Formulaire Statistique Inferentielle [PDF]

Zitiervorschau

Université de Picardie Jules Verne UFR des Sciences Licence mention Mathématiques - Semestre 3 Formulaire de Statistique Inférentielle 1) Estimateurs Paramètre

Estimateur 1 n

X

2

n

S 2c

n

1

Statistique et sa loi

n

Xi

X

T

1 n

n

X 2i

X

2

n

Y2

i 1

Student à n

:

Sc n

i 1

S 2 , avec S 2

2016-2017

1 d.d.l.

si échantillon gaussien Khi deux à n

1 S2 : c 2

1 d.d.l.

si échantillon gaussien

n

Xi p

i 1

F

F p p1 p n

U

n

: Normale N 0; 1 (approx.) si np 10 et n 1 p 10

2) Intervalles de confiance au niveau 1 Paramètre

Intervalle de confiance i

2

i

p

ip

sc t , x n

x n

2

sc t n

t tel que P t

1 s2 , n 1 s2 c c a b

f1 f u , f n 1

f

Valeurs tabulées T

t

1

P Y2

a

1

a et b tels que

f1 f u n 1

PY

u tel que P u

2

b

U

2 2

u

1

3) Tests de conformité au risque H0

H1

Statistique de test 0

0

T

0

2

2 0

2

2 0

2

2 0

2

p p

p0

p

p0

t tel que P T t tel que P T

T

t

t

t

Y

2

n 2 0

1 S2 c

1

b tel que P Y 2 a tel que P Y 2

U

F

p0 p0 1 p0 n

u tel que P u

, i.e. t

, i.e. t Y2

b a

1

1

a et b tels que P a

p0 p0

0

Sc n

2 0

p

t tel que P t

X

0

Valeur(s) test(s)

t2 b

U

b2

, i.e. a u

t2

2

1

, i.e. b 1

t2

a2

1

u tel que P U

u

1

, i.e. u

u2

u tel que P U

u

1

, i.e. u

u2

Pour un intervalle de confiance de et/ou un test de conformité sur avec un grand échantillon (quelconque), on peut approcher la loi de Student par la loi Normale N 0; 1 , et remplacer t , t et t par u , u et u . 1

4) Tests d’homogénéité au risque H0

H1

Statistique de test et sa loi sous l’hypothèse H 0

Valeur(s) test(s) f tel que

1

2

1

PF

S 2c,1 Snédécor à n 1 1, n 2 1 d.d.l. : 2 S c,2 si échantillons indépendants gaussiens

F

2

f

2 en travaillant avec f

1 1

2

1

u

2 2

1

2

1

2

X1 S 2c,1 n1

U

X2 S 2c,2 n2

Normale N 0; 1 (approx.)

:

Student à n 1 1

2

1 1

X1

T

2

s c,1,2

2

X2

1 n1

:

1 n2

1

1

p1

2

2

p2

1

n2

u

2 d.d.l.

t

(approx.) si petits échantillons indép. gaussiens et si avec s 2c,1,2

1

u

si grands échantillons indépendants

1

t

2

t

n 1 1 s 2c,1 n 2 1 s 2c,2 n1 n2 2

u

2 2

1

2

1

2

1

2

1

2

p1

p2

p1

p2

p1

p2

D , où D S c,d n

U

X1

X2 :

u

si grands échantillons appariés

X1

u

1 d.d.l.

t

X 2 : si petits échantillons

t

Student à n

D , où D S c,d n

T

Normale N 0; 1 (approx.)

t

appariés gaussiens Normale N 0; 1 (approx.)

U

1 n1

F1

F2

1 n2

f 1,2 1

:

si n 1 f 1

f 1,2

5, n 1 1

f1

u

5,

u

n2f2

5, n 2 1 f 2 5, n1f1 n2f2 avec f 1,2 n1 n2

u

5) Test d’ajustement à une loi théorique à r modalités au risque Hypothèse H 0 : le caractère suit la loi théorique définie par les probabilités p i . Hypothèse H 1 : H 0 . r N i np i 2 Statistique de test : D . np i i 1

Loi de D sous l’hypothèse H 0 : khi deux à r Valeur test : b tel que P D b .

1

k d.d.l.

6) Test d’indépendance entre deux caractères à r et s modalités au risque Hypothèse H 0 : les deux caractères sont indépendants. Hypothèse H 1 : H 0 . r

s

Statistique de test : D

N i,j

np i,j np i,j

2

, avec np i,j

n i, n ,j n , n i,

i 1 j 1

Loi de D sous l’hypothèse H 0 : khi deux à r Valeur test : b tel que P D b .

s

j 1

1 s

1 d.d.l. 2

r

n i,j et n

n i,j .

,j i 1

1

7) Régression linéaire simple On considère deux variables quantitative X et Y et le modèle de régression Y X , où cov X, Y normale N 0; . On désigne par le coefficient de corrélation linéaire entre X et Y. X Y

suit la loi

Droite des moindres carrés de y en x. cov x, y , b y ax , s 2x cov x, y et coefficient de corrélation linéaire r entre x et y avec :et r sxsy n n n n n 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 où x x , y y , s x x , s y y et cov x, y xiyi xy. i i x y i i n n n n n i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 Effectuant plusieurs expériences, et ainsi plusieurs échantillonnages, a, b et r apparaissent comme les valeurs observées des variables aléatoires A, B et R. 2 1 . Des estimations ponctuelles de , , 2 et sont On a alors E A ,EB et E R 2n 1 2 n 1 r 2 s 2 et r (ou plus précisément r r 1 r ). alors respectivement a, b, s 2R y n 2 2n 3 Droite d’équation y

ax

b, avec a

Intervalle de confiance et tests pour un coefficient de régression linéaire La situation est celle décrite dans le paragraphe 1. 2 s 2R . La variable aléatoire T La variance de A est égale à 2 , et peut être estimée par s 2A ns x ns 2x de Student à n 2 degrés de liberté. On détermine alors le réel t 1 tel que P t 1 T t 1 1 en déduit un intervalle de confiance de au niveau 1 1 : i a sAt 1 , a sAt 1 .

A

s A suit la loi 1 (table 3). On

Test (bilatéral) de H 0 : 0 contre H 1 : 0. a 0 On calcule t et on décide que : sA - si t t 1 , t 1 , alors on ne peut rejeter H 0 ; - si t t 1 , t 1 , alors on rejette H 0 avec une probabilité 1 de se tromper. Cas de . On peut mener une étude analogue pour en utilisant le fait que la variance de B est égale à B s 2R n 2 1 x 2 , et peut être estimée par s 2 s 2 1 x2 2 x i , et que la variable aléatoire T B R 2 2 2 2 n n sB ns x ns x n sx i 1 suit la loi de Student à n 2 degrés de liberté. Prévision. L’ajustement affine peut servir à prévoir la valeur attendue pour Y quand l’expérimentateur fixe X x 0 . L’estimation ponctuelle de cette valeur est y 0 ax 0 b, et un intervalle de confiance de cette valeur au x0 x 2 x0 x 2 1 1 2 2 niveau 1 : i y t s 1 , y t s 1 . 1 y0 0 0 R R 1 1 n n ns 2x ns 2x Intervalle de confiance et tests pour un coefficient de corrélation 1 ln 1 arg th . Soit le nombre défini par 2 1 1 ln 1 Soit Z la variable aléatoire qui au cours de chaque échantillonnage prend la valeur z 2 1 Lorsque n est assez grand (n 20 en pratique), un intervalle de confiance de au niveau 1 : u u , z z1, z2 . n 3 n 3 D’où un intervalle de confiance de au niveau 1 :i r1, r2 thz 1 , thz 2 . Test de H 0 : 0 contre H 1 : 0. R n 2 Sous l’hypothèse H 0 , T suit la loi de Student à n 2 degrés de liberté. On calcule t 1 R2 - si t t , t , alors on ne peut rejeter H 0 ; - si t t , t , alors on rejette H 0 avec une probabilité de se tromper. i

r r

arg thr.

r n

2

1

r2

z

3

:

4

5

6

7

8