Fouriertransformation fuer Fussgaenger [6 Auflage] 3834805386, 978-3-8348-0538-6 [PDF]

Zitiervorschau

Tilman Butz

Fouriertransformation für Fußgänger 6., aktualisierte Auflage

STUDIUM

11 VIEWEG+ TEUBNER

Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar.

Prof. Dr. rer. nat. habil. Tilman Butz Geboren 1945 in Göggingenj Augsburg. Ab 1966 Studium der Physik an der Technischen Universität München, Diplom 1972, Promotion 1975, Habilitation 1985. Von 19B5 bis 1992 wissenschaftlicher Assistent. Seit 1993 Professor für Experimentalphysik an der Universität Leipzig, Fakultät für Physik und Geowissenschaften. E-Mail: [email protected] http:j jwww.uni-leipzig.dej-nfpjStaffjTilman_Butzjtilman_butz.html Abbildungen: H. Gödel, Dr. T. Soldner (1.2, 1.5), H. Dietze (1.3, 1.10), Dr. T. Reinert (3.11), SI. Jankuhn (2.22,4.24, A.1 - A.9, A.16 - A.18)

1. Auflage 1998 2. Auflage 2000 3, Auflage 2003 4. Auflage 2005 5. Auflage 2007 6"aktualisierte Auflage 2009

Alle Rechte vorbehalten

© Vieweg+Teubner I GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2009 Lektorat: Ulrich Sandten I Kerstin Hoffmann Vieweg.;. Teubner ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science.;.Business Media. www.viewegteubner.de Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtiich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Umschlaggestaltung: KünkelLopka Medienentwicklung, Heidelberg Druck und buchbinderische Verarbeitung: STRAUSS GMBH, Mörlenbach Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier. Printed in Germany ISBN 978-3-8348-0538-6

Für ReIlate, Raphaela und Florentin

Vorwort

Fouriertransfonnation l für Fußgänger. Für Pußgänge7''f Zu diesem Titel inspirierte mich das berühmte Buch VOI1 Harry J. Lipkin "Beta-decay far Peclestrians" [1], in dem so schwierige physik.: 0),

(1.16) (weil f gerade ist). Der Ausdruck für Ak verdient noch ein paar ßemerkungen: i. Für alle geraden k verschwindet A k••

ii. Für alle ungeraden k haben wir AA' = 4/(7r2k2). iii. Für k = 0 sollten wir lieber den Mittelwert A o nehmen und nicht k = 0 in (1.16) einset:.-:en. \Vir könnten also weiter vereinfachen zu: 1

2

fürk=O

4 rr 2 k 2 für k ungerade

o

flir k gerade, k

(1.17)

#- 0

Die Reihenglieder nehmen zwar mit steigendem k 1'a.'3ch ab (quadratisch in den ungeraden k), aber prinzipiell haben wir eine unendliche Reihe. Dies liegt an dem "spitzen Dach" bei t = 0 und an dem Knick (periodische Fortsetzung!) bei ±T/2 unserer FUnktion f(t). Um diese Knicke zu beschreiben, brauchen wir unendlich viele Fouriel'koeffiziellten.

10

1 Fourierreihen

Daß nichts so heiß gegessen wird, wie es gekocht wird, sollen die folgenden Abbildungen illustrieren. i'vlit w :::: 27': /T (siehe Abb. loS) erhalten wir:

f{t) ::::

~ + :2

(coswt

1

+ ~ cos3wt + 2S cosSwt....)

(1.18)

.

Original 0.5

+r,

-~

,,0. Näherung":

,

0.5

2

+f

-~

I. Näherung:

,

0.5

.,

2" + ".1 001lwt

+~

-~

2. Näherung:

,

0,:::'

.., (

? +""""i

-

_r,

OO!Iwt

,

+ 9 cos3..J1 )

+~ 3. Nähcl"llllg:

,

- + -.,

0.5

(

coswl

'.

,

+ - CO!I3..Jt + -

2".1925

-., T

0

cos5,.it

)

T

+~

Abb. 1.5. "Dreicckfunktion" f(t) und sukzessive Näherungen durch eine FOllrierreihe mit mehr und mehr Reihcngliedem

1.1 Fourierrcihell

II

V-'ir wollen einen Frequenzplot von dieser Fourierreihe macheIl. Abbildung 1.6 zeigt das Ergebnis, wie es z.B. ein Spektralanalysator 3 liefert, wenn man als Eingangssignal unsere Dreieckfunktion [(tl eingeben würde.

.,

0,5

;;"

o o

1

2

3

4

5

G

7

k

Abb. 1.6. Frequellzplot der Dreieckfunktion

Wir sehen außer dem DC-Peak bei w = 0 die Crundfrequenz w und alle ungeraden "Harmonischen" bzw. "Oberwellen". Aus diesem Frequenzplot k.:1.nn mall ungefahr den Fehler abschätzen, den man macht, wenn man frequenzen - sagen wir oberhalb 7w - vernachlässigt. Davon wird später noch ausführlich die Rede sein. Ein Sägezahngenerator würde, da er "bandbreiten-limitiert" ist, beliebig ra.;wk}.

(1.29)

Beweis {1. Verschiebungssatz}.

J

J

+T/2

Ck""

=

~

+T/2-u

f(t - a)e-iwktdl. =

-T/2

~

f(e)e- iwkt ' e-iwklldt'

-T/2-ll

Wir integrieren übel' eine volle Periode, deshalb spielt die Verschiebung der Intervallgrenzen um Cl keine Rolle. Der Beweis ist trivial, das Resultat der Verschiebung der Zeitachse nicht! Der neue Fourierkoeffizient ergibt sich aus dem alten Koeffizienten Ck durdl Multiplikatioll mit dem Phasenfaktor e- iWkll . Da C" im allgemeinen komplex ist, werden durdl die Verschiebullg die Real- und Imaginärteile "durcbmischt". Ohne komplexe Schreibweise haben wir:

f(t) f{t - a)

~ +-+

(A k ; Bk;wd, {A" cosw"a, - Bk sinw"a; Ak sinwka + Bk cosw"a; wd.

(1.30)

Dazu zwei Beispiele:

Beispiel1.S {"Dreied:junktion", um eine Viertelpe1iode ve1·scll.Oben}. "Dreieckfunktion" (mit l\'littelwert = 0) (siehe Abb. 1.8):

f(t)

~+~ ~

{

für - T/2 S t S 0

1 2t .. ---fur ü 1 ist, wird die Zeitskala gestaucht und damit die Frequenzskala gestreckt. Für a < 1 gilt die Umkehrung. Der Beweis für (lAI) ist einfach und folgt aus (1.27). Bitte beachten Sie, daß wir hier wcgen der Forderung nach Periodizität auch die Intervallgrenzen strecken bzw. stauchen müssen. Ebenso werdcn dic Basisfunktiollcn gemäß wr - 0 ilt wobei ., -" für t < 0 g ~

(2.22)

"

{e-'.\t für t ~ 0 o für SOllst

2.2 Theoreme und Sätze 2.2.1 Linearitätstheorem Der Vollständigkeit halber nochmals:

I(t) g(t) a· I(t) + b· g(t)

~ ~

~

F(w), G(w), a· F(w)

+ b· G(w).

(2.23)

2.2.2 Der 1. Verschiebungssatz Wir wissen bereits: eine Verscbiebung in der Zeitdomäne bedeutet :Modulation in der Fl'equenzdomäne:

1ft) I(t - a)

~

~

F(w),

F(w)e- iw".

(2.24)

Der Beweis ist tri via!.

Beispiel 2.5 ("Redr.leckJunktion ").

1ft) ~

{IoSOllst [ih' - T/2

F(w) ~ T'in(wT/2). wT/2

5, t 5, T/2

(2.25)

2.2 Thool'Cllle und Sätze

Jetzt verschieben wir das Rechteck f(t) um a = T/2 damit (siehe Abb. 2.8):

-+

43

g(t) lind erhalten

(2.26) ~T

sin(wT/2)

wT/2

(cos(wT/2) - is;',(wT/2)).

f(tl

g(tl

T

T

+~

R.o)F(w)}

Re{G(wl)

w

w

w

w

Im{F(w))

IF(wll

IG(wll

w

w

Abb. 2.8. "Rechteckfunktion", Realteil, Imngilliirtcil, Betrag der F'ouriertransformierten (links von oben nach u.nten); dasselbe für die um T/2 nach rechts verschobene "Rechteckfunktion" (rechts von oben nach unten)

44

2 Kontinuierliche FouriertrallSfOl'lnatioll

Der Realteil wird also moduliert mit cos(wT/2). Der Imaginärteil, der vorher 0 war, ist jetzt von 0 verschieden und "ergänzt" den Realteil gerade so, daß lF(w)1 unveriindert bleibt. Gleichung (2.24) beinhaltet ja "nur" einen Phasenfaktor e- i "''', der bei der ßetragsbildung irrelevant ist. Solange Sie sich nm das "Power"-Spektrum ansehen, können Sie die Funktion f(t.) auf der Zeitachse verschieben, wie Sie wollen: Sie merken nichts davon. In der Phase der Polardarstellung finden Sie die Verschiebung allerdings wieder: _ Imaginärteil __ sin(wT/2) _ _ ( I) tan'P R ea 1'1 tan wT 2 tel cos (TI w 2) -

(2.27)

oder 'P = -wT/2. Lassen Sie sich nicht dadurch stören, daß die Phase 'P übel' ±1l" /2 hinausläuft.

2.2.3 Der 2. Verschiebullgssatz Wir wissen schon: eine j'vloclulation in der Zeitdomäne bewirkt eine Verschiebung in der F'rcquenzdomäne:

1(')

~

F(w),

f(l)e-i"'Qt ..... F(w \~Ier

+ wo).

(2.28)

lieber reelle j'v1odulationen bat, der k.:'lnn auch schreiben:

"T(I() . w ) _ F(w + wo) + F(w - wo) r t cos ol 2 ' (2.29)

PT(I(')' ,) SItlWo

. F(w

=1

+ wo) -2 F(w - wo) .

Dies folgt sofort aus der EulcrschCll Identität (1.22).

Beispiel 2.6 ("Rechleckfunkl'ion").

1(') ~

{Io

flj,. -

sonst

TI2 (0)

~

.!

If(OI2d(

~ ~.! IF(w)1 2dw.

(2.53)

Das zweite Glcichheits:teichen bekommen wir durch die RücktrallsfonnaHon VOll IF(w)1 2 , wobei für t = 0 ei",t = 1 wird.

2.4 FourienmnsfOl'lnation

VOll

Ableitungen

59

Gleichung (2.53) besagt, daß der "Informationsgehalt" der Funktion f(~)­ definiert als Integral über deren Betragsquadrat - genau so groß ist wie der "Informationsgehalt" ihrer FOUl'iertransformiertell F(w) (genauso definiert, aber mit 1/(271")!). Das wollen wir gleich mal an einem Beispiel nachprüfen, nämlich unserer vielbenützten "Rechteckfunktion"!

Beispiel 2.11 ("Rechteckfnnktion"). f(t)~{lm,. -T/2StST/2 osonst ViiI' erhalten:

J +00

J

+T12

If(t)I'dt

~

-00

dt

~T

-T12

und andererseits:

J +00

1 2;r

-00

F( ) ~ T'in(wT/2) I· w wT/2 ,a so

T2 IF{w)1 2dw = 2

2;r

J J (Si:") +00

[Sill(WT/2)] dw wT/2

0

T2 2

=2-2rr T

2

+00

(2.54)

,

dx=T

o

mit x:= wT/2. Daß bei Parsevals Theorem das Betragsqlladrat VOll f(t) und von F(w) vorkommt, ist leicht einsichtig: alles was von 0 verschieden ist, trägt Information, gleichgültig ob negativ oder positiv. \Vichtig ist das "Power"-Spektrlllll, die Phase spielt keine Rolle. Natürlich können wir Parsevals Theorem zur Berechnung VOll Integralen verwenden. Nehmen \vir einfach das letzte Beispiel mit der Integration über (Si~X/. Hierzu brauchen wir eine Integraltafel, wo-hingegen die Integration über die 1, also die Bestimmung der Flüehe eines Quadrates, elementar ist.

2.4 Fouriertransformation von Ableitungen Bei der Lösung von Differentialgleichungen kann mall sich häufig das Leben leichter machen durch Fouriertransfonnation. Aus der Ableitung wird einfach ein Produkt:

f(tl ~ F(w). f'(t) - iwF{w).

(2.55)

60

2 Kontinuierliche FouriertrallSfOl'lnatioll

Beweis (Fou1'iertmnsjo7'1nation von Ableitungen nach t).

FT(f'(t))

~

J +00

!'(t)c-;W'dt

~ /(t)c-;w'I~:::: -

J +00

(-iw)

-00

/(t)e-;W'dt

-00

partielle Integration = iwF(w).

0

Der erste Term bei der partiellen Integration fällt weg, da jet) ----t 0 geht für t ----t 00. Anderenfalls wäl'e f(t) nicht integrabel~. Das Spiel läßt sich fortsetzen:

PT (d~~,~t)) ~

(iw)" F(w)

(2.56)

Für negative 11. könllen wir die Formel aueh zum Integrieren verwenden. Wir könncn auch die Ableitung eincr Fouriertransformiel'ten F(w) llach der Frequenz weinfach formulieren:

dF(w) dw

~ -iFT(t/(t)).

(2.57)

Beweis (Fomie1"tmnsjo7'1nation von Ableitungen nach w).

~

-iFT('/(t)).

0

Ein schönes Beispiel für den Einsatz der Fouriertransformation gibt Wea·

ver [2],

Beispiel 2.12 (Wellengleichung). Die \Vellengleichuug: d 2 u(x,t) 2 d2u (x,t) dt2 = c dx 2

(2.58)

läßt sich durch eine Fouriertransformation in der Ortsvariablen 1I1 eine Schwillgungsgleichung umwandeln, die viel einfacher zu lösen ist. Wir setzen:

J +00

U({,I.)

~

n(x,t)e-;'"dx.

-00

[, D.h. nicht (Lebcsgue- )integrabel.

2.4 FourienmnsfOl'lnation

VOll

Ableitungen

61

Daraus erhalten wir:

FT

(d2~~~,t)) ~ (i()'U(UL (2.59)

zusammen also:

Die Lösung diesel' Gleichung ist:

U((,t)

~

P(() cos(c{t),

wobei P(() die Fouriertransformierte des Anfangsprofils p(x) ist:

pro

~

FT(p(x))

~

U(e 0).

Die Rücktransformation liefert zwei nach links bzw. rechts laufende Profile:

J

+00

u(x,t)

~~ 2.

pro cos(c(t)e;'"d(

-00

(2.60) =

J

1

"21J(X + ct) + "2V(X - ct).

Da wir keinen Dispersionstenn in der \Vellengleichuug hatten, bleiben die Profile erhalten (siehe Abb. 2.17).

Abb. 2.17. Zwei na.eh links bzw. rechts laufende Anfangsprofile p(x) als Lösung der Wellengleichung

62

2 Kontinuierliche FouriertrallSfOl'lnatioll

Dieses Beispiel zeigt, daß man durch die Fouriertransformation aus Differentialgleichungen (und auch Integralgleichungen) algebraische Gleichungen macben kann, die oftmals viel einfacher zu lösen sind. Das erinnert Sie vielleicht an das Logarithmieren, wobei aus Produkten und Quotienten Summen bzw. Differenzcn cntstchcn.

2.5 fußangeln 2.5.1 "Aus 1 mach 3" Zur Erheitcrung werden wir ein Kunststück vorführen: nehmen wir eine einseitige Exponentialfunktion: e-Ai, für t

f(t) = { 0

>0

sonst-

mit F(w) = _1_._ 'x+IW 1 2 lind IF(w)1 = 2 '} ,X

(2.61)

+w·

Diesc F\mktion setzten wir (vorübergehend) auf ein einseitiges "Podest": ((t) = { 1 für t. 2: 0 y 0 sonst

(2.62) . I nut G(w) = :-- .

•w

Die Fouriertransfonnierte der Heavisidescben Stufenfunktion g(t) erhalten wir aus der Fouriertransformierten für die Exponentialfunktion für ,X _ O. Wir haben also: h(t) = f{t) + y{t). Wegen der Linearität der Fomiertransformation gilt: 1

H(w) =

IH(w)l' ~

,X

1

+ iw + iw

iw

,X

= ,X2

+ w2

,X2

+ w2

W

(2.63)

2.5 Fußangeln

63

Jetzt geben wir IG(w)1 2 = 1/w2 , d.h. das Quadrat der Fouriertransformierten des Podestes, wieder zurück und haben gegenüber IF(w)1 2 einen Faktor 3 gewonnen. Und das nur durch das vorübergehende "Ausleihen" des Podestes?! Natürlich ist (2.63) korrekt. Unkorrekt war die Rückgabe von IG(w)1 2 . Wir haben den Interferenztenn, der bei der Bildung des Betragsquadrates entsteht, ebenfalls ausgeliehen und müssen ihn auch zurückerstatten. Dieser Interferenzterm macht gerade 2((>.2 + w 2 ) aus. \Vir wollen das Problem jetzt etwas akademischer angehen. Nehmen wir an, wir haben h(t) = f(t) + g(t) mit den Fouriertransformierten F(w) und G(w). \Vir benutzen jetzt die PoJarclarstellung:

F(w) ~ l!'(w)le;O' (2.64)

und

G(w) ~ IG(wMo•. Damit haben wir:

(2.65) was wegen dcr Liucarität der Fouriertrallsfonnation völlig korrekt ist. \Venn wir aber IH(wW (odcr die Wurzel daraus) berechnen wollen, so bekommen wir:

IH(w)l' ~ (l!'(w)le;O,

+ IG(wM")

(IF(w)le-;o,

+ IG(w)le-;") (2.66)

~ l!'(w)I'

+ IG(w)l' + 21!'(w)1

x IG(w)1 x cos(. groß gcnug ist, dann gibt es sogar keine lok.:"tlen !v1inima und rvlaxima mehr, und F(w) fällt monoton ab (siehe Abb. 3.6; hierfür wurde e~T am Intervallende gewählt). Bei>' = 2 hat man eine 3 dß-Bandbreite von.6w = 11,7/T. Das asymptotische Verhalten beträgt -12 dB/Oktave. Es ist also gar nicht so unsinllig, wieder eine Spitze bei t = 0 einzuführen. Trotzdem gibt es bessere FensterflluktionCIl.

82

3 Fenstel'funkt.ionen

JIt.)

[dBI

lF(w)l~

0

-20 -40 -60 T

+'2

t

-80

w

0

Abb. 3.6. Triplcu-FcllSler und .,Powcr"-Darstcllullg der Fouricrtrallsformicrtcn

3.7 Das Gauß-Fenster Eine sehr naheliegende Fensterfunktion ist die Gauß..-l-Unktion. Sie irgelldwo abschneiden zu müssen lind damit ein kleines "Stüfchell" zu produzieren, schreckt. uns nach den Erfahrungen mit. dem Hammiug-Fenst.er nicht. mehl'.

R0-

exl' {

(-~

t:)

2a

o

fiu' -T/2';

t,; +T/2

.

(3.31)

sonst

Die Fouriertransformierte laut.et: F(w) =

(1

r;, "( -e-~ 2

(ia'W' + -T') + erfc (i"'W' +-+ -T')) . J2 J2

erfc - - -

802

80"2

(3.32)

Da die Error-FunktiOlI zwar mit komplexen ArgullIenten vorkollllllt, aber zusammen mit. dem konjugiert komplexen Argument., ist F(w) reell. Die F\mktion f(l) mit. (f = 0,33 ulld IF(wW ist. in Abb. 3.7 dargestellt.. Für dieses er erhält man -55 dB "Sidelobe"-Unterdrückung bei -6 dß/Oktave asylllptot.ischem Verhalt.en und einer 3 dB-Bandbreit.e von 6.w = 1O,2/T. Nicht. schlecht, aber es geht. besser.

[dBI lI'(w)['

Rt)

o -20 -40

-60

-, T

+'[2 t

-80

o

Abb. 3.7. Cauß-Pcllster und "Power"-DarstclJung dcr Fouricrtransforlllicrten

w

3.8 Das Kaiser-ßessel-Fenster

83

Daß eine Gauß-Funktion beim Fourier-transformieren wieder eine GaußFunktion ergibt, gilt nur ohne Abschneiden! \Venn (j hinreichcnd groß wird, vcrschwinden dic "Sidelobes": die Oszillationen wandern auf der Flanke dcr Gauß-Funktion "hinauf'.

3.8 Das Kaiser-Bessel-Fenster Das Kaiser-Bessel-Fenster ist ein sehr brauchbares und variabel einsctzbares Fenster: /0

1(')

~

{

Hierbei ist

(NI

(2t/T)')

/ 0 (ß)

°

fiu' - T/2 'S ''S T/2

(3.33)

SOllst

ß ein frei wählbarer Parameter. Die Fouriertransformierte lautet:

fü'ß?: F(w)

~

~ s;u (Jqc- -(f') Io(ß)

j w7 z _ ß2

I"il (3.34)

fü'ß'S

I"il

Io(x) ist die modifizierte ßessel-Funktion. Ein einfacher Algorithmus Gleichungen 9.8.1, 9.8.2] zur Berechnung von Io(x) lautet: lo(x) = 1 + 3,5156229t2 + 3,0899424t 4 + 1,2067492t6 + O,2659732t S + O,0360768t 10 + O,0045813t 12 + t,

Itl < 1,6 x

10- 7

mit t = x/3,75, für das Intervall - 3,75::; x::; 3,75, bzw.

x l / 2 e-O: Io(x) = 0,39894228 + O,01328592t- 1 + 0,00225319t- 2 - O,00157565t- 3 + O,0091628lt-,j - O,02057706t- 5 + O,02635537t- Ü - O,OI647633t- 7 + O,00392377t- 8

+"

IEI < 1,9 x 10- 7

mit t = x/3,75, für das Intervall 3,75::; x

< 00.

[7,

84

3 Fenstel'funkt.ionen

Die Nullstellen liegen bei w 2 r 2 /4 = [2 1r2 + ß2, l = 1,2,3,... , und sind nicht äquidistunt. Für ß = 0 erhält man das Rechteckfenster, Werte bis ß = 9 sind empfehlenswert. In Abb. 3.8 sind f(t) und IF(wW für verschiedene Werte von ß dargestellt. fit)

[dn) [F(wW

o -20

'

-'10~'''''' -60

+ !,

-~

I

_80 LL.L.LLL-Y--'--LLLL-,-,

w

[dll) [F(wlI 2

/(1)

o -20

-60

+!,

_I,

I

,/(1)

-80 L - - , 0 ; - - - - " ' w ' [dn) [F(w)12

o -20

-60

="'----r--'==o w

-80 LlJ

[dill [F(wW

/(t)

o -20

-60

fit)

+t

I

-80

o

w

[dB) [F(wW

o -20 -,10

-~

-60 _80L..dllllL.,..JIImlI....~,

o

w

Abb. 3.8. Kaiser-Sessel-Feilster für ß = 0,2,4,6,8 (links); die dazugellörige "Powel"'-Darstellung der Fouriertrunsformiert.en (n;chts)

3.9 Das ßlackman-HalTis-Fenster

85

Die "Sidelobe"-Unterdrückung sowie die 3 dB-Bandbreite als Funktion von ß sind in Abb. 3.9 dargestellt. i\'[it dieser Fensterfunktion erhält man für ß = 9 -70 dB "Sidelobe"-Unterdrückung bei .6.w = 11/T und bei -6 dB/Oktave asymptotischem Verhalten fernab vom zentralen Peak. Das Kaiser-Bessel-Fenster ist dem Gauß-Fenster also in jeder Beziehung überlegen.

.6.wT 12 10

8

61:----4 2

o+--+--+--+-t--+--+--+--+-t-----oo

1

234

5

6

789

[dBJ

ß

-70

-60 -50

-40 -30 -20

_1OL.---

o+--+--+--+-t--+--+--+--+-t-----oo

23456

789

ß

Abh. 3.9. 3 dß-Bandbreite (oben); "Sidelobe"-Unterdrückung für Kaiser-BesselParameter ß = 0-9 (unten)

3.9 Das Blackman-Harris-Fenster \:Ver keine Flexibilität wünscht und mit einer festen und großen "Sidelobe"Unterdrückung arbeiten möchte, dem empfehle ich die folgenden zwei sehr effizienten Fenster, die auf Blackman und HaITis zurückgehen. Sie haben den Charme der Einfachheit: sie sind aus einer Summe von viel' Kosinus-Termen wie folgt zusammengesetzt:

[(tl

~

t {o

(t"

cos

2;'t fU! - T/2:5 t:5 T/2 (3.35)

,,~o

SOllst

86

3 Fenstel'funkt.ionen

Bitte beachten Sie, daß wir hier eine Konstante, einen Kosinus-Term mit einer vollen Periode, sowie weitere Terme mit zwei und drei ganzen Perioden haben, im Gegensatz zum Kosinus-Fenstel' von Abschn. 3.3. Die Koeffizienten haben dabei folgende Werte:

°0

a, a,

°3

für -74 dß 2

für -92 dB

0,40217 0,49703 0,09392 0,00183

0,35875 0,48829 0,14128 0,01168

(3.36)

Ihnen ist sicher aufgefallen, daß sich die Koeffizienten für das -92 dßFenster zu 1 addieren; an den Intervallgrenzen sind die Terme mit 00 und U2 positiv, während die Tenne mit a, und a3 negativ sind. Die Summe der geraden Koeffizienten minus der Summe der ungeraden Koeffizienten ergibt 0,00006, d.h., es gibt ein sehr "sanftes Anschalten" mit einem sehr kleinen "Stüfchen". Es handelt sich also nicht um ein c.xaktes BlackmanHaiTis-Fenster, bei dem definitionsgemäß kein "Stüfchcn" auftreten darf. Für das hier angegebene -74 dB-F'enster ist dies ebenfalls nicht exakt der F'all (auch nicht mit den in der Fußnote angegebenen Werten); es ist also auch kein exaktes Blackman-Harris-Fenster. Die Fouriertransformierte dieses Fensters lautet:

TLa,,(-l)" ' F(w)=Tsin~

(1

1)

(3.37) TT . 2 2nlT+W 2nlT-W ,,=0 Keine Angst, die Nullstellen der Nenner werden durch NullstelIen des Sinus gerade "geheilt" (I'Hospitall). Die NullstelIen der FOlll'iertransfonnierten = 0 gegeben, also wie beim Hanning-Fenster. Die 3 dBsind durch sin Bandbreite beträgt D.w = 10,93/T bzw. 11,94/T für das -74 dB- bzw. das -92 dB-Fenster, ganz ausgezeichnete \Verte für die Einfachheit der Fenster. Ich vermute, die Reihenentwicklung der modifizierten Bessel-Funktion Io(x) für die passenden Werte von ß liefert ziemlich genau die Koeffizienten der Blackman-Harris-Fenster. Da diese Blackman-Harris-Fenstel' sich nur noch sehr wenig von den Kaiser-Bessel-Fenstern mit ß::::: 9 bzw. ß::::: 11,5 (das sind die \Verte bei vergleichbarer "Sidelobe"-Unterdrückung) unterscheiden, verzichte ich hier auf Abbildungen. Das asymptotische Verhalten beträgt für beide Blackman-Harris-Fenster -12 dß/Oktave. Das Blackman-Harris-Fenster mit -92 dB hat in Abb. 3.10, die nur bis -80 dB geht, allerdings keine "sichtbaren Füßchen" mehr.

wr

2

In der Originalarbeit von Harris [61 ist. die SUllllTlC der Koeffi7.iellt.en UIll 0,00505 kleiner als 1. Es IlIUSS also ein Druckfehler vorliegen. Mit dem obigeIl Koeffi:dentensalz ist die "Sidelobe"-Uuterdrückuug deutlich schlechter als -74 dS. Wenn mun Ul = 0,49708 und a2 = 0,09892 (oder a2 = 0,09892 und Q'3 = 0,00188) nimmt wcrden -74 dB erreicht. Dann ergibt die Summe der Koeffizienlen gerade I. Vielleicht gab es im Jahr 1978 noch Übertragungsprobleme beim Tippen des ~v[anuskripts: die Ziffer 8 wurde als 3 gelesen?

3.10 Überblick iiber die Fensterfunktionen

3.10 Überblick über die Fensterfunktionen

-----L-

'lI~~f"(",)~

"'_,_1_""",

~ -t

L -f

.i

-"

Rechteckfellstel'

-., -., -0

" , '"~~'''''

-" _w I

-oo -oo

Drck"Ckfcllster

,

,

;~"'"

-" -w

-oo

+t

I

-w

,

,

";[JL"W -" •

·

-0

,

.,

-0

"

Hanning-Fenster

,

';~"'"

·

Kosinus-Fenstcr

Hmnming-Fcnster

,

Triplctt.-Fcnstcr

"~CD."'"

-"

_w

Cauß-Fcnster

-oo

"

,

-w

";LiL"" -" -oo -.,

"

Kaiser-Bessel-Fellster

,

Abb. 3.10. Überblick über die Fensterfunktionen

87

88

3 Fenstel'funkt.ionen

Damit dieses Kapitel auch mit Leben erfüllt wird, hier ein einfaches BeispieL Gegeben sei folgende funktion:

+ 10- 2 cos 1,15wt + 10- 3 cos 1,25wt + 10- 3 cos 2wt + 10-.1 cos 2,75wt + 10- 5 COS 3wt.

f(t) = coswt

(3.38)

Neben der dominanten Frequenz w gibt es zwei Satelliten bei 1,15 und 1,25 mal w sowie zwei Oberwellen - die Hochfrequenztcchniker sagen 1. und 2. Harmonische - bei 2w und 3w sowie eine weitere Frequenz bei 2,75w. Diese Funktion wollen wir Fourier-transformieren. Bedenken Sie, daß wir uns gleich die "Power"-Spektren ansehen \verden, also die Amplituden quadriert! Die Vorzeichen der Amplituden spielen also keine Rolle. D.h., wir erwarten neben der dominanten Frequenz, die wir mit 0 dS Intensität angeben wollen, weitere spektrale Komponenten mit Intensitäten von -40 dB, -60 dS, -80 dS und -100 dS. Abbildung 3.1 I zeigt, was bei dem Einsatz verschiedener Fensterfunkti0nen herauskommt. Für die Puristen sei angemerkt, daß wir natürlich die diskrete Fouriertransformation, die wir erst im nächsten Kapitel behandeln, verwendet haben, aber Linienplots zeigen (wir haben 128 Datenpunkte verwendet, die Daten mit Nullen aufgefüllt, gespiegelt, und insgesamt 4096 IllputDaten venvendet; jetzt können Sie es nachmachen!). Die zwei Satelliten nahe der dominanten Frequenz machen die Hauptprobleme. Zum einen brauchen wir eine rensterfunktion, die eine gute "Sidelobe"-Unterdrückung hat, um Signale mit Intensitäten von -40 dß und -60 dS überhaupt sehen zu können. Das Rechteckfenster leistet dies nicht! Man sieht nur die dominantc Frequenz, alles andere ist "zugcschüttet". Außcrdem braueben wir eine geringe 3 dß-Bandbreite, damit wir die um 15% höhere Frequenz überhaupt auflösen können. Dies schaffen wir mit dem Hanning- und vor allem mit dem Hamming-Fenster (Parameter (L = 0,08) ganz gut. Allerdings ist das Hamming-Fenster nicht in der Lage, die höheren spektralen Komponenten zu detektieren, die noch geringere Intensität haben. Dies liegt am schlechten asymptotischen Verhalten. Nicht viel einfacber ist es mit der Komponente, die 25% höher liegt, da sie nur -60 dB Intensität hat. Hier schafft es das ßlackman-Hanis-Fenster mit -74 dß so gerade eben. Die drei anderen, noch höheren spektralen Komponenten sind zwar sehr schwach, aber weitab von der dominanten Frequenz und daher problemlos detektierbar, sofern nur die "Sidelobes" in diesem Spektralbereicb nicht alles zuschütten. Dies schaffen interessanterweise Fensterfunktionen mit schlechter "Sidelobeu-Unterdrückung, aber gutem asymptotischen Verhalten wie das HanningFenster, ebenso wie Fensterfunktionen mit hoher "Sidelobe"-Unterdrückung und schlechtem asymptotischen Verhalten wie die Kaiser-Bessel-Fenster. Das Kaiser-Bessel-Fenster mit dem Parameter ß = 12 ist ein Beispiel dafür (da.', bei der kontinuierlichen Fouriertransformatioll wird für diskrete Zeiten tk = k~t, k = 0, 1, ... , N - 1 mit T = N LJ.t: 'l

.~

21!:.l..1L.:1.j

e ' :..> -+el---r- =e~

22l:.i.!< =e---W-

k

=\V,.-,.

(4.4)

Dabei ist der "Kern":

IWN=e~1

(4.5)

eine schI' nützliche Abkürzung. Gelegcntlich bcnötigen wir auch die diskreten

4.1 Diskrete

Fou]"ie]"~rallsforlllation

95

Frequenzen: Wj ~

2rrjj(Nf1t),

(4.6)

die zu den diskreten Fourierkoeffizienten Fj (siehe unten) gehören. Der Kern HfN hat folgende Eigenschaften: für alle ganzen n, (4.7)

W N ist periodisch in j und k mit der Periode N. Eine sehr nützliche Darstellung von HfN erhält man in der komplexen Ebene in Form eines "Zeigers" im Einheitskreis (siehe Abb. 4.2).

imaginäre Achse

W'8 WO8

W'8

reelle Achse

He'8 Abb. 4.2. Darstellung

VOll

IV; in der komplexen Ebene

Die Projektion des "Zeigers" auf die reelle Achse ergibt cos(2rrn/N). In Analogie zum Zifferblatt einer Uhr k.:,nn man z.B. \vg als ,,3.00 Uhr" oder \v: als ,,9.00 Uhr" bezeichnen. Jetzt sind wir in der Lage, die diskrete ,,0Funktion" zu definieren: N-l

"lv(J.·-k')j

L

'YN

\"

= ! Uk.k'·

(4.8)

j=O

Hier bedeutet

O~·.k'

das Kronecker-Symbol mit der Eigenschaft: (4.9)

Dieses Symbol (mit Vorfaktor N) erfüllt die gleichen Aufgaben, die die o-I?i.lIlktion bei der kontilmierlichen Fouriertransfonnation hatte. Gleichung (4.9) besagt nichts anderes, als daß wir bei einem komplctteu Umlauf des Zeigers 0 herausbekommen, wie wir durch einfache Vektoraddition der

96

4 Diskrete Fouriertransformat.iOll

Zeiger in Abb. 4.2 sofort einsehen können, es sei denn, der Zeiger bleibt bei ,,3.00 Uhr" stehen, was bei k = k' erzwungen wird. In diesem Fall erhalten wir N, wie Abb. 4.3 zeigt.

w~·o

WO· 7

W~-I

Abb. 4.3. Für N

-+

8

co (nur in Gedanken) schen wir die Analogie zur o-Funktion

besonders deutlich

4.1.3 Definition der diskreten Fouriertransformation Wir wollen nun den spektralen Gehalt {Fj } der Reihe {A} über die diskrete Fouriertransformation bestimmen. Dazu müssen wir in der Definition der Fourierreihe:

J

+T/2

Cj

=

~

f(t)e-hijt/Tdt

(4.10)

-T/2

mit f(t) periodisch in T den Übergang machen:

(4.11)

.

Im Exponenten kommt k/~ I~ vor, d.h., fit kürzt sich heraus. Im Vorfaktor kommt das Samplingraster f:J.t vor, so daß sich insgesamt der Vorfaktor f:J.t/T = f:J.t/(Nf:J.t) = 1/N ergibt. Wir haben beim Übergang von (4.10) nach (4.11) stillschweigend die Intervallgrenzen von -T/2 bis +T/2 nach 0 bis T verschoben, was zulässig ist, da wir über eine ganze Periode integrieren und f(t) als periodisch in T vorausgesetzt wurde. Die Summe muß bei N - 1 enden, weil bei diesem Samplingpunkt plus f:J.t die Illtervallgrenze erreicht ist. Wir erhalten also für die diskrete Fouriertransformation:

Definition 4.1 (Diskrete Fouriertransformation). I

N-I

'\'

,

Fj=NLikW,v'J k=O

(4.12)

4.1 Diskrete

97

Fou]"ie]"~rallsforlllation

Die Rücktransformation oder ,inverse Fouriertransformation lautet: Definition 4.2 (Diskrete inverse Fouriertransformation). N-l

h=LFjWt~"i mit

WN=e 21ri (N.

(4.13)

j=O

Bitte beachten Sie, daß bei der inversen Fouriertransformation kein Vor~ faktor 1/N existiert. An dieser Stelle eine kleine ·Warnung. Häufig findet man anstatt (4.12) und (4.13) auch Definitionsgleichungen mit positiven Exponenten für die Hintransformation und mit negativen Exponenten für die Riicktransfomwtion (z.B. in "Numerical Recipes"). Für den Realteil von {Fj } hat dies keine Bedeutung. Allerdings wechselt der Imagilüirteil von {Fj } das Vorzeichen. Wegen der Konsistenz zu den früheren Definitioncn für FourielTeiben und der kontinuierlichen Fouriertransformation wollen wir bei den Definitionen (4.12) und (4.13) bleiben und lIliS daran erinncrn, daß z.B. ein negativer, rein imaginürer FourierkoefFizient fj zu einer positiven Amplitude einer Sinus~ 'NeUe gehört (bei positiven Frequenzen), da aus i von der Hintrallsformation multiplizicrt mit i von der Rücktransformation gerade ein Vorzeichc1l\vechscl i2 = -1 entsteht. Hiiufig fehlt auch der Vor faktor 1/N der Hintransfonnati~ Oll (z.8. in "Numerical Recipes"). In Anbetracht der Tatsache, daß Fo gleich dem rvIittelwert aller "Sampels" sein soll, muß der Vorfaktol" 1/N abc!' dort auch wirklich stehenbleiben. Wie wir sehen werden, wird auch "Parsevals Theorem" uns dafür danken, daß wir mit unserer Definition der Hintransformation sorgsam umgegangen sind. ?I'lit Hilfe der (4.8) können wir uns sofort davon überzeugen, daß die Rück transformation (4.13) korrekt ist:

L

N~l

!k

=

j=O

l=jWt kj

L

N~l

=

N-l

~ L h,WNk'jWt~j

j=O

k'=O

(4.14)

Bevor wir weitere Sätze und Theoreme behandeln, ein paar Beispiele, die die diskrete Fouriertransformation illustrieren.

Beispiel 4.1 ("Konstante" mit N = 4).

h

= 1

für k = 0, 1,2,3.

10

h

h

98

4 Diskrete Fouriertransformat.iOll

Für die kontinuierliche Fouriertransformation erwarten wir eine 6-Funktion mit der Frequenz w = O. Die diskrete Fouriertransformation wird also nur Fo t' 0 ergeben. in der Tat erhalten wir mit (4.12) - oder noch viel intelligenter mit (4.8):

Fo = t4 = 1

F I =0 F2 = 0

1

F 3 =0.

F, F2 F':J keinen Imaginärteil. Die

Da Ud eine gerade Folge ist, enthält Rücktransformation ergibt:

!k

= 1 cos (

2r.~0)

•

für k = 0, 1,2,3.

= 1

I

;=0

Beispiel

4.2 ("Kosinus"

10 j,

h

~ ~

mit N = 4).

r-""

1

0

~-1

h~

O.

Wir erhaltcllllJit (4.12) und

Fo = 0

H~l =

i:

(Mittelwert = O!)

F,

~ ~(I + (-1)(

1'2

~

.(1

F3

~

.(1 + (-1)(,,21.00 Vh,")

1

1

·············.l/········

. . . . . -;

.,9.00 Vh,")

+ (-1)(,,15.00 Vh,''')

~ ~(I + (-1)(-1») ~ ~ ~

.(1

1

+ (-1)J)

~

0

1

+ (-1)(-1))

~

2'

~.(1

1

Ihnen ist sicherlich aufgefallen, daß wir aufgrund des Minuszeichens im Exponenten in (4.1Z) im "Uhrzeigersinn" bermuhlufen. Diejenigen, die dort lieber ein Pluszeichen haben, sind vielleicht "Bayem ", denen man nachsagt, daß bei ihnen die Uhren andersherum gehen (solche Uhren kann lIlan in SOllvenirläden tatsächlich kaufen). Demnach "ticken" alle nicht "richtig", die in (4.12) ein Pluszeichen verwenden! \\Tas bedeutet F3 = 1/2? Sollte denn außer der Grundfrequenz Wl = 21r x 1/4 x At = r./(Zf:::,.t) noch eine andere spektrale I' Tag")} )

Uhr niichster Tag")})

-1 -12 -

" 2 4 C(j = _I 2 1 12 C 7 = -+2 4 also: 1 {I, -2 { G,')

~

wegen reellem Input,

+ 122 , 4

1 1 -2 , -2 _

2 , 12 4

0

~ _ 12 ~ ~ + v'42} . 4' 2' 2

, 2

Für das Produkt erhalten wir {Hj} = {FjC j } = {1/2, O. 0, 0, 0, 0, 0, O}, wie es flil' die Fouricl't.ransformierte sein sollte. Hätten wir den Faltungssatz von Anfaug an crnst gcnomrnen, dann hütte die Bercchnung von Co (~llit· telwert) lind G'l bei der Nyquist-Frequenz völlig ausgereicht, da. alle anderen Fj = 0 sind. Die Tatsache, daß die Fouriertransformierte der Auflösungsfunktion für die Nyquist·Fl:equenz 0 ist, besagt ja geradc, daß mit diescr Auflösungsfunktion Oszillationen mit der Nyquist-Frequeuz nicht mehr aufgenommen werdcn können. \Vir hattcn aber als Input nur die Frequenz 0 und die Nyquist-Frcquenz.

4.3.2 Kreuzkorrelation In Analogie zu (2.48) definieren wir für die diskrete Krcuzkorrelation zwischen

Ud

nnd {gd.

Definition 4.4 (Diskrete Kreuzkorrelation).

(4.25) Wenn die Indizes bei g", über N - 1 hinauslaufen, dann ziehen wir einfach N ab (Periodizität). Die Kreuzkorrelation zwischen Ud und {gd führt natürlidl zu einem Produkt ihrer Fouriertransformierten:

108

4 Diskrete Fouriertransfonnat.iOll

Ud -

{F,}, {gd - {C j }, {hel ~ {(f*g)el - {Hj } ~ {F;C j

(4.26) }.

Beweis (Diskrete Kreuzko7'7'elation). N-I

N-l

" N1 'LJ " j"/91+k W ,y kj H j = N1 'LJ k=O N-I

/=0 N-l

1 '"

"1 ' "

1=0

1.t)2

Yl k=~oo

~

J

+flNyq

cosw(t

+ kt>.t)ciw

(4.36)

0

_1_ ~ f( _k~t)2sill (}Nyq(t + k~t) 2QNyq k=-oo (t + k~t)

Durch die Ersetzung k --+ -k (Summationsreihenfolge unwichtig) erhalten wir das Sampling-Theorem: Sampling-Theorem: f(t) =

~ L

k=-oo

f(k~t)

sin nNyq(t - kilt) j). ( k.A)· Nyq

t

~t

(4.37)

4.4 Das Sampling-Theorem

111

!I'lit anderen Worten, wir können die Funktion f(t) für alle Zeiten taus den Sampels zu den Zeiten kl:!.t rekonstruieren, vorausgesetzt, die Funktion f(t) ist "bandbreiten-limitiert". Dazu müssen wir lediglich f(kl:!.t) mit der Funktion Si~", (mit x = .!7Nyq (t - kl:!.t)) multiplizieren und über aUe Sampels sumulieren. Der Faktor ~;~"' ist natürlich gleich I für t = kl:!.t, für andere Zei~ ten fällt ~i~X ab und oszilliert langsam zu 0, d.h., f(t.) ist zusammengesetzt aus lauter (~i~")-Funktionen am Ort t = kt::..t mit der Amplitude f(kl:!.t). Beachten Sie, daß bei adäquatem Sampein mit kl:!.t = r!Ljeder k- Term in "Nyq der Summe in (4.37) den Beitrag f(kt::..t) an den Sampling-Punkten t = kt::..t liefert und 0 an allen anderen Samplillg-Punkten, wohingegen alle Terme zur Interpolation zwischen den Sampling-Punkten beitragen.

Beispiel 4.9 (SamlJling-Theorem mit N = 2).

10 ~ 1,

1

·... ...

1

~o.

\Vir erwarten:

.....................

.

. .

,,0

.

,.

Das Samplillg-Theorem sagt:

f(t) =

f

fk sin stNyq(t - kt::..t) stNyq(t - kt::..t) k=-oo mit

=

!k

= Dk·,gerade (mit periodischer Fortsetzung)

sinstNyqt flNyqt

~ sin !2NY'l(l ~ 21t::..l) ~ sin flNyq(t + 2ll:!.t) +L .l?Nyq(t 21t::..t) 1=1 flNyq(t + 21t::..t)

+L 1=1

mit der Substitution k = 2l = sinflNyqt

flNyqt

+ ~ [sin21T(~ -l) 21T(2~t-l)

1=1

mit fLNyqt::..t = 1T _ sin fLN)"'ll ilNyqt

2-. ~ ("2"h + I) sin !2Nyq t + (2kt -t) Sill fLNyqt + 2;r 1=1 (zh ~ 1) (2~t + l)

_ sin ilNyqt

+ :s;::n"fI"N"",,,"~t

-

flNY'1l

21T

2t ~ I 2l:!.t. L (_,_)2 ~ l2 1=1

2~t

(4.38)

112

4 Diskrete Fouriertransfonnat.iOll

~ sinI)N",' (1+ (I)Nyqt)\I:; flNyqt

12 ) I=l(n~t)

211"

_l2

mit [8, Nr. 1.421.3J

~

=

sin flNyqt

flNyqt

. Sill

flNyqtrr..~I)~N~"~"~'

rr--cot27T 27T

I)Nyqt-1 :::CO::S(;.;I)"N",yq';:''i/2~) 2 sin(fl Nyq tj2)

1 cos(fl Nyq tj2) 2 = 2sin(.l?Nyqtj2)cos(.l?Nyqtj2)- . (I) /) = cos (.l?N yq tj2).

2 Sill

Nyqt 2

Bitte beachten Sie, daß wir wirklich alle Summenglieder von k = -00 bis +00 benötigen! I·Jätten wir lediglich k = 0 und k = 1 mitgenommen, so hätten wir:

k =

erhalten, was nicht der Eingabe von cos2 (flNyqtj2) entspricht. Wir hätten nach wie vor J(O) = 1 und J(t = ßt) = 0, aber für 0 < t < ßt hätten wir nicht richtig interpoliert, da ja Si~.T für große x langsam ausklingt, wir aber eine periodische Oszillation, die nicht ausklingt, als Input haben wollen. Sie sehen, daß das Sampling-Theorem - ähnlich wie Parsevals Gleichung (1.50) geeignet ist, bestimmte unendliche Reihen aufzusummieren. \Vas passiert, wenn doch einmal aus Versehen zu grob gesampelt wurde und F(w) oberhalb f2 Nyq ungleich 0 wäre? Ganz einfach: die spektrale Dichte oberhalb flNyq wird "reflektiert" auf das Intervall 0 :5 w :5 flNyq, d.h., die echte spektrale Dichte wird "korrumpiert" durch den Anteil, der außerhalb des Intervalls läge.

Beispiel 4.10 (Nicht genug Samples). \Vir nehmen einen Kosinus-Input und etwas weniger als zwei Sampels pro Periode (siehe Abb. 4.9). Hier existieren 8 Sampcls auf 5 Perioden, damit ist .l?Nyq um 25% überschritten. Die punktierte Linie in Abb. 4.9 zeigt, daß eine Funktion mit nur 3 Perioden auf demselben Intervall die gleichen Sumpels ergeben würde. Also wird bei der diskreten FOllriertransfOl'mation eine niedrigere spektrale Komponente erscheinen, und zwar bei fl Nyq - 25%. Besonders auffällig wird es, wenn wir nur knapp etwas mehl' als ein Sampel pro Periode nehmen (siehe Abb. 4.10). Hier ergibt {Fj } nur eine sehr niederfrequente Komponente. r.,'lit anderen \Vortell: spektrale Dichte, die bei ~ 2fl Nyq erscheinen würde, erscheint bei w ;;:: O! Dicses "Verfiilschell" der spektralen Dichte durch ungenügendes

4.4 Das Sampling-Theorem

113

1(t)

t "echt"

Fo

L

i

---l F,

F,

F3

{}Nyq

"falsch"

I

---l Fo

F,

F2

F3

{}NYt)

= 1 + 46(15 - 1) sin2

w~t

= 1 - 40(1 - 0) sin'

w~t.

(5.28)

Die Funktion IH(w)1 2 ist in Abb. 5.9 für 6 = 0, 6 = 1/4 und 6 = 1/2 dargestellt. Das bedeutet: abgesehen vOll der (nicht unerwartetcn) Phasenvcrschic. bung haben wir aufgrund des lnterpoliercns eine Tiefpaßwirkullg, ähnlich

5.4 Datell komprimieren .IH(",,)I~

•.••••••••••..............•••••••••.•.................••••••.••.. ~

147

J= 0

J = 1/,1 J = 1/2

Abb. 5.9. Betragsquadrat der Transferfunktion für dell Verschiebungs-/lntel'polatiollsalgorithmus (5.26)

der aus (5.11), die für J = 1/2 am stärksten ist. Wenn wir wissen, daß unsere gesampelte Funktion f(t) "bandbreiten-limitiert" ist, können wir das Sampling-Theorelll verwenden und die "richtige" Interpolation durchführen, olme dabei eine Ticfpaßwirkung zu habcn. Der Aufwand der Rekonstruktion von f(t) aus dem Sampels fA: ist aber groß und oft unnötig. Aufwendigere Interpolationsalgorithmen sind entwcder unnötig (falls die relevantcn spektralen Komponenten wesentlich unter f7 Nyq liegen), oder sie produzieren leicht hochfrct (c'w"'+l) 1) iw b.t e .c"t,/2 (e+ iw .c"t/2

2"" (eiw.c"t 2

(5.40)

e 'w .c"t,/2 (e+ 1w .c"t/2 _ e iw.c",./2)

t6.t 2 cos(wb.t/2)

-

+ e- iw .c",./2)

2 2i sin(wt6.t/2)

~

1 wb.t iw 2

wt6.t

---CO'--,

2

Die "exakte" Transferfunktion ist:

H(w)

1

~ ~

'w

(5.41)

siehe hierzu auch (2.62).

t,

Die Heavisidesehe Stufenfunktion hat die rouriertransformierte diese erhalten wir bei der Integration über den Impulsstoß (J-Funktion) als Input. Der Faktor (wt6.t/2) cot(wt6.t/2) kommt von der Diskretisierung. H(w) ist in Abb. 5.14 dargestellt. Die Trapezregel ist also ein sehr brauchbarer Illtegratiollsalgorithllllls. Ein anderer IntegrationsalgoritlllllUS ist die Simpsoll~I/3-Regel, die folgendennaßcn hergeleitet wird.

5.6 Integrieren diskreter Daten

151

iH(w)

l---~:~:§~~~;;;

exakt Trapezregel

D Nyq w

Abb. 5.14. Transferfunktion für die Trapezregcl (5.39) und exakter Wert (dünne Linie)

Nehmen wir an, wir haben drei aufeinanderfolgende Zahlen wollen ein Polynolll 2. Grades durch diese Punktc lcgen:

10, I!' h

lind

y=a.+bx+cx 2 mit y(x = 0) =

10 =

0.,

(5.42)

y(x = 1) = ft = a + b + c, y(x = 2) = h = a + 2b + 4c.

Daraus ergcbcll sielt die Koeffi:t.icllt.en

JlU:

a = 10, c ~ 10/2 + f,/2 - h, b~ ~

1< - 10 - c ~ 1< - 10 - 10/2 21< - 310/2 - f,/2.

f,/2

+ 1