Functii de Mai Multe Variabile Reale [PDF]

Zitiervorschau

CAPITOLUL 8 FUNCŢII DE MAI MULTE VARIABILE REALE 8.1. LIMITĂ. CONTINUITATE. DERIVATE PARŢIALE. DIFERENŢIABILITATE BREVIAR TEORETIC Definiţia 1. Fie f : A ⊂ R n → R o funcţie reală de n variabile reale. Spunem că lim f ( x) = l dacă pentru orice şir x → x0

( x m ) m∈ N ⊂ A, x m ≠ x0 şi lim x m = x0 avem lim f ( x m ) = l . m→∞

m→∞

Definiţia 2. Fie f : A ⊂ R 2 → R o funcţie reală de două variabile reale şi (a, b) ∈ A . Spunem că f este continuă în punctul (a, b) dacă pentru oice şir {( x n , y n )}n∈ N ⊂ A cu proprietatea că lim ( xn , y n ) = (a, b) , atunci lim f ( xn , y n ) = f (a, b) .

n→∞

n→∞

Definiţia 3. Fie f : A ⊂ R 2 → R o funcţie reală de două variabile reale şi (a, b) ∈ A . Spunem că funcţia f este derivabilă parţial în raport cu x în f ( x, b ) − f ( a , b ) punctul (a, b) ∈ A dacă lim există şi este finită. x−a x→a ∂f (a, b) ' . Vom nota această limită cu f x (a, b) sau ∂x

Analog, funcţia f este derivabilă parţial în raport cu y în punctul f ( a, y ) − f ( a, b) (a, b) ∈ A dacă lim există şi este finită. y−b y →b ∂f (a, b) ' . Vom nota această limită cu f y (a, b) sau ∂y

Definiţia 4. Spunem că funcţia f : A ⊂ R 2 → R este diferenţiabilă în punctul (a, b) ∈ int A dacă există două numere reale λ şi µ şi o funcţie ω : A → R , continuă şi nulă în (a, b) , astfel încât: f ( x, y ) − f (a, b) = λ ( x − a) + µ ( y − b) + ω ( x, y ) ⋅ ρ ( x, y ) , unde

ρ ( x, y ) = ( x − a ) 2 + ( y − b) 2 . Propoziţia 1. Dacă funcţia f : A ⊂ R 2 → R este diferenţiabilă în '

punctul (a, b) ∈ A , atunci f admite derivate parţiale f x (a, b) şi ' ' ' f y (a, b) în punctul (a, b) şi, în plus, λ = f x (a, b) şi µ = f y (a, b) .

Propoziţia 2. Dacă funcţia f : A ⊂ R 2 → R este diferenţiabilă în punctul (a, b) ∈ A , atunci f este continuă în (a, b) . Propoziţia 3. Dacă funcţia f : A ⊂ R 2 → R admite derivate '

'

parţiale f x ( x, y ) şi f y ( x, y ) într-o vecinătate a punctului (a, b) ∈ A , continue în (a, b) , atunci f este diferenţiabilă în punctul (a, b) ∈ A . Definiţia 5. Fie f : A ⊂ R 2 → R o funcţie diferenţiabilă în punctul (a, b) interior lui A . • Se numeşte diferenţiala de ordinul întâi a funcţiei f în punctul (a, b) funcţia liniară: ' ' ' ' df ( x, y; a, b) = f x (a, b)( x − a ) + f y (a, b)( y − b) = f x (a, b)dx + f y (a, b)dy .

•

Se numeşte diferenţiala de ordinul n a funcţiei f în punctul ( n)

⎡∂ ∂ ⎤ (a, b) funcţia: d f ( x, y; a, b) = ⎢ dx + dy ⎥ f (a, b) . ∂y ⎦ ⎣ ∂x Observaţie. Toate definiţiile valabile pentru funcţii de două n

variabile f : A ⊂ R 2 → R se pot extinde pentru cazul funcţiilor de n variabile, f : A ⊂ R n → R , n ∈ N , n ≥ 3 .

PROBLEME REZOLVATE 1. Să se calculeze: a)

ln(1 + xy ) tg ( x 3 + y 5 ) ; b) . lim 2 4 ( , ) ( 0 , 0 ) x y → ( x, y ) → (0,0) x + y x2 + y2 lim

Rezolvare:

a) Fie şirul ( x n , y n ) ⊂ R * × R * astfel încât lim ( x n , y n ) = (0,0) . Notăm f : R * × R * → R, f ( x, y ) =

lim f ( x n , y n ) =

n→∞

=

tg ( x + y ) x2 + y4

. Avem că:

tg ( x n 3 + y n 5 ) = ( x n , y n ) → ( 0, 0 ) x 2 + y 4 n n lim

tg ( x n 3 + y n 5 ) x n 3 + y n 5 xn 3 + y n 5 ; ⋅ = 1⋅ lim ( xn , yn )→ (0,0) x 3 + y 5 ( xn , yn )→(0,0) x 2 + y 4 xn 2 + yn 4 n n n n lim

lim

xn 3 + y n 5

( x n , y n ) → (0,0) xn 2 + y n 4

≤

n→∞ 5

3

lim

( xn , yn )→( 0,0)

xn 3 xn 2

+

≤

xn 3

lim

( x n , y n ) → (0,0) x n 2 + y n 4

lim

( xn , yn )→(0,0)

yn5 yn 4

=0⇒

+

lim

yn 5

( x n , y n ) → (0,0) x n 2 + y n 4

lim

( x, y )→( 0,0)

xn 3 + y n 5 xn 2 + y n 4

= 0;

≤

prin urmare, conform definiţiei 1, rezultă că tg ( x 3 + y 5 )

lim

x2 + y4

( x , y ) → ( 0, 0 )

b) = 1⋅

ln(1 + xy )

lim

( x , y ) → ( 0, 0 )

2

x +y

xy

lim

( x, y ) → (0,0) x 2

=0.

+y

2

2

=

ln(1 + xy ) xy ⋅ = 2 xy ( x, y ) → (0,0) x + y2 lim

; vom arăta că nu există

notăm f : R * × R * → R, f ( x, y ) =

xy x2 + y2

xy

lim

( x , y ) → ( 0, 0 ) x 2

+ y2

;

; considerăm şirurile

{( xn , y n )}n∈ N

⊂ R * × R * şi {( x' n , y ' n )}n∈ N ⊂ R * × R * , astfel încât lim ( x n , y n ) = (0,0) şi lim ( x' n , y ' n ) = (0,0) : n→∞

n→∞ (xn , y n ) = , ( x' n , y ' n ) = 1 , 2 ; avem că n n 1 2 1 lim f ( x n , y n ) = lim n = şi lim f ( x' n , y ' n ) = lim 2 2 n→∞ n →∞ 2 n →∞ n →∞ n

( )

( ) 1, 1 n n

2 n2 5 n2

=

deoarece lim f ( x n , y n ) ≠ lim f ( x' n , y ' n ) , rezultă, conform n→∞

n→∞

definiţiei 1, că nu există

lim

există

lim

( x, y ) → ( 0,0)

( x, y ) → ( 0,0) x 2

ln(1 + xy ) x2 + y2

xy + y2

, prin urmare nu

.

2. Să se studieze continuitatea următoarelor funcţii de două

variabile:

⎧ 3x 2 y , ( x, y ) ≠ (0,0) a) f : R 2 → R, f ( x, y ) = ⎪⎪⎨ 4 ; x + y2 ⎪ 0, ( x, y ) ≠ (0,0) ⎩⎪

2 ; 5

1 ⎧ ⎪ 1 + 2 xy 2 x 3 + y 3 , ( x, y ) ≠ (0,0) b ) f : R → R , f ( x, y ) = ⎨ . ⎪⎩ 0, ( x, y ) ≠ (0,0)

(

2

)

Rezolvare:

a ) f este continuă pe R 2 \ {(0,0)} , fiind rezultatul unor operaţii algebrice cu funcţii elementare, deci continue. Rămâne să studiem continuitatea în punctul (0,0) . Avem că: 3x 2 y

lim

=

3x 2 y

lim

lim

x +y

=

3 y = 0 = f (0,0) , deci funcţia f este continuă şi în

lim

( x , y ) → ( 0, 0 )

2

4

x +y

2

( x, y )→( 0,0)

3x 2 y

( x, y )→(0,0)

4

( x, y )→(0,0)

≤

x

=

4

punctul (0,0) , prin urmare este continuă pe R 2 .

b) f este continuă pe R 2 \ {(0,0)} , fiind rezultatul unor operaţii algebrice cu funcţii elementare. Rămâne să studiem continuitatea în punctul (0,0) . lim

( x, y ) → (0,0)

f ( x, y ) =

demonstrăm că limita

(xn , y n ) = (1n ,

)

lim

( x , y ) → ( 0, 0 )

lim

(

)

1 2 x3 + y3 1 + 2 xy

2 xy 2

( x , y ) → ( 0, 0 ) x 3 + y 3

k ; avem că n

=e

2 xy 2 ( x , y )→( 0 , 0 ) x3 + y3 lim

;

nu există. Fie şirul

2k 2 2 2k 2 lim f ( x n , y n ) = lim n3 = 1 n→∞ n →∞ k + k3 +1 n2

;

deoarece valoarea acestei limite depinde de alegerea lui k , rezultă, conform definiţei 1, că nu există

lim

2 xy 2

( x , y ) → ( 0, 0 ) x 3

+ y3

şi implicit nu

există

lim

( x , y ) → ( 0, 0 )

f ( x, y ) , deci f nu este continuă în punctul (0,0) .

3. Folosind definiţia, să se calculeze derivatele parţiale de ordinul întâi în punctul (3, 2) ale funcţiei

f : (0, ∞ ) × R → R,

f ( x, y ) = x y .

Rezolvare:

f

' (3,2) = lim x x →3

f ( x,2) − f (3,2) x 2 − 32 = lim = lim ( x + 3) = 6 . x −3 x →3 x − 3 x →3

f (3, y ) − f (3,2) 3 y − 32 = = lim y−2 y →2 y →2 y − 2

' f y (3,2) = lim

3 y−2 − 1 32 (3 y − 2 − 1) = 9 ln 3 . = 9 lim y−2 y →2 y →2 y − 2

= lim

4. Să se calculeze derivatele parţiale de ordinul întâi şi doi ale

funcţiei f : R 2 → R,

f ( x, y ) = kxα y β ; k , α , β ∈ R.

Rezolvare:

' f x ( x, y ) = kαxα −1 y β ; f 'y ( x, y ) = kxα βy β −1 .

f f

f

'' ( x, y ) = kα (α − 1) xα − 2 y β ; x2 '' '' ( x, y ) = kαxα −1 βy β −1 = f yx ( x, y ) ; xy '' ( x, y ) = kxα β ( β − 1) y β . y2

Observaţie. Pentru k > 0, α ≥ 0, β ≥ 0 , funcţia f : R 2 → R, f ( x, y ) = kxα y β se numeşte funcţia de producţie Cobb-Douglas.

5. Să se calculeze derivatele parţiale de ordinul întâi ale funcţiei xy ⎧ , ( x, y ) ≠ (0,0) ⎪ , f : R 2 → R, f ( x, y ) = ⎨ x 2 + y 2 ⎪ 0 , ( x, y ) = (0,0) ⎩ Rezolvare: • Pentru ( x, y ) ≠ (0,0) avem: y x 2 + y 2 − xy

f

' ( x, y ) = x

2x 2

2 x + y2

x2 + y2

Analog, obţinem f 'y ( x, y ) =

(x

x 2

=

3 2

)

3 2

(x

y3 2

+y

2

)

3 2

.

.

+y • Pentru a determina derivatele parţiale în punctul (0,0) vom folosi definiţia: f ( x,0) − f (0,0) 0−0 ' = lim = lim 0 = 0 . f x (0,0) = lim x−0 x →0 x →0 x x →0

0−0 f (0, y ) − f (0,0) = lim = lim 0 = 0 . y−0 y →0 y →0 y y →0

f 'y (0,0) = lim Rezultă:

⎧ ⎪⎪ ' f x ( x, y ) = ⎨ ⎪ ⎪⎩ ⎧ ⎪⎪ ' f y ( x, y ) = ⎨ ⎪ ⎪⎩

y3

(x 2 + y 2 )

3 2

x3 0

;

, ( x, y ) = (0,0)

0

(x 2 + y 2 )

, ( x, y ) ≠ (0,0)

3 2

, ( x, y ) ≠ (0,0) , ( x, y ) = (0,0)

.

6. Folosind definiţia, să se arate că funcţia f : R 2 → R ,

f ( x, y ) = 4 x 2 − 3 y este diferenţiabilă în punctul (1, − 2 ) . Rezolvare: Funcţia f este diferenţiabilă în punctul (1,−2) dacă există

λ , µ ∈ R şi o funcţie ω : R 2 → R , continuă şi nulă în (1,−2) , astfel încât: f ( x, y ) − f (1,−2) = λ ( x − 1) + µ ( y + 2) + ω ( x, y ) ⋅ ρ ( x, y ) , unde ρ ( x , y ) = ( x − 1 ) 2 + ( y + 2 ) 2 . Conform propoziţiei 1 din breviarul teoretic, avem că dacă f este diferenţiabilă în '

'

punctul (1,−2) , atunci λ = f x (1,−2) = 8 şi µ = f y (1,−2) = −3 . Astfel, relaţia din definiţie devine: 4 x 2 − 3 y − 10 = 8( x − 1) − 3( y + 2) + ω ( x, y ) ⋅ ( x − 1) 2 + ( y + 2) 2 Pentru ( x, y ) ≠ (1,−2) rezultă că 4x 2 − 8x + 4

ω ( x, y ) =

2

2

4( x − 1) 2

=

2

2

, iar pentru

( x − 1) + ( y + 2) ( x − 1) + ( y + 2) ( x, y ) = (1,−2) vom considera ω ( x, y ) = 0 (pentru ca funcţia ω ( x, y ) să se anuleze în punctul (1,−2) ).

Avem că ≤

lim

lim

ω ( x, y ) =

4( x − 1)

2

( x, y ) → (1,−2)

( x, y ) →(1, −2)

( x − 1) 2

lim

( x, y ) → (1,−2)

4( x − 1) 2 2

( x − 1) + ( y + 2)

2

≤

= 0 = ω (1,−2) , deci funcţia ω este continuă

în punctul (1,−2) . În concluzie, există λ = 8 , µ = −3 şi funcţia ω : R 2 → R ,

⎧ 4( x − 1) 2 , ( x, y ) ≠ (1,−2) ⎪⎪ ω ( x, y ) = ⎨ ( x − 1) 2 + ( y + 2) 2 , continuă şi nulă ⎪ ⎪⎩ 0, ( x, y ) = (1,−2) în (1,−2) , astfel încât f ( x, y ) − f (1,−2) = λ ( x − 1) + µ ( y + 2) + ω ( x, y ) ⋅ ρ ( x, y ), ∀( x, y ) ∈ R 2 . Conform definiţiei 4, rezultă că funcţia f este diferenţiabilă în punctul (1,-2). 7. Să se studieze diferenţiabilitatea următoarelor funcţii în punctele indicate:

a ) f : R 2 → R,

f ( x, y ) = 3( x − 1) 2 + 5 y 4 în punctul (1,0) ;

b) f : R → R,

⎧⎪(1 + xy ) sin x , ( x, y ) ≠ (0,2) f ( x, y ) = ⎨ în (0,2) ; ⎪⎩ 0, ( x, y ) ≠ (0,2)

c) f : R 2 → R,

f ( x, y ) = e x sin y în punctul (− 3,4 ) .

1

2

Rezolvare: a) Dacă f este diferenţiabilă în punctul (1,0) , atunci rezultă, în '

'

baza propoziţiei 1, că există f x (1,0) şi f y (1,0) .

3 x −1 3( x − 1) 2 f ( x,0) − f (1,0) ; = lim = lim x −1 x −1 x →1 x →1 x →1 x − 1

Calculăm lim

'

cum limitele laterale sunt diferite, rezultă că nu există f x (1,0) , ceea ce contrazice propoziţia 1. Prin urmare, f nu este diferenţiabilă în punctul (1,0) .

b) Dacă f ar fi diferenţiabilă în punctul (0,2) , atunci, în baza propoziţiei 2 ar rezulta că f este continuă în punctul (0,2) .

Avem că lim

lim

( x , y ) → ( 0, 2 )

f ( x, y ) =

lim

( x , y ) → ( 0, 2 )

1 (1 + xy ) sin x =

xy sin x

=e = e 2 ≠ 0 = f (0,2) , deci f nu este continuă în punctul (0,2) , ceea ce contrazice propoziţia 2. Prin urmare, f nu este diferenţiabilă în punctul (0,2) . ( x , y )→( 0, 2)

c) În baza propoziţiei 3, deducem că o condiţie suficientă pentru diferenţiabilitatea funcţiei f este ca funcţia f să admită derivate parţiale f x ( x, y ) şi f y ( x, y ) într-o vecinătate a punctului (− 3,4 ) , continue în (−3,4) . '

'

'

'

Calculăm f x ( x, y ) = e x sin y ⋅ sin y şi f y ( x, y ) = e x sin y ⋅ x cos y . Aceste funcţii există şi sunt continue pe R 2 , deci şi pe o vecinătate a punctului (− 3, 4 ) . Rezultă că funcţia f este diferenţiabilă în punctul (− 3, 4 ) . 8. Să se scrie diferenţialele de ordinul întâi şi doi în punctul

(1, 2) ale funcţiei

{

(

)

f : D → R, f ( x, y ) = ln 1 − xy + y 2 , unde

}

D = ( x, y ) ∈ R 2 / 1 − xy + y 2 > 0 . Rezolvare:

•

' f x ( x, y ) =

2 3

− x + 2y ' ; ; f y ( x, y ) = 1 − xy + y 2 1 − xy + y 2 −y

' ' f x (1,2) = − ; f y (1,2) = 1 .

df ( x, y;1,2) = f x' (1,2)( x − 1) + f y' (1,2)( y − 2) = − 2 (x − 1) + ( y − 2 ) 3

sau df ( x, y;1,2 ) = − 2 dx + dy . 3

•

f

'' x2

( x, y ) =

− y2 (1 − xy + y 2 ) 2

;

− x 2 − 2 y 2 + 2 xy + 2

f

'' y2

( x, y ) =

f

'' x2

4 (1,2) = − ; f 'y' 9

(1 − xy + y 2 ) 2 2

''

; f xy ( x, y ) =

y2 −1

(1 − xy + y 2 ) 2 1 1 '' ; f xy (1,2) = . (x,) = − 3 3

;

d 2 f (x, y;1,2 ) = f x 2 (1,2)( x − 1) 2 + 2 f xy (1,2)( x − 1)( y − 2) + ''

+f

''

'' (1,2)( y − 2) 2 ⇒ y2

1 2 4 ⇒ d 2 f ( x, y;1,2) = − ( x − 1) 2 + ( x − 1)( y − 2) − ( y − 2) 2 sau 3 3 9 4 2 2 1 2 2 d f (x, y;1,2) = − dx + dxdy − dy . 9 3 3 9. Să se scrie diferenţialele de ordinul întâi şi doi ale funcţiei

f : R 3 → R, f ( x, y, z ) = e ax + by + cz . Rezolvare:

•

' f x (x, y, z ) = ae ax + by + cz ; f 'y (x, y, z ) = be ax + by + cz ;

' f z (x, y, z ) = ce ax + by + cz ;

df ( x, y, z ) = f x (x, y, z )dx + f y ( x, y, z )dy + f z ( x, y , z )dz ; '

'

'

df ( x, y, z ) = ae ax + by + cz dx + be ax + by + cz dy + ce ax + by + cz dz . •

f

'' x2

(x, y, z ) = a 2 e ax + by + cz ; f 'y' (x, y, z ) = b 2 e ax + by + cz ; 2

'' (x, y, z ) = c 2 e ax + by + cz ; f 'xy' (x, y, z ) = abe ax + by + cz ; z2 '' '' f xz (x, y, z ) = ace ax + by + cz ; f yz (x, y, z ) = bce ax + by + cz . '' '' '' d 2 f (x, y, z ) = f x 2 ( x, y, z )dx 2 + f y 2 ( x, y, z )dy 2 + f z 2 (x, y, z )dz 2 + '' '' '' + 2 f xy ( x, y, z )dxdy + 2 f xz ( x, y, z )dxdz + 2 f yz ( x, y, z )dydz .

f

După înlocuire, rezultă: d 2 f (x, y, z ) = (adx + bdy + cdz )2 e ax + by + cz . 10. Să se scrie diferenţiala de ordinul n pentru funcţia:

f : R 3 → R, f ( x, y, z ) = e ax + by + cz . Rezolvare: Folosind rezultatul problemei precedente şi aplicând inducţia matematică, obţinem:

d n f ( x, y, z ) = (adx + bdy + cdz )n e ax + by + cz . PROBLEME PROPUSE 1. Să se calculeze limitele funcţiilor :

x − y + x2 + y2 ; a) lim x+ y x→0 y →0

1 d ) lim y cos ; x x →0 y →0

b) lim

x →0 y →0

2x 2 + 3 y 2 ; xy x →0

e) lim

y →0

1 +y x ; x+ y

x sin

c) lim x sin x→0 y →0

f ) lim

x2 y4

x →0 x 4 y →0

+ y8

;

1 ; y

g ) lim

x →0 y →0

j ) lim

x2 + y2 + 4 − 2 ;

x3 + y3

x →0 y →0

+ y2

x2 + y2 4

x +y

4

;

xy

x →0 x 2 y →0

5( x 2 + y 2 )

x →0 x 2 y →0

m) lim

h) lim

k ) lim

+ y2

x3 + y5

x →0 x 2 y →0

+ y4

x2 + y2 ; x →0 x 4 + y8

;

n) lim

;

;

x2 − y2 ; x →0 x 2 + y 2

i ) lim

y →0

l ) lim

(

x2 y

x →0 x 2 y →0

+ y2

;

)

o) lim x 2 + y 2 e − ( x + y ) .

y →0

( )

x →0 y →0

R: a) pentru ( xn , y n ) = 1 , k → (0, 0) , k ≠ −1 , obţinem că n n 1− k depinde de alegerea lui k , deci limita nu lim f ( xn , y n ) = 1+ k n→∞ există; b) nu există; c) 0 ; d ) 0 ; e) nu există; f ) pentru

(

)

k4 y n ) = 12 , k → (0, 0) , obţinem că lim f ( xn , y n ) = n n n→∞ k8 +1 1 depinde de alegerea lui k , deci limita nu există; g ) ; h) nu 20 există; i) nu există; j ) 0 ; k ) 0 ; l ) 0 ; m) ∞ ; n) ∞ ; o) 0 . 2. Să se studieze continuitatea următoarelor funcţii:

(xn ,

⎧1 − 1 + x 2 + y 2 ⎪ , ( x, y ) ≠ (0,0) ⎪ ; x2 + y2 a ) f ( x, y ) = ⎨ ⎪ 1 ⎪− , x = y = 0 ⎩ 2

⎧⎪(1 + xy ) x +1 y , ( x, y ) ≠ (0, 0) ; b ) f ( x, y ) = ⎨ ⎪⎩ α, ( x, y ) = (0, 0) xy ⎧ , ( x, y ) ≠ (0,0) ⎪ 2 ; c ) f ( x, y ) = ⎨ 2 x + 3 y 2 ⎪ 1, ( x, y ) = (0,0) ⎩

1 ⎧ − ⎪ ye x 2 , ⎪ 2 d ) f ( x, y ) = ⎨ − 2 ⎪ y2 + e x ⎪ 0, ⎩ ⎧ 2 2 ⎪ x + y ⋅ sin e) f ( x, y ) = ⎨ ⎪ 0, ⎩

(

)

⎧x + 2y , ⎪ f ) f ( x, y ) = ⎨ x + 3 y ⎪ 1, ⎩

( x, y ) ∈ (R \ {0}) × R

;

( x, y ) ∈ {0} × R 1 , ( x, y ) ∈ ( R \ {0}) × ( R \ {0}) xy ; ( x, y ) ∈ R × {0} ∪ {0}× R

(x, y ) ∈ R 2 \ {(− 3α , α ), α ∈ R} (x, y ) ∈ {(− 3α , α ), α ∈ R}

.

R: a ) f continuă pe R 2 ; b) dacă α = 1 , atunci f continuă pe

R 2 ; dacă α ≠ 1 , atunci f continuă pe R 2 \ {(0, 0 )}; c) f continuă pe R 2 \ {(0, 0 )}; d ) f continuă pe R 2 \ {(0, 0 )}; e) f continuă pe R 2 ; f ) f continuă pe R 2 \ {(− 3α , α ), α ∈ R}. 3. Să se calculeze derivatele parţiale de ordinul întâi şi doi ale funcţiilor:

a ) f : R 2 → R, f ( x, y ) = x 3 − 3 xy 4 + 5 x 2 y − 12 y ; b) f ( x, y ) = x 3 y 2 (6 − x − y ) ;

c ) f : R 2 → R,

f ( x, y ) = ln(3 + x 2 + 2 y 4 ) ; y x d ) f ( x, y ) = xy + + ; x ≠ 0, y ≠ 0 ; x y

(

)

e) f ( x, y ) = e 2 x x + y 2 + 2 y ; y

f ) f ( x, y ) = x , x > 0 ;

1+ x − y

g ) f : R 2 → R , f ( x, y ) =

h) f : R 2 → R ,

2

1+ x + y

2

;

f ( x, y ) = (3 x + 2 y 2 ) sin( xy ) ;

2 2 i ) f : R 2 → R, f ( x, y ) = ( x 2 + y 2 ) ⋅ e − ( x + y ) ;

j ) f : R 3 → R,

f ( x, y, z ) = (3 y 2 − 5 z )e 5 x + z . 2

'

R: a) f x ( x, y ) = 3 x 2 − 3 y 4 + 10 xy ; '' ' f y ( x, y ) = −12 xy 3 + 5 x 2 − 12 ; f x ( x, y ) = 6 x + 10 y ; 2

f f f f f f f f

'' '' '' ( x, y ) = f yx ( x, y ) = −12 y 3 + 10 x ; f y 2 ( x, y ) = −36 xy 2 ; j) xy 2 2 ' (x, y, z ) = 5 3 y 2 − 5 z e 5 x + z ; f 'y (x, y, z ) = 6 y e 5 x + z ; x 2 ' (x, y, z ) = 6 y 2 z − 10 z 2 − 5 e 5 x + z ; z '' '' 2 5x + z 2 5x + z 2 − 5 z e ; ; 2 ( x, y , z ) = 25 3 y 2 ( x, y , z ) = 6 e f x y 2 '' (x, y, z ) = 12 y 2 z 2 − 20 z 3 − 30 z + 6 y 2 e 5 x + z ; z2 '' '' 5x + z 2 ( ) ( ) x , y , z = x , y , z = 30 y e ; f xy yx '' '' 2 2 5x + z 2 ( ) ( ) x , y , z = x , y , z = 5 6 y z − 10 z − 5 e ; f xz zx 2 '' (x, y, z ) = f 'zy' (x, y, z ) = 12 yz e 5 x + z . yz

(

(

(

)

(

)

)

)

(

)

4. Folosind definiţia, să se arate că funcţia f : R 2 → R ,

f ( x, y ) = 3 x − 5 y 3 , este diferenţiabilă în punctul (3, − 1) . 5. Să se studieze diferenţiabilitatea următoarelor funcţii în punctele indicate:

a) f : R 2 → R, f ( x, y ) = 2( x + 1) 2 + 3( y − 2) 4 în (− 1, 2) ; 2

b) f : R → R,

1 ⎧ ⎪ arctgy f ( x, y ) = ⎨(1 + xy ) , ( x, y ) ≠ (3,0 ) în (3, 0 ) ; ⎪ 0, ( x, y ) = (3,0 ) ⎩

c) f : R 2 → R, f ( x, y ) = (1 + x 2 ) sin y în punctul (− 3, 4) . R: a) f nu este diferenţiabilă în punctul (− 1, 2) ; b) f nu este diferenţiabilă în punctul (3, 0 ) ; c) f este diferenţiabilă în punctul (− 3, 4) . 6. Să se scrie diferenţialele de ordinul întâi şi doi în punctul ale funcţiilor de la problema 3.

(− 1,1)

7. Să se arate că funcţia : ⎧ x2 y , ( x, y ) = (0,0) ⎪ este: a ) f ( x, y ) = ⎨ x 4 + y 2 ⎪0, ( x, y ) = (0,0) ⎩

• • •

discontinuă în punctul (0, 0 ) continuă în (0, 0 ) în raport cu x continuă în (0, 0 ) în raport cu y

b ) f ( x, y ) =

• • •

xy este :

continuă are derivate parţiale în origine nu este diferenţiabilă în origine ⎧ x2 y , ( x, y ) ≠ (0,0) ⎪ c ) f ( x, y ) = ⎨ x 2 + y 2 este ⎪0, x = y = 0 ⎩ • continuă pe R 2

• •

are derivate parţiale pe R 2 nu este diferenţiabilă pe R 2

8. Studiaţi diferenţiabilitatea următoarelor funcţii în punctul (0, 0 ) : xy ⎧ , ( x, y ) ≠ (0,0) ⎪ 2 a ) f ( x, y ) = ⎨ 2 x + 4 y 2 ; b ) f ( x, y ) = x y . ⎪ 1, ( x, y ) = (0,0) ⎩ R: a) Deoarece funcţia nu este continuă în punctul (0, 0 ) , rezultă că f nu este diferenţiabilă în acest punct; b) deoarece nu există ' f y (0, 0) , rezultă că f nu este diferenţiabilă în (0, 0) .

9. Să se scrie diferenţialele de ordinul întâi şi doi ale funcţiilor:

a) f : R 3 → R, f ( x, y, z ) = 3 xy 2 − 2 x 2 yz 3 + 4 xz − 5 y 3 + 1 ; b) f : R 3 → R, f ( x, y, z ) = sin( ax + by + cz ) ; c ) f : R 3 → R, f ( x, y , z ) = x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 . 10. Să se scrie diferenţiala de ordinul n pentru funcţiile:

a) f : R 2 → R, f ( x, y ) = eαx + βy ; b) f : R 2 → R, f ( x, y ) = sin( ax + by ) ; c) f : R 3 → R, f ( x, y, z ) = cos(ax + by + cz ) ; d ) f : D → R, f ( x, y, z ) = ln(ax + by + cz ) ,

{

}

D = ( x, y , z ) ∈ R 3 / ax + by + cz > 0 . n ax + by n

R: a) d f ( x, y ) = (adx + bdy ) e

(

;

)

b) d f ( x, y ) = (adx + bdy ) sin ax + by + n π ; n

n

(

2

)

c) d n f ( x, y, z ) = (adx + bdy + cdz )n cos ax + by + cz + n π . 2

8.2. EXTREMELE FUNCŢIILOR DE MAI MULTE VARIABILE 8.2.1. EXTREME LIBERE BREVIAR TEORETIC Definiţia 1. Funcţia f : A ⊂ R n → R admite un maxim local (minim local) în punctul a = (a1 , a 2 ,..., a n ) ∈ A dacă există o vecinătate V a punctului a astfel încât oricare ar fi x = ( x1 , x 2 ,..., x n ) ∈ V ∩ A are loc inegalitatea f ( x) ≤ f (a) (respectiv f ( x) ≥ f (a ) ). În aceste condiţii, spunem că punctul a este punct de extrem local pentru funcţia f . Dacă inegalităţile de mai sus sunt verificate pe tot domeniul de definiţie A , spunem că punctul a este punct de maxim (minim) global pentru funcţia f . Definiţia 2. Fie f : A ⊂ R n → R . Punctul a = (a1 , a 2 ,..., a n ) ∈ int A este punct staţionar pentru funcţia f dacă f este diferenţiabilă în a şi diferenţiala df ( x ; a) = 0 . Observaţie. Dacă punctul a = (a1 , a 2 ,..., a n ) ∈ int A este punct

staţionar, df ( x; a) = 0 implică f x' k (a) = 0, ∀k = 1, n . Propoziţie. Dacă funcţia f : A ⊂ R n → R admite un extrem local

în punctul a = (a1 , a 2 ,..., a n ) ∈ A şi există f x' k într-o vecinătate a

punctului a , ∀k = 1, n , atunci f x' k (a) = 0, ∀k = 1, n Teorema 1. Fie f : A ⊂ R 2 → R şi (a, b ) ∈ int A un punct staţionar pentru f . Presupunem că f admite derivate parţiale de ordinul doi, continue într-o vecinătate V a punctului (a, b ) . Considerăm

[

]

2

'' expresia ∆ (a, b ) = f xy (a, b ) − f x' ' (a, b ) ⋅ f y' ' (a, b ) . Atunci: 2

2

1. Dacă ∆ ( a , b ) < 0 , atunci (a, b ) este punct de extrem local,

şi anume: - punct de minim local, dacă f x' '2 ( a , b ) > 0 ;

- punct de maxim local, dacă f x' '2 ( a , b ) < 0 . 2. Dacă ∆ ( a, b ) > 0 , atunci (a, b ) este punct şa. Teorema 2. Fie f : A ⊂ R n → R . Presupunem că punctul a ∈ A este punct staţionar pentru f şi funcţia f are derivate parţiale de ordinul doi continue într-o vecinătate V a punctului a . Atunci:

1) dacă d 2 f ( x ; a ) < 0 , pentru orice x ∈ V ∩ A , atunci a este punct de maxim local; 2) dacă d 2 f ( x ; a ) > 0 , pentru orice x ∈ V ∩ A , atunci a este punct de minim local; 3) dacă d 2 f (x ; a ) este nedefinită, atunci a este punct şa. Algoritm de determinare a punctelor de extrem local pentru o

funcţie f : A ⊂ R n → R Etapa 1. Determinăm punctele staţionare, care sunt soluţiile ⎧ f x' ( x1 , x 2 ,..., x n ) = 0 ⎪ ⎪⎪ f ' ( x , x ,..., x ) = 0 sistemului: x 1 2 n 1

⎨ 2 ⎪..................................... ⎪ ' ⎩⎪ f xn ( x1 , x 2 ,..., x n ) = 0

Etapa 2. Stabilim care dintre punctele staţionare sunt puncte de extrem local. Acest lucru se poate realiza în mai multe moduri: Metoda I. Pentru fiecare punct staţionar P(a1 , a 2 ,..., a n ) calculăm matricea hessiană:

⎛ f ''2 (a ,.., a ) f x''1 x2 (a1,.., an ) . . . . . . . . f x''1 xn (a1,.., an ) ⎞⎟ n ⎜ x1 1 ⎜ '' ⎟ '' '' ⎜ f (a ,.., an ) f x22 (a1,.., an ) . . . . . . . . . f x2 xn (a1,.., an ) ⎟ H (a1, a2 ,..., an ) = ⎜ x2 x1 1 ⎟ ⎜. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ⎟ ⎜⎜ '' ⎟ f (a ,.., an ) f x''n x2 (a1,.., an ) . . . . . . . . . f x''2 (a1,.., an ) ⎟ n ⎝ xn x1 1 ⎠

şi minorii ∆1 , ∆ 2 ,......, ∆ n ai acesteia, unde ∆ i este minorul format din primele i linii şi i coloane ale matricei H (a, b) , i = 1, n . Discuţie. • Dacă toţi minorii ∆ i > 0 , atunci P (a1 , a 2 ,..., a n ) este punct de minim local. • Dacă minorii ∆ i alternează ca semn, începând cu minus, atunci P (a1 , a 2 ,..., a n ) este punct de maxim local. • Orice altă combinaţie de semne, cu ∆ i ≠ 0 , implică P (a1 , a 2 ,..., a n ) punct şa. Metoda II. (pentru funcţiile de două variabile) Pentru fiecare punct staţionar P (a, b ) calculăm expresia:

[

]

2

'' (a, b ) − f x' '2 (a, b ) ⋅ f y' '2 (a, b ) . ∆ (a, b ) = f xy 1. Dacă ∆ (a , b ) < 0 , atunci (a, b ) este punct de extrem local, şi anume:

- punct de minim local, dacă f x''2 (a, b ) > 0 ; - punct de maxim local, dacă f x'' (a, b) < 0 . 2. Dacă ∆ (a , b ) > 0 , atunci (a, b ) este punct şa. 2

Observaţia 1. În cazul funcţiilor de două variabile, ∆(a, b ) = −∆ 2 . Prin urmare, dacă ∆ 2 < 0 , atunci rezultă că ∆ (a, b ) > 0 , deci (a, b ) este punct şa. Metoda III. Se calculează diferenţiala de ordinul al doilea a funcţiei în punctul staţionar a = (a1 , a 2 ,..., a n ) şi se aplică teorema 2.

Observaţia 2. Existenţa unui punct de extrem local poate fi pusă în evidenţă cu ajutorul metodelor prezentate numai dacă funcţia f este diferenţiabilă în acel punct şi admite derivate parţiale de ordinul doi continue într-o vecinătate a punctului respectiv. În caz contrar sau în cazul în care prin aplicarea metodelor de mai sus nu se poate stabili natura punctului, se foloseşte: Metoda IV. Definiţia punctului de extrem local. PROBLEME REZOLVATE 1. Să se determine punctele de extrem local ale funcţiei: f : R 2 → R, f ( x, y ) = 6 x 2 y + 2 y 3 − 45x − 51y + 7 . Rezolvare: Etapa 1. Determinăm punctele staţionare, care sunt soluţiile ⎧ ' sistemului: ⎪⎨ f x ( x, y) = 0 '

⎪⎩ f y ( x, y ) = 0

' Avem că: f x ( x, y ) = 12 xy − 45

f y' ( x, y ) = 6 x 2 + 6 y 2 − 51

, prin urmare obţinem sistemul:

⎧ xy = 15 ⎪ ⎪⎧12 xy − 45 = 0 4 ⇔⎨ ⎨ 2 2 2 2 ⎪⎩6 x + 6 y − 51 = 0 ⎪⎩ x + y = 17 2

⎧ P = 15 ⎧⎪ P = 15 ⎪ 4 4 ⇒⎨ Notăm x + y = S , xy = P ⇒ ⎨ 2 17 ⎪⎩S = ±4 ⎪⎩S − 2 P = 2 Pentru S = 4, P = 15 ⇒ t 2 − 4t + 15 = 0 ⇒ t1 = 3 , t 2 = 5 , deci 4 4 2 2

⎧ x1 = 3 ⎪ 2 ⎨ ⎪⎩ y1 = 52

⎧ x2 = 5 2. sau ⎪⎨ ⎪⎩ y 2 = 32

Pentru S = −4, P = 15 ⇒ t 2 + 4t + 15 = 0 ⇒ t1 = − 3 , t 2 = − 5 , 4

deci

⎧ x3 = − 3 ⎪ 2 ⎨ ⎪⎩ y3 = − 52

4

2

2

⎧ x4 = − 5 ⎪ 2. ⎨ ⎪⎩ y 4 = − 32

sau

Am obţinut punctele staţionare: P1 3 , 5 , P2 5 , 3 , P3 − 3 , − 5 , P4 − 5 , − 3 .

(2 2 ) (2 2 ) (

2

2

) (

2

2

)

Etapa 2. Stabilim care dintre punctele staţionare sunt puncte de extrem local. Metoda I. Scriem matricea hessiană: ⎛ ⎜ H ( x, y ) = ⎜ ⎜ ⎝

f

'' x2

( x, y )

'' ( x, y xy

f

) ⎞⎟

⎟. ) f f (x, y ) ⎟⎠ ' '' ' Avem: f x 2 ( x, y ) = f x ( x, y ) x = 12 y ; ' '' (x, y ) = f x' (x, y ) y = 12x = f yx'' (x, y ) ; f xy '' ( x, y yx

[

[

[ ]

'' y2

]

f y' ' 2 (x, y ) = f y' (x, y ) ⎛12 y H ( x, y ) = ⎜⎜ ⎝12 x

( )

' y

]

= 12 y , deci

12 x ⎞ ⎟. 12 y ⎟⎠

30 18 ⎛ 30 18 ⎞ ⎟⎟ ⇒ ∆1 = 30 > 0, ∆ 2 = H 3 , 5 = ⎜⎜ = 576 > 0 , prin 2 2 18 30 ⎝18 30 ⎠

(2 2 )

urmare P1 3 , 5 este punct de minim local.

( )

18 30 ⎛18 30 ⎞ ⎟⎟ ⇒ ∆1 = 18 > 0, ∆ 2 = H 5 , 3 = ⎜⎜ = −576 < 0 , prin 2 2 30 18 ⎝ 30 18 ⎠

(2 2 )

urmare P2 5 , 3 este punct şa.

(

)

− 30 − 18 ⎛ − 30 − 18 ⎞ ⎟⎟ ⇒ ∆1 = −30 < 0, ∆ 2 = H − 32 ,− 52 = ⎜⎜ = 576 > 0 , − 18 − 30 ⎝ − 18 − 30 ⎠

(

)

prin urmare P3 − 3 , − 5 este punct de maxim local.

(

)

2

2

− 18 − 30 ⎛ − 18 − 30 ⎞ ⎟⎟ ⇒ ∆1 = −18 < 0, ∆ 2 = H − 5 ,− 3 = ⎜⎜ = −576 < 0 , 2 2 − 30 − 18 ⎝ − 30 − 18 ⎠

(2 2 )

prin urmare P1 3 , 5 este punct şa. Metoda II. Calculăm expresia:

[

]

2 '' (x, y ) − f x''2 (x, y ) ⋅ f y' '2 (x, y ) ∆( x, y ) = f xy

(

)

şi obţinem ∆( x, y ) = 144 x 2 − y 2 . Avem că:

( ) < 0 şi ( ) > 0 , deci P1 (32 , 52 ) punct de minim local. ) > 0 , prin urmare P2 (52 , 32 ) este punct şa. ∆( 3 5 ∆ (− , − ) < 0 şi f (− , − ) < 0 , deci P3 (− , − ) punct de maxim 2 2 3 , 2 5 , 2

∆

3 2

5 2 3 2

f x' '2 3 , 5 2 2

local.

(

'' x2

5 2

3 2

)

5 2

(

)

∆ − 5 , − 3 > 0 , prin urmare P4 − 5 , − 3 este punct şa. 2

2

2

2

2. Să se determine punctele de extrem local ale funcţiei: f : (0, ∞ )2 → R, f ( x, y) = x 2 + y 2 + 3xy − 8 ln x − 14 ln y + 5 . Rezolvare: Etapa 1. Determinăm punctele staţionare. Avem că: f x' ( x, y ) = 2 x + 3 y − 8

x . ' 14 f y ( x, y ) = 2 y + 3 x − y

Rezolvăm sistemul:

⎧ f ' ( x, y ) = 0 ⎪ x ⇔ ⎨ ' ⎪⎩ f y ( x, y ) = 0

⎧2 x + 3 y − 8 = 0 x ⎪ ⇔ ⎨ 14 ⎪⎩2 y + 3x − y = 0

⎧⎪2 x 2 + 3xy = 8 (1) . ⎨ 2 ⎪⎩2 y + 3xy = 14 (2)

Am obţinut un sistem omogen. Înmulţim prima ecuaţie cu 14 , pe cea de-a doua cu (− 8) şi adunăm relaţiile obţinute; rezultă: 28x 2 + 18xy − 16 y 2 = 0 ⇔ 14 x 2 + 9 xy − 8 y 2 = 0 . Împărţim această

(

)

ecuaţie prin y 2 y 2 ≠ 0 şi notăm x = t . Obţinem: y 14t 2 + 9t − 8 = 0 ⇒ t1 = − 87 , t 2 = 12 . Rădăcina negativă nu convine,

deoarece x > 0 şi y > 0 , prin urmare avem t =

x = 1 ⇒ y = 2x . y 2

Înlocuind y = 2 x în (1) , rezultă x = ±1 . Cum x > 0 , rezultă că singura valoare care se acceptă este x = 1 , de unde obţinem y = 2 . Am obţinut un singur punct staţionar: P(1, 2 ) . Etapa 2. Stabilim dacă acesta este punct de extrem local.

[ ] (x, y ) = [ f (x, y )] = 3 = f (x, y ) = [ f (x, y )] = 2 +

'' ' ' Avem: f x 2 ( x, y ) = f x ( x, y ) x = 2 + 82 ; '' f xy

f y''2

' x

x '' yx ( x, y ) ;

' y

' y

' y

14 , deci matricea hessiană este: y2

'' ⎛ f ''2 ( x, y ) (x, y ) ⎞⎟ ⎛⎜ 2 + x82 3 ⎞⎟ f xy ⎜ x . H ( x, y ) = ⎜ ⎟=⎜ 14 ⎟ '' '' 2 ⎜ f yx ⎟ + 3 2 ⎜ ⎟ ( ) ( ) , , x y f x y y y2 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 10 3 ⎛10 3 ⎞ ⎟ ⇒ ∆ = 10 > 0, ∆ = Avem că H (1, 2 ) = ⎜ = 46 > 0 , 1 2 ⎜ 3 11 ⎟ 3 11 ⎝ 2⎠ 2

prin urmare P(1, 2 ) este punct de minim local.

3. Să se determine punctele de extrem local ale funcţiei: 3 x y z 1 f : R* → R, f ( x, y, z) = + + + . y 4 x z

( )

Rezolvare: Etapa 1. Determinăm punctele staţionare. Avem că: 1 z − y x2 x 1 , de unde rezultă sistemul: f y' ( x, y, z ) = − + y2 4

f x' ( x, y, z ) =

f z' ( x, y, z ) =

1 1 − x z2

⎧1 z ⎪ − 2 =0 y x ⎪ , ⎪⎪ x 1 ⎨− 2 + = 0 4 ⎪ y ⎪1 1 ⎪ − =0 ⎪⎩ x z 2

⎧x = z 2 ⎧ x 2 = yz ⎧x = z 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ echivalent cu ⎪⎨4 x = y 2 ⇔ ⎨ y 2 = 4 z 2 ⇔ ⎪⎨ y 2 = 4 z 2 ⇔ ⎪ 4 ⎪ 2 ⎪ 4 ⎪⎩ z = yz ⎪⎩ z = x ⎪⎩ z = yz ⎧x = z2 ⎪⎪ * ⎨ y = ±2 z ; am folosit că x, y, z ∈ R . ⎪ 3 ⎪⎩ z = y

Pentru y = 2 z ⇒ z 3 = 2 z ⇒ z = ± 2 , y = ±2 2 , x = 2 . Pentru y = −2 z ⇒ z 3 = −2 z ⇒ z = 0 (nu convine) sau z 2 = −2 ⇒ z ∉ R . Am obţinut punctele staţionare P1 (2,2 2 , 2 ) şi P2 (2,−2 2 ,− 2 ) . Etapa 2. Stabilim natura punctelor staţionare, folosind matricea hessiană. 2x 2 2z f x''2 ( x, y, z ) = 3 ; f y' '2 ( x, y, z ) = f z''2 ( x, y, z ) = 3 x y z3

'' f xy ( x, y , z ) = −

1 y 1

2

'' = f yx ( x, y , z ) ;

'' '' '' '' f xz ( x, y, z ) = − 2 = f zx ( x, y, z ) ; f yz ( x, y, z ) = 0 = f zy ( x, y , z ) x '' '' ⎛ f ''2 ( x, y, z ) f xy ( x, y, z ) f xz ( x, y, z ) ⎞⎟ ⎜ x ⎜ '' ⎟ '' H ( x, y, z ) = ⎜ f yx f y''2 ( x, y, z ) f yz ( x, y , z ) ( x, y , z ) ⎟ = ⎜ '' ⎟ '' ⎜ f zx ( x, y, z ) f zy f z''2 ( x, y, z ) ⎟ ( x, y , z ) ⎝ ⎠

⎛ 2z 1 − ⎜ ⎜ x3 y2 ⎜ 1 2x = ⎜− ⎜ y2 y3 ⎜ ⎜− 1 0 ⎜ 2 ⎝ x

−

⎛

2 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 4 x2 ⎟ ⎜ 1 ⎟ , deci H (2,2 2 , 2 ) = ⎜ − 0 ⎟ ⎜ 8 ⎟ ⎜ ⎟ 2⎟ ⎜− 1 ⎜ 4 ⎟ ⎝ z3 ⎠

−

1 8 2 8 0

−

1 ⎞ ⎟ 4 ⎟ ⎟ 0 ⎟ ⎟ ⎟ 2⎟ 2 ⎟⎠

3 2 2 > 0; ∆2 = > 0; ∆3 = > 0 , prin 64 64 4 urmare P1 (2,2 2 , 2 ) este punct de minim local. Avem că ∆1 =

⎛ 2 ⎜− ⎜ 4 ⎜ 1 H 2,−2 2 ,− 2 = ⎜ − ⎜ 8 ⎜ ⎜− 1 ⎜ 4 ⎝

(

∆1 = −

)

2 < 0; 4

∆2 =

1 8 2 − 8 −

0

3 > 0; 64

1⎞ − ⎟ 4⎟ ⎟ 0⎟ ⎟ ⎟ 2⎟ − 2 ⎟⎠

∆3 = −

2 < 0 , prin urmare 64

P2 (2,−2 2 ,− 2 ) este punct de maxim local.

4. Să se determine punctele de extrem local ale funcţiei:

(

)

f : R 2 → R, f ( x, y) = xy x 2 + y 2 − 4 . Rezolvare:

Funcţia f se mai poate scrie: f ( x, y ) = x 3 y + xy 3 − 4 xy . Etapa 1. Determinăm punctele staţionare. Avem că: ⎧ f ' ( x, y ) = 3 x 2 y + y 3 − 4 y ⎪ x ⇒ ⎨ ' 3 2 ⎪⎩ f y ( x, y ) = x + 3xy − 4 x ⎧⎪ y 3x 2 + y 2 − 4 = 0 ⇒ ⇔⎨ ⎪⎩ x x 2 + 3 y 2 − 4 = 0 y=0 Cazul a) ⎧⎨ ⇒ P1 (0, 0) . ⎩x=0

( (

) )

⎧⎪3x 2 y + y 3 − 4 y = 0 ⇔ ⎨ 3 ⎪⎩ x + 3xy 2 − 4 x = 0

⎧y = 0

Cazul b) ⎪⎨

⇒ x = ±2 ⇒ P2 (− 2, 0); P3 (2, 0) . ⎪⎩ x 2 + 3 y 2 = 4 2 ⎧ 2 Cazul c) ⎪⎨3 x + y = 4 ⇒ y = ±2 ⇒ P4 (0, − 2); P5 (0, 2) . ⎪⎩ x = 0 ⎧3 x 2 + y 2 = 4

Cazul d ) ⎪⎨

⎪⎩ x 2 + 3 y 2 = 4

; înmulţim prima relaţie cu (− 3) şi apoi o

adunăm cu cealaltă; obţinem: x 2 = 1 ⇒ x = ±1 ; pentru x = −1 ⇒ y = ±1 ⇒ P6 (− 1, − 1); P7 (− 1, 1) ; pentru x = 1 ⇒ y = ±1 ⇒ P8 (1, − 1); P9 (1, 1) . Am obţinut punctele staţionare: P1 (0, 0 ), P2 (− 2, 0 ), P3 (2, 0 ), P4 (0, − 2 ), P5 (0, 2 ) ,

P6 (− 1, − 1); P7 (− 1, 1), P8 (1, − 1); P9 (1, 1) . Etapa 2. Stabilim care dintre punctele staţionare sunt puncte de extrem local.

'' f x' '2 ( x, y ) = 6 xy ; f y'' ( x, y) = 6 xy ; f xy ( x, y ) = 3 x 2 + 3 y 2 − 4 . 2

⎛

3 x 2 + 3 y 2 − 4 ⎞⎟ . ⎜ 3x 2 + 3 y 2 − 4 ⎟ 6 xy ⎝ ⎠

Matricea hessiană: H (x, y ) = ⎜

•

6 xy

− 4⎞ ⎟ ; avem că ∆1 = 0 , prin urmare 0 ⎟⎠

⎛ 0 ⎝− 4

Calculăm H (0, 0 ) = ⎜⎜

natura punctului nu se poate preciza folosind matricea hessiană.

•

În acest caz, calculăm expresia:

[ ∆ (x, y ) = (3 x

]

2 '' (x, y ) − f x' '2 (x, y ) ⋅ f y''2 (x, y ) şi obţinem ∆ (x, y ) = f xy 2

)2

+ 3 y 2 − 4 − 36 x 2 y 2 . Avem că: ∆ (0,0 ) = 16 > 0 , prin urmare P1 (0, 0 ) este punct şa. ∆(− 2,0 ) = 64 > 0 , deci P2 (− 2, 0 ) este punct şa. ∆(2,0) = 64 > 0 , deci P3 (2, 0 ) este punct şa. ∆(0,−2 ) = 64 > 0 , deci P4 (0, − 2 ) este punct şa. ∆(0, 2 ) = 64 > 0 , deci P5 (0, 2) este punct şa. '' ∆(− 1, − 1) = −32 < 0 şi f x 2 ( −1, − 1) = 6 > 0 deci P6 (− 1, − 1) este punct de minim local.

∆(− 1,1) = −32 < 0 şi f x' '2 ( −1, − 1) = −6 < 0 deci P7 (− 1, 1) este punct de maxim local. ∆(1, − 1) = −32 < 0 şi f x' '2 (1, − 1) = −6 < 0 deci P8 (1, − 1) este punct de maxim local. ∆(1,1) = −32 < 0 şi f x' '2 (1,1) = 6 > 0 deci P9 (1, 1) este punct de minim local.

5. Să se determine punctele de extrem local ale funcţiei:

f : R 3 → R, f ( x, y, z ) = x 4 + y 3 + z 2 + 4 xz − 3 y + 2 . Rezolvare: Etapa 1. Determinăm punctele staţionare. Avem că: f x' ( x, y , z ) = 4 x 3 + 4 z ⎧4 x 3 + 4 z = 0 ⎪ f y' ( x, y, z ) = 3 y 2 − 3 , de unde rezultă sistemul: ⎪⎨3 y 2 − 3 = 0 , ⎪2 z + 4 x = 0 ⎪⎩

f z' ( x, y, z ) = 2 z + 4 x

⎧ y1,2 = ±1 ⎪⎪ ⎨ x1 = 0; x 2,3 = ± 2 ⎪ ⎪⎩ z1 = 0; z 2,3 = m 2 2 Am obţinut punctele staţionare P1 (0,1, 0) , P2 (0, − 1, 0 ) ,

⎧y2 = 1 ⎪ echivalent cu ⎪⎨ z = −2 x ⇔ ⎪ 3 ⎩⎪ x − 2 x = 0

( 2 ,1, − 2 2 ) , P4 ( P6 (− 2 , − 1, 2 2 ). P3

) (

)

2 , − 1, − 2 2 , P5 − 2 ,1, 2 2 ,

Etapa 2. Stabilim natura punctelor staţionare, folosind matricea hessiană. f x' '2 ( x, y, z ) = 12 x 2

f y' '2 ( x, y, z ) = 6 y

'' '' f xy ( x, y, z ) = 0 = f yx ( x, y , z ) ;

f z' '2 ( x, y, z ) = 2

'' '' ( x, y, z ) = 4 = f zx ( x, y , z ) ; f xz

'' '' f yz ( x, y, z ) = 0 = f zy ( x, y , z )

•

⎛12 x 2 ⎜ Matricea hessiană este: H (x, y, z ) = ⎜ 0 ⎜ ⎜ 4 ⎝

0 6y 0

4 ⎞⎟ 0 ⎟. ⎟ 2⎟ ⎠

0 4⎞ ⎛ 0 ⎜ ⎟ H (0,1,0 ) = ⎜ 0 6 0 ⎟ ; avem că ∆1 = 0 , prin urmare nu se ⎜ 4 0 2 ⎟⎠ ⎝ poate stabili natura punctului P1 (0,1, 0) folosind matricea hessiană. • De aceea vom studia semnul diferenţialei de ordinul al doilea a funcţiei în punctul P1 (0,1, 0) . Avem că: d 2 f ((x, y, z ); ( x 0 , y 0 , z 0 )) = 12 x 02 dx 2 + 6 y 0 dy 2 + 2dz 2 + 8dxdz .

d 2 f (( x, y, z ); (0,1,0)) = 6dy 2 + 2dz 2 + 8dxdz . Pentru a afla semnul acestei expresii, folosim metoda lui Gauss de reducere la forma canonică a unei funcţionale pătratice. Obţinem:

(

)

d 2 f (( x, y, z ); (0,1,0)) = 6dy 2 + 2 dz 2 + 4dxdz + 4dx 2 − 8dx 2 =

= 6dy 2 + 2(dz + 2dx )2 − 8dx 2 , deci d 2 f (( x, y, z ); (0,1,0)) este nedefinită, prin urmare P1 (0,1, 0 ) este punct şa.

(

)

d 2 f (( x, y, z ); (0,−1,0)) = −6dy 2 + 2 dz 2 + 4dxdz + 4dx 2 − 8dx 2 =

= −6dy + 2(dz + 2dx ) − 8dx , deci d f (( x, y, z ); (0,−1,0)) este nedefinită, prin urmare P2 (0, − 1, 0) este punct şa. 2

2

(

d 2 f ( x, y, z );

(

2

2

))

2 ,1, − 2 2 = 24dx 2 + 6dy 2 + 2dz 2 + 8dxdz =

= 6dy 2 + 2(dz + 2dx )2 + 16dx 2 > 0 , deci P3

de minim local.

(

d 2 f ( x, y, z );

(

))

(

)

2 ,1, − 2 2 este punct

2 , − 1, − 2 2 = 24dx 2 − 6dy 2 + 2dz 2 + 8dxdz =

= −6dy 2 + 2(dz + 2dx )2 + 16dx 2 , deci P4

(

)

(

)

2 , − 1, − 2 2 punct şa.

Analog, obţinem că P5 − 2 ,1, 2 2 este punct de minim local

(

)

şi P6 − 2 , − 1, 2 2 este punct şa.

6. Să se determine punctele de extrem local ale funcţiei:

f : R 2 → R, f ( x , y ) = x 4 + y 4 . Rezolvare: Etapa 1. Determinăm punctele staţionare. Avem că: ⎧ f x' ( x, y ) = 4 x 3 ⎪ , deci P(0, 0) punct staţionar. ⎨ ' 3 ⎪⎩ f y ( x, y ) = 4 y ⎛12 x 2 0 ⎞ ⎟ ; H (0, 0 ) = ⎛⎜ 0 0 ⎞⎟ ; ∆ = ∆ = 0 , • H ( x, y ) = ⎜ 2 ⎜ 0 0⎟ 1 ⎜ 0 12 y 2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ deci nu se poate stabili natura punctului folosind matricea hessiană.

[

]

2

'' (0,0) − f x' '2 (0,0) ⋅ f y' '2 (0,0) = 0 , prin urmare nu se ∆(0,0 ) = f xy poate preciza natura punctului nici prin această metodă.

•

• d 2 f (( x, y ); (0, 0)) = 0 , deci nu se poate determina natura punctului cu ajutorul diferenţialei. • Folosim definiţia punctului de extrem. Avem că f (0, 0 ) = 0 . Deoarece f ( x, y ) = x 4 + y 4 ≥ f (0, 0 ) , ∀( x, y ) ∈ R 2 , rezultă că P(0, 0 ) este punct de minim global al funcţiei f . 7. Să se determine punctele de extrem local ale funcţiei:

f : R 2 → R , f ( x, y ) = x 2 + y 3 . Rezolvare: Etapa 1. Determinăm punctele staţionare. Avem că: ⎧ f x' ( x, y ) = 2 x ⎪ , deci P(0, 0 ) punct staţionar. ⎨ ' 2 ⎪⎩ f y ( x, y ) = 3 y

⎛2 0⎞ ⎛ 2 0⎞ ⎟⎟ ; H (0, 0 ) = ⎜⎜ ⎟⎟ ; ∆1 = 2, ∆ 2 = 0 , H ( x, y ) = ⎜⎜ ⎝ 0 6y⎠ ⎝0 0⎠ deci nu se poate stabili natura punctului folosind matricea hessiană. •

[

]

2

'' (0,0) − f x' '2 (0,0) ⋅ f y''2 (0,0) = 0 , prin urmare nu se ∆(0,0 ) = f xy poate preciza natura punctului nici prin această metodă.

•

• d 2 f ((x, y ); (0, 0)) = 2dx 2 , care este o funcţională semipozitiv definită, deci nu se poate determina natura punctului cu ajutorul diferenţialei. • Folosim definiţia punctului de extrem local. Avem că f (0, 0 ) = 0 . Fie V o vecinătate a punctului (0, 0 ) ; rezultă că există ε > 0 astfel

(

)

încât (− ε , ε ) × (− ε , ε ) ⊂ V ; fie (a1 , a 2 ) = 0, − ε ∈ V şi

(b1 , b2 ) = (0, ε2 )∈ V ; avem că f (a1 , a 2 ) = − ε8

3

2

< 0 = f (0, 0 ) şi

f (b1 , b2 ) = ε > 0 = f (0, 0 ) . Prin urmare, am arătat că în orice 3

8

vecinătate a punctului (0, 0 ) funcţia ia atât valori mai mari ca f (0, 0) , cât şi valori mai mici ca f (0, 0 ) . Rezultă, conform definiţiei, că P(0, 0 ) este punct şa. 8. Să se determine punctele de extrem local ale funcţiei:

f : R 2 → R, f ( x, y) = xy 2 e x − y . Rezolvare: Etapa 1. Determinăm punctele staţionare. Avem că: ⎧ f x' ( x, y ) = y 2 e x − y + xy 2 e x− y = y 2 e x − y ( x + 1) ⎪ ⇒ ⎨ ' x− y − xy 2 e x − y = xye x− y (2 − y ) ⎪⎩ f y ( x, y ) = 2 xye

⎧⎪ y 2 e x − y ( x + 1) = 0 ⇒⎨ ⎪⎩ xye x − y (2 − y ) = 0 Din prima ecuaţie rezultă că x = −1 sau y = 0 . • Dacă y = 0 ⇒ x ∈ R ⇒ (α , 0 ) punct staţionar, ∀α ∈ R . • Dacă x = −1 ⇒ y = 0 (obţinut şi la cazul precedent) sau y = −2 ⇒ (− 1, − 2 ) este punct staţionar.

f x' '2 ( x, y ) = y 2 e x − y ( x + 1) + y 2 e x − y = y 2 e x − y ( x + 2) ; f y''2 ( x, y ) = x(2 − 2 y)e x− y − x(2 y − y 2 )e x− y = xe x− y ( y 2 − 4 y + 2) ; '' f xy ( x, y) = 2 ye x− y ( x + 1) − y 2 e x− y ( x + 1) = y(2 − y)e x− y ( x + 1) .

⎛ y 2 e x − y ( x + 2) H ( x, y ) = ⎜ ⎜ y (2 − y )e x − y ( x + 1) ⎝

y (2 − y )e x − y ( x + 1) ⎞⎟ xe x − y ( y 2 − 4 y + 2) ⎟⎠

0 ⎞ ⎛ 4e ⎟⎟ ; ∆1 = 4e > 0 ; H (−1,−2) = ⎜⎜ ⎝ 0 − 14e ⎠ ∆ 2 = −56e 2 < 0 ⇒ (−1,−2) punct şa. 0 ⎞ ⎛ 0 ⎟ ; ∆1 = ∆ 2 = 0 ⇒ natura punctului nu se H (α ,0) = ⎜ α⎟ ⎜ 0 2α e ⎠ ⎝ poate determina cu această metodă. În aceste condiţii, vom folosi definiţia punctului de extrem local. Avem că f (α ,0 ) = 0 . • Pentru α . > 0 , fie ε > 0 astfel încât α . − ε > 0 . Atunci există o vecinătate V = (α − ε ,α + ε ) a punctului (α ,0 ) astfel încât oricare ar fi ( x, y ) ∈ V are loc inegalitatea

f ( x, y ) = xy 2 e x − y ≥ f (α ,0) = 0 . Rezultă, conform definiţiei, că (α ,0) este punct de minim local. • Pentru α . < 0 , fie ε > 0 astfel încât α . + ε < 0 . Atunci există o

vecinătate V = (α − ε , α + ε ) a punctului (α ,0) astfel încât oricare ar fi ( x, y ) ∈ V are loc inegalitatea f ( x, y ) = xy 2 e x − y ≤ f (α ,0) = 0 . Rezultă, conform definiţiei, că (α ,0) este punct de maxim local. • Pentru α . = 0 avem că în orice vecinătate (−ε , ε ) × U a punctului (0,0) există atât puncte în care f ( x, y ) = xy 2 e x − y ≤ f (0,0) = 0 , cât şi puncte în care f ( x, y ) = xy 2 e x − y ≥ f (0,0) = 0 . Prin urmare, conform definiţiei, rezultă că (0,0) nu este punct de extrem local, deci este punct şa. 9. Să se determine punctele de extrem local ale funcţiei:

(

)

f : R 2 → R, f (x, y ) = a x 2 + y 2 + 4 xy − 4 x − 4 y , unde a ∈ R . Rezolvare: Determinăm punctele staţionare. Avem că: ⎧ f ' ( x, y ) = 2ax + 4 y − 4 ⎧2ax + 4 y − 4 = 0 ⎪ x ⇔ ⇒⎨ ⎨ ' ⎩2ay + 4 x − 4 = 0 ⎪⎩ f y ( x, y ) = 2ay + 4 x − 4

⎧⎪ y = 2−ax 2 ⎨ 2 ⎪⎩ a − 4 x = 2a − 4 (1)

(

)

Cazul a) Dacă a ∈ R \ {± 2}, atunci x = 2 = y , deci

P

(

2 , 2 a+2 a+2

a+2

) punct staţionar.

⎛ 2a H ( x, y ) = ⎜⎜ ⎝4

(

)

4⎞ 2 ⎟ = H 2 , 2 ; ∆1 = 2a ; ∆ 2 = 4a − 16 . a+2 a+2 2a ⎟⎠

a +∞ 2 −∞ −2 0 - - - - - - - - - - - - - 0 + + + + + + + + + + + ∆1 + + + + +0 - - - - - - - - - - - - -0 + + + + + ∆2 Din tabelul de mai sus rezultă că: Dacă a ∈ (− ∞, 2 ) , atunci P 2 , 2 este punct de maxim local.

(a + 2

a+2

)

(a + 2

Dacă a ∈ (− 2, 2 ) \ {0}, atunci P 2 , 2

a+2

) este punct şa.

Dacă a = 0 , avem că ∆ 2 < 0 , deci, conform observaţiei 1 din breviarul teoretic, rezultă că P 2 , 2 este punct şa.

(a + 2

(a + 2

Dacă a ∈ (2, + ∞ ) , atunci P 2 , 2

a+2

a+2

)

) este punct de minim local.

Cazul b) Dacă a = 2 , atunci ecuaţia (1) devine: 0 = 0 , deci x = α , α ∈ R , y = 1 − α prin urmare M α (α ,1 − α ) punct staţionar. ⎛4 H (x, y ) = ⎜⎜ ⎝4

4⎞ ⎟ = H (α ,1 − α ) ; ∆1 = 4 , ∆ 2 = 0 , deci nu se poate 4 ⎟⎠

preciza natura punctului folosind matricea hessiană. d 2 f (( x, y ); (α ,1 − α )) = 4dx 2 + 4dy 2 + 8dxdy = 4(dx + dy )2 , care eset o funcţională pătratică semipozitiv definită, deci nu se poate afla natura punctului nici prin această metodă. În acest caz, vom aplica definiţia punctului de extrem. Avem că 2 2 f (α , 1 − α ) = −2 ; f ( x, y ) = 2 x + 2 y + 4 xy − 4 x − 4 y =

= 2(x + y − 1)2 − 2 ≥ −2, ∀( x, y ) ∈ R 2 , prin urmare (α , 1 − α ) este punct de minim global al funcţiei f . Cazul c) Dacă a = −2 , atunci ecuaţia (1) devine: 0 = −8 , deci funcţia nu are puncte staţionare. Presupunem că f are un punct de extrem local P (a, b ) . Deoarece f admite derivate parţiale în orice punct, conform propoziţiei din breviarul teoretic ar rezulta că

f x' (a,b ) = f y' (a,b ) = 0 , deci P (a, b ) ar fi punct staţionar, contradicţie. Prin urmare, pentru a = −2 funcţia nu are puncte de extrem local.

10. Să se determine punctele de extrem local ale funcţiei:

(

)

2 3

f : R 3 → R, f ( x, y, z ) = x 2 + y 2 + z 2 . Rezolvare: Etapa 1. Determinăm punctele staţionare. Pentru ( x, y, z ) ≠ (0,0,0) avem că: ⎧ 4x ⎪ f x' ( x, y, z ) = =0 ⎪ 3 x2 + y2 + z2 3 ⎪ ⎪ ' 4y , sistem care nu are soluţie. =0 ⎨ f y ( x, y , z ) = 2 2 2 ⎪ 33 x + y + z ⎪ 4z ⎪ f ' ( x, y , z ) = =0 ⎪ z 2 2 2 3 3 + + x y z ⎩

Pentru a calcula derivatele parţiale în punctul (0,0,0) vom folosi definiţia. 4

f x' (0,0,0)

f ( x,0,0) − f (0,0,0) x3 = lim = lim =0 x−0 x →0 x →0 x

f y' (0,0,0)

f (0, y,0) − f (0,0,0) y3 = lim = lim =0 y−0 y →0 x→0 y

4

4

f (0,0, z ) − f (0,0,0) z3 = lim = lim =0 z−0 z →0 x →0 z Obţinem că (0, 0, 0 ) este punct staţionar al funcţiei f . f z' (0,0,0)

Etapa 2. Stabilim natura punctului staţionar. 4x f x''2 (0,0,0) = lim

x→0

f x' ( x,0,0) − f x' (0,0,0) x−0

3 1 3 x2 4 = lim = 3 x 3 x→0 x→0 x 2

= lim

= +∞ ∉ R , deci funcţia f nu este de două ori derivabilă în raport cu

x , prin urmare nu putem aplica algoritmul prezentat în breviarul teoretic pentru a determina natura punctului staţionar. Conform observaţiei din breviarul teoretic, în aceste condiţii vom aplica definiţia punctelor de extrem.

Observăm că f ( x, y, z ) ≥ f (0,0,0), ∀( x, y, z ) ∈ R 3 , aşadar punctul (0,0,0) este punct de minim global al funcţiei f . 11. Să se determine punctele de extrem local ale funcţiei:

(

)

1 3

f : R 3 → R, f ( x, y, z ) = x 2 + y 2 + z 2 .

Rezolvare: Etapa 1. Determinăm punctele staţionare. Pentru ( x, y, z ) ≠ (0,0,0) avem că: ⎧ 2x ⎪ f x' ( x, y , z ) = =0 ⎪ 3 (x 2 + y 2 + z 2 )2 3 ⎪ ⎪ ' 2y =0 ⎨ f y ( x, y , z ) = ⎪ 33 ( x 2 + y 2 + z 2 ) 2 ⎪ 2z ⎪ f ' ( x, y , z ) = =0 z ⎪ 3 (x2 + y 2 + z 2 )2 3 ⎩

, sistem care nu are soluţie.

Pentru a calcula derivatele parţiale în punctul (0,0,0) vom folosi definiţia. Avem că: 2

f ( x,0,0) − f (0,0,0) x3 1 = lim = lim 3 , limită x−0 x →0 x →0 x x →0 x care nu există. Rezultă că funcţia nu are derivate parţiale în punctul (0,0,0) . Obţinem că funcţia nu are puncte staţionare, prin urmare nu putem aplica algoritmul prezentat în breviarul teoretic. În aceste condiţii, vom aplica definiţia punctelor de extrem. f x' (0,0,0) = lim

Observăm că f ( x, y, z ) ≥ f (0,0,0), ∀( x, y, z ) ∈ R 3 , aşadar punctul (0,0,0) este punct de minim global al funcţiei f . 12. Să se determine valorile parametrilor a, b, c ∈ R astfel încât

funcţia f : R 2 → R, f ( x, y) = x 3 + 3xy 2 + ax + by + c să admită în (− 2, − 1) un punct de maxim local, în care valoarea funcţiei să fie egală cu -30. Rezolvare: Deoarece (−2,−1) este punct de extrem local, conform propoziţiei ⎧ f (−2, − 1) = 0 . din breviarul teoretic rezultă că ⎪⎨ x ' '

⎪⎩ f y (−2, − 1) = 0

Avem că: ⎧ f ' ( x, y ) = 3 x 2 + 3 y 2 + a ⎧ f ' ( −2,−1) = a + 15 ⎪ x ⎪ x . ⇒⎨ ⎨ ' ' ⎪⎩ f y ( −2,−1) = b + 12 ⎪⎩ f y ( x, y ) = 6 xy + b ⎧a + 15 = 0 ⇒ a = −15 . Rezultă ⎨ ⎩b + 12 = 0 ⇒ b = −12

Verificăm dacă punctul staţionar (− 2, − 1) este punct de extrem local, folosind matricea hessiană. ⎛ 6x 6 y ⎞ ⎛ − 12 − 6 ⎞ ⎟⎟ ⇒ H (−2,−1) = ⎜⎜ ⎟⎟ ; avem că H ( x, y ) = ⎜⎜ ⎝ 6 y 6x ⎠ ⎝ − 6 − 12 ⎠ ∆1 = −12 < 0 şi ∆ 2 = 108 > 0 , rezultă că (− 2, − 1) este punct de maxim local. Din condiţia f (−2,−1) = −30 rezultă − 14 − 2a − b + c = −30 ⇒ c = −58 . Am obţinut că sunt îndeplinite cerinţele din enunţ pentru a = −15, b = −12, c = −58

13. Să se determine parametrii a, b, c ∈ R astfel încât funcţia

f : R 2 → R, f ( x, y) = 3x 2 y + y 3 + ax + by + c să admită în (2,1) un punct de extrem local. Rezolvare: Deoarece (2,1) este punct de extrem local, conform propoziţiei din ⎧ f ( 2,1) = 0 breviarul teoretic rezultă că ⎪⎨ x . ' '

⎪⎩ f y ( 2,1) = 0

Avem că: ⎧ f ' ( x, y ) = 6 xy + a ⎪ x . ⎨ ' 2 2 f x y = x + y + b ( , ) 3 3 ⎪⎩ y ⎧12 + a = 0 ⇒ a = −12 . Rezultă ⎨ ⎩15 + b = 0 ⇒ b = −15

Verificăm dacă punctul staţionar (2,1) este punct de extrem local, folosind matricea hessiană. ⎛ 6 y 6x ⎞ ⎛ 6 12 ⎞ ⎟⎟ ⇒ H (2,1) = ⎜⎜ ⎟ ; deoarece ∆1 = 6 > 0 H ( x, y ) = ⎜⎜ 6 ⎟⎠ ⎝ 6x 6 y ⎠ ⎝12 şi ∆ 2 = −108 < 0 , rezultă că (2,1) este punct şa. Prin urmare, nu există a, b, c ∈ R astfel încât funcţia din enunţ să admită în (2,1) un punct de extrem local.

PROBLEME PROPUSE

Să se determine punctele de extrem local ale funcţiilor: 1. f ( x, y ) = x 3 + y 3 − 3x − 12 y + 1 R: (1, 2 ) punct de minim local; (− 1, − 2) punct de maxim local.

f ( x, y ) = x 2 + y 2 − 4 x − 2 y + 4

2. 3.

f ( x, y ) = x 2 + y 2 + xy − 3 x − 3 y + 2

4.

f ( x, y ) = x 2 + y 2 + 2 xy − 6 x − 4 y + 6

5. 6.

f ( x, y ) = x 3 + y 3 + 3xy + 33 f ( x, y ) = xy(5 − x − y )

7. f ( x, y ) = x 4 + y 4 − 4 xy R: (1, 1) şi (− 1, − 1) sunt puncte de minim local. 8. f ( x, y ) = 3 x 2 y + y 3 − 12 x − 15 y + 11 R: (1, 2 ) punct de minim local; (− 1, − 2) punct de maxim local. 9. f ( x, y ) = xy( x + y − 3) R: (1, 1) punct de minim local. 10. f ( x, y ) = x 2 + xy + y 2 − x − 2 y R: (0, 1) punct de minim local. 11. f ( x, y ) = ( x − 1) 2 + 2 y 2 2 2 12. f ( x, y ) = ( x + y ) ⋅ e − ( x + y )

(

)

(2 2 )

R: − 1 , − 1 punct de minim local; 1 , 1 punct de maxim local. 2

2

13. f ( x, y ) = xy ln( x 2 + y 2 ) R: ⎛⎜ 1 , 1 ⎞⎟ , ⎛⎜ − ⎝ 2 e 2e ⎠ ⎝ ⎛ 1 , − 1 ⎞, ⎜ ⎟ 2e ⎠ ⎝ 2e

, − 1 ⎞⎟ puncte de minim local; 2e ⎠ ⎛ − 1 , 1 ⎞ puncte de maxim local. ⎜ ⎟ 2e 2e ⎠ ⎝ 1 2e

14. f ( x, y ) = 2 x 3 + 2 y 3 − 3 xy + 3 15. f ( x, y ) = 3 xy 2 − x 3 − 15 x − 36 y + 9 R: Funcţia nu are puncte de extrem local. 16. f ( x, y ) = x 3 + y 2 + 3 xy + 3 x + y

17. f ( x, y ) = ( x − 1) 2 − 2 y 2 18. f ( x, y ) = x 4 + y 3 − 8 x 3 + 18 x 2 − 3 y 2 − 8 x − 3 y + 8

( (1 −

)(

)

R: 1 + 2 , 2 + 3 , 1 + 2 , 2 − 3 puncte de minim local;

)

2 , 2 punct de maxim local.

2 2 19. f ( x, y ) = ( x 2 + y 2 ) ⋅ e − ( x + y )

20. f ( x, y ) = x 3 + y 3 − 6 x 2 − 9 y 2 + 9 x + 15 y x y 21. f ( x, y ) = + ; x ≠ 0, y ≠ 0 y x x y 22. f ( x, y ) = + + y 2 − 4 y; x ≠ 0, y ≠ 0 y x 1+ x − y 23. f ( x, y ) = 1+ x2 + y2 50 20 24. f ( x, y ) = xy + + ; x, y > 0 x y R: (5, 2) punct de minim local. 25. f ( x, y ) = x 3 y 2 (6 − x − y ); x, y > 0 26. f ( x, y ) = x 4 + y 4 − 2 x 2 + 4 xy − 2 y 2

(

) (

R: − 2 , 2 şi

)

2 , − 2 puncte de minim local.

(

27. f ( x, y ) = e 2 x x + y 2 + 2 y

)

28. f ( x, y ) = x 2 − xy + y 2 − 2 x + y 29. f ( x, y ) = x 2 + xy + y 2 − 2 x − y R: P(1, 0 ) punct de minim local. 30. f ( x, y ) = x 2 + ay 2 − 4 x − 2 y + 2 , a ∈ R 31. f ( x, y ) = x 2 + y 2 + axy − 2 x − 2 y + 2 , a ∈ R

32. f ( x, y ) = ax 2 + ay 2 + 4 xy − 8 x − 10 y + 12 , a ∈ R 33. f ( x, y ) = ax 2 + ay 2 + xy − 4 x − 4 y + 4 , a ∈ R 34. f ( x, y, z ) = x 2 + y 2 + z 3 + 2 x + 12 yz + 2 R: (− 1, − 144, 24) punct de minim local. 35. f ( x, y, z ) = x 2 + y 2 + z 2 + xy + xz + yz − 4 x − 4 y − 4 36. f ( x, y , z ) = x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 + 6 xy − 6 xz + 8 yz − 2 x − 18 y − 8 z R: Nu are puncte de extrem. 37. f ( x, y, z ) = x 2 + y 2 + z 2 − 2 x − 4 y − 6 z 38. f ( x, y, z ) = x +

y2 z2 2 + + ; x > 0, y > 0, z > 0 4x y z

(2 ) 3 1 y x z 39. f : (R * ) → R, f ( x, y, z ) = + + + . x 4 z y

R: 1 ,1, 1 punct de minim local.

R:

( 2 , 2 2 , 2) punct de minim local; (− 2 , − 2 2 , 2 ) punct de maxim local.

40. f ( x, y, z ) = y 2 + z 2 + xy + yz + 3 x + y + z R: (− 8, 5, − 3) punct de minim local. 41. f ( x, y, z ) = xyz − 6 x − 3 y − 2 z 42. f ( x, y, z ) = x 3 + y 3 + z 3 + 3 xy + 3 xz + 3 yz − 12 x − 12 y − 12 z 43. f ( x, y, z ) = xyz + xy + xz + yz − 5 x − 7 y − 11z 44. f ( x, y, z ) = x 2 + y 2 + z 2 + xy + xz + yz 45. f ( x, y, z ) = x 3 − 3 x 2 + y 2 + z 2 + yz − 7 y − 10 z 46. f ( x, y, z ) = 16 − ( x + 1) 2 − ( y + 2) 2 − ( z + 3) 2 47. f ( x, y, z ) = x( y + 1) z ; x, y, z > 0

48. f ( x, y, z ) = x 2 − y 2 + z 2 + xy + xz + yz + 6 x − 4 y − 4 z 49. f ( x, y, z ) = x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 + xy + xz + yz − 7 x − 12 y − 21z 2 2 50. f ( x, y, z ) = ( x + z 2 )e x( y + z +1)

(

)

R: − 1, 0, 0 punct de minim local 2

51. f ( x, y, z ) = sin x + sin y + sin z − sin( x + y + z )

(2

)

R: π , π , π punct de maxim local. 2

2

52. f ( x, y, z ) = ax 2 + y 2 + z 2 + xy + xz + yz − 7 x − 8 y − 9 z 53. f : R → R, f ( x, y) = x + y R: (0,0) este punct de minim global al funcţiei f . 54. f : R 2 → R, f ( x, y) = x 3 + y 2 R: Funcţia nu are puncte de extrem local. 2

2

2

55. f : R 2 → R, f ( x, y) = x 2 ye y − x R: ( −2,−1) este punct şa; pentru α. > 0 , (0,α ) este punct de minim local; pentru α . < 0 , (α , 0 ) este punct de maxim local. 56. f ( x, y ) = − x 2 − y 4 R: (0, 0 ) este punct de maxim global. 57. f ( x, y ) = x 4 + y 4 − x 2 − y 2 R: (0, 0 ) punct de maxim local şi ⎛⎜ − 1 , − 1 ⎞⎟ , ⎛⎜ − 1 , − 1 ⎞⎟ , 2 2⎠ ⎝ 2 2⎠ ⎝ ⎛ 1 , − 1 ⎞ , ⎛ 1 , 1 ⎞ puncte de minim local. ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2⎠ ⎝ 2 2⎠ ⎝ 2 58. Să se determine valorile parametrilor a , b , c ∈ R astfel încât funcţia f : R 2 → R, f ( x, y) = 3xy 2 + x 3 + ax + by + c să admită în (1,2) un punct de extrem local, în care valoarea funcţiei să fie -30. R: a = −15 ; b = −12 ; c = −4 .

8.2.2.EXTREME CONDIŢIONATE (CU LEGĂTURI) BREVIAR TEORETIC Metoda multiplicatorilor lui Lagrange pentru determinarea punctelor de extrem local condiţionat ale unei funcţii de mai multe variabile Pentru a determina punctele de extrem local ale funcţiei ⎧ g1 ( x1 , x 2 ,..., x n ) = 0 ⎪ g (x , x ,..., x ) = 0 ⎪ n f : A ⊂ R n → R , cu condiţiile (legăturile): ⎨ 2 1 2 ⎪........................... ⎪⎩ g k (x1 , x 2 ,..., x n ) = 0 trebuie parcurse următoarele etape: Etapa 1. Scriem funcţia lui Lagrange: Φ ( x1 , x2 ,..., x n , λ1 , λ2 ,..., λk ) =

= f ( x1 , x2 ,..., xn ) + λ1 g1 ( x1 , x2 ,..., xn ) + ... + λk g k ( x1 , x2 ,..., xn ) Etapa 2. Determinăm punctele staţionare ale funcţiei Φ . Etapa 3. Stabilim care dintre punctele staţionare sunt puncte de extrem local condiţionat pentru funcţia f . Pentru fiecare punct

(

)

staţionar x10 ,..., x n0 ; λ10 ,..., λ0k al funcţiei Φ , se înlocuiesc valorile

λ10 ,..., λ0k în funcţia Φ , rezultând o funcţie de n variabile, având

( ) ordinul doi d 2 Φ (x1 ,..., xn ; x10 ,..., xn0 ) a funcţiei Φ (x1 ,..., xn ; λ10 ,..., λ0k ).

punctul staţionar x10 ,..., x n0 . Determinăm semnul diferenţialei de

•

(

)

Dacă d 2 Φ x1 ,..., x n ; x10 ,..., x n0 < 0 (funcţionala

(

)

(

)

(

)

(

)

d 2 Φ x1 ,..., x n ; x10 ,..., x n0 este negativ definită), atunci x10 ,..., x n0 este punct de maxim local condiţionat.

•

(

)

Dacă d 2 Φ x1 ,..., x n ; x10 ,..., x n0 > 0 (funcţionala

(

)

d 2 Φ x1 ,..., x n ; x10 ,..., x n0 este pozitiv definită), atunci x10 ,..., x n0 este punct de minim local condiţionat.

•

În altă situaţie, se diferenţiază condiţiile în punctul x10 ,..., x n0

şi se rezolvă sistemul obţinut în raport cu dx1 , dx 2 ,..., dx n , exprimând dx1 , dx 2 ,..., dxk în funcţie de dx k +1 , ..., dx n ; apoi se

(

)

înlocuiesc rezultatele găsite în expresia d 2 Φ x1 ,..., x n ; x10 ,..., xn0 şi

se vede dacă punctul este de maxim sau de minim local. •

(

)

Dacă funcţionala d 2 Φ x1 ,..., x n ; x10 ,..., x n0 este nedefinită,

(

)

atunci x10 ,..., x n0 este punct şa. PROBLEME REZOLVATE 1. Să se determine punctele de extrem local ale funcţiei: f : R 2 → R, f ( x, y) = x 2 + y 2 − 3x − 4 y + 3 , care verifică relaţia x + 2y = 3. Rezolvare: Metoda I. (metoda multiplicatorilor lui Lagrange) Relaţia x + 2 y = 3 ⇔ x + 2 y − 3 = 0 . Fie g : R 2 → R, g ( x, y) = x + 2 y − 3 .

Etapa 1. Scriem funcţia lui Lagrange: Φ( x, y, λ ) = f ( x, y ) + λg ( x, y ) = x 2 + y 2 − 3x − 4 y + 3 + λ ( x + 2 y − 3) . Etapa 2. Determinăm punctele staţionare ale funcţiei Φ : ⎧Φ 'x ( x, y, λ ) = 2 x − 3 + λ ⎪ ⎪ ' ⎨Φ y ( x, y, λ ) = 2 y − 4 + 2λ ⎪ ' ⎪⎩Φ λ ( x, y, λ ) = x + 2 y − 3 3−λ ⎧ ⎪x = 2 ⎧2 x − 3 + λ = 0 ⎧x = 1 ⎪ 4 − 2λ ⎪ ⎪ ⎪ ⇒ ⎨2 y − 4 + 2λ = 0 ⇒ ⎨ y = ⇒ ⎨y = 1, 2 ⎪ ⎪λ = 1 ⎪x + 2 y − 3 = 0 ⎩ ⎩ 4 − 2λ ⎪3 − λ + − = 2 3 0 ⎪ 2 2 ⎩ deci (1,1,1) este punct staţionar al funcţiei Φ . Etapa 3. Pentru λ = 1 obţinem Φ( x, y,1) = x 2 + y 2 − 3 x − 4 y + 3 + ( x + 2 y − 3) = Φ ( x, y ) şi P(1,1) este punct staţionar condiţionat al funcţiei f . Stabilim natura acestui punct, în funcţie de semnul diferenţialei de ordinul doi a funcţiei Φ în P(1,1) , notată d 2 Φ ( x, y;1,1) . ' ( x, y ) = 0 ; Avem: Φ 'x' 2 ( x, y ) = 2 ; Φ 'y' 2 ( x, y ) = 2 ; Φ 'xy

' (1,1) = 0 . Rezultă: Φ 'x' 2 (1,1) = 2 ; Φ 'y' 2 (1,1) = 2 ; Φ 'xy ' d 2 Φ ( x, y;1,1) = Φ 'x' 2 (1,1)dx 2 + Φ 'y' 2 (1,1)dy 2 + 2Φ 'xy (1,1)dxdy =

= 2dx 2 + 2dy 2 > 0 , prin urmare P (1,1) este punct de minim local condiţionat.

Metoda II. (metoda reducerii) Din relaţia x + 2 y = 3 obţinem x = 3 − 2 y , iar funcţia devine f ( x, y ) = f (3 − 2 y, y ) = (3 − 2 y ) 2 + y 2 − 3(3 − 2 y ) − 4 y + 3 = = 5 y 2 − 22 y + 21 = h( y ) . Am obţinut o funcţie de o singură variabilă, h : R → R, h( y) = 5 y 2 − 10 y + 3 , care este o funcţie de gradul al doilea b şi admite pe y = − = 1 ca punct de minim local. Rezultă că 2a x = 1 , prin urmare P(1,1) este punct de minim local condiţionat al funcţiei f . Observaţie. Metoda reducerii se poate aplica numai în cazul în care legăturile sunt date de funcţii liniare. 2. Să se determine punctele de extrem local ale funcţiei: f : R 3 → R, f ( x, y, z ) = 2 x + y − 2 z , care verifică relaţia x2 + y2 + z2 = 9 .

Rezolvare: Vom aplica metoda multiplicatorilor lui Lagrange. Relaţia x 2 + y 2 + z 2 = 9 ⇔ x 2 + y 2 + z 2 − 9 = 0 Fie g : R 3 → R, g ( x, y, z ) = x 2 + y 2 + z 2 − 9 .

Etapa 1. Scriem funcţia lui Lagrange: Φ( x, y, z , λ ) = f ( x, y, z ) + λg ( x, y, z ) = 2 x + y − 2 z + λ ( x 2 + y 2 + z 2 ) . Etapa 2. Determinăm punctele staţionare ale funcţiei Φ : ⎧Φ 'x ( x, y, z , λ ) = 2 + 2λx ⎧2 + 2λx = 0 ⎪ ⎪1 + 2λy = 0 ' ⎪⎪Φ y ( x, y, z , λ ) = 1 + 2λy ⎪ ⇒⎨ ⇒ ⎨ − 2 + 2λz = 0 ⎪Φ 'z ( x, y, z , λ ) = −2 + 2λz ⎪ ⎪ ' ⎪x 2 + y 2 + z 2 − 9 = 0 ⎪⎩Φ λ ( x, y, z , λ ) = x 2 + y 2 + z 2 − 9 ⎩

⎧x = − 1 λ ⎪ ⎪y = − 1 ⎪ 2λ ⇒⎨ ⇒λ =±1. 2 1 ⎪z = λ ⎪ ⎪ 12 + 1 2 + 12 = 9 4λ λ ⎩λ 1 Pentru λ = ⇒ P1 ( −2,−1,2) punct staţionar condiţionat al funcţiei f . 2

Pentru λ = − 1 ⇒ P2 (2,1,−2) punct staţionar condiţionat al funcţiei f . 2 Etapa 3. • Pentru λ = 1 obţinem: 2

Φ ( x, y , z , 1 ) 2

= 2 x + y − 2 z + 1 ( x 2 + y 2 + z 2 ) = Φ( x, y, z ) şi 2

P1 (−2,−1,2) este punct staţionar condiţionat al funcţiei f . Stabilim natura acestui punct, în funcţie de semnul diferenţialei de ordinul doi a funcţiei Φ în P1 (−2,−1,2) .

Φ 'x' 2 ( x, y, z ) = 1 ;

Φ 'y' 2 ( x, y, z ) = 1 ; Φ 'z' 2 ( x, y, z ) = 1 ;

' ' ' Φ 'xy ( x, y, z ) = Φ 'xz ( x, y, z ) = Φ 'yz ( x, y, z ) = 0 . Obţinem:

d 2 Φ ( x, y, z;−2,−1, 2) = dx 2 + dy 2 + dz 2 > 0 , prin urmare P1 (−2,−1, 2) este punct de minim local condiţionat. •

Pentru λ = − 1 obţinem

2 1 Φ ( x, y , z , ) = 2 x + y − 2 z − 1 ( x 2 + y 2 + z 2 ) = Φ ( x, y , z ) 2 2

şi

P2 (2,1,−2) este punct staţionar condiţionat al funcţiei f . Stabilim natura acestui punct, în funcţie de semnul diferenţialei de ordinul doi a funcţiei Φ în P2 (2,1,−2) .

Φ 'x' 2 ( x, y, z ) = −1 ;

Φ 'y' 2 ( x, y, z ) = −1 ; Φ 'z' 2 ( x, y, z ) = −1 ;

' ' ' Φ 'xy ( x, y, z ) = Φ 'xz ( x, y, z ) = Φ 'yz ( x, y, z ) = 0 . Rezultă:

d 2 Φ ( x, y, z;2,1,−2) = − dx 2 − dy 2 − dz 2 < 0 , deci P2 (2,1,−2) este punct de maxim local condiţionat.

2. Să se determine punctele de extrem local ale funcţiei: f : R 3 → R, f ( x, y, z ) = xyz , care verifică relaţia xy + yz + zx = 12 . Rezolvare: Vom aplica metoda multiplicatorilor lui Lagrange. Relaţia xy + yz + zx = 12 ⇔ xy + yz + zx − 12 = 0 . Fie g : R 3 → R, g ( x, y, z ) = xy + yz + zx − 12 . Etapa1. Scriem funcţia lui Lagrange: Φ( x, y, z , λ ) = f ( x, y, z ) + λg ( x, y, z ) = xyz + λ ( xy + yz + zx − 12) . Etapa2. Determinăm punctele staţionare ale funcţiei Φ : ⎧Φ 'x ( x, y, z , λ ) = yz + λy + λz (1) ⎧ yz + λy + λz = 0 ⎪ ⎪ xz + λx + λz = 0 ⎪⎪Φ 'y ( x, y, z , λ ) = xz + λx + λz (2) ⎪ ⇒ ⎨ ⎨ ' ⎪Φ z ( x, y, z , λ ) = xy + λx + λy ⎪ xy + λx + λy = 0 (3) ⎪ ' ⎪⎩ xy + yz + zx = 12 ⎩⎪Φ λ ( x, y, z , λ ) = xy + yz + zx − 12 (4)

(1) (2) (3) (4)

x ⋅ (1) − y ⋅ (2) ⇒ λz ( x − y ) = 0 ⇒ λ = 0 sau z = 0 sau x = y . ⎧ yz = 0 ⎪ xz = 0 ⎪ a ) Dacă λ = 0 ⇒ ⎨ , contradicţie. ⎪ xy = 0 ⎪⎩ xy + yz + zx = 12

⎧λy = 0 ⎪λx = 0 ⎪ b) Dacă z = 0 ⇒ ⎨ ; din prima ecuaţie rezultă ⎪ xy + λx + λy = 0 ⎪⎩ xy = 12 λ = 0 sau y = 0 . ⎧ xy = 0 b1 ) Pentru λ = 0 ⇒ ⎨ , contradicţie. ⎩ xy = 12 b2 ) Pentru y = 0 ⇒ x ⋅ 0 = 12 , contradicţie. Deci x = y . Analog, folosind relaţiile (2) şi (3), rezultă că y = z . Prin urmare x = y = z şi din relaţia (4) obţinem 3x 2 = 12 ⇒ x = ±2 = y = z , λ = m 1 . Avem punctele staţionare condiţionate P1 (2,2,2) şi P2 (−2,−2,−2) . Etapa3. • Pentru λ = −1 obţinem Φ( x, y, z , λ ) = xyz − ( xy + yz + zx − 12) şi P1 (2,2,2) este punct staţionar condiţionat al funcţiei f . Stabilim natura acestui punct, în funcţie de semnul diferenţialei de ordinul doi a funcţiei Φ în P1 (2,2,2) . Φ 'x' 2 ( x, y, z ) = Φ 'y' 2 ( x, y, z ) = Φ 'z' 2 ( x, y, z ) = 0 ; ' ' ' Φ 'xy ( x, y, z ) = z − 1; Φ 'xz ( x, y, z ) = y − 1; Φ 'yz ( x, y , z ) = x − 1 ⇒ ' ' ' Φ 'xy (2,2,2) = 1; Φ 'xz (2,2,2) = 1; Φ 'yz (2,2,2) = 1 ⇒

d 2 Φ ( x, y, z;2,2,2) = dxdy + dydz + dzdx (*).

Pentru a stabili semnul acestei funcţionale, diferenţiem legătura g ( x, y, z ) = 0 şi obţinem dg ( x, y, z;2,2,2) = 0 . Avem că: g ( x, y, z ) = xy + yz + zx − 12 ; g x' ( x, y, z ) = y + z ; g 'y ( x, y, z ) = x + z ; g z' ( x, y, z ) = x + y ⇒ g x' (2,2,2) = g 'y (2,2,2) = g z' (2,2,2) = 4 , prin urmare relaţia dg ( x, y, z;2,2,2) = 0 devine 4dx + 4dy + 4dz = 0 ; de aici obţinem dz = −dx − dy şi, prin înlocuire în (*), rezultă: d 2 Φ ( x, y, z;2,2,2) = − dx 2 − dxdy − dy 2 = −(dx + 1 dy ) 2 − 3 dy 2 < 0 2

4

, deci P1 (2,2,2) este punct de maxim local condiţionat. • Pentru λ = 1 obţinem Φ( x, y, z , λ ) = xyz + ( xy + yz + zx − 12) şi P2 (−2,−2,−2) este punct staţionar condiţionat al funcţiei f . Stabilim natura acestui punct, în funcţie de semnul diferenţialei de ordinul doi a funcţiei Φ în P2 (−2,−2,−2) . Φ 'x' 2 ( x, y, z ) = Φ 'y' 2 ( x, y, z ) = Φ 'z' 2 ( x, y, z ) = 0 ; ' ' ' Φ 'xy ( x, y, z ) = z + 1; Φ 'xz ( x, y, z ) = y + 1; Φ 'yz ( x, y , z ) = x + 1 ⇒ ' ' ' Φ 'xy (−2,−2,−2) = −1; Φ 'xz (−2,−2,−2) = −1; Φ 'yz (−2,−2,−2) = −1 ⇒

d 2 Φ ( x, y, z;−2,−2,−2) = −dxdy − dydz − dzdx (**). Pentru a stabili semnul acestei funcţionale, diferenţiem legătura g ( x, y, z ) = 0 şi obţinem dg ( x, y, z;−2,−2,−2) = 0 . Avem că: g ( x, y, z ) = xy + yz + zx − 12 ; g x' ( x, y, z ) = y + z ; g 'y ( x, y, z ) = x + z ; g z' ( x, y, z ) = x + y ⇒ g x' (−2,−2,−2) = g 'y (−2,−2,−2) = g 'z (−2,−2,−2) = −4 , prin

urmare relaţia dg ( x, y, z;−2,−2,−2) = 0 devine − 4dx − 4dy − 4dz = 0 ⇒ dz = −dx − dy şi, prin înlocuire în (**), rezultă: d 2 Φ ( x, y, z;2,2,2) = dx 2 + dxdy + dy 2 = (dx + 1 dy ) 2 + 3 dy 2 > 0 , 2

4

deci P2 (−2,−2,−2) este punct de minim local condiţionat.

PROBLEME PROPUSE Să se determine punctele de extrem local condiţionat ale funcţiilor: 1. f : R 2 → R, f ( x, y) = x 2 + y 2 − 3x − 4 y + 3 , cu condiţia x + 2 y = 3 ; R: (1,1) punct de minim local condiţionat.

2. f : R 3 → R, f ( x, y, z ) = 2 x + y − 2 z , cu condiţia x 2 + y 2 + z 2 = 9 . R: (− 2, − 1, 2 ) punct de minim local condiţionat. (2,1, − 2) punct de maxim local condiţionat. 3. f : R 3 → R, f ( x, y, z ) = xyz , cu condiţia xy + yz + zx = 12 . R: (2, 2, 2) punct de maxim local condiţionat; (−2,−2,−2) punct de minim local condiţionat. 4. f ( x, y, z ) = xyz cu condiţia x + y + z = 3 . R: (1, 1, 1) punct de maxim local condiţionat. x y 5. f ( x, y ) = x 2 + y 2 cu condiţia − = 1 . 2 3 6. f ( x, y ) = x 2 + xy + y 2 + x − y + 1 cu condiţia x 2 + y 2 = 1 . 7. f ( x, y, z ) = xyz cu condiţiile x + y + z = 5; xy + yz + zx = 8 .

(3

) (3

) (3

)

R: 7 , 4 , 4 , 4 , 7 , 4 , 4 , 4 , 7 puncte de maxim local 3 3

3

3

3 3

condiţionat; (1, 2, 2) , (2, 1, 2 ) , (2, 2, 1) puncte de minim local condiţionat. 8. f ( x, y, z ) = xyz cu condiţiile x + y − z = 3; x − y − z = 8 .

9. f ( x, y ) = 6 − 4 x − 3 y cu condiţia x 2 + y 2 = 1 . 10. f ( x, y ) = xy cu condiţia x + y = 1 11. f ( x, y ) = x + 2 y cu condiţia x 2 + y 2 = 5 R: (1, 2 ) punct de maxim local condiţionat; (− 2, − 2 ) punct de minim local condiţionat. x y 12. f ( x, y ) = x 2 + y 2 cu condiţia + = 1 2 3 13. f ( x, y ) = cos 2 x + cos 2 y cu condiţia y − x =

π

4 14. f ( x, y, z ) = x − 2 y + 2 z cu condiţia x + y + z 2 = 9 R: (1, − 2, 2 ) punct de maxim local condiţionat; (− 1, 2, − 2) punct de minim local condiţionat. 2

2

15. f : R 3 → R, f ( x, y, z ) = xyz , care verifică relaţia x + y + z = 3 16. f : R 2 → R, f ( x, y) = x + 2 y, x 2 + y 2 = 5 17. f : R 3 → R, f ( x, y, z ) = x + 2 y − 2 z, x 2 + y 2 + z 2 = 16

(3 3 3 ) (− 43 , − 83 , 83 ) punct de minim local condiţionat.

R: 4 , 8 , − 8 punct de maxim local condiţionat;

18. f : R 3 → R, f ( x, y, z ) = xy + xz + yz, xyz = 1 R: (1, 1, 1) punct de minim local condiţionat. 19. f ( x, y, z ) = x + y + z,

1 1 1 + + = 1; x ≠ 0, y ≠ 0, z ≠ 0 x y z

R: (3, 3, 3) punct de minim local condiţionat. 20. f ( x, y) = x 2 + y 2 − 4 x − 4 y + 5, 2 x + y = 3 21. f ( x, y) = x 2 + y 2 + xy + x + y + 1, x − y = 0 22. f ( x, y) = xy, x + y = 1 23. f ( x, y, z ) = x 2 + y 2 + z 2 + xy + xz + yz, x + y + z = 3 24. f ( x, y, z ) = x 2 y 3 z 4 , x + 2 y + 3 z = 6

25. f ( x, y, z ) = xy + xz + yz, x + y + z = 3 26. f ( x, y, z ) = xy + xz + yz, xyz = 8 27. f ( x, y) = ( x − 1) 2 + ( y − 2) 2 , x 2 + y 2 = 1 28. f ( x, y) = x + y,

1 1 1 + 2 = 2 ; x ≠ 0, y ≠ 0, a ≠ 0 2 x y a

x y + =1 5 7 30. f ( x, y, z ) = xy + xz + yz, x + y + z = 12 31. f ( x, y, z ) = xyz , cu condiţiile x + y + z = 5, xy + xz + yz = 8

29. f ( x, y ) = x 2 + y 2 ,

32. f ( x, y , z ) = x + y + z , cu condiţiile x − y + z = 2, x 2 + y 2 + z 2 = 4

(3

)

R: 4 , 2 , 4 punct de maxim local condiţionat; 3 3

(0, − 2, 0) punct de minim local condiţionat.

33. f ( x, y, z ) = x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 + 3 xy + xz + 2 yz , cu condiţiile 2 x + y + z = 4, x + 2 y + z = 4 34. f ( x, y, z ) = xyz , cu condiţiile x + y − z = 5, x − y + z = 2

8.3. METODA CELOR MAI MICI PĂTRATE BREVIAR TEORETIC •

Tipurile de ajustare frecvent utilizate sunt: Ajustare liniară: y = ax + b

•

Ajustare parabolică: y = ax 2 + bx + c

•

Ajustare hiperbolică: y = a + b ; cu notaţia z = 1 se ajunge la x

x

ajustare liniară

• Ajustare după o funcţie exponenţială: y = b ⋅ a x ; prin logaritmare se obţine: ln y = ln b + x ln a sau z = A + Bx şi se ajunge tot la o ajustare liniară PROBLEME REZOLVATE 1. Consumul de materii prime al unei societăţi comerciale în primele 5 luni ale anului, exprimat în milioane lei, a fost: Luna ianuarie februarie martie aprilie mai Consum(mil. lei) 2,7 2,5 3 3,9 4,1 Să se ajusteze datele după o dreaptă şi să se facă o prognoză pentru luna iulie. Rezolvare: Tabelul precedent poate fi reprezentat sub forma: -2 -1 0 1 2 xi 2,5 3 3,9 4,1 yi 2,7 Considerăm funcţia de ajustare f ( x) = ax + b .

Suma pătratelor erorilor este dată de funcţia: 5

5

i =1

i =1

F (a, b) = ∑ [ f ( xi ) − yi ]2 = ∑ [axi + b − yi ]2 . Punem condiţia ca suma pătratelor erorilor să fie minimă. ⎧⎪ Fa' (a, b) = 0 ⎨ ' ⎪⎩ Fb (a, b) = 0 5 ⎧ ' (axi + b − yi )xi = F ( a , b ) 2 ∑ ⎪ a ⎪ i =1 ; va rezulta sistemul: ⎨ 5 ⎪ F ' (a, b) = 2 (ax + b − y ) ∑ i i ⎪ b i =1 ⎩ 5 5 ⎧ 5 2 ⎪ a ∑ xi + b ∑ x i − ∑ xi y i = 0 ⎪ i =1 i =1 i =1 (*) ⎨ 5 5 ⎪a x + 5b − y = 0 ∑ i ⎪ ∑ i i =1 ⎩ i =1

xi -2 -1 0 1 2 5

∑ xi = 0

i =1

xi2

yi 2,7 2,5 3 3,9 4,1

xi y i 4 1 0 1 4

5

5

i =1

i =1

∑ yi = 16, ∑ xi2 = 10

Sistemul (*) este echivalent cu: ⎧10 ⋅ a + 0 ⋅ b = 4,2 ⎧a = 0,42 ⇒⎨ . ⎨ ⎩0 ⋅ a + 5 ⋅ b = 16,2 ⎩b = 3,24

-5,4 -2,5 0 3,9 8,2 5

∑ xi y1 = 4,2

i =1

Am obţinut dreapta de ajustare f ( x) = 0,42 x + 3,24 . Pentru o prognoză pe luna iulie vom considera x = 4 şi vom obţine f (4) = 4,92 milioane lei..

2. Volumul vânzărilor unui produs în timp de 7 luni a înregistrat următoarea evoluţie: Luna ian feb. martie aprilie mai iunie iulie . Volumul 30 54 76 82 70 50 45 vânzărilor (mil. lei) Să se ajusteze datele după o parabolă şi să se facă o prognoză pentru luna următoare. Rezolvare: Tabelul precedent poate fi reprezentat sub forma: -3 -2 -1 0 1 2 xi 30 54 76 82 70 50 yi

3 45

Considerăm funcţia de ajustare f ( x) = ax 2 + bx + c . Suma pătratelor erorilor este dată de funcţia:

[

7

7

i =1

i =1

F (a, b, c) = ∑ [ f ( xi ) − yi ]2 = ∑ axi2 + bxi + c − yi

]. 2

Punem condiţia ca suma pătratelor erorilor să fie minimă. ⎧ Fa' (a, b, c) = 0 ⎪ ⎪ ' ⎨ Fb (a, b, c) = 0 ⎪ ' ⎪⎩ Fc (a, b, c) = 0

(

)xi2

(

)xi

(

)

7 ⎧ ' 2 ⎪ Fa (a, b, c) = 2 ∑ axi + bxi + c − yi i =1 ⎪ ⎪⎪ 7 ' = F ( a , b , c ) 2 axi2 + bxi + c − yi ∑ ⎨ b i =1 ⎪ ⎪ 7 ⎪ Fc' (a, b, c) = 2 ∑ axi2 + bxi + c − yi ⎪⎩ i =1

; va rezulta sistemul:

7 7 7 ⎧ 7 4 3 2 2 ⎪ a ∑ x i + b ∑ xi + c ∑ xi − ∑ x i y i = 0 i =1 i =1 i =1 ⎪ i =1 ⎪⎪ 7 7 7 7 3 2 ⎨a ∑ xi + b ∑ xi + c ∑ xi − ∑ xi yi = 0 (*) i =1 i =1 i =1 ⎪ i =1 ⎪ 7 7 7 ⎪a ∑ xi2 + b ∑ xi + 7c − ∑ yi = 0 ⎪⎩ i =1 i =1 i =1

xi

yi

-3 -2 -1 0 1 2 3

30 54 76 82 70 50 45

7

∑ xi = 0

i =1

7

∑ y i = 407

i =1

xi2 9 4 1 0 1 4 9 7

∑ xi2 = 28

i =1

xi3 -27 -8 -1 0 1 8 27 7

∑ xi3 = 0

i =1

Sistemul (*) este echivalent cu:

xi4 81 16 1 0 1 16 81 7

∑ xi4 = 196

i =1

xi y i -90 -108 -76 0 70 100 135 7

∑ xi yi = 31

i =1

xi2 yi 270 216 76 0 70 200 405 7

∑ xi2 yi = 1237

i =1

⎧196a + 0 ⋅ b + 28c = 1237 ⎧a = −4,654 ⎪ ⎪ ⇒ ⎨b = 1,107 . ⎨0 ⋅ a + 28b + 0 ⋅ c = 31 ⎪28a + 0 ⋅ b + 7c = 407 ⎪c = 76,761 ⎩ ⎩

Am obţinut parabola de ajustare f ( x) = −4,654 x 2 + 1,107 x + 76,761 . Pentru o prognoză pe luna următoare vom considera x = 4 şi vom obţine f (4) = 6,725 milioane lei..

PROBLEME PROPUSE 1. Cifra de afaceri a unei firme în ultimii 5 ani, exprimată în miliarde lei, a fost: Anii 1997 1998 1999 2000 2001 Cifra de 3,8 4,1 4,6 5,2 5,5 afaceri(mld.lei) a ) Să se ajusteze datele după o dreaptă. b) Să se facă o prognoză pentru următorii doi ani. R: a ) f ( x) = 0,45 x + 4,64 ; b) 5,99 ; 6,44 . 2. Valoarea profitului înregistrat de un agent economic în timp de 7 trimestre a înregistrat următoarea evoluţie: 1 2 3 4 5 6 7 Trimestrul Valoarea 34 52 98 76 65 58 52 profitului (mil. lei) a) Să se ajusteze datele după o parabolă. b) Să se facă o prognoză pentru următorul trimestru. R: a ) f ( x) = −4,32 x 2 + 1,18 x + 79,42 ; b) 15,02 .

3. Valoarea produselor rămase nevândute într-un magazin pe timp de 7 luni, exprimată în milioane lei, este dată în tabelul următor: Luna ian. feb. martie aprilie mai iunie iulie Volumul 50 30 20 15 12 10 8 vânzărilor (mil. lei) Să se ajusteze datele după o hiperbolă şi să se facă prognoza pentru luna octombrie. 4. Evoluţia preţului benzinei timp de 5 ani, înregistrată în luna ianuarie a fiecărui an a fost: Anii 1997 1998 1999 2000 2001 Preţul(mii lei) 3 4 6 9 13 a ) Să se ajusteze datele după o dreaptă. b) Să se facă o prognoză pentru următorul an. R: a ) f ( x) = 2,5 x + 7 ; b) 14,5 . 5. Volumul vânzărilor de autoturisme în perioada 1998-2002 a fost: Anii 1998 1999 2000 2001 2002 Volumul 2 3 4 6 9 vânzărilor (mld. lei) a) Să se ajusteze datele după o dreaptă şi după o parabolă. b) Comparând suma pătratelor erorilor, să se determine care dintre funcţiile găsite descrie mai bine evoluţia fenomenului studiat. c) Să se facă o prognoză pentru următorul an cu ajutorul funcţiei alese la punctul precedent. R: a) f ( x) = 1,7 x + 4,8 ; g ( x) = 1,07 x 2 + 1,7 x + 0,22 c) 14,9.

6. Evoluţia preţului de vânzare a unui produs timp de 5 trimestre este dată în tabelul următor: 1 2 3 4 5 Trimestrul Valoarea 5 6 8 10 13 profitului (mil. lei) a ) Să se ajusteze datele după o dreaptă. b) Să se facă o prognoză pentru trimestrul următor. R: a ) f ( x) = 2 x + 8,4 ; b) 14,4 . 7. Producţia unui bun de consum timp de 5 luni a înregistrat următoarea evoluţie: Luna ian. feb. martie aprilie mai Volumul 1 3 5 8 11 vânzărilor (mil. lei) Să se ajusteze datele după o dreaptă şi să se facă prognoza pentru următoarele două luni. R: a ) f ( x) = −4,32 x 2 + 1,18 x + 79,42 ; b) 15,02 .