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Puissances /Formulaire

Préparation aux Concours 2020

MP-PSI

C.P.G.E. Agadir Sciences Industrielles pour l’Ingénieur Préparation Concours 2020- MP/PSI

PUISSANCES / FORMULAIRE (MP/PSI) 1. Puissance des efforts extérieurs à un système 1.1. Puissance d’un champ de forces dµ

P

Définition : La puissance développée, à un instant t, par le champ de forces à densité ϕ( P ) relativement à une mesure µ appliqué au système matériel E dans son mouvement par rapport à un repère R est :

ϕ( P )

E

P(ϕ → E / R) = ∫ ϕ( P).V ( P / R)dµ E

1.2. Cas du solide indéformable P(ϕ → S / R) = {ϕ → S} ⋅ {V(S / R)} Remarques :

Cette formule n’est valable que pour un solide. La valeur de la puissance calculée dépend du repère de référence.

Exemples − Efforts de la pesanteur Soit un solide S de masse m et de centre d’inertie G et g l’accélération de la pesanteur.

mg  Ω(S / R)  On a : P( pes → S / R) = { pes → S} ⋅ {V(S / R)} =   .   0  V (G ∈ S / R)   G  P( pes → S / R) = mg.V (G ∈ S / R)

Donc :

− Efforts d’un ressort de traction-compression Soit un ressort r, de direction u , de raideur k et de longueur libre ℓ0 agissant sur un solide S2 en mouvement par rapport à un repère R. On a :

P(r → S / R) =

    −k( ℓ − ℓ 0 )u .  Ω(S / R)  = −k( ℓ − ℓ ).u.V ( A ∈ S / R) 0 2 2   V ( A ∈ S / R) 0   A2  2 2 A2  

− Efforts d’un moteur Soit un moteur M exerçant une action mécanique sur un solide S en mouvement par rapport à un repère R. C.P.G.E. Agadir

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On a :

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 0  Ω(S / R) P(M → S / R) =   .   = C M .Ω(S / R) C M   ? 

− Efforts d’un ressort de torsion Soit un ressort τ de raideur c , d’axe ( A , u) et d’angle libre θ0 agissant sur un solide S en mouvement par rapport à un repère R. On a :

   Ω(S / R)  0   P(τ → S / R) =  .   = −c(θ − θ0 ).u.Ω(S / R) −c(θ − θ0 )u V ( A ∈ S / R)  A A 

2. Puissance des inter-efforts entre deux solides Considérons la liaison entre deux solides S1 et S2 intérieurs à un système matériel (E).

2.1. Définition La puissance totale développée par les efforts de liaison entre les deux solides S1 et S2, encore appelée puissance des inter-efforts de la liaison, s’exprime sous la forme :

P(S1 ↔ S2 ) = {S1 → S 2 } ⋅ {V(S2 / S1 )} = {S2 → S 1 } ⋅ {V(S1 / S2 )}

2.2. Liaison parfaite entre deux solides Définition : La liaison entre deux solides S1 et S2 est dite parfaite si quel que soit le mouvement de S2 par rapport à S1 autorisé par la liaison, la puissance développée par les actions mutuelles entre S1 et S2 est nulle : P(S1 ↔ S2 ) = 0 , ⇒ {S1 → S 2 }⋅ {V(S2 / S1 )} = 0 . Nota : La puissance des efforts extérieurs de S1 sur S2 dans son mouvement par rapport à un repère R n’est nulle que si le solide S1 est fixe dans R, même si la liaison entre S1 et S2 est parfaite. En effet : on a : P(S1 → S2 / R) = {S1 → S 2 }⋅ {V(S2 / R)} . Et puisque la liaison est parfaite on a : P(S1 ↔ S2 ) = {S1 → S 2 }⋅ {V(S2 / S1 )} = 0 . Alors P(S1 → S2 / R) = 0 si {V(S2 / R)} = {V(S2 / S1 )} , c.à.d. S1 est fixe dans R.

2.3. Liaison non parfaite entre deux solides Pour toute liaison non parfaite (avec frottement), la puissance des inter-efforts est négative et correspond à une puissance dissipée sous forme de chaleur.

R(S1 → S2 ) N (S1 → S2 ) S2

T (S1 → S2 )

n

Exemples :

I

a) Frottement sec Soit deux solides S1 et S2 en liaison ponctuelle avec frottement de glissement de normale ( I , n) . On a :

V ( I ∈ S2 / S1 )

π S1

N(S1 → S2 ) + T (S1 → S2 )  Ω(S2 / S1 )  P(S1 ↔ S2 ) =  .  = T (S1 → S2 ).V ( I ∈ S2 / S1 ) ≤ 0   V ( I ∈ S / S ) 0 2 1   I

Car d’après Coulomb T (S1 → S2 ) ∧ V ( I ∈ S2 / S1 ) = 0 et T (S1 → S2 ).V ( I ∈ S2 / S1 ) < 0 . C.P.G.E. Agadir

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Remarque : S’il y a roulement sans glissement en I c.à.d. V ( I ∈ S2 / S1 ) = 0 , alors P(S1 ↔ S2 ) = 0 b) Frottement visqueux Considérons deux solides S1 et S2 en liaison pivot glissant d’axe ( A , x ) présentant du frottement visqueux qui engendre des actions mécaniques résistantes au mouvement modélisées par le torseur suivant :

 −ηVx + Y12 y + Z12 z  {S1 → S2 } =   A

−µω x + M12 y + N12 z 

Avec : η et µ étant les coefficients de frottement visqueux de translation et de rotation .

 ω.x  Et {V(S2 / S1 )} =    le torseur cinématique en A du mouvement de S2 par rapport à S1.   V . x  A Alors : P(S1 ↔ S2 ) = {S1 → S 2 }⋅ {V(S2 / S1 )} = −η.V 2 − µ.ω 2

(< 0)

2.4. Cas des pseudo inter-efforts Pour un élément (e) d’inertie (ou de masse) négligeable intercalé entre deux solides S1 et S2 Elément e

S1

Liaison

S2

P(S1 ← e → S2 ) = {e → S2 }⋅ {V(S2 / S1 )} = {e → S1 }⋅ {V(S1 / S2 )} Exemples : a) Ressort Soit un ressort r, de raideur k et de longueur libre ℓ0, monté entre deux solides S1 et S2.

S1

Liaison

A2

ℓ

Ressort r

S1

S2

P(S1 ← r → S2 ) = {r → S2 } ⋅ {V(S2 / S1 )} =

u S

S2

Ressort r

A1

−k( ℓ − ℓ 0 )u  Ω(S2 / S1 )    .  = −k( ℓ − ℓ 0 )u.ɺℓu   V ( A2 ∈ S2 / S1 ) 0 A2  

= −k( ℓ − ℓ 0 ).ℓɺ b) Amortisseur Soit un amortisseur A de coefficient visqueux η monté entre deux solides S1 et S2.

S2

ℓ Amortisseur

A

A2

S1 S1

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Liaison

A1

S2

3

u

Amortisseur

A

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P(S1 ← A → S2 ) = { A → S2 } ⋅ {V(S2 / S1 )} =

(

= −η V ( A2 ∈ S2 / S1 ).u

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(

)

  −η V ( A2 ∈ S2 / S1 ).u .u  Ω(S2 / S1 )   .     V ( A2 ∈ S2 / S1 ) 0   A     2 A2

)

2

= −η.ɺℓ 2

c) Moteur monté entre deux solides S1 et S2 (stator lié à S1 et rotor lié à S2) : L’inertie du stator est rapportée sur S1. Stator

S1

L’inertie du rotor est rapportée sur S2.

x

Rotor Stator

On a :

S2

Moteur

A S1

Liaison pivot

S2

 0  ω21 .x  .   P(S1 ← Mot. → S2 ) = { Mot. → S2 } ⋅ {V(S2 / S1 )} =  C M x  0    A

= C M .ω21

3. Energie potentielle Soient S1 et S2 deux systèmes matériels en mouvement par rapport à un repère R.

3.1. Energie potentielle associée à des efforts extérieurs Si quelque soit le mouvement de S2 par rapport à R, la puissance P(S1 → S2 / R) s’écrit sous la d forme : P(S1 → S2 / R) = − [ E(S1 → S2 / R)] dt Nous dirions qu’on peut associer aux actions mécaniques de S1 sur S2 dans le mouvement de S2 par rapport à R l’énergie potentielle : E(S1 → S2 / R) . Remarques :

E est définie à une constante près. On annonce couramment l’existence de E en disant que les actions mécaniques, auxquelles on peut associer E, dérivent d’un potentiel.

Exemples a) Efforts de la pesanteur Soit un système matériel E et soit g l’accélération de la pesanteur. On a : dOP  d d  .dm = P( pes. → E / R) = ∫ g.V ( P / R)dm = ∫ g. g.∫ OP.dm = g.mE .OG E E E E R dt R dt dt

(

Donc :

E( pes. → E / R) = −mE .g.OG E

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)

(

)

R

avec mE et GE masse et de centre d’inertie de E.

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b) Efforts du ressort Soient deux solides S1 et S2 en liaison glissière et liés par un ressort de traction-compression et un amortisseur. S1 est lui-même en liaison glissière avec le bâti S0. ℓ x S

Ressort R

A1 S1

A2 Amortisseur

A

B1

λ

R

S2 1

B2

2

0

A S0

O0

P(r → S2 / R0 ) = {r → S2 } ⋅ {V(S2 / R0 )} =

−k( ℓ − ℓ 0 )x  0    . ɺ ɺ    ( ℓ  0  +λ ).x A2

= −k( ℓ − ℓ 0 ).( ɺℓ +λɺ )

 d 1 Si λɺ = 0 (c.à.d. S1 fixe dans R0) , alors P(r → S2 / R0 ) = −  k( ℓ − ℓ 0 )2   dt  2 Donc les efforts du ressort dérivent d’une énergie potentielle : E(r → S2 / R0 ) =

1 k( ℓ − ℓ 0 )2 dans le 2

cas où S1 est fixe dans R0.

3.2. Energie potentielle associée aux inter-efforts Si quelque soit le mouvement de S1 et S2 par rapport à R, la puissance des inter-efforts P(S1 ↔ S2 ) d peut s’écrire sous la forme : P(S1 ↔ S2 ) = − E(S1 ↔ S2 ) , alors nous dirions qu’on peut associer aux dt inter-efforts entre S1 et S2 l’énergie potentielle : E(S1 ↔ S2 ) . Exemples Efforts exercés par un ressort Soit un ressort travaillant en traction-compression et en torsion selon l’axe (O , x ) . k et C étant les raideurs en traction et torsion de r. ℓ0 et θ0 : longueur et angle à l’état initial.

y2

r (k, ℓ0, C,θ0)

y1

ℓ et θ : longueur et angle à un instant t.

θ

S1 S2

O E(S1 ← r → S2 ) =

x1

1 1 k( l − l0 )2 + C(θ − θ0 )2 2 2

AA

ℓ

Remarque : Si le ressort travaille seulement en traction alors : E(S1 ← r → S2 ) =

1 k(l − l0 )2 . 2

1 Si le ressort travaille seulement en torsion alors : E(S1 ← r → S2 ) = C(θ − θ0 )2 . 2 C.P.G.E. Agadir

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4-Récapitulation : Soit le mécanisme dont la structure est représentée sur le schéma ci-dessous :

1

fr ot. 2

san sf . rot

av e c fr o t.

R

avec fr ot.

3

R 2

t. fro

0

ns sa

ns a s

t. o fr

avec

R1

E

4

ns a s

t. o r f

R3

Isolons le système E = 1+2+4.

Puissances extérieures : • • • • • •

P(0 → 1 / R ) = 0 car liaison sans frottement et 0 fixe dans le repère R. P(0 → 2 / R ) pas obligatoirement nulle car liaison avec frottement P(3 → 4 / R ) pas obligatoirement nulle car 3 est mobile dans R. P(3 → 2 / R ) pas obligatoirement nulle car la liaison est avec frottement et 3 mobile dans R. d P( R1 → 1 / R ) = − E( R1 → 1 / R ) les efforts de R1 sur 1 dérivent d’une énergie potentielle dt car le ressort R1 est ancré sur 0 fixe dans R. E( R3 → 4 / R ) n’existe pas car le ressort R3 est ancré sur 3 mobile dans R.

Puissances intérieures : • P(1 ↔ 4) = 0 , car la liaison est sans frottement. • P(1 ↔ 2) pas obligatoirement nulle car la liaison est avec frottement. •

P(1 ← R2 → 4) = −

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d E(1 ← R2 → 4) car pseudo inter-efforts . dt

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