Filtrage Numerique SAMI2 EET2 MIQ2 [PDF]

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Ministère de l’Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique --------------------------------------Université de Monastir -------------------------------------Ecole Nationale d’Ingénieurs de Monastir

Notes de Cours

Filtrage Numérique

Pr Faouzi M'SAHLI

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Chapitre 1 Introduction au Filtrage Numérique

1. Généralités Les filtres numériques sont les homologues des filtres analogiques. Leur principale fonction est d’isoler, de renforcer ou d’atténuer certaines composantes fréquentielles d’un signal numérique. Un signal numérique est représenté par une suite ordonnée de valeurs qui, en pratique, sont des nombres réels. Ces valeurs sont le plus souvent issues de l’échantillonnage, à une cadence régulière, d’un signal analogique.

Le champ d'applications du filtrage numérique est très vaste puisqu'il va des télécommunications au traitement de la parole, en passant par des systèmes d'asservissement, les radars et sonars, la prospection sismique, la "HI-FI", etc... C'est surtout, à l'origine, dans les télécommunications que leur usage s'est très vite répandu car à la fois leur capacité de mémoire et la vitesse de traitement se trouvaient adaptées à la plupart des fonctions remplies sous forme numérique : codage-décodage et (dé-) compression d'images (JPEG - Joint Photographic Experts Group), de vidéos (MPEG - Moving Picture Experts Group) et du sons (informatique, télévision numérique), modems, contrôleurs de disque durs, accélérateurs graphique 3D, animation en réalité virtuelle, reconnaissance d'images, suspensions actives d'automobiles, servo-moteurs à commande numérique,... Les avantages du filtrage numérique par rapport au filtrage analogiques sont : - la reproductivité : les caractéristiques de tous les filtres numériques établis sur une même configuration sont rigoureusement identiques,

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- la souplesse : la réponse en fréquence peut être très aisément modifiée en changeant les coefficients arithmétiques : le domaine des fréquences de travail est facilement déplacé par modification de la fréquence d'échantillonnage, - la précision : les différentes manipulations étant effectuées sur des nombres, la précision ne dépend, en grande partie, que de celle des CAN et CNA, - l'association de filtres : la mise en série de filtres numériques ne pose aucun problème d'interaction, tel que celui que l'on rencontre pour l'adaptation des impédances des filtres analogiques, - la stabilité des caractéristiques : pas de vieillissement des composants dû à l'influence de la température sur les caractéristiques du filtre. En revanche, les principaux inconvénients sont liés au problème de l'échantillonnage (spectre du signal toujours limité) nécessitant l'utilisation de processeurs ayant une bonne rapidité d'exécution pour pouvoir traiter des signaux ayant une forte "dynamique" (fréquences élevées) en temps réel. D'une manière générale, les filtres numériques se caractérisent par le traitement entièrement numérique du signal. Typiquement, les filtres numériques sont représentés par: - la réponse impulsionnelle, - l'équation aux différences finies, - la fonction de transfert en z.

2- Les filtres analogiques usuels Il existe 4 types de filtres analogiques idéaux usuels :

Mais en pratique ces filtres analogiques sont les filtres réels suivants : __________________________________________________________________________ Cours_Filtrage_Numérique, SAMI2_EET2_MIQ2_M'Sahli 3

et de manière précise, nous distinguons :

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3- Rappel sur le filtrage analogique des signaux 3-1 Filtre de 1er ordre :

3-2 Filtre de second ordre :

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Résumé :

3-3 Différentes formes de la fonction de transfert

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3-4 Intérêt de la forme normalisée

3-5 Transformation du type de filtrage

4 - Définition Un filtre numérique est un élément qui effectue un filtrage à l'aide d'une succession d'opérations mathématiques sur un signal discret. bruit (v) Signal utile

(x)

signal bruité

Filtre

estimé de (x)

(y)

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l'estimation du signal x à partir de l'observation d'un autre signal bruité ( ou distordu de x) y. Mais il peut être aussi un signal différent qui contient l'information sur x. Exemples : En Automatique : Estimation de la température dans un point inaccessible d'un four de traitement thermique à partir de la mesure de la températures bruitées dans d'autres points. En Traitement du Signal (TS) : (a) Signal de la parole mesuré à partir de la sortie d'un microphone et noyé dans un bruit de fond. (b) Mesure d'un écho radar qui doit être distingué d'un bruit électromagnétique afin de décider oui ou non une cible a été détectée. En Télécoms : Symboles envoyés au travers d'un canal (ligne téléphonique) et qui arrivent distordus et bruités à l'extrémité réceptrice (action des autres lignes téléphoniques): c'est une distorsion due à la limitation de la bande passante d'un capteur... Le filtrage est donc une opération fondamentale en TS et en Automatique. Il consiste à extraire l'information utile à l'instant présent à partir des données bruitées disponibles jusqu'au même instant. Contrairement aux filtres analogiques, qui sont réalisés à l'aide d'un agencement de composantes physiques (résistance, condensateur, inductance, transistor, etc.), les filtres numériques sont réalisés soit par des circuits intégrés dédiés, des processeurs programmables (FPGA, microprocesseur, DSP, microcontrôleur, etc.), soit par logiciel dans un ordinateur. Les filtres numériques peuvent, en théorie, réaliser la totalité des effets de filtrage pouvant être définis par des fonctions mathématiques ou des algorithmes. Les deux principales limitations des filtres numériques sont la vitesse et le coût. La vitesse du filtre est limitée par la vitesse (l'horloge, le « clock » en anglais) du processeur. Pour ce qui est du coût, celui-ci dépend du type de processeur utilisé. Par contre, le prix des circuits intégrés ne cesse de diminuer, et les filtres numériques se retrouvent partout dans notre environnement, radio, téléphone cellulaire, télévision, lecteurs MP3, etc. Les filtres numériques étant généralement réalisés par des processeurs, ils sont décrits à l'aide de langages de programmation.

5- Classification des Filtres numériques Il y a deux grandes familles de filtres numériques : la première, les filtres RIF (filtres à réponse impulsionnelle finie), en anglais FIR (finite impulse response). Ce type de filtre est dit fini, car sa réponse impulsionnelle se stabilisera ultimement à zéro. Un filtre FIR est non récursif, c'est-à-dire que la sortie dépend uniquement de l'entrée du signal, il n'y a pas de contre-réaction. Une propriété importante des filtres RIF est que les coefficients du filtre sont égaux à la réponse impulsionnelle du filtre. Un exemple de filtre FIR simple est une moyenne. __________________________________________________________________________ Cours_Filtrage_Numérique, SAMI2_EET2_MIQ2_M'Sahli 8

Effectivement, effectuer la moyenne sur une série de (N) données est équivalent à appliquer un filtre FIR à coefficient constant 1/N. Les filtres de la seconde famille, les RII (Filtre à réponse impulsionnelle infinie), en anglais IIR (infinite impulse response), possèdent une réponse impulsionnelle qui ne s'annule jamais définitivement ou qui converge éventuellement vers zéro à l'infini. Ce type de filtre est récursif, c'est-à-dire que la sortie du filtre dépend à la fois du signal d'entrée et du signal de sortie, il possède ainsi une boucle de contre-réaction (feedback). Les filtres IIR sont principalement la version numérique des filtres analogiques traditionnels : Butterworth, Tchebychev, Bessel, Elliptique.

6- Rappel sur la transformée en Z des signaux discrets La fonction de filtrage peut être réalisée en analogique ou en numérique. Il faut, dans ce dernier cas, au préalable échantillonner le signal.

6-1 Définition La transformée en Z est un opérateur mathématique qui permet de traiter les séries numériques temporelles. 6-2 Propriétés 6-3 Transformée en Z inverse 6-4 Equation aux différences finies

7- Les modèles stochastiques 7-1 Modèle AR 7-2 Modèle MA 7-3 Modèle ARMA

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Chapitre 2 Les Filtres à Réponse Impulsionnelle Finie (RIF) 1. Rappels : Le signal de sortie de tout filtre analogique est un produit de convolution entre sa réponse impulsionnelle et le signal d’entrée :

La conception d'un filtre numérique impose de fixer un certain nombre de paramètres. 2. Le filtre numérique à Réponse Impulsionnelle Finie (RIF): 2.1. Définition : Il s'agit d'une simple transposition de l'équation du produit de convolution en temps continu dans le domaine du temps échantillonné. Son équation générale s'écrit :

Un filtre RIF peut également être représenté par un graphe :

Exemple : Un filtre FIR est entièrement déterminé si l'on connait l'ensemble des coefficients exemple si :

. Par

alors on peut écrire que : __________________________________________________________________________ Cours_Filtrage_Numérique, SAMI2_EET2_MIQ2_M'Sahli 10

En appliquant la transformée en z, on obtient : La fonction de transfert du filtre RIF est alors :

Il s'agit d'un filtre "tout zéro". Ce filtre est implicitement stable c'est à dire à toute entrée bornée lui correspond une sortie bornée. 2.2. Réponse fréquentielle du filtre RIF Soit h(n) la réponse impulsionnelle d'un filtre FIR, sa fonction de transfert s'écrit :

avec d'où :

;

La phase , il s'agit d'une phase linéaire par rapport à la fréquence. De plus, les coefficients de la réponse fréquentielle sont toujours symétrique si les sont réels ( . et

pour

Donc la pulsation d'étude des filtres numériques doit être toujours située entre La réponse fréquentielle est dans ce cas périodique.

.

Remarque : 1- En respectant le théorème de Shannon, la fréquence maximale du signal numérique ne doit jamais dépasser

(appelée fréquence de Nyquist).

2- Le temps de propagation du filtre est donné par

3- Le retard de phase est donné par : __________________________________________________________________________ Cours_Filtrage_Numérique, SAMI2_EET2_MIQ2_M'Sahli 11

3. Filtre moyenneur : Pour comprendre le principe du filtrage, nous présentons un exemple. Soit le signal bruité suivant :

On désire réaliser un filtre moyenneur à 4 échantillons (ou filtre à moyenne glissante sur les 4 derniers échantillons) pour déterminer le signal de sortie :

Nous allons lui appliquer un filtrage à l'aide du filtre RIF définit par :

Ce filtre est appelé filtre moyenneur à 4 points. On trouve la séquence de sortie :

Représenter le signal d'entrée et de sortie . A partir de cette représentation, on constate facilement que le filtre a atténué les variations du signal d'entrée. 4. Exemple : On s'intéresse à un filtre FIR moyenneur sur deux valeurs, la fréquence d'échantillonnage est de . Donner la fonction de transfert du filtre et tracer la réponse fréquentielle (module et argument). Préciser le type de filtre et sa fréquence de coupure. 5. Méthode de fenêtrage : La réponse impulsionnelle est toujours infinie, pour trouver une réponse impulsionnelle finie, il est nécessaire d'effectuer une troncature. Pour réaliser ceci, on multiplie la réponse temporelle par une fenêtre (pondération); par exemple un rectangle, on parle alors dans ce cas du fenêtrage rectangulaire. Ce principe nous permet d'écrire : Remarques : __________________________________________________________________________ Cours_Filtrage_Numérique, SAMI2_EET2_MIQ2_M'Sahli 12

- Méthode non optimale (M n'est pas minimale), - La fenêtre est symétrique, le filtre obtenu est à phase linéaire, - Les résultats sont approximatifs, - L'apparition des ondulations est due au choix de la fenêtre de pondération, pas à l'ordre du filtre (due aux lobes secondaires dans le spectre de la fenêtre). Dans la pratique, on distingue les fenêtrages suivants :

6. Conclusion Les filtres RIF sont d’une synthèse relativement simple par rapport aux performances du filtre désiré. Ils possèdent une phase linéaire. L’inconvénient majeur étant, pour une précision donnée, un nombre de coefficients élevé nécessitant un temps de calcul élevé donc une fréquence d’échantillonnage assez faible.

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Chapitre 3 Filtre de Wiener 1- Objectif : On rappelle qu'un filtre numérique est un élément qui effectue un filtrage à l'aide d'une succession d'opérations mathématiques sur un signal discret. Le filtre de Wiener permet, entre autres, le débruitage d'un signal discret. On cherche l'estimation d'un signal à partir d'un signal bruité . ( ) (référence) signal bruité

Filtre de Wiener estimé de ( )

( )

+ ( ) (erreur d'estimation)

(

avec : : signal de référence; sortie désirée du filtre, : signal bruité, : mesure ; signal estimé de , : erreur d'estimation du filtre. On dispose d'une suite de

mesures du signal bruité

:

Un filtre de Wiener est basé sur la réponse impulsionnelle finie du filtre (FIR). 2- Synthèse du filtre de Wiener : La réponse impulsionnelle d'un filtre FIR est donnée par :

où les sont les coefficients de la réponse impulsionnelle du filtre de Wiener, sont les mesures bruitées et est la sortie estimée. Le filtre de Wiener est celui qui minimise l'erreur quadratique moyenne (EQM) :

On cherche à minimiser le critère quadratique par rapport aux paramètres du filtre

:

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car pour être sure qu'il s'agit d'un minimum, il faut et il suffit que :

On écrit alors :

avec : , la fonction d'auto-corrélation de , , la fonction d'inter-corrélation entre et on note :

et , .

Le critère se réécrit alors :

On pose alors :

;

;

d'où le critère J s'écrit :

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La matrice carrée R est Hermitienne. Elle est donc définie non négative et est en générale définie positive. La solution optimale est :

C'est l'équation de Wiener - Hopf qui donne les valeurs estimés des coefficients de la réponse impulsionnelle. Pour calculer les fonctions d'auto-corrélation et d'inter-corrélation, on utilise les approximations suivantes : est une fonction paire.

3- Application : On cherche à synthétiser un filtre linéaire discret de Wiener de premier ordre dont la sortie est une valeur estimée de . Soit est l'entrée de ce filtre dont la fonction de transfert est :

Effectuer les calculs et donner les expressions des paramètres du filtre en fonctions des fonctions d'auto-corrélation de l'entrée du filtre et des fonctions d'inter-corrélations entrée du filtre et sortie du filtre. Application Numérique : Prendre la séquence suivante des mesures (N=6).

)

0

1

2

3

4

5

2

4

6

4

2

1

1

3.5

9

11

7

3.5

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Chapitre 4 Analyse et Synthèse des Filtres à Réponse Impulsionnelle Infinie (RII)

1. Introduction Ces filtres sont généralement obtenus par transposition dans le domaine numérique, d’une fonction de transfert analogique. Cette correspondance confère aux filtres RII une facilité de conception et des possibilités de substitution directe avec leurs homologues analogiques. En terme de charge de calcul, ils sont souvent plus économiques que les filtres RIF car la récursivité réduit le nombre de coefficients. En contrepartie les filtres RII présente une sensibilité importante vis-à-vis de la quantification des coefficients ; des risques d’instabilité sont à prévoir pour les filtres à coefficient de qualité élevé. Les méthodes de synthèses usuelles des filtres RII visent à établir une correspondance entre la transformation de Laplace (domaine analogique) et la transformation en z (domaine numérique). En établissant un tel pont, les outils d’étude des filtres analogiques peuvent être exploités dans le cadre numérique. 2. Rappel sur les filtres analogiques 2.1 Position du problème On a vu comment vu la cellule de filtrage passe-bas du 1er ordre, dont les caractéristiques sont : -3dB à fc -atténuation -20dB/décade puis la cellule de filtrage du 2e ordre dont les caractéristiques sont -3dB à fc -atténuation -40dB/décade De plus, on sait qu'en associant des cellules du 1er et du 2e ordre, on peut obtenir des cellules d'ordre plus élevé. Problème : est-il possible d'obtenir un filtre d'ordre N quelconque, caractérisé par : -3dB à fc -atténuation -20хN dB/décade ? __________________________________________________________________________ Cours_Filtrage_Numérique, SAMI2_EET2_MIQ2_M'Sahli 17

Butterworth a trouvé la solution (dans les années 30) !

2.2 Filtre de Butterworth : définition et propriétés

Pour le cas général, on a :

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2.2 Gabarit

2.3 Autres Filtres : On distingue, principalement : - Filtre de Chebyshev type I (ou direct) et type II (ou inverse), - Filtre de Bessel, - Filtre de Elleptique (ou de Cauer).

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3. Analyse des Filtres RII 3.1 Fonction de transfert d'un filtre numérique RII L'approximation discrète d'un filtre analogique nous permet d'avoir directement la fonction de transfert en z du filtre numérique "équivalent" :

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La valeur des coefficients et donnera le type de filtre : passe-bas, passe-haut, ... Les filtres RII donnent une réponse impulsionnelle qui ne se stabilisera pas même à l'infini. Ce type de filtre est récursif; la sortie dépend de l'entrée mais aussi de leurs valeurs passées. Avant d'implémenter ce type de filtre, il est nécessaire d'étudier sa stabilité puisqu'il contient des pôles. En effet, il faut vérifier le module des pôles de la fonction de transfert du filtre est inférieure à 1. L'équation récurrente du filtre s'écrit :

La structure du filtre peut se mettre sous la forme suivante :

Ce schéma de simulation nécessite pour son implémentation matériel : 2 registres à décalage l'un pour l'entrée et l'autre pour la sortie, additionneurs et multiplicateurs. 4. Synthèse des filtres RII 4.1 Principe On cherche à calculer un H(z) satisfaisant un gabarit donné. Pour que le filtre soit réalisable, il faut un certain nombre de conditions. __________________________________________________________________________ Cours_Filtrage_Numérique, SAMI2_EET2_MIQ2_M'Sahli 21

- La fonction de transfert est une fonction rationnelle aux coefficients réels. - Les pôles sont tous à l'intérieur du cercle unité. Le principe de synthèse d'un filtre RII (calcul des coefficients et ) consiste à chercher une fonction de transfert d'un filtre qui doit avoir une réponse temporelle imposée ou une réponse fréquentielle qui entre dans un gabarit bien déterminé. Une méthode pour calculer le H(z) à partir du gabarit numérique consiste à transformer ce gabarit en un gabarit analogique (moyennant une transformation appropriée), et ensuite, concevoir le filtre analogique Ha(p). On revient dans le domaine numérique en appliquant la transformation inverse. Suivant la transformation utilisée, on obtient des caractéristiques différentes. Nous allons étudier les méthodes suivantes : - Synthèse par la méthode de l'Invariance impulsionnelle. - Synthèse par la méthode de l'Invariance Indicielle. - Synthèse par Approximation de la dérivée. - Synthèse par Approximation de l'intégral / transformation bilinéaire. Toutes les méthodes de synthèse s'appuient généralement sur un filtre analogique pris comme modèle. 4.2 Synthèse par invariance impulsionnelle Le principe de cette méthode est le suivant : a- On détermine la réponse impulsionnelle désirée. b- On échantillonne cette réponse à la fréquence et on obtient . c- On cherche la fonction de transfert du filtre numérique qui a la même réponse impulsionnelle. Exemple : On cherche la fonction de transfert d'un filtre numérique qui possède la même réponse impulsionnelle qu'un filtre passe-bas analogique de 1er ordre :

Réponse : 1- Réponse impulsionnelle : 2- On échantillonne cette réponse à la fréquence 3- La transformée en Z de

est :

, soit : ou encore

La fonction de transfert du filtre numérique est fonction de Te. Dans le cas général, il ne peut y avoir d'égalité entre les 2 réponses; Il s'avère qu'il y a égalité à un coefficient K près : __________________________________________________________________________ Cours_Filtrage_Numérique, SAMI2_EET2_MIQ2_M'Sahli 22

↔ Pour déterminer K, on cherche la réponse du filtre analogique et numérique en régime statique (c a d à une entrée constante à fréquence nulle). Or pour → Pour le cas numérique D'où (même fonction de transfert analogique )→

.

→ Le filtre analogique est stable (pole à de même pour le filtre numérique (

) ; situé dans le demi plan gauche du lieu de Nyquist. ; situé à l'intérieur de disque unité.

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4.2 Synthèse par invariance indicielle Le principe de cette méthode est semblable au cas précédent : a- On détermine la réponse indicielle désirée. b- On échantillonne cette réponse à la fréquence et on obtient . c- On cherche la fonction de transfert du filtre numérique qui a la même réponse indicielle. Exemple : On cherche la fonction de transfert d'un filtre numérique qui possède la même réponse indicielle qu'un filtre passe-bas analogique de 1er ordre :

Réponse :

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Bibliographie [1] B. Picinbono, Théorie des signaux et des systèmes, 1989, 260 pages, Dunod Université. ISBN 2-04-018837-1. [2] F. de Coulon, Théorie et traitement des signaux, Dunod, Paris, 1985. [3] J. Max et J.-L. Lacoume, Méthodes et techniques de traitement du signal et application aux mesures physiques, Masson, Paris, 1996. [4] J.-P. Delmas, Eléments de théorie du signal : les signaux déterministes, Ellipses, Paris, 1991. [5] M. Labarrère, J.-P. Krief et B. Gimonet, Le filtrage analogique, Cépaduès éditions, Toulouse, 1982. [6] P. Duvaut, Traitement du signal : concepts et applications, Hermès, Paris, 1991. [7] J. Wade, Codage et traitement du signal, Masson, Paris, 1991. [8] S. Wilson, Digital modulation and coding, Prentice-Hall, Upper Saddle River, 1996. [9] M. Kunt, Traitement numériques des signaux, Dunod, Paris, 1991.

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