Finansiell økonomi : teori og praksis [PDF]

Zitiervorschau

ØYVIND BØHREN

DAG MICHALSEN

Finansiell Økonomi

TEORI OG PRAKSIS

© 1994 Skarvet Forlag AS ISBN 82-992405 -3 -0 Trykk: Norbok as, Gjøvik Omslagsdesign, layout og produksjon: Petter Holskjær

Distribusjon: Juul Møller a.s., Oslo

FORORD Målgruppen for denne boken er lesere som allerede har vært gjennom en grunn­ bok i finansiell økonomi (finans), slik som f.eks. Bøhren og Gjærums (B&G) Prosjektanalyse: En innføring. Dette utgangspunktet gjør at vi i vår bok direkte kan bygge på og stadig vise tilbake til det grunnlag leseren allerede har fra B&G eller lignende innføringsbøker. Ut fra egne undervisningserfaringer har vi dess­ uten valgt en fremstillingsform basert på norsk virkelighet og talleksempler fra praksis. Vi forsøker på den måten å innøve teorien gjennom konkrete prosjekter i finansiell økonomi og datamateriale fra norske bedrifter og det norske kapital­ markedet. Vår erfaring tilsier også at mange studenter har problemer med å skille mellom skog og trær. Vi forsøker derfor mange steder å binde sammen stoffet med sammendrag og krysshenvisninger. Det er et godt tegn dersom du etterhvert synes det blir vel mange slike veivisere. Innføringsbøker i finans behandler ofte usikkerhet (risiko) på en sum­ marisk måte. Eksempelvis tar ikke B&G eksplisitt opp usikkerhet andre steder enn i kapittel 8 om følsomhetsanalyse og i kapittel 10 om finansiering. Første målsetting med vår bok er derfor å gi en utførlig behandling av hvordan usikker­ het kan analyseres i investerings- og finansieringsprosjekter. Spørsmålet er ikke om vi skal ta hensyn til usikkkerhet, men om denne vurderingen skal skje ana­ lytisk innenfor en økonomisk modell eller mer skjønnsmessig og uformelt. De syv første kapitlene er i sin helhet viet usikkerhet, med hovedfokus på analytiske vurderinger. Finansiering er det andre hovedemnet i finans som gjerne behandles sum­ marisk i innføringsbøker (se f.eks. B&G kap. 10). Vår bok beskriver norske finansielle instrumenter, norske finansinstitusjoner og inneholder mye øko­ nomiske data om det norske kapitalmarkedet. Dette er utgangspunktet for ana­ lysen av finansieringsprosjekters verdiskapning i en usikker verden. Så sant skattesystemet ikke er nøytralt er det sjelden lurt å analysere finansieringsprosjekter uten å trekke inn skatt. Samtidig vet alle at generelle skatteregler og spesifikke skattesatser stadig forandres. For ikke å risikere at boken blir gammeldags allerede før utgivelsen kunne det derfor være fristende å ikke ta utgangspunkt i en helt spesifikk skattesituasjon. Ut fra ønsket om kon­ kretisering av teorien har vi her valgt en mellomløsning. Teori, formler o.l. pre­ senteres uten forankring i ett bestemt skattesystem. Anvendelsene, derimot, baserer seg på skatteregler og -satser for inntektsåret 1993. Ved senere endringer i disse burde det da bare være en god øvelse å omgjøre eksemplene ut fra aktuell skattesituasjon. I tillegg til 90 nummererte eksempler har vi laget 125 oppgaver med løs­ ningsforslag. Oppgavene er gruppert etter hvert enkelt kapittel, mens løsnings­ forslagene er samlet i appendiks A. Appendiks B gir referanser til utfyllende og videregående litteratur. Første versjon av denne bokens syv første kapitler ble publisert som kom­ pendium i 1985. De neste syv kapitlene ble første gang utgitt som kompendium

i 1987. Siden den gang er innholdet utvidet og omskrevet flere ganger, vesentlig på basis av tilbakemeldinger fra studenter og kolleger. Alle disse har sin del av æren for det endelige produktet. Ingen nevnt, ingen glemt.

Sandvika i mars 1994

Øyvind Bøhren

Dag Michalsen

INNHOLD 1

INNLEDNING OG OVERSIKT.................................................................1 1.1 Bakgrunn.............................................................................................. 2 1.2 Usikkerhet og prosjektverdi.................................................................. 3 1.3 Sentrale analyseoppgaver ved usikre prosjekter................................ 6 1.4 Finansieringsprosjekter......................................................................... 7 1.5 Oppgaver............................................................................................ 10

2

FORVENTET KONTANTSTRØM............................................................ 13 2.1 Beregning av forventet kontantstrøm................................................. 14 2.2 Oppgaver............................................................................................. 19

3

RELEVANT PROSJEKTRISIKO ............................................................21 3.1 Prosjektrisiko sett med eiernes øyne................................................ 22 3.2 Porteføljers risikomål..........................................................................24 3.3 Risikoholdning og risikokompensasjon............................................. 27 3.4 Relevant risiko for veldiversifiserte porteføljer og for enkeltaksjer . 31 3.5 Diversifiserbar og ikke-diversifiserbar risiko.................................... 46 3.6 Oppgaver............................................................................................ 53

4

RELEVANT RISIKO OG KAPITALKOSTNAD....................................... 61 4.1 Effisiente porteføljer............................................................................. 62 4.2 Kapitalverdimodellen (KVM)............................................................. 68 4.3 Kapitalkostnad for nye prosjekter .................................................... 77 4.4 Investordiversifisering kontra bedriftsdiversifisering...................... 79 4.5 Informasjonseffisiens......................................................................... 81 4.6 Kapital verdimodellens praktiske relevans......................................... 91 4.7 Oppgaver ............................................................................................95

5

FØLSOMHETSANALYSE OG SCENARIOANALYSE.......................... 105 5.1 Innledning............................................................................................ 106 5.2 Følsomhetsanalyse............................................................................ 106 5.3 Scenarioanalyse...................................................................................110 5.4 Oppgaver............................................................................................ 116

6

SIMULERING.........................................................................................121 6.1 Bakgrunn............................................................................................ 122 6.2 Inngangsdata..................................................................................... 122 6.3 Modellkjøring......................................................................................125 6.4 Utgangsdata......................................................................................... 128 6.5 Oppgaver............................................................................................ 134

7

BESLUTNINGSTRÆR............................................................................. 137 7.1 Innledning............................................................................................ 138 7.2 Strukturering......................................................................................139 7.3 Løsning............................................................................................... 142

7.4 7.5

Problemer ved praktisk bruk av beslutningstrær............................ 146 Oppgaver........................................................................................... 148

8 FINANSIERING: EN OVERSIKT.......................................................... 151 8.1 Bakgrunn........................................................................................... 152 8.2 Finansieringsbeslutninger.............................................................. 156

9 LANGSIKTIGE FINANSIERINGSFORMER.......................................... 161 9.1 Innledning........................................................................................... 162 9.2 Ordinære lån.................................................................................... 165 9.3 Obligasjonslån................................................................................. 169 9.4 Konvertible obligasjoner.................................................................. 173 9.5 Obligasjoner med aksjekjøpsrett..................................................... 176 9.6 Bokbasert kontra markedsbasert egenkapital.................................. 178 9.7 Omsetning av egenkapital...............................................................183 9.8 Tegningsretters verdi........................................................................ 188 9.9 Aksjesplitt og fondsemisjon........................................................... 195 9.10 Oppgaver.......................................................................................... 200 1 O GJELDSGRAD OG RISIKO................................................................ 207 10.1 Innledning.......................................................................................... 208 10.2 Investeringsrisiko............................................................................. 208 10.3 Finansieringsrisiko.......................................................................... 210 10.4 Gjeldsgrad og systematisk risiko.................................................... 214 10.5 Oppgaver.......................................................................................... 218 1 1 GJELDSGRAD OG VERDI I PERFEKTE KAPITALMARKEDER ... 221 11.1 Innledning.......................................................................................... 222 11.2 Alternative oppsplittinger av selskapets inntjening........................ 223 11.3 Arbitrasje og likevektsverdier....................................................... 225 11.4 Verdiberegninger............................................................................. 226 11.5 Utvidelser.......................................................................................... 230 11.6 Oppgaver.......................................................................................... 233 1 2 GJELDSGRAD OG VERDI MED IMPERFEKSJONER....................... 237 12.1 Innledning.......................................................................................... 238 12.2 Bedriftsskatt på egenkapitalfinansiering........................................239 12.3 Toleddsbeskatning.......................................................................... 244 12.4 Gjeldsrenter ved toleddsbeskatning................................................. 253 12.5 Andre imperfeksjoner....................................................................... 257 12.6 Oppsummering................................................................................ 262 12.7 Oppgaver.......................................................................................... 265 1 3 SAMMENKOPLEDE INVESTERINGSOG FINANSIERINGSPROSJEKTER............................................... 267 13. 1 Innledning......................................................................................... 268 13. 2 Gjeldskapasitet................................................................................ 269 13. 3 Justert nåverdi................................................................................... 272

13. 13. 13. 13.

4 5 6 7

Totalkapitalmetoden..................................................................... 281 Egenkapitalmetoden..................................................................... 283 Sammenligning av de tre metodene............................................ 285 Oppgaver........................................................................................ 290

14 DIVIDENDEPOLITIKK........................................................................ 293 14.1 Innledning...........................................................................................294 14.2 Dividendevarianter........................................................................... 295 14.3 Dividendepraksis.............................................................................. 297 14.4 Dividendepolitikk under idealiserte betingelser........................... 302 14.5 Dividendepolitikkens likviditets- og signaleffekt........................ 305 14.6 Dividendepolitikk ved toleddsbeskatning..................................... 309 14.7 Oppgaver...........................................................................................316

15 OPSJONER.......................................................................................... 319 15.1 Innledning........................................................................................... 320 15.2 Grunntrekk ved opsjoner................................................................. 321 15.3 Binomisk opsjonsprismodell........................................................... 337 15.4 Black-Scholes modellen................................................................. 342 15.5 Opsjonstankegang i klassiske finansspørsmål............................... 351 15.6 Oppgaver...........................................................................................359 16 AVRUNDING....................................................................................... 363 16.1 Innledning...........................................................................................364 16.2 Risiko................................................................................................. 364 16.3 Informasjonseffisiens........................................................................369 16.4 Verdiskapende prosjekter................................................................. 371 APPENDIKS A: OPPGAVELØSNINGER.................................................. 375 A.l Kapittel 1........................................................................................... 376 A.2 Kapittel 2...........................................................................................378 A.3 Kapittel 3........................................................................................... 381 A.4 Kapittel 4...........................................................................................404 A.5 Kapittel 5...........................................................................................422 A.6 Kapittel 6.......................................................................................... 429 A.7 Kapittel 7.......................................................................................... 433 A.9 Kapittel 9.......................................................................................... 445 A. 10 Kapittel 10....................................................................................... 454 A. 11 Kapittel 11....................................................................................... 461 A. 12 Kapittel 12....................................................................................... 467 A. 13 Kapittel 13....................................................................................... 469 A. 14 Kapittel 14....................................................................................... 473 A. 15 Kapittel 15....................................................................................... 479

APPENDIKS B: UTFYLLENDE OG VIDEREGÅENDE LITTERATUR . . . 495 STIKKORDREGISTER.................................................................................. 501

INNLEDNING OG OVERSIKT 1.1: BAKGRUNN 1.2: USIKKERHET OG PROSJEKTVERDI 1.3: SENTRALE ANALYSEOPPGAVER VED USIKRE INVESTERINGSPROSJEKTER 1.4: FINANSIERINGSPROSJEKTER 1.5: OPPGAVER

1.1: BAKGRUNN Fagfeltet finansiell økonomi (finans) består av de to hovedområdene investering og finansiering. Med utgangspunkt i et balanseregnskap kan vi si at investering dreier seg om eiendelene på balansens venstreside (realressursene), dvs. om bruk av penger til anleggs- og omløpsmidler. Finansiering, derimot, gjelder pengeanskaffelsen, som har sin regnskapsmessige parallell i balansens høyreside, dvs. gjeld og egenkapital. Regnskapet viser hvordan kapitalinnsatsen fra kreditorer og eiere (finansressursene) har gitt grunnlaget for den virksomhet eiendelene reflekterer. På tross av denne parallell til regnskapsfaget, er det markante forskjeller mellom finans og regnskap. Eksempelvis er det å sette opp resultatregnskap og balanse en form for historieskriving, der en ser bakover i tid og beskriver dagens økonomiske situasjon ut fra det som er skjedd i foregående perioder. Finans, derimot, er et beslutningsorientert fag, hvor en ser fremover i tid gjennom pro­ sjektanalysen. Denne videregående læreboken i finans fokuserer på investerings- og finansieringsprosjekters fremtidige kontantstrømmer og gjennomgår metoder for å bestemme usikre kontantstrømmers verdi. Vi skal avgjøre om de økono­ miske prosjektfordelene er større enn ulempene; dvs. om bedriftens verdi vil stige eller falle; om eierne blir rikere eller fattigere; om prosjektene er lønn­ somme eller ulønnsomme. Med nøyaktig samme utgangspunkt har du allerede lært flere måter å gå frem på for å undersøke nettopp dette. Spesielt nåverdi- og internrentemetodene er sentrale verktøy (se f.eks. Bøhren og Gjærum (B&G) kap. 7). Den viktigste egenskapen ved begge metoder ligger i diskonteringsprinsippet. Gjennom dette kan en legge sammen beløp som refererer seg til ulike tidspunkter og dermed ta hensyn til tidsdimensjonen. Hvis første kjennetegn ved finansprosjekter er at konsekvensene er spredt ut over flere perioder, kan en trygt kalle kjennetegn nr. 2 for usikkerhetsdimensjonen. Bare i unntakstilfeller vet en på beslutningstidspunktet nøyaktig hva fremtidig kontantstrøm vil bli. Vanligvis har en bare mer eller mindre gode anslag (estimater, prognoser) for fremtidig pris, solgt volum, driftsutbetalinger, etc. Dermed blir også netto kontantstrøm usikker, og beslutningen om å si ja eller nei til prosjektet blir et valg under usikkerhet. Et velkjent eksempel er raffineriprosjektet på Mongstad, hvor de virkelige investeringene ble over ti mil­ liarder kroner høyere enn de som ble estimert (budsjettert) da utbyggingsbeslutningen ble tatt. Denne boken dreier seg hovedsaklig om hvordan usikkerhetsdimensjonen kan bygges inn i prosjektanalysen. For å illustrere med Mongstadtilfellet: Hva kunne Statoil ha gjort for å kartlegge og evaluere prosjektets øko­ nomiske risiko før utbyggingsbeslutningen ble tatt? Tilsvarende problem­ stillinger gjelder usikkerheten i finansieringsprosjekter, hvor en som regel ikke kan regne det som sikkert at f.eks. alle renter og avdrag ved et lån blir betalt. Når vi nå trekker inn usikkerhet i prosjektanalysen, bygger vi videre på alt det du hittil har lært i finans. Derfor kan vi ta utgangspunkt i det velkjente nå­ verdi uttrykket, som sammenfatter det meste av dine eksisterende kunnskaper i prosjektanalyse: I: INNLEDNING OG OVERSIKT

2

(i.i)

T X Nv = y—y ^(l+r)

Her er Xt netto kontantstrøm i periode t, T er prosjektets levetid og r er kapital­ kostnaden (diskonteringsrenten, forrentningskravet, forlangt minsteavkastning, avkastningskrav). En rød tråd i B&Gs bok er at eiernes formue maksimeres dersom bedriften velger mellom prosjekter ut fra nåverdikriteriet (B&G kap. 7.1). Alternativt kan det brukes andre kriterier som er konsistente med nåverdimetoden, slik som spe­ sielle varianter av intemrentemetoden (se B&G kap. 7.3). Størst verdiskapning skjer ved å akseptere de investerings- og finansieringsprosjekter som gir størst, positiv nåverdi. Også under usikkerhet kan prosjektverdien finnes ved en NV-beregning, og nåverdibegrepet kan fortsatt tolkes som et mål på nettooverskudd eller verdi­ økning. Riktignok trengs atskillig ny kunnskap for å kunne utføre usikkerhetsanalyser i praksis, men mesteparten av de prinsipper som ligger bak uttrykk (1.1) kan fortsatt brukes. Vi skal derfor nå innledningsvis se på likheter og for­ skjeller mellom nytt og gammelt.

1.2: USIKKERHET OG PROSJEKTVERDI Under behandlingen av nåverdikriteriet ble det i B&Gs bok (kap. 7.1) påpekt at teller og nevner i uttrykk (1.1) kunne ha to alternative benevningen De kan enten være nominelle (regnet i løpende priser) eller reelle (faste priser). Et viktig poeng i analysen er at når telleren er en nominell kontantstrøm, skal den diskon­ teres med nominell kapitalkostnad. Er derimot kontantstrømmen reell, må også kapitalkostnaden være det. Dette prinsippet om samme benevning i teller og nevner gjelder stadig når vi nå trekker inn usikkerhet i nåverdiberegningen. Usikkerhetsdimensjonen medfører at uansett om vi arbeider med nominelle eller reelle verdier, finnes det to alternative måter å sette opp teller og nevner i NV-uttrykket på. I begge tilfel­ ler må imidlertid usikkerhet tas hensyn til ut fra prinsippet om samme benevning over og under brøkstreken. Vi gjennomgår nå dette poenget ved først å lønnsomhetsberegne et enkelt investeringsprosjekt med sikker kontantstrøm etter skatt. Siden telleren i dette prosjektets NV-uttrykk er sikker, skal også kapitalkost­ naden være lik den risikofrie renten etter skatt, dvs. den avkastning etter skatt kapitalmarkedet gir for sikre finansinvesteringer (f.eks. pengemarkedsrenten etter skatt, se B&G kap. 10.2).

EKSEMPEL 1.1: En skoimportør har nettopp skrevet kontrakt om årlig leveranse av 2.000 par marsjstøvler til Forsvaret i to år. Han vil umiddelbart importere og betale for 4.000 støvler til kr 1 80 pr. par, som Forsvaret i sin tur skal betale kr 220 for, regnet i dagens prisnivå. Det koster kr 1 2 pr. år å lagre et par støvler, og impor1: INNLEDNING OG OVERSIKT

3

tøren regner med å måtte betale 28% skatt på alle innbetalinger og spare 28% skatt på alle utbetalinger. Importøren bruker totalkapitalmetoden (B&G kap. 10.4), slik at kontantstrøm etter skatt beregnes uten hensyn til eventuell gjeldsfinansiering. Kontrakten gir derfor med sikkerhet en netto, reell totalkapitalstrøm etter skatt på (-299.520, 299.520, 288.240), som har internrente på 8%. Leveransen er altså lønnsom så lenge risikofri realrente etter skatt ligger under 8%. Er denne renten eksempelvis 4%, er kontrakten verd ca. kr 3 1 .000.

I eksempel 1.1 innebar prinsippet om lik benevning at når kontantstrømmen er sikker, skal kapitalkostnaden være risikofri. Er derimot kontantstrømmen usik­ ker, betyr samme prinsipp at nevneren må inneholde en risikojustering i tillegg til den rene tidsjustering. Neste eksempel illustrerer dette.

EKSEMPEL 1.2: Et oljeselskap vurderer å bygge ut et Nordsjøfelt. Prosjektet vil strekke seg over 1 5 år, men det er stor usikkerhet både om fremtidig oppstartingstidspunkt, produksjonsprofil, oljepris og driftsutbetalinger. Det er derfor helt umulig å vite i dag hva feltets realiserte kontantstrøm vil vise seg å bli. På beslutningstidspunktet kan m.a.o. hvert fremtidige års netto kontantstrøm sammenlignes med et lotteri som en ikke får vite utfallet av før den tid kommer. På forhånd kan en derfor ikke basere seg på annet enn lotteriets mulige utfall og sjansen for at disse vil inn­ treffe. Selskapet forsøker nå å tallfeste risikoen i kontantstrømmen ved å anslå sannsynligheter for de ulike størrelsene. Eksempelvis tror analysegruppen at en årlig oljeprisvekst på henholdsvis 2% og 4% er like sannsynlige. Videre anslås tre alternative produksjonsprofiler (tilsvarende lite, middels og stort reservoar) med sannsynligheter på henholdsvis 25%, 50% og 25%. Slike usikkerhetsanslag gjøres også for oppstartingstidspunkt og driftsutbetalinger. På basis av alt dette kan vi tenke oss at det beregnes en forventet, nominell totalkapitalstrøm etter skatt (i mill, kroner) på: (-800, -900, 200, 1 30, 600 årlig i ni år, 400, 300, 50) Denne forventede kontantstrømmen er på ingen måte sikker. Den er et veiet snitt av alle mulige lotteriutfall for pris, volum, oppstartingstidspunkt og driftsutbeta­ linger. Derfor kan ikke forventet kontantstrøm si noe om hele det spekter av mulige utfall for netto kontantstrøm som selskapet i virkeligheten står overfor. Med andre ord vet selskapet ikke med sikkerhet at prosjektet vil komme til å gi den forventede kontantstrøm. En rekke både bedre og dårligere utfall er mulige; usikkerheten gjelder til begge sider av forventningsverdiene. Selskapet kan beregne verdien av dette usikre prosjektet ved å diskontere hvert års forventede kontantstrøm og deretter summere disse diskonterte beløp1: INNLEDNING OG OVERSIKT

4

ene til en nåverdi for oljefeltet. Siden telleren i NV-uttrykket består av usikre, tidsfordelte beløp, må derfor kapitalkostnaden i nevneren inkludere både tids- og usikkerhetsdimensjonen. Denne risikojusterte renten belaster derfor prosjektet for en tidskostnad og en risikokostnad. Selskapet gjør dette ved å gi et tillegg på 1 0%-poeng til den nominelle, risikofrie etter skatt renten på 7% (risikofri rente er 10% og skattesatsen er 28%). Risikojustert, nominell totalkapitalkostnad etter skatt er derfor 17% (avrundet), som gir en nåverdi på 415 mill, (internrenten er 22%). Prosjektet gir m.a.o. et flerperiodisk, risikojustert nettooverskudd på 415 mill, og er derfor lønnsomt.

I eksempel 1.2 ble prosjektet belastet for risikokostnad i nevneren ved å øke kapitalkostnaden utover risikofri rente etter skatt. Dette kalles risikojustert rente (RJ) metoden. Det finnes også en annen fremgangsmåte hvor risikojusteringen ikke gjøres i NV-uttrykkets nevner, men i telleren. I denne alternative metoden trekkes altså risikokostnaden direkte fra telleren som et kronebeløp. Vi gjør derfor et fradrag i forventet kontantstrøm som tar hensyn til den usikkerhet som ligger i dette tal­ let. Nettoen som blir igjen etter justeringen kalles sikkerhetsekvivalenten (SE), som er sammenlignbar med en risikofri kontantstrøm. I tråd med prinsippet om lik benevning i teller og nevner diskonteres derfor denne sikkerhetsekvivalenten med risikofri rente. Riktig brukt gir RJ- og SE-metodene samme svar.

EKSEMPEL 1.3: I eksempel 1.2 ble forventet kontantstrøm fjerde året anslått til 600 mill, kroner. Diskontert med en årlig risikojustert rente på 17% er nåverdien av 600 mill, lik 320 mill. Samme svar kan vi få ved først å nedjustere forventet kontantstrøm på 600 mill, til en sikkerhetsekvivalent på 419 mill, dvs. vi trekker fra en risikokost­ nad på 1 8 1 mill, (selve utregningen av denne risikokostnaden går vi ikke inn på her). Diskonteres deretter sikkerhetsekvivalenten med den risikofrie etter skatt ren­ ten på 7%, får vi en nåverdi av fjerde års usikre kontantstrøm på 320 mill, kro­ ner. Dette er samme svar som ved RJ-metoden.

Både RJ-metoden og SE-metoden er i tråd med prinsippet om lik benevning i teller og nevner, og begge fremgangsmåter gir samme verdi av prosjektet hvis de brukes riktig. For å begrense volumet på denne boken vil vi likevel holde oss til RJ-metoden. Dette er egentlig ingen stor begrensning, siden det er lett å bruke SE- metoden når en først behersker tankegangen bak risikojustert rente.

I: INNLEDNING OG OVERSIKT

5

1.3: SENTRALE ANALYSEOPPGAVER VED USIKRE PROSJEKTER Fra eksempel 1.2 kan vi sette opp det generelle uttrykket for verdien av et usik­ kert prosjekt:

NV = ^£ E(Xt\ Sd+RJ)

(1.2)

Her er E(Xt) forventet verdi av den usikre kontantstrømmen i periode t, mens T er antall perioder. RJ er prosjektets risikojusterte rente. Alle uavhengige pro­ sjekter med positiv nåverdi bør derfor aksepteres. Ved gjensidig utelukkende prosjekter oppnås størst verdiøkning ved på vanlig måte å velge prosjektet med høyest, positiv nåverdi. Sammenligner vi nå usikkerhetstilfellet (1.2) med sikkerhetstilfellet (1.1), vil analyse av usikre prosjekter kreve to nye ferdigheter:

1) 2)

Du må lære å beregne forventet verdi av en usikker kontantstrøm. Du må kunne beregne en risikojustert rente som tar hensyn til både tids- og usikkerhetsdimensjonen. RJ skal derfor belaste et fremtidig, forventet beløp med en kostnad både fordi beløpet ikke mottas i dag og fordi det ikke med sikkerhet vil bli mottatt på det fremtidige tidspunktet.

I eksempel 1.2 viste vi bare resultatet av en forventningsberegning uten nær­ mere detaljer. Som du vil oppdage i kapittel 2, er det likevel lett å finne forventet kontantstrøm som en enkel gjennomsnittsberegning, basert på det du allerede vet om kontantstrømmer under sikkerhet. A bestemme kapitalkostnaden RJ er atskillig mer krevende. Metoden sier selv ingen ting om hvordan denne kapitalkostnaden teoretisk bør defineres eller praktisk beregnes. Den viser bare hvordan RJ kan brukes til nåverdiberegning når vi allerede, på en eller annen måte, har greid å tallfeste den. Som nevnt i eksempel 1.2, kan du imidlertid tenke på RJ som summen av risikofri rente etter skatt og et tillegg som skal dekke prosjektets risikokostnad eller -premie (RP): o

(1.3)

Risikojustert rente (RJ) = risikofri rente etter skatt [rf( 1—s)] + risikopremie (RP)

I eksempel 1.2 er rf= 10%, skattesatsen s=28% og RP=10%. Derfor får vi RJ= 17% (avrundet). Eksemplet sa imidlertid ingen ting om hvordan denne risikopremien på 10%-poeng kan beregnes. Siden RJ er en kapitalkostnad, kan vi i alle fall tolke RP som den minimumsøkning i forventet avkastning investor krever av pro­ sjektet fremfor å sette pengene sine i et risikofritt prosjekt som gir rf(l-s) med sikkerhet. Siden det er forholdsvis enkelt å bestemme rf og s, består utfordringen i å bestemme risikopremien (RP) for det enkelte investeringsprosjektet. Det viser seg her nyttig å tenke på RP som produktet av to faktorer: Antall risikoenheter i prosjektet (risikomålet) multiplisert med kostnaden pr. risikoenhet. Skal et prosjekts kapitalkostnad tallfestes, må vi derfor ta stilling til to ting: 1: INNLEDNING OG OVERSIKT

6

■ Hva er relevant risiko, dvs. det riktige målet på usikkerheten i et prosjekt? ■ Hva er korrekt kostnad pr. enhet relevant risiko? Kapitlene 3 og 4 dreier seg nesten utelukkende om mulige svar på disse to spørs­ målene. De svarene vi kommer til å gi kan kalles en moderne måte å gjøre pro­ sjektanalyse under usikkerhet på. I kapitlene 5, 6 og 7 behandles mer tradisjonelle metoder for lønnsomhets­ beregning av usikre prosjekter. I kapittel 5 blir først følsomhetsanalyse repetert og deretter utvidet. Deretter videreføres følsomhetsanalysen til scenarioanalyse. Kapittel 6 tar for seg simulering, mens kapittel 7 behandler beslutningstrær. I disse tre kapitlene om de tradisjonelle metodene legger vi vekt på å vise eventu­ elle sammenhenger til de mer moderne analysemåtene fra kapitlene 3 og 4. Der­ med blir det lettere å se styrker og svakheter ved alle metoder som presenteres i denne boken.

1.4: FINAHSIERINGSPROSJEKTER Kapitlene 2 til 7 dreier seg nesten utelukkende om usikkerhet i prosjektanalyser, hvor poenget er å finne verdien av flerperiodiske, usikre kontantstrømmer. Selv om mange tankeganger og analysemetoder er felles for investering og finansie­ ring, er det lettere å lære seg dette stoffet hvis de to områdene av finans under usikkerhet presenteres hver for seg. Derfor konsentrerer vi oss om investerings­ prosjekter under usikkerhet i kapitlene 2 til 7, hvor vi antar at beslutningen om finansiering av investeringene allerede er tatt. Det vil imidlertid bli klart etter hvert at de analysemetoder du lærer i disse seks kapitlene er like nyttige ved valg mellom usikre finansieringsprosjekter, som gjennomgås i kapitlene 8 til 12. Disse kapitlene vil i sin tur ta investeringsbeslutningene for gitt, slik at spørsmålet er hvordan bestemte eiendeler (investe­ ringsprosjekter) skal finansieres på best mulig måte. Dette er det samme som å undersøke hvordan det kan skapes verdier for eierne på balansens høyreside, dvs. effekter av finansiering på eiernes formue. Med dette utgangspunktet om verdimaksimering for eierne skisserer kapit­ tel 8 de viktigste problemstillingene i finansieringsfaget. Deretter gir kapittel 9 en oversikt over de vanligste finansieringsformer norske bedrifter kan velge mellom. Vi gjennomgår først fire hovedkilder for langsiktig lånefinansiering: Banklån, obligasjonslån, konvertible obligasjoner og obligasjoner med aksjekjøpsrett. Stoffet om egenkapital i kapittel 9 gjennomgår hovedtrekk ved sys­ temet for første- og annenhåndssalg av aksjer. Andre betegnelser på dette er hhv. emisjons- og børsomsetning eller hhv. primær- og sekundærmarkedet. Dessuten analyseres verdiberegning for tegningsretter samt verdieffekter av utbytteaksjer, aksjesplitter og fondsemisjon. Kapittel 10 viderefører dette og viser hvordan finansieringsbeslutninger (dvs. valg mellom finansielle instrumenter) påvirker forventning og risiko i eier­ nes kontantstrøm. Kapittel 11 spør så om også verdien av eiernes kontantstrøm (pr. investert krone) endrer seg med finansieringsformen. Er svaret nei, spiller 1: INNLEDNING OG OVERSIKT

7

det ingen rolle hvordan eiendelene er finansiert. En høy gjeldsgrad er i så fall like god som en lav, og finansledelsen behøver ikke bekymre seg om selskapets kapitalstruktur, dvs. om forholdet mellom gjeld og egenkapital. Ei heller trenger noen være spesielt opptatt av alternative sammensetninger av total gjeld (f.eks. kortsiktig kontra langsiktig) eller total egenkapital (f.eks. internfinansiering kon­ tra nyemisjon). Hvis derimot finansieringsbeslutninger har verdieffekt, betyr det at visse finansieringsprosjekter har positiv nåverdi. Da vil én bestemt kapitalstruktur være bedre enn en annen, og visse lån kan være gunstigere enn andre. F.eks. kan det vise seg at en aksjonærs formue stiger når selskapet bytter ut et gammelt banklån med et nytt obligasjonslån eller endrer gjeldsandelen fra 60% til 40% gjennom nyemisjon av aksjer og nedbetaling av gjeld. Tilsvarende kan da andre finansieringsprosjekter ha negativ nåverdi, f.eks. hvis gjeldsandelen økes fra 50% til 70% og dette låneopptaket brukes til å øke dividenden, dvs. som utbytte betalt til aksjonærene. I slike situasjoner er det viktig for finansledelsen å forstå hva det er som påvirker denne avhengigheten mellom finansieringsform og sel­ skaps verdi. Det viser seg i kapitlene 11 og 12 at finansieringens verdieffekt blant annet avhenger av skattereglene. I en idealisert verden uten skatter skal vi se at finan­ sieringsbeslutninger aldri har positiv nåverdi. Økt gjeld vil imidlertid alltid skape verdi for eierne dersom bare bedriftene (men ikke investorene) betaler skatt, og det dessuten gis skattefradrag for gjeldsrenter (men ikke for utbetalt dividende). Hvis imidlertid både selskap og investor er skattepliktige (som i de aller fleste land), er det mer komplisert å avgjøre om finansiering har verdieffekt og hvor stor denne eventuelle virkningen er. I kapittel 13 fjernes skillet mellom investering og finansiering, og begge beslutninger analyseres samtidig. Da ser vi nærmere på hva slags verdimessige koplinger det kan være mellom anskaffelse og bruk av kapital. Vi gjennomgår ulike metoder for å analysere slike pakker av investerings- og finansieringspro­ sjekter, dvs. situasjoner der den økonomiske effekten av investeringsprosjektet og finansieringsprosjektet sees på som en helhet. Kapittel 14 analyserer bedrifters dividendebeslutninger Dette emnet gri­ per inn i finansieringen, siden utbetalt dividende (utbytte) reduserer bedriftens tilbakeholdte overskudd (internfinansieringen). Større dividende øker derfor behovet for ekstern finansiering (ny gjeld og ny egenkapital), gitt at selskapet ikke samtidig reduserer investeringsaktiviteten. Kapittel 14 undersøker mulige verdieffekter av dividendebeslutningen, dvs. om eiernes formue kan påvirkes av om selskapet betaler lavt eller høyt utbytte. På samme måte som for gjelds­ graden viser det seg at dividendepolitikk ikke har verdieffekt under idealiserte betingelser. Reglene for dividendebeskatning kan i noen tilfeller endre denne konklusjonen, men ikke alltid. Samtidig viser det seg at dersom dividenden bru­ kes som et signal fra ledelsen til aksjonærene om selskapets fremtidige inntjeningspotensiale, kan eiernes formue bli påvirket hvis selskapet endrer dividendepolitikken.

1: INNLEDNING OG OVERSIKT

8

Kapittel 15 tar for seg opsjoner, dvs. kontrakter som gir eieren en rett, men ikke plikt, til å kjøpe eller selge eksempelvis en aksje. Det legges størst vekt på å forstå intuisjonen i opsjonsprismodeller. Vi bruker også disse modellene på vel­ kjente problemstillinger fra tidligere kapitler i boken, slik som å fastsette ver­ dien av bedriftens egenkapital og gjeld. I det avsluttende kapittel 16 vil vi oppsummere boken ved å utdype og inte­ grere en del hovedpoenger.

1: INNLEDNING OG OVERSIKT

9

1.5: OPPGAVER OPPGAVE 1.1 Skoimportøren i lærebokens eksempel 1.1 står overfor den sikre totalkapitalstrømmen (-518.400, 299.520, 282.240), som er regnet i faste priser etter skatt. Selskapet velger å bruke en risikofri realrente på 4% etter skatt.

a

Hvilken tidskostnad blir prosjektet belastet for, regnet i kroner på tidspunkt null?

Anta i stedet at selskapet mener den virkelige risikofrie realrenten etter skatt er 5%.

b c

Hvordan slår dette ut i form av endret tidskostnad? Tegn en figur som viser tidskostnaden som funksjon av risikofri rente etter skatt.

OPPGAVE 1.2 Oljeselskapet i lærebokens eksempel 1.2 har anslått følgende forventede totalstrøm etter skatt (i nominelle mill, kroner) for det nye feltet: (-800, -900, 200, 130, 600 årlig i 9 år, 400, 300, 50).

Nominell risikofri rente etter skatt er 7%, men selskapet vil bruke et risikotillegg på 10%-poeng ut fra den usikkerhet som ligger i den budsjetterte kontantstrømmen. a b

Hvilken tids- og risikokostnad blir tredje års kontantstrøm belastet for? Hva er de totale tids- og risikokostnader i prosjektet?

OPPGAVE 1.3 En murmester vurderer å kjøpe en eldre boligeiendom på Tøyen i Oslo. Planen er å sitte med den i tre år, for deretter å tilby den for salg til Oslo Byfornyelse. Regnet i millioner kroner har murmesterens advokat anslått nominell egenkapitalstrøm etter skatt til (-8, -1, 0, 17). På grunn av akkumulerte underskudd fra tidligere år regner murmesteren ikke med å komme i skatteposisjon i løpet av prosjektets levetid. Renten på sikre investeringer med tilsvarende løpetid (statsobligasjoner) er 10%, men både murmester og advokat er i tvil om hvor stort risikotillegget bør være. a b

Er investeringen lønnsom hvis risikotillegget er 5%-poeng? Hva er det maksimale risikotillegget prosjektet kan tåle før det blir ulønnsomt?

Prosjektet blir igangsatt, og realisert (virkelig) egenkapitalstrøm (i mill, nomi­ nelle kroner etter skatt) viser seg å bli: (-8, -3, 2, 13). 1: INNLEDNING OG OVERSIKT

10

c d

e

Greide prosjektet å tjene inn risikotillegget på 5%-poeng? Ville murmesteren på beslutningstidspunktet ha vært bedre tjent med å kjøpe statsobligasjoner, gitt det han nå vet? Riktig svar på d er ja. Betyr dette at murmesteren tok en dårlig beslutning da han bestemte seg for å kjøpe huset på Tøyen?

OPPGAVE 1.4 AS Progress ønsker å lånefinansiere 60% av en nyinvestering på 100 mill, kro­ ner. Selskapet har nå fått tilbud fra en bank som vil dekke halvparten av denne nye gjelden. Betingelsene er 12% rente, annuitet og årlige etterskuddsbetalinger over 10 år. AS Progress er en skattefri institusjon. a

Beregn kontantstrømmen til dette lånet og avgjør om den er reell eller nominell.

Den risikofrie renten på tilsvarende lån er 9%. b

Hvilken risikokostnad blir AS Progress belastet for av denne banken, reg­ net som en nåverdi?

1: INNLEDNING OG OVERSIKT

11

FORVENTET KONTANTSTRØM 2.1: BEREGNING AV FORVENTET KONTANTSTRØM 2.2: OPPGAVER

2.1: BEREGNING AV FORVENTET KONTANTSTRØM For å beregne prosjektverdi ifølge RJ-metoden i (1.2) trengs en forventet kon­ tantstrøm i telleren. Vi gjennomgår nå et eksempel som i detalj viser hvordan dette kan gjøres.

EKSEMPEL 2.1: I oljefelteksemplet 1.2 hadde selskapet beregnet en netto, forventet totalkapital­ strøm etter skatt på 1 30 mill, kroner det tredje året, regnet i faste priser. La oss se hvordan dette tallet er fremkommet. Analysegruppen mener det er 60% sjanse for en oljepris på kr 1 50 pr. fat og 40% sjanse for å oppnå kr 100. Solgt kvantum antas å bli 9 mill, fat uansett salgspris. Videre tror de det er 70% sjanse for høye årlige driftsutbetalinger på 500 mill, og 30% sjanse for lave driftsutbetalinger på 400 mill. De er temmelig sikre på at investeringene vil bli 200 mill, i år 3 og at økning i arbeidskapital blir 50 mill, uansett solgt kvantum. Avskrivningene blir 300 mill, og skattesatsen er 80% (spesielle skatteregler for oljeutvinning). Alle disse beløpene er i faste pri­ ser, og selskapet bruker totalkapitalmetoden. I tabell 2.1 er oljepris (O) og driftsutbetalinger (D) eksplisitt satt opp som usi­ kre størrelser med to mulige utfall for hver. La oss bruke begrepet tilstand om mulige kombinasjoner av O og D. Dermed er det fire mulige tilstander med hver sin sannsynlighet. TABELL 2.1: Tilstander og sannsynligketer i oljefelteksemplet. Tilstand

O jepris(O)

Driftsutbetali ng( D)

2 3 4

150 100 150 100

500 mill. 500 " 400 " 400 "

Sannsyn 1 ighet

0,42 0,28 0,18 0,12

(0,6-0,7) (0,4-0,7) (0,6-0,3) (0,4-0,3)

Sannsynligheten for en bestemt tilstand er simpelthen produktet av enkeltsannsynlighetene for O og D. Eksempelvis er det, i tilstand 2, 40% sjanse for 0=100 og 70% sjanse for D=500. Sannsynligheten for både 0=100 og D=500 blir dermed 0,4-0,7=0,28. Denne enkle sammenhengen holder alltid så lenge det ikke er avhengighet (korrelasjon) mellom de variablene som bestemmer tilstan­ den (korrelasjonsbegrepet skal vi gå nøye inn på i kapitlene 3 og 4). Siden en og bare en av de fire tilstandene vil inntreffe, må også summen av tilstandssannsynlighetene være lik 1 (100% sjanse for at en av de fire tilstandene inntreffer). Dermed har vi definert de fire mulige tilstandene og tallfestet sjansen for at de vil inntreffe. Neste skritt er å beregne utfallet for total kontantstrøm etter skatt i hver av de fire tilstandene. Dette kan gjøres som i tabell 2.2.

2: FORVENTET KONTANTSTRØM

14

TABELL 2.2: Utfall i ol/eeksemplet. Alle beløp i reelle mill, kroner.

Tilstand 1

1 . Salgsinnbetaling 2. Driftsutbetaling 3. Investering 4. Ny arbeidskapital 5. Avskrivninger 6. Skattbart overskudd 7. Skatt 8. Kontantstrøm etter skatt

9. Sannsynlighet

Ti stand 2 Tilstand 3 Tilstand 4

1.350 500 200 50 300 550 440 160

900 500 200 50 300 100 80 70

1.350 400 200 50 300 650 520 180

900 400 200 50 300 200 160 90

42%

28%

18%

12%

Tabell 2.2 illustrerer flere generelle poenger. For det første viser den at alt du tid­ ligere har lært om kontantstrømmer er like relevant under usikkerhet. Eksempelvis kommer avskrivninger (linje 5) bare inn ved beregning av skattbart overskudd, mens investeringer og økt arbeidskapital (linje 3 og 4) gir ekstra utstrømmer som ikke påvirker skattbart overskudd. Kontantstrøm etter skatt (linje 8) er salgsinnbetaling (linje 1) minus driftsutbetaling (linje 2) minus investering (linje 3) minus ny arbeidskapital (linje 4) minus skatt (linje 7). Hvis du er usikker på hvordan kon­

tantstrøm etter skatt beregnes, bør du repetere B&G kap. 5. Tabellen viser for det andre at sikre variable kjennetegnes ved tilstandsuavhengighet (samme utfall i alle tilstander). Her gjelder dette investering, ny ar­ beidskapital og avskrivninger. Salgsinnbetaiinger og driftsutbetalinger, derimot, er usikre og har derfor ikke samme utfall i alle fire tilstander. Dette fører til at også andre variable som helt eller delvis bestemmes av O og D får tilstandsavhengige utfall. I tabellen gjelder dette skattbart overskudd, skatt og kontantstrøm etter skatt. Tabell 2.2 viser også et tredje poeng. Det vi egentlig er interessert i er linje 8, som viser kontantstrøm etter skatt i de alternative tilstandene. Det er fire mulige utfall for kontantstrømmen; fra 70 som laveste via 90 og 160 til 1 80 som det høyeste. Sammenstilles dette med sannsynlighetene for hver tilstand i linje 9, får vi en sannsynlighetsfordeling for kontantstrøm etter skatt som vist i tabell 2.3.

2: FORVENTET KONTANTSTRØM

15

TABELL 2.3: Sannsynlighetsfordeling og beregning av forventet verdi for reell, total kontantstrøm etter skatt i oljefelteksemplet. Alle kronebeløp i millioner. Tilstand 1 2 3 4

Utfall 160 70 180 90

Sannsynlighet 0,42 0,28 0,18 0,12

Utfall • Sannsynlighet 67,2 19,6 32,4 10,8 Forv. = 1 30,0

Sannsynlighetsfordelingen består av utfalls- og sannsynlighetskolonnene. Den viser at i år 3 vil det være 28% sannsynlighet for at dette oljefeltet gir netto kon­ tantstrøm etter skatt på 70 millioner. Det er 1 2% sjanse for 90 mill, 42% for 1 60 mill, og 1 8% for ] 80 mill. I høyre kolonne har vi beregnet forventet, total kontantstrøm etter skatt. Hvert utfall multipliseres (veies) med sine respektive sannsynligheter, og deretter sum­ meres disse produktene. Forventningen viser derfor et slags gjennomsnittlig utfall. Legg merke til at dette ikke er et vanlig aritmetisk gjennomsnitt hvor hvert utfall til­ legges like stor vekt; her er vektene bestemt av sannsynligheten for utfallet. Jo større tallverdi av et utfall og jo mer sannsynlig det er, desto mer vil det bidra til forventet verdi. Forventningen uttrykker derfor noe om sentraltendensen eller tyng­ depunktet i fordelingen. Derimot forteller forventningen ingen ting om fordelingens spredning eller risiko, dvs. om spekteret av mulige utfall.

I eksempel 1.2 så vi på ett bestemt år i løpet av prosjektets levetid. Nøyaktig samme fremgangsmåte kan brukes i alle andre perioder. Den forventede kon­ tantstrømmen etter skatt som er oppgitt i eksempel 2.1 er derfor resultatet en får hvis samme fremgangsmåte brukes på alle de 14 øvrige årene. Forventet verdi av en fordeling kan derfor alltid finnes ved først å beregne utfallet i hver tilstand, veie disse utfallene med sannsynlighetene og deretter summere produktene: s

(2.1)

E(X) =

X X(s)Pr(s) S=1

Her er X den usikre variabel, E betegner forventning (fra engelsk expectation), S er antall mulige tilstander (engelsk state), X(s) er den usikre variabels utfall i til­ stand s, mens Pr(s) er sannsynligheten (engelsk probability) for at tilstand s skal inntreffe. I eksempel 2.1 var X lik total kontantstrøm etter skatt på tidspunkt 3 og antall tilstander S var 4. Utfallene var X(l)=160, X(2)=70, X(3)=180 og X(4)=90, mens sannsynlighetene var Pr(l)=0,42, Pr(2)=0,28, Pr(3)=0,18 og Pr(4)=0,12. Dette gir E(X)=130 mill, ifølge formel (2.1).

2: FORVENTET KONTANTSTRØM

16

Senere i denne boken får vi behov for å beregne forventet avkastning for en portefølje av finans- eller realinvesteringer, dvs. en kombinasjon av to eller flere eiendeler. Før vi i eksempel 2.2 viser at det er lett å beregne forventet avkastning for hele porteføljen dersom vi kjenner forventet avkastning for den enkelte eiendel i porteføljen, skal vi først illustrere beregning av prosentvis aksjeavkastning og utbyttebeskatning. Prosentvis avkastning for en aksje finnes ved å summere periodens kurs­ gevinst og dividende (utbytte), for deretter å dividere denne summen med kur­ sen ved periodens begynnelse. Hvis en aksje kjøpes for 200 kroner, selges for 220 og opptjener en dividende på 10 kroner, er avkastningen 15%. Må investor betale 5 kroner i skatt på kursgevinst og dividende, er avkastningen etter skatt lik 12,5%. Skattereglene er pr. 1993 at investor ikke betaler skatt på mottatt utbytte, mens kursgevinst beskattes med 28%. Kurstap gir tilsvarende fradragsrett. For å gjøre fremstillingen enklest mulig ser vi foreløpig bort fra skatt.

EKSEMPEL 2.2: En investor skal kjøpe aksjer for 50.000 kroner og planlegger å sitte med dem i ett år. Hun har bestemt seg for å kjøpe Orkla-aksjer for 25.000 (dvs. 50% av den totale aksjeinvesteringen), Aker-aksjer for 10.000 (20%) og Saga-aksjer for resten (30%). Hun tror det er omtrent 1 0% sjanse for laber børsaktivitet (svak ver­ distigning) og 90% sjanse for en aktiv børs (stor verdistigning) neste år, og at de tre aksjenes avkastning (i %) vil bli som i tabell 2.4.

TABELL 2.4: Avkastn/ng for tre enkeltaksjer under hhv. laber og aktiv børs. Alle tall i %.

Laber børs

Aktiv børs

Forventning

Orkla Aker Saga

8,0 5,0 9,0

10,0 15,0 1 1,0

9,8 14,0 10,8

Portefø jen

7,7

1 1,3

10,9

10

90

Sannsynlighet

I dette eksemplet er det to tilstander med sannsynlighet 10% og 90% for hen­ holdsvis liten og stor aktivitet på børsen. Ut fra andelene investert i hvert av de tre selskapene (50%, 20% og 30%) har vi i tabellens fjerde linje beregnet porte-

føljens avkastning i de to tilstandene: Laber børs: 0,5-0,08 + 0,2-0,05 + 0,3-0,09 = 0,077 Aktivbørs: 0,5-0,10 + 0,2-0,15 + 0,3-0,1 1 = 0,1 1 3 2: FORVENTET KONTANTSTRØM

17

(7,7%) (1 1,3%)

Dermed kan vi bruke formel (2.1) til å beregne forventet porteføljeavkastning til høyre i tabellens linje 4: E(Porteføljeavkastning)

=0,077-0,1 +0,113-0,9 = 0,109 (10,9%)

Forventet porteføljeavkastning kan imidlertid også beregnes direkte fra hver enkeltaksjes forventede avkastning. Derfor har vi i tabellens høyre kolonne beregnet forventet avkastning for hver enkeltaksje fra formel (2.1). Multipliseres nå disse forventningsverdiene med andelen investert i hvert av de tre selskapene, får vi: EfPorteføl jeavkastning)

= 0,5-0,098 + 0,2-0,14 + 0,3-0,108 = 0,109 (10,9%)

Dette er samme svar som vi tidligere fikk ved å regne ut porteføljeavkastningen i hver tilstand og deretter beregne forventningen. Denne fremgangsmåten er imid­ lertid ofte mer tungvint og heller ikke alltid mulig å bruke. Tenk deg for eksempel en investor som får vite at en aksjemeglers prognoser for neste års forventede avkastning på aksjer i Orkla, Aker og Saga er henholdsvis 6%, 1 1 % og 16%. Hun vet forøvrig ingen ting om de sannsynlighetsfordelingene som ligger bak disse forventningsverdiene og kan derfor heller ikke beregne porteføljeavkast­ ning i hver tilstand. Like fullt kan hun lett beregne forventet avkastning for sin por­ tefølje basert på meglerens prognose:

E(Porteføljeavkastning)

=0,5-0,06 + 0,2-0,11 +0,3-0,16 = 0J (10%)

Fra eksempel 2.2 kan vi sette opp forventet avkastning for en portefølje av enkelteiendeler: N

(2.2)

E(X) = £ WiE(X,) i=l

Her er X den usikre porteføljeavkastningen, E betegner fortsatt forventet verdi på den usikre størrelsen, N er antall eiendeler i porteføljen, w, er andelen inves­ tert i eiendel nr. i, mens X, er den usikre avkastningen på eiendel i. I siste del av eksempel 2.2 var X lik avkastningen på en portefølje av N=3 selskapers aksjer, w,=0,5, w =0,2 og w3=O,3, mens EiX^OXtø, E(Xj=0,ll og E(X3)=O,16. Inn­ satt i formel (2.2) gir dette en forventet porteføljeavkastning på 10%. Vi har nå gjennomgått de redskaper du trenger for å beregne forventet verdi. Fremgangsmåten er den samme enten det gjelder absolutte beløp ( som kontantstrøm­ mer) eller relative størrelser (som prosentvis avkastning). Dermed er vi ferdige med telleren i RJ-metoden og fortsetter i de to neste kapitlene med nevneren. 2: FORVENTET KONTANTSTRØM

18

2.2: OPPGAVER OPPGAVE 2.1 Ledelsen i en sykkelfabrikk planlegger neste års virksomhet, hvor det særlig er salgspris og variable kostnader som er usikre. Basert på tidligere års erfaringer tror ledelsen at salgspriser på 1.200 og 1.500 kroner har sannsynligheter på hhv. 0,8 og 0,2. Variable enhetskostnader på 400 og 500 kroner antas å ha hhv. 40% og 60% sannsynlighet, og det er lite som tyder på noen sammenheng mellom pris og variable kostnader. a b c

d e f

Beregn sannsynlighetsfordelingen for neste års dekningsbidrag pr. sykkel. Tegn histogrammet til denne fordelingen. Hva er sannsynligheten for å oppnå et dekningsbidrag på minst kr 1.000 pr. sykkel? Hvor stor er sjansen for at dekningsbidraget blir maksimum kr 800 pr. syk­ kel? Hva er forventet dekningsbidrag pr. sykkel? Hva er sjansen for å få et dekningsbidrag som er større enn forventet verdi?

OPPGAVE 2.2 Sykkelfabrikanten i oppgave 2.1 forventer å selge 400.000 sykler neste år. Kort­ siktig varegjeld vil bli økt med 30 mill, kroner, og det kreves en nyinvestering på 20 mill. Avskrivningene blir 40 mill, rentebetalingene 10 mill, og avdragene 50 mill. Selskapet betaler 28% skatt, og faste betalbare kostnader er 90 mill.

a

b c

Beregn sannsynlighetsfordelingen til sykkelproduksjonens (totale) kon­ tantstrøm etter skatt i neste periode. Beregn sannsynlighetsfordelingen til egenkapitalstrømmen etter skatt i neste periode. Beregn forventet kontantstrøm, totalt og til eierne.

OPPGAVE 2.3 En aksjemegler har gjort følgende prognose for neste års avkastning i tre selska­ per (tilstandene og sannsynlighetene refererer til alternative vekstrater i nasjo­ nalproduktet):

Gyldendal (G) Tomra (T) BNbank (B) Sannsynlighet

a

Tilstand 1

Tilstand 3

Tilstand 4

20% 8% 12% 40%

15% 8% 10% 10%

10% 5% 10% 50%

Beregn forventet avkastning for hver av de tre aksjene.

2: FORVENTET KONTANTSTRØM

19

Megleren får besøk av en student som vil bruke kr 10.000 av sitt studielån på disse tre aksjene. Studenten rådes til å bruke 5.000 på Gyldendal, 2.000 på Tomra og resten på BNbank.

b c d e f

Beregn %-vis porteføljeavkastning i hver tilstand. Finn forventet porteføljeavkastning på to alternative måter. Hva er forventet kontantstrøm på salgstidspunktet hvis aksjene selges etter ett år? Hva blir forventet avkastning (i %) dersom studenten kjøper en likeveid portefølje, dvs. bruker samme beløp på hver av de tre aksjene? Hvilken porteføljestrategi (dvs. hvilke vekter) gir hhv. høyest og lavest for­ ventet avkastning? Er dette også hhv. beste og dårligste investeringsalternativ for studenten?

RELEVANT PROSJEKTRISIKO 3.1: PROSJEKTRISIKO SETT MED EIERNES ØYNE 3.2: PORTEFØUERS RISIKOMÅL 3.3: RISIKOHOLDNING OG RISIKOKOMPENSASJON 3.4: RELEVANT RISIKO FOR VELDIVERSIFISERTE PORTEFØUER OG FOR ENKELTAKSJER 3.5: DIVERSIFISERBAR OG IKKE-DIVERSIFISERBAR RISIKO 3.6: OPPGAVER

3.1: PROSJEKTRISIKO SETT MED EIERNES ØYNE I likhet med finansbøker flest antar vi at målsettingen med prosjektbeslutningene er å gjøre det best mulig for eierne, dvs. å maksimere verdien av innskutt egen­ kapital (B&G kap. 7.1). Siden vi har eiernes interesser i fokus, må også risiko vurderes fra eiernes synsvinkel. Relevant prosjektrisiko er derfor den usikkerhet som har betydning for eierne av den bedriften som vurderer et prosjekt. Om eksempelvis Akergruppens ledelse planlegger å trappe opp offshoreaktiviteter ved investering i forsyningsskip, er det aksjonærenes risikovurdering av pro­ sjektet vi fokuserer på. Vi skal se at dette utgangspunktet gir en definisjon av relevant risiko som avviker radikalt fra mer tradisjonelle oppfatninger. I denne omgang skal vi imid­ lertid bare gi leseren en intuitiv forståelse for slike konklusjoner. En mer syste­ matisk og omstendelig gjennomgang av disse ideene starter i kapittel 3.2. En aksjonær i f.eks. Aker er deleier i en portefølje av alle selskapets eksis­ terende prosjekter; både finans- og realinvesteringer. Eksempelvis vet vi at sel­ skapet ikke bare driver med sementproduksjon og bygging av oljeplattformer, som var hovedaktivitetene i de tidligere selvstendige selskapene Norcem og Akers Mekaniske Verksted. Selskapet var pr. 01.01.93 organisert i to divisjoner: Sement og byggevarer samt olje- og gassteknologi. Sement og byggevaredivisjonen består av syv selskaper, deriblant Norcem, Aker Betong og Aker ExClay. Gjennom disse tre selskapene er Aker engasjert i virksomheter med betydelige eiendeler. I tillegg til den tradisjonelle sementpro­ duksjonen i Norcems anlegg i Brevik og Kjøpsvik kommer ferdigbetong og betongelementer (Aker Betong) samt byggevarer (Aker ExClay, som i sin tur bl.a. eier Norsk Leca og Norsk Tegl). Olje- og gassteknologi divisjonen omfatter bl.a. oljebasevirksomhet (Aker Base), undervanns produksjonsanlegg (Aker Subsea) og ikke minst prosjektering og prosjektledelse (Aker Engineering). Mest kjent er kanskje likevel Akers store engasjement innen offshore oljeplatt­ former. Norwegian Contractors har spesialisert seg på betongplattformer, mens verkstedbedriftene Aker Stord og Aker Verdal sikrer selskapet et fortsatt enga­ sjement i mekanisk industri gjennom bygging av bl.a. stålunderstell og ståldekk. Når ledelsen i Aker skal vurdere risikoen i f.eks. et påtenkt forsyningsskip i Nordsjøen, vil det ikke være riktig å se dette skipsprosjektet risikomessig isolert fra resten av selskapet. Aksjonærene er bare interessert i hvordan det nye pro­ sjektets risiko passer sammen med alle andre prosjekter i selskapet. Det avgjør­ ende for eieren er ikke hvor usikker det nye prosjektets avkastning er isolert sett. Det som spiller noen rolle er hvordan avkastningen på skipsprosjektet samvarierer med avkastningen på de andre prosjektene. Uansett om prosjektet virker svært risikabelt vurdert alene, kan relevant risiko være ubetydelig dersom pro­ sjektet typisk gir god avkastning når resten av selskapet går dårlig. Jo mer et prosjekt bidrar til å stabilisere den samlede avkastning på alle prosjektene, desto mindre er dets relevante risiko. Det er f.eks. mulig at det påtenkte forsyningsskipet typisk gir dårlig inntje­ ning ved lav oljepris (liten Nordsjøaktivitet) og stor inntjening når oljeprisen er høy (stor Nordsjøaktivitet). Vurdert som et enkeltstående prosjekt virker det der3: RELEVANT PROSJEKTRISIKO

22

for svært usikkert. Anta imidlertid at sement- og byggevaredivisjonen i Aker normalt går best når oljeprisen er lav (olje er en viktig innsatsfaktor i svært mye innenlandsk virksomhet). I så fall vil det nye skipsprosjektet kunne stabilisere Akers samlede kontantstrøm, siden prosjektet gir høy inntjening når selskapet ellers tjener lite. Prosjektet fremstår dermed som atskillig mindre risikabelt enn hvis det vurderes separat. Ut fra dette er det ikke opplagt at en isolert prosjektvurdering gir økono­ misk fornuftige beslutninger. Prosjektet bør vurderes sammen med andre pro­ sjekter, og prosjektets risiko i seg selv er derfor ikke interessant. Det viktige blir hvordan det nye forsyningsskipet bidrar til hele prosjektporteføljens (Akers) risiko. Et annet eksempel på det samme har vi i den tidligere Norcem-delen av konsernet, som har lange tradisjoner i sement og byggevarer. I en del år før fusjonen utvidet imidlertid Norcem sin virksomhet til nye produkter og marke­ der, bl.a. et stort engasjement på tjenester og utstyr i oljebransjen. Isolert sett betraktes denne bransjen av mange som risikofylt. Men risikoen i dette engasje­ mentet kan ikke vurderes alene. Det er godt mulig at Norcems totalresultat ble mer stabilt etter selskapets satsing innen petroleum fordi de nye prosjektene ikke fulgte konjunkturene på samme måte som eksisterende virksomhet. Fusjonen med Aker 1. januar 1987 har nok endret dette bildet. Siden den tidligere Aker-gruppens hovedaktiviteter var såpass sterkt rettet mot oljevirk­ somhet, er trolig det nye selskapet mer utsatt for oljeprisendringer enn hva det tidligere Norcem var. Et nytt forsyningsskipsprosjekt lansert etter fusjonen er nok mer riskabelt enn hva prosjektet ville ha vært i det tidligere Norcem. En aksjonær i Aker eier imidlertid ofte aksjer også i andre selskaper. Eksempelvis er hun også deleier i Norsk Hydro, Elkem, Dyno, Rieber, Bergesen d.y., Saga og Nordlandsbanken. Vår aksjonær har altså selv en portefølje av aksjer som hver for seg gir eiendomsrett til en rekke ulike prosjekter. Dermed er aksjonæren deleier i en enorm mengde aktiviteter som omfatter mange av de viktigste næringene i hele Norge. Hvis den typiske aksjonæren i Aker er slik, kan ikke ledelsen nøye seg med bare å se det nye forsyningsskipet i risikomessig sammenheng med alle andre prosjekter innen Aker. Relevant risiko får en først bestemt ved å se forsyningsskipet sammen med alle andre prosjekter i alle andre selskaper aksjonæren deltar i. Sett med hennes øyne er nemlig dette den eneste risikoen hun påvirkes av. I det aller meste av kapitlene 3 og 4 vil vi ha en diversifisert eier i tankene, dvs. en som sprer sine investeringer over mange selskaper (ikke legger alle egg i samme kurv). Følge­ lig bedømmes et prosjekts risiko ut fra dets virkning på eierens totale portefølje. Først i kapitlene 5-7 tar vi opp risikoanalyse for eiere som ikke sprer sine inves­ teringer over mange selskaper. Relevant prosjektrisiko er det nye prosjektets bidrag til usikkerheten i eier­ ens aksjeportefølje. Dette risikomålet har tydeligvis noe å gjøre med samvaria­ sjon (korrelasjon) mellom prosjekter. Det må m.a.o. vise hva som normalt skjer med inntjeningen i det nye prosjektet når de andre i gjennomsnitt går bra eller dårlig. 3: RELEVANT PROSJEKTRISIKO

23

Hvordan skal vi så beregne relevant risiko? Heldigvis er det ikke så van­ skelig som det kan se ut til dersom forholdsvis mange aksjonærer diversifiserer. Hovedpoenget blir da at relevant risiko for et prosjekt ikke er dets totale risiko målt ved tradisjonelle risikomål som varians eller standardavvik. Det sentrale spørsmålet når et nytt prosjekt sees i sammenheng med mange andre, er prosjek­ tets kovarians (grad av samvariasjon) med all annen økonomisk aktivitet som aksjonæren er involvert i. I kapittel 3.2 skal vi etablere mål på risiko for porteføljer, mens begrepet risikoaversjon defineres og drøftes i kapittel 3.3. Der nærmer vi oss også be­ grepet risikokompensasjon ved å vise empirisk at norske aksjeinvestorer som påtar seg risiko er blitt belønnet for det. Kapitlene 3.4 og 3.5 viderefører dette og ender opp med den såkalte betakoeffisienten som kvantitativt mål på et enkelt­ prosjekts relevante risiko, dvs. den delen av et prosjekts risiko en ikke kan bli kvitt gjennom diversifisering. Dermed er vi klar for kapittel 4, som binder det hele sammen til det vi nå er ute etter: En teori og en praktisk brukbar fremgangs­ måte for å bestemme risikojustert rente i prosjekter med usikre kontantstrøm­ mer.

3.2: PORTEFOLJERS RISIKOMÅL Fra kapittel 3.1 vet vi at det avgjørende for eierne ikke er risikoen i det enkelte prosjekt, men i hele porteføljen. En måte å måle denne usikkerheten på er ved varians eller standardavvik til porteføljens fremtidige avkastning. Variansen eller standardavviket sier noe om spredningen i fordelingen over mulig, frem­ tidig avkastning. Sammen med porteføljens forventede avkastning vil da porte­ føljen være karakterisert både med hensyn til forventet lønnsomhet og risiko (usikkerhet).

EKSEMPEL 3.1: Du har 10.000 kroner som skal plasseres i aksjemarkedet. For ikke å måtte følge med daglig i radio og på næringslivssider i avisene, vurderer du å dele investeringen mellom to aksjefond A og B. Et aksjefond bruker sine midler til å kjøpe verdipapirer i en rekke andre selskaper. En aksje (andel) i et slikt fond er derfor egentlig en portefølje av mange enkeltaksjer. Eksempler på norske aksje­ fond er Alfred Berg Aksjespar, Avanse, Elcon-lnvest, K-Vekst, NORDFONDFinans og NORDFOND-Pluss. B er et høyrisikofond med nesten alle sine investeringer i såkalte vekstaksjer. Disse er tradisjonelt konjunkturfølsomme og vil normalt stige mye når børsen sti­ ger og falle mye når børsen faller. Slike aksjer kalles medsykliske, og høyteknologiaksjer finnes vanligvis blant disse. A kaller seg et lavrisikofond. En stor andel er plassert i statsobligasjoner, mens resten investeres i aksjer som er motsykliske til de fleste andre selskaper på bør­ sen, dvs. aksjer som normalt vil gå opp når aksjer flest faller og som faller når de fleste går opp. Slike aksjer er sjeldne i praksis, men mulige eksempler er inkas3: RELEVANT PROSJEKTRISIKO

24

sofirmaer og konsulentselskaper med spesialkompetanse på finansielle kriser, akkord og konkursavvikling. Slike selskaper gjør det best når de fleste andre har det magert. Tilsvarende vil oppdragsmengden være liten når næringslivet forøv­ rig gjør det godt. Ut fra innhentede opplysninger setter du opp følgende tabell:

Tilstand

Sannsynlighet, Pr(s)

1 2

0,2 0,5 0,3

3

Avkastning for A, rA

Avkastning for B, rB 0,05 0,20 0,40

0,16 0,12 0,06

Det du er mest interessert i er imidlertid et aksjefond som verken er rent lavrisikofond som A eller rent høyrisikofond som B, men noe midt imellom. La oss anta at du ikke greier å finne et slikt på børsen, og du velger derfor å kombinere A og B i en portefølje, eksempelvis med like mye av din kapital investert i hvert fond, dvs. en såkalt likeveiet portefølje. Da vil du stå overfor følgende sannsynlighetsfordeling for avkastningen på din investering:

Tilstand

Sannsynlighet, Pr(s)

Porteføljeavkastning, rp (likeveiet portefølje)

1 2 3

0,2 0,5 0,3

0,105 0,160 0,230

Her er eksempelvis porteføljeavkastningen i tilstand 3 gitt ved 0,5-0,06 + 0,5-0,40 = 0,23. Forventet avkastning i porteføljen, E(r ), beregnes fra uttrykk (2.1):

E(rp) = 0,2-0,105 + 0,5-0,16 + 0,3-0,23 ' =0,17

Variansen til porteføl/ens avkastning er forventet, kvadrert avvik fra forventnings­ verdien. Før vi går inn på de generelle formlene, gjør vi nå en detaljert, skrittvis beregning for porteføljen med 50% av pengene investert i A og 50% i B:

3: RELEVANT PROSJEKTRISIKO

25

Tilstand

(2) Pr(s)

1 2 3

0,2 0,5 0,3

rP(s)

(4) Pr(s)rp(s)

(5) rp(s)-E(rp)

(6) [rp(s)-E(rp)]2Pr(s)

0,105 0,160 0,230

0,0210 0,0800 0,0690

-0,065 -0,010 0,060

0,000845 0,000050 0,001080

(3)

Efrp) = 0,1700

Var(rp) = 0,001975

Std(rp) = 0,044

Varians og standardavvik i denne tabellen er beregnet slik:

2)

3)

Først beregnes forventet avkastning i fjerde kolonne ved å veie hvert utfall med sannsynligheten og deretter summere. I femte kolonne beregnes, i hver tilstand, avviket mellom utfallet i tilstanden og forventningen fra pkt. f. Eksempelvis: I tilstand 3 er utfallet 0,23. Siden forventet utfall er 0,1 7, blir avviket 0,23-0, f 7, dvs. 0,06. I sjette kolonne kvadreres først det avviket vi beregnet i femte kolonne. Eksempelvis er avviket 0,06 i tilstand 3. Kvadrert avvik er dermed 0,062=0,0036. Dette kvadrerte avviket multipliseres deretter med sannsyn­ ligheten for tilstanden. For igjen å ta tilstand 3, er det kvadrerte avviket 0,0036 og sannsynligheten 0,3. Produktet er derfor 0,00108, som vist i sjette kolonne. Til slutt summeres de sannsynlighetsveide, kvadrerte awikene, og summen er variansen på 0,001975. Standardavviket er kvadra­ troten av dette tallet, dvs. 0,044 (4,4%).

Legg merke til benevningen i eksempel 3.1. Siden vi ser på forventet avkastning av prosentvise utfall, er det prosent som er enheten for E(rp). Standardavviket har alltid samme enhet som forventningen. Derfor har denne porteføljen forven­ tet avkastning på 17% og et standardavvik på 4,4%. Variansen, derimot, har en benevning som det er vanskelig å forholde seg til. Varians, som er standardavviket kvadrert, får nemlig enheten % . Det er derfor vanlig å sette forvent­ ningen opp mot standardavviket når en vil danne seg et bilde av forholdet mel­ lom forventet lønnsomhet og risiko. Alle stokastiske (usikre) variabler har posi­ tivt standardavvik. Har en portefølje høyere standardavvik enn en annen, vil også variansen være større. For flere detaljer om varians- og standardavvikberegninger henviser vi til lærebøker i statistikk, for eksempel side 196-198 i Ben-Horim og Levy (1984) og side 210-212 i Wenstøp (1991) (se appendiks B for fullstendige referanser til disse bøkene). Vi gjengir her bare de formler som ble brukt i eksempel 3.1:

3: RELEVANT PROSJEKTRISIKO

26

s

(3.1)

Var(rp) = £ Pr(s)[rp(s)-E(rp)]2 S=1

(3.2)

Std(rp) = v Vart rj

Så langt har du lært å tallfeste lønnsomhet og risiko i en portefølje. Neste skritt vil bli å se på forholdet mellom disse to målene: Vil en normalt bli kompensert i form av høyere forventet avkastning hvis en tar på seg større risiko? Svaret viser seg å bli tja! Visse former for risiko blir en belønnet for å bære. Andre typer får en ikke betalt for å sitte med fordi usikkerheten kan fjernes nesten gratis ved å diversifisere. Den første risikotypen er den relevante (systematiske, ikke-diversifiserbare) risiko. Den andre typen er den irrelevante (usystematiske, diversifiserbare) risiko.

3.3: RISIKOHOLDNING OG RISIKOKOMPENSASJON Vi ser først på investors holdning til å bære risiko. Dette er utgangspunktet for å bestemme risikokompensasjon, dvs. den forventede avkastning investor får i kapitalmarkedet mot å ta på seg relevant risiko. Anta at vi har tre porteføljer A, B og C med følgende forventede avkast­ ning og standardavvik:

Portefølje

Forventet avkastning,%

Standardavvik,%

A B C

10 10 15

12 16 19

Opplysningene i denne tabellen er vist grafisk i figur 3.1. En risikonøytral investor bryr seg utelukkende om forventet avkastning; ikke om usikkerhet målt ved f.eks. standardavvik. Han er derfor indifferent mel­ lom porteføljene A og B fordi forventet avkastning er den samme (10%) i begge. En risikonøytral investor vil dessuten foretrekke portefølje C fremfor A og B fordi C har høyest forventning (15%). Han krever ikke noen kompensasjon (i form av høyere forventet avkastning) for å bære den høyere risikoen i C (19%) i forhold til A (12%) eller B (16%). Så lenge C har høyest forventning, spiller det ingen rolle hva standardavviket er.

3: RELEVANT PROSJEKTRISIKO

27

FIGUR 3.1: Forventet avkastning og standardavvik for tre porteføljer.

k

Forventet avkastning

10 -

Standard­ avvik

En investor som har risikoaversjon misliker usikkerhet. Han vil derfor bare påta seg risiko hvis han blir tilstrekkelig betalt for det i form av økt forventet avkast­ ning. Siden A har samme forventning som B og lavere standardavvik, vil han derfor foretrekke A, uansett hvor sterk graden av risikoaversjon er. Hvorvidt han også foretrekker C fremfor A avhenger av om han synes betalingen er god nok: Er økningen fra 10% til 15% i forventet avkastning tilstrekkelig til å kompen­ sere økningen i standardavvik fra 12% til 19%? Jo sterkere risikoaversjon, desto høyere forventet avkastning kreves av C for at investor skal foretrekke dette alternativet. De aller fleste av oss har risikoaversjon, dvs. at vi ser på større forventet avkastning som et gode og økende risiko som et onde. Vi observerer også i prak­ sis både at folk tegner forsikring på sine hus og at de sprer sine aksjeinveste­ ringer over flere selskaper. Det er derfor rimelig i det følgende å anta at investor har risikoaversjon. Vi forutsetter altså at investorer misliker risiko; de utsetter seg ikke for økonomisk usikkerhet uten å få noe igjen for det. Hvis en slik antagelse skal være fornuftig, bør det også empirisk være slik at høy risiko faktisk blir kom­ pensert gjennom høy forventet avkastning. En måte å undersøke dette på er ved å sammenligne avkastningen på sikre investeringer med den usikre avkast­ ningen på aksjer. La oss derfor se på den risikofrie renten i forhold til avkast­ ningen på en bredt sammensatt portefølje av aksjer omsatt på Oslo Børs. Avkastningen på en slik bredt sammensatt aksjeportefølje kan enklest beskrives ved endringene i børsindeksen fra ett tidspunkt til neste. Endringene i 3: RELEVANT PROSJEKTRISIKO

28

denne indeksen viser et gjennomsnitt av avkastningen på alle aksjer på Oslo Børs i løpet av en bestemt periode. Risikofrie renter kan tallfestes på flere måter. Renten på kortsiktige bank­ innskudd er ett alternativ, pengemarkedsrenten for kortsiktige plasseringer et annet og den norske interbankrenten (NIBOR) et tredje. I tabell 3.1 er som et fjerde alternativ den risikofrie renten estimert indirekte fra såkalt 1-måneds eurokronerente. TABELL 3.1: Gjennomsnitt og standardavvik for årlig, nominell avkastning i

perioden juni 1988 til juni 1992. Tallene er basert på ukentlige observasjoner og er avrundet til nærmeste hele prosent.

Risikofri rente Aksjeindeks

Gjennomsnitt

Standardavvik

11% 15%

0% 20%

Tabell 3.1 bekrefter at det i denne perioden var en positiv sammenheng mellom risiko og gjennomsnittlig avkastning i det norske kapitalmarked. Målt ved stan­ dardavviket er risikoen klart størst ved aksjer (20% kontra 0% (egentlig 0,3% før avrundning)). Dette forteller at eurokronerenten forandret seg lite fra periode til periode, mens gjennomsnittlig aksjeavkastning svingte langt sterkere. Selv om aksjeavkastningen var mye mer ustabil, var imidlertid den gjennomsnittlige avkastningen klart høyere (15% kontra 11%). Økt risiko ble m.a.o. kompensert gjennom økt gjennomsnittlig avkastning. Tallene i tabell 3.1 er nominelle størrelser. Realavkastningen (se B&G kap. 2.5) i samme periode viser seg å være 7% for risikofrie investeringer og 11% for en bredt sammensatt aksjeportefølje. Både den årlige nominelle og reelle risiko­ premien på børsindeksen (avkastning utover risikofri rente) er derfor 4% (hhv. 15-11 og 11-7). Ved tolkningen av tabell 3.1 er det viktig å være klar over hva vi mener med begrepet risikokompensasjon. Selv om investor kompenseres for å bære risiko, betyr ikke det at høy risiko alltid vil gi høy avkastning. Det er høy forventet avkast­ ning som følger med høy risiko. Hvis du plasserer 10.000 kroner på en tre måne­ ders sparekonto, er pengene investert med ubetydelig risiko. Hvis du alternativt setter dine 10.000 kroner i aksjemarkedet for en tre-måneders periode, vil du for­ vente en avkastning som er større enn renten på sparekontoen. Større risiko i aksje­ markedet kan imidlertid føre til at i akkurat denne tre-måneders perioden blir aksjeavkastningen mindre enn bankrenten. Inntrykket fra tabell 3.1 er imidlertid at i det lange løp vil aksjemarkedsavkastningen bli høyere enn risikofri sparerente. Det er i denne forstand at markedet belønner dem som bærer risiko. Høyere risiko betyr altså at spekteret av mulige utfall utvides: Både ekstra gode og ekstra dårlige resultater kan forekomme. Risikokompensasjon innebærer i seg selv bare at det forventede utfall stiger; det gis ingen garanti om høyere avkastning i alle tilstander. Var det slik, ville ingen velge å plassere risikofritt. 3: RELEVANT PROSJEKTRISIKO

29

Den risikable investeringen i tabell 3.1 er en veldiversifisert portefølje som skriver seg fra aksjer i mange selskaper. Det mønster som der fremkommer for risikokompensasjon gjelder på ingen måte for en enkeltaksje. Det er helt tydelig fra tabell 3.2, hvor vi har valgt ut en del selskaper med omtrent samme gjennomsnittsavkastning som aksjeindeksen. Her ser vi at avkastningen i de tre sel­ skapene Aker, Elkem og UNI Storebrand alle hadde omtrent samme gjennom­ snitt på ca. 15% og standardavvik fra 40% opp til 60%. En portefølje på tre aksjer ga imidlertid samme forventede avkastning, men hadde 1%-poeng lavere standardavvik enn den av de tre aksjene med lavest standardavvik. Siden redu­ sert standardavvik derfor ikke ble fulgt av lavere gjennomsnittlig avkastning, var det åpenbart særlig ulønnsomt å sitte med to av enkeltaksjene (Elkem og UNI Storebrand) i forhold til en tre-aksje portefølje. Tilsvarende bilde får vi hver gang antall aksjer i porteføljen økes: Forventet avkastning er omtrent uen­ dret, men standardavviket synker. Med alle børsnoterte aksjer i porteføljen er gjennomsnittsavkastningen 15%, mens standardavviket er mer enn halvert i for­ hold til å sitte med aksjer i bare ett selskap. Tabell 3.2 viser derfor at dersom du har risikoaversjon, er det fornuftig å diversifisere. Den ekstra risiko en påtar seg ved bare å sitte med aksjer i ett eller et fåtall selskaper får man ikke betalt for gjennom høyere forventet avkastning. Tabellen indikerer også at for en enkeltaksje kan standardavviket umulig være et brukbart mål på relevant risiko. Selv om standardavviket blir doblet hvis inves­ tor skifter ut sin veldiversifiserte portefølje med bare Aker-aksjer, er gjennom­ snittlig avkastning uendret. Derfor må det være galt å påstå at høyere standard­ avvik alltid går sammen med høyere forventet avkastning for en aksje.

TABELL 3.2: Gjennomsnitt og standardavvik for årlig, nominell avkastning i perioden juni 1988 til juni 1992. Tallene for aksjeindeks, likevektede porteføljer og enkeltaksjer er basert på ukentlige observasjoner og er avrundet til nærmeste hele prosent.

Gjennomsnitt

Standardavvik

Aker Elkem UNI Storebrand

15% 14% 16%

40% 60% 47%

Portefølje 1 (3 aksjer) Portefølje 2 (5 aksjer) Portefølje 3(10 aksjer)

15% 15% 15%

39% 31% 24%

Aksjeindeks (ca. 120 aksjer)

15%

20%

3: RELEVANT PROSJEKTRISIKO

30

En annen måte å illustrere dette på er å se på gjennomsnittlig avkastning og standardavvik for en enkeltaksje på Oslo Børs (i tabell 3.2 så vi bare på tre slike enkeltaksjer, ikke på gjennomsnittet av alle børsnoterte aksjer). Gjennomsnittlig avkastning for en aksje må jo være lik gjennomsnittsavkastningen på aksjeindeksen, dvs. 15% fra tabell 3.2. Regner vi imidlertid ut gjennomsnittlig standardavvik pr. aksje notert på Oslo Børs i samme periode, viser dette seg å bli hele 48%! Dermed kunne en i gjennomsnitt redusere standardavviket på sin aksjein­ vestering fra hele 48% til bare 20% ved å diversifisere i stedet for å sitte med aksjer i bare ett selskap. Forventet avkastning ville normalt ikke bli redusert ved å gjøre dette. Derfor kan vi konkludere: 1) 2)

Det er mye å hente ved di versifisering. Risikoen kan reduseres uten at man taper noe i form av lavere forventet avkastning. Risikokompensasjon for en aksje er ikke knyttet til dens standardavvik. Du blir ikke betalt for å sitte med den risikoen i en aksje som standardavviket uttrykker. Relevant risiko må derfor måles på andre måter.

3.4: RELEVANT RISIKO FOR VELDIVERSIFISERTE PORTEFØUER OG FOR ENKELTAKSJER Med utgangspunkt i kapittel 3.3 går vi nå videre og ser nærmere på hvorfor ikke varians eller standardavvik er brukbare mål på en aksjes risiko. I eksempel 3.1 regnet vi ut porteføljeavkastningen i alle tre tilstander og beregnet deretter varians ut fra de tre utfallene. Nå skal vi se at vi får samme svar ved å uttrykke porteføljens varians som en veiet sum av de to enkeltaksjenes varians og deres samvariasjon (kovarians) med hverandre. På denne måten kan vi direkte måle en enkeltaksjes relevante risiko, dvs. aksjens bidrag til porteføljerisikoen. Forventet avkastning for en portefølje av to aksjer kan skrives som: (3.3)

E(rp) = WjE(rj) + w2E(r2)

Her er W] og w2 andelen av aksjeformuen investert i hhv. aksje 1 og aksje 2. Formelen sier rett og slett at en porteføljes forventede avkastning er den veiede sum av enkeltaksjenes forventede avkastning. Dette konstaterte vi allerede i kapittel 2, uttrykk (2.2). Variansen til en portefølje av to aksjer er: (3.4)

Var(rp) = w, Var(rf) + w2Var(r2) + 2w1w2Kov(r1,r2)

Også denne formelen er relativt lett å uttrykke med ord. En porteføljes varians er for det første de summerte produktene av enkeltaksjenes varians og de kvadrerte andelene (de to første leddene i (3.4)). I tillegg kommer to ganger produktet av andelene og kovariansen (tredje ledd). Se her s. 238 i Ben-Horim og Levy (1984) og s. 332 i Wenstøp (1991). 3: RELEVANT PROSJEKTRISIKO

31

Kovariansen mellom to aksjers avkastning er definert som: s

(3.5)

Kov(rrr2) = \ P^sjfr/sj-E^)] [r2(s)-E(r2)] S=1

Kovariansen mellom to stokastiske variabler er altså forventningen til produktet av de to variablenes avvik fra sine respektive forventningsverdier. Som vi skal se, måler kovariansen de to aksjekursenes tendens til å bevege seg i samme ret­ ning. Vi går nå tilbake til eksempel 3.1 for å gjenta variansberegningen; denne gang med formlene (3.4) og (3.5).

EKSEMPEL 3.2:

Vi beregner først forventning og varians for aksjefondene A og B:

E(rA)

= 0,2-0,16 + 0,5-0,12 + 0,3-0,06 = 0,11 (11%)

Var(rA) = 0,2(0,16-0,1 1 )2 + 0,5(0,1 2-0,1 1 )2 + 0,3(0,06-0,1 1 )2 = 0,0013 Std(rA) = 0,036

E(rB)

(3,6%)

= 0,2-0,05 + 0,5-0,20 + 0,3-0,40 = 0,23 (23%)

Var(rB) = 0,2(0,05-0,23)2 + 0,5(0,20-0,2 3)2 + 0,3(0,40-0,23)2 = 0,0156

Std(rB) =0,125

(12,5%)

I eksempel 3.1 fordelte vi investeringsbeløpet likt mellom A og B (likeveiet porte­ følje). Vektene wA og wB er derfor begge 0,5. Med unntak av kovariansen mel­ lom A og B har vi dermed funnet alt vi trenger for å kunne sette inn i (3.3) og (3.4). Vi beregner derfor kovariansen etter (3.5):

sEd).

14: DIVIDENDEPOLITIKK

310

Anvendt på det norske skattesystemet pr. 1993 blir dette enda enklere, siden sEd= 0. Dermed får vi følgende kontantstrømsfordel og dividendeskattefaktor: KFd = (OFRS - rG)(l-sB)sEg Sd

“

SB-^SEg

Dagens skattesystem virker derfor nøytralt på dividendebeslutningen dersom investor ikke betaler skatt på kursgevinst. På grunn av det såkalte RISK-systemet vil imidlertid sEg i praksis ligge mellom 0 og 28% (grensene inkludert), avhengig av forholdet mellom kostprisreguleringen på aksjene og utviklingen i aksjenes markedsverdi. Dette betyr altså at mens det nå ikke er dobbelbeskatning på dividende i Norge, blir tilbakeholdt overskudd dobbelbeskattet i den grad sEg overskrider null. I alle andre tilfeller enn ved sEg= 0 er det altså skattemessig insentiv til høy­ est mulig dividende og dermed lavest mulig tilbakeholdt overskudd. Betaler eksempelvis investor 10% gevinstskatt, er det 10 øre å spare i skatt pr. krone kontantstrøm før skatt. Er satsen 28%, er det 28 øre å spare pr. kontantstrøms­ krone, som er maksimalfordelen ved dividende. På grunn av diskriminering av kursgevinst på investorhånd oppfordrer altså det norske skattesystemet til å betale høyt utbytte. Denne situasjonen er imidler­ tid ganske ny. Eksempelvis vil en finne for 1986 at dersom investor satt med sine aksjer i mer enn tre år, var sEg= 0. Da oppsto skattefavorisering av tilbake­ holdt overskudd dersom investor hadde skattbar inntekt over kr 168.000 (skatte­ klasse 1). Figur 14.1 viser utviklingen av sd* i perioden 1970-1993. Den øverste kurven viser maksimal skattefordel ved dividende. Dette opp­ står ved kombinasjonen minimal dividendeskattesats og maksimal gevinstskattesats. Midterste kurve (full skatteposisjon) antar at maksimal skatt betales både på dividendeinntekt og kursgevinst, mens nederste kurve gir minimumsfordelen ved dividende (dvs. maksimumsfordelen ved tilbakepløying). Dette er kombina­ sjonen maksimal dividendeskatt og minimal gevinstskatt. De respektive mini­ mums- og maksimumssatser er gitt av skattereglene i de enkelte årene. Figur 14.1 viser for det første at i syttiårene var skattesystemet stabilt hva gjelder dividendeinsentiver. Ved full skatteposisjon på begge ledd var det svak dividendefavorisering (ca. 8 øre pr. kontantstrømskrone), mens maksimumsfor­ delen var ca. 45 øre pr. krone. Maksimal skattefavorisering av tilbakepløying (nedre kurve) var ca. 15 øre pr. kontantstrømskrone i denne perioden. Det andre hovedinntrykk fra figur 14.1 er at syttiårenes stabilitet ble avløst av kontinuerlig endring siden 1980. Det gjennomgående trekket i perioden 1980-1993 er at maksimumsfordelen faller og maksimumsulempen reduseres. Avstanden mellom den dividendemessig beste og dårligste skattesatskombinasjon har derfor hele tiden blitt mindre. Ved full skatteposisjon har det fra 1985 vært tiltakende dividendefavorisering (unntatt i 1992, som var overgangsåret for skattereformen). Fra og med 1989 er det faktisk ingen kombinasjoner av skatte­ satser som favoriserer tilbakepløying. 14: DIVIDENDEPOLITIKK

311

FIGUR 14.1: Skattefordel av dividende fremfor tilbakeholdt overskudd i det norske skattesystemet 1970-1993. Kurvene viser skattebesparelse pr. krone

Hvis du nå blar tilbake til kapittel 12.3 om skattebaserte gjeldsinsentiver, vil du se klare paralleller. Også der fant vi at de skattebaserte finansieringsinsentivene var stabile i syttiårene og i kontinuerlig forandring i en retning deretter. Det var også der en klar tendens til mindre avstand mellom minimums- og maksimumsfordel over tid. Dessuten fant vi at jo nærmere vi kom 1993, desto flere kombi­ nasjoner av skattesatser favoriserte gjeld. De skattebaserte dividendeinsentivene går altså entydig i retning maksimal dividende i 1993. Figur 14.1 viser imidlertid at bare for få år siden var bildet ikke så klart. Avslutningsvis skal vi derfor se mer generelt på hva som vil skje dersom skattesystemet favoriserer dividende for noen investorer og kursgevinst for andre, slik norske skatteregler gjorde frem til 1987. I en slik situasjon vil selskapene tiltrekke seg bestemte skatteklientell: Investorer med høyere skatt på dividende enn på kursgevinst vil foretrekke vekstaksjer, som har lav eller ingen dividende. Investorer i motsatt skattesituasjon med lavere skattbar inntekt vil derimot ha skattemessig mest å vinne på å holde seg til dividendeselskapene, som betaler høyt utbytte. Endelig vil det finnes mel­ lomgrupper som får omtrent samme skatteeffekt på selvangivelsen uansett om aksjeavkastningen kommer som dividende eller kursgevinst. Slike investorer vil være indifferente til dividendepolitikken, og de vil ikke være villig til å betale noe ekstra for en aksje bare på grunn av det blandingsforhold den gir mellom kursgevinst og utbytte. 14: DIVIDENDEPOLITIKK

312

Du har kanskje konstatert at vi nå resonnerer på omtrent samme måte som i kapittel 12, der vi studerte eventuell verdieffekt av renteskattefordel. Det paral­ lelle spørsmål nå er derfor om det finnes en likevektssituasjon der dividendepo­ litikk ikke spiller noen rolle for noe selskap, uansett om investorene av skattegrunner har ulike dividendepreferanser.

EKSEMPEL 14.7: Tenk deg en situasjon der samtlige selskaper tilbakepløyer alt overskuddet. Det blir så innført nye skatteregler som gjør at dividende og tilbakepløying blir skat­ temessig likestilt på selskapsnivået, slik eksempelvis skattereformen gjorde det for Norge i 1992. På eierleddet endres beskatningen slik at 75% av aksjonærene (regnet etter formue) er best tjent med dividende, 1 5% er indifferente og de res­ terende 1 0% ønsker kursgevinst. Siden det nå finnes investorer som er villige til å betale ekstra for aksjer i selskaper med den utbyttepolitikk de skattemessig tjener mest på, kan selskapene øke sin verdi ved å tilpasse dividendepolitikken etter denne etterspørselen. Derfor vil 75% av selskapene (regnet etter verdi) skifte fra å tilbakepløye alt til å betale maksimalt utbytte. 10% forblir vekstaksjer, mens de resterende 15% ikke oppnår noen verdimessig effekt uansett hvilken dividende­ politikk de følger.

Poenget i eksempel 14.7 er at når først investorklientellene har fått dekket sin etterspørsel, er det nådd en likevektssituasjon der det enkelte selskap ikke lenger kan oppnå noe verdimessig ved å skifte fra én utbyttepolitikk til en annen. Etter at selskapene har skiftet til 75-10-15 mønsteret, er det ingen etterspørsel etter endret dividendepolitikk, siden alle selskaper er skattemessig optimalt tilpasset i forhold til sine eiere. De ulike klientell er betjent, og det er ingen over- eller underskuddsetterspørsel etter aksjer med en bestemt utbyttepolitikk. La oss gå tilbake til utgangssituasjonen fra eksempel 14.7, der alle selska­ pene tilbakepløyer alt overskudd. For å komme nærmere dagens situasjon i Norge kan vi nå tenke oss at skattesystemet endres på en slik måte at samtlige investorer foretrekker dividendeaksjer, dvs. ingen ønsker at overskuddet beskat­ tes som kursgevinst. Eksempel 14.8 illustrerer at i en slik ekstremsituasjon vil optimal dividendepolitikk være den samme for alle selskaper. Enhver bedrift som avviker fra denne kan øke sin verdi gjennom endret utdelingsforhold.

EKSEMPEL 14.8: To selskaper A og B har samme forventede kontantstrøm pr. aksje etter bedrifts­ skatt, og aksjenes systematiske risiko er den samme. Etter skatteomleggingen endrer selskap A dividendepolitikken fra ingen til maksimal dividende, slik samt­ lige investorer ønsker. Selskap B derimot, fortsetter å tilbakepløye alt overskudd. I en slik situasjon, hvor aksjene er risikomessig like, vil investorene forlange samme forventede avkastning etter investorskatt på de to aksjene. Siden eierne 14: DIVIDENDEPOLITIKK

313

beskattes hardest av kursgevinst, vil samme forventede kontantstrøm etter bedrifts­ skatt gi eieren av en aksje i vekstselskapet B mindre igjen etter investorskatt enn det en aksje i dividendeselskapet A vil gi. For at forventet avkastning da skal være like, må kursen på aksjene i B være tilsvarende mye lavere enn i A. Er eksempelvis forventet kontantstrøm i B 20% lavere etter investorskatt, må dette også være reflektert i 20% lavere aksjepris. Bare på den måten kan investorene få samme forventede avkastning etter skatt, og bare på den måten kan det bli etterspørsel etter aksjene i selskap B.

Når samtlige investorer etterspør samme dividendepolitikk, vil altså dette til­ synelatende gå ut over verdien av et selskap som ikke følger denne politikken. Vi ser imidlertid fra eksempel 14.8 at ledelsen i B kan øke selskapsverdien ved å skifte fra null til maksimal dividende, slik investorene ønsker. Likevekt i dette tilfellet er derfor karakterisert ved at alle selskaper har samme utbyttepolitikk. Verdien av det enkelte selskap vil synke dersom ledelsen avviker fra dette felles, optimale utdelingsforhold. Innfører vi også diskriminerende selskapsskatt i disse to eksemplene, blir situasjonen tilsynelatende mer komplisert. Anta at aksjonærskatten tilsier full tilbakepløying av overskuddet i alle selskaper, mens dividendefavorisering på selskapsnivået tilsier maksimal dividende. Dersom selskapene da bare styrer etter aksjonærenes skatteposisjon og bidrar til å minimere aksjonærskatten gjen­ nom full tilbakepløying, blir på den annen side bedriftens kontantstrøm etter skatt minimert. Kontantstrøm før investorskatt blir m.a.o. lavest mulig. Dermed er det heller ikke sikkert at selskapsverdien blir maksimert når bedriftene bare velger utbyttepolitikk etter aksjonærenes skatteposisjon. I en slik situasjon ender vi opp i en likevekt med klientell. Selskaper som holder mye overskudd tilbake trekker til seg investorer med så lav gevinstskatt at det mer enn oppveier for selskapets skattetap. Tilsvarende vil dividendeselskapene ha investorer med relativt høy gevinstskatt i forhold til dividendeskatt. Endelig vil det finnes en mellomgruppe som er indifferente. Er alle klientellene tilfredsstilt, kan den enkelte bedrift ikke påvirke sin verdi gjennom dividende­ politikken. Etter denne gjennomgangen er det viktig å minne om at skatt bare er én av minst fem faktorer som påvirker forholdet mellom dividende og selskapsverdi. I kapitlene 14.4 og 14.5 så vi at også lovregler, låneavtaler, transaksjonskostnader og informasjonsasymmetri er relevante i denne sammenheng. Disse fem fakto­ rene trekker ikke alltid i samme retning. Dessuten setter lovregler og kreditoravtaler et effektivt øvre tak på utdelingsforholdet. En samlet vurdering tilsier derfor at optimalt utdelingsforhold i praksis må være lavere enn det maksimale. Selskapene kan komme til å trekke til seg skatteklientell ut fra den dividendepolitikken ledelsen velger. I mangel av et åpen­ bart misforhold mellom etterspurt og tilbudt utdelingsforhold i markedet er det ikke sikkert at selskapsverdien kan påvirkes av dividendepolitikken. På grunn av skatteklientellet bør selskapene ikke endre dividendepolitikk uten at det er 14: DIVIDENDEPOLITIKK

314

nødvendig for å signalisere informasjon. Investorene påføres nemlig tran­ saksjonskostnader hvis skiftet i selskapets dividendepolitikk gjør at de de må endre portefølje ut fra skattehensyn. Investorene på sin side bør være klar over at den som konsentrerer seg om bestemte selskapers aksjer ut fra skattehensyn samtidig kan komme til å bære usystematisk risiko pga. manglende diversifi­ sering.

14: DIVIDENDEPOLITIKK

315

14.7: OPPGAVER OPPGAVE 14.1 I de kommende fem år forventer AS Divida overskudd og nyinvesteringer som følger (i mill, kr):

Investeringer 1,0 1,5 2,0 1,5 2,0

Overskudd 2,0 1,5 2,5 2,3 1,8

År 1 2 3 4 5

__

Selskapet har 100.000 aksjer utestående, og har de siste fire årene utbeltalt kr 10 i dividende pr. aksje. Selskapet kommer ikke i skatteposisjon i overskuelig frem­ tid. a

b c

d

Hva blir dividende pr. aksje de kommende fem år hvis Divida bestemmer dividenden residualt? Hvor mye må Divida skaffe tilveie av ny kapital hvert år hvis selskapet opprettholder en konstant dividende på kr 10 pr. aksje? Hva blir årlig dividende pr. aksje og ny ekstern finansiering hvis Divida velger et utdelingsforhold på 50%? Hvilken av de tre dividendepolitikkene gir størst samlet dividende i løpet av de fem neste år? Hvilken dividendepolitikk gir lavest behov for ekstern finansiering i denne perioden?

OPPGAVE 14.2 Både Oslo Handelsbank og Nordlandsbanken utbetalte 10 kroner i dividende pr. aksje for regnskapsåret 1988. Begge bankenes aksjer har pålydende kr 100, mens aksjekursen pr. 01.01.89 var kr 190 for Oslo Handelsbank og kr 100 for Nordlandsbanken.

a

b

Hvilken prosentvis avkastning representerer dividenden i de to bankene, både mhp. aksjenes pålydende og aksjenes markedskurs? Se bort tra skatt. Aksjekursen et år tidligere (01.01.88) var for Oslo Handelsbank og Nord­ landsbanken hhv. kr 250 og kr 122,50. Hva var prosentvis avkastning på aksjene før skatt i 1988?

14: DIVIDENDEPOLITIKK

316

OPPGAVE 14.3 AS Data hadde siste år et overskudd på 6 mill, kroner. Selskapet har 50.000 aksjer utestående, og aksjekursen er kr 400. Gjeldens markedsverdi er 10 mill. Kontantbeholdningen i AS Data er på 8 mill, hvorav halvparten er øremer­ ket til en nyinvestering med beregnet nåverdi på 4 mill. Disse investeringsplanene er kjent i aksjemarkedet. Resten av kontantbeholdningen er nødvendig arbeidskapital. Eiendelssiden forøvrig i balansen er driftsmidler som trengs for eksisterende virksomhet. AS Data har hittil aldri utbetalt dividende. Et av styremedlemmene mener imidlertid det er på høy tid at også AS Data begynner å føre en aksjonærvennlig politikk. Han foreslår derfor at halvparten av siste års overskudd utbetales i divi­ dende. Selskapet ønsker å opprettholde sin nåværende gjeldsgrad, som er lik den målsatte. a

b

Redegjør for hvilken effekt det vil få for aksjekurs, antall aksjer, aksjonære­ nes formue og gamle aksjonærers eierandel hvis forslaget om ny dividende­ politikk vedtas. Se bort fra mulige skatteeffekter. Bør AS Data begynne å betale dividende?

OPPGAVE 14.4 Holdingselskapet Overbygg har to børsnoterte datterselskap, AS Byggevarer (BV) og AS Byggmester (BM). Både BV og BM er 100% egenkapitalfinansierte og har samme egenkapitalkostnad på 15%. I utgangspunktet har begge selska­ pene verdt 1 mill, kroner, som gir en avkastning på 15%. BV planlegger å utbetale hele overskuddet i dividende, mens BM vil holde et utdelingsforhold på 60%. Overbygg forventer nullvekst både for BV og BM i overskuelig fremtid. a b

Hva blir årlig dividende i de to selskapene? Finn markedsverdien av BV og BM som nåverdien av fremtidig dividende.

OPPGAVE 14.5 Aksjekapitalen i AS Utbytte består av 500.000 aksjer verdsatt til kr 130 pr. aksje 01.01.1994. Forventet resultat etter skatt for 1994 er 5 mill, kroner. Selskapets aksjonærer krever en avkastning på 15%. a

b

Hva er forventet aksjepris 31.12.1994 hvis selskapet ikke utbetaler divi­ dende for året? Hva er forventet aksjepris 31.12.1994 hvis selskapet ikke utbetaler divi­ dende, men i stedet gjennomfører en fondsemisjon i forholdet 1:10 (dvs. en 10% fondsemisjon)?

14: DIVIDENDEPOLITIKK

317

c

Hva er forventet aksjepris pr. 31.12.1994 hvis AS Utbytte utbetaler en divi­ dende på kr 9,50 pr. aksje på årets siste dag? Hvilken effekt har dividenden på aksjonærenes formue? Se bort fra skatt.

Ved slutten av 1994 bestemmer AS Utbytte seg for å investere i en meget lønn­ som produksjonsprosess. Til tross for at investeringen koster 5 mill, kroner, planlegger selskapet å opprettholde dividenden med kr 4 pr. aksje.

d

Vil du anbefale AS Utbytte å skrinlegge den planlagte dividenden og i ste­ det finansiere det nye prosjektet med tilbakeholdt overskudd?

En konsulent i finansiell økonomi anbefaler AS Utbytte å gjennomføre den plan­ lagte dividenden med kr 4 pr. aksje.

e

Hvor mange aksjer må selskapet emittere hvis det nye prosjektet skal finan­ sieres bare med egenkapital? Forutsett at det emitteres til markedskurs.

OPPGAVE 14.6 I kapittel 14.4 ble det vist at under idealiserte betingelser er det ikke mulig å påvirke verdien av et selskap gjennom dividendebeslutningen. a

b

Gi tre eksempler på markedsimperfeksjoner som kan føre til at dividende­ beslutningen har verdieffekt. Gi eksempler på, og forklar hvordan, slike imperfeksjoner kan føre til at dividenden kan ha verdieffekt.

14: DIVIDENDEPOLITIKK

318

OPSJONER 15.1: INNLEDNING 1 5.2: GRUNNTREKK VED OPSJONER 1 5.3: BINOMI5K OPSJONSPRISMODELL 1 5.4: BLACK-SCHOLES MODELLEN 15.5: OPSJONSTANKEGANG I KLASSISKE FINANSSPØRSMÅL 1 5.6: OPPGAVER

15.1: INNLEDNING Vi har hittil i boken brukt KVM for å bestemme verdien av risikable investe­ rings- og finansieringsprosjekter. I dette kapitlet skal vi se på opsjonsprising, som er en annen metode med samme formål. Med opsjoner mener vi her kon­ trakter som gir eieren en rett, men ikke plikt, til å kjøpe eller selge eksempelvis en aksje. Modeller for prising av opsjoner kan imidlertid fort bli abstrakte og teknisk vanskelige. Derfor legger vi størst vekt på å forklare intuisjonen i opsjonsprisingsmodeller. Mot slutten av kapitlet vil vi dessuten bruke opsjonsteorien på velkjente problemstillinger, som f.eks. å bestemme verdien av bedrif­ tens egenkapital og gjeld. Det er flere grunner til at det er nyttig å vite noe om opsjonsprising. Én grunn er at det fra mai 1990 foregår opsjonshandel også ved Oslo Børs, nesten 20 år etter at Chicago Board of Options Exchange (CBOE) startet organisert opsjonshandel. I dag omsettes det i USA opsjoner ved ytterligere seks børser, men CBOE er den desidert største og står for ca. halvparten av det totale opsjonsvolumet i USA. Også sammenlignet med aksjehandel er den amerikan­ ske opsjonshandelen blitt stor. I 1989 var omsetningsverdien på CBOE over 46 mrd. USD. Dette er mer enn omsetningsverdien ved USAs nest største aksje­ børs, American Stock Exchange (omsetningsverdien ved den største aksjebør­ sen i USA, New York Stock Exchange (NYSE), var på hele 1.543 mrd. USD). Også i volum er CBOE stor. I 1991 ble det omsatt 45,6 mrd. aksjer på NYSE, mens antall opsjonskontratker på CBOE samme år var 121,7 mill. Etter som hver opsjonskontrakt gjelder 100 aksjer, betyr det at på CBOE ble det omsatt opsjoner for ca. fjerdedelen av aksjevolumet omsatt på NYSE. I internasjonal sammenheng er omsetningen i Norge foreløpig ganske beskjeden. Første halvår 1993 ble det omsatt ca. 600.000 opsjonskontrakter på Oslo Børs. Sverige, som startet opsjonshandel over børs i 1985, hadde i samme periode et omsetningsvolum på 4,4 mill, kontrakter. Rangert etter omsetnings­ volum er Oslo Børs på 30. plass blant de 47 børsene hvor det er organisert opsjonsomsetning. Verdien av opsjonsomsetningen ved Oslo Børs fra januar til og med sep­ tember 1993 er på totalt 863 mill, kroner. Dette utgjør bare 0,8% av aksjeomset­ ningen i samme periode. Målt i volum utgjør opsjonsomsetningen en enda min­ dre andel (0,1%). Tatt i betraktning at det i 1993 var notert 148 aksjer og kun fem opsjoner på Oslo Børs, er dette forholdet ikke fullt så ubalansert. For de fem aksjeopsjonene på Oslo Børs (Bergesen B, Hafslund Nycomed A, Kværner A, Norsk Hydro og Saga Petroleum A) utgjorde opsjonsomsetningen første halvår 1993 hele 63% av aksjeomsetningen for de samme fem aksjene. En annen viktig grunn til å studere opsjonsmodeller er at de gir nye mulig­ heter til å løse problemer som ikke hadde presise svar før denne teorien kom. Eksempelvis var det ingen god prisingsmodell for konvertible obligasjoner før opsjonsteorien ble utviklet. I tillegg kommer den økte innsikt opsjonstankegangen gir i klassiske problemstillinger innenfor prosjektanalyse. Kapittel 15.2 gjennomgår grunntrekkene ved opsjoner og den spesielle ter­ minologien. Du får også en intuitiv innføring i hvordan opsjoner verdsettes. 15: OPSJONER

320

Kapittel 15.3 gjennomgår en enkel én-periodisk binomisk opsjonsprisingsmodell, mens kapittel 15.4 tar opp den såkalte Black-Scholes modellen. Dette er den mest brukte modellen i praksis. Kapittel 15.5 anvender opsjonstankegangen på finansproblemstillinger som du kjenner fra før.

1 5.2: GRUNNTREKK VED OPSJONER Opsjoner er kontrakter som gir eieren rett, men ingen plikt, til å kjøpe eller selge en vare til en avtalt pris i løpet av en spesifisert periode. Det mest karakteristiske trekk ved opsjoner er nettopp at de gir eieren en rett uten samtidig plikt. Det finnes mange andre kontraktstyper enn aksjeopsjoner omsatt over børs som har opsjonstrekk. For det første handles det opsjoner på andre varer enn aksjer, slik som for eksempel valuta. Gjennom en valutaopsjon har eieren fått en rett til å kjøpe, evt. selge, valuta i fremtiden til en forhåndsavtalt kurs. For det andre er det mange verdipapirer med opsjonstrekk, slike som konvertible obli­ gasjoner, obligasjoner med aksjekjøpsrett og obligasjoner med innløsningsrett og renteendringsklausul (se kapittel 9). Eieren av en konvertibel obligasjon har en rett, men ingen plikt, til å omgjøre obligasjonen til et avtalt antall aksjer innenfor en bestemt periode. Obligasjoner med aksjekjøpsrett gir eieren ensidig rett til å kjøpe et bestemt antall aksjer til en avtalt pris. Innløsningsrett og rente­ endringsklausul, som nå er vanlige i ordinære obligasjonslån, gir selger (utste­ der) rett uten plikt til hhv. å kalle lånet tilbake og å endre renten når bestemte betingelser er oppfylt. Det finnes også opsjonselementer i mange kontraktstyper som ikke børsno­ teres. I en såkalt på-hånden avtale ved kjøp av bolig får den potensielle kjøper rett til å tenke seg om før endelig beslutning tas. Bestilles et nytt skip, avtales ofte samtidig en rett til fremtidig levering av flere tilsvarende skip. Verftet for­ plikter seg derfor til å reservere produksjonskapasitet frem til avtalt opsjonsperiode utløper. Kassekreditt er en lånetype med klare opsjonstrekk. Låntaker kjøper retten til å oppta lån inntil et avtalt maksimalbeløp (limit), men har ingen plikt til å ta ut hele lånebeløpet. I resten av kapitlet kommer vi til å konsentrere oss om aksjeopsjoner, først og fremst fordi disse er mest kjent og har egenskaper som gjør teorifremstillingen lettere. Som i andre markeder består opsjonsmarkedet av etterspørrere og tilbydere. Etterspørrere kjøper opsjoner, mens tilbydere selger (skriver) opsjoner. Det omsettes to typer opsjoner, kjøpsopsjoner (engelsk call) og salgsopsjoner (put). Disse gir eieren en rett til hhv. å kjøpe (call) eller selge (put) aksjer til en for­ håndsavtalt kurs (pris), innløsningskursen. Hvis opsjonen bare kan benyttes ved forfall, kalles den europeisk. Kan den innløses (utøves) når som helst i løpet av kontraktsperioden, kalles den amerikansk. Én viktig grunn til at opsjonshandel organiseres på en børs er at dette letter standardiseringen av opsjonskontrakter. På Oslo Børs er eksempelvis de fem aksjeopsjonene som omsettes i november 1993 amerikanske, dvs. de kan innlø­ ses når som helst i løpet av kontraktsperioden. Kjøps- og salgsopsjoner på en 15: OPSJONER

321

spesielt sammensatt aksjeindeks av børsens 25 mest omsatte aksjer er imidlertid europeisk, dvs. retten kan bare benyttes på opsjonens forfallsdag. Også løpetid og kontraktsstørrelse er standardisert. Det noteres aksjeopsjoner med tre og seks måneders løpetid. Forfall er alltid tredje torsdag i hhv. mars, juni, september og desember. Indeksopsjonene noteres med rullerende løpetider på en, to, fire og tolv måneder med forfall tredje torsdag i aktuell måned, slik at det er forfall av indeksopsjoner hver eneste måned. Den standardiserte kontraktsstørrelsen er at én opsjon gir rett til 100 aksjer. Opsjonskursen noteres imidlertid pr. aksje, slik at en opsjonkontrakt koster 100 ganger opsjonens børskurs.

EKSEMPEL 15.1: En investor kjøpte 13. august 1993 en kjøpsopsjon på Hafslund Nycomedaksjer med innløsningskurs kr 1 20 og forfall i september. Opsjonskursen (også kalt opsjonspremien, -prisen eller -verdien) var kr 14,50 på investeringstidspunktet. Investor blir sittende med opsjonen helt til forfall 16. september, da hun inn­ løser opsjonen og selger de aksjene hun kjøper av den som har skrevet opsjo­ nen. Aksjekursen var da kr 1 37. Investors kontantstrøm ved denne investeringen var:

(1) (2) (3)

Kjøp av opsjonen (1 OG- kr 14,50) Innløsning av opsjonen ved forfall (1 OG- kr 120) Salg av innløste aksjer (1 00- kr 1 37)

kr 1.450 kr 12.000 kr 13.700

På tidslinjen blir dette: t=0 (13.08) (1) (2) (3)

Kjøp av opsjonen Innløsning av opsjonen Salg av innløste aksjer

t=l (16.09)

-1.450

-12.000 13.700

Kontantstrømmen i dette eksemplet er noe forenklet. Det er verken tatt hensyn til transaksjonskostnader eller skatt. I tillegg til vanlig meglerkurtasje (2%) må investor betale en såkalt clearingavgift til opsjonssentralen (0,75% per kontrakt; minimum kr 6 og maksimum kr 16) samt handelsavgift til Oslo Børs (0,4% per kontrakt; minimum kr 2,50 og maksimum kr 8). De totale transaksjonskostna­ dene blir normalt ca. 3% av opsjonsverdien. Beskatning av finansielle opsjoner (dvs. opsjoner hvor kjøps- eller salgsretten ikke er knyttet til realaktiva) er gitt i skattelovens §43A og forskrifter til skatteloven av 22.01.92. Det bærende prinsippet i gevinstbeskatningen er realisasjonsprinsippet. Dette betyr at bare realiserte gevinster skal skattlegges (til­ svarende kan bare realiserte tap føres til fradrag). Transaksjonskostnader er fra15: OPSJONER

322

dragsberettigede når gevinsten kommer til beskatning eller tapet kommer til fra­ drag. De samme skattereglene gjelder for alle aktører i markedet, uavhengig av om opsjonen er tilknyttet skatteyters næringsvirksomhet eller ikke. Til tross for at én norsk opsjonskontrakt er standardisert til å gjelde 100 aksjer, vil vi i resten av kapitlet forenkle ved å anta at én opsjon gjelder retten til én aksje. Vi vil også se bort fra transaksjonskostnader og skatt fordi det ikke er utviklet opsjonsprismodeller som tar hensyn til skatt. Ved forfall (t=T) er verdien av en kjøpsopsjon (K^) avhengig av aksjekur­ sen på den dagen (AT). Er aksjekursen lavere enn opsjonens innløsningskurs (I), er kjøpsopsjonen verdiløs, siden aksjen kan kjøpes billigere direkte (dvs. uten å gå via opsjonen). Er derimot aksjekursen høyere enn innløsningskursen, vil det lønne seg å bruke retten. Tilsvarende gjelder for verdien av en salgsopsjon ved forfall (ST): Er aksjekursen høyere enn innløsningskursen, er salgsopsjonen ver­ diløs fordi vi da kan selge aksjen direkte i markedet til en høyere pris enn den vi har avtalt gjennom opsjonskontrakten. Er aksjekursen lavere enn innløsnings­ kursen, vil det lønne seg å benytte retten fordi aksjen kan selges for mer enn markedspris. Disse to sammenhengene er vist i uttrykkene (15.1) og (15.2), hvor max indikerer at opsjonsverdien er den største av de to beløpene inne i hakeparente­ sen.

(15.1)

Kj. = max [0, (ÅT - I)]

(15.2)

ST = max [0, (I - AT)]

EKSEMPEL 1 5.2: Den 1 3. august 1993 kjøpte du både en kjøps- og en salgsopsjon på Bergesen B-aksjer med innløsningkurs kr 160. Opsjonskursen var hhv. kr 3,50 og kr 1 3,00. Ved forfall den 1 6. september var aksjekursen kr 142. Settes disse opplysningene inn i uttrykkene (1 5.1) og (15.2), får vi:

Kt= max [0, (142-160)] = Q

ST= max [0, (160-142)] = 18

Fordi aksjekursen er lavere enn innløsningskursen, blir kjøpsopsjonen verdiløs ved forfall. Salgsopsjonens er imidlertid verd kr 1 8.

I opsjonsmarkedet florerer engelskinspirert terminologi, men denne skal vi i hovedsak la ligge. Imidlertid må vi innføre tre slike begreper i mangel av eta­ blerte norske betegnelser. Som vist i eksempel 15.2, kan aksjekursen være både 15: OPSJONER

323

høyere og lavere enn innløsningskursen. Hvis innløsningskursen overstiger aksjekursen, er kjøpsopsjonen out-of-the-money og salgsopsjonen in-the-money. Er innløsningskursen lavest, blir forholdet omvendt. Dersom innløsnings- og aksjekursene er omtrentlig like, kalles opsjonen at-the-money. Del a) av figur 15.1 viser kontantstrømsdiagram ved forfall for kjøpsopsjo­ nen i eksempel 15.2. Del b) viser tilsvarende for salgsopsjoner. De heltrukne kurvene viser kontantstrøm ved forfall hvis du eier hhv. en kjøpsopsjon a) eller en salgsopsjon b). Disse to kurvene viser at for kjøpte (eide) opsjoner kan laveste kontantstrøm ved forfall aldri bli negativ. Dette skyldes at opsjoner gir eieren en ensidig rett uten samtidig plikt til å innløse.

FIGUR 1 5.1: Kontantstrømsdiagram ved forfall for kjøps- og salgsopsjoner. Aksjekur­ sen er At og innløsningskursen I.

a) Kontantstrøm for kjøpsopsjon (KT)

15: OPSJONER

324

b) Kontantstrøm for salgsopsjon (ST)

Hvis du f.eks. kjøper en kjøpsopsjon, må det samtidig være en som er villig til å selge (skrive) den. På salgstidspunktet for opsjonen mottar selgeren det opsjo­ nen er verd (kr 3,50 i eksempel 15.2) mot å forplikte seg til å selge deg aksjen til den avtalte prisen (kr 160 i eksemplet) hvis du ber om det. De stiplede kurvene i figur 15.1 viser selgerens kontantstrøm for hhv. kjøps-og salgsopsjoner. Figuren viser at selgernes situasjon er et fullstendig speilbilde av kjøperens. For kjøps­ opsjonen a) tjener kjøperen en krone for hver krone aksjekursen stiger over inn­ løsningskursen. Samtidig taper selgeren samme beløp. Ved salgsopsjoner b) taper selgeren en krone for hver krone aksjekursen er lavere enn innløsningskur­ sen, mens kjøperen tilsvarende tjener en krone. Vi har hittil sett på sammenhengene mellom opsjoner og aksjer på forfalls­ tidspunktet. Nå introduseres også risikofrie investeringer gjennom risikofrie obligasjoner (R). Ved hjelp av de fire byggeklossene kjøpsopsjoner, salgsopsjo­ ner, aksjer og risikofrie obligasjoner viser det seg at vi kan lage porteføljer med samme kontantstrøm som den en oppnår fra de aller fleste finansielle instrumen­ ter. Vi skal imidlertid først bruke disse fire byggeklossene til å vise at hvis de parvis kombineres riktig, gir de to kombinasjonene (porteføljene) samme kon­ tantstrøm ved forfall. Deretter vil vi se at den ene av de fire byggeklossene er overflødig fordi dens kontantstrøm kan kopieres med en portefølje av de tre andre. Figur 15.2 viser at kontantstrømmen i en portefølje med en aksje og en salgsopsjon er nøyaktig lik kontantstrømmen i en portefølje med en risikofri obligasjon og en kjøpsopsjon. 15: OPSJONER

325

FIGUR 1 5.2: Kontantstrøm ved forfall for to porteføljer. Porteføljen i del a) består av en aksje og av en salgsopsjon med innløsningskurs I. Porteføljen i del b) består av en risikofri obligasjon pålydende I og en kjøpsopsjon med inn­ løsningskurs I. Porteføljenes kontantstrøm er gitt ved de stiplede linjene.

15: OPSJONER

326

I begge figurene viser de stiplede kurvene summen av de to investeringenes kontant­ strøm ved forfall, dvs. porteføljens kontantstrøm ved forfall. Vi ser at de to por­ teføljene gir samme kontantstrøm. Så lenge kjøps- og salgsopsjonen begge har inn­ løsningskurs lik den risikofrie obligasjonens pålydende, vil alltid følgende sammen­ heng holde mellom instrumentenes (papirenes) kontantstrømmer ved forfall:

(15.3)

At + St = Rt + Kt

Løst med hensyn på RT gir dette RT - AT + S^. - KT. En portefølje bestående av en aksje, en salgsopsjon og en solgt kjøpsopsjon (minustegnet foran K., viser at kjøpsopsjonen er solgt), gir derfor en risikofri kontantstrøm pa forfallstids­ punktet. Figur 15.3 viser porteføljens kontantstrøm grafisk.

FIGUR 1 5.3: Kontantstrøm ved forfall for en portefølje med en aksje, en salgsopsjon og en solgt kjøpsopsjon. Opsjonene har innløsningskurs I.

De heltrukne kurvene viser kontantstrømmen ved forfall for de tre enkeltpapirene; den stiplede kurven viser porteføljens kontantstrøm. Vi ser at denne sum­ men er lik kontantstrømmen fra en risikofri obligasjon uansett hva aksjeprisen viser seg å bli ved forfall. Vi har nå løst uttrykk (15.3) mhp. på RT og vist grafisk at den ene av de fire byggeklossene (obligasjonen) kan lages ved hjelp av tre andre. Ligning (15.3) kan imidlertid løses for hvilken som helst av de fire instrumentene. Til enhver tid er derfor en av byggeklossene overflødig, ettersom den kan fremstilles synte­ tisk (kunstig) ved å danne en portefølje av de tre andre. At både kjøps- og salgs­ opsjoner likevel eksisterer som separate verdipapirer henger sammen med at 15: OPSJONER

327

transaksjonskostnadene ved f.eks. kjøp av en risikofri obligasjon er høyere enn ved den syntetiske risikofrie obligasjonen som figur 15.3 viser. Før vi ser nærmere på hva som bestemmer opsjoners verdi før forfall, gjen­ nomgås såkalt salg-kjøp-paritet (put-call-parity). Dette er en nyttig sammen­ heng mellom verdien av europeiske salgs-og kjøpsopsjoner på samme aksje med lik innløsningskurs og gjenværende tid til forfall. Via denne sammenhengen kan vi eksempelvis bestemme verdien av en salgsopsjon hvis vi kjenner verdien av en tilsvarende kjøpsopsjon. Dermed kan vi konsentrere oppmerksomheten om modeller for verdsetting av kjøpsopsjoner. Salg-kjøp-paritet vises ved hjelp av eksemplene 15.3 og 15.4.

EKSEMPEL 15.3: Du kjøper en aksje i Saga Petroleum til dagens kurs på kr 88. Samtidig selger (skriver) du en kjøpsopsjon og kjøper en salgsopsjon på den samme Sagaaksjen. Begge opsjonene har innløsningskurs på kr 80 og forfall om tre måne­ der. Fra figur 15.3 vet du at denne porteføljen gir en risikofri kontantstrøm på 80 (I) ved forfall. La oss sjekke dette ved regning. Anta nå at aksjekursen ved forfall enten vil falle med kr 20 eller stige med kr 20, alt ettersom Sagas kvartalsresultat blir lavere eller høyere enn hva markedet i dag forventer. Med positiv overraskelse blir derfor AT > I (1 08>80). Blir resul­ tatet uventet dårlig, blir AT < I (68 I 1 . Eier aksjen; mottar 2. Solgt kjøpsopsjon; må betale

3. Eier salgsopsjon; verdiløs 4. Portefølje Tilstand 2 (uventet dårlig): AT < 1 1. Eier aksjen; mottar

2. Solgt kjøpsopsjon; verdiløs 3. Eier salgsopsjon; mottar 4. Portefølje

At A-l 0

1 0

aat 1

kr 108 28 0 kr 80

kr 68 0 12 kr 80

Eksempel 15.3 viser at porteføljens verdi ved forfall er lik innløsningskursen (kr 80) uansett hvilken av de to tilstandene som inntreffer. Porteføljens kontant­ strøm er derfor risikofri, slik vi fastslo generelt i figur 15.3. Selv om investor på investeringstidspunktet (t=0) ikke vet hvilken fremtidig tilstand som vil inn­ treffe ved forfall, er hun likevel sikret samme kontantstrøm uansett om aksjekur­ sen går opp eller ned. Investeringen på t=0 er kjøp av en aksje, kjøp av en salg­ sopsjon og salg av en kjøpsopsjon, dvs. tilsammen Ao+So-Ko. Hvis rF er den risi15: OPSJONER

328

kofrie renten for denne perioden, må derfor sammenhengen mellom investe­ ringen og den risikofrie kontantstrømmen ved forfall (I) være:

(15.4)

Ao + So-Ko= —

Uttrykk (15.4) sier at porteføljens verdi på kjøpstidspunktet er lik nåverdien av innløsningskursen. Omskrevet gir dette salg-kjøp-paritet (SKP):

(15.5)

K0-S0 = A0- —------ (l+rF)

Uttrykk (15.5) sier at forskjellen kjøps- og salgsopsjonens verdi er lik differan­ sen mellom aksjens verdi og nåverdien av innløsningskursen (opsjonens innløs­ ningskurs diskontert med risikofri rente). I uttrykk (15.5) er SKP skrevet med vanlig én-periodisk forrentning, dvs. rF er risikofri rente over opsjonenes løpetid. I opsjonssammenheng er det imidler­ tid vanlig å operere med kontinuerlig tid. I stedet for å se på eksempelvis en tre­ måneders opsjon over hele perioden i ett, innebærer kontinuerlig tid at de tre månedene deles inn i mange mindre perioder. Når antallet (diskrete) kortperio­ der innenfor de tre månedene går mot uendelig, får vi kontinuerlig forrentning. Uttrykk (15.6) viser salg-kjøp-paritet med kontinuerlig forrentning, hvor iF er årlig risikofri, kontinuerlig beregnet rente og T er løpetiden som andel av et år.

(15.6)

K0-S0 = A0-Ie-FT

Lesere som ikke er fortrolige med kontinuerlig forrentning henvises her til f.eks. ss. 239-240 i Risnes (1992) eller ss. 274-277 i Sydsæter (1993).

EKSEMPEL 1 5.4: I eksempel 15.3 kjøpte du en Saga-aksje for kr 88 og en tre-måneders salgs­ opsjon med innløsningskurs kr 80. Samtidig solgte du en tilsvarende kjøpsop­ sjon. På samme dag ble kjøpsopsjonen omsatt for kr 14,50. Tre-måneders risi­ kofri diskret rente var 2%, mens den kontinuerlige årsrenten var 7,9%. Ved hjelp av SKP kan salgsopsjonens verdi nå bestemmes. Brukes vanlig dis­ kret forrentning, må vi løse uttrykk (15.5) mhp. So:

So - Ko

Ao +

14,50- 88 +

15: OPSJONER

80 d+0,02)

329

Brukes kontinuerlig forrentning, gir uttrykk (15.6): So = Ko - Ao + le-’T = 14,50- 88 + 80-e’°'079|3/12) = 14,50- 88 + 78,40 = 4,90

Må salgsopsjonens verdi virkelig være kr 4,90, slik SKP påstår? Vi kan lett vise at svaret er ja ved å se hva som skjer hvis So var høyere eller lavere enn 4,90. Hvis f.eks. salgsopsjonen bare var verd 4 kroner, kan nemlig investor oppnå en risikofri arbitrasjegevinst (se kapittel 11.3 om arbitrasjebegrepet). Dette skjer ved å finansiere den risikofrie porteføljen med et risikofritt lån lik nåverdien av innløsningskursen (80/1,02=78,4). Kontantstrøm på investeringstidspunktet (t=0) er da:

Kontantstrøm 1. 2. 3. 4. 5.

Selg en kjøpsopsjon Kjøp en salgsopsjon Kjøp en aksje Lån nåverdien av innløsningskursen = Portefølje

+ +

kr 14,50 4,00 88,00

78,40 kr 0,90

Hvis salgsopsjonens pris er 4 kroner, vil derfor lånefinansiering gi en netto inn­ stramning lik kr 0,90 på investeringstidspunktet. Ved forfall (t= 1) er aksjekursen enten steget til 1 08 kroner eller falt til 68. Kon­ tantstrømmen for den lånefinansierte porteføljen blir da:

Kontantstrøm

1. 2. 3. 4. 5.

+ + =

Solgt kjøpsopsjon; må betale Eier salgsopsjon; mottar Eier aksje; mottar Lånet tilbakebetales Portefø je

At = 68

AT = 1 08

0 12 68 80 kr 0

kr 28 0 108 80 kr 0

kr

I eksempel 15.4 blir porteføljens verdi ved forfall lik null uansett hva aksjekur­ sen blir. Ved å lånefinansiere oppnås imidlertid en øyeblikkelig gevinst på kr 0,90, uten at investor har investert en eneste krone selv. En slik pengemaskin må 15: OPSJONER

330

nødvendigvis forsvinne når tilstrekkelig mange bruker den. Når investor opp­ dager at salgsopsjonen er underpriset og starter arbitrasjehandel, vil markedskursen på salgsopsjonen stige inntil den risikofrie arbitrasjegevinsten er for­ svunnet, dvs. når salgsopsjonen koster 4,90. Eksempel 15.4 illustrerer hvordan markedet gjennom arbitrasje vil tvinge en underpriset salgsopsjon tilbake til den likevekt SKP viser. Hvis salgsopsjo­ nen i stedet hadde vært overpriset og kostet kr 6, ville den motsatte strategien gi en sikker gevinst uten egeninvestering på investeringstidspunktet og null kon­ tantstrøm ved forfall. Den motsatte strategien vil si å kjøpe en kjøpsopsjon, selge en salgsopsjon for 6 kroner, selge en aksje short med levering ved opsjo­ nens forfall og plassere (investere) et beløp tilsvarende nåverdien av innløs­ ningskursen i risikofrie obligasjoner. Å selge short (engelsk short-selling) vil si å selge en aksje for fremtidig levering uten at du eier aksjen på salgstidspunktet. Investor som selger short spekulerer i at aksjen kan kjøpes på leveringstidspunkt til en pris som er lavere enn avtalt pris på salgstidspunkt. Du bør selv vise at denne porteføljen vil gi en øyeblikkelig gevinst på kr 1,10 uten at egne penger brukes, og at den gir en fremtidig kontantstrøm på null hva enten aksjekursen blir kr 68 eller kr 108. For en enkelt opsjon startet vi dette avsnittet med å fokusere på kontant­ strøm på forfallstidspunktet (t=T). Deretter etablerte vi SKP, som sier hva for­ holdet må være mellom kjøps- og salgsopsjoners verdi i dag (på investerings­ tidspunktet; t=0). Det vi nå trenger er et uttrykk (en modell) for verdien av en kjøpsopsjon før forfall. Er først kjøpsopsjonens verdi bestemt, kan salgsopsjo­ nens verdi bestemmes via SKP. Utviklingen av opsjonspristeorien har tatt utgangspunkt i europeiske opsjo­ ner. Det gjøres også i denne boken. Når ikke annet blir sagt eksplisitt, er derfor ikke teorien uten videre gangbar også for amerikanske opsjoner. I et første forsøk på å finne faktorer som synes å påvirke kjøpsopsjonens verdi starter vi med å studere en opsjonskursliste i figur 15.4. Holder vi oss til de fem aksjeopsjonene, viser første kolonne for kjøpsopsjonene at det 13.08.93 ble notert opsjoner med forfall i september og desember. Det er siste bokstav i verdipapirkoden som viser opsjonens forfallsmåned. Kjøpsopsjonenes forfallsmåned er definert med A til L, hvor A er januar, B er februar, osv. Salgsopsjonenes forfallsmåned er tilsvarende gitt bokstavene M til X. Andre kolonne viser at det på dette tidspunktet fantes kjøpsopsjoner med opp til åtte ulike innløsnings­ kurser (Bergesen med forfall i september).

15: OPSJONER

331

FIGUR 1 5.4: Opsjonskursliste fra Oslo Børs 13. august 1993. Opsjoner

Tiaksjck.undert. a/For- Inni fallsmåned kurs.

øper Selkursger KjEndr. øper Kjkurs

Høy oms. Lav oms. Siste Antal oms. kontrl baiÅpen ar.se

Tiaksjck.undert e/For- kurs Inni. failsmåned

Kjøpsopsjoner Hafslund Nycomed a. 100.00 3.00 H10I 110.00 H1II 3.00 H12I 120.00 2.00 H13I 130.00 2.00 H14I 140.00 0.25 150.00 H15I 0.00 H16I 160.00 -0 09 H10L 100.00 3.00 HlH12LIL 110.00 3.00 1.50 H13L 120.00 130.00 2.00 H14L 140.00 2.00 a. s 180.00 K18I K19I 190.00 4.00 4.00 K2C 200.00 4.00 K22I 220.00 5.00 K24I 6.00 240.00 K26I 260.00 4.0000 K18L 180.00 5 K19L 200.00 190.00 5.00 K20L 5.00 K22L 7.00 220.00 7.00 K24L 240.00 K26L 260.00 5.00 Norsk N16I 160.00 2.50 N17I 170.00 2.50 N18I 2.25 180.00 N19I 190.00 1 75 N20I 200.00 3.50 N22I 220.00 2.00 N17L 170.00 11.0000 N18L 180.00 N19L 190.00 2.50 N20L 200.00 4.00 N22L 220.00 2.00 Saga Petroleum S65I 65.00 2.00 S701 70.00 250 S75I 75.00 2.25 S80I 90.00 225 S90I 90.00 1.00 S65L 65.00 1.00 S70L 70.00 1.00 S75L 75.00 0.50 S8OL 80.00 125 S90L 90.00 1.X Bergesen d.y A/S B-aksjer B90I X.X -1 ewt 100.00 -1o.x00X Bill 110.00 B12I 120 00 -2.XX ■30 B13I B14I ’150.00 4C0000 -1-0.50 0X B15I 6164 -60 00 O.X BUL 11000 -050 B12L 120.00 -O.X B13L 130 0000 -050 B14L O.X B15L 140 150.00 •1.xX B16L 160.00 X28H 280 00 8.X 3.X X30H 300.00 X32H 320.00 7.X X34H 340 00 5.X Z36H 360.00 4.X X28I 280.00 9.X XXI 300.00 8.X X32I 8 00 320.00 X34I 340.00 6.X X3& 360.00 X38; 380.00 5.X 3.X 400.00 X3GJ 300 00 8.00 X32J 9.X 320.00 X.3A, 340.00 7.X 360.00 X3fL 7.XX 6 X38J 380.00 X40J 400.00 0BX-Aks|elr>dek5 Fortell 1994 XC4L 360.00 1.X Kværner

Hydro a.s

as

OBX-Aksjelndeks

X4GI

øper Selkursger kjEndr øper Kjkurs

Høy oms. Lav oms. AntaH oms. kontr balanse Åpen

Salgsopsjoner

32.00 2350 14.00 7.X 2.X 025 0.01 34.00 26.00 17.X 13.X 8.X 77.00 87.X 57.X 39.X 22.X 11.X 78.X 68.00 59.00 44.X 29.X 19.X 48.X 38.X 2820.XX 14.X 4.X 4150 3225.XX 21.X 950 22. X 18.X 1325 93 25X 2318.XX 15.X 12.X 7.X 5747 X00 38.X 2818 XX 12.X 6.X 350 39DC 3150 23.X 1850 1350 1050 90.X 70.X 50.X 30.X 13.X 32.X 71.X 51.X 34.X 1950 9.X 4 00X 7254.X 38.X 25. X 15.X 8 00 XX

36.X 27.X 16.X 8.X 3.X 250 2.X 38.X 29.X 20.X 14.X 950 83.X 73.X 6350 4350 25.X 13500C 8474.X 6550 48.X 3350 23.X 52.X 42.X 32.X 2215.X .X 5.00 4550 3650X 29. 2350 12.X 26X 20.X 14.X 10.x 3.75 27.X 22.X 17.X 14.X 7.X 61.X X.X 40.X 2922X00 13X 7.00 4.X 43.X 35. X 27.X 22.X 15.X 11.X 96.X 76X 53.X 3314.75X 97.X 78.X 58.X 38.X 22.X 1150 5.X 78.X X.X 44.X 29.X 18.X 10.X X.X

15.9 XX 14.X 7.X 14.X 8.00 3.X 3X 3.X 28.X 27.X 28.X 13.X 9.X 12.X 8.X 1350 9.X

40. X 40.X 4050 23. 13XX 18.X 8.X 23.00 12.00 -

20.X 20.X 20.00 X.X 28.X 22.X 19.X X.X 21.X 14.X 3.X 12.X 3.X 14.X 3.X

22. 11.XX 20.X 1050 21.X 11.X 14.X 1250 13.X 10.X 4.X 8.X 3.X 10.X 4.X 12.X 8.X 1250 7.X 12.X 7.X 28.X 19.X 2850 19.X 28.X 19.X 9.00 7.X 7.X 3.X 3.X 3.X 11 X 10.X 10.X

53X X 52.X 3314.XX 5227.X 850 29.X 14.X

33.X 33.X 33.X 21.X 17.X 11.X 7.X 17.X 8.75 3.X 350 - 3 50 23.X 22.X 23X 1S.X 750 12.X 7.X 16.7XX X.X 53.X X.X

00 210 520 400c 0 X00 X20 00 1000 xo 1500 00 0 IX0 00 110 2360 1040 1010 00 0 900 2350 0 9200 12X 6300 00 24040 00 10100 240X0 00 00 700 0 X0 220 5100 00 120 510 560X 00 0 220 31020 10

Hafslund Nycomed a.s

410 22X 5320 970 740 1130 3X 420 940 720 32070 1480 1130 480 X10 138020 1610 120 2X 6OC 5210 21X 1X 170 IX 2140 450 64020 2920 6480 162040 110 1470 11X 230 20 420 810 1080 1530 610 23X 33020 6307070 730 IX IX 770 1590 940 3X 1440 1920 210 200 260 540 IX 350

H10U 1X.X O.X H11U 110.X 0.X H12U 120.X 5^5 H13U 1X.X -1.X H14U 140 oc -2.X H15U 1X.X -2.X H16U 1X50 -3.X H10X 1X.X o.x H11X 110.X o.x H12X 120.X 5.X -1.x H13X 1X.X H14X 140.X -1.X K18U 1X.X K19U 190.00 o.x 0.00 K20U 0.24 200.X K22J 220.00 5.75 K24U 240.X o.x K26U 2X.X -1.X K18X 1X.X K19X 1X.X 0.49 0.99 K20X 290.X i 99 K22X 220.X 2.X K24X 240.X 2.X K26X 2X.X 4.00 Norsk Hydro N16U 1X.X o.x N17U 170.X o.x N18U 1X.X 5.15 N19U 190.X 055 N20U 2X.X O.X N22U 220.X o.x N17X 170.X 5.25 N18X 1X.X -1.X N19X 1X.X 155 N20X 1.X N22X 2X.X 220.X 0.50 S65U 65.X 050 S70U 70.X O.X S75U 75.X 0.00 S80U X.X o.x SXU X.X -1.00 S65X 6570.XX 0.00 ox S70X S75X 75.X 0.00 SXX 0.00 S90X X.X -1.X Bergesen d.y A/S B-eksjer B900 0o.xX B1CMJ IXX.XX o.x B11U 110.X B12U 120X o.x B13U IX •40 Xx 5.x B14U o.x B15U 1.X 150.00 B'B-'X 6U 1X50 1.X 110.x o.x 8i2X 120.X 5.X B'3X ■30 X o.x •40.X o.x 8‘5X 150.X 1.x 1X.X 1.x X28T 28G.X o.x XXT 5.X 3X.X X32T 320.X o.x X34T 340.X 5.X X36T 360.X X28J 300.X -1.x o.x X32U 340 320.XX 559 5.49 5.X X36U O.X X38U 3X.X 330.X -1.x 400.X XXV 3X.X X32V 320 X o.x o.x X34V 340.X 0.00 XXV 360 X l.X XXV 4X 38C XX 0.X X40V a.s

XX

B-4X

B-6X OBX-Aksieindeks

2X.X

XXJ

X34J

X40U

0.01 0.25 1.25 3.X 9X 16X 25.X O.X 2.X 4.X 8.X 13.X 0.01 051 0.25 0.X 3.X 9.X O.X l.X 2.X 5.X 10.X 19.X 0.0.0101 0.10 0.75 255 12.X 055 1.X 4.50 7.X 16.X 0.01 0.10 0.10 1.X 4.X 0.50 1.X 1.X 3.00 7X 0.01 0.01 001 0.01 1 00 3.00 7.50 13CX50 IX 4.x 8.X 12.X 18.X 051 051 0.01 0.10 2.X 0.01 0.01 0.01 2.X 7.X 16.X 30.00 050 1.X 4.50 1120.X X 32.X

2.00 2.X 3.X 5.50 12.00 19.00 29.00 2.50 46.XX 10.X 16.X 2.X 2.X 2.X 2.X 5.X 12.X 2.X 3.X 47.XX 13.X 23.X 1.X 1.X 2.X 2.75 455 15.X 23 25X 6.X 9.X 19X IX 2.X 2.X 2.X 6.X 2.X 3.X 3.X 4.X 8 50 l.X l.X 2.X 2.X 2.00 4.50 9.X 16.X 2.50 3.50 6.00 9.50 15.00 20 00 11.x00 o.x 21.X 11 XXX 23 XX 9X 19.X 342.XX 3X 6.X 14.X 24.X 36.00

368.X 370.X 372.X ’22.9544 122

374.X 376.X 378.X 123.02 122.95 122 54 123.16 122.55 122.95 122.X 122.55

10.00 10.X 10.X

l.X

l.X

1.X

2.X 2.X 4 XX 4.X 142.X 144.XX •4.X 6.X 58 0000 6.X 9.X 17X 9X 18.X 18.X

8.X

8.X

8.X

4.X 4.X 4.X 8.X 13.X 8.X 13.00 8.50 13.X 9.X 14.X 9.X 14.X 9.X 14.X o.x 3.X

o.x 2.X

O.X 3X

9 00 14X 7.X 14.X 9.X •6.X

00 IX c 1240 IX 20oo 15X 00 oo 200 o 1X10 oo 440 o 720 X 1106C IX6 430 oo 10 o0 20XX 0o 10 00 24X 1X 10100 •xcX10 100 70 0 10 202020 10 00 21X 2X 00 880 00 34020 00 XX 100 00 890 3X 00 670 2X 0 1580 202010 11X 17040 000 220 11020 2020 40X 0 5X Xoo 1220 410 350 720 2Xo 49C oo 11040X o 430 2X 2X0 310 3X oo 2XX oo 10 o0 X10

Futures OBX-Aksje indeks

OBXH 371.X cexiXJ 375.X 373.X 06 stat 9.50% 4631 463L 122.95 122.49 Norsk

92/02

5.X 5.X 5X 5.12 5.12

000 2XX 14020 320 170

Gjengitt med tillatelse fra AS Oslo Børs Informasjon.

Aksjekursene for de fem selskapene det handles opsjoner for var den 13.08.93 kr 135 for Hafslund Nycomed, kr 262 for Kværner, kr 208,50 for Norsk Hydro, kr 88 for Saga og kr 147,50 for Bergesen B. Ser vi i kolonnen for opsjonens siste omsetningskurs og leter etter noteringer med både samme tid til forfall og innløsningskurs, var det denne dagen tre sammentreff: Kjøpsopsjoner for Hafslund Nycomed og Bergesen med forfall i september og innløsningskur­ ser på kr 120 og 130, samt Kværner og Norsk Hydro med innløsningskurs kr 220. Fra de tilhørende opsjonsverdiene finner vi det første poenget, nemlig at opsjonsverdien øker med aksjekursen (for Hafslund Nycomed og Bergesen er de to parene av opsjonsverdier hhv. kr 14,59/28,50 og kr 8/19 med aksjekurser på 15: OPSJONER

332

hhv. kr 135 og kr 147,50, mens tilsvarende for Kværner og Norsk Nydro er opsjonsverdier på kr 40/3,50 med aksjekurser på hhv. kr 262 og 208,50). Denne innsikten gjør det mulig å sette opp grenseverdier for verdien av en kjøpsopsjon. Fra uttrykk (15.1) vet vi at nedre grenseverdi er 0:

(15.7a)

Ko > 0

hvor Ko er dagens verdi av kjøpsopsjonen. I motsatt ende kan ikke opsjonen bli mer verd enn den aksje den er skrevet på. Derfor blir den andre grenseverdien: (15.7b)

Ko < Ao

Den tredje grenseverdien følger av at opsjonens verdi ikke kan være mindre enn verdien den har ved øyeblikkelig innløsning, dvs. aldri lavere enn differansen mellom dagens aksjepris og innløsningskursen: (15.7c)

K0>A„~I

Disse tre grenseverdiene er illustrert i figur 15.5. Den virkelige verdien i dag, Ko, må altså befinne seg i det skraverte området.

FIGUR 1 5.5: Kjøpsopsjonens grenseverdier. Ko er opsjonskurs og Ao er aksjekurs.

Fra børskurslisten finner vi ytterligere to poeng om prising av opsjoner. September-opsjonene viser at opsjonsverdien avtar med økende innløsningskurs (f.eks. 15: OPSJONER

333

Saga september-opsjoner med innløsningskurser kr 75, 80 og 90 med opsjons­ verdier på hhv. kr 13,50, 10 og 4). Dette er temmelig opplagt. Jo høyere innløs­ ningskursen er, desto mindre sannsynlig er det at aksjekursen ved forfall er høy­ ere. Den tredje påvirkningsfaktor børslisten illustrerer er sammenhengen mel­ lom verdi og kontraktstid. For alle fire kjøpsopsjonene ser vi at desember-opsjonene er høyere priset enn tilsvarende september-opsjoner (f.eks. har Kværner opsjonene med innløsningskurs kr 260 opsjonsverdi kr 20 med desemberforfall mot kr 12 med forfall i september). Dette illustrerer at opsjonsverdien øker med tid til forfall. Årsaken er at jo lengre tid det er til forfall, desto større blir mulig­ heten for at opsjonen ved forfall er in-the-money. Sagt annerledes: En rett uten plikt er mer verd jo lenger du har den. Ved å studere børskurslisten har vi altså funnet at kjøpsopsjonens verdi sti­ ger med økende aksjekurs og kontraktstid og faller med økende innløsningskurs. Det viser seg nå at ytterligere to faktorer påvirker opsjonsverdien. Disse kan vi ikke slutte oss til fra børskurslisten alene. Opsjonsverdien påvirkes av usikkerheten i fremtidig avkastning på den aksjen opsjonen gjelder. 1 opsjonssammenheng brukes her ordet volatilitet som synonym for både varians og standardavvik. Det viser seg at opsjonsverdien øker med aksjekursens varians (volatilitet). Ved første øyekast virker dette motintuitivt i forhold til hva du tidligere har lært i finans om risikoaverse investorer. Forklaringen kommer fra det faktum at opsjoners minsteverdi er null. Figur 15.6 viser sannsynlighetsfordelingene for fremtidig aksjepris ved opsjonsforfall for to aksjer 1 og 2. Aksjene har samme forventede pris, men 1 har størst varians.

FIGUR 1 5.6: Sannsynlighetsfordelinger for aksjepris ved forfall (Aj og kontantstrøm

15: OPSJONER

334

I figuren er også inntegnet kontantstrøm ved forfall for en kjøpsopsjon på aksjene. Siden de to kjøpsopsjonene har samme innløsningskurs, er også opsjo­ nens kontantstrøm identisk dersom de to aksjene ender opp med samme pris ved opsjonsforfall. Fra figuren ser vi imidlertid at jo større aksjenes varians er (1 har størst varians), desto større er sannsynligheten for at opsjonen ved forfall er inthe-money. Det er altså størst mulig totalrisiko for aksjekursen som er best for opsjonseieren. I motsetning til hva vi er vant med fra KVM, hvor aksjeinvestor er risikoavers og bare er opptatt av systematisk risiko, har vi nå en situasjon hvor opsjonsinvestor fokuserer på aksjekursens totalrisiko og (alt annet likt) ønsker at den skal være størst mulig. Rente er den femte faktoren som påvirker kjøpsopsjoners verdi. Renten binder nemlig sammen fremtidig innløsningskurs og dagens opsjonspris. Jo høyere renten er, desto lavere er nåverdien av innløsningskursen. Høy rente impliserer derfor større verdi av kjøpsopsjonen (lav nåverdi av fremtidig innløs­ ningskurs). At risikofri rente er den riktige diskonteringsrente er imidlertid ikke så enkelt å vise. I 1973 viste imidlertid Fisher Black og Myron Scholes at det er mulig å lage såkalte risikofrie sikringsporteføljer (dvs. porteføljer sammensatt på en slik måte at kontantstrømsrisiko er null) ved å selge (skrive) kjøpsopsjoner på samme aksje det investeres i. Denne muligheten for å kombinere opsjonen og aksjer til en risikofri portefølje viser seg å gi teorigrunnlaget for at risikofri rente påvirker dagens verdi på kjøpsopsjonen. Hvis rF er én-periodisk rente, er sammenhengen mellom fremtidig innløs­ ningskurs (I) og dens nåverdi (Io) slik: I 1 + rF

Skrives derfor uttrykk (15.1) for investeringstidspunktet (t=0) i stedet for ved forfall (T), får vi:

(15.8)

Ko = max 0,

1 +

ff

Her ser vi at jo større rF er, desto mindre blir I/(l+rF) og derved det fradraget vi gjør fra Ao. Maksimalverdien av Ko blir derfor større jo høyere rentenivået er. Figur 15.5 viste hvordan opsjonens grenseverdier avhenger av aksjekursen. I figur 15.7 vises den eksakte sammenhengen mellom opsjonens faktiske verdi og aksjekursen før forfall med utgangspunkt i en formell modell for prising av kjøpsopsjoner (Black-Scholes modellen, som vi kommer tilbake til i kapittel 15,4).

15: OPSJONER

335

FIGUR 15.7: Kjøpsopsjonens verdi (KJ som funksjon av aksjepris før forfall (AJ. Grenseverdiene er de stiplede linjene.

Figuren viser at opsjonsverdien øker med stigende aksjekurs. Avstanden til grenseverdiene Ko> 0, Ko< Ao og Ko> Ao-I avhenger av de fire andre påvirk­ ningsfaktorene. Vi har så langt klargjort hvilke faktorer som påvirker verdien av kjøpsop­ sjoner. Analyseres salgsopsjoner, viser det seg at også verdien av disse avhenger av de samme fem faktorene. Imidlertid er ikke påvirkningsretningen lik, men vi nøyer oss her med å vise resultatene i tabell 15.1, som samtidig oppsummerer det vi resonnerte oss frem til om kjøpsopsjoner.

TABELL 1 5.1: Faktorer som påvirker verdien av kjøps- og salgsopsjoner.

Faktor Verdi av underliggende objekt (aksje) Innløsningskurs Tid til forfall Aksjens varians Risikofri rente

Kjøpsopsjon

Salgsopsjon

+ —

—

+ + +

+ + + —

I tabellen viser pluss- og minustegnene faktorenes effekt på opsjonsverdien. Vi ser at aksjens varians og tid til forfall virker i samme retning på både kjøps- og salgsopsjoner. De tre andre faktorene har motsatt påvirkningsretning for de to opsjonstypene. Vi har hittil bare diskutert europeiske opsjoner. De samme fem faktorene med samme fortegn som i tabell 15.1 virker imidlertid også på verdien av ameri­ 15: OPSJONER

336

kanske opsjoner. Det kan dessuten vises at verdien av amerikanske opsjoner er minst så stor som verdien av en tilsvarende europeisk opsjon. En intuitiv forkla­ ring på dette er at den amerikanske opsjonen er en europeisk opsjon med en til­ leggsfordel, nemlig retten til selv å velge innløsningstidspunkt når som helst før forfall. Ser vi tilbake på figur 15.7, betyr dette at på ethvert tidspunkt før forfall viser verdikurven for den europeiske opsjonen minsteverdien for en tilsvarende amerikansk opsjon. Hvis det forventes dividendeutbetalinger på aksjen i løpet av opsjonens kontraktsperiode, er det temmelig enkelt å korrigere for dividendens innvirkning på verdien av europeiske kjøpsopsjoner. Dette vises senere i kapitlet. Verdsettelsen av amerikanske opsjoner blir imidlertid langt mer komplisert hvis dividende utbetales før forfall. Hvis dividende derimot ikke utbetales i kontraktsperioden, vil det faktisk aldri lønne seg å innløse en amerikansk kjøpsopsjon før forfall. Tilleggsfordelen er derfor verdiløs. Hvis det derimot forventes dividende i løpet av kontraktsperioden, kan det være lønnsomt å innløse opsjonen like før aksjen går ex-dividende (dvs. på det tidspunkt investor mister retten til å motta utbytte, se kapittel 14.2). Vi har nå sett hvilke faktorer som virker i hvilken retning på opsjonens markedspris, både for europeiske og amerikanske kjøps- og salgsopsjoner. Fort­ satt vet vi imidlertid ikke hvordan de fem faktorene kan settes sammen i en modell som gir oss opsjonens verdi. Det som mangler er m.a.o. en ligning som viser hvordan kurven for opsjonens verdi i figur 15.7 eksakt bestemmes av de fem faktorene. I neste avsnitt skal vi bruke en enkel fremgangsmåte til å vise hvordan en slik ligning (modell) kan konstrueres.

1 5.3: BINOMISK OPSJONSPRISMODELL Både den binomiske modellen for opsjonsprising og den såkalte Black-Scholes modellen (presenteres i kapittel 15.4) gir et eksplisitt uttrykk for verdien av en kjøpsopsjon. Vi skal her nøye oss med å gjennomgå den én-periodiske bino­ miske modellen, som på en enkel måte bl.a. viser tre viktige forhold om opsjonsprising. For det første skal vi se at opsjonsprisen er uavhengig av sann­ synligheten for at fremtidig aksjekurs vil stige eller falle. For det andre viser modellen at opsjonsverdien er uavhengig av investorenes risikoholdning. Ende­ lig vil vi se at den eneste usikre variabelen i den binomiske opsjonsprismodellen er fremtidig aksjekurs. 1 den én-periodiske binomiske modellen tar vi utgangspunkt i at neste periodes aksjekurs vil bli en av to mulige verdier; enten høyere eller lavere enn dagens kurs. Eksempel 15.5 gir grunnlagsdata for et gjennomgangseksempel, mens figur 15.8 viser de mulige utfallene for aksjens verdi i en trestruktur.

15: OPSJONER

337

EKSEMPEL 1 5.5:

Anta at dagens aksjekurs på Norsk Hydro er kr 200. Avhengig av resultatet fra et meget usikkert oljeboringsprosjekt i Nordishavet vil aksjeprisen om tre måne­ der stige til kr 250 (øke med 25%) med 60% sannsynlighet. Med 40% sannsyn­ lighet vil kursen falle med 1 5% til kr 1 70. Tre måneders risikofri rente er 2%. Innløsningkurs på en kjøpsopsjon med forfall om tre måneder er kr 220.

FIGUR 1 5.8: En-periodisk binomisk kontanstrømsfordeling for en aksje.

Tidspunkt 0

Tidspunkt 1 p=0,6 -------------------------- ► A, — ø-Ao = 1,25-200, dvs. 250

Ao = kr 200------- 6

*■

(l-p)=0,4

Ai — n-A0 =0,85-200, dvs. 170

I figur 15.8 er Ao dagens aksjepris, mens ø er en multiplikator for aksjeprisøkningen (ø=l,25 i eksemplet). Tilsvarende er n multiplikatoren for aksjeprisnedgang (n=0,85). Sannsynligheten for prisoppgang og -nedgang er hhv. p (0,6 i eksemplet) og 1-p (0,4). Kjøpsopsjonens kontantstrøm ved forfall er vist i figur 15.9.

FIGUR 1 5.9: En-periodisk binomisk kontanstrømsfordeling for en kjøpsopsjon med innløsningskurs 220.

Tidspunkt 0

Tidspunkt 1 p=0,6

Ko = max[0, ø-A0-I], dvs. 30

Kn = max[0, n-A0-I], dvs. 0

(l-p)=0,4

15: OPSJONER

338

Figuren viser at det er 60/40 sjanse for at opsjonens kontantstrøm blir hhv. kr 30 eller null på forfallsdagen. Neste spørsmål er så hva opsjonen er verd i dag, dvs. på en hvilken som helst dag før forfall. For å kunne svare på det må vi først kon­ struere en sikringsportefølje, dvs. en risikofri portefølje av aksjer og opsjoner. Dette gjøres ved å kjøpe en aksje og samtidig selge (skrive) m kjøpsopsjoner på aksjen. I figur 15.10 vises kontantstrømmen for sikringsporteføljen ved de to mulige aksjeprisene.

FIGUR 1 5.10: Én-periodisk binomisk kontanstrømsfordeling for en sikringsportefølje.

Skal sikringsporteføljen virkelig være risikofri, må de to mulige utfallene på tidspunkt 1 være identiske. Vi må altså kreve at: øAo- mKø = nA0- mK Løses dette for m, får vi sikringsforholdet, dvs. det antall kjøpsopsjoner som må skrives pr. aksje for at porteføljen av aksje og opsjoner skal være risikofri:

(15.9)

m=

A0(ø - n)

Kø -K n

Setter vi inn tallene fra eksempel 15.2, blir sikringsforholdet: 200-( 1.25-0,85) m =-------------------30-0

= 2.67 Sikringsporteføljen må derfor bestå av 2,67 solgte kjøpsopsjoner pr. eid aksje. Tabell 15.2 viser at vi virkelig oppnår en risikofri portefølje ved å følge denne sikringsstrategien.

15: OPSJONER

339

TABELL 1 5.2: Sikringsporteføljens utbetalinger ved forfall.

Tilstand

Kontantstrøm, portefølje

Aksjekursen stiger Aksjekursen faller

øA()-mK0= 1,25-200-2,67-30, dvs. 170 nA0-mK = 0,85-200-2,67-0, dvs. 170

Sikringsstrategien garanterer altså en utbetaling på kr 170 ved forfall uansett hva aksjekursen blir. Dette kan nå utnyttes til å bestemme hva Ko må være hvis alle arbitrasjemuligheter skal elimineres. Nåverdien av utfallene på tidspunkt 1 må da være lik nettoinvesteringen på tidspunkt 0. Riktig diskonteringsrente er risi­ kofri rente, siden vi er garantert samme utfall uansett hva aksjekursen blir. Kra­ vet om null arbitrasjegevinst betyr derfor at følgende sammenheng må gjelde mellom investeringen på t=0 og kontantstrømmen på t= 1:

Ao - mKo =

nA,, - mK , .

Venstresiden viser investeringsbeløpet, mens høyresiden er nåverdi av fremtidig kontantstrøm. Her er utfallet ved kursnedgang satt inn i telleren på høyresiden. Ettersom utfallene er like i begge tilstander, kunne like gjerne utfallet ved kursøkning vært brukt. Løses dette mhp. opsjonsverdien, samtidig som vi setter inn for sikringsforholdet m fra (15.9), får vi: (15.10)

Ko =

1 + r,.r - n ø-n

ø — 1 — rF ø-n

Uttrykk (15.10) viser det vi lenge har lett etter, nemlig en ligning som gir dagens verdi av kjøpsopsjonen. Uttrykket kan forenkles ved å innføre et nytt begrep, sikringssannsynligheten q, definert ved:

(1 + r ) - n q = —7---------

ø-n

Uttrykk (15.10) kan dermed forenkles til: (15.11)

1 r K = --------- qK + (1 — q)K 0 (1 +rF) 4 0

I hakeparentesen inngår de to mulige utfallene for kjøpsopsjonen ved forfall, Kø og Kn. Usikkerheten om hvilket utfall som vil inntreffe er korrigert for ved sik­ ringssannsynligheten q. Hakeparentesen kan derfor sammenlignes med en sik15: OPSJONER

340

kerhetsekvivalent kontantstrøm på tidspunkt 1 (se kapittel 1.2). For å bestemme nåverdien (Ko) av denne sikre kontantstrømmen, diskonteres sikkerhetsekviva­ lenten tilbake til tidspunkt null med risikofri rente.

EKSEMPEL 1 5.6: Vi fortsetter eksempel 15.5 og beregner verdien av kjøpsopsjonen på Hydroaksjen. Først bestemmes sikringssannsynligheten q:

1 + 0,02-0,85

1,25-0,85 = 0,425

og: (1-q) = 1 -0,425 = 0,575 Nå kan vi sette inn i uttrykk (15.1 1):

K°=

0,425-30-0,575-0 1 +0,02

= 12,50

Kjøpsopsjonen er altså verd kr 12,50. Nettoinvesteringen i sikringsporteføljen (kjøp en aksje og selg 2,67 kjøpsopsjoner) blir:

A0-mK0= 200-2,67-12,50 33 166,67 Fra tabell 15.2 vet vi at sikringsporteføljen gir kr 170 uansett tilstand. Avkast­ ningen på sikringsporteføljen er derfor: 170 r =---------- - 1 166,67 3= 0,02 (2%) Dette resultatet viser at kjøpsopsjonen er riktig priset fordi den risikofrie sik­ ringsporteføljen gir en avkastning nøyaktig lik den risikofrie renten. Hadde kjøpsopsjonen hatt en høyere (eller lavere) pris, ville sikringsporteføljen gitt en høyere (lavere) avkastning enn risikofri rente. Derved ville muligheter for risi­ kofri arbitrasjegevinst oppstått (se eksempel 15.4). Ved en slik feilprising vil altså arbitrasjehandel tvinge opsjonsprisen til det nivået der risikofrie sikringsporteføljer verken gir mer eller mindre avkastning enn rF. 15: OPSJONER

341

Vi har nå priset kjøpsopsjoner i en modell som er så enkel at den ikke er særlig anvendbar i praksis. Når vi likevel gjør dette, er det fordi den én-perio­ diske binomiske OPM gir viktig innsikt om tre forhold: 1) 2) 3)

Opsjonsprisen er helt uavhengig av sannsynligheten for at aksjeprisen stiger eller faller. Investors risikoholdning er uten betydning. Den eneste usikre (stokastiske) variabel som opsjonsverdien avhenger av er fremtidig aksjepris.

I den én-periodiske binomiske modellen (uttrykk (15.11)) inngår ikke sannsyn­ ligheten (p) for kursoppgang eller -nedgang. Den eneste usikre variabelen i modellen er hva aksjekursen blir ved forfall, og denne er dessuten representert indirekte gjennom utfallet for opsjonens kontantstrøm, dvs. K =max[0, (øA0—I)] eller K=max[0, (nA0-I)]. Videre var det i utviklingen av modellen ikke nødven­ dig å gjøre noen forutsetning om at investor verken er risikoavers, risikonøytral eller risikosøkende. Vi skal komme tilbake til disse poengene senere. Den én-periodiske binomiske opsjonsprismodellen kan utvikles videre til en flerperiodisk versjon. I eksempel 15.5 kan f.eks. de tre månedene inndeles i tre perioder, hver på en måned. Da må imidlertid også aksjekursens mulige bevegelser i hver periode spesifiseres. Dette tar vi ikke opp i denne boken, men går videre til Black-Scholes modellen, som er utviklet i kontinuerlig tid, dvs. at opsjonens løpe­ tid (tre måneder i eksempel 15.5) er inndelt i et uendelig antall underperioder.

1 5.4: BLACK-SCHOLES MODELLEN Vi har sett at verdien av aksjeopsjoner påvirkes av aksjepris, innløsningskurs, gjenværende løpetid, aksjeavkastningens varians og risikofri rente. Vi har gjen­ nomgått hvordan opsjonen prises i en enkel én-periodisk modell. Nå skal vi være mer realistiske og ta hensyn til at aksjekursen kan endres kontinuerlig (og ikke bare med to mulige verdier) ved at løpetiden inndeles i uendelig mange perioder. I 1973 viste Black og Scholes hva som må til for å kunne verdsette (prise) europeiske kjøpsopsjoner når aksjekursen kan endres kontinuerlig. Modellen (BS-modellen) er imidlertid så teknisk å utvikle at vi nøyer oss med å presentere den fiks ferdig og deretter forklare den intuitivt. Black-Scholes opsjonsprismodell er som følger: (15.12)

Ko = A0N(d,) - Ie-'FTN(d2)

hvor:

lnf^ + LT \I / F

oVT

15: OPSJONER

+ — oVf 2

342

d2 = d, - o9f

N(d) = sannsynligheten for at en standard normalfordelt stokastisk variabel er mindre eller lik d G = aksjeavkastningens standardavvik T = gjenværende løpetid, målt som andel av et år i = kontinuerlig risikofri årsrente

BS-modellen inneholder alle de fem faktorer som vi tidligere så påvirket opsjons­ verdien. Utover å registrere at faktorene er med, lar vi den detaljerte diskusjonen av uttrykk (15.12) vente og starter med å illustrere BS-modellen i et eksempel.

EKSEMPEL 15.7: Hafslund Nycomed-aksjer ble notert til kr 135 den 13.08.93. Samme dag kan kontinuerlig risikofri årsrente beregnes til 6% (via den norske interbankrenten NIBOR). Kjøps- og salgsopsjoner med innløsningskurs kr 140 og forfall tredje torsdag i september (dvs. 1 6.09.93) ble 1 3.08 omsatt til hhv. kr 3,50 og kr 10. Basert på aksjens daglige avkastninger de siste seks månedene er aksje­

avkastningens årlige standardavvik estimert til 32%. Utfra disse opplysningene kan vi bruke BS-modellen direkte til å verdsette kjøp­ sopsjonen. Salgsopsjonen kan vi verdsettes indirekte via salg-kjøp-paritet (SKP). I BS er det alltid fordelaktig å beregne d, og d2 først.

g/T

2

ln(l 35/140) + 0,06-(34/365)

y-0,32-9(34/365)

0,32-9(34/3657 -0,03637 + 0,00559

+ 0,04883

0,09767

= -0,26631 d2 = d 1 — g9T

= -0,26631 - 0,32-9(34/365) = -0,36397

Neste skritt er å finne sannsynlighetene N(dJ og N(d2). Til det trengs tabell 15.3, som viser den standardiserte normalfordelingen: N(dJ = N(-0,26631) = 0,39500

15: OPSJONER

343

N(d2) = N(-0,36397) = 0,35793

I denne boken har vi hittil stort sett avrundet alle tall. Ved bruk av BS-modellen må vi imidlertid bruke mange desimaler. Modellen er nemlig ganske følsom for avrundingsfeil. Siden normalfordelingstabellen bare gir verdier for d, og d2 med to desimaler, er derfor verdiene for N(d,) og N(d2) bestemt ved lineær interpola­ sjon mellom de nærmeste tabellverdiene.

N(dJ og N(d2) settes så sammen med de øvrige opplysningene inn i uttrykk (15.12):

Ko = A0N(d,)-le-|JN(d2) = 135-0,39500- 140-e'0 06',34/365|-0,35793

= 53,32500- 140-0,99443-0,35793 = 3,49

Løses nå SKP fra uttrykk (1 5.6) med hensyn på So, kan vi finne verdien av salgs­ opsjonen:

So - Ko + le

Ao

= 3,49 + 140-e~° 06134/3651 - 1 35

= 3,49409 + 139,21972 - 135

= ZZL La oss så sammenligne de beregnede verdiene for kjøps- og salgsopsjonene med de virkelige opsjonskursene som ble notert i markedet den 13.08.93. Da viser det seg at kjøpsopsjonen er priset nesten likt, mens salgsopsjonen er priset noe høyere enn vår beregnede BS-verdi.

15: OPSJONER

344

TABELL 1 5.3: Standard-normalfordelingen: Halesannsynligheter a.

Standard-normalfordelingen: Halesannsynligheter a.

Tabellen gir a, der a = P (z > za) og z er standardnormalfordelt.

za

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4

.5000 .4602 .4207 .3821 .3446

.4960 .4562 .4168 .3783 .3409

.4920 .4522 .4129 .3745 .3372

.4880 .4483 .4090 .3707 .3336

.4840 .4443 .4052 .3669 .3300

.4801 .4404 .4013 .3632 .3264

.4761 .4364 .3974 .3594 .3228

.4721 .4325 .3936 .3557 .3192

.4681 ■ .4286 .3897 .3520 .3156

.4641 .4247 .3859 .3483 .3121

0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

.3085 .2743 .2420 .2119 .1841

.3050 .2709 .2389 .2090 .1814

.3015 .2676 .2358 .2061 .1788

.2981 .2643 .2327 .2033 .1762

.2946 .2611 .2297 .2005 .1736

.2912 .2578 .2266 .1977 .1711

.2877 .2546 .2236 .1949 .1685

.2843 .2514 .2206 .1922 .1660

.2810 .2483 .2177 .1894 .1635

.2776 .2451 .2148 .1867 .1611

1.0 1:1 1.2 1.3 1.4

.1587 .1357 .1151 .0968 .0808

.1562 .1335 .1131 .0951 .0793

.1539 .1314 .1112 .0934 .0778

.1515 .1292 .1093 .0918 .0764

.1492 .1271 .1075 .0901 .0749

.1469 .1251 .1056 .0885 .0735

.1446 .1230 .1038 .0869 .0722

.1423 .1201 .1020 .0853 .0708

.1401 .1190 .1003 .0838 .0694

.1379 .1170 .0985 .0823 .0681

1.5 1.6 1.7 1.8 1.9

.0668 .0548 .0446 .0359 .0287

.0655 .0537 .0436 .0351 .0281

.0643 .0526 .0427 .0344 .0274

.0630 .0516 .0418 .0336 .0268

.0618 .0505 .0409 .0329 .0262

.0606 .0495 .0401 .0322 .0256

.0594 .0485 .0392 .0314 .0250

.0582 .0475 .0384 .0307 .0244

.0571 .0465 .0375 .0301 .0239

.0559 .0455 .0367 .0294 .0233

2.0 2.1 2.2 2.3 2.4

.0228 .0179 .0139 .0107 .0082

.0222 .0174 .0134 .0104 .0080

.0217 .0170 .0132 .0102 .0078

.0212 .0166 .0129 .0099 .0075

.0207 .0162 .0125 .0096 .0073

.0202 .0158 .0122 .0094 .0071

.0197 .0154 .0119 .0091 .0069

.0192 .0150 .0116 0089 .0068

.0188 .0146 .0113 .0087 .0066

.0183 .0143 .0110 .0084 .0064

2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3.0 3.1 3.2 3.3 3.4

.0062 .0047 .0035 .0026 .0019

.0060 .0045 .0034 .0025 .0018

.0059 .0044 .0033 .0024 .0017

.0057 .0043 .0032 .0023 .0017

.0055 .0041 .0031 .0023 .0016

.0054 .0040 .0030 .0022 .0016

.0052 .0039 .0029 .0021 .0015

.0051 .0038 .0028 .0021 .0015

.0049 .0037 .0027 .0020 .0014

.0048 .0036 .0026 .0019 .0014

.0013 CP97 .CP69 ,0348 .0334

.0013 .0394 .0366 .0347 .0334

.0013 .0390 .0364 O345 .0331

.0012 .0387 .0362 O343 .0330

.0012 .0384 .0360 .0342 .0329

.0011 .0382 .0358 •O34O .0328

.0011 .0379 .0356 .0339 .0327

.0011 .0376 .0354 .0338 .0326

.0010 .0374 .0352 .0336 .0325

.0010 .0371 .0350 .0335 .0324

3.5 3.6 3.7 3.8 3.9

.0323 .0316 .0311 •0472 ,O448

.0322 .O315 .0310 .0469 .0446

O322 .0315 .0310 .0467 ,O444

.0321 ,O314 .0496 .0464 ■0442

.0320 .0314 .O492 .0462 .0441

.0319 .0313 .0488 .0459 .0439

.0319 .0313 .0485 .0457 .0437

.0318 .0312 .0482 .0454 .0436

.0317 .0312 .0478 .0452 .0434

.0317 ,0311 .0475 .0450 .0433

4.0 4.1 4.2 4.3 4.4

,0432 .0*21 .Cl 3 ,0586 .0354

.0430 •0420 .0413 O582 .0552

.0429 .0*19 .0412 ,O578 .0549

.0428 .0418 .0412 .0375 .0347

.0427 .0417 .0411 O571 .0345

.0426 .0417 .0411 .0568 ,O543

.0425 .0416 .0410 .0565 ,0541

.0424 ,O415 .0598 .0562 .0539

.0423 .0415 .0594 •O559 ,0s37

.0422 .0414 .0589 .0557 •0s36

4.5 4.6 4.7 4.8 4.9

,0534 ,O521 .0313 .0®80 .0®49

O532 .0520 ■O512 ,O676 ,0®46

.0331 .0*19 .0512 ,O®73 .0®45

.0330 .0518 .0®11 .0669 ,0®42

.0528 .0517 .0511 .0566 .0®40

.0527 .a5!? .0510 .0«63 ,0637

.0526 _0s16 .0697 .0560 O636

.0524 .0515 .0592 .0557 .0534

-O523 .0514 .0588 .0654 O633

•O522 .0514 O683 .0552 .O631

Kilde: Wenstøp, F: Statistikk og dataanalyse, Tana / 99 /. Gjengitt med forfatterens tillatelse.

15: OPSJONER

345

Forskjellen mellom markedsprisen og BS-pris er 1 øre for kjøpsopsjonen og kr 2,29 for salgsopsjonen. Denne forskjellen for salgsopsjonen betyr ikke nødven­ digvis at det er markedet som har priset den feil. I beste fall kan vi bruke den beregnede prisen som et signal om at det kan lønne seg å selge de (muligens overprisede) salgsopsjonene vi eier. Er vi sikre på at våre inngangsdata er gode, bør vi ta gevinsten før alle andre oppdager hva vi vet. Vi bør likevel neppe stole så sterkt på våre inngangsdata. Det er større grunn til å tro at avviket mellom markedskurs og beregnet kurs skyldes dårlige data. Spesielt vanskelig er det å estimere aksjeavkastningens fremtidige standardavvik basert på historiske data. BS-modellen er et viktig bidrag til moderne finansteori. Ved hjelp av fem parametre kan opsjonsverdier beregnes. Og best av alt er at fire av de fem kan observeres direkte på børssidene i f.eks. Dagens Næringsliv. Det er bare standar­ davviket som må estimeres. Det er nok en gang grunn til å fremheve hvilke faktorer som ikke trengs i beregningen. Først og fremst bygger vi ikke på opplysninger om investors risikoholdning. Aksjeprisene, som er avhengig av investors holdning til risiko, tas for gitt i OPM. I ligningen for Kf) har derfor ikke risikoholdning noen spesiell plass. BS-modellen kan derfor brukes av alle uansett deres risikoholdning. Der­ nest er opsjonsverdien uavhengig av aksjens forventede avkastning. Det er dagens aksjekurs som skal inn i modellen, og den kan avleses fra aksjemarkedet. Derfor kan alle investorer, uansett syn på om aksjekursen vil synke eller stige mye eller lite, være enige om den opsjonsprisen BS-modellen gir. BS-modellens forutsetninger har vi behendig omgått, utover å peke på at den gjelder europeiske kjøpsopsjoner og at den antar at markedet opererer konti­ nuerlig. Tilleggsforutsetningene er: ■ Short-selling er mulig (dvs. salg av en aksje til avtalt pris for fremtidig levering uten at selger nødvendigvis eier aksjen på avtaletidspunktet) ■ Ingen skatt eller transaksjonskostnader ■ Aksjen betaler ikke dividende ■ Risikofri rente er kjent og konstant i løpetiden. o

Åpenbart holder ikke alle disse forutsetningene i praksis. I den etterhvert omfat­ tende OPM-litteraturen er det imidlertid utviklet varianter av BS-modellen som håndterer de fleste av dem. Her skal vi nøye oss med å se nærmere på dividendespørsmålet. Som tidligere påpekt er det aldri lønnsomt å innløse amerikanske kjøpsopsjoner før forfall hvis aksjen ikke utbetaler dividende i kontraktsperio­ den. Følgelig vil BS-modellen uten videre gjelde for norske kjøpsopsjoner på aksjer som ikke gir utbytte i opsjonens løpetid. I motsetning til f.eks. i USA, hvor dividende utbetales hvert kvartal, vil vi derfor i Norge kunne bruke BSmodellen store deler av året også for dividendebetalende aksjer. Hvis nå dividende forventes utbetalt før opsjonen forfaller, kan BS-modellen tillempes ved å trekke nåverdien av forventet dividende fra dagens aksjepris, dvs.:

15: OPSJONER

346

(15.13)

K,, = [A„ - E(DXlp']N(d,) - Ie”fTN(d2)

hvor E(Dt) er forventet dividende utbetalt på tidspunkt t. Igjen merker vi oss at riktig diskonteringsrente er den risikofrie og ikke f.eks. aksjens avkastningskrav ifølge KVM. For lettere å kunne se sammenhengen mellom den binomiske modellen og BS-modellen omskriver vi grensebetingelsen i uttrykk (15.8) fra diskret til kon­ tinuerlig forrentning. Dette er vist i (15.14), mens (15.12) gjentar BS-modellen: (15.14)

Ko = max [0, (Ao - le’^)]

(15.12)

Ko = A0N(d,) - Ie”FTN(d2)

La oss foreløpig se bort fra den ulikheten mellom uttrykkene som skyldes at det ene er en max-funksjon og det andre en vanlig ligning. Da er hovedforskjellen at i BS-modellen multipliseres aksjeprisen med N(dj) og innløsningskursens nåverdi med N(dJ. Ved hjelp av derivasjon er det mulig å vise at N(d.) er lik vinkelkoeffisienten for den BS-baserte opsjonsverdikurven. Dette er vist i figur 15.11. N(d,) forteller derfor hvor mange kroner opsjonsverdien endres når aksje­ kursen endres med en krone. Vi ser at verdiendringen på opsjonen er større desto høyere nivå aksjekursen endres fra.

FIGUR 1 5.11: Kjøpsopsjonens verdi (Ko) som funksjon av aksjepris før forfall (Ao).

15: OPSJONER

347

Også N(d2) har en intuitiv forklaring. Det viser seg at N(d2) kan fortolkes som sannsynligheten for at opsjonen er in-the-money ved forfall. N(d2) er derfor tilnærmet lik sannsynligheten for at aksjekursen ved forfall er større enn innløs­ ningskursen (At>I). Både N(dj) og N(d,) ble beregnet i eksempel 15.7. Der fant vi at N(d,) ~ 0,40, dvs. at for hver krone aksjekursen øker vil kjøpsopsjonsprisen øke med ca. 40 øre. Tilsvarende fant vi at N(d2) ~ 0,36. Det betyr at den 13.08.93 vurderte markedet at det var 36% sjanse for at Hafslund Nycomed-aksjen ville være større enn innløsningskursen (kr 140) en drøy måned frem i tid (16.09.93). Et siste poeng om selve BS-modellen gjelder sikringsforholdet. I utvikling av binomialmodellen forutsatte vi at det alltid var mulig å holde en risikofri por­ tefølje av aksjer og kjøpsopsjoner (sikringsporteføljen). Det samme gjelder også i BS-modellen. I motsetning til i den binomiske modellen kommer imidlertid sikringsforholdet rett ut av BS-modellen. Det kan vises at sikringsforholdet er: m = —— N(d.)

(15.15)

Uttrykk (15.15) må forstås slik at hvis vi skriver (selger) m = 1/N(dj) kjøpsop­ sjoner for hver aksje vi kjøper, vil vi ha en risikofri portefølje.

EKSEMPEL 1 5.8: Vi går tilbake til eksempel (15.7) og beregner sikringsforholdet. Der fant vi at N(dJ = 0,395. Sikringsforholdet blir da:

1 m = -------0,395

= 2,53 Hvis vi kjøper 100 Hafslund Nycomed-aksjer, vil vi derfor ha en risikofri porte­ følje hvis vi samtidig skriver 253 kjøpsopsjoner på aksjen.

Vi må være varsomme med å tro at vi er sikret mot enhver aksjekursendring i hele opsjonens løpetid ved å selge 253 kjøpsopsjoner på Hafslund Nycomedaksjen samtidig som vi kjøper 100 aksjer. Sikringsstrategien er nemlig bare til­ nærmet risikofri for små endringer i aksjepris. Derfor må den revideres hver gang det skjer betydelige aksjekursendringer.

15: OPSJONER

348

EKSEMPEL 1 5.9: For å sikre investeringen i 100 Hafslund Nycomed-aksjer, kjøpt 13.08.93, solgte vi samtidig 253 kjøpsopsjoner på aksjen. Dagen etter var kursen bare kr 1 32, og spørsmålet er nå om vi fortsatt har en risikofri portefølje. For å kontrollere om vi fortsatt er sikret, må først beregnes på nytt:

ln(l 32/140)+ 0,06 (33/365)

0,32-^(33/365)

-■0,32-4(33/365) 2

= -0,50704

Dermed har vi: N(dJ = 0,30825

1

0,30825 = 3,24 Sikringsforholdet har altså endret seg fra 2,53 til 3,24. Skal vi fortsatt ha en sik­ ret portefølje, må vi derfor selge ytterligere 71 kjøpsopsjoner på Hafslund Nyco-

med-aksjene.

Det viser seg at opsjonsverdien fra BS-modellen er ganske robust mot endringer i fire av de fem modellparametrene. Modellen er imidlertid særlig følsom over­ for aksjeavkastningens standardavvik (volatilitet). Dessverre er dette også den eneste modellparameteren vi ikke kan observere direkte. Siden standardavviket gjelder en fremtidig periode, må det på en eller annen måte estimeres. Det er to vanlige måter å estimere det fremtidige standardavviket på. Den ene tar utgangspunkt i at historien gjentar seg, dvs. at det historiske standardav­ viket er beste estimat på det fremtidige. Den andre metoden bygger direkte på BS-modellen. Vi skal gjennomgå prinsippene bak begge metodene. I kapittel 3.5 brukte vi historiske aksjeavkastninger til å beregne aksjens beta. Samme datatype kan også brukes til å beregne aksjens historiske standard­ avvik. Vi må imidlertid passe på å bruke avkastninger som er mest mulig kon­ tinuerlig beregnet. Daglige avkastninger kommer nærmest dette idealet. Det er imidlertid ingen regel som avgjør om vi skal bruke daglige avkastninger over én, tre eller seks måneder. Hvis ulike investorer velger forskjellig tidshorisont for beregning av det historiske standardavviket, kan de for samme opsjon også beregne ulike opsjonspriser fra BS-modellen fordi de bruker forskjellige anslag 15: OPSJONER

349

på fremtidig standardavvik. Uansett om avkastningsseriens lengde er lang eller kort må vi imidlertid påse at den går helt frem til dagen i dag, for derved å sørge for at standardavviket også reflekterer de aller siste dagenes historie. Likevel må det også her brukes skjønn. Hvis de siste dagene har vært helt atypiske med store kursbevegelser, bør disse siste observasjonene utelates hvis normale kursbevegelser forventes i resten av opsjonens løpetid. Den andre måten å estimere standardavviket på er å beregne såkalt implisitt standardavvik. Der forutsettes det at den observerte markedsprisen på opsjonen tilsvarer den vi får fra BS. Dermed kan BS-modellen løses mhp. standardavvi­ ket. Dette beregnede standardavviket blir så et utgangspunkt for å bestemme det standardavviket som skal inn i BS-modellen. Avhengig av om investor tror aksjekursene i kontraktsperioden vil fluktuere mer, mindre eller omtrent som tidligere, fastsettes standardavviket til hhv. noe større, noe mindre eller likt det implisitte standardavviket. Beregning av implisitt standardavvik krever en EDB-modell. I BS-model­ len inngår standardavviket i N(d,) og N(d2), og standardavvik/varians kan derfor ikke løses eksplisitt. Beregningen må derfor gjøres implisitt ved prøve-og-feile metode, dvs. ved å variere standardavviket helt til den beregnede BS-verdien blir lik observert markedsverdi. Det finnes en standard programvare for bereg­ ning av BS-verdier, sikringsforhold, implisitt standardavvik, o.l. Som de fleste andre modeller i finans har også BS-modellen vært gjenstand for utstrakt empirisk testing. Hovedresultatene er at BS-modellen i gjennomsnitt priser at-the-money opsjoner (opsjonskurs nær differansen mellom aksjekurs og innløsningskurs) temmelig riktig. Modellen har imidlertid en tendens til å over­ prise out-of-the-money opsjoner og underprise in-the-money opsjoner. Med unntak av out-of-the-money opsjoner med svært kort tid til forfall synes det som om feilprisingen øker med differansen mellom aksjekurs og innløsningskurs. Flere tester viser også at jo kortere tid det er til forfall, desto større er feilpri­ singen. Også undersøkelser av implisitt varians viser at BS-modellen feilpriser kjøpsopsjoner, og at feilprisingen ikke er stabil over tid. Det vil trolig aldri kunne gjennomføres noen empirisk undersøkelse som en gang for alle fastslår hvor nøyaktig opsjoner prises med BS-modellen eller vari­ anter av den. For det første viser tester så langt at eventuell feilprising ikke kan utnyttes i kjøp- og salgstrategier som gir økonomisk gevinst, hensyn tatt til transaksjonskostnadene ved å følge strategien. Dernest er resultatene i alle studi­ ene avhengig av datautvalg, undersøkelsesperiode og fremfor alt beregningsme­ tode for standardavvik. Opsjonsprismodeller som BS-modellen er mye brukt av investorene i verdipapirmarkedet. Det i seg selv gir en tendens til at observerte opsjonspriser lig­ ger nær BS-priser. I denne boken er det imidlertid ikke verdipapirinvesteringer som er det sentrale. Her er vi mest opptatt av bedrifters investerings- og finansi­ eringsbeslutninger. Lesere som vil vite mer om verdipapirsiden av opsjoner og hvordan opsjoner kan brukes til risikostyring, henvises til utfyllende litteratur kommentert i appendiks B.

15: OPSJONER

350

1 5.5: OPSJONSTANKEGANG I KLASSISKE FINANSSPØRSMÅL Forrige avsnitt viste hvordan verdien av aksjeopsjoner kan bestemmes ved hjelp av BS-modellen. Det er flere grunner til at en slik prisingsteori er viktig. Først og fremst er aksjeopsjoner verdipapirer som omsettes over børs, og som vi der­ for trenger et verktøy for å besteme verdien av. Dernest finnes det andre opsjonsinstrumenter enn aksjeopsjoner i markedet, slik som renteopsjoner og valutaopsjoner. Endelig finnes det både direkte og indirekte (implisitte) opsjonstrekk i en rekke finansierings- og investeringsprosjekter. Det er dette siste punk­ tet vi nå skal behandle. For å begrense omfanget er noen av OPM-anvendelsene bare løst skissert. Først skal vi klargjøre opsjonstrekk ved selskapets kapitalstruktur. Det viser seg at et selskap kan vurderes både utfra kjøpsopsjons- og salgsopsjonstrekk. Ettersom vurderingen er enklest med kjøpsopsjoner, starter vi der med utgangspunkt i eksempel 15.10.

EKSEMPEL 15.10: AS Mopsjon er et lite selskap med en enkel kapitalstruktur. I tillegg til egenkapi­ talen er selskapet bare finansiert med ett eneste lån som forfaller om ett år. Belø­ pet som da skal tilbakebetales er kr 500.000 inklusive renter. For enkelhets skyld forutsetter vi at selskapet uansett skal avvikles om ett år, og at kontantstrøm om ett år inkluderer eventuell salgsverdi av selskapet. Opsjonselementet i AS Mopsjon kan illustreres av 15.12, som viser hvordan eiernes kontantstrøm om et år avhenger av selskapets kontantstrøm (kontantstrøm fra driften).

FIGUR 15.12: Kontantstrøm til eierne av AS Mopsjon som funksjon av sel-

15: OPSJONER

351

Eiernes kontantstrøm har nøyaktig samme form som for kjøpsopsjoner (se figur 15.1a). Eierne vil ikke motta noe som helst hvis selskapets kontantstrøm er min­ dre enn kr 500.000. Da vil hele kontantstrømmen gå til kreditorene, som har pri­ oritet foran eierne. Fordi aksjonærenes ansvar er begrenset til den innskutte kapi­ tal (eiernes kontantstrøm kan ikke bli negativ), kan derfor aksjekapitalen ses på som en kjøpsopsjon på hele selskapet. Bare hvis selskapets verdi ved forfall er større enn gjeldsforpliktelsen, vil aksjonærene utøve sin kjøpsopsjon og løse ut kreditorene. Vi kan derfor se på selskapet som om det er eiet av kreditorene, mens aksjonærene har en kjøpsopsjon på selskapets eiendeler. Denne retten vil aksjonærene bare benytte hvis kontantstrømmen er større enn gjeldsforpliktelsen, som er opsjonens innløsningskurs.

Uttrykk (15.3) viste sammenhengen AT+ST=RT+KT med en aksje som underlig­ gende objekt. Nå har vi imidlertid sett at egenkapitalen er en kjøpsopsjon med hele selskapsverdien (V) som underliggende objekt. Innsatt i uttrykk (15.1) får vi: (15.16)

VEt = max[0, (VT - VGt)]

hvor VEt er verdien av egenkapitalen (kjøpsopsjonen) og VGT er gjeldsforplik­ telsen (innløsningskursen), alt regnet ved forfall. Vi ser at hvis verdien av sel­ skapet ved forfall er mindre enn verdien av gjelden, vil aksjonærene velge å misligholde lånet ved å unnlate å benytte sin kjøpsopsjon (0>VT-VGT). Vi setter nå inn for AT=VT (selskapsverdien er det underliggende objekt) og Kt=VEt (egenkapitalen er kjøpsopsjonen) i (15.3), løser mhp. VT og får: (15.17)

VT = VET + (RT - ST)

Fra tidligere vet vi at selskapets markedsverdi er summen av gjeldens markeds­ verdi og egenkapitalens markedsverdi, dvs: VT = VEt + VGt Uttrykk (15.17) viser at selskapsverdien alternativt kan uttrykkes som summen av kjøpsopsjonen VET og nåverdien av risikofri gjeld RT minus salgsopsjonen ST. Markedsverdien av selskapets gjeld er altså differansen mellom verdien av risikofri gjeld og salgsopsjonens verdi:

(15.18)

VGt = Rt-St

Selskapet kan også vurderes med utgangspunkt i salgsopsjoner. Går vi tilbake til eksempel 15.10, er kreditorenes kontantstrøm ved forfall beskrevet i figur 15.13.

15: OPSJONER

352

FIGUR 1 5.13: Kontantstrøm til kreditorene i AS Mopsjon som funksjon av selskapets

Kontantstrømmen i figuren viser at kreditorene, som har prioritet foran aksjonæ­ rene, mottar hver eneste krone av selskapets kontantstrøm inntil hele gjelden er betjent. Av kontantstrøm utover kr 500.000 får de imidlertid ingenting. Selve kontantstrømmen i figur 15.13 er av nøyaktig samme type som den vi så i figur 15.1b for skrevne (solgte) salgsopsjoner. Kreditorenes posisjon i AS Mopsjon kan derfor beskrives ved at de har et risikofritt krav på kr 500.000 og har dessu­ ten skrevet en salgsopsjon til eierne med en innløsningskurs på kr 500.000. Kreditorenes situasjon ved forfall kan derfor uttrykkes som: (15.19)

VGt = min[VT,VGT]

Tilsvarende kan eiernes situasjon beskrives slik: De eier selskapet, har utstedt en risikofri obligasjon til kreditorene på kr 500.000 og har dessuten en salgsopsjon på selskapet med 500.000 i innløsningskurs. Vi har nå vist at gjeld og egenkapital kan sees på både som kjøps- og salg­ sopsjoner. Med eksempel 15.10 som utgangspunkt er disse to ulike perspekti­ vene sammenfattet i tabell 15.4.

15: OPSJONER

353

TABELL 1 5.4: Kreditorenes og aksjonærenes posisjon vurdert utfra kjøps- og salgs­ opsjoner.

Vurdert som kjøpsopsjon

Vurdert som salgsopsjon

Kreditorene: 1. Kreditorene eier selskapet 2. Kreditorene har solgt en kjøpsopsjon på selskapet til aksjonærene

Kreditorene: 1. Kreditorene har en risikofri fordring 2. Kreditorene har solgt en salgsopsjon til aksjonærene

Eierne: 1. Aksjonærene eier en kjøpsopsjon på selskapet

Eierne: 1. Aksjonærene eier selskapet 2. Aksjonærene skylder renter og avdrag til kreditorene 3. Aksjonærene eier en salgsopsjon på selskapet

Neste anvendelse av opsjonstankegangen gjelder selskapets investeringspro­ sjekter. En implikasjon av OPM er at økt risiko på det underliggende objekt vil øke verdien på både kjøps- og salgsopsjonen (se tabell 15.1). Gjennomfører sel­ skapet investeringer som øker selskapets eiendelsrisiko, vil derfor opsjonsver­ dien (egenkapitalen vurdert som kjøpsopsjon) øke. Hvis denne risikoøkningen i sin helhet er usystematisk, vet vi imidlertid fra KVM at selskapsverdien ikke endres (selskapsverdien påvirkes bare av systematisk risiko). Med uendret selskapsverdi og økt egenkapitalverdi, må konsekvensen derfor bli at gjeldsverdien avtar. Vi skal vise dette gjennom å utvide eksempel 15.10 om AS Mopsjon.

EKSEMPEL 15.1 1:

AS Mopsjon skal tilbakebetale et lån inklusive renter på kr 500.000 om ett år. Selskapets totale markedsverdi (gjeld + egenkapital) er 1,5 mill. kr. Variansen til selskapets totalavkastning (dvs. på gjeld og egenkapital) er 0,04, mens risikofri rente er 8%. Vi har nå lært at egenkapitalen kan sees på som en kjøpsopsjon på selskaps­ verdien. Dermed kan vi bruke BS-modellen fil å fastsette egenkapitalens mar­ kedsverdi. Vi setter inn i uttrykk (15.12) og får:

15: OPSJONER

354

VE0 = V0N(dJ - VGTe~'FTN(d2)

= 5,99306

d2= 5,99306-0,2-VT = 5,79306

Med så høye verdier for d, og d2 blir både N(dJ og N(d2) tilnærmet lik 1 . Set­ ter vi så inn alle kjente størrelser i BS-modellen, blir VE0 = kr 1 .038.442

Fra uttrykk (15.18) kan markedsverdien av gjelden uttrykkes som verdiforskjellen mellom et risikofritt lån og en salgsopsjon, dvs. VG0 = Ro - So. Dermed får vi: Ro~So = Vo-VEo

= 1.500.000- 1.038.442 = kr 461.558

Vi har tidligere fortolket N(d2) som sannsynligheten for at opsjonen ved forfall er in-the-money. I eksempel 15.11 er denne sannsynligheten tilnærmet lik 1. Dette betyr at hvis det er praktisk talt sikkert at egenkapitalen vil ha positiv verdi ved forfall, må også konkursrisiko (risiko for mislighold av lånet) være neglisjerbar. Dagens markedsverdi av et tilsvarende risikofritt lån med forfall om et år viser seg da også å være: R,

= VGTe 11/1 = 5OO.OOO-e~0,081 = 461.558

Her har vi derfor at VG0 = Ro. Salgsopsjonen har ingen verdi fordi kreditor er sikker på å få sitt tilgodehavende tilbake. Vi vil nå vise på enklest mulige måte hva som skjer hvis selskapet endrer eiendelenes totalrisiko, uten at deres systematiske risiko endres. I eksempel 15.12 forutsetter vi derfor at AS Mopsjon gjennomfører en rekke prosjekter med null nåverdi. Verdien av selskapet forblir uendret, men ikke verdien av gjeld og egenkapital hver for seg. Det foregår derfor en omfordeling av formue mellom de to kapitalinteressentene.

15: OPSJONER

355

EKSEMPEL 1 5.12: AS Mopsjon gjennomfører nå flere investeringer som alle har null nåverdi, dvs. at selskapsverdien ikke endres når markedet får vite om investeringsplanene. Alle de nye prosjektene har imidlertid så høy usystematisk risiko at variansen til eiendelenes avkastning øker fra 0,04 til 0,64.

BS-modellen kan nå brukes til å finne den nye verdien av egenkapitalen. Vi starter med å beregne d, og d2:

+ 0,08-1

d2= 1,87327-0,8VT = 1,07327 Tabell 15.3 viserat N(dJ = 0,96948 og N(d2) = 0,85843. Settervi igjen inn i BS-modellen, får vi VE0 = kr 1.058.005 (mot tidligere kr 1.038.442). Dermed blir markedsverdien av gjelden VG0 = kr 441.995 (mot tidligere kr 461.558). Summen av gjeld og egenkapital er fortsatt 1,5 mill, kroner. Selskapet har her utelukkende endret (økt) sin totalrisiko ved å øke den usyste­ matiske. Aksjonærene har likevel klart å øke sine verdier på bekostning av kredi­ torene, fordi kreditorene ikke har fått kompensert for økt selskapsrisiko gjennom høyere rente.

Vi ser også at gjelden i eksempel 15.12 ikke lenger er risikofri. Dermed er det heller ikke sikkert at kjøpsopsjonen (egenkapitalen) er in-the-money ved lånets forfall. Konkurssannsynligheten er økt fra ~0% til [1-N(d2)] ~ 14%. Salgs­ opsjonens verdi er økt fra null til kr 19.563 (R0-VG0). Vi kan også beregne avkastningskravet på den risikable gjelden, kG: 441.995 = 500.000-e‘kG 1

Løser vi ligningen for kG, finner vi kG = 12,3%. Dette er 4,3%-poeng høyere enn risikofri rente. Det er denne renten kreditorene bør kreve for ikke å bli skadeli­ dende ved økningen i AS Mopsjons totalrisiko (nåverdien av gjelden med risi­ kofri rente er 500.000-e 008=461.558). Dette eksemplet illustrerer også hvorfor det er ganske vanlig at kreditorene har strenge betingelser om selskapenes investeringsatferd i låneavtaler. For ikke å bli skadelidende ved at selskapet gjennom­ fører investeringer som øker totalrisikoen, kan de gjennom låneavtalen sikre seg retten til å nekte at slike prosjekter blir gjennomført. Det finnes mange andre eksempler på bruk av OPM. Vi har nå gjennomgått to av dem forholdsvis detaljert. De neste eksemplene blir bare kort kommentert. OPM kan brukes temmelig direkte til å bestemme verdien av tegningsretter til nye aksjer (se kapittel 9.8), siden dette er en amerikansk kjøpsopsjon med 15: OPSJONER

356

spesielt kort levetid. Også aksjekjøpsretten i obligasjoner med aksjekjøpsrett (se kapittel 9.5) kan prises ved hjelp av BS-modellen. Ordinære obligasjoner kan imidlertid også ha opsjonstrekk. Det er i dag ganske vanlig at låntaker forbehol­ der seg retten til både renteendringer og til å tilbakekalle lånet. Både renteendringsklausuler, tilbakekallingsopsjoner og opsjonselementet i konvertible obligasjoner er imidlertid temmelig vanskelig å prise ved hjelp av den enkle BSmodellen. Forøvrig brukes OPM også til å prise lånegarantier og til å sette riktig garantipremie ved fulltegningsgaranti av aksjeemisjoner. Også realinvesteringer har opsjonstrekk. Som ved finansinvesteringer gir opsjonselementet fleksibilitet, både i form av at beslutningen kan utsettes og ved at en kan ombestemme seg over tid. I de fleste slike prosjekter har selskapet muligheten til å avslutte et prosjekt etter et år, etter to år, osv. hvis det viser seg å være mindre vellykket. Denne avslutningsopsjonen har en verdi fordi den kan begrense fremtidige tap. Et annet opsjonstrekk er utsettelsesopsjonen, som sær­ lig er aktuell innen gruvedrift og oljeutvinning. Selv om selskapet har funnet gull eller olje, er det normalt ikke teknisk nødvendig å starte utvinning umiddel­ bart. Selskapet har en opsjon til å vente til f.eks. markedsprisene blir høyere. Slike opsjonstrekk ved investeringsprosjekter var det mange eksempler på i kapittel 7, hvor beslutningstrær og tradisjonell nåverdianalyse ble brukt til å verdsette opsjonene. Gjennom opsjonspristeori har vi nå fått en teoretisk sett mer velfundert måte å prissette opsjoner på. Enkelte opsjonstrekk i realinveste­ ringer er såpass ukompliserte at de lar seg verdsette med BS-modellen. Et eksempel her er avslutningsopsjonen. Andre er imidlertid langt vanskeligere og krever mer komplekse modeller. Interesserte lesere henvises til den litteraturen som er referert i appendiks B. I kapittel 3 og 4 lærte du at alt annet likt, er risiko en ulempe for alle risikoaverse investorer. Nå har vi imidlertid sett at for opsjonseieren kan størst mulig risiko være et gode. At opsjonsverdien øker med variansen til det underliggende objekts avkastning betyr likevel ikke at det nå forutsettes at investor skifter fra å være risikoavers til å bli risikosøker. Forskjellen ligger i at i KVM baseres sam­ variasjonen mellom en aksje og markedsporteføljen på hele sannsynlighetsfordelingen. Som vi har sett, bestemmes opsjonsprisen derimot bare av fordelingens haler (kjøpsopsjoner av høyrehaler og salgsopsjoner av venstrehaler). Det er derfor den samme sannsynlighetsfordelingen som ligger i bunnen både i KVM og OPM. Fordi opsjonsinvestor kan glemme den negative halen og blir rikere jo større den positive halen er, er stor varians en fordel for en risikoavers opsjons­ investor, men ikke for en aksjeinvestor. Kjøpsopsjoner er i høyeste grad et risikofylt verdipapir med sin egen usys­ tematiske og systematiske risiko. Sammenhengen mellom aksjebeta og beta til en europeisk kjøpsopsjon skrevet på aksjen er:

(15.20)

BK=N(d,)ABE

hvor BK er beta på kjøpsopsjonen og BE er aksjebeta.

15: OPSJONER

357

Kjøpsopsjonens beta bestemmes altså av aksjebeta, forholdet mellom aksjepris og kjøpsopsjonpris samt av det inverse sikringsforholdet N(d,). Gjen­ nom funksjonssammenhengen med K avhenger også BK av de fem variablene som bestemmer K. Retningen på avhengigheten mellom BK og de fem faktorene som bestemmer K blir imidlertid motsatt fordi kjøpsopsjonens verdi står i nev­ neren i (15.20). Dette gjør at BK faller når K øker. Kjøpsopsjonens systematiske risiko vil derfor øke med innløsningskursen og avta med aksjepris, risikofri rente, standardavvik og løpetid. Når vi ser på kjøpsopsjonen som et selvstendig verdipapir, er det derfor fortsatt slik at investor vil kreve kompensasjon for å bære systematisk opsjonsrisiko. Som illustrasjon på at BK normalt er atskillig større enn BE, beregner vi i eksempel 15.13 BK for Hafslund Nycomed.

EKSEMPEL 1 5.13: I Dagens Næringsliv fra 1 3.08.93 finner vi at aksjebeta for Hafslund Nycomed var 0,52. Med øvrige opplysninger som i eksempel 15.7 kan vi beregne syste­ matisk risiko for en kjøpsopsjon på Hafslund Nycomed aksjer:

= N(dJ — Be

= 7,9

Selv om opsjoner kan spores langt tilbake i historien, er børshandel med stan­ dardiserte opsjoner ganske nytt. I løpet av de drøye 20 årene som er gått siden den organiserte opsjonshandelen startet opp i Chicago, har det vært en meget stor vekst verden over både i volum og i utvikling av nye finansielle instrumenter med opsjonstrekk. Hittil er OPM først og fremst brukt i forbindelse med finansielle investeringer. Når det gjelder realinvesteringer er utviklingen i startgropen, men forskningsinnsatsen er stor. Det er derfor grunn til å tro at i fremtidens lærebøker om investeringsanalyse vil OPM være langt mer sentral enn i dag.

15: OPSJONER

358

1 5.6: OPPGAVER

OPPGAVE 15.1 a Hva er en kjøpsopsjon (call) og en salgsopsjon (put)? b Hva er forskjellen mellom europeiske og amerikanske opsjoner? c Vis grafisk hvordan det er mulig å oppnå en risikofri posisjon ved forfall gjennom å kombinere investeringer i aksjer, obligasjoner, kjøpsopsjoner og salgsopsjoner.

OPPGAVE 15.2 En investor kjøpte 100 Bergesen B-aksjer 13.08.93 til kurs kr 147,50. Hun kjøpte samtidig en salgsopsjon på (100) Bergesen B-aksjer med innløsningskurs kr 160 og forfall i desember. Opsjonskursen var kr 10,50 (se figur 15.4). Aksje­ kursen ved forfall (16.12) var kr 135. Vis investors kontantstrøm på en tidslinje hvis hun venter helt til forfall med å benytte opsjonen.

OPPGAVE 15.3 Hvis du 13.08.93 kjøpte både en kjøps- og en salgsopsjon på Saga-aksjer med innløsningskurs kr 90, måtte du betale hhv. kr 7,50 og kr 8 for opsjonene. Hva var opsjonene verd ved forfall (16.12) når Saga-kursen samme dag var kr 70,50.

OPPGAVE 15.4 13.08.93 kjøpte du en aksje og en kjøpsopsjon på Norsk Hydro-aksjer. Samtidig skrev (solgte) du en salgsopsjon på Norsk Hydro-aksjen. Innløsningskurs var kr 200 for begge opsjonene. Lag en figur som viser hvordan enkeltobjektenes og porteføljens kontant­ strøm ved forfall avhenger av aksjekursen.

OPPGAVE 15.5 16.09.93 kunne du kjøpe B-aksjer i Bergesen for kr 142. Samme dag var kursen på kjøps- og salgsopsjoner (innløsningskurs kr 160 og forfall 16.12) for hhv. kr 5,75 og kr 22. Ved opsjonsforfall tror du at aksjekursen enten vil ha falt til kr 140 eller steget til kr 190, avhengig av om OPEC klarer å stabilisere råoljemarkedet bedre. Vis hvordan du kan kombinere aksjer og opsjoner slik at du mottar en kon­ tantstrøm på kr 16.000 den 16.12, uansett om aksjekursen blir kr 140 eller kr 190 (se bort fra transaksjonskostnader og skatt).

15: OPSJONER

359

OPPGAVE 15.6 Hva er årlig risikofri rente basert på opplysningene i oppgave 15.5? Du kan for­ enkle ved å anta at tidsintervallet fra 16.09 til 16.12 er tre måneder i stedet for 92 dager.

OPPGAVE 15.7 Bergesen B-aksjen ble 13.08.93 omsatt for kr 147,50. Kursen på kjøpsopsjoner med innløsningskurs kr 160 og forfall 16.09 var kr 3,50. Kontinuerlig risikofri årsrente var 8%. Hvilken pris burde tilsvarende salgsopsjoner på Bergesen B-aksjer omset­ tes for?

OPPGAVE 15.8 I følge opsjonskurslisten i figur 15.4 var markedskursen kr 13 på en salgsopsjon på Bergesen-aksjer med innløsningskurs kr 160 og forfall 16.09 (tredje torsdag i september). I oppgave 15.7 ble imidlertid salgsopsjonens verdi beregnet til kr 14,81 med utgangspunkt i SKP. Vis hvordan du gjennom arbitrasjehandel kan utnytte denne situasjonen økonomisk.

OPPGAVE 15.9 Aksjer i AS Mopp noteres i dag til kr 100. Anta at aksjeprisen om fire måneder enten vil øke med 50% eller falle med 25%. Innløsningskursen på en kjøpsop­ sjon skrevet på denne aksjen er kr 105. Risikofri rente over fire-måneders perio­ den er 3%.

a b

Beregn sikringsforholdet. Hva er kjøpsopsjonen verd i dag?

OPPGAVE 15.10 Prisen på en aksje i selskapet AS Opsjon er idag kr 100. Anta at det bare er to fremtidige tilstander. I tilstand 1 stiger aksjeprisen til kr 115, mens den i tilstand 2 stiger til kr 200. Innløsningskurs på en kjøpsopsjon på denne aksjen er kr 110. Risikofri rente for perioden frem til opsjonen forfaller er 20%.

a

b

c

Vurder følgende utsagn: "I dette tilfellet må likevektsprisen på kjøpsopsjonen være minst kr 4,17". Beregn opsjonens likevektspris ved hjelp av den én-periodiske binomialmodellen. Forklar resultatet i lys av ditt svar på spørsmål a. Beregn sikringsforholdet med utgangspunkt i spørsmål b.

15: OPSJONER

360

OPPGAVE 15.1 1 En aksje vil enten anta verdien kr 150 eller kr 90 etter ett år. På denne aksjen er det skrevet en kjøpsopsjon (call) med innløsningskurs kr 110 og med forfall om ett år. Du velger å investere i en sikret portefølje. a b c

Hva må du gjøre for å oppnå en sikret portefølje? Anta at du sikrer en portefølje med 1.000 aksjer ved å selge kjøpsopsjoner. Hva er denne porteføljen verd om ett år? Aksjeprisen ved årets begynnelse er kr 95. Hva er kjøpsopsjonen verd ved årets begynnelse hvis risikofri årsrente er 8%?

OPPGAVE 15.12 Aksjer i AS Euro omsettes for tiden til kr 280. Variansen til aksjeavkastningen er målt til 0,5. Årlig risikofri rente er 8%. Selskapet forventes ikke å utbetale dividende i løpet av kommende halvår. a b

c

Hva er verdien av en europeisk kjøpsopsjon på aksjer i AS Euro hvis inn­ løsningskursen er kr 400, og forfall er om seks måneder? Hvor mange kjøpsopsjoner må kjøpes/selges hvis du eier 1.000 aksjer i AS Euro og ønsker å sikre denne aksjeinvesteringen? Etter én måned er kursen på Euro-aksjen steget til kr 320. Gir porteføljen fra spørsmål b fortsatt en sikker avkastning?

OPPGAVE 15.13 a Hva skjer med verdien av kjøpsopsjonen i oppgave 15.12 om AS Euro likevel bestemmer seg for å utbetale kr 20 pr. aksje i dividende om tre måneder? b Hva er dagens verdi av denne opsjonen hvis dividendeutbetalingen på kr 20 var forventet?

OPPGAVE 15.14 a Forklar hvordan eierne kan påvirke verdien av selskapets egenkapital ved å velge en bestemt risikoprofil på investeringene. b Forklar på hvilken måte eierne har en kjøpsopsjon når selskapet utsteder obligasjonslån med tilbakekallingsrett.

15: OPSJONER

361

OPPGAVE 15.15 Nullkuponglån betaler ikke renter (kupongrente lik null). De eneste betalings­ strømmene skjer ved låneopptak og ved tilbakebetaling av pålydende ved for­ fall. Låntaker mottar ikke lånets pålydende ved emisjonen, men et mye lavere beløp tilsvarende nåverdien av lånets pålydende hvor diskonteringsrenten er långivers avkastningskrav. AS Silurius har utestående et nullkupong obligasjonslån pålydende 32 mill, kroner med forfall om fire år. Markedsverdien av selskapets eiendeler er 48 mill, kroner, mens det årlige standardavviket på totalavkastningen er 36%. Kon­ tinuerlig risikofri årsrente er 8%.

a b c

Hva er verdien av egenkapitalen i AS Silurius? Hvor stor er konkurssannsynligheten? Hvor stor risikopremie (%-poeng utover risikofri rente) har långiver bereg­ net på dette obligasjonslånet?

OPPGAVE 15.16 AS Velur står foran et større investeringsprogram. I den forbindelse har styret bestemt seg for å gjennomføre en aksjeemisjon, hvor gamle aksjonærer tilbys én ny aksje for hver to gamle (dvs. emisjonsforholdet er 1:2). Emisjonskursen er kr 180, og tegningsperioden er 30 dager. Dagens aksjekurs er kr 240. Standardavviket til den årlige aksjeavkast­ ningen er 40%, mens kontinuerlig risikofri årsrente er 10%. Hva er kursen på tegningsrettene ved begynnelsen av første omsetningsdag? Sammenlign dette svaret med den teoretiske verdien på tegningsretten slik du lærte å bestemme den i kapittel 9.8.

15: OPSJONER

362

AVRUNDING 16.1: INNLEDNING 16.2: RISIKO 16.3: INFORMASJONSEFFISIENS 1 6.4: VERDISKAPENDE PROSJEKTER

16.1: INNLEDNING Denne læreboken i finansiell økonomi har gjennomgått teori og praksis om investerings- og finansieringsbeslutninger. Siden vi har presentert mange emner og dessuten behandlet dem ett for ett, er formålet med dette avsluttende kapitlet å oppsummere, utdype og integrere noen av hovedpoengene. Vi tar utgangspunkt i den trinnvise logikken i økonomisk prosjektanalyse slik den fremstilles i B&Gs innføringsbok. Figur 16.1 illustrerer at utgangspunk­ tet for prosjektanalysen er en idé eller et forslag om et investerings- eller finansieringsprosjekt. Slipper dette gjennom grovanalysen, går veien videre til en mer detaljert spesifikasjon av prosjektforutsetninger, etterfulgt av en budsjetteringsfase som ender opp i en forventet kontantstrøm. Deretter er oppgaven å anslå hvilken netto verdiskapning prosjektet kan forventes å gi, uttrykt som den for­ ventede kontantstrøms nåverdi. Siden et prosjekt i figur 16.1 kan være både en investering og en finansie­ ring, kan mesteparten av det vi har gjennomgått i denne boken kalles prosjekt­ analyse. I forhold til figur 16.1 vil vi i dette avrundingskapitlet fokusere på tre sider ved investerings- og finansieringsprosjekter som slår inn i alle trinn av pro­ sjektanalysen: ■ Risiko ■ Informasjonseffisiens ■ Verdiskapende prosjekter

16.2: RISIKO Et prosjekts nåverdi finnes ved å diskontere forventet kontantstrøm med en kapi­ talkostnad (risikojustert rente). Beregning av forventet kontantstrøm ble gjen­ nomgått i kapittel 2, hvor vi bygde på kjent stoff fra prosjektanalyse under sik­ kerhet. Deretter skiftet vi fokus fra teller til nevner i nåverdiuttrykket ved først å klarlegge ulike typer risiko (total, usystematisk og systematisk) ved hjelp av porteføljeteorien (kapittel 3). På basis av disse resultatene var neste trinn å vise forholdet mellom et prosjekts risiko og dets kapitalkostnad, dvs. kravet til minimumsavkastning i et investerings- eller finansieringsforslag (kapittel 4). I denne delen av boken så vi at den som legger alle egg i samme kurv bærer mer risiko enn den som ikke gjør det. Siden usystematisk risiko forsvinner ved diversifisering, vil en portefølje av mange enkeltprosjekter primært inneholde systematisk (ikke-diversifiserbar) risiko. For slike effisiente porteføljer vil en alltid stå overfor en avveining mellom risiko og forventet avkastning fordi en ikke får i pose og sekk samtidig: Du kan få høyere forventet avkastning, men kun hvis du også bærer mer systematisk risiko. Motsatt er det mulig å redusere risikoen, men da må det også aksepteres lavere forventet avkastning.

16: AVRUNDING

364

FIGUR 16.1: Prosjektanalyse trinn for trinn

Prosjektforutsetninger

I Likvid itetsbudsjettering

I Kontantstrøm

0 12 .... T ।------- 1------- t---------------------------------------------♦----- ► Tid

Denne innsikten uttrykkes eksplisitt i kapitalverdimodellen (KVM), som sier at prosjektets kapitalkostnad er summen av risikofri rente og et risikotillegg. Dette risikotillegget er kostnaden pr. risikoenhet multiplisert med det antall risiko16: AVRUNDING

365

enheter prosjektet har. I KVM er kostnaden pr. risikoenhet gitt ved markedets risikopremie, mens antall risikoenheter måles ved prosjektets beta. Jo mer pro­ sjektet bidrar til risiko i markedsporteføljen, desto mer systematisk risiko har prosjektet, og jo høyere er kapitalkostnaden. KVM impliserer også at fordi sel­ skapets eiere kan diversifisere sine satsinger gjennom et kapitalmarked, skal ikke selskapets ledelse tenke på risikospredning i sine prosjektanalyser. Diversifiseringen skjer mest effektivt gjennom finansielle instrumenter i kapitalmarke­ det; ikke ved at det enkelte selskap sprer sine realinvesteringer. Gitt sine forutsetninger er KVM en korrekt og uangripelig teori om forhol­ det mellom risiko og kapitalkostnad. Det betyr imidlertid ikke at alle norske sel­ skapers prosjektanalyser bør hente kapitalkostnader fra KVM. En kritisk forut­ setning for å bruke beta som det relevante risikomål er at eieme av selskapet som gjør analysen faktisk har en veldiversifisert formue. I praksis vet vi imidler­ tid at det bare finnes ca. 120 børsnoterte selskaper i Norge, at storparten av lan­ dets aksjeselskaper er små og at de ofte eies av et fåtall personer som hver for seg har plassert en betydelig del av sin formue i en eneste bedrift. I tillegg får de gjerne sin arbeidsinntekt i denne bedriften. Familieselskapet, konsulentpartnerskapet eller den ansatteeide hytteprodusenten er protoyper på selskaper med udiversifiserte eiere. I slike selskaper kan det føre galt avsted å vurdere risiko og kapitalkostnad i lys av KVM. De udiversifiserte eierne bærer usystematisk risiko ved virksom­ heten i dette ene selskapet. En ledelse som styrer etter eiernes interesser bør der­ for spre risiko ved å sette sammen prosjekter som samvarierer lite eller helst negativt med hverandre. Som vi har argumentert med flere ganger i denne boken, kan imidlertid en slik investeringsstrategi lett føre selskapet inn på pro­ duktområder hvor dets konkurranseevne er svak. Like fullt kan denne ulempen (lavere forventet kontantstrøm) oppveies av lavere risikokostnad for eierne (lavere kapitalkostnad). Selv om vi forlater KVMs verden er derfor selve porteføljeteorien like sen­ tral. Det er fortsatt usikkerheten i investors samlede portefølje som teller, og det relevante risikomålet i et enkeltprosjekt er stadig dets bidrag til denne porteføl­ jens risiko. Denne porteføljen er imidlertid ikke nå en veldiversifisert markeds­ portefølje, men en langt mer begrenset samling av virksomheter hvor selv det nye prosjeket som vurderes kan komme til å utgjøre en betydelig del. Vi så i kapittel 3.3 at i gjennomsnitt forsvinner over halvparten av et børs­ notert norsk selskaps risiko i en veldiversifisert aksjeportefølje (målt ved stan­ dardavvik). Udiversifiserte eiere bærer derfor atskillig mer risiko enn de ville ha gjort dersom de hadde valgt å spre sine satsinger gjennom kapitalmarkedet. Alt annet likt vil derfor kapitalkostnaden være høyest i selskaper med udiversifiserte eiere. Et prosjekt som er lønnsomt for et selskap med diversifiserte eiere kan derfor bli forkastet av et ellers tilsvarende selskap med udiversifiserte eiere. Betaverdier basert på samvariasjon mellom prosjekt og markedsportefølje måler ikke relevant risiko for udiversifiserte eiere. Her ser vi forøvrig en potensiell konflikt mellom to ulike risikohensyn i selskaper som har både diversifiserte og udiversifiserte eiere: De diversifiserte 16: AVRUNDING

366

ønsker en kapitalkostnad basert på beta, mens de udiversifiserte er best tjent med at den bestemmes av totalrisikoen. Vi ser også at jo større andel av et prosjekts risiko som er usystematisk, desto mer er det å vinne på et spredt eierskap (lavere kapitalkostnad). Vi konkluderer at porteføljetankegangen er viktig uansett eierstruktur, men at KVM kan gi gale signaler om risiko og kapitalkostnad. Merk også at selv om udiversifiserte eiere bærer mye risiko, kan de ha gode økonomiske og ikke-økonomiske grunner for å gjøre dette med åpne øyne. Selv på rent økonomisk grunnlag kan ekstrakostnaden ved udiversifisert portefølje (høyere kapitalkost­ nad) mer enn oppveies av at ansatte som eier sin arbeidsplass føler mer delaktig­ het, trivsel og arbeidslyst (høyere forventet kontantstrøm). Dessuten kan det finnes ikke-økonomiske argumenter. Familieeiere i tredje generasjon kan føle lojalitet overfor forfedres arbeid og en egenverdi i å videre­ føre tradisjoner og la eierstrukturen bestå. Sett utenfra kan det dessuten virke til­ litsvekkende for potensielle investorer at ledelsen tror så mye på selskapets fremtid at de satser store deler av sin formue på den. Selv hvor KVM ikke strekker til er likevel porteføljetankegang nyttig på selskapsnivå, dvs. når selskapet vurderes som en portefølje av prosjekter. For selskaper med én dominerende aktivitet kan det være mer nærliggende å bruke totalrisikomodeller, hvor hvert enkelt prosjekt analyseres risikomessig isolert fra alle andre. Her er særlig følsomhetsanalyse (kapittel 5) mye brukt i praksis. Sce­ narioanalyse (kap. 5) og simulering (kap. 6) er i samme modellkategori, men er ikke så utbredt som følsomhetsanalyse. I kapittel 15 studerte vi opsjoner, som bl.a. gir eieren en rett uten samtidig plikt. Selv om det meste av kapittel 15 dreide seg om opsjoner som finansielle instrumenter, vil vi nå vise klarere hvordan opsjonstankegangen er nyttig også ved selskapets risikoanalyse av egne investerings- og finansieringsprosjekter. På denne bakgrunn vil du også oppdage begrensninger ved den vanlige måten å gjøre prosjektanalyse på. Allerede i kapittel 7 om beslutningstrær illustrerte vi at det å kunne utsette beslutninger i påvente av ny informasjon og å kunne ombestemme seg i løpet av et prosjekts levetid kan ha selvstendig økonomisk verdi. Eksempelvis trenger ikke oljeselskapet ta utbyggingsbeslutningen før det foreligger data fra prøveboringen. Etter produksjonsstart kan selskapet forløpende endre kapasitet, justere produksjonsvolum eller korte ned på prosjektlevetiden, alt avhengig av hva fremtidige priser og kostnader viser seg å bli. Dette eksemplet illustrerer at fleksibilitet reduserer risiko. Prosjektets risi­ koprofil kan derfor påvirkes ved å bygge inn opsjoner i selve prosjektkonseptet, slik som å inngå leveringsavtaler med reforhandlingsrett, bruke innsatsfaktorer hvor det finnes mer enn en leverandør, velge produksjonsutstyr som enkelt kan ombygges, bygge inn renteendringsklausuler og innløsningsrett i låneavtalene eller sikre seg konverteringsrett til langsiktig finansiering ved kortsiktig låne­ opptak. På det private plan kjenner vi vel alle personer med slike behov for flek­ sibilitet. Da slår det gjeme ut i form av at en selv ikke vil binde seg til noe som helst, samtidig som en insisterer på krystallklare og ufravikelige løfter fra andre. 16: AVRUNDING

367

Prisen slike personer betaler for den fleksibilitet de oppnår er vel ofte stort tap av sympati. Det er snarere regelen enn unntaket at investerings- og finansieringspro­ sjekter har opsjonstrekk. Spørsmålet er derfor hvilken økonomisk verdi fleksibi­ litet har. Her kan vi for det første konstatere at en del av denne risikoreduksjo­ nen er usystematisk og dermed uten betydning for en veldiversifisert eier. Full effekt av opsjonstankegangen blir det derfor først når vi kommer utenfor en KVM-verden og over i risikostyring på selskapsnivået. For det andre er det ikke slik at all relevant risiko som kan reduseres også bør reduseres. Dette er bare en variant av prinsippet om at risikoaversjon ikke impliserer at risiko bør minimeres. Som du fort oppdager fra eksemplene over, er risikoreduksjon gjennom større fleksibilitet ikke gratis. Dette er da også helt etter læreboken, all den stund essensen i en opsjonskontrakt er å overføre risiko mellom partene. Ifølge både teori og praksis overtar ikke investorer flest udiversifiserbar risiko uten kompensasjon. Selv med disse to reservasjonene må vi likevel konstatere at tradisjonelle modeller i prosjektanalyse, slik de fremstilles i figur 16.1, neglisjerer verdien av fleksibilitet. Når vi der beregner forventet kontantstrøm og risikojustert rente, settes egentlig verdien av fleksibilitet lik null fordi vi ikke eksplisitt legger inn prosjektets opsjonstrekk i selve den økonomiske analysen. Det antas implisitt at alt bestemmes på tidspunkt null og at det ikke er justeringsmuligheter underveis. Klassisk prosjektanalyse basert på diskontering av forventet kontantstrøm vil derfor undervurdere verdien av prosjektforslag som har opsjonstrekk, og de mest fleksible prosjektene vil lide mest. Som vi så i kapittel 7, deler ikke beslut­ ningstrær denne svakheten, siden vi der eksplisitt legger inn sjansepunkter og beslutningspunkter i løpet av prosjektets levetid. Opsjonsprismodeller kas sees på som en videreføring og rendyrking av samme tankegang, og det forskes intenst på mulighetene for praktisk bruk av opsjonsprismodeller i økonomisk analyse av realinvesteringsprosjekter, slik som et oljefelt. Det vil fortsatt ta noen år før dette stoffet eventuelt når lærebøker i en slik form at det raskt nedfeller seg i endret praksis. Inntil det skjer er det viktig å være bevisst denne implisitte forutsetningen om null fleksibilitet i klassisk pro­ sjektanalyse. Løsningen på dette problemet er imidlertid ikke å forkaste disse analysemåtene, siden de stadig er de beste vi har. Vårt råd er å først erkjenne at disse analysene bare er én blant flere viktige faktorer som bør legges vekt på i den endelige prosjektbeslutningen. Forsøk derfor først å supplere med beslut­ ningstrær. Glem heller ikke at selv om fleksibilitetsverdien er vanskelig å tall­ feste, kan en kvalitativ vurdering gi viktig informasjon. Fortrolighet med selve opsjonstankegangen gjør deg dessuten i stand til bedre å utforme selve prosjektidéen slik at åpenbart lønnsom fleksibilitet bygges inn allerede fra starten. Pro­ blemet oppstår først når du vanskelig kan avgjøre om fleksibiliteten er lønnsom uten å ha regnet på det. Etter alt du har lest og lært om risiko i finansiell økonomi er det imidlertid nå på sin plass å advare mot spurvejakt med kanoner. Risikoanalyse er kostbart. Derfor bør du umiddelbart etter grovanalysen i figur 16.1 avklare om risiko i det 16: AVRUNDING

368

hele tatt kan forventes å spille noen rolle for den prosjektbeslutningen som skal tas. Dette oppdager du fort ved å skissere nåverdiprofilen til de prosjektene som skal analyseres. Finner du eksempelvis ut at et uavhengig investeringsprosjekt har 30% internrente på reell kontantstrøm etter skatt, skal det svært mye risiko til før prosjektet blir ulønnsomt. Risikonivået vil riktignok påvirke kapitalkost­ naden og dermed bestemme hvor mye positiv nåverdien blir, men neppe beslut­ ningen om å si ja eller nei til prosjektet. Tilsvarende kan det hende ved gjensidig utelukkende prosjekter at nåverdiprofilen for ett av prosjektene ligger øverst og er positiv for enhver diskonteringsrente opp til et nivå tilsvarende prosjektbeta på 2.1 begge tilfeller er det høyst sannsynlig ulønnsomt å bruke ressurser på inn­ gående analyse av risiko og kapitalkostnad.

1 6.3: INFORMASJONSEFFISIENS I kapittel 9 gjennomgikk vi kapitalmarkedets tre hovedoppgaver: 1 2 3

Kanalisere og samle kapital Omfordele og spre risiko Prissette økonomisk virksomhet.

Diskusjonen av den udiversifiserte eier i avsnitt 16.2 understreker ytterligere den andre oppgaven: Finansielle instrumenter omsatt i et aktivt kapitalmarked muliggjør et skille mellom produksjon og risikobæring. Produsent og investor kan dermed konsentrere seg om det de har best forutsetninger for: Produsenten kan glemme risikospredning og spesialisere seg i produksjonen. Investor kan fokusere på risikobæring til minimum kostnad gjennom utstrakt diversifisering. I dette avsnittet skal vi se nærmere på kapitalmarkedets prissettingsfunksjon (dvs. den tredje hovedoppgaven) og undersøke hvordan informasjonseffisi­ ens påvirker mulighetene til å løse denne oppgaven. I et informasjonseffisient kapitalmarked vil prisene raskt reflektere til­ gjengelig informasjon. På dette grunnlaget definerte vi i kapittel 4.5 tre grader av effisiens (svak, halvsterk og sterk) basert på tre ulike informasjonssett (hen­ holdsvis aksjens kurshistorie, all offentlig informasjon og all informasjon). I et effisient marked er du beskyttet mot egen uvitenhet. Med dette mener vi eksempelvis at hvis aksjemarkedet er halvsterkt effisient, trenger du ikke bekymre deg over at du selv bare kjenner til en brøkdel av offentlig tilgjengelig informasjon om Norsk Hydro. Du kan like fullt kjøpe eller selge Hydro-aksjer i visshet om at til tross for din uvitenhet vil den prisen du gir eller får likevel reflektere den informasjonen som er offentlig kjent. Motsatt følger at i et effisient kapitalmarked er det bare de lynraske som tjener noe på å bruke ny informasjon. Bare de aller første informasjonsbrukerne høster nyhetsverdien. Deretter forsvinner verdien nettopp fordi nyheten brukes til kjøp og salg av finansielle instrumenter. Moralen for investorer flest er derfor at i et effisient marked er du godt beskyttet mot å bli lurt fordi prisene er til å stole på. På den annen side er det til16: AVRUNDING

369

svarende vanskelig å bruke kjent informasjon til å finne feilprisede finansielle instrumenter. Det beste en kan gjøre i et effisient marked er derfor å glemme idéen om under- og overvurderte verdipapirer og heller følge porteføljeteoriens råd om å holde en bredt diversifisert portefølje. I så måte kan en gjerne la en ape kaste piler mot avisens børssider og kjøpe aksjer utfra de selskapsnavn pilene lander på. Sørg bare for at apen kaster mange piler, og pass på at den ikke bare kaster mot selskapsnavn i bestemte næringer. Forøvrig er nok apemetoden både dyrere og mer upraktisk enn å kjøpe andeler i ikke-spesialiserte aksjefond. Sett fra selskapets side innebærer informasjonseffisiens at markedsverdien til enhver tid er riktig i den forstand at den reflekterer kapitalmarkedets samlede tolkning av tilgjengelig informasjon om fremtidig inntjening. I et effisient mar­ ked bør derfor ikke finansdirektøren utsette en planlagt egenkapitalemisjon med den begrunnelse at han vil vente til selskapets aksjer er riktigere priset utfra den informasjon investorene har om fremtidsutsiktene. I et ineffisient kapitalmarked faller disse konklusjonene mer eller mindre sammen, avhengig av graden av ineffisiens. Investor er ikke lenger beskyttet mot egen uvitenhet, det kan være lønnsomt å bruke kjent informasjon i kapital­ markedet, og det kan være bedre å satse på noen få selskaper fremfor å diversifisere. Ledelsen har ikke lenger samme grunnlag for å bruke observerte aksjekur­ ser til å anslå selskapsverdi, risiko og kapitalkostnad, og timing av nyemisjoner kan ha et velfundert økonomisk grunnlag. Graden av effisiens i kapitalmarkedet har derfor sterke konsekvenser for hva både tilbydere og etterspørrere av finansielle instrumenter bør konsentrere seg om. På basis av bl.a. det vi refererte i kapittel 4.5 kan vi ikke påstå at all norsk og internasjonal empiri entydig støtter hypotesen om et effisient marked. Likevel er vårt råd at du, både som ansatt i et selskap og som investor i kapital­ markedet, innretter deg som om markedet er rimelig effisient. Tilsvarende råder vi deg til både å være en smule skeptisk og til å stille kritiske spørsmål til den som påstår at markedet er kronisk ineffisient eller bruker argumenter om atferd i kapitalmarkedet som implisitt forutsetter ineffisiens. Eksempelvis finnes det alltid mennesker som har tjent en formue på teknisk aksjeanalyse i det siste. Disse skrives det ofte om; både i reklamen og i avisene. Glem imidlertid ikke resten av historien, selv om du aldri ser den i reklamen: Det finnes også investorer som har tapt formuer på akkurat den samme analysemåten. Akkurat som i Lotto er det lett å overfokusere på den første kategorien investorer og glemme den andre. I et effisient marked vil vi vente å stadig finne både vinnere og tapere. Du selv har selv ingen mulighet til å påvirke hvilken kategori du havner i. Dette sier vi ikke fordi vi er hellig overbevist om at effisiente kapitalmarkeder er en naturlov. Tvert imot tviler vi på at kapitalmarkedet har denne egenskapen. Likevel tror vi at dersom du systematisk skal kunne utnytte et ineffisient marked til din fordel, må du regne med å bruke mye ressurser og være raskere og heldigere enn de fleste andre. Dette krever både høy selvtillit, stor lommebok og mye kompetanse. Nå finnes det selvfølgelig situasjoner der du vet nesten med sikkerhet at din informasjon ikke er reflektert i prisene. Dette gjelder nok særlig situasjoner der du 16: AVRUNDING

370

får tilgang til fortrolige opplysninger gjennom jobben. Eksempelvis kan vi tenke oss at en ansatt i Samferdselsdepartementet har opplysninger som tilsier at mot alle odds vil kollisjonsputer (airbags) blir påbudt i alle nye biler i Norge om ett år. Når denne uventede informasjonen blir kjent, vil kursen på SensoNor aksjer stige, siden SensoNor produserer utløsningsmekanismer for kollisjonsputer. Dette er et eksempel på kursrelevant informasjon som ikke er reflektert i kursen, og som det vil være tilsvarende fristende å utnytte til egen fordel. Sam­ tidig er det klart at den ansatte som bruker slik informasjon til å kjøpe aksjer i SensoNor utnytter innsideinformasjon på ulovlig måte. Det er imidlertid like klart at selv om den ansatte ikke kan handle for egen regning uten å bli opp­ daget, er det vanskeligere for myndighetene å identifisere en innsidebasert han­ del som skjer gjennom venner og kjente. Dette eksemplet er ikke ment som en oppskrift på hva du bør gjøre med innsideinformasjon eller hvordan du kan lure Økokrim. Tvert i mot. Vi tar det med for å minne om den etiske siden ved informasjonsbruk, og hvordan denne problemstillingen viser seg når du får fortrolig informasjon, enten som ansatt, kunde eller leverandør.

1 6.4: VERDISKAPENDE PROSJEKTER Et selskap kan skape verdier for sine eiere gjennom de investerings- og finansie­ ringsprosjekter som gjennomføres. På basis av det vi har gjennomgått i denne boken diskuterer vi nå hvilke muligheter selskapet har til å greie dette. Kapitlene om kapitalstruktur (10, 11 og 12) og dividendepolitikk (14) viste at med et perfekt kapitalmarked (som bl.a. innebærer sterk informasjonseffisi­ ens) er finansieringsbeslutninger irrelevante for selskapets verdi. I en slik verden finnes det ingen verdiskapende finansieringsprosjekter. Perfekte kapitalmarkeder er en idealisert abstraksjon som det er helt nød­ vendig å ta utgangspunkt i når en vil analysere en kompleks, uoversiktlig virke­ lighet. Det relevante spørsmålet er derfor ikke hvorfor vi trenger urealistiske modellforutsetninger i finansiell økonomi. Poenget er snarere i hvilken grad den virkelige verdens imperfeksjoner rokker ved konklusjonene fra det idealiserte tilfellet. Skatter vil ikke nødvendigvis gjøre dette. Selv om beskatningen virker finansieringsdiskriminerende på selskapsleddet og investorleddet hver for seg, så vi i kapittel 12 at systemet likevel kan være nøytralt når skatteeffekten vurde­ res samlet for begge ledd. Dagens norske skattesystem har denne nøytralitetsegenskapen, selv om det favoriserer gjeld på selskapsleddet og egenkapital på investorleddet. Summert over de to leddene har ikke beskatningen noen vridende effekt på selskapers valg mellom gjeld og egenkapital som finansierings­ form. Dagens skattesystem er imidlertid ikke dividendenøytralt. Et norsk aksje­ selskap kan minimere samlet skattebelastning på selskaps- og eierhånd ved å maksimere utdelingsforholdet, dvs. ved å dele ut mest mulig av overskuddet i utbytte. Konklusjonen så langt er dermed at mens det ikke kan skapes finansie16: AVRUNDING

371

ringsverdier gjennom gjeldsgradsbeslutningen, kan selskapet maksimere eiernes formue ved å holde et høyt utdelingsforhold. Kapittel 12 og 13 viste at det, i tillegg til diskriminerende skatter, også kan finnes andre imperfeksjoner i kapitalmarkedet. Eksempler på dette er agentkost­ nader, informasjonsasymmetri og subsidiert finansiering. Bortsett fra ved skatter og ved subsidiert finansiering kan vi imidlertid verken for kapitalstruktur eller dividende slå i bordet med noen formel for å beregne optimal finansiering. Vi har også et svakt empirisk grunnlag for å si hvilke faktorer som er viktigst for finansieringsbeslutningene. Derfor er det vanskelig å tallfeste i hvilken grad finansieringsprosjekter er verdiskapende, hensyn tatt til alle de mulige effekter finansieringsbeslutninger kan ha. Teorigrunnlaget er såpass uferdig og praksis så lite kartlagt at vi står langt fra noen tostrekers oppskrift. Likevel er det vår påstand at for en norsk bedrift vil det normalt skje liten verdiskapning gjennom finansieringsprosjekter. Kapitalmarkedet er preget av mange aktører, rask informasjonsflyt og forholdsvis lave transaksjonskostnader. Dette tilsier at kapitalmarkedet kan sammenlignes med et informasjonseffisient frikonkurransemarked i rimelig grad av likevekt. I et slikt marked vil det ikke være mulig å oppnå ekstraordinære gevinster ved noen transaksjon. I vår sammenheng betyr dette at det gis verken mer eller mindre enn nor­ mal, markedsbestemt kompensasjon for den risiko som bæres. Hvis eksempelvis kapitalmarkedet gir 17% forventet avkastning for aksjer med beta på 1, vil også nye aksjer utstedt av et selskap med egenkapitalbeta på 1 bli priset utfra en kapi­ talkostnad på 17%. Dette innebærer i sin tur at emisjonen gjør de gamle aksjo­ nærene verken rikere eller fattigere, og at de nye aksjonærene må betale en krone for hver krone de mottar i aksjeverdier. I et slikt kapitalmarked finnes det intet billigsalg eller overpris, og alle finansieringsprosjekter har null i nåverdi. Som du allerede vet fra det økonomiske innholdet i nåverdibegrepet, betyr ikke dette at selskapet kan reise kapital gratis eller at investor kun får tilbake de pengene hun investerte. Null i nåverdi innebærer at selskapet betaler en normal risikokompensasjon for ny finansiering og at investor oppnår normal avkastning på investeringen. Verken mer eller mindre (17% i eksemplet). Dette betyr imidlertid ikke at du kunne ha greid deg like godt uten den finansieringsteorien du har lært. For det første er det viktig å vite hvorfor det er vanskelig å skape verdier gjennom finansieringsprosjekter. For det andre finnes det åpenbart tilfeller hvor det er mulig å skape finansieringsverdier, eksempelvis ved subsidierte lån eller hvis selskapets eiere ikke betaler skatt. Kapittel 13 viste hvordan vi i slike tilfeller kan bruke justert nåverdi til å beregne verdien av slike finansieringsvirkninger. For det tredje har du sett at selv når finansiering ikke skaper verdier trenger du fortsatt finanseringsteori til å bestemme egenkapital­ kostnaden i investeringsanalysen. Egenkapitalkostnaden må endres med gjelds­ graden på en helt bestemt måte for at verdien av investeringen skal være uav­ hengig av finanseringsformen. La oss så gå over på venstresiden av balansen og stille samme spørsmål som ved finansiering: Kan investeringsprosjekter skape verdier? Som ved finan­ siering er utgangspunktet at verdiskapende virksomhet betyr positiv nåverdi. 16: AVRUNDING

372

dvs. unormalt høy avkastning. Dette er bare forenlig med en eller annen form for markedsulikevekt. For investeringsprosjekter betyr dette en situasjon der den ekstrafortjenesten som ligger i en positiv nåverdi ennå ikke er konkurrert bort ved at f.eks. produsenter av samme produkt eller nære substitutter presser pri­ sene ned gjennom økt produksjon eller større kostnadseffektivitet. I motsetning til kapitalmarkedet er mange markeder for varer og tjenester i lengre perioder verken særlig konkurranseutsatte, effisiente eller i likevekt. Fak­ tisk dreier fagområdet strategi seg om nettopp å identifisere og opprettholde uli­ kevekt i produktmarkedet; ulikevekter som kan gi grunnlag for investeringspro­ sjekter med positiv nåverdi. Nøkkelen til å oppnå positive nåverdier i produktmarkedet er å unngå eller utsette at en etablert konkurransefordel spises opp av andre. Dette kan selskapet gjøre ved stadig å lete etter nye produkter, teknologiske forbedringer og kilder for kostnadseffektivisering. Etterhvert som en næring blir veletablert, viser imidlertid empirien at slike muligheter avtar fordi positive nåverdier er som fluepapir: Unormalt høyt verdiskapningspotensiale vil etterhvert trekke til seg nye produsenter, kapasiteten i næringen stiger, og fortjenesten synker tilbake til et normalnivå. Muligens med unntak av små nisjeprodukter i konkurranseskjermede næringer vil nyetablerere uvergerlig gjøre fremstøt for å ta del i posi­ tive nåverdier. Dermed forsvinner ekstrafortjenesten for alle. Tidene blir dår­ ligere for produsentene, men bedre for konsumentene. Har ikke selskapet varige monopolfordeler gjennom innsatsfaktorer (olje­ utvinning), patenter (legemidler) eller offentlig regulerte markeder (alkoholom­ setning), må vekst gjennom lønnsomme investeringer skje ved stadig å skape seg konkurransefordeler. Det vil derfor alltid være muligheter for dem som tid­ lig oppdager hvordan nye idéer kan omsettes til nye varer og tjenester. Prosjektvettregel nr. 10 i B&G er "Hev blikket", og den skal minne om at positive nåverdier ikke gror på trær. Utfra det vi nettopp har gjennomgått kan dette utfylles med at du bør være spesielt skeptisk til påståtte positive nåverdier på balansens høyreside. Du må som regel betale fullt ut for det du får, og et gitt finansieringsprosjekt er like mye verd for ett selskap som for et annet. På balan­ sens venstreside er det annerledes. En idé eller et investeringsprosjekt er normalt mer verd i hendene til et selskap enn i et annet. Ved investeringsprosjekter har det derfor mening å snakke om investorspesifikke nåverdier, dvs. verdiskapning som bare er mulig å få til hvis et prosjekt gjennomføres av bestemte selskaper på en slik måte at konkurransefordeler slår ut i positiv nåverdi. Vi tror at i dette krysningspunktet mellom de to fagene finansiell økonomi og strategi vil det skje viktige nyvinninger de nærmeste årene. Både i teori og i praksis.

16: AVRUNDING

373

APPENDIKS A:

OPPGAVELØSNINGER

LØSNINGER TIL KAPITTEL 1 OPPGAVE 1.1 Med en diskonteringsrente på null antas implisitt at en krone i dag er verd det samme som en fremtidig krone. Uten belastning for tidskostnader er derfor pro­ sjektet verd kr 63.360. a Med 4% risikofri rente etter skatt er nåverdien kr 30.547. Tidskostnaden blir dermed 63.360 - 30.547 = kr 32,813

b 5% risikofri rente etter skatt gir nåverdi på kr 22.857 og tilsvarende tids­ kostnad på 63.360 - 22.857 = kr 40.503. Rentehevningen øker derfor belast­ ningen for tidskostnader med kr 7.690 C

FIGUR A. 1.1

Nåverdiprofil og tidskostnadsprofil er her speilbilder av hverandre. Tidskostna­ den ved gitt diskonteringsrente er differansen mellom nåverdi ved null diskonte­ ringsrente (her 63.360) og nåverdien ved den gitte diskonteringsrenten.

LØSNINGER TIL KAPITTEL 1

376

OPPGAVE 1.2 a Diskontert med 7% og 17% er nåverdien av 130.000 hhv. 106.119 og 81.168. Tidskostnaden er derfor: 130.000 - 106.119 = 23.881 Prosjektet blir belastet med risikokostnad på:

106.119-81.168 = 24.951

b Diskontering med 0%, 7% og 17% gir nåverdier (i millioner) på hhv. 4.780, 2.131 og 415. Dermed er tidskostnaden 2.649 mill, kr. mens risikokostnaden er 1.716 mill.

OPPGAVE 1.3 a 10% risikofri rente (som her også er etter skatt renten) og 5%-poeng risikotilleggg gir risikojustert rente (RJ) på 15%. Nåverdien er da ca. 2,3 mill, og det usikre prosjektet er dermed lønnsomt.

b Internrenten til forventet kontantstrøm er 24,5%. Siden risikofri rente er 10%, er maksimalt risikotillegg 14,5 %-poeng. c 15% rente gir negativ nåverdi på ca. 549.000. Prosjektet inntjente dermed ikke minimumskravet (realisert internrente er 12,7%).

d Ja, siden statsobligasjoner ville gitt null i nåverdi på tidspunkt 0 (sikker avkastning lik risikofri rente). e Nei, ikke nødvendigvis. Ved risikable prosjekter er det fristende å være etterpåklok. Det relevante er imidlertid om murmesteren gjorde en skikkelig analyse av usikkerheten da beslutningen om huskjøpet ble tatt. Usikre kontantstrømmer innebærer pr. definisjon at utfallet (realisert kon­ tantstrøm i regnskapet) kan vise seg å avvike fra det forventede (budsjettert kon­ tantstrøm i investeringsanalysen). Det er nettopp derfor investor krever et risiko­ tillegg i form av høyere forventet avkastning enn ved risikofrie investeringer.

OPPGAVE 1.4 a Nominell kontantstrøm er +30 mill, på tidspunkt null og deretter -5,310 mill, (avrundet) hvert år i ti år. b Diskonteres 12%-lånets kontantstrøm med 9% rente, blir NV = -4,078 mill, (avrundet). Risikokostnaden som AS Progress må betale på et 30 millio­ ners lån er derfor 4,078 mill, kroner. LØSNINGER TIL KAPITTEL 1

377

LØSNINGER TIL KAPITTEL 2 OPPGAVE 2.1 a

b

Tilstand

Pris

Var. enhetsk.

Dekningsbidrag

Sannsynlighet

1 2 3 4

1.200 1.500 1.200 1.500

400 400 500 500

800 1.100 700 1.000

0,32 (0,8-0,4) 0,08 (0,2-0,4) 0,48 (0,8-0,6) 0,12(0,2-0,6)

FIGUR A.2.1

kroner

c

0,2 (dvs. 0,08 + 0,12)

d

0,8 (dvs. 0,48 + 0,32. Alternativt: l-(0,08 + 0,12))

e

800 (dvs. 800-0,32 + 1.100-0,08 + 700-0,48 + 1.000-0,12)

f

0,2 (inntreffer i tilstandene 2 og 4)

løsninger TIL KAPITTEL 2

378

Som du ser fra figuren i pkt. b, er DB-fordelingen ikke symmetrisk om forventet verdi. Bare i tilfeller der fordelingen er symmetrisk om forventningen vil det være like stor sjanse for utfall til høyre som til venstre for dette punktet.

OPPGAVE 2.2 a Alle beløp i mill, kroner

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

9. b

2

3

4

320 90 30 20 40 190 53

440 90 30 20 40 310 87

280 90 30 20 40 150 42

400 90 30 20 40 270 76

187 32%

273 8%

158 48%

244 12%

1

2

3

4

320 90 30 20 40 50 10 180 50

440 90 30 20 40 50 10 300 84

280 90 30 20 40 50 10 140 39

400 90 30 20 40 50 10 260 73

130 32%

216 8%

101 48%

187 12%

Alle beløp i mill, kroner

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 6. 7. 8.

9. c

Dekningsbidrag Faste utbetalinger Redusert arbeidskap. Nyinvestering Avskrivninger Skattbart overskudd Skatt Netto kontantstrøm etter skatt Sannsynlighet

1

Dekningsbidrag Faste utbetalinger Redusert arbeidskap. Nyinvestering Avskrivninger Avdrag Renter Skattbart overskudd Skatt Netto kontantstrøm til eierne e. skatt Sannsynlighet

Forventet, totalt = 187 mill. Forventet eierstrøm = 130 mill.

LØSNINGER TIL KAPITTEL 2

379

OPPGAVE 2.3 a E(G) = 0,40,2 + 0,1-0,15 + 0,50,1 = 14,5% E(T) = 6,5% E(B) = 10,8% b

Andeler investert i G, T og B er hhv. 5/10, 2/10 og 3/10. Tilstand 1: 0,5-0,2 + 0,2-0,08 + 0,3-0,12 = 0,152 Tilstand 2: 0,121 Tilstand 3: 0,090

Disse tre alternative porteføljeavkastningene har sannsynligheter på hhv. 40, 10 og 50%.

c

Fra porteføljens sannsynlighetsfordeling:

E(P) =0,4-0,152 + 0,1-0,121 +0,5-0,090 = 11,79%

Fra lærebokens uttrykk (2.2) og spm. a:

E(P) = 0,5-0,145 + 0,2-0,065 + 0,3-0,108 = 11,79% d Forventet internrente er 11,79% på denne ett-årige investeringen. Forven­ tet kontantstrøm på salgstidspunktet er dermed kr 11.179. Hele prosjektets kontantstrøm er (-10.000, 11.179). e

E(P) = (0,145 + 0,065 + 0,108J/3 = 10,6%

f

Høyest: Bruke 10.000 på Gyldendal. Lavest: Bruke 10.000 på Tomra.

Hvorvidt dette også er beste kontra dårligste strategi kan vi ikke uttale oss om uten å undersøke risikoen i porteføljene. Kapitlene 3 og 4 i læreboken dreier seg om dette.

LØSNINGER TIL KAPITTEL 2

380

LØSNINGER TIL KAPITTEL 3 OPPGAVE 3.1 a Forventet avkastning for investeringene er:

E(rA) = (1/8)5 + (3/4)10 + (1/8)15 = 10%

E(rB) = (1/8)8 + (3/4)10 + (1/8)12 = 10% b

Avkastningens varians og standardavvik er:

Var(r ) = (l/8)(5-10)2 + (3/4)(10-l0)2 + (1/8)(15-10)2 = 6,25 Std(rA) = (6,25)1/2 = 2,5%

Var(rB) = (l/8)(8-10)2 + (3/4)( 10 -10)2 + (l/8)(12-10)2 = 1,00

Std(rB) =(l,00)1/2 = 1,0%

c Ifølge forventning-varians eller forventning-standardavvik kriteriet fore­ trekkes investering B. Denne har samme forventede avkastning som A, men lavere risiko.

LØSNINGER TIL KAPITTEL 3

381

OPPGAVE 3.2

b En risikoavers investor vil se bort fra portefølje C, fordi D har større for­ ventning og samme standardavvik. Portefølje E er også uaktuell, siden E har større standardavvik enn F, og samme forventede avkastning. Det effisiente set­ tet er derfor porteføljene A. B, D og F. Det er ingen dominans mellom disse fire porteføljene, fordi: E(rA) < E(rB) < E(rD) < E(rF)

og: Std(rA) < Std(rB) < Std(rD) < Std(rF)

c Det er ikke mulig å avgjøre hvilken av de fire effisiente porteføljer en risi­ koavers investor vil velge uten å kjenne risikopreferansene i detalj. Ekstremt høy risikoaversjon vil føre til valg av portefølje A (den risikofrie), mens svært lav risikoaversjon gir portefølje F.

OPPGAVE 3.3 a De tilstandsbetingede avkastningene finnes ved å beregne det veiede gjennomsnitt av As og Bs avkastning i de fire tilstandene. Vektene er 0,75 for A og 0,25 for B. LØSNINGER TIL KAPITTEL 3

382

b

Tilstand (s)

0,75rA(s) + 0,25rB(s) = rc(s)

Meget god God Normal Dårlig

0,75(-5)+0,25(-10) 0,75-10+0,25-15 0,75-25+0,25-10 0,75-30 + 0,25-18

E(rc)

=-6,25% = 11,25% =21,25% =27,00%

= 0,1(- 6,25) + 0,4-11,25 + 0,3-21,25 + 0,2-27,00 = 15,65%

Var(r„) = 0,l(-6,25-15,65)2 + 0,4(11,25-15,65)2+ 0,3(21,25-15,65)2 + 0,2(27,00-15,65)2 = 90,88 (%2)

Std(rc) = [Var(rc)]1/2 = (90,88)1/2 = 9,53% Legg forøvrig merke til at både A og B (og dermed også C) gir best avkastning når andre selskaper går dårlig, mens de gir dårligst avkastning når økonomien forøvrig går bra. A og B (og C) er eksempler på såkalte motsykliske selskaper, dvs. selskaper hvis avkastning går motsatt vei av markedets. Et annet eksempel er gitt i kapittel 3.2.

OPPGAVE 3.4 a Forventet avkastning, varians og standardavvik: Aksje A E(rA)

= 0,5(-10) + 0,5(50) = 20

Var(rA) = 0,5(-10-20)2 + 0,5(50-20)2 = 900

Std(rA) = (900),/2 = 30 Aksje B E(rB)

= 0,5(-20) + 0,5(60) = 20

Var(rB) = 0,5(-20-20)2 + 0,5(60-20)2 = 1.600 LØSNINGER TIL KAPITTEL 3

383

Std(rB) =(1.600)1/2 = 40

b

Sannsynlighetsfordelingen for en likeveiet portefølje av A og B: Avkastning

Sannsynlighet

-15 15 25 55

0,25 0,25 0,25 0,25

E(rp)

= 0,25(—1 5) + 0,25(15) + 0,25(25) + 0,25(55) = 20

Var(rp) = 0,25(-l 5 -20)2 + 0,25(15-20)2 + 0,25(25-20)2 + 0,25(55-20)2 = 625

Std(rp) =(625)1/2 = 25 c Den nye sannsynlighetsfordelingen for en portefølje med 75% A-aksjer og 25% B-aksjer blir: Avkastning

Sannsynlighet

-12,5 7,5 32,5 52,5

0,25 0,25 0,25 0,25

Utregnet på samme måte som i b finner vi: E(rp)

= 20

Var(rp) = 606,25 Std(rp) =24,6 d Sammenligning av svarene i a og b viser at det er mulig å oppnå samme forventning samtidig som risikoen reduseres hvis A og B settes sammen i en portefølje. Svarene i c viser at diversifiseringseffekten kan økes ytterligere med et annet sett av vekter enn de vi har i en likeveiet portefølje. Uten at det her er beregnet kan det godt tenkes at det er mulig å oppnå enda større diversifiserings­ gevinst med andre vekter. LØSNINGER TIL KAPITTEL 3

384

OPPGAVE 3.5 a E(Xa) = 150

E(Xc) = 40

E(Xb) = 40

Var(XA)= 0,2(100-150)2 + 0,6(150-150)2 + 0,2(200-150)2 = 1.000 Std(XA) = (1.000)1/2 = 31,6 Var(XB) = 0,2(30-40)2 + 0,6(40-40)2 + 0,2(50-40)2 = 40 Std(XB) = (40)1/2 = 63

Var(Xr) = 0,2(60-40)2 + 0,6(40-40)2 + 0,2(20-40)2 = 160 Std(Xr) = (160)1/2 = 12,6

Basert på forventning-standardavvik kriteriet er prosjekt B bedre enn C siden risikoen er mindre i B og forventet kontantstrøm er lik, samtidig som investe­ ringene også er like. Rangering mellom A og B kan ikke gjøres uten å kjenne risikopreferansene. b

Beregner først prosjektporteføljenes forventede kontantstrøm (i kroner):

E(Xab) = E(Xa) + E(Xb) = 150 + 40 = 190

E(Xac) =150 + 40 = 190 For å finne prosjektporteføljens standardavvik må først kovariansene beregnes: Kov(Xa,Xb) = 0,2(100-150)(30-40) + 0,6(150-150)(40-40) + 0,2(200-150)(50-40) = 200 Kov(Xa,Xc) = 0,2(100-150X60-40) + 0,6(150-150)(40-40) + 0,2(200-150)(20-40) = -400

LØSNINGER TIL KAPITTEL 3

385

Std(XAB) = [Var(XA) + Var(XB) + 2Kov(XA,XB)]'/2 = (1.000 + 40 + 2-200)1/2 = kr 37,95 Std(XAC) = [1.000 + 160 + 2(-400)]1/2 = kr 19,00 Portefølje AC dominerer AB. De har samme forventning på kr 190, mens AC har lavere risiko enn AB, samtidig som at investeringsutgiften er den samme for begge.

OPPGAVE 3.6 Beregner først forventet avkastning, varians og standardavvik for de to selska­ pene A og B:

E(rA)

= 0,1 (-5) + 0,4-10 + 0,3-25 + 0,2-30 = 17,0%

Var(rA) = 0,l(-5-17)2 + 0,4( 10-17)2 + 0,3(25-17)2 + 0,2(30-17)2 = 121,0

Std(rA) =(121)1/2 = 11,0% E(rB)

= 0,1 (-10) + 0,4-15 + 0,3-10 + 0,2-18 = 11,6%

Var(rB) = 0,1 (-10 -11,6)2 + 0,4( 15 -11,6)2 + 0,3( 10 -11,6)2 + 0,2( 18 -11,6)2 = 60,2 Std(rB) = (60,2)1/2 = 7,76%

Forventet avkastning i det fusjonerte selskapet blir dermed (vektene er wA=0,75 og wb=0,25): E(rc)

=0,75-17,0 + 0,25-11,6 = 15,65%

For å kunne beregne variansen til C etter lærebokens (3.9) må kovariansen mellom A og B først beregnes fra uttrykk (3.5):

LØSNINGER TIL KAPITTEL 3

386

Kovab = 0,l(—5—17)(—10—11,6) + 0,4(10—17)(15—11,6) + 0,3(25-17)(10-ll,6) + 0,2(30-17)(18-ll,6) = 50,8 Var(rc) = 0,752-121,0 + 0,252-60,2 + 2-0,75-0,25-50,8 = 90,88

Std(rc) = (90,88)1/2 = 9,53%

OPPGAVE 3.7 Først beregnes tilstandsbetingede kontantstrømmer for A og B, hvor alle beløp er i mill, kroner (strengt tatt er dette unødvendig, ettersom tilstandsbetingede avkastninger for selskap C allerede er beregnet i oppgave 3.3).

Kontantstrøm XA(s)

Tilstand (s)

150-0,95 = 150-1,10= 150-1,25 = 150-1,30=

Meget god God Normal Dårlig

142,5 165,0 187,5 195,0

Kontantstrøm XB(s)

50-0,90 = 45,0 50-1,15 = 57,5 50-1,10 = 55,0 50-1,18 = 59,0

For det fusjonerte selskap C blir tilsvarende tabell:

Tilstand (s)

Kontantstrøm Xc(s)

Meget god God Normal Dårlig

142,5+45,0= 187,5 165,0+57,5 = 222,5 187,5+55,0 = 242,5 195,0+59,0 = 254,0

Forventet kontantstrøm, varians og standardavvik blir da:

E(XC)

=0,1-187,5 + 0,4-222,5 + 0,3-242,5 + 0,2-254,0 = 231,3 mill, kr

Var(Xc) = 0,1(187,5 - 231,3)2 + 0,4(222,5 - 231,3)2 + 0,3(242,5 - 231,3)2 + 0,2(254,0 - 231,3)2 = 363,51 (mill, kr)2

LØSNINGER TIL KAPITTEL 3

387

Std(Xc) = (363,51)1/2 = 19,07 mill, kr

OPPGAVE 3.8 a La andelene investert i Sebra og Arbes betegnes hhv. ws og wA. Forventet avkastning og standardavvik i de fem porteføljene kan da beregnes fra lærebo­ kens uttrykk (2.2) og (3.4), hvor kovariansen er definert i (3.6): = w E(r ) +r\ w E(r )

E(r ) p

O

O

Var(r ) = w2 Var (r ) + w2 Var(r ) + 2wsw Korr Std(r )Std(r ) r\ p O

(1)

O

/A

/A

kj/A

kj

zA

ws = 100% og wA = 0%

E(rp)

=15

Std(rp) = 20 (2)

ws = 75% og wA = 25% E(rp)

=0,75-15 + 0,25-35 = 20

Std(rp) = [0,752-202 + 0,252-402 + 2-0,75-0,25-0,25-20-4]1/2 = 20

(3)

ws = wA = 50% E(rp)

=0,5-15 + 0,5-35 = 25

Std(rp) = [0,52-202 + 0,52-402 + 2-0,5-0,5-0,25-20-40]1/2 = 24,5 (4)

ws = 25% og wA = 75%

E(rp)

=0,25-15 + 0,75-35 = 30

Std(rp) = [0,252-202+0,752-402+2-0,25-0,75-0,25-20-40]1/2 = 31,6

LØSNINGER TIL KAPITTEL 3

388

(5)

wA = 100% E(rp)

= 35

Std(rp) = 40 b

FIGUR A.3.2

c Med unntak av portefølje (1), dvs. 100% i Sebra, er alle de andre effisi­ ente.

OPPGAVE 3.9 Portefølje 1: wA = wB = 0,5 Porteføljens standardavvik,Std(r ) = 25 Gjennomsnittlig standardavvik = wAStd(rA) + wBStd(rB) = 0,5-30 + 0,5-40 = 35 LØSNINGER TIL KAPITTEL 3

389

Portefølje 2: wA = 0,75 og wB = 0,25 Porteføljens standardavvik,Std(rp) - 24,6 Gjennomsnittlig standardavvik = 0,75-30 + 0,25-40 = 32,5 Vi ser at i begge situasjonene er gjennomsnittlig standardavvik større enn porte­ føljens standardavvik. Årsaken er diversifiseringseffekten ved at A og B ikke samvarierer perfekt (ikke går helt i takt). At dette blir resultatet kan vi også se ved å studere utfallsspektrene, som er mye mindre for porteføljene enn for enkeltaksjene.

OPPGAVE 3.10 a Jo mindre samvariasjon (korrelasjonskoeffisient) mellom aksjers avkast­ ning, desto større reduksjon i porteføljens standardavvik (varians) for et bestemt nivå på forventet avkastning. Følgelig er også diversifiseringsgevinsten større.

b Jo flere aksjer som er tilgjengelig, jo større er diversifiseringsgevinsten. Tenk deg eksempelvis tre ulike aksjer A, B og C. Det effisiente sett ved å diver­ sifisere mellom disse tre vil alltid dominere (dvs. være bedre enn) det effisiente sett for bare to av dem. En liten investor vil vanligvis ikke investere i mange aksjer fordi transak­ sjonskostnadene (kurtasje o.l.) da vil bli uforholdsmessig store. Nettopp dette problemet er en hovedgrunn til at aksjefond ble etablert. Slike selskaper gjen­ nomfører en effektiv diversifisering på vegne av de små investorene. Har eksem­ pelvis fondet en portefølje på 75 (børsnoterte) selskapers aksjer, vil investoren som kjøper én aksje i dette fondet umiddelbart sitte med eierandeler i ca. halv­ parten av alle norske børsnoterte selskaper. OPPGAVE 3.1 1 Så lenge korrelasjonskoeffisienten mellom de to aksjenes avkastning er tilstrek­ kelig lav (f.eks. 0,5), vil alltid en del av effisiens-kurven mellom A og B ha negativ vinkelkoeffisient. Denne delen av kurven, representert ved AC i figur A.3.3, er ineffisient (punkt C er førøvrig minimumsvarians-porteføljen). Ingen risikoavers investor vil derfor konsentrere hele sin investering om A når korrela­ sjonskoeffisienten er null. Da er aksje A ineffisient. Det finnes alltid en porte­ følje D, sammensatt av aksjene A og B, som for samme risiko har større forven­ tet avkastning. Aksje B, derimot, er effisient. Selv investorer med lav risikoaver­ sjon kan velge å investere utelukkende i B. Hvis korrelasjonskoeffisienten er +1,0, blir effisienskurven en rett linje som i figur A.3.4. I dette tilfellet er også aksje A effisient, og det kan finnes investorer med så sterk risikoaversjon at de satser alt på aksje A.

løsninger TIL KAPITTEL 3

390

FIGUR A.3.3

LØSNINGER TIL KAPITTEL 3

391

OPPGAVE 3.12 a For å finne det effisiente settet beregnes først forventet avkastning og varians for hvert alternativ: E( )

= _40^10+20-6 4 = 44 4

= 11 Var(rA) = 0,25 [(40-11)2 + (-10-11)2 + (20-11)2 + (-6-11)2] = 413

Std(rA) =20,3 Se her lærebokens uttrykk (2.1) og (3.2). Tilsvarende beregninger for de tre andre alternativene er oppsummert i følgende tabell:

Aksje

E(r) Std(r)

A

B

C

D

11 20,3

11 26,9

27,5 66,1

5 0

Aksje B er ineffisient, siden den har samme forventning som A, men større risiko. A, C og D er alle effisiente ifølge forventning-varians kriteriet. Siden investor bare kan velge en av aksjene, er det effisiente settet ikke en kurve, men kun tre punkter som vist i figur A.3.5.

LØSNINGER TIL KAPITTEL 3

392

FIGUR A.3.5

b Tabellen under viser avkastningsfordelingen for de seks mulige like­ veiede porteføljer av to aksjer. Porteføljenes avkastning i en bestemt tilstand, rp, er beregnet ved rp = 0,5r + 0,5r. Her er r og r de respektive aksjers avkastninger i samme tilstand. De to siste linjene i tabellen gir forventet porteføljeavkastning E(r ) og standardavviket til porteføljen Std(rp). Se lærebokens uttrykk (2.1) og (3.2).

Portefølje BC AD

BD

CD

AB

AC

Tilstand 1 Tilstand 2 Tilstand 3 Tilstand 4

12,0 20,0 4,0 8,0

50,0 -20,0 70,0 -23,0

22,5 -2,5 12,5 -0,5

22,0 10,0 54,0 -9,0

-5,5 27,5 -3,5 13,5

32,5 -12,5 62,5 -17,5

E(r) Std(rp)

11,0 5,9

19,3 41,4

8,0 10,2

19,3 22,9

8,0 13,5

16,3 33,1

LØSNINGER TIL KAPITTEL 3

393

Vi ser at portefølje BC dominerer (er bedre enn) både AC og CD. Tilsvarende dominerer AB både AD og BD. De effisiente porteføljene er derfor BC og AB, dvs uansett grad av risikoaversjon er disse to de eneste aktuelle. Ettersom investering i enkeltaksjer også er mulig, må imidlertid disse to porte­ føljene også vurderes mot det effisiente settet av enkeltaksjer fra a. Det er da klart at AB dominerer A, siden forventet avkastning er lik og standardavviket mindre i AB. Det nye effisiente settet består derfor av aksjene C og D samt por­ teføljene AB og BC. c På tilsvarende måte som i pkt. b beregnes forventet avkastning og stan­ dardavvik for de fire mulige likeveiede porteføljer av tre aksjer (kontrollér sva­ rene med egne beregninger):

Tilstand Tilstand Tilstand Tilstand

ABC 84/3 10/3 128/3 -24/3

1 2 3 4

Portefølje ABD ACD 29/3 105/3 45/3 -35/3 13/3 145/3 21/3 -41/3

9,0 3,9

16,5 19,9

E(rp) Std(rp)

BCD 49/3 25/3 113/3 -13/3

14,5 27,6

14,5 15,3

Portefølje ACD er ineffisient, siden BCD har samme forventede avkastning og lavere standardavvik. De effisiente tre-aksje porteføljene er derfor ABC, ABD og BCD. Det er imidlertid fortsatt mulig å investere både i enkeltaksjene og i toaksje porteføljene fra pkt. a og b. Sammenstilles de foregående beregningene, får vi:

E(rp) Std(rp)

C 27,5 66,1

BC 19,3 22,9

Portefølje BCD AB ABC 14,5 11,0 16,5 15,3 5,9 19,9

ABD 9,0 3,9

D 5 0

Ingen av alternativene i denne tabellen er ineffisiente etter forventning-varians kriteriet.

d For å gjøre bildet tydeligere har vi i figur A.3.6 tegnet de to effisiente sett som sammenhengende kurver mellom effisienspunktene. For en risikoavers investor er det en fordel å bevege seg lengst mulig i nordvestlig retning. Det gir økt forventet avkastning ved gitt risiko eller redusert risiko ved gitt forventet avkastning. LØSNINGER TIL KAPITTEL 3

394

Vi ser at det er stor effekt av å kunne øke antall selskaper i porteføljen fra 1 til 3. Grunnen er at de fire selskapenes aksjer ikke beveger seg helt i takt. Hadde det derimot vært perfekt positiv korrelasjon aksjene imellom, ville de to kurvene i figuren ha vært sammenfallende. FIGUR A.3.6

OPPGAVE 3.13. a For å kunne beregne kovarians og korrelasjonskoeffisient trengs både for­ ventningsverdi og varians eller standardavvik. Fremgangsmåten, som er beskre­ vet i lærebokens uttrykk (3.6) og (3.7), vises her i detalj for aksje A: 5

= X Pr(S)rA > > > >

II

£

£ £

uo

on

£

< /}

on

£

t/r

(1) (2) (3) (4) (5)

H-

Vekter

Portefølje

Std(rp) ved ulike korrelasjonskoeffisienter:

Portefølje

E(rp)

Korr = -0,5

Korr = 0

Korr = 0,5

(1) (2) (3) (4) (5)

0,15 0,20 0,25 0,30 0,35

0,2000 0,1323 0,1732 0,2784 0,4000

0,2000 0,1803 0,2236 0,3041 0,4000

0,2000 0,2179 0,2646 0,3279 0,4000

LØSNINGER TIL KAPITTEL 3

397

OPPGAVE 3.15 Vi setter oppgavens opplysninger inn i lærebokens uttrykk (3.8) og (3.9).

E(rp)

= 0,4-0,12 + 0,4-0,15 + 0,2-0,25 = 0,158

Var(rp) = 0,42-0,102 + 0,42-0,202 + 0,22-0,402 + 2-0,4-0,4-0,5-0,10-0,20 + 2-0,4-0,2-0,2-0,10-0,40 + 2-0,4-0,2-0,9-0,20-0,40 = 0,0304

Std(rp) = (0,0304)1/2 = 0,1744

Her ser du for det første at porteføljens forventning ikke endres selv om samva­ riasjonen mellom aksjene endres. Derimot ser vi, ved å sammenligne med sva­ rende i eksempel 3.6, at når samvariasjonen mellom aksjene i en portefølje endres (her representert ved endrede korrelasjonskoeffisienter), endres porteføl­ jens risiko. LØSNINGER TIL KAPITTEL 3

398

OPPGAVE 3.16 Bruker lærebokens uttrykk (3.11), som her gir: Var(r ) = — Var + (1-—)Kov p N N

Utregnet for noen verdier av N:

Var(rp)

N=1

N=5

N=15

N=30

N=50

0,230

0,078

0,053

0,046

0,044

Vi ser at porteføljens varians avtar når antall aksjer øker. Dette kan også vises grafisk:

OPPGAVE 3.17 a Beregner først total markedsverdi (MV) av børsen på de to tidspunktene, dvs. det summerte produkt av antall aksjer og aksjepris for hvert selskap:

LØSNINGER TIL KAPITTEL 3

399

t=0:

MV0 = 20.000-187,50+ 40.000-120 + 110.000-128 + 15.000-103 + 50.000-240 = 36,175 mill, kr t=l: MV, =20.000-210 + 40.000-135 + 110.000-160+ 15.000-120 + 50.000-260 = 42 mill, kr

Markedsporteføljens vekter er de markedsveiede, dvs. hvert selskaps markeds­ verdi (antall aksjer-aksjepris) relativt til MV. For t=0 blir vektene:

f . 20.000-187,5 Vekten for selskap A er w, =-------------- — 36,175 mill. = 0,10366 Tilsvarende finnes vektene for selskapene B, C, D og E:

wc = 0,38922

wB = 0,13269

wD = 0,04271

wc = 0,33172

Fort=l blir vektene:

wA = 0J

wB = 0,12857

wc = 0,41905

wD = 0,04286

wE = 0,30952

b De likeveiede vektene er rett og slett 1/N, hvor N er antall aksjer i porteføl­ jen. Vektene er derfor: WA = WB = Wc = WD = WE = !/5 = 02

c

Må først beregne årlig avkastning r etter følgende uttrykk: P 1 i -P 1o

Avkastningene blir: r = 12,00%

rB= 12,50%

rcV = 25,00%

Porteføljeavkastning er gitt ved: rp = Xwi-r.

løsninger TIL KAPITTEL 3

400

r= 16,50% LJ

rE = 8,33% 7

For den markedsveiede porteføljen er realisert avkastning derfor lik: rp,m = 0,10366-12,00 + 0,13269-12,50 + 0,38922-25,00 77 + 0,04271-16,50 + 0,33172-8,33 = 16,1%

For den likeveiede porteføljen får vi: rpl = (l/5)(12,00 + 12,50 + 25,00 + 16,50 + 8,33) = 14,9% Siden vi allerede har beregnet verdien av markedsporteføljen på tidspunkt t=0 og t=l i spørsmål a, kan markedsveid avkastning også beregnes direkte som: 42-36,175

36,175 = 0,161 (16,1%)

OPPGAVE 3.18 a Beta-beregningen gjøres vha. lærebokens uttrykk (3.12). Ettersom verken kovariansen mellom Spekula og markedsporteføljen eller markedsporteføljens varians er kjent, må disse størrelsene beregnes først. Til det brukes lærebokens uttrykk (3.5) og (3.1), som i sin tur krever at både Spekulas og markedets for­ ventede avkastning beregnes v.h.a. lærebokens uttrykk (2.1). E(rs)

= 0,10(-0,20) + 0,15(-0,12) + 0,25(0,05) + 0,25(0,14) + 0,15(0,22)+ 0,10(0,40) = 0,0825

E(rm) =0,0510

Var(rm)= 0,10(- 0,12 - 0,051 )2 + 0,15(- 0,05 - 0,051 )2 + 0,25(0,02 - 0,051 )2 + 0,25(0,09 - 0,051 )2 + 0,15(0,14 - 0,051 )2 + 0,10(0,22 - 0,051 )2 = 0,00912 Kov(rs,rm) = 0,10(-0,20 - 0,0825)(- 0,12 - 0,051) + 0,15(- 0,12 - 0,0825)(- 0,05 - 0,051) + 0,25(0,05 - 0,0825)(0,02 - 0,051) + 0,25(0,14 - 0,0825)(0,09 - 0,051) + 0,15(0,22 - 0,0825)(0,14 - 0,051) + 0,10(0,40 - 0,0825)(0,22 - 0.051) = 0,01591

LØSNINGER TIL KAPITTEL 3

401

B

_ K0V(rS^m)

Var(rm)

0,01591 " 0,00912 = 1,74

b

KorrSmStd(rs) S"

Std(rm)

0,91-0,22 0,1

= 2,00

løsninger TIL KAPITTEL 3

402

d Med B=2 vil en økning i markedsporteføljens avkastning på 2%-poeng føre til en økning i forventet avkastning på Spekula-aksjen på 4%-poeng. Tilsva­ rende betraktning om et fall i markedets avkastning. Faller markedsavkast­ ningen med 5%-poeng, vil vi forvente et fall i Spekula-aksjens avkastning på 10%-poeng. En aksjes beta-koeffisient uttrykker m.a.o. noe om aksjens følsomhet over­ for endringer i markedet generelt.

LØSNINGER TIL KAPITTEL 3

403

LØSNINGER TIL KAPITTEL 4 OPPGAVE 4.1 Hvert investeringsalternativs avkastning og risiko kan vises med et punkt i forventning/standardavvik-planet. Mulighetsområdet for investors tilpasning er samtlige punkter i planet. For ethvert nivå på forventet avkastning, finner vi punktet med minst risiko (standardavvik). Alternativ B for avkastningsnivået E(rB) er et slikt effisienspunkt. Tilsvarende, for ethvert risikonivå finner vi det alternativ som har størst forventet avkastning, slik som punkt C for risikonivået Std(rc). Samlingen av slike effisienspunkter representerer det effisiente settet, dvs. den heltrukne linjen ABC i figur A.4.1.

OPPGAVE 4.2 a Beregner først forventet avkastning for hvert alternativ. I en tidsserie av historiske avkastninger tillegges hver observasjon lik sannsynlighet, dvs. 1/N = 1/6.

LØSNINGER TIL KAPITTEL 4

404

20+40+30+22+36+46 6 = 194 6 = 32,3

E(rA) =

På samme måte finnes: E(rB)= 19,8 E(rc) = 6,5 E(rD) = 14,8 Variansen til aksjefond A beregnes slik:

Var(rA) = (l/6)[(20-32,3)2 + (40-32,3)2 + (30-32,3)2 + (22-32,3)2 + (36-32,3)2 + (46-32,3)2] = 87,2

Tilsvarende finnes: Var(rB) = 4,8 Var(rc) = 3,9 Var(rD)= 11,5 Resultatene er sammenfattet i følgende tabell:

Forventning, E(r) Standardavvik, Std(r)

A

B

C

D

32,3 9,3

19,8 2,2

6,5 2,0

14,8 3,4

b

Det er klart at B dominerer D, ettersom B både har høyere forventning og lavere standardavvik. Det er ikke dominans mellom de andre fondene, ettersom høyere forventning følges av høyere risiko. Det effisiente settet består derfor av alternativene A, B og C. Det ineffisiente settet er alternativ D. Legg merke til fra oppgaveteksten at bortsett fra i 1988 er fond A atskillig bedre enn alle andre. Ut fra en slik observasjon ville nok mange i praksis ha foretrukket A som fremtidig investering.

LØSNINGER TIL KAPITTEL 4

405

OPPGAVE 4.3 Sammenhengen mellom systematisk risiko (beta) og korrelasjonskoeffisient (eller kovarians) er:

Korr]mStd(r)

StdfrJ

Kov(r,rm)

= L2 0’012

,

R

b

13 = --------0,l2 = L2

OPPGAVE 4.4 Avkastningskrav for A, rA, er:

rA = 6% + 8%-0,4 = 9,2% Evigvarende kontantstrøm tilsier dermed:

NV

=

1-° 0,092

= kr 1.087

Tilsvarende for B:

rD = 6% + 8%-0,2 = 7,6%

= kr 1.053

LØSNINGER TIL KAPITTEL 4

406

Her bør begge obligasjonene kjøpes, siden både A og B er mer verd enn dagens markedspris.

OPPGAVE 4.5 180.000 a Forventet prosjektavkastning, E(r) = 160.000

= 0,125 (12,5%)

k = 10% + (15% - 10%)l,5 = 17,5% Forventet avkastning er mindre enn avkastningskravet, og prosjektet bør derfor ikke gjennomføres.

b Den maksimale beta (B*) er den beta som gir avkastningskrav lik intern­ renten på 12,5%: 12,5% = 10% + (15% - 10%)B* =» B* = 0,5

OPPGAVE 4.6 a Av figur A.4.2 ser vi at når vi bare kan investere i ett av landene, er effisi­ ent sett gitt ved punktene B, J, S, E og F (vi har stiplet en kurve gjennom disse tre punktene, men tilpasning imellom disse punktene er altså ikke mulig under våre forutsetninger). Avhengig av hvor risikoaverse vi er, vil vi altså velge å investere i Belgia, Japan, Sveits, England eller Frankrike.

LØSNINGER TIL KAPITTEL 4

407

FIGUR A.4.2

b ■ Legg for det første merke til at det effisiente settet har fått et betydelig skift i nordvestlig retning ved at det nå er mulig å diversifisere mellom landene. ■ Portefølje 1 er 100% investering i landet med størst forventet avkastning (Frankrike). Dette er også den eneste av investeringene hvor et effisient punkt i a er felles med et effisient punkt i b. ■ Portefølje 15 er porteføljen med minst risiko (lavest standardavvik). De største andelene er her investert i Danmark, USA og Vest-Tyskland. Disse tre landene har alle relativt lav risiko isolert sett. Viktigere er det imidlertid at det er lav korrelasjon mellom de parvise avkastningene disse tre landene imellom. ■ Ingen av de effisiente porteføljene investerer mye i land som har parvis høy korrelasjon, som f.eks Sveits/Vest-Tyskland og Kanada/USA.

LØSNINGER TIL KAPITTEL 4

408

OPPGAVE 4.7 a

FIGUR A.4.3

b Fra figuren over ser vi at den risikofylte porteføljen som du vil investere i er portefølje 7 med E(rp) = 18,8% og Std(rp) = 16,0%. For å oppnå en forventet avkastning på 15% må du imidlertid dele investe­ ringen mellom risikofrie statsobligasjoner og portefølje 7 i et bestemt forhold, gitt ved: E(rp) = wrf + (l-w)E(r7) eller:

15

= w-12,5 + (l-w)18,8

som gir w = 0,6 LØSNINGER TIL KAPITTEL 4

409

Din optimale investering er derved 60.000 kroner i norske statsobligasjo­ ner og 40.000 kroner i portefølje 7. Det er grunn til å presisere at løsningen over ser helt bort fra valutarisiko. Løsningen i pkt. b over og i pkt. c under forutsetter i virkeligheten at denne er null.

c Også denne investoren vil velge portefølje 7 som sin risikofylte investering i kombinasjon med risikofri plassering. Forholdet er gitt ved: Var(rp) = w2 Var(rf) + (1 -w)2Var(r7) + 2 w( 1 - w)Korrf 7 S td(rf) S td(r7) Siden Var(rf) = 0 og Korrf7 = 0, kan vi forenkle til:

Std(rp) = (l-w)Std(r7) Innsatt gir dette: 20 =(l-w)16 dvs. w = -0,25

Dette betyr at optimal investering er å investere kr 62.500 i portefølje 7, finansi­ ert med kr 50.000 i egenkapital og kr 12.500 lånt til den risikofrie renten 12,5%.

d Resultatet som den optimale tilpasningen i b og c bygger på kalles tofondsresultatet. Dette innebærer at alle investorer setter sammen sin risikable portefølje på nøyaktig samme måte, uansett individuelle forskjeller i risikohold­ ning. Den enkelte investors grad av risikoaversjon avgjør imidlertid hvor mye som investeres hhv. risikabelt og risikofritt.

OPPGAVE 4.8 a Ligningen for kapitalmarkedslinjen er: E(r ) = r/l-s) + E(lm) r,