Formule Mate [PDF]

Zitiervorschau

Clasa a IX-a

lll

Clasa a fX-a 1.

Mulfimi

gi elemente de

logici matematici

1. tr'ormule de calcul

prescurtat (a+b)'?=a2 + 2ab+b2;(a-b)2 =a2 2ab+b2; (a + b + c)' = a' + b' + c2 +2ab +2ac +2bc; (a+b)t =at t3a,b+3ab2 +b3 a, _b, =(a_b)(a+b);

=(a+b)(a, -aO+br); -b, =(a-b)(a, +ab+b2). 2. Sume remarcabile gi inegalitifi a3 +b3

at

l+2+3+...+n=9, l+3+5+. ..+(2n-l)=n2; !2

+22 +32 +...+n2

22

+42

-n(n+l)(2n+l) 6',

.

+...+(zn)2 -2n(n+l),(2n+l)

.

J

_n(qn'-t)

^,

.

J 13

+23 +33

' L 2+t)1'?. )',

+...+n3_[z(n

Inegalitateamediilor.Fie n eN,
1'unde qeR* esterafiaprogresiei'

ProPrietifi: t l)b,,=br.qn .Vn> l;

2)b,,2

=b,,,'b,,*,,Vn> 2, b,'>0;

: .:

:

(,6,1-).q+t. 2)

5,,=),"' ,l -l'

I

n'h, 'q =1

3)b|.b,,:br.b,*-,,Vk>l,adic6produsultermenilorextremiesteegalcuprodusul

I

termenilor egal depdrta{i de cei extremi' i

Exerci{ii selectate din variantele oficiale (Problerne din Variante Bac 2009) i. Determinali tennenul al zecelea al girului 1"7 ' 13' 19' " ' 2. Calculali suma I * 5 + 9 + 13 + + 25' geometrice, qtiind ca ra{ia este egalS 3. Determinali al noudlea termen al unei progresii

"'

c, ] li Primul

termen este 243'

4.Calculali suma I + 3 + 5 + "'+21' 5. Fie progresia aritmeticd in care a3 = 5'ee

=

17' Calculali ae'

! as = 13' Calculali azoae' 6. Fie progresia aritmetic d (an)n tin .ut. dt = $i qtiind cd an - a2 = L6' (an)nt 7. Detetminati raiia rr.l ptogittli aritmetice qi az 2 = 4' Calcula{i suma 8. Fie progresia aiitmetic-a (i)n-tin care dr = primilor 10 termeni ai progresiei' 2 bz = 6' Calcula{i b5' 9. Fie progre.iu g.o-.t i Ja 1bn1n , in care br = $i qi az = 5' Calcula{i a7' 10. Fi; prigresia"aritmetici (o")i".rin care &r = 6 5 qi r = 3' Calculali as' 11. Fie prog.e.ia aritmeticd (o)^r, in care oz = br care ( in = 7 $i bz -- 3' Calculati ba' 12. Fie progresiu geometric6 i"i".t

i 1

l

1

Clasa a

3. 4.

Se considerl progresia geometricd Sd se calculeze suma

incare

5.

llg

Sd se calculeze bu.

primilor zece termeni ai unei progresii geometrice

b,=4;i q=L.

Sd se calculeze suma primilor patru termeni ai unei progresii geometrice, qtiind ralia este egal[ cu 3 suma primilor patru termeni ai progresiei este egal6 cu 40.

6. Si se determine primul '1t

(b,),.r, in care bz =8 qi bq=32.

IX-a

este egald cu

termen al unei progresii geometrice

(b,),r*

ci

qtiind cdralia

{ ll surla primilor patru termeni ai progresiei este egal6 cu

85

64'

Testul3

1. Si se determine numirul real x, qtiind

. - i6{i.

x-2; x qi 2x+4

cE numerele

sunt in

progresie aritmetici.

2. 3.

Sd se determine SE se determine

numirul natural x, qtiind cd l+4+7 +...+x=210. primul termen al unei progresii aritmetice gi ra{ia gtiind cE

at+q=8

qi ar+au=17,

4. Si se determine

num[ru] real

x,

3x-l; x+3

gtiind cd numerele

gi

9-x

sunt in

progresie geometricd.

n, qtiind ce *]+!+...*]=zlt-(+l]

5.

Sr se determine num[ru] natural

6.

Sd se determine primul termen gi ra{ia progresiei geometrice gtiind

3. Funcfii. Fie

I

ii

corespunde un unic element

Numim graficul functiei Dacd

f

b4

$i

Proprieti{i generale

qi Bdouimulliminevide.Spunemcd

element x e A

cI bd=64

f :A +.8 f

(x)

eB

esteofuncfiedacifiecirui

.

f :A -+ B mullimea Gr={(a,f (o))l ae A\c.AxB.

este o func{ie numerici, atunci

G,

are o reprezentare geometricd

intr-un

sistem de axe coordonate.

Imaginea func{iei (sau mullimea valorilor func{iei)

---'ai'\.

ntleze

aro.

Imf ={yeB llxeAastfel incdtf (*)=yl. Fie f :A -+ B SiM cA, NcB. Atunci: f (M)={y.B llxeA astfel incdt f (r)=y} prin functia

f A --> B este :

se numegte

imaginea multimii

M

/.

/-' (N)={rlxe

preimaginea mullimii N prin functia piin sau imaginea reciproci a mullimii N f. 1. Operafii cu funcfii Fie funcfiile -f , g:D -+R, DglR nevid[. Atunci definim: . suma func{iilor/gigeste tunctia (f +S): D -+1R., ("f +gXr)= f (x)+g(x). . produsul tunctiilor/gi g este tunclia (f . S): D ->1R., (f . S)G)= "f(x).g(x). cxleze b

.

A si f

(x)eN}

. catul funcliilor/q i g, g (x)

se nume$te

* 0,Y x e D, este func{ia I

:

D+

R,(f),r,

=#

/

=16.

20 | Bacalaureat Dacd

f

:A

2016: Matematicd M_St-nat

+

definiti prin

B 9i g:B

(g./)(

x') =

+

C suntdoui func{ii, compusa lor gof s (-f (*)),Vx e A.

:A+

C

este

Compunerea funcliilor este asociativi, nu este comutativd, are element neutru func{ia identici 1n: A -+ A,lu(x)=a. Funclia f :A -+.8 senumegteinversabilidaciexistdofunclie g:B -+l astfelincdt g".f = lo qi.f lB.senoteazd

"g=

f-t.Arelocrelatia

f (x)=yex=-f-r(y).

2. Monotonia

funcfiilor Fie f , g:D -+lR, DclR.. Spunem ci: ../este strict crescdtoare dacl yx*x2eD cu xrO. l) logox=Y1, arunci '''

. U0, a+l si b > 1, atunci .f (x):log,,b Dacd, a/(') -as(a), a>0,a+1, atunci ./(.r)=g(x). 5. 5. Ecuuyii logaritmice Se vor pune condiliile de existen[d:a>0,a = I qi /(,r) >

o

:" lilnrle

'

#..

5.

0.

tog,.f(x)=log,g(r). a>0,a+1,.f (r), s(r)>0, atunci ./ (*):sO). Dacd /og,,,,g(.r): b,.f (x)>0,,i'(r)+1pi g(x)>0, atunci s(r):./ (r)o

Dacd

6. E cualii trigon ometric e Daci sin r: a, a el-l.t] pentru a determina valoarea cos/ folosinr identitatea

sintl+cos'1=1.

a

x-a 149

52 1 Bacalaureat

Toctul2 1.

2016: Matematicd

l{-qt-nut

i\c

'"'

Sd se determine domeniul

maxim de definifie al funcliei /:D-+IR.,

O:.

f (x\ =logr,., (lx' - +41. 2.

'xx' cI x+1=5.

Stiind

Sd se

\um! calculer"

*'+\-3,

xe

Binon

1R.*.

3. Si se determine solufiile reale ale ecuafiei 4gx+2 -'7x2+s. 4. SI se deterrnine solu{iile reale ale ecualieiJl x-12 = x. 5. SI se determine solufiile reale ale ecuafiei log, (5'-a)=0. 6. Si se determine elementele mullimii a= {x eZ /l3r + 2l < I U .

t-

3. Sd se determine soluliile reale ale ecuatiei

J(x'-A;+Z)=.t*t.

4. Sd se determine soluliile reale ale ecuafiei

9'-4.3.'-3=0.

6.

Cl s:

"

-

. S-: oS:

Exerci[i {\-a---" 1, -{:l

eleri:: I C=-

3. Rez

4tlr>1 r- +i

Sd se cletermine solufiile reale ale ecuafiei 3rrg'rr-r)

-

Terrn

Testul3 1. Sisedeterminedomeniulmaximdedefrniliealfuncliei /:D-+1R., f(4=Ji-S**. 2. Si se determine ecua,tia de gradul II, cu rid[cinile reale x, $i rz qtiind ci au loc rela,tiile 4+.r2=8 qi x,+x, =-2.xr'xz.

5. S5 se determine solu{iile reale ale inecualiei

;

F::

-1-

.

27'

4.

Ca'.

5. 6.

Al: Ci:

t r./. i1,i.

3. Probleme de numirare qi combinatorief,

8. Ca. 9. Ci: 10. c.

o

Fie I o mui{ime finiti cu n elernente gi l: e N, 13 k {n. Se nuuregte permutare amullirnii A orice mullime ordonatd care se poate forma cu elementele sale. P,,: n! o Se numesc aranjamente de n luate cite k orice rnullime ordonati din l: eletnent,-:

lui

ale

o

11. C:

12. D,

.,1

unei

,- n! " \n-k)l

Se numesc

din

k 7k

combinlri de n elemente luate cdte

k

orice submullime a lui ..{ fonnati

elemente

", -

nt Orrr, _

A:,

*- i

Formula combinirilor complementarc: C:

:

C;-o

13. C, 14. \', 15. AI 16. C: 17. Rt 18. Rr 19. in

20.

Formula de recurenfi a combinirilor: Cj : Ci,-, + C|-i Fie I o mul{ime cu rt elemente gi B o mullime cu n elemente. Aturtci: l) Dacdn 2

.

Rezolva{i inecuafia 2C; < n * B,n € N,n ) 2 . in cAte moduri se pot alege doud persoane dintr-un grup de 6 persoane. Calcula[i Cloo, - Cloo, - C)oor.

Ererci{ii propuse 1. Determinali neN pentrucare 1!*(I11)l=rs. (n-l)!+nt' 4'

e

se

15.Arita{icdC!+1=3!. 16. 17. 18. 19. 20.

,:.- ci:

Z1t

5. Afla1i c6te numere de 3 cifre distincte se pot forma cu cifre din mullimea {1,2,3}. 6. CAte numere de 3 cifre exist[, cu elementele din mullimea {1,2}. 7. Atlali n C N din ecualia Cfl + C] = g. 8. Calculali C| + C|. 9. CAte submullimi cu 2 elemente are mul{imea A = t7,2,3,4,5,6}. 10. Calcula{izcl A3.

14. Verifica{i cd: C!

format[

! =6-

l.

calculari:

(n+l)!+n! (n +2)l

56l

Aacalaureat 2016: Matematicd

M

$t-nat

4. Geometrie analitici in reperul xOy , frecare punct M (x,

y)

este determinat de

vectorll de pozilie

OM=xi+yj.

.

yr; gi B(.r, yr), atunci 7E 7E=Gu-xn1i+(yu-y)j. . Lungimeavectorului 7E este ll*ll = Dacd A(*o,

.

Dacd

;.; .

,

v:xJ+/r./

.l-ii

v=xzi+)'zj,afunci tt'l'=.Yrx2-r"f

$i

i-r'"9i tittll= xr' *

Y,

.o,(fr)=ff$P \ / *y,r.J.*r, n/,,

Vectori perpendiculari:

i

>

!,

ia,ouca

cos

licr a'i=0 e Vectori paraleli: illi o lt = !' li

(,fr ), o .* (,1;).

;

. ecuafia dreptei AB este

x,l

-

qi yv

\

l-

8.

.,-

9.

:^-.

10.

:

I1,

:.

Lt._.r :.

,1-1] = !o-!.t :l'-',1 xn-x.,t

'

13.':'

. distanfa dintre punctele A qi B este.' AB=iG{r.,)'*0'r-;T . mijlocul M al segmentului [lBl, are coordonatele

=L?

-_-

(r..:-:

b-)t. xa

:

+.

xtxz* y,y, =0.

B(xr, 1,.r). Atunci:

. panta dreptei AB este 7n =

: _-_

{--

x2 lz

Dreapta in plan Fie punctele A(x,1, !,e)

1I. I

:--

,lrr,

)

*,

.-

_:

Ererc-iri

reprezinti produsul scalar'

(fr ). o = (fr

cos

sau

^K;#.,.3{j:;\' din planul.ror., atunci

lflil=",ft;rf , a..i o,"a

)tt--v.,)

i(*,, y,) sii(xT yr) sunt doi vectori

=lpll lfli.cos(aiv)

Dacd

1*u-x.a,

L!

=**

-.-

i.l,

a'

l'!

--

15.

-,

-

punct

.

Punctul

,,

=

M

il*,

care imparte segmentul

+

fr1*,; t,, = fi1!

. ecua(ia dreptei ce trece prin

Daci

dreapt

a

Fie clreptele: Si

cl

arcecua{ia

d;

A

+

^

IAB), in raporlul /r

fi1t

ffi=t

are coordonatele

+c =

n

! -! .f

rll(x

-

.r, )

0, atunci panta este ,n =

-l'-

este

t7.Fi d:2x

.

.

b

sin(x+2kr):,\inx,YkeZ; cos(r+2kn)=.r.r, VkeZ a\1;+h'y +c, = ii

d"'. arx+b,y+cz=0,

atunci:

16. in d2:x

a celo

u.

qi are panta

ax + by

.

18. in incdt.

19. A 20. Fi

clesa

a

x-o

157

a. b. o m,r, = nt.t : ;=-; 21d, t i1- *rir,, ',r.,. = . t,

l)

il,l:d. o

3)

d

coincidecu d, o!]--

? ='tc'1 o, o.

.

Distanla de la punctul,.l(xu,.l,r) la dreapta d

lrrx.+"bv.+cl l(,1.J)=' 'l , ', la'*b'

: ax*

by + c =

0

este

L.

Exerci{ii selectate din variantele oficiale (Variarrte Bac 2008-2009) I.l)etermina{i ecua{ia dreptei care trece prin punctele

-!*

*

A(2,-l),8(1,,-2).

*

3 = 0 9i ax 2y 5 = 0 suntparalele. 2. Afla{i a € R. dacd cireptele2x 3. Fie punctele 1(1,, a),8(2,-1),C(3,2) gi D(1", -2). Afla1i a € IR., qtiind cd clreptele AB Si CD sunt paralele. 4. Aflali ecua{ia dreptei care con{ine punctul A(1,,1) qi este paraleld cu dreapta

4x+2y*5=0. 5. Afla{i ecua{ia dreptei care con{ine punctul A(2,

x*2Y*5:0.

-3)

,si este

paraleld cu dreapta

6.;\fla{i aria LABC determinat de punctele A(7,2),8(-1,7),C(3,5). 7. Afla{i aria AABC echilateral cu 1(-1,1), B(3,-Z). 8. Aflali lungimea segmentului AB ctt A(2,3),8(5,-I). 9. Aflali coordonatele punctului C, qtiind cd el este simetricul punctului A(5,4) fa![ de B(-2,L). 10. Aflali a € IR. gtiind cd AB = 5 unde A(-7,2) qi B( - a,4 * a). 11. Afla{i distania dintre punctele ^A(3, -1),8(-7,2). 12. in reperul xOy se considerd punctele A(1.,2),8(5,6), C(-1,,7). Afla{i ecua{ia medianei duse din vdrful C in LABC. 13. in reperul xOy se consider[ punctele A(2,3),8(1,5), C(4,2). Calculali distanla ia mijlocul segmentului [BC]. cle la punctul 2x my +3 = 0 $i d2:mx + y 14. Fic dreptele d1: = 0. Determina{im € R' pentru care d1 ll d2. 15. tn reper-Lrl xoy se considerl A(-1,-1),8(2,3),C(3,1). Aflali coordonatele punctului 1) astfel incl$ ABCD sd fie paralelogram. y 2 = 0 $i 16. in reperul xOy se considerd dreptele de ecualii d1:2x punctul punctul de intersec[ie ia O la de 3y B 0. Calcula{i distanla d2: x a celor dou[ drepte. 17. Fie punctul A(2,3). Determina{i m € IR. pentru care punctul A se afldpe dreapta

I

-

coordonatele

*

- :

-

-5

- -

d:Zx-!*m=0.

+bry+cr=0

18. in reperul xOy se considerd punctele A(1,1.),8(2,3),C(3,m). incdt A, B, C coliniare. 19. Aflali simetricul punctului A(2, -4) fa{6 de punctul B (7, -2). 20. Fie A(1,,2), B(5,2), C(3, -1). Calcula{i perimetrul LABC.

Aflalim €

IR'

astfel

60 | Aacataureat

20I 6; Maretnaticci M-St-nat

2. a) S[ se determine lz e ]R astfel inc6t punctul A(-1,2) apa4ine dreptei de ecua{ie d:x+5y-3m:0. b) Sd se determine ia e iR astfel incit punctul A(n2 ,8m) se afli pe dreapta de ecua{ie d:x-y+15=0. c) Sd se determine rn elR astfel incit dreapta d,'.mx+2y-3=0 sE fie perpendiculard pe dreapta d. :4x-(m+1)y+5=0.

={a+ibl a,beR, i' =-1} z=a+bi: c,De R. esteformaalgebricd alui z; C

z

2.A alui

z

.

.

Proprietdti:

a) izl>0 ;b;)

lzl=04*r,Vn>1. $irul (r,I., este monoton dacd,este crescdtor sau descrescdtor. ' spunem cd girul (*,)** converge la / qi scriem lig*,=r, dacd areloc una din $irul (r,

.

,

condiliile:

1) Orice vecindtate a lui / conJine toli termenii qirului incepdnd 2) YV eV(l),3n, eN, astfel incdt Vr eN ,n)n,-+xneV . 3) Va >0,1n,eN, astfel inc6t Vn e N, n) n, +1x,,-11., . . Dacd / este finit, spunem cI girul este convergent.

de la un anumit rang.

. . '

E:.

$irurile care nu sunt convergente se numesc divergente. Un gir convergent este mirginit. Dacd un gir are limit6, atunci orice subgir al siu are aceeagi limitd. Un gir care contine doud subgiruri cu limite diferite este divergent. Teorema lui Weierstrass:

L :i:3

Orice gir monoton gi mlrginit este convergent. Criteriul majoririi: Fie (4 I., ,n gir de numere reale, -r e iR. 9i (o,),.*un Dacd lx,

- xl< an,Y ne N

Consecinld: Fie

Atunci

(a,),.,

,

atunci

lgg.q

=,

un gir converge

$ir de termeni pozitivi cu a,,

-)

.

ntla

zero qi

(4

),.,

un gir mdrginit.

!\on.*n=0.

criteriul raportului: Fie (x, ),.,

un gir de termeni strict pozitivi, astfel incit existi

1i^xn+r -1. Atunci:

. dacd 0 < / < I . atunci

. l,g r, = 0 ; dacd dacd / > I . atunci l,ig4, = ** Criteriul clegtelui: Fie (a, ),., , (b,)** , (*,),.* giruri de numere reale an{xn Rastfel inc6t +o , respectiv -.o , sunt puncte de acumulare ale lui D.Dreapta de ecuafie y=mx+n, m,neR, m*0 esteasimptotd oblicdla +co (respectiv -co) R o funclie continul pe la, b], derivabil6

- u'

pe(a,b).Atunciexist6celpuJinunce(a,b)astfel,n"u,ff=.f,(c).

Fie

u

r-, \l-l/ ^.lt

ll

\*u" 'lt

I

L' lt

Consecinfe pe 1. 1. O func1ie derivabila cu derivata nul[ pe intervalul / este constantd printr-o constant[ pe 1 difer[ pe interval un egale 2. Dou6 func{ii derivabile cu derivatele pe 1, este crescatoare atunci l" 3.Fie f derivabil[ pe 1 . DacS /',(x)>0,vre1,

dacl /'(.r)