Fysikk 2 : Mekanikk [2] 8200252795 [PDF]

Zitiervorschau

PSSC (Physical Science Study Committee) EDUCATIONAL DEVELOPMENT CENTER, Inc.

FYSIKK INTERNATIONAL EDITION

DEL 2

MEKANIKK

Yrkesopplæringsrådet for håndverk og industri U NIVERSITETS FORLAG ET

© Yrkesopplæringsrådet for håndverk og industri/ UNIVERSITETSFORLAGET 1974

Oversatt og bearbeidet for norske forhold av lektor Ole A. Jakobsen og rektor Sigurd Stensholt.

Originalens tittel: PSSG PHYSICS © EDUCATIONAL DEVELOPMENT CENTER, Inc. (tidligere Educational Services Inc.) 1967. Deler av boka er beskyttet av copyrights fra 1957, 1958, 1959, 1960, 1963, 1964, 1965, 1966. Godkjent av Kirke- og undervisningsdepartementet den 7. desember 1973 til bruk i gymnas og tekniske skoler.

Etter lov av 12. mai 1961 om opphavsrett til åndsverk er det forbudt å mangfoldiggjøre innholdet i denne bok, helt eller delvis, uten tillatelse fra forlaget. Forbudet gjelder enhver form for mangfoldiggjøring ved trykking, kopiering, stensilering, båndinnspilling o.l.

Omslag: Stein Davidsen Printed in Norway by A.s John Grieg Boktrykkeri, Bergen, 1974

ISBN 82-00-25279-5

FORORD

Dette bindet av PSSC-fysikken omfatter hele mekanikken. Kapittel 11, 12 og 20 stod i forrige utgave i Del I: Fysikkens Grunnlag. Kapittel 19, Bevegelsesmengdemomentet, som svarer til kap. 26 i forrige utgave, er sterkt forkortet og omarbeidet. Et kapittel 22 i den svenske utgaven, Geofysikaliska tillampningar, er sløyfet i den norske utgaven. Lektor Ole A. Jakobsen har oversatt og bearbeidet den største delen av dette bindet, rektor Sigurd Stensholt har vært med på arbeidet med de to siste kapitlene. Lektor Svein Grøn mo har tatt seg av øvingsopp­ gavene. Oslo, januar 1974

Den norske komite for norsk-svensk forsøksundervisning i fysikk (NSFF)

INNHOLD

Kapittel 11. Bevegelse langs en bane.

9

11—1. Posisjon i banen. Forandring av posisjon. 9 11—2. Hastighet. 11 11 —3. Bevegelse med varierende hastighet. 11—4. s-t-diagram. 15 11—5. Stigning. 17 11 —6. Hastigheten i hvert øyeblikk. 19 11—7. Akselerasjon i en bane. 22 11 —8. Jevnt akselerert bevegelse. Formler vi ofte får bruk for. 24 11 —9. Sammendrag. 26 Oppgaver. 2 7

Kapittel 12. Bevegelse i rommet.

13—8. Newtons lov på vektorform. 61 13—9. Kreftene slik vi møter dem i naturen. Oppgaver. 62

61

13 Kapittel 14. Bevegelse på jordas overflate. 68 14 — 1. Fritt fall. 68 14—2. Horisontalt kast. 71 14 — 3. Kraft Og retningsforandring. Sirkelbevegelse. 73 14—4. Jordsatellitter. 78 14—5. Enkel harmonisk svingning. 79 14—6. Referansesystem. 85 14 — 7. Newtons lov og jordrotasjonen. 87 Oppgaver. 88

35

12 — 1. Posisjon og forskyvning. 35 12—2. Addisjon og subtraksjon av vektorer. 37 12—3. Multiplikasjon av en vektor med et tall og med en skalar. 39 12—4. Hastighetsvektorer. 39 12—5. Akselerasjon er en vektor. 43 12—6. Vi må beskrive en bevegelse i forhold til noe. 44 12—7. Kinematikk og dynamikk. 45 12—8. Lysets fart. 46 Oppgaver. 46

Kapittel 13. Kraft og bevegelse. 51 13 — 1. Kraft- og bevegelsesbegreper i historisk perspektiv. 51 13—2. Bevegelse når ingen krefter virker. 52 13 — 3. Hastighetsforandring når kraften er konstant. 54 13—4. Akselerasjonen varierer når kraften varierer. 56 13—5. Akselerasjon, kraft og masse. 57 13—6. Ikke-konstante krefter og Newtons lov. 59 13 — 7. Addisjon av krefter. Nettokraft. 59

Kapittel 15. Gravitasjonsloven. Solsystemet.

93

15 — 1. Tidlige planetsystemer. 94 15—2. Copernicus’planetsystem. 95 15 — 3. Innvendinger mot Copernicus’ modell. Tycho Brahe. 96 15—4. Kepler. 97 15—5. Kinematisk beskrivelse — dynamisk tolkning. 101 15—6. Newton. 102 15 — 7. Den generelle gravitasjonslov. 104 15—8. Litt om Newtons seinere arbeid. 106 15—9. Laboratorieprøver med gravitasjons­ loven. 106 15 — 10. Et lite avvik. 108 Oppgaver. 109

Kapittel 16. Impuls og bevegelsesmengde.

113

16 — 1. Impuls. 113 16—2. Bevegelsesmengde. 115 16 — 3. Forandring i bevegelsesmengde når to legemer virker på hverandre. 116 16—4. Lov: Bevegelsesmengden bevares. 120 16—5. Massesentrum. 121 16 — 6. Kraft og motkraft. 125 Oppgaver. 132

Kapittel 17. Arbeid. Kinetisk energi.

138

17 — 1. Arbeid og energi. 138 17—2. Kinetisk energi. 141 17 — 3. Overføring av kinetisk energi når to legemer støter sammen. 143 17—4. Betingelsen for at den kinetiske energi for et system bevares under et støt. 146 17—5. Elastisk støt. Hastighetsberegning. 148 17—6. Drøfting av begrepene arbeid Og kinetisk energi når flere krefter virker samtidig. 150 17 — 7. Ikke-elastiske krefter. Tap av kinetisk energi. 151 17— 8. Konklusjon. 152 Oppgaver. 153

Kapittel 18. Potensiell energi.

160

18 — 1. Fjærbufferen. 160 18— 2. Potensiell energi når to legemer støter sammen. 163 18—3. Potensiell energi i gravitasjonsfeltet nær jordoverflaten. 165 18—4. Potensiell energi i gravitasjonsfeltet generelt. 168 18—5. Kinetisk unnslipningsenergi. Total energi for en satellitt. Bindingsenergi. 170 18— 6. Den totale mekaniske energi. 172 Oppgaver. 174

Kapittel 19. Bevegelsesmengdemoment.

182

19 — 1. Keplers 2. lov — flatesatsen. 182 19— 2. Bevegelsesmengdemoment. 185 19—3. Bevegelsesmengdemoment er en vektor. 185 19—4. Bevegelsesmengdemoment f Or et system av legemer. 187 19—5. Forandring av bevegelsesmengde­ moment. Kraftmoment. 189 19—6. Stive legemer. Rotasjon. 190 19 — 7. Treghetsmoment. Kinetisk energi. 192 19—8. Bevegelsesmengdemoment for stive legemer. Spinn. 193 Oppgaver. 194

Kapittel 20. Stoffets struktur.

198

20 — 1. Stoffets byggesteiner — atomene. 198 20 — 2. Om å «se» atomer. 198 20 — 3. Ytterligere støtte for atomenes eksistens. 202 20—4. Den enorme mengden av atomer. 204 20 — 5. Bestemmelse av molekylformler. 205 20—6. Loven om de enkle volumforholdene. 206 20 — 7. Om å telle atomer. 208 20—8. Antall partikler i gasser. 210 20—9. Molekylers Og atomers masser. 211 20 — 10. Trykk. 213 20 — 11. Væsketrykk. 214 20 — 12. Molekylmodell av en gass. 214 20 —13. Boyles lov. 216 20 — 14. Temperaturskalaer Og gasstermometre. 219 20 —15. Temperaturen og gassmodellen. 221 20 — 16. De brownske bevegelser og det johnsonske brus. 223 20 — 17. Gasser uten vegger. 226 Oppgaver. 227

Kapittel 21. Varme, molekylbevegelser og energiens konstans. 232 21 — 1. Gasstrykk. 232 21—2. Temperatur. Molekylenes kinetiske energi. Indre energi. 234 21—3. Systemers translasjonsenergi og indre energi. 236 21 —4. Mekanisk energi og indre energi. 238 21—5. Varme. 239 21 —6. Energitilførsel og temperaturstigning. 239 "

21—7. Energiens konstans. Oppgaver. 244

Svar til oppgavene.

241

249

Målenheter og omregningsfaktorer. Stikkordregister.

2 61

258

BEVEGELSE LANGS EN BANE

KAPITTEL

Et godstog går med farten 60 km/h. På samme spor kommer plutselig et lyntog ut av en kurve i samme retning som godstoget. Lyntoget har farten 120 km/h, og avstanden mellom togene er 300 m. Lyntoget trenger 600 m på å stanse. Blir det kollisjon? For å kunne forutsi hva som vil skje, må vi undersøke hvor de to togene befinner seg på samme tid. Vi spør etter sammenhengen mellom fart, tid og sted. Læren om slike for­ bindelser kalles kinematikk. I kinematikken er vi ikke interessert i grunnen til at toget trenger 600 m på å stanse. Det vil vi studere i kapittel 13. Foreløpig vil vi bare studere hvordan vi kan beskrive bevegelsen. Først tenker vi oss at bevegelsen foregår langs en gitt bane. Om banen er rettlinjet eller krum, om det er stigning eller fall, eller samme høyde under bevegelsen, interesserer ikke foreløpig. Slike problemer skal vi studere i kapittel 12.

11—1. Posisjon i banen. Forandring av posisjon.

En bil kjører på en motorvei som går østvest. For å kunne undersøke bilens bevegelse må vi vite hvor bilen er til enhver tid. Vi velger oss da et bestemt punkt på veien som utgangspunkt. Punktet kaller vi origo. Origo kan vi velge fritt, men det må være kjent hvil­

ket punkt vi har valgt. Er veien f. eks. E18 fra Oslo til Drammen, kan vi velge Sandvika som origo. Så måler vi bilens avstand fra origo. Men sier vi at bilen befinner seg på E18 15 km fra Sandvika, vet vi ikke sikkert hvor den er. Vi må også si om den er vest eller øst for Sandvika. Har vi et punkt på en linje, bestemmer vi hvor punktet er på samme måte. Vi velger origo og oppgir punktets avstand og retning fra den. Men «øst for» eller «vest for» passer ikke hvis linjen går på skrå eller lodd­ rett. «Til høyre» eller «til venstre» er heller ikke brukbart. Ser vi på et vanlig kart, ligger Drammen til venstre for Sandvika, men snur vi kartet opp-ned, ligger Drammen til høyre for Sandvika. Vi velger derfor å bruke ut­ trykkene positiv og negativ. Kjenner vi lengde­ enheten, er et positivt eller negativt tall nok til å bestemme punktets plass på linjen. Disse positive eller negative tallene kaller vi punktets koordinater. Linjen på fig. 11 —1 er en 5-akse; koordinatene er kalt j15 s2 og J3. På fig. 11 —2 har vi tegnet vei-tid-grafen, eller 5-^-grafen, for en bevegelse. Den hori­ sontale aksen er tidsaksen, den vertikale ak­ sen veiaksen. Ved tiden t = 0, hadde legemet avstanden 5 = 1,0 cm fra origo. Hva som har hendt tidligere, forteller grafen intet om. I tidsintervallet fra t = 0 til t = 1,5 s øker avstanden til j = 2,0 cm. Fra dette øyeblikk

10

BEVEGELSE LANGS EN BANE

— 9 -8 —7 ~6 -5 -4 -3 -2 ~ 1

0 41 42 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9

11—1. Bevegelse i en gitt bane, s-linje.

av blir avstanden mindre. Legemet har snudd og beveger seg nå mot origo. Ved t = 2,5 s er t = 0,5 cm. Avstanden forandrer seg ikke til t = 3,5 s. Legemet må derfor ha stått stille. Ved t = 4,2 s er .j = 0, og legemet

11—2. Vei-tid-graf.

A s1=(-5h(-3)=-2 h------------ 1 -6

-5

_4

_3

passerer vår origo på banen. Legemet fort­ setter forbi vår origo uten å stoppe til det får avstanden j = — 1,0 cm fra origo. Gra­ fen er ikke tegnet lenger, og vi vet ikke noe om legemets videre bevegelse. I kinematikken får vi snart bruk for for­ andring i vei. Forandring i vei kalles for­ skyvning, og betegnes med Aj. Hvis legemets posisjon i forhold til origo forandrer seg fra jx til j2, blir forskyvningen Aj = j2 — A- Er Aj positiv, er j2 større enn j13 og legemet har beveget seg i positiv retning. Er Aj negativ, er j2 mindre enn j15 og legemet har beveget seg i negativ retning. Fig. 11 —3 viser at forskyvningens fortegn bare avhenger av forskyvningens retning, ikke av om vi befinner oss på positiv eller negativ side av

A s?=o-(-2)*2 F----- —H . _2

_]

o

A s4^-6=_2 H------------ i

A s341^2 I------------- H 4-1

+2

+3

+4

vei s (cm)

11—3. Fortegnet for en forskyvning bestemmes bare av forskyvningens retning, ikke av hvor forskyvningen skjer.

+5

+6

BEVEGELSE LANGS EN BANE

origo. Pilene på figuren viser forskyvningens retning. A,^ og A^3 går i positiv retning og er like store. A^ og A.t4 er negative og inn­ byrdes like.

11

tid (s)

1

2

3

4

5

6

7

8

5

6

7

8

11—2. Hastighet. En bil har jevn bevegelse på en vei. Vi vil vite hvor bilen befinner seg ved en viss tid, hvor fort den kjører og i hvilken retning. Vi vil innføre begrepet hastighet v som både skal fortelle hvor fort bilen beveger seg og i hvilken retning. Hastigheten skal fortelle om forskyvningen

tid (s)

pr. tidsenhet, dvs. & = —----- — = — der AZ er r t2 — h At tidsintervallet for forskyvningen Aj. Da At er positiv, vil hastigheten v ha samme fortegn som forskyvningen Aj. På fig. 11 —3 skjedde alle forskyvningene på tidsintervallet At — 0,4 s. Altså har vi

— 2 cm

2

_ cm -5V“’

4- 2 cm , _ cm v2 = ----- = + 5-----0,4 s s

Da A.v4 - A54, er v± = r4 og v2 = v3. På fig. 11 —4 (a) er tegnet z?4-grafen for en bevegelse med konstant hastighet. Fig. 11 —4 (b) viser en bevegelse med den samme kon­ stante farten, men i motsatt retning. Begrepet fart sier oss bare hvor fort et legeme beveger seg, intet om bevegelsens retning. Bilens speedometer angir farten. Farten er absoluttverdien av hastigheten. Tabell 11 —-1 beskriver en bils bevegelse på en vei. I hvert av tidsintervallene a, b, c, d og e, beveger bilen seg med konstant has­ tighet, men hastighetene er forskjellige i de fem tidsintervallene. Figuren viser at hastigheten forandrer seg i plutselige sprang. Dette kan ikke skje i

1

2

3

4

11 —4. z?-Z-graf for jevn bevegelse. Hastigheten er konstant, (a) Positiv hastighet, bevegelse i banens positive pilretning, (b) Negativ hastighet, bevegelse motsatt banens positive pilretning.

virkeligheten, men en bil kan forholdsvis fort endre farten, og fig. 11 —5 gir derfor likevel en god illustrasjon av en virkelig bevegelse. Grafen illustrerer når farten er stor, og når Tabell 11—1. Bevegelse med forskjellig hastighet.

Tidsintervall

Tidsintervallets størrelse

a b c d e

0,10 0,30 0,10 0,50 0,10

(h)

Hastig- Tilbakehet lagt vei (km/h) (km) 30 50 25 60 25

3,0 15 2,5 30 2,5

12

BEVEGELSE LANGS EN BANE

11—5. Hastighetene er forskjellige i de ulike tidsintervallene. Veien som blir tilbakelagt i hvert tidsintervall, er rektangelstripen mellom kurven og tidsaksen.

den er liten. Men vi kan også av ^-diagram­ met beregne forskyvningen As. Siden hastigheten i et intervall er kon­ stant, er As = v • At. Ser vi på første inter­ vall, er v grafens høyde over haksen, At er grafens horisontale lengde i intervallet. Pro­ duktet v • At er derfor i størrelse lik det skra­ verte rektangel. Enhetene for disse flatene er ikke de vanlige flateenhetene, da rektan­ gelets ene side er målt i timer (h) og den andre i km/h. Produktet får derfor enheten h • km/h = km. Diagrammets fem rektangelflater viser oss hvor langt bilen har gått i hvert tidsintervall. Vi ser at flaten i tidsintervallet d er størst, så vi trenger ingen regning for å si at bilen har gått lengst i dette tidsintervallet. Den samlede forskyvning på de fem tidsinterval­ lene blir summen av alle flatene. På fig. 11 —5 var alle hastigheter positive, y-hgrafen på fig. 11 —6 viser en bevegelse som først har positiv hastighet i fire sekunder, deretter negativ hastighet i seks sekunder.

På de fire første sekunder blir forskyvningen 2 • 2 cm + 3-2 cm = -f- 10 cm. I de seks siste sekunder foregår bevegelsen i motsatt retning, forskyvningen er — 3-6 cm = — 18 cm. Den samlede forskyvning blir der­ for As = (10 — 18) cm = — 8 cm. Legemet beveger seg altså først 10 cm i positiv retning og deretter 18 cm i negativ retning. Til slutt befinner det seg 8 cm i negativ retning fra ut­ gangspunktet.

tid (s)

123

456789

10

11 —6. r-Z-graf med både positive og negative hastig­ heter.

BEVEGELSE LANGS EN BANE

Legg merke til at forskyvningen i løpet av en viss tid ikke behøver å være den samme som den tilbakelagte vei i løpet av samme tid. I eksempelet ovenfor var forskyvningen — 8 cm fra utgangspunktet, men legemet har beveget seg (10 + 18) cm = 28 cm.

11—3. Bevegelse med varierende hastighet.

13

40

0,000

0,020

0,040

tid (h)

I forrige avsnitt viste vi hvorledes vi av z;-Z-grafen kunne finne forskyvningen. Siden hastigheten var konstant i hvert tidsintervall, kunne vi selvfølgelig i dette tilfellet også bestemme forskyvningene uten hjelp av grafen. Men den grafiske metode kan også brukes når hastigheten varierer. Kikk på dia­ gram fig. 11 —7. I det første tidsintervall, = 0,020 h, øker bilen farten jevnt fra 20 km/h til 40 km/h. Deretter holder farten seg konstant. Vi vil forsøke å beregne hvor langt bilen går i løpet av de første 0,020 h. Fig. 11 —8 viser diagrammet for en tenkt bil med tilnærmet samme bevegelse som bilen i diagram 11 —7. Tidsintervallet 0,020 h er delt i 8 deler. I hvert av disse små tidsinter­ vallene har bilen tilnærmet konstant fart og samme fart som bilen på fig. 11 —7 ved tids-

11 —7. z/-£-graf for en bil som i begynnelsen forandrer sin hastighet jevnt. Det skraverte arealet tilsvarer veien som bilen kjører under fartsforandringen.

11 —8. En tenkt bil som sprangvis forandrer sin hastighet til samme verdi som bilen på fig. 11—7. Hastigheten i hvert av de små tidsintervallene er konstant, men aldri større enn bilen som akselererte jevnt. Jo mindre trinnene blir, jo mer nærmer den trappeformede flaten seg det skraverte området på fig. 11-7.

intervallets begynnelse. Forskyvningen mens farten øker, er lik flateinnholdet av den trappeformede flaten. Gjør vi de små tids­ intervallene meget små, vil de to bilene ha tilnærmet samme fart til enhver tid. Trappa vil få mange små trinn, og den mørke trappe-

11—9. Av en y-Z-graf kan tilbakelagt vei beregnes av arealet mellom kurven og tidsaksen.

14

BEVEGELSE LANGS EN BANE

flaten vil nærme seg den mørke flaten på fig. 11 —7 som sin grense. Av ^-/-diagrammet finner vi derfor veien ved å beregne arealet mellom kurven og Z-aksen. På fig. 11 —7 blir veiarealet mens farten øker, et trapes. Altså har vi

5 = 20 km/h + 40 km/h . 0,020 h = 0,60 km

På tilsvarende måte går vi fram når v-tgrafen er mer innviklet, som f. eks. på fig. 11 —9. Veien i tidsintervallet fra 0,020 h til 0,080 h blir det mørke området. Her hvor vi ikke kjenner formelen for arealet, kan vi f. eks. tegne grafen på rutepapir. Vi teller an­ tall ruter og beregner hvilken vei en rute til­ svarer. I rammen etter dette avsnittet er det en mer fullstendig fremstilling av problemet.

v-t-graf brukt til å beregne veien s.

Her vil vi vise at den veien bilen tilbake­ legger, er identisk med flaten under v-tgrafen. På fig. 11—10 er den fullt opptrukne kurven M-grafen for den virkelige bilen. Dessuten har vi tegnet inn to tenkte biler, bil A og bil B. A går alltid fortere enn den virkelige bilen, B alltid saktere. A må derfor på en viss tid kjøre lenger enn den virkelige bilen, og B kortere. Veien den virkelige bilen går på samme tid,

må derfor ligge mellom veiene A og B tilbakelegger. A og B forandrer farten i store trinn. Bil B har ved tiden 0,020 h samme fart som den virkelige bilen. I det første tidsintervallet har B konstant fart 30 km/h, mens den virkelige bilen ak­ selererer fra 30 til 35 km/h. I neste tids­ intervall har B konstant fart 35 km/h, og i siste tidsintervallet 38 km/h. Betrakter vi bil A, har den konstant fart 35 km/h i det første tidsintervallet, deretter 38 km/h, og

tid (h)

11 —10. De tenkte bilene A og B bestemmer øvre og nedre grense for distansen som den virkelige bilen på fig. 11 —9 kjører.

11 — 11. Her er tidsintervallene kortere mellom hver gang A og B forandrer sin hastighet, enn på fig. 11—10. De tenkte bevegelsene blir mer like den virkelige bilens bevegelse.

BEVEGELSE LANGS EN BANE

til slutt 40 km/h. I de tre tidsintervallene tilbakelegger B i alt 0,60 km + 0,70 km + 0,76 km = 2,06 km. På samme tid har A kjørt 0,70 km + 0,76 km -f- 0,80 km = 2,26 km. Den virkelige bilen må ha kjørt en veistrekning som ligger mellom disse to verdiene. Dens forskyvning må derfor ligge mellom grensene 2,06 km og 2,26 km. På fig. 11 —11 har vi gjort trinnene mindre og øket antallet tilsvarende. Av

15

denne figuren kan vi beregne at B har kjørt 2,12 km, mens A har kjørt 2,22 km. Forskjellen mellom øvre og nedre grense blir altså mindre enn tidligere. Når vi gjør intervallene stadig mindre, vil de to gren­ sene nærme seg hverandre, og de to trappeflatene vil mer og mer nærme seg arealet mellom den krumme kurven og tidsaksen, som derfor vil representere den veien den virkelige bilen har kjørt.

11—4. s-t-diagram. Kjører vi med konstant fart, blir veien 5 = vt. Veien 5 blir derfor proporsjonal med tiden t. Er farten f. eks. 0,60 m/s, blir veien på 10 s 6 m, på 20 s 12 m. Tabell 11 —2 viser oss forbindelsen mellom vei og tid for denne bevegelsen. Tabell 11—2.

Konstant hastighet. Forbindelse mellom vei og tid.

Tid (s)

Tilbakelagt vei (m)

10 20 30 40 50

6 12 18 24 30

Vi kan også tegne 5-Z-grafen for bevegel­ sen. Vi går først ut fra at vi passerer origo ved t = 0. Da hastigheten er konstant, blir grafen en rett linje gjennom origo (fig. 11-12). Fig. 11—13 viser også en bevegelse der hastigheten er konstant 0,60 m/s. Men ved t = 0, var avstanden fra origo + 10 m. Også i dette tilfellet blir grafen rettlinjet og har samme stigning som på fig. 11—12. De to linjene vil altså være parallelle, og avstanden

11—12. 5-Z-grafen blir en rett linje når hastigheten er konstant.

11—13. Samme konstante hastighet som på fig. 11 — 12, men utgangsstillingen er endret.

16

BEVEGELSE LANGS EN BANE

11 — 14. Konstant hastighet i negativ retning på 5-aksen.

La oss så studere situasjonen på fig. 11 —15. Her har vi i samme koordinatsystem tegnet inn to bevegelser, A og B. Hva forteller gra­ fene om de to bevegelser ? A-grafen har større stigning enn B-grafen. Ved t — 10 s, har A forskjøvet seg 5 m, mens B har forskjøvet seg 2,5 m. A må derfor ha større hastighet enn B. Jo brattere kurven er, desto større er hastig­ heten. Vi kan finne hastighetene av diagramAj- . met. Da v — — , har vi At

5,0 m vA = ~ta—’ — 0,50 m/s A 10s '

mellom de to legemene vil alltid være 10 m ved samme tidspunkt. På fig. 11—14 har vi en annen situasjon. Ved t = 0 er avstanden fra origo også her + 10 m, men så avtar avstanden fra origo med 6,0 m på 10 s. Ved t = 10 s er posisjonen + 4 m. Ved t = 20 s er posisjonen — 2 m. Vi har derfor en bevegelse som foregår i ne­ gativ retning langs 5-aksen med hastigheten — 0,60 m/s.

11—15. Når passerer bilene hverandre?

2,5 m

= ~ToT = 0,25 m/s Men diagrammet gir oss flere opplysninger om de to bevegelsene. B starter 10 m foran A. Ved t = 10 s, har A avstanden 5,0 m fra origo og B avstanden 12,5 m. Avstanden mellom dem er derfor 12,5 m —5,0 m = 7,5 m. Avstanden mellom A og B er altså blitt mindre. Ved t — 50 s, har A avstanden

BEVEGELSE LANGS EN BANE

17

11—5. Stigning. I forrige avsnitt så vi hvordan vi av s-tgrafen for en bil som gikk med konstant hastighet, kunne beregne bilens hastighet. I dette avsnittet vil vi se på det hele mer all­ menngyldig. j-Z-diagrammet på fig. 11 —17 er rettlinjet. På den rette linjen velger vi to vil­ kårlige punkter A og B. I punktet A er av­ standen fra origo og tiden ty, i B er avstan­ den y2 og tiden t2. Veiforskjellen blir CB = s2 — jj. Den tilsvarende tidsforskjell AC = t2 — ty. Hastigheten blir derfor

0

1,0

2,0

3,0

4,0

5,0

s2 — TC — t2 — ty ' CB

tid (s)

11 —16. Jo større stigning, jo større hastighet.

Velger vi to andre punkter, f. eks. A' og B' C' B' (fig. 11 —18), blir hastigheten v' = . . Da A ti

25,0 m, mens B bare har avstanden 22,5 m fra origo. A må altså ha passert B. Diagram­ met viser oss også når passeringen skjedde. Linjene skjærer hverandre ved t = 40 s. Ved dette tidspunkt har derfor A og B samme av­ stand fra origo. Diagrammet viser at pas­ seringen skjedde 20,0 m fra origo. Vi vil et øyeblikk vende tilbake til v-tgrafen på fig. 11 —9. Av denne graf kan vi avlese hastigheten direkte. Men dessuten kun­ ne vi av denne graf finne forskyvningen eller avstanden fra origo ved å beregne arealet mellom kurven og tidsaksen. Av 5-Z-grafen på fig. 11—16 kan vi avlese avstanden fra origo direkte. Men indirekte kunne vi av denne graf beregne hastigheten. Jo brattere kurven var, desto større var hastig-

trekantene ACB og A'C'B' er ensformede, blir CB' r , ti CB forholdene Altså er v = v', og AC AC det er derfor likegyldig hvilke to punkter vi velger på en rett linje for å beregne dens stigning. På fig. 11—16 så vi at jo brattere linjen gikk, desto større var hastigheten. På fig.

Ay

heten. Da hastigheten var v = —, vil hastig­

heten for bilen som har graf tegnet med hel — 2,5 m/s. Bilen som har 4,0 s ' grafen tegnet med brutt strek, har hastig. 20 m _ _ heten ■ _ = 5,0 m/s. 4,0 s ' strek, være

2. — Fysikk, del 2

ti tid

....

Aj At

11 — 17. Linjens stigning bestemmes av forholdet — .

18

BEVEGELSE LANGS EN BANE

tilstrekkelig for å karakterisere en linjes stigning, vi må kjenne veiforskjellen og tids­ forskjellen mellom to punkter og beregne for­ holdet mellom dem i passende enheter, f. eks. m/s, som på fig. 11 —19. Vi fant at hastigheten var

tid

der As er den veidifferens som svarer til tidsdifferensen At. Generelt vil vi fastsette at i

uttrykket I 1 1 O T • • • • II —lo. Linjens stigning

K '11 ! avhenger ikke av hvor

punktene velges på linjen.

11 —19 har vi tegnet to diagrammer av samme bevegelse. Målestokken i de to diagrammene er forskjellig. Linjen til høyre er brattere enn kurven til venstre, men stigningen eller stigningskoeffisienten for de to linjene er den samme. Vinkelen med tidsaksen er altså ikke

tid (s)

skal Aa bety den «-differens

som svarer til en gitt ^-differens. (Det er me­ ningsløst å skille symbolet A fra a eller b. Symbolet Aa betyr en differens mellom to averdier, og ikke A multiplisert med «.) Til slutt vil vi analysere en biltur vist på 5-^-grafen på fig. 11 —20. I det første tids­ intervallet, fra tiden 0,00 h til tiden 0,20 h, er diagrammet en rett linje. Bilen gikk derfor med konstant hastighet: ASi

6,0 —0,0

= K = o^Wkm/h = 0 km/h'

tid (s)

11 — 19. Stigningene for de to grafene ser ut til å være forskjellige, men de er like. De forskjellige målestokkene på de to grafene forvirrer. Konstruert i samme diagram vil de to linjene falle sammen.

BEVEGELSE LANGS EN BANE

19

viser at bilen i første og tredje intervall kjørte i motsatte retninger. Ved tiden 0,80 h er 5 = 0. Bilen er altså kommet tilbake til sitt startpunkt. Beregningene har vi brukt til å tegne y-Z-diagrammet på fig. 11—21.

11—6. Hastigheten i hvert øyeblikk.

11 —20. y-Z-graf for en biltur fram og tilbake til samme sted. Når var farten størst, og når var den minst ?

I det annet tidsintervall, fra 0,20 h til 0,50 h, blir hastigheten: 6,0 —6,0 = 0,50 -0,20km/h = ° km/h'

Bilen stod altså stille. Det kunne vi jo sett direkte av grafen, da avstanden ikke for­ andret seg i intervallet. I det tredje tidsintervall, fra 0,50h til 0,80 h, er

” = ruo

km/h = ~ 20 km/h-

Hastigheten var —20 km/h; minustegnet

40

tid (h)

0,40

0,60

Hittil har vi stort sett undersøkt bevegelser der hastigheten har vært konstant hele tiden eller i bestemte tidsintervaller. r-^-grafen har derfor blitt en rett linje. Fig. 11 —22 viser r-Lgrafen for en bil som kjører 36 km på 0,60 h. Dividerer vi veien med tiden, får vi Ar 36 km Vm~Xt~ 0,60 h ~ 60 ■

På en biltur kan vi ikke holde konstant hastighet hele tiden. ym representerer derfor den midlere hastighet eller gjennomsnitts­ hastigheten. Vi vil forsøke å finne den hastighet bilen hadde i det øyeblikk den passerte punkt (1). Litt seinere passerer bilen punkt (2). Gjen­ nomsnittshastigheten fra punkt (1) til punkt (2) blir r2 — t2 —

Al

Figuren viser at vm geometrisk blir stig­ ningen av den rette linjen, eller sekanten, mellom punkt (1) og punkt (2). vm represen­ terer derfor den konstante hastigheten som en tenkt bil ville hatt om den på tiden \t skulle gått veien Ar. Ved å lese av diagram­ met finner vi at denne gjennomsnittshastig­ heten blir 26,0 — 20,0 km/h = 60 km/h. 0,40 -0,30

11 —21. t>-Z-graf fra samme biltur som på fig. 11 —20. Rektangelet under tids-aksen viser tilbakelagt vei på tilbaketuren.

La oss nå bestemme gjennomsnittshastig­ heten i intervallet fra 0,30 h til 0,31 h. Vi har forstørret den aktuelle delen av dia-

20

BEVEGELSE LANGS EN BANE

11 —22. j-f-graf for en bil med varierende hastighet, snart økende, snart minkende.

tid (h) 11—23. Utsnitt av grafen på fig. 11—22 forstørret 10 ganger.

vei 0, nærmer sekanten seg kurvens tangent som sin grense. For å finne bilens hastighet i det øyeblikk den passerer punkt (1), trekker vi derfor tangenten til kurven som vist på figur H—25. Tangentens stigning blir bilens has­ tighet i det aktuelle øyeblikk. For å lette be­ regningen velger vi to punkter som ligger langt fra hverandre på tangenten. I dette til­ fellet blir stigningen

11—7. Akselerasjon i en bane.

10 sekunder etter start har en bil hastig­ heten 50 km/h. Bilføreren vil her tale om bi­ lens akselerasjon, dvs. dens evne til å øke farten. La figur 11 —26 være bilens M-diagram. For å gjøre det enkelt har vi gjort kur­ ven rettlinjet. Diagrammet viser at bilen øker hastigheten med 50 km/h på 10 s. På 1 s vil derfor bilen øke hastigheten med 5 km/h. Hastighetsforandring pr. tidsenhet kaller vi akselerasjon, og siden det her er snakk om hastighetsforandring i en bane, kaller vi dette akselerasjonen i banen. I kapittel 12 skal vi ut­ vide begrepet akselerasjon. ^-/-diagrammet for en annen bil er tegnet på figur 11 —27. Ved t = 0 er farten 10 km/h,

36 —4 km/h = 107 km/h 0745-71,15

Bilens hastighet da den passerte punkt (1), var derfor

v = 107 km/h.

Vi fant bilens øyeblikkelige hastighet ved å beregne dens gjennomsnittshastighet over mindre og mindre tidsintervaller A/. Dette tilsvarer den matematiske definisjon av den øyeblikkelige (momentane) hastighet Ay v = lim — når A/ -> 0 A/

11 —26. ^-/-graf for en bevegelse med konstant akse­ lerasjon.

BEVEGELSE LANGS EN BANE

23

På tilsvarende måte som — er s-^-grafens stig­

ning, kan vi i dette tilfellet beregne baneAv akselerasjonen —- av y-Z-grafens stigning.

40 tid (s)

11 —27. Samme konstante akselerasjon som på fig. 11 —26, men bilen er i fart ved t = 0.

11 —28. Hastigheten avtar i positiv pilretning. Akse­ lerasjonen er negativ.

30 sekunder senere 55 km/h. Hastighetsforandringen på disse 30 sekundene er derfor 45 km/h, og akselerasjonen i banen er

45 km/h ~30F“

1,5 km/h/s.

Har bilen ved tidspunktene tr og /2 hastig­ hetene og v2, blir akselerasjonen i banen v2 — v-. Av a — ---------- — — t2 — h At

y-Z-grafen på figur 11 —28 viser en be­ vegelse der bilens hastighet avtar. Ved t = 0 er hastigheten 40 km/h. 50 sekunder seinere er den 10 km/h. Hastighetsforandringen er derfor Av = — 30 km/h på At = 50 s. Altså har vi — 30 km/h n cn i /u i abane =------ ------- — = — 0,60 km/h/s 50 s

Hastighetsforandringen pr. sekund er derfor — 0,60 km/h, minustegnet angir at hastig­ heten avtar. Har bilen positiv hastighet, be­ tyr dette at farten forover avtar; beveger der­ imot bilen seg i negativ retning, vil farten i denne retningen øke. Et legeme som beveger seg i positiv retning med konstant negativ baneakselerasjon, vil gå stadig langsommere, stanse et øyeblikk, og seinere fortsette med stadig økende fart i negativ retning. Vi kan altså si at hastigheten går fra å være positiv over null til å bli negativ. Studerer vi figur 11 —28, ser vi at bilen har positiv hastighet fra t = 0 til t = 65 s. I dette øyeblikk står bilen stille. Seinere vil den bevege seg med negativ hastighet. I eksemplene vi har studert, har baneakselerasjonen vært konstant, det vil si vi har hatt en jevnt akselerert bevegelse, y-^-grafen har vært rettlinjet. På figur 11 —29a ser vi et y-^-diagram som ikke er rettlinjet. Vi vil for­ søke å finne baneakselerasjonen ved t — 20 s. Det er lett å skjønne at hvis vi forstørrer grafen i det aktuelle området, så blir kurven i området tilnærmet rettlinjet, og får en stigning som nærmer seg tangentens. For å finne baneakselerasjonen i øyeblikket t = 20s, trekker vi derfor tangenten til kurven og be­ regner stigningen ved å velge oss to like­ gyldige punkter (1) og (2) på tangenten.

24

BEVEGELSE LANGS EN BANE

Matematisk uttrykt vil derfor baneakselera­ sjonen bli a = lim

Åt

når A/ -> 0

-- blir den gjennomsnittlige akselerasjonen

i tidsintervallet Åt. Arbeider vi med små tidsintervaller Åt, vil den gjennomsnittlige akselerasjon bli tilnærmet lik baneakselerasjonen i øyeblikket. Er hastighetsforandringen pr. tidsenhet konstant, vil den gjennom­ snittlige akselerasjonen være lik baneakselerasjonen til enhver tid.

11—8. Jevnt akselerert bevegelse. Formler vi ofte får bruk for.

Vi konstaterte i forrige avsnitt at z>Z-grafen ble rettlinjet når baneakselerasjonen var konstant. På figur 11 —30 er hastigheten ved t = 0 kalt v0, ved tiden t er hastigheten kalt v. Baneakselerasjonen a er her konstant, dvs. 11—29. Akselerasjonen i et bestemt øyeblikk bestem­ mes av f-Z-grafen ved at man trekker tangenten til kurven ved det aktuelle tidspunkt. Tangentens stig­ ning er den søkte akselerasjon, (aj Positiv akselerasjon, (b) negativ akselerasjon.

v — v0 = at Altså har vi

v =