Finite-Elemente-Methode: Rechnergestützte Einführung [3., bearb. Aufl.] 3642112048, 9783642112041 [PDF]

Zitiervorschau

Finite-Elemente-Methode

Peter Steinke

Finite-Elemente-Methode Rechnergestützte Einführung 3., neu bearbeitete Auflage

1C

Professor Dr.-Ing. Peter Steinke Fachhochschule Münster Fachbereich Maschinenbau Stegerwaldstraße 39 48565 Steinfurt [email protected]

Die dritte Auflage ist um neue und überarbeitete Kapitel, eine Vielzahl weiterer Beispiele sowie eine neu gestaltete Lernsoftware CALL_for_FEM erweitert. Über die Internetadresse: http://extras.springer.com/2010/978-3-642-11204-1 kann dieses Softwarepaket heruntergeladen werden.

ISBN 978-3-642-11204-1 e-ISBN 978-3-642-11205-8 DOI 10.1007/978-3-642-11205-8 Springer Heidelberg Dordrecht London New York Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2004, 2007, 2010 Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Übersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielfältigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfältigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulässig. Sie ist grundsätzlich vergütungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Einbandentwurf: eStudio Calamar S.L., Figueres / Berlin Gedruckt auf säurefreiem Papier Springer ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media (www.springer.com)

Vorwort zur dritten Auflage Die dritte Auflage enth¨ alt zahlreiche Neuigkeiten und Verbesserungen. Neu ist z.B. das Kapitel zur Analogie zwischen W¨ arme¨ ubertragung und Schichten¨ str¨ omung. Uberarbeitet wurde unter anderem das Kapitel zum Timoshenko¨ Balken. Zum besseren Verst¨ andnis des Buchinhaltes sind weitere Ubungsbeispiele eingef¨ ugt worden. Deren L¨ osungen sind unter der neuen Benutzeroberfl¨ ache “ CALL for FEM“ (kurz: “ CfF“) zu finden. “ CfF“ kann aus dem Internet heruntergeladen werden (s. Kap 12.1.1 auf der S. 356). Die Benutoglicht den Zugriff auf alle weiteren Ressourcen zeroberfl¨ ache von “ CfF“ erm¨ ¨ des Buches. Dies sind die L¨ osungen zu den Ubungsbeispielen, Beispiele zur FEM, symbolische und numerische FE-Programme, ein erweiterter und verbesserter Preprozessor “ FEM GEN“ auf symbolischer Basis, ein neuer Postprozessor “ FEM VIEW“, die Methode von Ritz, Lernsoftware zum Verst¨andnis und zur Vertiefung des Buchinhaltes und erkl¨ arende Video-Tutorials. Zudem kann neuerdings die FE-Rechnung mit Symbolen von “ FEM CAS“ auf dem uhrt werden. Zu den Anwendungen steht je“ CALL for FEM-Server“ durchgef¨ weils eine Hilfe zur Verf¨ ugung. Bei der Erstellung der dritten Auflage waren folgende Personen unterst¨ utzend t¨ atig: Herr Dipl.-Ing. Averkamp sowie Dipl.-Ing. Ad¨ammer, Dipl.-Ing. Hasselmann und als cand.-ing.’s: Ewering, Gehring, Hemker, Huning und Sebald. Dank gilt auch dem Springer-Verlag, insbesondere Frau Hestermann-Beyerle. Steinfurt, im Februar 2010

Peter Steinke

Hinweise zum Gebrauch dieses Buches Viele Erweiterungen, Erg¨ anzungen und weiterf¨ uhrende Hilfsmittel des Buches sind ausgelagert und u ur den K¨aufer des Buches herunter¨ber das Internet f¨ ladbar (s. Kap. 12.1.1 auf der S. 356). Die Hinweise auf diese zus¨atzlichen Lernmittel werden u ¨ber drei verschiedene Icons gesteuert, die am Außenrand des Buches auftreten: ¨ Nebenstehendes Icon tritt bei der Formulierung von Ubungsbeispielen im Buch auf, deren L¨ osungen unter dieser Iconform in “ CALL for FEM“ zu finden sind (s. Kap. 12.1.3 auf der S. 356). Dieses Icon zeigt an, daß zur Erl¨ auterung und Erg¨anzung des Buchinhaltes ein Video-Tutorial zur Verf¨ ugung steht (s. Kap. 12.1.5 auf der S. 358). Rechtes Icon gibt einen Hinweis auf die Lernsoftware, die den Buchinhalt unterst¨ utzt, erweitert und vertieft (s. Kap. 12.1.4 auf der S. 357).

x.y

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VI

Vorwort

Vorwort zur ersten Auflage Das vorliegende Buch samt der beigef¨ ugten CD-ROM ist aus Vorlesungen, ¨ Ubungen und Praktika hervorgegangen, die der Autor an verschiedenen Hochschulen f¨ ur Maschinenbauer und Maschinenbauinformatiker gehalten hat. Es wendet sich dar¨ uber hinaus an Studenten der Natur- und Ingenieurwissenschaften. Weiterhin ist es f¨ ur Physiker und Ingenieure geeignet, die sich im Selbststudium in die Methode einarbeiten wollen oder an Weiterbildungsveranstaltungen teilnehmen. In einem Anfangskapitel werden die mathematischen Hilfsmittel wiederholt, die f¨ ur die weitere Behandlung des Stoffes notwendig sind. Daran schließt sich die Beschreibung elastostatischer Probleme an. Zum Einstieg in die FEM wird das Verfahren von Ritz behandelt. Das Verfahren wird so beschrieben, daß es einer Programmierung mit einem Computeralgebra-System (CAS) zug¨anglich ist. Diese Vorgehensweise wird auch bei der Herleitung des weiteren Stoffes beibehalten. Neben der Elastostatik wird das Gebiet der Feldprobleme behandelt. Daran schließt sich die Betrachtung nichtlinearer Probleme f¨ ur Stab und Balken an. Abschließend wird auf die entwickelten Computeralgebraprogramme eingegangen. Die beigef¨ ugte CD-ROM stellt eine wesentliche Erg¨anzung des Buches dar. Sie enth¨ alt neben der Software, die aus insgesamt ca. 27000 Zeilen besteht, Handrechenbeispiele zu den einzelnen Kapiteln des Buches. Die Software soll rechnerunterst¨ utztes Lernen erm¨ oglichen. Sie ist in zwei Anwendungsfelder unterteilbar. Zum einen handelt es sich um Computeralgebraprogramme in “ MAPLE“, die die Ableitungen des Buches zum Inhalt haben. So ist zum Beispiel das eindimensionale Stabelement im Programm so verallgemeinert, daß man damit ein Stabelement mit n Knoten und verschiedenen Geometrieformen entwickeln kann. Zum anderen enth¨ alt die CD-ROM ein FE-Paket. Dieses liegt sowohl als Computeralgebraprogramm als auch in einer Hochsprache vor. Hiermit lassen sich FE-Probleme in symbolischer und numerischer Form l¨ osen. Erg¨ anzt wird das Paket um einen Postprozessor zur grafischen Auswertung der Eingabe- und Ausgabedaten. Das Arbeiten mit der umfangreichen Software wird mit einem separaten Hilfeprogramm unterst¨ utzt. Es werden Eingabebeschreibungen, die durch Beispiele erg¨anzt sind, leicht verst¨andlich. Weitere Beispiele zu den Programmen zeigen die Anwendungsbreite der Programme auf. Die Verkn¨ upfung von Buch und CD-ROM ist durch zahlreiche Verweise und Beispiele gegeben und machen so ein rechnergest¨ utztes Selbststudium m¨ oglich. Die Erstellung des Buches und der CD-ROM w¨are in der vorliegenden Form ohne die engagierte Mitarbeit verschiedener Personen nicht m¨oglich gewesen. Besonders bedanken m¨ ochte ich mich bei Herrn Dipl.-Ing. Averkamp, der

Vorwort

VII

f¨ ur die Erstellung der CD sowie f¨ ur die Erstellung der Bilder zust¨andig war. Weiterhin k¨ ummerte er sich um die Realisierung des Skriptes mit LATEX. Mein Dank gilt auch Frau cand.-ing. Fresmann und Frau cand.-ing. Kreuch, die einen Großteil des Skriptes mit LATEX realisierten und die Oberfl¨ache von “ MAPLE“ mittels maplets programmierten. Dank auch an Frau Dipl.-Ing. Terlinde f¨ ur die sorgf¨ altige Durchsicht des Skriptes. Danken m¨ochte ich auch dem Springer-Verlag f¨ ur die gute Zusammenarbeit, speziell Frau HestermannBeyerle. Steinfurt, im Juli 2003

Peter Steinke

Inhaltsverzeichnis 1 1.1 1.2 1.3 1.3.1 1.3.2

Einleitung Vorgehensweise bei der FEM .................................. Verschiedene Elementtypen ................................... Beispiele zur Finite-Elemente-Methode ..................... Beispiel zu nichtlinearen Problemen ......................... Beispiele zur Optimierung ......................................

3 5 10 10 11

2 2.1 2.2 2.2.1 2.2.2 2.2.3 2.2.4 2.2.5 2.2.6 2.2.7 2.3 2.3.1 2.3.2 2.3.3 2.3.4 2.4 2.4.1 2.4.2 2.5 2.5.1 2.5.2 2.5.3 2.6 2.6.1 2.6.2 2.6.3 2.7 2.7.1 2.8 2.8.1 2.8.2 2.9 2.9.1

Mathematische Grundlagen Schreibweisen ..................................................... Vektoren ........................................................... Definition eines n dimensionalen Vektors ................... Skalarprodukt ..................................................... Kreuzprodukt ..................................................... Ableitung von Vektoren ........................................ Der Nabla-Vektor ................................................ Der Gradientenvektor ........................................... Divergenz und Laplace-Operator.............................. Matrizen ........................................................... Definition einer Matrix.......................................... Rechenregeln...................................................... Transponierte Matrix............................................ Orthogonale Matrix ............................................. Die Dyade (Tensor zweiter Stufe) ............................ Differentialoperator ............................................. Tensor h¨oherer Stufe ........................................... Felder .............................................................. Skalarfelder ....................................................... Das Vektorfeld als Gradient des Skalarfeldes .............. Das dyadische Feld .............................................. Lineare Transformation ......................................... Transformation eines Vektors.................................. Transformation einer Dyade (Tensor zweiter Stufe)....... Beispiele zur Transformation .................................. Funktionale........................................................ Diskretisierung des Funktionals ............................... Dreieckskoordinaten ............................................ Ableitungen in Dreieckskoordinaten (Jakobi-Matrix) ..... Integration in Dreieckskoordinaten ........................... Numerische Integration (Quadratur) ......................... Numerische Integration f¨ ur eindimensionale Probleme ...

19 20 20 20 20 21 22 22 23 23 23 24 26 27 27 28 28 28 28 29 29 32 32 34 34 36 38 39 41 44 45 45

X

Inhaltsverzeichnis

2.9.2 2.10 2.10.1 2.10.2 2.10.3 2.10.4 2.10.5 2.10.6 2.11 2.12

Numerische Integration in Dreieckskoordinaten ............ Lineare Gleichungssysteme bei der FEM .................... Definition der Bandbreite ...................................... Rechenzeiten zur L¨osung linearer Gleichungssysteme ..... Positiv definite Matrix ......................................... Das Verfahren von Cholesky .................................. Kondition linearer Gleichungssysteme ....................... Zwangsbedingungen bei linearen Gleichungssystemen .... N¨aherungsfehler bei der FEM ................................ Das Tonti-Diagramm............................................

47 48 49 49 50 51 53 56 57 58

3 3.1 3.1.1 3.1.2 3.1.3 3.1.4 3.1.5 3.1.6 3.2 3.2.1

Beschreibung elastostatischer Probleme Die Grundgleichungen der Elastizit¨atstheorie............... Verkn¨ upfung der Verschiebungen mit den Dehnungen ... Das Stoffgesetz................................................... Gleichgewichtsbedingungen .................................... Randbedingungen ................................................ Das Tonti-Diagramm des elastostatischen Problems...... Verkn¨ upfung der Grundgleichungen der Elastostatik...... Das Prinzip virtueller Verr¨ uckungen.......................... Das Prinzip vom Gesamtpotential ............................

61 61 62 62 62 63 64 65 65

4 4.1 4.1.1 4.2 4.2.1 4.2.2 4.2.3 4.3 4.3.1 4.3.2 4.3.3 4.4 4.4.1 4.4.2 4.4.3 4.4.4 4.4.5 4.4.6 4.4.7

Das Verfahren von Ritz Aufpr¨agen der wesentlichen Randbedingungen ............. Beispiel zu den wesentlichen Randbedingungen............ Eindimensionale Stabprobleme ................................ Diskretisierung der Form¨anderungsarbeit.................... Diskretisierung des Potentials der ¨außeren Lasten......... Beispiel zum eindimensionalen Stab ......................... Eindimensionale Balkenprobleme ............................. Diskretisierung der Form¨anderungsarbeit.................... Diskretisierung des Potentials der ¨außeren Lasten......... Variation des Gesamtpotentials .............................. Scheibenproblem ................................................. Verschiebungsans¨atze ........................................... Wesentliche Randbedingungen ................................ Dehnungen und Spannungen der Scheibe ................... Diskretisierung der Form¨anderungsarbeit.................... Diskretisierung des Potentials der ¨außeren Lasten......... Variation des Gesamtpotentials ............................... Kragbalken als Scheibenproblem ..............................

72 73 75 75 76 77 79 79 79 80 84 85 85 86 87 88 89 89

Inhaltsverzeichnis

5 5.1 5.1.1 5.1.2 5.1.3 5.1.4 5.1.5 5.1.6 5.1.7 5.1.8 5.1.9 5.1.10 5.1.11 5.1.12 5.2 5.2.1 5.2.2 5.2.3 5.2.4 5.2.5

Stabelemente Das eindimensionale Stabelement ............................ Problemdefinition ................................................ Das Tonti-Diagramm des Stabes ............................. Das Funktional des Stabproblemes ........................... Diskretisierung des Funktionals des Stabes ................. Variation des Funktionals ...................................... Beispiel zum eindimensionalen Stab.......................... Direkte Erstellung der Gesamtsteifigkeitsmatrix .......... Erstellung der Gesamtsteifigkeitsmatrix (allgemein) ...... ¨ Ubungsbeispiele zum eindimensionalen Stab ............... Variable Querschnittsfl¨ache des Stabelementes ............ Eindimensionales Stabelement mit n Knoten .............. Eindimensionaler Stab mit drei bzw. vier Knoten ........ Das zwei- und dreidimensionale Stabelement ............. Das zweidimensionale Stabelement .......................... Beispiel zum zweidimensionalen Stabproblem ............. Optimierung eines Stabtragwerkes............................ ¨ Ubungsbeispiele zum zweidimensionalen Stab.............. Das dreidimensionale Stabelement ..........................

6 6.1 6.1.1 6.1.2 6.1.3 6.1.4 6.1.5 6.1.6 6.1.7 6.1.8 6.1.9 6.1.10 6.2 6.2.1 6.2.2 6.2.3 6.3 6.4

Balkenelemente Das eindimensionale Balkenelement .......................... Problemdefinition ................................................ Dehnungen und Spannungen im Balken .................... Das Tonti-Diagramm des Bernoulli-Balkens ............... Funktional des Balkenproblems .............................. Formfunktionen des eindimensionalen Balkens ............ Diskretisierung des Funktionals ............................... Variation des diskretisierten Funktionals ................... Bilden der Steifigkeitsmatrix .................................. Diskretisierung der Streckenlast............................... Schnittgr¨oßen des Balkenelementes .......................... Beispiel zum eindimensionalen Balken ....................... Zweiseitig gelagerter Balken mit Streckenlast .............. Konvergenztest beim zweiknotigen Balkenelement ........ Realisierung des Gelenkes u ¨ber eine Zwangsbedingung... ¨ Ubungsbeispiele zum Bernoulli-Balken....................... Balkenelement mit n Knoten und p Freiheitsgraden pro Knoten ............................................................. Das eindimensionale Balkenelement mit drei Knoten .....

6.4.1

XI

95 95 95 98 98 101 103 109 111 113 115 116 119 120 120 123 128 131 134

139 139 140 141 142 143 145 147 148 149 151 153 153 157 159 161 164 167

XII

Inhaltsverzeichnis

6.9.1 6.9.2

Das eindimensionale Balkenelement mit drei Freiheitsgraden pro Knoten .................................................. Balken mit unstetiger Kr¨ ummungsverteilung ............... Der Timoshenko-Balken ........................................ Schnittgr¨oßen beim Timoshenko-Balken .................... Locking-Effect“ ................................................. ” ¨ Ubungsbeispiele zum Timoshenko-Balken................... Der elastisch gelagerte Balken ............................... Beispiel zum elastisch gelagerten Balken .................... Zweidimensionales Balkenelement ............................ Freiheitsgrade des zweidimensionalen Balkens ............. ¨ Uberlagerung der Dehnungen von Stab und Balken ...... Steifigkeitsmatrix ............................................... Transformation der Steifigkeitsmatrix........................ ¨ Beispiel und Ubungsbeispiele zum zweidimensionalen Balken ................................................................. Winkelproblem.................................................... ¨ Ubungsbeispiele zum zweidimensionalen Balken ...........

7 7.1 7.2 7.2.1 7.3 7.4 7.4.1 7.4.2 7.4.3 7.4.4 7.4.5 7.5 7.6

Scheibenproblem Problemdefinition ................................................ Die Grundgleichungen des Scheibenproblems ............. Die Feldgleichungen der Scheibe ............................. Das Funktional des Scheibenproblems ....................... Diskretisierung des Funktionals ............................... Formfunktionen des Dreieckselementes ..................... Variation des diskretisierten Funktionals .................... Diskretisierung der Volumenkr¨afte............................ Diskretisierung der Streckenlasten ............................ Spannungen in der Scheibe .................................... Beispiele zum Scheibenproblem ............................... ¨ Ubungsbeispiele zur Scheibe ...................................

209 210 211 212 213 213 217 219 222 225 225 232

8 8.1 8.2 8.2.1 8.2.2 8.2.3 8.2.4 8.2.5 8.3

Platten- und Schalenelemente Problemdefinition ................................................ Grundbeziehungen der Platte.................................. Voraussetzungen bei der Kirchhoff-Platte .................. Kinematische Gr¨oßen der Platte .............................. Kr¨ ummungs-Momenten-Beziehung (Stoffgleichung) ...... Gleichgewichtsbeziehungen der Platte ....................... Randbedingungen der Platte .................................. Das Funktional der Platte .....................................

237 237 237 239 240 242 242 243

6.5 6.5.1 6.6 6.6.1 6.6.2 6.6.3 6.7 6.7.1 6.8 6.8.1 6.8.2 6.8.3 6.8.4 6.9

171 174 175 181 182 184 185 187 192 192 192 193 195 198 198 204

Inhaltsverzeichnis

XIII

8.4 8.4.1 8.4.2 8.4.3 8.4.4 8.5 8.5.1 8.5.2 8.5.3 8.5.4 8.5.5 8.5.6 8.5.7 8.6 8.7

Anforderungen an das Plattenelement ....................... Kompatibilit¨at (konforme Elemente) ......................... Starrk¨orperbewegung............................................ Konstanter Dehnungszustand (Verzerrungszustand) ...... Einige Dreiecksplattenelemente ............................... Diskretisierung des Funktionals ............................... Ansatzfunktion f¨ ur die Durchbiegung ........................ Interpolationsbedingungen ..................................... Formfunktionen .................................................. Kr¨ ummungs-Verschiebungs-Beziehung....................... Steifigkeitsmatrix ................................................ Fl¨achenlast ........................................................ Streckenlast entlang einer Elementkante .................... Konvergenztest des Plattenelementes........................ Schalenelement ...................................................

9 9.1 9.1.1 9.1.2 9.1.3 9.2 9.2.1 9.2.2

Feldprobleme W¨arme¨ ubertragung .............................................. 269 Die Poisson’sche Gleichung .................................... 269 Randbedingungen ................................................ 269 Das Funktional der W¨arme¨ ubertragung ..................... 270 Eindimensionale W¨arme¨ ubertragung ......................... 271 Problemdefinition ................................................ 271 Funktional des eindimensionalen W¨arme¨ ubertragungsproblems ............................................................... 271 Diskretisierung des Funktionals ............................... 272 Variation des Funktionals ...................................... 276 Beispiel zur eindimensionalen W¨arme¨ ubertragung......... 277 ¨ Ubungsbeispiele: Eindimensionale W¨arme¨ ubertragung ... 282 Zweidimensionale W¨arme¨ ubertragung ...................... 284 Problemdefinition ................................................ 284 Randbedingungen bei der zweidimensionalen W¨arme¨ ubertragung ............................................................ 284 Diskretisierung des Funktionals .............................. 285 Variation des Funktionals ...................................... 292 Beispiel zur zweidimensionalen W¨arme¨ ubertragung ....... 294 ¨ Ubungsbeispiele zur zweidimensionalen W¨arme¨ ubertragung 299 Torsion von prismatischen K¨orpern .......................... 302 Funktional des Torsionsproblems.............................. 305 Analogie - W¨arme¨ ubertragung zu Schichtenstr¨ omung.... 308 Problembeschreibung ........................................... 308

9.2.3 9.2.4 9.2.5 9.2.6 9.3 9.3.1 9.3.2 9.3.3 9.3.4 9.3.5 9.3.6 9.4 9.4.1 9.5 9.5.1

245 245 246 247 247 249 249 250 253 253 254 255 256 257 258

XIV

Inhaltsverzeichnis

9.5.2 9.5.3 9.5.4

Grundgleichungen ................................................ 308 Analogie der Randbedingungen ............................... 310 Analoges Funktional des Str¨ omungsproblems .............. 311

10 10.1 10.1.1 10.1.2 10.2 10.2.1 10.2.2 10.3 10.3.1 10.4 10.4.1 10.4.2 10.4.3

Eigenfrequenzen und Schwingungsformen von St¨ aben und Balken Der eindimensionale Stab ...................................... 315 Massenmatrix des eindimensionalen Stabes................. 316 Eigenfrequenzen und Schwingungsformen................... 316 Beispiele zum eindimensionalen Stab ........................ 318 Einmassenschwinger ............................................. 318 Zweimassenschwinger ........................................... 319 Der eindimensionale Balken.................................... 322 Massenmatrix des eindimensionalen Balkens ............... 322 Beispiele zum eindimensionalen Balken...................... 323 Beidseitig gelenkig gelagerte Balken ......................... 324 Kragbalken ........................................................ 326 ¨ Ubungsbeispiel zur Balkenschwingung ....................... 328

11 11.1 11.1.1 11.1.2 11.1.3 11.1.4 11.2 11.2.1 11.2.2 11.2.3 11.2.4 11.2.5 11.2.6

Nichtlineare Probleme Große Verformungen ............................................ Dehnungs-Verschiebungs-Beziehung ......................... Dehnungen f¨ ur Stab und Balken .............................. Stab mit großen Verformungen ............................... Balken mit großen Verformungen ............................. Knicken von St¨aben und Balken .............................. Beispiel zum Stabknicken ...................................... Knickbeispiel I (Stab) ........................................... Beispiel zum Knicken von Balken............................. Die vier Eulerf¨alle ................................................ Knickbeispiel II (Balken) ....................................... Knickbeispiel III (Dreiknotiges Balkenelement) ............

333 333 334 334 337 341 343 346 346 349 350 350

12 12.1 12.1.1 12.1.2 12.1.3 12.1.4 12.1.5 12.1.6 12.1.7

CALL for FEM ¨ Ubersicht u ¨ber CALL for FEM ................................ Installation von CALL for FEM auf dem Rechner ......... Updates zu CALL for FEM .................................... ¨ L¨osungen zu den Ubungsbeispielen ........................... Hinweise auf die Lernsoftware durch Icons.................. Video-Tutorials als Lernmittel ................................. FE-Programme ohne MAPLE nutzbar ....................... FEM CAS u ¨ber den CALL for FEM-Server nutzbar.......

355 356 356 356 357 358 358 360

Inhaltsverzeichnis

12.1.8 12.2 12.2.1 12.2.2 12.2.3 12.2.4 12.2.5 12.2.6 12.2.7 12.2.8 12.2.9 12.2.10 12.2.11 12.2.12 12.2.13 13 13.1 13.2 13.3

Weitere Lernsoftware zur Unterst¨ utzung des Buches ..... Weitere Programmbeschreibungen ........................... Das Programm InterFEM ...................................... Das Verfahren von Ritz f¨ ur den eindimensionalen Stab (Ritz Stab) ........................................................ Das Verfahren von Ritz f¨ ur den Balken (Ritz Balken) .... Das Verfahren von Ritz f¨ ur die Scheibe (Ritz Scheibe) .. Eindimensionales Stabelement (Stab 1D)................... Eindimensionales Balkenelement (Balken 1D) ............. Timoshenko-Balken.............................................. Dreiecksscheibenelement (Scheibe Dreieck) ................ Plattenelement (Platte) ........................................ Knicken eines eindimensionalen Balkens (Knicken Balken) Eigenfrequenzen und Schwingungsform des Balkens (Dynamik Balken) .................................................... Eindimensionale Feldprobleme (Feldprobleme 1D) ........ Zweidimensionale Feldprobleme (Feldprobleme 2D) ......

XV

361 363 363 363 365 367 369 371 372 373 374 374 376 377 377

Beispiele zu den Programmen Rahmen durch Federn gest¨ utzt ............................... 381 Scheibe gest¨ utzt durch eine Feder ............................ 382 W¨arme¨ ubertragung (Torsion) eines gleichseitigen Dreiecks (Quadrates)................................................. 384 Verwendete Formelzeichen und Symbole . . . . . . . . . . . .

389

Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

399

Sachverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

403

Programme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

411

Kapitel 1 Einleitung

1

1

1 1.1 1.2 1.3 1.3.1 1.3.2

Einleitung Vorgehensweise bei der FEM .................................. Verschiedene Elementtypen ................................... Beispiele zur Finite-Elemente-Methode ..................... Beispiel zu nichtlinearen Problemen ......................... Beispiele zur Optimierung ......................................

3 5 10 10 11

1 Einleitung Das Aufkommen und die rasante Weiterentwicklung der elektronischen Datenverarbeitung (EDV) in den letzten Jahrzehnten, er¨offneten in vielen Ingenieurdisziplinen vollkommen neue M¨ oglichkeiten. So lassen sich viele physikalische Vorg¨ ange, die fr¨ uher ausschließlich in einem Versuch nachgebildet werden konnten, heute auf dem Rechner simulieren. W¨ahrend der Versuch in der Regel ein Modell oder eine Istausf¨ uhrung ben¨otigt, kann die Simulation schon in einem Vorstadium der Entwicklung eingesetzt werden. Ein wichtiges Einsatzgebiet der Simulation ist das der Strukturmechanik. Sie erm¨oglicht in diesem Rahmen die Berechnung von Verformungen, Spannungen, Temperaturen und anderen Gr¨ oßen von beliebig komplizierten Bauteilen. Ein Verfahren innerhalb der Simulation, das in den letzten Jahrzehnten immer mehr an Bedeutung gewonnen hat, ist die Finite-Elemente-Methode (FEM). Die allgemeing¨ ultige Formulierung, die der FEM zugrunde liegt, f¨ uhrt zu einem Einsatz auf vielen Gebieten des Ingenieurwesens. Im Abschnitt 1.2 werden einige Beispiele zu den Anwendungsm¨ oglichkeiten der Methode in verschiedenen Bereichen aufgezeigt. Die FEM ist von Hause aus ein numerisches Verfahren. Die Ein- und Ausgabedaten bestehen aus Zahlen. Mit dem Aufkommen von Computeralgebraoffnen sich neue M¨ oglichkeiten. Statt mit Zahlen wird mit Systemen (CAS) er¨ Symbolen gearbeitet. Diese Vorgehensweise wird in diesem Buch genutzt. Es werden die abgeleiteten Algorithmen in Computeralgebraprogrammen umgesetzt (s. Kap. 12, 13). Die Software kann u ¨ber das Internet heruntergeladen werden (s. Kap. 12.1.1 auf der S. 356). Die Programme k¨onnen u ¨ ber eine Benutzeroberfl¨ ache interaktiv genutzt werden und dienen als Basis zur rechnergest¨ utzten Einarbeitung in die FEM.

1.1

1.1 Vorgehensweise bei der FEM In Bild 1.1 sind die einzelnen Schritte bei der Anwendung der FEM dargestellt. Der erste Schritt beschreibt die Modellierung des Problems. Die Geometrie des realen Bauteils, hier die eines Kragbalkens, wird idealisiert. Im vorliegenden Fall wird das dreidimensionale Problem auf ein ebenes zur¨ uckgef¨ uhrt, indem die Mittelebene des Kragbalkens betrachtet wird. Damit kann das Problem als Scheibenproblem beschrieben werden. Bei der Diskretisierung wird die Mittelebene gedanklich in finite Elemente eingeteilt, hier in Viereckselemente. Dies f¨ uhrt auf das sogenannte FE-Netz. Den Elementen des Netzes wird die Dicke des Kragbalkens zugeordnet. Damit wird die dritte Dimension der Geometrie ber¨ ucksichtigt. Als n¨ achstes werden die Randbedingungen dem Modell aufgepr¨ agt. Im angef¨ uhrten Beispiel sind es die La-

A

4

1. Einleitung

Bild 1.1. Schritte bei der Anwendung der FEM

gerungsbedingungen1 sowie die Belastung2 . Die Modellierung wird auch als Preprozessing bezeichnet. Ausgehend von einem CAD-Modul [50] wird die Generierung der Elemente und Randbedingungen grafisch interaktiv durchgef¨ uhrt. In der Mitte von Bild 1.1 sind die Algorithmen angef¨ uhrt, die den Kern der FEM ausmachen. Als erstes werden die Steifigkeitsmatrizen der einzelnen Elemente aufgestellt. Sie werden sodann additiv zu einer Gesamtsteifigkeitsmatrix u ¨ berlagert. Diese Matrix stellt gleichzeitig die Koeffizientenmatrix eines Gleichungssystems dar, dessen L¨ osung auf die gesuchten Unbekannten f¨ uhrt. Im vorliegenden Fall sind es die Verformungen des Kragbalkens. Zur L¨osung des Gleichungssystems m¨ ussen die Lagerungsbedingungen ber¨ ucksichtigt werden. Aus den Verformungen k¨ onnen die Spannungen und Reaktionsgr¨oßen berechnet werden. 1

Diese Bedingungen werden im folgenden wesentliche oder auch geometrische Randbedingungen genannt. 2 Die Kraftrandbedingung wird allgemein als nat¨ urliche Randbedingung bezeichnet.

1.2

Verschiedene Elementtypen

5

Der hohe numerische Aufwand dieser Algorithmen stand einem praktischen Einsatz der FEM urspr¨ unglich im Wege. Insbesondere das L¨osen des Gleichungssystems erfordert eine hohe Rechenleistung. Die rasante Weiterentwicklung der Rechner erm¨ oglicht aber heute selbst den Einsatz dieser Methode auf kleineren Rechenanlagen. In der letzten Zeile von Bild 1.1 sind die m¨ oglichen Ergebnisse angef¨ uhrt. Die große Anzahl von Ergebnisdaten in Zahlenform macht auch bei der Ergebnisdarstellung, dem sogenannten Postprozessing, den Rechnereinsatz notwendig. Die grafische Interpretation der Ergebnisdaten verschafft einen schnellen ¨ Uberblick u ¨ ber das Verformungsverhalten des Bauteils. Ebenso lassen sich die Spannungsverteilung im Bauteil sowie die auftretenden Reaktionskr¨afte grafisch auswerten.

1.2 Verschiedene Elementtypen In den Tab. 1.1 bis 1.4 sind verschiedene Elementtypen dargestellt. Die Tabellen weisen jeweils zwei Spalten auf. In der linken Spalte ist die Elementform aufgef¨ uhrt. Die Knoten des Elementes sind mit Punkten und mit Knotennummern in Form von Buchstaben1 i, j, k, . . . gekennzeichnet. In einem Knoten sind exemplarisch die Knotenfreiheitsgrade angef¨ uhrt, f¨ ur einen weiteren Knoten die zugeordneten Kr¨ afte und Momente. Die Knoten, die als kleine Kreise dargestellt sind, sind m¨ ogliche zus¨ atzliche Knoten. So kann das Stabelement in Tab. 1.1 sowohl zwei Knoten i, j, drei Knoten i, j, k oder eine noch h¨ ohere Knotenanzahl aufweisen (s. Kap. 5.1.11). Das gilt auch f¨ ur das Balkenelement (s. Kap. 6.4). Das Scheibenelement hat die Form eines Dreiecks oder Vierecks. Jeder Knoten weist zwei Verschiebungen u, v als Freiheitsgrade auf. Diesen zugeordnet sind atzliche Knoten k¨ onnen auf der Seitenhalbierenden die Kr¨ afte Fx und Fy . Zus¨ des Elementes auftreten. Die rechte Spalte zeigt jeweils ein Anwendungsbeispiel zu den einzelnen Elementtypen. F¨ ur das Stabelement ist es ein ebenes Fachwerk, das durch mehrere Kr¨ afte belastet wird. F¨ ur das Balkenelement ist ein ebener Rahmen als Beispiel angef¨ uhrt. Der Rahmen wird durch eine Kraft, eine Streckenlast und ein Moment belastet und ist zweifach gelagert. Als Anwendungsgebiet der Scheibenelemente ist ein Zylinderauge mit Bolzen angef¨ uhrt. Dieses Beispiel wird durch Dreiecks- und Viereckselemente beschrieben. Der Bolzen wird durch eine Kraft F belastet. Das eine Ende des Zylinderauges ist fest eingespannt. Die Besonderheit des Problemes liegt darin, daß das Beispiel aus 1

¨ Bei einigen Elementen sind aus Gr¨ unden der Ubersichtlichkeit nicht alle Knoten gekennzeichnet.

1.2

6

1. Einleitung

Tabelle 1.1. Stab-, Balken- und Scheibenelemente

Anwendung

Stabelement

Elementtyp

Fachwerk

3 Freiheitsgrade pro Knoten

Rahmen

Vierecksscheibenelement

Dreiecksscheibenelement

Balkenelement

2 Freiheitsgrade pro Knoten

2 Freiheitsgrade pro Knoten

Zuglasche mit Bolzen als Kontaktproblem

2 Freiheitsgrade pro Knoten

1.2

Verschiedene Elementtypen

7

Tabelle 1.2. Plattenelemente

Vierecksplattenelement

Dreiecksplattenelement

Elementtyp

Anwendung

3 (2) Freiheitsgrade pro Knoten

Dreiseitig gelagerte Platte

3 Freiheitsgrade pro Knoten

zwei K¨ orpern besteht. Die Kraft F wird vom Bolzen u ¨ber die Kontaktzone auf das Zylinderauge u ¨bertragen. Das Kontaktproblem bedarf innerhalb der FEM einer speziellen Behandlung. ¨ Die Tab. 1.2 f¨ uhrt Plattenelemente an. Einen detaillierten Uberblick u ¨ ber Plattenelemente findet man in [5]. Das einfachste Dreiecksplattenelement [8] hat drei Freiheitsgrade pro Knoten, n¨ amlich die Durchbiegung w der Platte sowie die beiden Verdrehungen θx , θy um die x- bzw. um die y-Achse. Eine Erh¨ ohung der Knotenanzahl weist das Element auf, das auf den Seitenhalbierenden zus¨ atzliche Knoten l, m, n hat [10]. Diese zus¨atzlichen Knoten haben je zwei Freiheitsgrade pro Knoten, n¨ amlich die Durchbiegung w sowie die Ableitung der Durchbiegung nach der Randnormalen ∂w/∂n. Das einfachste Vierecksplattenelement in Tab. 1.2 hat die Form eines Rechteckes oder in erweiterter Form die eines Parallelogrammes [2, 5]. Es weist je Knoten drei Freiheitsgrade auf. Eine Erh¨ ohung der Knotenanzahl beim Vierecksplattenelement f¨ uhrt auf das achtknotige Element mit je drei Freiheitsgraden (Durchbiegung und zwei Verdrehungen) pro Knoten. Grundlage

8

1. Einleitung

Tabelle 1.3. Schalenelemente

Vierecksschalenelement

Dreiecksschalenelement

Elementtyp

Anwendung

6 (5) Freiheitsgrade pro Knoten

K¨ uhlturm

6 (5) Freiheitsgrade pro Knoten

dieses Elementes ist die Theorie schubelastischer Platten [30], w¨ahrend die vorherigen Plattenelemente auf der Theorie schubstarrer Platten basieren. Das Anwendungsbeispiel zu den Plattenelementen zeigt eine dreiseitig gelagerte Platte. Sie wird durch neun vierknotige Elemente beschrieben und durch Einzelkr¨ afte belastet. ¨ Die Uberlagerung von Scheiben- und Plattenelement ist ein Weg, Schalenelemente zu erstellen (s. Tab. 1.3). Das einfachste so erstellte Schalenelement ist das dreiknotige Schalenelement [4]. Jeder Knoten hat sechs Freiheitsgraur einen Knoten de u, v, w, θx , θy , θz . Der sechste Freiheitsgrad θz wird f¨ eingef¨ uhrt, wenn alle an den Knoten angrenzenden Elemente nicht in einer Ebene liegen. Liegen sie in einer Ebene, braucht er nicht definiert zu werden [46]. Das sechsknotige Schalenelement kann zweifach gekr¨ ummt sein [3]. Beim Vierecksschalenelement tritt sowohl das vierknotige, achtknotige als auch das

1.2

Verschiedene Elementtypen

9

Tabelle 1.4. Tetraeder-, Pentaeder- und Hexaederelemente

Anwendung

Tetraederelement

Elementtyp

Pentaederelement

3 Freiheitsgrade pro Knoten

Hexaederelement

3 Freiheitsgrade pro Knoten

S¨aulenf¨ uhrung

3 Freiheitsgrade pro Knoten

neunknotige Element auf. Beim neunknotigen Element liegt der neunte Knoten in der Schalenmitte. Das Anwendungsbeispiel zeigt das Netz eines K¨ uhlturms. Es besteht aus 900 Viereckselementen. Mit Hilfe des Netzes k¨ onnen unter anderem Verformungen, Schnittgr¨ oßen und Spannungen in diesem Bauteil berechnet werden.

10

1. Einleitung

Ebenso kann das Beulverhalten, das bei einer solchen Konstruktion von Bedeutung sein kann, untersucht werden. Die in Tab. 1.4 dargestellten r¨ aumlichen Elemente sind das Tetraeder-, Pentaeder- und Hexaederelement. Jeder Knoten hat drei Freiheitsgrade, die Verschiebungen u, v, w. Die einfachsten Elemente haben vier (Tetraederelement), sechs (Pentaederelement) oder acht Knoten (Hexaederelement). Beim Hexaederelement existiert zu den aufgef¨ uhrten Elementen noch ein Element mit 27 Knoten. Es ist f¨ ur die Praxis ebenfalls von Bedeutung. Das Anwendungsbeispiel zeigt das FE-Netz einer F¨ uhrungseinheit einer Arbeitsb¨ uhne. Es besteht aus 9858 Tetraederelementen und 19564 Knoten.

1.3

B

1.3 Beispiele zur Finite-Elemente-Methode 1.3.1 Beispiel zu nichtlinearen Problemen

Im unteren Teil der Tab. 1.1 auf der S. 6 ist das FE-Netz einer BolzenZuglaschenverbindung angef¨ uhrt. Diese Verbindung kann als Scheibenproblem betrachtet werden, da ein ebener Spannungszustand vorliegt. Das Problem enth¨ alt folgende Nichtlinearit¨ aten:

Bild 1.2. Verformungen und Spannun-

gen einer Bolzen-Zuglaschenverbindung

Nichtlineares Materialverhalten Große Verformungen Kontaktproblem Die Belastung des Bolzens wird u ¨ ber die Kontaktzone auf die Zuglasche u bertragen. Dabei bildet sich bei zunehmender Belastung ein immer gr¨oßerer ¨ Kontaktbereich zwischen Bolzen und Lasche aus. Gleichzeitig wird das FENetz nach einem bestimmten Kriterium verfeinert [35, 1]. In Bild 1.2 sind die Verformungen und Vergleichsspannungen f¨ ur den maximalen Belastungszustand dargestellt. Die gestrichelten Linien geben den unverformten Zustand wieder. Es ist deutlich zu erkennen, daß große Verformungen auftreten, denn auf der R¨ uckseite des Bolzens tritt ein großes Loch

1.3

Beispiele zur Finite-Elemente-Methode

11

zwischen Bolzen und Lasche auf. Der Bolzen legt sich u ¨ ber einen Winkelbe◦ reich von nahezu 180 an die Lasche an. Die Spannungen sind in Form von Isolinien dargestellt. Es treten Spannungen auf, die im plastischen Bereich liegen. 1.3.2 Beispiele zur Optimierung Formoptimierung

Bild 1.3 zeigt in seiner linken H¨ alfte einen Ausschnitt aus einem Doppel-TTr¨ ager. Der Tr¨ ager weist in seiner Ausgangsl¨ osung einen Durchbruch in Form einer Raute mit ausgerundeten Ecken auf. Die obere H¨alfte dieser Raute ist in Bild 1.3 dargestellt. Unter einer biegeartigen Belastung stellt sich auf dem Durchbruchsrand eine Vergleichsspannung ein, wie sie in Bild 1.3 normal zum Rand aufgetragen ist. Die Ecken der Raute weisen infolge von Kerbwirkungen Spannungs¨ uberh¨ ohungen auf. Diese werden durch eine Optimierung der Form des Durchbruches vermieden.

Bild 1.3. Doppel-T-Tr¨ ager mit einem Durchbruch in der Ausgangs- und optimierten Form

Der untere Bereich des Durchbruches stellt eine H¨alfte dieser Form [47] dar. Sie wurde mit einem speziellen Algorithmus [46] iterativ gefunden. Es stellt sich ein nahezu konstanter Spannungsverlauf1 auf dem Durchbruchsrand ein. In der rechten H¨ alfte von Bild 1.3 sind die Formen der Ausgangsl¨osung und der optimierten L¨osung angef¨ uhrt. Die optimierte Form weist eine um 30 % h¨ ohere Querschnittsfl¨ ache auf, was zu der gew¨ unschten Gewichtsreduzierung f¨ uhrt. Gleichzeitig ist die Maximalspannung mehr als halbiert. Parameteroptimierung

Bild 1.4 zeigt in seiner linken H¨ alfte einen Tr¨ ager. Der Tr¨ager ist auf zwei Pylone aufgest¨ andert und durch Seile abgespannt. Die Belastung besteht aus 1

Bei lastfreien Durchbr¨ uchen stellt eine konstante Vergleichsspannung auf dem Bohrungsrand die optimale L¨ osung dar.

C

12

1. Einleitung

Einzelkr¨ aften, die gleichm¨ aßig verteilt am Untergurt in vertikaler Richtung wirken. Das Ziel der Optimierung ist eine Minimierung der Masse des Tr¨agers, wobei eine zul¨ assige Spannung nicht u ¨berschritten werden darf. Als Optimierungsparameter dienen die H¨ ohe der Vertikalpfosten sowie die Lage der seitlichen Knotenpunkte der Seile. Der Untergurt des Tr¨agers soll in seiner geraden, horizontalen Lage verbleiben. In der rechten Bildh¨ alfte 1.4 ist die optimale Form des Tr¨agers [47] angef¨ uhrt. Die H¨ ohe des Tr¨ agers ist in seiner Mitte nahezu verdoppelt. An den Polynomen f¨ allt die H¨ ohe auf ein F¨ unftel ab. Die Lage der seitlichen Umlenkpunkte der Seile ver¨ andert sich nur unwesentlich. Die Maximalspannung in der Ausgangsl¨ osung ist etwa doppelt so hoch wie die zul¨ assige Spannung. Daher weist die optimierte Form eine geringf¨ ugig h¨ ohere Masse als die Ausgangsl¨ osung auf. Eine nachgeschaltete Querschnittsoptimierung aller Tr¨ agerteile f¨ uhrt zu einer Reduzierung der Masse um mehr als 20 %.

Bild 1.4. Ausgangsform und optimierte Form eines Tr¨ agers

Topologieoptimierung

Die Topologieoptimierung [11] ist eine relativ junge Disziplin innerhalb der Optimierungsverfahren. Die Zielfunktion bei der Topologieoptimierung ist die Steifigkeit des Bauteiles. Sie wird maximiert, indem die f¨ ur den Bauraum zur Verf¨ ugung stehende Masse optimal angeordnet wird. Dazu wird der Bauraum in finite Elemente eingeteilt. W¨ ahrend tragende Elemente die volle, materialabh¨ angige Steifigkeit und Dichte besitzen, wird diese bei gering belasteten Elementen verkleinert und strebt im Grenzfall gegen Null. Dar¨ uber kann die vorgegebene und gew¨ unschte Massenreduktion erreicht werden. In Bild 1.5 ist die L¨ osung [48, 23] einer solchen Optimierung angef¨ uhrt. Die gestrichelte Kontur beschreibt einen Quader, der die Ausgangsl¨osung eines Werkzeugmaschinenst¨ anders darstellt. Dieser ist in 42000 achtknotige Hexaederelemente eingeteilt worden. Am unteren Ende ist der Quader fest eingespannt. Am oberen Ende wirken Streckenlasten, die das Bauteil in zwei Lastf¨ allen biege- und torsionsartig belasten. Das urspr¨ ungliche Volumen bzw. die urspr¨ ungliche Masse des Quaders soll um 85% reduziert werden. Nach 20 Iterationen wurde die schattiert in Bild 1.5 dargestellte L¨osung gefunden.

1.3

Beispiele zur Finite-Elemente-Methode

13

Der Verlauf der Iterationen ist in einer Animation dargestellt, die unter nebenstehendem Icon zu finden ist.

Bild 1.5. Topologieoptimierung eines Werkzeugmaschinenst¨ an-

ders

D

Kapitel 2 Mathematische Grundlagen

2

2

2 2.1 2.2 2.2.1 2.2.2 2.2.3 2.2.4 2.2.5 2.2.6 2.2.7 2.3 2.3.1 2.3.2 2.3.3 2.3.4 2.4 2.4.1 2.4.2 2.5 2.5.1 2.5.2 2.5.3 2.6 2.6.1 2.6.2 2.6.3 2.7 2.7.1 2.8 2.8.1 2.8.2 2.9 2.9.1 2.9.2 2.10 2.10.1 2.10.2 2.10.3 2.10.4

Mathematische Grundlagen Schreibweisen ..................................................... Vektoren ........................................................... Definition eines n dimensionalen Vektors ................... Skalarprodukt ..................................................... Kreuzprodukt ..................................................... Ableitung von Vektoren ........................................ Der Nabla-Vektor ................................................ Der Gradientenvektor ........................................... Divergenz und Laplace-Operator.............................. Matrizen ........................................................... Definition einer Matrix.......................................... Rechenregeln...................................................... Transponierte Matrix............................................ Orthogonale Matrix ............................................. Die Dyade (Tensor zweiter Stufe) ............................ Differentialoperator ............................................. Tensor h¨oherer Stufe ........................................... Felder .............................................................. Skalarfelder ....................................................... Das Vektorfeld als Gradient des Skalarfeldes .............. Das dyadische Feld .............................................. Lineare Transformation ......................................... Transformation eines Vektors.................................. Transformation einer Dyade (Tensor zweiter Stufe)....... Beispiele zur Transformation .................................. Funktionale........................................................ Diskretisierung des Funktionals ............................... Dreieckskoordinaten ............................................ Ableitungen in Dreieckskoordinaten (Jakobi-Matrix) ..... Integration in Dreieckskoordinaten ........................... Numerische Integration (Quadratur) ......................... Numerische Integration f¨ ur eindimensionale Probleme ... Numerische Integration in Dreieckskoordinaten ............ Lineare Gleichungssysteme bei der FEM .................... Definition der Bandbreite ...................................... Rechenzeiten zur L¨osung linearer Gleichungssysteme ..... Positiv definite Matrix ......................................... Das Verfahren von Cholesky ..................................

19 20 20 20 20 21 22 22 23 23 23 24 26 27 27 28 28 28 28 29 29 32 32 34 34 36 38 39 41 44 45 45 47 48 49 49 50 51

2.10.5 2.10.6 2.11 2.12

Kondition linearer Gleichungssysteme ....................... Zwangsbedingungen bei linearen Gleichungssystemen .... N¨aherungsfehler bei der FEM ................................ Das Tonti-Diagramm............................................

53 56 57 58

2

2 Mathematische Grundlagen In diesem Kapitel wird eine Zusammenfassung der mathematischen Hilfsmittel gegeben, die in den nachfolgenden Kapiteln ben¨otigt werden. Vertiefende Literatur wird jeweils an den entsprechenden Stellen angef¨ uhrt.

2.1

2.1 Schreibweisen Skalare Gr¨ oßen werden durch einen Klein- oder Großbuchstaben dargestellt. Vektoren (Tensoren erster Stufe) werden in der symbolischen Schreibweise durch einen Buchstaben mit einem Pfeil versehen (v ). In der analytischen Form wird der Buchstabe mit einem lateinischen Kleinbuchstaben als Index versehen (vi ). Dyaden (Tensoren zweiter Stufe) werden als Großbuchstaben mit einem Unterstrich (K) bzw. mit einem Doppelindex (Kij ) geschrieben, Matrizen wie eine Dyade in symbolischer Form (A). Tensoren vierter Stufe weisen einen doppelten Unterstrich (D) oder alternativ vier Indizes (Dijkl ) auf. Ableitungen werden in der analytischen Form dadurch gekennzeichnet, daß der Index, nach dem abgeleitet werden soll, durch ein Komma von den ur die analytische Schreibanderen Indizes abgetrennt wird (ui,j ). Ferner gilt f¨  weise die Summationsvereinbarung [21] (ai bi ≡ i ai bi ). In expliziter Schreibweise wird ein Vektor als Spaltenvektor ausgef¨ uhrt: ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ v = ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ v1 .. . vi .. .

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(1)

vn Eine Matrix wird in expliziter Form folgendermaßen dargestellt: ⎡

⎤ k11 .. .

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ K =⎢ ⎢ ki1 ⎢ . ⎢ . ⎢ . ⎣ km1

... .. .

k1i .. .

...

k1n .. .

...

kii .. .

... .. .

kin .. .

...

kmi

...

kmn

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(2)

20

2.2

2. Mathematische Grundlagen

2.2 Vektoren 2.2.1 Definition eines n dimensionalen Vektors

Eine Folge von n geordneten reellen Zahlen v1 , v2 , . . . , vn stellt einen n dimensionalen Vektor dar [14, 19]. Die Gesamtheit aller solcher n Vektoren, f¨ ur die eine Addition und eine Multiplikation mit einem Skalar, d.h. einer Zahl erkl¨art ist, bildet den n dimensionalen Vektorraum. 2.2.2 Skalarprodukt

Mit Hilfe der Basisvektoren ex , ey , ez l¨ aßt sich ein Vektor a in einem kartesischen System schreiben als:

a = ax ex + ay ey + az ez

(3)

F¨ ur die Basisvektoren gilt beim Skalarprodukt: ei · ej = δij =

1 f¨ ur i = j

(4)

0 f¨ ur i = j

Es sind ax ex , ay ey und az ez die Komponentenvektoren von a. ax , ay , az bezeichnet man als rechtwinklige Komponenten von a. Das Skalarprodukt kann man formal wie nachfolgend schreiben. Unter Beachtung von (4) erh¨ alt man: a · b =(ax ex + ay ey + az ez ) · (bx ex + by ey + bz ez ) =ax bx ex · ex + ax by ex · ey + ax bz ex · ez + ay bx ey · ex + ay by ey · ey + ay bzey · ez + az bx ez · ex + az by ez · ey + az bz ez · ez =ax bx + ay by + az bz =| a | | b | cos ϕ

mit

ϕ = (a, b)

(5)

2.2.3 Kreuzprodukt

F¨ ur die Basisvektoren beim Kreuzprodukt gilt: ⎧ ⎪  ⎪ ⎨0 ei × ej = ek ⎪ ⎪ ⎩−e

f¨ ur i = j f¨ ur eine gerade Permutation1 von i, j, k k

f¨ ur eine ungerade Permutation von i, j, k

(6)

2.2

Vektoren

21

Das Kreuzprodukt kann man formal wie nachfolgend schreiben. Unter Beachtung von (6) erh¨ alt man: a × b =(ax ex + ay ey + az ez ) × (bx ex + by ey + bz ez ) =ax bx ex × ex + ax by ex × ey + ax bz ex × ez + ay bx ey × ex + ay by ey × ey + ay bz ey × ez + az bx ez × ex + az by ez × ey + az bz ez × ez =(ay bz − az by )ex + (az bx − ax bz )ey + (ax by − ay bx )ez | a × b |= | a | | b | sin ϕ mit ϕ = (a, b)

(7)

Das Ergebnis von (7) kann formal als Determinante geschrieben werden:    x   a × b =  ax    bx

y ay by

 ⎡  a b − az b y z   ⎢ y z  ⎢ a z  = ⎢ a z b x − ax b z  ⎣  bz  a x b y − ay b x

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(8)

In Tab. 2.1 sind einige Rechenregeln f¨ ur Vektoren angef¨ uhrt. Tabelle 2.1. Addition und Subtraktion von Vektoren

Vorschrift a + b = b + a

Gesetz kommutativ

(a + b) + c = a + (b + c)

assoziativ

k(a ± b) = ka ± kb

distributiv

2.2.4 Ableitung von Vektoren Ableitung eines Vektors nach einem Skalar

Es sei u ein Vektor mit den Komponenten ux (x), uy (x), uz (x). Dieser soll nach einem Skalar x abgeleitet werden: 1

Unter einer Permutation versteht man s¨ amtliche Anordnungen, die n Elemente unter der Ber¨ ucksichtigung der Reihenfolge annehmen k¨ onnen.

22

2. Mathematische Grundlagen

a = ax ex + ay ey + az ez dax day daz da = ex + ey + ez dx dx dx dx

(9)

In Vektorform: ⎡

dax dx day dx daz dx

⎢ ⎢ da ⎢ ⎢ =⎢ dx ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(10)

2.2.5 Der Nabla-Vektor

Der Nabla-Vektor, auch Nabla-Operator genannt, l¨aßt sich schreiben als: ∇=

∂ ∂ ∂ ex + ey + ez = ∂i ei ∂x ∂y ∂z

(11)

Er hat die Eigenschaften eines Vektors, da er Transformationseigenschaften besitzt [12]: ⎡

∂ ∂x ∂ ∂y

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ∇=⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ∂ ∂z

⎤

⎡ ⎤ ⎥ ⎥ ∂x ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ = ⎢ ∂y ⎥ ⎥ ⎣ ⎦ ⎥ ⎦ ∂z

(12)

2.2.6 Der Gradientenvektor

Der Gradient ∇φ ist wie folgt definiert:  ∇φ =

∂ ∂ ∂ ex + ey + ez ∂x ∂y ∂z

In Vektorform:

 φ=

∂φ ∂φ ∂φ ex + ey + ez ∂x ∂y ∂z

(13)

2.3

Matrizen

⎡

∂φ ∂x ∂φ ∂y

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ∇φ = ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ∂φ ∂z

23

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(14)

2.2.7 Divergenz und Laplace-Operator

Die Divergenz kann mit Hilfe des Nabla-Vektors und (4) geschrieben werden als:  ∂ ∂ ∂ ex + ey + ez · (vx ex + vy ey + vz ez ) ∇ · v = ∂x ∂y ∂z ∂vy ∂vz ∂vx + + = ∂x ∂y ∂z 

(15)

Die Divergenz zweier Nabla-Operatoren f¨ uhrt auf den sogenannten LaplaceOperator:  Δ = ∇· ∇ = =

   ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ex + ey + ez · ex + ey + ez ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z

∂2 ∂2 ∂2 + + ∂x2 ∂y 2 ∂z 2

(16)

¨ Uber die Divergenz des Gradienten einer skalaren Funktion φ l¨aßt sich die Laplace-Gleichung beschreiben als: Δφ = ∇ · (∇φ) =

∂2φ ∂2 φ ∂2φ + + 2 ∂x2 ∂y 2 ∂z

(17)

2.3 Matrizen 2.3.1 Definition einer Matrix

Eine Matrix ist ein System von (m, n) Elementen aik (i = 1, 2, . . . , m ; k = 1, 2, . . . , n), die in einem rechteckigen Schema von m Zeilen und n Spalten angeordnet sind [14, 19]:

2.3

24

2. Mathematische Grundlagen

⎤

⎡ a11

⎢ ⎢ ⎢ a21 ⎢ ⎢ . ⎢ .. ⎢ A=⎢ ⎢ a ⎢ i1 ⎢ . ⎢ . ⎢ . ⎣ am1

a12

...

a1n

a22 .. .

...

a2n .. .

ai2 .. .

...

ain .. .

am2

...

amn

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(18)

Sonderf¨ alle:

Eine quadratische Matrix weist gleich viele Zeilen und Spalten auf (m = n). F¨ ur eine symmetrische Matrix gilt: aik = aki . Eine Einheitsmatrix E ist wie folgt definiert: ⎡ eik =

1

f¨ ur i = k

0

f¨ ur i = k

;

⎢ ⎢ ⎢ E=⎢ ⎢ ⎢ ⎣

1

0

...

0 .. .

1 .. .

... .. .

0

0

...

0

⎤

⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎦ 1

(19)

2.3.2 Rechenregeln Addition und Subtraktion

Zwei Matrizen A und B vom Typ (m,n) werden addiert (subtrahiert), indem man elementweise addiert (subtrahiert). Es gilt: cik = aik ± bik

∀

i = 1, 2, . . . , m ; k =1, 2, . . . , n

Tabelle 2.2. Addition und Subtraktion von Matrizen

Vorschrift A+B = B+A A + (B + C) = (A + B) + C

Gesetz kommutativ assoziativ

Die Tab. 2.2 enth¨ alt zwei Rechenregeln f¨ ur Matrizen.

(20)

2.3

Matrizen

25

In (21) ist ein Beispiel zur Addition zweier Matrizen angef¨ uhrt. ⎡

⎡

⎤ a11

a12

a13

⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ A + B = ⎢ a21 a22 a23 ⎥ + ⎢ ⎣ ⎦ ⎣ a31 a32 a33 ⎡ a + b11 a12 + b12 ⎢ 11 ⎢ = ⎢ a21 + b21 a22 + b22 ⎣ a31 + b31 a32 + b32

⎤ b11

b12

b13

b21

b22

b23

b31

b32

b33 ⎤

⎥ ⎥ ⎥ ⎦

a13 + b13

⎥ ⎥ a23 + b23 ⎥ = C ⎦ a33 + b33

(21)

Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar

Eine Matrix wird mit einem Skalar multipliziert, indem man jedes Element der Matrix mit dem Skalar multipliziert. In Tab. 2.3 ist dieser Zusammenhang beschrieben. Tabelle 2.3. Multiplikation einer Matrix mit ei-

nem Skalar

Vorschrift

Gesetz

kA=Ak

kommutativ

k(A ± B) = k A ± k B

distributiv

In (22) ist ein Beispiel zur Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar angef¨ uhrt: ⎡

⎤ k a11

⎢ ⎢ k A = ⎢ k a21 ⎣ k a31

k a12 k a22 k a32

k a13

⎥ ⎥ k a23 ⎥ ⎦ k a33

(22)

Multiplikation zweier Matrizen

Unter dem Produkt A B einer (m, n)-Matrix A und einer (n, p)-Matrix B in der angegebenen Reihenfolge versteht man die (m, p)-Matrix C, deren Elemente cik sich aus dem Skalarprodukt der i-ten Zeile von A mit der k-ten Spalte von B zusammensetzen [19].

26

2. Mathematische Grundlagen

C=AB cik =

n 

air brk = ai1 b1k + ai2 b2k + . . . + ain bnk

r=1

⎧ ⎨ i = 1, 2, . . . , m ; ∀ ⎩ k = 1, 2, . . . , n (23)

uhrt: Das Produkt der Matrizen A B ist in (24) als Beispiel angef¨ ⎡

⎤ 1

2

⎢ ⎢ AB = ⎢ 4 ⎣ −1

⎡

⎥ 1 ⎥ 3 ⎥⎣ ⎦ −2 5

−2 1

⎡

⎤

−3

⎢ ⎦=⎢ ⎢ −2 ⎣ 4 −11 3

⎤ 0 −5 7

11

⎥ ⎥ 24 ⎥ = C ⎦ 17

(24)

Tabelle 2.4. Transponierte Matrix

Gesetz

Bedeutung

(AT )T = A

Die Transponierte einer transponierten Matrix ist die Matrix selber

(λ A)T = λ AT (A ± B)T = AT ± B T (A B)T = B T AT

A und B werden vertauscht

2.3.3 Transponierte Matrix

Die aus einer Matrix A durch Vertauschen der Zeilen und Spalten entstehende Matrix AT heißt die transponierte Matrix (gespiegelte) zu der gegebenen Matrix A [19]. In (25) ist als Beispiel die transponierte Matrix AT von A ausgef¨ uhrt: ⎤

⎡ ⎡ A=⎣

⎤ 4

2

1

8

0

1

1

5

⎦;

4

⎢ ⎢ ⎢ 2 T A =⎢ ⎢ ⎢ 1 ⎣ 8

0

⎥ ⎥ 1 ⎥ ⎥ ⎥ 1 ⎥ ⎦ 5

(25)

2.4

Die Dyade (Tensor zweiter Stufe)

27

In Tab. 2.4 sind einige Rechenregeln zur transponierten Matrix zusammengefaßt. 2.3.4 Orthogonale Matrix

Orthogonale Matrizen sind Matrizen, deren Zeilen zueinander orthogonale Einheitsvektoren besitzen [19]. Dies trifft ebenfalls f¨ ur die Spalten zu. Die Tab. 2.5 erfaßt zwei Rechenregeln zur orthogonalen Matrix. Tabelle 2.5. Orthogonale Matrix

Gesetz

Bedeutung

A−1 = AT

Die Inverse einer Orthogonalmatrix ist gleich der Transponierten der Orthogonalmatrix

A AT = AT A = E

2.4

2.4 Die Dyade (Tensor zweiter Stufe) Das dyadische Produkt : a b = (ax ex + ay ey + az ez ) (bx ex + by ey + bz ez )

(26)

l¨ aßt sich durch Ausmultiplizieren der beiden Klammerausdr¨ ucke gewinnen. K = a b =ax bx ex ex + ax by ex ey + ax bz ex ez + ay bx ey ex + ay by ey ey + ay bz ey ez + az bx ez ex + az by ez ey + az bz ez ez = ai aj ei ej = Kij

(27)

Die Koeffizienten der voranstehenden Gleichung lassen sich formal in einer (3 × 3)-Matrix schreiben: ⎡

⎤ ax b x

⎢ ⎢ a b T = ⎢ ay bx ⎣ az b x

ax b y ay b y az b y

ax b z

⎡

⎤ kxx

⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ay bz ⎥ = ⎢ kyx ⎦ ⎣ az b z kzx

kxy kyy kzy

kxz

⎥ ⎥ kyz ⎥ = K ⎦ kzz

(28)

Die Dyade besitzt Transformationseigenschaften und ist ein Tensor zweiter Stufe.

28

2. Mathematische Grundlagen

2.4.1 Differentialoperator

Ein spezielles dyadisches Produkt ist:  Δ = ∇∇ =

∂ ∂ ∂ ex + ey + ez ∂x ∂y ∂z



∂ ∂ ∂ ex + ey + ez ∂x ∂y ∂z

 (29)

In Matrizenform ergibt sich der Operator der Hessematrix: ⎡

∂2 ∂x2

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ 2 ⎢ ∂ T Δ = ∇∇ = ⎢ ⎢ ∂y ∂x ⎢ ⎢ 2 ⎣ ∂ ∂z ∂x

∂2 ∂x ∂y ∂2 ∂y 2 ∂2 ∂z ∂y

⎤ ∂2 ⎥ ∂x ∂z ⎥ ⎥ ⎥ ∂2 ⎥ ⎥ ∂ y ∂z ⎥ ⎥ ⎥ ∂2 ⎦ 2 ∂z

(30)

2.4.2 Tensor h¨ oherer Stufe

Das verallgemeinerte Hooke’sche Gesetz f¨ uhrt in der linearen Elastizit¨atstheorie [13] auf einen Elastizit¨ atstensor der Form Dijkl (symbolisch: D), also einen Tensor vierter Stufe. Er verkn¨ upft die Dehnung mit den Spannungen.

2.5

2.5 Felder 2.5.1 Skalarfelder

Es werden im folgenden Skalar- und Vektorfelder betrachtet. Bei einem Skalarfeld (Vektorfeld) wird jedem Punkt im R3 ein Skalar φ(x, y, z) (Vektor u(x, y, z)) zugeordnet. Man nennt φ eine skalare Funktion (u Vektorfunktion). Damit ist im R3 ein Skalarfeld (Vektorfeld) definiert. Beispiel zum Skalarfeld

In einem ebenen, quadratischen Gebiet −1 ≤ x, y ≤ 1 wird jedem Punkt P (x, y) eine Temperatur T zugeordnet, also T = T (x, y).  T (x, y) = −100

x2 + y 2 +

1 + 200 2

(31)

In der linken H¨ alfte von Bild 2.1 ist diese Temperaturverteilung dargestellt. Normal zur (x,y)-Ebene ist in jedem Punkt ein Temperaturwert nach (31) aufgetragen.

2.5

Felder

29

Bild 2.1. Das Temperaturfeld und dessen Gradient als Vektorfeld

2.5.2 Das Vektorfeld als Gradient des Skalarfeldes

Das Vektorfeld erh¨ alt man aus dem Skalarfeld durch die Bildung des Gradienten nach (14). Diese Beziehung wird auf das Skalarfeld nach (31) angewendet: ⎡ ⎢ ⎢ q = −λ ∇ T = −λ ⎢ ⎣

∂T ∂x ∂T ∂y

⎤

⎡ ⎤ ⎥ x 100 ⎥ ⎣ ⎦ ⎥=λ ⎦ 1 y x2 + y 2 + 2

(32)

Diese Beziehung nennt man die Fourier’sche Gleichung. Sie beschreibt u ¨ ber ein Vektorfeld q die W¨ armestromdichte. In der rechten H¨alfte von Bild 2.1 ist dieses Vektorfeld dargestellt. 2.5.3 Das dyadische Feld

In der Elastostatik sind Verschiebungsfelder u = u(x, y, z) von großer Bedeutung. F¨ ur die Berechnung der Dehnungen ist ein Ausdruck der Form ∇u notwendig:    ∂ ∂ ∂ ex + ey + ez u ex + v ey + w ez ∇u = ∂x ∂y ∂z ∂u ∂v ∂w ex ex + ex ey + ex ez + = ∂x ∂x ∂x ∂u ∂v ∂w ey ex + ey ey + ey ez + ∂y ∂y ∂y ∂u ∂v ∂w ez ex + ez ey + ez ez = ∇i uj = uj,i ∂z ∂z ∂z

(33)

30

2. Mathematische Grundlagen

∇u stellt ein dyadisches Produkt dar. Aus dem Verschiebungsfeld wird ein dyadisches Feld. In Matrizenform: ⎡

∂u ∂x ∂u ∂y

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ∇uT = ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ∂u ∂z

∂v ∂x ∂v ∂y ∂v ∂z

⎤

∂w ∂x ∂w ∂y

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ∂w ⎦ ∂z

(34)

Beispiel zum dyadischen Feld

Gegeben ist ein Verschiebungsfeld als Vektorfeld:     u = x3 + y ex + y 2 + x ey

(35)

F¨ ur dieses Verschiebungsfeld soll u ¨ ber die Beziehung ε = 1/2 (∇ u + u ∇) bzw. εij = 1/2 (uj,i + ui,j ) das Dehnungsfeld berechnet werden, das sich als dyadisches Feld darstellt. Dieses soll grafisch ausgewertet werden. ⎡ 1⎢ ⎢ ε= ⎢ 2⎣

∂u ∂x ∂u ∂y

∂v ∂x ∂v ∂y

⎤

⎡

⎤ ∂u ⎡ 2 ∂y ⎥ ⎥ ⎣ 3x ⎥= ∂v ⎦ 1 ∂y

∂u ⎥ 1 ⎢ ∂x ⎢ ⎥ ⎥+ ⎢ ⎦ 2 ⎣ ∂v ∂x

⎤ 1

⎦

(36)

2y

Das dyadische Feld ε = 3 x2 ex ex + 1 ex ey + 1 ey ex + 2 y ey ey ist in dieser Form nicht ohne weiteres einer grafischen Darstellung zug¨anglich. Daher wird es in folgende Form u uhrt: ¨berf¨ ε x = λ x ⇒ ( ε − λ E) x = 0

(37)

In (37) wird die Dyade ε auf einen Vektor x abgebildet, der mit der Gr¨oße λ skaliert wird. Das so formulierte Problem stellt sich als Eigenwertproblem dar und bildet ein homogenes Gleichungssystem. Es existiert nur dann eine L¨ osung, wenn die Determinante des Klammerausdruckes verschwindet:    3 x2 − λ | ε − λ E | = 0 ⇒   1

   =0  2y −λ  1

(38)

2.6

Lineare Transformation

31

Die voranstehende Beziehung f¨ uhrt auf die sogenannte charakteristische Gleichung:   λ2 − 3 x2 + 2 y λ + 6 x2 y − 1 = 0

(39)

Diese quadratische Gleichung hat folgende L¨ osungen:

λI,II =

3 2 1 4 x +y± 9 x + 4 [(y − 3 x2 ) y + 1] 2 2

(40)

Bild 2.2. Die normierten Eigenvektoren des dyadischen Feldes sowie die Hauptdehnungen

in Vektorform

Durch Einsetzen der Eigenwerte λI,II in (37) gewinnt man die zugeh¨origen Eiur xI ,xII genvektoren xI und xII . Zur Erreichung einer eindeutigen L¨osung f¨ werden diese normiert1 : eI = xI /|xI | und eII = xII /|xII |. Diese Vektoren sind in der linken H¨ alfte von Bild 2.2 dargestellt. Sie stellen die Hauptdehnungsrichtungen dar. Die Eigenwerte λI und λII sind die Hauptdehnungen εI und εII . Mit der Beziehung  ε = λI eI + λII eII lassen sich Hauptdehnungen zu einem Vektor zusammenfassen. In der rechten Bildh¨ alfte von Bild 2.2 sind diese angef¨ uhrt.

1

Das homogene Gleichungssystem enth¨ alt einmal unendlich viele L¨ osungen.

32

2.6

2. Mathematische Grundlagen

2.6 Lineare Transformation 2.6.1 Transformation eines Vektors

Das Bild 2.3 zeigt f¨ ur den ebenen Fall zwei Koordinatensysteme. Ein globales (x, y)-System und ein lokales (¯ x, y¯)-System. Das lokale ist gegen¨ uber dem globalen um einen Winkel ϕ gedreht. F¨ ur den Vektor v sind in beiden Systemen die entsprechenden Komponenten eingezeichnet. Sie sind von der Lage des Koordinatensystems abh¨ angig. Die Umrechnung der Komponenten vom globalen in das lokale System (Hintransformation) und umgekehrt (R¨ ucktransformation) soll im folgenden f¨ ur den dreidimensionalen Fall f¨ ur orthogonale Systeme beschrieben werden.

Bild 2.3. Vektor  v und seine Komponenten im lokalen und globalen System

Der Vektor v im globalen und lokalen System:

v = vx ex + vy ey + vz ez = vx¯ ex¯ + vy¯ ey¯ + vz¯ ez¯

(41)

F¨ ur die Einheitsdyade E gilt:

E = ex ex + ey ey + ez ez = ex¯ ex¯ + ey¯ ey¯ + ez¯ ez¯

(42)

Mit der Identit¨ at v = v · E l¨ aßt sich schreiben: v = (vx ex + vy ey + vz ez ) · (ex¯ ex¯ + ey¯ ey¯ + ez¯ ez¯) = vx ex · ex¯ ex¯ + vx ex · ey¯ ey¯ + vx ex · ez¯ ez¯+ vy ey · ex¯ ex¯ + vy ey · ey¯ ey¯ + vy ey · ez¯ ez¯+ vz ez · ex¯ ex¯ + vz ez · ey¯ ey¯ + vz ez · ez¯ ez¯

(43)

Ein Vergleich der Koeffizienten von ex¯ , ey¯, ez¯ von (43) und (41) f¨ uhrt auf:

2.6

Lineare Transformation

33

vx¯ = vx ex¯ · ex + vy ex¯ · ey + vz ex¯ · ez vy¯ = vx ey¯ · ex + vy ey¯ · ey + vz ey¯ · ez vz¯ = vx ez¯ · ex + vy ez¯ · ey + vz ez¯ · ez

(44)

In Matrizenform gilt f¨ ur die Hintransformation: ⎡

⎤

⎡

vx¯

ex¯ · ex

⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ vy¯ ⎥ = ⎢ ey¯ · ex ⎣ ⎦ ⎣ vz¯ ez¯ · ex      v ¯

ex¯ · ey ey¯ · ey ez¯ · ey  T

⎡ e ⎢ x¯x ⎢ = ⎢ ey¯x ⎣ ez¯x

ex¯ · ez

⎥ ⎥ ey¯ · ez ⎥ ⎦ ez¯ · ez 

⎤⎡

ex¯y

ex¯z

ey¯y

ey¯z

ez¯y

ez¯z

⎤⎡

⎤

v ⎥⎢ x ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎥ ⎢ vy ⎥ ⎦⎣ ⎦ vz

⎤ vx

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ vy ⎥ ⎣ ⎦ vz     v

(45)

Die Matrix T ist die Transformationsmatrix. Die Zeilen der Matrix werden von den Einheitsvektoren ex¯ , ey¯ und ez¯ gebildet, die im globalen System beschrieben sind. F¨ ur den zweidimensionalen Fall kann man die Gr¨oßen in T (s. Bild 2.3) als Funktion des Winkels ϕ ausdr¨ ucken: ⎡ T =⎣

⎤ cos ϕ

sin ϕ

− sin ϕ

cos ϕ

⎦

(46)

Es gilt n¨ amlich: cos ϕ = ex¯ · ex ; sin ϕ = ex¯ · ey ; − sin ϕ = ey¯ · ex und cos ϕ = ey¯ · ey . F¨ ur den Sonderfall der Drehung um die z-Achse lautet die Transformationsmatrix: ⎡

⎤ cos ϕ

⎢ ⎢ T = ⎢ − sin ϕ ⎣ 0

sin ϕ cos ϕ 0

0

⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎦ 1

(47)

Die R¨ ucktransformation, also die Transformation vom lokalen in das globale System ergibt sich zu:

34

2. Mathematische Grundlagen

v = T T v¯

(48)

2.6.2 Transformation einer Dyade (Tensor zweiter Stufe)

In analoger Weise zum Vektor l¨ aßt sich auch bei der Dyade u v u ¨ber die Identit¨ at: u v = E · u v · E

(49)

das Transformationsgesetz: ¯ = T K T T Hintransformation K ¯ T R¨ ucktransformation K = TT K

(50)

herleiten. Die Transformationsmatrix T entspricht der aus (45). 2.6.3 Beispiele zur Transformation Grafische und rechnerische Transformation eines Vektors

Bild 2.4. Geometrische Ermittlung der Komponenten des Vektors im lokalen System

  Gegeben ist der Vektor uT = 3 4 im globalen (x,y)-Koordinatensystem (s. Bild 2.4). Dieser soll im lokalen System (¯ x, y¯) beschrieben werden, wobei dieses gegen¨ uber dem globalen (x,y)-System um ϕ = 26, 565◦ gedreht ist. Es sind die Koordinaten von u ¯ gesucht. Nach (45) gilt: ⎡ u ¯=⎣

⎤⎡ 0, 894

0, 447

−0, 447 0, 894

⎦⎣

⎤ 3 4

⎡

⎦=⎣

⎤ 4, 472 2, 236

Die grafische L¨ osung ist in Bild 2.4 angef¨ uhrt.

⎦

(51)

2.6

Lineare Transformation

35

Addition von Federsteifigkeiten

Bild 2.5. Anordnung zweier parallel geschalteter

Federn

Das Bild 2.5 zeigt zwei parallel angeordnete Federn. F¨ ur dieses System soll aus den Steifigkeiten k1 , k2 der Federn die Gesamtsteifigkeit des Systems berechnet werden. Die skalare Beziehung F = k u beschreibt f¨ ur den eindimensionalen Fall den Zusammenhang zwischen Kraft F und der Verformung u. Multipliziert man mit dem Richtungsvektor ex¯ die Gleichung durch, so erh¨ alt man: F ex¯ = F¯ = k u ex¯ = u ex¯ · k ex¯ ex¯ = u¯ · k ex¯ ex¯   

(52)

¯ K

ex¯ bildet mit ey¯ die Basisvektoren des lokalen Koordinatensystems. In die Matrixform u ¨ bertragen: ⎡

⎤ Fx¯

⎡

⎤⎡ 0

k

⎤ ux¯

⎦ ⎦=⎣ ⎦⎣ 0 0 0 uy¯         

⎣

¯ K

¯ F

(53)

¯ u

¯ = T u. In voranstehender Beziehung eingesetzt Nach (45) gilt: F¯ = T F und u T und von links mit T durchmultipliziert ergibt sich: ¯ T u = F T T T F = T T K   

(54)

K

¯ die sich als Dyade ¯ T wird die lokale Steifigkeitsmatrix K, Mit K = T T K darstellt, in das globale (x, y)-Koordinatensystem transformiert:

36

2. Mathematische Grundlagen

⎡ 1√ ⎣ 1 K1 = 2 2 1

−1

⎡ √ 1 1 ⎦ 2⎣ 2 0 −1

⎤⎡ ⎦⎣

1

⎤

0

k1 0

⎡ k 1 ⎦= ⎣ 1 2 1 k1

⎤

⎤

1

k1

⎦

k1 (55)

¯ 2 , da T 2 = E. F¨ ur die zweite Feder gilt: K 2 = K Aus dem Gleichgewicht der Federkr¨ afte und der ¨außeren Last F = F1 + F2  folgt: (K 1 + K 2 ) u = F . ⎤

⎡ K = K1 + K2 =

k1

1⎣ 2 k1

k1 k1

⎡

⎦+⎣

⎤ k2 0

0

⎤

⎡

⎦= 1⎣ 2 0

1 + 2 k2

k1

k1

k1

⎦ (56)

uhrt auf die Nachgiebigkeitsmatrix: Die Inversion von K f¨ ⎡ K −1 =

1

1 ⎢ ⎣ k2 −1

−1 1+2

⎤ ⎥ k2 ⎦ k1

(57)

Damit lassen sich die Verformungen nach u = K −1 F berechnen.

2.7

2.7 Funktionale Viele physikalische Probleme lassen sich in Integralform formulieren. Der Integrand ist dabei ein Ausdruck, der die gesuchte Funktion y (x) enth¨alt [16, 28]. Dies sei an einem Beispiel erl¨ autert: Zwei Punkte A und B sollen in der Ebene durch eine Kurve y (x) verbunden werden (s. Bild 2.6). Gesucht ist unter allen zul¨assigen Kurven diejenige, die die k¨ urzeste Verbindung zwischen A und B darstellt [15, 27].

Bild 2.6. Vergleichsfunktionen

2.7

Funktionale

37

Das Integral: 

b

I [y (x)] =

  2  1 + y dx =

a

b

F (y  ) dx

(58)

a

beschreibt die Bogenl¨ ange der Kurve y(x) zwischen den Punkten A und B. Die gesuchte Funktion y(x) tritt in Form ihrer ersten Ableitung im Integranden auf. Den Integralausdruck bezeichnet man als Funktional. Die Bogenl¨ ange nimmt f¨ ur die gesuchte L¨ osung ein Extremum an. Diese Bedingung l¨ aßt sich mit Hilfe der Variationsrechnung formulieren und f¨ uhrt zu ur den Fall, daß der Forderung, daß die erste Variation1 δI verschwindet. F¨ ur die erste Variation der Integrand die Form F = F (x, y, y  ) hat, ergibt sich f¨ des Funktionals: 

b



δI [y(x)] = a

∂F ∂F δy +  δy  ∂y ∂y

 dx = 0

(59)

Gleichung (59) kann durch partielle Integration in die Euler-Lagrange’sche Differentialgleichung u uhrt werden [15, 28]: ¨berf¨ ∂F d − ∂y dx



∂F ∂y 

 =0

(60)

Voranstehende Gleichung auf das angef¨ uhrte Beispiel aus (58) angewendet: ∂F =0 ∂y ∂F y =   ∂y 1 + y 2   d ∂F y  =  3  dx ∂y 1 + y 2 2

(61)

Damit gilt: ∂F d − ∂y dx

1

ist.



∂F ∂y 



y 

= 

1 + y 2

 32 = 0

(62)

F¨ ur das gew¨ ahlte Beispiel ist es offensichtlich, daß das Extremum ein Minimum

38

2. Mathematische Grundlagen

Dieser Ausdruck besagt, daß die Kr¨ ummung der gesuchten Funktion y(x) im Intervall [a,b] verschwinden muß. Durch zweifache Integration erh¨alt man die gesuchte Geradengleichung:

y(x) = C1 + C2 x

(63)

Die Konstanten C1 und C2 bestimmt man durch die Randbedingungen y(a) = ya und y(b) = yb . Daraus ergibt sich die L¨osung als Geradengleichung. F¨ ur den allgemeinen Fall F = F (x, y, y  , . . . , y (n) ) gilt: 

b



δI[y(x)] = a

 ∂F  ∂F ∂F (n) δy +  δy + . . . + (n) δy dx = 0 ∂y ∂y ∂y

(64)

Die zugeh¨ orige Euler-Lagrange’sche Differentialgleichung lautet [15, 28]: d ∂F − ∂y dx



∂F ∂y 

 +

d2 dx2



∂F ∂y 

 − . . . (−1)n

dn dxn



∂F ∂y (n)

 =0

(65)

2.7.1 Diskretisierung des Funktionals

Die Euler-Lagrange’sche Differentialgleichung l¨aßt sich nur in Ausnahmef¨allen l¨ osen. Daher diskretisiert man das Funktional, indem man die gesuchte Funktion y(x) durch eine N¨ aherungsl¨ osung yˆ(x) ersetzt [22]:

yˆ = a1 ϕ1 (x) + a2 ϕ2 (x) + . . . + an ϕn (x)

(66)

W¨ ahrend man das Funktional I[y(x)] als eine Funktion mit unendlich vielen Variablen ansehen kann, treten bei I[ˆ y(x)] endlich viele Variable a1 , a2 , . . . , an auf. Es ergibt sich damit folgendes Ersatzfunktional: 

b

F (x, a1 , a2 , . . . , an ) dx

I [ˆ y(x)] =

(67)

a

Die erste Variation δI f¨ uhrt zu:  δI [ˆ y(x)] = a

b



 ∂F ∂F ∂F δa1 + δa2 + . . . + δan dx ∂a1 ∂a2 ∂an

(68)

Die Reihenfolge von Variation und Integration ist vertauschbar. Nach erfolgter Integration ergibt sich damit die erste Variation zu:

2.8

Dreieckskoordinaten

39

∂I ∂I ∂I δa1 + δa2 + . . . + δan ∂a1 ∂a2 ∂an

δI =

(69)

Die Forderung der Stationarit¨ at δI = 0 wird erf¨ ullt, wenn gilt: ∂I ∂I ∂I = = ... = =0 ∂a1 ∂a2 ∂an

(70)

Definiert man einen Vektor uT = [a1 | . . . |an ] , so l¨aßt sich schreiben: δI =

∂I δu ∂u

(71)

Transponiert man beide Seiten, so erh¨ alt man:  δI =

∂I δu ∂u

T = δuT

∂I ∂uT

(72)

In sp¨ ateren Ableitungen treten quadratische Ausdr¨ ucke der Form:

Π=

1 T u K v 2

(73)

auf. Auf der linken Seite steht eine skalare Gr¨oße. Transponiert man auch hier beide Seiten, so erh¨ alt man:

Π=

T 1 T 1 1 u K v = v T K T u = v T Ku 2 2 2

(74)

Es ist vorausgesetzt worden, daß K eine symmetrische Matrix ist (K T = K).

2.8

2.8 Dreieckskoordinaten In Bild 2.7 ist ein Dreieck dargestellt, das in drei Unterdreiecke mit den Fl¨ achen A1 , A2 und A3 eingeteilt ist. uber. Der Punkt Das Unterdreieck Ai liegt dem Eckpunkt i des Dreiecks gegen¨ P hat die kartesischen Koordinaten xp , yp . Alternativ kann die Lage des Punktes P u achen A1 , A2 , A3 bestimmt werden. Dazu werden diese ¨ ber die Fl¨ Fl¨ achen auf die Gesamtfl¨ ache AΔ des Dreieckes bezogen:

L1 =

A1 A2 A3 ; L2 = ; L3 = AΔ AΔ AΔ

(75)

40

2. Mathematische Grundlagen

Bild 2.7. Definition von Dreieckskoordi-

naten

Die Gr¨ oßen L1 , L2 und L3 nennt man Dreieckskoordinaten. Zwei von ihnen bestimmen eindeutig die Lage des Punktes P im Dreieck. Die dritte Dreieckskoordinate l¨ aßt sich aus folgender Beziehung ermitteln:

L 1 + L2 + L3 =

A1 A2 A3 + + =1 AΔ AΔ AΔ

(76)

Diese Beziehung und die Umrechnung der Dreieckskoordinaten in kartesische Koordinaten kann man wie folgt beschreiben: ⎡

⎤

⎡

1

⎤⎡ 1

⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ x ⎥ = ⎢ x1 ⎣ ⎦ ⎣ y y1      x

1 x2 y2  C

1

⎤ L1

⎥⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎥ x3 ⎥ ⎢ L2 ⎥ ⎦⎣ ⎦ y3 L3    

(77)

 L

Oder in Kurzform:  x = C L

(78)

Multipliziert man (78) von links mit C −1 durch, so ergibt sich:  = C −1 x L In ausf¨ uhrlicher Form:

(79)

2.8

Dreieckskoordinaten

⎡

⎤

⎡

L1

⎢ ⎥ 1 ⎢ ⎥ ⎢ L2 ⎥ = ⎣ ⎦ 2 AΔ L3

41

x2 y3 − x3 y2

⎢ ⎢ ⎢ x3 y1 − x1 y3 ⎣ x1 y2 − x2 y1

⎤⎡ y23

x32

⎤ 1

⎥⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎥ x13 ⎥ ⎢ x ⎥ ⎦⎣ ⎦ x21 y

y31 y12

(80)

Die Gr¨ oßen xij bzw. yij sind definiert als: xij = xi − xj bzw. yij = yi − yj mit i, j = 1, . . . , 3. Die Dreiecksfl¨ ache l¨ aßt mit Hilfe von xij und yij schreiben 1 als: AΔ = 2 (x21 y31 − y21 x31 ). 2.8.1 Ableitungen in Dreieckskoordinaten (Jakobi-Matrix) Jakobi-Matrix

Die partiellen Ableitungen ∂/∂L1 und ∂/∂L2 k¨ onnen mit Hilfe der Kettenregel geschrieben werden als: ∂y ∂ ∂ ∂x ∂ + = ∂L1 ∂L1 ∂x ∂L1 ∂y ∂ ∂y ∂ ∂x ∂ + = ∂L2 ∂L2 ∂x ∂L2 ∂y

(81)

In Matrizenform ergibt sich daraus: ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 

∂ ∂L1 ∂ ∂L2  ∇Δ

⎤

⎡

⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎦ ⎣ 



∂x ∂L1 ∂x ∂L2

 J

∇Δ = J ∇

∂y ∂L1 ∂y ∂L2

⎤⎡ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎦⎣ 

∂ ∂x ∂ ∂y  ∇

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦  (82)

Die Matrix J in der voranstehenden Beziehung nennt man die Jakobi-Matrix. ∇ und ∇Δ sind die Nabla-Vektoren in kartesischen- bzw. Dreieckskoordinaten. Multipliziert man (82) von links mit J −1 durch, so erh¨alt man: ∇ = J −1 ∇Δ

(83)

42

2. Mathematische Grundlagen

mit ⎡ J −1 =

1 |J |

⎢ ⎢ ⎢ ⎣

∂y ∂L2 ∂x − ∂L2

∂y − ∂L1 ∂x ∂L1

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(84)

Mit Hilfe der Beziehungen aus (77) lassen sich die Ableitungen in (82) unter Beachtung von (76) ausf¨ uhren als: ∂x = x1 − x3 = x13 ; ∂L1 ∂y = y1 − y3 = y13 ; ∂L1

∂x = x2 − x3 = x23 ∂L2 ∂y = y2 − y3 = y23 ∂L2

(85) (86)

Damit erh¨ alt man die Jakobi-Matrix J zu: ⎡ J =⎣

⎤ x13

y13

x23

y23

⎦

(87)

Die Determinante |J| bildet die doppelte Fl¨ache des Dreieckes. Damit ergibt ucksichtigung von xij = −xji und yij = −yji : sich f¨ ur J −1 unter Ber¨ ⎡ J −1 =

⎤ y23

1 ⎣ 2 AΔ x32

y31

⎦

(88)

x13

Erste Ableitungen

Der Differentialoperator ⎡

∂ ⎢ ∂x ⎢ ⎢ ⎢ 0 L=⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ∂ ⎣ ∂y

⎤ 0 ⎥ ⎥ ⎥ ∂ ⎥ ⎥ ∂y ⎥ ⎥ ∂ ⎥ ⎦ ∂x

(89)

enth¨ alt erste Ableitungen in kartesischen Koordinaten. Er kann mit Hilfe des Nabla-Vektors und (83) geschrieben werden als:

2.8

Dreieckskoordinaten

43

L = T ∇ = T J −1 ∇Δ = LΔ

(90)

Multipliziert man unter Beachtung von (88) die voranstehende Gleichung aus, so erh¨ alt man: ⎡

∂ ∂ ⎢ y23 ∂L + y31 ∂L ⎢ 1 2 ⎢ 1 ⎢ ⎢ 0 LΔ = 2 AΔ ⎢ ⎢ ⎢ ∂ ∂ ⎣ x32 + x13 ∂L1 ∂L2

⎤ 0 ∂ ∂ + x13 ∂L1 ∂L2 ∂ ∂ y23 + y31 ∂L1 ∂L2

x32

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(91)

Zweite Ableitungen

Die zweiten Ableitungen in kartesischen Koordinaten in (30) ergeben sich mit Hilfe von (83) f¨ ur den ebenen Fall in Dreieckskoordinaten zu:  T  T  T Δ = ∇ ∇T = J −1 ∇Δ J −1 ∇Δ = J −1 ∇Δ ∇ΔT J −1 = J −1 ΔΔ J −1 (92) Der Ausdruck ∇Δ ∇ΔT bildet eine Dyade und f¨ uhrt auf eine Hessematrix der folgenden Form: ⎡ ΔΔ =

∇Δ ∇ΔT

⎢ ⎢ =⎢ ⎣

∂ ∂L1 ∂ ∂L2

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

⎡ 

∂ ∂L1

∂ ∂L2

∂2 ∂L21

⎢ ⎢ =⎢ ⎢ 2 ⎣ ∂ ∂L2 ∂L1

⎤ ∂2 ⎥ ∂L1 ∂L2 ⎥ ⎥ ⎥ ∂2 ⎦ ∂L22 (93)

 und Δ  Δ , so ergibt Schreibt man die Dyaden Δ und ΔΔ formal als Vektoren Δ sich aus (92):

44

2. Mathematische Grundlagen

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

∂2 ∂x2 ∂2 ∂y 2 ∂2 ∂x ∂y

2

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥= 1 ⎥ 4 A2Δ ⎥ ⎥ ⎦

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

2 y32

2 y31

y23 y31

x232

x231

x13 x32

2 x32 y23

2 x13 y31

x32 y31 + x31 y32

⎡ ⎤⎢ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎦⎢ ⎢ ⎢ ⎣

 =Y Δ Δ Δ

⎤

∂2 ∂L21

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

∂2 ∂L22 2

∂2 ∂L1 ∂L2 (94)

(95)

2.8.2 Integration in Dreieckskoordinaten Integration ¨ uber die Fl¨ ache eines Dreiecks

Das Fl¨ achenelement dA = dx dy l¨ aßt sich mit Hilfe der Jakobi-Determinante ucken: | J | (Funktionaldeterminante) in Dreieckskoordinaten ausdr¨ dA = dx dy = |J| dL1 dL2

(96)

F¨ ur das geradlinig berandete Dreieck gilt: |J| = 2 AΔ . Damit erh¨alt man: 



1



f (L1 , L2 ) dL2 dL1

f (L1 , L2 ) dA = 2 AΔ A



1−L1

0

(97)

0

Nimmt der Integrand die Form f (L1 , L2 , L3 ) = La1 Lb2 Lc3 an, so gilt (a, b, c ∈ N):  La1 Lb2 Lc3 dA = A

a! b! c! 2 AΔ (a + b + c + 2)!

(98)

Integration entlang einer Dreieckskante

Die Kante eines Dreiecks ist dadurch gekennzeichnet, daß eine Dreieckskoordinate verschwindet. Damit h¨ angt die zu integrierende Funktion nur noch von einer Dreieckskoordinate ab:  f (Li ) dγ

;

i= 1∧2∧3

Γ

Mit Hilfe der Beziehungen:

(99)

2.9

Numerische Integration (Quadratur)

dx =

45

 ∂x ∂x ∂y ∂y dL1 + dL2 ; dy = dL1 + dL2 ; dΓ = dx2 + dy 2 ∂L1 ∂L2 ∂L1 ∂L2 (100)

und (77) ergeben sich die Terme in Tab. 2.6. ! Tabelle 2.6. Gr¨ oßen bei der Integration entlang einer Dreieckskante. Sij =

2 x2ij + yij

ist die Kantenl¨ ange zwischen den Eckpunkten i und j des Dreiecks

Kante

x

y

dx

dy

dΓ

L1 = 0 x = x3 + x23 L2

y = y3 + y23 L2

x23 dL2

y23 dL2

S23 dL2

L2 = 0 x = x3 + x13 L1

y = y3 + y13 L1

x13 dL1

y13 dL1

S13 dL1

L3 = 0 x = x2 + x12 L1

y = y2 + y12 L1

x12 dL1

y12 dL1

S12 dL1

Allgemein kann die Integration entlang einer Kante Γ zwischen den Eckpunkuckt werden: ten Γi und Γj folgendermaßen ausgedr¨  Lai Lbj dγ = Γij

2.9

a! b! Sij (a + b + 1)!

(101)

2.9

Numerische Integration (Quadratur)

2.9.1

Numerische Integration f¨ ur eindimensionale Probleme Polynome (2M − 1)-ten Grades k¨ onnen mit Hilfe des Verfahrens von Gauß exakt numerisch integriert werden. Die Anordnung der St¨ utzstellen xi im utzstellen lassen Intervall [a, b] und die Gewichtungsfaktoren wi an den St¨ sich nach Gauß [25] berechnen als: M−1 

wi xm i =

i=0

 1  m+1 b − am+1 , ∀ m = 0 . . . 2M −1 m+1

(102)

F¨ ur ein Polynom ersten Grades erh¨ alt man mit M = 1:

m=0:

w0 = b − a

(103)

46

2. Mathematische Grundlagen

m=1:

w0 x0 =

1 2 1 (b − a2 ) ⇒ x0 = (a + b) 2 2

(104)

Damit ergibt sich f¨ ur ein Polynom p (x) ersten Grades: 

b

p (x) dx = w0 p (x0 ) = (b − a) p a

1

2 (a

 + b)

(105)

Analog f¨ ur ein Polynom dritten Grades (M = 2):

m=0: m=1: m=2: m=3:

w0 + w1 = b − a 1 2 (b − a2 ) 2 1 w0 x20 + w1 x21 = (b3 − a3 ) 3 1 4 3 3 w0 x0 + w1 x1 = (b − a4 ) 4 w0 x0 + w1 x1 =

(106)

Daraus ergibt sich:

x0,1 =

1√ 1√ 1 1 (1 ± 3)a + (1 ∓ 3)b ; 2 3 2 3

w0 = w1 =

1 (b − a) 2

(107)

F¨ ur ein Polynom dritten Grades erh¨ alt man damit: 

b

p (x) dx = a

√ √ # b − a  "1 p 2 (1 + 13 3)a + 12 (1 − 13 3)b 2 " √ √ # + p 12 (1 − 13 3)a + 12 (1 + 13 3)b

(108)

Tabelle 2.7. St¨ utzstellen xi und Gewichtungsfaktoren wi f¨ ur Polynome vom

Grad 2M −1 im Interval [a, b]

M

Grad

i

1

1

I

2

3

I II I

3

5

II III

xi √ 1

1 2 (a

wi

+ b)

√ 1 1 1 2 (1 + 3 3)a + 2 (1 − 3 3)b √ √ 1 1 1 1 2 (1 − 3 3)a + 2 (1 + 3 3)b √ √ 1 1 15)a + 12 (1 − 15 15)b 2 (1 + 5 1 2 (a + b) √ 1 1 15)a + 12 (1 + 2 (1 − 5

√ 1 15)b 5

(b − a) 1 2 (b

− a)

1 2 (b

− a)

5 18 (b

− a)

4 9 (b

− a)

5 18 (b

− a)

2.9

Numerische Integration (Quadratur)

47

In der Tab. 2.7 sind die Anordnungen f¨ ur die St¨ utzstellen xi und die Gewichur verschiedene Polynome zusammengefaßt. tungsfaktoren wi f¨ 2.9.2

Numerische Integration in Dreieckskoordinaten F¨ ur den ebenen Fall stellt sich die Integration u ¨ ber eine Dreiecksfl¨ache dar als:





1



1−L1

f (L1 , L2 ) dA = A

0

 f (L1 , L2 ) |J| dL2 dL1

(109)

0

Dieses Integral l¨ aßt sich mittels der Gauß-Quadratur l¨osen als: Tabelle 2.8. Die Lage der St¨ utzstellen (Gaußpunkte) und Wichtung f¨ ur unterschiedliche Polynomgrade p

Element

p

n

i

L1i

L2i

wi

1

1

I

1 3

1 3

1 2

I

1 6

1 6

1 6

II

2 3

1 6

1 6

III

1 6

2 3

1 6

I

1 3

1 3

9 − 32

II

11 15

2 15

25 96

III

2 15

2 15

25 96

IV

2 15

11 15

25 96

2

3

 0

1

 0

1−L1

 f (L1 , L2 ) |J| dL2 dL1 =

3

4

n  i=1

wi f (L1i , L2i ) |J(L1i , L2i )| (110)

48

2. Mathematische Grundlagen

n ist die Anzahl der St¨ utzstellen (Gaußpunkte). Ihre Lage L1i , L2i und die Gewichtung wi sind in Tab. 2.8 zusammengestellt. Die Funktion f wird durch geeignete Polynome von Grad p approximiert. Ist die Jakobi-Determinante |J| wie in (87) unabh¨angig von dL1 dL2 , so vereinfacht sich (110) zu:  0

2.10

1

 0

1−L1

 f (L1 , L2 ) |J| dL2 dL1 = 2 AΔ

n 

wi f (L1i , L2i )

(111)

i=1

2.10 Lineare Gleichungssysteme bei der FEM Die L¨ osung eines physikalischen Problems mittels eines Differentialgleichungssystems weist unendlich viele Freiheitsgrade auf. Approximationsverfahren wie die FEM f¨ uhren u ¨ ber den Diskretisierungsprozeß auf eine endliche Anzahl von Freiheitsgraden, die in algebraischen Gleichungen auftreten. Diese haben in den hier betrachteten F¨ allen die Form: K u = F und stellen sich als lineare Gleichungssysteme dar. Die Koeffizientenmatrix K weist dabei folgende Eigenschaften auf: Symmetrisch: K = K T bzw. kij = kji Bandstruktur: kij = 0 ∀ j > i + b − 1 Sparse Matrix: Innerhalb des Bandes der Matrix treten Nullen auf Positiv definit Die in Bild 2.8 angef¨ uhrte Matrix [32] besitzt die zuvor angef¨ uhrten Eigenschaften.

Bild 2.8. Eine symmetrische, sparse und positiv definite

Matrix mit Bandstruktur und der halben Bandbreite b

Die Gr¨ oße b stellt die halbe Bandbreite der Matrix dar. Gilt b = n, so ist die Matrix vollst¨ andig besetzt. Bedingt durch die zuvor angef¨ uhrten Eigenschaften ergibt sich f¨ ur die Determinante |K| > 0. Es existiert damit insbesondere eine eindeutige L¨ osung des zugeh¨ origen Gleichungssystems. Als L¨ osungsverfahren unterscheidet man explizite und implizite Verfahren. Explizite Verfahren erreichen die L¨ osungen in einer definierten Anzahl von Schritten. Implizite dagegen arbeiten iterativ und nicht sequentiell. Hierbei er¨ offnet sich die M¨ oglichkeit einer parallelen Verarbeitung.

2.10 Lineare Gleichungssysteme bei der FEM

49

2.10.1 Definition der Bandbreite

Die Bandbreite der Koeffizientenmatrix K wird ausschließlich durch die Durchnumerierung der Knoten eines FE-Netzes bestimmt. Es sei m die Anzahl Knoten eines Elementes e und n1 , n2 , ..., nm die Knotennummern dieses Eleoßte bzw. kleinste Knotennummer des Elementes mentes. Mit nj und ni als gr¨ e ergibt sich die maximale Knotennummerndifferenz zu: Δn = nj − ni

e

;

1 ≤ i, j ≤ m

(112)

Damit l¨ aßt sich die halbe Bandbreite b berechnen zu: " # b = max(eΔn) + 1 f

(113)

e

Der Ausdruck max(eΔn) = Δ nmax beschreibt die maximale Knotennume merndifferenz, die u ¨ ber alle Elemente hinweg auftritt. f ist die Anzahl Freiheitsgrade pro Knoten.

Bild 2.9. Zwei Formen

der Durchnumerierung der Knoten

Das Bild 2.9 zeigt f¨ ur ein Netz, das aus zweidimensionalen Balkenelementen besteht, zwei unterschiedliche Formen der Knotendurchnumerierung. In der linken Bildh¨ alfte (Fall: b1 ) sind die Knoten in Umfangsrichtung durchnumeriert. In der rechten Bildh¨ alfte (Fall: b2 ) sind die Knoten alternierend mit Nummern versehen. In der linken Variante tritt im Element 12 die maximale Differenz Δmax1 = 11 auf. Im anderen Fall Δmax2 = 2. Damit ergeben sich die halben Bandbreiten zu (f = 3):

b1 = (11 + 1) 3 = 36;

b2 = (2 + 1) 3 = 9

(114)

2.10.2 Rechenzeiten zur L¨ osung linearer Gleichungssysteme

Die Rechenzeit T zur L¨ osung des linearen Gleichungssystems K u = F (Verfahren von Cholesky) h¨ angt wie folgt von der Anzahl der Unbekannten n und von der halben Bandbreite b ab:

50

2. Mathematische Grundlagen

T ∼

1 2 nb 2

  2b 1− 3n

(115)

Die entscheidende Gr¨ oße f¨ ur die Rechenzeit ist die halbe Bandbreite b, da sie quadratisch in die Rechenzeit eingeht, w¨ ahrend die Anzahl der Unbekannten nur linear auftritt. Bei einer voll besetzten Matrix (b = n) ergibt sich: 1 T ∼ n n2 2

  1 2 = n3 1− 3 6

(116)

Setzt man die Rechenzeiten T f¨ ur die Beispiele nach Bild 2.9 in Relation zueinander, so ergibt sich:     2 b1 2 362 1 − b21 1 − T1 3 n 3 =  = 6, 4  =  b 2 1 T2 2 2 2 1− b2 1 − 9 3 n 6

(117)

¨ Es wird also mehr als die sechsfache Rechenzeit ben¨otigt. Uber eine Reduzierung der Bandbreite kann die Rechenzeit somit erheblich vermindert werden. Eine minimale Bandbreite l¨ aßt sich durch Vertauschen der Knotennummern erreichen. Dazu gibt es Algorithmen [17, 18], die entsprechende Strategien zur gezielten Knotennummernvertauschung beinhalten. 2.10.3 Positiv definite Matrix

Die notwendige und hinreichende Bedingung f¨ ur die positive Definitheit einer symmetrischen Matrix lautet: Eine symmetrische Matrix ist positiv definit, wenn die Bedingung xT K x > 0 f¨ ur alle x = 0, x ∈ R erf¨ ullt ist. ⎡

xT K x =

 x1

x2

···

xn

k ⎢ 11 ⎢  ⎢ k21 ⎢ ⎢ . ⎢ . ⎢ . ⎣ kn1

⎤⎡

k12

···

k1n

k22 .. .

··· .. .

k2n .. .

kn2

···

knn

⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎦⎣

⎤ x1 x2 .. .

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ = kij xi xj ⎥ ⎥ ⎦

xn (118)

2.10 Lineare Gleichungssysteme bei der FEM

51

Eine notwendige, aber nicht hinreichende Bedingung daf¨ ur, daß die Matrix K positiv definit ist, ist daß alle Hauptdiagonalelemente positiv sind (kii > 0). Es wird folgende Steifigkeitsmatrix K betrachtet: ⎡ 3

⎢ ⎢ K = ⎢ −1 ⎣ 0

−1 3 −1

⎤ 0

⎥ ⎥ −1 ⎥ ⎦ 3

(119)

Es soll u uft werden, ob die Matrix positiv definit ist. Dazu wird nach ¨ berpr¨ (118) die Ungleichung xT K x > 0 gebildet: 3 x21 − 2 x1 x2 + 3 x22 − 2 x2 x3 + 3 x23 > 0

(120)

Diese Gleichung l¨ aßt sich umformen zu: x21 − 2 x1 x2 + x22 + x22 − 2 x2 x3 + x23 + 2 x21 + x22 + 2 x23 > 0 (x1 − x2 )2 + (x2 − x3 )2 + 2 x21 + x22 + 2 x23 > 0

(121)

Die Ungleichung ist f¨ ur alle reellen Zahlen erf¨ ullt, sofern nicht gleichzeitig x1 , x2 , x3 verschwinden. Damit ist K positiv definit. 2.10.4 Das Verfahren von Cholesky

F¨ ur symmetrische, positive definite Koeffizientenmatrizen l¨aßt sich das Verfahren von Cholesky anwenden. Das Verfahren ben¨otigt im Grenzfall nur halb so viele Rechenoperationen wie der Gauß’sche Algorithmus [25] und kann als Sonderfall der LU-Dekomposition angesehen werden [19]. Die Koeffizientenmatrix K des linearen Gleichungssystems K u = F wird wie folgt zerlegt: K = CT C

(122)

C ist eine obere Dreiecksmatrix (cii > 0 ; cij = 0 ∀ i > j). Es wird das uraquivalentes System C u = g u uhrt. spr¨ ungliche System K u = F in ein ¨ ¨berf¨ Zur L¨ osung sind die Schritte aus Bild 2.10 notwendig: Faktorisierung: K = C T C In der ¨ außeren Schleife (s. Bild 2.10) werden die Hauptdiagonalelemente unstig bzgl. des RechenC berechnet. Das Auftreten der Wurzel ist ung¨ aufwandes. Eine Faktorisierung der Form: K = C T D C umgeht diesen

52

2. Mathematische Grundlagen

Nachteil [25], wobei D eine Diagonalmatrix ist. In der inneren Schleife werden zeilenweise die Elemente von C berechnet. Vorw¨ artselimination : C T g = F R¨ uckw¨ artselimination : C u = g

Bild 2.10. Faktorisierung (linke Bildh¨ alfte), Vorw¨ artselimination (rechts oben) und R¨ uck-

w¨ artselimination (rechts unten) des Gleichungssystems

Beispiel zum Verfahren von Cholesky

Zur L¨ osung des linearen Gleichungssystems K u = F wird die Koeffizientenmatrix nach (119) u Sie istsymmetrisch und positiv definit. Die ¨ bernommen.  rechte Seite lautet: F T = 1 2 −1 . ⎡

−1

3

⎢ ⎢ ⎢ −1 3 ⎣ 0 −1  

⎤ 0

⎥ ⎥ 2 ⎥= ⎦ 3 −1    

−1

K

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 

√

3 1√ − 3 3 0

1

 F

0 2√ 6 3 1√ − 6 4  CT

⎤⎡ √ 3 ⎥⎢ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ 0 ⎥⎢ 0 ⎥⎢ 1√ ⎦ ⎣ 42 0 4  0

1√ 3 3 2√ 6 3

−

0  C

1√ 3 3 7√ 1√ − 6 6 4 12 1√ 1√ 42 − 42 4 84   0

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ 

 g

(123)

2.10 Lineare Gleichungssysteme bei der FEM

53

In (123) ist ein Rechenschema angef¨ uhrt, das auf eine Handrechnung zugeschnitten ist. Es werden nicht explizit die zuvor angef¨ uhrten Formeln verwendet. In (123) sind die Schritte Faktorisierung und Vorw¨artselimination zusammengefaßt worden. Dabei ist K um F als weitere Spalte erg¨anzt worden. Ebenso C um den Vektor g. Die Elemente von C werden berechnet, indem das Matrizenprodukt C T C explizit ausgef¨ uhrt wird. Beginnend mit Zeile 1 von C T wird diese mit allen uckt: die i-te Zeile von C T Spalten von C multipliziert. Allgemein ausgedr¨ wird mit den Spalten j = i, · · · , n multipliziert, wobei C eine (n × n)-Matrix sei. Die Elemente von g werden aus dem Produkt C T g = F gewonnen, indem alle Zeilen von C T , beginnend mit Zeile 1, mit g multipliziert werden. ⎡ √ ⎢ 3 ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎣ 0 

1√ 3 3 2√ 6 3

−

0 

⎤ 0

⎡

⎤

⎡

⎥ u1 ⎢ ⎥⎢ ⎢ ⎥ ⎥ 1√ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ − 6 ⎥ ⎢ u2 ⎥ = ⎢ ⎦ ⎢ 4 ⎥⎣ ⎢ ⎦ ⎣ 1√ u3 42    4   u 

1√ 3 3 7√ 6 12 1√ − 42 84 

C

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(124)



 g

Die R¨ uckw¨ artselimination ist in (124) dargestellt. Beginnend mit der letzten Unbekannten u3 wird das Gleichungssystem von hinten aufgerollt. (125) enth¨ alt die L¨ osung des Gleichungssystems. ⎤

⎡ u1

⎡

⎤ 13

⎥ ⎢ 1 ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ u = ⎢ u2 ⎥ = ⎢ 18 ⎦ 21 ⎣ ⎣ u3 −1

⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(125)

2.10.5 Kondition linearer Gleichungssysteme

Die Darstellung von Gleitkommazahlen in einem Rechner geschieht mit einer endlichen Anzahl von Nachkommastellen [20]. Das f¨ uhrt dazu, daß die Zahlen der Koeffizientenmatrix im allgemeinen nicht exakt erfaßt werden. Zudem treten w¨ ahrend der Rechenoperationen Rundungsfehler und andere Effekte auf, die von der sogenannten Kondition der Koeffizientenmatrix K abh¨angen. ¨ Man spricht von einer schlecht konditionierten Matrix K, wenn kleine Ande¨ rungen in der Koeffizientenmatrix große Anderungen in der L¨osung hervorrufen [25, 24, 19].

54

2. Mathematische Grundlagen

Diese Eigenschaft von K l¨ aßt sich u ¨ ber die Konditionszahl κ = λmax /λmin beschreiben. λmax und λmin sind die maximalen und minimalen Eigenwerte von K. Diese Konditionszahl l¨ aßt nun aber noch keine Aussage zu, ob z.B. zur L¨osung eines Systems p Nachkommastellen ausreichen. Dazu dient die nachfolgende Gleichung, die einen halbempirischen Charakter besitzt [41]:  s = p − log (κ) = p − log

λmax λmin

 (126)

Die Gleichung beruht sowohl auf theoretischen Betrachtungen als auch auf den Analysen einer Vielzahl von Rechnungen. s ist die korrekte Anzahl Nachkommastellen. Bei k¨ unstlich schlecht konditionierten Systemen kann (126) versagen [40]. Dies kann durch eine Vorkonditionierung von K umgangen werden: ˆ = DKD K

(127)

ˆ ist das Ergebnis dieser Vorkonditionierung1. D ist eine Diagonalmatrix, K √ deren Elemente sich berechnen als: dii = 1/ kii . Als Beispiel [36] hierzu dient das mechanische System, das in Bild 2.11 abgebildet ist.

Bild 2.11. Zwei in Reihe geschaltete Federn

Es besteht aus zwei Federn, die in Reihe geschaltet sind und die Steifigkeiten k1 und k2 haben. Die Verformungen lassen sich beschreiben u ¨ ber: ⎡ ⎣ 

k1 + k2

−k2

−k2

k2



⎤⎡

⎡

⎤

⎤

u2

0

u 

 F

⎦ ⎦=⎣ u3 F       

⎦⎣

K

(128)

Die Eigenwerte von K in (128) lauten:  λ1,2 = 1

k1 + k2 2

$

 ±

k1 2

2 + k22

(129)

ˆ eingesetzt und die wird die Transformation  In der Beziehung K  u=F u = Du se Beziehung von links mit D durchmultipliziert. Daraus ergibt sich die Beziehung:  = Fˆ . DKD u ˆ = DF

2.10 Lineare Gleichungssysteme bei der FEM

55

Eine Vorkonditionierung von (128) nach (127) f¨ uhrt auf: ˆ = DKD K ⎡ 1 ⎢ √k1 + k2 ⎢ =⎢ ⎣ 0 ⎡ ⎢ ⎢ =⎢ ⎢ ⎣

⎤ 0 1 √ k2

⎡

⎥ k1 + k2 ⎥⎣ ⎥ ⎦ −k2

⎤ k2 −√ ⎥ k1 + k2 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ 1

⎤

⎤

⎡

1 √ −k2 ⎢ k1 + k2 ⎦⎢ ⎢ ⎣ k2 0

0 1 √ k2

⎥ ⎥ ⎥ ⎦

√

1 √ k2 −√ k1 + k2

(130)

Mit den Eigenwerten:  ˆ 1,2 = 1 ± λ

k2 k1 + k2

(131)

Die Tab. 2.9 enth¨ alt f¨ ur drei unterschiedliche Verh¨altnisse von k1 /k2 die korrekte Anzahl Nachkommastellen s (ohne Vorkonditionierung) bzw. sˆ (mit Vorkonditionierung), wobei mit p = 5 Nachkommastellen gerechnet wurde. Tabelle 2.9. Vergleich der korrekten Nachkommastellen s bzw. s ˆ in Abh¨ angigkeit von dem Verh¨ altnis der Federsteifigkeiten k1 /k2 k1 k2

Fall 1 2 3

√

3 2·10−6 √ √3 2 √ √ 3 2·106

√

# " # " ˆ sˆ log λλmax log λλˆmax min min # "  1,73  5 log 10 = 6, 238 log 1,001 −6 0,999 = 0, 001 # " # " 1,67 3,94 4 log 0,62 = 0, 803 log 0,33 = 0, 704 # " # " 2,83·106 2,0 = 6, 512 0 log 6,12·10 = 6, 514 log −7 0,87

s 0 4 0

In den drei F¨ allen wird sukzessiv die Steifigkeit der zweiten Feder k2 von ahrend die der ersten Feder k1 konstant bleibt. 10−6 auf 106 gesteigert, w¨ Dies f¨ uhrt dazu, daß die Anzahl der korrekten Nachkommastellen sich auf Null reduzieren, also im Fall 3 keine L¨ osung mit f¨ unf gerechneten Nachkommastellen erreicht werden kann. Im Fall 1 versagt das Verfahren, wenn keine Vorkonditionierung durchgef¨ uhrt wird ( s = 0 , aber sˆ = 5 ). Es liegt also ein Fall von k¨ unstlicher, schlechter Kondition vor.

56

2. Mathematische Grundlagen

2.10.6 Zwangsbedingungen bei linearen Gleichungssystemen

Betrachtet wird ein lineares Gleichungssystem K u = F mit n Unbekannten. Diesem System sollen r Zwangsbedingungen aufgepr¨agt werden. Sie lassen sich in folgender Form beschreiben:

C u = r

(132)

C ist eine (r × n)-Matrix mit r < n. Die Unbekannten im Vektor u werden folgendermaßen angeordnet: ⎤

⎡ u = ⎣

uu

⎦

(133)

ua angigen und ua die abh¨ angigen Variablen. Damit wird auch uu sind die unabh¨ C wie folgt aufgeteilt:  r =

 Cu

Ca

⎤

⎡ ⎣

uu

⎦ = C u uu +C a ua ⇒ ua = C −1 r −C −1 uu (134) a  a Cu 

ua

C u ist eine (r × (n − r))-Matrix. C a eine (r × r)-Matrix. Mit (133) und (134) erh¨ alt man folgende Transformationsbeziehung: ⎡ u = ⎣

⎤ uu ua

⎡

⎡

⎤

⎤

E

0

T

0 F

⎦ uu + ⎣ ⎦ = T uu + F0 −1 −C −1 C C  r u a a      

⎦=⎣

(135)

E ist eine ((n − r) × (n − r))-Einheitsmatrix und T eine (n × (n − r))-Matrix. Voraussetzung f¨ ur die Existenz von T ist, daß die Matrix C a nicht singul¨ar ist. Es m¨ ussen daher die in (132) formulierten Zwangsbedingungen linear unabh¨ angig sein. Einsetzen von (135) in die Beziehung K u = F : K (T uu + F0 ) = F ⇒ K T uu = F − K F0

(136)

Es wird (136) von links mit T T durchmultipliziert:   T T K T u = T T (F − K F0 ) = T T F − T T K F0 = Fˆ − Fˆ0          u ˆ K

 Fˆ

 Fˆ0

(137)

2.11 N¨ aherungsfehler bei der FEM

57

ˆ ist jetzt eine ((n − r) × (n − r))-Matrix. Der Vektor Fˆ0 tritt nur Die Matrix K dann auf, wenn der Vektor r in (132) kein Nullvektor ist, also die Zwangsbedingungen einen inhomogenen Charakter haben. Auf der S. 159 ist hierzu ein Anwendungsbeispiel zu finden.

2.11

2.11 N¨ aherungsfehler bei der FEM Der N¨ aherungsfehler bei der FEM ist eine Funktion e, die wie folgt definiert werden kann: e(x, y) = uex (x, y) − uFEM (x, y)

(138)

uex ist die exakte und uFEM die FE-L¨ osung. Der Fehler e ist bei der FEM abh¨ angig von der Netzfeinheit. Dieser wird u ¨ ber eine charakteristische Elementkantenl¨ ange l beschrieben. Damit l¨ aßt sich folgende Fehlerabsch¨atzung [9] definieren:

e ∞ = max |e(x, y)| ≤ C lp x,y ∈ Ω

(139)

Es ist C eine problemabh¨ angige Konstante. Der Exponent p beschreibt die Konvergenzordnung des vorliegenden Elementes. e ∞ ist die Maximumnorm des Fehlers e. Die charakteristische Elementkantenl¨ange l kann u ¨ ber eine geometrische Gr¨ oße B des betrachteten Bauteiles beschrieben werden:

l=

B n

(140)

In (140) beschreibt n die Anzahl der Elemente entlang der Gr¨oße B. Der urspr¨ ungliche Fehler e wird durch einen relativen Fehler E und die Ungleichung in (139) wird durch eine Gleichung ersetzt:    uex − uFEM   100 = C lp  E=  uex

(141)

Einsetzen von (140) in (141) f¨ uhrt auf: E = C ∗ n−p

mit

C ∗ = C Bp

Logarithmieren dieser Gleichung:

(142)

58

2. Mathematische Grundlagen

log E = log(C ∗ ) − p log(n)

(143)

Diese Beziehung stellt im doppelt logarithmischen System eine Gerade dar, die mit steigender Elementanzahl n abf¨ allt. F¨ ur eine Fehlerbeschreibung und die Analyse des Konvergenzverhaltens der FEM ist (143) sehr n¨ utzlich und wird im folgenden bei verschiedenen Beispielen eingesetzt. Eine wesentliche Einschr¨ ankung ist allerdings die Tatsache, daß die exakte L¨ osung uex bekannt sein muß.

2.12

2.12 Das Tonti-Diagramm

Bild 2.12. Die allgemeine Form des Tonti-Diagrammes

Das Tonti-Diagramm1 ist eine geeignete grafische Darstellungsform der Zuordnung von Feldgleichungen. In Bild 2.12 ist der prinzipielle Aufbau eines solchen Diagrammes aufgezeigt. Die K¨astchen enthalten Variablen und Gr¨ oßen des Problems. Schattierte K¨ astchen geben Gr¨oßen wieder, die gegeben sind. Die Verbindungslinien verk¨ orpern die Feldgleichungen oder Randbedingungen. Durchgezogene Linien stellen eine strenge Erf¨ ullung der Beziehung dar. Eine gestrichelte Linie repr¨ asentiert eine schwache Beziehung, also eine nur im Mittel erf¨ ullte Beziehung.

1

Das Diagramm ist nach dem italienischen Mathematiker Tonti benannt.

Kapitel 3 Beschreibung elastostatischer Probleme

3

3

3 3.1 3.1.1 3.1.2 3.1.3 3.1.4 3.1.5 3.1.6 3.2 3.2.1

Beschreibung elastostatischer Probleme Die Grundgleichungen der Elastizit¨atstheorie............... Verkn¨ upfung der Verschiebungen mit den Dehnungen ... Das Stoffgesetz................................................... Gleichgewichtsbedingungen .................................... Randbedingungen ................................................ Das Tonti-Diagramm des elastostatischen Problems...... Verkn¨ upfung der Grundgleichungen der Elastostatik...... Das Prinzip virtueller Verr¨ uckungen.......................... Das Prinzip vom Gesamtpotential ............................

61 61 62 62 62 63 64 65 65

3 Beschreibung elastostatischer Probleme 3.1

3.1 Die Grundgleichungen der Elastizit¨ atstheorie Im folgenden werden die Grundgleichungen der linearen Elastostatik betrachtet. Es werden dabei zwei Schreibweisen verwendet, zum einen die symbolische Schreibweise. Zum anderen die Matritzenschreibweise, da sie im Rahmen der FEM fast ausschließlich zum Einsatz kommt. Es werden folgende Gr¨oßen verwendet1 : uT = bT = T = p



  

u

v

Verschiebungsvektor

w



bx

by

bz

px

py

pz

Vektor der Volumenkr¨afte  Vektor der Randspannungen

(144)

Die Vektoren beschreiben die Felder der o.g. Gr¨oßen. Die Tensoren der Dehnungen e und Spannungen s werden im Rahmen der FEM als Vektoren ε und σ geschrieben: ⎡

⎤ εxx

εxy

εxz

⎢ ⎥  ⎢ ⎥ T ε = εxx εyy εzz 2 εxy e = ⎢ εyx εyy εyz ⎥ ;  ⎣ ⎦ εzx εzy εzz ⎡ ⎤ σxx σxy σxz ⎢ ⎥  ⎢ ⎥ s = ⎢ σyx σyy σyz ⎥ ; σ T = σxx σyy σzz σxy ⎣ ⎦ σzx σzy σzz

 2 εxz

2 εyz

 σxz

σyz

(145) 3.1.1 Verkn¨ upfung der Verschiebungen mit den Dehnungen

e=

1 (∇u + u ∇ ) 2

;

ε = L u

(146)

Die Dehnungs-Verschiebungs-Beziehungen, die auch kinematische Beziehungen genannt werden, verkn¨ upfen das vektorielle Verschiebungsfeld u mit dem 1

Die nachfolgenden Betrachtungen beziehen sich auf den r¨ aumlichen Fall.

62

3. Beschreibung elastostatischer Probleme

Dehnungsfeld ε bzw. e . Der Differentialoperator L ist f¨ ur den ebenen Fall in (89) auf der S. 42 definiert. 3.1.2 Das Stoffgesetz

F¨ ur linear-elastische K¨ orper lassen sich Dehnungen und Spannungen wie folgt miteinander verkn¨ upfen:

s = D:e

;

σ = D ε

(147)

Hierbei ist D eine (6 × 6)-Matrix. F¨ ur den einfachsten Fall, dem linearelastischen, isotropen K¨ orper, enth¨ alt D nur zwei Stoffgr¨oßen, n¨amlich den Elastizit¨ atsmodul E und die Querkontraktion ν. 3.1.3 Gleichgewichtsbedingungen

∇ · s + b = 0

;

L σ + b = 0

(148)

Der Vektor b beschreibt die Volumenkr¨ afte. Der Vektor auf der rechten Seite ist ein Nullvektor. 3.1.4 Randbedingungen

Bei den Randbedingungen wird zwischen den wesentlichen (geometrischen) und den nat¨ urlichen (Kraftrandbedingungen) unterschieden. Wesentliche Randbedingungen

Es wird auf einem Teil der Oberfl¨ ache des K¨orpers Ωu die Verschiebung 0u aufgepr¨ agt: u = 0u auf Ωu

(149)

Nat¨ urliche Randbedingungen

Die nat¨ urlichen Randbedingungen stellen sich dar als: s · n = 0p ;

n σ = 0p auf Ωp

(150)

n enth¨ alt die Komponenten des Normalenvektors des Randes. σ beschreibt die sechs Spannungen:

3.1

Die Grundgleichungen der Elastizit¨ atstheorie

63

⎡ ⎤

⎡ nx ⎢ ⎢ n=⎢ 0 ⎣ 0

0

0

0

nz

ny

0

nz

0

0

nz

ny

nx

ny

⎥ ⎥ nx ⎥ ; ⎦ 0

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ σ = ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ σxx

⎥ ⎥ σyy ⎥ ⎥ ⎥ σzz ⎥ ⎥ ⎥ σyz ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ σzx ⎥ ⎦ σxy

(151)

p ist der Vektor der Randspannungen. 3.1.5 Das Tonti-Diagramm des elastostatischen Problems

Die Gleichungen aus dem Kapitel zuvor lassen sich in geeigneter Form in einem Tonti-Diagramm zusammenfassen.

Bild 3.1. Das Tonti-Diagramm der Grundgleichungen der Elastostatik in strenger Form

Das Tonti-Diagramm erlaubt eine grafische Zuordnung der Feldgleichungen und der Randbedingungen zueinander. Das Bild 3.1 zeigt diesen Zusammenhang f¨ ur elastostatische Probleme. Die K¨ astchen enthalten die Variablen. Die Verbindungslinien zwischen den K¨ astchen stellen die strengen Verbindungen der Variablen zu den Feldgleichungen und Randbedingungen dar. Die erste Feldgleichung ist die kinematische Gleichung (Dehnungs-VerschiebungsBeziehung) 1/2 ( ∇ u + u ∇ ). Die zweite ist die konstitutive Gleichung (Stoffgleichung) s = D : e. Die dritte ist die Gleichgewichtsbedingung ∇ · s+b = 0. Das Verschiebungsfeld u wird als Prim¨ arvariable bezeichnet. Die Felder der Dehnungen und Spannungen heißen erste bzw. zweite Zwischenvariable oder Sekund¨ arvariable. Die schattierten K¨ astchen enthalten gegebene Gr¨oßen, die nichtschattierten die unbekannten Gr¨ oßen. Als gegeben werden die wesenturlichen s · n = p Randbedinlichen Randbedingungen u = 0u und die nat¨

64

3. Beschreibung elastostatischer Probleme

gungen angesehen. Weiterhin wird das Feld der Volumenkr¨afte b als bekannt vorausgesetzt. Die Verkn¨ upfung der Beziehungen aus dem Tonti-Diagramm f¨ uhrt auf eine strenge L¨ osung des Problems in Form von gew¨ohnlichen oder partiellen Differentialgleichungen. Nachfolgend wird hierzu die sogenannte Navier’sche Gleichung abgeleitet. Die Prim¨ arvariable ist dabei u. 3.1.6 Verkn¨ upfung der Grundgleichungen der Elastostatik Verallgemeinerte Navier’sche Gleichung

Setzt man das Stoffgesetz nach (147) in die Gleichgewichtsbedingung (148) ein, so erh¨ alt man:   ∇ · D : e + b = 0

(152)

In diese Beziehung wird die kinematische Gl. (146) eingesetzt: % ∇· D :



1 (∇u + u ∇) 2

& + b = 0

(153)

Dies sind drei partielle Differentialgleichungen f¨ ur die drei Verschiebungen u, v, w. Sie m¨ ussen noch den wesentlichen Randbedingungen gen¨ ugen. Dieses Differentialgleichungssystem ist nur f¨ ur Sonderf¨alle in geschlossener Form l¨ osbar. F¨ ur praktische Problemstellungen scheidet sie aber zur Bestimmung des Verschiebungsfeldes u aus. Vielmehr soll im n¨achsten Kapitel ein alternativer Weg beschritten werden, der das elastostatische Problem als Variationsproblem beschreibt. Beispiel zur Navier’schen Gleichung

F¨ ur einen eindimensionalen Stab soll die Verschiebung u = u(x) ermittelt werden. Der Stab hat die L¨ ange l und ist bei x = 0 fest eingespannt. Bei x = l, also am rechten Ende, greift eine Kraft F an. Es werden die drei Grundgleichungen f¨ ur den eindimensionalen Fall vereinfacht: dσxx =0 Die Gleichgewichtsbedingung: ∇ · s = 0 ⇒ dx Das Stoffgesetz: s = D : e ⇒ σxx = E εxx Die kinematische Beziehung: e =

1 du ( ∇ u + u ∇ ) ⇒ εxx = 2 dx

3.2

Das Prinzip virtueller Verr¨ uckungen

65

Einsetzen des Stoffgesetzes in die Gleichgewichtsbedingung sowie Einbringen der kinematischen Beziehung f¨ uhrt auf folgende Beziehung f¨ ur den eindimensionalen Fall: d dx

%

du E dx

& =0

(154)

Die rechte Seite ist Null, da keine Volumenkr¨ afte ber¨ ucksichtigt werden. Bei konstantem E-Modul ( E = E(x) ) erh¨ alt man: d2 u = u = 0 dx2

(155)

Durch zweimalige Integration von (155) ergibt sich:

u = C1 x + C2

(156)

Die Konstanten C1 und C2 werden u urliche Rand¨ber die wesentliche und nat¨ bedingung bestimmt: u(x = 0) = 0 ⇒ C2 = 0 p ⇒ nx σxx n · s = 0

F F = u E ⇒ u = = C1 =p= A AE

(157) (158)

Die Gleichungen (157) und (158) in (156) eingesetzt f¨ uhrt auf die Beziehung f¨ ur die Verschiebung:

u=

F x AE

(159)

3.2 Das Prinzip virtueller Verr¨ uckungen F¨ ur den Fall elastischer K¨ orper kann man zeigen, daß das Prinzip virtueller Verr¨ uckungen identisch ist mit dem Gesamtpotential, auch Π-Potential genannt [34]. Im folgenden soll das Prinzip vom Gesamtpotential betrachtet werden. 3.2.1 Das Prinzip vom Gesamtpotential

Das Tonti-Diagramm in Bild 3.2 ist der Ausgangspunkt f¨ ur die Ableitung des Prinzipes vom Gesamtpotential. Das Diagramm stellt eine Modifikation des Diagrammes 3.1 dar.

3.2

66

3. Beschreibung elastostatischer Probleme

Bild 3.2. Das Tonti-Diagramm der Grundgleichungen der Elastostatik in schwacher Form

Das unbekannte Verschiebungsfeld u ist die Gr¨oße, die variiert und als Prim¨arvariable bezeichnet wird. Das Dehnungsfeld eu wird in strenger Weise u ¨ber die kinematische Beziehung durch u ausgedr¨ uckt. Dies bringt der Superskript u zum Ausdruck, ebenso beim Spannungsfeld su . Sekund¨arfelder werden durch gestrichelte K¨ astchen beschrieben. Die strenge Verbindung, hier durch die Vollinien angedeutet, erzwingen eine Erf¨ ullung der Verbindung in jedem Punkt des L¨ osungsraumes V . Dies gilt auch f¨ ur die wesentlichen Randbedingungen u = 0u . Die schwachen Verbindungen, im Diagramm durch gestrichelte Linien angedeutet, erzwingen nur eine gemittelte“ Erf¨ ullung der ” Verbindungen. So wird das Gleichgewicht im K¨orper V sowie die nat¨ urlichen Randbedingungen nur in einem gemittelten Sinne erf¨ ullt. Man spricht von einer schwachen L¨ osung. Ausgangspunkt der mathematischen Beschreibung ist nun die Formulierung der schwachen Beziehung der Gleichgewichtsbedingungen:  "

# ∇ · s + b · λ = 0

(160)

V

¨ Uber die Einf¨ uhrung des Vektorfeldes der Lagrange Multiplikatoren λ wird eine Gewichtung vorgenommen. Die Lagrange Multiplikatoren stellen sich im Laufe der Ableitung als Variation δu = λ dar. Die Ableitung soll hier nicht im Detail ausgef¨ uhrt werden. Das Ergebnis f¨ uhrt auf einen Ausdruck des Gesamtpotentials Π in der folgenden Form:    1 0 b · u dV − s : e dV − p0 · u dΩp  2 V V Ωp    1 0 T = σ T ε dV − b T u dV − p u dΩp = ΠF − Πa 2 V V Ωp      

Π=

ΠF

Πa

(161)

3.2

Das Prinzip virtueller Verr¨ uckungen

67

Der Term ΠF beschreibt die elastische Form¨ anderungsarbeit, w¨ahrend Πa sich als Potential der ¨ außeren Kr¨ afte darstellt. Beispiel zum Prinzip des Gesamtpotentials

In Bild 3.3 ist eine Masse m dargestellt, die an einer Feder mit der Steifigkeitsmatrix k h¨ angt. Die Masse u ¨ bt infolge der Gravitation eine Kraft Fˆ = m g auf die Feder aus.

Bild 3.3. Beispiel zum Prinzip des Gesamtpotentials

Im Ausgangszustand bei x = 0 ist die Feder unbelastet. Die Kraft Fˆ tritt u ur eine Ab¨ ber den ganzen Auslenkungsweg der Feder in voller Gr¨oße auf. F¨ senkung der Feder mit einer beliebig kleinen Geschwindigkeit soll die Masse m seitlich gef¨ uhrt werden und sich Reibung zwischen der Masse und der ¨ die Reibkraft FR steht die ¨außere F¨ uhrung ausbilden (Fˆ = FR + Ff ). Uber Kraft Fˆ mit der Federkraft Ff im Gleichgewicht. Wird nun auf diese Weise die Feder um ein Maß u abgesenkt, so wird in der Feder eine innere Energie anderungsarbeit bezeichnet: ΠF gespeichert, die man als Form¨  ΠF =



u

Ff dx = 0

u

k x dx = 0

1 k u2 2

(162)

W¨ ahrend dieser Bewegung ¨ andert sich die potentielle Energie der Masse m. In der Ausgangslage bei x = 0 habe die Masse die potentielle Energie C. In einer verformten Lage bei x = u ergibt sich: C − m g u. Damit ergibt sich eine Potentialdifferenz von: Πa = Πx=u − Πx=0 = ( C − m g u) − C = −m g u

(163)

Das Gesamtpotential stellt sich dar als:

Π = ΠF + Πa =

1 k u2 − m g u 2

(164)

68

3. Beschreibung elastostatischer Probleme

Aus der Forderung nach Stationarit¨ at von Π erh¨alt man die gesuchte Verschiebung u ˆ:

δΠ =

dΠ mg dΠ δu = 0 ⇒ = 0 = ku ˆ − mg ⇒ u ˆ= du du k

(165)

In dieser Gleichgewichtslage gilt f¨ ur Π: (Fˆ = k u ˆ) 1 1 1 ˆ = min(Π) = 1 k u Π ˆ2 − Fˆ u ˆ2 − k u ˆ2 = − Fˆ u ˆ = ku ˆ2 = − k u ˆ 2 2 2 2

(166)

In Bild 3.4 ist das Gesamtpotential Π als Funktion von u dargestellt. Das Gesamtpotential nimmt an der Stelle u = u ˆ nicht nur einen station¨aren Wert ˆ Fˆ . an, sondern auch ein Minimum mit einem Wert min(Π) = A∗ = −1/2 u

Bild 3.4. Das Π-Potential einer Feder

Dies ist der Anteil an Energie, der w¨ ahrend der Verformung der Feder unter der vollen, konstanten Last Fˆ freigesetzt wird. Er entspricht der Arbeit der are, ¨außere Arbeit genannt. Diese ist Reibkraft FR und wird auch komplement¨ in der rechten H¨ alfte von Bild 3.4 als A∗ dargestellt. In diesem Diagramm ist die ¨ außere Kraft F u ¨ ber die Verformung u aufgetragen. Die Gerade Ff = k u stellt die Federkennlinie dar. Die gesamte schattierte Fl¨ache beschreibt das Potential m g u der Kraft Fˆ . Die zuvor angesprochene Arbeit A∗ liegt oberhalb der Federkennlinie, w¨ ahrend die ¨ außere Arbeit A unterhalb liegt. Diese Arbeit entspricht der ¨ außeren Arbeit F (u), die im Gegensatz zu Fˆ nicht in voller Gr¨ oße aufgebracht wird, sondern beginnend bei Null (x = 0) auf den Endwert ˆ F bei x = u ˆ anw¨ achst. Die Arbeit A = 1/2 u ˆ Fˆ wird vollst¨andig in die Form¨ anderungsarbeit ΠF umgesetzt.

Kapitel 4 Das Verfahren von Ritz

4

4

4 4.1 4.1.1 4.2 4.2.1 4.2.2 4.2.3 4.3 4.3.1 4.3.2 4.3.3 4.4 4.4.1 4.4.2 4.4.3 4.4.4 4.4.5 4.4.6 4.4.7

Das Verfahren von Ritz Aufpr¨agen der wesentlichen Randbedingungen ............. Beispiel zu den wesentlichen Randbedingungen............ Eindimensionale Stabprobleme ................................ Diskretisierung der Form¨anderungsarbeit.................... Diskretisierung des Potentials der ¨außeren Lasten......... Beispiel zum eindimensionalen Stab ......................... Eindimensionale Balkenprobleme ............................. Diskretisierung der Form¨anderungsarbeit.................... Diskretisierung des Potentials der ¨außeren Lasten......... Variation des Gesamtpotentials .............................. Scheibenproblem ................................................. Verschiebungsans¨atze ........................................... Wesentliche Randbedingungen ................................ Dehnungen und Spannungen der Scheibe ................... Diskretisierung der Form¨anderungsarbeit.................... Diskretisierung des Potentials der ¨außeren Lasten......... Variation des Gesamtpotentials ............................... Kragbalken als Scheibenproblem ..............................

72 73 75 75 76 77 79 79 79 80 84 85 85 86 87 88 89 89

4 Das Verfahren von Ritz Das Verfahren von Ritz kann als Vorstufe der FEM betrachtet werden. Ausgangspunkt ist dabei ein Funktional Π = Π(g(x, y, z)), das das physikalische Problem beschreibt. F¨ ur die gesuchte Funktion g(x, y, z) wird eine N¨aherungsfunktion formuliert: φ˜ = a0 + a1 f˜1 (x, y, z) + . . . + ai f˜i (x, y, z) + . . . + an f˜n (x, y, z) ⎤ ⎡ 1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ f˜1 ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ . ⎥ ⎢  ⎢ .. ⎥  ⎥ ⎥ = aT x = xT a = a 0 a1 . . . ai . . . an ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ f˜i ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ . ⎥ ⎢ .. ⎥ ⎥ ⎢ ⎦ ⎣ f˜n

(167)

Hierin sind f˜i (x, y, z) linear unabh¨ angige Funktionen und ai unbekannte Koeffizienten, die es zu bestimmen gilt. Die entscheidende Eigenschaft dieses Verfahrens von Ritz ist nun die, daß die N¨ aherungsl¨ osung nach (167) mit steigendem n gegen die exakte L¨osung strebt [49]. F¨ ur eine eindeutige L¨ osung m¨ ussen der Ansatzfunktion (167) die wesentlichen Randbedingungen aufgepr¨ agt werden. Damit erh¨alt man eine modifizierte Ansatzfunktion φ, die nur noch (n − m) unabh¨angige Koeffizienten aufweist, wobei m die Anzahl der Randbedingungen ist. Dieses Aufpr¨agen der wesentlichen Randbedingungen bereitet bei K¨orpern, die krummlinig beultigen Einsatz randet sind, Probleme1 . Diese Tatsache steht einem allgemeing¨ der Methode im Wege. Trotzdem hat sie als Vorstufe der FEM eine zentrale Bedeutung. Das zuvor angesprochene Funktional Π besitzt einen station¨aren Wert2 . Damit verschwindet an dieser Stelle die erste Variation δΠ: 1

¨ An dieser Stelle findet der Ubergang zur FEM statt. Es wird bei der FEM nicht mehr eine Ansatzfunktion f¨ ur den ganzen K¨ orper formuliert, sondern der K¨ orper wird gedanklich in endliche (finite) Teilgebiete (Elemente) unterteilt. F¨ ur ein solches Teilgebiet wird die Ansatzfunktion angesetzt. Damit muß diese Ansatzfunktion nicht den wesentlichen Randbedingungen gen¨ ugen. Die unbekannten Koeffizienten werden durch die sogenannten Knotengr¨ oßen ersetzt. Daraus resultiert die allgemeing¨ ultigere Einsetzbarkeit der FEM gegen¨ uber dem Verfahren von Ritz. 2 Hat das Funktional eine quadratische Form, so ist der station¨ are Wert gleichzeitig ein Minimum.

72

4. Das Verfahren von Ritz

δΠ =

∂Π δai = 0 ∂ai

∀ i = 1, . . . , n − m

(168)

(n − m) ist die Anzahl der Koeffizienten, die nach der Ber¨ ucksichtigung der wesentlichen Randbedingungen noch unbekannt sind. Aus der voranstehenden Gleichung gewinnt man ein lineares, inhomogenes Gleichungssystem zur ur die partiellen Ableitungen gilt: Bestimmung der Koeffizienten ai , da f¨ ∂Π =0 ∂ai

∀ i = 1, . . . , n − m

(169)

Die Funktionsweise des Verfahrens von Ritz wird auf der S. 77 an einem eindimensionalen Stab aufgezeigt.

4.1

4.1 Aufpr¨ agen der wesentlichen Randbedingungen Die Ansatzfunktion φ˜ nach (167) muß noch so ver¨andert werden, daß sie die m wesentlichen Randbedingungen beschreiben kann. Dabei k¨onnen p-te ˜ als φ˜(p) auftreten: Ableitungen von φ, φ˜(p) (xi , yi , zi ) = 0uj

∀

j = 1, . . . , m und p = 0 ∧ 1 ∧ 2 . . .

(170)

F¨ uhrt man die m Randbedingungen in (167) ein, so kann man schreiben: ⎤⎡

⎡ (x ˆT )(p) (x1 , y1 , z1 ) .. .

⎤

⎢ a0 ⎢ . ⎢ . ⎢ . ⎢ ⎢ ⎢ ai−1 (x ˆT )(p) (xj , yj , zj ) ⎢ ⎢ . .. ⎢ .. . ⎢ ⎣ T (p)  (x ˆ ) (xm , ym , zm ) an      ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

X

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

⎡

⎤ 0

⎥ ⎢ u1 ⎥ ⎢ . ⎥ ⎢ . ⎥ ⎢ . ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0 ⎥ = ⎢ uj ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ . ⎥ ⎢ .. ⎥ ⎢ ⎦ ⎣ 0 um   

 a

X a = 0u

0 u

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦  (171)

Die Matrix X ist eine (m × n)-Matrix. Sie wird in eine (m × m)-Matrix A und eine (m × (n − m))-Matrix B aufgeteilt:

4.1

Aufpr¨ agen der wesentlichen Randbedingungen



 X a =

B

A

73

⎤

⎡ aa

⎣

⎦ = Aaa + B ab = 0u

ab −1 0

aa = A

( u − B ab )

(172)

Die Aufteilung von X in A und B ist so zu gestalten, daß f¨ ur den Rang von ullt ist. Diese Aufteilung von X f¨ uhrt A die Bedingung Rang (A) = m erf¨ ebenfalls zur Aufteilung von x und a: xT =



 xTa

xTb

;

aT =



 aTa

(173)

aTb

Damit l¨ aßt sich mit Hilfe von (172) die Beziehung (167) schreiben als:

φ = xT a =



 xTa

xTb

⎤

⎡ ⎣

aa ab

⎦=



 xTa

xTb

⎡ ⎣

A−1 0u − A−1 B ab

⎤ ⎦

ab (174)

Diese Beziehung erf¨ ullt die wesentlichen Randbedingungen. Die gesuchten unabh¨ angigen Gr¨ oßen sind die Koeffizienten, die im Vektor ab auftreten. Eine Umformung von (174) f¨ uhrt zu:  T ab φ = xTa A−1 0u + (xTb − xTa A−1 B) ab = f0 + N       f0

(175)

T N

 enth¨ Der Vektor N alt die modifizierten Funktionen fi . Der Term f0 tritt nur dann auf, wenn inhomogene, wesentliche Randbedingungen vorliegen. 4.1.1 Beispiel zu den wesentlichen Randbedingungen

In Bild 4.1 ist ein eindimensionaler Stab abgebildet. Er ist bei x = 0 fest eingespannt und bei x = l wird ihm eine Verschiebung u ¯ aufgepr¨agt. Es liegen damit m = 2 Randbedingungen vor. Der Verschiebungsansatz lautet:

Bild 4.1. Die wesentlichen Randbedingungen des ein-

dimensionalen Stabes: u ˜ (ξ = 0) = 0 ; u ˜(ξ = 1) = u ¯

74

4. Das Verfahren von Ritz

⎤ a 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢  ⎢ a1 ⎥ ⎥ ⎢ 3 ⎥ = xT a ⎢ ξ ⎢ a ⎥ ⎢ 2 ⎥ ⎦ ⎣ a3 ⎡

u ˜ = a 0 + a 1 ξ + a2 ξ 2 + a 3 ξ 3 =

 1

ξ

ξ2

(176)

Er muß so modifiziert werden, daß die wesentlichen Randbedingungen erf¨ ullt werden. Danach weist er noch n − m, also zwei unabh¨angige Koeffizienten auf. Die wesentlichen Randbedingungen (˜ u(ξ = 0) = 0; u ˜(ξ = 1) = u¯) werden in die Beziehung (176) eingesetzt und lassen sich wie folgt schreiben: ⎡

⎤

⎢ a0 ⎥ ⎢ ⎥  ⎢ a1 ⎥  ⎢ ⎥ u ˜ (ξ = 0) = 0 ⇒ 1 0 0 0 ⎢ ⎥=0 ⎢ a ⎥  ⎢ 2 ⎥  ⎣ ⎦  xT 1 a3 ⎡ ⎤ a 0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥   ⎢ a1 ⎥ ⎢ ⎥ ¯ u ˜ (ξ = 1) = u ¯ ⇒ 1 1 1 1 ⎢ ⎥=u ⎢    ⎢ a2 ⎥ ⎥ ⎣ ⎦  xT 2 a3

(177)

(178)

Die beiden Vektoren xT1 und xT2 bilden die beiden Zeilen der Matrix X: ⎡ X=⎣

xT1 xT2

⎤

⎤

⎡

⎦=⎣

1

0

0

0

1

1

1

1

⎦

(179)

Die (m × m)-Matrix A mit m = 2, wird aus den ersten beiden Zeilen und Spalten von X gebildet, die (m × (n − m))-Matrix B mit n = 4 entsprechend aus den letzten beiden Zeilen und Spalten von X. Der Vektor xa wird aus den ersten beiden Elementen von x gewonnen und xb aus den letzten beiden Elementen von x. Damit erh¨ alt man nach (175):

4.2

Eindimensionale Stabprobleme



 u= 

1



ξ



 xa



⎤⎡

⎡

0

⎦⎣ ⎦ −1 1 u ¯       ⎣



 

ξ2



ξ3



−

 u0

= u¯ ξ +

ξ(ξ − 1)



 

 xb



⎤

0

1

A−1

+

75

1

  xa

ξ



⎤⎡

⎡ ⎣

⎦⎣

0

0

⎤ ⎡

⎤ a2

⎦ ⎣

⎦

−1 1 1 1 a3        



ξ(ξ 2 − 1)

0

1

A−1



⎡ ⎣

a2

⎤

B

⎦=u ¯ξ +

a3

 ab



 N1

N2

= u¯ ξ + N1 a2 + N2 a3

⎤

⎡ ⎣

a2

⎦

a3 (180)

4.2

4.2 Eindimensionale Stabprobleme Das Gesamtpotential des eindimensionalen Stabes lautet in Abwandlung von (161):

Π=

1 2

 σε dV − u ˆT F = ΠF − Πa

(181)

V

Setzt man in die kinematische Beziehung ε = du/dx die Beziehung nach (175) ein, so erh¨ alt man:  ε = f0 + aTb N

(182)

4.2.1 Diskretisierung der Form¨ anderungsarbeit

Die Form¨ anderungsenergie ΠF lautet damit:  2  1   dV ΠF = E f0 + aTb N 2 V %  " #T & 1 2   ab dV   + aTb N  N E (f0 ) + 2 f0 aTb N = 2 V    1 1 T  2 T     (N   )T dV ab = E (f0 ) dV + ab E f0 N dV + ab EN 2 V 2 V V          F0

 R

K

d

76

4. Das Verfahren von Ritz

 + 1 aTb K ab = F0 + aTb R 2

(183)

Infolge inhomogener Randbedingungen tritt in (183) die skalare Gr¨oße F0  auf. Der Vektor R  gibt die Kr¨afte wieder, die infolge insowie der Vektor R homogener Randbedingungen entstehen. Bei konstanten, homogenen Rand ein Nullvektor, da von f0 die erste Ableitung in (183) bedingungen ist R auftritt. 4.2.2 Diskretisierung des Potentials der ¨ außeren Lasten

k In das Potential der ¨ außeren Kr¨ afte Πa = u ˆT F = i=1 Fi ui wird mit Hilfe von (175) die Verschiebung ui am Angriffsort der Kraft Fi eingesetzt: k 

Fi ui = F1 u1 + . . . + Fi ui + . . . + Fk uk

" # " # " #  1 + . . . + Fi f0i + aTb N  i + . . . + Fk f0 + aTb N k = F1 f01 + aTb N k i=1

= f0T F + aTb Q F = Πa

(184)

Der Vektor F erfaßt die Kr¨ afte Fi , i = 1 . . . k. f0i = f0 (xi ), i = 1 . . . k bilden die Komponenten des Vektors f0 . Die i-te Spalte der Matrix Q enth¨alt den i = N  (xi ), wobei xi die Koordinate des Angriffspunktes der Kraft Vektor N Fi ist. f0T = Q=



 

f01

...

f0i

...

f0k

1 N

...

i N

...

k N

 (185)

Mit der Form¨ anderungsarbeit ΠF aus (183) und dem Potential der ¨außeren alt man das Gesamtpotential Π = ΠF − Πa zu: Kr¨ afte Πa aus (184) erh¨  + 1 aTb K ab − f0T F − aTb Q F Π = F0 + aTb R 2

(186)

Die erste Variation hiervon f¨ uhrt auf:   ∂ 1 T ∂Π T  T  T   F0 + ab R + ab K ab − f0 F − ab Q F δab δab = δΠ = ∂ab ∂ab 2   !  + K ab − Q F = = δaTb R 0 (187)

4.2

Eindimensionale Stabprobleme

77

Bei der Variation verschwinden die Terme, die unabh¨angig von ab sind. Der Klammerausdruck in (187) muß zu Null werden, so daß man daraus folgendes lineares Gleichungssystem zur Bestimmung der unbekannten Koeffizienten ab erh¨ alt:  K ab = Q F − R

(188)

4.2.3 Beispiel zum eindimensionalen Stab

In dem Beispiel 4.1.1 (s. Bild 4.1) auf der S. 73 sind dem Stab zwei wesentliche Randbedingungen aufgepr¨ agt worden, die zu der Ansatzfunktion (180) f¨ uhren. Diese ist jetzt Ausgangspunkt zur Bestimmung der unbekannten Ko  effizienten aTb = a2 a3 . Es wird der Stab bei l/2 durch eine Kraft F belastet. Matrix K

 auf. Das Produkt In K treten nach (183) die ersten Ableitungen von N   T  ) stellt ein dyadisches Produkt dar und f¨  (N uhrt zu: N 

1

K = AE l 0

⎡ =

AE ⎣ l

1 3 1 2

⎡ (2 ξ − 1)2 1 ⎣ l2 1 − 2 ξ − 3 ξ 2 + 6 ξ 3 ⎤ 1 2

⎦

1 − 2 ξ − 3 ξ2 + 6 ξ3 (3 ξ − 1) 2

⎤ ⎦ dξ

2

(189)

4 5

Matrix Q

Die Matrix Q wird nach (185) gebildet. Sie besteht aus einer Spalte, da nur eine Kraft F auftritt, die an der Stelle ξ = 1/2 angreift. Mit (180) erh¨alt man: ⎡

1 ⎤ ⎡ 1 ⎤ − 2 ⎦ ⎣ 4 ⎦ Q=⎣ 1 = N2 2 − 83 N1

(190)

 Vektor R

 ist in (183) definiert. Er enth¨ Der Vektor R alt die Ableitung f0 . F¨ ur f0 ergibt sich nach (175) bzw. (180):

78

4. Das Verfahren von Ritz

f0 = u¯ ξ ⇒ f0 =

u ¯ l

(191)

Die Integration nach (183) f¨ uhrt auf einen Nullvektor. L¨ osen des Gleichungssystems

Zur Bestimmung der unbekannten Koeffizienten aTb = folgendes Gleichungssystem: ⎡ AE ⎣ l

1 3

1 2

1 2

4 5

⎤⎡

⎤ a2

a2

a3

erh¨alt man

⎤

⎡ 2

⎦ ⎦ = −F ⎣ 8 a3 3 ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ Fl a2 − 43 AE ⎦ ⎣ ⎦=⎣ a3 0

⎦⎣





(192)

Einf¨ uhrung dieser Koeffizienten in (180) f¨ uhrt auf die gesuchte L¨osung:

u=u ¯ξ +

3Fl ξ(1 − ξ) 4 AE

(193)

Bild 4.2. Gegen¨ uberstellung der exak-

ten Verschiebung und der nach Ritz (F l/(¯ uAE) = 1)

In Bild 4.2 ist die L¨ osung nach (193) und die exakte Verschiebung dargestellt.

4.3

Eindimensionale Balkenprobleme

79

4.3

4.3 Eindimensionale Balkenprobleme Das Gesamtpotential Π des eindimensionalen Balkens lautet: 1 Π= 2





l

 2

E I (v ) dx − 0

k 

Fi vi +

i=1

p 

 Mi ϕi +

i=1



l

q(x) v dx 0

= ΠF − Πa

(194)

Als Belastungsgr¨ oßen werden die Kr¨ afte Fi , i = 1, . . . , k und die Momente ucksichtigt. Das Produkt EI Mi , i = 1, . . . , p sowie die Streckenlast q ber¨ gibt die Balkensteifigkeit wieder. Die Durchbiegung v tritt in Form der ersten Ableitung (ϕ = v  ) und der zweiten Ableitung v  auf. Sie l¨aßt sich nach (175) schreiben als:  v = f0 + aTb N  v  = f0 + aTb N 

v =

f0

+ aTb

(195) (196)

 

(197)

N

4.3.1 Diskretisierung der Form¨ anderungsarbeit

Das Einsetzen der voranstehenden Gleichungen in die Form¨anderungsarbeit nach (194) f¨ uhrt zu (ξ = x/l):  1  1 #2 " 1 1  2   dξ EI (v ) dξ = l EI f0 + aTb N ΠF = l 2 0 2 0  1  1  1 " #T 1 2   dξ ab   N   dξ + 1 aT l EI N = l EI (f0 ) dξ + aTb l EI f0 N b 2 0 2   0   0      F0

 R

 + 1 aTb K ab = F0 + aTb R 2

K

(198)

4.3.2 Diskretisierung des Potentials der ¨ außeren Lasten

Πa =

k  i=1

Fi vi +

p  i=1

 Mi ϕi +

l

q(x)v dx

(199)

0

k F¨ ur den Ausdruck i=1 Fi vi kann (184) benutzt werden, indem u durch v p aßt sich mit Hilfe von (196) schreiben ersetzt wird. Der Ausdruck i=1 ϕi Mi l¨ als:

e

80

4. Das Verfahren von Ritz

p 

 1 )M1 + · · · + (f0 + aTb N  i )Mi + · · · ϕi Mi =(f0 1 + aTb N i

i=1

  )Mp = (f )T M  + aT Q M  + (f0 p + aTb N p 0 b

(200)

 enth¨ Der Vektor M alt die p Momente, die als Belastung auftreten. Die Matrix  Q wird aus (185) gewonnen, indem die Spaltenvektoren nach x abgeleitet werden: Q =



 1 N

 N i

...

...

 p N

 (201)

F¨ ur die Streckenlast q(x) ergibt sich mit (195): 



l

q(x)v dx = 0

0

l

 l  l " #  dx  dx = q(x) f0 + aTb N q(x)f0 dx + aTb q(x)N 0 0       G0

=

 G0 + aTb Q

 Q

(202)

4.3.3 Variation des Gesamtpotentials

Das Gesamtpotential ergibt sich mit Hilfe von (184), (198), (200) und (202) zu: " # " #  + 1 aTb K ab − f0T F + aTb Q F − (f0 )T M  + aTb Q M  Π = F0 + aTb R 2# " T  (203) − G0 + ab Q Die Terme in voranstehender Gleichung, die unabh¨angig von ab sind, verschwinden bei der Variation von Π: ∂Π δab ∂ab  ∂  + 1 aT K ab − f T F − aT Q F − (f )T M  F0 + aTb R = 0 b 0 ∂ab 2 b   − G0 − aTb Q  δab − aTb Q M " # !  + K ab − Q F − Q M  −Q  = = δaTb R 0

δΠ =

(204)

4.3

Eindimensionale Balkenprobleme

81

Bei der Einnahme eines station¨ aren Wertes muß der Klammerausdruck in (204) verschwinden. Damit erh¨ alt man:  +Q  −R  K ab = Q F + Q M

(205)

Aus (205) lassen sich die unabh¨ angigen Koeffizienten ab berechnen. Mit (175) erh¨ alt man den gesuchten Verschiebungsansatz. Beispiel zum eindimensionalen Balken

In Bild 4.3 ist ein Balken dargestellt, der an seinem linken Ende fest eingespannt ist und dessen rechtes Auflager um den Wert v¯ angehoben wird. Er wird durch eine Streckenlast q, eine Kraft F und ein Moment M belastet. Im folgenden wird die Durchbiegung des Balkens n¨aherungsweise mit einem Polynom vierten Grades beschrieben.

Bild 4.3. L¨ osung eines Balkenproblems mit der Methode von Ritz

Ansatzfunktion

⎡

⎤ a0

v˜ = a0 + a1 ξ + a2 ξ 2 + a3 ξ 3 + a4 ξ 4 =

 1

ξ

ξ2

ξ3

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ a1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ξ 4 ⎢ a2 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ a3 ⎥ ⎣ ⎦ a4

= x aT (206) Wesentliche Randbedingungen

Die drei wesentlichen Randbedingungen des Beispiels v˜(ξ = 0) = 0, uhrt v˜(ξ = 1) = v¯ und v˜ (ξ = 0) = 0 auf die Ansatzfunktion angewendet, f¨ auf:

82

4. Das Verfahren von Ritz



 x1 =



x3 =

1

0

0

0

0

0

1

0

0

0





 ; x2 =

1

1

1

1

1 (207)

Die Vektoren x1 , x2 , x3 bilden die Zeilen der Matrix X. Die ersten drei Spalten von X formen die Matrix A, die letzten beiden die Matrix B. Daraus ergibt sich weiter: ⎤

⎡ 1

0

⎢ ⎢ A=⎢ 1 ⎣ 0

1 1

⎡

⎤

⎡ 0

0

⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 1 ⎥ ; B=⎢ 1 ⎦ ⎣ 0 0

⎤

⎡

a0

0

⎥ ⎥ 1 ⎥ ⎦ 0

(208)

⎡

⎤

⎤

⎡ ⎤ 3 ⎥ ξ ⎥ ⎦ ⎥ ; xb = ⎣ ⎦ 4 ξ

1

⎢ ⎢ ⎥ a3 ⎢ ⎥ ⎦ ; xa = ⎢ aa = ⎢ a1 ⎥ ; ab = ⎣ ⎢ ξ ⎣ ⎣ ⎦ a4 a2 ξ2

(209)

Einsetzen der voranstehenden Ausdr¨ ucke in (175) f¨ uhrt zu: ⎤⎡

⎡ 1

 v=

1

ξ

⎛

ξ2

⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎣ −1

0 0 1

0

⎤ 0

⎥⎢ ⎥⎢ 1 ⎥ ⎢ v¯ ⎦⎣ −1 0 ⎡

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤⎡

⎤⎞

⎡ ⎤ ⎥⎢ ⎥⎟ a3 ⎢ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎟ ⎦ ξ 4 − 1 ξ ξ 2 ⎢ 0 0 1 ⎥ ⎢ 1 1 ⎥⎟ ⎣ ⎣ ⎦⎣ ⎦⎠ a4 −1 1 −1 0 0 ⎡ ⎤  a3   T ab ⎦ = f0 + N (210) = ξ 2 v¯ + ξ 2 (ξ − 1) ξ 2 (ξ 2 − 1) ⎣ a4 ⎜ ⎜ + ⎜ ξ3 ⎝





1

0

0

0

0

Matrix K

Die Matrix K, die in (198) definiert ist, enth¨alt das dyadische Produkt   )T. N  ist in (210) angef¨   (N uhrt. N

4.3

Eindimensionale Balkenprobleme

⎡



EI K= 3 l

1

⎣

4(3 ξ − 1)2

83

4(3 ξ − 1)(6 ξ 2 − 1)

4(3 ξ − 1)(6 ξ 2 − 1) ⎡ ⎤ 4 EI ⎣ 1 2 ⎦ = 3 l 2 21 5 0

⎤ ⎦ dξ

4(6 ξ 2 − 1)2 (211)

Rechte Seite des Gleichungssystems nach (205)

 auf der rechten Seite treten infolge von Kr¨aften und Die Ausdr¨ ucke QF , Q M Momenten auf. Die Matrizen Q und Q lauten nach (185) bzw. (201) sowie (210): ⎤ ⎤ ⎡ ⎡ 1 1 ⎣ −2 ⎦ 1 ⎦ Q= ; Q = ⎣ 16 −3 l 2

(212)

 hervor: Aus der Streckenlast q geht nach (202) der Vektor Q   =l Q

1

 dξ = ql q(ξ)N 0

⎤ ⎤ ⎡ ξ 2 (ξ − 1) −1 ql ⎦ ⎣ ⎦ ⎣  2  dξ = 12 8 2 ξ ξ −1 −5 ⎡



1

0

(213)

 in (205) tritt nur dann auf, wenn inhomogene Randbedingungen Der Vektor R   treten f  = (ξ 2 v¯) (s. (210)) sowie vorliegen. R ist in (198) definiert. In R 0  die zweiten Ableitungen von N auf. Das f¨ uhrt zu folgendem Ergebnis:   = EI l R 0

1

⎡ ⎤ 1 2 EI   dξ = ⎦ f0 N v¯ ⎣ l3 2

(214)

Damit ist die rechte Seite vollst¨ andig bestimmt und es ergibt sich: ⎡

⎤ M q EI F + − l − 2 v ¯ ⎢ ⎥ 8 l 12 l3  +Q  −R  =⎢ ⎥ QF + Q M ⎣ M 2 EI ⎦ 3 − lq − 4 3 v¯ − F +2 16 l 15 l −

(215)

84

4. Das Verfahren von Ritz

Bestimmung der Koeffizienten

Mit der Matrix aus (211) und der rechten Seite (215) lassen sich die Koeffizienten ab berechnen: ⎡

⎤

⎤ ⎡ −5 q l4 − 9 F l3 + 12 M l2 − 24 EI v¯ 1 ⎦= ⎦ ⎣ ab = ⎣ 48 EI 1 3 a4 4 (15 F + 8 lq) l a3

(216)

Biegelinie

Einsetzen der Koeffizienten aus (216) in (210) f¨ uhrt auf die Biegelinie des Balkens (s. Bild 4.4):     q l4  F l3 3 1 − ξ v¯ + 3 − 5 ξ + 2 ξ 2 + 7 − 12 ξ + 5 ξ 2 2 2 48 EI 64 EI & M l2 2 ξ (217) + (ξ − 1) 4 EI

% v=

Bild 4.4. Durchbiegung des Balkens f¨ ur Ansatzfunktionen dritten und vierten Grades

4.4

4.4 Scheibenproblem Das Gesamtpotential des Scheibenproblems lautet:

Π=

1 2 

 V

 ˆT  qˆ dγ − uT F dγ = ΠF − Πa ε T σ dV − u Γ      ΠF

f

E

(218)

Πa

Die Form¨ anderungsarbeit ΠF enth¨ alt den Dehnungsvektor εund den Span nungsvektor σ . Als Belastung werden die Streckenlast qˆ T = qx qy und   ber¨ ucksichtigt. Das Potential der a¨ußeren Einzelkr¨ afte F T = Fx Fy Kr¨ afte Πa setzt sich aus diesen beiden Anteilen zusammen.

4.4

Scheibenproblem

85

4.4.1 Verschiebungsans¨ atze

Das Pascal’sche Dreieck, wie es in Bild 4.5 dargestellt ist, dient zur Formulierung vollst¨ andiger Polynomans¨ atze f¨ ur die Verformungen u˜ und v˜ des Scheibenproblems: ⎡

⎤ 1

u ˜ = a0 + a1 x + a2 y + a3 x2 + · · · =

 a0

a1

a2

a3

= aT x

v˜ = b0 + b1 x + b2 y + b3 x2 + · · · =

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ x ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ··· ⎢ y ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ x2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ .. . ⎡

 b0

b1

b2

b3

(219) ⎤

1 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ x ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎥ y ··· ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ x2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ .. .

= b T  y

(220)

Bild 4.5. Das Pascal’sche Drei-

eck f¨ ur ebene Probleme

Zur Unterscheidung der beiden Ans¨ atze werden die Gr¨oßen der Polynome  u y beschrieben. ¨ ber die Vektoren a und b bzw. x und  4.4.2 Wesentliche Randbedingungen

Die Ansatzfunktionen aus (219) und (220) m¨ ussen noch die Randbedingungen ur v˜ werden mv Randbedingungen erf¨ ullen. F¨ ur den Ansatz u˜ werden mu und f¨ definiert:

86

4. Das Verfahren von Ritz

u ˜ (xi , yi ) = 0ui ; i = 1, · · · , mu v˜ (xi , yi ) = 0vi ; i = 1, · · · , mv

(221)

Die Elemente der Vektoren u0 und v0 erfassen die zuvor beschriebenen Randbedingungen: 

0 T

u =

0



0 T

v =

u1

0

v1

0

u2

0

v2

···

0

ui

···

···

0

vi

···

 (222)

0

umu

 (223)

0

v mv

Das Einbringen dieser Randbedingungen f¨ uhrt analog zu (175) auf folgende modifizierte Ansatzfunktionen:   u ab = f0 + aTb N u0 + xTb − xTa A−1 u = xTa A−1 u  u Bu    −1 −1 T T T T v v = ya Av v0 + yb − ya Av B v bb = g0 + bb N

(224) (225)

Die Verschiebungen u und v des Scheibenproblems lassen sich nach (175) ausdr¨ ucken als: u u = f0 + aTb N v v = g0 + b T N

(226) (227)

b

Zur Unterscheidung der beiden Ans¨ atze werden die Anteile, die aus den inhomogenen Randbedingungen hervorgehen, mit f0 bzw. g0 beschrieben. Ent u und N v. sprechend die unabh¨ angigen Koeffizienten mit ab und bb sowie N  Die beiden Verschiebungen u und v werden in dem Vektor u ˆ zusammengefaßt: ⎡ ⎤  ⎤⎡ ⎤ T  T ab 0 N + N f f u 0 0 u u ⎦=⎣ ⎦= ⎦ ⎣ ab ⎦ = h+P c (228) ˆ=⎣ +⎣ T   bb g 0 g0 + Nv bb  vT v 0 N          ⎤

⎡

⎡

u

 h

P

 c

4.4.3 Dehnungen und Spannungen der Scheibe

Die Dehnungen der Scheibe ε lassen sich u ¨ ber den Differentialoperator L als ˆ ausdr¨ ucken. Mit (228) ergibt sich: ε = L u

4.4

Scheibenproblem

87

⎤

⎡

∂ ⎢ ∂x ⎢ " # ⎢ ⎢ 0 ε = L h + P c = ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ∂ ⎣ ∂y ⎤ ⎡ ⎡ ∂f0 ⎥ ⎢ ⎢ ∂x ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ∂g0 ⎥ ⎢ ⎢ ⎥+⎢ =⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ∂y ⎥ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ∂f ∂g0 ⎥ ⎦ ⎢ ⎣ 0 ⎣ + ∂y ∂x      F0

0 ⎥ ⎥ ⎛ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎞ ⎥ T ∂ ⎥ N 0 f u 0 ⎥⎝ ⎦ ⎣ ab ⎦⎠ +⎣ ∂y ⎥ bb g 0  vT ⎥ 0 N ⎥ ∂ ⎦ ∂x ⎤  uT ∂N 0 ⎥ ⎥⎡ ⎤ ∂x ⎥ T ⎥  ∂ Nv ⎥ ⎣ ab ⎦  0 (229) = F0 + G c ⎥ ∂y ⎥ bb ⎥  uT ∂ N  vT ⎥ ⎦ ∂N ∂y ∂x   G

Die Spannungen σ = D ε ergeben sich zu: " # σ = D F0 + G c = D F0 + D G c

(230)

Mit Hilfe von (228), (229) und (230) werden nachfolgend die Gr¨oßen des Gesamtpotentials Π diskretisiert. 4.4.4 Diskretisierung der Form¨ anderungsarbeit

Es werden die diskretisierten Beziehungen f¨ ur die Dehnung nach (229) und f¨ ur die Spannung nach (230) in die Form¨ anderungsarbeit ΠF eingesetzt:   " #" # 1 1 T ΠF = F0T + c T GT D F0 + D G c dV ε σ dV = 2 V 2 V    1 1 GT D F0 dV + c T GT D G dV c F0T D F0 dV + c T = 2 V 2 V V          F0

 + 1 c T K c = F0 + c T R 2

 R

K

(231)

88

4. Das Verfahren von Ritz

4.4.5 Diskretisierung des Potentials der ¨ außeren Lasten Einzelkr¨ afte

Den Verschiebungen u und v sind die Kr¨afte Fx und Fy zugeordnet. An  p Stellen (xi , yi ); i = 1 . . . p der Scheibe m¨ogen Kr¨afte Fˆ angreifen. Das afte l¨ aßt sich schreiben als: Potential ΠaF dieser Kr¨ ΠaF = u1 Fx1 + v1 Fy1 + . . . + ui Fxi + vi Fyi + . . . + up Fxp + vp Fyp p p   uˆT Fi = (ui Fxi + vi Fyi ) = (232) i i=1

i=1

Mit (228) erh¨ alt man:

ΠaF

p " p p #T    T  T    hi + P i c Fi = = P Ti Fi hi Fi + c i=1

i=1

(233)

i=1

Faßt man die einzelnen Vektoren Fi zu einem Vektor F zusammen, so kann man schreiben: " #T T ˆ  F + c T Pˆ F ΠaF = h

(234)

" #T T ˆ Dabei haben h und Pˆ folgendes Aussehen: " #T   ˆ h = f01 g01 . . . f0i g0i . . . f0p g0p ⎡ ⎤  ui  up  u1 0 ... N 0 ... N 0 N T ⎦ Pˆ = ⎣    0 0 0 Nv1 . . . Nvi . . . Nvp

(235)

Der Index i sagt aus, daß die entsprechende Gr¨oße an der Stelle (xi , yi ) zu bilden ist. Streckenlasten

Die Streckenlast  qˆ T = (228) multipliziert:



 qx

qy

wird mit den Verschiebungen u und v aus

4.4

Scheibenproblem

 u ˆT  qˆ dγ =

Πaq = Γ

89

  "  #T h + P c qˆ dγ = hT qˆ dγ + c T P T qˆ dγ Γ  Γ    Γ   f0q

= f0q

q F

+ c Fq T

(236)

4.4.6 Variation des Gesamtpotentials

Einsetzen von (231), (234) und (236) in das Gesamtpotential f¨ uhrt zu: T  + 1 c T K c − ˆ hT F − c T Pˆ F − f0q − c T Fq Π = F0 + c T R 2

(237)

ˆ T  Bei der Variation von Π verschwinden die Terme F0 , h F , f0q , da sie unabh¨ angig von c sind. Die Variation ergibt:

δΠ =

" # ∂Π  + K c − Pˆ T F − Fq = 0 δc = δc T R ∂c

(238)

Damit erh¨ alt man, da der Klammerausdruck verschwindet, folgende Beziehung zur Ermittlung des unabh¨ angigen Koeffizienten c: T  K c = Pˆ F + Fq − R

(239)

 tritt nur auf, wenn inhomogene Randbedingungen existieren. Der Vektor R 4.4.7 Kragbalken als Scheibenproblem

Bild 4.6. Die Lagerung und Belastung des

Kragbalkens

In Bild 4.6 ist ein Kragbalken dargestellt. Auf der linken Seite weist er die nat¨ urlichen Randbedingungen (u(x = 0, y = ±h/2) = u(x = 0, y = 0) = 0; v(x = 0, y = 0) = 0) auf. Am rechten Ende wird er durch die quadratische Streckenlast:

90

4. Das Verfahren von Ritz





q = 1−

2

2y h

3 q0 2

(240)

belastet. Das Problem wird als Scheibenproblem gel¨ost. Ansatzfunktionen

Es werden folgende quadratische Ansatzfunktionen f¨ ur u˜ und v˜ verwendet: u ˜ = a0 + a1 x + a2 y + a3 x2 + a4 xy + a5 y 2 2

v˜ = b0 + b1 x + b2 y + b3 x + b4 xy + b5 y

(241)

2

(242)

Randbedingungen

Die Ber¨ ucksichtigung der zuvor angef¨ uhrten Randbedingungen f¨ uhrt nach (224) und (225) auf folgende Ansatzfunktionen: u = a1 x + a3 x2 + a4 xy

(243)

2

v = b1 x + b2 y + b3 x + b4 xy + b5 y

2

(244)

Steifigkeitsmatrix K

Aus (231) ergibt sich die Matrix zu: Ethl K= 1 − ν2 ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

1

l

0

0

ν

0

1 lν 2

l

4 2 l 3

0

0

lν

0

2 2 l ν 3

0

0

h2 12

+ 16 l2 ·

(1 − ν) 0

0

1 l(1 4

− ν)

ν

lν

0

0

0

1 2 l (1 3

1 lν 2

2 2 l ν 3

0

0

0

1 νh2 6

1 l(1 4

− ν)

0

1 2 l (1 3

1 (1 2

− ν)

0

1 l(1 2

0 − ν)

1 l(1 2

− ν)

0 0

− ν)

0

− ν)

1

0

0

2 2 l (1 3

1 l 2

0

0

0

0 1 l 2

− ν)

0 1 2 l 3

+

1 2 h · 24

(1 − ν) 0

⎤ 0

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 2 ⎥ 1 νh ⎥ 6 ⎥ ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ 0

1 2 h 3

(245)

4.4

Scheibenproblem

91

Die Matrix K ist symmetrisch und weist keine Bandstruktur auf. Dies ist ein Nachteil gegen¨ uber der FEM, da die dort auftretende Steifigkeitsmatrix sich durch eine ausgepr¨ agte Bandstruktur auszeichnet. Dies bringt deutliche Vorteile bez¨ uglich der Rechenzeit. Streckenlast

Die Streckenlast nach (236) f¨ uhrt mit Hilfe von (240) zu folgendem Ausdruck: qh  FqT = 0 20

 0

0

20 l

0

20 l2

0

(246)

h2

Das Verschiebungsfeld des Kragbalkens und Verformungen des Randes der Scheibe

Bild 4.7.

Bestimmung der unabh¨ angigen Koeffizienten

Die unabh¨ angigen Koeffizienten im Vektor c lassen sich jetzt nach (239) durch das lineare Gleichungssystem Kc = Fq bestimmen. Es ergibt sich:  a1 a 3 a 4 b 1 b 2 b 3 b 4 b 5    q = 40 lh2 (1 + ν) 0 0 −6 νh2 + 20 l2 20 Etlh2      3 νh2 + 20 l2 0 3 20 νl2 + h2

cT =



0 (247)

Verformungen

Das Einsetzen von (247) in (243) und (244) f¨ uhrt auf die gesuchten Verformungen: νh2 + 20 l2 xy 10 Etlh2  2   2 3q   2 ν+1 2 2 2 x+ νh x y + 20 l + 20 νl + h v = 2q Et 20 Etlh2

u = −3 q

(248) (249)

92

4. Das Verfahren von Ritz

Darstellung der Verformungen

  Das vektorielle Verschiebungsfeld u ˆT = u v ist in Bild (4.7) dargestellt. Weiterhin sind die Berandungslinien des Kragbalkens im unverformten und verformten Zustand eingezeichnet.

Kapitel 5 Stabelemente

5

5

5 5.1 5.1.1 5.1.2 5.1.3 5.1.4 5.1.5 5.1.6 5.1.7 5.1.8 5.1.9 5.1.10 5.1.11 5.1.12 5.2 5.2.1 5.2.2 5.2.3 5.2.4 5.2.5

Stabelemente Das eindimensionale Stabelement ............................ Problemdefinition ................................................ Das Tonti-Diagramm des Stabes ............................. Das Funktional des Stabproblemes ........................... Diskretisierung des Funktionals des Stabes ................. Variation des Funktionals ...................................... Beispiel zum eindimensionalen Stab.......................... Direkte Erstellung der Gesamtsteifigkeitsmatrix .......... Erstellung der Gesamtsteifigkeitsmatrix (allgemein) ...... ¨ Ubungsbeispiele zum eindimensionalen Stab ............... Variable Querschnittsfl¨ache des Stabelementes ............ Eindimensionales Stabelement mit n Knoten .............. Eindimensionaler Stab mit drei bzw. vier Knoten ........ Das zwei- und dreidimensionale Stabelement ............. Das zweidimensionale Stabelement .......................... Beispiel zum zweidimensionalen Stabproblem ............. Optimierung eines Stabtragwerkes............................ ¨ Ubungsbeispiele zum zweidimensionalen Stab.............. Das dreidimensionale Stabelement ..........................

95 95 95 98 98 101 103 109 111 113 115 116 119 120 120 123 128 131 134

5 Stabelemente 5.1

5.1 Das eindimensionale Stabelement 5.1.1 Problemdefinition

h

Der Stab, wie er in Bild 5.1 abgebildet ist, ist ein Bauteil, das u ¨ ber folgende Eigenschaften zu charakterisieren ist: Die Hauptausdehnung in seiner L¨ angsachse, die als x-Achse bezeichnet werden soll, ist sehr viel gr¨ oßer als die Abmessungen in y- und z-Richtung. Daher kann der Stab auf einen eindimensionalen Fall zur¨ uckgef¨ uhrt werden, da die Ausdehnung in y- und z-Richtung u ¨ ber die Querschnittsfl¨ache A(x) beschrieben wird. Der Stab kann nur Kr¨ afte F oder Streckenlasten q(x) in Richtung seiner L¨ angsachse aufnehmen. y

A(x) E

z q(x) u(x) L

F

x

Bild 5.1. Die Geometrie sowie die Belastung des Stabes

Im folgenden werden nur ungekr¨ ummte St¨ abe betrachtet. Im ersten Ansatz wird eine konstante Querschnittsfl¨ ache A vorausgesetzt. Diese Einschr¨ankung wird sp¨ ater fallengelassen, so daß eine Querschnittsausbildung ber¨ ucksichtigt werden kann, wie sie in Bild 5.1 dargestellt ist. 5.1.2 Das Tonti-Diagramm des Stabes

Bei der nachfolgend zugrunde gelegten linearen Theorie m¨ ussen die Verschiebungen u(x) sehr viel kleiner sein als die Abmessungen des Stabes. Das Hooke’sche Gesetz dient als Stoffgesetz, so daß der Elastizit¨atsmodul E als Materialgr¨ oße Ber¨ ucksichtigung findet. Die Dehnungen im Stab sind infinitesimal klein.

96

5. Stabelemente

Bild 5.2. Das Tonti-Diagramm des Stabes

Bild 5.2 zeigt das Tonti-Diagramm (Definition s. S. 58) des eindimensionalen Stabes. Die nicht schattierten K¨ astchen beschreiben die Variablen des Stabproblemes. Die schattierten K¨ astchen erfassen gegebene Gr¨oßen des Stabproblemes, wie die Randbedingungen und die Streckenlast q. Letztere bezeichnet man in diesem Zusammenhang als Quellfunktion. Die Verbindungslinien der K¨ astchen repr¨ asentieren entweder die Feldgleichungen des Stabproblemes oder die Randbedingungen. Kinematische Beziehung

Die Prim¨ arvariable u(x), auch Variationsgr¨oße genannt, ist die L¨angsverschiebung des Stabes. Daraus leitet sich u ¨ ber die kinematische Beziehung ε = du/dx = u die Dehnung als Zwischenvariable ab, die auch Sekund¨arvariable genannt wird. Stoffgleichung

Die Stoffgleichung P = AE ε verkn¨ upft u ¨ ber den Elastizit¨atsmodul E die Dehnung ε mit der inneren Kraft P (x). Gleichgewichtsbeziehung

Die Gleichgewichtsbedingung dP/dx + q = 0 setzt die innere Kraft P im Stab in Beziehung zu der Streckenlast q. Die Kraft P ist konstant, falls keine Streckenlast q im Stab auftritt. Randbedingungen

Die nat¨ urliche Randbedingung AE u = 0F , auch Kraftrandbedingung genannt, beschreibt das Gleichgewicht zwischen der inneren Kraft P und der außeren Kraft 0F . Die wesentliche Randbedingung u = 0u, die man auch als ¨ geometrische Randbedingung bezeichnet, beschreibt die Lagerungsbedingungen des Stabes.

5.1

Das eindimensionale Stabelement

97

Die Grundgleichung des Stabes

Die Beschreibung der Verformungen des Stabes f¨ uhrt auf eine Differentialgleichung. Diese gewinnt man, indem man die kinematische Beziehung ε = du/dx = u in die Stoffgleichung P = AE ε einsetzt und erh¨alt: P = AE u . Dieses Zwischenergebnis wird in die Gleichgewichtsbedingung eingebracht und f¨ uhrt auf: d (AE u ) + q = 0 dx

(250)

Unter der Voraussetzung, daß zum einen A und E konstant sind und zum anderen keine Streckenlast q auftritt, verschwindet die zweite Ableitung der Verschiebung u. Analytische L¨ osung eines eindimensionalen Stabbeispieles

Bild 5.3. Eindimensionaler Stab mit einer Streckenlast q und einer

Einzelkraft 0F belastet

Das Bild 5.3 zeigt einen Stab, der eine L¨ ange l, einen konstanten Querschnitt A und einen konstanten Elastizit¨ atsmodul E aufweist. Dieser Stab wird in seiner L¨ angsrichtung durch eine Kraft 0F und eine Streckenlast q belastet, wobei u ¨ ber q das Eigengewicht des Stabes beschrieben wird. Mit Hilfe von (250) sollen die Verformungen und die Spannungen im Stab ermittelt werden. Zweifaches Integrieren von (250) f¨ uhrt auf (q = A ρ g): AE u = −A ρ g x + C1 x2 AE u = −A ρ g + C1 x + C2 2

(251)

Die wesentliche Randbedingung (Einspannung bei x = 0) und die nat¨ urliche Randbedingung (Kraft an der Stelle x = l) f¨ uhren auf folgende Beziehungen:

98

5. Stabelemente

⇒ C2 = 0

u(x = 0) = 0 

A E u (x = l) = F = −A ρ g l + C1 0

⇒ C1 = A ρ g l + 0F

(252)

Durch Einbringen der Randbedingungen von (252) in (251) erh¨alt man die L¨ osung f¨ ur die Verformungen: F ρg  x x+ l− x AE E 2 0

u=

(253)

¨ Uber die Stoffgleichung P = AE ε erh¨ alt man mit σ = P/A die Spannungen: 0

σ=

F + ρ g(l − x) A

(254)

Alternativ zur L¨ osung u ¨ber eine Differentialgleichung wird im folgenden ein Weg beschritten, der eine allgemeine numerische L¨osung in Form der FEM zur Basis hat, wobei von einem Funktional ausgegangen wird. 5.1.3 Das Funktional des Stabproblemes

In (161) wird das Funktional f¨ ur den dreidimensionalen, elastostatischen Fall beschrieben. Ber¨ ucksichtigt man, daß beim Stab die Dehnung ε, die Spannung σ und die Verschiebung u als skalare Gr¨ oßen auftreten und die Belastung sich als Einzelkraft darstellt, so kann man schreiben1 :

Π=

1 2

 σε dV − u F

(255)

V

5.1.4 Diskretisierung des Funktionals des Stabes

In Bild 5.4 ist ein eindimensionaler Stab dargestellt. Er setzt sich aus einem konischen Teil sowie einem prismatischen Teil zusammen. Der prismatische Teil weist einen Absatz auf. Der Grundgedanke der FEM ist es, den ganzen K¨orper in endliche Teilgebiete (finite Elemente) zu zerlegen. Von dem gesamten Stab wird nur der mittlere, prismatische Teil betrachtet. Das zun¨ achst dreidimensionale Problem wird in ein eindimensionales Problem umgewandelt. Dazu wird von der Geometrie nur die Verbindungslinie der Fl¨ achenschwerpunkte (Schwereachse) ber¨ ucksichtigt. Die anderen beiden Dimensionen werden u ¨ ber die Querschnittsfl¨ache A erfaßt. 1

Der Term f¨ ur die Streckenlast

-l 0

qu dx findet hier keine Ber¨ ucksichtigung.

5.1

Das eindimensionale Stabelement

99

Bild 5.4. Die Gr¨ oßen des

eindimensionalen Stabelementes

In die Schwereachse wird auch das finite Element gelegt, wie es in Bild 5.4 dargestellt ist. Diesem Element wird die Querschnittsfl¨ache A und der Elastizit¨ atsmodul E zugewiesen. Das Element hat die L¨ange l. An seinen beiden Enden weist es jeweils einen Knoten auf. Am Anfang des Elementes den Knoten i und am Ende den Knoten j. Die x-Koordinate hat ihren Ursprung im Anfangsknoten und zeigt in Richtung des Endknotens. Im Funktional nach (255) treten erste Ableitungen der Verschiebung u = du/dx = ε auf. Damit nennt man das Problem ein C 0 -Problem1 . Die Vertr¨ aglichkeitsbedingung2 fordert die Stetigkeit der Verschiebung u im Element und an den Elementgrenzen. Das wird erreicht, indem die Verschiebung als Knotengr¨ oße definiert wird. Im Knoten i wird die Verschiebung ui einur den Endknoten j. Diesen Knotenverschiegef¨ uhrt und entsprechend uj f¨ bungen sind die Kr¨ afte Fi und Fj zugeordnet. Verschiebungsansatz

Analog zu dem Verfahren von Ritz wird eine Ansatzfunktion f¨ ur die Verschiebungen gemacht. Im Unterschied zum Ritzverfahren bezieht sich dieser Ansatz nicht auf den gesamten Stab, sondern nur auf den Teil, den man sich aus dem Stab herausgeschnitten denkt, n¨amlich auf das Element. Die Ansatzfunktion lautet:

u = a 0 + a1 x 1

(256)

Ist m die h¨ ochste Ableitung der Prim¨ arvariablen (hier u) oder auch Variationsgr¨ oße genannt, so nennt man das Problem ein C m−1 -Problem. m wird auch als Variationsindex bezeichnet. 2 Die Vertr¨ aglichkeitsbedingung, die auch Kompatibilit¨ atsbedingung genannt wird, besagt anschaulich gesprochen, daß beim Stab im verformten Zustand kei¨ ne L¨ ucken oder Uberlappungen entstehen. Mathematisch l¨ aßt sich diese Forderung f¨ ur den allgemeinen Fall ausdr¨ ucken als: ∇ × e × ∇ = 0. Die Kreuzprodukte aus den Nabla-Operatoren und dem Dehnungstensor e m¨ ussen einen Nulltensor ergeben.

100

5. Stabelemente

Die unbekannten Koeffizienten a0 und a1 werden durch die Knotenverschieuckt. Die Ansatzfunktion braucht hier jetzt nicht bungen ui und uj ausgedr¨ mehr wie beim Verfahren von Ritz den wesentlichen Randbedingungen, auch geometrische Randbedingungen genannt, der Struktur gen¨ ugen. Man erh¨ alt zwei Bedingungsgleichungen f¨ ur die Knotenverschiebungen, indem man folgende Interpolationsbedingungen formuliert:

u(x = 0) = ui = a0 + a1 0

⇒

u(x = l) = uj = a0 + a1 l

⇒

a0 = u i uj − ui a1 = l

(257)

Setzt man nun die letzten beiden Gleichungen in die Ansatzfunktion (256) ein, so erh¨ alt man folgende Beziehung: % " x# uj − ui x x x= 1− ui + uj = 1 − u(x) = ui + l l l l ⎡ ⎤   u ⎣ i ⎦ = N 1 N2 uj   

x l

&

⎤

⎡ ⎣

ui

⎦

uj (258)

Formfunktionen

Die Verteilung der Verformung wird somit u ¨ber die sogenann  im Element T = N N beschrieben. Diese sind in Bild 5.5 ten Formfunktionen N 1 2 dargestellt.

Bild 5.5. Die Formfunktionen des eindimen-

sionalen Stabelementes

Setzt man in (258) ui = 1 und uj = 0 ein, so erh¨alt man die Formfunktion N1 . Analog gewinnt man N2 , wenn man ui = 0 und uj = 1 w¨ahlt. Daher nennt man sie auch Einheitsverschiebungszust¨ande des Elementes. Dehnungs-Verschiebungs-Beziehung

Die Dehnung wird aus (258) durch Ableitung nach x gewonnen:

5.1

Das eindimensionale Stabelement

uj − ui du = = ε= dx l

% 

101

&

−

⎡

⎤ ui

1 1 ⎣  T u ⎦=B l l   uj    T B

(259)

u 

Stoffgesetz (Hooke’sches Gesetz)

Durch Einf¨ uhrung des Hooke’schen Gesetzes in (259) werden die Dehnungen mit den Spannungen verkn¨ upft:

uj − ui =E σ =Eε=E l

%

1 − l

1 l

&

⎤

⎡ ⎣

ui

 T u ⎦=EB

(260)

uj

Bedingt durch die lineare Formfunktion aus (258) sind die Dehnungen und damit die Spannungen im Element konstant. Das hat zur Folge, daß im allgemeinen Fall die Spannungen beim zweiknotigen Stabelement von Element zu Element unstetig sein k¨ onnen. 5.1.5 Variation des Funktionals

In das Funktional nach (255) werden die Dehnungen aus (259) und die Spannungen aus (260) eingesetzt. F¨ ur das Potential der Kr¨afte u F ergibt sich f¨ ur das Element: u F = ui Fi + uj Fj . Somit kann man das Funktional1 schreiben als: 1 Π= 2





l

E 0

uj − ui l

2 A dx − Fi ui − Fj uj

(261)

In (261) ist unter der Voraussetzung einer konstanten Querschnittsfl¨ache dV als A dx geschrieben worden. Die Integration von (261) f¨ uhrt auf: 1 Π = AE 2



uj − ui l

2 l − Fi ui − Fj uj

(262)

Die Variation des voranstehenden Funktionals Π = Π(ui , uj ) kann geschrieben werden als (s. (69)):  geschrieB  T dV  Allgemein wird Π = 12  uT V E B u− uT F als 12  uT K u− uT F  ben. Dabei stellt sich der Vektor B als Dehnungs-Verschiebungsvektor dar. Das B  T ist ein dyadisches Produkt, das also tensorielle Eigenschaften beProdukt B sitzt. Damit l¨ aßt sich dieses Produkt durch Transformation in verschiedenen Koordinatensystemen beschreiben. 1

102

5. Stabelemente

δΠ =

∂Π ∂Π ∂Π δu δui + δuj = ∂ui ∂uj ∂u

(263)

Die Bedingung f¨ ur die Stationarit¨ at2 δΠ = 0 auf (262) angewendet, f¨ uhrt zu folgenden Gleichungen: ∂Π uj − ui − Fi = 0 = −AE ∂ui l uj − ui ∂Π = AE − Fj = 0 ∂uj l

(264)

Umformungen von (264) f¨ uhren zu: 1 AE (ui − uj ) = Fi l 1 AE (−ui + uj ) = Fj l

(265) (266)

Gleichung (265) und (266) lassen sich in Matrizenform schreiben: ⎡

AE AE − ⎢ l l ⎢ ⎣ AE AE − l l   Elementsteifigkeitsmatrix K

⎤ ⎥ ⎥ ⎦

⎤ u ⎢ i ⎥ ⎣ ⎦ uj   

⎡

⎡

 Verformungsvektor  u

=

⎤ F ⎢ i ⎥ ⎣ ⎦ Fj   

(267)

Belastungs vektor F

In Kurzform ergibt sich: K u = F

(268)

Gleichung (268) stellt die Grundbeziehung der FEM dar. Sie verkn¨ upft die  Knotenverformungen u mit den Knotenkr¨ aften F und beschreibt das Gleichgewicht im Element. Die Elemente der Matrix K haben die Dimension einer Steifigkeit. Daher bezeichnet man sie als Steifigkeitsmatrix. Das eindimensionale, zweiknotige Stabelement l¨aßt sich auch als Feder interpretieren, wie es in Bild 5.6 dargestellt ist. Es wird die rechte Seite der Feder festgehalten. Das entspricht dem Fall, daß die Verschiebung uj des Knotens j 2

Der station¨ are Wert ist gleichzeitig ein Minimum, da ein quadratisches Funktional vorliegt.

5.1

Das eindimensionale Stabelement

103

Bild 5.6. Interpretation des eindimensionalen Stabelementes als Feder

zu Null gesetzt wird. Bringt man auf den Knoten i eine Einheitsverschiebung alt man aus (265), (266): ui = 1 auf, so erh¨ AE 1 = Fi l AE 1 = Fj − l

(269) (270)

Addiert man beide Gleichungen, so folgt daraus die Gleichgewichtsbedingung des Elementes:

Fi + Fj = 0

(271)

Fi ist die Kraft, die aufgebracht werden muß, um die Einheitsverschiebung uhren zu k¨ onnen. Fj ist die Reaktionskraft, die durch das Auflager ui = 1 ausf¨ hervorgerufen wird. 5.1.6 Beispiel zum eindimensionalen Stab

Bild 5.7.

Beispiel zum eindimensionalen

Stab

In der oberen H¨ alfte von Bild 5.7 ist ein Stab dargestellt. Er weist bei der halben L¨ ange einen Absatz auf. Die Querschnitte des Stabes sind kreisf¨ormig und haben die Werte A1 und A2 . Dem ersten Abschnitt ist ein E-Modul E1 und dem zweiten ein E-Modul E2 zugeordnet. Am linken Ende ist der Stab fest eingespannt. Die Belastung besteht aus zwei Kr¨aften. Die Kraft F2 greift ur diesen Stab sollen unter der am Absatz und F3 am rechten Ende an. F¨ gegebenen Belastung die Verformungen, Schnittgr¨oßen und die Auflagerkraft berechnet werden.

104

5. Stabelemente

Einteilung in Elemente

Es wird der Stab, wie in der unteren H¨ alfte von Bild 5.7 zu erkennen ist, in zwei finite Elemente eingeteilt. Es m¨ ussen mindestens zwei Elemente sein, da zum einen die Querschnittsfl¨ ache im Element konstant sein muß (s. Integration von (261)) und zum anderen die Kraft F2 in einem Knoten angreifen muß. Die Knotennummern sind durch einen Kasten und die Elementnummern durch einen Kreis umrandet. Elementknotenzuordnung

Aus der Einteilung des Stabes in zwei Elemente ergibt sich die Elementknotenzuordnung, wie sie in der nachfolgenden Tabelle zusammengefaßt ist. Tabelle 5.1. Elementknotenzuordnung, Geometriedaten und E-Module der Ele-

mente

Elementnr.

Anfangsknoten

Endknoten

Fl¨ ache

E-Modul

L¨ ange

1

1

2

A1

E1

l1

2

2

3

A2

E2

l2

Elementsteifigkeitsmatrizen

F¨ ur die beiden Elemente werden die Steifigkeitsbeziehungen nach (267) aufgestellt. Steifigkeitsbeziehung f¨ ur Element 1 (k1 = A1 E1 /l1 ): ⎡ ⎣

k1 −k1

−k1

⎤⎡ ⎦⎣

k1

⎤ u1

⎡

⎦=⎣

1

F1

⎤ ⎦

(272)

1

u2

F2

Ausmultiplizieren von (272) f¨ uhrt auf: k1 u1 − k1 u2 = 1F1

(273)

−k1 u1 + k1 u2 = F2

(274)

1

Steifigkeitsbeziehung f¨ ur Element 2 (k2 = A2 E2 /l2 ): ⎡ ⎣

k2 −k2

−k2 k2

⎤⎡ ⎦⎣

⎤ u2 u3

k2 u2 − k2 u3 = 2F2

⎡

⎦=⎣

2

F2

⎤ ⎦

(275)

2

F3

(276)

5.1

Das eindimensionale Stabelement

105

−k2 u2 + k2 u3 = 2F3

(277)

Die Indizes und Superskripte haben folgende Bedeutung: i

Fj - Schnittkraft am Knoten j angreifend und zum Element i geh¨orend Fj - Auflagerreaktion am Knoten j F2 , F3 - ¨ außere Kr¨ afte an den Knoten 2 und 3 angreifend R

Die Beziehungen (273) bis (277) beinhalten vier Gleichungen mit drei unbekannten Verformungen (u1 , u2 , u3 ) und vier unbekannten Kr¨aften (1F1 , 1F2 , 2 F2 , 2F3 ). Letztere sind in Bild 5.8 dargestellt.

Bild 5.8. Schnittkr¨ afte und ¨ außere Kr¨ afte der St¨ abe

Zur eindeutigen Bestimmung der sieben Unbekannten fehlen also noch drei Beziehungen. Diese werden aus den Randbedingungen gewonnen: Nat¨ urliche Randbedingung, auch Kraftrandbedingung genannt. Sie fordert an jedem Knoten k das Gleichgewicht zwischen den ¨außeren und  j afte sind dabei ¨außere inneren Kr¨ aften (Fk = j Fk ). Die Auflagerkr¨ Kr¨ afte. F¨ ur Knoten 1 gilt:

R

F1 = 1F1 1

(278) 2

F¨ ur Knoten 2 gilt: F2 = F2 + F2 2

F¨ ur Knoten 3 gilt: F3 = F3

(279) (280)

Die Auflagerkraft RF1 ist eine weitere, neue Unbekannte, so daß jetzt insgesamt acht Unbekannte existieren. Wesentliche Randbedingung, auch geometrische Randbedingung genannt: Auflager am Knoten 1: u1 = 0

(281)

Damit stehen jetzt den acht Unbekannten acht Gleichungen gegen¨ uber, so daß das Problem eindeutig zu l¨ osen ist. Die Addition von (274) und (276) f¨ uhrt zu: −k1 u1 + (k1 + k2 ) u2 − k2 u3 = 1F2 + 2F2

(282)

106

5. Stabelemente

Die wesentliche Randbedingung f¨ ur Knoten 1 (s. (281)) und die nat¨ urliche Randbedingung f¨ ur Knoten 2 (s. (279)) in voranstehende Gleichung eingesetzt: (k1 + k2 ) u2 − k2 u3 = F2

(283)

Die nat¨ urliche Randbedingung f¨ ur Knoten 3 (s. (280)) in (277) eingesetzt: −k2 u2 + k2 u3 = F3

(284)

Gesamtsteifigkeitsmatrix

Die Gleichungen (283) und (284) lassen sich in folgende Matrixform u uh¨berf¨ ren: ⎡ ⎣ 

k1 + k2

−k2

−k2

k2



⎤ ⎦

Gesamtsteifigkeitsmatrix K g



⎡ ⎣

⎡

⎤ u2

⎦ u3   

Verformungsvektor  u

=

⎣

⎤ F2

⎦ F3   

(285)

Belastungs vektor F

Oder in Kurzform: K g u = F

(286)

Die Gesamtsteifigkeitsmatrix K g setzt sich aus Anteilen der beiden Elementsteifigkeitsmatrizen zusammen. Sie ist wie bei allen linearen Problemen innerhalb der FEM symmetrisch und positiv definit [26, 6]. Die unbekannten Knotenverformungen stehen im Vektor u. Auf der rechten Seite treten die außeren Knotenkr¨ afte F auf. ¨ Knotenverformungen

F¨ ur die Verformungsberechnung werden folgende Werte angenommen:

k1 =

A1 E1 A2 E2 = 2 ; k2 = = 1 ; F2 = 2 ; F3 = 1 l1 l2

Daraus ergibt sich nach (285) folgendes, lineares Gleichungssystem:

(287)

5.1

Das eindimensionale Stabelement

⎡ ⎣

3

−1

−1

1

⎤⎡ ⎦⎣

⎤ u2

⎤

⎡

⎦=⎣

u3

107

2

⎦

(288)

1

Daraus lassen sich die Knotenverformungen berechnen zu:

u2 =

3 5 ; u3 = 2 2

(289)

Grafische L¨ osung des Problems

Ausgehend von (261) l¨ aßt sich die Form¨ anderungsarbeit ΠF f¨ ur Element 1 (ΠF1 ) und Element 2 (ΠF2 ) schreiben als:

ΠF1 =

1 A1 E1 2 l1

ΠF2 =

1 A2 E2 2 l2

 

u2 − u1 l1 u3 − u2 l2

2 l12 =

1 k1 u22 2

l22 =

1 k2 (u3 − u2 )2 2

2

(290)

Das Potential Πa der a afte F2 , F3 stellt sich wie folgt dar: ¨ußeren Kr¨ Πa = −u2 F2 − u3 F3

(291)

Damit erh¨ alt man das Gesamtpotential Π = ΠF1 + ΠF2 + Πa mit den Daten aus (287) zu: 1 1 k1 u22 + k2 (u3 − u2 )2 − u2 F2 − u3 F3 2 2 1 3 1 = u22 + (u3 − u2 )2 − 2 u2 − u3 = u22 − 2u2 − u2 u3 + u23 − u3 2 2 2

Π=

(292) Dieses quadratische Gesamtpotential stellt sich, wie in der linken H¨alfte von Bild 5.9 dargestellt, als Paraboloid dar. In der rechten Bildh¨alfte sind hierzu ¨ die Aquipotentiallinien angef¨ uhrt, also Linien gleichen Potentials. Der Punkt M markiert den station¨ aren1 Wert und damit das Minimum des Potentials. uhrt auf die Das Lot von diesem Punkt auf die u2 -Achse bzw. u3 -Achse f¨ gesuchten Verformungen mit u2 = 1, 5 und u3 = 2, 5. 1

Aus der quadratischen Natur des Potentials folgt, daß der station¨ are Wert des Potentials auch gleichzeitig das Minimum des Potentials darstellt.

108

5. Stabelemente

Bild 5.9. Das Gesamtpotential der St¨ abe als Fl¨ ache und Linien gleichen Potentials darge-

stellt

Schnittgr¨ oßen

Die Schnittgr¨ oßen ergeben sich nach (272) aus dem Produkt Einzelsteifigkeitsmatrix × Elementverformungsvektor. Element 1: ⎡ K 1u = ⎣

1

2

−2

−2

2

⎤⎡ ⎦⎣

⎤ u1

⎡ 2

−2

−2

2

⎦=⎣

u2

⎤⎡ ⎦⎣

⎤ 0

⎡

⎦=⎣

3 2

−3

⎤

⎡

⎦=⎣

⎤

1

F1

⎦

1

3

F2

(293) Nach (278) (RF1 = 1F1 ), stellt die Schnittkraft 1F1 auch die Reaktionskraft am Auflager dar. Element 2: ⎡ K 2 u = ⎣

2

1

−1

−1

1

⎤⎡ ⎦⎣

⎤ u2

⎡

⎦=⎣

u3

1

−1

−1

1

⎤⎡ ⎦⎣

3 2 5 2

⎤

⎡

⎦=⎣

−1 1

⎤

⎡

⎦=⎣

2

F2

⎤ ⎦

2

F3

(294) Die Kontrolle des Gleichgewichtes am Knoten 2 (¨außere Kr¨afte = innere Kr¨ afte) f¨ uhrt zu: F2 − (1F2 + 2F2 ) = 2 − (3 − 1) = 0

(295)

Das Gleichgewicht ist damit erf¨ ullt. Auflagerreaktionen

Bei der Erarbeitung der Gesamtsteifigkeitsmatrix K g nach (285) ist kein Gebrauch von (273) gemacht worden. Sie ist nicht u ussig, sondern dient zur ¨ berfl¨

5.1

Das eindimensionale Stabelement

109

Berechnung der Auflagerreaktion RF1 . Einsetzen der geometrischen Randbedingung und der Gleichgewichtsbeziehung f¨ ur Knoten 1 in (273) f¨ uhrt zu: −k1 u2 = −2 ·

3 = −3 = RF1 2

(296)

Dieses Ergebnis kann man auch unmittelbar aus den Schnittgr¨oßen herleiten, wie schon bei der Behandlung der Schnittgr¨ oßen nach (293) dargelegt wurde. 5.1.7 Direkte Erstellung der Gesamtsteifigkeitsmatrix

Die Gesamtsteifigkeitsmatrix des behandelten Beispiels kann noch in anderer Form hergeleitet werden. Dazu wird zun¨ achst ein Vektor u gebildet, der alle Freiheitsgrade des Beispiels erfaßt: ⎤

⎡ u1

⎥ ⎢ ⎥ ⎢ u = ⎢ u2 ⎥ ⎦ ⎣ u3

(297)

Die Anzahl Freiheitsgrade ergibt sich aus der Anzahl Knoten × Anzahl Freiheitsgrade pro Knoten. Das eindimensionale Stabelement hat einen Freiheitsgrad pro Knoten. Die Knotenkr¨ afte der beiden Elemente werden ebenfalls als Vektoren geschrieben. Ihre Dimension entspricht der Anzahl Freiheitsgrade der Struktur. Die nat¨ urliche Randbedingung (Kraftrandbedingung) l¨aßt sich jetzt schreiben als: ⎡

1

F1

⎤

⎡

⎤ 0

⎡

R

F1

⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ 1 ⎥ ⎢ 2 ⎥ ⎢ ⎢ F2 ⎥ + ⎢ F2 ⎥ = ⎢ F2 ⎦ ⎣ ⎣ ⎦ ⎣ 2 0 F3 F3         1F 

2F 

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(298)



 F

Daraus ergibt sich der Gesamtbelastungsvektor F . Er enth¨alt nur noch ¨außere Lasten. F¨ uhrt man die Addition elementweise durch, so erh¨alt man die Bedingungen, wie sie von (278) bis (280) auf der S. 105 formuliert wurden. Die Einzelsteifigkeitsmatrizen werden in quadratische Matrizen der Gr¨oße 3 × 3 geschrieben. F¨ uhrt man die Vektoren aus (298) in die Beziehung (272) und (275) ein, so erh¨ alt man:

110

5. Stabelemente

⎡

1

⎤

⎡

⎤ 0

F1

⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ 1 ⎥ ⎢ 2 ⎥ ⎢ F2 ⎥ + ⎢ F2 ⎥ = ⎦ ⎣ ⎣ ⎦ 2 0 F3 ⎛ ⎜⎡ ⎜ k1 ⎜ ⎜⎢ ⎜⎢ ⎜⎢ −k1 ⎜⎣ ⎜ ⎜ 0 ⎝ 

−k1 k1 0

⎤

(299) ⎞ ⎡ 0

0

0

⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0 ⎥+⎢ 0 ⎦ ⎣ 0 0 

k2 −k2

⎤⎟ ⎡ ⎟ ⎟ ⎥⎟ ⎢ ⎥⎟ ⎢ −k2 ⎥⎟ ⎢ ⎦⎟ ⎣ ⎟ ⎟ k2 ⎠   0

⎤ u1

⎡

R

F1

⎥ ⎢ ⎥ ⎢ u2 ⎥ = ⎢ F2 ⎦ ⎣ u3 F3    

Gesamtsteifigkeitsmatrix K g

u 

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ (300) ⎦ 

 F

¨ Die Gesamtsteifigkeitsmatrix K g ergibt sich also aus der additiven Uberlagerung der Steifigkeitsmatrizen der Elemente: ⎡

k1 

⎢ ⎢ ⎢ −k1  ⎣ 0

⎤⎡

−k1  k1  + k2  −k2 

⎤ u1

0

⎡

R

F1

⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ −k2  ⎥ ⎢ u2 ⎥ = ⎢ F2 ⎦⎣ ⎦ ⎣ k2  u3 F3

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(301)

Die Anteile der einzelnen Elemente sind gekennzeichnet. Die Beitr¨age von Element 1 . . . und Element 2 . . . sind jeweils durch Klammern eingefaßt. Die Abk¨ urzungen in der voranstehenden Matrix haben folgende Bedeutung: ki = Ai Ei /li ; i = 1, 2. Gleichung (301) weist die drei Unbekannten u2 , u3 und RF1 auf. Zur Bestimugt die Untermatrix von K, die man durch Streichen1 mung von u2 , u3 gen¨ der ersten Zeile und Spalte von K g gewinnt: ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

1

A1 E1 A2 E2 + l1 l2 A2 E2 − l2

A2 E2 l2 A2 E2 l2

−

⎤

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎥ u2 F ⎥⎢ ⎥ ⎢ 2 ⎥ ⎥⎣ ⎦=⎣ ⎦ ⎦ u3 F3

(302)

Das Streichen der entsprechenden Zeilen und Spalten l¨ aßt sich in dieser Form nur bei homogenen Randbedingungen, also Randbedingungen bei denen der Wert der Randbedingung Null ist, durchf¨ uhren.

5.1

Das eindimensionale Stabelement

111

Auflagerreaktionen aus der Gesamtsteifigkeitsmatrix

Die Auflagerreaktionen lassen sich, wenn die Verformungen bekannt sind, aus der Gesamtsteifigkeitsmatrix berechnen. Im vorliegenden Fall tritt die gesuchte Gr¨ oße RF1 in (301) auf der rechten Seite als erstes Element auf. Sie kann berechnet werden, indem die erste Zeile der Matrix mit dem bekannten Verformungsvektor multipliziert wird. Das f¨ uhrt zu: ⎡

⎤ 0

 2

−2

⎢ ⎥ ⎢ 3 ⎥ ⎢ ⎥ R 0 ⎢ 2 ⎥ = F1 = −3 ⎢ ⎥ ⎣ 5 ⎦ 2

(303)

Dieses Ergebnis ist schon bei den Schnittgr¨ oßen in (293) erzielt worden. 5.1.8 Erstellung der Gesamtsteifigkeitsmatrix (allgemein)

Losgel¨ ost von dem Stabbeispiel l¨ aßt sich die Bildung der Gesamtsteifigkeitsultiger Form an folgendem, konstruierten Beispiel matrix K g in allgemeing¨ studieren. Die Struktur soll aus n Knoten bestehen und das Element m Knoten besitzen. Jeder Knoten hat p Freiheitsgrade. Ohne Einschr¨ankung der Allgemeing¨ ultigkeit habe im folgenden Beispiel ein Element m = 3 Knoten. Aus der Gesamtstruktur werden drei Elemente a, b, c herausgegriffen. F¨ ur diese Elemente wird die Elementknotenzuordnung von Tab. 5.2 angenommen. Tabelle 5.2. Elementknotenzuordnung

Element Knoten 1 ··· a b c ···

··· i h k ···

Knoten 2

Knoten 3

··· j j h ···

··· k k j ···

Die Elementsteifigkeitsmatrizen werden in Untermatrizen (Bl¨ocke) unterteilt. Das Element b besitzt dann z.B. folgende Aufteilung:

112

5. Stabelemente

⎡

h

j

b

k

⎤ khk h ⎥ ⎥ b kjk ⎥j ⎦ b kkk k

b

khh

b

khj

⎢ K =⎢b ⎢ kjh ⎣ b kkh

b

b

kjj

b

kkj

(304)

Die Zeilen und Spalten der Matrix bK sind mit den Knotennummern des Elementes durchnumeriert. Die Untermatrizen bkαβ haben (p × p)-Elemente, entsprechend der Anzahl Freiheitsgrade pro Knoten. Der Zwischenschritt, die Matrix bK als eine (n × n)-Matrix zu schreiben, wird u ¨bergangen. Die Gesamtsteifigkeitsmatrix K g besteht aus (n × n)-Bl¨ocken bzw. ((n × p)×(n × p))-Zeilen und Spalten. Die nachfolgende Durchnumerierung der Zeilen und Spalten bezieht sich also auf die Bl¨ ocke. 1 ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

···

h

i

j

k

b

b

b

b

b

b

b

b

b

khh

kjh

kkh

khj

kjj

kkj

khk

kjk

kkk

···

n ⎤

1 ⎥. ⎥. ⎥. ⎥ ⎥ ⎥h ⎥ ⎥ ⎥i ⎥ ⎥ ⎥j ⎥ ⎥ ⎥k ⎥ ⎥ ⎥. ⎥ .. ⎦

(305)

n

Die Bl¨ ocke bkαβ des Elementes b werden in die Gesamtsteifigkeitsmatrix K g eingebracht, indem entsprechend der Indizes α, β der Block auf die Zeile α und die Spalte β aufaddiert wird, wobei K anf¨anglich mit Nullen vorbesetzt ist. So wird der Block bkjk auf die Zeile j und die Spalte k aufaddiert. Das Ergebnis der Aufaddition aller Bl¨ ocke der Elemente a, b, c ist in der folgenden Matrix K g wiedergegeben.

5.1

Das eindimensionale Stabelement

1 ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

···

h

i

j

b

khh + ckhh

k

b

khj + ckhj

a

b

khk + ckhk

a

kii

kjh + ckjh

113

a

kij

kik

b

a

a

kjj + bkjj + ckjj

a

b

a

a

kkj + bkkj + ckkj

a

kkh + ckkh

kji

kki

kjk + bkjk + ckjk

kkk + bkkk + ckkk

···

n ⎤

1 ⎥. ⎥. ⎥. ⎥ ⎥ ⎥h ⎥ ⎥ ⎥i ⎥ ⎥ ⎥j ⎥ ⎥ ⎥k ⎥ ⎥ ⎥. ⎥ .. ⎦ n

(306) 5.1.9

¨ Ubungsbeispiele zum eindimensionalen Stab

Stabbeispiel I

5.1

Bild 5.10. Eindimensionaler Stab mit ver-

schiebbarem Auflager

Die beiden St¨ abe in Bild 5.10 weisen die Steifigkeiten k1 und k2 auf und werden durch eine Kraft F belastet. Das linke Auflager wird um u ¯ verschoben. F¨ ur dieses System sind die Verschiebungen und die Auflagerkr¨afte zu berechnen. Die Steifigkeit k2 ist so auszulegen, daß die Auflagerkraft im linken Lager zu Null wird. Stabbeispiel II

5.2

Bild 5.11. Eindimensionaler Stab unter Eigengewicht

In Bild 5.11 ist ein Stab dargestellt, der eine L¨ ange l, eine Querschnittsfl¨ache A, einen E-Modul E und eine Dichte ρ aufweist. Dieser wird durch eine konstante Beschleunigung g belastet. Die aus der Beschleunigung g entstehende

114

5. Stabelemente

Volumenkraft ist f¨ ur das zweiknotige Element in Knotenkr¨afte1 umzurechnen. Der Stab soll in ein bzw. zwei zweiknotige Elemente eingeteilt werden. Daf¨ ur sind die Verformungen und Spannungen zu berechnen. Der Verlauf der Verschiebungen bzw. Spannungen in den Elementen ist u ¨ber die Formfunktionen zu beschreiben. F¨ ur vier und acht zweiknotige Elemente sind die Maximalspannungen mittels “ FEM CAS“ (s. S. 360) zu ermitteln. In einem doppelt logarithmischen System ist der Fehler in den Spannungen f¨ ur das zweiknotige Element darzustellen.

5.3

5.4

Stabbeispiel III

Das Stabproblem aus Bild 5.11 soll mit Hilfe eines dreiknotigen Stabelementes gel¨ ost werden (s. (325) auf der S. 120). Dazu sind zun¨achst die Knotenkr¨afte1 infolge der Volumenkraft herzuleiten. Danach sind die Verschiebungen und die Spannungen zu ermitteln. Es ist zu zeigen, daß die FE-L¨osung mit der exakten L¨ osung nach (253) bzw. (254) auf der S. 98 u ¨ bereinstimmt. Stabbeispiel IV

Bild 5.12. Ein auf Druck belasteter Hydraulikzylinder

Gegeben ist in Bild 5.12 ein Hydraulikzylinder, der durch eine Druckkraft F ¨ aule und die Kolbenstange werden jeweils durch ein belastet wird. Die Ols¨ eindimensionales Stabelement abgebildet, wobei der Kompressionsmodul K ¨ des Oles dem E-Modul Eo entspricht und die Kolbenstange den E-Modul E besitzt. Dieser Zylinder soll alternativ durch ein eindimensionales Stabelement beschrieben werden. Dabei besitzt dieses Element die L¨ange l = lo + lk und den E-Modul E. Es ist f¨ ur diesen Fall eine mittlere Querschnittsfl¨ache A¯ zu bestimmen, so daß beide L¨ osungen dieselbe Steifigkeit besitzen.

5.5

Stabbeispiel V

In Bild 5.13 ist ein Stab gegeben, der zwischen zwei starren W¨anden eingespannt ist. Er besitzt eine Querschnittsfl¨ache A, einen E-Modul E und einen W¨ armeausdehnungskoeffizienten α. F¨ ur die Temperatur im Stab gilt: Das Funktional nach (255) auf der S. 98 wird um den Term − V ρ g u dV erweitert. Dieser Term dient zur Berechnung der Knotenkr¨ afte infolge der Volumenkraft. 1

5.1

Das eindimensionale Stabelement

115

Bild 5.13. Stab zwischen zwei starren W¨ anden gelagert

T (x = 0) = T1 , T (x = l/2) = T2 , T (x = l) = T3 . Bei x = l/2 greift eine Kraft F an. In das Funktional nach (255) auf der S. 98 ist die Anfangsdehnung ε0 einur die Beschreibung der Temperaturkr¨afte zubringen1 und eine Beziehung f¨ abzuleiten. Mit dem Ergebnis sind die Verschiebungen und die Auflagerkr¨afte zu berechnen, wobei der Stab in zwei Elemente einzuteilen ist. 5.1.10 Variable Querschnittsfl¨ ache des Stabelementes

Es wird die Annahme, daß die Querschnittsfl¨ ache im Element konstant ist, fallengelassen. Mit dV = A(x) dx ergibt sich nach (261) f¨ ur die Steifigkeitsmatrix K: 



l

B T B  T A(x) dx = E B B

K =E 0

l

A(x) dx

(307)

0

¯ wobei A¯ eine gemittelte QuerDas Integral f¨ uhrt auf einen Ausdruck l A, schnittsfl¨ ache darstellt, die statt A in (267) auftritt. Im folgenden werden ¨ zwei F¨ alle unterschieden, n¨ amlich eine lineare Anderung der QuerschnittsT  T ist die  und eine quadratische A(x) = t T N N  T h. N  A fl¨ ache A(x) = N N  T hat die Form: lineare Formfunktion nach (258). Die Dyade N ⎡ N T =⎣ N

2

(1 − ξ)

ξ (1 − ξ)

ξ (1 − ξ)

(1 − ξ)

⎤ ⎦

(308)

2

Die lineare Fl¨ achen¨ anderung f¨ uhrt auf: 



l

=l  T dξ A N

A(x) dx = l 0

%

1

0

1 2

1 2

&

⎤

⎡ ⎣

Ai

⎦ = l 1 (Ai + Aj ) = l A¯ 2 Aj (309)

Bei der quadratischen Fl¨ achen¨ anderung ergibt sich: 1

Die Dehnung stellt sich hierbei dar als: ε = εσ + ε0 . εσ ist die Dehnung aus der außeren Belastung. ¨

116

5. Stabelemente

¯ f¨ Tabelle 5.3. Querschnittswerte A ur Stabelemente, die einen variablen Querschnittsverlauf u ange aufweisen ¨ber die Elementl¨

Form Geometrie

A¯

Beschreibung A(x)

linear

⎡ T ⎣ N

⎤ Ai

1 (Ai + Aj ) 2

⎦

Aj



Kreis



Rechteck

π

ri

rj



 ti





l

A(x) dx = t T l 0

0

=

tj

⎡

⎤

   ⎦ 1 Ai 1 + Aj + Aj 3 Ai Ai rj ri

N T ⎣ N

⎡ N T ⎣ N

⎤ hi

  tj hj Aj 1 Ai 2+ + +2 6 ti h i Ai

⎦

hj

⎤

⎡ 1

2

N  T dξ h = l t T 1 ⎣ N 6 1

1

⎦ h

2

l (2 ti hi + tj hi + ti hj + 2 tj hj ) 6

(310)

In Tab. 5.3 sind basierend auf (309) und (310) drei F¨alle angef¨ uhrt. 5.1.11 Eindimensionales Stabelement mit n Knoten

Im folgenden soll ein eindimensionales Stabelement betrachtet werden, das eine beliebige Anzahl Knoten (n ≥ 2) aufweist. Dazu werden die zuvor f¨ ur 1 das zweiknotige Element hergeleiteten Gleichungen verallgemeinert . Ansatzfunktion

Als Verschiebungsansatz nach (256) dient f¨ ur ein n knotiges Element ein vollst¨ andiges Polynom (n − 1)-ten Grades (ξ = x/l): 1

Die einzelnen Ableitungsschritte sind “Stab 1D“ realisiert (s. Bild 12.1 und S. 369).

im

Computeralgebraprogramm

5.1

Das eindimensionale Stabelement

117

u = a0 + a1 ξ + . . . + an−1 ξ n−1

(311)

Durch Einf¨ uhren der Vektoren: / . xT = 1 , ξ , . . . , ξ n−1 ; aT = [a0 , a1 , . . . , an−1 ]

(312)

l¨ aßt sich die Ansatzfunktion schreiben als: u = xT a = aT x

(313)

Interpolationsbedingungen

Analog zu (257) werden die unbekannten Koeffizienten ai in (311) durch die uckt. F¨ ur einen beliebigen Knotenverschiebungen ui ; i = 1 , . . . , n ausgedr¨ Knoten i lautet die Bedingung:   i−1 = ui u ξ= n−1

; i = 1, ... , n

(314)

Einsetzen von (311) in (314): i−1 a 0 + a1 + . . . + an−1 n−1



i−1 n−1

n−1 = ui

(315)

Oder mit Hilfe des Vektors a aus (312): ⎡  1

i−1 n−1

 ...

i−1 n−1

n−1

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ a0 a1 .. .

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ = ui ⎥ ⎥ ⎦

(316)

an−1 F¨ ur alle Knoten n angesetzt, f¨ uhrt dies zu n Gleichungen, die wie folgt aussehen:

118

5. Stabelemente

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 

1

...

.. .

0 1 n−1 .. . i−1 n−1 .. .

1

1

... 

1 .. . 1

... .. . ... .. .

⎤ ⎡ 0 ⎥ " #n−1 ⎥ ⎢ a0 ⎥⎢ 1 ⎥⎢ a n−1 1 ⎥⎢ ⎥⎢ . .. ⎥⎢ . ⎥⎢ . . " #n−1 ⎥ ⎥⎢ ⎥⎢ i−1 ai−1 ⎥⎢ n−1 ⎥⎢ .. ⎥⎢ . .. ⎥⎢ ⎥⎣ . ⎦ an−1 1     a

⎤

⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎦ ⎣ 

⎤

⎡ u1 u2 .. . ui .. .

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(317)

un    u 

A

Aus dieser Beziehung A a = u lassen sich die Koeffizienten a bestimmen. Formfunktionen

 des n-knotigen Stabelementes aus (313) und (317) Die Formfunktionen N lassen sich nach (258) verallgemeinern:  T u u = xT a = xT A−1 u = N

(318)

 ergeben sich also aus dem Produkt der inversen KoDie Formfunktionen N −1 effizientenmatrix A und dem Vektor x. Dehnungs-Verschiebungs-Beziehung

Analog zu (259) lassen sich mit Hilfe von (318) die Dehnungen des Stabes beschreiben als: T

  )T u = (x  )T A−1 u  u = (N ε=B

(319)

Die Ableitungen des Vektors x  stellen sich dar als: (x  ) = T

/ 1. / d . 1 , ξ , . . . , ξ n−1 = 0 , 1 , . . . , (n − 1) ξ n−2 dx l

(320)

Steifigkeitsmatrix

Die Steifigkeitsmatrix des n-knotigen Stabelementes l¨aßt sich (s. (261)) schreiben als:

5.1

Das eindimensionale Stabelement



119



V



(A−1 )T x  (x  )T A−1 dV (321)

  )T dV = E   (N N

B  T dV = E B

K=E

V

V

5.1.12 Eindimensionaler Stab mit drei bzw. vier Knoten

h

In (322) bzw. (323) sind f¨ ur das drei- bzw. vierknotige Stabelement die Formfunktionen dargestellt:  x 1 − 3 ξ + 2 ξ 2 4 ξ − 4 ξ 2 −ξ + 2 ξ 2 ; ξ = l 1 2 3 2 3 = 18 ξ − 45 ξ + 27 ξ 2 − 11 ξ + 18 ξ − 9 ξ 2 

 3T = N T N 4



Formfunktionen N1 , N2 , N3

−9 ξ + 36 ξ 2 − 27 ξ 3

1

2 ξ − 9 ξ2 + 9 ξ3

(322)

(323)

N3

0, 8 0, 6 0, 4

N2

N1

0, 2 0 −0, 1 0

1 4

1 2

3 4

1

ξ = x/l Bild 5.14. Die Formfunktionen des drei- und vierknotigen Stabelementes

In Bild 5.14 sind diese Formfunktionen grafisch ausgewertet. Die Sinnf¨alligkeit der alternativen Bezeichnungen der Formfunktionen als Einheitsverschiebungszust¨ ande tritt deutlich zu Tage. Denn am Knoten i hat die Formfunktion Ni den Wert 1, an allen anderen Knoten verschwindet sie. Allgemein formuliert lautet diese Bedingung: ⎧ i−1 ⎪ ⎨1 an der Stelle: ξ = (Knoten i) n−1 Ni = ⎪ ⎩0 an der Stelle: ξ = j − 1 ; j = 1, . . . , n mit j = i n−1

(324)

In (325) sind die Steifigkeitsmatrizen f¨ ur das drei- bzw. vierknotige Element angef¨ uhrt. Es tritt wie beim zweiknotigen Element der Faktor AE/l vor der Matrix auf. Dieses ¨ andert sich, wenn der Querschnitt im Element nicht mehr konstant ist.

120

5. Stabelemente

⎡ AE K= 3l

7 ⎢ ⎢ ⎢ −8 ⎣ 1

−8 16 −8

⎤

⎡

⎢ 148 1 ⎢ ⎥ AE ⎢ ⎢ −189 ⎥ ⎢ −8 ⎥ ; K = ⎦ 40 l ⎢ 54 ⎢ ⎣ 7 −13

−189

54

432

−297

−297

432

54

−189

⎤ −13 ⎥ ⎥ 54 ⎥ ⎥ ⎥ −189 ⎥ ⎥ ⎦ 148 (325)

5.2

H

5.2 Das zwei- und dreidimensionale Stabelement 5.2.1 Das zweidimensionale Stabelement

In Bild 5.15 ist eine allgemeine Lage des Stabes in der (x, y)-Ebene dargestellt. Es sind zwei Koordinatensysteme definiert. Ein lokales Elementkoordinatensystem x ¯, y¯, z¯, dessen Ursprung mit dem Anfangsknoten i zusammenf¨ allt. Die x ¯-Achse zeigt vom Anfangsknoten i zum Endknoten j. Die z¯-Achse hat dieselbe Richtung wie die z-Achse, die aus der Zeichenebene heraus kommt. Damit liegt auch die y¯-Achse fest.

Koordinatensysteme ((x, y, z)-globales System; (¯ x, y¯, z¯)-lokales System) und Freiheitsgrade des zweidimensionalen Stabes

Bild 5.15.

Die Orientierung des Stabelementes in der (x, y)-Ebene wird u ¨ ber den Winkel ϕ bestimmt. Es ist der Winkel, der von der x- und x¯-Achse eingeschlossen wird. Er ist positiv, wenn er um die positive z-Achse dreht. Das Element weist eine Querschnittsfl¨ ache A sowie einen Elastizit¨atsmodul E auf und hat eine L¨ ange l. An seinen beiden Enden liegen die Knoten i und j. Jeder Knoten hat zwei Freiheitsgrade, n¨ amlich die Verschiebungen u in x-Richtung und v in y T Richtung. Der Vektor ui = ui vi zeigt in L¨angsrichtung des Elementes.

5.2

Das zwei- und dreidimensionale Stabelement

121

Der Betrag von |ui | entspricht der Verschiebung u ¯i . Sie ist die Verschiebung des eindimensionalen Stabelementes, beschrieben im lokalen System (¯ x, y¯). Die Beziehung (267) des eindimensionalen Stabelementes wird in lokalen Koordinaten betrachtet: ¯ u K ¯ = F¯

(326)

Durch eine Transformation in das globale System (s. Bild 5.15) l¨aßt sich die Steifigkeitsmatrix K des zweidimensionalen Stabes gewinnen. Dazu wird der   T Verformungsvektor u ¯i = u ¯i 0 des Anfangsknotens i des eindimensionalen Stabes u ¨ ber eine Hintransformation nach (45) mit den Verschiebungen ui und vi des zweidimensionalen Stabes verkn¨ upft: ⎤

⎡ ⎣

u ¯i

⎤⎡

⎡

⎦=⎣

0

cos ϕ

sin ϕ

− sin ϕ

cos ϕ

⎦⎣

⎤ ui

⎦ = T ui

(327)

vi

Aus (327) erh¨ alt man f¨ ur u ¯i : u ¯i = ui cos ϕ + vi sin ϕ

(328)

F¨ ur den Endknoten j ergibt sich in analoger Form:

u ¯j = uj cos ϕ + vj sin ϕ

(329)

Diese beiden Gleichungen lassen sich in Matrixform zusammenfassen: ⎡ ⎡ ⎣

⎤ u ¯i

⎡

⎦=⎣

u ¯j     u ¯



cos ϕ

sin ϕ

0

0

0

cos ϕ

 Tˆ

⎤

ui ⎥ ⎤⎢ ⎢ ⎥ ⎢ vi ⎥ 0 ⎢ ⎥ ⎦⎢ ⎥ = Tˆ u ⎢ sin ϕ ⎢ uj ⎥ ⎥ ⎦ ⎣ vj   

(330)

u 

In gleicher Weise lassen sich die Kr¨ afte transformieren: F¯ = Tˆ F

(331)

122

5. Stabelemente

Die Transformationsvorschriften nach (330) und (331) auf (326) angewendet, f¨ uhrt zu: ¯ Tˆ u = Tˆ F K

(332)

T Gleichung (332) wird von links mit Tˆ durchmultipliziert:

T ¯ Tˆ u = TˆT Tˆ F = F Tˆ K   

(333)

K T Tˆ ist eine orthogonale Matrix (s. Abschnitt 2.3.4), so daß Tˆ Tˆ = E gilt. T ¯ Tˆ aus (333) wird in zwei Schritten Die globale Steifigkeitsmatrix K = Tˆ K gebildet:

⎤⎡ ⎤ ⎡ 0 0 cos ϕ sin ϕ 1 −1 AE ¯ Tˆ = ⎦⎣ ⎦ ⎣ K l −1 1 0 0 cos ϕ sin ϕ ⎤ ⎡ sin ϕ − cos ϕ − sin ϕ cos ϕ AE ⎣ ⎦ = l − cos ϕ − sin ϕ cos ϕ sin ϕ

T ¯ Tˆ K = Tˆ K ⎡ ⎢ cos ϕ ⎢ AE ⎢ ⎢ sin ϕ = ⎢ l ⎢ 0 ⎢ ⎣ 0

(334)

⎤ 0

⎥⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎣ cos ϕ ⎥ cos ϕ ⎥ ⎥ − cos ϕ ⎦ sin ϕ 0

sin ϕ

− cos ϕ

− sin ϕ

− sin ϕ

cos ϕ

sin ϕ

⎤ ⎦

(335) Das Ergebnis des Matrizenproduktes aus (335) stellt die Steifigkeitsmatrix des zweiknotigen, zweidimensionalen Stabelementes im globalen Koordinatensystem dar:

5.2

Das zwei- und dreidimensionale Stabelement

⎡ cos2 ϕ

⎢ ⎢ AE ⎢ ⎢ sin ϕ · cos ϕ K= ⎢ l ⎢ − cos2 ϕ ⎢ ⎣ − sin ϕ · cos ϕ

123

sin ϕ · cos ϕ

− cos2 ϕ

sin2 ϕ

− sin ϕ · cos ϕ

− sin ϕ · cos ϕ

cos2 ϕ

− sin2 ϕ

sin ϕ · cos ϕ

⎤ − sin ϕ · cos ϕ ⎥ ⎥ ⎥ − sin2 ϕ ⎥ ⎥ sin ϕ · cos ϕ ⎥ ⎥ ⎦ 2 sin ϕ (336)

Der Winkel ϕ in (336) l¨ aßt sich wie folgt ausdr¨ ucken:

sin ϕ =

! y j − yi 1 1 xj − xi 2 = yji ; cos ϕ = = xji ; l = x2ji + yji (337) l l l l

Damit stellt sich die Steifigkeitsmatrix alternativ dar als: ⎡ x2ij

⎢ ⎢ AE ⎢ ⎢ xij yij K= 3 ⎢ l ⎢ −x2 ⎢ ij ⎣ −xij yij

xij yij

−x2ij

2 yij

−xij yij

−xij yij

x2ij

2 −yij

xij yij

⎤ −xij yij ⎥ ⎥ 2 ⎥ −yij ⎥ ⎥ xij yij ⎥ ⎥ ⎦ 2 yij

(338)

5.2.2 Beispiel zum zweidimensionalen Stabproblem

Das Bild 5.16 zeigt ein Stabwerk, das aus f¨ unf St¨ aben besteht. Die Geometrie sowie die Randbedingungen sind zweifach symmetrisch, die Belastung hingegen ist nur einfach symmetrisch. F¨ ur dieses Problem sind unter Ausnutzung der Symmetrie die Verformungen an allen Knoten, die Schnittkr¨afte in den St¨aben und die Auflagerreaktionen gesucht.

Bild 5.16. Beispiel zum zweidimensionalen Stab

(Fa = 1, Fb = 2, E = 1, A = 2)

124

5. Stabelemente

Elementeinteilung

Das Problem ist bez¨ uglich Geometrie, Belastung und geometrischer Randbedingungen symmetrisch zur x-Achse. Daher wird in der Rechnung, wie in Bild 5.17 ausgef¨ uhrt, nur der obere Teil der Stabstruktur betrachtet.

Bild 5.17. Ausnutzung der Symmetrie und Elementeinteilung

Dieser Teil wird in drei Stabelemente eingeteilt. Die Ausnutzung der Symmetrie hat zur Folge, daß dem Element 2 nur die halbe Querschnittsfl¨ache zugeordnet wird und in den Knoten 2 und 3 Fa /2 bzw. Fb /2 im FE-Modell angesetzt wird. Damit die Verformungen symmetrisch sind, werden zwei weitere Randbedingungen an den Knoten 2 und 3 eingef¨ uhrt. Tabelle 5.4. Elementknotenzuordnung

Element

Knoten i

Knoten j

ϕ

1

1

2

−45◦

2 3

2 3

3 4

◦

sin ϕ √ - 12 2

0

◦

45

1 2

0 √

2

cos ϕ √ 1 2 2

A

1 √

1

1 2

2

2 2

Die Tab. 5.4 enth¨ alt die Elementknotenzuordnung, die Orientierungswinkel ϕ der St¨ abe sowie die Querschnittsfl¨ achen A der Elemente. Den Winkel ϕ gewinnt man, indem man die x-Achse durch Drehung um den Winkel ϕ in die Richtung der lokalen x¯-Achse des Elementes zeigen l¨aßt. Die Richtung der lokalen x¯-Achse ist in Bild 5.17 jeweils durch einen Pfeil angedeutet. Der Winkel ϕ ist positiv bei Drehung um die positive z-Achse, die aus der Zeichenebene herauszeigt. Steifigkeitsmatrizen

Die Steifigkeitsmatrizen werden nach (336) auf der S. 123 aufgestellt:

5.2

Das zwei- und dreidimensionale Stabelement

⎡

u1

v1

u2

1

−1

−1

1

1

1

1

1

−1

−1

1

u3

v3

u4

v4

1

1

−1

⎢ ⎢ −1 K1 = ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ −1 ⎣

⎡

⎢ ⎢ 1 K3 = ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ −1 ⎣

1

−1

−1

1

−1

−1

1

125

v2

u2 ⎤ ⎡ 1 1 u1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ −1 ⎥v1 ; K = ⎢ 0 ⎥ ⎢ 2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ −1 −1 ⎦u2 ⎣ v2

0

v2

u3

v3

0

−1

0

0

0

0

1

0

0

⎤ u2 ⎥ ⎥ 0 ⎥v2 ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎦u3 0

v3

⎤ −1 u3 ⎥ ⎥ −1 ⎥v3 ⎥ ⎥ 1 ⎥ ⎦u4 1

(339)

v4

Die Zeilen und Spalten sind mit den Freiheitsgraden der Knoten der Elemente durchnumeriert. Gesamtsteifigkeitsmatrix

¨ Bei der additiven Uberlagerung der drei Elementsteifigkeitsmatrizen zur Gesamtsteifigkeitsmatrix werden die Anteile der einzelnen Elemente durch Klammersymbole gekennzeichnet: Element 1: · · ·; Element 2: · · ·; Element 3: · · ·. Die Gesamtsteifigkeitsmatrix wird direkt erstellt, so wie es auf der S. 109 und folgende beschrieben ist: ⎡

1

⎢ ⎢ −1

⎢ ⎢ ⎢ −1

⎢ ⎢ ⎢ 1

⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎣ 0

−1

−1

1

0

0

0

1

1

−1

0

0

0 0

1

1 + 1

−1 + 0

−1

0

−1

−1 + 0

1 + 0

0

0

0

0

−1

0

1 + 1

0 + 1

−1

0

0

0

0 + 1

0 + 1

−1

0

0

0

−1

−1

1

0

0

0

−1

−1

1

0

⎤⎡

⎥⎢ ⎥⎢ 0 ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ 0 ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ 0 ⎥⎢ ⎥⎢

−1 ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢

−1 ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢

1 ⎦ ⎣

1

u1

⎤

⎥ v1 ⎥ ⎥ ⎥ u2 ⎥ ⎥ ⎥ v2 ⎥ ⎥ ⎥ u3 ⎥ ⎥ ⎥ v3 ⎥ ⎥ ⎥ u4 ⎦ v4

126

5. Stabelemente

=

⎡

R

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎥ Fy1 ⎥ ⎥ ⎥ Fa ⎥ 2 ⎥ ⎥ R Fy2 ⎥ ⎥ ⎥ Fb ⎥ 2 ⎥ ⎥ R Fy3 ⎥ ⎥ ⎥ R Fx4 ⎦

Fx1

⎤

R

(340)

R

Fy4

Geometrische (wesentliche) Randbedingungen und Verformungen

In (340) treten acht Unbekannte auf, n¨ amlich die beiden Verschiebungen u2 und u3 sowie die sechs Auflagerreaktionen RFxi , RFyi auf der rechten Seite des Gleichungssystems. An den Knoten 1 und 4 sind die Auflager zu unden k¨onnen die finden, so daß gilt: u1 = v1 = u4 = v4 = 0. Aus Symmetriegr¨ Knoten 2 und 3 keine vertikalen Verschiebungen ausf¨ uhren. Somit kann man schreiben: v2 = v3 = 0. Als zu bestimmende Gr¨oßen bleiben damit u2 und u3 u ¨ brig. Das zur Ermittlung dieser Verschiebungen geh¨orige Gleichungssystem erh¨ alt man, indem in dem voranstehenden Gleichungssystem die Zeilen und Spalten 1, 2, 4, 6, 7 und 8 gestrichen werden: ⎡ ⎣

2

−1

−1

2

⎤⎡ ⎦⎣

⎤ u2

⎡

⎦=⎣

u3

1 2

1

⎤

⎡

⎦⇒⎣

⎤ u2 u3

⎡

⎦=⎣

2 3

⎤

⎤

⎡

⎦=⎣

5 6

0, 667

⎦ (341)

0, 833

Schnittgr¨ oßen

Die Schnittgr¨ oßen ergeben sich aus dem Produkt der Elementsteifigkeitsmatrix × Verformungsvektor des Elementes (K i i u = iF ): ⎡ ⎢ 1 ⎢ ⎢ −1 ⎢ 1 K 1 u = ⎢ ⎢ −1 ⎢ ⎣ 1

−1

−1

1

1

1

1

−1

−1

⎤⎡ ⎤ ⎡ 1 ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ − 23 ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ 2 −1 ⎥ ⎥⎢ 0 ⎥ ⎢ 3 ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎢ 2 ⎥ ⎢ 2 −1 ⎥ ⎥⎢ 3 ⎥ ⎢ 3 ⎦⎣ ⎦ ⎣ 1 0 − 23

⎤

⎡

⎤ F ⎥ ⎢ x1 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ 1Fy ⎥ 1 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ = 1F ⎥ ⎢ 1F ⎥ ⎥ ⎢ x2 ⎥ ⎦ ⎣ ⎦ 1 Fy2 1

5.2

Das zwei- und dreidimensionale Stabelement

⎡

⎤⎡

127

⎡

⎤

⎡

⎤

⎤

0 ⎥ ⎢ 23 ⎥ ⎢ − 16 ⎥ ⎢ 2Fx2 ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 2 ⎥ 0 0 0 ⎥ ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ Fy2 ⎥ 2 ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥=⎢ ⎥= F ⎢ 5 ⎥ ⎢ 1 ⎥ ⎢ ⎥ 0 1 0 ⎥ ⎥ ⎢ 6 ⎥ ⎢ 6 ⎥ ⎢ 2Fx3 ⎥ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 2 0 0 0 0 0 Fy3 ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 1 −1 −1 ⎥ ⎢ 56 ⎥ ⎢ 56 ⎥ ⎢ 3Fx3 ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 5 ⎥ ⎢ 3 ⎥ 1 −1 −1 ⎥ ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ 6 ⎥ ⎢ Fy3 ⎥ 3 ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥=⎢ ⎥= F ⎢ ⎥ ⎢ 5 ⎥ ⎢ ⎥ −1 1 1 ⎥ ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ − 6 ⎥ ⎢ 3Fx4 ⎥ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 3 −1 1 1 0 − 56 Fy4

⎢ 1 ⎢ ⎢ 0 ⎢ K 2 2 u = ⎢ ⎢ −1 ⎢ ⎣ 0 ⎡ ⎢ 1 ⎢ ⎢ 1 ⎢ 3 K 3 u = ⎢ ⎢ −1 ⎢ ⎣ −1

0

−1

(342) Auflagerreaktionen

Die Auflagerreaktionen lassen sich auf zweierlei Weise berechnen. Zum einen lassen sie sich mit Hilfe der Schnittgr¨ oßen aus der Kraftrandbedingung (nat¨ urliche Randbedingung) ermitteln. Diese besagt, daß die ¨außeren Kr¨afte mit den inneren Kr¨ aften (Schnittgr¨ oßen) im Gleichgewicht stehen (s. (278) bis (280)). Aus den Schnittgr¨ oßen f¨ ur Element 1 und Element 3 erh¨alt man die Auflagerreaktionen f¨ ur Knoten 1 und 4: ⎡ ⎣

1

Fx1

⎤

⎡

⎦=⎣

− 23

⎤

⎡

⎦=⎣

2 3

1

Fy1

⎤ ⎡

R

Fx1

⎦; ⎣

R

⎤

3

Fx4

⎡

⎦=⎣

3

Fy1

Fy4

− 56 − 56

⎤

⎡

⎦=⎣

R

Fx4

⎤ ⎦

R

Fy4 (343)

Aus den Schnittgr¨ oßen f¨ ur Element 1 und 2 erh¨ alt man die Auflagerreaktionen f¨ ur Knoten 2 und aus den Schnittgr¨ oßen f¨ ur Element 2 und 3 erh¨alt man die Auflagerreaktionen f¨ ur Knoten 3: ⎡ ⎣

1

Fy2 + 2Fy2

2

3

Fy3 + Fy3

⎤

⎡

⎦=⎣

− 32 + 0 0+

5 6

⎤

⎡

⎦=⎣

− 32 5 6

⎤

⎡

⎦=⎣

R

Fy2

⎤ ⎦

(344)

R

Fy3

Zum anderen lassen sich die Auflagerreaktionen aus der Beziehung: K g u = F berechnen:

128

5. Stabelemente

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤⎡

⎤

1

−1

−1

1

0

0

0

0

−1

1

1

−1

0

0

0

0 ⎥⎢ 0 ⎥

−1

1

2

−1

−1

0

0

0

1

−1

−1

1

0

0

0

0

0

0

−1

0

2

1

−1

−1

0

0

0

0

1

1

−1

−1

0

0

0

0

−1

−1

1

1

0

0

0

0

−1

−1

1

1

0

⎡

− 23

⎤

⎡

⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ 2 ⎥ ⎢ ⎢ 3 ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ 2 ⎥ ⎢ 1 ⎥ ⎢ ⎥⎢ 3 ⎥ ⎢ 2 ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ − 23 ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ 5 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ 6 ⎥ ⎢ 1 ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ 56 ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ − 56 ⎥ ⎢ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ 0

− 56

⎤ R

Fx1

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

Fy1 ⎥

R

Fa 2 R

Fy2 Fb 2

R

Fy3

R

Fx4

R

Fy4

(345) Das Ergebnis f¨ ur Fa /2 und Fb /2 hat Kontrollcharakter. In Bild 5.18 sind die Auflagerreaktionen vorzeichenrichtig dargestellt.

Bild 5.18. Reaktionskr¨ afte des Problems

I

5.2.3 Optimierung eines Stabtragwerkes

In Bild 5.19 ist eine H¨ alfte eines Tr¨ agers dargestellt, der sich aus St¨aben zusammensetzt. Der Gesamttr¨ ager besteht aus 2n-Feldern der L¨ange l und wird in der Mitte durch eine Kraft F belastet. Ober- und Untergurt weisen eine Querschnittsfl¨ ache A auf. Die Vertikalst¨abe haben eine Fl¨ache gA und die Diagonalst¨ abe kA. Die H¨ ohe des Tr¨agers wird u ¨ ber f l beschrieben (f, g, k ∈ R+ ). Die vertikale Verschiebung des Tr¨agers an der Kraftangriffsstelle soll minimiert werden, wobei sein Ausgangsvolumen beibehalten wird. Als Optimierungsparameter dienen f, g und k.

Bild 5.19. Eine H¨ alfte eines Stabwerkes, das

aus 2n-Feldern besteht

5.2

Das zwei- und dreidimensionale Stabelement

129

Vertikale Verschiebung am Kraftangriffspunkt und das Volumen

Die normierte Verschiebung v¯ = v A E/(F l) f¨ ur ein Stabwerk mit 2n-Feldern nach Bild 5.19 f¨ uhrt f¨ ur n ≥ 2 auf: ⎛ v¯ = −

"

f ⎜ 1 +⎝ 2 + 2g 6f

1 + f2

⎞

#3 +

2kf 2

f ⎟ n3 ⎠n + 2 2g 3f

(346)

Das normierte Volumen V¯ = V /(A l) und das normierte Ausgangsvolumen V¯0 mit f = g = k = 1 stellen sich dar als: V¯ =

   1 2 − + fg + k 1 + f2 n ; n

V¯0 =

  √ 1 n 3+ 2− n

(347)

Zielfunktion und deren Ableitungen

  In der Zielfunktion Z = v¯ + λ V¯ − V¯0 wird u ¨ ber den Lagrange’schenParameter λ die normierte Verschiebung v¯ mit dem Volumen V¯ und dem upft: Ausgangsvolumen V¯0 verkn¨ ⎛ Z =−

f ⎜ 1 +⎝ 2 + 2g 6f

"

1+

f2

2kf 2

⎞

#3 +

f ⎟ n3 ⎠n+ 2 2g 3f

# "  √ + λ −1 − 2 + f g + k 1 + f 2 n

(348)

Die Ableitungen der Zielfunktion Z nach f, g, k, λ f¨ uhren auf:    ∂Z 1 1 1 f4 − f2 − 2 fk  =− + − n− + +λ g + ∂f 2g 2g 3f 3 2kf 3 1 + f 2 1 + f2   1 + 2 λ g2 − 1 n ∂Z = ∂g 2g 2   ∂Z 1 + f2  = λ− 1 + f2 n ∂k 2f 2 k 2 " #  √ ∂Z = −1 − 2 + f g + k 1 + f 2 n ∂λ

 3 2 n 3 f

(349)

L¨ osung f¨ ur die Optimierungsparameter

Die Nullstellen von (349) f¨ uhren auf das Minimum von (348). Die sich daraus ergebenden optimalen Parameter f, g und k sind in Bild 5.20 in Abh¨angigkeit

130

5. Stabelemente

Bild 5.20. Die Parameter f , g und k in Abh. von der Anzahl Felder n

von der Anzahl Felder n dargestellt. W¨ ahrend f und k monoton steigen bzw. fallen, weist g bei n = 3 ein Maximum auf. Die Ausdr¨ ucke f¨ ur f, g, k sind zu umfangreich, um hier dargestellt werden zu k¨ onnen. F¨ ur 2 ≤ n ≤ 20 lassen sich diese durch die Funktionen in (350) mit einem Fehler kleiner 1% approximieren. f = 0, 875 + 0, 226 n − 6, 915 · 10−3 n2 + 1, 209 · 10−4 n3 3, 848 14, 664 27, 849 21, 265 − g = 0, 162 + + − n n2 n3 n4 0, 305 4, 359 + k = 0, 156 + 3, 521 + n n2

(350)

Die Maximalspannung im Tr¨ ager

Ein positiver Nebeneffekt der Minimierung der Verschiebung ist, daß gleichzeitig die Maximalspannung im Tr¨ ager reduziert wird. Die Maximalspannung σmax tritt im Stab des Untergurtes des Feldes 1 auf. In der normierten Form lautet sie:

σ ¯max = σmax

A n = F 2f

(351)

Formuliert man eine Reduktion R der Maximalspannung mit σ ¯max = n/2 f¨ ur die Ausgangsl¨ osung, so erh¨ alt man:

5.2

Das zwei- und dreidimensionale Stabelement

n n − 1 2 2f R= = −1 n f 2

131

(352)

In Bild 5.21 sind die Reduktionen der Verschiebung an der Kraftangriffsstelle und der Maximalspannung in Abh¨ angigkeit von der Anzahl Felder n angef¨ uhrt. Es zeigt sich, daß bis n = 6 die Maximalspannung sogar st¨arker f¨ allt als die Verschiebung.

Bild 5.21. Verringerung der Durchbiegung

in der Mitte des Tr¨ agers und der Maximalspannung in Abh. von der Anzahl Felder n

¨ 5.2.4 Ubungsbeispiele zum zweidimensionalen Stab Stabbeispiel VI

In der linken H¨ alfte von Bild 5.22 sind zwei St¨abe dargestellt, die an einer Decke befestigt sind und in ihrem Verbindungspunkt in vertikaler Richtung durch eine Kraft F belastet werden. F¨ ur dieses System sollen die Verformungen, Schnittgr¨ oßen und Auflagerreaktionen berechnet werden. F¨ ur die Zahlenrechnung wird angenommen: A1 = 2, A2 = E1 = E2 = l = 1.

Bild 5.22. Beispiele mit zwei bzw. drei St¨ aben

5.6

132

5.7

5.8

5. Stabelemente

Stabbeispiel VII

F¨ ur die dargestellte Stabstruktur (s. rechte H¨alfte Bild 5.22) sind die Verformungen, Schnittgr¨ oßen und die Auflagerreaktionen zu berechnen. Dabei ist die Symmetrie des Problemes auszunutzen. Alle St¨abe haben einen E-Modul von E = 1 und eine Querschnittsfl¨ ache A = 2. Stabbeispiel VIII

Gegeben ist in der linken H¨ alfte von Bild 5.23 eine Stabstruktur. Alle St¨abe haben einen E-Modul von E. Die St¨ abe auf der x-Achse haben eine Querschnittsfl¨ ache 2A, alle anderen A. Die Belastung betr¨agt 2F . Einem Auflager wird eine Verschiebung u ¯ aufgepr¨ agt. Gesucht sind unter Ausnutzung der Symmetrie des Systems die Verformungen sowie die Auflagerkraft im Lager bei x = l und y = 0.

Bild 5.23. Symmetrische und

antimetrische Stabstrukturen

5.9

5.10

5.11

Stabbeispiel IX

In der rechten H¨ alfte von Bild 5.23 ist eine Stabstruktur dargestellt. F¨ ur diese Struktur sind unter Ausnutzung der Antimetrie die Verformungen, Schnittgr¨ oßen und Auflagerkr¨ afte zu berechnen. Alle St¨abe haben die L¨ange l, die Querschnittsfl¨ ache A und einen E-Modul E. Die Belastung betr¨agt F . Stabbeispiel X

In Bild 5.24 ist eine 2D-Stabstruktur dargestellt. Die St¨abe haben die Querschnittsfl¨ ache A und einen E-Modul E. Die Belastung betr¨agt F . Gesucht sind neben den Verformungen des Systems die Spannungen im Vertikalstab sowie die Auflagerkr¨ afte im linken Lager. Dabei ist die Symmetrie auszunutzen. Stabbeispiel XI

In Bild 5.25 ist eine zweidimensionale Stabstruktur gegeben, die durch zwei Kr¨ afte belastet wird. Das Lager A wird um den Wert v¯ in y-Richtung verschoben. Alle St¨ abe weisen eine Querschnittsfl¨ ache A und einen E-Modul E auf.

5.2

Das zwei- und dreidimensionale Stabelement

133

Bild 5.24. Symmetrische 2D-Stabstruktur und die Eintei-

lung einer H¨ alfte in Elemente

Unter Ausnutzung der Symmetrie sind die Verformungen und die vertikale Auflagerkraft in Lager A zu berechnen.

Bild 5.25. Zweidimensionale Stabstruktur mit ver-

schobenem Lager

Stabbeispiel XII (Optimierung einer Stabstruktur)

In Bild 5.26 sind zwei ebene St¨ abe mit ihren Abmessungen dargestellt. In x-Richtung weisen sie eine L¨ ange L und in y-Richtung eine H¨ohe f L auf. Stab 1 hat eine Querschnittsfl¨ ache A, Stab 2 eine Querschnittsfl¨ache g A. Beide St¨ abe haben einen E-Modul E. Ziel der ersten Optimierung ist es, das dimensionslose Volumen V¯ = V /(A L) der beiden St¨ abe zu minimieren, wobei u ¨ber die dimensionslose Nebenbedingung v¯1 = v1 A E/(F L) = vˆ die vertikale Verschiebung am Knoten 1 vorgegeben wird. In einer zweiten Optimierung soll der Betrag der dimensionslosen Spannung |¯ σ | = |σ| A/F in beiden St¨ aben den Wert σ ˆ annehmen. Dazu ist wiederum eine Zielfunktion zu bilden, wobei u ¨ber Lagrange’sche Parameter λi die Nebenbedingungen f¨ ur die Spannungen zu erfassen sind. Stabbeispiel XIII (FEM GEN und FEM CAS)

In Bild 5.27 ist ein zweidimensionales Stabwerk dargestellt, dessen St¨abe als masselos angenommen werden. An drei Stellen sind Massen m angelenkt, die

5.12

5.13

134

5. Stabelemente

Bild 5.26. Das Stabsystem mit seinen Abmessungen und Belastungen

mit einer Winkelgeschwindigkeit ω bzw 2ω umlaufen. Die dargestellte Position der Massen entspricht dem Zeitpunkt t = 0. Die Lage der Knoten wird als Funktion der L¨ ange l ausgedr¨ uckt. Die St¨ abe weisen eine Querschnittsfl¨ache A und einen E-Modul E auf. Die Massen m f¨ uhren auf Kr¨afte der Form: ur dieses Problem soll unter Zuhilfenahme der oben genannF = m r ω 2 . F¨ ten Programme die vertikale Auflagerkraft im rechten Auflager betrachtet werden. Gesucht sind die Winkel αi (α = ω t) im Intervall 0 ≤ α ≤ 2π bei denen die vertikale Auflagerkraft verschwindet bzw. einen Extremwert aufweist. Zudem ist die betragsgr¨ oßte Auflagerkraft gesucht.

Bild 5.27. Zweidimensionales Stab-

werk belastet durch umlaufende Massen. Darstellung zum Zeitpunkt t=0

5.2.5 Das dreidimensionale Stabelement

Das zweiknotige, dreidimensionale Stabelement stellt eine Erweiterung des zweidimensionalen Stabelementes um eine dritte Achse dar. Ausgangspunkt zur Beschreibung der Steifigkeitsmatrix K des genannten Elementes ist die Beziehung f¨ ur das eindimensionale Stabelement (268). Diese Gleichung ¯ u K ¯ = F¯ wird in einem lokalen System beschrieben (s. Bild 5.15). Durch eine Transformation nach (333) wird aus (268) die Steifigkeitsmatrix K des r¨ aumlichen Stabelementes gewonnen. Dazu muß die Transformationsmatrix ur den r¨ aumlichen Fall beschrieben werden. Tˆ f¨ Gl. (45) erm¨ oglicht eine Verkn¨ upfung des Freiheitsgrades u ¯ mit den drei Freiheitsgraden u, v, w eines Knotens des r¨ aumlichen Stabelementes. u ¯ ist die Verschiebung eines Knotens des eindimensionalen Stabelementes. u, v, w werden

5.2

Das zwei- und dreidimensionale Stabelement

135

im globalen Koordinatensystem beschrieben. Aus der ersten Zeile der Matrix T nach (45) erh¨alt man: ⎡  u ¯=

⎤ u

ex¯x

ex¯y

ex¯z

⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ v ⎥ ⎣ ⎦ w

(353)

Die Gr¨ oßen ex¯x , ex¯y , ex¯z aus (353) lassen sich ausdr¨ ucken als: 1 1 1 xj − xi yj − yi zj − zi = xji ; ex¯y = = yji ; ex¯z = = zji l l l l l l ! 2 + z2 l = x2ji + yji (354) ji

ex¯x =

l stellt die Elementl¨ ange dar und xi , xj , yi , yj , zi , zj sind die Koordinaten des Anfangsknotens i sowie des Endknotens j. Setzt man (353) f¨ ur diese beiden Knoten an, so erh¨ alt man: ⎡

⎡

⎤

⎡ x 1 ⎣ ⎦ = ⎣ ji l u ¯j 0  u ¯i

yji

zji

0

0

0

0

xji

yji

 Tˆ

⎢ ⎢ ⎢ ⎤⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎦⎢ ⎢ zji ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ui

⎥ ⎥ vi ⎥ ⎥ ⎥ wi ⎥ ⎥ ⎥ uj ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ vj ⎥ ⎦ wj

(355)

Gleichung (355) in (333) eingesetzt f¨ uhrt auf die Steifigkeitsmatrix K des zweiknotigen, dreidimensionalen Stabelementes: ⎡

x2ij

⎢ ⎢ ⎢ xij yij ⎢ ⎢ ⎢ xij zij AE ⎢ K= 3 ⎢ l ⎢ ⎢ −x2ij ⎢ ⎢ ⎢ −x y ij ij ⎢ ⎣ −xij zij

xij yij

xij zij

−x2ij

−xij yij

2 yij

yij zij

−xij yij

2 −yij

yij zij

2 zij

−xij zij

−yij zij

−xij yij

−xij zij

x2ij

xij yij

2 −yij

−yij zij

xij yij

2 yij

−yij zij

2 −zij

xij zij

yij zij

⎤ −xij zij ⎥ ⎥ −yij zij ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 2 −zij ⎥ ⎥ (356) ⎥ xij zij ⎥ ⎥ ⎥ yij zij ⎥ ⎥ ⎦ 2 zij

Kapitel 6 Balkenelemente

6

6

6 6.1 6.1.1 6.1.2 6.1.3 6.1.4 6.1.5 6.1.6 6.1.7 6.1.8 6.1.9 6.1.10 6.2 6.2.1 6.2.2 6.2.3 6.3 6.4 6.4.1 6.5 6.5.1 6.6 6.6.1 6.6.2 6.6.3 6.7 6.7.1 6.8 6.8.1 6.8.2 6.8.3 6.8.4 6.9 6.9.1 6.9.2

Balkenelemente Das eindimensionale Balkenelement .......................... Problemdefinition ................................................ Dehnungen und Spannungen im Balken .................... Das Tonti-Diagramm des Bernoulli-Balkens ............... Funktional des Balkenproblems .............................. Formfunktionen des eindimensionalen Balkens ............ Diskretisierung des Funktionals ............................... Variation des diskretisierten Funktionals ................... Bilden der Steifigkeitsmatrix .................................. Diskretisierung der Streckenlast............................... Schnittgr¨oßen des Balkenelementes .......................... Beispiel zum eindimensionalen Balken ....................... Zweiseitig gelagerter Balken mit Streckenlast .............. Konvergenztest beim zweiknotigen Balkenelement ........ Realisierung des Gelenkes ¨uber eine Zwangsbedingung... ¨ Ubungsbeispiele zum Bernoulli-Balken....................... Balkenelement mit n Knoten und p Freiheitsgraden pro Knoten ............................................................. Das eindimensionale Balkenelement mit drei Knoten ..... Das eindimensionale Balkenelement mit drei Freiheitsgraden pro Knoten .................................................. Balken mit unstetiger Kr¨ ummungsverteilung ............... Der Timoshenko-Balken ........................................ Schnittgr¨oßen beim Timoshenko-Balken .................... Locking-Effect“ ................................................. ” ¨ Ubungsbeispiele zum Timoshenko-Balken................... Der elastisch gelagerte Balken ............................... Beispiel zum elastisch gelagerten Balken .................... Zweidimensionales Balkenelement ............................ Freiheitsgrade des zweidimensionalen Balkens ............. ¨ Uberlagerung der Dehnungen von Stab und Balken ...... Steifigkeitsmatrix ............................................... Transformation der Steifigkeitsmatrix........................ ¨ Beispiel und Ubungsbeispiele zum zweidimensionalen Balken ................................................................. Winkelproblem.................................................... ¨ Ubungsbeispiele zum zweidimensionalen Balken ...........

139 139 140 141 142 143 145 147 148 149 151 153 153 157 159 161 164 167 171 174 175 181 182 184 185 187 192 192 192 193 195 198 198 204

6 Balkenelemente 6.1

6.1 Das eindimensionale Balkenelement 6.1.1 Problemdefinition

i

Ein Balken ist ein dreidimensionaler K¨ orper. Durch die Definiton der Balkenachse, die die ungekr¨ ummte Verbindungslinie der Schwerpunkte der Querschnitte des Balkens darstellt, wird er auf ein eindimensionales Gebilde reduziert. Das Bild 6.1 zeigt einen solchen Balken. Die x-Achse des Koordinatensystems f¨ allt mit der Balkenachse zusammen. Die z-Achse steht senkrecht zur Zeichenebene und kommt aus der Zeichenebene heraus. Die (x, y)-Ebene ist gleichzeitig die Symmetrieebene des Balkens. In dieser liegen die Kr¨afte und Streckenlasten des Balkens. Das Moment dreht um die z-Achse.

Bild 6.1. Geometrie und Randbedingungen eines Balkens

Voraussetzungen und Einschr¨ ankungen der Balkentheorie:

Neben den einf¨ uhrend gemachten Bemerkungen gelten noch folgende Bedingungen: Bernoulli-Hypothese: Querschnitte des Balkens, die vor der Verformung senkrecht zur Balkenachse standen, stehen auch im verformten Zustand senkrecht zur Biegelinie und weisen keine Verw¨olbung auf. Daraus folgt, daß keine Schubverformungen ber¨ ucksichtigt werden. Das Gleichgewicht des Balkens wird im unverformten Zustand beschrieben. Die Deformationen des Balkens werden durch die Biegelinie beschrieben. Die Durchbiegungen des Balkens sind kleiner als die H¨ohe des Balkens. Die L¨ ange l des Balkens ist sehr viel gr¨ oßer als die H¨ohe H und Tiefe des Balkens.

140

6. Balkenelemente

6.1.2 Dehnungen und Spannungen im Balken

In Bild 6.2 ist ein Ausschnitt eines Balkens im unverformten und verformten Zustand dargestellt1 . Zur Beschreibung der Durchbiegung in y-Richtung (Biegelinie v = v(x)) wird ein Querschnitt des Balkens im unverformten und verformten Zustand betrachtet. Nach der Bernoulli-Hypothese bleibt dieser Querschnitt auch im verformten Zustand eben und steht senkrecht zur Biegelinie.

Bild 6.2. Ausschnitt eines Balkens in unverformter und verformter Lage

Der Querschnitt ist im verformten Zustand um einen Winkel ϕ gegen¨ uber dem Ausgangszustand verdreht. Dieser Winkel l¨aßt sich als Tangente an der Biegelinie v = v(x) ausdr¨ ucken:

ϕ=

dv dx

(357)

Die Verdrehung ϕ des betrachteten Querschnittes bedingt eine Verschiebung u der Punkte dieses Querschnittes. Die Verschiebung l¨aßt sich f¨ ur kleine Durchbiegungen ausdr¨ ucken als: u = −y ϕ = −y

dv dx

(358)

Mit der Beziehung ε = du/dx erh¨ alt man die Dehnung ε im Balken:

ε=

d dx

  dv d2 v −y = −y 2 = −y v  dx dx

(359)

¨ Uber das Hooke’sche Gesetz werden die Dehnungen mit den Spannungen verkn¨ upft: 1

Die Verformungen sind aus Darstellungsgr¨ unden vergr¨ oßert dargestellt.

6.1

Das eindimensionale Balkenelement

σ = E ε = −E y

d2 v = −E y v  dx2

141

(360)

6.1.3 Das Tonti-Diagramm des Bernoulli-Balkens

Das Tonti-Diagramm des Bernoulli-Balkens ist in Bild 6.3 dargestellt. Die Prim¨ arvariable ist die Durchbiegung v(x). Die in (359) auftretenden zweiten ur kleine Durchbiegungen1 die Kr¨ ummung κ Ableitungen v  beschreiben f¨ des Balkens. Die Beziehung κ = v  stellt sich im Tonti-Diagramm als kinematische Gleichung dar. Das Moment M des Balkens wird u ¨ ber das Integral  M =−

σy dA

(361)

A

beschrieben. Durch Einsetzen von (360) und der Kr¨ ummung κ = v  in (361) erh¨ alt man: M = EI κ

(362)

Diese Gleichung stellt im Tonti-Diagramm die Stoffgleichung dar.

Bild 6.3. Das Tonti-Diagramm des Bernoulli-Balkens

In der Gleichgewichtsbeziehung M  = q tritt die Streckenlast q auf. Die wesentliche Randbedingung sieht die Vorgabe der Durchbiegung 0v und der Verurlichen Randbedingungen erlauben das Aufpr¨agen drehung 0ϕ vor. Die nat¨ einer Querkraft 0F und eines Momentes 0M . Die Streckenlast tritt als sogenannte Quellfunktion auf. Das Einbringen der kinematischen Gleichung in die Stoffgleichung sowie das Einsetzen dieser Gleichung in die Gleichgewichtsbedingung f¨ uhrt auf die Gleichung des Bernoulli-Balkens: 1

(3/2)  Die Kr¨ ummung ist allgemein definiert als: κ = v  / 1 + (v  )2 .

142

6. Balkenelemente

d (EI v  ) = q dx2

(363)

Beispiel zum eindimensionalen Balken

Bild 6.4. Kragbalken mit einer Streckenlast q

Bei konstanter Balkensteifigkeit EI und konstanter Streckenlast (s. Bild 6.4) erh¨ alt man aus (363) durch vierfaches Integrieren:

v=

x3 x2 q x4 + C1 + C2 + C3 x + C4 EI 24 6 2

(364)

Es existieren f¨ ur das Beispiel zwei wesentliche und zwei nat¨ urliche Randbedingungen, so daß die vier Konstanten C1 , C2 , C3 , C4 bestimmt werden k¨ onnen. Die wesentlichen Randbedingungen lauten: v(x = 0) = 0 ⇒ C4 = 0 v  (x = 0) = 0 ⇒ C3 = 0

(365)

Die nat¨ urlichen Randbedingungen beschreiben bei x = l das Moment M = 0 (v  = 0) und bei x = l die Querkraft Q = 0 (v  = 0): q l2 + C1 l + C2 EI 2 q l + C1 v  (x = l) = 0 ⇒ 0 = EI v  (x = l) = 0 ⇒ 0 =

(366)

Mit Hilfe der beiden Gleichungen f¨ ur die Randbedingungen (365) und (366) erh¨ alt man: & % x q l4 " x #2 " x #2 −4 +6 v= 24 EI l l l

(367)

6.1.4 Funktional des Balkenproblems

Das Funktional (161) auf der S. 66 muß auf den eindimensionalen Balken zugeschnitten werden. Die elastische Form¨ anderungsarbeit wird u ¨ber die Dehnungen und Spannungen im Balken ausgedr¨ uckt. Das Potential der ¨außeren

6.1

Das eindimensionale Balkenelement

143

Lasten beinhaltet neben den Einzelkr¨ aften F zus¨atzliche Streckenlasten q sowie Momente M . Das Potential des Momentes ergibt sich aus dem Produkt - x2 M ϕ = M dv/dx. Das Potential der Streckenlast l¨aßt sich darstellen als: x1 q v dx. Π=

1 2



 σε dV −

V

x2

q v dx − F v − M

x1

dv dx

(368)

Einsetzen der Dehnungen aus (359) und der Spannungen aus (360) in das Funktional (368):   x2 1   Π= (−E y v ) (−y v ) dV − q v dx − F v − M v  2 V x1   x2 1 2 = E (v  ) y 2 dV − q v dx − F v − M v  2 V x1

(369)

Das Dreifachintegral aus der voranstehenden Gleichung l¨aßt sich mit dV = dA dx in ein Zweifachintegral u uhren: ¨berf¨

Π=

=

1 2 1 2



l

0

 0

l

   x2 2 E (v  ) (x) y 2 dA dx − q v dx − F v − M v  x1  A   EI (v  ) dx − 2



I x2

q v dx − F v − M v 

(370)

x1

6.1.5 Formfunktionen des eindimensionalen Balkens

Im Funktional (370) treten erste und zweite Ableitungen der Durchbiegung aglichkeitsbedingung fordert, daß Querschnitte des Balkens v auf1 . Die Vertr¨ im verformten Zustand nicht ineinander eindringen oder auseinanderklaffen. Diese Bedingung wird erf¨ ullt, wenn die Biegelinie des Balkens v = v(x) und ihre erste Ableitung v  = v  (x) stetig sind, w¨ahrend die zweite Ableitung v  = v  (x) unstetig sein darf. Bedingt durch die Stetigkeitsanforderung an v  wird diese wie auch die Durchbiegung v selber als Knotengr¨ oße definiert. Das f¨ uhrt zu einem finiten Element, wie es in Bild 6.5 angef¨ uhrt ist. F¨ ur die Knoten i, j sind jeweils eine 1

Man spricht, wenn in einem Funktional Ableitungen m-ter Ordnung auftreten, von einem C m−1 -Variationsproblem [6]. Als wesentliche Randbedingungen ergeben sich aus der ersten Variation des Funktionals geometrische Randbedingungen (m − 1)-ter Ordnung. Beim Balkenproblem ist m = 2. Es handelt sich also um ein C 1 Problem mit geometrischen Randbedingungen f¨ ur die Durchbiegung v und die Verdrehung v  = ϕ.

144

6. Balkenelemente

Bild 6.5. Freiheitsgrade, Knotenkr¨ afte und

Knotenmomente des zweiknotigen Balkenelementes

Verschiebung vi , vj und eine Verdrehung ϕi , ϕj definiert. Diesen Gr¨oßen zugeordnet sind die Kr¨ afte Fi , Fj sowie die Momente Mi , Mj . Das Element besitzt eine L¨ ange l und ein Fl¨ achentr¨ agheitsmoment I. Als Materialgr¨oße tritt der Elastizit¨ atsmodul E auf. Als Ansatzfunktion zur Beschreibung der Verformungen muß ein Polynom dritten Grades gew¨ ahlt werden, um die vier Koeffizienten des Polynoms durch ucken zu k¨onnen: die vier Knotengr¨ oßen vi , ϕi , vj , ϕj ausdr¨ v = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 v  = ϕ = a1 + 2 a2 x + 3 a3 x2

(371)

Interpolationsbedingungen

Die vier Koeffizienten a1 , a2 , a3 , a4 werden durch die vier Knotengr¨oßen vi , ϕi , uckt, indem man f¨ ur (371) folgende Interpolationsbedingungen vj , ϕj ausgedr¨ formuliert: v(x = 0) = vi ⇒ vi = a0 ϕ(x = 0) = ϕi ⇒ ϕi = a1

(372)

v(x = l) = vj ⇒ vj = vi + ϕi l + a2 l + a3 l 2

ϕ(x = l) = ϕj ⇒ ϕj = ϕi + 2 a2 l + 3 a3 l2

3

(373)

Aus (373) folgt: 1 (− 3 vi + 3 vj − 2 ϕi l − ϕj l) l2 1 a3 = 3 (2 vi − 2 vj + ϕi l + ϕj l) l

a2 =

(374)

Einsetzen von (372) und (374) in (371) und Ordnen der Ausdr¨ ucke f¨ uhrt zu:

6.1

Das eindimensionale Balkenelement

145

& % % " " x #2 " x #3 & x #2 v= 1−3 +2 vi + x 1 − ϕi l l l       N N & % " # 1 " # & % "" #2 x 2 x 3 x 2 x# + 3 −2 vj + x − ϕj l l l l       N3

(375)

N4

Die Funktionen N1 , N2 , N3 , N4 nennt man Formfunktionen. Sie sind in Bild 6.6 grafisch ausgewertet.

Bild 6.6. Die Formfunktionen des zweiknotigen Balkenelementes mit zwei Freiheitsgraden pro Knoten

 auf, so kann man Faßt man die Formfunktionen als Elemente eines Vektors N schreiben: ⎡

 v= 

N1

N2



T N

N3

⎤ v ⎢ i ⎥ ⎢ ⎥  ⎢ ϕi ⎥ ⎢ ⎥  T v ⎥=N N4 ⎢ ⎢ ⎥  ⎢ vj ⎥ ⎣ ⎦ ϕj   

(376)

 v

6.1.6 Diskretisierung des Funktionals

Im Funktional (369) treten erste und zweite Ableitungen von v auf. Hierzu m¨ ussen die Formfunktionen aus (375) abgeleitet werden. F¨ ur die Ableitungen gelten folgende Regeln:

146

6. Balkenelemente

v =

d "T # dv d T  T dv = (N   )T v = N v = N v + N dx dx dx dx 

(377)

0

d v d "T # d "  T #   )T v (N ) v = (N v  = 2 = 2 N v = dx dx dx 2

2

(378)

  )T gewinnt man, indem man die zweiten Ableitungen Die Ableitung von (N  bildet. Es wird eine neue Variable ξ = x/l eines jeden Elementes von N eingef¨ uhrt. F¨ ur die Ableitungen gelten folgende Regeln: d dξ 1 d d = = ; dx dξ dx l dξ

d2 1 d2 = dx2 l2 dξ 2

(379)

Es wird elementweise abgeleitet: dN1 6ξ = [−1 + ξ] dx l

d2 N1 6 = 2 [−1 + 2 ξ] dx2 l

dN2 = 1 − 4 ξ + 3 ξ2 dx

d2 N2 2 = [−2 + 3 ξ] dx2 l

dN3 6ξ = [1 − ξ] dx l

d2 N3 6 = 2 [1 − 2 ξ] 2 dx l

dN4 = 3 ξ2 − 2 ξ dx

d2 N4 2 = [3 ξ − 1] 2 dx l

(380)

  )T v ergibt sich: Nach der Beziehung v  = (N ⎡

v  =

1  6(2ξ − 1) 2 l

2l(3ξ − 2) 6(1 − 2ξ)  T B

⎤ v i ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ϕi ⎥ ⎢ ⎥ T ⎥ = B v 2l(3ξ − 1) ⎢ ⎢ ⎢ vj ⎥ ⎥ ⎣ ⎦ ϕj (381)

 T v = v T B  aßt sich mit voranstehender Beziehung sowie B Das Quadrat (v  )2 l¨ schreiben als: 2  T v B  T v = v T B B  T v (v  ) = B

(382)

6.1

Das eindimensionale Balkenelement

147

B  T hat die Form einer Matrix und die Eigenschaften einer Dyade B (s. Kap. 2.6.2 auf der S. 34). F¨ ur die Diskretisierung des Funktionals stehen folgende Ausdr¨ ucke zur Verf¨ ugung:  T v = v T N  nach (376) v=N  2 T  T (v ) = v B B v nach (382) v T F = vi Fi + ϕi Mi + vj Fj + ϕj Mj , Potential der Einzelkr¨afte und Momente Der Vektor F T hat folgende Form: F T =



 Fi

Mi

Fj

(383)

Mj

Diese Ausdr¨ ucke werden in das Funktional nach (370) eingesetzt. Damit ergibt sich das diskretisierte Funktional zu (dx = l dξ):   l 1 l T  T  q dx − v T F EI v B B v dx − v T N Π= 2 0 0  1  1 1 B  T dξ v − v T l  q dξ −v T F = v T l EI B N 2  0     0  K

 Q

1  − v T F = v T K v − v T Q 2

(384)

6.1.7 Variation des diskretisierten Funktionals

Das Gesamtpotential Π ist quadratisch in v . Damit f¨ uhrt die erste Variation von Π nicht nur auf einen station¨ aren Wert, sondern auf ein Minimum. Bei den Ableitungen wird von der Beziehung: (∂/∂u) δu = δuT (∂/∂uT ) nach (72) auf der S. 39 Gebrauch gemacht: ∂Π δv ∂v 1 ∂v T ∂v ∂v T  ∂v T 1 = δv T T Kv + v T K δv − δv T T Q − δv T T F 2 ∂v 2 ∂v ∂v ∂v

δΠ =

(385)

Mit Hilfe der Beziehungen: ∂uT/∂uT = ∂u/∂u = E und uT K δu = δuT K T u = aßt sich schreiben: δuT K u l¨    − F = 0 δΠ = δv T Kv − Q

(386)

148

6. Balkenelemente

Die Variation nimmt einen station¨ aren Wert an, wenn der Klammerausdruck verschwindet. Daraus erh¨ alt man die Gleichgewichtsbeziehung f¨ ur den Balken:  + F K v = Q

(387)

6.1.8 Bilden der Steifigkeitsmatrix

Das zweiknotige Balkenelement soll ein konstantes Fl¨achentr¨agheitsmoment I und einen konstanten E-Modul E besitzen. Es kann damit die Biegesteifigkeit des Balkens EI vor das Integral gezogen werden: 

1

B  T dξ B

K = EI l

(388)

0

B  T wird in folgender Gleichung gebildet (B  s. (381)): Die Dyade B B T = B ⎡ ⎢ 6(2ξ − 1) ⎢ 1 ⎢ ⎢ 2 l(3ξ − 2) ⎢ 2 l ⎢ 6(1 − 2ξ) ⎢ ⎣ 2 l(3ξ − 1) ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ 1 ⎢ ⎢ l4 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ 1  ⎥ ⎥ 2 6(2ξ − 1) ⎥l ⎥ ⎦

36(2ξ − 1)2 12 l(2ξ − 1)· (3ξ − 2)

2 l(3ξ − 2)

6(1 − 2ξ)

 2 l(3ξ − 1) =

⎤ 12 l(2ξ − 1)·

36(2ξ − 1)·

12 l(2ξ − 1)·

(3ξ − 2)

(1 − 2ξ)

(3ξ − 1)

12 l(3ξ − 2)·

4 l2 (3ξ − 2)·

(1 − 2ξ)

(3ξ − 1)

4 l2 (3ξ − 2)2

36(2ξ − 1)·

12 l(3ξ − 2)·

(1 − 2ξ)

(1 − 2ξ)

12 l(2ξ − 1)·

4 l2 (3ξ − 2)·

12 l(1 − 2ξ)·

(3ξ − 1)

(3ξ − 1)

(3ξ − 1)

36(1 − 2ξ)2

12 l(1 − 2ξ)· (3ξ − 1) 4 l2 (3ξ − 1)2

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ (389)

-1 B  T dξ ist elementweise durchzuf¨ Die Integration 0 B uhren. Sie f¨ uhrt zu folgender Steifigkeitsmatrix K des Balkenelementes:

6.1

Das eindimensionale Balkenelement

⎡ ⎢ 12 ⎢ EI ⎢ ⎢ 6l K= 3 ⎢ l ⎢ −12 ⎢ ⎣ 6l

6l

−12

4 l2

−6 l

−6 l

12

2 l2

−6 l

149

⎤ 6l ⎥ ⎥ 2 l2 ⎥ ⎥ ⎥ −6 l ⎥ ⎥ ⎦ 4 l2

(390)

6.1.9

Diskretisierung der Streckenlast In (384) ber¨ ucksichtigt der nachfolgende Term die Streckenlast:



1

 q(ξ) dξ N

 =l Q

(391)

0

Einschr¨ ankend wird angenommen, daß die Streckenlast q im Element linear verteilt ist. Somit kann die Verteilung der Streckenlast u ¨ ber eine lineare Formfunktion beschrieben werden (s. (258) auf der S. 100). Eine solche Linearverteilung ist in Bild 6.7 dargestellt.

Bild 6.7. Berechnung der Kr¨ afte und

Momente aus der Streckenlast des Balkenelementes

Die Verteilung von q ist eindeutig u ¨ ber die Knotenwerte qi und qj beschrieben. Sie l¨ aßt sich damit ausdr¨ ucken als:

q = (1 − ξ) qi + ξ qj =



1−ξ

 ξ

⎤

⎡ ⎣

qi

ˆ T ⎦ = (N ) q

(392)

qj

Einsetzen der Beschreibung von q nach voranstehender Gleichung in den  q f¨ Ausdruck N uhrt zu: ˆ T  q=N  (N N ) q ˆ T  (N Das Produkt N ) stellt sich mit Hilfe von (375) dar als:

(393)

150

6. Balkenelemente

⎤ 2 3 1 − 3 ξ + 2 ξ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ξ l (1 − ξ)2 ⎥  ⎥ ˆ T ⎢  N (N ) = ⎢ ⎥ 1−ξ ⎢ 3 ξ2 − 2 ξ3 ⎥ ⎥ ⎢ ⎣  2  ⎦ ξl ξ −ξ ⎡ 2 3 4 ⎢ 1−ξ −3ξ +5ξ −2ξ ⎢   ⎢ l ξ − 3 ξ2 + 3 ξ3 − ξ4 ⎢ =⎢ ⎢ 3 ξ2 − 5 ξ3 + 2 ξ4 ⎢ ⎣   l −ξ 2 + 2 ξ 3 − ξ 4 ⎡

 ξ

⎤ ξ − 3 ξ3 + 2 ξ4   l ξ2 − 2 ξ3 + ξ4 3 ξ3 − 2 ξ4   l ξ4 − ξ3

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(394)

ˆ T  (N Die Integration ist u ) elementweise vorzunehmen: ¨ ber N 

1

 =l Q

ˆ T  (N N ) q dξ = l

0



1

ˆ T  (N q N ) dξ 

(395)

0

und f¨ uhrt zu folgendem Ausdruck: ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ l ⎢  = Q ⎢ 20 ⎢ ⎢ ⎣

7 l 3 − 23 l

⎡ ⎤ 3 ⎥ ⎢ 7 qi + 3 qj ⎤ ⎢ ⎥⎡ 2 ⎢ l qi + 2 l qj ⎥ q l i l ⎢ ⎥ 3 3 ⎦= ⎢ ⎥⎣ ⎢ ⎥ 20 7 ⎥ qj ⎢ 3 qi + 7 qj ⎣ ⎦ −l − 32 l qi − l qj

⎤

⎡

⎤ Q i ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ mi ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥=⎢ ⎥ (396) ⎥ ⎢ Q ⎥ ⎥ ⎢ j ⎥ ⎦ ⎣ ⎦ mj

In Bild 6.7 sind die Kr¨ afte und Momente dargestellt, die durch die Streckenlast hervorgerufen werden. Neben den beiden Kr¨aften Qi , Qj entstehen aus der Umrechnung noch die Momente mi , mj . Diese sind vorzeichenorientiert in Bild 6.7 dargestellt. Eine positive Streckenlast ruft am Anfangsknoten i ein positives Moment mi und am Endknoten j ein negatives Moment mj hervor. Damit sind alle Integralausdr¨ ucke aus (384) auf der S. 147 bekannt. Die  + F sind in folgenden Gleichungen zu Gr¨ oßen aus der Beziehung K v = Q finden: K aus (390) auf der S. 149 v aus (376) auf der S. 145 F aus (383) auf der S. 147  aus (396) auf der S. 150 Q

6.1

Das eindimensionale Balkenelement

151

In expliziter Schreibweise ergibt sich damit: ⎡ ⎢ 12 ⎢ EI ⎢ ⎢ 6l ⎢ 3 l ⎢ −12 ⎢ ⎣ 6l

6l

−12

4 l2

−6 l

−6 l

12

2 l2

−6 l

⎤⎡ 6l ⎥⎢ ⎥⎢ ⎢ 2 l2 ⎥ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎢ −6 l ⎥ ⎥⎢ ⎦⎣ 4 l2

⎤ ⎡ vi ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ϕi ⎥ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎢ vj ⎥ ⎥ ⎢ ⎦ ⎣ ϕj

⎤ ⎡ Fi ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ Mi ⎥ ⎥ ⎢ ⎥+⎢ ⎢ Fj ⎥ ⎥ ⎢ ⎦ ⎣ Mj

⎤ Qi ⎥ ⎥ mi ⎥ ⎥ ⎥ Qj ⎥ ⎥ ⎦ mj

(397)

6.1.10 Schnittgr¨ oßen des Balkenelementes

Die Schnittgr¨ oßen ergeben sich aus dem Produkt Einzelsteifigkeitsmatrix × Verformungsvektor des entsprechenden Elementes. Allgemein f¨ ur Element i ausgedr¨ uckt: K i iv = iF

(398)

K i - Steifigkeitsmatrix des Elementes i nach (390) i v - Verformungsvektor des Elementes i i F - Schnittgr¨ oßenvektor des Elementes i Momentenverlauf im Element

Mit Hilfe von (362) und (381) l¨ aßt sich der Momentenverlauf im Element schreiben als:

 T v = EI M = EI B

1  −6 + 12 ξ l2

−4 l + 6 lξ

6 − 12 ξ

6 lξ − 2 l

 v

(399)  sind linear in ξ = x/l. Damit ist auch der Die Funktionen in dem Vektor B Momentenverlauf im Element ein linearer. Bei der Elementformulierung ist zugelassen worden, daß die zweite Ableitung der Verformungen v  an den Elementgrenzen unstetig sein darf. Aus (362) folgt, daß die Schnittmomente an den Elementgrenzen unstetig sein k¨ onnen. F¨ ur ξ = 0 und ξ = 1 ergeben sich die Momente f¨ ur den Anfangs- und Endknoten.   ˆ i = M (ξ = 0) = EI M −6 −4 l 6 −2 l v 2 l   EI ˆ j = M (ξ = 1) = M 6 2 l −6 4 l v 2 l

(400) (401)

152

6. Balkenelemente

Querkraftverlauf im Element

Die Querkraft Q erh¨ alt man aus dem Moment M :

Q=

dM dξ 1 dM dM = = dx dξ dx l dξ

(402)

Diese Beziehung auf (399) angewendet:

Q=

EI  12 l3

6l

−12

 6l

v

(403)

Die Funktionen in voranstehender Gleichung sind unabh¨angig von ξ, d.h. die Querkraft ist im Element konstant. Damit k¨onnen die Querkr¨afte an den Elementgrenzen unstetig sein.  ˆ j = EI ˆi = Q Q 12 3 l

6l

−12

 6l

v

(404)

Vorzeichen der Schnittgr¨ oßen

Faßt man (400), (401) und (404) in Matrixform zusammen, so ergibt sich: ⎡ ⎢ 12 ⎢ EI ⎢ ⎢ −6 l ⎢ l3 ⎢ 12 ⎢ ⎣ 6l

6l

−12

−4 l2

6l

6l

−12

2 l2

−6 l

⎤⎡

⎤

⎡

⎤ ˆ 6 l ⎥ ⎢ vi ⎥ ⎢ Qi ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ˆ ⎥ −2 l2 ⎥ ⎥ ⎢ ϕi ⎥ ⎢ Mi ⎥ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ˆ ⎥ 6l ⎥ ⎥ ⎢ vj ⎥ ⎢ Q j ⎥ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ˆj 4 l2 ϕj M

(405)

Bild 6.8. Vorzeichen der Schnittgr¨ oßen

Im Knoten i ist die Querkraft positiv (s. Bild 6.8), wenn sie in positive yRichtung zeigt. Das Moment ist am Knoten i positiv, wenn es um die negative z-Koordinate dreht. Im Endknoten j ist es genau umgekehrt.

6.2

Beispiel zum eindimensionalen Balken

153

6.2

6.2 Beispiel zum eindimensionalen Balken 6.2.1 Zweiseitig gelagerter Balken mit Streckenlast Problemstellung

In Bild 6.9 ist in der oberen H¨ alfte ein Balken auf zwei St¨ utzen dargestellt. Er ist durch eine Streckenlast q (Lastfall 1) bzw. durch eine Einzelkraft F in der Mitte (Lastfall 2) belastet. Er weist ein Fl¨achentr¨agheitsmoment I und einen E-Modul E auf.

Bild 6.9. Beispiel zum eindimensionalen Balkenelement

Gesucht sind f¨ ur dieses Problem die Durchbiegung des Balkens sowie die Schnittgr¨ oßen im Balken. Einteilung in Elemente

Das Problem ist bez¨ uglich Geometrie, Belastung, Material und Randbedingungen symmetrisch. Deshalb wird in der FE-Rechnung nur eine H¨alfte des Balkens ber¨ ucksichtigt. Sie wird in ein finites Element eingeteilt. In der unteren H¨ alfte von Bild 6.9 ist diese Einteilung aufgef¨ uhrt. Elementsteifigkeitsmatrix

Es wird die Steifigkeitsmatrix nach (390) benutzt. Dabei ist zu beachten, daß l in (390) durch die halbe L¨ ange des Balkens zu ersetzen ist.

⎡

v1

ϕ1

v2

24

6l

−24

2 l2

−6 l

−6 l

24

l2

−6 l

⎢ EI ⎢ 6l K1 = 4 3 ⎢ l ⎢ ⎢ ⎢ −24 ⎣ 6l

ϕ2

⎤ v1 ⎥ ⎥ l2 ⎥ϕ1 ⎥ ⎥ −6 l ⎥ ⎦v2 6l

2 l2

ϕ2

(406)

154

6. Balkenelemente

Gesamtsteifigkeitsmatrix

Da das Problem nur ein Element aufweist, ist die Gesamtsteifigkeitsmatrix identisch mit der Elementsteifigkeitsmatrix. Wesentliche (geometrische) Randbedingungen

Auflager: Das Auflager am Knoten 2 wird durch die Randbedingung v2 = 0 wiedergegeben. Symmetrie: Die Verformungen m¨ ussen symmetrisch sein. Die Biegelinie weist bei x = 0 eine horizontale Tangente auf. Daraus ergibt sich die Verdrehung im Knoten 1 zu ϕ1 = 0. Nat¨ urliche Randbedingungen (Belastungen)

Es werden zwei Lastf¨ alle ber¨ ucksichtigt. Lastfall 1 (LF1 ) besteht aus einer konstanten Streckenlast q und Lastfall 2 (LF2 ) aus einer Einzelkraft F in der Mitte des Balkens. Die Streckenlast muß in Knotenlasten nach (396) umgerechnet werden. Die Streckenlast ist konstant, so daß q1 = q2 = q gilt. ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ l ⎢  = Q ⎢ 20 ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤

⎡

⎤ 7 q1 + 3 q2

1

⎢ ⎥ ⎢ l ⎥ l ⎢ ⎥ (3 q1 + 2 q2 ) ⎥ l ⎢ ⎢ 12 ⎥ 3 ⎥=q ⎢ ⎢ 1 ⎥ 4 3 q1 + 7 q2 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ l l − (2 q1 + 3 q2 ) − 3 12

⎡ ⎤ ⎥ ⎥ ⎢ Q1 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ m1 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥=⎢ ⎥ ⎥ ⎢ Q ⎥ ⎥ ⎢ 2 ⎥ ⎥ ⎣ ⎦ ⎦ m2

(407)

Verformungen ⎡ 24 ⎢ ⎢ ⎢ EI ⎢ 6 l 4 3 ⎢ l ⎢ −24 ⎢ ⎣ 6l

6l

−24

2 l2

−6 l

−6 l

24

l2

−6 l

⎤⎡ 6l

(1) v1

⎥⎢ ⎥⎢ (1) ⎢ l2 ⎥ ⎥⎢ ϕ1 ⎥⎢ ⎥⎢ (1) −6 l ⎥⎢ v2 ⎦⎣ (1) 2 l2 ϕ2

(2) v1 (2)

ϕ1

(2)

v2

(2)

ϕ2

⎤

⎡ q

l 4

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ l2 ⎥ ⎢ q + RM1(1) ⎥ ⎢ 48 ⎥=⎢ ⎥ ⎢ q l + RF (1) ⎥ ⎢ 2 4 ⎦ ⎢ ⎣ l2 −q 48

⎤

F 2 (2)

R

M1

R

(2)

F2 0

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(408)

Die rechte Seite besteht aus einer Matrix mit zwei Spalten. Diese geben die beiden Lastf¨ alle wieder. Es liegen je Lastfall vier Unbekannte vor, n¨amlich die (i) (i) (i) (i) beiden Verformungen v1 , ϕ2 und die beiden Reaktionsgr¨oßen RM1 , RF2 (i = 1 ∧ 2). Zur Bestimmung der Verformungen werden die Zeilen und Spal-

6.2

Beispiel zum eindimensionalen Balken

155 (i)

ten gestrichen, die die bekannten Verformungen v2 Daraus ergibt sich das nachstehende Untersystem: ⎡ EI ⎣ 12 8 3 l 3l

⎤⎡ 3l l2

⎦⎣

(1)

v1

(1)

ϕ2

ϕ2

⎤

(2)

v1

(2)

⎡

q 4l

⎦=⎣

F 2 2

l −q 48

(i)

= ϕ1 = 0 aufweisen. ⎤ ⎦

(409)

0

alt man die Verformungen: Durch Inversion1 der Koeffizientenmatrix erh¨ ⎡ ⎣

(1)

⎤⎡ ⎡ q 4l l2 −3l l ⎦⎣ ⎦= ⎣ 24 EI −3l 12 l2 −q 48 ⎤ ⎡ 5 F 2 2 ql l l 2 ⎦ ⎣ 16 = 24 EI −ql − 3 F ⎤

(2)

v1

v1

(1) ϕ2

(2) ϕ2

F 2

⎤ ⎦

0 (410)

2

Die Verformungen der FEM-L¨ osung entsprechen denen der exakten L¨osung. Schnittgr¨ oßen

Die Beziehung (398) auf das vorliegende Problem angewendet, f¨ uhrt auf:

Lastfall 1:

⎡ 1 ⎤ ⎤⎡ 5 ⎢ 4q l ⎢ l 6l ⎥⎢ 16 ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ 7 2 ⎥⎢ ⎢ ⎥ ql ⎢ ⎢ ⎥ l2 ⎥ ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ 48 = ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ −1q l −6 l ⎥ ⎥⎢ 0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎦⎣ 4 ⎦ ⎢ 2 ⎣ 2l 1 2 −1 − ql 48

⎡ ⎢ 24 ⎢ q⎢ ⎢ 6l ⎢ 6 ⎢ −24 ⎢ ⎣ 6l

6l

−24

2

−6 l

2l

−6 l

24

l2

−6 l

⎤

⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎥ ⎦

⎤

1 (1) F1 (1) M1

1

1 (1) F2 1

(1)

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

M2

(411)

1

Die Inverse einer symmetrischen 2×2-Matrix lautet:

⎡ ⎣

a

b

b

c

⎤ −1 ⎦

⎡ 2

= 1/(ac − b ) ⎣

c

−b

−b

a

⎤ ⎦

156

6. Balkenelemente

Lastfall 2: ⎤⎡ 6l ⎥⎢ ⎥⎢ ⎢ l2 ⎥ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎢ −6 l ⎥ ⎥⎢ ⎦⎢ ⎣ 2 2l

⎡ ⎢ 24 ⎢ F ⎢ ⎢ 6l ⎢ 4 l ⎢ −24 ⎢ ⎣ 6l

6l

−24

2

−6 l

2l

−6 l

24

l2

−6 l

⎡ ⎤ 1 l ⎢ 2F ⎢ 3 ⎥ ⎥ ⎢ 1 ⎥ ⎢ ⎢ Fl 0 ⎥ ⎥=⎢ 4 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ −1F ⎦ ⎢ 2 ⎣ −1 0

⎤

⎡ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎥ ⎦

1 (2) F1 (2) M1

1

1 (2) F2 1

(2)

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

M2

(412)

Fehlerbetrachtung bei den Schnittgr¨ oßen

In Tab. 6.1 sind die bezogenen Schnittgr¨ oßen aus der Rechnung denen der ¯ (1) = M (1) /(q l2 ); ¯ (1) = Q(1) /(q l); M exakten L¨ osung gegen¨ ubergestellt: Q (2) (2) (2) (2) ¯ = M /(F l). ¯ = Q /F ; M Q Tabelle 6.1. Vergleich der Schnittgr¨ oßen

Lastfall 11 ¯ (1)

Q FEM exakt Fehler

(x = 1 4 1 2

50 %

l ) 2

Lastfall 2

¯ (1)

M

(x = 0)

7 − 48

¯ (2)

Q

(x = 2l )

¯ (2) (x = 0) M

− 18

1 2 1 2

− 14

16, 7 %

0%

0%

− 14

W¨ ahrend die Schnittgr¨ oßen aus Lastfall 2 keinen Fehler aufweisen, treten bei Lastfall 1 Abweichungen zu der exakten L¨ osung auf, die folgender Art sind: Momente ¯ (1) = −1/8 tritt in der Mitte des Balkens Das maximale Moment von M auf. Die FE-Rechnung weist an dieser Stelle ein Moment von 1 ¯ (1) M1 = −7/48 auf, also einen Fehler von ca. 16,7 %. Am Auflager muß ¯ (1) = −1/48 auf. das Moment Null sein. Hier tritt ein FE-Ergebnis von 1M 2 Bei der exakten L¨ osung hat der Momentenverlauf die Form einer Parabel. Die Momente im Inneren eines Elementes haben nach (399) einen linearen Verlauf. Querkr¨ afte Die exakte Querkraftverteilung stellt sich als Linearverteilung dar, die 1

¯ (1) = x/l ; M ¯ (1) = 1/2[(x/l)2 − 1/4] Q exakt exakt

6.2

Beispiel zum eindimensionalen Balken

157

einen Nulldurchgang in der Mitte des Balkens aufweist und einen Maxi¯ (1) = 1/2 hat. Aus der FE-Rechnung ergibt sich ein Wert malwert von Q 1 (1) von F1 = 1/4. Daraus resultiert eine Abweichung von 50 %. Das Ergebnis kann durch eine Erh¨ ohung der Elementanzahl verbessert werden. 6.2.2 Konvergenztest beim zweiknotigen Balkenelement

F¨ ur das in Bild 6.10 angef¨ uhrte Beispiel wird bez¨ uglich der Querkraft Q und des Momentes M ein Konvergenztest durchgef¨ uhrt. Es dienen dazu drei Rechnungen mit 3, 6 und 12 ¨ aquidistanten Elementen. Die Querkraft Q1 und das Moment M 2 werden an der Stelle des rechten Auflagers ausgewertet.

Bild 6.10. Balken mit Streckenlast

Fehler in den Schnittgr¨ oßen

Die exakten L¨ osungen des Momenten- und Querkraftverlaufes werden durch folgende Beziehungen beschrieben (ξ = x/l): ¯ = M = M q l2 ¯= Q = Q ql



1 2 1 2

ξ2 −

1 4

f¨ ur 0 ≤ ξ ≤

ξ

2 3

ξ 2 − ξ + 12 f¨ ur 23 ≤ ξ ≤ 1 ur 0 ≤ ξ ≤ 23 ξ − 14 f¨ ξ−1

f¨ ur

2 3

≤ξ≤1

(413)

W¨ ahrend der exakte Momentenverlauf quadratischer Natur ist, verl¨auft er im Element linear (399). Der exakte Querkraftverlauf ist linear mit einer Unstetigkeit bei ξ = 2/3. Im Element ist die Querkraft konstant (404). Daraus ergibt sich, daß im vorliegenden Fall die FE-Methode nur n¨aherungsweise die exakten Schnittgr¨ oßen beschreiben kann. Die Tab. 6.2 enth¨alt die Schnittgr¨ oßen und ihre Fehler. Das Moment und die Querkraft werden an der Stelle ξ = 2/3 ausgewertet, wobei f¨ ur die Querkraft der rechtsseitige Wert betrachtet wird. In der linken H¨ alfte von Bild 6.11 ist der exakte Momentenverlauf und der ¯ bei drei Elementen dargestellt. Die FE-L¨ osung n¨ahert die Parabeln f¨ ur M nach (413) durch einen Polygonzug an. Deutlich ist der Fehler an den beiden Enden des Balkens zu erkennen. In der rechten Bildh¨alfte ist der Querkraft1

Die Querkraft ist am Elementanfang vorzeichenrichtig. Das Moment ist am Elementende  vorzeichenrichtig.    3 ¯ FEM − Q ¯ exakt )/Q ¯ exakt  · 100 ; EM = (M ¯ FEM − M ¯ exakt )/M ¯ exakt  · 100 E Q =  (Q 2

158

6. Balkenelemente

Tabelle 6.2. Ergebnisse des Konvergenztestes Anz. Elem.

3

6

12

24

48

96

exakt

¯ Q ¯ M

− 16

− 14

7 − 24

5 − 16

− 31 96

− 21 64

− 13

50 %

25 % 4, 1¯ 6%

EQ ¯

3

3 EM ¯

5 108

16, 67 %

23 432

95 1728

383 6912

1535 27648

6143 110592

1 18

12, 5 %

6, 25 %

3, 13 %

1, 56 %

−

1, 04 %

0, 26 %

0, 07 %

0, 02 %

−

¯ angef¨ ¯ aus (413) durch einen verlauf Q uhrt. Die FE-L¨ osung approximiert Q treppenf¨ ormigen Verlauf an, da die Querkraft im Element konstant ist. Mit steigender Elementanzahl beschreibt diese Treppenform immer besser die Geraden der exakten L¨ osung.

Bild 6.11. Vergleich der exakten Momente und Querkr¨ afte mit der FE-L¨ osung

Fehlerbetrachtung bei den Schnittgr¨ oßen

Die Schnittgr¨ oßen aus der FE-Rechnung nach Tab. 6.2 lassen sich wie folgt u ucken: ¨ ber die Elementanzahl n ausdr¨ ¯ = 1 − 1 M 18 12 n2 ¯ = −1 + 1 Q 3 2n

(414) (415)

¯ und Q ¯ die exakten L¨osungen. Eine FehlerbeF¨ ur n → ∞ erh¨ alt man f¨ ur M ¯ ¯ trachtung f¨ ur M und Q f¨ uhrt auf: ¯ F EM ¯ ex − M M 100 = 150 n−2 % ¯ Mex ¯ F EM ¯ ex − Q Q 100 = 150 n−1 % EQ¯ = ¯ Qex

EM¯ =

(416)

6.2

Beispiel zum eindimensionalen Balken

159

Betrachtet man den Fehler mit Hilfe der Beziehung nach (142) C ∗ n−p und legt durch die Punkte nach Tab. 6.2 in einem doppelt logarithmischen System eine Ausgleichsgerade, so erh¨ alt man die L¨osungen aus (416). Es tritt ¯ mit p = 1 eine lineare und mit p = 2 f¨ ¯ eine quadratische damit f¨ ur Q ur M Konvergenz auf.

Bild 6.12. Querkraft- und Momen-

tenfehler an der Stelle x = 2/3 l. Es wird die Querkraft rechtsseitig von x = 2/3 l betrachtet

In Bild 6.12 sind die Beziehungen aus (416) dargestellt. Bedingt durch die ¯ eine schnellere Abnahme des Fehlers als h¨ohere Konvergenzordnung, zeigt M ¯ ¯ Q. Soll der Fehler bei Q z.B. einen Wert von 1 % annehmen, so ergibt sich aus (416), daß dazu die Anzahl Elemente auf n = 150 erh¨oht werden muß. 6.2.3 Realisierung des Gelenkes u ¨ber eine Zwangsbedingung

In Bild 6.13 sind zwei Balken an ihren Enden fest eingespannt und in der Mitte gelenkig miteinander verbunden. An dieser Stelle kann kein Moment u ¨ bertragen werden. Das Problem soll mit Hilfe einer Zwangsbedingung gel¨ost werden.

Bild 6.13. Ein zweiseitig eingespannter Balken mit Gelenk und sein Ersatzmodell

Dazu wird die Balkenstruktur in der rechten Bildh¨alfte in zwei getrennte Strukturen aufgeteilt, die aus den Elementen 1 und 2 besteht. Die Knoten 2 und 3 werden nun durch eine Zwangsbedingung der Form v3 − v2 = 0 miteinander verbunden. Diese Zwangsbedingung l¨aßt sich mit Hilfe von (134) auf der S. 56 schreiben als:

160

6. Balkenelemente

⎡

 0

1

0

⎤ ϕ 2 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥   ⎢ v3 ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ =0 = Cu −1 ⎢ ⎢ ϕ ⎥ ⎢ 3 ⎥ ⎣ ⎦ v2

 Ca

⎤

⎡ ⎣

uu

⎦

(417)

ua

Die Reihenfolge der Unbekannten in (417) ist so ge¨andert worden, daß die abh¨ angige Gr¨ oße v2 am Ende des Vektors auftritt. Die Gesamtsteifigkeitsmatrix lautet nach dem Einbringen der Randbedingungen und der genannten ¨ Anderung der Reihenfolge der Unbekannten:

⎡ Kg =

ϕ2

v3

ϕ3

4 l2

0

0

4

2l

2l

4 2 3 l

0

0

⎢ EI ⎢ ⎢ 0 l3 ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎣

−6 l

v2

⎤ −6 l ϕ2 ⎥ ⎥ 0 ⎥v3 ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎦ϕ3 12

(418)

v2

Die Transformationsmatrix T nach (135) auf der S. 56 ergibt sich mit n − r = 4 − 1 = 3 zu: ⎡

−1 −C −1 a C u = −(−1)



 0

1

0

 =

0

1

⎢ 1 ⎢ ⎢ 0  ⎢ 0 ⇒T =⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎣ 0

0 1 0 1

⎤ 0 ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ ⎥ 1 ⎥ ⎥ ⎦ 0 (419)

ˆ und Fˆ : Nach (136) erh¨ alt man f¨ ur K

6.3

¨ Ubungsbeispiele zum Bernoulli-Balken

⎡

⎤

⎡ 1 ⎢ ˆ =⎢ K ⎢ 0 ⎣ 0

0

0

1

0

0

1

⎡

4 l2 ⎢ EI ⎢ = 3 ⎢ −6 l l ⎣ 0 ⎡ 1

⎢ ⎢  Fˆ = T T F = ⎢ 0 ⎣ 0

2 0 0 ⎢ 4l 0 ⎢ ⎥ EI ⎢ 0 4 2l ⎢ ⎥ 1 ⎥ 3 ⎢ ⎦ l ⎢ 0 2 l 43 l2 ⎢ ⎣ 0 −6 l 0 0 ⎤ −6 l 0 ⎥ ⎥ 16 2l ⎥ ⎦ 4 2 2l l 3 ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 0 ⎢ ⎥ 0 0 0 0 ⎢ ⎥ ⎥⎢ F ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ F 1 0 1 ⎥⎢ ⎦⎢ 0 ⎥ ⎣ ⎢ ⎥ ⎦ 0 1 0 ⎣ 0 0

161

⎤⎡ −6 l ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎢ 0 ⎥ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎢ 0 ⎥ ⎥⎢ ⎦⎣ 12

1

0

0

1

0

0

0

1

⎤ 0 ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ ⎥ 1 ⎥ ⎥ ⎦ 0

(420)

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(421)

ˆ uu = Fˆ erh¨ Mit K alt man die Verformung: ⎡

⎤ ϕ2

⎢ ⎢ uu = ⎢ v3 ⎣ ϕ3

⎥ 1 F l2 ⎥ ⎥= ⎦ 8 EI

⎡

⎤ 3

⎢ ⎢ ⎢ 2l ⎣ −3

⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(422)

¨ 6.3 Ubungsbeispiele zum Bernoulli-Balken Balkenbeispiel I

Das Beispiel in Bild 6.9 auf der S. 153 weist f¨ ur den Lastfall 1, in dem die Belastung aus einer konstanten Streckenlast besteht, Fehler in den Schnittgr¨ oßen auf. Es soll durch eine Erh¨ ohung der Elementanzahl auf zwei bzw. drei Elemente die Genauigkeit der Schnittgr¨ oßen verbessert werden. Hierf¨ ur sind die Steifigkeitsmatrizen, die Gesamtsteifigkeitsmatrizen und daraus die Verformungen zu berechnen. Dabei m¨ ussen die Streckenlasten in Kr¨afte und Momente umgerechnet werden. Aus den Verformungen sind die Schnittgr¨ oßen zu berechnen. Diese sind grafisch auszuwerten und mit den exakten Verl¨ aufen zu vergleichen. F¨ ur die Mitte des Balkens bzw. das rechte

6.3

6.1

162

6. Balkenelemente

Ende sind die Momente bzw. Querkr¨ afte der FE-L¨osung mit den exakten L¨ osungen zu vergleichen.

6.2

Balkenbeispiel II

Gegeben ist der in Bild 6.14 dargestellte Balken. F¨ ur diesen Balken sind die Verformungen und die Auflagerreaktionen zu berechnen, wobei die in Bild 6.14 angef¨ uhrte Elementknotenzuordnung zu verwenden ist. Die L¨ange des Balkens, sein Fl¨ achentr¨ agheitsmoment und der E-Modul werden jeweils zu 1 angenommen. Er ist auf der linken Seite fest eingespannt und hat auf der rechten Seite ein Auflager. Die Belastung besteht aus einem Moment, das am Ende des Balkens angreift.

Bild 6.14. Geometrie und Belastung des

Balkens

6.3

Balkenbeispiel III

Die Nachbildung eines Gelenkes ist mit dem bisherigen Balkenelement nicht m¨ oglich. An der Stelle des Gelenkes kann kein Moment u ¨bertragen werden, und es muß an dieser Stelle die zweite Ableitung v  der Durchbiegung verschwinden. Es soll die Steifigkeitsmatrix eines Balkenelementes hergeleitet werden, die am Anfangsknoten i des Elementes ein Gelenk realisieren kann. Als Ansatzfunktion dient folgendes Polynom: v = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3

(423)

Zur L¨ osung sind folgende Arbeitsschritte notwendig:  unter Beachtung von v  (x = 0) = 0 Erstellen der Formfunktionen N    Bilden des Dehnungs-Verformungs-Vektors - l B =T N   Erstellen der Steifigkeitsmatrix K = EI 0 B B dx Mit der hergeleiteten Steifigkeitsmatrix soll das Beispiel in Bild 6.15 gel¨ost werden. Es zeigt einen zweiseitig fest eingespannten Balken, der in der Mitte ein Gelenk aufweist, das durch eine Kraft F = −1 belastet wird. Der Balken 1 hat eine Biegesteifigkeit EI = 1 und der Balken 2 von EI = 1/3. Gesucht ist die Durchbiegung des Balkens. Diese ist grafisch auszuwerten.

6.3

¨ Ubungsbeispiele zum Bernoulli-Balken

163

Bild 6.15. Zweiseitig eingespannter Balken mit einem Gelenk

Balkenbeispiel IV

In Bild 6.16 ist eine Balkenstruktur dargestellt. Alle Balken haben die L¨ange l, das Fl¨ achentr¨ agheitsmoment I und einen E-Modul E. Die Belastung betr¨agt F . Gesucht ist die Durchbiegung sowie die Verdrehung an der Stelle x = l/2.

6.4

Bild 6.16. Eindimensionaler Balken

Balkenbeispiel V

Das Gelenk des Problemes in Bild 6.13 auf der S. 159 soll durch ein starres Stabelement abgebildet werden, das die Knoten 2 und 3 verbindet. Die Balkensteifigkeit von Element 1 betr¨ agt EI und von Element 2 EI/3. F¨ ur die unterschiedlichen Steifigkeiten des Stabelementes ist nach (126) auf der S. 54 die erforderliche Rechengenauigkeit zu ermitteln. Balkenbeispiel VI

In Bild 6.17 ist ein eindimensionaler Balken dargestellt, der durch eine Feder gest¨ utzt wird. Das Lager der Feder wird um v¯ in y-Richtung verschoben. Die Feder ist u ¨ ber ein eindimensionales Stabelement abzubilden. Zur Vereinfachung des Problemes wird angenommen, daß die Steifigkeit der Feder kf der des Balkens E I/l3 entspricht, d.h. es gilt: kf = E I/l3 . Zu ermitteln sind die Verformungen des Systems sowie die vertikale Auflagerkraft im Lager A.

6.5

6.6

Bild 6.17. Eindimensionale Balkenstruktur, die durch eine Feder gest¨ utzt wird

Beispiel mit FEM GEN, FEM CAS und InterFEM

In Bild 6.18 ist ein eindimensionaler Balken dargestellt. Die Verformungen,

L

164

6. Balkenelemente

Schnittgr¨ oßen und Auflagerreaktionen sollen mit Hilfe von “ FEM CAS“ und “ InterFEM“ berechnet werden. Dazu ist das Problem mit “ FEM GEN“ aufzubereiten. Die Struktur ist in drei dreiknotige Balkenelemente einzuteilen. F¨ ur die numerische Rechnung ist mit L = 1000, I = 105 , F = 105 , M = 107 , qi = 500, qk = 1200 und E = 210000 zu arbeiten.

Bild 6.18. Eindimensionaler Balken mit ver-

schiedenen Belastungsformen

6.4

i

6.4 Balkenelement mit n Knoten und p Freiheitsgraden pro Knoten Mit Hilfe der Computeralgebra1 soll ein eindimensionales Balkenelement betrachtet werden, das n Knoten und p Freiheitsgrade pro Knoten aufweist. Es werden die dazu zuvor hergeleiteten Beziehungen f¨ ur das zweiknotige Balkenelement verallgemeinert, so daß sie programmtechnisch verarbeitet werden k¨ onnen. Die einzelnen Ableitungsschritte laufen analog zum Stabproblem ab. Ansatzfunktion

Als Ansatzfunktion f¨ ur die Durchbiegung v wird in Erweiterung von (371) ein vollst¨ andiges Polynom (m − 1)-ten Grades (m = p × n) gew¨ahlt (ξ = x/l): v = a0 + a1 ξ + a2 ξ 2 + . . . + am−1 ξ m−1

(424)

m ist die Anzahl der Freiheitsgrade des Elementes. Mit Hilfe der Vektoren: xT =



 1

ξ

ξ2

...

ξ m−1

; aT =



 a0

a1

a2

...

am−1

(425)

l¨ aßt sich die Ansatzfunktion schreiben als: v = xT a = aT x

1

Die einzelnen Ableitungsschritte sind im “Balken 1D“ realisiert (s. Kap. 12.2.6 auf S. 371).

(426)

Computeralgebraprogramm

6.4

Balkenelement mit n Knoten und p Freiheitsgraden pro Knoten

165

Interpolationsbedingungen

Analog zu (372) und (373) werden die Ansatzkoeffizienten mittels Interpolationsbedingungen durch die Knotengr¨ oßen ausgedr¨ uckt:  i−1 = vi v= ξ= n−1   i−1 = ϕi v = ξ = n−1   i−1 = κi v  = ξ = n−1 .. .   i−1 (m) (m) = vi = ξ= v n−1 

(427)

Die Interpolationsbedingungen (427) und damit die Anzahl der Freiheitsgrade pro Knoten machen nur f¨ ur p ≤ 3 Sinn. Daher werden nachfolgend h¨ohere ummung am Ableitungen weggelassen. Der Freiheitsgrad κi stellt sich als Kr¨ Knoten i dar1 . Einsetzen von (427) in (424):

a 0 + a1

i−1 + a2 n−1



i−1 n−1

2

 + . . . + am−1

i−1 a1 + 2 a2 + . . . + (m − 1)am−1 n−1 2 a2 + . . . + (m − 1)(m − 2)am−1

 

i−1 n−1 i−1 n−1 i−1 n−1

m−1 = vi m−2 = ϕi m−3 = κi

(428)

Mit Hilfe des Vektors a kann man schreiben:

1

Die Kr¨ ummung lautet: κ = v  /(1 + (v  )2 )3/2 . Unter der Voraussetzung v = ϕ