Fizika Statistike dhe Termodinamika [PDF]

Zitiervorschau

UNIVERSITETI I PRISHTINËS “HASAN PRISHTINA”

ar.scK=pâÉåÇÉê=^ÜãÉí~à=

cfwfh^=pq^qfpqfhb=aeb=qbojlafk^jfh^=

mofpeqfk¦I=OMNQK=

U N I V E R S I T E T I I P R I SH T I N ËS ``HASAN PRISHTINA``

Dr.sc.Skender Ahmetaj

FIZIKA

STATISTIKE

DHE

TERMODINAMIKA

Prishtinё,2014

Parathënie Ky tekst u dedikohet studentëve të vitit të tretë të Departamentit të Fizikë në Fakultetin e Shkencave Matematike-Natyrore në Prishtinë. Pas një pune të gjatë, studentët e Departamentit të Fizikës do ta kenë këtë tekst në shërbim. Teksti përmban 16 kapituj leksione dhe në kapitullin e 17 janë të zgjidhura me sqarime një numër i konsiderushëm i problemeve të marra nga çdonjëri kapitull. Ky numër i problemeve të zgjidhura do të kontribuojë në kuptimin më të thellë dhe më të lehtë edhe të leksioneve. Ky tekst në radhë të parë u është dedikuar studentëve të Fizikës por mund u shërbejë edhe studentëve të Fakultetit Xehtaro-Metalurgjik si edhe të gjithë studentëve ku ligjërohet Fizika statistike me termodinamikë. Në tekst është përdorur aparati matematik, i cili për studentët e Fizikës është i afërt, sepse këtë aparat matematik studentët e dëgjojnë në kurset e matematikës gjatë vitit të parë dhe të dytë të studimeve. Falënderim të veçantë për kontributin e dhënë që ky tekst të jetë sa më i kompletuar i u shprehu kolegut të respektuar Dr.sc. Skender Kabashit dhe asistentëve Mr.Valon Veliut dhe Mr.Kushtrim Podrimçakut. Më gjithë përpjekjen e madhe që teksti të jetë sa më i kompletuar, jam i vetëdijshëm se jo çdo gjë është shtjelluar në mënyrën më të mirë. Të gjithë lexuesve, të cilët mund të bëjnë vërejtje për gabimet eventuale të lëshuara u jam mirënjohës. Radishevë, shkurt, 2014 Dr.sc.Skender Ahmetaj

3

Pёrmbajtja Objekti i studimit tё fizikёs statistike dhe termodinamikës 1

Bazat e teorisё sё probabilitetit 1.1 Elemente tё kombinatorikёs 1.2 Elemente tё teorisё sё probabilitetit 1.3 Shpёrndarja e madhёsive tё rastit 1.4 Shpёrndarja binomiale 1.5 Shpёrndarja e Puasonit 1.6 Shpёrndarja e Gaus-Laplasit

2

Parimet bazё tё mekanikёs statistike 2.1 Gjendja dinamike e sistemit 2.2 Mikrogjendjet dhe makrogjendjet e sistemit 2.3 Kuptimi i hapësirёs fazore 2.4 Teorema e virialit 2.5 Ansambli statistik 2.6 Teorema e Luivilit 2.7 Gjendja energjetike 2.8 Ansambli mikrokanonik 2.9 Ansambli kanonik 2.10 Ansambli i madh kanonik

3

Madhёsitё themelore termodinamike 3.1 Energjia e brendshme e sistemit 3.2 Entropia dhe besueshmёria e sistemit 3.3 Temperatura e sistemit 3.4 Shtypja e sistemit 3.5 Potenciali kimik

4

Fizika statistike klasike 4.1 Shpёrndarja kanonike e Gibsit 4.2 Shuma statistike dhe energjia e lirё 4.3 Shpёrndarja e Gibsit pёr sisteme me numër tё ndryshueshëm tё grimcave 4.4 Pёrcaktimi statistik i madhёsive termodinamike 4.5 Shpёrndarja e Maksuellit Fq. 76 4.6 Goditjet e molekulave ndёrmjet veti 4.7 Gjatёsia e rrugёs sё lirё 4.8 Shpёrndarja e Boltzmanit 4.9 Molekulat e gazit atmosferik nё fushёn e gravitacionit 4.10 Trupi nё gjendje ekulibri nё fushё tё jashtme 4.11 Entropia dhe vёllimi fazor 4.12 Teorema H e Boltzmanit

4 5

Teoria kinetike e gazrave 5.1 Funksioni i gjendjes dhe procesit 5.2 Shtypja e gazit ideal 5.3 Ligji i Daltonit 5.4 Ekuacionet e gjendjes 5.5 Teoria kinetike e gazrave 5.6 Shuma statistike e lёvizjes translatore tё gazit ideal 5.7 Shuma statistike e lёvizjes translatore tё gazit ideal dyatomik 5.8 Funksionet termodinamike tё gazit ideal 5.9 Teoria klasike e nxehtёsive specifike tё gazrave 5.10 Energjia lёkundёse e molekulave dyatomike 5.11 Energjia e rotacionit tё molekulave dyatomike 5.12 Ligji pёr shpёrndarjen uniforme tё energjisё 5.13 Oscilatori linear harmonik

6 Ekuacionet themelore tё termodinamikёs 6.1 Pёrshkrimi termodinamik i sistemit 6.2 Ndryshimi elementar i energjisё mesatare tё sistemit 6.3 Sasia e nxehtёsisё dhe entropia 6.4 Parimi i parё i termodinamikёs 6.5 Parimi i dytё i termodinamikёs 6.6 Kapaciteti termik 6.7 Kapaciteti termik i gazit ideal 6.8 Energjia e brendshme dhe energjia e lirё 6.9 Entalpia dhe potenciali i Gibsit 6.10 Relacionet e Maksuellit 6.11 Vlera mesatare e madhёsive fizike 6.12 Ekuacioni i Gibs-Helmholtzit 6.13 Ekuacionet adiabatike 6.14 Ekuacioni kalorik i gjendjes 6.15 Zgjerimi adiabatik i trupit 6.16 Cikli Karno 6.17 Ekuacioni i Kausius-Klapejronit 7 Gazet reale 7.1 Forcat ndёrmjet molekulave tё gazit real 7.2 Shuma statistike e gazit real 7.3 Ekuacioni i Van der Valsit 7.4 Funksionet termodinamike tё gazit real 8 Gjendja kristaline 8.1 Modeli njëdimensional i kristalit 8.2 Valët në kristalin tredimensional 8.3 Shuma statistike e kristalit Kapaciteti termik i rrjetës kristaline 8.4 8.5 Funksionet termodinamike tё kristalit

5 9

Termodinamika e sistemeve me numёr tё ndryshueshëm tё grimcave 9.1 Sistemet me numёr tё ndryshueshëm tё grimcave 9.2 Kushti i stabilitetit tё gjendjes termodinamike 9.3 Ekulibri termodinamik i fazave 9.4 Rregulla e fazave tё Gibsit 9.5 Kalimet fazore dhe parametri i rregullsisё 9.6 Kalimet fazore pa parametёr rregullsie 9.7 Teoria e Llandaut pёr kalimet fazore

10 Dukuritё sipёrfaqёsore 10.1 Tensioni sipёrfaqёsor 10.2 Formula e Laplasit 10.3 Ndikimi I tensionit sipёrfaqёsor nё lindjen e fazёs sё re 10.4

Lёndët sipёrfaqёsore aktive

11 Fizika statistike kuantike 11.1 Kuantimi i spektrit energjetik 11.2 Shuma statistike e sistemeve kuantike 11.3 Kuantimi i energjisё mesatare e oscilatorit harmonik 11.4 Numri i gjendjeve kuantike nё intervalin e impulsit 11.5 Probabiliteti statistik 11.6 Shpёrndarja kanonike kuantike 11.7 Shpёrndarja sipas mikrogjendjeve 11.8 Paradoksi i Gibsit 11.9 Shpёrndarja e Boze-Ajnshtajnit 11.10 Rrezatimi i trupit apsolutisht tё zi 11.11 Aplikimi i shpёrndarjes sё Boze-Ajnshtajnit nё gazra 11.12 Statistika e Fermioneve 11.13 Probabiliteti statistik 11.14 Shpёrndarja e Fermi-Dirakut 11.15 Funksioni Fermi 11.16 Aplikimi i shpёrndarjes sё Fermi-Dirakut nё elektrone 11.17 Gazi elektronik nё temperatura tё ulёta 11.18 Aplikimi i shpёrndarjes sё Fermi-Dirakut nё gazra 11.19 Kufiri i statistikёs klasike 11.20 Lёkundjet e atomeve nё kristal 11.20.1 Modeli i Ajnshtajnit 11.20.2 Modeli i Debajt 11.21 Dendёsia e gjendjes 11.22 Gazi i degjeneruar i fermioneve 11.22.1 Degjenerimi i plotё 11.22.2 Degjenermi jo i plotё 11.22.3 Gazi real i fermioneve me degjenerim tё plotё 11.22.4 Gazi i lёngёzuar i heliumit 3He 11.22.5 Gazi elektronik nё metale

6 12 Parimi i tretё i termodinamikёs 12.1 Parimi i tretё i termodinamikёs 12.2 Parimi i tretë i termodinamikës për bozone dhe fermione 12.3 Paarritshmёria e zeros absolute 12.4 Temperaturat negative 13 Vetitё e substancёs nё temperaturё dhe shtypje tё lartё 13.1 Ekulibri nё krijimin e çifteve 13.2 Ekuacioni i gjendjes pёr dendёsi tё mëdha tё substancёs 13.3 Gjendja e ekulibrit tё trupave me masё tё madhe 13.4 Energjia e trupit gravitacional 13.5 Ekulibri i sferёs ``neutronike`` 14 Sistemet nё fushёn e gravitetit 14.1 Potenciali gravitacional 14.2 Paraqitja e sistemit të thjeshtë në fushë të gravitetit 14.3 Ekuacioni i Gibsit për sistemin e thjeshtë në fushë të gravitetit 14.4 Relacionet midis potencialit total dhe atij kimik në fushën e gravitetit 14.5 Kushtet e ekulibrit në fushë të gravitetit 15 Sistemet nё fushё elektrostatike dhe elektromagnetike 15.1 Potenciali elektrostatik 15.2 Fusha elektrostatike nё hapësirё 15.3 Fusha elektrostatike brenda sistemit tё vazhduar 15.4 Zhvendosja elektrike brenda materialit 15.5 Ndryshimi i gjendjes nё sistemet e ndikuara nga fusha elektrike 15.6 Ndryshimi i energjisё sё lirё tё kondensatorit 15.7 Ndryshimi i energjisё dhe entropisё sё dielektrikut 15.8 Puna e kryer gjatё ndryshimit tё induksionit magnetik 15.9 Aplikimi i ekuacionit magnetik tё gjendjes 16 Termodinamika dhe relativiteti 16.1 Ndryshimi i energjisё nё fushё tё gravitetit 16.2 Ndryshimi i nxehtёsisё specifike me lartёsinё 17. Probleme të zgjidhura të fizikës statistike 17.1 Integralet që lajmërohën në fizikën statistike 17.2 Probleme të zgjidhura të fizikës statistike Literatura e konsultuar

7 Objekti i studimit të fizikës statistike dhe termodinamikës Fizika statistike është njëra nga pjesët më të rëndësishme të fizikës teorike. Ajo studion sisteme me numër të madh grimcash, si gazra, lëngje, trupa të ngurtë. Së bashku me termodinamikën fizika statistike zbatohet në fizikën e molekulave, fizikën e trupit të ngurtë, kimi, biofizikë, teknikë etj. Si fizika statistike, edhe termodinamika studiojnë dukuri të kushtëzuara nga bashkëveprimi dhe lëvizja e pandërprerë e numrit të madh grimcash, nga të cilat përbëhen sistemet që shqyrtohen. Këto disiplina shkencore studiojnë formën termike të lëvizjes së materies dhe ligje e saj specifike. Dallimi ndërmjet tyre qëndron në metodat e studimit. Ndërsa termodinamika studion cilësitë e përgjithshme të sistemeve fizike nga ana energjetike. Fizika statistike niset nga përftyrime molekulare mbi ndërtimin e këtyre sistemeve. Interpretimi statistik i ligjeve të termodinamikës përcakton kufijtë e përdorimit të tyre. Përshkrimi termodinamik i vetive të sistemit bëhet me ndihmën e madhësive si: vëllimi,shtypja, temperatura, energjia e brendshme, entropia etj. Këto madhësi quhen madhësi të gjendjes ose parametra termodinamikë. Parametrat termodinamikë mund të jenë parametra ekstenzivë dhe intenzivë. Parametra ekstenzivë janë energjia e brendshme e sistemit, vëllimi, entropia etj. Veti e përbashkët e këtyre parametrave është ekzistimi i raportit linear ndërmjet sasisë së substancës dhe vlerës së këtyre parametrave. Ky proporcionalitet nuk vlenë për parametrat intensiv. Vlera e parametrave intensiv është i pavarur nga sasia e materies. Parametra intensiv janë temperatura, shtypja etj. Në mekanikën klasike dihet zgjidhja e problemit të dy trupave. Rritja e numrit të trupave na çon në vështirësi të mëdha. Kështu lëvizja e tre trupave mund të zgjidhet vetëm me procedurë aproksimative. Një mol i gazit përmban 6,023·1023 molekula të cilat bashkveprojnë ndërmjetveti. Sipas mekanikës klasike do të duhej të shtrohen ekuacionet e lëvizjes për secilën grimcë në veçanti:

 n  dvi mi   Fik dt i  k ku

  v i është shpejtësia e molekulës ``i`` , kurse Fik është forca që vepron ndërmjet molekulës

``i`` dhe ``k``. Dhe nuk kemi mundësi t`i zgjidhim ekuacionet e lëvizjes për çdo molekulë. Përveç këtyre vështirësive praktike ekzistojnë edhe vështirësi parimore. Si vështirësi praktike do të kemi rreth 1023 ekuacione ku duhet ditur konditat fillestare të cilat janë 6N,

xi , yi , zi  kordinata fillestare dhe v x , v y , v z  komponentet e shpejtësive fillestare

për secilën molekulë.

i

i

i

8 Që të zgjidhet ky sistem i ekuacioneve diferenciale duhet ditur forcën e bashkëveprimit

 Fik .

Ndërsa vështirësitë parimore dalin nga mekanika kuantike se nuk ka mundësi që në të njëjtën kohë të dihet kordinata dhe impulsi i konjuguar, d.m.th. se për mikrogrimca nuk mund të parashtrojmë kondita fillestare të përpikta. Por edhe sikur t`i kishim të njohura trajektoret e lëvizjes për secilën molekulë, me këtë nuk do të fitonim informata të mjaftueshme për vetitë e gazit në tërësi. Që t`i sqarojmë vetitë termodinamike të gazit nuk na duhen të dimë si ndërrojnë me kohën kordinata dhe impulsi i të gjitha molekulave. Por na mjaftonë të dimë shpërndarjen e molekulave sipas energjisë, dhe në vend që të llogarisim energjinë e çdo molekule, përcaktojmë probabilitetin që disa molekula ndodhen në intervalin e energjisë E, E+ dE. Me metodat statistike kërkohet gjendja e sistemit si tërësi dhe mundësia e përcaktimit të probabilitetit të realizimit të kësaj gjendjeje të caktuar. Termodinamika është e zbatueshme vetem në sistemet makroskopike , d.m.th. në sistemet që përbëhen prej një numri shumë të madh të grimcave. Kjo vendos kufirin e poshtëm të dimensioneve të sistemeve në të cilat zbatohet termodinamika. Mirëpo termodinamika është e kufizuar edhe nga sipër. Ajo nuk mund të zbatohet në sistemet me dimensione të pafundme siç është p.sh: Universi. Termodinamika mund të ndahet në termodinamikën fenomenologjike dhe termodinamikë statistike. Termodinamika nuk mbështetet në strukturën atomiko-molekulare të substancës por e trajton lidhjen e madhësive makroskopike si p.sh: shtypjes,vëllimit, temperaturës, entropisë etj. Dallimi ndërmjet ligjeve të termodinamikës dhe të fizikës statistike është se ligjet termodinamike vlejnë në mënyrë rigoroze kurse ato statistike vlejnë deri në një shkallë të saktësisë.

9 1

Bazat e teorisё sё probabilitetit

1.1

Elemente të kombinatorikës

Supozojmë se kemi n- elemente të cilët mund t`i dallojmë ndërmjet veti.

a , a , a ,  , a  1

2

3

n

Të shohim në sa mënyra mund t`i radhisim këto elemente. Çdo radhitje e tillë e elementeve quhet permutacion pa përsëritje. Kështu numrat: 1,2,3. mund të radhiten në këto mënyra: 123

132

213

231

312

321

Pёr njё sistem qё pёrbehet nga n-elemente, në vendin e parë mund të vendosim cilindo prej nelementeve, dhe kur këtë e fiksojmë , në vendin e dytë mund të vendosim cilindo prej (n-1) elementeve të tjerë të mbetur. D.m.th. dy elemente mund t`i radhisim në n(n-1) mënyra të ndryshme. Në vendin e tretë mund të vendosim cilindo prej (n-2) elementeve të mbetur. Duke vazhduar kështu me radhë, numri i përgjithshëm i përmutacioneve prej n- elementeve do të jetë:

Pn  nn  1n  2    1  n! Në qoftë se prej këtyre elementeve, kemi elemente identike, p.sh: n1 -elemente identike të llojit të pare; n2 -elemente identike të llojit të dytë , ···; nr – elemente identike të llojit të r-të. Atëherë radhitja e këtyre elementeve do të na çoj në përmutacione me përsëritje. Me përmutimin e elementeve të llojit të njëjtë nuk fitojmë gjendje të re. Kështu do të kemi n1!përmutacione të llojit të parë, n2 ! – përmutacione të llojit të dytë, etj. Dhe numrin e përmutacioneve me përsëritje do ta marrim me pjestimin e numrit të përgjithshëm të përmutacioneve n! me numrin e përmutacioneve të njëjta.

Pnn1 ,n2 ,...,nr  

n! n1!n2 !  nr !

Kur këto elemente i ndajmë në k- elemente të njëjta dhe në (n-k) elemente të tjera të njëjta, atëherë numri i përmutacioneve përkatëse me përsëritje do të jetë:

Pnn,nk  

n! k!n  k !

10 Në qoftë se kemi n- elemente

a , a , a ,  , a  dhe formojmë nënbashkësinë prej k1

2

3

n

elementeve të ndryshme të tillë që ( k ≤ n ). Çdo njëra nga këto nënbashkësi quhet variacion i klasës së k-të pa përsëritje. Nga numrat 1,2,3,4 mund të formojmë variacionet e klasës së dytë: 12

13

14

21

23

24

31

32

34

41

42

43

Në vendin e parë mund të vendosim cilindo prej n- elementeve, në të dytin vendosim cilindo prej n-1 elementeve të mbetura. Prej këtyre mund të formojmë n(n-1) nënbashkësi me nga dy elemente të ndryshme dhe çdo njërin prej tyre mund të kombinojmë me (n-2) elemente të mbetur. Kështu do të kemi n(n-1)(n-2) nënbashkësi me nga tre elemente. Duke vazhduar në këtë mënyrë do të arrijmë te numri i variacioneve tё klasës së k-të

Vnk  nn  1n  2    n  k  1 Për rastin n = k shprehja e fundit kalon në n!, d.m.th. variacionet prej n- elementeve të klasës së n-të përputhen me permutacion. Prej n elementeve formojmë nënbashkësit prej k-elementeve me ç`rast elementet përsëriten, d.m.th. do të kemi variacione me përsëritje. Në vendin e parë mund të vendosim cilindo prej n-elementeve. Edhe në vendin e dytë mund të vendosim cilindo prej n-elementeve. Kështu prej dy elementeve mund të formojmë n2 nënbashkësi të mundshme të këtij lloji. Çdo njëren prej n2 mund ta kombinojmë me cilindo prej n –elementeve dhe e radhisim në vendin e tretë, kështu që numri i tërësishëm i variacioneve të klasës k me përsëritje do të jetë:

Vnk  n k Vështrojmë n-elemente të ndryshme

a , a , a ,  , a  dhe formojmë nënbashkësitë prej 1

2

3

n

k ≤ n elementeve pavarsisht nga rradhitja. Çdo njëra prej këtyre nënbashkësive quhet kombinacion i klasës k papërsëritje. Nga numrat 1,2,3,4 do të kemi këto kombinime të klasës së dytë 12

13

14

23

24

34

11 Që të gjejmë numrin e tyre, formojmë të gjitha nënbashkësitë prej k-elementeve , të cilat janë

Vnk .

Çdo njëra nënbashkësi, Pk herë përsëritet, kështu që numri i kombinacionit të klasës k do

të jetë:

Vnk C  Pk k n

Këtë mund ta shkruajmë edhe në formën:

Cnk 

Vnk nn  1n  2    n  k  1  n      Pk k! k 

për k=n do të kemi Vn  n!, Cn  1 n

n

Kurse numri i kombinacioneve me përseritje të klasës k përcaktohet me shprehjen

 n  k  1  Cnk    k 

1.2

Elemente të teorisë së probabilitetit

Për sqarimin e probabilitetit në fillim do të ndalemi në nocionin e ngjarjes i cili paraqet fenomen që në kushte të dhëna mund të ndodhë ose të mos ndodhë. Ngjarjet mund të ndahen në tri kategori: - Ngjarjet e sigurta, janë ngjarje që më siguri ndodhin, kur plotësohen disa kushte të caktuara më parë. Në enë ndodhet uji në temperaturën 250C dhe në shtypje normale. Atëherë, ngjarja `` uji në enë është në gjendje të lëngët`` është ngjarje e sigurt. Në këtë rast temperatura dhe shtypja atmosferike normale janë kushtet që duhet plotësuar në mënyrë që uji të ndodhet në gjendje agregate të lëngët. - Ngjarjet e pamundura, janë ngjarje që në kushte të caktuara nuk mund të ndodhin. Kështu për kushte të njëjta si më parë, ngjarja `` uji ndodhet në gjendje të ngurtë`` është ngjarje e pamundur. - Ngjarjet e rastit(stokastike), janë ngjarje që për kushte të dhëna mund të ndodhin por mund edhe të mos ndodhin. P.sh: Kur hudhet monedha, ajo do të kthehet në rrafshin horizontal në anën e numrit ose në anën e stemës. Rënia e numrit ose e stemës është një ngjarje e rastit.

12 Çdo ngjarje e rastit është pasojë e veprimit të shumë shkaktarëve të rastit. Prandaj edhe rezultati i eksperimentit për nga natyra është i rastit. Kur dy ngjarje (A dhe B ) nuk mund të ndodhin (realizohen) së bashku, këto dy ngjarje i quajmë të papajtueshme ose ngjarje që përjashtohen ndërmjetveti (ngjarje disjunktive). Në këtë rast realizimi i njërës prej këtyre ngjarjeve e përjashton tjetrën si p.sh: paraqitja e numrit e përjashton paraqitjën e stemës të rasti i hudhjes së monedhës. Në qoftë se duhet të realizohet vetëm njëra prej ngjarjeve A dhe B , atëherë këto dy ngjarje formojnë sistemin e plotë të ngjarjeve. Kur sistemi i plotë përbëhet vetëm prej dy ngjarjeve të cilat përjashtohen ndërmjet veti, atëherë këto dy ngjarje janë të kundërta me njëra tjetrën. Njërën ngjarje e shënojmë me A, kurse ngjarjën e kundërt me

A

.

Në qoftë se nga n- raste njësoj të mundshme kemi p- raste më të favorshme të paraqitjes së ngjarjes A, atëherë raporti

W  A 

p n

quhet probabilitet i ndodhjes së ngjarjes A. Në rastin e hudhjes së kubit me 6 faqe identike do të kemi 6 ngjarje njësoj të mundshme të rënies së kubit në faqet 1,2,3,4,5,6. Ndërsa probabiliteti i rënies në cilin do numër çift do të na jap tri raste të favorshme nga 6 raste të mundshme të rënies së kubit:

W  A 

3 1  6 2

Nga vetë përkufizimi, vërehet se probabilitetri i çfarë do ngjareje shtrihet ndërmjet:

0  W  A  1 Për W  A  1 , ngjarja është e sigurt, kurse për W  A  0 , ngjarja është e pamundur. Përkufizojmë ngjarjen e kundërt

A

W A  

e cila mund të ndodhë në (n-p) rastet tjera.

n p  1  W  A n

Relacioni i fundit paraqet probabilitetin që të mos ndodhë ngjarja A. Prandaj, probabiliteti i ndodhjes apo mosndodhjes së ngjarjes A është ngjarje e sigurtë:

W  A  W A   1

Kërkojmë probabilitetin e ngjarjeve komplekse (të përbëra). Ngjarja komplekse qëndron në faktin që të ndodhë cila do ngjarje A ose B, dhe quhet shumë e ngjarjeve A+B ose A U B. Rast tjetër i ngjarjeve komplekse është paraqitja së bashku e dy ngjarjeve A dhe B dhe quhet produkt i ngjarjeve A·B ose A∩B.

13 Në qoftë se në një kuti vendosim 5 sfera të bardha dhe 5 sfera të zeza. Gjatë tentimit të parë, shënojmë me A ngjarjen që të nxirret sfera e bardhë dhe me B ngjarjen që të nxirret sfera e zezë. Atëherë me shumë të ngjarjes A+B kuptojmë ngjarjen e nxjerrjes së sferës së bardhë ose të zezë. Kurse me produkt të ngjarjes AB kuptojmë që gjatë një tërheqjeje të nxirret njëkohësisht sfera e bardhë dhe e zezë. Prandaj, do të kemi:

W  A  B   1 ngjarje të sigurtë dhe

W  A  B   0 ngjarje të pamundur.

Është me rëndësi të vështrojmë ngjarjen B e cila mund të ndodhë vetëm nëse ndodh ngjarja A. Kjo është e ashtuquajtuara ngjarje e kushtëzuar BA ose B/A. Që të gjejmë probabilitetin e ngjarjeve komplekse vështrojmë produktin e ngjarjeve si vijon: Ngjarja … … …

AB

realizohet në

p1

raste

AB AB AB

…

p2

…

…

p3

…

…

p4

…

Probabiliteti i ndodhjes së ngjarjes A dhe B do të jetë:

p1  p2 , p1  p2  p3  p4 p1  p3 W B   . p1  p 2  p3  p 4

W  A 

Kurse probabiliteti i ngjarjeve komplekse do të jetë:

p1  p2  p3 , p1  p2  p3  p4 p1 W A  B  . p1  p2  p3  p4 W A  B 

Probabiliteti i ndodhjes së ngjarjes B nëse ndodhë ngjarja A quhet probabilitet relativ dhe është i barabartë me:

 A  WWABA

W B

ose probabiliteti që do të ndodhë ngjarja A nëse ndodhë ngjarja B

 B  WWABB

W A

Për rastin e mëparshëm probabiliteti relativ do të jetë:

 A  p p p

W B

,

1

1

2

 B  p p p

W A

1

1

3

 A

W B

14 Probabiliteti për ndodhjen e ngjarjeve që nuk varen nga ndodhja e ndonjë ngjarjeje tjetër quhen probabilitete absolute. Nga shprehjet e më sipërme shihet se vlenë relacioni:

W  A  B  W  A  W B  W  AB 

Në qoftë se ngjarja A dhe B reciprokisht përjashtohen ndërmjet veti, do të kemi

W  AB   0 W  A  B  W  A  W B 

Ky relacion mund të përgjithësohet edhe për n- ngjarje që reciprokisht përjashtohen

W  A1  A2      An   W  A1   W  A2       W  An 

Prej nga rrjedh se shuma e të gjitha probabiliteteve për të gjitha ngjarjet e mundshme është e barabartë me një

W  A   1 i

i

dhe quhet normim i probabilitetit. Në qoftë se ngjarjet A dhe B janë të pavarura ndërmjet veti, ngjarja B është e pavarur nga ngjarja A, atëherë do të kemi:

 A  W B

W B

 A

W  AB   W  AW B

W  AB   W  AW B

Kjo shprehje paraqet produktin e besueshmërive për ngjarjet e pavarura ndermjet veti dhe mund të përgjithësohet për n- ngjarje të pavarura.

W  A1 A2    An   W  A1 W  A2     W  An 

1.3 Shpërndarja e madhësive të rastit Masim m-herё madhësinë e rastit x e cila mund të merrë një varg vlerash diskrete të ndryshme:

x1 , x2 ,..., xm Këto vlera në disa raste mund të kalojnë në kontinum. Për madhësitë e rastit është më rëndësi të dihen vlerat e tyre të mundshme probabilitetet e tyre përkatëse

wi që të fitohen këto vlera x i .

Vartësia ndërmjet këtyre madhësive

x i dhe

xi , wi  përbën atë që quajmë ligj i shpërndarjes së

madhësive të rastit, kjo vartësi është parqitur në Fig.1. Kryejmë n-matje në kushte të njëjta me ç`rast madhësia e rastit x merr vlerat:

15 n1

herë madhësia e rastit merr vlerën

x1

n2

………….

x2

n3

…………..

x3

……………………………………………….. nm

…………….

xm

Fig.1

Devijimi nga vlera e saktë do të jetë më e vogël në mesin arithmetik të këtyre vlerave:

Ax  

Shënojmë me:

m n1 x1  n2 x2      nm xm n   xi i n1  n2      nm n i 1

w1 

n1 , n

w2 

probabilitetet që të fitohen vlerat pёrkatёse

ni n2 , …, wi  , n n x1 , x2 ,..., xi .

Atëherë për vlerën mesatare arithmetike do të kemi: m

Ax    xi wi  x i 1

Madhësia e këtillë quhet vlerë mesatare e madhësisë së rastit x. Pasi që vlera mesatare x nuk përputhet plotësisht me vlerën e saktë, devijimin e vlerës së matur

x i nga vlera e saj mesatare x do ta shprehim me relacionin:

x  xi  x Ndërsa vlera mesatare e kësaj shprehjeje do të na jepë devijimin mesatar të madhësisë së rastit

x: m

m

m

i 1

i 1

i 1

x   xi  x wi   xi wi  x  wi

x  x  x  0 x  0

16 Kjo do të thotë se në rastin e një numri të madh të matjeve , devijimet janë të shpërndara në mënyrë të njëjtë si në njërën ashtu edhe në anën tjetër nga vlera mesatare x . Prandaj, kjo madhësi nuk na jep shkallën e devijimit nga vlera mesatare dhe thirremi në një madhësi të re – devijimin kuadratik:

x2  xi  x 2 Kurse vlera mesatare e kësaj shprehje do të jetë: m

m

m

m

i 1

i 1

x 2   xi  x 2 wi   xi2 wi  2 x  xi wi  x 2  wi i 1

i 1

x  x  2 x  x  x 2 2 Dx   x   x 2  x . 2

2

2

2

2

x

2

Dx  quhet devijim kuadratik mesatar ose dispersion i madhësisë x. Kurse rrënja katrore e madhësisë Dx  quhet devijim standard i madhësisë së rastit x ( ose fluktuacion). Madhësia

  x   D x  

x 2

Në qoftë se madhësia x ndryshon jo në mënyrë diskrete por në mënyrë kontinuale, vlera mesatare e madhësisë x përcaktohet me shprehjen:

x   xdw kurse kushti i normimit për madhësinë kontinuale do të jetë:

 dw  1 Probabiliteti dw(x) që madhësia fizike x të shtrihet në intervalin x,x+dx, është:

dwx    x dx

 x  - është funksion i shpërndarjes së madhësisë x kësaj madhësie x :

dwx, y, z    x, y, z dxdydz

 x, y, z  

dW x, y, z  dW  dxdydz dV

dhe paraqet densitet të probabilitetit të

17 1.4 Shpërndarja binomiale

E masim një madhësi eksperimentalisht n herë në kushte të njëjta dhe probabilitetin e paraqitjes së madhësisë së rastit A e shënojmë me p , kurse probabilitetin që kjo madhësi të mos paraqitet e shënojmë me q . Gjatë n matjeve do të kemi k matje më të favorshme që madhësia A të paraqitet me probabilitet

p, kurse ngjarja e kundërt A me probabilitet q=1-p do të paraqitet (n-k) herë. Do të kryejmë disa matje të njëpasnjëshme në kushte të njëjta. Në matjen e parë do të marrim A ose ose

A me probabilitet p  W  A

q  W A  , do të thotë: W A  A   W  A  W A   p  q

Në matjen e parë është e sigurtë se ose do të marrim madhësinë A ose do të marrim madhësinë

A , prandaj do të kemi p  q 1 Në matjen e dytë do të kemi këto kombinime AA, probabilitetin:

A A , A A , A A dhe përkatësisht

W AA  A A  AA  A A  W  AA  W A A   W AA   W A A

Nga produkti i probabiliteteve do të kemi:

W  AA  W  AW  A W AA   W  AW A  W  AA  W A A   W AA   W A A  p  p  q  q  p  q  q  p =  p 2  2 pq  q 2   p  q   1 2

Për matjen e tretë do të kemi kёto mundёsi tё paraqitjes sё madhёsisё sё rastit A dhe madhёsisё së kundërt

A: AAA,

A A A, A A A, A AA,

AA A ,

A A A,

AA A,

A A A.

Kurse probabiliteti përkatës për këto madhësi do të jetë:

W  AAA   W A A A   W AAA   W A A A  W A AA   W AA A   W A AA  W AA A   p 3  q 3  p 2 q  q 2 p  q 2 p  pq 2  p 2 q  p 2 q  p 3  3q 2 p  3 p 2 q  q 3   p  q   1 3

18

Në mënyrë të ngjashme për n matje do të kemi:

 p  q n

1

E zhvillojmë shprehjen e fundit në seri të Binomit:

 p  qn  Cnn p n q 0  Cnn1 p n1q  Cnn2 p n2 q 2      Cnk p k q nk      Cn0 p 0 q n  1 ku C n janë koeficientet e Binomit. k

Dhe për probabilitetin

ku

Wn k  do të marrim:

 n Wn k   C nk p k q n k    p k q n k k  n n! paraqet numrin e kombinimeve të klasit k prej n elementeve. C nk      k  k!n  k !

Në qoftë se realizohen n matje të pavarura dhe në secilën prej tyre probabiliteti i ndeshjes ( i marrjes) së ngjarjes A është e barabartë me p, atëherë probabiliteti që kjo ngjarje të ndeshet k herë jepet me ligjin e Binomit të shpërndarjes ose thjesht shpërndarja e Bernulit. Nga kondita e normimit, shuma e të gjitha probabiliteteve të veçanta është e barabartë me një: n

W k   1 k 1

n

 n

  k  p k 1

ose

n

 

k

q nk  1

 p  q n     p k q nk k n

n

k 0

 

19 1.5 Shpërndarja e Puasonit Shpërndarja e Puasonit është rast kufitar i shpërndarjes së Bernulit , kur n → ∞ ndërsa k është shumë i vogël krahasuar me n. Këtu na paraqitet problemi i gjetjes së probabilitetit të një ngjarje (ose madhësie) gjatë një numri të madh të matjeve ku secila matje karakterizohet me probabilitet të vogël. Në këtë rast numri i matjeve n është shumë i madh dhe probabiliteti p i paraqitjes për secilën matje do të jetë i vogël kështu që formula e Bernulit nuk do të jetë e përshtatshme të përdoret. Por numri i paraqitjes së ngjarjes , në përsëritjen e matjeve mund të mbetet i njëjtë dhe do të supozojmë që prodhimi np do të mbetet konstant np = λ. Fillojmë me formulën e Bernulit:

Zëvendësojmë

Wn k  

n! p k q nk k!n  k !

Wn k  

nn  1n  2    n  k  1n  k ! k nk p q k!n  k !

Wn k  

nn  1n  2    n  k  1 k nk p q k!

np   ,

p

 n

,

q  1 p

nn  1n  2    n  k  1       Wn k     1   k! n  n k

nk

Pasi që numri n është shumë i madh, kalojmë në lim Wn k  n

nn  1n  2    n  k  1       Wn k   lim   1   n  k! n  n k

nk

 k  1  2   k  1   n 1  1      1   nk    n  n   n    Wn k   lim   1   k k! n    n  n      k

20

 1  2   k  1    n k  Wn k   lim 1  1      1  1    k! n  n  n   n  n  

k

k

    Wn k   lim 1    lim 1   k! n n  n n 

Wn k  

n

k



k k!

e   1

k e   k!

Formula e fundit paraqet ligjin e shpërndarjes së probabilitetit sipas Poasonit ose shpërndarja e Poasonit.

1.6 Shpërndarja normale e Gaus-Laplasit

Kryejmë n matje të madhësisë fizike e cila ndryshon në mënyrë kontinuale. Dhe kërkojmë probabilitetin që madhësia fizike A të merr vlerat në intervalin ndërmjet a dhe

a+da. Përcaktojmë probabilitetin që nga n matje kjo madhësi fizike k herë të merrë vlerat në këtë interval ( a ≤ ki ≤ a+da ). Nga mbledhja e probabiliteteve në këtë interval do të kemi:

W a  ki  a  da  

a2

W k 

k a1

Wn k  

n

,

a1 = a , a2 = a+da

n! p k q nk k!n  k !

Pasi që numrat n! dhe k! kanë vlera shumë të mëdha , e aplikojmë formulën aproksimative të Stirlingut në formulën e Bernulit:

n n!  2n   e

n

21

n 2n   e

Wn k  

k 2k   e

k

n

nk 2 n  k    e 

p k q nk

nk

n  nn p k q nk nk k 2 k n  k k n  k 

Wn k  

n n  n k n nk Kërkojmë vlerën e k për të cilën

Wn k  ka vlerë maksimale, kjo është paraqitur në fig.2.

Supozojmë se vlera e k për të cilën

Wn k  ka maksimum është k0  np , k0  k  k dhe

quhet numër më i besueshëm i realizimit të ngjarjes k  np  k .

Wn k  

Wn k  

Wn k  

Wn k  

1 2 1 2

1 2

1 2

k

n  np   nq      k n  k   k   n  k 

nk

 np  n   np  k n  np  k   np  k    n  1  k  k   1  k 1   n 2 pq1  np np  nq   

 k  1   np   k  k   1   npq1  np  nq   1

     

k

nk

np k

  nq  n1  p   k   

 npk

Meqë numri i matjeve është shumë i madh atëherë madhësitë

  nq    n  np  k 

 k  1   nq  

k dhe np

nk

 nq k

k nq

do të jenë të vogëla, kurse p dhe q marrin vlerat në mes 0 dhe 1 prandaj do të kemi:

22 1  k  k  1  1   np  np  

1

ndërsa dy anëtarët e fundit i logaritmojmë dhe i zhvillojmë në seri:

 k   ln 1  np  

 npk

 k    np  k  ln 1  np  

 k   ln 1  nq  

 nq k

 k     nq  k  ln 1  nq  

 k  k k 2   ln 1   2 2   np  np 2n p 

 k  k k 2    ln 1   2 2   nq  nq 2n q  Pas zëvendësimit në shprehjen e mësipërme do të marrim:

 k   ln 1  np  

 npk

 k  k 2 k 2  np  k   2 2       k    2np  np 2n p 

 k   ln 1  nq  

 nq k

 k  k 2 k 2   nq  k    2 2       k    2nq  nq 2n q 

Dy shprehjet e fundit i paraqesim në formë eksponenciale:

 k  1    np 

 np k

 k  1    nq 

 nq k

e

e

 k 

k 

k 2 2 np

k 2 2 nq

 

 

dhe i zëvendësojmë në relacionin e mësipërm dhe do të marrim:

23 k 2

k 2

 k   k   1 2 np Wn k   e e 2 nq 2npq

k 2

 1 Wn k   e 2 npq , 2npq

k  k  np, dhe k 2  k  np 

2

Pas zëvendësimit të shprehjeve do të marrim:

 1 Wn k   e 2npq

k np2 2 npq

Shprehja e fundit përbën atë që quhet shpërndarje normale ose shpërndarja e Gaus-Laplasit.

Fig.2 Kjo shprehje shёrben pёr llogaritjen e probabilitetit tё njё ngjarjeje qё ajo tё paraqitet k herё gjatё n matjeve. Duke përdorur një variablë të re x

x

k  np këtë shprehje mund ta thjeshtojmë. npq

Kemi në konsideratë që kur numri i realizimeve të mundshme ndryshon për 1, variabla x do të ndryshojë për ∆x

x  x 

k  np  1 npq

I zbresim dy shprehjet e fundit:

x 

1 npq

dhe i zëvendësojmë në shprëndarjën e Gaus-Laplasit:

24

x2

1 2 Wn k   e x 2 Shprehjën e fundit e zëvendësojmë në shprehjën e parë dhe do të marrim: x2

a2

1 2 e x 2

W a1  ki  a2    a1

Kur n   kemi

x  0 atëherë shuma do të kalojë në integral:

W a1  ki  a2  

1 2

a2

e



x2 2

dx

a1

Shprehja e fundit paraqet teoremën e Laplasit. Sipas kësaj teoreme gjatë një numri të madh të matjeve, probabiliteti që të paraqitet ngjarja ki herë në intervalin nga a1 deri në a2 ka vlerë të caktuar dhe përcaktohet me këtë shprehje. Në qoftë se kufijtë e intervalit janë simetrik

W  t  x  t  

1 2

a1  t dhe a2  t t

e



x2 2

dx

t

dhe funksioni nën shenjën e integralit është çift, atëherë do të kemi:

W 0 xt  

2 2

t

e



x2 2

dx

0

Kufiri i epërm i këtij integrali është variabёl, prandaj integrali i caktuar paraqet një funksion të vijueshëm të këti kufiri. Po e shënojmë këtë funksion me t  . t

x2

 2 t   e 2 dx  2 0

ky funksion quhet integral i probabiliteteve, funksion i shpërndarjes normale, funksion i Gausit ose funksion i gabimeve ert  .

25 Këtë funksion e transformojmë me zëvendësimin:

x2  z , x  2 z , dx  2dz 2

t  

f t  

t

2 2

2  e  z dz  2

0

t

1

e



z2

t

2

e



z2

dz  2 f t 

0

dz

0

Funksioni t  është simetrik ndaj ordinatës dhe është funksion tek

 t    t  e vërtetojmë këtë me zëvendësimin x = -z , dx = -dz , x = -t , z =t.

 t  

2 2

t

e



x2 2

2 dx   2

0

t

e

z2 2



dz  t 

0

Me rritjen e argumentit t , vlera e këti funksioni do të rritet në mënyrë asimetrike dhe do t`i afrohet vlerës kufitare një:

lim t   t 

lim t   t 

t

2 2 2 2

e



x2 2

dx 

0

t

e



0

x2 2

dx 

1 2 2 2



e



x2 2

dx 





e 0



x2 2

dx 

1 2

2  1

2  1  2

Shpërndarja normale e Gaus –Laplasit është e përcaktuar me dy parametra a dhe

 , për

përcaktimin e këtyre parametrave në fillim do të përcaktojmë vlerën mesatare të madhësisë së rastit

x:  1 f x   e  2

 x a 2 2 2

26





1 x   xf x dx   2  zëvendësojmë: z 

x



 2

2 2

dx



 z  a e



z2 2

dz 



a 2

 x a 2

x  z  a , dx  dz

,





x

xa

 xe



1 2



 ze





z2 2

a dz  2



e



z2 2

dz



2  a

Tashti përcaktojmë dispersionin:

1 D x    2

2 D x   2



 x  a  e 2



 x a 2 2 2





z e 2



z2 2

dz   2



Kurse devijimi standard do të jetë:

 x   Dx    2  npq

dx ,

xa



z ,

dx  dz

27 2. Parimet bazё tё mekanikёs statistike 2.1 Gjendja dinamike e sistemit Vështrojmë sistemin prej n-grimcave në të cilin veprojnë forcat konservative. Pozita e këtij sistemi përcaktohet më anë të koordinatave të përgjithësuara impulseve të përgjithësuara

q1 , q2 ,..., qn, dhe me anë të

p1 , p2 ,..., pn .

Kështu që bashkësia e madhësive

q1 , q2 ,..., qn , p1 , p2 ,..., pn  në çfarëdo momenti të kohës

e

përcakton plotësisht gjendjen dinamike të sistemit. Levizja e këtij sistemi përshkruhet me ekuacionet e Hamiltonit:

H , pi H . p i   qi q i 

i  1,2,3,..., n

Ku N

H q, p    pi q i  L i 1

është funksioni i Hamiltonit dhe paraqet energjinë e përgjithshme të sistemit. Ekuacionet e Hamiltonit përshkruajnë evolimin e sistemit me kohën. Që të dimë levizjen e këtj sistemi duhet që gjendja e sistemit të njihet në çfarëdo momenti të kohës, d.m.th. vlerat e të gjitha koordinatave dhe impulseve të përgjithësuara. Për moment të kohës

t  t 0 , do të marrim konditat fillestare:

qi t t  pi t t

0

 qi 0 ,

0

 pi 0 .

Zgjidhja e ekuacioneve të Hamiltonit dhe përcaktimi i konstanteve të integrimit me ndihmën e konditave fillestare, do të merren koordinatat dhe impulset e përgjithësuara si funksione të kohës:

qi  qi t  ,

pi  pi t  .

Në qoftë se sistemi përbëhet prej një moli të gazit ideal në të cilën ndodhen molekula. Në këtë rast duhet të zgjidhen

N A  6,02  10 23

36  10 23 ekuacione diferenciale të Hamiltonit që

praktikisht është e pamundur, dhe kjo sikur molekulat të konsiderohen si pika materiale pa

28 strukturë të brendshme. Por edhe sikur t`i zgjidhim këto ekuacione diferenciale, do të na mbesin konstantet e integrimit të papërcaktuara sepse nuk kemi mundësi të dimë koordinatat dhe impulset fillestare të të gjitha molekulave. Në qoftë se aplikojmë ketë procedure, levizja e sistemit të molekulave do të mbetet i papërcaktuar dhe nuk kemi mundësi të përcaktojmë gjendjën dinamike të sistemit në çfarëdo momenti të kohës. Për ketë arsye problemi kalon në kërkesën e përcaktimit të probabilitetit që sistemi i molekulave të ndodhet në një gjendje të caktuar dinamike. Përcaktimi i këtij probabiliteti është detyrë e rëndësishme e fizikës statistike. Zgjidhja e këtij problemi do të na japë vetitë termodinamike të sistemit.

2.2 Mikrogjendjet dhe makrogjendjet e sistemit

Gjendjen dinamike të sistemit e njohim plotësisht në qoftë se dihen 3 koordinata (x,y,z) dhe 3 komponentet e impulsit (px , py , pz ) për secilën grimcë në veçanti. Në qoftë se e njohim gjendjen e secilës grimcë në veçanti , këto gjendje i quajmë mikrogjendje të sistemit. Për sistemin që përbëhet nga N grimca të gazit ideal duhet të dihen 3N koordinata dhe 3N komponente të impulsit. Për sistemin që përbëhet nga N grimca të cilat mund të ndodhen në m gjendje të ndryshme energjetike

E1 , E2 ,  , Em , mikrogjendjet e sistemit janë të përcaktuara në qoftë se dihet për seciën grimcë në cilin nivel energjetik ndodhet. Nuk është e mundshme as e nevojshme që të dihet gjendja e secilës grimcë në veçanti, por sa grimca identike gjenden në secilën gjendje të mundshme. Në fizikën klasike grimcat identike mund të dallohen ndërmjet veti kurse në fizikën kuantike grimcat identike nuk mund dallohen ndërmjetveti. Në qoftë se çdo grimcë e sistemit mund të ndodhet në cilën do gjendje m të ndryshme. Dhe në qoftë se dimë që në gjendjen energjetike E1 ndodhen N1 grimca, në gjendjen energjetike E2 ndodhen N2 grimca, …, në gjendjen energjetike Em ndodhen Nm grimca. Një shpërndarje e tillë e grimcave sipas gjendjeve energjetike quhet makrogjendje e sistemit ose distribuim i gjendjeve. Kuptimin e makrogjendjeve të sistemit nuk duhet ngatërruar me gjendjen termodinamike të sistemit e cila përcaktohet me parametra makrofizikë.

29 Çdo makrogjendjeje të sistemit i përgjigjen një numër shumë i madh i mikrogjendjeve. Ky numër i mikrogjendjeve të sistemit të cilat na çojnë në të njëjtën gjendje makroskopike quhet probabilitet statistik ose probabilitet termodinamik. Për dallim nga probabiliteti i zakonshëm matematik që merr vlerat gjithnjë ndërmjet zeros dhe njëshit. Probabiliteti termodinamik është gjithnjë numër i plotë dhe nuk mund të jetë më i vogël se 1. Si shembull marrim sistemin e përbërë nga 10 grimca të shpërndara në pesë nivele energjetike. Në qoftë se në nivelin e parë kemi 2 grimca në të dytin 4 grimca, në të tretin 2 grimca , në të katërtin 1 grimcë dhe në të pestin 1 grimcë. Numrin e mikrogjendjeve e gjejmë duke i përmutuar 10 grimcat, por këtu kemi edhe permutacione të grimcave në të njëjtin nivel të cilat nuk na japin mikrogjendje të re. Numrin e mikrogjendjeve do ta fitojmë me pjesëtimin e numrit të përgjithshëm të permutacioneve me numrin e permutacioneve të grimcave nga i njëjti nivel. Dhe kjo pikërisht, përbën probabilitetin statistik të mikrogjendjeve. 10! -------------

= 37800

2! 4! 2! 1! 1! D.m.th. se në 37800 mënyra realizohet e njëjta makrogjendje. Për shpërndarjet që kanë mundësi të realizohen në më shumë mënyra thuhet që janë shpërndarje më të besueshme me probabilitet më të madh.

2.3

Kuptimi i hapësirës fazore

Më i thjeshti nga të gjitha sistemet është ai që përbëhet nga njё grimcë dhe që ka njё gradë lirie. Kur sistemi përbëhet nga n grimca me f gradë lirie secila, atëherë gjendja e këtij sistemi përcaktohet me 2nf parametra të pavarur. Për të lehtësuar studimin në ketë rast futet koncepti i hapësirës fazore. Një pikë e kësaj hapësire, që në të vërtetë është tërësia e koordinatave dhe impulsive të përgjithësuara, me anën e të cilave përcaktohet gjendja (mikroskopike) e sistemit në një moment i dhënë në kohë quhet pikë fazore. Pozita e pikës fazore përcaktohet me n koordinata:

x  x1 , x2 ,..., xn 

Hapësira e tillë në të cilën na duhen n elemente për të përcaktuar pozitën e një pike quhet ndryshe edhe hapësirë n dimensionale. Largësia ndërmjet dy pikave në këtë hapësirë përcaktohet me shprehjen:

30 n

ds 2   dxi2 i 1

Në këtë hapësirë definohen kuptime të tjera nga haëpsira tre dimensionale si p.sh: hipërsipërfaqja, hipërvëllimi etj. Hipërsipërfaqja përkufizohet si vend gjeometrik i pikave , koordinatat e të cilave e përmbushin ekuacionin:

F x1 , x2 ,..., xn   0

x1 q1 , p1  , x2 q2 , p2  ,…, xn qn , pn  .

ku kemi:

Kurse elementi i vëllimit që përmban krejt pikat në intervalet:

x1 , x1  dx1  , x2 , x2  dx2  , …, xn , xn  dxn  , përkufizohet me shprehjen: n

d  dx1  dx2    dxn   dxi . i 1

Divergjenca e vektorit në ketë hapësirë definohet në mënyrën:

 n A divA   i , i 1 xi Kurse shpejtësia e pikës që leviz në vijën

xi  xi t  definohet në mënyrën:

v  x1 , x 2 ,..., x n  . Gjendjen dinamike të sistemit me n gradë lirie mund ta paraqesim gjeometrikisht në hapësirën 2n dimensionale. Ku çdo pikë në këtë hapësirë paraqitet me të gjitha koordinatat dhe impulset e gjeneralizuara të sistemit. Çdo pikë në këtë hapësirë quhet pikë fazore.

x  q1 , q2 ,..., qn , p1 , p2 ,..., pn  Gjendja dinamike e sistemit në një moment paraqitet me një pikë fazore. Në hapësirën fazore rolin e koordinatave e kryejnë koordinatat e gjeneralizuara dhe impulset e gjeneralizuara. Kështu lëvizjën e sistemit në hapësirën tri dimensionale e kemi shndërruar në levizjën e pikës fazore në hapësirën 2n dimensionale dhe me këtë kemi formuluar pohimet e fizikës statistike në gjuhën e gjeometrisë.

31 Si shembull marrim oscilatorin harmonik i cili paraqet lëkundjen e grimcës rreth pozitës ekulibruese si në fig.3.

Fig.3 Grimca lëkundet në drejtim të boshtit x nёn veprimin e forcës elastike F

F  kx  m 2 x ,

k  m  2

dhe do të ketë energji kinetike dhe potenciale:

T

1 2 1 2 p mv = 2m 2 x

x

0

0

U x     Fdx   m 2 xdx 

1 m 2 x 2 . 2

Meqë kjo forcë është konservative mund të përdorim ligjin mbi ruajtjen e energjisë

p 2 m 2 x 2  E 2m 2 ose

x2 p2  1 2E 2mE m 2 Gjendja dinamike e oscilatorit është e përcaktuar plotësisht me bashkësinë

x, p  .

Në këtë rast hapësira fazore i ka vetëm dy dimensione. Sipas relacionit të fundit pika fazore M(x,p) paraqet gjendjen dinamike në çdo moment të kohës dhe shtrihet në elipsë me boshte a dhe b si në fig.4

x2 p2  1 a2 b2

a

2E , m 2

32 b  2mE . Derisa oscilatori bënë një lëkundje të plotë, pika fazore M(x,p) do të përshkuajë tërë elipsën brenda kësaj periode, d.m.th. pika fazore e ocsilatorit harmonik është elipsë.

Fig.4 Hapësirën fazore mund ta ndajmë në dy pjesë, në hapësirën konfiguracionale dhe atë impulsive. Prandaj, elementi i vëllimit në hapsirën fazore është i barabartë me:

d  dq1dq2 ...dqn dp1dp2 ...dpn dVkonf  dq1dq2 ...dqn

dVimp  dp1dp2 ...dpn d  dVkonf dVimp Do të përcaktojmë vëllimin elementar të hapësirës fazore që i korrespondon një molekule të gazit ideal një atomik. Molekulat e këtij gazi kanë 3 gradë lirie. Në qoftë se numri i molekulave të tilla është N atëherë dimensioni i hapësirës fazore do të jetë 2fn. Për rastin kur kemi vetëm një molekulë dimensioni i hapësirës fazore do të jetë gjashtëdimensionale. f=3, N=1

2 fN  2  3  1  6 d  dxdydzdp x dp y dp z

33 ose

d  dVkonf dVimp  dVdV p Energjija e nji grimce është:

E





1 p2 p x2  p y2  p z2  2m 2m

4  dV p  d  p 3   4p 2 dp 3 

1 2m dE 2 E

p 2  2mE ,

dp 

dV p  4  2mE 

1 2m dE 2 E

d  dVdV p  dV 4mE

2m  dE E

3

d  2 4m 2 dV E dE 3 2

E

  2 4m V  E dE 0

3 4 2m 2 VE 2 3 3



Nga shprehja e fundit shihet që me rritjen e energjisë të grimcës rritet vëllimi fazor korrespondues. Tashti do të përcaktojmë vëllimin fazor për N molekulat e gazit ideal. Sistemit që përbëhet prej N molekulave të gazit ideal do t`i korrespondojë hapësira fazore me 6N dimensione. Elementi i vëllimit në këtë hapësirë do të jetë:

d  dq1dq2 ...dq3 N dp1dp2 ...dp3 N

34 dVkonf  dq1dq2 dq3 ...dq1N dq2 N dq3 N

dVimp  dp1dp2 dp3 ...dp1N dp2 N dp3 N dVkonf  dV1dV2 ...dVN

Vkonf   dV1dV2 ...dVN  V N

  V N  dp1dp2 ...dp3 N Kufijtë e integrimit përcaktohen ashtu që tё plotësohet kushti:

p12  p 22  ...  p32N E 2m Shprehja e fundit paraqet sferën në hapësirën 3N dimensionale me rreze

R  2mE Kurse integrali i fundit paraqet vëllimin e kësaj sfere. Vëllimi i sferës në hapësirën tri dimensionale është proporcional me R3 ndërsa në hapësirën 3N dimensionale është proporcional me R3N .

  constV N R 3 N  constV N E

3N 2

Nga shprehja e fundit vërehet se vëllimi i hapësirës fazore rritet me rritjen e energjisë së atij sistemi dhe me rritjen e numrit të grimcave të sistemit.

35 2.4 Teorema e Virialit

Nё fizikёn klasike gjendja e gazit prej N molekulave pёrcaktohet me sistemin e ekuacioneve diferenciale.

  dvi Fi  mi , dt

i  1,2,3,..., N  



Kur lёvizja e sistemit kryhet nё njё hapёsirё tё kufizuar, kordinata r dhe impulsi p nuk mund tё marrin vlera tё çfarëdoshme.

 dp  F  p , e shumёzojmё me rreze vektorin e molekulёs, nё dt

Ekuacionin e lёvizjes mёnyrё skalare.

    r  F  r  p

   d    dr d     d   r  F  r  p   p  r  p   pv  r  p   2 Ek dt dt dt dt Nga matematika vlera mesatare e njё funksioni tё kufizuar sipas kohёs ёshtё T

1 f t dt T  T  0

f  lim

Nёse funksioni kufizuar

f t  ёshtё i dhёnё me anё tё derivatit f t  

F t  , atёherё do tё kemi:

dF t  tё njё funksioni tё dt

1 F T   F 0 f  lim  f t dt  lim 0 T  T T  T 0 T

Prej nga rrjedh





T   1 d   r  F  lim  r  p dt  2 E k  2 E k T  T dt 0

Ek  



1   r F 2



36 Shprehja e fundit pёrbën atë qё e quajmё teoremё tё virialit. Kjo teoremё ёshtё pёfituar nga



supozimi se lёvizja e sistemit kryhet nё njё hapёsirё tё kufizuar d.m.th. kordinata r dhe impulsi

 p janё tё kufizuar dhe nuk mund tё marrin vlera tё çfarёdoshme. Pёr kёtё lёvizje tё kufizuar

vlenë teorema e Klauziusit sipas sё cilёs: vlera mesatare e energjisё kinetike sipas kohёs ёshtё e barabartё me vlerёn mesatare tё virialit tё forcёs sipas tё njëjtit interval tё kohёs. Kjo njihet

 1   r  F .  2 

edhe si teoremё e virialit sepse virial quhet funksioni ose madhёsia  

Kurse pёr njё sistem me N grimca formula e fundit ёshtё E k  

 2 r  F  N

i 1

1   i

i



Nёse forca F ёshtё konzervative, do tё kemi

 V F   gradV    ri pёr njё grimcё

Ek 

1  r  V  2

pёr N grimca

Ek 

1 N   ri  V  2 i 1

Teorema e virialit pёrdoret nё mekanikё, fizikё statistike, atomikё e tj.

2.5 Ansambli statistik

Sistemet makroskopike përbëhen nga njё numër i madh i grimcave si atomeve, molekulave, joneve e tj. Evolimi i këtyre sistemeve nga aspekti mekanik përshkruhet me ekuacionet e Hamiltonit:

q i  ku

H , pi

H q, p  është funksioni i Hamiltonit

p i  

H . qi

37

pi2 1 3 N H q, p     V qi , q j  2 i , j 1 i 1 2m 3N

Gjendjet e sistemit i paraqesim në hapësirën fazore me 6N dimensione. Një pikë në këtë hapësirë paraqet një mikrogjendje të sistemit dhe përcaktohet me bashkësinë e koordinatave të përgjithësuara

q i dhe impulseve të përgjithësuara p i , të së cilës grimcë në

veçanti në një moment të kohës t. Shqyrtojmë një numër të madh të sistemeve të njëjta me të njëjtin Hamiltonian por me kushte fillestare të ndryshme. Kjo bashkësi e sistemeve quhet ansambël statistik. Ansamblit statistik në hapësirën fazore i përgjigjen N pika fazore. Dhe në vend që të studiojmë evolimin me kohën të një sistemi të dhënë na marrim në studim një ansambël sistemesh të njëjta në gjendje të tillë në të cilën mund të ketë qenë ose mund të ndodhë në të ardhmen. Ndër sistemet e ansamblit statistik vetëm një sistem është real, të tjerat janë të menduara. Çdo gjendje në të cilën kalon një sistem real përfaqësohet nga një sistem i menduar i ansamblit statistik. Çdo sistem i ansamblit statistik kalon në të gjitha gjendjet që përfaqësohet nga sistemet e tjera të ansamblit. Ky pohim përbën atë që quhet hipotezë ergotike. Në të vërtetë kemi të bejë me sisteme pothuajse ergotike (kuaziergotike), d.m.th. me sisteme që kalojnë pambarimisht afër të gjitha gjendjeve të sistemeve të tjera të ansamblit. Për rastin kufitar T → ∞ pika fazore mund të ndodhet në të gjitha mikrogjendjet e mundshme të hapësirës fazore.

t i T 0 T

Wi  lim

Raporti

paraqet probabilitetin që sistemi gjatë kohës

t i të ndodhet në njërën mikrogjendje të vëllimit

elementar fazor

di .

Në qoftë se me

Ai shënojmë vlerën e madhësisë fizike A në mikrogjendjen e ``i`` atëherë vlera

mesatare e madhësisë fizike A është : N

N

A  Wi Ai  lim  Ai T 

i 1

i 1

t i T

Kështu për vlerën mesatare të energjisë së sistemit do të kemi: N

E  lim  Ei T 

i 1

t i T

ku Ei është energjia e sistemit në mikrogjendjen ``i`` dhe ti –është koha e qëndrimit të sistemit në këtë gjendje.

38 Në qoftë se madhësia fizike A merr vlera të vazhdueshme , atëherë shumën e zëvendëson integrali, dhe vlera mesatare sipas kohës e madhësisë fizike A është:

At   At dW 

T

1 At dt T 0

Kjo mënyrë e përkufizimit të vlerave mesatare paraqet vlera reale të madhësive fizike të cilat fitohen gjatë matjeve por ka edhe të metat e veta. Sepse nuk kemi mundësi të përcaktojmë mikrogjendjen fillestare të sistemit, por supozojmë që sistemi ndodhet në njërën prej gjendjeve të mundshme. Vlerat mesatare të definuara në këtë mënyrë nuk mund të zbatohen për gjendjet jostacionare. Që t`i shmangim këto të meta, vlerat mesatare i përkufizojmë në mënyrë tjetër. Kur numri i sistemeve të ansambleve është N, të cilët mund të ndodhen në cilëndo gjendje energjetike

E1 , E2 ,..., Ei Atëherë, probabiliteti që cili do sistem të ndodhet në njërën prej gjendjeve do të jetë i barabartë me relacionin

Wi  lim

N 

ni N

Ndërsa vlera mesatare e madhësisë fizike A do të përcaktohet me relacionin: N

N

Aa  Wi Ai  lim  Ai i 1

N 

i 1

ni N

ku ni –paraqet numrin e popullimit të nivelit `i` me energji Ei , ose numrin e sistemeve (objekteve)

n1 , n2 ,..., ni në nivelet energjetike E1 , E2 ,..., Ei . Relacioni i fundit paraqet vlerën mesatare të një anëtari të ansamblit

ni të mesatarizuar sipas

tërë ansamblit (N). Ky mesatarizim quhet mesatarizim sipas ansamblit ose mesatarizim fazor. Meqenëse sipas hipotezës ergotike të gjitha mikrogjendjet e sistemit janë me probabilitet të barabartë që sistemi të ndodhet në cilëndo prej tyre. Atëhere të dy vlerat mesatare do të jenë të barabarta, vetëm nëse sistemi qëndron në secilën gjendje të mundshme me energji Ei për një kohë mjaft të gjatë.

At  Aa Mesatarizimi sipas ansamblit është më i përgjithshëm sepse mund të përdoret për llogaritjen e vlerave mesatare të madhësive fizike edhe për gjendjet jostacionare.

39 2.6 Teorema e Luivillit

Kemi në konsideratë që numri i përgjithshëm i sistemeve të ansamblit nuk mund të ndryshojë me kohën.

Të shohim si ndryshon me kohën densiteti i pikave fazore, në qoftë se sistemet e

ansamblit i paraqesim me anë të densitetit të pikave fazore ρ . Këtë mund të shprehim si ligj të ruajtjes së numrit të përgjithshëm të pikave fazore. Ndryshimi i densitetit të pikave fazore ose shpërndarja e ansambleve në hapësirën fazore, ku i tërë sistemi gjatë kohës kalon nga një vëllim i hapësirës fazore në një tjetër, në anologji me ekuacionin e kontinuitetit që shpreh lëvizjen e fluidit, do të kemi:

   div v   0 t për lëvizjet stacionare do të kemi:

  0, t

 div v 

 div v   0

e përgjithësojmë në hapësirën fazore



2n

 x v   0 i

i 1

i

Koordinatat xi janë koordinatat e përgjithësuara qi dhe impulset e përgjithësuara pi , kurse shpejtësia

vi  x i paraqet derivatet sipas kohës së q i dhe p i .

      q q   p p   0 n

i 1

i



i

i

i



pas diferencimit do të marrim:

n



 q i 1



q i 

i

n  q i p i      p i      0 qi pi  pi  i 1  qi

H , pi

p i  

H . qi

40

q i p 2H   i . qi qi pi pi Anëtari i dytë është i barabartë me zero, kurse anëtari i parë paraqet derivat total të funksionit të shpërndarjes sipas kohës, dhe do të kemi: n         q i  p i   0 t i 1  qi pi 

d  0, dt

 q, p   const

Nga shprehja e fundit nxirret përfundimi që densiteti i pikave fazore që paraqet sistemet e ansambleve në hapësirën fazore nuk ndryshon gjatë kohës. Në qoftë se në momentin t1 në vëllimin e hapësirës fazore një kohe t2 pikat fazore do të përfshijnë vëllimin tjetër Shënojmë me

1

dhe

2

1 , ndodhën N1 pika fazore. Pas

2 si në fig. 5

densitetet e pikave në vëllimet përkatëse.

Meqë numri i pikave fazore nuk ndryshon, do të kemi:

Meqë është:

11   2 2 , N1  N 2 , 1  2 . 1   2 , do të kemi:

Prandaj, konkludojmë se bashkësia e pikave fazore të cilat paraqesin sistemet e ansambleve në hapësirën fazore sillen si një fluid i pandrydhshëm.

Fig.5

41 2.7

Gjendja energjetike

Supozojmë një sistem i cili mund të këtë një varg vlerash të energjisë:

E1 , E2 ,..., Ei ,... Këto nivele të energjisë do t`i quajmë gjendje energjetike të sistemit. Këto nivele energjetike mund t`i këtë si sistemi makrofizik ashtu edhe grimcat individuale si nënsisteme të ndonjë sistemi më të madh. Marrim njerën nga këto gjendje me energji Ei , të cilës gjendje i përgjigjet një numër i caktuar i mikrogjendjeve G(Ei) (Fig.6). Këtë numër të mikrogjendjeve e quajmë peshë statistike ose degjenerim të gjendjes energjetike Ei.

Fig.6 Kërkojmë probabilitetin që sistemi të ketë energjinë Ei. Të gjitha mikrogjendjet e mundshme me energji Ei janë njësoj të besueshme. Probabiliteti i këtyre mikrogjendjeve është funksion vetëm i energjisë d.m.th. varet nga kordinatat dhe impulset e gjeneralizuara nëpërmjet funksionit të Hamiltonit

wmikrogj Ei   f i H q1 ,..., qn , p1 ,..., pn  Ndërsa probabiliteti

W Ei  që sistemi të ketë energjinë Ei është i barabartë me shumën e të

gjitha probabiliteteve të mikrogjendjeve përkatëse:

W Ei   wmik Ei   wmik Ei       wmik Ei  W Ei   GEi wmik Ei  Në rastet kur kemi ndryshim kontinual të energjisë , në vend të Ei duhet të mirret intervali i energjisë (E, E+dE). Në qoftë se shënojmë me g(E) numrin e mikrogjendjeve në njësinë e intervalit të energjisë , atëherë në vend të G(Ei) zëvendësojmë

dG  g E dE

42

Probabiliteti që sistemi të këtë energji në intervalin ndërmjet E dhe E+dE është:

dW E   g E dEwmik E  ku

wmik E  është probabiliteti i secilës mikrogjendje.

E  shënojmë vëllimin e hapësirës fazore të cilën e mbushin të gjitha mikrogjendjet e sistemit me energji H q, p   E . Në qoftë se me

 E  

     dq dq

 H q , p  E 

1

2

   dq n dp1dp2    dp n

Gjendjës energjetike në intervalin e energjisë (E,E+dE) i përgjigjet elementi i vëllimit të hapësirës fazore

dE  

E  dE E

Ndërsa numrin e mikrogjendjeve do ta gjejmë duke e pjesëtuar shprehjen e fundit me vëllimin e celulës fazore

n dG  g E dE 

g E  

Tashti probabilitetin

dE 



n



1 E  dE  n E

1 E   n E

dW mund të shkruajmë në formën: dW 

w E  1 E  dEwmik E   mik n dE  n E  

dW   q, p, t dE  ,

 q, p, t  

wmik E 

n

43 Shprehja e fundit përcakton densitetin e probabilitetit të pikave fazore, probabilitetin e njësisë së vëllimit të hapësirës fazore të kësaj gjendjeje energjetike. Duke e krahasuar shprehjen e fundit me shprehjen:

 q, p, t  

 q, p, t  N

do të marrim

 q, p, t   N q, p, t   d.m.th. densiteti i pikave fazore secilësdo mikrogjendje

N

n

wmik E 

 , densiteti i probabilitetit të pikave fazore  , probabiliteti i

wmik për energjinë e dhënë E, janë proporcionale ndërmjet veti.

Si shembull marrim gjendjen e një molekule të gazit ideal jashtë fushave të veprimit. E cila gjendet në vëllim V dhe ka impuls në intervalin (p,p+dp) si në fig.7. Vëllimi i celulës fazore përkatëse do të jetë e barabartë me relacionin:

d p    dxdydz V

 dp dp dp

 p , p  dp

x

y

z

Fig.7 Integrali i parë paraqet vëllimin V kurse integrali i dytë paraqet shtresë të sferës me rreze p dhe trashësi dp

d p   V 4p 2 dp , Për raste jorelativiste, kemi v 1, do të kemi: S ≥ 0 , kjo vlenë për sistemet e izoluara.

Çdo sistem i izoluar vetëvetiu kalon në gjendje të ekulibrit dhe praktikisht kurrë vetëvetiu nuk del nga kjo gjendje. Në gjendjen ekulibruese probabiliteti termodinamik ka vlerë maksimale. Ky probabilitet është masë që tregon në cilën kahje rrjedhin proceset në natyrë. Kështu çdo sistem i mbyllur do të kalojë nga gjendjet me probabilitet më të vogël në gjendjen me probabilitet më të madh deri sa të arrihet gjendja me probabilitet maksimal që i korrespondon gjendjes së ekulibrit. Me këtë rast do të rritet edhe entropia. Zmadhimi i entropisë në nji sistem të mbyllur paraqet synim natyror të sistemit që të kalojë nga gjendja me probabilitet më të vogël në gjendjen me probabilitet më të madh. Sa më e madhe të jetë entropia e sistemit aq më i madh do të jetë numri i mundësive të realizimit të gjendjes së sistemit.

57 Supozojmë se dipolet elektrike nën veprimin e fushës së jashtme elektrike janë orientuar sipas drejtimit të kësaj fushe. Gjendja e tillë e sistemit përbën rregullsi të plotë dhe kjo realizohet në vetëm një mënyrë (vlenë për temperatura shumë të ulëta, afër zeros absolute). Me rritjen e temperaturës kjo rregullsi e orientimit do të prishet. Prandaj, entropia paraqet masë të rregullsisë së sistemit. Në të gjitha proceset e mbyllura që ndodhen në gjendje joekulibruese, entropia e sistemit rritet deri sa të arrihet vlera maksimale në gjendjen stacionare. S ≥ 0. Entropia e sistemit është funksion i gjendjes dhe varet vetëm nga gjendja e sistemit por jo nga mënyra e arritjes së asaj gjendjeje. Kështu ndryshimi i entropisë gjatë kalimit nga gjendja 1 në gjendjen 2 është: 2

S   dS  S 2  S1 1

sikur te energjia e brendshme e sistemit.

3.3 Temperatura e sistemit Në qoftë se me E shënojmë energjinë e përgjithshme të sistemit, kurse me S entropinë përkatëse të sistemit, atëherë madhësia e definuar në mënyrën

 E  T    S V quhet temperaturë e sistemit. Ky është definim statistik i temperaturës që është ekuivalent me temperaturën termodinamike. Por ky definim ka kuptim më të përgjithshëm, sepse nuk varet nga natyra e sistemit as nga lloji i procesit. Kurse vlerën reciproke të temperaturës së sistemit e kuptojmë si shpejtësi të rritjes së entropisë të sistemit me rritjen e energjisë.

1  S    T  E V Vështrojmë një sistem të mbyllur i cili përbehët nga dy nënsisteme të cilat mbahen në vëllim konstant 1

2

Pasi që sistemi është i izoluar ndryshimi i përgjithshëm i energjisë së sistemit është zero

58 dE = dE1 +dE2 = 0 dE1 = - dE2 Meqenëse vëllimet e nënsistemeve janë konstante ndryshimi i entropisë së sistemit do të jetë:

 S   S  dS  dS1  dS 2   1  dE1   2  dE 2  E1 V1  E 2 V 2

dS 

1 1 dE1  dE 2 T1 T2

dE1 = - dE2

1 1 dS    dE1  T1 T2  Në qoftë se kemi gjendjen stacionare të sistemit d.m.th. kemi ekulibër termik ndërmjet nënsistemeve, entropia e tërë sistemit do të jetë maksimale, prandaj do të kemi :

dS = 0;

1 1   dE1  0  T1 T2 

Për çfarëdo shkëmbimi të energjisë dE1 , shprehja e fundit vlenë vetëm për: T1 = T2 Prandaj në ekulibrin termik ndërmjet dy nënsistemeve temperaturat përkatëse të nënsistemeve janë të barabarta.

59 3.4 Shtypja e sistemit

Shtypja e sistemit karakterizohet me ndikimin e faktorëve të jashtëm në gjendjen e sistemit. Mendojmë sistemin konservativ me vëllim V . Kërkojmë forcën me të cilën sistemi vepron në sipërfaqen kufitare

d (figura 14)

Fig.14 Me veprimin e elementit të forcës zhvendosë

 dF në elementin e sipërfaqes kufitare d do të

 d për dr , me ç`rast do të ndryshojë vëllimi i sistemit për dV. Në ketë rast do të

ndryshojë edhe energjia e brendshme e sistemit. Puna e forcës dF do të jetë e barabartë me zvogëlimin e energjisë së brendshme të sistemit.

d `A  dFdr  dE qi , pi , r  Ndryshimi i energjisë së brendshme për efekt të zhvendosjes së elementit dr, do të jetë:

 E   E   E  dE    dx    dy    dz  x  S  z  S  y  S

 E  dE    dr  r  S Kemi supozuar se entropia nuk ndryshon gjatë këtij procesi :

60

 E  dF  dr    dr  r  S  E qi , pi , r   dF    r  S Pasi që energjia e brendshme varet nga parametri r vetëm përmes vëllimit, do të kemi:

 E   E  V      r  S  V  r elementi i vëllimit është :

dV  d  dr  V  dV   dr  r  V  d r

  E   dF    d  V  S Kemi marrë forcën e cila vepron normal në elementin kufitar të sipërfaqes

d . Vlera absolute e

kësaj force në njësinë e sipërfaqes quhet shtypje e sistemit dhe është e barabartë me :

P

dF  E     d  V  S

Nga shprehja e fundit mund të konkludojmë se shtypjen e sitemit mund ta konsiderojmë si shpejtësi të rënies së energjisë së brendshme me rritjen e vëllimit. Për çdo sistem ekziston varshmëria e shtypjes nga temperatura dhe vëllimi, kjo varshmëri varet nga natyra e sistemit kurse ekuacioni që përshkruan ketë varshmëri quhet ekuacion termik i gjendjes.

P  f T ,V 

61 Ndërsa ekuacioni që përshkruan varshmërinë e energjisë së brendshme nga temperatura dhe vëllimi i sistemit quhet ekuacion kalorik i gjendjes.

E   T ,V  Shtypjen e sistemit mund ta formulojmë edhe nga diferenciali total i energjisë së brendshme duke e konsideruar energjinë e brendshme të sistemit si funksion të entropisë dhe vëllimit të sistemit.

E  E S ,V   E   E  dE    dS    dV  S V  V  S dE  TdS  pdV

Nga shprehja e fundit kemi:

dS 

1 p dE  dV T T

Në qoftë se entropinë e sistemit e konsiderojmë si funksion të energjisë së brendshme dhe vëllimit, do të marrim:

S  S E , V 

 S   S  dS    dE    dV  E V  V  E dS 

1 p dE  dV T T

p  S      V  E T Vështrojmë sistemin që përbëhet nga dy nënsisteme ashtu që vëllimet e nënsistemeve mund të ndryshojnë. Pasi që sistemi është i izoluar, mund të shkruajmë: dE = dE1 + dE2 = 0

62 dV = dV1 + dV2 = 0 prej nga marrim se

dE1 = - dE2

Ndryshimi i entropisë

dhe

dV1 = - dV2

S  S E1 , E2  së sistemit do të jetë:

 S   S   S   S  dS  dS1  dS 2   1  dE1   1  dV1   2  dE2   2  dV2  E1 V 1  V1  E1  E 2 V 2  V2  E 2  S   S   S    S   dS   1    2   dE1   1    2   dV1  V1  E1  V2  E 2   E1 V 1  E 2 V 2  Nga definicioni i temperaturës dhe shtypjes do të kemi:

1 1 p p  dS    dE1   1  2 dV1  T1 T2   T1 T2  Kur sitemi ndodhet në ekulibër termik ,do të kemi: T1= T2 = T

dS 

1  p1  p2 dV1 T

Në qoftë se sistemi është në gjendjen stacionare ku ekziston edhe ekulibri mekanik ndërmjet nënsistemeve, atëherë entropia e tërë sistemit do të jetë maksimale; dS = 0

1  p1  p2 dV  0 , T

prej nga rrjedh që

p1 = p2 .

Në ekulibrin mekanik ndërmjet dy nënsistemeve në temperaturë të njëjtë shtypjet e tyre reciproke do të jenë të barabarta. Në qoftë se sistemi nuk është në gjendje stacionare, do të kemi:

dS > 0, dhe në qoftë se p1 > p2 ,

1  p1  p2 dV  0 T dV1 > 0, dV2 < 0.

Gjatë kontaktit të dy nënsistemeve me shtypje të ndryshme dhe në ekulibër termik, nënsistemi me shtypje më të lartë zgjerohet në llogari të nënsistemit me shtypje më të ulët.

63 3.5 Potenciali kimik

Vështrojmë rastin kur ndërmjet dy nënsistemeve që janë në kontakt ekziston shkëmbimi i grimcave. Nëse sistemi i përgjithshëm i grimcave është i izoluar , atëherë energjia , vëllimi dhe numri i përgjithshëm i grimcave të sistemit do të jetë konstant. dE1 = - dE2

,

dV1 = - dV2 , dN1 = - dN2 . ku N1 dhe N2 janë numri i grimcave të nënsistemit të parë dhe nënsistemit të dytë. Për ketë rast ndryshimi i entropisë

S  S E,V , N  i terë sistemit do të jetë:

dS  dS1  dS 2   S   S   S    1  dE1   1  dV1   1  dN1   E1 V 1N 1  V1  E1N 1  N1  E1N 1  S   S   S    2  dE 2   2  dV2   2  dN 2  E 2 V 2 N 2  V2  E 2 N 2  N 2  E 2 N 2 Nga definicioni i temperaturës dhe shtypjes së sistemit, shprehjen e fundit mund ta shkruajmë në formën:

 S   1 1 p  S  p   dN1 dS    dE1   1  2 dV1   1    2  T T T T  N  N  2  2   1  1  1  E1V1  2  E 2V 2  Supozojmë që sistemi është në ekulibër termik dhe mekanik: T1 = T2 , p1 = p2 dhe duke i zёvendёsuar shprehjet brenda kllapave tё mesme, do të kemi:



 S     T  N V , N

64

Madhёsinё fizike

 do ta quajmё potencial kimik, dhe për ndryshim të entropisë mund të

shkruajmë:

dS  

1 1   2 dN1 T

Në qoftë se sistemi është në gjendje stacionare , do të kemi: dS = 0,

1   2

Kur dy nënsisteme ndodhen në ekulibër termik dhe mekanik dhe ndërmjet tyre kryhet shkëmbimi i grimcave, potencialet kimike përkatëse janë të barabarta. Në qoftë se sistemi nuk ndodhet në gjendje stacionare atëherë dS > 0 dhe nga shprehja e mësipërme kemi

1   2

për dN1 < 0, d.m.th. grimcat kalojnë nga nënsistemi me potencial

kimik më të madh në nënsistemin me potencial kimik më të vogël. Potencialin kimik mund ta shprehim edhe përmes energjisë së brendshme të sistemit , për vëllim dhe entropi konstante të sistemit:

 E    N  S ,V

 

Si sistem termodinamik me numër të ndryshueshëm të grimcave mund të merret nënsistemi avull në sistemin lëng-avull në ekulibër.

65 4.

Statistika klasike

4.1 Shpërndarja kanonike e Gibsit Në studimin e problemeve të fizikës statistike klasike të sistemeve në ekulibër mund të përdorim shpërndarjen mikrokanonike. Por përdorimi i kësaj rruge na çon në vështirësi serioze llogaritëse p.sh: integrimi kryhet mbi një hipersipërfaqe. Për t`i mënjanuar këto vështirësi, në vend të shpërndarjes mikrokanonike përdorim shpërndarjen kanonike të Gibsit e cila nuk vlenë për sistemet e izoluara, por vlenë për sistemet në ekulibër me termostatin. Termostati është një sistem shumë i madh me temperaturë konstante ku vendoset sistemi ynë i cili bashkëvepron me termostatin në mënyrë termike. Në kufijtë e sistemit dhe termostatit, molekulat e tyre duke u goditur me njëra tjetrën shkëmbejnë energji. Kjo energji e bashkëveprimit sistem –termostat mund të mos merret parasysh kur është e papërfillshme në krahasim me energjinë e sistemit dhe energjinë e termostatit. Kurse sistemi S+T merret si një sistem i izoluar. Probabiliteti që sistemi i tillë ka energjinë Ei përcaktohet me shprehjen:

W Ei   BG Ei e



Ei kT

Konstantën B e përcaktojmë nga kushti i normimit



W Ei   B GEi e

i



Ei kT

1

i

Këtë shumë e zëvendësojmë me Z

Z   GEi e



Ei kT

i

dhe probabiliteti që sistemi të ketë energjinë Ei do të jetë:

W E i   e sjellim një madhësi të re F

E

 i 1 GEi e kT Z

e



F kT

W Ei   GEi e

Z

F  Ei kT

66 Kështu kemi marrë probabilitetin që sistemi në kontakt me termostatin ka energjinë Ei në temperaturën T. Do të kërkojmë shmangien e energjisë nga vlera e saj mesatare:

E  Ei  Ei Devijimi mesatar i energjisë do të jetë zero

Ei  Ei  Ei  0 Prandaj, kërkojmë katrorin e devijimit mesatar

Ei 2  Ei  Ei 2  Ei2  2Ei Ei  Ei 2 ,

Ei 2  Ei2  2Ei Ei  Ei 2

,

Ei 2  Ei2  Ei 2 Fluktuacioni i energjisë do të jetë:

 E  

Ei 2 Ei

Ei2  Ei



2

Ei

Tashti kërkojmë devijimin (fluktuacionin) relativ të energjisë në shpërndarjen e Gibsit:

W E i  

1 Gi e  Ei , Z

E i   E iW  E i  

Ei  

Gi  GEi 

1 1  Ei Gi e  Ei    Z Z 

G e 

 Ei

i

1 Z Z 

Ei2   Ei2W Ei  

1 1 2  Ei 2 E G e    i i Z Z  2

G e 

 Ei

i

67

Ei2 

1 2Z Z  2 2

Ei 1 2Z 1  Z  2   Ei  Ei2   2  2  Z  Z   

 E   2

Ei2  Ei Ei

2

2



1 Ei 2 Ei 

Pasi që veprimi reciprok ndërmjet grimcave të sistemit, sipas supozimit është i dobët, energjinë e sistemit mund ta konsiderojmë madhësi aditive. Prandaj, energjia mesatare e sistemit është në përpjesëtim me numrin e grimcave përbërëse të sistemit:

Ei  C T N ku faktori C varet nga temperatura e sistemit. Shprehjen e fundit e zëvendësojmë në shprehjen e parafundit dhe kemi në konsideratë që N nuk varet nga T dhe as nga



1 CN  1 1 C 1   1      2  N C 2  N   C  C N

 2 E   

2

dhe fluktuacioni relativ i energjisë merr formën:

 E  

A N

,

A

 

1   C 

Si përfundim marrim që fluktuacioni relativ i energjisë

 E 

është në përpjesëtim të zhdrejtë me

N . Te sistemet me numër të madh të grimcave që veprojnë dobët ndërmjet veti dhe me rrethinën, fluktuacioni relativ i energjisë është shumë i vogël. Prandaj, sistemi ndodhet pothuaj se gjithë kohën në gjendje me energji më të besueshme E m e shumë rrallë në gjendje të tjera të mundshme me energji Ei .

Pikërisht, ketë gjendje me energji Em e quajmë gjendje ekulibri për

energjinë e sistemit E  H  Em . Dhe mund të konkludojmë se vlera mesatare e çdo madhësie fizike e sistemit përputhet me vlerën që ka kjo madhësi në ekulibër. Prandaj, probabiliteti që sistemi të ketë energji të ndryshme nga energjia më e besueshme është i paperfillshëm.

68

W Ei W Em  ,

për

Ei  E m

Këtë përfundim e paraqesim në grafik (figura 15).

Fig.15 Meqë këmbana e fituar është tepër e ngushtë, probabiliteti që sistemi të ndodhet në intervalin e ngushtë (E, E+dE) rreth vlerës Em është pothuajse i barabartë me 1, ndërsa jashtë këtij intervali ky probabilitet është pothuajse i barabartë me zero. Për rastin kur N → ∞ (sisteme makroskopike), shpërndarja kanonike, praktikisht kalon në shpërndarjen mikrokanonike, me çka vendoset lidhja ndërmjet këtyre dy tipeve të ansambleve. Në studimin e sistemeve termodinamike krysisht mund të aplikojmë dy rrugë për njësimin e vlerave mesatare. Sistemin mund ta konsiderojmë të izoluar me energji në një interval shumë të ngushtë (E, E+dE) dhe e përdorim shpërndarjen mikrokanonike. Dhe në rastin tjetër sistemin mund ta konsiderojmë në ekulibër termik me termostatin me temperaturë të tillë që Em të jetë sa energjia në rastin e parë dhe përdorim shpërndarjen kanonike. Rruga e dytë i thjeshton njësimet e vlerave mesatare, integrohet (shumohet në rastin diskret apo kuantik) sipas të gjitha gjendjeve të mundshme energjetike apo në terë vëllimin fazor të sistemit.

69 4.2

Shuma statistike dhe energjia e lirë

Shumë statistike e quajmë madhësinë Z të definuar në mënyrën:

Z   GEi e



Ei kT

 e

i



Ei kT

m. s

Në rastin e parë shumimi kryhet nëpër të gjitha gjendjet energjetike të mundshme kurse në rastin e dytë shumimi kryhet nëpër të gjitha mikrogjendjet e sistemit. Kur kryhet shumimi nëpër të gjitha mikrogjendjet e sistemit, në nivelin energjetik `i` faktori e



Ei kT

do të na paraqitet G(Ei) herë , me

çka fitojmë shprehjen e parë. Prandaj, dy shprehjet e më sipërme janë ekuivalente. Në qoftë se shumimi kalon në integral atëherë madhësia Z quhet integral statistik.

Meqë do të kemi

G E i   Z  i



n



n

e



, Ei kT

Kur gjendjet e sistemit ndryshojnë në mënyrë kontinuale, shuma statistike kalon në integral statistik

Z  e



E kT

dG       

1

n

e



E kT

dq1    dq n dp1    dp n

Në qoftë se grimcat e sistemit janë identike shprehjen e fundit duhet pjesëtuar me N!. E zëvendësojmë shumën statistike Z me një madhësi të re F dhe do ta quajmë energji të lirë të sistemit

e



F kT

 Z , F  kT ln Z

Kur sistemi përbëhet nga një numer i madh i grimcave, probabiliteti që sistemi të ketë çfardo energjie tjetër nga më e besueshmja është minimal. Kështu në shumën statistike kontributin më të madh e jep anëtari që përmban energjinë më të besueshme Em , kurse anëtarët e tjerë mund t`i abstrahojmë.

70

Z   GEi e



Ei kT

 GE m e



Em kT

i

Këtë neglizhim mund ta marrim për shkak se fluktuacioni relativ i energjisë është shumë i vogël. Meqë energjia më e besueshme është shumë afër energjisë mesatare

Em  Ei , shprehjen e

fundit mund ta shkruajmë në formën:

Z  G Ei e



Ei kT

,

( N >> 1)

e logaritmojmë shprehjen e fundit:

ln Z  ln G Ei  

Marrim që:

Ei  E ,

ln Z 

Ei kT

ln G Ei  

1 E S   , k T

S k

S

E  k ln Z T

Dhe energjinë e lirë të sistemit e shprehim sipas madhësive makroskopike:

F  kT ln Z  E  T  S Këto relacione vlejnë vetëm për rastet kur sistemi përmban numër shumë të madh të grimcave ashtu që fluktuacioni relativ i energjisë të jetë shumë i vogël. Ky aproksimim është treguar i kënaqshëm për sistemet makroskopike. Për sistemet me numër të vogël të grimcave, fluktuacioni relativ i energjisë mund të ketë vlera të konsiderueshme dhe përfundimi i mësipërm pushon të vlejë. Si shembull marrim oscilatorin linear harmonik dhe supozojmë që mund të ndodhet vetëm në këto nivele energjetike

En  nh ,

(n=0,1,2,3,…)

dhe këtë padegjenerim që i përgjigjet teorisë kuantike të Planck-ut për rrezatimin e trupit absolutisht të zi.

71 Atëherë pesha statistike

GE m  është e barabartë me 1.

Z   GE n e



En kT



 e

n

h kT

 1 e



h kT

e

2

h kT

 

n 0

Shprehja e fundit paraqet një rend gjeometrik rënës

 a1     ,  1 q 

Prandaj, do të kemi:

Z

1 1 e



h kT

kurse energjia e lirë e sistemit do të jetë:

F  kT ln Z  kT

1 1 e



h kT

h     F  kT ln 1  e kT  .  

4.3

Shpërndarja e Gibsit për sisteme me numër të ndryshueshëm të grimcave.

Sistemet me numër të ndryshueshëm të grimcave në kuptimin statistik klasik kanë një hapësirë fazore me përmasa të ndryshueshme. Prandaj, vëllimi fazor si edhe hamiltoniani i sistemit do të varet nga numri i grimcave përbërëse të sistemit. Sistemet me numër të ndryshueshëm të grimcave i takojnë ansambleve të mëdha kanonike. Probabiliteti që ky sistem në kontakt të dobët me rrethinën të ketë energjinë Eik dhe numër të grimcave Nk do të jetë:

W N k , Eik   B`GN k , Eik e

N k  Eik

konstanta B` përcaktohet nga kondita e normimit:

kT

72

W  N

k

, Eik   B` GN k , Eik e i

N k  Eik kT

1

k

Shumimi kryhet nëpër të gjitha nivelet e mundshme energjetike dhe nëpër të gjitha grimcat e sistemit.

W N k , Eik  

G N k , Eik e

 GN i

k

N k  Eik kT

, Eik e

N k  Eik

,

kT

k

ose

1 W N k , Eik   GN k , Eik e ˆ

N k  Eik kT

ku me Ź kemi shënuar shumën e dyfishtë:

ˆ   GN k , Eik e i

N k  Eik kT

k

Kur shumimi kryhet nëpër të gjitha mikrogjendjet e sistemit , shprehja e fundit merr formën:

ˆ   GN k , Eik e

N k  Eik kT

m. s

Madhësia Ź quhet shumë e madhe statistike dhe ka funksion të njëjtë në ansambletë e mëdha kanonike sikurse shuma statistike që ka funksion në ansambletë kanonike. Në mënyrë analoge e sjellim një madhësi të re

e



 kT



ˆ, 

ˆ   kT ln 

dhe shprehja e mësipërme merr formën:

W N k , Eik   GN k , Eik e

  N k  Eik kT

Shprehja e fundit paraqet probabilitetin që sistemi në kontakt me termostatin ka energji E ik kur ky sistem përmban Nk grimca. Madhësia

 quhet potencial i madh termodinamik dhe i përgjigjet

energjisë së lirë në ansamblin kanonik.

73 Për sisteme me numër të madh të grimcave, fluktuacioni relativ i energjisë është shumë i vogël dhe mund të tregohet në mënyrë analoge si në rastin e mëparshëm:

ˆ   GN k , Eik e

N k  Eik kT

 GE m , N m e

N m  Em kT

i .k

Vlera më e besueshme e energjisë dhe e numrit të grimcave është afërsisht e barabartë me vlerat e tyre mesatare: E m  Eik ,

N m  N k dhe shprehja e mësiperme merr formën:

ˆ  GN k , Eik e

N k  Eik kT

,

(N >>1)

E logaritmojmë këtë shprehje dhe marrim që E  Eik , N  N k

ln ˆ  ln GEik , N k  

N k  Eik kT



1 N  E  S   k T 

Prej nga për entropinë e sistemit do të kemi:

S

E  N  k ln Zˆ T

ndërsa për potencialin e madh termodinamik do të kemi shprehjen:

  kT ln Zˆ  E  TS  N Ky relacion tregon kuptimin termodinamik të madhësisë

 kur sistemi përmban numër të madh

të grimcave, që i përgjigjet sistemeve makroskopike, dhe mundëson kalimin nga fizika statistike në termodinamikë edhe për rastet kur sistemet përmbajnë numër të ndryshueshëm të grimcave.

74 4.4 Pёrcaktimi statistik i madhësive termodinamike

Shuma statistike paraqet karakteristikën themelore të sistemit me ndihmën e secilës përcaktojmë energjinë e lirë e cila vendos lidhjen ndërmjet fizikës statistike dhe termodinamikës. Me ndihmën e shumës statistike përcaktojmë vlerën mesatare të energjisë së brendshme të sistemit:

E  Ei  

 ln Z  ln Z T ,   T 



1 kT

T 1   2  kT 2  k Shprehjen e mësiperme e shprehim vetëm përmes T:

E  Ei  kT 2

 ln Z T

Që të fitojmë funksionet tjera termodinamike, fillojmë me relacionin:

dE  TdS  pdV ku E, S dhe p janë vlerat mesatare të këtyre madhsive. Diferencialin e energjisë së lirë

F  E  TS  e shkruajmë në formën aproksimative:

dF  d E  TS   dE  TdS  SdT ose

dF  SdT  pdV , F  F T ,V 

Nga relacioni i fundit përcaktojmë entropinë mesatare dhe shtypjen e sistemit, duke e konsideruar energjinë e lirë funksion të temperaturës dhe vëllimit.

 F   F  dF    dT    dV  T V  V  T duke e krahasuar më shprehjen e mësiperme, do të marrim:

75

 F  S    dhe  T V

 F  p     V  T

Për sistemet me numër të ndryshueshëm të grimcave, duke e konsideruar entropinё si funksion tё

S  S E , V . N 

 S   S   S  dS    dE    dV    dN  E V , N  V  E , N  N  E ,V Marrim nё konsiderim definicionin e temperaturës, shtypjes dhe potencialit kimik, dhe do të kemi:

dS 

1 p  dE  dV  dN T T T

prej nga marrim:

dE  TdS  pdV  dN Formojmë tashti diferencialin e funksionit Φ:

  E  TS  N d  dE  TdS  SdT  dN  Nd

d  SdT  pdV  Nd ,   T ,V ,  

          d d    dT    dV      T V ,   V  T ,   V ,T Relacionin e fundit e krahasojmë me shprehjet e mëparshme dhe do të marrim:

          . S   , N  N k    , p     T V ,   V  T ,    V ,T Relacionet e fituara na mundësojnë që nga potenciali i madh termodinamik

  kT ln Zˆ i cili fitohet nga shuma e madhe statistike të përcaktohet entropia mesatare, shtypja dhe numri mesatar i grimcave të sistemit.

76 4.5

Shpërndarja e Maksuellit

Nga shpërndarja e Gibsit, probabiliteti që grimca të këtë energjinë εi është:

W  i   Bg i e



i kT

ku gi është pesha statistike e grimcës me energji εi ose numri i mikrogjendjeve të grimcës që i përgjigjet energjisë εi . Pasi çdo mikrogjendje të grimcës i përgjigjet një celulë fazore elementare me vëllim

 3 , atëherë pesha statistike

do të paraqet numrin e këtyre celulave elementare në nivelin energjetik me energji εi . Vëllimin e celulave fazore në nivelin energjetik me energji εi e shënojmë me

 i  .

  i 

g i  G i  

3

g i  C i  Konstantën B e përcaktojmë nga kondita e normimit:

W  i   B g i e i



i kT

1

i

1

B

g e



i kT

i

i

W  i  

gie



i kT

 gie



i kT

i

Shprehja e fundit na përcakton probabilitetin që grimca e izoluar të ketë energjinë εi . Në qoftë se nivelet energjetike të sistemit janë shumë afër ndërmjet veti, atëherë mund të marrim se energjia ndryshon në mënyrë kontinuale. Kjo vlenë kur ndryshimi ndërmjet niveleve të energjisë nuk është më i madh se kT

E  Ei 1  Ei  kT

77 Kur gjendjet e sistemit ndryshojnë në mënyrë kontinuale , atëherë në vend të indeksit `i ` i cili ndryshon në mënyrë diskrete , marrim bashkësinë e kordinatave dhe impulseve që ndryshojnë në mënyrë kontinuale.

 i  E q, p  g i  dq1    dqn dp1    dpn

edhe shuma do të kalojë në integral:

dW q, p  

e



e

E q , p  kT

d

E q , p   kT

d

Shprehja e fundit paraqet probabilitetin që sistemi të këtë vlerat e kordinatave dhe impulseve në intervalet (q,q+dq) dhe (p,p+dp). Integrimi përfshinë tërë hapësirën fazore d.m.th të gjitha vlerat e mundshme të kordinatave dhe impulseve. Probabiliteti që sistemi ndodhet në enën me vëllim V dhe të ketë impulset në intervalet (p,p+dp) jepet si në figurën 16.

Fig.16

78 Në qoftë se sistemi përbëhet nga molekula të gazit që ndodhen në ndikimin e fushave të forcave të jashtme (gravitacionale, elektrike), energjia e gazit do të jetë e barabartë me relacionin e mëposhtëm: N pi2 E q, p     U qi  i 1 2m i 1 N

E zëvendësojmë këtë në shprehjën e mëparshme:

N

e

dW q, p    i 1



e

pi2 2 mkT



dpi

pi2 2 mkT

e

i 1

e



dpi

-

N

U q i  kT -

dqi

U q i  kT

dqi

d   dqi dpi , i

dqi  dxi dyi dz i ,

dpi  dp xi dp yi dp zi .

Probabiliteti që molekulat e gazit të ndodhen në fushën e forcave të jashtme në intervalin e kordinatave (q,q+dq) dhe të impulseve (p,p+dp) është:

dW q, p  

e



p2 2 mkT

e



p2 2 mkT

dp e



dp  e

U q  kT

dq

U q   kT

dq

Anëtari i parë i shpërndarjes së Maksuellit (shprehja e fundit) paraqet shpërndarjen e besueshmërive sipas impulseve, kurse anëtari i dytë varet prej koordinatave të grimcave dhe përcaktohet me formën e energjisë potenciale të fushës së jashtme. Në qoftë se sistemi përbëhet nga N molekula , probabiliteti që dN molekula ndodhen në intervalin e kordinatave (q,q+dq) dhe të impulseve (p,p+dp) përcaktohet me shprehjen vijuese:

dW q, p  

dN 

Ne

e



dN N

E q , p  kT

E q , p   kT

d d

79

p 2  p x2  p y2  p z2 në emëruesin e shprehjes së mëparshme, do të

Duke zëvendësuar marrim:

  



  e

p2 2 mkT



dp x dp y dp z 

   

e



p x2 2 mkT





dp x  e





2 mkT



dp y  e



p z2 2 mkT

dp z





Integralet e mësipërme janë të tipit të integraleve të Jeansit ku



p 2y

është e barabartë me

1 2mkT 

e



p x2 2 mkT



dp x  2 e



p x2 2 mkT

0

  





e



p2 2 mkT



1 dp x  2   2

 2mkT  2 1

1 2mkT

dp x dp y dp z  2mkT  2 3

 

dW 

1

2mkT  2 3

e



p 2 mkT

dp x dp y dp z

Komponentet e impulsit i zëvendësojmë me komponentet e shpejtësisë

dW 

1

2mkT  2 3

Pas zëvendësimit me α

e

m 2v 2 2 mkT

1

m dv x dv y dv z  3

3 2

 2kT    m 

 

3 2

e



mv 2 2 kT

dv x dv y dv z

2kT , do të marrim: m



dW 



1 3 2



e

v3

2

dv x dv y dv z

 3 Shprehja e fundit paraqet probabilitetin që molekulat e gazit ideal jashtë fushave të veprimit të forcave të jashtme e në gjendjen stacionare i kanë kooponentet në intervalet e shpejtësisë

v x , v x  dv x  , v y , v y  dv y  , v z , v z  dv z  .

80 Nga shprehja e fundit definojmë probabilitetin që molekulat ndodhen në intervalin e shpejtësisë (v,v+dv) pavarësisht nga drejtimi i vektorit të shpejtësisë (figura.17).

dv x dv y dv z  v 2 sin ddvd

Fig.17



1

dW 

e

3 2

v2

2

v 2 sin ddvd

 3 Nga i ntegrimi sipas të gjitha drejtimeve të mundshme të shpejtësisë dhe sipas të gjitha këndëve θ dhe φ do të marrim probabilitetin e kërkuar:

dW `



1 3 2

e

  dW `

 

2

3



1 3 2

v2

e



2

0

0

v dv  sin d  d 2

v2

2

v dv  2  2  2

3

4

 3

2

v e



v2

2

dv

Shprehja e fundit paraqet probabilitetin e Maksuellit të shpërndarjes së molekulave sipas shpejtësive kur sistemi ndodhet jashtë veprimit të forcave të jashtme dhe është në gjendjen stacionare. Për kushte të njëjta kalojmë në ligjin e shpërndarjes së molekulave sipas energjisë në intervalin energjetik

 ,   d  , duke zëvendësuar:

81



v

1 2 mv , d  mvdv 2

2 , dv  m

1 2m

d

Pas zëvendësimit do të marrim ligjin e Maksullit për probabilitetin e shpërndarjes sipas energjisë:

dW `

2

 kT 

3 2

e



 kT

d

E shkruajmë ligjin e Maksuellit në formën e probabilitetit sipas njësisë së intervalit të shpejtësisë në funksion të shpejtësisë v2

 2 dW ` 4 2   v e dv  3

dhe e paraqesim në figurën 18.

Fig.18 Derivati i parë në maksimumin e këti funksioni do të jetë zero:  2 d  4 2  v e dv    3  v2

   0,  

82 

ve

v2

2

 v2  1  2   0   

Shprehja e fundit do të jetë zero për rastin kur v=0 dhe v=∞ që i përgjigjet minimumit dhe për rastin kur:

1

v2

2

0

Vlera e shpejtësisë që merret nga relacioni i fundit do t`i jep kuptim fizik madhësisë α , këtë shpejtësi po e shënojmë me ideks m.

2kT m

vm   

Madhësia α paraqet shpejtësinë më të besueshme, me probabilitet maksimal. Vlera e këti probabiliteti maksimal për shpejtësinë më të besueshme është: 2

 2 4 4 1  dW ` 2   e      3  e   dv  m

4 m 4 1  dW `        e 2kT  e vm  dv  m Nga ligji i Maksuellit për shpërndarjen e molekulave sipas shpejtësisë do ta gjejmë shpejtësinë mesatare dhe vlerën mesatare të katrorit të shpejtësisë së molekulave. 

4

v   vdW `  v 



0

v

v



4

 2





0

3

v2

v e  3

3



2

2

dv 



v e

v2

2

4

dv

1  4  2 3

83 Në mënyrë analoge do marrim edhe për

v2 

v   v dW   v 2

2



0

v 



4

2



v e 4

3

4

2



3

v e

v2

2



2

dv 

0

v2

2

4



3

dv



3  5  8

3 v2   2 2 Relacionet e mësipërme i shkruajmë në formën:

v  1,13  1,13

2kT , m

v 2  1,22  1,22

2kT m

prej nga fitojmë raportin ndërmjet shpejtësisë më të besueshme, shpejtësisë mesatare dhe

 v v 2

katrorit të shpejtësisë mesatare

Tashti përcaktojmë energjinë kinetike mesatare për një molekulë të gazit ideal njëatomik.

1 2

1 2

3 2

 k  mv 2  m   2 

k 

3m 2  4

3m 2kT 3   kT 4 m 2

Relacioni i fundit tregon raportin e energjisë kinetike dhe temperaturës së molekulave të gazit jashtë veprimit të forcave të jashtme në gjendje stacionare.

84 Nga rezultatet e fituara marrim lidhjen ndërmjet shtypjes, temperaturës dhe vëllimit, kjo lidhje do të na jepë ekuacionin e gjendjes së gazit ideal.

3 3 2kT 3kT v2   2    2 2 m m

E zëvendësojmë shprehjen e fundit në ekuacionin e teorisë kinetike të gazrave:

1 1 3kT pV  mN v 2  mN   NkT 3 3 m

Ekuacioni i fundit quhet ekuacion termik i gjendjes së gazrave ideale.

Kollokviumi I 4.6

Goditjet e molekulave ndёrmjet veti

I marrim dy molekula tё gazit ideal, tё cilat lёvizin me shpejtёsi

v1 dhe v 2 .

Problemin e lёvizjes sё dy trupave, e shndërrojmё nё lёvizjen e njё trupi me masё tё redukuar mё lёvizjen e qendrёs sё masёs:





M  m1  m2

m1  m2 m1  m2

Origjinёn e sistemit të kordinatave e vendosim nё qendrёn e masёs C, vektori i pozitёs tё sё cilёs ёshtё:

 m1 r1  m2 r2 R m1  m2 

Largёsia ndёrmjet dy grimcave shprehet me vektorin relativ r

   r  r1  r2

85 Vektorёt pёrkatёs pёr grimcat, janё

 r1 

m2   rR m1  m2

 r2  

m1   r R m1  m2

Ndërsa shpёjtёsitё pёrkatёse tё grimcave, janё:

  r1  v1 

m2   rR m1  m2

  r2  v2  

m1   r R m1  m2

  r  vr

Dhe

ёshtё shpejtёsia relative e sistemit qё pёrbëhet prej dy grimcave. Ligji mbi ruajtjen e energjisё pёr ketё sistem, ёshtё:

m1v12  m2 v22  MR 2  vr2

Probabiliteti qё molekula e parё tё kёtё shpejtёsinё

  v1 , kurse molekula e dytё v 2 pёrcaktohet

me shprehjen e marrë nga shpërndarja e Maksuellit:

3

m v2

3

m v2

 m 2  1 1   m 2  2 2  dW  dw1 dw2   1  e 2 kT dv1   2  e 2 kT dv2  2kT   2kT 

Kalojmё nga variablat

    v1 dhe v 2 nё variabla tё reja R dhe v r , dhe e kemi nё konsideratё

shprehjen:

    dv1  dv2  I dR  dvr

86 ku I paraqet Jakobianin e transformimit nga variablat

v1 , v2  nё variablat

R , v  r

. Jakobiani

pёrcaktohet me shprehjёn

 v1  v r I   v 2  v r

 v1 m2  R  m1  m2 v 2 m1   m1  m2 R

1 1 1

Pas zёvendёsimit do tё marrim: 3

3

 2

vr MR   2  2kT m1 m2   m  m2  2  2 kT   e dW12   dv r   1 dR  dwr  dwCM  e  2kT   2 m1  m2 kT  2

Probabiliteti i gjendjes sё njё sistemi i pёrbёrë nga dy molekula, ёshtё i barabartё me produktin e e probabiliteteve tё dy lёvizjeve tё pavarura. Ndërsa, probabiliteti qё molekulat tё kenë shpejtёsinё relative

3

 v r , ёshtё:

v 2

   2  2 kTr  dwr   dv r  e  2kT  



Kurse, probabiliteti qё qendra e masёs sё sistemit tё lёvizё, nё hapësirё me shpejtёsi v  R , ёshtё: 3

dwCM

Pёr rastin kur

 2

MR  M  2  2 kT   dR  e  2kT 

m1  m2  m , dhe  

3

mv 2

m , do tё kemi: 2

 m  2  4 kTr  dwr   dv r  e  4kT 

87 Me ndihmёn e shpёrndarjes sё probabilitetit, llogarisim, vlerёn mesatare tё shpejtёsisё relative

vr : vr   vr dwr 3



mv 2

 m  2 3  4 kTr  vr  4  dvr  v  2   vr e  4kT  0

Pra

v r ёshtё mё e madhe se sa v . vr  v 

Do tё pёrcaktojmё, tё gazet me densitetin n, numrin e goditjeve nё njё sekond. Supozojmё se gazi ёshtё i rrallё, ashtu qё goditjet tё ndodhin vetёm njё nga njё, dhe tё mos pёrfillen goditjet e tri molekulave nё tё njëjtin vend. Procesin e goditjeve e karakterizojmё me njё madhёsi, tё quajtur seksion i goditjes seksion efektiv). Madhёsia



 (ose

i ka dimensionet e sipёrfaqes dhe paraqet numrin e grimcave qё

shpёrhapen nё njёsinё e intervaleve tё kёndëve. Supozojmё se tё gjitha grimcat e gazit janё nё prehje, pёrveç njёrës. Kjo molekulё, ndaj molekulave të tjera lёvizё me shpejtёsi relative Rrugёn, tё cilёn ajo e pёrshkruan brenda njё sekonde ёshtё qё ndodhen brenda cilindrit me vёllim Numri i kёtyre goditjeve ёshtё

vr dnr

 vr .

v r dhe goditet me tё gjitha molekulat

V    vr . ,

dnr  ndwr .

ku

Numri i pёrgjithshëm, i goditjeve, i molekulave nё njёsinё e kohёs, fitohet me integrimin e kёsaj shprehjeje nёpёr tё gjitha vlerat e mundshme tё

vr :

3



mv 2

 r  m 2 4 kT 3    vr dnr  4  n   e vr dvr    4kT  0

Meqenёse



nuk varet nga v ,



e nxjerrim para shenjës sё integralit 3



mv 2

 r  m 2 3   4   n  e 4 kT vr dvr  nv 4  kT   0

  nv 2  4n

kT m

Këshu kemi marrë numrin e goditjeve tё njё molekule nё njёsinё e kohёs.

88 4.7

Gjatёsia e rrugёs sё lirё

Do tё pёrcaktojmё rrugёn mesatare, tё cilёn e kalon molekula ndёrmjet dy goditjeve tё njёpasnjёshme. Kjo rrugё quhet, gjatёsia mesatare e rrugёs sё lirё. Brenda njё sekonde, molekula kalon rrugёn, mesatarisht tё barabartё me v . Nё kёtё rast ajo goditet  herё. Gjatёsia mesatare ndёrmjet dy goditjeve ёshtё:



Madhёsia



v





v 1  nvr n 2

quhet rruga mesatare e lirё e molekulёs nё njёsinё e kohёs. Kёtё rrugё grimca e

kalon pa u goditur ndёrmjet veti. Kёrkojmё probabilitetin qё molekula tё kalojё rrugёn x pa u goditur. Atёherё,

W x  dx  do tё jetё probabiliteti qё molekula tё kalojё rrugёn x+dx pa u goditur. W x  dx   W x W dx 

Besueshmёria qё molekula nё rrugёn dx tё goditet, ёshtё proporcional me gjatёsinё e rrugёs dx dhe mund tё paraqitet

adx  W x  , ku a ёshtё konstantё.

Ndërsa probabiliteti qё molekula tё kalojё gjatёsinё dx pa u goditur ёshtё:

W dx   1  W dx   1  adx  1 

dx



W x  dx   W x 1  adx  W x  dx  e zhvillojmё nё seri tё Tejlorit rreth pikёs x, dhe ndalemi nё anёtarinё e parё:

 dW  W x  dx   W x     dx      dx  x

89  dW  W x    dx  W 1  adx   dx 

 dW  W x    dx  W x   aW x dx  dx 

dW x   aW x dx dW x   adx W x  W x   Ce  ax

Probabiliteti qё molekula tё kalojё rrugёn x=0 pa u goditur ёshtё:

W  x  0  1

1  Ce 0 , C  1

W x   e  ax

90 4.8 Shpёrndarja e Boltzmanit

Shpёrndarja e Maksuellit sipas shpejtёsive tё translacionit tё grimcave, shprehet me relacionin:

 v   e 2



mv 2 2 kT

Nё eksponentin e funksionit tё shpёrndarjes kemi raportin e energjisё kinetike tё translacionit

mv 2 dhe energjisё termike kT . Vёshtrojmё gazin nё ekulibёr termik qё pёrbёhet nga N grimca 2 identike nё temperaturёn T. Pёr lehtёsim studimi supozojmё qё spektri energjetik pёrbёhet nga njё varg nivelesh tё ndara ndёrmjet veti. Energjinё e nivelit i e shënojmё me me

E i , numrin korrespondues tё celulave fazore

g i , kurse numrin e grimcave tё vendosura nё kёtё nivel me N i . Nё satistikёn klasike,

ndarja e kontinumit energjetik nё nivele energjetike na mundёson t`i shpёrndajmё grimcat sipas niveleve energjetike si në figurën 19. Pёr nivele qё janё mjaft tё ``dendura`` , spektrin energjetik mund ta mendojmё si kontinual.

Fig.19

Me shumimin, sipas niveleve energjetike, fitojmё numrin e pёrgjithshëm tё grimcave tё sistemit.

N   Ni i

Nё mёnyrё analoge marrim energjinё e pёrgjithshme tё sistemit. Pёr gazin ideal e neglizhojmё bashkёveprimim ndёrmjet grimcave. Energjia e plotё e sistemit ёshtё e barabartё me shumёn e energjive tё grimcave tё sistemit.

91

E   N i Ei Kёrkojmё numrin nё sa mёnyra mund tё realizohet shpёrndarja e tillё qё vendosura nё

g1 celula nё nivelin energjetik E1 , N 2 nё nivelin energjetik E 2 , e kёshtu me radhë.

N 1 grimca janё tё grimca janё tё vendosura nё g 2 celula

Numri i pёrgjithshëm i mundёsive tё realizimit tё shpёrndarjes sё sistemit prej N grimcave tё vendosura nё nivele energjetike, ashtu qё nё nivelin energjetik i , nё

N i grimca janё tё shpёrndara

g i celula, ёshtё: g iNi N! N1 N 2 N 3 W g1 g 2 g 3    N! N1! N 2 ! N 3 !... Ni i

Madhёsia

W pёrbёn atё qё quajmё probabilitet termodinamik. Numrin e mundёsive tё realizimit

tё shpёrndarjes e fitojmё nga numri i permutimeve tё tё gjitha grimcave tё sistemit duke i ndarё me numrin e permutimeve tё grimcave nё nivelet e njëjta energjetike. Nё nivelin energjetik i , çdo njёrёn prej grimcave

N i mund t`i vendosim nё cilёndo celulё g i .

N i grimcat mund t`i vendosim nё celulat g i nё g iN i mёnyra tё ndryshme. Nё fizikёn statistike klasike, grimcat identike mund tё dallohen. Probabiliteti termodinamik ёshtё pёrftuar duke supozuar qё nga zёvendёsimi i dy grimcave identike marrim mikrogjendje tё re tё sistemit. Pёr tё thjeshtuar shprehjen e fundit marrim nё pёrdorim formulёn e Stirlingut.

N! N N  1N  2    3  2  1 ln N! ln 1  ln 2  ln 3      ln N  1  ln N

Supozojmё qё N ёshtё shumё mё i madh se sa 1,

N  1

Nga matematika dihet se N

ln N!  ln xdx 1

Me integrim parcial, do tё marrim

 ln xdx  x ln x  xd ln x  x ln x  x

92 ln N! x ln x  x1  N ln N  N  1  N ln N  N  N ln N  ln e N

dhe do tё marrim formulёn aproksimative tё Stirlingut

ln N! N ln

N e

Ёshtё me interes tё dihet radhitja e grimcave nё nivelet energjetike mё tё besueshme, me probabilitet termodinamik maksimal. Rritja e logaritmit tё ndonjë funksioni, rritet, kur rritet vetё funksioni si në figurën 20.

Fig.20

Nё vend tё maksimumit tё probabilitetit termodinamik do tё kёrkojmё maksimumin e logaritmit tё probabilitetit termodinamik:

ln W  ln N! ln N i  N i ln g i  i

Duke e aplikuar formulёn e Stirlingut dhe kemi nё konsideratё kushtin pёr ruajtjen e numrit tё pёrgjithshëm tё grimcave, shprehja për logaritmin e probabilitetit termodinamik do ta merrë formёn:

ln W  N ln N   N i ln i

Duhet tё theksojmё se numrin e grimcave

Ni gi

N1 , N 2 , N 3 ,... nuk mund t`i ndryshojmё nё mёnyrё tё

pavarur por janё tё lejueshme vetёm ato ndryshime tё numrit tё grimcave nёpёr nivele energjetike qё janё nё pajtim me kushtet:

N   Ni i

dhe

E   N i Ei

93 Kёrkojmё vlerёn ekstreme tё relacionit tё fundit. Kushtet e përmendura i shumёzojmё me koeficientët



dhe



dhe kёrkojmё maksimumin e funksionit:

ln W  N  E .

Vendosim kushte tё tilla qё variacioni i kёti funksioni tё jetё i barabartё me zero

 ln W  N  E   0

Pёr variacionin e numrit tё grimcave nёpёr nivele energjetike do tё kemi:



Ni



i

  ln g i

  1    Ei N i  0 

Kjo do tё jetё e barabartё me zero, kur:

ln

Ni  1    Ei  0 gi

Prej nga do tё marrim numrin e grimcave nё nivelin energjetik i.

N i  g i e 1 Ei

Kёtё shprehje e ka fituar L. Boltzmani e cila na tregon se numri i grimcave nё ndonjë nivel energjetik ёshtё proporcional me numrin e celulave fazore, dhe nё mёnyrё eksponenciale ky numër bie me rritjen e nivelit energjetik. Nga shpёrndarja e Maksuellit, anёtari

mv 2 ёshtё i barabartё me energjinё e translacionit tё 2

grimcёs, ndërsa pёr spektёr tё kuantuar energjetik mund tё shkruajmё:

94

mv 2  Ei 2

Funksioni i shpёrndarjes pёr energji tё dhёnё ёshtё proporcional me numrin e grimcave tё nivelit energjetik

 v 2  ~ N i

Pas disa veprimeve matematike do tё marrim

Ni ~ e

-

Ei kT



,

1 kT

Nё rastet kur largёsia ndёrmjet niveleve energjetike bёhet shumё e vogёl e papёrfillshme, kalojmё nё spektrin energjetik kontinual. Dhe varёsia e numrit tё grimcave

N E  nga energjia

shprehet me formulёn:

N E  ~ e

-

E kT

Vёshtrojmё grimcat me f shkallё lirie. Gjendja e tyre nё hapësirёn fazore pёrcaktohet me kordinatat e pёrgjithësuara q1 , q 2 ,..., q f , dhe impulsat e pёrgjithësuar p1 , p 2 ,..., p f . Me kёtё pёrcaktohet energjia e grimcёs E. Shtrohet pytja sa ёshtё probabiliteti qё kordinatat e grimcave kanё vlerat ndёrmjet

q k dhe

qk  dqk , kurse impulset tё marrin vlerat ndёrmjet p k dhe pk  dpk , ku k merr vlerat k  1,2,..., f . Ky probabilitet do tё jetё proporcional me diferencialin e elementit tё hapësirёs fazore.

d  dq1dq2 ...dq f dp1dp2 ...dp f Probabiliteti varet nga energjia e grimcёs:

dW   E d Funksionin grimcave

 E  e quajmё funksion tё shpёrndarjes dhe ёshtё proporcional me numrin e

N E  . Dhe pёrfundimisht marrim funksionin e shpёrndarjes sё grimcave sipas

energjisё ose shpёrndarjen e Boltzmanit.

 E   C



E kT

95

4.9 Molekulat e gazit atmosferik nё fushёn e gravitacionit Vёshtrojmё planetin me masё M dhe rreze mesatare R. Energjia potenciale e tërheqjes sё trupit me masё m nё sipёrfaqe tё planetit ёshtё:

E p  

mM R

 ёshtё konstanta e gravitacionit   6.67  10 11 m 2 kg 1 s 2 Nёse hudhet trupi nga sipёrfaqja e planetit me shpejtёsi v . Energjia e pёrgjithshme e ti nё Ku

fushёn e tërheqjës gravitacionale tё planetit ёshtё:

E

mv 2 mM  2 R

Energjia e pёrgjithshme e trupit ёshtё negative. Kjo e bёnё qё trupi tё jetё i lidhur pёr planet. Nga tërheqja universale e gravitacionit zvogёlohet shpejtёsia e lёvizjes sё trupit. Pёr njё vlerё kritike tё shpejtёsisё sё lёvizjes sё trupit, energjia e trupit do tё jetё e barabartё me zero.

E0 Nga ky kusht pёrcaktohet vlera e shpejtёsisё minimale qё trupi duhet tё ketё nё mёnyrё qё tё mund tё lёshojё planetin. Vlerёn e kёsaj shpejtёsie kritike e shënojmё me

v0 .

Atёherё nga relacioni i parafundit do tё kemi 2

mv0 mM ,  2 R Kёtё shpejtёsi

v0 

2M R

v 0 e quajmё shpejtёsi tё dytё kosmike.

M  5.96  10 24 kg , R  6370  103 m . Shpejtёsia e dytё kozmike pёr planetin e 3 1 Tokёs ёshtё v0  11.2  10 ms . Pёr Tokёn

Shpejtёsinë

v 0 e krahasojmё me vlerёn mesatare tё shpejtёsisё sё molekulave tё gazit

atmosferik pёr temperatura normale. Shpejtёsia mesatare e molekulave tё gazit atmosferik ёshtё shumё mё e vogёl se sa vlera e shpejtёsisё sё dytё kozmike e nevojshme pёr ta lёshuar atmosferёn. Funksioni i shpёrndarjes sё Maksuellit sipas shpejtёsive bjen nё mёnyrё eksponenciale pёr shpejtёsi tё mёdha. Prandaj numri i molekulave qё mund ta lёshojё atmosferёn ёshtё shumё i vogël i papёrfillshëm. Humbja e atmosferёs ёshtё e papёrfillshme.

96 1

Pёr Hënёn vlera e kёsaj shpejtёsie kritike ёshtё v0  2.4  10 ms . 3

Vlera e kёsaj shpejtёsie kritike e arsyeton mungesёn e atmosferёs nё Hënё. Në figurën 21 e paraqesim varësinë e koncentrimit të molekulave nga lartësia mbidetare dhe temperatura. Me rritjen e lartësisë mbidetare, koncentrimi i molekulave të gazit atmosferik në mënyrë eksponenciale zvogëlohet. Dhe sa më e ulët të jetë temperatura ky zvogëlim do të jetë më i shpejtë.

Fig.21

4.10

Trupi nё gjendje ekulibri nё fushё tё jashtme

Vёshtrojmё trupin i cili ndodhet nё ndikim tё vazhdueshёm tё fushave tё jashtme. Pёr trup johomogjen, pjesёt e ndryshme tё trupit ndodhen nё kushte tё ndryshme termodinamike. Kushti qё trupi tё jetё nё gjendje ekulibri, ёshtё qё temperatura nё tё gjitha pjeset e tij tё jetё konstant. Pёr tё marrë kushtin tjetёr tё gjendjes sё ekulibrit, trupin e mendojmё tё ndarë nё dy pjesё, dhe kёrkojmё maksimumin e entropisё sё sistemit:

S  S1  S 2

97

N  N1  N 2 S S N 2 S1 S 2 S  1  2   0 N1 N1 N 2 N1 N1 N 2 Nga identiteti dE  TdS  dN , pёr diferencialin e entropisё, shkruajmё:

Derivati i

S do tё na jap: N

dS 

dE   dN T T

1

2

T1 Nё gjendje ekulibri do tё kemi



T2

T1  T2 dhe 1   2 .   konst.

Nё fushёn gravitacionale, energjia potenciale e molekulave ёshtё funksion i kordinatave tё pikёs sё rёndimit tё molekulёs x,y,z dhe nuk varet nga shpёrndarja e atomeve nё molekula. Potenciali kimik (potenciali termodinamik i redukuar pёr njё molekulё) nёn ndikimin e fushёs sё jashtme do tё kёtё formёn:

Ku

   0  ux, y, z 

 0 P, T  ёshtё potenciali kimik nё mungesё tё fushёs sё jashtme.

Kushtin pёr gjendje ekulibri me prezencё tё fushёs gravitacionale, e paraqesim nё formёn:

 0 P, T   ux, y, z   konst. Pёr fushё homogjene, kemi u  mgz Nga diferencimi i ekuacionit tё fundit do tё marrim

vdP  mgdz

   v   0  ёshtё vёllimi specifik. Pёr ndryshime tё vogёla tё shtypjes,vёllimi specifik mund tё  P  T m merret konstant. Duke e sjellё dendёsinё   dhe pas integrimit do tё marrim: v Ku

P  konst.  mgz

98 4.11

Entropia dhe vёllimi fazor

Është me rëndësi që të gjendet relacioni që lidh entropinё dhe vёllimin fazor që i përgjigjet njё sistemi. Ekuacioni i energjisë

H

1 2 1 2 p1      p s  E pot q1    q s   konst. 2m 2m

në hapësirёn fazore paraqet sipёrfaqen që kufizon vёllimin e caktuar. Ky vёllim është i barabartё me integralin e elementeve të vёllimit brenda kësaj sipёrfaqejeje, dhe është funksion i energjisë:

H    dq1    dq s dp1    dp s . Hapësira fazore ndërmjet H dhe H+dH është e barabartë me :

d dH . dH

Prandaj, probabiliteti që energjija e gazit ndodhet në intervalin e energjisë dH është e barabartë me:

dW  Ae b  F  H  Marrim në pёrdorim funksionin

d dH . dH

PH  të definuar me relacionin:

PH   e bH

d , dH

Tashti shprehjen për probabilitet mund ta shkruajmё në formën:

dW  Ae bF PH dH . Vёllimi fazor

H  varet nga numri i shkallёve të lirisë së gazit. Për sistemet me numër të madh

të grimcave, vёllimi fazor rritet shumë me rritjen e energjisë. Do të tregojmë që për modelet për të cilat neglizhohet intereagimi ndёrmjet grimcave të sistemit ekziston proporcionaliteti në formën:

 H  ~ H

3N 2

99 ku N është numri i molekulave të gazit. Për shkakt të numrit të madh të molekulave të gazit ndryshimet e vogёla të energjisë të sistemit do të shkaktojnё ndryshime të mëdha të vёllimit fazor. Kjo njёkohësisht vlenë edhe për derivatin e vёllimit fazor sipas energjisë.

Prandaj,

PH  është produkt i dy funksioneve , njëri prej të

cilëve rritet shpejt kurse tjetri zvogëlohet shpejt me energjinë. Do t`i shqyrtojmë vetitë e funksionit të probabilitetit

PH  për gazin ideal.

Nga ekuacioni i fundit mund të nxirret përfundimi, që deri në njё faktor konstant paraqitet me funksionin

f x   e x , x

PH  mund të

n

x  bH , kurse n është i të njëjtit rёnd madhësie me numrin e molekulave të gazit. n Në zonën x1 , f  x  sillet sikurse x , kurse për vlera të mëdha të argumentit , në mënyrë ku

eksponenciale bie në zero.

 df    0, prej nga do të kemi  dx  x0

Vlerën maksimale të funksionit e gjejmë për: 

x0  n .

x , funksioni në shqyrtim merr vlerat:

Zhvendosja nga vlera maksimale për madhësi të vogёl

f x0  x   e  x0  x n log x0 x  . Zhvillimi sipas

x do të jetë: x0 2

n  x   x0  x   n log x0  x    x0  n log x0        2  x0  Anёtari linear bie për shkak të kushtit ekstrem, dhe në zhvillim mbetet vetёm anëtari kuadratik në zhvendosjen relative

x . Me këtë arrijmë të shprehja e përafërt: x0 f x0  x   f x0 e

n  x     2  x0 

2

x0 x

.

f x  është afёrsisht simetrik. Gjerësia e maksimumit a a  f x0   . f  x0    2 e 

Në afёrsi të maksimumit, funksioni definohet me relacionin:

2

Kjo do të thotë se duhet të plotësohet kushti:

n a   . 1   2  2 x0 

100 Prej nga shihet se gjerësia relative e maksimumit është në pёrpjesëtim të zhdrejtë me rrënjёn katrore të n:

a 2 2 . 2 n Për vlera të mëdha të n gjerësia relative e maksimumit të funksionit në shqyrtim do të ketë vlerë më të vogёl. Për vlera mjaft të mëdha te n funksioni

f x  sillet ngjashëm me  funksionin

singular të Dirakut. E paraqesim formën e funksionit e

x

x n për n>> 1 në figuren 22

Fig.22 Ky shqyrtim do të tregojë që funksioni

PH  ka maksimum të ashpër. Kjo veti na mundëson

për llogaritjen e përafërt të integraleve kur na shfaqen. Integrale të tilla i hasim në rastin e llogaritjeve të vlerave mesatare. Shprehjёn për vlera mesatare të ndojë madhësije fizike

 Ge G e

 bH

bH

d

,

d

mund të transformojmë në formën:

G

 GPdH  dH

Për shkakt të karakterit singular të funksionit

.

PH  , integrali në numërues përafërsisht mund

të shprehet në formën:

 GPdH  GE  PdH , m

101 ku Em

është vlera e energjisë për të cilën funksioni i probabilitetit

PH  e merr vlerën

maksimale. Prandaj, Em paraqet energjinë më të besueshme. Për shkak të formës së ashper të maksimumit të funksionit të probabilitetit, energjia më e besueshme e sistemit shumë pak do të dallojë nga energjia mesatare e ansamblit kanonik:

Em  E . Prandaj, mund të marrim se:

G  GE  .

Dhe vlerat mesatare të madhësive fizike mund t`i aproksimojmë me vlerat e tyre në hipersipërfaqen energjetike

H E . Për përcaktimin e madhësive termodinamike të sistemit më parë përcaktojmë shumën statisike të sistemit pёrkates:

Z  A e bH d . E marr në përdorim

PH  dhe e paraqesim këtë integral sipas energjisë: Z  A PH dH .

Integrimi praktikisht redukohet vetёm në zonën e ngushtë afёr energjisë mesatare. Prandaj, do të kemi:

Z  Ae bE E  .

Me këtë problemi i përcaktimit të shumës statistike kalon në përcaktimin e vёllimit fazor

E  .

Natyrisht relacioni i fundit vlen vetëm përafërsisht. Aproksimimin gjatë kalimit nga ekuacioni i parafundit në relacionin e fundit, mund ta kuptojmë me aplikimin e llogaritjeve për gazin ideal njëatomik. Kur dihet shuma statistike e sistemit, energjinë e lirë të sistemit përkatës e përcaktojmë me shprehjen:

F  kT ln Z . E zёvendësojmë në shprehjen e fundit , shumën statistike të sistemit , dhe do të marrim:

102 F  E  kT ln AE  . E krahasojmë këtë me definimin termodinamik të energjisë së lirë:

F  E  TS E barazojmë vlerën termodinamike dhe statistike për energjinë e brendshme të sistemit:

E  E. Atëherë për entropinë e sistemit do të marrim:

S  k ln AE .

Ad paraqet numrin e gjendjeve në vёllimin infinitizimal të hapësirës fazore d . Prandaj, faktori AE  është i Faktori A në shumën statistike është vendosur ashtu që shprehja

barabartë me numrin e gjendjeve mikroskopike që i përgjigjet energjisë mesatare tё sistemit.. Kjo në fakt është pesha statistike ose shkallë e degjenerimit të gjendjes me energji

E.

Që të kuptojmë procedurёn e këtillë, do të aplikojmë këtë për sistemin e gazit ideal që përmban N molekula njëatomike. Në fillim duhet përcaktuar vёllimi i hapësirës fazore që i përgjigjet këtij sistemi. Çdo molekulë njëatomike për gazin ideal përmban tri shkallë lirie, prandaj hapësira fazore korresponduese do t`i ketë 6N përmasa (dimensione). Duke integruar sipas koordinatave

q1 , q2 ,..., q3 N do të marrim faktorin V N sepse funksioni i

Hamiltonit për sistemin e gazit ideal nuk varet nga këto madhësi. Prandaj do të kemi:

H   V N  dp1dp2 ...dp3 N Integrimin sipas impulseve e thjeshtësojmë duke i dhënë karakter gjeometrik relacionit:

H





1 p12  p 22 ...  p32N . 2m

Ky është ekuacion i sferës në hapësirën impulsive 3N dimensionale me rreze

R  2mH .

103 Vёllimi i sferës në hapësirën 3N dimensionale rritet me rrezen sipas relacionit

R 3 N , prandaj për

vëllimin fazor do të kemi:

H   CV N 2mH  2 , 3N

ku C është konstantë e cila varet nga dimensionet e hapësirës fazore ose nga numri i grimcave të gazit. Me këtë është arsyetuar ekuacioni

 H  ~ H

3N 2

, .

E derivojmë relacionin e fundit sipas energjisë: 3N d 1  3NmCV N 2mH  2 dH

dhe për funksionin e probabilitetit do të marrim:

PH   3NmCV N e bH 2mH  2

3N

1

.

Kurse nga: 3N dP  3 N  2   6 Nm 2 CV N e bH 2mH  2  bH    1 dH  2  

e gjejmë energjinë më të besueshme të sistemit të dhënë me:

 3N  Em    1kT .  2  Ndërsa për N >> 1, energjija më e besueshme praktikisht është e barabartë me energjinë mesatare të sistemit:

E

3 NkT . 2

Pas zёvendësimit në relacionin për entropinë do të marrim:

3N   S  k ln  ACV N 3mNkT  2  .  

104 Që shprehja të jetë komplete duhet që t`i vendosim vlerat e konstanteve A dhe C. Të cilat modifikojnë varshmërinë e entropisë nga numri i grimcave të sistemit, por nuk e përmbajnë vёllimin dhe temperaturёn. Në qoftë se në shprehjen:

Z  A e bH

d dH . dH 

Z

3N 3N ACV N 2m 2  e bH H 2 0

3N 1 2

dH .

integralin e fundit e shprehim përmes gama funksionit: 

x    e t t x 1 dt , 0

do të kemi: 

bH e H 0

Shprehja

3N 1 2

3N  3N  dH  kT  2  .  2 

 3N    varet nga fakti se N është numër çift apo tek, por kur kemi të bejë me  2 

numër të madh të grimcave të sistemit, gjithnjë N mund ta rrisim për një dhe ta konsiderojmë numër çift. Atëherë do të kemi:

 3N   3N    1 !   2   2  Prej nga për shumёn statistike të sistemit do të kemi: 3 N 3N   Z  ACV N 2mkT  2   !  2 

Z  Ae bE E   ACV N 3NmkT  2 e 3N



3N 2

,

Të dy mënyrat e përcaktimit të funksionit të shumës statistike do të na çojnë në vlerë të njëjtё, kur plotësohet kushti:

 3N   3N    ! =   2e   2 

3N 2

,

105 që është forma aproksimative e formulës së Stirlingut e cila vlenë më saktë për vlera sa më të mëdha të N. Ndërsa konstantën C mund ta llogarisim duke e llogaritur integralin nëpër hapësirën fazore në shumën statistike:

   b p  Z  AV   e 2 m dp       2

N

3N

 AV N 2mkT  2 . 3N

Duke i krahasuar shprehjet e mёsipёrme, do të gjejmë:



3N 2

 2e  C   3N   3N      2 

3N 2

Prej nga për vёllimin fazor do të fitojmë:

 4emH  H   V N    3N 

3N 2

.

Në qoftë se e marrim në konsiderim shprehjen: N

A

1  e   3  , 3N h N  h N

ku h është konstanta e Planck-ut, do të arrijmë te shprehja për entropinё sipas Sackur-Tetrodeut: 3  52 Ve  2mkT  2   S  kN ln .  N  h 2    

106 4.12 Teorema

H e Boltzmanit

E definojmë madhësinë H që është e barabartë me vlerën mesatare të logaritmit të funksionit të shpёrndarjes

H

 ln f   f ln fd

ku dГ është element diferencial i vёllimit fazor të gazit:

d  dq1 ...dq s dp1 ...dps . E derivojmë shprehjen e parё sipas kohës:

dH f   log f  1d dt t Ndryshimin sipas kohës së madhësisë H mund ta përcaktojmë vetёm kur dihet varshmëria e funksionit të shpërndarjes nga koha. Në ekulibёr termik f është funksion që nuk varet nga koha, prandaj kemi:

dH dt

0

Boltzmani ka nxjerrë përfundimin që për sistemet e mbyllura vlenë: Kjo është

H

dH  0. dt

teorema e Boltzmanit (1872). Shenja e epërme vlenë për gjendje të paekulibruar

kurse shenja e poshtme vlenë për gjendje në ekulibër. Boltzmani me ndihmën e

H

teoremës ka treguar se për sisteme të mbyllura entropia nuk

mund të zvogëlohet. Në qoftë se i dihen vetitë e funksionit të shpёrndarjes, mund të tregohet që teorema

H

e Boltzmanit është pasojë e parimit të dytë të termodinamikës.

Për të treguar këtë fillojmë me kushtin e normimit:

d

 f H d   f H  dH dH  1 Duke e ditur që funksioni i probabilitetit

f H 

d , dH

107 ka maksimum të ashpër kur Hamiltoniani i sistemit bëhet i barabartë me energjinë mesatare të ansamblit

E . Integrimi në zonën e ngushtë për rreth energjisë mesatare do të japë: f E E   1

dhe nga shprehja për entropinё mund të shkruajmё:

S  k ln AE ,

ln AE   ln A  ln f E 

Meqenëse vlera mesatare e ndonjё madhësie fizike është e barabartë me vlerёn e asaj madhësie në vendin ku funksioni i probabilitetit ka vlerë maksimale, atëherë mund të shkruajmë:

G H   GE  . Kjo do të thotë që:

ln f H   ln f E 

Kthehemi në shprehjen pёr entropinё e sistemit:

S  k ln A  k ln f Kjo do të thotë se deri në konstantën additive, madhësia

H

është proporcional me entropinё

e sistemit. Meqë entropia është e padefinuar deri në një konstantë të integrimit, duke e neglizhuar anëtarin e parë do të arrijmë deri te shprehja:

S  kH Meqë kemi përcaktuar lidhjen me entropinё, tashti shihet qartë si ndryshon madhësia

H

në

proceset termodinamike. Sipas parimit të dytë të termodinamikës, për proceset që nuk shkëmbejnё nxehtësi me rrethinёn, vlenë:

dS  0 ,

prej nga marrim:

dH

0

H - teorema është ekuivalente me pohimin që në gjendjen e ekulibrit termodinamik entropia e sistemit të mbyllur arrin vlerёn maksimale.

Për dallim nga definimi termodinamik i entropisё ,

vlera mesatare e funksionit logaritmik të shpёrndarjes është e definuar jo vetëm për gjendje të ekulibruara por edhe për gjendje termodinamike të paekulibruara. Në gjendjet e paekulibruara mund të përcaktojmë

H , dhe pastaj përcaktojmë entropinё. Duke i krahasuar relacionet e

mёsipёrme, entropinё mund të shkruajmё edhe në formën:

S  k ln f E 

108 5.

Teoria kinetike e gazrave

5.1

Funksioni i gjendjes dhe procesit

Nё mekanikёn klasike gjendja dinamike e grimcave tё sistemit pёrcaktohet me ekuacionin e lёvizjes

 U p mi r    i ri ku

 mi ёshtё masa e grimcёs sё itё , ri rrezevektori pёrkatës dhe U p ёshtё energjia potenciale e

sistemit. Si vështirësi praktike kёtu do të kemi rreth 1023 ekuacione pёr njё mol gazi ku duhet ditur kordinatat fillestare dhe komponentet e shpejtësisve fillestare për secilën molekulë. Që të zgjidhet ky sistem i ekuacioneve diferenciale duhet ditur edhe forcën e bashkëveprimit

 Fik (potencialin).

Dhe nuk kemi mundësi t`i zgjidhim ekuacionet e lëvizjes për çdo molekukë. Përveç këtyre vështirësive praktike ekzistojnë edhe vështirësi parimore. Ndërsa vështirësitë parimore dalin nga mekanika kuantike se nuk ka mundësi që në të njejtën kohë të dihet kordinata dhe impulsi i konjuguar, d.m.th se për mikrogrimca nuk mund të parashtrojmë kondita fillestare të përpikta. Por edhe sikur të kishim të njohura trajektoret e lëvizjes për secilën molekulë, me këtë nuk do të fitonim informata të mjaftueshme për vetitë e gazit në tërësi. Që t`i sqarojmë vetitë termodinamike të gazit nuk na duhen të dimë si ndërrojnë me kohën kordinata dhe impulsi i të gjitha molekulave. Por na mjaftojnë të dimë shpërndarjen e molekulave sipas energjisë, dhe në vend që të llogarisim energjinë e çdo molekule, përcaktojmë probabilitetin që disa molekula ndodhen në intervalin e energjisë E, E+ dE. Me metodat statistike kërkohet gjendja e sistemit si tërësi dhe mundësia e përcaktimit të probabilitetit të realizimit të kësaj gjendjeje të caktuar. Sistemet termodinamike i pёrshkruajmё me ndihmën e parametrave termodinamikё (funksioneve tё gjendjes). Kёta parametra janё temperatura T, shtypja P, vёllimi V, entropia S energjija e brendshme E etj. Parametrat termodinamikë definojnё gjendjen termodinamike tё sistemit. Vёshtrojmё parametrin termodinamik f i cili varet nga variablat x dhe y

f  f x, y  Diferenciali i plotё i madhёsisё f pёrcaktohet me relacionin

109  f   f  df    dx    dy  x  y  y  x Pёrgjithёsisht shprehja M ( x, y)dx  N ( x, y)dy nuk ёshtё e thënë tё jetё diferencial i plotё. Shpesh kjo mund tё jetё vёtёm njё madhёsi pafundёsisht e vogёl. Shprehja e fundit ёshtё diferencial i plotё i funksionit

f x, y  kur vlenё:

 f  M   ,  x  y Prej nga rrjedh:

 M   y

 f  N     y  x

  N       x  x  y

Ky ёshtё kusht i nevojshëm dhe i mjaftueshëm qё shprehja M ( x, y)dx  N ( x, y)dy tё jetё diferencial total. Nёse nuk plotёsohet ky kusht, atёherё duhet tё shkruajmё:

Mdx  Ndy  d f d f kemi shënuar madhёsinё pafundёsisht tё vogёl e cila nuk ёshtё diferencial total i funksionit f x, y  . Dallimi ndërmjet madhёsive d f dhe df ёshtё e rёndёsisё fundamentale nё termodinamikё. Me

Duke marrё si pikё tё fillimit

1  ( x1 , y1 ) dhe si pikё tё fundit 2  ( x2 , y 2 ) . Atёherё nga

integrimi do tё marrim: 2

 df

 f 2  f 1

1

Ky integral varet vetёm nga vlera e funksionit f nё pikёn e fillimit dhe mbarimit por nuk varet nga rruga e integrimit. Kthehemi nga pika e mbarimit nё pikёn e fillimit nёpër njё rrugё tjetër tё integrimit: 1

 df

 f 1  f 2

2

Nga dy shprehjet e fundit kemi

110 2

1

1

2

 df   df  0 Integrimi ёshtё kryer nёpër njё lakore tё mbyllur, kёtё integral nёpёr konturё tё mbyllur e shkruajmё nё formёn

 df . Nёse

df ёshtё diferencial total atёherё integrali nёpёr konturё tё

mbyllur ёshtё i barabartё me zero.

 df

0

Relacioni i fundit nuk vlenë pёr njё madhёsi diferenciale d f tё çfarёdoshme. Madhёsia f do tё jetё funksion i gjendjes vetëm kur plotёsohet kushti nga relacioni i fundit. Çdo herё kur sistemi ndodhet nё tё njëjtën gjendje, funksioni i gjendjes do tё merrë tё njëjtën vlerё. Nё gjendje tё ekulibrit termik tё gjithё parametrat termodinamikë mbesin konstant. Çdo gjendje e ekulibrit termik pёrshkruhet me vlera tё caktuara tё energjisё sё brendshme, entropisё, shtypjes, temperaturës e tj. Parametrat termodinamikë (funsionet e gjendjës) ndahen nё ekstensive dhe intensive. Pёr madhёsitë ekstensive karakteristike ёshtё se vlera e tyre rritet pёr aq sa rritet numri i grimcave tё sistemit. D.m.th parametrat ekstensivë janё proporcional me sasinё e materies. Si parametra ekstensivë janё energjia e brendshme, vёllimi, entropia e tj. Parametrat intensivë nuk varen nga sasia e materies. Nё gjendje tё ekulibrit termik parametrat intensivë nё tё gjitha pjesët e sistemit kanë vlera tё njëjta. Veti tё tillё ka shtypja dhe temperatura e sistemit. Nёse madhёsia pafundёsisht e vogёl d f nuk ёshtё diferencial total, atёherё madhёsia f nuk ёshtё funksion i gjendjes. Pёr kёtё vlen: 2

 d f

 f 2  f 1

1

Kjo do tё thotё se inegrali i fundit nuk ёshtё funksion i vetëm pikёs sё fillimit dhe pikёs sё fundit por varet edhe nga rruga e integrimit. Kёto madhёsi quhen funksione tё procesit. Madhёsi tё tilla janё nxehtёsia dhe puna. Pёr funksione tё procesit vlen relacioni:

 d f

0

111 Nёse ndryshohen kushtet e jashtme, sistemi do tё kalojё nga njё gjendje nё tjetrёn. Kёto kalime quhen procese termodinamike. Tё rёndёsisё sё veçantë janё proceset rrethore nё tё cilat gjendja e fundit ёshtё e njëjtё me gjendjen e fillimit. Proceset termodinamike mund tё jenё reverzibel (tё kthyeshme) dhe ireverzibel (tё pakthyeshëm). Procesi ёshtё reverzibel nёse mund tё zhvillohet nё tё dy drejtimet nёpёr tё njejtat nёngjendje. Kurse te proceset ireverzibele kur kalojmё nga gjendja e parё nё tё dytёn nuk mund tё kthehemi nёpёr tё njejtёn rrugё nё gjendjen e parё. Tё gjitha proceset reale termodinamike janё procese ireverzibele.

5.2 Shtypja e gazit ideal

Pёr shqyqtimin e vetive tё gazrave pёrdoret modeli i gazit ideal. Ky model bazohet nё kёto supozime: -

Gazi pёrbehet prej njё numri shumё tё madh tё molekulave;

-

Bashkëveprimi ndërmjet molekulave mund tё mos pёrfillet;

-

Vёllimi i kёtyre molekulave ёshtё i papёrfillshëm. Ky supozim pёrmbushet mjaft mirё pёr gazet e rralla;

-

Molekulat e gazit goditen ndёrmjet veti dhe me muret e enёs nё mёnyrё ideale elastike.

Vështrojmë gazin ideal me N molekula identike me masë m të cilat lëvizin në enën me vëllim V dhe gazi ndodhet në ekulibër termik. Ku parametrat termodinamikë si: shtypja, temperatura, vëllimi, energjia e brendshme e gazit e tj. nuk ndryshojnë me kohën dhe temperatura dhe shtypja e sistemit është e njëjtë në tërë gazin. Pёr thjeshtёsi marrim se gazi ndodhet në enën në formё kubi me vëllim V.

V  a3 Shtypja e gazit në muret e enës është

p

F a2

Forca e përgjithshme me të cilën vepron gazi në muret e enës është e barabartë me shumën e të gjitha forcave që molekulat e veçanta veprojnë në muret e enës. N

F   Fi i 1

Sipas ekuaionit tё lёvizjes, shprehja pёr forcёn e molekulёs sё itё ёshtё:

112

Fi 

pi t

Supozojmё se molekulat sillen si sfera elastike. Nё goditje elastike me murin e enёs, komponenta x e impulsit tё molekulës sё itё do tё ndryshojё nga Prandaj do tё kemi

mvix nё  mvix

mv  m v   2mv

pi  2mvix , t 

2a vix

Pas zëvendësimit:

Fi  2mvix

vix mvix2  2a a

Dhe për shtypjen e gazit do të kemi:

P

1 a2

mvix2 m N 2   vix  a V i 1 i 1 N

duke neglizhuar forcat e jashtme, do të kemi:

v x2  v y2  v z2

v 2  v x2  v y2  v z2 1 v x2  v 2 3 Nga relacionet e fundit do tё marrim:

P

Nmv 2 3V

ekuacionin themelor të teorisë kinetike të gazrave. Shfrytёzojmё relacionin pёr energjinё kinetike tё translacionit

Ek 

mv 2 2

dhe ekuacioni themelor i teorisë kinetike të gazrave do tё merr formën:

113 PV 

2 NE k 3

Shumёzojmё numrin e tёrësishëm tё molekulave me energjinë mesatare tё translacionit dhe do tё marrim energjinё totale tё translacionit E pёr tërё gazin

E  NEk Pas zëvendёsimit, kemi:

PV 

2 E 3

Pёrveç gazit ideal tё pёrbёrë nga molekulat njëatomike E nuk ёshtё energjia e tërësishme e brendshme. Nё gazra tё pёrbёrë nga molekula shumё atomike, nё vetitё termodinamike tё gazit kontribuojnё edhe lёvizjet e rotacionit dhe vibrimet e atomeve brenda molekulave. Energjia mesatare e translacionit të molekulave të gazit eshtë:

Ek 

E

3 kT , 2

E 3  kT , N 2

3 kNT , 2

E

3 PV 2

I barazojmё dy relacionet e fundit dhe marrim ekuacionin e gjendjes së gazit ideal:

PV  NkT kur

N  N A që është numri i molekulave që përmban një mol dhe quhet numër i Avogadros i

cili është i barabartë me:

N A  6,022  10 23

1 mol

kurse k është konstanta e Boltzmanit dhe është e barabartë me:

J K J kN A  R  8,314 molK k  1,3806  10 23

114 Kemi fituar konstantёn universale tё gazrave R

mv 2 3  kT do tё definojmё shpejtёsinё mesatare tё lёvizjes sё 2 2

Nga barazimi i relacioneve molekulave tё gazit.

vm  v 2 

Nga shprehja P 

3kT m

2N 2 E k  n0 E k gjejmё numrin e molekulave tё gazit nё njёsi tё vëllimit 3V 3

n0 

3P  2Ek

3P P  3 kT 2  kT 2

Tё gjitha gazet pёrmbajnё numër tё njëjtë molekulash nё njёsi tё vёllimit pёr shtypje dhe temperatura tё njejta.

5.3

Ligji i Daltonit

Nё enёn me vёllim V ndodhet pёrzierje e gazeve ideale nё ekuliber termik në temperaturёn T. Lidhjen ndёrmjet shtypjes sё gazit, vёllimit tё enёs dhe energjisё sё brendshme tё gazit e jep relacioni:

PV 

2 E 3

Numrin e molekulave tё komponentёs sё parё tё pёrzierjes e shënojmё me sё dytё me

N 1 , tё komponentёs

N 2 dhe të komponentёs sё n me N n .

Energjia e pёrgjithshme kinetike e translacionit e molekulave nё enё ёshtё:

E  N1 E1  N 2 E2     Sipas ligjit pёr shpёrndarje uniforme tё energjisё, energjia kinetike mesatare e translacionit ёshtё e njëjtё pёr tё gjitha molekulat:

E1  E 2     

3 kT 2

115 E  N1

PV 

3 3 kT  N 2 kT     2 2

2 3  kT N1  N 2      3 2 

PV  N1kT  N 2 kT     Nё qoftё se nё enё ndodhet vetёm komponenta e parё e gazit, shtypja qё bёnё gazi nё muret e enёs ёshtё:

P1 

N1 kT V

Nё qoftё se nё enё ndodhet vetёm komponenta e dytё e gazit, shtypja qё bёnё gazi nё muret e enёs ёshtё:

P2  Pas zëvendёsimit: Do të marrim:

N 2 kT V

PV  P1V  P2V    

P  P1  P2    

Nё gaze ideale çdo komponentё e pёrzierjes prodhon shtypjen parciale e cila nuk varet nga shtypja qё prodhojnё komponentat tjera tё gazit. Shtypja e pёrgjithshme qё bën gazi nё muret e enёs ёshtё e barabartё me shumën e shtypjeve parciale. Shtypja e pёrgjithshme e pёrzierjes ёshtё e barabartё me shumёn e shtypjeve parciale. Ky ёshtё ligji i Daltonit.

5.4 Ekuacionet e gjendjes

Vështrojmë gazin në gjendjen e ekulibrit termik. Gjendja e gazit pёrcaktohet me parametrat e vёllimit, shtypjes dhe temperaturës. Kёta parametra mund t`i pёrcaktojmё eksperimentalisht prandaj edhe i quajmё parametra themelorë termodinamikё. Formula qё lidh tё gjithё parametrat e gjendjes quhet ekuacion i gjendjes. Ekuacionin e gjendjes së gazit e shkruajmë në formën që shtypjen e shprehim përmes vëllimit dhe temperaturës. Duke konsideruar se sasia e gazit(lёndës) mbetet konstante.

116

P  f V , T  Nё qoftё se temperatura e sistemit ёshtё konstante T = konstant, ndërsa ndryshon shtypja dhe vёllimi për

P  f V 

do të kemi lakoren qё quhet izotermë,

P = konstant,

për V = konstant,

V  f T  do të kemi lakoren qё quhet izobare, dhe p  f T  do të kemi lakoren qё quhet izohore.

Sipas ekuacionit tё gjendjes, diferenciali i shtypjes së gazit pёrcaktohet me shprehjen:

 P   P  dP    dT    dV  T V  V  T Kur zgjedhim P=konstant. Do tё kemi

 P   T   V         1  T V  V  P  P  T

Definojmё tashti koeficientin termik tё bymimit vëllimor:



1  V    V  T  P

kurse koeficienti termik i shtypjes është



1  P    P  T V

dhe koeficienti izotermik i kompresionit është:

 

1  V    V  p  T

Nga relacionet e fundit mund të vërtetohet se vlen shprehja:

  p Ekuacioni i gjendjes për gazin ideal ështё:

pV  nRT

117 Nga relacionet e mёsipёrme, fitojmё



1 , T



1 , T



1 . p

Tri relacionet e fundit i llogarisim pёr temperaturёn t 0  0 C , kёsaj temperature i korrespondon 0

temperatura absolute To  273,15 K dhe do të kemi: o

0  0  Shënojmë me

1 273,15K

V0 vëllimin e gazit në temperaturën 0 0 C . Ekuacioni i gjendjes së gazit për të

njëjtën shtypje P , për vëllim

V0 dhe temperaturë T0 , do të jetë:

PV0  nRT0 I pjesëtojmë ekuacionet :

PV nRT ,  PV0 nRT0 Zëvendësojmë:

V T  V0 T0

T  T0  t ,

Dhe do të marrim ligjin e Gey-Lisakut:

V t ,  1 V0 T0

1  0 T0

V  V0 1   0 t  ,

p= constant

dhe në mënyrë të njëjtë do të marrim ligjin e Sharlit:

P  P0 1   0 t  , V = konstant.

118

5.5. Teoria kinetike e gazrave

Shënojmë me

dnv  numrin e molekulave të gazit në njësinë e vëllimit, që kanë intensitetin e

shpejtësisë në intervalin e shpejtësisë (v, v+dv) kurse drejtimi i tyre shtrihet në këndin hapësinor

d (figura.23). Më qenë se nuk kemi drejtime të priveligjuara të vektorit të shpejtësisë së molekulave, atëhërë faktori i proporcionalitetit do varet vetëm nga intensiteti i shpejtësisë.

dnv   f v dvd Numri i përgjithshëm i molekulave në njësinë e vëllimit merret me integrimin sipas të gjitha vlerave të mundshme të shpejtësive dhe sipas këndit të plotë hapësinor. 

n  4  f v dv 0

Numri i molekulave që bien në njësinë e sipërfaqes brenda njësisë së kohës do të jetë:

dN v   dnv v  cos   f v dv sin ddv cos  d  sin dd

dN v   vf v sin  cosddvd Me integrimin e shprehjes së fundit do të marrim:  

2

2



0

0

0

0

N   vf v dv  sin  cos d  d   vf v dv

Fig.23

sin  2 2

 2

0

2

119 

N  v  f v dv  v 0

n 1   nv 4 4

Numri i molekulave të gazit ideal i cili bie në njësinë e sipërfaqes dhe në njësinë e kohës është proporcional me numrin e molekulave të njësisë të vëllimit dhe shpejtësisë mesatare të molekulave.

5.6 Shuma statistike e lëvizjes translatore të gazit ideal

Kërkojmë shumën statistike për gazin ideal jashtë veprimit të forcave të fushave të jashtme, e cila është pasojë e vetëm lëvizjes translatore.

Z   Gi e



Ei kT

i

Ku Ei është energjija e gazit, kurse shumimi kryhet nëpër të gjitha gjendjet e mundshme të sistemit. Në qoftë se nivelet energjetike ndryshojnë në mënyrë kontinuale, shuma statistike zëvendësohet me integralin statistik:

Z  e



E kT

dG

Ku dG paraqet numrin e mikrogjendjeve të ndryshme të gazit të cilat i përgjigjen intervalit të energjisë (E,E+dE). Këtu molekulat e gazit nuk mund t`i dallojmë

d.m.th. i konsiderojmë si

grimca identike dhe kemi në konsideratë që për numër të gradëve të lirisë marrim n=3N.

dG 

Në qoftë se

i

d  N! 3 N

 dq dp i

N!

i

3N

është energjija e një molekule të gazit ideal, energjia e përgjithshme e gazit

përbëhet vetëm prej energjisë kinetike.

120

pi2 E   i   i 1 i 1 2m N

N

dhe integrali statistik merr formën:

Z     e



1 kT

N

p2

 2 mi i 1

 dq dp i

N!

i

3N

D Integrimi kryhet në zonën korresponduese

të hapësirës fazore D, e cila i përfshin të gjitha

gjendjet e mundshme energjetike të sistemit si tërësi. Në fillim integrojmë nëpër vlerat e koordinatave dhe komponenteve të impulsit të grimcave që i përgjigjen intervalit të energjisë (E, E+dE) të gazit si tërësi, e pastaj itegrohet nëpër të gjitha gjendjet energjetike të gazit. Meqë vlerat e mundshme të tyre mund të jenë kontinuale, integrimi kryhet nëpër të gjitha vlerat e mundshme të koordinatës dhe të komponenteve të impulsit të të gjitha molekulave të gazit. Këtë integral e shprehim si produkt të integraleve, çdo njeri prej të cilëve varet vetëm prej ndryshimit të kordinatës dhe komponentës së impulsit për një molekulё:

1 Z N! 3 N

 dx dy dz  e 1

1



p12 2 mkT

1

dp x1 dp y1 dp z1    

 dx

N

dy N dz N  e



p N2 2 mkT

dp xN dp yN dp z N

Meqë çdo molekulë mund të ndodhet kudo në vëllimin e enës V, itegrimi sipas kordinatës për çdo molekulë na jep vëllimin e enës V, dhe do të kemi:

VN Z N! 3 N

  

   e i



pi2 2 mkT

dp xi dp yi dp zi



Në qoftë se një molekulë të këti gazi e konsiderojmë për sistem N=1, atëherë shuma statistike për këtë molekulë do të jetë:

Z

V

3

  

  e



p2 2 mkT

dp x dp y dp z

 

dhe shprehjen e mëparshme mund ta shkruajmë në formën:   

p2

 i 1 V 1 Z   3    e 2 mkT dp xi dp yi dp zi   z i N!   N! i

121

Z

z N N!

  

Meqenëse kemi:



e



p2 2 mkT

dp x dp y dp z  2mkT  2 3

dhe

 

z

2mkT  2 3

V



3

përfundimisht do të marrim: 3N VN 2   Z 2  mkT N! 3 N

Shprehja e fundit përcakton shumën statistike të lëvizjes translatore të gazit ideal jashtë veprimit të fushave të jashtme, si funksion i temperaturës, vëllimit dhe numrit të grimcave të sistemit.

5.7

Shuma statistike e lëvizjes translatore të gazit ideal dyatomik

Te gazet ideale dyatomike energjia e njё molekule pёrbëhet jo vetёm nga energjia kinetike e translacionit e molekulёs si tёrësi por edhe nga energjia e brendshme qё rezulton nga lёvizja e atomeve brenda molekulёs

 ib

 i   i (tr )   ib Nёse kёto dy lёvizje i kosiderojmё ndërmjetveti tё pavarura, çdo mikrogjendje qё i pёrgjigjet lёvizjes sё parё mund tё kombinohet me çdo njërën nga mikrogjendjet qё i korrespondon lёvizja e dytё.

g i  g i (tr )  g ib Shuma statistike pёr njё molekulё do tё jetё

z   gi e



i kT

  g i (tr ) g ib e





1  i ( tr )  ib kT



122

  gi e



  i ( tr )

 gi e

kT



 ib kT

z  z tr  z b Nga shumimi sipas gjendjeve tё lёvizjes translatore mund tё kalojmё nё integrimin e kёtyre gjendjeve. Por nivelet energjetike qё i pёrgjigjen lёvizjes sё brendshme nuk ndryshojnё gjithherё nё mёnyrё kontinuale dhe shuma e dytё nuk mund tё zëvendёsohet gjithherё me integralin pёrkatës.

z tr 

2mkT  2 3

V



3

Lёvizja e brendshme e molekulave dyatomike pёrbëhet prej rrotullimit tё atomeve rreth dy boshteve reciprokisht normale, oscilimit tё atomeve rreth pozitёs ekulibruese dhe lёvizjes sё elektroneve nё vetё atomin. Nё aproksimimin e parё kёto tri lloje tё lёvizjes mund t`i konsiderojmё ndërmjet veti tё pavarura.

 ib   i ( rot)   i (os)   i (el ) g ib  g i ( rot)  g i (os)  g i (el )

zb  ztr  z os  z el Pasi qё çdo mikrogjendje e njё molekule mund tё kombinohet me çdo njërën mikrogjendje tё secilës molekulё tjetër. Molekulat e gazit i konsiderojmё identike, numri i tё gjitha mikrogjendjeve tё gazit si tërësi fitohet me produktin e numrit tё mikrogjendjeve tё gjitha molekulave veç e veç tё ndarë me numrin e permutacioneve tё tё gjitha molekulave.

Gi 

g

i

N!

Shuma statistike e gazit do tё jetё:

z   Gi e



i kT



 gi Ni!



e

1 kT

N

i i 1



  i  1 kT  g e  i N! 

 1    zi  N! 

123

z

z N N!

Qё tё pёrcaktohet



1 ztr N z rot N z os N z el N N!

z rot , z os , z el , duhet ditur natyrёn e rrotullimit, oscilimit tё atomeve nё

molekulё si dhe lёvizjen e elektroneve nё atom.

5.8 Funksionet termodinamike të gazit ideal

Nga shuma statistike mund të gjejmë funksionet termodinamike të gazit ideal pa lëvizje të brendshme. Energjia e brendshme është:

E  kT 2

Z

 ln Z T

3N VN 2mkT  2 3N N!

3N VN 2mkT  ln Z  ln 2 N! 3 N  ln Z 3N 1  T 2 T

E

3 NkT 2

Energjia e gazit ideal njëatomik është proporcional me temperaturën dhe numrin e grimcave të sistemit, kurse nuk varet nga vëllimi i sistemit. Energjinë e lirë të sistemit e përcaktojmë nga shprehja 3N VN 2   F  kT ln Z  kT ln 2  mkT N! 3 N

N! e zëvendësojmë sipas formulës së Stirlingut, dhe do të marrim:

124

F  kT ln

VN N

2mkT  2

3N

 N  3N    e

3  Ve F  kT ln  3 2mkT  2   N 

F   NkT ln

N

3 Ve 2mkT  2 3 N

energjinë e lirë të sistemit që përbëhet nga N grimca si funksion të temperaturës dhe vëllimit. Kurse entropia dhe shtypja e sistemit përcaktohen nga shprehjet:

 F  S    ,  T V

NkT  F  P    nkT   V  V  T

Shprehja e fundit paraqet shtypjen e gazit ideal si funksion të temperaturës dhe vëllimit e kjo paraqet ekuacionin e gjendjes së gazeve ideale.

5.9

Teoria klasike e nxehtësive specifike të gazeve

Dallojmë dy lloje të nxehtësive specifike, nxehtësinë specifike në vëllim konstant dhe nxehtësinë specifike në shtypje konstante. Nxehtësia specifike në shtypje konstante është më e madhe për punën që kryen gazi gjatë zgjerimit, ashtu që shtypja e sistemit të mbetet konstante. A = p∆V = R∆T = R,

∆T = 10 C

Dallimi ndërmjet këtyre nxehtësive specifike për një mol është

C p  CV  R Sipas ligjit të shpërndarjes uniforme të energjisë, çdo molekulë e gazit me n gradë lirie e ka energjinë

1 n kT , kurse energjija për një mol do të jetë: 2

125 1 1 E  N A  n  kT  nRT 2 2 Atëherë nxehtësia specifike në vëllim konstant është:

1  E  CV     nR  T V 2 kurse nxehtësia specifike në shtypje konstante do të jetë:

C p  CV  R 

1 1 nR  R  n  2R 2 2

Ndërsa raporti i tyre është

 

Cp CV



n2 n

do të thotë se raporti i nxehtësive specifike në vëllim dhe shtypje konstante për gazra ideale varet nga numri i gradëve të lirisë së gjendjes. Numri i gradëve të lirisë varet edhe nga temperatura, ngase të gjitha format e lëvizjes së brendshme në të gjitha temperaturat nuk do të thotë të jenë të eksituara. Në temperatura normale për molekula njëatomike n=3, për shumicën e molekulave dyatomike n=5. Këto dy gradë të lirisë paraqiten për efekte të lëvizjes rrotulluese. Ndërsa për molekula shumatomike

n  6 . Në

temperatura shumë të ulëta vijnë në shprehje efektet kuantike dhe për këto temperatura vetëm në bazë të teorisë kuantike mund të fitohen rezultate të kënaqshme.

5.10

Energjia lёkundёse e molekulave dyatomike

Molekula dyatomike e cila kryen lёvizje lёkundёse nё pёrafrimin e parё mund ta konsiderojmё si oscilator linear harmonik. Sipas teorisё klasike janё tё mundshme tё gjitha nivelet energjike tё oscilmit. Sipas kёsaj teorie nё temperatura tё ulëta nuk do tё kemi pёrputhshmёri ndёrmjet tё dhёnave teorike dhe eksperimentale. Prandaj, nё pёrputhshmёri me teorinё kuantike supozojmё se janё tё lejueshme vetёm kёto nivele energjike tё oscilatorit:

 

1 2

 n   n  h

n  0,1,2,3,  

126 ku

h ёshtё konstanta e Plankut kurse  ёshtё frekuenca e oscilimit.

Shuma statistike qё i pёrgjigjet oscilimit tё njё molekule ёshtё:



z os   e

 1  n   h 2  kT

e



h 2 kT

n 0

Shënojmё me



e



nh kT

n 0

Tc temperaturёn karakteristike e cila pёr shumicёn e substancave ёshtё e rendit tё

madhёsisё (1000-10.000)K

h  kTc

Pasi qё shprehja



e



nh kT

 1 e



h kT

e



2 h kT

    ёshtё seri gjeometrike, mund tё

n 0

1

shkruajmё nё formёn

1 e



h kT

Tashti shuma statistike qё i pёrgjigjet oscilimit tё njё molekule ёshtё:

z os 

e



Tc 2T

1 e



Tc T

Energjia osciluese pёr gazin me N molekula ёshtё:



Eos  N os  NkT 2

Eos 

Tc 2T

 e ln T  c T 1 e T

NkTc T cth c 2 2T

Ndërsa nxehtёsia specifike nё vёllim konstant ёshtё:

NkTc T 1 kN  Tc  1  E    os    c2    T 2T T 2 4 T   T V sh 2 c sh 2 c 2T 2T 2

CVos

127

Pёr temperatura shumё tё larta

T  Tc  ,

shx  x 

x3   3!

do tё kemi: 2

CVos

kN  Tc  1   kN   4  T   Tc  2    2T 

Kurse pёr temperatura tё ulёta

T  Tc  do tё kemi 2

CVos

kN  Tc  1    4  T   1 Tc  e 2T 2 

e

Tc T

 1 2

T   kN c  e 2 T     

Tc T

Shprehja e parё e kёtyre rezultateve pёrputhet me rezultatet e teorisё klasike kurse pёr temperatura tё ulëta

CV dallon shumё nga rezultatet e teorisё klasike.

T  0 , dhe CV  0 qё pёrputhet me parimin e tretё tё termodinamikёs. kNTc Kur T  0 , E os tenton nё njё vlerё kufitare E 0  qё paraqet njё nga karakteristikat e 2 Kur

teorisё kuantike.

Fig.24 Në figurën 24 kemi paraqitur nxehtësinë specifike në vëllim konstant në funksion të temperaturës.

128 5.11

Energjia e rotacionit pёr molekulat dyatomike

Energjia e rotacionit tё molekulave dyatomike nё pёrafrimin e parё mund ta konsiderojmё si rotator tё rrafshët. Edhe kёtu supozimi pёr mundёsinё e eksitimit të tё gjitha niveleve energjetike, sipas teorisё klasike nuk pёrputhet me tё dhёnat eksperimentale. Sipas mekanikёs kuantike janё tё mundshme vetёm kёto nivele energjetike tё rotatorit:

h2

 rot 

8 2 I

 j  0,1,2,3,  

j  j  1 ,

Ku

I ёshtё momenti i inercionit tё rotatorit nё raport me boshtin e rrotullimit, dhe i pёrgjigjet degjenerimi g  2 j  1 Shuma statistike qё i pёrgjigjet rrotullimit tё njё molekule ёshtё: 

z rot   2 j  1e



h 2 j  j 1 8 2 IkT

j 0

Kjo madhёsi varet nga raporti:

Tc` h2  8 2 IkT T Temperaturat kritike shtrihen nga 2.85K pёr

N 2 deri nё 85.4K pёr H 2 d.m.th shtrihen nën

pikat e kondensimit. 

z rot   2 j  1e



Tc j  j 1 T

j 0

Shuma e mёsipërme llogaritet me metodё tё pёraferme, pas llogaritjeve do tё kemi

z rot 

T  1 Tc     Tc  3 15T 

Anёtari dytё dhe i tretё paraqesin pёrrëmisimin kuantik nё raport me teorinё klasike dhe vie nё shprehje sidomos nё temperatura tё ulëta.

129 Pёr temperatura shumё mё tё larta se sa temperatura karekteristike

T  Tc pёr energjinё e

rotacionit dhe nxehtёsinë specifike nё vёllim konstant, do tё kemi:

  Tc` h2   E rot  NkT 1  2 24  IkT   T  E  CVrot   rot   kN  T V Ndërsa pёr

T  Tc kur funksioni logaritmik nё shprehjen e E rot mund tё zhvillohet nё seri h2

E rot

3h 2 N  4 2 IkT  e 4 2 I

T CVrot  12kN c  e T  2

2Tc T

Relacioni i fundit pёrputhet mirё mё tё dhёnat ekperimentale. Nxehtёsitё specifike te lёvizja e rotacionit dhe osciluese pёr temperatura tё larta përputhen me shprehjet e fizikёs klasike. Kurse pёr temperatura tё ulëta

T  0 bien nё mёnyrё

eksponenciale. Por nocioni temperaturё e ulёt ose e lartё pёr lёvizjen e rotacionit ose osciluese dallojnё dukshëm. Te lёvizja e oscilimit edhe temperatura e dhomёs mund tё konsiderohet si temperaturё e ulёt, kurse pёr lёvizjen rotatore tё molekulёs kjo temperaturё mund tё konsiderohet e lartё nё krahasim me temperaturёn korresponduese kritike.

5.12

.

Ligji pёr shpёrndarjen uniforme tё energjisё

Ёshtё e rëndësishme qё energjinё translatore tё rotacionit dhe oscilimit tё molekulёs tё paraqesim si shumё e anёtarёve nё katrorё. Nё kёtё rast energjia e njё molekule do tё jetё e dhёnё nё formёn: n

n

i 1

i 1

    i  ai qi2 Ku madhёsia

q i mund tё jetё kordinatё e pёrgjithësuar ose impuls i pёrgjithsuar.

130 Madhёsia

q i quhet momentoid kurse numri i momntoideve n gjegjsisht numri i anёtarёve nё

katrorë ёshtё numër i gradёve tё lirisё sё gjendjes. Kёshtu energjia oscilatore e molekulës duke e konsideruar kёtё si oscilator linear harmonik, do tё jetё:

 os 

p2 1 2  kx 2m 2

k ёshtё ёshtё koeficient i elasticitetit kurse x ёshtё zhvendosja nga pozita ekulibruese. Energjia e rotacionit e molekulёs duke e konsideruar kёtё si trup tё ngurtё do tё jetё:

 rot  Ku



1 I 112  I 2 22  I 332 2



I1 , I 2 , I 3 janё komponente diagonale tё tensorit tё inercionit

Ix  I  0 0  kurse

1 ,  2 , 3

0  0 I z 

0 Iy 0

janё projeksionet e shpejtёsisё kёndore

 

nё boshtet kryesore tё inercionit.

Gjendjёn e molekulёs sё i –tё e definojmё nё intervalin e momentoideve

qi , qi  dqi 

g i  Cd  Cdq1dq2    dqn Probabiliteti i gjendjës sё molekulёs pёrcaktohet nga shpёrndarja e Maksuellit

dW 

e





 kT



  e



dq1    dq n 

 kT

dq1    dq n



Pёr vlerёn mesatare tё energjisё sё molekulës do tё kemi: 

 i   ai q dW  2 i



2      ai qi e





 kT

dq1    dq n







  e







 kT

dq1    dq n

131 Zëvendёsojmё

  ai qi2    , ku  

paraqet shumёn e tё gjithё anёtarёve të tjerё nga relacioni

i parё. 

 ai q e 2 i

i 



ai qi2 kT





e







ai qi2 kT



Me



dqi      ai qi2 e 

 kT

d 





dqi      ai q e 2 i







 kT

d 



d kemi shënuar prodhimin e tё gjithё diferencialeve tё mbetur pёrveç tё i –tё

momentoideve. 

a q i

i 



ai qi2 kT

2 i

e



ai qi2 kT

dqi





e

dqi



Kёto janё integrale tё Jeansit, pas zgjedhjeve tё tё cilёve do tё marrim:



ai  2 

i 

3

 a 2 4 i   kT  1  2 2 ai kT

Dhe pёrfundimisht do tё marrim:

1 2

 i  ai qi2  kT Kur gazi ideal gjendet nё gjendje stacionare nё temperaturёn T, çdo gradë lirie i pёrgjigjet energjia

1 kT . Kjo pёrbën at qё e quajmё ligj i shpёrndarjes uniforme tё energjisё. 2

Pёr energjinё mesatare tё translacionit tё molekulёs sё gazit mund tё shkruajmё:

2 mvx2 mv y mvz2 1    kT 2 2 2 2

132 Pёr energjinё mesatare tё translacionit tё molekulёs sё gazit nё kahje tё boshtit x mund tё shkruajmё: 

mv x2  2

mv 2

mv x2  2 kTx  2 e dv x  

e



mv x2 2 kT

dv x



Nё mёnyrё analoge pёr energjinё mesatare tё rotacionit tё molekulёs sё gazit pёr anёtarin e parё mund tё shkruajmё: I 2



I x x2  2

I x  x2  2xkTx  2 e d x  

e



I x x2 2 kT

d x



Gjatё kalimit nga energjia kinetike e lёvizjes sё translacionit nё energji kinetike tё rotacionit, masa ёshtё zëvendёsuar me momentin e inercionit kurse shpejtёsia me shpejtёsinё kёndore.

I x x2  t 2 dhe 2kT

Zëvendёsojmё

1   , atёherё shprehja e fundit merr formёn: kT 

I x 1  2  2 x

t

2

 

e t dt

e

2

t 2

dt





t



2

e

t 2



2 1 dt   e t dt 2 

Pas disa veprimeve matematike merret:

I x x2 kT  2 2 E njëjta vlerё fitohet nё mёnyrё analoge edhe pёr dy anёtarёt tjerё:

I y  y2 2

I z  z2 kT   2 2

133

Ashtu si energjia kinetike mesatare e translacionit nuk varet nga masa edhe energjia mesatare kinetike e rotacionit nuk varet nga momenti i inercionit. Sipas ligjit pёr shpërndarjen uniforme tё energjisё, energjia kinetike mesatare ёshtё proporcional me numrin e gradёve tё lirisё. Nёse molekula posedon n gradё tё lirisё, energjia kinetike mesatare e saj do tё jetё:

1 2

 k  n  kT

5.13

Oscilatori linear harmonik

Fillojmё me shprehjen e funksionit tё Hamiltonit pёr oscilatorin harmonik:

H

p 2 m 2 q 2  2m 2

Vlera e energjisё mesatare e oscilatorit harmonik njёdimensional nё ekulibёr termik në temperaturёn T , ёshtё: 

E

 p 2 m 2 q 2    2m  2   

e

 p2

  2 mkT  e 

 p 2 m 2 q 2    2m 2 

   

m 2 q 2 2 kT

   

dqdp

dqdp



Relacionin e fundit e ndajmё nё dy anёtarë: 

E



p2

p 2  2m  2m e dp  

e





p2 2m

dp



m 2 q 2    2 e  

e



m 2 q 2 2

m 2 q 2 2

dq

dq



Anёtari i parё paraqet energjinё mesatare kinetike kurse anёtari i dytё paraqet energjinё mesatare potenciale:

134 

Ek 



p2

p 2  2m  2m e dp 

e

p2 2m



Ep 

,

m 2 q 2    2 e 

e

dp



m 2 q 2 2

m 2 q 2 2

dq

dq





Zëvendёsojmё nё anёtarin e parё



u p

2m

, dhe nё anёtarin e dytё:

m 2

u  q



Ek  E p 

1



u

2

 

e

e u du 2

u 2

du





2 u  u e du 2

 

e

u 2



du

1 2



Pas zëvendёsimit



1 do të fitojmё kT

Ek  E p 

kT 2

Vlerat mesatare tё energjisё kinetike dhe potenciale tё oscilatorit harmonik linear ndёrmjet veti janё tё barabarta. Ndërsa energjia mesatare e oscilatorit harmonik linear ёshtё:

E  Ek  E p 

kT kT   kT 2 2

Relacioni i fundit tregon se energjia mesatare e oscilatorit harmonik linear nuk varet nga masa e grimcёs dhe frekuenca e lёkundjes.

135 6. 6.1

Ekuacionet themelore tё termodinamikёs Pёrshkrimi termodinamik i sistemit

Pёr sistemet me numër shumё tё madh tё grimcave, nuk kemi mundёsi qё tё pёrcjellim lёvizjen e çdo grimce dhe nuk mund tё marrim informata pёr çdo grimcё individuale. Vlerat e madhёsive fizike tё cilat merren gjatё matjeve, paraqesin vetёm vlera mesatare tё madhёsive fizike korresponduese tё marra nёpёr tё gjitha mikrogjendjet e sistemit. Kёto vlera mesatare pёrcaktojnё gjendjen makrofizike tё sistemit dhe quhen madhёsi termodinamike. Lidhshmёrinё e kёtyre madhёsive termodinamike e studion termodinamika. Nё proceset termodinamike qё ndodhin nё sistem ёshtё e interesit tё veçantë energjia e shkёmbimit ndërmjet sistemit dhe rrethinёs ose ndërmjet pjesёve tё veçanta tё vet sistemit. Termodinamika bazohet nё statistikёn e Gibsit e cila i studion sistemet nё kontakt termik me rrethinёn me numër konstant ose tё ndryshueshëm tё grimcave tё sistemit. Pёr pёrshrimin e sistemit nё gjendjen e ekulibrit duhet pёrdorur madhёsitё qё pёrcaktojnё gjendjen e sistemit si tërёsi nё aspektin makroskopik. Gjendja e tillё quhet gjendje termodinamike kurse madhёsitё qё e pёrshkruajnё kёtё gjendje mund tё ndahen nё dy grupe. Nё njërin grup hyjnё madhёsitё qё varen vetёm nga gjendja e brendshme e sistemit dhe quhen parametra tё brendshëm si psh: dendёsia e sistemit, energjia, shtypja e sistemit etj. Nё grupin e dytё tё kёtyre madhёsive bëjnё pjesё madhёsitё qё varen nga gjendja e jashtme e sistemit si p.sh: pozita e trupave tё tjerё tё cilёt nuk i takojnё sistemit. Kёto madhёsi quhen parametra tё jashtëm. Si parametër i jashtëm mund tё jetё vёllimi i sitemit i cili varet nga pozita e trupave tё jashtëm, pastaj intensiteti i fushave tё jashtme elektrike , magnetike nё tё cilat ndodhet sistemi. Meqё shpërndarja e grimcave sipas mikrogjendjeve nё gjendjen stacionare ose kuazistacionare varet nga temperatura. Mund tё themi se gjendja e ekulibrit termodinamik e sistemit ёshtё e pёrcaktuar me temperaturёn dhe tё gjithё parametrat e jashtëm. Tё gjithё parametrat e brendshëm nё gjendjen e ekulibrit termodinamik janё funksione tё temperaturёs dhe parametrave tё jashtëm

bi  bi T , a1 , a2 ,  , an 

Pёr gazin ideal energjia e brendshme ёshtё e pёrcaktuar plotёsisht me temperaturёn:

E

3 NkT 2

Numri i parametrave tё pavarur qё pёrcaktojnё plotёsisht gjendjen e sistemit quhet numër termodinamik i shkallёve tё lirisё. Mё tё thjeshtat janё ato sisteme qё pёrcaktohen me dy shkallё termodinamike tё lirisё.

136 Tё tilla janё gazet, lёngjet si dhe trupat e ngurtё izotrop qё ndodhen jashtë veprimit tё fushave tё jashtme. Nё kёtё rast si parametër i pavarur zakonisht merret temperatura e sistemit dhe vёllimi. Atёherë tё gjitha madhёsitё tjera qё pёrcaktojnё gjendjen e sistemit janё funksione tё temperaturёs dhe vёllimit. Kёshu shtypja e sistemit si parametër i brendshëm i gjendjes ёshtё funksion i temperaturёs dhe vёllimit :

f P, T ,V   0

Shprehja e fundit quhet ekuacion termik i gjendjes. Forma e kёtij ekuacioni varet nga natyra e sistemit dhe mund tё pёrcaktohet me mёnyrё empirike ose me metoda tё fizikёs statistike. Varshmёria e energjisё sё brendshme nga temperatura dhe vёllimi:

E  f T ,V  quhet ekuacion kalorik i gjendjes.

 

Kёshtu pёr gaze reale ekuacioni termik i gjendjes ёshtё:  P 

ndërsa ekuacioni kalorik i gjendjes ёshtё:

E

a  V  b   nRT V2 

3 a NkT  . 2 V

6.2 Ndryshimi elementar i energjisё mesatare tё sistemit

Vёshtrojmё sistemin i cili ёshtё i pёrbërë nga njё numër shumё i madh i grimcave dhe qё ёshtё nё kontakt tё dobёt me rrethinёn. Nё qoftё se gjendja e kёtij sistemi ndryshon me kohёn ashtu qё nё çdo moment gjendjen e sistemit mund ta konsiderojmё kuazistacionare, njё proces i tillё gjithnjë mund tё merret edhe nё kahje tё kundërt dhe quhet proces i kthyeshëm ose reversibël. Nё tё kundërtёn kemi procese tё pakthyeshme ose ireversibële. Si shembull pёr rastin e parё kemi zgjerimin e ngadalshëm tё gazit nё temperaturё konstante kurse pёr rastin e dytё kemi pёrcjelljen e nxehtёsisё ose lёshuarjen e gazit nё vakum. Me matje nё termodinamikё mirren vetёm vlerat mesatare tё madhёsive fizike.

137 Vlera mesatare e energjisё sё brendshme dhe entropisё sё sistemit ёshtё:

Ei  E   EiWi m. s

S i  S   S iWi m. s

Shumimi kryhet nёpёr tё gjitha mikrogjendjet e mundshme tё sistemit. Mё tutje shumimin sipas tё gjitha mikrogjendjeve tё mundshme do tё shënojmё vetёm me simbolin



pa shenjën m.s.

Shënojmё me simbolin

E

ndryshimin e energjisё mesatare tё sistemit.











Wi



 Ei

E   Wi Ei     Ei Wi  Me indekset me

wi kemi shënuar mosndryshueshmёrinё e probabilitetit tё mikrogjendjes wi kurse

E i pandryeshueshmёrinё e nivelit energjetik E i tё sistemit.

Anёtarin e parё e shënojmё me:







Wi

A   Wi Ei 

dhe paraqet ndryshimin e energjisё mesatare tё sistemit pёr efekt tё ndryshimit tё nivelit energjetik tё sistemit. Me

Ei

kemi shënuar ndryshimin elementar tё nivelit energjetik pёr shpёrndarje konstante tё

probabilitetit tё mikrogjendjeve tё sistemit. Pёr shpërndarje konstante tё grimcave sipas niveleve energjetike ky ndryshim mund tё pason pёr efekt tё ndryshimit tё parametrave tё jashtëm.

Ei a j j 1 a j n

Ei W

i



E zëvendёsojmё nё shprehjen e mëparshme:



A   Wi  

i

j

 Ei a j  a j 

Wj

  E     i  j  i  a j 

   Wi a j  Wi 

138 gjegjësisht: n

A    j a j j 1

 E  j   i  i  a j

  Wi  Ei  a j Wi

Nё qoftё se parametrat e jashtëm paraqesin kordinatat e pёrgjithësuara tё sistemit, atёherë n

shprehja

A    j a j

ka formё tё njëjtё. Sikurse puna elementare nё kordinata tё

j 1

pёrgjithsuara edhe anёtarin

A

e interpretojmё si punё elementare nё sistem, kurse  j e luan

rolin e forcave tё pёrgjithësuara. Prej nga shihet se ndryshimi i energjisё mesatare tё sistemit e cila ёshtё e kushtёzuar me ndryshimin e vetёm tё parametrave tё jashtëm, pёr shpёrndarje konstante tё mikrogjendjeve tё sistemit paraqet punё tё kryer nё sistemin. Puna elementare e forcёs e cila vepron nё elementin e sipёrfaqss dS dhe e zhvendos pёr dr ёshtё

d A  dFdr  PdSdr (si në fig.25)

Fig.25 Puna e pёrgjithshme e sistemit do tё jetё:

A  P  dSdr  PV S

Kurse puna korresponduese e kryer mbi sistemin ёshtё:

A  A   PV

139

anёtari







 Ei

Q    Ei Wi 

paraqet ndryshimin e energjisё mesatare tё sistemit pёr arsye tё

ndryshimit tё probabilitetit tё mikrogjendjeve tё sistemit. Madhёsia e definuar nё kёtё mёnyrё quhet sasi e nxehtёsisё. Nё qoftё se kjo ёshtё pozitive, energjia mesatare e sistemit rritet d.m.th. kur sasia e nxehtёsisё ёshtё pozitive, sistemi pranon nxehtёsi. Kur sasia e nxehtёsisё ёshtё negative sistemi lёshon nxehtёsi. Ndryshimi i energjisё mesatare tё sistemit qё kryhet pandryshimin e parametrave tё jashtëm ёshtё i kushtëzuar nga ndryshimi i shpёrndarjes sё probabilitetit tё sistemit. Nё qoftё se gazi nxehet nё vёllim konstant, energjia qё e merr gazi shkon nё rritjen e energjisё sё molekulave dhe molekulat zhvendosen nga nivelet energjetike mё tё ulёta nё nivele energjetike mё tё larta.

6.3

Sasia e nxehtёsisё dhe entropia e sistemit

Do tё kufizohemi nё sisteme tё kthyeshme. Nё këtё rast pёrdorim statistikёn e Gibsit sipas sё cilёs probabiliteti qё sistemi nё kontakt tё dobёt me rrethinёn ka energjinë

E i pёrcaktohet me

shprehjen E

 i 1 GEi e kT Z

W E i  

Ndërsa probabiliteti i sesilёsdo mikrogjendje tё sistemit me energji

E i ёshtё:

W Ei  1  kTi  e G E i  Z E

wi 

Me Z kemi shënuar shumёn statistike qё ёshtё karakteristikё themelore e sistemit dhe pёrcaktohet me shprehjen:

Z   GEi e i



Ei kT

 e



Ei kT

m. s

Nga shprehjet e mёparshme, energjia e lirё e sistemit është:

Z e



F kT

,

F  E  TS

140 Ku E dhe S janё vlerat mesatare tё energjisё sё brendshme dhe entropisё sё sistemit. Relacionet e mёsipёrme na mundёsojnё qё sasinё e nxehtёsisё ta lidhim me ndryshimin korrespondues tё entropisё sё sistemit, me këtё kalojmё nga fizika statistike nё termodinamikё. Zëvendёsojmё probabilitetin e mikrogjendjeve nё shprehjen pёr sasi tё nxehtёsisё:



1



Z

Q   Ei  

e



    Ei

Ei kT

E transformojmё shprehjen e fundit: E

E

1  i 1  i Q    Ei e kT   e kT Ei Z Z Nga shprehjet e mёparshme kemi:

E   Ei wi   Ei

Q  E 

1 Z

e



Ei kT

E

1  kTi e Z

Ei

Qё tё transformojmё anёtarin e dytё, kёrkojmё ndryshimin elementar tё shumёs statistike dhe kemi nё konsideratё qё kёto janё ndryshore tё pavarura nga niveli energjetik T.

 e

e





Ei kT

Ei kT

 i 1 T kT e Ei  2  kT kT E



Ei  kT  e



Ei kT



T T

 Ei e

 Ei e



Ei kT

Dhe shprehja e mёsipёrme merr formёn:  i kT T Q  E    e kT  Z ZT E

E e i





Ei kT

Ei kT

E i dhe temperatura

141 Shuma nё anёtarin e dytё paraqet shumёn statistike. Kurse anёtarin e tretё mund tё shkruajmё nё formёn:

E e i



Ei kT

 Z  Ei wi  ZE

Q  E  kT

Z Z

E

T T

Pёr tё transformuar relacionin e fundit do tё pёrdorim identitetin:

T

Dhe do tё marrim:

Pas zëvendёsimit:

E E E 1   T  E  2 T   E  T T T T T  E   k ln Z  T 

Q  T 

E E F 1 1  k ln Z   k  E  F   E  E  TS  T T kT T T

E  k ln Z  S T Dhe pёfundimisht do tё kemi:

Q  TS

Ky relacion vendos lidhjen ndërmjet sasisё sё nxehtёsisё dhe ndryshimit korrespondues tё entropisё mesatare tё sistemit. Sasia e nxehtёsisё tё cilёn e pranon sistemi shkon nё rritjen korresponduese tё entropisё mesatare tё sistemit.

142 6.4 Parimi i parё i termodinamikës

Si shumё shkenca tё natyrёs edhe termodinamika zhvillohet nё bazё tё kёrkimeve dhe tё dhёnave eksperimentale. Ngjashëm si mekanika klasike qё bazohet nё ligjet e Njutonit ashtu dhe termodinamika bazohet nё postulatet bazё tё saj. Baza eksperimentale pёr tё arritur te ligji i parё i termodinamikёs janё kёrkimet pёr lidhjen e nxehtёsisё me punёn mekanike. Energjia e brendshme e sistemit ёshtё funksion i gjendjes. Gjatё kalimit nga gjendja fillestare (1) nё gjendjen e fundit (2), ndryshimi i energjisё sё brendshme tё sistemit ёshtё:

E  E2  E1 Kjo nuk varet nga mёnyra e realizimit tё procesit, por vetёm nga vlera e energjisё sё brendshme nё gjendjen e fillimit dhe tё mbarimit, d.m.th.

dE ёshtё diferencial total, dhe nuk varet nga rruga

e integrimit: 2

 dE  E 2  E 1 1

Nё relacionet e mёparshme ёshtё treguar se

 dE  0

Energjinë e brendshme të sistemit nuk bënë ta identifikojmë as me punën as me nxehtësinë. Pёrkundër energjisё sё brendshme, nxehtёsia dhe puna nuk janё funksione tё gjendjes.

As

puna as nxehtёsia nuk janё madhёsi tё cilat nё gjendje të dhënë kanë vlera tё caktuara. Kёto dy madhёsi varen nga mёnyra e arritjes nga gjendja e fillimit nё gjendjen termodinamike tё fundit. Këto janё funksione tё procesit. Parimi i parë i termodinamikës është shprehje matematike e anës sasiore e ligjit të ruajtjes dhe transformimit të energjisë. Sipas këtij parimi energjia e brendshme e sistemit është funksion univok i gjendjeds së tij dhe ndryshon vetëm nën influencën e veprimeve të jashtme.

dE  dA  dQ Nё proceset adiabatike sistemi nuk shkëmben nxehtёsi me rrethinёn

dQ  0

Pёr proceset adiabatike ligji i parё i termodinamikёs merr formё mё tё thjeshtё

dE  dA

143 E llogarisim punёn e nevojshme pёr ndryshimin e vёllimit tё sistemit. Le tё jetё gazi i mbyllur nё cilindrin me bazё S, gjatёsinё e cilindrit e ndryshojmё pёr dz . Ndryshimi i gjatёsisё sё cilindrit do tё kushtёzojё ndryshimin e vёllimit tё gazit.

dV  Sdz

Gjatё ngjeshjes sё gazit, nё gaz ështё kryer puna: dA=Fdz,

F  PS

dA  PSdz  PdV

prandaj:

Dhe ligji i parё i termodinamikёs merr formёn:

dE  dQ  PdV .

6.5 Parimi i dytё i termodinamikës

Pёr formulimin e parimit tё II-të tё termodinamikës po fillojmё me jobarazimin e Clausiusit i cili shprehet me formulёn:



dQ 0 T

ku shenja e jobarazimit vlen për proceset ireversibile, kurse shenja e barazimit shpreh proceset reversibile. Nё fillim shqyrtojmё rastin pёr procese reversibile. Nga:

dQ 0 T R



konkludojmё se eksiston madhёsia S e definuar me relacionin:

dS 

dQ T

me vetinё qё dS ёshtё diferencial total. Meqenëse dS është diferencial total, atëhërë madhësia S është funksion i gjendjes. Për proceset reversibile, kur sistemi kalon nga gjendja 1 në gjendjen 2, ndryshimi i entropisë do të jetë:

144

S 2  S 1 

2

dQ

   T

1R

Në ketë rast ndryshimi i entropisё S është i përcaktuar për vlerën e konstantës së integrimit. Për një proces termodinamik të mbyllur, rrugën 1→ 2 nuk e specifikojmë, kurse rruga 2→ 1 le të jetë reversibile. 2

1

dQ dQ 1 T  2R  T  0 2

2

dQ dQ 1 T  1R  T

ose

Integrali në anën e djathtë paraqet ndryshimin e entropisë të gjendjes 2 dhe 1, prandaj do të marrim: 2

S 2  S 1   1

dQ T

Shprehjen e fundit e shkruajmë në formën infinitizimale:

dS 

dQ T

ku shenja e pabarazimit vlen pёr procese ireversibile kurse shenja e barazimit vlen pёr procese reversibbile. Në sistemet termikisht të izoluara, entropia gjatë transfomimeve reversibile mbetet konstante, kurse gjatë transformimeve ireversibile entropia rritet.

Sitemi i izoluar kur arrin entropinë

maksimale, ai nuk e ndryshon gjendjen termodinamike. Nё gjendje ekulibri entropia e sistemit arrin vlerёn maksimale. Derisa

P.I.T

vendos energjinë e brendshme si funksion të gjendjes që nuk ndryshon në

mungesë të veprimeve të jashtme për çfarëdo procesesh që ndodhin brenda sistemit. Parimi i dytë i termodinamikës vendos entropinë si funksion të gjendjes e cila nuk ndryshon në sistemet e izoluara. d.m.th. nuk janë të mundshme proceset gjatë të cilave entropia e sistemit të izoluar të zvogëlohet. Në sistemet e izoluara entropia e sistemit ose mbetet konstante ose rritet. Për sistemet reversibile parimin e II-të të termodinamikës mund të shkruajmë në formën:

dQ  TdS

145 Për proceset e pakthyeshme, entropia e sistemit ka vetinë

S  0 , kjo do të thotë në qoftë se

nuk kemi shkëmbim të nxehtësisë me rrethinën nuk do të kemi ndryshim të probabilitetit të mikrogjendjeve të sistemit, por vetëm të niveleve energjetike të sistemit të kushtëzuara nga ndryshimi i parametrave të jashtëm. Të dy këto ligje tё termodinamikёs mund t`i shkruajmë në një shprehje

dE  TdS  dA Me këtë kemi fituar ekuacionin themelor të termodinamikës. Proceset termodnamike mund t`i pёrshkruajmё duke vёshtruar ndryshimin e entropisё sё sistemit ose ndryshimin e probabilitetit termodinamik tё sistemit. Ndërmjet kёtyre madhёsive duhet tё ekzistojё varshmёria funksionale

S  f W  . Do tё pёrcaktojmё relacionin qё lidh entropinё

me probabilitetin termodinamik tё gjendjes. Vёshtrojmё sistemin termodinamik i cili ёshtё i pёrbёrë prej dy nënsistemeve tё pavarura ndёrmjet veti. Entropia e sistemit ёshtё e barabartё me shumёn e entropive të nënsistemeve.

S1  f W1  , Entropia e tёrё sistemit ёshtё:

S 2  f W2 

S  S1  S 2  f W1W2   f W  .

Probabiliteti termodinamik i sitemit ёshtё termodinamike tё nënsistemeve.

i barabartё me prodhimin e probabiliteteve

W  W1  W2

f W   f W1  W2   f1 W1   f 2 W2  E diferencojmё relacionin e fundit:

df f df  W  df    W2  1  W1 dW1 dW  W1 W dW 2

df1 df  W  df    W2  dW1 dW  W1 W dW 2 E diferencojmё shprehjen:

f df  W2 W1 dW

sipas

W2

146 f df d 2 f  W    W1W2 dW dW 2  W2 E pёrdorim njё variabël tё re:

y

 df d2 f    W1W2 0 dW 2 W1 dW

df dW

df d2 f dy W  y W 0 2 dW dW dW dy dW  y W E integrojmё shprehjen e fundit:

ln y   ln W  ln C

ln y  ln

C , W

df C  , dW W

y

C W

df  C

dW W

f  C ln W  C  Zëvendёsojmё

C   0 dhe

Ck

dhe do tё marrim

f W   S  k ln W ku

k ёshtё konstanta e Botzmanit dhe e ka vlerёn

k  1.38  10 23 JK 1 .

Kemi fituar relacionin sipas Botzmanit qё lidh entropinё me probabilitetin termodinamik tё gjendjes. Ligji i rritjes sё entropisё tё sistemeve tё izoluara tregon tendencёn pёr kalimin e sistemeve nё gjendje termodinamike me probabilitet më tё besueshëm. Fizika statistike tregon mundёsinё mё tё besueshme qё sistemi i izoluar udhёton nё drejtim tё gjendjes sё ekulibrit. Nё sisteme tё izoluara entropia e sistemit mund tё mbetet konstante ose do tё rritet deri sa e arrinё vlerёn e saj maksimale nё gjendjen e ekulibrit, nё gjendjen e ekulbrit edhe probabiliteti termodinamik arrin vlerёn maksimale. Rritja e numrit tё mikrogjendjeve tё sistemit do tё thotë rritje e parregullsisё sё sistemit. Gjendjet me parregullsi mё tё madhe janё gjendje me probabilitet termodinamikё mё tё madh, janё

147 gjendje mё tё besueshme. Rritja e entropisё sё sistemit ёshtё proporcional me rritjen e parregullsisё sё sistemit. Shënojmё mё kurse me

S m dhe

Wm entropinё dhe probabilitetin termodinamik nё gjendje tё ekulibrit,

S dhe W entropinё dhe probabilitetin termodinamik mё tё vogёl nё njё gjendje tё

çfarёdoshme jashtë gjendjes sё ekulibrit. Nga relacioni i fundit kemi:

 W e Wm

Raporti

Sm S k

W nuk do tё jetё i papёrfillshëm, nёse vlen S m  S  k . Wm

Shmangiet e entropisё nga vlera e saj nё gjendje tё ekulibrit, pёr tё cilat vlen

S m  S  k

mund tё mos i pёrfillim. Derisa termodinamika konkludon se pёr proceset e izoluara entropia e sistemit nuk mund tё zvogёlohet, fizika statistike konkludon se kёto procese ku do tё zёvoglohej entropia nuk janё tё besueshme. Me këtё, ligji i dytё i termodinamikёs humb saktёsinë. Por pёr sisteme makroskopike shmangiet nga ky ligj janё tё papёrfillshme.

6.6

Kapaciteti termik

Sistemit nga jashtë i sjellim nxehtësinë Q , ky është shkaku për pasojë, sistemit do t`i ngritet temperatura për T . Kapaciteti termik paraqet raportin e këtyre madhësive:

C

Q T

kurse kapaciteti termik specifik definohet me:

c

C M

ku M është masa e trupit (sistemit). Energjinë e brendshme të sistemit e shprehim si funksion të V dhe T

 E   E  dE    dV    dT  V  T  T V

E  E V , T 

148

Nga P.I.T,

dQ  dE  PdV

  E   E   dQ    dT   p     dV  T V  V  T   prej nga marrim:

 E  CV     T V   E   E   V  C p     P       T V   V  T  T  P   E   V  C p  CV   P       V  T  T  p  Në gjendjen e ekulibrit P.i II-të i T. shprehet me relacionin

dS 

dQ T

dS 

1  E  1  E     dT   P     dV T  T V T  V  T 

Meqë dS është diferencial total, duhet të plotësohet kushti:

  1   1  E    E           P    V  T  V  V T  T V  T  T T  prej nga rrjedh:

 E   P  P   T   V  T  T V  V   P  C P  CV  T      T  P  T V

Për një mol të gazit ideal ekuacioni i gjendjes do të jetë:

149 PV  RT

R  P  ,     T V V

R  V      T  p P

RT  E  P   V  V  T Duke e aplikuar ekuacionin e gjendjes do të marrim:

 E     0.  V  T

Nga shprehja e fundit nxjerrim konkluzionin që energjia e gazit nuk varet nga vëllimi. Meqë për gazin ideal neglizhohet bashkëveprimi i molekulave, ndryshimi i vëllimit nuk e ndryshon energjinë e brendshme të gazit. Kapaciteti termik për P= konstant C p është më i madh për R se sa

C P  CV  T

CV

RR R PV

6.7 Kapaciteti termik i gazit ideal

Energjia e brendshme e njё moli tё gazit ideal nga paragrafi i mёparshёm ёshtё:

E f

RT 2

Ku f ёshtё numri gradeve tё lirisё kurse R ёshtё konstanta universale e gazrave. Relacionin e fundit e aplikojmё nё gaze tё pёrbёra nga molekulat njëatomike, molekula dyatomike dhe molekula shumёatomike. Nёse molekulёn njëatomike e marrim si pikё materiale. Kjo do t`i ketё tri gradё lirie tё translacionit. Atёherё energjia e brendshme e njё moli tё gazit njëatomik, ёshtё:

E

3 RT 2

150 Kurse kapaciteti termik do tё jetё:

3 R 2 5 CP  R 2 CP 5   1.67 CV 3 CV 

Marrim se atomet te molekulat dyatomike mbesin nё largёsi konstante

r0 . Kёto dy atome do t`i

kanë gjashtё gradё tё lirisё.

r0 

Pёr shkak tё kushtit:

x2  x1 2   y2  y1 2  z 2  z1 2

mbesin vetёm pesё gradё lire. Tri gradё lirie janё nga lёvizja e translacionit dhe dy gradё lirie nga rrotacioni sipas kёndëve dhe



.

Atёherё energjia e brendshme e njё moli tё gazit dyatomik, ёshtё:

E

5 RT 2

Kurse kapaciteti termik do tё jetё:

5 R 2 7 CP  R 2 CP 7   1.4 CV 5 CV 

Pёr molekulat shumatomike qё nuk janё lineare duhet tё merren tri gradё lirie tё rrotacionit dhe tri gradё lirie tё translacionit d.m.th.: gjashtё gradё lirie. Pёr molekulat lineare shumatomike merren dy gradё lirie tё rrotacionit dhe tri gradё tё translacionit sikurse te molekulat dyatomike. Energjia e brendshme dhe kapaciteti termik pёr molekula jolineare shumatomike tё gazit ideal do tё jetё:

E  3RT CV  3R C P  4R

151

CP 4   1.33 CV 3 Deri tash nuk e kemi marrё nё konsideratё gradët e lirisё qё janё pasojё e lёvizjes lёkundёse rreth pozitёs ekulibruese. Nёse supozojmё se lёkundjet janё harmonike, atёhërё energjisё mesatare duhet t`i shtohet anёtari

kT . Pёr molekulat dyatomike kur merret nё konsideratё edhe

kjo lёvizje, energjia e brendshme e njё moli tё gazit dyatomik do tё jetё:

E

7 RT 2

Kurse kapaciteti termik do tё jetё:

7 R 2 9 CP  R 2 CP 9   1.29 CV 7 CV 

Korreksione tё ngjashme kryhen edhe te gazet shumё atomike. Kёto pёrmirёsime vijnë nё shprehje kryesisht nё temperatura tё larta. Ngase nё temperatura tё ulёta te disa molekula kontributi i gradёve tё lirisё sё rotacionit bie. Kёtё konkludim e vërteton edhe fizika statistike kuantike.

6.8 Energjia e brendshme dhe energjia e lirё

Në shprehjen

   1 E   ln Z  ,   kT   V

nga derivimi sipas parametrit



 kalojmё nё derivim sipa temperaturёs T:

   T  T

152 E zëvendёsojmё nё relacionin pёr energjinё e brendshme dhe do tё marrim:

   E  kT 2  ln Z   T V Relacionin e fundit mund tё shkruajmё nё formёn:

       E  T  kT ln Z   k ln Z   kT ln Z  T  kT ln Z  V  T V  T  Energjia e lirё e sistemit definohet nё mёnyrёn:

F  E  TS  F  S     T V  F  E  F T   T V Nga barazimi i relacioneve tё mёparshme:

    F   kT ln Z  T  kT ln Z   F  T    T V  T V pёr energjinё e lirё do tё marrim:

F  kT ln Z

Energjia e lirё e lidh fizikёn statistike me termodinamikёn. Tashti e pёrcaktojmё entropinё dhe shtypjen e sistemit:

   S  kT ln Z   T V

 F     P   ln Z    kT   V  T  V T Relacioni i fundit e lidh shtypjen, vёllimin dhe temperaturёn, prandaj ёshtё ekuacion i gjendjes sё sistemit.

153 6.9

Entalpia dhe potenciali i Gibsit

Nga P.I.T. kemi

dE   pdV  TdS

ku dE shprehet si funksion i dV dhe dS, vëllimin dhe entropinë e konsiderojmë si parametra të pavarur:

 E   E  dE    dV    dS  S V  V  S Shprehjen e fundit e krahasojmë me shprehjen e mësipërme dhe do të marrim:

 E  p    ,  V  S

 E  T    S V

Në shumë raste është më e përshtatshme të punohet me shtypje në vend të vëllimit si parametër i pavarur, për këtë qëllim relacionin e parë e shkruajmë në formën:

d E  pV   Vdp  TdS d E  pV   dE  pdV  Vdp   pdV  TdS  pdV  Vdp  Vdp  TdS e sjellim një funksion të ri:

H=E+pV

dhe quhet entalpi ose funksion i nxehtësisë.

dH  dE  pdV  Vdp   pdV  TdS  pdV  Vdp  Vdp  TdS Kuptimin fizik të këtij funksioni mund ta shohim duke e zëvendësuar p=konst, dp=0

dH  dQ  TdS

154 d.m.th.: për shtypje konstante të sistemit dhe në mungesë të punës së sistemit, sasia e nxehtësisë që sistemi pranon është e barabartë me rritjen e entalpisë të sistemit. Tashti në vend të entropisë si parametër i pavarur do të sjellim temperaturën. Kur sistemi nuk kryen punë, relacionin e parë mund ta shkruajmë në formën:

d E  TS    pdV  SdT ose

dF   pdV  SdT Dhe kemi marrë energjinë e lirë të sistemit si funksion të temperaturës dhe vëllimit. E sjellim shtypjen në vend të vëllimit si parametër të pavarur, për këtë relacionin e fundit e shkruajmë në formën (kur sistemi nuk kryen punë).

d E  TS  pV   Vdp  SdT E sjellim një funksion të ri:

G  E  TS  pV dhe quhet potencial i Gibsit ose potencial termodinamik. Për shtypje dhe temperaturë konstante puna e sistemit është e barabartë për aq sa zvogëlohet potenciali termodinamik i sistemit.

Do të thotë se potenciali termodinamik

për procese

izotermike-izobarike kryen të njëjtin rol sikurse energjia e lirë për proceset izotermike-izohorike. Ndërsa diferenciali i potencialit të Gibsit është:

dG  Vdp  SdT

6.10 Relacionet e Maksuellit Për sistemin në ekulibër termik mund të shkruajmë:

dS 

dQ T

Nga parimi i parё i tёrmodinamikёs, kemi:

dS 

dE  TdS  pdV

1 p dE  dV T T

155 Meqë dS është diferencial total, e gjejmë temperaturën dhe shtypjen me derivimin parcial të entropisë sipas vëllimit dhe energjisë së brendshme të sistemit.

T

 S     V  E p  S     E V

1 ,  S     E V

Katër madhësitë themelore E, F, H, G janë funksione karakteristike termodinamike, të gjitha janë parametra ekstensive dhe kanë dimensione të energjisë. Nga relacioni

dE  TdS  pdV për temperaturën dhe shtypjen do të marrim:

 E  T   ,  S V Diferenciali i energjisë së lire:

 E  p     V  S F = E + TS

është

dF  dE  TdS  SdT   pdV  SdT prej nga marrim shprehjet për shtypjen dhe entropinë.

 F  p    ,  V  T

 F  S     T V

Nga rregulla e përgjithshme:

 z   x      1  x  y  z  y  x   y   z         1  y  z  z  x  y  x do të marrim:

 S   p       T V  V  T Nga diferenciali i entalpisë do të marrim:

156 H =E + pV dH = dE +pdV +Vdp = TdS +Vdp

 H  T   ,  S  p

 H   V    p  S

 T   V        S  p  p  S Kurse nga diferenciali i potencialit të Gibbsit

G =H –TS

dG  dH  TdS  SdT  SdT  Vdp do të marrim:

 G  S    ,  T  p

 G   V    p  T

 S   V        T  p  p  T Nga shprehjet e mësipërme shihet që E, H, F, dhe G janë funksione të formës E(V,S), H(p,S), F(V,T), dhe G(p,T) dhe quhen funksione termodinamike dhe përcaktohen me shprehjet: dE= - pdV+TdS,

dH=Vdp+TdS

dF= - pdV – SdT,

dG=Vdp – SdT

Tetë relacionet e nxjerra nga shprehjet e fundit na japin lidhjen ndërmjet V, p, T, dhe S me derivatet e E, F, H, G dhe quhen relacione të Maksuellit.

157 E(S,V)

E

dE=TdS-pdV

 p   T        S V  V  S

H(S,p)

H=E+pV

dH=TdS+Vdp

 T   V        p  S  S  p

F(T,V)

F=E-TS

dF= - SdT – pdV

 p   S       V  T  T V

G(T,p)

G=E+pV-TS

dG= - Sd|T+Vdp

 S   V        T  p  p  T

6.11

Vlera mesatare e madhёsive fizike

Nga shpёrndarja e Boltzmanit kemi relacionin pёr numrin e grimcave nё nivelin energjetik

N i ~ g i e  Ei Ku

g i është numri i celulave fazore nё nivelin energjetik i.

Edhe pёr probabilitetin ёshtё e njëjta varёsi nga energjia.

Wi  Cg i e  Ei Konstantën e proporcionalitetit e pёrcaktojmё nga kushti i normimit tё probabilitetit:

W

1

i

i

C

1  g i e Ei i

Wi 

g i e  Ei  g i e   Ei i

Ei

158

Do tё pёrcaktojmё vlerёn mesatare tё madhёsisё fizike A e cila pёrshkruan ndonjё veti tё grimcёs (energjinё e saj, shpejtёsinё, impulsin e tj). E shënojmё me me energi

Ai vlerёn e madhёsisё A nё gjendjen

E i . Vlerёn mesatare tё madhёsisё A e pёrcaktojmё duke e shumёzuar Ai me

probabilitetin

Wi dhe rezultatin e fituar e mbledhim nёpёr tё gjitha nivelet energjetike.

A   AiWi i

Nga dy relacionet e fundit do tё marrim:

Ag e  A g e 

 Ei

i

i

i

 Ei

i

i

Nё fizikёn klasike mund tё supozojmё se spektri energjetik ёshtё kontinual. Energjia e sistemit tё izoluar ёshtё e barabartё me funksionin e Hamiltonit, ky funksion shprehet me kordinata dhe impule tё pёrgjithësuara. Gjendjet statistike i paraqesim nё hapësirёn fazore e cila shprehet me kordinata dhe impulse tё pёrgjithësuara. Nёse grimca ka f gradё lirie, lёvizjen e saj e pёrshkruajmё nё hapësirёn fazore

2 f dimensionale. Elementi diferencial i kёsaj hapësire ёshtё: d  dq1dq2    dq f dp1dp2    dp f Pёr pikё materiale, elementi diferencial korrespondues i hapёsirёs fazore ёshtё:

d  dxdydzdp x dp y dp z Sipas fizikёs kuantike, gjendja e grimcёs pёrcaktohet me spinin dhe orbitёn. Grimca qё ka spinin s, çdo gjendje orbitale i shoqёrohet 2s+1 gjendje tё ndryshme spinore. psh: elektroni e ka spinin

1 1 , 2s  1  2   1  2 prandaj, elektroni mund tё jetё nё dy gjendje 2 2

spinore. Orbita e grimcёs mund tё pёrshkruhet me kordinata dhe impulse tё pёrgjithësuara. Ose gjendja orbitale e grimcёs pёrcaktohet me pikёn korresponduese nё hapësirёn fazore. Shënojmё me

i vёllimin e hapësirёs fazore qё i korespondon nivelit energjetik i. Këtё vёllim

e ndajmë me vёllimin e celulave fazore h . f

159

Kёshtu numri i gjendjeve orbitale me energji tё njëjtё ёshtё

i . Numri i pёrgjithshëm i hf

celulave kuantike nё nivelin energjetik ёshtё i barabartё me prodhimin e numrit të gjendjeve spinore dhe orbitale.

g i  2s  1

i . hf

Nёse distanca ndёrmjet niveleve energjetike ёshtё shumё i vogёl. Nё kufirin e spektrit energjetik kontinual, shuma sipas niveleve energjetike kalon nё integral tё hapësirёs fazore.

i  d

g i

i



2s  1 hf

 d

Prej relacioneve tё mёparshme, vlera mesatare e madhёsisё fizike A do tё jetё:

 Ae A  e

 E

 E

d

d

Gjatё kalimit nga shuma sipas niveleve energjetike nё integral tё hapsirёs fazore do tё na lajmёrohet faktori

2s  1 , ky faktor nuk do tё paraqitet nё shprehjen pёr vlerёn mesatare tё hf

madhёsisё fizike A. Probabiliteti qё grimca me energji E ndodhet nё vёllimin diferencial tё hapësirёs fazore ёshtё proporcional me prodhimin e faktorit tё Boltzmanit e

 E

dhe madhёsisё sё kёtij vёllimi

d .

dW ~ e  E d Konstanta e proporcionalitetit pёrcaktohet me kushtin e normimit:

 dW  1 Marrin nё pёrdorim relacionet e mёparshme, dhe do tё kemi:

d

160

dW 

e  E d

e

 E

d

Vlera mesatare e madhёsisё fizike A pёrcaktohet me rregullёn:

A   AdW Pas zëvendёsimit marrim shprehjen e mёparshme. Vlera mesatare pёr energjinё pёrcaktohet duke zëvendёsuar A=E

 Ee E  e

 E

 E

Zëvendёsojmё:

 Ee

 E

d

d

   d   e  E d     V

    E   e d     V E   E  e d Energjia e pёrgjithshme e sistemit prej N grimcave ekuivalente, ёshtё N herё mё e madhe se sa energjia mesatare e njё grimce.

    e  E d     V E  NE   N  E  e d Shuma statistike pёr njё grimcё ёshtё

z

2s  1 hf

e

 E

d

ku h ёshtё konstanta e Plankut, f numri i gradёve tё lirisё dhe s ёshtё spini i grimcёs. Shuma statistike e sistemit, ёshtё:

Z

1 N z N!

161

Pёr shkak tё:

    e  E d      1 N       V N  N  ln z   N  ln  z    E    N!  V   V  e d    E   ln Z    V

do tё marrim:

6.12

Ekuacioni i Gibs-Helmholtzit

Nё shumё probleme tё termodinamikёs ёshtё me interes tё veçantë tё kemi lidhjen ndёrmjet energjisё sё lirё, energjisё sё brendshme, entalpisё sё sistemit etj. Pёr kёtё qëllim do tё fillojmё me relacionin:

 F  F  E  TS  E  T    T V

 F  F T  E  T V Nёse energjia e brendshme ёshtё funksion i temperaturёs atёherё ekuacioni i fundit paraqet ekuacion diferencial qё pёrcakton energjinё e lirё si funksion tё temperaturёs nё vёllim konstant. Nё mёnyrё tё ngjashme marrim lidhjen ndёrmjet potencialit tё Gibsit dhe entalpisё sё sistemit.

 G  G  H  TS  H  T    T  P  G  G T  H  T  P Nёse entalpia e dhёnё ёshtё funksion i temperaturёs atёherё ekuacioni i fundit paraqet ekuacion diferencial i cili pёrcakton potencialin termodinamik si funksion tё temperaturёs pёr shtypje konstante tё sistemit. Kёto ekuacione diferenciale tё fituara quhen ekuacionet e Gibs-Helmholtzit. Kёrkojmё zgjidhjen e kёtyre ekuacioneve. Pёr kёtё qëllim fillojmё me identitetin:

162

 F   T  T  

    1  F   F2   12 T  T V T T   V

  F     F  T   T V  

ose:

 F   T  T  

     E2 T   V

Duke e konsideruar energjinё e brendshme si funksion tё temperaturёs me integrim do tё marrim energjinё e lirё tё sistemit si funksion tё temperaturёs.

F E T     2 dT  konst. T T Prej nga do tё kemi:

F  T 

E T  dT  konst.  T T2

Nё mёnyrё tё ngjashme marrim zgjidhjen edhe tё ekuacionit tjetër:

G  T 

6.13

H T  dT  konst.  T T2

Ekuacionet adiabatike

Te proceset adiabatike nuk kemi shkëmbim tё nxehtёsisё me rrethinёn, prandaj

dQ  0 Proeset adiabatike realizohen gjatё zgjerimit apo ngjeshjes sё shpejtё tё gazit dhe puna kryhet nё llogari tё energjisё sё brendshme të sistemit. Gazi do tё ftohet apo ngrohet kur zgjerohet, respektivisht kur ngjeshet. Nga parimi i parё i termodinamikёs pёr kёto procese kemi:

dE   PdV Duke e konsideruar energjinё e brendshme relacionin e fundit mund tё shkruajmё:

E  E T ,V  funksion tё temperaturёs dhe vёllimit,

163

 E    E    dT     P  dV  0  T V  V  T  Zëvendёsojmё shprehjet e mёparshme:

 E  CV    dhe  T V

 P   E     T   P  T V  V  T

dhe do tё marrim:

 P  CV dT  T   dV  0  T V ekuacionin diferencial tё adiabatёs. Pёr integrimin e kёtij ekuacioni duhet ditur

CV T  si funksion tё temperaturёs dhe vёllimit qё

ёshtё ekuivalent me ekuacionin kalorik tё gjendjes dhe duhet ditur ekuacionin termik tё gjendjes sё sistemit

f P,V , T   0 .

Do tё fitojmё ekuacionin e adiabatёs pёr gazin e Van der Valsit. Pёr kёtё qëllim zëvendёsojmё:

P

RT a  2, V b V

CV dT 

R  P      T V V  b

RT dV  0 V b

dT R dV  T CV V  b E integrojmё shprehjen e fundit:

ln T  

R ln V  b   ln konst CV

Prej nga do tё marrim:

T V  b CV  konst. R

Kёtё ekuacion mund ta shkruajmё edhe nё formёn:

164 a    P  2 V  b  R V   V  b CV  konst. R gjegjësisht: R a   1  P  2 V  b CV  konst. V  

Dy relacionet e fundit paraqesin ekuacionet e adiabatёs pёr gazin e Van der Valsit. Pёr rastin kufitar kur

a  0 dhe b  0 dhe pas transformit: R C P  CV    1 , Cv CV

 

CP CV

do tё marrim ekuacionin e adiabatёs pёr gazin ideal:

TV  1  konst. Shtypjen e sistemit e zëvendёsojmё me temperaturёn e sistemit, pёr kёtё qëllim i kryejmё kёto veprime matematike:

T1V1 1  T2V2 1 Pёr njё mol tё gazit ideal mund tё shkruajmё:

P1V1  1 P2V2  1 V1  V2 R R P1V1  P2V2

PV   konst. Tashti vёllimin e sistemit e ndёrrojmё me temperaturёn e sistemit:

P1V1  P2V2  V1   V2



 P   2 , ose P1 

V1  P2  V2  P1

1

  , 

165

RT1 1  P2   P1   , RT2  P1  P2 T1  P2  T2  P1  T1   T2

1

T1 P2  P2  T2 P1  P1

1

T1  P1  T2  P2

  , ose 



 P     1    P2 

1

  , 

  

 1 

,

 1

,

ose

T1  P11  T2  P21

T   P1  konst.

6.14

Ekuacioni kalorik i gjendjes

Nё mёnyrё tё pёrgjithësuar ekuacioni kalorik i gjendjes shprehet me relacionin

E   T ,V  .

Formёn eksplicite tё kёtij funksioni do tё fitojmё duke e shfrytёzuar nё fillim relacionin nga paragrafi i mёparshëm:

 P   E     T   P  T V  V  T si dhe ekuacionin:

 E  CV T ,V      T V

Kёto dy ekuacione pёrshkruajnё varshmёrinë e energjisё sё sistemit nga temperatura dhe vёllimi,

E   T ,V  . I aplikojmё kёto relacione pёr gazin e Van der Valsit mё kushtin qё CV  konst.

kurse integrimi i tyre do tё na jap ekuacionin kalorik tё gjendjes

a    P  2 V  b   RT  0 , V  

R  P      T V V  b

166 I zëvendёsojmё nё relacionin e parё:

R a   E   RT   2   T V  b V  b V   V  T a  E     2  V  T V Nga funksioni

E  E T ,V  pёrfundimisht do tё marrim: a  E   E  dE    dT    dV  CV dT  2 dV V  V  T  T V

Pas integrimit do tё kemi:

E  CV T 

a V

Formula e fundit shpreh ekuacionin kalorik tё gjendjes sё gazit tё Van der Valsit pёr rastin kur

CV  konst. Pёr rastin kufitar kur a  0 kemi ekuacionin kalorik pёr gazin ideal.

E  CV T Mund tё tregohet se edhe pёr gazin e Van der Valsit pёrgjithshëm

CV varet vetёm nga temperatura.

Do tё tregojmё se me ndihmёn e ekuacionit termik

 CV     0 , prandaj edhe nё rastin e  V  T

f P,V , T   0 tё gjendjes mund tё fitohet

entropia e sistemit, pёr kёtё qellim fillojmё me relacionet nga paragrafet e mёparshme:

dS 

 1  E  1  E    dT     P  dV T  T V T  V  T 

 P   E     P  T   T V  V  T  E  CV     T V Pas zëvendёsimit do tё marrim:

167

dS 

CV  P  dT    dV T  T V

Integrimi i relacionit tё fundit, nёse dihet edhe nёse dihet

CV  CV T ,V  gjegjësisht ekuacioni kalorik i gjendjes

 P    gjegjësisht ekuacioni termik i gjendjes. Do tё marrim entropinё e  T V

sistemit si funksion tё temperaturёs dhe vёllimit. Pёr gazin e Van der Valsit dhe kushtin

dS  Pas integrimit do tё marrim

CV  konst. shprehja pёr entropinё do tё jetё:

CV R dT  dV T V b

S  CV ln T  R ln V  b  konst.

entropinё e gazit tё Van der Valsit. Nё rastin kufitar kur

b  0 marrim entropinё e gazit ideal. S  CV ln T  R ln V  konst.

6.15

Zgjerimi adiabatik i trupit

6.16 Kёrkojmё ndryshimin e temperaturёs gjatё zgjerimit adiabatik tё trupit. Ky ndryshim i temperaturёs gjatё ndryshimit tё vёllimit (pёr entropi konstante tё sistemit) tё trupit jepet me derivatin parcial

 T    tё relacionet e Maksuellit.  V  S  T   P        S V  V  S

Sipas parimit tё dytё tё termodinamikёs dhe definicionit tё nxehtёsisё specifike nё vёllim konstant, pёr njё mol tё gazit do tё kemi:

dS 

dQ V T



CV dT T

168 dT T  dS CV

Prej nga:

E transformojmё relacionin e parё:

 P  dT  P        S V  T V dS

T  P      S V CV

 P     T V

Relacionin e fundit e zëvendёsojmё nё relacionin e parё:

T  P   T       CV  T V  V  S Relacioni i fundit pёrcakton ndryshimin e temperaturёs gjatё rritjes sё vёllimit nё mёnyrё adiabatike pёr njё njёsi. Pёr gazin ideal, kemi:

P

R RT  P  ,    V  T V V

T R PV P  T       CV V CV V CV  V  S Meqenё se çdo herё ёshtё

 T  CV  0 , dhe    0 .  V  S

Gazi ideal gjatё zgjerimit adiabatik çdo herё ftohet.

169 6.17

Cikli Karno

6.18 Pёrveç aplikimit tё parimeve tё termodinamikёs janё tё rёndёsisё sё veçantë dy metoda tё pёrgjithshme tё termodinamikёs: metoda e proceseve rrethore dhe metoda e funksioneve termodinamike. Nё proceset e kthyshme rrethore pёrdoren tё dy parimet e termodinamikёs:

 dE   dQ  A  0

 dS  

dQ 0 T

Rast i procesit rrethor ёshtё cikli Karno. Cikli karno pёrbёhet nga dy izoterma dhe dy adiabata. 1. Njё mol i gazit ideal ndodhёt nё pozitёn njё tё karakterizuar me

P1 , V1 dhe T1 . E detyrojmё gazin qё tё zgjerohet nё mёnyrё izotermike T1  konst. nga V1 deri nё V2 . Shtypja do tё bie nga P1 nё P2 . Gjatё zgjerimit qё temperatura tё mbetet konstante gazi duhet tё merrë sasinё e nxehtёsisё nga rrethina Q1 . Nё kёtё rast kryhet puna A1  Q1 .(Fig.26)

P1 ,V1 , T1   .P2 ,V2 , T1 

Fig.26 2. Nga pozita dy deri nё pozitёn tre gazi zgjerohet nё mёnyrё adiabatike dhe temperatura e gazit do tё zbret nga

T1 nё T2 . Ndërsa shtypja kalon nga P2 nё P3 dhe vёllimi kalon nga V2 nё V3 . P2 ,V2 , T1   .P3 ,V3 , T2 

3. Nё pozitёn tre gazin e ngjeshim nё mёnyrё izotermike nё temperaturёn katёr . Vёllimi i gazit kalon nga

V3 nё V4 kurse shtypja nga P3 nё P4 .

T2 deri nё gjendjen

170 Gjatё ngjeshjes izotermike pasi temperatura mbetet konstante gazi duhet ta lirojё sasinё e nxehtёsisё

Q2 me kёtё rast kryhet puna A2  Q2 .

P3 ,V3 , T2   .P4 ,V4 , T2  4. Nё gjendjen katёr e ngjeshim gazin nё mёnyrё adiabatike deri nё gjendjen e pёrcaktuar

P1 ,V1 , T1  . Gazit i ngritet temperatura nga T2

nё

T1 .

P4 ,V4 , T2   .P1 ,V1 , T1  Gjatё zgjerimit nga pozita e parё nё tё dytën gazi merrë sasinё e nxehtёsisё nga rrethina

Q1 dhe

kryhet puna:

Q1  A1  RT1 ln

V2 V1

Gjatё kalimit nga pozita e dytё nё tё tretën, gazi zgjerohet nё mёnyrё adiabatike dhe raportin e vёllimeve nё kёto pozita e pёrcakton ekuacioni i adiabatёs.

 V2   V3

  

 1



T2 T1

Gjatё ngjeshjes izotermike nga pozita e tretë nё tё katёrtën, gazi liron sasinё e nxehtёsisё nga rrethina

Q2 dhe kryhet puna:  Q2  A2  RT2 ln

Q2  RT2 ln

V4 V3

V3 V4

Gjatё kalimit nga pozita e katёrtё nё tё parёn, gazi ngjeshet nё mёnyrё adiabatike dhe raportin e vёllimeve nё kёto pozita e pёrcakton ekuacioni i adiabatёs.

 V1   V4

  

 1



T2 , T1

Pёr raportin e vёllimeve mund tё shkruajmё:

171

V2 V1  ose V3 V4

V2 V3  V1 V4

Kёto tё dhëna i zëvendёsojmё nё koeficientin e rendimentit tё procesit rrethor:



Puna e dobishme ёshtё

Q1  Q2  Q1

T1 ln

V V2  T2 ln 3 V1 V4 T1  T2  V2 T1 T1 ln V1

Ad  Q1  Q2 ndërsa rendimenti i makinave termike ёshtё e barabartё

me herësin energjisё sё dobishme tё sistemit dhe energjisё tё deponuar nё sistem. Cikli Karno pёrfaqëson njё makinё termike ideale. Rendimenti i njё makine tё tillё pёrcaktohet vetёm nga temperatura e ngrohёsit mё e vogël qё ёshtё

T1 dhe temperatura e ftohёsit T2 . Sa mё e madhe qё ёshtё T1 dhe sa

T2 pёr aq mё i lartё do tё jetё rendimenti i makinёs termike.

Pёr njё makinё termike ideale qё punon pa humbje duhet tё plotёsohet kushti qё ftohёsi i saj të jetë i barabartë

T2  0K



T1  T2 T  1 2  1 T1 T1

Makina tё tilla vetёm teorikisht, praktikisht nuk mund tё realizohen.

172 6.19

Ekuacioni i Klausius-Klapejronit

Nё temperaturёn T lёngu avullohet nё mёnyrё izotermike. Lёngu nga rrethina merr sasinё e

Q1   tё barabartё mё nxehtёsinё molare tё avullimit e nevojshme pёr avullimin e njё molgrami tё lёngut. Nё kёtё rast vёllimi i lёngut V1 rritet nё vёllimin e avullit tё ngopur V2 . Avulli nё mёnyrё adiabatike ftohet deri nё temperaturёn T  dT ndërsa shtypja e avullit tё ngopur do tё bie nё P  dP . Gjatё kondensimit izotermik i avullit nё lёng do tё lirohet sasia e nxehtёsisё Q2 . Pastaj lёngu nё mёnyrё adiabatike ngrohet deri nё temperaturёn T dhe shtypja e nxehtёsisё

avullit do tё kalojë nё P.

Fig.27 Puna qё kryen sistemi gjatё kёtij procesi rrethor ёshtё:

A  V2  V1 dP Zëvendёsojmё:

Q1   , T1  T , T2  T  dT



A Q1  Q2 T1  T2   Q1 Q1 T1

V2  V1 dP 



dT T

Prej nga marrim

 T

dP V2  V1  dT

ekuacionin e Klausius- Klapejronit i cili pёrcakton varshmёrinё e nxehtёsisё molare tё avullimit nga ndryshimi i shtypjes sё avullit me ndryshimin e temperaturёs.

173

Gjithnjë ёshtё

  0 dhe V2  V1 pёr çfarëdo temperature

dP  0 gjatё rritjes sё dT

temperaturёs gjithnjë rritet shtypja e avullit tё ngopur. Ekuacionin e Klausius-Klapejronit mund ta kuptojmё si ekuacion diferencial i cili pёrcakton shtypjen e avullit tё ngopur nё funksion tё temperaturёs.

dP   dT T V2  V1  Entalpinё e sistemit e shprehim si funksion tё temperaturёs dhe shtypjes Diferenciali i entalpisё është:

 H   H  dH    dT    dP  T  P  P  T Pёr proceset qё zhvillohen nё shtypje konstante

dH P

P  konst. dP  0

 H    dT  T  P

dH P  dQ  CP dT

Nga paragrafi i mёparshëm:

 H  Cp     T  P Marrim nё shfrytzim shprehjen:

 H   V     T   V  P  T  T  P   V   dH  C P dT  V  T    dP  T  P   Nga definicioni i entalpisё:

H  E  PV mund tё shkruajmё

H  H T , P  .

174

  V   H  C P T  V  T    P  0  T  P   Prej nga do tё marrim:

 V  T  V  T  P T  P CP Relacioni i fundit pёrcakton ndryshimin e temperaturёs sё gazit gjatё ndryshimit tё shtypjes sё gazit. Kjo quhet efekt i Xhoul-Tomsonit. Pasi qё gjithnjë ёshtё

C P  0 . Gjatё rritjes sё shtypjes sё gazit, gazi ngrohet dhe pёr rastin e

kundërt gazi ftohet. E aplikojmё kёtё relacion nё gazin e Van der Valsit.

R  V  T V   V  T RT 2a  T  P V  b  V b V 2

2a RTb V  2a   RT 1    2 V  b  2 2 V  V  b V b V    RT 2a RT 2a    3 V b  3 2 V b V V  b  V Pas zëvendёsimit do tё kemi:

2a RTb  2 2 V  V  b T  P  RT 2a  CP   3 2 V    V  b  Nёse i abstrahojmё anёtarët e ulёt tё rendeve tё larta, do tё marrim:

 2a  2a RTb b T   2 2  P V P   Rb T  V RT C PT CP 2 V Relacionin e fundit e shkruajmё nё formё tё shkurtuar:

175

T 

Pёr pёr

bTinv  T  P , C PT

Tinv 

T  Tinv gjithnjë ёshtё T  0 pёr çfarëdo

2a Rb

P  0 ,

P  0 dhe T  Tinv do tё jetё T  0 , kurse pёr

P  0 dhe T  Tinv do tё jetё T  0 . Pёr kёto arsye kjo temperaturё

7. 7.1

Tinv quhet temperaturё inverse

Gazet reale Forcat ndёrmjet molekulave tё gazit real

Te gazet ideale kemi neglizhuar bashkëveprimin reciprok ndёrmjet molekulave si edhe vёllimin e molekulave. Te gazet reale kёto neglizhime nuk janё tё preferuara sidomos pёr dendёsi tё mёdha tё gazit. Do tё kufizohemi nё molekula njëatomike dhe supozojmё se forcat e veprimit reciprok ndёrmjet dy molekulave janё qendrore. Kёto forca veprojnё nё drejtimin qё kalon nёpёr qendrat e tё dy molekulave dhe varen vetёm nga distanca ndёrmjet tyre. Kёto forca nё distanca tё vogёla ndёrmolekulare kan intensitet tё konsiderueshëm shtyrёs, kurse me rritjen e distancës shpejt zbret intensiteti i tyre dhe kalojnё nё forca tё dobёta tërheqёse. Kёto forca quhen forca tё Van der Valsit. Prandaj, molekulat nё aproksimimin e parё mund t`i konsiderojmё sfera me rreze qё i pёrgjigjen zonёs deri ku paraqiten forcat shtyrёse. Energjinё potenciale tё veprimit reciprok ndёrmjet dy molekulave e paraqesim nё figurёn 28.

Fig.28

176 Nё zonёn e forcave tёrheqёse, energjia potenciale ёshtё funksion rritёs:

dE p dr

 0, F  

dE p dr

0

Kurse nё zonёn e forcave shtyrёse ky funksion ёshtё rёnёs.

dE p dr Pёr distancёn

 0, F  

dE p dr

0

r  r0 ku forcat shtyrёse kalojnё nё forca tërheqëse, energjia potenciale ka

minimum qё i korrespondon pozitёs stabile tё ekulibrit. Vlera absolute e energjisё potenciale nё gjendjen e ekulibrit ёshtё mё e vogёl se sa energjia termike e molekulave e cila ёshtё e rendit tё madhёsisё

kT .

E p r0   kT Energjia potenciale e forcave tërheqёse me rritjen e distancёs ndёrmjet molekulave zbret shpejt dhe praktikisht ёshtё zero pёr njё distancё d. Distanca e tillё quhet rreze e veprimit reciprok.

   E p r    E p r   0 

r  r r  r  d rd

Supozojmё qё distanca mesatare ndёrmjet molekulave ёshtё e madhe nё raport me rrezen e veprimit reciprok. Mund tё marrim se probabiliteti i veprimit reciprok i njёkohshem tё tri a mё shumё molekulave ёshtё i papёrfillshëm. Dhe kufizohemi nё veprimin reciprok vetёm të çifteve moekulare. Pёr njё formulim tё tillё tё karakterit tё forcave ndёrmolekulare pёr gjendjen e gazit qё e vёshtrojmё do tё kёrkojmё shumёn statistike dhe gjendjen termodinamike tё tij.

177

7.2 Shuma statistike e gazit real pa lёvizje tё brendshme

Integrali statistik i gazit real i pёrbërë nga N molekula , gjendjet e mundshme tё tё cilave ndryshojnё nё mёnyrё kontinuale, ёshtё:

z  e



E kT

dG

Ku

dG paraqet numrin e mikrogjendjeve tё gazit qё i pёrgjigjet intervalit tё energjisё E, E  dE . Energjia e gazit real e pёrbёrë prej N molekulave dhe që nuk merren nё

konsideratё lёvizjet e brendshme është: N

E  Ek  E p   i 1

pi2  Ep 2m

Anёtari i parё paraqet energjinё e prgjithshme kinetike tё molekulave kurse anёtari i dytё paraqet energjinё potenciale tё veprimit reciprok ndёrmjet molekulave. Si edhe mё parё, numri i mikrogjendjeve do tё jetё i barabartё me:

dG 

 dqi dpi d  3N N! N! 3 N

Pas zëvendёsimit, shuma statistike merr formёn:

1 z N! 3 N

   e

    e





1 kT

N

p2

 2 mi i 1

1 E p  x1  z N  kT

dp x1 dp y1 dp z1    dp xN dp y N dp z N 

dx1dy1dz1    dx N dy N dz N

Shprehjen e fundit mund ta shkruajmё edhe nё formёn: N

Ep   p     2 mkT        e kT dV dV    dV  e dp dp dp x y z 1 2 N            2

1 z N! 3 N

178   

  e



p2 2 mkT

dp x dp y dp z  2mkT  2 3

 

z

3N 1 2mkT  2 3N N!

Ep            e kT dV1 dV2    dVN     

Qё tё zgjidhim integralin nё shprehjen e fundit, energjinё potenciale e shprehim si shumё tё veprimit reciprok ndёrmjet dy molekulave:

E p   E p rik  Kjo shumё pёrbën numrin e çifteve tё mundshme nё bashkëveprim nё gazin prej N molekulave . Pasi çdo molekulё mund tё kombinohet me N-1 molekula, atёherё numri i kombinimeve tё

N N  1 . 2 N2 Pёr vlera tё mёdha tё N, njëshin e neglizhojmё dhe do tё marrim . 2 mundshme për gazin e pёrbёrë prej N molekulave do tё jetё

Definojmё funksionin me shprehjen:

f ik  e pёr gazin ideal, është



E p  rik



1

kT

f ik  0 pasi qё është, edhe E p rik   0 .

Pёr gazin real edhe pёr

rik  d ёshtё poashtu E p rik   0 dhe f ik  0 .

Prandaj, kёtё funksion mund ta kuptojmё si masё tё largimit tё gazit qё vёshtrojmё nga gazi ideal dhe vie nё shprehje vetёm kur dy molekula qëndrojnë nё distancё ndёrmjet veti mё tё vogёl se sa d. Tashti funksionin eksponencial

e



e

Ep kT

e





Ep kT

1 kT

e shprehim nё formё tё shumёs:

 E p rik 

 e



E p  rik



kT

Kёtu kemi anёtarё tё produktit sa edhe anёtarё tё shumёs afёrsisht funksionit

f ik

e



Ep kT

 1  f ik 

N2 dhe e shprehim pёrmes 2

179

e



Ep kT

 1  f12 1  f13 1  f14     1   f12  f13  f14    f12 f13  f12 f14        

Meqenёse nga supozimi ynё qё molekulat veprojnё reciprokisht nё çifte duhet tё heqet shuma e fundit dhe tё gjitha tё tjerat qё vijnë pas. Sikurse anёtari

f12 f13 tё jetё i ndryshëm nga zero, kjo do tё thotë qё tri molekulat njёkohёsisht

ndodhen nё distancёn ndёrmjet veti mё tё vogёl se sa d dhe njёkohёsisht ndodhen nё veprim reciprok. Nё aproksimim tё parё mund tё marrim:

e



Ep kT

 1   f ik

Numri i mbledhësve nё kёtё shumё ёshtё afёrsisht tё njëjta atёherё edhe funksionet

e



Ep kT

N2 , e meqenёse molekulat i konsiderojmё 2

f ik poashtu janё tё njëjta.

N2  1 f ik 2

E zëvendёsojmё kёtё shprehje nё integralin e mëparshëm:

J     e



Ep kT

  N2 dV1dV2    dVN        1  f ik dV1dV2    dVN 2  

J        dV1dV2    dVN  Integrali i parё do tё jetё V

N

N2 2

   f

ik

dV1dV2    dVN

. Nё integralin e dytё sёpari integrojmё nёpёr tё gjitha kordinatat e

molekulave pёrveç molekulёs ``i`` dhe ``k``.

      dV

1

  dVi 1dVi 1    dVk 1dVk 1    dVN  

J V N 

N 2 N 2 V   f ik dVi dVk 2

V N 2 f ik dVi dVk  2

 f

ik

dVi dVk

180 Kёtё integral e llogarisim nё kordinata sferike me qendër nё molekulёn ``i`` dhe e zëvendёsojmё:

rik  r

dhe



dVk  dV E p r     E p rik     kT    f ik dVi dVk    e  1 dVi dVk   dV  e kT  14r 2 dr     0   

Integralin e fundit e zëvendёsojmё me:

  E p r   2   4   e kT  1r dr   0  

 f

ik

dVi dVk  V

 N2  J  V N 1   2V   E zëvendёsojmё nё shumёn statistike dhe do tё marrim:

z

3N 1 N2  N 2  V 1    2  mkT   2V  N! 3 N 

 N2  z  z id 1   2V   Me

z id kemi shënuar shumёn statistike pёr gazin ideal.

Shprehja e fundit paraqet shumёn statistike pёr gazin real tё molekulave njëatomike si funksion i temperaturёs, i vёllimit, i numrit tё grimcave dhe i natyrёs sё forcave ndёrmolekulare qё pёrfshihen nё koeficientin

.

181 7.3 Ekuacioni i Van der Valsit

Ekuacioni i gjendjes së gazeve ideale mund të aplikohet për shtypje të ulëta. Për shtypje të mëdha bashkëveprimi ndërmjet molekulave të gazit nuk mund të mos përfillet. Që të fitojmë ekuacionin e gazeve reale, vështrojmë lakoren që përshkruan energjinë potenciale për dy molekula. Dhe që kjo energji potenciale të varet vetëm nga zhvendosja ndërmjet molekulave.

r  r0 ndёrmjet molekulave, molekulat shtyhen ndërmjet veti, kurse

Për largësi mё të vogëla për largësi më të mëdha

r  r0 këto forca janë tërheqëse.

Kjo forcë përcaktohet me derivimin e energjisë potenciale:

F  Për një largësi të caktuar

dE p dr

r0 forcat tërheqëse dhe refuzuese janë në ekulibër:

dE p dr

0

E logaritmojmё shumёn statistike pёr gaze reale:

 N2  ln z  ln z id  ln 1   2V   Shtypja te gazet reale do tё jetё:

 ln z id   N2    ln z  P  kT   kT  kT ln 1    V V  2V   V  T Anёtari i parё i relacionit tё fundit paraqet shtypjen pёr gaze ideale:

Pid  kT

 ln z id NkT  V V

Kurse anёtarin e dytё e llogarisim duke e zhvilluar nё seri funksionin logaritmik

182

 N 2  N 2 ln 1   2V  2V  N 2 Nga supozimi se kemi tё bejё me gaze me dendёsi tё vogёl , kemi  1 ashtu qё 2V anёtarёt tjerё qё pasojnё i neglizhojmё.

kT

  N2   ln 1     kT V  2V  V

 N2  N 2     kT 2V 2  2V 

Dhe shtypja pёr gazin real do tё jetё

P

NkT N 2  kT V 2V 2

Duhet të kemi në konsideratë që vëllimi efektiv nëpër tё cilën lёviz molekula është gjithnjë më i vogël se sa vëllimi i enës. Zvogëlimi i vëllimit efektiv është proporcional me numrin e molekulave, prandaj për vëllimin efektiv kemi:

Vef  V  nb vëllimi që zënë molekulat është shumë më i vogël se sa vëllimi i enës

V >>nb.

Për

shkak të bashkëveprimit, numri efektiv i molekulave të pavarura zvogëlohet. Zvogëlimi i këtij numri është proporcional me dendësinë e gazit, d.m.th. proporcional me

n . Ky numër varet V

edhe nga temperatura

n   N ef  N 1  C  TV   ku C është konstantë. Kemi parasysh që

1 >> C

n V

Zëvendësojmë numrin e molekulave me numrin efektiv, vëllimin e enës me vëllimin efektiv dhe ekuacioni i gazrave reale do te jetë:

pVef  N ef kT

n   pV  nb   NkT 1  C  TV  

183

ose

n   pV  nb   nRT 1  C  TV  

e transformojmë shprehjen e fundit, ku afërsisht do të kemi:

1 C

n  TV

1 1 C

n TV

n   p V  nb   nRT  pC TV   në anëtarin

Cnp kemi në konsideratë që për shtypjen afërsisht mund të shkruajmë: TV p

nRT , V

a  CR

dhe me ketë do të marrim:

 n2   p  a 2 V  nb   nRT V  

a    P  2 V  b   NkT V   Ekuacioni i fundit është ekuacioni i Van der Valsit. Sipas ekuacionit të Van der Valsit shtypja që bën gazi në muret e enës është

p

nRT n2 a 2 V  nb V

kur anëtari nb i afrohet vëllimit të enës, anëtari i parë i relacionit të fundit rritet shumë. Për dendësi të mëdha të gazit vëllimi i përgjithshëm i molekulave është i krahasueshëm me vëllimin e enës dhe shtypja e gazit do të jetë shumë e madhe. Kurse anëtari i dytë tregon që forca tërheqëse e molekulave e zvogëlon shtypjen që bën gazi në muret e enës. Afërsisht mund të shkruajmë , nga shprehja:

Vef  V  nb

184

1 nb  1 nb V 1 V pV n a   1 b   nRT V RT  Shprehja e fundit paraqet linearizim të ekuacionit të Van der Valsit. Në vend të

N n mund të marrim edhe n` dhe ekuacionin e gjendjes e zhvillojmë sipas këti V V

parametri:

pV  1  n` T   n`2 C T      nRT Këtë zhvillim e quajmë zhvillim Virial, kurse koeficientët

 T , C T 

i quajmë koeficientë Virial.

E krahasojmë shtypjen e marrë nga ekuacioni i gazeve ideale

pid 

nRT V

për të njëjtën temperaturë dhe vëllim, me shtypjen nga ekuacioni i Van der Valsit , dhe do të kemi:

p  pid

1 an  nb RTV 1 V Nga shprehja e fundit shihet që kur V   , p  pid Sipas ekuacionit tё gazit ideal pёr njё mol: Pёr

PV  RT

P   , V  0 . Kjo do tё thotë se ngjeshja e gazit me rritjen e shtypjes kryhet nё kurriz

tё zvogёlimit tё hapësirёs sё lirё ndёrmjet molekulave. Por te gazet reale

P   , V  b . Madhёsia b pёrfaqёson vlerёn nё tё cilёn tenton

vёllimi i molit tё gazit pёr presione shumё tё mёdha. Korrigjimi i dytё i kёtij ekuacioni ёshtё si rezultat i forcave tërheqёse ndёrmjet molekulave, gazi zё njё vёllim mё tё vogёl nga vёllimi qё do ta zënte pёr pasojё tё ekzistimit vetёm tё shtypjes sё jashtme. Shtypja qё buron nga forcat terheqёse ndёrmolekulare quhet presion i brendshëm i gazit. Konstanta a shpreh ndikimin e forcave tërheqёse, kurse konstanta b shpreh ndikimin e forcave tё forta shtyse, qё ёshtё ekuivalent me ekzistimin e vёllimit tё vet molekulave. Intervali i madh i vlerave qё mund t`i kёtё konstanta a , tregon se vlera mesatare e energjisё sё veprimit reciprok tё molekulave dallon pёr gaze tё ndryshme. Kurse ndryshimet e vogёla tё konstantёs b na tregojnё se pothuaj tё gjitha molekulat kanё tё njëjtin vёllim.

185

7. 4 Funksionet termodinamike tё gazit real

I pёrcaktojmё funksionet termodinamike pёr gazin real molekulat e tё cilit janё njëatomike. Nё fillim koeficientin

 e shprehim pёrmes konstantave a dhe b.



2a 2b  2 N kT N

Energjinё e brendshme e pёrcaktojmё pёr mes shumёs statistike:

E  kT 2

  ln z   N 2      kT 2 ln z id  ln 1  T T  2V  

E  kT 2

 ln z id   N 2     kT 2 T T  2V 

2 N 2  2a  2 N  E  Eid  kT  Eid  kT  2 2  2V T 2V  N kT  2

E  Eid  Ku

a V

Eid ёshtё energjia e brendshme korresponduse e gazit ideal.

Pasi energjia mesatare e veprimit reciprok nuk varet nga temperatura, nxehtёsia specifike e gazit real nё vёllim konstant ёshtё e njëjtё mё atë ideal. Energjia e lirё pёrcaktohet nga relacioni:

  N 2     F  kT ln z  kT ln z id  ln 1  2V   

F  kT ln z id  kT

N 2 2V

186

F  Fid  kT

F  Fid 

N2 2V

2b   2a  2    N kT N 

NbkT a  V V

Entropia pёr gaze reale ёshtё:

Nbk  F   F  S      id   V  T V  T V S  S id 

Nbk V

Me rritjen e dendёsisё sё gazit ose nё temperatura tё ulёta kemi rritje tё dallimit nё mes rezultateve tё fituara pёr gaze reale dhe ideale.

187 8.

Gjendja Kristaline

Metodat e Fizikës statistike mund të aplikohen me sukses edhe në kristale. Për dallim nga gazet, ku molekulat, lëvizin pothuajse lirisht dhe në mënyrë kaotike, në trup të ngurtë molekulat lëvizin në mënyrë të kufizuar. Në trup të ngurtë atomet, jonet apo molekulat janë të vendosura në mënyrë të rregullt në rrjetën kristaline, dhe këto mund të lëkunden vetëm rreth pozitës ekuilibruese. Largësitë ndërmjet atomeve në trup të ngurtë janë të rendit të madhësisë, afërsisht 10-10 m. Kjo vlen edhe për kristalet të ndërtuara nga jonet ose molekulat. Për shkak të largësisë së vogël ndërmjet atomeve në rrjetën kristaline, veprimi i tyre reciprok është shumë i madh. Energjia potenciale e veprimit reciprok ndërmjet atomeve në kristale është shumë më e madhe se sa energjia e lëvizjes termike që është e rendit të madhësisë

kT .

U r   kT Prandaj, atomet në trup të ngurtë janë të lidhur me forca të mëdha dhe lëvizja tërmike nuk mund ta prishë këtë lidhje. Atomet mund të kryejnë vetëm lëkundje të vogëla rreth pozitës ekulibruese kurse pozita e tyre në nyjet e rrjetës kristaline i përgjigjet energjisë minimale të veprimit të tyre reciprok. Në këtë bashkëveprim mirren parasysh bashkëveprimet e atomeve (joneve,molekulave) fqinjë. Dhe amplitudatat e oscilimit të tyre janë të vogëla krahasuar me largësinë ndërmjet atomeve. Te gazet energjia potenciale e veprimit reciprok ndërmjet molekulave në zonën e forcave tërheqëse është e vogël krahasuar me energjinë e lëvizjeve termike.

8.1 Modeli Njëdimensional i Krstalit

Që të kuptojmë levizjën termike të atomeve në kristal mendojmë rendin njëdimensional të atomeve me masë të njëjtë dhe në distancë (a ) të njëjtë ndërmjet veti. Atomet lëkunden rreth pozitave të tyre ekuilibruese përgjatë drejtëzës në të cilën janë të radhitura. Kështu marrin modelin njëdimensional të kristalit, modeli i tillë në natyrë nuk ekziston por shqyrtimi i një modeli të tillë mundëson ta sqarojmë lëvizjen e atomeve në kristalet reale. Një sistem i tillë është ekuivalent me sistemin e oscilatorëve linearë harmonik të pavarur. Atomet me masë m lidhen me njëra-tjetrën me anë sustash, vargu në studim mirret tepër i gjatë, kushtet kufitare nuk duhet të ndikojnë në gjendjen e lëkundjeve të sistemit (fig.29).

188

Fig.29 Atomet në këtë varg i shënojmë me numrin rendor nga n= 0, deri në n= N-1 ku N është numër shumë i madh dhe aplikojmë në këtë sistem teorinë e oscilimeve të vogëla nga mekanika. Në qoftë se në momentin t atomi i n-të është i zhvendosur nga pozita ekuilibruese për Xn. Mëqenëse forcat e veprimit reciprok bijnë shpejt me largësinë do të marrim në konsiderim vetëm veprimin reciprok të atomit të n-të me fqinjët e parë n-1 dhe n+1. Forca që vepron në atomin n e shkruajmë në formën:

Fn   Ku

U xi  xn

U xi  është energjija potenciale e veprimit reciprok të atomeve dhe varet nga

zhvendosja e të gjitha atomeve prej pozitave ekuilibruese. E konsiderojmë energjinë potenciale funksion vetëm të Xn që është ekuivalente me supozimin që atomet fqinje kanë mbetur nëpër pozitat e tyre ekuilibruese. Për zhvendosje të vogëla, funksionin

U xi  e zhvillojmë në seri të Toylorit dhe i neglizhojmë anëtarët e lartë :

 U U xn   U 0  xn   xn

 1   2U    xn2  2       0 2  xn  0

Në pozitën stabile ekuilibruese, energjia potenciale ka minimum d.m.th në pikën:

xn  0 Kurse

do të jetë

 U   x n

  2U   2  0  x   n 0

Dhe energjia potenciale merr formën aproksimative :

   0 0

189 1 U xn   U 0  cx n2 2

  2U  c   2   x n  0 Atëherë forca Fn për shkak të zhvendosjes së vetëm atomit të n nga pozita ekuilibruese, do të jetë:

Fn 

U xn   cx n xn

Por në realitet në të njëjtën kohë do të zhvendosen edhe atome të tjera, atomi i (n+1) nën veprimin e forcës shtyese do të zhvendoset për Xn+1, kurse atomi i (n-1) nën veprimin e forcës tërheqëse do të zhvendoset për xn-1. Dhe largësia ndërmjet atomeve fqinje do të jetë

xn1  xn 

dhe

xn  xn1  .

Në atomin e n për efekt të zhvendosjes së atomeve fqinjë do të veprojë forca:

Fn  cxn1  xn   cxn  xn1  Fn  cxn1  xn1  2 xn  Këto atome do të inicojnë lëkundjen edhe të atomeve të tjera dhe i tërë vargu i atomeve do të fillojë të kryejë lëvizje lëkundëse. Këtë lëvizje mund ta përcaktojmë në qoftë se shqyrtojmë lëvizjen e një atomi të zhgjedhur n. Ekuacioni diferencial i lëvizjes së tij do të këtë formën: 

m xn  cxn1  xn1  2 xn  Do të supozojmë se atomi i parë dhe i fundit i vargut, nuk do të lëkunden :

x0  x N 1  0 Kjo do të thotë që lëkundjet e vargut që përbëhet nga një numër i madh i atomeve nuk do të varet nga konditat kufitare. Lëkundja e atomit do të përhapet në vargun e atomeve në formë të valës deri te atomi kufitar dhe do të vazhdojë të përhapet në kahjen e kundërt .

190 Në këtë menyrë do të kemi valë të qëndrueshme. Prandaj, zgjedhjen e ekuacionit diferencial e kërkojmë në formën e valëve të qëndrueshme:

xn  A sin kl sint     A sinknasint    Kemi zëvendësuar l = na , ku k quhet numër valor. Për n=0 kushti i parë kufitar është i plotësuar, kurse për n=N-1 kushti i dytë do të jetë:

1

kaN 1  m km 

m aN  1

Në këtë mënyrë zhvendosja e

(m=0,1,2,...,N-1)

për çdo vlerë të m mund ta shkruajmë me formën:

xnm  Am sin

nm sin  m t    N 1

E zëvendësojmë shprehjen e fundit në ekuacionin diferencial dhe pas disa transformimeve do të marrim:

xn1  xn1  2 xn  Am sinm t   sinak m n  1  sinak m n  1  2 sinak m n 

km a  M m2 Am sin k m an sin  m t     2

 4 Am sin  m t   sin k m an sin 2

 4cAm sin  m t   sin k m an sin 2 Prej nga marrim lidhjen ndërmjet

km a 2

dhe k për çdo m d.m.th marrim ekuacionin e

dispersionit:

m  2

k a c sin m , M 2

(m=0,1,2,...,N-1),

3

191 Rezultati i fituar, në aproksimimin e fqinjëve më të afërt na tregon që në vargun nga N atome do të lindin N valë të qëndrueshme me frekuenca të ndryshme

të cilat janë

frekuenca normale të sistemit. Çdo njërës nga këto vlera i përgjigjet gjatësia valore, largësia minimale pas së cilës funksioni merrë vlerë të njëjtë:



2 2N  1a  km m

Të gjitha atomet do të lëkunden si tërësi me të njëjtën frekuencë këndore

v   

   2 k

Tashti gjejmë lidhjen ndërmjet shpejtësisë së përhapjes së valës dhe numrit valor:

v2

c M

km a 2 km

sin

Shprehja e fundit na tregon se shpejtësia e përhapjes së procesit valor varet nga gjatësia valore dhe është e ndryshme për gjatësi valore të ndryshme. Për vlera të vogëla të

k m ose për vlera të mëdha të gjatësive valore, funksionin në numërues

mund ta zhvillojmë në seri :

sin

km a km a  2 2

m 

c ak m , M

va

c  konst M

Në kët rast një numër i madh i atomeve lëkunden pothuajse në të njëjtën fazë dhe vargu i atomeve sillet sikur një mjedis kontinual elastik. Vlerën më të vogël të mundshme të gjatësisë valore e marrin nëse zëvendësojmë:



2N  1a  2a N 1

n=N-1

192 Kjo do të thotë që vala e qëndrueshme nuk mund të formohet nëse në distancën e gjatësisë valore nuk janë së paku dy atome të vargut linear atomik, në të kundërtën të gjitha do të jenë në të njejtën fazë të lëkundjes, përndryshe do të humbet kuptimi real i valës. Për

λ=2a

do të kemi:

km 

2



 N 1  2



 a

,

c , M

sin

km a 1 2

vmin 

2a



c M

Zgjidhja e përgjithshme e ekuacionit diferencial do të jetë kombinim linear i të gjitha integraleve partikulare: N 1

xn   A sin k m an sin  m t    m 0

Në qoftë se në vend të amplitudës

Bm 

zëvendësojmë:

N 1 Am 2

qm  Bm sinm t    shprehja e mësipërme do të merr formën:

2 N 1  qm sink m an , N  1 m 0

xn 

2

Shprehja e fundit tregon që lëkundjet (oscilimet) e vogëla të atomeve të kristalit një dimensional rreth pozitave ekuilibruese gjithnjë mund të tregohen si superponim i N oscilatorëve harmonikë:

qm  Bm sinm t    Në qoftë se janë të dhëna gjitha zhvendosjet

nga shprehja e fundit mund të përcaktojmë plotësisht të

dhe këto madhësi mund t`i konsiderojmë si kordinanta të përgjithësuara

të sistemit dhe quhen kordinata normale të sistemit. Kurse oscilimet korresponduese harmonike quhen oscilime normale. Në oscilimet normale marrin pjesë të gjitha atomet e vargut të cilat oscilojnë si tërësi me një frekuencë të njëjtë.

193 Kërkojmë tashti energjinë e përgjithshme të vargut të atomeve në funksion të kordinatave normale. Energjia kinetike e këtij sistemi do të jetë:  1 M x  n2 2 n

T

Shumimi kryhet nëpër të gjitha atomet e vargut. Nga shprehja e mëparshme do të kemi : 

2

 2   q m sin k m an   xn2  N  1  m 





 qm qm` sink m ansink m`an

2  N 1 m

T

m`



M 2

 N  1 q

M 2

 N  1 q

T

2

n

m

q m` sin k m an sin k m`an 

m`



2

m



m

m



q m`  sin k m an sin k m`an 

m`

n

Për shumën e fundit mund të tregohet që me transformim të prodhimit në shumë dhe duke e shfrytëzuar kushtin (1) për

do të jetë zero kurse për

N 1 2

 sink

m

an sin k m`an    mm`

n

m` m do të jetë:

N 1 2

Kjo është veti e funksioneve ortogonale:

T

T



M 2

 N  1 q

M 2

 qm2

2

m

m`



m

m



q m`  mm`

N 1 2

ose

194 Në mënyrë të njëjtë mund ta gjejmë energjinë potenciale si shumë të energjisë së veprimit reciprok të të gjitha atomeve të vargut.

U  U n 

c xn1  xn 2  2 n

Kurse forca e cila vepron në atomin n është:

Fn  

U  cxn 1  xn1  2 xn  xn

Duke marrë në konsederatë shprehjen (2) do të kemi:

2  qm sink m an  1  sink m an  N 1 m

xn1  xn 

k a 2 2q m cosk m an  1sin m  N 1 m 2



E zëvendësojmë këtë në energjinë potenciale:

U

k a k a   c 2 1  1    q m q m` 2 sin m 2 sin m`  cos k m a n   cos k m`a n    2 N  1 m m` 2 2 n 2  2     

Edhe këtu vlen kushti ortigonal në formën:



 cos k 

n

m

 1  1  N 1   a n   cos k m`a n     mm` 2  2  2   

Dhe në bazë të shprehjes ( 3)

U

c 2 M M N 1 q m q m` m  m`  mm`  2 N  1 m m` c c 2

gjegjësisht:

U

M 2

 m

2 m

q m2

195 Energjinë e përgjithshme të vargut të atomeve e shkruajmë përfundimisht në formën:

E

M 2

 2   q m   m2 q m2   m 0   N 1

Çdo anëtarë në këtë shumë paraqet energjinë e një oscilatori linear harmonik me masë M e barabartë me masën e atomeve në vargun linear i cili oscilon me frekuencë rrethore

m .

Në

aproksimimin e fqinjëve më të afërt dhe në përputhje me teorinë e përgjithshme të oscilimive të vogëla mund të japim këtë pohim : Energjia e përgjithshme e kristalit njëdimencional i përbërë nga N atome të cilat kryejnë lëkundje (oscilojnë), është e barabartë me energjinë e sistemit prej N oscilatorëve linearë harmonikë të pavarur me masë të njëjtë M. Dhe modeli njëdimensional i kristalit është ekuivalent me sistemin e oscilatorëve harmonikë linearë. Duhet të kemi parasysh që këta oscilatorë nuk bënë për t`i identifikuar me atomet reale, çdo njëri prej tyre paraqet një prej oscilatorëve normal të kristalit si tërësi në të cilin marrin pjesë të gjitha atomet e kristalit njëdimonsional.

8.2 Valët e gjata në kristalin tredimensional

Zhvendosja e cilit do atom nga pozita ekuilibruese përhapet në atomet fqinje në të tri drejtimet dhe inicon zhvendosjen edhe të atomeve të tjera nga pozita e tyre ekuilibruse. Dhe në këtë mënyrë do të kemi përhapjen e valëve elastike në të gjitha drejtimet e kristalit. Në qoftë se supozojmë që atomi i parë dhe i fundit në çdo varg është i palëvizshëm, për efekt të reflektimit të valëve në kufijtë e kristalit do të kemi formimin e sistemit të valëve të qëndrueshme. Energjia e përgjithshme në kristalin tredimensional fitohet në mënyrë analoge si te kristali njëdimensional.

E

M 2

 2   q m   m2 q m2   m  

Shumimi kryhet nëpër të gjithë numrat e mundshëm valor. Si te kristali njëdimensional edhe te kristali tredimonsional mund të bejmë këtë pohim: Energjia e përgjithshme e kristalit tredimensional është ekuivalente me sistemin prej 3N oscilatorëve harmonikë linearë ndërmjet veti të pavarur, çdo njëri prej të cilëve paraqet një oscilim normal të sistemit si tërësi .

196 Përcaktimi i frekuencave të veçanta do të na çojë në vështirësi serioze matematike. Për këtë do të kufizohemi në valë me gjatësi të mëdha valore në raport me largësinë ndërmjet atomeve fqinjë Në qoftë se strukturën atomike e neglizhojmë dhe kristalin e vështrojmë si mjedis elastik kontinual. Njëkohësisht kristalin e konsiderojmë si mjedis elastik izotrop dhe e neglizhojmë aniztropinë. Në kushte të tilla kërkojmë numrin e mundshëm të valëve të qëndrushme në kristal në intervalin e frekuencës

 ,  d  në gjendje stacionare. Vështrojmë valët e qëndrueshme në kub me

brinj L (Fig.30), dhe fiksojmë një valë që përhapet në drejtimin AB’ i cili drejtim me brinjët e kubit përfshin këndet

,  ,

.

Vështrojmë dy fronte të valës

dhe BB’ që paraqesin vend gjeometrik të pikave në fazë të

njëjtë të oscilimit. Që pikat A dhe B të jenë gjithnjë në nyje të valës, ndërmjet këtyre dy fronteve të valëve duhet të jetë një numër i plotë i gjysmë valëve. Meqë largësia ndërmjet këtyre dy fronteve të valës është

L` L cos  kushti i theksuar do të jetë:

L cos   n1



n1  0,1,2,3,...

,

2

Fig.30 Në mënryë të njëjtë nga projektimi në boshtin Y dhe Z do të kemi:

L cos   n2

 2

,

L cos   n3

 2

Këto kushte mund t`i shkruajmë edhe në formë tjetër duke zëvendësuar:

197

L  N  1a , dhe



2 k

N  1a cos   n1 

k

N  1a cos   n2 

k

N  1a cos 

 n3

 k

gjegjësisht:

kx 

n1 aN  1

ky 

n 2 aN  1

kz 

n3 aN  1

Këtu kemi projeksionin e vektorit valor

  k  kn0 në boshtet e sistemit x,y,z.

Shprehjet e fundit i ngrisim në katror dhe i mbledhim, dhe kemi në konsideratë që:

cos 2   cos 2   cos 2   1

L2 



n 4

2 1



 n22  n32 





v2 2 n1  n22  n32 , 4 2

v  

4 L2 2 n n n  v2 2 1

2 2

2 3

Në bazë të këtij kushti mund të përcaktojmë numrin e valëve të qëndrueshme në intervalin e frekuencës

 ,  d  .

Për këtë qëllim i bartim numrat

n1 , n2 , n3 në sistemin kordinativ.

Ekuacioni i fundit në këtë sistem kordiantiv do të paraqes sferën me rreze R

n12  n22  n32  R 2

198 R

2 L v

Fig.31 Çdo bashkësie ( n1 , n2 , n3 ) i përgjigjet një valë e qëndrueshme, kurse në sistemin e dhënë një kub elementar më brinj 1 . Prej nga numri i valëve të mundshme të qëndrueshme është i barabartë me numrin korrenspendues të kubeve elementare. Vështrojmë valët e qëndrueshme të mundshme në intervalin e frekuencave

 ,  d  .

Meqenëse marrim në konsiderim vetëm numrat e plotë pozitv

n1 , n2 , n3 . Numri i valëve të 1 qëndrueshme të mundshme është e barabartë me një të tetën e vëllimit të shtresës së 8 sferës me rreze:

R

2 L v

R  dR 

dhe

2 L  d  . v

Ky numër paraqet peshën statistike të gjendjës së vështruar dhe e shënojmë me:

dG  g  d 1 1 4 L2 2 2 Ld 2 dG  4R dR   8 2 v v2 dG  g  d 

4 2 d v3

Ku V  L kemi shënuar vëllimin e kubit. 3

199 Mund të tregohet që rezultati i fituar është i pavarur nga forma e zgavrës në të cilën vështrojmë këto valë të qëndrueshme. Duhet të kemi në konsideratë që valët na shfaqen si valë transverzale dhe valë longitudinale të cilat përhapen me shpejtësi të ndryshme

dhe

.

Çdo oscilim transferzal mund ta ndajmë në dy oscilime lineare me drejtime normale ndërmjet veti. Çdo frekuencë

në çfardo drejtimi i përgjigjen dy valë transferzale dhe një longitudinale.

Prej nga numri i valëve të qëndrueshme të mundshme në intervalin e frekuencave

 ,  d 

do të jetë:

 1 2 dG` g ` d  4V  2  2  2 d  vl vt  Meqë çdo njërës nga këto valë i përgjigjet një oscilator linear harmonik me frekuencë të njëjtë Shprehja e fundit paraqet numrin ekuivalent të oscilatorëve me frekuencë në intervalin

 ,  d 

Numri i përgjithshëm i tyre është 3N, nëse marrim intervalin e frekuencave

d  1, numri i

përgjithshëm i valëve të qëndrueshme të mundshme do të përcaktohet me kushtin:

G`  g `   3N 

Ku shumimi kryhet nëpër të gjitha frekuencat e mundshme. Tashti shumën e zëvendësojmë me integral, dhe kemi në konsederatë që frekuencat e mundshme mund të shkojnë vetëm deri në një vlerë maksimale

 max

e cila përcaktohet në

kushtin e mësipërm dhe varet nga numri i përgjithshëm i atomeve të kristalit.

3N 

 max

 0

 1  1 2 2  3 4V  2  2  2 d  4V  2  2  max  vl vt   vl vt  3

Prej nga do të marrim: 1

 max

 9 N vl2 vt2  2    2 2   4 V 2vl  vt 

 1 2  9N 4V  2  2   3  vl vt   max Për

   max

funksionin

g `  e shprehim përmes  max në formën:

200 dG` g ` d 

Nëse zëvendësojmë

V N

 2 d

1 3

1

 9 Nv   3 N 3   v     4 V   4 V 3  3

v

min 

3



3 max

vl  vt  v do të marrim:

 max

Këtu

9N

 1,613

 max

V N

paraqet brinjën e kubit , vëllimi i të cilit i takon një atomi në rrjetën kristaline.

Nga rezultati i fundit shihet që gjatësia valore minmiale duhet të jetë diç më e madhe se sa largësia e atomeve fqinjë të kristalit, që është e nevojshme për formimin e valës.

8.3 Shuma statistike e kristalit

Kërkojmë shumën statistike të kristalit tredimensional, dhe marrim në konsideratë që ky kristal është ekuivalent me sistemin e oscilatorëve linearë harmonikë të cilët paraqesin oscilimet normale të kristalit si tërësi. Në përputhje me mekanikën kuantike nivelet e mundshme energjitike të oscilatorit me frekuanca

n

janë:

 

1 2

 n   n` h n

,

dhe padegjenerim d.m.th me peshë statistike

(

=1.

Atëhërë shuma statistike e këti oscilaotori do të jetë:

zn   g ne n`



n kT



 e n ` 0

1   n `  h n 2   kT

=0,1,2,3,...)

201

zn  e



h n kT



e



n `h n kT

n ` 0

Shuma e fundit paraqet seri gjeometrike rënëse: 

e



n `h n kT

 1 e



h n kT

e



2 h n kT

  

n `0

1 1 e

e

zn 



h n kT

h  n 2 kT

1 e



h n kT

Meqë këta oscilatorë janë ndërmjet veti të pavarur, shuma statistike e kristalit është e barabartë me produktin e shumës statistike të këtyre oscilatorëve. 3N

Z   zn n 1

E logaritmojmë shprehjen e fundit: 3N

3N

n 1

n 1

ln Z   ln z n   ln

e



h n 2 kT

1 e



h n kT

Ketë shprehje mund ta llagarisim vetëm më përafrim sepse nuk i dimë të gjitha frekuencat e mundshme. Shumën e zëvendësojmë me intergral në intervalin e frekuencave

 ,  d  dhe

shprehja e fundit do të na përsëritet aq herë, sa gjendje të mundshme i kanë oscilatorët dhe kjo është ekuivalent me numrin e valëve të qëndrueshme më këtë intërval të frekuncave. Numri i

g` d përcaktohet me shprehjn e mëparshme:

këtyre gjendjeve të mundshme

dG` g ` d 

9N



3 max

 2 d

Dhe afërsisht do të kemi:

ln Z 

 max

 0

ln

e



h 2 kT

1 e

h  kT

g ` d 

 max

 0

h  h   kT    ln 1  e    2kT 

 9 N 2  3  d    max

202

ln Z  

9N



 max



3 max

0

h 3 9N d  3 2kT  max

 max





 2 ln 1  e



h kT



0

Për përcaktimin e këtyre integraleve e sjellim madhësinë e re

c 

 d  

h max dhe quhet k

temperaturë karakteristike e Deby-it. Bejmë edhe zëvendësimin

x

h kT

Dhe anëtarin e parë e përcaktojmë në mënyrë direkte:

9N 3  max

 max

 0

c

h 9 N h T  kT  3 d  3   x dx  2kT  max 2kT 0  h  4

3

9 N  kT  1    9N   c   3    c    8 T  2 max  h  4  T  3

4

Kurse anëtarin e dytë e transformojmë:

9N 3  max

 max

 0

  ln 1  e  2

h  kT

 d  93N   max 

T  9 N   c

  

3

c 3





 kT  2 x 0  h  x ln 1  e dx 

T

c

 x ln 1  e dx

T

2

x

0

Dhe për ln Z do të kemi :

ln Z  

9N  T  8   c

 T   9 N    c

  

3

c

 x ln 1  e dx

T

2

x

0

Prej nga shihet se shuma statistike e kristalit është funksion universal i raportit

T

c

dhe

është e njëjtë për të gjitha kristalet. Ndërsa integrali i fundit në rastin e përgjithshëm nuk mund të zgjidhet me anë të funksioneve elementare, por vetëm me metoda numerike.

203 Për temperatura të ulëta , në raport me temperaturën karakteristike T epërm të integralit

afërsisht mund ta zëvendësojmë me +

,

kufirin e

dhe integrali i fituar mund të

përcaktohet me integralin parcial: 





2 x  x ln 1  e dx  0



x3 ln 1  e  x 3



 0





1 x3 dx 3 0 e x  1

Pastaj e zhvillojmë në seri funksionin nën shenjë të integralit dhe e integrojmë anëtarë për anëtarë, dhe do të marrim: c



T



2 x  x ln 1  e dx  0

4 45

Kurse për ln Z do të marrim:

9N  T  ln Z   8   c

  4N  T    5   c 

3

  , 

(T

Për temperatura të larta në raport me temperaturën karakteristike (T është shumë e vogël dhe funksionin

)

) madhësia X

mund ta zhvillojmë në seri dhe i neglizhojmë anëtarët

e lartë.





ln 1  e  x  ln x ,

ex  1  x

Më ketë aproksimim integralin e fundit mund ta përcaktojmë me integrim parcial. c T

c





c

T

2 x 2  x ln 1  e dx   x ln xdx  0

0

3

T x x3 1 ln x 0T   dx  3 3 x 0

1    1     c  ln c   c  3 T  T 9 T  3

Dhe për ln Z , për këtë rast do të marrim:

c

3

204

ln Z  

 9N   c     3N ln c  N , 8 T  T

(T

)

Në të gjitha këto shprehje vetitë specifike të kristalit shprehen për mes temperaturës karakteristike

.

Vlerat numerike të saj shtrihen nga 88 K për plumb deri në 1860K për

diamant.

8.4

Kapaciteti i rrjetёs kristaline

Nё kristale atomet lёkunden rreth pozitave tё tyre ekulibruese. Pёr amlituda tё vogёla kёto lёkundje janё pothuajse harmonike. Te ky konkludim vie nga forma e

lakores sё energjisё

potenciale. Energjia e bashkëveprimit tё dy grimcave neutrale nё funksion tё largёsisё sё tyre , ёshtё treguar nё figurёn 32.

Fig.32

Nё largёsinё

r0 kjo energji ёshtё e barabartё me vlerёn minimale. Ndërsa derivati i energjisё

potenciale pёr

r  r0 ёshtё e barabartё me zero.  dE p   dr

  0  r r0

Vёshtrojmё kёtё energji afёr vlerёs minimale. E zhvillojmё nё seri dhe marrim rezultat tё pёrafёrt:

205

 dE p E p r   E p r0   r  r0   dr

 d 2Ep  1   r  r0 2   dr 2  r r0 2 

    r r0

Duke e zëvendёsuar shprehjen e parafundit nё shprehjen e fundit, do tё marrim:

 2 1 2 d Ep E p r   E p r0   r  r0    dr 2 2 

    r r0

Nё afёrsi tё minimumit, energjia potenciale ёshtё funksion katror i zhvendosjes. Pёr temperatura sa mё tё ulëta, amplitudat e lёkundjes do tё jenё mё tё vogёla dhe do tё jenё pothuajse harmonike. Amlitudat e lёkundjeve tё rrjetёs kristaline rriten me rritjen e temperaturёs dhe bëhen anharmonike. Nё qoftё se N molekula tё kristalit kryejnё lёkundje harmonike rreth pozitёs ekulibruese, lёkundjen e çdo grimce mund ta ndajmё nё tri drejtime normale ndёrmjet veti. Numri i gradёve tё lirisё nё kёtё rast ёshtё 3N. Nga paragrafi i mёparshëm energjia mesatare e oscilatorit harmonik nё temperaturёn T ёshtё:

E  kT Energjinё e sitemit e marrim duke shumёzuar relacionin e fundit me numrin e gradëve tё lirisё:

E  3NE  3NkT Kapaciteti ternik i njё moli tё kristakit ёshtё:

CV  3R Ndërsa kapaciteti termik specifik ёshtё:

cV 

CV M

Pёr tё gjitha kristalet kapaciteti termik zvogёlohet me zvogёlimin e temperaturёs dhe nё limit tё zeros absolute zbret nё zero.

206 8.5 Funksionet termodinamike të kristalit

Energjia e brendshme e kristalit, për temperatura të ulëta (T

E  kT

) përcaktohet me shprehjen:

 9 N  c  4 N 3T 2   ln Z   kT   2 T 5  C3   8 T

9 Nk c 3 4 Nk 4  T 8 5 c3

E

T  0 dhe tregon që kristali edhe në zeron

Anëtari i parë paraqet energjinë e kristalit kur

absolute posedon energji të caktuar, kurse anëtari i dytë shpreh rritjen e energjisë së brendshme me rritjen e temperaturës. Nxehtësia specifike e kristalit për vëllim konstant do të përcaktohet me ekuacionin

12 kN  T  E   CV     5  T V  c 4

  

3

Nxehtësia specifike e kristalit për temperatura shumë të ulëta është proporcionale më shkallën e tretë të temperaturës absolute. Ky është ligji i Debye-it, i cili në temperatura afër zeros absolute shumë mirë përputhet me eksperimentin dhe është në përputhje me parimin e tretë të termodinakës. Për temperatura të ulëta , kristalet e ndryshme kanë vlera të ndryshme të temperaturave karakteristike. Kristalet e ndryshme në temperatura të njëjta do të kanë nxehtësi specifike të ndryshme. Për temperatura të larta (T

E  kT 2

E

) energjia e brendshme e kristalit përcaktohet me shprehjen:

9N  c  ln Z T  kT 2   3N 2 T c  8 T

  c    2    T 

9 Nk c  3NkT 8

Meqë anëtari i parë është shumë më i vogël se sa anëtari i dytë, në aproksimim mund të shkruajmë:

207

E  3NkT Kjo shprehje i përgjigjet ligjit mbi shpërndarjen uniforme të energjisë. Meqë çdo njëri nga 3N atomet ka dy shkallë lirie për shkallë të lëvizjes translatore dhe oscilatore, energjia e përgjithshme e kristalit do të jetë 3NkT. Kurse nxëhtësia specifike korresponduese në këtë rast do të jetë :

 E  CV     3Nk  T V d.m.th është kanstant për të gjitha kristalet. Nxëhtësinë specifike si funksion i

T   C

  e paraqesim në figurën 33 

Fig.33 Energjia e lirë e kristalit për temperatura të ulëta jepet në formën: T

9 Nk c  4 NkT 4 F  kT ln Z   8 5 C3 Kurse për temperatura të larta T

mund ta neglizhojmë anëtarin e parë:

F  kT ln Z  3NkT ln

Për

T  c entropia e kristalit është:

T

c

 NkT

208 4 4 kN  T  F   S     5   c  T V Kurse për

T

  

3

, është:

T  F  S     3NkT ln  4 Nk c  T V Për përcaktimin e shtypjes gjegjësisht ekuacionin e gjendjes së kristalit duhet të kemi parasysh se temperatura karakteristike Për T

varet nga vëllimi.

do të kemi:

 9 N  c  4 NT 3  c    ln Z  P  kT    3 c4   kT   5 V   V  T  8T V





 9 Nk 3 4 NT 3   c  P    4  V 8 5  c   Kurse për

T

, dhe nëse e neglizhojmë anëtarin e fundit, do të kemi:

 T 1  c   ln Z  P  kT    kT   3N  c T V  V  T 

P

   

3NTK  c  c V

Këto ekuacione paraqesin ekuacionet termike të gjendjes së kristalit për temperatura të ulëta dhe të larta në raport me temperaturën karakteristike. Por meqë këto ekuacione varen nga

e cila nuk është e përcaktuar ende

ekspermentalisht këto ekuacione nuk kanë ndonjë vlerë të madhe praktike. Teoria e më sipërme paraqet një përfytyrim të thjeshtësuar në lidhje me atë se çka ndodhë në kristale dhe vlejnë vetëm për rastin kur struktura e brendshme mund të neglizhohet. Me këtë neglizhohet ndikimi i temperaturës në gjendjen e grimcave prej të cilave është i ndërtuar kristali. Këtë kusht e kënaqin shumë kristalie atomike, por te kristalet me të ndërlikuar të përbëra nga grupe atomesh neglizhimi i strukturës së brendshme në të shumtën e rasteve nuk

209 jep rezultate të kënaqshme. Në këto raste energjia e kristalit përbëhet jo vetëm nga energjia e rrjetës kristaline

por edhe nga energjia e lëvizjve të brendshme

E  Er  El .b Energjia e lëvizjve të brendshme në temperatura të larta mund të jetë e të njëjtit rend madhësie ose edhe e tejkalon energjinë e rrjetës kristaline.

9.

Termodinamika e sistemeve me numёr tё ndryshueshëm tё grimcave

9.1

Sistemet me numër tё ndryshueshëm tё grimcave

Vёshtrojmё energjinё e brendshme pёr sistemet me numёr tё ndryshueshëm tё grimcave. Nё qoftё se bashkëveprimi ndёrmjet grimcave ёshtё i dobёt dhe mund tё neglizhohet, energjia e brendshme ёshtё funksion me veti aditive. Energjia e brendshme e n molgrameve tё njё substance ёshtё n herё mё e madhe se sa energjia e brendshme e njё molgrami. Nё qoftё se sistemi pёrbёhet prej shumё substancave tё ndryshme dhe me

ni shënojmё numrin e molgrameve tё substancës i kurse me ei shënojmё energjinё e

brendshme korresponduese tё njё molgrami. Pёr shkak tё vetisё aditive tё energjisё sё brendshme mund tё shkruajmё:

E   ni ei i

Shumini kryhet nёpёr tё gjitha substancat e sistemit. Meqenёse edhe funksionet tjera termodinamike e zotёrojnё vetinё aditive, mund tё shkruajmё:

G   ni g i ,

F   ni f i ,

H   ni hi

i

i

i

Pёr diferncialin e energjisё sё lirё tё sistemit do tё kemi:

dF   ni df i   f i dni i

i

210 Anёtari i parё paraqet ndryshimin e energjisё sё lirё pёr numёr konstant tё molgrameve tё sistemit. Tashti do tё marrim energjinё e lirё tё sistemit si funksion të vёllimit, temperturёs dhe numrit tё molgrameve tё sistemit.

dF   PdV  SdT   f i dni i

Nga relacioni i fundit kemi:

 F   f i    ni V ,T Ndërsa pёr diferencialin e potencialit termodinamik, do tё kemi:

dG   ni dg i   g i dni i

i

Anёtari i parё paraqet ndryshimin e potencialit termodinamik pёr numër konstant tё molgrameve tё sistemit, prandaj do tё kemi:

dG  VdP  SdT   g i dni i

Nga relacioni i fundit kemi:

 G   g i    n  i  P ,T Tregojmё se funksioni kalojmё nga

g i ёshtё nё lidhje tё ngushtë me potencialin kimik. Pёr kёtё qëllim

dG nё dS dG  dE  TdS  SdT  PdV  VdP dG  VdP  SdT   g i dni i

Nga dy relacionet e fundit do tё marrim:

dS 

1   dE  PdV   g i dni  T i 

211

Nё qoftё se kalojmё nga Avogadros

ni nё numёrin e grimcave N i tё substancёs i me ndihmën e numrit tё

N A (numri i molekulave nё njё molgram) N i  N A ni

Prej nga do tё kemi:

ni 

1 Ni , NA

dni 

1 dN i NA

Relacionin e mёparshëm e shkruajmë nё formёn:

dS 

1 P 1 dE  dV  T T N AT

 g dN i

i

i

Kemi pёrfituar entropin e sistemit si funksion i energjisё sё brendshme, vёllimit dhe numrit tё grimcave tё sistemit.

S  S E,V , N   S  S   S  dS    dE    dV    E V , Ni  V  E , Ni  N i

  dN i V , E

I krahasojmё dy shprehjet e fundit dhe do tё kemi:

 S   N i Potenciali kimik

i

 1    gi N AT V , E

i substancёs i , pёrcaktohet me shprehjen:



i

 S   T  N i

i T



  V , E

1 gi N AT

212

g i  N A i Potenciali termodinamik i njё molgrami

g i i substancёs i paraqet potencialin kimik

korrespondues tё njё molgrami. Prandaj, fuksioni kimik ose mё shkurt potencial kimik. Deri sa

i

g i nё termodinamikё quhet potencial molar

llogaritё nёpёr nga njё molekulё,

g i llogaritё

sipas molgrameve. Sistem termodinamik me numër tё ndryshueshëm thёrmijash pёrbёrëse ёshtё nёnsistemi avull nё sistemin lёng-avull nё ekulibёr ose nёnsistemi i thёrmijave me energji nё intervalin

 ,   d  etj.

Gjendja termodinamike e kёtyre sistemeve karakterizohet nga temperatura, parametrat e jashtëm

a j , por edhe nga numri i thёrmijave N k , pёr çdo komponentë k ose nga pёrqëndrimi i tyre. Lidhja termodinamike pёr proceset e kthyeshme shprehet nё trajtёn:

dE  TdS   A j da j    k dN k j

ku

 E 

  k    N k  S ,a

k

quhet potencial kimik i pёrbёrjes pёrkatёse. j ,N j

Pёr sistemin e thjeshtё me njё komponentë, shprehja e fundit merr trajtёn:

dE  TdS  PdV  dN ku

 E    N  S ,V

 

Kurse kur janё tё pranishme disa pёrbёrёse kemi:

dE  TdS  PdV    k dN k k

Nё mёnyrё tё ngjashme mund tё shkruajmё:

dF  SdT  PdV  dN ,

dH  TdS  VdP  dN , dG  SdT  VdP  dN ,

 F    N  T ,V  H      N  S , P

 

 G    N  T , P

 

213 Siç shihet nga potencialet termodinamike apo funksionet e gjendjeve E,F,H,G, potenciali i Gibsit varet nga madhёsitё intensive (jo aditive)

G  GT , P  .

Potenciali kimik mund tё definohet si potencial i Gibsit pёr njё grimcё



9.2

G N

Kushti i stabilitetit tё gjendjes termodinamike

Proceset termodinamike janё njёkahёshe. Kahja e procesit termodinamik pёrcaktohet me ndihmёn e funksioneve karakteristike. Qё tё pёrcaktojmё nё cilёn kahje ndryshojnё parametrat termodinamikё gjatё kalimit tё sistemit nё gjendje tё ekulibrit. Nёse njё funksion i gjendjës ka vlerёn

f 1 nё fillim kurse f 2 nё fund tё procesit, ёshtё mё rёndёsi ky funksion gjatё procesit a rritet, zvogёlohet apo mbetet konstant. Supozojmё qё madhёsia f nё fund tё procesit ёshtё mё e vogёl se sa nё gjendjen e fillimit.

f 2  f1 Kemi fituar kushtin pёr kalime termodinamike. Ky kusht shfrytёzohet gjatё studimit tё kalimeve fazore. Do tё shkruajmё ligjin e parё dQ  dE  PdV dhe tё dytё tё termodinamikёs

dS 

dQ T

Kёto dy ligje i shkruajmё nё njё relacion dhe do tё marrim ekuacionin themelor tё termodinamikёs

TdS  dE  PdV Duke e shfrytёzuar relacionin e fundit do tё analizojmё procese tё ndryshme termodinamike nё tё cilat disa funksione tё gjendjes mbeten konstante. Nё qoftё se nё proces termodinamik shtypja dhe temperatura mbeten konstane.

P  konst , T  konst Relacionin e fundit e shkruajmё nё formёn

214

0  d E  PV  TS  Funsion tё ri

G  E  PV  TS ёshtё potencial i Gibsit.

Sistemet izotermike-izobarike karakterizohen nga relacioni

dG  0

P  konst dhe T  konst potenciali i Gibsit ёshtё minimal. Shqyrtojmё procesin termodinamik kur V  konst , dhe T  konst . Nё këtё rast ekuacioni Nё gjendje stabile pёr

themelor i termodinamikёs merr formёn:

0  d E  TS  Funksion tё ri

F  E  TS ёshtё energjia e lirё e sistemit.

Sistemet izotermike-izohorike karakterizohen nga relacioni

dF  0 ,

V  konst dhe T  konst

Te sistemet izotermike-izohorike energjia e lirё e sistemit tenton në vlerёn minimale. Tё shohim nё çfarë kahje rrjedhin proceset kur entropia dhe vёllimi i sistemit mbesin konstant.

dE  0 ,

V , S  konst

Proceset kur entropia dhe vёllimi i sistemit mbesin konstant, gjendja e ekulibrit tё sistemit karekterizohet me vlerё minimale tё energjisё sё brendshme. Pёrfundimisht shqyrtojmё procesin termodinamik kur

P  konst , S  konst . Nё ketё rast

ekuacioni themelor i termodinamikёs merr formёn:

0  d E  PV  , P, S  konst. Shprehja brenda kllapave paraqet entalpinё e sistemit:

H  E  PV ,

dH  0

Nё kёto procese sistemi tenton gjendjen nё tё cilёn entalpia do tё jetё minimale.

215 9.3

Ekulibri termodinamik i fazave

Faza e sitemit paraqet trupin fizik homogjen i cili dallon me vetitё e tij fizike nga tё gjithё trupat tjerё tё sistemit dhe ёshtё i ndarё me sipёrfaqёn ndarёse me trupat tjerё. Sistemi i cili pёrbёhet vetёm nga njё fazё quhet sistem homogjen, kurse sistemi i cili pёrbëhet nga disa faza quhet sistem heterogjen. Numri i fazave tё ngurta apo tё lёngёta nё sistemin heterogjen ёshtё i çfarёdoshëm. Komponenta e sistemit ёshtё pjesё e sistemit dhe sasia e saj nuk varet nga pjesёt tjera tё sistemit. Nё rastet kur nё sistem nuk janё prezente reaksionet kimike tё gjitha pjesёt pёrbёrëse tё sistemit janё njёkohёsisht komponente tё sistemit. Nё rastin e prezencёs sё reaksioneve kimike nё sistem, numri i komponenteve tё sistemit ёshtё mё i vogёl se sa pjesёt pёrbёrëse tё sistemit. Shqyrtojmё sistemin i cili i ka f faza dhe

k komponenta. Kёrkojmё kushtin e pёrgjithshëm tё

ekulibrit tё fazave pёr sisteme tё izoluara nga rrethina dhe proceset qё kryhen brenda sistemit janё izotermike-izobarike. Nё kёtё rast potenciali termodinamik i sistemit ka vlerё stacionare, prandaj mund tё shkruajmё:

dT  dP  0

dG  0 Nёse

G1 , G2 , G3 ,... janё potencialet termodinamike tё fazave tё veçanta tё sistemit. Meqё

potenciali termodinamik zotëron vetinё aditive, kemi: f

f

i 1

i 1

d  Gi  dGi 0 Prej nga shihet se nё gjendje tё ekulibrit tё fazave, ndryshimet e potencialeve termodinamike tё fazave tё veçanta mund reciprokisht tё kompenzohen. Nёse me indeksin e shënuar lartё shënojmё komponentёn kurse me indeksin e shënuar poshtё paraqesim fazёn atёherё ndryshimi i potencialit termodinamik

Gi d i j j   j 1 i k

dGi  

 G 

 mund tё shkruajmё Nё bazё tё relacionit g i      i  P ,T

Gi ёshtё:

216 k

dGi   g ij d i j j 1

ku me g i ёshtё potenciali kimik i komponentёs j

molgrameve tё kompnentёs

j nё fazёn i , kurse  i j paraqet numrin e

j nё fazёn i .

Relacionin e fundit e zëvendёsojmё nё relacionin e parё: f

k

 g i 1 j 1

j i

d i j  0

Tё gjitha madhёsitё d i nё shprehjen e fundit nuk janё ndёrmjetveti tё pavarura. Masa e plotё j

e cilёs do komponentё i duhet tё mbetet e pandryshuar ndërsa shuma e tё gjitha ndryshimeve tё mundshme nё faza tё ndryshme ёshtё e barabartё me zero. f

 d i 1

j i

 0,

( j  1,2,..., k )

Relacionin e fundit e shumёzojmё me njё shumёzues tё pacaktuar   j dhe i mbledhim tё gjitha ekuacionet sipas i k

f

j 1

i 1

   j  d i j  0 I mbledhim dy relacionet e fundit: f

k

k

f

j 1

i 1

  g ij d ij    j  d ij  0 i 1 j 1

ose

 g f

k

i 1 j 1

j i



  j d i j  0

Nga relacioni i fundit, kemi:

g ij   j ,

( j  1,2,..., k )

Meqё njёra anё e relacionit nuk varet nga indeksi i , as ana tjetёr nuk duhet tё varet nga indeksi

i.

g1j  g 2j      g fj ,

217 Duke i dhёnё vlerat pёr j nga 1 deri nё k, do tё marrim:

g11  g 12      g 1f g 2  g 22      g 2f -

-----------

g  g 2k      g kf k 1

Nё gjendjen e ekulibrit termodinamik tё fazave gjatё proceseve izotermike-izobarike, potenciali kimik i cilёsdo komponentё tё sistemit duhet tё kёtё tё njëjtёn vlerё nё tё gjitha fazat e veta.

9.4 Rregulla e fazave tё Gibsit

Pёr sistemin me dy faza, por me njё komponentë (me njё tip molekulash) nё mungesё tё fushave tё jashtme, kemi:

T1  T2 , P1  P2 , 1   2 Edhe nё ekulibrin e dy fazave tё lёndëve tё ndryshme duhet tё plotёsohen kushtet:

T1  T2 ,

P1  P2 ,

Kurse pёr potencialet kimike nuk diskutojmё, meqenëse midis kёtyre fazave nuk kemi shkёmbim grimcash. Shtrohet pytja sa ёshtё numri i parametrave tё pavarur tё sistemit nё gjendje tё ekulibrit tё fazave pёr njё numër tё caktuar tё fazave dhe komponentave tё sistemit. Parametra tё tillё janё: temperatura, shtypja, dhe pёrqëndrimet relative tё komponentave. E pёrcaktojmё numrin e parametrave tё pavarur qё pёrcaktojnё gjendjen e sistemit. Çdo fazё ёshtё plotёsisht e pёrcaktuar nёse dihen pёrqëndrimet relative tё komponentave d.m.th. raportin e masave tё tё gjitha komponentave ndaj masёs sё njërёs prej tyre. Raporte tё tilla pёr çdo fazё janё pёrbёrjen e tё gjitha fazave

k  1

ndёrsa numri i plotё i parametrave qё pёrcaktojnё

f ёshtё f k  1 .

Nёse kёtyre parametrave ju shtojmё

temperaturёn dhe shtypjen, numri i plotё i parametrave qё pёrcaktojnё gjendjen e sistemit janё:

218

N1  f k  1  2 Kёta parametra pёr rastin e ekulibrit tё fazave, nuk do tё jenё ndёrmjetveti tё pavarur. Meqenёse potenciali kimik ёshtё funksion i temperaturёs, shtypjes dhe pёrqëndrimit relativ, kushtet e fundit paraqesin relacionet ndёrmjet kёtyre parametrave. Çdo rend i kёtyre kushteve paraqet ( f  1) ekuacione, ndërsa numri i plotё i kёtyre ekuacioneve apo numri i plotё i relacioneve ndёrmjet kёtyre parametrave ёshtё:

N 2  k  f  1 Nёse me

l shënojmё numrin e parametrave tё pavarur qё pёrcaktojnё gjendjen e sistemit nё

ekulibёr tё fazave – numrin e shkallёve tё lirisё sё sistemit heterogjen.

l  N1  N 2  f k  1  k  f  1  2 l k  f 2 l f k 2 Pra, nё sistemin me k komponente, mund tё ndodhen nё ekulibёr jo mё shumё se (k  2) faza. Kjo ёshtё rregulla e fazave tё Gibsit. Kur numri i fazave ёshtё mё i vogёl se (k  2) atёherё

k  2  f  variabla mund t`i ndryshojmё pa prishur ekulibrin e sistemit.

Pёr sistemin me

k  1 , numri maksimal i fazave nё ekulibёr ёshtё 3, pёr sistemin linear k  2 ,

l max  4 . Pёr sistemin me njё komponente, gjatё ekulibrit tё dy fazave tё sistemit, kemi:

1 P, T    2 P, T  Duke e zgjedhur njёrёn nga variablat si tё pavarur, p.sh. T, marrim ekulibri. Nё diagramin P-T , kjo jep njё kurbё qё quhet kurbё e ekulibrit fazor.(fig.34)

P  PT  si njё varёsi

219

Fig.34 Gjatё ekulibrit tё tri fazave tё sistemit me njё komponente, kemi:

1 P, T    2 P, T  1 P, T   3 P, T  Nga zgjidhja e ekuacioneve tё fundit merren vlera plotёsisht tё pёrcaktuara tё P-sё dhe tё T-sё pёr ekulibrin e tri fazave tё sё njёjtёs lёndё. Pika e pёrftuar quhet pikё trefishe. Ajo ёshtё pika e ndёrprerjes e tri kurbave tё ekulibrit fazor. (fig.35)

Fig.35

220 9.5 Kalimet fazore dhe parametri i rregullsisё

Kalimi nga njё fazё nё njё fazё tjetёr pёrbën atë qё quajmё shndёrrim apo kalim fazor. Pёr klasifikimin e kalimeve fazore fillimisht, janё shfrytёzuar rregullat e Erhenfestit. Sipas tij, rendi i kalimeve fazore pёrcaktohet nga rendi i atyre derivateve tё potencialit tё Gibsit, tё cilat pёsojnё kёputje nё pikёn e kalimit. Kёshtu, kalimet fazore, gjatё tё cilave pёsojnё kёputje derivatet e para si:

 G   G     ,   P  T  T  P

quhen kalime fazore tё llojit ose tё rendit tё parё. Kalimet fazore, nё tё cilat derivatet e para tё potencialit tё Gibsit janё tё vazhduara , por pёsojnё kёputje derivatet e dyta, si p.sh:

  2G  C P  T  2   T  P 1   2G  1  V   T    2      V  P  T V  P  T quhen kalime fazore tё rendit tё dytё e kёshtu mё radhё. Klasifikimin e kalimeve fazore e dha Llandau, Sipas Llandaut, kalimi nga njё fazё nё njё tjetёr pёr njё kalim fazor tё rendit tё dytё, shoqёrohet me njё ndryshim simetrie, me tё cilin lidhet njё parametёr rregullsie. Ky parametёr, sipas Llandaut, ёshtё zero nё fazёn mё simetrike dhe i ndryshëm nga zero, nё fazёn mё pak simetrike. Si parametёr rregullsie, nё rastin e kalimit fazor ferroelektrik-paraelektrik i titanit tё bariumit, ёshtё vektori i polarizimit. Ndёrsa te kalimet fazore lёng-gaz, nuk mund tё pёrkufizohet parametri i rregullsisё. Nё rastin e parё, simetritё e tё dy fazave janё tё ndryshme, por nuk kalohet nga njё fazё nё tjetrёn me humbje tё disa elementёve tё simetrisё. Ky ёshtё kusht i nevojshёm nё pёrcaktimin e njё parametri rregullsie. Nё rastin e dytё, simetritё e tё dy fazave janё identike, dhe kёtu s`ka humbje elementёsh simetrie, kur kalohet nga njё fazё nё tjetrёn. Pёr kalimet fazore pa parametёr rregullsie mund tё veçojmё dy raste: a) Grupet e simetrisё tё dy fazave janё tё njёjta. Ky ёshtё rasti i avullimit. Kёto kalime fazore janё gjithmonё tё rendit tё parё. b) Grupet e simetrisё tё dy fazave janё tё ndryshme, por asnjëri nuk ёshtё nёngrup i tjetrit. Kёto kalime fazore, po ashtu, janё gjithmonё tё rendit tё parё. Edhe pёr kalimet fazore me parametёr rregullsie mund tё veçojmë dy raste:

221 a) Parametri i rregullsisё si funksion i temperaturёs ka kёputje nё pikёn e kalimit fazor. Ky ёshtё rasti i kalimit fazor tё titanit tё bariumit, qё ёshtё i rendit tё parё sipas Ehrenfestit. b) Parametri i rregullsisё ёshtё njё funksion i vazhduar i temperaturёs nё pikёn e kalimit fazor. Kёto kalime fazore janё tё rendit tё dytё.

9.6 Kalimet fazore pa parametёr rregullsie

Kёto kalime fazore, ashtu si edhe tё gjitha kalimet fazore tё rendit tё parё, karakterizohen nga fakti se nё pikёn e kalimit fazor, tё dy fazat e pranishme janё nё ekulibёr me njёratjetrёn:

T1  T2  T P1  P2  P 1   2 Kushti i fundit mund tё shprehet edhe nё trajtёn

1 P, T    2 P, T  Ky barazim qё lidh temperaturёn me parametrin intensiv P tё dy fazave nё ekulibёr ёshtё ekuacioni qё jep pikёn e kalimit fazor nё planin

T, P  . Duke diferencuar atё, marrim:

 1             dT   1  dP   2  dT   2  dP  T  P  P  T  T  P  P  T Por, ku

dg  d  sdT  vdP ,

s dhe v janё pёrkatёsisht entropia dhe vёllimi pёr grimcё, prej nga rrjedh:

s1  s2 dT  v2  v1 dP  0 ose

dP s 2  s1 s N T TS      dT v2  v1 v N T TV ku

Q  TS ёshtё nxehtёsia e fshehtё e kalimit.

222 Pёr rastin e avullimit marrim formulёn e Klaiperon- Klauziusit:

dT T V2  V1  T v2  v1    dP  0 ku



ёshtё nxehёtёsia e fshehtё e kalimit fazor pёr njё mol lёndё, kurse

ndryshimi i vёllimit tё njё moli tё kёsaj lёnde ndёrsa

0

dhe

v2  v1 janё madhёsitё pёrkatёse

pёr grimcё. Meqenёse gjatё kalimit tё lёngut nё avull, sistemit i jipet nxehtёsi

V2 V1   0 ,

rrjedh qё

V2  V1 ёshtё

  0 dhe vёllimi rritet

dT  0 , domethënё, me rritjen e shtypjes, rritet edhe temperatura dP

e avullimit. Formula e fundit mund tё zbatohet edhe pёr shkrirjen ose sublimimin, si dhe pёr kalimet fazore midis variteteve polimorfe.

9.7 Teoria e Llandaut pёr kalimet fazore

Pёr pёrshkrimin matematik tё kalimeve fazore tё llojit tё dytё e sjellim parametrin e rregullsisё

 i

cili do tё definojё, gjatё kalimit fazor, shkallёn e humbjeve tё disa elementeve tё simetrisё. Gjatё kalimit fazor nё fazё me simetri mё tё lartё. Fazёs sё fundit me simetri mё tё lartё i korrespondon vlera tё ulёt, parametri i rregullsisё

  0 , kurse nё fazat me simetri mё

 merr vlera tё ndryshme nga zero, pozitive dhe negative.

Pёr thjeshtim, fazat me simetri tё lartё do t`i quajmё faza simetrike kurse fazat me simetri tё ulёt do t`i quajmё faza josimetrike. Vёshtrojmё madhёsitё termodinamike tё kristalit kur kemi humbje tё disa elementeve tё simetrisё, potencialin termodinamik e shprehim si funksion tё temperaturёs, shtypjes dhe parametrit tё rregullsisё

G  GT , P,  . Vlera e parametrit tё rregullsisё pёrcaktohet nga kushti

i ekulibrit termik, d.m.th. nga kushti pёr vlera tё çfarёdoshme tё T dhe P , potenciali termodinamik tё merrë vlerё minimale. Nё temperaturёn T, gjendja e ekulibrit tё qёndrueshёm i pёrgjigjet vlerёs sё

 qё minimizon

G  GT , P,  , ose pёr rastin kur ndryshimet e vёllimit dhe shtypjes janё tё papёrfillshme pë energjinё e lirё tё sistemit F  F T ,  . potencialin termodinamik tё Gibsit

Ndryshimi kontinual i gjendjes gjatё kalimit fazor tё shkallёs sё dytё, matematikisht shprehet, ashtu qё nё afёrsi tё pikёs sё kalimit fazor, parametri

GT , P,  e zhvillojmё nё seri sipas parametrit  .

 merr vlera tё vogёla dhe funksionin

223 GT , P,   G0    A 2  B 3  C 4    , ku koeficientet

 , A, B, C,...,

janё funksione tё P dhe T.

Njё zhvillim i tillё i koeficientëve nuk mund tё shkojё deri nё njё shkallё e çfarëdoshme ngase mund tё kanё singularitete si funksione tё T dhe P. Sqarim i plotё i karakterit tё potencialit termodinamik nё pikёn e kalimit fazor ende nuk ёshtё realizuar. Lakoret empirike tё varshmёrisё sё nxehtёsisё specifike nga temperatura gjatё kalimit tё dytё fazor tregojnё rritje tё nxehtёsisё specifike me temperaturёn para kёrcimit fazor, dhe njё zvogёlim tё menjёhershem pas kёrcimit.

AP, T  nё pikёn e kalimit fazor janё tё barabartё me zero. Nё fazёn simetrike minimumit tё G duhet t`i pёrgjigjet vlera e parametrit tё rregullsisё   0 . Qё pika e kalimit tё jetё gjendje stabile nё kёtё pikё G si funksion i  duhet tё kёtё vlerё minimale qё i pёrgjigjet   0 . Nё kёtё pikё duhet edhe B0 P, T   0 , kurse C0 P, T   0 . Koeficientët



dhe

(indeksi zero i pёrgjigjet vlerave nё pikёn e kalimit fazor). Meqё koeficienti C nё pikёn e kalimit fazor ёshtё pozitiv duhet tё jetё pozitiv edhe nё rrethinёn e kёsaj pike. Nёse me

T0 shënojmё temperaturёn e kalimit fazor, afёr kёsaj pike pёr koeficientin A mund tё

shkruajmё:

AT   aT  T0  ku

a

A ёshtё konstantё. T T T0

 nga temperatura afёr pikёs sё kalimit nё fazёn josimetrike pёrcaktohet nga kushti qё G   tё jetё minimal. Varshmёria e

Nga kushti

Zgjidhja pёr

G  0 marrim  A  2C 2   0  A a T0  T  2    2C 2C

 0

i pёrgjigjet fazёs simetrike. Kurse pёr

A  0 dhe   0 do t`i pёrgjigjet

maksimumit tё G. Pёrcaktojmё entropinё e trupit afёr pikёs sё kalimit fazor duke neglizhuar shkallёt e larta tё

:

224 S 

G A 2  S0   T T

 0

Nё fazёn simetrike, kemi:

Kurse nё fazёn josimetrike, kemi:

S  S0 

dhe

S  S0 ,

2  

A 2C

dhe

A A a2 T  T0   S0  2C T 2C

Pёrcaktojmё nxehtёsinё specifike pёr dy fazat nё pikёn e kalimit.

Pёr fazёn josimetrike

a 2T0  S  , Cp  T   CP0  2C  T  P

Pёr fazёn simetrike, kemi:

S  S 0 , dhe

CP0  T

S 0 T

CP  CP0

Me kёtё arrijmё te pёrfundimi se nё pikёn e kalimit tё dytё fazor, nxehtёsia specifike ka kёrcim. Pёr

C  0 , nё pikёn e kalimit fazor C P  C P 0 nxehtёsia specifike rritet nga faza simetrike kah

faza josimetrike. Nёse entropia dhe vёllimi i sistemit nё pikёn e kalimit fazor janё kontinual, kёrcimet e tyre nё pikёn e kalimit fazor do tё jenё tё barabartё me zero

V  0 ,

S  0

I diferencojmё ekuacionet sipas temperaturёs pёr gjatё lakores sё kalimit fazor duke e konsideruar shtypjen funksion tё temperaturёs:

dP  V   V       0  T  P dT  P  T C P dP  V     0 T dT  T  P Meqё ёshtё

 S   V    .      P  T    P  T 

225 Kёto dy ekuacione lidhin kёrcimet nё pikёn e kalimit fazor tё llojit tё dytё tё nxehtёsisё specifike, koeficientit tё zgjerimit termik

 V   V    dhe   .  T  P  P  T

I diferencojmё ekuacionet sipas temperaturёs pёr gjatё lakores sё kalimit fazor duke marr vёllimin dhe temperaturёn si variabla tё pavarura:

dV  P   P       0  T V dT  V  T

CV dV  P      0 T dT  T V Nga relacionet e fundit gjejmё kёrcimet e madhёsive pёrmes kёrcimeve tё

 P   V  C P , CV ,   ,   tё shprehura  T V  T  P

 V    :  P  T

dP  V   V       , dT  P  T  T  P

dV 1  P    ,   dT  V   T V    P  T

 dP   V  C P       dT   P  T 2

CV  

dV 1  . dT  V     P  T

226

10.

Dukuritё sipёrfaqёsore

10.1 Tensioni sipёrfaqёsor

Pёr trupat e mёdhenj nuk pёrfillen efektet sipёrfaqёsore dhe energjia e sistemit shqyrtohet si funksion qё gёzon vetinё aditive (mbledhёse). Pёr sistemet e copёzuar imёt, sipёrfaqja ёshtё e konsiderueshme. Nё kёtё rast shtresa sipёrfaqёsore e sistemit duhet tё konsiderohet si njё fazё e re, pёr tё cilёn ka rёndёsi madhёsia e sipёrfaqes. Madhёsia e sipёrfaqes tashti luan rolin e njё parametri tё jashtëm pёr tё karakterizuar gjendjen e sistemit. Pёr tё zmadhuar sipёrfaqen



e sistemit, kur

T  konst. dhe V  konst. duhet tё kryhet punё

kundёr forcave tё bashkёveprimit molekular. sipёrfaqёs me



 , atёhërё gjatё rritjes sё d kryhet punё e jashtme e barabartё me d (puna e sistemit ёshtё - d ).

Po tё shёnojmё me

forcёn e pёrgjithёsuar qё i pёrgjgjet parametrit

Nё kёtё rast lidhja themelore termodinamike ёshtё:

T  konst.,V  konst.

dE  TdS  PdV  d ,

Gjatё rritjes sё dimensionit (numrit tё grimcave) tё trupit, efektet sipёrfaqёsore rriten shumё mё ngadalё se sa ato vёllimore, kjo e arsyeton neglizhimin e efekteve sipёrfaqёsore gjatё shqyrtimit tё vetive vёllimore tё trupit. Vetia termodinamike e sipёrfaqeve ndarёse plotёsisht karekterizohet me njё madhёsi (funksionin e gjendjes sё trupit). Madhёsia



paraqet karekterisikё themelore tё sipёrfaqeve ndarёse dhe quhet koeficient i

tensionit sipёrfaqёsor. Koeficienti



kryen pёr sipёrfaqen tё njëjtin rol qё kryen shtypja pёr

vёllimin. Kur madhёsia

 0

ёshtё pozitive, sipёrfaqja ndarёse tenton tё merrë vlerёn mё tё vogёl tё

mundshme pёr vёllimin e dhёnё. Pёr madhёsinё



mund tё flitet vetёm kur dy fazat janё nё

ekulibёr dhe ndёrmjet tyre ndodhet sipёrfaqja ndarёse stabile. Pa llogaritur efektet sipёrfaqёsore, identiteti termodinamik pёr sistemin prej dy fazave tё të njëjtёs lёndё pёr

V  konst. ёshtё:

dE  TdS  dN Kur tё merret nё konsideratё ekzistimi i sipёrfqes ndarёse ekuacionit tё fundit duhet t`i shtohet edhe anёtari

d

,

dE  TdS  dN  d

227 Nё shumё raste ёshtё mё e pёrshtatshme si madhёsi themelore termodinamike tё merret potenciali i Gibsit, nё kёtё rast ekuacioni i fundit do tё jetё:

dG  SdT  Nd  d Me rritjen e temperaturёs zvogёlohet energjia e tërheqjes ndёrmjet molekulave edhe tensioni sipёrfaqёsor qё ёshtё i lidhur me kёtё tërheqje do tё zvogёlohet. Në figurën 36 do të paraqesim, në fillim zgjerimin izotermik në temperaturën T, me këtë rast sipërfaqja do të rritet nga S1 në S2. Gjatë këtij procesi sistemi merr nga rrethina sasinë e nxehtësisë Q1. Pastaj sistemi zgjerohet në mënyrë adiabatike dhe gjatë këtij procesi temperatura do të zbresë në T-dT, kurse koeficienti i tensionit sipërfaqësor do të rritet në ϭ+dϭ. Pastaj sistemi ngjeshet në mënyrë izotermike dhe sistemi liron sasinë e nxehtësisë Q 2. Dhe në fund e ngjeshim sistemin në mënyrë adiabatike deri në pozitën fillestare.

Fig.36 Koeficienti i tensionit sipërfaqësor ϭ paraqet energjinë për njësi të sipërfaqes së membranës. Ndërsa ϭdS do të paraqet energjinë e elementit të sipëpërfaqes së membranës. Kurse sipërfaqja e mbyllur ABCD paraqet punën e plotë të sistemit gjatë këtij procesi rrethor. Kjo punë sipas orientimit të konturës është negative. A=-(S2-S1)dϭ E zëvendësojmë shprehjen e fundit në relacion:

 Dhe do të marrim:

A T1  T2  Q1 T1

228



S 2  S1 d Q1



dT T

ekuacionin diferencial që përshkruan koeficientin e tensionit sipërfaqësor në funksion të temperaturës.

d R  dT T ku

R

Q1 S 2  S1

10.2 Formula e Laplasit

Kushtet e ekulibrit tё dy fazave tё sё njëjtёs lёndё, pa pёrfillur dukuritё sipёrfaqёsore, janё:

T1  T2 , P1  P2 ,

1   2

Nё prani tё fazёs sipёrfaqёsore me tё njёjtёn lёndё si nё dy fazat vёllimore, kushti i parё dhe i tretё i ekulibrit nuk ndryshon:

T1  T2 ,

1   2

Pёr pёcaktimin e kushtit tё ekulibrit mekanik, si sistem pёr studim po marrim sistemin e pёrbёrё nga pika e lёngut me rreze r nё ekulibёr me avullin e tij tё ngopur. Energjia e lirё e kёtij sistemi, duke pёrfshirё edhe shtresёn sipёrfaqёsore, ёshtё e barabartё me:

F  4r 2  F1  F2 ku

F1 ёshtё energjia e lirё e fazёs sё lёngut tё sistemit (e pikёs sё lёngut) dhe F2  Fav ёshtё

energjia e lirё e fazёs sё gaztё tё sistemit (e avullit tё ngopur). Po kёshtu vёllimi i plotё i sistemit dhe numri i plotё i grimcave janё:

V  V1  V2

229

N  N1  N 2 4 V1  r 3 3 Nё kushtet e ekulibrit, pёr

T  konst. V  konst. dhe N  konst. , duke diferencuar energjinё e

lirё tё sistemit, do tё marrim:

 F   F dF  8rdr   1  dV1   2  V1  T ,V , N  V2

  F   F  dV2   1  dN1   2  T ,V , N  N1  T ,V , N  N 2

Nga kushtet e ekulibrit mund tё shkruajmё:

dV1  dV2  0 dN 1  dN 2  0  F1      P1  V1  T ,V , N  F1     1  N 1  T ,V , N ose

dV1  dV2  4r 2 dr dN 1   dN 2  F2      P2  V2  T ,V , N  F2   N 2

   2  T ,V , N

Pas zëvendёsimit pёr energjinё e lirё do tё marrim:

dF  8rdr  P1  P2 4r 2 dr  1   2 dN1  0 ose

 2  dF  4r 2   P1  P2  dr  1   2 dN1  0  r 

  dN 2  0  T ,V , N

230 P1  P2 

prej nga rrjedh

2 r

1 P1 , T    2 P2 , T  Kemi fituar formulёn e Laplasit e cila shpreh kushtin e ekulibrit mekanik nё prani tё fazёs sipёrfaqёsore, kurse vetё termi

10.3

2 quhet shtypje shtesё ose shtypje sipёrfaqёsore. r

Ndikimi i tensionit sipёrfaqёsor nё lindjen e fazёs sё re

Kushti i ekulibrit pёr dy fazat e tё njëjtёs lёndё jepet me relacionin

1 P1 , T    2 P2 , T  Me ndryshimin e temperaturёs ose tё shtypjes, potenciali kimik i njërёs fazё bёhet mё i madh se potenciali kimik i fazёs tjetёr. Kjo shoqёrohet me kalimin e njërёs fazё nё tjetrёn (pёr shembull, me avullim). Grumbullimet nё pёrmasa minimale tё fazёs sё re, qё krijohen si rezultat i fluktuacioneve brenda fazёs sё vjetёr, quhen embrione. Po njësojmё rrezen kritike tё pikёs sё lёngut, nё mёnyrё qё tё fillojё kondenzimi i avullit. Si pasojё e fluktuacioneve brenda fazёs sё vjetёr (nё avull) formohet njё embrion i fazёs sё re (i lёngut) me rreze r. Nga relacionet e mёsipёrme, kemi

G  E  TS  PV  F  PV ose G  F  

Ndryshimi i energjisё sё lirё tё sistemit me formimin e piklёs sё lёngut (tё fazёs sё re), nga relacionet e mёsipёrme, ёshtё e barabartё me:

F  G    l   av N  

231 ku

 av

- ёshtё potenciali kimik i avullit,

N- numri i thёrmijave tё lёngut dhe

 l - ёshtё potenciali kimik i lёngut,

 - ёshtё sipёrfaqja e piklёs sё lёngut (tё fazёs sё re).

Zёvendёsojmё nё relacionin e fundit

  4r 2

ku

4 r3 N  3 Vl

dhe

Vl ёshtё vёllimi i njё grimce nё fazёn e re, dhe do tё marrim: 4 r3  l   av   4r 2 F  3 Vl

Nga relacioni i fundit mund tё veçojmё dy raste: a) Pёr,

 l   av

faza e re ёstё mё pak e qёndrueshme. Nё kёtё rast shfaqja e pikave tё

lёngut nё avull çon nё rritjen e F -sё. Pika e lёngut e formuar si rezultat i fluktuacioneve, nuk mund tё jetojë, ajo zhduket, pavarёsisht nga pёrmasat e saj.

Fig.37 b) Pёr,

 l   av

faza e lёngut ёshtё termodinamikisht mё e qёndrueshme, F rritet pёr

r  rkr , kёshtu qё fluktuacionet e vogëla tё fazёs sё re janё tё paqёndrueshme. Pёr

r  rkr , embrionet e krijuara nё sajё tё fluktuacioneve, bёhen tё qёndrueshme dhe sistemi

kalon nga faza e vjetёr nё fazёn e re. Pёr pёrcaktimin e rrezes kritike

rkr , e analizojmё varёsinё nga r -ja e

funksionit F . E derivojmё F nё lidhje me r , dhe do tё marrim:

    av  2 F  rkr  8rkr  0  4  l r r rkr  Vl 

232

rkr 

2Vl  av   l

Rrezja kritike(fig.38) ose pёrmasa minimale e embrionit, qё siguron zhvillimin e mёtejshёm tё tij, ёshtё nё pёrpjesëtim tё drejtё me koeficientin e tensionit sipёrfaqёsor pёrpjesëtim tё zhdrejtё me diferencёn



dhe nё

(  av   l ) .

Fig.38

10.4

Lёndёt sipёrfaqёsore active

Nё njё sistem heterogjen nё ekulibёr. Nё sipёrfaqen ndarёse tё fazave tё ndryshme vihet re ndryshim i pёrqëndrimit tё komponenteve tё sistemit. Gazet kanë prirje tё grumbullohen nё sipёrfaqet e ngurta. Pёrqëndrimi nё shtresёn sipёrfaqёsore, ndryshon nё mёnyrё tё tillё qё tё zvogёlohet energjia e lirё e sipёrfaqes. Ndyshimi i pёrqëndrimit nё sipёrfaqen e ndarjes sё fazave quhet adsorbim ose ndajthithje. Ai konsiderohet pozitiv kur pёrqendrimi i komponentës sё adsorbuar nё sipёrfaqen e ndarjes ёshtё mё i madh se nё fazёn pёrkatёse. Procesi i adsorbimit shoqёrohet me çlirim nxehtёsie. Shtresёn sipёrfaqёsore po e konsiderojmё si fazё tё re. Shënojmё me

N i tepricёn e grimcave

tё komponentës sё i -tё, nё kёtё fazё. Ndyshimi i energjisё sё lirё pёr ndryshim tё sipёrfaqes ndarёse



me

d dhe tё numrave N i dhe dN i pёr T  konst. , V  konst. ёshtё e

barabartё me:

dF  d    i dN i i

  d  d  F    i N i   d   N i d i i i  

233 Ana e majtё ёshtё diferenciali i plotё i potencialit tё madh termodinamik

  T ,V ,  

       i

 

    N i      i   , i  k Duke marr derivatet e dyta tё pёziera, gjejmё:

     i

Madhёsia

  N     i     i   , i  k

N  N  i   i   i ,    T ,V ,  

pёrfaqёson tepricёn e grimcave tё komponentёs sё i –tё pёr njёsi sipёrfaqeje dhe quhet koeficient i adsorbimit pёr kёtё komponentё.

  i     i

   T ,V ,

Ekuacioni i fundit ёshtё ekuacioni i Gibsit pёr adsorbim. Supozojmё se grimcat e adsorbuara nё shtresёn sipёrfaqёsore, sillen si grimcat e gazit ideal. Potenciali kimik pёr gazin ideal njёatomik ёshtё:

  kT ln

N h3   0 T   kT ln n ) V 2mkT  32

 i   0i  kT ln ci   i     i

     ci       T ,V ,  ci  T ,V ,   i

 c       i   kT  ci  T ,V , T

Nga relacioni i fundit mund tё konkludojmё se nё shtresёn sipёrfaqёsore grumbullohen ato lёndё pёr tё cilat , vlen

  0 , (i  0) , domethёnё, prania e tё cilave e zvogёlon  (energjinё e ci

lirё tё shtresёs sipёrfqёsore) dhe e kundёrta.

234

11.

Statistika kuantike

11.1

Kuantimi i spektrit energjetik

Sipas fizikёs statistike klasike, nё temperaturёn T energjia e grimcёs ёshtё e rendit tё madhёsisё kT. Edhe energjia e brendshme e gazit ёshtё proporcional me temperaturёn. Sipas kёti konkludimi kapaciteti termik i sistemit ёshtё konstant. Kjo ёshtё nё kundërshtim me parimin e tretё tё termodinamikёs, sipas tё cilit nё kufi tё zeros absolute, kapaciteti termik tenton nё zero. Rezultatet e statistikёs klasike bazohen nё supozimin qё spektri energjetik ёshtё i vazhduar. Por sipas teorisё kuantike, nё gjendjet e lidhura, energjia e grimcёs mund tё ketё vetёm vlera diskrete. Shtrohet pyetja nё çfarё mase rezultatet e nxjerra pёr spektër tё vazhduar mund tё aplikohen nё problemet nё tё cilat, energjia ёshtё e kuantuar. Pёr kёtё qëllim do tё shqyrtojmё funksionin e shpёrndarjes sё Boltzmanit.

 E   Ce  E ,



1 kT

Sa mё e lartё qё ёshtё energjia pёr aq mё i vogёl do tё jetё probabiliteti i gjetjes sё grimcёs nё gjendjen energjetike. Në figurën(39 ) paraqesim shpërndarjen e Bolttzmanit, për spektër energjetik kontinual. Kurse në figurën( 40) paraqesim shpërndarjen e Bolttzmanit, për spektër energjetik diskret. Grimca mundt tё ndodhet nё cilin do nivel energjetik:

E1 , E2 ,... Diferenca e energjisё ndёrmjet nivelit themelor dhe nivelit tё parё tё eksituar, ёshtё:

E  E2  E1 shumё mё e madhe se sa energjia termike kT, funksioni i shpёrndarjes nё energjinё jetё shumё mё e vogёl se sa nё energjinё nё nivelin themelor.

E 2 do tё

E1 . Kёshtu pothuaj se tё gjitha grimcat do tё ndodhen

235

Fig.39

Fig.40

Pёr thjeshtёsi supozojmё se niveli themelor dhe niveli i parё i eksituar pёmbajnё numër tё njëjtё tё celulave fazore. Fillojmё me shprehjen pёr probabilitet:

W1 ~ e



E1 kT

,

W2 ~ e



E2 kT

E

 W2  e kT W1

Rezultatet numerike tё shprehjes sё fundit i vendosim nё tabelё:

236

Probabiliteti relativ

E kT

W1 W2

1

0.36788

2

0.13534

3

0.04979

4

0.01832

5

0.00674

6

0.00248

7

0.00091

8

0.00034

9

0.00012

10

0.00006

W2 E nё mёnyrё rapide bie me rritjen e eksponentit . W1 kT

Nё zonёn e temperaturёs

E  kT , probabiliteti i i eksitimit termik tё grimcave ёshtё shumё i

vogёl, i papёrfillshëm. Njё rritje e vogёl e temperaturёs pothuaj se fare nuk e ndryshon energjinё e brendshme tё sitemit. Kurse kapaciteti termik

 E  CV     T V nё temperatura tё ulёta ёshtё shumё i vogёl, i papёrfillshëm. Qё t`i analizojmё sistemet termodinamike kuantike, nё fillim i shqyrtojmё format kryesore tё lёvizjёs sё grimcёs. Grimca me masё m lёviz nё kubin me brinj a. Energjia e translacionit tё grimcёs pёrcaktohet me relacionin:

En 





h2 n x2  n y2  n z2 , 2 8ma

n x , n y , n z ,  1,2,3,...

Distanca ndёrmjet niveleve energjetike ёshtё e rёndit tё madhёsisё Kёsaj energjie i shoqёrojmё temperaturёn

 tr 

h2 8ma 2

h2 . 8ma 2 k

Dy grimca tё cilat i trajtojmё si pika materiale, kanё masat pёrkatёse

m1 dhe m2 .

Rrotullohen rreth pikёs sё pёrbashkët tё rёndimit dhe ndodhen nё distancё konstante r.

237 Nivelet energjetike tё kёtij sistemi pёrcaktohen me formulёn:

El 

2 l l  1 , 2I

l  0,1,2,3,...

I  mr r 2 ,

ku me I kemi shënuar momentin e inercionit

kurse

mr ёshtё masa e reduktuar

Nёse me

mr 

m1 m2 m1  m2

E l kemi shënuar energjinё e rotacionit, shprehjen  r 

2 do tё quajmё 2 Ik

temperaturё tё rotacionit. Lёkundjen e atomeve nё molekulё e studijomё sipas modelit tё oscilatorit linear harmonik. Sipas teorisё kuantike, oscilatori linear harmonik me frekuencё

En 

 2n  1 , 2

 , ёshtё:

n  0,1,2,3,...

Nivelet kufitare energjetike tё oscilatorit harmonik, janё tё zhvendosura pёr Kёsaj energjie i shoqёrojmё temperaturёn lёkundёse Pёr temperaturat

 lk 

 .

 . k

T   lk , pёr energjinё mesatare tё oscilatorit harmonik vlen shprehja

klasike:

E  kT Pёr temperaturat

T   lk , energjina mesatare e oscilatorit harmonik, praktikisht ёshtё e

barabartё me energjinё e nivelit themelor dhe kontributi i lёvizjeve lёkundёse nё kapacitetin termik tё gazit ёshtё i papёrfillshëm. Spektri energjetik i elektronit tё atomit tё hidrogjenit pёrcaktohet me formulёn:

En   ku

13,6 eV n2

n ёshtё numri kuantik kryesor.

Nga raporti i energjisё sё gjendjes kuantike themelore pёr do tё marrim temperaturёn karakteristike

 

n  1 me konstantёn e Boltzmanit,

13.6eV  159000 K k

Kjo temperaturё ёshtё shumё e lartё. Prandaj pёr temperatura normale, eksitimin termik tё elektroneve mund tё neglizhojmё.

238 11.2 Shuma statistike e sitemeve kuantike

Vёshtrojmё sistemin e pёrbёrë nga N grimca tё vendosura nёpёr nivele energjetike:

E1 , E2 , E3 ,... . Nё çdo nivel energjetik ndodhen numër i caktuar i celulave kuantike (fazore). Kёtё numër e shenojmё me

g1 , g 2 , g 3 ,... dhe quhen pesha statistike e niveleve energjetike.

Fig.41 Spektri energjetik diskret i kuantuar Nga statistika klasike marrim relacionin pёr vlerёn mesatare tё madhёsisё fizike A

Ag e  A g e 

 Ei

i

i

i

 Ei



,

i

1 kT

i

ku me

Ai shёnojmё vlerёn e madhёsisё A nё nivelin energjetik i .

Energjinё mesatare tё grimcave e marrim duke zavendёsuar në shprehjёn e fundit A=E

E g e  E g e 

 Ei

i

i

i

 Ei

,

i

i

E transformojmё shprehjen:

E g e 

 Ei

i

i

i



d d

g e 

 Ei

i

i



dz d

239

z   g i e  Ei i

Pas zёvendёsimit , marrim:

dz d d E   ln z z d Energjinё e plotё tё sistemit e marrim duke e shumëzuar relacionin e fundit me numrin e grimcave tё sistemit:

E  NE   N

d ln z d

Shumёn statistike tё sistemit e marrim nga statistika klasike:

Z

1 N z N!

Nga dy shprehjet e fundit do tё marrim:

E

d ln Z d

Energjia e plotё e grimcёs nё lёvizje mund tё jetё e translacionit, rrotacionit dhe e lёkundjes

E  Etr  Er  El

z  z tr z r z l Z

1 ztr z r zl N N!

Pёr energjinё e lirё marrim shprehjen nga statistika klasike:

F  kT ln Z   1   F  kT ln  z trN   ln z rN  ln z lN    N!  

240 Pёr energjinё e lirё tё translacionit kemi shprehjen:

 1  Ftr  kT ln  z trN   N!  Pёr energjinё e lirё tё rotacionit kemi shprehjen:

Fr  kT ln z rN   NkT ln z r Dhe pёr energjinё e lirё tё lёkundjeve kemi shprehjen:

Fi  kT ln zlN   NkT ln zl Pёr dallim nga energjia e lirё e translacionit te energjia e lirё e rotacionit dhe e lёkundjeve mungon anёtari

11.3

1 , ngjashёm ndodh edhe me entropinё e sistemit. N!

Kuantimi i energjisё sё oscilatorit harmonik

Sipas fizikёs statistike klasike, energjia mesatare e oscilatorit linear harmonik ёshtё e barabartë me kT. Pavarёsisht nga vlera e frekuencёs sё lёkundjes, ky rezultat ёshtё i njëjtë pёr tё gjithё oscilatorët harmonikë. Nё statistikёn klasike kemi supozuar se energjia mesatare e oscilatorit harmonik ndryshon nё mёnyrё tё vazhduar. Nё statistikёn kuantike, gjatё llogaritjes sё vlerёs mesatare tё energjisё sё oscilatorit harmonik, kemi nё konsideratё se spektri energjetik ёshtё i kuantuar. Kjo do tё kushtёzojё varshmёrinё e energjisё mesatare nga frekuenca e lёkundjes sё oscilatorit harmonik. Funksionin e Hamiltonit pёr oscilatorin linear harmonik:

H

p 2 m 2 2 q 2  2m 2

e barazojmё me energjinё e oscilatorit tё gjendjes kuantike n.

241

En 

p 2 m 2 2 q 2  2m 2

Sipas fizikёs kuantike, kjo ёshtё e pёrcaktuar me shprehjen:

En 

 2n  1 2

Nё rrafshin fazor, relacioni i parafundit, ёshtё ekuacion i elipsёs me gjysmëboshtet:

an 

2En , m

1



bn  2mEn

Ndërsa sipёrfaqja e elipsёs ёshtё:

 n  a n bn 

2E n



Fig.42 Spektri energjetik i oscilatorit linear harmonik

Diferenca e sipёrfaqeve tё dy elipsave kufitare, ёshtё:

 n   n1  a n bn  2

E n  En1

Pas zёvendёsimit do tё marrim:

En  En1  

 n   n1  an bn  2  h



242 Nё rrafshin fazor, çdo niveli energjetik tё oscilatorit linear harmonik, i shoqёrohet sipёrfaqja h. Pёr sistemet njёdimensionale, kjo sipёrfaqe ёshtё e barabartё me madhёsinё e celulёs fazore.

gn  1

Nё çdo nivel energjetik tё oscilatorit linear harmonik, ndodhet njё celulё fazore.

Pёr llogaritjen e energjisё mesatare, marrim nga paragrafi i mёparshem, relacionin:

E 

d ln z d

Shuma statistike e oscilatorit harmonik, ёshtё: 



n 0

n 0

z   g n e  En   g n e

ze



 2



 2 n 1n 2

z



  2

e

 n

n 0

(1  e    e 2   e 3    )

1  e    e 2   e 3     



e

1 1  e  

 2

e 1  e  

Pas zёvendёsimit do tё marrim energjinё e gjendjes themelore (anёtari i parё) dhe nergjinё mesatare tё ngacmimit termik nё temperaturёn T (anёtari i dytё).

E

  2

 e

 kT

1

E redukojmё relacionin e fundit pёr temperatura tё larta dhe temperatura tё ulёta. Nёse energjia termike kT ёshtё shumё mё e madhe se sa

 , kT  

     1 kT    1 1              1    kT     2 2 2   2 kT        1   e kT  1  kT  2kT   

243 Pёr temperatura tё larta, kemi pёrputhshmёri me statistikёn klasike:

kT   ,

E  kT

Pёr temperatura mjaft tё ulёta, do tё kemi:

kT   

  E  e kT 2

Energjia mesatare e ngacmimit termik, pёr oscilator harmonik tё frekuencave tё larta, ёshtё shumё e vogёl. Pёr temperatura tё ulёta, oscilatorët e frekuencave tё larta praktikisht mbesin nё nivelin energjetik themelor. Varshmёria e energjisё mesatare tё oscilatorit harmonik nga temperatura ёshtё treguar nё figurёn 42. Nё zeron absolute ajo ёshtё e barabartё me energjinё e gjendjes themelore

 2

Kurse pёr temperatura tё larta nё mёnyrё asimtotike i afrohet vlerёs klasike kT.

Fig. 42

Energjia mesatare e oscilatorit harmonik njëdimensional si funksion i temperaturës

Supozojmё se lёkundjet e atomeve nё molekulё janё harmonike dhe do tё marrim kontributin e lёvizjes lёkundёse nё kapacitetin termik pёr molekulat dyatomike tё gazit. E derivojmё shprehjen e mёsipёrme: 

dE e kT     k  2 dT  kT      e kT  1     2

244 Duke e shumёzuar relacionin e fundit me konstantёn e Avogadros, pёr kontributin e lёvizjes lёkundёse nё kapacitetin termik pёr molekulat dyatomike tё gazit, do tё kemi:

Cl  N A

 kT

dE e     R  2 dT  kT     kT  e  1     2

Pёr temperatura tё ulёta, pёrafёrsisht do tё kemi: 

    kT , kT   C l  R  e  kT  2

Sa më e ulёt qё ёshtё temperatura pёr aq mё i vogёl do tё jetё kontributi i lёvizjes lёkundёse nё kapacitetin termik tё gazit. Nё limit tё temperaturave tё larta, kemi:

Cl  R , kT   Nё temperatura mjaft tё larta, pёr lёkundjet e atomeve nё molekulat dyatomike mund tё marrim modelin klasik tё oscilatorit harmonik. Energjia ёshtё e barabartё me kT dhe kontributi i lёvizjes lёkundёse nё kapacitetin termik tё gazit ёshtё e barabartё me konstantёn universale tё gazrave R.

11.4

Numri i gjendjeve kuantike nё intervalin e impulsit dp

Sipas statistikёs klasike grimcat e ruajnё individualitetin e vet. Grimcat identike mund tё dallohen dhe nё çdo moment zёnё vend me pozitё plotёsisht tё caktuar nё hapësirёn fazore. Nё statistikёn klasike kemi nё konsideratё kёto supozime: a)

grimcat identike mund tё dallohen ndermjet veti;

b)

nё çdo mikrogjendje mund tё vendosen numër i çfarëdoshëm i grimcave;

c)

nё statistikёn klasike ёshtё e definuar celula elementare me vёllim mjaft tё vogёl

 n.

245 Nё statistikёn kuantike vijnë nё shprehje relacionet e papёrcaktueshmёrisё tё Heisenbergut . Pamundёsia e pёrcaktimit ekzakt tё gjendjes sё grimcёs nё hapësirёn fazore nxjerr jashtё pёrdorimi supozimin e fizikёs statistike klasike pёr individualitetin e grimcave. Kёshtu nё statistikёn kuantike nuk vlen shpërndarja e Boltzmannit. Dallimin ndёrmjet statistikёs klasike dhe statistikёs kuantike nuk duhet kuptuar si ndёrrim i kuptimeve tё ligjeve tё fizikёs statistike por vetëm ndёrrim tё metodave nё pёrcaktimin e numrit tё mikrogjendjeve tё sistemit. Ky dallim vie nё shprehje edhe nga dallimi ndёrmjet sistemeve mekanike dhe atomike. Nё qoftё se përdorim shpërndarjen klasike tё Maksuell- Boltzmanit nё fotone do tё fitojmё ligjin pёr rrezatim i cili pёrputhet me eksperimentin vetëm pёr frekuenca shumё tё ulëta, kurse nё zonёn tjetër tё frekuencave do tё marrim shpërputhje me eksperimentin. Prandaj, statistika kuantike bazohet nё formulimin se: a)

grimcat identike nuk mund tё dallohen ndërmjet veti;

b)

celula elementare fazore pёr sistemet me n-gradё lirie ёshtё h , ku h ёshtё n

konstanta e Planckut; c)

ekzistimi i gjendjeve diskrete tё sistemit;

d)

pamundёsia e pёrcaktimit tё njëkohshëm tё pozitёs dhe impulsit.

Hapësirёn fazore e ndajmë nё vёllime tё vogёla

i qё i shënojmё me indeks i . Nё vёllimin

i ka N i grimca. Çdo vёllim i pёrmban numër tё caktuar tё celulave elementare me vёllim h . Numrin e celulave elementare nё vёllimin 3

i e shënojmё me g i .

Kёrkojmё numrin e gjendjeve kuantike qё i pёrgjigjen grimcёs nё gjendjen energjetike Grimcёs i i pёrgjigjet vёllimi

.

i nё hapësirёn fazore. Atёherё pesha statistike e kёsaj

gjendjeje energjetike paraqet numrin e celulave elementare h nё kёtё vёllim 3

gi 

i

i .

i h3

Nёse marrim nё konsideratё vetёm ato grimca vektori i impulsit i tё cilave shtrihet ndёrmjet dy sferave me rreze p dhe p  dp . Atёherё vёllimi i hapësirёs fazore qё i korrespondon kёsaj shtrese tё sferёs me trashësi dp ёshtё:

d p   V 4p 2 dp Ndërsa pesha statistike korresponduese ёshtё:

246

dg 

Pёr rastin jorelativist grimcёs ёshtë:

d V 4p 2 dp  h3 h3

v  c dhe kur grimca nuk posedon energji potenciale, energjia e p2  2m p  2m 

Nga shprehja e fundit kemi:

,

dp  2m

1 2 

d

Pas zëvendёsimit do tё marrim:

dg 

4V 1 d 2m 2m 3 h 2 

numrin korrespondues tё gjendjeve kuantike tё grimcёs nё intervalin e energjisё

dg 

11.5

5 2

2 Vm h3

3 2

 ,   d 

 d

Probabiliteti statistik

Vёshtrojmё sistemin prej N grimcave tё cilat mund tё ndodhen nё nivelet energjetike me energji pёrkatёse

 1 ,  2 ,...,  i ,... si në figurën 43

Fig.43

247 Prej tё cilave:

N 1 grimca janё tё vendosura nё nivelin energjetik me energji  1 ;

N 2 grimca janё tё vendosura nё nivelin energjetik me energji  2 , dhe N i grimca janё tё vendosura nё nivelin energjetik me energji  i . Me kёtё ёshtё definuar njё makrogjendje e sistemit. Çdo grimce i pёrgjigjet njё pikё fazore, kurse çdo gjendje energjetike i pёrgjigjet njё celulё fazore d.m.th.

N 1 pika fazore janё tё vendosura nё celulёn e parё fazore, N 2 pika fazore janё tё vendosura nё celulёn e dytё fazore, N i pika fazore janё tё vendosura nё celulёn e i –tё fazore etj. Pёrcaktojmё probabilitetin statistik tё kёsaj makrogjendjeje tё sistemit d.m.th. numrin e mikrogjendjeve me tё cilat realizohet makrogjendja me kёtё shpёrndarje tё grimcave. Kёrkojmё numrin e mundshem tё radhitjes tё

N i grimcave dhe g i celulave elementare fazore.

Nё vendin e parё mund tё vendosim cilën do celulё elementare, mundёsi tё tilla janё ndërrojmё tё gjithё indeksat tjerё tё mbetur do tё kemi ( g i

g i nёse i

1  N i ) mundёsi tё tilla. Numri i

pёrgjithshëm i pёrmutimeve tё grimcve nё gjendjen energjeike i ёshtё

g i  1  N i ! .

Duhet tё kemi nё konsideratё qё grimcat ndёrmjet veti nuk dallohen, prandaj përmutimi reciprok i tyre nuk na jap mikrogjendje tё re. Numri i tillё i përmutimeve ёshtё

N i ! . Edhe pёrmutimi i

celulave me grimcat e tyre nuk na jep mikrogjendje tё re, numri i tillё i permutimeve ёshtё

gi!.

Kёshtu numri i mikrogjendjeve qё i pёrgjigjet nivelit energjetik i ёshtё:

Pi 

g i g i  1  N i ! g i g i  1  N i ! g i  1  N i !   g i  1! N i ! gi !Ni ! g i g i  1! N i !

Çdo mikrogjendje e njё niveli energjetik mund tё kombinohet me tё gjitha mikrogjendjet e niveleve tё tjera energjetike atёherё numri i pёrgjithshëm i mikrogjendjeve tё sistemit do tё jetё:

P   Pi  

g i  1  N i ! g i  1! N i !

248 Kjo shprehje pёrcakton probabilitetin statistik d.m.th. numrin e mikrogjendjeve qё i pёrgjigjet shpёrndarjes sё grimcave sipas niveleve energjetike. Meqё kemi tё bejё me numër shumё tё madh tё grimcave, mund tё pёrdorim formulёn e Stirlingut:

g 1 N

i i  gi 1  Ni    e   P g i 1 Ni  gi 1  Ni       e   e 

dhe do tё kemi vlerёn e pёrafërt:

P

g i  1  N i g 1 N g i  1g 1 ( N i ) N i

i

i

i

11 .6 Shpёrndarja kanonike kuantike

Kёrkojmё shpёrndarjen e grimcave me probabilitet mё tё besueshëm, kёtё shpёrndarje e quajmё shpёrndarje kanonike. Probabiliteti statistik (termodinamik) pёr kёtё shpёrndarje ka vlerё maksimale. Po ashtu edhe entropia ka vlerё maksimale. Variacioni i entropisё

S  k ln W pёr

shpёrndarjet kanonike ose pёr gjendjet me vlerё maksimale tё entropisё do tё jetё i barabartё me zero.

S  0 Kёtu duhet tё plotёsohen dy kushte: numri i pёrgjithshëm i grimcave dhe energjia e pёrgjithshme e sistemit duhet tё jetё konstante

N   N i  konst. , Variacioni sipas

E   N i  i  konst.

N i ёshtё

N

i

0,

  N i

i

0

Vlera e entropisё pёrcaktohet me relacionin:

S  k ln W  k ln 

g i  1  N i g 1 N g i  1g 1 ( N i ) N i

i

i

i

Prodhimin e logarimit e shkruajmё si shumё tё logaritmeve:

249

g i  1  N i g 1 N S  k  ln g i  1g 1 ( N i ) N i

i

i

i

S  k  g i  N i  1ln g i  N i  1  g i  1ln g i  1  N i ln N i 

Tashti variacioni i entropisё do tё jetё:



S  k  N i ln g i  N i  1  g i  N i  1 

 1 1 N i  N i ln N i  N i N i   0 g i  N i  1 Ni 

ose

lng

i

 N i  1  ln N i N i  0

Pёr shkak tё kushtit

N

i

0,

  N i

i

 0 tё gjitha variacionet N i nuk janё ndёrmjet

veti tё pavarura. Qё tё lirohemi nga variacionet e varura

N i

e shumёzojmё kushtin e parё me

  kurse tё dytin me   dhe relacionet e fituara i mbledhim me relacionin e fundit.

lng

i

 N i  1  ln N i N i   N i     i N i  0

ose

lng I zgjedhim



dhe



i

 N i  1  ln N i     i N i  0

tё tillё qё kёto variacione tё varura tё jenё tё barabarta me zero.

Shprehja e fundit qё tё jetё gjithnjë e barabartё me zero duhet qё tё gjithё koeficientët tё jenё tё barabartё me zero.

ln g i  N i  1  ln N i     i  0

250

ln

gi  Ni 1     i Ni

gi  Ni 1  e   i Ni

E zgjidhim këtё shprehje sipas



Ni



N i e   i  1  g i  1

Ni 

gi  1 e 1    i

Shprehja e fundit pёrcakton numrin e grimcave nё secilёn gjendje me energji shpёrndarjen mё tё besueshme. Nё qoftё se pesha statistike

i

nё

g i ёshtё numër shumё i madh

qё nё raste tё shumta edhe ёshtё, atёherё njëshin nё numёrues e neglizhojmё.

Ni 

gi e

   i

1

g i

,

 1

Kёtё shpёrndarje e realizoi S.N.Boze ndërsa e diskutoi dhe e aplikoi nё gaze A.Ajshtajni. Natyrёn e koeficientëve



dhe



e shohim kur e llogarisim entropinё e sistemit nё

shpёrndarjen mё tё besueshme.

g  N i  1g  N 1 S  k  ln i g i  1g 1 ( N i ) N i

i

i

i

 g  N  1  gi 1  g  N  1  Ni  i i    i     k  ln  i N  g i  1  i   

   Ni  g  1    N i ln 1  i  S  k  g i  1 ln 1   N g 1 i i     

E zëvendёsojmё

N i dhe marrim vlerёn maksimale tё entropisё sё sistemit:

251





  1      i S m  k  g i  1 ln 1     i 1    N i ln 1  e 1  e   Prej nga:

1

1 e   i  1



e   i 1     i e  1 1  e    i

  1   S m  k  g i  1 ln   N i    i     i  1 e   



S m  k  N i k  N i  i  k  g i  1 ln 1  e    i



N   N i  konst. , E   N i  i  konst.

nё bazё tё kushtit



S m  kN  kE  k  g i  1 ln 1  e    i



kemi fituar entropinё e sistemit nё funksion tё energjisё sё pёrgjithshme dhe numrit tё pёrgjithshëm tё grimcave tё sistemit. Kёtё entropi e derivojmё sipas kёtyre madhёsive pёr vёllim konstant tё sistemit:

 S m     k ,  E  NV

 S m     k  N  EV

I krahasojmё kёto shprehje me definicionin e temperaturёs dhe potencialit kimk:

1  S     ,  E  NV T

Prej nga:



1 , kT

  S     T  N  EV

 

 kT

252

Rezutatet e fundit tregojnё se koeficienti lёvizjes kurse koeficienti





paraqet raportin e potencialit kimik dhe kёsaj energjie.

gi

Ni 

Dhe pёrfundimisht do tё kemi:

i 

e

Pёr vlera tё mëdha tё koeficientit

gi

Ni 

 i 

e

Zëvendёsojmё

e   A ,

paraqet vlerёn reciproke tё energjisё termike tё

kT

,

g i

 1

1

 , e  1 , njëshin nё emërus mund tё neglizhojmё:

 e  g i e   i

kT

N i  Ag i e   i , (  1)

Kjo shprehje ёshtё identike me shpёrndarjen e Maksuell-Boltzmanit. d.m.th. pёr

  kT

statistika e Boze-Ajnshtajnit kalon nё statistikёn klasike tё Maksuell- Boltzmanit kurse koeficienti

 

11.7

 kT

paraqet masё tё afrimit tё kёsaj statistike.

Shpёrndarja sipas mikrogjendjeve

Shpёrndarjen e grimcave sipas niveleve energjetike e shqyrtojmё nё njё mёnyrё tjetёr. Nё vend tё numrit tё grimcave

N i me energji  i qё i pёrgjigjet shpёrndarjes mё tё besueshme tashti

kёrkojmё numrin korrespondues mesatar tё grimcave nё secilёn mikrogjendje. Tё gjitha grimcat qё nё njё momenent ndodhen nё njё mikrogjendje me energji

i

i mendojmё si

grimca tё njё nënsistemi pothuaj se tё mbyllur. Nënsistemi ndodhet nё bashkëveprim tё dobёt me rrethinёn duke shkёmbyer vetёm grimcat. Pёr efekt tё kёtij bashkëveprimi disa grimca kalojnё nё mikrogjendje tjetёr me energji tё njëjtё ose tё ndryshme, por edhe grimca nga mikrogjendjet tjera mund tё vien nё kёtё mikrogjendje.

253 Nё qoftё se numri i grimcave qё e lёshojnё mikrogjendjen ose grimcat tjera qё arrijnё nё të nё njёsi tё kohёs ёshtё numër i vogёl krahasuar me numrin e pёrgjithshëm tё grimcave qё ndodhen nё mikrogjendje atёherё pёr nënsistemin themi se ёshtё nё veprim tё dobёt me rrethinёn ose me grimcat e tjera. Nё qoftё se me N i shënojmё numrin e grimcave nё mikrogjendjen me energji m

i .

Energjia e

kёtij nënsistemi do tё jetё:

  N im i dhe kjo ndryshon vetёm me ndryshimin e numrit N i . m

Qё tё pёrcaktojmё numrin mesatar tё grimcave

N im nё këtё mikrogjendje pёrdorim shprehjen

nga shpёrndarja e Gibsit pёr numër tё ndryshueshëm tё grimcave:

    N k      T ,V Ku

 ёshtё potenciali i madh termodinamik dhe pёrcaktohet me shprehjen:   kT ln   kT ln  e

N k  Eik kT

m. s

Me



kemi shënuar energjinё e nënsistemit nё nivelin energjetik i

  Eik  N im i .

Me qenё

se vlera e kёsaj energjie plotёsisht pёrcaktohet me numrin e grimcave N . Shumimi sipas m i

mikrogjendjeve nёpёr nivele energjetike ose nёpёr numrin e grimcave pёrputhet dhe shuma e mёsipёrme e dyfishtë mund tё kalojё nё shumё tё njёfisht. Potenciali i madh termodinamik i nënsistemit do tё jetё:

  kT ln  e

N im  N im i

m i

kT

m. s

Shumimi kryhet nёpёr tё gjitha mikrogjendjet, nёpёr tё gjitha vlerat e mundshme tё numrit tё grimcave: N i

m

nga 0 gjerё nё  ,

0,  .

 kT i m  i  kT ln   e N im  0  

   

Kjo shumё pёrbën njё seri gjeometrike. Që numri

N im

N im tё pёrcaktohet me shprehjen

    tё jetё i fundëm, kjo seri duhet tё konvergjon. N k      T ,V Kjo do tё jetё kur:

254   i

e

1

kT

 i  0 , atёherё   0

Meqё ky kusht duhet tё plotёsohet edhe pёr

d.m.th. potenciali kimik i sistemit nё shpёrndarjen e Boze-Ajnshtajnit gjithherё duhet tё jetё negativ. Nga matematika dihet se s  

a1 1 q

 kT i   e N im  0  

Tashti do tё marrim:

   

N im

 1 e

  i kT

e

2

  i kT

  

1 1 e

  i   im  kT ln 1  e kT 

  i kT

   

E zëvendёsojmё nё shprehjen e mёparshme, dhe do tё marrim:

  N im    

m i

e

  i kT

   kT  T ,V 1 e

1   i kT kT  e   i   i 

kT

1 e

kT

1

N im 

  i

e

kT

1

Shprehja e fundit pёrcakton numrin mesatar tё grimcave nё njё mikrogjendje me energji Numrin e pёrgjithshëm tё grimcave me energji pёrgjithshëm tё mikrogjendjeve

i

e fitojmё duke e shumёzuar numrin e

g i me N im

gi

N i  g i N im 

  i

e

kT

1

dhe pёrputhet mё shpёrndarjen mё tё besueshme pёr

g i  1

i

.

255 11.8

Paradoksi i Gibsit

Shqyrtojmë gazin ideal njëatomik. Hamiltoniani i këtij gazi është: N

H  i 1



1 pix2  piy2  piz2 2m



gjejmë shumën statistike: N

bp    Z  A e bH d  AV  e 2 m d 3 p       2

 AV N 2mkT  2 . 3N

b

1 kT

Ndërsa për energjinë e lirë të sistemit do të kemi: 3    F  kT ln Z  kT ln A  N ln V 2mkT  2   .   

Nga shprehja e fundit përcaktojmë shtypjen dhe energjinë e sistemit, dhe më këtë do të marrim ekuacionet e gjendjes për gazin ideal:

NkT  F  , P     V  V  T 3  bF  E    NkT .  b V 2 Nga dy shprehjet e fundit marrim:

E

3 PV . 2

Kurse entropia e sistemit të tillë është: 3   F    S     k ln A  N ln V 2mkTe 2   ,    T V 

256 Për dallim nga shtypja dhe energjija në shprehjen për entropinë kemi edhe madhësinë A. Kjo madhësi është vendosur gjatë kalimit nga shuma në integral dhe varet nga vëllimi i celulave kuantike në hapësirën fazore. Për sistemet me 3N gradë lirie konstanta A është proporcional me: A ~

1 . h 3N

Përcaktojmë konstantën e proporcionalitetit. Sistemin e përbërë nga N molekula të gazit ideal e ndajmë në dy pjesë. Me

N1

dhe

N2

shënojmë numrin e molekulave kurse me

V1

dhe

V2

shënojmë vëllimet e nënsistemeve. Shprehjet përkatëse për entropinë do të jenë: 3    S j  k ln A j  N j ln V j 2mkTe 2   ,   



j  1,2



3   S1  S 2  k ln  A1 A2   ln V1N1V2N 2  N1  N 2  ln 2mkTe 2  .  

Duke e marrë në konsideratë shprehjen:

N  N1  N 2 ,

do të kemi:

 A1 A2  V1  N1  V2  N 2  S1  S 2  S  k ln      .  A  V   V   Në qoftë se supozojmë që konstanta e proporcionalitetit në relacionin A ~

1 , h 3N

është e

barabartë me 1, atëhërë do të kemi:

A1 A2  A , dhe për shkak të

V  V1  V2 ,

do të kemi:

S1  S 2


1 ndërsa për

vlerat Re z=x≤1 duke përjashtuar rastin z=1 definohet si vazhdim analitik i këtij rendi. Për funksionin e Reimanit është zhvilluar teoria përkatëse dhe është treguar që ajo mund të paraqitet në formë të prodhimit të pafundëm.

 z   1  p  z 

1

,

(2)

Rendi (1) takohet edhe me degë të ndryshme të analizës si p.sh: në teorinë e rëndeve të Fourierit . Gjatë zhvillimit të funksioneve periodike me periodë 2 π në interval (-π, +π) të dhënë me shprehjen f(x)=xn , për vlera çift të n kur në fund të rezultit vihet x=π. Duke mos hyrë në detaje përmendim këtu vetëm disa vlera të tyre numerike me tri decimale:

 3  1,202;

 1  ;  2  3 2

2 6

;

    2,612;

 4  5 2

4 90

;

    1,341;

 5  1,037;  6  5 2

6 945

;

    1,127;

(3)

376

2. Integrali i formës 

x n dx Kn   x ; e 1 0

(4)

Vështrojmë tashti integralet e formës (4) të cilat takohen në statistikën e Bose-Einsteinit. Nëse shprehjen në emërues e transformojmë në mënyrën:





  1 1 1 x x 2 x x  kx   e 1  e  e      e e  e k 1x   x x x e 1 e 1  e k 0 k 0

ku

1/(1-e-x) paraqet shumë të rendit gjeometrik: 

Kn   x 0

Me zëvendësimin

t=(k+1)x ,



n

e k 0

 k 1 x



dx    x n e k 1x dx

dt=(k+1)dx ,

 



k 0

0

(5)

ky integral e merr formën: 



 tn 1 1 t dt Kn    e  t n e t dt   n1  t n e t dt  n n 1  k  1 k 0 k  1 0 k 0 0 k  1 l 1 l 0

Integrali i fundit paraqet gama funksionin Γ(n+1) kurse shuma sipas definicionit (1) paraqet funksionin ζ të Reimanit

ζ(n+1) me ç`rast fitojmë: 

x n dx  n1   n1 e x 1 0

Kn  

(6)

p.sh: për n=3 në bazë të tabelës (3) dhe formulës Γ(n)=(n-1)! e cila vlen për vlera të plota të numrit n, kemi: 

x 3 dx 4 K3   x  4    4   3! e 1 90 0 

Gjegjësisht:

x 3 dx  4 0 e x  1  15

(7)

377 

x n dx ex 1 0

Ln  

3. Integrali i formës

(8)

Në të njejtën mënyrë mund të llogariten edhe integralet e caktuara të tipit (8) të cilët lajmërohen në statistikën e Fermi-Dirakut, veprojmë sikur në rastin e mëparshëm:





  1 1 1 k kx x x 2 x x    1k e k 1x   e 1  e  e      e  1 e    x x x e 1 e 1 e k 0 k 0

Dhe do të kemi: 





Ln   x n   1 e k 1x dx    1 k 0

0

Zëvendësojmë:

k

t=(k+1)x,

k 0

k



n  k 1 x

x e

dx

(9)

0

dt=(k+1)dx . Ky integral transformohet në

 1k  t n e t dt    1l 1  t n e t dt  n 1  n 1  k 0 k  1 l 1 l 0 0 

Ln  

Integrali i fundit paraqet funksionin gama Γ(n+1). Ndërsa shuma mund të sillet në funksionin ζ të Reimanit (1) . Me mbledhje dhe zbritjen e shumës Σ 2/ln+1 në të gjitha vlerat çift l=2n 

 l 1



 l 1

 1l 1  l n1



 l 1

 1l 1  l n1



2

 2m

n 1

m1



 2 1 2  1     n 1 n 1 2 n1 m1 m n1 m1 2m  l 1 l



 1l 1   n  1  2 n  n  1  1  2 n  n  1 l n1

(10)

Me zëvendësimin e kësaj shprehjeje në formulën e mësipërme për Ln do të fitojmë që integralet e tipit të vëzhguar janë të barabartë me: 





x n dx Ln   x  1  2 n n  1 n  1 e 1 0

(11)

378 17. Problema të zgjidhur të fizikës statistike 1. Besueshmёria e goditjes sё njё objekti nga njëra armё ёshtё ёshtё

p1  0.7 kurse nga arma tjetёr

p2  0.8 . Tё pёrcaktohet besueshmёria e goditjes nё njё plotun, tё sё paku nga njëra

armё. Zgjidhja:

W  A  B  W  A  W B  W  AB  W  AB   W  AW B  0.7  0.8  0.56 W  A  B  W  A  W B  W  AB   0.7  0.8  0.56  0.94

Ose nё mёnyrёn tjetёr:

W  A  B   1  q1q2

q1  1  p1  1  0.7  0.3 q2  1  p2  1  0.8  0.2 W  A  B  1  q1q2  1  0.3  0.2  0.94

2. Njё objekt gjuhet 4-herё. Pёrcaktoni besueshmёrinё qё objekti tё goditet 3-herё dhe 1-herё. Besueshmёria qё objekti tё goditet ёshtё konstant dhe e barabartё me

p  0.4 . Zgjidhja:

W  A1   W  A2   W  A3   W  A4   p  0.4 q  1  p  1  0.4  0.6

W4 3  C43 q 43 p 3  40.6 0.4  0.1536 1

3

W4 1  1  q 4  1  0.6  0.87 4

379 3. Nё gropёn pambarimisht tё thellё homogjene potenciale, me gjerёsi a gjendet njё grimcё. Tё pёrcaktohet besueshmёria e gjetjes sё saj nё intervalin

x, x  dx duke e konsideruar lёvizjen e

grimcёs, si klasike. __________________________________________________________________ Zgjidhja: Ekuacionet e lёvizjes sё grimcёs janё:

p  

H , q

q 

H . p

Brenda gropёs potenciale ёshtё:

0 x a , H 

p  0

Prandaj,

x 

Le tё jetё q  x , atёherё:

p2 2m q 

dhe

p   0 dhe , p m

p m

x  0

Mund tё themi se nё gropёn potenciale, grimca lёviz me shpejtsi konstante. Besueshmёria e gjetjes sё grimcёs nё intervalin

x, x  dx ёshtё:

2dx 2a dw  v ku T  T v a

Nё qoftё se marrim:

a

atёherё

dw  f x dx 

1 dx a

a

1 0 dw 0 f x dx 0 a dx 1

4. Tё pёrcaktohet besueshmёria e gjetjes sё grimcёs nё intervalin

x, x  dx,

nё qoftё se grimca lёviz nё gropёn parabolike homogjene potenciale. ________________________________________________________________________ Zgjidhja: Le tё ketё grimca energjinё e plotё E. Ekuacionet e lёvizjes e kanë formёn:

p 2 kx2 H  , q  x, 2m 2 p  

H  kx , x

x 

x 

p m

H p  p m

380 Kurse ekuacioni diferencial i lёvizjes sё grimcёs e ka formёn:

x 

k x  0 ose m

x   2 x  0 ku

2 

k m

x  A cos t  B sin t

Zgjidhja e kёtij ekuacioni ёshtё:

t  0 , x0  a dhe x 0  0 .

Le tё jetё, nё momentin e kohёs: Atёherё:

x  a cos

2 t T

Besueshmёria e gjetjes sё grimcёs nё intervalin

dw 

dt x  T

x, x  dx, ёshtё: dt x  

ku

2dx 2dx  v x  x

x  vx   a sin t   sin t    a 2  a 2 cos 2 t   a 2  x 2

dw 

Prej nga kemi:

2dx   2 a  x 2

2



1

 a  x2 2

dx

5. Tё tregohet se vlera mesatare e shumës sё madhёsive tё rastit ёshtё e barabartё me shumёn e vlerave mesatare tё atyre madhёsive: Zgjidhja: Shqyrtojmё rastin e madhёsive diskrete, kur x merr vlerat

x1, x2,... me besueshmёri wx1 , wx2 ,..., kurse y merr vlerat y1 , y2 ,..., me besueshmёri w y1 , w y2 ,.... . Le tё jetё wxi , yk  besueshmёria qё njёkohёsisht tё vrojtohet vlera e

x i pёr njё madhёsi tё rastit dhe vlera e y k pёr tjetrёn.

Sipas pёrkufizimit tё mesatares, kemi:

x  y   xi  y k wxi , y k    xi wxi , y k    y k wxi , y k   i ,k

i

k

  xi  wxi , y k   y k  wxi , y k . i

k

k

i

i

k

381

Besueshmёria qё pёr ndryshoren x tё vrojtohet vlera ndryshores y, ёshtё:

x i pёr çfarёdo vlere tё

wxi    wxi , y k  k

Ngjashëm pёr y kemi:

w y k    wxi , y k  i

Prej kёtu rrjedh se:

 x  wx , y   x wx   x, i

i

i

k

i

k

i

i

 y  wx , y    y w y   y, k

k

i

k

k

i

k

k

x  y  x  y.

6. Tё tregohet se vlera mesaare e prodhimit tё dy madhёsive tё pavarura ёshtё e barabartё me prodhmin e vlerave masatare xy  x y __________________________________________________________________ Zgjidhja: Udhёzim: Vërtetimi bazohet nё teoremёn mbi shumёzimin e besueshmёrive pёr madhёsitё e pavarura

xy   xi y k wxi , y k   xi y k wxi   w y k   i

k

i

k

  xi wxi  y k w y k   xy i

k

7. Sistemi pёrbёhet nga N grimca tё njëjta statistikisht tё pavarura. Le tё jetё besueshmёria qё njёra prej atyre grimcave tё bie nё gjendjen p, e barabartё me p. Tё pёrcaktohet besueshmёria, qё nё atё gjendje tё jenё n grimca. Zgjidhja:

382 Meqenёse grimcat janё tё pavarura, besueshmёria qё n grimca tё ndhodhen nё gjendjen p ёshtё

p n 1  p 

N n

. Numri i mёnyrave nё tё cilat mund t`i zgjedhim n grimca tё çfarёdoshme

nga numri i pёrgjithshёm i grimcave, ёshtё i barabartё me numrin e kombinacioneve prej N elementeve sipas n. Prandaj, besueshmёria e plotё, qё n grimca tё zgjedhura nё mёnyrё tё çfarёdoshme tё gjenden njёkohёsisht nё gjendjen p, ёshtё:

wN n   C Nn p n 1  p 

N n



N! N n p n 1  p  N  n!n!

Kjo ёshtё shpёrndarja binomiale.

8.Tё pёrcaktohet besueshmёria e parashikimit tё tre dhe gjashtё numrave tё ``lotos`` Zgjidhja: Besueshmёria e nxerrjes sё njё numri tё çfarёdoshёm ёshtё e barabartё me 1/49.

Duke e

shfrytёzuar shpёrndarjen binomiale, fitojmё: 3

49!  1   48  w49 3      46!3!  49   49  w49 6 

6

46

49!  1   48      43!6!  49   49 

 0,06

43

 0,000416

9. Le tё jetё sistemi prej N grimcave i tillё qё N  n . Tё shqyrtohen dy raste : a)

N   ; b) n  N .

Zgjidhja: a) Hulumtojmё shprehjen:

wN n  

N! N n p n 1  p  N  n!n!

n  1  n  N! N wN n   p n 1  p     n!N  n ! n!  N  n

Pёr rastin

N  n

Ku n  pN ёshtё numri mesatar i grimcave nё gjendjen p.

N

383 Pёr

N   fitojmё wn   lim wN n  

n n e  n

N 

n!

Ky relacion ёshtё shpёrndarja e Poissonit. b) Le tё jetё tashti, jo vetёm N shumё I madh, por edhe n. Kjo do tё thotё se n dhe

n mund tё merren si numra tё mёdhenj ( nё krahasim me njёshin),

kurse ndryshimi

n  n  n .

Duke e logaritmuar shpёrndarjen e Poissonit dhe duke e shfrytёzuar formulёn e pёrafёrt tё Stirlingut

ln n! n ln n  n , fitojmё

wn   const  e



n  n 2 2n 2

Konstantёn e gjejmё nga kushti i normimit. Meqenёse n ёshtё i madh, shumimin mund ta zёvendёsojmё me integrim:

dwn   wn dn  f n dn 



1 2 n

e

n  n 2 2n2

dn

2

Fituam shpёrndarjen normale (tё Gausit) tё besueshmёrisё. 10. Gjatё lojёs me zar, tё gjitha faqet janё me besueshmёri tё njejtё. Ta shqyrtojmё lojёn nё tё cilёn luhet me pesё zare tё tilla. Tё gjendet besushmёria qё tё bie gjashtёshe: sё paku nё njё zar ; c) nё dy zare. Zgjidhja: a)

Besueshmёria qё tё bie cilado shifёr ёshtё 1/6. Duke e shfrytёzuar shpёrndarjen binomiale pёr N=5 dhe n=1 kemi:

5!  1    1!4!  6  1 5 w1  5   6 6 w1 

b) c)

w2 

1

4

5

5 5       0.4 6 6

2

4

6

5!  1   5  25         0,134 2!3!  6   6  56

a)nё njё zar; b)

384

11. Kёputja e qarkut elektrik mund tё ndodh pёr shkak tё daljes nga radhёt e elementit k ose dy elementeve

k1 dhe k 2 , tё cilat dalin nga radhët pavarёsisht

nga njёri- tjetri, me besueshmёri, pёrkatёsisht 0,3 ; 0,2; dhe 0,2. Tё pёrcaktohet besueshmёria e kёputjes sё qarkut elektrik Zgjidhja: Besueshmёria qё njёkohёsisht tё dalin nga radhёt elementet

wk1k2  wk1 wk2  0,2

k1 dhe k 2 ёshtё:

2

atёherё:

qk1k2  1  wk1k2  1  0,2 2 qk  1  wk  1  0,3 Besueshmёria qё tё mos del nga qarku elektrik as elementi k , as elementet

k1 dhe k 2 ёshtё:



q  qk qk1k2  1  0,3 1  0,2 2



Besueshmёria e kёrkuar ёshtё:





p  1  q  1  1  0,3 1  0,2 2  0,328 12. Besueshmёria e daljes nga radhёt (i shkyçjes) sё bllokut tё k-tё tё makinёs llogaritёse gjatё

wk k  1,2,..., n . Tё pёrcaktohet besueshmёria e shkyçjes gjatё

kohёs T ёshtё e barabartё me

intervalit tё pёrmendur tё kohёs qoftё edhe tё njёrit nga n blloqet e asaj makine, nё qoftё se tё gjitha janё tё pavarura. Zgjidhja: Besueshmёria qё pёr kohёn T tё mos prishet blloku i k-tё ёshtё qё pёr atё kohё tё mos prishet asnjё bllok ёshtё: n

n

k 1

k 1

q   q k  1  wk  Besueshmёria e prishjes e sё paku njё blloku ёshtё: n

w  1  q  1   1  wk  k 1

qk  1  wk . Besueshmёria

385 13.Le tё jenё zgjedhur nё mёnyrё tё rastёsishme 23 njerёz. Sa ёshtё besueshmёria qё sё paku dy prej tyre tё jenё tё lindur nё tё njejtёn ditё. Zgjidhja: Numri i pёrgjithshëm i kombinimeve tё mundshme prej 23 ditёve dy nga dy ёshtё N  365 , ku 365 ёshtё numri I ditёve nё vit. Numri I kombinimeve , 23

nё tё cilat ka 23 ditё tё ndryshme tё lindjes ёshtё:

N  n  365  364  ...  343 Besueshmёria qё, tё gjitha ditёt e lindjes tё jenё tё ndryshme ёshtё:

N  n 365  364  ...  343  N 365 23 Besueshmёria qё, jo tё gjitha ditёt e lindjes tё jenё tё ndryshme ёshtё:

w  1

N n 1  2   22    1  11  1      1    0,5 N  365  365   365 

14.Nё grumbullin prej n pajisjeve, k janё tё prishura. Tё pёrcaktohet besueshmёria qё nё mesin e n paisjeve tё zgjedhura me hamendje pёr testim, l prej tyre tё jenё tё prishura. Zgjidhja: Numri i mёnyrave tё mundshme tё zgjedhjes sё m pajimeve prej n, ёshtё C n . m

I volitshёm ёshtё rasti kur nga numri i pёrgjithshёm i pajimeve tё prishura, zgjedhim l prej tyre. m-l pajimet e tjera janё tё paprishura. m l

Ato janё marrё nga n-k i numrit tё pёrgjithshёm tё pajimeve (sasia e mёnyrave C n  k ). Numri I m l

rasteve tё volitshme ёshtё i barabartё me C k C n  k . l

w

Besueshmёria e kёrkuar ёshtё:

15. Tё gjendet funksioni i shpёrndarjes

C kl C nmkl C nm

 sipas kёndeve, pёr pikat tё cilat sillen

njёtrajtёsisht nёpёr njё rreth. Zgjidhja: Besueshmёria qё gjatё rrotullimit tё trupit, ai tё ndodhet nё intervalin e kёndeve d ёshtё

dw  d Nga kushti i normimit kemi

 dw   d   2  1 ,

prej ku



1 2

386

16. Sistemi karakterizohet me shpёrndarjen e besueshmёrive

dw ~ xydxdy Ku x dhe y shtrihen nё intervalet 0  x  a , 0  y  b .

Tё normohet shpёrndarja e besueshmёrive. Zgjidhja: Shpёrndarja e besueshmёrive tё sitemit ёshtё

dw =c xydxdy

Vlera e koeficientit tё proporcinalitetit c pëcaktohet nga kushti i normimit: a b

a2 b2 w    cxydxdy  c 1 , 2 2 0 0

c

4 , a b2 2

Shpёrndarja e besueshmёrive tashti ёshtё:

dw 

17.

4 xydxdy a b2 2

Tё gjendet numri mesatar i pikave, tё cilat biejnё nё rastin e njё hedhjeje tё zarit. ____________________________________________________________ Zgjidhja: Gjatё hedhjes sё zarit janё tё mundshme kёto ngjarje 1,2,3,4,5 dhe 6. Besueshmёria

e secilёs ngjarje ёshtё e barabartё me 1/6. Atёherё numri i

pikave qё biejnё gjatё njё hedhje tё zarit ёshtё:

1 1 1 1 1 1 n  1   2   3   4   5   6   3.5 6 6 6 6 6 6

18. Tё gjendet vlera mesatare e madhёsisё sё rastit, e cila i nёnshtrohet shpёrndarjes sё Poissonit. Zgjidhja: Vlera mesatare e madhёsisё sё rastit pёr shpёrndarjen e Poissonit gjendet nё ketё mёnyrё:   a 2a 2 3a 3 na n e  a na n kak  e a   e a     ...  n! 3! k! n 0 n 0 n!  1! 2! 

x

   e a e a a  a 

387

19. Të gjendet disperzioni

 Ax 2

për shpërndarjen e njëtrajtshme të madhësisë x në intervalin

prej a deri në b. ____________________________________________________ Zgjidhja:

x 

2

Disperzioni gjendet sipas përkufizimit :

b





  x  x f x dx 2

a

E transformojmë shprehjen nën integral:

x 

2

b





b

b

  x  2 x x  x f x dx   x f x dx  2 x  xf x dx  x 2

2

2

a

a

a

2

 x 2  2x x  x  x 2  x Duke i zëvendësuar vlerat x

2

dhe x

2

2

b

 f xdx  a

2

, fitojmë:

x 2  a  b

2

12

20. Të tregohet se shpërndarja e Poisson-it

a ne a n!

e plotëson kushtin e normimit. _____________________________________________________________ Zgjidhja: Shpërndarja e Poisson-it

a nea  n   n! tregon se besueshmëria që madhësia e rastit merr vlerën n . Për plotësimin e kushtit të normimit duhet bërë shumimin e besueshmërive të të gjitha vlerave n prej zero deri në pambarim:   a a 2 a3 a nea an ak   e a   e a 1           e a e a  1 n! k!  n 0 n 0 n!  1! 2! 3! 

 n   

388 21. Numri i elektroneve të emituara nga katoda e skuqur në njësi të kohës paraqet madhësi të rastit e cila sillet sipas ligjit të Poisson-it , dmth besueshmëria që në njësi të kohës të emitohen i elektrone është e përcaktuar me shprehjen:

ai ea i!

Wi 

,

0i

(1)

ku a është një parametër më i madh se zero që e karakterizon shpërndarjen. a) Të provohet se a plotësohet kushti i normimit : l

W

i

i 1

1

(2)

dhe të gjendet pastaj vlera mesatare i dhe disperzioni

i  i 

2

b) Sa është besueshmëria që në njësi të kohës të emitohet së paku një elektron dhe sa është besueshmëria që në njësi të kohës të emitohet cilido qoftë numër i elektroneve , më i madh se numri mesatar i elektroneve të emituara? Zgjidhja: a) Meqenëse madhësia diskrete e rastit i , gjegjësisht numri i elektroneve të emituara në njësi të kohës, shtrihet në intervalin 0  i   , të provuarit e kushtit të normimit (2) bëhet duke e gjetur shumën e serisë së pafundme: 



ai

W   i!  e i

i 0

Shuma



ai

 i!

i 0

a



 e a  i 0

ai i!

paraqet zbërthimin e Taylorit të funkcionit e

x

për x=a, prandaj:

i 0



W i 0

i

 e a e a  1

Nga përkufizimi i vlerës mesatare të madhsisë së rastit që e ka formën : l

x   xiWi ose i 1



x   xf x dx 0

varësisht se a është madhësia e rastit diskrete apo kontinuale, gjejmë :

(3)

389 

i  i i 0

  a i a ai al e  e a   e a   a i! i 1 i  1! l 0 l!

Meqenëse sipas përkufizimit , disperzioni (devijimi standard) i madhësisë së rastit është: l





D   xi  x Wi 2

i 1

ose

 x  x 



D

2

f x dx

(4)



i  i 

2

atëherë:





 i 2  i  ii  1  i  i 2

prej nga duhet ta përcaktojmë vetëm madhësinë :

2

(5)

ii  1

  ai a i 2 ii  1   ii  1 e a  a 2 e a   a 2 e a e a  a 2   i ! i  2 ! i 0 i 2

Në bazë të (5) rrjedh:

i  i 

2



i  i i 0

 a2  a  a2  a  i

 a i a a i 1 e  ae a   ae a e a  a i! i 1 i  1!

Ky rezultat sipas të cilit disperzioni i madhësisë së rastit është i barabartë me vlerën e saj mesatare është karakteristikë për shpërndarjen e Paisson-it. b) Besueshmëria e emisionit të së paku një elektroni gjendet më së lehti nëpërmjet besueshmërisë së ngjarjes komplementare, dmth të besueshmërisë që të mos emitohet asnjë elektron:

W i  0  e  a

Besueshmëritë W i  1 që në njësi të kohës të emitohet së paku një elektron dhe

W i  0 duhet ta plotësojnë relacionin:



W  A  W A  1

(6)

390 W i  1  1  e  a

prandaj:

Besueshmëria e emitimit të çfarëdo numri të elektroneve i , me kusht që i  i , gjithashtu mund të llogaritet nëpërmjet besueshmërisë së ngjarjes komplementare:

 

 

W i i  W i  i  1

 

a 

W ii 

e meqenëse:

i 0

a i a e i!

ku [a] është pjesa më e madhe e plotë e numrit a . Përfundimisht: a 

 

W i i  1  e  a  i 0

ai i!

22. Vrojtohen dy lloje grimcash. Besueshmëria që vëllimi i dhënë V të përmbajë j grimca të llojit të parë është e përcaktuar me shpërndarjen e Poisson-it me konstantën karakteristike a , kurse besueshmëria që të përmbajë k grimca të llojit të dytë është përcaktuar poashtu me shpërndarjen e Poisson-it por me konstantë tjetër karakteristike b . Duke supozuar se numrat e grimcave të llojeve të ndryshme në të njëtin vëllim janë të pavarur, të përcaktohet besueshmëria që vëllimi i dhënë V të përmbajë gjithsejt n grimca. _____________________________________________________________ Zgjidhja: Ngjarja A besueshmërinë e së cilës e kërkojmë (që vëllimi V të përmbajë n grimca)

realizohet nga njëra prej ngjarjeve Ai i  0,1,2,..., n  të cilat eliminohen ndërmjet veti n

A   Ai i 0

Këtu Ai shënon ngjarjen e cila tregon se V përmban i Dhe n  i

grimca të llojit të parë

grimca të llojit të dytë. Në këtë rast mund ta shfrytëzojmë relacionin :

W ( A)  W  A1   W  A2       W  Ak  (1) për besueshmërinë e ngjarjes A : n

W ( A)  W  Ai  i 0

mund të

391 Me qenë se numri i molekulave të llojit të parë i nuk varet nga numri i molekulave të llojit të dytë n  i , kjo do të thotë se besueshmëritë përkatëse janë të pavarura dhe me ndihmën e formulave

W ( B)  W B1 W B2  ... W BM 

a i a Wi  e , i!

dhe

(2)

0i

(3)

a i a b n1e b a i b n1e a b  e   n  1! i! i!n  1!

gjejmë

W  Ai  

prej nga fitojmë

W  A   W  Ai  

n

i 0

e   a b  n!



n!

 i!n  i ! a b i

n i

(4)

i 0

Shuma (4) paraqet pikërisht formulën e binomit në formë eksplicite për rastin

a  bn , ashtu

që përfundimisht gjejmë:

W  A 

a  bn e ab  n!

f x   Ax n e x , 2

23. Është dhënë densiteti i besueshmërisë

0 x

ku

a= konst kurse n është numër i plotë (n>1).

f x  .

a)

Të normohet funksioni

b)

Të shqyrtohet se a është e mundshme që të përcaktohet n ashtu që të plotësohet relacioni :

1  1  x     x2   2   x x  ________________________________________________________________________ Zgjidhja : 

a)Integrali

I  A x n e x dx 2

0

me zëvendësimin

x 2  z ,

1

ose x  z 2   

I

A z n  1 0 2  2



1 2

kthehet në Γ – funksion :

n 1 2 z

e dz 

A  n  1    n 1  2  2 2

392

n 1 2 A  n  1    2  2

Prandaj , në qoftë se është :

atëherë funksioni f x  është i normuar, d.m.th plotësohet kushti : 

 f x dx  1

(1)



c) Duke e shfrytëzuar funksionin e normuar të shpërndarjes dhe të njëjtin zëvendësim 1

x  z 2 



1 2

si nën a) gjejmë :

n    1 1 2  x   xf x dx      n  1  0    2  





x   xAx n e x dx  A x n1e x dx  2

2

0



x   Az

0

n 1 2





n 1 2

0

 ez 

1 2 



1

 z 2 dz 

n    1 A 2 2  x z e  z dz     n 1 1  n 1 n  1   0  2 2  2 2 2   2  

n 2

n    1 1 2  x     n  1     2 

n 1 2

393 

1

I  A x n e x dx  x n  z, x  z 2 2



1 2

1

, dx 

2 

0



n 2



n 2

 A z  e

z

0



A



2

z

n 1 2 0



2

z

n 1 2 0



1



A

e dz 

2

z n 1 

A

e dz 

2

n 1 11 z 2

e dz 

0

2

n 1 1 z 2

x

1

1 2 2  z dz  2

n 1 z 2



A

1



z 2 dz 

n 1 2

 n 1    2 

e dx n 

n 1  x

0







1 1 n x2 1 n 1 x 2     f x dx   A x e dx  A x e dx  x  x 0 x 0 0 n 1 



2 2 2  z  n  1  0    2 



n 1  2 2

n 1 2





2 z n   n 1 2 0  2  2 





n 1 z 2

e z



1 2

1

1 2  dz  2

2

n   2 e dz   n  1    2 

n 1 z 2



x 2   x 2 f x dx  A x 2 Ax n e x dx  2

0

0



A

z n 1  2

0

n 1 11 z 2

e dz 

394



x  A x 2

n 1  2 2

e

0

2



n 3  2 2

2





2 dx  z  n  1  0    2 

n  2 x 2

n 1  2 2



z

 n 1 0    2 

n 1  2 2

n 2 2





n 2 2

1

1

1 2 2  z dz  2

 n 3   1  2  z e dz    n 1    2 

n 1  n  2  n 1  n 1     2  2  2  2 







1 1 n x2  1  n 2 x 2  2    2 f x dx   A 2 x e dx  A x e dx  x x  0 x 0 0 n 1 



2 2 2  z  n  1  0    2 

2

 2

n 1  2 2

n 1  2 2

n2 2







n2 2

z

 n 1 0    2 

1

1

1 2 2  z dz  2

n 3  2 2

 n 1    2  2  z e dz     n 1  n 1    2 

Formojmë prodhimet:

n  n n   1   2   1 2  1 2  n 2 x       n 1 2 2  n 1   n  1   x         2   2   2 

n  1 2 n 1  1  x 2   2    2 n  1 n  1 x  Shohim se këto prodhime janë të barabarta për ato vlera të cilat e plotësojnë kushtin:

395 n 2   n  2   n 1 2 2  n 1  n 1     2 

(2)

Shohim se n nuk mund të merr vlera të plota sepse në atë rast në anën e majtë të ekuacionit (2) gjithmonë paraqitet numri transcedental π

1     , përderisa ana e djathtë është numër 2

racional.

24. Është dhënë densiteti i besueshmërisë së dy madhësive të rastit x1 dhe

x2 të përkufizuara me relacionin :

0  x1  a, 0  x2  b   Ax x , f x1 , x2    1 2  x1  0, x1  a, x2  0, x2  b  0, Të normohet funksioni f x1 , x2  dhe të gjenden vlerat mesatare të x1 x2 , x1 x2 dhe x1 x2 . 2

2

Sa është besueshmëria që ngarja e rastit me të cilën ka të bëjë ky desitet i besueshmërisë, të karakterizohet me ndryshoren e parë në intervalin x1 , x1  dx1  për vlera të çfarëdoshme të ndryshores së dytë. _____________________________________________________________ Zgjidhja: Ngjashëm me kushtin e normimit 

 f x dx  1



Funksioni f x1 , x2 

duhet ta plotësojë kushtin e normimit : 

  f x , x dx dx 1

2

1

2

1

 

në mënyrë që ta ketë kuptimin e densitetit të besueshmërisë për ndryshoret e rastit x1 dhe x2 . Në bazë të përkufizimit të funksionit f x1 , x2  në rastin e dhënë gjejmë:

396 

a b

1 21 2  f x1 , x2 dx1dx2  A0 0 x1 x2 dx1dx2  A 2 a 2 b Prandaj, funksioni do të jetë i normuar për A 

a b

a b

0 0

0 0

4 a b2



2

x1   x1 f x1 , x2 dx1dx2   x1 a b

a b

0 0

0 0

a b

0 0

vlerat e kërkuara mesatare do të jenë :

4 x1 x2 2 dx1dx2  a 2 2 3 a b

x2    x2 f x1 , x2 dx1dx2    x2

x12    x12 f x1 , x2 dx1dx2 



4 x1 x2 2 dx1dx2  b 2 2 ab 3

1 a 2

a b

1 x22   x22 f x1 , x2 dx1dx2  b 2 0 0 a b

4 x1 x2   x1 x2 f x1 , x2 dx1dx2  ab 3 0 0 ku e kemi shfrytëzuar funksionin e normuar f x1 , x2  dhe faktin se ky funksion është zero jashtë intervalit [ 0,a ] dhe [ 0,b ]. Besueshmëria dW që madhësitë e rastit t’i kenë vlerat ndërmjet x1 dhe x1  dx1 , përkatësisht ndërmjet funksionin f x1 , x2  :

x2 dhe x2  dx2 është e përcaktuar me

dW  f x1 , x2 dx1dx2 

4 x1 x2 dx1dx2 a b2 2

~

kurse në qoftë se na intereson besueshmëria d W , që vetëm madhësia e parë e rastit të ketë vlera ndërmjet x1 dhe x1  dx1 pavarësisht nga vlera e madhësisë tjetër, atëherë duhet integruar dW sipas të gjitha vlerave të mundshme x2 : ~

b

4 2 d W  2 2 x1dx1  x2 dx2  2 x1dx1 ab a 0

397 25. Oscilatori harmonik klasik lëkundet me frekuencë

 . Të gjendet

besueshmëria që gjatë matjes së rastit të pozitës së tij, ai të gjendet ndërmjet x dhe x  dx . Të shqyrtohet densiteti i fituar i besueshmërisë, gjegjësisht të llogariten vlerat mesatare x

, x

dhe disperzioni.

2

Sa është vlera mesatare e shpejtësisë së oscilatorit përgjatë trajektores ? _____________________________________________________________ Zgjidhja : Grimca e vrojtuar lëkundet sipas ligjit :

xt   a sin t

Perioda e lëkundjeve të saj është T 

2

. Për kohën



T 2

grimca kalon një herë nëpër të

gjitha pozitat, kështu që besueshmëria e kërkuar është :

dw 

Ku

dt 2dt  T T 2

dt është koha të cilën grimca e kalon ndërmjet x dhe x  dx . Me qenë se

shprehur nëpërmjet koordinatës do ta transformojmë ligjin e lëkundjes:

t

x arcsin     A 1

1

dx



A2  x 2

2

dx

dt 

Fitojmë:

dw 



A2  x 2  1 2 



Densiteti i kërkuar i besueshmërisë është:

f x  

1

1



A  x2 2

Mund të provojmë se funksioni f x  është i normuar.

(1)

dx A2  x 2

duhet

398 A



f x dx 

A

1



A

dx



A x 2

A



2

1

1

 A 1

Ad 1 

2

1





arcsin  

1 1

1

Vlerën mesatare e gjejmë nga përkufizimi: A

x   xf x dx 

A

1



A



A

xdx



A2  x 2

x 2   x 2 f x dx  A

1

 

1

d

0

1  2

  sin  :

dhe ngjashëm duke e bërë zëvendësimin:

A

A

A2



1



 2 d 1  2

1



A2





 2





sin 2  cos d A2  cos  2

2

Për disperzionin fitojmë:

A2 2

D  x 2  x   2

Shpejtësia përcaktohet me shprehjen:

v

dx  A cos t   A2  x 2 dt

dhe me integrim të drejtpërdrejtë gjendet edhe vlera e shpejtësisë mesatare përgjatë trajektores: A

A

v   vf x dx    A2  x 2 A

A

xdx A x 2

arcsin

2



1 A

x 1  A A

xdx x 1    A 1 x 1    A

2

2





dx

 A x 2

1 A

1 A

A A  x2 2

2



2



A

399 26. Aparatura pёrmban 2000 elemente tё sigurta, besueshmёria e dёshtimit tё tё cilave ёshtё 0,0005. Sa ёshtё besueshmёria e dёshtimit tё aparaturёs, nё qoftё se ajo fillon tё punojё me dёshtim qoftё edhe tё njёrit prej elementeve.Tё merret se shpёrndarja e numrit tё elementeve dёshtuese i nёnshtrohet shpёrndarjes sё Poissonit. Zgjidhja: Marrim se numri n i elementeve dёshtuese rastёsisht i nёnshtrohet ligjit tё Poissonit

ku

a n a wn   e n! a  Nw1  2000  0,005  1 .

Besueshmёria e dёshtimit e sё paku njё elementi nё aparaturё ёshtё: 

w   wn   1  e a  1  e 1  0,63 n 1

27. Tё gjendet

x , x 2 dhe x  pёr shpёrndarjen e normuar gausiane 2

f x  

 x e 

2

  x

,

-------------------------------------------------------------------------------Zgjidhja: Vlera mesatare e madhёsisё x ёshtё 

x







x  2





 x xe dx  0  2

 2 x   2 x  1  1 x e dx  x e dx    3      2  2 2

x 2  x 2  x 2 

2

1 2

400 28.

Densiteti i shpёrndarjes sё besueshmёrisё sё amplitudave tё rastit tё lёkundjeve anёsore tё anijes e ka formёn (ligji i Rayleihg-it) x2

x  2 f x   2 e 2 a , x  0 a Ku a- ёshtё çvendosja maksimalee anijes . Tё gjendet çvendosja mesatare e anijes gjatё kohes sё lёkundjeve Zgjidhja: x2



 2 1 x  2  x 2 e 2 a dx , a 0

t



x  2 2a  t 2 e t dt  2 2 2

0

29. Tё pёrcaktohet dendёsia e probabilitetit

x a 2

 4

aa

 2

.

 x  si funksion i kordinatёs pёr oscilatorin

linear harmonic? ________________________________________________________________________

Zgjidhja:

dW   x dx x  a sint   

a

  x dx  1 ,

dx  vdt

a

T 2

  x vdt  1

t 0

vT 2

 1,

 x  

2 vT

401 v

dx  a cost     a 1  sin 2 t    dt

v   a2  x2

 x  

2 T

2 T



a2  x2

1

 a2  x2

   0 cos

30.Lavjerësi matematik kryen lёkundje sipas ligjit

2 t. T

Tё njehsohet probabiliteti i ndeshjes sё lavjerësit nё intervalin kёndor

 ,  d  .

__________________________________________________________________ Zgjidhja:

dt 2dt  T T 2

dW 

d   0

dt  

dW 

dW 

2 2 sin tdt T T

d 2 2 0 sin t T T

2dt  T

d

 0 sin

dt  0

,

2 t T

d

  02   02 cos 2

d



2 t T

 0 1  cos 2



d

  02   2

2 t T

402 31. Probabiliteti qё vlerat e madhёsive x dhe y tё sistemit fizik tё gjenden pёrkatësisht nё

x, x  dx dhe  y, y  dy  , jepet me formulёn:

intervalet

dW x, y   Ce  x

2

 y2

dxdy ,

 0

a. Tё gjendet konstanta e normimit C nё qoftё se zonat e ndryshimit tё variablave x dhe y janё tё pafundme. b. Tё pёrcaktohet probabiliteti qё vlera e madhёsisё x tё jetё nё intervalin

x, x  dx

____________________________________________________________ Zgjidhja: Nga kushti i normimit do tё kemi:

a)



 



 

 dW x, y   1 ,

C

  Ce



 x 2  y 2

dxdy  1 ,

1  

 e



 x 2  y 2

dxdy

  

x2  y2  r 2 ,

C

dS  rdrd

dS  dxdy ,

1



2 

r   e rdrd 2

0 0

1 

r  e rdr 2

0

1

 2

1 2



 

b)

   2 2 dW x    dW x, y     e  x  y dy dx  y   

dW x  

 x  y    x e dx  e dy  e x dx  e dx      2

2

2

2

403

32. Tё pёrcaktohet besueshmёria

W x  qё madhёsia x ёshtё e shpёrndarë nё

mёnyrё tё njёtrajtshme nё intervalin Zgjidhja:

a, b . Tё pёrcaktohet edhe

dW   x dx b

b

a

a

 dW x    x dx  b  a   1 

1 , ba

dW x  

1 dx ba

x dhe x 2 .

404

x ba dx  ba 2 a

b

b

x   xdW x    a

1 a 2  ab  b 2 x 2 dx  ba 3 a

b

x2  

33. Densiteti i shpërndarjes së besueshmërisë së madhësisë së rastit x është i dhënë me funksionin

 x  

a . Të percaktohet konstanta a. e  e x x

__________________________________________________________________ Zgjidhja: 

  x dx  1





dx  1, x  e  e

a

a

x

1 dx  e x  e  x 



 ex  t dx e x dx I  x   x  2 x e x dx  dt  e  e 1  e

I  artge   artge  

a

1

 2



2



,

 2

 x  

0 

 2

2 .  e  e x



x



405 34. Sistemi përbëhet prej n grimcave secila prej të cilave mund të gjendet me të njëjtën besueshmëri 1

N

në çdonjërën prej N celulave ( N > n) . Të gjendet besueshmëria:

a) që në n celulat e dhëna të gjendet nga një grimcë dhe b) që në cilatdo prej n celulave të gjendet nga një grimcë. Të shqyrtohen posaçërisht këto tre raste: I.Si njësoj të besueshme konsiderohen të gjitha shpërndarjet e mudshme të cilat dallohen jo vetëm me numrin por edhe indiviualitetin e grimcave , kurse në çdonjërën celulë mund gjendet cilido numër i grimcave, prej 0 deri në n . Ky rast i përgjigjet statistikës Boltzmanit. II. Grimcat ndërmjet veti nuk dallohen , kurse në çdonjërën celulë mund të gjenden prej 0 deri në n grimca , që i përgjigjen statistikës së Bose-Einstein-it. III.Grimcat nuk dallohen ndërmjet veti , por në secilën celulë mund të gjendet një ose asnjë grimcë . Ky është rasti i statistikës së Fermi-Dirac-ut. ________________________________________________________________________ Zgjidhja: I. Numri i përgjithshëm i shpërndarjeve të

mundshme është i barabartë me numrin e

mënyrave sipas të cilave n elemente prej gjithsej N elementeve mund të zgjidhen edhe të renditen . Kjo paraqet variacionet e klasës n prej N elementeve, ashtu që numri i kërkuar është Nn. Meqenëse numri i shpërndarjeve të pajtueshme në rastin a) i përgjigjet numrit të permutacioneve prej n elementeve , d.m.th.: n! , atëherë besushmëria e kërkuar është

Wa 

n! Nn

Për rastin b) kemi: numri i shpërndarjeve të pajtueshme është:

N N!  n! N  n  n që paraqet numrin e variacioneve të klasës n prej N elementeve pa përsëritje . Për besueshmërinë gjejmë:

Wb 

N! N  n! N n

406 II.Numri i shpërndarjeve të mundshme është i barabartë me numrin e mënyrave në të cilat n elemente mund të zgjedhen nga gjithsejt N0 elementeve , me ç’ rast çdo element mund të merret për çfarëdo numri herë , që i përgjigjet numrit të kombinacioneve me përsëritje:

N  n  1! N  1!n! Për rastin a) numri i rasteve të pajtueshme tashti është i barabartë me 1, dhe për besueshmëri kemi:

Wa 

n!n  1! N  n  1!

Për rastin b) numri i rasteve të pajtueshme është i barabartë me numrin e mënyrave në të cilat mund t’i zgjedhim pa përsëritje n elemente prej gjithsej N (kombinacioneve pa përsëritje):

N N!     n  N  n !n! prej nga:

Wb 

N  1! N! N  n! N  n  1!

III.Numri i shpërndarjeve të mundshme është i barabartë

me numrin e kombinacioneve pa

përsëritje:

N! N  n !n! Meqenëse në rastin nën a) numri i shpërndarjeve të pajtueshme është i barabart me një atëherë është:

Wa 

n!N  n  N!

Për rastin b) meqenëse numri i shpërndarjeve të pajtueshme është i barabartë me numrin e shpërndarjeve të mundshme, atëherë: Wb  1

407 35. Të përcaktohet vlera mesatare, dispersioni dhe devijimi standard i madhësisë së rastit x e cila i nënshtrohet shpërndarjes së Bernulit dhe Puasonit. _______________________________________________________________________ Zgjidhja: a)

Për shperndarjen e Bernulit do të kemi n

n

k 0

k 0

k   kWn k    kCnk p k q nk  p k  np p  q 

n 1

 np   ,

 n k k nk  n Cn p q  p  p  q   p k 0 p

p  q 1

Ndërsa për disperzionin do të kemi:

k 2  k 2  k

2

p

  n 2 p  p  q   np  = p p

 np  nn  1 p 2  np   np1  p   npq 2

Dk   npq ,  k   Dk   npq

b)

Kurse për shpërndarjen e Poasonit do të kemi:



k e  

k 0

k!

k  k

k 2  e  

 e  

  k    e   e    k 0 k! 

    2   e   e     2 2 e     2      

Dhe për dispersionin do të kemi:

k 2  k 2  k 2    2  2   ,

Dk    ,  k   Dk   

408 36.

Të përcaktohet vlera mesatare, disperzioni dhe devijimi standard i madhësisë x që i nënshtrohet shpërndarjes së besueshmërisë Gausiane.

f x  



1

 x  a 2

e

 2

2 2

________________________________________________________________________ Zgjidhja: 

x

 x f x dx  

2



z

Zёvendësojmë:

x



1

xa



 2

 x  a 2 2 2

dx 



, x  z  a dx  dz





 xe



 z  a e



z2 2

dz 



1





z2 2

a

x

2

 2

2  a

Dx   x 2  x 2 D x  



1

 2

2 D x   2

 x  a  e 2



 x  a 2 2 2





z

2

e



z2 2

dz   2



 x   Dx   npq



z2 2

 z e dz  2 e dz 2       0

a



dx 

xa



z

dx  dz



409

37. Gjatё matjes sё temperaturёs nё pika tё ndryshme tё sistemit, nё njё moment tё kohёs merren vlerat pasuese tё temperaturёs (nё C ). 10,2; 12,4; 14,5; 13,6; 0

11,4; 10,8. Tё njehsohet vlera mesatare dhe shmangia mesatare kuadratike. ________________________________________________________________________ Zgjidhja: Matjet e veçanta janё njё lloj tё mundshme, prandaj kemi:

1 1  n 6

Wi 

Sipas pёrkufizimit, vlera mesatare e temperaturёs ёshtё: n

t   t i wi , t  i 1

Dt   t 2  t

1 6 t i  12,15 0 C ,  6 i 1

2

t 2  t  t  147,6225 6

t 2   t i2 wi  i 1

t2 





1 10,22  12,42  14,52  13,62  11,42  10,82  6

1 104,04  153,76  210,25  184,96  129,96  116,64  899,61  149,935 6 6

Dt   t 2  t  2,3125 2

 t   Dt   t 2  t  2,3125 C  1,52 0 C 2

0

410

38. Madhёsia e rastit mund tё merr vlerat 0, 1, 2, 3, … me probabilitet qё ёshtё proporcional me

mx . Si duket funksioni i probabilitetit. x!

__________________________________________________________________ Zgjidhja:

mx . x! mx , f 0  f 1  f 2  f 3    1 f x   k x! m m2 m3 k k k k  1 1! 2! 3! f x  ~

 m m 2 m3  k 1         1 3!  1! 2!  k  e m

kem  1 ,

m x e m f x   x!

39.

Kemi pёrfituar shpërndarjen e Poisson-it

1     . 2

Tё tregohet se vlen shprehja

________________________________________________________________________ Zgjidhja: 

n    e  x x n1 dx  0



x  t2 dx  2tdt 



n   2 e t t 2 n2 tdt  2 e t t 2 n1 dt 2

0

n

1 , 2

2

0



2 1    2 e t dt 2 0

411



t  e dt  2

0

 2

1     . 2

40. Ёshtё dhёnё densiteti i besueshmёrisё nё formёn f x   Ae

x    

4

,

0  x   ,

shpërndarja e Drajvshtajnit. -

Tё pёrcaktohet konstanta A;

-

Vlera mesatare e madhёsisё sё rastit x ;

-

Vlera mesatare e katrorit tё madhёsisё sё rastit

-

Disperzioni

D x 

x 2 dhe

__________________________________________________________________ Zgjidhja: Konstantёn A e gjejmё nga kondita e normimit.





0

0

 f x dx  A e

x    

4

dx  1

Pёr zgjidhje tё integralit zëvendёsojmё: 4

x      1

3

1  dx   4 d 4   0,

x   4 x0



A e 0



 4





3 4



x  ,   

A   4 A  1  d  e  d     4 0 4 4 3

Kёtu kemi shfrytëzuar pёrkufizimin e gama funksionit Γ:

412 

n    t n 1e t dt 0

A 4

  1  A  4    4 

1    1 , 4

x

1

4

  4 f x   e   1    4

Me zëvendёsime tё njëjta gjejmё edhe vlerat pёrkatëse pёr x dhe



x  x 0

4 e 1   4



x2 

x    

4 x 2e  1     0 4

4

dx 





e 1 

  4

x    

4

dx 









1 2

0

2



1    0 4

e  

x2

1   2 d     1   4

1  4

3   4 d  2   1   4

Kurse disperzioni i madhësisё sё rastit x do tё jetё:

 3  1    4   2   D x   x 2  x 2   2          2  1   1   4   4    

1 3 1      2   4 4 2 1 2   2

41. Tё pёrcaktohet vёllimi dhe sipёrfaqja e sferёs nё hapësirёn n-dimensionale. Tё redukohet ky vёllim dhe kjo sipёrfaqe pёr rastet e veçanta pёr n  1,2,3 _____________________________________________________________________ Zgjidhja:

413 Vёllimi i sferёs nё hapësirёn me n- dimensione ёshtё proporcional me

R n , ku R

ёshtё rrezja e sferёs.

Vn  

    dx1dx2  dxn  C n R n x12  x22    xn2  R 2

Pёr pёrcaktimin e koeficientëve

C n e marrim nё shfrytëzim integralin:



J   e r dVn r   2

0

 





 x  x  x     e 1 2 n dx1dx2 dxn 2



2

2



Integralin e anёs sё djathtё e shprehim si prodhim tё n-integraleve, nё trajtёn: 

J  e

 x12





dx1  e



dx2   e  xn dxn

 x22

2





n

n  2  J    e  x dx    2 ,   

Integrali i Poisson-it

Kurse integralin e anёs sё majtë e zgjidhim nё mёnyrёn:

dVn  nCn r n1dr 

J  e

r 2



dVn  nC n  r n1e r dr 2

0

Zëvendёsojmё:

0

r t,



J  nC n 

dr 

 t

n 1

0



n    t n 1e t dt 0

e t

dt 2 t

dt 2 t



nC n  n2 1 t t e dt 2 0

414

J

nC n  n2 1 t nC n  n  t e dt     2 0 2 2 

J   e r dVn  2

0

nC n  n    2 2

I barazojmё tё dy integralet: n nC n  n      2 2 2

Prej nga i pёrcaktojmё koeficientët

Cn 

Cn n 2

2 n n  2

Me pёrcaktimin e koeficientëve

C n do tё pёrftojmё vёllimin e sferёs nё

hapësirёn e Euklidit me n- dimensione: n

2 2 Vn  C n R n  Rn n   n  2 Me zëvendёsim tё njëpasnjshëm tё relacionit pёr

n  n  1!n  1

n 1

n 1 1  1 dhe pёr   ,     .  2 2 Dhe pёr rastet e veçanta do tё kemi: n  1,2,3 marrim

V1  2R , -diametri i sferёs; V2  R 2 , - sipёrfaqja e rrethit; 4 V3  R 3 , -vёllimi sferёs nё hapsirёn tredimensionale. 3

415 Kurse sipёrfaqen e sferёs e pёrcaktojmё nё mёnyrёn:

dVn R   S n R dR n

2 2 dVn R   nR n 1 dR n n  2 Prej nga do tё marrim:

Sn 

Pёr

n  1,2,3

n 2

dVn 2  R n 1 dR n   2

do tё marrim:

S1  2 , S 2  2R , S 3  4R 2 Pёr rastin

S1  2 nuk mund tё japim interpretim gjeometrik.

42. Pёr sistemin e izoluar me N-grimca tё lira me masё m qё ndodhen brenda njё kutie kubike me brinjё l me faqe plotёsisht pasqyruese (nga ana energjetike). Tё llogaritet vёllimi i

Г – hapësirёs nё funksion tё energjisё.

_____________________________________________________________________ Zgjidhja: 3N

d   dqi dpi  dq1dq 2  dq s dp1dp 2  dp s , i 1

  l 3 N p n



 2

I n   e ar dVn    a  2



In   e 

 ar 2



dVn   e ar C n nr n1 dr  2



s  3N

416 

I n  nC n  e ar r n 1 dr  2



1

Zëvendёsojmё:

r t,

r2  t ,



1 I n  nC n  e at t 2  Zëvendёsojmё:

at  y ,

dt 

n 1 1  n 2



t dt 

n

1 1 nC n  e at t 2 dt 2 

dy a



In 

1 2 t dt 2

dr 

1  y nC n  e  y   2a a  n 

n 1 2



dy 

n

1   1 1 2 n In  nC n a 2  e  y y dy  nC n a 2   2a 2a 2 



n

n

1 2 n     e  y y dy  2   n

n

 2   In a Cn   n n 1 2  n  1 2  n  na   na   2 2 2 2

  2 n

Cn 

1 n n  2 2

  2 n



  2

n    1 2 

3N

p 

 3N    1  2 

2mE 

3N 2

  2

3N

  l p  l 3N

3N

n

1  1 1 2 nC n  e  y y a 2 dy 2a 

 3N    1  2 

2mE 

3N 2

417 43.

H   Hi

Hamiltoniani i njё gazi ideal mund tё paraqitet nё formёn

I

ku -

Hi

ёshtё hamiltoniani i njё molekule tё veçant tё sistemit.

Tё shprehet integrali statistik i gjithё gazit me anё tё integralit statistik tё njё molekule tё veçantë;

-

Tё pёrcaktohet energjia e lirё e gazit ideal;

-

Entropia, energjia mesatare dhe shtypja e gasit ideal.

_____________________________________________________________________ Zgjidhja: N N  H     pi   U ri    H i , i 1





z    e 







z    e 

qi  ri

i 1



H  qi , pi  kT



dqi dpi     e 



N

 i 1

H  ri , pi  kT







N

 i 1

H  qi , pi  kT

s

 dq dp i

i

i 1



s





i 1



 i 1

s

 dri dpi      e



H  ri , pi  kT

s

 dr dp i

i



i 1

N

    H ri , pi   z      e kT dx1 dy1 dz1 dp x1 dp y1 dp z1    

N

p2   U  xi       2m kT     e dx1 dy1 dz1 dp x1 dp y1 dp z1        

N

p        U ri    kT 2 mkT z     e dx1 dy1 dz1    e dp x1 dp y1 dp z1         2

 d 3 p  dp ,

d 3 ri  dV ,

U ri   0 N

    p  3n z  V     e 2 mkT dp x1 dp y1 dp z1   V N 2mkT  2   2

N

E  kT 2

 ln z 3  NkT , T 2

 F  S      T V

F  kT ln z NkT  F  p     V  V  T

418

44.Tё gjendet rendi i homogjenitetit i energjisё kinetike tё grimcёs sё lirё? Zgjidhja: Shprehja pёr energjinё kinetike e ka formёn:

mv 2 T v   2 Shkalla e homogjenitetit tё energjisё kinetike tё grimcёs sё lirё pёrcaktohet me shkallёn S , nё shprehjen:

T v   S T v  2  v 2 2 mv m 

gjegjësisht:

2 S 2

prej nga:

2

45. Tё tregohet se si, nga ekuacioni i Lagranzhit pёr grimcёn e cila ndodhet nё fushёn e jashtme, rrjedh ligji i dytё Njutonit. Zgjidhja: E zgjidhim problemin pёr rastin homogjen, kur q  x dhe

q  x  v .

Lagranzhiani i grimcёs ёshtё:

Lx, v, t  

mv 2  U x  2

  d  mv 2  d  d  mv 2    U x  U x       dt  dv  2   dx  2 

max  Fx ,

pasi qё

Fx  

U . x

46. Tё gjendet funksioni i Lagranzhit pёr grimcёn e ngarkuar nё fushёn Elektromagnetike? Zgjidhja: Nё qoftё se grimca ndodhet nё fushёn e forcave jokonservative, atёherё energjia e saj potenciale ёshtё funksion i kordinatave dhe i shpejtёsive tё gjeneralizuara, d.m.th:

419

Lq, q, t   T q, q   U q, q  dhe ekuacioni mund tё shkruhet në formën:

d T d U T U    0 dt q dt q q q 



Le tё jetё E intensiteti I fushёs elektrike kurse B induksioni magnetik, atёherё:

  1 A , E    c t ku

  B   A



 dhe A janё potenciali skalar dhe vektorial, përkatёsisht.

Forca e pёrgjithshme, e cila vepron nё grimcё, ёshtё forca e Lorencit:





  1    F  e E  v  B  c   



ose, duke e marrё parasysh formёn e E dhe B kemi:

     1 A 1  F  e    v   A  c t c  

 



Ekuacioni i fundit, mё e pёrshtatshme ёshtё, qё tё shkruhet nё formё tjetёr. Pёr këtё qёllim bёjmё njё zёvendёsim. Le tё jetё q  x ,

 x



 ; x

v    A 

x

 vy

Derivati

Ay x

x  v . T`i shqyrtojmё komponentet:

 vz

 Ay Ax  v y   y  x

  A A    v z  x  z   x   z 

A Ax Ax A Az  vx x  v y  vz  vx x x x y z x

Ax sipas kohёs ёshtё:

420

dAx Ax  Ax A A     v x  v y x  v z x  dt t  x y z  Pёrkatёsisht:

v    A 

x

Pёr komponentёn



 

   Ax Ax v, A   x t t

Fx vlen relacioni:    1    1 d      Fx  e    v A   Av     x c c dt  v   x   

 

Meqenёse

 nuk varet nga shpejtёsia, mund tё shkruajmё: Fx  

d.m.th madhёsia

U d U ,  x dt v x

U  e 

e  Av c

U ёshtё potenciali i pёrgjithёsuar nё formulimin e Lagranzhit dhe do tё thotё se

lagranzhiani i grimcёs sё ngarkuar, e cila lёviz nё fushёn elektromagnetike, mund tё shkruhet nё formёn:

L  T  e 

e  Av c

47. Tё shkruhet ekuacioni i Lagranzhit pёr oscilatorin harmonik njёdimensional? Zgjidhja: Ekuacionet e Lagranzhit pёr oscilatorin harmonik njёdimensional e kanё formёn:

L  T U ,

T

mx 2 , 2

d    L   L  dt  x  x prej nga:

mx  kx

U

kx2 2

421 x   2 x  0 , ku Zgjidhja e ekuacionit diferencial është:

2 

k m

x  a sin t

48. Tё zgjidhet ekuacioni i Hamiltoit pёr oscilatorin harmonik. Zgjidhja: Ekuacionet e Hamiltonit pёr oscilatorin harmonik e kanё formёn:

p 2 kq2 H q, p    ; 2m 2

q 

H p  ; p m

p  

H  kq q

Duke e eleminuar p nga kёto shprehje, gjejmё:

q   2 q  0 ,

2 

k , dhe q  q0 sin t m

p  mq  mq0 cos t

kurse

p  p0 cos t

49. Tё gjenden vlerat mesatare pёr energjinё kinetike dhe potenciale, pёr oscilatorin Harmonik? Zgjidhja: Pёr oscilatorin harmonik energjitё kinetike dhe potenciale janё:

T

p 2 m 2 q02  cos 2 t 2m 2

dhe

kq2 m 2 q02 U  sin 2 t 2 2 Vlera mesatare e

cos 2 t

ёshtё ( ngjashёm edhe pёr sin

2

t )

422

cos 2 t 

T

1 1 cos 2 tdt   T 0 2

Prandaj:

m 2 q02 T U  4

50.Tё pёrcaktohet trajektorja fazore e oscilatorit harmonik? Zgjidhja: Ekuacioni arametrik i lakores fazore ёshtё:

q  q0 sin t

p  p0 cos t Duke e eleminuar kohёn, fitojmё ekuacionin e elipsёs me gjysmёboshtet

q 0 dhe p 0

q2 p2  1 q02 p02

51.Tё provohet teorema e Liouvillit pёr pikёn materiale, e cila lёviz sipas inercisё. Zgjidhja: Hapёsirё fazore pёr njё pikё tё tillё materiale do tё jetё rrafshi p, q. Le tё paraqesim elementin e vёllimit tё hapёsirёs fazore, nё njё moment tё kohёs, nёpёrmjet prodhimit

dp0 dq0 . Me kalimin e kohёs, tё gjitha pikat e kёtij vёllimi fazor do tё zhvendosen paralelisht me boshtin q . Kjo zhvendosje do tё jetё aq mё e madhe, sa mё e madhe tё jetё koordinata

p . Prandaj elementi kёndrejt i vёllimit fazor, gjatё kohёs do tё merr formёn e paralelogramit. Madhёsia e elementit tё vёllimit fazor, me kёtё rast mbetet e njëjtё:

dq0 dp0  dqt dpt  .

52. Dy sfera elastike me rreze r , lёvizin pa fërkim pёrgjatё rrafshit horizontal. Tё paraqitet nё rrafshin e shpejtёsive

v1 , v2  pozita e vёllimit elementar dv1dv2

para goditjes dhe pas goditjes dhe tё tregohet se:

dv1dv2  dv1dv2 ku v1 dhe v 2 - janё shpejtёsitё e grimcave pas goditjes. Zgjidhja:

423 Hapёsira fazore pёr sistemin e dhёnё ёshtё katёrdimensional. Kushti i ruajtjes sё vёllimit fazor shkruhet nё formёn:

dv1dv2 dx1dx2  dv1dv2 dx1dx2 Meqenёse ёshtё: atёherё edhe:

dx1dx2  dx1dx2 dv1dv2  dv1dv2

53. Tё provohet teorema e Liouvillit pёr goditjen absolutisht joelastike ndёrmjet dy sferave. __________________________________________________________________ Zgjidhja: Pas goditjes dimensioni i hapёsirёs fazore tё sistemit, pjesëtohet pёr dy, ashtu qё sferat fillojnё tё lёvizin si njё tёrësi e vetme. Prandaj, jakobiani i transformimit ёshtё i barabartё me zero, si pёrcaktor nё matricёn e tё cilit ka dy rrjeshta tё njёjtё.

54. Tё provohet se vlen teorema e Liouville-it pёr rastin e goditjёs elastike ndёrmjet dy grimcave, tё cilat lёvizin sipas njё drejtëze. _____________________________________________________________________ Zgjidhja: Shёnojmё koordinatat dhe impulset e grimcave para dhe pas goditjёs, pёrkatёsisht, me

qi pi dhe q i , p i . Nga ligjet e ruajtjes sё impulsit, kemi relacionin:

p1  p2  p1  p2 dhe tё energjisё:

p12 p2 p 2 p 2  2  1  2 2m1 2m2 2m1 2m2 gjejmё:

p1 

m1  m2 2m1 p1  p2 m1  m2 m1  m2

p 2  

m1  m2 2m 2 p2  p1 m1  m2 m1  m2

424

Tashti e njehsojmё jakobianin e transformimit:

D

Sipas relacionit:

q1q 2 p1 p 2  q1 q 2 p1 p 2 

pi 0 q j

D

dhe

qi   ij q j

fitojmё

 p1 p 2   p1 p 2 

dhe

m1  m2 m  m2 D 1 2m1 m1  m2 Ёshtё e qartё se

2m 2 m1  m2 2 4m1 m2 m1  m2    1 m1  m2 m  m 2 m  m 2 1 2 1 2  m1  m2

D  1 , dmth. vёllimi fazor ruhet.

55. Tё provohet teorema e Liouvillit pёr tre oscilatorё harmonikë :

x1 

2 sin t , m 2

x2 

2    sin t , m 2

x3 

2 sin t    m 2

Zgjidhja: Koordinatat

x1 , x2 , x3 mund t`i marrim si koordinata tё gjeneralizuara. Atёherё, atyre iu

pёrgjigjen impulset e gjeneralizuara:

p1  2m cos t

425

p2  2m    cos t p3  2m cost    Sipёrfaqja e trekёndёshit e shprehur nёpёrmjet koordinatave tё kulmeve tё tij gjendet me formulёn:

x3 s  x2 x1

p3 1 1 p 2 1   p3 x2  p 2 x3    p1 x3  p3 x1    p 2 x1  p1 x2  2 p1 1

Duke i vendosur nё vend tё koordinatave dhe impulsive tё gjeneralizuara vlerat e tyre, fitojmё:

s

 1 2    2  sin t  2m    cos t sin t      2m cost    2 2 2 m m  



  2m cos t

2 2 sin t     2m cost    sin t   2 m m 2

  2 2      2m    cos t sin t  2m cos t sin t  2 2 m m  

s



1 2m   sin t cost     cos t sin t    2

s  m  sint    t 

s  m  sin  gjё qё vёrteton vlershmёrinё e teoremёs sё Liouvill-it pёr tre ocilatorёt harmonikë. 56. Aparatura pёrmban 2000 elemente tё sigurta, besueshmёria e dёshtimit tё tё cilave ёshtё 0,0005. Sa ёshtё besueshmёria e dёshtimit tё aparaturёs, nё qoftё se ajo fillon tё punojё me dёshtim qoftё edhe tё njёrit prej elementeve.Tё merret se shpёrndarja e numrit tё elementeve dёshtuese i nёnshtrohet shpёrndarjes sё Poissonit. Zgjidhja:

426 Marrim se numri n i elementeve dёshtuese rastёsisht i nёnshtrohet ligjit tё Poissonit:

a n a e n! ku a  Nw1  2000  0,005  1 . Besueshmёria e dёshtimit e sё paku njё elementi nё wn  

aparaturё ёshtё: 

w   wn   1  e a  1  e 1  0,63 n 1

57. Tё gjendet vlera mesatare e shkallёs sё n-tё tё madhёsisё absolute tё shpejtёsisё. Zgjidhja: Shpёrndarja e besueshmёrive pёr madhёsinё absolute tё shpejtёsisё ёshtё: 3

mv 2

 m  2  2 kT 2 dW  4  v dv  e  2kT  Atёherё: 3



3

mv 2

2  2kT  2  n  3   m  2  2 kT 2 n v n  4  v dv   e      m   2   2kT  0 Nё qoftё se

n ёshtё numer joçift n  2r  1, atёherё:

v

2  2kT      m 

2 r 1

kurse, nё qoftё se

2 r 1 2

r  1!

n ёshtё numer çift n  2r , atёherё: r

v

2r

 kT     2r  1!! m

58. Tё llogaritet numri i grimcave nё gazin, nё tё cilin komponenta x e shpejtёsisё shtrihet nё intervalin 0  v x  v x

0

Zgjidhja: Numri I kёrkuar I grimcave ёshtё: 1

n0 v

0 x v x

v0

mv 2

x  m  2  2 kTx  n dv x  e  2kT  0

427 Marrim madhёsinё e padimension

x

Atёherё:

n0 v

vx 2kT m

0 x v x



x0

n

x  e dx



2

0

Funksioni i pёrkufizuar me ekuacionin:

erf x0  

n



x0

e

 x2

dx

0

quhet integral i gabimit. Nё kёtё mёnyrё:

n0 v

0 x vx

    0 vx  n  .  erf  2kT  2    m 

59. Tё gjendet numri i molekulave, tё cilat goditen nё 1cm tё sipёrfaqes sё murit nё njёsi tё 2

kohёs dhe qё kanё komponentёn e shpejtёsisё, perpendikulare me murin, mё tё madhe se njё madhёsi e dhёnё

v0 .

Zgjidhja: 1

vvx  v0



1

mv 2

mv 2

 m  2  2 kTx  kT  2  2 kT0  n v x dx  n  e  e  2kT  v0  2m 

60. Tё gjendet numri i molekulave tё gazit qё goditen nё 1cm tё sipёrfaqes sё murit 2

pёr 1s dhe qё kanё shpejtёsi ndёrmjet

v dhe v  dv

Zgjidhja: Numri i molekulave nё njёsi tё vёllimit, shpejtёsitё e tё cilave shtrihen nё intervalin

v x , v x  dv x ; v y , v y  dv y ; v z , v z  dv z , ёshtё:

428 3

mv 2

 m  2  2 kT dn  n dv x dv y dv z  e  2kT  Zëvendёsojmё elementin e vёllimit tё shpejtёsive nё koordinata karteziane

dv x dv y dv z , me elementin e vёllimit nё koordinata sferike v 2 sin dddv . Atёherё: 3

mv 2

 m  2  2 kT 2 dn  n v sin dddv  e  2kT  Numri i molekulave, qё kanё shpejtёsi tё dhënё dhe qё arrijnё nё 1cm tё 2

sipёrfaqes sё murit, pёr 1s, ёshtё: 3

mv 2

 m  2  2 kT 3 d  v cos vdn  n v sin  cos dddv  e  2kT  Numri i molekulave, qё kanё shpejtёsi nё intervalin

v , v  dv dhe qё goditen nё

mur nёn kёnd tё çfarёdoshёm, ёshtё: 

3 2

 m  3 d   n  v e  2kT  3



mv 2 2 kT

2

2

0

0

dv  d  sin  cos d 3

mv 2

mv 2

1  m  2 3  2 kT  m  2 3  2 kT  n dv 2   n  dv  v e  v e 2  2kT   2kT  Integrali sipas kёndit Pёr



 2



merret prej

0 deri nё

 . 2

molekulat këthehen nga muri.

61. Tё tregohet se numri i goditjeve tё molekulave nё 1cm tё sipёrfaqes sё enёs 2

pёr

1s mund tё shkruhet nё formёn: nv  4 ku v ёshtё shpejtёsia mesatae e molekulave, kurse n ёshtё numri i molekulave. __________________________________________________________________ Zgjidhja:

429 Numri i molekulave me komponentёn e dhёnё

v x tё shpejtёsisё ( pёr vlera tё

çfarёdoshme tё dy komponenteve tё tjera v y dhe

v z ) nё njёsi tё vёllimit,

ёshtё: 

2n

n   0 

 kT 3

e





 d

kT

0

1

mv 2

 m  2  2 kTx  n dv x  e  2kT  Numri i molekulave qё ndodhen nё paralelopipedin me vёllim numerikisht tё barabartё me

v x , ёshtё:

  0 Numri i plotё i goditjeve nё 1cm tё murit pёr 2

1



1s ёshtё:

1

mv 2

 x kT n 8kT nv  m 2  m  2 2kT   n n     v x e 2 kT dv x n  2m 4 m 4  2kT  0  2kT  2m

62. Gazi i rralluar ndodhet nё enёn me vёllim V nё shtypje p. Duke supozuar se molekulat e gazit kanё shpёrndarje maksvelliane sipas shpejtёsive. Tё llogaritet shpejtёsia e rrjedhjes sё gazit nё vakum, nga njё hapje me sipёrfaqe tё vogёl S, nё enё. Zgjidhja: Numri i molekulave, qё dalin nga hapja pёr kohёn

dt , ёshtё:

dN   nv svx dt vx  0

Rrjedhimisht, shpejtёsia e rrjedhjes sё molekulave nga hapja ёshtё: 3



 

 dN  m 2  ns   dv x   v x e dt  2kT  0  

1



mv 2



m v x2  v 2y  v z2 2 kT

 dv y dv z 

1



mv 2

2  x kT  m 2  m  2  2 kTx v x 2 kT  ns dv x  ns d  ns   vx e  e 2 2m  2kT  0  2kT  0

430

Meqenёse p  nkT , atёherё:

dN 1  sp dt 2mkT

63. Tufa molekulare del nga njё çarje e ngushtё nё enёn e cila pumpohet. Tё gjendet shpejtёsia mesatare dhe mesatare kuadratike e grimcave nё tufё? -------------------------------------------------------------------------------------------Zgjidhja: Numri i grimcave, tё cilat kalojnё nёpёr njёsinё e sipёrfaqes sё çarjes pёr dhe qё e kanё shpejtёsiё e dhёnё

1s

v , ёshtё: 3

mv 2

v 4n  m  2  2 kT 3 d  dnv   v dv   e 4 4  2kT  Besueshmёria qё molekula nё tufё ta ketё shpejtёsinё e dhёnё ёshtё

dw 

d



Shpejtёsia mesatare e molekulave nё tufё ёshtё: 3



mv 2

4n  m  2  2 kT 4 v v dv   e 4  2kT  0 Meqenёse ёshtё: 

e 0



mv 2 2 kT

v 4 dv 

3  3  2kT     5 8  8  m  3

5

3

5

4n  m  2 3 2  2kT  2 3 n 2  2kT  v        3  4  2kT  8  m  8 m   2 1



3



mv 2

 m  2  2 kT 3   n v dv  e  2kT  0 Meqenёse:

431 

e



mv 2 2 kT

v 3 dv 

0

1  2kT    2 m 

2

atёherё: 3

n  m  2 1  2kT    n     1  2kT  2  m  2 2 2

1

 2kT  2    m 

Nga kjo rrjedh: 1

1

3n 2kT 2 2  m  2 3 kT v    8 m n  2kT  2 2m Nё mёnyrё tё ngjashme mund ta gjejmё shpejtёsiё mesatare kuadratike:

  2kT  3      m    2 0  v    mv 2    2kT  2 1   3 0 e 2kT v dv   m  2  

e



mv 2 2 kT

v 5 dv

4kT . m

64. Duke marrё se molekulet tё cilat goditen nё mur, e japin pjesёn z tё energjisё sё tyre, tё gjendet energjia qё i jepet 1cm

2

tё murit pёr

1s .

Zgjidhja: Numri i molekulave qё biejnё nё 1cm deri nё

2

tё sipёrfaqes pёr

1s nё intervalin e shpejtёsive prej v x

v x  dv x , ёshtё: 1

mv 2

 x  m 2 d  n  v x e 2 kT dv x  2kT  mv x2 Me qenё se secila molekulё ia jep energjinё z , atёherё e tёrё energjia e transmetuar prej 2

molekulave ёshtё: 1

mv 2

 x mv 2  m  2 dE  z x    v x e 2 kT dv x 2  2kT 

Sasia e plotё e energjisё e transmetuar murit , ёshtё:

432 1



mv 2

m  m  2 3  2 kTx E  z  dv x  vx e 2  2kT  0

mvx2  x 2 , vx  2kT

Shёnojmё:

2kT  x , dv x  m

2kT  dx m

Pas zёvendёsimit fitojmё: 1

m  m  2  2kT  E  z     2  2kT   m 

2

x e

3  x2

dx 

0

3

3

m  2kT  2 1 m  2kT  2  z  z     2   m  2 4   m  Numri i plotё i molekulave qё biejnё nё 1cm tё sipёrfaqes sё murit pёr 2

1



1s , ёshtё

1

mv 2

1

 x  m 2  m  2 2kT 1  kT  2   n  n   v x e 2 kT dv x  n    2kT  0  2kT  m 2  2m 

Pёrfundimisht fitojmё: 3

1

kT  m  2kT  2  kT  2 Ez   n   zn m 4   m   2m 

2

65.Tё gjendet shpёrndarja e besueshmёrive pёr energjinё kinetike tё atomeve? Zgjidhja: Shpёrndarja e besueshmёrisё pёr shpejtёsinё e lёvizjes sё atomeve ёshtё: 3

mv 2

 m  2  2 kT 2 dwv  4  v dv  e  2kT  Shёnojmë: Nga kjo rrjedh:

mv 2 . 2

Atёherё

mvdv   .

433 3



 m  2  kT dw  4   e  2kT 



 2 d 2  e kT  d m m  kT 3

Gjejmë maksimumin e këtij funksioni:

e



 kT



1  kT  1  e 0     2   kT 

dhe fitojmë energjinë më të besueshme të molekulave të gazit:

p 

66.

kT  1 2    mv p  , 2  2 

1 2kT m  kT 2 m

Tё llogaritet energjia mё e besueshme E p e molekulave tё gazit. Tё tregohet se

Ep 

1 2 mv p 2

----------------------------------------------------------------------------------Zgjidhja: Besueshmёria qё molekula nё gaz ta ketё energjinё nё intervalin prej nё

  d , ёshtё: dw 

2

 kT 3

e



 kT

 d

Gjejmё maksimumin e kёtij funksioni:

e

Prej nga rrjedh:



 kT

p 



1  kT  1  e 0    2   kT  kT 2



deri

434 67. Tё gjendet besueshmёria qё energjia kinetike e molekulave tё gazit ideal tё mos e kalojё vlerёn e dhёnё

E0

----------------------------------------------------------------------------------------------Zgjidhja: Besueshmёria qё energjia kinetike e molekulave tё ketё vlerёn E deri nё

E  dE , ёshtё: dwE 

2

e

 kT 

3



E kT

E dE

Besueshmёria qё energjia kinetike e molekulave tё mos e kaloi vlerёn e dhёnё E , ёshtё:

wE 

E0

2



e

 kT 3

E kT

E  x2 , kT

Marrim ndryshoren e re

E dE

0

dE  2kTxdx

Atёherё:

wE 

x0 

ku

2

 kT 3

2kT 

3 2

x0

x e

2  x2

dx 

0

4



x0

2 x  x e dx 2

0

E0 kT

Pas integrimit, fitojmё:

wE  

E  E0  E0  kT0  e  erf   kT  kT  

2



68. Tё gjendet numri i molekulave tё gazit, qё kanё energji mё tё madhe se energjia e dhёnё

E 0 . Me kёtё rast, tё merret se E0 kT

Zgjidhja: Numri i kёrkuar i molekulave fitohet duke e integruar shpёrndarjen e molekulave sipas energjive nё kufijt prej

0

deri nё pambarim:

n   0 

2n

 kT 3



e



 kT

Madhёsia e integralit varet nga vlera e energjisё Shumёzuesi qё ndёrron ngadalё Atёherё:



 d

0

  0 .

e marrim nё pikёn

  0 .

435 

2n 

n   0 

e



 kT

d 

2n  0

e



0 kT

kT  kT 3  Varshmёria e numrit tё grimcave me   0 nga energjia dhe temperatura pёrcaktohet kryesisht 0

me shumёzuesin eksponencial

e



0 kT

.

69. Tё gjendet numri i molekulave nё 1cm tё gazit, qё kanё energji tё dhёnё tё lёvizjes 3

Relative. Zgjidhja: Besueshmёria qё molekula tё ketё shpejtёsi relative, ёshtё: 3

dwrel

mv 2

 m  2  4 kTrel 2  4  vrel dvrel  e  4kT 

Prej ku: 3

mv 2

 m  2  4 kTrel 2 dn  4n  vrel dv rel  e  4kT  ashtu qё:

E rel

2 m v rel ,  2 2

dErel 

2mvrel dvrel mvrel dvrel  4 2

Atёherё: 3

E

E

 rel E 2 2n  m  2  kTrel dn  4n  2 rel dE rel  e kT  e m m  4kT   kT 3

E rel dE rel

70. Tё gjendet shpejtёsia mesatare relative e molekulave tё pёrzierjes sё dy gazeve tё ndryshme? Zgjidhja: Shpёrndarja sipas shpejtёsive mesatare relative tё pёrzierjes sё gazeve jepet me formulёn, analoge me shpёrndarjen sipas shpejtёsive me dallim qё nё rastin e parё nё vend tё masёs sё molekulave qёndron masa e redukuar e pёrzierjes

m

m1 m2 m1  m2

Prej kёtu shpejtёsia mesatare relative e molekulave tё pёrzierjes sё gazeve tё ndryshme, ёshtё:

436

8kT m1  m2  8kT  m m1m2

vrel 

Nё qoftё se

m1  m2 , shpejtёsia mesatare relative ёshtё dy herё mё e madhe se shpejtёsia

mesatare absolute.

71. Tё pёrcaktohet numri mesatar i goditjeve qё shkaktohen nga molekulat e gazit nё njё sekondё. Rrezja e molekulave, temperatura dhe densiteti i gazit, janё tё dhёna. Zgjidhja: Numri mesatar i goditjeve tё molekulave pёr

     4d n    2kT  2

2

3  4

v

1s , është

3 rel

e



3 vrel

2 kT

dvrel 

0

3 2

16kT kT  m  1  4kT  2  4d 2 n  16r 2 n     d n m m  4kT  2  m  2

72. Tё tregohet se shpёrndarja e Boltzmann-it sipas energjive

f E   Ae



E kT

zotёron

me vetinё e multiplikativitetit nё lidhje me komponenten aditive tё energjisё. Zgjidhja: Duke e paraqitur energjinё e pёrgjithshme e si shumё:

E  E1  E2      En Shpёrndarja e Boltzman-it mund tё shkruhet nё formёn:

f E   Ae



E1 kT

e



E2 kT

 e



En kT

73. Nё cilёn lartёsi mbidetare, nё 0 C , shtypja e gazit zvogёlohet pёr tri herё. 0

Zgjidhja: Sipas formulёs barometrike shtypja e gazit nё njёfarё lartёsie

p h  p0 e Meqenёse:

ph 1  , p0 3

mgh  kT

h ёshtё:

437 Atёherё:

h

kT ln 3  8,6km mg

74. Tё gjendet lartёsia mesatare e shtyllёs sё ajrit mbi sipёrfaqen e Tokёs? Zgjidhja: Lartёsia mesatare e shtyllёs sё ajrit mund tё pёrcaktohet me shprehjen: 

z

 ze 0 

e





mgz kT

mgz kT

dz

dz

0



e



mgz kT

0



 ze



mgz 

kT  kT dz   e mg

mgz kT

0

 0

kT mgz dz   ze mg mgz 

2

 kT   kT  e    mg 

0

kT mg



0

 kT      mg 



mgz

kT  kT  e dz  mg 0 2

Atёherё: 2

 kT    mg  kT  , z  kT mg mg

z  7,85km

75. Tё gjendet lartёsia mesatare kuadratike e vendosjes sё molekulave tё ajrit nё fushёn e forcave tё rёndimit. Zgjidhja:    kT  kT 2 kT  z e dz  2  mg 0  mg  mgz

z2 

2

438

76. Tё krahasohet numri i plotё i molekulave qё ndodhen mbi sipёrfaqe tё Tokёs nё shtyllёn e ajrit me bazё 1cm , me numrin e molekulave nё shtyllёn me lartёsi 1000m. 2

Zgjidhja: Numri i molekulave nё shtyllёn e me bazё h

h

nh    nz dz   n0 e 0

1cm 2 dhe lartёsi 1000m ёshtё: 

mgz kT

dz 

0

mgz h

 kT   kT e  n0    mg 

 kT  1  e kT  mg 

mgz

 h0 0

   

Numri i molekulave nё shtyllёn e ajrit me lartёsi tё pafundme:

n  n0

kT mg

Atёherё:

n  2,11  10 25  35mole mgz     nh   n 1  e kT   

nh  0,25  10 25  4,3mole

77. Tё gjendet pesha e shtyllёs sё pafundme tё ajrit, qё e pёrcakton shtypjen nё sipёrfaqen e Tokёs. Zgjidhja: Siç ёshtё treguar nё detyrёn paraprake, numri i molekulave nё shtyllёn e ajrit me bazё

1cm 2 dhe me lartёsi tё pafundme ёshtё:

n  2,11  10 25  35mole kg Masa molekulare e ajrit ёshtё:   29 . kmol Masa e shtyllёs sё pafundme tё ajrit ёshtё:

439 m  n  1,015kg  1kg kurse pasha, është:

Q  mg  9,81N ku g ёshtё nxitimi i rёnies sё lirё.

78. Tё llogaritet energjia potenciale mesatare ndodhen nё cilindrin vertikal me lartёsi

U e molekulave tё gazit ideal, qё

h.

Zgjidhja: Vlera mesatare e energjisё potenciale tё molekulave tё gazit ideal ёshtё: h

U 

 mgze



mgz kT

dzdxdy 

0 h

e



mgz kT

dzdxdy

0

h mgz mgz h      kT kT  kT  kT    mg z  e dz   mg  e   mg  0  0    h mgz kT  kT  e mg 0

2 mgh mgh     kT  kT  kT    1  e kT  mg  h e      mg  mg      mgh   kT  1  e kT  mg  

 kT  kT 1  e  mg 

mgh     he kT    mgh

mgh

 mg

1 e



kT

   mghe mgh  mgh      kT 1   kT 1  mgh  1  e mgh      e kT  1 

440

79. Tё llogaritet vlera mesatare e energjisё tё oscilatorit anharmonik, qё ndodhet nё termostat. Energjia e oscilatorit

U  x  x 2

U dhe zhvendosja x lidhen me relacionin:

4

Zgjidhja: Sipas pёrkufizimit tё madhёsisё mesatare kemi: 

 x

U 



 x e

2

4



x 2   x 4 kT

dx





e



x 2   x 4 kT

dx



Njehsojmё vlerёn e integraleve: 

e



x 2  x 4 kT





 e



x 2

dx 

kT





 x

2



dx   e



x 2 kT

e



x 4 kT







kT 



 x e 4



4

x e



x 2 kT

x 2  x 4 kT





dx   e



x 2 kT



 x 4  1      dx  kT  

1 2

3

kT  3  kT  2 kT  3   dx      1  ,  kT 4      4

 x 4  kTx e dx   x  x 1  dx kT    



2

4

2



Duke u ndalur nё anëtarёt me x , fitojmё: 8



 x

2



 x e 4



x 2  x 4 kT





dx   x e 2



x 2 kT







dx   x e 4



x 2 kT



dx 



3



x 6



5

kT

e



x 2 kT

dx 

7

2 kT

3  kT  2  2 9  kT  2  2 2 45  kT  2  kT        2            2 4   kT 8   kT 16      3

 Atёherё:

1

1

 kT  kT 3  9 45  2 kT 2   kT  kT     2 4 8 16  

1



x e 8





x 2 kT

dx 

441

kT kT  3  45  2  1   kT   2  8  8  2 

U 

kT  3   1     8 

kT 2



1

3  45  2  kT 8 8 2 3 1 8

80. Tё gjendet energjia potenciale mesatare e molekulave tё gazit ideal, qё ndodhen nё centrifugёn rrotulluese. Zgjidhja: Sipas përkufizimit tё madhёsisё mesatare, kemi:

U 

 Ue e

U

Meqenёse ёshtё





U kT

U kT

dV

dV

1 m 2 r 2 , 2

dV  2rhdr ,

kurse

1 m 2 r 2 kT

R

U 

1  m 2  2he 2 2 0 R

e

1 m 2 r 2 2 kT

atёherё:

r 3 dr

2hrdr

0

I njehsojmё tё dy integralet:

R

e

1 m 2 r 2 2 kT

R

2hrdr  h  e

0

R

2 r e 2

m 2 r 2 2 kT

0

1 m 2 r 2 2 kT

0

R

dr   r e 2

m 2 r 2 2 kT

0

 h e dr  2 kT   m 2  2

 dr  e  0 R

2

Meqenёse R

e 0

m 2 r 2 2 kT

2kT dr  e m 2 2

m 2 r 2 2 kT



1



er , 2

m 2 r 2 2 kT

m 2 R 4 2 kT

dr 2 , ku  

  1  

1 m 2 2 kT

442 nga kjo rrjedh se:

R

2 r e 3

m 2 r 2 2 kT

0

R

2 2 1 1 dr   rer  r 2 er 2 

0

 2kT    2   m 

2

m r  m r   e kT  1  2kT R 2 e 2 kT   m   2 2

2 2

Atёherё: 2 2   2kT  2  m 2 R 2  2kT 2 m R  1 2  e 2 kT  1   m   R e 2 kT  2   2  2 m  m        U   2 2 m R   2kT  2 kT e  1  m 2  



2 2 2 2  m 2 R 2   m 2 R 2   m R  m R 2 kT 2 kT 2 kT 2 kT      e 1 e  1  kT  e 1 e  1          2 2 2 2 m R m R  2kT  2 kT 2 kT  e 1 e 1  m 2  

1  2kT   m 2  2  2  m 

2

81. Tё gjendet shpёrndarja e besueshmёrive pёr shpejtёsitё kёndore tё rrotullimit tё Molekulave. Zgjidhja: Energjia kinetike e rrotullimit e molekulave, tё shqyrtuara si trupa tё ngurtё, ёshtё:

E rr  Ku



1 I 112  I 2 22  I 332 2



I1 , I 2 , I 3 janё momentet kryesore tё inercisё; kurse 1 ,  2 , 3 janё projeksionet

e shpejtёsive kёndore nё boshtet kryesore tё inercisё. Atёherё, besueshmёria qё molekula tё ketё shpejtёsi kёndore nё intervalet:

1 , 1  d1 ; 2 , 2  d2 ; 3 , 3  d3 dw  Ce

1  2 kT

I  1

2 1

ёshtё:



 I 2 22  I 332 d1d 2 d3

Konstantёn C e gjejmё nga kushti i normimit:

443 

w  C e



I112 2 kT



d1  e

0



I 222 2 kT



d 2  e

0

2kT  2 wC 1 I 1 I 2 I 3  2



I 332 2 kT

d3

0

3

 1 , C  I1 I 2 I 3 2kT 



3 2

Atёherё:

dw  I1 I 2 I 3 2kT  e 

3 2





1 i112 i222 i332 2 kT



d1d 2 d3

Energjinё kinetike mund ta shprehim nёpёrmjet momentit tё impulsit:

E rr 

1  M 12 M 22 M 32      2  I 1 I2 I 3 

M 1  I11 , M 2  I 22 , M 3  I 33

ku

Nё mёnyrё tё ngjashme mund tё tregojmё se:

dwM  2kT 



82.

3 2

I 1 I 2 I 3 



1 2



e

1  M12 M 22 M 32   2 kT  I1 I2 I3

   

dM 1dM 2 dM 3

Tё gjenden katrorёt mesatar tё madhёsisё absolute tё shpejtёsisё kёndore dhe momentit tё rrotullimit tё molekulave.

Zgjidhja: Besueshmёria qё molekula tё ketё shpejtёsi kёndore nё intervalet:

1 , 1  d1 ; 2 , 2  d2 ; 3 , 3  d3 dw  const.e



I112  I 222  I 332 2 kT

, ёshtё:

d1d 2 d3

Nga kushti i normimit e gjejmё konstantёn: 

 dw  const.  e 



I112 2 kT



d1  e 



I 222 2 kT



d 2  e 



I 332 2 kT

d3 

444

 const.2kT  2 I1 I 2 I 3  3

const.  2kT 





3 2

1 2

1

I 1 I 2 I 3  2 1

Atёherё:

dw  2kT 



3 2

I 1 I 2 I 3 

1 2

.e



I112  I 222  I 332 2 kT

Besueshmёria qё molekula tё ketё shpejtёsi kёndore

dw  2kT 



3 2

I 1 I 2 I 3 

1 2

e



I112 2 kT



d1  e

d1d 2 d3

 

nё intervalin

I 222 2 kT





d 2  e

I 332 2 kT

d3 



1 2

 2kT  I e 

Gjejmё vlerёn mesatare:



1 , 1  d1

1 2



I112 2 kT

d1

12



1 2

12   12 2kT  I e 1  2



I112 2 kT

3

d1  2kT  I 1  2



1 2 1

  2kT  2 kT    2  I 1  I1

Nё mёnyrё analoge:

 22 

kT , I2

32 

kT . I3

Atёherё:

1 1 1    I  1 I2 I3 

 2  12   22  32  kT 

83. Tё shkruhet shpёrndarja e Maksuell-Boltzman-it pёr gazin ideal, i cili e rrethon masёn me rreze R. Tё hulumtohet se a ёshtё i ligjshёm zbatimi i kёsaj shpёrndarjeje nё rastin e dhënё. ________________________________________________________________________ Zgjidhja:

ёshtё:

445 Energjia potenciale e çdo molekule me masё m , e cila ndodhet nё largёsi r nga qendra e masёs, ёshtё:

U r   

mM r

Zbatimi formal i shpёrndarjes sё Boltzman-it jep shpёrndarjen e densitetit:

 r   Ae

mM 

1 r



  r 4r

ashtu qё:

2

dr  

R

Nga kjo rrjedh se sistemi i shqyrtuar nuk mund tё ndodhet nё gjendje tё ekulibrit termik dhe zbatimi i shpёrndarjes sё Boltzmann-it nё ketё rast nuk ёshtё i drejtë.

84. Pika materiale me masë m bie pa shpejtësi fillestare në fushën konstante të gravitetit tokësor, me ç’rast lëvizja kryhet në mjedisin, rezistenca e të cilit është proporcional me katrorin e shpejtësisë së lëvizijes së pikës materiale, kurse konstanta e proporcionalitetit është Të vrojtohet pika pasi ta ketë kaluar rrugën h.

k2 m.

Të llogaritet shpejtësia e saj mesatare dhe

shpejtësia e mesatarizuar sipas trajektores. _____________________________________________________________________________ Zgjidhja : Ekuacioni diferencial i lëvizjes së pikës materiale e ka formën:  2

  dx  m x  mg  k m x ,  x   , dt   

2





x  g  k 2 x2

ku supozohet se boshti Me zëvendësimin:

(1)

është i orientuar kah sipërfaqja e Tokës.







dx , ekuacioni (1) thjeshtësohet : xx dx 



 dx x  g  k 2 ( x) 2 dx

446 



dx  x



dx  g  k  x  

2



2

2k 2 x 2

 g  k  x  2k 2  



dx

2

 2  1 2    x  c   2 ln g  k  x   2k    



x  0 për x  0 , prandaj:

Sipas kushteve fillestare është

c

ln g 2k 2

 2  ln g 1 2  x  2   2 ln  g  k  x   2k 2k    

 2  2  2k x  ln g   ln  g  k  x       2

2

 g  k  x    2k 2 x ln g 2

2

 g  k 2 x    e 2k 2 x g 2

1  2 k 2 x )  x   2 g (1  e k   

x

Shpejtësinë mesatare

g 2 1  e 2 k x k

v t e përkufizojmë në këtë mënyrë:

(2)

447

 vdt  dt

vt 

që në bazë të (2) mund të shkruhet në formën :

 h dx 0 vt  h  h 0 g dx 2 0   k 1  e 2k x x h

 dx

Bëjmë zëvendësimin:

1  e 2k

2

x

     

1

 z2 :

h g  vt  k  

1 e  2 k

2h



 zdz  k 2 1 z2 z  



0

1





 1 1  1  e 2k 2h  kh g  ln  2 1  1  e  2 k 2 h

  

1

Shpejtësinë e mesatarizuar sipas trajektores e përkufizojmë si : h

vx 

 vdx 0 h

 dx 0

h g 2 1 vx   1  e 2 k x dx h0 k

1  e 2k

2

x

 z2

g vx  kh

z

z 2 dz 0 k 2 1  z 2 





448 2  g  1 1  1  e 2k h 2 k 2h   3  ln  1  e  k h  2 1  1  e 2k 2h   

Shohim se shpejtësia mesatare

v t nuk është e barabartë me shpejtësinë e mesatarizuar sipas

trajektores v x . Gjithashtu vërejmë se gjatë përcaktimit të

vt

e kemi shfrytëzuar heshtazi ,

besueshmërinë që grimca në momentin e dhënë t ta ketë shpejtësinë e përcaktuar , derisa gjatë përcaktimit të

v x , e kemi shfrytëzuar besueshmërinë që për koordinatën e dhënë grimca ta ketë

shpejtësinë e caktuar.

85.

 

Le të paraqet besueshmërinë e e gjetjes q v d v së molekulave të gazit, me shpejtësi 2

që shtrihen në intervalin

v, v  dv , ku

 

q v2

3

është funksion i diferencueshëm , forma e të

cilit nuk është e dhënë . Të fitohet shpëndarja e Maksuellit sipas shpejtësive , duke supozuar se shpërndarjet e besueshmërive për tre komponentet karteziane janë të pavarura. ______________________________________________________________________________ Zgjidhja:

 

Le të jetë f v x

2

densiteti i shpërndarjes së besueshmërisë për komponentën

Atëherë sipas kushtit të pavarshmërisë së komponenteve mund të shkruajmë:

  



   

q v 2  q v x2  v y2  v z2  f v x2 f v y2 f v z2 Prej nga:

       

 q    v2  x

 dq   2   v y vz d v

 q    v2  x

 df v x2   f v y2 f v z2 2  d vx  v y vz

   

  v2    v2  x

v y vz

      

      

df v x2 dq  f v y2 f v z2 d v2 d v x2

 



Duke i pjesëtuar të dy anët me q , fitojmë :

dq d v2

 

të shpejtësisë.

449

     

1 dq 1 df v x2  q d v2 f v x2 d v x2

 

Në secilën anë të barazimit qëndrojnë ndryshore të pavarura, prandaj të dy anët e barazimit janë të barabarta me të njëjtën konstantë -  , ashtu që :

     

1 df v x2   f v x2 d v x2

 

f v x2  e vx

2

   

 

df v x2   d v x2 f v x2

 

ln f v x2    v x2

;

Ku α është konstantë e integrimit. Përfundimisht shkruajmë:

 

q v 2  e 3 v

2

E shfrytëzojmë tani kushtin e normimit: 

 

2 3 q v d v 1 ,

 4e 3

4  v 2 dve3  v  1 2

0



2 d e  v dv  1 ,  d 0

e 

4e 3

 

(1)

Energjia mesatare që i takon një grade të lirisë,është

1 kT .. 2

Nga kushti i shpërndarjes së barabartë rrjedh : 

1  2 mv f v dv 2 x



2 x

x

3

 1  2 1 4



1 kT 2

450 

 v f v dv 2 x

2 x

x







v e

2   v x2 x



e 

2



kT m 3

 1 kT dv x  e   2  2 m

3

2

kT m

(2)

dhe duke e barazuar (1) me (2) fitojmë:

m  2kT

 2kT  e    m  

,

 

qv



e

2

v 2

3

1 2

mv 2

 m  2  2 kT   e  2kT  dv 

0

 2   



3

 2

 

m , 2kT

e 

m 2kT

86. Të gjendet numri i molekulave , që kanë vlera të dhëna të komponenteve të shpejtësisë përgjatë një boshti

dhe në drejtimin perpendikular

.

______________________________________________________________________________ Zgjidhja : Shfrytëzojmë shpërndarjen e Maksuellit sipas shpejtësive: 3

mv 2

 m  2  2 kT dw   dv x dv y dv z  e  2kT  Numri i molekulave në intervalin e shpejtësive:

451

v , v x

x

 dv x ; v y , v y  dv y ; v z , v z  dv z 

është : 3

mv 2

 m  2  2 kT dn  n dv x dv y dv z  e  2kT  E shkruajmë elementin e vëllimit në hapësiren e shpejtësive në koordinata cilindrike:

dv x dv y dv z  v ddv dv II Atëherë: 3

 m 2  dn  n  e  2kT 



m v2  vII2 2 kT



v dv  dv II d

Pas intergrimit prej 0 deri në 2π (sipas φ) , fitojmë : 3

 m 2  dn  2   e  2kT 



m v2  vII2 2 kT

 v dv dv II

87. Të gjendet pjesa e molekulave, shpejtësia e të cilave është më e madhe se shpejtësia më e besueshme. ______________________________________________________________________________ Zgjidhja : Numri i molekulave, shpejtësia e të cilave gjendet në intervalin e shpejtësive prej v deri në

v  dv , është : 3

mv 2

 m  2  2 kT 2 dn  4n v dv  e  2kT 

(1)

Për ta gjetur numrin e molekulave, shpejtësia e të cilave është më e madhe se shpejtësia më probabile, duhet integruar shprehja (1) prej v p deri në pakufi:

452 3



mv 2

 m  2 2  2 kT nv  v p   4n dv   v e  2kT  v p 3

vp mv mv     m  2  2  2 kT 2  4n dv   v e 2 kT dv     v e  2kT   0  0

nv  v p  n

1 2

3 2

2

2

3

3

3

mv 2

vp

 m  2  2 kT  1  4  dv  e  2kT  v p

2kT 2 mv 2 x ,  x2 , v2  m 2kT

Shënojmë:

vdv 

2kT xdx m

Atëherë:

nv  v p  n

3

3

 m  2  2kT  2 2  x 2  1  4     x e dx   2kT  0  m   1

4



1

1

2 x  x e dx 2

0

Pas integrimit parcial integrali vjen në formën e integralit të gabimit:

nv  v p  n

 1

2



n

1

1 4  xe  x  1  x2  1     e dx 2  20   0 2

e 1  erf 1

nv  v p 

vp

mv 2

 m    2kT  2  m  2 2  2 kT  4  dv      4   v e  2kT  4  m   2kT  0

 0,57  57 0 0

453 88. a)Sistemi është i dhënë me ndryshoret pavarura të besueshmërisë

x1 , x2 ,..., xn që kanë shpërndarje të normuara, të

p1 x1 , p2 x2 ,..., pn xn  . Të tregohet se entropia mund të

shkruhet në formën: N

S  k   pi xi  ln pi xi dxi i 0

b) Madhësitë

x i interpretohen si tri komponente karteziane të shpejtësisë vi të grimcave të

gazit me bashkëveprim pikësor (gjegjësisht grimcat paraqiten si pika dhe bashkëveprojnë ndërmjet veti, vetëm atëherë kur gjenden në një pikë të caktuar të hapësirës), që gjenden në ekuilibër nën temperaturën T. Duke supozuar se energjia kinetike mesatare në lidhje me çdo komponentë, është

1 T , të tregohet se për gjendjen me entropi maksimale është: 2 1

mv 2

 m  2  2 kTi pi vi     e  2kT  Ku m është masa e molekulës

c) Duke u nisur nga rezultati nën b) , të gjendet besueshmëria që shpejtësia e molekulave të gazit të shtrihet në intervalin v, v  dv  dhe që ajo të jetë

pv dv , ku v mund të merr çfarëdo vlera

prej 0 deri në ∞ dhe : 3

mv 2

 m  2  2 kT pv   4v 2   e  2kT 

Kjo shprehje paraqet shpërndarjen e Maksuellit sipas shpejtësive d) Të diskutohet fusha e zbatueshmërisë së këtyre rezultateve, duke i analizuar supozimet e nevojshme për përfitimin e tyre. ______________________________________________________________________________ Zgjidhja:

a) Pavarshmëria e shpërndarjeve të besueshmërive pi xi  së gjendjes x1 , x2 ,..., xn të sistemit është : N

p( x1 , x2 ,..., x N )   pi xi  i 0

prej nga rrjedh se entropia e ka formën:

S  k      P ln Pd 

tregon se besueshmëria e gjetjes

454 S  k      p1  ...  pn ln  p1  ...  pn dx1 ...dx N  N

 k   pi ln pi dxi i

b) Për pi i shtrojmë kushtet : 

 p v dv i

i

i

1

(1)





1

 2 mv

2 i

pi dvi 



1 kT 2

,

i  1,2,3

(2)

Që të gjendet maskimumi i entropisë për këto kushte , do të shqyrtojmë funskionin: 3

f  k  (  pi ln pi dvi   i`  pi dvi   i  pi vi2 dvi ) i

Atëherë:

f  k  (ln p j   `j   j v 2j  1)dv j p j prej nga:

pj  e

  j v 2j  j

 j   `j  1

,

Për përcaktimin e shumzuesve të Lagranzhit, vërejmë direkt se, duke e shfrztëyuar integralin: 

 dv e

  j v 2j  j

j

1



1



x



për r=0

2r

e  x

2

1  3  5  ...  2r  1    2  2 r 1  , dx  2r      

1

2  

    j

1

 2  j   1  

r  1,2,3,...

455



v e 2 j

  j v 2j  j



m   2kT j   j

1     kT  1    2  dv j  m  2   3j     1

2  1  

prej nga kemi:

    j

1

 2  j  e 1 m  2kT j 

    j

1

 2  j  e  

m     j  2kT  

1

e

 j

 m 2   ,  2kT 

j 

m 2kT

prej nga fitohet shprehja e kërkuar për p i 1

mv 2

 m  2  2 kTi pi    e  2kT 

c) Shprehja p1 p 2 p3 e jep besueshmërinë e vektorit të shpejtësisë me komponente në intervalet

v1 , v1  dv1  , v2 , v2  dv2  , v3 , v3  dv3  .Duke

e intergruar këtë shprehje sipas shtresës

sferike me rreze pozitive reale



v  v12  v12  v12



1 2

,

e gjejmë besueshmërinë e kërkuar: 1

mv 2

 m  2  2 kT pv dv   4dv  e  2kT  Sepse

 dv dv dv 1

2

3

 4v 2 dv

integrali sipas shtresës sferike. d) Supozimi themelor qëndron në atë se shpërndarjet e besueshmërive

p1 v1  p2 v2  , p3 v3  ,

janë të pavarura dhe se ndërmjet grimcave ekziston bashkëveprim pikësor. Në gazin e ngjeshur ky aproksimim i bashkëveprimit nuk është i përshtatshëm. Supozohet gjithashtu që një grimcë mund të shqyrtohet pavarësisht nga të tjerat. Kjo nuk mund të zbatohet për sistemin e grimcave identike në rastin kur janë të mundshme efektet e shkëmbimit .

456

89. Për shpërdarjen e Maksuellit sipas shpejtësive të fitohen këto madhësi : a) Vlera mesatare e shpejtësisë në fuqinë n : n

2  2kT  2 n  3 v n   )   ( 2  m  ku

n  Re , n  1 dhe

 është gama funkcion

b) Shpejtësia mesatare

8kT m

 v  c)Disperzioni i shpejtësisë



 v 2  v 2 



2



kT  8 3   m 

d) Disperzioni , ose fluktuacioni mesatar kuadratik i energjisë kinetike 2





3 1  2 2 2 2  m   v  v    kT  2 2  e) Shpejtësia më e besueshme

vp 

2kT m

______________________________________________________________________________ Zgjidhja: a) 3



mv 2

 m  2 n  2  2 kT v   4  dv   v e  2kT  0 n

3

 m  2 kT  2kT   4      2kT  m  m 

n 1  2

x 0

 n  3  fitojmë:  2 

Me qenë se integrali në anën e djathë është 

n 1 2

e  x dx

457 n

2  2kT  2  n  3  v n        m   2  b)

(1)

Në (1) duhet marrë n=1

c)

v 2  

3kT m

v  v    v 2  2vv  v   v 2   v   2

2

2

3kT 8kT kT  8   3   m m m 

d) 2



2

 

1 1  1   mv 2   mv 2     m   v 4  2v 2 v 2   v 2 2 2  2 

2

2





1     m  v 4   v 2  2 

  2

2



15 2 2  3  3 2 k T   kT   kT  4 2 2 

e)Besueshmëria e ka formën:

pv   Av e 2

Nga kushti i ekstremumit



mv 2 2 kT

dp  0 , kemi: dv mv 2

mv   2 kT  A 2v  v 2 0 e kT   prej nga:

vp 

2kT m

90.Të vrojtohet grumbulli i pikave materiale me masë m të cilat biejnë në fushën konstante të gravitetit , duke lëvizur me shpejtësi në mjedisin, rezistenca e të cilit është proporcional me katrorin e shpejtësisë së lëvizjes , me koeficient të proporcionalitetit

k 2 m . Pikat e veçanta materiale të këtij grumbulli dallohen përkah shpejtësitë fillestare v0 ,0  v0   . Në qoftë se të gjitha janë nisur në të njëjtin çast , të gjendet shpejtësia mesatare e këtij grumbulli pas kohës τ. ________________________________________________________________________ Zgjidhja:

458

Me qenë se pikat materiale biejnë me shpejtësi të ndryshme fillestare , atëherë pas kohës τ

v  do të jenë të ndryshme . Në qoftë se shpejtësia fillestare maksimale është v 0 , atëherë shpejtësia mesatare e grumbullimit v  përkufizohet në këtë mënyrë :

shpejtësitë e tyre

v  

Por , me qenë se

v

1 0 v dv0 v0 0

v 0 është e pakufizuar , shpejtësinë e kërkuar mesatare do ta përkufizojmë si: v   1 0  v   lim   v dv0  v0    v   0 0 

Në këto formula kemi supozuar se herësi ketë shpejtësinë fillestare ndërmjet

dv 0 e përcakton besueshmërinë që pika materiale të v0

v 0 dhe v0  dv0 .

Prandaj , duhet së pari ta përcaktojmë

v si funksion të kohës :

 m x  mg  k m x    

2

2



dx  g  k  x  

2

 dt

2



tc  

dx  k 2 2  g 1  x  g  



  x   x d  1              ln     2 g 2 g     x x 1   1          

459

ku

2 

g k2

e ka kuptimin e shpejtësisë kufitare

  x    për  

t 

Për konstantën c gjejmë :

c

 2g

1 ln 1

v0

 v0

    t  0, x  v0   

,



 x 1   v    1  0  2 gt    e  v0   x  1 1       

 v0 gt  v0   gt  1  e  1  e       x   gt gt  v0   v0     1  e  1  e       Nga kjo shihet se nuk ekziston



t për të cilën x  0 , d.m.th se pika materiale nuk ndalet

për shkak të rezistencës së mjedisit. Pika materiale me shpejtësi fillestare

v 0 pas kohës së dhënë τ do ta ketë shpejtësinë :

 q  v  q  sh   0 ch      v       q  v  q  ch   0 sh       Shpejtësinë mesatare të grumbullit të pikave materiale mund ta përcaktojmë sipas formulës :

1  v dv0  lim v0  v  v0   v 0 0 0

v   lim

v0

 g   th      cth  g  v0  g     cth      v0

2 v0

 0

  v0 d   

  

460

 lim

v0 

2

 g cth  v0 

 v0   g   g    th   cth        

   v0  g   ln   cth     

Vlera mesatare e mbledhësit të dytë në kllapa të mesme , e pjesëtuar me

     

v 0 është zero (sepse

funksioni logaritmik rritet më ngadal se sa funkcioni linear), kështu që fitojmë

 g  v   cth     Shohim se, në bazë të vetisë së funksionit cthx për vlera të mëdha të argumentit, shpejtësia mesatare pas intervalit të gjatë të kohës do të jetë përafërsisht konstante dhe e barabartë me shpejtësinë maksimale të mundshme

.

91. Të gjendet shprehja për entalpinë nëpërmjet integralit të gjendjes. _________________________________________________________________________ Zgjidhja : Entalpia e sistemit është:

H  E  pV Siç dihet:

  ln Z    ln Z  E  kT 2   , pV  kT    T V   ln V  T Atëherë:

  ln Z    ln Z   H  kT        ln T V   ln V  T 

92. Të shkruhet shpërndarja e Gibsit sipas energjive për oscilatorin harmonik në përafrim klasik. ______________________________________________________________________________ Zgjidhja : Në përafrim klasik për oscilatorin harmonik linear shpërndarja e Gibsit sipas energjive e ka formën: 

1  dw  e kT d Z

461



Z  e

Ku



p2 m 2  2 mkT 2 kT



dpdx kT  ...  h h

Atëherë:

h dw  e kT

 p2 m 2 x 2    2 mkT 2 kT 

   

dpdx   e h kT

 p2 m 2 x 2    2 mkT 2 kT 

   

dpdx

93. Në sistemin që përmban shumë grimca , energjia mesatare është e lidhur me temperaturën nëpërmjet relacionit

E  aT n

n  1 .

Të gjendet numri i gjendjeve të sistemit me energjinë

e dhënë. __________________________________________________________________________ Zgjidhja : Termokapaciteti i sistemit është:

CV 

E  anT n 1 T

kurse entropia, është:

S

1 CV anT n 1 dT   anT n2 dT   an 2 E T n 1

n 1 n

1 n 1

Numri i gjendjeve të sistemit që lidhet me entropinë është: 1

E   e  e S

n 1

na 2 E n n 1

 12 nn1  na E  exp   n 1 

    

94. N grimca tё gazit ideal janё tё mbyllura nё vёllimin V dhe i nёnshtrohen shpёrndarjes mikrokanonike me energji E. Tё llogaritet pёr to, vёllimi fazor entropia S dhe temperatura T. Tё gjendet ekuacioni i gjendjes sё gazit. Zgjidhja: Vёllimi fazor i sistemit prej N grimcave tё gazit ideal ёshtё:

E,V    dp1dp2    dp3 N dq1dq2    dq3 N

,

462 Meqenёse energjia e gazit ideal varet vetёm nga impulset, integrojmё nё terё vёllimin V ku janё tё vendosura N grimcat e gazit.

E,V   V N  dp1dp2    dp3 N Zona e integrimit e impulsive nё hapёsirёn, pёrcaktohet me kushtin:

p12  p 22  p32     p32N E 2m dhe nga pikёpamja gjeometrike ёshtё sferё nё hapёsirёn 3N dimensionale, me rreze

R  2mE . Integrali sipas impulseve paraqet vёllimin e kёsaj sfere dhe ёshtё proporcional me R 3 N  2mE  2 . Atёherё vёllimi fazor i sistemit ёshtё: 3n

E,V   AN V E N

ku

3N 2

AN ёshtё konstantё, e cila nuk varet as nga energjia, as nga vёllimi.

Entropia e gazit ёshtё:

S  k ln   kN ln V  k

3 N ln E  const 2

dhe temperatura, është:

 S  T    E 

1



2 E 3k N

kurse energjia e gazit, është:

E

3 NkT 2

Pёr shpёrndarjen mikrokanonike vlen relacioni:

 H     a  a ku

A

   A 

H ёshtё forca e gjeneralizuar makroskopike qё vepron nё kahje tё parametrit tё a

jashtёm- koordinatёs a. Nё rastin tonё, rolin e parametrit tё jashtёm e luan vёllimi, kurse si forcё e tij pёrkatёse, e gjeneralizuar ёshtё shtypja p. Prandaj:

463

 2E p  V   3 V E ose:

pV 

2 E  NkT 3

qё i pёrgjigjet ekuacionit tё Mendljejev-Clapeironit.

95. Tё gjendet energjia e lirё, energjia e brendshme dhe termokapaciteti i shtyllёs sё gazit ideal me lartёsi h dhe me sipёrfaqe S, e cila gjendet nё fushёn e forcave tё rёndimit. Zgjidhja: Integrali statistik i sistemit, i cili pёrbёhet nga N molekula tё gazit ideal, qё ndodhet nё fushёn e forcёs sё rёndimit, ёshtё:

Z

1 N N Z kin Z pot N!

Pёr Z pot , shkruajmё: h

Z pot  S  e



mgz kT

dz 

0

mgz   kT  S 1  e kT  mg  

Atёherё: mgh   1 N  kT  N   S 1  e kT  Z Z kin  N!  mg    N

N

Energjia e lirё e gazit ideal ёshtё: 3

mgh  kT    e  2mkT  2 kT   F  kT ln Z   NkT ln   NkT ln S 1  e     N  h2   mg  

Entropia e sistemit ёshtё: 3

mgh  kT    e  2mkT  2  F  kT   S    Nk ln S 1  e   Nk ln       N  h2   T V  mg  

464

 NkT

mgh   kT  mgh k  mgh S 1  e kT   Se kT mg  kT 2  mg mgh   kT  S 1  e kT  mg  



3

mgh  kT    e  2mkT  2 3 kT    Nk ln   Nk  Nk ln S 1  e   2    N h 2   mg  

 Nk

1 e



mgh kT

e

1 e





mgh kT

mgh kT

mgh kT

Energjia e brendshme e sistemit ёshtё:

E  F  TS 3

mgh  kT    e  2mkT  2 kT   E   NkT ln   NkT ln S 1  e   2    N h   mg  

3

mgh  kT    e  2mkT  2 3 kT    NkT ln   NkT  Nk ln S 1  e      N  h2  2  mg  

 NkT

1 e



mgh kT

e

1 e





mgh kT

mgh kT

mgh kT 

mgh

mgh  kT NkT e 3 5 Nmgh kT  NkT  NkT   NkT  mgh mgh   2 2 1  e kT e kT  1 Termokapaciteti i gazit ёshtё:

465 mgh kT

5 N mgh e  E  CV     Nk   mgh   T V 2  e kT  1     2

mgh 1 , kT

Pёr

e

mgh kT

 1

1 kT 2

mgh kT

Atёherё

mgh  2 N mgh 1   5 5 3 kT  1  CV  Nk   Nk  Nk  Nk 2 2 2 2 2 kT  mgh     kT  mgh 5 1 , ёshtё CV  Nk kT 2

Pёr

96. Tё gjendet energjia e lirё dhe ekuacioni i gjendjes sё gazit ideal, tё mbyllur nё enёn e mbyllur me piston lёvizёs me masё m ( pistoni tё shqyrtohet si trup me njё gradё lirije). ________________________________________________________________________ Zgjidhja: Funksioni i Hamiltonit i sistemit ёshtё aditiv dhe pёrbёhet nga funksioni i Hamiltonit i gazit dhe funksionit tё Hamiltonit i pistonit. Ёshtё e qartё se:

HM 

p M2  Mgz 2M

ku z ёshtё lartёsia e pistonit nё lidhje me fundin e enёs. Me qenё se shtypja e gazit ekuilibrohet me peshёn e pistonit me masё M. atёherё, ёshtё:

Mg  sp ku s ёshtё sipёrfaqja e pistonit. Pёrveç kёsaj Prandaj:

Mgz  pV

sz  V .

466

p M2 H x, p M ,V   H q, p    pV 2M

Atёherё, është:

Pёrkufizojmё shumёn statistike nё formёn: 

z  e



pV kT

dV  e

0



H q , p  kT



dqdp  e



2 pM 2 MkT

dp M



q, p

ku

e



H q , p  kT

dqdp  2mkT  2 V N 3N

q, p

ёshtё shuma statistike e gazit ideal, kurse: 

e



2 pM 2 MkT

dp M  2MkT  2 1



ёshtё shuma statistike për pistonin. Atёherё: 3N 

Z  2MkT  2 2mkT  2 1

e



pV kT

V N dV 

0

M 2m m



3 N 1 2

kT 

3 N 1  2

e



pV kT

V N dV

0

Pёr njёsimin e integralit, bёjmё zёvendёsimin

kTx pV ,  x, V  kT p

dV 

kT dx p

Atёherё: 

e 0

ku



pV kT

 kT  V dV     p  N

N 1 

 kT  0 e x dx   p  x

N

N  1 ёshtё funksioni gama.

Pёrfundimisht, pёr shumёn statistike, kemi:

Z  N!

3 N 1 5 N 3 M 2m 2 kT  2 p  N 1 m

N 1

 kT  N  1  N!   p 

N 1

467 prej nga:

 5N  3  F  kT  ln kT  N  1 ln p  const   2 

 F  kT N  1   V   p  p  T Meqenёse

N 1 , fitojmё ekuacionin e Clapeironit:

pV  NkT

97. Tё gjendet numri i gjendjeve me energji qё shtrihet ndёrmjet E dhe E+dE, pёr sistemin, energjia e tё cilit lidhet me temperaturёn nёpёrmjet relacionit

E  NkT , N 1 .

Zgjidhja: Numri i gjendjeve, qё i pёrgjigjet intervalit tё energjisё

d 

 ,   d , ёshtё:

d d d h 3 N S

Sipas formulёs sё Boltzmanit ёshtё   e k . Entropia ёshtё:

S  Nk ln

V  Nk ln T  S 0 N

Prandaj:

V  V       TN     N  N   Nk  N

N

N

Atёherё fitojmё:

N d  3 N h

V    N

N

 N 1

Nk N

d

98. Tё gjendet numri i gjendjeve me energji tё dhёnё pёr grimcat e gazit, energjia e tё cilave ёshtё e lidhur me impulsin nёpёrmjet relacionit

  cp , ku

c ёshtё

konstantё. ________________________________________________________________________ Zgjidhja:

468 Elementi i vёllimit nё hapёsirёn fazore ёshtё:

d  4p 2Vdp



4 3 4  3 Vp  V 3 3 c3

Meqenёse:

 d 

   h 3

 d 

4V 2 d c3h3

Atёherё, kemi:

99. Sistemi pёrbёhet nga N oscilatorё jo tё lidhur, frekuenca e tё cilёve ёshtё

.

Duke e shqyrtuar kёtё sistem si klasik, tё gjendet: a) numri i gjendjeve tё sistemit; b) relacionin ndёrmjet energjisё dhe temperatureёs sё sistemit. Zgjidhja: a) Hamiltoniani i sistemit e ka formёn:

 pi2 1 2 2  H      qi  2 i  2m  Atёherё numri i gjendjeve tё sistemit ёshtё:

E  

Bёjmё zёvendёsimin:

pi 2

 E  1  N N h h

 xi ,

  dq dp i

H E

qi

i

 x N 1 .

2

Atёherё, 2N

H   xi2 i 1

Numri i gjendjeve tё sistemit ёshtё:

E  

2N

1

dxi h N  x  E  i 2 i

i

469 Inegrali paraqet vёllimin e sferёs 2N dimensionale me rreze E. Duke e zёvendёsuar vlerёn e tij, fitojmё:

 NEN 1  E  E      N h  N  1 N!  h  b) Siç dihet:

N

S 1  E  T

Pёrveç kёsaj:

S  k ln E   Nk ln Nk 1  , E T

Atёherё:

E  k ln N! h

E  NkT

100. Tё gjendet se me çka ёshtё i barabartё dimensioni mesatar l i molekulёs dyatomike, e cila kryen lёkundje harmonike rreth pozitёs sё ekuilibrit. Zgjidhja: Nё qoftё se a ёshtё largёsia ekuilibruese ndёrmjet atomeve, kurse q zhvendosja e atomeve nga

l aq

pozita e ekuilibrit, atёherё ёshtё: Meqenёse: 

q

 qa



m 2 q 2 2 kT

dq  0



rrjedh se

la

101. Lёkundjet e molekulёs dyatomike pёr amplituda tё mёdha bёhen anharmonike. Nё kёtё rast, nivelet energjetike afёrsisht pёrshkruhen me shprhjen 2

1 1   E n    n  h  xl  n   h , n  0,1,2,3,... 2 2   ku

x l ёshtё parametёr i cili e karakterizon shkallёn e lёkundjeve anharmonike.

Tё gjendet ndikimi i anharmonitetit nё shumёn statistike me saktёsi deri tё antarёt e rendit tё parё tё parametrit Zgjidhja:

xl .

470 Shuma statistike e lёvizjes lёkundёse nё rastin e dhёnё e ka formёn: 2    1  h 1  h   Z   exp   n    xl  n    2  kT 2  kT   n 0   nh

h    kT xl  h  exp   xl e  e 4kT  n0  2kT Pёr njehsimin e shumёs, zbёrthejmё

e

xl

n  n 1h kT

n  n 1h kT

nё seri dhe ndalemi nё dy anëtarёt e parё tё

serisё: n  n 1h kT

xl

e

 1

xl n 1h kT

Atёherё: 

e



nh kT

n 0

nh

1



1 e Meqenёse:

xh  xl nn  1h    kT  e  1   kT kT   n 0

 U



h  kT



 e nU  n 0

2 U 2



e

 nU

n 0

xl h kT





nh kT

n 0



 U







e

 nU



nh kT

  , 





2





1  e 

U 4

1  e 



e U 1  e U  2e U

1  e 

U 3



1  e 

U 3

ku U 

h kT



e U

1  e 



 

 2 1  e U e U  e U







2

U 3



nh kT

n 0

n 0

 e U 1  e U  2  







e U 1  e U  2e 2U  e U 1  e U

Pёrfundimisht, pёr Z fitojmё:



 nn  1e

e U 1  e U  2e U

n 0



e

  1   e U    U  1  e U  1  e U

rrjedh se: 



   e U   U  1  e U



 nn  1e

 2  2  U



U 2



2e 2U

1  e 

U 3



471 

U



U



U

xlU 2e U e 2 e 2 e 2 Z   3 1  e U 1  e U 1  e U



Z

e

h  2 kT

1 e



h kT



 h   kT  h  e    1  2 xl  h  kT     kT   1  e  

 e U 1  2 xlU 1  e U 



 2  



   . 2        

102. Tё gjendet energjia e lirё, energjia e brendshme dhe entropia e sistemit tё rotatorёve pёr

T Tc .

Zgjidhja: Gjejmё integralin e gjendjes pёr sistemin e rotatorёve. Me qenё se energjia e rotatorёve, ёshtё:

Ec 

h2 8 2 I

j  j  1

atёherё, pёr temperatura tё larta, kemi: 

Z rot   2 j  1e



h 2 j  j 1 8 2 IkT



dj   2 j  1e

0

ku

h2 Tc  2 8 Ik



Tc j  j 1 T

ёshtё temperatura karakteristike e rrotullimit.

Fusim ndryshoren e re nё formёn:

x  j  j  1

Tc , T

dx  2 j  1

Tc dj T

Atёherё, fitojmё: 

Z rot

dj

0

T T   e  x dx  e  x Tc 0 Tc

Energjia e lirё e sistemit tё rotatorёve ёshtё:



0

T 8 2 Ik   Tc h2

472

F  NkT ln Z rot   NkT ln

8 2 IkT h2

Entropia e sistemit ёshtё:

 8 2 IkT h2   dF    S    Nk ln  NkT  Nk 1  ln   h2 8 2 IkT   dT V  Dhe, energjia e brendshme e sistemit ёshtё:

8 2 IkT h2 E  F  TS  NkT ln  NkT  NkT ln 2  h2 8 IkT  2 NkT ln

8 2 IkT  NkT. h2

103. Rrotullimi i molekulёs dyatomike pёrshkruhet me anё tё dy ndryshoreve kёndore

 ,

dhe impulseve pёrkatёse kanonike

p dhe p . Duke marrё energjinё

kinetike tё lёvizjes rrotulluese tё barabartё me:

E rrot 

p2 p2 ,  2l 2l sin 2 

tё fitohet formula klasike pёr shumёn statistike pёr rrotullim dhe tё llogaritet entropia dhe termokapaciteti i saj. Zgjidhja: Shuma statistike e lёvizjes rrotulluese nё statistikёn klasike e ka formёn:



2



1 Z  2  d  d   e h 0 0  



2  2  d   e h 0  





p2 1  p2  kT  2 l 2 l sin 2 

p2 1  p2   kT  2 l 2 l sin 2 

   

   

dp dp 

2 dp dp  2 h

4 2 IkT 2kTI  2 2 h 



2kTI 2kTI  sin d  0

473

Energjia e lirё e Helmholtzit pёr molekulёn rrotulluese ёshtё:

F  kT ln Z  kT ln

2 IkT 2

Kurse, entropia ёshtё:

2 IkT  F  S   rr   k  k ln 3   T V dhe termokapaciteti, është:

CVrr  T

S rr k T

104. Hamiltoniani i rotatorit me momente kryesore tё inercisё A,B,C e ka formёn:

H



1  p  cos p cos  sin  sinp 2  2 2 A sin 

1  p  cos p sin  sin  cosp 2  1 p2 2 2C 2 B sin 

Tё gjendet shuma statistike pёr rrotullim e molekulёs sё tillё nё pёrafrim kuaziklasik Zgjidhja: Hamiltonianin e dhёnё mund ta shkruajmё sёrish nё formёn: 2

    2 2 1  sin  cos   sin cos 1 1 2     p  cos   p   H    p     2 A B   sin 2  cos 2    A B  sin       A B    



2 1 1 1 2   p  cos   p  p   2 2C 2 AB sin   sin 2  cos 2      B   A

Sipas rregullёs sё pёrgjithshme, mund ta gjejmё vlerёn e shumёs statistike:

474

Z

1 h3

 2 2   



e



H kT

ddddp dp dp

0 0 0 

Gjatё integrimit duhet marrё parasysh se: 

e

  x  B 2





 

dx   e x dx  2



Sё pari integrojmё sipas

p



 sin 2  cos 2  z    e dp  2  kT    B  A  1 2

  



1 2

ku z ёshtё:

    1  sin 2  cos 2   sin cos 1 1 2    p      p  cos   p  z  2kT  A B   sin 2  cos 2    B A  sin       B   A   Pastaj, integrojmё sipas p



e



 p cos  p 2

1

2 AB sin  kT sin 2  cos2   A B 2



 sin 2  cos 2  dp  2AB sin 2   kT   B  A





1 2



e

Mё nё fund, pas integrimit sipas p , fitojmё:



p2 2 CkT

dp  2CkT  2 1



dhe kemi:

Z

1 h3

 2 2

   2kT  0 0 0

1 2

 sin  cos    B  A 2

 sin 2  cos 2     B  A

2

  



1 2

  



1 2

2ABsin kT 

1 2

2

2CkT  2 ddd 1





1

2  

2

475



1 1 1 8 2 2kT  2 2ABkT  2 2CkT  2  3 h

 8 AkT      2 h   1 2

2

1 2

 8 BkT    2 h   2

1 2

 8 CkT    2 h   2

1 2

105. Tё nxjerret ligji i Daltonit pёr pёrzierjen e dy gazeve ideale. Zgjidhja: Pёrzierja e dy gazeve ideale, le tё pёrbёhet prej

N 1 molekulave tё gazit tё parё dhe N 2

molekulave tё gazit tё dytё. Atёherё integrali statistik i pёrzierjes sё dy gazeve do tё jetё:

Z

Z1N1 Z 2N 2 N 1! N 2 !

ku

Z 1 dhe Z 2 janё integralet statistike pёr njё molekulё tё gazit tё parё dhe njё molekulё tё gazit tё dytё. Duke vёnё nё vend tё Z 1 dhe Z 2 vlerat e tyre, fitojmё:  2m1 kT    h2   Z N 1!

3 N1 2

V

N1

3N2 2

 2m2 kT    2  h  N 2!

V N2

Energjia e lirё e pёrzierjes sё gazeve ideale ёshtё:

F  kT ln Z  F1  F2 Shtypja e pёrzierjes sё gazeve ideale ёshtё:

N  N 2 kT  F   F   F  p      1     2   p1  p 2  1 V  V  T  V  T  V  T

476 106. Pёrzierja e dy gazeve ideale, tё pёrbёra nga dhe

N 1 dhe N 2 grimca me masa m1

m2 pёrkatёsisht, ёshtё mbyllur nё enёn cilindrike me lartёsi h dhe

sipёrfaqe s. Pёrzierja ndodhet nё fushёn e forcave tё rёndimit. Tё gjendet shtypja nё murin e sipёrm tё cilindrit. Zgjidhja: Pёr njehsimin e shtypjes p mjafton tё dihet vetёm pjesa konfiguracionale e energjisё sё lirё:

p

Fk V

Pjesa konfiguracionale e integralit statistik ёshtё:

Z  Z1N1  Z 2N2 ku h

Zk  S  e



mk gx kT

dx 

0

 SkT  1  e mk g 

mk gh kT

  , k  1,2  

Atёherё, kemi:

 SkT   Z    m1 g  Meqenёse

p  kT

N1

m gh  1   1  e kT     

N1

 SkT     m2 g 

N2

m gh  2   1  e kT     

 ln Z kT  ln Z  V S h

Atёherё: m gh m gh  mg  1 m g  2  N1 1 e kT N 2 2 e kT kT  kT kT p  m gh m gh  1  2 S  kT 1  e kT  1 e 

p

Nk k 1, 2 S

m g



e

k mk gh kT

1

ku S ёshtё sipёrfaqja e bazёs sё enёs cilindrike.

     

N2

477

107.

Kemi njё gaz ideal, tё pёrbёrë nga N molekula njëatomike. Duke supzuar se nё temperaturёn T sistemi pёrshkruhet me shpёrndarjen kanonike, tё gjendet vlera mё e besueshme e energjisё sё plotё E tё sistemit dhe tё tregohet se shprehja e fituar pёrputhet me vlerёn mesatare nё shpёrndarjen kanonike.

Zgjidhja: Densiteti i gjendjes sё gazit ideal ёshtё propocional me

E

3N 1 2

. Ёshtё lehtё tё

gjendet energjia E p , qё i pёrgjigjet maksimumt tё funksionit e E

1  kT  e E kT

3N 1 2

 3N    1 E  2 

E 3N 2  kT 2

e



E kT

E

3N 1 2

0

prej nga rrjedh se vlera mё e besueshme e energjisё sё plotё ёshtё

 3N  Ep    1kT  2  Vlera mesatare e energjisё nё shpёrndarjen kanonike ёshtё: 

E kT

3N 2

 3N    1 2   3 NkT E  0 E 3 N  kT   1 2  3N  kT 2    e E dE 0  2 

e

108.



E

dE

Tё gjendet varshmёria nga energjia dhe vёllimi, e entropisё, pёr gazin ideal tё Boltzmanit, tё pёrbёrё nga N atome tё veçanta.

Zgjidhja: Nisemi nga pёrkufizimi i entropisё:

S  k ln   k ln 

dq1dq 2    dq3 N dp1dp 2    dp3 N h 3N

VN  k ln 3 N  dp1 dp 2    dp3 N h

478

Siç dihet:

 dp1dp2    dp3N  E

3N 2

Atёherё, ёshtё:

S

3Nk ln E  Nk ln V  const. 2

109. Tё gjendet ndёrrimi i entropisё gjatё pёrzierjes sё dy gazeve tё ndryshme, qё kanë temperaturë dhe shtypje tё njëjta, por vёllime tё ndryshme

V1 dhe V2 .

Zgjidhja: Entropitё e gazeve tё ndryshme para pёrzierjes, janё:

V1  N1 f T  , N1 V S 20  N 2 k ln 2  N 2 f T  . N2

S10  N1 k ln

Entropia e plotё e gazeve para pёrzierjes, ёshtё:

S 0  S10  S 20 Pas pёrzierjes, secili gaz zё vёllimin

V1  V2 .

Entropia e gazeve pas pёrzierjes, ёshtё:

S1  N1 k ln

V1  V2  N1 f T  N1

S 2  N 2 k ln

V1  V2  N 2 f T  . N2

Entropia e plotё e pёrzierjes pas pёrzierjes, sё gazeve, ёshtё: Ndёrrimi i entropisё sё sistemit pas pёrzierjes ёshtё:

S  S  S 0  N1 k ln

V1  V2 V  V2  N 2 k ln 1 0 V1 V2

S  S1  S 2

479 110.

Nё dy enё ndodhen dy gaze ideale tё njëjta me parametra tё tё njёjtё T dhe N, por me shtypje tё ndryshme

p1 dhe p 2 . Enёt bashkohen.

Tё pёrcaktohet ndryshimi i entropisё. Zgjidhja: Para bashkimit tё enёve, entropia e gazit tё parё, ёshtё

S1   Nk ln p1  Nf T  kurse e gazit tё dytё:

S 2   Nk ln p2  Nf T 

Entropia e tё dy gazeve ёshtё e barabartё me shumёn e entropive:

S  S1  S 2   Nk ln p1  2 Nf T   Nk ln p2    Nk ln p1 p2  2 Nf T  Pas bashkimit tё enёve temperatura e gazeve mbetet e pandryshueshme, kurse shtypja pёrcaktohet nga relacioni:

p

1 V1  V2 1  1 1 2 NkT     , 2  p1 p 2 V1  V2 p 2 NkT

p

2 p1 p 2 p1  p 2

  

ose

Tashti entropia ёshtё:

S  2 Nk ln p  2 Nf T   2 Nk ln  2 Nk ln

2 p1 p 2  2 Nf T   p1  p 2

p1  p 2  2 Nf T  2 p1 p 2

Nё kёtё mёnyrё, ndryshimi i entropisё, ёshtё:

S  2 Nk ln

p1  p 2  2 Nk ln p1 p 2  2 p1 p 2





 Nk ln  p1  p2   Nk ln 4 p12 p22  ln p1 p2  2

480

 Nk ln

111.

 p1  p2 2 4 p1 p 2

Dy gaze tё njejtё ideal, me shtypje p dhe numër tё grimcave N tё njëjtё, por me temperatura tё ndryshme

T1 dhe T2 ndodhen nё enё me vёllime V1 dhe V2 .

Tё gjendet ndryshimi i entropisё gjatё bashkimit tё enёve. Zgjidhja: Entropia e gazit tё parё nё enёn me vёllim

V1 me saktёsi deri te konstanta, ёshtё:

S1   Nk ln p  NC p ln kT1 kurse, e gazit tё dytё:

S 2   Nk ln p  NC p ln kT2 Entropia e dy gazeve para bashkimit tё enёve, ёshtё:

S  S1  S 2  2 Nk ln p  NC p ln kT1T2 Pas bashkimit tё enёve, temperatura e gazeve barazohet. Shuma e entropive e tё dy gazeve mbetet konstantё. Meqenёse:

E1  N 0  NCV T1 E2  N 0  NCV T2 dhe energjia e plotё ёshtё:

E  E1  E2  2 N 0  2 NCV T prej nga:

T

1 T1  T2  2

Pas bashkimit tё enёve gazi ka 2N grimca dhe e zё vёllimin

V1  V2  Shtypja

NkT1 NkT2 Nk T1  T2 1   p p p

V1  V2

481

p

Nk T1  T2  2 NkT  V1  V2 V1  V2

pas bashkimit tё enёve mbetet e pandryshueshme. Entropia e gazit, pas bashkimit tё enёve, ёshtё:

S  2 Nk ln p  2 NC p ln

T1  T2 2

Ndryshimi i entropisё sё sistemit ёshtё:

S  S  S 0  2 NC p ln

 NC p ln

112.

T1  T2  NC p ln T1T2  2

T1  T2 2 4T1T2

Tё gjendet puna qё kryhet mbi gazin ideal gjatё ndryshimit izotermik tё vёllimit nga

V1 nё V2 .

Zgjidhja: Energjia e lirё e gazit ideal ёshtё:

F   NkT ln

eV  Nf T  N

Puna e kёrkuar A ёshtё e barabartё me ndryshimin e energjisё sё lirё:

A  F2  F1   NkT ln

eV2 eV V  NkT ln 1  NkT ln 1 N N V2

Entropia e gazit ideal ёshtё:

S 

E eV  Nk ln  Nf `T  T N

482 Sasia e nxehtёsisё, e pranuar gjatё kёtij procesi, ёshtё:

Q  T S 2  S1   NkT ln

113.

V2 V1

Tё gjendet puna maksimale, e cila mund tё fitohet gjatё bashkimit tё enёve me gaze ideal, qё kanё temperaturё vёllime tё ndryshme

T0 dhe numër tё grimcave N tё njёjtё, por

V1 dhe V2 .

Zgjidhja: Puna maksimale mund tё kryhet vetёm gjatё procesit reverzibil, dmth. pёr entropi konstante. Me atë rast puna ёshtё e barabartё me ndryshimin e energjive para dhe pas procesit. Para bashkimit tё enёve, entropia e pёrgjithshme e gazeve ёshtё e barabartё me shumёn e entropive tё tyre.

S 0  S1  S 2  Nk ln

eV1 eV  NCV ln T0  Nk ln 2  NCV ln T0  N N

e 2V1V2  Nk ln  2 NCV ln T0 N2 Pas bashkimit tё enёve fitojmё gazin, i cili pёrbёhet prej 2N grimcave, qё zёnё vёllimin

V1  V2 nё temperaturё T. Entropia e tij ёshtё: S  2 Nk ln

Nga kushti

eV1  V2   2 NCV ln T 2N

S  S 0 njehsojmё temperaturёn T:

 4V1V2  T  T0  2   V1  V2  

 1 2

Energjia e tё dy gazeve para bashkimit tё enёve ka qenё pas bashkimit

E0  2 NCV T0 , kurse

E  2 NCV T . Puna maksimale, tashti ёshtё:

483

Amax

114.

   4V1V2  E0  E  2 NCV T0 1   2   V1  V2  

 1

   

2

    

Tё gjendet puna e cila kryhet mbi gazin, dhe sasia e nxehtёsisё e fituar gjatё ngjeshjes, nga vёllimi

V1 nё V2 , sipas ekuasionit pV n   (procesi politropik)

Zgjidhja: Puna gjatё procesit politropik, ёshtё: V2

A    pdV  V1



a V21n  V11n n 1



Meqenёse shuma e sasisё sё nxehtёsisё dhe punёs ёshtё e barabartё me ndryshimin e energjisё, atёherё:

Q  A  NCV T2  T1  Duke marrё parasysh se:

T

pV a 1n  V Nk Nk

fitojmё:





a 1n  a  a 1n Q  NCV  V2  V1   V21n  V11n  Nk Nk n  1  



1  1n C  a V   V2  V11n k n  1  

115.



Tё gjendet energjia e brendshme e gazit ideal, i cili ndodhet nё enёn cilindrike me rreze R dhe lartёsi h, qё rrotullohet rreth boshtit tё vet me shpejtёsi kёndore

.

________________________________________________________________________ Zgjidhja: Energjia e lirё e gazit ideal ёshtё:

484 3

eV F   NkT ln N

 2mkT  2   2  h 

Rrotullimi i enёs ёshtё identik me paraqitjen e fushёs sё jashtme ``centrifugale`` me energji potenciale

1 U   m 2 r 2 2 Ku r ёshtё largёsia e grimcёs nga boshti i rrotullimit. Gjatё rrotullimit, shuma statistike e njё molekule do ta ketё formёn:

Z 

  

  e



p x2  p 2y  p z2 2 mkT

dp x dp y dp z e



U kT

dV

V 

Si rrjedhim i kёsaj, energjia e lirё e gazit ideal ёshtё: 3

e  2mkT  2  kT F   NkT ln   e dV  N  h 2  V U

U

1   F0  NkT ln  e kT dV VV Njehsojmё integralin:

e

V



U kT

h R

dV    e

m 2 r 2 2 kT

0 0

2kT  h e m 2

m 2 r 2 2 kT

R

2rdrdh  h  e

m 2 r 2 2 kT

dr 2 

0

R

0

h2kT   e m 2 

  1  

m 2 R 2 2 kT

Nё kёtё rast: m R  1 h2kT  2 kT  F  F0  NkT ln 2 e  1  R h m 2   2

 m R   e 2 kT  1     2

2kT  F0  NkT ln m 2 R 2

2

2

485

Energjia e gazit nё sistemin rrotullues referent, ёshtё:

E  F T

ku

116.

F Nm 2 R 2  E0  m 2 R 2 T   2 1  e 2 kT  

   

 NkT

E 0 ёshtё energjia e gazit nё qetёsi.

Nё centrifugёn e gazit kryhet ndarja e pёrzierjes sё gazeve, molekulat e të cilёve kanё masa

m1 dhe m2 . Koeficienti i ndarjes q ёshtё:

n  n  q   1    1   n2  r  R  n2  r 0

 n1   n2

  ёshtё herёsi i numrit tё grimcave tё llojit tё parё dhe tё dytё nё  r R n  cilindrin e jashtëm, kurse  1  nё centrifugё. Tё gjendet q.  n2  r 0 ku

Zgjidhja: Siç dihet:

U r  

m 2 r 2 2 kT

Nm e 2 2  m R  2kTe e 2 kT  1     2

Atёherё, kemi:

 m1 R  2kTl e 2 kT  1     m  2R2 2

m1 R 2 kT 2

 n1   n2

    r R

2

Nm1 e 2 2  m1 R  2 kT  2kTl e  1     2

Nm2 2 e

2

2

2 kT

486

 m1 R   e 2 kT  1     2

m1 R 2 kT 2



2

m1e 2 2  m1 R  2 kT  m2 e  1    

2

m2 2 R 2 2 kT

e

Nё mёnyrё analoge kemi:

 m2 R  m2 R    e 2 kT  1 2kTe e 2 kT  1    m      1  2 2 2 m  R m2  1 Nm2    e 2 kT  1  1       2

 n1   n2

    r 0

Nm1 2 2 2  m1 R 2kTe e 2 kT  

2

2

2

Nga kjo rrjedh se:

 m2 R  m1 R  m1 R   e 2 kT  1e 2 kT m  e 2 kT  1 2    m1  m2  2 R 2 m1     q  e 2 2 m2 m2 2 R 2  m1 2 R 2 2kT   m2 R  e 2 kT  e 2 kT  1 m1  e 2 kT  1         2

117.

2

2

2

2

2

Le tё jetё energjia kinetike e grimcave e lidhur me impulsin, nёpёrmjet relacionit

  ap 3 . Tё vendoset lidhja ndёrmjet energjisё, shtypjes dhe vёllimit, tё pёrbёrё nga N grimca tё tilla jobashkёvepruese. Zgjidhja: Shuma statistike e sistemit tё grimcave ёshtё:

ap3

 1 Z e kT  N!

ap  dpi dqi V N   kT 2   e 4  p dp  h 3 N h 3 N N!      3

Bёjmё shёnimin:

x

a 3 p , kT

dx 

3a 2 p dp kT

N

487 Atёherё: N

N  V N  x kT  V N  4kT  Z  3 N   e 4 dx   3 N   3a  h N!  0 h N!  3a 

Energjia e brendshme e sistemit ёshtё:

E  kT 2

 ln Z 1  kT 2 N  NkT T T

Energjia e lirё e sistemit ёshtё:

V N  4kT  F  kT ln Z  kT ln 3 N   h N!  3a 

NkT  F  p   ,   V  V  T

118.

N

pV  NkT  E

Tё shqyrtohet gazi ideal i cili pёrbёhet nga N grimca, qё i nёnshtrohet statistikёs klasike. Tё gjenden funksionet termodinamike tё gazit tё tillё ideal, duke marrё se energjia e grimcave ёshtё proporcional me impulsin

  cp

______________________________________________________________________________ Zgjidhja: Shuma statistike e N grimcave nё pёrafrim klasik, ёshtё:

1 V Z V , T , N    3 N!  h Me qenё se



 kT  e dp dp dp x y z      



N

  cp , atёherё integrali sipas impulseve, është:   

  e





 kT



dp x dp y dp z  4  e 0



cp kT

 kT  p dp  8    c  2

nga kjo: N

3 1 V  kT   F  kT ln Z  kT ln  3 8     N!  h  c  

3

488 3 V N  kT    NkT ln  NkT ln  3 8    e  c    h

N

Duke e ditur vlerёn e energjisё sё lirё, ёshtё lehtё tё gjenden tё gjitha funksionet e tjera termodinamike:

d ln V NkT  F  p    NkT   dV V  V  T , N pV  NkT

   F   ln T 3 E  T 2     T 2 Nk  3NkT T  T  T  V , N H  E  pV  3NkT  NkT  4 NkT

 H   E  CV    3Nk , C p    4 Nk    T  P , H  T V , N Varshmёria

  cp

vlen vetёm pёr energji tё mёdha tё grimcave

(rasti ultrarelativist).

119.

Tё llogaritet integrali i gjendjes pёr gazin ideal relativist. Tё shqyrtohen rastet kufitare tё grimcave jorelativiste dhe ultrarelativiste.

Zgjidhja: Shuma statistike pёr gazin ideal ёshtё:

Z  V N a N , ku Energjia e grimcёs relativiste

a  e



  p kT

dp x dp y dp z

  p  si funksion I impulsit tё saj p jepet me

shprehjen:

  p  c p 2  m2c 2

489 

Atёherё:

a  4  e



c p 2  m 2c 2

p 2 dp 

kT

0

 4 me

3

ku

 mc 2  kT   mc 2  kT     K  2 K  0 1 mc 2   kT  mc 2  kT 

K 0 dhe K 1 janё funksionet e Beselit tё llojit tё dytё me argument

imagjinar: pёr

x1,

K 0 x    ln

pёr

x1 ,

K 0 x   K1 x  

Pёrkatёsisht, nё qoftё se

Z e



x 2

 2x

ex

 mc 2 , atёherё:

Nmc2



2m  2 V N 3N

qё me saktёsi deri te anëtari joreal, nё termodinamikё, pёrputhet me integralin e gjendjes pёr gazin ideal jorelativist. Pёr rastin e gazit ultrarelativist, kemi:

 8  Z   2  V N 3N c  N

Prej nga:

 8 F  kT ln Z   NkT ln  2 c E  F T

F  3NkT T

Nё kёtё mёnyrё, pёr gazin ultrarelativist kemi : p  Kurse pёr grimcat relativiste:

   NkT ln V  3NkT ln kT 

p

2E 3V

1E 3V

490 120.

Tё llogaritet vlera e termokapacitetit nё maksimum dhe pozita e maksimumit pёr sistemin me dy nivele, nё tё cilin pesha statistike e nivelit tё sipёrm shumё mё e vogёl se pesha e nivelit tё poshtёm

q1 ёshtё

q0 .

Zgjidhja: Gjejmё funksionin e gjendjes sё sistemit. Sipas pёrkufizimit kemi:

Z1   e



i kT

g  i 

i

ku

i

janё nivelet kuantike tё energjisё,

me energji

g  i  ёshtё numri i gjendjeve tё grimcёs

i .

Duke bёrё shumimin, fitojmё:

Z1  g 0 e

Bёjmё shёnimin



0 kT

 g1e

 1   0  kTc

Z1  g 0 e



0 kT



1 kT

 g0e



0 kT

   g 1 0 1  1 e kT  g0 

   

. Atёherё Z mund ta shkruajmё nё formёn:

T  g  c 1  1 e kT  g0 

   

Funksioni i gjendjes i sistemit, qё pёrbёhet prej N grimcave tё njejta, ёshtё   0 1  Z   g 0 e kT N! 

   

N

T  g  c 1  1 e kT  g 0 

   

N

Energjia e sistemit ёshtё:

E  kT 2

 ln Z  N 0  T



Tc T

Ng1 e T  g1  Tc  g 0 1  e g0 

Termokapaciteti pёr vёllim konstant ёshtё:

   

491 

Tc T

 g  T  e  E  CV     Nk  1  c  2  T V  g 2  T   g1  TTc  e  1  g 2   2

Pёr

g1 g 0 mund tё shkruajmё:  g  T   Tc CV  Nk  1  c  e T  g 2  T  2

Nga kushti

CV  0 , gjejmё T

Tmax 2

 c 2T T   c T  4 Tc2 e T   c  e T  c  0 T T T  T

T

ose

Tc3 2TC2   0, T4 T3

Tc  2, T

Tmax 

Tc 2

atёherё, vlera maksimale e termokapacitetit ёshtё:

g  CVmax  4 Nk  1 e 2  g2 

121. Nё qoftё se grimcёn me spin ½ e vendosim nё fushёn magnetike H, niveli i saj energjetik shkyhet nё dy:  H dhe  H , tё cilёve u pёrgjigjen momentet magnetike   dhe

 ,

paralelё dhe antiparalelё me fushёn magnetike. Sistemi, i pёrbёrё nga N grimca tё tilla, le tё ndodhet nё fushёnmagnetike H nё temperaturё T. Duke e shfrytёzuar shpёrndarjen kanonike, tё pёrcaktohet energjia e brendshme, termokapaciteti specifik, entropia dhe momenti magnetik i plotё i sistemit. ________________________________________________________________________ Zgjidhja: Meqenёse spinet nuk varen nga njёri tjetri, atёherё shuma me shkallёn e N-tё tё shumёs statistike tё njё spini:

Z N e tёrё sistemit ёshtё e barabartё

492 H

H  H  Z1  e kT  e  kT  2ch   kT 

Nga kjo rrjedh se:

ZN  Z

N 1

  H   2ch    kT 

N

Energjia e lirё e Helmholtzit ёshtё:

  H  F   NkT ln 2ch    kT  prej nga fitojmё:

   H  H  H   F  S   th   Nk ln 2ch     T V    kT  kT  kT  Energjia e brendshme ёshtё:

 H  E  F  TS   NHth   kT  Për termokapacitetin, kemi:

 H  Nk   kT   E   C     H   T  H ch 2    kT 

2

dhe momenti i plotё magnetik i sistemit, është:

H   H N  e kT  e kT E M   N   H H  H kT e  e kT

     Nth H     kT 

493 122.

Tё tregohet se shpёrndarja e Gibbsit nuk varet nga zgjedhja e termostatit. Si termostat tё merret: a) bashkёsia e N grimcave tё gazit ideal, b) N oscillatorё linearё tё pavarur. Tё nxjerret shpёrndarja e Gibbsit nga formulat e pёrgjithshme tё shpёrndarjes mikrokanonike pёr kёto modele tё termostatit. Me kёtё rast tё merret se

N   , por qё

E E0 3    tё mbetet konstante. N N 2 Zgjidhja: a) Numri i gjendjeve tё sistemit me energji tё dhёnё

E 0 tё termostatit mund tё shkruhet nё

formёn:

E0   const  E

3N 1 2 0

 const  E   i 

3N 1 2

prandaj

wi  const  E   i 

3N 1 2

    i   const  1  i  E  2 i    const  1    3NkT 

Kalojmё nё limit pёr

ku madhёsia

E

3N 1 2

, e cila nuk varet nga

i

  lim 1    e  x  x

wi  const  e



i kT

 i 

b) Pёr njё oscilator linear kemi:

E0   E   i   Atёherё:

E   i  N N

3N 1 2

ёshtё future nё konst.

Dihet se

Prandaj

3N 1 2

N 

2 i   wi  const   i  lim 1   N   3NkT 

3N 1 2

 i  

 i 

494 wi  E0 Ei  

E   i  N N

 i  

 i  1   N i  N    const   i   const  1    i  N  NkT  N

Duke kaluar nё limit pёr

N   , fitojmё:

wi  const  e



i kT

 i 

123. Si mund tё llogaritet energjia kinetike mesatare e grimcave tё trupit, duke e ditur formulёn pёr energjinё e tij tё lirё. Zgjidhja: Funksioni i Hamiltonit mund tё shkruhet nё formёn:

Eq, p   U q   K  p  ku

U q  ёshtё energjia potenciale e grimcave bashkёvepruese, kurse K  p  energjia e tyre

kinetike. Energjia kinetike e grimcave ёshtё funksion kuadratik I impulsive, nё pёrpjesëtim tё zhdrejtё me masёn e grimcave. Prandaj, duke e marrё m si parametёr, mund tё shkruajmё:

E q, p, m 1   K  p m m Meqenёse

E q, p, x   F    x  x  T ,V

atёherё energjia kinetike mesatare ёshtё:

 F  K  p   m  .  m  T ,V

495

124. Sipas teoremёs mbi virialin, tё gjendet energjia mesatare e oscilatorit me energji potenciale U n  x . 4

Zgjidhja: Energjinё e oscilatorit mund ta hkruajmё nё formёn:

U H 

p2   x4 2m

Sipas teoremёs mbi virialin, kemi:

2E  x

H  4 x 4  kT x

 x4 

kT 4

Nga kjo:

Pёrfundimisht, kemi:

125.

U

3 kT 4

Duke e shfrytёzuar teoremёn mbi virialin, tё gjendet energjia mesatare e grimcёs, e cila lёviz nё fushёn e jashtme me energji potenciale

U q   q 2n

(n- ёshtё numёr natyral). ____________________________________________________________________ Zgjidhja: Funksioni i Hamiltonit pёr grimcёn nё fushёn potenciale ёshtё:

p2  q 2 n U q   q n , H q, p   2m 2

Rrjedh se viriali ёshtё:

1 H q  2nq 2 n  2nU q    2 q Atёherё energjia mesatare e grimcёs ёshtё:

496



E

126.



2

 2n





1 1   2 n

Ndryshimi ndёrmjet energjisё sё gjendjes themelore elektronike s 0 dhe gjendjes sё parё 1

tё eksituar

3

s 0 tё atomit tё heliumit, ёshtё 159843cm-1 . Tё llogaritet numri relativ i atomeve tё

eksituara tё heliumit, nё temperaturёn 6000K.

Vёrejtje. Indeksi i sipёrm nё simbolet

1

s 0 dhe

3

s 0 pёrcakton multiplicitetin sipas spinit. Nё kёtё

detyrё, vlerat 1 dhe 3 paraqesin shumfishitetin e krijimit tё gjendjeve pёrkatёse. Zgjidhja: Besueshmёria qё molekula e gazit tё ndodhet nё gjendjen me energji

dw 

e



i kT

i

ёshtё:

 i  Z

Gjatё shqyrtimit tё dy gjendjeve mё tё ulёta (besueshmёria e plotёsimit tё gjendjeve mё tё larta ёshtё e vogёl) duke marrё parasysh shkallёn e degjenerimit, fitojmё:

 

3e

dw 3 s1 



i kT

1  3e ku

1



i

 3e



1 kT

kT

ёshtё energjia e cila i pёrgjigjet nivelit tё eksituar. Vlera e kёsaj energjije pёcaktohet lehtё:

 1  h  h

c



Atёherё:

e



1 kT

e



hc

kT

e

 2, 310

S T

 e 38,3  2,1  10 11

 

dw 3 s1  6  10 11 Numri relativ i atomeve tё eksituara ёshtё 6  10

11

497

127.

Tё tregohet se

qk

H  kT pёr kushtin qё energjia potenciale tё tentojё nё q k

  nё kufijtë e zonёs sё ndёrrimit tё koordinatave. Zgjidhja: Me ndihmёn e shpёrndarjes kanonike shkruajmё:

H H  kT qk  C  qk e dq1 dq 2    dp3 N  q k q k H

 kTC q k Duke e bёrё integrimin sipas

  kT e dq1dq 2    dp3 N q k H

dq k parcialisht, fitojmё:

 H H qk  kTC q k e kT q k   Pas vёnies sё kufijve







 e



H kT



 dq k  dq1 dq 2    dp3 N  

qk   , funksioni I Hamiltonit tenton nё pambarim, kurse e

nё zero. Atёherё: 

 H qk  kTC  e kT dq1 dq 2    dp3 N  kT q k  H

sepse: 

C 1   e



H kT

dq1 dq 2    dp3 N  kT



128.

Tё tregohet se pёr çdo karakteristikё fizike L tё sistemit, i cili ndodhet nё termostat, vlen relacioni

L 1  2 L  L H  H    ku me vizё ёshtё shenuar mesatarja sipas ansamblit fazor. Zgjidhja: Shkruajmё shpёrndarjen e Gibsit nё formёn:

wx   e

 H 



H kT

498 Vlera mesatare e madhёsisё L ёshtё:

L   Lq, p, a e

 H 

dq1dq2    dq3 N dp1    dp3 N

ku a ёshtё parametёr i jashtёm. Atёherё:

L  Lq, p, a e  

 H 

 H   1     2      

  dq1    dp3 N 

Meqenёse:

     H        a atёherё :

L H H  Lq, p, a e  2



1

2

 HLq, p, a e 

Duke marrё parasysh se:

 H 

1



 H 

dq1    dp3 N 

dq1    dp3 N 

H

2

 Lq, p, a e

 H 

dq1    dp3 N 

HL  HL 

HL  H  L   L  L H  H 

pёrfundimisht, fitojmё:

L 1  2 L  L H  H   

129. Tё tregohet se shpёrndarja kanonike e Gibsit, pёr sistemin me numër shumё tё madh tё grimcave

N   kalon nё atё mikrokanonike.

Zgjidhja: Shpёrndarja mikrokanonike karakterizohet me humbje pambarimisht tё vogёl tё energjisё, Shfrytёzojmё vetinё e shpёrndarjes mikrokanonike:

E . E

499 L 1  2 L  L H  H    nё tё cilёn madhёsinё e çfarёdoshme fizike L e zёvendёsojmё me energjinё mekanike H, d.m.th:

H  H 

2

2

H H  kT 2  T

ose duke e zёvendёsuar madhёsinё H me E, kemi:

E 2  kT 2

E  kT 2 CV T

Atёherё:

E E2 Ёshtё e qartё se



kT 2 CV E2

E dhe termokapaciteti CV janё proporcionalё me numrin e grimcave. Nё kёtё

rast:

E E2

ose :

lim

N 



1 N E 2 1  lim 0 N   E N

130. Tё llogaritet vlera mesatare e energjisё potenciale e molekulave polare dyatomike, tё cilat ndodhen nё fushёn konstante elektrike me intensitet E. Çfarё kontributi nё termokapacitetin Zgjidhja:

CV jep fusha elektrike.



Molekula me moment tё dipolit p nё fushёn elektrike, ka energjinё:





  U   p  E   pE cos  ku



ёshtё kёndi ndёrmjet momentit dipolar tё molekulёs dhe fushёs sё jashtme elektrike E.

Momenti dipolar i njёsisё sё vёllimit tё gazit ёshtё:

500 P  pN cos  Vlera mesatare

cos  , pёrcaktohet sipas ligjit tё shpёrndarjes sё Boltzmanit:  

e cos  

U kT

e

cos d 

U kT

 2 sin  cos   e



pE cos kT

d

0 2

 2 sin   e

d

pE cos kT

d

0

Duke vёnё:

pE a kT

cos   x dhe 1

cos  

 xe

ax

dx

e

ax

1



1 1

dx

d ln e ax dx  La  da 1

1

ku

La  ёshtё funksion i Lagranzhit. Komponenta dipolare mesatare e energjisё sё njё moli tё

gazit nё fushёn elektrike E ёshtё: pE pE   kT   e  e kT kT  U   NpE  pE   pE  pE   e kT  e kT  

Meqenёse:

CV 

U T

atёherё:

  pE pE   e kT   kT CV   NpE    

ose, pas transformimit:

pE pE pE pE pE      kT    pE   e  e kT    pE2 e kT  pE2 e kT  e kT  e kT      kT   k  kT      pE 2 pE pE 2 pE        e kT  e kT   e kT         pE

pE   2 e kT kT pE  kT e  

501

    2 2  kT   4  pE     CV  Nk      pE 2 pE    kT    pE    kT kT   e  e     

131. Tё llogaritet termokapaciteti

CV i sistemit prej N grimcave jobashkёvepruese, energjia e tё

cilave nё fushёn magnetike mer njёrёn prej tri vlerave: 0,

H kT  .

  H . Tё shqyrtohet rasti  kT

Zgjidhja: Shuma statistike e njё grimce nё fushёn magnetike ёshtё:

Z1   e



i kT

 1 e



  H kT

e



  H kT

Shuma statistike e tёrё sistemit ёshtё:   H   H   ZN 1  kT kT Z 1  1  e  e  N! N! 

   

N

Energjia e brendshme e sitemit ёshtё:   H   H    kT   ln 1  e  e kT  ln Z  E  kT 2  NkT 2 T T

   

  H   H    1  kT kT        H e     H e  2  kT   2  NkT   H   H

1 e



kT

e



kT

502   H   H     kT kT        H e     H e     N   H   H

1 e



e

kT



kT

Mё nё fund, pёr termokapacitetin kemi:

E T

CV 



  H



  H

1   H  e kT    H e kT  4 2 H 2 e CV    H   H 2 kT 2     kT kT  1  e  e     2



2 kT

132. Tё fitohet ekuacioni i gjendjes sё gazit ideal si funksion i N,V,T me ndihmën e llogaritjes sё shumёs statistike. Zgjidhja: Pёr gazin ideal i cili pёrbёhet nga N grimca, kemi:

H

1 N 2  pi 2 i 1

Z N V , T  



1 N!h 3 N

d

3N

pd 3 N q  e  H  p ,q  

VN   N 2 3N d p exp   2m  p i   N!h 3 N  i 1  

VN  N!h 3 N

 d p1   d p N  e 3

3

N



 2m

p

2 2 2 1  p2  p N





  2   p1 x  V N  3  2 m p12  VN  2m  d p e  dp e   1 1x 3 N  3N   N!h  N !h   

3N



503



VN N!h 3 N

p



2mkT



3N

1  ln Z  V

ln Z 

3 ln 2mkT   ln N!h 3 N  N ln V 2

p  kT

N V

133. Tё llogaritet shuma statistike e N molekulave dyatomike jobashkёvepruese, tё mbyllura nё kutinё me vёllim V, nё temperatureёn T. Hamiltoniani i secilёs molekulё e ka formёn:





    1 1   2 H  p1 , p 2 , r1 , r2   p12  p 22  k r1  r2  2m 2 ku

    p1 , p2 , r1 dhe r2 janё impulset dhe koordinatat tё dy atomeve qё e pёrbёjnё

molekulёn, pёrkatёsisht. Zgjidhja: Pёr N molekula dyatomike jobashkёvepruese kemi:

ZN 



N  1 1   2   1 3N 3N d pd q exp   p1i 2  p 2i 2  k r1i  r2i      3N   2 N!h  i 1  2m 









N 1 1   k N  i  i 2  3 1 3 N i2 i2  3 1 3 N d p    d p exp    p  p d q    d q exp 2    2m 1  2  r1  r2  N!h 3 N  i 1 i 1    







ku indeksi lart paraqet numrin rendor tё molekulёs. Meqenёse:

  dp  dp   dp  dp  dp 

d 3 p1  d 3 p11  d 3 p12  dp11

x

1 1 y

1 1 z

1 2 x

fitojmё: k   2  r11  r21   1 3N  3 1 2mkT   d q e 2 ZN   N!h 3 N  

N

1 2 y

1 2 z



504 d 3 q1  d 3 q11  d 3 q12 , 3N  2mkT  

ZN

N!h 3 N

qr

 3 1 3 2  2k r11 r21 2   d r1 d r2 e   

N

Fiksojmё atomin 1 dhe bёjmё zёvendёsimin e ndryshoreve:

  r11  r21  r Atёherё: 3 1 3  d r1 d re



k 2

r2

 V  d 3 re



k 2

r2

Tashti shkruajmё:

ZN

3N   2mkT   VN

  d re 

N!h 3 N

3



k 2

r2

  

N

ose, duke kaluar nё koordinata sferike, kemi:

ZN

2mkT 3 N 4V N  r 2 dr e  2k r  N!h

 0

3N

2

  

N

, ku



k 2

Pёrfundimisht fitojmё:

ZN



2mkT 3 N 4V N   N!h 3 N

4V  N!

N

  2 d e r dr      d 0 

N

N

 2mkT     h 

3N

3 3N 3N   N 2 2    2    V  1   2 m  ,   h    4  k   2 N!     k    

505 134. Duke e shfrytёzuar shumёn statistike:

VN 1   ZN  N!   

3N 2

 2 m     k 

3N

,

tё pёrcaktohet : a) energjia e lirё e sistemit; b) termokapaciteti kuadratik

CV ; c) diametri molekular mesatar

r1  r2 2 .

Zgjidhja: a)

F V , T   

1



ln Z V , T 

3N 3N   N 2  2 m    V 1      F V , T    ln      N!     k     

1

b)

c)

 U  CV    ,  T V

U  F  TS

 F  S    ,  T V

 2F  9 CV   2   Nk  T V 2

  2 d 3 pd 3 r r1  r2 e  H    r1  r2  3 3  H  d pd re

Duke i shfrytёzuar njehsimet e detyrёs paraprake, mund tё shkruajmё:

  r1  r2

2mkT  2



 3 2 3 2  r11 r22    d r1 d r2 e    2

3N

2mkT 

d

2 1

3

2 2

r d r e

 r11  r22

3 1 2 1

 3 2 3 2  r11  r22    d r1 d r2 e   

 2  r11  r21 2 3 1 3 1  d r d r r  r  1 2 1 2 e 3

  2  r11  r21 2  d r d r r  r2 e 3 1 1

2

3N



N 1

2



N



506





4 r  r dre





0 

2 r  r dre

2 d2 e r dr 2  d 0

2

2





0

d r 2 e dr d 0



3kT  3T k

135. Tё llogaritet shuma statistike e N molekulave dyatomike jobashkёvepruese, tё mbyllura nё kutinё me vёllim V, nё temperatureёn T duke e zbatuar hamiltonianin

    1   p1  p 2    r12  r0 H  p1 , p 2 , r1 , r2   2m   ku  dhe r0 janё konstanta pozitive, kurse r12  r1  r2 . Tё gjendet poashtu CV Zgjidhja: Hamiltoniani i sistemit ёshtё:





N  1  H p1i 2  p 2i 2   r12i  r0   i 1  2m

 i2   p1 x  1  i 2m ZN  dp e   1 x N!h 3 N  

ku

6N

 d 3 r i d 3 r i e   r12i r0  2  1 

d 3 p i  d 3 p1i d 3 p2i  dp1i x dp1i y dp1i z dp2i x dp2i y dp2i z d 3 r i  d 3 r1i dr2i

Indeksi i sipёrm tregon numrin e molekulёs, kurse i poshtmi tё atomit: N

3N  1  2mkT  N   r  r0  N 2   ZN   V 4     r dre   N!  h  0 

1  2mkT     N!  h 

3N

N

4V 

N

r0 2   r r  2   r r  0 0   r dre   r dre    0  r0

N

507



1  2mkT    N!  h 

3N

4V N e r

0

  r  r02 2r0 2  2     e 0   2 3      3      

e

1  2mkT     N!  h 

3N

4V 

N

r0

 2 2r0 r02   r0    e 3 2       

 2r02  4 2   e  r0   3 3       



N

N

Gjejmё energjinё e lirё:

F  kT ln Z dhe, meqenёse duhet ta shfrytёzojmё formulёn:

CV  T

2F T 2

dhe i ndajmё anëtarёt qё varen nga temperature:

 4V N  m  3 N F  kT ln    3N ln kT  N!  h  

 r 2 kT 2kT 3 kT 3  kTr0     N ln 2 0   3 e  3        Duke diferencuar F dy herё dhe duke e bёrё zёvendёsimin







CV x 2 2 x 2  2  e  x x  2  6 2 kN x2  2  ex





x

r0 kT

, fitojmё:



508 136. Tё fitohet ekuacioni i gjendjes sё gazit ideal, duke e shfrytёzuar shumёn e madhe statistike Zgjidhja: 



N Z z,V , T    z z N V , T  N 0

ku z  e



ёshtё aktiviteti.

Shtypja pёrcaktohet nga relacioni:  pV  ln Z z,V , T  kT

Ekuacioni i gjendjes

pN ,V , T  fitohet duke eliminuar Z nё ekuacionin (1), me anё tё barazimit: 

N

……(1)

 N `Z

N`

N ` 0 

Z

N`

N ` 0

Z N ` V , T 

Z N ` V , T 

Z

  ln Z Z ,V , T ......2 Z

Pёr gazin ideal ёshtё:

pi2 H  , dhe atёherё: i 1 2m N

Z N V , T  

N  pi2  1 3 3   d pd q exp      2 m N!h 3 N  i  1  

3N VN V N  2mkT  2     2  mkT   N!  h 2  N!h 3 N

Fusim gjatёsinё valore termike



3N 2

1 V    N!  3 

2 2 mkT

 V  z 3 N     1    N V  Z z,V , T    z  3      N ! N 0 N ! N 0 pV V z 3 kT 



N

e

z

V

3

……….(3)

N

509

Nga ekuacioni (2) gjejmё:

Nz

  V  V z 3   z 3 , z    

z

N3 3  V V

dhe duke e zёvendёsuar z nё shprehjen (3), fitojmё ekuacionin e gjendjes sё gazit ideal

pV N kT

137.

Tё tregohet se pёr sistemin me numёr tё madh tё grimcave ka vend barazimi

E m  E  , ku m ёshtё çfarёdo numri. m

Zgjidhja: Fluktuacioni relativ i energjisё ёshtё:

 2     Prandaj:

Analogjikisht:

ashtu qё:

2 

 

2

2



1 N

 0 , pёr N  

.

 4  2

2

2

  

4  2

2

 0,

N 

4

E2 

138. Tё vertetohet barazimi:

pёr

1 2z z  1 2    

Zgjidhja: Shuma statistike pёr rastin e shpёrndarjes sё Gibsit ёshtё:

z  e



i 

Marrim derivation e z sipas 1/θ .

 i 

510





z     i e  i  i  1     Pas diferencimit tё dytё sipas 1/θ , kemi:

2z 1    

   i2 e  i  i 

2

Nga kjo drejtpёrsёdrejti rrjedh se:

E 2   I2 

1 2z Z  1 2    

139. Tё gjendet, duke e shfrytёzuar shpёrndarjen kanonike, energjia mesatare e molekulёs, nivelet energjetike tё sё cilёs jepen me shprehjen ku j  0,1,2,... Zgjidhja:

 



e

j



j kT

e



j

j

e

kT

j

 

2 Ae

A j  j 1 kT

j

j 

 A  j  1e





A j  j 1 kT

j



2A kT

1 e



 6 Ae

2A kT



6A kT

1 e



 2 Ae

6A kT

4A     2 Ae  2  3e kT     2A 6A     21  e kT   e kT   

2A kT

e





2A kT

2A kT



 j  Aj  j  1 ,

511

140. Tё llogariten parametrat kritikё tё avullit tё ujit, nё qoftё se:

a  2,03atm

m3 m6 J 3 , , R  5  10 b  0 , 0183 2 kmol kmolK kmol

Zgjidhja

pk 

2,03

270,0183

2

 225atm

Vk  3  0, o183  0,055

Tk 

141.

m3 kmol

8  2,03  9,81  10 4  643K 27  5  10 3  0,0183

 e hidrogjenit nё temperaturё 800K dhe m3 m6 shtypje 10atm. Tё merret: a  5,65atm , b  0,031 kmol kmol 2 Tё llogaritet ngjeshmёria izotermike

Zgjidhja: Ngjeshmёria pёrkufizohet nё kёtё mёnyrё:

 

1 V T , p  p   V T , p  1  V   lim    V p0 p V  p  T

Paraqesim ekuacionin e Van der Vaalsit nё formёn:

a    p  2 V  b   RT  0 V   Atёherё:



1 V b 1   2a a  2aV  b  V  2 RTV V  b   2 p 2  V V  V3  1 b a    1   p  V pV 2 

Me qenё se nё formulёn e fundit vёllimi hyn vetёm nё anëtarёt korrigjues, atё mund ta gjejmё nga ekuacioni I gjendjes sё gazit ideal:

512

V

RT 3 , V  6,78m p

Duke i zёvendёsuar vlerat numerike tё parametrave, fitojmё:

  0,01atm 1

142.

Tё gjendet ndryshimi I temperaturёs gjatё zgjerimit tё gazit tё Van der Vaalsit me termokapacitet konstant, nё vakum, nga vёllimi

V1 nё V2

Zgjidhja: Gjatё zgjerimit tё gazit nё vakum, mbetet konstante energjia e gazit E

E  Eid 

N 2a N 2a  NCV T  V V

nga kjo rrjedh:

N 2a N 2a NCV T1   NCV T2  V1 V2 prej nga:

T2  T1 

Na  1 1     CV  V2 V1 

143. Bashkёveprimi ndёrmjet molekulave tё gazit dydimensional, tё formuar nga molekulat e adsorbuara nё sipёrfaqe, tё konsiderohet si pёr gazin tredimenzional. Tё gjendet ekuacioni i gjendjes sё gazit dydimenzional, i cili ёshtё analog me ekuacionin e Van der Vaalsit. Zgjidhja: Njehsimet, analoge me ato pёr gazin tredimensional, japin se:

ku :

 N 2   Z  Z id 1  2S    U    2   e kT  1rdr  

atёherё:

p

NkT 1 N 2 kT  S 2 S2

513

144.

Tё pёrcaktohet ligjit

 T  pёr gazin, grimcat e tё cilit refuzohen nga njёra tjetra sipas 

U 12 

rn

,

n3

Zgjidhja: Nga:

U 1, 2  1   T    1  e kT 2 

 dV , dV  4r 2 dr  

  n 1  r kT  T    1  e 2 

 4r 2 dr ,  

Integrojmё parcialisht nё kufijtë prej zero deri nё pambarim:

 T  



 n 1 4 3  r 1  e r kT 2 3 





   1 4 r 3 ne 0 3 r n1kT dr   2 0 









r n kT



2 3 ne r dr 3 0 r n 1 kT r n kT

Bёjmё shёnimin:

r  n kT

 x,

  n r n1 kT

dr  dx

Atёrerё: 3



3

2  2  n  n  x 2  2  n  3   T      x e dx    1   3  kT  0 3  kT   n  ku

 3 1   ёshtё funksioni gama.  n

3

514 145.

Ekuacioni i gjendjes sё gazit real mund tё paraqitet nё kёtё formё tё rёndёsishme praktike

B B B pV  1  1  22  33     RT V V V e cila quhet zbёrthim virial i ekuacionit tё gjendjes. Tё tregohet se ekuacioni i Van der Vaalsit mund tё paraqitet nё formё tё zbёrthimit virial me koeficienta:

B1  b 

a , RT

B2  b 2 , B3  b 3

Zgjidhja: Ekuasioni i Van der Valsit

a  p 2 V 

 V  b   RT 

mund tё shkruhet nё formёn:

a   p 2  1 V   ose  RT V b

pV V a   RT V  b VRT

Meqenёse:

V b b 2 b3  1  2  3   V b V V V Atёherё:

pV  1 RT

a 2 3 RT  b  b     V V2 V3

b

ose :

B B B pV  1  1  22  33     RT V V V ku:

B1  b  146.

a , RT

B2  b 2 , B3  b 3

Koeficienti I dytё dhe I tretё virial mund tё shkruhet nё formёn:

1 f r d 3 r 2 1 B3    f r12  f r23  f r31 d 3 r2 d 3 r3 3 B2  

ku

f r   e



U r  kT

 1 ёshtё funksion i Mayer-it. Tё llogaritet B2 dhe B3

pёr gazin prej sferave tё ngurta. Zgjidhja:

515 Pёr sfera tё ngurta:

 U r     0

per per

r  r 

per per

r  r 

dhe, kjo do tё thotё se:

 1 f r     0 Nga kjo rrjedh se: 

B2  

Pёr ta gjetur koeficientin virial

1  14r 2 dr  2  3  20 3

B3 , bёjmё sё pari integrimin sipas d 3 r3 . Pёr tё njehsuar mё

lehtё, fusim koordinatat bipolare (figura) , duke marrё

r12  R , r13  S dhe r23  r .

Duke e rrotulluar elementin e sipёrfaqes dxdy rreth bushtit x, mund ta eliminojmё elementin

d 3 r3  2ydxdy , atёherё:

S 2  x2  y2 ,

r 2  y 2  R  x 

2

Duke marrё parasysh shprehjen pёr Jakobianin e transformimeve, fitojmё:

Sr dSdr yR 2Sr d 3 r3  dSdr R

dxdy  ose

Tashti mund tё shkruajmё:





2 f r  f S d r3  2 rdr  SdS  R R R r 3

2

r

516 3 4 3 3 R 1  R    1      3  4  16    

Integrimi sipas d r3 , jep: 3

B3  

147.

3  2 6   1  13  4R 2 4  3 1  3 R  1  R   dR  5  3 3 18  4  16     0

pV  b   RTe

Ekuacioni i gjendjes i Ditteritch-it e ka formёn



a RTV

ku a dhe b janё konstanta, vlerat e tё cilave nuk pёrputhen me konstantat e Van der Vaalsit . Tё tregohet se nё pikёn kritike pёr ekuacionin e Ditteritch-it vlejnё kёto relacione:

Vk  2b ,

RTk e2   3,69 . p k Vk 2

Zgjidhja:

pV  b   RTe

Ekuacioni i gjendjes i Ditteritchit e ka formёn:



a RTV

2 p  0 , kemi: V 2

p Nё pikёn kritike pёr  0 dhe V

 p RT RT  RTV a  e RTV  e 0 2 V V b RTV 2 V  b a

a

   2 p 2 RT RT a RT a  e RTV  e RTV  e RTV  2 2 2 2 2 V RTV RTV 2 V  b V  b V  b a

a

2

a

a

a

RT  RTV  a  RT  RTV a  e  e 0   2 V b RTV 2  RTV  V  b Pёr pёrcaktimin e konstantave kritike

p k ,Vk dhe Tk e zgjidhim sistemin e ekuacioneve: a

RTk  RTkVk pk  e Vk  b

517 1 a  Vk  b RTk Vk2 2

 a  2 a 2a       0 2 2   Vk  b RTk Vk  RTk Vk  RTk Vk3

2

Vk  b2

Ekuacionin e fundit, mund ta shkruajmё sёrish nё formёn:

2

2



Vk  b2 Vk  b2

a2 2a  0 2 2 4 R Tk Vk RTk Vk3

a 2R

ose:

Tk Vk 

atёherё:

1 a 2R   Vk  b RV k a

ose:

Vk  2b Tk 



a a a   2 RVk 2 R 2b 4 Rb

pk 

R

RTk  p k Vk

a a 4 Rb 4 Rb e  R 2ba  a e 2 b 4b 2 Rae 2 e2   3,69 a 2 4 Rb 2 2b 4b

148. Tё llogaritet ndryshimi i temperaturёs nё efektin e Joule-Thomsonit pёr kёto vlera tё parametrave :

p1  100atm , p1  1atm , T1  293K . Gazi i pёrdorur , azoti, tё merret si gaz i

Van der Vaalsit. Korigjimet e Van der Vaalsit pёr azotin pёrbёjnё :

m3 m3 , b  0,039 . Tё merret se C p i nёnshtrohet ligjit tё a  1,39atm kmol kmol 2 shpёrndarjes sё barabartё. Zgjidhja:

518 Nё rastin e dhёnё, fjala ёshtё pёr proces jostacionar, nё tё cilin ruhet entalpia H. Shënojmё tё gjitha madhёsitё e gjendjes fillestare me indeksin 1, kurse tё gjendjes pёrfundimtare me indeksin 2. Atёherё:

H1  E1  p1V1  E2  p2V2  H 2 Diferenciali i plotё i entalpisё ёshtё:

 H   H   dp  0 dH    dT    p  T  p  T Dihet se

 H     C p . Entalpia e gazit real ёshtё :  T  p H  Eid 

ku B  b 

a  B  RT 1   V  V

a ёshtё koficienti virial. Pas transformimeve tё lehta, fitojmё: RT

B   H  H id  p B  T  T   Me qenё se

H id nuk varet nga shtypja, atёherё:  H  B 2a    B  T b T RT  p  T

Pёr matjen e temperaturёs nё efektin e Joule-Thomsonit, shfrytёzojmё shprehjen:

2a   C p dT   b  dp  0 RT   ose:

dT 

dp  2a   b  C p  RT 

519 Pёr rёnie tё vogёl tё shtypjes dhe ndёrrim tё vogёl tё temperaturёs, diferencialet mund t`i zёvendёsojmё me rritje. Nё rastin e dhёnё kjo nuk ёshtё e drejtё. Prandaj, ekuacionin e shkruajmё nё formёn:

dT dp  2a Cp b RT Integrojmё tё dy anёt e ekuacionit, duke marrё se a, b, R dhe C p janё konstante: T2



T1

dT  2a b RT

p2

dp

C

p1

p

Nё anёn e majtё tё barazimit, kemi:

T2



T1

T

T

T

2 dT RTdT 12 2a 2 dT     dT    2a 2 a  bRT b b 2 a  bRT T T T 1 1 b 1 RT

T2

T  T2 2a 1  1   ln 2a  bRT   b b  bR  T1



T1  T2 2a 2a  bRT2  2 ln b b R 2a  bRT1

Ekuacioni pёr efektin e Joule-Thomsonit e ka formёn:

p 2  p1 T1  T2 2a  bRT2 2a   2 ln Cp b b R 2a  bRT1 ose:

p 2  p1 T1  T2 2a  bRT2  T1    2 ln 1   Cp b 2a  bRT1  b R  Nё qoftё se plotёsohet kushti:

520

bRT2  T1 2a  bRT1 atёherё, pёrafёrsisht mund tё shkruajmё:

p 2  p1 T1  T2 2a  bRT2  T1    2   Cp b b R  2a  bRT1  ose:

p 2  p1 T1  T2 2a T1  T2   Cp b b 2a  bRT1 Pas thjeshtimeve, kemi fituar shprehjen e cila pёrputhet me formulёn e pёrafёrt pёr rёnie tё vogëla tё shtypjes dhe ndryshimit tё temperaturёs

 2a  p T    b ,  RT  Cp

T  26,6K

 V  p

149. Nё zonёn kritike mund tё shkruajmё se  kritik. Tё gjendet

   ~ Tk  T  , ku  ёshtё indeksi T

 , duke u udhёhequr me teorinё e Van der Valsit.

Zgjidhja: Nga ekuacioni i Van der Vaalsit

p

RT a  2 V b V

gjejmё:

RT 2a  p   3    2 V  b V  V  T Meqenёse:

b

Atёherё:

Vk , 3

a  3 pk Vk2 ,

6p T T  p     k  K Vk TK  V  T

R

pёr

8 p k Vk 3 Tk V  Vk

521

Nё kёtё mёnyrё:

 V   p

  ~ TK  T 1 , T

150. Tё pёrcaktohen koeficientët

, , 

 1

dhe c p  cv pёr gasin e Van der Valsit.

_______________________________________________________________________ Zgjidhja:

a    p  2 V  b   RT  0 , V  

p

RT a  2 V b V

R  p     T  V  b

f f  T V

 V    0  T  p

 2a a   R   3 V  b    p  2 V   V

 V    0  T  p

R  V     RT 2a  T  p  3 V  b  V b V





1  V  R    V b V  T  p RTV  2a 2 V b V

1  p  R    p  T V pV  b 

TR R  p   V  c p  cV  T       T V  T  p V  b RT  2a V  b  V b V3

522 c p  cV 

R

2  V  b 1  2a

RTV 3

151. Tё tregohet se ekuacioni i Van der Valsit mund tё paraqitet nё trajtёn e redukuar:

p T V 3   ,  , dhe      3 3  1  8 , ku   pk Tk Vk    _______________________________________________________________ Zgjidhja: Pika kritike pёrcaktohet nga tri ekuacione:

1.

a    p  2 V  b   RT  0 , V  

2.

  RT a  RT 2a  p   2  3  0,     2 V  b V  V  T V  V  b V 

3.

 2 p   2  RT a  2 RT 6a  2    2  4  0, 2  3  V  T V  V  b V  V  b  V

pk 



(1)

RTk a  2 Vk  b Vk

RTk

2



2a  0, Vk3

3



6a  0, Vk4

Vk  b 2 RTk

Vk  b

Nga kombinimi i dy ekuacioneve tё fundit do tё marrim:

RTk 

2a Vk  b2 , 3 Vk

(2)

523

4aVk  b 

2



Vk3 Vk  b 

3

6a , Vk4

2 3 ,  V k  b Vk

RTk

Vk  b 

2

Tk 



2a , Vk3

Vk  3b

(3)

RTk

3b  b

2



2a , 27b 3

8a , 27 Rb

(4)

8a RTk a a a , pk   2  27 Rb  2  Vk  b  Vk 3b  b 9b 27b 2 R

Nga ekuacioni (3) dhe (5) do tё marrim:

p k Vk2 a  27 p k b  27  3 p k Vk2 9 2

R

8  3 p k Vk2 8 Vk p k 8a   Vk 27bTk 3 Tk 27 Tk 3

a    p  2 V  b   RT V  

1 p k Vk

1 p k Vk

a  RT   p  2 V  b   p k Vk V  

 p a  V b  RT    p  p V 2  V  V   p V k  k k k  k  k  p 3 p k Vk2  V Vk    p  p V 2  V  3V k k  k  k

 RT    p k Vk

(5)

524

3  1 T 8 p k Vk     2      3  p k Vk 3 Tk    3  1 8 T     2      3  3 Tk    3      2 3  1  8   

152. Dihet se në pikën kritike:

 2 p   p   0     2   V  T  V  T Duke e shfrytëzuar këtë kusht , të gjenden parametrat kritik të gazit të Van-der Vals-it . ______________________________________________________________________________ Zgjidhja: Duke e zgjidhur ekuacionin e Van-der Vaalsit sipas shtypjes , për gjendjen kritike , fitojmë:

pk 

RTk a  2 Vk  b Vk

më pastaj , gjejmë:

RTk 2a  p   2 0    2 Vk  b Vk  V  T  2 p  2 RTk 6a     4 0 2  2 Vk  b Vk  V  T Duke i zgjidhur këto , fitojmë:

Vk  3b ,

dhe së fundi:

pk 

Tk 

8a 27 Rb

RTk a a  2  Vk  b Vk 27b 2

525

153. Të shprehet entropia S dhe potenciali termodinamik  i gazit të Van- der Vals-it, nëpërmjet konstantave kritike . ______________________________________________________________________________ Zgjidhja: Entropia e gazit është:

S  S id 

N 2 kb V

Meqenëse:

Tk 

8a , 27 Rb

pk 

a 27b 2

Atëherë:

b

kTk 8 pk

Nga kjo rrjedh:

N 2 k kTk S  S id  V 8 pk Në mënyrë analoge tregohet lehtë se:

   id 

kTk p 9 NVk kTk  8 pk 8 V

154. Të gjendet ekuacioni i procesit adiabatik për gasin e Van der Valsit me termokapacitet konstant cV . ______________________________________________________________________________ Zgjidhja: Entropia e gazit të Valsit është:

Nb   S  S id  Nk ln 1   V   Ku:

S id  Nk ln V  NCV ln T Atëherë:

 Nb  S  Nk ln V  NCV ln T  Nk ln 1   V  

526 Meqenëse procesi adiabatik ndodh për entropi konstante , atëherë nga ekuacioni i fundit rrjedh:

V  Nb T

CV k

 konst.

155. Të llogaritet energjia mesatare kinetike dhe mesatare potencile, që i takon gradës së lirisë së vibracionit (lëkundjet harmonike) . ______________________________________________________________________________ Zgjidhja: Në mekanikën klasike energjia e oscilaatorit është:

E ku



mv 2 1  m 2 x 2 2 2

është frekuenca rrethore, kurse x zhvendosja nga pozita ekuilibrit.

Sipas pëkufizimit të vlerës mesatare ,kemi: 

E

  Ee



E kT



dvdx





e



mv 2 2 kT

1  2

  mv

2

E



mv 2

e







mv 2  m 2 x 2 2 kT

dvdx



e





mv 2  m 2 x 2 2 kT

dvdx



  1 v 2 e 2 kT dv  e  2   

2









 m x e 2

mv 2 2 kT



dv  e



m 2 x 2 2 kT

m 2 x 2 2 kT



dx 

dx









e



mv 2 2 kT





e





mv 2 2 kT

dv



dv  e

1  m 2 2



m 2 x 2 2 kT





mv 2

 1 m  v 2 e 2 kT dv 2 



mv 2

  1 m 2  e 2 kT dv  x 2 e 2  

x

2

e

e





m 2 x 2 2 kT

dx







m 2 x 2 2 kT

dx

m 2 x 2 2 kT

dx 

dx

527

Në integralin e parë bëjmë zëvendësimin:

mv 2  y2 2kT

,

kurse në të dytin:

m 2 x 2  z2 2kT 

2 y  y e dy



z

2





e

 y2

dy   ,

2

E





2 y  y e dy  2





Atëherë:

e  z dz

E  kT    kT    y2 z2  e dy  e dz

Atëherë:

Meqenëse është:

2

1  2

1 1 kT  kT  kT 2 2

d.m.th. energjia mesatare e oscilatorit harmonik është:

E  kT

156.

Tё tregohet se pёr çdo forcё mesatare të pёrgjithësuar A tё konjuguar me parametrin e jashtëm a ka vend identiteti:

 A   a   T         1  a  T  T  A  A  a Zgjidhja

A  Aa, T   A   A  dA    da    dT  a  T  T  a

dA  0

528

 A   a   A         0  a  T  T  A  T  a  A   a   T         1  a  T  T  A  A  a

157. Nё temperatura tё ulëta pёr njё mol tё gazit real vlen ekuacioni ku c ёshtё konstantё. Tё pёrcaktohen koeficientët termodinamikë redukohen kёto relacione pёr rastin

pV  RT 

,  ,

cp , T2

dhe tё

c  0.

Zgjidhja:



1  V  1 3c     1   , V  T  p T  VT 2 

1  p  1     p  T V T

 

3c VT 2 , c 1 VT 2

1

1  V  1 c     1  , V  p  T p  VT 2 

c  0,

  

1 , T

 

1 . p

158. Tё tregohet se shprehja diferenciale pёr punёn pdV nuk ёshtё diferencial i plotё. Zgjidhja: E shkruajmё relacionin e pёrgjithshёm termodinamik pёr punёn:

W  pdV  xdy x  0 dhe y  T ose y  p Po tё ishte madhёsia W diferencial i plotё, atёherё do tё vlente: ku ёshtё

529  p   x       0  y V  V  y y  p , fitojmё se 1  0 , pra W nuk ёshtё diferencial i plotё.

Nё qoftё se vёmё

159. Pёr çdo proces pambarimisht tё vogёl reverzibil ndryshimi i entropisё pёrcaktohet

dS 

me formulёn

Q T

ku diferenciali S ёshtё i plotё. B

Tё pёrcaktohet se

a)

pёr çdo process



A

Q T

 S  B   S  A ;

b) entropia e sistemit tё izoluar termikisht kurrё nuk zbret. Zgjidhja: a) Tё shqyrtojmё procesin e çfarёdoshёm reverzibil R dhe irevezibil I, qё i lidh gjendjet A dhe B. Pёr procesin R vlershmёria e mosbarazimit rrjedh nga pёrkufizimi i entropisё S A

S  A  S  B   

dQ T B

Duke e shqyrtuar procesin ciklik , tё pёrbёrё prej procesit I dhe procesit inverz R,

 dQ   0  , kemi:   T 

sipas teoremёs sё Clausiusit 

 I

Q T

 R

Q T

0

Ose:

Q

T I

 R

Q T

 S  B   S  A

qё ёshtё dashur tё vёrtetohet. b) Sistemi I termoizoluar nuk shkёmben nxehtёsi me mjedisin rrethues. Prandaj, pёr tё

Q  0

pёr çdo proces.Nga zgjidhja e mёsipёrme; fitojmё:

S B   S  A  0

530 160.

Tё vёrtetohet se energjia e brendshme e gazit ideal nuk varet nga vёllimi dhe shtypja, por ёshtё funksion i temperaturёs.

____________________________________________________________________________ Zgjidhja: Nga formulat e pёrgjithshme tё termodinamikёs rrjedh:

  p    E     T    p   V  T   T V  Pёr gazin ideal ёshtё:

p

RT V

dhe

R  p      T V V

Duke i vёnё kёto vlera nё ekuacionin fillestar, fitojmё:

 E   R    T   V  T  V

 p    p  p  0 

Dmth. energjia e brendshme e gazit ideal nuk varet nga vёllimi, por ёshtё funksion vetёm i temperaturёs. Ngjashёm mund tё tregojmё se energjia e brendshme e gazit ideal nuk varet as nga shtypja.

161. Tё vёrtetohen relacionet:

 2 p   CV     T  2  ,  V  T  T V

 C p   p

   2V   T  2  T T

  , p

Zgjidhja: Vlershmёria e relacioneve rrjedh nga ekuacionet pёr termokapacitetet e sistemit:

 S  CV  T   ,  T V

 2 p  CV   S    S  T   T    T  2  V V  T V T  V  T  T V

 S  Cp  T  ,  T  p

 C p   p

   2V   S    S    T  2    T   T   p  T  p T  p  T  T T

  p

531 162.

Tё tregohet se pёr substancat, energjia e brendshme e tё cilave ёshtё funksion vetёm i temperaturёs, ekuacioni i gjendjes e ka formёn ku

p  Tf V  ,

f V  ёshtë çfarёdo funksion i vёllimit, karakteristik pёr substancёn e

dhёnё. __________________________________________________________________________ Zgjidhja Sipas formulave tё pёrgjithshme tё termodinamikёs, kemi

 2 p   CV     T  2   V  T  T V

Meqenёse E ёshtё funksion vetёm i temperatureёs, atёherё:

CV  CV T  Prandaj:

163.

2 p 0 T 2

dhe rrjedh se

p  Tf V 

Pёr njё gaz, eksperimentalisht ёshtё vёrtetuar se prodhimi i shtypjes p dhe vёllimit specifik V varet nga temperatura dhe se energjia e brendshme gjithashtu ёshtё funksion i temperaturёs. Çka mund tё themi nё lidhje me ekuacionin e gjendjes sё gazit tё tillё nga pikёpamja termodinamike.

Zgjidhja: Sipas kushtit tё detyrёs ёshtё

pV  f T  , E  E T  .

Nga ekuacioni themelor i termodinamikёs

dS 

dE  pdV T

Kemi:

 E   p     T   p  V  T  T V Duke e shumёzuar kёtё ekuacion me V, gjejmё:

Tdf T   f T   0 dT Pas integrimit fitojmё:

f T   const  T

532

Prandaj, ekuacioni i gjendjes e ka formёn:

pV  AT .

( A ёshtё konstantё)

 S     T   V  T     S   V  S    T V

164. Tё vёrtetohet relacioni:

Zgjidhja: Zbatojmё vetitё e Jakobjanit dhe kemi:

 T , S   S   S      T , S  T ,V   T   V  T  V  T        S   V  S V , S  V , S    V , S    T ,V  V , T   T V 165. Tё vёrtetohet relacioni:

 S   p       V  T  T V

______________________________________________________________________________ Zgjidhja: Meqenёse ёshtё:

  S     V  V T

Atёherё:

166.

 F  S     T V

Termokapaciteti i sistemit

C p  T 3 ln p , ku



dhe



2F   F   F   p           VT T  V T  T V  T V

CV dhe vёllimi shprehen me ekuacionet:

V

T 4 p

janё konstanta. Tё gjendet entalpia e sistemit.

_____________________________________________________________________________ Zgjidhja:

533

Duke e shfrytёzuar relacionin:

gjejmё:

 H  Cp     T  p

H   C p dT  f  p    T 3 ln pdT  f  p  

T 4

H Nga kushti  V , gjejmё : p Nga kjo rrjedh se:

167.

4p

f  p   0 dhe

 f  p   V 

H  H0 

T 4 4

T 4 4

ln p  f  p 

T 4 p

ln p

Tё vёrtetohet se nё qoftё se ekuacioni i gjendjes sё sistemit e ka formёn

p  pt ,V  , atёherё vlen relacioni p 

 

 p   ёshtё moduli vёllimor izotermik i elasticitetit;  V  T  p  1    ёshtё koeficienti termik i shtypjes pёr vёllim constant;  T V p  V  1   ёshtё koeficienti i zgjerimit termik pёr shtypje konstante.   T  p V ku

  V 

______________________________________________________________________________ Zgjidhja: Nga ekuacioni i gjendjes sё gazit ideal fitojmё:

 p   p  dp    dT    dV  T V  V  T   p  V   p  p dp   dT       dV  T V p   V  T V  dp  pdT  Pёr

p  const , dmth

 V

dV

dp  0 , kemi:

534

p

168.

  dV      V  dT  p 

Tё llogaritet ndёrrimi I temperaturёs nё varshmёri nga shtypja e jashtme pёr sistemin adiabatik (efekti termoelastik).

Zgjidhja:

 V  T   T   T  p TV 1 1       Cp Cp  S   T   p  S  S       V  p  T  p  V  p

ku



ёshtё koeficienti i bymimit vёllimor.

169. Tё pёrcaktohet potenciali kimik pёr gazin ideal njëatomik. Zgjidhja:

 F    N  N ,T

 

3 N   mv 2  2    1 1 1 2  mkT 3 3  2 kT   Z e d qd p   V   2  N!   3  N !       

N

  3 2mkT F  kT ln z  kT  N ln V  Nk  N ln N  1 2 2      3 2mkT  F   ln N    kT ln V  ln 2 2   N  N ,T  

 

N 3  F      kT ln V 2mkT  32  N  N ,T

535

170. Tё tregohet se energjia e brendshme e gazit ideal nuk varet nga vёllimi por ёshtё funksion i temperaturёs. Zgjidhja:

dS  Supozojmë se:

1 p dE  dV T T

E  E T ,V   E   E  dE    dT    dV  T V  V  T dS 

 1  E  1  E    dT     p  dV T  T V T  V  T 

S  S T ,V  ,

 S   S  dS    dT    dV  T V  V  T

1  E   S       ,  T V T  T V



 V

 1  E   S        p ,  V  T T  V  T 



 T

1   E    1  E  p         T V  T V T  T  V  T T  1 2E 1  E  1 2E 1 1  p   2  2 p     T TV T  T V T  V  T T VT T

 E   p     T   p  V  T  T V Pёr gazin ideal kemi:

p

RT , V

R  p     ,  T V V

536

RT pV  E  p  p  0.    V V  V  T  E    0  V  T

171. Pёr gazin qё prodhimi i shtypjes dhe vёllimit varet nga temperatura dhe energjia e brendshme ёshtё funksion i vetëm temperaturёs. Tё pёrcaktohet ekuacioni i gjendjes sё gazit tё tillё.

pV  f T  ,

E  E T  .

Zgjidhja: nga:

kemi:

dS 

1 p dE  dV T T

 E   p     T    p , V  V  T  T V  pV  T   pV  0  T V T

df T   f T   0 dT

df T  dT ,  f T  T

f T   const  T ,

pV  const  T .

172. Tё pёrcaktohet ekuacioni i gjendjes, entropia, energjia e lirё, entalpia dhe energjia e brendshme e sistemit nё qoftё se potenciali i Gibs-it ёshtё i barabartё me:

G  AT ln Zgjidhja:

BP Tn

537  G    BP  AT   , V    AT ln n   p T   p  T p 

BP  G  S     nA  A ln n , T  T  p

H  G  TS  nAT ,  BP  F  G  pV  AT  ln n  1 ,  T 

E  F  TS  AT n  1 .

173.

Tё tregohet se potenciali i Gibs-it ёshtё i barabartё me zero, nё qoftё se energjia e lirё e sistemit ёshtё:

F  Vf T  .

______________________________________________________________________________ Zgjidhja:

G  F  pV  F  p     f T   V  T

G  Vf T   Vf T   0

174. Tё tregohet se shtypjen e sistemit mund ta konsiderojmё si shpejtёsi tё rёnies sё energjisё sё brendshme me rritjen e vёllimit. Zgjidhja:

E  E qi , pi  ,  E   E   E   dy    dz , dE    dx    x  S  z  S  y  S  E  dE    dr , dA  dFdr  dE qi , pi   r  S

 E  dFdr    dr ,  r  S

 E  dF    ,  r  S

538

 E   E  V ,      r  S  V  S r

dV  ddr ,

  E   dF    d ,  V  S

p

d 

V r

dF  E     , d  V  S

 E  p     V  S

175. Ёshtё dhënё energjia e lirё e sistemit si funksion i temperaturёs, vёllimit dhe numrit tё grimcave. Tё pёrcaktohet shprehja pёr potencialin kimik, shtypjen dhe entropinё e sistemit. ______________________________________________________________________________ Zgjidhja: Nё ekulibёr termik kemi:

TdS  dE  pdV  dN

F  E  TS dF   pdV  SdT  dN

 F  p     V  T , N

176. Tё tregohet se vlejnё shprehjet: Zgjidhja:

 F   F  ,     .  N V ,T  T V , N

, S  

 G  S    ,  T  p

 G   V    p  T

539

G  H  TS ,

dG  dH  TdS  SdT

H  E  pV ,

dH  dE  pdV  Vdp

dE  TdS  pdV , dG  TdS  pdV  pdV  Vdp  TdS  SdT dG  Vdp  SdT

 G   G    dp    dT  Vdp  SdT  T  p  p  T

 G  S    ,  T  p

 G   . V    p  T

177. Termokapacitet specifike tё plumbit dhe aluminit nё vёllim konstant dhe temperaturё 200C janё pёrkatёsisht 126 dhe 896J/kgK. Tё llogaritet termokapaciteti

CV i kilogram-molit pёr

çdonjёrin nga kёto metale dhe tё krahasohen me atё tё fituar sipas ligjit tё Dulong dhe Pettit. A vlen ligji Dulong-Pettit pёr kёto metele. Zgjidhja: Termokapaciteti molar i trupit ёshtё: ku

CV  cA

c ёshtё termokapaciteti specific, kurse A ёshtё masa atomike.

Termokapaciteti molar i plumbit ёshtё:

CV`  126  207,21  26,1

kJ kmol  K

kurse i aluminit ёshtё:

CV``  896  26,98  24,17

kJ kmol  K

Termokapaciteti i trupit tё ngurtё, sipas ligjit Dulong-Pettit ёshtё:

3R  3  8,32  10 3

kJ kJ  24,96 kmol  K kmol  K

540

Nё kёtё mёnyrё, termokapaciteti molar i plumbit e tejkalon vlerёn e termokapacitetit tё njehsuar sipas ligjit Dulong-Pettit, kurse termokapaciteti i aluminit ёshtё i afёrt me vlerёn e fituar sipas kёtij ligji.

178. Supozohet se nё metale gjithmonё ka njёfarё sasie tё elektroneve tё lira. Nё qoftё se marrim se plotёsohet ligji i shpёrndarjes sё barabartё tё energjisё sipas gradёve tё lirisё, atёherё termokapaciteti atomik i nateriumit kristalor pёr njё elektron tё lirё nё atom do tё jetё 4,5R. Tё tregohet se nё çfarё mёnyre mund tё fitohet ky rezultat. Zgjidhja: Nё qoftё se shqyrtojmё elektronet e lira si gaz ideal klasik, atёherё termokapaciteti molar i gazit, i lidhur me lёvizjen translative, do tё jetё 3N/2. Atomet lёkundёse tё rrjetёs kristaline kanё 3N-6 gradё tё lirisё dhe mund tё shqyrtohen si sistem i

3N  6  3N oscilatorёve harmonikё. Duke

marrё se sistemi pёrshkruhet nёpёmjet statistikёs klasike, fitojmё kontributin e lёkundjeve tё rrjetёs nё termokapacitetin atomik 3R. Si rezultat, pёr termokapacitetin atomik tё metalit fitojmё 4,5R.

179.

Tё llogaritet shuma statistike dhe energjia mesatare e oscilatorit kuantik tredimenzional,

3h  nh 2 n  1n  2 ku n  0,1,2,... ёshtё numri me shumfishitet tё degjenerimit tё niveleve g n  2 energjia e tё cilit merr njё varg vlerash diskrete

n 

kuantik. Zgjidhja: Shuma statistike e oscilatorit kuantik tredimenzional, ёshtё: 

Z  e n 0



n kT



 n    e

 3h nh      2 kT kT 

n  1n  2  2

n 0

3h

nh

  1   e 2 kT  n  1n  2e kT  2 n 0



3 h nh nh nh      1  2 kT   2  kT kT kT e n e  3 ne  2 e     2 n 0 n 0  n 0 

541

Shënojmё

h  x , atherё do tё kemi: kT 

 n2e



nh kT

n 0



 nx  e  2 2 x n 0 x





  n 2 e nx   n 0



e

 nx



n 0





 1  ex   ex  ex ex 1      x 2 x 2 1  e  x x 2 e x  1 x  e x  1 2  e 1







Nё mёnyrё analoge: 

 ne



nh kT



  ne nx 

n 0

n 0

Atёherё: 3x

Z

1 2 e 2







ex 1 ex 3e x 2e x     x  2 2 e x  1 ex 1  e  1

















1  2 e x 1  e x  3e x  2e x e x  1 e  2 2 ex 1 3x





 1 ex   x 1  e  x ex 1







h

3x

1 e 2 e2x 1 e kT    . 2 2 e x  12 2  h   e kT  1     Energjia mesatare e oscilatorit kuantik tredimenzional, ёshtё: h

 h  e kT    kT   2  ln Z 2 h 2 E  kT  kT  2kT  h T 2kT 2 kT e 1



h kT

h 2he h 2h  h   . h 2 2 kT kT e 1 1 e



542

180.

Tё pёrcaktohet

E  pёr trupin e ngurtё pёr T 

h max . k

Zgjidhja: S k

E  ~ e ~ e

4 4 T  N  5  T0

   

3

T0 

ku

h max k

181. Tё fitohet shprehja pёr energjinё e brendshme tё trupit tё ngurtё pёr temperatura tё larta. Zgjidhja: Gjejmё shumёn statistike pёr njё mol tё trupit tё ngurtё. Shuma statistike e oscilatorit me frekuencё ka formёn:

Z 1   

e



h kT

1 e



h kT

Nё trupin e ngurtё lindin 3N valё tё qёndrushme me frekuencё



deri nё  max .

Atёherё:

Z   Z1  i    i

i

e



h i kT

1 e



h i kT

prej nga:

ln Z   ln i

e



h i kT

1 e



h i kT

Pёr temperatura tё larta shumimi mund tё zёvendёsohet me integrim:

ln Z 

 max

 ln 0

e



h 2 kT

1 e



h kT

dn  

 max

 0

h    2 kT 12 3  ln e  d h   3  kT  1  e 

Duke marrё se nё trupin e ngurtё mund tё jenё vetёm 3N lёkundje tё pavarura, shkruajmё:

3N 

 max

 dn   0

3 4 max

3



e

543 4

ose:





3

3N 3  max

Nё kёtё rast:

ln Z 

 max

 0

 max





0



h    2 kT 9 N 2  ln e  3 d  h    max  kT  1  e 

 max

9 Nh 3 d  3 2kT  max

4 9 Nh max 9N  3 3 8kT max  max

 0

 max

 0

h     ln 1  e kT 3  max 

9N

2



 2 ln 1  e



h kT



 d   

 d   





9 N T   9N   8T  

3T

 x ln 1  e dx . 2

x

ku x 

0

h kT

Pёr temperatura tё larta, pёrafёrsisht mund tё shkruajmё: 



T 1   1     x 2 ln 1  e  x dx   x 2 ln xdx    ln    . 3T  T 9 T  0 0 T



3



Atёherё shuma statistike e njё moli tё trupit tё ngurtё ёshtё:

9  T  ln Z   N  9 N   8 T  

3

1   3  1   3     ln      T 3  T    3  T 

9   ln Z   N  3N ln  3N 8 T T Energjia e brendshme e trupit tё ngurtё ёshtё:

E  kT 2

E

 ln Z 9     kT 2 N 2  kT 2 3N  T 8 T T T2

9 NkT  3NkT 8

3

544

182. Tё tregohet se pёr temperatura tё larta, gjegjёsisht kur

 T

 0 , termokapaciteti CV

sipas teorisё sё Debye-it a arrin vlerёn 3R. Zgjidhja: Termokapaciteti i trupit tё ngurtё sipas teorisё sё Debye-it ёshtё: 

T  CV  9 R   

3T

e x x 4 dx

 e 0

Pёr temperatura tё larta ёshtё

x



1

2

ex  1 x  

Atёherё: 

   T   T  1  x x dx T   2 3 CV  9 R    9 R    x dx   x dx   2    0 1  x  1   0 0    3T

T   9 R   

3

3 T

4

4

 1  T  3 1  T   3    3R        3R1  3  4  4 T        

183. Tё tregohet se pёr temperatura tё ulёta, , termokapaciteti sipas teorisё sё Debye-it ёshtё proporcional me kubin e temperaturёs absolute. ________________________________________________________________________________ Zgjidhja: Shkruajmё shprehjen pёr termokapacitetin e trupit tё ngurtё sipas teorisё sё Debye-it nё formёn:     3    T  3 T x 3 dx CV  3R 12   x  T      0 e  1 e T  1  

ku



ёshtё temperatura karakteristike e trupit. Pёr temperatura tё ulёta, kur

integrimit mund tё zёvendёsohet me pambarim. Nё kёtё rast: 

x 3 dx  4 0 e x  1  15

  T , kufiri i sipёrm i

545 Atёherё:

   3    T 3  4 CV  3R 12   T      15 e T  1   Pёr temperatura tё ulёta, mbledhёsi i dytё mund tё mos pёrfillet, ashtu qё ai tenton nё zero. Pёrfundimisht fitojmё:

CV 

12 4 R 3 T  T 3 3 5

184. Nё figurё ёshtё paraqitur varshmёria e termokapacitetit temperatura;

CV tё trupit tё ngurtё, nga

C  -ёshtё termokapacieti pёr temperature tё larta, i barabartё me kufirin klasik (ligji

Dulong-Pettit). Tё tregohet se madhёsia e vijёzuar e sipёrfaqes mbilakoren e termokapacitetit i pёrgjigjet energjisё sё lёkundjeve zero. ______________________________________________________________________________ Zgjidhja:

Sipёrfaqja e vijёzuar nё figurё ёshtё e barabartё me: 

 C V , T , N   C V , T , N dT 

V

0

Termokapaciteti i trupit tё ngurtё pёr vёllim konstant mund tё shprehet nёpёrmjet spektrit tё shpёrndarjes sё lёkundjeve normale:

546

  , T  g V , , N d  T 0



CV   ku

  , T 

ёshtё energjia mesatare e oscilatorit me frekuencё 

  , T  

Pёr

h  2

h e

h kT

1

T   energjia mesatare   , T   kT . Atёherё: kT  g V , , N d T 0



C   Nga kjo rrjedh se: 



  T kT    , T g V , , N dTd  0 0





  kT    , T  T 0 g  , N d     ,0g  , N d T 

0

Madhёsia

  ,0 

0

h paraqet energjinё e zero të lёkundjeve tё oscilatorit harmonik. 2

Prandaj 

   ,0g  , N d 0

jep energjinё e zero lёkundjeve nё trupin e ngurtё.

185. Tё gjendet termokapaciteti

CV i trupit tё ngurtё pёr temperatura tё ulёta, nё qoftё se frekuenca e

lёkundjeve ёshtё e lidhur me vektorin valor nёpёrmjet relacionit 

 Aq n

n0

Zgjidhja Numri i lёkundjeve normale tё trupit tё ngurtё nё intervalin e vlerave tё vektorit valor

q y , q y  dq y ; q z , q z  dq z nё elementin e vёllimit V ёshtё i barabartё me

q x , q x  dq x ;

547

Vdq x dq y dq z

2 3

Duke e marrё parasysh formulёn e dispersionit, funksioni i shpёrndarjes e ka formёn:

g   

V

2 3

1

 4q 2 q



3 n

3

VA n n  2 2 n

Atёherё shuma statistike e sistemit ёshtё:

ln Z 

 max

 0

h 3 3 n    2 kT n  e VA  n   ln h 2 2 n  1  e  kT 

  d  

Energjia e brendshme e trupit tё ngurtё ёshtё:

 h    max 2 kT  ln Z   e E  kT 2  kT 2  ln  h T T   0  1  e kT  

   3 3 n  VA n n d   2 2 n   

Termokapaciteti i trupit tё ngurtё ёshtё:

 h    E  2 max   e 2 kT C k T  ln h T T T    0  1  e kT  

   3 3 n  VA n n d   2 2 n   

Pas diferencimit kemi:

Ck

 max

 0

h

 hkT e  



3

3 n

 h  VA n n d   2  2 2 n   kT   1 

e kT

2

548 

3

3



1

3

VA n k  kT  n T e x x n  dx   2 2 n  n  0 e x  1 3 ku x 



h kT

Pёr temperatura tё ulёta Nё atё rast ёshtё



T   kufijtë e integrimit mund t`i zgjerojmё deri nё +  .

3 n

C ~T .

186. Tё gjendet energjia E, termokapaciteti

CV i zingjirit linear tё atomeve, me gjatёsi L, duke e

shfrytёzuar tё njejtёn metodё si pёr rastin e kristalit tredimensional. Tё shqyrtohen dy raste : a) T  , b) T  . Zgjidhja: Siç dihet:

ln Z 

  2hkT  e ln  h  1  e  kT 

 max

 0

  g  d  

Numri i valёve, qё shtrihen nё njё gjatёsi L tё zingjirit atomik linear ёshtё

L





2L



2 Numri i valёve tё qёndrueshme, gjatёsia e tё cilave shtrihet nё intervalin ndёrmjet dhe

  d , ёshtё: g  d 

Meqenёse



v0



, atёherё:

2L

2

d

g  d 

2L d v0

Gjejmё frekuencёn maksimale tё lёkundjeve:  max

 max

0

0

 g  d  

2L d  N , v0

2L  max  N v0

.



549

prej nga:

g  d 

N

 max

d

atёherё:

ln Z  

Nh max N  4kT  max

 max

 0

 ln 1  e 

h  kT



T  d   N   N T  ln 1  e  x dx  4T  0 





Shqyrtojmё dy raste:

T 

1. Temperaturat janё tё ulёta: 

N T ln Z    N  ln 1  e  x dx 4T  0





sepse integrali konvergjon shpejtё dhe pёr x  1 ёshtё shumё i vogёl, ashtu qё ndёrrimi i kufirit tё sipёrm nuk ndikon nё madhёsinё e integralit. Meqenёse ёshtё: 

 ln 1  e dx   x

0

ln Z  

2 6

N 2  N 4T 6 T

Entropia e zingjirit ёshtё:

E  kT 2

Termokapaciteti ёshtё:

 ln Z Nk N 2 kT 2   T 4 6

 2 NkT CV   3 

2. Temperaturat janё tё larta T   . Atёherё: 

N TT ln Z    N  ln 1  1  x dx  4T  0

550 



N TT N   N  ln xdx    N ln e T 4T  0 4T Gjejmё energjinё dhe termokapacitetin e zingjirit tё atomeve:

E  kT 2

 ln Z Nk   NkT T 4

 E  CV     Nk  T  L

187. Tё pёrcaktohet termokapaciteti i kristalit dydimensional, duke e zbatuar metodёn e shfrytёzuar pёr modelin tredimensional tё Debye-it. __________________________________________________________________________________ Zgjidhja: Pёr modelin dydimensional, numri i valёve me frekuencё qё shtrihet nё intervalin

l

deri nё

 l  d l , ёshtё: g  l d l 

2kdk 2Lf Ldf L2 fdf    4 4  2

L2 2 l 2d l 2L2   2  l d l 2Cl Cl Cl Numri i plotё i valёve, frekuenca e tё cilave shtrihet nё intervalin ndёrmjet



deri nё

  d , ёshtё:  1 2  g  d  2s 2  2 d  Cl Ct  Ku s ёshtё sipёrfaqja e kristalit dydimensional,

C l -shpejtёsia e pёrhapjes sё valёs gjatësore, Ct -

shpejtёsia e pёrhapjes sё valёs tërthore. Numri i plotё i valёve tё kristalit dydimensional, ёshtё:  max

2  1 2   max   0 g  d  2s Cl2  Ct2  2  3N

Atёherё:

551 g  d 

6N

d

2  max

Sipas analogjisё me rastin tredimensional, kemi:

ln Z 

 max



e

ln

0



h 2 kT

1 e



h kT

g  d 

 max

3 6 N h max 6N  2  2  max 6kT  max

Nh max 6 N   2 kT  max

 0

 max

 0

6N

 max

2  max



e

ln



h 2 kT

1 e

0

h     ln 1  e kT 

h    ln 1  e kT 



h kT

d 

 d   

 d .  

Energjia e kristalit dydimensional ёshtё h

E  kT 2

 ln Z 6 NkT  Nh max  2 T  max

 Nh max 

6 Nk

 max

2  max

2

 0

e



h kT



h  kT e kT d  h

0

kT

2  max

1 e



d 1

Termokapaciteti i kristalit dydimensional ёshtё: h

 h kT 2T  max e  E 6 Nk T x 3e x     kT CS   d   6 Nk dx   2    2 2   T  S  max 0  h    0 ex 1   e kT  1     C  3Nk



Pёr T  ,

Pёr T  ,

ku

T  C  6 Nk    

2

T  T  dx  Nk 36 3   43,26 Nk   2 x     e 1

 0

2



x 2e x



 3 ёshtё  -funksion,  3  1,202

2

552 188.

Duke i marrё lёkundjet e atomeve tё trupit tё ngurtё me energji potenciale

U  ax 2  bx 4 si anharmonike, tё gjendet termokapaciteti i tij. ___________________________________________________________________________ Zgjidhja: Gjejmё energjinё mesatare tё oscilatorit anharmonik sipas formulёs:

E  kT 2

d ln Z dT

ku Z ёshtё integrali i gjendjes, qё ёshtё:

 

Z

 e

 p2 ax2 bx4     2 mkT kT kT 

   





dpdx   e



p2 2 mkT





dp  e

 ax2 bx4    kT kT 

   

dx



Dihet se ёshtё: 

e



p2 2 mkT

dp  2mkT  2 1



Njehsojmё integralin e dytё:



e

 ax2 bx4      kT kT   



Zbёrthejmё

e

dx   e



ax2 kT

e

bx4 kT

dx



bx4 kT

e



nё seri dhe ndalemi nё dy anëtarёt e parё tё zbёrthimit:

bx4 kT

2

bx 4 1  bx 4      1   kT 2  kT 

Atёherё: 

e



x 2 kT





e



e

bx4 kT



dx   e



x 2 kT





ax2 kT

1

 kT  2 dx    ,  a 



ax2

 b dx  x 4 e kT dx  kT 



x e 4



Nё kёtё mёnyrё, integrali i gjendjes ёshtё:



ax2 kT

5

3  kT  2 dx     4  a 

553

1 5 1   1 2 2 b 2  3  kT 3 kT 2 m b         Z  2mkT      2   kT 1   kT 2   a  4  a  kT   a   4  a    1 2

Prej nga:

b   3  ln 1  kT 2   ln Z 1 a   4   T T T  

Zbёrthejmё ln 1 

3 b  kT 2  4 a 

nё seri dhe duke u ndalur nё antarin e parё, fitojmё:

b  3 b  3 ln 1  kT 2   kT a  4 a2  4 Duke e marrё parasysh barazimin e fundit kemi:

 ln Z 1 3 b   k T T 4 a2 Energjia mesatare e oscilatorit lёkundës anharmonik ёshtё:

E  kT 

3 b 2 2 k T 4 a2

Termokapaciteti i oscilatorit lёkundës anharmonik ёshtё:

CV 

E  3 b   k 1  kT  2 T  2a 

Kurse termokapaciteti i njё gram-atomi tё trupit tё ngurtё tё tillё ёshtё:

 3 b  CV  3R1  kT  2  2a 

554 189. Tё nxjerret relacioni, i cili e vendos lidhjen ndёrmjet termokapacitetit, koeficientit tё zgjerimit termik dhe modulit tё tkurrjes, tё njohur nё fizikё si ``ligji i dytё i Gruneizen-it``. Zgjidhja: Energjia e lirё e sistemit prej N oscillatorёve me frekuencё tё njёjtё ёshtё:

F   NkT ln Z ku Z ёshtё integrali i gjendjes. Duke e njehsuar integralin e gjendjes pёr sistemin prej N oscilatorёve harmonikё mund tё fitojmё: h  i   F  U 0  3NkT  ln 1  e kT i 1  N

   

Pёr trupin e ngurtё me spektёr tё Debyeit, kemi: 

T  F  U 0  3RT  3   

3T

 x ln 1  e dx x

2

0

Pas integrimit parcial kemi:  3



T  F  U 0  3RT  3  ln 1  e  x  

 3



 U 0  3RT ln 1  e

     U 0  3RT ln 1  e T  



0

0

T   3RT    

3T

x3 0 e x  1 dx 

 1      D   3 T   



ku

T    D   3    T 

3T

x3 0 e x  1 dx ёshtё funksion i Debyeit.

Sipas relacionit termodinamik, kemi:

T

3

2

 x

x

 x dx  3RT  3 T    x3 e 1 e   T

 F  p     V  T

x

dx 

555 Meqenёse frekuenca e lёkundjeve, e bashkё me tё edhe

 , varen nga vёllimi,

 F    p        V  T Atёherё:

 1  T   2 3 3 e 3 3 T  x 3RT  T  x      U  T  T p   0   3RT  T   3RT  3         x   T    e x  1  T   V     0 e 1   V  T T 1  e   U     1     0    3RTD .  T   V  T  V  T  Duke marrё parasysh se

  3RTD   U T ёshtё energjia termike e trupit tё ngurtё nё T 

temperaturёn T, mund tё shkruajmё:

1   ln    U  p   0    U T  V  T V   ln V  ose:

  U 0     ln    V   U T p    ln V   V  T   E diferencojmё ekuacionin e fituar, sipas T:

 p    ln       T V   ln V

 CV 

Duke e shfrytёzuar relacionin termodinamik:

 V   T  p      T V  V   p dhe duke marrё parasysh se:

  p   T

556

1  V     3 , V  T  p ku



1  V  V  p

 1    K T

ёshtё koeficient i bymimit termik, K ёshtё moduli i ngjeshjes sё gjithanshme, ekuacionin

mund ta shkruajmё nё kёtё formё:

3V   ln     CV 1  ln V    K ose nё formёn pёrfundimtare:

3KV  ln    CV  ln V ku

 ёshtё konstanta e Gruneizenit.

190.

Trupi i ngurtё dhe avulli i pёrbёrё prej atomeve tё tё njёjtёs lёndё, ndodhen nё ekulibёr nё

enёn e mbyllur me vёllim V nё temperaturё T. Supozojmё se shuma statistike pёr trupin e ngurtё, tё pёrbёrё nga N1 atome, e ka formёn

Z1 T1 N1   Z1 T 1 dhe se avulli ёshtё gaz ideal, i N

pёrbёrё nga N2 molekula. Tё tregohet se kushti i ekulibrit pёr ka formёn

N2  ku

N1 1 dhe N 2 1 pёrafёrsisht e

Z 2 T ,V  Z1 T 

Z 2 T ,V  ёshtё shuma statistike e njё molekule tё gazit. Vёllimi i trupit tё ngurtё ёshtё i vogёl

nё krahasim me V. Zgjidhja: Shuma statistike e gazit ideal i cili pёrbёhet nga N2 molekula ёshtё:

Z 2 T ,V , N 2  

Z 2 T ,V  N 2!

Shuma statistike e fazёs sё ngurtё ёshtё:

Z1 T , N1   Z1 T 

N1

N2

557

Prandaj, energjia e lirё e sistemit ёshtё:

F  kTN2 ln Z 2 T ,V   kT ln N 2 !kTN1 ln Z1 T    kTN2 ln Z T ,V   kTN2 ln N 2  kTN2  kTN1 ln Z1 T  Shpёrndarja mё e besueshme e molekulave nё gjendjen e ekulibrit i pёrgjigjet minimumit tё energjisё sё lirё:

F  Fmin

pёr

N1  N 2  const

Sipas kushtit tё minimumit tё energjisё sё lirё, fitojmё:

 Z T ,V   F  kT ln 2  ln Z1 T   0 N 2 N2   ose:

N2 

Z 2 T ,V  . Z1 T 

191. Tё tregohet se moduli i tkurrjes gjithanёsore i rrjetёs kubike ёshtё:

K ku

r02 9V

  2U   2   r  r r0

r0 ёshtё largёsia ndёrmjet atomeve nё gjendjen e ekuilibrit,

kurse U-ёshtё energjia e brendshme. Zgjidhja: Tkurrja e trupit tё ngurtё nё rastin e pёrgjithshёm mund tё shprehet nёpёrmjet derivimit tё energjisё sipas vёllimit:

 

1 dV V dp

ose

K

1



Meqenёse:

 2U U  2 r  2U  r      r V 2 r 2  V  V 2

2

V

 2U V 2

558

dhe nё gjendjen e ekuilibrit

 U   0 , atёherё:    r  r r0

 2U   2U   r      V 2  r 2  r r0  V 

2

V  2Nr 3

Pёr rastin e rrjetes kubike, kemi:

ku N ёshtё numri i plotё i çifteve tё joneve. Atёherё:

1  V     36 N 2 r 4  r  2

prej nga:

K

V 36 N 2 r04

  2U  1  2    r  r r0 18 Nr0

  2U  r 2   2U   2   0  2   r  r r0 9V  r  r r0

192. Tё shqyrtohet kristali me vёllim V0 dhe energji tё pёrgjithshme tё bashkёveprimit ndёrmjet atomeve U0. Duke marrё se energjia e bashkёveprimit ndёrmjet atomeve mund tё pёrshkruhet me shprehjen:

U r   

a   m , n r r

Tё tregohet se moduli i tkurrjes gjithanёsore i kristalit pёr rastin e rrjetёs kubike ёshtё i barabartё me U 0

mn . 9V

Zgjidhja: Gjatё deformimit tё kristalit, kemi:

p ku

U U  V V

U ёshtё ndёrrimi i energjisё sё kristalit, qё i pёrgjigjet ndёrrimit tё vёllimit tё tij.

Gjatё deformimeve tё vogёla energjinё e kristalit mund ta zbёrthejmё nё seri sipas gradёve:

1  d 2U   dU   U  U0   V   V 2      2  dV 2 dV  V V0  V V0

559  dU   0 , prandaj:   dV V V0

Nё gjendjen ekuilibrit 

U 

1  d 2U    V 2 2  dV 2 V V 0

Pёr kristalin e tipit NaCl, ёshtё V  2Nr . Atёherё; 3

dU dU dr 1 dU   dV dr dV 6 Nr 2 dr

d 2U d  dU  dr 1 d  dU        2 dr  dV  dV 6 Nr 2 dr  dV  dV 

1 d  1 dU  2 dU 1    2 2 2 6 Nr dr  6 Nr dr  6 Nr 2 r dr 6 Nr 2









2

d 2U . dr 2

 dU   0 , prandaj:   dr  r r0

Nё gjendjen e ekuilibrit 

 d 2U  1    2  6 Nr 2  dV V V0





2

 d 2U  r2  2   02  dr  r r0 9V0

Ndryshimi i energjisё nё procesin e deformimit, ёshtё:

U 

Nё kёtё rast, ёshtё:

Nga ana tjetër:

r02 18V02

 d 2U    V 2 2  dV   r r0

r02 18V02

 d 2U   2  V  dr  r r0

p

p  K

V V0

Duke i barazuar dy ekuacionet e fundit, kemi:

K

r02 9V0

 d 2U   2   dr  r r0

 d 2U   2  .  dr  r r0

560 U 

Nё qoftё se

 r



n

 rm

atёherё nga kushti i ekuilibrit gjejmё:

n mn n m  m1  0 ose   r0 n 1 m r0 r0 Atёherё, kemi:

U0  

 rn



n r0mn   n   n   1 m m r0 r0  m 

 d 2U  nn  1 mm  1  2     r0n  2 r0m 2  dr  r r0



nn  1 mm  1nr0mn mn  n   n  2 1   n2 m 2 r0 mr0 r0  m 

ose:

 d 2U  mnU 0  2   r02  dr  r r0

K 

Pёrfundimisht, fitojmё:

mn U0 . 9V0

193. Tё gjendet tkurrshmёria (kompresibiliteti) i kristalit NaCl, duke marrё se treguesi i eksponentit nё relacionin e Gruneizen

 i , qё pёrcakton madhёsinё e forcёs sё shtytjes, ёshtё i barabartё me

9,4. Zgjidhja: Energjia e plotё e rrjetёs, e cila pёrbёhet nga 2N jone, ёshtё:

K

r02 9V0

 d 2U   2   dr  r r0

  A e 2   U  N  m  r r  

561

prej nga:

 mm  1A 2e 2  d 2U  N  3   m 2 dr 2 r   r

Pёr tё eleminuar A, shfrytёzojmё kushtin e ekuilibrit:

 mA e 2   dU   N   m1  2   0   r0   dr  r r0  r0 Atёherё:

A 

r0m1e 2 e 2 r0m1  Nm Nmr02

prej nga:

 mm  1e 2 r0m1 2e 2  N m  1e 2  d 2U   2   N  3  r0m 2 r0  r03  dr  r r0 

 d 2U   nё shprehjen pёr modulin e 2   dr  r  r

Duke e zёvendёsuar vlerёn e fituar 

0

tkurrshmёrisё gjithanёsore, gjejmё:

r02 N m  1 2 m  1e 2 K e  9V r03 18r04 ose:





18r04 1  K m  1e 2



18 2,8  10 8





8,4  1,748 4,8  10 10



2

 3,3  10 12

cm 2 m2  3,3  10 11 din N

194. Tё llogaritet zgjatimi i molekulёs, e cila kryen lёkundje anharmonike, nё qoftё se forcat, tё cilat veprojnё nё atome gjatё zhvendosjes sё tyre nga pozitat ekuilibruese, janё tё barabarta me

f  ax  3x 2 . Zgjidhja: Forca mesatare nё gjendjen e ekuilibrit statistik ёshtё e barabartё me zero

562

f  x  3 x 2  0 3

x



x2

Nё qoftё se lёkundjet e atomeve nё molekulё I marrim si harmonike, atёherё:

kT

x2 



,

x

3kT

2

Koeficienti i zgjerimit termik ёshtё:

 

x 3K  aT a 2

ku a ёshtё largёsia ekuilibruese ndёrmjet atomeve.

195. Tё llogaritet termokapaciteti elektronik

CVe pёr bakrin, pёr 2 dhe 1000K dhe tё krahasohet

ky me termokapacitetin e rrjetës kristaline pёr po ato temperatura. Temperatura karakteristike e bakrit ёshtё 316K. Zgjidhja: Pёrcaktojmё sё pari, termokapacitetin elektronik tё bakrit. Termokapaciteti elektronik i metalit ёshtё: ku

CVe  T

 ёshtё koeficient proporcionaliteti. Pёr bakrin   7,28  10 4

J mol  K 2

Atёherё termokapaciteti elektronik pёr 2K ёshtё pёr 1000K ёshtё

CVe`  7,28  10 4  2  14,56  10 4

J mol  K

CVe``  7,28  10 4  1000  7,28  10 1

J mol  K

Komponentёn rrjetore tё termokapacitetit pёr 2K mund ta gjejmё sipas formulёs

` Vp

C

T   234 R   

3

563 3

J  2  ` 4 CVp  234  8,32 R   4,8  10 mol  K  316  Pёr 1000K, pёr termokapacitetin rrjetor, me pёrafrim mjaft tё mirё. Mund ta marrim vlerёn e pёrcaktuar sipas ligjit Dulong-Pettit `` CVp  3R  24,96

J mol  K

Nё kёtё mёnyrё, pёr temperatura tё larta koponenta rrjetore e termokapacitetit dukshёm e mbizotёron atё elektronike, kurse pёr temperatura tё ulёta, komponenta elektronike e termokapacitetit mund ta tejkalojё atё rrjetore.

196. Tё tregohet se numri i defekteve i Frenckel-it nё trupin e ngurtё nё temperaturёn T, E

pёrcaktohet me ketё relacion

e kT  ln

N  nN `n , ku E ёshtё energjia e nevojshme pёr n2

zhvendosjen e atomit nga pozita normale nё nyje, nё ndёrnyje, kurse N ёshtё numri i nyjeve nё kristal dhe N` ёshtё numri i ndёrnyjeve tё mundshme nё gjendjen e ekuilibrit. Zgjidhja: Nё qoftё se supozojmё se gjatё ekuilibrit termik, n atome kanё dalë nga pozita ekuilibruese, atёherё atomet mund tё renditen nё ndёrnyje nё p` mёnyra, me ç`rast:

p`

N `! N `n!n!

kurse vrimat, ose nyjet vakante, mund tё renditn nё p mёnyra:

p

N! N  n!n!

Rritja e entropisё, e shkaktuar me zhvendosjen e atomeve, ёshtё:

 N! N `!  S  k ln  ln N `n!n!  N  n !n! Duke e zbatuar formulёn e Stirlingut, fitojmё :

564

S  k N ln N  N  nlnN  n  n ln n  k N `ln N `N `nln N `n  n ln n Rritja e energjisё sё brendshme, e shkaktuar me kalimin e atomeve nё ndёrnyje ёshtё:

U  nE Atёherё energjia e lirё e sistemit tё tillё ёshtё:

F  nE  TS Nё gjendjen e ekuilibrit termik:

 F    0  n  T Pas diferencimit fitojmё:

E  kT ln

N  nN `n n2

Nё qoftё se n ёshtё i vogёl nё krahasim me N dhe N` , atёherё:

n  NN `e



E 2 kT

197. Tё nxjerret barazimi themelor termodinamik pёr sistemin me numër tё ndryshueshëm tё grimcave, duke u nisur nga

 Z.

Zgjidhja:

A    e

  

n  i 

 i , n  

 ne

n  i 

 2

 e

  i , n  

1



Duke i pjesëtuar tё dy anёt e barazimit me

n  i 

 i    i , n  

 e A



n  i 

, gjejmё:

 2

 i , n  i

 ne

n  i 

 i  

565

  e

 ln A 

  e



n  i 

 i , n  i

 i , n  i

  ne 

E Duke e zёvendёsuar

n  i 

 e

n  i 

n  i 

 

 ne  e

 i , n 

 i , n 



 e

n  i 

n  i 

n  i 

 e

 i , n  i

 i , n  i

 i , n  i

n  i 

 i , n 





   n   n  W  

W , fitojmё: n  E  ln A    d  n   

E    Meqenёse

n  E  ln A       

 Atёherё, kemi :

E      n

198.

Tё fitohet shprehja pёr termokapacitetin

CV sipas ndryshoreve T ,  ,V .

Zgjidhja: Pёr derivatin kemi:

 S  CV  T  , bёjmё transformimin e ndryshoreve T ,V , N  T ,V ,  dhe   T V , N

 S , N   S , N   T ,    S        T  N  T , N   T , N   T ,  

566

 S   N   S   N   S   N                T      T    T  T    S     T  T        N   N   T          T    T Meqenёse

 S   2   N        T  T      T Atёherё,është: 2   N        T     S  C v       T     N           T  

199. Tё vertetohet barazimi termodinamik

d  pV   SdT  pdV  n d

Zgjidhja: Meqenёse Atёherё:

E  n  TS  pV d  pV   d n   d TS   dE   SdT  pdV  n d.

     ln Z    ln Z    V   200. Tё vёrtetohet identiteti: ln Z  N   N  T ,V  V  T ,V Zgjidhja: Nё qoftё se e kemi bashkёsinё e x sistemeve identike, nё temperaturёn T, atёherё shuma statistike e bashkёsisё do tё jetё e barabartё me shumёn statistike tё secilit sistem tё fuqizuar nё x, nёn kushtin qё sistemet tё mos varen nga njёri tjetri. Meqenёse numri i grimcave nё tёrё ansamblin e sistemeve ёshtё xN, kurse vёllimi i tyre ёshtё xV, atёherё:

  x Z xN , xV , T   Z N ,V , T  I logaritmojmё tё dy anёt e barazimit dhe marrim derivation parcial sipas x.

567 Fitojmё:

    ln Z xN , xV , T   ln Z xN , xV , T  N V  ln Z N ,V , T  xN  xV 

x  1.

Ekuacionin e kёrkuar e fitojmё, nё qoftё se nё anёn e majtё tё barazimit vёmё

201. Tё vlerёsohet temperatura e kondensimit e Bose-Einsteinit pёr gazin ideal tё bozoneve me masё molekulare 4 dhe densitet 0,15

g , pёr vёllim konstant. cm 3

Zgjidhja: Temperatura e kalimit fazor pёrcaktohet me relacionin: 2 3

Tk  115 M



5 3

 ёshtё densiteti i shprehur nё g/cm3 , kurse M ёshtё pesha molekulare. Duke i zёvendёsuar vlerat pёr  dhe M , gjejmё se Tk  3,2 K . ku

Kjo vlerё ёshtё shumё e afёrt me temperaturёn nё tё cilёn

4

H e I kalon nё

202. Sistemi me numër tё ndryshueshёm tё grimcave tё dy llojeve i nёnshtrohet kushtit

N   N     const . Tё gjendet herёsi

4

H e II .

N  dhe N  ,

N nё kushtet e ekuilibrit N

termodinamik. Bashkёveprimi i grimcave tё mos pёrfillet. Zgjidhja: Pёr sistemin me numër tё ndryshueshёm tё grimcave tё dy llojeve, integrali i gjendjes i shpёrndarjes sё madhe kanonike, shkruhet nё formёn:

 Z

ku

N  



N  

e e   N! N ,N N  !

e



H N  p ,q 



dpdq

p ,q

N  N   N  ёshtё numri i plotё i grimcave. Meqenёse sistemi i shqyrtuar paraqet

pёrzierje tё gazeve ideale, atёherё:

568

H N  p, q    H i  pi   H j  p j  

ku H i

N

N

i 1

j 1

 pi  ёshtё energjia e grimcёs sё i-tё tё llojit

tё parё ; kurse

H j  p j  ёshtё energjia e

grimcёs sё j-tё tё llojit tё dytё. Prandaj

   Z N  Z N  Z  N  !N  !

ku   H  Z   e 

Meqenёse



 pi 

dpi

  H  Z   e 

;



 pi 

dp j

N   N    , atёherё:   Z N   Z N  Z Z      N  N  ! N    !  Z



2  I 2 Z  Z  

ku

I x  ёshtё funksion i Besselit i llojit tё parё me indeks  tё argumentit imagjinar. Me qenё

se

N  dhe N  mё heret nuk janё fiksuar, atёherё   dhe   ёshtё zero.

Prandaj, kemi:

  N      

    , N          0

  ,ku ёshtё   kT ln Z    0

Duke i shfrytёzuar relacionet ndёrmjet funksioneve tё Beselit dhe derivative tё tyre, fitojmё:

N 

Z I 1 Z  , 2 I Z 

Nga formulat e fituara rrjedh:

N 

Z I 1 Z  , 2 I Z 

N  I 1 Z   N I Z 

si dhe:

N  N 

Z I 1 Z   I 1 Z   2 I Z 

ku

Z  2 ZZ

  ,   0

569

203. Sistemi pёrbёhet nga N grimca tё njё lloji. Tё vёrtetohen kёto relacione:

1)

 E          T    N  T ,V  T V , N

2)

1  N   E   N          T    T ,V  N  T ,V  T V , T

Zgjidhja: 1) Nё rastin e ndryshoreve tё pavarura T,V dhe N , si funksion termodinamik duhet marrё energjinё e lirё tё Helmholtzit

F  U  TS , ashtu qё kemi:

 2F   U         T        T   N  T ,V  T V , N  TN V 2) Pёr kalimin nga ndryshoret e pavarura T , V ,  

 T

nё T ,V ,  , marrim

parasysh se:

       2 , T  T   ,V

   1    .    T ,V T

Atёherё fitojmё:

 N     T V ,

N ,  ,V   N ,  ,V   T ,  ,V     T ,  , V   T ,  ,V   T ,  ,V 

 N     T   ,V        T   ,V

 N     T   ,V

 N       T ,V         T ,V

      T   ,V          T ,V

1          T ,V

 N    N   N             T ,V  T   ,V T    T ,V

Madhёsinë e parё e shkruajmё nё formёn:

570

N ,  ,V  N ,  ,V  N , T ,V   N        T   ,V T ,  ,V  N , T ,V  T ,  ,V 

    N        T  N ,V    T ,V Nё kёtё mёnyrё:

 N         N             T V ,     T ,V  T  T V , N  T

Duke e zёvendёsuar nё kёtё shprehje relacionin e fituar nёn 1), gjejmё rezultatin e kёrkuar.

204. Gazi ideal ndodhet nё gjendje tё ekuilibrit nё fushёn e jashtme tё forcave, nё tё cilёn energjia potenciale e grimcave ёshtё U. Tё shkruhet kushti i ekuilibrit dhe tё gjendet shpёrndarja e shtypjes. Zgjidhja:

T  const ,   const

Kushtet e ekuilibrit e kanё formёn Varshmёria e

 nga U mund tё gjendet nga pёrkufizimi i potencialit kimik E0  NU   E    0  U  kT ln p  U  f T    N  N  S ,V

 

Nё gjendjen e ekuilibrit:

kT ln p  U  const , p  const  e



U kT

205. Nxehtёsia e shkrirjes sё avullit nё 0 C dhe shtypje 1atm ёshtё 80kal/g . Herёsi I vёllimeve 0

specifike tё avullit dhe ujit ёshtё 1,091 : 1,000 . Tё vlerёsohet ndёrrimi I pikёs sё shkrirjes gjatё ndёrrimit tё shtypjes. Zgjidhja: Nё bazё tё ekuacionit tё Clapeiron-Clausiusit, fitojmё:

571 dT T V2  V1  K   o,99  10 4 dp q cmHg

206. Varshmёria nga temperatura e nxehtёsisё sё avullimit tё ujit shprehet me ekuacionin

Q  a  bT , ku a  764

kal kal , b  0,6 . Me çka ёshtё e barabartё shtypja e avullit tё gK g

ngopur tё ujit nё T  80 C . 0

Zgjidhja: Shkruajmё ekuacionin e Clapeiron-Clausiusit

dp q  dT T V2  V1  dhe duke e vёnё nё vend tё q, vlerёn e saj, gjejmё:

dp a  bT  dT T V2  V1  ku

V1 ёshtё vёllimi specifik i lёngut, dhe V2 ёshtё vёllimi specifik i avullit. Meqenёse pёr tё gjitha lёngjet V2 V1 , atёherё vёllimin specifik tё lёngut nё pёrafrim tё parё mund tё mos e pёrfillim. Atёherё kemi:

dp a  bT  dT V2 T Nga ekuacioni i gjendjes sё gazit gjejmё shprehjen pёr vёllimin spesifik.

V2  Vendosim, nё vend tё

V RT  m p

V2 , vlerёn e saj dp  a  bT  dT p R T2

Bёjmё integrimin:

572

dp  a  bT p p  T R T 2 dT 0 0 p

T

ln

p  1 1   a  p0 R   T T0

 T   b ln  T0  

ose

p  p0 e Duke marrё parasysh se pёr fitojmё:

  1 1   a   R   T T0

 T    b ln   T0  

T0  373K , p0  1atm , pas zёvendёsimit tё vlerave numerike,

p  0,471atm  357,2mmHg

207. Tё gjendet ndёrrimi I temperaurёs sё shkrirjes sё heliumit tё ngurtё nё varshmёri nga shtypja, pёr

T 0

Zgjidhja: Nё bazё tё ekuacionit tё Clapeiron-Clausiusit mund tё shkruajmё:

dT V  dp S Pёr

T  0 madhёsia V mbetet e fundme, kurse S  0 . Prandaj, kemi: dT   , pёr T  0 dp

208. Tё pёrcaktohet termokapaciteti i avullit pёrgjatё lakores sё ekuilibrit tё lёngut dhe avullit tё tij tё ngopur ( gjegjёsisht termokapaciteti pёr procesin, gjatё tё cilit lёngu tёrё kohёn ndodhet nё ekuilibёr me avullin e tij tё ngopur). Avulli tё merret si gaz ideal. Zgjidhja: Nxehtёsia e kalimit fazor ёshtё

C T

dq  TdS , kurse termokapaciteti, është:

dS dT

573

ku

dS dT

ёshtё derivati pёrgjatё lakores sё ekuilibrit.

Meqenёse

 S  dp dS  S       dT  T  p  p  T dT Atёherё:

 S  dp  S   S   V  dp C  T  T      T   T  p  p  T dT  T  p  T  p dT Duke marrё parasysh se

kT dp qp dhe V   2 dT kT p

gjejmё:

C  Cp T

k qp q  Cp  2 p kT T

209. Tё llogaritet shpejtёsia e avullimit tё substancёs sё kondenzuar, nё vacuum. Zgjidhja: Shpejtёsia e avullimit nё vakuum e trupit tё kondensuar pёrcaktohet me mumrin e grimcave, qё dalin nё njёsi tё kohёs nga njёsia e syprinёs sё sipёrfaqes sё trupit. Shqyrtojmё trupin i cili ndodhet nё ekuilibër me avullin e vet tё ngopur. Atёherё numri i grimcave n , qё dalin nga sipёrfaqja e trupit, ёshtё i barabartё me numrin e grimcave qё biejnё nё trupin gjatё tё njëjtit interval tё kohёs dhe qё ``ngjiten`` nё tё, dmth.:

n ku

p0 2mkT

1  R 

p 0 ёshtё shtypja e avullit tё ngopur, kurse R njё koeficient mesatar i reflektimit tё grimcave

tё gazit. Nё qoftё se

p 0 nuk ёshtё shumё e madhe, atёherё numri i grimcave, qё dalin nga

sipёrfaqja e trupit, nuk varet nga ajo se a ka nё mjedisin rrethues avull apo jo, ashtu qё shprehja e shkruar pёrcakton shpejtёsinё e kёrkuar tё avullimit nё vakuum.

210. Tё pёrcaktohet ndryshimi i vёllimit tё avullit nё varshmёri nga temperatura pёr procesin, gjatё tё cilit avulli tёrё kohёn ndodhet nё ekuilibёr me lёngun. Zgjidhja:

574

Duhet pёrcaktuar

dV pёr lakorёn e ekuilibrit: dT

 V  dp dV  V       dT  T  p  p  T dT Duke ditur se :

kT dp qp dhe V   2 dT kT p

dV k kT qp 1 q   2  k   2 dT p p kT p T

gjejmё:

Pёr temperatura tё ulёta

dV ёshtё negative, dmth vёllimi i avullit zvogёlohet me rritjen e dT

temperaturёs.

211. Tё gjendet ndёrrimi i temperaturёs sё kalimit fazor lёng-gaz mbi sipёrfaqen e lakuar. Ndёrrimi i temperaturёs tё merret i vogёl, kurse shtypja e avullit tё ngopur tё merret i barabartё me shtypjen mbi sipёrfaqen e rrafshёt. Zgjidhja: Nga formula

1  p, T    2  p, T  , fitojmё:

1  p, T   1  p, T    2  p, T    2  p, T  Duke marrё se

T   T  T ,

p  p  p dhe duke e zbёrthyer potencialin kimik nё seri,

gjejmё:

 1  2   T  T

  T  2 p p 

prej nga:

T 

2v 2T lr

575 212. Formimi i embrionit tё avullimit ose tё kondenzimit nё lёng ose avull, bёhet nё shtypjen p, pёrkatёsisht mё tё vogёl ose mё tё madhe se shtypja ekuilibruese

p0 .

Temperatura e sistemit T ёshtё e barabartё me temperaturёn ekuilibruese

T0 .

Tё llogaritet besueshmёria e formimit tё embrionit. Zgjidhja: Puna e formimit tё embrionit tё fazёs sё re ёshtё

A

4r 3  2  p  p, T   1  p  p, T   4r 2 3v0

Meqenёse

 2  p  p, T   1  p  p, T  

 2  p  1 p  v1  v2 p p p

Atёherё:

A

4r 3 v1  v2 p  4r 2 3v0

Tashti gjejmё dimensionin kritik tё embrionit:

4r 2 v1  v2 p  8r  0 v0

A  0, r

rmin  Puna minimale

2v0 v2  v1 p

Amin e formimit tё embrionit tredimensional ёshtё:

Amin 

3 3 3 4rmin v1  v2 p  2r v1  v2 p  2 rmin v1  v2 p  3v0 v0 3 v0



v02 3 16 v02 3 v1  v2  16  3 v2  v1 2 p 2 3 v1  v2 2 p 2

Besueshmёria e formimit tё embrionit ёshtё:

w  Ce



16v02 2

3v1 v2 2 p 2 kT

576

213. Tё pёrcaktohen dimensionet ekuilibruese tё pikave tё merkurit nё temperaturёn e dhomёs (300K), tё kondensuara nga avulli i tejngopur me sipёrfaqёsor tё merkurit ёshtё

 p   1,1 . Koeficienti i tensionit 10 %   p 

470 erg/cm2 , masa molekulare 200,6 dhe densiteti 13,6g/cm3 .

Zgjidhja: Gjatё kondensimit nga mjedisi i gaztё, rrezja e pikёs me pёrmasё kritike ёshtё:

2M

rkr 

RTp ln

p p0



2  200,6  470  5,5  10 6 cm 7 8,3  10  300  13,6  0,1

Vёllimi i pikёs kritike ёshtё:





4 4 V  rkr3   5,5  10 6 cm  6,7  10 16 cm 3 3 3

214. Tё llogaritet rrezja e embrionit tё hekurit, qё kristalizohet gjatё ftohjes pёr 10 0 , nё qoftё se pesha molekulare ёshtё 55,84, densiteti 7,3g/cm3 , temperatura e shkrirjes 1,15  10 erg/mol, 11

koeficienti i tensionit sipёrfaqёsor 204erg/cm 2 . Zgjidhja: Rrezja e embrionit tё hekurit me pёrmasё kritike pёrcaktohet sipas formulёs:

rkr 

2MTs 2  55,84  1803  204   4  10 6 cm 11 qT 7,3  15  10  10

215. Kondensimi i fazёs sё lёngёt nga avulli i ujit bёhet gjatё tejngopjes 50% , nё temperaturё 00 C . Tё llogaritet puna e formimit tё embrionit kritik tredimensional. Zgjidhja: Pёr ujin ёshtё :



72erg/cm2,

R= 8,31  10 erg/ 4

M=18,

mol  K 

  1g/cm3, T=273K,

Atёherё, puna e formimit tё embrionit kritik tredimensional gjatё kondensimit tё avullit tё ujit , ёshtё:

577

A3 

 3 M  p   R T   ln  p  2

2

2

2



16 3,14  733  18 3  3,4  10 13 erg 2 14 2 3 8,31  10  273 1,5

216. Tё fitohet ekuacioni i Erenfestit nga ekuacioni i Mengeleeb-Clapeironit. Zgjidhja: Ana e djathtё e ekuacionit tё Mengeleeb-Clapeironit

dp S 2  S1  dT T2  T1 Gjatё kalimit fazor tё llojit tё dytё e merr formёn e papёrcaktueshmёrisё

0 . Pёr ta eliminuar kёtё 0

papёrcaktueshmёri, shfrytёzojmё rregullen duke e diferencuar numëruesin dhe emëruesin e anёs sё djathtё sipas T dhe p , fitojmё:

S 2 S1  C 2  C1 C P p  T T   T V2 V1  V   V   T T    T T  T  p  T  p

S 2 S1  p p p  T V2 V1  p p  S   V       T  P  p  T

Meqenёse: 

, atёherё:

 p     V   T V Meqenёse:  , atёherё:    p   T  p    V  T

 V   T p  T  V   p

  p   T

 p   V   C p  T    T V  p  T 2

578 217. Sistemi prej N grimcash , energjia kinetike e të cilave është e lidhur me impulsin

  p k , formon gaz ideal që karakterizohet me funksionin e d  4Vf  p  p 2 dp

nëpërmjet varshmërisë shpërndarjes:

ku f(p) është funksion i çfarëdoshëm kurse V- është vëllimi Të gjendet shprehja e përgjithshme , që e lidh shtypjen e gazit me energjinë e sistemit të grimcave, të mbyllur në njësinë e vëllimit . Të merret se shtypja lind si rezultat i goditjeve molekulave në murin e reflektues . ______________________________________________________________________________ Zgjidhja : Energjia mesatare e gazit ideal është : 

E  N   4NV   f  p  p 2 dp 0

Shtypja e gazit mund të paraqitet në formën: 

n N p   v2 pd  4V  pv f  p  p 2 dp  6 3V 0 

N   4V  p f  p  p 2 dp  3V p 0    1  lN lE  1  1    lp  lp  l   4V  f  p  p 2 dp  p p  3V 3V  p 0

218. Të përcaktohet energjia e lirë F e sistemit dhe të gjendet ekuacioni i gjendjes, në qoftë se entropia e sistemit përcaktohet me formulën:

V SR 0 V ku

T     T0 

a

V0 , T0 dhe a janë konstanta të fiksuara.

______________________________________________________________________________ Zgjidhja : Për procesin reverzibil nga

F  U  TS

579

dF  dU  TdS  SdT  TdS  pdV  TdS  SdT dF   pdV  SdT prej nga:

 F   F  S    , p     T V  V  T T

V F   R 0 V T0

2  1 T  V0T0   T     dT  R 1     V   1   T0    T0   

 1 V0T0   T    F  1     p    R 2 V   1   T0    V  T  

 1 V0T0   T   1      F pV  R V   1   T0    

219. Për një proces të çfarëdoshëm reverzibil , pambarimisht të vogël ndërrimi i entropisë përcaktohet me barazimin:

dS 

Q T

ku diferenciali ds është i plotë . Të tregohet se: B

a) për çdo proces është

dS  

A

Q T

 S  B   S  A ;

b) entropia e sistemit termik të izoluar kurrë nuk zvogëlohet . ______________________________________________________________________________ Zgjidhja : a) Të shqyrtojmë procesin e çfardoshëm reverzibil R dhe ireverzibil I që i lidhin gjendjet A dhe B . Për procesin R vërtetësia e mosbarazimit rrjedh nga përkufizimi i entropisë: A

S  A  S  B   

dQ T B

580 Duke e shqyrtuar procesin ciklik që përbëhet nga procesi reverzibil R dhe ireverzibil I , në bazë të teoremës së Klauziusit

Q

T

0

kemi:

Q

Q

 T  T I

0

R

prej nga:

Q

T I

 R

Q T

 S  B   S  A

ose: B

Q

T

 S  B   S  A

(1)

A

b) Sistemi termik i izoluar nuk shkëmben nxehtësi me mjedisin rrethues . Prandaj, për të është

Q  0

Për çfarëdo procesi, nga (1) rrjedh se

S B   S  A  0

220. Të vërtetohet se për lëndën , energjia e brendshme e së cilës U nuk varet nga vlëllimi V , vlen pohimi : termokapaciteti në vëllim konstant

CV varet vetëm nga temperatura.

___________________________________________________________________________ Zgjidhja : Për njësinë e masës së lëndës, kemi:

 U  dU    dT  g T dT  T V ku

g T 

varet vetëm nga T . Nga barazimi

dU  TdS  pdV

TdS  g T dT  pdV  S  CV  T    g T   T V

581

221. Të gjendet potenciali termodinamik G i sistemit , në qoftë se:

CV  VT 3 , p  BT 4 ______________________________________________________________________________ Zgjidhja : Gjejmë energjinë e brendshme të sistemit: T

U   C V dT  f V  

VT 4 4

0

 f V 

 S  CV  T    T V Meqenëse

 U     p  V  S

VT 4 4 Nga kjo rrjedh se:

f `V   0

, do të kemi:

 f `V    p   T 4

 

dhe

 4

Atëherë:

U  U0  Duke mos e përfillur

VT 4 4

U 0 , fitojmë:

U

VT 4 4

Potenciali termodinamik i sistemit është:

G  U  TS  pV  F  pV kurse energjia e lirë: T

T

T

dT T4 C dT  E  T  V 0 2  V 0 4T 2  0 T 0

F  F0  T 

582

 F0 

VT 4 12

 F  2    F  U  F  TS  F  T    T     T V  T  T  V

1 F     2 UdT T T 

T

F  F0  T  U 0

G  F0 

222. Të gjendet entalpia

VT 4 12

T

T

dT dT  F0  T  CV dT T T 0 0



VT 4 4

1  F0  VT 4 3

H  f  p, S  e sistemit , potenciali termodinamik i të cilit

është :

1 1 G  G0  AT  Bp  CT 2  DTp  Ep 2 2 2 ku

G0 është vlera e potencialit termodinamik në gjendejen e ekuilibrit dhe

A,B,C,D,E janë konstante . ______________________________________________________________________________ Zgjidhja: Dihet se

 G  H  G T   T  G  U  TS  pV  H  TS H  G  TS

 G  S  T    T 

583 Meqenëse

 G     A  CT  Dp  T  Atëherë:

1 1 H  G0  AT  Bp  CT 2  DTp  Ep 2  AT  CT 2  DpT  2 2 1 1  G0  Bp  CT 2  Ep 2 2 2 Duke marrë parasysh se

 G     S  T  p kemi :

 S  A  CT  Dp

T 

A  Dp  S C

Atëherë:

1  A  Dp  S  1 H  G0  Bp   Ep 2 2 C 2 2

223. Nga relacionet:

dU  TdS  pdV , dH  d U  pV  ,

dF  d U  TS  d  d U  pV  TS 

të fitohen relacionet e Maksuell-it:

 T   p       ,  V  S  S V

 T   V        p  S  S  p

 T   p       ,  V  p  S  T

 T   V        p V  S  T

______________________________________________________________________________ Zgjidhja:

584 Në qoftë se shprehja

dF  X x, z dx  Y x, z dz

ësht diferencial i plotë , atëherë:

 x   y        y  x  x  y Nga shprehja

 F   F   X   , Y    x  y  y  x

dU  TdS  pdV , rrjedh se :

 T   p        V  S  S V Nga shprehja

d U  TS   dU  SdT   pdV  SdT

Fitojmë:

 T   V        p V  S  T

etj.

224. Zakonisht entropia përcaktohet me formulën

S  k ln E  , ku

E  paraqet numrin

e gjendjeve të sistemit , kur energjia e ti është e barabartë me energjinë mesatare E. Por entropia, nganjëherë, është e përshtatshme , të paraqitet nëpërmjet formulës: E

S  k ln  d 0

ku integrimi kryhet nëpër të gjitha gjendjet me energji më të vogël ose të barabartë me E . Mund të tregohet se të dy këto përkufizime të entropisë praktikisht përputhen . Kjo veti ka merrë emrin jondieshmëria e formulës së Boltzmann-it . Të vërtetohet vetia jondieshmërisë së formulës së Boltzman-it për rastin special të gazit ideal , që i nënshtrohet ligjit të shpërndarjes së barabartë . ____________________________________________________________________________ Zgjidhja: Numri i gjendjeve me energji të dhënë

E  ~ E

 E 3N 1 2

për

N>>1

është:

585 Atëherë:

 3N  S  k ln E  ~ k   1 ln E  konst.   2  

3 Nk ln E  konst. 2

Nga ana tjetër është : E

   d  E

3N 2

0

ashtu që:

S `

3kN ln E 2

Entropitë S dhe S` ndryshojmë për madhësi konstante , dhe për këtë arsye , nga pikëpamja termodinamike janë të barabarta

225.

Të gjendet entropia dhe energjia e lirë për sistemin prej N oscilatorëve linearë jo të lidhur .

__________________________________________________________________________ Zgjidhja: Shuma statistike e oscilatorit linear është:

Z1 

e



h 2 kT

1 e



h kT

Shuma statistike e sistemit të oscilatorëve linearë jo të lidhur është:

Z  Z 1N 

Energjia e lirë e sistemit është:

e



Nh 2 kT

h  1  e kT  

   

N

586

e

F   NkT ln



h 2 kT

1 e



h kT

h   Nk    NkT 1  e kT 2 

   

h

S 

 F   Nk 1  e T 

h  kT e 2    NkT kT h    1  e kT

h  kT

 h   h 1 kT  S  Nk   ln 1  e h   kT kT  e 1 

   

226. Për oscilatorin , me masë m dhe me frekuencë këndore

,

të llogaritet shuma

statistike , në mënyrë klasike dhe kuantomekanike , dhe gjithashtu, të gjendet varshmëria nga temperatura e energjisë së brendshme dhe e termokapacitetit të sistemit , i cili përbëhet nga N oscilatorë të tillë . ______________________________________________________________________________ Zgjidhja: Meqenëse Hamiltoniani i sistemit e ka formën:

H

p2 1  m 2 q 2 2m 2

atëherë,shuma klasike statistike është: 

Z1    e 





H kT



p2



 dpdq 1  2 mkT  e dp  e h h  

m 2 q 2 2 kT

dq 

1 2kT 2kT kT 2mkT   h h h h

Në mekanikën kuantike nivelet energjetike të oscilatorit përcaktohen me formulën:

 

1 2

 n   n  h

587 Dhe shuma statistike do të jetë:

Z1   e



n kT



 e

 1  h  n    2  kT

e



h 2 kT

n 0

n

  hkT e   n 0  

   

2

Meqenëse: 

e



nh kT

1



n 0

1 e



h kT

Atëherë:

e

Z1 



h 2 kT

1 e

h  kT

1

 e

h  2 kT

e

h  2 kT



1  h  nsh   kT 

Meqenëse shuma statistike Z e sistemit , i cili përbëhet nga N oscilatorë të pavarur, është

Z  Z1N , atëherë , fitojmë: Z Z Bëjmë shënimin



N 1

  h   2sh    kT 

N

1 . kT

Atëherë energjia e brendshme e sistemit të oscilatorëve do të jetë:

E

  h  ln Z  N ln sh N ln   2  h



e

2

e



h 2

h   h2 e e 2  

N

1 h

e

2

h   h2 h h  2  N  e  e 2  2 2       h 2 kT



h 2 kT

h h h e  e cth N  h  2 2kT 2 2hkT 2 kT e e

e



h 2



588 h kT

  h e  1 h h   N N  h  2  2 hkT e 1 e kT  1  Duke e diferencuar energjinë e brendshme sipas temperaturës , përcaktojmë termokapacitetin: h kT

e  dE   h  C   Nk    2  dT  N ,  hkT   kT   e  1    

2

Që ta gjejmë entropinë , gjejmë energjinë e lirë të Helmholtzit:

h   F  kT ln Z  NkT ln  2sh  2kT   h 1     N  h  kT ln 1  e kT  2 

   

Atëherë:

 h h h   S  Nk  cth  ln  2sh  2kT 2kT    2kT

227. Të llogaritet energjia E, termokapaciteti termodinamik

CV , entropia S dhe potenciali

 për gazin e Van- der- Vals-it .

______________________________________________________________________________ Zgjidhja: Energjia e brendshme e gazit real është:

E p  kT 2

 ln Z id  ln Z  kT 2 T T

Dihet se:

kT 2

 ln Z id 3  NkT T 2

 N 2    ln 1  2 V    kT 2 T

589

Për njehsimin e anëtarit të dytë , e zbërthejmë

 N 2   në seri dhe ndalemi në anëtarin ln 1  2V  

e parë të serisë:

 N 2  N 2 N 2  a    ln 1    4V0   2V  2V V  kT   Ku

V0 është vëllimi që e zë molekula. Atëherë: 3 N 2a E r  NkT  2 V

Termokapaciteti i gazit real për vëllim konstant ,

3  E  CVr   r   Nk  T V 2 është i barabartë me termokapacitetin e gazit real. Energjia e lirë e gazit të Van der Valsit është:

 N 2   F  kT ln Z  kT ln Z id  kT ln 1  2V    Fid  ku

N 2 kT N 2 kT  a   Fid   b  2V V  kT 

Fid është energjia e lirë e gazit ideal:  eV Fid  kTN ln  N 

3  2  mkT  2    2  h   

N 2 kb  Fid   F  S        V  T V  T V

S   S id 

N 2 kb V

590

Potenciali termodinamik i Gibsit është:

  E  pV  TS Ekuacionet e gjendjes së gazit real janë:

NkT N 2a  2  Nb  V V 1   V  

p

N 2a E   Eid  , V

N 2 kb S   S id  V

Prandaj,

  Eid 

  id 

228.

NkT N 2a TN 2 kb   TS id   Nb V V 1 V

N 2a TN 2 kb  TSid  V V

C p  CV për gazin real të përshkruar me formulën e

Të gjendet Van-der-Vals-it.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Zgjidhja: Në rastin e përgjithshëm:

 p     T V C p  CV  T  p     V  T 2

Shfrytëzojmë ekuacionin e Van der Valsit:

 N 2a   p  2 V  Nb   NkT V  

591

dhe gjejmë:

 p    dhe  T V

 p     T  T

NkT 2 Na  p   3    2 V  Nb  V  T  T

Nk  p  ,     T V V  Nb Atëherë:

2

 Nk  T  Nk V  Nb   CV  C p   2 NkT 2 NaV  Nb   1 kTV V  Nb 2  2 Na V3

229. Të tregohet se shprehja për energjinë mesatare të sistemit klasik mund të shkruhet në formën:

d ln Z dT

E  kT 2

ku Z – është integrali i gjendjes. ______________________________________________________________________________ Zgjidhja: Vlera mesatare e energjisë është: 

E

 Ee

 

e





E  p ,q  kT

E  p ,q  kT

dpdq

dpdq





ku

e



E  p ,q  kT

dpdq  Z

është integrali i gjendjes.



Meqenëse integrali bëhet sipas kordinatave dhe impulseve , atëherë nën shenjën e integralit mund ta bëjmë diferencimin sipas temperaturës si parametër . Atëherë :

d 1 d ln Z  dT 2 dT



e





E  p ,q  kT

1 E  p, q   e 2  kT 2 

dpdq 

E  p ,q  kT

dpdq

592 

ose:

d 1 ln Z  dT kT 2

 E  p, q e





e





E  p ,q  kT

E  p ,q  kT

dpdq

dpdq



prej nga:

E  kT 2

d ln Z dT

230.Të gjendet shtypja ekulibruese e avullit mbi trupin e ngurtë duke e marr avullin si gaz ideal , kurse trupin e ngurtë si bashkësi të

3N1 oscilatorëve harmonikë me frekuencë ω

(N1 është numri i atomeve në trupin e ngurtë) Energjia e lidhjes në trupin e ngurtë është e barabartë me φ. ______________________________________________________________________________ Zgjidhja: Shuma statistike e trupit të ngurtë , të përbërë nga

Z1  e

N1 kT

h    2sh  2kT  

N 1 atome , e ka formën:

3 N1

Nga ana tjetër , shuma statistike e gazit të përbërë nga

1  2mkT  Z2    N 2! h 2 

3N2 2

N 2 atome , është:

V N2

Energjia e lirë e plotë e sistemit e merr vlerën minimale për N1 Sipas analogjisë me detyrën paraprake , kemi:

3 2



e  2mkT  N2    V 2 3  h   h   2sh  kT   Duke zëvendësuar në formulën e gjejmë shypjen e avullit:

p

kT

N 2 kT , vlerën N 2 , V

 N 2  konst.

593 3



h  kT  2mkT  2  p  kT    2sh  e 2 kT   h  

231.

3

Të nxjerret shpërndarja e Poisonit në bazë të shpërndarjes së madhe kanonike të Gibsit .

______________________________________________________________________________ Zgjidhja: Për gazin ideal klasik mund të shkruajmë:

1 Z e N!h 3 N ~



N  e kT

V

3 

  kTe kT Besueshmëria

  N  E kT

V

3

p N që sistemi të përmbajë N grimca , është:

p N   Z E, N dT  e ~

ku:

ZN 

 1 e 3N  N!h

EN  kT

ZN

dT N  

Në këtë mënyrë:

pN 

  N kT

1 N 2 e N N!

1 V    N!  3 

N

594 232.

Të përcaktohet varshmëria nga temperatura e shtypjes së gazit të ngopur mbi trupin e ngurtë ( avulli të shqyrtohet si gaz ideal ).

______________________________________________________________________________ Zgjidhja: Potenciali kimik i avullit është:

 a   02  kT ln p  C pT ln kT  kT kurse i trupit të ngurtë:

t   01  C1t ln kT  C1T ln h Për shypje të vogla të avullit të ngopur , për trupin e ngurtë mund të mos e përfillim madhësinë

pV dhe të marrim se  është e barabartë me F . I barazojmë potencialet kimike:

 02  kT ln p  C pT ln kT  kT   01  C1t ln kT  C1T ln h Nga kjo, kemi: C p C1

p  konst.  T

kT

 01 02

e

kT

233. Të fitohet relacioni ndërmjet termokapacitetit për V=konst. dhe termokapacitetit për p=konst. ______________________________________________________________________________ Zgjidhja: E shkruajmë parimin e parë të termo dinamikës në formën:

 p   dV  T V

Q  CV dT  T  prej nga:

Q

 p  dV  CV  T   dT  T V dT

Le të jetë p=konst., atëherë

Q dT

 Cp

dhe

 p   V  C  CV  T      T V  T  p

595 Duke e shfytëzuar kushtin

 p   T   V    1       T V  V  p  p  T fitojmë:

 V     T  p C p  CV  T  T   V     V  p  p Ku



1 V0

 V     T  p  2V0T  T    V     p  T 2

  T

1  V    është koeficienti i zgjerimit vëllimor ,    V0  T  T

 V   p

  është T

ngjeshshmëria izotermike . Zgjidhja e propozuar është një prej disa mënyrave për përfitimin e relacionit të kërkuar.

234. Duke i shfytëzuar ekuacionet diferenciale të termodinamikës me derivate parciale , të vërtetohet se:

 p   p       V  S  V  T gjegjësisht , se në diagramin pV adiabata është më e rrëpinjtë se izoterma. ____________________________________________________________________________ Zgjidhja: Për zgjidhjen e detyrës shfrytzojmë ekuacionin:

C p  p   p        V  S CV  V  T Duke e marrë parasysh relacionet:

 p     T V C p  CV  T ,  p     V  T 2

 p     0 , C p  CV  V  T

596

gjejmë se:

235.

 p   p       V  S  V  T

Të llogaritet vlera e termokapacitetit të trupit të ngurtë sipas teorisë së Einsteinit.

______________________________________________________________________________ Zgjidhja: Në teorinë e Einsteinit trupi i ngurtë shqyrtohet si bashkësi e N oscilatorëve të pavarur , që lëkunden me frekuencë



. Meqenëse energjia e një oscilatori të tillë është:

h

E1  e

h kT

1

atëherë energjia e një moli është:

E  3N Meqenëse, është

h h kT

e 1 E Cv  , atëherë: T

CV 

Në qoftë se e shënojmë me θ

h

h kT h e 2 2 kT 2 3N h  e kT  2 2 kT 2  h  hkT   kT  e  1  e  1        

3Nh

, atëherë kemi: 

  T   e T CV  3R   2  T   e  1     2

597 236. Të gjendet ekuacionii gjendjes i kristalit tredimensional në kuadër të teorisë së Debye-it. ______________________________________________________________________________ Zgjidhja: Shuma statistike e kristalit tredimensional është: 

ln Z  

9 N T   9N   8t  

3T

 x ln 1  e dx 2

x

0

dhe energjia e lirë: 

F  kt ln Z  

9 Nk T   9 NkT   8  

3T

 x ln 1  e dx x

2

0

Ekuacioni e gjendjes gjendet, duke e zëvendësuar vlerën e energjisë së lirë:

 T  F 9 Nk   4   1 2 x p   9 NkT x ln 1  e dx  3   V 8 V V  0    





237. Duke i shfrztëzuar vetitë e përgjithshme të funksionit të përgjithshëm të gjendjes –shumës

 e n

n  i



, të gjendet shprehja e cila e lidh atë me prodhimin pv .

i

______________________________________________________________________________ Zgjidhja: Në bazë të vetive të përgjithshme të shpërndarjes së Gibsit , mund të shkruajmë :

 e n

n  i kT

e

 n  i kT

i

Meqenëse





 e e Atëherë:

TS kT





598

 e n

n  i kT

 n  E TS

e

e

kT

  E TS kT

pV

 e kT

i

Nga kjo:

pV  kTe

 n  i kT

 i 

238. Siç dihet , në fushën kuloniane të bërthamës ,



- kuantet mund të gjenerojnë çiftet

elektron- pozitron . Nga ana tjetër, gjatë ndeshjes së elektronit dhe pozitronit ndodh anihilimi i tyre , i shoqëruar me lindjen e γ –kuanteve . Në këtë mënyrë ka vend reaksioni

e   e    . Energjia minimale, e nevojshme për formimin e çifteve elektron – pozitron 

është E=2mc2 , ku m është masa e elektronit (E≈1eV) . Të gjendet numri ekulibrues i elektroneve dhe pozitroneve . ______________________________________________________________________________ Zgjidhja: Nga kushti i ekulibrit rrjedh se:

 e   e   

Meqenëse potenciali parcial i rrezatimit



  , është i barabartë me zero dhe

e  e 



atëherë:

e  e  0 



Duke e konsideruar gazin prej elektroneve dhe pozitroneve të padegjeneruar dhe duke e vendosur vlerën



nga formula 3   2 2   N h 1      kT ln  3   V  2m  2   kT  

599

     n    mc 2  kT j   kT ln  3  3 2    kT 2        

gjejmë:

prej nga:

n  kT  e 3 2



mc 2 kT

ej

3

 2m  2 j  ln  2   h 

ku:

Numri i grimcave të gazit elektrono-pozitronik për

kT  mc 2 është i vogël.

Për temperatura të larta, duhet patjetër të merren parasysh efektet relativistike. 239. Të shqyrtohet ekuilibri ndërmjet trupit të ngurtë dhe avullit , të përbërë nga molekula një atomike . Supozohet se për ta kthyer trupin e ngurtë në bashkësi të atomeve të veçanta , është e nevojshme që në një atom të shpenzohet energjia φ . Lëkundjet e atomeve në trupin e ngurtë të shqyrtohen në bazë të modelit të Einsteinit. Të llogaritet shtypja e avullit si funksion i temperaturës . ______________________________________________________________________________ Zgjidhja: Sipas supozimit shuma statistike për trupin e ngurtë i cili përbëhet prej

N T atomeve ,

e ka

ZT  e

NT  kT

h    2sh  2kT  

3 NT

     e kT    3  h     2sh   kT    

NT

Nga ana tjetër , shuma statistike për gazin është:

Zg  Prandaj , nga kushti që për

1  2mkT    Ng!  h 2 

3Ng 2

V

Ng

N T  N g  konst. rrjedh se

Z T  Z g  max

600 d.m.th nga kushti që energjia e lirë e plotë të ketë minumum , fitojmë : 

3 2

e  2mkT  Ng    V 2 3  h   h  2 sh   kT   kT

Duke e zëvendësuar këtë vlerë në formulën:

p

NkT V

e gjejmë shtypjen e avullit: 3



e kT  2mkT  2 p  kT   2 3  h   h   2sh  kT  

240. Gazi përbëhet nga N atome, që gjenden në lëvizje termike dhe që rrezatojnë dritë me gjatësi valore

0 . Të gjendet ligji i shpërndarjes së intensitetit të rrezatimit të gazit në varshmëri

nga gjatësia valore, të matur me spektroskop. ___________________________________________________________________________ Zgjidhja: : Në qoftë se atomi i pa lëvizshëm rrezaton dritë me gjatësi valore atomit nga vrojtuesi me shpejtësi

0 ,

atëherë gjatë lëvizjes së

v , për shkak të efektit të doplerit gjatësia e regjistruar valore

është :

 

v c

   0 1   Ku c është shpejtësia e dritës.

Intensiteti i dritës , së rrezatuar nga atomet në intervalin e gjatësive valore

Id  I0

 ,   d , është:

dv  Lndv . c

ku L- është intensiviteti i rrezatuar prej një atomi . Numri i atomeve që kanë shpejtësi v përcaktohet me shpërndarjen e Maksuellit

 ~e Prandaj:



mv 2 2 kT



~e

mc 2  0 2 2 kT20

601

I  I 0e

mc 2  0 2 2 kT20

 I 0e



 0 2 2

2kT20 mc 2



ku



është gjersia Dopleriane vijës spektrale:

I

0 c

 Ln

241. Gjatё matjes sё termokapacitetit tё njё gazi jonjëatomik, nё temperatura tё larta, duhet tё merret nё konsiderim ndёrrimi i termokapacitetit Cp , tё lidhur me procesin e disocijimit. Pёr shembull gazi dyatomik A2 nё temperaturё tё lartё disocon nё atomet 2A. Tё llogaritet 

termokapaciteti i pёrzierjes disocijuese AB A  B . Zgjidhja: Termokapaciteti ёshtё:

  H  Cp      T  p T

N h  N i i

i

ku hi ёshtё entalpia e njё grimce, kurse

i

i

hi N i  hi T i T

hi termokapaciteti pёrkatёs i saj. T

C p  C p0  C `p ku

C p   hi i

N i ёshtё korrigjimi i kёrkuar i termokapacitetit. T

Nё ekuiliber:

ln C1  ln C2  ln C3  ln k ose :

ln N1  ln N 2  ln N 3  ln k  ln N

N N1 N 2 N   3  T T T T

Pёr: ashtu qё:

h

i

i

N i N 3 N N 2  h1 1  h2  h3  T T T T

602

 h1  h2  h3  ku

N Q p N  T N T

Q p ёshtё efekti termik i reaksionit.

 1  1 N 1     1  ln k ,  C1 C 2  N T T 1 N 1   ln k N T  1  T 1    1  C1 C 2  Meqenёse

Q p  kT 2

 ln k , T

atёherё:

1 N Q p 1  2 N T kT  1  1    1  C1 C 2  2 Q p 1 C `p  2 kT  1  1    1  C1 C 2 

242. Tё gjendet lidhja ndёrmjet shtypjes dhe densitetit mesatar tё energjisё pёr gazin boze kuantik, nё rastin jorelativistik. Zgjidhja: Sipas pёrkufizimit tё potencialit termodinamik   i  pV    kT  ln 1  e kT i 

ku

  i      kT ln 1  e kT 0    

 dN    

dN   ёshtё numri i niveleve qё shtrihen nё intervalin e energjive prej  deri te   d .

Duke integruar parcialisht, fitojmё:

603 

pV   0

dN  d  

E

Nga ana tjetёr ёshtё:



dN d d

 

e Pёr

N    A n ku n 

1

kT

e

kT

1

3 pёr grimcat jorelativiste. 2

Atёherё:



dN  nN   d

duke i barazuar shprehjet pёr E dhe pV, kemi:

pV 

E , n

pV 

2 E, 3

p

2E , 3V

243. Tё tregohet se nё rastin e degjenerimit tё dobёt energjia e brendshme e gazit boze e ka formёn: j

3

3  2mkT  2  e kT E  kTV    5 2 2  h  j 1 2 j Zgjidhja: Energjia e brendshme e gazit boze ёshtё:

i

E    i ni   i

i

 i 

e

kT

Zёvendёsojmё shumimin me integrim: 3



3

 2m  2  2 d E  2V  2       h  0 kT e 1

1

604

Nё rastin e degjenerimit tё dobёt, funksionin nёnintegral mund ta zbёrthejmё nё seri:  1  e  jx  x e  1 j 1

3



 2m  2  E  2V  2     2 e  h  j 1 0

Atёherё:

3

j     kT

3

 

d 

3

j

5  1 j 3  2m  2  2mkT  2 e kT  2V  2  kT  2  5 e kT  x 2 e  x dx  kTV    5 2 2 h h    j 1 2 j 1 0 j2 j 3

244. Tё tregohet se pёr shpёrndarjen e Boze-Ajnshtajnit derivati i potencialit kimik sipas temperaturёs ёshtё gjithmonё negative. Zgjidhja: Nga kushti i ruajtjes sё numrit tё plotё tё grimcave, mund tё shkruajmё: 

  dr N    T 0 kT   T e 1     N T   dr      0 kT e 1 

 0

  e kT

 

2

  kT



 kT   e   1    

2

d

 

1 e kT  0 kT     2 dr  e kT  1    

Me qenё se shprehja nёn integral ёshtё pozitive, kurse atёherё:

 0 T

0

,

605 245. Tё njehsohen funksionet termodinamike tё rrezatimit elektromagnetik F,S,E,p. Zgjidhja: Energjia e plotё e rrezatimit nё vёllimin V ёshtё:

E  VT 4 Energjia e lirё errezatimit tё zi ёshtё:

F  T 

EdT VT 4   3 T2

Entropia e rrezatimit ёshtё:

4  F  3 S     VT  T V 3 Shtypja ёshtё:

T 4 E  F  p      3 3V  V  T

246.

Tё gjendet numri i plotё i fotoneve nё 1cm i rrezatimit tё ekuilibruar, 3

nё temperaturё 1000K. Zgjidhja: Numri i fotoneve me polarizim tё ndryshёm nё vёllim V me frekuencё ёshtё:

dN    g  n d   

V  8 2 d  hkT  3 c  e  1  

Numri i plotё i fotoneve nё 1cm i rrezatimit tё ekuilibruar, ёshtё: 3



8 N   dN    3 c 0 Meqenёse 

x 2 dx 0 e x  1  2,4

Atёherё:

2,4  kT  N 2    c 

3



 0

 2 d e

h kT

1



kT 3

 2 c 3



x 2 dx 0 e x  1



deri nё 

 d ,

606

N  2  1010

Duke llogaritut, fitojmё se:



247. Tё tregohet se

 f 

  E dE  1,

ku f ёshtё funksioni i Fermit.



Zgjidhja: Funksioni i shpёrndarjes i Fermit e ka formёn:

f E  

1 e

E  kT

1

Prandaj, E  kT

df 1 e  2 E dE kT     kT e  1    prej nga: 



E 

1 e kT dE  f  dE     2  E  kT   E      kT e  1    Bёjmё shёnimin:

e

E  kT

1  x ,

dx  e

E  kT

dE kT

Atёherё: 





dx 1  f   E dE  x  12  x  1 0  1

248. Me çka duhet tё jetё i barabartё numri i atomeve tё hidrogjenit nё njёsi tё vёllimit, nё mёnyrё qё nё temperaturё tё dhomёs (300K) tё mund tё pёrdoret statistika kuantike? Me çka do tё jetё i barabartё, nё atë rast, densiteti i gazit dhe shtypja? Zgjidhja: Nga kushti i zbatimit tё statistikёs kuantike kemi:

607 3

V  2mkT  2   1 N  h2  gjejmё: 3

N  2mkT  2 n   V  h2  n  10 30 m 3

Duke i zёvendёsuar vlerat, fitojmё: Nga relacioni:

n

NA M

gjejmё:



nM kg  3,3  10 6 3 NA m

shtypja ёshtё:

p

2 E 2 N 2   n 3V 3 V 3

ku:

 5 2    max 1  12 

249. Tё pёrcaktohet potenciali kimik

 kT    max

  

2

  

 dhe termokapaciteti CV i gazit Fermi ideal

ultrarelativistik. Zgjidhja: Pёr gazin Fermi ultrarelativistik, potenciali termodinamik    pV , mund tё shprehet si:

   pV  

E 1 2  4V  3 3 c3h3



 2 d

 0

   

e

kT

1

Pas njehsimit tё integralit, fitojmё:

  0 

T 2 V 6c 3  3

1

h  3n  3 ku  0 ёshtё vlera e potencialit  pёr T  0K ;   dhe   2hc  2  8 

608 Entropia ёshtё:

 

2

1

1 2 3 2 3  V  3    S   VT  T  N   3 3 3c  T  N 3 c  N Kurse, termokapaciteti ёshtё:

 

2

1

3 2 3  V  3  S  CV  T  T  N   3c  T  N N

250.

Tё pёrcaktohet numri i mikrogjendjeve kuantike nё intervalin e impulsit dp dhe

d tё molekulës të gazit ideal jashtë fushave të veprimit të forcave nё gjendjen energjetike  i . E cila gjendet në vëllim V dhe ka impuls në intervalin e energjisё intervalin (p,p+dp). Zgjidhja: Vëllimi i celulës fazore është:

d   dxdydz V

dp dp    x

y

dp z

p , p  dp

Integrali i parë paraqet vëllimin V kurse integrali i dytё paraqet shtresë të sferës me rreze p dhe trashësi dp

dg i 

di h3

609

xyzp x p y p z  h 3   q  p   V

4 3 p 3

4  d  p 3   4p 2 dp 3 

d p   V 4p 2 dp , Për raste jorelativiste v