terek b´armely val´ os r´eszter¨ ukb˝ ol sz´ armaztathat´ok komplexifik´aci´oval. 8.3.13. K¨ ovetkezm´ eny. Ha Q tetsz˝oleges val´os r´eszt´er a P komplex projekt´ıv t´erben, akkor l´etezik egyetlen olyan QC → P komplex projekt´ıv izomorfizmus, amely identikus Q-n. Bizony´ıt´ as: A 8.3.12. T´etel (2) ´all´ıt´as´at alkalmazhatjuk Q0 = Q v´alaszt´assal az identikus lek´epez´esre. 8.3.14. Defin´ıci´ o (Val´ os projekt´ıv transzform´ aci´ o komplexifik´ altja). Legyenek P = P (W ) ´es P 0 = P (W 0 ) val´os projekt´ıv terek ´es legyen f = = [ϕ] : P → P 0 projekt´ıv transzform´aci´o. Az R f¨ol¨ott line´aris ϕ : W → W 0 lek´epez´est a ϕC (u + iv) = ϕ(u) + iϕ(v) formul´aval kiterjeszthetj¨ uk egy CC line´ aris W C → W 0 izomorfizmuss´a. Az ´altala induk´alt f C = [ϕC ] : P C → C P 0 komplex projekt´ıv transzform´aci´ot nevezz¨ uk f komplexifik´altj´anak. C Ha b´ azist v´ alasztunk W -ben ´es W 0 -ben (´es ez´altal W C -ben ´es W 0 -ben is), C akkor ezekre a b´ azisokra n´ezve ϕ ´es ϕ m´atrixa a defin´ıci´ob´ol kiolvashat´oan ugyanaz. A P = P 0 = P (Rd+1 ) esetben a Pd → Pd projektivit´asok komplexifik´ aci´ oj´ aban emiatt r´ aismerhet¨ unk a P GL(d + 1, R) ⊆ P GL(d + 1, C) term´eszetes tartalmaz´ asra. A komplexifik´ alt transzform´ aci´o al´abbi tulajdons´agai is azonnal ad´odnak a defin´ıci´ ob´ ol. ´ ıt´ 8.3.15. All´ as. Legyenek P , P 0 ´es P 00 val´os projekt´ıv terek, f : P → P 0 ´es 0 00 g : P → P projekt´ıv transzform´aci´ok. Ekkor (1) f C |P = f ,

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

244

Projekt´ıv geometria

(2) idC P = idP C , (3) (f −1 )C = (f C )−1 , ´es (4) (g ◦ f )C = g C ◦ f C . Megjegyz´es. A 8.3.15-ben felsorolt tulajdons´agok a komplexifik´aci´os elj´ar´as term´eszetes” volt´ at mutatj´ ak. ”

8.4. Az affin geometria ´ es a projekt´ıv geometria kapcsolata Az el˝ oz˝ o szakasz 8.2.1–8.2.3. pontjaiban l´attuk, hogy projekt´ıv t´erben hipers´ık komplementere term´eszetes m´odon affin t´ernek tekinthet˝o. Most a ford´ıtott ir´ any´ u kapcsolatot tiszt´azzuk: megmutatjuk, hogy b´armely affin t´er felfoghat´ o egy hozz´ a term´eszetes m´odon tartoz´o projekt´ıv t´erben egy hipers´ık komplementerek´ent. Ennek a hipers´ıknak az elemei lesznek az affin t´erhez csatolt v´egtelen t´ avoli” pontok. Ezt a kib˝ov´ıt´esi elj´ar´ast projekt´ıv lez´ar´asnak ” nevezz¨ uk. Az 1.7. szakaszban tiszt´ aztuk, hogy az affin tereket egy term´eszetes kib˝ov´ıt´esi elj´ ar´ as r´ev´en vektorterekben fekv˝o affin hipers´ıkoknak tekinthetj¨ uk. Ha X → − b jel¨oli az X line´aris v´eges dimenzi´ os affin t´er F f¨ol¨ott ´es V = X , akkor X kiterjeszt´es´et, amelyben V line´aris hipers´ık, X pedig V -vel p´arhuzamos, t˝ole k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o affin hipers´ık. A konstrukci´o term´eszetess´eg´en azt ´ertj¨ uk, hogy b →X c0 line´aris lek´epez´est induk´al, b´ armely f : X → X 0 affin lek´epez´es fb : X d melyre fb| X = f ´es fb| V = L(f ), tov´abb´a id es g[ ◦ f = gb ◦ fb X = idX b ´ ´erv´enyes. Speci´ alisan ha Y ⊆ X affin alt´er, akkor Y -nak az X-be t¨ort´en˝o b homomorfizmust induk´al, amelynek seg´ıts´eg´evel inkl´ uzi´ oja injekt´ıv Yb → X b u ´gy tekinthetj¨ uk, hogy Yb ⊆ X. 8.4.1. Defin´ıci´ o (Projekt´ıv lez´ ar´ as, ide´ alis hipers´ık, ide´ alis pont). Az b projekt´ıv teret X (v´eges dimenzi´ os) affin t´er projekt´ıv lez´ar´as´an az X = P (X) ´ertj¨ uk. A ∞X = P (V ) ⊂ X projekt´ıv hipers´ıkot az X ide´alis hipers´ıkj´anak nevezz¨ uk. Az A 7→ [A] (A ∈ X) megfeleltet´es bijekt´ıv X ´es az X − ∞X halmaz k¨oz¨ott; az X affin teret ennek a bijekci´onak az u ´tj´an azonos´ıtjuk az ide´alis hipers´ık komplementer´evel. Az ide´ alis hipers´ık elemeit az affin t´er ide´alis pontjainak nevezz¨ uk. Ha hangs´ ulyozni akarjuk, hogy nem ide´alis pontokr´ol van sz´o, akkor az affin t´er elemeit k¨ oz¨ ons´eges pontoknak mondjuk.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

´r szerkezete 8. A projekt´ıv te

245

´ ıt´ 8.4.2. All´ as. Az X − ∞X halmaz term´eszetes affin strukt´ ur´aja azonos X affin strukt´ ur´ aj´ aval. b Bizony´ıt´ as: Alkalmazzuk a 8.2.3. P´eld´aban tett meg´allap´ıt´asokat a W = X b vektort´erre ´es az X ⊂ X affin hipers´ıkra. Megjegyz´esek. (1) 8.2.2. ´es 8.4.2. ¨osszevet´es´evel teh´at az affin terek pontosan a hipers´ıkok komplementerei projekt´ıv terekben. (2) Ha F = R vagy C, akkor a projekt´ıv lez´ar´as val´oban lez´ar´ast jelent a term´eszetes topol´ ogi´ ara n´ezve, hiszen ekkor egy hipers´ık komplementere s˝ ur˝ u halmazt alkot a projekt´ıv t´erben. 8.4.3. P´ eld´ ak cd = Fd × F = Fd+1 , • Az Fd koordin´ atat´er mint affin t´er eset´eben F d d amelyben az F affin t´er F ×{1}-gyel, azaz az xd+1 = 1 egyenlet˝ u affin hipers´ıkkal van azonos´ıtva. A projekt´ıv lez´ar´as teh´at ilyenkor a P (Fd+1 ) standard projekt´ıv t´er. Az ide´alis pontokat az xd+1 = 0 felt´etel jellemzi. A k¨ oz¨ ons´eges pontok eset´eben a 8.2.6-beli xd+1 t´erk´ep adja vissza az eredeti Fd -beli koordin´at´akat. A koordin´at´ak ´at´ır´asi szab´alyai teh´at : affinr´ ol homog´enra: (x1 , . . . , xd ) 7→ [x1 : . . . : xd : 1], illetve
d 1 , . . . , xxd+1 . homog´enr´ ol affinra: [x1 : . . . : xd : xd+1 ] 7→ xxd+1 Ha ei (i = 1, . . . , d + 1) jel¨oli a standard b´azist Fd+1 -ben, Ai = [ei ] ´es A0 = [e1 +. . .+ed+1 ], akkor a fenti homog´en koordin´at´ak az A0 , A1 , . . ., Ad+1 projekt´ıv b´ azisra vonatkoz´o projekt´ıv koordin´at´akkal azonosak. (Ez a projekt´ıv b´ azis k´et pont kiv´etel´evel ide´alis pontokb´ol ´all.) A d = 1 speci´ alis estben az F alaptestnek mint affin egyenesnek a projekt´ıv lez´ ar´ as´ aval az F = F ∪ {∞F } = P (F2 ) projekt´ıv egyenest kapjuk. Az ide´ alis hipers´ık itt egyetlen pont, amelyet a tov´abbiakban az index n´elk¨ uli ∞ jellel jel¨ol¨ unk. A fenti koordin´at´az´assal ∞ = [1 : 0]. A komplex test projekt´ıv lez´ar´as´at, C-t Riemann-f´ele sz´amg¨ombnek szok´ as nevezni. • Tegy¨ uk fel, hogy d + 1 nem oszt´oja char F-nek. Legyen az A1 , . . . , Ad+1 1 A1 + pontrendszer affin b´ azis az X affin t´erben ´es jel¨olje A0 az d+1 1 + . . . + d+1 Ad+1 s´ ulypontot. Ekkor az A0 , A1 , . . ., Ad+1 pontrendszer projekt´ıv b´ azis az X projekt´ıv lez´ar´asban, ´es az erre a b´azisra vonatkoz´o projekt´ıv koordin´ at´ ak (k¨oz¨ons´eges pontokra szor´ıtkozva) ´eppen az Xbeli baricentrikus koordin´at´ak az A1 , . . . , Ad+1 affin b´azisra n´ezve. 8.4.4. Defin´ıci´ o (Affinit´ asok projekt´ıv kiterjeszt´ ese). Ha f : X → X 0 affin izomorfizmus, akkor az f = [fb ] : X → X 0 projekt´ıv transzform´aci´ot f projekt´ıv kiterjeszt´es´enek nevezz¨ uk.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

246

Projekt´ıv geometria

´ ıt´ 8.4.5. All´ as (1) f | X = f ; (2) f | ∞X = [L(f )]. Bizony´ıt´ as: R¨ ogt¨ on k¨ ovetkezik az f line´aris kiterjeszt´es´ere vonatkoz´o fb| X = b = f ´es f | V = L(f ) meg´ allap´ıt´asokb´ol, l. 1.7.6.(1)-(2). Az X affin alt´erben fekv˝ o affin alterek projekt´ıv lez´ar´asai term´eszetes m´odon X-ban fekszenek. Az al´ abbi ´all´ıt´as az affin alterek ide´alis pontjainak legfontosabb tulajdons´ agait foglalja ¨ossze: ´ ıt´ 8.4.6. All´ as (1) Ha Y ⊆ X affin alt´er, akkor Y ⊆ X projekt´ıv alt´er ´es ∞Y = ∞X ∩ Y . (2) Az Y 7→ Y megfeleltet´es bijekt´ıv X affin alterei halmaza ´es X-nak a nem ∞X -ben fekv˝ o projekt´ıv alterei halmaza k¨oz¨ott. (3) Tetsz˝ oleges Y, Z ⊆ X affin alterekre ∞Y = ∞Z ⇐⇒ Y k Z. − → − b valamint → Bizony´ıt´ as: Ha Y ⊆ X affin alt´er, akkor Yb ≤ X, Y = Yb ∩ X . → − → − Emiatt a ∞Y = P ( Y ) ´es ∞X = P ( X ) projektiviz´altakra k¨ovetkezik (1) ´es → − → − (2). Az Y ´es Z alterek pedig pontosan akkor p´arhuzamosak, ha Y = Z , innen (3) k¨ ovetkezik. Megjegyz´es. 8.4.6.(3) speci´ alis esetek´ent azt kapjuk, hogy X ide´alis pontjai bijekt´ıv kapcsolatban ´ allnak az X-beli egyenesek p´arhuzamoss´agi oszt´alyaival. Ez az ¨ osszef¨ ugg´es az alapja annak a klasszikus geometriai elj´ar´asnak, amely az affin terek projekt´ıv kib˝ov´ıt´es´et az ide´alis pontok hozz´av´etele u ´tj´an sz´ armaztatja. ´ ıt´ 8.4.7. All´ as. Ha H1 H2 hipers´ıkok a P1 , illetve P2 projekt´ıv terekben, ´es adott az f : P1 − H1 → P2 − H2 affin izomorfizmus, akkor l´etezik (egyetlen) olyan g : P1 → P2 projekt´ıv transzform´aci´o, amelyn´el g(H1 ) = = H2 ´es f = g | P1 −H1 . Speci´alisan, egy projekt´ıv t´erben valamely hipers´ık komplementer´enek a (saj´ at mag´aba k´epez˝o) affinit´asai pontosan azoknak a projektivit´ asoknak a lesz˝ uk´ıt´esei, amelyek a hipers´ıkot ¨onmag´aba k´epezik. Bizony´ıt´ as: Legyen i = 1,2-re Pi = P (Wi ) ´es Hi = P (Vi ), ahol Vi < Wi line´ aris hipers´ık. A 8.2.3-ban le´ırt m´odon v´alasszunk Vi -vel p´arhuzamos Xi ⊂ ⊂ Wi , 0 ∈ / Xi hipers´ıkokat ´es azonos´ıtsuk Pi − Hi -t Xi -vel. Vegy¨ unk fel egy A0 , A1 , . . ., Ad affin b´ azist X1 -ben, ´es legyen Bj = f (Aj ) ∈ X2 (j = 0, . . . , d), ekkor a Bj pontok is affin b´ azist alkotnak X2 -ben. Az Aj pontok mint W1 -beli

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

´r szerkezete 8. A projekt´ıv te

247

vektorok, a Bj -k mint W2 -beliek b´azist alkotnak ezekben a vektorterekben; legyen ϕ : W1 → W2 az a line´aris izomorfizmus, amelyn´el ϕ(Aj ) = Bj (j = = 0, . . . , d). Ekkor g = [ϕ] nyilv´an a k´ıv´ant projekt´ıv transzform´aci´o. Miut´an X1 gener´ atorrendszer W1 -ben, az ´ıgy defini´alt ϕ line´aris lek´epez´es nem f¨ ugg az affin b´ azis speci´ alis v´ alaszt´as´at´ol. Ha pedig X1 ´es X2 helyett m´as, vel¨ uk p´ arhuzamos hipers´ıkokkal azonos´ıtjuk a P1 − H1 , illetve Pi − Hi affin tereket, akkor az azokkal defini´ alt ϕ nyilv´an csak skal´arszorz´oban fog elt´erni. Ez´ert g egy´ertelm˝ u. ´ ıt´ Megjegyz´es. A 8.4.7. All´ as alapj´an u ´gy tekinthetj¨ uk, hogy ha a P projekt´ıv t´erben adott a H hipers´ık, akkor P azonos a P − H affin t´er projekt´ıv lez´ ar´ as´ aval. Az affin terek k¨ oz¨otti affinit´asok pedig pontosan azok a projekt´ıv lek´epez´esek (pontosabban: azoknak a projekt´ıv lek´epez´eseknek a megszor´ıt´ asai), amelyek ide´ alis pontokat ide´alis pontokba, k¨oz¨ons´egeseket k¨oz¨ons´egesekbe visznek.

8.5. Illeszked´ esi t´ etelek A projekt´ıv geometri´ aban gyakran alkalmazhat´o bizony´ıt´asi elv, hogy egy altalunk kiv´ ´ alasztott hipers´ıkot ide´alis hipers´ıknak tekint¨ unk, ´es a marad´ek affin t´erben affin geometriai eszk¨oz¨okkel kivitelezz¨ uk a bizony´ıt´ast. Ennek a m´ odszernek az alkalmaz´ as´ ara l´atunk p´eld´akat a projekt´ıv geometria n´eh´any nevezetes illeszked´esi t´etel´eben. 8.5.1. T´ etel (Papposz t´ etele, projekt´ıv v´ altozat). Legyen P projekt´ıv s´ık, L1 ´es L2 k´et k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o P -beli egyenes, A1 , B1 , C1 ∈ L1 , A2 , B2 , C2 ∈ ∈ L2 hat k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o pont, amelyek L1 ´es L2 metsz´espontj´at´ol is k¨ ul¨onb¨oznek. Ekkor az A = hB1 , C2 i ∩ hB2 , C1 i, B = hC1 , A2 i ∩ hC2 , A1 i ´es C = hA1 , B2 i ∩ ∩ hA2 , B1 i pontok kolline´ arisak.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

248

Projekt´ıv geometria

Bizony´ıt´ as: A t´etel feltev´esei mellett egyr´eszt A ´es B k´et k¨ ul¨onb¨oz˝o pont, ´es ´ıgy tekinthetj¨ uk az L = hA, Bi egyenest, m´asr´eszt L nem halad ´at a megadott hat pont egyik´en sem. Azt kell bel´atnunk, hogy C ∈ L. Tekints¨ uk a P − L affin s´ıkot, ennek A ´es B ide´ alis pontjai. Ez´ert hB1 , C2 i k hC1 , B2 i, valamint hC1 , A2 i k hA1 , C2 i, azaz teljes¨ ulnek az affin Papposz-t´etel (1.5.5) felt´etelei. Ezt alkalmazva hA1 , B2 i k hB1 , A2 i, azaz C ∈ L k¨ovetkezik. 8.5.2. T´ etel (Desargues t´ etele, projekt´ıv v´ altozat). Legyenek egy (tetsz˝ oleges dimenzi´ oj´ u) projekt´ıv t´erben S, A1 , B1 , C1 , A2 , B2 , C2 olyan k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o pontok, amelyekre az S, A1 , B1 , C1 , illetve az S, A2 , B2 , C2 pontok k¨ oz¨ ott b´ armely h´ arom f¨ uggetlen, tov´abb´a amelyekre az S, A1 , A2 , az S, B1 , B2 , ´es az S, C1 , C2 ponth´ armasok kolline´arisak. Ekkor az A = hB1 , C1 i ∩ ∩ hB2 , C2 i, B = hC1 , A1 i ∩ hC2 , A2 i, C = hA1 , B1 i ∩ hA2 , B2 i ponth´armas is kolline´ aris. Bizony´ıt´ as: Legyen P = hS, A1 , B1 , C1 , A2 , B2 , C2 i, ekkor a t´etel feltev´esei miatt 2 ≤ dim P ≤ 3. Ha dim P = 3, akkor hA1 , B1 , C1 i ´es hA2 , B2 , C2 i k´et k¨ ul¨onb¨oz˝o s´ık, amelyek a dimenzi´ oformula alapj´ an egyenesben metszik egym´ast. Erre a metsz´esvonalra A, B, C mindegyike illeszkedik, hiszen az ˝oket el˝o´all´ıt´o egyenesp´arok egyik tagja az egyik s´ıkon, m´ asik a m´asikon fekszik.

Legyen most dim P = 2. A tett feltev´esek miatt A 6= B, ez´ert tekinthetj¨ uk az L = hA, Bi egyenest; azt kell megmutatnunk, hogy C ∈ L. A megadott h´et pont k¨ oz¨ ul legfeljebb S illeszkedhet L-re, a t¨obbi a t´etelben tett kik¨ot´esek miatt nem illeszkedik r´ a. A P −L affin s´ıkban teljes¨ ulnek az affin Desargues-t´etel (1.5.6) felt´etelei (m´egpedig metsz˝o egyenesekkel, ha S ∈ / L, ´es p´arhuzamos egyenesekkel, ha S ∈ L). Ez´ert ezt a t´etelt alkalmazva hA1 , B2 i k hA2 , B1 i, azaz C ∈ L k¨ ovetkezik. Megjegyz´esek. (1) A Desargues-t´etel t¨om¨orebb megfogalmaz´asa c´elj´ab´ol a perspekt´ıv h´ aromsz¨ ogek fogalm´at ismertetj¨ uk. A projekt´ıv geometri´aban h´aromsz¨ og¨ on egy nem-kolline´ aris ponth´armast ´ert¨ unk: a h´arom pont a h´aromsz¨ og cs´ ucsai, a p´ aronk´ent kifesz´ıtett egyenesek a h´aromsz¨og oldalai.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

´r szerkezete 8. A projekt´ıv te

249

Du´ alis m´ odon is tekinthetj¨ uk a h´aromsz¨ogeket: h´aromsz¨og¨on h´arom egy s´ıkban fekv˝ o ´es nem egy ponton ´athalad´o egyenest is ´erthet¨ unk, ahol ezek az egyenesek a h´ aromsz¨ og oldalai, a p´aronk´ent vett metsz´espontok pedig a h´aromsz¨ og cs´ ucsai. A pontoss´ ag kedv´e´ert az eredeti ´ertelmez´es szerinti h´aromsz¨ oget ponth´ aromsz¨ ognek, a du´alis v´altozatot vonalh´aromsz¨ognek is nevezhetj¨ uk, de ez a k´et fogalom v´eg¨ ul is – a cs´ ucsokkal ´es oldalakkal egy¨ utt – ugyanolyan fajta alakzatot eredm´enyez. Legyen P projekt´ıv s´ık. Azt mondjuk, hogy a P -beli A1 B1 C1 ponth´aromsz¨og ´es a szint´en P -beli A2 B2 C2 ponth´aromsz¨og az S ∈ P pontra n´ezve perspekt´ıv, ha az S, A1 , A2 , az S, B1 , B2 , ´es az S, C1 , C2 ponth´armas is kolline´aris. Ennek a felt´etelnek a dualiz´al´as´aval nyerj¨ uk az egyenesre n´ezve perspekt´ıv vonalh´ aromsz¨ ogek fogalm´ at. Ezzel a sz´ ohaszn´ alattal a Desargues-t´etel s´ıkbeli v´altozat´anak az ´all´ıt´asa u ´gy fogalmazhat´ o, hogy (a 8.5.2-ben tett nemelfajul´asi kik¨ot´esek mellett) ha k´et h´ aromsz¨ og pontra n´ezve perspekt´ıv, akkor ugyanaz a k´et h´aromsz¨og egyenesre n´ezve is perspekt´ıv. (2) A Papposz-t´etel is ´es a Desargues-t´etel s´ıkbeli v´altozata is pontokr´ol, egyenesekr˝ ol, ´es a k¨ ozt¨ uk f¨ onn´all´o illeszked´esi viszonyokr´ol sz´ol, ez´ert alkalmazhatjuk r´ ajuk a dualit´ as elv´et (l. 8.3.5), ´es ´ıgy u ´jabb illeszked´esi t´eteleket kaphatunk. Vegy¨ uk ´eszre, hogy a Desargues-t´etel du´alisa ´eppen a t´etel megford´ıt´ asa: azt ´ all´ıtja, hogy a projekt´ıv s´ıkban egyenesre perspekt´ıv h´aromsz¨ogek pontra is perspekt´ıvek. Ez´ert a Desargues-t´etelt gyakran akkor ´es csak ” akkor” form´ aban mondj´ ak ki. A projekt´ıv terek illeszked´esi strukt´ ur´aja az affin terek´ehez hasonl´o szerepet j´ atszik. Az affin terekr˝ ol tudjuk, hogy az illeszked´est meg˝orz˝o bijekt´ıv lek´epez´esek l´enyeg´eben (testautomorfizmust´ol eltekintve) az affin strukt´ ur´at is meg˝ orzik. Hasonl´ ot ´ all´ıthatunk projekt´ıv terekr˝ol is: ezt a t´etelt nevezik a projekt´ıv geometria alapt´etel´enek. Ennek a t´etelnek a bizony´ıt´asa az affin geometria alapt´etel´ere t´ amaszkodik ´es szint´en a bevezet˝oben eml´ıtett s´em´at k¨ oveti. 8.5.3. Defin´ıci´ o (Kolline´ aci´ o). Legyenek P ´es P 0 egyenl˝o dimenzi´oj´ u projekt´ıv terek F f¨ ol¨ ott. Egy f : P → P 0 lek´epez´est kolline´aci´onak nevez¨ unk, ha bijekt´ıv ´es kolline´ aris pontokat kolline´aris pontokba k´epez. A projekt´ıv transzform´ aci´ ok nyilv´an kolline´aci´ok. Az egydimenzi´os esetben minden bijekt´ıv lek´epez´es kolline´aci´o. Vannak m´as t´ıpus´ u kolline´aci´ok is, ezeket a szemiaffin lek´epez´esek mint´aj´ara ´ertelmezhetj¨ uk. 8.5.4. Defin´ıci´ o (Szemiprojekt´ıv transzform´ aci´ o). Ha P = P (W ) ´es P 0 = P (W 0 ), akkor egy f : P → P 0 lek´epez´est szemiprojekt´ıv transzform´acionak nevez¨ ´ unk, ha l´etezik olyan ϕ : W → W 0 bijekt´ıv szemiline´aris lek´epez´es, hogy b´ armely w ∈ W -re f ([w]) = [ϕ(w)].

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

250

Projekt´ıv geometria

(Eml´ekeztet˝ ou ¨l: ϕ : W → W 0 szemiline´aris, ha alkalmas σ : F → F testautomorfizmussal ϕ(λx + µy) = σ(λ)ϕ(x) + σ(µ)ϕ(y) (x, y ∈ W , λ, µ ∈ F).) Nyilv´ an b´ armely projekt´ıv transzform´aci´o szemiprojekt´ıv. K¨onnyen ellen˝orizhet˝ o, hogy szemiprojekt´ıv transzform´aci´ok inverze, kompoz´ıci´oja is szemiprojekt´ıv, tov´ abb´ a hogy b´ armely szemiprojekt´ıv transzform´aci´o kolline´aci´o. 8.5.5. P´ elda. Nevezetes p´eld´at kapunk szemiprojekt´ıv, de nem projekt´ıv transzform´ aci´ ora a val´ os projekt´ıv terek komplexifik´altj´an. Legyen W val´os vektort´er, P = P (W ) ´es P C = P (W C ). Az u + iv 7→ u − iv lek´epez´est, amely C f¨ ol¨ ott szemiline´ aris ´es bijekt´ıven k´epezi W C -t ¨onmag´ara, ´es amelynek W a fixponthalmaza, W -re vonatkoz´o komplex konjug´al´asnak nevezz¨ uk a komplexifik´ alt vektort´erben. Az ´altala induk´alt P C → P C szemiprojekt´ıv transzform´ aci´ ot a P val´ os r´eszt´erre vonatkoz´o komplex konjug´al´asnak nevezz¨ uk. A P val´ os r´eszt´er itt is a komplex konjug´al´as fixpontjaib´ol ´all. Valamivel ´ altal´ anosabban ha P tetsz˝oleges val´os r´eszt´er a P 0 komplex projekt´ıv t´erben, akkor besz´elhet¨ unk a P -re vonatkoz´o komplex konjug´al´asr´ol P 0 -ben, hiszen 8.3.13 alapj´ an feltehetj¨ uk, hogy P 0 = P C . 8.5.6. T´ etel (A projekt´ıv geometria alapt´ etele). Tegy¨ uk fel, hogy char F 6= 2 ´es dim P = dim P 0 ≥ 2. Ekkor b´armely P → P 0 kolline´aci´o szemiprojekt´ıv. Bizony´ıt´ as (v´ azlat): Legyen f : P → P 0 adott kolline´aci´o. El˝osz¨or azt l´atjuk be, hogy az f lek´epez´esn´el hipers´ık k´epe hipers´ık. Ez l´enyeg´eben ugyan´ ugy t¨ ort´enhet, ahogyan az affin geometria alapt´etel´enek (1.6.7) bizony´ıt´asa sor´an az els˝ o h´ arom l´ep´est tett¨ uk. Szemelj¨ unk ki most P -ben egy H hipers´ıkot, legyen P = P (W ), P 0 = P (W 0 ), H = P (V ), f (H) = P (V 0 ), ahol V < W , illetve V 0 < W 0 line´aris hipers´ıkok. Tekints¨ uk a g = f | P −H lek´epez´est, amely kolline´aci´o a P − H affin t´err˝ol a P 0 − f (H) affin t´erre. Az affin geometria alapt´etel´et g-re alkalmazva kapjuk, hogy g szemiaffin lek´epez´es. K¨onny˝ u meggondolni, hogy nem csak az affin lek´epez´esek, hanem a szemiaffin lek´epez´esek is kiterjeszthet˝ok a projekt´ıv lez´ ar´ asok k¨ ozti szemiprojekt´ıv lek´epez´ess´e. Ilyen m´odon ad´odik a g : P → P 0 szemiprojekt´ıv transzform´ aci´o. V´eg¨ ul a kollinearit´astart´as felhaszn´al´as´aval ellen˝ orizhet˝ o, hogy g nem csak a P − H halmazon, hanem H-n is azonos f -fel. 8.5.7. K¨ ovetkezm´ eny. A legal´abb 2 dimenzi´oj´ u val´os projekt´ıv terek k¨or´eben a kolline´ aci´ ok azonosak a projekt´ıv transzform´aci´okkal. Bizony´ıt´ as: Az affin esethez hasonl´oan b´armely val´os szemiprojekt´ıv transzform´ aci´ o projekt´ıv, miut´ an az R testnek az identikus lek´epez´es az egyetlen automorfizmusa.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

´r szerkezete 8. A projekt´ıv te

251

Az alapt´etel azt a k´epet sugallja, hogy a projekt´ıv t´er szerkezet´et m´ar az illeszked´esi strukt´ ura l´enyeg´eben meghat´arozza. Ennek k¨ovetkezt´eben a projekt´ıv geometria hat´ekonyan t´ argyalhat´o axiomatikus kiindul´opontb´ol is, m´egpedig viszonylag egyszer˝ u, csup´ an illeszked´esi ´all´ıt´asokb´ol ´all´o axi´omarendszer seg´ıts´eg´evel. A szakasz h´ atralev˝o r´esz´eben err˝ol az axiomatikus t´argyal´asm´odr´ol tesz¨ unk megjegyz´eseket. A k´es˝obbiekben nem az axiomatikus projekt´ıv geometri´ at folytatjuk, hanem a 8.6. szakaszt´ol kezdve projekt´ıv t´eren ism´et a vektort´er projektiviz´ al´ as´ aval nyert teret ´ertj¨ uk majd. Szor´ıtkozzunk el˝ osz¨ or a k´etdimenzi´os esetre. Projekt´ıv s´ıknak nevez¨ unk egy halmazt (amelynek elemeit pontoknak nevezz¨ uk), ha adott rajta egyenesnek nevezett r´eszhalmazok egy rendszere, amelyre az al´abbi h´arom axi´oma ´erv´enyes: (1) B´ armely k´et k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o ponthoz egy´ertelm˝ uen l´etezik olyan egyenes, amely a k´et pontot tartalmazza. (2) B´ armely k´et egyenesnek l´etezik k¨oz¨os pontja. (3) L´etezik n´egy olyan pont, amelyeket p´aronk´ent k¨ ul¨onb¨oz˝o egyenesek tartalmaznak. A projekt´ıv s´ık illeszked´esi tulajdons´agai k¨oz¨ ul sok minden m´ar ebb˝ol a h´arom axi´ om´ ab´ ol is levezethet˝ o (p´eld´aul az egyenesr˝ol egyenesre t¨ort´en˝o centr´ alis vet´ıt´esek bijekt´ıv volta, vagy a dualit´as elve). Nevezetes t´eny viszont, hogy sem a Papposz-t´etel, sem a Desargues-t´etel nem k¨ovetkezik ezekb˝ol az axi´ om´ akb´ ol, l´eteznek ugyanis olyan modelljei ennek az axi´omarendszernek, amelyekben ezek a t´etelek nem ´erv´enyesek. Felvet˝ odik teh´ at a k´erd´es, hogy az axi´om´akon t´ ul vajon milyen tov´abbi felt´etelek mellett lesz egy projekt´ıv s´ık sz¨ uks´egk´eppen izomorf a line´aris algebr´ara ´ep´ıtett projekt´ıv s´ıkok valamelyik´evel (amelyeket a megk¨ ul¨onb¨oztet´es ´erdek´eben most klasszikus projekt´ıv s´ıkoknak nevez¨ unk). Az axiomatikus projekt´ıv geometria egyik legszebb eredm´enye az a Hilbertt˝ol sz´ armaz´ o t´etel, hogy ha az (1), (2), (3) axi´om´ak mell´e mag´at a Desarguest´etelt vessz¨ uk negyedik axi´ oma gyan´ant, akkor m´ar majdnem k¨ovetkezik, hogy a s´ık klasszikus projekt´ıv s´ık. Az egyetlen elt´er´es annyi, hogy nem felt´etlen¨ ul test feletti, hanem csak ferdetest feletti vektort´er projektiviz´al´as´aval nyerhet˝ o a projekt´ıv s´ık. (Nem neh´ez meggondolni, hogy ha egy ferdetestben a szorz´ as m˝ uvelete nem kommutat´ıv, a f¨ol¨otte vett vektortereket akkor is lehet ugyan´ ugy projektiviz´ alni, ´es az ´ıgy nyert strukt´ ur´ak eleget tesznek mind ´ a n´egy axi´ om´ anak.) Erdekes m´odon a Papposz-t´etel m´eg ebb˝ol az er˝osebb axi´ omarandszerb˝ ol sem k¨ ovetkezik. Ha viszont a Desargues-t´etel helyett a Papposz-t´etelt haszn´ aljuk negyedik axi´omak´ent, akkor ebb˝ol az axi´omarendszerb˝ ol egyr´eszt a Desargues-t´etel is k¨ovetkezik, m´asr´eszt pedig a projekt´ıv s´ık

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

252

Projekt´ıv geometria

m´ ar izomorf lesz egy klasszikus projekt´ıv s´ıkkal (azaz a sz´oban forg´o ferdetest ´ ekkor m´ ar sz¨ uks´egk´eppen kommutat´ıv, azaz test). Erdemes megkeresni az affin Papposz-t´etel bizony´ıt´ as´ anak azt a pontj´at, ahol az alaptest kommutat´ıv volta l´enyeges szerepet j´ atszik. A magasabb dimenzi´ oj´ u projekt´ıv tereket sem neh´ez axiomatikusan kezelni. Az axi´ om´ ak t´eteles f¨ olsorol´ as´at´ol itt eltekint¨ unk, ´es megel´egsz¨ unk az axi´omarendszer tartalmi ismertet´es´evel. A d-dimenzi´ os projekt´ıv t´er megad´as´ahoz minden k = −1,0, . . . , d -re ki kell jel¨ oln¨ unk az alaphalmazban r´eszhalmazoknak (a k-dimenzi´os altereknek) egyegy rendszer´et oly m´ odon, hogy azok eleget tegyenek n´eh´any term´eszetes k¨ovetelm´enynek: csak egyetlen (−1)-dimenzi´os ´es egyetlen d-dimenzi´os alt´er van (m´egpedig az u ¨res halmaz, illetve az eg´esz t´er), a 0-dimenzi´os alterek pontosan az egypont´ u r´eszhalmazok, ugyanaz a r´eszhalmaz nem lehet egyszerre k´etf´ele dimenzi´ oj´ u alt´er, tov´ abb´a alterek metszete alt´er. Ezeken k´ıv¨ ul k´et l´enyegi axi´ oma hat´ arozza meg az illeszked´esi viszonyokat: az egyik a 8.1.5-beli dimenzi´ oformula, a m´ asik pedig a s´ıkbeli (3) axi´om´ahoz hasonl´o nemelfaju” l´ asi” felt´etel, amely azt k¨ oveteli meg, hogy l´etezzen d + 2 ´altal´anos helyzet˝ u pont. A 8.5.2. T´etel bizony´ıt´ as´ ab´ ol kiolvashat´o, hogy d ≥ 3 est´en a Desargues-t´etel m´ ar egyszer˝ u illeszked´esi megfontol´asokb´ol levezethet˝o. Ez´ert a legal´abb h´aromdimenzi´ os axiomatikus projekt´ıv geometri´aban a Desargues-t´etel minden tov´ abbi feltev´es n´elk¨ ul is igaz. Emiatt ha a dimenzi´o legal´abb 3, akkor az axiomatikus projekt´ıv t´er a fenti ´ertelemben majdnem” klasszikus projekt´ıv ” t´er, azaz ferdetest feletti vektort´er projektiviz´al´as´ab´ol sz´armazik. Az axiomatikus projekt´ıv geometria (k¨ ul¨on¨osk´eppen a v´eges geometria) neh´ez ´es sok esetben megoldatlan k´erd´esei teh´at mind a s´ık geometri´aj´ahoz k¨othet˝ok.

8.6. Kett˝ osviszony Ahogyan az euklideszi geometri´aban a pontp´arok k¨ozti t´avols´ag, illetve az affin geometri´ aban a kolline´ aris ponth´armasokra ´ertelmezett oszt´oviszony a legalapvet˝ obb numerikus invari´ans, u ´gy a projekt´ıv geometri´aban a kolline´aris pontn´egyesek k¨ or´eben al´ abb defini´aland´o kett˝osviszony a pontok k¨ozti viszony legfontosabb jellemz˝ oje. Miut´an kolline´aris pontn´egyesekr˝ol besz´el¨ unk, ebben a szakaszban feltessz¨ uk, hogy az F alaptest legal´abb h´aromelem˝ u. 8.6.1. Defin´ıci´ o (Kett˝ osviszony). Legyen L tetsz˝oleges projekt´ıv egyenes ´es A, B, C, D ∈ L n´egy k¨ ul¨onb¨oz˝o pont. Miut´an az L egyenesen az A, B, C pontok, az F egyenesen pedig a ∞, 0, 1 pontok projekt´ıv b´azist alkotnak, a 8.3.8. T´etel szerint l´etezik olyan egy´ertelm˝ uen meghat´arozott fABC : : L → F projekt´ıv transzform´aci´o, amelyn´el fABC (A) = ∞, fABC (B) = 0 ´es

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

´r szerkezete 8. A projekt´ıv te

253

fABC (C) = 1. Az A, B, C ´es D pontok (ebben a sorrendben vett) kett˝osviszony´ an az fABC (D) ∈ F testelemet ´ertj¨ uk. Ezt az elemet az (ABCD) jellel jel¨ olj¨ uk. R¨ ogt¨ on k¨ ovetkezik a defin´ıci´ ob´ol, hogy a kett˝osviszony a 0 ´es 1 ´ert´ekeken k´ıv¨ ul b´ armilyen m´ as testelem lehet ; s˝ot a fenti fABC lek´epez´es megszor´ıt´as´aval nyert D 7→ (ABCD) hozz´ arendel´es bijekci´o az L − {A, B, C} halmaz ´es az F − {0,1} halmaz k¨ oz¨ ott. Ha F ≤ G testb˝ ov´ıt´es, ´es A, B, C, D k¨ ul¨onb¨oz˝o, kolline´aris pontok egy G feletti projekt´ıv t´er valamely F-r´eszter´eben, akkor az fABC lek´epez´es a pontokat tartalmaz´ o F-egyenest az F ⊆ G r´eszegyenesbe k´epezi, ´es ´ıgy (ABCD) ∈ ∈ F. Teh´ at p´eld´ aul komplex projekt´ıv terekben a val´os egyeneseken fekv˝o pontn´egyesek kett˝ osviszonya is val´os. ´ ıt´ 8.6.2. All´ as. F = R eset´en az (ABCD) kett˝osviszony pontosan akkor negat´ıv, ha az {A, B} ´es {C, D} pontp´arok elv´alasztj´ak egym´ast. Bizony´ıt´ as: Val´ oban, fABC projekt´ıv transzform´aci´o l´ev´en meg˝orzi az elv´alaszt´ asi rel´ aci´ ot, ´es az R val´ os projekt´ıv egyenesen a {0, ∞} pontp´ar pontosan akkor v´ alasztja el az {1, x} pontp´art, ha x < 0. 8.6.3. T´ etel. Egy lek´epez´es k´et projekt´ıv egyenes k¨oz¨ott pontosan akkor projekt´ıv transzform´ aci´ o, ha bijekt´ıv ´es kett˝osviszonytart´o. Bizony´ıt´ as: Tegy¨ uk f¨ ol el˝ osz¨or, hogy f : L → L0 projekt´ıv transzform´aci´o. Legyen A, B, C, D ∈ L n´egy k¨ ul¨onb¨oz˝o pont, A0 , B 0 , C 0 ´es D0 rendre az f n´el sz´ armaz´ o k´epeik. Ekkor az fABC lek´epez´es az fA0 B 0 C 0 ◦ f kompoz´ıci´oval egyenl˝ o, hiszen mindkett˝ o projekt´ıv transzform´aci´o ´es megegyeznek az A, B, C projekt´ıv b´ azison. Ez´ert fABC (D) = fA0 B 0 C 0 (D0 ), azaz (ABCD) = = (A0 B 0 C 0 D0 ). Legyen most ϕ : L → L0 tetsz˝oleges kett˝osviszonytart´o bijekci´o. R¨ogz´ıts¨ unk az L egyenesen egy A, B, C projekt´ıv b´azist, jel¨olj¨ uk rendre A0 -vel, B 0 -vel ´es C 0 -vel a ϕ-n´el sz´ armaz´ o k´epeiket. Ekkor ϕ bijekt´ıv volta miatt A0 , B 0 , C 0 0 is projekt´ıv b´ azis az L egyenesen. Ez´ert l´etezik olyan f : L → L0 projekt´ıv transzform´ aci´ o, amelyn´el f (A) = A0 , f (B) = B 0 , ´es f (C) = C 0 . Azt ´all´ıtjuk, hogy ϕ = f (´es ezzel igazoljuk, hogy ϕ val´oban projekt´ıv transzform´aci´o). Legyen D ∈ L − {A, B, C} az L egyenes tetsz˝oleges tov´
abbi pontja, ekkor
ϕ ´es f kett˝ osviszonytart´ as´ at
kihaszn´alva fA0 B
0 C 0 ϕ(D) = A0 B 0 C 0 ϕ(D) = = (ABCD) = A0 B 0 C 0 f (D) = fA0 B 0 C 0 f (D) , ahonnan ϕ(D) = f (D). 8.6.4. K¨ ovetkezm´ eny (Papposz–Steiner-t´ etel). Perspekt´ıv pontn´egyesek kett˝ osviszonya egyenl˝ o. Azaz : ha az A, B, C, D kolline´aris pontok k´epei valamely centr´ alis vet´ıt´esn´el rendre A0 , B 0 , C 0 ´es D0 , akkor (ABCD) = 0 0 0 0 = (A B C D ).

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

Projekt´ıv geometria

254

8.6.5. P´ elda. Tekints¨ unk a P (W ∗ ) du´alis projekt´ıv t´erben n´egy k¨ ul¨onb¨oz˝o kolline´ aris pontot, azaz egy P (W )-beli hipers´ıksor H1 , H2 , H3 ´es H4 tagjait. Jel¨ olj¨ uk T -vel a hipers´ıksort tart´o (d − 2)-dimenzi´os projekt´ıv alteret P (W )ben, ´es legyen S tetsz˝ oleges P (W )-beli egyenes, melyre S ∩ T = ∅. Messe az S egyenes a n´egy hipers´ıkot rendre az A1 , A2 , A3 ´es A4 pontokban. Ekkor 8.3.4 ´es 8.6.3 alkalmaz´ as´ aval (A1 A2 A3 A4 ) = (H1 H2 H3 H4 ) ad´odik. Amikor a kett˝ osviszonyt konkr´et esetekben meghat´arozzuk, legt¨obbsz¨or nem a 8.6.1-beli defin´ıci´ ot haszn´ aljuk. Az al´abbi t´etel a kett˝osviszony olyan kisz´am´ıt´ asi m´ odszereit mutatja meg, amelyeket egyr´eszt vektorok ´es koordin´at´ak ismeret´eben, m´ asr´eszt (az euklideszi geometri´aban) t´avols´agok ismeret´eben lehet j´ ol alkalmazni. 8.6.6. T´ etel (1) Ha A = [a], B = [b], C = [c], D = [d] k¨ ul¨onb¨oz˝o kolline´aris pontok, valamint c = λ1 a + µ1 b, d = λ2 a + µ2 b, akkor (ABCD) =

µ1 µ2 : . λ1 λ2

(2) Ha A, B, C, D egy X affin egyenes n´egy k¨ ul¨onb¨oz˝o pontja, akkor (az X projekt´ıv egyenesre vonatkoz´oan) (ABCD) =

(ABC) . (ABD)

Speci´ alisan a, b, c, d ∈ F-re (abcd) =

c−a d−a : . b−c b−d

(3) Ha A, B, C egy X affin egyenes h´arom k¨ ul¨onb¨oz˝o pontja, akkor (ABC∞X ) = −(ABC) . Bizony´ıt´ as: (1): Jel¨ olj¨ uk ´ atmenetileg [ABCD]-vel azt az F-beli elemet, amelyet tetsz˝ oleges n´egy k¨ ul¨ onb¨ oz˝o kolline´aris pontra a 8.6.6.(1)-beli formul´aval hat´ arozunk meg. El˝ osz¨ or is ennek a formul´anak van ´ertelme, mert a pontok k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o volta miatt az egy¨ utthat´ok egyike sem 0, ´es ´ıgy szabad osztani vel¨ uk. Vegy¨ uk ´eszre tov´ abb´ a, hogy [ABCD] j´ol defini´alt, azaz ´ert´eke csak a sz´ oban forg´ o pontokt´ ol f¨ ugg, att´ol nem, hogy milyen vektorokkal reprezent´ aljuk ˝ oket. Val´ oban, ak´ ar a-t, ak´ar b-t, ak´ar c-t, ak´ar d-t helyettes´ıtj¨ uk egy skal´ arszoros´ aval, az egy¨ utthat´ok oly m´odon v´altoznak, hogy a k´epletben a v´ altoz´ asok kiejtik egym´ ast.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

´r szerkezete 8. A projekt´ıv te

255

Most meggondoljuk, hogy az [ABCD] mennyis´eg invari´ans a projekt´ıv transzform´ aci´ okra n´ezve. Tegy¨ uk f¨ol, hogy az L = P (W ), L0 = P (W 0 ) projekt´ıv egyenesek k¨ ozti f : L → L0 projekt´ıv transzform´aci´ot a ϕ : W → W 0 line´aris lek´epez´es induk´ alja, tov´ abb´ a A, B, C, D ∈ L n´egy k¨ ul¨onb¨oz˝o pont, amelyekhez rendre az a, b, c ´es d reprezent´ans vektorokat v´alasztottuk W -ben. Ekkor az f (A), f (B), f (C), f (D) ∈ W 0 k´eppontokat rendre a ϕ(a), ϕ(b), ϕ(c), ϕ(d) vektorok reprezent´ alj´ ak. Miut´an ϕ izomorfizmus, az [f (A)f (B)f (C)f (D)]-t el˝ o´ all´ıt´ o k´epletben ugyanazok a λi , µi egy¨ utthat´ok szerepelnek, mint [ABCD] eset´eben, ez´ert [f (A)f (B)f (C)f (D)] = [ABCD]. Ezek ut´ an el´eg lesz m´ ar csak azt ellen˝orizni, hogy az F egyenesen b´armely x 6= ∞,0,1 elemre [∞ 0 1 x] = x. Val´oban, ha ezt tudjuk, akkor tetsz˝oleges A, B, C, D-re (ABCD) = fABC (D) = [∞ 0 1 fABC (D)] = [ABCD]. Haszn´ aljuk az F = P (F2 ) egyenesen a ∞ = [1 : 0], 0 = [0 : 1], 1 = [1 : 1] ´es x = [x : 1] pontok sz´ am´ ara rendre az a = (1,0), b = (0,1), c = (1,1), illetve d = (x,1) reprezent´ ans vektorokat F2 -ben. Ekkor c = a + b ´es d = xa + b, azaz λ1 = µ1 = µ2 = 1 ´es λ2 = x, ahonnan val´oban [∞ 0 1 x] = x. ´ ıtsuk el˝ (2): All´ o C-t ´es D-t A ´es B affin kombin´aci´ojak´ent: C = λ1 A + + µ1 B, D = λ2 A + µ2 B. Tudjuk (l. 1.4.2), hogy ilyenkor (ABC) = µ1 /λ1 b line´aris kiterjeszt´es´et ´es (ABD) = µ2 /λ2 . Haszn´ aljuk az X affin egyenes X ´es reprezent´ aljuk a n´egy pontot magukkal az A, B, C, D vektorokkal. Ekkor (1) felhaszn´ al´ as´ aval k¨ ozvetlen¨ ul a (2) ´all´ıt´ast kapjuk. (3): Legyen most is C = λ1 A+µ1 B a C pont el˝o´all´ıt´asa A ´es B affin kombin´ab vektor az X egyenes ir´anyvektora, ´ıgy ∞X = [B −A]. ci´ ojak´ent. A B −A ∈ X Az (ABC∞X ) kett˝ osviszony (1) szerinti meghat´aroz´as´ahoz haszn´alt egy¨ utthat´ ok teh´ at λ1 , µ1 , −1 ´es 1. ´Igy (ABC∞X ) = −µ1 /λ1 = −(ABC). A kett˝ osviszony 8.6.1-beli defin´ıci´oj´aban (´es a 8.6.6. T´etelbeli kisz´am´ıt´asi elj´ar´ asokban is) a n´egy pont m´ as-m´as szerepet j´atszik, ez´ert sorrendj¨ uk l´enyeges. Az al´ abbi ´ all´ıt´ as seg´ıts´eg´evel f¨older´ıtj¨ uk, hogyan f¨ ugg a kett˝osviszony ´ert´eke a n´egy pont sorrendj´et˝ ol. ´ ıt´ 8.6.7. All´ as (1) (BACD) = (ABDC) = 1/(ABCD) ; (2) (ACBD) = 1 − (ABCD). Bizony´ıt´ as: A 8.6.6.(1)-beli kisz´am´ıt´asi elj´ar´asra hivatkozunk; legyen A = = [a], B = [b], C = [c], D = [d]. (1): Ak´ ar c-t cser´elj¨ uk f¨ ol d-vel, ak´ar a-t cser´elj¨ uk f¨ol b-vel, a 8.6.6.(1)-beli h´ anyados a reciprok´ ara v´ altozik.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

Projekt´ıv geometria

256

(2): Ha c = λ1 a + µ1 b ´es d = λ2 a + µ2 b, akkor a-t ´es c-t b´azis gyan´ant haszn´ alva   λ1 1 λ1 µ2 µ2 b=− a+ c ´es d = λ2 − a+ c. µ1 µ1 µ1 µ1 Innen (ACBD) =

1 µ2 λ1 µ2 − λ2 µ1 µ1 µ2 : = = 1− : = 1−(ABCD) . −λ1 λ2 µ1 − λ1 µ2 λ1 µ2 λ1 λ2

8.6.8. K¨ ovetkezm´ eny. (ABCD) = λ eset´en az A, B, C, D pontok permut´ aci´ oihoz tartoz´ o¨ osszes kett˝ osviszony´ert´ek: λ,

1 , λ

1 − λ,

1 , 1−λ

1−

1 , λ

λ . λ−1

Bizony´ıt´ as: Val´ oban, a n´egy pont ¨osszes permut´aci´oja el˝o´all a 8.6.7-ben szerepl˝ o h´ arom transzpoz´ıci´ o szorzatak´ent, ez´ert a keresett ´ert´ekek λ-b´ol a reciprokk´epz´es ´es az 1-b˝ ol val´ o kivon´as ism´etelt alkalmaz´as´aval ´allnak el˝o. A felsorolt hat ´ert´ek val´ oban el˝ o´all ilyen m´odon, ´es k¨oz¨ ul¨ uk a k´etf´ele l´ep´es egyike sem vezet ki. A fenti hat kett˝ osviszony´ert´ek k¨oz¨ ul bizonyosak egybeeshetnek λ speci´alis megv´ alaszt´ asa eset´en. Ilyen speci´alis ´ert´ek a λ = −1, amelyhez a pontok permut´ aci´ oit is tekintetbe v´eve m´eg a 2 ´es 1/2 ´ert´ekek tartoznak. Ahhoz, hogy ezek az ´ert´ekek egy´ altal´an fell´ephessenek kett˝osviszonyk´ent (azaz 0-t´ol ´es 1-t˝ ol k¨ ul¨ onb¨ ozzenek), illetve hogy az alaptestben egy´altal´an ´ertelmezhet˝ok legyenek, sz¨ uks´eges, hogy ott lehessen 2-vel osztani. Ez´ert ennek a szakasznak a h´ atralev˝ o r´esz´eben feltessz¨ uk, hogy char F 6= 2. 8.6.9. Defin´ıci´ o (Harmonikus n´ egyes, harmonikus t´ ars). Legyen A, B, C, D valamely projekt´ıv t´er n´egy k¨ ul¨onb¨oz˝o kolline´aris pontja. Ezek harmonikus n´egyest alkotnak, ha (ABCD) = −1. ´ ıt´ A 8.6.7. All´ as folyt´ an ilyenkor az (BACD), (ABDC), (BADC), (CDAB), (DCAB), (CDBA), (DCBA) kett˝osviszonyok is mindannyian egyenl˝ok (−1)-gyel (´es a t¨ obbi permut´aci´ohoz tartoz´o ´ert´ek 2 vagy 1/2). Ebb˝ol l´athat´ o, hogy a kett˝ osviszony −1 volta t´enylegesen egy az {A, B} ´es {C, D} (rendezetlen) pontp´ arok k¨ oz¨ott fenn´all´o szimmetrikus viszonyt fejez ki. (A val´ os projekt´ıv geometri´ aban ezt a viszonyt harmonikus elv´alaszt´asnak szok´ as nevezni, l. 8.6.2.) Ha A, B ´es C h´ arom k¨ ul¨ onb¨oz˝o kolline´aris pont, akkor egyetlen olyan D pont l´etezik, melyre (ABCD) = −1 ; ezt a D pontot a C harmonikus t´ars´anak

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

´r szerkezete 8. A projekt´ıv te

257

nevezz¨ uk az A ´es B pontokra n´ezve. Nyilv´an ilyenkor D-nek C a harmonikus t´ arsa, tov´ abb´ a A ´es B is egym´as harmonikus t´arsai C-re ´es D-re n´ezve. 8.6.10. P´ eld´ ak. Az al´ abbi klasszikus geometriai jelleg˝ u p´eld´akban az els˝o kiv´etel´evel feltessz¨ uk, hogy F = R. • Ha F az L affin egyenes A ´es B pontja k¨ozti felez˝opont (azaz F az 1 1 aci´o), akkor F harmonikus t´arsa A-ra ´es B-re 2 A + 2 B affin kombin´ n´ezve a ∞L ide´ alis pont. Ez 8.6.6.(3) k¨ ozvetlen k¨ovetkezm´enye, figyelembe v´eve, hogy (ABF ) = = 1. • Ha Y ´es Z az euklideszi s´ıkban fekv˝o M ´es N metsz˝o k¨oz¨ons´eges egyenesek k´et sz¨ ogfelez˝ oje, akkor (M N Y Z) = −1. Mess¨ uk el ugyanis az egyik sz¨ogfelez˝ot egy r´a mer˝oleges, a metsz´esponton ´ at nem halad´ o egyenessel, alkalmazzuk erre az egyenesre az el˝oz˝o p´elda meg´ allap´ıt´ as´ at, majd hivatkozzunk 8.6.5-re. • Ha az euklideszi s´ıkban az ABC h´aromsz¨og C-beli bels˝o ´es k¨ uls˝o sz¨ogfelez˝ oje az hA, Bi egyenest a Q ´es R pontokban metszi, akkor (ABQR) = = −1. Ez az el˝ oz˝ o p´elda k¨ ozvetlen k¨ovetkezm´enye a Papposz–Steiner-t´etelre hivatkozva. • Ha az euklideszi (vagy inverz´ıv) egyenesen az A ´es B (k¨ ul¨onb¨oz˝o) pontok egym´ as inverzei a {Q, R} pontp´arra (mint 0-dimenzi´os g¨ombre) vonatkoz´ oan, akkor (ABQR) = −1. Ez k¨ onnyen kisz´ amolhat´o 8.6.5.(2) alapj´an, de az el˝oz˝o p´eld´ab´ol is sz´armaztathat´ o a k¨ ovetkez˝ o m´odon. Tekints¨ uk a [Q, R] szakaszra mint ´atm´er˝ ore ´ all´ıtott k¨ ort az euklideszi s´ıkban, ez Apoll´oniosz-k¨or az A ´es B alappontokra n´ezve. Ez´ert ennek a k¨ornek egy tetsz˝oleges tov´abbi C pontj´ aval hC, Qi ´es hC, Ri az ABC h´aromsz¨og bels˝o ´es k¨ uls˝o sz¨ogfelez˝o egyenesei. 8.6.11. Defin´ıci´ o (Invol´ uci´ o). A P = P (W ) projekt´ıv t´er m´asodrend˝ u projektivit´ asait (teh´ at a P GL(W ) csoport m´asodrend˝ u elemeit) a t´er invol´ uci´ oinak nevezz¨ uk. Megjegyz´es. Az invol´ uci´ o sz´ot enn´el j´oval ´altal´anosabban is szok´as ´erteni : tulajdonk´eppen b´ armilyen matematikai strukt´ ura m´asodrend˝ u automorfizmusai invol´ uci´ ok. P´eld´ aul az affin geometri´aban az affin szimmetri´ak, az euklideszi geometri´ aban az ortogon´alis szimmetri´ak az invol´ uci´ok.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

258

Projekt´ıv geometria

8.6.12. Defin´ıci´ o (Harmonikus invol´ uci´ o). R¨ogz´ıts¨ uk a nem¨ ures S, T ⊂ ⊂ P projekt´ıv altereket u ´gy, hogy S ∩ T = ∅ ´es dim S + dim T = d − 1 teljes¨ ulj¨ on. Defini´ aljuk a h = hS,T : P → P lek´epez´est (az S ´es T ´altal meghat´ arozott harmonikus invol´ uci´ot) a k¨ovetkez˝ok´eppen. Legyen X ∈ P tetsz˝ oleges. Ha X ∈ S ∪ T , akkor legyen h(X) = X. Ha X ∈ / S ∪ T , akkor egy´ertelm˝ uen tal´ alhat´ ok olyan Q ∈ S ´es R ∈ T pontok, amelyekre X, Q ´es R kolline´ aris. (Val´ oban, a 8.1.5. dimenzi´oformula alkalmaz´as´aval ezek a pontok egy´ertelm˝ uen ad´ odnak a {Q} = S ∩ hT, Xi, {R} = T ∩ hS, Xi k´epletekb˝ol.) Legyen v´eg¨ ul h(X) az X harmonikus t´arsa a Q, R pontokra n´ezve. Nyilv´ anval´ o, hogy h bijekt´ıv lek´epez´es ´es h ◦ h = idP .

8.6.13. P´ elda. Ha d = 1, akkor S ´es T k´et k¨ ul¨onb¨oz˝o pont. Legyen F = R ´es legyen P egy euklideszi egyenes projekt´ıv lez´artja. Ha S ´es T egyike az ide´alis pont, akkor a hS,T lek´epez´es t¨ ukr¨oz´es a m´asik pontra, ha pedig mindkett˝o k¨ oz¨ ons´eges pont, akkor (a 8.6.10-beli negyedik p´elda alapj´an) hS,T az {S, T } p´ arra vonatkoz´ o inverzi´ o. ´ ıt´ 8.6.14. All´ as. A harmonikus invol´ uci´o projekt´ıv transzform´aci´o. Bizony´ıt´ as: Haszn´ aljuk a 8.6.12-beli jel¨ol´eseket. Legyen P = P (W ), U, V ≤ ≤ W , S = P (U ), T = P (V ). Ekkor a dimenzi´okra tett feltev´es ´es S ∩ T = ∅ miatt W = U + V direkt¨ osszeg-felbont´as. Legyen ϕ : W → W az a line´aris lek´epez´es, amelyre ϕ|U = idU ´es ϕ|V = −idV . Azt ´all´ıtjuk, hogy h = [ϕ]. Nyilv´ an a [ϕ] transzform´ aci´ o pontonk´ent fixen hagyja S-et ´es T -t, ´ıgy csak azt kell ellen˝ orizni, hogy b´ a rmely A ∈ S, B ∈ T , X ∈ hA, Bi, X 6= A, B
eset´en A B X [ϕ](X) = −1 teljes¨ ul. Legyen A = [a], B = [b], X = [x], ekkor alkalmas
α ´es β egy¨ utthat´okkal x = αa + βb ´es ϕ(x) = αa − βb. Ez´ert A B X [ϕ](X) = (β/α) : (−β/α) = −1. ´ ıt´ 8.6.15. All´ as. Ha az F alaptest algebrailag z´art, akkor b´armely projekt´ıv invol´ uci´ o harmonikus invol´ uci´o. Bizony´ıt´ as: Tegy¨ uk f¨ ol, hogy f : P (W ) → P (W ) projekt´ıv invol´ uci´o.√Ekkor f = [ϕ], ahol ϕ ∈ GL(W ) ´es ϕ2 = λ · idW alkalmas λ 6= 0-val. Jel¨olje λ a λ

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

´r szerkezete 8. A projekt´ıv te

259

√ egy n´egyzetgy¨ ok´et F-ben, ´es legyen ψ = (1/ λ) · ϕ, ekkor ψ ∈ GL(W ), f = = [ψ], ´es ψ 2 = idW . Miut´ an a ψ lek´epez´es a W vektort´er line´aris invol´ uci´oja, ψ-nek 1 ´es −1 a saj´ at´ert´ekei, ´es W felbomlik e k´et saj´at´ert´ekhez tartoz´o U ´es V saj´ atalt´er direkt ¨ osszeg´ere. Ekkor 8.6.14 bizony´ıt´as´ahoz hasonl´oan f = hS,T , ahol S = P (U ) ´es T = P (V ). ´ ıt´as bizony´ıt´as´aban F algebrai z´arts´ag´ab´ol Megjegyz´esek. (1) A 8.6.15. All´ csak annyit haszn´ altunk ki, hogy F-ben b´armely elemnek l´etezik n´egyzetgy¨oke. ´ ıt´ (2) A 8.6.15. All´ as nem ´erv´enyes ak´armilyen test f¨ol¨otti projekt´ıv geometriaban. P´eld´ ´ aul az euklideszi s´ık egy k¨oz¨ons´eges tart´opont´ u sug´arsor´an (mint a du´ alis projekt´ıv s´ık egy egyenes´en) a tart´opont k¨or¨ uli π/2 sz¨og˝ u forgat´ as olyan projekt´ıv invol´ uci´ ot defini´al (az u ´n. ortogon´alis invol´ uci´ot), amely nem harmonikus, hiszen nincsen fixpontja. Ugyancsak ortogon´alis invol´ uci´onak nevezz¨ uk az euklideszi s´ık ide´alis egyenes´en egy k¨oz¨ons´eges pont k¨or¨ uli der´eksz¨ og˝ u forgat´ assal ´ertelmezett projektivit´ast, ennek ugyan´ ugy nincsen fixpontja. A (kor´ abban tett) char F 6= 2 kik¨ot´es is l´enyeges, hiszen p´eld´aul a k´etelem˝ u test f¨ ol¨ otti projekt´ıv egyenes invol´ uci´oinak csak egyetlen fixpontja van. ´ 8.6.16. Defin´ıci´ o (Teljes n´ egyoldal, teljes n´ egysz¨ og). Altal´ anos helyzet˝ unek mondunk a projekt´ıv s´ıkon n´egy egyenest, ha nincs k¨ozt¨ uk h´arom, amely egy ponton halad ´ at. Azt mondjuk hogy a projekt´ıv s´ıkon n´egy ´altal´ anos helyzet˝ u egyenes teljes n´egyoldalt alkot. A n´egy egyenest a teljes n´egyoldal oldalainak nevezz¨ uk. A teljes n´egyoldalnak hat cs´ ucsa van : az oldalak p´ aronk´ent vett metsz´espontjai. K´et cs´ ucs ´atellenes, ha nincsenek egy oldalon; ´ıgy a hat cs´ ucs h´ arom ´atellenes p´arba sorol´odik. Az ´atellenes cs´ ucsp´ arok ¨ osszek¨ ot˝ o egyeneseit a teljes n´egyoldal ´atl´oegyeneseinek nevezz¨ uk, ez h´ arom darab egyenes. Ezek metsz´espontjait ´atl´os pontoknak nevezz¨ uk.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

260

Projekt´ıv geometria

Ezeknek a fogalmaknak a dualiz´al´as´aval rendre a teljes n´egysz¨oget ´es annak alkot´ oelemeit nyerj¨ uk: a projekt´ıv s´ıkon n´egy ´altal´anos helyzet˝ u (azaz h´ armank´ent nem kolline´ aris) pont alkot teljes n´egysz¨oget, ennek hat oldala h´ arom ´ atellenes p´ arba rendez˝odik, az ´atellenes oldalak metsz´espontjaik´ent ad´ odik a h´ arom ´ atl´ os pont, ezek ¨osszek¨ot˝o egyenesei az ´atl´os egyenesek. ´ ıt´ 8.6.17. All´ as (Fano t´ etele). B´armely teljes n´egyoldal h´arom ´atl´oegyenese nem egy ponton halad ´ at, azaz a teljes n´egyoldalnak h´arom k¨ ul¨onb¨oz˝o ´atl´os pontja van. Bizony´ıt´ as: Hagyjuk el az egyik ´atl´oegyenest ´es dolgozzunk a marad´ek affin s´ıkban. Itt a n´egy oldal k´et p´arhuzamos egyenesp´arr´a v´alik; bet˝ uzz¨ uk a (k¨ oz¨ ons´eges) metsz´espontjaikat u ´gy, hogy hA, Bi k hC, Di, ´es hB, Ci k hD, Ai −−→ −−→ legyen. Ekkor AB = DC miatt az 12 A + 12 C affin kombin´aci´o egyenl˝o az 21 B + 1 + 2 D affin kombin´ aci´ oval. Ez´ert ez a pont illeszkedik az hA, Ci ´atl´oegyenesre is ´es a hB, Di ´ atl´ oegyenesre is, teh´at a teljes n´egyoldal ´atl´os pontja. Miut´an az affin s´ık k¨ oz¨ ons´eges pontj´ ar´ol van sz´o, ez a pont nem illeszkedhet az ide´alis atl´ ´ oegyenesre. Megjegyz´esek. (1) A bizony´ıt´as (a felez˝opont konstrukci´oj´aval) l´enyegesen ´ ıt´asra a ennek a felt´etelnek az kihaszn´ alta, hogy char F 6= 2. A 8.6.17. All´ elenged´es´evel nevezetes ellenp´eld´at szolg´altat az u ´n. Fano-f´ele s´ık: a k´etelem˝ u test f¨ ol¨ otti projekt´ıv s´ık.

Itt a h´et egyenes k¨ oz¨ ul n´egy a´ltal´anos helyzet˝ ut kiv´alasztva a marad´ek h´arom egyenes sz¨ uks´egk´eppen egy ponton halad ´at, ´es ezek az egyenesek ´eppen a kiv´ alasztott teljes n´egyoldal ´atl´os egyenesei. (2) A dualit´ as elv´ere hivatkozva r¨ogt¨on k¨ovetkezik, hogy b´armely teljes n´egysz¨ og h´ arom ´ atl´ os pontja nem kolline´aris, azaz a teljes n´egysz¨ognek h´arom atl´ ´ os egyenese van. Az al´ abbi ´ all´ıt´ as azt mutatja, hogy bizonyos pontn´egyesek harmonikus volt´ ara m´ ar az illeszked´esi tulajdons´agokb´ol is k¨ovetkeztethet¨ unk. K´etf´ele bizony´ıt´ ast is adunk, mindkett˝ o a projekt´ıv s´ıkgeometria egy jellegzetes m´oszer´et haszn´ alja.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

´r szerkezete 8. A projekt´ıv te

261

´ ıt´ 8.6.18. All´ as (A teljes n´ egyoldal t´ etele). B´armely teljes n´egyoldal b´armelyik ´ atl´ oegyenes´en a k´et ´ atl´os pont egym´as harmonikus t´arsai a k´et cs´ ucsra n´ezve.

Els˝ o bizony´ıt´ as: Tegy¨ uk f¨ ol, hogy az A, B cs´ ucsok ´es a P, Q ´atl´os pontok illeszkednek egy ´ atl´ oegyenesre, azt akarjuk bel´atni, hogy (ABP Q) = −1. Legyen C, D a n´egyoldal tov´abbi k´et ´atellenes cs´ ucsa, E az hA, Ci egyenesen, F az hA, Di egyenesen l´ev˝o tov´abbi cs´ ucs, R pedig a harmadik ´atl´os pont. Vet´ıts¨ uk az hA, Bi egyenest el˝osz¨or a C pontb´ol mint k¨oz´eppontb´ol az hE, F i ´ atl´ oegyenesre, majd onnan a D pontb´ol mint k¨oz´eppontb´ol vissza az hA, Bi egyenesre. Ekkor a Papposz–Steiner-t´etel k´etszeri alkalmaz´as´aval (ABP Q) = (EF P R) = (BAP Q). Itt 8.6.7.(1) miatt (BAP Q) = 1/(ABP Q), teh´ at (ABP Q) olyan testelem, amely egyenl˝o a saj´at reciprok´aval. Mivel a kett˝ osviszony ´ert´eke 1 nem lehet, (ABP Q) = −1. M´ asodik bizony´ıt´ as: Ha egy teljes n´egyoldal egy kiszemelt ´atl´oegyenes´en k´ıv´ anjuk a harmonikus elv´ alaszt´ast bel´atni, akkor 8.6.17 bizony´ıt´as´ahoz hasonl´ oan hagyjuk el a m´ asik k´et ´ atl´oegyenes egyik´et a projekt´ıv s´ıkb´ol. A marad´ek affin s´ıkban a kiszemelt ´ atl´ oegyenesen 8.6.17 bizony´ıt´asa szerint a k¨oz¨ons´eges ´ atl´ os pont a k´et cs´ ucs k¨ oz¨otti felez˝opont. A 8.6.10-beli els˝o p´elda szerint ennek a pontnak az ide´ alis ´ atl´os pont a harmonikus t´arsa. Megjegyz´es. A bizony´ıt´ asok dualiz´al´as´aval l´athat´o, hogy ´erv´enyes a teljes n´egysz¨ og t´etele is: b´ armely teljes n´egysz¨og b´armelyik ´atl´os pontj´ahoz mint tart´ oponthoz tartoz´ o sug´ arsorban a k´et ´atl´os egyenes egym´as harmonikus t´ arsai a k´et oldalegyenesre n´ezve. Ez az ´eszrev´etel tulajdonk´eppen azt jelenti, hogy a pontn´egyesek, illetve a sug´arn´egyesek harmonikus viszonya egym´as du´ alisai.

8.7. A projekt´ıv egyenes geometri´ aja Olyan projekt´ıv transzform´ aci´okat vizsg´alunk, amelyek egy egyenest k´epeznek ¨ onmag´ ara, illetve amelyek valamely projekt´ıv s´ık egy egyenes´et k´epezik ugyanannak a s´ıknak egy m´ asik egyenes´ere.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

262

Projekt´ıv geometria

8.7.1. o (To aris fu eny). V´alasszunk egy tetsz˝oleges A = ¨rtline´ ¨ ggv´  Defin´  ıci´ a b = ∈ GL(2, F) invert´alhat´o 2 × 2-es m´atrixot. Az A ´altal l´etes´ıtett c d t¨ ortline´ aris f¨ uggv´enynek nevezz¨ uk azt az f : F → F lek´epez´est, melyre x ∈ F eset´en  d ax + b   , ha c = 0 vagy x 6= − , cx + d c f (x) = d  ∞ , ha c 6= 0, x = − , c valamint (a , ha c 6= 0 , f (∞) = c ∞ , ha c = 0 . Megjegyz´es. A ∞-nel v´egzett m˝ uveletekre vonatkoz´o ´ertelemszer˝ u meg´allapod´ asokkal (pl. 1/0 = ∞, 1/∞ = 0, ∞ + 1 = ∞, ∞/∞ = 1) az f (x) = (ax + + b)/(cx + d) formula az ¨ osszes esetet fel¨oleli. Ha F = R vagy C, akkor a ∞-t˝ ol k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o pontok k¨ or´eben ´ertelmezett x 7→ (ax + b)/(cx + d) f¨ uggv´eny egy´ertelm˝ uen terjeszthet˝ o ki folytonos F → F lek´epez´ess´e, m´egpedig ´eppen a 8.7.1-ben le´ırt m´ odon. 8.7.2. T´ etel. A 8.4.3-beli F = P (F2 ) azonos´ıt´as mellett b´armely A ∈ ∈ GL(2, F) m´ atrix ´ altal l´etes´ıtett t¨ortline´aris f¨ uggv´eny azonos az [A] projekt´ıv transzform´ aci´ oval.   a b Bizony´ıt´ as: Legyen A = . Az egyenes pontjai eset´eben az x = [x1 : c d : x2 ] azonos´ıt´ as azt jelenti, hogy x2 6= 0 eset´en x = [x : 1] = x1 /x2 , illetve x2 = 0 eset´en x = [1 : 0] = ∞. Ekkor a fenti megjegyz´esben eml´ıtett egyszer˝ us´ıt´esekkel ´elve      ax + b ax1 + bx2 a b x1 ax1 + bx2 = . = = c d x2 cx1 + dx2 cx1 + dx2 cx + d 8.7.3. K¨ ovetkezm´ eny. A t¨ortline´aris f¨ uggv´enyek a kompoz´ıci´o m˝ uvelet´ere n´ezve csoportot alkotnak, amely az F = P (F2 ) azonos´ıt´as k¨ovetkezt´eben ´eppen a P GL(2, F) projekt´ıv csoporttal azonos. A 8.7.3. K¨ ovetkezm´eny lehet˝ ov´e teszi, hogy a val´os, illetve a komplex esetben az egyenes projekt´ıv geometri´aj´at kapcsolatba hozzuk az euklideszi egyenes, illetve s´ık M¨ obius-transzform´aci´oival ´es inverz´ıv geometri´aj´aval. Ezekben az esetekben a projekt´ıv lez´ ar´ as azonos az inverz´ıv b˝ov´ıt´essel: R = R ∪ {∞} = = R+ ´es C = C ∪ {∞} = R2 ∪ {∞} = (R2 )+ .

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

´r szerkezete 8. A projekt´ıv te

263

Az al´ abbi meg´ allap´ıt´ asok szerint a val´os egyenes projekt´ıv geometri´aja azonosnak tekinthet˝ o az egydimenzi´os inverz´ıv geometri´aval, a komplex egyenes projekt´ıv geometri´ aja pedig a k´etdimenzi´os ir´any´ıt´astart´o inverz´ıv geometriaval, a kett˝ ´ o k¨ ozti kapcsolatot pedig a Poincar´e-kiterjeszt´es (l. 5.3.9) adja. 8.7.4. T´ etel (1) P GL(2, R) = M(R). (2) P GL(2, C) = M+ (R2 ). (3) Ha f ∈ P GL(2, R) ir´any´ıt´astart´o M¨obius-transzform´aci´o, akkor az f C ∈ P GL(2, C) komplexifik´alt transzform´aci´o a pC e-kiterR (f ) Poincar´ jeszt´essel azonos. Ha f ir´any´ıt´asv´alt´o, akkor f C a pC (f ) ´ e s a komplex R konjug´ al´ as kompoz´ıci´ oja. (4) Legyen [A] ∈ P GL(2, R) tetsz˝oleges. Ekkor [A] mint M¨obius-transzform´ aci´ o pontosan akkor ir´any´ıt´astart´o, ha det A > 0. Bizony´ıt´ as: (1) ´es (2): A ⊆ tartalmaz´ashoz el´eg ´eszrevenni, hogy b´armely t¨ ortline´ aris f¨ uggv´eny el˝ o´ all x 7→ x + a, x 7→ bx ´es x 7→ 1/x alak´ u lek´epez´esek kompoz´ıci´ ojak´ent, amelyek mindegyike a megfelel˝o M¨obius-csoportban van. A projekt´ıv csoport teh´ at mindk´et esetben r´eszcsoportja a megfelel˝o M¨obiuscsoportnak, emellett a projekt´ıv csoport tranzit´ıvan hat a projekt´ıv egyenesen. A ∞ elem stabiliz´ atora az egyenes affin csoportja, amely a val´os esetben az euklideszi egyenes hasonl´os´agaib´ol, a komplex esetben az euklideszi s´ık ir´ any´ıt´ astart´ o hasonl´ os´ agaib´ ol ´all. Emiatt a ford´ıtott ir´any´ u tartalmaz´as az al´ abbi 8.7.5. Lemm´ ab´ ol k¨ ovetkezik. (3): Mind f C , mind pC obius-transzform´aci´o a C+ inverz´ıv s´ıkon, toR (f ) M¨ v´ abb´ a a k´et lek´epez´es egybeesik az R+ egyenesen. Ez´ert az 5.3.8. egy´ertelm˝ us´egi lemma miatt legfeljebb a komplex konjug´al´asban t´erhetnek el egym´ast´ol. Azt, hogy azonosak-e vagy sem, a Poincar´e-kiterjeszt´es ir´any´ıt´astart´o, illetve -v´ alt´ o mivolta d¨ onti el: ha ir´any´ıt´asv´alt´o, akkor kell kompon´alni a komplex konjug´ al´ assal. A pC es pedig pontosan akkor ir´any´ıt´asv´alt´o a C+ R (f ) kiterjeszt´ + s´ıkon, ha f ir´ any´ıt´ asv´ alt´ o az R egyenesen. (4): Elegend˝ o azt ellen˝ orizni, hogy a P GL(2, R) = M(R)-beli t¨ ukr¨oz´eseket ´es inverzi´ okat negat´ıv determin´ans´ u m´atrixok reprezent´alj´ak. Miut´an a M¨ obius-csoportban az ¨ osszes t¨ ukr¨oz´es ´es inverzi´o konjug´alt, ezt el´eg egyetlen t¨ ukr¨ oz´es, p´eld´ aul a 0-ra vonatkoz´ ukr¨oz´es eset´eben l´atni. Ennek  o x 7→ −x t¨ −1 0 a t¨ ukr¨ oz´esnek a m´ atrixa , amelynek a determin´ansa val´oban nega0 1 t´ıv.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

Projekt´ıv geometria

264

8.7.5. Lemma. Tegy¨ uk fel, hogy a G csoport hat az X halmazon, ´es H ≤ ≤ G olyan r´eszcsoport, hogy a hat´as H-ra t¨ort´en˝o lesz˝ uk´ıt´ese tranzit´ıv X-en, tov´ abb´ a valamely x ∈ X-re Hx = Gx . Ekkor H = G. Bizony´ıt´ as: Legyen g ∈ G tetsz˝oleges. A H csoport tranzitivit´asa miatt l´etezik olyan h ∈ H, amelyre h(gx) = x. Ekkor hg ∈ Gx = Hx ≤ H, ´ıgy g ∈ H. Megjegyz´es. 8.7.4 szerint teh´at a C Riemann-sz´amg¨omb projekt´ıv transzform´ aci´ oi k¨ ortart´ o lek´epez´esek. Az R val´os tengelyt ezek a lek´epez´esek a g¨omb¨on fekv˝ o k¨ or¨ okbe k´epezik, ez´ert a 8.3.12. T´etelre hivatkozva l´atjuk, hogy ezek a k¨ or¨ ok pontosan a komplex projekt´ıv egyenes val´os r´eszegyenesei. Ez´altal a s´ıkbeli inverzi´ okra vonatkoz´oan is u ´j interpret´aci´ot nyert¨ unk: az inverz´ıv s´ıkon a tengelyes t¨ ukr¨ oz´esek ´es az inverzi´ok pontosan a val´os r´eszegyenesekre vonatkoz´ o komplex konjug´ al´ asok. 8.7.6. Defin´ıci´ o (Elliptikus, parabolikus, hiperbolikus projektivit´ as). Legyen P projekt´ıv egyenes ´es f : P → P projekt´ıv transzform´aci´o. Azt mondjuk, hogy az f projektivit´as elliptikus, parabolikus, illetve hiperbolikus, ha f -nek 0, 1, illetve 2 fixpontja van P -ben. Miut´ an az egyenesen h´ arom k¨ ul¨onb¨oz˝o pont projekt´ıv b´azist alkot, a 8.3.8. T´etel alapj´ an az egyenes b´ armely nem-identikus projektivit´as´anak legfeljebb 2 fixpontja lehet, ez´ert az vagy elliptikus, vagy parabolikus, vagy hiperbolikus. 8.7.7. P´ eld´ ak • Legyen r az E euklideszi s´ıknak egy k¨oz¨ons´eges pont k¨or¨ uli (nem π eg´esz sz´ am´ u t¨ obbsz¨ or¨ os´evel t¨ort´en˝o) forgat´asa. A k¨oz´eppontra mint tart´ opontra illesztett sug´ arsoron r elliptikus projektivit´ast induk´al. Ha az r : E → E projekt´ıv kiterjeszt´est megszor´ıtjuk a ∞E ide´alis egyenesre, ezzel elliptikus projektivit´ast kapunk a ∞E val´os projekt´ıv egyenesen. Ezeknek a konstrukci´ oknak a speci´alis esetei a 8.6.15-¨ot k¨ovet˝o m´asodik megjegyz´esben eml´ıtett ortogon´alis invol´ uci´ok. • Legyen t valamely X affin egyenes (nemtrivi´alis) eltol´asa. Ekkor a t : : X → X projekt´ıv kiterjeszt´es parabolikus projektivit´as, hiszen ∞X az egyetlen fixpontja. Megford´ıtva, ha F jel¨oli a P projekt´ıv egyenes tetsz˝ oleges parabolikus projektivit´as´anak a fixpontj´at, akkor ennek a projektivit´ asnak a P − {F } affin egyenesre t¨ort´en˝o lesz˝ uk´ıt´ese sz¨ uks´egk´eppen eltol´ as, hiszen az egyenes affinit´asai k¨oz¨ott csak az eltol´asoknak nincs fixpontja. • Ha h tetsz˝ oleges (1-t˝ ol k¨ ul¨onb¨oz˝o ar´any´ u) homot´ecia az X affin egyenesen, akkor a h : X → X projekt´ıv kiterjeszt´es hiperbolikus projektivit´ as. Megford´ıtva, ha F a P projekt´ıv egyenes valamely hiperbolikus

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

´r szerkezete 8. A projekt´ıv te

265

projektivit´ as´ anak az egyik fixpontja, akkor ennek a projektivit´asnak a P −{F } affin egyenesre t¨ort´en˝o lesz˝ uk´ıt´ese homot´ecia, hiszen az egyenes fixponttal b´ır´ o affinit´ asai homot´eci´ak. Megjegyz´es. Egyes szakirodalmi forr´asok r´egebbi kelet˝ u terminol´ogi´at k¨ovetve a komplex projekt´ıv egyenes k´et fixponttal b´ır´o projekt´ıv transzform´aci´oit nem hiperbolikus, hanem loxodromikus transzform´aci´oknak nevezik. Ennek az a magyar´ azata, hogy ha egy ilyen transzform´aci´o fixpontjai a Riemannsz´ amg¨ omb k´et ´ atellenes pontja, akkor a transzform´aci´ot iter´alva a pontok k´epei tipikus esetben egy g¨ ombi spir´alis, u ´n. loxodr´oma ment´en sorakoznak. A loxodr´ om´ ak t¨ ort´eneti jelent˝os´eg´et az adta, hogy ezek a g¨omb f¨oldrajzi koordin´ atavonalait ´ alland´ o sz¨ ogben metsz˝o g¨orb´ek, ez´ert a tengerhaj´oz´as sz´am´ara fontos ´es k¨ onnyen navig´ alhat´o u ´tvonalak. ´ ıt´ 8.7.8. All´ as. Tegy¨ uk fel, hogy F = R ´es legyen f = [A] a P (R2 ) val´os projekt´ıv egyenes nem-identikus projektivit´asa, ahol A ∈ GL(2, R). Ekkor f pontosan aszerint elliptikus, parabolikus, illetve hiperbolikus, hogy 2  2  2  tr A tr A tr A < det A , = det A , illetve > det A . 2 2 2 Bizony´ıt´ as: A fixpontok sz´ ama a line´arisan f¨ uggetlen saj´atvektorok sz´am´aval, az pedig a karakterisztikus polinom gy¨okeinek a sz´am´aval egyenl˝o. A karakterisztikus polinom λ2 − (tr A)λ + (det A), ez´ert a gy¨ok¨ok sz´ama aszerint 0, 1, vagy 2, hogy a (tr A)2 − 4(det A) diszkrimin´ans negat´ıv, z´erus, illetve pozit´ıv. 8.7.9. P´ elda. Az elliptikus, parabolikus, illetve hiperbolikus elnevez´eseket az al´ abbi ´eszrev´etelek indokolj´ ak. Jel¨olje t ∈ R-re A(t), B(t) ´es C(t) a k¨ovetkez˝o 2 × 2 -es m´ atrixokat:       cos t − sin t 1 0 ch t sh t A(t) = , B(t) = , C(t) = . sin t cos t t 1 sh t ch t R¨ ogt¨ on l´ athat´ o, hogy t ∈ / Zπ-re A(t) elliptikus, t 6= 0-ra B(t) parabolikus, C(t) hiperbolikus projektivit´ast l´etes´ıt a P1 = P (R2 ) val´os projekt´ıv egyenesen. Azt sem neh´ez meggondolni, hogy az egyenes b´armely ir´any´ıt´astart´o (azaz pozit´ıv determin´ ans´ u line´aris transzform´aci´o ´altal induk´alt) projektivit´ asa alkalmas b´ azist v´ alasztva e h´arom m´atrix valamelyik´evel adhat´o meg. A t 7→ A(t), B(t), C(t) hozz´arendel´esek folytonos homomorfizmusok az R addit´ıv csoportb´ ol GL(2, R)-be ´es ´ıgy az R csoportnak egy-egy folytonos ´es projekt´ıv hat´ as´ at defini´ alj´ ak a val´os projekt´ıv egyenesen. Ezeknek a hat´ asoknak a meg´ert´es´ehez seg´ıts´eget ad a transzform´aci´ok komplexifik´ altja. Tekints¨ uk ugyanezeket a m´atrixokat GL(2, C) elemeinek, ´es vizs-

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

266

Projekt´ıv geometria

g´ aljuk a komplex projekt´ıv egyenesen ´altaluk l´etes´ıtett projekt´ıv transzform´ aci´ okat (azaz 8.7.4.(2) szerint M¨obius-transzform´aci´okat), illetve a fenti Rhat´ as C-beli orbitjait.

A t 7→ [A(t)] hat´ as orbitjai az i ´es −i alappontokhoz tartoz´o (Apoll´onioszf´ele) elliptikus k¨ orsor tagjai. Err˝ol a k¨ovetkez˝ok´eppen gy˝oz˝odhet¨ unk meg. Az A(t) m´ atrixnak C f¨ ol¨ ott (i,1) ´es (1, i) saj´atvektorai, ez´ert A(t)-t (a t param´etert˝ ol f¨ uggetlen¨ ul) C f¨ ol¨ ott azzal a transzform´aci´oval diagonaliz´alhatjuk, amely az i = [i : 1] ´es −i = [1 : i] pontokat a 0 ´es ∞ pontokba viszi.  it e 0 A diagonaliz´ alt hat´ as (m´ atrixalakban az , t¨ortline´aris alakban az 0 e−it x 7→ e2it x transzform´ aci´ ok) orbitjai a 0 k¨or¨ uli koncentrikus k¨orsort alkotj´ak. A diagonaliz´ al´ o M¨ obius-transzform´aci´o inverze ezt a koncentrikus k¨orsort a fenti elliptikus k¨ orsorba k´epezi. A t 7→ [B(t)] hat´ as orbitjai a val´os tengelyt 0-ban ´erint˝o parabolikus k¨orsort alkotj´ ak olyan m´ odon, hogy a k¨orsor tart´opontja egyelem˝ u orbit, a t¨obbi orbit pedig a k¨ orsor tagjai ett˝ol a pontjukt´ol megfosztva. Magyar´azat: a C2 beli k´et b´ azisvektor felcser´  el´ese (azaz az x 7→ 1/x M¨obius-transzform´aci´o) a 1 t [B(t)] transzform´ aci´ ot -be (illetve t¨ortline´aris alakban az x 7→ x + t 0 1 lek´epez´esbe) konjug´ alja, amelynek az orbitjai a val´os tengellyel p´arhuzamos sug´ arsort alkotj´ ak (a {∞} egyelem˝ u orbittal egy¨ utt). Ennek a k´epe az x 7→ 1/x lek´epez´esn´el a fenti parabolikus k¨orsor. A t 7→ [C(t)] hat´ as orbitjai az 1 ´es −1 tart´opont´ u hiperbolikus k¨orsort alkotj´ ak olyan m´ odon, hogy a k¨ orsor tart´opontjai egyelem˝ u orbitok, a t¨obbi orbit pedig a k¨ orsor tagjainak e pontok k¨oz¨otti ´ıvei. Magyar´azat: a C(t) m´atrix saj´ atvektorai a (1,1) ´es (−1,1) vektorok, ez´ert C(t)-t (m´ar R f¨ol¨ott) az a transzform´ aci´ o diagonaliz´ alja, amely az 1 = [1 : 1] ´es −1 = [−1 : 1] ponet 0 tokat viszi 0-ba ´es ∞-be; a diagon´alis alak , amelynek az orbitjai 0 e−t {0} ´es {∞}, valamint a 0 tart´opont´ u sug´arsor ny´ılt f´elegyenesei. Ennek a sug´ arsornak a k´epe a diagonaliz´al´o lek´epez´es inverz´en´el a fenti hiperbolikus k¨ orsor.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

´r szerkezete 8. A projekt´ıv te

267

´ Megjegyz´es. Altal´ aban valamilyen geometriai t´eren egyparam´eteres transzform´ aci´ ocsoportnak szok´ as nevezni az R addit´ıv csoport olyan folytonos hat´as´at, amely a t´erre jellemz˝ o transzform´aci´okb´ol ´all. P´eld´aul az euklideszi s´ıkgeometri´ aban egyparam´eteres transzform´aci´ocsoportot alkotnak valamely r¨ogz´ıtett pont k¨ or¨ uli forgat´ asok (ha a forg´assz¨oggel ar´anyos param´eterrel param´eterezz¨ uk ˝ oket), illetve valamely r¨ogz´ıtett egyenes´all´assal p´arhuzamos eltol´asok (ha az eltol´ asi t´ avols´ aggal ar´anyos param´eterrel param´eterezz¨ uk ˝oket). K¨ onny˝ u megmutatni, hogy ezeken k´ıv¨ ul nincs m´as egyparam´eteres transzform´ aci´ ocsoport az euklideszi s´ıkon. Az egyparam´eteres transzform´aci´ocsoportok orbitjai a vizsg´ alt geometri´aban kit¨ untetett szerepet j´atsz´o g¨orb´ek. Az euklideszi s´ık eset´eben ezek (az elfajul´o” egypont´ u orbitokt´ol eltekintve) ” pontosan a k¨ or¨ ok ´es az egyenesek. A 8.7.9. P´eld´aban a val´os projekt´ıv egyenes egyparam´eteres transzform´ aci´ocsoportjait ´ırtuk le. Ezeknek a C-beli orbitjai olyan g¨ orb´ek, amelyek fontoss´ag´at majd a hiperbolikus geometri´aban is l´atni fogjuk. A k¨ ovetkez˝ o t´etel a projekt´ıv egyenes invol´ uci´oit (azaz m´asodrend˝ u projektivit´ asait) ´ırja le. Miut´ an a kett˝osviszony ´es a harmonikus pontn´egyesek szerepet j´ atszanak a bizony´ıt´ asban, feltessz¨ uk, hogy az alaptest karakterisztik´aja k¨ ul¨ onb¨ ozik 2-t˝ ol. 8.7.10. T´ etel. Tegy¨ uk fel, hogy char F 6= 2 ´es legyen P projekt´ıv egyenes F f¨ ol¨ ott. Ekkor: (1) Ha P valamely projektivit´asa egy pontp´art felcser´el, akkor invol´ uci´o. Azaz, ha f : P → P projekt´ıv transzform´aci´o ´es l´etezik olyan A, B ∈ ∈ P , A 6= B, melyekre f (A) = B ´es f (B) = A, akkor f ◦ f = idP . (2) P b´ armely invol´ uci´ oja vagy elliptikus, vagy hiperbolikus, azaz nem lehet pontosan egy fixpontja. (3) P hiperbolikus invol´ uci´oi pontosan a harmonikus invol´ uci´ok P -ben. (4) A P egyenes b´ armely invol´ uci´oj´at k´et pontp´ar egy´ertelm˝ uen meghat´arozza, ´es ez a k´et pontp´ar tetsz˝olegesen el˝o´ırhat´o. Azaz, ha A, A0 , B, B 0 ∈ P ´es {A, A0 }∩{B, B 0 } = ∅, akkor l´etezik egyetlen olyan f : P → P invol´ uci´ o, amelyn´el f (A) = A0 ´es f (B) = B 0 . (Megjegyezz¨ uk, hogy itt nem kell feltenni, hogy A 6= A0 vagy B 6= B 0 .) (5) Az egyenes projektivit´asai csoportj´aban az invol´ uci´ok gener´atorrendszert alkotnak. (6) Ha F = R ´es A, B, C, D a val´os projekt´ıv egyenes n´egy k¨ ul¨onb¨oz˝o pontja, akkor az A-t B-vel ´es C-t D-vel felcser´el˝o (´es (4) alapj´an egy´ertelm˝ uen l´etez˝ o) invol´ uci´o elliptikus, ha (ABCD) < 0, ´es hiperbolikus, ha (ABCD) > 0.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

268

Projekt´ıv geometria

(7) Ha F = R ´es P egy euklideszi egyenes projekt´ıv lez´ar´asa, akkor P -n a harmonikus invol´ uci´ ok azonosak a pontp´arokra vonatkoz´o inverzi´okkal (illetve t¨ ukr¨ oz´esekkel, ha a p´ar egyik tagja ∞.)
Bizony´ıt´ as: (1): Legyen C ∈ P −{A, B} tetsz˝oleges, bel´atjuk, hogy f f (C) = = C. Feltehetj¨ uk, hogy D = f (C) 6= C. Ekkor A, B, C ´es D n´egy k¨ ul¨onb¨oz˝o pont ´es tekinthetj¨ uk a kett˝ osviszonyukat. A 8.6.2. T´etelt ´es 8.6.7.(1)-et alkalmazva


(ABCD) = f (A) f (B) f (C) f (D) = B A D f (D) = A B f (D) D , ahonnan C = f (D) k¨ ovetkezik. (2): A 8.7.7-beli m´ asodik p´elda szerint a parabolikus transzform´aci´ok pontosan az affin egyenes nemtrivi´alis eltol´asai. M´arpedig char F 6= 2 eset´en az affin egyenesen nincsen m´ asodrend˝ u eltol´as, hiszen affin koordin´at´az´as mellett egy m´ asodrend˝ u eltol´ as csakis olyan z´erust´ol k¨ ul¨onb¨oz˝o x ∈ F elemmel t¨ ort´enhetne, amelyre 2x = 0). (3): Ha S ´es T az f invol´ uci´ o k´et k¨ ul¨onb¨oz˝o fixpontja, akkor b´armely

tov´abbi X ∈ P pontra 8.6.2 miatt λ = S T X f (X) = S T f (X) X , ahonnan λ = 1/λ, azaz λ = −1. Ez´ert f = hS,T harmonikus invol´ uci´o. (4): Ha A = A0 ´es B = B 0 , akkor (3) alapj´an ez a k´et fixpont f -et egy´ertelm˝ uen meghat´ arozza. Ha a k´et pontp´ar k¨oz¨ ul legal´abb az egyik nem egybees˝o, p´eld´ aul B 6= B 0 , akkor A, B, B 0 ´es A0 , B 0 , B projekt´ıv b´azisok. Ez´ert egy´ertelm˝ uen l´etezik olyan f : P → P projekt´ıv transzform´aci´o, amelyre f (A) = A0 , f (B) = B 0 ´es f (B 0 ) = B. Ez az f felcser´eli B-t B 0 -vel, ez´ert az (1) ´all´ıt´as miatt invol´ uci´ o, ´es ´ıgy f (A0 ) = A is teljes¨ ul. (5): Megmutatjuk, hogy b´ armely f : P → P projekt´ıv transzform´aci´o el˝o´all legfeljebb k´et invol´ uci´ o szorzatak´ent. Legyen f adva az A, B, C projekt´ıv b´ azissal ´es az A0 , B 0 , C 0 k´eppontokkal. Feltehetj¨ uk, hogy sem A, sem B nem fixpontja f -nek, ugyanis P legal´abb n´egyelem˝ u, ´ıgy A ´es B kiv´alaszt´as´an´al elker¨ ulhetj¨ uk f esetleges fixpontjait. Ez´ert az A ´es B 0 pontok egyike sem esik egybe a B ´es A0 pontok egyik´evel sem. Tekinthetj¨ uk teh´at a (4) ´all´ıt´as alapj´an azt az i : P → P invol´ uci´ ot, amely A-t B 0 -vel ´es B-t A0 -vel cser´eli f¨ol. Legyen D = i(C), ekkor A0 ´es B 0 egyike sem esik egybe D ´es C 0 egyik´evel sem, ez´ert ism´et a (4) ´ all´ıt´ ast alkalmazva vehetj¨ uk azt a j : P → P invol´ uci´ot, amely A0 -t B 0 -vel ´es D-t C 0 -vel cser´eli f¨ol. Nyilv´an f = j ◦ i. (6): Vigy¨ uk ´ at az A, B, C, D pontokat a 8.6.1-beli fABC : P → R projekt´ıv transzform´ aci´ oval rendre a ∞, 0, 1, t elemekbe, ahol t = (ABCD). El´eg −1 bel´ atni, hogy a k´erd´eses i : P → P invol´ uci´o helyett a j = fABC ◦ i ◦ fABC : : R → R invol´ uci´ o elliptikus, ha t < 0 ´es hiperbolikus, ha t > 0. Legyen t¨ ortline´ aris alakban j(x) = (ax + b)/(cx + d) ; itt j(0) = ∞ miatt d = 0, valamint j(∞) = 0 miatt a = 0, tov´abb´a j(1) = t miatt t = b/c. A j lek´epez´es

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

´r szerkezete 8. A projekt´ıv te

269

k´eplete teh´ at x 7→ t/x. Egy ilyen lek´epez´ √esnek nincs val´os fixpontja, ha t < 0, ´es k´et val´ os fixpontja van (m´egpedig ± t), ha t > 0. (7): Azonnal ad´ odik (3), (4) ´es 8.7.4.(1) ¨osszevet´es´eb˝ol. Megjegyz´esek. (1) Meggondolhat´o, hogy az (1)–(4) ´all´ıt´asok egyike sem marad igaz a char F 6= 2 felt´etel elejt´es´evel. A k´etelem˝ u test f¨ol¨otti egyenes projektivit´ asai k¨ oz¨ ul p´eld´ aul pontosan az invol´ uci´ok parabolikusak. R´ at´er¨ unk olyan projekt´ıv transzform´aci´ok vizsg´alat´ara, amelyek egy s´ık k´et k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o egyenese k¨ oz¨ ott vannak ´ertelmezve. A szakasz h´atralev˝o r´esz´eben legyen teh´ at P projekt´ıv s´ık, legyenek L, L0 ⊂ P egyenesek, L 6= L0 , ´es {M } = L ∩ L0 . Ha f : L → L0 projekt´ıv transzform´aci´o, akkor X ∈ L-re X 0 ∈ L0 jel¨ olje az f (X) pontot. ´ ıt´ 8.7.11. All´ as. f pontosan akkor perspektivit´as, ha M 0 = M . Bizony´ıt´ as: Perspektivit´ asn´ al nyilv´anval´oan M 0 = M , ez´ert csak a ford´ıtott ir´ any´ u´ all´ıt´ ast kell bebizony´ıtani. Tegy¨ uk teh´at f¨ol, hogy M 0 = M . V´alasszunk az L egyenesen k´et egym´ ast´ ol ´es M -t˝ol is k¨ ul¨onb¨oz˝o pontot, A-t ´es B-t. Ekkor hA, A0 i ´es hB, B 0 i k´et k¨ ul¨ onb¨oz˝o egyenes; legyen C a metsz´espontjuk, nyilv´an C nem illeszkedik sem L-re, sem L0 -re. A C k¨oz´eppont´ u perspektivit´asn´al az A, B, M projekt´ıv b´ azis az A0 , B 0 , M 0 pontokba ker¨ ul, ´ıgy a 8.3.8. T´etelbeli unicit´ asi tulajdons´ ag miatt f azonos ezzel a perspektivit´assal. 8.7.12. T´ etel. Legyen f : L → L0 tetsz˝oleges projektivit´as. Ekkor az hX, Y 0 i∩ 0 ∩ hX , Y i metsz´espontk´ent el˝o´all´o pontok halmaza, ahol X, Y ∈ L, X 6= Y , egyenes. Bizony´ıt´ as: R¨ ogz´ıts¨ unk h´ arom k¨ ul¨onb¨oz˝o pontot, A-t, B-t ´es C-t az L egyenesen u ´gy, hogy az A, B, C, A0 , B 0 , C 0 pontok mind k¨ ul¨onb¨ozzenek az M metsz´espontt´ ol. Alkalmazzuk Papposz t´etel´et erre a k´et ponth´armasra. Jel¨olj¨ uk T -vel a Papposz-f´ele egyenest, azaz T = hB ∗ , C ∗ i, ahol B ∗ = hA, B 0 i∩hA0 , Bi ´es C ∗ = hA, C 0 i ∩ hA0 , Ci. Legyen tov´abb´a A∗ = T ∩ hA, A0 i.

Vegy¨ uk ´eszre, hogy az f lek´epez´es el˝o´all k´et centr´alis vet´ıt´es kompoz´ıci´ojak´ent. Vet´ıts¨ uk el˝ osz¨ or az L egyenest T -re az A0 k¨oz´eppontb´ol, majd T -t L0 -re

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

270

Projekt´ıv geometria

az A k¨ oz´eppontb´ ol. A vet´ıt´esek A-t, B-t ´es C-t el˝osz¨or az A∗ , B ∗ , C ∗ ∈ T pontokba, majd rendre A0 -be, B 0 -be, illetve C 0 -be viszik. Ez´ert a 8.3.8. T´etelbeli unicit´ asra hivatkozva a kompoz´ıci´o f -fel egyenl˝o. Tekints¨ uk most az L egyenes k´et tetsz˝oleges, A-t´ol ´es egym´ast´ol is k¨ ul¨onb¨oz˝o X ´es Y pontj´ at. Alkalmazzuk ism´et Papposz t´etel´et most az A, X, Y ´es az A0 , X 0 , Y 0 ponth´ armasra. A Papposz-t´etelbeli h´arom metsz´espont k¨oz¨ ul kett˝o (m´egpedig hA, X 0 i ∩ hA0 , Xi ´es hA, Y 0 i ∩ hA0 , Y i) az el˝obbi ´eszrev´etel miatt a T egyenesre illeszkedik, ez´ert a harmadik, hX, Y 0 i ∩ hX 0 , Y i is illeszkedik r´a. Ezzel bel´ attuk, hogy az ¨ osszes hX, Y 0 i ∩ hX 0 , Y i alak´ u metsz´espont egy egyenesre, m´egpedig a fent el˝ o´ all´ıtott T -re illeszkedik. Megford´ıtva, T b´armely pontja a fenti konstrukci´ oban el˝o´all X ∗ -k´ent alkalmas X ∈ L mellett, ez´ert ∗ ∗ ∗ ha X 6= A , akkor X = hA, X 0 i ∩ hX, A0 i. V´eg¨ ul A∗ is el˝o´all´ıthat´o ilyen m´ odon, ha a konstrukci´ oban p´eld´aul A ´es B szerep´et f¨olcser´elj¨ uk. 8.7.13. Defin´ıci´ o (Steiner-tengely). A 8.7.12. T´etelbeli egyenest az f projekt´ıv transzform´ aci´ o Steiner-tengely´enek nevezz¨ uk. Az al´ abbi ´eszrev´etel r¨ ogt¨ on ad´odik a Steiner-tengely defin´ıci´oj´ab´ol. ´ ıt´ 8.7.14. All´ as. A Steiner-tengely az L egyenest az f −1 (M ) pontban, L0 -t az f (M ) pontban metszi. Akkor ´es csak akkor halad ´at M -en, ha f perspektivit´ as. A 8.7.12. T´etel bizony´ıt´ as´ aban l´enyeges szerepet j´atszott, hogy a k´et egyenes k¨ oz¨ ott adott projekt´ıv transzform´aci´ot el˝o tudtuk ´all´ıtani k´et perspektivit´ as egym´ asut´ anjak´ent olyan m´odon, hogy el˝osz¨or az els˝o egyenest a Steinertengelyre, majd a Steiner-tengelyt a m´asodik egyenesre vet´ıtett¨ uk. Ezt az ´eszrev´etelt ´erdemes k¨ ul¨ on ´ all´ıt´ask´ent is r¨ogz´ıteni. 8.7.15. K¨ ovetkezm´ eny. B´ armely f : L → L0 projektivit´as el˝o´all legfeljebb k´et perspektivit´ as egym´ asut´ anjak´ent. Ha adott f Steiner-tengelye, T , valamint egy A ∈ L pont az A0 = f (A) k´ep´evel, melyekre A, A0 ∈ / T , akkor f azonos az A0 , illetve A k¨ oz´eppont´ u L → T ´es T → L0 vet´ıt´esek kompoz´ıci´oj´ aval. Tekints¨ uk most a du´ alis projekt´ıv s´ık k´et egyenes´et, azaz k´et (k¨ ul¨onb¨oz˝o) sug´ arsort, S-et ´es S 0 -t a P s´ıkban. A dualit´as elve miatt a 8.7.11–8.7.15-beli fogalmak ´es meg´ allap´ıt´ asok az S → S 0 projekt´ıv transzform´aci´okra vonatkoz´ oan is ´ertelemmel b´ırnak ´es ´erv´enyesek. Egy ilyen transzform´aci´o (a defin´ıci´o dualiz´ al´ asa szerint) akkor perspektivit´as, ha l´etezik olyan C ⊂ P egyenes, hogy minden X ∈ S-re az X, X 0 ´es C egyenesek egy ponton haladnak ´at.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

´r szerkezete 8. A projekt´ıv te

271

8.7.16. Defin´ıci´ o (Steiner-centrum). A 8.7.12. T´etel dualiz´al´as´aval azt kapjuk, hogy b´ armely f : S → S 0 projekt´ıv transzform´aci´on´al az hX ∩ ∩ Y 0 , X 0 ∩ Y i alak´ u egyenesek (ahol X, Y ∈ S) sug´arsort alkotnak. Ennek a sug´ arsornak a tart´ opontj´ at nevezz¨ uk f Steiner-centrum´anak. A Steinercentrum akkor ´es csak akkor kolline´aris a k´et sug´arsor tart´opontj´aval, ha f perspektivit´ as. 8.7.17. Defin´ıci´ o (Projekt´ıv k´ epz˝ odm´ eny). Legyen adott egy f : X 7→ X 0 projekt´ıv transzform´ aci´ o a P -beli S sug´arsorr´ol a szint´en P -beli S 0 6= S sug´ arsorra. Az f projekt´ıv k´epz˝odm´eny´enek nevezz¨ uk az {X ∩ X 0 : X ∈ S} ⊆ P ponthalmazt a P projekt´ıv s´ıkon. Ha f perspektivit´ as, akkor a tart´opontokat ¨osszek¨ot˝o M egyenesre (azaz amelyre {M } = S ∩ S 0 ) M = M 0 ´all; ebben az esetben M -et kihagyjuk a projekt´ıv k´epz˝ odm´eny defin´ıci´oj´aban sz´am´ıt´asba vett X egyenesek k¨oz¨ ul. Egy´ebk´ent X ∩ X 0 mindig pontot ´all´ıt el˝o. Perspektivit´ asok eset´eben a projekt´ıv k´epz˝odm´eny a perspektivit´as defin´ıcioj´ ´ ab´ ol k¨ ozvetlen¨ ul ad´ od´ oan egyenes. (Pontosabban egy pont h´ıj´an egyenes, hiszen ha a perspektivit´ ast a C egyenes sz´armaztatja, akkor a C ∩ M pont nem tartozik a halmazhoz.) Megjegyz´es. Ha f nem perspektivit´as, akkor S ´es S 0 tart´opontja is hozz´atartozik a projekt´ıv k´epz˝ odm´enyhez, hiszen ezek el˝o´allnak f −1 (M ) ∩ M , illetve 0 M ∩ M alakban. A Steiner-centrum ´altal´aban nem eleme a k´epz˝odm´enynek; k´es˝ obbi ismereteink birtok´ aban k¨onnyen igazolhat´o lesz, hogy akkor ´es csak akkor tartozik hozz´ a, ha perspektivit´asr´ol van sz´o. Nevezetes t´eny (l. 8.7.19), hogy a projekt´ıv k´epz˝odm´enyek egy a projekt´ıv geometri´ aban kit¨ untetett szerepet j´atsz´o g¨orbecsal´adhoz, az u ´gynevezett m´asodrend˝ u g¨ orb´ekhez tartoznak. Az al´abbi p´elda ezt a t´enyt az euklideszi s´ıkgeometria egy j´ ol ismert t´etel´evel hozza kapcsolatba. 8.7.18. P´ elda. Legyen S ´es S 0 k´et k¨ ul¨onb¨oz˝o metsz˝o sug´arsor az ir´any´ıtott euklideszi s´ıkon, legyen α ∈ R, α ∈ / Zπ ´es f feleltesse meg S tetsz˝oleges X elem´enek azt az X 0 ∈ S 0 egyenest, amely X-b˝ol α ir´any´ıtott sz¨og˝ u forgat´assal nyerhet˝ o. Ekkor f projektivit´as, ´es projekt´ıv k´epz˝odm´enye a ker¨ uleti sz¨ogek t´etele alapj´ an k¨ or. 8.7.19. T´ etel. Legyen f olyan projekt´ıv transzform´aci´o az S ´es S 0 k¨ ul¨onb¨oz˝o P -beli sug´ arsorok k¨ oz¨ ott, amely nem perspektivit´as. Ekkor f projekt´ıv k´epz˝ odm´enye olyan ponthalmaz P -ben, amely alkalmasan v´alasztott projekt´ıv koordin´ at´ akban az x1 x2 = x23 homog´en m´asodfok´ u egyenlettel adhat´o meg.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

272

Projekt´ıv geometria

Bizony´ıt´ as: El˝ osz¨ or megv´ alasztjuk a P -beli projekt´ıv b´azis alappontjait : legyen A1 az S sug´ arsor tart´ opontja, A2 az S 0 sug´arsor tart´opontja, ´es A3 az f Steiner-centruma. Az A0 egys´egpont megv´alaszt´as´ahoz kiszemel¨ unk egy olyan E ∈ S egyenest, amelyre A2 , A3 ∈ / E. Ekkor (8.7.14 du´alisa alapj´an) A1 , A3 ∈ / E 0 is teljes¨ ul. ´Igy E 6= E 0 ; legyen A0 = E ∩ E 0 .

Ezen adatok felv´etele ut´ an a 8.7.15-ben le´ırt elj´ar´as dualiz´al´as´aval az S-beli egyenesek f -n´el sz´ armaz´ o k´ep´et a k¨ovetkez˝ok´eppen sz´armaztathatjuk: X ∈ S-re legyen U = X ∩ E 0 , X ∗ = hA3 , U i, V = E ∩ X ∗ , ´es v´eg¨ ul X 0 = = hA2 , V i. Projekt´ıv koordin´ at´ akkal A1 = [1 : 0 : 0], A2 = [0 : 1 : 0], A3 = [0 : 0 : 1] ´es A0 = [1 : 1 : 1]. Tegy¨ uk f¨ol, hogy az X ∩ X 0 pont koordin´at´ai [x1 : x2 : 0 : x3 ]. Miut´ an U ∈ E = hA0 , A2 i, az U pontot reprezent´al´o vektor az A0 -t ´es az A2 -t reprezent´ al´ o vektorok line´aris kombin´aci´oja, ez´ert e vektor els˝o ´es harmadik koordin´ at´ aja egyenl˝o. Ugyanakkor U kolline´aris A1 -gyel ´es X ∩ X 0 vel is, ez´ert ez a vektor az (1,0,0) ´es az (x1 , x2 , x3 ) vektorok kombin´aci´oja. Ez´ert U = [x3 : x2 : x3 ]. Hasonl´o m´odon V ∈ E = hA0 , A1 i ´es V ∈ hA2 , X ∩ ∩ X 0 i miatt V = [x1 : x3 : x3 ]. V´eg¨ ul U , V ´es A3 kolline´aris (mindh´arman illeszkednek az X ∗ egyenesre), ez´ert az ˝oket reprezent´al´o vektorok line´arisan o ugg˝ ok, azaz x1 x2 = x23 . ¨sszef¨ Megford´ıtva, ha valamely P -beli pont x1 , x2 , x3 koordin´at´ai kiel´eg´ıtik az x1 x2 = x23 egyenletet, akkor az U = [x3 : x2 : x3 ] ´es V = [x1 : x3 : x3 ] pontokra ´erv´enyesek a fenti kollinearit´asok, ez´ert az X = hA1 , U i egyenes f -n´el sz´ armaz´ o k´epe az X 0 = hA2 , V i egyenes, ´es ´ıgy X ∩ X 0 = [x1 : x2 : x3 ]. Az [x1 : x2 : x3 ] pont teh´ at hozz´atartozik a projekt´ıv k´epz˝odm´enyhez.

9. K´ upszeletek A projekt´ıv terekben fekv˝ o ponthalmazokat legt¨obbsz¨or egyenleteik seg´ıts´eg´evel adjuk meg, illetve tanulm´anyozzuk. Amikor homog´en koordin´at´akat

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

´ pszeletek 9. Ku

273

haszn´ alunk egyenletek fel´ır´ as´ara, figyelemmel kell lenn¨ unk arra, hogy a pont a koordin´ at´ ait nem hat´ arozza meg egy´ertelm˝ uen. Legyen p´eld´aul egy F : : Fd+1 → F f¨ uggv´eny az F (x1 , . . . , xd+1 ) = 0 egyenlet bal oldala. Ennek az egyenletnek csak akkor van ´ertelme Pd -ben, ha csak az [x1 : . . . : xd+1 ] ∈ ∈ Pd pontt´ ol f¨ ugg, hogy ez az egyenl˝os´eg f¨onn´all-e, ´es nem az azt reprezent´ al´ o (x1 , . . . , xd+1 ) vektort´ ol. Az F f¨ uggv´enyre teh´at ´erv´enyben kell lennie az al´ abbi homogenit´ asi” tulajdons´agnak: ” ha

F (x1 , . . . , xd+1 ) = 0 ´es λ ∈ F, λ 6= 0,

akkor F (λx1 , . . . , λxd+1 ) = 0 .

Vil´ agos, hogy ha F homog´en polinomf¨ uggv´eny, akkor eleget tesz ennek a k¨ ovetelm´enynek. Ez´ert a tov´abbiakban csak homog´en polinomok ´altal megadott egyenletek vizsg´ alat´ ara szor´ıtkozunk. Ezek k¨oz¨ ul az els˝ofok´ uakat, azaz a homog´en line´ aris egyenleteket m´ar j´ol ismerj¨ uk : b´armely homog´en linearis egyenlet hipers´ıkot defini´al, b´armely hipers´ıknak van homog´en line´aris ´ egyenlete, ´es ezt az egyenletet a hipers´ık nemz´erus konstans szorz´o erej´eig egy´ertelm˝ uen meghat´ arozza. Hasonl´oan egyszer˝ u t´eteleket nem v´arhatunk a magasabb fok´ u homog´en polinomi´alis egyenletekre vonatkoz´oan, mert egyr´eszt a fok n¨ oveked´es´evel az esetek geometriai ´attekint´ese igen neh´ezz´e v´alik, m´ asr´eszt magasabb fok eset´en – az els˝ofok´ u esett˝ol elt´er˝oen – m´ar az is sz´am´ıt, hogy milyen test f¨ ol¨ ott dolgozunk. Az al´abbiakban els˝osorban a m´asodfok´ u egyenlettel le´ırhat´ o alakzatokra, az u ´n. m´asodrend˝ u hiperfel¨ uletekre vonatkoz´ o ismereteket tekintj¨ uk ´ at. Miut´an az ehhez kell˝o sz´amol´asokban gyakran sz¨ uks´eg lesz a 2-vel val´ o oszt´asra, a tov´abbiakban feltessz¨ uk, hogy char F 6= = 2. A legt¨ obb p´eld´ aban ´es alkalmaz´asban az alaptest a val´os vagy a komplex sz´ amtest lesz.

9.1. M´ asodrend˝ u hiperfelu ¨ letek Homog´en m´ asodfok´ u egyenleteket vizsg´alunk a P = P (W ) projekt´ıv t´erben, ahol W vektort´er F felett, dim W = d + 1. Az ilyen egyenletek koordin´ata” mentes” kezel´es´ehez a biline´ aris f¨ uggv´enyek ´es a kvadratikus alakok adj´ak az algebrai h´ atteret. 9.1.1. Defin´ıci´ o (Kvadratikus alak, Q(W )). Egy W → F f¨ uggv´enyt kvadratikus alaknak nevez¨ unk, ha valamely W -beli b´azisra vonatkoz´o koordin´at´ak f¨ uggv´enyek´ent fel´ırva homog´en m´asodfok´ u polinomf¨ uggv´eny. Ha m´ asik b´ azisra t´er¨ unk ´ at W -ben, akkor az u ´j koordin´at´akat line´aris helyettes´ıt´essel nyerj¨ uk az eredetiekb˝ol. Ez´ert egy kvadratikus alak b´armely b´ azisban f¨ ol´ırva a koordin´ at´ ak homog´en m´asodfok´ u polinomf¨ uggv´enye.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

274

Projekt´ıv geometria

A W -n ´ertelmezett kvadratikus alakok vektorteret alkotnak F f¨ol¨ott, ezt a vektorteret Q(W )-vel jel¨ olj¨ uk. 9.1.2. Eml´ ekeztet˝ o (Szimmetrikus biline´ aris fu enyek). B´armely ¨ ggv´ β : W ×W → F szimmetrikus biline´aris f¨ uggv´eny a q(w) = β(w, w) k´eplettel sz´ armaztat egy q ∈ Q(W ) kvadratikus alakot. B´armely q kvadratikus alakhoz egy´ertelm˝ uen l´etezik olyan β szimmetrikus biline´aris f¨ uggv´eny, amely
q-t ilyen m´ odon sz´ armaztatja, m´egpedig β(u, v) = q(u + v) − q(u) − q(v) /2. Ha a1 , . . ., ad+1 b´ azis W -ben, akkor β (illetve q) m´atrixa erre a b´azisra vonatkoz´ oan az az M szimmetrikus m´atrix, amelyre Mij = β(ai , aj ) i, j = = 1, . . . , d + 1. Nyilv´ an β ´es M k¨olcs¨on¨osen egy´ertelm˝ uen meghat´arozz´ak egym´ ast, ´es b´ armely F f¨ ol¨ otti (d + 1) × (d + 1)-es szimmetrikus m´atrix el˝o´all ilyen m´ odon. Ez´ert a Q(W ) vektort´er izomorf a (d + 1) × (d + 1)-es szimmetrikus m´ atrixok vektorter´evel, ´ıgy dim Q(W ) = (d + 1)(d + 2)/2. Ha az A ∈ GL(d + 1, F) m´ atrixszal b´aziscser´et hajtunk v´egre, akkor β m´atrixa az u ´j b´ azisra vonatkoz´ oan az A>M A szorzat lesz. A q kvadratikus alak (illetve a β szimmetrikus biline´aris f¨ uggv´eny) rangj´an a m´ atrix´ anak a rangj´ at ´ertj¨ uk. A fenti transzform´aci´os formula alapj´an a rang nem f¨ ugg a b´ azis v´ alaszt´ as´ at´ol. Azt mondjuk, hogy q (illetve β) elfajul´o, ha a rangja kisebb a d + 1 dimenzi´on´al. Ellenkez˝o esetben nemelfajul´o kvadratikus alakr´ ol (illetve szimmetrikus biline´aris f¨ uggv´enyr˝ol) besz´el¨ unk, ennek det M 6= 0 sz¨ uks´eges ´es el´egs´eges felt´etele. A β szimmetrikus biline´aris f¨ uggv´eny akkor ´es csak akkor elfajul´o, ha a magja nemtrivi´alis, azaz l´etezik olyan w 6= 0 vektor W -ben, hogy b´armely v ∈ W vektorra β(w, v) = 0. P´eld´ aul ha a q kvadratikus alak reducibilis (azaz k´et line´aris forma szorzata : q = α1 · α2 , ahol α1 , α2 ∈ W ∗ ), ´es d ≥ 2, akkor q elfajul´o. Val´oban, ilyenkor β magja a Ker α1 ∩ Ker α2 alt´er W -ben, ami legal´abb egydimenzi´os. 9.1.3. Defin´ıci´ o (M´ asodrend˝ u hiperfelu a
sodrend˝ u g¨ orbe). A P ¨ let, m´ projekt´ıv t´er m´ asodrend˝ u hiperfel¨ ulet´en a P Q(W ) projekt´ıv t´er egy elem´et ´ertj¨ uk. A m´ asodrend˝ u hiperfel¨ uletet m´asodrend˝ u g¨orb´enek mondjuk, ha d = = 2. A m´ asodrend˝ u hiperfel¨ uleteket teh´at nemz´erus kvadratikus alakok reprezen´ t´ alj´ ak. Altal´ aban a [q] jel¨ ol´est haszn´aljuk r´ajuk, ahol q ∈ Q(W ) kvadratikus alak, q 6= 0. 9.1.4. Defin´ıci´ o (M´ asodrend˝ u hiperfelu epe). Legyen [q] m´asod¨ let k´ rend˝ u hiperfel¨ ulet P -ben. A [q] k´ep´en (vagy k´ephalmaz´an) azt a k[q] ⊂ P ponthalmazt ´ertj¨ uk, amely a q ´altal adott egyenletet kiel´eg´ıt˝o pontokb´ol ´all, teh´ at k[q] = { [w] ∈ P (W ) : q(w) = 0 } .

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

´ pszeletek 9. Ku

275

Megjegyz´es. A 9.1.3-beli ´es a 9.1.4-beli defin´ıci´o k¨ ul¨onv´alaszt´asa u ´tj´an is hangs´ ulyozni k´ıv´ anjuk, hogy m´asodrend˝ u hiperfel¨ uletnek nem P -beli ponthalmazt tekint¨ unk, hanem azt az egyenletet, amely a ponthalmazt megadja. (Nem tesz¨ unk k¨ ul¨ onbs´eget k´et egyenlet k¨oz¨ott, ha egym´as nemz´erus skal´arral vett t¨ obbsz¨ or¨ osei.) Erre a megk¨ ul¨onb¨oztet´esre ´altal´aban sz¨ uks´eg van. P´eld´aul R f¨ ol¨ ott b´ armely q definit kvadratikus alakra k[q] = ∅, m´ıg (≥ 2 dimenzi´oban) a definit kvadratikus alakok nem mind egym´as skal´arszorosai. Viszont ha F algebrailag z´ art, akkor az algebr´ab´ol ismert nullhelyt´etel alapj´an k[q1 ] = = k[q2 ]-b˝ ol k¨ ovetkezik, hogy [q1 ] = [q2 ]. 9.1.5. P´ elda (M´ asodrend˝ u hiperfelu ¨ letek az egyenesen). Ha d = 1, q ∈ Q(W ), q 6= 0, akkor egy k[q]-hoz nem tartoz´o pontot ide´alis pontnak tekintve affin koordin´ at´ az´ asmellett a  kvadratikus alak q(x) = ax2 + bx + c a b/2 alak´ u. Itt q m´ atrixa M = , ´ıgy a q(x) = 0 egyenlet diszkrimib/2 c n´ ansa 4 det M . Ezekb˝ ol k¨ ovetkezik, hogy k[q] legfeljebb k´et pontb´ol ´all, ´es pontosan akkor egyelem˝ u, ha q elfajul´o. Ha k[q] 6= ∅, akkor a k[q] halmaz [q]-t egy´ertelm˝ uen meghat´ arozza. Algebrailag z´art F eset´en k[q] nem lehet u ¨res. 9.1.6. Defin´ o (Projekt´ıv ekvivalencia, projekt´ıv invari´ ans).
ıci´ A P Q(W ) -beli [q1 ], [q2 ] m´asodrend˝ u hiperfel¨ uleteket projekt´ıven ekvivalensnek mondjuk, ha a W vektort´er alkalmas ϕ ∈ GL(W ) transzform´aci´oj´aval [q2 ] = [q1 ◦ ϕ]. A (ϕ, q) 7→ q ◦ ϕ−1 hozz´ arendel´es a GL(W ) csoport hat´as´at defini´alja a Q(W ) vektort´eren, majd projektiviz´al´as ut´an a m´asodrend˝ u hiperfel¨ uletek P (Q(W )) projekt´ıv ter´en. Amikor a m´asodrend˝ u hiperfel¨ uletek projekt´ıv oszt´ alyoz´ as´ ar´ ol besz´el¨ unk, tulajdonk´eppen ennek a hat´asnak az orbitjait vessz¨ uk sz´ amba. K´et m´ asodrend˝ u hiperfel¨ ulet pontosan akkor projekt´ıven ekvivalens, ha azonos orbithoz tartozik. M´ asodrend˝ u hiperfel¨ uletek valamely tulajdons´ag´at vagy sz´amszer˝ u jellemz˝oj´et projekt´ıv invari´ ansnak nevezz¨ uk, ha megegyezik b´armely k´et projekt´ıven ekvivalens m´ asodrend˝ u hiperfel¨ ulet eset´en. P´eld´aul a m´asodrend˝ u hiperfel¨ ulet elfajul´ o vagy nemelfajul´ o volta projekt´ıv invari´ans. 9.1.7. Eml´ ekeztet˝ o (Kvadratikus alak diagonaliz´ al´ asa). Felid´ezz¨ uk azt az algebr´ ab´ ol ismert t´etelt, hogy (b´armilyen test f¨ol¨otti vektort´erben) b´armely biline´ aris f¨ uggv´enyhez tal´alhat´o ortogon´alis b´azis, azaz olyan b´azis, amelyben a biline´ aris f¨ uggv´eny m´atrixa diagon´alis. Ha a w ∈ W vektor koordin´ at´ ai egy ortogon´ alis b´ azisban x1 , x2 , . . . , xd+1 , akkor q(w) = a1 x21 + a2 x22 + . . . + ad+1 x2d+1

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

Projekt´ıv geometria

276

alkalmas a1 , a2 , . . . ad+1 ∈ F egy¨ utthat´okkal. A koordin´at´ak sorrendj´et megv´ alaszthatjuk u ´gy, hogy a1 , . . . , ar 6= 0 ´es ar+1 = . . . = ad+1 = 0 teljes¨ ulj¨on, itt az r (≥ 1) sz´ am a q kvadratikus alak rangja. Ennek alapj´ an a komplex, illetve a val´os test f¨ol¨ott a m´asodrend˝ u hiperfel¨ uletek projekt´ıv oszt´ alyoz´ asa egyszer˝ uen elv´egezhet˝o. Ha F = C, akkor alkalmas b´ azis v´alaszt´as´aval el´erhet˝o, hogy a1 = . . . = ar = = 1 legyen. Emiatt komplex projekt´ıv t´erben a m´asodrend˝ u hiperfel¨ uletek egyetlen projekt´ıv invari´ ansa a rang, amely 1 ´es d + 1 k¨oz¨ott b´armely eg´esz sz´ am lehet. (Azt a meg´ allap´ıt´ast, hogy a rang az egyetlen” projekt´ıv invari” ans, u ´ ´gy kell ´erteni, hogy b´ armely projekt´ıv invari´ans a rangb´ol sz´armaztathat´ o. Ez abb´ ol k¨ ovetkezik, hogy C f¨ol¨ott b´armely k´et egyenl˝o rang´ u W -beli kvadratikus alak ekvivalens.) Ha F = R, akkor alkalmas b´azisban a1 = . . . = ak = 1 ´es ak+1 = . . . = = ak+l = −1, ahol k +l = r. Itt a k ´es l sz´amok a Sylvester-f´ele tehetetlens´egi t´etel szerint q-nak invari´ ansai (azaz b´armely ortogon´alis b´azisban fel´ırva a pozit´ıv ´es a negat´ıv egy¨ utthat´ok sz´ama k, illetve l). A (−1)-gyel t¨ort´en˝o v´egigszorz´ as felcser´eli k ´es l szerep´et. ´Igy val´os projekt´ıv t´erben a m´asodrend˝ u hiperfel¨ uleteket projekt´ıv ekvivalencia erej´eig jellemzik a (k, l) rendezetlen p´ arok, ahol 0 < k + l ≤ d + 1. 9.1.8. P´ eld´ ak. Az al´ abbi p´eld´akban a 9.1.7-ben le´ırt oszt´alyoz´as egyes alacsony dimenzi´ os eseteit tekintj¨ uk ´at, ´es geometriailag azonos´ıtjuk a k´ephalmazokat. • M´ asodrend˝ u g¨ orb´ek a komplex projekt´ıv s´ıkon : •

Ha r = 1, akkor x21 = 0 (egyenes).

•

Ha r = 2, akkor x21 + x22 = 0 (egyenesp´ar).

•

Ha r = 3, akkor x21 + x22 + x23 = 0 (ezt a g¨orb´et komplex k´ upszeletnek szok´ as nevezni; meggondolhat´o, hogy a k´epe homeomorf az S2 g¨ ombbel, l. a 9.4.4 ut´ani megjegyz´est).

• M´ asodrend˝ u g¨ orb´ek a val´os projekt´ıv s´ıkon: •

Ha r = 1, akkor x21 = 0 (egyenes).

•

Ha r = 2, akkor x21 +x22 = 0 (pont), vagy x21 −x22 = 0 (egyenesp´ar).

•

ures), vagy x21 + x22 − x23 = 0 Ha r = 3, akkor x21 + x22 + x23 = 0 (¨ (val´ os nemelfajul´ o k´ upszelet, k¨orrel homeomorf).

• Vegy¨ uk sz´ amba a val´ os m´asodrend˝ u fel¨ uleteket (d = 3) a nemelfajul´ o (r = 4) esetekre szor´ıtkozva. Projekt´ıv ekvivalencia erej´eig h´arom lehet˝ os´eg van:

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

´ pszeletek 9. Ku • •

•

277

Ha k = 4, akkor x21 + x22 + x23 + x24 = 0 (¨ ures). 2 2 2 2 Ha k = 3, akkor x1 + x2 + x3 − x4 = 0 (g¨ombbel homeomorf, nem tartalmaz egyenest). Ha k = 2, akkor x21 + x22 − x23 − x24 = 0 (t´orusszal homeomorf, tartalmaz egyenest).

9.1.9. Defin´ıci´ o (K´ up). Legyen V < W line´aris hipers´ık ´es c ∈ W − V , jel¨ olje π : W → V a c ir´ any´ u vet´ıt´est. Ha q ∈ Q(V ) tetsz˝oleges kvadratikus alak, akkor qb = q ◦ π ∈ Q(W ). Ha [q] m´asodrend˝ u hiperfel¨ ulet a P (V ) t´erben, akkor a P (W )-beli [b q ] m´ asodrend˝ u hiperfel¨ uletet a [q]-ra ´all´ıtott [c] cs´ ucs´ u k´ upnak nevezz¨ uk. Ha k[q] 6= ∅, akkor k[b q ] a k[q]-beli pontokat [c]-vel ¨osszek¨ot˝o egyenesek egyes´ıt´ese. (Ha k[q] = ∅, akkor k[b q ] = {[c]}.) A [b q ] kvadratikus alak mindig elfajul´o, ugyanis a c vektor a qb -hoz tartoz´o szimmetrikus biline´ aris f¨ uggv´eny magj´aban van. Megford´ıtva, b´armely elfajul´ o m´ asodrend˝ u hiperfel¨ ulet el˝o´all´ıthat´o alkalmas hipers´ıkban adott alkalmas m´ asodrend˝ u hiperfel¨ uletre alkalmas cs´ uccsal ´all´ıtott k´ upk´ent. Val´oban, a k´ up cs´ ucs´ at egy tetsz˝ oleges, a szimmetrikus biline´aris f¨ uggv´eny magj´aban fekv˝o c 6= 0 vektor reprezent´ alhatja, V pedig tetsz˝oleges, c-t nem tartalmaz´o hipers´ık lehet. 9.1.10. P´ elda. Tekints¨ uk az R3 euklideszi koordin´atat´erben az x2 + y 2 − z 2 = 0 egyenlet˝ u F forg´ ask´ up-fel¨ uletet. Homog´en x1 , x2 , x3 , x4 koordin´at´akra 8.4.4 szerint ´ at´ırva az egyenlet x21 + x22 − x23 = 0 alakot ¨ olt. Az egyenlet bal oldal´at tekinthetj¨ uk egy R3 -beli q kvadratikus 4 alaknak ´es egy R -beli qb kvadratikus alaknak is; ekkor qb = q ◦ π, ahol π : : R4 → R3 a standard vet´ıt´es. ´Igy F mint m´asodrend˝ u fel¨ ulet val´oban k´ up, amelynek a cs´ ucsa a [0 : 0 : 0 : 1] pont, azaz az R3 euklideszi t´er orig´oja. 9.1.11. Defin´ıci´ o (Szelet). Ha q ∈ Q(W ) ´es V ≤ W , akkor nyilv´an q|V ∈ ∈ Q(V ). Emiatt ha [q] m´ asodrend˝ u hiperfel¨ ulet a P (W ) projekt´ıv t´erben ´es a P (V ) ⊆ P (W ) projekt´ıv alt´erre P (V ) * k[q], akkor [q|V ] m´asodrend˝ u hiperfel¨ ulet P (V )-ben, ´es k[q|V ] = k[q] ∩ P (V ). Ezt a [q|V ] m´asodrend˝ u hiperfel¨ uletet a [q] m´ asodrend˝ u hiperfel¨ ulet P (V )-ben keletkez˝o szelet´enek nevezz¨ uk. A 9.1.9-beli [b q ] k´ upnak a P (V ) hipers´ıkban keletkez˝o szelete [q]. Emiatt a k´ upszelet” elnevez´es tulajdonk´eppen b´armelyik m´asodrend˝ u hiperfel¨ ule” tet megilletheti. A tov´ abbiakban (a hagyom´anyos sz´ohaszn´alathoz igazodva) k´ upszeleten s´ıkbeli m´ asodrend˝ u g¨orb´et ´ert¨ unk.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

Projekt´ıv geometria

278

9.1.12. P´ elda (Projekt´ıv k´ epz˝ odm´ eny mint k´ upszelet). 8.7.19 alapj´an tudjuk, hogy a projekt´ıv s´ık k´et k¨ ul¨onb¨oz˝o sug´arsora k¨oz¨ott adott projekt´ıv, de nem perspekt´ıv megfeleltet´es k´epz˝odm´enye alkalmasan v´alasztott projekt´ıv koordin´ atarendszerben az x1 x2 = x23 egyenlettel adhat´o meg. Az ennek megfelel˝ o kvadratikus alak m´atrixa   0 1/2 0 0 0, M = 1/2 0 0 −1 ahonnan det M 6= 0 k¨ ovetkezik. A projekt´ıv k´epz˝odm´eny teh´at nemelfajul´o k´ upszelet. A projekt´ıv m´ asodrend˝ u hiperfel¨ uletekkel kapcsolatos ismereteinket felhaszn´ alhatjuk az affin, illetve az euklideszi geometri´aban is, amikor ottani m´asodfok´ u egyenletekkel defini´ alt alakzatokat vizsg´alunk. A projekt´ıv esethez k´epest a d¨ ont˝ o k¨ ul¨ onbs´eg egyr´eszt abban ´all, hogy az egyenletek – affin, illetve Descartes-f´ele koordin´ at´akban fel´ırva – m´ar nem felt´etlen¨ ul homog´en polinomok, m´ asr´eszt abban, hogy a m´asodrend˝ u hiperfel¨ uletek ekvivalenci´aj´ at j´ oval kevesebb megengedett transzform´aci´o seg´ıts´eg´evel ´ertelmezz¨ uk, ez´ert az oszt´ alyoz´ as finomabb, ´es j´oval t¨obb oszt´aly keletkezik. 9.1.13. Defin´ıci´ o (Affin m´ asodrend˝ u hiperfelu ar´ as). ¨ let, projekt´ıv lez´ Legyen X affin t´er F felett, ekkor X-beli m´asodrend˝ u hiperfel¨ uletnek teu hiperfel¨ uletei k¨oz¨ ul azokat, amelyek kintj¨ uk az X projekt´ıv t´er m´asodrend˝ X-beli k´epe nem tartalmazza a ∞X ide´alis hipers´ıkot. Azonos´ıtsuk az X affin teret affin koordin´at´ak bevezet´ese u ´tj´an az Fd koordin´ atat´errel. Az x1 , x2 , . . ., xd koordin´at´akban fel´ırt inhomog´en m´asodfok´ u polinomi´ alis egyenlet ´ altal´ anos alakja d X i=1

aii x2i + 2

X

1≤iM x + 2 b> x + c = 0

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

´ pszeletek 9. Ku

279

vektoregyenlet. Ez az egyenlet akkor m´asodfok´ u, ha M 6= 0. Eg´esz´ıts¨ uk ki az M m´ atrixot az M ∈ F(d+1)×(d+1) szimmetrikus m´atrixsz´a ´es az x vektort az x ∈ Fd+1 vektorr´ a az     M b x , illetve M= x = 1 b> c formul´ akkal. Ekkor a 8.4.4-ben bevezetett Fd ⊂ Fd = P (Fd+1 ) azonos´ıt´asn´ al az x vektornak az [x] pont felel meg. Tekints¨ uk az M m´atrixszal adott q kvadratikus alakot Fd+1 -en, ekkor a k[q] ∩ Fd ponthalmaz ´eppen a fenti inhomog´en egyenlet megold´ asaib´ol ´all. Az M 6= 0 k¨ovetelm´eny q-ra n´ezve pedig azzal egyen´ert´ek˝ u, hogy q nem azonosan z´erus az xd+1 = 0 hipers´ıkon, azaz Fd ide´ alis hipers´ıkj´an. Teh´at az affin m´asodrend˝ u hiperfel¨ uletek pontosan azok az alakzatok, amelyek affin koordin´at´akban inhomog´en m´asodfok´ u egyenletekkel ´ırhat´ ok le. A [q] projekt´ıv m´asodrend˝ u hiperfel¨ uletet a fenti m´ asodfok´ u egyenlettel adott affin hiperfel¨ ulet projekt´ıv lez´ar´as´anak nevezz¨ uk. 9.1.14. Defin´ıci´ o (Affin ekvivalencia). Legyen az f : Fd → Fd affinit´as 0 az x = f (x ) = Ax0 + v (x0 ∈ Fd ) formul´aval adva, ahol A ∈ GL(d, F) ´es v ∈ Fd . Az x k´eppont akkor ´es csak akkor el´eg´ıti ki a 9.1.13-beli vektoregyenletet, ha 0

(Ax0 + v)>M (Ax0 + v) + 2 b>(Ax0 + v) + c =
> = x0 (A>M A)x0 + 2 (M v + b)>A x0 + (v>M v + 2 b>v + c) = =

>

>

= x0 M 0 x0 + 2 b0 x0 + c0 , azaz ha x0 kiel´eg´ıti az M 0 = A>M A, b0 = A>(M v + b) ´es c0 = v> M v + + 2 b>v + c adatokkal fel´ırt inhomog´en m´asodfok´ u vektoregyenletet. Teh´at az affinit´ asok az affin m´ asodrend˝ u hiperfel¨ uleteket affin m´asodrend˝ u hiperfel¨ uletekbe transzform´ alj´ ak. Affin ekvivalensnek mondunk k´et affin m´asodrend˝ u hiperfel¨ uletet, ha alkalmas affinit´assal az itt le´ırt m´odon egym´asba transzform´ alhat´ ok. 9.1.15. T´ etel. B´ armely affin m´asodrend˝ u hiperfel¨ ulet affin ekvivalens az al´ abbi h´ arom m´ asodrend˝ u hiperfel¨ ulett´ıpus valamelyik´evel: I. a1 x21 + . . . + ak x2k = 0; II. a1 x21 + . . . + ak x2k = 1; III. a1 x21 + . . . + ak x2k = xk+1 ;

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

Projekt´ıv geometria

280

Mindh´ arom esetben k ≥ 1, I.-ben ´es II.-ben k ≤ d, III.-ban k ≤ d−1, tov´abb´a ai 6= 0 (i = 1, . . . , k). Az F = C esetben megk¨ ovetelhet˝o, hogy minden i-re ai = 1 legyen, F = R eset´en pedig hogy ai = ±1 legyen. Bizony´ıt´ as: Megmutatjuk, hogy a 9.1.13-beli ´altal´anos m´asodfok´ u egyenletb˝ol a 9.1.14-ben le´ırt affin ´ atalak´ıt´asok alkalmas sorozat´an kereszt¨ ul eljuthatunk a h´ arom t´ıpus valamelyik´ehez. Az els˝ o l´ep´esben diagonaliz´ aljuk az M egy¨ utthat´om´atrixot. Ez azt jelenti, hogy alkalmas u ´j b´ azisra val´ o a´tt´er´es ut´an az egyenlet a1 x21 + . . . + ak x2k + 2 (b1 x1 + . . . + bd xd ) + c = 0 alak´ u, ahol az ai egy¨ utthat´ ok mind k¨ ul¨onb¨oznek z´erust´ol (i = 1, . . . , k). Az i = 1, . . . , k koordin´ at´ akban teljes n´egyzett´e kieg´esz´ıt´essel (azaz az x0i = xi + + bi /ai helyettes´ıt´essel) el´erhet˝o, hogy z´erust´ol k¨ ul¨onb¨oz˝o bj egy¨ utthat´o csak j > k mellett szerepelhessen az egyenletben. Ha most minden j-re bj = 0, akkor c = 0 eset´en az egyenlet m´ar I. t´ıpus´ u, ha pedig c 6= 0, akkor ´ atrendezve ´es v´egigosztva a II. alakra hozhat´o. Ha a bj egy¨ utthat´ ok k¨ oz¨ ott van 0-t´ol k¨ ul¨onb¨oz˝o, akkor (az x1 , . . ., xk koordin´ at´ akat megtartva ´es) az x0k+1 = 2(bk+1 xk+1 + . . . + bd xd ) + c helyettes´ıt´essel ´elve az egyenletet a III. alakra hozhatjuk. Megjegyz´esek. (1) Az affin m´asodrend˝ u hiperfel¨ ulethez tartoz´o kvadratikus alak rangja a 9.1.15. T´etelbeli I. t´ıpus eset´eben r = k, a II.-ban r = k + 1, a III.-ban pedig r = k + 2. Nemelfajul´o m´asodrend˝ u hiperfel¨ uletet csak a II., k = d, ´es a III., k = d − 1 esetekben kapunk. (2) K¨ onnyen l´ athat´ o (tetsz˝ oleges F eset´en), hogy k¨ ul¨onb¨oz˝o t´ıpushoz tartoz´o affin m´ asodrend˝ u hiperfel¨ uletek nem lehetnek affin ekvivalensek. Az egyes t´ıpusokon bel¨ ul az affin ekvivalenciaoszt´alyok sz´ama a testt˝ol f¨ ugg˝oen m´as ´es m´ as lehet. A komplex ´es a val´os esetben viszont 9.1.7-hez hasonl´oan az oszt´ alyok k¨ onnyen sz´ amba vehet˝ok a rang, illetve az el˝ojelek megoszl´asa szerint. 9.1.16. P´ eld´ ak • A komplex affin m´ asodrend˝ u g¨orb´ek (F = C, d = 2) oszt´alyoz´asa (az ot oszt´ aly k¨ oz¨ ul csak az utols´o kett˝o nemelfajul´o): ¨ I. k = 1: x21 = 0 (egyenes); k = 2: x21 + x22 = 0 (metsz˝o egyenesp´ar); II. k = 1: x21 = 1 (p´ arhuzamos egyenesp´ar); k = 2: x21 +x22 = 1 (komplex ellipszis);

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

´ pszeletek 9. Ku

281

III. k = 1: x21 = x2 (komplex parabola). • A nemelfajul´ o val´ os affin m´asodrend˝ u g¨orb´ek (F = R, d = 2, r = 3) oszt´ alyoz´ asa: II. x21 + x22 = 1 (ellipszis); x21 − x22 = 1 (hiperbola); −x21 − x22 = 1 (¨ ures); III. x21 = x2 (parabola). • A nemelfajul´ o val´ os affin m´asodrend˝ u fel¨ uletek (F = R, d = 3, r = 4) oszt´ alyoz´ asa: II. x21 + x22 + x23 = 1 (ellipszoid); x21 + x22 − x23 = 1 (egyk¨openy˝ u hiperboloid); x21 − x22 − x23 = 1 (k´etk¨openy˝ u hiperboloid); −x21 − x22 − x23 = 1 (¨ ures); III. x21 + x22 = x3 (elliptikus paraboloid); x21 − x22 = x3 (hiperbolikus paraboloid). R´ at´er¨ unk az euklideszi terekben defini´alt affin m´asodrend˝ u hiperfel¨ uletekre ´es azok euklideszi oszt´ alyoz´ as´ara. A szakasz h´atralev˝o r´esz´eben feltessz¨ uk, hogy F = R. 9.1.17. Defin´ıci´ o (Euklideszi ekvivalencia). Legyen E euklideszi t´er. K´et E-beli affin m´ asodrend˝ u hiperfel¨ ulet euklideszi ´ertelemben ekvivalens, ha affin ekvivalens ´es az ´ attranszform´al´ast megval´os´ıt´o affinit´as egybev´ag´os´ag. Ortonorm´ alt koordin´ atarendszer bevezet´es´evel feltehetj¨ uk, hogy E a term´eszetes euklideszi strukt´ ur´ aval ell´atott Rd koordin´atat´errel azonos. A 9.1.14beli f (x0 ) = Ax0 + v affin transzform´aci´o teh´at pontosan akkor l´etes´ıt euklideszi ekvivalenci´ at, ha A ∈ O(d). 9.1.18. Eml´ ekeztet˝ o (F˝ otengelyt´ etel). Felid´ezz¨ uk a val´os szimmetrikus m´ atrixok fontos tulajdons´ ag´ at: b´armely val´os szimmetrikus m´atrix alkalmas ortogon´ alis m´ atrixszal is diagonaliz´alhat´o, azaz ha M ∈ Rd×d ´es M > = M , akkor l´etezik olyan A ∈ O(d), hogy A>M A diagon´alis. Vegy¨ uk ´eszre, hogy A ∈ O(d) eset´en A>M A = A−1 M A, emiatt a kvadratikus alak ´ attranszform´ alt m´ atrixa hasonl´o az eredetihez. Ez´ert az M m´atrix saj´at´ert´ekei a m´ asodrend˝ u g¨ orb´enek euklideszi invari´ansai, ´es a diagon´alis alak´ u m´ atrixban a diagon´ alis elemek ´eppen ezek a saj´at´ert´ekek.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

Projekt´ıv geometria

282

9.1.19. Ko eny. B´ armely euklideszi t´erbeli affin m´asodrend˝ u hiper¨vetkezm´ fel¨ ulet euklideszi ´ertelemben is ekvivalens a 9.1.15. T´etelbeli t´ıpusok valamelyik´evel. K´et I. t´ıpus´ u m´ asodrend˝ u hiperfel¨ ulet akkor ´es csak akkor ekvivalens euklideszi ´ertelemben, ha az egy¨ utthat´ok rendszere (sorrendt˝ol eltekintve) ar´ anyos. K´et II. vagy III. t´ıpus´ u m´asodrend˝ u hiperfel¨ ulet akkor ´es csak akkor ekvivalens euklideszi ´ertelemben, ha az egy¨ utthat´ok rendszere (sorrendt˝ol eltekintve) megegyezik. 9.1.20. P´ elda (A m´ asodrend˝ u g¨ orb´ ek euklideszi oszt´ alyoz´ asa). Tekints¨ uk ´ at d = 2 mellett a lehets´eges eseteket. A hagyom´anyos jel¨ol´eseket haszn´ aljuk: a koordin´ at´ akat most x ´es y jel¨oli, a, b 6= 0 konstansok. I. k = 1: x2 = 0 (egyenes); k = 2: II. k = 1:

x2 y2 x2 y2 + = 0 (pont), − = 0 (metsz˝o egyenesp´ar); a2 b2 a2 b2 x2 x2 = 1 (p´ a rhuzamos egyenesp´ a r), − = 1 (¨ ures); a2 a2

k = 2: (¨ ures); III. k = 1:

x2 y 2 x2 y 2 x2 y 2 + 2 = 1 (ellipszis), 2 − 2 = 1 (hiperbola), − 2 − 2 = 1 2 a b a b a b

x2 = y (parabola). a2

9.1.21. Eml´ ekeztet˝ o (K´ upszeletek az elemi geometri´ aban). Felid´ezz¨ uk az ellipszis, a parabola ´es a hiperbola szok´asos defin´ıci´oj´at ´es n´eh´any elemi tulajdons´ ag´ at. Legyen E euklideszi s´ık, ρ jel¨olje a t´avols´agf¨ uggv´enyt E-n. Ellipszis: R¨ ogz´ıtj¨ uk az F1 6= F2 pontokat E-ben ´es az a > c sz´amot, ahol c = ρ(F1 , F2 )/2. Az F1 , F2 f´ okusz´ u, 2a nagytengely˝ u ellipszisen az {A ∈ E : ρ(A, F1 ) + ρ(A, F2 ) = 2a} ponthalmazt ´ertj¨ uk. Ha a Descartes-f´ele koordin´atarendszer tengelyei az hF1 , F2 i egyenes, illetve az [F1 , F2 ] szakasz felez˝o mer˝olegese, akkor az ellipszis egyenlete x2 y2 + 2 =1 2 a b alak´ u. Itt a b > 0 konstanst az a2 = b2 + c2 egyenl˝os´eg hat´arozza meg, ´es az ellipszis kistengely´enek a hossza 2b-vel egyenl˝o. Parabola:

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

´ pszeletek 9. Ku

283

R¨ ogz´ıtj¨ uk a V ⊂ E egyenest ´es az F ∈ E − V pontot. A V vez´eregyenes˝ u, F f´ okusz´ u parabol´ an az {A ∈ E : ρ(A, V ) = ρ(A, F )} ponthalmazt ´ertj¨ uk. Ha a Descartes-f´ele koordin´atarendszer tengelyei egyr´eszt a parabola szimmetriatengelye, azaz az F -b˝ol V -re bocs´atott mer˝oleges egyenes, m´ asr´eszt az a V -vel p´arhuzamos egyenes, amely felezi F ´es V t´avols´ ag´ at, akkor a parabola egyenlete y 2 = 2px alak´ u, ahol p = ρ(F, V ) (a parabola param´etere). Hiperbola: R¨ ogz´ıtj¨ uk az F1 6= F2 pontokat E-ben ´es az a < c pozit´ıv sz´amot, ahol c = ρ(F1 , F2 )/2. Az F1 , F2 f´ okusz´ u, 2a val´os tengely˝ u hiperbol´an az {A ∈ E : |ρ(A, F1 ) − ρ(A, F2 )| = 2a} ponthalmazt ´ertj¨ uk. Ha a Descartes-f´ele koordin´atarendszer tengelyei az hF1 , F2 i egyenes, illetve az [F1 , F2 ] szakasz felez˝o mer˝olegese, akkor a hiperbola egyenlete y2 x2 − =1 a2 b2 alak´ u. Itt a b > 0 konstanst a c2 = a2 + b2 egyenl˝os´eg hat´arozza meg. A hiperbola aszimptot´ ai az y = ± ab x egyenlet˝ u egyenesek. Az ellipszis, a parabola ´es a hiperbola nevezetes tulajdons´aga, hogy a h´aromdimenzi´ os euklideszi t´erben felvett forg´ask´ upoknak a k´ up cs´ ucs´an ´at nem men˝ o s´ıkokkal vett s´ıkmetszetei ´eppen ezek a g¨orb´ek. Val´oban, 9.1.9–9.1.11ben tett meg´ allap´ıt´ asainkb´ ol ´es a 9.1.20-beli oszt´alyoz´asb´ol ez k¨ovetkezik. ´ Attekintj¨ uk, hogyan lehet a val´os projekt´ıv t´errel ´es annak transzform´aci´oival kapcsolatban m´ ar megismert komplexifik´aci´os elj´ar´ast kiterjeszteni a val´os t´erben adott m´ asodrend˝ u hiperfel¨ uletekre. Ehhez el˝osz¨or biline´aris f¨ uggv´enyek ´es kvadratikus alakok komplexifik´aci´oj´at ´ertelmezz¨ uk. Ennek a szakasznak a h´ atralev˝ o r´esz´eben feltessz¨ uk, hogy F = R, ´es W C jel¨oli a W val´os vektort´er komplexifik´ altj´ at (l. 8.2.14). ´ ıt´ 9.1.22. All´ as. Legyen β : W × W → R biline´aris lek´epez´es. Ekkor l´etezik egyetlen olyan β C : W C × W C → C lek´epez´es, amely C f¨ol¨ott biline´aris, ´es amelyre β C | W ×W = β. Ha β szimmetrikus, akkor β C is az. Ha β nemelfajul´o, akkor β C is az.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

284

Projekt´ıv geometria

Bizony´ıt´ as: Ha a k´ıv´ ant tulajdons´ag´ u β C l´etezik, akkor tetsz˝oleges u1 , v1 , u2 , v2 ∈ W -re az (u1 + iv1 , u2 + iv2 ) ∈ W C × W C elemp´aron a
β C (u1 + iv1 , u2 + iv2 ) = β(u1 , u2 ) − β(v1 , v2 ) + i β(u1 , v2 ) + β(u2 , v1 ) ´ert´eket kell felvennie. Az egy´ertelm˝ us´eg ebb˝ol r¨ogt¨on ad´odik. M´asr´eszt ez a formula a keresett β C f¨ uggv´eny defin´ıci´oj´aul is szolg´alhat. Szimmetrikus β eset´en β C szimmetri´ aja is kiolvashat´o a formul´ab´ol. Ha W -ben R f¨ol¨ott b´ azist v´ alasztunk, akkor ez egy´ uttal W C sz´am´ara is b´azis C f¨ol¨ott, tov´abb´a C β m´ atrixa erre a b´ azisra n´ezve azonos lesz β m´atrix´aval. Ebb˝ol az utols´o all´ıt´ ´ as is k¨ ozvetlen¨ ul k¨ ovetkezik. 9.1.23. Defin´ıci´ o (Val´ os kvadratikus alak komplexifik´ altja). Ha q ∈ ∈ Q(W ) val´ os kvadratikus alak, legyen β : W × W → R a q-t sz´armaztat´o szimmetrikus biline´ aris f¨ uggv´eny, ´es tekints¨ uk a 9.1.22 szerinti β C komplexifik´ alt szimmetrikus biline´ aris f¨ uggv´enyt. A hozz´a tartoz´o (komplex ´ert´ek˝ u) kvadratikus alakot q komplexifik´altj´anak nevezz¨ uk ´es q C -vel jel¨olj¨ uk. Nyilv´ anval´ o, hogy q C | W = q, tov´abb´a hogy egy W -b˝ol v´alasztott b´azisban C q m´ atrixa ugyanaz, mint q-´e. 9.1.24. Defin´ıci´ o (Val´ os
m´ asodrend˝ u hiperfelu altja). ¨ let komplexifik´ Ha adott a [q] ∈ P Q(W ) m´asodrend˝ u hiperfel¨ ulet a P = P (W ) val´os projekt´ıv t´erben, akkor [q] komplexifik´altj´an [q]C = [q C ]-t, azaz a q kvadratikus alak komplexifik´ altja ´ altal reprezent´alt komplex m´asodrend˝ u hiperfel¨ uletet ´ertj¨ uk a P C = P (W C ) komplexifik´alt t´erben. A q C | W = q ´eszrev´etelb˝ ol k¨ ovetkezik, hogy a komplexifik´alt m´asodrend˝ u hiperfel¨ ulet k´ephalmaz´ anak a P val´os r´eszt´erbe es˝o r´esze megegyezik az eredeti hiperfel¨ ulettel, vagyis k[q C ] ∩ P = k[q]. Megjegyz´esek. (1) A 9.1.22–24-ben le´ırt komplexifik´aci´os elj´ar´as annak a k´ezenfekv˝ o m´ odszernek a koordin´atamentes megfogalmaz´asa, ahogyan val´os egy¨ utthat´ os polinomi´ alis egyenleteket egy´ uttal komplex egyenleteknek is tekinthet¨ unk. Ha koordin´ at´ akat haszn´alunk ´es a val´os m´asodrend˝ u hiperfel¨ uletet egyenlettel adjuk meg, akkor a komplexifik´alt hiperfel¨ ulet u ´gy sz´armazik, hogy ugyanazt az egyenletet a komplex koordin´at´akra vonatkoz´o egyenletnek tekintj¨ uk. (2) A komplexifik´ alt m´ asodrend˝ u hiperfel¨ ulet k´epe eg´eszen m´as jelleg˝ u ponthalmaz is lehet, mint az eredeti val´os hiperfel¨ ulet. Vegy¨ uk p´eld´aul a val´os m´asodrend˝ u g¨ orb´ek k¨ oz¨ ul az u ¨res alakzatot defini´al´o x21 +x22 +x23 = 0 egyenletet, ennek a g¨ orb´enek a komplexifik´altja, a komplex k´ upszelet v´egtelen sok pontot tartalmaz (p´eld´ aul az ¨ osszes [ cos α : sin α : i ] alak´ u pontot), ´es homeomorf egy g¨ ombfel¨ ulettel. Vagy tekints¨ uk a val´os s´ıkon az egyetlen [0 : 0 : 1] pontb´ ol ´ all´ o alakzatot defini´ al´ o x21 + x22 = 0 egyenletet, ennek a komplexifik´altja

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

´ pszeletek 9. Ku

285

k´et komplex egyenes (m´egpedig x1 + ix2 = 0 ´es x1 − ix2 = 0 ) egyes´ıt´ese, amelyek ebben a val´ os pontban metszik egym´ast.

9.2. Polarit´ as A nemelfajul´ o m´ asodrend˝ u hiperfel¨ uletek igen ´erdekes ´es a geometriai alkalmaz´ asok szempontj´ ab´ ol k¨ ul¨ on¨osen hasznos megfeleltet´est l´etes´ıtenek a projekt´ıv t´er pontjai ´es hipers´ıkjai k¨oz¨ott. Ezt a megfeleltet´est most r´eszletesen megvizsg´ aljuk.
R¨ ogz´ıt¨ unk P = P (W )-ben egy [q] ∈ P Q(W ) nemelfajul´o m´asodrend˝ u hiperfel¨ uletet. Jel¨ olje β : W ×W → F a q kvadratikus alakhoz tartoz´o szimmetrikus biline´ aris f¨ uggv´enyt. Legyen Φ : W → W ∗ a β-nak term´eszetes m´odon megfeleltetett line´ aris izomorfizmus, azaz β(u, v) = Φ(u)v (u, v ∈ W ). 9.2.1. Defin´ıci´ o (Konjug´ alt pontok). Az X = [x], Y = [y] ∈ P pontokat konjug´ alt pontoknak nevezz¨ uk [q]-ra n´ezve, ha β(x, y) = 0. A pontok konjug´ alts´ aga szimmetrikus rel´aci´o. Egy pont akkor ´es csak akkor konjug´ alt ¨ onmag´ aval, ha k[q]-hoz tartozik. ´ ıt´ 9.2.2. All´ as (1) B´ armely P -beli pont konjug´altjai hipers´ıkot alkotnak P -ben. (2) B´ armely P -beli hipers´ıkhoz egyetlen olyan P -beli pont l´etezik, amely a hipers´ık minden pontj´ anak konjug´altja. Bizony´ıt´ as: (1): Val´ oban, r¨ ogz´ıtett X = [x] ∈ P mellett Y = [y] ∈ P pontosan akkor konjug´ a ltja X-nek, ha 0 = β(x, y) = Φ(x)y, azaz X konjug´altjai
a P Ker (Φ(x)) hipers´ıkot alkotj´ak. (2): Ha adott a H = P (Ker α) hipers´ık, ahol α ∈ W ∗ , akkor csak olyan X = [x] ∈ P lehet H minden pontj´anak konjug´altja, amelyre Ker α ⊆ ⊆ Ker (Φ(x)), ahonnan [Φ(x)] = [α] k¨ovetkezik. Teh´at csakis X = [Φ−1 (α)] j¨ ohet sz´ oba. M´ asr´eszt az ´ıgy defini´alt X pont nyilv´an megfelel˝o. 9.2.3. Defin´ıci´ o (Pol´ aris, p´ olus). Az X ∈ P pont [q]-ra vonatkoz´o pol´ aris´ anak nevezz¨ uk azt a P -beli hipers´ıkot, amely X konjug´altjaib´ol ´all. A H ⊂ P hipers´ık [q]-ra vonatkoz´o p´olus´anak nevezz¨ uk azt a P -beli pontot, amelynek H a pol´ arisa. Ezt a hozz´ arendel´est [q]-ra vonatkoz´o polarit´asnak nevezz¨ uk. A polarit´as teh´ at P → P ∗ ´es P ∗ → P bijekt´ıv lek´epez´eseket l´etes´ıt, amelyek egym´as inverzei. (Itt P ∗ = P (W ∗ ) a P du´alisa, l. 8.1.4.)

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

286

Projekt´ıv geometria

Ha homog´en koordin´ at´ akkal adjuk meg az x vektort ´es B jel¨oli a q kvadratikus alak m´ atrix´ at, akkor 9.2.2.(1) bizony´ıt´as´ab´ol kiolvashat´o, hogy az X = [x] pontnak a [q]-ra vonatkoz´ o pol´arisa az a hipers´ık, amelynek az egyenlet´eben az egy¨ utthat´ ok a Bx vektor koordin´at´ai. ´ ıt´ 9.2.4. All´ as (1) A polarit´ as projekt´ıv transzform´aci´o P ´es P ∗ k¨oz¨ott. (2) A polarit´ as illeszked´estart´o, azaz ha az A ∈ P pont illeszkedik a H ⊂ P hipers´ıkra, akkor H p´ olusa illeszkedik A pol´aris´ara. Bizony´ıt´ as: Az (1) ´ all´ıt´ as igazol´as´ahoz vegy¨ uk ´eszre, hogy polarit´ast a Φ : : W → W ∗ line´ aris izomorfizmus induk´alja, ez´ert projektivit´as. A (2) ´all´ıt´ as ebb˝ ol azonnal k¨ ovetkezik. Az illeszked´estart´ast k¨onnyen meggondolhatjuk an´elk¨ ul is, hogy (1)-re hivatkozn´ank: ha A ∈ H, akkor H p´olusa ´es A konjug´ alt pontok, ´es emiatt H p´ olusa hozz´atartozik A pol´aris hipers´ıkj´ahoz. Megjegyz´es. A klasszikus projekt´ıv geometria sz´ohaszn´alat´aban a P → P ∗ kolline´ aci´ okat korrel´ aci´ oknak nevezik. Nem neh´ez bel´atni, hogy ha egy korrel´ aci´ o projekt´ıv transzform´ aci´o P ´es P ∗ k¨oz¨ott, ´es k´etszeri alkalmaz´asa P identikus lek´epez´es´et adja, akkor az valamely egy´ertelm˝ uen meghat´arozott nemelfajul´ o m´ asodrend˝ u g¨ orb´ere vonatkoz´o polarit´as : a korrel´aci´ob´ol a Φ line´ aris izomorfizmusra, majd abb´ol a β nemelfajul´o szimmetrikus biline´aris f¨ uggv´enyre k¨ ovetkeztethet¨ unk vissza. 9.2.5. P´ elda (G¨ ombre vonatkoz´ o polarit´ as euklideszi t´ erben) Legyen most F = R, ´es Pd = P (Rd+1 ) = Rd , az Rd euklideszi t´er projekt´ıv lez´ar´asa. Tekints¨ uk az Sd−1 euklideszi egys´egg¨ombre mint m´asodrend˝ u hiperfel¨ uletre vonatkoz´ o polarit´ ast a Pd projekt´ıv t´erben. Az Sd−1 -et defini´al´o kvadratikus alak m´ atrixa, ´es egy´ uttal a hozz´a tartoz´o Φ lek´epez´es m´atrixa a standard b´azisra vonatkoz´ oan diagon´ alis, m´egpedig rendre az 1, . . . ,1, −1 ´atl´oelemekkel. Valamely a = (a1 , . . . , ad ) ∈ Rd k¨oz¨ons´eges pont (azaz homog´en koordin´at´ akra ´ at´ırva az [a1 : . . . : ad : 1] pont) pol´arisa teh´at az a hipers´ık, amelynek ´ ırva Rd -beli Descartesa1 x1 + . . . + ad xd − xd+1 = 0 a homog´en egyenlete. At´ f´ele koordin´ at´ akra az a1 x1 + . . . + ad xd = 1 affin hipers´ıkot kapjuk. Az a 6= 0 esetben ehhez a hipers´ıkhoz pontosan azok az x ∈ Rd pontok tartoznak, amelyekre x · a = 1. Vegy¨ uk ´eszre, hogy ez a hipers´ık hat´ arolja azt az Fa f´elteret, amely a pol´aris halmazok 3.4.1-beli konstrukci´ oj´ aban szerepel (a szok´asos (Rd )∗ = Rd azonos´ıt´as mellett).

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

´ pszeletek 9. Ku

287

´ 9.2.6. Defin´ıci´ o (Erint˝ o). Legyen L ⊆ P egyenes. Azt mondjuk, hogy L ´erinti a [q] m´ asodrend˝ u hiperfel¨ uletet, ha L-nek ´es k[q]-nak egyetlen k¨oz¨os pontja van, vagy L ⊆ k[q]. Az els˝o esetben a k¨oz¨os pontot L ´erint´esi pontj´anak nevezz¨ uk. ´ ıt´ 9.2.7. All´ as. Legyen A ∈ k[q] ´es L ⊆ P egy A-n ´athalad´o tetsz˝oleges egyenes. Ekkor L pontosan akkor ´erinti [q]-t, ha r´esze A pol´aris´anak. Bizony´ıt´ as: Legyen A = [u] ´es r¨ogz´ıts¨ uk az L egyenes egy A-t´ol k¨ ul¨onb¨oz˝o B = [v] pontj´ at. Ekkor az L egyenes A-t´ol k¨ ul¨onb¨oz˝o pontjai a λu + v alak´ u vektorokkal reprezent´ alhat´ ok, ahol λ ∈ F tetsz˝oleges. Egy ilyen pont akkor ´es csak akkor illeszkedik k[q]-ra, ha 0 = q(λu + v) = λ2 q(u) + 2λ · β(u, v) + q(v) = 2λ · β(u, v) + q(v) , ami line´ aris egyenlet λ-ra n´ezve. Ha a β(u, v) f˝ oegy¨ utthat´ o nem z´erus, akkor egyetlen megold´as van, azaz Lnek ´es k[q]-nak k´et k¨ oz¨ os pontja van. Ilyenkor teh´at L nem ´erint˝o, ´es – miut´an A ´es B nem konjug´ altak – L nem r´esze A pol´aris´anak. Ha β(u, v) = 0, akkor vagy nincs megold´as, vagy minden λ megold´as. Mindk´et esetben L ´erint˝ o, ´es β(u, λu + v) = λq(u) + β(u, v) = 0 miatt L r´esze A pol´ aris´ anak. 9.2.8. K¨ ovetkezm´ eny. B´ armely A ∈ k[q]-ra [q]-nak az A ponton ´athalad´o ´erint˝ oi hipers´ıkot s¨ op¨ ornek, m´egpedig A pol´aris´at. ´ 9.2.9. Defin´ıci´ o (Erint˝ ohipers´ık). A H ⊂ P hipers´ıkot [q] ´erint˝ohipers´ıkj´ anak mondjuk, ha H p´ olusa illeszkedik k[q]-ra. A p´olust H ´erint´esi pontj´anak, H-t pedig az ebben a pontban h´ uzott ´erint˝ohipers´ıknak nevezz¨ uk. ´ ıt´ Megjegyz´es. A 9.2.7. All´ as bizony´ıt´as´ab´ol kiolvashat´o, hogy egy L = P (U ) egyenes (´es ´ıgy egy H = P (V ) hipers´ık is) akkor ´es csak akkor ´erinti a [q] m´ asodrend˝ u hiperfel¨ uletet, ha a q|U (illetve a q|V ) kvadratikus alak elfajul´o. K´ezenfekv˝ o teh´ at egy tetsz˝ oleges nem¨ ures S = P (V ) ⊂ P projekt´ıv alt´erre azt mondani, hogy S ´erinti [q]-t, ha q|V elfajul´o. Speci´alisan pontok eset´ere ez a k[q]-ra val´ o illeszked´est jelenti. ´ ıt´ 9.2.10. All´ as. Legyen B ∈ P − k[q] tetsz˝oleges pont ´es jel¨olje H a B pol´aris hipers´ıkj´ at. Ekkor a B ponton kereszt¨ ul [q]-hoz h´ uzhat´o ´erint˝oegyenesek pontosan az hA, Bi alak´ u egyenesek, ahol A ∈ H ∩ k[q]. Bizony´ıt´ as: Ha L ´erint˝ o ´es B ∈ L, akkor jel¨olje A az L ´erint´esi pontj´at. Ekkor 9.2.8 miatt A ´es B konjug´ altak, ez´ert A ∈ H ∩ k[q].

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

288

Projekt´ıv geometria

Megford´ıtva, ha A ∈ H ∩ k[q], akkor A ´es B konjug´altak, ez´ert 9.2.7 miatt az hA, Bi egyenes ´erint˝ o. 9.2.11. K¨ ovetkezm´ eny. Jel¨olje H = P (V ) a B ∈ P − k[q] pont pol´aris´at. Ha B-b˝ ol lehet ´erint˝ ot h´ uzni [q]-hoz, akkor a B-b˝ol [q]-hoz h´ uzott ´erint˝ok a H-beli nemelfajul´ o [q|V ] m´ asodrend˝ u hiperfel¨ uletre ´all´ıtott B cs´ ucs´ u k´ upot s¨ oprik. Bizony´ıt´ as: Val´ oban, a k¨ ovetkezm´eny H ∩ k[q] = k[q|V ] miatt 9.2.10-b˝ol ad´ odik. 9.2.12. K¨ ovetkezm´ eny. Ha d = 2 ´es A a P projekt´ıv s´ıknak a [q] nemelfajul´ o k´ upszelet k´ep´ehez nem tartoz´o pontja, akkor A-n kereszt¨ ul [q]-hoz vagy k´et ´erint˝ o h´ uzhat´ o, vagy egy sem. Bizony´ıt´ as: Ha A ∈ / k[q], akkor A nem tartozik hozz´a a pol´aris´ahoz. Ez´ert A pol´ arisa nem ´erint˝ oegyenes, azaz [q]-nak ezzel az egyenessel vett szelete nemelfajul´ o m´ asodrend˝ u hiperfel¨ ulet A pol´aris egyenes´en. Az egyenesen egy nemelfajul´ o m´ asodrend˝ u hiperfel¨ ulet k´epe csak 0 vagy 2 pontb´ol ´allhat (l. 9.1.5), ´ıgy 9.2.11 miatt A-n a´t vagy 0, vagy 2 ´erint˝o h´ uzhat´o. Megjegyz´esek. (1) Ha F algebrailag z´art (pl. F = C), akkor csak a k´et ´erint˝o esete fordulhat el˝ o. (2) Ha F = R ´es k[q] 6= ∅, akkor a 9.2.12-beli k´et eset aszerint ´all el˝o, hogy az A pont a k´ upszeletnek k¨ uls˝o vagy bels˝o pontja. A val´os projekt´ıv s´ıkon egy nemelfajul´ o, nem¨ ures k´ upszelet z´art g¨orbe, amely a s´ıkot k´et tartom´anyra v´ agja; ezek k¨ oz¨ ul az egyik tartalmaz egyenest (ez a k´ upszelet k¨ ulseje), a m´asik nem (ez a k´ upszelet belseje). Ebb˝ol r¨ogt¨on l´atszik, hogy egy projektivit´as a k´ upszelet belsej´et sz¨ uks´egk´eppen a k´epk´ upszelet belsej´ere, k¨ ulsej´et a k¨ ulsej´ere k´epezi. K¨ onnyen meggondolhat´o, hogy ezek nem is homeomorf tartom´anyok : a k´ upszelet belseje a ny´ılt k¨orlemezzel, m´ıg k¨ ulseje a ny´ılt M¨obius-szalaggal homeomorf. (3) Legyen P az E euklideszi s´ık projekt´ıv lez´ar´asa. Egy P -beli nemelfajul´o ´es nem¨ ures k´ephalmaz´ u k´ upszelet aszerint ellipszis, parabola vagy hiperbola projekt´ıv lez´ ar´ asa, hogy E ide´alis egyenes´enek 0, 1, illetve 2 k¨oz¨os pontja van a g¨ orb´evel. Az ide´ alis egyenes ´erinti a parabol´at. A hiperbola ide´alis pontbeli ´erint˝ oi az aszimptot´ ak.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

´ pszeletek 9. Ku

289

9.2.13. T´ etel. Legyen A, B ∈ k[q] k´et k¨ ul¨onb¨oz˝o pont ´es tegy¨ uk fel, hogy az hA, Bi egyenes nem fekszik k[q]-ban. Az hA, Bi szel˝o k´et tov´abbi X ´es Y pontja akkor ´es csak akkor konjug´alt [q]-ra n´ezve, ha (ABXY ) = −1.

Bizony´ıt´ as: Legyen L = hA, Bi. A tett feltev´esek mellett nyilv´an {A, B} = = L ∩ k[q]. Az L egyenesnek b´armely A-t´ol ´es B-t˝ol k¨ ul¨onb¨oz˝o X pontj´ahoz egy´ertelm˝ uen tal´ alhat´ o olyan Y ∈ L pont, amely X-nek konjug´altja, hiszen X pol´ arisa egy X-et nem tartalmaz´o hipers´ık, amely ´ıgy L-et egyetlen pontban metszi. A konjug´ alts´ ag szimmetrikus rel´aci´o, ez´ert az L−{A, B} halmaz pontjait p´ arokba ´ all´ıtja. Ugyancsak p´arokba ´all´ıtja ezeket a pontokat az {A, B}-re vonatkoz´ o harmonikus viszony is. Azt kell bel´atnunk, hogy a k´et p´arba ´all´ıt´as azonos. Ehhez elegend˝ o annyit bel´atni, hogy ha (ABXY ) = −1, akkor X ´es Y konjug´ altak, hiszen a megford´ıt´as ekkor m´ar indirekt u ´ton nyilv´anval´o. Tegy¨ uk fel teh´ at, hogy (ABXY ) = −1. V´alasszunk reprezent´ans vektorokat el˝ osz¨ or X ´es Y sz´ am´ ara: X = [x], Y = [y], majd ´ırjuk fel A egy reprezent´ans vektor´ at a = λx + µy alakban. Ekkor (ABXY ) = −1 miatt a b = λx − µy vektor a B pontot reprezent´ alja. Miut´an A ´es B a [q] m´asodrend˝ u hiperfel¨ ulet pontjai, q(a) = 0 ´es q(b) = 0, azaz 0 = β(λx + µy, λx + µy) = λ2 q(x) + 2λµ · β(x, y) + µ2 q(y) ´es 0 = β(λx − µy, λx − µy) = λ2 q(x) − 2λµ · β(x, y) + µ2 q(y) , ahonnan 4λµ · β(x, y) = 0 k¨ovetkezik. Itt λ, µ 6= 0, ´ıgy char F 6= 2 miatt 4λµ 6= 0. Ez´ert β(x, y) = 0, azaz X ´es Y konjug´altak. 9.2.14. P´ elda (Polarit´ as az egyenesen). Tegy¨ uk f¨ol, hogy d = 1 ´es [q] nemelfajul´ o m´ asodrend˝ u hiperfel¨ ulet az L projekt´ıv egyenesen. Miut´an a hipers´ıkok most pontok, a [q]-ra vonatkoz´o polarit´as pontoknak pontokat feleltet meg, teh´ at egy p : L → L lek´epez´esk´ent foghat´o fel. Ha k[q] 6= ∅, azaz [q] k´epe valamely {A, B} pontp´ar az L egyenesen, akkor a 9.2.13. T´etel alapj´ an ez a lek´epez´es ´eppen az A, B fixpont´ u harmonikus invol´ uci´ o. Ezt az ´eszrev´etelt kiterjeszthetj¨ uk az ´altal´anos esetre is (amikor k[q] = ∅ is lehet). Tekinthetj¨ uk ugyanis a polarit´as ´altal 9.2.4.(1) szerint adott L → L∗ projektivit´ ast. Ezt az´ altal tudjuk L → L lek´epez´esnek tekinteni, hogy dim L = 1-nek k¨ osz¨ onhet˝ oen term´eszetes azonos´ıt´as ´all fenn L ´es L∗ k¨oz¨ott

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

290

Projekt´ıv geometria

(l. a 8.3.5 ut´ ani negyedik megjegyz´est). Ez az azonos´ıt´as is projektivit´as, ez´ert az egyenesen ´ertelmezett p : L → L polarit´as is projektivit´as. Miut´an a pontok konjug´ alts´ aga szimmetrikus rel´aci´o, p invol´ uci´o az L egyenesen. A 9.2.13. T´etel al´ abbi k¨ ovetkezm´enye jelent˝os szerepet fog j´atszani a 9.4. szakaszban, ´es k´es˝ obb a hiperbolikus geometria projekt´ıv modellj´evel kapcsolatos vizsg´ alatainkban. 9.2.15. K¨ ovetkezm´ eny. Legyen A ∈ P − k[q] ´es legyen H az A pont pol´aris hipers´ıkja [q]-ra n´ezve. Ekkor a hA,H : P → P harmonikus invol´ uci´o a k[q] halmazt ¨ onmag´ ara k´epezi. A 9.2.13. T´etelnek sz´ amos ´erdekes alkalmaz´asa ismeretes a k´ upszeletek elemi geometri´ aj´ aban. Ezek k¨ oz¨ ul az al´abbi ´all´ıt´ast emelj¨ uk ki. 9.2.16. K¨ ovetkezm´ eny. A val´os affin s´ıkon egy ellipszis, parabola vagy hiperbola p´ arhuzamos h´ urjainak felez˝opontjai kolline´arisak. Bizony´ıt´ as: Val´ oban, 9.2.13 miatt mindegyik felez˝opont konjug´altja a h´ urokat tart´ o egyenesek k¨ oz¨ os ide´ alis pontj´anak, ez´ert illeszkedik ennek az ide´alis pontnak a pol´ aris´ ara. Ennek a szakasznak a h´ atralev˝o r´esz´eben azt vizsg´aljuk meg, hogyan lehet ´ ıt´ast) olyan ´all´ıt´asokra kiterjeszteni, amelyeka dualit´ as elv´et (l. a 8.3.5. All´ ben k´ upszeletek is szerepelhetnek. Vil´agos, mit kell a k´ upszelet fogalm´anak du´ alis´ an ´erten¨ unk: m´ asodrend˝ u g¨orb´et a du´alis projekt´ıv s´ıkban. A k´erd´es az, hogy ennek a k´ephalmaza (mint a du´alis s´ıkban fekv˝o ponthalmaz) mif´ele egyeneshalmazt jelent az eredeti s´ıkban. Ezt a k´erd´est az´altal tessz¨ uk konkr´ett´ a, hogy tov´ abbra is r¨ogz´ıtettnek tekint¨ unk a P projekt´ıv s´ıkban egy [q] nemelfajul´ o m´ asodrend˝ u g¨orb´et, amely a r´a vonatkoz´o polarit´as r´ev´en egy P → P ∗ projekt´ıv izomorfizmust r¨ogz´ıt. A du´alis s´ıkban fekv˝o k´ upszelet k´ephalmaz´ ara teh´ at u ´gy tekinthet¨ unk, mint valamely P -beli [r] k´ upszelethez tartoz´ o pontok [q]-ra vonatkoz´o pol´arisainak a halmaz´ara. Ha ez az [r] k´ upszelet nemelfajul´ o, akkor a k´erd´esre a v´alaszt az al´abbi t´etel adja meg. A t´etel nem csak s´ıkban, hanem tetsz˝oleges dimenzi´oban ´erv´enyes. R¨ogz´ıtettnek tekintj¨ uk teh´ at a d-dimenzi´ os P projekt´ıv t´erben a [q] nemelfajul´o m´asodrend˝ u hiperfel¨ uletet.
9.2.17. T´ etel. Legyen [r] ∈ P Q(W ) nemelfajul´o m´asodrend˝ u hiperfel¨ ulet. Ekkor l´etezik P -ben olyan [s] nemelfajul´o m´asodrend˝ u hiperfel¨ ulet, hogy a H = {A pol´arisa [q]-ra n´ezve : A ∈ k[r] } hipers´ıkhalmaz pontosan az [s] hiperfel¨ ulet ´erint˝ohipers´ıkjaib´ol ´all.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

´ pszeletek 9. Ku

291

Bizony´ıt´ as: Abban a speci´ alis esetben, amikor [r] ´eppen megegyezik a [q] m´ asodrend˝ u hiperfel¨ ulettel, a 9.2.9. Defin´ıci´o alapj´an [s] is v´alaszthat´o [q]val azonosnak. Az ´ altal´ anos esetben megmutatjuk, hogy [r]-nek egy alkalmas projekt´ıv transzform´ aci´ on´ al sz´ armaz´ o k´epe lesz [s]. Ehhez ¨ossze kell vetn¨ unk az [r]-re vonatkoz´ o polarit´ ast a [q]-ra vonatkoz´oval. Jel¨ olje p[r] ´es p[q] az [r]-re, illetve [q]-ra vonatkoz´o P → P ∗ polarit´ast, ezek 9.2.4.(1) szerint projekt´ıv transzform´aci´ok. A P ∗ du´alis projekt´ıv t´er elemeit a P -beli hipers´ıkokkal tekintj¨ uk azonosnak, ez´altal a t´etelbeli H hipers´ıkhalmaz
a p[q] (k[r]) r´eszhalmazzal azonos P ∗ -ban. Nyilv´an H = p[q] p−1 [r] (p[r] (k[r])) , ´es itt a H[r] = p[r] (k[r]) halmazr´ol az el¨olj´ar´oban tiszt´azott speci´alis eset miatt m´ ar tudjuk, hogy egy m´asodrend˝ u hiperfel¨ ulet (nevezetesen [r]) ´erint˝ ohipers´ıkjaib´ ol ´ all. A H hipers´ıkhalmaz pedig a H[r] halmaznak a p[q] ◦ p−1 [r] : ∗ ∗ : P → P projekt´ıv transzform´aci´on´al sz´armaz´o k´epe. Gondoljuk meg, hogy b´ armely g : P ∗ → P ∗ projekt´ıv transzform´aci´o valamely (egy´ertelm˝ uen meghat´ arozott) f : P → P projekt´ıv transzform´aci´onak az adjung´ altja”, azaz az f ´ altal a hipers´ıkok halmaz´an l´etes´ıtett lek´epez´es. ” Val´ oban, ha g = [ψ], ahol ψ ∈ GL(W ∗ ), akkor ψ line´aris algebrai ´ertelemben vett adjung´ altja, teh´ at az a ϕ ∈ GL(W ) lek´
epez´es, amelyre ψ(α) = α◦ϕ (α ∈ ∈ W ∗ ), induk´ alja f -et, hiszen f P (Ker α) = P (ϕ(Ker α)) = P (Ker ψ(α)) = = g([α]) tetsz˝ oleges α ∈ W ∗ , α 6= 0 eset´en. L´etezik teh´ at olyan f = [ϕ] : P → P projektivit´as, amelyn´el a H[r] halmazhoz tartoz´ o hipers´ıkok ´eppen a H-beliekre k´epez˝odnek. Ez´ert H pontosan az [r] m´ asodrend˝ u hiperfel¨ ulet f -n´el sz´armaz´o k´ep´enek, azaz annak az [s] m´asodrend˝ u hiperfel¨ uletnek az ´erint˝ohipers´ıkjaib´ol ´all, amelyre s = r ◦ ϕ−1 . Megjegyz´esek. (1) Ha W -ben r¨ogz´ıt¨ unk egy b´azist, amelyre vonatkoz´oan q m´ atrixa B, ´es r m´ atrixa C, akkor a t´etel bizony´ıt´as´aban sz´armaztatott s kvadratikus alak m´ atrixa BC −1 B. Ennek alapj´an a t´etel ´all´ıt´as´at nem volna neh´ez csup´ an m´ atrixokkal t¨ort´en˝o sz´amol´as u ´tj´an ellen˝orizni. (2) A t´etelben csak [s] l´etez´es´et ´all´ıtottuk, egy´ertelm˝ us´eg´et nem. Az u ¨res k´ephalmaz´ u m´ asodrend˝ u hiperfel¨ ulet p´eld´aja mutatja, hogy az egy´ertelm˝ us´eg ´ altal´ aban nem is igaz. Viszont ha az alaptest algebrailag z´art, akkor [s] egy´ertelm˝ uen l´etezik. (3) A 9.2.17. T´etelb˝ ol k¨ onnyen k¨ovetkezik az a konvex geometriai t´etel, hogy euklideszi vektort´erben egy orig´o k¨oz´eppont´ u ellipszoidtest pol´aris halmaza szint´en ellipszoidtest (v¨ o. 9.2.5). K¨onnyen ellen˝orizhet˝o ugyanis (p´eld´aul az (1) megjegyz´est haszn´ alva), hogy ha [q] az egys´egg¨omb ´es [r] egy orig´o k¨oz´eppont´ u ellipszoid, akkor [s] is orig´o k¨oz´eppont´ u ellipszoid.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

292

Projekt´ıv geometria

9.2.18. Defin´ıci´ o (Vonalk´ upszelet). Legyen d = 2. A P projekt´ıv s´ıkban vonalk´ upszeleteknek nevezz¨ uk a P ∗ du´alis projekt´ıv s´ık m´asodrend˝ u g¨orb´eit. Egy P -beli vonalk´ upszelet k´ephalmaz´anak azt a P -beli egyeneshalmazt tekintj¨ uk, amely a sz´ oban forg´o m´asodrend˝ u g¨orbe P ∗ -beli k´ephalmaz´anak P -ben megfelel. A 9.2.17. T´etel alapj´an tudjuk, hogy b´armely nemelfajul´o vonalk´ upszelet k´ephalmaza valamely (eredeti ´ertelemben vett) nemelfajul´o k´ upszelet ´erint˝ oegyeneseib˝ ol ´all. A tov´abbiakban, ha erre a megk¨ ul¨onb¨oztet´esre sz¨ uks´eg van, az eredeti P -beli k´ upszeleteket pontk´ upszeletnek is nevezhetj¨ uk. 9.2.19. P´ elda (Projekt´ıv k´ epz˝ odm´ eny mint vonalk´ upszelet). A 8.7.19. T´etel ´es a 9.1.12. P´elda dualiz´al´as´aval, valamint a 9.2.17. T´etel alkalmaz´as´aval nyerj¨ uk, hogy ha a projekt´ıv s´ık k´et k¨ ul¨onb¨oz˝o egyenese k¨oz¨ott adott egy projekt´ıv, de nem perspekt´ıv megfeleltet´es, akkor ennek a k´epz˝odm´enye, azaz az egym´ asnak megfeleltetett pontokat ¨osszek¨ot˝o egyenesek rendszere egy nemelfajul´ o vonalk´ upszelet k´ephalmaza, teh´at valamely, a projekt´ıv s´ıkban fekv˝ o nemelfajul´ o pontk´ upszelet ´erint˝oib˝ol ´all. 9.2.20. P´ elda (Parabola). Konkr´et p´elda gyan´ant tekints¨ uk az euklideszi s´ık k´et nem p´ arhuzamos egyenes´et, mozogjon rajtuk egy-egy pont egyenletes sebess´eggel u ´gy, hogy a metsz´esponton k¨ ul¨onb¨oz˝o pillanatokban haladnak at. Minden id˝ ´ opillanatban k¨oss¨ uk ¨ossze a k´et pontot egy egyenessel. Az ´ıgy nyert egyenesek mindannyian egy nemelfajul´o k´ upszeletet ´erintenek. A k´et egyenes k¨ ozti megfeleltet´es affin, ez´ert az euklideszi s´ık projekt´ıv lez´ar´as´aban az ide´ alis pontjaikat egym´ asnak felelteti meg. Emiatt az ide´alis egyenes ´erinti a projekt´ıv k´epz˝ odm´enyt, ami ´ıgy csak parabola lehet.

9.3. K´ upszeletsorok 9.3.1. Defin´ıci´ o (M´ asodrend˝ u hiperfelu ¨ letsor). Legyen P = P (W ) pro-
jekt´ıv t´er, d = dim P ≥ 1. A P -beli m´asodrend˝ u hiperfel¨ uletek a P Q(W ) projekt´ıv teret alkotj´ ak. Ennek a projekt´ıv t´ernek az egyeneseit P -beli m´asodrend˝ u hiperfel¨ uletsoroknak nevezz¨ uk. Ha teh´ at q1 ´es q2 k´et line´ arisan f¨ uggetlen kvadratikus alak a W vektort´eren, akkor a q1 (x) = 0 ´es q2 (x) = 0 egyenlet˝ u m´asodrend˝ u hiperfel¨ uletek egy´ertelm˝ uen foglalhat´ ok m´ asodrend˝ u hiperfel¨ uletsorba, m´egpedig abba, amelynek a tagjait a λ1 q1 (x)+λ2 q2 (x) = 0 egyenletek ´ırj´ak le, ahol a λ1 ´es λ2 egy¨ utthat´ok k¨ oz¨ ul nem mindkett˝ o 0. Ha d = 2, akkor a m´ asodrend˝ u hiperfel¨ uletsort k´ upszeletsornak, ha d = 1, akkor m´ asodrend˝ u pontp´ arsornak nevezz¨ uk.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

´ pszeletek 9. Ku

293

Megjegyz´es. Egy m´ asodrend˝ u hiperfel¨ uletsornak ´altal´aban elfajul´o tagjai is vannak. S˝ ot az is el˝ ofordulhat, hogy egy m´asodrend˝ u hiperfel¨ uletsor o¨sszes tagja elfajul´ o. Szok´ as mag´ at a m´asodrend˝ u hiperfel¨ uletsort nemelfajul´onak nevezni, ha l´etezik legal´ abb egy nemelfajul´o tagja. P´eld´aul a projekt´ıv egyenesen b´ armely m´ asodrend˝ u pontp´arsor nemelfajul´o (ha ugyanis x21 = 0 ´es 2 x2 = 0 k´et elfajul´ o pontp´ ar egyenlete, akkor az ´altaluk gener´alt pontp´arsorhoz hozz´ atartozik x21 + x22 = 0 is, amely char F 6= 2 miatt nemelfajul´o ´ pontp´ ar egyenlete). Altal´ aban, ha valamilyen r¨ogz´ıtett
b´azisra vonatkoz´oan q1 m´ atrixa M1 , q2 -´e M2 , akkor a h[q1 ], [q2 ]i ⊆ P Q(W ) m´asodrend˝ u hiperfel¨ uletsor elfajul´ o tagjait a det(λ1 M1 + λ2 M2 ) = 0 egyenlet hat´arozza meg. Ez, ha nem azonosan z´erus, akkor homog´en (d + 1)-edfok´ u polinomi´alis egyenlet a (λ1 , λ2 ) egy¨ utthat´ op´ arra n´ezve. ´Igy algebrailag z´art test f¨ol¨ott p´eld´aul minden m´ asodrend˝ u hiperfel¨ uletsor tartalmaz elfajul´o tagot (s˝ot alkalmasan defini´ alt multiplicit´ assal sz´ amolva a nemelfajul´o m´asodrend˝ u hiperfel¨ uletsorok pontosan (d + 1)-et). P´ aros d eset´en R f¨ol¨ott is van nemtrivi´alis gy¨ok, ez´ert p´eld´ aul a val´ os projekt´ıv s´ıkon b´armely k´ upszeletsornak sz¨ uks´egk´eppen van elfajul´ o tagja. 9.3.2. Defin´ıci´ o (Tart´ opont). Legyen Q m´asodrend˝ u hiperfel¨ uletsor P ben. Az A ∈ P pontot Q tart´opontj´anak nevezz¨ uk, ha minden [q] ∈ Q-ra A ∈ k[q]. Nincs minden m´ asodrend˝ u hiperfel¨ uletsornak tart´opontja : ha k[q1 ] ∩ k[q2 ] = = ∅, akkor Q = h[q1 ], [q2 ]i-nak nyilv´an nem lehet tart´opontja. ´ ıt´ 9.3.3. All´ as. Legyen Q m´ asodrend˝ u hiperfel¨ uletsor P -ben ´es A ∈ P . Ekkor vagy A tart´ opontja Q-nak, vagy pedig pontosan egy olyan [q] ∈ Q l´etezik, amelyre A ∈ k[q]. Bizony´ıt´ as: Legyen Q = h[q1 ], [q2 ]i. Ha A = [a] ´es q1 (a) = q2 (a) = 0, akkor q(a) = 0 b´ armely q = λ1 q1 + λ2 q2 -re, azaz A tart´opontja Q-nak. Ha pedig q1 (a) ´es q2 (a) k¨ oz¨ ul legal´ abb az egyik nem 0, akkor a λ1 q1 (a) + λ2 q2 (a) = = 0 egyenletnek ar´ anyoss´ ag erej´eig egy´ertelm˝ uen l´etezik nemtrivi´alis (λ1 , λ2 ) megold´ asa (m´egpedig λ1 = q2 (a), λ2 = −q1 (a)), ezekkel ´es ar´anyoss´ag erej´eig csak ezekkel az egy¨ utthat´ okkal lesz q(a) = 0. Megjegyz´es. Amikor a projekt´ıv s´ık k´ upszeletsorait vizsg´aljuk, illetve alkalmazzuk, azok legt¨ obbsz¨ or tart´opontjaik seg´ıts´eg´evel vannak megadva. Ennek a felt´eteleit tiszt´ azzuk az al´ abbiakban. 9.3.4. T´ etel. Legyen d = 2 ´es tegy¨ uk f¨ol, hogy A1 , A2 , A3 , A4 a P projekt´ıv s´ık n´egy k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o pontja, amelyek nem illeszkednek egy egyenesre. Ekkor azok a m´ asodrend˝ u g¨orb´ek, amelyek ´athaladnak az A1 , A2 , A3 , A4

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

294

Projekt´ıv geometria

pontokon, k´ upszeletsort alkotnak P -ben, amelynek ez a n´egy pont tart´opontja. Ha a n´egy pont k¨ oz¨ ott nincs h´arom kolline´aris, akkor a k´ upszeletsornak m´ as tart´ opontja nincsen. Bizony´ıt´ as: Legyen i = 1,2,3,4 -re Ai = [ai ], ekkor a q(ai ) = 0 felt´etel homog´en line´ aris egyenlet q-ra. Bel´atjuk, hogy ez a n´egy egyenlet line´arisan f¨ uggetlen. Ebb˝ ol m´ ar k¨ ovetkezik, hogy k´ upszeletsort kapunk, ugyanis ekkor dim Q(W ) = 6 miatt a {q ∈ Q(W ) : q(ai ) = 0 (i = 1,2,3,4)} alt´er 2dimenzi´ os, ´es ´ıgy projektiviz´ altja egyenes. Megmutatjuk p´eld´ aul, hogy a negyedik egyenlet f¨ uggetlen az els˝o h´aromt´ol, ´es ugyanilyen m´ odon nyerhet˝o b´armelyik¨ uk f¨ uggetlens´ege a t¨obbit˝ol. Legyen 1 ≤ i, j ≤ 4 -re lij = 0 az hAi , Aj i egyenes homog´en line´aris egyenlete. Tekints¨ uk az A1 , A2 , A3 pontok ´altal p´aronk´ent kifesz´ıtett egyeneseket. Ak´ar kolline´ aris ez a h´ arom pont, ak´ar nem, mindig lehet k´et olyan pontp´art k¨oz¨ ul¨ uk kiv´ alasztani, hogy A4 nem illeszkedik az ´altaluk meghat´arozott (egy vagy k´et) egyenesre. Legyen p´eld´aul {A1 , A2 } ´es {A2 , A3 } k´et ilyen pontp´ar. Ekkor l12 · l23 ∈ Q(W ), (l12 · l23 )(a1 ) = (l12 · l23 )(a2 ) = (l12 · l23 )(a3 ) = 0, de (l12 · l23 )(a4 ) 6= 0. Emiatt a negyedik egyenletnek f¨ uggetlennek kell lennie az els˝ o h´ aromt´ ol, hiszen k¨ ul¨ onben (l12 · l23 )(a4 ) = 0 k¨ovetkezne. Az A1 , A2 , A3 , A4 pontok nyilv´anval´oan tart´opontjai a sz´oban forg´o k´ upszeletsornak. Tegy¨ uk f¨ ol, hogy a n´egy pont k¨oz¨ott nincs h´arom kolline´aris, bel´ atjuk, hogy m´ as tart´ opont nincsen. Tekints¨ uk az [l12 · l34 ] ´es [l13 · l24 ] m´asodrend˝ u g¨ orb´eket. Mindkett˝o egyenesp´arr´a elfajul´o k´ upszelet. Mindkett˝o a k´ upszeletsorhoz tartozik ´es m´ar ennek a k´et k´ upszeletnek sincs az A1 , A2 , A3 , A4 pontokon k´ıv¨ ul m´ as k¨oz¨os pontja. Megjegyz´es. Nyilv´ anval´ o, hogy ha a 9.3.4-beli n´egy pont k¨oz¨ott van h´arom kolline´ aris, akkor a keletkez˝ o k´ upszeletsor minden tagja elfajul´o. Ha p´eld´aul A1 , A2 ´es A3 egy L ⊂ P egyenesre illeszkedik, akkor k¨onnyen meggondolhat´ o, hogy a k´ upszeletsor tagjai pontosan azok az egyenesp´arok, amelyek L-b˝ol ´es egy tetsz˝ oleges, A4 -en ´ athalad´o egyenesb˝ol ´allnak. Ha a n´egy pont k¨oz¨ott semelyik h´ arom sem kolline´ aris, akkor a k´ upszeletsor nemelfajul´o (l. 9.3.10), ´es h´ arom elfajul´ o tagja van, m´egpedig a n´egy pontra illeszthet˝o h´arom egyenesp´ ar. 9.3.5. Defin´ıci´ o (K¨ ori pontok). Tekints¨ uk az E euklideszi s´ık E projekt´ıv C lez´ ar´ as´ at, valamint annak komplexifik´altj´at, az E komplex projekt´ıv s´ıkot. A ∞E ide´ alis egyenesen az ortogon´alis invol´ uci´onak (k¨oz¨ons´eges pont k¨or¨ uli π/2 sz¨ og˝ u forgat´ asnak) val´ os fixpontja nincsen, de a komplexifik´alt ide´alis egyenesen 8.6.15 alapj´ an k´et fixpontja van. Ezt a k´et ∞C E -beli pontot az E s´ık k¨ ori pontjainak nevezz¨ uk. Vezess¨ uk be az x1 , x2 Descartes-f´ele koordin´at´akat E-ben, ekkor az ide´alis egyenes pontjai homog´en koordin´at´akkal megadva [x1 : x2 : 0] alak´ uak. Az

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

´ pszeletek 9. Ku

295

ortogon´ alis invol´ o az [x1 : x2 : 0] ponthoz [−x2 : x1 : 0]-t rendeli, ez´ert  uci´ 0 −1 fixpontjait a m´ atrixnak a (0 harmadik koordin´at´aval kieg´esz´ıtett) 1 0 saj´ atvektorai reprezent´ alj´ ak. Ez´ert a k´et k¨ori pont (a Descartes-f´ele koordin´ atarendszer megv´ alaszt´ as´ at´ol f¨ uggetlen¨ ul) homog´en koordin´at´akkal fel´ırva [1 : i : 0] ´es [1 : −i : 0]. Nem neh´ez meggondolni, hogy a k¨ori pontokat nemcsak az ortogon´alis invol´ uci´ o, hanem minden E-beli forgat´as, s˝ot E-nek minden ir´any´ıt´astart´o hasonl´ os´ agi transzform´ aci´ oja is fixen hagyja, az ir´any´ıt´asv´alt´o hasonl´os´agok pedig C felcser´elik ˝ oket. Ezek a tulajdons´agok jellemzik is a hasonl´os´agokat az E komplex projekt´ıv s´ık azon projektivit´asainak a k¨or´eben, amelyek E-t saj´at mag´ aba k´epezik (azaz amelyek komplexifik´aci´oval keletkeznek E valamely val´ os projekt´ıv transzform´ aci´oj´ab´ol). A k¨ ori pontok elnevez´es´et az al´abbi ´eszrev´etel magyar´azza. Tekints¨ uk az R2 euklideszi koordin´ atas´ıkon az a11 x21 + 2a12 x1 x2 + a22 x22 + 2a13 x1 + 2a23 x2 + a33 = 0 affin m´ asodrend˝ u g¨ orb´et. Ez a g¨orbe akkor ´es csak akkor k¨or (megengedve most a z´erus sugar´ u, elfajul´ o pontk¨or” ´es a negat´ıv sug´arn´egyzet˝ u k´epzetes ” ” k¨ or” eset´et is), ha a11 = a22 6= 0 ´es a12 = 0. Ez a felt´etel pedig azzal egyen´ert´ek˝ u, hogy a k´et k¨ ori pont kiel´eg´ıti a 8.4.4 szerint homog´en koordin´at´akra at´ırt egyenletet. Az euklideszi s´ıkon teh´at egy val´os k´ ´ upszelet pontosan akkor k¨ or (esetleg egypont´ u vagy k´epzetes k¨or), ha a projekt´ıv lez´ar´as´anak a komplexifik´ altja ´ athalad a k´et k¨ ori ponton. (Vegy¨ uk ´eszre, hogy ha az egyik k¨ori C ponton ´ athalad, akkor a m´ asikon is, hiszen az E -beli komplex konjug´al´as a k´et k¨ ori pontot felcser´eli, m´ıg a val´os k´ upszelet komplexifik´altj´at ¨onmag´ara k´epezi.) A k¨ ori pontok ´es a k´ upszeletek ´erdekes kapcsolat´at mutatja a k¨ovetkez˝o p´elda. 9.3.6. P´ elda. Legyen K ellipszis, parabola vagy hiperbola az E euklideszi C C s´ıkban, jel¨ olje K a K projekt´ıv lez´ar´as´anak a komplexifik´altj´at E -ben. C C H´ uzzunk ´erint˝ oket K egy f´ okusz´ab´ol K -hez az E komplexifik´alt projekt´ıv t´erben. Azt ´ all´ıtjuk, hogy ennek a k´et egyenesnek az ide´alis pontjai ´eppen a k¨ ori pontok. A sz´ amol´ ast csak az ellipszis eset´eben v´azoljuk, a m´asik k´et k´ upszelet hasonl´ o m´ odon kezelhet˝o. Feltehetj¨ uk, hogy az ellipszis a Descartes-f´ele koordin´atarendszerhez k´epest a 9.1.21 szerinti kanonikus helyzetben van, azaz egyenlete x2 /a2 + y 2 /b2 = = 1 alak´ u, f´ okuszai a (±c,0) pontok. Az ellipszist defini´al´o kvadratikus alak m´ atrixa diagon´ alis, az ´ atl´ oban rendre az 1/a2 , 1/b2 , −1 elemekkel. Ez´ert a [c : 0 : 1] homog´en koordin´ at´ aj´ u f´okusz pol´aris´anak az egyenlete 9.2.3 alapj´an

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

296

Projekt´ıv geometria

(c/a2 )x1 − x3 = 0. Ez az egyenes az ellipszis komplexifik´altj´at az [a2 : ib2 : c] ´es [a2 : −ib2 : c] pontokban metszi (felhaszn´alva, hogy c2 = a2 − b2 ). Ezek a pontok teh´ at a [c : 0 : 1] f´ okuszb´ol h´ uzhat´o ´erint˝ok ´erint´esi pontjai (l. 9.2.10). A f´ okuszt ezekkel a pontokkal ¨osszek¨ot˝o egyenesek, azaz a k´erd´eses ´erint˝ok egyenletei teh´ at −ib2 x1 + b2 x2 + ib2 cx3 = 0, illetve ib2 x1 + b2 x2 − ib2 cx3 = 0. Ezek ide´ alis pontjai val´ oban az [1 : i : 0], [1 : −i : 0] k¨ori pontok. 9.3.7. P´ elda (K¨ orsorok). Legyen K1 ´es K2 k´et k¨or az E euklideszi s´ıkon. Haszn´ aljunk Descartes-f´ele koordin´at´akb´ol sz´armaztatott homog´en koordin´ at´ akat az E projekt´ıv s´ıkon, ´es legyen q1 (x) = 0, illetve q2 (x) = 0 a k¨or¨ok egyenlete, ahol q1 , q2 ∈ Q(R3 ). A q1C ´es q2C komplexifik´alt kvadratikus alakok C altal az E komplex projekt´ıv s´ıkon gener´alt k´ ´ upszeletsornak 9.3.3 alapj´an mindk´et k¨ ori pont tart´ opontja. Ez´ert a val´os r´eszs´ıkra, azaz E-ra szor´ıtkozva a k´ upszeletsor minden nemelfajul´o tagja k¨or. Miut´an k´et k¨oregyenlet alkalmas kombin´ aci´ ojak´ent a hatv´anyvonalb´ol ´es az ide´alis egyenesb˝ol ´all´o elfajul´o m´ asodrend˝ u g¨ orbe egyenlete is el˝o´all, ´es ilyen g¨orb´eb˝ol a k´ upszeletsor csak egyet tartalmazhat, a sz´ oban forg´o k¨orrendszer b´armely k´et tagj´anak k¨oz¨os a hatv´ anyvonala (megengedve az u ¨res hatv´anyvonal, azaz koncentrikus k¨or¨ok eset´et is). Teh´ at a K1 ´es K2 ´altal gener´alt k´ upszeletsor k¨orsor. Az E euklideszi s´ıkon a k¨ orsorok teh´at u ´gy ´allnak el˝o, hogy olyan E-beli k´ upszeletsoroknak tekintj¨ uk az E-be es˝o r´esz´et, amelyek komplexifik´altj´anak a k´et k¨ ori pont tart´ opontja. A koncentrikus k¨orsoroknak nincs tov´abbi tart´opontja, az ´erintkez˝ o k¨ orsoroknak egy tov´abbi tart´opontja van, az Apoll´onioszf´ele ´es a metsz˝ o k¨ orsoroknak kett˝o. A metsz˝o k¨orsor eset´eben a k´et tov´abbi tart´ opont a val´ os s´ık pontjai, az elliptikus k¨orsor´ei nem val´os pontok, amelyek (csak´ ugy, mint a k¨ ori pontok) egym´as komplex konjug´altjai. ´ ıt´ 9.3.8. All´ as. Ha a projekt´ıv s´ıkon adott ¨ot k¨ ul¨onb¨oz˝o pont k¨oz¨ott van olyan n´egy, amelyek k¨ oz¨ ott nincs h´arom kolline´aris, akkor egy ´es csak egy olyan k´ upszelet l´etezik, amely ´athalad az ¨ot adott ponton. Bizony´ıt´ as: Legyenek a pontok A1 , A2 , A3 , A4 , A5 u ´gy, hogy A1 , A2 , A3 , A4 k¨ oz¨ ott nincs h´ arom kolline´aris. Tekints¨ uk az A1 , A2 , A3 , A4 pontokon athalad´ ´ o k´ upszeletek alkotta k´ upszeletsort, ennek 9.3.3 ´es 9.3.4 miatt egyetlen tagja halad ´ at A5 -¨ on is. ´ 9.3.9. Defin´ıci´ o (Altal´ anos helyzet˝ u pontok). A projekt´ıv s´ık pontjainak egy rendszer´et ´ altal´ anos helyzet˝ unek mondjuk, ha a pontok k¨oz¨ott nincs h´ arom kolline´ aris. N´egy pont akkor ´es csak akkor ´altal´anos helyzet˝ u, ha projekt´ıv b´azist alkot. Egy legal´ abb n´egyelem˝ u pontrendszer akkor ´es csak akkor ´altal´anos helyzet˝ u, ha b´ armely n´egy pontja projekt´ıv b´azis.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

´ pszeletek 9. Ku

297

9.3.10. Ko eny. Ha a projekt´ıv s´ıkon adott o¨t ´altal´anos helyzet˝ u ¨vetkezm´ pont, akkor egy ´es csak egy olyan nemelfajul´o k´ upszelet l´etezik, amely ´athalad az ¨ ot adott ponton. Bizony´ıt´ as: Val´ oban, a 9.3.8 szerinti k´ upszelet ebben az esetben nem lehet elfajul´ o, hiszen elfajul´ o k´ upszelet b´armely ¨ot pontja k¨oz¨ott van h´arom kolline´ aris. 9.3.11. P´ elda (Projekt´ıv k´ epz˝ odm´ eny). Legyenek A, A0 , B1 , B2 ´es B3 altal´ ´ anos helyzet˝ u pontok a P projekt´ıv s´ıkon. Tekints¨ uk az A, illetve A0 0 tart´ opont´ u S, illetve S sug´ arsort P -ben. Defini´aljuk az f : S → S 0 projekti0 ´ ıtjuk, hogy ennek vit´ ast az hA, Bi i 7→ hA , Bi i (i = 1,2,3) hozz´arendel´essel. All´ 0 az f projektivit´ asnak a projekt´ıv k´epz˝odm´enye az A, A , B1 , B2 ´es B3 pontokon ´ athalad´ o k´ upszelet. A konstrukci´o folyt´an a k´epz˝odm´eny ´athalad a nem kolline´ aris B1 , B2 ´es B3 pontokon, ez´ert f nem lehet perspektivit´as. A k´epz˝ odm´eny ilyenkor az A, A0 tart´opontokon is ´athalad, tov´abb´a a 8.7.19. T´etel ´es a 9.1.12. P´elda szerint a projekt´ıv k´epz˝odm´eny nemelfajul´o k´ upszelet. 0 Ha az A, A , B1 , B2 ´es B3 pontokat eleve egy nemelfajul´o k´ upszelet pontjai k¨ oz¨ ul v´ alasztjuk, akkor ezek automatikusan ´altal´anos helyzet˝ u pontok, ´es a 9.3.10-beli egy´ertelm˝ us´egi tulajdons´ag miatt a fenti konstrukci´o visszaadja az eredeti k´ upszeletet. Ha p´eld´ aul B1 , B2 ´es B3 h´ arom nem kolline´aris pont az E euklideszi s´ıkon ´es A, A0 az E k¨ ori pontjai, akkor a k´epz˝odm´eny a B1 B2 B3 h´aromsz¨og k¨or´e ´ırt C k¨ or. (Pontosabban ez a k¨ or az E komplexifik´alt projekt´ıv s´ıkban keletkez˝o projekt´ıv k´epz˝ odm´enynek az E val´os r´eszs´ıkba es˝o r´eszhalmaza.) Vegy¨ uk ´eszre, hogy az hA, A0 i egyenesnek az f -n´el vett ˝osk´epe, illetve k´epe a k´ upszelet A-beli, illetve A0 -beli ´erint˝oje. Val´oban, ezeknek az egyeneseknek a megfelel˝ o tart´ opontokon k´ıv¨ ul nem lehet m´as k¨oz¨os pontja a k´ upszelettel, ez´ert ´erint˝ ok. R´ at´er¨ unk a k´ upszeletsorok ´es az egyenes invol´ uci´oi k¨ozti kapcsolat vizsg´alat´ ara. Az egyenes eset´eben egy m´asodrend˝ u pontp´arsor akkor ´erdekes, ha nincsen tart´ opontja; ezt tiszt´azza az al´abbi t´etel. 9.3.12. T´ etel. Legyen Q m´ asodrend˝ u pontp´arsor az L projekt´ıv egyenesen. Ekkor k´et eset lehets´eges: vagy (1) l´etezik olyan A ∈ L pont, hogy minden [q] ∈ Q-ra k[q] = {A, B} ´es itt minden B ∈ L el˝ o´ all, vagy pedig (2) l´etezik olyan f : L → L projekt´ıv invol´ uci´o, hogy a Q-hoz tartoz´o pontp´ arok pontosan az {X, f (X)} (X ∈ L) alakban el˝o´all´o p´arok.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

298

Projekt´ıv geometria

Bizony´ıt´ as: Ha Q-nak van tart´opontja, akkor csak egy tart´opontja lehet, jel¨ olj¨ uk a tart´ opontot A-val. Ekkor 9.3.3 alapj´an az {A, B} p´ar minden B ∈ ´ ıtjuk, hogy a Q pontp´arsornak l´etezik elfajul´o ∈ L − {A}-ra el˝ o´ all Q-ban. All´ tagja, m´egpedig az {A, A} = {A} pont. Val´oban, tetsz˝oleges, A-t´ol ´es egym´ ast´ ol k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o B, C ∈ L pontokat v´alasztva, majd B = [0 : 1], C = [1 : 0], A = [1 : 1] koordin´ at´ az´ ast haszn´alva az {A, B} p´ar egyenlete x21 − x1 x2 = 0, 2 az {A, C} p´ ar´e x2 − x1 x2 = 0, a k´et egyenlet ¨osszege pedig az A pontot ad´o elfajul´ o (x1 − x2 )2 = 0 egyenlet. Ezzel bel´attuk, hogy a t´etelbeli (1) eset ´all f¨ onn. Tegy¨ uk f¨ ol most, hogy Q-nak nincs tart´opontja, bebizony´ıtjuk a (2) tulajdons´ agot. Szemelj¨ unk ki Q-b´ ol egy olyan pontp´art, {A, A0 }-t, amelyre A 6= A0 . (Ilyen pontp´ ar biztosan l´etezik, hiszen az egyenesen egy m´asodrend˝ u pontp´arsor nem ´ allhat csupa elfajul´ o pontp´arb´ol.) Koordin´at´azzuk az L egyenest u ´gy, hogy A = [0 : 1] ´es A0 = [1 : 0] legyen (azaz affin koordin´at´az´ast haszn´alva A = 0 ´es A0 = ∞). Ekkor az {A, A0 } pontp´ar egyenlete x1 x2 = 0. Tekints¨ uk a pontp´ arsor egy m´ asik tagj´ at, legyen annak az egyenlete ax21 +bx1 x2 +cx22 = 0. A pontp´ arsor {A, A0 }-t˝ ol k¨ ul¨onb¨oz˝o tagjait az ax21 + (b + λ)x1 x2 + cx22 = 0 kombin´ aci´ ok adj´ ak meg, ahol λ ∈ F tetsz˝oleges. Affin koordin´at´ara ´at´ırva ezek az egyenletek ax2 + (b + λ)x + c = 0 alak´ uak. B´armely λ eset´en az egyenlet k´et gy¨ ok´enek a szorzata c-vel egyenl˝o. Tekints¨ uk L-en a v´alasztott koordin´ at´ az´ as szerinti f (x) = c/x invol´ uci´ot, ekkor a pontp´arsor minden tagja (bele´ertve {A, A0 }-t is) {X, f (X)} alakban ´all el˝o. Miut´an a pontp´arsor lefedi L-et, az ¨ osszes {X, f (X)} pontp´ar hozz´a is tartozik. 9.3.13. K¨ ovetkezm´ eny (Desargues invol´ uci´ ot´ etele). Legyen Q m´asodrend˝ u hiperfel¨ uletsor a P projekt´ıv t´erben, valamint L ⊆ P olyan egyenes, amely nem halad ´ at Q egyetlen tart´opontj´an sem, ´es semelyik [q] ∈ Q-ra sem fekszik k[q]-ban. Legyen f : L → L az a lek´epez´es, amely L egy tetsz˝oleges X pontj´ ahoz hozz´ arendeli a Q sor X-en ´athalad´o tagj´anak L-lel vett m´asik mesz´espontj´ at (illetve mag´ at X-et, ha L ´erinti a sz´oban forg´o m´asodrend˝ u hiperfel¨ uletet). Ekkor f projekt´ıv invol´ uci´o az L egyenesen. Bizony´ıt´ as: Val´ oban, Q-nak az L egyenesre t¨ort´en˝o lesz˝ uk´ıt´ese m´asodrend˝ u pontp´ arsor L-ben, amelyre a 9.3.12. T´etel (2) esete ´erv´enyes. 9.3.14. Defin´ıci´ o (Desargues-invol´ uci´ o). A 9.3.13-ban tett feltev´esek ´es jel¨ ol´esek mellett az ott sz´ armaztatott f invol´ uci´ot a Q-hoz tartoz´o Desarguesinvol´ uci´ onak nevezz¨ uk az L egyenesen. 9.3.15. K¨ ovetkezm´ eny (Desargues t´ etele a teljes n´ egysz¨ ogr˝ ol). Adott a projekt´ıv s´ıkon egy teljes n´egysz¨og, valamint egy L egyenes, amely nem halad ´ at a teljes n´egysz¨ og egyik cs´ ucs´an sem. Ekkor a teljes n´egysz¨og h´arom szemk¨ oztes oldalp´ arja h´ arom olyan pontp´art metsz ki L-b˝ol, amelyek L valamely invol´ uci´ oj´ ahoz tartoznak.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

´ pszeletek 9. Ku

299

Bizony´ıt´ as: Legyenek A1 , A2 , A3 ´es A4 a teljes n´egysz¨og cs´ ucsai ´es tekints¨ uk az ´ altaluk mint tart´ opontok ´altal defini´alt k´ upszeletsort. Ha lij = 0 jel¨oli az hAi , Aj i egyenes homog´en line´aris egyenlet´et, akkor [l12 · l34 ], [l13 · l24 ] ´es [l14 · l23 ] mindh´ arman ehhez a k´ upszeletsorhoz tartoznak, ´ıgy 9.3.13 speci´alis esetek´ent ad´ odik az ´ all´ıt´ as. Ennek a szakasznak a h´ atralev˝o r´esz´eben p´eld´akat mutatunk arra, hogy a k´ upszeletsorokkal kapcsolatos projekt´ıv geometriai ismeretek birtok´aban hogyan kaphatunk ´erdekes t´eteleket az euklideszi s´ıkgeometri´aban ellipszisekr˝ol, parabol´ akr´ ol ´es hiperbol´ akr´ ol. A p´eld´ak h´atter´eben a Desargues-f´ele invol´ uci´o al´ abbi tulajdons´ aga ´ all. Legyen Q ´es L adott u ´gy, mint 9.3.13-ban, ´es legyen [q] ∈ Q a m´asodrend˝ u hiperfel¨ uletsor olyan nemelfajul´o tagja, amelyet L nem ´erint. Ekkor a [q]-ra (pontosabban, [q]-nak a [q|V ] nemelfajul´o szelet´ere, ahol L = P (V )) vonatkoz´ o konjug´ alts´ ag 9.2.14 szerint egy p[q] : L → L projekt´ıv invol´ uci´ot l´etes´ıt. Az L egyenesen teh´ at egyszerre t¨obb projekt´ıv invol´ uci´ot is tekinthet¨ unk, a Desargues-invol´ uci´ o mellett az ¨osszes ilyen p[q] invol´ uci´ot. ´ ıt´ 9.3.16. All´ as. A Desargues-invol´ uci´o felcser´elhet˝o mindegyik olyan p[q] invol´ uci´ oval, ahol [q] ∈ Q nemelfajul´o ´es L nem ´erint˝oje [q]-nak. Bizony´ıt´ as: Tegy¨ uk fel, hogy L ∩ k[q] 6= ∅, ekkor ez a metszet k´et pontb´ol ´all, legyenek ezek A ´es B. A p[q] invol´ uci´onak A ´es B fixpontjai, a D Desarguesinvol´ uci´ o pedig ezt a k´et pontot felcser´eli. Ez´ert a D ◦ p[q] projektivit´as is felcser´eli A-t B-vel, ´es ´ıgy 8.7.10.(1) miatt D ◦ p[q] is invol´ uci´o. Az ´all´ıt´as ´ıgy r¨ ogt¨ on k¨ ovetkezik abb´ ol az ´eszrev´etelb˝ol, hogy egy csoportban k´et k¨ ul¨onb¨oz˝o m´ asodrend˝ u elem pontosan akkor felcser´elhet˝o, ha a szorzatuk m´asodrend˝ u. Ha L-nek nincs k¨ oz¨ os pontja k[q]-val, akkor ´att´er¨ unk az F alaptestr˝ol annak F algebrai lez´ ar´ as´ ara, tekintj¨ uk a W vektort´er ´es a P (W ) projekt´ıv t´er W F , F illetve P (W ) term´eszetes kib˝ov´ıt´es´et F f¨ol¨otti vektort´err´e, illetve projekt´ıv t´err´e, tov´ abb´ a Q, [q], L, p[q] ´es D ottani term´eszetes kiterjeszt´es´et. (Ezeknek a fogalmaknak a form´ alis ´ertelmez´es´et˝ol itt eltekint¨ unk; szeml´eletes mintak´ent szolg´ al az a k´ep, ahogyan a komplexifik´alt fogalmakat sz´armaztatjuk az R felettiekb˝ ol.) A kiterjesztett v´altozatban az egyenesnek m´ar van k´et k¨ oz¨ os pontja a hiperfel¨ ulettel, ez´ert a kiterjesztett invol´ uci´ok a fenti gondolatmenet alapj´ an felcser´elhet˝ok. Az eredetiek ezek megszor´ıt´asai, teh´at azok is felcser´elhet˝ ok. Az al´ abbi k´et p´eld´ aban az E euklideszi s´ık projekt´ıv lez´ar´as´aban tekint¨ unk egy-egy olyan k´ upszeletsort, amelyet n´egy speci´alisan v´alasztott tart´oponttal adunk meg a 9.3.4. T´etel alapj´an.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

300

Projekt´ıv geometria

9.3.17. P´ eld´ ak (ortocentrikus tart´ opontok, ko ev˝ o tart´ opontok) ¨ro ¨n l´ • Tekints¨ unk az E euklideszi s´ıkon egy ortocentrikus pontn´egyest, azaz egy (nem der´eksz¨ og˝ u) h´aromsz¨og h´arom cs´ ucs´ab´ol ´es magass´agpontj´ab´ ol ´ all´ o pontrendszert. Legyen ez a n´egy pont a Q k´ upszeletsor n´egy tart´ opontja. A k´ upszeletsor h´arom elfajul´o tagja egy-egy mer˝oleges egyenesp´ ar. Tekints¨ uk E ide´alis egyenes´en a Desargues-invol´ uci´ot. Ez csak az ortogon´ alis invol´ uci´ o lehet, hiszen a h´arom elfajul´o k´ upszelettel vett metszetk´ent ad´ od´ o pontp´arok az ortogon´alis invol´ uci´ohoz tartoznak. Az ide´ alis egyenes Desargues-invol´ uci´oja teh´at elliptikus. Meggondolhat´ o, hogy a val´ os projekt´ıv egyenesen egy elliptikus invol´ uci´oval felcser´elhet˝ o invol´ uci´ o csak hiperbolikus lehet. (A legegyszer˝ ubben ezt a k¨ ovetkez˝ o szakaszban t´argyaland´o k´ upszeleti invol´ uci´okra vonatkoz´o 9.4.16. K¨ ovetkezm´eny seg´ıts´eg´evel lehet bel´atni.) A k´ upszeletsor b´armelyik tagj´ ara vonatkoz´ o konjug´al´asnak teh´at k´et fixpontja van az ide´alis egyenesen, r´ aad´ asul ezek a fixpontok mer˝oleges ir´anyokhoz tartoz´o idealis pontok. Az ide´ ´ alis egyenes ez´ert Q mindegyik tagj´at k´et, egym´asra mer˝ oleges ir´ any´ u pontban metszi. Emiatt Q mindegyik nemelfajul´o tagja der´eksz¨ og˝ u hiperbola. Azt az euklideszi geometriai k¨ovetkezm´enyt kaptuk teh´at, hogy egy ortocentrikus pontn´egyesre illeszthet˝o b´armely nemelfajul´o k´ upszelet der´eksz¨ og˝ u hiperbola. A n´egy pont ´altal kifesz´ıtett hat egyenes pontjain k´ıv¨ ul a s´ık b´ armely pontj´an ´at egyetlen ilyen hiperbola fektethet˝o. • V´ alasszunk most n´egy pontot valamely E-beli K k¨or¨on u ´gy, hogy az oket p´ ˝ aronk´ent ¨ osszek¨ ot˝o hat egyenes k¨oz¨ott ne legyen k´et p´arhuzamos (azaz a keletkez˝ o h´ urn´egysz¨og ne legyen trap´ez). Legyen most Q az a k´ upszeletsor, amelynek ez a n´egy pont a tart´opontja. Vizsg´aljuk ism´et a Desargues-invol´ uci´ ot az ide´alis egyenesen. A K-hoz tartoz´o konjug´alts´ agi invol´ uci´ o az ortogon´alis invol´ uci´o, ´es 9.3.16 szerint a Desarguesinvol´ uci´ o ezzel felcser´elhet˝o. Emiatt a Desargues-invol´ uci´o hiperbolikus, ´es fixpontjai, F1 ´es F2 , egym´asra mer˝oleges ir´anyokhoz tartoznak. Ez azt jelenti, hogy az ide´ alis egyenes kett˝ot ´erint Q tagjai k¨oz¨ ul, azaz k´et parabola tartozik Q-hoz, amelyek tengelyei mer˝olegesek. Tekints¨ uk most Q egy elfajul´ o tagj´ at, azaz a h´ urn´egysz¨og egyik szemk¨oztes oldalp´arj´ at, vagy az ´ atl´ op´ arj´ at. A Desargues-invol´ uci´o az F1 ´es F2 fixpontokra vonatkoz´ o harmonikus invol´ uci´o, ez´ert ennek az egyenesp´arnak az idealis pontjai harmonikus t´arsak F1 -re ´es F2 -re n´ezve. Miut´an F1 ´es F2 ´ mer˝ oleges ir´ anyokhoz tartoznak, ez csak u ´gy lehets´eges, hogy F1 ´es F2 az egyenesp´ ar sz¨ ogfelez˝oihez tartoz´o ide´alis pontok. E meg´ allap´ıt´ asok k¨ ovetkezm´enyek´ent azt az euklideszi geometriai t´etelt kaptuk, hogy b´ armely (trap´ezt´ol k¨ ul¨onb¨oz˝o) h´ urn´egysz¨ogben mindk´et

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

´ pszeletek 9. Ku

301

szemk¨ ozti oldalp´ ar k´et-k´et sz¨ogfelez˝oje, valamint az ´atl´ok sz¨ogfelez˝oi egy´ all´ as´ uak, ´es ez a k´et sz¨ogfelez˝oir´any megegyezik a h´ urn´egysz¨og cs´ ucsaira illeszthet˝ o k´et parabola tengelyir´any´aval. A k¨ ovetkez˝ o k´et p´eld´ aban a k´ upszeletsor fogalm´anak a dualiz´al´as´aval nyert alakzatok, u ´gynevezett vonalk´ upszelet-seregek szerepelnek. A k´ upszeletsor defin´ıci´ oj´ at dualiz´ alva kapjuk a vonalk´ upszeletsor fogalm´at. Ezekre a 9.3.1– 9.3.4-ben, illetve a 9.3.9–9.3.16-ban foglaltak du´alis form´aban minden tov´abbi n´elk¨ ul ´erv´enyesek. A 9.2.18-ben le´ırtak szerint a vonalk´ upszeletsor mindegyik nemelfajul´o tagj´anak a k´epe valamely pontk´ upszelet ´erint˝oib˝ol ´all. Ilyen m´odon b´armely nemelfajul´ o vonalk´ upszeletsor pontk´ upszeleteknek egy csal´adj´at sz´armaztatja. Ezt szok´ as vonalk´ upszelet-seregnek nevezni. A vonalk´ upszelet-seregek ´altal´aban eg´eszen m´ as jelleg˝ u k´ upszelethalmazok, mint a k´ upszeletsorok; ezt az al´abbi p´eld´ ak is al´ at´ amasztj´ ak. Vonalk´ upszelet-seregek megad´as´ahoz (tart´opontok helyett) tart´oegyeneseket lehet haszn´ alni; p´eld´ aul a s´ık n´egy r¨ogz´ıtett, ´altal´anos helyzet˝ u egyenes´et ´erint˝ o k´ upszeletek halmaza vonalk´ upszelet-sereg. Az al´abbi k´et konkr´et p´elda is ´ıgy keletkezik. A Desargues-f´ele invol´ uci´ ot´etel egyenesek helyett sug´arsorokr´ol sz´ol : a projekt´ıv s´ık egy tipikus sug´ arsor´ an (amelynek a tart´opontja elker¨ ul bizonyos specialis helyzeteket, p´eld´ ´ aul a vonalk´ upszelet-sereg tart´oegyeneseinek a pontjait) projekt´ıv invol´ uci´ ot l´etes´ıt¨ unk az´atal, hogy p´arba ´all´ıtjuk egyazon k´ upszelet k´et ´erint˝ oj´et. 9.3.18. P´ eld´ ak (parabolasereg, konfok´ alis ellipszisek ´ es hiperbol´ ak) • Tekints¨ uk az E euklideszi s´ık egy ABC h´aromsz¨og´enek a h´arom oldalegyenes´et, valamint a s´ık ide´alis egyenes´et. Ez n´egy ´altal´anos helyzet˝ u egyenes az E projekt´ıv s´ıkon, teh´at mint tart´oegyenesek egy K vonalk´ upszelet-sereget hat´aroznak meg. K ¨osszes nemelfajul´o tagja parabola, hiszen az ide´ alis egyenes ´erinti ˝oket. H´arom elfajul´o vonalk´ upszelet tartozik hozz´ a, m´egpedig az a h´arom sug´arsorp´ar, amelyeket az ABC h´ aromsz¨ og valamelyik cs´ ucs´ara ´es a szemk¨ozti oldal ide´alis pontj´ ara lehet illeszteni. Felhaszn´aljuk a parabol´aknak azt az elemi geometri´ ab´ ol ismert tulajdons´ag´at, hogy a s´ık valamely pontj´ab´ol a parabol´ ahoz h´ uzott k´et ´erint˝ o akkor ´es csak akkor mer˝oleges egym´asra, ha a pont illeszkedik a vez´eregyenesre. Tekints¨ uk a K-hoz tartoz´o parabol´ak k¨ oz¨ ul kett˝ onek a vez´eregyenes´et, ´es legyen M ezek metsz´espontja. Az M tart´ opont´ u sug´ arsoron a Desargues-invol´ uci´ohoz k´et mer˝oleges egyenesp´ ar is hozz´ atartozik, teh´at ez a Desargues-invol´ uci´o az ortogon´alis invol´ uci´ o. Emiatt a sz´ oban forg´o ¨osszes parabola vez´eregyenese ´athalad az M ponton. A K vonalk´ upszelet-sereg h´arom elfajul´o tagja eset´eben

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

302

Projekt´ıv geometria

a Desargues-invol´ uci´ ohoz tartoz´o egyenesp´ar csak akkor lehet mer˝oleges, ha a tart´ opont a megfelel˝o magass´agvonalra illeszkedik. Ez´ert M az ABC h´ aromsz¨ og magass´agpontja. Teh´at a h´aromsz¨og oldalegyeneseit ´erint˝ o mindegyik parabol´anak a vez´eregyenese ´athalad a h´aromsz¨og magass´ agpontj´ an. • R¨ ogz´ıts¨ unk k´et k¨ ul¨ onb¨ oz˝o pontot, F1 -et ´es F2 -t az E euklideszi s´ıkon. C Tekints¨ uk E -ben azt a n´egy egyenest, amely e k´et pont valamelyik´et k¨ oti ¨ ossze a k´et k¨ ori pont valamelyik´evel. Ezek ´altal´anos helyzet˝ u egyenesek, teh´ at vonalk´ upszelet-sereget hat´aroznak meg. A 9.3.6. P´elda alapj´ an ehhez a K vonalk´ upszelet-sereghez az ¨osszes olyan ellipszis ´es hiperbola hozz´ atartozik, amelynek F1 ´es F2 a f´okuszai. A komplexifik´ alt K elfajul´ o tagjai olyan sug´arsorp´arok, amelyek a k´et k¨ori pontra, F1 -re ´es F2 -re, illetve a n´egy tart´oegyenes harmadik (komplex) metsz´espontp´ arj´ ara vannak illesztve. Tekints¨ uk az euklideszi s´ık valamely, az C hF1 , F2 i egyenesre nem illeszked˝o X pontj´at, ´es az X tart´opont´ uE beli sug´ arsoron a Desargues-invol´ uci´ot. Enn´el az invol´ uci´on´al az hX, F1 i ´es az hX, F2 i egyenes egym´asnak van megfeleltetve, valamint az X-et a k´et k¨ ori ponttal ¨ osszek¨ot˝o k´et egyenes is egym´asnak van megfeleltetve. Ez´ert ez az invol´ uci´ o csak az hX, F1 i ´es az hX, F2 i egyenes sz¨ogfelez˝ oire vonatkoz´ o t¨ ukr¨ oz´es lehet. Ez a k´et sz¨ogfelez˝o teh´at a Desarguesinvol´ uci´ o k´et fixegyenese. Ebb˝ol az a k´ uszeletek elemi geometri´aj´ab´ol is j´ ol ismert t´eny k¨ ovetkezik, hogy a k¨oz¨os f´okusz´ u, X-en ´athalad´o ellipszis ´es hiperbola X-beli ´erint˝oje az X-et a f´okuszokkal ¨osszek¨ot˝o k´et egyenes k´et sz¨ ogfelez˝ o egyenese (amelyek ´ıgy egym´asra mer˝olegesek).

9.4. A k´ upszeletek projekt´ıv strukt´ ur´ aja A m´ asodrend˝ u hiperfel¨ uletek k¨or´eben a k´etdimenzi´os esetnek, azaz a m´asodrend˝ u g¨ orb´eknek kit¨ untetett jelent˝os´ege van. Ez abb´ol fakad, hogy a k´ upszeleteken a kett˝ osviszony fogalma ´ertelmezhet˝o, ´es ez az egyenessel szoros kapcsolatot mutat´ o projekt´ıv strukt´ ur´aval ruh´azza fel ˝oket. Ez a strukt´ ura lehet˝ ov´e teszi a 9.1.7. szakasz eredm´enyei k¨oz¨ ul j´o n´eh´anynak az ´atvitel´et k´ upszeletek eset´ere, tov´ abb´ a eszk¨ozt ad a kez¨ unkbe ahhoz, hogy egyszer˝ u bizony´ıt´ ast adjunk a projekt´ıv s´ıkgeometria n´eh´any nevezetes t´etel´ere. Ebben a szakaszban P = P (W ) projekt´ıv s´ıkot jel¨ol. R¨ogz´ıt¨ unk P -ben egy
[q] ∈ P Q(W ) nem¨ ures, nemelfajul´o k´ upszeletet, amelynek a k´ephalmaz´ara bevezetj¨ uk a K = k[q] jel¨ ol´est.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

´ pszeletek 9. Ku

303

´ ıt´ 9.4.1. All´ as. Legyen A, B, C, D, T, T 0 ∈ K hat k¨ ul¨onb¨oz˝o pont a k´ upszeleten. Jel¨ olje E, F , G, H, illetve E 0 , F 0 , G0 , H 0 a T -t, illetve T 0 -t az A, B, C, D pontokkal ¨ osszek¨ ot˝ o egyeneseket. Ekkor (EF GH) = (E 0 F 0 G0 H 0 ). Bizony´ıt´ as: Az E 7→ E 0 , F 7→ F 0 , G 7→ G0 hozz´arendel´es megad egy projektivit´ ast a T tart´ opont´ u sug´ arsorr´ol a T 0 tart´opont´ u sug´arsorra. Miut´an T , 0 T , A, B ´es C ´ altal´ anos helyzet˝ u pontok, 9.3.11 alapj´an ennek a projektivit´ asnak a projekt´ıv k´epz˝ odm´enye K. Ez´ert ez a projektivit´as a H egyeneshez H 0 -t rendeli. Az ´ all´ıt´ as ´ıgy a projektivit´as kett˝osviszonytart´o tulajdons´ag´ab´ol k¨ ovetkezik. ´ ıt´asban megengedhetj¨ 9.4.2. Kieg´ esz´ıt´ es. A 9.4.1. All´ uk, hogy T vagy T 0 egybeessen A, B, C vagy D valamelyik´evel. Ha ilyenkor ¨osszek¨ot˝o egyenesen a k´ upszelet T -beli, illetve T 0 -beli ´erint˝oj´et ´ertj¨ uk, akkor (EF GH) = 0 0 0 0 = (E F G H ) tov´ abbra is ´erv´enyben van. ´ ıt´as bizony´ıt´as´aban ´ertelmezett projektiviBizony´ıt´ as: Val´ oban, a 9.4.1. All´ t´ asn´ al 9.3.11 alapj´ an a T -beli ´erint˝o (azaz a T -t T -vel ¨osszek¨ot˝o egyenes) a hT, T 0 i egyenesbe, a hT, T 0 i egyenes pedig a T 0 -beli ´erint˝obe (azaz a T 0 -t T 0 -vel ¨ osszek¨ ot˝ o egyenesbe) k´epez˝odik. 9.4.3. Defin´ıci´ o (K´ upszeleti kett˝ osviszony). Ha adott A, B, C ´es D, a K k´ upszelet n´egy k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o pontja, akkor v´alasszunk egy tetsz˝oleges T ∈ ∈ K tart´ opontot ´es tekints¨ uk a T -t a n´egy adott ponttal rendre ¨osszek¨ot˝o E, F , G, H egyenesek alkotta sug´arn´egyest. Az A, B, C, D pontok k´ upszeleti kett˝ osviszony´ an az (ABCD)K = (EF GH) ∈ F testelemet ´ertj¨ uk. ´ ıt´ A 9.4.1. ´es 9.4.2. All´ asok alapj´an (ABCD)K csak a n´egy pontt´ol ´es K-t´ol f¨ ugg, a T tart´ opont speci´ alis megv´alaszt´as´at´ol nem. A defin´ıci´oban megengedhetj¨ uk, hogy T egybeessen a n´egy pont valamelyik´evel, l. 9.4.2. 9.4.4. Defin´ıci´ o (K´ upszelet vet´ıt´ ese egyenesre). Ha kiszemel¨ unk egy T ∈ K pontot ´es egy T -n a´t nem halad´o L ⊂ P egyenest, akkor K-nak a T k¨ oz´eppontb´ ol L-re t¨ ort´en˝ o vet´ıt´es´en azt a p : K → L lek´epez´est ´ertj¨ uk, amely K tetsz˝ oleges A pontj´ahoz a T -t A-val ¨osszek¨ot˝o egyenes L-lel vett metsz´espontj´ at rendeli. Ez a vet´ıt´es nyilv´ an bijekt´ıv ´es kett˝osviszonytart´o. Megjegyz´es. Tudjuk, hogy az egyenes projekt´ıv strukt´ ur´aj´at a kett˝osviszony adja. A k´ upszeleti kett˝ osviszony ugyanilyen jelleg˝ u strukt´ ur´aval l´atja el a k´ upszeleteket mint ponthalmazokat. A 9.4.4-beli vet´ıt´es seg´ıts´eg´evel konkr´et izomorfizmust l´etes´ıthet¨ unk a k´ upszelet ´es az egyenes projekt´ıv strukt´ ur´aja k¨ oz¨ ott. K¨ onnyen meggondolhat´o, hogy a val´os ´es a komplex esetben a vet´ıt´es homeomorfizmus a projekt´ıv s´ık megfelel˝o r´eszhalmazai k¨oz¨ott. ´Igy l´athat´o be p´eld´ aul, hogy b´ armely nemelfajul´o komplex k´ upszelet homeomorf az S2 g¨ ombfel¨ ulettel.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

Projekt´ıv geometria

304

9.4.5. Defin´ıci´ o (K´ upszeleti projektivit´ as). K´ upszeleti projektivit´asnak nevezz¨ uk azokat a K → K bijekci´okat, amelyek meg˝orzik a k´ upszeleti kett˝ osviszonyt. A k´ upszeleti projektivit´asok nyilv´an csoportot alkotnak a kompoz´ıci´ o m˝ uvelet´ere n´ezve. Ha r¨ ogz´ıtj¨ uk K-nak egy L egyenesre t¨ort´en˝o p : K → L vet´ıt´es´et, akkor a k´ upszeleti projektivit´ asok pontosan a p−1 ◦ f ◦ p alak´ u lek´epez´esek, ahol f : : L → L projektivit´ as. Emiatt K k´ upszeleti projektivit´asainak csoportja a P GL(2, F) projekt´ıv csoporttal izomorf. Ha a P projekt´ıv s´ık valamely g : P → P projektivit´as´an´al g(K) = K, akkor g-nek a K-ra t¨ ort´en˝ o g|K : K → K megszor´ıt´asa k´ upszeleti projektivit´as K-n, hiszen g meg˝ orzi a sug´ arn´egyesek kett˝osviszony´at. K´es˝obb bel´atjuk (l. 9.4.17), hogy b´ armely k´ upszeleti projektivit´as el˝o´all ilyen m´odon. 9.4.6. T´ etel (Pascal t´ etele). Legyen A1 , A2 , A3 , A4 , A5 ´es A6 a K k´ upszelet hat k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o pontja. Ekkor az X = hA1 , A2 i ∩ hA4 , A5 i, Y = hA2 , A3 i ∩ ∩ hA5 , A6 i, Z = hA3 , A4 i ∩ hA6 , A1 i metsz´espontok kolline´arisak.

Bizony´ıt´ as: Legyen U = hA2 , A3 i ∩ hA4 , A5 i ´es V = hA3 , A4 i ∩ hA5 , A6 i. Vet´ıts¨ uk K-t az A2 k¨ oz´eppontb´ol az hA4 , A5 i egyenesre, valamint az A6 k¨oz´eppontb´ ol az hA3 , A4 i egyenesre. Az A1 , A3 , A4 , A5 pontok ezekn´el a vet´ıt´esekn´el rendre X-be, U -ba, A4 -be ´es A5 -be, illetve Z-be, A3 -ba, A4 -be ´es V -be ker¨ ulnek. Ez´ert (XU A4 A5 ) = (A1 A3 A4 A5 )K = (ZA3 A4 V ). Vet´ıts¨ uk az Y k¨ oz´eppontb´ ol az hA4 , A5 i egyenest az hA3 , A4 i egyenesre, ekkor U az A3 pontba, A5 a V pontba k´epez˝odik. Jel¨olj¨ uk Z 0 -vel az X pont k´ep´et, azaz az hX, Y i ∩ hA3 , A4 i metsz´espontot. Ekkor (XU A4 A5 ) = (Z 0 A3 A4 V ), ahonnan Z 0 = Z, azaz X, Y ´es Z kolline´aris volta k¨ovetkezik.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

´ pszeletek 9. Ku

305

Megjegyz´esek. (1) Szok´ as Pascal t´etel´et u ´gy is fogalmazni, hogy egy k´ upszeletbe be´ırt hatsz¨ og szemk¨ ozti oldalegyeneseinek a metsz´espontjai kolline´arisak. (2) A 9.4.6. T´etelben feltett¨ uk, hogy a hat pont mind k¨ ul¨onb¨oz˝o. Ezt a felt´etelt bizonyos korl´ atok k¨ ozt gyeng´ıteni lehet, azaz meg lehet engedni a pontok k¨ oz¨ ott bizonyos egybees´eseket. Nem neh´ez arr´ol meggy˝oz˝odni, hogy ha a hat pont k¨ oz¨ ul olyanok esnek egybe, amelyek a ciklikus felsorol´asban nem szomsz´edosak, akkor a t´etel ´ all´ıt´ asa – ha egy´altal´an ´ertelmes – trivi´alisan teljes¨ ul. Azok az esetek ´erdekesek, ahol a felsorol´as szerint szomsz´edos pontp´arok eshetnek csak egybe. Ilyenkor (9.4.2-vel ¨osszhangban) egy ilyen egybees˝o p´ar osszek¨ ot˝ o egyenes´en az ottani ´erint˝ot kell ´erteni. A t´etelnek ilyen m´odon ¨ h´ arom u ´j v´ altozata fogalmazhat´o meg aszerint, hogy egy, kett˝o, vagy h´arom szomsz´edos p´ ar esik egybe a hat pont k¨oz¨ ul. Meggondolhat´o, hogy 9.4.6. bizony´ıt´ asa ezekben az esetekben is helyes. (A h´arom egybees˝o pontp´ar eset´eben ehhez a kett˝ osviszony fogalm´ at is ki kell terjeszteni bizonyos fajta egybees´esek eset´ere.) Azok a fogalmak ´es ´ all´ıt´ asok, amelyeket ebben a szakaszban bevezett¨ unk, illetve bebizony´ıtottunk, mind dualiz´alhat´ok. Kiemelj¨ uk ezek k¨oz¨ ul a Pascalt´etel du´ alis´ at, amely teh´ at a dualit´as elve miatt nem ig´enyel k¨ ul¨on bizony´ıt´ast. A du´ alis t´etel egy nemelfajul´o vonalk´ upszelethez tartoz´o hat egyenesr˝ol sz´ol, ez´ert a 9.2.17. T´etel alapj´ an ezeket tekinthetj¨ uk u ´gy, mint egy pontk´ upszelet ´erint˝ oit. 9.4.7. T´ etel (Brianchon t´ etele). Legyen E1 , E2 , E3 , E4 , E5 ´es E6 a K k´ upszelet hat k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o ´erint˝oje. Ekkor az hE1 ∩E2 , E4 ∩E5 i, hE2 ∩E3 , E5 ∩ ∩E6 i, ´es hE3 ∩E4 , E6 ∩E1 i ¨osszek¨ot˝o egyenesek egy ponton haladnak ´at. Megjegyz´esek. (1) A Brianchon-t´etel u ´gy is fogalmazhat´o, hogy egy k´ upszelet k¨ or´e ´ırt hatsz¨ og f˝ o´ atl´ oi egy ponton mennek ´at. (2) Ell´ athatjuk a Brianchon-t´etelt is az egybees´esek eset´ere vonatkoz´o kieg´esz´ıt´esekkel. Ha k´et, a ciklikus felsorol´as szerint szomsz´edos ´erint˝o egybeesik, akkor metsz´espontjukon a k¨ oz¨os ´erint´esi pontot kell ´erteni. Vegy¨ uk ´eszre, hogy abban az esetben, amikor h´ arom szomsz´edos p´ar is egybeesik, a Pascal-t´etel ´es a Brianchon-t´etel l´enyeg´eben ugyanazt ´all´ıtja : k´et h´aromsz¨og (nevezetesen az ´erint˝ oegyenesek alkotta h´aromsz¨og, illetve az ´erint´esi pontok alkotta h´ aromsz¨ og) egyenesre, illetve pontra vonatkoz´o perspektivit´as´at mondja ki. Most a Pascal-t´etel felhaszn´ al´as´aval a 8.7.12–8.7.15-beli meg´allap´ıt´asokat viszsz¨ uk ´ at a k´ upszeleti projektivit´asok eset´ere. Legyen adott a g : K → K k´ upszeleti projektivit´ as. Az egyszer˝ us´eg kedv´e´ert egy tetsz˝oleges A ∈ K pont k´ep´et g(A) helyett A0 -vel jel¨ olj¨ uk.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

306

Projekt´ıv geometria

9.4.8. T´ etel. Tegy¨ uk fel, hogy a g : K → K k´ upszeleti projektivit´as nem identikus. Ekkor az hX, Y 0 i ∩ hX 0 , Y i (ahol X, Y ∈ K, X 6= Y , X ´es Y k¨oz¨ ul nem mindkett˝ o fixpontja g-nek) alakban metsz´espontk´ent el˝o´all´o pontok halmaza egyenes. Bizony´ıt´ as: A 8.7.12. T´etel bizony´ıt´as´at annyiban kell csak m´odos´ıtani, hogy Papposz t´etele helyett Pascal t´etel´et haszn´aljuk f¨ol. Megjegyz´es. A 9.4.8. T´etelben is a k´ upszelet k´et pontj´at ¨osszek¨ot˝o egyenesen egybees˝ o pontok eset´eben az ´erint˝ot kell ´erteni. 9.4.9. Defin´ıci´ o (Steiner-tengely). A 9.4.8. T´etelbeli egyenest a g k´ upszeleti projektivit´ as Steiner-tengely´enek nevezz¨ uk. Az al´ abbi ´eszrev´etel r¨ ogt¨ on ad´odik a Steiner-tengely defin´ıci´oj´ab´ol. ´ ıt´ 9.4.10. All´ as. A Steiner-tengely ´es K k¨oz¨os pontjai ´eppen a g k´ upszeleti projektivit´ as fixpontjai. 9.4.11. Defin´ıci´ o (K´ upszeleti invol´ uci´ o). A m´asodrend˝ u K → K k´ upszeleti projektivit´ asokat k´ upszeleti invol´ uci´oknak nevezz¨ uk K-n. 9.4.12. P´ elda. Legyen F a P projekt´ıv s´ık K-hoz nem tartoz´o r¨ogz´ıtett pontja. Tekints¨ uk K-nak az F pontb´ol t¨ort´en˝o ´atvet´ıt´es´et”, azaz azt az iF : ” : K → K lek´epez´est, amely egy tetsz˝oleges A ∈ K ponthoz az hF, Ai egyenesnek a K-val vett m´ asik metsz´espontj´at rendeli (illetve saj´at mag´at, ha ez az egyenes ´erinti K-t). Ekkor iF k´ upszeleti invol´ uci´o K-n, hiszen 9.2.15 alkalmaz´ as´ aval iF = hF,L |K , ahol L az F pol´arisa K-ra n´ezve, ´es hF,L harmonikus invol´ uci´ o.

Nevezetes t´eny, hogy minden k´ upszeleti invol´ uci´o a 9.4.12-beli m´odon sz´armaztathat´ o. 9.4.13. T´ etel (Fr´ egier t´ etele). B´armely g : K → K k´ upszeleti invol´ uci´ohoz tal´ alhat´ o egyetlen olyan F ∈ P − K pont, amellyel g = iF .

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

´ pszeletek 9. Ku

307

Bizony´ıt´ as: Legyen {A, A0 } ´es {B, B 0 } k´et k¨ ul¨onb¨oz˝o, invol´ uci´oban ´all´o pontp´ ar ´es tekints¨ uk az F = hA, A0 i ∩hB, B 0 i pontot. Ekkor F ∈ / K ´es iF ezt a k´et pontp´ art szint´en invol´ uci´ oba ´all´ıtja. Miut´an az invol´ uci´ot – ak´ar egyenesen, ak´ ar k´ upszeleten – k´et pontp´ar egy´ertelm˝ uen meghat´arozza (l. 8.7.10.(4)), g = iF k¨ ovetkezik. Az F pont egy´ertelm˝ us´ege nyilv´anval´o. 9.4.14. Defin´ıci´ o (Fr´ egier-pont). A 9.4.13-beli F pontot a g : K → K k´ upszeleti invol´ uci´ o Fr´egier-pontj´anak nevezz¨ uk. A val´ os projekt´ıv s´ıkon egy k´ upszeleti invol´ uci´o nyilv´an elliptikus, ha Fr´egierpontja a k´ upszeletnek bels˝ o pontja, ´es hiperbolikus, ha k¨ uls˝o. ´ ıt´ 9.4.15. All´ as. K´ upszeleti invol´ uci´o eset´en a Fr´egier-pont a Steiner-tengely p´ olusa. Bizony´ıt´ as: Legyen az F Fr´egier-pont pol´arisa az L egyenes. Az iF ´atvet´ıt´es felcser´eli a Steiner-tengely pontjait sz´armaztat´o egyenesp´arokat, ez´ert a Steiner-tengely pontonk´ent fixen marad a hF,L harmonikus invol´ uci´on´al. Emiatt a Steiner-tengely az L egyenes. 9.4.16. K¨ ovetkezm´ eny. K´et k¨ ul¨onb¨oz˝o k´ upszeleti invol´ uci´o akkor ´es csak akkor felcser´elhet˝ o, ha Fr´egier-pontjaik konjug´altak. Bizony´ıt´ as: Tekints¨ uk az iF ´es iG k´ upszeleti invol´ uci´okat K-n, ahol F 6= G. V´ alasszunk egy X ∈ K pontot, amely nincs rajta sem az hF, Gi egyenesen, sem F pol´ aris´ an. Legyen X 0 = iF (X), Y = iG (X 0 ), ´es Y 0 = iF (Y ), ekkor X, 0 0 X , Y ´es Y n´egy k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o pont.



Ha iF ´es iG felcser´elhet˝ ok, akkor iG (Y 0 ) = iG iF (Y ) = iF iG (Y ) = = iF (X 0 ) = X, ahonnan X, Y 0 ´es G kolline´aris. ´Igy G = hX, Y 0 i ∩ hY, X 0 i, azaz G illeszkedik iF Steiner-tengely´ere. Ez´ert 9.4.15 miatt F ´es G konjug´altak. Megford´ıtva, ha F ´es G konjug´altak, akkor 9.4.15 miatt G illeszkedik iF Steiner-tengely´ere. Ez´ert az X, X 0 , Y ´es Y 0 pontokon iG ◦ iF ´es iF ◦ iG megegyezik, amib˝ ol m´ ar k¨ ovetkezik, hogy iG ◦ iF = iF ◦ iG .

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

308

Projekt´ıv geometria

9.4.17. T´ etel. B´ armely f : K → K k´ upszeleti projektivit´ashoz egy´ertelm˝ uen l´etezik olyan g : P → P projekt´ıv transzform´aci´o, amelyre f = g|K . Bizony´ıt´ as: A k´ upszeleti invol´ uci´ok 9.4.12 ´es 9.4.13 alapj´an kiterjeszthet˝ok harmonikus invol´ uci´ okk´ a. A k´ upszeleti invol´ uci´ok 8.7.10.(5) miatt gener´atorrendszert alkotnak a k´ upszeleti projektivit´asok csoportj´aban, ez´ert b´armely k´ upszeleti projektivit´ as kiterjeszthet˝o a s´ık projekt´ıv transzform´aci´oj´av´a. A kiterjeszt´es egy´ertelm˝ us´ege abb´ol k¨ovetkezik, hogy b´armely nem¨ ures ´es nemelfajul´ o k´ upszelet tartalmaz n´egy ´altal´anos helyzet˝ u pontot, azaz projekt´ıv b´ azist. A k´ upszeleti kett˝ osviszony – k¨ori kett˝osviszony n´even – az inverz´ıv geometri´ aban is szerepet j´ atszik. Fontoss´ag´at a k¨ori kett˝osviszony invarianciat´etele (l. 9.4.21) adja, amelyet projekt´ıv geometriai t´eteleink k¨ovetkezm´enyek´ent kapunk. 9.4.18. Defin´ıci´ o (K¨ ori kett˝ osviszony). Legyen E + az E euklideszi t´er inverz´ıv b˝ ov´ıt´ese. Ha A, B, C, D n´egy k¨ ul¨onb¨oz˝o pont E + -ban, amelyek egy k¨ orre vagy egy egyenesre illeszkednek, akkor e n´egy pont k¨ori kett˝osviszony´at, az (ABCD) ∈ R sz´ amot a k¨ovetkez˝ok´eppen ´ertelmezz¨ uk : – Ha A, B, C, D egy E-beli K k¨or pontjai, akkor K-t k´ upszeletnek tekinthetj¨ uk K s´ıkj´ anak a projekt´ıv lez´ar´as´aban, ´es (ABCD)-t mint az (ABCD)K k´ upszeleti kett˝osviszonyt defini´aljuk. – Ha A, B, C, D egy E-beli L egyenes pontjai (megengedve, hogy egyik¨ uk a ∞ pont is lehessen), akkor L-et (a ∞ pontj´aval egy¨ utt) val´os projekt´ıv egyenesnek tekinthetj¨ uk, ´es az ott ´ertelmezett (ABCD) kett˝osviszonyt nevezz¨ uk a n´egy pont k¨ori kett˝osviszony´anak. 9.4.19. Lemma. Ha G ⊂ E hiperg¨omb, akkor a G-beli g¨ombi t¨ ukr¨oz´esek a G-beli pontn´egyesek k¨ ori kett˝osviszony´at megtartj´ak. Bizony´ıt´ as: Legyen τG0 : G → G g¨ombi t¨ ukr¨oz´es. Tekints¨ uk az E projekt´ıv lez´ ar´ asban a H = hG0 i hipers´ıkot ´es annak G-re vonatkoz´o p´olus´at, az F ∈ ∈ E pontot, valamint az ezek ´altal adott hF,H harmonikus invol´ uci´ot az E t´eren. Ekkor τG0 = hF,H | G . A hF,H lek´epez´es, projekt´ıv transzform´aci´o l´ev´en, meg˝ orzi a k´ upszeleti kett˝ osviszonyt, ez´ert τG0 meg˝orzi a k¨ori kett˝osviszonyt. 9.4.20. Lemma. Ha G ⊂ E hiperg¨omb ´es v : G → H + sztereografikus vet´ıt´es G-r˝ ol valamely E + -beli H + hipers´ıkra, akkor v megtartja a G-beli pontn´egyesek k¨ ori kett˝ osviszony´at. Bizony´ıt´ as: Jel¨ olj¨ uk O-val a v vet´ıt´es k¨oz´eppontj´at. Legyen K ⊆ G tetsz˝oleges k¨ or ´es K 0 = v(K). K´et esetet k¨ ul¨onb¨oztet¨ unk meg aszerint, hogy O ∈ K, illetve O ∈ / K.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

´ pszeletek 9. Ku

309

Ha O ∈ K, akkor K 0 egyenes H + -ban, legyen L+ ez az egyenes. Ekkor az hO, Li s´ık projekt´ıv lez´ ar´ as´ aban a v |K lek´epez´es ´eppen a 9.4.4-ben ´ertelmezett vet´ıt´es a K k´ upszeletr˝ol az L = L+ egyenesre, teh´at (a 9.4.18-ban megk¨ ovetelt ´ertelemben) kett˝osviszonytart´o K-n. Ha O ∈ / K, akkor pedig tekints¨ uk az S = hKi ´es S 0 = hK 0 i s´ıkokat ´es az O 0 k¨ oz´eppont´ u p : S → S , vet´ıt´est a h´aromdimenzi´os hO, Si projekt´ıv alt´erben. Ekkor v | K = p | K , ´es mivel p projektivit´as, v is kett˝osviszonytart´o K-n. 9.4.21. T´ etel. A M¨ obius-transzform´aci´ok (ak´ar egy g¨omb M¨obius-transzform´ aci´ oi, ak´ ar az inverz´ıv t´er M¨obius-transzform´aci´oi) megtartj´ak a k¨ori kett˝ osviszonyt. Bizony´ıt´ as: A g¨ ombi M¨ obius-transzform´aci´ok eset´eben a t´etel azonnal k¨ovetkezik a 9.4.19. lemm´ ab´ ol, hiszen a M¨obius-transzform´aci´ok csoportj´at ebben az esetben a g¨ ombi t¨ ukr¨ oz´esek gener´alj´ak. Az inverz´ıv t´er M¨ obius-transzform´aci´oi az 5.3.4. ´all´ıt´as szerint v ◦ µ ◦ v −1 alakban ´ırhat´ ok, ahol µ g¨ ombi M¨obius-transzform´aci´o, v pedig sztereografikus vet´ıt´es. Ez´ert az el˝ oz˝ o meg´ allap´ıt´asb´ol ´es a 9.4.20. Lemm´ab´ol a t´etel ´all´ıt´asa az inverz´ıv t´erre is k¨ ovetkezik.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

Hiperbolikus geometria A hiperbolikus geometria felfedez´es´ehez az a geometria megalapoz´as´aval kapcsolatos sok ´evsz´ azados k´erd´es vezetett, hogy vajon a p´arhuzamoss´agi axi´oma levezethet˝ o-e a t¨ obbi axi´ om´ ab´ol. A tagad´o v´alaszt olyan konkr´et matematikai strukt´ ur´ ak l´etez´ese bizony´ıtja, amelyekben az axiomatikus geometria alapfogalmai ´ertelmezve vannak, ´es amelyekben az axi´om´ak a p´arhuzamoss´agi axi´ oma kiv´etel´evel mind teljes¨ ulnek, m´ıg maga a p´arhuzamoss´agi axi´oma nem. Ilyen matematikai strukt´ ur´akra – ´evtizedekkel Bolyai ´es Lobacsevszkij munk´ aj´ at k¨ ovet˝ oen – el˝ osz¨ or Klein ´es Beltrami, majd k´es˝obb Poincar´e adott nevezetes p´eld´ akat. Ezeket nevezz¨ uk a hiperbolikus geometria modelljeinek. A hiperbolikus geometri´ aval itt nem axiomatikusan, hanem modelljeinek konstrukci´ oj´ an ´es tulajdons´ again kereszt¨ ul ismerked¨ unk meg. Ebben a felfog´asban a hiperbolikus t´er teh´ at – hasonl´oan az affin, az euklideszi vagy a projekt´ıv t´erhez – konkr´et matematikai konstrukci´o eredm´enye lesz. Ez a t´argyal´asm´od nagym´ert´ekben ´ep´ıt a geometria megel˝oz˝o fejezeteire, ´es megteremti azokat a kapcsol´ od´ asi pontokat, amelyeken kereszt¨ ul a hiperbolikus geometria szervesen k¨ ot˝ odik a modern matematikai kutat´ashoz els˝osorban az algebra, a topol´ ogia ´es a differenci´ algeometria ter¨ ulet´en. Az al´ abbiakban el˝ osz¨ or megismerked¨ unk a hiperbolikus geometria legfontosabb modelljeivel, kit´er¨ unk n´eh´any ´erdekes speci´alis k´erd´esre a hiperbolikus s´ıkgeometri´ aban, majd a hiperbolikus t´er jellegzetes alakzatait ´es izometrikus transzform´ aci´ oit tanulm´ anyozzuk.

10. A hiperbolikus geometria modelljei A tanulm´ anyainkban eddig szerepelt geometriai rendszerek (affin, euklideszi, g¨ ombi, inverz´ıv, projekt´ıv geometria) eset´eben vizsg´alataink t´argy´at els˝osorban a geometria al´ abbi f˝ o alkot´oelemei jelentett´ek: • a t´er illeszked´esi strukt´ ur´aja, azaz az alterek rendszere, 311

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

312

Hiperbolikus geometria

• a geometri´ ara jellemz˝ o transzform´aci´ok csoportja, • az invari´ ans mennyis´egek, p´eld´aul affin geometri´aban az oszt´oviszony, projekt´ıv geometri´ aban a kett˝osviszony, euklideszi geometri´aban a t´avols´ ag, sz¨ og, t´erfogat. Ugyanezt a mint´ at k¨ ovetj¨ uk, amikor a hiperbolikus geometria modelljeit t´argyaljuk: el˝ osz¨ or r¨ ogz´ıtj¨ uk a modell alaphalmaz´at ´es benne az altereket hordoz´ o r´eszhalmazokat, majd defini´aljuk, hogy milyen lek´epez´eseket tekint¨ unk a modell transzform´ aci´ oinak, ´es v´eg¨ ul megadjuk a legfontosabb invari´anst, a modell metrik´ aj´ at. A hiperbolikus geometria sz´ am´ara modellek h´aromf´ele t´ıpus´at k´esz´ıtj¨ uk el. B´ ar ezek mind egym´ assal izomorf matematikai strukt´ ur´ak lesznek, m´egis ´erdemes mindegyiket ismerni, mert gyakran el˝ofordul, hogy k¨ ul¨onf´ele geometriai k´erd´esek megv´ alaszol´ as´ ahoz m´as-m´as modellekben kapunk hat´ekony matematikai eszk¨ ozt.

10.1. Projekt´ıv modell Legyen W (d + 1)-dimenzi´ os val´os vektort´er, ´es tegy¨ uk fel, hogy a q ∈ Q(W ) nemelfajul´ o kvadratikus alak (d,1) t´ıpus´ u, azaz q diagon´alis alakj´aban d pozit´ıv ´es 1 negat´ıv egy¨ utthat´ o szerepel (l. 9.1.7). Ebben a szakaszban adottnak tekint¨ unk ´es r¨ ogz´ıt¨ unk egy ilyen (W, q) p´art. A d-dimenzi´os hiperbolikus geometria modellj´et a P = P (W ) projekt´ıv t´erben a [q] m´asodrend˝ u hiperfel¨ ulet (illetve a K = k[q] ⊂ P ponthalmaz) seg´ıts´eg´evel defini´aljuk. 10.1.1. Defin´ıci´ o (A projekt´ıv modell illeszked´ esi strukt´ ur´ aja). A modell alaphalmaza az X = { [x] ∈ P : q(x) < 0 } halmaz, azaz a q(x) = 0 egyenlet˝ u K hiperfel¨ ulet bels˝o pontjai halmaza. Az X halmazt d-dimenzi´ os hiperbolikus t´ernek nevezz¨ uk. Ha S ⊆ P olyan kdimenzi´ os projekt´ıv alt´er, amelyre S∩X 6= ∅, akkor az Y = S∩X r´eszhalmazt k-dimenzi´ os hiperbolikus alt´ernek tekintj¨ uk X-ben. Az S ∩ X 6= ∅ felt´etel egyen´ert´ek˝ u m´odon u ´gy is fogalmazhat´o, hogy S = = P (V ), ahol V ≤ W olyan (k + 1)-dimenzi´os line´aris alt´er, amelyre a q|V kvadratikus alak (k,1) t´ıpus´ u. Emiatt a hiperbolikus alterek maguk is projekt´ıv modellek a megfelel˝ o dimenzi´oban. Ha Y ⊆ Y hiperbolikus alt´er, akkor (a 8.1.3-ban bevezetett jel¨ol´essel ¨osszhangban) hY i jel¨ oli azt a P -beli projekt´ıv alteret, amelyre Y = S ∩ X.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

10. A hiperbolikus geometria modelljei

313

A 0-dimenzi´ os hiperbolikus alterek X pontjai, az egydimenzi´osakat hiperbolikus egyeneseknek, a k´etdimenzi´osakat hiperbolikus s´ıkoknak, a (d − 1)dimenzi´ osakat hiperbolikus hipers´ıkoknak nevezz¨ uk X-ben.

Megjegyz´esek. (1) M´ ar most l´atszik hogy a p´arhuzamoss´agi axi´oma nem teljes¨ ul a hiperbolikus geometri´aban, s˝ot az axi´oma tagad´as´an´al egy form´alisan er˝ osebb ´ all´ıt´ as ´erv´enyes benne. A hiperbolikus s´ık egy k´ upszelet belseje, a benne fekv˝ o hiperbolikus egyenesek ennek a k´ upszeletnek a ny´ılt h´ urjai. Nyilv´ anval´ o, hogy nem csup´ an l´etezik olyan egyenes ´es r´a nem illeszked˝o pont, hogy a s´ıkjukban t¨ obb egyenes is h´ uzhat´o a ponton ´at, amely az els˝o egyenest nem metszi, hanem ez a tulajdons´aga b´armely egyenesb˝ol ´es r´a nem illeszked˝o pontb´ ol ´ all´ o p´ arnak megvan. (2) A modell egyenesei val´ os projekt´ıv egyenesek val´odi ny´ılt intervallumai. Ez´ert a hiperbolikus egyeneseken automatikusan adott az elv´alaszt´asnak, illetve rendez´esnek a val´ os affin egyenesb˝ol ¨or¨ok¨olt fogalma. A koordin´atarendszer alkalmas megv´ alaszt´as´aval (l. 10.1.2) el´erhet˝o, hogy a modell a ddimenzi´ os val´ os affin t´erben fek¨ udj¨on. Ennek alapj´an minden tov´abbi n´elk¨ ul besz´elhet¨ unk szakaszokr´ ol, f´elegyenesekr˝ol, f´els´ıkokr´ol, f´elterekr˝ol, sz¨ogtartom´ anyokr´ ol, h´ aromsz¨ ogekr˝ ol, konvexit´asr´ol, konvex burokr´ol a hiperbolikus t´erben. Ezek a fogalmak nem f¨ uggnek az affin strukt´ ura megv´alaszt´as´at´ol, azaz att´ ol, hogy mely K-t elker¨ ul˝o projekt´ıv hipers´ıkot v´alasztjuk ide´alis hipers´ıknak. A koordin´ at´ ak speci´ alis megv´alaszt´as´aval a modell a d-dimenzi´os euklideszi koordin´ atat´er egys´egg¨ombj´ebe is helyezhet˝o. Ebben a speci´alis esetben a modell k¨ ul¨ on elnevez´est kap. 10.1.2. Defin´ıci´ o (Cayley–Klein-modell). Legyen a q ∈ Q(Rd+1 ) kvadratikus alak a q(x) = x21 + . . . + x2d − x2d+1 formul´ aval defini´ alva. Ekkor a szok´asos Rd = P (Rd+1 ) azonos´ıt´as (l. 8.4.3) d−1 mellett K = S az Rd euklideszi t´er orig´o k¨or¨ uli egys´egg¨ombje, X az egys´egg¨ omb belseje. Ebben a speci´alis esetben a projekt´ıv modellt Cayley– Klein-f´ele modellnek nevezz¨ uk. Nyilv´ an b´ armelyik projekt´ıv modell alkalmas projekt´ıv transzform´aci´oval a Cayley–Klein-modellbe vihet˝o. Ha egy projekt´ıv transzform´aci´o egy projekt´ıv modellt egy m´ asikba visz, akkor azt izomorfizmusnak nevezz¨ uk a k´et modell

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

314

Hiperbolikus geometria

k¨ oz¨ ott. Az adott dimenzi´ oj´ u projekt´ıv modellek teh´at mind izomorfak egym´ assal, ´es ´ıgy k¨ ozt¨ uk a Cayley–Klein-modellel. 10.1.3. Defin´ıci´ o (A projekt´ıv modell kongruenci´ ai, G(X)). Egy f : : X → X lek´epez´est a modell kongruenci´aj´anak nevez¨ unk, ha l´etezik olyan F : P → P projekt´ıv transzform´aci´o, amelyre F |X = f . M´as sz´oval a modellt ¨ onmag´ ara k´epez˝ o izomorfizmusokat h´ıvjuk kongruenci´aknak. K´et X-beli r´eszhalmazt kongruensnek mondunk, ha alkalmas kongruenci´aval egyik¨ uk a m´ asikra k´epezhet˝ o. A kongruenci´ ak nyilv´ an csoportot alkotnak a kompoz´ıci´o m˝ uvelet´ere n´ezve, ezt a csoportot G(X)-szel jel¨olj¨ uk. Miut´an X-b˝ol lehet projekt´ıv b´azist v´alasztani P sz´ am´ ara, az F |X megszor´ıt´as egy´ertelm˝ uen meghat´arozza F -et. Ez´ert G(X) a P GL(W ) projekt´ıv csoport r´eszcsoportjak´ent foghat´o f¨ol. ´ ıt´ 10.1.4. All´ as. Ha d 6= 1, akkor G(X) mint P GL(W ) r´eszcsoportja pontosan a K m´ asodrend˝ u hiperfel¨ uletet ¨onmag´ara k´epez˝o P -beli projektivit´asokb´ ol ´ all. Bizony´ıt´ as: Miut´ an a projektivit´asok homeomorfizmusok ´es K az X hat´ara, az X-et ¨ onmag´ ara k´epez˝ o transzform´aci´ok term´eszetesen K-t is ¨onmag´ara k´epezik. A megford´ıt´ ashoz vegy¨ uk ´eszre, hogy d 6= 1 eset´en a t´er valamely pontja pontosan akkor bels˝ o bels˝o pontja K-nak, ha a pol´arisa diszjunkt K-t´ ol. (Ezt a koordin´ at´ ak 10.1.2-beli megv´alaszt´asa mellett 9.2.5 alkalmaz´as´ aval r¨ ogt¨ on l´ athatjuk.) Ez´ert ha a t´er valamely projektivit´asa K-t ¨onmag´ara k´epezi, akkor a bels˝ o pontokat bels˝o pontokba kell, hogy k´epezze. Megjegyz´es. A d = 1 eset kiv´eteles jelleg´et az magyar´azza, hogy olyankor a kvadratikus alak t´ıpusa (1,1), itt a k´et sz´am egyenl˝o volta miatt a K-t meg˝ orz˝ o projektivit´ asok k¨ oz¨ ott olyan szimmetri´ak is fell´epnek, amelyek felcser´elik a pozit´ıv q-´ert´ekeket ad´o vektorokat a negat´ıvakkal, azaz K k¨ ulsej´et a belsej´evel. 10.1.5. P´ elda (Hiperbolikus tu oz´ es). Legyen H ⊂ X hiperbolikus hi¨ kr¨ pers´ık, ´es legyen Z ∈ P a hHi projekt´ıv hipers´ık p´olusa [q]-ra n´ezve. A hZ,hHi harmonikus invol´ uci´ o a 9.2.15. K¨ovetkezm´eny szerint K-t ¨onmag´ara k´epezi, ´ıgy 10.1.4 miatt (d 6= 1 eset´en) X kongruenci´aj´at sz´armaztatja. Ez a d = 1 esetben is ´ıgy van, mert H fixen marad, teh´at K belseje nem k´epez˝odhet a k¨ ulsej´ere. Az ´ıgy defini´ alt σH = hZ,hHi |X ∈ G(X) kongruenci´at a H hipers´ıkra vonatkoz´ o hiperbolikus t¨ ukr¨oz´esnek nevezz¨ uk X-ben. A harmonikus invol´ uci´ o defin´ıci´oj´ab´ol ad´od´oan a σH t¨ ukr¨oz´es m´asodrend˝ ua G(X) csoportban, ´es a H hipers´ık a σH fixpontjaib´ol ´all. Megjegyz´es. Ha Z ∈ X, akkor Z pol´arisa, az S ⊂ P projekt´ıv hipers´ık, diszjunkt K-t´ ol (´es ´ıgy X-t˝ ol is). A hZ,S harmonikus invol´ uci´o ekkor is m´asodrend˝ u kongruenci´ at sz´ armaztat X-en, csak ennek most Z az egyetlen fixpontja.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

10. A hiperbolikus geometria modelljei

315

Az euklideszi anal´ ogia alapj´ an ezt a kongruenci´at a Z pontra vonatkoz´o k¨oz´eppontos szimmetri´ anak nevezhetj¨ uk. 10.1.6. Defin´ıci´ o (Hipers´ık ´ es egyenes mer˝ olegess´ ege). Azt mondjuk, hogy egy L ⊆ X hiperbolikus egyenes mer˝oleges egy H ⊂ X hiperbolikus hipers´ıkra (jelben L ⊥ H), ha a hHi projekt´ıv hipers´ık [q]-ra vonatkoz´o p´olusa illeszkedik az hLi projekt´ıv egyenesre. Az X hiperbolikus t´er kongruenci´ai megtartj´ak a mer˝olegess´eget, hiszen az oket sz´ ˝ armaztat´ o projektivit´ asok a polarit´ast meg˝orzik.

A d = 2 esetben mind H, mind L egyenes. A mer˝olegess´eg ilyenkor szimmetrikus rel´ aci´ o, mert azzal egyen´ert´ek˝ u, hogy hHi ´es hLi p´olusai konjug´alt pontok [q]-ra n´ezve. ´ ıt´ 10.1.7. All´ as. Legyen H hiperbolikus hipers´ık X-ben. Ekkor: (1) Ha L ⊆ X hiperbolikus egyenes ´es L ⊥ H, akkor H-nak ´es L-nek egyetlen k¨ oz¨ os pontja van, tov´abb´a σH (L) = L. (2) B´ armely A ∈ X ponthoz egy´ertelm˝ uen l´etezik olyan L ⊆ X hiperbolikus egyenes, hogy L ⊥ H. Bizony´ıt´ as: (1): A hHi projekt´ıv hipers´ık p´olusa nem illeszkedik hHi-ra, mert ez csak az ´erint˝ ohipers´ıkok eset´en van ´ıgy. Ez´ert az hLi projekt´ıv egyenes nem fekszik benne a hHi-ban, teh´at egyetlen k¨oz¨os pontjuk van a P projekt´ıv t´erben. Ez a metsz´espont 9.2.13 alapj´an K belsej´ebe esik, mert hHi p´olusa k¨ uls˝ o pont. A σH (L) = L a´ll´ıt´as is mag´at´ol ´ertet˝odik a σH -t sz´armaztat´o harmonikus invol´ uci´ o defin´ıci´oja alapj´an. (2): Legyen Z a hHi projekt´ıv hipers´ık p´olusa [q]-ra n´ezve. A keresett L egyenest el˝ o´ all´ıt´ o projekt´ıv egyenesnek az A ponton is ´es Z-n is ´at kell haladnia, teh´ at csak L = hA, Zi∩X lehets´eges. M´asr´eszt az ´ıgy defini´alt L hiperbolikus egyenes nyilv´ an megfelel˝ o is. 10.1.8. Lemma. Tetsz˝ olegesen adott A, B ∈ X, A 6= B pontokhoz tal´alhat´o olyan hiperbolikus t¨ ukr¨ oz´es, amely A-t ´es B-t f¨olcser´eli.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

316

Hiperbolikus geometria

Bizony´ıt´ as: Tekints¨ uk az hA, Bi projekt´ıv egyenes ´es K metsz´espontjait, U -t ´es V -t. 8.7.10.(4) alapj´ an l´etezik az hA, Bi egyenesen olyan g projekt´ıv invol´ uci´ o, amely A-t B-vel, ´es U -t V -vel cser´eli f¨ol. Miut´an az {A, B} p´ar ´es az {U, V } p´ ar nem v´ alasztj´ ak el egym´ast, 8.7.10.(6) alapj´an ennek az invol´ uci´ onak k´et fixpontja van. A fixpontok elv´alasztj´ak U -t ´es V -t, ez´ert egyik¨ uk K k¨ ulsej´eben van, legyen ez a fixpont Z. Legyen S a Z pont pol´arisa, ´es tekints¨ uk a H = S ∩ X hiperbolikus hipers´ıkot. A hZ,S harmonikus invol´ uci´ o az hA, Bi egyenesen 8.7.10.(3) miatt azonos g-vel, ez´ert a σH = hZ,S |X hiperbolikus t¨ ukr¨ oz´es felcser´eli A-t B-vel. Megjegyz´es. A bizony´ıt´ asban konstru´alt H hiperbolikus hipers´ıkra az euklideszi anal´ ogia alapj´ an u ´gy gondolhatunk, mint az A ´es B pontok felez˝o mer˝ oleges hipers´ıkj´ ara. A mer˝olegess´eg a konstrukci´o alapj´an val´oban fennall, ´es a t´ ´ avols´ ag modellbeli defin´ıci´oja (10.1.13) ut´an nyilv´anval´o lesz, hogy H t´enyleg felezi az [A, B] szakaszt. 10.1.9. T´ etel. A G(X) csoport tranzit´ıvan hat az X halmazon, ´es a pontok stabiliz´ atora az O(d) ortogon´alis csoporttal izomorf. Bizony´ıt´ as: A tranzitivit´ as r¨ogt¨on k¨ovetkezik 10.1.8-b´ol. A stabiliz´ator azonos´ıt´ asa c´elj´ ab´ ol feltehetj¨ uk, hogy X a Cayley–Klein-modell, ´es a tranzitivit´as miatt elegend˝ o az 0 ∈ Rd orig´ot fixen hagy´o kongruenci´akat, azaz a G(X)0 r´eszcsoportot meghat´ arozni G(X)-ben. A modell euklideszi szimmetri´ai (projekt´ıv kiterjeszt´es, majd lesz˝ uk´ıt´es u ´tj´ an) G(X)-hez tartoznak, ´es a Sym (Sd−1 ) = O(d) csoportot alkotj´ak. Ez´ert nyilv´ an O(d) ≤ G(X)0 . A ford´ıtott ir´ any´ u tartalmaz´ as bizony´ıt´asa c´elj´ab´ol tegy¨ uk f¨ol, hogy a Cayley– Klein-modell valamely f : X → X kongruenci´aj´ara f (0) = 0. Legyen F ∈ ∈ P GL(d+1, R) az f -et sz´ armaztat´o projektivit´as. Miut´an F -nek 0 fixpontja ´es F (Sd−1 ) = Sd−1 , a 0 pont Sd−1 -re vonatkoz´o pol´arisa, azaz az Rd t´er ide´ alis hipers´ıkja is invari´ ans F -n´el. Ez´ert 8.4.7 alkalmaz´as´aval F egy Rd beli (ugyancsak F -fel jel¨ olt) affinit´as projekt´ıv kiterjeszt´ese. Ez az F affinit´as az orig´ ot fixen hagyja, teh´ at line´aris. Miut´an F (Sd−1 ) = Sd−1 , a vektorok norm´ aj´ at F megtartja, ez´ert F ortogon´alis. Teh´at G(X)0 ≤ O(d).

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

10. A hiperbolikus geometria modelljei

317

Megjegyz´esek. (1) Figyelj¨ unk f¨ol arra a p´arhuzamra, amely a h´arom klasszikus geometria (euklideszi, g¨ ombi ´es hiperbolikus) transzform´aci´oi csoportj´anak a t´eren val´ o hat´ as´ aban megmutatkozik. A 10.1.9. T´etelben megfogalmazott tulajdons´ ag a 4.2.10. T´etel alapj´an az euklideszi terek izometriacsoportj´ara, ´es a 4.7.11. T´etel k¨ ovetkezt´eben a g¨ombi terek izometriacsoportj´ara is ´erv´enyes. Ez a k¨ oz¨ os tulajdons´ ag a h´ aromfajta klasszikus t´er egyenl˝o m´ert´ek˝ u” homo” genit´ as´ at fejezi ki. A 10.1.8. Lemma ´es a 10.1.9. T´etel al´abbi k¨ovetkezm´enyei is ezeknek a tereknek a rokons´ag´ara utalnak. (2) A stabiliz´ atorok O(d)-vel val´o izomorfi´aja azt jelenti, hogy a klasszikus geometri´ ak infinitezim´ alis m´eretekben” egyform´ak. Konkr´etan ez azt jelenti, ” hogy a t´er valamely pontj´ at fixen tart´o transzform´aci´ok ugyanolyan jelleg˝ uek, ugyan´ ugy oszt´ alyozhat´ ok, ugyanazokat az algebrai tulajdons´agokat mutatj´ak f¨ ol mindh´ arom esetben. P´eld´aul a k´et-, illetve h´aromdimenzi´os hiperbolikus geometria eset´eben – az euklideszi geometria mint´aj´ara – valamely pont stabiliz´ ator´ aban az SO(2), illetve SO(3) r´eszcsoporthoz tartoz´o kongruenci´akat tekinthetj¨ uk a hiperbolikus s´ık, illetve t´er e pontot fixen tart´o forgat´asainak. 10.1.10. Ko enyek ¨vetkezm´ (1) A G(X) csoportban a hiperbolikus t¨ ukr¨oz´esek gener´atorrendszert alkotnak: b´ armely kongruencia el˝o´all´ıthat´o legfeljebb d + 1 hiperbolikus t¨ ukr¨ oz´es szorzatak´ent. ´ (2) Ertelmezz¨ uk a hiperbolikus t´erben a z´aszl´o fogalm´at ugyan´ ugy, ahogyan azt az euklideszi t´er eset´eben a 6.1.15. P´eld´aban tett¨ uk. Ekkor a G(X) csoport egyszeresen tranzit´ıvan hat a z´aszl´ok halmaz´an. (3) Minden r¨ ogz´ıtett k mellett b´armely k´et X-beli k-dimenzi´os hiperbolikus alt´er kongruens. Bizony´ıt´ as: (1): Feltehetj¨ uk, hogy X a Cayley–Klein-modell. Legyen f ∈ ∈ G(X) tetsz˝ oleges. Ha f (0) = 0, akkor f -et egy Rd -beli ortogon´alis transzform´ aci´ o sz´ armaztatja. A 4.3.14. T´etel szerint ez a transzform´aci´o legfeljebb d darab line´ aris t¨ ukr¨ oz´es szorzata. Ebben a szorzatban mindegyik t´enyez˝o X-re lesz˝ uk´ıtve hiperbolikus t¨ ukr¨oz´est ad, ez´ert f el˝o´all legfeljebb d hiperbolikus t¨ ukr¨ oz´es szorzatak´ent. Ha f (0) = a 6= 0, akkor 10.1.6 alapj´an v´alasszunk olyan σ hiperbolikus t¨ ukr¨ oz´est, amelyre σ(a) = 0, ´es ´all´ıtsuk el˝o a σ ◦ f kongruenci´ at legfeljebb d t¨ ukr¨oz´es szorzatak´ent. Ezt a szorzatot balr´ol σ-val szorozva f k´ıv´ ant el˝ o´ all´ıt´ as´ at kapjuk. (2): Most is a Cayley–Klein-modellben dolgozunk. Legyen Z0 az orig´oban az Rd -beli standard ortonorm´alt koordin´atarendszerhez illesztett z´aszl´o. Ha Z tetsz˝ oleges z´ aszl´ o X-ben, akkor alkalmas kongruencia a Z-beli f´elegyenes kezd˝ opontj´ at ´ atviszi az orig´ oba, majd egy alkalmas O(d)-beli transzform´aci´o

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

318

Hiperbolikus geometria

Z k´ep´et Z0 -ba. Ezzel a tranzitivit´ast bel´attuk, hiszen mindk´et transzform´aci´o G(X)-ben van. Ha egy kongruencia Z0 -t helyben hagyja, akkor csak identikus lehet, hiszen az orig´ o fixpontja, teh´ at a kongruencia 10.1.9. szerint O(d)-beli, ´es O(d)-r˝ol tudjuk, hogy egyszeresen tranzit´ıv az orig´obeli z´aszl´ok halmaz´an. (3): Nyilv´ anval´ o m´ odon k¨ ovetkezik (2)-b˝ol. 10.1.11. P´ elda (Hiperbolikus eltol´ as). Legyen L ⊆ X hiperbolikus egyenes. Ha Z az hLi projekt´ıv egyenesnek a K k¨ ulsej´ehez tartoz´o pontja, ´es S a Z pol´ aris hipers´ıkja, akkor az hLi egyenest a hZ,S harmonikus invol´ uci´o onmag´ ara k´epezi. Ez´ert a H = S ∩ X hipers´ıkra vonatkoz´o σH hiperbolikus ¨ t¨ ukr¨ oz´esn´el σH (L) = L. Ha k´et ilyen pontot, Z1 -et ´es Z2 -t v´alasztunk, akkor a k´et t¨ ukr¨ oz´es kompoz´ıci´ oj´ at, a σZ2 ◦ σZ1 kongruenci´at az L egyenes ment´en t¨ ort´en˝ o hiperbolikus eltol´ asnak nevezz¨ uk X-ben. 10.1.8 alapj´ an mag´ at´ ol ´ertet˝ odik, hogy az L egyenes ment´en t¨ort´en˝o hiperbolikus eltol´ asokkal L b´ armely pontj´ab´ol b´armely m´asik pontj´aba el lehet jutni. (Az is igaz, hogy ezek a transzform´aci´ok r´eszcsoportot alkotnak G(X)-ben, de ez most m´eg nem nyilv´ anval´o.) ´ Ertelmezni szeretn´enk a t´ avols´agm´er´est a projekt´ıv modellben. A t´avols´aggal szemben term´eszetes elv´ ar´as, hogy kongruens pontp´arok t´avols´aga egyenl˝ o legyen, valamint hogy a hiperbolikus egyeneseket a t´avols´agm´er´es a val´os sz´ amegyenessel tegye izometrikuss´a. Az al´abbi t´etel szerint ezeknek a k´ıv´analmaknak l´enyeg´eben egyf´elek´eppen lehet eleget tenni. 10.1.12. T´ etel. Az X halmazon l´etezik olyan ρ metrika, amelyre az al´abbi k´et felt´etel teljes¨ ul: (1) ρ invari´ ans a G(X) csoport hat´as´ara n´ezve (azaz X minden kongruenci´ aja izometrikus lek´epez´es), (2) ha L ⊆ X hiperbolikus egyenes, akkor az (L, ρ|L×L ) metrikus t´er izometrikus a standard metrik´aval ell´atott R sz´amegyenessel. Ha ρ1 ´es ρ2 az (1) ´es (2) felt´eteleknek megfelel˝o metrik´ak X-en, akkor ρ2 = = λρ1 alkalmas λ konstanssal. Bizony´ıt´ as: A k´ıv´ ant metrika l´etez´es´et az al´abbi u ´n. Cayley-f´ele t´avols´agformula seg´ıts´eg´evel igazoljuk. Legyen A, B ∈ X. Ha A = B, akkor term´eszetesen ρ(A, B) = 0. Ha A 6= B, akkor legyen U ´es V az hA, Bi egyenes k´et metsz´espontja K-val, ´es defini´aljuk ρ(A, B)-t a ρ(A, B) = | ln (U V A B) |

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

10. A hiperbolikus geometria modelljei

319

k´eplettel. Miut´ an U ´es V nem v´alasztja el A-t ´es B-t, a kett˝osviszony pozit´ıv (l. 8.6.2), teh´ at vehet˝ o a logaritmusa. A kett˝osviszony nem lehet 1-gyel egyenl˝ o, teh´ at a formula pozit´ıv ´ert´eket ad. Ak´ar U ´es V , ak´ar A ´es B felcser´el´ese a kett˝ osviszonyt a reciprok´ara v´altoztatja, ez´ert egyr´eszt ρ(A, B) ´ert´eke nem f¨ ugg az U ´es V jel¨ol´esek kioszt´as´at´ol, m´asr´eszt ρ szimmetrikus az A ´es B v´ altoz´ okban. Ahhoz, hogy ρ val´oban metrika legyen, m´ar csak a h´ aromsz¨ og-egyenl˝ otlens´eg teljes¨ ul´ese sz¨ uks´eges. Ezt j´oval k¨onnyebb lesz egy k´es˝ obb t´ argyaland´ o modell felhaszn´al´as´aval ellen˝orizni, ez´ert a nem kolline´aris pontokra vonatkoz´ o eset´et k¨ ul¨on ´all´ıt´as (l. 10.1.17.(1)) form´aj´aban r¨ogz´ıtj¨ uk, ´es indokl´ as´ at egyel˝ ore f¨ ugg˝oben hagyjuk. Kolline´aris ponth´armasokra a h´ aromsz¨ og-egyenl˝ otlens´eg k¨ovetkezni fog a t´etelbeli (2) tulajdons´agb´ol, amelyet al´ abb bebizony´ıtunk. A G(X)-hat´ assal szembeni invariancia bizony´ıt´asa c´elj´ab´ol tegy¨ uk fel, hogy A0 , B 0 , U 0 , V 0 rendre az A, B, U ´es V k´epei valamely kongruenci´an´al. Ekkor a ρ(A0 , B 0 )-t defini´ al´ o formul´ aban az {U 0 , V 0 } = hA0 , B 0 i ∩ K pontp´arnak kell szerepelnie a kongruencia egyenestart´o volta miatt. Ez´ert ρ(A0 , B 0 ) = ρ(A, B) a kongruencia kett˝ osviszonytart´as´ab´ol k¨ovetkezik. Tekints¨ uk most a ρ metrika megszor´ıt´as´at valamely L hiperbolikus egyenesre, bel´ atjuk a (2) k¨ ovetelm´eny teljes¨ ul´es´et. Miut´an a kongruenci´akra vonatkoz´o invarianci´ at m´ ar tiszt´ aztuk, feltehetj¨ uk, hogy X a Cayley–Klein-modell, ´es L az els˝ o koordin´ atatengelyen a (−1,1) intervallum. Ennek tetsz˝oleges a 6= b elemeire a Cayley-f´ele t´ avols´ agformula szerint   1 + b a + 1 b + 1 1 + a = ln : − ln . ρ(a, b) = | ln(−1 1 a b)| = ln 1−a 1−b 1−a 1−b
Ez´ert az a ϕ : (−1,1) → R f¨ uggv´eny, amelyet a ϕ(x) = ln (1 + x)/(1 − x) k´eplet defini´ al, t´ avols´ agtart´ o az L hiperbolikus egyenes ´es R k¨oz¨ott. K¨onnyen ellen˝ orizhet˝ o, hogy az y 7→ (ey − 1)/(ey + 1) f¨ uggv´eny a ϕ inverze, ez´ert a ϕ f¨ uggv´eny sz¨ urjekt´ıv. Teh´ at L val´oban izometrikus a sz´amegyenessel. R´ at´er¨ unk az egy´ertelm˝ us´egi a´ll´ıt´as bizony´ıt´as´ara. Ehhez el˝osz¨or a val´os sz´amegyenes al´ abbi tulajdons´ ag´ at gondoljuk meg : Ha ρ eltol´ asinvari´ ans metrika az R sz´amegyenesen, amellyel az (R, ρ) metrikus t´er izometrikus a standard R metrikus t´errel, akkor ρ a standard metrika konstansszorosa. Legyen f : R → R izometria a k´et metrikus t´er k¨oz¨ott, azaz olyan bijekci´o, amelyn´el minden x, y ∈ R-re ρ(x, y) = |f (x) − f (y)|. Feltehetj¨ uk, hogy f n¨ ov˝ o f¨ uggv´eny (p´eld´ aul ha kell, kicser´elhetj¨ uk a (−1)-szeres´evel), ´ıgy x < yra ρ(x, y) = f (y) − f (x) ´erv´enyes. Az x 7→ ρ(0, x) f¨ uggv´eny pozit´ıv x-re ρ

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

320

Hiperbolikus geometria

eltol´ asinvarianci´ aja miatt addit´ıv az x v´altoz´oban:

ρ(0, x + y) = ρ(−x, y) = f (y) − f (−x) = f (y) − f (0) + f (0) − f (−x) = = ρ(0, y) + ρ(−x,0) = ρ(0, x) + ρ(0, y) . Ez´ert alkalmas λ > 0 konstanssal minden pozit´ıv x-re ρ(0, x) = λx, amib˝ol most m´ ar tetsz˝ oleges x < y eset´en ρ(x, y) = ρ(0, y − x) = λ(y − x) k¨ovetkezik. Ezzel a sz´ amegyenesre vonatkoz´o seg´ed´all´ıt´ast bel´attuk. Szemelj¨ uk ki a modell valamely L egyenes´et, ´es tekints¨ uk ρ1 ´es ρ2 megszor´ıt´ as´ at ezen az egyenesen. A t´etelben megk¨ovetelt (2) tulajdons´ag miatt a ρ1 |L×L megszor´ıt´ ast felfoghatjuk mint a sz´amegyenes standard metrik´aj´at. Ezen az L ment´en t¨ ort´en˝ o (X-beli) hiperbolikus eltol´asok mint R standard eltol´ asai hatnak. Ezekre n´ezve ρ2 |L×L is invari´ans, teh´at a seg´ed´all´ıt´as miatt ρ2 |L×L = λL · ρ1 |L×L ´erv´enyes alkalmas (L-t˝ol esetleg f¨ ugg˝o) λL konstanssal. V´eg¨ ul igazoljuk, hogy λL val´oj´aban nem f¨ ugg L v´alaszt´as´at´ol. Ez annak a t´enynek a nyilv´ anval´ o k¨ ovetkezm´enye, hogy X-ben b´armely k´et egyenes kongruens, ´es a kongruenci´ akra n´ezve mind ρ1 , mind ρ2 invari´ans. A t´etel alapj´ an teh´ at a projekt´ıv modellben a t´avols´agm´er´es a m´ert´ekegys´eg megv´ alaszt´ asa erej´eig egy´ertelm˝ u. A m´ert´ekegys´eget az al´abbi defin´ıci´oval r¨ ogz´ıtj¨ uk. 10.1.13. Defin´ıci´ o (Hiperbolikus t´ avols´ ag, term´ eszetes t´ avols´ agegys´ eg). Tetsz˝ oleges A, B ∈ X pontokra A ´es B hiperbolikus t´avols´ag´an a  ha A = B  0, ρp (A, B) =  1 ln (U V A B) , ha A 6= B ´es {U, V } = hA, Bi ∩ K 2 sz´ amot ´ertj¨ uk. A p index arra utal, hogy ezt a metrik´at a projekt´ıv modellben ´ertelmezt¨ uk. Az 1/2 szorz´o jelenl´et´enek ´erdekes matematikai h´attere van; ebben a pillanatban a legegyszer˝ ubb magyar´azata az, hogy ez´altal v´alik a projekt´ıv modell a k´es˝ obb defini´aland´o modellekkel izometrikuss´a. A ρp metrik´ ahoz tartoz´ o t´ avols´ agegys´eget (azaz b´armelyik 1 hossz´ us´ag´ u hiperbolikus szakaszt) a hiperbolikus t´er term´eszetes t´avols´agegys´eg´enek nevezz¨ uk. Megjegyz´es. A 10.1.12. T´etel bizony´ıt´as´aban explicit izometri´at mutattunk az R sz´ amegyenes ´es a Cayley–Klein-modellbeli (−1,1) ´atm´er˝o k¨oz¨ott. Ha a modellben a ρp term´eszetes t´avols´agot haszn´aljuk, akkor az izometria k´eplete y 7→ (e2y − 1)/(e2y + 1) = th y. ´ ıt´ 10.1.14. All´ as. A hiperbolikus t´avols´ag X-en a P projekt´ıv t´erb˝ol ¨or¨ok¨olt topol´ ogi´ at induk´ alja.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

10. A hiperbolikus geometria modelljei

321

Bizony´ıt´ as: Miut´ an a modellek k¨ozti izomorfizmus homeomorfizmus az alaphalmazok k¨ oz¨ ott, az ´ all´ıt´ ast elegend˝o a Cayley–Klein-modellre vonatkoz´oan ellen˝ orizni, ´es el´eg abban egyetlen pontnak, p´eld´aul az orig´onak a k¨ornyezeteit ¨ osszehasonl´ıtani. Legyen a Cayley–Klein-modell valamely x pontj´anak az orig´ ot´ ol m´ert euklideszi t´ avols´aga a = kxk, ekkor a 10.1.12 bizony´ıt´as´ahoz hasonl´ o sz´ amol´ assal 1 1+a 1 . ρp (0, x) = ln(−1 1 0 a) = ln 2 2 1−a Err˝ ol a f¨ uggv´enyr˝ ol l´ atszik, hogy a 0 alkalmas k¨ornyezet´eben alkalmas c1 ´es c2 pozit´ıv konstansokkal ´ert´eke c1 a ´es c2 a k¨oz¨ott marad. Ez´ert a k´et metrika (ρp ´es az euklideszi) az orig´ onak ugyanazokat a k¨ornyezeteit sz´armaztatja. 10.1.15. Defin´ıci´ o (Hiperbolikus sz¨ og). Legyen M ´es N k´et f´elegyenes az X projekt´ıv modellben, amelyek k¨oz¨os kezd˝opontja az A pont. Az M ´es N ´ altal bez´ art sz¨ oget a k¨ovetkez˝ok´eppen ´ertelmezz¨ uk. V´alasszunk olyan f izomorfizmust X ´es a Cayley–Klein-modell k¨oz¨ott, amelyn´el az A pont az orig´ oba ker¨ ul. Az M ´es N f´elegyenesek k´epe, f (M ) ´es f (N ), enn´el az izomorfizmusn´ al k´et, az orig´ ob´ol kiindul´o f´elig ny´ılt egys´egszakasz az Rd koordin´ atat´erben. Az ezek ´ altal bez´art sz¨oget nevezz¨ uk M ´es N sz¨og´enek. A defin´ıci´ o korrekts´eg´enek tiszt´az´asa c´elj´ab´ol v´alasszunk egy m´asik g izomorfizmust, amelyre szint´en g(A) = 0, ´es ellen˝orizz¨ uk, hogy g seg´ıts´eg´evel ugyanazt a sz¨ oget kapjuk. Val´ oban, a 10.1.9. T´etel stabiliz´atorr´ol sz´ol´o ´all´ıt´asa miatt az M -b˝ ol ´es N -b˝ ol ´ all´ o f´elegyenesp´ar g-n´el keletkez˝o k´epe csak egy (az egys´egg¨ omb belsej´ere megszor´ıtott) ortogon´alis transzform´aci´oban (nevezetesen, g ◦ f −1 -ben) t´er el az f szerinti k´ept˝ol, ez´ert g(M ) ´es g(N ) k¨oz¨ott a sz¨og ugyanakkora, mint f (M ) ´es f (N ) k¨oz¨ott. A hiperbolikus sz¨ og nyilv´ anval´oan invari´ans a modell kongruenci´aira n´ezve. Az euklideszi t´er egys´egg¨ ombj´ere vonatkoz´o polarit´asra (l. 9.2.5) hivatkozva r¨ ogt¨ on l´ athat´ o, hogy ha az X-beli L egyenes mer˝oleges a H hiperbolikus hipers´ıkra a 10.1.6. defin´ıci´ o ´ertelm´eben, tov´abb´a M ⊂ H ´es N ⊂ L a H ∩ L metsz´espontb´ ol indul´ o f´elegyenesek, akkor M ´es N sz¨oge 10.1.14 ´ertelm´eben is π/2. K´et metsz˝ o egyenes hajl´ assz¨og´et az euklideszi geometri´aban haszn´alatos defin´ıci´ o mint´ aj´ ara ´ertelmezz¨ uk : a metsz´espontb´ol indul´o f´elegyenesek k¨oz¨ ul v´ alasztunk egyet-egyet, ´es az ´altaluk bez´art (legfeljebb) k´etf´ele sz¨og k¨oz¨ ul a kisebbet (nem nagyobbat) tekintj¨ uk. A hiperbolikus t´erben h´ arom nem kolline´aris pont h´aromsz¨oget fesz´ıt ki. Besz´elhet¨ unk a h´ aromsz¨ og sz¨ og´er˝ol mint valamely cs´ ucsb´ol kiindul´o, a m´asik k´et cs´ ucson ´ athalad´ o k´et f´elegyenes ´altal bez´art sz¨ogr˝ol. Az al´abbi t´etelt egy m´ asik fajta modell appar´ atus´aval fogjuk k´es˝obb bebizony´ıtani (l. 10.3.21), egyel˝ ore bizony´ıt´ as n´elk¨ ul haszn´aljuk f¨ol.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

322

Hiperbolikus geometria

10.1.16. T´ etel (Hiperbolikus koszinuszt´ etel) Legyenek az X-beli ABC h´ aromsz¨ og oldalai a = ρp (B, C), b = ρp (C, A) ´es c = ρp (A, B), valamint legyen α az A cs´ ucsn´ al lev˝ o sz¨og. Ekkor ch a = ch b ch c − sh b sh c cos α . 10.1.17. K¨ ovetkezm´ enyek (1) Ha az A, B, C ∈ X pontok nem illeszkednek egy hiperbolikus egyenesre, akkor ρp (A, B) + ρp (A, C) > ρp (B, C). (2) Hiperbolikus der´eksz¨ og˝ u h´aromsz¨ogben az ´atfog´o hosszabb b´armelyik befog´ on´ al. (3) Ha az (X, ρp ) metrikus t´er egy f izometri´aja egy H ⊂ X hiperbolikus hipers´ıkot pontonk´ent fixen hagy, akkor vagy f = idX , vagy f = σH . Bizony´ıt´ as: (1): 10.1.16. jel¨ ol´eseivel α < π miatt cos α > −1, ez´ert a t´etelb˝ol ch a < ch b ch c + sh b sh c = ch (b + c), ´es ´ıgy a < b + c k¨ovetkezik. (2): Ha 10.1.16-ban α = π/2, akkor ch a = ch b ch c > ch b, amib˝ol a > b k¨ ovetkezik. (3): Legyen A ∈ X − H tetsz˝oleges pont. Bocs´assunk mer˝olegest 10.1.7-re hivatkozva az A pontb´ ol H-ra, legyen ez az L hiperbolikus egyenes, ´es legyen B a d¨ of´espontja. Tetsz˝ oleges tov´abbi C ∈ H, C 6= B ponttal az [A, C] szakasz az ABC der´eksz¨ og˝ u h´aromsz¨og ´atfog´oja, ez´ert (2) alapj´an ρp (A, B) < < ρp (A, C). Azt kaptuk teh´ at, hogy tetsz˝oleges A ponthoz egy´ertelm˝ uen l´etezik H-ban hozz´ a legk¨ ozelebbi pont, m´egpedig az A-n ´athalad´o L mer˝oleges egyenes d¨ of´espontja. Miut´ an f a H hipers´ıkot pontonk´ent fixen tartja, ebb˝ol az k¨ ovetkezik, hogy f (A)-hoz ugyanaz a d¨of´espont tartozik, mint A-hoz, azaz f (A) ∈ L. Az L egyenesen csak olyan pont j¨ohet sz´oba mint f (A), amelynek a B-t˝ ol m´ert t´ avols´ aga ρp (A, B)-vel egyenl˝o. Ha A ∈ / H, k´et ilyen pont van: A ´es σH (A). Ak´ armelyik eset ´all is f¨onn, az f folytonoss´aga miatt b´armely A ponttal egy¨ utt az A pont egy eg´esz k¨ornyezet´eben f -nek egybe kell esnie idX -szel, illetve σH -val. A H szerinti f´elterek ¨osszef¨ ugg˝o volta miatt ez´ert f egy eg´esz f´elt´eren egybeesik idX -szel, illetve σH -val, ´es akkor ez nyilv´an az eg´esz X-en is ´ıgy van. 10.1.18. T´ etel Az (X, ρp ) metrikus t´er izometri´ai azonosak az X projekt´ıv modell kongruenci´ aival. Bizony´ıt´ as: Egyfel˝ ol 10.1.12.(1) ´eppen azt jelenti, hogy G(X) ≤ I(X, ρp ). A ford´ıtott tartalmaz´ as bizony´ıt´asa c´elj´ab´ol pedig a 8.7.5. Lemm´ara ´es a 10.1.10.(2) K¨ ovetkezm´enyre hivatkozva elegend˝o egyr´eszt azt bel´atni, hogy (X, ρp ) izometri´ ai a z´ aszl´ okat z´aszl´okba viszik, m´asr´eszt azt, hogy ha egy izometria egy z´ aszl´ ot ¨ onmag´ ara k´epez, akkor identikus.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

10. A hiperbolikus geometria modelljei

323

El˝ osz¨ or is a szigor´ u h´ aromsz¨og-egyenl˝otlens´egb˝ol ´es az egyenesek R-rel izometrikus volt´ ab´ ol k¨ ovetkezik, hogy az izometri´ak a modell egyeneseit egyenesekbe k´epezik, ´es meg˝ orzik rajtuk a pontok elv´alaszt´as´at. Ebb˝ol a dimenzi´o szerinti indukci´ oval k¨ onnyen ellen˝orizhet˝o, hogy a hiperbolikus alterek ´es a benn¨ uk fekv˝ o f´elterek k´epe is ugyanilyen jelleg˝ u halmaz. Ez´ert z´aszl´o k´epe z´ aszl´ o. Legyen Z = (F1 , F2 , . . . , Fd ) z´aszl´o X-ben (azaz minden k < d -re Fk f´elt´er abban a k-dimenzi´ os hiperbolikus alt´erben, amely az Fk+1 f´elteret hat´arolja), ´es tegy¨ uk fel, hogy az f ∈ I(X, ρp ) izometri´an´al f (Z) = Z. Arra akarunk ebb˝ ol k¨ ovetkeztetni, hogy f = idX . Ehhez k szerinti indukci´oval minden k-ra bel´ atjuk, hogy f identikus az Fk -t tartalmaz´o k-dimenzi´os alt´eren. Ez k = d eset´en ´eppen azt jelenti, hogy f = idX . A k = 1 esetben a 10.1.12.(2) felt´etelb˝ol k¨ovetkezik, hogy f val´oban identikus az F1 f´elegyenesen, mert a val´os sz´amegyenes egy f´elegyenes´enek az identit´as az egyetlen izometri´ aja. Az indukci´os l´ep´esben 10.1.17.(3)-at lehet alkalmazni a soron k¨ ovetkez˝ o alt´erre mint megfelel˝o dimenzi´oj´ u projekt´ıv modellre vonatkoztatva. 10.1.19. Defin´ıci´ o (Ide´ alis hat´ ar, v´ egtelen t´ avoli pont). Az X projekt´ıv modellt defini´ al´ o m´ asodrend˝ u hiperfel¨ ulet K k´ephalmaz´at szok´as a modell ide´ alis hat´ ar´ anak nevezni, ´es ∂X-szel jel¨olni. Elemeit a modell v´egtelen t´avoli (vagy ide´ alis) pontjainak nevezz¨ uk. A term´eszetes topol´ ogi´ aval ell´atott P val´os projekt´ıv t´erben a ∂X halmaz topologikus ´ertelemben val´ oban az X ⊆ P ny´ılt halmaz hat´ara, ´es homeomorf az Sd−1 g¨ ombbel, az X = X ∪ ∂X lez´ar´as pedig a d-dimenzi´os z´art g¨ ombtesttel. Ha Y ⊆ X hiperbolikus alt´er, akkor ∂Y = Y ∩ ∂X az Y ide´alis hat´ara. Az X v´egtelen t´ avoli pontjai k¨ oz¨ ul ∂Y elemeir˝ol azt mondjuk, hogy az Y alt´erhez tartoznak. Vegy¨ uk ´eszre, hogy b´ armely X-beli egyenesnek pontosan k´et v´egtelen t´avoli pontja van, tov´ abb´ a hogy X b´armely k´et k¨ ul¨onb¨oz˝o – ak´ar k¨oz¨ons´eges, ak´ar v´egtelen t´ avoli – pontj´ ahoz egy´ertelm˝ uen lehet olyan hiperbolikus egyenest ´ ıt´as ´ertelemtal´ alni, amelyhez ez a k´et pont hozz´atartozik. A 10.1.7.(2) All´ szer˝ u kiterjeszt´es´evel az X-beli hipers´ıkokra ∂X pontjaib´ol is egy´ertelm˝ uen lehet mer˝ oleges egyenest bocs´atani. Megjegyz´es. A projekt´ıv modellek k¨ozti izomorfizmusok term´eszetes m´odon ´ertelmezve vannak az eg´esz X lez´ar´ason, ´es ott homeomorfizmusok. Az X hiperbolikus metrik´ aja viszont nem terjeszthet˝o ki az ide´alis hat´arra : megmutathat´ o, hogy (d ≥ 2 eset´en) ∂X-en nem l´etezik olyan, a topol´ogi´aj´at induk´ al´ o metrika, amely invari´ans G(X) hat´as´ara n´ezve.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

324

Hiperbolikus geometria

A modell ide´ alis hat´ ara ´es annak viselked´ese a modell izometri´ai sor´an l´enyeg´eben minden, a hiperbolikus t´errel kapcsolatos inform´aci´ot mag´aban hordoz. Ez annak k¨ osz¨ onhet˝ o, hogy a ∂X halmazb´ol ki lehet v´alasztani egy projekt´ıv b´ azist a befoglal´ o P t´er sz´ am´ara, ´es a modell b´armely izometri´aj´at egy´ertelm˝ uen meghat´ arozza, hogy ez a b´azis hova ker¨ ul. A hiperbolikus s´ık eset´eben, azaz amikor d = 2, a K k´ upszeleten 9.4 szerint a projekt´ıv egyenes strukt´ ur´ aja a term´eszetes (azaz a G(X)-hat´asra n´ezve invari´ans) strukt´ ura. Az altal´ ´ anos esetben ennek a strukt´ ur´anak a felder´ıt´ese vezet el a modellek k¨ovetkez˝ o t´ıpus´ ahoz.

10.2. Konform modellek Legyen ebben a szakaszban E d-dimenzi´os euklideszi t´er, ahol d ≥ 1. A most t´ argyaland´ o modellek konstrukci´oj´aban a t´er inverz´ıv geometri´aja d¨ont˝o szerepet j´ atszik. Eml´ekeztet¨ unk arra, hogy E + jel¨oli az E t´er inverz´ıv b˝ov´ıt´es´et (l. 5.3.1). Legyen K ⊂ E r¨ ogz´ıtett hiperg¨omb. A K g¨omb¨ot felfoghatjuk mint egy az el˝ oz˝ o szakaszban el˝ o´ırt t´ıpus´ u q kvadratikus alak k´ephalmaz´at a P = altal a K g¨omb X-szel jel¨olt belsej´en a d-dimenzi´os = E projekt´ıv t´erben. Ez´ hiperbolikus geometria projekt´ıv modellje ´all el˝o, ´es tekinthetj¨ uk a G(X) = = I(X, ρp ) izometriacsoport hat´as´at a modell K = ∂X ide´alis hat´ar´an. A k¨ ovetkez˝ o modell, az u ´n. Poincar´e-f´ele g¨ombmodell konstrukci´oj´aban ezt a csoporthat´ ast megtartjuk, de K belsej´eben az el˝oz˝ot˝ol elt´er˝o m´odon ´ertelmezz¨ uk a modell strukt´ ur´ aj´ at. 10.2.1. T´ etel. d ≥ 2 eset´en a G(X) csoport hat´asa a K halmazon azonos az M(K) M¨ obius-csoport hat´ as´aval (l. 5.3.2). Speci´alisan G(X) ∼ = M(K). Bizony´ıt´ as: G(X) hat´ as´ at a K halmazon u ´gy ´ertelmezt¨ uk, hogy egy f : : X → X hiperbolikus kongruenci´ahoz el˝osz¨or az ˝ot sz´armaztat´o (´es egy´ertelm˝ uen l´etez˝ o) F : P → P projektivit´ast rendelt¨ uk, majd az F |K megszor´ıt´ast tekintett¨ uk. Ha f = σH ∈ G(X) hiperbolikus t¨ ukr¨oz´es egy H ⊂ X hiperbolikus hipers´ıkra, akkor defin´ıci´ o szerint a hozz´a tartoz´o F harmonikus invol´ uci´o P -ben, m´egpedig F = hZ,hHi , ahol Z a hHi hipers´ık p´olusa K-ra n´ezve. Ez´ert F |K g¨ ombi t¨ ukr¨ oz´es K-ban a hHi ∩ K g¨ombre vonatkoz´oan (l. 5.2.14). Mivel a G(X) csoportban 10.1.10.(1) szerint a hiperbolikus t¨ ukr¨oz´esek gener´atorrendszert alkotnak, G(X) hat´asa K-n az a transzform´aci´ocsoport, amelyet a K-beli g¨ ombi t¨ ukr¨ oz´esek gener´alnak, vagyis az M(K) M¨obius-csoport. Megjegyz´es. A t´etelhez sz¨ uks´eges volt feltenni, hogy a t´er dimenzi´oja legal´abb 2, hiszen a M¨ obius-csoportot a 0-dimenzi´os g¨omb¨ok eset´eben nem ´ertelmezt¨ uk, ´es nem is lehetne u ´gy ´ertelmezni, hogy a t´etel igaz legyen. Ez az oka

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

10. A hiperbolikus geometria modelljei

325

annak is, hogy a most t´ argyaland´o modell bizonyos tulajdons´agait az egydimenzi´ os esetben m´ ask´epp kell kezelni, mint az egyn´el magasabb dimenzi´o eset´eben. 10.2.2. Defin´ıci´ o (A Poincar´ e-f´ ele g¨ ombmodell illeszked´ esi strukt´ ur´ aja). A Poincar´e-f´ele g¨ ombmodell (illetve k¨ormodell, ha d = 2) alaphalmaza a K hiperg¨ omb belseje, teh´at azonos a K-hoz tartoz´o projekt´ıv modell X alaphalmaz´ aval. Ha 1 ≤ k ≤ d − 1, akkor k-dimenzi´os alt´ernek nevez¨ unk minden olyan G ∩ X alakban el˝o´all´o r´eszhalmazt, ahol G olyan k-dimenzi´os g¨ omb vagy affin alt´er, amely mer˝olegesen metszi a K hiperg¨omb¨ot.

Miut´ an az X alaphalmazon k´etf´ele modellt is ´ertelmez¨ unk, ´es a k´etf´ele ´ertelemben vett alterek k¨ ul¨ onb¨ oznek egym´ast´ol, az egy´ertelm˝ u fogalmaz´as ´erdek´eben a Poincar´e-f´ele modellhez tartoz´o altereket – ebben a szakaszban, am´ıg ezt a k´et modellt hasonl´ıtjuk ¨ossze – P-altereknek nevezz¨ uk. ´ Allapodjunk meg egyr´eszt abban, hogy maga az E t´er is mer˝olegesen metszi K-t, m´ asr´eszt abban is, hogy egy 0-dimenzi´os g¨omb vagy affin alt´er (azaz E + -beli pontp´ ar) akkor ´es csak akkor mer˝oleges K-ra, ha a K-ra vonatkoz´o inverzi´ o a k´et pontj´ at f¨ olcser´eli. Ez´altal a P-alterek fenti defin´ıci´oja ´ertelemmel b´ır a k = d ´es k = 0 esetekben is. Term´eszetesen az egyetlen d-dimenzi´os P-alt´er maga az X alaphalmaz, m´ıg a 0-dimenzi´osak az alaphalmaz egyelem˝ u r´eszhalmazai, amelyeket a t´er pontjaival azonos´ıtunk. A Poincar´e-f´ele g¨ ombmodellben az egydimenzi´os P-altereket P-egyeneseknek, a k´etdimenzi´ osakat P-s´ıkoknak, a (d − 1)-dimenzi´osakat P-hipers´ıkoknak h´ıvjuk. Megjegyz´es. A szok´ asos illeszked´esi ´es rendez´esi tulajdons´agok most kev´esb´e nyilv´ anval´ oak, mint a projekt´ıv modell eset´eben. M´ar az az alapvet˝o t´eny is, hogy b´ armely k´et k¨ ul¨ onb¨oz˝o ponton ´at egyetlen P-egyenes halad, bizony´ıt´ ast ig´enyel. Ezeket a tulajdons´agokat az´altal tiszt´azzuk, hogy megadunk egy X → X bijekt´ıv lek´epez´est, amely a projekt´ıv modell illeszked´esi strukt´ ur´aj´ at ´ atrakja a Poincar´e-f´ele g¨ ombmodell illeszked´esi strukt´ ur´aj´ara. A Poincar´emodell tov´ abbi strukt´ uraelemeit is annak szem el˝ott tart´as´aval ´ertelmezz¨ uk, hogy ez a lek´epez´es izomorfizmus legyen a k´et modell k¨oz¨ott.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

326

Hiperbolikus geometria

10.2.3. Defin´ıci´ o (A Φ lek´ epez´ es). Helyezz¨ uk el az E euklideszi teret mint e hipers´ıkot egy eggyel nagyobb dimenzi´oj´ u E euklideszi t´erben; a konkr´ets´ag e = E × R. Tekints¨ e e hiperg¨omb¨ot, kedv´e´ert legyen p´eld´ aul E uk E-ben azt a K amely k¨ oz¨ os k¨ oz´eppont´ u ´es egyenl˝o sugar´ u K-val, ´es legyen
e ∩ E × (0, +∞) , Y =K vagyis az a fels˝ o f´elt´erbe es˝ o d-dimenzi´os ny´ılt f´elg¨omb, amelynek K a hat´ara. e → E az ortogon´ Jel¨ olje p : E alis vet´ıt´est az E hipers´ıkra, ekkor p | Y bijekt´ıven k´epezi az Y z´ art f´elg¨ omb¨ ot az X z´art g¨ombtestre. e hiperg¨ Legyen D a K omb d´eli p´olusa”, vagyis D = (C, −1) ∈ E × R, ahol ” e → E + a D k¨oz´eppont´ C a K k¨ oz´eppontja. Jel¨ olje v : K u sztereografikus vet´ıt´est. Ekkor a Φ = (v | Y ) ◦ (p | Y )−1 : X → X

´es a Φ = (v | Y ) ◦ (p | Y )−1 : X → X

lek´epez´es homeomorf m´ odon k´epezi az X ny´ılt, illetve az X z´art g¨ombtestet saj´ at mag´ ara, emellett Φ | K = idK . ´ ıt´ 10.2.4. All´ as. A Φ lek´epez´es izomorfizmus a projekt´ıv modell ´es a Poincar´emodell illeszked´esi strukt´ ur´ ai k¨oz¨ott. Bizony´ıt´ as: Csak azt kell ellen˝orizni, hogy ha M ⊆ X k-dimenzi´os hiperbolikus alt´er a projekt´ıv modellben, akkor Φ(M ) szint´en k-dimenzi´os P-alt´er a Poincar´e-modellben. Ez k = 0 ´es k = d eset´en nyilv´anval´o, ´ıgy
feltehetj¨ uk, hogy 1 ≤ k ≤ d − 1. Az els˝o l´ep´esben keletkez˝o (p | Y )−1 M halmaz k-dimenzi´ os z´ art f´elg¨ omb, amelyet a (k + 1)-dimenzi´os FM = hM i × [0, +∞) e hiperg¨ombb˝ol. Miut´an hFM i ⊥ E, ez a f´elg¨omb affin f´elt´er metsz ki a K mer˝ olegesen metszi K-t. Tudjuk, hogy a v sztereografikus vet´ıt´es g¨omb- ´es sz¨ ogtart´ o, tov´ abb´ a a K halmazt
helyben hagyja. Ez´ert ennek a f´elg¨ombnek a v-n´el sz´ armaz´ o k´epe, a Φ M = Φ(M ) halmaz, egy a K-t mer˝olegesen metsz˝ o k-dimenzi´ os E-beli g¨ombnek vagy affin alt´ernek az X-be es˝o r´esze, teh´ at egy k-dimenzi´ os P-alt´er lez´ar´asa. ´ ıt´ A 10.2.4. All´ as k¨ ovetkezm´enyek´ent az illeszked´essel ´es a rendez´essel kapcsolatos projekt´ıv modellbeli fogalmakat a Φ lek´epez´es seg´ıts´eg´evel ´atvihetj¨ uk a Poincar´e-f´ele g¨ ombmodellre. Besz´elhet¨ unk teh´at szakaszokr´ol, f´elegyenesekr˝ ol, f´els´ıkokr´ ol, f´elterekr˝ ol, sz¨ogtartom´anyokr´ol, h´aromsz¨ogekr˝ol, stb. ebben a modellben is. 10.2.5. Defin´ıci´ o (A Poincar´ e-f´ ele g¨ ombmodell kongruenci´ ai). Tegy¨ uk fel el˝ osz¨ or, hogy d ≥ 2, a d = 1 esetet k¨ ul¨on fogjuk t´argyalni. Tekints¨ uk a K hiperg¨ omb M¨ obius-transzform´aci´oinak E + -ra t¨ort´en˝o Poincar´ekiterjeszt´es´et (l. 5.3.9), azaz a pE ıv homomorfizK : M(K) → M(E) injekt´ must. A kiterjesztett M¨ obius-transzform´aci´ok K belsej´et ¨onmag´ara k´epezik,

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

10. A hiperbolikus geometria modelljei

327

ez´ert vehetj¨ uk az X-re val´ o lesz˝ uk´ıt´es¨ uket. Az ´ıgy nyert lek´epez´eseket tekintj¨ uk a Poincar´e-f´ele g¨ ombmodell kongruenci´ainak. A kongruenci´ ak csoportja d ≥ 2 eset´en teh´at az M(K) M¨obius-csoport, amely a
µ : A 7→ pE ( µ ∈ M(K), A ∈ X) K (µ) (A) szab´ aly szerint hat a modell alaphalmaz´an. Legyen most d = 1. Ilyenkor a Poincar´e-modell illeszked´esi strukt´ ur´aja azonos a projekt´ıv modell illeszked´esi strukt´ ur´aj´aval. Defin´ıci´o szerint tekints¨ uk az egydimenzi´ os projekt´ıv modell kongruenci´ait egy´ uttal az egydimenzi´os Poincar´e-f´ele g¨ ombmodell kongruenci´ainak. ˘ or, 10.2.6. P´ elda (Tu oz´ es a Poincar´ e-modellben). Tegy¨ uk fel elAl’sz¨ ¨ kr¨ hogy d ≥ 2. Ha H ⊂ X hiperbolikus hipers´ık a projekt´ıv modellben, akkor a σH t¨ ukr¨ oz´es K-n g¨ ombi t¨ ukr¨oz´est sz´armaztat (l. 10.2.1). A g¨ombi t¨ ukr¨oz´esek Poincar´e-kiterjeszt´esei az E + inverz´ıv t´erben hipers´ıkra vonatkoz´o t¨ ukr¨oz´esek vagy inverzi´ ok aszerint, hogy K k¨oz´eppontja illeszkedik-e H-ra vagy sem. Ez´ert ha a Poincar´e-f´ele g¨ ombmodellben tekint¨ unk egy G ∩ X P-hipers´ıkot, akkor a r´ a vonatkoz´ o modellbeli t¨ ukr¨oz´es azonos a σG | X transzform´aci´oval, ahol σG euklideszi t¨ ukr¨ oz´es, ha G tartalmazza K k¨oz´eppontj´at (´es ´ıgy hipers´ık E + -ban), egy´ebk´ent pedig a K-t mer˝olegesen metsz˝o G hiperg¨ombre vonatkoz´ o inverzi´ o. Ha d = 1, akkor H pont X-ben. A projekt´ıv modellben a 10.1.5 P´eld´aban m´ ar ´ertelmezt¨ uk a H-ra vonatkoz´o t¨ ukr¨oz´est, tekints¨ uk ugyanezt a lek´epez´est t¨ ukr¨ oz´esnek az egydimenzi´ os Poincar´e-modell ´ertelm´eben is. A H hipers´ık p´ olusa a Z ∈ E + pont, ´es a hZ,H harmonikus invol´ uci´o 8.7.10.(7) miatt azonos az E + inverz´ıv egyenesen a {Z, H} pontp´arra vonatkoz´o inverzi´oval (illetve t¨ ukr¨ oz´essel, ha Z = ∞, azaz ha H az X ny´ılt intervallum k¨oz´eppontja). A 10.2.2-beli meg´ allapod´ assal ¨osszhangban ez egy K-ra mer˝oleges (0-dimenzi´os) g¨ ombre vonatkoz´ o inverzi´ o. 10.2.7. T´ etel. A Poincar´e-f´ele g¨ombmodell kongruenci´ai pontosan a Φ ◦ f ◦ ◦ Φ−1 : X → X lek´epez´esek, ahol f : X → X a projekt´ıv modell kongruenciain fut v´egig. ´ Bizony´ıt´ as: Tudjuk, hogy a k´et modell kongruenciacsoportja izomorf, s˝ot az egydimenzi´ os esetben defin´ıci´o szerint azonosak, a d ≥ 2 esetben pedig a 10.2.1. T´etel szerint a K hiperg¨ombre val´o megszor´ıt´as azonos´ıtja ˝oket. Ez´ert elegend˝ o azt bel´ atni, hogy az f 7→ Φ ◦ f ◦ Φ−1 megfeleltet´esn´el a projekt´ıv modell t¨ ukr¨ oz´esei a Poincar´e-modell t¨ ukr¨oz´eseibe mennek ´at, hiszen ezek a t¨ ukr¨ oz´esek gener´ alj´ ak a megfelel˝o kongruenciacsoportokat. Legyen teh´ at σH ∈ G(X) hiperbolikus t¨ ukr¨oz´es, ahol H ⊂ X hipers´ık a projekt´ıv modellben. Azt ´ all´ıtjuk, hogy Φ ◦ σH ◦ Φ−1 egy E-beli M¨obius-

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

328

Hiperbolikus geometria

transzform´ aci´ o megszor´ıt´ asa X-re. (Ha ez ´ıgy van, akkor persze csak a Ψ(H) P-hipers´ıkra vonatkoz´ o t¨ ukr¨oz´es lehet a Poincar´e-modellben.) A Φ lek´epez´es Φ = (v | Y ) ◦ (p | Y )−1 defin´ıci´oja alapj´an a Φ ◦ σH ◦ Φ−1 transzform´ aci´ ot k´et l´ep´esben ´ all´ıtjuk el˝o, el˝osz¨or a (p | Y )−1 , majd a v | Y vet´ıt´essel konjug´ aljuk σH -t. Bel´ atjuk, hogy mindk´et l´ep´esben M¨obius-transzform´aci´ot kapunk (pontosabban annak Y -ra, illetve X-re val´o megszor´ıt´as´at). A projekt´ıv modellbeli σH hiperbolikus t¨ ukr¨oz´est a hZ,hHi : E → E harmonikus invol´ uci´ o sz´ armaztatja, ahol Z ∈ E a hHi hipers´ık p´olusa K-ra e = E × R euklideszi t´er n´ezve. Az els˝ o l´ep´esben vegy¨ uk ´eszre, hogy az E e projekt´ıv lez´ ar´ as´ aban a (Z,0) pont K-ra vonatkoz´o pol´arisa a hH × Ri hipers´ık, azaz az E-re mer˝ olegesen ´all´ıtott, H-t tartalmaz´o hipers´ık. Ez´ert a (p | Y )−1 ◦ σH ◦ (p | Y ) lek´epez´es a h(Z,0),hH×Ri harmonikus invol´ uci´o megszoe r´ıt´ asa Y -ra, azaz egy K-beli g¨ombi t¨ ukr¨oz´esnek (m´egpedig az F | K g¨ombi t¨ ukr¨ oz´es Poincar´e-kiterjeszt´es´enek) a megszor´ıt´asa. A m´asodik l´ep´esben pedig az´ert marad M¨ obius-transzform´aci´o az eredm´eny, mert sztereografikus vet´ıt´essel konjug´ alunk. 10.2.8. K¨ ovetkezm´ eny. Ha d = 1, akkor az f 7→ Φ ◦ f ◦ Φ−1 lek´epez´es automorfizmus a G(X) csoportban. Bizony´ıt´ as: Az egydimenzi´ os esetben a k´et modell kongruenci´ai azonosak, ´es a 10.2.7. T´etel szerint ilyenkor is Φ felelteti meg ˝oket egym´asnak. 10.2.9. Defin´ıci´ o (A Poincar´ e-f´ ele g¨ ombmodell metrik´ aja). Tetsz˝oleges A, B ∈ X pontokra defini´aljuk a modellbeli t´avols´agot a ( ρk (A, B) =

0, ha A = B ln (U V A B) , ha A 6= B

formul´ aval, ahol az A 6= B esetben az U ´es V pontokat az A-n ´es B-n ´athalad´ o, K-t mer˝ olegesen metsz˝o k¨or vagy egyenes metszi ki K-b´ol, (U V A B) pedig a n´egy pont k¨ ori kett˝ osviszony´at jel¨oli. (A ρk jel¨ol´esben a k index arra utal, hogy ez a metrika konform modellhez tartozik, l. a 10.2.13 ut´ani els˝ o megjegyz´est.) Miut´ an a k¨ori kett˝osviszonyt a M¨obius-transzform´aci´ok 9.4.21 szerint megtartj´ ak, a ρk t´avols´agf¨ uggv´eny invari´ans a Poincar´e-modell kongruenci´ aira n´ezve. Nem kell ellen˝orizn¨ unk, hogy a ρk f¨ uggv´eny val´oban metrika az X halmazon, mert ez (´es az is, hogy X-nek az euklideszi t´erb˝ol or¨ ok¨ olt topol´ ogi´ aj´ at sz´ armaztatja) azonnal k¨ovetkezik az al´abbi 10.2.11. T´e¨ telb˝ ol 10.1.12-re ´es 10.1.14-re hivatkozva. A t´etelt egy lemm´aval k´esz´ıtj¨ uk el˝o, amely a Φ lek´epez´esnek a kett˝osviszonnyal szembeni viselked´es´er˝ol sz´ol.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

10. A hiperbolikus geometria modelljei

329

10.2.10. Lemma. Tekints¨ uk a Φ lek´epez´esnek az egydimenzi´os Cayley– Klein-modellhez tartoz´ o v´ altozat´at, azaz a Φ : (−1,1) → (−1,1) lek´epez´est. Ha a, b ∈ (−1,1) tetsz˝ oleges k¨ ul¨onb¨oz˝o pontok, akkor − 1 1 Φ(a) Φ(b)


2

= (−1 1 a b) .

Bizony´ıt´ as: N´ezz¨ uk az R2 -beli egys´egk¨ort, amelynek az els˝o koordin´atatengelyen fekv˝ o ny´ılt ´ atm´er˝ oje a sz´oban forg´o (−1,1) intervallum. Az els˝o tengelyre √ t¨ ort´en˝ o mer˝ oleges vet´ıt´es inverze az (x,0) pontot a fels˝o f´elk¨or (x, 1 − x2 ) pontj´ aba viszi, a (0, −1) d´eli p´olusb´ol t¨o
rt´en˝o k¨oz´eppontos vet´ıt´es pedig a fels˝ o f´elk¨ or (x, y) pontj´ at az x/(1 + y),0 pontba k´epezi. Ezekb˝ol Φ(x) =

x √ . 1 + 1 − x2

El´eg bel´ atni, hogy b´ armely x ∈ (−1,1)-re a (−1 1 x) oszt´oviszony a (−1 1 Φ(x)) oszt´ oviszony n´egyzet´evel egyenl˝o, hivatkozhatunk ugyanis a kett˝osviszony 8.6.6.(2)-beli kisz´ am´ıt´ as´ ara az oszt´oviszonyb´ol. Az oszt´oviszony defin´ıci´oja alapj´ an (−1 1 x) = (1 + x)/(1 − x), ´es ezzel

− 1 1 Φ(x)




x √ √ 1+ 1 + Φ(x) 1+x 1 + 1 − x2 = = = √ . x 1 − Φ(x) 1−x √ 1− 1 + 1 − x2

Ennek a n´egyzete val´ oban (1 + x)/(1 − x)-szel egyenl˝o. 10.2.11. T´ etel. Tetsz˝ oleges A, B ∈ X pontokra
ρk Φ(A), Φ(B) = ρp (A, B) , azaz a Φ lek´epez´es izometria a k´et modell k¨oz¨ott. Bizony´ıt´ as: Feltehet˝ o, hogy K az Rd koordin´atat´er orig´o k¨or¨ uli egys´egg¨ombje, azaz a projekt´ıv modell a Cayley–Klein-modell. A metrik´ak invarianci´aja miatt azt is feltehetj¨ uk, hogy A pont ´es B az els˝o koordin´atatengely a, illetve b koordin´ at´ aj´ u pontjai, ahol −1 < a, b < 1. Ekkor Φ(A) ´es Φ(B) szint´en az els˝ o koordin´ atatengelyen vannak, ´es koordin´at´aik a 10.2.10. Lemm´aban szerepl˝ o Φ(a), illetve Φ(a) sz´amok.
2
A lemm´ ab´ ol − 1 1 Φ(A) Φ(B) = − 1 1 A B k¨ovetkezik, amib˝ol logaritmusokra ´ att´erve a t´etel ´ all´ıt´ as´at kapjuk. Megjegyz´es. A Φ elk´epez´esre a (−1,1) intervallum eset´eben explicit k´epletet ´ kaptunk a 10.2.10. Lemma bizony´ıt´as´aban. Erdemes ezt a k´epletet a th−1 : : (−1,1) → R lek´epez´essel, amely izometria a projekt´ıv modell metrik´aja ´es

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

330

Hiperbolikus geometria

a sz´ amegyenes k¨ oz¨ ott, ´ atrakni R-re. Az x = th t jel¨ol´est haszn´alva
th−1 Φ(x) =

th−1

=

th−1

x th t p √ = th−1 = 2 1+ 1−x 1 + 1 − th2 t 2 sh 2t ch 2t t th t sh t = . = th−1 = th−1 2 t 1 ch t + 1 2 1 + ch t 2 ch 2

Teh´ at a Φ lek´epez´esnek a sz´ amegyenesen az 1/2-del val´o szorz´as felel meg. A Poincar´e-modell soron k¨ ovetkez˝o, legnevezetesebb tulajdons´aga annak a k¨ or¨ ulm´enynek a k¨ ozvetlen folyom´anya, hogy a modell kongruenci´ai sz¨ogtart´o transzform´ aci´ ok az alaphalmazon. 10.2.12. Defin´ıci´ o (Sz¨ og a Poincar´ e-f´ ele g¨ ombmodellben). Ha M ´es N k´et k¨ oz¨ os kezd˝ opont´ u P-f´elegyenes, akkor M ´es N sz¨og´et mint a Φ−1 (M ) ´es Φ−1 (N ) projekt´ıv modellbeli f´elegyenesek ´altal bez´art hiperbolikus sz¨oget ´ertelmezz¨ uk. Ez´ altal a Φ lek´epez´es sz¨ ogtart´o a k´et modell k¨oz¨ott. 10.2.13. T´ etel. Legyen M ´es N k´et k¨oz¨os kezd˝opont´ u P-f´elegyenes a Poincar´emodellben. Ekkor M ´es N sz¨oge egyenl˝o az euklideszi sz¨og¨ ukkel, vagyis az E euklideszi t´erben annak a k´et ´erint˝o f´elegyenesnek a sz¨og´evel, amelyeket a k¨ oz¨ os kezd˝ opontban az M ´es N k¨or´ıvekhez (illetve esetleg egyenes intervallumokhoz) h´ uzunk. Bizony´ıt´ as: Ha a k¨ oz¨ os kezd˝ opont ´eppen K k¨oz´eppontja, akkor a hiperbolikus sz¨ og 10.1.15-beli defin´ıci´ oja alapj´an igaz az ´all´ıt´as. Ha nem, akkor vigy¨ uk ´at a k´et P-f´elegyenest a Poincar´e-modell alkalmas kongruenci´aj´aval ilyen helyzetbe. Miut´ an a kongruenci´ ak sz¨ogtart´ok a modellbeli ´ertelemben is ´es az euklideszi ´ertelemben is, a modellbeli sz¨og egyenl˝o az euklideszi sz¨oggel az eredeti helyzetben is. Megjegyz´esek. (1) A Poincar´e-f´ele g¨ombmodellt gyakran a hiperbolikus geometria (egyik) konform modellj´enek nevezik. Konform lek´epez´esnek ´altal´aban a sz¨ ogtart´ o lek´epez´eseket (p´eld´aul a M¨obius-transzform´aci´okat) h´ıvj´ak. A modellre vonatkoz´ oan a konform jelz˝o arra a sz¨ogtart´asi tulajdons´agra utal, amit a 10.2.13. T´etel mond ki. Ha az euklideszi t´er r´eszhalmazak´ent ´all´ıtunk el˝o egy modellt, akkor annak sz¨ogtart´o volta azt jelenti, hogy a sz¨ogek modellbeli m´ert´eke egyenl˝ o az euklideszi t´erben m´ert sz¨ogekkel. (2) Ha a Poincar´e-f´ele g¨ ombmodellt valamely M¨obius-transzform´aci´oval egy m´ asik alaphalmazra k´epezz¨ uk, ´es a strukt´ ura minden elem´et ezzel a transzform´ aci´ oval ´ atvissz¨ uk az u ´j alaphalmazra, akkor mag´at´ol ´ertet˝od˝o m´odon u ´jabb, az el˝ oz˝ ovel izomorf modellt kapunk, amely tov´abbra is sz¨ogtart´o lesz.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

10. A hiperbolikus geometria modelljei

331

Az al´ abbiakban ilyen m´ odon sz´armaztatjuk a konform modellek tov´abbi k´et v´ altozat´ at. ´ (3) Erdemes arra f¨ olfigyelni, hogy a Poincar´e-f´ele g¨ombmodellben a P-alterek nem automatikusan a modell alacsonyabb dimenzi´oj´ u v´altozata szerinti strukt´ ur´ at viselik. Ez ´ıgy van a K-b´ol affin alt´er ´altal kimetszett (vagyis a modellg¨ omb k¨ oz´eppontj´ at tartalmaz´o) hiperbolikus alterek eset´eben, a t¨obbire vonatkoz´ oan viszont csak a (2)-beli elven mondhatjuk, hogy azok ¨onmagukban tekintve is modellek. 10.2.14. Defin´ıci´ o (Poincar´ e-f´ ele f´ elg¨ ombmodell). A Φ lek´epez´es defin´ıci´ oj´ aban (l. 10.2.3) bevezett¨ uk az Y k¨oztes” halmazt, amelyre most ´atvihet” j¨ uk a modell strukt´ ur´ aj´ at. Az Y alaphalmaz teh´at d-dimenzi´os ny´ılt f´elg¨omb. A strukt´ ura sz´ armaztat´ as´ ara ak´ar a (p | Y )−1 : X → Y , ak´ar a (v | Y )−1 : : X → Y lek´epez´est haszn´ alhatjuk; az els˝o esetben az X-en ´ertelmezett projekt´ıv modellb˝ ol, a m´ asodikban az X-en ´ertelmezett Poincar´e-modellb˝ol kapjuk ugyanazt a strukt´ ur´ at Y -on. A hiperbolikus geometria ´ıgy konstru´alt modellj´et Poincar´e-f´ele f´elg¨ ombmodellnek nevezz¨ uk. A f´elg¨ ombmodellben a hiperbolikus alterek maguk is ny´ılt f´elg¨omb¨ok, amelyeket az E-re mer˝ oleges affin alterek metszenek ki Y -b´ol. A modell kongruenci´ait a d ≥ 2 esetben u ´gy is kaphatjuk, hogy a K g¨omb M¨obius-transzform´aci´oie g¨ nak a K ombre t¨ ort´en˝ o Poincar´e-kiterjeszt´es´et szor´ıtjuk meg Y -ra. Speci´ae olyan g¨ombi t¨ lisan a hipers´ıkokra vonatkoz´o t¨ ukr¨oz´eseket K ukr¨oz´esei szol+ g´ altatj´ ak, amelyekhez az E hipers´ıkban fekv˝o cs´ ucs´ u ´erint˝ok´ up tartozik. A f´elg¨ ombmodell metrik´ aj´ at ugyanaz a 10.2.9-beli formula adja, mint az X-beli Poincar´e-modell eset´eben. V´eg¨ ul, miut´an a (v | Y )−1 : X → Y izomorfizmus konform lek´epez´es X ´es Y k¨ oz¨ott, a f´elg¨ombmodell is sz¨ogtart´o modell. 10.2.15. Defin´ıci´ o (Poincar´ e-f´ ele f´ elt´ ermodell). V´alasszunk egy P ∈ K pontot ´es tekints¨ unk (tetsz˝ olegesen v´alasztott P k¨or¨ uli alapg¨ombbel) egy σ : : E + → E + inverzi´ ot. Ez az inverzi´o K-t egy H + ⊂ E + affin hipers´ıkba viszi, az X halmazt pedig a H szerinti egyik ny´ılt f´elt´erbe. M´asoljuk ´at σ seg´ıts´eg´evel az X-en adott Poincar´e-f´ele g¨ombmodell strukt´ ur´aj´at az U = = σ(X) f´elt´erre. Az inverzi´ o sz¨ogtart´o volta miatt ilyen m´odon a hiperbolikus geometria u ´jabb sz¨ ogtart´ o modellj´et kapjuk, a Poincar´e-f´ele f´elt´ermodellt. Vil´ agos, hogy a σ inverzi´ o helyett b´armely olyan E + -beli M¨obius-transzform´aci´ ot is haszn´ alhattunk volna, amelyn´el K egy pontja a ∞ pontba ker¨ ul. A f´elt´ermodell hiperbolikus alterei a H hipers´ıkot mer˝olegesen metsz˝o g¨omb¨ oknek ´es affin altereknek az U -ba es˝o r´eszei, amelyek ´ıgy teh´at vagy ny´ılt f´elg¨ omb¨ ok, vagy ny´ılt f´elterek valamely H-ra mer˝oleges affin alt´erben. A legal´ abb 2-dimenzi´ os esetben a kongruenci´ak H M¨obius-transzform´aci´oib´ol sz´armaznak Poincar´e-kiterjeszt´es, majd U -ra t¨ort´en˝o lesz˝ uk´ıt´es u ´tj´an. A metrik´at

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

332

Hiperbolikus geometria

a 9.4.21. T´etel miatt itt is a 10.2.9-beli k´eplet defini´alja. A Poincar´e-f´ele f´elt´ermodell kanonikus” v´ altozat´aban alaphalmaz gyan´ant az Rd -beli ” U = { x = (x1 , . . . , xd ) ∈ Rd : xd > 0 } fels˝ o f´elteret v´ alasztjuk, amelynek az Rd−1 ⊂ Rd hipers´ık a hat´ara. A modell ide´ alis hat´ ara ilyenkor teh´ at az (Rd−1 )+ inverz´ıv t´er, izometriacsoportja az d−1 M M¨ obius-csoport. 10.2.16. P´ eld´ ak. A Poincar´e-f´ele f´elt´ermodell a d = 2 ´es a d = 3 esetben k¨ ozvetlen kapcsolatot teremt egyfel˝ol a hiperbolikus s´ık- ´es t´ergeometria, m´asfel˝ ol a val´ os, illetve komplex projekt´ıv egyenes geometri´aja k¨oz¨ott. Ennek a kapcsolatnak a le´ır´ as´ ahoz mindk´et esetben a fenti kanonikus koordin´at´az´as´ u modellt haszn´ aljuk. • Legyen d = 2. A 8.7.4.(1). T´etel alapj´an az R+ ide´alis hat´ar M¨obiustranszform´ aci´ oi pontosan a projekt´ıv transzform´aci´ok az R = R+ val´ os projekt´ıv egyenesen, ´es ´ıgy a hiperbolikus s´ık izometriacsoportja a P GL(2, R) projekt´ıv csoporttal azonos. Ha a modellt mag´aban foglal´o R2 s´ıkot a szok´ asos m´odon a C komplex s´ıkkal, azaz R komplexifik´ altj´ aval tekintj¨ uk azonosnak, akkor 8.7.4.(3)–(4) alapj´an a P GL(2, R) izometriacsoport az  az + b      , ha det A > 0   a b cz + d [A] : z 7→ A= ∈ GL(2, R), z ∈ U c d  az + b   , ha det A < 0 cz + d t¨ ortline´ aris (illetve t¨ ort-szemiline´aris) lek´epez´esekkel hat az U komplex fels˝ o f´els´ıkon. Tekints¨ uk p´eldak´eppen a 8.7.9-beli     cos t − sin t 1 0 A(t) = , B(t) = , sin t cos t t 1

www.interkonyv.hu

 ch t ´es C(t) = sh t

 sh t ch t

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

10. A hiperbolikus geometria modelljei

333

m´ atrixokkal a P GL(2, R) csoportban ´ertelmezett egyparam´eteres transzform´ aci´ ocsoportok hat´ as´at az U modellben. A 8.7.9-ben tiszt´azottak alapj´ an a 10.1.9. T´etelt k¨ovet˝o m´asodik megjegyz´est figyelembe v´eve az A(t) m´ atrix az i ∈ U pont k¨or¨ uli 2t sz¨og˝ u forgat´ast sz´armaztatja. Ugyancsak 8.7.9 alapj´ an C(t) hiperbolikus eltol´as a −1 ´es 1 ∈ ∂U v´egtelen t´ avoli pontokat ¨ osszek¨
ot˝
o hiperbolikus egyenes, azaz U -beli f´elk¨or ment´en. A − 1 i C(t)i 1 k¨ori kett˝osviszonyr´ol k¨ozvetlen sz´amol´ assal meg´ allap´ıthat´ o, hogy ´ert´eke e−2t -vel egyenl˝o, ez´ert a t param´eter az ezen egyenes ment´en m´ert el˝ojeles t´avols´aggal ar´anyos. A B(t) m´ atrixszal adott transzform´aci´onak egyel˝ore nem adtunk nevet. Mindh´ arom transzform´ aci´ ocsoport eset´eben 8.7.9-ben meg´allap´ıtottuk, hogy az U -beli pontokat egy-egy k¨orsor tagjai ment´en mozgatj´ak. Valamivel egyszer˝ ubb a B(t) m´ atrixok helyett a transzpon´altjaikkal megadott egyparam´eteres transzform´aci´ocsoportot ´atl´atni: a pontok U -beli orbitjai a ∂U egyenessel p´ arhuzamos egyenesekb˝ol ´all´o sug´arsorhoz tartoznak. (Ezek term´eszetesen nem egyenesek a modellbeli ´ertelemben.) • Legyen d = 3. A modell ide´alis hat´ara most az (R2 )+ inverz´ıv s´ık, amelyet a C+ = C komplex projekt´ıv egyenessel azonos´ıtunk. A h´aromdimenzi´ os hiperbolikus t´er kongruenciacsoportj´aban az ir´any´ıt´astart´o M¨ obius-transzform´ aci´ ok a 2 index˝ u M+ (R2 ) r´eszcsoportot alkotj´ak, amelyet 8.7.4.(2) alapj´an a P GL(2, C) projekt´ıv csoporttal azonos´ıtunk. A hiperbolikus t´er ir´any´ıt´astart´o izometri´ai teh´at a modell ide´alis hat´ ar´ an, a C+ inverz´ıv s´ıkon az     az + b a b + [A] : z 7→ A= ∈ GL(2, C), z ∈ C c d cz + d t¨ ortline´ aris lek´epez´esekkel hatnak, ahol a formul´aba bele´ertj¨ uk a ∞-nel kapcsolatos ´ertelemszer˝ u meg´allapod´asokat (l. 8.7.1). Megjegyezz¨ uk, hogy b´ armely invert´alhat´o 2 × 2-es komplex m´atrixhoz tal´ alhat´ o olyan 1 determin´ans´ u m´atrix, amely vele ekvivalens (azaz ugyanazt a projektivit´ ast l´etes´ıti a komplex egyenesen), hiszen csak a determin´ ans n´egyzetgy¨ok´evel kell osztani. Ez azt jelenti, hogy P GL(2, C) = P SL(2, C). A szakirodalomban a h´aromdimenzi´os hiperbolikus t´er ir´ any´ıt´ astart´ o izometriacsoportja ez´ert legt¨obbsz¨or P SL(2, C) n´even szerepel.

10.3. Hiperboloidmodell A projekt´ıv modellt hat´ arol´ o m´asodrend˝ u hiperfel¨ uletet a W vektort´erben egy nemelfajul´ o kvadratikus alakkal adtuk meg. A kvadratikus alakhoz tar-

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

334

Hiperbolikus geometria

toz´ o szimmetrikus biline´ aris f¨ uggv´eny r´eszletesebb vizsg´alat´aval, a t´er strukt´ ur´ aj´ anak finomhangol´ as´ aval” u ´jabb modellt defini´alunk, amely r´avil´ag´ıt a ” hiperbolikus geometria ´es a g¨ombi geometria k¨ozti m´elyebb rokons´agra. El¨ olj´ ar´ oban felid´ezz¨ uk azokat az indefinit val´os kvadratikus alakokkal ´es szimmetrikus biline´ aris f¨ uggv´enyekkel kapcsolatos line´aris algebrai ismereteket, amelyeket a modell konstrukci´oj´aban felhaszn´alunk. 10.3.1. Eml´ ekeztet˝ o (Val´ os kvadratikus alakok, q-ortogonalit´ as). Legyen q kvadratikus alak a W v´eges dimenzi´os val´os vektort´eren. A q-hoz tartoz´ o szimmetrikus biline´ aris f¨ uggv´enyt most a skal´aris szorz´as szok´asos h , i jel´evel jel¨ olj¨ uk, teh´ at q(x) = hx, xi. K´et vektort, x-et ´es y-t q-ortogon´alisnak (vagy egyszer˝ uen csak ortogon´alisnak) mondunk, ha hx, yi = 0. Izotr´ op vektornak mondjuk az x ∈ W vektort, ha saj´at mag´ara ortogon´alis, ´ azaz ha q(x) = 0. Definit q eset´en ilyen csak a z´erusvektor lehet. Altal´ aban viszont az izotr´ op vektorok halmaza el´eg sokat el´arul a kvadratikus alakr´ol, s˝ ot bizonyos esetekben skal´ arszorz´o erej´eig egy´ertelm˝ uen meghat´arozza q-t (l. 10.3.10). Az izotr´ op vektorok halmaza k´ up abban az ´ertelemben, hogy b´ armely elem´enek b´ armely skal´arszoros´at tartalmazza. Ha q indefinit, akkor ez a k´ up hiperfel¨ ulet W -ben, amely elv´alasztja egym´ast´ol azt a k´et W -beli ny´ılt halmazt, amelyek egyik´en q pozit´ıv, m´asik´an q negat´ıv. Valamely V ≤ ≤ W line´ aris alt´eren a q| V megszor´ıtott kvadratikus alak akkor ´es csak akkor definit, ha V az orig´ ot´ ol eltekintve elker¨ uli az izotr´op vektorok k´ upj´at. ⊥ Tetsz˝ oleges V ≤ W alt´erre V jel¨oli a V alt´er q-ortogon´alis kieg´esz´ıt˝oj´et, amely azokb´ ol a W -beli vektorokb´ol ´all, amelyek V minden elem´ere q´ ortogon´ alisak. Altal´ aban a V ⊥ alt´er nem f¨ uggetlen V -t˝ol, de ha igen, azaz ⊥ V ∩ V = {0}, akkor V ⊥ direkt kieg´esz´ıt˝oje V -nek W -ben. A q kvadratikus alak pontosan akkor nemelfajul´o, ha W ⊥ = {0}, s˝ot ´altal´anosabban valamely V ≤ W alt´eren q| V pontosan akkor nemelfajul´o, ha V ∩ V ⊥ = {0}. Egy ϕ : W → W line´ aris lek´epez´es q-ortogon´alis, ha q ◦ ϕ = q, vagy ekvivalens felt´etellel hϕ(x), ϕ(y)i = hx, yi minden x, y ∈ W -re. A q-ortogon´alis W → W line´ aris lek´epez´esek egy O(q) ≤ GL(W ) r´eszcsoportot, a q ortogon´ alis csoportj´ at alkotj´ ak. Ha valamely W -beli b´azisra n´ezve q m´atrixa M , ϕ m´ atrixa A, akkor ϕ pontosan akkor q-ortogon´alis, ha A>M A = M . Az Rk+l koordin´ atat´eren a standard (k, l) t´ıpus´ u kvadratikus alakhoz, azaz a q(x) = x21 + . . . + x2k − x2k+1 − . . . − x2k+l kvadratikus alakhoz tartoz´ o ortogon´alis csoportot O(k, l)-lel jel¨olj¨ uk. B´armely nemelfajul´ o kvadratikus alak alkalmas b´azisban ilyen alak´ u, ´es ez´ert ortogon´ alis csoportja O(k, l)-lel izomorf. Megjegyz´es. Ha q nemelfajul´o kvadratikus alak W -n, akkor a W -hez asszoci´ alt P (W ) projekt´ıv t´erben a q(x) = 0 egyenlet˝ u m´asodrend˝ u g¨orb´ere vo-

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

10. A hiperbolikus geometria modelljei

335

natkoz´ o konjug´ alts´ ag ´eppen a W -beli q-ortogonalit´as projekt´ıv megfelel˝oje: 9.2.1 szerint [x] ´es [y] ∈ P (W ) akkor ´es csak akkor konjug´altak [q]-ra n´ezve, ha hx, yi = 0. Emiatt egy [x] ∈ P (W ) pont pol´arisa a P (x⊥ ) hipers´ık, ´es a P (V ) ⊂ P (W ) projekt´ıv hipers´ık p´olusa a P (V ⊥ ) pont. 10.3.2. Defin´ıci´ o (Minkowski-t´ er). Legyen W val´os vektort´er, dim W = = d + 1. A (W, q) p´ art Minkowksi-t´ernek nevezz¨ uk, ha q kvadratikus alak W -n, amelynek a t´ıpusa (d,1). A jel¨ol´esben gyakran q-t nem szerepeltetj¨ uk, ´es mag´ at a W vektorteret mondjuk Minkowski-t´ernek, ha egy´ertelm˝ u, hogy mely kvadratikus alak tartozik hozz´a. B´ armely (d + 1)-dimenzi´ os Minkowski-t´er izomorf a standard (d,1) t´ıpus´ u kvadratikus alakkal ell´ atott Rd+1 koordin´atat´errel, amelyet Rd,1 -gyel szok´as jel¨ olni. Az Rd,1 -ben fel´ırt q(x) = 0 egyenlet d = 1 eset´en orig´oban metsz˝o egyenesp´ art, d = 2 eset´en forg´ ask´ upfel¨ uletet ad meg, d > 2 eset´en pedig ezek O(d)-szimmetrikus magasabb dimenzi´os v´altozat´at. 10.3.3. Elnevez´ esek. Legyen (W, q) Minkowski-t´er, dim W = d + 1. Egy x ∈ W vektort t´erszer˝ u, id˝ oszer˝ u, illetve f´enyszer˝ u vektornak mondunk, ha q(x) > 0, q(x) < 0, illetve q(x) = 0. Az izotr´op, azaz f´enyszer˝ u vektorok alkotta k´ upot a Minkowski-t´er f´enyk´ upj´anak nevezz¨ uk. Az id˝oszer˝ u vektorok a f´enyk´ up belsej´eben helyezkednek el ´es k´et ¨osszef¨ ugg˝o komponensb˝ol ´all´o ny´ılt halmazt alkotnak. Ha d > 1, akkor a t´erszer˝ u vektorok halmaza ¨osszef¨ ugg˝o. Ha V ≤ W alt´er, dim V = k + 1, akkor a q| V kvadratikus alak m´atrix´anak mindig van legal´ abb k pozit´ıv saj´at´ert´eke. Aszerint, hogy a fennmarad´o (k + 1)-edik saj´ at´ert´ek pozit´ıv, negat´ıv, vagy z´erus, a V alteret t´erszer˝ unek, id˝ oszer˝ unek, illetve f´enyszer˝ unek nevezz¨ uk. (Az egydimenzi´os alterek eset´eben ezek az elnevez´esek ¨ osszhangban vannak az el˝oz˝okkel, ha a gener´al´o vektorokra alkalmazzuk.) Ha V t´erszer˝ u alt´er, azaz elker¨ uli a f´enyk´ up belsej´et, akkor q| V pozit´ıv definit, ´es euklideszi vektort´err´e teszi V -t. Ha V id˝oszer˝ u alt´er, akkor V belemetsz a f´enyk´ up belsej´ebe, ´es (V, q| V ) maga is Minkowski-t´er. Ha pedig V f´enyszer˝ u alt´er, akkor V a f´enyk´ up egyetlen alkot´oj´at tartalmazza, amely ´eppen a q| V elfajul´ o kvadratikus alak magja. Ha V t´erszer˝ u, akkor V ⊥ id˝oszer˝ u, ´es ford´ıtva, ha V id˝oszer˝ u, akkor V ⊥ t´erszer˝ u. Speci´ alisan ha u ∈ W nem izotr´op vektor, akkor az u⊥ hipers´ık t´erszer˝ u, ha q(u) < 0, ´es id˝oszer˝ u, ha q(u) > 0. Mindk´et esetben u-t az u⊥ hipers´ık norm´ alvektor´ anak mondjuk. A norm´alvektor egys´egvektornak (q(u) = 1) is v´ alaszthat´ o, ha a hipers´ık id˝oszer˝ u. ⊥ Egy V alt´er akkor ´es csak akkor f´enyszer˝ u, ha V is f´enyszer˝ u, hiszen Minkowski-t´erben egy alt´er f´enyszer˝ u volta azzal egyen´ert´ek˝ u, hogy a kvadratikus alak elfajul´ o az alt´eren.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

336

Hiperbolikus geometria

Megjegyz´es. A 10.3.3-beli elnevez´esek a speci´alis relativit´aselm´eletb˝ol sz´armaznak, amelynek a tere, a t´erid˝o, n´egydimenzi´os Minkowski-t´er. Az al´abbi egyenl˝ otlens´eg is a speci´ alis relativit´aselm´elet jellegzetes von´asa, amely szerepet fog j´ atszani a hiperboloidmodell konstrukci´oj´aban. 10.3.4. Lemma (Ford´ıtott Cauchy–Schwarz-egyenl˝ otlens´ eg). Legyen x ´es y k´et id˝ oszer˝ u vektor a W Minkowski-t´erben. Ekkor p |hx, yi| ≥ q(x)q(y) , ahol egyenl˝ os´eg csak akkor a´ll, ha x ´es y line´arisan ¨osszef¨ ugg˝ok. Bizony´ıt´ as: Ha x ´es y line´ a risan o sszef¨ u gg˝ o k, p´ e ld´ a ul y = λx, akkor |hx, yi| = ¨ p p = |hx, λyi| = |λq(x)| = λ2 q(x)2 = q(x)q(y). Ha x ´es y line´ arisan f¨ uggetlenek, akkor az ´altaluk gener´alt k´etdimenzi´os V alt´erben ´ırjuk f¨ ol a q| V kvadratikus alak m´atrix´at az x ´es y alkotta b´azisban:   q(x) hx, yi B= hx, yi q(y) Miut´ an V id˝ oszer˝ u alt´er, q| V nemelfajul´o ´es indefinit. Ez´ert q(x) < 0 miatt B determin´ ans´ anak is negat´ıvnak kellplennie. A det B < 0 egyenl˝otlens´eg pedig azzal egyen´ert´ek˝ u, hogy |hx, yi| > q(x)q(y). 10.3.5. Defin´ıci´ o (Lorentz-transzform´ aci´ o, Lorentz-csoport). Legyen (W, q) Minkowski-t´er. A q-ortogon´alis W → W line´aris lek´epez´eseket a W t´er Lorentz-transzform´ aci´ oinak nevezz¨ uk. A Lorentz-transzform´aci´ok O(q) csoportja a W t´er Lorentz-csoportja. B´ armely Lorentz-transzform´ aci´o a vektorok ´es alterek t´erszer˝ u, id˝oszer˝ u, illetve f´enyszer˝ u volt´ at megtartja. Az id˝oszer˝ u vektorok halmaza k´et ¨osszef¨ ugg˝o komponensb˝ ol ´ all, amelyeket egy Lorentz-transzform´aci´o – homeomorfizmus l´ev´en – vagy ¨ onmagukba k´epez, vagy felcser´el. Pozit´ıv Lorentz-transzform´aci´ oknak h´ıvjuk azokat a Lorentz-transzform´aci´okat, amelyek nem cser´elik f¨ol a k´et komponenst. A pozit´ıv Lorentz-transzform´aci´ok a Lorentz-csoport egy 2 index˝ u r´eszcsoportj´ at alkotj´ak, amelyet O+ (q)-val jel¨ol¨ unk. A W = Rd,1 standard Minkowski-t´erben a Lorentz-transzform´aci´ok csoportja az O(d,1) m´ atrixcsoport, amelyben a pozit´ıv Lorentz-transzform´aci´ok az O+ (d,1) r´eszcsoportot alkotj´ ak. Ha J jel¨oli a standard kvadratikus alak m´atrix´ at, vagyis azt a (d + 1) × (d + 1) m´eret˝ u diagon´alis m´atrixot, amelynek atl´ ´ oelemei rendre 1, . . . ,1, −1, akkor O(d,1) = { A ∈ GL(d + 1, R) : A> JA = J } , O+ (d,1) = { A ∈ O(d,1) : Ad+1,d+1 > 0 } .

www.interkonyv.hu

´es

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

10. A hiperbolikus geometria modelljei

337

Miut´ an det J 6= 0, az O(d,1)-et defini´al´o A> JA = J formul´ab´ol k¨ovetkezik, hogy b´ armely Lorentz-transzform´aci´o determin´ansa ±1. Az 1 determin´ans´ uak a 2 index˝ u SO(d,1) r´eszcsoportot alkotj´ak O(d,1)-ben. A determin´ans pozit´ıv volta ´es a Lorentz-transzform´aci´o pozitivit´asa k´et f¨ uggetlen felt´etel, ez´ert az 1 determin´ ans´ u pozit´ıv Lorentz-transzform´aci´ok SO+ (d,1) csoportja 4 index˝ u r´eszcsoport O(d,1)-ben. Az SO(d) speci´alis ortogon´alis csoport osszef¨ ugg˝ os´eg´et felhaszn´ alva meggondolhat´o, hogy O(d,1)-nek n´egy ¨osszef¨ ug¨ g˝ o komponense van, amelyek k¨oz¨ ul SO+ (d,1) tartalmazza az egys´egelemet. 10.3.6. Defin´ıci´ o (A hiperboloidmodell illeszked´ esi strukt´ ur´ aja). A (d+1)-dimenzi´ os (W, q) Minkowski-t´erben tekints¨ uk a q(x) = −1 egyenlettel, azaz standard koordin´ at´ ak bevezet´ese ut´an az x21 + . . . + x2d − x2d+1 = −1 egyenlettel adott affin m´ asodrend˝ u hiperfel¨ uletet. Ez az idom d = 0 eset´en k´et pont, d = 1 eset´en hiperbola, d = 3 eset´en k´etk¨openy˝ u forg´asi hiperboloid. A magasabb dimenzi´ os esetekben szint´en tekinthetj¨ uk k´etk¨openy˝ u forg´asi hiperboloidnak, ´es ebben az elnevez´esben a forg´asi” jelz˝o az els˝o d koordi” n´ at´ ara vonatkoz´ o O(d)-szimmetri´ara utal. Ennek a hiperfel¨ uletnek minden d ≥ 0 eset´en k´et ¨ osszef¨ ugg˝ o komponense van, amelyeket az orig´ora vonatkoz´o k¨ oz´eppontos szimmetria egym´asba k´epez. V´alasszuk ki tetsz˝olegesen az egyik ´ komponenst ´es jel¨ olj¨ uk Z-vel. Allapodjunk meg abban, hogy valah´anyszor standard koordin´ at´ ak bevezet´ese mellett dolgozunk, Z-nek azt a f´elhiperboloidot v´ alasztjuk, amelyik a f¨ols˝o f´elt´erbe esik, azaz amelynek a pontjaira xd+1 > 0 teljes¨ ul. A d-dimenzi´ os hiperbolikus geometria hiperboloidmodellj´enek alaphalmaza a Z halmaz, ennek elemei a modell pontjai. Ha V ≤ W id˝oszer˝ u line´aris alt´er, dim W = k + 1, akkor a V ∩ Z ⊆ Z r´eszhalmazt k-dimenzi´os hiperbolikus alt´ernek tekintj¨ uk a modellben. A 0-dimenzi´os alterek egypont´ uak, az 1-dimenzi´ os altereket hiperbolikus egyeneseknek, a 2-dimenzi´osakat hiperbolikus s´ıkoknak, a (d − 1)-dimenzi´osakat hiperbolikus hipers´ıkoknak nevezz¨ uk Z-ben.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

338

Hiperbolikus geometria

Vil´ agos, hogy mi´ert kell W id˝oszer˝ u altereire szor´ıtkozni, amikor Z-b˝ol hiperbolikus altereket akarunk kimetszeni: az alt´er id˝oszer˝ u volta annak sz¨ uks´eges ´es el´egs´eges felt´etele, hogy a Z-vel vett metszet ne legyen u ¨res. M´asr´eszt ha V ⊆ W id˝ oszer˝ u, akkor (V, q| V ) maga is (k + 1)-dimenzi´os Minkowski-t´er, ´es benne a V ∩ Z halmaz a k-dimenzi´os hiperboloidmodell alaphalmaza. Teh´at az alterek a hiperboloidmodell megfelel˝o alacsonyabb dimenzi´os p´eld´anyai. Megjegyz´es. Ugyan´ ugy, mint a Poincar´e-f´ele g¨ombmodell eset´eben, ahelyett, hogy a hiperboloidmodell illeszked´esi ´es rendez´esi tulajdons´agaival k¨ozvetlen¨ ul foglalkozn´ ank (ami egy´ebk´ent egy´altal´an nem vona neh´ez), ink´abb megadunk egy izomorfizmust a hiperboloidmodell ´es a projekt´ıv modell k¨oz¨ott. Ebben a pillanatban ez a lek´epez´es csak az illeszked´es tekintet´eben izomorfizmus, de a hiperboloidmodell tov´abbi strukt´ ur´aj´at majd u ´gy defini´aljuk, hogy arra n´ezve is izomorfizmus legyen. 10.3.7. Defin´ıci´ o (A Ψ lek´ epez´ es). A projekt´ıv modell alaphalmaz´anak, X-nek a pontjait a 10.1.1. Defin´ıci´o szerint a W Minkowski-t´ernek azok az x vektorai reprezent´ alj´ ak, amelyekre q(x) < 0. A Z hiperboloidmodell elemei ilyenek, ´es W -ben b´ armely egydimenzi´os id˝oszer˝ u alt´er pontosan egy elemet tartalmaz Z-b˝ ol. Teh´ at a Ψ : Z → X projektiviz´al´o” lek´epez´es, vagyis ” amelyn´el x ∈ Z-re Ψ(x) = [x], bijekt´ıv. Az alterek projekt´ıv modellbeli, illetve hiperboloidmodellbeli defin´ıci´oj´at ¨osszevetve nyilv´ anval´ o, hogy Ψ az illeszked´esi strukt´ ur´at megtartja.

Megjegyz´esek. (1) A Ψ lek´epez´est a k¨ovetkez˝o szeml´eletes m´odon interpret´ alhatjuk. Legyen W = Rd,1 a standard Minkowski-t´er, ´es 8.4.3. mint´aj´ara agyazzuk be Rd -t mint az Rd × {1} affin hipers´ıkot Rd,1 -be, a P (W ) pro´ jekt´ıv teret ez´ altal azonos´ıtva ennek a hipers´ıknak a projekt´ıv lez´ar´as´aval. Az Rd -beli koordin´ at´ akkal kifejezve a K m´asodrend˝ u hiperfel¨ ulet az orig´o k¨ or¨ uli egys´egg¨ omb ebben a hipers´ıkban. Teh´at X a Cayley–Klein-modell, amely most a standard Minkowski-t´er xd+1 = 1 egyenlet˝ u affin hipers´ıkj´aban fekszik, ´es egyenl˝ o ennek a hipers´ıknak a f´enyk´ up belsej´ebe es˝o r´esz´evel. A

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

10. A hiperbolikus geometria modelljei

339

Ψ : Z → X lek´epez´es pedig minden Z-beli vektorhoz a vele azonos ekvivalenciaoszt´ alyban lev˝ o X-beli vektort rendeli. Ez azt jelenti, hogy Ψ k¨oz´eppontos vet´ıt´es Z-r˝ ol X-re az orig´ oval mint vet´ıt´esi k¨oz´epponttal. (2) Ugyan´ ugy, mint a Poincar´e-f´ele g¨ombmodell eset´eben Φ-vel, most a Ψ izomorfizmus inverz´enek seg´ıts´eg´evel az alterekkel ´es a rendez´essel kapcsolatos fogalmakat (szakasz, f´elegyenes, f´els´ık, f´elt´er, sz¨ogtartom´any, h´aromsz¨og, stb.) atvihetj¨ ´ uk a projekt´ıv modellr˝ol a hiperboloidmodellre. 10.3.8. Defin´ıci´ o (A hiperboloidmodell kongruenci´ ai). Nyilv´anval´o, hogy a pozit´ıv Lorentz-transzform´aci´ok meg˝orzik a hiperboloidmodell eddig defini´ alt strukt´ ur´ aj´ at. Ez´ert k´ezenfekv˝o a hiperboloidmodell kongruenci´ainak az f = ϕ| Z : Z → Z lek´epez´eseket nevezni, ahol ϕ ∈ O+ (q). A ϕ 7→ f megszor´ıt´ o hozz´ arendel´es nyilv´ an injekt´ıv, hiszen Z-b˝ol kiv´alaszthat´o a W vektort´er egy b´ azisa. Ez´ert a kongruenci´ak csoportja az O+ (q) pozit´ıv Lorentz-csoport. 10.3.9. T´ etel. A Ψ lek´epez´es a hiperboloidmodell kongruenci´ainak pontosan a projekt´ıv modell kongruenci´ait felelteti meg, azaz a
ϕ 7→ [ϕ] X ϕ ∈ O+ (q) hozz´ arendel´es izomorfizmus O+ (q) ´es G(X) k¨oz¨ott. Bizony´ıt´ as: Nyilv´ anval´ o, hogy ez a hozz´arendel´es csoporthomomorfizmust defini´ al. Az is k¨ onnyen meggondolhat´o, hogy ez a homomorfizmus injekt´ıv, hiszen az identikus projekt´ıv transzform´aci´ot csak olyan line´aris lek´epez´es induk´ alhatja, amely ugyanazzal a skal´arral szoroz minden vektort, ´es a pozit´ıv Lorentz-transzform´ aci´ ok k¨ oz¨ott csak az identit´as ilyen. J´ oval kev´esb´e mag´ at´ ol ´ertet˝ od˝o ennek a homomorfizmusnak a sz¨ urjektivit´asa. Ez pontosan annyit jelent, hogy b´armely, X-et ¨onmag´aba viv˝o projekt´ıv transzform´ aci´ o induk´ alhat´ o Lorentz-transzform´aci´oval, azaz a q kvadratikus alakot meg˝ orz˝ o line´ aris transzform´aci´oval. Tegy¨ uk f¨ ol, hogy f ∈ G(X) ´es f = [ϕ] X valamely ϕ ∈ GL(W )-vel. Ekkor [ϕ](K) = K, ´es a q 0 = q ◦ ϕ kvadratikus alak ugyanazt a K m´asodrend˝ u hiperfel¨ uletet ´ all´ıtja el˝ o, mint q. Az al´abbi 10.3.10. Lemma szerint (amelyben felismerhetj¨ uk a Hilbert-f´ele nullhelyt´etelnek bizonyos val´os m´asodfok´ u polinomokra vonatkoz´ o v´ altozat´at) ekkor q 0 = λq alkalmas λ val´os skal´arral. Miut´ an q√is
´es q 0 is negat´ıv az X halmazon, λ csak pozit´ıv lehet. Tekints¨ uk a 0 ϕ = 1/ λ ϕ ∈ GL(W ) transzform´aci´ot, ekkor tov´abbra is f = [ϕ0 ], ´es √
q ◦ ϕ0 = q ◦ (1/ λ)ϕ = (1/λ) q ◦ ϕ = q mutatja, hogy ϕ0 Lorentz-transzform´aci´o.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

340

Hiperbolikus geometria

10.3.10. Lemma. Ha egy W val´os vektort´eren adott k´et indefinit kvadratikus alak a P (W ) projekt´ıv t´erben ugyanazt a m´asodrend˝ u hiperfel¨ uletet all´ıtja el˝ ´ o, akkor a kvadratikus alakok egym´as skal´arszorosai. Bizony´ıt´ as: N´ezz¨ uk el˝ osz¨ or a k´etdimenzi´os esetet. Ilyenkor egy indefinit kvadratikus alak mindig Minkowski-teret defini´al, ´es a hozz´a tartoz´o f´enyk´ up k´et izotr´ op egyenesb˝ ol ´ all. Ha u ´gy v´alasztunk b´azist W sz´am´ara, hogy a b´azisvektorok   ezt a k´et egyenest gener´alj´ak, akkor a kvadratikus alak m´atrixa 0 a valamilyen a 6= 0 konstanssal. Miut´an ez a m´atrix skal´art´enyez˝o erea 0 j´eig egy´ertelm˝ u, b´ armely k´et olyan kvadratikus alak, amelyekhez ugyanez a f´enyk´ up tartozik, ar´ anyos. Az ´ altal´ anos esetben legyen q1 ´es q2 a sz´oban forg´o k´et kvadratikus alak. A felt´etel szerint W -ben ugyanazok az izotr´op vektorok q2 -re n´ezve, mint q1 re n´ezve. A k´etdimenzi´ os eset alapj´an tudjuk, hogy b´armely V ≤ W olyan k´etdimenzi´ os alt´erhez, amelyen mindk´et kvadratikus alak indefinit, tal´alhat´o olyan (esetleg V -t˝ ol f¨ ugg˝ o) λV skal´ar, hogy q2 |V = λV · q1 |V . V´ alasszunk ki egy tetsz˝ oleges nem izotr´op x ∈ W vektort, ´es jel¨olj¨ uk λ-val a q2 (x)/q1 (x) h´ anyadost. Bebizony´ıtjuk, hogy minden y ∈ W -re q2 (y) = = λ · q1 (y). Ha y izotr´ op vektor, akkor q2 (y) = q1 (y) = 0 miatt nincs mit bizony´ıtani. Tegy¨ uk fel, hogy y nem izotr´op. Ha q1 (y) el˝ojele ellent´etes q1 (x) el˝ojel´evel, akkor az x ´es y ´ altal gener´alt V k´etdimenzi´os alt´eren q1 indefinit, ´ıgy V k´et izotr´ op egyenest tartalmaz, ´es ez´ert q2 is indefinit V -n. A k´etdimenzi´os esetb˝ ol tudjuk, hogy q2 |V = λV · q1 |V , ez´ert ezt y-ra ´es x-re alkalmazva q2 (y) = λV · q1 (y) =

q2 (x) · q1 (y) = λ · q1 (y) . q1 (x)

Ha v´eg¨ ul q1 (z) ugyanolyan el˝ojel˝ u, mint q1 (x), akkor v´alaszthatunk olyan y ∈ W vektort, amelyre q1 (y) el˝ojele mindkett˝ovel ellent´etes, ´es az ellent´etes el˝ ojel eset´ere vonatkoz´ o okoskod´ast k´et l´ep´esben, el˝osz¨or x-re ´es y-ra, majd y-ra ´es z-re alkalmazva kapjuk, hogy q2 (z) = λ · q1 (z). 10.3.11. P´ elda (Tu oz´ es a hiperboloidmodellben). Legyen H ⊂ Z hi¨ kr¨ pers´ık a hiperboloidmodellben, teh´at H = V ∩ Z, ahol V ≤ W id˝oszer˝ u linearis hipers´ık. Miut´ ´ an q| V nemelfajul´o, tekinthetj¨ uk W -ben a V -re vonatkoz´o q-ortogon´ alis szimmetri´ at, vagyis azt a σV ∈ GL(W ) line´aris transzform´aci´ot, amely a V ⊕ V ⊥ ortogon´ alis direkt felbont´asban a V -komponenst v´altozatlanul hagyja ´es az egydimenzi´os V ⊥ -komponensben el˝ojelet v´alt. Ha u a V norm´ alvektora (azaz a V ⊥ alteret gener´alja) ´es q(u) = 1, akkor x ∈ W -re σV (x) = x − 2 hu, xi u .

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

10. A hiperbolikus geometria modelljei

341

Vegy¨ uk ´eszre az anal´ ogi´ at az euklideszi t¨ ukr¨oz´es 4.3.10-beli formul´aj´aval. K¨ozvetlen sz´ amol´ assal (amely form´alisan azonos az euklideszi esetre vonatkoz´o sz´ amol´ assal) ellen˝ orizhet˝ o, hogy σV Lorentz-transzform´aci´o :
q σV (x) = hx − 2 hu, xi u , x − 2 hu, xi ui = = hx, xi − 4hu, xihu, xi + 4hu, xi2 hu, ui = = q(x) . Miut´ an σV -nek van fixpontja a f´enyk´ upon bel¨ ul (nevezetesen a modellbeli H hipers´ık pontjai a fixpontok), σV pozit´ıv Lorentz-transzform´aci´o. Tekinthetj¨ uk teh´ at a σH = σV | Z kongruenci´at, amelyet H-ra vonatkoz´o t¨ ukr¨oz´esnek nevez¨ unk. ´ ıt´ A 8.6.14. All´ as bizony´ıt´ asa szerint a σV lek´epez´es a P (V ) hipers´ıkhoz ´es az [u] ponthoz tartoz´ o harmonikus invol´ uci´ot induk´alja a P (W ) projekt´ıv t´erben. Miut´ an a P (V ) hipers´ıknak a [q]-ra vonatkoz´o p´olusa az [u] pont, 10.1.5 alapj´ an a [σV ] harmonikus invol´ uci´onak az X-re t¨ort´en˝o lesz˝ uk´ıt´ese ´eppen a projekt´ıv modellbeli t¨ ukr¨oz´es a P (V ) ∩ X = Ψ(H) hipers´ıkra. Teh´at a Ψ lek´epez´es a σH t¨ ukr¨ oz´esnek a projekt´ıv modellbeli σΨ(H) hiperbolikus t¨ ukr¨ oz´est felelteti meg, azaz minden x ∈ Z-re

σΨ(H) Ψ(x) = Ψ σH (x) . Ha x ´es y a hiperboloidmodell k´et k¨ ul¨onb¨oz˝o pontja, akkor az ˝oket felcser´el˝o t¨ ukr¨ oz´es hipers´ıkj´ at az y − x vektorral mint norm´alvektorral lehet el˝o´all´ıtani. Val´ oban, ha m´ ar tudjuk, hogy y − x t´erszer˝ u vektor, akkor az (y − x)⊥ ≤ W hipers´ıkot V -vel jel¨ olve σV (x)

2hy − x,xi (y − x) = hy − x,y − xi 2hy,xi + 2 (y − x) = y . = x− −2 − 2 h x , y i = x−

Az y − x vektor t´erszer˝ u volt´ahoz a nevez˝o pozitivit´asa, azaz h x , y i < −1 sz¨ uks´eges. Ugyanezt haszn´ alja a hiperboloidmodell al´abb k¨ovetkez˝o t´avols´agformul´ aja is; az egyenl˝ otlens´eget ott magyar´azzuk meg. 10.3.12. Defin´ıci´ o (T´ avols´ ag a hiperboloidmodellben). Legyen x, y ∈ ∈ Z. E k´et pont modellbeli t´avols´ag´an a
ρh ( x , y ) = ch−1 − h x , y i sz´ amot ´ertj¨ uk. Megindokoljuk, hogy a jobb oldalon ´all´o kifejez´esnek mi´ert van ´ertelme, azaz hogy −hx , yi mi´ert legal´abb 1. Vegy¨ uk ´eszre, hogy id˝oszer˝ ux∈ ∈ W mellett az x⊥ hipers´ık t´erszer˝ u volta miatt az id˝oszer˝ u vektorok halmaz´ anak az eg´esz x-et tartalmaz´o komponense ennek a hipers´ıknak ugyanarra

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

342

Hiperbolikus geometria

az oldal´ ara esik, mint maga x. Emiatt b´armely k´et x, y ∈ Z pontra hx, yi < < 0. A ford´ıtott Cauchy–Schwarz-egyenl˝ otlens´eg (l. 10.3.4) felhaszn´al´as´aval p ez´ert val´ oban −hx, yi = |hx, yi| ≥ q(x)q(y) = 1. L´ atszik, hogy ρh invari´ ans a pozit´ıv Lorentz-transzform´aci´okra n´ezve, valamint hogy szimmetrikus ´es ´ert´eke nemnegat´ıv. A ford´ıtott Cauchy–Schwarzegyenl˝ otlens´egnek az egyenl˝ os´eg eset´ere vonatkoz´o kieg´esz´ıt´es´eb˝ol k¨ovetkezik, hogy a 0 ´ert´eket csak x = y eset´en veszi f¨ol. Teh´at ahhoz, hogy metrik´at kapjunk, csak a h´ aromsz¨ og-egyenl˝otlens´eget kell bebizony´ıtani. Ezt – ugyan´ ugy, mint a projekt´ıv modell eset´eben – a hiperbolikus koszinuszt´etel k¨ovetkezm´enyek´ent kapjuk majd (l. 10.1.16, 10.1.17.(1), illetve 10.3.21). 10.3.13. T´ etel. A Ψ : Z → X lek´epez´es t´avols´agtart´o m´odon k´epezi a ρh metrik´ aval ell´ atott hiperboloidmodellt a projekt´ıv modellre, azaz tetsz˝oleges x, y ∈ Z-re
ρp [x], [y] = ρh (x, y) . Bizony´ıt´ as: Feltehetj¨ uk, hogy x 6= y, ´es szor´ıtkozhatunk az x ´es y ´altal gene´ ıtjuk, hogy ebben az alt´erben v´alaszthatunk olyan u r´ alt V ≤ W alt´erre. All´ ´es v izotr´ op vektorokb´ ol ´ all´ o b´azist, hogy x = u + v. Val´oban, a P (V ) projekt´ıv egyenesen a k´et izotr´ op egyenes repezent´alta k´et pont ´es [x] projekt´ıv b´ azist alkot, ´es az [x] pontot egys´egpontnak v´alasztva megkapjuk a k´ıv´ant b´ azist. ´ ıtsuk el˝ All´ o y-t is a b´ azisvektorokkal: y = λu + µv. Ekkor x, y ∈ Z miatt −1 = hu + v, u + vi = 2hu, vi ´es

− 1 = hλu + µv, λu + µvi = 2λµhu, vi .

Ezekb˝ ol hu, vi = −1/2 ´es λµ = 1 k¨ovetkezik. Jel¨olj¨ uk t-vel a ρh (x, y) t´avols´ agot a hiperboloidmodellben, ekkor ch t = −hx, yi = −hu + v, λu + µvi = −(λ + µ)hu, vi =

λ + λ−1 , 2

ahonnan λ = et vagy λ = e−t k¨ovetkezik. M´asr´eszt a projekt´ıv modellben alkalmazhatjuk a kett˝ osviszony 8.6.6.(1)-beli kisz´am´ıt´asi m´odszer´et:  
1
1 1 µ ρp [x], [y] = ln [u] [v] [x] [y] = ln : = 2 2 1 λ 1 = | ln(λ2 )| = | ln λ| = t . 2 ´ 10.3.14. Defin´ıci´ o (Erint˝ ovektor, ´ erint˝ ot´ er). Legyen x ∈ Z a hiperboloidmodell pontja. Egy v ∈ W vektort a hiperboloidmodell x pontbeli ´erint˝ ovektor´ anak nevez¨ unk, ha hv, xi = 0. Az x pontbeli ´erint˝ovektorok az x⊥ line´ aris hipers´ıkot alkotj´ ak W -ben. Ezt a d-dimenzi´os vektorteret a hiperboloidmodell x-beli ´erint˝ oter´enek nevezz¨ uk, ´es Tx Z-vel jel¨olj¨ uk.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

10. A hiperbolikus geometria modelljei

343

Az ´erint˝ oterek t´erszer˝ u hipers´ıkok W -ben, teh´at a q kvadratikus alak megszor´ıt´ asa euklideszi vektort´err´e teszi ˝oket. Ez´ert valamely r¨ogz´ıtett pontbeli ´erint˝ ovektorokra szor´ıtkozva haszn´alhatjuk mindazokat a fogalmakat, amelyek egy euklideszi vektort´erben bevezethet˝ok. Besz´elhet¨ unk teh´at a Tx Z-beli vektorok norm´ aj´ ar´ ol, sz¨ og´er˝ ol, ´es ezeket a szok´asos, euklideszi geometri´aban megszokott m´ odon sz´ armaztathatjuk a h , i skal´aris szorzatb´ol. Ha a V ≤ W id˝ oszer˝ u line´ aris alt´er az S = V ∩ Z hiperbolikus alteret ´all´ıtja el˝ o, akkor x ∈ S eset´en a Tx S ´erint˝oteret a V Minkowski-t´erre vonatkoztatva all´ıtjuk el˝ ´ o mint az x vektor ortogon´alis kieg´esz´ıt˝o hipers´ıkj´at, ez´altal ilyenkor Tx S ≤ Tx Z line´ aris alt´er. Megjegyz´es. A g¨ ombi geometri´aban tapasztaltakhoz hasonl´oan az ´erint˝ot´er nem a Z f´elhiperboloidot t´enylegesen ´erint˝o affin alt´er, hanem az orig´on ´athalad´ o line´ aris alt´er. K¨ onny˝ u meggondolni, hogy Z-t a Tx Z alt´ernek az x vektorral vett eltoltja ´erinti: a ford´ıtott Cauchy–Schwarz-egyenl˝otlens´eg k¨ovetkezt´eben minden y ∈ Z, y 6= x vektorral hx, yi < −1, m´ıg hx, xi = −1, emiatt a Z halmaz az x pontja kiv´etel´evel az x + x⊥ = { y ∈ W : hy, xi = − −1 } affin hipers´ıknak az orig´ohoz k´epest szigor´ uan a t´ uls´o oldal´an van. 10.3.15. Defin´ıci´ o (Egyenes ir´ anyvektora ´ es param´ eteres megad´ asa) Tekints¨ unk egy L ⊆ Z hiperbolikus egyenest a hiperboloidmodellben, ´es legyen x ∈ L. Az L egyenes x pontbeli ir´anyvektorainak a z´erust´ol k¨ ul¨onb¨oz˝o u ∈ Tx L ´erint˝ ovektorokat nevezz¨ uk. Ilyenkor x ´es u azt a V ≤ W k´etdimenzios id˝ ´ oszer˝ u alteret gener´ alj´ ak, amellyel L = V ∩ Z. Miut´an Tx L egydimenzi´os vektort´er, a u vektort az L egyenes ´es az x pontja nemz´erus skal´art´enyez˝o erej´eig egy´ertelm˝ uen meghat´arozz´ak. Megford´ıtva, ha tesz˝ olegesen adott az x ∈ Z pont ´es az u ∈ Tx Z nemnulla ´erint˝ ovektor, akkor egy ´es csak egy olyan L hiperbolikus egyenes l´etezik S-ben, amely ´ athalad x-en ´es amelynek u ir´anyvektora, m´egpedig az x ´es u gener´ alta V line´ aris alt´er metszete Z-vel. Tegy¨ uk fel most, hogy u is egys´egvektor. Ekkor az r(t) = ch t x + sh t u k´eplet param´eteresen ´ all´ıtja el˝o az L egyenest. Val´oban, egyr´eszt r(t) az x ´es u kombin´ aci´ oja l´ev´en hozz´ atartozik V -hez, m´asr´eszt
q r(t) = hch t x + sh t u , ch t x + sh t ui = ch2 t hx , xi + sh2 t hu , ui = = − ch2 t + sh2 t = −1 . Ez´ert az r(t) g¨ orbe azon a V -beli, q(y) = 1 egyenlet˝ u hiperbol´an mozog, amelynek L az egyik ´ aga. Miut´an az x = r(0) pontja L-ben van, a param´eterez´es folytonos volta miatt r(t) mindv´egig L-ben marad. Befutja a teljes L halmazt, mert az sh f¨ uggv´eny minden val´os ´ert´eket felvesz.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

344

Hiperbolikus geometria

´ ıt´ 10.3.16. All´ as. A hiperbolikus egyenesek 10.3.15 szerinti param´eterez´es´en´el tetsz˝ oleges t1 , t2 ∈ R eset´en
ρh r(t1 ), r(t2 ) = |t1 − t2 | , azaz a param´eter´ert´ekek k¨ ul¨onbs´ege a megfelel˝o pontok hiperbolikus t´avols´ ag´ at adja meg. Bizony´ıt´ as: Azt kell ellen˝ orizni, hogy a ch(t1 − t2 ) = −hr(t1 ), r(t2 )i formula ´erv´enyes. Val´ oban, hr(t1 ), r(t2 )i = hch t1 x + sh t1 u , ch t2 x + sh t2 ui = = ch t1 ch t2 hx, xi + sh t1 sh t2 hu, ui = = − ch t1 ch t2 + sh t1 sh t2 = − ch(t1 − t2 ) . ´ ıt´as azt mutatja, hogy (differenci´algeometriai sz´oMegjegyz´es. Az 10.3.16. All´ haszn´ alattal ´elve) az egyenesek fenti param´eteres el˝o´all´ıt´asa ´ıvhossz szerinti param´eterez´es. Differenci´ alhat´o param´eteres g¨orb´ek eset´eben az ´ıvhossz szerinti param´eterez´est k¨ onnyen l´athat´o m´odon az a tulajdons´ag jellemzi, hogy a param´eterez˝ o vektor´ert´ek˝ u f¨ uggv´eny deriv´altja minden pillanatban egys´egvektor. Ez is r¨ ogt¨ on l´ athat´ o az egyenesek param´eterez´es´er˝ol:
q r0 (t) = hsh t x + ch t u , sh t x + ch t ui = sh2 t hx , xi + ch2 t hu , ui = = − sh2 t + ch2 t = 1 . Ebb˝ ol az ´eszrev´etelb˝ ol k¨ onnyen ad´odik a 10.3.12-beli t´avols´agformula al´abbi v´ altozata. 10.3.17. K¨ ovetkezm´ eny. Egy Z-beli egyenes k´et k¨ ul¨onb¨oz˝o, egym´ast´ol a t´ avols´ agra lev˝ o pontj´ aban v´ alasszunk u ´es v egys´egnyi ir´anyvektorokat az egyenes sz´ am´ ara u ´gy, hogy azok mindk´et pontban a m´asik fel´e mutassanak. Ekkor ch a = −hu, vi . Bizony´ıt´ as: Param´eterezz¨ uk a k´et pont k¨ozti szakaszt az u ir´anyvektorral ell´ atott x kezd˝ oponttal: r(t) = ch t x+sh t u (0 ≤ t ≤ a). Az el˝oz˝o megjegyz´es alapj´ an ekkor v = −r0 (a) = − sh a x − ch a u. Innen val´oban hu, vi = − ch a ad´ odik. B´ ar az egyenesek param´eteres el˝o´all´ıt´as´aban k¨ozvetlen¨ ul csak a modellbeli pontok sz´ am´ ara kapunk k´epletet, a k¨ovetkez˝o ´all´ıt´as szerint az egyenes v´eg˘ telen t´ avoli pontjai (l. 10.1.19) is k¨onnyen meghat´arozhat´ok belAl’le.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

10. A hiperbolikus geometria modelljei

345

´ ıt´ 10.3.18. All´ as. Legyen 10.3.15 szerint r(t) = ch t x + sh t u az x ∈ Z ponttal ´es az u ∈ Tx Z egys´egvektorral mint ir´anyvektorral adott L egyenes param´eterez´ese. Vigy¨ uk ´at ezt az egyenest az X ⊂ P (W ) projekt´ıv modellbe a Ψ lek´epez´essel. Ekkor a Ψ(L) ⊂ X egyenes v´egtelen t´avoli pontjai a modell X lez´ ar´ as´ aban az A = [x − u] ´es B = [x + u] pontok. Ha t → −∞, akkor az [r(t)] pont A-hoz, ha t → +∞, akkor B-hez konverg´al P (W )-ben. Bizony´ıt´ as: A q(x ± u) = q(x) + q(u) = −1 + 1 = 0 sz´amol´as alapj´an x − u ´es x + u val´ oban az L egyenes k´et v´egtelen t´avoli pontj´at reprezent´alja. A projekt´ıv modellben [r(t)] = [(1/ ch t)r(t)] = [x+(sh t/ ch t)u]. Az u vektor egy¨ utthat´ oj´ ara limt→±∞ (sh t/ ch t) = ±1 ´erv´enyes, ez´ert limt→±∞ [r(t)] = = [x ± u]. 10.3.19. Defin´ıci´ o (Sz¨ og a hiperboloidmodellben). Legyen M ´es N k´et f´elegyenes Z-ben, amelyek k¨oz¨os kezd˝opontja az x ∈ Z pont. V´alasszunk ir´ anyvektorokat M -hez ´es N -hez a kezd˝opontjukban: olyan u, v ∈ Tx Z vektorokat, amelyekkel egyir´ any´ u egys´egvektorokkal ´es az x kezd˝oponttal a 10.3.15 szerint fel´ırt param´eterez´es nemnegat´ıv param´eter´ert´ekekre az M -et, illetve N -et futja be. Ekkor M ´es N sz¨og´en az u ´es a v vektor uk, azaz p sz¨og´et ´ertj¨ azt a 0 ´es π k¨ oz¨ otti ϕ sz¨ oget, amelyre cos ϕ = hu, vi/ q(u)q(v). A hiperboloidmodell kongruenci´ai sz¨ogtart´ok, hiszen a sz¨og a skal´aris szorzat seg´ıts´eg´evel van defini´ alva, amit a Lorentz-transzform´aci´ok megtartanak. ´ ıt´ 10.3.20. All´ as. A Ψ lek´epez´es sz¨ogtart´o, azaz ha a hiperboloidmodellben az M ´es N f´elegyenesek sz¨oge ϕ, akkor a projekt´ıv modellben a Ψ(M ) ´es Ψ(N ) f´elegyenesek sz¨ oge szint´en ϕ. Bizony´ıt´ as: Haszn´ aljuk a standard koordin´at´akat, amelyekre vonatkoz´oan egyr´eszt Z a 10.3.6-beli egyenlettel adott f´elhiperboloid az Rd,1 Minkowskit´er xd+1 > 0 fels˝ o f´elter´eben, m´asr´eszt az X Cayley–Klein-modell az xd+1 = 1 hipers´ıkban fekv˝ o, C = (0, . . . ,0,1) pont k¨or¨ uli ny´ılt egys´egg¨omb. Ez a hipers´ık ´erinti a f´elhiperboloidot a C pontban. Tekints¨ uk el˝ osz¨ or azt a speci´ alis esetet, amikor az M ´es N k¨oz¨os kezd˝opontja ´eppen a C pont. Ekkor a Ψ(M ) ´es Ψ(N ) intervallumok is a C pontb´ol indulnak ki, ´es ir´ anyvektoraik azonosak M ´es N ir´anyvektoraival. A sz¨og projekt´ıv modellbeli defin´ıci´ oja (10.1.15) szerint Ψ(M ) ´es Ψ(N ) sz¨oge is ennek a k´et ir´ anyvektornak a sz¨ og´evel egyenl˝o, teh´at a speci´alis esetben igazoltuk az ´all´ıt´ ast. Az ´ altal´ anos esetben a hiperboloidmodell alkalmas f kongruenci´aj´aval vigy¨ uk at a f´elegyenesek kezd˝ ´ opontj´at C-be. Ekkor a Ψ ◦ f ◦ Ψ−1 lek´epez´es Ψ(M ) ´es Ψ(N ) kezd˝ opontj´ at viszi a Ψ(C) = C pontba, ´es a 10.3.9. T´etel szerint

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

346

Hiperbolikus geometria

a projekt´ıv modell kongruenci´aja. Mivel a kongruenci´ak mindk´et modellben sz¨ ogtart´ ok, a speci´ alis esetb˝ ol k¨ovetkezik az ´all´ıt´as. R´ at´er¨ unk hiperbolikus h´ aromsz¨ogek vizsg´alat´ara. A Z hiperboloidmodellben h´ arom pont, a, b ´es c, pontosan akkor nem kolline´aris, ha a h´arom vektor line´ arisan f¨ uggetlen. Ilyenkor hiperbolikus h´aromsz¨oget fesz´ıtenek ki, amely a h´ arom vektor ´ altal W -ben gener´alt konvex poli´ederk´ up (tri´eder) metszete Z-vel. A h´ aromsz¨ og cs´ ucsai maguk az a, b, c vektorok, oldalai az ˝oket p´aronk´ent o ot˝ o modellbeli szakaszok, sz¨ogei a cs´ ucsokb´ol indul´o oldalp´arokra ¨sszek¨ illeszked˝ o f´elegyenesp´ arok ´ altal alkotott sz¨ogek. A hiperbolikus h´aromsz¨og adatainak szok´ asos jel¨ ol´es´evel a = ρh (b, c), b = ρh (c, a), c = ρh (a, b), α az a cs´ ucsn´ al, β a b cs´ ucsn´ al, γ a c cs´ ucsn´al keletkez˝o sz¨og. A 10.1.16-ban m´ar kimondott, de eddig m´eg be nem bizony´ıtott hiperbolikus koszinuszt´etelt most u ´jra kimondjuk ´es bebizony´ıtjuk. 10.3.21. T´ etel (Hiperbolikus koszinuszt´ etel). B´armely hiperbolikus h´aromsz¨ ogben az oldalak ´es a sz¨ogek szok´asos jel¨ol´ese mellett ch a = ch b ch c − sh b sh c cos α . Bizony´ıt´ as: Legyenek a, b ´es c ∈ Z rendre az a, b, c oldalakkal szemk¨ozti cs´ ucsok. Ekkor a hiperbolikus t´avols´ag 10.3.12-beli defin´ıci´oja alapj´an ch a = = −hb, ci. V´ alasszunk egys´egnyi ir´anyvektorokat az a v´egpontban az a-b´ol kiindul´ o k´et oldalszakasz ir´ any´aban, m´egpedig u ∈ Ta Z mutasson b fel´e, v ∈ ∈ Ta Z pedig c fel´e. Ekkor a sz¨og 10.3.19-beli defin´ıci´oja szerint cos α = hu, vi. Param´eterezz¨ uk 10.3.15 szerint a h´aromsz¨og a-b´ol indul´o oldalait az a kez´ ıt´as miatt d˝ opontot ´es az u, illetve v ir´anyvektort haszn´alva. A 10.3.16. All´ ezek a param´eterez´esek a t = c, illetve t = b helyettes´ıt´essel ´eppen a b, illetve a c cs´ ucsot ´ all´ıtj´ ak el˝ o: b = ch c a + sh c u c = ch b a + sh b v . Alkalmazzuk a Minkowski-t´er h , i biline´aris f¨ uggv´eny´et a k´et bal oldalra, illetve a k´et jobb oldalra, ebb˝ol, felhaszn´alva, hogy ha, ui = ha, vi = 0, a hb , ci = ch b ch c ha , ai + sh b sh c hu , vi formul´ at kapjuk, ami hb, ci = − ch a, ha, ai = −1, ´es hu, vi = cos α alapj´an a t´etel ´ all´ıt´ as´ aval egyen´ert´ek˝ u. Mivel a modellek k¨ ozti Φ ´es Ψ izomorfizmusok minden relev´ans strukt´ uraelemet (altereket, t´ avols´ agot, sz¨oget) meg˝oriznek, a koszinuszt´etel mindegyik

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

10. A hiperbolikus geometria modelljei

347

modellben ´erv´enyes. Ezzel bel´attuk a 10.1.16-ban kimondott projekt´ıv modellbeli v´ altozatot is, ´es annak legfontosabb k¨ovetkezm´eny´et, a 10.1.17.(1) h´ aromsz¨ og-egyenl˝ otlens´eget. 10.3.22. K¨ ovetkezm´ eny. A 10.1.13-ban, 10.2.9-ben ´es 10.3.12-ben defini´alt ρp , ρk , illetve ρh t´ avols´ agf¨ uggv´enyek (egym´assal izometrikus) metrikus t´err´e teszik a d-dimenzi´ os hiperbolikus geometria modelljeit. Megjegyz´es. A hiperbolikus koszinuszt´etel csak akkor ´erv´enyes a 10.3.21-beli alakban, ha a h´ aromsz¨ og oldalainak hossz´at a term´eszetes t´avols´agm´er´es szerint adjuk meg. Ha r¨ ogz´ıt¨ unk egy pozit´ıv λ ar´anyoss´agi t´enyez˝ot, ´es a t´er term´eszetes metrik´ aja helyett annak λ-szoros´at haszn´aljuk (azaz a term´eszetes t´ avols´ agegys´eg helyett annak (1/λ)-szoros´at v´alasztjuk a t´avols´agm´er´es egys´eg´enek), akkor a koszinuszt´etel alakja az u ´j t´avols´agm´er´es ´ertelm´eben a, b, c oldalhosszakkal megadott h´aromsz¨og eset´eben nyilv´an ch

b c b c a = ch ch − sh sh cos α λ λ λ λ λ

lesz. Hasonl´ o jelens´eget tapasztaltunk a g¨ombi trigonometria formul´aival kapcsolatban is. A 0.3. szakasz v´eg´en tett megjegyz´esek alapj´an ez a λ konstans olyasf´ele szerepet j´ atszik a hiperbolikus geometri´aban, mint az alapg¨omb sugara a g¨ ombi geometri´ aban. A g¨ombi ´es a hiperbolikus trigonometriai formul´ ak k¨ ozti szorosabb kapcsolatra k´es˝obb m´eg visszat´er¨ unk (l. 11.3).

10.4. A hiperbolikus t´ er 10.4.1. Defin´ıci´ o (Hd ). A d-dimenzi´os hiperbolikus geometria alaptere sz´am´ ara bevezetj¨ uk a modell v´ alaszt´as´at´ol f¨ uggetlen Hd jel¨ol´est. Hd teh´at azt a metrikus teret jel¨ oli, amelyr˝ ol a 10.3.21. K¨ovetkezm´eny sz´ol, vagyis a term´eszetes t´ avols´ agm´er´essel ell´ atott hiperbolikus teret. A Hd hiperbolikus t´er (ellent´etben az euklideszi, illetve g¨ombi geometri´aban haszn´ alatos Rd , S d jel¨ ol´esekkel) nem konkr´et halmazt, hanem csup´an egy izometria erej´eig meghat´ arozott metrikus teret jelent. A Hd metrikus t´er egy´ertelm˝ uen meghat´arozza a hiperbolikus geometria teljes strukt´ ur´ aj´ at: egyr´eszt a 10.1.17.(1) szigor´ u h´aromsz¨og-egyenl˝otlens´eg alapj´ an a metrik´ ab´ ol kik¨ ovetkeztethet˝o, hogy mely ponth´armasok kolline´arisak, ´es ezen kereszt¨ ul az alterek meghat´arozhat´ok, m´asr´eszt a 10.1.18. T´etel szerint a t´er kongruenci´ ait az izometri´ak szolg´altatj´ak. Ha k ≤ d ´es M ⊆ Hd tetsz˝ oleges k-dimenzi´ os hiperbolikus alt´er, akkor M az ¨or¨ok¨olt metrik´aval Hk egy izometrikus p´eld´ anya.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

348

Hiperbolikus geometria

Amikor a hiperbolikus t´er tulajdons´agait vizsg´aljuk, az ´altal´anoss´ag csorb´ıt´ asa n´elk¨ ul b´ armelyik modell v´alaszt´as´aval konkr´ett´a tehetj¨ uk a Hd teret. A Hd hiperbolikus t´er I(Hd ) izometriacsoportj´at is valamely konkr´et modell kiv´ alaszt´ asa azonos´ıtja az el˝ oz˝o szakaszokban t´argyalt transzform´aci´ocsoportok valamelyik´evel. A 10.1.18. T´etel alapj´an a kongruencia”, izometria”, ” ” egybev´ ag´ os´ ag” kifejez´esek Hd eset´eben ugyanazokat a transzform´aci´okat je” lentik, u ´gyhogy a tov´ abbiakban ezeket ´altal´aban egys´egesen izometri´anak nevezz¨ uk. Ez al´ ol kiv´etel a k´et-, illetve h´aromdimenzi´os eset, ahol a klasszikus geometria sz´ ohaszn´ alat´ ahoz igazodva ink´abb az egybev´ag´os´ag kifejez´est haszn´ aljuk. A projekt´ıv ´es a konform modellek konstrukci´oj´aban d¨ont˝o szerepet j´atszottak a modell v´egtelen t´ avoli pontjai, ´es a modell ide´alis hat´ara, amelyet a v´egtelen t´ avoli pontok alkotnak. A 10.1.19. Defin´ıci´o mint´aj´ara a Hd hiperbolikus t´er uk. A ∂Hd ide´ alis hat´ ar´ at ∂Hd -vel, a t´er Hd ∪∂Hd lez´ar´as´at pedig Hd -sal jel¨olj¨ ide´ alis hat´ ar term´eszetes strukt´ ur´aja a (d − 1)-dimenzi´os inverz´ıv geometria, amelyben M¨ obius-transzform´aci´okat induk´alnak a t´er izometri´ai. A strukt´ ura term´eszetess´ege itt azt jelenti, hogy nem f¨ ugg att´ol, hogyan azonos´ıtjuk a Hd teret egy konkr´et modellel. 10.4.2. Defin´ıci´ o (Ir´ any´ıt´ astart´ as ´ es -v´ alt´ as). A hiperbolikus t´er izometri´ ainak ir´ any´ıt´ astart´ o, illetve ir´any´ıt´asv´alt´o volt´at ´ertelmezz¨ uk. Az egydimenzi´ os esetben a hiperbolikus egyenes az euklideszi egyenessel izometrikus, ez´ert itt az euklideszi egyenesre vonatkoz´o defin´ıci´ot alkalmazzuk. Ha pedig d ≥ 2, akkor a konform modellekre ´es az I(Hd ) ∼ = Md−1 izomorfi´ara hivatkozunk. A M¨ obius-transzform´ aci´ok k¨or´eben 5.3.12–5.3.14-ben ´ertelmezt¨ uk az ir´ any´ıt´ astart´ as ´es -v´ alt´ as fogalm´at. Ennek alapj´an azt mondjuk, hogy Hd egy izometri´ aja ir´ any´ıt´ astart´ o, illetve ir´any´ıt´asv´alt´o, ha a t´er ide´alis hat´ar´an altala induk´ ´ alt M¨ obius-transzform´aci´o az. Az ir´ any´ıt´ astart´ o izometri´ ak 2 index˝ u r´eszcsoportot alkotnak az I(Hd ) cso+ d portban, ezt a r´eszcsoportot I (H )-vel jel¨olj¨ uk. Az euklideszi sz´ohaszn´alathoz hasonl´ oan az ir´ any´ıt´ astart´o izometri´akat a hiperbolikus geometri´aban is mozg´ asoknak nevezz¨ uk. I + (Hd ) a t´er mozg´ascsoportja. A hipers´ıkra vonatkoz´ o t¨ ukr¨oz´esek ir´any´ıt´asv´alt´ok, hiszen az ide´alis hat´aron inverzi´ ot l´etes´ıtenek. Tudjuk 10.1.10.(1)-b˝ol, hogy a t¨ ukr¨oz´esek gener´alj´ak az I(Hd ) izometriacsoportot, ez´ert egy izometria pontosan akkor ir´any´ıt´astart´o, ha p´ aros sok t¨ ukr¨ oz´es szorzatak´ent ´all´ıthat´o el˝o. A hiperboloidmodell t¨ ukr¨ oz´eseit 10.3.11 szerint sz´armaztat´o q-ortogon´alis line´ aris szimmetri´ ak −1 determin´ans´ uak. A parit´assal kapcsolatos fenti ´eszrev´etel alapj´ an teh´ at a hiperboloidmodell valamely izometri´aja pontosan akkor ir´ any´ıt´ astart´ o, ha az azt reprezent´al´o pozit´ıv Lorentz-transzform´aci´o determin´ ansa 1. Ezek a transzform´aci´ok a 2 index˝ u SO+ (q) r´eszcsoportot al-

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

10. A hiperbolikus geometria modelljei

349

kotj´ ak a pozit´ıv Lorentz-transzform´aci´ok O+ (q) csoportj´aban. ´Igy teh´at I + +(Hd ) ∼ = SO+ (d,1). A hiperbolikus terek k¨ oz¨ ott t¨ort´eneti szempontb´ol a d = 3 esetnek, azaz a H3 t´ernek az´ert van kiemelked˝o jelent˝os´ege, mert ez olyan geometriai rendszer, amelyben a klasszikus euklideszi t´er alapfogalmai ´ertelmezve vannak, ´es ezekre az euklideszi t´er axi´ om´ai a p´arhuzamoss´agi axi´oma h´ıj´an mind ´erv´enyesek, maga a p´ arhuzamoss´agi axi´oma pedig nem. A tizenkilencedik sz´azad m´ asodik fel´eben Felix Klein ennek a modellnek a (projekt´ıv geometri´an alapul´ o) konstrukci´ oj´ aval bizony´ıtotta be, hogy a p´arhuzamoss´agi axi´om´at nem lehet levezetni a t¨ obbi axi´ om´ab´ol. Ezzel lez´arta a parallel´ak probl´em´aj´anak” ” ´evezredes t¨ ort´enet´et, amelyben Klein munk´aj´at ´evtizedekkel megel˝ozve Bolyai ´es Lobacsevszkij m´ ar megtett´ek a hiperbolikus geometria axiomatikus ki´ep´ıt´es´enek d¨ ont˝ o l´ep´eseit, ´es az elm´elet sok alapvet˝o t´etel´et kidolgozt´ak. Ennek a szakasznak a h´ atralev˝o r´esz´eben v´azlatosan ´atgondoljuk az axi´om´ak teljes¨ ul´es´et a H3 t´erben. Vegy¨ uk sorra el˝ osz¨ or a klasszikus euklideszi geometria alapfogalmait u ´gy, ahogyan azokat a 0.1. szakaszban t´argyalt fel´ep´ıt´esben bevezett¨ uk. Haszn´aljuk a h´ aromdimenzi´ os hiperbolikus t´ergeometria projekt´ıv modellj´et, ´es rendre tiszt´ azzuk, mif´ele term´eszetes jelent´essel b´ırnak az alapfogalmak ebben a modellben. Az E ´es S halmazrendszereket, azaz az egyenesek ´es a s´ıkok rendszer´et a 10.1.1. Defin´ıci´ o adja meg mint hiperbolikus egyeneseket ´es s´ıkokat. Az R elv´ alaszt´ asi rel´ aci´ onak a val´os egyenes geometri´aj´ab´ol sz´armaz´o term´eszetes jelent´ese van, hiszen a modellbeli hiperbolikus egyenesek val´odi ny´ılt intervallumok a befoglal´ o val´os projekt´ıv t´er egyenesein. A ≡ egybev´ ag´ os´ agi rel´ aci´ ot a projekt´ıv modell 10.1.3-ban defini´alt kongruenci´ ai term´eszetes m´ odon sz´ armaztatj´ak: k´et szakasz, illetve k´et sz¨ogtartom´any egybev´ ag´ o, ha a modell alkalmas kongruenci´aja az egyiket a m´asikra k´epezi. Tekints¨ uk most a klasszikus euklideszi geometria axi´om´ait. Ezek t´ ulnyom´o r´esz´er˝ ol, nevezetesen az (I1)–(I7) illeszked´esi axi´om´akr´ol, az (R1)–(R4) rendez´esi axi´ om´ akr´ ol ´es az (F ) folytonoss´agi axi´om´ar´ol mag´at´ol ´ertet˝od˝o, hogy ´erv´enyesek a projekt´ıv modellben. A modell alaphalmaza ugyanis (a koordin´ at´ ak alkalmas megv´ alaszt´as´aval) az R3 koordin´atat´er konvex ny´ılt r´eszhalmaza, ´es k¨ onnyen ellen˝ orizhet˝o m´odon ez m´ar elegend˝o ahhoz, hogy az ezekben az axi´ om´ akban megfogalmazott tulajdons´agok R3 -b´ol ´at¨or¨okl˝odjenek az alaphalmazra. Az egybev´ ag´ os´ agi axi´ om´ ak k¨oz¨ ul (E1), (E3) ´es (E4) r¨ogt¨on k¨ovetkezik a kongruenci´ ak csoportj´ anak er˝os tranzitivit´asi tulajdons´agaib´ol (10.1.9, 10.1.10.(2)), (E2) pedig a t´ avols´agm´er´es tulajdons´agaib´ol (10.1.12).

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

350

Hiperbolikus geometria

V´eg¨ ul nyilv´ anval´ o, hogy a (P ) p´arhuzamoss´agi axi´oma nem ´erv´enyes a modellben, ahogyan azt m´ ar r¨ ogt¨on a 10.1.1. Defin´ıci´o ut´an megjegyezt¨ uk. Ezekb˝ ol az ´eszrev´etelekb˝ ol az is k¨ovetkezik, hogy a hiperbolikus s´ık- ´es t´ergeometri´ aban mindazok a fogalmak ´ertelemmel b´ırnak, ´es mindazok a t´etelek ´erv´enyesek, amelyeket a klasszikus euklideszi geometria axi´om´aib´ol a p´arhuzamoss´ agi axi´ oma felhaszn´ al´asa n´elk¨ ul lehet levezetni. Az elemi s´ık- ´es t´ergeometria jelent˝ os r´esze ilyen. Bolyai nyom´an ezeket abszol´ ut” fogalmaknak ” ´es t´eteleknek nevezz¨ uk. P´eld´aul az abszol´ ut geometria k¨or´ebe tartoz´o t´eny, hogy a h´ aromsz¨ og bels˝ o sz¨ ogfelez˝oi egy ponton haladnak ´at, vagy hogy k¨orh¨oz k¨ uls˝ o pontb´ ol egyenl˝ o hossz´ u ´erint˝oket lehet h´ uzni. Az abszol´ ut geometriai fogalmak ´es t´etelek nem csup´an a H2 ´es H3 terekre vonatkoz´oan, hanem nyilv´ an a magasabb dimenzi´ os hiperbolikus t´er k´et-, illetve h´aromdimenzi´os altereiben is ugyan´ ugy ´erv´enyesek. Megjegyz´es. Mindaz, amit a hiperbolikus t´err˝ol ebben a szakaszban meg´allap´ıtottunk, ´erv´enyes volna akkor is, ha Hd -t nem a term´eszetes metrik´aval, hanem annak valamilyen pozit´ıv konstansszoros´aval l´atn´ank el. Ennek a konstansnak a megv´ alaszt´ asa csak a konkr´et sz´amol´asokat, nevezetesen a hiperbolikus geometria bizonyos k´epleteinek alakj´at befoly´asolja (l. 11.3).

11. A hiperbolikus s´ık A hiperbolikus geometria k¨ ul¨on¨os von´asai, az euklideszi geometri´at´ol elt´er˝ o jellegzetess´egei m´ ar a k´etdimenzi´os esetben mark´ansan megmutatkoznak. Ez´ert el˝ osz¨ or a hiperbolikus s´ıkgeometri´aval, azaz a H2 metrikus t´er tulajdons´ agaival foglalkozunk.

11.1. P´ arhuzamoss´ ag, sug´ arsorok, ciklusok A hiperbolikus s´ık illeszked´esi strukt´ ur´aj´at az egyenesek rendszere alkotja. Ebben a szakaszban az egyenesek k¨olcs¨on¨os helyzet´evel kapcsolatos fogalmakat tiszt´ azzuk, ami elvezet bizonyos nevezetes s´ıkg¨orb´ek, az u ´gynevezett ciklusok defin´ıci´ oj´ ahoz. 11.1.1. Defin´ıci´ o (Metsz˝ o, p´ arhuzamos, ultraparallel egyenesek). Legyen L ´es M k´et k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o egyenes a hiperbolikus s´ıkon. A projekt´ıv modellt haszn´ alva tekints¨ uk a projekt´ıv s´ık hLi ´es hM i egyeneseit, ezek metszik

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

11. A hiperbolikus s´ık

351

egym´ ast a projekt´ıv s´ık valamely A pontj´aban. Aszerint, hogy az A pont a modell alaphalmaz´ at hat´ arol´o k´ upszelet bels˝o pontja, illeszkedik r´a, vagy k¨ uls˝ o pontja, mondjuk L-et ´es M -et metsz˝o, p´arhuzamos, illetve ultraparallel egyeneseknek.

Bizonyos esetekben (p´eld´ aul a tranzitivit´as k´erd´es´eben, vagy k´es˝obb a sug´arsorok sz´ armaztat´ asakor) k´enyelmi okokb´ol tekinthet¨ unk k´et egybees˝o egyenest is ak´ ar metsz˝ onek, ak´ ar p´arhuzamosnak, ak´ar ultraparallelnek. Ha k´et egyenesnek nincs k¨ oz¨os pontja H2 -ben, akkor vagy p´arhuzamos, vagy ultraparallel egyenesekr˝ ol van sz´o. Akkor ´es csak akkor p´arhuzamosak, ha az egyik v´egtelen t´ avoli pontjuk k¨oz¨os. K¨ onnyen l´ athat´ o, hogy az egyenesek p´arhuzamoss´aga – az euklideszi geometri´ at´ ol elt´er˝ o m´ odon – nem tranzit´ıv rel´aci´o. Miut´an a p´arhuzamoss´ag k´erd´es´eben a k´et sz´ oban forg´ o egyenesnek csak egy-egy v´egtelen t´avoli pontja j´atszik szerepet, k´ezenfekv˝ o m´ odon lehet a p´arhuzamoss´ag fogalm´at ak´ar ir´any´ıtott egyenesek, ak´ ar f´elegyenesek k¨oz¨ott ´ertelmezni, hiszen az egyenes ir´any´ıt´asa, illetve a f´elegyenes kiv´ alaszt´ asa kijel¨oli az egyenes k´et v´egtelen t´avoli pontja k¨ oz¨ ul az egyiket. Nyilv´ anval´o m´odon az ir´any´ıtott egyenesek, illetve a f´elegyenesek k¨ or´eben defini´ alt p´arhuzamoss´ag m´ar ekvivalenciarel´aci´o lesz. Az ekvivalenciaoszt´ alyok bijekt´ıv kapcsolatban ´allnak ∂H2 elemeivel. ´ ıt´ 11.1.2. All´ as. A hiperbolikus s´ıkon k´et k¨ ul¨onb¨oz˝o egyenes akkor ´es csak akkor ultraparallel, ha l´etezik olyan egyenes, amely mindkett˝ore mer˝oleges. Ezt a harmadik egyenest az els˝o kett˝o egy´ertelm˝ uen meghat´arozza. Bizony´ıt´ as: Haszn´ aljuk a projekt´ıv modellt, ´es legyen L ´es M a k´et sz´oban forg´ o egyenes. A mer˝ olegess´eg projekt´ıv modellbeli defin´ıci´oja (10.1.6) alapj´ an ahhoz, hogy egy tov´ abbi N egyenes mer˝oleges legyen L-re is ´es M -re is, az hN i projekt´ıv egyenesnek ´at kell haladnia mind hLi, mind hM i p´olus´an.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

352

Hiperbolikus geometria

Mivel ez a k´et pont k¨ ul¨ onb¨ oz˝o, a keresett projekt´ıv egyenes egy´ertelm˝ uen l´etezik. Csak az k´erd´eses, hogy ez az egyenes hiperbolikus egyenest ´all´ıt-e el˝ o, azaz belemetsz-e a modellbe. Ez akkor ´es csak akkor van ´ıgy, ha a p´olusa a hat´ arol´ o k´ upszelet k¨ uls˝ o pontja. Ez a p´olus a polarit´as illeszked´estart´asa (9.2.4.(2)) miatt hLi ∩ hM i, amely akkor ´es csak akkor k¨ uls˝o pont, ha L ´es M defin´ıci´ o szerint ultraparallel. Megjegyz´es. A 11.1.2-beli unicit´asi tulajdons´ag r¨ogt¨on maga ut´an vonja, hogy a hiperbolikus s´ıkon nem l´etezik t´eglalap, azaz olyan n´egysz¨og, amelynek n´egy der´eksz¨ oge van. K´et egyenes k¨ olcs¨ on¨ os helyzet´et a pontjaik k¨ozti t´avols´agok seg´ıts´eg´evel is jellemezni lehet. Ennek tiszt´az´as´ahoz a hiperboloidmodell appar´atus´at c´elszer˝ u alkalmazni. A modell k´etdimenzi´os v´altozat´at haszn´aljuk, amelynek alaphalmaza a Z f´elhiperboloid a h´aromdimenzi´os W Minkowski-t´erben. Az egyeneseket itt norm´ alvektor seg´ıts´eg´evel is megadhatjuk : ha a V ≤ W id˝oszer˝ u alt´er ´ all´ıtja el˝ o az L = V ∩ Z egyenest, akkor v ∈ W , V = v⊥ eset´en v-t az L egyenes norm´ alvektor´anak is tekinthetj¨ uk. 11.1.3. Lemma. Legyen a v egys´egvektor az L egyenes norm´alvektora a hiperboloidmodellben. Ekkor b´armely x ∈ Z pont t´avols´aga az L egyenest˝ol

ρh x, L = ch−1 1 + hx, vi2 . Bizony´ıt´ as: Tudjuk (l. 10.1.17.(2)), hogy az L egyenes pontjai k¨oz¨ ul az x-b˝ol L-re bocs´ atott mer˝ oleges egyenes d¨of´espontja van x-hez a lehet˝o legk¨ozelebb. A hipers´ıkra vonatkoz´ o t¨ ukr¨oz´es 10.3.11-beli formul´aj´ab´ol k¨ovetkezik, hogy ez a pont x − hx, viv alakban ´all el˝o. A k´et pont t´avols´aga ch−1 − hx, x −

− hx, vivi = ch−1 1 + hx, vi2 . 11.1.4. T´ etel (1) Legyen L ´es M k´et egyenes a hiperbolikus s´ıkon. T´avolodjon egy M en mozg´ o pont minden hat´aron t´ ul az M egyenes egyik, A-val jel¨olt v´egtelen t´ avoli pontja fel´e. Ekkor a mozg´o pontnak az L egyenest˝ol m´ert t´ avols´ aga 0-hoz tart, ha A az L-nek is v´egtelen t´avoli pontja, egy´ebk´ent pedig v´egtelenhez tart. (2) A hiperbolikus s´ıkon k´et p´arhuzamos egyenesnek mint a H2 metrikus t´erben fekv˝ o ponthalmazoknak a t´avols´aga z´erus. K´et k¨ ul¨onb¨oz˝o ultraparallel egyenes t´ avols´ aga pozit´ıv, ´es a k¨oz¨os mer˝olegesnek a k´et egyenes k¨ oz´e es˝ o szakasz´ aval egyenl˝o.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

11. A hiperbolikus s´ık

353

Bizony´ıt´ as: (1) A hiperboloidmodellben legyen az L egyenes a v egys´egvektorral mint norm´ alvektorral adva, az M egyenest pedig ´all´ıtsuk el˝o param´eteresen a 10.3.15 szerinti r(t) = ch t x + sh t u =

1 −t 1 e (x − u) + et (x + u) 2 2

k´eplettel, ahol u az A fel´e mutat´o egys´egnyi ir´anyvektor az L egyenes sz´am´ara egy tetsz˝ olegesen v´ alasztott x ∈ L pontban. Az r(t) ∈ M pont t´avols´aga az L egyenest˝ ol 11.1.3 alapj´ an

ρh r(t), L = ch−1 1 + hr(t), vi2 =  
2 1 −t −1 t . = ch 1 + e hx − u, vi + e hx + u, vi 4 Ez a kifejez´es t → +∞ eset´en vagy 0-hoz, vagy +∞-hez tart, m´egpedig pontosan aszerint, hogy benne et egy¨ utthat´oja z´erus-e vagy sem. A 10.3.18. ´ ıt´ All´ as szerint az A v´egtelen t´avoli pontot az x + u vektor reprezent´alja. Ha ez a pont
az L-nek is v´egtelen t´avoli pontja,
akkor hx + u, vi = 0 ´es ´ıgy ρh r(t), L → 0, m´ as esetben pedig ρh r(t), L → ∞. (2) A p´ arhuzamos egyenesekre vonatkoz´o ´all´ıt´as azonnal k¨ovetkezik (1)-b˝ol. Ha L ´es M ultraparallel egyenesek, akkor az M -en fut´o pont L-t˝ol val´o t´avols´ aga (1) alapj´ an mindk´et ir´anyban v´egtelenhez tart. Ez´ert folytonoss´agi okokb´ ol ez a t´ avols´ ag valahol pozit´ıv minimum´ert´eket vesz fel. A der´eksz¨og˝ u h´ aromsz¨ ogre vonatkoz´ o egyenl˝otlens´eg (l. 10.1.17.(2)) miatt ezt a minim´alis t´ avols´ agot csak a mindk´et egyenesre mer˝oleges szakasz reprezent´alhatja. Megjegyz´es. A hiperbolikus s´ıkon k´et k¨ ul¨onb¨oz˝o egyenes k¨olcs¨on¨os helyzet´et a t´ avols´ agok nyelv´en teh´ at ´ıgy lehet jellemezni: ha a k´et egyenes t´avols´aga pozit´ıv, akkor ultraparallel egyenesekr˝ol van sz´o, ha z´erus, akkor az egyenesek aszerint metsz˝ ok, illetve p´ arhuzamosak, hogy van-e k¨oz¨os pontjuk vagy sem. 11.1.5. Defin´ıci´ o (Sug´ arsor). A hiperbolikus s´ık egyeneseinek egy halmaz´ at sug´ arsornak nevezz¨ uk, ha el˝o´all mint a projekt´ıv s´ık valamely sug´arsor´anak a nyoma a hiperbolikus s´ık projekt´ıv modellj´eben. (A sor nyoma itt ´es a k´es˝ obbiekben azt jelenti, hogy a sor azon tagjainak a metszet´et tekintj¨ uk a modell alaphalmaz´ aval, amelyekre ez a metszet nem u ¨res.)

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

354

Hiperbolikus geometria

A projekt´ıv sug´ arsor tart´ opontj´anak elhelyezked´ese szerint besz´elhet¨ unk metsz˝ o, p´ arhuzamos, illetve ultraparallel sug´arsorokr´ol. Vil´agos, hogy a hiperbolikus s´ık b´ armely k´et k¨ ul¨onb¨oz˝o egyenes´ehez egy´ertelm˝ uen l´etezik olyan sug´ arsor, amelynek a k´et egyenes tagja. Ez a sug´arsor a k´et adott egyenes k¨ olcs¨ on¨ os helyzete szerint lesz metsz˝o, p´arhuzamos, vagy ultraparallel t´ıpus´ u. A metsz˝ o sug´ arsort u ´gy is defini´alhatn´ank, mint a hiperbolikus s´ık valamely pontj´ an ´ athalad´ o ¨ osszes egyenesb˝ol ´all´o rendszert, a p´arhuzamos sug´arsort mint az ¨ osszes olyan egyenest, amelyhez a s´ık valamely r¨ogz´ıtett v´egtelen t´ avoli pontja hozz´ atartozik, ´es v´eg¨ ul az ultraparallel sug´arsort mint valamely r¨ ogz´ıtett egyenesre (a tart´ opont pol´aris´ara) mer˝oleges ¨osszes egyenesb˝ol ´all´o sereget. Nyilv´ anval´ o, hogy b´ armely k´et metsz˝o sug´arsor egybev´ag´o, b´armely k´et p´ arhuzamos sug´ arsor egybev´ag´o, ´es b´armely k´et ultraparallel sug´arsor egybev´ ag´ o. A sug´ arsor defin´ıci´ oj´ aban csak a projekt´ıv modellre t´amaszkodtunk. Most jellemezz¨ uk a sug´ arsorokat a konform modellekben ´es a hiperboloidmodellben is. ´ ıt´ 11.1.6. All´ as. A Poincar´e-f´ele k¨ormodellben a sug´arsorok pontosan azoknak a k¨ orsoroknak (´es sug´ arsornak) a nyomai, amelyek minden tagj´at a modell alapk¨ ore mer˝ olegesen metszi.

R´eszletezve: az euklideszi s´ık egy K k¨orsor´anak (vagy sug´arsor´anak) a nyoma a K alapk¨ orrel adott Poincar´e-modellben – metsz˝ o sug´ arsor, ha K metsz˝o k¨orsor, amelynek a tart´opontjai egym´as inverzei K-ra n´ezve, vagy pedig ha K metsz˝o sug´arsor, amelynek a tart´ opontja K k¨ oz´eppontja, – p´ arhuzamos sug´ arsor, ha K ´erintkez˝o k¨orsor, amelynek a tart´opontja K-ra illeszkedik, ´es hatv´anyvonala K-nak ´atm´er˝oje, valamint – ultraparallel sug´ arsor, ha K Apoll´oniosz-f´ele k¨orsor, amelynek mindk´et alappontja K-ra illeszkedik.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

11. A hiperbolikus s´ık

355

Bizony´ıt´ as: A projekt´ıv modellt a Poincar´e-f´ele k¨ormodellel o¨sszekapcsol´o Φ lek´epez´es (l. 10.2.3) els˝ o l´ep´es´en´el az euklideszi s´ık sug´arsoraib´ol f´elk¨or¨ ok seregei keletkeznek, amelyeket olyan t´erbeli s´ıksorok metszenek ki a fels˝o f´elg¨ ombb˝ ol, amelyek csak a modell s´ıkj´ara mer˝oleges s´ıkokb´ol ´allnak. A m´asodik l´ep´esben v´egrehajtott sztereografikus vet´ıt´esn´el az ilyen s´ıksorok ´altal kimetszett g¨ ombi k¨ orsorok pontosan az ´all´ıt´asban felsorolt s´ıkbeli k¨orsorokba k´epez˝ odnek. Megjegyz´es. K¨ onnyen meghat´arozhatjuk a sug´arsorokat a konform modellek m´ asik k´et v´ altozat´ aban is. A f´elg¨ombmodell eset´eben ezt m´ar tulajdonk´eppen megtett¨ uk 11.1.6 bizony´ıt´ asa sor´an. A f´els´ıkmodellben K k¨or helyett egyenest jelent, ´es ez a sug´ arsorok ´ attekint´es´et csak kis m´ert´ekben m´odos´ıtja : p´eld´aul p´ arhuzamos sug´ arsort kapunk a K-ra mer˝oleges ir´any´ u euklideszi p´arhuzamos sug´ arsor nyomak´ent is, valamint ultraparallel sug´arsort eredm´enyeznek a Kra illeszked˝ o k¨ oz´eppont´ u koncentrikus k¨orsorok is. ´ ıt´ 11.1.7. All´ as. A hiperboloidmodellben a sug´arsorokat pontosan azok a W t´erbeli s´ıksorok metszik ki Z-b˝ol, amelyeknek a tart´oegyenese ´athalad W orig´ oj´ an. A s´ıksor ´ altal kimetszett sug´arsor pontosan aszerint lesz metsz˝o, p´ arhuzamos, vagy ultraparallel, hogy a tart´oegyenes id˝oszer˝ u, f´enyszer˝ u, illetve t´erszer˝ u alt´er. Bizony´ıt´ as: A hiperboloidmodell ´es a projekt´ıv modell k¨oz¨otti izomorfizmust l´etrehoz´ o Ψ projektiviz´ al´ o lek´epez´es nem csak Z-n, hanem az eg´esz W − − {0} halmazon ´ertelmezve van. A P (W )-beli sug´arsorok ˝osk´epei W -beli k´etdimenzi´ os alterek line´ aris rendszerei, azaz az orig´on ´athalad´o s´ıkokbl ´all´o s´ıksorok. A s´ıksor tart´ oegyenese a sug´arsor tart´opontj´at reprezent´alja, ez´ert teh´ at id˝ oszer˝ u, ha a tart´ opont a modellhez tartozik, f´enyszer˝ u, ha v´egtelen t´ avoli, ´es t´erszer˝ u, ha a hat´ ark´ upszelet k¨ uls˝o pontja. 11.1.8. Lemma. Ha a hiperbolikus s´ık h´arom tetsz˝oleges, k¨ ul¨onb¨oz˝o pontj´ ahoz el˝ o´ all´ıtjuk a p´ aronk´enti szakaszfelez˝o mer˝oleges egyeneseket, akkor ez a h´ arom egyenes egy sug´ arsorhoz tartozik. Bizony´ıt´ as: Dolgozzunk a hiperboloidmodellben. Ha a h´arom pont x, y ´es z, akkor a h´ arom felez˝ o mer˝olegest hordoz´o k´etdimenzi´os alterek sz´am´ara 10.3.11 szerint norm´ alvektork´ent szolg´al z − y, x − z ´es y − x. Ezek line´arisan osszef¨ ugg˝ o vektorok, teh´ at a h´arom alt´er egy s´ıksorhoz tartozik W -ben. ¨ 11.1.9. Defin´ıci´ o (Sug´ arsorra vonatkoz´ o korrespondencia). R¨ogz´ıts¨ unk egy S sug´ arsort H2 -ben. Azt mondjuk, hogy az A, B ∈ H2 pontok korresponde´ al´ o pontok S-re n´ezve (jelben A lS B), ha alkalmas L ∈ S egyenessel B = σL (A). Egyen´ert´ek˝ u m´odon u ´gy is fogalmazhatunk, hogy A lS B akkor ´ all fenn, ha vagy A ´es B egybeesnek, vagy k¨ ul¨onb¨oz˝ok ´es a felez˝o mer˝ oleges¨ uk S-hez tartozik.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

356

Hiperbolikus geometria

A lS rel´ aci´ o nyilv´ anval´ o m´ odon reflex´ıv ´es szimmetrikus, tov´abb´a a 11.1.8. Lemma k¨ ovetkezt´eben tranzit´ıv is, teh´at ekvivalenciarel´aci´o. Ha az S sug´arsor metsz˝ o, akkor a tart´ opont egyelem˝ u ekvivalenciaoszt´alyt alkot, de minden m´ as esetben az ekvivalenciaoszt´alyok v´egtelenek, hiszen tart´opontt´ol k¨ ul¨onb¨ oz˝ o pontot S m´ as ´es m´ as tagjaira t¨ ukr¨ozve csupa k¨ ul¨onb¨oz˝o pontot kapunk. 11.1.10. Defin´ıci´ o (Ciklus, tengely, paraciklus, hiperciklus). A hiperbolikus s´ıkon ciklusoknak nevezz¨ uk a lS szerinti ekvivalenciaoszt´alyk´ent el˝ o´ all´ o ponthalmazokat, ahol S valamilyen sug´arsor H2 -ben. Az egyelem˝ u ponthalmazok is ciklusok, ezeket elfajul´o ciklusoknak nevezz¨ uk. Elfajul´ o ciklus nyilv´ an csak a r´a mint tart´opontra illesztett metsz˝o sug´arsorb´ ol sz´ armazhat, de b´ armely nemelfajul´o C ciklus is az ˝ot sz´armaztat´o S sug´ arsort egy´ertelm˝ uen meghat´arozza, hiszen az a C-b˝ol v´alaszthat´o pontp´arok felez˝ o mer˝ olegeseib˝ ol ´ all. Az S-hez tartoz´o egyeneseket a C ciklus tengelyeinek nevezz¨ uk. Ezek nyilv´ anval´ oan mind szimmetriatengelyei C-nek.

Ha S metsz˝ o sug´ arsor, akkor az ´altala l´etes´ıtett ciklusok k¨or¨ok (k¨ozt¨ uk egy pontk¨ orrel), m´egpedig pontosan azok, amelyeknek S tart´opontja a k¨oz´eppontja. Ha a C ciklust p´ arhuzamos sug´arsor sz´armaztatja, akkor C-t paraciklusnak nevezz¨ uk. Az ugyanazon S p´arhuzamos sug´arsorhoz tartoz´o paraciklusokat koncentrikusnak mondjuk, ´es S v´egtelen t´avoli tart´opontj´at tekintj¨ uk k¨oz¨os k¨ oz´eppontjuknak. Az ultraparallel sug´ arsorok a´ltal sz´armaztatott ciklusokat hiperciklusoknak nevezz¨ uk. Legyen S ultraparallel sug´arsor, ´es L az az egyenes, amely S minden tagj´ ara mer˝ oleges. Ekkor az S tagjaira vonatkoz´o t¨ ukr¨oz´esek L-et ¨onmag´aban mozgatj´ ak. Ha C egy S ´ altal sz´armaztatott hiperciklus, akkor C pontjainak az L-t˝ ol m´ert t´ avols´ ag´ at az S-hez tartoz´o egyenesek ment´en m´erj¨ uk. Emiatt C vagy mag´ aval az L egyenessel azonos, vagy pedig L egyik f´els´ıkj´aban az L-t˝ol valamilyen r¨ ogz´ıtett pozit´ıv t´avols´agra lev˝o pontokb´ol ´all. Ez´ert a hiperciklusokat gyakran t´ avols´ agvonalaknak is nevezik. Az L egyenest a hiperciklus alapegyenes´enek, pontjainak L-t˝ol val´o t´avols´ag´at a hiperciklus sugar´anak h´ıvjuk.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

11. A hiperbolikus s´ık

357

´ ıt´ 11.1.11. All´ as. B´ armely k´et paraciklus egybev´ag´o. K´et k¨or, illetve k´et hiperciklus akkor ´es csak akkor egybev´ag´o, ha sugaruk egyenl˝o. Bizony´ıt´ as: A k¨ or¨ okre ´es a hiperciklusokra vonatkoz´o ´all´ıt´as nyilv´anval´oan k¨ ovetkezik abb´ ol, hogy a ciklus a tengelyei alkotta sug´arsort egy´ertelm˝ uen meghat´ arozza, ´es azonos t´ıpus´ u sug´arsorok egybev´ag´ok. A paraciklusokra vonatkoz´ o´ all´ıt´ as indokl´ as´ aul hasonl´o okb´ol el´eg azt meggondolni, hogy ugyanazon p´ arhuzamos sug´ arsorhoz tartoz´o (azaz koncentrikus) paraciklusok egybev´ ag´ ok. Ha kiszemelj¨ uk ennek a sug´arsornak egy tetsz˝oleges L egyenes´et, akkor az L ment´en t¨ ort´en˝ o eltol´asok (l. 10.1.11) a sug´arsor v´egtelen t´avoli tart´ opontj´ at fixen tartj´ ak. Ez´ert a sug´arsort ezek az egybev´ag´os´agok ¨onmag´aba k´epezik, mik¨ ozben a hozz´a tartoz´o paraciklusokat egym´asba viszik. Az L ment´en t¨ ort´en˝ o eltol´ asok tranzit´ıvan hatnak L-en, ez´ert a sz´oban forg´o paraciklusok k¨ oz¨ ul b´ armelyik ´ atvihet˝o b´armelyik m´asikba alkalmas eltol´assal. Az euklideszi s´ıkgeometri´ aban megszoktuk, hogy h´arom nem kolline´aris pont mindig egy k¨ or¨ on van. A hiperbolikus s´ıkon ennek az al´abbi m´odos´ıtott v´altozata ´erv´enyes. ´ ıt´ 11.1.12. All´ as. A hiperbolikus s´ık b´armely h´arom k¨ ul¨onb¨oz˝o pontj´ahoz egy ´es csak egy olyan ciklus tal´alhat´o, amelyre mindh´arom pont illeszkedik. Bizony´ıt´ as: A 11.1.8. Lemm´ ab´ol r¨ogt¨on k¨ovetkezik a ciklus l´etez´ese. Az egy´ertelm˝ us´eg is nyilv´ anval´ o, hiszen a p´aronk´enti felez˝o mer˝olegeseknek hozz´a kell tartozniuk a ciklust sz´ armaztat´o sug´arsorhoz. ´ Erdekes k´erd´es, hogy a k¨ ul¨ onf´ele modellekben a ciklusokat mif´ele g¨orb´ek reprezent´ alj´ ak. Sz´ep v´ alaszt a hiperboloidmodell ´es a konform modellek eset´eben tudunk adni. ´ ıt´ 11.1.13. All´ as (1) A hiperbolikus s´ık hiperboloidmodellj´eben a ciklusok pontosan a modell alaphalmaz´ aul szolg´ al´ o Z f´elhiperboloid nem¨ ures s´ıkmetszetei a befoglal´ o W Minkowski-t´er affin s´ıkjaival. (2) K´et ciklus tengelyei akkor ´es csak akkor alkotj´ak ugyanazt a sug´arsort, ha az ˝ oket kimetsz˝ o affin s´ıkok p´arhuzamosak. (3) Legyen valamely S ⊂ W affin s´ıkra S ∩ Z 6= ∅. Ha S ´all´asa t´erszer˝ u, akkor az S ∩ Z ciklus k¨or (amely esetleg egyetlen pont is lehet), ha f´enyszer˝ u, akkor paraciklus, ha id˝oszer˝ u, akkor hiperciklus. Bizony´ıt´ as: Tekints¨ unk a hiperbolikus s´ıkon egy S sug´arsort, ezt a hiperboloidmodellben 11.1.7 alapj´ an egy W -beli line´aris alterekb˝ol ´all´o s´ıksor ´all´ıtja

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

358

Hiperbolikus geometria

el˝ o, legyen V a s´ıksor tart´ oegyenese. Nyilv´an V ´es S k¨olcs¨on¨osen meghat´ arozz´ ak egym´ ast. Az S-hez tartoz´o egyenesekre vonatkoz´o t¨ ukr¨oz´eseket a s´ıksor tagjaira vett W -beli q-ortogon´alis line´aris t¨ ukr¨oz´esek ´all´ıtj´ak el˝o (l. 10.3.11), amelyek ´ıgy V -t pontonk´ent fixen hagyj´ak. Ha x, y ∈ Z tetsz˝oleges k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o pontok, akkor x lS y azzal egyen´ert´ek˝ u, hogy az ˝oket felcser´el˝o q-ortogon´ alis t¨ ukr¨ oz´es s´ıkja V -t tartalmazza. Ennek a s´ıknak 10.3.11 alapj´an y − x norm´ alvektora, ez´ert x lS y pontosan akkor ´all, ha y − x ⊥ V . A Z-beli lS -oszt´ alyokat teh´ at a V ⊥ k´etdimenzi´os alt´errel p´arhuzamos W -beli affin s´ıkok metszik ki Z-b˝ ol. Ezzel bebizony´ıtottuk az (1) ´es (2) ´all´ıt´asokat. Ezeknek az affin s´ıkoknak az ´all´asa aszerint t´erszer˝ u, f´enyszer˝ u, illetve id˝oszer˝ u, hogy V id˝ oszer˝ u, f´enyszer˝ u, illetve t´erszer˝ u. Ez 11.1.7-re hivatkozva azzal egyen´ert´ek˝ u, hogy a V -re illesztett s´ıksor metsz˝o, p´arhuzamos, illetve ultraparallel sug´ arsort defini´ al, azaz a s´ıkmetszetek k¨or¨ok, paraciklusok, illetve hiperciklusok. Ez a (3) ´ all´ıt´ ast igazolja. Megjegyz´es. A hiperboloidmodellben a ciklusokat teh´at affin m´asodrend˝ u g¨orb´ek (illetve azok r´eszei) reprezent´alj´ak: a k¨or¨oket ellipszisek, a paraciklusokat parabol´ ak, a hiperciklusokat f´elhiperbol´ak. ´ ıt´ 11.1.14. All´ as. A Poincar´e-f´ele k¨ormodellben a ciklusok pontosan a befoglal´ o euklideszi s´ık k¨ oreinek ´es egyeneseinek a modellbe es˝o r´eszei. R´eszletezve : – a modell geometri´ aja ´ertelm´eben vett k¨or¨ok pontosan az alapk¨or belsej´eben fekv˝ o euklideszi k¨or¨ok, – a paraciklusok pontosan az alapk¨ort bel¨ ulr˝ol ´erint˝o euklideszi k¨or¨ok az ´erintkez´esi pontt´ ol megfosztva, valamint – a hiperciklusok pontosan az alapk¨ort metsz˝o euklideszi k¨or¨oknek a modellbe es˝ o ´ıvei ´es az alapk¨or ny´ılt h´ urjai. Bizony´ıt´ as: A modellbeli t¨ ukr¨oz´eseket 10.2.6 alapj´an a befoglal´o euklideszi s´ık inverzi´ oi sz´ armaztatj´ ak. Tekints¨ uk azt a C ciklust, amelyet valamely adott S sug´ arsor sz´ armaztat, ´es amely a modell valamely adott A pontj´an halad ´at. A C ciklust u ´gy ´ all´ıthatjuk el˝ o, hogy A inverz´et tekintj¨ uk az S-et reprezent´al´o K k¨ orsor tagjaira vonatkoz´ oan. Ezzel pontosan a K-ra mer˝oleges k¨orsor A-n athalad´ ´ o tagj´ anak a pontjaihoz jutunk, hiszen mer˝olegesen metsz˝o k¨or inverze saj´ at maga. A C ciklus teh´ at mindig k¨ornek vagy egyenesnek a modellbe es˝o r´esze. A 11.1.6-beli esetek sz´amba v´etel´evel pontosan az ´all´ıt´asban f¨olsorolt lehet˝ os´egek ad´ odnak. Megjegyz´esek. (1) 11.1.14 bizony´ıt´as´ab´ol az is kiolvashat´o, hogy a Poincar´ef´ele k¨ ormodellben valamely r¨ogz´ıtett sug´arsorhoz tartoz´o ciklusok rendszere szint´en egy euklideszi k¨ orsornak, m´egpedig a sug´arsort reprezent´al´o euklideszi

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

11. A hiperbolikus s´ık

359

k¨ orsorra vagy sug´ arsorra mer˝oleges k¨orsornak a nyoma. P´eld´aul a hiperbolikus s´ık valamely pontja k¨ or¨ uli koncentrikus k¨or¨ok rendszer´et a k¨ormodellben annak az elliptikus k¨ orsornak a modellbe es˝o tagjai reprezent´alj´ak, amelyet a k¨ oz´eppont mint pontk¨ or ´es az alapk¨or gener´al. (2) Az (1) megjegyz´es alapj´ an a ciklusok sz´am´ara azt az analitikus jelleg˝ u defin´ıci´ ot is haszn´ alhatn´ ank, hogy a ciklusok a sug´arsorok ortogon´alis trajekt´ ori´ ai (azaz valamely sug´ arsor minden tagj´at mer˝olegesen metsz˝o g¨orb´ek). (3) Hasonl´ o jelleg˝ u´ attekint´est kaphatunk a ciklusokr´ol a f´elg¨ombmodell ´es a f´els´ıkmodell eset´eben is, ennek r´eszletez´es´et˝ol eltekint¨ unk. A f´els´ıkmodellben a hat´ aregyenessel p´ arhuzamos egyenesek is megjelennek mint paraciklusok, ´es ez a t´eny l´enyeges szerepet j´atszik majd a ter¨ uletsz´am´ıt´as k´epleteiben (l. 11.5.6). (4) A projekt´ıv modellben a ciklusokat m´asodrend˝ u g¨orb´ek vagy azok ´ıvei reprezent´ alj´ ak, speci´ alisan a Cayley–Klein-modellben az egyenest˝ol k¨ ul¨onb¨oz˝ o ciklusokat mindig ellipszisek vagy ellipszis´ıvek. Pontos meghat´aroz´asuk legegyszer˝ ubben a Poincar´e-f´ele f´elg¨ombmodell mer˝oleges vet´ıt´es´evel t¨ort´enhet.

11.2. A hiperbolikus s´ık egybev´ ag´ os´ agai A hiperbolikus t´er izometri´ air´ol b˝os´eges inform´aci´ot nyert¨ unk tetsz˝oleges dimenzi´ oban a modellek bevezet´ese sor´an. C´elunk most az, hogy a k´etdimenzi´os esetben geometriai term´eszet˝ u ´attekint´est nyerj¨ unk az egybev´ag´os´agokr´ol, ´es oszt´ alyozzuk azokat ahhoz hasonl´o m´odon, ahogyan az euklideszi s´ık eset´eben 4.4.9-ben tett¨ uk. Ehhez m´ar minden sz¨ uks´eges el˝oismeret a birtokunkban van (r´eszben inverz´ıv geometriai, r´eszben projekt´ıv geometriai tanulm´anyainkb´ ol), most csup´ an felid´ezni ´es alkalmazni kell ezeket. A hiperbolikus s´ık izometri´ ainak analitikus t´argyal´as´ahoz 2 × 2-es m´atrixokat lehet haszn´ alni. Tudjuk, hogy a ∂H2 ide´alis hat´art a val´os projekt´ıv egyenessel, az I(H2 ) izometriacsoportot a P GL(2, R) projekt´ıv csoporttal tekinthet´ j¨ uk azonosnak. Erdemes az U komplex fels˝o f´els´ıkkal koordin´at´azott Poincar´ef´ele f´els´ıkmodellt haszn´ alnunk, amelyen 10.2.16 szerint a P GL(2, R) csoport a m´ atrixok ´ altal induk´ alt t¨ortline´aris, illetve t¨ort-szemiline´aris f¨ uggv´enyek u ´tj´ an hat. Az izometri´ ak ir´ any´ıt´astart´o, illetve -v´alt´o volt´at 8.7.3.(4) alapj´an a transzform´ aci´ ot reprezent´ al´o 2 × 2-es m´atrix determin´ans´anak el˝ojele d¨onti el. 11.2.1. Eml´ ekeztet˝ o. K´et konkr´et izometriat´ıpust m´ar bevezett¨ unk 10.1.5ben, 10.2.6-ban ´es 10.3.11-ban, illetve 10.1.11-ben:

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

360

Hiperbolikus geometria

• Tengelyes t¨ ukr¨ oz´esek: a projekt´ıv modellben harmonikus invol´ uci´ok, a konform modellekben inverzi´ok, a hiperboloidmodellben q-ortogon´alis szimmetri´ ak seg´ıts´eg´evel defini´altuk ˝oket. Ha L ⊂ H2 egyenes, akkor σL jel¨ oli az L-re vonatkoz´o tengelyes t¨ ukr¨oz´est. • Eltol´ asok: a s´ıkban olyan izometri´ak, amelyek egy egyenesre mer˝oleges k´et m´ asik egyenesre vonatkoz´o egy-egy tengelyes t¨ ukr¨oz´es szorzatak´ent allnak el˝ ´ o. Vegy¨ uk ´eszre, hogy a k´et t¨ uk¨ortengely ilyenkor ultraparallel, ´es az ´ altaluk meghat´arozott ultraparallel sug´arsort a sz´oban forg´o eltol´ as ¨ onmag´ ara k´epezi. Ez´ert ezt a sug´arsort az eltol´as invari´ans sug´arsor´ anak nevezz¨ uk. Az eltol´as ¨onmag´aban tolja el az invari´ans sug´arsor tagjaira mer˝ oleges egyenest, amelyet az eltol´as tengely´enek nevez¨ unk. A tengellyel egy¨ utt az eltol´as az invari´ans sug´arsor ´altal el˝o´all´ıtott hiperciklusokat is ¨ onmagukban mozgatja. A s´ık mozg´ asainak k´et tov´ abbi t´ıpus´at is kaphatjuk k´et t¨ ukr¨oz´es szorzatak´ent. 11.2.2. Defin´ıci´ o (Forgat´ as). A hiperbolikus s´ıkon forgat´asnak nevezz¨ uk azokat az izometri´ akat, amelyek k´et metsz˝o egyenesre vonatkoz´o egy-egy t¨ ukr¨ oz´es szorzatak´ent ´ allnak el˝ o. Ha a k´et tengely k¨ ul¨onb¨oz˝o (azaz a forgat´as nem identikus), akkor a forgat´ as k¨oz´eppontj´anak nevezz¨ uk a tengelyek metsz´espontj´ at; ilyenkor a forgat´ asnak ez az egyetlen fixpontja. B´ armely forgat´ as a k¨ oz´eppontja mint tart´opont ´altal meghat´arozott metsz˝o sug´ arsort ¨ onmag´ aba k´epezi. Szint´en ¨onmagukban mozgatja a forgat´asi k¨oz´eppont k¨ or¨ uli k¨ or¨ oket (¨ osszhangban azzal, hogy ezek a k¨or¨ok az invari´ans sug´ arsorhoz tartoz´ o ciklusok). A hiperbolikus s´ık izometriacsoportj´aban a pontok stabiliz´atorai 10.1.9 szerint az O(2) ortogon´ alis csoporttal izomorfak. A forgat´asok pontosan az SO(2) r´eszcsoportokhoz tartoz´o transzform´aci´ok. 11.2.3. Defin´ıci´ o (Paraciklikus eltol´ as). Paraciklikus eltol´asnak nevezz¨ uk a hiperbolikus s´ıknak azokat az izometri´ait, amelyek p´arhuzamos egyenesekre vonatkoz´ o k´et t¨ ukr¨ oz´es szorzatak´ent ´allnak el˝o. Ha a k´et egyenes k¨ ul¨onb¨oz˝o, teh´ at a transzform´ aci´ o nem identikus, akkor nincs fixpontja, hiszen egy A pont csak u ´gy lehetne fix, ha mindk´et t¨ ukr¨oz´es ugyanabba a B k´eppontba vinn´e, a k´et egyenes diszjunkt volta miatt A 6= B, viszont ekkor mindk´et egyenesnek az A ´es B szakaszfelez˝o mer˝oleges´evel kellene megegyeznie. Ha a paraciklikus eltol´ as nem identikus, akkor a k´et egyenes ´altal meghat´arozott p´ arhuzamos sug´ arsor invari´ans. Emiatt a transzform´aci´o ¨onmagukban mozgatja azokat a paraciklusokat, amelyeket ez a sug´arsor ´all´ıt el˝o. Ebb˝ol a tulajdons´ ag´ ab´ ol ered a transzform´aci´ot´ıpus elnevez´ese. Id´ezz¨ uk f¨ ol, hogy az egyenes valamely nem-identikus projekt´ıv transzform´acioj´ ´ at aszerint nevezz¨ uk elliptikusnak, parabolikusnak, illetve hiperbolikusnak,

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

11. A hiperbolikus s´ık

361

hogy 0, 1, vagy 2 fixpontja van (l. 8.7.6–8.7.9). Ez a kategoriz´al´as alkalmas a hiperbolikus s´ık mozg´ asainak az oszt´alyoz´as´ara is. 11.2.4. T´ etel. A hiperbolikus s´ık b´armely nem-identikus mozg´asa vagy forgat´ as, vagy eltol´ as, vagy paraciklikus eltol´as, m´egpedig aszerint, hogy a s´ık ide´ alis hat´ ar´ an ´ altala induk´ alt projekt´ıv transzform´aci´o elliptikus, hiperbolikus, illetve parabolikus. Bizony´ıt´ as: A hiperbolikus s´ık b´armely izometri´aja 10.1.10.(1) szerint el˝o´all legfeljebb h´ arom tengelyes t¨ ukr¨oz´es szorzatak´ent. Ha mozg´asr´ol van sz´o, ebben a szorzatban csak p´ aros sz´am´ u t´enyez˝o szerepelhet. Ez´ert b´armely mozg´as legfeljebb k´et (´es ´ıgy pontosan k´et) t¨ ukr¨oz´es szorzata, teh´at a 11.2.1–3-beli p´eld´ ak valamelyike: eltol´ as, forgat´as, vagy paraciklikus eltol´as. Az ide´alis hat´ aron a fixpontok sz´ am´ at az adja meg, hogy az invari´ans sug´arsor tart´opontja a modellhez, az ide´ alis hat´ arhoz, vagy a k¨ ulsej´ehez tartozik: forgat´as eset´eben 0, paraciklikus eltol´ as eset´eben 1, eltol´as eset´eben 2. 11.2.5. P´ eld´ ak. Id´ezz¨ uk fel u ´jra a m´ar 8.7.9-ben ´es 10.2.16-ban t´argyalt       cos t − sin t 1 0 ch t sh t A(t) = , B(t) = , ´es C(t) = sin t cos t t 1 sh t ch t m´ atrixokat, illetve az ´ altaluk l´etes´ıtett izometri´akat. A t val´os param´etert˝ ol val´ o f¨ ugg´est tekintetbe v´eve ezek egyparam´eteres mozg´ascsoportok (azaz folytonos R → I + (H2 ) homomorfizmusok) a hiperbolikus s´ıkon: A(t) az i ∈ ∈ U pont k¨ or¨ uli forgat´ asokb´ol, B(t) a 0 ∈ ∂U v´egtelen t´avoli pontot fixen hagy´ o paraciklikus eltol´ asokb´ol, C(t) pedig a −1 ´es 1 ∈ ∂U v´egtelen t´avoli pontokat ¨ osszek¨ ot˝ o egyenes ment´en t¨ort´en˝o eltol´asokb´ol ´all. Miut´ an a koordin´ at´ az´ as alkalmas elmozgat´as´aval b´armely pont ´atvihet˝o az i pontba, b´ armely v´egtelen t´ avoli pont ´atvihet˝o 0-ba, illetve b´armely v´egtelen t´ avoli pontp´ ar ´ atvihet˝ o a {−1,1} p´arba, a hiperbolikus s´ık b´armely mozg´asa az A(t), B(t), C(t) transzform´aci´ok valamelyik´evel konjug´alt. Ebb˝ol k¨ovetkez˝ oen b´ armely mozg´ as belefoglalhat´o egy alkalmas egyparam´eteres mozg´ascsoportba. Al´ abb (l. 11.2.7) bel´atjuk, hogy a hiperbolikus s´ıkon l´enyeg´eben csak ez a h´ arom fajta egyparam´eteres mozg´ascsoport l´etezik. 11.2.6. Lemma. Tekints¨ uk az I + (H2 ) mozg´ascsoport hat´as´at a hiperbolikus 2 s´ık H lez´ ar´ as´ an. (1) Enn´el a csoporthat´ asn´ al b´armely H2 -beli pont stabiliz´atora az R/(2πZ) k¨ orvonalcsoporttal topologikusan izomorf. (2) Ha L ⊂ H2 egyenes, akkor az L-et ¨onmag´ara k´epez˝o eltol´asok alkotta r´eszcsoport az R csoporttal topologikusan izomorf.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

362

Hiperbolikus geometria

(3) Ha P ∈ ∂H2 tetsz˝ oleges v´egtelen t´avoli pont, akkor a kiz´ar´olag P -t fixen tart´ o mozg´ asok az identit´assal egy¨ utt r´eszcsoportot alkotnak I + 2 +(H )-ben, amely szint´en R-rel topologikusan izomorf. Bizony´ıt´ as: (1): A H2 -beli pontok stabiliz´atora az SO(2) ∼ = R/(2πZ) forgat´ ascsoport, ahol a val´ os param´eter a forg´assz¨og. (2): A s´ık nemtrivi´ alis eltol´ asai k¨oz¨ott csak az L tengely˝ u eltol´asok k´epezik L-et o nmag´ a ra, hiszen a k´ e t v´ e gtelen t´ a voli fixpont ´ e s az invari´ans egyenes ¨ k¨ olcs¨ on¨ osen meghat´ arozz´ ak egym´ast. Az L ment´en t¨ort´en˝o eltol´asok csoportja ´es R k¨ oz¨ ott a folytonos izomorfizmust az egyenes ment´en m´ert el˝ojeles eltol´ asi t´ avols´ ag adja. ´ ıt´as szerint P stabiliz´atora az I(H2 ) ∼ (3): Ha P ∈ ∂H2 , akkor az 5.3.6. All´ = 1 2 M M¨ obius-csoportban a ∂H − {P } egyenes hasonl´os´agi csoportja. Az egyenes hasonl´ os´ agai k¨ oz¨ ul kiz´ ar´ olag az eltol´asoknak nincs fixpontja, teh´at a sz´oban forg´ o mozg´ asok halmaza ennek az egyenesnek az eltol´asaib´ol ´all, ´es ´ıgy val´ oban R-rel izomorf r´eszcsoport. 11.2.7. T´ etel. A hiperbolikus s´ıkon b´armely nemtrivi´alis egyparam´eteres mozg´ ascsoport konjug´ alts´ ag ´es ´atparam´eterez´es erej´eig a 11.2.5-beli h´arom p´elda valamelyike. Bizony´ıt´ as: A f˝ o tiszt´ azand´ o k´erd´es az, hogy egy egyparam´eteres r´eszcsoportban mi´ert nem keveredhetnek a k¨ ul¨onb¨oz˝o t´ıpus´ u egybev´ag´os´agok. Ehhez a fixpontok vizsg´ alata ad t´ ampontot az al´abbi, ´altal´anos csoporthat´asok k¨or´eben ´erv´enyes egyszer˝ u, de m´egis hat´ekony lemma seg´ıts´eg´evel : Ha az f, g : X → X bijekci´ ok felcser´elhet˝ok, akkor f fixpontjainak a halmaza g-invari´ ans.

Val´ oban, ha x ∈ X az f fixpontja, akkor g(x) = g f (x) = f g(x) miatt g(x) is fixpontja f -nek. Egy egyparam´eteres mozg´ ascsoport csupa felcser´elhet˝o transzform´aci´ob´ol ´all. Ez´ert a lemm´ at alkalmazhatjuk a H2 lez´ar´ason keletkez˝o fixpontokra. Ha egy adott egyparam´eteres mozg´ascsoport G ≤ I + (H2 ) k´ep´ehez legal´abb egy nemtrivi´ alis forgat´ as hozz´ atartozik, akkor G csupa forgat´asb´ol ´all ugyanezen k¨ oz´eppont k¨ or¨ ul. Hasonl´ ok´eppen, ha egy nemtrivi´alis paraciklikus eltol´as hozz´ atartozik G-hez, akkor az ¨ osszes G-beli transzform´aci´o paraciklikus eltol´as, amelynek ugyanaz a v´egtelen t´avoli pont a fixpontja. V´eg¨ ul ha G valamely f 6= idH2 elem´enek k´et v´egtelen t´avoli fixpontja van, P ´es Q, azaz f nemtrivialis eltol´ ´ as a P -t ´es Q-t ¨ osszek¨ot˝o L ⊂ H2 egyenes ment´en, akkor G b´armely g 6= idH2 elem´enek ugyancsak P ´es Q a fixpontjai, teh´at g is ¨onmag´aban mozgatja az L egyenest. Miut´an g-nek H2 -ben nem lehet fixpontja, g csak eltol´ as lehet L ment´en. A G r´eszcsoport teh´ at hozz´ atartozik a 11.2.6 Lemm´aban t´argyalt h´aromf´ele r´eszcsoport valamelyik´ehez. Miut´an az R csoportnak ak´ar a k¨orvonalcso-

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

11. A hiperbolikus s´ık

363

portba, ak´ ar saj´ at mag´ aba k´epez˝o folytonos homomorfizmusai csak line´arisak lehetnek, a t´etel ´ all´ıt´ asa ebb˝ ol m´ar k¨ovetkezik. 11.2.8. K¨ ovetkezm´ enyek (1) A hiperbolikus s´ık b´ armely egyparam´eteres mozg´ascsoportj´ahoz egy´ertelm˝ uen tal´ alhat´ o invari´ans sug´arsor. (2) A ciklusok pontosan az egyparam´eteres mozg´ascsoportok orbitjai a hiperbolikus s´ıkon. R´ at´er¨ unk a hiperbolikus s´ık ir´any´ıt´asv´alt´o egybev´ag´os´agaira. A m´ar kor´abban defini´ alt tengelyes t¨ ukr¨oz´eseken k´ıv¨ ul az euklideszi s´ıkgeometria mint´aj´ ara cs´ usztatva t¨ ukr¨ oz´eseket is ´ertelmezhet¨ unk. 11.2.9. Defin´ıci´ o (Cs´ usztatva tu oz´ es). A hiperbolikus s´ıkon cs´ usztatva ¨ kr¨ t¨ ukr¨ oz´esnek nevezz¨ uk azokat az izometri´akat, amelyek el˝o´allnak egy tengelyes t¨ ukr¨ oz´esnek ´es egy a tengely ment´en t¨ort´en˝o nem-identikus eltol´asnak a kompoz´ıci´ ojak´ent. K¨ onnyen l´ athat´ o, hogy a k´et kompon´aland´o transzform´aci´o felcser´elhet˝o. A tengely v´egtelen t´ avoli pontjait a cs´ usztatva t¨ ukr¨oz´es fixen tartja, ez´ert ez a transzform´ aci´ o a tengelyt, ´es ezen kereszt¨ ul a t¨ ukr¨oz´esre ´es eltol´asra val´o felbont´ as´ at is egy´ertelm˝ uen meghat´arozza. 11.2.10. T´ etel. A hiperbolikus s´ık b´armely izometri´aja forgat´as, eltol´as, paraciklikus eltol´ as, t¨ ukr¨ oz´es, vagy cs´ usztatva t¨ ukr¨oz´es. Bizony´ıt´ as: Az ir´ any´ıt´ astart´ o esetet a 11.2.4. T´etelben t´argyaltuk. Ha f ∈ ∈ I(H2 ) ir´ any´ıt´ asv´ alt´ o, akkor a ∂H2 projekt´ıv egyenesen f ´altal induk´alt transzform´ aci´ o m´ atrix´ anak negat´ıv a determin´ansa, ez´ert 8.7.8 szerint k´et v´egtelen t´ avoli fixpontja van. Legyen L az ezeket ¨osszek¨ot˝o egyenes H2 -ben, ´es kompon´ aljuk f -et a σL t¨ ukr¨oz´essel. Ha σL ◦ f identikus, akkor f = σL t¨ ukr¨ oz´es. Ha nem, akkor a σL ◦ f transzform´aci´o ir´any´ıt´astart´o ´es ugyanaz a k´et v´egtelen t´ avoli fixpontja van, mint f -nek, teh´at csak eltol´as lehet L ment´en. Ez´ert f el˝ o´ all ennek az eltol´asnak ´es σL -nek a kompoz´ıci´ojak´ent, azaz cs´ usztatva t¨ ukr¨ oz´es. A k¨ ovetkez˝ o t´etelt a 4.5.6. T´etel hiperbolikus geometri´ara vonatkoz´o megfe´ lel˝ oj´enek tekinthetj¨ uk. Erdekes m´odon a bizony´ıt´as´ahoz is hasonl´o szerkezet˝ u okoskod´ as vezet. 11.2.11. T´ etel. Az I + (H2 ) csoport egyszer˝ u.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

364

Hiperbolikus geometria

Bizony´ıt´ as: Ak´ arcsak 4.5.6 eset´eben, a bizony´ıt´as´aban kulcsszerepet j´atszanak a sz´ oban forg´ o csoport bizonyos elemei, m´egpedig most a paraciklikus eltol´ asok. El˝ orebocs´ atunk k´et ´eszrev´etelt a paraciklikus eltol´asokkal kapcsolatban. 1. A paraciklikus eltol´ asok gener´atorrendszert alkotnak I + (H2 )-ben. B´armely s´ıkmozg´ as ugyanis 11.2.4 alapj´an fel´ırhat´o σM σL szorzatk´ent, ahol L ´es M egyenesek. V´ alasszunk egy-egy v´egtelen t´avoli pontot L-r˝ol, illetve M -r˝ ol u ´gy, hogy azok egym´ast´ol k¨ ul¨onb¨ozzenek. Jel¨olje N azt az egyenest, amely e k´et v´egtelen t´avoli pontot k¨oti ¨ossze, ekkor N p´arhuzamos L-lel is ´es M -mel is. Ekkor σM σL = (σM σN )(σN σM ) az adott s´ıkmozg´ as fel´ır´ asa k´et paraciklikus eltol´as szorzatak´ent. 2. B´ armely k´et nem-identikus paraciklikus eltol´as konjug´alt az I + (H2 ) csoportban. Ez a 8.7.7-beli m´asodik p´eld´aban tett ´eszrev´etelb˝ol k¨ovetkezik. Ha a P ∈ ∂H2 v´egtelen t´avoli pont egy ilyen transzform´aci´onak a fixpontja, akkor a ∂H2 − {P } affin egyenesen a koordin´at´az´ast lehet u ´gy v´ alasztani, hogy a transzform´aci´ot az x 7→ x + 1 k´eplet adja meg. Ez´ert az U komplex f´els´ıkmodellben b´armely nem-identikus paraciklikus eltol´ as a z 7→ z + 1 k´eplettel adott t¨ortline´aris lek´epez´essel konjug´ alt. R´ at´er¨ unk I + (H2 ) egyszer˝ u volt´anak igazol´as´ara. Legyen adott egy G E I + 2 +(H ) norm´ aloszt´ o. Tegy¨ uk f¨ol, hogy G 6= 1, azt kell bel´atnunk, hogy G = = I + (H2 ). Ehhez el´eg egyetlen nem-identikus paraciklikus eltol´ast tal´alni G-ben, mert akkor a m´ asodik ´eszrev´etel miatt az ¨osszes paraciklikus eltol´as G-ben van, ´es ´ıgy az els˝ o ´eszrev´etel miatt G = I + (H2 ). V´ alasszunk egy f ∈ G nemtrivi´alis elemet. Ha f paraciklikus eltol´as, akkor nincs mit bizony´ıtani. Ha f eltol´ as, akkor legyen az L egyenes az f tengelye. V´alasszunk olyan M ⊂ ⊂ H2 egyenest, amelyre az f (M ) egyenes p´arhuzamos M -mel ´es k¨ ul¨onb¨ozik t˝ ole. (Ilyen M -et kapunk p´eld´aul u ´gy, hogy egy L-hez nem tartoz´o v´egtelen t´ avoli pontot ¨ osszek¨ ot¨ unk az f -n´el sz´armaz´o k´ep´evel.) Legyen g = σM σL , ´es k´epezz¨ uk a h = gf g −1 f −1 szorzatot. Ekkor G norm´aloszt´o volta miatt gf g −1 ∈ G, ez´ert h ∈ G. Tov´abb´a f (L) = L felhaszn´al´as´aval a h = gf g −1 f −1

= = = =

σM σL f σL σM f −1 = σM σL (f σL f −1 )(f σM f −1 ) = σM σL σf (L) σf (M ) = σM σf (M )

sz´ amol´ as mutatja, hogy h az identit´ast´ol k¨ ul¨onb¨oz˝o paraciklikus eltol´as.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

11. A hiperbolikus s´ık

365

Ha v´eg¨ ul f forgat´ as, akkor egy f = σM σL szorzatel˝o´all´ıt´asban L ´es M egym´ ast metsz˝ o egyenesek. Legyen g tetsz˝oleges nemtrivi´alis eltol´as az L egyenes ment´en, ekkor M ´es g(M ) ultraparallel egyenesek, mert g az M egyenes mindk´et v´egtelen t´ avoli pontj´ at elmozd´ıtja az ide´alis hat´arnak ugyanazon ´ıv´ere. A most h = f gf −1 g −1 formul´aval adott transzform´aci´o az el˝obbihez hasonl´o indokok miatt G-hez tartozik. A fenti sz´amol´ast f ´es g szerepcser´ej´evel v´egrehajtva azt kapjuk, hogy h = σM σg(M ) nemtrivi´alis eltol´as. Ezzel a bizony´ıt´ast visszavezett¨ uk az el˝ oz˝ o esetre. Megjegyz´esek. (1) A h´ aromf´ele klasszikus k´etdimenzi´os geometria (euklideszi, g¨ ombi, illetve hiperbolikus s´ık) mozg´ascsoportja teh´at egyszer˝ u csoport a g¨ ombi ´es a hiperbolikus esetben (4.5.6, illetve 11.2.11), nem az viszont az euklideszi esetben, hiszen ott az eltol´asok val´odi norm´aloszt´ot alkotnak (4.2.12). (2) A 11.2.11. T´etel bizony´ıt´as´ahoz hasonl´o m´odszerrel minden d ≥ 2-re bebizony´ıthat´ o, hogy I + (Hd ) egyszer˝ u csoport. (3) Algebrai form´ aban a 11.2.11. T´etel azt ´all´ıtja, hogy P SL(2, R) egyszer˝ u. Ismeretes tetsz˝ oleges F test ´es n ≥ 2 eset´en, hogy a P SL(n, F) csoportok altal´ ´ aban egyszer˝ uek, ez al´ ol kiv´etel csup´an az n = 2 esetben van, amikor F a k´etelem˝ u vagy a h´ aromelem˝ u test. (A csoport ezekben az esetekben S3 , illetve A4 .)

11.3. Trigonometriai t´ etelek A hiperbolikus geometri´ anak az euklideszit˝ol val´o l´enyegi elt´er´es´er´et a trigo´ nometriai k´epletekben mutatkoz´o gy¨okeres k¨ ul¨onbs´egek is ´erz´ekeltetik. Erdekes m´ odon ezek a k´epletek nagyobb hasonl´os´agot mutatnak a g¨ombi geometria formul´ aival, mint az euklideszi s´ıkra vonatkoz´okkal. Ennek a h´atter´eben olyan fajta rokons´ ag h´ uz´ odik meg a g¨ombi ´es a hiperbolikus geometria k¨oz¨ ott, amelyre a hiperboloidmodell haszn´alat´aval tudunk r´avil´ag´ıtani a k´epletek tiszt´ az´ as´ at k¨ ovet˝ o megjegyz´esekben. El˝ osz¨ or a hiperbolikus trigonometria legalapvet˝obb formul´aj´at, a koszinuszt´etelt id´ezz¨ uk fel, amelyet m´ar 10.3.21-ben bebizony´ıtottunk. Helyesebb ezt a t´etelt az oldalakra vonatkoz´o koszinuszt´etelnek nevezni, ugyanis a g¨ombi geometri´ ahoz hasonl´ oan haszn´alatban van a sz¨ogekre vonatkoz´o du´alis v´altozata is, l. 11.3.3. Az al´ abb k¨ovetkez˝o t´etelek a term´eszetes t´avols´agegys´eg haszn´ alata mellett ´ertend˝ ok, ´es benn¨ uk a h´aromsz¨og oldalaira ´es sz¨ogeire a szok´ asos jel¨ ol´eseket alkalmazzuk, teh´at a h´aromsz¨ogben az a, b, c oldallal szemben rendre az α, β, γ sz¨og ´all.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

366

Hiperbolikus geometria

11.3.1. T´ etel (Az oldalakra vonatkoz´ o hiperbolikus koszinuszt´ etel) ch a = ch b ch c − sh b sh c cos α 11.3.2. T´ etel (Hiperbolikus szinuszt´ etel) sin α sin β sin γ = = sh a sh b sh c Bizony´ıt´ as: Az oldalakra vonatkoz´o koszinuszt´etelb˝ol fejezz¨ uk ki cos α-t: cos α =

ch b ch c − ch a sh b sh c

N´egyzetre emel´es ut´ an innen sin2 α-ra kapunk k´epletet. Ebb˝ol sh2 a-val osz2 2 t´ as, majd a ch − sh = 1 azonoss´ag t¨obbsz¨ori alkalmaz´asa ut´an a sin2 α 2 ch a ch b ch c − sh2 a − sh2 b − sh2 c = sh2 a sh2 a sh2 b sh2 c kifejez´es ad´ odik, amelynek jobb oldala invari´ans az a, b, c jelek permut´aci´oira n´ezve. Ez´ert ugyanezzel a kifejez´essel egyenl˝o sin2 β/ sh2 b ´es sin2 γ/ sh2 c is. Innen a szinuszt´etel n´egyzetgy¨okvon´assal k¨ozvetlen¨ ul ad´odik. 11.3.3. T´ etel (A sz¨ ogekre vonatkoz´ o hiperbolikus koszinuszt´ etel) cos α = − cos β cos γ + sin β sin γ ch a Bizony´ıt´ as: Az el˝ oz˝ o bizony´ıt´ashoz hasonl´oan ez a formula is levezethet˝o volna a kor´ abbiakb´ ol puszt´ an a formul´ak algebrai ´atalak´ıt´asai u ´tj´an. Ehelyett ink´ abb k¨ ozvetlen bizony´ıt´ ast v´alasztunk a 10.3.21-beli gondolatmenet dualiz´ al´ as´ aval. A Z ⊂ W hiperboloidmodellt haszn´aljuk, ahol most W h´aromdimenzi´os Minkowski-t´er. Jel¨ olje a, b, c ∈ Z a h´aromsz¨og cs´ ucsaiba mutat´o vektorokat. A h´ aromsz¨ og oldalai (azaz pontosabban az oldalegyeneseket tart´o k´etdimenzi´ os id˝ oszer˝ u alterek) sz´ am´ ara egy´ertelm˝ uen tudunk befel´e mutat´o egys´egnyi norm´ alvektorokat v´ alasztani. Legyenek ezek rendre u, v, w ∈ W . Ezekre a vektorokra teh´ at q(u) = q(v) = q(w) = 1, valamint u ⊥ b, c,

hu, ai > 0,

v ⊥ c, a,

hv, bi > 0,

w ⊥ a, b ´es hw, ci > 0

teljes¨ ul. V´ alasszunk most a h´ aromsz¨ og b-t ´es c-t ¨osszek¨ot˝o oldalszakasz´ahoz a v´egpontokban a m´ asik v´egpont fel´e mutat´o egys´egnyi ir´anyvektorokat, legyenek ezek s ∈ Tb Z ´es t ∈ Tc Z. Ekkor a 10.3.17. K¨ovetkezm´eny miatt ch a = −hs, ti.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

11. A hiperbolikus s´ık

367

A Tb Z ´erint˝ os´ıkban az u ´es s egys´egvektorok ortonorm´alt b´azist alkotnak. Miut´ an a b cs´ ucsn´ al a h´ aromsz¨og sz¨oge β, a w ∈ Tb Z vektort az u vektornak s ir´ any´ aban t¨ ort´en˝ o π−β sz¨ og˝ u forgat´asa ´all´ıtja el˝o : w = cos(π−β)u+sin(π− − β)s. Hasonl´ o m´ odon kapjuk a c cs´ ucsn´al a v ∈ Tc Z vektor v = cos(π − ´ − γ)u + sin(π − γ)t el˝ o´ all´ıt´ as´at. Igy teh´at v = − cos γu + sin γt

´es

w = − cos βu + sin βs .

A v ´es w vektorok egy´ uttal Ta Z-beli ´erint˝ovektorok, ´es sz¨og¨ uk (π − α)-val egyenl˝ o. Ez´ert skal´ aris szorzatukat k´epezve a cos(π − α) = hv, wi = =

cos γ cos βhu, ui + sin γ sin βht, si = cos β cos γ + sin β sin γ(− ch a)

k´epletet nyerj¨ uk, amelyb˝ ol a t´etel (−1)-gyel t¨ort´en˝o szorz´assal k¨ovetkezik. 11.3.4. Ko eny. A hiperbolikus geometri´aban a h´aromsz¨og sz¨ogei ¨vetkezm´ egy´ertelm˝ uen meghat´ arozz´ ak az oldalai hossz´at, ´es ezen kereszt¨ ul egybev´ag´os´ ag erej´eig mag´ at a h´ aromsz¨ oget. Ha a 11.3.1–11.3.3-beli formul´akat der´eksz¨og˝ u h´aromsz¨ogre alkalmazzuk, akkor olyan k´epleteket nyer¨ unk, amelyek seg´ıts´eg´evel a der´eksz¨og˝ u h´aromsz¨og ot adata (a h´ arom oldal ´es a k´et sz¨og) k¨oz¨ ul b´armelyik kett˝o ismeret´eben a ¨ t¨ obbi meghat´ arozhat´ o. Ezek k¨oz¨ ul a k´epletek k¨oz¨ ul n´egyet emel¨ unk ki ´erdekess´eg¨ uk miatt. 11.3.5. T´ etel. Tegy¨ uk fel, hogy a h´aromsz¨og c oldal´aval szemk¨ozti sz¨og der´eksz¨ og. Ekkor: (1) ch c = ch a ch b ; (2) sin α =

sh a ; sh c

(3) cos α = ch a sin β ; (4) tg α tg β ch c = 1 . Bizony´ıt´ as: A γ = π/2 helyettes´ıt´es a c oldalra fel´ırt 11.3.1. koszinuszt´etelb˝ol az (1) formul´ at, a 11.3.2. szinuszt´etelb˝ol a (2) formul´at, v´eg¨ ul az α, illetve γ = π/2 sz¨ ogre fel´ırt 11.3.3. koszinuszt´etelb˝ol a (3), illetve (4) formul´at eredm´enyezi. Megjegyz´esek. (1) A 11.3.5-beli (1) k´epletet a Pitagorasz-t´etel hiperbolikus v´ altozat´ anak tekinthetj¨ uk (ahogyan a g¨ombi trigonometri´aban hasonl´o m´odon kaphat´ o cos c = cos a cos b k´eplet a Pitagorasz-t´etel g¨ombi v´altozata). A

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

368

Hiperbolikus geometria

(2) k´eplet eml´ekeztet a hegyessz¨og szinusz´anak (szemk¨ozti befog´o)/(´atfog´o)” ” defin´ıci´ oj´ ara. A (3) k´eplet a 11.3.7. T´etel, a (4) k´eplet a 11.5.11. T´etel bizony´ıt´ as´ aban j´ atszik majd szerepet. (2) A 10.3. szakasz v´eg´en tett megjegyz´eshez hasonl´o m´odon a hiperbolikus trigonometriai formul´ ak ´erv´eny´et k¨onnyen kiterjeszthetj¨ uk arra az esetre, amikor a t´ avols´ agm´er´es c´elj´ara nem a term´eszetes metrik´at, hanem annak λ-szoros´ at haszn´ aljuk. Az ´ altal´anos szab´aly nyilv´an az, hogy a k´epletekben szerepl˝ o t´ avols´ agadatokat az (1/λ)-szorosukkal kell helyettes´ıteni. Ezzel teh´at a k´et koszinuszt´etel ´es a szinuszt´etel ´altal´anos alakja rendre ch

a λ

=

ch

b c b c ch − sh sh cos α , λ λ λ λ

cos α

= − cos β cos γ + sin β sin γ ch

sin α sh λa

=

a , λ

illetve

sin γ sin β = . b sh λc sh λ

Ugyanez ´erv´enyes term´eszetesen a der´eksz¨og˝ u h´aromsz¨og 11.3.5-beli k´epleteire, tov´ abb´ a az al´ abb, 11.3.7-ben t´argyaland´o formul´ara is. (3) Az el˝ oz˝ o megjegyz´esben szerepl˝o λ konstans ´erdekes geometriai vonatkoz´ as´ ara vil´ ag´ıt r´ a, ha alkalmazzuk a trigonometriai ´es a hiperbolikus f¨ uggv´enyek k¨ oz¨ otti j´ ol ismert cos x = ch(ix), sin x = −i sh(ix), illetve az ezekkel egyen´ert´ek˝ u x x cos = ch x, sin = −i sh x i i ´tt´er´esi formul´ a akat. Tekints¨ uk az r sugar´ u g¨ombre fel´ırt 10.3-beli g¨ombi trigonometriai k´epleteket, ´es (form´alisan) v´egezz¨ uk el az r = λi helyettes´ıt´est. Az ´ att´er´esi formul´ ak haszn´ alat´aval a g¨ombi k´epletek pontosan a fenti hiperbolikus trigonometriai k´epletekk´e alakulnak ´at. Ez azt az intuit´ıv elk´epzel´est t´ amasztja al´ a, amely szerint a hiperbolikus geometria valamif´ele k´epzetes sugar´ u g¨ ombre vonatkoz´ o g¨ombi geometria volna. Erre √ utal az is, hogy −1 sugar´ u g¨omb” a hiperboloidmodell q(x) = −1 egyenlet´et is egyfajta ” egyenletek´ent foghatjuk fel. Tov´ abb er˝ os´ıti ezt az anal´ ogi´ at, ha felid´ezz¨ uk, hogy az r sugar´ u g¨omb Gauss√ f´ele g¨ orb¨ ulete K = 1/r2 , ´es emiatt a g¨ombi formul´akban az 1/r szorz´o Kval egyenl˝ o. Ez azt sugallja, hogy a hiperbolikus formul´ak eset´eben K = = 1/(λi)2 = −1/λ2 , azaz negat´ıv sz´am kell, hogy a g¨orb¨ ulet szerep´et j´atssza. Speci´ alisan, term´eszetes t´ avols´agegys´eg v´alaszt´asa eset´en a hiperbolikus s´ık g¨ orb¨ ulete −1 kell, hogy legyen. L´eteznek olyan fel¨ uletek az R euklideszi t´erben, amelyek lok´ alisan izometrikusak a hiperbolikus s´ıkkal (a legnevezetesebb p´elda ilyen fel¨ uletre az u ´n. Beltrami-f´ele pszeudoszf´era), ´es ezek Gaussg¨ orb¨ ulete val´ oban −1.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

11. A hiperbolikus s´ık

369

A geometriai t´er Riemann-f´ele modern felfog´as´aban a t´er g¨orb¨ ulete pontr´ol pontra v´ altoz´ o (s˝ ot kett˝ on´el magasabb dimenzi´oban az ir´any f¨ uggv´eny´eben is v´ altoz´ o) mennyis´eg lehet. A Riemann-geometri´aban fontos szerepet j´atszanak az ´ alland´ o g¨ orb¨ ulet˝ u terek, amelyekre (tetsz˝oleges dimenzi´oban) a h´ arom klasszikus geometriai rendszer, az euklideszi, a g¨ombi, ´es a hiperbolikus geometria ad p´eld´ at. Ha a dimenzi´o legal´abb 2, akkor tetsz˝oleges K val´os sz´ am fell´ephet a klasszikus geometriai t´er g¨orb¨ uletek´ √ ent: K = 0 ´erv´enyes az K sugar´ u g¨ombi t´ernek, euklideszi geometri´ aban, m´ıg K > 0 eset´ e n az 1/
√ K < 0 eset´en a term´eszetes metrika 1/ −K -szoros´aval (azaz a term´esze√ tes t´ avols´ agegys´eg −K-szoros´aval mint a t´avols´agm´er´es egys´eg´evel) ell´atott hiperbolikus t´ernek a g¨ orb¨ ulete egyenl˝o K-val. 11.3.6. Defin´ıci´ o (P´ arhuzamoss´ agi szo ¨g). Legyen x adott pozit´ıv sz´am. Vegy¨ unk fel egy L egyenest ´es t˝ole x t´avols´agra egy A pontot a hiperbolikus s´ıkon. Bocs´ assunk mer˝ olegest A-b´ol L-re, a talppontja legyen C. Vegy¨ unk f¨ ol egy A kezd˝ opont´ u M f´elegyenest, amely p´arhuzamos L-lel annak valamelyik ir´ any´ aban. Az AC ´es M f´elegyenesek ´altal bez´art sz¨og nagys´aga csak x-t˝ ol f¨ ugg, hiszen egyr´eszt az L-b˝ol ´es A-b´ol ´all´o konfigur´aci´ot az x t´avols´ag egybev´ ag´ os´ ag erej´eig egy´ertelm˝ uen meghat´arozza, m´asr´eszt ez a konfigur´aci´ o tengelyesen szimmetrikus az AC egyenesre, ´es ez´ert mindegy, hogy L-en melyik ir´ anyt v´ alasztjuk. Ezt a sz¨oget Π(x)-szel jel¨olj¨ uk, ´es az x-hez tartoz´o p´ arhuzamoss´ agi sz¨ ognek nevezz¨ uk.

A p´ arhuzamoss´ agi sz¨ og jelent´es´et a k¨ovetkez˝o szeml´eletes elj´ar´as vil´ag´ıtja meg. Egy A kezd˝ opont´ u f´elegyenest forgassunk A k¨or¨ ul u ´gy, hogy az AC-vel bez´ art α sz¨ oge 0 ´es π/2 k¨ oz¨ ott v´altozzon. Am´ıg α < Π(x), a f´elegyenes metszi az L egyenest, majd α ≥ Π(x) eset´en m´ar diszjunkt t˝ole. A Π(x)-hez tartoz´o f´elegyenes teh´ at elv´ alasztja a nem metsz˝oket a metsz˝okt˝ol (mik¨ozben ˝o maga nem metsz˝ o). 11.3.7. T´ etel sin Π(x) =

www.interkonyv.hu

1 ch x

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

370

Hiperbolikus geometria

Bizony´ıt´ as: Haszn´ aljuk a 11.3.6-beli jel¨ol´eseket. Legyen U az L egyenes ´es az M f´elegyenes k¨ oz¨ os v´egtelen t´avoli pontja. Ha B tetsz˝oleges pont az L egyenesen C ´es U k¨ oz¨ ott, akkor az ABC der´eksz¨og˝ u h´aromsz¨ogben (ahol b = x) a β sz¨ ogre vonatkoz´ oan fel´ırhatjuk a 11.3.5.(3)-beli cos β = ch x sin α formul´ at. Ha a B pont C-t˝ ol t´avolodva minden hat´aron t´ ul U -hoz tart, akkor nyilv´ anval´ oan α → Π(x). M´asr´eszt egy konform modellt v´alasztva az L ´es M p´ arhuzamoss´ aga az ˝ oket reprezent´al´o k¨or´ıvek ´erintkez´es´et jelenti az U pontban, ez´ert a modell sz¨ ogtart´o volta miatt β → 0. A formula hat´ar´ert´ek´et k´epezve 1 = ch x sin Π(x) ad´odik. Megjegyz´esek. (1) A trigonometrikus ´es hiperbolikus f¨ uggv´enyek szok´asos azonoss´ agait f¨ olhaszn´ alva a t´etelbeli k´epletet az egyen´ert´ek˝ u ctg Π(x) = sh x alakban is ´ırhatjuk. (2) M´ ar a p´ arhuzamoss´ agi sz¨og defin´ıci´oja alapj´an intuit´ıve vil´agos, hogy nagyobb t´ avols´ aghoz kisebb p´ arhuzamoss´agi sz¨og kell, hogy tartozzon. A t´etel ezt meger˝ os´ıti: r¨ ogt¨ on k¨ ovetkezik bel˝ole, hogy a Π f¨ ugg´eny bijekt´ıven ´es szigor´ uan monoton fogy´ o m´ odon k´epezi a pozit´ıv sz´amok halmaz´at a (0, π/2) intervallumra. (3) A Π : (0, +∞) → (0, π/2) f¨ uggv´eny sz¨ urjekt´ıv volta azt jelenti, hogy a hiperbolikus geometri´ aban egy egyenest˝ol kell˝o m´ert´ekben elt´avolodva el´erhet˝ o, hogy a teljes egyenes tetsz˝olegesen kis l´at´osz¨ogben l´atsszon. Ez a l´at´osz¨og 11.3.7 miatt a t´ avols´ ag f¨ uggv´eny´eben l´enyeg´eben exponenci´alis u ¨temben cs¨okken. P´eld´ aul az egyenest˝ ol (term´eszetes t´avols´agegys´egben m´erve) egys´egnyi t´ avols´ agb´ ol a l´ at´ osz¨ og k¨ or¨ ulbel¨ ul 80 fok, ¨ot egys´egnyi t´avolb´ol m´ar kisebb, mint 1,5 fok, m´ıg ha t´ız egys´egnyire t´avolodunk el, akkor onnan az egyenes csak nagyj´ ab´ ol 0,01 fokos l´ at´osz¨og alatt l´atszik. 11.3.8. Defin´ıci´ o (P´ arhuzamoss´ agi t´ avols´ ag). A Π f¨ uggv´eny inverze hegyessz¨ ogekhez a hozz´ ajuk tartoz´o p´arhuzamoss´agi t´avols´agot rendeli. Ez teh´at az a t´ avols´ ag, amelyet a sz¨ og egyik sz´ar´ara f¨olm´erve az ott ´all´ıtott mer˝oleges egyenes p´ arhuzamos a m´ asik sz¨ogsz´arral. Az α-hoz tartoz´o p´arhuzamoss´agi t´ avols´ agot ∆(α)-val jel¨ olj¨ uk, teh´at ∆(α) = ch−1 (1/ sin α). A k¨ ovetkez˝ o t´etel – b´ ar szigor´ u ´ertelemben v´eve nem tartozik a trigonometria t´ argyk¨ or´ebe – tal´ an a legalapvet˝obb inform´aci´o a hiperbolikus h´aromsz¨ogek sz¨ ogeir˝ ol. 11.3.9. T´ etel. A hiperbolikus s´ıkon b´armely h´aromsz¨og sz¨ogeinek az ¨osszege kisebb π-n´el.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

11. A hiperbolikus s´ık

371

Bizony´ıt´ as: Helyezz¨ uk el az ABC h´aromsz¨oget a Poincar´e-f´ele k¨ormodellben u ´gy, hogy az A cs´ ucs a hat´ ark¨or k¨oz´eppontj´aba ker¨ ulj¨on. Hasonl´ıtsuk o¨ssze a modellbeli ABC h´ aromsz¨og α, β, γ sz¨ogeit a modellt mag´aban foglal´o euklideszi s´ık ABC h´ aromsz¨og´enek α0 , β 0 , γ 0 sz¨ogeivel.

Az AB ´es AC oldalszakaszok a modellben is egyenes szakaszok (melyek a hat´ ark¨ or egy-egy sug´ arszakasz´an fekszenek), ez´ert α0 = α. A BC oldal egy a hat´ ark¨ orre mer˝ oleges k euklideszi k¨or ´ıve. Az euklideszi s´ıkon az A pont hatv´ anya k-ra n´ezve 5.1.17 alapj´an pozit´ıv sz´am, ez´ert A a k k¨or k¨ uls˝o pontja. Emiatt β 0 > β ´es γ 0 > γ. Teh´at α + β + γ < α0 + β 0 + γ 0 = π. Megjegyz´esek. (1) A h´ aromsz¨ogek sz¨og¨osszege a geometria axiomatikus megalapoz´ asa sor´ an is d¨ ont˝ o szerepet j´atszik. A 0.1. szakaszban v´azolt axi´omarendszerben dolgozva a p´ arhuzamoss´agi axi´oma felhaszn´al´asa n´elk¨ ul is (teh´ at m´ ar az u ´gynevezett abszol´ ut geometria keretei k¨oz¨ott) bebizony´ıthat´o egyr´eszt, hogy b´ armely h´ aromsz¨ogben a sz¨ogek ¨osszege legfeljebb π lehet, m´ asr´eszt az is, hogy ha ak´ ar csak egyetlen h´aromsz¨ogben a sz¨og¨osszeg π-vel egyenl˝ o, akkor ugyanez b´ armely h´aromsz¨ogre vonatkoz´oan ´erv´enyes. Ezek Legendre nevezetes sz¨ ogt´etelei. A p´arhuzamoss´agi axi´oma azzal a feltev´essel egyen´ert´ek˝ u, hogy legal´ abb egy h´aromsz¨og sz¨og¨osszege π. (2) A t´etelb˝ ol az is k¨ ovetkezik, hogy b´armely n-oldal´ u egyszer˝ u (azaz egyetlen, ¨ onmag´ at nem metsz˝ o z´ art t¨or¨ottvonallal hat´arolt) soksz¨ogben a sz¨ogek osszege kisebb (n − 2)π-n´el (azaz az euklideszi geometri´aban ´erv´enyes sz¨og¨ osszegn´el). Ehhez csak azt kell meggondolni, hogy b´armely egyszer˝ u soksz¨oget ¨ alkalmasan v´ alasztott ´ atl´ okkal h´aromsz¨ogekre lehet v´agni, ´es a h´aromsz¨ogek sz´ ama ilyen sz´etv´ ag´ asn´ al mindig a soksz¨og oldalsz´am´an´al 2-vel kisebb.

11.4. Ciklusok ´ıvhossza A hiperbolikus s´ıkban fekv˝ o, egyenest˝ol k¨ ul¨onb¨oz˝o g¨orb´ek ´ıvhossz´at a hiperboloidmodell appar´ atus´ aval lehet a leghat´ekonyabban kezelni, ez´ert az ´ıvhossz defin´ıci´ oj´ at is a hiperboloidmodellben adjuk meg. A hiperbolikus s´ık ciklusaival kapcsolatos ´ıvhosszformul´ak a trigonometriai k´epletekhez hasonl´o m´odon rokons´ agot mutatnak a g¨ ombi geometria megfelel˝o k´epleteivel.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

372

Hiperbolikus geometria

11.4.1. Defin´ıci´ o (T´ erszer˝ u go u ¨rbe). Legyen W tetsz˝oleges dimenzi´oj´ Minkowski-t´er. Egy r : I → W differenci´alhat´o param´eteres g¨orb´et (ahol I ⊆ R intervallum) t´erszer˝ u g¨orb´enek nevez¨ unk, ha minden t ∈ I param´eter´ert´ekre az r0 (t) deriv´ altvektor t´erszer˝ u. A Z ⊂ W hiperboloidmodellben fut´o differenci´alhat´o g¨orb´ek p´eld´aul mindig t´erszer˝ uek, hiszen az hr(t), r(t)i = −1 konstans f¨ uggv´eny t szerinti deriv´al´as´ aval azonnal ad´ odik, hogy hr0 (t), r(t)i = 0, azaz r0 (t) ∈ Tr(t) Z. 11.4.2. Defin´ıci´ o (T´ erszer˝ u g¨ orbe ´ıvhossza). Ha r : I → W folytonosan differenci´ alhat´ o t´erszer˝ u g¨ orbe ´es a, b ∈ I, a < b, akkor az r g¨orbe a ´es b param´eter´ert´ekek k¨ ozti ´ıvhossz´an az Z

b

q
q r0 (t) dt

a

sz´ amot ´ertj¨ uk. A helyettes´ıt´eses integr´al´as elv´eb˝ol azonnal k¨ovetkezik, hogy az ´ıvhossz ´ert´eke v´ altozatlan marad a g¨orbe tetsz˝oleges szigor´ uan monoton, folytonosan differenci´ alhat´ o a´tparam´eterez´ese eset´en. Ha p´eld´ aul a hiperbolikus t´er egy egyenes´et 10.3.15 szerint az r(t) = ch t x + + sh t u k´eplet seg´ıts´eg´evel param´eterezz¨ uk, akkor – ahogyan azt term´eszetesen elv´ arjuk – b´ armely k´et pontja k¨oz¨ott az ´ıvhossz a k´et pont t´avols´ag´aval egyenl˝ o, hiszen az ´ıvhosszformul´aban az integrandus a konstans 1 f¨ uggv´eny ´ ıt´ (l. a 10.3.16. All´ ast ´es az azt k¨ovet˝o megjegyz´est). Megjegyz´es. Az euklideszi t´erbeli ´ıvhosszfogalom szok´asos bevezet´es´ehez hasonl´ oan a Minkowski-t´er t´erszer˝ u g¨orb´ei eset´eben is term´eszetes u ´t k´ın´alkozik a rektifik´ alhat´ os´ ag ´es az ´ıvhossz ´ertelmez´ese sz´am´ara a minden hat´aron t´ ul finomod´ o t¨ or¨ ottvonalakkal t¨ ort´en˝o k¨ozel´ıt´es m´odszer´evel. Az elj´ar´as technikai r´eszleteit (amelyek az euklideszi t´erben alkalmazottakt´ol kis m´ert´ekben elt´ernek a h´ aromsz¨ og-egyenl˝ otlens´eg hi´anya miatt) itt nem r´eszletezz¨ uk. Ha a t´erszer˝ u g¨ orb´et folytonosan differenci´alhat´o param´eterez´es adja meg, akkor – az euklideszi esettel megegyez˝o m´odon – a k¨ozel´ıt˝o t¨or¨ottvonalak hossza a 11.4.2-beli integr´ al ´ert´ek´ehez konverg´al. A soron k¨ ovetkez˝ o t´etelek bizony´ıt´as´aban a hiperbolikus s´ık hiperboloidmodellj´et haszn´ aljuk. A sz´ amol´ asokat a W = R2,1 standard Minkowski-t´erben v´egezz¨ uk el, amelyben a modell Z alaphalmaz´at az x21 +x22 −x23 = −1 egyenlet ´es az x3 > 0 egyenl˝ otlens´eg defini´alja. 11.4.3. T´ etel (1) Az r sugar´ u k¨ or ker¨ ulete 2π sh r, valamint az r sugar´ u k¨orben az α k¨ oz´epponti sz¨ ogh¨ oz tartoz´o k¨or´ıv hossza α sh r.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

11. A hiperbolikus s´ık

373

(2) Az r sugar´ u k¨ orben x hossz´ us´ag´ u h´ urhoz 2 sh r sin−1 (r¨ ovidebb) ´ıv tartozik.

sh(x/2) ´ıvhossz´ u sh r

Bizony´ıt´ as: (1): Legyen O = (0,0,1), ekkor az O k¨oz´eppont´ u k¨or¨oket x3 = = konstans egyenlet˝ u s´ıkok metszik ki a modellb˝ol. Miut´an az (sh r,0, ch r) ∈ ∈ Z pont modellbeli t´ avols´ aga az O pontt´ol r-rel egyenl˝o, az O k¨or¨ uli r rugar´ u k¨ ort az x3 = ch r egyenlet adja meg. Ezt a k¨ort egyszer futja k¨or¨ ul az r(t) = ( sh r cos t , sh r sin t , ch r )

( 0 ≤ t ≤ 2π )

k´eplettel adott param´eterez´es. Itt r0 (t) = (− sh r sin t, sh r cos t,0), ahonnan
R 2π q r0 (t) = sh2 (r) k¨ ovetkezik. Ez´ert a k¨or ker¨ ulete 0 sh r dt = 2π sh r. A k¨ or forg´ asszimmetri´ aja miatt a k¨or egy ´ıv´enek hossza a hozz´a tartoz´o k¨oz´epponti sz¨ oggel ar´ anyos. Innen az ´ıvhosszra vonatkoz´o ´all´ıt´as nyilv´anval´oan k¨ ovetkezik. (2): Az ´ıvhez tartoz´ o α k¨ oz´epponti sz¨og meghat´arozhat´o 11.3.5.(2) seg´ıts´eg´e˘ h´ vel abb´ ol a der´eksz¨ ogAt’ aromsz¨ogb˝ol, amelynek ´a
tfog´oja r, ´es α/2 sz¨og´evel szemben x/2 befog´ o´ all: α = 2 sin−1 sh(x/2) / sh r . Innen a formula (1)-b˝ol ad´ odik. Megjegyz´es. A k¨ or ker¨ ulete teh´at a sug´ar n¨ovel´es´evel exponenci´alis u ¨temben n¨ ovekedik. Ez arra utal, hogy a hiperbolikus s´ık az euklideszin´el j´oval gyorsabban t´ agul, benne nagy m´eretekben sokkal t¨obb a hely”, mint az euklideszi ” s´ıkon. Ezt a jelens´eget az is ´erz´ekelteti, hogy amikor a s´ıkot egy pontja k¨or¨ ul forgatjuk, akkor a s´ık pontjai 11.4.3.(1) alapj´an a sz¨ogelfordul´assal ar´anyos hossz´ us´ ag´ u utat s¨ op¨ ornek, de ez az ar´anyoss´agi t´enyez˝o exponenci´alis nagys´ agrendben f¨ ugg a pont t´ avols´ag´at´ol. 11.4.4. Defin´ıci´ o ( r). Az r sugar´ u k¨or ker¨ ulet´ere bevezetj¨ uk a Bolyait´ol sz´ armaz´ o r jel¨ ol´est, m´egpedig egys´egesen mindh´arom klasszikus geometriara vonatkoz´ ´ oan. A hiperbolikus geometri´aban teh´at r = 2π sh r, az euklidesziben r = 2πr, a g¨ ombi geometri´aban pedig (ahol a k¨or sugar´at a bels˝o geometria ´ertelm´eben, a g¨ ombfel¨ uleten m´erj¨ uk az r < π korl´atoz´as mellett)

r = 2π sin r. 11.4.5. K¨ ovetkezm´ eny (Bolyai-f´ ele abszol´ ut szinuszt´ etel). Ak´ar az euklideszi, ak´ ar a g¨ ombi, ak´ ar a hiperbolikus geometri´aban b´armely h´aromsz¨ og oldalaira ´es sz¨ ogeire ´erv´enyes a sin α sin β sin γ = =

a

b

c osszef¨ ugg´es. ¨

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

374

Hiperbolikus geometria

11.4.6. T´ etel (1) Legyen egy r sugar´ u hiperciklus valamely ´ıv´enek a hiperciklus alapegyenes´ere es˝ o mer˝ oleges vet¨ ulete a hossz´ us´ag´ u. Ekkor a hiperciklus´ıv hossza a ch r. (2) Az r sugar´ u hipercikluson x hossz´ us´ag´ u h´ urhoz 2 ch r sh−1 hossz´ us´ ag´ u ´ıv tartozik.

sh(x/2) ch r

Bizony´ıt´ as: (1): Tekints¨ uk a hiperboloidmodellben azt az L egyenest, amelyet az x2 = 0 egyenlet˝ u R2,1 -beli id˝oszer˝ u s´ık ´all´ıt el˝o. Az L alapegyenes˝ u ´ ıt´as alapj´an az x2 = konstans egyenlet˝ hiperciklusokat a 11.1.13. All´ u s´ıkok metszik ki Z-b˝ ol. Ha ennek a konstansnak az ´ert´eke sh r (ahol r ∈ R tetsz˝ oleges), akkor az ezzel megadott hiperciklus ´athalad a (0, sh r, ch r) ponton, amely a modellben |r| t´ avols´agra van az L egyenest˝ol. Az x2 = sh r egyenlet teh´ at |r| sugar´ u hiperciklust sz´armaztat. R¨ ogz´ıts¨ uk r ´ert´ek´et, ´es ez´ altal az L alapegyenes˝ u hiperciklusok egyik´et. Az L egyenesre t¨ ort´en˝ o mer˝ oleges vet´ıt´es a hiperciklus pontjait az ˝ot sz´armaztat´ o, L-re mer˝ oleges ultraparallel sug´arsor tagjai ment´en mozd´ıtja el. Ezt a sug´ arsort az R2,1 -beli x2 -tengellyel mint tart´oegyenessel megadott s´ıksor metszi ki Z-b˝ ol. Ennek a s´ıksornak az L egyenes egy tetsz˝oleges (sh t,0, ch t) koordin´ at´ aj´ u pontj´ at tartalmaz´o tagj´at a ch t x1 − sh t x3 = 0 egyenlet adja meg. Ezt a s´ıkot az x2 = sh r, x21 + x22 − x23 = −1 egyenletrendszerrel adott hiperciklus az (ch r sh t, sh r, ch r ch t) pontban d¨ofi. Ez´ert az r(t) = ( ch r sh t , sh r , ch r ch t ) ( −∞ < t < +∞ ) k´eplet a sz´ oban forg´ o hiperciklust u ´gy param´eterezi, hogy minden t-re az r(t) pontnak az L-re es˝ o mer˝ oleges vet¨ ulete (sh t,0, ch t). Ha t egy a hossz´ us´ag´ u intervallumot, p´eld´ aul a [0, a] ⊂ R szakaszt futja be, akkor a vet¨ uleti pontok az L egyenesen egym´ ast´ ol szint´en a hossz´ us´ag´ u szakaszon, konkr´etan t ∈ [0, a] eset´en az egym´ ast´ ol a t´ avols´agra fekv˝o O = (0,0,1) ´es A = (sh a,0, ch
a) pontok k¨ ozti [O, A] szakaszon futnak v´egig. R¨ogt¨on l´athat´o, hogy q r0 (t) = Ra 2 = ch r, ´es ´ıgy a k´erd´eses hiperciklus´ıv hossza val´oban 0 ch r dt = a ch r. (2): El˝ osz¨ or meghat´ arozzuk az a vet¨ ulethosszt x ´es r f¨ uggv´eny´eben. Legyen ˘ a h´ ur egyik v´egpontja P , felezAl’pontja F , ezek vet¨ ulete az alapegyenesen P 0 , illetve F 0 . Jel¨ olj¨ uk a P 0 F 0 P sz¨oget ξ-vel, ´es az F 0 P t´avols´agot d-vel. Az F 0 P P 0 , illetve F 0 P F der´eksz¨og˝ u h´aromsz¨ogekb˝ol 11.3.5.(2) alkalmaz´as´aval sin ξ =

www.interkonyv.hu

sh r , sh d

illetve

cos ξ = sin

π

 sh(x/2) −ξ = 2 sh d

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

11. A hiperbolikus s´ık

375

ad´ odik. N´egyzetre emelve ´es o¨sszeadva, majd az F 0 P P 0 h´aromsz¨ogben a 11.3.5.(1) szerinti ch d = ch(a/2) ch r formul´at alkalmazva, k¨ozben az sh2 = = ch2 −1 azonoss´ agot t¨ obbsz¨or haszn´alva az sh(a/2) ch r = sh(x/2) k´eplethez jutunk. Ebb˝ ol a-t kifejezve ´es az (1)-beli ´ıvhosszformul´aba helyettes´ıtve megkapjuk az eredm´enyt. Megjegyz´esek. (1) Az r sug´ ar f¨ uggv´eny´eben a hiperciklus´ıv hossza is exponenci´ alis u temben n¨ o vekszik. Itt is elmondhatjuk ennek a jelens´egnek azt a ¨ dinamikai” interpret´ aci´ oj´ at, hogy amikor a hiperbolikus s´ıkot valamely egye” nes ment´en eltoljuk, akkor a s´ık pontjai ´altal s¨op¨ort u ´t hossza exponenci´alis m´ert´ekben n¨ ovekszik a pontnak az egyenest˝ol m´ert t´avols´aga f¨ uggv´eny´eben. (2) A g¨ ombi geometri´ aban is besz´elhet¨ unk hiperciklusokr´ol”, azaz t´avols´ag” vonalakr´ ol, mint valamely f˝ ok¨ort˝ol adott r (π/2-n´el kisebb) g¨ombi t´avols´agra fekv˝ o pontok m´ertani hely´er˝ol az egyik f´elg¨omb¨on. Nyilv´an ez a halmaz is k¨ or, amelynek a s´ıkja p´ arhuzamos a f˝ok¨or s´ıkj´aval. Elemi sz´amol´as mutatja, hogy ha ennek a k¨ ornek egy ´ıve a f˝ok¨or α hossz´ us´ag´ u ´ıv´ere vet¨ ul mer˝olegesen, akkor az ´ıv hossza α cos r. Ez a 11.4.6.(1) T´etel g¨ombi analogonja. A k¨ orre vonatkoz´ o 11.4.3.(1) ´es a hiperciklusra vonatkoz´o 11.4.6.(1) T´etel az ´ıvhosszt a sz¨ ogelfordul´ as, illetve az egyenes ment´en t¨ort´en˝o el˝orehalad´as m´ert´ek´evel val´ o¨ osszehasonl´ıt´asban fejezi ki. A paraciklus eset´eben sem sz¨ogm´ert´ek, sem olyan t´ avols´ agm´ert´ek nem k´ın´alkozik, amelyet haszn´alva az ´ıvhosszt ezekkel a t´etelekkel anal´og form´aban kifejezhetn´enk. Az al´abbi t´etel els˝ o´ all´ıt´ asa viszont a paraciklussal kapcsolatban is megfogalmazza a hiperbolikus s´ık exponenci´ alis m´ert´ek˝ u t´agul´as´at, m´egpedig ez´ uttal nem csup´an nagys´ agrendi, hanem pontos ´ertelemben. 11.4.7. T´ etel (1) Ha k´et koncentrikus paraciklus t´avols´aga a tengelyek ment´en m´erve r, akkor a tengelyek ´ altal egym´asnak megfeleltetett ´ıveik ´ıvhossz´anak ar´ anya er . (2) A paraciklus x hossz´ us´ ag´ u h´ urj´ahoz tartoz´o ´ıv´enek ´ıvhossza 2 sh(x/2). Bizony´ıt´ as: Szemelj¨ uk ki a hiperboloidmodellben a (0,1,1) izotr´op vektorral adott v´egtelen t´ avoli pontot. El˝o´all´ıtjuk param´eteresen azokat a paraciklusokat, amelyeknek ez a pont a k¨oz´eppontja. Ezeket a paraciklusokat 11.1.13 alapj´ an a (0,1,1)⊥ k´etdimenzi´os f´enyszer˝ u alt´errel p´arhuzamos s´ıkok, azaz x2 − x3 = konstans egyenlet˝ u s´ıkok metszik ki Z-b˝ol. Nem¨ ures metszetet csak a konstans negat´ıv ´ert´eke eset´en kapunk, ez´ert a konstanst −er alakban ´ırjuk. Az x2 − x3 = −er egyenletet a modellt defini´al´o x21 + x22 − x23 = −1 egyenlettel osszevetve ´es a t = e−r x1 mennyis´eget param´eternek v´alasztva a paraciklus ¨

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

376

Hiperbolikus geometria

sz´ am´ ara az  r(t) =

er t 2 er t2 e t, − sh r , + ch r 2 2 r

 ( −∞ < t < +∞ )


param´eteres el˝ o´ all´ıt´ as ad´ odik. Itt r0 (t) = (er , er t, er t) ´es q r0 (t) = e2r , ez´ert a paraciklus ´ıvhossza tetsz˝ olegesen v´alasztott t1 ´es t2 param´eter´ert´ekek k¨oz¨ott R t2 r r e dt = e |t − t |. 2 1 t1
R¨ ogz´ıtett t ´es v´ altoz´ o r mellett az er t , (er t2 /2)−sh r , (er t2 /2)+ch r pontok azon az egyenesen sorakoznak, amelyet az x1 + tx2 − tx3 = 0 s´ık metsz ki Zb˝ ol, ´es ehhez az egyeneshez hozz´atartozik az el˝ore kiszemelt v´egtelen t´avoli pont is. Ez ut´ obbi azt jelenti, hogy ez az egyenes a paraciklus tengelye. A tengelyek ment´en t¨ ort´en˝ o vet´ıt´es teh´at a koncentrikus paraciklusok azonos param´eterhez tartoz´ o pontjait felelteti meg egym´asnak. Ez´ert az ´ıvhosszra kapott er |t2 − t1 | formul´ ab´ ol a t´etel (1) ´all´ıt´asa azonnal k¨ovetkezik. Az r = 0-hoz tartoz´ o paraciklus sz´am´ara speci´alisan ´ıvhossz szerinti param´eterez´est kaptunk. A (2) ´ all´ıt´ as bizony´ıt´asa c´elj´ab´ol sz´amoljuk ki ezen az   t2 t2 r(t) = t , , + 1 2 2 paracikluson a t1 = 0 ´es t2 = l param´eter´ert´ekek
k¨oz¨otti l hossz´ us´ag´ u ´ıvhez tartoz´ o h´ ur hossz´ at is, vagyis az x = ρh r(0), r(l) t´avols´agot: ch x Innen

l

l2 = −hr(0), r(l)i = + 1. 2 p x = 2(ch x − 1) = 2 sh 2

k¨ ovetkezik, az utols´ o l´ep´esben felhaszn´alva a ch x − 1 = 2 sh2 (x/2) azonoss´agot. Megjegyz´esek. (1) Az ´ıvhossz kisz´amol´as´ahoz mindh´arom ciklusfajta eset´eben ´ıvhosszal ar´ anyos param´eterez´est tal´altunk, hiszen mindegyik q (r0 (t)) f¨ uggv´eny konstans volt a t v´ altoz´o f¨ uggv´eny´eben. (2) Figyelj¨ uk meg, hogy a ciklus ´ıvhossz´at a r¨ogz´ıtett x h´ urhossz f¨ uggv´enyek´ent el˝ o´ all´ıt´ o 11.4.3.(2)-beli, 11.4.6.(2)-beli ´es 11.4.7.(2)-beli k´epletek hogyan viszonyulnak egym´ ashoz a k¨ ul¨onf´ele ciklusok eset´eben. A legkisebb ´ert´eket, x-et term´eszetesen a z´erus sugar´ u hiperciklus´ıv, vagyis az egyenes szakasz hossza adja, innen r-et n¨ ovelve a hiperciklus´ıv hossza is szigor´ uan monoton n¨ ovekszik, ´es r → +∞ eset´en a paraciklus ´ıvhossz´ahoz, 2 sh(x/2)-hez tart. B´ armilyen r ≥ x/2 mellett az r sugar´ u k¨orben az x h´ urhoz tartoz´o r¨ ovidebbik ´ıv hossza enn´el nagyobb, ´es r f¨ uggv´eny´eben szigor´ uan monoton

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

11. A hiperbolikus s´ık

377

cs¨ okken, tov´ abb´ a hat´ ar´ert´eke r → +∞ eset´en ism´et 2 sh(x/2), a paraciklus ´ıvhossza. Em¨ og¨ ott a jelens´eg m¨og¨ott az u ´n. geodetikus g¨orb¨ ulet” fogalma ” all, amely azt m´eri, hogy valamely g¨orbe milyen gyorsan fordul el az egyenes ´ vonalt´ ol. A ciklusok ´ alland´ o geodetikus g¨orb¨ ulet˝ u g¨orb´ek, a k¨or¨ok er˝osebben, a hiperciklusok kev´esb´e g¨ orb¨ ulnek a paraciklusokn´al. Differenci´algeometriai eszk¨ oz¨ okkel meg´ allap´ıthat´ o, hogy az r sugar´ u k¨or geodetikus g¨orb¨ ulete cth r, az r sugar´ u hiperciklus´e th r, a paraciklus´e 1. (3) A 11.4.7.(2) T´etel u ´jabb ´erdekes rokons´agra vil´ag´ıt r´a az euklideszi t´erben fekv˝ o g¨ omb ´es a Minkowski-t´erben fekv˝o hiperboloidmodell k¨oz¨ott. Ha a g¨ omb k´et pontja x g¨ ombi t´avols´agra van egym´ast´ol, akkor a 2 sin(x/2) formula a k´et pontot ¨ osszek¨ ot˝ o, a befoglal´o euklideszi t´erben fekv˝o h´ ur hossz´at ´ adja meg. Erdekes m´ odon az anal´og hiperbolikus formula, 2 sh(x/2), a hiperboloidmodellre vonatkoz´ oan ugyanezt fejezi ki: k¨onnyen ellen˝orizhet˝o, hogy a modell k´et, egym´ ast´ ol x hiperbolikus t´avols´agra fekv˝o pontja k¨oz¨ott a Minkowski-t´erben l´egvonalban” fut´o egyenes szakasz (amelynek ir´anya min” dig t´erszer˝ u, l. 10.3.11) hossz´ at ez a k´eplet adja meg. A 11.4.7.(2)-beli ´all´ıt´ast teh´ at geometriailag u ´gy interpret´alhatjuk, hogy a modell b´armely k´et pontja k¨ oz¨ ott a l´egvonalban m´ert t´ avols´ag egyenl˝o a k´et pontot ¨osszek¨ot˝o paraciklus´ıv hossz´ aval. Nem meglep˝ o, hogy a t´erbeli egyenes vonalban m´ert t´avols´ag nagyobb, mint a modellbeli, hiszen a ford´ıtott Cauchy–Schwarz-egyenl˝otlens´eg (10.3.4) k¨ ovetkezt´eben az id˝ oszer˝ u s´ıkokban fell´ep˝o t´erszer˝ u t´avols´agok k¨oz¨ott a h´ aromsz¨ og-egyenl˝ otlens´eg is megfordul. 11.4.8. Defin´ıci´ o (Pol´ ar-, hiperciklikus ´ es paraciklikus koordin´ at´ ak). Ha a ciklusok ´ıvhossz´ at megad´o t´etelek bizony´ıt´as´aban haszn´alt param´eterez˝o f¨ uggv´enyeket r-t˝ ol ´es t-t˝ ol egyar´ant f¨ ugg˝o s(r, t) k´etv´altoz´os f¨ uggv´enynek tekintj¨ uk, akkor a hiperbolikus s´ık nevezetes (g¨orbevonal´ u) koordin´at´az´asaihoz jutunk. Az r ´es t mennyis´egeket az s(r, t) = ( sh r cos t , sh r sin t , ch r ) , s(r, t) = ( ch r sh t , sh r , ch r ch t ) ,   er t2 er t 2 r illetve s(r, t) = e t, − sh r , + ch r 2 2 esetben rendre a hiperbolikus s´ık pol´arkoordin´at´ainak, hiperciklikus koordin´ at´ ainak, illetve paraciklikus koordin´at´ainak nevezz¨ uk. Az r v´altoz´ohoz tartoz´ o koordin´ atavonalak metsz˝o, ultraparallel, illetve p´arhuzamos sug´arsort alkotnak, m´ıg a t-hez tartoz´ o koordin´atavonalak a sug´arsor ´altal sz´armaztatott ciklusok. L´ attuk, hogy az s(r, t) k´eplet r¨ogz´ıtett r mellett t f¨ uggv´eny´eben a ciklusok sz´ am´ ara az ´ıvhosszal ar´anyos param´eterez´est ad. K¨onny˝ u ellenorizni, hogy r¨ ˝ ogz´ıtett t mellett r f¨ uggv´eny´eben a sug´arsor egyenesei sz´am´ara ´ıvhossz szerinti param´eterez´est kapunk mindh´arom esetben.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

378

Hiperbolikus geometria

A pol´ arkoordin´ at´ akt´ ol elt´er˝ oen mind a hiperciklikus, mind a paraciklikus koordin´ at´ ak bijekt´ıv megfeleltet´est l´etes´ıtenek az R2 koordin´atas´ık ´es a hiperbolikus s´ık k¨ oz¨ ott. A paraciklikus koordin´at´ak eset´eben ez a megfeleltet´es k¨ ul¨ on¨ osen j´ ol illeszthet˝ o a Poincar´e-f´ele f´els´ıkmodellhez. 11.4.9. Defin´ıci´ o (A Θ lek´ epez´ es). Konkr´et megfeleltet´est l´etes´ıt¨ unk a k´etdimenzi´ os hiperboloidmodell ´es a f´els´ıkmodell k¨oz¨ott. A f´els´ıkmodellt most az R2,1 Minkowski-t´er x1 x3 -s´ıkj´anak a fels˝o f´els´ıkj´aba helyezz¨ uk, teh´at annak U 0 alaphalmaz´ at x2 = 0 ´es x3 > 0 defini´alja R2,1 -ben. A Θ : Z → U 0 lek´epez´est h´arom, a k¨ ul¨onf´ele modellek k¨oz¨ott m´ar kor´abban ´ertelmezett lek´epez´es kompoz´ıci´ojak´ent adjuk meg. Az els˝o l´ep´esben a 10.3.7-beli Ψ : Z → X lek´epez´est alkalmazzuk, amelyet (a 10.3.7-et k¨ovet˝o els˝ o megjegyz´es szellem´eben) u ´gy fogunk fel, hogy Ψ a hiperboloidmodellt az orig´ ob´ ol k¨ oz´eppontosan vet´ıti az x3 = 1 s´ıkban fekv˝o X Cayley–Kleinmodellre. A m´ asodik l´ep´esben az x3 -tengellyel p´arhuzamosan vet´ıtj¨ uk az X k¨ orlemezt az x21 + x22 + x23 = 1 egyenlet˝ u G egys´egg¨omb Y -nal jel¨olt fels˝o f´elg¨ ombj´ere, teh´ at l´enyeg´eben a 10.2.14-beli (p|Y )−1 : X → Y izomorfizmust alkalmazzuk a Cayley–Klein-modell ´es a Poincar´e-f´ele f´elg¨ombmodell k¨oz¨ott. V´eg¨ ul a harmadik l´ep´esben a (0,1,0) pontb´ol az x2 = 0 egyenlet˝ u S s´ıkra t¨ort´en˝ o v : G − (0,1,0) → S sztereografikus vet´ıt´est alkalmazzuk; ez a lek´epez´es 10.2.15 alapj´ an Y -b´ ol az U 0 f´els´ıkmodellt ´all´ıtja el˝o. Mindh´ arom l´ep´esben izomorfizmusokat alkalmaztunk a modellek k¨oz¨ott, ez´ert a Θ = (v|Y ) ◦ (p|Y )−1 ◦ Ψ : Z → U 0 lek´epez´es izomorf megfeleltet´es a hiperboloidmodell ´es a f´els´ıkmodell k¨oz¨ott. V´eg¨ ul haszn´ aljuk ism´et az U ⊂ C komplex fels˝o f´els´ıkot, ahol x ´es y jel¨olik a szok´ asos koordin´ at´ akat (azaz a z komplex sz´am val´os, illetve k´epzetes r´esz´et), ´es azonos´ıtsuk az R2,1 -beli U 0 -vel az x = x1 , y = x3 megfeleltet´es r´ev´en. Ez´ altal a Θ izomorfizmust mint Z → U lek´epez´est foghatjuk fel. ´ ıt´ 11.4.10. All´ as. A Θ lek´epez´es az r ´es t paraciklikus koordin´at´akat az U f´els´ıkmodellben (− ln y)-ba, illetve x-be viszi. M´as szavakkal kifejezve, a Θ ◦ ◦ s : R2 → C lek´epez´es koordin´ataf¨ uggv´enyei x = t ´es y = e−r . Bizony´ıt´ as: Az s(r, t)-re 11.4.8-ban adott formul´ab´ol θ defin´ıci´oj´at k¨ovetve l´ep´esr˝ ol l´ep´esre t¨ ort´en˝ o sz´ amol´assal el˝o´all´ıthat´o ! er t2
er t 2 − sh r , e r t2 , 1 , Ψ s(r, t) = er t2 2 + ch r 2 + ch r   er t2 r e t , − sh r , 1

2 , (p|Y )−1 Ψ s(r, t) = er t2 2 + ch r
Θ s(r, t) = ( t , 0 , e−r ) .

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

11. A hiperbolikus s´ık

379

11.4.11. Ko eny. A hiperbolikus s´ık U ⊂ C f´els´ıkmodellj´eben a ¨vetkezm´ (standard R2 -beli) koordin´ atavonalak a ∞ v´egtelen t´avoli ponthoz tartoz´ o paraciklikus koordin´ atarendszer koordin´atavonalai. A paraciklikus koordin´ at´ akkal val´ o param´eterez´es szerint a z = x + iy ∈ U ponton ´athalad´o, x-tengellyel p´ arhuzamos koordin´atavonal az ´ıvhossz (1/y)-szoros´aval param´eterezett paraciklus, m´ıg az ugyanezen a ponton ´athalad´o, y-tengellyel p´arhuzamos koordin´ atavonal ´ıvhossz szerint param´eterezett egyenes.

11.5. Teru ¨ let A hiperbolikus s´ıkgeometri´ aban a ter¨ ulet (´es tetsz˝oleges dimenzi´oj´ u hiperbolikus t´erben a t´erfogat) ´ertelmez´ese nem int´ezhet˝o el az euklideszi geometria mint´ aj´ at (l. 7.1.1–7.1.2) k¨ ovetve az Rd -beli Jordan-m´ert´ekre ´es integr´al´asra val´ o k¨ ozvetlen hivatkoz´ assal. Ami a m´erhet˝o halmazok fogalm´at illeti, a hiperbolikus t´erben fekv˝ o ponthalmazok Jordan-m´erhet˝os´eg´enek fogalma ak´ ar a Cayley–Klein-modell, ak´ar a Poincar´e-f´ele g¨ombmodell vagy f´elt´ermodell haszn´ alat´ aval minden tov´abbi n´elk¨ ul ´ertelmezhet˝o az Rd -beli Jordanm´erhet˝ os´eg ´ atvitel´evel. Mag´ anak a m´ert´eknek, azaz a Jordan-m´erhet˝o halmazok t´erfogat´ anak a defin´ıci´oja azonban nehezebb. A t´erfogatfogalom ki´ep´ıt´es´et a differenci´ alform´ ak elm´elete enn´el j´oval t´agabb k¨or¨ ulm´enyek k¨oz¨ott, altal´ ´ anos Riemann-terek eset´ere elv´egzi. A hiperbolikus t´erbeli t´erfogat ennek speci´ alis esete. A k´et- ´es h´ aromdimenzi´ os esetben a hiperbolikus geometri´aban tiszt´an axiomatikus alapokon is ki´ep´ıthet˝o a ter¨ ulet-, illetve a t´erfogatfogalom. Ennek az u ´tnak a v´egigj´ ar´ asa nem ig´enyelne magasabb matematikai eszk¨oz¨oket, viszont k¨ or¨ ulm´enyes ´es hosszadalmas volta miatt ennek r´eszletez´es´et˝ol is eltekint¨ unk. Arra az ´ all´ aspontra helyezked¨ unk, hogy most prec´ız indokl´as n´elk¨ ul elfogadjuk, hogy a hiperbolikus s´ıkon l´etezik ter¨ ulet, ´es ´erv´enyesek r´a szok´asos pozitivit´ asi, v´egess´egi, additivit´asi, invariancia-, ´es unicit´asi tulajdons´agok : – A ter¨ uletm´er´es a H2 -beli Jordan-m´erhet˝o halmazokhoz nemnegat´ıv val´ os sz´ amokat, esetleg +∞-t rendel. – Valamely Jordan-m´erhet˝o halmaz ter¨ ulete akkor ´es csak akkor pozit´ıv, ha a belseje nem u ¨res. – B´ armely korl´ atos Jordan-m´erhet˝o halmaz ter¨ ulete v´eges. – Ha k´et Jordan-m´erhet˝ o halmaznak nincs k¨oz¨os bels˝o pontja, akkor az egyes´ıt´es¨ uk ter¨ ulete egyenl˝o a ter¨ uleteik ¨osszeg´evel. – Egybev´ ag´ o Jordan-m´erhet˝o halmazok ter¨ ulete egyenl˝o.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

380

Hiperbolikus geometria

– B´ armely k´et ter¨ uletm´er˝o f¨ uggv´eny csak skal´arszorz´oban t´er el egym´ast´ ol, teh´ at a ter¨ uletm´er´es a m´ert´ekegys´eg megv´alaszt´asa erej´eig egy´ertelm˝ u. Ebben a szakaszban azt t˝ uzz¨ uk ki c´elul, hogy technik´at tal´aljunk a ter¨ ulet kisz´ am´ıt´ as´ ara (l. 11.5.6), ´es meghat´arozzuk egy-k´et konkr´et idom ter¨ ulet´et. 11.5.1. Defin´ıci´ o (Paraciklus-t´ eglalap). Paraciklus-t´eglalapnak nevezz¨ uk a hiperbolikus s´ıkon azokat a z´art r´eszhalmazokat, amelyeket egyfel˝ol k´et p´ arhuzamos egyenes, m´ asfel˝ ol pedig k´et olyan koncentrikus paraciklus fog k¨ ozre, amelyeknek ez a k´et egyenes tengelye. A paraciklus-t´eglalap korl´ atos, nem konvex idom. Hat´ar´ab´ol a k´et p´arhuzamos egyenes egyenl˝ o hossz´ us´ag´ u szakaszokat tartalmaz, ezeket h´ıvjuk a paraciklus-t´eglalap alapjainak. A paraciklus-t´eglalap hat´ar´ahoz a k´et paraciklusb´ ol egy-egy ´ıv tartozik, amelyek k¨oz¨ ul a hosszabbik a paraciklus-t´eglalap k¨ uls˝ o ´ıve, a r¨ ovidebbik a bels˝o ´ıve. Ha az alap a hossz´ us´ag´ u, akkor 11.4.7.(1) alapj´ an a k¨ uls˝ o ´ıv hossza a bels˝o ea -szorosa. A paraciklus-t´eglalapot az alap hossza ´es a k¨ uls˝ o ´ıv hossza egybev´ag´os´ag erej´eig egy´ertelm˝ uen meghat´arozza. 11.5.2. Defin´ıci´ o (Paracikluscikk). Tekints¨ unk k´et p´arhuzamos f´elegyenest, amelyek A ´es B kezd˝ opontjai korresponde´al´o pontok, ´es k¨oss¨ uk ¨ossze A-t ´es B-t a hozz´ ajuk tartoz´ o paraciklusnak az ˝oket ¨osszek¨ot˝o ´ıv´evel. A s´ıknak azt a z´ art tartom´ any´ at, amelyet a k´et f´elegyenes ´es ez az AB paraciklus´ıv fog k¨ ozre, paracikluscikknek nevezz¨ uk. Az A ´es B pont a paracikluscikk k¨ oz¨ ons´eges cs´ ucsai, a k´et hat´arol´o f´elegyenes k¨oz¨os v´egtelen t´avoli pontja a paracikluscikk ide´ alis cs´ ucsa. A paracikluscikk konvex, nem korl´atos idom. A hat´arol´o paraciklus´ıvvel koncentrikus paraciklusok (ha belemetszenek) egy paraciklus-t´eglalapra ´es egy kisebb paracikluscikkre bontj´ak kett´e. A paracikluscikket az ´ıv´enek a hossza egybev´ ag´ os´ ag erej´eig egy´ertelm˝ uen meghat´arozza. ´ ıt´ 11.5.3. All´ as. A paracikluscikk ter¨ ulete v´eges, ´es a hat´arol´o paraciklus´ıv hossz´ aval ar´ anyos. Bizony´ıt´ as: Legyen A ´es B a P paracikluscikk k´et k¨oz¨ons´eges cs´ ucsa, ´es p az AB paraciklus´ıv hossza. Az [A, B] szakasz felez˝o mer˝olegese P -nek szimmetriatengelye, ´es P -t k´et egybev´ag´o paracikluscikkre bontja, legyenek ezek P 0 ´es P 00 . V´ agjuk el P -t most egy olyan paraciklussal, amely koncentrikus az ´ıv´evel, ´es att´ ol (tengelyir´ anyban m´erve) ln 2 t´avols´agban halad. A kett´ev´ag´assal egy ln 2 alap´ u T1 paraciklus-t´eglalap ´es egy P1 paracikluscikk keletkezik. A T1 paraciklus-t´eglalap bels˝ o ´ıve a k¨ uls˝o ´ıv 1/2-szerese, ez´ert P1 ´ıve p/2 hossz´ us´ ag´ u, teh´ at P1 egybev´ ag´ o P 0 -vel ´es P 00 -vel. A T10 = T1 ∩ P 0 ´es T100 = T1 ∩ P 00

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

11. A hiperbolikus s´ık

381

paraciklus-t´eglalapok egybev´ag´ok ´es egy¨ utt kit¨oltik T1 -et, mindkett˝oj¨ uk ter¨ ulete teh´ at T1 ter¨ ulet´enek a fele. Ugyancsak f´elbev´ag´assal keletkeznek a P10 = = P1 ∩ P 0 ´es P100 = P1 ∩ P 00 egybev´ag´o paracikluscikkek.

V´ agjuk el most P1 -et is egy az eddigiekkel koncentrikus, ´es az el˝oz˝ot˝ol ism´et ln 2 t´ avols´ agban halad´ o paraciklussal. Ez´altal egy u ´jabb T2 paraciklust´eglalap ´es egy u ´jabb P2 paracikluscikk keletkezik. A (T2 , P2 ) p´ar a (T10 , P10 ) p´ arb´ ol a k¨ oz¨ os hat´ arol´ o egyenes¨ uk ment´en ln 2 t´avols´aggal t¨ort´en˝o eltol´assal kaphat´ o, ez´ert a T2 paraciklus-t´eglalap ter¨ ulete a T1 ter¨ ulet´enek a fele, a P2 paracikluscikk ´ıve pedig p/4. Az elj´ ar´ ast rekurz´ıv m´ odon minden hat´aron t´ ul folytatva egy T1 , T2 , . . . , Tn , . . . v´egtelen sorozatot ´ all´ıtunk el˝o ln 2 alap´ u paraciklus-t´eglalapokb´ol, amelyek egy¨ uttesen lefedik P -t, ´es amelyek ter¨ uletei 1/2 h´anyados´ u m´ertani sorozatot alkotnak. Ez´ert P ter¨ ulete v´eges. Ezt a ter¨ uletet tekinthetj¨ uk a p ´ıvhossz f¨ uggv´eny´enek, hiszen egybev´ag´os´ag erej´eig maga P is csak p-t˝ ol f¨ ugg. Ez a f¨ uggv´eny pozit´ıv, ´es nyilv´anval´oan addit´ıv, ez´ert csak line´ aris lehet, azaz P ter¨ ulete p-vel ar´anyos. ´ ıt´ 11.5.4. All´ as. Az a alap´ u, p k¨ uls˝o ´ıv˝ u paraciklus-t´eglalap ter¨ ulete p(1 − −a − e )-val ar´ anyos. Bizony´ıt´ as: Jel¨ olje c a 11.5.3 szerinti ar´anyoss´agi t´enyez˝ot, azaz tegy¨ uk f¨ol, hogy a p ´ıv˝ u paracikluscikk ter¨ ulete c · p-vel egyenl˝o. A p ´ıv˝ u paracikluscikket az a t´ avols´ agra halad´ o koncentrikus paraciklus a sz´oban forg´o paraciklust´eglalapra ´es egy e−a p ´ıv˝ u paracikluscikkre v´agja f¨ol. Miut´an a paracikluscikkek ter¨ ulete v´eges, a paraciklus-t´eglalap ter¨ ulet´et kivon´assal kapjuk: c · p − − c · e−a p = c · p(1 − e−a ). 11.5.5. Defin´ıci´ o (Term´ eszetes teru eg). A hiperbolikus s´ıkon a ¨ letegys´ ter¨ uletm´er´es m´er˝ osz´ ama eddig csak ar´anyoss´ag erej´eig volt meghat´arozva, osszhangban azzal, hogy a ter¨ uletegys´eg tetsz˝olegesen kijel¨olhet˝o. Azt mond¨ juk, hogy a ter¨ uletm´er´es a term´eszetes ter¨ uletegys´egre vonatkoz´oan t¨ort´enik, ha a 11.5.3-ban ´es 11.5.4-ben fell´ep˝o c ar´anyoss´agi t´enyez˝o 1-gyel egyenl˝o.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

382

Hiperbolikus geometria

Tekints¨ uk az a alap´ u, p k¨ uls˝ o ´ıv˝ u paraciklus-t´eglalap ter¨ ulet´enek ´es az euklideszi s´ıkon felvett a, p oldal´ u t´eglalap ter¨ ulet´enek az ar´any´at. Szeml´elet¨ unk szerint a hiperbolikus s´ık geometri´aja infinitezim´alis m´eretekben nem k¨ ul¨ onb¨ ozik az euklideszi s´ık´et´ ol, ez´ert a hiperbolikus ter¨ uletegys´eg akkor van helyesen, a t´ avols´ agm´er´essel ¨osszhangban megv´alasztva, ha a, p → 0 eset´en ez az ar´ any 1-hez tart. Miut´ an c · p(1 − e−a ) = c, a,p→0 ap lim

ez a szeml´elet szint´en azt t´ amasztja al´a, hogy a c = 1-hez tartoz´o ter¨ uletm´er´est tekinthetj¨ uk term´eszetesnek. Mostant´ ol c = 1 el˝ o´ır´ as´ aval r¨ogz´ıtj¨ uk a ter¨ uletm´er´est a hiperbolikus s´ıkon, ´es a tov´ abbiakban a ter¨ ulet m´er˝osz´am´an mindig a term´eszetes ter¨ uletegys´egre vonatkoztatott ter¨ uletet ´ertj¨ uk. P´eld´aul a p ´ıv˝ u paracikluscikk ter¨ ulete p-vel egyenl˝ o. A ter¨ uletm´er´es term´eszetes m´ert´ekegys´ege teh´at az egys´egnyi ´ıv˝ u paracikluscikk ter¨ ulete. Tekints¨ uk a hiperbolikus s´ık U ⊂ C f´els´ıkmodellj´et, ´es ahogy eddig is, jel¨olje x ´es y az U -beli koordin´ at´ akat. A k¨ovetkez˝o t´etel a modellbeli ter¨ uletet x ´es y seg´ıts´eg´evel ´ all´ıtja el˝ o. 11.5.6. T´ etel. B´ armely M ⊆ U Jordan-m´erhet˝o halmaz modellbeli ter¨ ulete az ZZ 1 dxdy y2 M

integr´ allal egyenl˝ o. Bizony´ıt´ as: A t´etel ´ all´ıt´ as´ at elegend˝o arra az esetre ellen˝orizni, amikor M koordin´ atavonalakkal hat´ arolt t´eglalap, hiszen mind a sz´oban forg´o integr´al, mind a modellbeli ter¨ ulet ezek ¨osszegeinek a hat´ar´ert´eke. Legyen teh´ at M az x1 ≤ x ≤ x2 ´es y1 ≤ y ≤ y2 egyenl˝otlens´egekkel adott t´eglalap, ekkor ZZ M

1 dxdy = y2

Zy2 Zx2

1 dxdy = (x2 − x1 ) y2



1 1 − y1 y2

 .

y1 x1

M´ asr´eszt 11.4.10 alapj´ an az r = − ln y, t = x helyettes´ıt´esekkel paraciklikus koordin´ at´ akra ´ att´erve az M halmaz az r2 ≤ r ≤ r1 ´es t1 ≤ t ≤ t2 egyenl˝ otlens´egekkel adott paraciklus-t´eglalap, ahol ri = − ln yi , ti = xi (i = 1,2). Ennek a paraciklus-t´eglalapnak az alapja r1 − r2 , k¨ uls˝o ´ıve er1 (t2 − t1 ), ez´ert

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

11. A hiperbolikus s´ık

383

a ter¨ ulete 11.5.4 ´es 11.5.5 szerint
er1 (t2 − t1 ) 1 − e−(r1 −r2 ) = (t2 − t1 )(er1 − er2 ) =   1 1 = (x2 − x1 ) − . y1 y2 Mivel nem csak a Hd hiperbolikus t´er pontp´arjait, hanem a Hd lez´ar´as b´armely k´et pontj´ at is egy´ertelm˝ uen meghat´arozott egyenes k¨oti ¨ossze, a hiperbolikus geometri´ aban minden tov´abbi n´elk¨ ul ´ertelmezhet˝ok olyan h´aromsz¨ogek, illetve magasabb dimenzi´ os konvex poli´ederek, amelyeknek egy vagy t¨obb cs´ ucsa v´egtelen t´ avoli pont. Az al´abbi defin´ıci´oban a k´etdimenzi´os esetre szor´ıtkozunk, ´es az egyszer˝ us´eg kedv´e´ert a Cayley–Klein-modellre hivatkozunk. 11.5.7. Defin´ıci´ o (Aszimptotikus h´ aromsz¨ ogek ´ es soksz¨ ogek). Ha A, B, C h´ arom nem kolline´ aris pont H2 -ben, akkor a Cayley–Klein-modellt haszn´ alva tekinthetj¨ uk e h´ arom pont H konvex burk´at a befoglal´o euklideszi s´ıkra vonatkoz´ oan. Ha mindh´ arom pont H2 -h¨oz tartozik, akkor H a szok´asos ´ertelemben vett ABC hiperbolikus h´aromsz¨og. Ha nem, akkor aszerint, hogy A, B, C k¨ oz¨ ul egy, kett˝ o, vagy mindh´arom tartozik a ∂H2 ide´alis hat´arhoz, a 2 H ∩ H halmazt egyszeresen, k´etszeresen, illetve h´aromszorosan aszimptotikus h´ aromsz¨ ognek nevezz¨ uk. A h´aromszorosan aszimptotikus h´aromsz¨ogeket a r¨ ovids´eg kedv´e´ert ide´ alis h´ aromsz¨ognek is szok´as h´ıvni. 2 ´ Altal´ anosabban, H -b´ ol v´eges sok nem kolline´aris pontot kiv´alasztva azok konvex burk´ at (pontosabban, a konvex burok metszet´et H2 -vel) aszimptotikus konvex soksz¨ ognek szok´ as nevezni, ha a pontok k¨oz¨ ul legal´abb egy ∂H2 h¨ oz tartozik. Miut´ an ez a konstrukci´o a Cayley–Klein-modellt tekintve az euklideszi s´ıkon van ´ertelmezve, az aszimptotikus konvex soksz¨ogek kombinatorikai tulajdons´ agai semmiben sem k¨ ul¨onb¨oznek az euklideszi s´ıkbeli konvex soksz¨ ogek´eit˝ ol. Aszimptotikus h´ aromsz¨ og eset´eben is besz´elhet¨ unk valamely cs´ ucsbeli sz¨ogr˝ ol, illetve k´et cs´ ucs k¨ ozti oldalhosszr´ol, ha a sz´oban forg´o cs´ ucs, illetve mindk´et cs´ ucs H2 -ben fekszik. K´etszeresen aszimptotikus h´aromsz¨ognek egy sz¨oge van, ´es nyilv´ anval´ o m´ odon b´ armely adott 0 ´es π k¨oz¨otti sz¨ogh¨oz egybev´ag´os´ ag erej´eig egy´ertelm˝ uen tal´alhat´o ekkora sz¨og˝ u k´etszeresen aszimptotikus h´ aromsz¨ og. B´ armely H h´ aromsz¨ ogh¨ oz, ak´ar k¨oz¨ons´eges, ak´ar aszimptotikus, tal´alhat´o olyan ide´ alis h´ aromsz¨ og, amely H-t lefedi. Szemelj¨ unk ki ugyanis a H h´aromsz¨ ogben egy tetsz˝ oleges bels˝o pontot, ´es ind´ıtsunk ebb˝ol a pontb´ol f´elegyeneseket a cs´ ucsokon ´ at. Ennek a h´arom f´elegyenesnek a v´egtelen t´avoli pontjai H-t lefed˝ o ide´ alis h´ aromsz¨oget fesz´ıtenek ki.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

384

Hiperbolikus geometria

11.5.8. T´ etel. B´ armely k´et ide´alis h´aromsz¨og egybev´ag´o. Az ide´alis h´aromsz¨ ogek ter¨ ulete π-vel egyenl˝ o. 2 ∼ Bizony´ıt´ as: Az I(H ) = P GL(2, R) izometriacsoport projekt´ıv transzform´aci´ okkal hat a val´ os projekt´ıv egyenessel azonos´ıtott ∂H2 ide´alis hat´aron. Ez a hat´ as 8.3.9 szerint tranzit´ıv ∂H2 ponth´armasainak halmaz´an, ami ´eppen azt jelenti, hogy b´ armely k´et ide´ alis h´aromsz¨ogh¨oz tal´alhat´o olyan egybev´ag´os´ag, amely az egyiket a m´ asikba viszi. Tekints¨ uk az U f´els´ıkmodellben a −1, 1 ´es ∞ v´egtelen t´avoli pontok ´altal kifesz´ıtett H ide´ alis h´ aromsz¨oget. Ennek az ide´alis h´aromsz¨ognek az oldalait az x2 + y 2 = 1 egyenlet˝ u f´elk¨or ´es az x = −1, x = 1 egyenlet˝ u f´elegyenesek reprezent´ alj´ ak U -ban. Ez´ert H ter¨ ulete a 11.5.6. T´etel alkalmaz´as´aval Z1

+∞ Z

−1

√ 1−x2

1 dydx = y2

Z1 −1

1 √ dx = π . 1 − x2

11.5.9. Lemma. B´ armely k´etszeresen aszimptotikus, ϕ sz¨og˝ u h´aromsz¨og ter¨ ulete π − ϕ. Bizony´ıt´ as: A k´erd´eses ter¨ ulet v´eges (s˝ot kisebb π-n´el), hiszen az aszimptotikus h´ aromsz¨ ogek is lefedhet˝ ok alkalmas ide´alis h´aromsz¨oggel. Az ugyanakkora sz¨ og˝ u k´etszeresen aszimptotikus h´aromsz¨ogek egybev´ag´ok, ez´ert ter¨ ulet¨ uk csak a sz¨ og¨ ukt˝ ol f¨ ugg. Jel¨ olje ϕ ∈ (0, π)-re t(ϕ) a ϕ sz¨og˝ u k´etszeresen aszimptotikus h´ aromsz¨ ogek ter¨ ulet´et.

Ha ϕ, ψ > 0 ´es ϕ + ψ < π, akkor egy ϕ sz¨og˝ u ´es egy ψ sz¨og˝ u k´etszeresen aszimptotikus h´ aromsz¨ oget az egyik hat´arol´o f´elegyenes¨ uk ment´en o¨sszeillesztve olyan aszimptotikus konvex n´egysz¨oget kapunk, amelynek h´arom v´egtelen t´ avoli cs´ ucsa van. Ez´ert ez a n´egysz¨og egy ide´alis h´aromsz¨og ´es egy ϕ + ψ sz¨ og˝ u k´etszeresen aszimptotikus h´aromsz¨og o¨sszeilleszt´es´evel is el˝o´all. Ebb˝ ol a t(ϕ) + t(ψ) = t(ϕ + ψ) + π egyenletet kapjuk, amelyet

π − t(ϕ + ψ) = π − t(ϕ) + π − t(ψ) alakban is ´ırhatunk. Ez az egyenlet azt jelenti, hogy a π − t : (0, π) → (0, π) f¨ uggv´eny addit´ıv. Ez´ert ez a f¨ uggv´eny line´aris, azaz alkalmas c pozit´ıv konstanssal t(ϕ) = π − c · ϕ ´erv´enyes minden ϕ ∈ (0, π)-re. V´eg¨ ul k´et darab π/2

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

11. A hiperbolikus s´ık

385

sz¨ og˝ u k´etszeresen aszimptotikus h´aromsz¨oget o¨sszeillesztve ide´alis h´aromsz¨oget kapunk, ez´ert 2t(π/2) = π, amib˝ol c = 1 k¨ovetkezik. 11.5.10. T´ etel. Ha a hiperbolikus s´ıkon egy h´aromsz¨og sz¨ogei α, β ´es γ, akkor a h´ aromsz¨ og t ter¨ ulet´ere t = π − (α + β + γ) ´erv´enyes.

Bizony´ıt´ as: Legyenek A, B ´es C a h´aromsz¨og cs´ ucsai, ´es jel¨olje P , Q ´es R rendre az A kezd˝ opontb´ ol B-n ´at, a B kezd˝opontb´ol C-n ´at, illetve a C kezd˝ opontb´ ol A-n ´ at h´ uzott f´elegyenes v´egtelen t´avoli pontj´at. Ezek a f´elegyenesek a P QR ide´ alis h´aromsz¨oget feldarabolj´ak az ABC h´aromsz¨ogre ´es h´ arom darab k´etszeresen aszimptotikus h´aromsz¨ogre : ARP -re, BP Q-ra ´es QCR-re, amelyek sz¨ ogei rendre π − α, π − β, illetve π − γ. Ebb˝ol 11.5.9. felhaszn´ al´ as´ aval a t + α + β + γ = π egyenletet kapjuk. Megjegyz´esek. (1) A 11.5.10. T´etel szembe¨otl˝o p´arhuzamban ´all a g¨ombh´aromsz¨ ogek ter¨ ulet´ere vonatkoz´o, 0.3.10-ben bebizony´ıtott Girard-formul´aval. Ez nem v´eletlen: mindkett˝ o egy nevezetes differenci´algeometriai t´etelnek, a g¨ orb¨ ult fel¨ uleteken fekv˝ o idomok felsz´ın´er˝ol sz´ol´o u ´n. Gauss–Bonnet-f´ele t´etelnek a speci´ alis esete. Ez´ert a matematikai irodalomban gyakran 0.3.10 ´es 11.5.10 is Gauss–Bonnet-t´etelk´ent szerepel. (2) Ha az aszimptotikus h´ aromsz¨ogeknek a v´egtelen t´avoli cs´ ucsokban z´erus sz¨ oget tulajdon´ıtunk, akkor, amint az k¨onnyen bel´athat´o, a 11.5.10-beli formula aszimptotikus h´ aromsz¨ogekre vonatkoz´oan is ´erv´enyes. (3) A hiperbolikus s´ıkon valamely α, β, γ sz¨og˝ u h´aromsz¨og defektus´an (vagy sz¨ oghi´ any´ an) a π − (α + β + γ) k¨ ul¨onbs´eget szok´as ´erteni. A 11.5.10. T´etel azt fejezi ki, hogy term´eszetes ter¨ uletegys´egre vonatkoztatva b´armely h´aromsz¨og ter¨ ulete a defektus´ aval egyenl˝o. A defektus fogalm´at k´ezenfekv˝o m´odon lehet kiterjeszteni magasabb oldalsz´am´ u soksz¨ogek eset´ere (amelyeknek esetleg

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

386

Hiperbolikus geometria

v´egtelen t´ avoli cs´ ucsai is lehetnek). K¨onny˝ u ellen˝orizni, hogy a defektus addit´ıv mennyis´eg: ha egy S soksz¨og k´et egym´asba nem ny´ ul´o S1 ´es S2 soksz¨og egyes´ıt´ese, akkor S defektusa egyenl˝o S1 ´es S2 defektus´anak az ¨osszeg´evel. Innen m´ ar a ter¨ uletm´er´es ´ altal´anos elvei alapj´an is levezethet˝o, hogy a soksz¨ ogek ter¨ ulete ar´ anyos a defektusukkal. (4) Ha a hiperbolikus s´ıkon a t´avols´agot a term´eszetes metrika λ-szoros´aval m´ern´enk, ´es a ter¨ ulet m´ert´ekegys´eg´et a 11.5.5. Defin´ıci´o mint´aj´ara ezzel a t´ avols´ agm´er´essel hozn´ ank ¨ osszhangba, akkor a ter¨ uletegys´eg a term´eszetes ter¨ uletegys´eg (1/λ2 )-szeres´ere v´altozna, ´ e s a h´ a romsz¨ ogek ter¨ ulet´ere vonat
koz´ o k´eplet t = λ2 π − (α + β + γ) -ra m´odosulna. A 11.3.5. T´etelt k¨ovet˝o √ ulete, ez´ert a harmadik megjegyz´es szerint λ = 1/ −K, ahol K a s´ık g¨orb¨ ter¨ ulet k´eplete a g¨ orb¨ uletet haszn´alva K · t = (α + β + γ − π) alakban ´ırhat´ o. Ebben a form´aj´aban a k´eplet nem csak a hiperbolikus geometri´ aban ´erv´enyes, hanem az r sugar´ u g¨omb geometri´aj´aban is (ahol K = 1/r2 ), ´es az euklideszi geometri´ aban is (ahol K = 0). 11.5.11. T´ etel. A hiperbolikus s´ıkon az r sugar´ u k¨orlap ter¨ ulete 2π(ch r−1). Bizony´ıt´ as: Osszuk fel egy r sugar´ u k¨or ker¨ ulet´et n (≥ 3) oszt´oponttal egyenl˝ o r´esz´ıvekre. Az oszt´ opontok Sn konvex burka n-oldal´ u szab´alyos soksz¨og. El˝ osz¨ or az Sn soksz¨ og t(Sn ) ter¨ ulet´et hat´arozzuk meg. Nyilv´an minden n-re t(Sn ) kisebb a keresett k¨ orter¨ uletn´el.

Az Sn soksz¨ og 2n darab egybev´ag´o der´eksz¨og˝ u h´aromsz¨og egyes´ıt´esek´ent ´all el˝ o, amelyek ´ atfog´ oja r, ´es egyik hegyessz¨oge π/n. Az Sn ter¨ ulet´enek kisz´am´ıt´ as´ ahoz a m´ asik hegyessz¨ ogre van sz¨ uks´eg¨ unk, jel¨olj¨ uk azt αn -nel. A der´eksz¨o
g˝ u h´ aromsz¨ ogre vonatkoz´ o 11.3.5.(4) formul´ab´ol tg αn = 1/ ch r tg (π/n) . Az Sn soksz¨ og sz¨ ogeinek o ulete ¨sszege 2nαn , ez´ert a ter¨   1 1 −1 t(Sn ) = (n − 2)π − 2n tg−1 = n π − 2 tg − 2π . ch r tg nπ ch r tg nπ

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

´ s hiperbolikus terek 12. Magasabb dimenzio

387

Az anal´ızis eszk¨ ozeivel k¨ onnyen ellen˝orizhet˝o, hogy a k´eplet els˝o tagj´anak a hat´ ar´ert´eke n → ∞ mellett 2π ch r. ´Igy limn→∞ t(Sn ) = 2π(ch r − 1). A fenti der´eksz¨ og˝ u h´ aromsz¨ogben jel¨olje an az αn sz¨oggel szemk¨ozti befog´ot, amely az Sn -be be´ırhat´ o k¨ or sugar´aval egyenl˝o. A m´asik befog´o, amely az Sn soksz¨ og oldalhossz´ anak a fele, n n¨ovekedt´evel nyilv´an 0-hoz tart, ez´ert 11.3.5.(1)-b˝ ol ch an → ch r, azaz an → r k¨ovetkezik. Ez azt jelenti, hogy a k¨ orlap b´ armelyik bels˝ o pontj´ at el´eg nagy n mellett az Sn soksz¨og tartalmazza. Ez´ert teh´ at a k¨ or ter¨ ulete az im´ent kisz´am´ıtott hat´ar´ert´ekkel egyenl˝o. Megjegyz´esek. (1) A g¨ ombi geometria anal´og k´eplete 2π(1 − cos r), ami az egys´egg¨ omb¨ on az r (< π) g¨ombi sugar´ u K g¨ombi k¨orlemez ter¨ ulet´et adja meg. Miut´ an K val´ oj´ aban (1 − cos r) magass´ag´ u g¨ombs¨ uveg, a formul´aban r´ aismerhet¨ unk a g¨ ombs¨ uveg felsz´ın´enek elemi geometri´ab´ol ismert k´eplet´ere. (2) A hiperbolikus f¨ uggv´enyek azonoss´agait haszn´alva a k¨orlemez ter¨ uletk´eplete ´ at´ırhat´ o az egyen´ert´ek˝ u 4π sh2 (r/2) alakba. ´ (3) Erdekes jelens´eg, hogy a hiperbolikus s´ıkon az r sug´ar n¨ovekedt´evel a k¨ or 2π sh r ker¨ ulete ´es 2π(ch r − 1) ter¨ ulete azonos exponenci´alis u ¨temben n˝ o. Szeml´eletesen ez azt jelenti, hogy egy nagy k¨orlemez ter¨ ulet´enek z¨ome a hat´ arol´ o k¨ orvonal k¨ ozel´eben helyezkedik el. A hiperbolikus s´ık ebben a tekintetben is l´enyegesen elt´er az euklideszit˝ol.

12. Magasabb dimenzi´ os hiperbolikus terek Ebben a fejezetben a legal´ abb h´aromdimenzi´os hiperbolikus t´er geometri´aj´aval foglalkozunk, ez´ert ´ altal´ anoss´agban feltessz¨ uk, hogy d ≥ 3. Ennek ellen´ere bizonyos esetekben a defin´ıci´ok ´ertelemmel b´ırnak ´es a t´etelek ´erv´enyesek a 11. fejezetben m´ ar r´eszletesen t´argyalt hiperbolikus s´ıkra vonatkoz´oan is. Erre nem fogunk minden alkalommal kit´erni, ´es az olvas´ora hagyjuk annak tiszt´ az´ as´ at, hogy kiz´ ar´ olag t´erbeli jelens´egekr˝ol, vagy s´ıkbeli ismereteink ´altal´ anos´ıt´ as´ ar´ ol van-e ´eppen sz´o.

12.1. Hipers´ıkok ´ es szf´ er´ ak Eml´ekeztet¨ unk arra, hogy a projekt´ıv modellben a 10.1.19. Defin´ıci´ot a Hd = = X azonos´ıt´ as mellett alkalmazva a hiperbolikus t´er ∂Hd ide´alis hat´ar´at, ild letve H lez´ ar´ as´ at kapjuk. A ∂Hd ide´alis hat´ar term´eszetes strukt´ ur´aja a (d− − 1)-dimenzi´ os inverz´ıv geometria. Ha M ⊆ Hd hiperbolikus alt´er, dim M ≥ ≥ 1, akkor ∂M = M ∩ ∂Hd inverz´ıv alt´er, azaz (dim M − 1)-dimenzi´os g¨omb a ∂Hd inverz´ıv t´erben.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

388

Hiperbolikus geometria

12.1.1. Defin´ıci´ o (Alterek p´ arhuzamoss´ aga). Legyenek M ´es N egyenl˝o (≥ 1) dimenzi´ oj´ u alterek Hd -ben. Azt mondjuk, hogy M ´es N p´arhuzamos, ha vagy M = N , vagy pedig ∂M ´es ∂N ´erintkez˝o g¨omb¨ok ∂Hd -ben. A hiperbolikus p´ arhuzamoss´ ag fogalm´at legink´abb az egyenesek, illetve a hipers´ıkok k¨ or´eben vizsg´ aljuk. Ilyenkor a defin´ıci´oban szerepl˝o ´erintkez´es felt´etele azzal egyen´ert´ek˝ u, hogy ∂M ∩ ∂N egyelem˝ u. Vegy¨ uk ´eszre, hogy k´et k¨ ul¨onb¨oz˝o p´arhuzamos alt´ernek Hd -ben nem lehet k¨ oz¨ os pontja. Val´ oban, ha P ∈ M ∩ N , akkor a P pontot ∂M ∩ ∂N k¨oz¨os elem´evel ¨ osszek¨ ot˝ o egyenes m´asik v´egtelen t´avoli pontja szint´en k¨oz¨os pontja a ∂M ´es ∂N g¨ omb¨ oknek, ami azok ´erintkez˝o volta miatt lehetetlen. 12.1.2. Defin´ıci´ o (K´ et egyenes k¨ olcs¨ on¨ os helyzete). Ha Hd -ben k´et egyeneshez tal´ alhat´ o olyan k´etdimenzi´os alt´er, amely tartalmazza ˝oket, akkor a k´et egyenest egys´ık´ unak mondjuk, ellenkez˝o esetben kit´er˝o egyeneseknek h´ıvjuk. Az egys´ık´ u esetben a 11.1-beli oszt´alyoz´asra hivatkozva besz´elhet¨ unk metsz˝ o, p´ arhuzamos, illetve ultraparallel egyenesekr˝ol. A p´ arhuzamoss´ ag 12.1.1-beli defin´ıci´oj´at egyenesek eset´ere vonatkoztatva nyilv´ an ugyanezt a p´ arhuzamoss´ag-fogalmat kapjuk. Ahogyan azt a s´ıkbeli esetben m´ ar meggondoltuk, ir´ any´ıtott egyenesek vagy f´elegyenesek k¨or´eben a Hd -beli p´ arhuzamoss´ ag is ekvivalenciarel´aci´o. 12.1.3. Defin´ıci´ o (K´ et hipers´ık k¨ olcs¨ on¨ os helyzete). K´et Hd -beli k¨ ul¨onb¨ oz˝ o hipers´ıkot metsz˝ onek, p´arhuzamosnak, vagy ultraparallelnek mondunk, van k¨ oz¨ os pontjuk, ha 12.1.1. ´ertelm´eben p´arhuzamosak, illetve ha se nem metsz˝ ok, se nem p´ arhuzamosak. Miut´ an a hipers´ıkok ide´ alis hat´ara d−2 ≥ 1-dimenzi´os g¨omb, a k´et k¨ ul¨onb¨oz˝o hipers´ık metsz˝ o, p´ arhuzamos, illetve ultraparallel volta azzal egyen´ert´ek˝ u, hogy k¨ oz¨ os v´egtelen t´ avoli pontjaik sz´ama legal´abb 2, pontosan 1, illetve 0. A p´ arhuzamoss´ ag a hipers´ıkok k¨or´eben sem tranzit´ıv rel´aci´o. Ha valamely kit¨ untetett v´egtelen t´ avoli pontjukkal ell´atott hipers´ıkokra ´ertelmezn´enk a megjel¨ olt ir´ anyban val´ o p´ arhuzamoss´ag” fogalm´at, akkor kapn´ank ekviva” lenciarel´ aci´ ot. ´ ıt´ 12.1.4. All´ as. Tekints¨ unk k´et k¨ ul¨onb¨oz˝o hipers´ıkot Hd -ben, ´es legyenek u ´es v a hiperboloidmodellben hozz´ajuk v´alasztott norm´alvektorok. A k´et hipers´ık pontosan aszerint metsz˝o, p´arhuzamos, illetve ultraparallel, hogy u ´es v t´erszer˝ u, f´enyszer˝ u, illetve id˝oszer˝ u k´etdimenzi´os alteret fesz´ıt ki a (d + + 1)-dimenzi´ os Minkowski-t´erben. Bizony´ıt´ as: Legyen U ´es V a k´et hipers´ıkot el˝o´all´ıt´o k´et id˝oszer˝ u line´aris hipers´ık a W Minkowski-t´erben, azaz U = u⊥ ´es V = v⊥ . Ekkor az u ´es v kifesz´ıtette alt´er a (d − 2)-dimenzi´os U ∩ V ≤ W alt´er q-ortogon´alis kieg´esz´ıt˝ oje.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

´ s hiperbolikus terek 12. Magasabb dimenzio

389

A sz´ oban forg´ o k´et hipers´ıknak akkor ´es csak akkor van k¨oz¨os pontja a modellben, ha U ∩ V id˝ oszer˝ u, ami azzal egyen´ert´ek˝ u, hogy az (U ∩ V )⊥ alt´er t´erszer˝ u. A k´et hipers´ık akkor ´es csak akkor p´arhuzamos, ha az U ∩ V alt´erhez skal´ arszorz´ o erej´eig egyetlen f´enyszer˝ u vektor tartozik. Ez pontosan azt jelenti, hogy az U ∩ V alt´er elfajul´ o kvadratikus alakot ¨or¨ok¨ol, azaz f´enyszer˝ u alt´er. Ez pedig akkor ´es csak akkor ´all, ha (U ∩ V )⊥ f´enyszer˝ u. V´eg¨ ul az ultraparallel hipers´ıkok sz´am´ara csak az az eshet˝os´eg marad, hogy (U ∩ V )⊥ id˝ oszer˝ u. 12.1.5. K¨ ovetkezm´ eny. K´et hipers´ık akkor ´es csak akkor ultraparallel, ha l´etezik olyan egyenes, amely mindkett˝ore mer˝oleges. Ezt az egyenest a k´et hipers´ık egy´ertelm˝ uen meghat´arozza. Bizony´ıt´ as: Az el˝ oz˝ o bizony´ıt´as jel¨ol´eseivel a k´et hipers´ıkra mer˝oleges egyenest csakis az (U ∩ V )⊥ ≤ W k´etdimenzi´os alt´er ´all´ıthatja el˝o. Ez az alt´er pontosan akkor ´ all´ıt el˝ o egyenest a modellben, ha id˝oszer˝ u, azaz 12.1.4 alapj´ an ha a k´et hipers´ık ultraparallel. 12.1.6. Defin´ıci´ o (Metsz˝ o alterek szo ¨ge). K´et metsz˝o hipers´ık sz¨og´et t¨ obbf´ele m´ odszerrel is ´ertelmezhetj¨ uk. Vehetj¨ uk p´eld´aul valamelyik konform modellben az ˝ oket reprezent´ al´o hiperg¨omb¨ok vagy hipers´ıkok sz¨og´et (l. 5.1.10), vagy az ide´ alis hat´ aruknak mint hiperg¨omb¨oknek a sz¨og´et a ∂Hd inverz´ıv t´erben, vagy az euklideszi t´er mint´aj´ara a metszetalt´er egy pontj´aban ´all´ıthatunk a metszetalt´erre mer˝ oleges egyeneseket k¨ ul¨on-k¨ ul¨on midk´et hipers´ıkon bel¨ ul, ´es tekinthetj¨ uk 10.1.15 szerint e k´et egyenes sz¨og´et. A modellek tulajdons´againak ismeret´eben nyilv´ anval´o, hogy ezek a defin´ıci´ok egyen´ert´ek˝ uek. A k´et metsz˝ o hipers´ık eset´en k´ıv¨ ul m´eg azokban az esetekben tudjuk alterek sz¨ oget ´ertelmezni, amikor azt a ∂Hd inverz´ıv t´erre val´o hivatkoz´assal megtehetj¨ uk. ´Igy p´eld´ aul defini´alva van hipers´ık ´es azt egyenesben metsz˝o k´etdimenzi´ os alt´er sz¨ oge is (l. 5.1.11). 12.1.7. Defin´ıci´ o (Ultraparallel hipers´ıkok t´ avols´ aga). K´et ultraparallel hipers´ık t´ avols´ ag´ an a 12.1.5 szerint egy´ertelm˝ uen l´etez˝o k¨oz¨os mer˝oleges egyenesen a k´et metsz´espont k¨oz´e es˝o szakasz hossz´at ´ertj¨ uk. Ha a k´et hipers´ıkb´ ol tetsz˝ olegesen egy-egy pontot v´alasztunk, akkor a k¨ozt¨ uk f¨oll´ep˝o t´ avols´ agok k¨ oz¨ ott a mer˝ olegess´eg miatt ennek a szakasznak a hossza a lehet˝o legkisebb. 12.1.8. T´ etel. V´ alasszunk a Hd -beli S ´es T hipers´ıkokhoz a hiperboloidmodellben egys´egnyi norm´ alvektorokat, legyenek ezek u ´es v. Ekkor: (1) ha |hu, vi| < 1, akkor S ´es T metsz˝o hipers´ıkok, ´es sz¨og¨ uk cos−1 |hu, vi|,

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

390

Hiperbolikus geometria

(2) ha |hu, vi| = 1, akkor S ´es T p´arhuzamos hipers´ıkok, (3) ha |hu, vi| > 1, akkor S ´es T ultraparallel hipers´ıkok, ´es t´avols´aguk ch−1 |hu, vi|. Bizony´ıt´ as: Ha u ´es v line´ arisan ¨osszef¨ ugg˝o, akkor S = T , ´es csak v = ±u lehets´eges; ekkor a (2) eset a´ll fenn. A tov´ abbiakban feltessz¨ uk, hogy k´et k¨ ul¨onb¨oz˝o hipers´ıkr´ol van sz´o. Ekkor u ´es v line´ arisan f¨ uggetlenek. Az ´altaluk kifesz´ıtett R ≤ W alt´erben a q kvadratikus alak m´ atrixa az u ´es v alkotta b´azisban   1 hu, vi , hu, vi 1 ez´ert az |hu, vi|-re vonatkoz´o < 1, = 1, illetve > 1 felt´etelek rendre azt jelentik, hogy q ezen az alt´eren pozit´ıv definit, elfajul´o, illetve negat´ıv definit. Ez pedig 12.1.4 szerint a k´et hipers´ık k¨olcs¨on¨os helyzet´et hat´arozza meg a t´etelben ´ all´ıtott m´ odon. (1): V´ alasszunk az S ∩ T metszetalt´erben tetsz˝olegesen egy x pontot, ´es ´all´ıtsunk x-ben a metszetalt´erre S-ben, illetve T -ben fekv˝o mer˝oleges egyeneseket. Ezek sz´ am´ ara az x pontban ir´anyvektorokat kapunk, ha az R pozit´ıv definit alt´erben u-t ´es v-t π/2 sz¨oggel elforgatjuk. Emiatt a k´et hipers´ık sz¨oge, ami defin´ıci´ o szerint a k´et egyenes sz¨oge, egyenl˝o az u ´es v ir´any´ u egyenesek sz¨ og´evel, cos−1 |hu, vi|-vel. (3): Az u ´es v gener´ alta id˝ oszer˝ u alt´er 12.1.5 bizony´ıt´asa szerint az S ´es T k¨ oz¨ os mer˝ oleges egyenes´et metszi ki a hiperboloidmodellb˝ol. Feltehetj¨ uk, hogy hu, vi > 0, hiszen u vagy v el˝ojel´enek megv´altoztat´asa sem a p hipers´ıkokat, sem a bizony´ıtand´ o ´ all´ıt´ ast nem befoly´asolja. Jel¨olj¨ uk c-vel a hu, vi2 − 1 pozit´ıv sz´ amot, ´es k´epezz¨ uk az a=

hu, vi 1 u− v c c

´es

b=

1 hu, vi u− v c c

vektorokat. K¨ ozvetlen sz´ amol´as mutatja, hogy q(a) = q(b) = −1, ha, ui = = hb, vi = 0, valamint ha, bi = −hu, vi. Emiatt a ´es b (vagy esetleg (−1)szereseik, ha nem a Z f´elhiperboloidba, hanem annak ellentettj´ebe mutatnak) a k¨ oz¨ os mer˝ oleges egyenes metsz´espontjai S-sel, illetve T -vel, tov´abb´a e k´et pont t´ avols´ aga 10.3.12 szerint val´oban ch−1 hu, vi. K¨ ovetkez˝ o c´elunk a ciklusok magasabb dimenzi´os megfelel˝oinek, a szf´er´aknak az ´ertelmez´ese. Ehhez seg´edeszk¨ozk´ent a s´ıkbeli eset mint´aj´ara a sug´arsorok altal´ ´ anos´ıt´ as´ at, a sug´ arnyal´ abokat vezetj¨ uk be. A sug´arnyal´abok ´es a szf´er´ak legegyszer˝ ubb tulajdons´ agait a 11.1. szakaszban t´argyaltakkal anal´og m´odon lehet tiszt´ azni.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

´ s hiperbolikus terek 12. Magasabb dimenzio

391

12.1.9. Defin´ıci´ o (Sug´ arnyal´ ab). Projekt´ıv terekben sug´arnyal´abnak szok´ as nevezni a t´er valamely pontj´an ´athalad´o o¨sszes egyenesb˝ol ´all´o egyeneshalmazt. A k¨ oz¨ os pontot a sug´ arnyal´ab tart´opontj´anak h´ıvjuk. A k´etdimenzi´os esetben a sug´ arsor ´es a sug´ arnyal´ab fogalma egybeesik. A d-dimenzi´ os hiperbolikus t´er egyeneseinek egy halmaz´at sug´arnyal´abnak nevezz¨ uk, ha el˝ o´ all mint a projekt´ıv t´er valamely sug´arnyal´abj´anak a nyoma a hiperbolikus t´er projekt´ıv modellj´eben. A sug´arnyal´ab egyenesei nyilv´an p´ aronk´ent egys´ık´ uak. A projekt´ıv sug´ arnyal´ ab tart´opontj´anak elhelyezked´ese szerint a Hd -beli sug´ arnyal´ ab tagjai p´ aronk´ent metsz˝o, p´arhuzamos, illetve ultraparallel egyenesek, ennek alapj´ an besz´elhet¨ unk metsz˝o, p´arhuzamos, illetve ultraparallel sug´ arnyal´ abokr´ ol. Vil´ agos, hogy a hiperbolikus t´er b´armely k´et k¨ ul¨onb¨oz˝o, egys´ık´ u egyenes´ehez egy´ertelm˝ uen l´etezik olyan sug´arnyal´ab, amelynek a k´et egyenes tagja. A metsz˝ o sug´ arnyal´ abot u ´gy is defini´alhatn´ank, mint a hiperbolikus t´er valamely pontj´ an ´ athalad´ o¨ osszes egyenesb˝ol ´all´o rendszert, a p´arhuzamos sug´arsort mint az ¨ osszes olyan egyenest, amelyhez a t´er valamely r¨ogz´ıtett v´egtelen t´ avoli pontja hozz´ atartozik, ´es v´eg¨ ul az ultraparallel sug´arnyal´abot mint valamely r¨ ogz´ıtett hipers´ıkra (a projekt´ıv ´ertelemben vett tart´opont pol´aris´ara) mer˝ oleges ¨ osszes egyenesb˝ ol a´ll´o sereget. Nyilv´anval´o, hogy b´armely k´et metsz˝ o sug´ arnyal´ ab egybev´ ag´ o, b´armely k´et p´arhuzamos sug´arnyal´ab egybev´ag´o, ´es b´ armely k´et ultraparallel sug´arnyal´ab egybev´ag´o. 12.1.10. Defin´ıci´ o (Sug´ arnyal´ abra t´ amaszkod´ o hipers´ıkok). Legyen S sug´ arnyal´ ab Hd -ben. Egy H ⊂ Hd hipers´ır´ol azt mondjuk, hogy S-re t´amaszkodik, ha l´etezik olyan L ∈ S egyenes, amelyre L ⊆ H. Ha H az S-re t´ amaszkodik, akkor a projekt´ıv modellben a H-t tart´o projekt´ıv hipers´ık ´ athalad az S-et sz´armaztat´o projekt´ıv sug´arnyal´ab tart´opontj´an. Emiatt a H-ra vonatkoz´ o σH t¨ ukr¨oz´es S-et ¨onmag´aba viszi. Megford´ıtva, valamely σH t¨ ukr¨ oz´es csak a H-ban fekv˝o ´es a H-ra mer˝oleges egyeneseket viszi onmagukba, ez´ert ha σH (S) = S, akkor H vagy S-re t´amaszkodik, vagy pe¨ dig S-nek minden H-t metsz˝o tagj´ara mer˝oleges. Ez azt jelenti, hogy metsz˝o vagy p´ arhuzamos sug´ arnyal´ aboknak pontosan a r´ajuk t´amaszkod´o hipers´ıkok a szimmetria-hipers´ıkjai, m´ıg az ultraparallel sug´arnyal´abok eset´eben egyetlen tov´ abbi szimmetria-hipers´ık l´etezik, m´egpedig a k¨oz¨os mer˝oleges hipers´ık. A hiperboloidmodellben az S-re t´amaszkod´o hipers´ıkok k¨onnyen jellemezhet˝ ok azzal a felt´etellel, hogy norm´alvektoruk q-ortogon´alis az S sug´arnyal´ab projekt´ıv tart´ opontj´ at reprezent´al´o vektorra. 12.1.11. Defin´ıci´ o (Sug´ arnyal´ abra vonatkoz´ o korrespondencia). R¨ogz´ıts¨ unk egy S sug´ arnyal´ abot Hd -ben. Azt mondjuk, hogy az A, B ∈ Hd pontok korresponde´ al´ o pontok S-re n´ezve (jelben A lS B), ha alkalmas S-re

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

392

Hiperbolikus geometria

t´ amaszkod´ o H ⊂ Hd hipers´ıkkal B = σH (A). Egyen´ert´ek˝ u m´odon u ´gy is fogalmazhatunk, hogy A lS B akkor ´all fenn, ha vagy A ´es B egybeesnek, vagy k¨ ul¨ onb¨ oz˝ ok ´es a felez˝ o mer˝oleges¨ uk S-re t´amaszkodik. A lS rel´ aci´ o nyilv´ anval´ o m´odon reflex´ıv ´es szimmetrikus. A tranzitivit´as k¨ onnyen k¨ ovetkezik az S-re t´ amaszkod´o hipers´ıkok hiperboloidmodellbeli jellemz´es´eb˝ ol, ugyanis x lS y lS z eset´en mind y − x, mind z − y q-ortogon´alis a tart´ opontot reprezent´ al´ o vektorra, ´ıgy z − x is az. 12.1.12. Defin´ıci´ o (Szf´ era, tengely, paraszf´ era, hiperszf´ era). A Hd hiperbolikus t´erben szf´er´ aknak nevezz¨ uk a lS szerinti ekvivalenciaoszt´alyk´ent el˝ o´ all´ o ponthalmazokat, ahol S valamilyen sug´arnyal´ab Hd -ben. Az egyelem˝ u ponthalmazok (amelyeket metsz˝o sug´arnyal´abok sz´armaztatnak mint a metsz´espont oszt´ aly´ at) is szf´er´ak, ezeket elfajul´o szf´er´aknak nevezz¨ uk. Ett˝ ol az esett˝ ol eltekintve a szf´er´ak v´egtelen ponthalmazok, s˝ot amint az pl. 12.1.15-b˝ ol kik¨ ovetkeztethet˝o lesz, a szf´er´ak (d − 1)-dimenzi´os alakzatok (differenci´ alhat´ o hiperfel¨ uletek) a Hd t´erben. Elfajul´ o szf´era nyilv´ an csak a r´a mint tart´opontra illesztett metsz˝o sug´arnyal´ abb´ ol sz´ armazhat, tov´ abb´ a b´armely nemelfajul´o S szf´era is az ˝ot sz´armaztat´o S sug´ arnyal´ abot egy´ertelm˝ uen meghat´arozza, hiszen tart´opontja az S-b˝ol v´alaszthat´ o pontp´ arok felez˝ o mer˝oleges hipers´ıkjait tart´o projekt´ıv hipers´ıkok egyetlen k¨ oz¨ os pontja. Az S-hez tartoz´o egyeneseket az S szf´era tengelyeinek nevezz¨ uk. Ha S metsz˝ o sug´ arnyal´ ab, akkor az ´altala l´etes´ıtett szf´er´ak nyilv´an g¨omb¨ok, amelyeket a hiperbolikus t´erben az euklideszi geometria mint´aj´ara mint a t´er valamely pontj´ at´ ol (a k¨ oz´eppontt´ol) r¨ogz´ıtett (a g¨omb sugar´aval egyenl˝o) t´ avols´ agra lev˝ o pontok halmaz´at defini´aljuk. Eset¨ unkben azokat a g¨omb¨oket kapjuk, amelyeknek S tart´ opontja a k¨oz´eppontja. Az elfajul´o szf´er´at is tekinthetj¨ uk z´erus sugar´ u g¨ ombnek. (Megjegyezz¨ uk, hogy ebben a fejezetben nem haszn´ aljuk a hiperg¨ omb” elnevez´est a (d − 1)-dimenzi´os g¨omb¨ok sz´a” m´ ara, mert alacsonyabb dimenzi´oj´ u g¨omb¨okkel itt nem foglalkozunk, ´es ez´ert nincs sz¨ uks´eg erre a megk¨ ul¨onb¨oztet´esre.) Ha az S szf´er´ at p´ arhuzamos sug´arnyal´ab sz´armaztatja, akkor S-et paraszf´er´anak nevezz¨ uk. Az ugyanazon S p´arhuzamos sug´arnyal´abhoz tartoz´o paraszf´er´ akat koncentrikusnak mondjuk, ´es S v´egtelen t´avoli tart´opontj´at tekintj¨ uk k¨ oz¨ os k¨ oz´eppontjuknak. Az ultraparallel sug´ arnyal´ abok ´altal sz´armaztatott szf´er´akat hiperszf´er´aknak nevezz¨ uk. Legyen S ultraparallel sug´arnyal´ab, ´es H az a hipers´ık, amely S minden tagj´ ara mer˝ oleges. Ekkor az S-re t´amaszkod´o hipers´ıkok pontosan a H-ra mer˝ oleges hipers´ıkok, ez´ert a r´ajuk vonatkoz´o t¨ ukr¨oz´esek H-t ¨onmag´ara k´epezik. Ha S egy S ´ altal sz´armaztatott hiperszf´era, akkor S pontjainak a H-t˝ ol m´ert t´ avols´ ag´ at az S-hez tartoz´o egyenesek ment´en m´erj¨ uk, ´es emiatt S

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

´ s hiperbolikus terek 12. Magasabb dimenzio

393

vagy mag´ aval a H hipers´ıkkal azonos, vagy pedig az egyik H szerinti f´elt´erben a H-t´ ol valamilyen r¨ ogz´ıtett pozit´ıv t´avols´agra lev˝o pontokb´ol ´all. Ez´ert a hiperszf´er´ akat t´ avols´ agfel¨ uleteknek is nevezik. A H hipers´ıkot a hiperszf´era alaphipers´ıkj´ anak, pontjainak H-t´ol val´o t´avols´ag´at a hiperszf´era sugar´anak h´ıvjuk. A d = 2 esetben a sug´ arsorokat ´es a ciklusokat kapjuk a sug´arnyal´abok, illetve szf´er´ ak speci´ alis esetek´ent. A k¨ovetkez˝o fogalom is a ciklusok ´es szf´er´ak k¨ozti kapcsolatot emeli ki. 12.1.13. Defin´ıci´ o (F˝ ociklus). Legyen S ⊂ Hd szf´era. Ha P ⊂ Hd tetsz˝oleges k´etdimenzi´ os alt´er, amely tartalmazza S-nek legal´abb az egyik tengely´et, akkor a C = P ∩ S halmaz nyilv´an ciklus a P hiperbolikus s´ıkban, m´egpedig az, amelyet az S tengelyeib˝ol ´all´o sug´arnyal´abnak a P -be es˝o r´esze mint sug´ arsor sz´ armaztat. Ha S g¨omb, akkor C k¨or (m´egpedig S egy f˝ok¨ore, teh´ at S-sel egyenl˝ o sugar´ u), ha S paraszf´era, akkor C paraciklus, ´es ha S hiperszf´era, akkor C ugyanakkora sugar´ u hiperciklus. Az ilyen m´odon el˝o´all´o ciklusokat S f˝ ociklusainak nevezz¨ uk. A f˝ ociklusok az egyenesek szerep´et j´atssz´ak a szf´era bels˝o geometri´aj´aban (l. 12.3). Annyit m´ ar most meg´allap´ıthatunk, hogy a szf´era b´armely k´et k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o (´es g¨ omb eset´eben nem ´atellenes) pontj´ahoz egy ´es csak egy olyan f˝ ociklus tal´ alhat´ o, amely a k´et pontot tartalmazza. Megjegyz´es. Nem neh´ez meggondolni, hogy ha a P metsz˝o s´ık nem tengelyir´ any´ u, ´es nem is mer˝ olegesen metszi S valamelyik pontj´aban az ahhoz a ponthoz tartoz´ o tengelyt, a P ∩ S halmaz akkor is ciklus : g¨omb eset´eben f˝ ok¨ orn´el kisebb k¨ or, paraszf´era eset´eben mindig k¨or, r sugar´ u hiperszf´era eset´en hiperciklus, paraciklus, vagy k¨or aszerint, hogy P ∩ S egy pontj´aban a tengely ´es P sz¨ oge a Π(r) p´ arhuzamoss´agi sz¨ogn´el kisebb, egyenl˝o Π(r)-rel, illetve nagyobb n´ ala. Az al´ abbi k´et ´ all´ıt´ as a ciklusokra vonatkoz´oan 11.1.11-ben ´es 11.1.13-ban tiszt´ azott tulajdons´ agok magasabb dimenzi´os analogonjai ; bizony´ıt´asuk is pontosan azok mint´ aj´ ara t¨ ort´enhet. ´ ıt´ 12.1.14. All´ as. B´ armely k´et Hd -beli paraszf´era egybev´ag´o. K´et g¨omb, illetve k´et hiperszf´era akkor ´es csak akkor egybev´ag´o, ha sugaruk egyenl˝o. ´ ıt´ 12.1.15. All´ as. Tekints¨ uk a Hd hiperbolikus t´er Z ⊂ W hiperboloidmodellj´et a (d + 1)-dimenzi´ os W Minkowski-t´erben. (1) A szf´er´ ak pontosan a modell alaphalmaz´aul szolg´al´o Z f´elhiperboloid nem¨ ures metszetei a W t´er affin hipers´ıkjaival.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

394

Hiperbolikus geometria

(2) K´et szf´era tengelyei akkor ´es csak akkor alkotj´ak ugyanazt a sug´arnyal´ abot, ha az ˝ oket kimetsz˝o affin hipers´ıkok p´arhuzamosak. (3) Legyen valamely T ⊂ W affin hipers´ıkra T ∩Z 6= ∅. Ha T ´all´asa t´erszer˝ u, akkor a T ∩ Z szf´era g¨omb (amely esetleg egyetlen pont is lehet), ha f´enyszer˝ u, akkor paraszf´era, ha id˝oszer˝ u, akkor hiperszf´era. Bizony´ıt´ as: Csak annyiban kell elt´erni 11.1.13 bizony´ıt´as´at´ol, hogy (a sug´arsor tagjai helyett) egy sug´ arnyal´abra t´amaszkod´o hipers´ıkok norm´alvektorair´ ol ´ allap´ıtjuk meg, hogy ezek a tart´opontot repezent´al´o vektorra q-ortogon´alis vektorok. ´ ıt´ A 12.1.15. All´ as megk¨ onny´ıti a szf´er´ak ´altal hat´arolt tartom´anyok bevezet´es´et. 12.1.16. Defin´ıci´ o (Szf´ eratartom´ anyok). Legyen S ⊂ Hd nemelfajul´o ´ ´es hipers´ıkt´ ol k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o szf´era. All´ıtsuk el˝o S-et 12.1.15 szerint S = T ∩ ∩ Z alakban, ´es legyen F , illetve F a T affin hipers´ık ´altal hat´arolt, orig´ot tartalmaz´ o ny´ılt, illetve z´ art f´elt´er W -ben. Ha S g¨ omb, akkor F ∩ Z ´es F ∩ Z az S hat´arolta ny´ılt, illetve z´art g¨ombtest. A hiperboloidmodellben sz´ amolva k¨onnyen ellen˝orizhet˝o, hogy ezek pontosan a k¨ oz´eppontt´ ol S sugar´ an´ al kisebb, illetve legfeljebb sug´arnyi t´avols´agra lev˝o Hd -beli pontokb´ ol ´ allnak. Ha S paraszf´era, akkor az F ∩ Z ´es F ∩ Z halmazokat az S hat´arolta ny´ılt, illetve z´ art paraszf´era-tartom´anynak nevezz¨ uk. Ha S hiperszf´era, akkor jel¨ olj¨ uk S 0 -vel az ugyanazon alaphipers´ıkkal ´es ugyanakkora sug´ arral adott, csak S-hez k´epest az ellenkez˝o f´elt´erben fekv˝o hiperszf´er´ at. Tartozzon S 0 -h¨ oz a T 0 affin hipers´ık, ´es a T 0 hat´arolta, orig´ot tartal0 maz´ o F ny´ılt, illetve F 0 z´ art f´elt´er. (A W vektort´er r´eszhalmazaik´ent nyilv´an 0 S = −S, T 0 = −T , F 0 = −F , ´es F 0 = −F .) Az S-hez tartoz´o ny´ılt, illetve z´ art hiperszf´era-tartom´ anynak nevezz¨ uk az F ∩ F 0 ∩ Z, illetve F ∩ F 0 ∩ Z halmazokat. Ezek a tartom´ anyok nyilv´an azokb´ol a pontokb´ol ´allnak, amelyek az alaphipers´ıkt´ ol a hiperszf´era sugar´an´al kisebb, illetve legfeljebb sug´arnyi t´ avols´ agra vannak. ´ Erdekes kapcsolatot teremt a hipers´ıkok ´es a szf´er´ak k¨oz¨ott a t´erbeli mer˝oleges vet´ıt´es. 12.1.17. Defin´ıci´ o (Mer˝ oleges vet´ıt´ es hipers´ıkra). Legyen H hipers´ık ´ ıt´ Hd -ben. A 10.1.7. All´ as alapj´an a t´er b´armely A pontj´ahoz egy´ertelm˝ uen hozz´ arendelhet˝ o az A-n ´ athalad´o, H-ra mer˝oleges egyenesnek a H-val vett pH (A) d¨ of´espontja; ezzel a pH : Hd → H mer˝oleges vet´ıt´est ´ertelmezt¨ uk.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

´ s hiperbolikus terek 12. Magasabb dimenzio

395

K¨ onnyen l´ athat´ o, hogy a hiperboloidmodellben a pH lek´epez´est a W t´ernek a H-t el˝ o´ all´ıt´ o V line´ aris hipers´ıkra t¨ort´en˝o, V ⊥ ir´any´ u line´aris vet´ıt´ese sz´ armaztatja. Ha H 0 tov´ abbi hipers´ık Hd -ben, akkor a pH |H 0 : H 0 → H megszor´ıt´ast nevez0 z¨ uk a H hipers´ık H-ra t¨ ort´en˝o mer˝oleges vet´ıt´es´enek. Ha H 0 nem mer˝oleges H-ra, akkor ez a lek´epez´es injekt´ıv H 0 -r˝ol H-ba. (A mer˝oleges esetben pH |H 0 nyilv´ an a H 0 mer˝ oleges vet´ıt´ese a H 0 ∩ H metszetalt´erre mint H 0 -beli hiper0 s´ıkra.) Ha H 6= H, akkor a pH |H 0 : H 0 → H vet´ıt´es nem sz¨ urjekt´ıv, ´es a k´ephalmaz´ at az al´ abbi t´etel ´ırja le. 12.1.18. T´ etel. Legyen H ´es H 0 k´et k¨ ul¨onb¨oz˝o ´es egym´asra nem mer˝oleges d hipers´ık H -ben. Vet´ıts¨ uk a H 0 hipers´ıkot a pH mer˝oleges vet´ıt´essel a H hipers´ıkra. (1) Ha H ´es H 0 metsz˝ ok ´es hajl´assz¨og¨ uk α, akkor a vet´ıt´es k´ephalmaza az a ny´ılt hiperszf´era-tartom´any H-ban, amelynek az alaphipers´ıkja H ∩ H 0 , sugara a ∆(α) p´ arhuzamoss´agi t´avols´ag. (2) Ha H ´es H 0 p´ arhuzamosak, akkor a vet´ıt´es k´ephalmaza ny´ılt paraszf´eratartom´ any H-ban. (3) Ha H ´es H 0 ultraparallel hipers´ıkok ´es t´avols´aguk a, akkor a vet´ıt´es k´ephalmaza ny´ılt g¨ ombtest H-ban, amelynek a k¨oz´eppontja a k´et hipers´ık k¨ oz¨ os mer˝ oleges egyenes´enek a d¨of´espontja H-val, sugara pedig ch−1 (cth a). Bizony´ıt´ as: (1): A t´er el˝ o´ all a H ∩ H 0 alt´erre mer˝oleges, p´aronk´ent diszjunkt k´etdimenzi´ os pH -invari´ans alterek egyes´ıt´esek´ent, ez´ert elegend˝o egyetlen ilyen s´ıkon bel¨ ul tiszt´ azni, hogy egy H-beli pont akkor ´es csak akkor ´all el˝ o vet¨ uletk´ent, ha a metsz´espontt´ol m´ert t´avols´aga az α-hoz tartoz´o p´arhuzamoss´ agi t´ avols´ agn´ al kisebb. Ez viszont nyilv´anval´o, hiszen x < ∆(α) azzal egyen´ert´ek˝ u, hogy α < Π(x), ami pontosan akkor ´all, ha a metsz´espontt´ol x t´ avols´ agban H-ra ´ all´ıtott mer˝oleges metszi H 0 -t. (2): Jel¨ olj¨ uk A-val a H ´es H 0 p´arhuzamos hipers´ıkok k¨oz¨os v´egtelen t´avoli pontj´ at. El˝ orebocs´ atjuk, hogy azokkal az M alterekkel szemben, amelyeknek A v´egtelen t´ avoli pontja, H ´es H 0 egyform´an” viselkedik: ha M metszi H ” ´es H 0 k¨ oz¨ ul az egyiket, akkor a m´asikat is metszi, m´egpedig ugyanakkora sz¨ ogben (azokban az esetekben, amikor a sz¨og defini´alva van, teh´at ha M hipers´ık, vagy k´etdimenzi´ os alt´er). Ez abb´ol l´athat´o r¨ogt¨on, hogy ∂H ´es ∂H 0 ´erintkez˝ o hiperg¨ omb¨ ok ∂Hd -ben, ez´ert a konform modellre hivatkozva az A pontban a metsz´es t´enye ´es a metsz´es sz¨oge ugyanazt jelenti H ´es H 0 eset´eben. Legyen S az a H-beli p´ arhuzamos sug´arnyal´ab, amelynek az A pont a tart´ opontja. Szemelj¨ unk ki tetsz˝olegesen egy L ∈ S egyenest. Azt ´all´ıtjuk, hogy

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

396

Hiperbolikus geometria

L-en l´etezik egy j´ ol meghat´ arozott Q pont azzal a tulajdons´aggal, hogy a QA ny´ılt f´elegyenes minden pontja vet¨ uleti pont, m´ıg a komplementer z´art f´elegyenes pontjai nem tartoznak H 0 vet¨ ulet´ehez.

Ehhez elegend˝ o azt az M k´etdimenzi´os alteret tekinteni, amely H-ra mer˝ oleges ´es H-t az L egyenesben metszi. Az A pont L ⊂ M miatt M -nek is v´egtelen t´ avoli pontja, ez´ert M a H 0 hipers´ıkot is metszi egy L-lel p´arhuzamos 0 L egyenesben. Bocs´ assunk mer˝olegest az L0 m´asik, A-t´ol k¨ ul¨onb¨oz˝o v´egtelen t´ avoli B pontj´ ab´ ol L-re, legyen ennek a mer˝olegesnek a talppontja Q. Ezzel el˝ o´ all´ıtottuk a k´etszeresen aszimptotikus ABQ der´eksz¨og˝ u h´aromsz¨oget. Vil´ agos, hogy ha az AQ oldal bels˝o pontj´aban ´all´ıtunk mer˝olegest L-re, akkor az belemetsz a h´ aromsz¨ ogbe, ´es ´ıgy metszi az AB oldalt, azaz az L0 egyenest, ha pedig ak´ ar Q-ban, ak´ ar azon t´ ul, akkor az elker¨ uli a h´aromsz¨og belsej´et ´es L0 -t. Legyen most J tetsz˝ oleges olyan hipers´ık a (d − 1)-dimenzi´os H hiperbolikus t´erben, amely az S sug´ arnyal´abra t´amaszkodik, ´es legyen K az a hipers´ık Hd ben, amely mer˝ oleges H-ra, ´es amelyre J = H ∩K. Ekkor az el˝orebocs´atottak ´ertelm´eben K a H 0 hipers´ıkot is mer˝olegesen metszi egy (d − 1)-dimenzi´os J 0 alt´erben. Jel¨ olje σJ , σK , illetve σJ 0 a megfelel˝o hipers´ıkra vonatkoz´o t¨ ukr¨oz´eseket rendre a H, Hd , illetve H 0 t´erben. Ekkor a H ⊥ K ⊥ H 0 mer˝olegess´egek miatt minden P ∈ H 0 pontra



σJ pH (P ) = σK pH (P ) = pH σK (P ) = pH σJ 0 (P ) ´erv´enyes. Ez azt mutatja, hogy k´et S-re n´ezve korresponde´al´o H-beli pont k¨ oz¨ ul vagy mindkett˝ o vet¨ uleti pont, vagy egyik sem. Ebb˝ol az k¨ovetkezik, hogy a pH (H 0 ) halmaz pontosan az L egyenesen megtal´alt vet¨ uleti pontokkal S-re n´ezve korresponde´ al´ o pontokb´ol ´all, azaz a Q ponton ´atmen˝o paraszf´era altal meghat´ ´ arozott ny´ılt paraszf´era-tartom´any. (3): Jel¨ olje T a H ´es H 0 ultraparallel hipers´ıkok k¨oz¨os mer˝oleges egyenes´et, a d¨ of´espontok legyenek P , illetve P 0 . Ism´et elegend˝o egy olyan M k´etdimenzi´os alt´erre szor´ıtkozni, amely T -t tartalmazza, ´es tiszt´azni, hogy az L = H ∩ ∩ M egyenes pontjai k¨ oz¨ ul melyek ´allnak el˝o vet¨ uletk´ent. Az L0 = H 0 ∩ M

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

´ s hiperbolikus terek 12. Magasabb dimenzio

397

egyenes egyik v´egtelen t´ avoli pontj´ab´ol, A-b´ol bocs´assunk mer˝olegest L-re, a talppont legyen Q. Ha az M s´ıkban L-re egy a P ponthoz Q-n´al k¨ozelebbi pontban ´ all´ıtunk mer˝ olegest, akkor az belemetsz a P QA egyszeresen aszimptotikus h´ aromsz¨ ogbe, ez´ert annak P A oldal´at, ´es emiatt a P P 0 A egyszeresen aszimptotikus h´ aromsz¨ og P 0 A oldal´at is metszi. A Q-ban vagy Q-n´al t´avolabbi pontokban ´ all´ıtott mer˝olegesek hasonl´o okokb´ol diszjunktak L0 -t˝ol. Az L egyenesen teh´ at pontosan a P -hez r-n´el k¨ozelebb lev˝o pontok ´allnak el˝o vet¨ uletk´ent, ahol r a P ´es Q t´avols´aga.

A k´et der´eksz¨ og˝ u, egyszeresen aszimptotikus h´aromsz¨ogb˝ol leolvashat´o, hogy a QP A sz¨ og a Π(r) p´ arhuzamoss´agi sz¨oggel, a P 0 P A sz¨og pedig Π(a)-val egyenl˝ o. A k´et sz¨ og ¨ osszege π/2, ez´ert sin2 Π(a) + sin2 Π(r) = 1, amib˝ol 11.3.7 felhaszn´ al´ as´ aval 1 1 + 2 =1 ch2 a ch r k¨ ovetkezik. Innen ch r-et kifejezve a ch r = cth a k´epletet kapjuk. A P ponton atmen˝ ´ o H-beli egyeneseken teh´at a P -hez r = ch−1 (cth a)-n´al k¨ozelebb lev˝o pontok ´ allnak el˝ o vet¨ uletk´ent. A pH (H 0 ) halmaz teh´at a P k¨or¨ uli r sugar´ u ny´ılt g¨ ombtest H-ban.

12.2. A hiperbolikus t´ er izometri´ ai A 10.4. szakaszban bevezetett I(Hd ) transzform´aci´ocsoportot most r´eszletesebb elemz´esnek vetj¨ uk al´ a. A d = 2 esetet m´ar tiszt´aztuk 11.2-ben, ez´ert most ´ altal´ aban a d ≥ 3 feltev´essel ´el¨ unk. C´elunk egyr´eszt konkr´et izometriat´ıpusok le´ır´ asa ´es sz´ armaztat´ asa, m´asr´eszt a lehets´eges izometri´ak geometriai term´eszet˝ u´ attekint´ese ´es oszt´alyoz´asa. Ebben seg´ıts´eget ad az I(Hd ) csoport konkr´et ´ertelmez´ese mind a projekt´ıv, mind a konform, mind a hiperboloidmodellben.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

398

Hiperbolikus geometria

Az O(d) ortogon´ alis csoport izomorf p´eld´anyai r´eszcsoportk´ent megjelennek I(Hd )-ben mint a pontok stabiliz´atorai (l. 10.1.9). Az O(d) ≤ I(Hd ) jel¨ol´es nem valamely konkr´et r´eszcsoportra utal (hacsak ki nem t¨ untetj¨ uk Hd valamely pontj´ at orig´ o” gyan´ant), hanem csak konjug´alts´ag erej´eig van meg” hat´ arozva, ´es a t´er pontjaihoz m´as-m´as konjug´alt p´eld´anya tartozik. Hasonl´o m´ odon lehet alacsonyabb dimenzi´os ortogon´alis csoporttal izomorf r´eszcsoportokat is sz´ armaztatni I(Hd )-ben. 12.2.1. Defin´ıci´ o (Alt´ er stabiliz´ atora ´ es pontonk´ enti stabiliz´ atora). Legyen M ⊆ Hd alt´er, k = dim M . Az M alt´er stabiliz´ator´an, illetve pontonk´enti stabiliz´ ator´ an az al´ abbi I(Hd )M -mel, illetve I(Hd )M -mel jel¨olt I(Hd )beli r´eszcsoportot ´ertj¨ uk: I(Hd )M I(Hd )M

= {f ∈ I(Hd ) : f (M ) = M } , = {f ∈ I(Hd ) : minden P ∈ M -re f (P ) = P } .

Ha M egyetlen pont, akkor I(Hd )M = I(Hd )M = O(d), ´es ´altal´aban I(Hd )M ≤ I(Hd )M . A hiperboloidmodellben legyen V ≤ W az M -et el˝o´all´ıt´o (k + 1)-dimenzi´os id˝ oszer˝ u alt´er, ekkor a W = V ⊕ V ⊥ q-ortogon´alis felbont´asban V ⊥ t´erszer˝ u, ez´ert I(Hd )M = O(V ⊥ ) = O(d−k). A h´aromdimenzi´os t´erbeli egyenes k¨or¨ uli forgat´ asokat szem el˝ ott tartva erre a r´eszcsoportra u ´gy gondolhatunk, mint az M alt´er k¨ or¨ ul” v´egrehajtott, M -et pontonk´ent fixen tart´o ortogon´alis ” transzform´ aci´ ok csoportj´ ara. L´etezik olyan egys´eges elj´ ar´ as, amellyel a Hd -beli alterek izometri´ai kiterjesztd het˝ ok a befoglal´ o H t´er izometri´aiv´a. Ezt is a hiperboloidmodell ´es az im´enti q-ortogon´ alis felbont´ as seg´ıts´eg´evel lehet a legegyszer˝ ubben ´ertelmezni. 12.2.2. Defin´ıci´ o (Izometria kanonikus kiterjeszt´ ese). Legyen M ⊆ ⊆ Hd alt´er, ´es legyen adott egy g ∈ I(M ) izometria. A hiperboloidmodellben M -et egy V ≤ W id˝ oszer˝ u alt´er, g-t pedig egy ϕ ∈ O+ (V ) pozit´ıv Lorentztranszform´ aci´ o´ all´ıtja el˝ o. A W = V ⊕ V ⊥ q-ortogon´alis felbont´ast tekintve + ϕ ⊕ idV ⊥ ∈ O (W ). A g kanonikus kiterjeszt´es´en a ϕ ⊕ idV ⊥ pozit´ıv Lorentztranszform´ aci´ o l´etes´ıtette Hd -beli izometri´at ´ertj¨ uk. A kanonikus kiterjeszt´es M -re megszor´ıtva az adott g izometri´at adja vissza, az ortogon´ alis kieg´esz´ıt˝ o ir´ anyban pedig nem mozd´ıt semmit. Szeml´eletesen u ´gy gondolhatjuk, hogy az M -en adott izometria mag´aval viszi az M -hez mereven r¨ ogz´ıtett eg´esz teret is. A defin´ıci´ ob´ ol r¨ ogt¨ on k¨ ovetkezik, hogy b´armely M -beli hipers´ıkra vonatkoz´o M -beli t¨ ukr¨ oz´es kanonikus kiterjeszt´ese hipers´ıkra vonatkoz´o t¨ ukr¨oz´es Hd ben. Ebb˝ ol pedig az k¨ ovetkezik, hogy a konform modellekben a kanonikus kiterjeszt´es azonos az 5.3.9-ben ´ertelmezett Poincar´e-kiterjeszt´essel (d − dim M l´ep´esben iter´ alva).

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

´ s hiperbolikus terek 12. Magasabb dimenzio

399

A kanonikus kiterjeszt´es r´ev´en injekt´ıv I(M ) → I(Hd ) homomorfizmust kapunk. Ezt haszn´ alva mostant´ol u ´gy tekintj¨ uk, hogy az I(M ) izometriacsoportot r´eszcsoportk´ent tartalmazza az I(Hd )M stabiliz´ator. ´ ıt´ 12.2.3. All´ as I(Hd )M = I(M ) × I(Hd )M . Bizony´ıt´ as: A m´ ar t¨ obbsz¨ or haszn´alt W = V ⊕ V ⊥ q-ortogon´alis felbont´asb´ol nyilv´ anval´ o, hogy az f ∈ I(Hd )M -et sz´armaztat´o W -beli pozit´ıv Lorentztranszform´ aci´ o el˝ o´ all ϕ ⊕ ψ alakban, ahol ϕ az f |M izometri´at induk´alja, ´es ψ ∈ I(Hd )M . A k´ıv´ ant izomorfizmus az f 7→ (f |M , ψ) hozz´arendel´es, inverz´et a kanonikus kiterjeszt´es ´es az M k¨or¨ uli ortogon´alis transzform´aci´o kompoz´ıci´ oja adja. 12.2.4. P´ elda. A 10.1.11-ben tetsz˝oleges dimenzi´oban ´ertelmezett hiperbolikus eltol´ asra r´ aismerhet¨ unk mint az egyenes ¨onmag´aban t¨ort´en˝o eltol´as´anak kanonikus kiterjeszt´es´ere. Ebben a p´eld´ aban egy´ertelm˝ uen visszakereshet˝o, hogy mi az a legsz˝ ukebb ´ alt´er, amely izometri´ aj´ anak a kanonikus kiterjeszt´es´er˝ol van sz´o. Altal´ aban nem ez a helyzet, ilyen alteret nem mindig lehet egy´ertelm˝ uen tal´alni. Erre a k¨ ovetkez˝ o transzform´ aci´ o mutat p´eld´at. 12.2.5. Defin´ıci´ o (Paraciklikus eltol´ as magasabb dimenzi´ oban). A Hd t´eren paraciklikus eltol´ asnak nevezz¨ uk azokat az izometri´akat, amelyek el˝ o´ allnak valamely k´etdimenzi´os alt´erbeli paraciklikus eltol´as kanonikus kiterjeszt´esek´ent. A paraciklikus eltol´ asokat a konform f´elt´ermodellben lehet a legjobban szeml´eltetni, m´egpedig u ´gy, hogy a ∞ pont a transzform´aci´o fixpontja. A k´etdimenzi´ os esetben l´ attuk (l. pl. 8.7.7), hogy a ∞ pontt´ol megfosztott ide´alis hat´ aron, amely az affin egyenes strukt´ ur´aj´at viseli, a paraciklikus eltol´asok pontosan az eltol´ asok. A d-dimenzi´os esetben a paraciklikus eltol´asokat mint ezek Poincar´e-kiterjeszt´eseit kapjuk, amelyek szint´en eltol´asok a ∞ pontj´at´ol megfosztott inverz´ıv t´erben, azaz a (d − 1)-dimenzi´os euklideszi t´erben. 12.2.6. P´ elda. Tegy¨ uk f¨ ol, hogy az f ∈ I(Hd ) paraciklikus eltol´as az M ⊂ d ⊂ H k´etdimenzi´ os alt´erben adott paraciklikus eltol´as kanonikus kiterjeszt´ese, ´es az A ∈ ∂M v´egtelen t´avoli pont az f fixpontja. Ekkor b´armely olyan os alt´er f -invari´ans, amely az A ir´any´aban p´arhuzamos M M 0 k´etdimenzi´ mel. Emellett f |M 0 is paraciklikus eltol´as M 0 -ben, ´es f az f |M 0 -nek is kanonikus kiterjeszt´ese. Mindez r¨ogt¨on k¨ovetkezik abb´ol, hogy itt tulajdonk´eppen a ∂Hd − {A} euklideszi t´er eltol´asair´ol van sz´o.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

400

Hiperbolikus geometria

12.2.7. Defin´ıci´ o (Elliptikus, parabolikus, hiperbolikus izometria) Legyen f ∈ I(Hd ). Azt mondjuk, hogy f elliptikus, ha van fixpontja Hd -ben. Ha f -nek nincs Hd -ben fixpontja, ´es pontosan egy, illetve pontosan k´et fixpontja van a ∂Hd ide´ alis hat´ aron, akkor f -et parabolikus, illetve hiperbolikus izometri´ anak nevezz¨ uk. Nyilv´ anval´ o, hogy az elliptikus izometri´ak pontosan azok, amelyek a pontok stabiliz´ atoraihoz tartoznak, azaz valamelyik O(d) r´eszcsoporthoz tartoznak. Parabolikus izometri´ ara a paraciklikus eltol´asok, hiperbolikusra az eltol´asok adnak egyszer˝ u p´eld´ at. Megjegyz´es. Ezeket az eredetileg a projekt´ıv egyenes transzform´aci´oival kapcsolatos elnevez´eseket m´ ar alkalmaztuk a hiperbolikus s´ıkgeometri´aban (l. 11.2.4). Figyelj¨ unk arra, hogy a most bevezetett sz´ohaszn´alat csak a s´ık nemidentikus mozg´ asai eset´eben (teh´at csak az ir´any´ıt´astart´o s´ıkbeli esetben) esik egybe a projekt´ıv geometri´ aban haszn´alt defin´ıci´oval. A s´ıkbeli tengelyes t¨ ukr¨ oz´esek hiperbolikus projektivit´ast induk´alnak az ide´alis hat´aron, m´ıg most elliptikus transzform´ aci´ onak min˝os¨ ulnek. 12.2.8. T´ etel. A hiperbolikus t´er b´armely izometri´aja vagy elliptikus, vagy parabolikus, vagy hiperbolikus. Bizony´ıt´ as: El˝ osz¨ or tiszt´ azzuk, hogy b´armely izometri´anak van fixpontja a ar´ as´ aban. Ez a Brouwer-f´ele fixpontt´etel k¨ozvetlen k¨ovetkezm´enye, t´er Hd lez´ hiszen Hd a d-dimenzi´ os z´ art g¨ombtesttel homeomorf, ´es az izometri´ak folytonosak (s˝ ot homeomorfizmusok) az eg´esz Hd -n. Ebb˝ ol r¨ ogt¨ on k¨ ovetkezik, hogy ha valamely f izometri´anak legfeljebb k´et v´egtelen t´ avoli fixpontja van, akkor f elliptikus, parabolikus, vagy hiperbolikus. Ha f -nek kett˝ on´el t¨ obb fixpontja van ∂Hd -ben, akkor v´alasszunk ki h´armat a v´egtelen t´ avoli fixpontok k¨ oz¨ ul. Ez a h´arom pont egy M k´etdimenzi´os alteret fesz´ıt ki. A ∂M projekt´ıv egyenesen az f |∂M projektivit´asnak legal´abb h´arom fixpontja van, ez´ert f |∂M identikus. Emiatt M invari´ans altere f -nek. Az f |∂M lek´epez´es egy´ertelm˝ uen meghat´arozza f -et az M halmazon, ez´ert ekkor f |M is identikus. ´Igy f -nek van Hd -ben is fixpontja, teh´at elliptikus. 12.2.9. T´ etel. A hiperbolikus t´er b´armely izometri´aj´ahoz tal´alhat´o olyan invari´ ans alt´er, amely legfeljebb k´etdimenzi´os. Bizony´ıt´ as: Legyen f ∈ Hd . Ha f elliptikus, azaz van fixpontja Hd -ben, akkor az 0-dimenzi´ os invari´ ans alt´er. Ha f hiperbolikus, akkor k´et v´egtelen t´avoli fixpontja is van, ´es az ezeket ¨osszek¨ot˝o egyenes egydimenzi´os invari´ans alt´er. Legyen v´eg¨ ul f parabolikus, egyetlen fixponttal ∂Hd -ben. Haszn´aljuk az U konform f´elt´ermodellt. Ekkor ∂U az (Rd−1 )+ inverz´ıv t´er, amelyen f M¨obiustranszform´ aci´ o. Feltehetj¨ uk, hogy f fixpontja a f´elt´ermodell ∞ pontja. Ekkor

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

´ s hiperbolikus terek 12. Magasabb dimenzio

401

´ ıt´ az 5.3.6. All´ as alapj´ an f hasonl´os´agi transzform´aci´o Rd−1 -ben. Miut´an f nek nincs fixpontja Rd−1 -ben, ez a transzform´aci´o 4.6.7 alapj´an csak euklideszi egybev´ ag´ os´ ag lehet. Az euklideszi t´er izometri´ainak szerkezet´er˝ol sz´ol´o 4.4.6. T´etelb˝ ol k¨ ovetkezik, hogy b´armely fixpontmentes euklideszi egybev´ag´os´ ag eltol´ ask´ent hat egy legal´ abb egydimenzi´os affin alt´eren, ´es ez´ert tal´alhat´o hozz´ a invari´ ans egyenes. Ehhez az egyeneshez a ∞ pontot hozz´av´eve U -beli k´etdimenzi´ os invari´ ans alt´er ide´alis hat´ar´at kapjuk. Ha a hiperbolikus t´er adott f izometri´aj´ahoz kiszemel¨ unk egy lehet˝o legkisebb dimenzi´ oj´ u M invari´ ans alteret, akkor teh´at h´arom eset lehets´eges : – M egyetlen pont, ´es f ezt a pontot fixen tart´o elliptikus izometria, vagy – M egyenes, ´es f hiperbolikus izometria, amely ezt az egyenest ¨onmag´ aban eltolja, vagy pedig – M k´etdimenzi´ os alt´er, ´es f parabolikus izometria, amely M -en paraciklikus eltol´ as. A m´ asodik esetben M v´ alaszt´asa egy´ertelm˝ u, az els˝o ´es a harmadik esetben altal´ ´ aban nem. ´ ıt´as o¨sszevet´es´evel ´altal´anos k´epet kapunk Hd A 12.2.9. T´etel ´es a 12.2.3. All´ izometri´ ainak szerkezet´er˝ ol. 12.2.10. K¨ ovetkezm´ eny. A hiperbolikus t´er b´armely izometri´aja az al´abbi h´ arom t´ıpus valamelyike: (1) valamely pontot fixen tart´o ortogon´alis transzform´aci´o, (2) eltol´ as egy egyenenes ment´en, kompon´alva az egyenes k¨or¨ uli valamilyen ortogon´ alis transzform´ aci´oval, (3) paraciklikus eltol´ as egy k´etdimenzi´os alt´erben, kompon´alva ezen alt´er k¨ or¨ uli valamilyen ortogon´alis transzform´aci´oval. A d = 3 esetben a sz´ oba j¨ ov˝o ortogon´alis transzform´aci´ok ´attekint´es´evel a h´ aromdimenzi´ os hiperbolikus t´er egybev´ag´os´againak geometriai oszt´alyoz´as´ at kaphatjuk meg. Az al´ abbi k¨ovetkezm´eny felsorolja a lehets´eges eseteket. Az egyes transzform´ aci´ ofajt´ akat az euklideszi t´er eset´ere 4.4-ben bevezetett fogalmak ´ertelemszer˝ u m´ odos´ıt´asa alapj´an nevezz¨ uk el. 12.2.11. K¨ ovetkezm´ eny. A h´aromdimenzi´os hiperbolikus t´erben b´armely mozg´ as vagy egyenes k¨ or¨ uli forgat´as, vagy eltol´as, vagy csavarmozg´as, vagy paraciklikus eltol´ as. B´ armely ir´any´ıt´asv´alt´o egybev´ag´os´ag vagy s´ıkra vonatkoz´ o t¨ ukr¨ oz´es, vagy forgatva t¨ ukr¨oz´es, vagy cs´ usztatva t¨ ukr¨oz´es, vagy paraciklikus cs´ usztatva t¨ ukr¨ oz´es.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

402

Hiperbolikus geometria

Megjegyz´es. A 10.2.16-beli m´asodik p´elda alapj´an a konform f´elt´ermodell haszn´ alata a h´ aromdimenzi´ os t´er mozg´ascsoportj´at a P SL(2, C) csoporttal azonos´ıtja. A komplex projekt´ıv egyenes eset´eben is bevezett¨ uk a parabolikus ´es a hiperbolikus projektivit´ as fogalm´at. A t´er mozg´asai k¨oz¨ ul a forgat´asok, az eltol´ asok ´es a csavarmozg´asok induk´alnak hiperbolikus (vagy loxodromikus, l. 8.7.7) projektivit´ ast az ide´alis hat´aron, a paraciklikus eltol´asok parabolikusat. Ez sincs teljes ¨ osszhangban az ´altal´anos hiperbolikus geometriai terminol´ ogi´ aval, amely szerint a forgat´asok elliptikusak. 12.2.12. Defin´ıci´ o (Speci´ alis r´ eszcsoportok). Bizonyos I(Hd )-beli r´eszcsoportok h´ aromf´ele t´ıpus´ at ´ertelmezz¨ uk. d Ha P ∈ H , akkor GP -vel jel¨olj¨ uk az I(Hd )P stabiliz´atort, vagyis az O(d) ortogon´ alis r´eszcsoport egy p´eld´any´at. A GP csoportot azokra a hipers´ıkokra vonatkoz´ o t¨ ukr¨ oz´esek gener´ alj´ak, amelyek tartalmazz´ak a P pontot. Ha H ⊂ Hd hipers´ık, akkor GH -val jel¨olj¨ uk az I(H) izometriacsoportot, amely az izometri´ ak kanonikus kiterjeszt´ese r´ev´en I(Hd ) r´eszcsoportja. Nyilukr¨oz´esek v´ an I(H) ∼ = I(Hd−1 ), ´es I(H)-t azokra a hipers´ıkokra vonatkoz´o t¨ gener´ alj´ ak, amelyek mer˝ olegesek H-ra. Ha A ∈ ∂Hd , akkor legyen GA azokra a hipers´ıkokra vonatkoz´o t¨ ukr¨oz´esek altal gener´ ´ alt r´eszcsoport I(Hd )-ben, amelyeknek A pontja. A konform f´elt´ermodellt haszn´ alva ´es az A pontot ∞-nek v´alasztva ez a csoport azonos a t¨ ukr¨ oz´esek gener´ alta r´eszcsoporttal az Md−1 M¨obius-csoportban, vagyis az d−1 I(R ) euklideszi izometriacsoporttal. 12.2.13. T´ etel. A hiperbolikus t´erben a szf´er´ak pontosan a 12.2.12-ben defini´ alt speci´ alis r´eszcsoportok orbitjai. Bizony´ıt´ as: Mindegyik speci´ alis r´eszcsoport tranzit´ıvan o¨nmag´aban mozgat egy-egy sug´ arnyal´ abot: GP a P tart´opont´ u metsz˝o sug´arnyal´abot, GH a Hra mer˝ oleges egyenesekb˝ ol a´ll´o ultraparallel sug´arnyal´abot, GA pedig az A tart´ opont´ u p´ arhuzamos sug´ arnyal´abot. A sz´oban forg´o csoportokat a sug´arnyal´ abra t´ amaszkod´ o hipers´ıkokra vonatkoz´o t¨ ukr¨oz´esek gener´alj´ak, ez´ert a csoportok meg˝ orzik a sug´ arnyal´ab ´altal l´etes´ıtett korrespondenci´at. Ebb˝ol a t´etel ´ all´ıt´ asa azonnal k¨ ovetkezik.

12.3. A szf´ er´ ak bels˝ o geometri´ aja A g¨ ombi geometria kapcs´ an 0.3-ban m´ar haszn´altuk a bels˝o geometria kifejez´est an´elk¨ ul, hogy form´ alisan defini´altuk volna. Most pontos ´ertelmet adunk a bels˝ o geometria fogalm´ anak, ´es azt a hiperbolikus t´er szf´er´ainak konkr´et p´eld´ aj´ an vizsg´ aljuk meg.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

´ s hiperbolikus terek 12. Magasabb dimenzio

403

A defin´ıci´ ot ´ altal´ anos keretek k¨oz¨ott, metrikus terek k¨or´eben fogalmazzuk meg. Technikai okokb´ ol most megengedj¨ uk, hogy egy metrikus t´er metrik´aja a +∞ ´ert´eket is felvehesse. Ha a +∞ jellel kapcsolatban az ¨osszead´asra ´es a rendez´esre vonatkoz´ o szok´ asos meg´allapod´asokat tartjuk ´erv´enyben, akkor a metrikus t´erben +∞-nek mint t´avols´agnak a jelenl´ete semmilyen l´enyeges v´ altoz´ ast nem hoz mag´ aval a metrikus terek elm´elet´eben ´es alkalmaz´as´aban. 12.3.1. Defin´ıci´ o (Bels˝ o metrika). Legyen (X, ρ) metrikus t´er. Azt mondjuk, hogy ρ bels˝ o metrika, ha a t´er b´armely k´et x, y ∈ X pontj´ahoz ´es b´armely ε, δ > 0-hoz ρ(x, y) < +∞ eset´en l´etezik olyan n term´eszetes sz´am, ´es l´etezik olyan x = x0 , x1 , . . . , xn = y pontsorozat X-ben, hogy minden i ∈ {1,2, . . . , n}-re ρ(xi−1 , xi ) < δ

´es

n X

ρ(xi−1 , xi ) < ρ(x, y)+ε .

i=1

12.3.2. P´ eld´ ak. Az euklideszi, a g¨ombi ´es a hiperbolikus terek metrik´aja mind bels˝ o metrika. Ez nyilv´anval´o abb´ol, hogy ezekben a terekben a t´avols´ agokat szakaszok reprezent´ alj´ak, amelyek ment´en a t´avols´agm´er´es addit´ıv. Hasonl´ o elven ´ altal´ anoss´ agban is mondhatjuk, hogy ha valamely metrikus t´erben a t´ avols´ agot a pontokat o¨sszek¨ot˝o alkalmas folytonos g¨orb´ek ´ıvhossza adja meg, akkor a t´er metrik´aja bels˝o metrika. A Riemann-f´ele terekben a t´ avols´ ag ´ altal´ aban az ´ıvhossz fogalm´an kereszt¨ ul van ´ertelmezve, ez´ert a Riemann-terek automatikusan bels˝o metrik´aval vannak ell´atva. Ha a t´er metrik´ aj´ anak egy alt´erre val´o megszor´ıt´as´at tekintj¨ uk, akkor ez ´altal´ aban nem bels˝ o metrika, m´eg akkor sem, ha a befoglal´o t´er´e az. Ha p´eld´aul az euklideszi s´ıkb´ ol elhagyunk v´eges sok pontot, akkor a marad´ek halmazon az ¨ or¨ ok¨ olt metrika bels˝ o metrika, m´ıg ha egy pozit´ıv hossz´ us´ag´ u szakaszt hagyunk el, akkor nem az. A k¨ ovetkez˝ o t´etel tiszt´ azza, hogyan lehet metrikus terekhez term´eszetes m´odon bels˝ o metrik´ at rendelni. 12.3.3. T´ etel. Ha (X, ρ) tetsz˝oleges metrikus t´er, akkor egy´ertelm˝ uen l´etezik X-en olyan ρb bels˝ o metrika, amelyre ρ ≤ ρb , ´es amely minim´alis ezekre a tulajdons´ agokra n´ezve, azaz ρb ≤ σ teljes¨ ul, valah´anyszor σ olyan bels˝o metrika X-en, melyre ρ ≤ σ. Bizony´ıt´ as: Tetsz˝ olegesen adott δ > 0 mellett legyen x, y ∈ X-re ρδ (x, y) = ( n ) X = inf ρ(xi−1 , xi ) : n ∈ N, x0 = x, xn = y, ρ(xi−1 , xi ) < δ (i = 1, . . . , n) . i=1

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

404

Hiperbolikus geometria

(Ha a jobb oldalon ´ all´ o halmaz u u ¨res, mert nem l´etezik δ-n´al kisebb l´ep´esk¨oz˝ pontsorozat x ´es y k¨ oz¨ ott, akkor az infimum term´eszetesen +∞.) Ha δ1 ≤ ≤ δ2 , akkor ρδ1 ≥ ρδ2 , mert ρδ2 b˝ovebb halmaz infimumak´ent ´all el˝o. Ez´ert r¨ ogz´ıtett x ´es y mellett a ρδ (x, y) kifejez´es δ f¨ uggv´eny´eben monoton fogy. Vehetj¨ uk teh´ at a hat´ ar´ert´ek´et δ → 0 mellett: ρb (x, y) = lim ρδ (x, y) , δ→0

ami a δ-ban val´ o monotonit´ as miatt sup{ρδ (x, y) : δ > 0}-val egyenl˝o. R¨ogt¨ on l´ athat´ o, hogy minden δ-ra ρ ≤ ρδ , ´es hogy ρδ metrika X-en (p´eld´aul a h´ aromsz¨ og-egyenl˝ otlens´eg a sorozatok ¨osszef˝ uz´es´eb˝ol ad´odik a ρ-ra vonatkoz´ o h´ aromsz¨ og-egyenl˝ otlens´egb˝ol). Ez´ert egyr´eszt ρ ≤ ρb , m´asr´eszt miut´an metrik´ ak supremumak´ent ´ all el˝o, ρb maga is metrika. Megmutatjuk, hogy ρb bels˝ o metrika. Ehhez tegy¨ uk f¨ol, hogy valamely x, y ∈ ∈ X-re ρb (x, y) < +∞, ´es legyenek ε ´es δ tetsz˝oleges pozit´ıv sz´amok. Miut´an ρb (x, y) v´eges, ρδ (x, y) is v´eges, ´es ez´ert l´etezik olyan n tem´eszetes sz´am ´es l´eteznek olyan x = x0 , x1 , . . . , xn = y pontok X-ben, hogy minden i = = 1, . . . , n -re ρ(xi−1 , xi ) < δ. Most v´alasszunk olyan δ 0 pozit´ıv sz´amot, hogy minden i = 1, . . . , n-re ρb (xi−1 , xi ) < ρδ0 (xi−1 , xi ) +

ε n

teljes¨ ulj¨ on. Ekkor n X

ρb (xi−1 , xi )
0 mellett ρb (x, y) < < σ(x, y) + ε. Ebb˝ ol x, y ´es ε tetsz˝oleges volta miatt ρb ≤ σ k¨ovetkezik. Ha σ(x, y) = +∞, akkor nincs mit bizony´ıtani. Ha pedig σ(x, y) v´eges, akkor b´ armely δ > 0-hoz tal´ alhat´ o (δ-t´ol f¨ ugg˝o) n ∈ N ´es x = x0 , x1 , . . . , xn = y X-beli pontsorozat u ´gy, hogy a n X

σ(xi−1 , xi ) < σ(x, y) + ε

i=1

egyenl˝ otlens´eg fenn´ all. Ekkor ρδ defin´ıci´oja ´es ρ ≤ σ miatt ρδ (x, y) ≤

n X i=1

www.interkonyv.hu

ρ(xi−1 , xi ) ≤

n X

σ(xi−1 , xi ) ≤ σ(x, y) + ε .

i=1

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

´ s hiperbolikus terek 12. Magasabb dimenzio

405

Miut´ an ez az egyenl˝ otlens´eg minden δ > 0-ra ´erv´enyes, ρb (x, y) < σ(x, y) + ε k¨ ovetkezik. Ebb˝ ol a minimalit´asi tulajdons´agb´ol a ρb metrika egy´ertelm˝ us´ege nyilv´ anval´ o. 12.3.4. Defin´ıci´ o (Sz´ armaztatott bels˝ o metrika). A 12.3.3. T´etel szerinti ρb metrik´ at a ρ ´ altal sz´ armaztatott bels˝o metrik´anak, vagy egyszer˝ uen csak az (X, ρ) metrikus t´er bels˝ o metrik´aj´anak nevezz¨ uk. Megjegyz´es. A ρ ≤ ρb egyenl˝otlens´eg miatt a bels˝o metrika szerinti topol´ogia mindig legal´ abb olyan finom, mint az eredeti metrikus topol´ogia. K¨onny˝ u olyan metrikus teret mutatni, ahol val´odi m´odon finomabb: p´eld´aul a {0} ∪ ∪{1/n : n ∈ N} halmazon a sz´amegyenesb˝ol ¨or¨ok¨olt metrika ´altal sz´armaztatott bels˝ o metrika diszkr´et. Ahhoz, hogy a bels˝o metrik´ara val´o ´att´er´eskor a topol´ ogia ne v´ altozzon, a t´ernek sz´ep” lok´alis tulajdons´agokkal kell b´ırnia. A ” pontos felt´etelekkel itt nem foglalkozunk, mert a bels˝o metrik´at csak n´eh´any konkr´et metrikus t´er eset´eben fogjuk vizsg´alni. 12.3.5. P´ elda. Tekints¨ uk a d-dimenzi´os g¨ombi teret, azaz egy (d+1)-dimenzi´os V euklideszi vektort´er S egys´egg¨ombj´et (l. 4.7). Jel¨olj¨ uk ρ-val az euklideszi t´ avols´ ag megszor´ıt´ as´ at S-re. Ekkor ρ nem bels˝o metrika S-en, de a ρg g¨ombi t´ avols´ ag az, s˝ ot ρg = ρb . A k¨ovetkez˝o lemma szerint ez az ut´obbi egyenl˝os´eg l´enyeg´eben a g¨ ombi h´ aromsz¨og-egyenl˝otlens´egnek ´es a k´et metrika 4.7.6. Lemm´ ab´ ol k¨ onnyen k¨ ovetkez˝o limρ→0 (ρg /ρ) = 1 viszony´anak k¨osz¨onhet˝o. 12.3.6. Lemma. Legyen ρ ´es σ k´et metrika az X halmazon, amelyekre ρ ≤ ≤ σ. Tegy¨ uk f¨ ol, hogy σ = f ◦ ρ, ahol az f f¨ uggv´eny jobbr´ol differenci´alhat´o a 0 pontban ´es f 0 (0) = 1. Ha emellett σ bels˝o metrika, akkor σ = ρb . Bizony´ıt´ as: Csak azt kell megmutatnunk, hogy σ ≤ ρb . Ehhez elegend˝o bel´ atni, hogy b´ armely r¨ ogz´ıtett x, y ∈ X, x 6= y, ´es tetsz˝oleges ε > 0 mellett σ(x, y) < ρb (x, y) + ε. Feltehetj¨ uk, hogy ρb (x, y) < +∞. Legyen ε0 = ε/(ρb (x, y) + 1), ehhez f (0) = 0 ´es f 0 (0) = 1 miatt v´alaszthatunk olyan pozit´ıv δ sz´ amot, hogy x < δ eset´en f (x) ≤ (1 + ε0 )x teljes¨ ulj¨on. A ρb metrika bels˝ o volta miatt δ-hoz tal´alhat´o olyan n ∈ N ´es x = x0 , x1 , . . . , xn = y pontsorozat, Pn hogy minden i-re ρb (xi−1 , xi ) < δ (ann´al ink´abb ρ(xi−1 , xi ) < δ), ´es i=1 ρb (xi−1 , xi ) < ρb (x, y) + 1. Ekkor σ(x, y) ≤

n X

σ(xi−1 , xi ) =

i=1

≤ (1 + ε0 )

n X

n X
f ρ(xi−1 , xi ) ≤ (1 + ε0 ) ρ(xi−1 , xi ) ≤

i=1 n X

ρb (xi−1 , xi ) < (1 + ε0 ) ρb (x, y) + 1

i=1




= ρb (x, y) + ε .

i=1

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

406

Hiperbolikus geometria

A term´eszetes metrik´ aval ell´atott Hd metrikus t´erben a szf´er´ak maguk is metrikus terek a befoglal´ o t´erb˝ol o¨r¨ok¨olt metrik´aval. A 12.3.3. T´etel alapj´an a szf´er´ akon l´etezik egy egy´ertelm˝ uen meghat´arozott bels˝o metrika. Az al´abbi t´etel geometriailag jellemzi a szf´er´ak bels˝o metrik´aj´at. 12.3.7. T´ etel. Ha P ´es Q az S ⊂ Hd szf´era k´et k¨ ul¨onb¨oz˝o pontja, akkor S bels˝ o metrik´ aja szerint P ´es Q t´avols´aga egyenl˝o a P -n ´es Q-n ´athalad´o f˝ ociklus P ´es Q k¨ ozti (k¨ or eset´en r¨ovidebbik) ´ıv´enek ´ıvhossz´aval. Bizony´ıt´ as: A 12.3.6. Lemm´ at alkalmazzuk X = S-re olyan szereposzt´assal, hogy ρ a Hd -b˝ ol ¨ or¨ ok¨ olt metrik´at jel¨oli, σ pedig a f˝ociklusok ´ıvhossza szerinti t´ avols´ agot. Megel˝ olegezz¨ uk azt t´enyt, hogy σ val´oban metrika, ez ugyanis k¨ onnyen ad´ odik majd az (erre a t´etelre nem t´amaszkod´o) 12.3.8. T´etel k¨ovetkezm´enyek´ent. A k´et metrik´ at o o f f¨ uggv´enyt el˝o´all´ıtottuk a 11.4.3.(2), 11.4.6.(2) ¨sszekapcsol´ ´es 11.4.7.(2) T´etelekben: – az r sugar´ u g¨ omb eset´eben f (x) = 2 sh r sin−1

sh(x/2) , sh r

– az r sugar´ u hiperszf´era eset´eben f (x) = 2 ch r sh−1

sh(x/2) , ch r

– a paraszf´era eset´eben f (x) = 2 sh(x/2). Mindh´ arom f¨ uggv´enyre k¨ onnyen ellen˝orizhet˝o m´odon teljes¨ ulnek a 12.3.4. Lemma felt´etelei, ez´ert a lemma alapj´an a szf´er´ak bels˝o metrik´aj´at val´oban a f˝ ociklusok ment´en m´ert ´ıvhossz adja. A f˝ ociklusok ´ıvhossz´ aval mint t´avols´aggal (azaz 12.3.7 szerint a bels˝o metrik´ aval) ell´ atott szf´er´ ak a klasszikus geometriai terekkel izometrikusak, err˝ol sz´ ol utols´ o t´etel¨ unk. A t´etel m´asodik ´all´ıt´asa Bolyai nevezetes t´etele a paraszf´era bels˝ o geometri´ aj´ ar´ ol, amelyet axiomatikus alapon bizony´ıtott be a h´ aromdimenzi´ os t´er eset´eben. 12.3.8. T´ etel. A szf´er´ ak bels˝o geometri´aja g¨ombi, euklideszi, illetve hiperbolikus geometria. Pontosabban, legyen a d-dimenzi´os Hd hiperbolikus t´erben fekv˝ o S szf´era ell´ atva a bels˝ o metrik´aj´aval, ekkor : (1) ha S g¨ omb ´es a sugara r, akkor S izometrikus az euklideszi ´ertelemben sh r sugar´ u (d − 1)-dimenzi´os g¨ombi t´errel, (2) ha S paraszf´era, akkor S izometrikus a (d − 1)-dimenzi´os euklideszi t´errel,

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

´ s hiperbolikus terek 12. Magasabb dimenzio

407

(3) ha S hiperszf´era ´es a sugara r, akkor S izometrikus azzal a (d − 1)dimenzi´ os hiperbolikus t´errel, amelyben a term´eszetes t´avols´agegys´eg ch r-szeres´et haszn´ aljuk a t´avols´ag m´ert´ekegys´egek´ent. Bizony´ıt´ as: (1): Haszn´ aljuk a Z hiperboloidmodellt az Rd,1 standard Minkowski-t´erben. Feltehetj¨ uk, hogy S k¨oz´eppontja a (0, . . . ,0,1) ∈ Z pont, ekkor S-et az xd+1 = ch r affin hipers´ık metszi ki Z-b˝ol. Vet´ıts¨ uk S-et az xd+1 koordin´atatengely ir´ any´ aban a t¨ obbi tengely ´altal kifesz´ıtett xd+1 = 0 hipers´ıkra. Az S elemeit (x, ch r) alakban ´ırva a vet´ıt´est a v : (x, ch r) 7→ x formula adja meg, ´es ebb˝ ol nyilv´ anval´ o, hogy a v(S) halmaz az orig´o k¨or¨ uli sh r sugar´ u g¨omb az xd+1 = 0 t´erszer˝ u hipers´ıkban, azaz d-dimenzi´os euklideszi vektort´erben. A 11.4.3.(1)-beli ´ıvhosszformul´ ab´ol k¨ovetkezik, hogy v izometria. (2): A hiperboloidmodell Z alaphalmaz´ab´ol S-et most egy V f´enyszer˝ u hipers´ıkkal p´ arhuzamos T affin hipers´ık metszi ki. A q kvadratikus alak V -n elfajul´ o pozit´ıv szemidefinit, magtere az U = V ∩ V ⊥ egydimenzi´os alt´er. V´alasszunk ki T -ben egy tetsz˝ oleges (d − 1)-dimenzi´os E affin alteret, amelynek az ir´ anya f¨ uggetlen U -t´ ol, ´es legyen v : T → E az U ir´any´ u vet´ıt´es. Az U alt´er a hiperboloid egy ide´ alis pontj´at reprezent´alja, teh´at az U -val p´arhuzamos T beli egyenesek S-et egyetlen pontban d¨ofik. Ez´ert v|S bijekci´o S ´es E k¨oz¨ott. → − A q kvadratikus alak pozit´ıv definit az E ≤ V alt´eren, teh´at q megszor´ıt´asa E-t euklideszi t´err´e teszi. Amikor a 11.4.2 szerinti ´ıvhosszk´epletet egy S-beli r param´eteres g¨orb´ere alkalmazzuk, az r0 (t) deriv´ altvektorok minden t-re a V alt´erben fekszenek. Miut´ an U a q|V kvadratikus alak magja, az U ir´any´ u vektorok hozz´aad´asa nem befoly´ asolja q ´ert´ek´et. Ez´ert az E-beli v ◦ r g¨orbe ´ıvhosszk´eplet´eben az integrandus ugyanaz a f¨ uggv´eny, mint az r g¨orb´e´eben:


q (v ◦ r)0 (t) = q v(r0 (t)) = q r0 (t) . Az S-beli paraciklusokat U -val p´arhuzamos k´etdimenzi´os affin alterek metszik ki Z-b˝ ol, ez´ert a v vet´ıt´esn´el keletkez˝o E-beli vet¨ uleteik egyenesek. A v|S : : S → E vet´ıt´es teh´ at ´ıvhossztart´o m´odon k´epezi az S-beli paraciklusokat az E-beli egyenesekre. Ez azt jelenti, hogy v izometria a bels˝o metrik´aval ell´ atott S paraszf´era ´es az E euklideszi t´er k¨oz¨ott. (3): Jel¨ olj¨ uk H-val az S hiperszf´era alaphipers´ıkj´at, ´es tekints¨ uk a H-ra t¨ort´en˝ o pH mer˝ oleges vet´ıt´est. A pH |S : S → H vet´ıt´es S tengelyei ment´en t¨ ort´enik, ez´ert bijekt´ıv, ´es S f˝ociklusainak a vet¨ uletei egyenesek H-ban. A 11.4.6.(1) T´etel szerint pH |S izometria a bels˝o metrik´aval ell´atott S ´es a term´eszetes metrika ch r-szeres´evel ell´atott H hiperbolikus t´er k¨oz¨ott. Megjegyz´es. A hiperbolikus t´erben teh´at a szf´er´ak k´ep´eben megjelenik mindh´ arom klasszikus geometriai rendszer, m´egpedig az ¨osszes olyan v´altozatban, amelyben a g¨ orb¨ ulet legal´ abb −1, azaz legal´abb akkora, mint a befoglal´o t´er

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

408

Hiperbolikus geometria

g¨ orb¨ ulete. Val´ oban, a hiperszf´er´ak g¨orb¨ ulete (−1/ ch2 r) a [−1,0) intervallum2 ban, a g¨ omb¨ ok g¨ orb¨ ulete (1/ sh r) a (0, +∞) intervallumban vesz fel minden lehets´eges ´ert´eket, a paraszf´er´ak g¨orb¨ ulete pedig 0.

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

T´ argymutat´ o 24-cella 6.3.19 120-cella 6.3.19 600-cella 6.3.19 ´ A, A affin b´ azis 1.3.14, 1.7.7 affin burok 1.3.6 affin csoport 1.1.6 affin ekvivalencia 9.1.14 affin forma 1.2.4 affin geometria alapt´etele 1.6.7–8 affinit´ as 1.1.6, 1.7.7 affin kombin´ aci´ o 1.3.1, 1.7.7 affin koordin´ atarendszer 1.1.9, 1.3.17 affin lek´epez´es 1.1.3 affin lek´epez´es lineariz´ altja 1.1.3 affin szimmetria 1.2.15 affin t´er 1.1.1 alapegyenes, hiperciklus´e 11.1.10 alapfogalom 0.1 alapg¨ omb, inverzi´ o´e 5.2.1 alaphipers´ık, hiperszf´er´ a´e 12.1.12 alappontok 5.4.2 alland´ ´ o sz´eless´eg˝ u test 7.2.7 altal´ ´ anos helyzet˝ u pontok 9.3.9 alt´er, affin 1.2.1, 1.7.7 alt´er, g¨ ombi 4.7.1 alt´er, hiperbolikus 10.1.1 alt´er, projekt´ıv 8.1.3 Apoll´ oniosz-k¨ or 5.4.2 aszimptota 9.1.21 aszimptotikus h´ aromsz¨ og 11.5.7

aszimptotikus konvex soksz¨og 11.5.7 ´atlagos sz´eless´eg 7.2.3 atlasz 8.2.4 axi´oma 0.1 B Banach–Hahn-t´etel 2.4.2 Banach-f´ele fixpontt´etel 4.6.7 baricentrikus koordin´at´ak 1.4.10, 1.7.7 bels˝o geometria 0.3, 12.3.8 bels˝o metrika 12.3.1 Birkhoff-polit´op 3.2.5 Blaschke kiv´alaszt´asi t´etele 7.3.8 Blaschke t´etele a g¨ombr˝ol 7.5.9 Bolyai-f´ele abszol´ ut szinuszt´etel 11.4.5 Brianchon t´etele 9.4.7 Brunn–Minkowski-egyenl˝otlens´eg 7.6 C Carath´eodory t´etele 2.2.1 Cauchy–Schwarz-egyenl˝otlens´eg 4.1.2 Cavalieri-elv 7.1.1 Cayley–Klein-modell 10.1.2 Cayley-f´ele t´avols´agformula 10.1.12 centr´alis vet´ıt´es 8.3.10 Ceva t´etele 1.5.3 ciklus 11.1.10, 11.2.8 Clifford-eltol´as 4.7.12 Clifford-p´arhuzamos 4.7.15, 8.2.7 Cs csavarmozg´as 4.4.8 409

www.interkonyv.hu

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

´ rgymutato ´ Ta

410

csoporthat´ as 6.1.1 cs´ ucs, konvex halmaz´e 2.5.1 cs´ ucs, konvex poli´eder´e 3.1.9 cs´ ucsalakzat 6.3.7 cs´ usztatva t¨ ukr¨ oz´es 4.4.8, 11.2.9 D defektus 11.5.10 der´eksz¨ og˝ u hiperbola 9.3.17 Desargues-invol´ uci´ o 9.3.14 Desargues invol´ uci´ ot´etele 9.3.13, 9.3.15 Desargues t´etele, affin 1.5.6 Desargues t´etele, projekt´ıv 8.5.2 dilat´ aci´ o 1.1.10 dimenzi´ o, affin t´er´e 1.1.1 dimenzi´ o, konvex halmaz´e 2.3.4 dimenzi´ oformula 8.1.5 direkt szorzat, affin terek´e 1.1.2 dodeka´eder 6.2.8 du´ alis affin form´ ak 1.3.20 du´ alis kombinatorikai szerkezet 3.2.9 du´ alis projekt´ıv t´er 8.1.2 dualit´ as elve 8.3.5 ´ E, E egyenes, affin 1.1.1 egyenes, hiperbolikus 10.1.1 egyenes, projekt´ıv 8.1.3 egyk¨ openy˝ u hiperboloid 9.1.16 egyparam´eteres mozg´ ascsoport 11.2.5, 11.2.7 egyparam´eteres transzform´ aci´ocsoport 8.7.9, 10.2.16 egys´egvektor 0.2.2 egyszeresen tranzit´ıv csoporthat´as 6.1.14 ellipszis 9.1.16, 9.1.20–21 ellipszoid 9.1.16 ellipszoidtest 2.1.3, 2.5.7, 9.2.17

www.interkonyv.hu

elliptikus izometria 12.2.7 elliptikus k¨orsor 5.5.2 elliptikus paraboloid 9.1.16 elliptikus projektivit´as 8.7.6, 11.2.4 eltol´as, affin t´erben 1.1.10 eltol´as, euklideszi t´erben 4.2.8 eltol´as, hiperbolikus s´ıkon 11.2.1 eltol´as, hiperbolikus t´erben 10.1.11 elv´alaszt´asfogalom, projekt´ıv 8.2.7 elv´alaszt´as hipers´ıkkal 2.4.1 elv´alaszt´as hipers´ıkkal, szigor´ u 2.4.1 ´erintkez´es, g¨omb¨ok´e 5.1.8 ´erintkez´es, hiperg¨omb¨ok´e 5.1.6 ´erint˝o 9.2.6 ´erint˝ohipers´ık 5.1.5, 9.2.9 ´erint˝ot´er 4.7.2, 10.3.14 ´erint˝ovektor 4.7.2, 10.3.14 euklideszi ekvivalencia 9.1.17 euklideszi t´er 4.2.1 euklideszi vektort´er 0.2.6, 4.1.1 Euler-formula 3.3.1 Euler-hipers´ık 3.3.2 extrem´alis pont 2.5.6 F faktort´er, affin t´er´e 1.1.2 Fano t´etele 8.6.17 f´elegyenes, affin 1.8.6 f´elegyenes, hiperbolikus 10.1.1 felez˝o mer˝oleges hipers´ık 4.3.13, 10.1.8 f´els´ık, affin 1.8.6 f´els´ık, hiperbolikus 10.1.1 felsz´ın, g¨omb¨ok´e 7.1.18 felsz´ın, konvex test´e 7.1.16 felsz´ın, polit´op´e 7.1.12 f´elt´er, affin 1.8.6 f´elt´er, hiperbolikus 10.1.1 f´enyk´ up 10.3.3 f´enyszer˝ u 10.3.3 f˝ociklus 12.1.13 f´okusz 9.1.21

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

´ rgymutato ´ Ta

folytonos lek´epez´es affin terek k¨ oz¨ ott 1.8.13 ford´ıtott Cauchy–Schwarz-egyenl˝otlens´eg 10.3.4 forgat´ as, hiperbolikus s´ıkon 11.2.2 forgatva t¨ ukr¨ oz´es 4.4.2 f˝ otengelyt´etel 9.1.18 Fr´egier-pont 9.4.14 Fr´egier t´etele 9.4.13 f¨ uggetlen hipers´ıkok 1.2.6 f¨ uggetlen pontok affin t´erben 1.3.13 f¨ uggetlen pontok projekt´ıv t´erben 8.2.11 G Gauss–Bonnet-t´etel 11.5.10 Gauss-g¨ orb¨ ulet 0.3, 11.3 Girard-formula 0.3.10 g¨ omb 4.6.9, 12.1.12, 12.3.8 g¨ ombfel¨ ulet bels˝ o geometri´ aja 0.3 g¨ ombh´ aromsz¨ og 0.3.2 g¨ ombi k¨ orsor 5.5.2 g¨ ombi koszinuszt´etel, oldalakra 0.3.4, 4.7.9 g¨ ombi koszinuszt´etel, sz¨ ogekre 0.3.8 g¨ ombi szinuszt´etel 0.3.3 g¨ ombi t´ avols´ ag 4.7.5 g¨ ombi t´er 4.7.1 g¨ ombi t¨ ukr¨ oz´es 5.2.14 g´ ula 3.2.5 H harmonikus invol´ uci´ o 8.6.12 harmonikus n´egyes 8.6.9 harmonikus t´ ars 8.6.9 has´ ab 3.2.5 hasonl´ os´ ag 4.6.1 hatv´ any 5.1.12 hatv´ anyhipers´ık 5.1.15

www.interkonyv.hu

411

Hausdorff-t´avols´ag 7.3.1 Helly t´etele 2.2.5, 2.2.7 helyvektor 0.2.1, 1.1.2 Hilbert-f´ele axi´omarendszer 0.1, 10.4 hiperbola 9.1.16, 9.1.20–21 hiperbolikus izometria 12.2.7 hiperbolikus k¨orsor 5.5.2 hiperbolikus koszinuszt´etel, oldalakra 10.1.16, 10.3.21, 11.3.1 hiperbolikus koszinuszt´etel, sz¨ogekre 11.3.3 hiperbolikus paraboloid 9.1.16 hiperbolikus projektivit´as 8.7.6, 11.2.4 hiperbolikus szinuszt´etel 11.3.2 hiperbolikus t´avols´ag 10.1.13 hiperbolikus t´er 10.1.1, 10.4.1 hiperboloidmodell 10.3.6 hiperciklikus koordin´at´ak 11.4.8 hiperciklus 11.1.10 hiperciklus´ıv hossza 11.4.6 hiperg¨omb 4.6.9 hiperlap, konvex halmaz´e 2.5.1 hiperlap, konvex poli´eder´e 3.1.3 hipers´ık, affin 1.2.3 hipers´ık, hiperbolikus 10.1.1 hipers´ık, ide´alis 8.4.1 hipers´ık, projekt´ıv 8.1.3 hipers´ık, sug´arnyal´abra t´amaszkod´o 12.1.10 hipers´ıksor 8.1.4 hiperszf´era 12.1.12, 12.3.8 homeomorfizmus 1.8.14 homog´en koordin´at´ak 8.2.5 homot´ecia 1.1.10 Hopf-f´ele k¨orrendszer 4.8.3, 8.2.7 I, ´ I ide´alis h´aromsz¨og 11.5.7 ide´alis hat´ar 10.1.19 ide´alis pont 8.4.1 id˝oszer˝ u 10.3.3 ikoza´eder 6.2.8

© Moussong Gábor

© Typotex Kiadó

412

ikoza´edercsoport 6.2.9 invari´ ans halmaz 6.1.3 inverzi´ o 5.2.1 inverz´ıv b˝ ov´ıt´es 5.3.1 inverz´ıv csoport 5.3.2 inverz´ıv t´er 5.3.1 invol´ uci´ o 8.6.11 ir´ any´ıt´ as, affin t´er´e 1.8.1 ir´ any´ıt´ as, vektort´er´e 0.2.9 ir´ any´ıt´ astart´ o affinit´ as 1.8.4 ir´ any´ıt´ astart´ o izometria 10.4.2 ir´ any´ıt´ astart´ o M¨ obius-transzform´aci´ o 5.3.12 ir´ anyvektor 4.3.2, 4.7.3, 10.3.15 ´ıvhossz, t´erszer˝ u g¨ orb´e´e 11.4.2 ´ıvhossz szerinti param´eterez´es 10.3.16 izodiametrikus egyenl˝ otlens´eg 7.6.1 izometria 4.2.7 izometriacsoport 4.2.7 izoperimetrikus egyenl˝ otlens´eg 7.6.2 J Jacobi-azonoss´ ag 0.2.18 Jordan-m´ert´ek 7.1.1 K kanonikus kiterjeszt´es, izometri´a´e 12.2.2 keresztpolit´ op 3.2.5 k´etk¨ openy˝ u hiperboloid 9.1.16 kett˝ os g´ ula 3.2.5 kett˝ osviszony 8.6.1 kett˝ osviszony, k¨ ori 9.4.18 kett˝ osviszony, k´ upszeleti 9.4.3 kifejt´esi t´etel 0.2.17 kistengely 9.1.21 kocka 6.2.8 kocka, d-dimenzi´ os 6.3.6 kolline´ aci´ o, affin t´erben 1.6.1 kolline´ aci´ o, projekt´ıv t´erben 8.5.3

www.interkonyv.hu

´ rgymutato ´ Ta

kombinatorikai szerkezet, polit´op´e 3.2.9 komplementer affin alterek 1.2.12 komplementer f˝ok¨or 4.8.6 komplex ellipszis 9.1.16 komplexifik´aci´o 8.2.14, 8.3.14, 9.1.23, 9.1.24 komplex parabola 9.1.16 koncentrikus paraciklusok 11.1.10 koncentrikus paraszf´er´ak 12.1.12 konfok´alis k´ upszeletek 9.3.18 konform modell 10.2.13 kongruencia 10.1.3, 10.2.5, 10.3.8 konjug´alt g¨ombi k¨orsorok 5.5.4 konjug´alt pontok 9.2.1 konjug´alt s´ıksorok 5.5.3 konvex burok 2.1.6 konvex halmaz 2.1.2 konvex kombin´aci´o 2.1.7 konvex k´ up 3.1.3