Geometria del calcolo delle variazioni [1 ed.] 3642109578, 9783642109577, 9783642109591 [PDF]

Zitiervorschau

E. Bompiani ( E d.)

Geometria del calcolo delle variazioni Lectures given at the Centro Internazionale Matematico Estivo (C.I.M.E.), held in Saltino (Firenza), Italy, August 21-30, 1961

C.I.M.E. Foundation c/o Dipartimento di Matematica “U. Dini” Viale Morgagni n. 67/a 50134 Firenze Italy [email protected]

ISBN 978-3-642-10957-7 e-ISBN: 978-3-642-10959-1 DOI:10.1007/978-3-642-10959-1 Springer Heidelberg Dordrecht London New York

©Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011 st Reprint of the 1 ed. C.I.M.E., Ed. Cremonese, Roma, 1961 With kind permission of C.I.M.E.

Printed on acid-free paper

Springer.com

CENTRO INTERNATIONALE MATEMATICO ESTIVO (C.I.M.E)

Reprint of the 1st ed.- Saltino, Italy, August 21-30, 1961

GEOMETRIA DEL CALCOLO DELLE VARIAZIONI

H. Busemann:

The synthetic approach to Finsler spaces in the large .................. 1

E. T. Davies:

Vedute generali sugli spazi variazionali ..................................... 73

D. Laugwitz:

Geometrical methods in the differential geometry of Finsler spaces ....................................................................... 173

V. V. Wagner:

Geometria del calcolo delle variazioni..................................... 227

CENTRO IRTERlIAZIONALE loIATEllATICO ESUVO ( C.I. M.E. )

H. BUSEIWIlI

THE SYNTHETIC APPROACH TO lINSLER SPACES II! THE LARGE

ROM! - Ist1tuto Katematlco d.ll t Un1vers1ta - 1961

1

THE SlNTHETIC llPROACH TO PINSLER SPACES IN THE LARGE

1. INTRODUCTION. CURVES AND SEGKENTS.

The geodesics of a Riemann space can be obtained as curves which are locally shortest connections or as the autoparallel curves of the distinguished affine connexion of LevlClvita. Parallel displacement along a curvs maps the 100al geometry at

ODS

point of the curve isometrically on that at another.

Dlrec~

extension of the second method to linsler spa-

ces where the line element has the form D de =. F(x\ • • Of xU, dl:: \ • • ., dx )

= 1(x,

dx)

and '(x, dx) satisfies certain standard conditions, is impossible because the local geometry of a Finsler space 1s Minkowskian and two n-dimensional Minkowski spaces are in general Dot isometric.

Nevertheless , generalizations of parallel displacement have played 8 major role in the theory of Finsler spaces in two different approaohes. The space may be considered as a set of line elements rather than points to which local euclidean geometries are attached . Since this will be the topic of Profe ssor Davies' lectures I will not dwell on it here. The second approach is to consider the apace as a point, hence 100al11 Minkowskian space and to faoe the concomitant analytical difficulties as well as imperfection inherent 3

- 2 -

H.Busemann

to any concept of parallel d1splacement in 11naler spaces. !his 1s the topic of Professor Wagnerls lectures.

I)

Thirdly, ODe may start from the definit10n of geodesic as a locally shortest join and avoid the analyt1cal compllcations by not us1n& analysis. AlthoU&h this Se8lllB to contradict the ve-

ry name -differential geometry- synthetic arguments partlr topological and partly similar to those of euclidean geometry haTe proved Tery successful in particular when dealing with problems in the large. !hese lectures will give an introduction to the

field. lor simplicity we restriot ourselves to the case of symme-

= p(x, -dx»,

tric distance. (p(x, dx)

but much cf the material

can and has been extended to the non-symmetric case, see Busemann

[11

and Zaustinsky [I] •

Proofs are expected in these cycles. Some proofs in the present theorr are long and the technicalities are uninteresting. In particular at the beg'nnjnB, proofs become necessary only be-

cause the axioms are chosen as weak as possible, whereas all consequences ot the axioms would

h~e

to be postulated, if they were

not contained in the axioms. Doubts have been expressed regarding the power of synthetic methods in differential geometry. !he only way ot combatting the doubts is to exhibit the efficiency ot these methods in many different areas. We therefore will outline the proots only in those cases where they elucidate the reason for the superiority ot

geomet~lc

arguments.

1)

Readers who should see these notes without those of Professors DaVies and Waener are reterred ~c Cartan [1] and Rund [IJ • 4

- 3H.:Busemann

We are interested in the intrinsic geometry in the large of complete rineler spaces, and our method is axiomatic. The

distance is for us not the infinitesimal distance given by a line element, but the finite intrinsic distance of two points in the ma-

nifold. Therefore our first

axi~

is :

I. The space, R, is metric. !he distance of two points x,l is denoted by xy and satisties the standard conditions xx

= a, xy = yx > 0

for x ~ y and

xy+yz~O.

A curve x( t),

[0(, JJ

terval if D : t we put

0(

0(


0>

exist.

't so that a

point Xo with pXo = pb and (acx ) exists . Similarly a point 70 with o (cay) and py = pb exists 9 60 that the sphere K(pt pb) intersects o 0 G .t le.st thrico . (Figure 4). 40

- 39 H.BuselWUl D

is the n-dimensional affine spaoe with affine COOl"'" n dinette %1"'.' Xnt then a Minkowski metric in A. 1s given by If A.

m(x.y)

= ley

- x)

= l(Yl

- xl.···. 1n -~) •

where lex) satisfies the standard condition l(x);' 0 for

I

x! 0 • l(le:) = kl'(x)

for

k'7 0

and lex) + F(Y) ~ p(x + y) which is equivalent to rsquiring thet

F(x)

= 1 1s

a convex ffUriace . Here we are only interested in the

symmetric case m(x,y)

= m(y,x )

which corresponds to the condition

lex) = 7(-x). The space then satisfies our axioms I to IV, but general Dot V • It w11l satisty V only if the surface l ex)

in

= 1 is

strictI: convex. The space is then straight with the affine lines as geodesics. The sphere K(pt f

tic to l ex )

=1

) 1s

given by F(x - p)

=.1'

and is homothe-

• Thus all spheres are striotly convex, so that ac-

cording to our theory the perpendicular to a given line through a given point PsG exists. Perpendicularity of lines is in general not a symmetric concept. In fact, if the dimension of the spaoe exceeds 2, then accord1n& to Blaschke [1J perpendicularity is symmetric onlx i t the metric is euclidean. The proof of this faot rests on the following theorem on closed convex hypersurfaces in AD. If for every line G the supporting lines of the closed convex

~ace

C parallel to G touch C in a set lYing in a hYper-

plane, then C is an ellipsoid. 41

- 40-

H.Bueem&DD. Consider the sphere K{p,1) of a Minko.ski space and a supporting hyperplane H of K(pt1) at f

j

then the line L(p,t) 1s

perpendicular to every line in H through t • Let the hyperplane pa-

rallel to B through p intersect K in Z dicular to any line L(p,x} with

t

then L(p,f) is also perpen-

Z , therefore the parallel L x through x to L(p,f) 1s perpendicular to L(p,x). By hypothesis L(p,x) x~

1s perpendicular to L , henee L 1s a supporting line of K{pt1). x x !hus the supporting line. of K(p.1 ) parallel to L(p,f) touch K(p,l) in the points of Z which lies in a hyperplane, and Blaschke's Theo-

rem gives the assertion. There are plane Minko_ski metric8 with szmaetric perpendicularity which are not euclidean; all these metrlcs have been determined by Radon [lJ •

It is quite easy to see that (G pp.144, 155) that a metrin zatlon of A, D7 2, as G-space with the affine lines as geodesios

and with convex spheres is Minkowskian. In view of the great variety n

of metrizations of A with the affine lines as geodesics this seems to show the strength of the condition that the spheres be convex. Actually, convexity ot spheres is strong only in combination with the parallel axiom, there are many straight spaces satisfying stronger convexity conditions whioh are not Minkowskian, for example, all simply connected Riemann spaces or G-spaces (see next section) with non-positive curvature. rhe deaargues1an character of the affine space 1s not essential. Let us formulate the parallel axiom as follows +

+-

t

Parallel Axiom. It A 1s an asymptote to G then A is an asymptote 42

- 41 H.:Bueemann

to G

i.e. A is parallel to G • Moreover G is parallel to A • In two dimensions this 1s equivalent to the usual parJl-

leI axiom. Defining differentiability of spheres in a geometric way it can be shown (G pp.146-1~O)

(7.5) Theorem. If a straight G-space of dimension at least three has differentiable convex spheres and satisfies the Parallel Axiom, then it is • Minkowski apace with differentiable spheres. A corollary of this theorem is (Gp. 151)

(7.6) If a G-space of dimension at least three satisfies

the-lL~~­

leI axiom and has convex spheres and if perpendicularity of linea

1s symmetric. then the space is euclidean. The differentiability of the spheres follows in this case from the symmetry of perpendicularity. The question whether (7.5) holds in a plane 1s open. An analogous result can be proved under a stronger convexity hypothesis (satisfied by Minkowski spaces) without

the differentiability

of circle. (G pp.157-160)

(7.7) theorem. If a straight plane satisfies the parallel axiom and it for any line x(t) and any point p not on the line the function (px( t»o( is convex, where

(

is a fixed number .q 1, then the me-

tric is Minkowskian. The proofs of all these theorems are too long to be given here. There is a theorem analogous to (7.5) for spaces of the elliptic type which is easy to prove. Convexity of spheres must be rephrased. Observe that in an elliptic space in which the great circles have length 2f

the spheres K(pt

~

43

) are hyperplanes and that the

- 42 H.BuseJII&nD

spheres K(p,

J ) with f.::J

are quadrics.

this and (7.5) suggest the following theorem

t

(7.7) Theorem. Let R be a space of the 8111pt10 type with geodesios

ot length 2 J and dimension at least 3 • It the spheres X(p. f

g aa = 2ac

cont~uity Xl

l

=

2a ' c.

there is a point x' with (xcx') and

6 B(a,a') we conclude

therefore a,a' € :s(x,x'), hence c must be the midpoint of x and x'. Thus c is the foot of any x E B(a,a') on G{a,a'), in particular G(x,x') is perpendicular to G(aja'), and B(a,a') is the union of all lines perpendicular to G(a ,a') at c • It follows that 54

- 53 -

H.Buaemann B(a,a)

= B(b,b

t )

it band b l lie on G(a,B') and have c as midpoint.

It also follows that G(B,a') is perpendioular to G(x,x'), 80 that perpendicularity of lines is symmetric. I mentioned that it is not known whether G-spaces have always a finite dimension, but in several of our theorems the assertion implied finite dimensionality. Therefore we prove it hore in the way of an example. We begin with two points

a2a~

=2

and midpoint c

points x with %&2

= X&2

two flat sets. If B2

Then B2

= B(a2'&2)

8,,8 1 with

B1 is the locus of

th~

in B1 and B2 is flat as the intersection of

= 0 we atopr Otherwise we continue chooain8

a),a 3E B2 with a aj = 2 and midpoint c • We form B) 3 and continue if B) Fe.

= B(a 3'&3)

B2

Since c is the f oot of a on B(a ,8 ) hence on Bi we have 1 1 1 a i 8 j > 1 for 1 < j • On the other hand aic = 1 • Therefore the sequence 8 1a 2 , ••• is bounded and has no accumulation ~oint, hence is

finite. Assume Bm = c • Then B• 1 is the line G(a• 1'" • 1} and B 2 • is, to~olog1cally, a ~lane. If Bm- is regarded as the union of the 3 t perpendiculars to L3 = G(a 3,8 ) in B 3 then for be L3 and x,x· on

·.3 •

with midpoint b the perpendiculars to L3 at b form B(x,x')

Bm_) hence a plane, therefore Bm_) is homeomorphic to E3. We conclude con1 secutively that B1 is homeomorphic to EF- and the space to EM. L)

It is easy to see that a bisector through m given points exists, hence a plane , or a two-dimensional flat set

~assiDg

through

three given points exists too, so that R will satisfy the usual incidence axioms if m ?

) . lor

dim R = 2 we can, however, not conclu55

- 54 H.B'ole emann

de that Desargues' Theorem holds. In any case we reduce the theorem to showing that straight planes in which the bisectors are str2ight linea are euclidean or hyperbolic. Por a given line G we define an involutory map Re: a

~

a'

of the plane on itself by a' = a

for

a Go G and

G = B(a,a')

for

a;' G •

The point &' exists in the latter case. lor let t be the toot ot a on G and (ata' ), at

= fa'.

Then our previous discussion shows that

G = B(a,sl) . It suffices to see tbat RG 1s a motion. lor then HG is the reflection in G and the full group of motions in euclidean or hyperbolic geometry 1s generated by the reflections in lines. W e show first that a line L which intersects G is mapped

£z RG

isometrically on a

It LnG

= B and

l~e

L' intersecting G (in the same point).

(asb) , a,b (: L, then a' and b l 11e on different si-

des of G , henoe T( a' ,b') interseots G in a point s'. Then G = E(a,a') ab~

as'

Therefore

= E(b ,b' ) yields + alb = a's' + s 'b' = a'b'~ a's + sb' = as (a l ab') and ab = a lb'. Thus G(a ', b') passes

+ sb

= ab

•

through s •

It 0 is any other point of L then}unless c

= s, let c lie on the

same side of Gas b and say (scb) . Then ab

= a lb',

ac

= ab

- ac give b'c'

so that LRG

= G(a' Ib' )

= alb '

- a ' c'

ac

= a'c'

and

= be. Therefore also c'€ G(a',b l )

and the map of L on L' isometric.

If H (I G = B and H = B(p,q) then H' = HRG = B( p' ,q' )( P1gu-

re 7) . To prove this we ohoose t so close to son H that G(q,t) and G(p,t) intersect G. Then q't'

= qt = pt = pit'

, qls 56

= qs = ps = piS

- 55 H.Rnsemann

therefore H'

= B(p',q'),

(9.3)

RG = Yh,

moreover

.

Prom here the proof proceeds as tallows : we want to show

that RG also maps a line H whioh does not intersect G isometricallyon a line H'.

'e choos.' H1

close to H such that with Ho

so that it intersects H at a point so

= H and

H ,H,a intersect G and n is even, n-1 n . n+1

HI

D.

= R~ ~

and define suocessively (for descending 1) H'

until we reaoh

w.

= ~Hl_1 the lines put H' n+1 = R_H +1' (F"n

Hi+1

H~

• For simplicity we put Hi

= RBi

1-1

and

Hi

observe that

HOR, ••• ~RGR~'"

Rl

= B~ •

R, maps Ho i sometrically on Bj and R2 leaves 92 pointwise fixed, Rj maps 82 isometrically on B , so that R1• •• Rn maps Bo iso4 metrically on Hn' then RG maps Dn isometrically on H~I we see t hat the above combined mapping maps H isometrically on HI • We want to o 0 see that thi s map is RG • The relation (9.3 ) implies RR = R or i-1 i i+1 1 RiRaR! = RG for . 1 = n,n+l • Therefore R

and

Rn-1RnRGRURU-l

=

R,.-l RGRU-l

=

, similarly for R;

R,.R,.+1R"RGRURU+1RU

and It Is clear that we obtain in this way successively that

Rl ••• RnRGR~ ••• R; = RG • The Bisector ~eorem has in addition to it! own interest, many important applications . In this section we mention only one 57

- 56 H.Bue~mann

which aeems hard to prove directly : In the two-dimensional elementary geometries there are for-

mulae expressing the area o«abc} of a triangle in terms of the

length of its sides A,B,C

= oa,

A = be , B o(2(abc)

dean

= .(. - ! )(.

~ometry,

tan

C = ab,

Hero's Formula

- B)(. - C) with 28

=!

+ B + C in the eucli-

and in the hyperbolic geometry with curvature -1

2 < (abc)

4

8 = tanh 2

tanh

• - A

2

tanh

s - B

2

s - C tanh - 2

with the analogous formula of L'Hu1l1er in the spherical geometry,

The question arises whether there are other two-dimensional geometries in which c({abo) 1s a function of the sides or, equivalently, where ab

= a'b',

be =b'c', OB = eta' implies e 0 ,

and in addition their semttangents at their intersections with t he. x-axis. That these are parallel follows from the construction of J(u,v )

=

1 and the fact that supporting lines of 0 parallel t o the

x-axis touches 0 in one point only_ A quasi-hyperbolic geometry does in general not have nega-

'"

tive curvature, not are the loci Of (xT

~ 0( )

convex. But there is

(under & very weak differentiability hypothesis) exactly one angular 63

- 62 H .BuSOlll8llll

measure so normalized that straight ansl!s have measure 11'"' and invari~t

under (10 .4) for which the Gauas-Bonnet !heorem holds. This

means the following : the excees of a geodesio triangle 1s defined as the sum of the angles minus

r,r ,

which leads to a finitely addi-

tive set function defined in polygonal regions. This set function can be extended to a

complet~lY

additive set function defined on all

Borel sets. For then the Gauss-Bonnet Theorem can be established in its usual form. References for quasi-hyperbolio geometry are G Sections 51, 52 and Busemann [3J • 11. DIPPERENTIAllILIfi. Although t he t heory of G-apaces shows that

of differential

geo~etry

large part

does not depend on differentiability, two

questions arise naturally 1 1) are ulated and are false

I&.

w l th~ut,

t~ere

theorems which can be formr.

but correct with differentiability

hypotheses, 2) can differentiability be formulated within the natural frame work of G-spaces , i.e. without postulating the existence of coordinates? Normal coordinates on a differentiable linsler manifold can be obtained in a sphere S(p,

and pat

=

f

p~rely

geometric way as follows. Consider a

(p». For 0 ~ t

0

Therefore the existence lim atbtlt does not guarantee that ~(.,b)

1s Minkowskian. However, a slight strengthening of the condition w11l lead to the desired result. Consider three distinct pointe q, at b in S(p, (qbtb),

t4.\

J ) and

define at' b , by (qata), tqa t t = qb , 0 < t < 1 •

= qa

and

Differentiability means always a locally linear behaviour, We say therefore that the space is continuously differentiable at p i t tor any sequence of distinct points q • t a"t bv tending to p and

the relation 11m a'j) V...,. t)l

holds. Under these hypotheses it is easy to proTe that the l imi t ( 11.1 ) exists and that the metric mp (a,b) approximates ab lOCally in the sense that

(11.3)

m (av ,b v }/ at) b'j) ~ 1 it P

.V"""'1'

P , ~........,. p and aiJ

F bV,

)1oreoTer mp (a,b } can be extended beyond S(p, f (p» to a metric space in which our axioms I to IV hold. 65

- 64 H.Buaem.ll1ll

If m (a,b) also satisfies Axiom V , then the metric 1s p

Minkowakian. V expresses the Legendre Condition of the

c&le~us

of

variation. Thus (11.4)

If the G-space 1s continuously differentiable at P (i.e.

satisfies (11.2) and m (a,b) -

p

sa~lsfies

Axiom V

I

then mL(a,b) !! p

part of & Minko.ski metric which approximates ab in the sense of (11.3).

These and the following results are found in Busemann [5J. In principle at least we can now decide whether the given space

1~

a smooth l1nsler space. The space must be continuously differentian

l

ble everywhere. It x "",X are normal coordinates at 1', ••• , ~ are normal coordinates at q

I

p

and

then a point x which also

lies in the neighborhood covered by the y is expressible as x

i

= f i (y 1 ..... yn )

and we can postulate that the xl are at class ~ for 1 ~ (0, ••• ,0) (1.e. "1';' q) and for fey) we can, in

F O. It is known that in the latter cases general, only attain elass ct. If the given space i8 opk

t1mally, i.e. with a suitable ooordinatization, is of class C

t

k ~ 4 , then it 1s of class at least ek-2 1D terms of norIDal. coordinates (because introducing normal coordinates requires solving the differential equations of the extremals). Thus we reach a partial decision for the smoothness of a given G-space for finite ~ and a complete decision for Coo. At the same time we find a theorem for.mulable but false without but correct with differentiability hypotheses. eaU similarity of a G-space R a mapping 0( of R on i t66

- 65 -

H.Busemann self satisfying

xolyo(=kxy,

k)O,

k~1.

Then 0(-1 is also a similarity, so that we may assume k< 1 • The relations xc-
1't'/2. e

yare

96

e

- 22 -

E.f. Davies Et aHora ovv10 che cos

0(

+ cos

P= 0

6I = 0

aolamente uel caso in cui

, cioe quando 18 geodetlca

zione corrlspondente nella spazio Vn

=

t!

Xl

e cha

e chiusa.

la distanza tra 1 pun-

e xlt deve sasere stazionaria. La fundone r (x' )

d(x', A(x' )

e una

La s1 tua-

= d(x',

x· h=

fundone continua che prende 1 suo! valori

limit!. La distanza d(x l

,

xlt ) non pub easere mai zero, allora

f(x'} prende 11 valora min1lllo in un punto

.:s 1 0.1

V'

• La geo-

detica corriapondente nello epazio Vn sara &llors una geodetlca chiusa gl • Ida in questo caso, slccome Vn snohs un valora massimo d1 r(x') uel punta

una corrispondente geodetlca chlue8 82 •

97

e compstto,

vi sara

S2 d1 V', e vi sari.

- 23 -

E.T. Davies III LEZIONE SPAZI RIEMANNIANI OMEOMORFI AD UNA SPERA In questa lezione vogliamo trattare di un problema po-

sto per la prima volta da Rauch ( 1951). E' 11 problema d1 trovare 1 limit! della variabillta della curvatura riemanniana d1 uno

spazio Vn a curvatura positiva tale che l'equivalenza topologies non sia perduts. i' un problema che

e stato

ripreao in considera-

ziona reeentemente da Klingenberg e da Berger. Il dimensions dello spazio riemanniano

e pari

CBSO

in

cui Is

presenta qualche aem-

plificazione nelle dimostrazioni, e prendiamo questo caso nel segu1to. Cominciamo con un teorems d1 Synge : In uno spazio riemar.niane orlentabl1e completo a curvatura positiva e d1 dimensions pari Don esiate una geodetica chiuaa m1n1mlzzante. Supponiamo che g sla una tale geodetic a chiusa. Sceglie-

mo un punto p di g e un vettore

r

ortogonale alIa tangente a g

che sara trasportato per parallelismo lungo g , r1 tornando al punto p come un vettore un1tar10 ~ che sara in generale d1fferente da

~

• S1ccome

r

e preso

arb1 trar1amente nello spado vetto-

riale En- 1 ortogonale a g nel punto p, e ovv10 che g11 elementi di En- 1 subiscono una trasformaz1one ortogonale. Una trasformaz i one ortogonale di uno spazio euclideo lase lando invariante un punto p

e una

rotazione accompagnata 0 no da una simmetria. In que-

sto caso prendiamo il caso in cui l'orientazione

e conservata

e

s1 tratta di una rotazione. E' ben noto che in questa caso quando (n-1 )

e d.iapari,

eaiate un vettore ,.., 0 che non cambia nella 99

- 24 -

E.T. Davies trasformazione )N --..." •

Prima di eontinuare avremo bisogno della seconda variazione della lunghezza d'arco geodetico quando i punti terminal! s1 muovono lungo una varieth trasversale alIa geodetica. L'e-

e

spressione (1)

D2X1] 8 2

I'(O) = [ 11 -

de2

+

j8 2 [ g1l.::1.3:.DiD l

81

81

ds

de

Consideriamo l'espresslone fuori dell'integrale. Supponiamo che 11 punto

siafisso ma aha 11 punto 82 vari in una i1 ill n-1 persuperficie della in data parametricamente da x = x (v , ••• T ) 8

= xi(v OC } con ()( = 1, 2, ••• , n-l. La curva (di Vn) 1 xl = x (8 2 (e), e) e allora una curva vo(= vOC(e) au 'n-1' AvrellO

(2) 11

21 Dx de2

(02%1

= 11 -;'~\)v~ dv'"

=

Sot.

{1J +

j

°° xl

Xk)

~v~ \lvP

dv~

de

dvP

de

=

dvP

P -;;- d;"

dove 800: ~ Bono 1 coefficient! della seconds forma fondamen:tale dl

'n-1 in Vn • Se 'n-1 re se 11 puntc

8

e totalmente

2 81 muove

lU2l80

geodetica, 11 che posaiamo supporuna geodet1oa (di Vn ) ortogOl1a-

Ie s g , sUors 11 oorriapondente termine tuori de11·'1ntegrale SV8nisce. Le eepreBsionl per 1a prima e la seoonda variazione della lunghezza d'aroo co1ncldono allora oon Ie espresslon! per punt! terminal1 f1se1. Prendiamo all ora la geodetica chiusa g e spostiamo 1 punti dl g lungo Ie geodetiche che eacono da ognl punto dl g nella direzione

f

0 definita in ogni punto di g • La seconds varia100

- 25 -

E.T. Davies zione della lunghezza 1 della geodetic a chiuaa g

e allara

data 00-

me nella seconds lezlone da 0)

p(O) = -

J: II(h • "l x] '!l. = c

Prendiamo variazlone vale - 02 ~

f

ds

( costante), nel qual 08S0 18 seconds

Kds lunga g • Siccome K

";1'

0 Is geodetica

mass1.mante piuttosto che m1n1.mante, 11 cha dlmostra U tedrema d1

Synge. Dl

plu

cui trattiamo

Synge

e arrlvaia

e semplloemente

al risultato che uno spazl0 Vn d1

eonnesso, perche abblamo dimostra-

to nella seconda lezione che per ognl elemenio ! (p e) del gruppo tondamentale eslste una geodetica chius& m1n1mante. 51 conclude allora che nOll pt'b esieiers c'dM Uno .slemento cb.e 1'1denfita

del gruppo tondamentale,

clo~

10 epazl0

e sempl1cemente

connea-

10.

Nelle conslderazlonl che seguODO 10 spazlo Vn

e comple-

to, orientabl1., d1 dime•• ions pari, d1 curTstura posltiva X ~ Ko

>

0

in 110do che TalgS 11 horems. dl Synge che Vn

e allo-

ra eempllcemente connesso. S8 penslamo a tutte le geod8tlche che esoono da un punto p del Vn campatto, vl san. un punto pi BU 0gnl geodetioa goon questa proprletk i Per un punto q sull'arco pp' dl g la lunghezza d'arco pq

e minimante

mentre per q tuorl

dell'aroo pp' questo ratto non vale plu. 81 pub snehe dire che, partendo da p lungo g , p'

e l'ultimo

punta per cui l'arco pq

e

minimente. Per un punta iieao peg varlabl1e, 11 punt o pi glace au una eiera topologioa che indlchiamo oon C(p). Per una supertiole 11 luogo C(p)

e stato

studiato da Poincare sotto 11 nome 101

- 26 -

E.T. Davies d1 "ligne de partage". Il luogo C(p)

e stato

ripreso in 00D91de-

razione da Whitehead (1934) e da Myers (1935). Whitehead lIha stu-

diato per uno spazio d1 'insler e 10 chiama ·cut-locus·, mentre Myers l'ba etudiato per 11

C8S0

riemanniano a due dimension! e

10 chiama Mminimum point locus', Il punto pI per cui 18 proprie-

ta

enunciata

e Boddiefatta

pub essere un punto coniugat,. Allors

comineiamo con qualcbe osservazione sui coniugatl del punto p • ReI caso d1 una superficie V2 r vi sara una sola ·equazione d1 Jacobi', alIa quale s1 possono applicare 1 teoremi d1 confronto e d1 eeparazione d1 Sturm. Supponiamo ohe Is curvatura gausslana K

della superfloie soddia!! alIa relazione to stanza

~K ~

Xl allora 1& d1-

d(prp') da pal suo primo punto coniugato pi sara tale

ds soddlsfare alla diauguaglianza (4 )

Questi risultati sono generalizzati da Schoenberg e de Mosse ad un numero n d1 dimensioni. Il corr1spondente teorema dl confronto per un sistema dl equazioni dlfferenzla11 linear1 del secondo ordine s1 pub esprimere come segue : Hel caso del

ft2

.

•(liP ft 2Q*

~roble­

ma accsssorl0 d1 un problema d1 Calcolo delle var1az1oni siano J(IIt!; 2

tJl(t'''l'''l)dt

•

J

;2 t,

(t'''['ri()dt

1.

espressioni per la seconda variaz10ne per due problem! I e 1'*. Sia, nell'intervallo t1 ~ t ~ t2 la relazione Q ~ Q*sodd1afattao Allora il risultato

e che

i punti coniugatl r1spetto a I(nt)

sono piu vicini che 1 punt1 coniugatl rispetto a J'" ("l). PlU. preciSali.isnte supponiamo ahe

I; "" sla

un punto conlugato d1 102

1;1

r1spetto

- 27 -

E.T. Davies al problema

J*,

t1
0

'e un puntc coniugato a t" abbiamo

per ogAi ineieme Il(i = "\i ( t) di fun.ioni di c10. -

~ n' nell'interyallo t 1 ::e (salvo nel CBSO banale

rTti

= 0). All o-

rs a1acoma abbiamo Is disuguagllanza (6 ) deve 8sistere un punto coniugato a t, relativo al problema J nell'1ntervallo t,

~

< -C~:r.

Hel caso della ssconda variaz10ne della lunghezza d'arco -1- in un Vn compatto, abb1amo (7)

J("l)

=-

J: "l[~

+

"l

K] de

1

e se

Ko ~ X ~ Xl avremo J(, ) ~ J(

"t ) ~

o

J(

"1)

4. cui deduciamo

aubito il risultato (4) per la d1stanza d(p ,P' ). Se pensiamo allo103

- 28 -

E.T. Davies ra al luogo de1 punt! pI che aono conlugatl ad un punto p per varie geodetlche g usoentl da p abblamo aublto che se, per ognl punto e per ogni giaei rue in uno spazio suasiste Iro

~

K

~

11 1 pun-

t1 eoniugatl sono tutti in una regione limitate dalle due stere geodetiche d1 centro p e d1 ragg! t!

rr./{il

e T(/{io • 14a 1 pun-

del·cut locus· non Bono necesaariamente de! punt! conlugati.

Vogliamo enuneiare Blount proprieth del C(p) che s1 trovano raccolte nella memoria . d1 Elingeberg (Annals 1959) : (1) SiB P un punta qualunque del in d1 cui parl1amo, e sia q un punta di C(p )

che sta piu vicino a p di tutti gli alt.i punti di C(p). Ss q non coincide col punta pi ooniugato a p rlspetto alIa geodetlca m1nimlzzante ohe congiunge p e q , allora q

e 11

punto medio d1

una geodetic a ohiuse che oominc1a e che finisee Del punta p • (ii) So q appartions a C(p), allora p appartions a C(q). (iii) La distanza d(p, C(p»e una funzione continua d1 p. (iv) Un l1!D.1te inferiore della d1atanza d(p, C(p))

e dato

del minore de1 due nu-

merl seguenti (a) la minima d1stanza tra due puntl coniugat1 qualunque di Vn (b) la meta della minima lunghezza di una geodetica chiusa di V

n

Sia p un punta dl Vn e r un punto a distanza

massilna da p , al10ra r e un punto di C(p). laco1a.mo I l osservazione che si pub sempre norm8lizzal'e 1& metrica di uno spazl0 Vn in modo ohe i1 val ore massimo K1 della curvatura r1emanniana sia llunlta. Soriv1amo allora O0

far l'ipotesl che cos 0(

blaogao

e 11

• 11 lemma d1 Berger d1 cui svremo

seguente I Siano p, q due punt! tall che d(p, q)

= d(Vn ',

allora, per un vettore qualunque I de110 apazio tangents Tp nel pun-

A=

{~( e») tale che /\ congiunge p e q , con ~ (0) = p , e ~'(O), I> " o. Un secondo lemma dl Berger cbe 01 oecorre e 11 eeguente 1 Per b> 1/4 , e to p , eaiate una geodetica


< Per sviluppare una te ar!_ d1 curv. , allora blsogna 8.asociare ad ogni }Dmto d1 una ou.rva I' elemento normale alla C'Ur\1'a. Le CUl"'r e

autoparallele sono Ie curve per cui CAl

1

==

1

Dl

=

realizzano un valon estremale dell'integral.

ratterizzate da

0 • Le

J

C1.U:'Ve ~!hl~

d8 perOt sone oJ~l­

1

L j + - A ) t.)

( 46)

fi

=0 j

Vediamo allors. delle (46) cha Ie curve eatremall e Ie curve autopara11ele non coincldono nella geometrla d1 Cartan. In

e posto

una memoria del 1945 Allardin a1

11 problema d1 t r ovare

una connessione, che egll chiama conne ssl one G-E, in cui Ie due

classi d1 curve coincidono. Nella sua t eo ria un t ensors simllietrl-

co 1j

L

ki j

j 1

L1 j 1j +-A+ g

~ = -;)A+2AA

Vi

rlent r a

n~lle

Vi

k

ij

Jonsider azioni inve ce del tansON H

lardin ha dimostrato ahe se Kijl

I

1

F

o a1

d1 CSl'ten . Al-

pos sono calcolare 1 ccef·-

flclenti d1 una connessi one G-E. Qu.est'anno

e stato

d1mostrato da Assa1 che

f:i~

:put

D'\;"i.~

nere una conneaa1one quando 11 determinante

I~

1j 1j (l-t)H + t K

I

per ogn1 valore d1 t • Per t tan,. per t

= 1 81

ott1ene

=0

0

a1 otUene 1a oonne ss iOl.....>

que ~la

d1 Al1ardin.

144

'~.' .

c" p .."

- 66 -

E.T.Davies VII

LEZIONE

SPAZI AREALI

Abbiamo considerato gIl spaz! dt Riemann, dt Finsler e dt Cartan. Ne1 tre oas! damo Bl'rivati senza difficol ta ad un teneore a due indict che pub tunzionare come tensore matrico. Per 11

caso

1

< m < n-1 pero vi 80no delle dlfflcolta che Don a1 presen-

tano negl! spazi "modell!" dt Riemann, 'inslsr e Cartan. 01 oceuparemo di questa caso nella presente lezione. Il 0810010 delle variazioni per integral! multipli

e

state relatlvamente poco studiato. Come per integral! semplici, gli autor! hanna tentato di introdurre delle condizioni che gene-

ral1zzano quelle dt Legendre e Weierstrass , ma la generallzzazlone non

e semplice.

Per 11 nostro scopo vogl1amo solamente far cen-

no ad una memoria fondamentale di Caratheodory (Acta Szeged 1929)

dove a1 trovano generalizzaz1on1 delle variab1l1 canon1che, campi geodetic!, della funz!one eccesso di Weierstrass, e della condizione di Legendre. Se l'integrale da considerare 10(11

m

F(x ,t ,p )dt ••• dt

(1)

e se scri v1amo

(log F)j~

F = F(x,t,p) ,

dove

-1, 1 Poe. F Poe.

la funz10ne eccesso di Weierstrass si acrive (2)

e

E=F-F

l-m

145

- 69 -

E.T.Davies Lo svl1uppo secondo potenze d1

_1

p~

-

1

p~

del determinante

(20) dara un termine corrispondente a quello che 01 da 18 oond1zione d1 Legendre per m=l. Se mettlamo

(3)

Lc(P 1l

-1

=:p

F'-' _ p. "1l

p' + p'" p'

1 l

l 1

Is. condizione d1 Legendre per in"t egrali multipli s1 scrive } 0

Slccome s1 tratta in questa lezione della possibilita d1 fond are una geometria fondata au un integrale multiplo come (1), sussistono naturalmente Ie condizloni d'invarianza rlspetto a cambiamenti de!

parametrl t • Allora Ie t non entrano

e8plicltament~,

e sussistono

anohe Ie oondizioni o

La tunzione l(x,p) come funzione delle n + nm varlabi!i indipenden4

ti X,p sara d1 class! C in tutte Ie variabill, e soddisfs anohe alle condizioni (a)

P(x,p ) > 0

per

(b)

p(x, ~"p~ )

= /1'~1

~

p~

11nearmente indipendenti

p(x,po

0

Sotto tali condizioni possiamo definire come area mdimensionale di una regione

n

detto sotto-spazio defini to dalle

equazioni parametriche ( 6)

i

x

= xi (t 1, •. o,tm)

come 11 valore dell'integrale 146

- 70 E.T.Davies

e tratteremo della possibilita di definire la wmisura" di un m-vettore, Is lunghezza dl un vettore, e dl introdurre Ie nozionl geometriohe di connessione, di ourvatura etc. La tunzione P che soddlsfa alle condizioni annunciate

pub esprimersi come una funzione positivamente omogenea nelle componenti dl un m-vettore sempl1c.

(8)

I _ p

11 1m m. P[l ,,' Pm] ,

=

cioe, esiate una fuozione t dl x e di pI tale che ( 9)

I

f(x, P ) = P(x ,

1

p~)

I

Slcoome Ie component! p non Bono tutte indlpendentl, ma soddlsfano alle identlta dl Plucker, non s1 posaono formare Ie derivate I

parzlall rispetto a p nel sense ordinario, ma un'operazione ohe pOBBiede quslche proprieta di una derivata

e stata

introdotta da

Iwamoto che s1 pub definire come segue ( 10)

ml

fI = ~-1

[1 ~ 11'"

La seconds wderivats· fIJ

mJ Ph = m! m

e molto

[12m] Ph/1 " 'P1m 2

piu oomplioata e si devono con-

sultere le memorie dl Iwamoto, Kawaguohi e Barthel per l'eapresslonee Conosciuta l'espresaione di fIJI un tensore a 2m indici s1 pub def1nire can la formula ( 11 )

Segue subito della def1niz ione dl queste "derivate- generallzzate 147

- 71 -

E.T.Davies che gIJ

e omogeneo

I

del grado zero nelle p , e ahe

(12)

f

S1 pub dire allora che f(x,pI}

e la

"misura" dt pI nello stesEO

modo che per 10 apaz10 d1 Finsler abb1amo definito come Is "lunghezza" d1 ~ 11 numerc L(x, ~). Hel caso d1 uno spazio d1 Riemann g. j

(13)

g

= g

IJ-

I 1

••• gj j 1 m

. . ..... J

1 ••• 1j, ••• j 1 m m

••• 8

1

j

mm

Relazione dello stesso tipo sussistono snche per gIl apazi d1 rin-

sler e d1 Cartan. Hel

C8S0

generale in cui

1

< m < n-1 perc non e-

siste in gener ale un modo dt ottenere un teorema a

~

indici che

pub aervire come un tensore per ottenere la lunghezza dt vetter1 . Kawaguchi dimostro che se 11 determinante d1 ordine (~) delle component! d1 gIJ non svanisce, e se men 80no numar! sanza fattore oomune, un tensore a due indict pub sempre ottenersl dalla funzlone F con operazioni algebrich!, ma in questo oaso 1a re1azione (13) non vale. Infatti Tandai ha dimostrato ohe susaiste 1a re1a-

zione (13) s01amente nei oasi dl Riemann, 'ins1er (m=l) e Cartan (m=n-1) •

Per i1 oaso di uno spazio dl Riemann in cui 1a fun zione 1"

e l' e1emento

dl area m-dimenaionale, 1a "forma di Legendre" (3)

prende una forma aemplice , oome ai PUQ dimoatrare. Poniamo ( 14)

1 j g "' = g1j po dt

+l

,~

=0

du"

d / } _(

du

dt

dt

dt

"f

J

dU~ dt 2

= _(::)

'51

=

~1

From this equation follows the ~

THEORDI:. The autoparallel curves of A~ are the curves, in which

planes through 0 meet S r for short, they are the "plane sectionsof S •

Renee, k r 1s a measure for the deviation of a curve

from such a plane section. By central projection from 0 to any hyperplane not meeting 0 the 8utoparallels are mapped onto the f straight lines. AJ~ 1s projectively euclidean, a fact remarked

by VAGNER [1J • We may ask for which surfaces S the geodesics coincide with the plane sections of S • :By a theorem of WEn, the necessary and sufficient conditions will be 195

- 21 -

r

r

Sf

e =

r~&~ +

Sh

D.Laugwltz

= A.~ + ~~ &~ + p".

f;~} or

a.~ which yields

or and, at last:

Now

8~t

1s a symmetrical tensor, hence

0= n(aJpr and

o=

r·r (rJr

a

a.r~

p - rJ~

) =

(.r a~

-

t.,.

af

ar) = (n-1 )a" - af' = (n-2)a(:l

Since n ) 3, we have a ~

=0

and from ( .. ) a.(~'t

= o.

Hence, S 1s 8 central quadric, this property being also sufficient . THEOREM. The Riemannian geodesics are the plane sections of S if and only it S 1s a central quadric. An interesting consequence of this theorem for n

=3

Is

a generalization of a famous theorem of a.BRUNN [1] , hitherto for convex surfaoes only (cf .eg. DANZER, LAUGWITZ, and LENZ [ 1] ) . THEOREM. It a surface S admits affine reflections with respect to every plane conta1ning 0 and a tangent of S , the surfaoe S is neoessarily a piece of a central quadrio .

PROOI ; Let g be the geodesic passing through the point P of S ha196

- 22 -

D.Laugwitz ving t as its tangent. Effecting the affine reflection with respect to the plane determined by 0, P, and t, g has to remain fixed, since it ia invariant under central affinities. Hence,

g

must

be contained in this plane as well as in S , i,e., g has to be the plane section of S. The proposition follows by the preceding theo-

rem. This shows that Brunn's theorem is of a purely local character, not global, as might be assumed by the proofs of this theorem in the theory of convex bodies. It 1s valid for all surfaces without parabolic pOints.

The central plane sections generalize a property of the great circles of the euclidean sphere, being the autoparallel cur-

ves of the connection

A~

• On the other hand, the Riemannian geo-

desics have another important property in common with the great circles. I.SANDOR [1] proved, that the torsion of these geodesiCS is O. I shall give another proof for this theorem. :By cause of gkj =

r'~

s: sJ

~k'-Sj

+

the (spatial) covariant derivative of the tangent vector of a geodesic is •k

D~

de

:;k

1

=, +"2 g _"

ks

?1"1

gjll S ~

• L • f!> ., k

GalA U U T

S

+-

~

=- •~

.r.G" 10k

u u

I)~ +

... ." \0 1 •f:..1 Q' u!) ,jll r .,.

1 ~ k '< j

2

~ _I

•

b

g

S

. 5" __ .. k

u

-

~

since the first and third parts add up to O. The curvature of the 197

)

- 23 -

D.Laugwitz geodesics (Absolute value of the second covariant derivative) 1s 1

1. The normal vector of the geodesic is n the Prenet formulas reads

.i

1

=-

~

1

• The

second of

tangent, b binormal vector) ;

(~

k

Du

d.

=Duk

• k

k ~

k

+T b

•

• k

But, since here = - ~ we obtain Sandor's result t" ~ 0 • d. Some of the former "results gave centro-affine characterizations of central quadrics among the set of all surfaces . All these characterizatioDs will have immediate consequences for Minkowskl and linaler spaces. Since euclidean and Riemannian geometries are the only geometries having central quadrics as their indlcatrloes, our theorems on affine geometry correspond to cha-

racterizations of euclidean and Riemannian spaces. I shall treat tbis subject, the historioal origin of which were results by Riemann, Helmholtz, and Lie, in the third part of my lectures.

198

- 24 -

D.Laugw!tz II. Variational and geometrical methods for the deduotion of connections in 'inslsr spaces. The geometrio objects, fundamental for all infinitesimal considerations, in differential geometry, are oonneotions or parallel displacement •• In 'insler geometry, many different oonneotions have been used since the iensorlel treatment of !insIsr geometry commenced in 1925. We shall give two different methods, one variational and the other geometrical in their origins, for the deduction of the most important of these oonneotions. The variational method will have as its source the equatton of geodesics, which w111 be interpreted in the more general soheme of the geometry of paths. The geometrioal method w11l use osculating Riemannian spaoes, following an idea of O.VARGA [lJ • 11.1. Connections in the geometry of paths. A path spaoe is a differentiable manifold the paths of whioh are the solutions xi(t) of a system of equations

where

r

i

. ,2 ~ • (x; ~ x) = 1\ I (x; x)

This homogeneity condition is necessary and sufficient for the uniqueness of the path issuing from a point xi in a direction 5"i.

o

The expressions 199

0

- 25 D.Laugw1tz

transform aooording to the law of transformations of a oonneotion. since

~

• veotor (

1 has the transformation properties of the derivative of i 1 d '1

r

= -"2

;jt(x ) ). Henoe, by an 1de. of BBRWALD

t3J ,

[ 4) ,

d'l

(1)

1

k

j

(Xix ' ) trt dx

= -

1s a conneotion, the coefficients

~!j

being defined in the mani-

fold of directions, since they depend only on the direction and not on x' itaelf

I

r1 kj

(x;

Ax') =

r1 kj

(x;x ' )

We are led to different non-linear oonneotions if we ident!ty the si!ll tree direotional vector x' to either

~

or dx.

In these oasa s, the manifold 1s regarded as a set of points and

Dot (as in Berwald's definition) 8S a fibre bundle of directions. Since for

holds

r

1.

k

(x; x')

r k1 (x; x') def=

=r 1

(Xi x' )x,j =

~

r1 jk

(Xi xl}x,j

we may apply this to a definition ot two different types of paral lel displacements : (21)

d"l

r

11k

=-

k

(x; dx)"I.

200

- 26 D.Laugo1 tz 11k = (x; )dx • k

(2B)

r

d'l

"t

These displacements are homogeneous of order 1 both tor dx an tor

element

"I. . (2A)

dX t

1s in general nOn-linear in the displaoement

(2B) is non-linear in the displaced veetor ~.

11.2. Conneotions of the path-space of geodesics of a 'insler spa-

It

r 1 (x; x') = G1 (x; x')

where G1

1{11

= -

de! 2

kl

(,) x,x

x' k x'l

,

the paths are the geodesics of the metric

1 k

dx)dx dx

Since -0

{11 rk

x

,r

.:, ·)gll +2"'\k 1/ x'

and

"} r • { ra x' x,

201

- 27 D.LaugRi tz

The arguments of the Christoffel symbols 8a well as of the 81m are (x;x l

).

By speoializing (2i) and (lB) to linsler spaces we obtain two well-known parallel displacements, introduced by other methods in papers of RUND [2) and BWHEL [ 1] I

ob Berwald's conneotion. General references tor 11.1, 11.2 : BARTHEL [1) , BERW.tLD (JJ , [4] , BOMPIAIII [1

J • KlIEBELIWI [1 J •

LAUGWITZ[4J. BUND(lJ. [2].

II.). Applications to an inverse problem in the oalculus of variations. The Barthel parallel1BDl haa the important property that

the length ot a vector remains unchanged (BARrHEL [1] ). The analytical expression tor this invariance property 1s the equation 1

2

r

11k 2 k (X;')dx ) - 1 (x;"'!.) = 0

(X+dx;~ -

202

- 28 D. Lauew 1ts

or

=a •

(3) The invarianoe of

dill1 = - r1k(Xi'l.)d.:J:k

ot ~1

i + 2r (x;x)

=0

lex, ~)

under the parallelism

is a necessary condition that the solutions

be the geodesios of the P1neler metric J •

Now we shall show that this condition 1s even sufficient. Let 1(x;x 1 ) and

r l(x;x

have to prove

l

)

be oonnected by the equations ( 3). We shall

r 1(x;x') =-12 {1} kl

tor the Christoffel symbols of r •

(4 )

The equations (3) may be written

I

~g1k 1 k 1rr ~xj ~ 'It - 2g1r ~ l = 0

•

We shall calculate the expression = r de!

D

~g1k ()x l

in two different "aya.

l1rst1r, we have D = 2 ";) g1r "l1'1jl +

J

g1l

'11 "

r ~x' L"() xr eince the expression obtained by differentiation of ni shes.

Vx ...

On the other hand, because of (4), we receive

203

va-

- 29 -

Dr =

Inserting (4) this give. D = 4g Ir r

1+ 2 _J....:g1:!.) ,1\) ~xr

r

•

,j _

By equating the two expresaions for Dr' we obtain 4g r l r1

=2

Jg1r

~xj

"I.1

Jg1j 11,11Y}j

~xr

~

or, by multl~lleatlon with gkr and dividing by 2

2rk{k} 1) • 1j (XI') '!. "l.

•

!his giTes the

rHEOREM. ! necessary and sufficient condition that the solutions of

..x 1+ 2 r1. (XiX):;:: 0

be the geodesics of the '1nsler metric 1 1s, that

'(x;~)

be an in-

Tariant of the parallel displacement 1

d'l

=-

1 k r k(XI'1.)dx

An equiTalent condi tiOD is, that J be an invariant of the

holonomy group of this displacement. By this condition,

all the

P1neler metrlca belonging to a system of paths may be constructed in

a geometrical manner. We shall give another applioation of thi s

condition in part II of these lecture&.

204

- 30 D.Laugwitz

11.4. Osculating Riemannian spaces and covariant differentiation along a curve in 71nsler space. ! more geometrical method of deriving connections in

Pinaler apaoe proceeds from the OODsideration of osculating Riemannian spaces. Let

S (x) be a vector field

of metrical structure

ds

= l(xjdx)

where

in a linaler space

S(x)

F O.

1'he oscu-

lating Riemannian metric approximating P in the second order in a neighbourhood of the field vectors ~ has as its metrical tensor

Its Christoffel symbols are

( 5)

r ik/

X

)

=

{i} kl (x;! (x»

+

'21 gb

~

(x; 5(x»

'I~grk JS 1 _JgkJ JS1 + "JgJr ,;)S1}. "J~1 JxJ J 51 Jr "J'S1 "Jxk

The auxiliary field riant manner, in different

5will now be chosen is an inva-

W8yS,

each of which will be closely

related geometrically to the vector

'l '

the point (x) t and the

displacement dx.

At first, we shall consider the parallel displaoement

ot'\ along a curve zi ( a). ctor tield

S will be

A natural choice for the auxiliary ve-

'6 i (z(a» Since

dz

i

=-

da

205

•

- 31 n.LaU¢tz

a covariant differentiation along the curve z(s) will be ( 6)

n"l.

i = d "l.i{i} +

kj

kj /)'} dz

(z;dz) .1.

1 ir + - g (z;dz) 2

f

v~ lzl k r - - rn ds ~x,

ds 2 ·L

t

the other terms

re vanishing by Eulerls relation. Without any

further

ona,

calcula~

D~

i

is seen to be a vector, what tollows

immediately troI the corresponding property ot the covariant differential in Riemannian spaces. (6) is the formula at covariant differentiation along a curve in l!Delar space, which was first indicated by TA.YLOR

and SYNGE [1]

in

r1 ]

1925 . rhe differential geometry of a curve z(s)

in linaler space (e.g. its lrenet formulas) may be treated simply

by regarding the oorresponding geometric quantities of the osculating Riemannian space.

By the W8Y, the covariant differentiation is independent of the special choice of the auxiliary field

j(z(. »

= ~:

S

t

provided that

along the curve .(s).

11. 5. Cartan's euclidean connection. The idea ot using osculating Riemannian spaoes goes baok

to the thesis of A.BAZIK [1] • O. VARGA [lJ .a. first to use these spaces tor the theory ot connections. We shall now prove

his the o-

rem on the geometrical exposition of Cartan's euclidean connection. It x, x, is a fixed line-element and if the variations o 0 dx , dx ' are given, a very natural and simple way of determining an 206

- 32 D.Laugwi tz

auxiliary field ~ (x) 1s the following

J '5\!) J xj

=_ J

ndxj

= dx'

'Ox

j

1 G (! )

J

x,j

1

= - Gj(~' x' ) 0

~ (x) 0

= x' 0

dx It x' = - , this is nothing elae than the field used ds tor !aylor-Synge'a eovariant differentiation. In general, the auXl11~

d~X) o

~",\.-------.-. VI x"

field 1e chosen as covariant stationary at x , because of

o

=-

1 G (x) . j 0

By combining these conditions with equations (5 ) of the preceding section we obtain 1

+ ()

kl

k

k

lit dx'

1

t

j

?t. dx + 1

+C

j1

This is in fact the -euol i dean oonnection W obtained by CABT!B [11 . !his seems to be a rather short way of determining thia connectioD, giTing moreover a geometrical insight into the significanoe of this analytical method of dealing with linaler

geometry .

207

- 33 D.Laugwitz 11.6. Rundls and Barthel's connections. If the x, of the preceding section 1s not independent of dx ,

but chosen in a spec tal w81, other parallelisms are

~ t

obtained. We first ldentifl

Xf =

S(x)

to dl/ds. !he Riemannian

spaoe wlll then be chosen as the space osculating along the geodesic line issuing from x in the direction dE. This gives z dz ;:: d.x and 2 d 0

d/

i

(i 1

=-

kj

k

(o,do)

= x,

j

dz

dz

dB

dB

Pormula (6) the yieldB Rund'B paralleliBm (HUND (1) ,

(2J,[3J). Another choice for the auxiliary field is

S(~)

=\ •

We obtain

i

11l\

i{i} = d"l. + kj (x;"[)

"t

1 ir k j +-g dx

2

We have to make further assumptions on

)~ ~k

)"k

I

which will be

I

rallel according to (7) to

S(x+l ds) ~ (x), ~

1s postulated to be pa-

'S = 0 for

dx =

"t. dB .

Tbi.

pOBtulate giveB ~ARTIIEL'B parallel1am [1] •

Even without making this special assumption, all t he parallelisms given by (7) may be shown to leave lengths invariant

I

208

- 34 -

=-

g

1k

General referenoes for 11.4, 11.5, and 11.6 I BARTHEL [1] • BOMPUJlI [1] • CARTAII

[1J • LAUGWITZ

[3] • [4]

NAZll! [1]. RUlID (1). [2]. SYlfGE [1]. TAYLOR [1].

VARGA [

• 1) •

11.7. A table of the different oonnections in linsler spaces. The results of this chapter may be oombined in a lobedulSe

The still white fields of this table w111 be 00D8141red now.

At first, I mention that Taylor-Synge's and Oartan's connections cannot be derived by the variational method; this 1s seen by considering Minkowski spaces. The equations of gaodedos are the same for all Minkowskl spaoes, s"1

=0

t

wher...

!aylor-Synge's and Cartan'a connections are different for the Tarious Minkowski spaoes. On the other hand, Eerwald's connection may be dedu-

ced by the method of osculating Riemannian spaces, a rather formal manner. E.g., ~rwa1d's 209

r

onl11n

may be obtained

- 35 D.Laugrlh

from Rundle coeffioients , which were already deduoed by using 0sculating Riemannian spaces I

r

1

=

(x,x') jk

";) P~l ( x, x' )x , l

"0 x,k

!he method of osculating Riemannian spaces permits to

find,wlthout any new caloulatlon,connectlon coefficients for Rundle and Barthel's processes which have useful properties. One may take simply the Christoffel symbols of the respective osculating Hlema.nnlan space. At present, we haTe not yet detcl"IlI.1J:.,.,. '.;16

auxiliary field

the value of

5

S(x)

completely_ It has'·been sufficient to fix

in the point

(~) under consideration, and the va-

lue ot a certain directional differential . We postulate moreover, that

~ be 8 covariant constant field with respect to the paral-

lelism on hand, in the osculating Riemannian space. This yields in the case of Rund"s parallelism :

)r(x ) -=-_0,,"-

1 = - p

().k

(x; ~)

5h

hk

lor ~ ~ dx/da, we obtain the following coefficients for Rund's parallelism

-,,1

£

hk

=

11} hk

1 1r{

(x;d:x)

- - g 2

~grh PII - ~~ P

II

~Xll

The, bave been obtained

1k

-;)x"

..Jll} O. !he

cubio fundamental form haa to remain unchanged, hence i t vanishes, whioh proves that S 1s a central quadrio. Since the first funda-

mental form must have the same s1gn tor all directions

au

iec8u-

se of the affine invarianoe of this Sign, only the listed types with

e= :!:. 1 may occur.

!he latter reasoning holds good even for

a non-regular metric and giTeS

e. = o.

This theorem uses only very simple theorems of the central. affine geometry of hypersur1'a.ces. lormer proofs of the Hel-

mholtz-Lie theorem seem to be far more oomplicated. Even a proof by REIDEUISTER [1] , being rather ahead of his time in using methods of (equiaffine) geometry, is valid only for closed indicatrices and uses deeper theorems . General references for 111.1 and 111.2

~

BLASCHKE [1) ,LAUGWnZ (5) • [6]. [12] • [13]. [14] • LENZ [1]

(Lenz's peper contains some theorems similar to those of 111 .1 , proTed by projective methods) . 217

- 42 -

D.Lo_it •

• 111.3. The method ot Lownerts ellipsoid . Another method, the importance of which goes back to BUSEMANN ([1] and earlier papers listed there ) , is based on the

• so-called Lowner's ellipsoid . Its advantage ls, that it needs no

differentiability properties of the surface S. A disadvantage in comparisioD to the method of 111.1 and 111.2 is, that this method can be applied only to closed surface S, or to linsler metric a related to regular problems ot the calculUS at variaticns. lrom

~ow

OD,

S will be supposed to be a closed, conti-

nuous but not necessarily

CODV8%

surface in vector space . The u-

nique ellipsoid with center 0, containing S, and having minimal

• Tolume, 1s called Lowner's ellipsoid . Proofs ot the existence and uniqueness ot this ellipsoid, which are rather simple, are found in BUSEIWIN [1] and D!IIZER, LAUGWUZ, and LEIIZ (1) , where eome

applications of this ellipsoid are listed. Por our purposes, any other ellipsoid would serve as well, provided that it be unlque-

• 11 determined by S in a central affinel,.. invariant manner. Lowner's ellipsoid seems to be especially easy to deal with.

We shall now give another proof of Helmholtz-Lie's theorem for the case of a definite metric. (LAUGWITZ [ 5 ]

I

[111 , .

We shall begin with a more general theorem on bounded groups of homogeneous linear transformations. A group G i s called b ounded , i t an open bounded set S has a bounded image GS.

mEOREM.

Any bounded linear-homogeneous group G leaves a defi-

nite quadratic form invariant •

• PROOI. Take E as the Lowner's ellipsoid ot the bounded point set 218

- 43 D . 1augw1~z

GS ot the above definition . I shall prove that E 1s mapped by any rEG onto 1teelt . Since TSG ::: SG because of TG

= Gt

preserving. Hence t the ellipsoid !E contains TSG same Tolume as E , hence !E

= E from

l' is volume-

= SG and

has the

the uniqueness of the mini-

mal ellipsoid. The quadratio form Q which defines E by Q=1 is invariant under G, which proves the theorem. This theorem 1s due (furnished with a more complicated

proof) to !uerbach. It has important consequences in the theory of representations of groups, which are outside the realm of the

present lectures. We are interested in the following proof of HELlHOLTZ t THEOREM. Let G be 8 group of linear homogeneous transformations of a vector space having the following properties A} G is bounded,

B) (free mobility) lor any two TOc~ore

there exists aT, G and a

't" 0,

I

~"O

> 0, such that T 5 = a'1 •

Then G leaves a quadratio form invariant , and every invariant depends only on this quadratic form. PROOl. Only the last part needs a proof. It will be sufficient to show : There exists aT. ~, T ~

="1. '

1! and only 1! Q( ~)

:By B) , there exists T E. G and a > 0, such that T ~ Q(! ) Q(

5)

= Q(TS) = Q(6'l.l = Q("l)'

= a 2Q('l!.) ' If, on

= all '

= Q( 'L ) ' hence

~he other hand,

~hen .2 = 1, hence a = 1 .

!he application to Minkowski geometry follows

d irectly ~

If 1 is a M1nkowski metric invariant under a group G of free mobility, then 1

= t{Q)

for a certain definite quadratiC torm Q p

and from b_omogeneity properties ~2

= Q.

219

-

A direct geometrical

- 44 D.La~1tz

proof may be given, showing that the ind1catriI of , coincides

• with its Lowner's ellipsoid.

I11.4. Weyl's problem of apace.

!he characterization of

Rie~ann1an

spaces by the theo-

rem of Helmholtz-Lie ehould - according to H.WEYL (1] , [2]

- be

replaced from physical reasons by another characterization, avoiding the concept of homogeneous linear transformations, since these correspond to rigid motions of the apace and since the concept of rigidity 1s rejected by Weyl from the standpoint of general relativity. WEIL (1) conjectured another characterization ot R1emanniM. spaces and pr01'ed a similar theorem in [2] • I shall now lIro-

• va the conjecture of WEIL [lJ by the method of Lowner's ellipsoid. (LAUGJI!Z [9) , FREUDENTHAL [1). Weyl obserTed, that a fundamental theorem of Riemannian geometry 1s the (unique) existence of a length-preserving symmetric affine connection. Of oourse, the this property

wi~h

Rie~ian

spaces share

other 1insler spaces, e.g. the Minkowaki apa-

ces. Obviously, since the parallel displacement permits linear homogeneous mappings of the different tangent spaces of an arcwiae connected manifold, which are length-preserving, the tndicatr ioes in the different points are neoessarily affinely equivalent . Now WEIL [1] oonjectured : THEOREM. It K is closed indicatrix in an n-dimensional vector space, and it all l1nsler spaces having indica trices affinely eqUivalent to K possess a length-preserving symmetric affine connection, 220

- 45 D.LaU8Witz

then I 1s a central ellipsoid •

• PROOl . Let E be the Lowner ellipsoid of I. Since, it we

as~e

the existence of an affine conneotion, parallel displaoement maps the tndlcatrioes at dtttersnt points onto each other, the aa-

• me holds tor their uniquely det er.mined Lowner ellipsoids . The parallel displacement leaves morearer the Riemannian metric inva-

• rlant. the indioatrloee of whioh are the Lowner ellipsoids. Now choose this Riemannian metric in such a w8y, that its holoDomy group 1s of tree mobility _ This property is shared by all Rieman-

nian spaoes of non-vanishing constant curvature. Then, by the theorems of the preceding seotion, I has to coincide with i, what was to be proved. It would be important to generalize this theorem to in-

dloatrlces which are not necessarily bounded; in this case, only group-theoretioal proofs (whioh are rather involved) are known (se. PREUDEI!mIL r 1] ) •

221

- 46 D.Laugwitz

REPERENCES BARTHEL,

w.

•

•

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226

CENTRO INTERNAZIONALE MATEMATICO ESTIVO

( C. 1. M. E. )

V. V. WAGNER

GEOMETR IA DEL CALCOLO DELLE VARlAZIONI

227

INDICE

pag.

lNTRODUZIONE

1. NOZIONI PRELlMINARI.

§

I , Relazioni binarie.

! 2.

pag.

Rappresentazioni parziali.

5

" " " " " "

38

§8 . Connessione parziale lineare in uno spazio fibrato.

pag.

43

.§ 9, Derivazione as sol uta basica.

"

49

§ 3, Quasi - rappresentazioni parzialL

!

4. Spazi aritmetici.

§ 5 . Spazi dotati di coordinate.

§6, Oggetti coordinati. § 7. Derivata di Lie.

10 12 18 27

II. CONNESSIONE PARZIALE IN UNO SPAZIO FIBRATO E DERIVAZIONE ASSOLUTA BASICA.

III. PSEUDOMETRICHE E METRIC HE VETTORIALI.

310. Superficie negli spazi lineari.

pag.

55

§ 11. Pseudometriche e metric he vettoriali in uno spazio lineare.

"

67

" § 13. Superficie suI cono di Grassmann in uno spazio m-vettoriale. " ! 14 . Pseudometriche e metriche m-vettoriali grasmanniane in Xn . "

75

! 12. Spazio

m-vettoriale e cono di Grassmann.

85

95

IV. LA CONDlZ IONE 01 EULERO PER LE CURVE Dl PSEUDOLUNGHEZZA ESTREMALE IN UNO SPAZIO X

n

DO-

TATO DI UNA PSEUDOMETRICA VETTORIALE.

£15 . Campo di ~- direzioni semiconiche.

pag. 105

f 16 . Estre"mali in uno spazio X n dotato di una pseudometrica vettoriaie.

"

229

120

V. COVETTORE OJ CURVATURA EULERIANA.

! J 7. Geometria di un campo allestito di m-direzioni in Xn . S18 . Superficie estremali in uno spazio X n dotato di una m etr ica grassm a nniana m - vettoriale.

pag.

128

136

"

VI. GEOMET RIA FINSLERIANA GENERALIZZATA.

§ 19 .

La t e oria delle ipersuperficie regolari nello spazio centroaffine

§ 20 •. La

pag.

14 6

connessione linear e parziale intrinseca nello spazio

finsleriano generalizzat o.

"

BIBLIOORAFIA

152

pag. 1 64

230

- I _

INTRODUZIONE

Non ho }'intenzione di fare una rassegna storiea delle teorie geometriche sorte dalle applicazioni di geometria differenziale al calcolo delle variazioni, le quaH possiamo unire sotto il nome generale di geometria del calcolo delle variazioni. VogUo solamente attirare la loro attenzione ai tratti caratteristici che distinguono la teoda geometriea del calcolo delle variazioni, che sara da me presentata in questo corso, dalle altre teorie ben conosciute. Anzitutto bisogna notare che gran parte delle teorie geometriche collegate col calcolo delle variazioni rappresentano piuttosto teorie geometric he di invarianti differenziali di problemi del calcolo delle variazioni che uno studio geometrico del calcolo delle va r iazioni stesso. Riconoscendo che la teoria di equivalenza di problemi del calcolo delle variazioni e importantissima e perciO e im porlantissima la teoria degli invarianti differenziali tuttavia non dobb i amo trascurare la possibilitA di ap plicare direttamente i metodi geometrici al calcolo delle variazioni stesso. Come dimostrO Caratheodory all'inizio del nostro secolo per interpretazioni geometric he delle condizioni di estremo nel calcolo delle variazioni e importantissima la nozione di indicalrice, la quale fu introdotta da lui pel caso del problema semplice del calcolo delle variazioni. PerO l a gr an parte dei geometri avendo sviluppato Ie teorie geometriche del calcolo delle variazioni tendeva a conservare una somiglianza for m ale con la geometria riemanniana , non aven do prestato la dovuta attenzione aHa nozione di indicatrice. Come esempio di

teoria

geometrica dal calcolo delle variazioni possia -

mo considerare la geometria finsleriana di Cartan. AlIo stesso modo che la met rica riemanniana definisce localmente una metrica euclidea nello spazio tangente associato ad un punto dello spazio riemanniano, nella geometria finsleriana di Cartan Ia metrica finsleriana definisce una metrica euclidea nella spazio

231

- II -

v, V, Wagner

tangente associato ad un elemento lineare dello spazio finsleriano , Inoltt:'e questa riduzione della geometria finsleriana alla geometria euclidea

~

arti-

ficiale e non risponde aIle esigenze del ca1colo delle variazioni. Un metodo analogo iu applicato da Cartan nella teo ria geometrica del problema del calcolo delle variazioni per un integrale multiplo e dai geometri giapponesi nelIe teorie geometriche dei problemi del calcolo delle variazioni di ordine superiore, Ma in tutte Ie teorie menzionate Ie condizioni di estremo in sostanza non sono considerate e pertanto queste teorie non hanno grande importanza per il caicolo delle variazioni stesso benche siano interessanti dal punto di vista geometrico, Abbiamo anche un altro metoda per costruire 1a geometria finsieriana, piu adatto dal punto di vista del ca1colo delle variazioni, in cui la metrica finsle riana t! considerata come definita dalle metric he minkowskiane negli spazi tangenti associati ai punti della spazio finsleriano. In questo caso Ie uniche sfere degli spazi minkowskiani tangenti sono Ie indicatrici del problema cor rispondente del calcolo delle variazioni. Sembra che tale costruzione della geometria finsleriana si trovi per la prima volta nell 'articolo di Winternitz pubblicato nel 1930 ([ 35J ), Scegliendo 1a nozione di indicatrice come una nozione iondamentale della geometria finsleriana vediamo che il trasporto parallelo di vettori nello spazio finslerillno puO essere determinato mediante rappresentazioni puntua Ii delle indicatrici lungo curve della spazio,

giacch~

il modulo del vettore

trasportato parallelamente e invariante. Con questa e naturale di considerare Ie indicatrici come spazi ry ciati ai punti della spazio

Xn

""0-1

as so-

dove la metric a finsleriana e definita , In tal

modo veniamo alla connessione lineare generale nello spazio fibrato il cui spazio base e 10 spazio finsleriano considerato e Ie cui fibre sono Ie indicatrici.

232

- III -

V. V. Wagner Nel 1942, quando non erano note applicazioni della teo ria degli spazi fi brat! alla geom etria differenz!ale, sviluppai una teo ria formale generale per la geometria finsleriana, che nominai la " teo ria delle varietA composte ". La varieHt composta X n+(J )

fu deCinita da me nello spirito deUa teo-

Xn

ria classica delle connessioni come uno spazio

X!

assoc1ati spazi

ai punt! del quale sono

locali . Una connessione (pit! precisamente una connes -

sione parziale) lineare fu introdotta in

X n+ (m)

mediante un sistema di Pfaff

(o/ ' j' ·1 .. .. .. n) (1 ) (1,j·I, ... .. . ,s)

Dve

sono coordinate nello spazio base "

lnd icheremo con

B

e un insieme di relazioni binarie fr a elementi

. lndicheremo con ;£

?E P

P2

binarie fra elementi degli insiemi f r a elementi degli insiemi

A2

sieme di tutti i prodotti di r etti

( 1. 5)

f

bE:

0

P

l' insieme di tutti i pro -

2:

e 6" E

Analogamente s iano P I e

n sottoinsieme

A

e

f1

rispettivamente un insieme di relazioni

Al

,

B2

;indicheremo con

0 f2

dell ' insieme

f -

e un insieme di relazioni binarie

ove B

5\

dicesi Ia sezione della relazione b inaria ~ c A X B

250

e

P2

l ' in -

f 2E P2

definito dalla formula

(a , b )'i:

L ' unione

E PI

P IC

f nell 'element o

a .

- 3 V. V. Wagner

U J'

(1. 6)

. . OL

f

delle sezioni della relazione binaria

oz;. c

A

in tutti gli elementi di un sottoinsieme

p

dicesi 18 sezione della relazione binaria

La sezione della relazione binaria inversa

f

con la prima proiezione di sa nell ' insieme

A

f

-1

nel sottoinsieme ()'{,. nell ' insieme

B

e la sezione della relazione binaria

coincide con la seconda proiezione di

?

coincide

f

stes-

( 1. 7)

Nella teoria delle relazioni binarie sono importantissime Ie formule se-

guenti :

(1. 8)

la Quale da un'espressione della se:done del prodotto di relazioni binarie in un sottoinsieme OL

; _1

f\ O f,(f l ' f" )'?1

(1. 9)

1a Quale da un ' espressione della sezione del prodotto diretto di relazioni binarie in un sottoinsieme Un soUoinsieme genea

f

C A 1- A

j (J&

C A IX A2 .

dicesi stabile rispetto ad una relazione b.inaria omo-

se 1a sezione della

in

stesso ( 1.10)

f

(iIl l

C

!J1.,

251

en,

~ contenuta

in

- 4 -

V. V. Wagner

Un sottoinsieme (}L menta r e

(Jr./ ~

dicesi co- stabile rispetto a

p . SI pub dimostrare che 101. co - stabior: rispetto ad una relazione binaria f equ ivale

stabile r i.spetto a

liUt d ' un sotto- insieme

alIa sua stahiUU. rispetto alIa relazione binaria inversa Un sottoinsieme tempo

~

Un sottoinsieme ~ omogenea parUene a

dicesi bi - stabile .risp'etto a

t! stabile e co-stabile rispetto alla

~

f f

Fse il suo comple -

C A xA

dicesi universale

se ciaseuna coppia

. cio~

j

f

se nelle stesso

f

rispetto ad una relazione binaria (a ,a ) 1 2

di elementi di 0(,

ap -

(1. 11) Usando il teorema di Zorn possiamo dimostrare che agni sottoinsieme universale rispetto a

Ie rispetto a

f

t! contenuto in un sottoinsieme universale massima -

f

252

- 5 -

V. V. Wagner

§ 2. Rappresentazioni

parziali.

Una relazione binaria dell ' insieme

A

If

C AX8

nell'insieme

B

si dice una rappresentazi one parziale

se tutte Ie sezioni non vuote della

If

consistono di un solo elemento . Secondo'questa definizione Ia relazione binaria vuota e una rappresenta-

'f

zione parziale. E' evidente che una rappresentazione parziale non vuota e una rappresentaz ione, nel senso ordinario, del sottoinsieme s ottoinsieme a E p r1

p r

2

'f .

Indicando con !.p (a )

r (AX B)

dell'insieme

nell 'insieme

A

p r l l.f

:0

A

!.

B

-. 1.1

aHora il prodotto

gli elementi dell ' insieme

c..p = fc.p (a)

l ' insieme d i tutte Ie rappresentazioni parziali

Se una rappresentazi one parziale c i oe

suI

l ' immagine di un elemento

rispetto a questa rappresentazione abbiamo

lndicheremo con

p r l l.f

Lf C .

(2 . 2)

c

['

e rispetto all ' operazione di inversione

-


Xn

di tutti i diffeo -

di diffeomorCismi definiti da un sistema di funzioni

con jacobiano positivo

Det l f;1

(4 , 5)

>0

Una classe importante di gruppi generalizzati perfetti

quella formata

~

dai gruppi generalizzati di trasformazioni parziali di Lie , definiti da un sistema di equaz'ioni differenziali (Lie stesso insieme con i suoi discepoli erroneamente diceva "gruppi di trasformazioni" ), Come un esempio di un gruppo generalizzato di Lie possiamo considerare il gruppo generalizzato

lumi in

n

to

n

di tutti i diffeomorfismi che conservano i vo-

R , il Quale ~ definito da un'equazione differenziale

(4 , 6.)

Perb si trovano anche gruppi generalizzati non perfetti importanti. Come un esempio importante dal punto di vista di applicazioni ulteriori considereremo il cosidetto " gruppo generalizzato di diffeomorfismi semiconici " , Un sottoinsieme di uno 8pazio aritmetico 8i dice semiconico se easo

~

1'unione di aemirette uscenti dal punto zero , Se

f

~ una relazione binaria fra punti di

toinsieme del prodotto cartesi ano

RnX R

rispetto alIa rappresentazione

n

R

n

allora

, L ' immagine

6"'(n. n) 0 6(n. n)

f

6"(n,

~

n)

un sot -

° fO~n.n)

si dice il grafico

arifmetico di Un di ffeomorfiamo

f

nella spazio

262

an

si dice semiconico se il suo

- 15 -

V. V. Wagner grafico ari tmet icc

~

semiconko . E ' facile vedere che se

questa equivale a dire che che

f

~

p r If

~

f

~

non vuoto

•

un sottoinsieme semiconico di

determinato da un si st ema di funzioni posi tivamente omogenee di

grado 1. lndichiamo con ~n l'insieme di tutti i diffeomorfismi semiconici nel n 10 spazio R . E ' facile vedere che ~ n ~ un gruppo generalizzato u - stabile rna non localizzato .

OJ

Da ogni gruppo generalizzato

di diffeomorfismi in

mo ottenere il gruppo generalizzato Iocallzzato la chiusura Iocalizzata del gruppo generahzzato La chi usura Iocalizzata di

11

n

~ () fJ n

9J-.

R

n

possia-

' II quale SI dIce

~ il gruppo generalizzato di Lie defini-

to dal sistema di equazioni differenziali

(4 . 7)

Ie quali coincidono con Ie identita di Eulero per funzioni positivarnente ornogenee di grado 1 . Un diffeornorfismo

f

in

R

"+'

si dice n - proietti;lbile se Ia sua imma -

gine rispetto alla rappresentazione PI D PI ) ~ un diffeomorfismo n+S . fIJ n+s,n n in R , cio~ se f ~ definito da un sistema di equazioni della forma seguen-

" (4 . 8) (i. j

ove Ie prime in

R

n

"

equazioni definiscono il diffeomorfismo

263

P

1 •... , s)

(n+s. n)

• f

-I

o p(n+s , n)

- 16 -

V. V. Wagner L 'insieme di tutti i diffeomorfismi n- proiettabili in generalizzato che indicheremo con n gruppo generalizza to

'12

~ ~~I

E ' evidente che

X n+(8)

n+(8)

~

n

+,

~

un gruppo

~ n+(8)

il gruppo generalizzato che

IY:'

R

non

~

~

u - stabile . Indichiamo con

la u-chiusura di

7
. o

"1,0

Infatti, notiamo che se la metrica

fA'

~

~o

data dal sistema (16.1) l'in-

dacatrice pub essere determinata dal sistema di equazloni

372


- • o

1

essa si dice debolmente anormaie . E' facile vedere che per

una superficie estremaie normale Ie funzioni

~z sono univocamentedeter-

minate . Finora 1a necessiU della condizione di Eulero per l 'estremo nel caso generale del problema di Lagrange per 1' integrale multiplo non

~

dimostra -

ta benche essa sembri ve r osimile. Conirontando it sistema di equa zioni diffe r enzial i di Eulero (18.25 ) con l ' espressione (18 . 24) del covettore di curvatura euleriana otteniamo l ' inter pretazione geometrica delle superficie estremali normali e debolmente anormali come superficie misu r abili che ammettono un allestimento trasversale tale che esse diventano Ie superficie trasve r salmente allestite di curvatura

392

- 144 -

V. V. Wagner euleriana nulla . .Con questo se una superfieie eatremaIe e normale questo aI lestimento trasversale e unieo e se essa e deboi menteanormale questo aIlestimento si trova con una certa arbitrarietA.. Come caso particolare. per m -I otteniamo l'interpretazione geometrica dl estremali normali e debolmente anormali In uno spazio x'n

dotato di una me-

trica vettoriale come Ie curve misurabili che ammettono un allestimento tra sversale tale che esse diventino Ie curve trasversalmente allestite di curvatura euleriana nulla. Per

t"

m(n-rn)

i n ognl punto dell'indicatrice locale esiste un unico

iperpiano tangente semplice e perdO per ogni rn - diredone misurabile eaisle una unica (n-nj-direzione trasversale. Dunque per ogni superCicie misurabile esiste un unico allestimento trasversale . In questo caso possiarno parlare del covettore di curvatura eulerlana di una superficie mlsurabile supponendola allestita trasversalmente (nell'uniCO modo possibile) . Come

~

noto la necessltA. deUa condizione di EuIero in questo caso si

deduce daUa condizione che la variazione dell ' area sia nulla. Ritornando di nuovo al caso generale di una metrica grassmanniana m vettoriale in uno spazio

'.:C n

supponiamo che essa sla regolare in senso

stretto cioe che tutte Ie indicatrid 10caIi sono regolari in senso slretto. Deterrniniamo Ie immagini tangenziali grassmanniane proprie delle in dicatrici locali dall 'equazione

(18.26)

....

a

Q(~,Yol) •

Consideriamo ora uno spazio fibrato

-

1

U

n+(m)

misurabile, trasversal -

mente allestito. Sostituendo nell 'equazione (18.26) i componenti unico tensore di connessione di

U

n+(m)

rno

393

della

e derivando l' identitA. ottenuta Bvre-

- 145 -

V. V. Wagner

(18 . 27) D' altra parte da (13.35) abbiamo

Q"b ,.

(18.28)

SI' b

e perciO da (18.27) possiamo dedu,:re.

(18.29) ricavate da (l8.29) nella for-

Sostituendo Ie espressioni di

mula (17. 18) otteniamo 1'espress ione seguente per il covettore di curvatura euleriana di

iTn+(m)

(18.30) ~

Per una supe r ficie ammissibile di

h~

(l8.31) Pc.l

~

Un+(m) da (18. 30) si ottiene

• ;;

+

'd~ H

facile vedere da (18.28) e (28.31) che Ie superCicie misurabili

di curvatura euleriana nulla possono esse re determinate dal seguente sistema di equa'l.ioni differen'l.iali

(l8.32)

394

- 146 -

V. V. Wagner

VI

_

GEOMETRIA FINSLERlANA GENERA L IZZATA

819. La teoria delle ipersuperficie regolari nello spa'do centro-affine .

e uno

Unospazio finsleriano generalizzato metrica vettoriale regolare ad

n

spazio

Xn

in cui e data una

dimensioni locali.

Da questa definizione segue che uno spazio finsleriano generalizzato e uno spazio finsleriano se la metrica vettoriale data e completa , simmetrica e convessa. Vedremo che i1 contenuto ordinario della geometria finsleriana conservato da questa generalizzazione della nozione di spazio finsleria -

sar~

no. Considerando la geometria finsleriana generalizzata come la teoria degli inva rianti differenziali d ' una metrica vettoriale regolare ad locali data nella spazio

Xn

n

dimensioni

abbiamo che essa equivale alIa teoria delle su-

perficie (n _ 1l secanu nello spazio fibrato

T

I n+(n) ci globali della metrica vettoriale nella spazio '

'Xn

Ie quali siano Ie indicatri oppure i n altre parole

alla teoria di un campo di ipersuperficie negli spazi tangenti della spazio

X

n

, Ie

quali sono Ie indicatrici locali.

Naturalmente per 10 studio della indicatrice globale dobbiamo comincia re dallo studio delle indicatrici locati o cioe dallo studio delle ip ersupe r ficie regolari nella spazio centro - affine . Sia sioni

A

S n

una ipersuperficie propria nella spazio centro-affine ad n - dimendefinita dalle equazioni parametriche

(19. 1)

Ad ogni punto della ipersuperficie minato dal covettore

-Fo(

S

abbiamo I ' iperpiano tangente deter -

,che si trova mediante Ie equazioni

395

- 147 -

V. V. Wagner (19.2)

n

tensore tangenziale

(19.3) di questo iperpiano tangente si dice il primo tensore fondamentale della iper _ superficie

S

Rappresentando i vettori dipendenti

~. ~

come combinazioni lineari dei vettor i in-

abbiamo

(19 . 4)

ove

G.~

. Slone .

sono componenti d ' un oggetto della connessione affine senza t or-

"

Scrivendo Ie equazioni (19 .4 ) nella forma

(19.5)

otteniamo Ie loro condizioni d'integrabilita

o

(19.6)

le quali esprimono che la connessione definita da

G

k

ji

~

equiaffine e proiet -

tivamente euclidea . La necessitA di questa ultima condizione segue immediatamente dal fat to che Ie geodetic he r ispetto alla connessione

396

G.~ J'

saranno le sezioni della

- 148 -

V. V. Wagner ipersuperficie con gIi iperpiani centrali donde avremo che 1a proiezione centra le dar1l. una rappresentazione della parte corrispondente delI ' ipe rsuperficie sull ' iperpiano che preserva Ie geodetiche . Dalla prima delle equazioni (19.6) ai pub ottenere che il tenaore fondamentale differisca dal tensore di Ricci solamente per il rattore I gji· n-2

(19.7)

cio~

n- 2

R .. J'

Dunque un ' ipersuperficie propria data nella spazio centroaffine

A

n

,

meno di un auto m orfismo arbHrario pub essere considerata come uno spazio

X

n-I

dotato di una connessione equiaffine e proiettivamente euclidea, sen-

za torsione. Se le

S

~

un ' ipersuperficie regolare allora la sua immaglne tangenzia-

Sit sarti. un'ipe r superficie nello spazio conjugato

A'* n

data dalle equa-

zioni

(19.8 )

Rappresentano i vettori dipendenti

f~

i •

t>i

£0( Ji

come conbinazioni linear! de! vettori in-

abbiamo

(19.9) ove ~OJ[k

sono i componenti d ' un oggetto della connessione affine senza tor -

s!onelaqualee anche equiaffine e proiettivamente euclidea. Questa conneasione affine si dice coniugata riapetto alIa connessione affine determinata da

k

OJ!

397

- 149 V. V. Wagner

Calcolando Ie del""ivate coval""ianti del tensore rondamentale to a

It"G.~

k

G .. J'

J'

per it segno.

rispet-

otterremo che essi differiscano tra lora sola mente

Porremo

(19. 10)

e un tensore simmetrico, it Quale si dice it secondo tensore fon kji damentale delJlipersuperficie S . ove

A

Dalla (l9.10) segue che Ia derivata covariante del pl""imo tens ore fondamentale

rispetto all 'oggetto della connessione affine 1 2

(19. 11)

.,

""G .." ) J'

e uguale a zero, il che significa che la connessione affine determinata da G ..

e una connessione riemanniana corrispondente al tensore

" Questa connessione riemanniana si dice la connessione affine media della

ipersuperficie

S

Mediante 1'oggetto della connessione affine media possiamo modificare Ie equazioni (19.4) e (19 . 9) e scriverle nella forma &.eguente

-A' .K ji

(19.12)

ove il tensore

A" k. ji

e ottenuto dal tensore

con I 'aiuto della ope-

razio ne di innalzamento degli indici definita dal tensore

g

kh

Le condizioni di integrabiliUI per ambedue i sistemi di equazioni differenziali (19.12) coincidono e possono essere ridotte alIa forma seguente

398

- 150 -

V. V. Wagner

(19 . 13)

2A

A"

Ih[ k J] '

e.

o

Per trovare un significato geometrico del secondo tensore fonda menta Ie delI'ipersuperficie consideriamo l'iperquadrica centrale osculatrice. L'iperquadrica centrale osculatrice in un dato punto p dell'ipersuperficie 5 A

~

n

una iperquadrica centrale il cui centro coincide col centro dello spazio e Ja Quale nel punta

p eosculatrice di secondo ordine all'ipersuperficie .

Se

(19 . 14)

e I 'equazione dell ' iperquadrica centrale osculatrice possiamo ottenere Ie espressioni seguenti per Ie componenti del tensore

al'-

(19 . 15)

donde abbiamo

(19 . 16)

cib significa che la re golaritA dell'ipersuperfic ie equivale alIa non degenerazione delle iperquadriche centrali osculatrici. S1 pub poi dimostrare che il secondo tensore fondamentale

della kji ipersuperficie e uguaJe al tensore della deviazione centrale dell'iper5uperficie dalla sua iperquadrica centrale oscula trice moltiplicato per Derivando (19.15) 5i pub ottenere l'equazione

399

A

I

2

- 151 -

V. V. Wagner

(19.17)

dalla quale .sbbiamo che la condizione necessaria e sufficiente affinch+: una ipersuperficie sia un 'iperquadrica tro dello spazio centro-affine ,

~

centrale, U cui centro coincida col cen -

che it secondo tensore fondamentale sia nul -

lo (19.18)

A

ijk

eo

0

400

- 152 V. V. Wagner

§ 20.La connessione

lineare parziale intrinseca nello spazio finsleriano

generalizzato. Consideriamo I'indicatrice giobale della metric a vettoriale nella spado

Xn , che definisce la geometria finsleriana come l'insieme puntuale di uno spazio fibrato generale

n

X n+(n-l)

.

problema fondamentale della geometria finaleriana generalizzata & di

trovare una connessione lineare parziale intriaeca in questo spazio fibrato 'l.n+(n_l) Sia (20. 1) il sistema di equazioni dell'indicatrice globale.

Con l'aiuto dei covettori introdotti nella teoria delle ipersuperficie nella spazio centro-affine. determiniamo

n

forme di Pfaff indipendenti

(20.2)

Ie prime n-l delle quali sono componenti di un covettore fibrale nello spazio

Xn

+ (n- 1)

e l'ultima e una forma di Pfaff scalare.

X.

Se nella spado fibrato e data una connessione lineare parn+(n-l) ziale determinata da un sistema di equazioni di Pfaff

(20.3)

considerando Ia derivata covariante basica ~ n~ di un oggetto differenA ziale fibrale n costruiamo due nuovi oggetti differenziali fibrali

~id'

, ~od'

401

- 153 V. V. Wagner

(20 . 4)

i quali si dicono rispettivamente 1a derivata assoluta basica trasversa1e e 1a derivata assoluta basica radiale di questa oggetto differenziale fibrale n1!.

n.R.

11 differenzia1e assolut o basico di

s 'esprime nel modo seguente

(20 . 5) oye (20 . 6)

La possibilittl. definire una connessione lineare parziale nello spazio

X.n+(n - l)

in modo intrinseco segue dal teorema seguente :

Teorema. ' Nello spazio fibrato

X n+ (n- 1)

fide '(n- V- secante nello spazio fib r ato A

n

il cui insieme puntuale

Tn+(n)

~

una super-

la qua1e taglia ogni fibra

secondo un ' ipersuperficie propria regolare, esiste una e sola mente una

connessione 1inea r e parziale che soddisfa aIle condizioni seguenti :

(20 .7) (20 . 8)

Dimostrazio ne . Notiamo, dapprima, che la condizione (20 . 8) ne (20 . 9 )

C\ ji dl g = 0 o

402

~

equivalente alla condjz io-

- 15 4 -

V. V. Wagner

Ponendo

r

(20 .1 0)

i

rii

t

J

+ (if,

(20 . 11)

dopo alcuni passaggi 6i ottiene

(20. 12)

(20 .1 3 )

ove t! posto per brevit;\ Per Ie (20.12) e (20 . 13) possiamo modificare Ie equazioni (20.7) e (20.9) e ottenere un sistema di equazloni per i coe ff icienti

av- ji

,v i, 0

Risolvendo questo ultimo sistema di equazioni e sostituendo Ie espres Slone ottenute per

Vii,,,i 0 0

nella formula (20.10) abbiamo in definitiva

I 'espressione

(20 . 14)

per i componenti dell ' oggetto di connessione lineare parziale nello spazio fibrato

Xn +(n _ 1)

zioni

(20 . 7). (2 0 . 8).

il quale

~ definito in modo intrinseco mediante Ie condi-

Consideriamo ora una identitA importante per la connessione parziale ottenuta .

403

- 155 V. V. Wagner Not1amo dapprima che in virtil della

commutativit~

delle operazioni del -

la differenziazione assoluta basica e della derivazione parziale fibrale nello spado fibrato X

n+ ( n- I) s1 h a :

(20 . 15)

donde

(20 . 16)

Dalla seconda equazione di (19 . 12) abbiamo

(20 . 17)

P rendendo il dHferenziale assoluto b a sico ester no di ambedue i membri della equazione (20 . 17) e utilizzando

l'identit~

(2 0 . 18)

otte n iamo

a

( 20 . 19)

don de segue

(20 . 20)

• J'. k

a

G"

404

- 156 -

V. V. Wagner

ov,

o

G .. k J',

sono i simboJi di Christoffel di prima specie rispetto al tensore

Derivando l'equazione (20.8) rispetto a

otteniamo

(20 . 21)

da cui

(20.22)

~o GJl. k '

1

2

Sostituendo queste espressioni nelle equazioni (20.20) e alternando rispetto alla coppia di indici

j. k

ci si convince che il tensore

S> k

gji

~

simmetrico e che si ha

(20.23)

Consideriamo ora nello spazio fibrato genziale del primo ordine dello spazio dato

del prolungamento tann+(n) X una connessione lineare

T

n

parziale arbitraria definita dane forme di Pfaff

(20 . 24)

r?Ix•

"dx•

n"

+ J.

ov,

Associamo a questa connessione parziale una nuova connessione lineare parziale definita dalle forme di Pfaff

405

- 157 -

v , V , Wagner (20 . 25) che chiameremo la connessione parziale eccentrica per la connessione parziale (20 , 24) ,

n

vettore

Soi.

, che

~

la semidifferenza dei vettori di curvatura della

connessione parziale eccentrica e della connessione parziale data, si dice il vettore di torsione deUa connessione parziale data

so(

( 20 , 26)

~

1 2

(iio( _ Ro/

)

Analogamente ai componenti del vettore di curvatura i componenti del vettore di torsione sono forme differenziali bilineari emisimmetric he

S' Sii"

(20 , 27)

[.qrJ~']

i cui coefficienti 5 "

(20 , 28)

ir

0(

•

•

f[t~l

?rr rtf" " -~ -x~-

, ove

sono componenti di un tensore del

terzo ordine il quale si dice il tensore di

torsione, Supponendo che nella spazio la re ad

n

Xn

sia data una metrica vettoriale rego-

dimensioni locali possiamo introdurre sistemi coordinati polari

negli spzi centro-affine tangenti ponendo

(20.29 ) Sia

x

V c