Fenomeni radioattivi: Dai nuclei alle stelle [2a edizione] 978-88-470-5452-3, 978-88-470-5453-0 [PDF]

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Giorgio Bendiscioli

Fenomeni radioattivi

2a edizione

123

NITEXT

Dai nuclei alle stelle

Fenomeni radioattivi

Giorgio Bendiscioli

Fenomeni radioattivi

Dai nuclei alle stelle

2a edizione

~ Springer

GIORGIO BENDISCIOLI

Dipartimento di Fisica Nucleare e Teorica Università di Pavia

UNITEXT- Collana di Fisica e Astronomia ISSN versione cartacea: 2038-5730 ISBN 978-88-470-5452-3 DOI 10.1007/978-88-470-5453-0

ISSN elettronico: 2038-5765 ISBN 978-88-470-5453-0 ( eBook)

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Prefazione alIa seconda edizione

L'impostazione di questa edizione segue sostanzialmente quella della precedente, ma ne differisce, oltre che per l'eliminazione di vari errori tipografici e per la riscrittura di alcuni punti finalizzata ad una maggior chiarezza, per l'inserimento di un paragrafo dedicato alIa relazione fra massa del neutrino e massa oscura dell'Universo (par. 12.7), per l'ampliamento di argomenti relativi ai neutrini solari, al doppio decadimento beta e alle oscillazioni di neutrino con l'aggiornamento dei risultati sperimentali (par. 13.5, 14.4.2, 14.4.3, 15.2.1, 15.3.2, 16.4, 16.5). La struttura del corso con Ie connessioni fra i vari argomenti e illustrata nel seguente diagramma.

Legge del decac:limenlO 'radioattivo Fladlazfione e ambiente Radiodatazione

VI

Nel lavoro di revisione mi sono avvalso dell'accurata lettura del testa e dei suggerimenti da parte dei colleghi Adalberto Piazzoli, Cristina Riccardi, Andrea Fontana e Gianluca Introzzi (gli ultimi due hanno anche contribuito aH'attuale versione LaTeX). Un ultimo, rna caldo ringraziamento devo aHa collega Lia Lavezzi per il paziente lavoro finale di revisione.

Pavia, novembre 2012

Giorgio Bendiscioli

Prefazione alIa prima edizione

Questo volume raccoglie Ie lezioni del Corso di Radioattivita impartite dall'autore agli studenti dei Corsi di Laurea in Fisica presso l'Universita di Pavia. I temi trattati costituiscono un'introduzione ai fenomeni radioattivi in senso stretto con escursioni, aventi come base di partenza e filo conduttore il decadimento (3, nel campo della fisica delle particelle elementari, in particolare dei neutrini, e dell'astrofisica. Alcuni argomenti sono tradizionali, altri riguardano la fisica di frontiera cosl che al lettore sono offerti particolari itinerari dalla fisica consolidata alla fisica in evoluzione. Ovviamente, per quanto riguarda quest'ultima, i risultati sperimentali riportati e i relativi commenti hanno carattere di provvisorieta. Gli argomenti discussi rappresentano una scelta, per qualche verso arbitraria, del vasto materiale disponibile e vengono proposti come introduzione alla materia. Per Ie lezioni ho attinto, in varia misura, dai testi, dagli articoli di rassegna, dagli articoli didattici 0 divulgativi e dagli articoli originali citati al termine di ogni capitolo e ai quali si rimanda per approfondimenti e ampliamenti. Essi costituiscono una minuscola parte della vastissima letteratura esistente. La comprensione dei vari temi presuppone il possesso delle nozioni normalmente impartite nei primi tre anni del Corso di Laurea in Fisica. Per non appesantire l'esposizione degli argomenti principali, argomenti complementari e sviluppo di calcoli sono raccolti in Appendici poste alla fine di ogni capitolo. Nella stesura del testo mi sono avvalso della preziosa consulenza di numerosi colleghi del Dipartimento di Fisica Nucleare e Teorica dell' Universita di Pavia e della collaborazione degli studenti che hanno seguito Ie mie lezioni e hanno affrontato il testo in versioni pili rozze. A tutti un vivo ringraziamento. Un grazie particolare al collega Claudio Cattaneo che con grande pazienza ha curato la versione LaTeX del testo.

Pavia, marzo 2008

Giorgio Bendiscioli

Indice

1

Legge del decadimento radioattivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 I fenomeni radioattivi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 La legge esponenziale del decadimento radioattivo . . . . . . . . . .. 1.2.1 Probabilita di decadimento per un singolo nucleo . . . . . . 1.2.2 Tempo di dimezzamento e vita media . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Attivita.......................................... 1.2.4 Decadimenti in competizione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1.3 Famiglie radioattive. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1.3.1 Decadimento A -t B (stabile) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1.3.2 Decadimento A -t B (instabile) ..................... 1.3.3 Serie di decadimenti 1 -t 2 -t 3 -t ... -t (K - 1) -t K (stabile) .. 1.3.4 Andamento nel tempo della quantita di una sostanza radioattiva prodotta da fenomeni non radioattivi . . . . .. 1.3.5 Misura della vita media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1.4 Appendice - Fluttuazioni statistiche .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1.4.1 Statistica e probabilita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1.4.2 Frequenza e probabilita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1.4.3 Valutazione della cost ante di decadimento . . . . . . . . . . .. 1.4.4 Sottrazione del fondo .............................. 1.4.5 Misure statisticamente compatibili . . . . . . . . . . . . . . . . . ..

1 1 4 6 7 8 9 10 10 11 12 16 17 18 18 19 20 21 22

Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 23 2

Radiazione ambient ale naturale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2.1 Sorgenti della radiazione ambientale ....................... 2.2 Radionuclidi naturali primordiali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2.2.1 L'uranio.......................................... 2.2.2 11 torio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2.3 Calore terrestre di origine radioattiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2.4 I raggi cosmici ..........................................

25 25 26 28 31 32 36

X

Indice

2.5 Radionuclidi naturali cosmogenici ......................... 2.6 Radionuclidi artificiali (cenni) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2.7 Effetti biologici della radiazione ........................... 2.7.1 Interazione delle particelle cariche con la materia ...... 2.7.2 Interazione dei fotoni con la materia ................. 2.7.3 Effetti delle radiazioni ionizzanti sui tessuti biologici . .. 2.7.4 Unita dosimetriche ................................ 2.7.5 Danni e fattori di rischio ........................... 2.7.6 Dosi alte assorbite in breve tempo ................... 2.7.7 Dosi basse ........................................ 2.7.8 Radioattivita intrinseca del corpo umano ............. 2.8 Il radon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2.8.1 Radiazione media assorbita dalla popolazione . . . . . . . .. 2.9 Sono possibili effetti benefici delle radiazioni? ...............

39 42 43 43 46 48 50 53 53 54 56 57 61 62

Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 67 3

Radiodatazione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3.1 Criterio di base della radiodatazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3.2 Datazione delle rocce .................................... 3.2.1 Introduzione...................................... 3.2.2 Metodi di datazione ............................... 3.2.3 Eta della Terra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3.2.4 Datazione dei coralli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3.3 Datazione con il 14C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3.4 Appendici.............................................. 3.4.1 Incertezza sulla radiodatazione dipendente dalla statistica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3.4.2 Esempio di calibrazione della radiodatazione . . . . . . . . ..

69 69 69 69 70 75 77 78 85 85 86

Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 89 4

Decadimento I ............................................ 91 4.1 Proprieta generali del decadimento "(. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 91 4.2 Radiazione di multipolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 94 4.2.1 Equazioni di Maxwell .............................. 94 4.2.2 Parita........................................... 95 4.2.3 Parita orbitale e parita intrinseca. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 97 4.2.4 Il campo elettromagnetico nella spazio vuoto. . . . . . . . .. 97 4.2.5 Parita orbitale del campo elettrico e del campo magnetico associati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 99 4.2.6 Campi di multipolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 99 4.2.7 Parita intrinseca .................................. 102 4.2.8 Parita totale ...................................... 102 4.2.9 Dipolo di radiazione elettrica e di radiazione magnetica 103

Indice

4.3 4.4

XI

4.2.10 Regole di selezione ................................. 103 Le sorgenti del campo elettromagnetico ..................... 105 Energia della radiazione elettromagnetica ................... 107

Bibliografia .................................................... 111

5

Decadimento 0: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 5.1 Caratteristiche generali del decadimento a .................. 113 5.2 Fenomenologia del decadimento a ......................... 114 5.2.1 Aspetti energetici ................................. 114 5.2.2 Vita media ....................................... 119 5.3 Teoria del decadimento a ................................. 120 5.3.1 La barrier a repulsiva coulombiana ................... 120 5.3.2 Le particelle a all'interno dei nuclei .................. 123 5.3.3 Trasparenza della barrier a coulombiana .............. 124 5.3.4 Costante di decadimento ........................... 128 5.3.5 Effetto della barriera centrifuga ..................... 130 5.4 Decadimenti favoriti e decadimenti sfavoriti ................. 131

Bibliografia .................................................... 135

6

Nuclei e decadimenti esotici ............................... 137 6.1 Introduzione ............................................ 137 6.2 Radioattivita con emissione di nuclei con A > 4 ............. 139 6.3 Emissione di protoni e neutroni ........................... 141 6.3.1 Emissione di protoni ............................... 141 6.3.2 Decadimenti del 151 Lu ............................. 143 6.3.3 Decadimenti del 21 N a . ............................. 145 6.3.4 Emissione protonica da un nucleo isomero ............ 146 6.3.5 Emissione di neutroni .............................. 148 6.4 I nuclei superpesanti ..................................... 150

Bibliografia .................................................... 155

7

Decadimento (3 ............................................ 157 7.1 Caratteristiche generali del decadimento (3 .................. 157 7.2 Condizione energetica per il decadimento (3 ................. 163 7.3 Esistenza del neutrino e dell'antineutrino ................... 166 7.4 Aspetti cinematici del decadimento (3 ...................... 170 7.4.1 Decadimento (3± .................................. 170 7.4.2 Cattura elettronica ................................ 172 7.5 Teoria di Fermi ......................................... 172 7.5.1 Densita degli stati £lnali ............................ 173 7.5.2 Elemento di matrice di transizione ................... 174 7.5.3 Funzioni d'onda per elettrone e antineutrino .......... 176

XII

Indice

7.5.4

Densita di probabilita di transizione. Spettro energetico degli elettroni ........................... 178 7.5.5 Elemento di matrice nucleare ....................... 180 7.5.6 Probabilita di transizione per unita di tempo. Costante di decadimento (vita media) ................ 181 7.5.7 Classi£lcazione dei decadimenti. Transizioni favorite .... 183 7.5.8 Valutazione della costante g dell'interazione deb ole .... 185 7.5.9 Osservazioni conclusive ............................. 187 7.6 Interazione elettromagnetica, interazione forte e interazione deb ole ................................................. 187 7.6.1 Dipendenza dalle coordinate spaziali ................. 188 7.6.2 Intensita delle interazioni ........................... 193 7.7 Appendici .............................................. 198 7.7.1 Energia liberata, masse atomiche ed energia di legame .198 7.7.2 Densita degli stati ................................. 199 7.7.3 Sezione d'urto lJ + p ---+ e+ + n ..................... 200 7.7.4 Densita degli stati £lnali per lJ + p ---+ e+ + n ......... 203 7.7.5 Emissione di elettroni, raggi X e "( conseguente al decadimento (3 .................................... 203 7.7.6 Fattore coulombiano ............................... 207 7.7.7 Misura della vita media del neutrone ................. 208 Bibliografia .................................................... 215 8

Misura della massa del neutrino ........................... 217 8.1 Introduzione ............................................ 217 8.2 Decadimento del trizio ................................... 218 8.2.1 Spettro energetico dei (3 ............................ 218 8.3 Spettrometro ........................................... 224 8.4 Risoluzione ............................................. 226 8.5 Perdita d'energia per ionizzazione ......................... 227 8.6 Radiazione di fondo ...................................... 228 8.7 Analisi dei dati .......................................... 229 8.8 Risultati sperimentali .................................... 229 8.9 Spettrometro a trappola magnetica ........................ 231 8.10 Appendici .............................................. 236 8.10.1 Decadimento (3 del 3H in livelli eccitati dell,3 He . ..... 236 8.10.2 Convoluzione e risoluzione di uno spettrometro ........ 238

Bibliografia .................................................... 241 9

Non conservazione della parita nel decadimento (3 ......... 243 9.1 Parita .................................................. 243 9.1.1 Leggi di conservazione e proprieta di invarianza ....... 243 9.1.2 Inversione delle coordinate spaziali. Parita ............ 244

Indice

XIII

9.1.3 9.1.4

9.2

9.3 9.4 9.5 9.6 9.7

Grandezze pari e grandezze dispari .................. 245 Conservazione della parita. Invarianza per inversione delle coordinate ................................... 247 9.1.5 Parita orbitale, parita intrinseca, parita totale ......... 249 9.1.6 Non conservazione della parita ...................... 251 Decadimento del 60Co . ................................... 251 9.2.1 Introduzione ...................................... 251 9.2.2 Esperimento del 60Co .............................. 252 Elicita del neutrino ...................................... 257 Elicita degli elettroni ..................................... 261 Correlazioni angolari ..................................... 262 Numero leptonico. Invarianza rispetto a CP ................. 263 Appendice - Asimmetria destra-sinistra e potenziale spin-orbita270

Bibliografia .................................................... 273 10 Teoria di Dirac ............................................ 275 10.1 Introduzione ............................................ 275 10.2 Equazione di Schrodinger ................................. 275 10.3 Equazione relativistica di Klein-Gordon .................... 277 10.4 Particelle e antiparticelle ................................. 277 10.5 Equazione di Dirac ...................................... 279 10.6 Proprieta generali dell'operatore hamiltoniano ............... 281 10.7 Soluzione dell'equazione di Dirac .......................... 283 10.8 Operatori di proiezione di elicit a positiva e negativa .......... 286 10.9 Equazione aggiunta ...................................... 288 10.10Invarianti relativistici .................................... 289 1O.11Proprieta di invarianza ................................... 291 1O.12Particelle e antiparticelle ................................. 293 10.13Confronto fra teoria di Dirac e osservazioni sperimentali ...... 296 10.14Appendici .............................................. 297 1O.14.1Commutazione di H e J ........................... 297 1O.14.2Commutazione di He h . ........................... 299 1O.14.3Invarianza relativistica dell'equazione di Dirac ........ 299 1O.14.4Covarianza e controvarianza ........................ 300

Bibliografia .................................................... 303 11 Teoria V - A del decadimento f3 ........................... 305 11.1 Appendice .............................................. 311

Bibliografia .................................................... 315

XIV

Indice

12 Energia solare ............................................. 317 12.1 Caratteristiche del Sole ................................... 317 12.2 Origine dell'energia sol are ................................ 318 12.2.1 Ipotesi chimica .................................... 318 12.2.2 Ipotesi gravitazionale .............................. 319 12.2.3 Energia termonucleare ............................. 320 12.3 Velocita di produzione di deuterio nella catena pp ........... 322 12.3.1 Formazione del deutone ............................ 322 12.3.2 Trasparenza della barriera coulombiana .............. 326 12.3.3 Distribuzione maxwelliana dell'energia ............... 327 12.3.4 Luminosita del Sole ................................ 329 12.4 Cenni di nucleosintesi ................................... 331 12.4.1 Introduzione ...................................... 331 12.4.2 Cenni sull'evoluzione delle stelle ..................... 331 12.4.3 Nuclei presenti suI Sole e loro origine ................ 332 12.4.4 Formazione dei nuclei con A ::; 56 ................... 334 12.4.5 Nucleosintesi e materia organic a ..................... 335 12.4.6 Formazione dei nuclei pesanti ....................... 336 12.5 Collasso della supernova SN1987 A e limite superiore della massa del neutrino ....................................... 340 12.5.1 Introduzione ...................................... 340 12.5.2 Limite superiore della massa del neutrino elettronico ... 343 12.6 Limite inferiore dell'eta delle stelle e dell'Universo ........... 346 12.7 Massa del neutrino e massa oscura dell'universo ............. 348 Bibliografia .................................................... 357 13 I neutrini solari . ........................................... 359 13.1 Modelli solari e flusso di neutrini .......................... 359 13.2 Rivelazione dei neutrini .................................. 362 13.2.1 Reazioni di assorbimento ........................... 365 13.2.2 Radiazione di fondo ............................... 367 13.3 Esperimenti ............................................. 369 13.3.1 L'esperimento con 37 Cl ............................ 369 13.3.2 Esperimenti con 71Ca . ............................. 373 13.3.3 Misura diretta .................................... 376 13.4 Osservazioni riassuntive .................................. 380 13.5 Recenti sviluppi sperimentali .............................. 381 13.6 Appendice - Valutazione del fattore astrofisico .............. 387 Bibliografia .................................................... 391

Indice

XV

14 Neutrini massivi ........................................... 393 14.1 Introduzione ............................................ 393 14.2 Neutrini massivi ......................................... 394 14.2.1 Neutrini di Dirac .................................. 394 14.2.2 Neutrini di Majorana .............................. 395 14.2.3 Osservazione ...................................... 396 14.3 Doppio decadimento fJ ................................... 396 14.3.1 Probabilita del decadimento fJfJ ..................... 399 14.4 Oscillazioni di neutrino ................................... 402 14.4.1 I mesoni K neutri ................................. 402 14.4.2 Oscillazioni di neutrino ............................. 405 14.4.3 Oscillazioni di tre sapori nel vuoto [20, 21, 22] ........ 408 Bibliografia .................................................... 413 15 Doppio decadimento (3 ..................................... 415 15.1 Introduzione ............................................ 415 15.2 Spettri energetici e vita media ............................ 418 15.2.1 Osservazioni suI decadimento fJfJ .................... 421 15.3 Esperimenti ............................................. 424 15.3.1 Metodo geochimico ................................ 425 15.3.2 Metodi diretti ..................................... 426 Bibliografia .................................................... 437 16 Oscillazioni di neutrino . ................................... 439 16.1 Introduzione ............................................ 439 16.1.1 Condizioni di osservabilita .......................... 439 16.1.2 Esperimenti ideali ................................. 445 16.2 Esperimenti di oscillazione pres so reattori nucleari ........... 450 16.2.1 L'esperimento di G6sgen ........................... 450 16.2.2 L'esperimento KamLAND .......................... 456 16.3 I neutrini solari ......................................... 457 16.4 I neutrini atmosferici ..................................... 459 16.5 Analisi dei risultati sulle oscillazioni ....................... 466 16.6 Determinazione della massa ............................... 469 16.7 Osservazioni conclusive ................................... 471 Bibliografia .................................................... 475 17 Commiato ................................................. 477

XVI

Indice

18 Appendice ................................................. 479 18.1 Formule cinematiche ..................................... 479 18.1.1 Formule relativistiche .............................. 479 18.1.2 Principi di conservazione ........................... 480 18.1.3 Sistemi di riferimento del lab oratorio (L) e del centro di massa (C M) ................................... 481 18.1.4 Relazioni fra Ie quantita cinematiche di una particella nei sistemi del L e del C M ......................... 483 18.1.5 Relazioni fra Ie quantita cinematiche nel sistema del L e del CM (formule non relativistiche, T « M, p = y'2MT) ...................................... 484 18.1.6 Relazioni fra Ie quantita cinematiche nel sistema del L e del eM (formule relativistiche, P = y'2MT + T2) .... 485 18.1.7 Energia di soglia .................................. 486 18.1.8 Decadimenti ...................................... 487 18.2 Tabelle ................................................. 488 Indice ......................................................... 491

Facciamo l'uomo a nostra immagine, a nostra somiglianza: domini sui pesci del mare e sugli uccelli del cielo, su tutti gli animali e su tutta la terra. Genesi 1,26

1

Legge del decadimento radioattivo

1.1 I fenomeni radioattivi I nuclei conosciuti, nella maggior parte prodotti artificialmente, sono circa 2700; di questi solo una piccola parte, circa 270, e stabile. Si ritiene, inoltre, che il numero dei nuclei instabili producibili in laboratorio possa raggiungere il numero di 7000. I nuclei sono instabili a causa di differenti processi fisici, detti decadimenti radioattivi. Questi processi hanno carattere probabilistico nel sen so che ogni nucleo di una data specie ha una caratteristica probabilita per unita di tempo di decadere. Conseguentemente, dato un certo numero di nuclei instabili di una data specie, il loro numero decresce gradualmente nel tempo; ogni specie e caratterizzata da un intervallo, detto tempo di dimezzamento 0 periodo, nel quale il numero dei nuclei si riduce a meta di quello iniziale. La distinzione fra nuclei stabili e instabili non e netta. Infatti, alcuni nuclei instabili, per esempio i nuclei suscettibili di doppio decadimento {J, hanno un tempo di dimezzamento cosl grande, che possono essere considerati praticamente stabili. Ogni decadimento trasforma una configurazione instabile di nucleoni in una configurazione pili stabile con liberazione di una certa quantita di energia definita dalla differenza fra l'energia associata alIa massa a riposo iniziale e la somma delle energie associate alle masse a riposo finali. Ogni decadimento e caratterizzato da un particolare valore dell'energia liberata. L'insieme dei nuclei stabili e instabili (osservati 0 attesi) e rappresentato nel diagramma di fig. 1.1. I principali processi di decadimento, ossia quelli con pili elevata probabilita, sono i seguenti. a) Decadimento a: un nucleo si trasforma in un nucleo con 4 nucleoni in meno emettendo un nucleo di 4 H e (particella a) secondo la reazione

A(Z, N) ---+ A' (Z - 2, N - 2) II decadimento a

+ A" (2,2).

e caratteristico dei nuclei pesanti con

A > 210.

2

1 Legge del decadimento radioattivo

emettitori di protoni I S\ U

r

z

50

NFig. 1.1. Rappresentazione dei nuclei nel piano Z,N . La regione dei nuclei possibili previsti teoricamente e compresa tra Ie linee tratteggiate superiore e inferiore. Queste sono dett e lin ee di "sgocciolamento " per indicare che in loro prossimita eventuali nucleoni addizionali si staccano dai nuclei essendo nulle Ie rispettive energie di legame (Ep e E n ). La regione dei nuclei conosciuti, ossia effettivamente osservati, e delimitata dalla lin ea piena e i nuclei stabili si trovano nella sua parte m ediana; gli altri nuclei sono instabili. Nella figura sono messi in evidenza i nuclei con numero magico di protoni 0 neutroni (2, 8, 20, 28, 50, 82, 126) e alcuni nuclei doppiamente magici. (f4j) I piu elevati valori osservati di Z, N e A sono 118, 180 e 297, rispettivam ente. Dettagli sulla regione dei nuclei superpesanti sono dati in fig . 6.10.

b) Decadimento (3- : un nucleo si trasforma in un isobaro con emissione di un elettrone (particella (3- ) e di un antineutrino secondo la reazione A(Z,N) ---+ A(Z + 1,N - 1)

+ e- + v.

Il decadimento e caratteristico dei nuclei con eccesso di neutroni rispetto agli isobari stabili corrispondenti. c) Decadimento (3+ : un nucleo si trasforma in un isobaro con emissione di un positrone (particella (3+ ) e di un neutrino secondo la reazione A(Z, N) ---+ A(Z - l,N

+ 1) +e+ + v.

Il decadimento e caratteristico dei nuclei con difetto di neutroni rispetto agli isobari stabili corrispondenti. E riscontrato solamente nei nuclei

1.1 I fenomeni radioattivi

3

radioattivi artificiali.

Oecadlmenta Alfa (Ill)

~He2

• •

2~~ U 142

•

2~~Th'40

•

•

'l~~"

Oeeadlmento Beta (r)

. rr

'l:y·

Oaeadlmento Beta (11+)

• f3+

Oeeadlmento Gamma ('Y)

1~

86

••

'18 6 -

•

'~g8a84

•

•

7

. P,;f'" n

f"lsslone spontanea

•

.

1~~ M064

Fig. 1.2. Esempi di decadimenti radioattivi. Le frecce rappresentano impulsi con

somma uguale a zero.

d) Decadimento 'Y: un nucleo passa da uno stato eccitato a un altro stato eccitato 0 aUo stato fondamentale emettendo un fotone 0 quanto di energia elettromagnetica: A*(Z, N) ---+ A(Z, N) + 'Y. e) Fissione spontanea: un nucleo si spezza in due nuclei aventi una massa circa meta di queUa iniziale, emettendo un certo numero di neutroni:

4

1 Legge del decadimento radioattivo

A(Z, N) ---+ A'(Z', N') A' + A" + k

=

N'

+ A" (Z" , N") + kn,

+ N" + Z' + Z" + k =

A.

La fissione spontanea e caratteristica di nuclei pesanti. Esempi dei precedenti decadimenti sono mostrati in fig. 1.2. Altri decadimenti hanno bassa probabilita rispetto ai precedenti e sono detti "esotici". Fra di essi ricordiamo: f) Doppio decadimento (3±: un nucleo decade con emissione di due elettroni o due positroni e due antineutrini 0 due neutrini:

A(Z, N) ---+ A(Z - 2, N

+ 2) + 2e+ + 2v,

A(Z, N) ---+ A(Z + 2, N - 2)

+ 2e- + 2[;.

Questi decadimenti sono osservati in un certo numero di nuclei non suscettibili di decadimento (3 singolo. g) Decadimenti con emissione di protoni 0 neutroni:

A(Z,N) ---+ A'(Z -l,N) +p, A(Z,N) ---+ A'(Z,N -1) +n. Sono processi caratteristici di nuclei con grande eccesso 0 grande difetto di neutroni, spesso conseguenti a decadimenti (3±(emissioni (3-ritardate). h) Emissione di nuclei leggeri con A > 4:

A(Z,N) ---+ A'(Z',N') +A'(Z",N"). Questi decadimenti sono stati osservati in nuclei pesanti; per esempio, emissione di nuclei di C e Ne da parte di nuclei di Ra e U. Indipendentemente dai processi particolari, i decadimenti avvengono secondo la stessa legge temporale che vernl illustrata nei successivi paragrafi.

1.2 La legge esponenziale del decadimento radioattivo Un grande numero di osservazioni sperimentali mostra che il numero medio Llnd delle trasformazioni spontanee (0 decadimenti) di un materiale radioattivo osservate in un intervallo di tempo Llt (non troppo lungo) e proporzionale al numero n di nuclei presenti e all'intervallo Llt:

(1.1) II valore della costante di proporzionalita A, detta cost ante di disintegrazione o di decadimento, dipende dalla specie nucleare e dal tipo di decadimento. Tenuto conto del fatto che in un decadimento un nucleo iniziale si trasforma

1.2 La legge esponenziale del decadimento radioattivo

5

in un nucleo finale COS! che il numero totale di nuclei rimane inalterato (quindi Lmd + Lln = 0) , e che la (1.1) vale per qualsiasi val ore di n e per qualsiasi istante t, per Llt tendente a zero la (1.1) assume la forma dnd(t)

= - dn(t) = An(t)dt,

(1.2)

che rappresenta l'espressione differenziale della legge dei decadimenti radioattivi. La (1.2) puo essere riscritta nella forma dn(t) =_ \d n(t) /\ t ,

(1.3)

il cui integrale fornisce il numero di nuclei non decaduti (0 residui) all'istante generico t: (1.4) dove no e il numero di nuclei presenti all'istante iniziale t = O. La (1.4) e l'espressione esponenziale della legge fondamentale dei decadimenti radioattivi; essa mostra che il numero di nuclei non disintegrati (0 residui) diminuisce esponenzialmente nel tempo (vedere fig. 1.3) e A determina la rapidita con cui l'esponenziale tende a zero.

n(I)/n o

1/32

o

840

1120

1400

t(giomi)

Fig. 1.3. Legge del decadimento radioattivo per un nucleo generico con Tl / 2

Il numero di nuclei che decadono fra 0 e t

=

280g .

e (1.5)

il numero di quelli che decadono nell'intervallo Llt = t2 - tl

e

6

1 Legge del decadimento radioattivo

(1.6) per

h < t2« 1/>', ovvero

L1t

=

t2 - tl

«

1/>',

(1.7)

la (1.6) diviene semplicemente

L1nd

R:j

no [(1 - >'h

+ ... ) - (1 -

>'t2 +

... )]

=

no>'L1t

(1.8)

Questa relazione coincide con la (1.1) e da significato all'aggettivazione "non troppo lungo" che accompagna l'intervallo di tempo L1t nell'introduzione della (1.1) stessa. Inoltre, la (1.7) implica >.L1t « 1 e quindi L1nd « no, vale a dire il numero di nuclei che decadono e molto minore di quello iniziale 0, equivalentemente, il numero di nuclei rimane approssimativamente cost ante in L1t. La (1.8) ha notevole interesse pratico e sara ripetutamente utilizzata nel seguito. Va sottolineato che i fenomeni radioattivi hanno carattere statistico e Ie equazioni (1.1-1.8) sono relazioni fra valori medi. Nei casi concreti si hanno deviazioni da tali leggi dovute alle fluttuazioni statistiche, che sono tanto pili sensibili quanta pili piccolo e no. Di esse si discutera nell' Appendice. La legge del decadimento radioattivo e il valore di >. sono la manifestazione macroscopica delle interazioni forte, elettromagnetica e debole, dei principi di conservazione e delle leggi della meccanica quantistica che determinano a livello microscopico la stabilita 0 l'instabilita dei nuclei. 1.2.1 Probabilita di decadimento per un singolo nucleo

Le relazioni (1.2) e (1.4) descrivono proprieta statistiche di popolazioni di nuclei derivanti da proprieta probabilistiche dei singoli nuclei, che ricaviamo dalle stesse relazioni citate. La probabilita dP d(t) che un nucleo decada nell'intervallo dt e data dal rapporto fra il numero di nuclei che decadono e il numero tot ale dei nuclei presenti; per la (1.2) risulta

dPd (t)

=

d:(g)

=

-dP (t)

= -

~ngl

=

>'dt.

(1.9)

Questa relazione mostra che la costante di decadimento ha il significato di probabilita di decadimento per unita di tempo: (1.10)

1.2 La legge esponenziale del decadimento radioattivo

7

Analogamente, per Ia (1.4), Ia probabilita che un singolo nucleo appartenente all'insieme iniziale di no nuclei sopravviva al tempo t ha l'espressione 1 (1.11) 1.2.2 Tempo di dimezzamento e vita media

La rapidita COn cui avviene il decadimento e indicata, oltre che COn A, anche con due altre quantita: il ''tempo di dimezzamento" (0 periodo di dimezzamento 0 semplicemente periodo 2 ) Tl/2 e Ia ''vita media" f. Il periodo e il tempo dopo il quale il numero dei nuclei di una data specie, inizialmente uguale a no, si dimezza, ossia diviene n o/2 (vedere fig. 1.3). Per Ia (1.4) si ha 1

E interessante mettere in evidenza alcune limitazioni di carattere conoscitivo della legge del decadimento radioattivo 1.11. Supponiamo che un nucleo radioattivo venga prodotto all'istante h: fino a quando sopravvivera 0, equivalentemente, quando decadra? Non e possibile rispondere a questa domanda. L'unica previsione che si puo fare sulla durata della vita del nucleo e la probabilita di sopravvivenza fino a un generico istante t2: Se il nucleo e effettivamente in vita all'istante t2, la probabilita che sopravviva per un ulteriore intervallo di tempo Llt = t3 - t2 e

Cio mostra che la probabilita di sopravvivenza non dipende dal particolare istante iniziale (h 0 t2), rna solo dall'intervallo Llt considerato. In altre parole, la probabilita di sopravvivenza non dipende dal passato del nucleo, in particolare dall'istante h in cui e stato prodotto. La legge del decadimento consente di formulare previsioni pili stringenti relativamente a un insieme di nuclei, in particolare consente di prevedere, in base alla (1.4), quanti nuclei sopravviveranno (in media) all'istante t2:

2

Non e tuttavia possibile prevedere quali particolari nuclei sopravviveranno. Supponiamo ora che all'istante tl siano presenti nl nuclei radioattivi identici. Essi potrebbero essere stati tutti creati all'istante h, oppure potrebbero essere stati creati in uno stesso istante precedente to 0, infine, potrebbero essere stati creati in differenti istanti precedenti. L'evoluzione del sistema degli nl nuclei presenti all'istante tl e governata dall'ultima relazione scritta, indipendentemente dalle modalita con cui si e costituito l'insieme di nl nuclei; anche l'evoluzione di un sistema di nuclei non dipende dal suo passato. Abitualmente in fisica si usa il termine "periodo" per indicare l'intervallo di tempo caratteristico di moti ripetitivi, come l'oscillazione di un pendolo 0 il moto della Terra attorno al Sole. Nel caso dei decadimenti radioattivi, il termine non si riferisce, evidentemente, a nessun moto, rna alla ripetitivita del fenomeno costituito dal dimezzamento della quantita di materiale radioattivo.

8

1 Legge del decadimento radioattivo

_ In2 _ 0.693

T

>. -

1/2 -

>. .

(1.12)

Degli no nuclei iniziali, fra t e t +dt se ne disintegrano >.n(t)dt; ognuno di essi e vissuto per un tempo t; quindi complessivamente essi sono vissuti per un tempo t>.n(t)dt. La somma dei tempi vissuti da tutti i nuclei fra t = 0 e t --+ 00 e data dall'integrale

10

00

t>.n(t)dt

=

10

00

t>'noe-)"tdt

=

n o/>'.

Dividendo per no, si ha la vita media (vedi fig. 1.3) -

t

=

1

>: =

T 1/ 2 In 2

1.443 T 1/ 2 ,

=

(1.13)

che rappresenta l'istante in cui il numero di nuclei residui si riduce a

n(f)

=

no/e

n o/2.718.

=

f puo essere messo in evidenza graficamente considerando i primi due termini dello sviluppo in serie della (1.4) per t tendente a zero:

n(t)

=

no (1 - >.t) .

Questa equazione rappresenta una retta e f e il valore di t per il quale essa interseca l'ascissa (n(f) = 0, vedi fig. 1.3). Il valore di T1/2 (0 di f) ha un campo di variabilita amplissimo a seconda del tipo di decadimento e di nucleo, da T ~ 10- 20 saT ~ 10 24 a. Va osservato che la vita media e il periodo sopra definiti sono intervalli di tempo misurati da un osservatore solidale con il campione radioattivo. Se questo fosse in mota con velocita v costante, conformemente alIa relativita ristretta l'osservatore misurerebbe una vita media pili lunga:

f*

f

=

-y'r=i=_===C(;=v/::;=c~)2

1.2.3 Attivita Il prodotto fra la costante di decadimento e il numero dei nuclei residui all'istante t prende il nome di attivitd radioattiva e si ha:

A(t)

=

>. n(t)

=

n~) t

=

TIn 2 n(t). 1/2

(1.14)

Poiche >. e la probabilita per unita di tempo che un nucleo decada, >.n(t) rappresenta il numero (medio) di nuclei che decadono nell'unita di tempo.

1.2 La legge esponenziale del decadimento radioattivo

9

L'attivita e tanto pili elevata quanta pili alto e il numero di nuclei radioattivi presenti e quanta pili breve e la loro vita media. Facciamo rilevare che, nonostante l'identita dimensionale, l'attivita non coincide in generale con l' intensita mdioattiva I (t)

1(t)

=

salvo per il caso gia visto, in cui n(t)

1(t)

= _

dn(t) dt

_

dn(t) dt

(1.15)

e espresso dalla

(1.4):

=

Valgono allora per l'attivita e l'intensita leggi analoghe alIa (1.4):

A(t)

=

1(t)

= -

A n(t) dn(t) dt

A no e-)"t

= =

Ano e-)"t

= =

Ao e-)"t

(1.16)

10 e-)"t

(1.17)

Poiche il numero no di nuclei radioattivi inizialmente contenuti campione di massa mo (in grammi) e numero di massa A e

III

un

(1.18) con NA numero d'Avogadro, per ogni istante t successivo a to si ha

n(t)

=

NA A m(t) .

(1.19)

Quindi anche per la massa del radionuclide vale una legge esponenziale analoga alla (1.4): (1.20) Ha particolare interesse, per il confronto fra Ie caratteristiche radioattive di differenti nuclei, l'attivita per unita di massa espressa, tenendo conto della (1.19), dalla relazione (1.21) Essendo data dal prodotto di costanti, Am risulta indipendente dal tempo. 1.2.4 Decadimenti in competizione

Ci sono numerosi esempi di nuclei radioattivi suscettibili di diversi modi di decadimento. Supponiamo che un nucleo sia soggetto a due soli modi in competizione, per esempio fJ+ e fJ-o fJ- e Q. Il numero di decadimenti nell'intervallo

10

1 Legge del decadimento radioattivo

di tempo dt

2:

e dato dalla somma dei

-dn(t)

=

decadimenti di tipo 1 e di quelli di tipo

).,In(t)dt + ).,2n(t)dt

= ().,1

+ ).,2)n(t)dt = ).,n(t)dt.

Questa relazione mostra che la cost ante di decadimento della sostanza somma delle cost anti di decadimento dei differenti modi:

e la

(1.22) Quindi per la vita media vale la relazione: 1

-= =

t

1 =-

h

1

+ =-. t2

(1.23)

1.3 Famiglie radioattive Un nucleo radioattivo A puo decadere in un nucleo B stabile oppure in un nucleo B pure radioattivo; questo, a sua volta, puo decadere in un nucleo stabile o in uno instabile, e cosl via. Pertanto possono realizzarsi per decadimenti successivi concatenazioni 0 "famiglie" di nuclei instabili che hanno termine, in ogni caso, con un nucleo stabile. Un nucleo potra essere chiamato nucleo "genitore" in relazione al prodotto del suo decadimento e nucleo ''figlio'' in relazione al nucleo dal quale e stato prodotto. Consideriamo ora alcuni casi significativi.

1.3.1 Decadimento A -+ B (stabile) Supponiamo che inizialmente sia presente solamente una quantita sostanza A. Essa diminuisce nel tempo secondo la (1.4)

nA

di

(1.24) Corrispondentemente, nel tempo dt si accumula la quantita di sostanza B

Integrando fra 0 e t, si ottiene la sostanza B prodotta all'istante t: (1.25) Per t --+ 00 tutta la sostanza A si trasforma in sostanza B. L'andamento della (1.24) e della (1.25) e mostrato in fig. 1.4.

1.3 Famiglie radioattive

11

nucleo figlio

O.B 0.6 0.4 0.2

2

3

4

5

6

tlT1J2

Fig. 1.4. Andamento nel tempo delle sostanze A e B (eq. {1.24} e {1.25}}.

1.3.2 Decadimento A -+ B (instabile) Nel tempo dt si ha formazione di una certa quantita di sostanza B prodotta dal decadimento di A, che esprimiamo mediante I'attivita di A (AA(t)dt) e Ia trasformazione di una certa quantita di B in una terza sostanza C, che esprimiamo tramite I'attivita di B (AB(t)dt); pertanto Ia variazione di sostanza B per Ia (1.14) e

dnB(t)

=

AA(t)dt - AB(t)dt

=

nAAAe-AAtdt - ABnB(t)dt.

Si puo verificare che I'integrale di questa equazione differenziale

e (1.26)

dove nA e nB sono Ie quantita iniziali delle due sostanze. Nell'ipotesi che inizialmente Ia sostanza B sia assente (nB=O), Ia (1.26) diviene (1.27)

E evidente che, per t

--t 0 e t --t 00, nB(t) --t 0; quindi nB(t) deve avere un massimo per un certo valore di t, che e determinabile uguagliando a zero Ia derivata prima della (1.27):

(1.28) Per Ia (1.14) I'attivita della sostanza A

AA(t)

=

e

nAAAe- AAt

(1.29)

e, tenuto conto della (1.27), quella della sostanza Be (1.30)

12

1 Legge del decadimento radioattivo

Si verifica immediatamente che per t uguali:

= tm

Ie attivita delle due sostanze sono (1.31)

Cia significa che per ogni nucleo di B che decade, A ne produce uno nuovo. In queste condizioni si dice che c'e "equilibrio ideale" tra Ie due sostanze. All'equilibrio Ie quantita delle due sostanze sono in proporzione diretta alle loro vite medie; infatti, per la (1.14) si ha (1.32) Le quantita di sostanza A e B e Ie relative attivita variano nel tempo in modo strettamente dipendente dal rapporto fra Ie rispettive costanti di decadimento (0 delle vite medie), come illustrato nelle fig. 1.5 e 1.6. Queste figure sono autoesplicative, rna una particolare attenzione deve essere rivolta alle fig. 1.5d e 1.6d, relative al caso in cui la sostanza A e molto pili longeva della sostanza B, cioe (1.33) Tenuto conto della (1.33), per t sufficientemente grande (diciamo t > t m ) l'esponenziale in AB nella (1.27) e nella (1.30) diviene trascurabile e Ie relazioni (1.27) e (1.30) possono essere scritte nella forma

(1.34) (1.35) La (1.34) mostra che nB(t) « nA(t) (vedi fig. 1.5d) e che la sostanza B decresce con la stessa costante di tempo della sostanza A. La (1.35) mostra che Ie attivita delle due sostanze sono uguali (vedi fig. 1.6d). Si dice che Ie due sostanze sono in equilibrio radioattivo (detto equilibrio secolare); questa termine sta a significare che in un dato intervallo di tempo il numero di decadimenti di A e uguale al numero di decadimenti di B COS! che Ie due sostanze contribuiscono alla radiazione emessa con uguale numero di particelle. La discussione di questo paragrafo relativa a due sostanze radioattive viene generalizzata al caso di pili sostanze nel paragrafo che segue. 1.3.3 Serie di decadimenti 1 -+ 2 -+ 3 -+ ... -+ (K - 1) -+ K (stabile)

Consideriamo una successione pili 0 menD lunga di nuclei radioattivi che si trasformano l'uno nell'altro dan do origine a un nucleo finale stabile (e il caso,

1.3 Famiglie radioattive 1.0

tB=l t A=t B/5

nA

0.8

13

0.6 0.4 0.2 10

IS

20

1.0

tB=l t A=t B/2

0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 0

10

IS

1.0

20

t

tB=l tA=2tB

0.8 0.6 0.4 0.2 10

IS

1.0

t 20

tB=l t A=20t B

0.8 0.6 0.4 0.2

nB

0.0 0

5

10

IS

20

t

Fig. 1.5. Andamento nel tempo delle sostanze A e B per differenti valori del rapporto Ira Ie loro vite medie (eq. {1.24} e {1.27}}.

per esempio, delle famiglie radioattive naturali). Analogamente al caso discusso nel par. 1.3.2, nell'intervallo di tempo dt ogni sostanza ha un incremento che dipende dall'attivita della sostanza che la precede nella successione e un decremento dovuto alIa propria attivita. La variazione delle varie sostanze e descrivibile tramite il seguente sistema di equazioni differenziali:

14

1 Legge del decadimento radioattivo

4

tB=l

AA

tA=tB/5

2

AB 0 10

20

IS

2.0

t

tB=l

1.5

tA=tB / 2

AA

1.0

O.S

t

0.0

0

10

S

IS

20

O.S

tB=l

0.4

tA=2tB

0.3 0.2 0.1

10

IS

20

t

SO

tB=l

40

tA=20 tB

M

'0M 30 ~ 20

10

s

10

IS

20

t

Fig. 1.6. Andamento nel tempo delle attivitd delle sostanze A e B per differenti valori del rapporto fra le lora vite medie (eq. (1.29) e (1.30)).

dnl(t)

=

-Al(t)dt

dn2(t)

=

Al(t)dt - A2(t)dt

dn3(t)

=

A2(t)dt - A3(t)dt

(1.36)

Se nk(O) sono Ie quantita iniziali delle varie sostanze, Ia soluzione di questo sistema di equazione ha Ia forma (che non dimostriamo)

1.3 Famiglie radioattive

nl(t) n2(t)

nK(t)

=

=

Ane- Alt

A2le-Alt

=

AKle-Alt

15

+ A22e-A2t

(1.37)

+ AK2e-A2t + .... +AKK

dove i coefficienti sono dati dalle seguenti formule ricorrenti:

A ki

(k -L Ii,)

A k-l,i AAk-lA

=

k -

i

(1.38)

(1.39) nk(O) = Akl + Ak2 + .... +A kk . La soluzione (1.38) vale se Ie cost anti di disintegrazione sono tutte diverse fra loro. Per maggiore chiarezza esplicitiamo Ie equazioni (1.37) per il caso particolare in cui inizialmente e presente solo una certa quantita del nucleo 1 (nl(O) -=I- 0, n2(0) = n3(0) = ... = 0). Tenendo conto delle (1.38) si ha:

nl(t) n2(t)

= nl(O)

= nl(O)e- Alt

(A2~Ad (e- A1t - e- A2t )

(1.40)

Le (1.40) assumono una forma particolarmente semplice e significativa se la cost ante di decadimento del nucleo 1 e molto pili piccola (vita media molto pili lunga) di tutte Ie altre. Allora si puo porre Ai - Al

R:j

Ai

e, dopo un tempo sufficientemente lungo (diciamo t > ti per i > 1), risulta e- Alt

»

e- Ait

R:j

O.

Pertanto Ie (1.40) divengono nl (t) = nl (O)e- Alt

ni(t) e l'attivita della sostanza i-esima

Ai(t)

=

Aini(t)

R:j

nl(O)~~e-Alt

(1.41)

e R:j

Alnl(O)e- Alt = Al(t).

(1.42)

Dunque, tutte Ie sostanze hanno la stessa attivita, ossia si trovano nella condizione di equilibrio secolare che abbiamo gia illustrato in precedenza e che solitamente viene espressa nella forma

ni(t)

Aj

nj(t)

Ai

ti tj '

(1.43)

16

1 Legge del decadimento radioattivo

1.3.4 Andamento nel tempo della quantita di una sostanza radioattiva prodotta da fenomeni non radioattivi

Supponiamo che un fenomeno imprecisato produca una sostanza radioattiva al ritmo di K(t) nuclei al secondo. La variazione del numero di nuclei di tale sostanza in un intervallo di tempo dt e

dn(t)

=

K(t)dt - An(t)dt,

(1.44)

dove An(t) e la sua attivita. Per trovare la soluzione di questa equazione differenziale, osserviamo che il numero di nuclei che, prodotti all'istante t' in quantita K (t')dt', sopravvivono all'istante t e dato dalla relazione

dn(t, t')

=

K(t')dt'e-A(t-t')

e il numero di quelli che sopravvivono all'istante t, essendo stati prodotti fra o e t', e

n(t, t')

=

10

~

K(t')e-A(t-t')dt'

=

e- At

10

~

K(t')eAt'dt'.

(1.45)

Consideriamo ora alcuni casi particolari. a) K(t)= K = costante nel tempo; e approssimativamente il caso della produzione nell'atmosfera terrestre di 14C esaminata nel cap. 3. Poiche K(t') = K(t) = K, risulta

n(t, t')

=

K e- At

10

t'

eAt'dt'

=

~ e- At (eAt'

-

1) .

Per t' -t t e per un numero iniziale di atomi n(O)=O, la soluzione

n(t)

= -K

A

( 1 - e -At) --+ -. K t---+oo A

e (1.46)

Essa mostra che dopo molto tempo dall'inizio del processo di produzione, ossia per t » 1/ A, il numero di atomi presenti e praticamente cost ante e uguale a K jA. b) K(t) = n(t')8(t'), corrispondente a una produzione impulsiva di nuclei radioattivi al tempo t' descritta dalla delta di Dirac. :It approssimativamente il caso di produzione di elementi radioattivi in seguito all'esplosione di una Supernova considerato nel cap. 12. Risulta

n(t, t')

=

n(t')e- At

10

t'

eAt' o(t')dt'

=

n(t')e-A(t'-t)

=

n(t).

(1.47)

1.3 Famiglie radioattive

17

1.3.5 Misura della vita media

Per misurare la vita media (0 il periodo 0 la costante di decadimento) si puo procedere secondo differenti criteri dipendenti dalla durata della vita media stessa. Ne esaminiamo alcuni in modo estremamente schematico.

a) Vita media ne troppo lunga ne troppo corta (ore 0 giorni). Si isola una quantita no del nuclide in esame 3 e si misura il numero di disintegrazioni 4 in due intervalli di tempo uguali con inizio agli istanti t' e til, rispettivamente. Se gli intervalli di misura sono sufficientemente brevi rispetto alIa vita media, per la (1.4) e la (1.14) possiamo scrivere A' = L1n' L1t

R::: -

L1n" = -

R::: -

A"

L1t

(dn) = An(t') = Anoe->..t' dt t'

(1.48)

(dn) = An (til) = Ano e->..t " dt t"

(1.49)

DaIle (1.48) e (1.49) si ottiene 1 1 A' -= = A = - - I n - . t til - t' A"

(1.50)

b) Vita media grande (secoli). La sostanza A di vita media sconosciuta sia in equilibrio con la sostanza B di vita media nota. Si misurano Ie quantita di sostanza A e B presenti nel campione in esame e si applica la relazione (1.32): (1.51)

c) Vita media grande (metodo del conteggio). Si misura la quantita n(t) di nuclide in esame e si conta il numero L1n di disintegrazioni in un intervallo di tempo L1t sufficientemente breve rispetto alIa vita media da misurare, in modo tale che durante la misura n(t) rimanga praticamente costante. In queste condizioni si puo scrivere L1n L1t

R::: _

dn(t) = An(t) dt

e quindi 3

4

E interessante osservare che una misura della radioattivita n(t) puo permettere di stimare il valore del numero di Avogadro. Infatti dalla relazione n(t) = noe- At mediante la (1.18) si ricava n(t) = (moNA/A)e- At , da cui NA = [An(t)/mole At . 11 decadimento di un nucleo e individuato dalla rivelazione delle particella emessa (a, (3±, /'). La rivelazione si basa sui processi di ionizzazione ed eccitazione provocati dalle particelle nell'attraversare un mezzo materiale. Si rinvia a testi specifici per 10 studio dei metodi e dei dispositivi di rivelazione.

18

1 Legge del decadimento radioattivo

>. _

1 _

t -

-

Lln n(t)Llt

Applicazioni dei concetti illustrati in questo capitolo verranno fatte in capitoli successivi.

1.4 Appendice - Fluttuazioni statistiche 1.4.1 Statistica e probabilita

II decadimento radioattivo e un fenomeno statistico di cui, nel par. 1.2, abbiamo illustrato Ie caratteristiche medie. Per esempio, la (1.4) fornisce il numero media di nuclei residui al tempo tela (1.1) fornisce il numero media di nuclei che decadono nell'intervallo di tempo dt. Vogliamo ora most rare che singole misure di decadimento danno risultati che in genere si discostano dai valori medi predetti dalle leggi sopra citate. II carattere statistico dell'evoluzione di un aggregato di n nuclei riflette il carattere probabilistico della durata di vita dei singoli nuclei. Sia p la probabilita che un nucleo decada in un intervallo di tempo Llt. La probabilita che un insieme prefissata r di nuclei decada in Llt (e che i rimanenti n - r nuclei non decadano) e pr(1- p)n-r. (1.52) Poiche un insieme di r nuclei puo essere scelto in

C(r,n)

=

n!

r.'( n

_

(1.53)

)' r.

modi, la probabilita che decadano r nuclei qualsiasi e (1.54) II decadimento di r nuclei qualsiasi puo essere considerato come uno dei possibili risultati di un esperimento ideale. II risultato di un singolo esperimento puo essere un qualsiasi valore fra 0 e n, rna ciascun risultato ha una differente probabilita di verificarsi, espressa dalla (1.54). II numero medio di tutti i possibili valori di r, cioe il risultato di un grande numero di esperimenti, e n

p,(n)

=

L rP(n, r) = pn.

(1.55)

r=O

La dispersione dei valori r attorno alIa loro media e misurata dalla varianza (0 scarto quadratico medio) n

(T2(n)

=

L

(r - p,(n))2 P (n, r))

r=O

o dalla deviazione standard (T(n).

=

np(l - p)

(1.56)

1.4 Appendice - Fluttuazioni statistiche

19

1.4.2 Frequenza e probabilita

Supponiamo ora di avere a disposizione N campioni uguali costituiti da n nuclei radioattivi e di effettuare su ognuno di essi una misura di durata Llt = t2 - h. Ci si aspetta che i numeri di decadimenti dati dalle N misure siano distribuiti attorno al numero medio atteso che, secondo la (1.6), e dato dall'espressione (1.57) Per (1.58) risulta (vedi la (1.8)) (1.59) Come sappiamo, in queste condizioni jt « n e suI campione possono essere effettuate successive misure di durata Llt senza una sostanziale variazione di n. Pertanto un esperimento su un solo campione suI quale vengono effettuate N misure successive e equivalente a un esperimento su N campioni identici su ciascuno dei quali e effettuata una sola misura. Sia N r il numero di misure che hanno come risultato r; chiamiamo frequenza il rapporto (1.60) Il numero medio dei decadimenti nelle N misure (media campionaria)

e

n

mN(n)

=

'Lr!N (n,r).

(1.61)

r=O

La dispersione delle singole misure attorno alIa media campionaria

e (1.62)

Anche la media campionaria e una variabile statistica perche, se ripetiamo la misura della media pili volte, ogni volta troviamo un val ore diverso. La dispersione della distribuzione della media e (1.63) Per la "legge dei grandi numeri"

0

"legge empirica del caso", per N -t

00

risulta

!N(n, r) -t P(n, r), (1.64)

20

1 Legge del decadimento radioattivo

Pertanto la media campionaria mN(n) rappresenta una stima della media j.t(n) con un'incertezza data da umN(n): (1.65) 1.4.3 Valutazione della costante di decadimento Le considerazioni del par. 1.4.2 ci consentono di valutare la cost ante di decadimento A con la relativa incertezza statistica. Tenendo conto della (1.59) e delle (1.65) si ha

nALlt

=

j.t(n)

=

mN(n) ± umN(n)

A = mN(n) ± umN(n) nLlt nLlt

(1.66)

Illustriamo ora questi concetti con un esempio numerico. E stata osservata l'emissione di particelle a da parte di un campione di 4.75mg di 238U. Il numero di decadimenti osservati in 10 misure della durata di 10 minuti ciascuna e riportato in tab. 1.1. Tabella 1.1. Decadimenti

0: osservati con un campione di 4.75mg di 238U. Nella prima colonna sono riportati i numeri dei decadimenti osservati in 10 osservazioni della durata di 10 minuti ciascuna; nella seconda la difJerenza tra la loro media e il singolo conteggio, nella terza il quadrato dei numeri nella seconda colonna.

r

r - mN(n)

(r - mN(n)?

36076 35753 35907 36116 35884 36136 35741 35640 36124 36087

130 -193 -39 170 -62 190 -205 -306 178 141

16900 37249 1421 28900 3844 36100 42025 93636 31684 19881

Il numero iniziale di atomi nel campione n238U

=

NA

A

m =

e ricavabile dalla (1.18):

6.02 . 10 23 4.75. 10- 3 = 1.20 . 10 19 238

I valori mostrati in tabella danno come media:

1.4 Appendice - Fluttuazioni statistiche

e la deviazione standard di ogni singola misura

21

e

1 N J311740 - N 1:(r-mN(n))2= --=186. -1 9 r=1

La deviazione standard della media campionaria

e

In conclusione, il conteggio medio del nostro campione in 10 minuti

e

Poiche mN(n) e pili piccola di n di molti ordini di grandezza, n e praticamente costante nel corso delle 10 misure; pertanto, per valutare la costante di decadimento possiamo utilizzare la (1.66): A=~.mN(n)±(]"mN(n)= 1 n L1t 1.20 . 10 19 =

(4.99 ± 0.008) 10- 18

8- 1

II corrispondente valore del tempo di dimezzamento

Tl / 2

=

35946 ± 59 600

e

(4.411 ± 0.006) 109 a

Esaminiamo ora due casi in cui la misura dell'attivita puo essere inquinata da effetti spuri. 1.4.4 Sottrazione del fondo

Supponiamo di voler misurare con un particolare rivelatore l'attivita di una sorgente radioattiva. A tale scopo misuriamo il numero di decadimenti che si verificano in un intervallo di tempo L1h; il risultato della misura sia un numero di conteggi uguale anI. Allontanata la sorgente, 10 stesso apparato misura n2 conteggi dovuti a eventi spuri della radiazione di fondo nell'intervallo di tempo L1t2. Evidentemente nella prima misura sono mescolati segnali dovuti a decadimenti veri e segnali spuri. Per ricavare il numero dei segnali veri procediamo nel modo seguente. L'attivita del fondo e

L'attivita della sorgente radioattiva pili il fondo

e

22

1 Legge del decadimento radioattivo

Pertanto l'attivita della sola sorgente

e

con scarto quadratico medio uguale a

1.4.5 Misure statisticamente compatibili

Supponiamo di avere effettuato due misure indipendenti della stessa durata L\t dei decadimenti di una particolare sorgente e di avere ottenuto due risultati differenti nl e n2. Ci chiediamo se la diversita dei risultati e compatibile con Ie fluttuazioni statistiche. La risposta puo essere data considerando la differenza delle attivita corrispondenti alle due misure

la quale

e caratterizzata dalla deviazione standard

Le misure sono compatibili statisticamente con la probabilita del 99.73% se

Bibliografia

1. 2. 3. 4.

E. Persico, Gli atomi e la loro energia, Zanichelli, 1960 E. Segre, Nuclei e Particelle, Zanichelli, 1966 K. N. Mukhin, Experimental nuclear physics, vol. I, Mir Publisher, 1987 H. Geissel et aI., Secondary exotic nuclear beams, Ann. Rev. Nucl.Part. 45(1995)163 5. P. Armbruster et aI., La sintesi di nuovi elementi, Le Scienze n. 363(1998)86. 6. A. Rotondi, P. Pedroni e A. Pievatolo, Probabilita, Statistica e Simulazione, Springer, 2001 7. H. Heyde, Basic ideas and concepts in nuclear physics, 2 a Edizione, Institute of Physics Publishing, 1999

2

Radiazione ambient ale naturale

2.1 Sorgenti della radiazione ambientale Comunemente Ie radiazioni ionizzanti sono percepite come un prodotto esclusivo dell'attivita umana, perche associate a eventi catastrofici quali Ie esplosioni delle bombe atomiche e l'incidente del reattore di Chernobyl 0 all'uso in diagnosi e terapie mediche. Ma gli esseri viventi sono "naturalmente" e continuamente esposti a radiazioni la cui origine non dipende dall'uomo; anzi, sorgenti radioattive, sia pure in piccola quantita, sono componenti naturali dei tessuti del suo organismo. Gli effetti delle radiazioni naturali sulla formazione e 10 sviluppo della vita sulla Terra e sulla salute degli uomini non sono conosciuti in modo esauriente. Poiche la vita si e sviluppata in un ambiente investito da radiazioni, c'e chi ha avanzato l'ipotesi che piccole dosi di radiazione possano avere effetti benefici sugli esseri viventi (vedi par. 2.9). E comunque opinione prevalente che alle radiazioni, per quanto piccola sia la loro intensita, sia sempre associata una probabilita di danno alla salute. In questo capitolo verranno descritte Ie principali caratteristiche delle radiazioni naturali con cenni a quelle di origine artificiale e verranno definite Ie grandezze utilizzate nella misura degli effetti prodotti dalla loro interazione con i tessuti biologici. L'ambiente in cui viviamo e attraversato continuamente da radiazioni Ie cui sorgenti sono terrestri ed extraterrestri. Le sorgenti extraterrestri sono Ie stelle dalle quali ci giungono i raggi cosmici. Le sorgenti terrestri sono costituite da nuclei radioattivi naturali e artijiciali. Quelli naturali sono circa 75 e sono a loro volta divisibili in due gruppi: primordiali e cosmogenici. I primi si formano nei processi di nucleosintesi nelle stelle e sono presenti sulla Terra dal tempo della formazione del sistema solare (vedi cap. 12), i secondi sono prodotti in continuazione dall'interazione della radiazione cosmica con gli atomi dell'atmosfera.

26

2 Radiazione ambientale naturale

2.2 Radionuclidi naturali primordiali I radionuclidi naturali primordiali, elencati in tab. 2.1, sono caratterizzati 0 da una vita media dell'ordine dell'eta della Terra (0 maggiore di essa) 0 dall'appartenenza a una famiglia radioattiva con capostipite avente la precedente proprieta. I nuclei del primo gruppo sono una decina e fra di essi c'e il 40 K, che e uno dei due principali responsabili del fondo radioattivo interno del corpo umano (l'altro e i1 14 C, vedi par. 2.7.8). Tabella 2.1. Nuclei radioattivi primordiali. CE = Cattura Elettronica

Nuclide

Abbondanza isotopica (%)

i8K

0.0117

g~v

0.25

~iRb

Prodotti stabili dei decadimenti

Modo del decadimento

i~Ar

CE,(3+

i8Ca

(3-

T1/2(anni)

1.28.109

ggTi

CE,(3+

g~Cr

(3-

27.835

~~Sr

(3-

4.75.10 10

~~3Cd

12.22

~~3 In

(3-

9.3.10 15

~~5 In

95.71

M5Sn

4.41.10 14

g3Tl

0.908

n3Sb

(3-

CE

1.2. 10 13

MSLa

0.09

g~S Ba

CE,(3+

g~SCe

(3-

M4Nd

23.80

g~OCe

a

2.29.10 15

~fSm

15.0

M3Nd

a

1.06.10 11

~~2Gd

0.20

MSSm

a

1.1.10 14

g4AJ

0.162

i6°Yb

a

2.0.10 15

H6Lu

2.59

g6HJ

(3-

3.73·1010

i~7 Re

62.93

i~70S

(3-

4.35.10 10

§5 2Th

100.0

§gsPb

a (famigJia radioattiva)

1.40· 10 10

§~5U

0.72

§g7Pb

a (famigJia radioattiva)

7.03· lOs

§~sU

99.27

§g6Pb

a (famigJia radioattiva)

4.47.10 9

1.4.10 17

1.05.10 11

2.2 Radionuclidi naturali primordiali

27

La maggior parte dei radionuclidi naturali primordiali appartiene a tre famiglie aventi per capostipiti 1' 238 U, 1' 235 U e il 232Th, rispettivamente (vedi Ie figure 2.1, 2.2 e 2.4). Thtte e tre Ie famiglie terminano con isotopi stabili del piombo. I numeri di massa dei nuclei appartenenti alle tre famiglie sono esprimibili tramite Ie relazioni A = 4n, A = 4n + 2 e A = 4n + 3 (con n intero). Manca la famiglia con A = 4n + I! Questa e stata scoperta nel campo dei radionuclidi artificiali (famiglia del nettunio) e la sua assenza in natura si spiega col fatto che tutti i suoi nuclei hanno vita media breve rispetto all'eta della Terra; il nettunio ha un tempo di dimezzamento dell'ordine di 106 anni contro, per esempio, i 109 anni dell' 238U. Quello che resta oggi in natura di questa famiglia e l'elemento stabile 209 Bi. La radioattivita dei minerali contenenti uranio (e Ie stesse considerazioni valgono per il torio) e prodotta sia dall'attivita dell' 235U e dell' 238 U sia da quell a dei loro discendenti. Dato il grande periodo dei capostipiti, i discendenti sono in equilibrio radioattivo fra loro e con i rispettivi capostipiti. Cia significa che tutti i nuclei di una famiglia hanno la stessa attivita uguale a quella del capostipite; quindi, se X indica un nucleo generico e A il capostipite, il rapporto (2.1)

e cost ante in tutti i minerali contenenti il capostipite A (vedi par. 1.3.3). Per esempio, se A =238 U e X =226 Ra, risulta 1600 a

4.4710 9 a

0.358 10- 3 103

vale a dire, a 1 kg di 238U si accompagnano 0.358 mg di 226 Ra, come si constata sperimentalmente. Fanno parte delle famiglie radioattive tre isotopi dell'unico elemento radioattivo naturale gassoso a temperatura ambiente, il Radon (0 Emanazione): 222 Rn, 220 Rn, 219 Rn. II 222 Rn ha una particolare rilevanza nell'inquinamento ambientale, come sara illustrato nel par. 2.8. Inoltre, da un minerale di 238U (0 di altra sorgente radioattiva) sono emesse non solo particelle a e {J-, rna anche raggi 'Y e raggi X. Cia e dovuto al fatto che i nuclei figli e gli atomi di cui fanno parte possono essere prodotti in stati eccitati, dai quali decadono in altri stati eccitati 0 allo stato fondamentale con transizioni elettromagnetiche. In generale l'attivita dei miner ali e piccola perche la concentrazione dei radioisotopi e piccola e il periodo grande (la costante di decadimento e piccola).1 1

Si consideri, per esempio, un materiale di massa m costituito da una parte mnr = mfnr priva di elementi con isotopi radioattivi e una parte mrad = mfrad contenente un elemento con isotopi radioattivi di abbondanza isotopica relativa k i . Per la (1.21), l'attivita per unit a di massa del materiale e data dalla relazione

28

2 Radiazione ambientale naturale

Tabella 2.2. Abbondanza dei nuclei sulla Terra in peso (paTti per milione, ppm) di U, Th e K in vari ambienti terrestri. L 'abbondanza isotopica di 238U e 232Th e circa del 100%, quella dell'isotopo radioattivo 40 K del 0.0117% U

Th

K

Rocce

1.8

6

1.5 . 103

Mari

3.3.10- 3

4.10- 8

4.14.10 2

Fiumi

4.10- 5

10- 4

Corpo umano

1.4 .

10- 3

1.4

2.3

.10- 3

2.10 3

2.2.1 L'uranio

L'uranio puro e un metallo di colore argenteo, duttile, malleabile, piroforico. Gli isotopi noti sono 25 (con A = 218-242). Di essi 1' 238 U e 1' 235 U sono i due isotopi a lunga vita media, quindi quasi stabili, pili abbondanti (99.2745 % e 0.72 %); il terzo isotopo quasi stabile e 1' 234 U (0.0055 %). A causa della lunga vita degli isotopi, l'attivita per unita di massa e piccola (Am(miscela isotopica) = 1.3 . 10 4 decadimenti/ s . g ; Am(238) = 1.2 . 10 4 decadimenti/s· g ; Am(235) = 8.0 .10 4 decadimenti/s· g). L'uranio e distribuito su tutta la superficie terrestre come indicato in tab. 2.2. I principali minerali contenenti uranio sono la pechblenda 0 uranite, la carnotite e l'autunite (tutti ossidi di uranio). L'uranio ha una densita molto elevata (19.05 g / cm 3 , circa il doppio del piombo) , che 10 rende utile nella costruzione delle chiglie delle imbarcazioni, negli stabilizzatori degli aerei e negli schermi radiologici. Alcuni minerali secondari hanno colori brillanti e fosforescenti e furono usati in passato come coloranti. L'uranio e alIa base del funzionamento dei reattori nucleari. In particolare, 1' 235 U e ''fissile'', cioe soggetto a fissione indotta, processo fondamentale nella produzione dell'energia elettrica. L' 238 U non e fissile, rna e in grado di catturare neutroni (per esempio quelli emessi nella fissione dell' 235 U) trasformandosi indirettamente in 239 Pu, nucleo fissile come 1' 235 U. Per questa proprieta 1' 238 U e detto ''fertile''. Poiche l'uranio naturale contiene una piccola percentuale di 235U (0.7%), ai fini dell'utilizzo nei reattori esso viene "arricchito" di tale isotopo fino a una percentuale del 3 - 4%. Corrispondentemente Am = ~ 2: .Ami = ~ 2:.Ai ::;': N A =NA ~ 2: .Ai ~: mrad =

""

"

L'attivita e tanto pili piccola quanta pili piccola degli elementi radioattivi.

e

la concentrazione

frad

2.2 Radionuclidi naturali primordiali

DIU

29

~-

9~

(A,Zl-+ (A,Z+.l)

~,46& HI"

~~Th

~Pa

24.111

ri.70h

~~

a-!'

lJ

(A-4,Z-2)

2.",55 HIli 2~Th.

7.538 HIli

2:l'aa n

1600.

:m

;St Rn

J.B2Ui!

li:Po 3. 1m O.Dl%~

,U

I

I

99~!JS%

:211 At ItS

1.6s

0.1 %:::)

U

:1:J 3 Rill 8i-

J51m

9'9.9-,4

l~~Pb

114Bi

2!4pO

26.lm

lSI.'.

1.·641 PE

~

99.9'%::::)

84

i

UO,04% 21:1TI

~!~Pb

1.32m

11.J"

:l~Bi .s.(J/J 11

l!:PO 13&.31611 206 Pb In

wINu

Fig. 2.1. Successione dei nuclei della famiglia radioattiva naturale dell' 238U. A = 4n + 2 con n = 59,58,57, ... ,51. I tempi di dimezzamento sono in anni (a), giorni (g), ore (h), min uti (m) e secondi (s). Nel caso di decadimenti in concorrenza e indicata la probabilita relativa.

si ha la produzione di uranio "impoverito" di 235U, che viene utilizzato per gli scopi citati in precedenza. Oltre che di energia elettrica, i reattori sono sorgenti di isotopi radioattivi e di neutroni per uso medico e per la ricerca di base e applicata. :It ben noto l'uso militare dell'uranio sia arricchito (per Ie bombe nucleari) che impoverito (per proiettili ad elevata penetrazione e corazze di veicoli). L'uranio arricchito per la produzione di bombe nucleari e costituito da 235U per pili del 95%. Nella famiglia dell' 238 U e presente il 226 Ra, il solo elemento radioattivo che abbia un periodo (1600 anni) sufficientemente breve da poter assicurare una notevole attivita e tuttavia abbastanza lungo da poter trascurare la diminuzione di sostanza radioattiva in un intervallo di tempo di parecchi

30

2 Radiazione ambientale naturale

p-

ImlJ I 9~ I

7.f)'J 8 Ifl (I. l3ITh 90 .

(A,Z)

~31

91

at

Pa

(A,Z+1)

(A-4,Z-2),

3.2761(1 a

25.52 h

~

;m Ac S9

21.773 a 99~ ~

U 1% '1.:;

.

~s1Fr

14.1m

;mTh ,9{I

18.72 g I .12l Ra. : 8~

.11.435 g ~i~Rn

3.96s !U po i4

i.iIJIHr s l~'b 36.1".,

I. 2~]MPe

2~lBi 2,Um

.8.8g

9~U% ~

I

U.O.3~ 20?

I ~07

IIiTI

I

-t4.7m

Pb

$l

stabile

Fig. 2.2. Successione dei nuclei della famiglia radioattiva naturale dell' 235 U (A = 4n + 3 con n = 58,57,56, ... 51). Sono messi in evidenza i differenti tipi di decadimento (con la relativa probabilita nel caso di decadimenti in competizione); questi si verificano per l 'Ac - 227 e il Bi - 211.

anni. II discendente diretto del 226 Ra e il 222 Rn, unico elemento radioattivo gassoso alle temperature ordinarie, che emette raggi a e '"Y e ha un periodo di 3.8235 giorni. Come mostra tab. 2.1, i suoi discendenti pili abbondanti fino al 210 Pb sono indicati nella seguente sequenz a:

222 Rn

~ 218 Po

3.8g

9.5) . La vita media dei muoni a riposo e T = 2.2.10- 6 8 rna, a causa della dilatazione relativistica dei tempi , per muoni "in moto" essa diviene T' = 'IT > T. Per esempio, muoni con un'energia di 2.4 Ge V hanno una vita media di circa 2.2· 10- 6 ·22.8 = 50.16 . 10- 6 8 . E questa fatto che spiega la sopravvivenza di un elevato flusso di muoni a livello del mare. La probabilita di sopravvivenza dei muoni in mota lungo una direzione x segue la legge esponenziale e- X / A con).. = (JCT'. Se non ci fosse la dilatazione relativistica, la lunghezza di decadimento sarebbe (JCT = 658 m e, a livello del mare (x = 15 km) , il loro flusso sarebbe ridotto di un fattore 1.4 . 10- 10 , ossia sarebbe azzerato. Per muoni con energia di 2.4 GeV, la lunghezza di decadimento e invece di circa 15 km e circa un terzo dei muoni raggiunge il livello del mare.

40

2 Radiazione ambientale naturale

Altitudine (km) 10 . 5 ' 3

2

1

10000~~~~~~---T--~r-~~r-~

1000

.. ..,

,-...

'",

100

' \.0

,

N

~

e

-..

'-"

10

~

1,1

.;;

...

~

:-

1

0

-""'= ~ ~

0.1

200 400 600 800 1000 Pcofonditi atmosfeciea (g em -2) F ig. 2.9 . Flussi verticali dei raggi cosmici con E > 1 GeV a varie profonditli nell'atmosfera stimati sulla base del fiusso dei nucleoni. I quadratini mostrano Ie misure di muoni negativi con E > 1 GeV . Modificato da {16}

In seguito a un grande numero di collisioni i neutroni possono essere rallentati fino a raggiungere energie termiche aile quali hanno elevata probabilita di essere assorbiti dall'azoto dando origine al 14C: ~4 N

+n

--+ ~4C

+ p.

Altri esempi di reazioni , con probabilita molto inferiore, sono i seguenti: ~4 N

+ n--+

FB+~He

~4N

+ n--+

~2C

+ rH

Es

;::::;

IMeV

Es

;::::;

4MeV

§60 + n --+ lOBe + ~Be

Es

> 40MeV

§60 + n --+ ~4C

Es

> 40MeV

+ ~He

2.5 Radionuclidi naturali cosmogenici

41

Es e l'energia di soglia dei neutroni 0 energia cinetica minima perche avvenga la reazione. Dal decadimento (3 del trizio ha origine la maggior parte dell'3 H e presente nell'atmosfera. Tabella 2.4. Nuclei cosmogenici osservati. I "nuclei coinvolti" sana i principali nuclei della crosta terrestre e dell'atmosfera (tra parentesi) la cui interazione can la radiazione cosmica puo dare origine ai nuclei elencati nella prima colonna.[20}

Radio Nuclide

Modo del decadimento

Tl/2 (anni)

Nuclei coinvolti

3H

(F

12.33 anni

O,Mg,Si,Fe(O,N)

stabile

(0)

3He 10 Be

fr

1.51 . 106 anni

O,Mg,Si,Fe(O,N)

14C

(F

5730 anni

O,Mg,Si,Fe(N)

stabile

Mg,Al,Si,Fe

21Ne 36Cl

fr

3.01 . 105 anni

Fe,Ca,K,Cl(Ar)

36Ar

CE, (3+

35 giorni

Fe,Ca,K,Cl(Ar)

39 Ar

(3-

269 anni

Fe,Ca,K (Ar)

41Ca

CE; (3+

1.03 . 105 anni

Ca, Fe

129 I

(3-

1.57 . 10 7 anni

Te,Ba,La,Ce(Xe)

stabile

Te,Ba,La,Ce,I

126Xe

Nella bassa atmosfera e nella crosta terrestre i nuclei cosmogenici hanno origine prevalentemente dalla cattura dei muoni negativi lenti e dalle disintegrazioni nucleari prodotte dai muoni veloci. La concentrazione dei nuclei radiogenici dipende dall'intensita della radiazione cosmica che raggiunge l'atmosfera terrestre la quale, come si e gia detto, dipende dall'intensita del campo magnetico terrestre e, secondariamente, di quello solare. E stato accertato che l'intensita del campo magnetico terrestre ha subito rilevanti variazioni nel corso dei secoli, con conseguente variazione della produzione dei nuclei radiogenici, come verra illustrato nel cap. 3. La produzione di radionuclidi alIa superficie terrestre e molto bassa (circa 30cm- 2 h- 1 allivello del mare). Tra di essi il 14C, la cui produzione e di 2.5 cm- 2 h-1, da un sensibile contributo alIa radioattivita negli organismi biologici (vedi par. 2.7.8) ed e di rilevante interesse nella datazione di reperti archeologici (cap. 3). Lo studio dei nuclei radiogenici contribuisce aIle nostre conoscenze sulle variazioni del clima, sull'evoluzione dei ghiacciai e di siti terrestri e marini (in

42

2 Radiazione ambientale naturale

relazione a fenomeni di stratificazione, migrazione ed erosione), sull'attivita solare e suI campo magnetico terrestre.

2.6 Radionuclidi artificiali (cenni) I nuclei radioattivi artificiali sono prodotti principalmente nei processi di fissione nei reattori nucleari e nelle esplosioni nucleari e nelle collisioni nucleonenucleo e nucleo-nucleo presso gli acceleratori in laboratori di ricerca fisica e medica. Nei processi di fissione sono prodotti principalmente nuclei con A fra 70 e 160. I radionuclidi artificiali sono sorgenti di a, e±, v, iJ e '"Y. Un certo numero appartiene alla famiglia artificiale con capostipite il 237 N p. Tabella 2.5. Nuclei artificiali presenti nell'ambiente (FS

=

Radio nuclide

Modo del decadimento

3H

fl

12.33 anni

14C

fl

5730 anni

38Sr

fl

28.78 anni

134C8

fl,"!

2.1 anni

137C8

fl,"!

30 anni

fl,"!

8 giorni

fl

39.26 giorni

fl

12.75 giorni

a,FS

8.0810 7 anni

131 I 103Ru 140 Ba 244pu

Fissione Spontanea).

Tl/2

Esempi significativi sono riportati in tab. 2.5. Alcuni di essi sono anche cosmogenici ed e difficile stabilire quale frazione sia di un tipo e quale dell'altro. Usualmente sono presenti nell'ambiente in basse concentrazioni e la loro radioattivita media e inferiore a quella dei radionuclidi naturali. Tuttavia nel caso d'incidenti pres so reattori nucleari con rilascio di radiazione nell'ambiente e nel caso di esplosioni nucleari in atmosfera la quantita di questi nuclei puo aumentare di ordini di grandezza raggiungendo livelli peri colosi (vedi fig. 2.17, 2.18, 2.19 e 2.20). Cesio, iodio, rubidio e bario sono stati abbondantemente rilevati in Italia in seguito all'incidente di Chernobyl. Lo iodio e il cesio sono caratterizzati da un'alta assimilazione biologica, il bario da una assimilazione moderata e il rutenio da una bassa. Lo iodio si ac-

2.7 Effetti biologici della radiazione

43

cumula nella tiroide. Lo stronzio e chimicamente affine al calcio e si accumula nelle ossa. Il cesio e affine al potassio e si accumula nei muscoli.

2.7 Effetti biologici della radiazione 2.7.1 Interazione delle particelle cariche con la materia I processi d'interazione delle particelle ionizzanti con Ia materia, in particolare con i tessuti biologici, sono piuttosto complicati. Qui ci limitiamo a un'esposizione di carattere generale rinviando a testi specifici per uno studio pili approfondito.

0.07

P 0.06

~

a

0.05

'8

>"III 0.04

g ~

-=~ '-=,

0.03

\0 E(MeV)

Fig. 2.10. Potere Jrenante (-dE/dx) in aria di elettroni (e), leptoni j1, mesoni protoni (p), deutoni (d) e particelle a in Junzione dell'energia cinetica E.

7r,

Quando particelle cariche attraversano un mezzo materiaIe, esse perdono energia per ionizzazione ed eccitazione di atomi e molecole. Fig. 2.10 mostra I'andamento della perdita di energia per unita di percorso (0 potere frenante) in aria di alcune particelle tra cui Ie particelle a e (3; per energie cinetiche non relativistiche 5 , Ia perdita di energia diminuisce al crescere dell'energia. Fig. 5

Energie cinetiche inferiori all'energia mc2 associata alla massa.

44

2 Radiazione ambientale naturale

2.11 mostra la profondita raggiunta (0 cammino percorso) in alluminio dalle particelle a e (3 in funzione della loro energia iniziale; il percorso aumenta con l'energia. Si noti la grande diversita fra il potere frenante e il cammino percorso dalle due particelle a parita di energia. AI

AI

------8

E Q

-----E Q

..........

..........

o 6

0

...rn0 ...

...0en ... Q

Q

(I)

0-

(I)

4

D..

2

2xl0

-3 -3

lxl0 O~~~----~----~--~

o

I

2

3

4

0.683 0.941 0.979 I I I

0.989 I

0.993 I

0.016 0.023 0.033

0.040 I

Fig. 2.11. Percorso (R) in alluminio di particelle

Dc

e

E(MeV)

fJ in Junzione della loro

energia iniziale.

La diversita di comportamento di particelle diverse con uguale energia e dovuta al fatto che il potere frenante dipende fondamentalmente dalla carica elettrica e dalla velocita delle particelle: esso cresce all'aumentare della carica e al diminuire della velocita. A parita di carica elettrica, Ie particelle pili pesanti (per esempio, protoni) sono molto pili lente delle particelle pili leggere (per esempio, elettroni) con la stessa energia cinetica e quindi hanno un potere frenante pili elevato. Similmente, a parita di velocita Ie particelle con carica elettrica pili elevata hanno potere frenante pili elevato. A pot ere frenante pili elevato corrisponde un percorso pili breve. Riassumendo, a parita di energia, Ie

2.7 Effetti biologici della radiazione

45

particelle pesanti (0 con elevata carica elettrica) sono "pili ionizzanti" e quelle leggere ''pili penetranti". Inoltre, poiche procedendo in un mezzo materiale l'energia e la velocita diminuiscono, il potere frenante aumenta raggiungendo un massimo in prossimita della fine del percorso (vedi fig. 2.12).

- dE/dx

%

100

1-------.

50 RO

x

Fig. 2.12. Caratteristiche di un fascio di particelle cariche alla fine del percorso medio Ro: a sinistra, andamento del potere frenante nei dintorni del punta d 'arresto e, a destra, andamento dell'intensita del fascio. Questi andamenti sono caratteristici di particelle con massa molto maggiore di quella degli elettroni.

Le curve di fig. 2.10 sono la rappresentazione grafica del potere frenante che, per elettroni veloci e per particelle pesanti in generale, e espresso dalla formula di Bethe-Bloch

dE

Z2 m

Z2

--=-w=-w dx v2 2E' dove z ed m sono la carica elettrica e la massa della particella ionizzante; W dipende dalle caratteristiche (densita, numero atomico, potenziale di io-

nizzazione) del mezzo attraversato ed e una funzione crescente lentamente variabile della velocita v e, per basse velocita ((3 « 0.5), e approssimativamente cost ante. La dipendenza di W da v e divers a per gli elettroni e per Ie particelle pili pesanti, principalmente per il fatto che gli elettroni ionizzanti hanno la stessa massa degli elettroni atomici. II percorso R di una particella di energia iniziale Eo e collegato alIa formula precedente dalla relazione

R

=

~Eo0 dx =

2

-mz 2

1

Eo

0

che, per basse velocita, dove W

R

=

~o dx Eo

R:j

R:j

E

-dE W

1

2Z2

Vo

0

v2 -dv 2 W

costante, diviene

_2_~ E6 mz 2

m

=-

W 2

R:j

~~V4. 4z2

W

0

II rapporto fra il potere frenante di due particelle di uguale energia con cariche elettriche Zl e Z2 e masse ml e m2 assume la semplice forma

46

2 Radiazione ambientale naturale

Analogamente il rapporto fra i percorsi ha la forma

II potere frenante e il percorso sono soggetti a fluttuazioni statistiche e Ie relazioni precedenti danno i rispettivi valori medi in funzione dell'energia. Per quanto riguarda gli elettroni, la perdita di energia oltre che per ionizzazione degli atomi puo avvenire per frenamento prodotto dall'interazione con il campo coulombiano dei nuclei: la perdita di energia avviene con deviazione dell'elettrone dalla traiettoria iniziale e creazione di un quanta di radiazione elettromagnetica. 2.7.2 Interazione dei fotoni con la materia

Nell'attraversamento di un mezzo materiale Ie particelle cariche perdono energia gradualmente, quasi in modo continuo, mantenendo pero la loro identita; in altre parole, Ie particelle di un fascio rallentano, rna illoro numero rimane costante. Nel caso dei fotoni, invece, la cessione di energia avviene per atti discreti nei quali i fotoni possono anche scomparire. Questo fatto da alIa cessione d'energia da parte dei fotoni caratteristiche diverse da quelle descritte per Ie particelle cariche. I principali processi d'interazione dei fotoni con la materia sono i tre seguenti. i)

Effetto fotoelettrico: il fotone viene assorbito da un atomo che viene ionizzato con liberazione di un elettrone da uno dei livelli atomici di energia Eb; la sua energia cinetica e

L'atomo residuo eccitato si diseccita emettendo raggi X 0 un elettrone Auger (vedi par. 7.7.5) che, a loro volta, sono assorbiti da altri atomi. ii) Effetto Compton: un fotone di energia hv interagisce con un elettrone atomico; si trasforma in un fotone di energia hv' e l'elettrone acquisisce l'energia cinetica Ee

=

hv - hv' - E b .

L'entita dell'energia dipende dall'angolo di diffusione del fotone finale.

2.7 Effetti biologici della radiazione

47

iii) Produzione di coppie e+e-: il fotone interagisce con il nucleo atomico 0 con un elettrone e viene completamente assorbito con creazione di una coppia positrone-elettrone; l'energia cinetica della coppia e

Ee+

+ Ee-

R:j

hv - 2mec2.

Successivamente il positrone annichila su un elettrone del mezzo con emissione di due fotoni, ognuno con energia uguale a m e c2 = 0.511 MeV, che, a loro volta, interagiscono con gli atomi (vedi fig. 2.13). L'effetto fotoelettrico prevale per fotoni con energia fino ad alcuni keY, la produzione di cop pie prevale al di sopra di 10MeV e l'effetto Compton nella regione energetica intermedia (vedi fig. (2.13)). Come risultato dei processi descritti si ha che, nell'attraversare un tratto Llx di un mezzo materiale, i fotoni di un fascio, che supponiamo inizialmente monoenergetico e con divergenza angolare nulla, in parte transitano senza interagire, in parte sono rimossi dal fascio (per effetto fotoelettrico e produzione di coppie), in parte si trasformano in fotoni meno energetici che deviano dalla traiettoria originale finche non vengono, a loro volta, assorbiti. Pertanto, procedendo nel mezzo, i fotoni vengono progressivamente rimossi dal fascio con cessione diretta d'energia agli elettroni del mezzo 0 con cessione indiretta attraverso l'emissione e l'assorbimento di fotoni secondari. L'intensita del fascio si attenua all'aumentare del cammino percorso x secondo la legge esponenziale dove il fattore di attenuazione J-L (fig. 2.13) dipende dalle sezioni d'urto dei processi descritti e dalla densita e dal numero atomico del mezzo attraversato. Corrispondentemente anche l'attenuazione per unita di percorso

diminuisce esponenzialmente e, di conseguenza, diminuisce anche la cessione d'energia al mezzo per unit a di percorso. Questo comportamento e completamente diverso da quello delle particelle cariche di un fascio monoenergetico: queste procedono con flusso costante, perdono in media la stessa energia per unita di percorso e si arrestano in media alIa stessa profondita (dove il flusso si azzera "bruscamente", fig. 2.12); inoltre la perdita di energia per unita di percorso aumenta con l'avanzamento nel mezzo e raggiunge il massimo a fine percorso. Infine, a parita d'energia, i fotoni sono molto pili penetranti delle particelle cariche. Per esempio, il fattore di attenuazione in alluminio per fotoni da 3 MeV e circa 0.1 cm- 1 (vedi fig. 2.13) COS! che l'intensita di un fascio si riduce a 1/100 di quella iniziale (praticamente si annulla) alla profondita di circa 46 cm. Elettroni da 3 MeV si arrestano in alluminio a soli 5 cm di profondita (vedi fig. 2.11) mentre alIa profondita di 5 cm il fascio di fotoni sopravvive

48

2 Radiazione ambientale naturale 0.30

-.E 0.25 0

...,

~

:§ 0.20 0

E .,

E

:e

. :c

I

\

\

0 .15

0

210, EO'. e relativamente grande (> 3 MeV) e i decadimenti sono effettivamente osservati. Appartengono a questa regione di A i nuclei delle famiglie radioattive naturali.

Ea(MeV)

9

6 4 3 2

o -2 100

140

210

260

A

Fig. 5.2. Energia liberata in Junzione del numero di mass a A.

Inoltre l'andamento di EO'. e caratterizzato da due massimi, uno in corrispondenza di A R::: 145 e l'altro di A R::: 212. Si constata che il primo corrisponde a decadimenti con nuclei jinali aventi un numero magico di neutroni N = 82 e il secondo a decadimenti con nuclei jinali aventi un numero magico di neutroni N = 126. L'origine di questi picchi risulta chiara dall'esame di fig. 5.3, dove e dato l'andamento di EO'. in funzione di A e di Z per tutti i nuclei con A > 196 e Z > 82. In questa figura Ie linee congiungono isotopi. A partire da Z = 89 (Ac), esse hanno un andamento regolare decrescente; vale a dire, per ogni valore di Z, EO'. decresce al crescere di A. Risulta anche che, per ogni valore di A, EO'. cresce al crescere di Z. 1

Esistono nuclei che decadono 0: anche nella regione con A < 140, per esempio Be e 9 B, e in quella con 140 < A < 212. In questa seconda regione si hanno due nuclei con tempo di dimezzamento molto grande 62 Cd e 174 H f, tempo di dimezzamento maggiore di 10 14 a) e vari nuclei molto poveri di neutroni (Z R::: 60 - 80) con vita media molto breve (da decine di secondi a millisecondi).

8

C

116

5 Decadimento a encrgia decadimento alra

.... -'0 ~ I ""

0 .....

i

00 N

8 .., S .... 2

i '

o

00

'0

_"" co

~A~

8: ~

~

~

co

....

;::;

.....

:;;:

.... ~ ~

~ c..

3

co

~

..... ::;: ..... ~ ..... ..... ..... ..... ......... .....

...

OD

..... 0

'-

t: .... ..... ~

~

..... 0-

t:

00

~

........co

...

~ ....... .... ........ "" is ~ .... .... ~

'"

....'" N

00

Fig. 5 .3. Andamento dell'energia liberata in Me V in funzione di A e di Z dei nuclei

emettitori. Sono considerate transizioni tra stati f ondamentali.

!4J

5.2 Fenomenologia del decadimento a

117

Per Z < 89, Ie linee degli isotopi non hanno andamento decrescente rna presentano massimi e minimi. Per esempio, Ea e massima in corrispondenza dei seguenti decadimenti:

§F Po128 --+ §g8 Pb 126 §~4 Em 128 --+ §~o Po126

§g311t 128 --+ §~913i126 §}5J?r 128 --+ §gl11t 126

nei quali i nuclei jinali hanno 126 neutroni, ed dei seguenti decadimenti: §~913i126

--+

§gl11t 126 --+

e minima

§~5Jrl124

§~o P0126

§~713i124

§~2 Em 126

in corrispondenza

--+ §g6 Pb124 --+ §~8 11t124

nei quali sono i nuclei iniziali che hanno un numero magico di neutroni. La spiegazione di questa andamento e la seguente. I nuclei con numero magico di protoni 0 di neutroni hanno un'energia di legame per nucleone pili elevata di quell a dei nuclei contigui. Pertanto, se il nucleo finale e magi co, la differenza (11 - 4)13 2 - 1113 1 nella (5.3) ha un valore pili elevato di quello relativo a transizioni fra nuclei nOn magici ed Ea e massima. Se, invece, e magico il nucleo iniziale, la differenza (11- 4)13 2 - 11131 e minima e la (5.3) fornisce un minimo di Ea. Assumendo in quiete il nucleo iniziale, per la conservazione dell'impulso applicata alIa (5.1) si ha (5.4) P2 + Pol = o. Tenuto conto della relazione nOn relativistica fra impulso ed energia cinetica (Jr = p2/2m), per la (5.3) e la (5.4) si ottiene (5.5) Poiche

m2 11- 4 196 R::: A R::: 200 R::: 0.98, m2 +ma .t1. risulta Jra R::: E a , ossia quasi tutta l'energia liberata si ritrova come energia cinetica della particella a. Se Ie particelle a sono emesse da nuclei iniziali nello stato fondamentale con formazione di nuclei finali in stati eccitati con energia d'eccitazione Ei, l'energia liberata present a uno spettro discreto di valori, detto "struttura fine":

L'energia massima e quella emessa nella transizione fra stati fondamentali. Il nucleo finale eccitato puo passare allo stato fondamentale emettendo "( oppure decadere (3 0 0:. La probabilita di formazione di un particolare livello eccitato dipende dall'energia liberata e dalla parita e dal momento angolare dei nuclei iniziale e finale. Un esempio e dato dal decadimento del 238 Pu in 234U illustrato in fig. 5.4.

118

5 Decadimento

Dc

Consideriamo ora il caso d'emissione a da parte di un nucleo iniziale che puo trovarsi in differenti stati eccitati. Per fissare Ie idee, si consideri l'esempio di fig. 5.5, dove gli stati eccitati del 212 Po, che e un emettitore di a, si formano per decadimento fJ del 212 Bi. L'energia liberata e

Anche in questa caso 10 spettro energetico delle particelle a costituisce un insieme discreto di valori, rna alIa transizione fra gli stati fondamentali corrisponde il valore minimo. Le particelle a emesse dai livelli eccitati pili elevati sono particolarmente energetiche e sono talvolta chiamate particelle a lungo percorso, perche sono in grado di percorrere tragitti pili lunghi delle altre nell'attraversare mezzi materiali. La probabilita di osservare l'emissione a a un livello eccitato dipende dalla probabilita di formazione del livello per decadimento fJ del 212 Bi e dalla probabilita che il livello si disecciti per emissione 'Y. Emissione a ed emissione 'Y sono processi fra loro concorrenti e in generale l'emissione 'Y ha una probabilita pili elevata di ordini di grandezza. Per questa l'osservazione di particelle a lungo percorso e praticamente limitata ai decadimenti del 212 Po (vedi fig. 5.5) e del 214 Po.

0+

8 + 5.004

6 + 5.204 4 + 5.352 ......_ _ _ _ _ _ _ _ y.. E.,2

2 + 5.452 0 + 5.495

Fig. 5.4. Decadimento Dc del 238 Pu con transizioni dallivello fondamentale del Pu a diversi livelli dell' 234U. Sono indicate Ie energie liberate nelle differenti transizioni e Ie relative probabilita, la parita e il momento angolare dei livelli e il tipo di radiazione di diseccitazione.

Poiche i nuclei pesanti hanno pili neutroni che protoni, nel decadimento a i nuclei perdono percentualmente pili protoni che neutroni; pertanto il decadimento a favorisce la formazione di nuclei figli con eccesso di neutroni

5,2 Fenomenologia del decadimento

MeV

212

Bi

T1/2

0:

119

= 60.5 m

2,250

y

a

1,800 1,680 1.620 1,513

0,018 % M1

0.002 %

M1

0,727 E2

M1

0,0035 %

o 212

!OO%

Po 208

Pb 4He

Fig. 5.5. Schema dei livelli eccitati del 212 Po ottenuti per decadimento fJ del 212 Bi, dei relativi decadimenti 0: nello stato fondamentale del 208 Pb e dei decadimenti 'Y verso lo stato fondamentale del 212 Po. Sono indicate le energie dei vari livelli, le probabilita relative dei decadimenti fra di essi e il tipo di radiazione elettromagnetica emessa nelle transizioni al livello fondamentale e al primo livello eccitato.

maggiore di quello dei genitori. Per questo motivo spesso i nuclei figli sono emettitori di (3-, come e messo in evidenza in fig. 5.6. 5.2.2 Vita media Fig. 5.7 mostra l'andamento della vita media misurata in funzione dell'energia cinetica delle particelle a per decadimenti fra nuclei pari-pari negli stati fondamentali (transizioni favorite); la figura mostra anche la correlazione fra vita media, energia delle particelle a, numero di massa e numero atomico. Le linee continue collegano punti relativi a isotopi. La figura mette in evidenza quanta segue: a) per una data famiglia di isotopi (Z = costante), sono emesse particelle a con energia cinetica Ta decrescente e vita media f crescente al crescere di A; b) per una famiglia di isobari (A = costante), sono emesse particelle a con Ta crescente e f decrescente al crescere di Z; c) f decresce al crescere di Ta. La correlazione fra A, ZeTa fig. 5.3.

e quella gia rilevata, con maggiore evidenza, in

120

5 Decadimento

Dc

• 13- stabile

20

~

e e ,g

o

13- instabila

15

«I

10

.Il!

!21 CD

c:

W

5

84

85

86

Po

At

R1Fr

87

88

91

92

93

RaAcThPa

89

90

U

Np

94

Numero atomico Z Fig. 5.6. Energia liberata nei successivi decadimenti Dc e fJ dei nuclei della famiglia dell'attinio. Ogni parabola corrisponde a una famiglia di isobari. Tutti i nuclei sono instabili per decadimento Dc. I cerchietti vuoti contraddistinguono nuclei instabili anche per decadimento fJ-. Modificato da [l}

5.3 Teoria del decadimento

Q

5.3.1 La barriera repulsiva coulombiana

Consideriamo l'interazione fra una particella a di energia cinetica T e un nucleo pesante, per esempio un isotopo del torio (A = 234, Z = 90). Essa e descrivibile tramite un potenziale costituito da un termine attrattivo a corto raggio (responsabile dell'interazione forte fra i nucleoni) e da un termine repulsivo coulombiano (vedi fig. 5.8). Per ragioni di semplicita, supponiamo che il potenziale abbia simmetria sferica (sia quindi dipendente solo dalla distanza r fra i due nuclei interagenti), che al di sotto di una certa distanza R dipendente dai "raggi" dei nuclei sia rappresentabile mediante una "buca rettangolare" attrattiva e che, per distanze superiori, coincida con il termine coulombiano, ossia V(r) = Vn(r) + Vc(r)

r< R

(5.6)

5.3 Teoria del decadimento a

121

24

20

16 tJ

~ 12

~

«i

.,

«i 8

'e ..

anna

a

.~ "0

...

4

E !:! ;; OJ)

0

.2

- 4

- 8 3,0

4,0

6,0

5,0

7,0

8,0

9,0

10,0

energia decadimento alfa. MeV

Fig. 5 .7. Valori misurati del tempo di dimezzamento in funzio n e dell'energia cinetica delle particelle a per differenti valori di A e Z . Sono prese in considerazione transizioni fra stati fondamentali di nuclei pari-pari. Le linee collegano isotopi (Z = costante) e sono conf ormi all'eq. (5.31). Z cresce dal basso all'alto (Po, Z = 84; Fm, Z = 100).[4}

Vc(r)

r >R

con II potenziale coulombiano ostacola l'avvicinamento dei due nuclei e per questo prende anche il nome di barriera repulsiva; al suo valore massimo B = Vc (R) = Z ze 2 R

(5.7)

viene dato il nome di altezza della barriera coulombiana. Secondo la meccanica classica, se una particella a viene lanciata da distanza (idealmente) infinita

122

5 Decadimento

Dc

v Zze 2 r

VC=--

E--I-r+----~~=_-T

T

r

b

R

Fig. 5.B. Potenziale d'interazione nucleo-particella

Dc.

con energia cinetica T contro il nucleo, essa si avvicina a quest 'ultimo fino alla distanza b determinata dal principio di conservazione dell'energia:

T

+ Vc(oo)

=

Vc(b)

+ T(b)

=

Zze 2 b

(5.8)

con

Vc(oo)

=

T(b)

=

0

ossia (5.9) e poi si riallontana. Se T < B, allora b > Rei due nuclei non possono ''toccarsi''; in altre parole, la particella a non puo accedere alla regione con

r(cp) r

con u(r) soluzione dell'equazione d2 u

dr2

+

2ft [E _ V ( ) _ C(C

r

1l,2

ft =

ma m 2

m a +m2

+ 1) 1l,2~] 2ft

~

r2 u

=

0,

(5.20)

ma·

ft e la massa ridotta e il termine in C rappresenta un potenziale repulsivo determinato dal momento angolare orbit ale del moto relativo (potenziale centrifugo). E rappresenta l'energia liberata Ea. La (5.20) ha la stessa forma della (5.10) e quindi la trasparenza della barriera ha la forma (5.19) con V(x) = V (r) + C(C + 1) 1l,2 12 . (5.21) 2ft r

Con riferimento a fig. 5.8, V(r) e il potenziale repulsivo coulombiano e i limiti di integrazione nella (5.19) sono Xl = R e x2 = b.

c) E particolarmente interessante il caso in cui nella (5.21) e C = 0, perche l'integrale ha un'espressione analitica e il risultato si applica molto bene ai nuclei pari-pari. Per la (5.19), la trasparenza ha la forma

T=

e-"(

=

2 exp [ - Yi

{b yf2p, JR

V

Zze 2 - E dr -r-

1.

(5.22)

128

5 Decadimento

Dc

Integrando e tenendo conto della (5.7) e della (5.9), si ottiene (5.23)

G=

4Zze 2

nv

4Zz 137v/c'

[ arccos

V¥ - V~ (

1

[arccos~ G

e detto fattore

di Gamow. Per E "(=

« 7r

(5.24)

~) 1

V! (1 !) 1

(5.25)

B, la (5.23) diviene

-G 2 .

(5.26)

La funzione f (E / B) decresce al crescere di E / B, come e messo in evidenza anche dall'esempio di tab. 5.2. Alla luce delle considerazioni di questa paragrafo e agevole interpretare la dipendenza dell'energia E da A e da Z (per A > 214) messa in evidenza da fig. 5.3 e comment at a nel par. 5.2.1. Per la (5.25), una particella a viene emessa da un nucleo con una probabilita non trascurabile se la sua energia E non e troppo piccola rispetto all'altezza della barriera repulsiva B. Pili alta e la barriera e maggiore deve essere l'energia. L'altezza della barrier a e

ossia cresce al crescere di Z e decresce al crescere di A. Quindi ci si aspetta che, in una famiglia di isotopi (Z = cost ante ), E diminuisca al crescere di A e che, in una famiglia di isobari (A = costante), E cresca al crescere di Z, in accordo con fig. 5.3. 5.3.4 Costante di decadimento

Come si e gia detto, il decadimento a e un processo probabilistico caratterizzato da una cost ante di decadimento .A che misura la probabilita per unita di tempo che un nucleo emetta una particella a. Ogni transizione da un particolare stato iniziale a un particolare stato finale si distingue per uno specifico valore di .A. E intuitivo che la costante di decadimento debba dipendere dalla trasparenza della barriera coulombiana T. Determiniamo quindi esplicitamente la dipendenza di .A da T seguendo una procedura semplificata.

5.3 Teoria del decadimento

129

0:

Supponiamo che la particella Q sia in moto libero con velocita v* all'interno del volume nucleare, che supponiamo sferico di raggio R. La particella si muova lungo un diametro. Ogni volta che incontra la barrier a repulsiva ha una probabilita 7 di attraversarla e un probabilita 1 - 7 di essere riflessa. Dopo n collisioni COn la barriera, la probabilita che la particella sia ancora all'interno del nucleo e (5.27) All'istante t a partire dalla prima collisione il numero tot ale di collisioni e n = (v* /2R)t; quindi possiamo riscrivere la (5.27) nella forma P (t) = (1 - 7) ~; t

Per

7

«

1, In(l -

7) ~ - 7

== e~; In(l-T)t .

(5.28)

e la (5.28) diviene P(t) =e-~;Tt.

(5.29)

Se abbiamo a che fare con un numero iniziale di no nuclei, la (5.29) dice che all'istante t ne sono ancora presenti (cioe non si sono ancora disintegrati) (5.30) Questa espressione ha 10 stesso significato della legge del decadimento radioattivo e ha anche la stessa forma se si definisce la cost ante di decadimento come 1

v* 2R

v* 2R

), = -= = - 7 = -e-'Y =

t

v* 2R

E

v* 2R

R

_e-G!(]"j) = _e-G!(-r;)

(5.31)

La (5.31) mette in relazione ), (0 f) con l'energia liberata E, con il numero atomico Z e COn il numero di massa A (tramite il raggio del nucleo RA = r o A 1/3). Considerato che la variabilita della vita media dipende in modo sostanziale dal rapporto E / B attraverso la funzione f(E / B), come apparira evidente dall'esemplificazione numerica di tab. 5.2, la (5.31) unitamente alla (5.25) indica che a paritd di vita media (a paritd di trasparenza) i) per A = costante, B cresce COn Z, quindi E cresce al crescere di Z; ii) per Z = costante, B deere see con A, quindi E deere see al crescere di A. Questa dipendenza coincide COn quell a gia rilevata a commento di fig. 5.7, che mette anche in evidenza una grande variabilita della vita media al variare dell'energia cinetica delle particelle Q. Come appare dall'esempio di tab. 5.2 relativo al decadimento

Ea

=

4.2MeV

f

tale variabilita dipende essenzialmente dall'esponenziale

=

6.310 9 a

e-'Y

nella (5.31).

130

5 Decadimento a

Tabella 5.2. Vita media calcolata in Junzione dell'energia liberata E(MeV) per il decadimento a dell'238 U.

E

2R v

E

If

(3

G

J (~)

'Y

e"Y

3

0.12

0.040

132

1.12

147.0

6.8 1063

1.66

3.581035

4

0.15

0.046

113

0.81

91.6

6.2 1039

1.44

2.8510 11

4.2

0.16

0.047

111

0.79

87.4

9.1 1037

1.40

4.0610 9

5

0.19

0.052

102

0.72

73.4

7.910 31

1.29

3.2410 3

8

0.31

0.065

80

0.48

38.3

4.3 10 16

1.02

1.39 10- 12

f(a)

(10- 21 s)

Per i parametri nucleari nelle (5.24), (5.25) e (5.31) sono stati usati seguenti valori, alcuni dei quali sono stati calcolati nel par. 5.3.1: z=2

R= lOfm

m a c 2 = 3727.3 MeV

B = 26MeV

Z=90

La velocita v* che compare nella (5.31) e la velocita per r < R, quantita di valore incerto, determinata dall'energia cinetica T* = E + Vo all'interno del nucleo. Supponendo che essa non sia molto diversa dalla velocita v per r > R, poniamo v* v (3 = -;; = ~ =

r::-r

V2~ .

Tab. 5.2 mostra che per una variazione dell'energia E di un fattore 2.6, e'Y e f variano di molti ordini di grandezza. Si vede anche che per E = 4.2MeV, la vita media e della stesso ordine di grandezza di quella misurata (10 9 a). Ricordiamo che la (5.31) e stata ricavata assumendo un potenziale alquanto grossolano per l'interazione nucleo-particella a (vedi la (5.6)); inoltre si e assunto che i nuclei abbiano simmetria sferica e si e tenuto conto solo di particelle a emesse con momento angolare orbit ale £ = o. Nonostante queste limitazioni e semplificazioni, la (5.31) fornisce un andamento della vita media in funzione dell'energia cinetica delle particelle a, di Z e di A in ottimo accordo con Ie osservazioni sperimentali relativamente a transizioni fra gli stati fondamentali di nuclei pari-pari. 5.3.5 Effetto della barrier a centrifuga

Nella (5.20) e presente il termine centrifugo che, per £a -I- 0 , contribuisce a innalzare la barriera repulsiva, come messo in evidenza in fig. 5.12. Di conseguenza, esso provoca una diminuzione della trasparenza della barriera. Tuttavia la diminuzione non e molto elevata, COS! che in pratica e possibile osservare l'emissione di particelle a con differenti valori di £a. Per esempio,

5.4 Decadimenti favoriti e decadimenti sfavoriti

131

r

R

Fig. 5.12. Effetto congiunto della barriera coulombiana e di quella centrifuga.

la probabilita di emissione di una particella a con £", = 5 da un nucleo pesante diminuisce di un fattore circa 13 rispetto al caso di emissione con £", = O.

5.4 Decadimenti favoriti e decadimenti sfavoriti Oltre che alle restrizioni imposte dai principi di conservazione dell'energia e dell'impulso, il decadimento a e soggetto a quelle dovute ai principi di conservazione del momento angolare (J), della parita (P) e della spin isotopico (1). Quest'ultima restrizione ha origine dall'interazione forte. Poiche 10 spin e 10 spin isotopico della particella a sono nulli e la sua parita e +, i predetti principi sono espressi dalle seguenti relazioni (dove gli indici i e f si riferiscono al nucleo iniziale e a quello finale e £", e il momento angolare orbitale del mota relativo) : IJf - Jil :::; £", :::; IJf + Jil Pi =Pf(-l/a Ii = If

Se Pi = Pf, £", deve essere pari; se Pi = - Pf, £", deve essere dispari. Se £", = 0, nucleo iniziale e nucleo finale hanno 10 stesso spin, la stessa parita e 10 stesso spin isotopico. E il caso dei decadimenti fra stati fondamentali dei nuclei pari-pari di fig. 5.7 ed e anche il caso trattato nei par. 5.3.3 e 5.3.4. Questi decadimenti sono usualmente chiamati "permessi", rna e meglio definirli "favoriti" . Se si applica l'eq. (5.31) a decadimenti a fra livelli eccitati di nuclei paripari 0 a decadimenti di altri tipi di nuclei, si ottengono valori della costante di decadimento pili piccoli di quelli misurati (0 vite me die pili grandi) anche di ordini di grandezza. Cia dipende dal fatto che questi nuclei sono governati da meccanismi non considerati nella trattazione dei par. 5.3.3 e 5.3.4. Per esempio, nella trattazione svolta si e assunta uguale alIa probabilita di formazione della particella a nel nucleo; presumibilmente questa probabilita e minore in nuclei con A dispari. Inoltre si e considerato un potenziale a simmetria sferica (quindi nuclei a struttura sferica) e non si e tenuto conto di

132

5 Decadimento

Dc

una possibile dipendenza dell'interazione dallo spin. Per questo motivo questi decadimenti sono usualmente chiamati "proibiti", ma sarebbe meglio chiamarli "sfavoriti"; anche essi, infatti, pur essendo meno probabili di quelli ''favoriti'', avvengono nel rispetto dei vari principi di conservazione. Senza entrare in ulteriori dettagli, illustriamo alcune peculiarita dei decadimenti sfavoriti con due esempi. Tabella 5.3. Esempio di decadimento sfavorito: 5/2+ --+ 5/T.

JP

frequenza

Pi/Pf

fa

5/2+

~~lAm

7/2+

13%

+1

2, 4, 6

5/2+

85%

+1

0,2,4

7/T

0.2%

-1

1,3,5

5/T

0.4%

-1

1,3,5

~~7Np

MeV

J

o 3 3

212 8 . 83 I

~

6.3 6.2 6.1

0.6 0.4 0.2

1

3

o

Fig. 5.13. Esempio di decadimento sfavorito: J = 1 (livello iniziale fondamentale)

--+ J = 3 (livello finale fondamentale).

5.4 Decadimenti favoriti e decadimenti sfavoriti

133

Una caratteristica dei decadimenti favoriti e l'aumento regolare della costante di decadimento (0 la diminuzione della vita media) all' aumentare dell'energia della particella a (vedi fig. 5.7); cia equivale a dire che la probabilita del decadimento aumenta con l'energia. Tab. 5.3 mostra, invece, che nel decadimento ~gl Am --+ ~~7 Np + a la transizione pili probabile non e quella in cui viene liberata pili energia, rna quell a fra i livelli energetici con uguale spin e uguale parita (= 5/2+). Una situazione simile si present a nel decadimento

illustrato in fig. 5.13, in cui la transizione pili probabile energetici con 10 stesso momento angolare (= 1).

e quella

fra livelli

Bibliografia

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6

Nuclei e decadimenti esotici

6.1 Introduzione In questa capitolo verranno illustrati decadimenti peculiari di nuclei radioattivi artificiali e decadimenti non usuali di nuclei radioattivi naturali. Relativamente ai primi, considereremo nuclei con grande eccesso di neutroni 0 di protoni e nuclei transuranici. Teoricamente, protoni e neutroni possono unirsi per formare nuclei secondo svariatissime combinazioni. Nella realta, tuttavia, i nuclei corrispondenti alla maggioranza di queste combinazioni non esistono: se anche si riuscisse nell'intento di crearli, essi decadrebbero troppo rapidamente per permetterne un' osservazione diretta. Come sappiamo, in natura esistono circa 270 nuclei stabili e circa 75 nuclei radioattivi, tra cui quelli appartenenti alle famiglie radioattive dell'uranio e del torio. Esiste poi un elevato numero di nuclei instabili artificiali, cosl che il numero complessivo dei nuclei osservati sperimentalmente e circa 2700. Essi sono distribuiti nel piano Z, N come mostrato in fig. 1.1. I nuclei artificiali sono caratterizzati da un eccesso di protoni 0 da un eccesso di neutroni rispetto agli isobari stabili corrispondenti 0 da un elevato numero di massa. I nuclei osservati con eccesso di protoni occupano praticamente tutta la regione del piano Z, N prevista teoricamente per la loro esistenza; invece quelli con eccesso di neutroni occupano solo una parte della regione prevista teoricamente (eccettuata la regione dei nuclei leggeri che e tutta occupata; vedi fig. 6.1). I nuclei pesanti (con A > 210 ) sono suscettibili di decadimento a e alcuni di essi decadono, con piccola probabilita, emettendo anche nuclei leggeri con A > 4. I nuclei vicini alla banda di stabilita sono suscettibili di decadimento (3; se sono molto lontani dalla banda di stabilita, sono suscettibili anche di decadimenti con emissione di protoni e neutroni con varie modalita. Nuclei lontani dalla regione di stabilita e decadimenti non convenzionali sono detti "esotici". L'osservazione e la misura dei nuclei esotici presentano notevoli dif-

138

6 Nuclei e decadimenti esotici

Fig. 6.1. Tavola dei nuclei leggeri. Le caselle scure individuano nuclei stabili 0 radioattivi naturali. Le caselle vuote si riferiscono a nuclei di cui e provata la non esistenza. Nuclei con il massimo eccesso di neutroni 0 di protoni sono al confine della regione dei nuclei possibili.

ficolta 1 1

;

altrettanto si deve dire dei decadimenti esotici che in genere hanno

Lo studio dei nuclei esotici presenta varie difficolta sperimentali sia nella fase di produzione che in quella dell'identificazione dei prodotti del decadimento. Presentiamo come caso emblematico il i~l Lu. II metoda pill comune per la formazione di un nucleo esotico e basato sulla fusione di due nuclei con formazione di un nucleo contenente la maggior parte dei nucleoni dei due nuclei iniziali . La fusione ha una certa probabilita di verificarsi nelle collisioni fra nuclei . Nel caso della formazione del 151 Lu la reazione e ~~RU52 + ~~Ni30 --+ if 1 Lu 80 + p + 2n. Affinche la fusione avvenga in modo significativo, occorre che I'energia di collisione cada in un intervallo piuttosto ristretto. Infatti la fusione ha luogo solo se i due nuclei giungono a una distanza relativa dell 'ordine della somma dei loro raggi nucleari , ossia se la loro energia cinetica relativa e superiore all 'altezza della barriera repulsiva coulombiana, che in questo caso e di circa 162 MeV . D'altra parte la sezione d'urto per la precedente reazione ha un massimo per un'energia dei nuclei del 58 Ni uguale a 261 MeV, che corrisponde a un'energia del mota relativo di circa 163 MeV (valore quasi uguale a quello dell'altezza della barriera coulombiana) e decresce per energie superiori . Anche nelle condizioni di sezione d 'urto massirna, solo una interazione su 1010 da luogo alla reazione desiderata. (L'energia del mota relativo E' e legata all'energia nel sistema dellaboratorio E dalla relazione E' = EM/(M + m), dove m = massa del proiettile eM = massa del bersaglio.)

6.2 Radioattivita con emissione di nuclei con A > 4

139

probabilita molto piccola rispetto a quelli convenzionali. I decadimenti che considereremo nel seguito possono essere compendiati mediante la reazione

con A = Al +A2 e Z di quella di A 2, e A2

Zl +Z2' dove Al e un nucleo di massa molto maggiore e un nucleo leggero; per esempio:

=

Decadimenti di questo tipo possono verificarsi se energetic a:

e soddisfatta la condizione

Poiche l'emissione di nuclei con A > 4 present a caratteristiche differenti dall'emissione di nucleoni, discutiamo separatamente i due casi.

6.2 Radioattivita con emissione di nuclei con A

>4

Questi decadimenti sono, sotto vari aspetti, una generalizzazione del decadimento a e possono essere spiegati con Ie argomentazioni sviluppate nel cap. 5. In particolare, ad essi possono essere applicate Ie formule la introdotte sostituendo alIa massa e alIa carica elettrica della particella a quelle dei nuclei leggeri qui considerati. Risulta, tuttavia, che questi decadimenti possono verificarsi con probabilita molto pili bassa del decadimento a e cio rende difficile la loro osservazione, in quanta i nuclei emettitori di nuclei leggeri sono anche emettitori di particelle a. La probabilita di disintegrazione del nucleo A e determinata dalla probabilita che esso assuma la configurazione di due nuclei Al e A2 con energia relativa positiva e dalla trasparenza della barrier a coulombiana. Mentre e difficile valutare la probabilita P di formazione della coppia A 1 , A2 (e non ci occuperemo nel seguito di questa problema), e immediato comprendere la diversa probabilita di emissione delle particelle a e dei nuclei con A > 4 per quanta dipende dalla barriera coulombiana. Consideriamo, per esempio, due possibili decadimenti del nucleo di §~2U: 1. §~2U - t

§gs Pb + I6N e

Un'altra difficolta e data dall'identificazione e dalla separazione dal fondo del nucleo esotico, il quale ha in molti casi una vita media molto breve (inferiore a 1 s). A questa scopo si utilizzano filtri di velocita, cioe una combinazione di campi elettrici e magnetici che separa gli ioni con masse (e quindi velocita) diverse.

140

6 Nuclei e decadimenti esotici

La barriera coulombiana

e: Uc =

con R

~ R1 + R2

=

1.3 (

+ 24 1 / 3

2. R ex 228 1/ 3

+ 41 / 3

R

A~/3 + A~/3) fm. Per i due modi di decadimento

l'altezza della barrier a coulombiana 1. Rex 208 1 / 3

Zl z2 e2

~ 8.80 fm ~ 7.70 fm

e determinata dai seguenti fattori: ZlZ2 =

82 x 10 = 820;

ZlZ2 =

90 x 2 = 180.

I valori di R sono quasi uguali, rna quelli del prodotto ZlZ2 sono molto diversi nei due casi. La barriera coulombiana per emissione di nuclei con A > 4 e molto pili alta e quindi, a parita di energia delle particelle emesse, la sua trasparenza e molto minore. Data la grande barriera coulombiana, perche decadimenti con A > 4 siano osservabili, occorre che sia la pili elevata possibile l'energia liberata espressa dalla (6.1). Una condizione favorevole e che il nucleo (A2' Z2) 0 il nucleo (A1' Zl) (0 entrambi) abbiano massa piccola, cosa che si verifica se essi sono magici, ossia con numero di neutroni 0 di protoni uguali, per esempio, a 2, 8, ... 82, 126. Effettivamente, finora sono stati osservati solo decadimenti esotici con nuclei residui pesanti magici ed emissione di soli nuclei leggeri di carbonio, magnesio, silicio e neon, quali, per esempio:

§§2 Ra ---+ §gs Pb 126 +

~4C

§~4U

---+ §§o Pb 12S

+

I6 N e

§~4U

---+ §gs Pb 126

+

I8N e

§~4U

---+ §g6Hg 126

+

I~Mg

§~s Pu

---+ §gs Pb 126

+ rg M 9

§~s Pu

---+ §§o Pb 12S

+

§gl Am ---+

§~7Tl126

I~M9

+ r~Si.

I tempi di dimezzamento misurati sono riportati in fig. 6.2 assieme al rapporto fra la probabilita di emissione di un nucleo X e la probabilita di emissione di una particella a da parte della stesso nucleo emettitore. La vita media dei decadimenti esotici e compresa fra circa 10 12 e 10 22 a, molto pili lunga di quella dei pili longevi emettitori a considerati (~ 1010 a). Corrispondentemente, la probabilita di emissione di un nucleo X e inferiore per un fattore compreso fra 10 15 e 10 20 ! Se il decadimento con emissione di un nucleo leggero da parte di un campione di n nuclei e in competizione con il decadimento a, e evidente che

6.3 Emissione di protoni e neutroni

141

+ L09l0 T'12(S) • - Lagl0 P(x)JP(a) A

30 (3.310 22 a)

25 20

+

-

1\

+

I-

h

- +"

1\

+

••

(3.310 12 a)

15

+

+

+

A

+

++++

+

+

+ +

+ ~

+

+

+

• • • • • •••• • • + • •• • •

•• • •

10 i(3.310 2 a)

~~:ct;q:-:;r~.

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Q.~

Fig. 6.2. Logaritmo del tempo di dimezzamento in secondi misurato per l'emissione di nuclei leggeri da parte di vari nuclei emettitori (+) e logaritmo del rapporto fra la probabilita di emissione di un nucleo X e la probabilita di emissione di una partieella Dc da parte della stesso nucleo emettitore. Si tenga presente eke 1 a ~ 3· 10 7 s. Le eoppie di valori eontrassegnate dal simbolo > rappresentano limiti inferiori. [9j

l'attivita del primo processo, Al = Aln, e molto minore di quella del secondo, A", = A",n. Inoltre, la cost ante di decadimento e determinata sostanzialmente dal decadimento a: A = Al + A", R::: A",.

6.3 Emissione di protoni e neutroni 6.3.1 Emissione di protoni

La condizione energetica per l'emissione di un protone relazione:

e data dalla seguente

Ep = M(A, Z) - M(A -1, Z -1) - Mp = =

B(A -1, Z -1) - B(A, Z) = TM

+ Tp > O.

(6.2)

In generale un nucleo in grado di emettere un prot one e suscettibile anche di decadimento (3 e i due processi sono in competizione. Le costanti di decadimento dei due processi concorrenti (A,6 e Ap) contribuiscono alIa costante di decadimento tot ale secondo la relazione

142

6 Nuclei e decadimenti esotici

(6.3) da cui si ricava la relazione fra i tempi di dimezzamento 1 Ttot

1/2

1

= -(3T1/2

1

+ TP

•

(6.4)

1/2

L'emissione di protoni puo avvenire secondo due modalita: (a) dallo stato fondamentale di un nucleo (emissione diretta) e (b) da uno stato eccitato di un nucleo prodotto da un decadimento (3 (emissione (3-ritardata). La possibilita di osservare l'emissione diretta dipende dalla vita media di questo decadimento rispetto a quella del decadimento (3 competitivo, quindi dall'energia del protone. Questa non deve essere ne troppo bassa (altrimenti il nucleo decade praticamente solo (3) ne troppo alta (in questo caso il nucleo si disintegrerebbe emettendo un nucleone in un tempo troppo breve per rilevarne l'esistenza). Condizioni favorevoli per l'osservazione sono riscontrabili nei nuclei con Z ~ 50 e Z ~ 80 dai quali possono essere emessi protoni con energia nei seguenti intervalli: 0.5 < Tp < 1.5 MeV per nuclei con Z

~

50

1.0 < Tp < 2.5 MeV per nuclei con Z

~

80

I limiti a sinistra e a destra corrispondono a tempi di dimezzamento dell'ordine di 0.1 s e 10- 12 s, rispettivamente. Inoltre, condizioni pili favorevoli si hanno nei nuclei con A dispari, in quanto l'energia di legame di un nucleone spaiato e minore di quella di uno accoppiato. L'emissione diretta di protoni fu osservata per la prima volta nel 1982 con il nucleo di ~p Lu, che ha 24 neutroni in meno dell'isotopo stabile ~r5 Lu. L'energia dei protoni e di 1.23 MeV e la vita media e di 85ms. Attualmente si conosce una decina di nuclei con emissione diretta di un protone. L'emissione diretta puo avvenire solo se fra Ie energie di legame dei nuclei iniziale e finale vale la relazione B(Z - 1, N) - B(Z, N)

>0

ottenuta dalla (6.1) tenendo presente che l'energia di legame del protone libero e zero. Thttavia ci sono casi, e sono i pili frequenti, in cui la precedente relazione non e soddisfatta per 10 stato fondamentale del nucleo (Z, N), rna 10 e per uno stato eccitato, ossia

B (Z - 1, N) - B (Z, N) < 0, B (Z -l,N) - B* (Z,N) > O.

Cio e possibile perche l'energia di legame di uno stato eccitato e minore di quella dello stato fondamentale, cioe:

6.3 Emissione di protoni e neutroni

143

B * (Z, N) < B (Z, N) . Fig. 6.3 mostra uno schema di decadimento in queste condizioni. Il decadimento protonico del nucleo (A,Z - 1) verso il nucleo (A - l,Z - 2) non e energeticamente possibile dallo stato fondamentale, rna e possibile da un livello eccitato. Questo puo essere prodotto dal decadimento 13+ del nucleo (A,Z). Poiche il protone e emesso dopo un decadimento 13+ il decadimento protonico e detto "f3-ritardato". A basse energie del prot one , la probabilita di emissione e molto bassa (a causa della barriera coulombiana) e la diseccitazione del nucleo avviene principalmente per emissione f. All'aumentare dell'energia del prot one , la trasparenza della barriera aumenta e a part ire da un certo valore di T p la probabilita di emissione di un protone diviene pili elevata di quell a di emissione di un f. Questo fenomeno fu osservato per la prima volta nel 1962; attualmente si conoscono pili di 60 isotopi che emettono protoni f3- ritardati 2 Esaminiamo ora con qualche dettaglio alcuni esempi specifici.

A. Z-l

A-1 , Z-2

A. Z

Fig. 6.3. Schema di emissione (3- ritardata da livelli eccitati del nucleo A, Z - 1 in competizione con il decadimento (3 del nucleo A , Z.

6.3.2 Decadimenti del

151 Lu

Come primo esempio, consideriamo gli isobari con A = 151. Fig. 6.4 mostra l'andamento della loro massa nella stato fondamentale,

MA = Zmp

+ Nm n

- BA ,

in funzione di Z. Solo un isotopo e stabile, l'~~l Eu 88 ; la sua massa e la pili bassa di tutta la serie (la sua energia di legame e la pili elevata). I nuclei con 2

E stata osservata anche l'emissione ritardata di deutoni, per la prima volta nella successione di reazioni: 3H e -----+ (3- + gLi, gLi -----+ + ~H e .

rH

144

6 Nuclei e decadimenti esotici

altre combinazioni di 151 nucleoni hanno masse che aumentano rapidamente con la distanza dal nucleo pili stabile. Gli isobari pili vicini al nucleo stabile decadono (3 perche e soddisfatta la condizione energetica

E{3

=

M(A, Z) - M(A, Z ± 1) - me - Ev =

=

B(A, Z ± 1) - B(A, Z) ± (mn - mp) > me'

I due isobari pm lontani possono decadere anche emettendo un nucleone perche e soddisfatta anche la condizione energetic a 140.700

MeV Soglia per I'emlssions di neutroni

1~1Lu80

10

6 4 >ID 140,650

5

B

~

151 yb81 70

!

l~lLu8°

:::!!:

Soglia per remissione di protoni 140,600

A =151

50

55

eo i'lUilltlrO

85

70

Atornlco. Z

Fig. 6.4. (a) Masse atomiche in MeV per gli isobari con A = 151. Il quadratino nero rappresenta l'unico nucleo stabile, l'~gl EU 88 ; i cerchietti neri rappresentano gli isobari instabili osservati; i triangoli rappresentano le masse di nuclei previsti teoricamente ma non osservati. I nuclei con Z ::::: 62 e Z ~ 64 decadono (3- e (3+, quelli con Z = 50 e Z = 71 sono emettitori di un neutrone e di un protone, rispettivamente. (b) Nell'inserlo sono mostrati 3 modi possibili di decadimento per il ,W Lu (nucleo con difetto di neutroni).

6.3 Emissione di protoni e neutroni

EN

=

MA - MA-1 - MN

=

BA-1 - BA

=

TA_1

+ TN> 0

145

(6.5)

In particolare l'inserto di fig. 6.4 mostra i tre modi di decadimento dell'isobaro }P Lu 80 , il pili ricco di protoni: i) decadimento (3 normale:

WLu80 -+ e+ + ~81 Yb 81 + v. Una delle transizioni mostrate porta direttamente allo stato fondamentale; pili spesso accade che il nucleo figlio si trovi in uno stato eccitato. I nuclei si portano successivamente nella stato fondamentale per emissione di raggi '"Y. ii) emissione di un protone (3-ritardata: ~p Lu 80 -+ e+

+ ~81 Yb 8h + V,

II nucleo iniziale decade (3 dan do origine a un nucleo figlio per il quale e verificata la condizione energetic a (6.5) che consente la successiva emissione di un protone. iii) emissione diretta di un protone: ~~1 Lu 80

6.3.3 Decadimenti del

21 N

-+

~8oYb80

+ p.

a

A causa della carenza di neutroni, il I§M9 e assai instabile e decade per emissione (3+(71/2 = 0.12 sec) formando il nucleo nNa (vedi fig. 6.5). Nel suo stato fondamentale, anche il N a decade secondo 10 schema convenzionale dell'emissione (3+, tuttavia i nuclei che si formano per decadimento dell'isotopo di magnesio possono trovarsi in stati eccitati. L'energia di eccitazione addizionale e sufficiente a rendere il nucleo di N a instabile nei confronti dell'emissione di un prot one , con generazione dell'isotopo stabile I8N e. Questa sequenza di decadimenti appare allo sperimentatore essenzialmente come un'emissione simultanea di un positrone e di un prot one (il neutrino che pure viene emesso non puo essere osservato). I protoni che vengono emessi nel decadimento secondario trasportano una maggiore quantita di informazione rispetto ai positroni primari. I protoni emessi hanno infatti una energia ben definita, determinata esclusivamente dal saIto energetico tra gli stati nucleari in questione. Nel decadimento (3, invece, l'energia disponibile puo ripartirsi in tutte Ie proporzioni fra il positrone e il neutrino. Dallo spettro energetico del protone si possono dedurre gli stati eccitati del nucleo di I~ N a. Lo spettro energetico dei protoni e mostrato in fig. 6.6. Non tutti i decadimenti (3, tuttavia, possono condurre a uno stato suscettibile di decadimento per emissione protonica; negli altri casi si ha un ritorno allo stato fondamentale del Naper emissione '"Y.

n

n

n

146

6 Nuclei e decadimenti esotici ~ He +

il: Ne ---t i~ Mg

+ 2n

i~ Mg ---t

P+

+ v+

nNa •

il Na • ---t

emissione

protonica

~

p + i~ Ne

- ritardata

f~g 0.1 s

Fig. 6.S. Decadimento protonico f3-ritardato del gMg. Uno dei livelli eccitati del denominato "stato analogo", costituisce un doppietto di spin isotopico con il nucleo iniziale. I due nuclei possono essere pensati come costituiti da un identico nocciolo di 20 nucleoni piu un protone e un neutrone, rispettivamente. La transizione f3 fra questi due stati e molto favorita. !41

nNa,

6.3.4 Emissione protonica da un nucleo isomero Un interessante caso di emissione diretta di protoni si ha da un livello eccitato metastabile del nucleo di ~~C 0 (fig. 6.7), osservata per la prima volta nel 1970. Questo nucleo eccitato e ottenuto tramite la reazione ~~Fe (p, 2n) ~~Com.

La sua transizione allo stato fondamentale mediante emissione I e fortemente impedita dalla diversita di momento angolare tra gli stati iniziale e finale. Questo fatto, unitamente alle particolari condizioni energetiche, consente al nucleo di decadere sia (3+ che per emissione protonica diretta (1.5% dei casi),

6.3 Emissione di protoni e neutroni

147

1.000,..-----.---,.---,----,---,-.--,--..--.,---, BOO

i

600

Q

~

:e

400

:::>

z.

ENERGIA DEI PROTONI (MeV)

Fig. 6.6. Spettro energetico dei protoni emessi conseguentemente al decadimento dei nuclei di nNa. I due picchi piu stretti ed elevati a 6.2 e 4.7 MeV sono dovuti al decadimento della stato analogo del eccitato del i8N e. !4l

itNa nel livello

fondamentale e in un livello

con un tempo di dimezzamento complessivo di Tl/2 = 0.247 s. L'energia dei protoni e di 1.59 MeV. Facciamo rilevare che l'emissione di un protone da parte del g~Com e un tipico esempio di decadimento in cui e import ante la barriera centrifuga, che risulta essere molto pili alta di quella coulombiana (vedi fig. 6.8). Infatti il g~Com ha un momento angolare molto elevato (19/2), mentre il nucleo figlio di g~Fe, che e nella stato fondamentale, ha momento angolare nullo. Per la conservazione del momento angolare tot ale si ha: 19 2

dove 1/2 e 10 spin del protone e L e il momento angolare orbit ale del protone emesso. Vediamo ora alcune caratteristiche dei due decadimenti concorrenti. Il decadimento (3+ di g~Co e una reazione estremamente favorita, in quanta porta alla formazione di un nucleo speculare, il g~Fe. La sola differenza tra questi due nuclei e che il numero di protoni e quello di neutroni risultano scambiati (il g~Co ha 27 protoni e 26 neutroni, mentre il ~~Fe ha 26 protoni e 27 neutroni); i due nuclei costituiscono un doppietto di spin isotopico. Il tempo di dimezzamento calcolato per il solo decadimento (3 e Tf/2 = 0.2537 s, valore un po' pili grande del tempo di dimezzamento totale misurato (0.247 s). Mediante la (6.4), dal valore misurato di Tm e da quello calcolato di Tf/2 si deduce che il tempo di dimezzamento per la sola emissione protonica e Ti/2 = 9.3s.

148

6 Nuclei e decadimenti esotici MeV

J =19/2 Y 0.25 s

J=O

12 10

52 2S Fe

J =7/2 8

53

27 Co

6

J

4

=19/2

2 J=2 0

53

2S Fe

Fig. 6.7. Schema di decadimento del nucleo di g~C026*.

Questo valore non puo essere spiegato semplicemente come effetto della trasparenza delle due barriere di potenziale efRcaci, quella coulombiana e quella centrifuga. Infatti, secondo la relazione (vedi cap. 5)

b'

~J

zze 2 n}L (L 2m [--+ r

R

Zze 2

R=~,

+ 1) -

2mr 2

E] dr

(6.6)

Zze 2

b=--y

il tempo di dimezzamento dipendente dalla sola barriera coulombiana (L = 0) = 9, si ha T1/2 = 6.10- 8 s, valore 8 ordini di grandezza pili piccolo dei 9.3 s ottenuti con la (6.4). Pertanto Ie sole barriere repulsive non riescono a spiegare l'alto valore di T['/2' 11 grande tempo di dimezzamento viene attribuito alla grande diversita fra la struttura del nucleo iniziale e di quello finale, mess a in evidenza anche dalla grande differenza di momento angolare, di cui non si tiene conto nella (6.6).

e solo 10- 19 s. Tenendo conto di entrambe Ie barriere, per L

6.3.5 Emissione di neutroni

L'emissione diretta di neutroni riguarda nuclei con eccesso di neutroni, che si trovano lontani dalla valle di stabilita, ai bordi della regione (N,Z) dei nuclei

6.3 Emissione di protoni e neutroni

149

49 MeV

alia superficie nucleare

o

distanza dal centro del nucleo (10- 13 cm)

Fig. 6.8. Confronto Ira Ie barriere coulombiana e centrifuga nel caso dell'emissione protonica dal ~~C026*. II valore della barriera complessiva e di 49 MeV alla superficie del nucleo. !4J

possibili. Questi nuclei sono costituiti da un nucleo e un neutrone non legati la cui separazione e impedita solo dalla barriera centrifuga, essendo il neutrone privo di carica elettrica. Le vite medie sono COS! piccole che l'emissione diretta di neutroni non e mai stata osservata. In assenza della barriera centrifuga, il tempo di permanenza di un neutrone nel nucleo e dato grossolanamente dal rapporto fra il diametro del nucleo (10- 13 - 1O- 12 cm) e la velocita tipica del neutrone (10 9 cm/s) , ossia esso e dell'ordine di 10- 21 - 10- 22 s. La barriera centrifuga puo aumentare sostanzialmente tale tempo, rna soltanto in casi eccezionali questo e maggiore di 10- 16 secondi. Per questi motivi si puo parlare di radioattivita neutronica con vita media misurabile solo nel caso di emissione del neutrone ,B-ritardata. 11 processo di emissione di neutroni ,B-ritardati e noto dal 1939 e l'V N e stato il primo nucleo identificato come emettitore di neutroni ,B-ritardati (nel 1948). Attualmente si conoscono pili di 70 nuclei in grado di emettere neutroni ,B-ritardati.

150

6 Nuclei e decadimenti esotici

In fig. 6.9 viene mostrato come esempio di emissione neutronica ,B-ritardata il decadimento del ~Li. E interessante not are che il decadimento ,B di questo nucleo nella stato fondamentale da origine al nucleo di ~Be che, a sua volta, decade Q; questa processo e un ulteriore esempio di decadimento esotico detto decadimento Q ,B-ritardato. MeV

~He

30

~Li

25

20

7L· 3 I

15

10

~Be

5

~He

+

~He

o

Fig. 6.9. Il nucleo ~Li5 emette neutroni (3-ritardati.

6.4 I nuclei superpesanti Abbiamo avuto occasione nel par. 5.1 di mettere in evidenza una correlazione fra Ie caratteristiche energetiche e Ie vite medie del decadimento Q e i numeri magici di neutroni e protoni. Questa correlazione e di interesse anche nella studio dei nuclei transuranici superpesanti, la cui formazione e fortemente ostacolata dalla repulsione coulombiana fra i protoni. Come sappiamo, i nuclei con numeri magici di protoni e di neutroni (Z, N = 2, 8, 20, 28, 50, 82, 126) hanno un'energia di legame per nucleone pili elevata dei nuclei con ZeN prossimi ai valori magici (vedi fig. 5.9). Un'elevata energia di legame conferisce ai nuclei una elevata stabilita. Secondo studi teorici sulla struttura dei nuclei, dovrebbero essere magici anche i numeri Z = 114,120,126 e N = 172,184 (vedi fig. 1.1). I nuclei con questi valori di ZeN dovrebbero essere "particolarmente" stabili e la regione del piano Z,N

6.4 I nuclei superpesanti

151

da essi occupata e detta isola di stabilita (vedi fig. 6.10). In effetti non ci si aspetta che questi nuclei siano stabili in senso stretto, piuttosto che siano pili stabili di altri possibili nuclei pesanti situati al di fuori dell "'isola" citata. In altre parole, ci si aspetta che i nuclei situati nell"'isola di stabilita" abbiano tempi di dimezzamento pili lunghi di quelli situati nei dintorni dell'isola.

Ull

tt8 ttl 116

11!i 114

113

o0

0 0 0 0 0 Q 0 00 0 00 o 0 0 0 0 0 o 0

0 0 0 0 0 0 111 o 0 0 0 0 110 0 0 109 o0 0 0 lUll 0 0 107 0 0 0 0 106 0 0 lD:1 0 0 0 0 104 0 112

1113

Z

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

N 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 8

0 1 2 3 4 !i 41 1 8 9 0 1 2 3 4 !i 41 1 8 9 0

Fig. 6.10. Isotopi dei nuclei superpesanti con Z > 103 e N :0:: 160 osservati sperimentalmente (vedere anche fig. 6.12) {21J.

Nuclei pili pesanti dell'Uranio con Z = 93 - 101 sono stati ottenuti bombardando nuclei pesanti con n, p, d e particelle a; nuclei con Z = 102 - 106 sono stati ottenuti bombardando, per esempio, il Cf con nuclei leggeri quali C, B, Ne e 0; nuclei con Z > 106 sono stati prodotti bombardando Pb e Bi con nuclei aventi Z > 23. L'osservazione di nuclei ultrapesanti e sperimentalmente difficile perche, in primo luogo, la sezione d'urto per la loro produzione e molto piccola (se paragonata alIa sezione d'urto geometrica dei nuclei, che e dell'ordine di A2/31O- 2 barn); inoltre, essa decresce esponenzialmente all'aumentare di A (vedi fig. 6.11).

152

6 Nuclei e decadimenti esotici

10-6 0

10-7

Pb, Bi - 8ersagli

*U, Pu,

em - 8ersagli

10-8 IO-~

"""'" I:

m 10-10

.0

'-'

b 10-11

10-12 10-13 10-14 102

104

106

108 Z 110

112

114

116

Fig. 6.11. Sezione d'urto per la produzione di nuclei pesanti per bombardamento di Pb e Bi con Ca, Ti, Cr, Fe, Ni e Zn e bombardamento di U, Pu e Cm con Mg e S.

{2}

Ricerche sui nuclei superpesanti (Z > 109) sono state effettuate con successo in vari laboratori e hanno portato alIa scoperta dei nuclei Ie cui caratteristiche (Z, N, A, tempo di dimezzamento) sono riportate in fig. 6.12. I nuclei ultrapesanti sono identificati tramite l'osservazione dei decadimenti che li caratterizzano (vedi gli esempi in fig. 6.12). L'esistenza di alcuni isotopi e stata accertata tramite l'osservazione di poche unita. In fig. 6.12 sono riportati i nuclei pili longevi delle rispettive famiglie con Z 2: 93. II tempo di dimezzamento decresce da valori molto elevati (10 7 a per il Pu) fino ad alcuni ms. Addentrandoci nell"'isola di stabilita" il tempo di dimezzamento riprende a crescere: per esempio 4 s per Z = 112 e N = 171 e 34 s per Z = 112 e N = 173. Gli isotopi con Z> 109 non hanno ancora ricevuto una denominazione e vengono indicati con termini che esprimono in latino e greco Ie cifre decimali che compaiono in Z. Cosi il nucleo con Z = 110 e chiamato un-un-nilium (abbreviato in uun), quello con Z = 111 e chiamato un-un-un (uuu) , quello con Z = 112 e chiamato un-un-bium (uub), ecc.

6.4 I nuclei superpesanti

Z Nettunio Plutonio Americio Curio Berchelio Californio Einsteinio Fermio Mendeleevio Nobelio Lawrenzio Rutherfordio Dubnio Seabor2hio Bohrio Hassio Meitnerio Darmstadzio uuu uub uub uut [17] uuq uup [15] uub uus [211 uuo [20]

93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 112 113 114 115 116 117 118

N

A

244 151 150 244 148 243 247 151 247 150 251 153 252 153 157 267 160 261 157 259 261 158 163 267 268 163 165 271 155 262 159 267 268 159 271 161 272 161 171 283 173 285 169 282 175 289 186-X 291-X 177 293 177 294 176 294

153

TI /2

2.110 6 a 8.0 10 7 a 7.4 103 a 1.6 10 7 a 1.4 103 a 9.0 10 2 a 4712 100.52 31.82 58m 3.6 h 2.3 h 32 h 2.4 m 10 s 60 ms 70 ms 69 ms 3.8 ms 4s 34 s 73 ms 2.7 s 53 ms 112 ms 1.8 ms

F ig . 6. 12. Tempi di dim ezzamento dei nuclei transuranici con Z ;::: 93. Per ogni Z e riportato l'isotopo piu long evo; la maggior parte dei valori e presa da [1 gj. I tempi di dimezzamento dei nuclei piu pesanti possono essere affetti da grandi errori e hanno carattere puramente indicativo.

154

6 Nuclei e decadimenti esotici

AZ

AZ

289 114

292 116

U 30.4 s 285 112

U 280 J.! S 273 110

U 15.4 m 281 110

8.67 MeV

9.09 MeV

U 1.6m 277108

8.83 MeV

U 110 J.! S 269 108

9.81 meV

U 16.5 m

190 MeV

U 53.9 S 28°05 U 6.93

FS

277112 9.71 MeV

U46.9 ms 10.56 MeV 288 114 U 2.42 S 9.81 MeV 284 112

S

AZ

FS

11.45 M 11.08 M

U 19.7 S 265 106

9.23 Me

U 7.4

4.60 Me

S

261 104

U 4.7 S 257No

8.52 Me

U 15.0 S 253Fm

8.34 Me

Fig. 6.13. Sueeessione di deeadimenti ache hanno eonsentito il rieonoseimento di nuclei con Z = 116 (f13}), Z = 114 (Z magi co (f18))) e Z = 112 ([3}). Sono riportate stime della vita media e l'energia liberata; FS indica una trasJormazione tramite fissione spontanea; i tre nuclei sono stati otten uti mediante Ie seguenti reazioni: 248Cm +48 Ca ---+296 116* ---+292 116 + 4n 244pU +48 Ca ---+292114* ---+289 114 + 3n 70 Zn

+208 Pb ---+277 112 + n

Bibliografia

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7

Decadimento {3

7.1 Caratteristiche generali del decadimento f3 II decadimento (3 e una trasformazione spontanea fra nuclei isobari che segue la legge statistica dei decadimenti radioattivi (7.1) Esso include i seguenti processi: •

decadimento (3-

A(Z, N) ---+ A(Z + 1, N -1) •

(7.2)

+ 1) + e+ + v,

(7.3)

+ 1) + v.

(7.4)

decadimento (3+

A(Z, N) ---+ A(Z - 1, N •

+ e- + v,

cattura elettronica (CE)

A(Z, N)

+ e-

---+ A(Z -1, N

dove e- e l'elettrone; e+ e la sua antiparticella, il positrone; v e v sono due particelle prive di carica elettrica chiamate neutrino e antineutrino. Neutrino e antineutrino sono particelle distinte, come sara messo in particolare evidenza nel par. 7.3 e nel cap. 9. Nel processo (7.4) un nucleo cattura un elettrone dell'atomo a cui appartiene. La (7.3) e la (7.4) hanno in comune l'emissione di un neutrino. I decadimenti (7.2-7.3) possono coinvolgere anche livelli eccitati dei nuclei, con effetti secondari (emissione di raggi I, raggi X ed elettroni atomici) che saranno illustrati in Appendice 7.7.5. La (7.2) e la (7.3) sono caratterizzate da una distribuzione energetica degli elettroni (positroni) fra 0 e un valore massimo dipendente dall'energia liberata nel decadimento (fig. 7.1), che varia da 2.6keV m7Re) a oltre 20 MeV. II tempo di dimezzamento ha un grande campo di variabilita, da ~ 10- 2 s a

158

7 Decadimento (3

i'lN(p) i'lp

8r-~-r--'--,---r-,--.,

Impulso p '" eBr Pmax (B in 103 gauss, r in cm)

~N(p)

8 r--r--r---,--,---,.---,----,

i'lp

Energia cinetica (MeV)

Emax

i'lN(E) 5

Ll.E

4

4

2

°o~·~~~~-L~~~

Impulso p '" eBr (B in 10 3 gauss, r in em)

p"""

0.2 0.3 0.4

0.5

Energia cinetica (MeV)

0.6

to.l Emax

Fig. 7.1. Esempi di spettro d'impulso e di energia cinetica per i decadimenti (3- e (3+ del 64CU. L'impulso e dato in unita Br con r raggio di curvatura misurato con 10 spettrometro (vedi fig. 7.9 e relativa didascalia). [ll

:::::: 10 17 a; tuttavia solo tre nuclei hanno un tempo di dimezzamento molto elevato:

e un ristretto numero ha un tempo di dimezzamento maggiore di 10 5 a, mentre la stragrande maggioranza ha tempi di dimezzamento molto pili brevi. Il decadimento (3 e ricco di implicazioni in differenti settori della fisica: esso e una conferma della validita della meccanica quantistica e della teoria della relativita (molto significativa e l'equivalenza massa-energia); e una manifestazione di una delle interazioni fondamentali della natura, l'interazione "deb ole", i cui fenomeni hanno la peculiarita di non essere invarianti per inversione delle coordinate spaziali (non conservazione della parita), a differ enza delle interazioni gravitazionale, elettromagnetica e forte; contribuisce alla conoscenza delle particelle elementari, con particolare riguardo ai neutrini; e una fonte di informazioni sulla struttura dei nuclei atomici; e fondamentale nei processi fisici sulle stelle e nei meccanismi di nucleogenesi. In questa capitolo verranno esaminate caratteristiche del decadimento (3 che non implicano la non conservazione della parita; quest'ultimo aspetto sara studiato nel cap. 9.

7.1 Caratteristiche generali del decadimento (3

159

z

Fig. 7.2. Distribuzione dei nuclei stabili in funzione di NeZ. Le freece orizzontali e verticali sono tracciate in corrispondenza dei nuclei con numero magico di neutroni e/o di protoni. Coppie di isobari stabili si hanno per A> 35; per A = 96, 124, 130 e 136 si hanno tre isobari stabili.

Il decadimento (3 coinvolge gran parte dei circa 2 700 nuclei osservati sperimentalmente (con Z::.; 116, N ::.; 176, A ::.; 292, vedi fig. 1.1). Infatti, di essi solo circa 263 sono stabili e sono distribuiti nel piano (N, Z) come mostrato in fig. 7.2, Ie cui caratteristiche possono essere spiegate qualitativamente in base alle considerazioni che seguono. La forza nucleare e pili intensa di quella coulombiana, rna a corto raggio (vedi par. 7.6), cosl che l'energia di legame nucleare ere see linearmente con il numero A di nucleoni. Inoltre, poiche essa e mediamente pili attrattiva tra un neutrone e un prot one che tra coppie di nucleoni identici, in un nucleo stabile il numero di protoni tenderebbe a essere uguale a quello dei neutroni. La forza coulombiana ha raggio d'azione infinito e l'energia corrispondente cresce con il quadrato del numero di protoni; poiche il numero di protoni e dell'ordine di A/2, possiamo anche dire che l'energia repulsiva coulombiana

7 Decadimento f3

160

cresce grossolanamente con A 2 . Pertanto essa e menD intensa di quella nucleare rna cresce pili rapidamente con A; e relativamente poco importante nei nuclei leggeri, rna rilevante in quelli pesanti. Come risultato si ha che nei nuclei leggeri stabili il numero dei protoni e uguale a quello dei neutroni, mentre nei nuclei pesanti esso e minore e la differenza fra numero di neutroni e numero di protoni (eccesso neutronico) cresce con A. Il numero massimo di protoni aggregabili in nuclei stabili 0 quasi stabili, cioe con vite medie molto lunghe, e 92.

Z =20

MeVIT-r N ,=~2rO,N'=r2,8_Zn·~=_28~~-r'-rT-r.-~-r~~~

8,6 EjA

8,0

Z = 82 N", 126

...I': I

•

I

'10,0 .o...0ta

•

0 e Q (3+ < 0 il nucleo decade solo per cattura elettronica; esempio (vedi fig. 7.6 e 7.7):

~Be ~ ~Li

100%

Il neutrone libero decade j3- secondo la reazione (7.7) che e energeticamente possibile perche la massa del neutrone quella del prot one e

e maggiore

di

Q(3- = mn - mp - me = 782 keV > O. Il protone libero e, invece, una particella stabile perche non reazione (caso particolare della (7.3)) p -----+ n perche

e suscettibile della

+ e+ + v,

(7.8)

Q(3+ = mp - mn - me = -1.81 NleV < O.

L'esistenza dei nuclei stabili prova che i neutroni legati possono acquisire una completa stabilita, mentre il decadimento j3+ prova che protoni legati possono essere instabili. Si puo interpret are il fatto considerando che nucleoni legati in un nucleo sono caratterizzati da una massa efficace data dalla differenza fra la massa del nucleone libero e l'energia di legame. Con riferimento al modello a strati del nucleo, la massa efficace e tanto pili piccola quanto pili basso e il livello in cui il nucleone e situato. Puo essere che per neutroni e protoni legati la (7.6) sia vietata perche

ossia

7.2 Condizione energetica per it decadimento (3

c

b

a

165

2 MeV

7 L· 3 I

64 N·

Ma/A,Z-1)

28

I

o'

Fig. 7.7. Diagrammi come in fig. 7.6 ma in termini di masse atomiche (eq. 7.102), che sana normalmente utilizzate invece di quelle nucleari.

dove E indica l'energia di legame del nucleone. Analogamente, puo essere che la (7.8) sia permessa perche

ossia

En - Ep

> mn - mp + me

=

1.8111\1£ eV.

Inoltre, transizioni energeticamente permesse possono essere impedite dalle restrizioni imposte all'occupazione dei livelli dal principio di Pauli (vedere fig. 7.8). In generale la condizione limitativa QfJ- < 0 non si verifica per neutroni situati nei livelli meno legati dei nuclei con eccesso di neutroni; la condizione permissiva QfJ+ > 0 si verifica per protoni poco legati nei nuclei con eccesso di protoni. Per i nucleoni che si trovano nei livelli pili bassi, totalmente occupati da neutroni e protoni, ogni decadimento e impedito dal principio di Pauli. Queste considerazioni mostrano che i nuclei stabili sono il risultato di un complesso equilibrio fra interazione forte (attrattiva), interazione coulombiana (repulsiva), interazione debole (causa di instabilita) e il principio di Pauli. Alcune considerazioni sulla formazione dei nuclei verranno sviluppate nel par. 12.4.

166

7 Decadimento

f3

12 .8

4

e

Fig. 7.S. EfJetto combinato dell'energia di legame e del principio di Pauli sui decadimento di protoni e neutroni legati nei nuclei. I nucleoni dei livelli piu interni non possono decadere perche i livelli sono totalmente occupatio I nucleoni dei livelli piu esterni possono decadere compatibilmente con la difJerenza fra Ie masse efficaci del nucleone iniziale e di quello finale. ~

alia pompa da vuoto

Fig. 7.9. Schema di spettrometro con campo magnetico B uniforme ortogonale al piano della figura. Gli elettroni che descrivono la traiettoria circolare di raggio r = OP/2 hanno impulso p = erE.

7.3 Esistenza del neutrino e dell'antineutrino Delle particelle finali, l'elettrone, che ha velocita mediamente relativistiche 3 , e quella di pili facile osservazione sperimentale. Il suo impulso puo essere misu3

La relazione relativistica fra velocita ed energia cinetica

e

Per un'energia cinetica T = 0.5NIeV, per un elettrone (m = 0.5i\JeV) risulta v / c = 0.86 e per un nucleo, sia pure leggero come ]'3 He (m = 2808 NI eV), risulta

7.3 Esistenza del neutrino e dell'antineutrino

167

rato mediante uno spettrometro magnetico come illustrato schematicamente in fig. 7.9. 4 Tenuto conto della piccola energia liberata nei decadimenti rispetto alla massa dei nuclei, i nuclei di rinculo hanno velocita molto piccole, e la loro misura richiede metodologie pili sofisticate. Il neutrino e l'antineutrino sono di osservazione estremamente difficile percM, essendo privi di carica elettrica, non sono rivelabili con Ie tecniche usuali per Ie particelle cariche (fenomeni di ionizzazione e deflessione in campi elettrici e magnetici); essi sono suscetti bili solo di interazione "de bole" (vedi par. 7.6), per esempio tramite reazioni di assorbimento quali YJ

+ p --+ n + e+ ,

(7.9) (7.10)

che hanno una sezione d'urto molto piccola. Il neutrino e l'antineutrino sono stati prima ipotizzati sulla base dei principi di conservazione dell'energia, dell'impulso e del momento angolare (Pauli 1930) e solo pili tardi osservati sperimentalmente (Cowan e Reines 1953). Tuttavia, anche la sola conoscenza delle caratteristiche energetiche degli elettroni, unitamente a quella della vita media dei decadimenti, e in grado di fornire informazioni fondamentali sui fenomeni microscopici che governano i decadimenti, come verra discus so nel par. 7.5. Esponiamo ora alcuni argomenti a favore dell'ipotesi del neutrino prima di descrivere schematicamente il primo esperimento che ha consent ito l'osservazione diretta dell'antineutrino. i) Se il decadimento j3- fosse conforme alla reazione

(A,Z) --+ (A,Z

+ 1) + e-

in tutti i decadimenti di nuclei della specie considerata gli elettroni dovrebbero avere la stessa energia cinetica, come si deduce applicando i principi di conservazione dell'impulso e dell'energia (la situazione sarebbe analoga al caso del decadimento a). Come si e gia detto, sperimentalmente si osserva che l'energia varia da decadimento a decadimento da 0 a un valore massimo e solo l'energia massima corrisponde al valore che ci si aspetta dalla reazione a due corpi sopra scritta. Negli altri casi la somma dell'energia cinetica dell'elettrone e del nucleo di rinculo non uguaglia l'energia liberata nel decadimento. Cia ha indotto a ipotizzare l'emissione di una terza particella che si faccia carico dell'energia mancante. ii) PoicM la somma della carica elettrica del nucleo di rinculo e quella dell'elettrone uguaglia la carica del nucleo iniziale, la particella ipotizzata deve avere carica nulla.

4

vic = 0.019. Della misura dell'energia degli elettroni si parlera pili diffusamente nel cap. 8.

168

7 Decadimento f3

iii) D'altra parte, che essa sia neutra e evidente dal fatto che non interagisce con la materia nei modi tipici delle particelle cariche (ad esempio, per ionizzazione) . iv) Applichiamo, infine, il principio di conservazione del momento angolare al decadimento del neutrone ignorando l'emissione dell'antineutrino: spin ~

~± ~

=

0,1

Con due fermioni nella stato finale non e possibile ottenere un momento angolare finale uguale a 1/2. Cia e possibile se si ipotizza nella stato finale la presenza di un terzo fermione: 1

1

0+----+2 2'

1 1 3 1±----+2 2' 2

v da reattore

/1 bersagli

\

2

/

Yan

Yeo CdCk

3

Fig. 7.10. Schema dell'esperimento per /'osservazione diretta dell'antineutrino

L'antineutrino fu osservato direttamente per la prima volta tramite la reazione di assorbimento (7.9) in un esperimento iniziato nel 1953 e perfezionato in anni successivi da Cowan e Reines. In fig. 7.10 e mostrato schematicamente l'apparato che consiste di tre grandi strati di rivelatore a scintillatore liquido (1.9 x 1.3 x 0.6) m 3 , separati da due volumi di acqua, in cui e sciolto un sale di cadmio. Gli scintillatori erano connessi a 110 fotomoltiplicatori. L'intero sistema era circondato da un involucro di piombo e paraffina ed era installato nel sottosuolo per proteggerlo dal fondo di neutroni e raggi f. L'apparato era esposto al Busso di antineutrini proveniente da un reattore nucleare. :It stata presa in considerazione la seguente sequenza di reazioni (vedi fig. 7.10):

7.3 Esistenza del neutrino e dell'antineutrino

169

i) l'antineutrino viene assorbito da un prot one contenuto in uno dei due spessori d'acqua secondo la reazione (7.9):

ii) il positrone creato annichila con un elettrone m due , da 0.5 MeV di energia, e+ + e- --+ 2, (0.5MeV); i due fotoni sono emessi in versi opposti e sono rivelati dai due rivelatori contigui allo spessore d'acqua considerato; iii) il neutrone viene rallentato da collisioni con protoni e successivamente catturato dal cadmio tramite una reazione del tipo

i " di energia complessiva fino a 10 MeV, vengono rivelati dagli stessi rivelatori. L'assorbimento di un antineutrino viene identificato dalla registrazione dei due segnali in coincidenza dovuti ai , emessi nell'annichilazione elettrone-positrone seguiti dai segnali dovuti ai , emessi con un certo ritardo dal cadmio. Il numero di eventi e correlato al numero N v di antineutrini incidenti, allo spessore L1x del bersaglio e alla densita p (numero di protoni per cm 3 ) tramite la relazione N ev

=

N v pL1xO"v.

Da essa fu ricavato il seguente valore della sezione d'urt0 5 : O"v = (1.1

± 0.26) . 10- 43

2 em..

I neutrini sono stati osservati per la prima volta tramite la reazione (7.10) utilizzando come sorgente di neutrini il Sole. Sottolineiamo che i neutrini solari non danno luogo alla reazione (7.9) e gli antineutrini da reattore non danno luogo alla reazione (7.10). Neutrino e antineutrino sono particelle distinte, non intercambiabili. Neutrini e antineutrini sono stati rivelati in seguito in numerosi altri esperimenti, dei quali si parlera nei cap. 13 e 16. Il valore molto piccolo della sezione d'urto, paragonato ai valori delle sezioni d'urto nucleari che sono dell'ordine di 10- 26 em 2 , giustifica il termine di "deb ole" attribuito all'interazione che govern a il decadimento f3 e i processi inversi.

5

La seZlOne d'urto verra calcolata sulla base della teoria del decadimento nell' Appendice 7.7.3.

f3

170

7 Decadimento f3

7.4 Aspetti cinematici del decadimento j3 7.4.1 Decadimento (3±

Nel presente paragrafo, per semplicita, consideriamo solo il decadimento (3(reazione (7.2)), rna tutte Ie considerazioni valgono anche per il decadimento (3+ (reazione (7.3)). Indichiamo inoltre con l'indice 1 il nucleo iniziale e con l'indice 2 il nucleo finale. Per il principio di conservazione dell'impulso e dell' energia valgono Ie relazioni (vedi nota 1): (7.11) (7.12)

0=P2+Pe+Pv·

Evidentemente l'energia liberata nel decadimento puo ripartirsi in vari modi tra Ie particelle finali, COS! come i relativi impulsi possono disporsi in vari modi per dare risultato nullo. In particolare, l'energia cinetica dell'elettrone puo variare da 0 a un valore massimo che corrisponde alla condizione di impulso nullo (energia cinetica nulla) per l'antineutrino. Se si tiene conto nelle (7.11) e (7.12) delle condizioni

Tv= 0,

Pv= 0,

Ee si ottiene

jp2e

=

Ev=mv

(7.13)

(7.14)

2 + Tn e'

( Ml - m-v - m e )2 - M22 T max = -'--------:--:-::--::---'--'--,------=-

E max e

_

-

T max e

T~nax

Bmax = 2

(7.15)

2 (Nh - mv)

e

(Nh - mv)2 -Nfl 2(NIl-mv)

+ m~

,

(Nh - M2 - mv)2 - m~ 2 (Nh - mv)

= -'----_ _-,--_ _---'--,----_--"-

T. max 2

_

+m e -

+ NI2

=

(NIl - mv)2 + NIi 2(Ml- m v)

(7.16) (7.17)

m~

.

(7.18)

La (7.15) consente, in linea di principio, di ricavare il valore della massa dell'antineutrino dalla misura di T~nax. Il risultato di numerosi esperimenti e che la massa dell'antineutrino (e del neutrino) e molto minore di quella dell'elettrone (mv < 2 eV, vedi cap. 8). Pertanto, ai fini del presente capitolo, per ragioni di semplicita potremo porre senza perdita di generalita

7.4 Aspetti cinematici del decadimento (3

171

da cui segue Vv = c,

Pv

=

Tv = Ev.

Il problema della misura della mass a del neutrino verra esaminato nel cap. 8. Le implicazioni concettuali connesse con il fatto che la massa sia zero 0 diversa da zero verranno discusse nel cap. 14 e seguenti. Nell'ipotesi di massa del neutrino nulla, Ie eq. (7.15-7.18) divengono

(Ml - m e)2 2Ml

Temax =

E emax

T21uax

=

M:j

(7.19)

M'f - M:j + m~

(7.20)

2lvh (lvh - lvh) 2 - me2

-_

E 21uax

-

(7.21)

2Ml _

-

M'f + M:j -

m~

(7.22)

2lvh

Le eq. (7.11 - 7.22) sono state ricavate supponendo Pv = 0; se si suppone, invece, che sia P e = 0, si ottengono i valori dell'energia dell'antineutrino Ttpax e EglaX e quelli corrispondenti del nucleo finale semplicemente scambiando fra loro gli indici "e" e "V"nelle relazioni precedenti. Per esempio:

(7.23) T,max(Pe = 0) = (lvh - lvh - m e )2 2 2(Ml - me)

m~ .

(7.24)

L'energia cinetica rilasciata al nucleo finale puo variare da 0, quando Pe = - Pv, ai valori mas simi espressi dalle eq. (7.17) 0 (7.24), rispettivamente nei casi estremi con Pv = 0 0 Pe = O. Questi valori mas simi sono molto piccoli, come si deduce dalle equazioni citate tenendo conto del fatto che (Jlvfl - Jlvf2 ) , me e mv sono molto minori di Jlvh:

in quanta (Jlvh - Jlvf2 )/lvh « 1. Pertanto l'energia cinetica rilasciata al nucleo finale varia entro un intervallo piccolo e vicino allo zero, COS! che in molte considerazioni puo essere posta uguale a zero. L'energia della coppia elettrone-antineutrino, per la (7.11), ha l'espressione

(7.26)

172

7 Decadimento f3

Essa varia da decadimento a decadimento a causa della dipendenza da T2 rna, se vale la (7.25), tale variabilita e trascurabile: Eo = Ee

+ Ev

=

Jl.;h - !vh - T2 :::::: (!vh - Jl.;h)

=

costante.

L'energia tot ale dell'elettrone puo essere scritta nella forma:

e raggiunge il massimo per mv = 0 e Tv = 0, ovvero quando Ev = 0: (7.27) 7.4.2 Cattura elettronica

Per la cattura elettronica, la conservazione dell'energia e la conservazione dell'impulso sono espresse dalle relazioni

!vh + me - Be = E2 + Ev =!vh + T2 + E v , 0= P2

dove Be

+ Pv,

e l'energia di legame dell'elettrone nei livelli atomici

L

0

K. Risulta

7.5 Teoria di Fermi Eben nota che nel nucleo atomico non esistono elettroni. La loro ipotetica presenza condurrebbe a errate valutazioni della spin di certi nuclei. Infatti, supponiamo che un nucleo sia composto da A protoni e da N elettroni, invece che da Z = A - N protoni e N neutroni; esso sarebbe costituito da A + N fermioni (spin 1/2). In questa visione il nucleo ~4N sarebbe costituito da un numero dispari (21) di fermioni e quindi 10 spin totale dovrebbe essere semi dispari. In realta 10 spin e 1 e quindi l'ipotesi sulla presenza degli elettroni nel nucleo e falsa. L'argomento vale per tutti i nuclei dd. Si deve ammettere che la coppia elettrone-antineutrino non preesiste nel nucleo, rna viene creata al momento della trasformazione di un neutrone in un protone. Sotto certi aspetti il decadimento del nucleo e simile al processo di diseccitazione di un atomo: nella diseccitazione l'atomo crea ed emette un fotone che non preesisteva nell'atomo. Analogamente, il neutrone puo essere visto come 10 stato eccitato del nucleone che decade nella stato fondamentale rappresentato dal protone emettendo la coppia elettrone-antineutrino.

7.5 Teoria di Fermi

173

Nella teoria di Fermi il decadimento (3 e considerato come il risultato dell'interazione di un nucleone del nucleo con il campo di forze prodotto dalla coppia elettrone-neutrino (interazione "debole"). A causa della debolezza dell'interazione e possibile applicare i metodi della teoria delle perturbazioni, secondo la Quale la probabilita per unita di tempo che un sistema passi da uno stato iniziale a uno finale e data dalla relazione (7.28) dove Hi! e 1'elemento di matrice di transizione dallo stato iniziale allo stato finale, che dipende dalle caratteristiche intrinseche delle forze che determinano l'interazione; dN/ dE e un fattore cinematico, chiamato densita degli stati fin ali, che dipende dall'entita dell'energia liberata nel decadimento; E e l'energia disponibile per la coppia elettrone-neutrino. Per il suo significato, w coincide con la costante di decadimento A della legge del decadimeto radioattivo. Nel seguito faremo anche uso della densita di probabilita COS! definita: (7.29) dove Pe e l'impulso degli elettroni emessi nel decadimento. dw / dPe esprime la probabilita che un elettrone venga emesso con impulso compreso fra Pe e Pe

+ dPe.

Poiche Ie dimensioni di relazioni dimensionali:

n sono [w]

=

(energia x tempo), valgono Ie seguenti tempo-1

[Hi!] = energia

[dN/ dE] = energia- 1

Le relazioni (7.28) e (7.29) ci consentiranno di descrivere la forma della spettro energetico degli elettroni del decadimento (3 e di determinare, sulla base delle misure della vita media, l'intensita delle forze deboli. Esse saranno applicate solamente ai decadimenti "favoriti" (0 "permessi"; il significato di questi termini sara precisato nel par. 7.5.7). Passiamo ora ad esplicitare i fattori che compaiono in queste relazioni. Faremo riferimento esplicito al decadimento (3-, rna tutte Ie considerazioni saranno applicabili anche al decadimento (3+. In ogni caso, gli aspetti distintivi dei due casi saranno messi in evidenza quando necessario. 7.5.1 Densita degli stati finali Per la (7.110), il numero di stati disponibili per gli elettroni in moto libero in un volume [2 con impulso compreso fra Pe e Pe + dPe e dato dalla relazione

174

7 Decadimento f3 (7.30)

In corrispondenza di un valore dell'impulso dell'elettrone, l'antineutrino puo essere emesso con impulsi differenti. Il numero di stati disponibili per l'antineutrino con impulso compreso fra Pv e Pv + dPv ha un'espressione simile alla (7.30). Fissati i valori dell'impulso dell'elettrone e del neutrino, l'impulso del nucleo di rinculo risulta determinato dalla relazione (7.12). Pertanto il numero tot ale di stati disponibili per i prodotti finali del decadimento e dato dagli stati disponibili per la coppia elettrone-antineutrino, ossia dal prodotto 2

d N = dne dnv =

47Tf.? )

(

(21fn)3

2

2

2

Pe dPe PvdPv·

(7.31)

Invece che in termini d'impulso dell'antineutrino, questa relazione puo essere riscritta in una forma pili conveniente in termini di energia liberata nel decadimento. Per la (7.26), l'energia totale disponibile per la coppia elettrone-antineutrino e (vedi nota 1) (7.32) Quindi, per un val ore fissato di E e , si ha C2

Pv2

=

(E 0

-

E e )2

-

2 c4 , rnv

(7.33)

Per Ie (7.33), la (7.31) diviene

Questa relazione esprime il numero di stati finali per impulso dell'elettrone com pre so fra Pe e Pe + dPe ed energia disponibile per la coppia elettroneantineutrino compresa fra Eo e Eo + dE o. La quantita dN/ dE o e la densita degli stati che compare nella (7.28) e la quantita (7.35)

e la sua derivata che compare nella

(7.29).

7.5.2 Elernento di rnatrice di transizione L'elemento di matrice di transizione

e definito dalla relazione

7.5 Teoria di Fermi

175

dove Wi = Ui e l'autofunzione del nucleo iniziale e Wf Uf We Wv e il prodotto delle autofunzioni delle particelle finali (nucleo, elettrone, antineutrino). H e un operatore (un potenziale) che e responsabile della trasformazione n --+ p con emissione della coppia elettrone-antineutrino e della ristrutturazione del nucleo iniziale in quello finale. Nella teoria di Fermi viene fatta l'ipotesi che l'operatore H abbia la forma

H

=

g6(re-r)6(rv-r),

(7.37)

dove 6 (x) e la funzione delta di Dirac, r e e un vet tore di posizione associato all'elettrone, rv un analogo vettore associato al neutrino ere associato al nucleone che decade. 6(re - r) e la densita di probabilita che elettrone e nucleone si trovino a distanza r e - r; simile e il significato di 6 (rv - r). La speciale dipendenza di H dalle coordinate esprime l'ipotesi che il raggio d'azione dell'interazione sia nullo, cioe elettrone, antineutrino e nucleone interagiscono solo quando sono "sovrapposti" 0 "a contatto". La giustificazione qualitativa di tale ipotesi e data dal fatto che nel decadimento del neutrone isolato l'interazione si manifest a solo per distanze molto piccole, inferiori alle dimensioni del neutrone stess0 6 . g e una costante che misura l'intensita dell'interazione; il suo valore non e nota a priori e viene determinato sulla base di dati sperimentali, come vedremo. Essa ha un ruolo simile a quello della carica elettrica nel potenziale coulombiano. Anticipiamo che l'esperienza mostra che esistono due differenti valori della costante, che indicheremo con gF e gGT, caratteristici di due differenti tipi di interazione debole (di Fermi 0 Vettoriale e di Gamow-Teller 0 Assiale 7 ). Per Ie (7.34) e (7.35) valgono Ie seguenti relazioni dimensionali: [Hifl = energia

[H]

=

energia/volume

(7.38)

[g 1 = energia x volume Per Ie peculiari proprieta della funzione delta di Dirac 8 , si ha

Hif = g J W;(re) W';;(rv) uj(r) 6(re - r) 6(rv - r) ui(r) dre drvdr =

= g J W; (r) W.;;( r) uj (r) Ui (r) dr . (7.39) 6

7 8

II raggio d'azione delle interazioni forti, cosl come il raggio classico del nucleone, e dell'ordine di 1 fm = 10- 13 em; ad esso corrisponde una sezione d'urto geometric a dell'ordine di 10- 26 em 2 . Procedendo al contrario, possiamo ritenere che alla sezione d'urto dell'interazione debole di 10- 44 em 2 (par. 7.3) corrisponda un raggio d'azione dell'ordine di 10- 22 em = 10- 9 fm « 1 fm. I termini vettoriale e assiale saranno chiariti nel cap. 9. f(x)5(x - x')dx = f(x').

J

176

7 Decadimento

f3

7.5.3 Funzioni d'onda per elettrone e antineutrino

Dall'ipotesi di raggio d'azione nullo per H, segue che elettrone e neutrino, una volti emessi dal nucleo, sono particelle in moto libero, se si prescinde dall'interazione coulombiana fra elettrone e nucleo finale, la Quale ha raggio d'azione infinito. Pertanto, trascurando momentaneamente quest'ultima, possiamo descrivere elettrone e antineutrino con onde piane: lJre =

_1_ e(i/n)

(p,·r)

S]1/2

lJrv =

'¥e '¥"u

_1_ e(i/n)

-

(Pv·r)

S]1/2

~ e(i/n) S] ~

,T, ,T,- _

'

(7.40)

'

[(p,

+ pv)·r]

dove S] e un volume di normalizzazione arbitrario. Un'onda piana puo essere sviluppata in armoniche sferiche; per k· r « 1 si hag:

eikr

cose =

~ (2£ + 1) ~ i£ (£ )" (krr Pc (cos e) fi

2

£=0

= 1

+

+1

..

=

2 1 2 1 2 ikr cos e +i - (kr) - (3cos e -1)

3

2

+

(7.41)

II primo termine rappresenta il contributo all'onda piana dato da un'onda di momento angolare orbit ale £ = 0; il secondo il contributo di un'onda di momento angolare orbit ale £ = 1, ecc.; dove £ e il momento angolare del moto relativo della coppia elettrone-antineutrino rispetto al nucleo. Tenendo conto della (7.41), la (7.39) diviene HiJ

=

LHfJ

e

=

~ LMfJ'

(7.42)

e

(7.43) 9

Questa condizione e senz'altro realistica come si deduce dalla seguente valutazione: per Ee = 1 NI eV, risulta pe = VE~

k =

p,(MeV) _ c(cm/s)n(MeV.s) -

-

m~ = 0.86 MeV

. . . 0.86 3.101OX6.6.10

Rnucleo

22 -

~ 10- 13 em

kr ~ 10- 3

«

1

4 3.10 10 .

cm

-1

7.5 Teoria di Fermi

177

IN11jl2

Nell'ipotesi kr « 1, l'elemento di matrice ha val ore massimo per ji = 0 e decresce rapidamente al crescere di f!. Di conseguenza Ie transizioni con emissione della coppia elettrone-antineutrino con momento angolare ji = 0 hanno probabilita molto maggiore di quelle con ji > O. Per questo motivo Ie transizioni con ji = 0 sono dette "favorite". Transizioni con differenti valori di ji sono caratterizzate anche da differenti forme della spettro energetico dei (3. Nei casi concreti il valore di ji dipende dalle caratteristiche dei nuclei iniziale e finale. Nel seguito ci limiteremo a considerare solo transizioni favorite. Quindi, considerando solo il primo termine (ji = 0) della (7.41), Ie relazioni (7.40), (7.42) e (7.43) divengono (7.44) g

(7.45)

Hij = D Mij, Mij = Mpj =

J

uj(r)ui(r)d(r).

(7.46)

N1ij e una quantita che dipende unicamente dalle caratteristiche del nucleo iniziale e del nucleo finale. Il calcolo di N1if e in generale complicato, salvo per alcuni casi che tratteremo in un successivo paragrafo. Prendiamo ora in considerazione l'interazione coulombiana fra elettrone e nucleo residuo. La funzione d'onda corretta dell'elettrone e la soluzione dell'equazione di Schrodinger per il moto di una particella in un potenziale coulombiano (vedi [3]). In pratica, poiche l'integrale nella (7.39) e limitato al volume nucleare, e sufficiente tener conto dell'effetto coulombiano per r ~ 0; cosa che si ottiene ponendo (7.4 7)

IWe (0)1 dove

n

= IL

zz'e 2 n2 k e '

z'

=

2

=

2n7r e2m: _

1'

(7.48)

+1 per (3+, z' = -1 per (3- ,

con ke = Pe/n e fL = massa ridotta. Nel decadimento (3-, IWe(0)1 2 > 1, cresce per Pe --+ 0 e tende a 1 per Pe crescente; nel decadimento (3+ , IWe(0)12 < 1, decresce per Pe --+ 0 e tende a 1 per Pe crescente (vedi Appendice 7.7.6). Per la (7.47), la (7.45) diviene (7.49)

178

7 Decadimento f3

7.5.4 Densita di probabilita di transizione. Spettro energetico degli elettroni La densita di probabilita (7.29) diviene, sostituendovi la (7.35) e la (7.49), _ dw _ g2 IMifl2 1 ()12 2 ( , 2 4 N (Pe ) - -d 3 317/ We 0 Pe Eo - Ee ) V/( Eo - Ee ) 2 - mv- c . Pe 27T C (7.50) Sottolineiamo che questa relazione e fondata sull'ipotesi di raggio d'azione nullo per l'interazione deb ole e vale per moto relativo della coppia elettroneantineutrino rispetto al nucleo in onda s (R = 0). Facciamo rilevare che, per l'ultima condizione, la dipendenza della (7.50) dall'energia dell'elettrone proviene solo dalla densita degli stati finali e dal fattore coulombiano, rna non da lvIi !. Se si assume anche mv- = 0, si ha infine dw N(Pe) = -d Pe

(7.51)

dw

dw

dP.

Et

Fig. 7.11. EjJetto del fattore correttivo coulombiano sullo spettro d'impulso e d 'energia tot ale degli elettroni nel decadimento f3.

La (7.51) e una funzione a campana nell'intervallo Pe = 0 e p~laX corrispondente a Temax = E~nax - me = Eo - me (vedi eq. (7.27)). Per Ie caratteristiche del fattore IWe (0)1 2 illustrate nel par. 7.3, l'andamento e differente per (3- e (3+, come illustrato in fig. 7.11. (dwjdPe)dPe rappresenta la probabilita che un elettrone venga emesso con impulso di modulo compreso fra Pe e Pe + dpe. Per ragioni pratiche, puo essere utile esprimere la densita di probabilita rispetto all'energia Ee dell'elettrone, invece che rispetto al suo impulso Pe. La trasformazione da un'espressione all'altra si ottiene dall'uguaglianza 10 10

Differenziando E; = P; c 2

+ m~ c4

si ottiene Ee dEe = c 2 Pe dPe che fornisce

7.5 Teoria di Fermi

179

dw dEe

da cui, tenendo conto della (7.50), si ricava:

0

dw

-

dp

per e+

p(kilogauss· em)

2

I~O

300

100

200

'0

100

0

20 50 100

300

bV energia cinetica (keV) 500

dw per edp

0

Fig. 7.12. Spettri d'impulso degli elettroni e dei positroni nel decadimento (3 del {eq. {7.51}}. I cerchietti sana dati sperimentali e Ie linee sana curve teoriche. Sull'ordinata Ie unito' sana arbitrarie. [5}

64CU

Per mv = 0 la (7.52) diviene (7.53) La funzione (7.53)

e una funzione

Sempre per ragioni di praticita,

a campana nell'intervallo

e utile considerare la funzione

dw/dPe

1l]/e (0) 12 p~

di Kurie

dw/dE e c2 ll]/e(O) 12 Pe Ee

(7.54)

180

7 Decadimento f3 15

20

p(kilogauss· em)

r-------~'~------~'~--__,

K(p)

o

256

,

571 657

eoergia cinetiea (keV)

Fig. 7.13. Diagrammi di Kurie per elettroni e positroni nel decadimento del (eq.7.55). [5}

64CU

Per mv- = 0 la (7.54) diviene

K(Ee) = costante x (Eo - Ee) ,

(7.55)

la quale ha un andamento lineare decrescente in funzione dell'energia dell'elettrone e interseca l'ascissa per Ee = E~ax = Eo. La 7.51 descrive, a meno di una cost ante moltiplicativa, la distribuzione dell'impulso degli elettroni emessi nel decadimento (3 sotto Ie ipotesi e con Ie restrizioni sottolineate pili sopra. Essa e in eccellente accordo con i risultati di vari esperimenti, come e messo in evidenza dall'esempio di fig. (7.12) riguardante il decadimento (3± del 64Cu. Gli stessi dati sono confrontati in fig. (7.13) con l'andamento della funzione (7.55). Va rilevato che una deviazione dei dati sperimentali dall'andamento lineare decrescente dell'eq. (7.55) e un'indicazione immediata dell'esistenza di aspetti trascurati nella teoria. Deviazioni dall'andamento lineare sono dovute, per esempio, al fatto che la coppia elettrone-antineutrino trasporti momento angolare {; > 0 0 al fatto che la massa del neutrino non sia nulla (mv- > 0 - vedi cap. 8). 7.5.5 Elemento di matrice nucleare

L'elemento della matrice nucleare (7.56)

7.5 Teoria di Fermi

181

e in generale difficile da calcolare perche richiede la conoscenza delle funzioni d'onda dei nuclei iniziale e finale. Esistono, tuttavia, situazioni molto semplici e d'altra parte particolarmente significative, per Ie quali la valutazione della (7.56) e immediata. Si tratta dei casi in cui il nucleo iniziale e il nucleo finale appartengono a uno stesso multipletto di spin isotopico (vedi fig. 7.14): essi hanno 10 stesso valore della spin isotopico T e differiscono per la terza componente T3 = -T, ... , +T; ai differenti valori di T3 corrispondono diversi valori di Z. Dal punto di vista dell'interazione forte questi nuclei sono "identici": hanno gli stessi livelli energetici, 10 stesso spin e la stessa parita; essi differiscono per la differenza di massa fra neutrone e prot one e per l'intensita dell'interazione coulombiana, che ha effetti limitati almena nel caso di nuclei leggeri. Ecco alcuni decadimenti significativi vedi fig. 7.14 e 7.15): i)

Doppietto di isospin (T = 1/2, T3 = ±1/2):

n --+ p;

rH --+ ~He .

Trascurando l'interazione coulombiana, Ie funzioni d'onda dei nuclei iniziali e finali sono uguali e quindi

(7.57) ii) Tripletto di isospin (T

=

1, T3

=

-1, 0, +1):

Anche in questo caso vale la (7.57); tuttavia, poiche al decadimento possono contribuire entrambi i protoni della stato esterno del nucleo di ossigeno, nella valutazione della probabilita di transizione il quadrato dell'elemento di matrice deve essere moltiplicato per 2, cos a di cui si terra conto negli esempi successivi. 7.5.6 Probabilita di transizione per unita di teIllpo. Costante di decadiIllento (vita Illedia) La probabilita di transizione per unita di tempo (7.28) e la probabilita che vengano emessi elettroni con impulso qualsiasi. Essa coincide con la costante di decadimento A che compare nella legge di decadimento radioattivo (1.3). Essa e data dall'integrale della (7.50) esteso all'intero campo di variabilita dell'impulso degli elettroni (con p:;,ax corrispondente a T~Tlax data dalle equazioni (7.15) 0 (7.19)):

w(p:;,ax) ==

A

=

~ T

=

rp~:,ax

Jo

M ifl (dW) dPe -_ g21 dpe 27r3c3n7

2

f( Z,

max) Pe ,

(7.58)

182

7 Decadimento f3

a

b

~H2

~He1

T 1/2 T3 =-1/2

T 1/2 T3 "'t1/2

T: 1 T3 = - 1

Fig. 7.14. Esempi di nuclei appartenenti allo stesso multipletto di isospin. (a) Nuclei speculari: coppie di isobari A (Z', N') e A (Z", N'~ con Z'=N" e N'=Z"; esempio: T = 1/2, T3 = -1/2, +1/2. (b) Isobari con un nocciolo pari-pari identico e numero variabile di protoni e di neutroni nella strato piu esterno; esempio: T = I, 13 = -I,

0, +1. [7]

o+ 2.311 MeV

o+

----.t:....

0 + 1 +

Fig. 7.15. I livelli fondamentali degli isobari 14C e 14 0 e 10 stato eccitato del 14 N con spin-parito' 0+ formano un tripletto di spin isotopico. I livelli energetici degli stati fondamentali non coincidono a causa della difJerente energia coulombiana e della difJerenza fra Ie masse del neutrone e del protone. La transizione tra 10 stato fondamentale dell 'ossigeno e 10 stato eccitato dell 'azoto e una transizione di Fermi favorita (tempo di dimezzamento 71 s). La transizione dallo stato fondamentale del 14C a quello del 14 N con grande tempo di dimezzamento (5730 a) e usata per datare resti organici in archeologia.

7.5 Teoria di Fermi

1(z, Se rnv

p~laX) =

fa'

.pl_~lax

=

I

We(0)12(Eo - Ee) V(Eo - Ee)2 -

rn~c4 p; dpe.

183

(7.59)

0, la (7.59) diviene (7.60)

La (7.58) mette in relazione quattro fattori principali: 1(z, p,;,ax), che dipende essenzialmente dall'energia liberata ed e calcolabile (tuttavia, in queste lezioni non ci occuperemo esplicitamente del suo calcolo), T = 1/ A, che puo essere determinato sperimentalmente, lvIi!' che puo essere calcolato almena in casi specifici, e la cost ante d'interazione g, che non e nota a priori e viene determinata proprio tramite la (7.58), quando sono noti gli altri fattori.

7.5.7 Classificazione dei decadimenti. Transizioni favorite Nel par. 7.5.3 abbiamo assunto che elettrone e antineutrino si muovano con momento angolare {; = O. Cio comporta che 10 spettro energetico dei f3 abbia l'andamento rettilineo espresso dalla (7.55) e che l'elemento di matrice nucleare sia dato dalla (7.56) e abbia un valore elevato (rispetto al caso di transizioni con {; 2 1). Per questa motivo queste transizioni sono chiamate favorite. Nel par. 7.5.5 abbiamo anche messo in evidenza che per particolari transizioni, caratterizzate da uguale isospin, spin e parita dei nuclei iniziale e finale, Mi! dato dalla (7.56) ha valore massimo (~1). D'altra parte, elettrone e antineutrino possono avere complessivamente due differenti valori della spin in base ai quali si hanno Ie seguenti denominazioni del decadimento f3 •

spin 0 : transizione di Fermi;

•

spin 1 : transizione di Gamow-Teller

Come vedremo, i due tipi di transizioni sono caratterizzati da due diversi valori della cost ante d'interazione g. Tenuto conto della parita dei nuclei iniziale e finale (Pi e p!) e della conservazione del momento angolare

diremo che Ie transizioni sono favorite se sono soddisfatte Ie seguenti condizioni l l :

11

II prodotto delle parita +10-1).

e +1 se

Ie parita iniziale e finale sono uguali (entrambe

184

7 Decadimento

f3 Transizioni favorite diFermi

PjPi =+l

Ji=Jj

J i =Jj±l £=0

8=1

Transizioni favorite di Gamow-Teller

Transizioni fra nuclei con variazione della parita e con grande variazioni della spin nucleare implicano che la coppia elettrone-antineutrino abbia momento angolare orbit ale £ > 0: come rilevato nel par. 7.5.3 (vedi eq. (7.43)), l'elemento di matrice nucleare (e quindi la probabilita di transizione) ha un valore piccolo: per questa motivo queste transizioni sono dette 8favorite 12 . Transizioni fra stati di parita opposta sono sfavorite perche il prodotto di due autofunzioni di parita opposta da una funzione dispari il cui integrale tende ad annullarsi. Tabella 7.2. Esempi di decadimenti f3 favoriti e sfavoriti. GT e F indicano il quadrato dell 'elemento di matrice nucleare opportunamente pesato. Le prime 5 transizioni sono favorite, (log(fT) i=::j costante), Ie altre sfavorite (valori di log(fT) da

[5]).

spin e parita nucleari

1'1/2

Qo (MeV)

10g(fT)

GT

p

..1.+---+..1.+

10.4 m

0.782

3.04

"4

~He

..1.+---+..1.+

12.33 a

0.0186

3.06

"4

"4

~Li

0+ ---+ 1+

0.807 s

3.508

2.52

2

0

~40 ----'t ~4 N*

0+ ---+ 0+

70.61 s

1.813

3.50

0

2

1.526 s

5.492

3.50

0

2

269 a

0.565

9.03

n yH

----'t ----'t

~H e

----'t

2 2

2 2

riCI

----'t

r~S

0+ ---+ 0+

r§Ar

----'t

i6K

"2

7-

3+ ---+"2

lO Be ----'t kO B

0+ ---+ 3+

1.5 . 106 a

0.556

12.05

i8K ----'t ~gCa l~5 In ----'t M5Sn

4 - ---+ 0+

1.28· 10 9 a

1.311

15.60

9+ 1+ "2 ---+"2

4.4 . 10 14 a

0.495

22.86

3 3

La vita media dei nuclei dipende dalle caratteristiche intrinseche dell'interazione debole (g), dalle caratteristiche dei nuclei iniziale e finale (I Mij I) e 12

Invece che favorite e sfavorite, usualmente Ie transizioni sono chiamate permesse e proibite; queste denominazioni non sembrano appropriate perche Ie transizioni menzionate sono tutte permesse, semplicemente sono pili 0 meno probabili.

F 1

"4 1

7.5 Teoria di Fermi

185

dall'energia liberata (f(z,p:nax)). Posto

consideriamo la grandezza (7.61) detta vita media ridotta. Per transizioni favorite, in cui l'elemento di matrice nucleare ha il suo valore massimo, il secondo membra e indipendente dal particolare nucleo considerato e dall'energia liberata. Poiche anche 9 non dipende dal nucleo, iT ha circa 10 stesso valore in tutte la transizioni favorite, come mostrato dagli esempi di tab. 7.2, nonostante Ie vite medie e Ie energie liberate varino notevolmente da nucleo a nucleo. Nel caso di transizioni sfavorite il valore di iT cresce all'aumentare della diversita (parita e momento angolare) fra nucleo iniziale e finale, come messo in evidenza in tab. 7.2. 7.5.8 Valutazione della costante g dell'interazione deb ole

Riscriviamo per comodita la relazione (7.58) (7.62) Ci si aspetta che la cost ante g, essendo una caratteristica intrinseca dell'interazione che pravoca il decadimento, sia indipendente dal particolare nucleo radioattivo esaminato. Tuttavia, dall'esame dei dati si riscontrano due diversi valori, che mostrano che l'interazione debole e di due specie. Un valore viene ricavato dallo studio dei nuclei caratterizzati da transizioni di Fermi (0 Vettoriali) e l'altra da nuclei caratterizzati da transizioni di Gamow-Teller (0 Assiali). Indicheremo i valori delle costanti nei due casi con gF = gv e gOT

i)

=

gAo

Un decadimento caratterizzato da una transizione di Fermi pura considerato in fig. 7.15:

§40 ---+ ~4N*

+ e+ + v

0+ --+ 0+ Tl/2 = 70.6.5

IMifl2 = 2

La (7.62) diviene

e quello

186

7 Decadimento f3

g}

22

3 311 7 L

1f C

max

fo(z, Pe

(7.63)

),

dove il fattore 2 tiene conto dei due protoni che contribuiscono al decadimento. Dalla (7.63) e da una dozzina di simili relazioni relative ad altri nuclei e stato ricavato il valore medio gF = l.4149(8) . 10- 62 J . m 3

.

e dato l'errore sull'ultima cifra significativa.

Tra parentesi

ii) gOT puo essere ricavata dallo studio di una transizione pura di GamowTeller come il decadimento ~He ---+ ~Li

+ e- + 1J

0+ --+ 1+

T1 / 2

806.7ms

=

IMifl2 = 2 Una via alternativa e quella di considerare il decadimento del neutrone nel quale compartecipano sia la transizione di Gamow-Teller sia quella di Fermi. Infatti, gli spin delle particelle finali possono essere disposti come segue:

s( e, lJ)

npev

tttt tttt

o

Transizioni di Fermi

1

Transizioni di Gamow-Teller

I pesi statistici degli stati di singoletto e di tripletto di spin sono 1/4 e 3/4. Nel caso di due decadimenti in competizione, la costante di decadimento e la somma delle due costanti specifiche dei due processi considerati separatamente; nel nostro caso una dipende dalla costante d'interazione di Fermi e l'altra da quella di Gamow-Teller. Con evidente significato dei simboli, per la (7.62), si ha Tl/2 = 10.4 m

A(n) = AF 1

+ AOT = 2 gF

lnax

"4 -::-21f-3""'c'-;;3:-:-n-;:07 f n (z, Pe

fn(z,

3 g2OT f ( ) + "421f 3c3n7 n z,

p~nax)

= (7.64)

21f3 c 3 n 7

Dividendo la (7.64) per la (7.63) si ottiene

g~T g}

max)

Pe

=

~

3

(8 A

(n) fa _ A (140) fn

1)

(7.65)

7.6 Interazione elettromagnetica, interazione forte e interazione debole

187

La (7.65), sulla base dei valori sperimentali di A, ha consentito di ricavare per il modulo del rapporto fra Ie due costanti d'interazione il seguente val ore [20]: I

g;:

I

= 1.26 ± 0.004 .

Dunque, la cost ante di Gamow-Teller e in modulo un po' pili grande di quella di Fermi. Combinando la (7.65) con la (7.61) e possibile ricavare IgGT I. Da esperimenti non discussi in queste lezioni risulta che Ie due cost anti hanno segno opposto. I valori delle costanti ricavati dalla media dei risultati di vari esperimenti sono [21]: gF =

1.4156(6) . 10- 62 J . m 3

=

gGT = -1.7908(22) .10- 62 J. m 3 =

dove tra parentesi

1m3 -1.117.10- 4 MeV· 1m 3

0.883 . 10- 4 MeV·

e dato l'errore sulle ultime cifre significative.

7.5.9 Osservazioni conclusive

La teoria di Fermi precedentemente delineata nei suoi aspetti essenziali costituisce un primo approccio alla trattazione del decadimento (3. Essa rende ragione della forma della spettro energetico dei (3 e consente di mettere in evidenza l'esistenza di due tipi di interazione debole caratterizzati da due differenti valori della costante d'interazione g. Essa non da ragione dei fenomeni di non conservazione della parita e di polarizzazione che saran no descritti nel cap. 9. Una trattazione pili generale del decadimento (3, comprensiva di tutti i fenomeni osservati, e fondata sull'equazione relativistica di Dirac per la descrizione del moto libero di particelle di spin 1/2 e sull'utilizzo di operatori hamiltoniani relativisticamente invarianti per descrivere l'interazione debole. L'equazione di Dirac verra discussa nel cap. 10 e il modello d'interazione, in forma ridott a, verra descritto nel cap. 11. La teoria dell'interazione debole COS! formulata prende il nome di teoria Vettoriale-Assiale (teoria V - A). L'interazione di Fermi va riferita al termine Vettoriale e quella di Gamow-Teller al termine Assiale.

7.6 Interazione elettromagnetica, interazione forte e interazione debole L'interazione che determina il decadimento dei nuclei, che abbiamo chiamato "deb ole" , e stata introdotta nel par. 7.5.2 tramite un operatore di intensita g e di raggio d'azione nullo. Nel presente paragrafo confronteremo Ie sue proprieta con quelle delle altre interazioni rilevanti a livello nucleare, ossia quella elettromagnetica e quella forte, sulla base di un semplice modello fondato suI

7 Decadimento f3

188

concetto di potenziale. L'energia di interazione fra due particelle puo essere espressa mediante un potenziale caratterizzato da un'intensita (0 costante di accoppiamento), che da una misura dell'intensita della sorgente del campo di forze, e una funzione delle coordinate spaziali che dipende dalla distanza fra Ie particelle. Esaminiamo prima Ie caratteristiche della funzione delle coordinate e successivamente quelle delle sorgenti. Come punta di partenza per Ie nostre considerazioni, richiamiamo brevemente alcune proprieta del campo elettromagnetico e successivamente Ie estendiamo al caso delle interazioni forti e di quelle deboli. 7.6.1 Dipendenza dalle coordinate spaziali

Il campo elettromagnetico puo essere descritto in termini di potenziale scalare ¢ e di potenziale vet tore A, che soddisfano alle equazioni (nel sistema di Gauss): (7.66) (7.67) Limitiamoci a discutere il potenziale scalare e cominciamo col considerare il caso statico, ossia il caso in cui p e ¢ sono indipendenti dal tempo. La (7.66) diviene (7.68) dove si intende che ¢ e valutato a distanza r dall'origine e la carica elettrica e distribuita entro un volume descritto dal vettore r'. La soluzione della (7.68) ha la forma

¢(r)

=

JIr - r'l

p(r')dv '

(7.69)

L'energia (potenziale) d'interazione fra due distribuzioni di carica p( r') e

p( r")

e

v

=

J

p( r')dv' p( r")dv"

Ir" - r'l

(7.70)

qc5(r') ,

(7.71)

Se la carica e puntiforme, rappresentiamo la distribuzione nella (7.68) e nella (7.69) con una funzione c5 di Dirac:

p(r') COS!

=

che la (7.69) diviene

¢(r) =

rl

':l.

(7.72) r Nel caso d'interazione fra due cariche puntiformi +q e -q poste nei punti e r2, l'energia (7.70) assume l'espressione

7.6 Interazione elettromagnetica, interazione forte e interazione debole

q2 V (r) = -"--1r-l-=----r---:-21

189

(7.73)

L'eq. (7.68), valida per il campo elettrostatico, e un caso particolare di un'equazione pili generale. Consideriamo infatti l'equazione (7.74) dove a e un parametro avente Ie dimensioni di una lunghezza, il cui significato fisico verra chiarito pili avanti, e s( r') e una distribuzione di sorgenti di natura non precisata. Si puo dimostrare che la soluzione della (7.74) ha la forma 1,...'-,...1

¢( r) = / s( r')dv' ~:,~ ,

(7.75)

che rappresenta il potenziale generato in r dalla sorgente s. Se la sorgente puntiforme con intensita f,

s(r')

=

e

f5(r') ,

la (7.75) diviene

r

¢(r) =

e--;;

f-,

(7.76)

r

come si verifica facilmente. 13 L'energia d'interazione di due sorgenti puntiformi di intensita poste alla distanza r, per analogia con la (7.73) ha l' espressione

+f

e -

f

.,.

V(r) = -f2~, r

(7.77)

che ha la forma della funzione di Yukawa. La (7.77) e caratterizzata da un'intensita P e da una funzione della distanza fra Ie sorgenti che tende a zero per r -+ 00 con una rapidita che dipende dal parametro a. Per indicare questa sua proprieta, a viene chiamato raggio d'azione dell'interazione. La (7.73), che si riferisce all'interazione coulombiana fra cariche elettriche, e il caso particolare della (7.77) per a -+ 00. Per questo si dice che l'interazione elettrostatica ha raggio d'azione infinito: l'energia d'interazione tende a zero 13

L'operatore div grad in coordinate sferiche ha la forma

V2

= - 1 -8

r2 8r

( r 2 -8 ) 8r

1 - -8 (. 8 ) + + -sm e-

r2 sin e 8e

Poiche il potenziale (7.75) e indipendente da

2

V ¢(r)

=

8e

1 82 r2 sin 2 e 8 y 2

e e y, si verifica facilmente che

18(28) 1 r 8r ¢(r) a 2 ¢(r)

r2 8r

.

=

190

7 Decadimento f3

pili lentamente di qualunque altra energia potenziale compatibile con la (7.77). Se nella (7.77) si pone a = 1.41 fm, si ha il potenziale d'interazione nucleonenucleone (interazione forte) introdotto da Yukawa: r

V(r)

=

-g7~.

(7.78)

r

a molto piccolo (a :::::: 0), la (7.77) e diversa da zero solo in un intorno molto piccolo di r = 0 e possiamo scrivere

gj rappresenta la carica "forte". Per

(7.79) dove r5 (x) e la delta di Dirac e gd rappresenta la carica "deb ole". Questa espressione richiama l'hamiltoniana d'interazione deb ole introdotta nel par. 7.5.2, che ha raggio d'azione nullo. Dunque, Ie differenti interazioni fondamentali possono essere rappresentate mediante una comune dipendenza dalle coordinate rna si differenziano per il raggio d'azione (vedi fig. 7.16). Diamo ora un significato pili profondo a questa parametro. A questa scopo consideriamo l'equazione (7.66) con p = 0, che descrive la propagazione di un'onda elettromagnetica nella spazio vuoto. Consideriamo, per semplicita, il caso particolare di un'onda piana che si muove lungo l'asse x; ¢ e quindi indipendente da y e da z:

0.5

15

2

2.5

3 r{fm)

v/ f'1. 17------+--+---::::::::::::::!=:==_01---1

c

-2 -3

-5 Fig. 7.16. Andamento della funzione di Yukawa (a) per l'interazione coulombiana (a = (0); (b) per l'interazione forte (a = 1.4 fm) e (c) per l'interazione debole (a = 2.210- 3 fm).

7.6 Interazione elettromagnetica, interazione forte e interazione debole

a22 ¢ -

::l

uX

a

1 2 2" -;:)2¢ = O. c ut

191

(7.80)

Questa equazione e ricavabile anche con Ie seguenti considerazioni quantisticorelativistiche. La relativita prevede l'esistenza di particelle di massa nulla, per Ie quali la relazione impulso-energia e

(7.81) Se trasformiamo la (7.81) in una relazione fra operatori tramite Ie sostituzioni

E --+

. a

(7.82)

zn~, ut

e applichiamo la nuova relazione a una funzione ¢, otteniamo proprio la (7.80). Dunque, la (7.80) e sia l'equazione di un' onda elettromagnetica che l'equazione del mota libero di una particella di massa 0 (il fotone). La (7.80) e un caso particolare dell'equazione

(7.83) che, infatti, diventa la (7.80) per a --+ 00. Il significato fisico della (7.83) e del parametro a puo essere ottenuto considerando che per una particella di massa m in moto libero la relazione relativistica impulso-energia ha la forma

(7.84) Se si tiene conto delle sostituzioni (7.82), si ottiene l'equazione relativistica di Klein-Gordon

(7.85) che, come e noto, e adatta alla descrizione del mota di particelle di spin intero (bosoni). La (7.83) e la (7.85) coincidono se si pone

nc

a=--2' m,c

(7.86)

che e la lunghezza d'onda Compton di una particella. Quindi la (7.85) descrive il moto libero di una particella di massa m = n/ac. Come sappiamo, se m = 0 la particella e un fotone, quanta d'energia emesso da una sorgente elettromagnetica; per analogia, per un val ore generico di m la particella e il quanto d'energia emesso da una sorgente generica. Va sottolineato che la (7.74) con s = 0 non e altro che il caso statico della (7.83). Abbiamo cosl una relazione fra il raggio d'azione del campo generato da una sorgente e la massa associata al quanta d'energia emesso dalla medesima. Questa relazione puo essere chiarita dalle seguenti considerazioni. Un sistema di cariche elettriche genera nella spazio circostante un campo elettrico (0 un potenziale) al Quale e associata una densita d'energia. Se

192

7 Decadimento f3

qualche variazione avviene nel sistema di cariche (si pensi, per esempio, a un atomo 0 a un nucleo che si diseccita), questa si riflette in una modifica del campo e dell'energia associata, che si manifest a tramite l'emissione di un'onda elettromagnetica 0, equivalentemente, di fotoni. I fotoni emessi da una sorgente possono invest ire un altro sistema di cariche ed essere assorbiti; si realizza in questa modo un'interazione fra due sistemi di cariche con trasferimento di energia da una regione all'altra della spazio. Nel caso in cui un sistema di cariche, una volta costituito, permanga in una configurazione stabile (si pensi al sistema protone-elettrone nella stato fondamentale dell' atomo di idrogeno), non si verifica nessuna variazione di energia e non viene osservata ness una emissione di onde elettromagnetiche 0 di fotoni. Tuttavia, anche una condizione stazionaria puo essere interpretata tramite l'emissione e l'assorbimento di fotoni che chiamiamo virtu ali , intenden do che essi non sono osservabili 0 che illoro scambio avviene con variazione energetic a mediamente nulla. A questa fine, consideriamo un sistema isolato di due sorgenti generiche (non necessariamente due cariche elettriche) a un certa distanza l'una dall'altra. Supponiamo che la sorgente 1 emetta un quanto di energia i1E sotto forma di una particella di mass a rn (quindi i1E e al minimo uguale a rnc 2 ). Per il principio d'indeterminazione, i1E e osservabile solo se sussiste per un intervallo i1t ~ n/ i1E. Supponiamo allora che il quanta d'energia incontri dopo un intervallo di tempo i1t' < n/ i1E la sorgente 2 e venga da essa assorbito. In questo modo Ie due sorgenti hanno interagito senza scambi osservabili di energia. Evidentemente, la distanza fra Ie due sorgenti deve essere al massimo a = ci1t' = nc/i1E. Posto i1E = rnc 2 , la lunghezza a non e altro che il raggio d'azione dell'interazione dato dalla (7.86). Se Ie sorgenti precedenti sono cariche elettriche, il quanta scambiato e un fotone; essendo la sua massa uguale a zero, il raggio d'azione e infinito, come gia sappiamo. Se Ie sorgenti sono due nucleoni, ossia sorgenti di cariche jorti, il quanto scambiato e un mesone di massa rn = 140 1\I!eV, cui corrisponde un raggio d'azione a = l.4 fm. Se l'interazione e debole, i quanti scambiati sono i bosoni W± e ZO, Ie cui masse sono dell' ordine di 90 . 103 1\1! eV; a esse corrisponde un raggio d'azione molto piccolo, dell'ordine di 2 . 10- 3 fm, che giustifica l'ipotesi di raggio d'azione nullo fatta nel par 7.5.2. Nel caso di una carica elettrica isolata, l'esistenza del campo elettrico attorno ad essa puo essere interpretata come dovuta a ripetuti atti di emissione e di assorbimento di fotoni virtuali da parte della stessa carica. Si suole dire che la carica elettrica e circondata da una "nuvola" di fotoni virtuali. L'ipotesi quantistica di emissione e assorbimento di fotoni virtuali da parte di una carica elettrica ha 10 stesso fondamento dell'ipotesi classica di campo elettrostatico circondante la stessa carica: infatti, ne i fotoni virtuali, ne il campo elettrostatico sono osservabili direttamente. Cio che e misurabile e la forza tra due cariche elettriche. Analogamente, un nucleone isolato puo essere immaginato come avvolto da una nuvola di mesoni virtuali continuamente emessi e assorbiti.

7.6 Interazione elettromagnetica, interazione forte e interazione debole

193

7.6.2 Intensita delle interazioni Passiamo ora a considerare l'intensita delle sorgenti dei campi elettromagnetico, forte e debole.

a) Interazione elettromagnetica Per quanta riguarda il campo elettromagnetico basta porre nella (7.73) q = e (carica element are dell'elettrone); si ottiene che l'intensita 8 e 2 con dimensioni di energia x lunghezza. Si preferisce esprimere l'intensita in una forma adimensionale dividendo e 2 per ne = 1971V/eV· 1m; si ottiene e2

Q;=-

fLC

;::::::

1 137

(7.87)

quantita nota come cost ante di struttura fine.

b) Interazione forte Il valore dell'intensita dell'interazione forte che abbiamo indicato con gJ (vedi eq. (7.78)), puo essere ricavato risolvendo l'equazione di Schrodinger per un sistema di due nucleoni con potenziale dato dalla (7.78) e imponendo che il livello pili basso dell'energia degli stati legati sia uguale all'energia di legame del deutone nota sperimentalmente. Poiche la soluzione dell'equazione non 8 agevole, preferiamo valutare gJ in modo approssimato procedendo in modo semiclassico in analogia con il caso dell'atomo di idrogeno. L'energia del sistema elettrone-protone 8 14

B

=

T

+ Vc

=

1

-

2

)L

2

e2

v - r

=

1

-)LV

2

2

-

ne-r Q;

(7.88)

Nel caso di orbite circolari deve essere soddisfatta l'uguaglianza tra forza centripeta e forza coulombiana:

14

L'energia totale del sistema in quiete costituito da due particelle 1 e 2 interagenti in uno stato legato (elettrone e prot one nell'atomo di idrogeno; neutrone e protone nel nucleo di deuterio; ecc.) e individuata dalla massa che, relativisticamente, e data dalla somma di tutte Ie energie in gioco:

B='1'+V T e I'energia cinetica del moto relativo e V I'energia potenziale d'interazione; B rappresenta I'energia di Ie game ed e la quantita espressa dalla (7.88) e dalla (7.94).

194

7 Decadimento f3

ossia (7.89) Tenendo conto della (7.89) nella (7.88), si ottiene 1 e2 2 T

E=---

(7.90)

Se si pone la condizione che il momento angolare sia quantizzato, L =

Tp

=

fLVT

=

nn

n=1,2,3 ...

(7.91)

e si tiene conto della (7.89), si ottiene che il raggio classico delle orbite puo assumere i valori discreti

n 2 n2

(7.92)

Tn=--

e 2 fL

e l'energia corrispondente (7.90) ha i valori discreti

_! e2

En =

2 Tn

= _f!.2

(~) 2 = nn

-!fLC 2 a

2

2

n2

(7.93)

La (7.93) coincide con l'espressione che si ottiene risolvendo l'equazione di Schrodinger per un potenziale coulombiano. Applichiamo ora la procedura semiclassica al caso dell'interazione forte tra due nucleoni, in particolare fra prot one e neutrone, assumendo che l'interazione sia descritta dalla (7.78). L'energia totale del sistema e (7.94) La forza radiale

e (7.95)

Per orbite circolari deve essere soddisfatta la relazione fLV 2

-

T

2 1 1 e-a-r = Fr = gj ( - )

+ - --

TaT

(7.96)

e per la (7.91) si ha (7.97) Combinando la (7.96) con la (7.97) si ottiene

7.6 Interazione elettromagnetica, interazione forte e interazione debole

195

Infine, combiniamo Ie eq. (7.94), (7.96) e (7.98), otteniamo la seguente relazione fra l'energia e il raggio classico dell'orbita:

(7.99) Per n = 1 si ha l'energia della stato fondamentale del deutone che sperimentalmente: Bl = -2.225MeV.

e nota

La (7.99) e quindi un'equazione in Tl che puo essere risolta numericamente; essa risulta soddisfatta per Tl = 1.22 fm. Per n = 1, la (7.98) fornisce il seguente valore per 9J: 2

.

91 = 86MeV· jm = O.4ne.

Questo valore e della stesso ordine di grandezza di quello ottenibile con procedure pili sofisticate (9J = 0.28ne).

c) Intemziane debale Per quanto riguarda l'intensita dell'interazione debole, facciamo riferimento alla (7.79) e al fatto che nell'ambito della teoria di Fermi del decadimento (3 abbiamo gia espresso l'intensita nella forma 9F =

1.415 . 10- 62 J . m 3

=

0.883 . 10- 4 Me V . jm 3 .

Se dividiamo questa quantita per un volume, che assumiamo essere definito dal cuba della lunghezza d'onda Compton del protone, otteniamo:

B -

9F (

/j

mpc

)3

=

0.883 1O- 4 MeV· 1m 3 3 (0.21 1m)

=

3 '1 V 9.53 10- we.

Interpretiamo questa energia come l'energia potenziale dell'interazione debole data dalla (7.79) e valutiamo l'intensita dell'interazione ponendo:

da cui otteniamo 2

Ba ne ne

9d = -

=

1.04 10

-7

nc,

(7.100)

dove a e la lunghezza d'onda Compton del bosone ZO (M~ = 91.2GeV/e 2 ):

196

7 Decadimento

f3 fie rnzoe

a=

2.1610

--2 =

-3

1m.

(7.101)

Usualmente viene riportato un differente valore per 9J: '2

9d =

Ba' -nc = fie

1.02 10

-5

fie,

ottenuto utilizzando la lunghezza d'onda Compton del protone a':

, a =

fie

--2 = TrLpe

0.21

1m.

L'esposizione precedente ci ha consentito di mettere in evidenza con argomenti semplici Ie caratteristiche essenziali e Ie differenze pili rilevanti delle interazioni fondamentali. Sottolineiamo che la trattazione e estremamente semplificata, come appare dalle seguenti osservazioni limitate al caso dell'interazione forte. Innanzi tutto i nucleoni non sono puntiformi, come Ie sorgenti da noi considerate, rna hanno una struttura costituita da tre quark. In secondo luogo i mesoni scambiati sono di vario tipo per quanta riguarda la massa e altre proprieta intrinseche (carica elettrica, isospin, spin, parita), COS! che i potenziali ¢ associati al loro scambio possono non essere scalari, come nel caso da noi trattato. Tabella 7.3. Caratteristiche delle interazioni fondamentali. L'intensita dell'interazione gravitazionale e definita come (Gm~/nc)nc = Gm~, dove G e la costante di gravitazione universale e mp e la massa del protone. Per quanta riguarda G~/nc, usualmente viene riportato un differente valore (1.02· 10- 5 ) ottenuto dall'equazione (7.100) assumendo per 0 il valore della lunghezza d'onda Compton del protone (0 = 0.21 fm).

interazione

gravitazionale

debole

raggio d'azione (1m)

CXJ

10- 3

CXJ

1

intensita (g2/ nc)

5.9.10- 39

1.04.10- 7

1/137

0.28

particelle scambiate

gravitone

W±, ZO

fotone

meSOlll

massa particelle soggette all'interazione

~ 90 GeV/c 2

tutte

0 particelle cariche

::: 139 MeV/c 2 adroni

leptoni e adroni

elettromagnetica

forte

A ogni mesone corrisponde un raggio d'azione che decresce al crescere della massa. L'energia d'interazione nucleone-nucleone e esprimibile mediante

7.6 Interazione elettromagnetica, interazione forte e interazione debole

197

la somma di termini corrispondenti ai diversi mesoni, alcuni dei quali sono attrattivi (energia d'interazione negativa), altri sono repulsivi; il risultato e un'energia d'interazione attrattiva per T grande e repulsiva per T piccolo. Per T molto piccolo la trattazione dell'interazione in termini di scambi mesonici diviene inadeguata e occorre tener conto della struttura a quark dei nucleoni. La (7.78) e significativa solo per T molto grande. L'andamento qualitativo dell'interazione nucleone-nucleone ha l'andamento illustrato in fig. 7.17. L'interazione elettromagnetica fra due cariche elettriche ql e q2 (per esempio, due elettroni) puo essere rappresentata nel piano (x, t) nella forma di un diagramma (diagramma di Feynman) come in fig. 18a. Le semirette rappresentanG l'evoluzione spazio-temporale delle particelle prima e dopo l'interazione. In accordo con i principi di conservazione delle cariche elettriche esse non hanno discontinuita. Esse cominciano a -00 terminano a +00.

E

MeV

V(r)

w

o

-1.2

NN

1.0

loU

r(fm)

-50 Fig. 7.17. Energia d'interazione nucleone-nucleone costruita tenendo conto di tutti i possibili scambi mesonici. N otare che essa diventa repulsiva per piccoli valori di r. Per r grande questa Junzione ha I'andamento della Junzione (b) di fig 7.16. La figura mostra anche il livello energetico del deutone.

Ogni particella e caratterizzata da un quadrimpulso. Le semirette si inc ontrano in corrispondenza di veTtici dai quali si diparte una linea tratteggiata che rappresenta il quanta (fotone) scambiato nell'interazione. Ogni vert ice e caratterizzato da un peso di valore e il prodotto dei pesi dei due vertici connessi da l'intensita dell'interazione, che vale appunto cx. Analoghe rappresentazioni possono essere fatte per l'interazione forte e l'interazione debole, come esemplificato nelle fig. 7.18b e c, che non richiedono specifiche spiegazioni.

va

7 Decadimento f3

198

a

t

:(

~\

-;\

~+x

c

b

p

.-

v

Fig. 7.18. Esempi di diagrammi di Feynman per l'interazione elettromagnetica (a), forte (b) e debole (c).

7.7 Appendici 7.7.1 Energia liberata, masse atomiche ed energia di Ie game Invece che tramite Ie masse dei nuclei, il bilancio energetico delle reazioni (7.2), e (7.3) puo essere fatto tramite Ie masse atomiche (che sono Ie quantita effettivamente misurate con gli spettrografi di massa) 0 tramite Ie energie di legame dei nuclei. La massa atomica e correlata ana massa nucleare dana relazione

Ma(A, Z)

=

M(A, Z)

+ Zme

- Be ;: : : M(A, Z)

+ Zm e,

(7.102)

dove Be e l'energia di legame degli elettroni atomici, che puo essere trascurata. Sostituendo questa espressione nelle (7.6) si ottiene

Ma(A, Z) - Ma(A, Z - 1) - 2m e ,

Q(3+ = QCE =

(7.103)

Ma(A, Z) - Ma(A, Z - 1).

La mass a nucleare e esprimibile mediante Ie masse del prot one e del neutrone liberi e l'energia di legame:

M(A, Z)

=

Zmp

+ (A -

Z)mn - B(A, Z) .

(7.104)

Sostituendo questa relazione nene (7.6) si ottiene j3-

Q(3-

= mn - mp - me - B(A, Z)

Q(3+ = QCE =

+ me

- B(A,

Z

+ 1),

+ B(A, Z - 1), Z) + B(A, Z - 1).

mp - mn - me - B(A, Z) mp - mn

+ B(A,

(7.105)

7.7 Appendici

199

7.7.2 Densita degli stati Definiamo come stato di una particella in mota libero l'insieme dei valori delle componenti Px, Py e pz del suo impulso p. Una terna di valori Px,Py e pz identifica un punta nella spazio degli impulsi (vedi fig. 7.19). In coordinate polari Ie componenti dell'impulso sono Px

=

p sin ecos ¢ ,

Py = P sin e sin ¢ , pz

=

p cose.

Un volume infinitesimo della spazio degli impulsi dPxdpydpz nate polari, p2 dp sin e de d¢,

0,

in coordi-

individua gli stati accessibili alla particella per variazioni infinitesime dell'orientazione e del modulo dell'impulso, ossia per impulso compreso nell'intervallo fra pep + dp. L'integrale di tale volume su e ¢

e

r

pdp Jo

27r

r

d¢ Jo sin ede

=

41fp 2dp,

e 10

spazio compreso fra Ie superfici sferiche di raggi pep + dp e individua l'insieme degli stati accessibili corrispondenti allo stesso modulo dell'impulso rna a differenti orientazioni. Estendiamo ora queste considerazioni a particelle descritte secondo la meccanica ondulatoria. Una particella in moto libero lungo un segmento di lunghezza L e caratterizzata da un moto stazionario con lunghezza d'onda e impulso

A=

~,

n

n

=

1, 2, 3, ...

21fn 21fn p=--=--n A

L'

Ogni valore di n definisce un valore dell'impulso 0, equivalentemente, uno stato della particella. Il numero di stati compreso fra n e n + L1n e (7.106) Se la particella si muove liberamente in un cuba di lato L, la relazione (7.106) vale per ciascuna delle componenti Px, Py, pz dell'impulso. In questa caso uno stato e definito dalla terna di valori n x , ny, nz .. Il prodotto (7.107)

200

7 Decadimento f3

/

P dO

Fig. 7.19. Spazio degli impulsi.

rappresenta il numero tot ale di stati con valori di Px, PY' pz compresi nel "volume" della spazio degli impulsi iJ.PxiJ.PyiJ.Pz. Supponiamo ora che il numero di stati possibili entro un intervallo iJ.p sia molto elevato in modo tale che il rapporto iJ.n/ iJ.p sia costante al diminuire di iJ.p e possa essere sostituito dalla relazione fra infinitesimi dp / dn. Allora la (7.107) diviene (7.108) dPxdpydpz rappresenta il volume infinitesimo nella spazio degli impulsi in coordinate ortogonali. Conviene esprimere la (7.108) in coordinate polari

(7.109) dove fl rappresenta un volume sferico. Se integriamo su dN

41f fl

=

2

(21fn)3 P dp,

e e cp, otteniamo (7.110)

quantita che rappresenta il numero di stati con modulo dell'impulso compreso fra pep + dp e orientazione arbitraria. 7.7.3 Sezione d'urto

v +p

---+ e+

+n

Esiste una semplice relazione fra la sezione d'urto (5 di un processo e la probabilita di transizione per unita di tempo w (definita nel par. 7.5). Con riferimento a fig. 7.20, si consideri un fascio di particelle incidenti con velocita v su un bersaglio di sezione A e spessore dx contenente n particelle per unita di volume.

7.7 Appendici

201

La probabilita che una particella incidente interagisca con una particella del bersaglio e dP = ((J" / A) (nAdx); quindi la probabilita per unita di tempo e

dP dt =

(J"

nAdx

A~

=rwv.

dP / dt puo eSSere interpret at a come la probabilita di transizione fra due stati, dx

v~r Fig. 7.20. Schema di fascio parallelo di particelle puntiformi incidenti su un bersaglio di costituito da particelle aventi dens ita n.

quello che precede e quello che segue l'interazione, ossia ha 10 stesso significato di w. Pertanto, posta dP/dt = w, risulta

w

1

V

n

(J"= - ' - .

Per un bersaglio costituito da una sola particella in un volume [2, si ha infine (J"

=

(7.111)

[2::: .

v

Consideriamo ora la probabilita di transizione per unita di tempo per la reazione YJ + P --+ e+ + n: W

=

27T n IHi!1

2

p.

p e la densita degli stati finali (vedi 7.119): dN 47T[2 1 p = dET = (27Tn)3 c2PeEe , con Pe ed Ee impulso ed energia dei positroni; ET e l'energia tot ale in gioco e, tenuto conto che J\![n » me, ha l'espressione:

Con Ie ipotesi e Ie approssimazioni usuali per Ie funzioni d'onda del neutrino e del positrone e per la densita di hamiltoniana H (vedi par. 7.5) e tenuto conto che nello stato finale non c'e interazione coulombiana, per la matrice di transizione si ha

7 Decadimento f3

202

dove INliJ risulta

1

e la

componente nucleare della matrice di transizione. Pertanto

(7.112) La quantita g21MiJ 12 pUO essere ricavata tramite Ie relazioni (7.58) e (7.64) relative al decadimento del neutrone:

(7.113) 2

1 2

9 = 4gF

3 2

+ 4gGT'

(7.114)

Per la (7.111) e la (7.112) si ha 15

Essa puo essere espressa in funzione dell'energia dell'antineutrino. Poiche Ee = Ep - En Pe =

~JE~

-

m~c4

+ Ev

=

~ (Mp - Mn) c 2

~V[(Mp -

Mn) c 2

+ Ev

+ Ev]2

-

m~c4,

si ha, infatti,

(7.115) Tenuto conto della (7.114) e dei seguenti valori numerici (vedi par. 7.5.8): gF = 1.41 10- 62 J . m 3

n=

gGT = -1. 79 10- 62 J . m 3

1.05 10- 34 J . 8

risulta

(5

(Ev) = 2.3710- 44

• ;_

u

15

(Ev -1.29) x J(Ev - 1.29)2 - 0.26cm 2 . (7.116)

Si tenga presente che, a causa della piccola massa dell'antineutrino, in tutte Ie formule che seguono si puo porre f3v = 1.

7.7 Appendici

203

Poiche nell'esperimento di Cowan e Reines, descritto nel par. 7.3, erano utilizzati antineutrini con energia distribuita fra 0 e 9 !vI e V circa, calcoliamo la sezione d'urto per un valore intermedio, precisamente per Ev = 5 !vIe V; risulta 3.23 . 10- 43 cm 2 , valore della stesso ordine di grandezza di quello misurato. La (7.115) implica che l'energia dei neutrini sia superiore a un valore di soglia: Ev > (Mn - Mp) c2 + m e c2 = 1.80 MeV. Per Ev » 1.80 MeV la (7.115) puo essere scritta nella forma approssimata g2 E~ u(Ev) :::::; ~ j3u 7rC Ii

7.7.4 Densita degli stati finali per

(7.117)

v

v + p ---+ e+

+n

Calcoliamo la densita degli stati finali per la reazione

v + p --+

e+

+n

Trattandosi di una reazione a due corpi finali, il numero dN di stati finali per un intervallo dET di energia disponibile e determinato dal corrispondente numero di stati elettronici: (7.118) Poiche l'energia in gioco

e

e

dET la (7.118) diviene

dN dET

(7.119)

7.7.5 Emissione di elettroni, raggi X e '"Y conseguente al decadimento {3 Il decadimento j3 e, nella maggior parte dei casi, seguito dall'emissione di raggi " raggi X ed elettroni atomici. La sola emissione j3, con successiva perdita o acquisizione di un elettrone da parte degli orbit ali atomici pili esterni, e limitata ai seguenti nuclei [12]: 3H, 14C,

32 P, 33 P, 35 S,

36Cl, 45Ca,

63 Ni, 90 Sr,

90y, 99Tc,

i cui nuclei figli vengono prodotti nella stato fondamentale.

147 Pm,

204Tl

204

7 Decadimento f3 MeV

131

8.0 giorni

53

1.0

0.8

9.3%

0.812 MeV 0.7%

0.6

130.608 MeV 87.2 % y

11.9 9

+ y

y

0.284 MeV 6.3%

0.637 MeV 9.3 %

0.08 MeV 6.3 %

131

54

0.4

2.8%

y

.364 MeV

y 0.163 MeV 0.7 %

y

0.722 MeV

Xe

0.2-

o

stabile

Fig. 7.21. Principali transizioni f3 dal livello fondamentale del 131 I a vari livelli della 131 Xe. Le transizioni r sono in competizione con processi (non mostrati) di conversione interna.

Il nucleo finale, ad esempio generato dal decadimento

A(Z) --+ A*(Z + 1) + IF

+ v,

si trova solitamente in uno stato eccitato A *, dal quale puo passare allo stato fondamentale emettendo radiazione elettromagnetica (uno 0 pili raggi ,):

A*(Z

+ 1) --+ A(Z + 1) +

n,

(come mostrato ad esempio in fig. 7.21), 0 trasferendo l'energia di eccitazione direttamente a un elettrone delle orbite pili interne dell'atomo a cui il nucleo appartiene, con conseguente espulsione di tale elettrone dall'atomo:

A*(Z + 1) --+ A(Z

+ 1) + e- .

Questo processo e detto conversione elettronica intern a . Infine, sebbene il fenomeno sia molto raro, la diseccitazione puo avvenire mediante produzione, nel nucleo, di una coppia e+ e-:

A*(Z

+ 1) --+ A(Z + 1) + e+ + e- ,

che viene quindi emessa dal nucleo. L'emissione secondaria di elettroni, positroni, raggi , e raggi X, conseguente ad interazioni deboli, e dovuta a vari processi, che descriviamo in modo schematico qui di seguito, anche con riferimento a fig. 7.22.

7.7 Appendici

x

e

205

Augtl'

Livtlli atomifi

eCOJlvtrsione inttl1la

r Livelli nucleari

Fig. 7.22. Schema dei processi atomici e nucleari che danno luogo all'emissione secondaria di raggi X, raggi I , elettroni e positroni.

a) La diseccitazione I nello stato fondamentale avviene mediante l'emissione di un unico fotone. In alcuni nuclei e anche possibile la diseccitazione mediante il passaggio dallo stato iniziale a stati eccitati intermedi, e quindi allo stato fondamentale, mediante l'emissione di pili raggi f. In questo Secondo caso, l'energia totale dei fotoni emessi coincide con quella dell'unico I del caso precedente. b) La conversione interna, con successiva emlSSlOne elettronica, e possibile solo per quegli elettroni atomici per i quali e soddisfatta la relazione

dove Te e l'energia cinetica dell'elettrone, E e la differenza fra l'energia del nucleo iniziale eccitato e quell a del nucleo finale nello stato fondamentale e I j e il potenziale di ionizzazione dell'elettrone nel livello j. Pertanto i possibili valori di Te costituiscono un sistema discreto. La probabilita del processo di conversione interna aumenta con Z, decresce al creSCere di E e decresce al crescere di I. In fig. 7.23 e mostrato 10 spettro d'impulso dei (3 emessi nel decadimento del 131 I, rappresentato dalla linea regolare, suI Quale sono sovrapposti picchi corrispondenti agli elettroni di conversione dell'atomo eccitato dello 131 Xe.

206

7 Decadimento f3 Keo

dN/dP e

o

Fig. 7.23. Spettro d'impulso degli elettroni emessi nel decadimento f3 del 131 I e degli elettroni di conversione provenienti dai livelli K ed L dell'atomo di 131 X e. I valori 80, 164, ecc. indicano in keV i livelli eccitati dell'atomo di Xe. Il punta finale p,;,ax corrisponde a un'energia massima di 605 ke V.[19}

c) I processi di conversione interna e di emissione di raggi I sono in competizione fra loro e la cost ante di decadimento di un livello eccitato e data dalla somma delle costanti di decadimento dei processi concorrenti: A = Ae + AI" Con una probabilita 10 4 volte pili piccola, la diseccitazione di un nucleo puo avvenire anche tramite la creazione di una coppia e+ e-, se l'energia di eccitazione e > 2me = 1.022 MeV d) La conversione interna da origine a un livello vacante nella configurazione atomica, ossia a una configurazione eccitata dell'atomo, il quale puo passare allo stato fondamentale tramite l'emissione di raggi X 0 l'emissione di elettroni Auger. Nel secondo processo l'energia di eccitazione viene trasferita direttamente a un elettrone appartenente alle orbite pili est erne dell'atomo, con conseguente espulsione di tale elettrone. e) Emissione di raggi X e di elettroni Auger si ha anche come conseguenza del processo di cattura elettronica (CE). f) Nel caso di decadimento (3+, i positroni emessi si possono annichilare con gli elettroni atomici dando origine a una coppia di fotoni aventi la stessa

7.7 Appendici

207

energia, secondo la reazione

e+e- -----+ 2, (0.511 MeV). g) L'emissione di radiazione secondaria da parte dei nuclei finali accompagna anche i processi di assorbimento dei neutrini da parte dei nuclei atomici. Mentre gli elettroni emessi nel decadimento (3 sono caratterizzati da uno spettro continuo d'energia, gli elettroni e la radiazione elettromagnetica emessi nei processi secondari sopra descritti sono caratterizzati da spettri discreti. Essi costituiscono quindi delle sorgenti "monocromatiche" di radiazione molto utili ai fini della studio di rivelatori di particelle. A titolo esemplificativo in tab. 7.4 sono riportate Ie caratteristiche di alcune sorgenti in uso nei laboratori. Infine, la radiazione secondaria ha un ruolo rilevante nella studio di proprieta del decadimento (3 (si veda, per esempio, il cap. 9 dedicato alla non conservazione della parita) e nell'identificazione dei processi di assorbimento dei neutrini (si veda, per esempio, l'esperimento di Cowan e Reins nel par. 7.3 e il cap. 13 dedicato allo studio dei neutrini solari) Tabella 7.4. Esempi di nuclei radioattivi per decadimento (3 e cattura elettronica (eE) can emissione di, (dovuti all'annichilazione e+e- e a diseccitazione del nucleo figlio) e di elettroni di conversione interna. N el caso di decadimento (3 e riportato il valore dell'energia massima degli elettroni e dei positroni. Gli at ami dei nuclei figli, eccetto quelli conseguenti al decadimento del 22 N a e del 60Co sana anche sorgenti di raggi X. [16)

iiNa((3+(545keV), CE; Tl/2 = 2.603 a)

,ann(511 keV); ,(1275 keV)

gV\i1n(CE, 1'1/2 = 0.855a)

,(835 keV)

~~Co(CE, T1/2 = 0.744 a)

,(14; 122; 136 keV) ,(1173; 1333 ke V) e;:-on(514; 1176 keV); ,(662 keV)

~~3Ba(CE, Tl/2 = 10.54a)

e;:-on(45; 75 keV); ,(81; 356 keV) e;:-on(481; 975; 1047 keV)

,(569; 1063; 1770 ke V)

7.7.6 Fattore coulOInbiano Ripetiamo per comodita il fattore correttivo coulombiano introdotto nel par. 7.5.6:

208

7 Decadimento (3

z' ke

=

=

+1 per (3+ ,

P~ ,

fL

=

z' = -1 per (3-

rnassa ridotta.

Posto x = 12mrl, si verifica facilrnente che il fattore correttivo coulornbiano ha l'andarnento in funzione di Pe descritto in tab. 7.5 e in fig. 7.24. Tabella 7.5. Andamento di f(Pe) per decadimenti (3- e (3+

f(x) x--+O P

--+

=

f(x) --+

f(x)

1-~-' ~

--+ 1

=

f(x) --+

eCx_l

~

--+ 1

00

x»l p--+O

f(x) --+ x --+

f(x) --+ e"', --+ 0

00

f ~-

1 ~+

o Pe Fig. 7.24. Andamento qualitativo di f(Pe).

7.7.7 Misura della vita media del neutrone

Il decadirnento del neutrone libero e l'unico caso di decadirnento (3 in cui l'interazione debole non e influenzata dal leg arne dei nucleoni nei nuclei. :It evidente, quindi, l'irnportanza di conoscere con la pili elevata precisione e

7.7 Appendici

209

accuratezza possibili il valore della cost ante di decadimento da cui si ricava g2 mediante la (7.62) . Purtroppo la sua misura non e agevole poiche non sono disponibili campioni di neutroni "fermi". Illustriamo schematicamente Ie metodologie seguite a questo fine. Esse sono fondamentalmente due: una si basa sulla misura dell'attivita in un fascio di neutroni in moto libero, l'altra sullo studio della diminuzione temporale del numero dei neutroni confinati in un volume chiuso per un tempo pili lungo della loro vita media. Illustriamo Ie due metodologie con due esempi. rivelatore di protoni 0 elettroni

v

n

rivelatore di neutroni

n

Fig. 7.25. Schema dell'apparata per la misura dell'attivita di un fascia di neutrani'[18}

a) Un apparato per l'applicazione del primo metodo utilizzando neutroni termici (E :::::; (0.5 - 5) . 103 eV, v :::::; (0.98 - 9.8) . 103 m/s) 0 freddi (E :::::; (0.5 - 5) . 10 2 eV, v:::::; (1.4 - 9.8) . 10 2 m/s) e illustrato schematicamente in fig. 7.25. Supponiamo che il fascio di neutroni sia monocromatico con velocita v, abbia divergenza nulla, abbia sezione S e flusso Fn (numero di neutroni per unita di superficie e per unita di tempo) costante nel tempo. Il numero dNn di neutroni contenuti nel volume S dx in un intervallo di tempo dt e

da cui segue che il numero di neutroni contenuti nel volume SL

e (7.120)

ed e costante nel tempo. Fn/v e la densita di volume dei neutroni. Un dispositivo ideale che circonda il fascio e in grado di rivelare tutti i protoni 0 tutti gli elettroni emessi nei decadimenti che si verificano all' interno del volume SL. L'attivita relativa a questi decadimenti e misurata dal rapporto fra il numero iJ.Np di particelle rivelate in un intervallo di tempo iJ.t e l'intervallo stesso:

210

7 Decadimento f3 A

=

da cui si ricava

AN

n

=

iJ.Np iJ.t'

= ~. (7.121) Nn Fn SL A e determinato dalla misura di A e di Fn. Il val ore del flusso Fn puo essere misurato mediante il rivelatore di neutroni situato a valle del volume SL; il rivelatore presenta al fascio una lamina su cui e depositato un sottile strato iJ.x di 10 Be con densita (numero di nuclei per unita di volume) p(Be). Il berillio assorbe i neutroni secondo la reazione 10 Be + n -----+ 7 Li + a, A=

~

di cui e nota la sezione d'urto a(n, a). Il numero iJ.Na di particelle a prodotte e dato dalla relazione iJ.Na = iJ.Na(n, a)p(Be)iJ.x.

(7.122)

iJ.N e il numero di neutroni che incide suI bersaglio di berillio in un intervallo di tempo iJ.t; esso e uguale al numero di neutroni contenuto in un volume di sezione S e lunghezza viJ.t, ossia per la (7.120)

(7.123) Combinando Ie relazioni (7.123) e (7.122) si ottiene Fn. Si rileva che puo essere preferibile valutare l'attivita dei neutroni misurando i protoni di decadimento invece degli elettroni perche i protoni, avendo energia cinetica massima molto pili piccola (vedi eq. (7.25)) e conseguente distribuzione energetica molto meno dispersa, possono essere distinti pili facilmente dalla radiazione di fondo. Nel caso del decadimento del neutrone, per Ie relazioni (7.15) e (7.17) risulta = 781 keV 0.75 keV :::::: 1O-3Temax.

T~nax

2

T nax =

Ai fini della rivelazione e della distinzione dal fondo, i protoni vengono accelerati fino a conseguire un'energia dell'ordine di 15 - 40 keY. b) Fra i metodi basati suI confinamento, consideriamo un esempio di confinamento mediante campo magnetico, nel Quale si utilizzano neutroni ultrafreddi (E:::::: 10- 7 eV, v :::::: 4.4 m/s). I neutroni sono dotati di momento magnetico fL e, posti in un campo magnetico d'induzione B con fL e B pamlleli e concordi, acquisiscono un'energia

potenziale Se B non

u= e uniforme,

- J-L . B = -ILB .

essi sono soggetti a una forza

7.7 Appendici

211

F = -grad U = IL grad B .

Se supponiamo che la forza abbia simmetria cilindrica attorno a un asse z, dipenda solo dalla distanza T dall'asse, sia attrattiva e di tipo armonico, sia cioe F = Fr = -CT, gradB deve avere diversa da zero solo la componente lungo T. Pertanto, in coordinate cilindriche deve essere Fr

= fLgradB =

da cui, integrando fra 0 ed

To

To,

8B

fLa:;:

= -CT,

(7.124)

si deduce

indica il raggio del volume cilindrico che racchiude il campo magnetico e

Bo = B(To) e il valore massimo del campo. Un campo d'induzione magnetica con tali caratteristiche e detto campo di sestuplo magnetico ed e ottenibile, per esempio, mediante sei conduttori rettilinei paralleli disposti simmetricamente su una superficie cilindrica nei quali fluiscono correnti di uguale intensita con versi alternati (vedi fig. 7.26a). I neutroni vengono sospinti dalla forza F verso l'asse del cilindro. Nessuna forza agisce invece lungo l'asse del cilindro perche il campo magnetico e costante lungo esso e quindi i neutroni non sono confinati in questa direzione. Per ottenere un confinamento tot ale e sufficiente incurvare il cilindro e i conduttori in modo da ottenere un anello toroidale (vedi fig. 7.26b). In questo modo i neutroni tendono ad accumularsi lungo una circonferenza mediana del toro e a traslare lungo essa con velocita media costante. Con riferimento a fig. 7.26b, la condizione perche i neutroni si muovano lungo un'orbita di raggio T' nel piano zx e che la forza (7.124) soddisfi alla condizione Fr(T') =

v2 TnT'

con

Ro - T < T' < Ro

+ T.

Un neutrone rimane intrappolato se la sua energia tot ale e negativa:

Poiche fL = 6.02.10- 8 eV /tesla, per confinare neutroni ultra freddi (per esempio, con T = 6.10- 8 eV) occorre un campo d'induzione magnetica d'intensita maggiore di 1 tesla. Senza entrare in dettagli tecnici, la misura della cost ante di decadimento viene effettuata iniettando pili volte nella trappola un numero No di neutroni e misurando il numero di neutroni residui N(ti) per valori crescenti del tempo t i . Imponendo che i valori misurati soddisfino alla relazione

212

7 Decadimento f3

y

r

Fig. 7.26. (a) Campo magnetico di sestupolo prodotto da sei correnti lineari. Le linee circolari punteggiate sono linee equipotenziali, quelle tratteggiate sono linee vettoriali del campo d 'induzione. (b) Meta trappola toroidale'[17}

si ottiene il valore di A e di T = 1/ A. Il numero dei neutroni iniettati all'inizio di ogni ciclo e quello dei neutroni residui sono misurati con un rivelatore che utilizza la reazione

n

+3 He --+ p +3 H + 0.77 MeV.

Il valore medio delle pili recenti misure della vita media 7.27b) Tn = 887.0 ± 2.08 = 14.78 ± 0.03m.

e (vedi

anche fig.

E istruttivo considerare l'evoluzione nel tempo della misura di Tn mostrata in fig. 7.27a. Come si vede, nelle successive misure diminuisce non solo l'errore, rna anche il valore medio. Fra la media delle misure ottenute prima degli anni '60 (~ 17 m) e il valor medio attuale la differenza e di 2 m ! In fig. 7.27c e riportata l'evoluzione nel tempo delle misure di geT / gF ottenute dallo studio del decadimento del neutrone.

7.7 Appendici 1200

213

------------

A

. " ~.

1150

~

"

1100 1050

Oi

."

.

~ 0.06

w

~

~ 0.04

0.02 O.OOO~-'--~----'-~.....I.-.-l,-----l-.L.....:~ Qo Energia cinetica (keV)

Fig. 8.1. Distribuzione dell'energia cinetica T = E - me dei (3- emessi dal trizio. N ell'inserto e mostrata in dettaglio la regione vicina al punta finale per due valori della massa del neutrino. !4)

coulornbiana fra l'elettrone e il nucleo residuo. N(E) si estende da Emin = 'me a Emax = Eo (se 'mv = 0); in corrispondenza l'energia cinetica dell'elettrone varia tra T min = 0 e

Eo e detto cornunernente "punto finale" in quanta rappresenta il rnassirno valore possibile per l'energia E dell'elettrone. Perche si abbia E = Emax = Eo occorre che l'elettrone prenda tutta l'energia disponibile alla coppia elettroneantineutrino (Ev = 0), ovvero che valga in generale 'mv = 0, e che per la particolare coppia presa in considerazione si abbia anche Tv = o. E bene ricordare che Eo, per un dato tipo di decadirnento, non e un valore assolutarnente costante: riscrivendo la (7.26), si ha

Eo varia quindi da evento a evento, a causa della dipendenza da TB (0 -s: TB -s: TEaX). Il valore dell'energia cinetica TB rilasciata al nucleo figlio e piccolo (vedi (7.25)), rna non trascurabile rispetto alla rnassa del neutrino 'm v , come gia detto a proposito del decadirnento (8.4) del trizio. La fluttuazione (jE o , evento per evento, del valore dell'energia del punto finale Eo e quindi rilevante nella deterrninazione sperirnentale della rnassa 'mv del neutrino. Siccorne il valore di 'mv e cornunque piccolo rispetto a Eo, l'andarnento di N(E) e influenzato dal valore di 'mv solo in prossirnita di Eo. L'andarnento

8.2 Decadimento del trizio

°

221

di N(E) per mu = e mu = 35 eV e mostrato in fig. 8.1; il val ore di mu e rappresentato dall'intervallo fra i punti finali delle due distribuzioni. I dati sperimentali sono spesso confrontati con la funzione di Kurie cosl definita: K(E) =

(8.7)

perche, per mu = 0, la (8.7) ha il semplice andamento lineare K(E) =

v?J (Eo -

E).

Se mu of. 0, K(E) e una retta per (Eo - E) » mu e decresce rapidamente a zero per E ;:::::: Eo - m u , con tangente verticale per E = Eo - mu (fig. 8.2).

Diagramma di Kurie

Fig. 8.2. Funzione di Kurie per massa del neutrino uguale a zero e diversa da zero.

In linea di principio, la procedura per determinare il val ore di mu consiste nel misurare la distribuzione energetica dei (3 e nell' adattare a questa la distribuzione teorica (8.6) (0 la (8.7)) con il metoda dei minimi quadrati, essendo C, Eo e m~ parametri liberi. Tuttavia la distribuzione (8.6) non e osservabile direttamente in quanto essa si riferisce al caso ideale di elettroni emessi da nuclei di trizio isolati che si trasformano in nuclei di elio isolati. N el caso reale

222

8 Misura della mass a del neutrino

pili semplice, i nuclei di trizio sono inseriti in atomi di mole cole biatomiche. 3 Questo fatto ha varie conseguenze sulla distribuzione energetica. Innanzitutto, un elettrone emesso in un decadimento risente del campo coulombiano nucleare solo fino a distanze corrispondenti alle orbite elettroniche, oltre Ie quali il potenziale, detto schermato, si annulla molto rapidamente con legge esponenziale:

R e una lunghezza dell'ordine del raggio atomico. Cio comporta una correzione al fattore F, peraltro di piccola entita. Ha invece conseguenze rilevanti sulla forma della spettro energetico il fatto che l'elettrone dell'atomo di elio che ha origine dal decadimento del trizio ha un'energia di Ie game nella stato fondamentale diversa da quella nell'atomo di trizio e, inoltre, puo essere in un livello eccitato. Evidentemente tutto questo avviene a scapito dell'energia cinetica disponibile per i (3. Per tener conto dell'eccitazione atomica, la (8.6) puo essere modificata nel seguente modo: F(E) = C

L Won F(Z, E) pE (Eon -

E) V(Eon - E)2 - m~,

(8.8)

n

dove ogni addenda rappresenta la distribuzione energetica dei (3 emeSSl m decadimenti con formazione di atomi di elio nel livello elettronico eccitato nesimo. Won e la probabilita di transizione a tale livello, Eon e l'energia mas sima disponibile per i (3 per Ie transizioni fra 10 stato fondamentale dell'atomo di trizio e gli stati dell'atomo di elio. Won e Eon sono stimabili teoricamente sulla base di argomenti di fisica atomica. In Appendice 8.10.1 sono date alcune valutazioni numeriche esemplificative di Eon; i relativi diagrammi di Kurie per massa del neutrino uguale a zero e diversa da zero sono mostrati in fig. 8.3a e b, rispettivamente. Nel caso di sorgenti di trizio molecolare la probabilita di eccitazione dei livelli elettronici e stata stimata del 30% con valor medio dell'energia di eccitazione di circa 13 eV. N el caso abituale di sorgenti costituite da trizio 3

Tenendo conto dei livelli atomici dell'atomo di He, si potrebbe verificare una particolare modalita di decadimento nella quale l'elettrone liberato dal trizio viene catturato dal nucleo di elio in un'orbita atomica; si avrebbe quindi la formazione di un atomo di elio e l'emissione di un antineutrino 3

3

H-----+ He+D.

Essendo la reazione con due soli corpi nella stato finale, gli antineutrini sarebbero monocromatici.

8.2

Decadimento del trizio

223

impiantato in un supporto inerte, nel quale atomi di trizio sostituiscono atomi d'idrogeno, una frazione dell'energia liberata nel decadimento viene spesa nell'eccitazione delle mole cole del materiale di supporto; per i materiali comunemente usati la probabilita di eccitazione e stata stimata del 40% con energia media di eccitazione di circa 19 eV. Vale a dire, nel 30 - 40 % dei casi i (3 hanno mediamente un'energia inferiore di 13 - 19 eV rispetto a quella di emissione dal nucleo e il difetto di energia e pamgonabile al valore cercato della massa del neutrino!

mv=O (a)

n=2 "

-

......

n=2

"- "-

--.;,,--- "

n=3

'\'"

n=3 '\'"

\ .... . ....."....... ..... .... .

""

•j

M1E

max

Fig. 8.3. Diagrammi di Kurie in prossimita del punta finale che illustrano l'effetto della formazione di atomi di 3 He prodotti dal decadimento del trizio. n = 1 riguarda la formazione di atomi di elio nella stato fondamentale e n = 2 e 3 in livelli eccitati. (a) considera il caso di massa del neutrino uguale a zero e (b) il caso di massa diversa da zero. Gli errori di misura non sana stati presi in considerazione. "Totale" indica la linea risultante dalla somma delle linee per n = 1, 2, 3. [8}

Poiche sia l'eccitazione dell,3 He sia la massa del neutrino diversa da zero danno luogo a un abbassamento di Eo, il trascurare il primo fenomeno nell'analisi dei dati condurrebbe a sopravvalutare il valore del quadrato della massa. Quindi la (8.8) e la distribuzione teorica che deve essere usata nell'analisi dei dati sperimentali per determinare il valore di mv.

224

8 Misura della mass a del neutrino

8.3 Spettrometro La misura della spettro f3 richiede una sorgente radioattiva, uno spettrometro e un rivelatore di elettroni. Una forma molto semplificata di spettrometro e rappresentata in fig. 8.4. Un fascetto di f3 collimato entro un angolo solido [2 viene immesso tramite un sistema di fenditure in una regione dove e presente un campo magnetico uniforme B. Se l'impulso p dei f3 e ortogonale a B, i f3 descrivono una traiettoria circolare di raggio R e incidono suI rivelatore se e soddisfatta la relazione P = eRB. Il dispositivo gode della proprieta che elettroni con la stessa velocita emessi in direzioni poco diverse ([2 piccolo) vengono focalizzati nella stesso punta del rivelatore. Utilizzando valori differenti del campo magnetico Bi e possibile selezionare elettroni con differenti valori dell'impulso Pi. Effettuando conteggi di uguale durata temporale per i differenti valori del campo magnetico e possibile costruire un istogramma che rappresenta un campionamento della distribuzione d'impulso.

t

alia pompa da vuoto

p=eRB

Fig. 8.4. Schema di spettrometro per la misura della spettro d'impulso dei (3 . .15 = sorgente, D = rivelatore. La figura mette in evidenza la dipendenza della dispersione dell'impulso .1p dall'accettanza angolare .1¢ e dall'estensione della sorgente .15.

Invece di selezionare l'impulso degli elettroni variando B, si puo selezionare la lora energia mantenendo B fisso a un valore opportunamente scelto e variando il val ore di una differenza di potenziale frenante L1 V, come mostrato in fig. 8.4. Hanno traiettoria di raggio R gli elettroni la cui energia cinetica E soddisfa alla relazione (eRB)2 = E _ eL1V. 2nLe

8.3 Spettrometro

225

Viene usata la relazione impulso-energia cinetica non relativistica 4 perche Emax rv 18 keV « me rv 500 keV. Effettuando conteggi di uguale durata temp orale per differenti valori L1 Vi, si ottiene un campionamento della spettro energetico.

Fig. 8.5. Schema di spettrometro adottato dal gruppo di Zurigo: (1) sorgente, (2) elettrodi per decelerare i (3, (3, 4) avvolgimenti percorsi da corrente, (5) rivelatore e (6,7) diaframmi. [8}

Nei casi pratici la sorgente e il rivelatore non sono puntiformi, rna hanno estensioni finite L1S e L1D e l'angolo solido non puo essere troppo piccolo. Da cio segue che suI rivelatore incidono elettroni con impulso variabile entro un intervallo L1p (energie entro L1E). Le caratteristiche della spettrometro che determinano la qualita della misura sono il potere risolutivo R = E/L1E (E e l'energia cinetica media e L1E la sua dispersione attorno a E) e la luminosita L = L1S (n / 47T) (prodotto dell'angolo solido accettato dallo spettrometro per la superficie della sorgente), caratteristiche fra loro contrastanti: normalmente una grande luminosita e ottenuta a scapito di un elevato potere risolutivo e viceversa; nei casi pratici ci si deve adattare a un ragionevole compromesso. La sorgente emette elettroni in modo isotropo. Per una buona risoluzione il fascio di elettroni immesso nella spettrometro deve essere il pili collimato possibile, in modo che la divergenza degli elettroni accettati sia la pili piccola possibile. Cio riduce la frequenza di conteggio, a scapito della significativita statistica della misura. Si tenga presente che la probabilita di decadimento nella regione vicina al punto finale Eo e molto piccola: assumendo l'vlv = 0, risulta che nell'intervallo (Eo -100 eV, Eo) essa e solo 3 .1O- 7 ! Per aumentare la frequenza occorre allentare la collimazione. Ai fini di ottenere un'elevata risoluzione e un basso fondo, negli spettrometri effettivamente utilizzati negli esperimenti si ricorre a particolari accorgimenti costruttivi che Ii rendono molto pili complessi del semplice dispositivo di fig. 8.4. Per esempio, nell'apparato rappresentato in forma schematica

4

Cia vale anche per l'eq.(8.12) e Ie seguenti.

226

8 Misura della mass a del neutrino

in fig. 8.5, si ricorre all'accorgimento di far percorrere agli elettroni un percorso tortuoso attraversante pili fenditure. 5

8.4 Risoluzione In generale in corrispondenza di un valore nominale E dell'energia di un (3, 10 spettrometro fornisce un valore E', pili 0 meno diverso da E a seconda della sua risoluzione. Questa e definita da una funzione R che rappresenta la distribuzione energetica misumta in corrispondenza di una sorgente di elettroni monoenergetici (vedi Appendice 8.10.2). R e una funzione dell'energia misurata E' e di quella primaria E. Se la sorgente, come nel caso d'interesse, emette elettroni con energia distribuita con continuita secondo la funzione F(E) (vedi eq. (8.8)), la distribuzione osservata e data dalla convoluzione fra R e F(E) (vedi Appendice 8.10.2):

FR(E)

=

R(E)

Q9

F(E)

=

J

R(E - E') F(E') dE'

(8.9)

si discosta da F(E) tanto meno quanta pili "stretta" e la funzione R. In prima approssimazione, la funzione R puo essere determinata sperimentalmente utilizzando gli elettroni monocromatici emessi per conversione interna da atomi nei quali e avvenuto il processo di cattura elettronica. In realta, gli elettroni di conversione interna non sono rigorosamente monocromatici, rna hanno una certa dispersione con una coda a basse energie dovuta a interazioni secondarie. Una possibile conseguenza della limitata risoluzione della spettrometro e che la distribuzione energetica si estenda oltre il valore finale Eo (vedi fig. 8.6).

:It chiaro che FR(E)

K(E)

mv #:0

rri v =0 O. Fig. 9.16c e l'immagine C-coniugata di fig. 9.16a; essa e ottenuta da quest'ultima sostituendo positroni a elettroni e antineutroni a neutroni. Campo magnetico e momento magnetico risultano invertiti rispetto a quelli di fig. 9.16a perche sono determinati dal mota di cariche positive. Poiche si tratta di emissione di positroni e risulta p . s < 0, la situazione non e fisica. Fig. 9.16d puo essere ottenuta 0 da fig. 9.16c per applicazione dell'operatore di parita F, 0 da fig. 9.16b per applicazione dell'operatore di coniugazione di carica C. Essa descrive il decadimento 5

Ricordiamo che il momento magnetico del neutrone e antiparallelo allo spin, quello dell'antineutrone e concorde.

9.6 Nurnero leptonico. Invarianza rispetto a CP

n -+

j5

269

+ e+ + v

che, per quanto osservato in precedenza, equivale a p

-+ n

+ e+ + v.

Anch'essa riguarda l'ernissione di positroni, rna ora p . s > 0 in accordo con Ie osservazioni sperirnentali. Ritroviarno, dunque, che Ie due situazioni fisiche osservate sono correlate fra loro dall'applicazione di CPo

(b )

(a)

8

s~t

.#""

e-lpe.

$ 8

8

s~t e+lpe. (c )

.#fi,

(d)

Fig. 9.16. Decadimento di neutroni polarizzati (analogo al decadimento di una sorgente polarizzata di 60Co). Fig. 9.16a mostra l'orientazione relativa prevalente del campo magnetico polarizzante B, della spin Sn e del momento magnetico I-t n di un neutrone che decade e dell'impulso Pe dell'elettrone emesso. Sotto l'azione di CF fig. 9.16a si trasforma in fig. 9.16d, che descrive il decadimento di un antineutrone 0 di un protone polarizzato.

270

9 Non conservazione della parita nel decadimento f3

Riconsidereremo questi risultati nel cap. 15 per uno studio pili approfondito delle caratteristiche dell'interazione debole.

9.7 Appendice - Asimmetria destra-sinistra e potenziale spin-orbita Consideriamo un fascio di elettroni non polarizzato incidente su un bersaglio situato nell'origine delle coordinate di un sistema di riferimento con l'asse z orientato nella direzione del fascio, come in fig. 9.17a. Se il potenziale che

x

z

s z

z 0

y

y P

[1

@ S

5

Z

L2

0

P

Y Fig. 9.17. Asimmetria connessa con l'interazione spin-orbita. a)Diffusione di una particella a un angolo (J nel piano xz. b) Diffusione simmetrica da parte di un pot enziale centrale. c) Diffusione asimmetrica da parte di un potenziale con un termine spin-orbita. d) Relazione Ira momento angolare e diffusione a sinistra e a destra.

9.7 Appendice - Asimmetria destra-sinistra e potenziale spin-orbita

271

descrive l'interazione e centrale (Vc(r) = Vc(r)), Ie particelle sono diffuse attorno all'asse z con simmetria cilindrica e l'ampiezza di diffusione, soluzione dell'equazione di Sch6dinger, dipende solo dall'angolo 8 e non da ¢. La probabilita che un elettrone sia diffuso nella direzione 8 entro un angolo solido dfl e proporzionale al modulo quadro dell'ampiezza

dP(8)

=

If(8)12 dfl.

Cio significa che la probabilita di diffusione nella direzione 8 nel piano zy con ¢ = +7r/2 e uguale a quella nello stesso piano con ¢ = -7r/2 (fig. 9.17b). Supponiamo ora che il fascio sia totalmente polarizzato trasversalmente alla direzione del mota e che 10 spin sia orientato come l'asse x (fig. 9.17a). Supponiamo inoltre che il potenziale d'interazione contenga un termine spinorbita, ossia (J·L (if; =

cos (7r,-/,) "2 - 'I'

,

dove a e la matrice di spin di Pauli e L = b x p e il momento angolare orbitale. Con riferimento al mota nel piano yz, L puo eSSere orientato nel verso dell'asse x, quindi dello spin, 0 in verso opposto. Quindi il potenziale non e centrale, perche non dipende solo da r rna anche dall'angolo fra 10 spin e il momento angolare, cioe da ¢, e gli elettroni non sono diffusi con simmetria cilindrica attorno all'asse z. Con riferimento a fig. 9.17d, diremo che essi sono deviati a sinistra Se ¢ = -7r /2, a destra Se ¢ = +7r /2. A seconda dell'orientamento di L il termine spin-orbit a del potenziale ha segni opposti, in corrispondenza dei quali si avranno due differenti ampiezze di diffusione. Vale a dire, la probabilita che gli elettroni siano deviati nella direzione 8 a sinistra nel piano yz (If(8, -7r/2)1 2) e diversa (per esempio maggiore come in fig. 9.17c dove 10 spin e orientato come Lex) da quella di eSSere deviati a destra (If( 8, +7r /2) 12). Si definisce asimmetria destra-sinistra il rapporto

A(8)

=

If(8,7r/2)1~ -If(8, -7r/2)1 2

.

If(8,7r/2)1 2 + If(8, -7r/2)1 2 Esso puo essere calcolato se il potenziale d'interazione e noto, e puo essere ricavato sperimentalmente dalla misura degli elettroni deviati entro un angolo solido Llfl nella direzione 8 sinistra e a destra: A (8) = LlND(8) - LlNs (8) . m LlND(8) + LlNs (8)

Dalla conOSCenza a priori di A(8) e dalla misura di Am(8) si puo ricavare il grado di polarizzazione P di un fascio. Infatti, se il fascio non e polarizzato al 100%, rna la sua polarizzazione e P, l'asimmetria misurata e

9 Non conservazione della parita nel decadimento f3

272

®

-PI

P2 Fig. 9.18. Invarianza della diffusione spin-orbita rispetto alia paritO,.

Nel caso che ci interessa, gli elettroni sono diffusi dal campo coulombiano del nucleo bersaglio. Il termine spin-orbita ha origine dall'interazione del momento magnetico J.1. = -(1/2)n,eT dell'elettrone con il campo magnetico B che si manifest a quando l'elettrone si muove con velocita v in un campo elettrostatico E. Il vettore induzione magnetica e dato dalla seguente espressione, con ovvio significato dei simboli,

B

=

2

(l/c )E x v

= -

1 1 aVe =----L mc 2 r

ar

2

(l/c )gradVe x v

=

2

1 aVe

P

r

Tn

-(l/c )--a r x r

=

.

L'energia d'interazione fra il momento magnetico e il campo magnetico

V

=

e

1 1 1 aVe 1 -J.1.' B = --n,(-, --)eT' L = --neT' LVso 2 2 mc r ar 2

e contiene il prodotto scalare fra spin e momento angolare orbitale. Sottolineiamo che (5. L e una quantita scalare, a differenza di p. I che caratterizza l'esperimento del 60Co, che e uno pseudoscalare. Essendo il potenziale d'interazione uno scalare, la parita e conservata e l'esperimento di diffusione e invariante per riflessione speculare come e messo in evidenza graficamente in fig. 9.18. La situazione speculare e realizzabile in lab oratorio invertendo il verso della spin e facendo incidere suI bersaglio particelle provenienti da destra invece che da sinistra.

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10

Teoria di Dirac

10.1 Introduzione Lo studio del decadimento (3 ci ha reso familiari coppie di fermioni e antifermioni relativistici (e- e+, vD; v / c rv 1) Ie cui caratteristiche rilevate sperimentalmente sono riassunte in tab. 10.1. Tabella 10.1.

particelle massa carica elettrica spin elicita elicita media

anti particelle

e

v

e+

D

me

0 0

me

0 0

-e 1/2

1/2 -1

-vic

+e 1/2

1/2 +1

+v/c

I valori di massa ed elicita, soprattutto per quanto si riferisce al neutrino, possono scostarsi dai valori riportati in tabella a causa degli errori sperimentali. Sebbene tali scostamenti possano avere significative conseguenze fisiche, delle quali ci occuperemo in successivi capitoli, ai fini di questa capitolo considereremo questi valori come i pili attendibili. Qui di seguito ci proponiamo di mostrare come Ie differenti osservazioni sperimentali siano in felice corrispondenza con quanto previsto dalla teoria relativistica di Dirac del mota di particelle libere di spin 1/2.

10.2 Equazione di Schrodinger Richiamiamo alcuni elementi di meccanica quantistica non relativistica.

276

10 Teoria di Dirac

L'equazione del moto di una particella Libera di massa m effettuando nella relazione classica impulso-energia p2 E=-

e ottenibile (10.1)

2m

la sostituzione p

--+ -iliV,

(10.2)

e applicando gli operatori a una funzione complessa l}/(x, t). Posto Ii = c = 1, si ha . al}/ 1 2 z-+-\7l}/=O. (10.3) at 2m Spesso si ha a che fare con particelle in moto, il cui numero si conserva nel tempo. La legge di conservazione classica e espressa dall'equazione di continuita

ap

(10.4)

-+V·J=O at '

dove p e la densita di volume delle particelle e J e la densita di corrente. L'equivalente quantistico si ottiene sottraendo dalla (10.3) moltiplicata per l}/* la sua complessa coniugata moltiplicata per l}/; ossia

a(l}/l}/*) + V .

at

[_~ (l}/*Vl}/ -l}/Vl}/*)] 2m

= O.

(10.5)

Dal confronto con la (10.4) si ricavano Ie definizioni quantistiche di p e J p = l}/l}/* = 1l}/1 2

,

J = __ 1 (l}/*Vl}/ -l}/Vl}/*) . 2m

(10.6) (10.7)

p e interpretata come una densita di probabilita. Per esempio, supponiamo che la soluzione della (10.3) sia l}/ = N ei(p.x-Et) .

Risulta pdV rappresenta la probabilita di trovare una particella nel volume element are dV; J ds rappresenta il numero di particelle che nell'unita di tempo escono dal volume dV attraverso la superficie element are dS; con ovvio significato dei simboli, si puo scrivere:

10.4 Particelle e antiparticelle

277

10.3 Equazione relativistica di Klein-Gordon Per ottenere un'equazione che descriva il moto di una particella libera relativistica, si puo procedere in modo analogo a quello seguito per costruire l'equazione di Schrodinger. Eseguiamo nella relazione relativistica impulso energia (10.8) la sostituzione (10.2) e applichiamo a una funzione ¢ gli operatori Si ottiene l'equazione di Klein-Gordon

COS!

ottenuti.

(10.9) Moltiplicando la (10.9) per -i¢* e la sua complessa coniugata peri¢ e sommando si ottiene la relazione

J

p

(10.10)

dove Ie quantita entro parentesi quadra definiscono, per analogia con la (10.1), densita di probabilita e densita di corrente.

lOA Particelle e antiparticelle La (10.9) ammette soluzione della forma (onda piana)

¢= N

ei(p.a;-Et)

(10.11)

per la quale risulta (10.12) La (10.11) rappresenta la funzione d'onda di una particella in mota libero e quindi con energia positiva. Tuttavia, si ha una soluzione della (10.9) anche per una valore negativo dell'energia. Cia e conseguenza dell'equazione di partenza (10.8) in cui l'energia compare al quadrato, da cui segue

E=±vp2+m2 =±IEI·

(10.13)

Per la (10.12) un'energia negativa comport a anche una densita negativa. Che particelle in moto libero abbiano energia e densita negative appare del tutto privo di significato, COS! che la soluzione di energia negativa appare, a prima vista, come un fatto puramente matematico privo di rilevanza fisica. E tuttavia possibile stabilire una corrispondenza fra questa soluzione e quantita osservabili COS! da renderla significativa e ricca di implicazioni in senso fisico.

278

10 Teoria di Dirac

Supponiamo che la particella considerata sia un elettrone con energia positiva e carica elettrica -e; allora la densita p e la densita di corrente J possono essere trasformate in densita di carica elettrica e densita di corrente elettrica moltiplicando la (10.12) per -e: (10.14) Analogamente, nel caso di positroni di carica +e si ha (10.15) Le (10.15) si ottengono dalle (10.14) anche se, invece di cambiare il segno della carica elettrica, si cambia segno a energia e impulso: E ---+ - E, p ---+ - p. Cosl il segno ± dell'energia e dell'impulso puo essere assunto come carattere distintivo di elettroni e positroni, invece del segno della carica elettrica. Poiche i positroni sono Ie antiparticelle degli elettroni, possiamo generalizzare quanta sopra assumendo che 10 stato di energia e impulso positivi identifichi una particella, quello di energia e impulso negativi identifichi la corrispondente antiparticella. Abbiamo cosl attribuito significato fisico in modo non convenzionale al valore negativo dell'energia. D'altra parte, cambiare segno a energia e impulso equivale a invertire il tempo, ossia a effettuare Ie sostituzioni t ---+ -t, p ---+ -p: t--+ -t p--+-p

ei( -p'

329

I E

Fig. 12.5. Andamento della Junzione J(E). La curva continua e il prodotto della distribuzione di Maxwell (curva tratteggiata) e della Junzione di Gamow per la trasparenza della barriera coulombiana (curva a punto-linea). La Junzione J(E) ha il suo massimo a un'energia piu elevata di kT, valore per cui e massima la distribuzione di Maxwell.

12.3.4 Luminosita del Sole Siamo ora in grado di stimare la luminosita del Sole, in modo da poter confront are il valore stimato con quello osservato sperimentalmente. A questa scopo calcoliamo il numero di deutoni prodotti nell'unita di tempo nelle collisioni fra N protoni contenuti in un volume fl alla temperatura T, che indichiamo con dNd/dt. La velocita di formazione del deuterio per una coppia di protoni in un volume fl alla temperatura T = 1.5.10 7 K e dato dal prodotto della (12.13) e della (12.18) (12.20) N protoni contenuti in un volume fl possono combinarsi in un numero di coppie (12.21) npp = N(N - 1)/2 rv N 2 /2. Dire coppie di protoni e come dire numero di collisioni protone-protone. Pertanto la velocita di produzione dei deutoni e

dNd N2 = \T)VJ. dt 2

-

Il volume solare interessato ai fenomeni termonucleari raggio circa 1/4 del raggio solare, ossia

(12.22)

e dato da una sfera di

330

12 Energia solare

(12.23) La densita media di protoni in tale volume e data dal rapporto tra la densita media della materia sol are nella regione centrale (:::::: 100 g I cm 3 ) e la massa del prot one 100g· cm- 3 25 3 (12.24) np:::::: 24 ::::::6.25·10 plcm. 1.6·10- g Il numero totale di protoni in tale volume

e (12.25)

Quindi il numero di deutoni prodotti al secondo per una temperatura della regione centrale del Sole T = 1.5· 10 7 K in base alla (12.22) e 138 2 .10 114 . .2. 10- 45 2 . 0.22 . 10 32

::::::

0.86 . 10 38

s-l

(12.26)

a cui corrisponde una frequenza di produzione di 4 He dNHe = ~ dNd :::::: 0.43.10 38 8- 1 dt 2 dt

.

Poiche la formazione di un nucleo di 4 He libera 26. 72lvl e V di energia elettromagnetica (vedi tab. 12.2), l'energia totale liberata al secondo (luminosita) L

=

26.72· (dNHeldt)

=

1.15.10 39 MeVis.

(12.27)

Il valore calcolato e vicino a quello sperimentale (2.4· 10 39 lvleVls, vedi tab. 12.1) e questa conferma la bonta del modello. Non dobbiamo, tuttavia, sopravvalutare il significato di questa concordanza, che e in parte casuale, tenuto conto di una certa arbitrarieta nella scelta dei valori dei parametri, delle approssimazioni, della grande variabilita con la temperatura della trasparenza della barriera coulombiana e del fatto che si e tenuto conto solo dell'energia prodotta nella catena pp1. Riteniamoci tuttavia soddisfatti di avere ottenuto l'ordine di grandezza corretto. Se tutto l'idrogeno del Sole contribuisse alla formazione di 4 He, l'energia tot ale liberata sarebbe data approssimativamente dall'energia liberata nella formazione di un nucleo di elio moltiplicata per il numero di nuclei di elio prodotti (di massa circa uguale a 4 masse protoniche):

La durata del Sole sarebbe quindi ~ E _ 8.10 57 MeV ~ 18 ~ 9 t~ L -2.4.1039MeVIs~3.3.10 8~100·10 a,

12.4 Cenni di nucleosintesi

331

valore uguale a oltre 20 volte l'eta attuale del Sole (vedi tab. 12.1). In realta ci si attende che solo 1/10 circa dell'idrogeno dia origine a 4 H e perche la temperatura delle regione esterna del Sole e troppo bassa e la struttura del Sole cambia notevolmente quando l'idrogeno della regione centrale e prossimo all'esaurimento. Pertanto la durata del Sole si riduce a circa 10 milioni di anni, il doppio dell'eta attuale.

12.4 Cenni di nucleosintesi 12.4.1 Introduzione Nei par. 12.2 e 12.3 abbiamo mostrato come da un gas di soli pmtoni per effetto combinato dell'attrazione gravitazionale, della repulsione coulombiana e delle interazioni forte e debole possano realizzarsi Ie condizioni per la fusione di cop pie di protoni in deutoni, di coppie protone-deutone in 3 He, di cop pie 3 H e - 3 He in 4 H e e cos1 via con ritmo costante: questa catena di reazioni e un esempio di processo di nucleosintesi, cioe di formazione di nuclei a partire dai costituenti elementari di essi. Pertanto il Sole, COS! come Ie altre stelle, e un laboratorio per la creazione di nuclei atomici. 12.4.2 Cenni sull'evoluzione delle stelle In seguito ai processi di fusione la composizione delle stelle e in continua evoluzione con diminuzione della quantita di nuclei leggeri e aumento di nuclei via via pili pesanti; la teoria prevede che l'evoluzione avvenga attraverso processi iterativi e che stelle di massa diversa terminino la loro esistenza in modi diversi, secondo modalita a cui accenniamo molto sommariamente. Quando la maggior parte dei protoni nella regione centrale di una stella si e trasformata in 4 H e, la produzione di energia per fusione decresce rapidamente COS! che la temperatura tende a diminuire a causa dell'irraggiamento; allora il nucleo della stella si contrae a causa della compressione gravitazionale non contrastata dalla pressione termica e cia fa sl che la temperatura riprenda a salire. Quando essa raggiunge 108 K circa (superiore alla temperatura necessaria per la fusione dei protoni) hanno luogo i processi di fusione di nuclei di 4 He con nuova liberazione di energia. Le reazioni pili probabili sono:

4He + 4He ---+ 8 Be, 4He+ 8 Be---+

12 C+"

4He +12 C ---+ 16 0 +,. Esauritosi 1'4 He, nelle stelle aventi una massa piccola (per esempio, dell'ordine di quella del Sole) i processi di fusione cessano e la luminosita della stella decresce gradualmente fino al completo esaurimento dell'energia gravitazionale.

332

12 Energia solare

Invece nelle stelle di grande massa e possibile una nuova contrazione gravitazionale con conseguente innalzamento della temperatura. A circa 10 9 K diventano possibili fusioni di 12C: 12C

+ 12C -+ -+ -+ -+

+ 23 N a + p 23 !vIg + n 24 !vI9 + I 20 Ne

Q

;::::::

50%

;:::::: 50% rara molto rara.

A temperature ancora pili elevate diviene possibile la fusione di nuclei di 16 0 e cosl via. La liberazione di energia per fusione cessa quando nella regione centrale sono presenti solo nuclei con A = 56 (Fe e Ni, vedi fig. 12.6). A questa punta la contrazione gravitazionale non viene pili contrastata dalla pressione termica e, dipendentemente dalla massa della stella, possono intervenire fenomeni catastrofici che in tempi brevi causano l'esplosione della stella.

Fig. 12.6. Struttura interna di una stella alla fine dell'evoluzione [6}

12.4.3 Nuclei presenti suI Sole e loro origine

L'analisi della spettro di radiazione emesso dalla superficie solare ha permesso di stabilire che nella zona esterna del Sole sono presenti praticamente tutti i nuclei fino al Pb, cioe tutti i nuclei stabili a noi noti, anche se idrogeno ed elio sono di gran lunga i pili abbondanti. Come mostrato in fig. 12.7, l'abbondanza degli elementi e caratterizzata da picchi e gobbe, che riflettono particolari modalita di formazione dei nuclei, come cercheremo di spiegare qualitativamente nei successivi paragrafi.

12.4 Cenni di nucleosintesi

333

Sulla base di quanta detto nel precedente paragrafo, solo i nuclei leggeri con A < 16 (quali quelli appartenenti alla catena pp e al ciclo eNG) possono essere stati prodotti dai processi di fusione nel nocciolo del Sole. La presenza dei nuclei pili pesanti deve essere attribuita ad altri meccanismi. In primo luogo al fatto che il Sole ha avuto origine, verosimilmente, dall'esplosione di una stella di grande massa alla fine della sua esistenza. Come abbiamo gia detto, su una stella di questa tipo possono formarsi per fusione nuclei con A fino a 56, che possono quindi essere presenti nella materia primigenia del Sole. Secondariamente, nelle stelle, sia nella fase stazionaria che durante il collasso finale, vengono emessi neutroni che, assorbiti dai nuclei preesistenti, possono dar luogo a nuclei pili pesanti. Trascurando altri possibili fenomeni, dedicheremo il seguito di questa paragrafo a un'interpretazione qualitativa delle abbondanze dei nuclei suI Sole prendendo in considerazione, per semplicita, solamente i processi di fusione e di assorbimento di neutroni e di protoni.

220

Fig. 12.7. Abbondanze degli elementi nel Sole in junzione del numero atomico A. La distribuzione e normalizzata ponendo uguale a 106 I'abbondanza del silicio. Sono messi in evidenza gli elementi con numeri magici di neutroni (N = 50, 82, 126). I nuclei da He a ea hanno A = 4n, n = 1,2,3 ... [ll}

334

12 Energia solare

< 56

12.4.4 Formazione dei nuclei con A

L'abbondanza suI Sole dei nuclei leggeri e spiegabile mediante il fenomeno della fusione. A questo scopo richiamiamo l'attenzione sull'andamento dell'energia di legame per nucleone B / A in funzione di A riportato in fig. 12.8. 9 8

V

7

.....

f.-"

rr.t"

.. ,

..

~

~

t--

.-

J

«6 Q:I --II

-------

IV

""-5

4

f--

3 2

I

o

4 8 12162024 30

60 90 120 mass number (A)

150

180

210

240

Fig. 12.8. Energia di legame per nucleone B / A in Junzione di A per i nuclei stabili.

L'energia di legame per nucleone B / A cresce in modo rilevante, da 1 a 8.5 !vIe V / A, da A = 2 fino ad A rv 56, dove raggiunge il suo massimo, per decrescere poi lievemente fino a 7.5 !vI eV / A per A rv 240. La crescita per A < 56 e caratterizzata da un andamento irregolare con mas simi per A = 4n (n = 1,2,3 ... ). Questi nuclei sono particolarmente stabili perche sono pari-pari con Z = N. Nuclei leggeri possono fondere per form are nuclei pili pesanti con A .-::: 56 con liberazione di energia; infatti per essi vale la relazione

Q

=

M(AI)C 2 + M(A2)C 2 - M(A3

=

AI(B3 - B I ) + A2(B3 - B 2) > 0,

=

Al

+ A2)C2 =

dove gli indici 1, 2 e 3 indicano i due nuclei iniziali e quello finale. Ripetute fusioni possono portare alla formazione di nuclei fino ad A rv 56, rna non di nuclei pili pesanti in quanto la disuguaglianza precedente non e soddisfatta. Cia premesso, consideriamo la regione di fig. 12.7 con A < 56. Si vede che l'abbondanza ha picchi in corrispondenza dei nuclei pili stabili con A = 4n come in fig. 12.8. Manca il picco del ~Be perche questa nucleo e instabile per

12.4 Cenni di nucleosintesi

335

decadimento in 20:. L'altezza dei picchi e mediamente decrescente, poiche la probabilita di fusione decresce con Z a causa della barriera repulsiva coulombiana. Risulta pero particolarmente elevato il picco del Fe: cio e dovuto al fatto che il Fe e elemento di accumulazione per tutti i nuclei pili leggeri soggetti a fusione rna non puo trasformarsi per fusione in nuclei pili pesanti. 12.4.5 Nucleosintesi e materia organica

La sezione d'urto d'interazione di due nuclei assume valori particolarmente elevati per valori dell'energia di collisione in corrispondenza dei quali il nucleo risultante dalla loro fusione viene a trovarsi in uno stato eccitato; cio si riflette nella presenza di massimi nell'andamento della sezione d'urto in funzione dell'energia. Si suole dire che l'interazione e la sua sezione d'urto hanno carattere risonante. Questa modalita di fusione riguarda, in particolare, il 12C, il pili leggero dei tre elementi che, assieme all'idrogeno, sono costituenti fondamentale degli esseri viventi (carbonio, azoto e ossigeno). Coppie di particelle 0: possono fondere in nuclei di 8 Be nella stato fondamentale, per la cui formazione e richiesta un'energia di soli 92 keV. Come si e gia detto, il 8 Be e instabile e con un tempo di dimezzamento di 2 . 10- 16 s decade in due 0:. Nonostante il piccolo tempo di dimezzamento, c'e una probabilita relativamente elevata che il 8 Be catturi una terza particella 0: perche venga a formarsi un nucleo di carbonio nella stato eccitato con energia di 7.654NleV 2C*). In fig. 12.9 sono riportati i livelli energetici del sistema di 30:, di 0: +8 Be e del 12C (al riguardo si veda anche tab. 5.1). Il sistema 0: +8 Be ha un'energia solo 92 keV pili elevata di 30: e il 12 C solo 288 keV pili elevata di 0: +8 Be. Quindi e sufficiente che l'ambiente fornisca un'energia di 380 keV perche in un gas di particelle 0: possa formarsi 12C*. Questa condizione e soddisfatta per una temperatura media della regione centrale del Sole di rv 2 . 108 K.

e

30.

II

12

a. + 8 Be

C* 7.654 MeV

I

I

Y

4.439 MeV

Fig. 12.9. Livelli energetici di differenti combinazioni di 3 particelle a.

336

12 Energia solare

La maggior parte dei nuclei di 12C* si dissocia in 30;, rna una frazione non trascurabile (0.04%) decade, prevalentemente nella stato eccitato di energia 4.4391'vl eVe successivamente nella stato fondamentale. Questa frazione e sufficiente per rendere ragione dell'abbondanza di 12C osservata nell'universo. La conseguente formazione di 16 0 per fusione di 0; e 12C avviene senza fenomeni di risonanza. 12C e 16 0 sono i pili abbondanti nuclei leggeri prodotti dalla fusione di particelle 0; (vedi fig. 12.7). Essendo essi essenziali nella costi tuzione della materia organica, e presumibile che, senza il fenomeno dell'assorbimento risonante sopra descritto, l'evoluzione biologica dell'universo sarebbe stata completamente diversa. :It interessante ricordare che l'assorbimento risonante e stato ipotizzato (F. Hoyle, 1953) prima dell'osservazione sperimentale dellivello eccitato del 12C. 12.4.6 Formazione dei nuclei pesanti

Come abbiamo gia anticipato, la formazione di nuclei con A > 56 puo essere spiegata mediante processi di assorbimento di neutroni e di protoni da parte di nuclei con A < 56. L'assorbimento di neutroni produce nuclei con eccesso di neutroni che, essendo instabili per decadimento j3-, si trasformano in isobari stabili con Z pili elevato; a loro volta, questi possono assorbire neutroni, decadere j3-, ecc. Facciamo presente che l'assorbimento di neutroni e un processo poco probabile per i nuclei molto stabili costituiti da numeri magici di protoni e neutroni. Inoltre l'assorbimento di neutroni gioca un ruo10 pili rilevante di quello dei protoni perche e assente la barriera repulsiva coulombiana. La distribuzione di abbondanza per A > 56 ha un andamento decrescente con due picchi in corrispondenza di nuclei con numero magico di neutroni a~8 Ba 82 e §8 8 Pb 126 ) preceduti da gobbe. Una ragionevole spiegazione di questa struttura e fondata sull'ipotesi che la materia stellare sia investita da Russi di neutroni di differenti intensita. Prendiamo in considerazione, molto schematicamente, i due casi estremi di nuclei prodotti da un Russo di neutroni piccolo (detti processi lenti 0 processi s, dall'inglese slow) e da un Russo grande (detti processi rapidi 0 processi T). a) Un Russo di neutroni piccolo puo essere prodotto in reazioni secondarie che accompagnano i normali processi di fusione. Per esempio, una possibile sorgente di neutroni e la seguente catena di reazioni, che ha origine dall'azoto che si forma nel ciclo CNO: 1iN+o;--+lgF+, 19F --+

1~0

1~0

+ e+ + z;

+ 0; --+ I6N e +,

I6Ne + 0; --+I~ Mg + n

12.4 Cenni di nucleosintesi

337

E stato stimato che 1 g di materia sol are puo fornire tramite queste reazioni 10 21 neutroni, quantita sufficiente per rendere ragione delle abbondanze osservate. Supponiamo che il Russo di neutroni sia COS! piccolo, che la probabilita di assorbimento sia mediamente pili piccola della probabilita del conseguente decadimento (3-. Per fissare Ie idee, supponiamo che un nucleo stabile (Z, N) possa catturare al pili 1 0 2 neutroni prima di decadere (3- e divenire un nucleo con Z' = Z + 1; questo, a sua volta, puo assorbire neutroni finche non diventa instabile, decadere (3- e trasformarsi in un nucleo con Z" = Z + 2 e COS! via. Il punto rappresentativo nel piano (N, Z) di fig. 12.10 si muove lungo la linea spezzata situata nella regione di mas sima stabilita (vedi fig. 12.11). Il processo puo proseguire finche il valore finale di Z 0 di N non e magico. A questa punta il processo di accrescimento di A si arresta perche i nuclei con numeri magici di nucleoni hanno bassa probabilita di assorbire neutroni (vedi fig. 12.12). Poiche la formazione di tali nuclei e pili probabile della loro trasformazione, essi sono elementi di accumulazione: cia da ragione dei picchi osservati in fig. 12.7 in corrispondenza del Ba e del Pb. b) I nuclei stabili non appartenenti alla linea continua di fig. 12.10 (nuclei "isolati") non sono producibili con il processo descritto in a). Essi sono ottenibili supponendo che si verifichino Russi di neutroni COS! elevati, che un nucleo iniziale (Z, N) possa assorbire rapidamente pili neutroni, generando un nucleo sensibilmente lantana dalla linea di stabilita prima di decadere (3- (i nuclei COS! generati si accumulano nelle regioni tratteggiate di fig. 12.10). Grandi Russi di neutroni possono essere prodotti nella fase di collasso del nucleo di ferro di stelle di grande massa, da cui traggono origine Ie stelle di neutroni. 2 Il processo di assorbimento coinvolge con bassa probabilita, ovviamente, i nuclei magici e negli altri nuclei l'arricchimento di neutroni puo proseguire solo finche il numero tot ale di neutroni e inferiore a un numero magico. I nuclei arricchiti subiscono una successione di decadimenti (3- che li trasforma in nuclei stabili, fra i quali anche i nuclei isolati, con accumulo di nuclei stabili per valori di N di poco inferiori ai valori magici: cia spiega Ie gobbe che precedono i picchi del Ba e del Pb (fig. 12.7). Consideriamo, per esempio, i nuclei con N < 82. Essi assorbono neutroni fino a raggiungere il valore N = 82, in corrispondenza del quale l'assorbimento si riduce drasticamente. Questi nuclei hanno un numero di protoni inferiore a quello dei nuclei stabili con N = 82, ossia inferiore a Z ~ 65 e per successivi decadimenti (3- si trasformano in isobari stabili con preferenza per i nuclei con Z = 50. I nuclei stabili con Z = 50 hanno un numero di neutroni N ~ 70, 2

I processi r sono stati ottenuti in laboratorio mediante l'irraggiamento di nuclei pili leggeri con elevati fiussi di neutroni. Particolarmente significativa al riguardo e la formazioni di nuclei di fermio (Fm, Z = 100) per assorbimento di 17 neutroni da parte di nuclei di uranio (A = 238, Z = 92) e successivi decadimenti beta. [33]

338

12 Energia solare

quindi un numero di nucleoni A :::::: 120. Questo valore e di poco inferiore al valore di A :::::: 128 in corrispondenza del quale appare una gobba nel diagramma di fig. 12.7.

100

Z 90 80 70 60 50 40

2040

50

60

70

80

90

100

110

120

130

140

150

160

170

180

190

N

Fig. 12.10. Formazione dei nuclei con A > 56 per assorbimento di neutroni. I nuclei collegati dalla linea continua nella regione di mas sima stabilita sono prodotti per assorbimento di neutroni di piccolo fiusso. I nuclei isolati sotto la linea precedente sonG prodotti per effetto dell 'assorbimento di fiussi intensi di neutroni. Per maggiori dettagli vedere fig. 12.11. Le bande tratteggiate indicano Ie regioni di accumulazione di nuclei instabili molto ricchi di neutroni. [11J

c) Anche i processi di assorbimento di protoni (detti processi p) sono da collegarsi con la fase finale delle stelle. L'assorbimento di protoni da origine a nuclei ricchi di protoni non producibili mediante i processi s e r; i meccanismi principali sono reazioni di cattura del tipo (p, I) e (p, n) e reazioni di fotodissociazione (vedi fig. 12.11). Uno studio dell'abbondanza dei nuclei suI Sole ha portato a individuare la presenza di nuclei pesanti prevalentemente prodotti da processi s (per esempio, Ba, La, Cs e Pb, vedi fig. 12.13) e di nuclei prevalentemente prodotti da processi r (per esempio, Eu, Gd, Dy, Th e U).

12.4 Cenni di nucleosintesi

t

339

D [] ',r

',r

neutroni---__

Fig. 12.11. Sezione della carta dei nuclei che mostra la Jormazione di nuclei tramite soli processi s, soli processi r, processi in parte s e in parte r. [12}

Z=82

N=50

N-126

10' '---j.l.0--'--J"'O--'--4-'=O---'---S='=o--'--.J 60,---'--_)L O--"=--8='=0---'------:'90

numero atomico Z

Fig. 12.12. Andamento della sezione d'urto di assorbimento di neutroni di energia ~ 30 keV da parte dei nuclei in Junzione di Z. Sono evidenti i minimi nelle regioni isotopiche che includono nuclei con numeri magici di neutroni e protoni (Z, N = 28, 50,82, 126; vedi fig. 1.1). [12}

340

12 Energia solare

1.0

....

Th

lr

Eu

TJIo

0.8

Sb Cs

Rh

Br As

u

Ag e

X

.(ii

en

(j)

u

2 0.6 0.

-0 (j)

C

0

·N ell ....

0.4

u...

0.2

Pb

Ce BCi

Zr Sr

0.0 30

40

50

60

70

80

90

Z Fig. 12.13. Contributo dei processi r alla produzione di nuclei sui Sole. Sono indicati con i nomi degli elementi quelli per i quali il contributo e superiore al70 % 0 inferiore al 30%. [32)

12.5 Collasso della supernova SN1987 A e limite superiore della massa del neutrino 12.5.1 Introduzione In questa paragrafo viene fatto un breve cenno alla fase terminale delle stelle di grande massa perche, dallo studio della distribuzione energetica e temporale dei neutrini emessi da una di esse, e stato ricavato un limite superiore per la massa del neutrino elettronico sulla base di semplici considerazioni cinematiche, senza Ie complicazioni insite nell'analisi della spettro del trizio discusse nel cap. 8. Tuttavia, il pregio della semplicita ha come contropartita la necessita di dover ricorrere a qualche ipotesi sulle modalita di emissione dei neutrini. Peraltro, l'ipotesi che verra utilizzata nel successivo paragrafo e estremamente semplice. Il risultato e in accordo con i pili attendibili fra quelli ottenuti nei complicati esperimenti con il trizio. Come si e accennato nel par. 12.4.2, la teoria dell'evoluzione delle stelle prevede che esse terminino la loro esistenza in modi diversi dipendenti dalla

12.5 Collasso della supernova SN1987 A e limite superiore della massa del neutrino

loro massa. In particolare, ci si attende che una stella di grande massa (almeno 3 volte la massa del Sole), una volta che la sua regione centrale si sia trasformata in un ammasso di nuclei di Fe e Ni, sia soggetta a un processo catastrofico che termina con l'esplosione della strato esterno della stella e l'implosione del suo nocciolo che si trasforma in una stella di neutroni 0 in un buco nero. Le manifestazioni pili vistose di questi eventi sono un temporaneo ed enorme aumento della luminosita della stella, che puo raggiungere anche miliardi di volte quell a del Sole (da cui la denominazione di "supernova") e l'emissione di neutrini elettronici generati dalla reazione di assorbimento

seguita da un'emissione di neutrini e antineutrini prodotti dalla reazione di annichilazione e- + e+ ---+ v + D. La teoria prevede che in un breve intervallo di tempo, della durata di qualche secondo, venga emessa un'enorme quantita di energia gravitazionale tramite l'emissione di circa 1058 neutrini di energia dell'ordine di 10 - 20NJeV. Una conferma di queste ipotesi fu fornita da una serie di avvenimenti accaduti il 23 e 24 febbraio 1987. Alle 2h 52m 36s a.m. del 23 febbraio un apparato sperimentale installato sotto il Monte Bianco (LSD), costituito da un rivelatore a scintillatore liquido, rivelo cinque eventi distribuiti in 78 attribuibili alle reazioni Ve + e- ---+ Ve + e- , (12.28) De

+ p ---+ n + e+ ,

(12.29)

con energia dei neutrini fra 7 e 11 NJeV (con un'incertezza del 20%)3. Il primo di questi eventi risulto essere quasi simultaneo (in ritardo di 1.4 s) con un segnale particolarmente energetico captato da un'antenna dedicata allo studio delle onde gravitazionali installata aRoma. Alle 7h 35m 35s a.m. della stesso giorno un apparato sperimentale installato in una miniera in Giappone (K2), costituito da un rivelatore ad acqua per luce Cerenkov, rivelo 8 eventi compatibili con Ie reazioni (12.28) e (12.29) in 2 s seguiti, dopo una pausa di 7 s, da altri 3 eventi in 3 s. L'energia degli elettroni e dei positroni fu valutata fra 7 e 35 1\;1 eV. Quasi simultaneamente, alle 7h 35m 41s, un apparato sperimentale installato in una miniera degli Stati Uniti (1MB), pure costituito da un rivelatore ad acqua, rivelo 8 eventi in 6 s (con energia liberata fra 20 e 40 NJ eV). I neutrini rivelati in questi due esperimenti furono riconosciuti come provenienti dalla Grande Nebulosa di Magellano. Infine, un apparato installato in Russia alle 7h 36m 068 rivelo 3 eventi in 5.7 s con energia superiore a 12.71\;1eV. 3

Oltre che dall'emissione del positrone, la reazione (12.29) e identificabile dalla reazione secondaria n + p -+ d + I dove i I di energia uguale 2.2 !vIe V sono emessi con un ritardo medio di circa 170 /-i s.

341

342

12 Energia solare

l°fH E.

tj

2h 52m 36s - '

5

K2

•+ 7h 35m 36s -

0

E.

5

10

:r,r~ ~' :;~, 1

7h35m 41 s - - 0

5

Fig. 12.14. Distibuzione temporale ed energetica degli eventi osservati con gli apparati sperimentali LSD, K2 e IMB. Ee e l'energia in MeV dei positroni 0 degli elettroni della reazione {12.28} e {12.29}.

La distribuzione nel tempo dei positroni rivelati dai primi tre apparati e la loro energia SOnO rappresentati in fig. 12.14. Alle 5h 31m 12s del 24 febbraio fu avvistato il bagliore di Una supernova (indicata COn la sigla SN19S7 A) nella Grande Nebulosa di Magellano e, sulla base delle teorie correnti sull'evoluzione delle stelle, Ie caratteristiche dei neutrini osservati (provenienza, flusso, energia e durata delle registrazioni) furono giudicate compatibili COn essa. 4 Va rilevato che l'osservazione di neutrini provenienti da una supernova e Un evento intrinsecamente molto raro e che l'emissione dei neutrini dalla supernova SN19S7 A e l'unico evento di questa genere osservato. Cia e dovuto al fatto che il flusso di neutrini da una supernova e rivelabile sperimentalmente (cioe il numero di neutrini per cm 2 e per s sulla Terra e sufficientemente elevato) solo se ha avuto origine a una distanza dalla Terra nOn troppo grande, in pratica entro la nostra Galassia, ed e storicamente documentato che negli ultimi duemila anni nella nostra Galassia SOnO state osservate solo S supernovae prima della SN19S7 A; l'ultima nel 1604!5

4

5

Esula dallo scopo della presente esposizione una discussione sulle caratteristiche particolari degli apparati, sulla correlazione fra Ie differenti misure e sui problemi interpretativi dei dati (per esempio, sulle oltre 4 ore che separano gli eventi registrati dall'apparato sotto il Monte Bianco e dagli altri apparati). II numero di esplosioni di supernovae osservate e probabilmente inferiore al numero di quelle verificatesi. Secondo stime teoriche dovrebbe esserci in media l'esplosione di una supernova ogni 25 - 50 anni, quindi da 40 a 80 in duemila anm.

12.5 Collasso della supernova SN1987 A e limite superiore della massa del neutrino

12.5.2 Limite superiore della massa del neutrino elettronico In tab. 12.4 sono mostrate Ie caratteristiche dei primi otto eventi rivelati dall'apparato installato in Giappone (Kamiokande II) 6; essa mostra la distribuzione temporale degli eventi e l'energia Ee degli elettroni 0 dei positroni rivelati, a seconda che si sia verificata la reazione (12.28) 0 la (12.29); Ie due reazioni hanno sezioni d'urto 7 per f3v : : :; 1 O"(vee-) ~ O"(D p) e

2g~mee2

Jr(en)4 Ev:::::; 1.65·10

-44

Ev em

2

2

~ - g - E 2 :::::; 1 65 . 10- 44 E2 em 2 Jr(en)4 v ' v

Poiche non si sa quale delle due reazioni abbia avuto luogo, assumiamo, per semplicita, che tutti gli eventi siano dovuti alla reazione (12.28), la cui sezione d'urto e molto pili elevata a parita di energia; in tal caso l'energia degli antineutrini e

Consideriamo Ie seguenti ipotesi relative alla distribuzione temporale degli eventi. a) Se i neutrini hanno massa zero, la lora velocita e uguale a e indipendentemente dall'energia e la distribuzione temp orale degli eventi osservata sulla Terra e uguale a quella dei neutrini al momento dell'emissione dalla stella. b) Se i neutrini hanno massa mv i=- 0 e vengono emessi simultaneamente, essi arrivano sulla Terra distribuiti nel tempo dipendentemente dall'energia; prima i pili energetici e dopo i meno energetici. La distribuzione temporale e ordinata corrispondentemente alla distribuzione energetica. c) Se i neutrini hanno massa diversa da zero e vengono emessi dalla stella casualmente entro un certo intervallo di tempo L1t, l'ordine d'arrivo sulla Terra puo non rispecchiare l' ordine energetico rilevato in b) e gli eventi possono essere distribuiti entro un intervallo di tempo L1t' pili lungo 0 pili corto di L1t. Tab. 12.4 mostra che neutrini menD energetici sono arrivati prima di neutrini piiL energetici; pertanto, delle tre ipotesi precedenti, sono verosimili la a) e la c). Valutiamo ora la relazione fra L1t e L1t' per una coppia di neutrini. La distanza fra la Supernova e la Terra e 6

7

L'apparato sperimentale, denominato Kamiokande II, e 10 stesso utilizzato per 10 studio dei neutrini solari e sara descritto sommariamente nel cap. 13 La sezione d'urto della seconda reazione e calcolata nell' App. 7.7.3.

343

344

12 Energia solare

Tabella 12.4. Distribuzione temporale ed energetica (t(s), E(MeV)) dei primi 8 eventi osservati can il rivelatore Kamiokande II. [141 1

2

3

4

5

6

7

8

O.

0.107

0.303

0.324

0.507

1.541

1.728

1.915

20.0 ±2.9

13.5 ±3.2

7.5 ±2.0

9.2 ±2.7

12.8 ±2.9

35.4 ±8.0

21.0 ±4.2

19.8 ±3.2

21.3

14.8

8.8

10.5

14.1

36.7

22.3

21.1

L :::::; 1.5 . 10 5 anni luee = = 1.5.10 5 X (3600 X 24 Tale distanza

X

365

X

e(ernls)) ern

=

e

X

4.73.10 12 ern.

e coperta nel tempo t'

=

Lie

1.5 ·10 5 a

=

da neutrini di massa nulla 8 . Per neutrini di massa diversa da zero si ha

v=e ,

tm

1_

(m.Ev )2, v

(12.30)

L

(12.31)

=V

dove l'approssimazione vale per mv « Ev. Se t e l'istante di emissione di un neutrino dalla stella, l'istante di arrivo sulla Terra e

t'

=

t

+ t'm.

(12.32)

L'intervallo di tempo fra l'arrivo di due neutrini i e j

e (12.33)

e il corrispondente intervallo di tempo all'emissione

8

e

Cia significa che l'esplosione della stella e avvenuta 150000 anni prima dell'osservazione sulla Terra del corrispondente bagliore finale e dei neutrini!

12.5 Collasso della supernova SN1987 A e limite superiore della massa del neutrino

Se EUi > Euj e t~ - tj > 0, cioe se il neutrino pili energetico giunge sulla Terra dopo il neutrino menD energetico, risulta ti - tj > t; - tj, cioe l'intervallo di tempo che Ii separa sulla stella e pili lungo di quello sulla Terra. Applicando questa relazione ai due neutrini di tab. 12.4 che hanno la massima differenza in energia (i = 6 e j = 3), si ottiene: t6 - t3

= 1.238 + 0.029 m~ s.

(12.35)

Se fosse noto l'intervallo di tempo sulla stella t6 - t3, questa relazione consentirebbe di ricavare la massa del neutrino. In mancanza di questa informazione, stimiamo un limite superiore per la massa ricorrendo a una ipotesi. Se t6 - t3 e inferiore a un valore i1t allora si ha anche 2

mu

i1t - 1.238

< 0.029

0.029

e in tab. 12.5 riportiamo illimite superiore della mass a per differenti valori di i1t. Secondo Ie correnti teorie la durata totale dell'emissione di neutrini dalla Tabella 12.5.

ml/ (eV) S

o

6

8

10

12

16

L1t (s)

1.238

2.282

3.094

4.138

5.414

8.66

stella e al massimo il doppio di quella osservata sulla Terra (rv 1.9 s, vedi tab. 12.4); se facciamo quindi l'ipotesi che sia i1t ~ 4 s, dalla tabella si vede che questa limitazione imp one alla massa del neutrino la restrizione mu

< 10 eV,

che include il valore zero. Si trovano risultati simili se si prendono in considerazione altre coppie di neutrini. La tabella mostra che anche aumentando illimite superiore di t6 -t3, il limite su mu non varia drasticamente. In questa contesto si colloca anche la possibilita di valutare il limite superiore della massa del neutrino sulla base dell'energia del primo neutrino rivelato dall'apparato sotto il Monte Bianco (7 ± 1.4 MeV) e del ritardo fra la sua rivelazione e quella del segnale dell'antenna per onde gravitazionali (i1t = 1.4 ± 0.5 s) ricordati nel paragrafo precedente. Assumendo per l'onda gravitazionale velocita c e attribuendo tutto il ritardo ad un effetto della massa del neutrino, per la (12.30) si ha

i1t

=

t'm - t

ILL = -; -

~

=

(mu(eV))2 2.36 (Eu(MeV))2 '

345

346

12 Energia solare

da cui si ricava per la massa del neutrino il limite superiore mv::'; 4.5 eV.

Illimite superiore della massa del neutrino ricavato in questa paragrafo e meno restrittivo di quelli pili recenti ottenuti dall'analisi della spettro energetico degli elettroni emessi dal trizio (vedi cap. 8); non e, tuttavia, in disaccordo con essi.

12.6 Limite inferiore dell'eta delle stelle e dell'Universo Come mostrato in fig. 12.7,10 studio della spettro luminoso del Sole ha messo in evidenza la presenza su di esso di tutti i nuclei stabili e di nuclei a lunga vita media quali l'uranio e il torio. Gli stessi nuclei sono stati osservati anche sulle altre stelle con la stessa abbondanza relativa riscontrata suI Sole, il che fa pensare che i processi di formazione avvenuti sulle stelle siano gli stessi che hanno operato suI Sole. Naturalmente, tenuto conto della maggiore distanza dalla Terra delle stelle, la presenza di un nucleo particolare e riconoscibile nella studio della spettro luminoso d'emissione solo se la sua abbondanza e sufficientemente elevata. Per questo motivo solo su alcune stelle e stata rilevata la presenza di nuclei radioattivi a vita media lunga e cio rende possibile la stima della loro eta 0, meglio, illimite inferiore dell'eta. I nuclei prodotti in processi r sono inizialmente presenti con abbondanze che rimangono immutate nel tempo per i nuclei stabili, mentre vanno via via diminuendo per i nuclei instabili. Dato il carattere impulsivo dei processi r, l'abbondanza residua al tempo t, per esempio, di torio puo essere espressa mediante la relazione (1.47):

nTh(t)

=

n(0)e- A1ht

,

dove si e supposto che l'evento impulsivo si sia verificato al tempo t f Consideriamo ora il rapporto

nTh(t) nx(t)

--- =

nTh(O) - - e -A Th t nx(O)·

,

o.

(12.36)

dove nx(t) = nx(O) e l'abbondanza di un nucleo stabile X prevalentemente prodotto, come il torio, da assorbimento r. Dalla (12.36) otteniamo la relazione

t

= _I_In

ATh _

_1_

- 2.3 ATh \

nx(t) nTh(O) nTh(t) nx(O)

=

[1oglO nTh(O) -1oglO nTh(t)] (0) (t) , nx

(12.37)

nx

che e utilizzabile per ricavare l'eta della stella. nTh (t) /nx (t) e il rapporto fra Ie abbondanze misurato oggi ed nTh(O)/nx(O) e il corrispondente rapporto alle

12.6 Limite inferiore dell'eta delle stelle e dell'Universo

347

origini che, come in tutti i problemi di radiodatazione, deve essere determinato per via indiretta. Nel caso specifico si ricorre alla ragionevole ipotesi, gia ricordata, che i nuclei pesanti siano prodotti suI Sole e sulle altre stelle con uguali modalita e che Ie relative abbondanze siano in rapporto costante, ossia

( nx) ny

Sale =

(nx) ny

stella =

(12.38)

k

dove con X e Y sono indicati due nuclei generici. Poiche l'eta del Sole e nota (ts = 4.5.10 9 a, vedi par. 3.2.3), il rapporto fra Ie abbondanze iniziali di torio e del nucleo X e dato dalla relazione

[ nTh(O) ] nx(O) stella

(12.39)

dove nTh(ts)/nx(ts) e il rapporto odierno suI Sole. Utilizzando la (12.39) nella (12.37), si ottiene l'eta della stella. Tabella 12.6. Abbondanze relative attuali e all 'origine sui Sole e attuali sulle stelle. Nella penultima colonna sono riportate Ie corrispondenti eta e, nell'ultima riga, la loro media pesata.

Eta

(lOgo}

R

loglo R (t s )

loglo R (0)

loglO R (t)

232Th/Eu

-0.533

-0.336

-0.66 ± 0.04

15.2 ± 3.7

Sneden 96

238U/OS

-2.555

-1.27

-2.19 ± 0.18

13.6 ± 2.7

Cowan 99

238U/ Ir

-2.616

-1.30

-2.10±0.17

11.8 ± 2.5

Cowan 99

-0.255 -0.10

-0.74 ± 0.15 -0.74 ± 0.15

10.6 ± 3.3 14.0 ± 3.3

Cowan 99 Goriely 99

238U/232Th Valor medio

12.9 ± 0.7

e

L'abbondanza del torio 32 Th, Tl/2 = 14.05.109 a) e stata misurata per due stelle, una denominata CS22892-052 e l'altra CS31082-001; per la second a e stata misurata anche l'abbondanza di uranio 38 U, T 1 / 2 = 4.47.10 9 a).9 Ai fini della datazione l'abbondanza del torio e stata rapportata a quella dell'europio, prodotto prevalentemente da processi r (vedi fig. 12.13). Il rapporto all'origine e stato ricavato mediante la (12.39) dal rapporto del valore attuale suI Sole. I valori delle varie quantita che compaiono nella (12.37) e nella (12.39) e l'eta della stella sono riportati in tab. 12.6. Nel caso dell'altra stella, l'eta e 9

e

Le stelle CS22892-052 e CS31082-001 appartengono all'insieme di stelle pili antiche della Via Lattea, stelle povere di metalli e situate nelle regioni periferiche della Galassia.

348

12 Energia solare

stata stimata in tre modi differenti, tenendo conto dei rapporti uranio/torio, urani%smio e uranio/iridio (tab. 12.6). I differenti valori dell'eta di tab. 12.6 sono compatibili fra loro entro gli errori e la loro media pesata e 12.9±0.7·109 a; tenendo conto di 2a, possiamo dire che illimite inferiore dell'eta e di circa 11.5.10 9 a. Evidentemente, questa valore costituisce anche un limite inferiore per l'eta della Galassia e dell'Universo. Va osservato che la Supernova, la cui esplosione ha dato origine alle abbondanze sulle stelle esaminate, appartiene, evidentemente, a una generazione precedente di stelle e questo sottolinea ulteriormente il carattere di limite inferiore delle eta stimate per quanto si riferisce alla Galassia. Nelle valutazioni precedenti si e supposto che i nuclei siano stati prodotti da un unico processo impulsivo, rna nei fatti Ie cose potrebbero essere andate diversamente e cio ha influenza suI significato dell'eta. Supponiamo, per semplicita, che si siano verificati due processi impulsivi ai tempi t' e til, con til > t'. L'abbondanza relativa, per esempio di uranio, misurata al tempo t e la media pesata delle abbondanze residue prodotte dai due eventi:

[ nu(t) ] n x (t) misurata

(') nu(t, til) ( [nu(t,( t') nx t ' ) nx t + nx () til nx t [nx (t') + nx (til)]

II)]

Questa quantita ha un valore compreso fra i due valori di cui e la media e di conseguenza anche l'eta t dedotta supponendo che ci sia stato un solo processo impulsivo: t = ~ In nu(O) [nx(t)]

Au

nx(O)

nu(t)

misurata'

ha un valore intermedio fra t' e til. L'unico evento fittizio si e verificato pili recentemente del primo evento vero (t > t ' ). Questo e un altro motivo che giustifica il significato di limite inferiore attribuito alle eta stimate.

12.7 Massa del neutrino e massa oscura dell'universo Gli esperimenti rivolti alla determinazione della massa del neutrino hanno varie motivazioni, una delle quali riguarda il problema della "massa mancante o massa oscura dell'universo", problema posta per la prima volta da F. Zwicky nel 1933 [37]. A sua volta, il problema della massa mancante coinvolge varie tematiche che vanno dalle interazioni fondamentali alla cosmologia. Diamo qui di seguito brevi cenni ad alcune di esse, a titolo esemplificativo. La massa distribuita nell'universo puo essere rivelata in due modi: mediante l'osservazione della luce da essa emessa (intendendo con questa termine tutta la radiazione elettromagnetica indipendentemente dalla frequenza) e dallo studio del mota secondo la legge della gravitazione. E un fatto ben acquisito che Ie distribuzioni della massa determinate nei due modi sono diverse e precisamente la massa luminosa e minore della massa gravitazionale. Illustriamo la situazione con un esempio di moto kepleriano.

12.7 Massa del neutrino e massa oscura dell'universo

349

Si consideri un sistema planetario simile al sistema solare con una distribuzione di massa avente simmetria sferica e densita definita dalle relazioni

r -s: R, r > R.

P = Po p=O

(12.40)

Un pianeta di massa (puntiforme) m, che si muove lungo un'orbita circolare, possiede una velocita determinata dalla relazione che esprime l'uguaglianza fra forza centripeta e forza centrifuga:

GmM

(12.41)

r2

da cui si ricava

v

)G;1.

=

(12.42)

Poiche (12.43) (12.44) si ottiene

v=~ v =

4 1 -GMR 3 r

r-S:R,

r > R.

(12.45) (12.46)

La velocita cresce fra 0 eRe decresce per r > R. I o Si supponga ora che per r > R sia presente della materia addizionale con densita p(r). Si supponga anche, come primo esempio, che p(r) decresca secondo la legge k p=- r>R. (12.4 7)

r

La massa tot ale entro una sfera di raggio r

e (12.48)

e, per la (12.42), la velocita per r 10

>Re

L'eq. (12.46) eben verificata, per esempio, nell'ambito del sistema solare. Poiche G = 6.6710- 11 m 3 kg- 1 S-2, la massa solare e 1.989 10 30 kg e la distanza media della Terra dal Sole e 150 . 10 6 km, la velocita della Terra risulta essere v = 30 km 3- 1 . Per Nettuno, la cui distanza media dal Sole e 30 volte pili grande di quella della Terra, la velocita e 5.4 km 3 -1, in accordo con I' osservazione sperimentale.

350

12 Energia solare

r > R,

(12.49)

ossia, per grandi valori di r, cresce con r. E evidente, nelle due situazioni, la stretta correlazione fra velocita di rotazione e distribuzione della massa. Ai fini delle considerazioni che seguono, identifichiamo la massa localizzata entro la sfera di raggio R come "massa luminosa" e quella esterna come "massa oscura". L'esistenza della prima e messa in evidenza per visione diretta, quella della seconda in base alla velocita del pianeta 11, conforme alla relazione (12.49) invece che alla (12.46). Cia premesso, si consideri fig. 12.16. La linea continua mostra l'andamento schematico dell'effettiva velocita di rotazione dei corpi luminosi della via Lattea in funzione della distanza dal centro della medesima; la linea tratteggiata mostra l'andamento della velocita atteso se nella galassia fossero presenti solo i corpi luminosi. La linea tratteggiata ha un andamento decrescente simile a quello descritto dall'eq. (12.46), la linea continua un andamento crescente con la distanza, simile a quello descritto dall'eq. (12.49). Se ne puo dedurre che nella galassia e presente della materia non luminosa, che prende appunto il nome di materia mancante 0 materia oscura. La massa tot ale nella via Lattea, dedotta dalla velocita di rotazione, ere see in funzione della distanza dal centro come indicato in fig. 12.17, che puo essere messo a confronto con l'andamento del logaritmo dell'eq. (12.48): log M = 10g(MR + 27rk(r2 - R2)) ---+ log 27Tk + 2 log r; r»R

(12.50)

ossia, per grandi valori di r, log JI.;[ cresce linearmente con log r. Fig. 12.16 consente di valutare il rapporto fra la quantita di massa oscura e la quantita di massa visibile. Infatti, per la (12.42) la massa dipende dalla velocita come

(12.51) e fig. 12.16 mostra che, a parita di distanza dal centro della galassia (per esempio, r = 35 kpc), la velocita attesa nel caso sia presente solo la massa luminosa e di circa 100 km/s e quella effettivamente osservata, quindi attribuibile anche alla presenza della massa oscura, e di circa 300 km/s; quindi per la (12.51) si ha 11

La velocita di una stella viene dedotta ricorrendo all'effetto Doppler [44] . Se Vo e la frequenza di una radiazione emessa da una stella e misurata da un osservatore o solidale con la stella, un osservatore P, rispetto al quale la stella e in moto con velocita (3 = ± vic, misura una frequenza v = vo(1+(3)/~. Ovviamente Vo e anche la frequenza della radiazione emessa da una sorgente uguale a quella sulla stella (cioe costituita dagli stessi elementi chimici) rna situata in un laboratorio sulla Terra (solidale con P). Dalla misura di v e Vo si risale a (3. Fig. 12.15 mostra un esempio di "spostamento verso il rosso", cioe di lunghezza d'onda apparente maggiore di quella effettiva nel caso di una galassia che si allontana dalla Terra.

12.7 Massa del neutrino e massa oscura dell'universo lvItotaZe l'vIZu min osa

351

( 300)2 = 9 100 '

o

LAB

.H

5500

6000

6500

LUNGHEZZA D'ONDA (angstrom)

Fig. 12.15. Spettro luminoso emesso dalla galassia Markarian 609. Sono messe in evidenza Ie righe spettrali H (3 e 0 nei dintorni di 5000 angstrom e Ie righe H a e N sopra 6500 angstrom, nonche la posizione, indicata dalle frecce e dalla scritta LAB, delle righe corrispondenti emesse da una sorgente sulla Terra. [45]

... ':r;!

~ u

o

~

""'

... --""-

1000

O~-----L---~----~--~----~--~----~---~ 3:0 35 o 5 1S 20 25

Fig. 12.16. Andamento della velocita di rotazione dei corpi della via Lattea in funzione della distanza dal centro della galassia (linea continua). 1 kpc = 3 1010 km.

[40]

352

12 Energia solare

.

13

~

:;; ~

11

+,

Cl

0

...J

10

,;

t

+.++

12

t +++

.

~

••

9

I

·1

0

1

3

2

Log R(kpc)

Fig. 12.17. Andamento della massa totale della via Lattea in funzione della distanza dal centro. [40] 1'vioscuro

lvltotaZe - lvIZu min osa

1'vitotaZe

1'viZu min osa

1'viZu min osa

lvIZu min osa

_

1 == 8.

Dunque, la massa oscura e maggiore della massa visibile! Un altro esempio di velocita di rotazione con andamento simile a quello della via Lattea e mostrato in fig. 12.18 e riguarda la galassia di Andromeda. In questo secondo esempio la velocita e circa costante per grandi valori di r-, andamento che puo essere interpretato come evidenza di una distribuzione di massa (oscura) con densita decrescente con il quadrato della distanza:

h p = r-2

r- > R.

La massa contenuta nella sfera di raggio r-

r 41T( r-;h )r- dr-

=

e, per la (12.42), la velocita di rivoluzione

e

M

=

MR

+ JR

2

(12.52)

e

MR

+ 41Th(r- - R)

r- > R. Osservazioni simili valgono anche per piccoli gruppi di galassie in moto in grandi aggregati.

12.7 Massa del neu trino e massa oscur a dell 'universo

353

Fig. 12.18. Galassia di Androme da : dist ribuzion e della materia lumino sa e andamento dell a velocit a di rotazion e in fun zione della dist an za dal suo cent ro. [39]

Qu ale e la natura della massa che sfugge all'osservaz ione dire t t a? In par t e e sicur amente di na tura barionic a non luminosa , vale a dire gas interstellari , pian eti , ste lle collassate, piccole ste lle di debol e luminosit a; rna in parte potrebb e essere di natura non-barionica e i neutrini, pre senti ovunque, se dotati di massa potrebb ero essere intrappolati nella Galassia e dar e un rilevante cont ributo alla massa complessiva. Diamo ora un esempio di valutazione della massa del neut rino nell'ipotesi che t utta la massa oscura sia costituita da neut rini . Sot tolineiamo, t uttavia , che quello proposto non e l'unico approccio al problema . Se D e la densit a medi a della materia nell'universo, osservazioni astronomiche e consideraz ioni cosmologiche inducono a rit enere che la sua par t e barionic a sia molto piccola:

Db = (4.44 ± 0.4 )% D.

(12.53)

Nell'ipotes i che la massa rim an ent e sia tutta cost it uita da neutrini , la densit a corrispondente e (12.54) e quindi

Dv

Db ;::::: 21.

(12.55)

La densit a dei barioni e dei neutrini (numero di par ti celle per unita di volum e)

e:

(12.56)

354

12 Energia solare

(12.57) dove 'n, e la densita dei fotoni della radiazione elettromagnetica di fondo 12 . Cio premesso, possiamo esprimere Ie densita di materia barionica e neutrinica mediante Ie relazioni:

fh

= 'nbmb,

flv = 'nvmv,

da cui, tenendo conto delle (12.55), (12.56) e (12.57), si ricava mv

=

flv 'nb --;:::;--mb J£b 'n,

= 21 x 4 x 5 10-

10

x 938 1VleV

~

39 eV.

Questo valore e pili alto del limite superiore della massa del neutrino ricavato dallo studio della spettro energetico degli elettroni emessi da trizio (cap. 8), che risulta essere di circa 2 eV. :It evidente che i neutrini non possono costituire da soli tutta la massa oscura 13. Va tenuto anche presente che i neutrini sono fermioni e che la lora densita e limitata dal principio di esclusione di Pauli. Questo fatto determina un limite inferiore della massa eventuale, come puo essere messo in evidenza con i seguenti argomenti [39]. I neutrini vincolati alla galassia hanno impulso minore di Pmax = mvvj, essendo Vj la velocita di fuga. Tenuto conto che i neutrini possono distinguersi per Ie due orientazioni della spin, il numero massimo di neutrini contenuto in un volume V puo essere stimato mediante la relazione (vedi eq. (7.110)): 47fV N max = 2 x (27fn)3

r

Jo

Pmax

p 2 dp =

V

37f2n3P~laX'

a cui corrisponde una densita massima di massa

e un valore minimo della massa

12

13

La (12.56) e ricavata dallo studio dell'abbondanza dei nuclei leggeri nell'universo CH, 2H, 3He, 4He, 7Li). La (12.57) e dedotta assumendo equilibrio fra Ie reazioni e+ + e- B 1/ + iJ e e+ + e- B 2{. Dallo studio della radiazione di fondo dell'universo (alia temperatura di 2.72K) si ricava n, ~ 410cm- 3 [43]. La materia oscura e in parte costituita da barioni. Altri contributi potrebbero provenire da ipotetiche particelle finora non osservate quali gli assioni (particelle neutre di spin zero) e Ie WIMPs (Weakly Interacting Massive Particles) quali i neutralini [42, 48].

12.7 Massa del neutrino e massa oscura dell'universo

355

La precedente discussione e fondata sui seguenti presupposti: (a) il moto di un corpo di massa m sottoposto all'azione di una forza F governato dalla seconda legge della dinamica F

=

rna;

e

(12.58)

(b) la forza agente fra due corpi (puntiformi) di massa m ed !vI posti a distanza r l'uno dall'altro e espressa dalla legge di gravitazione universale (12.59) Dalla combinazione della (12.58) e della (12.59) si ottengono la (12.41) e la (12.42). Se !vI non e puntiforme, rna distribuita con densita p(r), la formula precedente continua a valere con (12.60) Come abbiamo visto, se ]vI e la massa osservata, la (12.42) conduce a un andamento della velocita in disaccordo con Ie osservazioni sperimentali. Nella precedente discussione si e assunto che il disaccordo dipenda da una insufficienza della massa lvI, per ovviare alla quale si e fatta l'ipotesi dell'esistenza di una massa addizionale non osservata, la massa oscura appunto. D'altra parte si e anche rilevato che l'ipotesi della massa oscura non ha trovato, almena finora, un soddisfacente riscontro sperimentale. In effetti, la discrepanza fra Ie previsioni della (12.42) e Ie osservazioni sperimentali potrebbe essere attribuita non a una carenza di massa, rna ad altri "ingredienti" delle (12.58) e (12.59). Le ipotesi prese in considerazione sono: (a) non completa validita della seconda legge della dinamica nella forma (12.57) ; (b) non completa validita della legge di gravitazione nella forma (12.59). Relativamente all'ipotesi (b), l'attenzione e stata posta sulla dipendenza dalla distanza della forza gravitazionale: per "grandi" 14 distanze potrebbe non dipendere da 1/r2. In questa nota non ci addentriamo nelle problematiche connesse con questa ipotesi che, d'altra parte, non e risultata soddisfacente. Ci limitiamo, pertanto, ad alcune considerazioni sull'ipotesi (a). La (12.58) afferma la proporzionalita fra forza applicata e accelerazione impressa. Secondo la versione MOND 15 dell'ipotesi (a), questa relazione sarebbe un'approssimazione della relazione pili generale (12.61) 14 15

Qui e nel seguito "grande" e "piccolo" vanno riferiti a dimensioni galattiche. MOND e l'acronimo di MOdified Newtonian Dynamics [46, 47].

356

12 Energia solare

dove fL(X) e una funzione imprecisata dell'argomento x vincolata dalle seguenti condizioni limite: fL(a/a o) ---+ a/ao

per

a/a o

{L(a/a o) ---+ 1

per

a/a o

« 1, » 1,

(12.62) (12.63)

e a o e un parametro delle dimensioni di un'accelerazione che assume rilevanza per piccoli valori dell'accelerazione a. Le eq. (12.61), (12.62) e (12.63) implicano che la forma (12.58) della seconda legge della dinamica sia un'approssimazione valida solo per "grandi" valori dell'accelerazione a, grandi rispetto ad ao; solo in questo limite la forza risulta proporzionale all'accelerazione. Invece, per "piccoli" valori di a la (12.61) diviene (12.64) ossia la forza risulta proporzionale al quadrato dell'accelerazione. Tenuto conto della (12.61), la (12.41) assume la forma

GmIv! r

--2- =

a ao

a2 ao

mfL(-)a ~ m-

che, nel limite dato dalla (12.63), diviene (12.65) Questa relazione mostra che la (12.63) e soddisfatta per "grandi" valori di r. La velocita corrispondente si ricava ricordando che nel moto circolare uniforme fra l'accelerazione e la velocita sussiste la relazione a = v 2 /r; pertanto per la (12.65) si ottiene (12.66) la Quale mostra che per grandi valori di r la velocita e costante. Questo risultato e in accordo con Ie osservazioni astronomiche sulle galassie, come sottolineato nella prima parte di questa discussione e come messo in evidenza in fig. 12.16. Tenuto conto dei valori di v ed Iv! ricavati dalle osservazioni astronomiche si ottiene per a o il valore a o ~ 210- 8 cm 8- 2 .

L'ipotesi MOND spiega, in alternativa all'ipotesi dell'esistenza della massa oscura, un grande numero di osservazioni astrofisiche. Tuttavia, allo stato attuale delle conoscenze non e possibile decidere Quale sia l'ipotesi "vera".

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13

I neutrini solari

13.1 Modelli solari e flusso di neutrini Come osservato nel cap. 12, si ritiene che Ie reazioni pili importanti che forniscono l'energia emessa dal Sole siano quelle appartenenti alla catena pp e al ciclo eNO (vedi fig. 12.2). Si e anche rilevato che una piccola frazione dell'energia viene emessa sotto forma di neutrini (per esempio, 0.52/26.72 = 1.9% nella diramazione pp1; vedi tab. 12.2). I neutrini hanno una piccola probabilita di interagire con la materia sol are e quindi trasportano informazioni dirette (non distorte) sui meccanismi che li hanno generati. Infatti, poiche la sezione d'urto d'interazione dei neutrini con i nuclei (0-v) e dell'ordine di 10- 43 ern 2 e la regione centrale del Sole ha una densita p di circa di 10 25 nuclei / ern 3 , il libero cammino medio dei neutrini e dell'ordine di (o-vp)-l = 10 18 ern, COS! che il Sole e praticamente trasparente ad essi essendo il suo raggio dell'ordine di 7· 10 10 ern. L'entita della produzione di neutrini dipende dalla struttura del Sole e dalle reazioni coinvolte nella produzione di energia, Ie quali sono ipotizzate nell'ambito dei modelli di funzionamento del Sole (principalmente nelle differenti versioni del modello solare standard, MSS). Dal confronto fra previsioni dei modelli e osservazioni sperimentali e dall'adattamento delle prime alle seconde si approfondisce la conoscenza della struttura e dell'evoluzione del Sole e delle altre stelle. Nel cap. 12 abbiamo mostrato che la frequenza di produzione di deuterio da parte di coppie di protoni appartenenti a un gas di N protoni e esprimibile mediante l'eq. (12.22), che riscriviamo in forma pili generale sostituendo (7; W con (VJT;, in modo da tener conto anche della dipendenza di w dall'energia: (13.1) Ricordando che o-(E) = w/v = w/J2E/JL con JL massa ridotta (vedi l'eq. (7.111)), la (13.1) puo essere generalizzata all'interazione fra due nuclei

360

13 I neutrini solari

qualsiasi presenti nelle quantita

nj

e

nk:

(13.2) dove

(jjk

vale 1 per j = k, altrimenti vale

o.

La grandezza (13.3)

e chiamata ''fattore astrofisico" e contiene tutti gli ingredienti che determinano la frequenza di fusione di due nuclei: l'interazione nucleare (forte e/o deb ole) tramite u(E), la temperatura e la carica elettrica tramite ,(E). Per una generic a reazione la dipendenza dai parametri citati e pili complicata che per la reazione primaria pp -+ de+v perche la sua frequenza effettiva dipende anche da quelle delle reazioni che la precedono nella successione, Ie quali determinano i valori di nj e nk. Tutti questi aspetti vengono elaborati nell'ambito dei modelli solari. L'obiettivo principale di qualsiasi modello sol are e la completa descrizione della dinamica e dell'evoluzione del Sole. Un modello e essenzialmente fondato su un insieme di equazioni nelle quali compaiono come grandezze incognite (funzioni della distanza dal centro del Sole e del tempo) la densita, la pressione, la temperatura, l'abbondanza degli elementi chimici e l'energia emessa. In genere si assume che la fusione di protoni nella regione centrale del Sole (4p -+ 4 He + 2e+ + 2ve + 26.72 !vI eV) sia la fonte primaria dell'energia termica e della pressione termica (esercitata dal moto termico di elettroni e ioni) necessaria a contrast are l'azione della gravita. Le altre reazioni nucleari determinano la variazione della composizione chimica e contribuiscono, sia pure secondariamente, all'emissione di energia. Questa si propaga attraverso il Sole per radiazione e convezione e viene infine emessa come luce solare. Si suppone che la composizione chimica iniziale nel Sole sia omogenea e che Ie varie grandezze siano distribuite con simmetria sferica. Una soluzione delle equazioni del modello e definita dalla composizione chimica iniziale (frazione di idrogeno, elio e altri elementi pili pesanti), dalle distribuzioni attuali delle grandezze incognite sopra menzionate e di altre quantita ad esse correlate, fra Ie quali rientrano anche i flussi di neutrini. La soluzione e ottenuta con un procedimento iterativo in cui vengono variate Ie condizioni iniziali mantenendo fissi i valori della massa totale, della luminosita totale, del raggio esterno e dell'eta del Sole. Sulla traccia precedente sono stati sviluppati vari modelli con risultati tipici quali quelli riportati, per esempio, in tab. 12.1 e in tab. 13.1. I differenti modelli risultano essere sostanzialmente equivalenti (cioe danno valori compatibili fra loro) se si utilizzano Ie stesse ipotesi fisiche e gli stessi valori dei parametri d'ingresso. Le discrepanze che, di fatto, si riscontrano fra di essi sono da attribuire a differenti scelte dei valori dei parametri d'ingresso, a differente trattamento di effetti particolari, ad approssimazioni nei calcoli. Sulla determinazione di alcune grandezze c'e, comunque, un grande accordo

13.1 Modelli solari e fiusso di neutrini

361

indipendentemente dai dettagli (per esempio, sulla temperatura centrale del Sole, sulla frequenza di produzione di neutrini dalla reazione primaria pp, ecc.). Su altre, invece, il disaccordo e rilevante. Sia ri la frequenza per unita di volume di una generica reazione solare della catena pp 0 del ciclo eND. Supponendo una emissione isotropa di neutrini, il numero ni di neutrini prodotti per unita di tempo dalla i-esima reazione e dato dalla relazione: (13.4) dove ri e espressa come funzione della distanza x dal centro del Sole, della pressione, della temperatura, ecc. e Ro e il raggio solare. Il corrispondente Russo sulla Terra e (13.5) dove de la distanza media Terra-Sole. Se Ai(E) rappresenta la distribuzione differenziale dell'energia dei neutrini suI Sole, il Russo differenziale sulla Terra

e

¢i (E) dE = qJiAi (E) dE.

(13.6)

Tipici valori di qJi e tipici andamenti di ¢i (E) sono mostrati in tab. 13.1 e fig. 13.1. Facciamo not are che i Russi monoenergetici caratterizzano i neutrini Tabella 13.1. Flussi sulla Terra ed energia massima dei neutrini prodotti dalle principali reazioni nel Sole. I valori dei fiussi sono risultati del MSS secondo [34J. L 'errore sui fiussi ha il significato di 3 deviazioni standard. [51

Flusso