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Juan Calle Mamani

Isaac Newton

“EL HOMBRE NO SE DA CUENTA DE LO QUE ES CAPAZ HASTA QUE LO MEDITA, LO DESEA Y LO INTENTA“ Hugo Foscolo.

Instituto Tecnológico Ayacucho Carrera Electromecánica

Albert Einstein

CONTENIDO

INTRODUCCIÓN A LA FISICA ➢ ➢ ➢ ➢ ➢ ➢

¿Qué es la física? Alas ramas de la física Sistema de unidades Notación científica o potencias de 10 Factores de conversión Análisis dimensional

ANALISIS VECTORIAL ➢ ➢ ➢ ➢ ➢ ➢ ➢

Vector Elementos de un vector Representación matemática Tipos de vectores Suma de vectores Diferencia de vectores Descomposición rectangular

CINEMATICA • Movimiento Rectilíneo Uniforme ➢ ➢ ➢ ➢ ➢ ➢

Una milésima de segundo Características del MRU Formula del MRU Tiempo de Encuentro del MRU Tiempo de Alcance del MRU Ejercicios de aplicación

• Movimiento Rectilíneo Uniforme Variado ➢ ➢ ➢ ➢ ➢ ➢

El MRUV Fórmulas del MRUV Observaciones del MRUV Tiempo de Encuentro del MRUV Tiempo de Alcance del MRUV Ejercicios de aplicación

• Movimiento vertical de caída libre ➢ ➢ ➢ ➢ ➢

¿Se puede escapar de la gravedad de la Tierra? ¡No lo podemos creer, 2000 años equivocados! La Caída Libre Fórmulas de Caída Libre Leyes de la caída libre

➢ Tiempo de Encuentro del MVCL ➢ Tiempo de Alcance del MVCL ➢ Ejercicios de aplicación

• Movimiento parabólico ➢ ➢ ➢ ➢

El canguro Ecuaciones del Movimiento Parabólico Movimiento Semiparabólico Ejercicios de aplicación

• Movimiento circular ➢ ➢ ➢ ➢ ➢ ➢ ➢ ➢ ➢ ➢

Conceptos previos de movimiento circular Período, frecuencia, longitud de arco, velocidad lineal y velocidad angular Movimiento circular uniforme (MCU) Características del MCU ¿Moviéndose a velocidad constante? Aceleración centrípeta Sistemas de transmisión de movimiento Ruedas unidas tangencialmente Ruedas unidas concéntricamente Ejercicios de aplicación

LEYES DE NEWTON ➢ ➢ ➢ ➢ ➢ ➢

Primera ley, segunda ley y tercera ley Fuerza Principales fuerzas Peso, normal y tensión Diagrama de cuerpo libre Ejercicios de aplicación

ESTÁTICA ➢ ➢ ➢ ➢ ➢ ➢ ➢

Isaac Newton Equilibrio mecánico Tipos de equilibrio Equilibrio estático y equilibrio Cinético Primera Condición de Equilibrio Momento de una Fuerza Ejercicios de aplicación

DINÁMICA ➢ Una fuerza causa una aceleración

➢ ➢ ➢ ➢ ➢ ➢ ➢

Segunda Ley de Newton Ejercicios de Dinámica Lineal Rozamiento o Fricción Fuerza de rozamiento estático Fuerza de rozamiento cinético Coeficiente de fricción Ejercicios de aplicación

TRABAJO MECÁNICO ➢ ➢ ➢ ➢

Concepto de trabajo Trabajo realizado por una fuerza constante Trabajo neto Ejercicios de aplicación

POTENCIA MECÁNICA ➢ ➢ ➢ ➢ ➢

Concepto de potencia Potencia media Potencia instantánea Eficiencia Ejercicios de aplicación

ENERGÍA MECÁNICA ➢ ➢ ➢ ➢ ➢ ➢ ➢

Energía Energía cinética Energía potencial gravitatoria Energía potencial elástica Teorema de trabajo y la energía cinética Teorema de trabajo y la energía mecánica Ejercicios de aplicación

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INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA ¿QUÉ ES LA FÍSICA? La física es la ciencia que estudia el funcionamiento del universo, desde el movimiento de la materia por el espacio y el tiempo, hasta la energía y la fuerza. La palabra "física" deriva del griego physika, que significa 'cosas naturales. LAS RAMAS DE LA FISICA A continuación presentamos brevemente algunas de las principales ramas de la física. FÍSICA CLÁSICA Mecánica Termodinámica Óptica Acústica Electromagnetismo

FÍSICA MODERNA Atómica Molecular Nuclear Relatividad Mecánica cuántica

1. Mecánica Esta rama de la física estudia el movimiento de los objetos en el espacio o el efecto de las diferentes fuerzas sobre ellos. Se trata probablemente de una de las ramas de la física que más se suelen identificar como tal. 2. Termodinámica Rama de la física centrada en el estudio de todos aquellos fenómenos vinculados a la temperatura, sus variaciones, la generación y transmisión de la energía calorífica y los efectos que dichos cambios generan sobre los cuerpos. 3. Óptica La óptica puede entenderse como el estudio físico de los fenómenos vinculados a la energía lumínica. Se estudia el comportamiento y propiedades de la luz (por ejemplo la difracción, polarización o dispersión), su interacción y efectos sobre los cuerpos o incluso su percepción por parte del ser humano. Asimismo, observa la luz como partícula y como onda a la vez. 4. Acústica Parte de la física encargada de estudio del sonido, su medida, sus propiedades y efectos sobre los cuerpos. También su percepción y comportamiento en diferentes medios. 1

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5. Electromagnetismo Parte de la física que estudia los fenómenos electromagnéticos. Incluye el estudio combinado de la electricidad y el magnetismo, dado que se ha demostrado que ambos conceptos están relacionados. Sin embargo también puede estudiarse uno de estos fenómenos por separado. 6. Mecánica de fluidos Si bien ya hemos mencionado anteriormente la mecánica como rama de la física, se pueden hallar varios tipos de mecánica con características diferenciales. En el caso de la mecánica de fluidos el objeto de estudio son las propiedades y el comportamiento de los fluidos, tanto líquidos y gases. 7. Mecánica cuántica Una de las más recientes ramas de la física y una de las de mayor interés en la actualidad, la mecánica cuántica se basa en el estudio del comportamiento, propiedades e interacciones de los átomos y las partículas subatómicas. 8. Física nuclear En gran medida vinculada a la anterior, la física nuclear estudia la energía y los efecto de la unión o división de e los átomos. 9. Astrofísica La física también participa en la búsqueda de una explicación respecto a los fenómenos que ocurren más allá de nuestro planeta. Concretamente la astrofísica es una rama de la física que se encarga del estudio de ellos cuerpos celestes desde el análisis de sus propiedades y comportamiento. 10. Biofísica La física también se ha utilizado en el estudio de los seres vivos y sus propiedades, siempre su objetivo explicar el funcionamiento físico de los organismos y el uso de la energía por parte de éstos. SISTEMA DE UNIDADES. a) Sistema internacional de unidades S.I. El Sistema Internacional de Unidades (SI), es el sistema de unidades que se usa en casi todos los países del mundo. Está constituido por siete unidades básicas: 2

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Magnitudes y unidades fundamentales del S.I. MAGNITUD Longitud Masa Tiempo Temperatura Intensidad de corriente Intensidad luminosa Cantidad de sustancia

UNIDAD metro kilogramo segundo kelvin ampere candela mol

SÍMBOLO m Kg s K A cd mol

DIMENSIÓN L M T θ I J N

Magnitudes y unidades complementarias del S.I. MAGNITUD Angulo plano Angulo solido

UNIDAD SÍMBOLO radian rad estereorradián sr

Unidades derivadas del S.I. MAGNITUD

NOMBRE

SÍMBOLO

Área, superficie

Metro cuadrado

m2

Volumen

Metro cúbico

m3

Velocidad

Metro por segundo

m/s

Aceleración

Metro por segundo cuadrado

m/s2

Densidad, masa en volumen

kilogramo por metro cúbico

kg/m3

Volumen específico

metro cúbico por kilogramo

m3/kg

Caudal de volumen

metro por segundo

m3/s

Fuerza

Newton

Presión

Pascal (newton por metro cuadrado)

N/m2

Trabajo y energía

Joule (newton por metro)

J=N.m

Potencia

Watts (joule por segundo)

W = J/s = N.m/s

3

kg.m/s2

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b) Sistema M.K.S. Acepta como magnitudes y unidades fundamentales al metro de longitud, al kilogramo de masa y al segundo de tiempo, es decir: MAGNITUD Longitud Masa Tiempo

UNIDAD metro kilogramo segundo

SÍMBOLO m kg s

De hecho, el SI es el sistema MKS ampliado. c) Sistema C.G.S. Acepta como magnitudes y unidades fundamentales al centímetro para la longitud, al gramo para masa y al segundo para tiempo, es decir: MAGNITUD Longitud Masa Tiempo

UNIDAD centímetro gramo segundo

SÍMBOLO cm g s

Unidades derivadas del C.G.S. MAGNITUD

NOMBRE

SÍMBOLO

Área, superficie

centímetro cuadrado

cm2

Volumen

centímetro cúbico

cm3

Velocidad

centímetro por segundo

cm/s

Aceleración

centímetro por segundo cuadrado

cm/s2

Densidad, masa en volumen

gramo por centímetro cúbico

g/cm3

Caudal de volumen

Centímetro por segundo

cm3/s

Fuerza

Dina

Presión

Dina por centímetro cuadrado

dina/cm2

Trabajo y energía

ergio

dina . cm

Potencia

Ergio por segundo

g.cm/s2

4

erg/s Lic. Juan Calle Mamani

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d) Sistema técnico métrico M.kgf.S. Acepta como magnitudes y unidades fundamentales al metro para la longitud, al kilogramo fuerza para fuerza y al segundo para tiempo, es decir: MAGNITUD Longitud Fuerza Tiempo

UNIDAD metro Kilogramo-fuerza segundo

SÍMBOLO m Kgf s

En este sistema, la masa es una magnitud derivada y se la obtiene a partir de la ecuación de Newton. F=ma De donde: m=

𝐅 𝐚

Como la fuerza se mide en Kgf y la aceleración en m/s2, las unidades de la masa son:

UTM = unidad técnica de masa 1 UTM = 9,8 kg Unidades derivadas del M.kgf.S. MAGNITUD

NOMBRE

SÍMBOLO

Área, superficie

metro cuadrado

m2

Volumen

metro cúbico

m3

Velocidad

metro por segundo

m/s

Aceleración

metro por segundo cuadrado

m/s2

Presión

Kilogramo-fuerza por metro cuadrado

kgf/m2

Trabajo y energía

Kilogramo-fuerza metro

Kgf . m

5

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e) Sistema ingles absoluto. Acepta como magnitudes y unidades fundamentales al pie de longitud, libra de masa y al segundo de tiempo, es decir: MAGNITUD Longitud Masa Tiempo

UNIDAD Pie (foot) libra segundo

SÍMBOLO ft lb s

Unidades derivadas en este sistema son: MAGNITUD

NOMBRE

SÍMBOLO

Área, superficie

pie cuadrado

pie2

Volumen

pie cúbico

pie3

Velocidad

pie por segundo

pie/s

Aceleración

pie por segundo cuadrado

pie/s2

Densidad, masa en volumen

libra por pie cúbico

lb/pie3

Fuerza

poundal

Presión

poundal por pie cuadrado

pdl = lb pie/s2 pdl/pie2

f) Sistema ingles técnico. Acepta como magnitudes y unidades fundamentales al pie de longitud, libra-fuerza para fuerza y al segundo de tiempo, es decir: MAGNITUD Longitud Fuerza Tiempo

UNIDAD Pie (foot) Libra-fuerza segundo

SÍMBOLO ft lbf s

De nuevo la masa es una magnitud derivada. Y sus unidades son:

1 slug = 14,59 kg 6

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Conclusión:

NOTACIÓN CIENTÍFICA O POTENCIAS DE 10. La notación científica nos permite escribir números muy grandes o muy pequeños de forma abreviada. Esta notación consiste simplemente en multiplicar por una potencia de base 10 con exponente positivo o negativo.

7

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EJERCICIOS DE APLICACIÓN Con los múltiplos: 500 = 5 x 102 520 = 5.2 x 102 600 000 = 6 x 105 30 000 000 = 3 x 107 500 000 000 000 000 = 5 x 1014 7 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 = 7 x 1033 Con los submúltiplos: 0,05 = 5 x 10-2 0,052 = 5.2 x 10-2 0,0004 = 4 x 10−4 0,000000 01 = 1 x 10−8 0,000 000 000 000 000 6 = 6 x 10−16 0,000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 8 = 8 x 10−49 REDONDEO DE VALORES. Se aplica redondeo de valores cuando una cantidad desea expresarse con menos número de dígitos, para lo cual el Sistema Internacional recomienda las siguientes reglas: ➢ Cuando el digito a eliminarse es menor a cinco, el último digito retenido no cambia. ➢ Cuando el digito a eliminarse es mayor a cinco, el último digito retenido se aumenta en una unidad. ➢ Cuando el digito a eliminarse es cinco (exacto), se aplica el criterio de la preferencia a los numerosa pares, es decir, nos fijamos si el digito anterior al digito a eliminarse es par o impar, si es par queda en par, si es impar se aumenta en una unidad para volverlo par. ➢ El proceso de redondeo debe realizarse en una sola etapa mediante redondeo directo y no en dos o más redondeos sucesivos. Ejemplo. Redondear a un decimal las siguientes cantidades: Cantidad original 6,24 6,27

Cantidad redondeada 6,2 6,3 8

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6,45 6,35 6,748 6,8501

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6,4 6,4 6,7 6,9

FACTORES DE CONVERSIÓN. Son equivalencias numéricas que nos permiten cambiar de un sistema de unidades a otro.

9

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EJERCICIOS DE APLICACIÓN

Ejemplo 1 Convertir 1,5 km a m.

Ejemplo 2 Convertir 70 km/h a m/s.

Ejemplo 3 Convertir 1,2 m2 a dm2

Ejemplo 4 Convertir 5 lbf / in2 a N / m2

Ejemplo 5 Convertir 2 días y medio a horas:

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Ejemplo 6 De un bloque de barro de 8 cm de arista. ¿Cuántas esferas de 1,5 cm de diámetro pueden hacerse? Solución: Primero calculamos el volumen del bloque de barro (que no es nada más que la arista al cubo), luego este será el volumen total que tendremos para fabricar las esferas Ahora calculamos el volumen de una esfera de diámetro 1,5 cm

Lo que quiere decir que por cada 1,77 cm3 se tendrá a una esfera. Finalmente se tiene que:

Pero la respuesta correcta será: 289 esferas completamente hechas…….Resp Ejemplo 7 Las densidades de tres líquidos A,B y C son: 0,481 lb/plg3 , 735 kg/m3 , 2,03 lb/lt respectivamente. Ordénelos en forma creciente. Solución: Para resolver este problema bastara con llevar todas las unidades al mismo sistema de unidades sin importar cuál sea este, llevaremos todo a lb/plg3 Para A: 0,481 lb/plg3 Para B:

Para C:

Finalmente el orden de los líquidos es: B, C, A……Resp.

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PRACTICA 1 Resolver los siguientes ejercicios: 1. Convertir 1,5 m a cm Resp. 1,5 m = 150 cm 2. Convertir 164 dm a hm Resp. 164 dm = 0,164 hm 3. Convertir 1468,35 mm a dam Resp. 1468,35 mm = 0,146835 dam 4. Convertir 1 km

2

a m

2

Resp. 1 km 5. Convertir 1 m

3

a dm

2

= 1000000 m

2

3

Resp. 1 m

3

= 1000 dm

3

6. Convertir 15 km/h a m/s Resp. 15 km/h = 4,17 m/s 7. Convertir 100 in/s

2

a cm/s

2

Resp. 100 in/s 2 = 254 cm/s

2

Resp. 3.5 lbf / in 2 = 24131.7 N/m 9. La altura del nevado Illimani se estima en 6400 m. exprese este valor en: a) cm, b) plg , c) pie , d) yardas.

2

8. Convertir 3.5 lbf / in

2

a N/m

2

Resp. a) 6,4x105 cm ; b) 2,5x105 plg ; c) 2,1x104 pies ; d) 7x103 yardas 10. El espesor de un recubrimiento electrolítico de niquelado es de 25 μm, convierta este valor a: a) cm , b) nm , c) ºA. Resp. a) 2,5x10-3 cm ; b) 2,5x104 nm ; c) 2,5x105 ºA 11. El profesor de física tiene una masa aproximada de 65 kg exprese este valor en: a) onzas troy , b) slugs , c) toneladas cortas , d) toneladas largas. Resp. a) 2,09x103 onza troy ; b) 4,46 slugs ; c) 7,17x10-2 Tn cortas ; d) 6,4x10-2 Tn largas 12. El peso promedio de un hombre es alrededor de 650 Newtons, ¿Cuál es el peso de esta persona expresado en: a) dinas , b) kgf ; c) lbf , d) pdl?. Resp. a) 6,5x107 dinas ; b) 66,3 kgf ; c) 146,2 lbf ; d)4,7x103 pdl

12

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13. ¿Cuál de los siguientes motores es de mayor potencia?: a) 10 H.P. , b) 5000 watts , c) 22000 BTU/h. Resp. el de 10 H.P 14. Un estudiante del Instituto Tecnológico Ayacucho media 20 pulgadas de largo cuando nació ahora que tiene 18 años de edad, mide 5 pies y 4 plg. En promedio, ¿Cuántos centímetros creció por año? Resp. 6,21 cm/año -3 3 15. Un galón de pintura (volumen = 3,78X10 m ) cubre un área de 25 m2. ¿Cuál es el espesor de la pintura de la pared?. Resp. 15,1x10-5 m 16. La masa y el radio promedios de la tierra son: 5, 98x10 24 kg y 6367 km respectivamente. Considerando que su forma es esférica, calcúlese su densidad. Resp. 5,53 g/cm3

13

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ANÁLISIS DIMENSIONAL El análisis dimensional se emplea fundamentalmente para los siguientes fines: ➢ Comprobar si una formula física o química está escrita correctamente. ➢ Deducir formulas físicas o químicas a partir de datos experimentales. ➢ Obtener unidades de magnitudes derivadas en función de las fundamentales. MAGNITUD Es todo aquello factible a ser medido asignándole un número y una unidad. MAGNITUDES FUNDAMENTALES Está regido por el Sistema Internacional (S.I.) que consta de 7 cantidades. MAGNITUD Longitud Masa Tiempo Temperatura Intensidad de corriente Intensidad luminosa Cantidad de sustancia

UNIDAD metro kilogramo segundo kelvin ampere candela mol

SÍMBOLO m Kg s K A cd mol

DIMENSIÓN L M T θ I J N

MAGNITUDES DERIVADAS _____________________________________________________ ______________________________________________________ Toda magnitud se expresa en función a las Magnitudes Fundamentales. Ecuaciones dimensionales básicas. [Área]

= L2 L3

[Volumen] = [Velocidad] =

 Desplazamiento    Tiempo  

[Aceleración] [Fuerza]

=

=   

=

L T

= LT-1

  

  

  

=

= 14

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PROPIEDADES DE LAS ECUACIONES DIMENSIONALES Los ángulos, razones trigonométricas, en general son adimensionales y para los cálculos se considera igual a 1. [30º]

=

[A . B] =

[]

=

 A  B 

=

[cos]

=

[An]

= [A]n

[log4]

= EJERCICIOS DE APLICACIÓN

1.

La Ley de Gravitación Universal de Newton tiene como expresión:

2.

m . m2 F=G 1 r2

P=

F: Fuerza m1 y m2: Masa de los cuerpos G: Constante r : distancia Determine la dimensión de la constante.

Si:

a) ML-2 b) M-1L3T-2 c) MLT-2 d) L3T-2 e) M-1T-2 3. Hallar la dimensión del calor específico (Ce).

a) ML

Ce =

Determine la Ecuación Dimensional de m([m]) en:

4.

4 R3 mQ

P : Potencia [R]3 = m2L5T-4 Q: Caudal (volumen/tiempo)

b) L

c) T

d) M

e) LT-1

Exprese la ecuación dimensional de M en la siguiente expresión:

calor temperatura . masa

M=

38 a P

a: Aceleración; P: tiempo

a) L2T-2

b) LT-2

d) L2T-2-1

e) L -2-1

c) ML2

15

a) LT

b) LT-3

d) T-2

e) T3

c) LT-2

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Hallar la dimensión del calor latente (L).

L=

6.

calor masa

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Hallar [x] en la siguiente fórmula: x=

PR QBZ

P: Presión; R: Radio; Q: Densidad; B: Fuerza; Z: Velocidad

a) L2T-1 7.

b) L2T-2

c) LT-2

d) L3T-2 e) MLT-2 Hallar la dimensión de “E”. E=

8.

a) MLT

b) MT-1

d) M-1LT

e) MLT-1

Halle [K] en el siguiente caso:

DV 2 g

K=

mv 2 F

D: Densidad; V: Velocidad; g: Aceleración

m: masa; V: velocidad; F: fuerza

a) ML-2

a) M

b) ML-1

c) ML

d) MT

d) M-1L-1 e) ML-3 9. Determinar la ecuación dimensional de la

c) LM-1

b) MLT-2 -2

e) LT

c) L

-2

10. Determinar [Presión] si:

energía:

P=

F A

F: Fuerza; A: Área

a) MLT-2 d) ML2T-2

b) ML2

c) MLT-3 e) MLT

16

a) ML-1

b) ML-2T-2

d) ML-3

e) ML2T

c) ML-1T-2

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11. Determine las dimensiones de “E” en la

12. Determine las dimensiones de la frecuencia (f)

siguiente ecuación: E=

Donde:

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f=

DV 2 ( sen ) . g

1 Perí odo

D: Densidad V: Velocidad g: Aceleración

a) ML-3

b) ML-1

d) LT-2

e) ML-2

c) L-2

a) T

b) MT-2

d) LT-1

e) LT-2

c) T-1

13. Hallar las dimensiones de “V” siendo: R el radio de la base y h la altura del cono. a) L b) L

V=

2

c) L3 d) L4 e) L-2

1 R2 . h 3

h

R

17

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Electromecánica

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PRACTICA 2 1.

La velocidad lineal y la velocidad angular se

2.

La energía de un gas obtiene mediante:

relacionan de la siguiente manera :

U=K

V = kW Donde:

WT 2

Donde: K: Número; T: Temperatura

V: Velocidad Lineal

Hallar: [W]

W: Velocidad Angular Hallar la dimensión de K

3.

a) LT

b) M

d) T-2

e) L

c) LM

La fórmula para hallar el área de un círculo

4.

a) L2

b) L2MT-2-1

d) LMT

e) M-1

En la siguiente fórmula determine [K], si:

es:

K=

A = R2  = 3,14,16

c) LM-1

38a cos36º P

a: aceleración; P: tiempo

R: Radio

Encontrar las dimensiones de “A”

5.

a) L

b) LT-2

d) L2

e) ML

c) L3

Hallar [K]

6.

a) LT-1

b) LT-2

d) T-3

e) LT-4

El trabajo se define:

K = PDh Donde:

c) LT-3

W = Fuerza x Distancia

P: Presión

Hallar: [W]

D: Densidad H: Profundidad

7.

a) MLT

b) M2T-2

d) M2L-3T-2

e) N.A.

c) ML-2T2

La potencia (P) se define: P=

8.

a) ML2T

b) ML2T-2

d) ML

e) LT-3

En la siguiente expresión. Hallar: [K]

Trabajo

K=

Tiempo

Hallar: [P]

c) ML3T-3

V2 2d

V: Velocidad; d: distancia

a) ML2T-3

b) ML-3

d) ML-1

e) LT-3

c) ML-3T2

18

a) ML

b) LT-1

d) MLT-2

e) LT-3

c) LT-2

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Instituto Tecnológico Ayacucho 9.

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La energía asociado a la posición de un cuerpo

10. La velocidad angular de un cuerpo (w) se

se dá de la siguiente manera:

define de la siguiente manera:

E = Kgh

W=

Donde: g: Aceleración; h: Altura

b) T

a) 

c) ML

d) LT-2 d) M e) LT 11. Hallar la dimensión de “A” siendo D y d las diagonales del rombo. a) L b) L2 c) L3 d) LT2

Ángulo Ti empo

Hallar: [W]

Hallar: [K] a) L

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A=

b) T-2

c) LT-1

e) T-1

Dxd 2

d D

e) LT-2

19

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Electromecánica

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PRINCIPIO DE HOMOGENEIDAD ¿Puedes realizar las siguientes operaciones?  3Kg + 2 Kg =  20 m + 2 m =  1 Kg + 3 m =  2 s + 1 Kg =  5 m – 2m =  3m – 1 s = Vemos que para poder sumar o restar 2 ó más magnitudes físicas, éstas deben ser de la misma especie, es decir, deben ser _______________ En conclusión si: A + B = C Representa una suma de magnitudes debe cumplirse: [

]=[

]=[

]

EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1.

En la siguiente fórmula física:

2.

2

E = AV + BP

Sabiendo que el impulso es I = F . t; donde: F = Fuerza; t = tiempo. Hallar [Z] para que la

Dónde: E = Energía; V = Velocidad; P = Presión

siguiente ecuación sea

Hallar: [A/B]

correcta: I=

dimensionalmente

W + mZ Z

Dónde: W = Trabajo; F = Fuerza; m = masa; t = Tiempo

a) ML-3 -3

d) ML T

b) ML2 e) ML

c) ML2T-3

-4

20

a) LT2

b) LT-1

d) LT -3

e) L2T -1

c) LT -2

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Electromecánica

Hallar “x + y” para que la siguiente ecuación

4.

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Calcule la fórmula dimensional de “a” si:

sea dimensionalmente correcta: 2H =

a2bx 3C y

a=

Sen 

4V 2 5R

Dónde: V = Velocidad; R = Radio

Dónde: H = Altura; b = Radio; a = Velocidad; c = Aceleración

5.

a) 1

b) -2

d) -4

e) 5

c) 3

Calcular : [ J ]

6. 2

J = 86Ft

a) LT -1

b) LT

c) LT -2

d) L-1T

e) L -2T

Indique las unidades de “a” en el S.I. si se cumple: F V =a A y

Dónde : F = Fuerza ; t = Tiempo

Dónde: F: Fuerza Tangencial; A = Superficie; V = Velocidad; y = desplazamiento

a) m . s

7.

a) ML-1

b) ML

c) ML-2

d) M-1L

e) M-1L -2

d)

Si se cumple que: K = 2PVcos

8.

b) Kg . s

m . Kg

e)

s

c)

Kg m.s

Kg . s m

Hallar [x]

Dónde: P = Presión; V = Volumen

x=

Hallar: [K]

(Log18) aV2 R

Dónde: a = Aceleración; V = Densidad; R = Presión

a) ML2T-2 d)ML-1T-2

b) MLT-2

c) ML2T-3

e)M2LT-3

21

a) ML

b) ML-4

d) L2M-3

e) M-1L-1

c) L2M2

Lic. Juan Calle Mamani

Instituto Tecnológico Ayacucho 9.

Electromecánica

Calcular [W]

FIS -100

10. Hallar [B] en: R=

2WF 6F

x=

Dónde: C = Energía; A = Frecuencia

Dónde: R = Trabajo; F = Fuerza

a) MLT

b) ML2T -2

d) M2L3T -3

e) M2L-2T -2

1999 C 2000 A + B

c) ML-1T2

11. Obtener [x] si:

a) ML-1T -1

b) ML2T -1

d) T -1

e) L -1

c) MLT

12. Hallar [x] si: a=

3e(m + x)4

E = W A2 − x2

2

t

Dónde: A = Potencia; W = Período

Dónde: a = Fuerza; m = Velocidad

a) LT -1

b) L3T

d) L-1

e) m-2

a) ML2T -3

c) T-2

d) ML

13. Encontrar [ P ] en la ecuación: 4P =

m(V + K) 2t

-2

b) LT -2

c) ML

-3 2

e) ML T

14. Del ejercicio Nº 12. Hallar: [ E ]

2

Dónde: m = masa; V = Velocidad; t = tiempo

a) ML

b) ML2T -3

d) LT -3

e) ML-2T3

c) LT3

22

a) ML

b) ML2T -2

d) ML

e) LT -2

c) ML2T -3

Lic. Juan Calle Mamani

Instituto Tecnológico Ayacucho

Electromecánica

FIS -100

PRACTICA Nº 3 1.

Si la ecuación dimensional es correcta: F=M

x+y

y

2.

z

T D

Indique la relación correcta: I.

Aceleración .......................... LT-2

II. Frecuencia ............................ T-1

Hallar: x + y + z. Si: F = Fuerza;

M = masa;

T = Tiempo;

III. Temperatura ........................ T

D = Densidad

3.

a) -2

b) 3

d) -1

e) 0

c) 1

4.

Si se sabe que: N=

ap d

a) Sólo I

b) Sólo II

d) I y II

e) Todas

c) Sólo III

Indique [ P ] si: P = mV

+ bc 2

Dónde: m = Masa; V = Velocidad

Dónde: N = Fuerza; p = Presión; d = Diámetro; c = Densidad. Hallar: [a]

5.

a) L

b) L3

d) T3

e) ML-1

c) MLT -2

Si: V = A + BT + CT2

6.

a) M

b) LT -1

d) ML2T-2

e) MLT-2

Hallar [B2] si:

Dónde: V = Velocidad; T = Tiempo Hallar:

7.

A=

AC B

c) MLT -1

wsen m(B2 + S)

Dónde: S = Volumen; m = Área

a) LT -1

b) LT -2

d) L

e) T

c) LT

En la ecuación dimensionalmente correcta

8.

a) L

b) L3/2

d) L2

e) ML

Hallar [A] en :

determine [ z ] si:

A=

GV = XZV

b) L2

d) L3

e) L-3

wsen m(B2 + S)

w = Trabajo ; m = Área ; S = Volúmen

Dónde: V = Volumen a) L

c) L3

c) L-2

23

a) ML

b) ML -3T -2

d) LT -3

e) ML -3T2

c) ML2T -2

Lic. Juan Calle Mamani

Instituto Tecnológico Ayacucho 9.

En la expresión: AB 2K = 4 2sen

Electromecánica

3 2

FIS -100

10. En la siguiente expresión determinar [B]  B E K3 =  V + +   D C  

Encuentre la fórmula dimensional de K Dónde: A = Área; B = Velocidad a) L4T2

b) L-4T -2

Dónde: V = Velocidad; D = Densidad; C = Masa c) L-4T2

4 -2

d) 1

e) L T

11. La ecuación dimensionalmente correcta: Z=

a) ML-2T -1

b) ML2T -1

d) M -1L2T

e) ML -1T -2

h=

2

A C(1 + sen )

Hallar [Z]

-1

d) LT

b) L T -1

4K(x − m)3 3t

2

+

v y

Dónde: m = Masa; t = Tiempo; h = Altura;

Si: B = Volumen; A = Área; C = Velocidad a) LT

c) ML2T

12. En la ecuación homogénea hallar [x] si:

B tan  2

2

V = Velocidad

-2 -2

c) L T

-2

a) M

b) MT -1

d) MT2

e) MT3

c) MT -2

e) L T

24

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Instituto Tecnológico Ayacucho

Electromecánica

FIS -100

ANÁLISIS VECTORIAL Si preguntáramos por la masa de un cuerpo, nos bastaría responder simplemente con un valor numérico y su respectiva unidad. Así por ejemplo:

Históricamente, vectores

Unidad

Valor

¡Qué Interesante!

5 Kg.

Numérico

Pero si preguntamos a alguien donde está la oficina de correos y nos responde que está a 10 cuadras de distancia, probablemente seguiremos preguntando para que nos aclaren, la dirección a seguir. (¿Hacia dónde?) Por lo tanto distinguiremos 2 tipos de Magnitudes: A) Magnitudes Escalares: ____________________ ____________________________________ ____________________________________ Ejemplos:

los fueron

considerados antes del comienzo del siglo XVIII; su teoría fue desarrollada y aplicada, entre otros, por Maxwell en su tratado sobre la electricidad y el magnetismo (1873). El espaldarazo definitivo a la Teoría de los vectores se debe a la Escuela Italiana (G- Peano, 1888).

Guiseppe Peano (Cuneo 1858 - 1932) Lógico y Matemático Italiano. Fue uno de los impulsores de la Lógica Matemática. En su obra “Formulario Matemático” está recogida su exposición sobre aritmética, geometría, Teoría de Conjuntos, Cálculo Infinitesimal y “Cálculo Vectorial”.

B) Magnitudes Vectoriales: ___________________ ____________________________________ ____________________________________ Ejemplos:

25

Lic. Juan Calle Mamani

Instituto Tecnológico Ayacucho

Electromecánica

FIS -100

VECTOR _______________________________________

¡Qué Interesante!

_______________________________________

Vector, del latín “vector”: Que conduce.

_______________________________________ 

Representación Gráfica Línea de Acción

y (Ordenadas) Módulo

B

Sentido

“Un solo número no es suficiente para describir algunos conceptos físicos; el darse cuenta de este hecho señala un avance en la investigación científica”.

A



Dirección

(Einstein - Infield) x (Abcisas)



Elementos de un Vector Todo vector consta de 3 elementos importantes: ▪

Módulo: ___________________________ ___________________________ ___________________________

▪

Dirección: __________________________ ___________________________ ___________________________

▪

Sentido: ___________________________ ___________________________ ___________________________

26

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Instituto Tecnológico Ayacucho





Electromecánica

FIS -100

Representación Matemática Vector :

V = V = AB

Módulo :

| V | = | AB | = V

La Fuerza: Un Vector

Tipos de Vectores

1. Colineales.- Si se encuentran sobre la misma línea de acción. son colineales. Línea de Acción

2. Concurrentes.- Si sus líneas de acción concurren en un mismo punto.

En la figura el alumno “Trilcito” empuja el carrito. La fuerza que aplica “Trilcito” lo representamos mediante el vector

su sentido es hacia

“la derecha” en dirección “este” (Horizontal,  = 0º).

A, B y C son

A

concurrentes

A Punto de concurrencia

B

La Velocidad: Un Vector

3. Paralelos.- Cuando las líneas de acción son paralelas.

A

En la figura el auto se mueve en dirección horizontal. Representamos su velocidad

B B

 A, B y C son paralelos

mediante el vector

.

paralelas.

27

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Instituto Tecnológico Ayacucho

Electromecánica

FIS -100

4. V. Opuesto.- Son iguales en tamaño (Módulo) pero sentidos opuestos.

A

Obs.: paralelos.

–A

son

5. V. Iguales.- Si sus 3 elementos son iguales (módulo, dirección y sentido). Si: A

Obs.

 | A| = |B |  =    Sentido de = Sentido de   A B 

A



Vector Nulo A=B



Es aquel que tiene como módulo al cero. Si

es nulo, entonces

De lo dicho anteriormente podemos concluir:

Todo vector puede trasladarse sobre un plano en forma paralela, sin alterar ninguno de sus elementos.

A

A



A

Multiplicación de un Vector por un Número (Escalar) ▪

La suma o resta de 2 ó más vectores da como resultado otro vector.

Si el número es positivo Ejemplo:

2A

1 A 2

x2

A



| A | = 8



| 2A | =



|

1 A| = 2

28

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▪

Electromecánica

FIS -100

Si el número es negativo 2B

x (-2)

B

–







| 2B | =

| B | = 4

1 B 2

|–

1 B| = 2

Para números positivos: a) Mayores que 1: Crece y se mantiene el sentido. b) Menores que 1: Decrece y se mantiene el sentido. Para números negativos: Cambia de sentido. SUMA DE VECTORES O VECTOR RESULTANTE Consiste en reemplazar a un conjunto de vectores por un único vector llamado _________________________________________ .



Métodos para Hallar el Vector Resultante ▪

Obs.:

Para vectores paralelos y/o colineales En este caso se consideran como si fueran simples

B

A

R

números reales. Ejemplo: Hallar el vector resultante en los siguientes casos: A

B

| A | = 2

| B | = 5

▪ No se cumple:

R

< >

Si: |R| =

Sólo se cumple si son colineales A

B

|A| = 1

|B | = 3



o paralelos y con el mismo

D |D| = 1

C |C| = 5



sentido. R

  |R| =

E |E| = 2





29

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Instituto Tecnológico Ayacucho

▪

Electromecánica

FIS -100

Para Vectores que forman un ángulo entre sí A) Método del Polígono.- Consiste en colocar un vector a continuación del otro. B B

C

A

C

A

R = A+B+ C

Cierra el polígono

B

B

A

A

R = A+B

Cierra el polígono

¿Podrás cerrar el polígono? B

A

R=0 A

C

R=

B

C A

C

D

B

R=

D E

30

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Electromecánica

FIS -100

EJERCICIOS DE APLICACIÓN En los siguientes casos hallar el vector resultante. 1.

2. a) 2d

a) b

d

b) a

b) 2c

a

c) 2a

c

c) 3c

b

d) 2b

b

a c

d) 2a e) 3a

e) c

4.

3.

a) 2c

b

a) 2a b) 3c c) 3d d) 3f

b) 2b

c

a

c) Cero

e

d

b

a c

d) b

f

d

e) 2d

e) 2b

5.

6. a) 2b b) 3c

a) 2c

b

a

b) 2b

c

c) 3e d) Cero

c) c d

c a d

d) 2(b + c)

e

e) 2a

e) b + c

31

b

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Electromecánica

7.

8. a) c b) d c) c + d

a

d) 2c + d

c

FIS -100

En los siguientes casos hallar el módulo del V. Resultante: a)  a  = 6 cm

b

b)  b  = 3 cm

d

c)  c  = 5 cm

e) 2(c + d)

a

c

b









d)  d  = 2 cm e) 6 cm

9.

d

10. a) 3

a) 2 cm

b) 2 c) 4

b) 3 cm

2

c) 5 cm

d) 5

2

e) 8 cm

11.

12.

a) 2 cm

c) 6 cm d) 4 cm e) 10 cm

3 cm

d) 4 cm

e) 6

b) 3 cm

5 cm

a) 2 cm b) 5 cm

4 cm

5 cm

c) 7 cm d) 8 cm

6 cm

e) 10 cm

32

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Electromecánica

FIS -100

PRACTICA Nº 4 En los siguientes casos hallar el vector resultante. 1. a)

a

b)

c

2.

c

b

a) Cero b) d

c) 2 b

a

c) – d

b

d) 2 c

d)

a

e) 2 a

e)

–a

a)

c

3.

c a

e f d

4. a)

a

b)

c

c)

e

d) 2e e) 2f

g

d

a

c

b) 2 c

b e

d) 4 c

f

6.

c)

3c

d) 3f

a

b

a) 2f 3a

f

c

e

d

a

a) Cero c)

−a

d) b e) f

b)

3C

c)

− 3C

G D

B B

b

e d

i

c

f g

A

E

d) 3F e) 3G

7.

a

F

a) 2A

e) 2d

b)

g

f

e) 5 c

5. b)

e

d

c) 3 c

c

b

a

h

33

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Electromecánica

FIS -100

En los siguientes casos hallar el modulo del vector resultante. 8.

9. a) 6

a) 2 cm

B

b) 10

b) 3

c) 11

c) 5

AB = BC = 2

B

d) 14

d) 10

e) 12

e) 14

A

10.

5 cm

11. a) 6 cm

a) 2 cm

b) 8

b) 4

c) 10

c) Cero

d) 12

6 cm

e) 16

12.

13.

a) 2 c) 4

a) 15 1 1 1 1

1

b) 14

1 1 1

d) 12

e) 6

e) 10

13.

14. .

a) 11 cm

a) 3(→)

c) 7 d) 22

5 cm

4 cm

5 6

b) 3()

4 cm 2 cm

3 cm

6 cm

c) 13

d) 5

b) 3

8 cm

d) 12

6 cm

e) 3

b) 3

4 cm

2 cm

c) 6(→) d) 5()

2 cm

e) 4

e) 5(→)

34

2 1

4 1

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Electromecánica

FIS -100

SUMA DE VECTORES PARALELOS Y/O COLINEALES Ejemplo: Hallar el vector resultante para el sistema de vectores. A

D

Si:

A = 2

C

B E

B = 3

F

C = 1

D = 1 E = 3

F = 5

Sol.: En este caso procedemos del siguiente modo: ▪

Los que tienen el mismo sentido se suman, es decir: A, C y F : A + C + F = 2 + 1 + 5 = 8 (→) B, D y E : B + D + E = 3 + 1 + 3 = 7 ()

▪

Luego R = 8 - 7 = 1(→) (Sentidos opuestos se restan).

Resuelve: Hallar el V. Resultante. A

B D

Si:

C E

A = 4 B = 2 C = 1

35

D = 7

E = 5

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Electromecánica

FIS -100

MÉTODO DEL PARALELOGRAMO Este método se usa cuando dos vectores forman un ángulo diferente de cero entre sí. Ejemplo: A



B

Solución: ▪

En este caso vamos a trasladar a uno de los vectores en forma paralela para que su punto inicial concuerde con el otro.

A



B

▪

Ahora trazaremos paralelas a cada vector a partir de los extremos (punto final del vector) y la figura formada se llama: _________________

A



B

▪

Con ayuda de tu profesor encuentra el vector resultante ( R ). Recuerda: ¡Ten cuidado!

R =A + B Si: A = 3

B=5

 R = 8 (¡Falso!) Esto no se cumple siempre. Si deseamos obtener el módulo del vector resultante usaremos: R=

36

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Ejemplo:

Electromecánica

FIS -100

Hallar el módulo del Vector Resultante.

Si: cos 60 º =

1 2

A=3 60º B=5

Solución:

Obs.: ▪

Si:  = 0º 

A

B

A la resultante obtenida se le conoce como: __________________ Rmáx =



▪

A

B

Si:  = 180º 

A la resultante obtenida se le conoce como: __________________ Rmín =



▪

Si:  = 90º (Vectores Perpendiculares)

B

R

R=

A

Teorema de: ________________

37

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Electromecánica

FIS -100

Ejemplo: Si: Rmáx = 7 y Rmín = 1 para dos vectores. Hallar el módulo del vector resultante cuando dichos vectores son perpendiculares. Solución:

Si dos vectores tienen módulos iguales:

▪

En este caso,

R

x

R

divide al ángulo en dos iguales, es decir, es

una bisectriz.

2 x

Resuelve: En los siguientes ejercicios hallar el módulo de

R

en función de x.

1. R

x

R=

60º x

2.

x

R

R=

x

38

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Electromecánica

FIS -100

3. R x

R=

120º x



DIFERENCIA DE VECTORES ( D )

D

A

D = A−B

D=



B

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

Hallar el módulo del vector resultante en los siguientes casos: 1.

2. a) 3 b) 9 c) 1 d) 5

a) 2 A = 3

B = 2

b) 3 c) 5

C = 4

d) 7 e) 9

e) 7

39

E = 1

B = 3 C = 6



F = 7

D = 4

A = 2 





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Electromecánica

3.

FIS -100

4. a) 2

C = 2

b) 3 c) 4 d) 5

D = 3

a) 1 b) 2 A = 9 c) 3

B = 3 A = 5

d) 4

e) 6

B = 5





6. Del problema anterior hallar el módulo de la

mínima 7. Hallar el módulo de dichos

resultante

vectores.

perpendiculares.

a) 2 y 5

b) 10 y 7

d) 8 y 9 7. Hallar el

e) 13 y 4 módulo del

c) 5 y 12 V.

Resultante:

1 1 ; cos 120º = − . 2 2

b) 11

d) 13

e) 14

120º

vectores

son

c) 12

a) 8 c) 7

c) 12

los

a) 10

b) 2 b) 11

si

8. Hallar el módulo del V. Resultante:

a) 10

d) 13



e) 5

5. Si la Rmáx de 2 vectores es 17 y la resultante

cos 60 º =

C = 6

10

d) 15 e) 14

5 80º

3

20º

6

e) 14

40

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Electromecánica

9. Hallar el módulo del V. Resultante:

10. a)

65

a)

13

b)

71

b)

31

c)

83

c)

46

d)

79

e)

76

d) 11 e)

60º 4

7

93

FIS -100

11.

120º 3

7

12. a) 2

a) 10

4

b) 4 c) 4 3

b) 12

d) 8

60º

d) 4 3

4

e) 3

4 3

c) 5 3

60º

3

e) 8

13. a) 17

4 3 +3

14. Hallar el módulo de la resultante.

b) 13 d) 12 e) 14

a) 2

4 3

c) 4 3 4 3

60º

60º

b) 4 c) 4 3

5

d) 2 3 e) 4 2

41

2 2 15º 4

2 2

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PRACTICA Nº 5 1.

Hallar el módulo del V. Resultante.

2. a) 31

a) 5

b) 17

b) 7

24

c) 26

3

c) 1

d) 25

d) 13

e) 30

4

e) 8 3.

7

4. a) 4

3

1

a) 2

b) 10

b) 3

7

c) 5

2

6





4

c) 4

d) 6

2

d) 5

e) 8



e) 7 5. Si: Rmáx = 14 y el Rmín = 2 para 2 vectores. Halle el módulo de cada vector. a) 3 y 11

b) 8 y 6

resultante cuando sean perpendiculares. c) 10 y

4 d) 12 y 2

6. Del problema anterior halle el módulo del vector

a) 6

b) 8

d) 10

e) 11

c) 9

e) 5 y 9

Hallar el módulo de la resultante en los siguientes casos: 7. cos 37 º =

4 5

8. cos  = a) 2

a) 3 2 b) 3 5 c) 7 d) 3

5 16

2

b) 5 c) 6

37º

d) 7 5

e) 4 5

2



4

e) 8

9.

10. a) 4

a) 2 3 b) 3 3

b) 4 3

3 3

c) 2 3

c) 6 3 d) 9 e) 12

60º

d) 8 3 3

e) 8 3

42

4 60º

4

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DESCOMPOSICIÓN RECTANGULAR Ahora vamos a reemplazar a un vector por otros 2 que sean perpendiculares llamados _________________________. y

Donde: A

Ay 

Ax :

Componente de

A

en el eje x.

Ay :

Componente de

A

en el eje y.

x

Ax

En forma práctica: Usa triángulos rectángulos y

A

Ay



x

Ax

Además en todo triángulo rectángulo se cumple: c

a y b: Catetos

b

c: Hipotenusa

a

c2 = a 2 + b 2

Teorema de Pitágoras Ejemplo: Hallar las componentes de

A

sobre los ejes perpendiculares.

A = 25 37º

Ax =

43

Ay =

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Electromecánica

FIS -100

EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1.

2.

Hallar las componentes del vector A , sobre

sobre el eje vertical.

el eje x, cuyo módulo es 100N. a) 50N

Del ejercicio anterior hallar la componente

y

b) 60 c) 70

A

d) 80

53º

e) 90

3.

x

4.

El módulo del vector V es 100N. Hallar el

b) 60

d) 80

e) 90

c) 70

Del problema anterior. Hallar el módulo de la componente en el eje de las abcisas.

módulo de su componente en el eje de las ordenadas.

a) 50N

y

a) 50N b) 50 3

30º

c) 60

V

O

x

d) 80 e) 90

44

a) 50N

b) 60N

d) 80

e) 90

c) 50 3

Lic. Juan Calle Mamani

Instituto Tecnológico Ayacucho 5.

Electromecánica

allar la magnitud de la resultante.

6.

80 cm

b) 50

a) 10 6

y

20 2 m

50 m

b) 10 19

c) 55 d) 60

Halla el módulo de la resultante de los vectores mostrados:

y

a) 40 cm

FIS -100

28 cm

c) 10 13

37º x

e) 75

45º

d) 10 29

37º x

e) 50

7.

Calcular la magnitud de la resultante. y

10

a) 1 b) 2 c)

2

d) 2 2

8.

a) 1

7

y

5 2 45º

b) 2

53º

5

Hallar el módulo de la resultante.

c) 3

x

d) 4

e) 3

e) 5

45

13 x

53º 10

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Instituto Tecnológico Ayacucho 9.

Electromecánica

Calcular el módulo de la resultante.

FIS -100

10. Hallar el módulo de la resultante: y

y

a) 4 cm b) 5

a) 10 N 3 cm

1 cm

c) 4 2 d) 8

b) 11

7 cm

10N 3N

37º

c) 12

x

d) 13

5 cm

x 6N

e) 14

e) 3 2

46

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Electromecánica

FIS -100

PRACTICA Nº 6 1.

2.

Hallar los componentes del vector A sobre el

del vector A sobre las ordenadas.

eje de las abcisas. a) 30N

Del ejercicio anterior hallar la componente

y

b) 30 2 c) 30 3 d) 20 e) 20 3

A = 60N 30º

a) 30N d) 20

x

b) 30 2 e) 20 3

c) 30 3

En los siguientes casos hallar el módulo de la resultante 1.

y

a) 7N b) 24 3N

d) 16

5 cm

a) 1

c) 3 d) 4

3 2 cm

2 2

y

6 2 45º

45º 10

53º 13

6. a) 20

10 53º

x

e) 5

y

c) 3 d) 4

15m

5m

a) 1 x

53º 45º

x

45º

3

b) 2

e) 4

b) 2

10 2 53º

4. 5 cm

d) 3

5.

2m

d) 2

y

a) 2 cm

c) 2 2

c) e)

3.

y

10m

b) 1

x

4N 12N

e) 15

2

a)

12N

c) 25

b)

2.

20

y 40

b) 21

x

c) 22

e) 5

37º

53º

x

d) 24 10

e) 25

47

25

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Instituto Tecnológico Ayacucho 7.

d) 17

25 12

16º

x 2

e) 19 7

9.

10.

y

a) 1N 4N

y

a) 20N 5N

b) 2

d) 4

c) 15 x

e) 25

c) 3

b) 14

16º

d) 24

y

a) 13

50

b) 21 24

FIS -100

8.

y

a) 20

c) 22

Electromecánica

37º

40N

b) 50

x

37º

16º

c) 30

x

30N

d) 40

e) 5

e) 10

48

37º

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Electromecánica

FIS -100

CINEMÁTICA La cinemática, que es una parte de la mecánica, estudia el movimiento de los objetos sin tomar en cuenta las causas que lo originan. Para describir tal movimiento, la cinemática hace uso de ecuaciones que relacionan las variables de movimiento, estas son: desplazamiento (x), velocidad (v), aceleración (a) y tiempo (t). Dentro de la cinemática se analiza el: ➢ ➢ ➢ ➢

Movimiento Movimiento Movimiento Movimiento

rectilíneo uniforme y variado vertical parabólico circular

MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME MRU Una Milésima de Segundo ¿Qué puede ocurrir en una milésima de segundo? ¡Muchas cosas! Para los que estamos acostumbrados a medir el tiempo de forma usual, una milésima de segundo es igual a cero. Pero por ejemplo en este cortísimo tiempo: -

Un tren puede avanzar 3 cm

-

Un avión puede avanzar 50 cm

t = 0,001 s

50cm

3cm

49

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-

Electromecánica

FIS -100

La tierra recorre 30 m de su órbita alrededor del sol. 30m 0,001 s

-

El sonido recorre ya 33 cm

- La luz recorre 30 km.

-

Un mosquito en este intervalo de tiempo, sube o baja sus alas. (Bate sus alas 500 – 600 veces por segundo).

Estas aproximaciones se hacen considerando un movimiento muy especial denominado Movimiento Rectilíneo Uniforme M.R.U. En el MRU, ¿qué significa 5 m/s? ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ Veamos: 1s

1s 5 m/s

5 m/s

1s 5 m/s

1s 5 m/s

5 m/s

CARACTERÍSTICAS La velocidad es __________________. La trayectoria es __________________. La distancia es __________________ al tiempo. 50

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Electromecánica

Fórmula:

Donde: d=Vt

FIS -100

d

t

m

s

km

h

V

EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1. ¿En cuál de los casos, la velocidad es constante? I.

8 m/s

II.

III. 8 m/s

8 m/s

8 m/s

8 m/s

8 m/s

a) Sólo I

b) Sólo II

c) Sólo III

d) I y II

2. En la figura, halla “d”

b) 4 c) 30

3. Hallar : “d” t = 1/5 min

a) 20 m 5 m/s

d) 60

t = 1/300 h

a) 15 m b) 12

5 m/s

c) 144

d

e) 200

4. Un móvil se desplaza a velocidad constante de 90 km/h. ¿Qué distancia recorre en 3 s?

12m/s

12m/s

d) 250

d

e) 12

e) Todas

5. En la figura, hallar : “d” a) 10 m

4s

b) 144 c) 35

36Km/h

36Km/h

d) 40 e) 50

a) 60 m

b) 70

d) 270

e) 30

d

c) 75

51

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Electromecánica

6. En la figura, hallar : “V”

FIS -100

7. A 510 m de una persona se produce una explosión. ¿Al cabo de qué tiempo logra

a) 10 m/s b) 20 c) 30

escuchar la explosión? Vs = 340 m/s

t = 100 s V

V

d) 50 e) 80

d = 2 km

a) 3 s

b) 1,5

d) 4

e) 5

c) 2

8. Un joven estudiante desea saber a qué

9. ¿Qué tiempo demora un tren de 500 m de

distancia se encuentra el cerro más próximo,

longitud para pasar por un poste, si el tren

para lo cual emite un grito y con su

viaja a una velocidad de 20 m/s?

cronómetro comprueba que el primer eco lo percibe a los

3 s. ¿A qué distancia se

encuentra dicho cerro?

a) 340 m

b) 1020

d) 265

e) 510

c) 170

a) 10 s

b) 15

d) 25

e) 40

c) 20

10. Un auto posee una velocidad constante de

11. Un tren de 125 m de largo atraviesa un túnel

10 m/s. ¿Qué distancia recorre entre las

de 325 m. ¿Qué tiempo emplea? V Tren = 15

5:30 p.m. y 5:45 p.m. del mismo día?

m/s

a) 2 km

b) 6

d) 11

e) 12,5

c) 9

52

a) 10 s

b) 20

d) 40

e) 50

c) 30

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Electromecánica

FIS -100

12. Un tren de 200 m de largo cruza por

13. Un bus de 10 m de longitud que realiza un

completo un puente de 250 m en 15 s. Halle

MRU con una velocidad de 20 m/s, cruza un

la velocidad del tren.

puente en 3 s. ¿Cuál es la longitud del puente?

a) 10 m/s

b) 20

d) 30

e) 35

c) 25

a) 10 m

b) 30

d) 25

e) 50

c) 40

14. Un tren de 200 m de longitud con una

15. Un muchacho caminando sobre una escalera

velocidad constante de 72 km/h tarda 30 s

mecánica detenida se demora en subir 30 s.

en pasar totalmente por un túnel. Hallar la

Cuando está parado sobre la escalera en

longitud del túnel.

movimiento se demora en subir 20 s. ¿Qué tiempo demora en subir sobre la escalera en movimiento?

a) 400 m

b) 300

d) 500

e) 350

c) 250 a) 8s

53

b) 12

c) 10

d) 15

d) 20

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Electromecánica

FIS -100

PRACTICA Nº 7 1. En la figura, hallar : “d” b) 3 m c) 9 d) 15 e) 18 f) 21

2. Hallar : “d”

2s

a) 38 m

3s

V

b) 42

V

V

7s

c) 49 d) 54

d

6m

5s

V

3. En la figura, hallar : “V”

d

35m

e) 63

4. En la figura, hallar : “V” a) 10 m/s

a) 2 m/s b) 5 c) 7

V

c) 30

V

V

e) 25

30m

d = 200m

e) 9 5. Hallar : “t”

6. Hallar : “t” t

a) 1 h c) 3

V

d) 15

d) 8

b) 2

2s

b) 20

25s

50km/h

d) 4

b) 20

50km/h

c) 25

36km/h

36km/h

d) 30

d = 250km

e) 5

t

a) 10 s

d = 300m

e) 35

7. Hallar la distancia que recorre la liebre en

8. Una persona se encuentra a 85 m de una

10 s. Si en un quinto de minuto recorre 40 m

montaña. ¿Si grita, después de qué tiempo

más.

escuchará el eco?

a) 150 m

b) 99

d) 240

e) 200

c) 33

a) 0,25 s

b) 0,5

d) 2

e) 1

c) 0,1

9. A 170 m de una persona se produjo una

10. Un tren viaja a razón de 36 km/h, al

explosión. ¿Después de qué tiempo logra

ingresar a un túnel de 200 m de longitud

escucharlo?

demora 50 s en salir de él. ¿Cuál es la longitud del tren?

a) 0,5 s

b) 1

d) 4

e) 0.25

c) 2

54

a) 100 m

b) 50

d) 250

e) 200

c) 300

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Electromecánica

11. En la figura, hallar : “t” T

8:00 a.m.

1. Un muchacho para bajar por una escalera empleó 30 s. ¿Qué tiempo demoraría en

12:00 m v

v

v

FIS -100

subir la misma escalera si lo hace con el triple de velocidad?

160km

40km

a) 10:00 a.m.

b) 10:30

d) 11:50

e) 10:45

c) 11:12

a) 2 s

b) 8

c) 6

d) 9

e) 10

1. Un móvil debe recorrer 300 km en 5 h, pero a la mitad de su camino sufre una avería que lo detiene por 1 hora. ¿A qué velocidad debe viajar para llegar a tiempo a su destino?

a) 50 km/h

c) 60

c) 80

d) 100

55

e) 150

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FIS -100

Ahora analicemos el tiempo que emplearán 2 móviles para alcanzar el uno al otro y el tiempo que emplearían para poder encontrarse. Tiempo de Encuentro (tE) tE

tE

V1

V2

1

2

tE =

+

d

Tiempo de Alcance (ta) ta

V1

V2

1

2

ta

ta =

−

d

¡Como ves son fórmulas sencillas, así que ponle ganas y mucho empeño!

1. En la figura hallar el tiempo de encuentro

2. Si ambos móviles parten simultáneamente a las 10:00 a.m. ¿A qué hora se produce el encuentro?

a)

1s

b)

5

c)

7

d)

3

e)

9

18km/h

36km/h

54km/h d = 100m

54km/h

225km

56

a) 10:20 a.m.

b) 11:00

d) 12:30

e) 1:30 p.m.

c) 12:00

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Electromecánica

3. En la figura, ¿a qué hora partieron ambos

FIS -100

4. En la figura, luego de qué tiempo ambos

móviles si se encontraron a las 3:00 p.m.?

móviles estarán separados 40 m por segunda vez.

a) 9:00 a.m. b) 10:25

18km/h

72km/h

a) 10 s

c) 11:00

b) 12

d) 9:00

5m/s

7m/s

c) 15

540km

e) 5:00 p.m.

d) 17

200m

e) 20

5. Dos alumnos están separados 150 m. Si

6. Dos autos parten simultáneamente de una

parten simultáneamente rumbo al encuentro

ciudad “P” con velocidades de 50 y 60 km/h;

con velocidades constantes de 10 y 20 m/s.

llegan a una ciudad “Q” con un intervalo de 20

¿A

minutos. ¿Cuál es la distancia entre las 2

qué

distancia

del

más

lento

se

encontrarán?

ciudades?

a) 40 m

b) 100

d) 50

e) 110

c) 90

7. Dos móviles parten simultáneamente desde

a) 40 km

b) 50

d) 66

e) 80

c) 60

8. En la figura, hallar el tiempo de alcance

un mismo punto, uno hacia el Este a 4 m/s y el otro hacia el Norte con 3 m/s. ¿Qué distancia

a) 10 s

los separa luego de 3 segundos?

b) 15 c) 30 d) 25

20m/s

10m/s

0,3km

e) 50

a) 10 m

b) 21

d) 15

e) 20

c) 12

57

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FIS -100

9. Dos móviles se encuentran separados 150 m. Si

10. Dos autos parten de un mismo punto viajando

parten simultáneamente uno al alcance del otro

en direcciones opuestas. La velocidad de uno

con velocidades constantes de 35 m/s y 36

es 80 km/h y del otro 70 km/h. Determinar el

km/h. ¿Después de qué tiempo el de mayor

tiempo que demorarán en separarse 900 km.

velocidad se encontrará 100 m delante del otro?

a) 4 s

b) 6

c) 10

d) 15

e) 20

11. “Roony” salió en su auto último modelo (Ferrari

a) 3 h

b) 5

d) 6

e) 7

12. Dos

móviles

c) 8

parten

en

direcciones

- 2003) con una velocidad de 40 km/h, 2 horas

perpendiculares con velocidades de 6 m/s y 8

después Andrés en su moto Yamaha – 2003

m/s. ¿Qué distancia los separa luego de 10 s?

sale del mismo lugar en su persecución a una velocidad de 50 km/h. ¿A qué distancia del punto de salida se produce el alcance?

a) 100 km

b) 150

d) 400

e) 350

c) 200

13. En la figura, ¿qué tiempo debe transcurrir

a) 10 m

b) 20

d) 80

e) 100

c) 50

14. Con una velocidad de 8 m/s, el atleta “Trilcito”

para que los móviles equidisten del poste?

se acerca hacia una gran pared. Cuando Trilcito se encuentra a 174 m de la pared

a) 2 s b) 3

35m/s

emite un grito. ¿Al cabo de qué tiempo

45m/s

“Trilcito” escuchará el eco? Vsonido = 340 m/s

c) 4 d) 6 e) 9

80m

58

a) 0,5 s

b) 1,5

d) 3

e) 2

c) 1

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PRACTICA Nº 8 1. En la figura, hallar : “d” a) 100 m b) 150 c) 200 d) 50

2. En la figura, hallar : “V1”

tE

a) 10 m/s

tE

b) 15

15m/s

10m/s 1

40m/s

c) 30

4. En la figura, hallar : “V2”

d) 250

b) 30 ta

30m/s 50m

e) 100

ta

a) 10 m/s

ta

b) 150

150m

e) 50

3. En la figura, hallar : “d” a) 20 m

V2 = 20m/s

d) 40

d

250

e) 35

V1

c) 30

2

tE = 3s

V1 = 60m/s

ta

V2

c) 40 80m

d) 50

d

240m

e) 25

5. En la figura, hallar : “t”

6. En la figura, ¿a qué distancia del móvil “B” se produce el encuentro entre “A” y “C”?

a) 1 s b) 3 c) 2

20m/s

t

t

a) 20 m 30m/s 2

1

c) 240

250m

d) 5

b) 3 c) 5 d) 6

2

1 60m

A C

B

C

d 500m

separados 30 m por segunda vez. a) 1 s

t

5m/s

10m/s

8. En la figura luego de qué tiempo estarán t

25m/s

B A

e) 200

7. En la figura, hallar : “t” a) 1 s

12m/s 15m/s

d) 300

400m

e) 6

b) 60

b) 3

2

1

36km/h

72km/h

c) 6

60m

d) 9

e) 9

120m

e) 5

59

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Electromecánica

9. En la figura, hallar : “t”

10. Dos atletas parten juntos en la misma dirección con velocidades de 4 m/s y 6 m/s.

t

a) 1 s b) 3

70m/s

c) 4

¿Después de 1 minuto, qué distancia los

t

15m/s

A

B

separa?

A

B

80m

d) 2

FIS -100

30m

e) 5 11. En la figura luego de qué tiempo equidistan del

a) 30 m

b) 60

d) 240

e) 180

12. En la figura, hallar : “V”

árbol.

a) 60 km/h

a) 100 s

b) 180

b) 40

c) 20

c) 120

2m/s 3m/s

d) 240 e) 180

c) 120

d) 30

t = 2H

3V A

e) 45

300m

13. Dos móviles parten simultáneamente de un

t = 2H

V B 60km m

A

B 180km

14. En la figura luego de qué tiempo estarán

mismo punto A con velocidades de 20 y 30

alejados 120 m

m/s, en una misma dirección. A los 40 s de la partida equidistan de un punto B. Halle la

a) 1s

distancia AB .

b) 5

25m/s 35m/s

c) 6 a) 100 m

b) 1500

d) 2000

e) 2500

d) 3

c) 1000

e) 2

15. En la figura, luego de qué tiempo estarán separados 80 m a) 4s

25m/s 5m/s

b) 1 c) 2 d) 6 e) 8

60

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Electromecánica

FIS -100

MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO M.R.U.V. Cuando el guepardo acecha a su presa, empieza por moverse sigilosamente. Preparado para la cacería, comienza a correr (parte del reposo), y a medida que lo hace, su velocidad está aumentando uniformemente hasta alcanzar a su presa.

Entonces:

El MRUV, es aquel donde la velocidad experimenta variaciones iguales en tiempos iguales.

Por ejemplo:

Tramo AC: La velocidad se mantiene ______________________ Tramo CF:

En c/segundo la velocidad cambia de _____ en ________ m/s

Luego: Al cambio de velocidad en un intervalo de tiempo se le conoce como: Aceleración que en todo momento permanece _____________. 61

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Electromecánica

FIS -100

Fórmulas del MRUV

Vf = Vo  at Vf2 = Vo2 ± 2ad d = Vo t  d=

𝟏 𝟐

𝟏 2 at 𝟐

( Vo + Vf ) t

Donde: Vf : Velocidad final (m/s) Vo : Velocidad inicial (m/s) a : Aceleración (m/s): d : distancia recorrida (m) (+) Movimiento Acelerado (Aumento de Velocidad) (-) Movimiento Retardado (Disminución de Velocidad)

Observación 1 V

V a

Movimiento Acelerado

Observación 2

Si un móvil parte del Reposo Si un móvil se detiene

a

Movimiento Desacelerado o Retardado

Vo = Vf =

¿Qué significa 6m/s²? Que en cada segundo que transcurre la velocidad del móvil

------------------------------------------------------------------------------------------62

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Electromecánica

FIS -100

EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1. Si el siguiente movimiento es un MRUV, halle las

2. Del ejercicio anterior, la aceleración del móvil

velocidades en C, D y E. 1s

2s

1s

2m/s

5m/s

A

B

VC = ____

es: 3s

C

D

VD = ______

E

VE = _____

3. De la figura si se trata de un MRUV, halle las

3s

A

B

3m/s

e) 5

2s

16m/s

18m/s

C

D

E

VE = ______

5. En la figura halle la distancia “d”. 1s

d) 3

a) 1 m/s²

b) 2

d) 5

e) 6

3s

4s

2s 18m/s

b) 15

d) 23

e) 24

24m/s

d

d

a) 10 m

c) 3

6. En la figura hallar “d”.

5m/s

4m

c) 2

es: 1s

VA = _____ VB = _____

b) 4

4. Del ejercicio anterior, el valor de la aceleración

velocidades en A, B y E. 1s

a) 1 m/s²

c) 20

63

a) 36 m

b) 24

d) 22

e) 48

c) 15

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Instituto Tecnológico Ayacucho

Electromecánica

7. Un móvil parte del reposo y con una aceleración

FIS -100

8. En la figura, si el móvil partió del reposo, el valor

de 6m/s² ¿Qué distancia recorre luego de 4

de “t” es:

segundos?

t a = 4m/s² d = 32m

a) 48 m

b) 36

d) 15

e) 32

c) 24

b) 2

d) 6

9. En la figura halle “x”. 3s

a) 1s

e) 3

10. En la figura, hallar “V”. t = 8s

1s 12m/s

16m/s

30m

b) 4

d) 2

c) 5 e) 3

11. En la figura, hallar “V”.

3s

2m/s

A

V

d = 180m

x

a) 1m

c) 4

a) 45m/s

b) 32

d) 33

e) 23

c) 43

12. Del ejercicio anterior, halle la distancia AC .

5s

8m/s

V

B

C

a) 10m/s

b) 16

d) 24

e) 32

c) 18

64

a) 10m

b) 50

d) 24

e) 40

c) 35

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Electromecánica

13. En la figura, hallar la velocidad en “B”.

14. En la figura, hallar la velocidad “V”.

4s

2s

V

3V

A

80m

FIS -100

30m/s

B

3s V

a

54m

d

10m/s

a) 10m/s

b) 15

d) 35

e) 30

c) 25

a) 10m

b) 12

d) 15

e) 17

c) 14

15. Del ejercicio anterior, hallar “d”.

a) 10m

b) 58,5

c) 36,5

d) 24,5

65

e) 60

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Electromecánica

FIS -100

PRACTICA Nº 9 1. En la figura, hallar la velocidad del móvil en

2. Del ejercicio anterior, la aceleración del móvil

C, D y E.

es:

3m/s

3s

2s

1s

3s

6m/s

A

B

C

VC = _____

D

VD = _____

E

a) 1m/s²

VE = _____

d) 3

3. En la figura, hallar las velocidades en C, D y E. t

1s 4m/s

2s

c) 2 e) 4

4. Del ejercicio anterior, hallar “t”.

1s

9m/s

A

b) 5

39m/s

B

a) 1s

C

D

E

b) 6

d) 3

c) 4 e) 9

VC = ______ VD = ______ VE = _____ 5. Del gráfico, hallar “d”.

8m/s

8m/s

V

b) 56

d) 34

e) 28

20m/s

d1

d

a) 10m

2t

t

4s

2s 2m/s

6. Del gráfico, hallar “d”.

c) 46

d2

a) 9

b) 10

d) 12

7. Del ejercicio anterior, Si d1 = 20m, entonces d2

e) 14

8. Del gráfico, hallar “V”. 4s

será:

1s

V

B d

b) 64

d) 16

e) 48

c) 32

66

VC

3V

A

a) 40m

c) 11

C 52m

a) 9m/s

b) 12

d) 115

e) 16

c) 8

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Electromecánica

9. Del ejercicio anterior, halle “d”.

FIS -100

10. En la figura, hallar “d”.

1s

1s

1s

10m/s

d

a) 100m

b) 26

d) 64

e) 32

11. Un

móvil

que

parte

c) 128

acelera

12. Un auto parte con una velocidad de 60m/s y

uniformemente de modo que en los 2 primeros

desacelera logrando recorrer 360m hasta

segundos recorre 10m. ¿Qué distancia recorre

detenerse. Calcular la distancia recorrida en los

en los 2 siguientes segundos?

dos últimos segundos de su movimiento.

a) 10m

b) 20

d) 40

e) 60

del

reposo

120m

c) 30

13. Un móvil se desplaza a razón de 30m/s; se

a) 10m

b) 24

d) 6

e) 24

15. En la figura, hallar “d”

aplican los frenos y retarda su movimiento uniformemente

a

razón

de

4m/s².

c) 18

4s

4s

¿Qué

distancia recorre en el 4to. Segundo de su

30m/s

VC

18m/s

movimiento? 14.

A

a) 7m

b) 16

d) 24

e) 20

c) 14

67

B

d

C

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Electromecánica

FIS -100

Veamos 2 cuerpos que parten del resposo uno al encuentro del otro con aceleración a 1 y a2 tE

tE

¿Sabías Qué?

V = 0 V = 0

a1

a2

1

2 d1

d2

Miércoles 2 de junio de 1633. Galileo lleva puesto la camisa blanca del penitente. Los cardinales han dicho. “¡De rodillas!” Galileo avanza de rodillas y pronuncia las palabras que le queman la boca: Yo, Galileo Galilei… abandono la falsa opinión de que el sol es el centro (del universo) y está inmóvil. Abjuro de mis errores. Y se puso de pie y para sus adentros dijo.

d

Para “1” 1 2

d1 = Vo t +

a1 t2

(Vo = 0)

d1 =

1 2

a1 t2………………….. (1)

d2 =

1 2

a2 t2 ………………….. (2)

Para “2”

·E pur si muove·” (pero sí se mueve)

(1) + (2) d1 + d2 = d=

1 2

1 2

a1 t2 +

a2 t2

t2 (a1 + a2)

2d a1 + a 2

tE =

1 2

sólo si los cuerpos parten del reposo Compruébalo:

¿Y el tiempo de alcance?

tALC =

tALC

2d a1 − a 2

tALC Vo = 0

Vo = 0

a1 1

a2

2

d

68

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Electromecánica

FIS -100

EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1. De la figura determine el tiempo de encuentro si ambos cuerpos parten del reposo. a1 = 3m/s2

a2 = 1m/s2

2. Del ejercicio anterior, determine a qué distancia del móvil de menor aceleración se produce el encuentro.

d = 200 m

a) 10s b) 6 c) 8 d) 7 e) 5 3. En la figura determine el tiempo de choque; si ambos parten del reposo. a1 = 2m/s2

a) 150m b) 50 c) 170 d) 30 e) 120 4. Del ejercicio anterior, determine la velocidad del móvil de mayor aceleración cuando se produce el impacto.

a2 = 4m/s2

d = 192 m

a) 4 d) 7

b) 6 e) 5

c) 8

a) 40 m/s d) 36

69

b) 20 e) 45

c) 32

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Electromecánica

FIS -100

5. Dos móviles que parten del reposo con aceleraciones de 5 m/s2 y 3m/s2 se encuentran distanciados 64 m. Si viajan en la misma dirección, halle el tiempo de alcance.

6. Del ejercicio anterior hallar a qué distancia del móvil de menor aceleración se produjo el alcance.

a) 6s b) 3 c) 4 d) 7 e) 8 7. En la figura, determine el tiempo de alcance, si ambos móviles parten del reposo.

a) 96m b) 32 c) 64 d) 160 e) 180 8. Del ejercicio anterior cuál fue la velocidad del móvil más rápido en el encuentro.

a1 = 6m/s2

a2 = 4m/s2

d = 100 m

a) 15s d) 14

b) 10 e) 2

c) 12

a) 30 m/s d) 50 70

b) 40 e) 80

c) 60

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Instituto Tecnológico Ayacucho 9. Dos móviles parten simultáneamente de un acelerando sobre una recta sentido con 2 y 8 m/s2. ¿Qué estarán separados 300 m?

Electromecánica

FIS -100

del reposo mismo punto y en el mismo tiempo después

10. Dos móviles que parten del reposo en la misma dirección y sentido, están separados 200 m; si se observa que el alcance se produce 10 s después de iniciado los movimientos. Determine la aceleración del móvil más lento, si están en la relación de 3 es a 1.

a) 1s b) 5 c) 6 d) 10 e) 7 11. Dos trenes de 200 m y 400 m de longitud avanzan en vías paralelas y sentidos opuestos. Cuando sus velocidades son 12 y 18 m/s sus aceleraciones constantes son iguales a 3 m/s2. Hallar el tiempo que demoran los trenes en cruzarse completamente.

a) 6 m/s2 b) 3 c) 5 d) 7 e) 2 12. Dos móviles “A” y “B” parten simultáneamente del reposo, del mismo lugar y con aceleraciones constantes de 3 y 5 m/s2 respectivamente. ¿Luego de qué tiempo estarán separados?

a) 10 s d) 18

b) 12 e) 24

c) 6

a) 12 s d) 6

71

b) 10 e) 4

c) 8

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Electromecánica

13. En la figura, calcule el tiempo en el cual ambos móviles estarán separados 300 m, si ambos partieron del reposo. a1 = 5m/s2

FIS -100

14. Del ejercicio anterior, ¿qué distancia avanzó el primer móvil en dicho tiempo?

a2 = 3m/s2

700 m

a) 12 s b) 16 c) 10 a) 150 m b) 200 c) 350 d) 20 e) 8 d) 250 e) 100 15. Dos autos separados una distancia “L” entre sí parten del reposo en el mismo sentido, alcanzando el carro posterior al delantero después de que este ha recorrido una distancia “x”. Hallar la relación de sus aceleraciones.

a) x/L

b) (x + L)/L

d) L2/x2

c) L2/x

72

e) x/(x + L)

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PRACTICA Nº 10 1. Hallar EL tiempo de encuentro, si ambos móviles parten del reposo. a1 = 3m/s2

2. Del ejercicio anterior, ¿a qué distancia del primer móvil se produce el encuentro?

a2 = 1m/s2

d = 72 m

a) 2s b) 4 c) 6 d) 8 e) 10 3. En la figura hallar el tiempo de encuentro

a) 26 m b) 54 c) 18 d) 36 e) 42 4. Del ejercicio anterior, ¿a qué distancia del segundo móvil se produce el encuentro?

V2 = 4m/s

V1 = 8m/s a1 = 10m/s2

a2 = 8m/s2

d = 60 m

a) 5 s b) 3 c) 1 d) 4 e) 2 5. En la figura hallar el tiempo de alcance

a) 50 m b) 32 c) 24 d) 40 e) 4 6. Del ejercicio anterior, ¿qué distancia recorrió el primer móvil?

V0 = 0

V0 = 0 a1 = 3m/s

2

a2 = 1m/s2

d = 16 m

a) 1s b) 2 c) 5 d) 7 e) 4 7. Un automóvil se desplaza con una velocidad de 60 km/h aplica los frenos de manera que desacelera uniformemente durante 12 s hasta detenerse. ¿Qué distancia recorre en ese tiempo?

a) 16 m d) 60

b) 100 e) 120

a) 24 m b) 32 d) 8 e) 18 8. En la figura, halle “T” t

t = 4s 60m/s

c) 144

a) 1s d) 2,5

73

c) 48

20m/s

b) 1,5 e) 4

V=0

c) 2

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9. En la figura halle el tiempo de alcance V0 = 0

FIS -100

10. Un móvil se desplaza variando su velocidad a razón de 2,5 m/s cada 0,5s. ¿Cuál será su aceleración?

a1 = 3m/s2 V0 = 0 a2 = 2m/s2

8m

a) 1 m/s2 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 12. Del ejercicio anterior, ¿qué distancia recorrió el móvil?

a) 2s b) 6 c) 8 d) 4 e) 16 11. En la figura luego de qué tiempo se detiene el móvil 180km/h

a = 0,5m/s2

a) 100 s b) 20 d) 80 e) 40 13. En la figura, hallar “a”

c) 60

a) 800 m b) 900 d) 1600 e) 2500 14. En la figura halle “x”

8s

80m/s

c) 1200

4s Vf = 0

60m/s

Vf = 0

d

x d = 360m

a) 40 m b) 80 d) 640 e) 240 15. En la figura, hallar “x”

4m/s

a) 60 m d) 40

b) 80 e) 240

c) 120

4s

24m/s

x

56m

a) 128 m

c) 320

b) 112

c) 168

d) 240

74

e) 136

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FIS -100

MOVIMIENTO VERTICAL DE CAÍDA LIBRE Grecia: 340 a.C. Aristóteles dispuesto a dar un discurso, nosotros tranquilos y en silencio escucharemos sentados en las escalinatas del Partenón. Movimiento de los Cuerpos Terrestres

¿Se puede escapar de la gravedad de la Tierra? La única manera de escapar de la gravedad terrestre es situándonos en su centro. De esta manera, ésta, nos atraerá en todas las direcciones y se compensarán estas atracciones entre sí. Esto no sería realidad ya que, debido a que está en pleno proceso de enfriamiento, su centro es líquido (materiales fundidos).

Aristóteles dice: − La causa por la cual caen los cuerpos es su propio _______________. − Los cuerpos de mayor peso son atraídos con mayor intensidad por la Tierra. − Los cuerpos más pesados caen más _______________ que los cuerpos livianos. Aristóteles se va y nosotros nos vamos a Pisa, en Italia, al año 1500 aproximadamente. Allí Galileo Galilei está a punto de demostrar que Aristóteles estaba equivocado. Sube a lo alto de la Torre Inclinada, tira dos cuerpos de distinto peso y ambos tocan el piso al mismo _________.

75

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FIS -100

¡No lo podemos creer, 2000 años equivocados! Pero los seguidores de Aristóteles le preguntan, porqué una pluma y una piedra caen en distintos tiempos. Galileo responde que ambos cuerpos caen al mismo tiempo pero en el ______________. Galileo no pudo demostrarlo. Fue Isaac Newton quien si pudo comprobar esta igualdad de tiempos en la caída de los cuerpos con un aparato denominado ________________________.

Aire Vacío

En este tubo de vidrio de un metro de largo cerrado por uno de sus extremos, y el otro adaptable a un dispositivo con llave para extraer el aire. Al invertirse dicho tubo, se observará que caen al mismo tiempo. Entonces podemos decir: Todo cuerpo soltado o lanzado cerca de la superficie terrestre se ve atraído por la Tierra debido a la ____________________________. Diremos que es de caída libre porque ______________________________________ __________________________________________________________________ La aceleración de la gravedad se representa con la letra “g” y su valor más próximo es: g  9,8 m/s2 76

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Para mejores cálculos se considera: •

FIS -100

g = 10 m/s2

Análisis de la velocidad de un cuerpo soltado (Vi = 0) Vo = 0 1s V1 = 1s

g = 10 m/s2 V2 =

1s

V3 = 3s

V4 =

•

Análisis de un cuerpo lanzado hacia arriba V4 =

V3 Hmax

V5 T2

t1 V2 V6

Vo =V1 V7

77

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FIS -100

Se cumple: (para 2 rectas horizontales y paralelas) V1 =

V3 =

V2 =

V4 =

t1 =

tsubida

tbajada

tsubida =

Vi g

tvuelo =

Fórmulas de Caída Libre : Vf = Vi  gt Vf2 = Vo2  2 gh h=

1 2

( Vo + V f ) t

h = Vo t  g t

( + ) Cuando el cuerpo baja

( - ) Cuando el cuerpo sube

2

2

EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1. Un cuerpo se suelta desde lo alto de una torre

2. En la figura, halle el valor de la velocidad

de 80 m. Determine el tiempo en llegar al piso.

luego de 4 s. V = 30m/s

a) 40 m/s b) 10 c) 60 d) cero e) 30

a) 1 s

b) 2

d) 6

e) 8

c) 4

78

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Electromecánica

3. En la figura, ¿a qué distancia del suelo se

FIS -100

4. Desde lo alto de una torre de 160 m se lanza

encuentra el móvil luego de 6 s?

hacia arriba un corcho con una velocidad de

a) 30 m

20 m/s. Luego de qué tiempo se encontrará a

b) 20

55 m del piso.

40m/s

c) 60 d) 80 e) 40

a) 4 s

b) 5

d) 7

e) 5

c) 9

5. Desde qué altura debe soltarse un cuerpo

6. Se abandona un cuerpo desde lo alto de un

para que en el último segundo de su caída se

edificio “Trilce”. Si llega al piso luego de 4 s.

desplace 55 m.

¿Qué altura tiene el edificio?

a) 130 m

b) 80

d) 320

e) 180

c) 120

79

a) 80 m

b) 125

d) 120

e) 90

c) 60

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7. En la figura, hallar “V” y “H”.

8. En la figura hallar “V” y “H” 1s

45m

a) 40 m/s y 30 m b) 50 m/s y 195 m c) 40 m/s y 200 m

FIS -100

a) 30 m/s y 125 m V

H

b) 40 m/s y 80 m

3s

V

c) 40 m/s y 80 m

d) 60 m/s y 300 m

d) 30 m/s y 50 m

e) 40 m/s y 135 m

e) 60 m/s y 20 m

9. En la figura hallar “V”

2s

100m

10. En la figura hallar “V”

a) 50 m/s

a) 60 m/s

b) 20

b) 90

4s

Línea horizontal

c) 10 d) 40 e) 60

H

3s

c) 80 d) 70

V

e) 50

80

30m/s

80m

V

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11. En la figura hallar “V”

12. En la figura, si el tiempo de vuelo es 6 s, halle “H”.

a) 20 m/s b) 30

V

c) 10

20m/s

a) 200 m b) 160

160m

d) 5

c) 20

e) 45

FIS -100

H

d) 80

V + 40

e) 45

13. Se lanza un cuerpo verticalmente hacia

14. Desde la azotea de un edificio se lanza un

arriba, permaneciendo 8 s en el aire. Calcular

cuerpo hacia abajo con una rapidez de 30 m/s.

la altura máxima que logró alcanzar.

Si la altura de dicho edificio es 135 m. ¿Qué desciende en el último segundo?

a) 160 m

b) 45

d) 125

e) 30

c) 80

81

a) 80 m

b) 40

d) 55

e) 100

c) 60

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PRACTICA Nº 11 1. Un estudiante suelta una piedra en un pozo y

2. Se lanza un cuerpo verticalmente hacia arriba

observa que luego de 5s toca el fondo. ¿Qué

con una velocidad de 70 m/s. ¿Luego de qué

profundidad tiene el pozo?

tiempo alcanza su altura máxima?

a) 125 m

b) 80

d) 160

e) 200

c) 50

3. En la figura, hallar “t”

b) 2 c) 6

180m

b) 7

d) 10

e) 12

c) 3,5

4. Un astronauta en la Luna, lanzó un objeto verticalmente hacia arriba, con una velocidad

V0 = 0

a) 1 s

a) 14 s

de 8 m/s. El objeto tardó 10 s en regresar. La altura máxima fue de :

t

d) 10 e) 4

a) 16 m

b) 10

d) 20

e) 56

c) 32

5. Un proyectil se lanza verticalmente hacia

6. Se abandona un cuerpo u se observa que luego

arriba y consigue una altura máxima de 40 m.

de 4 s se encuentra a 20 m del suelo. ¿De qué

Determine la nueva altura máxima si consigue

altura se soltó?

triplicar su velocidad de lanzamiento.

a) 60 m

b) 80

d) 240

e) 360

c) 160

7. La altura máxima que alcanza un proyectil es

a) 100 m

b) 60

c) 80

d) 120

e) 200

8. Si el proyectil demora 6 s en desplazarse de

20 m. Determine la velocidad de lanzamiento.

“A” hacia “B”. Determine la velocidad en “A” a) 60 m/s b) 20

B

c) 40 a) 10 m/s

b) 20

d) 25

e) 40

d) 50

c) 30

e) 80

82

2V

V

A

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9. El tiempo de “A” hacia “B” es 6 s. Hallar “H”

FIS -100

10. En la figura, halle “t”

a) 80 m

a) 4 s

b) 40

b) 6

B

c) 120 H

V

d) 60 e) 20

V 40m

t

c) 8

20m/s

d) 5 3V

e) 2

A

11. En al figura si el tiempo de vuelo fue de 12 s.

12. Se lanza un objeto desde el piso con una

Halle “H”

velocidad “V” hacia arriba. Si en el quinto segundo de su subida recorre 5 m. ¿Qué

a) 100 m

tiempo pasa desde que fue lanzado para que

b) 160

H

c) 200

su velocidad sea de 20 m/s hacia abajo?

2s

d) 120

a) 3 s

b) 7

e) 80

d) 5

e) 6

13. Un cuerpo es lanzado verticalmente hacia

14. En la figura, halle “t”

arriba y cuando le falta 2 s para alcanzar el

2s

punto más alto, se encuentra a 60 m del piso.

a) 5 s

¿Cuál fue la velocidad de disparo?

b) 7 c) 2

a) 45 m/s

b) 30

d) 35

e) 60

c) 2

c) 40

d) 3

t 50m/s

e) 6

15. En la figura hallar “V”

B 2V

60m

V

a) 40 m/s

b) 30

c) 25

d) 60

83

e) 20

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FIS -100

¿SABÍAS QUÉ…?

El movimiento de Caída Libre se basa en dos leyes: 1º Ley: “Todos los cuerpos caen en el vacío con igual velocidad y con la misma __________________”

La Gravedad Lunar es aproximadamente 1/6 de la gravedad terrestre; luego un hombre en la Tierra pesa 6 veces más que en la Luna.

Significa: Que en el vacío todos los cuerpos, sean cuales fueren su naturaleza, masa y forma, tardan tiempos ___________ para caer de la misma altura. 2º Ley: “El movimiento natural de caída de un cuerpo es vertical,

rectilíneo

y

uniformemente

___________________”. Ahora veamos lo siguiente: ¿En qué tiempo se encontrarán dichos cuerpos?

Para el 1er cuerpo

Vo

tE

h1

h 1 = Vo t +

gt 2

…… (1)

2

Para el 2do cuerpo

H V2

tE

h2

h2 = V2t -

gt

2

…… (2)

2

Pero h1 + h2 = H  (1) + (2) : h1 + h2 = V1t +

gt 2 2

+ V2t -

gt 2 2

H = Vo t + V2t Luego: H = t(Vo + V2)



tE =

84

H V1 + V2

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FIS -100

¿Y el tiempo de alcance?

H

V1 talc

Compruébalo:

talc

talc =

H −

EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1. En la figura. ¿Luego de qué tiempo chocarán?

c) 2

se produce el encuentro?

V0 = 0

a) 3 s b) 6

2. Del ejercicio anterior, ¿a qué distancia de B

180m

d) 5

60m/s

e) 8

B

85

a) 45 m

b) 135

d) 60

e) 80

c) 120

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Instituto Tecnológico Ayacucho 3. En

la

figura,

si

Electromecánica

ambos

FIS -100

parten

4. Del ejercicio anterior, ¿A qué distancia

simultáneamente. Halle el tiempo de alcance.

desde donde se lanzó B se produce el

B

a) 6 s b) 5 c) 4

alcance?

5m/s H = 20m

d) 8

A V0 = 0

e) 10

5. En forma simultánea desde una misma altura,

a) 80 m

b) 20

d) 100

e) 40

c) 60

6. Del ejercicio anterior. ¿A qué distancia del

se suelta “A” y “B” se lanza hacia abajo con

punto de salida se produce el alcance?

una velocidad de 20 m/s. Luego de qué tiempo estarán separados 100 m.

a) 2 s

b) 6

d) 8

e) 4

c) 5

86

a) 225 m

b) 125

d) 650

e) 250

c) 325

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7. Si en el instante mostrado, A se deja en

8. En la figura, luego de qué tiempo ambos

libertad y después de 2 s, B se lanza hacia

móviles estarán a una distancia de 50 m si

abajo. Determine la velocidad de lanzamiento

parten simultáneamente.

de B para que alcance al proyectil A al cabo de 2s

A

a) 2,5 s b) 3

a) 20 m/s

c) 2

A

B

b) 30

30m 10m/s

30m/s

d) 4

c) 40

e) 6

d) 60 e) 80

9. En la figura luego de qué tiempo estarán

10. En la figura, A se deja en libertad y B se

separados 130 m si ambos móviles parten

lanza hacia arriba. Determine la velocidad de

simultáneamente.

B en el momento del encuentro.

a) 5 b) 4 c) 6

A

a) 70 m/s b) 50

50m 20m/s

c) 60

60m/s

d) 3

d) 30

e) 8

e) 10

87

120m B

40m/s

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11. Se deja caer un cuerpo desde 500 m de

12. Se comienza a soltar 2 esferas cada 2

altura, al mismo tiempo se lanza desde el

segundos. ¿Qué distancia de separación

suelo otro cuerpo hacia arriba. Si los 2

existirá entre la primera y segunda esfera

cuerpos llegan al suelo al mismo tiempo.

cuando se suelta la tercera?

Determine la altura máxima que alcanza el segundo cuerpo.

a) 125 m

b) 80

d) 360

e) 250

c) 180

a) 80 m

b) 60

d) 55

e) 30

c) 50

13. “A” se lanza hacia arriba y luego de 2

14. En el instante en que “Miguel” suelta un

segundos se lanza desde el mismo punto a “B”

globo; su amiga “Pili” se acerca a la pared a

con

20 m/s. ¿A qué altura se

velocidad constante para agarrar el globo. Si

encontrará “B” cuando “A” haya alcanzado su

llega a las justas. ¿Con qué velocidad se

altura máxima?

habrá movido “Pili”?

a) 20 m

a) 2 m/s

b) 30

b) 3

c) 15

c) 9

d) 25

A

B

45m

V

d) 6

e) 18

e) 1

88

18m

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PRACTICA Nº 12 1. Desde lo alto de una torre se suelta una piedra;

luego

de

2

s

se

lanza

2. Se lanzan 2 piedras simultáneamente hacia

otra

arriba. Si luego de 10 s están separados 20 m.

verticalmente hacia abajo con una velocidad

¿Cuál es la diferencia entre sus velocidades

de 25 m/s. Calcular el tiempo de alcance.

iniciales?

a) 4 s

b) 1

a) 4 m/s

b) 5

d) 8

e) 5

d) 8

e) 2

c) 2

c) 10

3. Estando en carnaval, Roony observa que una

4. En el instante que la esfera (1) parte del

niña se acerca al edificio con una velocidad de

reposo, la esfera (2) es lanzada con una

2 m/s (constante). ¿Cuál debe ser la distancia

velocidad de 5 m/s. Calcular “H”, de modo que

“x” de la niña al edificio para que Roony suelte

lleguen simultáneamente con la esfera (2) al

el globo y la moje?

piso. 1

a) 6 m

a) 10 m

b) 10

b) 4

c) 8

c) 6

V = 2m/s

80m

d) 12

d) 5

e) 15

e) 8

H

5m/s 2

x

5. De una torre alta se lanza un cuerpo hacia

6. Desde la parte superior de un edificio de

arriba con una velocidad de 20 m/s. 2 s

200 m de altura se suelta una piedra en el

después se lanza un segundo cuerpo del mismo

preciso

lugar con la misma rapidez hacia abajo. ¿Cuál

verticalmente hacia arriba con una velocidad

es la separación de los 2 cuerpos después de

de 50 m/s. Indique la suma de velocidades que

3 s a partir del segundo lanzamiento?

tienen las piedras al momento de chocar.

a) 40 m

a) 50 m/s

b) 10

d) 30

e) 20

d) 30

b) 80

c) 60

e) 20

7. Una persona lanza una bomba verticalmente

instante

que

otra

es

lanzada

c) 40

8. Del ejercicio anterior, ¿qué velocidad tenía la

hacia arriba con una velocidad de 105 m/s la

bomba al momento de explotar?

cual explota. Si después de 5 s de haber sido lanzada la persona escucha la explosión. ¿A qué altura explotó la bomba? Vsonido = 340 m/s a) 170 m

b) 340

d) 680

e) 300

c) 85

89

a) 85

b) 75

d) 95

e) 55

c) 65

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9. En la figura se sueltan los cuerpos al mismo

FIS -100

10. En la figura qué distancia separa a los cuerpos

tiempo. Luego de 3s, ¿qué distancia los

2 segundos después de cruzarse.

separa? a) 60 m

a) 40 m

V0 = 0

b) 60

80m

b) 30

15m/s 160m

c) 70

20m/s

c) 50

d) 50

d) 100

e) 80

25m/s

e) 40 11. Un objeto se lanza desde la azotea de un

12. El objeto “A” que se muestra es liberado,

edificio hacia abajo. Después de 4 s otro

mientras que “B” es lanzado con 10 m/s.

objeto se deja caer libremente y 4 s después

Determine la distancia que están separados

choca con el primero. ¿Con qué velocidad se

cuando “A” llega al piso.

B

lanzó el primero?

10m/s

a) 60 m

A

b) 50 c) 80 a) 30 m/s

b) 40

d) 15

e) 10

105m

45m

d) 100

c) 120

e) 30

13. En la figura halle la altura que recorrerá la

40m

14. En la figura luego de 2 s qué distancia separa

piedra 1 segundo antes de alcanzar su altura

a los cuerpos.

A

máxima.

V0 = 0

a) 20 m a) 20 m

b) 36

b) 10

95m 40m/s

c) 48

V

c) 5

d) 25

d) 80

e) 50

B 12m

e) Depende de “V” 15. Si “A” baja a velocidad constante y “B” se lanza hacia arriba con una velocidad de 12 m/s. Al cabo de qué tiempo chocarán. A 8m/s

a) 4 s b) 5 c) 1

15m

d) 2,5 e) 3

B

12m/s

90

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MOVIMIENTO PARABÓLICO

EL CANGURO Mamífero marsupial herbívoro que vive en las llanuras de Australia. Es bípedo y para poder desplazarse da grandes saltos, apoyándose en las extremidades posteriores y en la cola, que la utiliza como una tercera pata. La altura máxima que puede alcanzar es de 1,60 m. A la trayectoria descrita por este mamífero se le conoce como: ______________________________________________________

Este tipo de trayectoria se aprecia cuando lanzamos un cuerpo en forma oblicua, así tenemos por ejemplo los lanzamientos de tiro libre en el fútbol. Parábola

91

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¡PARA NO OLVIDAR!

Luego podemos decir: Al lanzar oblicuamente hacia arriba un cuerpo, éste sólo se verá afectado por la aceleración de la gravedad describiendo como trayectoria una parábola.

53º

5

3

37º

El movimiento parabólico de Caída Libre está compuesto por 2

4

movimientos; uno horizontal que se da a velocidad constante 60º

2

(MRU), y el otro vertical que se da en Caída Libre.

1

30º

Veamos: VB

45º

VA

45º

Hmáx

1

VC

h

V

1

74º

25

x

7

16º 24

R

Alcance horizontal

•

En todo momento la velocidad es tangente a la trayectoria.

•

La velocidad en el punto más alto no es cero.

ECUACIONES DEL MOVIMIENTO PARABÓLICO •

Eje x : horizontal (MRU)

d=Vt

92

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•

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Eje y : vertical (Caída Libre) Vf = V0  gt Vf2 = V02  2gh h = V0t  h=

1 2

 V0 + Vf   2

gt2

  t 

MOVIMIENTO SEMIPARABÓLICO Este movimiento se cumple al lanzar horizontalmente un cuerpo abandonando la superficie de lanzamiento. V

Vx Vy = 0

H

x

¡RECUERDA! Para cualquier instante de tiempo:

H=

gt 2 2

Y en la horizontal: x = Vx t

93

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EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1. Indicar verdadero (V) o falso (F) con

2. Desde lo alto de una torre se lanza

respecto al movimiento parabólico :

horizontalmente

un

proyectil,

con

una

velocidad de 20 m/s. Si el proyectil empleó 3 •

La componente horizontal de la velocidad

s en su caída. ¿Cuál fue la altura de la torre y

permanece constante.

el alcance horizontal que logró a partir de la

(

)

base de la torre? •

La componente vertical de la velocidad puede ser nula en un instante.

•

(

)

todo

momento

es

tangente a la trayectoria.

(

)

La

velocidad

en

3. En la figura, ¿qué tiempo duró el movimiento?

a)

30 m y 15

d) 60 m y 30

b)

45 m y 20

e) 25 m y 30

c)

45 m y 60

4. Un cuerpo se lanza horizontalmente con una rapidez de 10 m/s. Calcular “x”.

40m/s a)

1s

b)

2

a)

c)

3

b) 20

d)

4

c)

e)

5

10m/s

10 m 30

45m

d) 40

160m

e) 50

94

x

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5. Hallar “H” del gráfico, si la componente

FIS -100

6. Hallar “x”, de la figura :

horizontal de la velocidad cuando el cuerpo llega al suelo es 20 m/s.

a)

20 m

c)

b) 45 c)

36

37º

V = 50m/s

b) 200

V a)

100 m 150

135m

d) 135 H

e) 120

x

d) 80 e) 40

80m

7. Desde la superficie se lanza una pelota con

8. Del ejercicio anterior, halle el alcance

una velocidad de 50 m/s formando 53º con la

horizontal luego de 5 s.

horizontal. Hallar la altura que logra alcanzar 3 s después de ser lanzada.

a) 45 m

b) 80

d) 30

e) 75

c) 5

95

a) 120 m

b) 130

d) 150

e) 250

c) 300

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9. En la figura se muestra la trayectoria

10. En un movimiento parabólico se sabe que el

parabólica de un proyectil. Determine la

tiempo de vuelo fue de 6 s. ¿Cuál fue la altura

altura máxima que alcanza la esfera.

máxima del movimiento?

V

a) 45 m

1s

b) 36 Hmáx

c) 80 d) 40 e) 30

 4a

a

11. En la figura hallar “H” + “R”. V = 180 km/h

a) 45 m

b) 80

d) 10

e) 75

c) 30

12. Del gráfico determinar : • Altura máxima

a)

240 m

b) 80 c)

400

d) 150 e) 320

• Tiempo de vuelo V

V = 100m/s

H 53º R

30º

96

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13. En la figura hallar “h + x”, si llega a “B” luego

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14. Una pelota es lanzada desde “A” con una

de 7 s.

velocidad V = 50 m/s, llegando a “B” luego de 10 s. ¿Cuál es el valor de “h”?

a)

210 m

b) 280 c)

V

B a)

V = 50m/s

315

h

53º

d) 245

A

30º

b) 250 c)

x

e) 300

125 m 300

H

d) 500 e) 200

B

15. En la figura, hallar “H” a)

100 m

b) 135 c)

150

d) 200

37º

50m/s

H

e) 225 120m

97

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PRACTICA Nº 12 1. En sus vacaciones de verano el profesor Javier practica

“snowboard”

en

el

nevado

2. Se lanza horizontalmente un proyectil con una

del

velocidad de 30 m/s, tal como se muestra.

Huascarán. Si inicia el movimiento con una

Hallar “H”.

velocidad de 30 m/s. ¿A qué distancia del pie del nevado caerá?

30m/s

a) 300 m b) 200

30m/s

a) 120 m

c) 125

b) 90

d) 80

c) 60

H

e) 30

80m

d) 150

150m

e) 200

B

3. Desde la azotea de un edificio de 125 m de

4. Del gráfico hallar “H” si cuando llega al piso, la

altura, se lanza horizontalmente un proyectil

componente horizontal de la velocidad es

con una velocidad de 10 m/s. Hallar el alcance

30 m/s.

horizontal. a)

80 m

b) 45 c) 36 a) 40 m

b) 50

d) 100

e) 150

c) 60

H

d) 125 e) 200

5. Una partícula es lanzada desde una azotea con

120m

6. Un proyectil permanece 8 s en el aire, hallar :

una rapidez de 15 m/s. Hallar “x”.

• Velocidad en el punto más alto • Altura máxima

V = 15m/s

a) 60 m b) 80 c) 45

45m

d) 68 e) 75

80m x

98

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7. Un avión vuela horizontalmente a la velocidad de 90 m/s dejando caer un proyectil desde una altura de 720 m. Si el blanco se encuentra a 1 km del pie de lanzamiento, entonces el proyectil caerá a :

H = 720m

1km

a) 30 m antes del blanco b) En el blanco c) 80 m antes del blanco d) 80 m después del blanco e) 30 m después del blanco 8. ¿Cuánto tiempo tarda el proyectil en impactar

9. Del ejercicio anterior, halle “H”.

sobre el cerro? a) 1 s b) 2 c) 3

50m/s

d) 4

37º

e) 6

H

160m

a) 10 m

b) 20

d) 40

e) 50

c) 30

10. En una competencia dos jugadores desean

11. ¿Qué tiempo emplea el proyectil en hacer

comprobar quien dispara más lejos la pelota.

impacto en B, si V0 = 20 2 m/s y R = 10 m?

Ambos lanzan la pelota con la misma velocidad

(g = 10 m/s2)

de 50 m/s y con ángulos de elevación de 37º y 53º. ¿Quién logra mayor alcance?

a) 1 s b) 1,5 c) 2

a) El primero

d) 2,5

b) El segundo

e) 0,5

c) Ambos llegan iguales

99

B V0

R

45º 2R

R

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12. Hallar “x”, si V0 = 40 m/s

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13. Una piedra es lanzada con una inclinación de 60º con la horizontal y una velocidad inicial de 40 3 m/s. ¿Al cabo de qué tiempo se encontrará

V0

a) 20 m

nuevamente en el suelo?

b) 10 c) 50

H = 320m

d) 30 e) 60 14. Del

ejercicio

x

300m

anterior

halle

el

alcance

a) 10 s

b) 12

d) 8

e) 16

c) 6

15. Calcular la velocidad horizontal con que debe

horizontal.

lanzarse el cuerpo desde una altura de 125 m para

que

impacte

según

la

trayectoria

2

mostrada. (g = 10 m/s )

V

a) 10 m/s b) 40 c) 50 a) 200 3

b) 300

d) 120

e) 240 3

125m

d) 60

c) 150

e) 70

100

300m

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MOVIMIENTO CIRCULAR

Es aquel movimiento que describen los cuerpos teniendo como trayectoria a la circunferencia. Así tenemos por ejemplo: El movimiento de las agujas del reloj, la hélice de un helicóptero, así como la trayectoria que describe un balde atado a una cuerda.

¿SABÍAS QUÉ…?

Para comprender mejor este tipo de movimiento veamos lo siguientes : CONCEPTOS PREVIOS

Las nociones más importantes del movimiento circular y de rotación se deben al físico, geometra y astrónomo Christian Huygens (1629 - 1695). Construyó un reloj cuyas manecillas recorrían una distancia fija en cada oscilación del péndulo

➢ Período (T).____________________________________________ ___________________________________________

T=

Tiempo empleado Nº de vueltas

(s)

101

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➢ Frecuencia (f).- Es el número de vueltas o revoluciones efectuadas en un determinado tiempo. Es la inversa del período.

f=

Nº de vueltas Tiempo

Unidad

Obs. :

f=

Hertz (Hz)

➢ Longitud de Arco (S).- Es una porción de la circunferencia. S=

metros

Donde :

R 

 : _______________________________

S

R : _______________________________

R

➢ Velocidad Lineal (V).-Expresa la rapidez con que recorre una posición de la circunferencia.

V=

OTRAS UNIDADES DE LA FRECUENCIA

m s

➢ Velocidad Angular (ω).______________________________ ______________________________

ω=

R.P.S. : Revolución por segundo 1 R.P.S. =

rad s

R.P.M. : Revolución por minuto

 : ________________________

1 R.P.M. =

t : ________________________

102

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¡OBSERVACIÓN!

Electromecánica

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Para una vuelta completa o revolución

 = _______ rad

Relación entre V y ω

t = _______

V=ωR R : radio

 ω=

= 2 . ________

Luego ω =

¡PIENSA! Traslación y Rotación

Donde f : frecuencia

La Tierra esta en rotación alrededor de su eje y en traslación respecto al Sol. ¿La Tierra describe trayectoria circular alrededor del Sol?

MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME

(M.C.U.)

Es aquel movimiento, en la cual su trayectoria es una circunferencia y el valor de su velocidad (rapidez) permanece constante.



W

W

Nº de vueltas Nº vueltas =



  V

V

103

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Características •

Barre ángulos iguales en tiempo iguales.

•

Recorre longitudes de arcos iguales en tiempos iguales.

¡IMPORTANTE! Para determinar el sentido de la velocidad angular, usamos la “Regla de la mano derecha”, siendo el pulgar aquel que nos indique dicho sentido.

 EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1. Un rueda gira uniformemente y realiza 20 revoluciones en 30 s. Determine su período de

2. Un disco logra dar 50 vueltas en 60 segundos. Determine el período del disco.

rotación.

a) 3 s

b) 2

d) 1,5

e) 1

c) 4

104

a) 1 s

b) 1,2

d) 3,6

e) 1,8

c) 2,4

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3. Hallar la frecuencia (en rev/s) de un disco que

FIS -100

4. Una rueda logra dar 60 revoluciones en 24 s.

efectúa uniformemente 10 revoluciones en 2

Halle su frecuencia (en rev/s).

s.

a) 1/5

b) 5

d) 8

c) 2

a) 1

b) 2

e) 12

d) 4

e) 3

5. En un reloj de manecillas. ¿Cuántos será la

6. ¿Cuánto

será

la

velocidad angular del segundero?

minutero (en rad/s)?

a) /60

b) /45

a) /800

d) /90

e) /15

c) /30

c) 2,5

velocidad

b) /1200

d) /1800

7. Un disco efectúa 2 revoluciones cada 6 s.

angular

del

c) /7200

e) /2400

8. Una rueda de bicicleta efectúa 30 vueltas en

¿Cuánto será la velocidad angular en rad/s?

5 segundos. ¿Cuánto será su velocidad angular?

a) 2/5

b) /3

d) /4

e) 4/3

c) 2/3

a) 6 rad/s

b) 18

c) 14

d) 12

e) 24

9. La hélice de un ventilador gira con movimiento de rotación uniforme tal que un punto de los extremos tiene una velocidad de 31,4 m/s. Si el radio de giro de estos puntos es 50 cm. ¿Cuál es el período de rotación de la hélice?

a) 0,5 s

b) 0,15

c) 0,25

d) 0,3 105

e) 0,1 Lic. Juan Calle Mamani

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Electromecánica

10. De la figura, determine el período

FIS -100

11. Determine la frecuencia

a) 12s

a) 1/10 Hz

b) 24

b) 1/30

c) 36 d) 48

10s

d) 1/15 2s

e) 6

120º

c) 1/6

30º

e) 1/12

12. Del ejercicio anterior, determine su período

a) 10 s

b) 20

c) 25

d) 30

13. En la figura, hallar la velocidad angular

e) 60

14. Del

ejercicio

anterior,

determine

su

velocidad lineal. a) /3 rad/s b) /4 c) /6

60º

d) 2/3 e) 3/2

2s

a) /3 m/s

b) /4

c) /6

d) 2/3

e) 3/2

15. ¿Qué ángulo barrerá un balde atado a una cuerda de 2 m que realiza MCU, si posee una velocidad angular de /4 rad/s en 16 s. Además determine? •

Nº de vueltas realizadas en dicho tiempo

•

Velocidad lineal

•

Frecuencia

•

Período

106

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Electromecánica

FIS -100

PRACTICA Nº 13 1. Un disco logra realizar 25 vueltas en 5 segundos. Determine el período de rotación y su frecuencia. a) 5 y 3 d) 10 y 1/10

b) 1/10 y 10 e) 1/5 y 5

c) 5 y 1/5

a) 1/5 y 5 d) 3 y 12

3. Si la frecuencia de una rueda que realiza MCU es de 6 Hz. Determine la velocidad angular

a) 10 rad/s d) 6

b) 12 e) 3

c) 24

b) 1/2 e) 1/12

c) 1/4

a) 12 s d) 34

b) 36 e) 24

c) 18

a) 18 d) 48

b) 36 e) 6

/3 y 18 /6 y 12 /3 y 12 /6 y 18 /9 y 18

c) 24

3s

b) 6 e) 3

c) 5

8. Si un cuerpo realiza MCU con 6 Hz. Determine el ángulo barrido en 3 s.

b) 36 e) 12

c) 24 

10. Un cuerpo que gira a rapidez constante y circular posee una velocidad de 3 m/s. ¿Cuál será su velocidad angular, si el radio de la circunferencia es  m? a) 2 rad/s d) 3

107

R 60º

6. Un cuerpo que realiza MCU barre 24º en 8/5 segundos. Si el radio es 24/ m. Halle la velocidad lineal.

a) 18 d) 48

9. Del ejercicio anterior, halle el número de vueltas.

c) 1/25 y 25

3 m) 

angular y período. (R =

a) 1 m/s d) 2

7. Del ejercicio anterior, halle su período de rotación.

b) 1/10 y 10 e) 4 y 1/4

4. En el gráfico mostrado, halle la velocidad

a) b) c) d) e)

5. Del ejercicio anterior, halle su velocidad lineal.

a) 1/6 d) 1/3

2. Una rueda da 50 vueltas en 5 segundos. Determine su período de rotación y frecuencia

b) 1

c) 6

e) 5

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Electromecánica

11. En la figura hallar “” si el período de rotación

12. Del ejercicio velocidad lineal.

36 es 36 s. (R = m) 

a) b) c) d) e)

10º 15º 20º 25º 40º

anterior,

determine

su

4s 

R

a) 10 m/s d) 2

13. Hallar el ángulo barrido por un cuerpo que realiza MCU, con 3/ de radio en 2 s con 2 Hz. a) 8 rad d) 12

FIS -100

b) 3 e) 24

b) 15 e) 4

c) 12

14. Del ejercicio anterior, ¿cuántas vueltas dará en dicho intervalo de tiempo?

c) 2

a) 1 vuelta d) 4

b) 2

c) 3

e) 5

15. Un cuerpo atado a una cuerda de 7 m de longitud se desplaza con 88 m/s. ¿Cuál es la frecuencia? ( = 22/7) a) 2 Hz

b) 3

c) 4

d) 5

108

e) 7

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Electromecánica

FIS -100

CRISTIAN HUYGENS (1 6929 – 1 695) Notable físico y astrónomo holandés. Sus trabajos más importantes los realizó en el campo de la óptica, sin embargo, dentro de la mecánica elaboró importantes equipos para medir distancias y tiempos. Construyó un micrómetro que permitía leer el giro del disco de un instrumento, de unos segundos de arco. Diseño y construyó los primeros relojes de precisión. Antes de él, el reloj más preciso que se había construido era el de agua del griego Ctesibus. En la Edad Media se inventó el reloj mecánico que tenía una sola manecilla que daba las horas con poca precisión. En sus últimos años, Galileo trató de construir un reloj que empleara un péndulo para controlar su movimiento. El diseño y la construcción del primer reloj de precisión la realizó Huygens (1 656), empleando como elemento regulador un péndulo cuyas leyes descubrió Galileo. A principios del siglo XVI, Pedro Heinlein construyó los primeros relojes mecánicos de bolsillo, que se llamaba los huevos de Nuremberg por su forma y por el lugar donde se fabricaban. Los relojes eran poco exactos. En 1 665, Huygens construyó el primer reloj de bolsillo de precisión, al introducir el volante controlado por un resorte en espiral, que oscila con leyes similares a las del péndulo. El poder medir el tiempo con precisión tuvo un papel muy importante en el futuro desarrollo de la física. En 1 673 publicó su libro sobre relojes, De horologium oscillatorium en el que explica cómo pueden construirse cronómetros de precisión empleando el péndulo de Galileo, pero lo que es más importante es que descubrió la forma de la fuerza centrífuga (o la tensión del hilo del péndulo) del movimiento circular, siendo proporcional al radio e inversamente proporcional al cuadrado del periodo. Combinando esta ley con la tercera ley de Kepler, que nos dice que el cuadrado del periodo de un planeta es proporcional al cubo de su distancia al sol, se obtiene que la fuerza centrípeta que obra sobre los planetas debe variar inversamente con el cuadrado de la distancia, como se lo hizo ver Hooke a Newton en una carta y que pudo haber sido el punto de partida de la ley de la gravitación formulada por Newton. ¿Sabías que …? Newton prevee con su modelo gravitatorio la posibilidad teórica de cómo crear un satélite, e interpretó por ello a la Luna como un proyectil terrestre, proponiendo la existencia de la Fuerza Centrípeta, aplicación de su Tercera Ley a la Fuerza Centrífuga de Huygens. Por ello despertó críticas en autores como Hookes, quien le reclama el derecho de prioridad de la Fuerza Centrípeta. 109

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Electromecánica

¿MOVIÉNDOSE A VELOCIDAD CONSTANTE?

FIS -100

D

Lima – 2 003; nos disponemos a salir de paseo en nuestro nuevo y lujoso auto: Max-5. Para suerte

C

10 m/s

10 m/s

nuestra, las calles están despejadas, por lo que el chofer pone el “automático”. Viajamos tranquilos a lo

10 m/s

largo de la carretera “Panamericana - Sur”. El viaje se hizo interesante, pues Pepe y Lucho pusieron a

10 m/s

prueba sus conocimientos de física acerca de la velocidad del auto en la entrada a la curva: “La

B

Movida”. Pepe afirmaba que durante la trayectoria ABCD, la

10 m/s

10 m/s

velocidad del auto fue constante, a lo que Lucho

A

corrigió afirmando que el auto está cambiando de velocidad a lo largo de la curva. ¿Quién de ellos tenía razón?

ACELERACIÓN CENTRÍPETA aC

¡Recuerda…!

Todo cuerpo que describe Movimiento Circular,

La Velocidad y la aceleración

experimenta cambios en la velocidad. En el MCU,

son cantidades vectoriales.

estos cambios sólo se dan en la dirección, más no en

Para que un vector permanezca constante, sus elementos

su módulo (rapidez constante). Recordemos que

(Módulo, Dirección y Sentido)

“Cambio de Velocidad” implica “Aceleración”. Esta

deben permanecer constantes.

aceleración va dirigida hacia el centro de la circunferencia,

es

decir,

colineal

al

radio

y

perpendicular a la Velocidad Lineal “V”. 110

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Electromecánica

FIS -100

V Unidad:

aC R

V

aC

R W R

aC

V

= _______ =

R

Recuerda:

aC

V = ωR

V

SISTEMAS DE TRANSMISIÓN DE MOVIMIENTO ➢ Ruedas Unidas Tangencialmente Poseen la misma rapidez tangencial. “V” V2 W1

R2

R1

W2

W1

R1

R2 V

V1

W2

V2

V1

Se cumple: V1 = V2

W1 R1

=

111

W2 R2

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Electromecánica

FIS -100

➢ Ruedas Unidas Concéntricamente Poseen la misma velocidad angular. W = Constante V2

V2 V1 R2 V1

W R1

R1

R2

W1 = W2

V1R1 = V2R2 EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1. Halle la diferencia entre las velocidades tangenciales de los puntos A y B que se encuentran girando sobre un disco cuya velocidad angular es 12 rad/s. a) 24 m/s

2. Halle la diferencia entre las velocidades tangenciales de los puntos “A” y “B” que se encuentran girando sobre un disco cuya velocidad angular es 7 rad/s. a) 3 m/s

b) 48

3m

c) 36

1m

A

b) 21

B

c) 28

d) 60

d) 49

e) 12

e) 35

112

7m

4m

A

B

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Electromecánica

3. Si la velocidad tangencial del disco “A” es 4 m/s. Hallar la velocidad angular del disco “B”.

FIS -100

4. Si la velocidad angular del disco “A” es 18 rad/s. Hallar la velocidad angular del disco “B.” B

a) 35 rad/s a) 10 m/s b) 12

c) 27

1m “A” “B”

c) 6

A

b) 12

3m

d) 18

d) 14

2r 3r

e) 36

e) 8

5. Si la velocidad angular del disco “A” es 24 rad/s, halle la velocidad angular del disco “B”. a) 36 rad/s b) 12 c) 48 d) 8

B

6r

6. Si la velocidad angular de “A” es 10 rad/s. Halle la velocidad tangencial de “B”. a) 24 m/s

A

12m

b) 12 c) 16

3r3r

C B

A 4m

3m

d) 10

e) 9

e) 18

113

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7. Si la velocidad angular de “C” es 20 rad/s. Halle la velocidad tangencial de A. a) 18 m/s b) 36

8. Calcular la velocidad angular del disco A, si B gira a razón de 6 rad/s.

12m

C

3m

c) 24

2m A

a) 10 rad/s A b) 12

B

d) 18

e) 10

e) 15

C

RA = 2r; RB = 8r; RC = 3r

a) 3 rad/s A

a) 36 m/s

c) 8/3 d) 4 e) 2

B

10. Calcular la velocidad de los puntos periféricos del disco “A”. Además: VC = 48 m/s

9. Determine Wc, si A gira a razón de 2 rad/s.

b) 5

5r

2r

c) 20

d) 12

(RA = r, RB = 4r, RC = 2r)

FIS -100

b) 24

C

B

A

c) 18

B

d) 30 e) 12

114

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Electromecánica

11. ¿Con qué velocidad angular debe girar la rueda C para que el bloque descienda a una velocidad de 8 m/s? RA = 20 cm; RB = 40 cm; RC = 10 cm

b) 20

12. En la figura si A gira a razón de 24 rad/s, cuánto será la velocidad angular de “C”. a) 6 rad/s b) 12

B

a) 10 rad/s

c) 36

A

C

FIS -100

A

d) 48

c) 30

C r

B 2r

4r

e) 96

d) 40 e) 50

13. En la figura hallar la aceleración centrípeta, si el cuerpo describe MCU. a) 24 m/s2 b) 30 c) 100

R=5m

V = 10

m s

14. Determinar la aceleración centrípeta de una partícula que describe un MCU con una rapidez de 4 m/s y velocidad angular de 5 rad/s. a) 10 m/s2 d) 80 e) 20

b) 40

c) 30

d) 500 e) 20

115

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PRACTICA Nº 14 1. Hallar la velocidad angular de la rueda “2”, si la rueda “1” gira con 12 rad/s. a) 12 rad/s b) 24 c) 36

2. En la figura, la rueda mayor gira a razón de 3 rad/s. Calcular la velocidad angular de la rueda menor.

(1)

(2) r

a) 1 rad/s 3R

b) 2

4r

c) 3

d) 48

R

d) 6

e) 3

e) 9 3. El disco gira con MCU. Calcular “R” si las velocidades de C y E son 20 m/s y 10 m/s ( OE = 8 cm )

4. Si la rapidez del punto A es 4 m/s. Determine la rapidez del punto B.

C

a) 14 cm

R

b) 7

a) 2 m/s 8 cm

c) 8

E

O

c) 15

2r

b) 6

d) 16

d) 8

e) 24

3r

A

B

4r

e) 16 5. Si el disco A gira a razón de 12 rad/s, calcule la velocidad de los puntos periféricos de “C”. RA = 2 m; RB = 3 m; RC = 4m

6. Si “A” gira a razón de 20 rad/s. Hallar la velocidad con la cual asciende el bloque. (r = 5 m) 4r

W

a) 12 m/s

a) 50 m/s

A

b) 4 c) 3

b) 150 B

d) 36

d) 200 e) 80

7. n la figura calcular la velocidad angular de “C”, si B gira a razón de 10 rad/s; RA = 20 cm; RB = 12 cm; RC = 5 cm.

b) 24 c) 36

r

2r

c) 60

C

e) 24

a) 12 rad/s

A

A

B

8. Si la polea gira a razón de 20 rad/s. ¿Qué tiempo emplean los bloques desde las posiciones indicadas hasta que se cruzan? (r = 0,2 m) r

a) 1 s

C

b) 0,2

d) 18

c) 2

e) 30

d) 0,3 e) 0,1

116

3r

1,6 m

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9. Si el disco gira a razón de 2 m/s. ¿Luego de qué tiempo el bloque descenderá 20 m? (r = 4 m) a) 5 s

10. El disco realiza MCU. Hallar la velocidad lineal de “B”, si A gira a razón de 20 m/s. a) 12 m/s

r

b) 8 s

c) 18

d) 10 s

A

4 cm

b) 14 3r

c) 2,5 s

5 cm

d) 20

e) 4 s

e) 16

20 m

11. Si “A” gira a razón de 24 rad/s. ¿Con qué velocidad tangencial gira C? RA = 2m; RB = 6m; RC = 1 m. a) 6 m/s b) 8

FIS -100

12. Si el bloque “1” baja a razón de 8 m/s. ¿Con qué velocidad sube el bloque 2? RA = 10 cm; RB = 20 cm a) 10 m/s

C

A

b) 12

B

c) 12

B

A

c) 14

d) 36

d) 16

e) 24

e) 8

2 1

13. Hallar la aceleración centrípeta de un disco que realiza MCU a razón de 10 rad/s y 2 m/s.

a) 10 m/s2 d) 40

b) 20

14. Si un disco gira a razón de 20 rad/s y 4 m/s. Halle el valor de su aceleración centrípeta.

a) 10 m/s2 d) 40

c) 30

e) 80

b) 20 e) 80

c) 30

15. En la figura, halle la aceleración centrípeta del disco A, si B, gira a razón de 4 rad/s. a) 2 rad/s b) 8 c) 16 d) 32 e) 80

B 2m A

5m

117

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LEYES DE NEWTON En 1 687, Isaac Newton publicó en su “Principia” las tres leyes del movimiento: Primera ley (LEY DE LA INERCIA): Todo cuerpo que se halla en reposo o en movimiento, continúa en su estado de reposo o movimiento rectilíneo y uniforme si sobre él no actúa ninguna fuerza o actúan varias fuerzas que se anulan entre sí. Esta propiedad fue definida por Kepler (1 751 – 1 630) como inercia por ello también se le llama Principio de Inercia. Actividades: ✓ Fíjate que cuando un colectivo arranca bruscamente, los pasajeros se desplazan hacia atrás como si quisieran quedarse en el reposo en el que se encontraban. ✓ Al arrancar un ascensor, los pasajeros sienten una sensación particular, pues sus cuerpos se resisten a ponerse en movimiento. ✓ En los caminos, cuando un vehículo toma una curva, los pasajeros se inclinan hacia el exterior de la curva, como si quisieran seguir en línea recta. En la figura, si se rompe la cuerda, ¿qué trayectoria seguiría el balde?. Discútelo con tu profesor: __________________________________________ A

__________________________________________ P

__________________________________________ __________________________________________ __________________________________________ __________________________________________ __________________________________________

118

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Segunda ley (LEY DE LA FUERZA): Es el Principio Fundamental de la Dinámica cuyo enunciado viene expresado de la siguiente forma: “El cambio de movimiento es directamente proporcional a la fuerza motriz impresa y ocurre según la línea recta a lo largo de la cual aquella fuerza se imprime”. Esto significa que la aceleración que un cuerpo determinado experimenta es proporcional a la fuerza que sobre él se imprime, que puede o no ser constante. La esencia de lo propuesto por esta segunda ley tiene que ver con la comprensión de que la fuerza es la causa del cambio de movimiento y velocidad.

Fórmula de la Segunda Ley de Newton

Por la fórmula de la Segunda Ley de Newton se puede calcular fuerza, masa o aceleración. La fórmula fundamental de este principio newtoniano es: F = m.a Donde: F : es la fuerza. m: es la masa del cuerpo. a: es la aceleración. 119

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De allí que pueda calcularse la aceleración de un objeto aplicando la fórmula a = ƩF/m, con la salvedad de que ƩF es la fuerza neta aplicada sobre el cuerpo. Esto significa que si la fuerza ejercida sobre un objeto se duplica, también lo hará su aceleración; mientras que si la masa del objeto se duplica, su aceleración pasará a ser la mitad. Actividades: ✓ Tomamos pelotas de distinta masa, que en esta ocasión serán dejadas caer en línea recta (caída libre) de manera tal que sobre ellas actúe únicamente la gravedad. Dado que esta última es una fuerza constante, la diferencia de masa es el único criterio para que unas alcancen una mayor aceleración, y por lo tanto tocarán primero el suelo. ✓ Un ejemplo simple de la aplicación de esta Segunda Ley de Newton ocurre cuando empujamos un objeto pesado. Estando el objeto en quietud, o sea, con aceleración igual a cero, podemos poner en movimiento el objeto ejerciendo sobre él una fuerza que venza la inercia y que le imprima una aceleración determinada. Si el objeto es sumamente pesado o masivo, es decir que posee una gran masa, deberemos ejercer mayor fuerza para aumentar su movimiento. (Para mover objetos de mayor masa, se requiere de una fuerza mayor). ✓ Otro ejemplo posible es un automóvil que acelera su marcha, gracias a la fuerza que el motor le imprime. A mayor fuerza ejercida por el trabajo del motor, mayor velocidad alcanzará el auto, es decir, mayor aceleración. Un automóvil más masivo, por ejemplo un camión, necesitará más fuerza para alcanzar una misma aceleración que otro más liviano. Entonces: Cuando realizamos un esfuerzo muscular para empujar o tirar de un objeto, le estamos comunicando una Fuerza, entonces: Fuerza: ________________________________________________________ ______________________________________________________________ Unidad: Según el Sistema Internacional (S.I.), la unidad de la Fuerza es el Newton (N).

120

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Principales Fuerzas 

Peso (W): Es una fuerza de tipo gravitacional, con la que la Tierra atrae a todo cuerpo cercano a ella.

W = mg

C.G.: Centro de Gravedad

Unidades:

m

g

W

kg

m/s2

N

m: masa g: Aceleración de la gravedad Ejemplo: Si un cuerpo posee una masa de 20 kg, entonces su peso será: (g = 10 m/s 2). W = mg = 20(10) = 200 N. “Para Cuerpos Homogéneos”

C.G L

R

C.G.

C.G.

L

W

W

Para barras homogéneas el Centro de Gravedad se ubica en el punto medio.

W

Para placas rectangulares el C.G., se determina como la intersección de sus diagonales.

121

Discos o Esferas.

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

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Normal (N): Es la fuerza de contacto que se da entre el cuerpo y la superficie de apoyo. Se dibuja perpendicularmente a dicha superficie.

F N



N

N

Tensión (T): Es aquella fuerza interna que aparece en los cables o cuerdas cuando son estirados. Se dibuja a lo largo de dichos cuerpos.

T

T

T

Tercera Ley (LEY DE LA ACCION Y REACCION): Cuando un cuerpo ejerce una fuerza a otro (acción), éste ejerce sobre el primero una fuerza igual y de sentido contrario (reacción). Este es el principio de acción y reacción. Actividades: ✓ Infla un globo con aire y suéltalo. El aire se escapa en un sentido y el globo en el sentido contrario. ✓ Si saltamos sobre un trampolín, éste nos despide con sentido contrario al de nuestro salto. ✓ Si parados en un bote hacemos fuerza con un remo sobre la orilla, el bote se aleja de la orilla, como si lo empujan desde ella.

122

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¿Sabías que…? A Newton, se le atribuye uno de los proyectos más antiguos de automóvil a vapor. Este automóvil debía constar de una caldera, montada sobre ruedas, de la que el vapor salía de una tobera posterior, mientras que la propia caldera, debido a la fuerza de retroceso, avanzaba sobre las ruedas en sentido contrario, tal como muestra la figura.

Automóvil de Vapor que se atribuye a Newton.

Reacciones sobre objetos debido a algunas conexiones y/o apoyos:

123

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Diagrama de Cuerpo Libre – I (D.C.L.) Consiste en aislar un cuerpo o parte de él y graficar las fuerzas que actúan sobre él. Ejemplo:

D.C.L.

Realiza el D.C.L. para el cuerpo. T

W

EJERCICIOS DE APLICACIÓN En cada caso realiza el D.C.L. para los cuerpos. 1. Barra homogénea.

2. Barra homogénea, M punto medio.

M

124

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4. Escalera homogénea.

Liso

Liso

Rugoso

5. D.C.L. para la barra homogénea.

Rugoso

6. Cuerpo homogéneo.

C.G.

125

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8. Realiza el D.C.L. para los cuerpos A y B.

C B A

9.

10. En la figura realiza el D.C.L. para “A”.

A B

126

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11. En el sistema mecánico, que se encuentra en equilibrio, traza el D.C.L. del bloque “A”.

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12. Realiza el D.C.L. para “A” y “B”.

A A 6m

B 6m

13. Realiza el D.C.L. para “P” y “Q”.

P

14. En la figura realiza el D.C.L. de los bloques “P” y “Q”

Q F

P Q

127

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PRACTICA Nº 15 Realiza el D.C.L. de los siguientes cuerpos: 1.

2. A

B

C A B

3. Si la barra es homogénea.

4. F1

A

B

F2

A 3m 5.

7m 6.

B

A

C

B A

8. Esfera homogénea.

7. A B

128

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9.

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10. Barra homogénea. Liso

11. Barra homogénea.

12. Barra homogénea.

13.

14. F



15.

16.

B A

129

F

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ESTÁTICA ISAAC NEWTON (1647 - 1727) Nacido en una granja que pertenecía a su padre, la intención era que el joven Isaac se hiciera cargo de la misma. Fue enviado a la escuela en Grantham en donde su rápido aprendizaje llamo la atención. En 1656 regreso a casa para aprender el negocio de la granja, pero en realidad pasaba la mayor parte de su tiempo resolviendo problemas, haciendo experimentos o desarrollando modelos mecánicos. Al notar esto, sus abuelos decidieron que en realidad el joven debía dedicarse a actividades más apegadas con sus inquietudes y un tío que había estudiado en el Trinity College en Cambridge sugirió que el muchacho fuese enviado a estudiar a ese colegio. Ingresa a la Universidad de Cambridge el 5 de Junio de 1661 y es becado por el Trinity College en 1667. Recibe el distinguido nombramiento de “Profesor Lucasian de Matemáticas” en 1669. Hay que mencionar que desde 1664 hasta 1980, únicamente 17 distinguidos científicos han sido distinguidos con tan prestigiado reconocimiento de la Universidad de Cambridge. Permanece en esta universidad hasta 1696 y es durante estos años en Cambridge en los cuales Newton que estaba en el nivel máximo de su creatividad intelectual, desarrolla sus principales estudios y teorías, que han hecho que sea considerado por más de 300 años, como el fundador de la ciencia física moderna. Sus logros dentro de la investigación experimental, fueron tan innovadores como aquellos dentro de sus estudios matemáticos. Con igual si no es que mas energía y originalidad, también incursiono en la química, en historia de la civilización occidental y en estudios de teología. MECANICA Y GRAVEDAD - De acuerdo a la famosísima anécdota, fue viendo caer una manzana en su orquídea en algún momento entre los años 1665 y 1666, cuando Newton pensó que la misma fuerza gobernaba el movimiento de la luna como al de la manzana. El calculo la fuerza necesaria para mantener a la luna en su orbita, comparándola con la fuerza que atrae un objeto hacia el suelo. Debido a su intercambio de ideas con Robert Hooke entre 1679 y 1680, Newton puso su atención en el problema de la trayectoria de un cuerpo sujeto a una fuerza centralizada que varia inversamente al cuadrado de la distancia y determino que esta trayectoria era la de una elipse y así lo informo a Edmond Halley en Agosto de 1684. Viendo el inmenso interés de Halley en sus estudios, Newton decidió publicarlos, primero en breves tratados de mecánica y mas adelante escribiendo su obra “Principia” El libro I de “Principia” estableció las bases del estudio de la mecánica, desarrollando entre otros los modelos matemáticos de movimientos en orbita con origen en una fuerza central. Newton 130

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identifico la gravedad como una fuerza fundamental para el control del movimiento de los cuerpos celestes, si bien nunca encontró su causa. El libro II, desarrolla la teoría de los fluidos; Newton resuelve problemas de fluidos en movimiento y de movimiento a través de los fluidos. Partiendo de la densidad del aire, el calculo la velocidad de las ondas sonoras. El libro III de “Principia”, muestra como la ley de la gravedad trabaja en el universo. Newton demuestra esta ley mediante las revoluciones de los seis planetas hasta entonces conocidos, incluyendo la Tierra, y sus satélites. Los trabajos de Newton en “Mecánica”, fueron aceptados de inmediato en la Gran Bretaña y universalmente después de medio siglo. Desde entonces, están catalogados como uno de los mas grandes logros del pensamiento abstracto.

EQUILIBRIO MECÁNICO Un cuerpo se encuentra en equilibrio cuando dicho cuerpo no acelera, es decir : a = Cero Tipos de Equilibrio - Equilibrio Estático

- Equilibrio Cinético

V=0 y a=0

V : constante

Primera Condición de Equilibrio Para que un cuerpo NO Acelere, se cumple:

FR = Cero

FR : fuerza resultantes 131

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También :  F (→) =  F ()  F() =  F 

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¿Qué ocurre si se lanza un objeto en el universo vacío? Cuando se lanza un objeto con una cierta velocidad, éste se mueve en la dirección en que se ha lanzado y mantendrá su velocidad indefinidamente. La velocidad no cambiará, a menos que actúe una fuerza sobre él.

EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1. Si el bloque se encuentra en reposo, hallar

2. Hallar la fuerza necesaria para el equilibrio

“F”.

del cuerpo. F

30N

a) 35 N

b) 6

d) 10

e) 15

F

20N

5N

5N

c) 25

3. Hallar la tensión en la cuerda que sostiene al

a) 15 N

b) 25

d) 8

e) 6

c) 10

4. Hallar “F” para que el cuerpo de 3 kg suba a

bloque de 6 kg.

velocidad constante.

a) 6 N

a) 10 N

b) 60

b) 20

c) 12

c) 15

d) 120

d) 60

e) 9

e) 30

132

V : cte.

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5. Determinar “F” para mantener en equilibrio cinético al cuerpo de 5 kg. 30N 37º F

a) 29 N

b) 68

c) 42

d) 6

e) 24

6. Determinar “F” para el equilibrio estático del cuerpo de 5 kg. 50N

53º F

a) 30 N

b) 80

c) 40

d) 90

e) 50

7. Hallar “F + T” si el cuerpo de 6 kg se encuentra en equilibrio. a) 60 N

T

b) 50 c) 10 d) 80

10N

F

e) 70

133

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8. Si “N” es la reacción normal. Hallar “F + N” para que el cuerpo se desplace a velocidad constante. (m = 1 kg) 50N

F

a) 40 N

37º m

b) 10

c) 80

d) 60

e) 50

9. Hallar la fuerza necesaria para mantener en equilibrio al cuerpo de 5 kg. a) 50 N b) 40 c) 5 d) 30 e) 12

10. Si la persona ejerce una fuerza de 30 N. Halle la masa del cuerpo que se encuentra en reposo. a) 1 kg b) 30 c) 15 d) 3 e) 10

134

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11. Si el bloque es de 5 kg. Halle la tensión en la cuerda “A”. a) 10 N b) 20 c) 25

A

d) 30 e) 50

12. Si el bloque de 6 kg se encuentra en reposo. Halle la tensión en “A”. a) 15 N b) 35 c) 10 d) 20 e) 30

A

13. Si el bloque de 20 kg se encuentra en equilibrio. Hallar la tensión en la cuerda “A”. a)

50 N

b)

100

c)

200

d)

20

e)

10

A

135

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PRACTICA Nº 16 1. Si el móvil se encuentra en reposo. Halle “T”.

2. Si el cuerpo no se mueve. Halle “T”. T

F = 30N

T

a) 10 N

b) 30

d) 20

e) 6

30N

6N

c) 3

3. Hallar “w” para el equilibrio del cuerpo

a) 36 N

b) 24

d) 30

e) 6

c)

5

4. Hallar “w” para el equilibrio del cuerpo.

(w : peso) a) 3 N b) 10

a) 80 N

W

c) 20

W

b) 30 N = 30N

d) 100

30N

c) 50

e) 30

d) 110

N = 80N

e) 90 5. Hallar “F” para que el cuerpo baje a velocidad

6. Determinar “F” para que el cuerpo se

constante. (m = 3 kg) a) 30 N

encuentre en reposo. a) 45 N

F

b) 3

40

N

b) 20

c) 6

c) 30

d) 35

d) 40

e) 60

e) 10

7. Del ejercicio anterior, si la masa del cuerpo

45º

F

8. Siendo “N” la reacción normal. Halle “F + N”

es 3 kg. Hallar la reacción normal.

para que el cuerpo de 6 kg se encuentre moviéndose a velocidad constante. a) 30 N

50N

b) 40 c) 10 a) 30 N

b) 40

d) 10

e) 50

c) 70

d) 70

F

37º

e) 60

136

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9. Hallar “F” para el equilibrio del cuerpo.

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10. Del ejercicio anterior, si el bloque posee 4 kg. Determine la reacción normal.

a) 40 N

40

N

b) 30 c) 70 d) 10

53º

45º

F

e) 20

11. ¿Cuál será el valor de “F”, si el sistema se

a) 40 N

b) 80

d) Cero

e) 30

c) 120

12. Del ejercicio anterior, halle “TA + TB”

encuentra en equilibrio? a) 10 N b) 40

B

c) 20 d) 50

A

F

e) 30

a) 20 N

b) 30

d) 40

e) 60

c) 80

80N

13. Si el cuerpo se encuentra en

equilibrio.

14. Hallar “F” para el equilibrio de los cuerpos,

Calcular “F1 + F2”. a) 17 N b) 12

mA = 3 kg ; mB = 5 kg 20N

a) 30 N

5N

37º

b) 80

F1

c) 16 d) 33 e) 5

c) 20 d) 10

F2

e) 40

137

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DATOS HISTÓRICOS DE ALGUNOS INVENTOS Y DESCUBRIMIENTOS

1590

Janssen

1597

Galileo

1621

Snell

¿Sabías qué…? Alrededor de 500 000 movimientos sísmicos o microsísmicos captables se produce al año en la Tierra de los cuales 100 000 se llegan a sentir y 1 000 producen daños

Microscopio compuesto Termómetro de aire Leyes de la refracción

ALGUNOS PREMIOS NÓBEL DE FÍSICA 1901

Wilhelm K. Roegnten (Alemania) por el descubrimiento de los rayos Roegnten.

1902

Hendrik A. Lorentz y Peter Zeeman (Países Bajos) por sus trabajos relacionados con la

influencia

del

magnetismo sobre la radiación.

Sabemos que para que un cuerpo esté en equilibrio, la fuerza resultante es cero, según la primera condición de equilibrio. Veamos que sucede sobre el cuerpo en la figura mostrada.

W = mg T

N

138

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Si la fuerza resultante es cero, entonces el polígono de fuerzas será cerrado.

N W = mg

T

Dicho triángulo se obtuvo trasladando las 3 fuerzas en forma paralela sobre el plano disponiéndolos consecutivamente. EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1. Si el bloque de 5 kg se encuentra en equilibrio. Halle la tensión en la cuerda.

a) 50 N b) 30 c) 40 d) 80 e) 20

37º

139

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2. En la figura el bloque de 4 kg se encuentra en reposo. Determine el valor de “F” para dicha condición.

a) 80 N b) 40 F

c) 30 d) 50 e) 60 37º

3. Determine la masa de la esfera homogénea que se encuentra en equilibrio estático, sabiendo además

que la tensión en la cuerda es 40 N. a) 6 kg

30º

b) 2 3 c) 8 3 d) 4 e) 5

4. Del ejercicio anterior, el valor de la reacción normal es :

a) 80 N

b) 40 3

c) 10

d) 60 3 140

e) 20 Lic. Juan Calle Mamani

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5. Calcular la tensión del cable “1” si la barra es de peso despreciable. m A = 30 kg

a) 400 N

(1)

b) 50

37º

c) 800 d) 500 e) 600

A

6. En la figura mostrada calcular la tensión en el cable “1”.

a) 80 N

37º

b) 50

(1)

53º (2)

c) 70 d) 30 e) 60 10kg

7. Del ejercicio anterior, determine el valor de la tensión sobre el cable “2”.

a) 50 N

b) 80

c) 60

d) 30 141

e) 70 Lic. Juan Calle Mamani

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8. En la figura mostrada hallar la tensión sobre el cable “1” y “2”. 53º

a) 60 N y 30 N

(1)

b) 125 y 75

(2)

c) 75 y 100 d) 40 y 125 e) 80 y 75

10kg

9. Hallar “F” para mantener el equilibrio del bloque de 4

3 kg

60º

a) 40 N b) 20 c) 30 d) 50

F

e) 80

10. Si la esfera se encuentra en equilibrio, calcular la fuerza con que reacciona la pared.

(F

= 100 N) a) 80 N b) 175 c) 200 d) 60 e) 50

F 53º

142

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11. Si el peso de la esfera es 24 N. Hallar la reacción en el plano inclinado.

10 N a) 20 b) 40 c) 60 d) 90 53º

12. Calcule T1 y T2 sobre las cuerdas siendo el bloque de 30 kg.

a) 500 N y 400 N b) 200 y 400

53º T1

T2

c) 375 y 100 d) 500 y 200 e) 375 y 225

13. Si el bloque “P” es de 18 kg. Halle la masa del bloque “Q” si el sistema se encuentra en equilibrio.

a) 40 kg b) 30

Q

c) 50 d) 80 e) 24

P 37º

143

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PRACTICA Nº 17 1. Si el bloque de 20 kg se encuentra en reposo.

2. Hallar la fuerza “F” necesaria para que el cuerpo

Hallar la reacción del plano inclinado.

de 5 kg esté en reposo.

a) 50 N

a) 30 N

b) 100 3

b) 25

c) 80

c) 10 3

d) 100

d) 10

30º

e) 40

e) 25 3

3. Calcular la tensión sobre la cuerda “1”.

F

30º

4. Del ejercicio anterior, hallar la tensión en la

cuerda “2”. a) 20 N b) 80 c) 12

2kg

d) 36 e) 24

(1)

(2)

37º

53º

5. En la figura mostrada, hallar la tensión en la

cuerda “1”.

b) 36

d) 16

e) 24

c) 80

6. Del ejercicio anterior, hallar la tensión sobre la

cuerda “2”.

30º

a) 40 N

a) 12 N

(1) (2)

b) 20 c) 20 3 d) 80 e) 40 3

4kg

7. Hallar la reacción del plano vertical, además el

a) 40 N

b) 20

c)

d) 80

e) 40 3

20 3

8. Del ejercicio anterior, halle la reacción en el

cuerpo es de 40 N.

plano inclinado.

a) 40 N b) 60 c) 40 3 d) 80 e) 20 3

30º

144

a) 80 N

b) 40

d) 50

e) 20

c) 20 3

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9. Hallar la tensión sobre la cuerda, si el bloque es

de 5 2 kg.

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10. La barra homogénea se encuentra apoyada

sobre 2 superficies lisas. Si la masa del cuerpo

45º

es 6 kg. Halle la reacción del plano inclinado.

a) 50 2 N

a) 60 N

b) 100

b) 60 3

c) 30

c) 120

d) 80

d) 40 3

e) 200

60º

e) 120 3 11. Hallar la fuerza “F” para mantener al cuerpo

12. Del ejercicio anterior, halle la tensión en la

en equilibrio.

cuerda. 37º

a) 50 N b) 100 c) 60 d) 80

6kg

F

e) 30

145

a) 50 N

b) 100

d) 80

e) 30

c) 60

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MOMENTO DE UNA FUERZA

Siempre que abres una puerta o un grifo, o que aprietas una tuerca con una llave ejerces una fuerza de giro. Luego al efecto de giro o rotación de un cuerpo debido a una fuerza se le conoce como ________________.

El momento o torque se determina como: O

MO = d

F

Donde : F : fuerza (N) d : distancia perpendicular al centro de giro, o también se le conoce como brazo de palanca (m) Por convención: •

Si el giro es en sentido

horario

entonces el momento será negativo

•

Si el giro es en sentido antihorario entonces el momento será positivo

146

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EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1. Hallar MOF, si F = 24 N

2. Hallar MOF, si F = 6 N

a) 192 N.m b) -192

a) 42 N.m

8m

b) 30

O

c) 120

c) -42

3m

d) -120

12m O 7m

d) -30

F

e) -72

F = 6N

e) Cero

3. Hallar MOF, si F = 30 N

4. Hallar MOF, si F = 20 N F

a) 30 N.m

a) -30 N.m

b) -120

b) -45 4m

c) 26

O

c) 45

d) 120

3m

d) -60 O

e) 75

e) 60

5. Hallar MOF, si F = 35 N

6. Hallar MOF, si F = 360 N

a) Cero

a) -720 N.m

b) 140 N.m c) -140

F

O

4m

b) 360 c) 288

F

d) 70

d) -288

e) -70

e) Cero

147

2m O

53º F

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7. Hallar MOF, si F = 50 N

8. Hallar MOF, si F = 100 N

a) 200 N.m b) 250

FIS -100

a) -800 N.m

5m

O

F 60º

b) 400

c) -250

F

37º

d) 150

d) -400

e) Cero

e) 200

9. Hallar MOF, si F1 = 32 N

8m

c) 800

10. Del ejercicio anterior hallar MOF2

F1 = 32N

a) 64 N.m b) -32

O

c) 32

R = 2m

d) 8 F2 = 20N

e) -64

a) -40 N.m

b) 40

d) 24

e) -16

c) 16

11. En la figura, ¿qué sentido de giro adquiere la barra debido a las fuerzas?

F1 = 6N 2m

6m

F2 = 2N F3 = 3N 2m O

a)

Horario

d) No gira

b) Antihorario 148

e) No se puede determinar

c) a o b Lic. Juan Calle Mamani

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PRACTICA Nº 18 1. Hallar MOF, si F = 40 N

2. Calcular MOF, si F = 45 N

a) 240 N.m

a) 135 N.m 6m

b) 60

b) 150

c) 180

F

d) -180

8m

F

c) 360 d) -150

e) -60

e) Cero

3. Hallar MOF, si F = 220 N

4. Hallar MOF, si F = 50 N

a) -480 N.m

F

a) 80 N.m 4m

b) 420

37º

b) -80

c) 840

F

d) 240

c) 60

37º

2m

d) -60

e) Cero

e) Cero

5. Se muestra un “sube y baja” si “A” pesa 180

6. Del problema anterior, halle MOA.

N y “B” pesa 200 N. Calcule M OB. B

A

O 2m

4m

a) 800 N.m

b) -800

d) 500

e) 600

c) 400

149

a) 360 N.m

b) -60

c) 180

d) 240

e) 260

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7. Hallar MOF1 , si F1 = 44 N

FIS -100

8. Del ejercicio anterior, calcule MOF2

F1

a) 100 N.m b) -84

O R = 3m

c) 68

a) -60 N.m

d) -120

d) 160

F2 = 20N

e) -132

9. En la figura, ¿qué sentido de giro adquiere la

b) -40

c) 120

e) -80

10. Indicar el sentido de giro de la barra

barra, debido a las fueras? (no considere

mostrada

peso de la barra)

O

F1 = 20N

3m

2m

10m

F1 = 12N 45º

4m

8

N = F2

F2 = 10N

a) Horario b)

a) Horario

aob

b) Falta el peso de la barra

c) Antihorario

c) Antihorario

d) No se puede determinar

d) e) a y b

e) No gira

e) No gira

11. Del ejercicio anterior, halle el momento resultante respecto a “O”.

a) 20 N.m

b) -60

c) 40

d) -24

150

e) -44

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Torques equilibradas Los niños que juegan en un “sube y baja tienen un conocimiento intuitivo de los torques: pueden balancearse en un sube y baja aunque sus pesos sean distintos. Los niños aprenden muy pronto que la distancia a la cual se sientan respecto al punto de giro es tan importante como su peso”. 3m

1,5 m

200N

400N

El niño, que es más pesado, se sienta a una distancia más corta del punto de apoyo, mientras que el niño de peso ligero, se sienta más lejos. El equilibrio de rotación se logra cuando el torque en sentido horario es igual al torque en sentido antihorario. 2da condición de equilibrio Para que un cuerpo no gire ni rote, se cumple: Giro = Giro

APLICANDO TORQUES I. Para ajustar tuercas.

II. Al desclavar con un martillo

151

III. Para destapar una botella

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EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1. Si la barra homogénea de 4 Kg se encuentra

2. Hallar “F” para que la barra homogénea de 5

en equilibrio, hallar “F”.

Kg se encuentre en equilibrio.

a) 10 N

a) 100 N

F

b) 20 N

b) 25

c) 80 N

c) 50

d) 60 N

d) 40

e) 100 N

e) 150

3. Hallar la masa del bloque para que la barra

F

4. Hallar el peso del bloque para que la barra

homogénea de 8 Kg se encuentre en equilibrio.

homogénea de 6 Kg se encuentre en reposo.

a) 50 N

a) 35 N

b) 20 c) 30

b) 20 8m

2m

c) 40

d) 60

d) 30

e) 40

e) 60

152

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5. Si la barra de peso despreciable se encuentra

6. Hallar la tensión en la cuerda AB, la barra es

en reposo, halle el valor de “F”. a) 24 N

de peso despreciable.

F

a) 240 N

b) 36 c) 120 d) 90

FIS -100

b) 300 2a

A

2a

6a

c) 120

5a

d) 20

e) 150

8Kg B

e) 60

7. Calcular la tensión del cable si la barra es de

8. Hallar la masa del bloque “P” para el equilibrio

peso despreciable.

de la barra homogénea de 6 Kg y 8 m de longitud.

a) 5 N b) 1

a) 2 Kg

c) 6 d) 8

2m

2m

b) 4

2m

c) 3

e) 4

d) 5 e) 8

153

P 3m

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Electromecánica

9. Hallar la tensión en la cuerda AB para que la

10. Hallar “T” para que el equilibrio de la barra

barra se encuentre en equilibrio. a) 75 N

imponderable.

B

A

a) 50 N

2L

b) 1 200

b) 200

c) 180

c) 400

d) 240

FIS -100

30Kg 2m

d) 900

8L

e) 600

6m

T

e) 75

11. La placa homogénea pesa 100 N. Calcular la

12. Calcular las tensiones de las cuerdas A y B si

tensión en la cuerda que lo sostiene. ABCD es

la barra homogénea es de 12 Kg y el conjunto

un cuadrado.

está en equilibrio. 2a

a) 50 N b) 200 c) 40

B

C

A

2a A

B

D

d) 120

2m

e) 100

12m

a) 60N y 60 N

d) 30 N y 20 N

b) 80 N y 40 N

e) 100 N y 20 N

c) 70 N y 50 N

154

Lic. Juan Calle Mamani

Instituto Tecnológico Ayacucho

Electromecánica

13. Hallar las tensiones en las cuerdas “A” y “B” si

FIS -100

14. La plancha metálica es de 40 Kg y es

la barra es homogénea y de 10 Kg.

homogénea.

Además Q = 60 N

equilibrio.

Calcular

“T”

para

lograr el

2m A

a) 150 N

B

b) 200

Q 1m

4m

d) 300

1m

e) 600

a) 50 N y 110 N b) 72 y 88 d) 40 y 120

3m

c) 120 6m

c) 30 N y 130

e) 100 y 60

15. La placa rectangular, homogénea y de 20 Kg se encuentra en equilibrio. Calcular: “T”

a) 100 N b) 1 200

2m

c) 600 d) 2 400 e) 500

2m 10 m

155

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Electromecánica

FIS -100

PRACTICA Nº 19 1. Hallar el valor de la fuerza “F” para equilibrar

2. Hallar la masa de la barra homogénea, si el

a la barra homogénea de 8 Kg.

sistema se encuentra en reposo.

a) 40 N

a) 5 Kg

b) 16

b) 10

F

c) 80

c) 8

d) 160

d) 20

e) 20

e) 50

3. Si la barra imponderable de peso despreciable

F

4. Halla la masa del bloque para el equilibrio del

se encuentra en reposo, determine el valor de

sistema. Barra imponderable.

“x”. a) 6 m

a) 1,6 Kg F = 20N

b) 8

b) 5 Kg

c) 12

c) 3,2 Kg

d) 10

d) 6 Kg

e) 14

60N

x

e) 7 Kg

24m

5. Hallar “x” para el equilibrio del sistema.

m

5a

2a

6. Hallar “F” para lograr el equilibrio de la carga

R = 10 N. Barra imponderable.

60 kg

20 kg

4kg

F

a) 50 N b) 60 12cm

c) 100

x

d) 40 a) 6 cm

b) 8

d) 9

e) 4

c) 10

b) 30 N c) 70 N d) 40 N e) 20 N

R

R

8. Determine “F” si la barra es homogénea y de

Peso de la barra despreciable. 3L

8K

e) 12,5

7. Hallar “F” para el equilibrio: R = 80 N

a) 60 N

2K

40 N. a) 100 N

4L

2m

b) 80 N

20N

c) 120 N

F

d) 160 N e) 40 N

156

F

6m

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Electromecánica

9. Si “M” representa el centro de gravedad para

FIS -100

10. Hallar la tensión en la cuerda para que la

la barra homogénea, hallar “x”.

barra homogénea de 2 Kg se encuentre en reposo.

a) 1 m

6-x

2x

b) 2

a) 25 N

c) 4

b) 30 M

d) 3

20N

c) 10

e) 5

d) 40

2m

e) 15 11. La barra horizontal está en equilibrio. Hallar

las

reacciones

en

los

apoyos

A

y

6m

12. La barra homogénea pesa 60 N y la esfera 8

B

N. Determinar las tensiones en las cuerdas A

considerando despreciable el peso de la

y B.

barra. 140N A

A

B

B 6m

a) 80 N y 60 N b) 20 y 120 N c) 100 y 40

1m

3m

1m

d) 30 y 110 e) 90 y 50

1m

a) 30 y 38 N

d) 50 y 18

b) 36 y 32

e) 60 y 8

c) 40 y 28

13. Determine la masa del bloque “P” si la viga es

14. Determinar “F” para el equilibrio de la

horizontal, homogénea y de 60 N.

estructura rígida y de peso despreciable. F

a 12m

22m a

a

P 2kg

a) 1 Kg

b) 1,5

d) 2,5

e) 3

c) 2

157

a) 20 N

b) 30

d) 80

e) 40

c) 10

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Electromecánica

FIS -100

DINAMICA La dinámica, es aquella parte de la mecánica, que tiene como objetivo estudiar las causas del movimiento. UNA FUERZA CAUSA UNA ACELERACIÓN ¿SABÍAS QUÉ…?

Veamos lo siguiente:

¿Un cuerpo en estado de reposo (Vi = cero)

¿Y si aplicamos una fuerza no equilibrada? F

A

Alrededor de 500 000 movimientos sísmicos o microsísmicos captables se produce al año en la tierra de los cuales 100 000 se llegan a sentir y 1000 producen daños

Vemos que el cuerpo cambió de posición variando su velocidad.

Pero al cambio de velocidad en un determinado momento, se le conoce como ACELERACIÓN. a

F

Luego, debido a una fuerza no equilibrada (fuerza resultante ≠ cero) se produce ACELERACIÓN.

2DA. LEY DE NEWTON “Si una fuerza actúa sobre un cuerpo le produce una aceleración en la misma dirección y sentido” 158

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Electromecánica

a=

FIS -100

FR

m

Donde: FR : Fuerza Resultante [N] m : masa [KG] a : aceleración [m/s2] EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1. En los siguientes casos halla el módulo y dirección de la fuerza resultante. a)

10N

30N

FR = ____ (

)

b)

10N

30N

FR = ____ (

)

c)

20N

40N

FR = ____ (

)

FR = ____ (

)

FR = ____ (

)

FR = ____ (

)

d)

50N 37º

10N

e)

37º 12N

f)

70N

4kg

159

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Electromecánica

FIS -100

2. En los siguientes casos hallar el módulo y dirección de la fuerza resultante. a)

20N

50N

FR = ____ (

)

FR = ____ (

)

FR = ____ (

)

FR = ____ (

)

FR = ____ (

)

50N 53º

b)

c)

50

N

100N

45º

53º

20N

d) 6kg

60N

e) 4kg

3. Hallar la aceleración que adquiere el bloque de 3kg a) b) c) d) e)

6 m/s2 4 7 10 8

5N

4. Hallar la aceleración que adquiere el bloque de 4kg a) b) c) d) e)

26N

160

6 m/s2 5 11 9 8

8N

32N 4N

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Electromecánica

5. Hallar la aceleración que experimenta el bloque de 8 kg. 100N a) b) c) d) e)

120N

a) 12 m/s2 d) 4

8kg 7kg

b) 15 e) 6

4kg

40N

50N

53º

37º

6N

10N

a) b) c) d) e)

8 m/s2 20 5 10 4

120N 60º 3kg 2kg 1kg

c) 10

1kg

b) 10 e) 9

6 m/s2 4 12 8 3

8. Hallar la aceleración del sistema

30N

9. Hallar la aceleración del sistema

a) 6 m/s2 d) 12

a) b) c) d) e)

20N

7. Determine la aceleración en el sistema

10N

6. Determine la aceleración en el siguiente caso, si: m = 15kg

53º

10 m/s2 25 12 5 18

FIS -100

40N

10. Del ejercicio anterior, determine la tensión en la cuerda.

c) 8

a) 40N d) 50 161

b) 10 e) 34

c) 30

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Instituto Tecnológico Ayacucho 11. Encuentre el valor de “F” para que el bloque de 4kg acelere a razón de 6 m/s2. a) b) c) d) e)

60N 12 18 10 40

36N

6 m/s2 6 8 4 5

FIS -100

12. Determine el valor de “F” para que el bloque de 6kg acelere a razón de 8m/s2.

a

a) b) c) d) e)

F

13. Determine la aceleración del bloque de 5kg. a) b) c) d) e)

Electromecánica

104N 8 48 36 100

a 56N

F

14. Hallar el valor de la fuerza “F” para que el bloque de 3kg baje a razón de 4m/s2.

30N

a) b) c) d) e)

12N 30 20 16 18

F

15. Si el bloque de 4kg sube a razón de 2m/s2, determine el valor de la fuerza “F”. a) b) c) d) e)

8N 24 36 48 12

F

162

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Electromecánica

FIS -100

PRACTICA Nº 20 1. En los siguientes casos halla el módulo y dirección de la fuerza resultante. a)

b)

10N

30N

20N

2. En el siguientes sistema determine el módulo y dirección de la fuerza resultante. Hallar la masa del bloque, si este acelera a razón de 5m/s2. a) b) c) d) e)

40N

50N

c)

160º

a) b) c) d) e)

5kg

a) b) c) d) e)

4kg

f)

20N

20 m/s2 Falta conocer F F 30 m/s2 60 40

F 120N

4. Hallar la aceleración para el bloque de 8kg

10N

e)

F

F

3. Hallar la aceleración que adquiere el bloque de 6kg.

70N

d)

a

3kg 4 6 12 20

30N

6 m/s2 7 4 6 12

50N 160º

F

5. Determine la aceleración del sistema si: mA = 6kg, mB = 8kg g)

h)

50N

86N

10N

a) b) c) d) e)

60N

12 m/s2 14 10 8 20

30N

A

B

170N

6. Del ejercicio anterior, hallar la tensión en la cuerda 50

i)

Nº

45º

a) 60N d) 90

163

b) 140 e) 300

c) 200

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Electromecánica

7. Hallar la aceleración del sistema si: mA = 4kg , mB = 6kg A

a) 50 m/s2 d) 40

25N 30 32 20 10

b) 20 e) 80

c) 10

2 m/s2 12 10 9 8

a) 60N d) 30

F

b) 100 e) 80

c) 50

10. Hallar “F” para que el bloque de 8kg acelere a razón de 4m/s2 a) b) c) d) e)

a 5N

11. Determine la aceleración del bloque de: a) b) c) d) e)

8. Del ejercicio anterior halle la tensión sobre la cuerda:

200N

B

9. Hallar “F” si el bloque acelera a razón de 5m/s2, además la masa del bloque es 4kg. a) b) c) d) e)

FIS -100

82N 50 18 120 32

a 50N

F

12. Determine la aceleración del bloque de 4kg. a) b) c) d) e)

12N

6kg

164

4 m/s2 3 6 8 5

16N

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Electromecánica

FIS -100

Rozamiento o fricción

¿Sabías Que?

De propia experiencia sabemos que si empujamos un bloque sobre tierra es más difícil que sobre un piso encerado.

Las leyes empíricas del rozamiento

por

deslizamiento

Esto se debe a que hay una fuerza que se opone al movimiento

de

dicho

cuerpo.

A

esta

fuerza

lo

denominamos Rozamiento o Fricción. Aparece sobre

obtenidos

fueron experimen-

talmente por Leonardo Da Vinci

(1452

–

1519)

y

después de él, por el físico

superficies ásperas o rugosas. Se suele hablar de 2 tipos

francés Charles Coulomb

de rozamiento.

(1736 - 1806).

Fuerza de rozamiento estático (Fs) Este tipo de fuerza aparece cuando los cuerpos en contacto no deslizan. Su valor máximo se presenta cuando el deslizamiento es inminente, y el mínimo cuando N

la intención de movimiento es nula.

F

f

S

= µs . N

f em

µs

Fuerza de rozamiento cinético (Fk) Esta fuerza se presenta cuando las superficies en contacto se deslizan una respecto a la otra. Su valor es prácticamente constante, y viene dado así:

f Nota:

K

= µK . N

µS = coeficiente de rozamiento estático. µK = coeficiente de rozamiento cinético. 165

¿Porqué? ¿Por qué cuando se camina sobre suelo resbaladizo es conveniente dar pasos cortos en lugar de dar pasos largos? Lic. Juan Calle Mamani

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Electromecánica

FIS -100

Coeficientes de fricción (  ) El valor de “µ” representa de un modo indirecto el grado de aspereza o deformación común que presentan las superficies secas de dos cuerpos en contacto. Asimismo, “µ” depende de los materiales que forman las superficies.

µS

>

µK

EJEMPLO El bloque sobre la superficie desliza sobre acero. El bloque es de acero también y pesa 800N. Halle el rozamiento. 

fK Solución

= 0,78 0,50

Luego: W

f K = 0,50 (800) = 400 newton

fK

Rozamiento = 400N

N

¿Te imaginas si no hubiese la Fuerza de Rozamiento?

166

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Electromecánica

FIS -100

EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1. Si el cuerpo está a punto de moverse, halle la

fuerza de rozamiento que actúa sobre el

2. Si el bloque de 2 kg presenta movimiento

inminente. Halle el valor de la fricción.

cuerpo de 4 kg.

3.

F

0,5  0,75

a) 10 N

b) 30

c) 20

d) 40

e) 3

En la figura el bloque de 4 kg baja a velocidad constante.

Determine

el

coeficiente

de

a) 10 N

b) 7,5

d) 20

e) 40

4. Si

el

kg

a) 0,1

a) 6 N

b) 0,5

b) 16

c) 0,4

c) 10

d) 0,8

d) 8

e) 0,2

e) 4

5. Si el bloque de 8 kg se desplaza sobre una

m/s2.

cuerpo experimenta.

rozamiento.  = 0,2

a) 0,5

b) 4

b) 0,75

c) 6

c) 0,8

d) 8

d) 0,6

e) 5

e) 0,3

167

a

velocidad



F

0,3 0,8

6. El bloque de 6 kg posee una aceleración de

4

48N

desplaza

m

superficie rugosa. Halle la aceleración que el

a) 2 m/s2

se

c) 15

constante, determine el valor de “F”. m = 2

rozamiento. F = 80N

bloque

0,35 0,5



F

Determine

el

coeficiente

de

60N

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Electromecánica

7. Un escritorio pesa 400N y descansa sobre

el piso de la oficina con el cual el coeficiente de rozamiento estático es 0,4.

FIS -100

8. Suponga que el peso de un trineo es de

200N y del esquimal que viaja en él 700N. ¿Con qué fuerza jalan los perros cuando el

¿Qué fuerza horizontal es necesaria para

esquimal viaja en el trineo a velocidad

mover el escritorio?

constante sobre un lago congelado? μK = 0,3

a) 160N b) 120 c) 140 d) 180 e) 100 9. Un bloque de 5kg es jalado por una fuerza

a) 300N b) 280 c) 270 d) 320 e) 180 10. Una fuerza de 100N es capaz de iniciar el

“F” a través de una pista rugosa. Hallar “F”

movimiento de un trineo de 300N de peso

si el bloque se mueve a velocidad constante.

sobre la nieve compacta. Calcule μS

(g = 10 m/s2 )

θ = 37º a) 0,13

0,4 0,5

b) 0,23

F

c) 0,43

100 N s

37º

d) 0,33

a) 30N

b) 20

d) 80

e) 10

c) 40

11. Se remolca una caja de madera de 800N de peso empleando un plano inclinado que forma 37º con

el horizonte. El coeficiente de rozamiento cinético entre la caja y el plano es 0,2. Halle la fuerza de tracción del hombre de modo que la caja suba a velocidad constante. θ = 37º a) 688N b) 658 c) 628 d) 668

37º

e) 608 168

Lic. Juan Calle Mamani

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Electromecánica

12. Si el bloque está a punto de resbalar. ¿Cuál

es el valor del coeficiente de rozamiento estático μS? θ = 37º a) 0,75

FIS -100

13. El bloque está a punto de deslizar.

Hallar: μS. Si: W = 96N θ = 53 º a) 3/10

b) 0,25

b) 3/8

c) 0,5

c) 5/13 

d) 0,6

60N 18N W

d) 9/113

e) 0,8



e) 3/17

14. Hallar el coeficiente de rozamiento cinético

15. El bloque mostrado es llevado con aceleración,

si el cuerpo de masa 12kg se mueve a

jalado por F = 60N. Hallar la fuerza de

2

velocidad constante. (g = 10 m/s )

rozamiento.

θ = 37º a) 0,9

F = 40 N

b) 0,6



c) 0,5

a) 35 N

a = 10 m/s2

b) 70 c) 40

16N

4 kg

F

d) 20

d) 0,7

e) 45

16. El bloque mostrado es llevado con F = 30N y con aceleración “a”. Calcule “a”

a) 1 m/s2 b) 7 c) 4

k = 1/10

a 5 kg

F

d) 2 e) 5

169

Lic. Juan Calle Mamani

Instituto Tecnológico Ayacucho 17. Calcular

Electromecánica

la aceleración en el

sistema

FIS -100

18. Determinar la tensión de la cuerda, si el

mostrado.

coeficiente de rozamiento es 0,5. mA = 4kg

a) 9 m/s2 b) 3 c) 4

80 N

μ K = 0,5

6kg 3kg

d) 8

;

a) 68N

mB = 8kg A

b) 60

1kg

c) 40 d) 66

e) 14

B

e) 30

19. De la figura, se pide calcular la mínima

20. Encontrar el valor de la aceleración del

aceleración de m2 para que la masa m1 no

bloque si μK = 1/4

y

θ = 37º.

resbale sobre m2 con coeficiente de fricción estático 0,2 ( considere g = 9,8 m/s2)

a) 5 m/s2 b) 6

a) 35 m/s2

c) 8

b) 12 m2

c) 45

m1

d) 6



e) 4

d) 49 e) 18

21. Un borrador de pizarra es presionado perpendicularmente a una pizarra vertical. Si el coeficiente estático de

fricción es 0,3 y el peso del borrador es de 30N. La fuerza de presión necesaria para mantener el borrador en reposo es:

a) 100 N

b) 70

c) 80

d) 90 170

e) 95 Lic. Juan Calle Mamani

Instituto Tecnológico Ayacucho

Electromecánica

FIS -100

PRACTICA Nº 21 1. El bloque de 10 kg está a punto de moverse.

2. El bloque de 12 kg presenta movimiento

Halle “F”.

inminente. Halle “F”.

0,3  0,8

a) 60 N

F

b) 48

0,4  0,5

c) 12 a) 30 N

b) 50

d) 60

e) 100

c) 80

F

d) 36 e) 48

3. Si el bloque de 12 kg baja a velocidad

4.

Si el bloque de 5 kg experimenta MRU. Halle “F”.

constante, halle “F”. 

F

0,2 0,6

a) 100 N b) 400

F

c) 800 d) 1200



e) 600 5.

0,3 0,5

a) 16 N

b) 30

d) 20

e) 40

c) 10

6. Si el bloque de 4 kg acelera a razón de 4 m/s2.

Halle la aceleración que posee el cuerpo de 9 kg.

Determine el coeficiente de rozamiento. 45N

 = 0,3

a) 6 m/s2

b) 2

d) 10

e) 15

24N

c) 8

7. Hallar el coeficiente de rozamiento cinético

si el cuerpo de masa 24kg se mueve a velocidad constante. (g = 10 m/s2) θ = 37º

b) 0,6 c) 1/2

b) 0,5

d) 0.8

e) 0.9

bloque mostrado es llevado con aceleración, jalado por F = 120N. Hallar la fuerza de rozamiento.

b) 38



c) 68

32N

c) 0,3

8. El

a) 30 N

F = 80 N

a) 0,9

a) 0,2

a = 5 m/s2 8 kg

F

d) 80

d) 01/5

e) 54

e) 01/7

171

Lic. Juan Calle Mamani

Instituto Tecnológico Ayacucho

Electromecánica

9. El bloque mostrado es llevado con F = 60N y

con aceleración “a”. Calcule “a”

FIS -100

10. En la figura el bloque pesa 20N y los

coeficientes de rozamiento valen 0,4 y 0,6, Halle la aceleración del bloque. (g = 10 m/s2) θ = 37º

a) 2 m/s2 a

k = 1/5

b) 9 c) 6

F = 25 N

2

a) 8 m/s

F

10 kg

b) 7

d) 3

c) 3

e) 4

d) 2



e) 5 11. Calcular

la

aceleración en el

sistema

mostrado.

coeficiente de rozamiento es 0,5 mA = 2kg ; mB = 4kg

a) 4 m/s2 b) 3 c) 7

160 N

12. Determinar la tensión de la cuerda, si el

μ K = 0,5 2kg

A

b) 50

2kg

6kg

d) 12

a) 60N c) 20

e) 15

d) 56

B

e) 39

13. Encontrar el valor de la aceleración del bloque si μK = 1/2 y θ = 37º. a) 6 m/s

aceleración de m2 para que la masa m1 no resbale sobre m2 con coeficiente de fricción estático 0,4

2

( considere g = 10 m/s2)

b) 4

a) 36 m/s2

c) 9

b) 38

d) 7 e) 2

14. De la figura, se pide calcular la mínima

c) 48



m2

m1

d) 40 e) 24

172

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FIS -100

TRABAJO MECÁNICO (W)

CONCEPTO DE TRABAJO. Por

propia

experiencia

sabemos

que

necesitamos fuerza para alterar la rapidez de un objeto,

para

vencer

el

rozamiento,

para

comprimir un resorte, para moverse en contra de la gravedad; en cada caso debe realizarse trabajo. El trabajo es siempre vencer una resistencia. Por lo que podemos decir que: Trabajo es la facultad que tienen las fuerzas para generar movimiento venciendo siempre una resistencia, sea esta una fuerza o bien la propia inercia de los cuerpos. Sólo habrá trabajo sobre un cuerpo si este se desplaza a lo largo de la línea de acción de la fuerza aplicada. TRABAJO REALIZADO POR UNA FUERZA CONSTANTE Es decir si “F” no cambia su módulo, dirección y sentido. F



d

W = F (Cos )d 173

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FIS -100

CASOS: 1. Si “F” es paralela al desplazamiento d y actúa a favor del movimiento, el trabajo “W” es positivo. =0

W=Fd

F

TRABAJO MOTRIZ

d

2. Si “F” es paralela al desplazamiento d y actúa contra el movimiento, el trabajo “W” es negativo.

 = 180º F

W=-F

TRABAJO RESISTIVO

d

d

3. Si “F” es perpendicular al desplazamiento d, el trabajo es nulo.

 = 90º F

W=0

TRABAJO NULO

d

TRABAJO NETO Conocido también como trabajo total, es la suma de los trabajos de cada una de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo para un desplazamiento determinado.

174

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N F2

FIS -100

WNETO = FR .d

F1

d

FR = FUERZA RESULTANTE

mg CASOS:

a) Si WNETO es positivo, el movimiento es acelerado. b) Si WNETO es cero, el movimiento es uniforme, o el cuerpo se encuentra en reposo. c) Si WNETO es negativo, el movimiento es retardado o desacelerado. EJERCICIOS DE APLICACIÓN

1. Hallar el trabajo efectuado por “F”

2. Halle el trabajo de la fuerza “F” F = 60N  = 37º

F = 20N

F

F

8m

a) 160 J d) 140

b) 120 e) 100

c) 80

a) 160J d) 140

175

b)120 e) 100

c)80

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3. En la figura mostrada. ¿Qué trabajo realiza Beto para subir el paquete de 8 kg hasta una altura de 5m con velocidad constante? ( g = 10 m/s2 )

FIS -100

4. Calcular el trabajo de la fuerza “F”, el cuerpo se desplaza 3m en la misma dirección de la fuerza F”. R = 5N

F = 20N

a) 130 J b) 240 c) 400 d) 280 e) 540

5. Calcular el trabajo de la fuerza “F”, el cuerpo se desplaza 5m en la dirección de la fuerza “R” F = 10N

a) 10J b) 120 c) 80 d) 60 e) 70 6. Calcular el trabajo total o trabajo neto, el cuerpo se desplaza una distancia de 4m

R

10N

a) 60 J b) -120 c) 50 d) 40 e) -50 7. Si el bloque es llevado a velocidad constante. Hallar el trabajo que realiza el rozamiento al desplazarlo 10m. θ = 37º

30N

a) 80 J b) 40 c) 60 d) 48 e) 90 8. Si el bloque es arrastrado con la aceleración que se muestra, una distancia de 5m, hallar el trabajo que realiza “F” sabiendo que el rozamiento vale 2N. a = 6 m/s2

F = 20N

3kg

F

θ

a) 120 J d) 140

b) -160 e) -50

c)150

a) 125 J d) 170 176

b) -140 e) -150

c)100

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9. Si el bloque es arrastrado con la aceleración que se muestra, hallar el trabajo que realiza “F” sabiendo que el rozamiento vale 14N

FIS -100

10. Halle el trabajo realizado por “F” si el bloque de 2kg es llevado con aceleración 5 m/s2, sobre el plano rugoso.

a = 2 m/s2

μ = 1/2 F

F

2kg

3kg

4m 12m

a) -225 J b) -240 c) 190 d) 240 e) -250 11. Halle el trabajo realizado por Miguelito si el bloque de 5 kg es llevado del punto “A” al punto “B”, con aceleración de 2 m/s2 sobre el plano rugoso.

a) -25 J b) -40 c) 90 d) 40 e) 80 12. El bloque de 5kg realiza un movimiento acelerado cuyo valor es 2 m/s2. Calcular el trabajo realizado por la fuerza de fricción que actúa sobre el bloque, desde “A” hasta “B” ( g = 10 m/s2) F = 10N

A

8m

B

a) 114 J d) 40

a) 100 J d) 140

b) -140 e) 90

30º

b) -80 e) -90

c) 150

c) 120

177

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13. Calcular el trabajo desarrollado por “F” para un recorrido de 4m; el bloque de 5kg se mueve con aceleración constante de 6 m/s2 0,2

FIS -100

14. Un bloque de 18kg es sometido a la acción de dos fuerzas, donde F1 = 100N y F2 = 80N. Determine el trabajo que desarrolla F2 para un recorrido “d” sabiendo que F1 realiza un trabajo de +800J, en tal recorrido.

μ 0,5

F2

F1

F 60º

a) 120 J b) 130 c) 160 d) 150 e) 140 15. Un bloque de 10kg es elevado partiendo del reposo con aceleración de 2 m/s2 durante 2s. Determine el trabajo del peso para dicho tiempo. (g=10 m/s2)

a) -250 J d) -400

b) 300 e) 380

37º

a) 390 J b) -440 c) -401 d) 140 e) 400 16. Un cuerpo con 2kg de masa está inicialmente en reposo en un plano horizontal y sin fricción. Si se aplica una fuerza horizontal de 10N por un tiempo de 10 segundos. ¿Cuál es el trabajo en joules realizado por esta fuerza?

c) -390

a) 500 d) 4500 178

b) 2500 e) 5000

c) 500

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PRACTICA Nº 22 1. El bloque mostrado se desplaza con velocidad constante, mediante una fuerza “F” desde “A” hacia “B”, hallar el trabajo en joules que realiza el rozamiento, si F = 20N

2. En el caso mostrado el bloque se desplaza con velocidad constante desde “A” hacia ”B” Hallar el trabajo que realiza F = 50N AB = 10m

AB = 10m

F 37º

F A

B A

a) -200 d) -240

b) -90 e) -190

c) 150

a) 500 d) 450

3. Calcular el trabajo total o trabajo neto, el cuerpo se desplaza una distancia de 4m 10N

B b) 400 e) 525

c) 300

4. Si el bloque es llevado a velocidad constante, hallar el trabajo que realiza el rozamiento al desplazarlo 12m

30N v F = 15N

a) 50 J d) 120

b) 40 e) 300

c) 80

a) 120 d) -180

5. Calcular el trabajo realizado por la fuerza constante de 100N para un desplazamiento de x1 = -3m a x2 = +7m v

b) -160 e) -325

c) 320

6. Calcular el trabajo desarrollado por “F” para un recorrido de 6m; el bloque de 10kg se mueve con aceleración constante de 3 m/s2 0,4 μ

F = 100N

0,2 F

a) 400 d) 0,5 KJ

b) 500 e) 1KJ

a) 220 J d) 250

c) 3KJ

179

b) 300 e) 340

c) 260

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7. El bloque de 16kg de masa se ve afectado por las fuerzas indicadas: F1 = 10N F2 =20N F3 = y se desplaza 10m.

F3

30 2

F2 53º

8m

ii.

c) -100

b) 300 e)100

b) -400 e) 400

b) 2 e) 3

c)-200

F = 20N

b) 135 e) N.A.

A

16m B

c) Cero

a) -320 J d) - 240

Determine el trabajo neto a) -220J d) 180

c) 90

9. El bloque de 10kg realiza un movimiento acelerado cuyo valor es 4 m/s2. Calcular el trabajo realizado por la fuerza de fricción que actúa sobre el bloque, desde “A” hasta “B”. (g=10m/s2 )

Determine el trabajo realizado por el peso del bloque a) 1,6 KJ d) 1

iv.

b) 130 e) -50

Hallar el trabajo efectuado por F3 a) 280J d) -330

iii.

a) -95 J d) 440

Calcular el trabajo efectuado por F2 a) -120 J d) -110

F

4kg

liso

i.

8. Halle el trabajo realizado por “F” si el bloque de 4kg es llevado con aceleración 10 m/s2, sobre el plano rugoso. μ = 1/4

F1

45º

FIS -100

c)-140

30º

b) -80 e) -190

c) 250

10. Un bloque de 5kg es elevado partiendo del reposo con aceleración de 1 m/s2 durante 2s. Determine el trabajo del peso para dicho tiempo. (g=10 m/s2)

180

a) -250 J

b) 900

d) -400

e) 980

c) -1000

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POTENCIA MECÁNICA Te contaré una historia de James Watt

El nombre de Watt para la unidad M.K.S. de potencia se adoptó en honor al ingeniero mecánico James Watt (inglés, 1736-1819) a quien se deben notables perfeccionamientos en la máquina de vapor. El mismo, con el objeto de lograr que los mineros de Gales (Inglaterra) compraran su máquina de vapor para reemplazar los caballos que empleaban en sus trabajos en las minas, fue quien introdujo la unidad inglesa de potencia “HORSE POWER”, aunque la idea original de tomar la potencia de un caballo como patrón de medida fue de Thomas Savery, el inventor de la máquina de vapor en 1698. En efecto, cada vez que Watt proponía su máquina a uno de estos mineros, le respondían invariables. “ Si la compro, ¿cuántos caballos podrá reemplazarme esta máquina?” Repetidos experimentos efectuados con los caballos de tiro empleados en las minas

Una biografía………. dieron como resultado que por término medio uno de estos caballos podía ejercer una fuerza de 150 libras fuerza mientras caminaba con una velocidad de 2,5 millas/hora. Con estos datos la potencia de uno de estos caballos resulta:

550

lb. pie s

CONCEPTO DE POTENCIA Cuando se contrata un trabajo, sin importar el tiempo que tarden en hacerlo, se compra sólo trabajo. Por ejemplo, si contratamos a una persona para que pinte nuestra casa sin indicarle el tiempo, ella lo podrá realizar en 1 día, en un mes o en un año, con tal de que lo pinte todo. Pero si se compra el trabajo de un día y se quieren hacer las cosas lo más rápido posible, lo que pretendemos es conseguir una cantidad de trabajo por hora. Este el lenguaje práctico de la industria. . La potencia es justamente eso, la rapidez de hacer un trabajo. 181

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POTENCIA MEDIA La potencia media es aquella que nos indica la rapidez con que en promedio se efectuó un trabajo determinado.

TRABAJO REALIZADO

POTENCIA = TIEMPO EMPLEADO EN HACERLO

POTENCIA INSTANTÁNEA Es el tipo de potencia que nos informa de la rapidez con que se realiza un trabajo en un intervalo de tiempo muy corto. Si la potencia es mecánica, su valor instantáneo se determina así: V

Pot. = F.v.cosθ

F θ

θ = Ángulo entre F y v

Pero si : θ = cero, entonces…….

P = F.V

182

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EFICIENCIA (n) El trabajo útil o salida de potencia de una máquina nunca es igual a la de entrada. Estas diferencias se deben en parte a la fricción, al enfriamiento, al desgaste, contaminación,….etc. La eficiencia nos expresa la razón entre lo útil y lo suministrado a una máquina:

(Pot) útil n = (Pot) suministrada

ESQUEMA SIMPLIFICADO

EFICIENCIA

Pabsorvida (P1)

Pútil (P3 ) MAQUINA

P1 = P2 +P3

P3 n= P1

Pperdida (P2)

PUTIL(P3) = TRABAJO REALIZADO TIEMPO EQUIVALENCIAS ÚTILES: 1KW.h = (1000W)(3600s) = 3,6.106 J 1 HP = 746W

(HP = 1 horse power) 183

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EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1. Si el bloque es llevado gracias a la fuerza F = 50N

2. Si : F = 50N y lleva al bloque una distancia de

durante 5s. Hallar la potencia desarrollada por “F”.

10m, hallar la potencia desarrollada por “F”. Considere el tiempo de 2s. F

F 37º d = 4m

a) 40watts b)20 c)30 d)10 e)50 3. Un vendedor ambulante aplica una fuerza de 100N para empujar un carrito, una distancia de 60m. Hallar la potencia desarrollada al cabo de 1minuto que duró el recorrido. a) 50watts b) 40 c) 100 d) 80 e) 60

5. Una grúa es capaz de levantar una masa de 100kg

a una altura de 15m en 5s. ¿Qué potencia expresada en watts suministra la màquina? (g = 9,8m/s2 )

a) 5400 d) 1980

b) 2080 e) 2940

a)100watts d)150

b)200 e)50

c)300

4. ¿Cuál es la potencia de un motor que eleva

100litros de agua por minuto a una altura de 6m? (g = 9,8m/s2 )

a) 58watts b) 20 c) 30 d) 98 e) 78 6. Una persona de 60kg sube 20m por las escaleras de un edificio en 4min. ¿Qué potencia en watts desarrolló? (g = 10m/s2 )

c) 3000

a) 42 d) 50 184

b) 150 e) 180

c) 30 Lic Juan Calle Mamani

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7. Encuentra la potencia (en Kw) de una grúa

sabiendo que eleva 60 sacos de harina de 100kg cada uno hasta una plataforma ubicada a 3m de altura en 1 minuto (g = 10m/s2 )

8. El bloque es lanzado sobre la superficie rugosa

avanzando 12m en 4s. Si el rozamiento que le afecta fue de 20N, hallar la potencia desarrollada por dicho rozamiento.

d = 12m

a) 9 b) 3 c) 4 d) 5 e) 7 9. El bloque mostrado avanza a la velocidad de 2m/s gracias a la fuerza F = 200N. Hallar la potencia de F. v = 2m/s

a) 48watts b) -45 c) -60 d) 40 e) 38 10. El bloque mostrado avanza a velocidad constante V = 5m/s , por medio de F = 30N. ¿Cuál es la potencia que desarrolla el rozamiento? v = 5m/s

a) 390watts b) 450 c) 380 d) 400 e) 360 11. Un motor consume una potencia de 1,2kW y es capaz de elevar cargas de 108 N de peso a 10m/s. ¿Cuál es la eficiencia del motor?

a) 90% d) 50

b) 50 e) 80

a) 420watts b) 130 c) 300 d) -450 e) -150 12. Una máquina absorve 48 watts de potencia y realiza un trabajo de 160J en 5s. ¿Cuál es la eficiencia de esta màquina?

c) 30

a) 4/5 d) 5/8 185

b)2/3 e) 8/9

c)3/4

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13. En el problema anterior, ¿Cuál es la potencia que

FIS -100

14. La grúa mostrada absorve una potencia de

pierde la máquina?

2000watts, y está levantando el bloque de 100N a la velocidad de 5m/s. Entonces su eficiencia es :

a) 12watts b) 15 c) 16 a) 1/7 b) 1/5 c) 1/6 d) 19 e) 18 d) 1/4 e) 1/18 15. Halle la potencia desarrollada por “F” para que el bloque de 10kg suba por por el plano inclinado a velocidad 5 m/s constante. (g = 10m/s2 ) 1/4 F

37º

a) 200watts

b) 300

c) 400

d) 500

186

e) 100

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PRACTICA Nº 23 1. Si el bloque es llevado gracias a la fuerza

2. Si : F = 100N y lleva al bloque una distancia de

F = 100N durante 10s. Hallar la potencia desarrollada por “F”.

20m, hallar la potencia desarrollada por “F”. Considere el tiempo de 4s. F

F 37º d = 8m

a) 80watts d) 50

b) 70 e) 30

c) 60

a) 200watts d) 350

b) 400 e) 450

c) 100

3. Una persona de 70kg sube 30m por las escaleras

4. ¿Cuál es la potencia de un motor que eleva

de un edificio en 5min. ¿Qué potencia en watts desarrolló? (g = 10m/s2 )

100litros de agua por minuto a una altura de 12m? (g = 10m/s2 )

a) 52 d) 60

a) 180watts d) 200

b) 70 e) 80

c) 38

b) 320 e) 218

c) 230

5. Un vendedor ambulante aplica una fuerza de

6. Encuentra la potencia (en Kw) de una grúa

200N para empujar un carrito, una distancia de 120m.Hallar la potencia desarrollada al cabo de 2minuto que duró el recorrido.

sabiendo que eleva 30 sacos de harina de 100kg cada uno hasta una plataforma ubicada a 6m de altura en 2 minutos (g = 10m/s2 )

a)150watts b)140 c)200 d)280 e)260

7. El bloque es lanzado sobre la superficie rugosa

avanzando 6m en 2s. Si el rozamiento que le afecta fue de 10N, hallar la potencia desarrollada por dicho rozamiento.

6m

a) 1,5 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 8. El bloque mostrado avanza a la velocidad de 4m/s gracias a la fuerza F = 400N. Hallar la potencia de F. v = 4m/s F

d = 6m a) 40watts d) 60

b) -30 e) -50

c) 33

a) 1400watts d) 420

187

b) 1450 e) 360

c) 1600

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9. El bloque mostrado avanza a velocidad constante

10. Un motor consume una potencia de 10kW y es

V = 7m/s , por medio de F = 40N. ¿Cuál es la potencia que desarrolla el rozamiento?

capaz de elevar cargas de 980 N de peso a 10m/s. ¿Cuál es la eficiencia del motor?

v = 7m/s

a) 425watts d) -280

b) -180 e) 270

c) 320

11. Una máquina absorve 96 watts de potencia y

a) 95%

b) 69

d) 58

e) 98

c) 70

12. En el problema anterior, ¿Cuál es la potencia que

realiza un trabajo de 320J en 10s.

pierde la máquina?

¿Cuál es la eficiencia de esta màquina? a) 1/3

b) 2/5

d) 3/8

e) 5/9

c) 1/4

a) 48watts

b) 60

d) 39

e) 58

c) 56

13. Halle la potencia desarrollada por “F” para que

14. La grúa mostrada absorve una potencia de

el bloque de 10kg suba por por el plano inclinado a velocidad 5 m/s constante. (g = 10m/s2 )

1800watts, y está levantando el bloque de 800N a la velocidad de 2m/s. Entonces su eficiencia es :

1/4

F

30º

a) 240watts d) 250

b) 350 e) 200

c) 400

a) 5/7 d) 3/4

b) 4/5 e) 1/6

c) 8/9

15. Calcular la potencia de la fuerza del motor, si el vehiculo viaja a velocidad constante de 36km/h..La

fuerza total del aire y de la resistencia de la pista es de 746N a) 74,6HP b) 746 c) 7,46 d) 7460 e) 10

188

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ENERGÍA MECÁNICA ENERGÍA Energía, capacidad de un sistema físico para realizar trabajo. La materia posee energía como resultado de su movimiento o de su posición en relación con las fuerzas que actúan sobre ella. La radiación electromagnética posee energía que depende de su frecuencia y, por tanto, de su longitud de onda. Esta energía se comunica a la materia cuando absorbe radiación y se recibe de la materia cuando emite radiación. La energía asociada al movimiento se conoce como energía cinética, mientras que la relacionada con la posición es la energía potencial. Por ejemplo, un péndulo que oscila tiene una energía potencial máxima en los extremos de su recorrido; en todas las posiciones intermedias tiene energía cinética y potencial en proporciones diversas. La energía se manifiesta en varias formas, entre ellas la energía mecánica. Que es la que estudiaremos a continuación.

500 kg.

ENERGÍA CINÉTICA (EK) Es la capacidad que tiene un cuerpo para efectuar trabajo gracias al movimiento de traslación que experimenta.

V m

EK = 1 mv2 2 Donde : EK: Energía Cinética (Joules) m: masa (kilogramos) V: velocidad (m/s) 189

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ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIA (EP) Es la energía almacenada en un cuerpo debido a su ubicación, teniendo el potencial de ser utilizado para realizar un trabajo. Esta energía está relacionada a la interacción gravitacional entre los cuerpos. La energía potencial depende de la masa del cuerpo, de su altura (posición) respecto de un sistema de referencia.

FIS -100

m

EP = mgh

h

Nivel de referencia (NR)

Donde : EP: Energía Potencial Gravitatoria (Joule) m: masa (kilogramos) V: velocidad (m/s) NOTA: Si “EP” : es positivo, si el cuerpo se ubica encima del nivel de referencia (NR). Si “EP” : es igual a cero, si el cuerpo se encuentra en la línea de referencia (h=0). Si “EP” : es negativo si el cuerpo se encuentra por debajo del nivel de referencia (NR) ENERGÍA POTENCIAL ELÁSTICA (EPE) Es la energía almacenada por los cuerpos elásticos al estirarse o comprimirse. Esta energía está asociada a las interacciones de las partes del cuerpo elástico, cuando se encuentra deformado.

190

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TEOREMA DEL TRABAJO Y LA ENERGÍA CINÉTICA “El trabajo realizado por la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo es igual a la variación de la energía cinética del cuerpo” VI m

a

VF

FR

m

WTOTAL= ECi - ECf

d

El trabajo realizado sobre el cuerpo, sólo depende de su masa “m” y de sus velocidades V i y Vf Por lo tanto no importa conocer la fuerza FR ni la trayectoria. El teorema del trabajo-energía es valido tanto para fuerzas constantes como para fuerzas variables que actúen sobre el cuerpo. TEOREMA DEL TRABAJO Y LA ENERGÍA MECANICA En un cuerpo o en un sistema, el trabajo que realiza las fuerzas no conservativas serà igual al cambio o variación de su energía mecánica.

WTOTAL = EMF - EMI

*Una fuerza no conservativa es aquella fuerza que al ser aplicada a un cuerpo realiza trabajo que depende de la trayectoria que describe. (La fricción) *Una fuerza es conservativa, si el trabajo que realiza al actuar sobre un cuerpo no depende de la trayectoria, sólo depende de la posición inicial y la posición final. Por ejemplo, el peso, fuerzas elásticas (resortes) .

191

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EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1. Calcule la energía cinética del automóvil de masa

2. Calcule la energía mecánica del avión de juguete

600kg.

de 4kg respecto del suelo. 10m/s

V = 20m/s 2m

a) 120KJ b) 140 c)120 d) 155 e) 118 3. Calcular la energía potencial gravitatoria con respecto al piso de una piedra de 4kg ubicada a una altura de 3m.(g =10m/s2 )

a) 79J d) 155

b) 140 e) 118

a) 179J b) 240 c)320 d) 280 e) 218 4. Encontrar la energía cinética de un vehículo de 20kg cuando alcance una velocidad de 72km/h.

c) 120

5. Calcule la EM en (A) y (B) para el bloque de 2kg.

a) 7KJ

b) 4

c) 9

d) 5

e) 18

6. Evalúe la energía mecánica del bloque de 4kg

(A)

cuando pasa por la posición mostrada.

Vi = 0

4m

V = 4m/s

4m/s 2m

(B)

a) 50 y 30J d) 16;16

b) 40;20 e) 80,16

c) 60;60

a) 112J d) 115 192

b) 120 e) 108

c) 122

Lic. Juan Calle Mamani

Instituto Tecnológico Ayacucho

Electromecánica

7. El bloque de masa 4kg se suelta en (A). ¿Con qué

8. El bloque mostrado se lanza desde (A) con

velocidad llega al pasar por (B)? A

FIS -100

velocidad de 30m/s. ¿Hasta que altura màxima logrará subir?

liso liso

5m

V

V= 30m/s B A

a) 12m/s b) 10 c) 22 d) 15 e) 8 9. Si Betito de 20kg es impulsado en “A” con velocidad inicial de 50m/s, hallar la velocidad final con la que pasará por “B”

a) 32m b) 50 c) 45 d) 35 e) 48 10. Un móvil de 3kg parte con una velocidad de 2m/s y acelera a razón de 2m/s2 . Calcular la variación de su energía cinética al cabo de 5 s.

50m/s

A V

140m B 40m

a) 3 10 m/s d) 30 5

b) 5 10 e) 50 3

a) 420J d) 270

c) 45

193

b) 240 e) 210

c) 220

Lic. Juan Calle Mamani

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Electromecánica

FIS -100

11. Se lanza una pelota de 0,5kg verticalmente hacia arriba, con una velocidad de 20m/s. Calcular su energía

potencial gravitatoria cuando alcance su máxima altura

(g = 10m/s 2 )

a) 100J b) 140 c) 120 d) 170 e) 110 12. Encontrar la variación de energía potencial gravitatoria que experimenta el cuerpo de 0,5kg al ir de la posición “A” hasta “B” (g = 10m/s2 ). B

A 10m 2m

a) 100J b) 40 c) 20 d) 70 e) 80 3 13. Determinar la energía mecánica de un avión de 2.10 kg que vuela a razón de 40m/s a una altura de 200m. (g = 10m/s2 ).

200m

a) 1600KJ

b) 4000

c) 5600

d) 7020 194

e) 1800 Lic. Juan Calle Mamani

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Electromecánica

FIS -100

14. Calcular la energía cinética del objeto mostrado en “B” si se lanzó desde “A”.

m=8kg.

tAB = 14s

V=40m/s A

B

a) 50kJ b) 48 c) 120 d) 70 e) 40 15. El bloque se suelta en la posición “A”. Hallar la distancia que se desplazará sobre la superficie horizontal rugosa (μK = 0,2) si su velocidad cuando pasó por la posición “B” es nula. (g = 10 m/s2) A liso 5m μ = 0,2

d

a) 50m

b) 40

c) 30

d) 20 195

e) 25 Lic. Juan Calle Mamani

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Electromecánica

FIS -100

PRACTICA Nº 24 1. Calcule la energía cinética del automóvil de masa 500kg

2.

Para el instante mostrado calcule la energía mecánica del avión de juguete de 2kg respecto del suelo.

V = 10m/s 20m/s

4m

a) 25KJ b) 40 c) 20 d) 55 e) 18 3. Calcular la energía potencial gravitatoria con respecto al piso de una piedra de 2kg ubicada a una altura de 6m.(g =10m/s2 )

a) 379J b) 840 c) 380 d) 480 e) 218 4. Encontrar la energía cinética de un vehículo de 40kg cuando alcance una velocidad de 36km/h.

a) 70J b) 150 c) 120 d) 150 e) 108 5. Calcule la EM en (A) y (B) para la moto de 80kg. (A) Vi = 0

a) 4KJ b) 2 c) 3 d) 6 e) 8 6. Evalúe la energía mecánica del bloque de 2kg cuando pasa por la posición mostrada.

8m

V = 4m/s

2m/s 2m

(B) a) 5000 y 30J b) 4000;2000 c)6000;600 d) 1600;160 e) 6400 ; 640 7. Betito de masa 4kg se deja caer en (A). ¿Con qué velocidad llega al pasar por (B)? A

A

a) 44J b) 20 c) 22 d) 15 e) 18 8. Determine la relación entre las energías cinéticas de “A” y “B”

liso V

m/2

B

m 20m

V

2V

A

B a) 18m/s d) 35

b) 20 e) 38

c) 25

a) 2/3 d) 1/2 196

b) 2/5 e) 3/5

c) 5/7

Lic. Juan Calle Mamani

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Electromecánica

FIS -100

9. Un móvil de 5kg posee una velocidad de 72km/h. Hallar la energía cinética que posee.

10. Un móvil se mueve con velocidad constante y se observa que recorre 20m en 5s. Calcular su energía cinética si posee una masa de 4kg.

a) 4KJ b) 5 c) 1 d) 7 e) 3 11. Se suelta el bloque de 2kg en (A) ¿Qué velocidad tendrá al pasar por (B)?

a) 18J b) 22 c) 25 d) 38 e) 32 12. Encontrar la variación de energía potencial gravitatoria que experimenta el cuerpo de 4kg al ir de la posición “A” hasta “B” (g = 10m/s2 ).

A B V A 25m B

20m 19m 5m

a) 20m/s d) 35

b) 22 e) 42

c) 45

13. Se lanza una piedra de 2kg verticalmente hacia arriba, con una velocidad de 10m/s. Calcular su energía potencial gravitatoria cuando alcance su máxima altura (g = 10m/s2 )

a) 50J d) 70

b) 20 e) 80

c) 40

14. La energía potencial elástica que adquiere un resorte es de 800J y posee una constante de rigidez de 400N/cm, calcular la deformación que se produce en el resorte.

a) 120J b) 100 c) 160 a) 50cm b) 40 c) 30 d) 150 e) 110 d) 20 e) 60 1. El bloque se suelta en la posición “A”. Hallar la distancia que se desplazará sobre la superficie horizontal rugosa (μK = 0,2) si su velocidad cuando pasó por la posición “B” es nula. (g = 10 m/s2) A liso 5m μ = 0,2

d a) 50m

b) 40

c) 30

d) 20

197

e) 25

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Electromecánica

FIS -100

CONSERVACIÓN DE ENERGÍA La suma de la EC y la EP de un cuerpo, en un punto dado, se denomina “Energía Mecánica”

Energía Potencial

EM = EC + EP

Energía Cinética Energía Mecánica

Si sólo actúan “Fuerzas conservativas” sobre un cuerpo en movimiento, su energía mecánica total permanece constante para cualquier punto de su trayectoria, o sea la “EM” se conserva.

De ahí la frase “la energía no se crea ni se destruye solo se transforma”

Observación:

Las fuerzas cuyo trabajo no depende de la trayectoria se denominan,

fuerzas conservativas. A

Al bajar perdemos EP pero ganamos EC

Liso B

D

H

C

EMA = EMB = EMC = EMD

198

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EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1. De la figura calcular la energía mecánica que tiene el cuerpo en el punto “B” (m = 5 kg.) (Considerar la rampa lisa) m (A)

V = 2 m/s 4m

(B)

a) 200 J

b) 150

c) 210

d) 300

e) N.A.

2. Del gráfico calcular “H” (Considerar la rampa lisa) V=0

(A)

m = 4 kg

H V = 6 m/s (B)

a) 1,2 m

b) 1,6

c) 1,8

d) 2

e) NA.

3. De la figura calcular la energía potencial en el punto “B” (m = 2 kg) V0 = 0 A

EP = 103 J

B

EC = 50 J

Nivel de referencia

a) 50 J

b) 53

c) 60

d) 103 199

e) N.A. Lic. Juan Calle Mamani

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Electromecánica

4. Un cuerpo es soltado desde cierta altura en la

FIS -100

5. Del problema anterior calcular la energía cinética

posee una energía potencial igual a 107,3 J

en el instante que impacta en el piso

determinar la energía cinética del cuerpo en el punto en el cuál posee una energía potencial igual a 27,3 J

a) 80 J

b) 80,3

d) 107,3

e) N.A.

c) 27,3

6. Calcular la energía potencial del bloque mostrado en punto B

B

H

c) 30

EC =100J A

e) 70

8. Calcular la energía cinética en B si las superficies

b) 2

d) 4

e) 5

c) 3

en el punto “N” . (Considerar la rampa lisa) A

EC = 80 J EP = 70 J

a) 40 J

liso

M

EC = 40 J EP = 60 J

b) 50 J

c) 110 e) 130

a) 1m

9. Calcular la energía cinética del bloque mostrado

son lisas

d) 120

e) N.A.

de 1kg de masa.

d) 100

b) 90

d) 107,3

c) 27,3

liso

b) 20

a) 100 J

b) 80,3

7. Del problema anterior calcular H si el bloque es

EC = 80 J

a) 80 J

a) 80 J

c) 10 J

EP = 40 J

d) 90 J B

e) 100 J

200

V

N

Lic. Juan Calle Mamani

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Electromecánica

FIS -100

10. Del problema anterior calcular si el bloque es de

11. Un objeto se deja caer desde una altura “h”, ¿cuál

2kg. Calcular la velocidad con la que pasa por “N”

es el valor de su velocidad en un punto donde la energía potencial se ha reducido al 50%?

a) 6 m/s

b) 8

d) 10

e) 12

a)

c) 9

b)

2gh

d) 2 gh

gh

b)

2

gh

e) 4 gh

12. Un proyectil se lanza con una velocidad inicial V0, hallar la velocidad horizontal en el punto “B”. Desprecie la resistencia del aire. (h : altura máxima).

B

VO h

VB

A

a)

2gh

d)

Vo 2 + 2gh

b) Vo +

2gh

e)

gh

c)

Vo 2 − 2gh

13. Una esfera de masa “m” resbala sin fricción desde el punto “A”. ¿Cuál es la rapidez del cuerpo al pasar por B?

a) 2 gR b)

2gR

c) 3 gR d) 5 gR e) N.A.

201

Lic. Juan Calle Mamani

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Electromecánica

FIS -100

14. Una esfera es abandonada desde “A”. Determine su rapidez al pasar por “B”. L = 10 m. (g=10 m/s2).

a) 10 m/s

L

A

30°

b) 20 c) 30 d) 40

B

e) 50

15. Justamente antes de chocar contra el piso, una masa de 2 kg tiene una energía de 600 J. Si se desprecia el rozamiento, desde qué altura se dejó caer. (g = 10 m/s2)

a) 10 m

b) 20

c) 30

d) 40

202

e) 50

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FIS -100

PRACTICA Nº 25 1. De la figura calcular la energía mecánica en el punto

2. Del problema anterior calcular el valor de “V”.

“B” (Considerar la rampa lisa) VA = 0 m = 1 kg

(A)

a) 2

10 m/s

d) 60

3m

b) 2 5

c) 2 15

e) N.A.

V (B)

a) 30 J

b) 20

d) 50

e) N.A.

c) 10

3. De la figura calcular la energía potencial en “B”

4. Del problema anterior calcular la energía cinética en el instante que impacta en el piso.

VA = 0 (A)

EP = 60,7 J

(B)

EC = 50,3

a) 9,4 J

b) 10,4

d) 60,7

e) N.A.

c) 50,3

5. Calcular la energía potencial en (B) m = 2 kg

b) 10,4

d) 60,7

e) N.A.

c) 50,3

6. Del problema anterior calcular la velocidad del cuerpo en el punto “B”.

VA = 0 (A)

a) 9,4 J

EP = 83 J

(B)

a) 58 J

b) 25

d) 60

e) N.A.

EC = 25 J

c) 83

203

a) 1 m/s

b) 2

d) 4

e) 5

c) 3

Lic. Juan Calle Mamani

Instituto Tecnológico Ayacucho 7. De la figura calcular “H”

Electromecánica

(Considerar la rampa

FIS -100

8. Calcular la energía potencial gravitatoria en el punto

lisa)

“B” V

a) 150 J

m = 4kg

EC = 123 J EP = 47 J

b) 170 c) 140 H

A

liso

d) 120

V = 12 m/s

e) 20

EC = 20 J

N.R.

B

a) 6,2 m

b) 7,2

d) 10

e) N.A.

c) 8,2

9. Calcular la energía cinética en el punto “B”

10. Del problema anterior calcular la velocidad del

(Considerar la rampa lisa) VA =0

a) 100 J b) 200 c) 300 d) 400

móvil si m = 2kg

A

EP = 400 J

H

e) 500

V

N.R.

11. Calcular la energía potencial

B

de la figura

b) 20

d) 40

e) 50

c) 30

12. Calcular la energía mecánica en el punto “B”

mostrada a) 6,2 J

a) 10 m/s

(Considerar la rampa lisa) V

EC = 12,5 J EP = 14,3 J

a) 100 J

b) 4,7

b) 300

c) 5,8

c) 200

d) 6,8

d) 400 EC = 20 J

e) 3,4

e) 500

13. Calcular la energía cinética del cuerpo mostrado

A

V=0 m=4kg 10m

53° B

14. Calcular la energía mecánica del cuerpo en la posición mostrada (g = 10 m/s2)

a) 3 J b) 6 c) 220 d) 9 e) 19

V=3m/s

a) 300 J

m=2kg

b) 364

11m

c) 400 d) 464

V=4m/s2 m=8kg

5m

e) 572

204

Lic. Juan Calle Mamani

Instituto Tecnológico Ayacucho

Electromecánica

FIS -100

15. Calcular la energía mecánica en “B”. (Considerar la rampa lisa) a) 100 J

B

b) 200 c) 300 d) 400 e) 500

V = 10m/s m= 4kg A

205

Lic. Juan Calle Mamani

BIBLIOGRAFÍA 1. FISICA MECÁNICA Alfredo Álvarez Cossio y Eduardo Huayta Condori 2. FISICA MECÁNICA Goñi Galarza. 3. La siguientes páginas Web: ➢ https://ejerciciosdefisica.com/quinto-de-secundaria/ ➢ https://www.google.com/search?q=CONSERVACION+DE+LA+ENE RGIA