FEM 9783834802965 [PDF]

Zitiervorschau

Bernd Klein

FEM

„Man muss gelehrt sein, um Einfaches kompliziert sagen zu können; und weise, um Kompliziertes einfach sagen zu können.“ nach Charles Tschopp

Aus dem Programm Maschinenelemente und Konstruktion

Pro/ENGINEER Wildfire 3.0 für Einsteiger – kurz und bündig von S. Clement und K. Kittel/ herausgegeben von S. Vajna CATIA V5 für Maschinenbauer von R. List Leichtbau-Konstruktion von B. Klein UNIGRAPHICS NX3 – kurz und bündig von G. Klette/herausgegeben von S. Vajna CATIA V5-Praktikum herausgegeben von P. Köhler Pro/ENGINEER-Praktikum herausgegeben von P. Köhler Technisches Zeichnen von S. Labisch und C. Weber CATIA V5 - kurz und bündig von R. Ledderbogen/herausgegeben von S. Vajna Solid Edge – kurz und bündig von M. Schabacker/herausgegeben von S. Vajna

vieweg

Bernd Klein

FEM Grundlagen und Anwendungen der Finite-Element-Methode im Maschinen- und Fahrzeugbau 7., verbesserte Auflage Mit 200 Abbildungen 12 Fallstudien und 19 Übungsaufgaben

Studium Technik

Bibliografische Information Der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar.

1. Auflage 1990 2., neu bearbeitete Auflage 1997 3., überarbeitet Auflage 1999 4., verbesserte und erweiterte Auflage Dezember 2000 5., verbesserte und erweiterte Auflage Oktober 2003 6., verbesserte und erweiterte Auflage Juli 2005 7., verbesserte Auflage Juni 2007 Alle Rechte vorbehalten © Friedr. Vieweg & Sohn Verlag | GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2007 Lektorat: Thomas Zipsner Der Vieweg Verlag ist ein Unternehmen von Springer Science+Business Media. www.vieweg.de Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Umschlaggestaltung: Ulrike Weigel, www.CorporateDesignGroup.de Technische Redaktion: Hartmut Kühn von Burgsdorff, Wiesbaden Druck und buchbinderische Verarbeitung: Wilhelm & Adam, Heußenstamm Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier. Printed in Germany ISBN 978-3-8348-0296-5

V

Vorwort zur 1. Auflage Das Buch gibt den Umfang meiner Vorlesung über die Finite-Elemente-Methode wieder, die ich seit 1987 an der Universität Kassel für Studenten des Maschinenbaus halte. Mein Anliegen ist es hierbei, nicht nur Theorie zu vermitteln, sondern auch die Handhabung der Methode im Ablauf und die Anwendung an einigen typischen Problemstellungen in der Elastostatik, Elastodynamik und Wärmeleitung zu zeigen. Das realisierte Konzept dürfte damit auch für viele Praktiker (Berechnungsingenieure, CAE-Konstrukteure und CAD-Systembeauftragte) in der Industrie von Interesse sein, da sowohl ein Gesamtüberblick gegeben wird als auch die für das Verständnis benötigten mathematisch-physikalischen Zusammenhänge dargestellt werden. Um damit auch direkt umsetzbare Erfahrungen vermitteln zu können, stützt sich der Anwendungsteil auf das verbreitete kommerzielle Programmsystem ASKA, das mir seit 1987 zur Verfügung steht. Bei der Lösung der mit ASKA bearbeiteten Beispiele haben mich die Mitarbeiter des Bereiches CAE der Firma IKOSS, Stuttgart, stets gut beraten. Die Erstellung des Manuskriptes hat Frau. M. Winter übernommen, der an dieser Stelle ebenfalls herzlich gedankt sei.

Kassel, im September 1990

B. Klein

Vorwort zur 7. Auflage Bücher haben die unangenehme Eigenschaft, nie fertig zu werden. So fallen mir auch beim Arbeiten mit meinem Buch immer wieder Darstellungen und Ableitungen auf, die man besser und schöner machen kann. Die Neuauflage enthält somit viele Verbesserungen im Text und in den Übungen, die zum noch besseren Verständnis der Finite-Element-Methode beitragen sollen. Auch soll dem Lernenden eine geglättete Theorie helfen, die teils doch komplexen Zusammenhänge schneller zu überblicken. Gemäß dem Motto des Buches „Anschaulichkeit vor Wissenschaftlichkeit“ hoffe ich, auch weiterhin auf einen interessierten Leserkreis. An der Überarbeitung des Buches haben im Wesentlichen Herr Dipl.-Ing. U. Klein und Herr Dipl.-Ing. Th. Wolf mitgewirkt, denen hiermit gedankt sei. Die textliche Umsetzung oblag wieder Frau M. Winter, der ebenfalls herzlich gedankt werden soll.

Calden bei Kassel, im Juni 2007

B. Klein

VI

Inhaltsverzeichnis 1

Einführung ............................................................................................................. 1.1 Historischer Überblick ................................................................................... 1.2 Generelle Vorgehensweise ............................................................................. 1.3 Aussagesicherheit einer FE-Analyse.............................................................. 1.4 Qualitätsstandards ..........................................................................................

1 1 4 8 10

2

Anwendungsfelder und Software ......................................................................... 2.1 Problemklassen............................................................................................... 2.2 Kommerzielle Software..................................................................................

11 11 12

3

Grundgleichungen der linearen Finite-Element- Methode................................ 3.1 Matrizenrechnung........................................................................................... 3.2 Gleichungen der Elastostatik.......................................................................... 3.3 Grundgleichungen der Elastodynamik ........................................................... 3.4 Finites Grundgleichungssystem ..................................................................... 3.4.1 Variationsprinzip................................................................................. 3.4.2 Methode von Galerkin ........................................................................

16 16 19 26 27 27 31

4

Die Matrix-Steifigkeitsmethode............................................................................

34

5

Das Konzept der Finite-Element-Methode.......................................................... 5.1 Allgemeine Vorgehensweise .......................................................................... 5.2 FE-Programmsystem ...................................................................................... 5.3 Mathematische Formulierung......................................................................... 5.3.1 Ebenes Stab-Element .......................................................................... 5.3.2 Ebenes Dreh-Stab-Element ................................................................. 5.3.3 Ebenes Balken-Element ...................................................................... 5.4 Prinzipieller Verfahrensablauf ....................................................................... 5.4.1 Steifigkeitstransformation................................................................... 5.4.2 Äquivalente Knotenkräfte ................................................................... 5.4.3 Zusammenbau und Randbedingungen ................................................ 5.4.4 Sonderrandbedingungen...................................................................... 5.4.5 Lösung des Gleichungssystems .......................................................... 5.4.6 Berechnung der Spannungen .............................................................. 5.4.7 Systematische Problembehandlung.....................................................

41 41 44 45 45 50 53 62 62 65 68 72 74 81 83

6

Wahl der Ansatzfunktionen ..................................................................................

89

7

Elementkatalog für elastostatische Probleme ..................................................... 93 7.1 3-D-Balken-Element ...................................................................................... 93 7.2 Scheiben-Elemente ......................................................................................... 97 7.2.1 Belastungs- und Beanspruchungszustand ........................................... 97 7.2.2 Dreieck-Element ................................................................................. 98 7.2.3 Flächenkoordinaten............................................................................. 105 7.2.4 Erweiterungen des Dreieck-Elements................................................. 110 7.2.5 Rechteck-Element ............................................................................... 111

Inhaltsverzeichnis

VII

7.2.6 Konvergenz Balken-Scheiben-Elemente ............................................ 7.2.7 Berücksichtigung der Schubverformung ............................................ 7.2.8 Viereck-Element ................................................................................. 7.2.9 Isoparametrische Elemente ................................................................. 7.2.10 Numerische Integration....................................................................... Platten-Elemente ............................................................................................ 7.3.1 Belastungs- und Beanspruchungszustand ........................................... 7.3.2 Problematik der Platten-Elemente ...................................................... 7.3.3 Rechteck-Platten-Element................................................................... 7.3.4 Dreieck-Platten-Element..................................................................... 7.3.5 Konvergenz ......................................................................................... 7.3.6 Schubverformung am Plattenstreifen.................................................. 7.3.7 Beulproblematik.................................................................................. Schalen-Elemente ........................................................................................... Volumen-Elemente......................................................................................... Kreisring-Element ..........................................................................................

119 120 125 129 134 139 139 143 146 152 153 155 156 165 170 175

8

Kontaktprobleme ................................................................................................... 8.1 Problembeschreibung ..................................................................................... 8.2 Einfache Lösungsmethode für Kontaktprobleme........................................... 8.3 Lösung zweidimensionaler Kontaktprobleme................................................ 8.3.1 Iterative Lösung nichtlinearer Probleme ohne Kontakt ...................... 8.3.2 Iterative Lösung mit Kontakt ..............................................................

182 182 184 188 188 189

9

FEM-Ansatz für dynamische Probleme .............................................................. 9.1 Virtuelle Arbeit in der Dynamik .................................................................... 9.2 Elementmassenmatrizen ................................................................................. 9.2.1 3-D-Balken-Element ........................................................................... 9.2.2 Endmassenwirkung ............................................................................. 9.2.3 Dreieck-Scheiben-Element ................................................................. 9.3 Dämpfungsmatrizen ....................................................................................... 9.4 Eigenschwingungen ungedämpfter System.................................................... 9.4.1 Gleichungssystem ............................................................................... 9.4.2 Numerische Ermittlung der Eigenwerte.............................................. 9.4.3 Statische Reduktion nach Guyan ........................................................ 9.5 Freie Schwingungen ....................................................................................... 9.6 Erzwungene Schwingungen ........................................................................... 9.7 Beliebige Anregungsfunktion......................................................................... 9.8 Lösung der Bewegungsgleichung ..................................................................

202 202 204 205 207 209 212 213 213 221 222 226 228 237 238

10

Grundgleichungen der nichtlinearen Finite-Element-Methode ........................ 10.1 Lösungsprinzipien für nichtlineare Aufgaben................................................ 10.2 Nichtlineares Elastizitätsverhalten ................................................................. 10.3 Plastizität ........................................................................................................ 10.4 Geometrische Nichtlinearität.......................................................................... 10.5 Instabilitätsprobleme ......................................................................................

247 247 250 253 257 259

7.3

7.4 7.5 7.6

VIII

Inhaltsverzeichnis

11

Wärmeübertragungsprobleme ............................................................................. 11.1 Physikalische Grundlagen .............................................................................. 11.2 Diskretisierte Wärmeleitungsgleichung ......................................................... 11.3 Lösungsverfahren ........................................................................................... 11.4 Thermisch-stationäre strukturmechanische Berechnung................................ 11.5 Thermisch-transiente strukturmechanische Berechnung................................

266 266 271 273 275 276

12

Mehrkörpersysteme............................................................................................... 12.1 Merkmale eines MKS..................................................................................... 12.2 Kinematik von MKS....................................................................................... 12.2.1 Drehmatrix .......................................................................................... 12.2.2 Ebene Bewegung................................................................................. 12.3 Kinetik von MKS ........................................................................................... 12.3.1 Grundbeziehungen für den starren Körper.......................................... 12.3.2 Newton-Euler-Methode ...................................................................... 12.4 Lagrange’sche Methode ................................................................................. 12.5 Mechanismenstrukturen .................................................................................

279 279 281 283 285 287 289 291 293 295

13

Bauteiloptimierung ................................................................................................ 13.1 Formulierung einer Optimierungsaufgabe ..................................................... 13.2 Parameteroptimierung .................................................................................... 13.3 Bionische Strategie......................................................................................... 13.4 Selektive Kräftepfadoptimierung ...................................................................

297 297 298 300 303

14

Grundregeln der FEM-Anwendung..................................................................... 14.1 Fehlerquellen .................................................................................................. 14.2 Elementierung und Vernetzung...................................................................... 14.3 Netzaufbau...................................................................................................... 14.4 Bandbreiten-Optimierung............................................................................... 14.5 Genauigkeit der Ergebnisse............................................................................ 14.6 Qualitätssicherung ..........................................................................................

306 306 307 311 314 318 320

Fallstudie 1: zu Kapitel 4 Matrix-Steifigkeitsmethode ...................................................... Fallstudie 2: zu Kapitel 5 Konzept der FEM / Allgemeine Vorgehensweise..................... Fallstudie 3: zu Kapitel 5 Konzept der FEM / Schiefe Randbedingungen........................ Fallstudie 4: zu Kapitel 5 Konzept der FEM / Durchdringung......................................... Fallstudie 5: zu Kapitel 7 Anwendung von Schalen-Elementen........................................ Fallstudie 6: zu Kapitel 7.5 Anwendung von Volumen-Elementen / Mapped meshing..... Fallstudie 7: zu Kapitel 7.5 Anwendung der Volumen-Elemente / Free meshing............. Fallstudie 8: zu Kapitel 9 Dynamische Probleme ............................................................. Fallstudie 9: zu Kapitel 9.6 Erzwungene Schwingungen .................................................. Fallstudie 10: zu Kapitel 10 Materialnichtlinearität ........................................................ Fallstudie 11: zu Kapitel 10.4 Geometrische Nichtlinearität............................................ Fallstudie 12: zu Kapitel 11 Wärmeleitungsprobleme ......................................................

323 325 329 330 332 335 337 340 343 347 350 353

Übungsaufgabe Übungsaufgabe Übungsaufgabe Übungsaufgabe

357 358 359 361

4.1 5.1 5.2 5.3

......................................................................................................... ......................................................................................................... ......................................................................................................... .........................................................................................................

Inhaltsverzeichnis Übungsaufgabe 5.4 Übungsaufgabe 5.5 Übungsaufgabe 5.6 Übungsaufgabe 5.7 Übungsaufgabe 5.8 Übungsaufgabe 6.1 Übungsaufgabe 7.1 Übungsaufgabe 7.2 Übungsaufgabe 9.1 Übungsaufgabe 9.2 Übungsaufgabe 9.3 Übungsaufgabe 9.4 Übungsaufgabe 10.4 Übungsaufgabe 11.1 Übungsaufgabe 11.2

IX ......................................................................................................... ......................................................................................................... ......................................................................................................... ......................................................................................................... ......................................................................................................... ......................................................................................................... ......................................................................................................... ......................................................................................................... ......................................................................................................... ......................................................................................................... ......................................................................................................... ......................................................................................................... ......................................................................................................... ......................................................................................................... .........................................................................................................

363 365 368 369 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382

Mathematischer Anhang .................................................................................................. QM-Checkliste einer FE-Berechnung .............................................................................. Literaturverzeichnis .......................................................................................................... Sachwortverzeichnis .........................................................................................................

383 393 395 400

X

Formelzeichensammlung -Aai A A

(mm2) (mm)

A Ai -BB B

Lösungsbereich differenzierte Ansatzfunktionsmatrix; Koeffizientenmatrix nichtlinearer Anteil der Matrix B

BN -Cc c ci , Ci ci

c ij

(N/mm)

(mm; grd) (N/mm; grd)

C

-Dd

(mm)

 d

(mm/s2)

d

(mm/s)

dP

dS D(u)

Differenzialoperatorenmatrix

D Multiplikatoren Querschnittsfläche Koordinatenmatrix; Koeffizientenmatrix; Iterationsmatrix Boole‘sche Matrix Koeffizient

Federkonstante Elementdämpfungsmatrix Integrationskonstante Koeffizient Drehsteifigkeitskoeffizient Systemdämpfungsmatrix; Wärmekapazitätsmatrix

Knotenverschiebungen Knotenbeschleunigung Knotengeschwindigkeit Plattenanteil der Knotenverschiebung Scheibenanteil der Knotenverschiebung Differenzialoperator

-EE E ET

(N/mm2) (N/mm2)

Elastizitätsmodul Elastizitätsmatrix Tangenten-Elastizitätsmatrix

-Ff

(N)

F(x) F

(N)

bezogene (verteilte) Kraft Funktion allgemein Vektor der äußeren Einzelkräfte äußere Kräfte Reaktionskräfte Resultierende der Schwingungs-DGL Einzelkraft äquivalente Einzelkräfte unbekannte Reaktionskräfte

Fa Fb Fc Fi Fia

Fs -Gg gi , g j

G G

Gi GK G kub G lin Gr

Zeilenvektoren Formfunktionen (N/mm2)

(N)

Gleitmodul Formfunktionsmatrix; Matrix der Knotenansatzfunktionen Formfunktionsmatrix Gravitationskraft kubischer Anteil der Formfunktionsmatrix linearer Anteil der Formfunktionsmatrix rotatorischer Anteil der Formfunktionsmatrix

Formelsammlung translatorischer Anteil der Formfunktionsmatrix

Gt

-Hh hi H

XI

(mm)

Stützstelle Amplitudenhöhe Hermite’sche Ansatzfunktionsmatrix

Kaa Kba KB

K cc KN

-II I

Integral, allgemein Gebietsintervall; Einheitsmatrix

KT

KV -JJ Jp

(mm4)

Jy,Jz

(mm4)

J 2c -Kk k

k

kB

kG k ij

kP

kS

K, M K

(N/mm) (N/mm)

Jacobi-Matrix polares Flächenträgheitsmoment Flächenträgheitsmoment 2. Invariante des Spannungstensors

Federkonstante Elementsteifigkeitsmatrix; (W/mm˜ K) Elementwärmeleitungsmatrix (N/mm) tranformierte Elementsteifigkeitsmatrix (N/mm) Biegesteifigkeitsmatrix (N/mm) geometrische Steifigkeitsmatrix Verschiebungseinflusszahlen; (N/mm) Steifigkeitskoeffizienten (N/mm) Plattenanteil der Steifigkeitsmatrix (N/mm) Scheibenanteil der Steifigkeitsmatrix Diagonalhypermatrix (N/mm) Systemsteifigkeitsmatrix;

(W/ mm˜ K) Systemwärmeleitungsmatrix partitionierte Kab SystemsteifigkeitsKbb matrix Systembiegesteifigkeitsmatrix reduzierte Steifigkeitsmatrix (N/mm) geometrische Systemsteifigkeitsmatrix (N/mm) Tangentensteifigkeitsmatrix (N/mm) Initialspannungsmatrix

-LA ij

L L

(mm) (N/mm)

-Mm

(kg)

m ij

(kg)

Koeffizienten; Matrixelement Länge Dreiecksmatrix; Lastoperator

Elementmassenmatrix Massenkoeffizient

Knotenlastvektor von eingeleiteten Momenten Oberflächenlastvekm0 tor bei verteilten Momenten mt verteiltes Torsions(N.mm/ mm) moment m x, y seitenbezogene Biegemomente Systemmassenmatrix M Mb Biegemoment reduzierte MassenM cc matrix Mi  N ˜ mm Moment partitionierte Muu Mus Systemmassenmatrix Msu Mss mK

XII

Formelsammlung

-Nn

Stützstellen; Zähler seitenbezogene Kräfte Festwertvektor Ansatzmatrix; Nebenbedingungsmatrix Schnittgrößen

n x, y

n N

Nj -O0 -Ppi pk px pz

(mm2)

(N) (N/mm) (N/mm2)

P

P ˆ P p

(N) (N)

ä

p0 PS PP

-Qq

q q

(N)

(N/mm)

(N/mm2)

q xz, yz

(N/mm)

qz Q

(N/mm)

 Q Qi Q xz -Rr R R

Wärmestrom Querkraft Querkraft

(N) (N)

(mm)

R

(N)

Re Rm

(N/mm ) 2 (N/mm )

-SS S ij

(N/mm2) (N)

S y ,z

( mm 3 )

Oberfläche

Kraftkomponente Knotenlastvektor verteilte Längskraft verteilte äußere Querkraft Knotenverschiebungsvektor der ungebundenen Struktur Systemlastvektor Vektor der Elementknotenkräfte äquivalente Kräfte Oberflächenkräfte Kraftvektor des Scheibenanteils Kraftvektor des Plattenanteils

seitenbezogene Querkraft Wärmestromdichte Vektor der verteilten äußeren Oberflächenkräfte seitenbezogene Querkräfte verteilte Streckenlast Knotenpunktwärmeflüsse

-Tt t T

2

Radius Rand Vektor der Elementknotenkräfte der ungebundenen Struktur Vektor der Kontaktknotenkräfte Fließgrenze Bruchgrenze

Spannungsmatrix Schnittkräfte in Stäben statische Momente

(mm) (s) (K)  N ˜ mm

Elementdicke Zeit Temperatur; Torsionsmoment Transformationsmatrix Eliminationsmatrix

-Uu, v, w

(mm)

u

(mm)

u

(mm/s)

 u

(mm/s2)

G ui

(mm)

Verschiebungskomponenten Elementverschiebungsvektor Geschwindigkeitsvektor der Elementverschiebungen Beschleunigungsvektor der Elementverschiebungen Verschiebung

T Tc

Formelsammlung U

(mm)

Ua

(mm)

Uc

Üc Ue Us Uu

Üu

-Vv V Vi -Ww(x, t) wb ws W Wa Wi

3

(mm )

(mm)

 N ˜ mm

 N ˜ mm  N ˜ mm

WR

-X– x x X

(mm)

-Yy

XIII Systemverschiebungsvektor unbekannte Verschiebungen primäre Freiheitsgrade Beschleunigungen der primären Freiheitsgrade sekundäre Freiheitsgrade bekannte Verschiebungen unbekannte Verschiebungen Beschleunigungen der unbekannten Verschiebungen

Vektor Volumen Vergrößerungsfunktion

Verschiebefunktion Biegeverformung Schubverformung Arbeit äußere Arbeit innere Arbeit Formänderungsenergie; Restwert

Weg Eigenvektor Eigenvektormatrix

Di E ' H İo I I x

I ji )i J Ki K, [ ț N O

P ȁ 4 U

U : V W WK t Q

Richtungswinkel Winkel; Parameter Differenz Verzerrungsvektor Anfangsverzerrungsvektor Ergiebigkeit beliebiger Drehwinkel Koeffizienten der Elementträgheitsmatrix Verdrehung am Knoten Winkel Auslenkung normierte Koordinate Koeffizientenmatrix Krümmung; spez. Wärme (1/s) Längsfrequenz (W/mmK) Wärmeleitfähigkeit; Eigenwerte; Lagrange’scher Multiplikator Reibkoeffizient Eigenwertmatrix Massenträgheit (kg/dm3) Dichte Vektor der Elementknotenverschiebungen äußere Anregung (N/mm2) Normalspannung (N/mm2) Schubspannung Erregungsfunktion (1/s)

[ Z

Hilfsvektor (1/s)

D

D

(1/K)

Wärmeausdehnungskoeffizient Konstantenvektor

\ Re d ]i

Querkontraktion; Frequenz Dämpfungsmaß Kenngröße für den Schubwiderstand; Eigenkreisfrequenz Winkel Flächenkoordinate

1

1 Einführung Die Finite-Element-Methode hat sich seit vielen Jahren im Ingenieurwesen bewährt und wird mittlerweile schon routinemäßig für Berechnungsaufgaben im Maschinen-, Apparateund Fahrzeugbau eingesetzt. Sie ermöglicht weitestgehend realitätsnahe Aussagen durch Rechnersimulation im Stadium der Bauteil- oder Strukturentwicklung und trägt damit wesentlich zur Verkürzung der gesamten Produktentwicklungszeit bei. Im Zusammenwirken mit CAD zählt heute die FEM als das leistungsfähigste Verfahren, die Ingenieurarbeit zu rationalisieren und qualitativ zu optimieren. Das Vertrauen in FEM-Rechnungen darf aber nicht nachlässig machen, so haftet der Berechnungsingenieur bei einer falschen Auslegung nach dem BGB, GSG und dem ProdHfG. Insofern sollten die Grundzüge der FE-Methode allen Ingenieuren bekannt sein, um die problemgerechte Einsetzbarkeit und die erzielten Ergebnisse in der Praxis beurteilen zu können. Intention des Buches ist daher der Brückenschlag zwischen Theorie und Praxis sowie einen Überblick zu Anwendungen in der Statik, Dynamik und Wärmeübertragung geben zu wollen.

1.1 Historischer Überblick Mit der klassischen technischen Mechanik ist es bis heute nicht möglich, komplexe Zusammenhänge in realen Systemen ganzheitlich zu erfassen. Üblicherweise geht man dann so vor, dass ein stark vereinfachtes Modell des Problems geschafft wird, welches gewöhnlich leicht zu lösen ist. Hierbei ist natürlich die Übertragbarkeit der Ergebnisse stets kritisch abzuklären, da die Abweichungen meist groß sind. Allgemeines Bestreben ist es daher, Systeme so realitätsnah wie nötig für eine Betrachtung aufzubereiten.

F(t)

m1

Diskretes Modell Kontinuierliches Modell

c1

d1

c2

d2

m2

F(t) (bzw. F) Aluminium Temp eratu r T1 Gummi

Verformung 'u Reibung

Stahl Kontaktzone Stahl

Einschlüsse Kerbwirkung Lagerung Temp eratu r T2

Bild 1.1: Ideales Modell versus reales Modell

Von der Vorgehensweise her kann in eine diskrete und eine kontinuierliche Modellbildung unterschieden werden. Als Beispiel (s. Bild 1.1) denke man an eine schwingfähige Struktur, die diskret als FederMasse-Schwinger und kontinuierlich als Kontinuumsschwinger idealisiert werden kann. Bei diskreten Systemen folgt die Systemantwort stets aus einer geringen Anzahl von Zustandsgrößen, die meist in Form von gekoppelten linearen Gleichungen auftreten.

1 Einführung

2

Demgegenüber muss die Antwort eines kontinuierlichen Systems aus der Lösung einer Differenzialgleichung ermittelt werden, wobei eine Vielzahl von Zustandsgrößen interessieren. In der Praxis stehen aber wie bei der vorstehenden Modellierung angedeutet Aufgaben an, die durch eine komplizierte Geometrie, überlagerte Lastfälle, unübersichtliche Randbedingungen und verschiedenartige Werkstoffgesetze gekennzeichnet sind. Hierbei geht es regelmäßig um gut gesicherte Ergebnisse, da hierhinter letztlich ein Einsatzfall steht, der eine Absicherung erforderlich macht. Vor diesem Hintergrund sind somit Lösungsverfahren gefordert, die universell und genau sind, ingenieurmäßigen Charakter haben, auf kontinuierliche Systeme anwendbar sind und lokal exakte Aussagen ermöglichen. Diese Forderungen werden, wie wir später noch sehen werden, in idealer Weise von der FEM /ARG 64/ erfüllt. Verfolgt man einführend kurz die Entwicklungsgeschichte der FEM, so ist festzustellen, dass man es hier mit einer relativ jungen Methode zu tun hat, die im Wesentlichen in den letzten 60 Jahren entwickelt worden ist. Erfolgreiche Anwendungen haben dann sehr schnell zu einer sprunghaften Verbreitung geführt. Wie der Zeittabelle von Bild 1.2 zu entnehmen ist, wurde das Grundgerüst etwa gleichwertig von Mathematikern und Ingenieuren geschaffen /MEI 89/.

elast. Stabmodelle von Hrennikoff, 1941

bereichsweise Ansätze zur Lösung von DGLs Courant, 1943 Prager/Synge, 1947

50er-Jahre ComputerEntwicklung

Kraft- und Verschiebungsgrößenverfahren für Stabtragwerke, Matrizenformulierung von Argyris, 1954

erste ingenieurmäßige Herleitung der Flächenelemente Turner/Clough/ Martin/Topp, 1953-1956 Name "FEM" durch Clough, 1960

- Umwandlung der DGL durch Variationsmethode oder Ritz-Galerkin-Ansatz Besseling/Melosh/de Veubeke, ca. 1962 - erste Konferenz über Computermechanik, 1963 - erstes FEM-Lehrbuch von Zienkiewicz/Cheung, 1967

stürmische Weiterentwicklung der Methode von 1965 bis heute: - Verallgemeinerung u. Vereinfachung der Methode - neue Anwendungsgebiete (Strömung, Wärmeleitung, Magnetismus, Multiphysik) - Prozesse (Umformung, Schweißen, Spritzgießen etc.)

gegenwärtig: virtuelle Produktentwicklung / CAD + MKS + FEM = CAE

Bild 1.2: Zeittafel der FE-Methode-Entwicklung nach CAD-FEM/Grafing

1.1 Historischer Überblick

3

Herausgehoben werden sollen hier nur einige markante Entwicklungsschritte: x

Im Jahre 1941 hat Hrennikoff ein Stabmodell (Gitterrostverfahren) geschaffen, mit dem 2-D-Stabwerk- und Scheibenprobleme einfacher lösbar waren. Er benutzte dabei einen Matrizenformalismus, der der heutigen FE-Methode ähnlich ist.

x

Etwa 1943 haben Courant und später Prager/Synge bereichsweise Ansätze zur Lösung von Differenzialgleichungen herangezogen und damit das Prinzip der Unterteilung von Lösungsgebieten benutzt, welches dem Grundgedanken der FEM entspricht.

x

Aufbauend auf den Arbeiten von Ostenfeld (Tragwerkberechnung mit Verschiebungen als Unbekannte) haben Argyris und Kelsey (1954) im Wesentlichen das Matrizenformat für die Berechnung von stabartigen Tragwerken mit dem Kraft- und Verschiebungsgrößenverfahren aufbereitet. Etwa parallel erfolgte durch Turner, Clough, Martin und Topp die Übertragung auf die Festkörpermechanik. Begünstigt wurden diese Arbeiten durch das Aufkommen der ersten leistungsfähigen Computer.

x

Die Prägung des Begriffs „FEM“ wird im Allgemeinen Clough (1960) zugeschrieben, der hiermit die Modellvorstellung eines Kontinuums als eine Zusammensetzung von Teilbereichen (finiten Elementen) verband. In jedem Teilbereich wird das Elementverhalten durch einen Satz von Ansatzfunktionen beschrieben, die die Verschiebungen und Spannungen in diesem Teilbereich wiedergeben.

x

Ein Ziel der FEM besteht darin, die problembeschreibende DGL in ein lineares Gleichungssystem umzuwandeln. Dieser Schritt gelingt einmal dadurch, indem über das Variationsprinzip eine Ersatzgleichgewichtsbedingung formuliert wird oder durch das Verfahren des gewichteten Restes (Ritz-Galerkin) die Abweichungen, eines die DGL erfüllenden Lösungsansatzes, minimiert werden. Diese Erkenntnisse sind etwa 1962 von Besseling, Melosh und de Veubeke gewonnen worden.

x

In der Folge hat die FEM im Ingenieurwesen große Aufmerksamkeit gefunden, was durch eine eigene Konferenz und die Abfassung erster Lehrbücher dokumentiert ist.

x

Mit der Etablierung der Methode setzte eine stürmische Weiterentwicklung ein, und es wurden über die lineare Elastik ergänzende Formulierungen für nichtlineares Materialverhalten, nichtlineares geometrisches Verhalten, Instabilität und Dynamik gefunden. Durch den ausgewiesenen Anwendungserfolg bestand weiteres Interesse, auch andere Phänomene wie Wärmeleitung, Strömung, elektromagnetische Felder und Multiphysik (gekoppelte Effekte) für die FE-Methode zu erschließen.

x

In dem heute angestrebten integrativen, rechnerunterstützten Konstruktionsprozess stellt FEM in Verbindung mit CAD ein wichtiges Basisverfahren dar, welches im Zuge der virtuellen Produktentwicklung immer stärker angewandt wird.

Gemäß dem derzeitigen Stand der Technik werden von verschiedenen Softwarehäusern kommerzielle Universalprogramme (z. B. NASTRAN, ANSYS, MARC, I-DEAS, ABAQUS usw.) angeboten, die sich nur in Nuancen unterscheiden. Meist sind diese Programmsysteme für die lineare Elastomechanik entwickelt und später um Module zur nichtlinearen Festigkeitsberechnung, Dynamik oder Wärmeleitung erweitert worden. Daneben existieren auch

1 Einführung

4

eigenständige Programmsysteme für Strömungsprobleme (CFD = Computer Fluid Dynamics) oder Mehrkörperdynamik (MKS).

1.2 Generelle Vorgehensweise Wie spätere Ausführungen zeigen werden, benötigt der Anwender der Finite-Element-Methode gesichertes Grundwissen über die theoretischen Zusammenhänge, da die hauptsächliche ingenieurmäßige Aufgabenstellung in der Überführung des realen Bauteils in ein finites Analogon besteht. Der weitere Ablauf, d. h. die eigentliche Berechnung, erfolgt hingegen durch den Rechner automatisch. Der Anwender ist erst wieder gefragt, wenn es um die Plausibilitätsprüfung des Ergebnisses und dessen Rückumsetzung zur Bauteiloptimierung geht.

(idealisiert) Stab-Elemente

(real)

Fx

y

x

M bz

M bz

Symmetriehälfte

Scheiben-Elemente

Fx

Bild 1.3: Schritte vom realen Bauteil zum FE-Modell

Da der Umfang dieses einführenden Manuskriptes in der Hauptsache auf die Behandlung von Festigkeitsproblemen ausgerichtet ist, sollen an einem kleinen einführenden Beispiel die wesentlichen Arbeitsschritte der Finite-Element-Methode diskutiert werden. Im vorstehenden Bild 1.3 ist dazu ein einfacher Doppel-T-Träger (IPB) unter einer statischen Momentenbelastung dargestellt. Von Interesse sei dabei die Ermittlung des Verformungszustandes, der Dehnungen und der Spannungen bevorzugt in den hoch beanspruchten Flanschen. Bei der notwendigen problemgerechten Aufbereitung gilt es, hierzu folgende Schritte zu durchlaufen:

1.2 Generelle Vorgehensweise

5

1. Gemäß des mechanischen Verhaltens des Bauteils muss ein finites Modell gebildet werden. Im vorliegenden Fall wird der Träger in den Flanschen Zug-Druck und im Steg hauptsächlich Schub abtragen. Entsprechend diesen Belastungen können die Flansche durch Stab- und der Steg durch Scheiben-Elemente idealisiert werden. Möglich wäre auch eine einheitliche Idealisierung durch Schalen-Elemente oder gar Volumen-Elemente. Bei der Elementierung muss stets die Verschiebungskompatibilität an den Knoten der zusammengebundenen Elemente gegeben sein. Zur Elementierung sei noch bemerkt: Wenn für die Flansche Stab-Elemente gewählt werden, kann man nur Normalkräfte bzw. abschnittsweise Zug/Druck-Spannungen bestimmen. Würde man stattdessen Schalen-Elemente wählen, so beziehen sich die ermittelten Spannungen auf die Deckschichten der Elemente. Erst mit der Wahl von Volumen-Elementen kann man eine weitgehend reale Spannungsverteilung auch in den Ecken ermitteln. 2. Bei einer Modellbildung ist immer zu prüfen, ob Symmetrien ausgenutzt werden können, da hierdurch die Bearbeitungszeit gravierend verkürzt werden kann. Das Beispiel zeigt in Geometrie und Belastung eine Halbsymmetrie, insofern braucht nur eine Hälfte des Trägers als Modell aufbereitet werden. An den Schnittkanten müssen dann aber besondere Randbedingungen angegeben werden. 3. Für die Netzbildung ist es wichtig, dass das Netz dort verdichtet wird, wo man exaktere Informationen erzielen will und dort grob ist, wo die Ergebnisse nicht so sehr von Interesse sind. Die Netze werden heute ausschließlich mit Pre-Prozessoren weitgehend automatisch erzeugt. Hierzu ist eine Aufteilung des zu vernetzenden Gebietes in Makros vorzubereiten. Ein Makro wird gewöhnlich durch drei oder vier Seiten gebildet, bei größerer Seitenzahl ist durch Linienzusammenfassung ein regelmäßiges berandetes Gebiet zu erzeugen. Durch die Wahl der Elementgeometrie und eines Seitenteilers muss dann eine sinnvolle Vernetzung möglich sein. 4. Grundsätzlich können elastomechanische Vorgänge nur ausgelöst werden, wenn Festhaltungen vorliegen, d. h. ein Bauteil mindestens statisch bestimmt gelagert ist und mindestens eine Kraft wirkt. Dies gilt auch für unser Beispiel, das jetzt mit zutreffenden Randbedingungen zu versehen ist. Alle Knotenpunkte auf den Schnittkanten müssen sich dabei in y-Richtung frei bewegen können, in x-Richtung aber in ihrer Beweglichkeit gesperrt werden. Weiter muss an mindestens einem Punkt die Beweglichkeit in y-Richtung gesperrt werden, damit das Bauteil keine Starrkörperbewegungen vollführt. 5. Da die Elemente über die Knotenpunkte verbunden werden, sollten die äußeren Kräfte wenn möglich in die Knoten eingeleitet werden. Nachdem diese ingenieurmäßigen Vorarbeiten durchgeführt worden sind, kann man sich eines FEM-Programmsystems bedienen, in das nun das Modell einzugeben ist. Wenn das Modell formal richtig ist, lässt sich der Gleichungslöser anstarten, der nach den Verformungen auflöst und in einer Rückrechnung die Spannungen, Dehnungen sowie Reaktionskräfte ausweist. Die Aufbereitung der dabei anfallenden Daten erfolgt üblicherweise grafisch. Im Bild 1.4 ist der formale Ablauf dargestellt, wie heute in der Praxis FEM angewandt wird.

1 Einführung

6 CAD-System Schnittstelle Pre-Prozessor

FEM-Universalprogramm

Bild 1.4: Konventionelle CAE-Prozesskette Post-Prozessor

Im Regelfall ist das Bauteil in CAD erstellt worden und muss noch entsprechend aufbereitet werden. Hierbei kann es sein, dass die Hersteller zwischen dem CAD- und dem FEMSystem eine Direktkopplung realisiert haben. In diesem Fall kann ein Bauteil als Flächenoder Volumenmodell sofort übernommen werden. Liegen hingegen zwei völlig autonome Systeme vor, so muss die Bauteilgeometrie über eine Standardschnittstelle wie IGES (Initial Graphics Exchange Specification) oder STEP*) (Standard for the Exchange of Product Model Data) transportiert werden. Es ist in diesem Zusammenhang selbstredend, dass in beiden Fällen die Darstellung bereinigt werden muss bis auf die nackte Geometrie, die für FEM von Interesse ist. Die Aufgabenstellung des Pre-Prozessors ist die Generierung eines berechenbaren FE-Modells, d. h. die Erzeugung eines sinnvollen Netzes, Zuweisung der Elementdaten (A, J, t) und der Materialwerte (E, Q) sowie Einbringung der Kräfte und Randbedingungen. Ein damit bestimmtes System kann nun mittels eines numerischen Gleichungslösers behandelt werden, und zwar wird ein Gleichungssystem des Typs Steifigkeit x Verschiebungen = Kräfte nach den Verschiebungen aufgelöst. Über das Werkstoffgesetz besteht weiterhin ein Zusammenhang zu den Spannungen, die somit ebenfalls berechnet werden können. Für die Ausgabe wird ein Post-Prozessor genutzt. Dieser stellt die verformte Struktur sowie die Dehnungen und Spannungen in der Struktur dar. Hierzu werden Farbfüllbilder benutzt, die sofort einen Überblick über die herrschenden Verhältnisse geben. Wie diese Darlegungen erkennen lassen, ist dies eine qualifizierte Ingenieurarbeit, die üblicherweise eines Spezialisten bedarf. Dies zeigt sich auch in großen Konstruktionsbüros, die zwischen CAD-Konstrukteuren und FEM-Analytikern unterscheiden. Keineswegs ist es aber so, dass FEM-Probleme automatisch durch Rechner gelöst werden. Wie die Tätigkeitsanalyse von Bild 1.5 ausweist, ist der Rechner hier nur das zentrale Hilfsmittel, ohne dessen Leistungsfähigkeit die Methode generell nicht wirtschaftlich nutzbar wäre.

*)

Anmerkung: STEP ist in der ISO 10303 genormt und fähig, alle produktbeschreibenden Daten von CAD nach CAD oder CAD nach FEM zu übertragen.

1.2 Generelle Vorgehensweise

7

anfallende Bearbeitungsschritte

geschätzter Mannzeitaufwand

geschätzte Rechenzeit

x

methodengerechte tung des Problems

Aufberei-

10 %

-

x

Generierung des FE-Modells im Pre-Prozessor

50 %

20 %

x

Rechenlauf

-

70 %

x

Ergebnisauswertung im PostProzessor, Dokumentation

30 %

10 %

x

Plausibilitätsprüfung

10 %

-

Bild 1.5: Tätigkeitsanalyse zur Bearbeitung von FE-Problemen

Bis vor wenigen Jahren war der manuelle Aufwand bei der Bearbeitung von FE-Problemen noch sehr groß und somit die Durchführung von FE-Rechnungen sehr teuer. Dies hat sich mit der schnellen Weiterentwicklung der Computertechnik aber grundlegend geändert. Die Möglichkeiten zum interaktiven Arbeiten wurden durch eine neue Bildschirmtechnologie verbessert, was wiederum die Voraussetzungen für leistungsfähigere Prozessoren war. Zudem konnte die Rechengeschwindigkeit von Workstations etwa verhundertfacht und die Speicherkapazität verzehnfacht werden. Ein neuer Trend weist zu PC-Lösungen in einer Windows/NT-Arbeitsumgebung, die mittlerweile Workstation in den Leistungsparametern*) überholt haben. Durch diese günstigeren Rahmenbedingungen ergibt sich zunehmend die Chance, auch größere Berechnungsumfänge in vertretbarer Zeit und zu geringeren Kosten zu bearbeiten. Eine weitere Perspektive, vor allem in den USA, geben so genannte MCAE-Systeme (Mechanical Computer Aided Engineering) wie beispielsweise I-DEAS (oder in Ansätzen CATIA V5), in denen CAD, FEM, Optimierung und Lebensdauer als Verfahrensstrang zusammengeführt worden sind. Damit insbesondere die Möglichkeiten zum Leichtbau (niedriges Eigengewicht, hohe Steifigkeit, beste Materialausnutzung) zielgerichteter genutzt werden können, bedarf es ebenfalls einer besseren Anpassung der Strategie. Realisiert wird dies heute über Konturoptimierungsalgorithmen, die die Oberflächenkontur dem Belastungsverlauf angleichen. Die FE-Methode entwickelt sich somit immer mehr zu einem Werkzeug der Prävention, in dem Bauteile durch Simulation praxistauglich gemacht werden. Dies erspart Prototypen und aufwändige Nachbesserungen im späteren Nutzungsumfeld.

*)

Anmerkung: Im Jahre 1985 lag die Leistungsfähigkeit eines Micro-VAX-II-Rechnersystems für ca. 1.000 Elemente (| 5.000 FHGs) bei 60 Min. CPU; im Jahre 1999 schaffte der Parallelrechner Silicon Origin ca. 280.000 Elemente (| 1,2 Mio. FHGs) bei 20 Min. CPU; heute 2003 schaffen PCs mit (2 GB-RAM) etwa 370.000 Elemente (| 1,5 Mio. FHGs) bei 60 Min. CPU-Zeit.

8

1 Einführung

1.3 Aussagesicherheit einer FE-Analyse Eine Frage, die Anwender immer wieder bewegt, ist die nach der Richtigkeit der Ergebnisse. Überspitzt kann man dazu feststellen: Ein FE-Programm rechnet alles, was formal richtig erscheint. Ob das, was gerechnet wird, jedoch dem tatsächlichen Verhalten gerecht wird, muss letztlich durch ingenieurmäßigen Sachverstand überprüft werden. Bei der Anwendung gibt es nämlich einige Fehlerquellen, die letztlich die Qualität des Ergebnisses negativ beeinflussen:  Ein häufiger Fehler besteht in der physikalisch unkorrekten Annahme der Randbedingungen, welches dann zu einer falschen Spannungsverteilung und falschen Auflagerreaktionen führt.  Ein weiterer Fehler ist, dass die ausgewählten Elemente die Reaktionen des Bauteils nur unzureichend wiedergeben, wodurch die tatsächliche Spannungsverteilung nicht erfasst wird.  Des Weiteren kann es sein, dass zu stark vereinfachte Körpergeometrieverläufe zu nicht vorhandenen Spannungsspitzen führen, oder  das Netz einfach zu grob gewählt wurde, um verlässliche Aussagen machen zu können. Die Anwendung der FEM bedarf somit einiger Erfahrung, da der implizit im Ergebnis mitgeführte Fehler maßgeblich durch die Sorgfalt des Berechnungsingenieurs bestimmt wird. Über die Größe des Fehlers kann regelmäßig nichts ausgesagt werden, da zu komplizierten Bauteilen meist keine exakte physikalische Lösung bekannt ist. Unterstellt man, dass alle Annahmen zutreffend gewählt wurden, so ist für die Genauigkeit des Ergebnisses die Anzahl der Elemente verantwortlich, die zur Bauteilbeschreibung herangezogen wurden. Je feiner also ein Netz gewählt wurde, umso genauer kann ein Bauteil beschrieben werden und umso genauer werden auch die Ergebnisse sein. Aus diesem Grunde bezeichnet man Programme mit dieser Abhängigkeit als h-Versionen, weil eben die Ergebnisgüte eine Funktion von h - dem relativen Elementdurchmesser - ist. Diese Zusammenhänge stellen für die Praxis oft ein Hindernis dar, da man ja eigentlich ein sehr gutes Ergebnis erzielen möchte, für das man aber eine große Elementanzahl benötigt, was wiederum gleichbedeutend ist mit einer sehr langen Rechenzeit. Prinzipiell existiert für dieses Problem aber ein einfacher Lösungsansatz, denn die Funktion Genauigkeit über Elementanzahl oder Freiheitsgrade konvergiert immer monoton gegen das exakte Ergebnis eines FE-Modells. Demnach bräuchte man nur das vorhandene FE-Netz mit einem größeren Teiler zu verfeinern, jeweils das berechnete Ergebnis auftragen und sich die konvergierende Funktion ermitteln. Der Haken bei dieser Vorgehensweise ist der hohe Aufwand an Arbeitsund Rechenzeit, weshalb diese Möglichkeit praktisch nicht genutzt wird. Sieht das Ergebnis (farbige Darstellung mit einem Post-Prozessor) einigermaßen vernünftig aus, so wird in der Regel aus Zeit- und Kostengründen auf eine Netzverfeinerung und Konvergenzuntersuchung verzichtet.

1.3 Aussagesicherheit einer FE-Analyse

9

Diese an sich unbefriedigende Situation ist man in den letzten Jahren mit so genannten pVersionen angegangen. Während in herkömmlichen FE-Programmen das Elementverhalten mit Polynomen erster, zweiter und in Ausnahmefällen dritter Ordnung approximiert wird, wendet man sich heute immer mehr Polynomen höheren Grades zu. Der Vorteil liegt darin, dass mit höherem Polynomgrad die Genauigkeit eines Elementes zunimmt, welches sich wiederum in einer größeren geometrischen Genauigkeit beim Modellieren (Randkurvenanpassung) und einer höheren Informationsdichte durch mehr Knotenfreiheitsgrade niederschlägt.

VV [N/mm2]

Ein Anwendungsbeispiel zur Überprüfung der vorstehenden Aussagen zeigt Bild 1.6. Es handelt sich hierbei um die Viertelsymmetrie einer Nietbrücke aus einem hochfesten Stahl, so wie sie im Flugzeugbau zur Überbrückung von Rissen in der tragenden Struktur eingesetzt wird.

h-Version 783

754

8 p-Version

725

5

6

7

4 3

696 h-Version 667

100

p=2

400

1.000

4.000

10.000

13.000 FHGs

Bild 1.6: Spannungsauswertung in der Nietbrücke mit einer h- und p-Version (nach /NN 90/)

Für die erste Modellierung mit einer h-Version wurden 2.250 Volumen-Elemente (entspricht 4.000 FHGs) aufgewandt. Die größte Spannungsspitze liegt dann bei 667 N/mm2. Wird die Elementanzahl auf 4.500 verdoppelt (entspricht 13.000 FHGs), so steigt die Spannungsspitze auf 783 N/mm2, was einer relativen Spannungszunahme von 15 % entspricht.

1 Einführung

10

Analysiert man das Problem mit einer p-Version, so reichen zur Modellierung 18 VolumenElemente aus. Aus der Auftragung ist mit zunehmendem Polynomgrad die Konvergenz deutlich sichtbar. Erfahrungsgemäß erreicht man mit dem Polynomgrad 6 (entspricht 3.100 FHGs) meist recht gute Ergebnisse, was durch dieses Beispiel ebenfalls belegt werden konnte. Theoretisch kann bis zu dem Polynomgrad 12 ausgewertet werden. Der Vorteil liegt somit in einer einfacheren Modellierung und in der geringen CPU-Zeit, die proportional der Anzahl der Freiheitsgrade ist, wobei der Rechenaufwand für einen Freiheitsgrad bei beiden Programmversionen als etwa gleich angenommen werden kann.

1.4 Qualitätsstandards Innerhalb einer Produktentwicklung konnte sich die FEA als ein wichtiger Bestandteil etablieren. Als Dienstleistung kann sie „intern“ im Unternehmen oder „extern“ von einem Ingenieurbüro erbracht werden. Da mit der DIN EN ISO 9001 Vorgaben für die Planung und Durchführung von Produktentwicklungsprozessen gemacht werden, bedeutet dies natürlich auch, dass an die Ausführungsqualität von FE-Berechnungen Vorgaben bestehen, die umzusetzen und einzuhalten sind. Die Norm fordert beispielsweise  ein „Management der Ressourcen“, um die Kundenanforderungen zu befriedigen. Dies umfasst die Fähigkeiten des Personals und eine Infrastruktur an Soft- und Hardware, die sicherstellt, dass Aufgabenstellungen gemäß den Vorgaben erfüllt werden können.  Weiterhin muss eine „Planung und Produktrealisierung“ vorgenommen werden, dies verlangt Aufzeichnungen zum FE-Einsatz und den erzielten Ergebnissen. und  Eine weitere wichtige Forderung ist die „Bewertung, Verifizierung und Validierung“ von FE-Ergebnissen, womit oft verbunden ist, dass letztlich eine verantwortliche Führungskraft durch eine Unterschrift für die Richtigkeit der Ergebnisse einsteht. Der letzte Punkt wird in der Norm mehrfach herausgestellt und führt letztlich zu der Forderung: Dienstleistungen müssen validiert werden, wenn die Ergebnisse nicht durch Messung verifiziert werden können. Im Sinne der Norm bedeutet Validieren, dass Berechnungsergebnisse als gültig erklärt werden müssen und Verifizieren verlangt eine Überprüfung auf Richtigkeit. Interpretiert man dies, so wird also verlangt, dass mittels analytischer Handrechnung Vergleichsergebnisse herangezogen werden. Weisen diese die gleiche Größenordnung auf, so ist belegt, dass das FE-Ergebnis „richtig“ ist. Dies schließt formal auch die richtige Handhabung ein.

2.2 Kommerzielle Software

11

2 Anwendungsfelder und Software 2.1 Problemklassen Die Methode der finiten Elemente ist für eine große Klasse von technisch-physikalischen Aufgaben interessant, weil sehr tief greifende Analysen möglich werden. Bild 2.1 zeigt eine Zusammenstellung von bisher bekannten Anwendungen. Der Schwerpunkt liegt dabei eindeutig bei Festigkeits-, Potenzial- und Multiphysikproblemen.

x

lineare Elastostatik:

x

nichtlineare Elastostatik:  nichtlineares Materialverhalten (Plastizität)  geometrisch nichtlineare Probleme (Instabilitätsprobleme, große Verschiebungen bei kleinen Dehnungen)  impulsartige große Verformungen (Crash)  Umformprozesse (IHU)

x

lineare Elastodynamik:

x

nichtlineare Elastodynamik:

 Hooke‘sches Materialverhalten ( V

E ˜H)

 Eigenschwingungen  freie und erzwungene Schwingungen  zufallserregte Schwingungen  zeit- und verschiebungsabhängige Kräfte  Stabilität, Kreiselbewegung

x

Starrkörperdynamik:

 MKS bzw. EMKS

x

Elastohydrodynamik:

 Schmierfilm

x

Ermüdungsfestigkeit:

 Schädigung, Lebensdauer, Rissbruch

x

Aeroelastizität:

 elast. Strukturverhalten unter Anströmung

x

Wärmeübertragung:

 stationäre und instationäre Wärmeleitung

x

Thermoelastizität:

 mechanische Beanspruchung unter hohen Temperaturen

x

Flüssigkeitsströmungen:  Sickerströmung, Geschwindigkeits-, Druck- und Temperaturfelder

x

Elektrotechnik:

 elektrisches Strömungsfeld, Magnet- und Wellenfelder

x

Akustik:

 Schalldruckverteilung, Druckstöße

x

Gießtechnologie:

 Spritz- und Druckgießen, Schwerkraftgießen

x

Multiphysik:

 gekoppelte Strömung, Temperatur mit Elastik

Bild 2.1: Methodenstammbaum der FEM (nach /KLE 80/)

12

2 Anwendungsfelder und Software

Ein Kriterium für die Anwendung der Methode ist, dass das physikalische Problem entweder durch eine Differenzialgleichung oder ein äquivalentes Variationsprinzip darstellbar ist. Wir werden später herausarbeiten, dass dies bei den Problemklassen der Elastostatik und Elastodynamik entweder die Differenzialgleichung des Gleichgewichts oder ersatzweise die Gleichheit der inneren und äußeren virtuellen Arbeit ist. Die Befriedigung dieser Gleichungen versucht man mit geeigneten Ansätzen näherungsweise zu erfüllen, wodurch sich der Näherungscharakter der Methode /MAY 93/ ergibt. Bei der Behandlung elastostatischer und elastodynamischer Probleme wendet man heute die so genannte Verschiebungsgrößen-Methode (unbekannt sind die Verschiebungen in einer Struktur) an, in dem man Ansatzfunktionen für das Verschiebungsverhalten der Elemente vorgibt und hiermit ein Gleichungssystem bildet. Früher wurde auch die so genannte Kraftgrößen-Methode (unbekannt sind die Kräfte in einer Struktur) verwandt. Da in der Praxis aber viel häufiger die Kräfte als die Verschiebungen bekannt sind, hat sich in der Theorie und Programmerstellung die Verschiebungsgrößen-Methode durchgesetzt, weshalb diese im Folgenden auch Formulierungsbasis sein soll. Im Zuge der Weiterentwicklung der FE-Methode ist abzusehen, dass über die Stufen Feldprobleme, Multiphysik zukünftig komplexe Systemmodellierungen ein breites Anwendungsfeld darstellen werden. Dynamische bzw. elastodynamische Systeme werden immer tiefer durch die MKS oder EMKS (elastische Mehrkörpersysteme) erschlossen. Zu den wichtigsten Feldproblemen zählen: Wärmeleitung, Potenzialströmung und Magnetismus. Diese Probleme lassen sich auf einen identischen DGL-Typ zurückführen. Je nach Spezifikation der Konstanten kann dann die Fourier’sche Wärmeleitungsgleichung, die Poisson’sche Gleichung für Potenzialströmungen oder die Maxwell’sche Gleichung für die magnetische Kraftwirkung entwickelt werden. Ein entsprechendes FE-Modell ist dadurch gekennzeichnet, dass an den Knoten nur eine skalare Unbekannte (Temperatur, Druck, Magnetkraft etc.) vorkommt und daher ein modifiziertes Programm mit einer anderen Speichertechnik benötigt wird. Weiter sind in den letzten Jahren CFD-Programme*) (Computational Fluid Dynamics) entwickelt worden. Diese stellen eine Realisierung für Strömungsprobleme mit dem Medium Luft oder Wasser dar. Darüber hinaus können auch zähe Strömungen (Kunststoffschmelzen) mit dem Modul MOLDFLOW erfasst werden.

2.2 Kommerzielle Software Der Softwaremarkt hat sich in den letzten Jahren sehr konsolidiert. Während vor 10 Jahren noch etliche hundert große und kleine FE-Programme am Markt waren, hat sich dies auf wenige Systeme konzentriert. Dieser werden mit großer Programmierkapazität überwiegend in den USA entwickelt und weltweit vermarktet. Man schätzt den FE-Markt auf ein Volumen von 3-4 Mrd. Dollar/Jahr. Im umseitigen Bild 2.2 ist eine Kurzübersicht über die in Deutschland verbreitetsten Programme wiedergegeben. Die Unterschiede sind im Prinzip gering. Dies schließt nicht aus, dass man in einem speziellen Anwendungsfall gerade die „letzten 5 %“ benötigt. *)

Anmerkung: z. B. kommerzielle Softwareprodukte FLOW-3-D, CFX, StarCD, Fluent

2.2 Kommerzielle Software

13

ADINA

ANSYS

MSC NASTRAN

ABAQUS

I-DEAS

Festigkeitsanalyse statisch

x

x

x

x

x

Explizite Dynamik

x

-

x

x

-

Stabilitätsanalyse

x

x

x

x

x

Frequenzanalyse

x

x

x

x

x

Lebensdaueranalyse

x

x

x

x

x

Magnetfelder

-

x

-

x

-

Temperatureinflüsse

x

x

x

x

x

Strömung

x

x

x

x

x

Akustik

x

x

x

x

x

k. A.

x

x

x

x

x

x

x

x

x

Plastizität

x

x

x

x

x

Kriechverhalten

x

x

k. A.

x

x

Viscoelastizität/-plastizität

x

x

x

x

-

Verbundwerkstoffe

x

x

k. A.

x

x

CATIA

x

x

x

x

x

Pro/Engineer

x

x

x

k. A.

x

I-DEAS

x

k. A.

x

k. A.

x

SolidWorks

x

x

k. A.

k. A.

x

universell

universell

universell

System Berechnungsoptionen

Optimierung Kontakteinfluss Materialeigenschaften

Schnittstellen zu anderen CAE-Programmen (Auswahl)

Einsatzgebiete

Bild 2.2: Universelle FEM-Programme x verfügbar (gegebenenfalls Erweiterung) - nicht verfügbar k. A. keine Angabe durch den Hersteller

nichtlin. universell Probleme

2 Anwendungsfelder und Software

14

System

LS-DYNA COSMOSM

MSC ADAMS

Pro/Mechanic PAMa CRASH

Berechnungsoptionen Festigkeitsanalyse statisch

x

x

x

x

x

Explizite Dynamik

x

-

x

-

x

Stabilitätsanalyse

x

x

x

x

x

Frequenzanalyse

x

x

x

x

-

Lebensdaueranalyse

x

x

x

x

-

Magnetfelder

-

x

-

-

-

k. A.

x

k. A.

x

-

x

-

k. A.

k. A.

-

Akustik

k. A.

-

k. A.

k. A.

-

Optimierung

k.A.

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

k. A.

k. A.

x

Kriechverhalten

k. A.

x

k. A.

k. A.

-

Viscoelastizität/plastizität

x/-

x/-

k. A.

k. A.

-

x

x

k. A.

k. A.

x

Temperatureinflüsse Strömung

Kontakteinfluss Materialeigenschaften Plastizität

Verbundwerkstoffe Schnittstellen zu anderen CAEProgrammen (Auswahl)

via ANSYS

CATIA

-

k. A.

x

x

k. A.

Pro/Engineer

-

k. A.

-

x

k. A.

I-DEAS

-

x

-

-

x

SolidWorks

-

k. A.

-

-

k. A.

Bewegungssimulation

Dynamik, Lebensdauer

Crash

Einsatzgebiete

Crash, Umformung

einfache Strukturanalysen

Bild 2.3: FEM-Programme für spezielle Anwendungen

2.2 Kommerzielle Software

15

Neben den aufgeführten schon sehr leistungsfähigen Universalprogrammen (ADINA, ANSYS, NASTAN und I-DEAS) existiert beispielsweise mit ABAQUS eine von der Theorie her sehr komplette Implementierung, die auch schwierigste Fälle zu lösen gestattet. Meist liegen diese Fälle schon im Forschungsbereich, sodass ein normaler Anwender dieses Mehr fast nie nutzen wird. Darüber hinaus existieren weitere Spezialprogramme, die ihre Stärken in der Crash-Analyse, Umformsimulation, MKS (ADAMS, visualNASTRAN) oder Lebensdauer haben. Einige Programme hierzu weist Bild 2.3 aus. Die zukünftige Entwicklungsrichtung der FE-Programme wird mehr in der System- und Prozessschiene liegen, in dem Abläufe oder Ereignisse simuliert werden. In diese Richtung entwickeln sich die MKS-Programmsysteme (Kinematik/Kinetik) und die Prozesssimulation (Umformen, Gießen, Härten, Lackieren etc.), um zunächst „virtuelle Prototypen“ zu qualifizieren. Eine heute schon in der Automobilentwicklung zur Anwendung kommende Methodenkette zeigt Bild 2.4.

3-D-CAD-Bauteilmodell (virtueller Prototyp)

Legende:

MKS MKS =

TOP-OPT/ FORM-OPT

FEM

LDB

Mehrkörpersimulation TOP-OPT = TopologieOptimierung FORM-OPT = FormOptimierung CAD-QM = qualifiziertes Modell LDB = LebensdauerBerechnung

3-D-CAD-QM

Bild 2.4: Simulation in der Bauteilentwicklung Prozesssimulation

Im Vordergrund stehen hierbei die Entwicklungszeiten*) zu reduzieren, in dem virtuelle CAD-Prototypen so lange qualifiziert werden, bis alle vorgegebenen Anforderungen mit großer Sicherheit erfüllt werden. Danach beginnt erst das Entwicklungsstadium mit „materiellen Prototypen“. Im Zentrum dieser ganzen Entwicklung steht die FEM, die sich demzufolge auch dynamisch weiterentwickelt und neue Anwendungsfelder erschließen wird. *)

Anmerkung: In der Automobilindustrie sind die Entwicklungszeiten in den letzten 10 Jahren von 60 Monaten auf 30 Monate bzw. im Maschinenbau von 30 Monaten auf 12 Monate verkürzt worden.

16

3 Grundgleichungen der linearen Finite-ElementMethode Wie zuvor schon angesprochen, ist die FE-Methode eine computerorientierte Berechnungsmethode, da deren Ablauf gut programmierbar ist. Dies setzt voraus, dass alle wesentlichen Gleichungen in eine bestimmte Form gebracht werden müssen. Als besonders zweckmäßig hat sich hierbei die Matrizenformulierung erwiesen, weshalb wir die bekannten Gleichungen der Elastizitätstheorie neu formulieren müssen. Das Ziel besteht in der Aufstellung der finiten Grundgleichungen und der Ermittlung von Zusammenhängen zwischen den Steifigkeiten, Massen, Kräften und Verschiebungen.

3.1 Matrizenrechnung Zum weiteren Verständnis der Methode sind einige Grundkenntnisse in der Matrizenalgebra erforderlich, die darum vorweg noch einmal zusammengestellt werden sollen. Die später noch aufzustellende finite Grundgleichung ist eine Gleichung der Form /ZUR 54/

k ˜u

p.

(3.1)

Sie gibt einen Zusammenhang an zwischen einer vorhandenen linearen Steifigkeit (k), auftretenden unbekannten Verschiebungen (u) und bekannten Kräften (p). Wir wollen dies nun so verallgemeinern, dass eine Gleichung von der Form /ZUR 54/

A˜x

(3.2)

y

vorliegen mag. Hierin bezeichnet jetzt A eine rechteckige Anordnung (m x n, d. h. m Zeilen und n Spalten) von Größen, die Matrix genannt werden soll. Mit x soll weiter der Vektor der unbekannten Größen und mit y der Vektor der bekannten rechten Seite bezeichnet werden. Das somit gegebene lineare Gleichungssystem kann auch wie folgt ausgeschrieben werden: ª a 11 «a « 21 « # « ¬ a m1

a 12 a 22

a 13 a 23

a m2

a m3

" "

a 1n º ª x 1 º a 2n » « x 2 » »˜« » » « # » » « » " a mn ¼ ¬ x n ¼

ª y1 º «y » « 2» . « # » « » ¬ yn ¼

(3.3)

Man erkennt somit die Analogie zwischen der Gl. (3.1) und (3.2). Die Elemente a ij in der Matrix A sollen des Weiteren noch Koeffizienten genannt werden. Ohne, dass jetzt schon auf Lösungsverfahren für Gl. (3.2) eingegangen werden soll, ist es natürlich klar, dass die Unbekannten in x zu ermitteln sind. Dies führt zur Operation der Inversion der Koeffizientenmatrix, was symbolisch dargestellt werden kann als

x

A 1 ˜ y

adj A ˜y. det A

(3.4)

3.1 Matrizenrechnung

17

Die Inversion als solches ist im Anhang beispielhaft erläutert. Zur Koeffizientenmatrix sollen aber noch einige Anmerkungen gemacht werden. Dies sei zunächst die Transponierung oder Spiegelung an der so genannten Hauptdiagonalen. Das Transponieren läuft dabei so ab, dass die Elemente a ij der Matrix A durch die Elemente a ji ersetzt werden, d. h., es findet ein Vertauschen der Zeilen und Spalten statt, z. B. ª a11 a12 «a a 22 « 21 ¬« a 31 a 32

A

a13 º a 23 » , » a 33 ¼»

At

ª a11 «a « 12 ¬« a13

a 21 a 22 a 23

a 31 º a 32 » . » a 33 ¼»

(3.5)

Hieraus erkennt man weiter, das für symmetrische Matrizen At

(3.6)

A

sein muss. Wir werden nachfolgend wiederholt Vektoren bzw. Spaltenmatrizen transponieren, d. h., aus einer Spaltenmatrix wird eine Zeilenmatrix gebildet:

y

ª y1 º «y » « 2» , « # » « » ¬ yn ¼

y t > y1 y 2 ... y n @ .

(3.7)

Als besonders wichtig soll hier das Transponieren eines Matrizenproduktes hervorgehoben werden, weil eine Vertauschungsregel wirksam wird. Es gilt:

A ˜ B t = B t ˜ A t .

(3.8)

Von den Rechenarten mit Matrizen soll hier nur die Multiplikation näher erläutert werden, unter anderem, weil sie vorstehend schon benutzt worden ist. Zunächst ist zu bemerken, dass das Produkt zweier Matrizen nicht vertauschbar ist, d. h. ganz allgemein gilt: A˜B z B˜A .

(3.9)

Bei der Produktbildung muss somit die Multiplikation „von links“ von der „nach rechts“ unterschieden werden. Damit überhaupt zwei Matrizen miteinander multipliziert werden können, muss die Spaltenzahl der ersten Matrix gleich der Zeilenzahl der zweiten Matrix sein: A ˜

B

(m x n ) (n x r )

C

.

(3.10)

(m x r)

Ist diese Verkettbarkeitsregel nicht erfüllt, so ist das Matrizenprodukt nicht definierbar. Mit den Elementen der vorhergehenden Matrizen lautet dann das Produkt:

3 Grundgleichungen der linearen Finite-Element-Methode

18 n

¦ a ik ˜ b kj .

cij

(3.11)

k 1

Diese Regel ist so anzuwenden, dass man das Element cij der Produktmatrix erhält, wenn man jedes Element der i-ten Zeile der ersten Matrix mit jedem Element der j-ten Spalten der zweiten Matrix multipliziert und die einzelnen Produkte addiert, z. B. ª a 11 a 12 º ª b11 »˜« « «¬ a 21 a 22 »¼ «¬ b 21

b12 º » b 22 »¼

ª a 11 ˜ b11  a 12 ˜ b 21 a11 ˜ b12  a12 ˜ b 22 º « » . «¬ a 21 ˜ b11  a 22 ˜ b 21 a 21 ˜ b12  a 22 ˜ b 22 »¼

Im Zusammenhang mit der Multiplikation tritt öfters der Fall auf, dass mit einem konstanten Faktor multipliziert werden muss, diesbezüglich gilt: ª Ȝ ˜ a11 Ȝ ˜ a12 " Ȝ ˜ a1n º « # » . « » «¬ Ȝ ˜ a m1 Ȝ ˜ a m 2 " Ȝ ˜ a mn »¼

O˜A

(3.12)

Auch tritt der Fall auf, dass quadratische Matrizen mit der Einheitsmatrix

I

º ª1 0 0 » «0 1 0 » «0 0 1 « % » » « 1¼ ¬

multipliziert werden müssen. Ein Nachvollzug beweist, dass A˜I

I˜A

A

(3.13)

ist. Als Letztes soll noch kurz auf die Differenziation und die Integration eingegangen werden, was aber als elementar anzusehen ist. Die Differenziation einer Matrix wird elementweise durchgeführt, z. B.

dA dx

ª da11 « dx « « da 21 «¬ dx

da12 º dx » » . da 22 » dx »¼

(3.14)

Gleiches gilt für die Integration, die ebenfalls elementweise durchgeführt wird, z. B.

³ A ˜ dx

ª ³ a11 ˜ dx ³ a12 ˜ dx º ». « «¬ ³ a 21 ˜ dx ³ a 22 ˜ dx »¼

(3.15)

3.2 Gleichungen der Elastostatik

19

Auf die ansonsten noch benötigten Besonderheiten der Matrizenrechnung wird im jeweiligen Text und im Anhang näher eingegangen.

3.2 Gleichungen der Elastostatik Im Folgenden sollen elastische Körper unter der Einwirkung von Kräften betrachtet werden. Die demzufolge eintretenden Verformungen sollen als stetig, klein und reversibel angenommen werden. Zur Beschreibung des elastomechanischen Verhaltens eines Körpers sind hierbei 15 Gleichungen erforderlich, und zwar  6 Verschiebungs-Verzerrungsgleichungen,  6 Verzerrungs-Spannungsgleichungen und  3 Gleichgewichtsgleichungen.

In diesen Gleichungen treten insgesamt 15 Unbekannte auf. Dies sind:  3 Verschiebungen u t  6 Verzerrungen

İ

t

>u

v w@ ,

ªİ İ İ Ȗ Ȗ Ȗ º «¬ xx yy zz xy yz zx »¼

und  6 Spannungen

ıt

ªı ı ı IJ IJ IJ º . «¬ xx yy zz xy yz zx »¼

Hierin bezeichnet u(x), v(y) und w(z) richtungsabhängige Verschiebungen in einem kartesischen Koordinatensystem, die wiederum die Verzerrungen İ (Dehnungen und Gleitungen) hervorrufen und über das Hooke‘sche Gesetz Spannungen ı bewirken. Der Zusammenhang zwischen den Verschiebungen und den Verzerrungen*) ist bekanntlich gegeben durch H xx J xy

wu , wx wv wu  , wx wy

H yy J yz

wv , wy ww wv  , wy wz

H zz J zx

ww , wz wu ww  . wz wx

(3.16)

Hier werden partielle Ableitungen benutzt, weil eine räumliche Beziehung bestehen soll. An dem ebenen Scheiben-Element in Bild 3.1 sind diese Zusammenhänge leicht zu erkennen, welches in der nachfolgenden Ableitung exemplarisch gezeigt wird: *)

Anmerkung: Die Gleitungen ergeben sich durch systematisches Vertauschen im Zähler, beispielsweise J xy

wv wu .  wx wy

3 Grundgleichungen der linearen Finite-Element-Methode

20 y

wu dy wy

D

C'

D'

wv dy wy

S- J 2 xy C

u

B'

wv dx wx

A'

dy

v

A

dx

wu dx wx x

B

Bild 3.1: Verzerrungen am ebenen Scheiben-Element

H xx

J xy

A cBc  AB AB

§ dx  wu dx  dx · ¨ ¸ © ¹ wx dx

wu wx

,

wu · § wv dy ¸ ¨ dx S S ¨ S dx wy ¸  1  Q H xx  QH yy  H zz @, 1  Q 1  2Q

V xx

E

V yy

1  Q 1  2Q E

V zz

1  Q 1  2Q

W xy

E ˜ J xy , 21  Q

W yz

E ˜ J yz , 21  Q

W zx

E ˜ J zx . 21  Q

>1  Q H yy  QH xx  H zz @,

>1  Q H zz  QH xx  H yy @, 

(3.18)

Die hierin eingehenden Werkstoffkonstanten E als Elastizitätsmodul und Q als Querkontraktion sollen zunächst als Einpunktwerte (nicht richtungsabhängig) betrachtet werden. Somit lässt sich auch die vorstehende Gl. (3.18) in symbolischer Matrizenschreibweise darstellen als

ª V xx «V « yy « V zz « « W xy « W yz « ¬ W zx

º » » » » » » » ¼

0 Q Q ª 1  Q « 0 1  Q Q « « 1  Q 0 « 1  2 Q E « « 2 1  Q 1  2 Q « « sym. « « «¬

0 0 0 0

1  2 Q 2

º » 0 » ª H xx » « H yy 0 » « » « H zz 0 »˜« J » « xy 0 » « J yz » « 1  2 Q » ¬ J zx »¼ 2 0

º » » » » » » » ¼

bzw. verkürzt als ı

E˜İ.

(3.19)

Besonderes Augenmerk wollen wir weiterhin noch auf die Elastizitätsmatrix E richten, die sich also aus dem E-Modul und der Querkontraktion Q zusammensetzen.

Anmerkung: Zuvor ist G

E 21  Q

gesetzt worden.

3 Grundgleichungen der linearen Finite-Element-Methode

22

Die bis jetzt für einen dreidimensionalen Körper entwickelten Gleichungen bedürfen in der Anwendung aber noch zwei Spezialisierungen. Dies betrifft insbesondere den Fall des „ebenen Spannungszustandes (ESZ)“ und den Fall des „ebenen Verzerrungszustandes (EVZ)“, die beide bei Bauteilmodellierungen vorkommen können. Der ESZ tritt in dünnen Scheiben auf, z. B. dünnwandigen Leichtbaukonstruktionen. Die Dickenausdehnung kann hierbei vernachlässigt werden, weshalb folgende Annahmen für die Spannungen und Verzerrungen gemacht werden können: ı zz

0, IJ zx

0, IJ zy

0,

aber H zz z 0 (wegen der Querkontraktion). Somit besteht der folgende Zusammenhang zwischen den Verzerrungen und den Spannungen: ª ı xx º « » « ı yy » « » « IJ xy » ¬ ¼

ª1 Ȟ « E « Ȟ 1 1  Ȟ 2 «« 0 0 ¬«





º ªİ º » « xx » 0 » ˜ « İ yy » . » 1  Ȟ » «« »» Ȗ xy ¼ 2 »¼ ¬ 0

(3.20)

Die Dehnung in Dickenrichtung bestimmt sich weiter zu H zz

Q

1  Q

 H xx  H yy .

Der EVZ tritt hiergegen in sehr langen Zylindern mit konstantem Querschnitt auf, dessen Enden festgehalten werden und die Belastung als Linienlast längs der Mantelfläche erfolgt. Die Annahmen hierfür sind: w = konst. bzw. H zz

0 sowie J yz

0 und J zx

0 aber V zz z 0 .

Der Zusammenhang zwischen den Verzerrungen und den Spannungen ist somit gegeben durch ª ı xx º » « « ı yy » » « «IJ » xy ¼ ¬

ª 1  Ȟ « E « Ȟ 1  Ȟ 1  2Ȟ «« «¬ 0

Ȟ

1  Ȟ 0

º ªİ º » « xx » » 0 » ˜ « İ yy » . 1  2Ȟ » «« Ȗ »» xy ¼ 2 »¼ ¬ 0

(3.21)

Für die Spannung über die Dicke ergibt sich dann wieder V zz

QV xx  V yy .

Bis hierhin ist aber noch keine Verbindung zu den äußeren Kräften hergestellt worden. Diese folgt aus der Forderung des Gleichgewichts zwischen den inneren Spannungen und der

3.2 Gleichungen der Elastostatik

23

äußeren Belastung, welche sowohl im Inneren wie auch auf der Oberfläche eines Körpers erfüllt sein muss. Wir wollen dies exemplarisch an dem Quader-Element in Bild 3.2 für die x-Richtung zeigen: wW yx · § wV 0:  V xx ˜ dy ˜ dz  §¨ V xx  xx dx ·¸dy ˜ dz  W yx ˜ dx ˜ dz  ¨¨ W yx  dy ¸¸ wx wy © ¹ ¹ © wW dx ˜ dz  W zx ˜ dx ˜ dy  §¨ W zx  zx dz ·¸dx ˜ dy  p x ˜ dx ˜ dy ˜ dz 0 wz © ¹

¦ Kx

oder wV xx wx



wW yx wy



wW zx wz

 px

0.

(3.22a)

Trägt man an dem Quader auch noch die Kräfte in die anderen Achsenrichtungen ein und bildet wie gezeigt auch hier das Gleichgewicht, so entwickeln sich daraus die anderen Gleichgewichtsbedingungen zu wW xy wx



wV yy wy



wW zy wz

 py

0,

(3.22b) wW xz wW yz wV zz    pz wx wy wz

0.

y Wyx +

wWyx wy

dy

dx Wzx Vxx

Vxx +

px dy Wyx

dz

Wzx +

wVxx dx wx

wWzx dz wz

x

z

Bild 3.2: Kräftegleichgewicht am Quader-Element aus dem Körperinneren

Berücksichtigt man ferner noch das Momentengleichgewicht um die Schwerachsen, so führt dies zum Satz von der Gleichheit der zugeordneten Schubspannungen:

3 Grundgleichungen der linearen Finite-Element-Methode

24 W xy

W yx ,

W yz

W zy ,

W zx

W xz .

Damit kann die Gleichgewichtsgleichung auch geschrieben werden als

ª w « « wx « 0 « « « 0 «¬

0

0

w wy

0

0

w wz

w wy w wx 0

0 w wz w wy

ª ı xx º « » w º « ı yy » » » ªpx º wz » « « ı zz » « » »  «p » 0 »» ˜ « «IJ » « y » xy » «p » w »» « «IJ » ¬ z ¼ wx »¼ « yz » «IJ » ¬ zx ¼

ª0º « » « 0 ». « » «0» ¬ ¼

(3.23)

Vergleicht man hierin die auftretende Differenzialoperatorenmatrix mit Gl. (3.17), so lässt sich die Gleichgewichtsgleichung auch verkürzt angeben als

Dt ˜ ı  p

0 .

(3.24)

Da mit den hergeleiteten Gleichungen die gesamte Elastostatik beschrieben ist, wollen wir noch einmal mit Blick auf den FE-Formalismus zusammenfassen:  Durch die Gleichung İ

D˜u,

(3.25)

vielfach auch kinematische Verträglichkeit genannt, werden die auftretenden Verschiebungen mit den Verzerrungen verknüpft. Als Randbedingungen kann hier vorkommen, dass die Verschiebungen u u auf der Verschiebungsoberfläche vorgeschriebene Werte annehmen.  Durch die Gleichung ı

E˜İ

(3.26)

ist das lineare Stoffgesetz gegeben, welches die Verzerrungen mit den Spannungen verknüpft. Hierbei ist E

f E, Q .

 Als Letztes gilt es, über die Gleichgewichtsgleichung

Dt ˜ ı  p

0

(3.27)

3.2 Gleichungen der Elastostatik

25

den Kräftezustand zu berücksichtigen. Der Vollständigkeit halber sollen jetzt aber noch einige statisch bestimmte Fälle betrachtet werden, wo das Stoffgesetz /LOR 95/ differenzierter anzusetzen ist:  Es liegen vor der mechanischen Belastung bereits schon so genannte Anfangsspannungen ı o *) (z. B. Eigenspannung aus Vorverformungen oder Schweißen) vor. Für diesen Fall ist

ı

ı el  ı o

E ˜ İ  ıo

anzusetzen, welche eine Addition der mechanischen Zusatzspannungen erfordert.  Es liegen vor der mechanischen Belastung bereits so genannte Anfangsdehnungen İ o **), z. B. Wärmedehnungen, vor. Für diesen Fall gilt mit den Anfangsdehnungen in den drei Raumrichtungen

İo t

D˜T>1 1 1 0 0 0@

somit für das Stoffgesetz ı el

Eİ  İ o .

(5.28)

Wie gemeinhin bekannt ist, ergibt sich also die richtungsabhängige Anfangsdehnung aus dem Produkt Wärmeausdehnung (D . T) mal Elastizitätsmodul E. Die elastische Spannung folgt aber aus der Differenz der Dehnungen. Die Vorstellung beruht darauf, dass die Wärmedehnung des Bauteils nicht behindert ist. Infolge der freien Ausdehnbarkeit wird zwar ein Weg zurückgelegt, der aber keine Spannung hervorruft. Am Modell eines einseitig eingespannten Stabes kann dies gedanklich leicht nachvollzogen werden. Völlig anders verhält sich dagegen ein Bauteil, bei dem die Wärmeausdehnung behindert ist. Ein Beispiel dafür mag der gezeigte dünnwandige Behälter im umseitigen Bild 3.3 geben, der von Raumtemperatur nun hoch gefahren werden soll auf einen Temperaturzustand von T = 200 °C. Infolge der Einspannbedingungen (Anschraubung an einer Bodenplatte) ergeben sich jetzt mechanische Zwangsspannungen, die zu einer Werkstoffbeanspruchung führen.

*)

**)

Anfangsspannungen ı o sind Spannungen, mit denen keine Dehnungen verbunden sind, d. h. Spannungen, die im undeformierten Zustand eines Elementes vorhanden sind. Anmerkung: Anfangsdehnungen İ o sind Dehnungen, die in Elementen eingeprägt sind, ohne dass Spannungen erzeugt werden.

Anmerkung:

3 Grundgleichungen der linearen Finite-Element-Methode

26

a)

b)

Bild 3.3: Behälter unter Temperaturbeanspruchung a) ohne Ausdehnungsbehinderung durch Randbedingungen b) mit Ausdehnungsbehinderung durch Randbedingungen

3.3 Grundgleichungen der Elastodynamik Bei allen Problemstellungen, wo die einwirkenden Kräfte zeitabhängig sind, werden auch die Verschiebungen u(x, y, z; t), Verzerrungen İ (x, y, z; t) und damit Spannungen ı (x, y, z; t) sowohl weg- wie zeitabhängig sein. Im zu erstellenden Zusammenhang führt dies zu einer erweiterten Formulierung der Gleichgewichtsgleichung, und zwar in dem gemäß des d'Alembert‘schen Prinzips so genannte beschleunigungsproportionale Trägheits-

3.4 Finites Grundgleichungssystem

27

kräfte (-U . ü) berücksichtigt werden müssen. Die erweiterte Gleichgewichtsgleichung (3.27) lautet somit: Dt ˜ ı p

U ˜ ü .

(3.29)

Vielfach treten in Systemen noch zusätzliche dissipative Kräfte auf, die Schwingungsauslenkungen dämpfen. Diese Kräfte wirken ebenfalls der Bewegung entgegen und können gewöhnlich geschwindigkeitsproportional (-c . u ) angesetzt werden. In späteren Betrachtungen werden wir noch einmal auf die Besonderheiten der Elastodynamik eingehen.

3.4 Finites Grundgleichungssystem Für die Problemklassen Elastik und Dynamik sind also mit Gl. (3.27) und (3.29) jeweils die Gleichgewichtsgleichungen definiert worden. Beide Gleichungen stellen Differenzialgleichungen dar. Auf Grund der Ausführungen in Kapitel 2 ist uns bisher bekannt, dass wir zur näherungsweisen Verarbeitung einer Differenzialgleichung zwei Möglichkeiten haben, und zwar einmal durch Heranziehen des Variationsprinzips eine Ersatzgleichgewichtsgleichung zu formulieren oder mit dem Ansatz von Galerkin die Differenzialgleichung in ein Funktional zu verwandeln. Da diese Vorgehensweisen gleichwertig sind, sollen hier beide Lösungswege zur Gewinnung der finiten Systemgleichung kurz demonstriert werden.

3.4.1 Variationsprinzip

Das Variationsprinzip nutzt das Prinzip der virtuellen Arbeit (PVA), die für einen elastischen Körper eine Ersatzgleichgewichtsbedingung darstellt. Bevor wir die virtuellen Arbeiten an einem Körper einführen, bedarf es noch einiger Klärungen bezüglich des Begriffs Variation. Als äußere virtuelle Arbeit bezeichnet man die Arbeit der äußeren Kräfte mit ihren virtuellen Verschiebungen. Mit virtuellen Verschiebungen Gu meint man dabei kleine gedachte Verschiebungen, die kinematisch möglich sind und die Randbedingungen nicht verletzen. Bedingung ist hierbei, dass der Verzerrungszustand beschränkt (Stetigkeit der Verschiebungen), der Stoffzusammenhalt (keine Klaffungen oder Überlappungen) gewahrt bleibt und die Randbedingungen nicht verletzt werden. In analoger Weise kann die innere virtuelle Arbeit eingeführt werden. Sie ist die Arbeit der inneren Spannungen, die mit den virtuellen Verzerrungen geleistet wird. Die virtuellen Verzerrungen G İ leiten sich durch Differenziation von den virtuellen Verschiebungen ab. Über das Prinzip der virtuellen Arbeit kann nun verallgemeinert die Ersatzgleichgewichtsgleichung /BUC 73/ formuliert werden: Ein elastischer Körper ist unter gegebenen äußeren Kräften im Gleichgewicht, wenn die äußere virtuelle Arbeit gleich der inneren virtuellen Arbeit ist, d. h.

3 Grundgleichungen der linearen Finite-Element-Methode

28 GWa

GWi

(3.30)

wird.

Um dieses Prinzip nun anwenden zu können, müssen wir die beschriebenen Arbeiten definieren. Dazu denken wir uns im Bild 3.4 einen beliebigen elastischen Körper. Die Oberfläche dieses Körpers soll nun so aufgeteilt werden, dass mit O u ein Verschiebungsrand für vorgeschriebene Verschiebungen u und mit O V ein Spannungsrand für gegebene Kräfte q (verteilte Oberflächenlasten) und F (konzentrierte Einzellasten) vorliegen. Im Inneren sollen noch Volumenkräfte p (Eigengewicht, Fliehkräfte o. Ä.) auftreten.

y

F

q

OV x Ou p z u

u auf O u

Bild 3.4: Zugelassene äußere Lasten an einem Körper

Die virtuelle Arbeit der äußeren Lasten kann dann folgendermaßen angesetzt werden: įWa

įu t ˜ F  ³ įu t ˜ p dV  ³ įu t ˜ q d 0 . V

(3.31)

0

Hierzu korrespondiert die innere virtuelle Arbeit GWi

t ³ įİ ˜ ı dV .

(3.32)

V

Gemäß Gl. (3.30) sollen die Arbeiten gleichgesetzt werden, was zu der Identität t t t t ³ G İ ˜ ı dV G u ˜ F  ³ įu ˜ p dV  ³ į u ˜ q d 0 V

V

0

(3.33)

3.4 Finites Grundgleichungssystem

29

führt. Die uns bekannten Beziehungen für die Verzerrungen İ

D˜u

bzw. für die Transponierung der Verzerrungen į İt

įu t ˜ D t

und für die Spannungen ı

E˜İ

E˜D˜u

wollen wir nun einführen. Aus Gl. (3.31) wird dann t t ³ įu ˜ D ˜ E ˜ D dV ˜ u V

t

įu t ˜ F  ³ įu ˜ p dV+ ³ įu t ˜ q d 0 . V

(3.34)

0

Da bisher noch keine Näherung benutzt worden ist, gilt die vorstehende Beziehung exakt, wenn mit u die tatsächlichen Verschiebungen benutzt werden. An dieser Stelle setzt aber jetzt die Näherung der Finite-Element-Methode ein, in dem für die Verschiebungen eines Elements ein Ansatz gemacht werden soll. Um diesen Schritt verständlich zu machen, soll in einem kleinen Exkurs das Biegeproblem in Bild 3.5 betrachtet werden. Für den eingespannten Balken wollen wir hier per Approximation mit verschiedenen Funktionen versuchen, die Biegelinie zu ermitteln. Man erkennt hierbei Folgendes: ˆ 1 verstößt gegen die Zwänge der Randbedingung  Der Ansatz mit Kreisbogenform  w und wird die Durchbiegung nur ungenau wiedergeben. ˆ 2 kann zwar die Form der Biege Durch die Wahl eines trigonometrischen Ansatzes  w linie abgeschätzt werden, jedoch ist auch hier die Durchbiegung noch sehr ungenau.

ˆ 3 kann sowohl die Form als auch der Betrag der Durch Mit einer Parabel 4. Grades  w biegung recht gut abgeschätzt werden. Der Ansatz liegt auch sehr nahe an der „Kettenlinie“.  Die Kettenlinie selbst ist eine Potenzfunktion 3. Grades, insofern bietet es sich an, einen ˆ 4 zu wählen. Approximationsansatz 3. Ordnung  w  Im Allgemeinen ist es so, dass mit einer Vergrößerung der Elementanzahl, d. h. Verfeineˆ sich immer mehr der exakten Lösung w rung der Struktur, das Näherungsergebnis w nähert. Das gewählte Balkenbeispiel ist dafür kein schöner Beweis, da man mit zwei Eleˆ 4 ) bereits eine sehr gute Lösung erhält, die sich kaum noch verbessern menten (und w lässt.

3 Grundgleichungen der linearen Finite-Element-Methode

30 [

x/L

q

ˆ w

ˆ1 w

wˆ 3

x

ˆ4 w





4q ˜ L4 ˜ cos S ˜ [ S5 ˜ E ˜ J

D3 ˜ x3  D2 ˜ x2  D1 ˜ x  D0

w w exakt

100 %



q ˜ L4 [ 4  2[3  [ 2 24E ˜ J

D0 ˜ cos S ˜ [ {

ˆ2 w

q ˜ L4 16[ 4  24[ 2  5 384 E ˜ J

q˜L 384 E ˜ J

75 %

2

4

6

8

10

n

Bild 3.5: Konvergenzverlauf einer Approximationsfunktion für Balkenbiegung

Auf dieser Erkenntnis aufbauend wollen wir uns wieder Gl. (3.34) zuwenden, in dem wir jetzt einen Verschiebungsansatz von der Form u

G ˜d

(3.35)

einführen wollen. Mit diesem Ansatz wird also eine Verbindung zwischen beliebigen Verschiebungen u in einem Körper über bestimmte „Stützstellen“ d (Knotenverschiebungen) hergestellt. Diese Verbindung wird über die Zeilenmatrix G gebildet, die insofern also Ansatzfunktionen enthalten muss. Stellt man zu Gl. (3.35) noch die Variation įu t

įd t ˜ G t ,

auf, so kann nun Gl. (3.34) ausformuliert werden zu

3.4 Finites Grundgleichungssystem

31

t t t t t t t t t ³ įd ˜ G ˜ D ˜ E ˜ D ˜ G dV ˜ d įd ˜ G ˜ F  ³ įd ˜ G ˜ p dV+ ³ įd ˜ G ˜ q d0 , V

V

0

da dies für alle Variationen gelten muss, kann auch t t t t ³ D ˜ G ˜ E ˜ D ˜ G dV ˜ d G ˜ F  ³ G ˜ p dV  ³ G ˜ q d0 V

V

(3.36)

0

geschrieben werden. Analysiert man diese Gleichung, so stellt man fest, dass auf der linken Seite das Produkt einer Steifigkeit mit einem Weg steht, welches auf der rechten Seite gleich den äußeren Kräften ist. Je nach gewähltem Ansatz kann diese Gleichung nicht exakt erfüllt werden. Für Gl. (3.36) wollen wir verkürzt pˆ .

k ˜d

(3.37)

schreiben. Dies ist die gesuchte finite Gleichung, in der die Knotenverschiebungen d über die Elementsteifigkeit k mit den gesamten äußeren Kräften pˆ in Relation stehen. Als Vorschrift zur Berechnung der Steifigkeitsmatrix haben wir

k

t t ³ D ˜ G ˜ E ˜ D ˜ G dV { ³ B ˜ E ˜ B dV V

(3.38)

V

erhalten. Die auf der rechten Seite von Gl. (3.36) stehenden Ausdrücke stellen insbesondere Beziehungen dar, wie Kräfte auf die Knoten eines vernetzten Gebietes zu verteilen sind. Zur Matrix der Ansatzfunktion G t >g1, g 2, !@ soll noch bemerkt werden, dass die hierfür zu wählenden Glieder bevorzugt aus Polynomen konstruiert sind, wie beispielsweise g1

1, g 2

x, g 3

y, g 4

x 2 , g5

x ˜ y, g 6

y 2 usw .

Es ist leicht nachvollziehbar, dass diese Ausdrücke einfach zu integrieren und zu differenzieren sind.

3.4.2 Methode von Galerkin Ein andere Möglichkeit, die finite Gleichung zu finden, besteht in der Methode von Bubnov/ Galerkin oder allgemein in der Methode des gewichteten Restes. Von der Idee her wird eine Differenzialgleichung genommen, in der für die Unbekannte ein Ansatz gemacht wird und man für das Integral des Restes verlangt, dass es möglichst klein wird /BAT 86/. Da wir es hier mit einem Grundprinzip zu tun haben, soll der mathematische Hintergrund kurz betrachtet werden. Nehmen wir an D u

r

(3.39)

3 Grundgleichungen der linearen Finite-Element-Methode

32

sei die differenzielle Formulierung eines physikalischen Problems. Hierin bezeichnet u die unbekannte Zustandsgröße und r eine bekannte rechte Seite. Des Weiteren sollen noch mit R Bi u

(3.40)

0

Randbedingungen vorgegeben sein. Die „gewichtete Restmethode“ geht nun davon aus, dass sich die Lösung für Gl. (3.39) darstellen lässt als n

u

¦ a i ˜ gi ,

(3.41)

i 1

wobei a i Multiplikatoren und g i linear unabhängige Funktionen sind. Der Ansatz sollte hierbei mindestens die Randbedingungen erfüllen. Setzt man jetzt diesen Näherungsansatz in die DGL ein, so wird wahrscheinlich eine absolute Identität der linken und rechten Seite nicht zu erfüllen sein, sondern es wird mit WR ein Restwert WR

D u  r z 0

(3.42)

übrig bleiben, den es in idealer Weise zu minimieren gilt. Nach der Methode von Galerkin ist

³ g i ˜ WR B Lösungs  bereich

˜ dB 

³ gi ˜ R B R Rand

˜ dR

0

(3.43)

also zu fordern. Wir wollen dies nunmehr übertragen auf die DGL des Gleichgewichts (3.24), die vereinbarungsgemäß eine Matrizengleichung darstellt. Entsprechend des beschriebenen Formalismus multiplizieren wir diese DGL mit einer Ansatzfunktionsmatrix Gt und integrieren über das Volumen eines Körpers. Man erhält t t ³ G D ˜ E ˜ D ˜ u  p dV 0 .

(3.44)

V

Randbedingungen sind im vorliegenden Fall nicht zu berücksichtigen, weshalb das Problem vollständig beschrieben ist. Später werden wir im Kapitel 11.2 bei der Behandlung von Wärmeleitungsproblemen erkennen, dass für eine Lösung verschiedene Randbedingungen maßgebend sein können. Als Nächstes führt man in Gl. (3.44) den bekannten Ansatz u

G ˜d

ein. Die Knotenverschiebungen sind somit nichts anderes, als die noch zu bestimmenden Multiplikatoren und daher für uns die eigentliche Lösung des diskretisierten Problems. Setzen wir jetzt den Ansatz in dieser Form ein, so folgt t t t ³ G D ˜ E ˜ D ˜ G dV ˜ d  ³ G ˜ p dV 0 V

V

3.4 Finites Grundgleichungssystem

33

oder besser zusammengefasst t t ³ D ˜ G ˜ E ˜ D ˜ G dV ˜ d  ³ G ˜ p dV 0 . V

(3.45)

V

Man erkennt hierin die Analogie zu Gl. (3.36) und hat wieder die finite Gleichung pˆ

k ˜d

gefunden. Sollen zu den angesetzten Volumenkräften auch noch andere Kräftegruppen berücksichtigt werden, so ist die rechte Seite der Gl. (3.45) um diese Kräfte geeignet zu vervollständigen. Zur Abrundung der Elastik soll die Galerkin’sche Methode auch noch auf die dynamische Gleichgewichtsgleichung (3.27) angewandt werden. Aus   D t ˜ E ˜ D ˜ u  p ȡ˜u

0

folgt dann wieder t§ t · ³ G ¨© U ˜ u  D ˜ E ˜ D ˜ u  p ¸¹ dV

0

V

bzw. nach Einsetzen des Ansatzes t

t

  ³ D ˜ G ˜ E ˜ D ˜ G dV ˜ d  ³ G t ˜ p dV U ³ G ˜ G dV ˜ d V

V

0.

(3.46)

V

Dies ist gleichzusetzen mit der bekannten Schwingungsdifferenzialgleichung   k ˜ d  p ˆ m˜d

0.

(3.47)

Für die neu auftretende Massenmatrix ist somit auch die Bildungsvorschrift

m

t

ȡ ³ G ˜ G dV V

ermittelt worden.

(3.48)

34

4 Die Matrix-Steifigkeitsmethode Ein vom Verständnis der Vorgehensweise guter Einstieg in die Finite-Element-Methode stellt die von der Tragwerksberechnung her bekannte Matrix-Steifigkeitsmethode /HAH 75/ dar. Wie man später erkennen wird, ist der ablaufende Formalismus dem der FE-Methode völlig identisch. Zur Begründung der Theorie ist im Bild 4.1 ein beliebiges elastisches Tragwerk dargestellt. Die einwirkenden äußeren Kräfte werden dieses Tragwerk verformen, sodass eine Durchsenkung festzustellen sein wird.

F1 y

y, v

F2 v1

u1

F3

v2

v u3 3

x, u unverformter Körper

x

verformter Körper

Bild 4.1: Verformungszustand einer elastischen Tragkonstruktion

Bei unterstellten kleinen Verformungen und vorausgesetzter Linearität kann zwischen den Kräften und den Verschiebungen folgender Zusammenhang angegeben werden:  Die Verschiebung u i t aller Kräfte Fi ab: ui

u i Fi ,

>u i

v i @ von Körperpunkten hängt eindeutig von der Wirkung

i = 1, ..., n.

 Im Fall der Linearität muss auch die Umkehrung gelten, und zwar gehört zu einem Verformungszustand ein eindeutiger Kräftezustand: Fi

Fi u i

i = 1, ..., n.

Hieraus ist zu folgern, dass die Kräfte über eine Steifigkeit mit den Verschiebungen linear verknüpft sind, d. h. eine Beziehung n

Fi

¦ k ij ˜ u i ,

i = 1, ..., n

j 1

besteht. Entwickelt man weiter Gl. (4.1) als Matrizengleichungen, so gilt auch

(4.1)

4 Die Matrix-Steifigkeitsmethode ª F1 º «F » « 2» « # » « » ¬ Fn ¼

ª k11 «k « 21 « # « ¬ k n1

35

" k1n º ª u1 º k 22 " k 2 n » « u 2 » »˜« » . # # » « # » » « » k n 2 " k nn ¼ ¬ u n ¼ k12

(4.2)

Die hierin auftretenden Koeffizienten k ij heißen Verschiebungseinflusszahlen und sind nach Maxwell symmetrisch, d. h. es gilt k ij k ji . Damit ist auch die Koeffizientenmatrix symmetrisch über die Hauptdiagonale. Besonders vorteilhaft lässt sich die Matrix-Steifigkeitsmethode bei stabartigen Tragwerken anwenden. Die prinzipielle Vorgehensweise soll hier aber für ein Federelement (Stabanalogie) dargestellt werden, so wie es im Bild 4.2 eingeführt ist.

a)

1 F1

u1

b) u1

1

u2

1

2

c1

u2

1

2

1

c) F1

2

c1

1 F1

1

u1

Knotenzähler Elementzähler

F2

F2

2

2

F2

2

F3

u3

c2

2

3

FR = F3 u3 = 0

u2 c1

3

c2

Bild 4.2: Vorgehensweise der Matrix-Steifigkeitsmethode (nach /HAH 75/) am Federmodell a) Ansatz für das lineare Federelement b) Systemansatz für zwei Federelemente c) gebundenes System

c i

Federkonstante; c i

G ˜ d i 4 / 8 ˜ Di 3 ˜ w

4 Die Matrix-Steifigkeitsmethode

36

Das Federelement repräsentiert dabei ein eindimensionales finites Element. Alle Informationen des Elements werden über die Knoten gegeben, die zufolge der Kräfte dann Verschiebungen ausführen. Auf Elementebene lässt sich somit formulieren: F1

c ˜ 'u12

c ˜ u1  c ˜ u 2 ,

F2

c ˜ 'u 21

c ˜ u 2  c ˜ u1 .

(4.3)

Matriziell kann dies geschrieben werden als p

ª F1 º «F » ¬ 2¼

ª c  c º ª u1 º ˜ « c c »¼ «¬ u 2 »¼ ¬

k ˜u.

(4.4)

Die abgespaltene 2-x-2-Matrix k stellt hierbei die Elementsteifigkeitsmatrix einer Feder dar. Will man hingegen die Beziehung für ein System entwickeln, so müssen so viele Gleichungen aufgestellt werden, wie Unbekannte vorhanden sind und die Randbedingungen berücksichtigt werden. Im zu Grunde liegenden Beispiel soll ein System aus zwei Federn betrachtet werden, bei denen in zwei Knoten Kräfte eingeleitet werden und der dritte Knoten festgehalten ist. Die Systembeziehungen für die Kräfte lassen sich durch wechselseitiges Festhalten der Knoten und die dann wirksame Federgleichung folgendermaßen entwickeln: u1

u2

0:

F3

c 2 ˜ u 3,

F2

F3,

u1 u2

u3 u3

0: 0:

F2 F1

c1  c 2 u 2, c1 ˜ u1,

F1 F2

c1 ˜ u 2, F3 F1, F3

F1

0; c 2 ˜ u 2; 0.

werden diese Gleichungen sortiert und zusammengefasst, so kann als Matrizengleichung ª F1 º «F » « 2» ¬« F3 ¼»

0 º ª u1 º  c1 ª c1 « c c  c » « » 2  c2 » ˜ « u 2 » « 1 1  c2 c 2 ¼» ¬« u 3 ¼» ¬« 0

bzw. P

K˜U

(4.5)

angegeben werden. Die Gl. (4.5) drückt hierin den Systemzusammenhang aus, während Gl. (4.4) als Elementgleichung aufgestellt worden ist. An der Systemsteifigkeitsmatrix K ist zu erkennen, dass diese ebenso symmetrisch ist wie die beiden zusammengefassten Elementmatrizen. Weiterhin ist an der Matrix zu erkennen, dass diese auch sofort durch Blockaddition (direkte Steifigkeitsmethode = Überlagerung am gemeinsamen Knoten) darstellbar wäre. Dies ist eine besondere Eigenart von Systemen, die aus eindimensionalen Elementen (Stäbe, Balken) aufgebaut sind.

4 Die Matrix-Steifigkeitsmethode

37

Das vorstehende Gleichungssystem ist aber so nicht auflösbar, da die Randbedingungen bisher unberücksichtigt geblieben sind, d. h., das System kann insgesamt noch eine Starrkörperbewegung ausführen, was sich in der Singularität der Gesamtsteifigkeitsmatrix ausdrückt. Ein Kennzeichen eines singulären Systems ist, dass die Determinante der Gesamtsteifigkeitsmatrix c1 c1  c 2 c 2  c1 ˜ c 2 2  c12 ˜ c 2

det K

0

verschwindet. Erst für ein statisch bestimmtes System wird die Gleichung auflösbar, welches durch eine positiv definite Gesamtsteifigkeitsmatrix möglich ist. Wird nun in die vorstehende Gl. (4.5) die Randbedingung u 3 0 eingearbeitet, so können die Verschiebungen und die unbekannte Reaktionskraft F3 bestimmt werden:  c1 0 º ª u1 º ª c1 «  c c c  c2 » ˜ «u 2 » . « 1 1 2 » « »  c2 c 2 »¼ ¬« 0 ¼» ¬« 0

ª F1 º «F » « 2» ¬« F3 ¼»

(4.6)

Dazu muss das Gleichungssystem wie folgt aufgespalten werden:  c1 º ª u1 º ª c1 « c c  c » ˜ «u » ¬ 1 1 2¼ ¬ 2¼

ª F1 º «F » ¬ 2¼ F3 =

>0  c 2 @

(4.7)

ªu º ˜« 1». ¬u2 ¼

(4.8)

Zufolge der beiden vorgegebenen Kräfte F1 , F2 sollen jedoch zuerst die Verschiebungen bestimmt werden, und zwar aus der folgenden Rechnung:

U

ª u1 º « » « » «¬ u 2 »¼

K 1 ˜ P

1 ª1 «c  c 2 « 1 « 1 « ¬ c2

1 º ªF º c2 » « 1 » »˜ . 1 » « » « » F » c2 ¼ ¬ 2 ¼

(4.9)

Für die Inversion K 1 ist hierbei die Gleichung im Anhang benutzt worden. Aus der Ausmultiplikation der vorstehenden Gleichung ergeben sich so für die Knotenverschiebungen u1 u2

§1 1 · 1 ¨  ¸ F1  ˜ F2 , ¨c ¸ c c 2¹ 2 © 1 1 1 ˜F  ˜F . c2 1 c2 2

Damit kann weiter die Reaktionskraft bestimmt werden zu

(4.10)

4 Die Matrix-Steifigkeitsmethode

38

F3

º ª§ 1 1 · 1 ¸¸ F1  ˜ F2 » « ¨¨  c2 » >0  c 2 @ ˜ «« © c1 c 2 ¹ » 1 1 ˜ F1  ˜ F2 » « c2 c2 ¼» ¬«

F1  F2 .

(4.11)

Manchmal sind auch die Schnittkräfte Sij im Element von Interesse. Für deren Bestimmung gilt, dass diese stets auf Elementebene zu ermitteln sind, und zwar  im Element 1 für den Knoten c und d: ª S11 º « » « » «¬ S12 »¼

S11 S12

1 · 1 ª§ 1 º ˜ F2 » ¸ F1  ª c1  c1 º « ¨  c2 « » ˜ « © c1 c 2 ¹ » « » « » 1 1 ˜ F1  ˜ F2 «¬  c1 c1 »¼ « » c2 ¬ c2 ¼ §1 c c c 1 · ¸¸ F1  1 ˜ F2  1 ˜ F1  1 ˜ F2 F1 c1 ¨¨  c2 c2 c2 © c1 c 2 ¹ ª c1  c1 º ª u1 º « »˜« » « » « » «¬  c1 c1 »¼ «¬ u 2 »¼

(4.12)

S11

bzw.  im Element 2 für den Knoten d und e: ª S22 º « » « » «¬ S23 »¼

ª c2 « « «¬  c 2

 c2 º ªu 2 º »˜« » » « » c 2 »¼ «¬ 0 »¼

S 22

§ 1 · 1 c 2 ¨¨ ˜ F1  ˜ F2 ¸¸ c c © 2 ¹ 2

S 23

S 22 .

ª c2 « « «¬  c 2 F1  F2

 c2 º ª 1 ˜ F  1 ˜ F º 1 2» » ˜ « c2 c2 « » » » c 2 »¼ «¬ 0 ¼ (4.13)

Die Erkenntnis aus diesem Beispiel soll im Weiteren sein, dass man durch die Anwendung eines bestimmten Formalismus zu der Lösung einer bestimmten Klasse von Aufgaben kommt. Verallgemeinert man diese Vorgehensweise, so lassen sich somit hinreichend komplexe Tragwerke behandeln. Ziel muss es also sein, diesen methodischen Ansatz variabel zu entwickeln. Die algorithmische Verallgemeinerung soll jetzt an dem kleinen Tragwerk von Bild 4.3 wie folgt vorgenommen werden:  Mit Fa t

>0

F3x  F3y F4 x 0@ sollen die bekannten äußeren Kräfte bezeichnet wer-

den.  Entsprechend sollen mit Fb t

>F1x

F1y F2 x @ die Reaktionskräfte bezeichnet werden.

4 Die Matrix-Steifigkeitsmethode  Sinngemäß bezeichnet Ua t und

>v 2

39 u 3 v3 u 4 v 4 @ die unbekannten Verschiebungen

 U b t > u1 v1 u 2 @ die bekannten Randbedingungen (vorgeschriebene Auflagerverschiebungen oder Unbeweglichkeiten).

Gemäß diesen Vereinbarungen kann die vorherige Gl. (4.5) bzw. die neu zu erstellende Systemgleichung folgendermaßen partitioniert werden: ª Fa º «F » ¬ b¼

ª K aa «K ¬ ba

K ab º ª U a º . ˜ K bb »¼ «¬ U b »¼

(4.14)

a)

b) v2

F3y 2

v3

3

u3

F2x

F3x

y v4 F1x 1

x

4

u4 F4x

ª F2 y 0 º » « « F3x » » « «  F3 y » » « « F4 x » » « « F4 y 0 » » « » « F 1x » « » « F « 1y » » « F ¬ 2x ¼

ª « « « « K aa « « « « « « « «K « ba « ¬

º ª v2 º » » « » « u3 » » » « K ab » « v 3 » » » « » « u4 » » »˜« » « v4 » » » « » » «u 1 0 » » « K bb » « v1 0 » » » « » » «u 0 ¼ ¬ 2 ¼

F1y

Bild 4.3: Fachwerk aus Stab-Elementen (alle Knoten 2 FHGs) a) Modell mit Kräften und Lager b) beschreibendes Gleichungssystem

Wir haben es hier also mit einer Hypergleichung zu tun, in der mit Fa, b , U a, b Vektoren und mit K aa , K ab , K bb Untermatrizen vorkommen. Löst man zum Zwecke der Komponentenbestimmung diese Gleichung auf, so folgt daraus Fa

K aa ˜ U a  K ab ˜ U b ,

(4.15)

Fb

K ba ˜ U a  K bb ˜ U b.

(4.16)

Da die Verschiebungen interessieren, muss Gl. (4.15) aufgelöst werden nach

4 Die Matrix-Steifigkeitsmethode

40 Ua

K aa 1 Fa  K ab ˜ U b

(4.17)

und diese Gleichung zur Bestimmung der Reaktionskräfte in Gl. (4.16) eingesetzt werden, man erhält so Fb

K ba ˜ K aa 1 Fa  K ab ˜ U b  K bb ˜ U b .

(4.18)

Bei den meisten technischen Systemen werden unbewegliche Auflager U b 0 vorliegen; für einen derartigen Fall vereinfachen sich die beiden vorstehenden Gleichungen zu Ua

K aa 1 ˜ Fa

(4.19)

Fb

K ba ˜ K aa 1 ˜ Fa .

(4.20)

und

Der gezeigte Lösungsweg lässt sich nun formal folgendermaßen beschreiben:

 Definition eines mechanischen Beschreibungselements (Stab oder Balken);  matrizielle Formulierung des Zusammenhangs zwischen Knotenkräften und Knotenverschiebungen; Erstellung einer Elementsteifigkeitsmatrix k;  Zusammenbau der Gleichungen zu einem Gesamtkraftvektor P, einem Gesamtverschiebungsvektor U und einer Gesamtsteifigkeitsmatrix K;  Unterdrückung der Starrkörperverschiebungen eines Systems durch die Einführung von Randbedingungen und Partitionierung des Gleichungssystems in unbekannte Verschiebungen U a und unbekannte Reaktionskräfte Fb ;  Lösung der entstandenen Teilgleichungssysteme und Ausweis der Verschiebungen U a und der Reaktionskräfte Fb sowie  gegebenenfalls Rückrechnung zu den Schnittgrößen Sij bzw. Spannungen ı in den Elementen. Von der Methodik des Vorgehens werden wir diese Schritte bei der im Weiteren zu beschreibenden FE-Methode alle wieder finden.

41

5 Das Konzept der Finite-Element-Methode In den nachfolgenden Unterkapiteln soll das Konzept der FEM puzzleartig zusammengesetzt werden, weshalb das Kapitel 5 grundlegend für das methodische Verständnis ist. Neben der Darlegung des praktischen Vorgehens liegt der Fokus auf alternative mathematische Formulierungen und letztendlich der Überführung in einen stringenten Gesamtablauf. Um die Theorie möglichst transparent zu halten, werden nur Stab- und Balken-Elemente benutzt. Dies vereinfacht zwar die Darstellung, beschränkt aber nicht die Allgemeingültigkeit der Vorgehensweise. Insofern ist eine Übertragung auf andere Elementtypen oder andere Fragestellungen leicht möglich.

5.1 Allgemeine Vorgehensweise Wie einleitend schon herausgestellt, muss man heute die FEM-Anwendung als integralen Bestandteil einer CAE-Konzeption begreifen. Tatsächlich liegt ein Stück Wirtschaftlichkeit von CAD und FEM darin, wenn CAD-Modelle von Pre-Prozessoren übernommen, mithilfe eines FE-Rechenlaufs verifiziert und die Ergebnisse von Post-Prozessoren schnell ausgewertet und dargestellt werden können sowie die geänderte Geometrie wieder nach CAD zurückgeführt werden kann. Ideale Verhältnisse liegen vor, wenn das komplette CAD-Bauteil in verschiedene Layer aufgebaut worden ist. Für die FE-Berechnung benötigt man nämlich nur die reine Geometrie, sodass die Layer, die Vermaßung oder Text enthalten, ausgeblendet werden können. Des Weiteren kann es sein, dass Bauteile gewisse konstruktive Gegebenheiten enthalten, die für das Festigkeitsverhalten von geringer Bedeutung sind, aber die Netzgenerierung erschweren würde. Demgemäß ist zu prüfen, ob geometrische Details vernachlässigt werden können, ob sich vielleicht Einbau- oder Anbauteile ausklammern lassen oder inwiefern tatsächlich Kontakt /STE 92/ zu berücksichtigen ist. Je nach Bauteilgeometrie und Belastung kann auch ein rekonstruiertes Flächen- oder Volumenmodell ausreichend sein. Ist ein komplexes räumliches Objekt zu analysieren, ist in der Regel ein 3-D-Volumenmodell erforderlich. Im Bild 5.1 ist der prinzipielle Ablauf einer integrativen CAE-Kette dargestellt. x

Aufgabe von CAD-Systemen ist es, vollständige Fertigungs- und Montageunterlagen zu erzeugen. In der Praxis werden dazu Einzelteil-, Gruppen- und Zusammenbau-Zeichnungen angefertigt. Aus der Zusammenbau-Zeichnung sind in der Regel die Funktion und die Belastung zu erkennen.

x

Für die Bewährung einer Struktur kann es dabei wichtig sein, einen Gesamtverbund oder die gefährdeten Einzelteile sicher auszulegen. Im vorliegenden Fall sei unterstellt, dass die Festigkeit des Hebels für einen Mechanismus entscheidend ist und dieser daher mittels FEM analysiert werden soll.

42

5 Das Konzept der Finite-Element-Methode

x

Aus der entsprechenden Struktur ist daher die Hauptgeometrie herauszulösen, die Randbedingungen festzulegen und die Einleitung der Kräfte zu bestimmen.

x

Die nackte Geometrie muss dann an das FE-System übergeben werden. Im Regelfall wird es dabei so sein, dass ein Schnittstellenprotokoll als IGES-, VDA-FS- oder STEP-File erzeugt werden muss. Dieses Protokoll kann gewöhnlich verlustfrei übertragen werden. Neuerdings wird zwischen einigen CAD- und FEM-Systemen auch eine Direktkopplung (z. B. zwischen CATIA und I-DEAS) realisiert. Die Vollständigkeit der Übertragung wird hierbei garantiert und die Wirtschaftlichkeit nimmt zu, weil eben zeitintensive Wandlungsschritte entfallen.

x

Mithilfe eines Pre-Prozessors gilt es weiter, die Geometrie zu einem FE-Modell aufzubereiten. Der erste Schritt dazu ist die Bildung von Makros (diese werden gewöhnlich durch drei oder vier Seiten begrenzt), aus denen über die Angabe von abgestimmten Seitenteilern ein Elementnetz generiert werden kann. Hiermit hängt die Typdefinition der Elemente und deren Spezifizierung unmittelbar zusammen, da hierauf begründet das Eingabeprotokoll erstellt wird. Dieses Protokoll muss des Weiteren noch um die Werkstoffkennwerte, die Randbedingungen und die Kräfte vervollständigt werden.

x

Mit dem Eingangsprotokoll liegen alle Informationen für den FE-Löser vor. Dieser baut sich entsprechend der Netztopologie und der Elementkennzeichnung die Steifigkeit der Struktur auf, arbeitet die Randbedingungen und die Kräfte ein und löst das damit entstehende Gleichungssystem nach den Verschiebungen auf: (Steifigkeit) x (Verschiebungen) = (äußere Kräfte).

x

Aus den Verschiebungen können dann in einer Rückrechnung die auftretenden Dehnungen, Spannungen und die Reaktionskräfte ermittelt werden.

x

Für eine rationelle Auswertung nutzt man heute leistungsfähige Post-Prozessoren, die die angefallenen Daten qualitativ und quantitativ auswerten. Derartige Prozessoren können meist die verformte mit der unverformten Struktur zu einem Verformungsbild überlagern, die Dehnungen oder Spannungen als Isolinienplot oder Farbfüllbilder gemäß einer Werteskala auswerten sowie die Größe und Richtung der Reaktionskräfte darstellen.

Wie ersichtlich, hat dieser Ablauf zwar einige schematische Anteile, hieraus ist aber nicht zu schließen, dass eine Problembearbeitung mit FEM einem festen Automatismus gehorcht. So verschiedenartig wie Problemstellungen sein werden, werden auch Lösungsansätze zu entwickeln sein. Das Treffen der Realität hat dabei viel mit der Beherrschung der theoretischen Möglichkeiten und der Ausschöpfung der Fähigkeiten der Programme zu tun. In der Praxis ist zunehmend ein Zusammenwachsen von CAD und FEM (z. B. CATIA-V5 mit dem ELFINI-Modul) zu beobachten. Dies bedingt eines CAE-Spezialisten, der von seinem Ausbildungshintergrund rechnerunterstützte Methoden sicher beherrscht.

5.1 Allgemeine Vorgehensweise

CADBauteil

43

vereinfachtes Analysemodell

CAD-System 3-D-Volumenmodell einer Baugruppe

Problemaufbereitung Herauslösung der Hauptgeometrie ˆ Modellübergabe

IGES/ VDA-FS-/ STEP-File

Direktkopplung

Schnittstelle

FEM-System ˆ Modellübernahme

Pre-Prozessing Konstruktion der Makros Auswahl des Elementtyps Festlegung der Elementteiler Zuführung der Elementdaten Werkstoffkennwerte Einführung der Randbedingungen Einleitung der Kräfte

Lösung des Gleichungssystems Berechnung der Verschiebungen Berechnung der Spannungen Rückrechnung zu den Reaktionskräften

Post-Prozessing Darstellung der verformten Struktur Darstellung der Spannungsverteilung (Isolinien, Farbfüllbilder)

Bild 5.1: Rechnerunterstützte Bauteilanalyse im interaktiven Dialog

5 Das Konzept der Finite-Element-Methode

44

5.2 FE-Programmsystem Die FE-Programme, die sich heute am Markt durchgesetzt haben, sind weitgehend vollständige und durchgängige Systeme. Mit vollständig soll dabei umschrieben werden, dass man es mit Komplettsystemen zu tun hat, die unter einer abgestimmten Oberfläche einen Pre- und Post-Prozessor, den Gleichungslöser sowie verschiedene Ergänzungsmodule verfügbar haben. Durchgängig kann zudem auch sehr weit reichend sein. Es umfasst die Abbildung von Geometrie- und Materiallinearität oder -nichtlinearität, Elastodynamik, Thermoelastizität sowie sehr schnelle Umformprozesse.

interaktiver Pre-Prozessor

FEM-Universalprogramm

interaktiver Post-Prozessor

linearer Programmteil

nichtlinearer Programmteil

Spezialanwendungen

Elastostatik

Elastodynamik, implizite

Materialnichtlinearität (Plastizität, Kriechen)

Temperaturfeldanalyse (stationär, instationär)

große Verformungen

Fluidströmungen (kompressibel, inkompressibel)

Instabilität (Knicken, Kippen, Beulen)

Akustik Elastodynamik, explizite (Crash)

Spritzgießsimulation

Bild 5.2: Programmstruktur eines kommerziellen FE-Programmsystems

Ein typischer Methodenbaum eines FE-Programms ist im Bild 5.2 gezeigt. Der Grundumfang besteht gewöhnlich aus einem linearen Programmteil zur Lösung von elastostatischen und elastodynamischen Problemen. Hieran können verschiedene Spezialanwendungen ange-

5.3 Mathematische Formulierung

45

koppelt werden, die eigene Routinen darstellen. Insgesamt besteht bei allen Softwarehäusern das Bestreben, das FEM-Einsatzfeld zu erweitern. Eine sehr wesentliche Erweiterung stellt die Nichtlinearität dar, und zwar in den Ausprägungen Materialnichtlinearität, geometrische Nichtlinearität und nichtlineare Strukturdynamik. Hierbei geht es um die realistische Erfassung des Werkstoffverhaltens (Fließen), großer Verformungen (Instabilität) und die Integration im Zeitbereich (Crash). Darüber hinaus eignen sich noch die Potenzialprobleme (Wärmeleitung, Magnetfelder, elektrische Felder) sehr gut für die numerische Bearbeitung. Somit kann mittlerweile eine große Klasse von Aufgaben der Technik bzw. der technischen Physik mit der FEM abgedeckt werden.

5.3 Mathematische Formulierung Die exemplarische Anwendung der im Kapitel 3.4 dargelegten Beziehungen zur Definition des Steifigkeits-Verschiebungs-Kraft-Zusammenhanges soll im Weiteren an einem eindimensionalen Stab-Balken-Element, und zwar für verschiedene Knotenfreiheitsgrade gezeigt werden. Dies ist insofern sinnvoll, da mit diesen Einzelfreiheitsgraden später unterschiedliche Elementtypen aufgebaut werden können. Das Einsatzfeld für Stab-Balken-Elemente ist die Fachwerkanalyse oder im Maschinenbau die Analyse von Wellen hinsichtlich Durchbiegung und Eigenfrequenzen.

5.3.1 Ebenes Stab-Element Das finite Stab-Element ist zuvor schon im Kapitel 4 als diskretes Federelement eingeführt worden. Innerhalb der FEM wird es jedoch als Kontinuumselement mit den beschreibenden Eigenschaften Geometrie und Werkstoff benutzt. Um den Zusammenhang zwischen den Verformungen, der Geometrie und dem Werkstoff herstellen zu können, muss die entsprechende Differenzialgleichung aufgestellt werden. Als verallgemeinerter Fall ist demgemäß von einem longitudinal schwingenden Element auszugehen. Im nachfolgenden Bild 5.3 ist dies beispielhaft charakterisiert. Merkmal ist hierbei, dass alle Kraftgrößen (Knotenkräfte und verteilte Kräfte) nur in Längsrichtung auftreten und hierzu auch Knotenreaktionen u i (i = 1, 2) korrespondieren. Je Knoten tritt also ein axialer Freiheitsgrad auf. Für die Beschreibung des Elements sind weiterhin noch erforderlich: Dichte U , Elastizitätsmodul E, Querschnittsfläche A und Länge L. Die Eigenschaften des Elements werden in einem lokalen Koordinatensystem beschrieben. Später ist das Element in einer Struktur in beliebiger Lage zu einem globalen Koordinatensystem eingebaut. Gemäß der Lage und der Belastung der Struktur ändert sich dann insbesondere die Steifigkeit des Elements, wodurch ein anderer Verschiebungszustand induziert wird. Dementsprechend ist eine transformierte Steifigkeitsmatrix zu erstellen, so wie dies später im Kapitel 5.4.1 gezeigt wird.

5 Das Konzept der Finite-Element-Methode

46

N1

p x (x , t )

u1, u1 1

u 2 , u 2 2

U, E ˜ A, L

u(x, t)

(lokales KS)

y, Fy

N2

p x ˜ dx

U ˜ A ˜ dx ˜ ü Vx ˜ A

wV § · ¨ V x  x dx ¸A wx © ¹

dx x, Fx (globales KS) z, Fz

Bild 5.3: Mechanik des linearen Stab-Elements

Stellt man nun an einem infinitesimalen Stab-Elementchen mit der Länge dx das Gleichgewicht her, so folgt daraus die DGL:

ȡ˜A

w 2u w t2

E˜A

w 2u wx 2

 px

0.

(5.1)

Durch Heranziehung des Galerkin‘schen Formalismus (s. Gl. (3.41)) gilt es weiter, die finite Gleichung zu erstellen. Dazu multiplizieren wir die DGL mit einer noch unbekannten Formfunktion g j  x , die später erst elementspezifisch definiert wird und bilden das Funktional L§

³ ¨¨ U ˜ A ˜ g j

o©

wu 2 wt

2

 E˜A˜gj

·  g j ˜ p x ¸ dx ¸ wx ¹ w 2u 2

0 ,

j = 1, 2.

(5.2)

Als Endergebnis soll die einfache Schwingungsdifferenzialgleichung vorliegen, weshalb wir den mittleren Term mit der Produktregel der Differenziation um eine Ordnung erniedrigen müssen, hiernach gilt: w § wu · ¨ E ˜ A ˜ g j x ˜ ¸ wx © wx ¹

E˜A˜gj

w 2u wx 2

 E˜A

wg j w u ˜ . wx wx

Wird dies berücksichtigt, so kann die vorstehende Gleichung auch geschrieben werden als L§

³ ¨¨ U ˜ A ˜ g j

o©

w 2u wt

2

 E˜A

wg j w u · § wu · L ¸  g j ˜ p x ¸¸ dx  ¨¨ E ˜ A ˜ g j ˜ wx wx w x ¸¹ o © ¹

und mit ausintegrierten Randtermen bzw. an den Integrationsgrenzen

0

(5.3)

5.3 Mathematische Formulierung L§

³ ¨¨U ˜ A ˜ g j

o©

47

w 2u

w g j wu · § wu wu ·  E˜ A ˜  g j ˜ px ¸ dx  ¨¨ E ˜ A ˜ g j L L  E ˜ A ˜ g j 0 0 ¸ 0. ¸ 2 wx wx ¸¹ wx wx wt © ¹

An dieser Stelle wollen wir nun mit 2

ux , t

¦ g i  x ˜ u i t

(5.4)

i 1

einen Ansatz*) für die unbekannten Verschiebungen einführen, und zwar so, dass von den Knotenverschiebungen u i ausgehend in das Innere des Elements u (x, t) hineinapproximiert werden kann. Die dazu erforderlichen Formfunktionen g i , g j wählen wir linear unabhängig, und zwar so, dass alle Randbedingungen erfüllt werden. Weiterhin soll noch in eine Ortsund Zeitabhängigkeit separiert werden. Damit folgt dann mit den notwendigen Ableitungen w 2u wt

2

2

¦ gi i 1

w 2u i wt

2

wu

,

wx

2 wg i u i w x i 1

¦

für die Gl. (5.3) 2 L§

w 2ui

i 1o ©

wt 2

¦ ³ ¨¨ ȡ ˜ A ˜ g j ˜ g i

E˜A

wg j wgi · §L · ˜ u i ¸dx  ¨¨ ³ g j ˜ p x ˜ dx ¸¸ w x w x ¸¹ ©o ¹

§ 2 w g x · § 2 w g x · · §  ¨¨ E ˜ A ˜ g j L ¨¨ ¦ i u i ¸¸ L  E ˜ A ˜ g j 0 ¨¨ ¦ i u i ¸¸ 0 ¸¸ ©i 1 wx ¹ ©i 1 wx ¹ ¹ ©

0, j

1, 2 . (5.5)

Löst man diese Gleichung auf, so ergibt sich 2

§L

¦ ¨¨ ³ ȡ ˜ A ˜ g j ˜ g i ˜ dx

i 1© o

w 2ui

L wg j wg ·  ³E˜A ˜ i dx ˜ u i ¸ ¸ wx wx wt 2 o ¹



 N 2 ˜ g j L  N1 ˜ g j 0



· §L ¨ ³ g j ˜ p x ˜ dx ¸ ¸ ¨ ¹ ©o

(5.6)

j 1, 2,

wobei jetzt Massen, Steifigkeiten, Knotengrößen und Kräfte abgespalten sind. Somit ist die gesuchte Schwingungsdifferenzialgleichung   k ˜ u m˜u

p0  pK 

(5.7)

in diskretisierter Form zu erkennen. Ausgeschrieben lautet diese Matrizengleichung auch

*)



Anmerkung: Rayleigh-Ritz-Ansatz = Linearkombination von orts- und zeitabhängigen Form- bzw. Ansatzfunktionen

5 Das Konzept der Finite-Element-Methode

48

ª m11 m12 º ª u1 º ª k11 k12 º ª u1 º «m »˜« »« »˜« » ¬ 21 m 22 ¼ ¬ u 2 ¼ ¬ k 21 k 22 ¼ ¬ u 2 ¼

ª P1 º ª F1 º «P »  «F » . ¬ 2 ¼0 ¬ 2 ¼K

(5.8)

Aus Gl. (5.6) sind insbesondere die Vorschriften zu entnehmen, wie die entsprechenden Matrizen oder Vektoren zu bilden sind, und zwar  die Koeffizienten der Elementmassenmatrix m als L

³ U ˜ A ˜ g j ˜ g i dx ,

m ji

j, i = 1, 2

(5.9)

o

 die Koeffizienten der Elementsteifigkeitsmatrix k als L

k ji

c c ³ E ˜ A ˜ g j ˜ g i dx ,

j, i = 1, 2

(5.10)

o

 die Knotenkomponenten des Oberflächenlastvektors p 0 L

pj

j = 1, 2*)

³ g j ˜ p x ˜ dx ,

(5.11)

o

 der Knotenlastvektor pK

ª F1 º « » ¬ F2 ¼

(5.12)

mit den Randbedingungen

Fx1 {  N1

§ 2 wg x · u i ¸¸ 0 ,  E ˜ A ˜ 1 ¨¨ ¦ i ©i 1 wx ¹

Fx 2 { N 2

§ 2 w g x · u i ¸¸ L . E ˜ A ˜ 1 ¨¨ ¦ i ©i 1 wx ¹

(5.13)

Wählt man für das Stab-Element jetzt lineare Formfunktionen (shape functions) der Art g1

1

x L

und g 2

x L

,

so gilt für den Verschiebungsansatz (s. Gl. (5.4)) *) Anmerkung: Zur Gl. (5.11) ist anzumerken, dass der Ausdruck eine Vorschrift enthält, wie verteilte Lasten - die zwischen Knoten eingeleitet werden - bezüglich der Formfunktionen konsistent auf die Knoten zu verschmieren sind. Die Gl. (5.13) wird vielfach nicht berücksichtigt.

5.3 Mathematische Formulierung

u x , t

49

x· x § ¨1  ¸ ˜ u1 t  ˜ u 2 t , L¹ L ©

(5.14)

womit die Verschiebungs- und Kraftrandbedingungen erfüllt werden. Der Verlauf dieser Ansatzfunktionen über die normierte Stablänge zeigt Bild 5.4 zu einem beliebigen Zeitpunkt bzw. in den Knoten. g g1 1  [

[

g2

1 u (0, t)

2 u1 ( t )

u (L, t)

[

x L

u 2 (t )

Bild 5.4: Formfunktionen für das Stab-Element mit normierter Länge Somit ist es jetzt möglich, die Koeffizienten der interessierenden Matrizen L

m11

U ˜ A ³ g1 ˜ g1 dx o L

m 21

U ˜ A ³ g1 ˜ g 2 dx o L

m 22

U ˜ A ³ g 2 ˜ g 2 dx o L

k11

E ˜ A ³ g1c ˜ g1c dx o L

k 21

E ˜ A ³ g1c ˜ g 2c dx o L

k 22

E ˜ A ³ g 2c ˜ g 2c dx o

L§ x x 2 ·¸ dx U ˜ A ³ ¨1  2  ¨ L L2 ¸¹ o© L§ x x 2 ·¸ dx U˜ A³¨  ¨ 2¸ o© L L ¹ L x2

U˜ A³

2 oL

L 1 dx 2 oL L o

1 2

E˜A , L dx

L

L 1 dx 2 oL

E ˜ A³

U˜A L, 6

U˜A L, 3

dx

E ˜ A³

E ˜ A³ 

U˜A L, 3



E˜A , L

E˜A L

zu berechnen. Werden diese nun eingesetzt, so können die Matrizen ausformuliert werden zu

5 Das Konzept der Finite-Element-Methode

50

m

ª1 «3 ȡ ˜ A ˜ L« «1 «¬ 6

1º 6» » 1» 3 »¼

k

E ˜ A ª 1  1º . 1»¼ L «¬  1

(5.15)

und (5.16)

Des Weiteren findet man für die Kraftvektoren

p0

ª px ˜ L º ª P1 º » « « » {« 2 » px ˜ L «P » » ¬ 2 ¼0 « ¬ 2 ¼0

pK

ª F1 º « » { E˜A « » ¬« F2 ¼» K

(5.17)

und ª w g1 «  dx 0 « « w g1 «¬ dx L



wg 2 º 0 » ª u1 º dx » ˜ « », wg 2 » « » L » ¬« u 2 ¼» ¼ dx

(5.18)

womit wieder das Gleichgewicht zu den Schnittgrößen N j in den Knoten deutlich wird.

5.3.2 Ebenes Dreh-Stab-Element

Eine schöne Anwendung in der Physik bzw. Schwingungstechnik findet das (modifizierte) Stab-Element, um Drehschwingungen analysieren zu können. Typische Fragestellungen ergeben sich bei verzweigten Wellensystemen im Getriebebau oder bei Verarbeitungsmaschinen. Um die zugehörigen Beziehungen für rotatorische Schwingungen aufstellen zu können, ist im Bild 5.5 ein spezielles Drehstab-Element eingeführt worden. Hier ist weiter angenommen, dass über die Länge des Elementes ein verteiltes Drehmoment m t eingeleitet wird. Dies entspricht in etwa der Krafteinleitung über eine Nabe, Flansch etc. An den Knoten soll das Element äußere Momente über die Einzelmomente Ti weiterleiten können, bzw. es werden diskrete Verdrehungen ĭ i hervorgerufen. Für alle Zusammenhänge sei linear elastisches Verhalten angenommen. Angemerkt sei noch, dass die Massenträgheit um die x-Achse zu bilden ist (d. h. nicht wie bei allgemeiner Kinematik als Massentensor).

5.3 Mathematische Formulierung

51 2 m t ( x, t ) G ˜ J p, L

1

T1

T  2 ĭ2 , ĭ 2

 ĭ1, ĭ 1

m t ˜ dx

x, I

T

wT ˜ dx wx

dx

T dĬ ˜ I

*)

Bild 5.5: Mechanik des linearen Drehstab-Elements

Bildet man jetzt unter den gezeigten Verhältnissen an einem infinitesimalen Elementchen das Gleichgewicht, so folgt hieraus

wT d4 ˜ I  dx  m t ˜ dx wx

0.

(5.19)

Durch Einsetzen von 2 ³ r ˜ dm

d4

dV

U ³ r 2 ˜ dA ˜ dx

U ˜ J p ˜ dx

dA

für das Massenträgheitsmoment**) und der bekannten Beziehung T

G ˜ Jp ˜

wI wx

für das Drehmoment kann die vorstehende Gl. (5.19) umgeformt werden zu U ˜ Jp

*)

Anmerkung:

**)

w 2I wt 2

 G ˜ Jp

w 2I wx 2

 mt

0.

(5.20)

Vorstehend bezeichnet I x einen beliebigen Drehwinkel an der Stelle x, aber )1 , ) 2

bezeichnen jeweils Verdrehungen an den Knoten. Anmerkung 1: Das Trägheitsmoment J p (für polar) kann so nur für einen Kreisquerschnitt gebildet werden; verallgemeinert müsste J t benutzt werden. 4

Anmerkung 2: Bei Wellenelementen ist J p = (S ˜ d )/32.

5 Das Konzept der Finite-Element-Methode

52

Wird hierauf wieder der Galerkin‘sche Formalismus angewandt, so erhält man die Gleichung L§

³ ¨¨ U ˜ J p ˜ g j

o©

w 2I wt

2

 G ˜ Jp ˜ g j

·  g j ˜ m t ¸ dx ¸ wx ¹ w 2I 2

0

j = 1, 2.

(5.21)

Da auch für das vorliegende Problem der Gleichungstyp (5.2) maßgebend ist, muss der mittlere Term in bekannter Weise umgeformt werden zu wI · w § ¸ ¨¨ G ˜ J p ˜ g j wx © w x ¸¹

G ˜ Jp ˜ g j

w 2I wx

2

 G ˜ Jp

wg j wI ˜ , wx wx

wird dies berücksichtigt, so erhält man die zu Gl. (5.21) äquivalente Gleichung L§

³ ¨¨ U ˜ J p ˜ g j

o©

w 2I wt

2

 G ˜ Jp

wg j wI · § wI · L ¸ ˜  g j ˜ m t ¸¸ dx  ¨¨ G ˜ J p ˜ g j wx wx w x ¸¹ o © ¹

0.

(5.22)

Mittels des Rayleigh-Ritz-Ansatzes 2

I x , t

¦ g i x ˜ ) i t

(5.23)

i 1

bzw. mit den entsprechenden Zeit- und Ortableitungen w 2I wt

2

2

¦ gi ˜ i 1

w 2)i wt

2

,

2

wI

¦

wx

wg i

i 1 dx

˜ )i

folgt auch für Gl. (5.22) 2 L§

w 2) i

i 1o ©

wt 2

¦ ³ ¨¨ U ˜ J p ˜ g j ˜ g i

 G ˜ Jp

wg j wg i · §L · ) i ¸dx  ¨¨ ³ g j ˜ m t ˜ dx ¸¸ ˜ ¸ wx wx ©o ¹ ¹

(5.24)

2

wg L  ¦ §¨ G ˜ J p ˜ g j i ·¸ ˜ ) i wx ¹ o i 1©

0,

j 1, 2.

Damit liegt wieder die diskretisierte DGL   c ˜ ĭ Ĭ ˜ĭ

m0  mK

(5.25)

vor, die entwickelt lautet:  º ª c ª 411 412 º ª ) 11 c12 º ª )1 º 1 »« » »˜« « »˜«  » «¬ c «¬ 4 21 4 22 »¼ «¬ ) 21 c 22 »¼ «¬ ) 2 »¼ 2¼

ª Tx1 « «¬ Tx 2

º ª T1 º » « » . »¼ «T » 0 ¬ 2 ¼K

(5.26)

5.3 Mathematische Formulierung

53

Alle Berechnungsvorschriften für die benötigten Ausdrücke findet man wieder in Gl. (5.24), und zwar  für die Koeffizienten der Elementträgheitsmatrix L

³ U ˜ J p ˜ g j ˜ g i ˜ dx ,

Ĭ ji

j, i = 1, 2,

(5.27)

o

 für die Koeffizienten der Elementdrehsteifigkeitsmatrix L

c ji

c c ³ G ˜ J p ˜ g j ˜ g i ˜ dx ,

j, i = 1, 2,

(5.28)

o

 für den Oberflächenlastvektor eines verteilten Momentes

m0

ª Tx1 « « «¬ Tx 2

º » » »¼ 0

ªL º « ³ g1 ˜ m t dx » «o » «L » « ³ g 2 ˜ m t dx » «¬ o »¼ 0

ª mt ˜ L º « 2 » » « « mt ˜ L » «¬ 2 »¼ 0

(5.29)

und für den Knotenlastvektor von eingeleiteten Momenten mK

ª T1 º « » ¬ T2 ¼ K

(5.30)

mit den Randbedingungen T1

G ˜ J p ˜

T2

G ˜ Jp ˜

wI 0 wx

wI L wx

§ 2 wg x · G ˜ J p ˜ ¨¨ ¦ i ) i ¸¸ 0 , ¹ © i 1 wx § 2 wg x · G ˜ J p ˜ ¨¨ ¦ i ) i ¸¸ L . ¹ © i 1 wx

Da das Dreh-Stab-Element auch wieder linear mit den gleichen Ansatzfunktionen wie in Gl. (5.14) angesetzt werden kann, ergeben sich zu Gl. (5.15) und (5.16) ähnliche Matrizen.

5.3.3 Ebenes Balken-Element In Analogie zu den stabartigen Elementen soll nun das Balken-Element beschrieben werden. Wir wollen hierbei die Bernoulli-Hypothese zu Grunde legen, die unter reiner Biegung von Schubverzerrungsfreiheit und gerade bleibenden Querschnitten ausgeht. Die im allgemeinen Fall auftretenden Verhältnisse bei schlanken Elementen zeigt Bild 5.6.

5 Das Konzept der Finite-Element-Methode

54 Ȍ

x

qz (x, t)

w'

 Ȍ2, Ȍ 2 2

1  Ȍ1, Ȍ 1

z,w

U , E . Jy , L

 1 w1, w

M1

 2 w2, w

qz . dx

Q1 Qz

P

My

Qz 

M2

Q2 My 

dM y dx

dx

dQ z dx dx

 ˜ d x U˜ A ˜ w

Bild 5.6: Mechanik des Biege-Balken-Elements

Zur Ermittlung der beschreibenden Differenzialgleichung soll wieder von der Gleichgewichtsgleichung an einem Balken-Elementchen ausgegangen werden:

¦ Kz

 ˜ dx  Q z  0:  Q z  U ˜ A ˜ w

dQ z dx  q z ˜ dx dx

0,

(5.31)

dies führt zu der DGL   U˜A˜w

dQ z  qz dx

0.

(5.32)

Hierin gilt es aber noch, die Ableitung der Querkraft durch die Verschiebung zu ersetzen. Dazu kann noch die Momentenbedingung

¦ Mp

0:  M y  Q z ˜ dx  q z ˜ dx ˜

dM y dx dx  ˜ dx ˜ U˜A˜w  My  dx 2 2 dx

0 (5.33)

ausgenutzt werden. Vernachlässigt man dabei alle kleinen Größen zweiter Ordnung, so führt dies auf die Beziehung Qz

M yc oder Q zc

M ys .

5.3 Mathematische Formulierung

55

Unter weiterer Berücksichtigung der Biegelinienbeziehung M y (5.33) also Q zc

E ˜ J y ˜ w cc folgt aus Gl.

E ˜ J y ˜ w IV .

(5.34)

Wird diese Gleichung nun vorstehend eingeführt, so erhält man als DGL der Biegeschwingung   E ˜ J y ˜ w IV  q z U˜A˜w

0.

(5.35)

Auf diese DGL wird jetzt wieder das Galerkin-Verfahren angewandt, wodurch folgendes Funktional entsteht: L





  E ˜ J y ˜ g j ˜ w IV  g j ˜ q z dx 0 , ³ U˜A˜gj ˜w

j = 1, ..., 4.

(5.36)

o

Zur Erniedrigung der Ordnung des mittleren Terms gilt es wie zuvor schon, die Produktregel anzuwenden, und zwar zunächst folgendermaßen: w wx

E ˜ J y ˜ g j ˜ w IV  E ˜ J y ˜ g jc ˜ w ccc ,

E ˜ J y ˜ g j ˜ w ccc

E ˜ J y ˜ g j ˜ w ccc c  E ˜ J y ˜ g jc ˜ w ccc

E ˜ J y ˜ g j ˜ w IV

.

(5.37)

Diese Ordnungserniedrigung ist so lange durchzuführen, bis die Durchbiegung w in der zweiten Ordnung vorliegt, also ist die Produktregel noch einmal anzuwenden auf E ˜ J y ˜ g jc ˜ w ccc

E ˜ J y ˜ g jc ˜ w cc c  E ˜ J y ˜ g js ˜ w cc .

Damit kann jetzt folgende Ersetzung des Terms vorgenommen werden:

E ˜ J y ˜ g j ˜ w IV

c

E ˜ J y ˜ g j ˜ w ccc c  E ˜ J y ˜ g jc ˜ w cc  E ˜ J y ˜ g js ˜ w cc .

(5.38)

Wird dies in Gl. (5.36) berücksichtigt, so liegt das Funktional in der Form L





  E ˜ J y ˜ g js ˜ w cc  g j ˜ q z dx  >E ˜ J y ˜ g j ˜ w ccc ³ U˜A ˜gj ˜ w

o

(5.39)



 E ˜ J y ˜ g jc ˜ w cc

@ o

L

0

vor. Es ist im Weiteren jedoch zweckmäßig, von folgender Gleichung auszugehen:

5 Das Konzept der Finite-Element-Methode

56 L



L



>

@ L



  E ˜ J y ˜ g js ˜ wcc dx ³ g j ˜ q z dx  E ˜ J y g jc ˜ wcc  g j ˜ wccc . (5.40) ³ U˜ A ˜ gj ˜ w o o o

Für die Verschiebungen soll jetzt wieder der zuvor schon benutzte Ansatz gemacht werden, und zwar 4

w x , t

¦ g i x ˜ d i t ,

(5.41)

i 1

worin der Knotenverschiebungsvektor sich folgendermaßen zusammensetzt:

ª d1 º «¬d »¼ 2

d

ª w1 º « \ » *) « 1» . «w 2 » «¬ \ »¼ 2

(5.42)

Führt man den Ansatz mit seinen Ableitungen 4

¦ g i ˜ di ,

 w

i 1 4

s ¦ gi ˜ di ,

w cc

i 1 4

''' ¦ gi ˜ di

w ccc

i 1

ein, so ergibt sich §L

·

i 1© o

¹

4

§L

·

i 1© o

¹

4

s s ¦ ¨¨ ³ U ˜ A ˜ g j ˜ g i dx ¸¸ ˜ di  ¦ ¨¨ ³ E ˜ J y ˜ g j ˜ g i dx ¸¸ ˜ d i

>

L

4

o

i 1



c s sc ³ g j ˜ q z dx  ¦ E ˜ J y g j ˜ g i g j ˜ g i

@ 0 ˜ d , L

i

(5.43) j

1, " , 4.

Diese Gleichung stellt somit wieder die Schwingungs-DGL eines Balken-Elements dar:

  k ˜ d m˜d

p0  pK .

(5.44)

Umseitig ist diese Gleichung als matrizielle Elementbeziehung ausgeschrieben worden:

*)

>@

Anmerkung: \ q

arctan \ mit \

wc

5.3 Mathematische Formulierung ª m11 «m « 21 « m31 « ¬ m41

 1 º ª k11 m12 m13 m14 º ª w » «  » « k m22 m23 m24 < » ˜ « 1 »  « 21  2 » « k31 m32 m33 m34 » « w » «  » « m42 m43 m44 ¼ ¬ < 2 ¼ ¬ k 41

57 k12 k13 k14 º ª w1 º k 22 k 23 k 24 » « x1 x 2 " x n @ ˜

2

3

1

1

Z12

4

Z2

2

1

"

Zn 2

2

2

Anmerkung: Hinweis: imaginäre Einheit i, Regeln: i = -1, i = -i, i = +1, daher p = - Z

(9.49)

218

9 FEM-Ansatz für dynamische Probleme

zusammen. Dabei soll noch folgende Abkürzung eingeführt werden, und zwar eine zusammengefasste Eigenvektormatrix X

>x1 x 2 " x n @

(9.50)

und eine Eigenwertmatrix (inverse Kreisfrequenz-Quadrate) ȁ

O1 O 2 " O n

1 Z1

1 2

Z2

2

"

1 Zn 2

(9.51)

.

Somit kann Gl. (9.49) auch geschrieben werden als

M˜X

K ˜X˜ȁ.

(9.52)

Erweitert man die vorstehende Gleichung noch durch eine Vormultiplikation mit X t zu Xt ˜ M ˜ X

Xt ˜ K ˜ X ˜ ȁ ,

(9.53)

so wird M und K diagonalisiert. Anhand des zuvor schon benutzten Beispiels wollen wir dies jetzt kurz beweisen. Für die Eigenvektorenmatrix (nicht normierte Modalmatrix) kann dann

X

1 ª «1 « 1 5 ¬2





1 º » *) 1 1 5 » ¼ 2



(9.54)



angesetzt werden. Obwohl in unserem Beispiel schon von einer diagonalen Massenmatrix ausgegangen worden ist, wollen wir dennoch die gewonnene Aussage belegen. Es gilt ª1 « « « «¬1

1 1 º 1  5 º» ª m 0 º ª 1 2 « » »˜ »˜« «1 » « » 1 1 » 1  5 » ¬« 0 m ¼» «¬ 2 1  5 2 1  5 »¼  ¼ 2

ª1 « « « «¬1

1 1 º 1  5 º» ª 2c  c º ª 1 2 « » « » »˜ ˜« » « » 1 1 1 »  1  5 » ¬« -c c ¼» «¬ 2 1  5 2 1  5 »¼ ¼ 2

ª 5  5 m« 2« «¬ 0

º » » 5  5 »¼ 0

und

*)

ª 5  5 c« 2« «¬ 0

Anmerkung: Für eine Normierung der Modalmatrix existieren zwei Möglichkeiten: a) Massenorthonormierung Xt ˜ M ˜ X I o Folge: X t ˜ K ˜ X t b) Steifigkeitsorthonormierung X ˜ K ˜ X I o Folge: X t ˜ M ˜ X

º » . » 5  5 »¼ 0

/ 1 , /.

219

9.4 Eigenschwingungen ungedämpfter Systeme Damit können äußerst bequem die Kreisfrequenz-Quadrate aus ȁ 1

Z12

Z2 2 " Zn 2

>X t ˜ K ˜ X @˜ >X t ˜ M ˜ X @1

(9.55)

bestimmt werden. Für das kleine Beispiel lauten sie: ȁ 1

Z12

c 5 5 m 5 5

Z2 2

5 5 5 5

c 3 5 2m



3  5

.

(9.56)

In der Mathematik wird die vorstehend bearbeitete Aufgabe als Lösung des allgemeinen Eigenwertproblems bezeichnet, weil es hier um die Ermittlung der Matrix X der Eigenwertvektoren x i und um die Diagonalisierung der beiden Matrizen M und K geht.

Bild 9.9: Stabmodelle zur Bestimmung der Eigenfrequenzen

In der Dynamik stellt die Diskretisierung nach Bild 9.8 nur eine grobe Näherung dar, die am vorstehenden Beispiel dargestellt wird. Wertet man Gl. (9.56) für den idealisierten Zwei-Massen-Schwinger nach Bild 9.9 aus, so folgt für die Eigenfrequenzen Z12

Z2 2





2E ˜ A 2 ˜ ˜ 3 5 , L 2U ˜ A ˜ L 2E U ˜ L2





˜ 3 5 ,

Z1

1, 236

Z2

3, 236

E U ˜ L2

E U ˜ L2

,

.

Diese Lösungen sind relativ weit entfernt von der exakten Lösung der Longitudinalschwingung eines Stabs mit

Zexakt

1,5708

E U ˜ L2

.

Der Fehler beträgt etwa 27 %. Wird das Beispiel als finites Modell mit einem einzigen Element gelöst, so führt dies auf

220

9 FEM-Ansatz für dynamische Probleme det K  Z 2 ˜ M

0,

E˜A U˜A˜L  Z2 ˜ L 3 Z2

0,

3E U ˜ L2

oder Z

1,73205

E U ˜ L2

,

d. h., diese Eigenfrequenz liegt um 10,3 % zu hoch. Verfeinern wir das Modell auf zwei Elemente, so führt dies zu Z1

E

1,6114

2

U˜L

, Z2

5,6293

E U ˜ L2

.

Wie in der Statik gilt auch für die Dynamik, dass sich mit zunehmender Elementfeinheit das Ergebnis verbessert. Bild 9.10 gibt diese Tendenz für die Eigenfrequenz wieder.

Anzahl der Elemente n

1

1

1.103

2

1.026

1.195

3

1.012

1.103

1.200

4

1.006

1.058

1.154

1.191

5

1.004

1.037

1.103

1.181

1.282

6

1.003

1.026

1.072

1.137

1.195

1.273

7

1.002

1.019

1.053

1.103

1.161

1.200

1.266

8

1.002

1.015

1.041

1.079

1.128

1.177

1.201

1.259

9

1.001

1.012

1.032

1.063

1.103

1.148

1.188

1.200

1.254

10

1.001

1.009

1.026

1.051

1.084

1.123

1.163

1.195

1.198

Zi / Z exakt -Verhältnis

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1.250

Bild 9.10: Bezogene Fehlerrate bei der Bestimmung der Eigenfrequenz der Longitudinalschwingung eines eingespannten Stabes

9.4 Eigenschwingungen ungedämpfter Systeme

221

9.4.2 Numerische Ermittlung der Eigenwerte

Zur Lösung des zuvor beschriebenen allgemeinen Eigenwertproblems mit symmetrischen und positiv definiten Matrizen bieten sowohl die Mathematik wie auch die FEM-Universalprogramme verschiedene Lösungsverfahren an. Ohne auf die mathematischen Hintergründe dieser Verfahren vertieft einzugehen, kann festgestellt werden, dass diese Anwendung von verschiedenen Gegebenheiten abhängig ist: x

Zunächst ist herauszustellen, dass in der Praxis meist nur eine beschränkte Anzahl der meist niedrigsten Eigenfrequenzen mit den dazugehörigen Eigenvektoren von Interesse sind, oder diese Werte in einem bestimmten Intervall gesucht werden. Zufolge der Diskretisierung sind die niedrigen Eigenwerte relativ genau bzw. die höheren nur mit einem größeren Fehler bestimmbar.

Im Besonderen ist maßgebend: x

Es liegt eine Problemstruktur vor, bei der die Matrizen M und K voll besetzt sind. Dies tritt dann ein, wenn eine Kondensation zur Eliminierung von Freiheitsgraden vorgenommen wurde. In diesem Fall eignen sich als Lösungsverfahren das Jacobi- und Householder-Verfahren sowie die Modifikation von Householder-Givens zur Erzeugung tridiagonaler Matrizen.

x

Es liegt der Normalfall vor, dass M und K nur schwach besetzt sind und eine Hüll- oder Bandstruktur vorherrscht. Diesbezüglich erweist sich die Vektoriteration oder Bisektionsmethode als am zweckmäßigsten.

x

Eine besondere Klasse von iterativen Lösungsverfahren (z. B. Koordinatenüberrelaxation) nutzt die schwache Besetzung der Matrizen aus oder operiert nur mit den von null verschiedenen Koeffizienten. Bei diesem Verfahren ist zwar der Speicherbedarf am geringsten, aber der Rechenaufwand relativ hoch.

x

Des Weiteren kann der allgemeine Fall vorkommen, dass Eigenwerte eines Systems bestimmt werden müssen, welches selbst noch Starrkörperbewegungen (z. B. Flugzeug, Satellit etc.) vollführt. Die Matrix K (z. B. Lanczos-Verfahren) ist dann singulär. Derartige Probleme werden numerisch durch eine Spektralverschiebung gelöst, in dem die Matrix mit Faktoren multipliziert werden, die letztlich zu denselben Eigenwerten führen. Dieses Verfahren kann auch auf statisch bestimmte Strukturen angewandt werden.

Bei einigen Programmsystemen kann der Anwender direkten Einfluss auf das zu wählende Verfahren nehmen und somit den Speicherbedarf und die Rechenzeit optimieren. Falls dies nicht möglich ist, wählen die Programme bevorzugt die Vektoriteration, oder wenn es insgesamt wirtschaftlicher (kleiner 1.000 FHGs) ist, das Householder-Verfahren. Im folgenden Beispiel ist exemplarisch eine Stahlbaubrücke hinsichtlich der Eigenfrequenzen und Eigenschwingungsformen untersucht worden. Die Struktur hat insgesamt 8 ˜ 2 16 Freiheitsgrade, von denen vier FHGs gebunden sind. Frei sind somit 6 ˜ 2 12 Freiheitsgrade. Für eine Struktur können so viele Eigenfrequenzen berechnet werden, wie Freiheitsgrade vorliegen, also hier 12 Eigenfrequenzen. Praxisrelevant sind meist die ersten Eigenfrequenzen, weshalb in der Rechnung auch nur vier Werte berechnet wurden. Anhand der

222

9 FEM-Ansatz für dynamische Probleme

Eigenschwingungsformen ist weiter feststellbar, wann die Biege- und Längsschwingung angeregt werden.

Z1 = 45,3251 Hz

1

Z2 = 93,49 Hz

2

4

6

3

5

7

8

Z3 = 117,947 Hz

Z4 = 161,331 Hz

Bild 9.11: Eigenschwingungen einer Stahlbaubrücke

An den Schwingungsformen erkennt man, dass zunächst die Biegeeigenfrequenz angeregt wird, bevor als 2. und 3. Eigenfrequenz die Longitudinalschwingungen ansprechen. Dieses ist oft zu beobachten, woraus geschlossen werden kann, dass Systeme in der Regel steifer gegenüber den Längsschwingungen sind. Des Weiteren sollen an diesem Beispiel überprüft werden, ob sich größere numerische Unterschiede bei der Eigenfrequenzberechnung ergeben, wenn unterschiedliche Lösungsverfahren gemäß der vorstehenden Auflistung gewählt werden. Bei der vorliegenden Anzahl von Freiheitsgraden (also kleiner Umfang) machen sich Unterschiede erst in der zweiten Kommastelle bemerkbar, sodass man in etwa prognostizieren kann, dass bei kleiner 1.000 FHGs das Lösungsverhalten keine maßgebliche Rolle spielt.

9.4.3 Statische Reduktion nach Guyan

In der Regel liegen einem Netzaufbau statische Vorgaben zu Grunde, weshalb oft sehr fein idealisiert wird. Es ist in der Regel aber nicht notwendig, mit diesen in die Hunderte oder Tausende gehenden Freiheitsgraden auch eine Eigenwertanalyse gemäß den vorausgegangenen Lösungskonzepten vornehmen zu wollen. Gefragt ist daher eine Technik, die mit möglichst wenigen Freiheitsgraden zu einer guten Aussage kommt. Für diese Problemstellung hat sich in der Praxis die so genannte Reduktion nach Guyan bewährt, die mit wenigen Freiheitsgraden meist den unteren Frequenzbereich gut absichert. Um dieses Verfahren darstellen zu können, wählen wir das einfache Beispiel eines Balkenschwingers nach Bild 9.12.

223

9.4 Eigenschwingungen ungedämpfter Systeme

\y2

a)

w2

w3

u2

x z 1

\y3

2

\y4

w4

u3 3

\y5

w5

u4 4

u5 5

u3c

b) 1

2

3

u5c 4

5

w3c

c) 1

2

3

w5c 4

5

Bild 9.12: Statische Reduktion am Balkenschwinger /ARG 88/ a) Gesamtsystem mit 4 x 3 = 12 FHGs b) auf 2 FHGs reduziertes System zur Annäherung der Längsschwingungen c) auf 2 FHGs reduziertes System zur Annäherung der Biegeschwingungen

Im Beispiel sei angenommen, dass mit 2-D-Balken-Elementen, die je Knoten 3 FHGs aufweisen, idealisiert wurde. Das System kann somit Längs- und Biegeschwingungen durchführen, die auch getrennt auswertbar sind. Stellt man sich beispielsweise die Aufgabe, die Eigenfrequenzen des Balkenschwingers zu ermitteln, so können mit den vier x-Freiheitsgraden u 2 , " , u 5 genau vier LongitudialEigenfrequenzen und mit den vier z-Freiheitsgraden w 2 , " , w 5 weitere vier TransversalEigenfrequenzen bestimmt werden. Interessieren hingegen nur jeweils die ersten beiden Eigenfrequenzen, so kann das System kondensiert werden auf zwei entkoppelte x- und zFreiheitsgrade. Im umseitigen Bild 9.13 ist eine derartige Analyse an dem Balkenschwinger durchgeführt und ausgewertet worden. Werden alle 12 FHGs im Modell zugelassen, so ergibt sich bei der Biegeschwingung nur ein relativ geringer Fehler von Fmax = 1,45 % zu der Kontinuumslösung. Bei der Längsschwingung ist dieser Fehler mit Fmax = 19,14 % deutlich größer. Im unteren Frequenzbereich sind die Lösungen allerdings dicht beisammen. Aus dieser Vorbetrachtung kann geschlossen werden, dass für das gezeigte Beispiel eine Analyse mit jeweils zwei FHGs hinreichend genau sein müsste, wie die Auswertung auch bestätigt. Sind Strukturen hingegen größer, so sollten erfahrungsgemäß etwa 1/4 bis 1/3 der Knoten freigegeben werden. Erfahrungsgemäß bewegt sich dann der maximale Fehler kleiner 7 %, was an einem Satellitengehäuse nachgewiesen werden konnte.

224

9 FEM-Ansatz für dynamische Probleme

1

2

3

U, E , A , J

4

5

L

L

1m

E

7 ˜ 1010 N/m 2

ȡ

2,7 ˜ 10 Ns 2 /m 4

i

J A

10  2 m

a) Kontinuum Biegeschwingung

Längsschwingung

Z1 = 179 Hz Z2 = 1.121 Hz Z3 = 3.141 Hz

Z1 = 7.998 Hz Z2 = 23.994 Hz Z3 = 39.991 Hz

Z4 = 6.156 Hz

Z4 = 55.987 Hz

b) kondensiertes FE-Modell Biegeschwingung (w) 12 FHGs

2 FHGs

Längsschwingung (u)

Z1 = 179 Hz Z2 = 1.123 Hz (F = 0,12 %) Z3 = 3.165 Hz (F = 0,77 %)

Z1 = 8.049 Hz (F = 0,64 %) Z2 = 25.393 Hz (F = 5,83 %) Z3 = 46.128 Hz (F = 15,35 %)

Z4 = 6.245 Hz (F = 1,45 %)

Z4 = 66.705 Hz (F = 19,14 %)

Z1 = 179 Hz (F = 0,17 %) Z2 = 1.134 Hz (F = 1 %) Z1 = 8.204 Hz (F = 2,59 %) Z2 = 28.663 Hz (F = 19,46 %)

Bild 9.13: Eigenfrequenzbestimmung am eingespannten Balken (nach /ARG 88/) a) exakte Kontinuumslösung b) Lösung des kondensierten Systems

Für die bisher nur verbal beschriebene Vorgehensweise wollen wir nun einen einfachen Algorithmus entwickeln. Dieser geht davon aus, dass in einer Struktur zwei Gruppen von Freiheitsgraden vereinbart werden können, und zwar

225

9.4 Eigenschwingungen ungedämpfter Systeme - zu eliminierende (sekundäre) Freiheitsgrade, hier bezeichnet als U e , und - beizubehaltende (primäre) Freiheitsgrade, hier bezeichnet als U c .

Um eine Beziehung zwischen diesen beiden Freiheitsgraden herstellen zu können, muss sichergestellt werden, dass an den zu eliminierenden Freiheitsgraden U e keine äußeren Kräfte angreifen. Gewöhnlich kann dies durch eine geeignete Vernetzung erreicht werden. Insofern kann man die Guyan-Reduktion auch als Interpolation der Schwingung mit der Biegelinie interpretieren. Für die statische, finite Systemgleichung kann somit angesetzt werden: ªK cc «K ¬ ec

K ce º ª U c º ˜ K ee »¼ «¬ U e »¼

ªPc º « 0 ». ¬ ¼

(9.57)

Löst man die beiden Gleichungen auf, so führt dies bekanntlich zu K cc ˜ U c  K ce ˜ U e

Pc ,

K ec ˜ U c  K ee ˜ U e

0.

(9.58)

Aus der letzten Gleichung können dann mit

Ue

K ee 1 ˜ K ec ˜ U c

(9.59)

die zu eliminierenden Freiheitsgrade bestimmt werden. Der Verschiebungsvektor ist demnach auch als Reduzierungsansatz

U

Uc º ªU c º ª » « »{« 1 «¬U e »¼ «¬ K ee ˜ K ec ˜ U c »¼

I º ª » ˜ Uc « 1 «¬ K ee ˜ K ec »¼

Tc ˜ U c

(9.60)

darstellbar. Berücksichtigt man dies in Gl. (9.29), so liegt mit

M ˜ Tc ˜ Ü c  K ˜ Tc ˜ U c

(9.61)

0

jetzt eine auf die primären Freiheitsgrade reduzierte DGL für das Eigenschwingungsproblem vor. Macht man jetzt weiter mit Gl. (9.30) einen Lösungsansatz für U c , so führt dies wieder zu der Gleichung

>Z2 M ˜ Tc  K ˜ Tc @ Xc

0.

(9.62)

Diese Gleichung wollen wir nun zusätzlich mit Tc t vormultiplizieren, womit man dann

>Z2 Tc t ˜ M ˜ Tc  Tc t ˜ K ˜ Tc @ Xc bzw. mit symmetrischen Matrizen

0

226

9 FEM-Ansatz für dynamische Probleme

>Z2 M cc*  K cc* @ Xc

(9.63)

0

erhält. Dieses Gleichungssystem stellt wieder das einfache lösbare Standardeigenwertproblem dar, für das vorstehend bereits die Lösungen angegeben wurden. Um die Nutzanwendung der Kondensation noch einmal real demonstrieren zu können, wählen wir die zuvor schon analysierte Stahlbaubrücke. Bei dem verwendeten Guyan-Prozessor lassen sich Knoten oder Knotengruppen direkt ansprechen und auf diese Knoten Richtungsvektoren aufsetzen. Insofern gelingt es also, große Systeme deutlich zu verkleinern, ohne eine maßgebliche Ergebnisverschlechterung hinnehmen zu müssen. Im Bild 9.14 ist bewiesen, dass trotz der Kondensation der überwiegenden Anzahl der Knoten (d. h. frei sind nur noch die Knoten f und g) dennoch die Schwingungsgrundformen gut mit den Eigenschwingungen im Bild 9.11 übereinstimmen, wenn die physikalisch zulässigen Schwingungsrichtungen miteinander gekoppelt werden.

Z1 = 47,24919 Hz

1

Z2 = 108,1544 Hz

2

4

6

3

5

7

Z3 = 150,85258 Hz

8

Z4 = 277,4808 Hz

Bild 9.14: Kondensierte Lösung für die Stahlbaubrücke

Bei den ersten beiden Eigenfrequenzen treten hingegen Abweichungen in der Größenordnung von 4,2 % bzw. 15,7 % auf, die sich weiter reduzieren lassen, wenn zusätzliche Freiheitsgrade freigegeben werden.

9.5 Freie Schwingungen Als Ergänzung zu dem vorausgegangenen Eigenschwingungsproblem wollen wir nun weiter der Frage nachgehen, wie bei der freien Schwingung spezielle Anfangsbedingungen (Verschiebungen, Geschwindigkeiten, Beschleunigungen zu einem Startzeitpunkt) zu behandeln

227

9.5 Freie Schwingungen

sind. Hierbei besteht weiter die Einschränkung, dass keine Anregungen durch äußere Kräfte vorliegen. Zu diesem Zweck gehen wir wieder von folgender Schwingungsdifferenzial-Gleichung aus:

ªM uu «M ¬ su

M us º ª Ü u º ªK uu ˜  M ss »¼ «¬Ü s 0»¼ «¬ K su

K us º ª U u º ˜ K ss »¼ «¬U s 0»¼

ª0º «F » . ¬ s¼

(9.64)

Dieses Gleichungssystem reduzieren wir jetzt auf die unbekannten Verschiebungen zu

M uu ˜ Ü u  K uu ˜ U u

0

und zu den Auflagerkräften

Fs

M su ˜ Ü u  K su ˜ U u .

(9.65)

Wurde dabei von der Reduktion nach Guyan Gebrauch gemacht, so muss man stattdessen von Gleichung

M cc ˜ Ü c  K cc ˜ U c

(9.66)

0

ausgehen. Des Weiteren nehmen wir an dieser Stelle an, dass für die zu betrachtende Struktur schon eine Eigenwertberechnung durchgeführt wurde und alle Eigenvektoren bekannt sind. Als besonders zweckmäßig hat es sich hierbei erwiesen, das allgemeine Schwingungsproblem in diesen Eigenvektoren zu entwickeln. Wir machen dazu folgende Variablensubstitution:

U u t

x1 ˜ Ș1 t  x 2 ˜ Ș 2 t  "  x nx ˜ Ș nx t

X ˜ Șt .

(9.67)

Ist die Anzahl n x der Eigenvektoren gleich der Anzahl der gesamten Eigenvektoren, dann ist die vorstehende Substitution exakt. Werden weniger Eigenvektoren benutzt (dynamische Reduktion), stellt die vorstehende Entwicklung dennoch eine brauchbare Näherung dar. Setzt man nun Gl. (9.67) in Gl. (9.65) oder (9.66) ein und multipliziert noch mit X t vor, so erhält man

>X t ˜ M uu ˜ X@˜ Ș  >X t ˜ K uu ˜ X@˜ Ș

0.

(9.68)

Im Kapitel 9.4.1 wurde des Weiteren schon festgestellt, dass die Eigenvektoren die Massenund Steifigkeitsmatrix diagonalisieren, womit sich so für Gl. (9.68) ergibt

Ș  ȁ 1 ˜ Ș

0.

Entwickelt man nun diese Gleichung, so ergeben sich Einzelgleichungen von der Form

(9.69)

228

9 FEM-Ansatz für dynamische Probleme

  Z 2 ˜ K K i i i

0,

(9.70)

für die die allgemeine Lösung mit

Ki t

A i ˜ sin Zi ˜ t  Bi ˜ cos Zi ˜ t

bekannt ist. Für die Anfangsbedingungen t

(9.71) t0

0

Ki 0

K0 i { B i

(9.72)

K i 0

K 0i { A i ˜ Zi

(9.73)

und

lautete dann die spezielle Lösung: Ki  t

K 0i ˜ sin Zi ˜ t  K0i ˜ cos Zi ˜ t .*) Zi

Dieser einfache Lösungsweg war nur durch die zuvor gewählte Substitution möglich. Somit  nach bleiben noch als Teilproblem die tatsächlichen Anfangsbedingungen in U u bzw. U u Ș bzw. Ș zu transformieren. Dies ist generell durch den bekannten Zusammenhang Ș (0)

X 1 ˜ U u (0)

X t ˜ K uu ˜ U u (0) ,

Ș (0)

 (0) X 1 ˜ U u

 (0) X t ˜ K uu ˜ U u

(9.74)  (0) ȁ 1 ˜ X t ˜ M uu ˜ U u

(9.75)

möglich. Diese Umformung gilt für einen vollen Satz von steifigkeitsorthonormierten Eigenvektoren, welches durch die Beziehung (s. Seite 204)

X t ˜ K uu ˜ X

I

(9.76)

gegeben ist. Wird hingegen die dynamische Reduktion genutzt, so ergibt sich für X eine Rechteckmatrix (n x n x ), welches dann einen anderen Lösungsweg zur Folge hat. Über die Gl. (9.67) kann dann die tatsächliche Problemlösung für freie Schwingungen ermittelt werden.

9.6 Erzwungene Schwingungen Bei den zuvor diskutierten freien Schwingungen bestand die Voraussetzung eines kräftefreien Systems. Wir wollen diese Betrachtung nun um zeitbestimmte Kräfte wie auch zeitbe*)

Anmerkung: K i t

Zi ˜ A i ˜ cos Zi ˜ t  Zi ˜ Bi ˜ sin Zi ˜ t

229

9.6 Erzwungene Schwingungen

stimmte Wege erweitern. Diese Größen können entweder periodisch oder nichtperiodisch sein oder gar in einer allgemeinen Funktion vorkommen. In Analogie zu Gl. (9.64) und Gl. (9.65) ist dann dafür folgende Gleichung maßgebend: ªM uu « «M pu «M ¬ su

M us º ª Ü u » « M ps » ˜ « Ü p M ss »¼ «¬Ü s

M up M pp M sp

º ªK uu » « »  «K pu 0»¼ «¬ K su

K up K pp K sp

K us º ª U u » K ps » ˜ «« U p K ss »¼ «¬U s

º » » 0»¼

ªPu º «P » . « p» «¬ Ps »¼

(9.77)

Hierin bezeichnet wieder - U u t die unbekannten Verschiebungen zu bekannten äußeren Kräften Pu t , - U p t vorgeschriebene (geführte) Freiheitsgrade, wozu unbekannte Kräfte Pp t kor-

respondieren, und - U s t an Auflagern unterdrückte Verschiebungen, zu denen die Auflagerkräfte Ps t zugehörig sind. Durch statische Reduktion (s. Kapitel 9.4.3) ist daraus die Schwingungs-DGL M cc ˜ Ü c  K cc ˜ U c



Pc (t ) { Tc t ˜ Pu (t )



(9.78)

zu gewinnen. Nutzt man weiter die Substitution von Gl. (9.67) und multipliziert noch mit

X t vor, so folgt daraus   X t ˜ K cc ˜ X ˜ Ș X t ˜ M cc ˜ X ˜ K

X t ˜ Pc t

(9.79)

bzw.   / 1 ˜ K K

M dia 1 ˜ X t ˜ Pc t .

(9.80)

Um die Umformung dieser Gleichung*) transparent zu machen, soll hier kurz dargelegt werden, wie die DGL eines Einmassenschwingers behandelt wird. Wir gehen dazu von der Gleichung Fi t

m i ˜ ü i  ci ˜ u i

(9.81)

aus. Nach der Division durch die Masse erhält man

c üi  i ui mi

*)

Anmerkung: M dia

1 Fi t . mi

t

X ˜ M ˜ X bzw. / 1

(9.82)

K dia ˜ M dia 1

230

9 FEM-Ansatz für dynamische Probleme

Bekanntlich bezeichnet der erste Quotient die quadrierte Eigenkreisfrequenz ci mi

Zi 2 ,

über die reziproke Masse in Verbindung mit der Federkonstanten (= Steifigkeit) steht: 1 mi

Zi 2 . ci

Die vorstehende Gleichung*) kann somit auch dargestellt werden als ü i  Ȧi 2 ˜ u i

Ȧi 2 Fi t . ci

(9.83)

Auf der rechten Seite steht dann eine steifigkeitsbezogene Kraft. Damit wird eine für Gl. (9.77) zutreffende Parallele deutlich, und zwar lässt sich jetzt diese Gleichung darstellen als

  / 1 ˜ K K



/ 1 ˜ X t ˜ K ˜ X

1 ˜ X t ˜ Pc t .

(9.84)

Weil diese Gleichung mittels der Eigenvektoren diagonalisiert ist, kann im Weiteren eine typische Einzelgleichung betrachtet werden, die von der Form

 i  Zi 2 ˜ Ki K

Zi 2 ˜ rKi t

(9.85)

ist. Auf der rechten Seite taucht jetzt aber keine Kraft mehr auf, sondern mit rKi t eine bezogene Erregungsfunktion, die es entsprechend den Vorgaben anzusetzen gilt. Im einfachsten Fall treten in der Technik harmonische Anregungsfunktionen auf, so wie exemplarisch im Bild 9.15 angedeutet ist.

*)

Anmerkung: Gleichungen vom Typ (9.82), (9.83) oder (9.85) können auch direkt mit dem NewmarkVerfahren gelöst werden. Voraussetzung ist, dass alle Antwortfunktionen stetig sind. Für die Beschleunigung kann dann im Zeitintervall ein diskreter Mittelwert u

1 ut  ' t  ut 2

angesetzt werden. Durch schrittweise Integration dieser Gleichung erhält man weiter u t  ' t und u t  ' t . Eingesetzt in Gl. (9.82) folgt: § 4 · m i  c i ¸u t  ' t ¨ © 't ¹

· § 4 4 Fi  t  ' t  m i ¨¨ u  u t  u t ¸¸ . 2 t t ' t ' ¹ ©

Diese Gleichung ist mit den gegebenen Anfangsbedingungen u t , u t , u t lösbar.

231

9.6 Erzwungene Schwingungen Fui(t) Us = 0

i

x z, w

Uu(t = 0) = 0

:i

absolut starr

Bild 9.15: Mit harmonischer Amplitude

Wir wollen nun die Lösung von Gl. (9.85) unter der Vorgabe einer sinusförmigen Einheitserregung rKi t

"1" ˜ sin : i ˜ t

(9.86)

mit der Anregung : i diskutieren. Zunächst ist festzustellen, dass mit Gl. (9.85) vom Typ her eine inhomogene DGL 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten vorliegt, die bekanntlich eine homogene (Lösung der Eigenschwingung) und eine partikuläre (Lösung der erzwungenen Schwingung) Lösung aufweist. Die homogene Lösung ist dabei Ș i hom ogen

A i ˜ sin Ȧ i ˜ t  Bi ˜ cos Ȧ i ˜ t .

(9.87)

Für die partikuläre Lösung ist ebenfalls ein sinusförmiger Ansatz Ki partikulär

C i ˜ sin : i ˜ t

(9.88)

zu machen. Setzen wir jetzt die partikuläre Lösung mit ihren Ableitungen in Gl. (9.85) ein, so erhalten wir sofort für den Koeffizienten Ci

Zi 2

(9.89)

§¨ Z 2  : 2 ·¸ i © i ¹

und somit

Ki partikulär

Zi 2 §¨ Z 2  : 2 ·¸ i ¹ © i

sin : i ˜ t .

Die allgemeine Lösung lautet sodann:

(9.90)

232

9 FEM-Ansatz für dynamische Probleme

Și

A i ˜ sin Ȧi ˜ t  Bi ˜ cos Ȧi ˜ t 

Ȧi 2 §¨ Ȧ 2  ȍ 2 ·¸ i ¹ © i

˜ sin ȍ i ˜ t .

(9.91)

Legen wir nun auch für einen Anwendungsfall spezielle Anfangsbedingungen, z. B. Ki 0

0 und K i 0

(9.92)

0

fest, so lautet für die angepassten Koeffizienten Ai



Zi ˜ : i , Bi §¨ Z 2  : 2 ·¸ i ¹ © i

0,

(9.93)

die Lösung der ungedämpften Schwingung Și



Ȧi ˜ ȍ i §¨ Ȧ 2  ȍ 2 ·¸ i ¹ © i 1

˜ sin Ȧ i ˜ t 

˜ sin ȍ i ˜ t 

1  ȍ i /Ȧ i   

2

Anteil Erregung

Ȧi 2 §¨ Ȧ 2  ȍ 2 ·¸ i ¹ © i

˜ sin ȍ i ˜ t

ȍ i /Ȧ i

˜ sin Ȧ i ˜ t 1  ȍ i /Ȧ i 2   

Anteil Eigenschwingung

oder etwas übersichtlicher sortiert Și

ȍ · § ¨ sin ȍ i ˜ t  i sin Ȧi ˜ t ¸ *) . Ȧ ¹ © 1  ȍ i /Ȧ i 1

2

(9.94)

Den betrachteten elementaren Fall wollen wir noch einmal kurz von der Wirkung her analysieren. Dazu diskutieren wir die so genannte Vergrößerungsfunktion Vi ȍ i

1 1  ȍ i /Ȧi 2

,

(9.95)

die vom Prinzip her eine statische Auslenkung von der Größe „1“ ins Verhältnis zu einer anregenden dynamischen Amplitude setzt. Die sich ergebende Abhängigkeit zeigt Bild 9.16. Als Aussage gewinnt man daraus: - Für Verhältnisse ȍ i /Ȧi 1 strebt die Schwingungsamplitude gegen Unendlich (Resonanzstelle) und würde bei nicht vorhandener Dämpfung in diesem Betriebszustand zu einer Zerstörung des Systems führen. *)

Anmerkung: Tritt hingegen in Gl. (9.86) eine Amplitude der Größe A auf, so tritt auch im Vorfaktor von Gl. (9.94) an Stelle von „1“ die Größe A auf.

233

9.6 Erzwungene Schwingungen

- Für so genannte unterkritische Erregung mit ȍ i /Ȧ i  1 nimmt die Schwingungsamplitude laufend zu, während überkritische Erregungen zunächst zu einer Abnahme der Schwingungsamplitude führt, die später wieder ansteigt.

3

C=0

Vi 2

C = 0,5 1

0

1

2

2

3 :i Zi

Bild 9.16: Verlauf der Vergrößerungsfunktion für eine periodische Erregung bei zwei verschiedenen Dämpfungskonstanten C

In der Realität wird man diese Verhaltensweise natürlich so nicht antreffen, da immer etwas Strukturdämpfung vorhanden sein wird. Als eine weitere wichtige Erregungsfunktion dieser Gruppe wollen wir noch den Rechteckimpuls behandeln, da er im Weiteren die Grundlage für die allgemeinen Erregungsfunktionen abgibt. Die Anregungsfunktion und die Systemantwort sind hierzu im Bild 9.17 skizziert. Mit Bezug zu Gl. (9.85) lautet dann hier die Bewegungsdifferenzial-Gleichung: Ș  Ȧ 2 ˜ Ș i i i

Ȧi 2 ˜ h i .

(9.96)

Diese DGL hat nun ohne näheren Beweis die allgemeine Lösung Și

A i  Bi ˜ sin Ȧ i ˜ t 

hi >cos Ȧ i ˜ t  cos Ȧ i t  t1 @ . 2

(9.97)

234

9 FEM-Ansatz für dynamische Probleme a) rKi

hi

hi

0 d t d t1

rKi

0

fd t 0 t1  t d f

t1

0

b)

rKi

t maximale Auslenkung

Ki hi

t1

³ Ș i ˜ dt 0

t

Bild 9.17: Antwort einer Struktur auf einen Rechteckimpuls a) Impulsfunktion b) Systemantwort

Für die dem Impuls zugehörigen Anfangsbedingungen Ki t

0 = 0 und Ș i t

0 = 0

können somit drei interessierende Bereiche abgegrenzt und hierfür die Auslenkungen wie folgt angegeben werden: - im Bereich 0 < t < t1 Ș i t

h i 1  cos Ȧ i ˜ t ,

(9.98)

- an der Stelle t = t1 Și t1

h i 1  cos Zi ˜ t1 ,

(9.99)

Ș i t1

Ȧi ˜ h i ˜ sin Zi ˜ t1 ,

(9.100)

- im Bereich t > t1 Ș i t

h i >cos Ȧ i ˜ t  t1  cos Ȧ i ˜ t @ .

(9.101)

9.6 Erzwungene Schwingungen

235

Wertet man nun die Auslenkung in den Bereichen aus, so zeigt sich, dass das System außerhalb der Impulsdauer der größten Amplitude unterworfen ist. Mit vorhandener Strukturdämpfung würde diese Schwingung dann aber auch ausklingen. Eine schöne Anwendung für einen Impuls stellt ein Rammvorgang als Hammerschlag dar. Umseitig ist im Bild 9.18 ein Stahlpfahlrohr (‡ 1,6 m, 35 m lang, 40 mm Wandstärke) gezeigt, mit dem Windenergieplattformen in der Nordsee verankert werden. Das Pfahlrohr wird mittels einer hydraulischen Hubramme (maximale Energie: 820 kJ, Hammermasse: 45,4 t) mit 6 m/s etwa 16 m tief in den Meeresboden getrieben. Die Ramme schlägt allerdings nicht direkt auf das Rohr, sondern auf einen puffernden Amboss (Masse: 15 t), der im Wesentlichen Pendelschlageffekte ausschaltet. In der zusammengefassten Auswertungsdarstellung sind auch Details der Modellierung erkennbar: Das Rohr ist aus linearen Rechteck-Schalen-Elementen aufgebaut mit einem linear elastischen Werkstoffgesetz. Am linken Ende ist der frei aufliegende Amboss erkennbar, der ebenfalls durch Schalen-Elemente idealisiert worden ist und im Kontakt zum Rohr steht. Das Eindringen in den Meeresboden wurde am rechten Ende über eine breite Elementreihe mit einem auf den Meeresboden kalibrierten plastischen Werkstoffgesetz abgestimmt. Dieses spezielle Verhalten ist durch Eindringmessungen bei der Pfahlgründung der FINO-Plattform vor der Nordseeinsel Borkum in einen Sandboden gewonnen worden. Insofern sind die Annahmen sehr real. In der Auswertung am Bildschirm kann man erkennen: x

Durch den Rammschlag bildet sich unter dem Amboss eine Druckwelle aus mit v = 6 m/s. In Zeitinkrementen erkennt man im Impulseinleitungsbereich ein Stauchen und Entspannen des Rohrmundstückes.

x

Die durchlaufende Welle fächert sich in dem konischen Rohrbereich auf und verlangsamt sich im zylindrischen Bereich auf v = 5,5-4,0 m/s.

x

x

Die durch die Welle induzierte Beanspruchung mit V v 250 N/mm 2 bleibt noch unterhalb der Streckgrenze des Materials, sodass das Rohr die Intensität des Rammschlages aushalten kann. Die Wellenbeschleunigung ist beim Rammschlag mit a = 10,63 m/s 2 sehr dicht an der Erdbeschleunigung und verlangsamt sich auf a = 2,74 m/s 2 am Rohrende.

x

Würden bei Hammerschlägen die Impulse zeitlich sehr schnell aufgebracht, so würde eine Überlagerung von Wellen stattfinden und das Rohr letztlich versagen.

Die FE-Ergebnisse bezüglich der Spannung, Geschwindigkeit und Beschleunigung stimmen bis auf 10,4 % mit Laborversuchen überein, die ein Messinstitut unter idealen Bedingungen mit dünnwandigen Rohren in Belastungsversuchen ermittelt hat. Für den vorliegenden Anwendungsfall, wo es ausschließlich um die Festigkeit und Stabilität der Pfahlrohre ging, ist dies ausreichend genau.

Bild 9.18: Beanspruchung eines Rohres durch Wellenausbreitung aus einem Impuls

Reflexionsbeschleunigung: a = 2,74 m/s 2

143 N/mm 2

Beschleunigung einer Welle: a = 10,63 m/s 2

Vv

max. von Mises-Spannung am Rohrende:

Reflexionsgeschwindigkeit: v = 3,2 m/s

250 N/mm 2

kurz bevor die Welle den Meeresboden erreicht

Geschwindigkeit unter dem Amboss: v = 6 m/s Geschwindigkeit einer Welle: v = 5,52 m/s

Welle: V v

max. von Mises-Spannung einer

kurz nach dem Rammschlag

236 9 FEM-Ansatz für dynamische Probleme

237

9.7 Beliebige Anregungsfunktion

9.7 Beliebige Anregungsfunktion Abschließend wollen wir zum Themenkreis Anregungen noch kurz einen Blick auf die Behandlung beliebiger Anregungsfunktionen werfen. Eine Grundlage hierzu stellt der Rechteckimpuls dar, den wir nachfolgend dazu benutzen wollen, eine beliebige Funktion summativ zu erfassen. Hierzu definieren wir zunächst die Impulsstärke t1

Ji

³ rȘi ˜ d t

h i ˜ ti .

(9.102)

o

Des Weiteren beziehen wir uns noch einmal auf Gl. (9.96) Ș i

Ȧ i 2 ˜ h i  Ȧ i 2 ˜ Și

und integrieren diese Gleichung zu

Ș i

· § ¸ ¨ t1 Ȧi 2 ¨ h i ˜ t i  ³ Și ˜ d t ¸ | Ȧi 2 ˜ J i . ¸ ¨ o  

¸ ¨ © 0 ¹

(9.103)

Das hierin auftretende Integral erfasst die Systemträgheit der Antwortfunktion und kann nach Bild 9.17 näherungsweise gleich null gesetzt werden. Weiter hatten wir zuvor schon gesehen, dass die maximale Auslenkung des Systems dem Impuls träge nachfolgt. Unter Berücksichtigung von Gl. (9.103) erhalten wir somit auch eine gute Lösung für den Bewegungsablauf, wenn wir von den folgenden verschobenen Anfangsbedingungen 0 | 0 und K i t1

Ki t1

0 | Ȧi 2 ˜ J i

(9.104)

ausgehen und hierfür die spezielle Lösung aus Gl. (9.97) entwickeln. Man erhält nämlich so für die Konstanten A i  Bi

Ȧi ˜ J i ,

(9.105)

sodass sich für die Auslenkung Ki t

Zi ˜ J i ˜ sin Ȧi ˜ t ,

t t t1

(9.106)

ergibt. Nach diesen Vorbetrachtungen wollen wir nun unsere Erkenntnisse auf die beliebige Anregungsfunktion von Bild 9.19 übertragen.

238

9 FEM-Ansatz für dynamische Probleme

dts rKi dJi

rKi (ts )

ts t

tr t

Bild 9.19: Zerlegung einer Anregungsfunktion in eine Anzahl von Teilimpulsen (nach /ARG 88/)

Wie in der Abbildung angedeutet ist, kann man den funktionellen Verlauf als eine Folge von Einzelimpulsen der Stärke dJ i

rȘ i t s ˜ d t s

(9.107)

auffassen, welches die Antwort (s. Gl. (9.106)) dȘ i

Ȧ i ˜ dJ i ˜ sin Ȧ i ˜ t  t s

Ȧ i ˜ rȘ i t s ˜ sin Ȧ i ˜ t  t s d t s

(9.108)

hervorruft. Die Systemantwort auf die Gesamterregung findet sich somit durch die Integration zu ts

Și

Ȧi ts

tr

³ rȘ i ts ˜ sin Ȧ i ˜ t  ts d ts .

(9.109)

0

Das gefundene Integral heißt allgemein Duhamel-Integral und kann vernünftig nur numerisch ausgewertet werden. Da wir es hier aber mit kleinen Rechteckimpulsen zu tun haben, können dafür einfache Lösungsverfahren wie die Trapezregel, Gauß oder Simpson herangezogen werden.

9.8 Lösung der Bewegungsgleichung Bei der Auflösung der Bewegungs-DGL (9.11) geht man in FE-Programmen vielfach nicht von den zuvor breit herausgestellten Eigenformen aus, sondern nutzt die so genannte Integration im Zeitbereich, welche stets numerisch durchgeführt wird. Man nimmt dabei an, dass  , Ü zu einem Zeitpunkt t bekannt sind; gesucht sind dann diese alle Systemgrößen U, U Größen zu dem späteren Zeitpunkt t  ǻ t . Die dazu angewandten Verfahren lassen sich demgemäß so klassifizieren, wie der Übergang von t nach t  ǻ t ermittelt wird:

239

9.8 Lösung der Bewegungsgleichung x

Bei expliziten Verfahren wird der Zustand zum Zeitpunkt t  ǻ t alleine auf Basis des dynamischen Gleichgewichts zum Zeitpunkt t dargestellt.

x

Bei impliziten Verfahren wird der Zustand auf Basis des dynamischen Gleichgewichts zum Zeitpunkt t  ǻ t unter Nutzung von Iterationen über alle Zeitschritte dargestellt.

Beide Verfahren haben Vor- und Nachteile, weshalb hier der Einsatzfall maßgebend ist. Bei den gewöhnlichen strukturdynamischen Untersuchungen ist man am dynamischen Gesamtverhalten interessiert. Dies unterscheidet sich von so genannten Wellenausbreitungsproblemen, wo lokale Phänomene untersucht werden sollen. Anders ausgedrückt spielen hier die Zeitdauern eine große Rolle, die einmal im Sekundenbereich und einmal im Mikrosekundenbereich liegen. Entsprechend kommen dann die Vorteile der Verfahren zur Geltung: x

Explizite Verfahren erfordern nur eine geringe Rechenzeit, haben jedoch eine Stabilitätsgrenze. Diese Stabilitätsgrenze ist gleich die Zeitdauer, die eine elastische Spannungswelle benötigt, um durch das kleinste finite Element im Netz zu laufen.

x

Implizite Verfahren benötigen eine derartige Stabilitätsgrenze nicht, da die Zeitschritte um mehrere Größenordnungen größer sind. Dies hat aber den Nachteil, dass die FE-DGL in jedem Zeitschritt zu lösen ist.

Die Anwendung expliziter Verfahren ist daher bevorzugt in der nichtlinearen FE-Dynamik (schnelle Umformung, Fahrzeugcrash etc.) zu sehen, wofür auch spezielle Programmsysteme (z. B. ABAQUS-explizit, PAM-CRASH, LS-DYNA, RADIOSS CRASH) existieren. Wegen der zunehmenden Bedeutung dieser Problemstellungen soll abschließend zur Dynamik noch einmal auf die verschiedenen computerorientierten Verfahren zur Lösung der Bewegungsgleichung eingegangen werden. Ausgangspunkt ist wieder die allgemeine Bewegungsgleichung  K˜U M˜Ü C˜U

P.

(9.110)

Mathematisch ist dies eine gewöhnliche lineare DGL zweiter Ordnung. Da bei der FEMethode das dazugehörige Gleichungssystem sehr groß werden kann, sind für die Lösung nur ganz wenige Verfahren von Interesse. Als besonders geeignet haben sich die direkte Integration und die Modenüberlagerung /SON 99/ erwiesen. Direkte Integration Als direkte Integration wird die Lösung von DGLs mit einem numerischen Schritt-fürSchritt-Verfahren bezeichnet. Grundannahme sei hierbei, ein Gleichungssystem nicht in jedem Zeitpunkt t erfüllen zu wollen, sondern nur in einem bestimmten Zeitintervall ' t . Dazwischen wird von linearer Interpolierbarkeit ausgegangen. Das Newmark-Verfahren realisiert diesen Ablauf. Voraussetzung für das Newmark-Verfahren ist, dass die Verschiebungs-, Geschwindigkeits , Ü zum Zeitpunkt 0 bekannt sind und die Lösung von und Beschleunigungsvektoren U, U

240

9 FEM-Ansatz für dynamische Probleme

0 bis t E gesucht wird. Im Lösungsverfahren wird die zu betrachtende Zeitspanne t E in n gleiche Intervalle ' t t E /n unterteilt und Näherungslösungen zu den Zeiten 0, ' t , 2 ' t , ..., t, t  ǻ t , ..., t E bestimmt. Da ein Algorithmus die Lösung zur nächsten geforderten Zeit nur aus der vorausgegangenen Zeit berechnen kann, geht man stets von der Annahme aus, dass die vorausgegangenen Lösungen zu allen Zeitpunkten t bekannt sind. Insofern wird die Lösung immer zu t  ǻ t berechnet. An einer Einzelgleichung soll die Vorgehensweise kurz dargestellt werden. Zu lösen sei die Bewegungsgleichung m i ˜ u i, t  ' t  c i ˜ u i, t  ' t  k i ˜ u i, t  ' t

Fi, t  ' t .

(9.111)

Bei allgemein beschleunigten Bewegungen kann für die Beschleunigung der Mittelwert

u

1 ut  ' t  ut 2

(9.112)

angesetzt werden (aus Vereinfachungsgründen sei jetzt i unterdrückt). Entsprechend ergibt sich für die Geschwindigkeit u t  ' t

u t  u t  ' t  u t

't 2

(9.113)

und für den Weg ut ' t

u t  u t ˜ ' t  u t  ' t  u t

' t2 . 4

(9.114)

Wird nun die vorgehende Beziehung nach u t  ' t aufgelöst, so folgt daraus u t ' t

4 't

2

u t  ' t  u t  '4t u t  ut .

(9.115)

Ebenso muss die Geschwindigkeit reduziert werden, und zwar mittels



2 u  u t ' t t ' t



u t  ' t

u  u t ˆ t ' t

 u t 



4 ' t2

u t  ' t  u t  '4t u t ,



2 u  ut . ' t t ' t

Wenn jetzt Gl. (9.115) und Gl. (9.117) in Gl. (9.111) eingesetzt, so folgt daraus

(9.116)

(9.117)

241

9.8 Lösung der Bewegungsgleichung

ª 4 º 4 2 ª º mi « u t ' t  ut  u t  u t »  c i «  u t  u t ' t  ut » 2 't 't ¬ ¼ ¬« ' t ¼»





k i ˜ u t  ' t





(9.118)

Ft  ' t

bzw. aus der Zusammenfassung findet sich die einsichtigere Gleichung § 4 · 2 ¨ ¸ ¨ ' t 2 m i  ' t ci  k i ¸ ˜ u t  ' t © ¹

· § 4 4 Ft  ' t  m i ¨¨ u  u t  u t ¸¸ 2 t t ' ©'t ¹

(9.119)

· § 2 u t  u t ¸.  ci ¨ t ' ¹ © Bei gegebenen Anfangsbedingungen zum Zeitpunkt t kann somit u t  ' t iterativ zum Folgezeitpunkt bestimmt werden. Mittlerweile gibt es zum Ur-Newmark-Verfahren einige Varianten. Das Ziel besteht darin, die Konvergenz durch die Einführung zusätzlicher Wichtungsfaktoren zu beschleunigen. Der modifizierte Ansatz nutzt hierbei u



ª 1  E ˜ u  E ˜ u º t t ' t » , «¬ ¼



º »¼ ˜ ' t ,

u t  ' t

ª u t  « 1  E ˜ u t  E ˜ u t  ' t ¬

u t ' t

ª§ · 1 u t  u t ˜ ' t  «¨  D ¸ ˜ u t  D ˜ u t  ' t ¸ ¨ «© 2 ¹ ¬

º » ˜ ' t2. » ¼

Es lässt sich zeigen, dass mit D t 1/4 und E t 1/2 eine sehr gute Konvergenz bei numerischer Stabilität gewährleistet ist. Zentrale Differenzenmethode Die Central Difference Methode (realisiert in vielen nichtlinearen FE-Programmen, u. a. LSDYNA 3-D) ist eine einfache Realisierung der zuvor besprochenen Vorgehensweise. Diese approximiert über finite Differenzen (s. umseitiges Bild 9.20). Hiernach kann die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t n abgeschätzt werden zu u n



1 u  u n 1 2 ' t t ' t

und die Beschleunigung zu



(9.120)

242

9 FEM-Ansatz für dynamische Probleme

ün

1 't

§ · ¨ u  u 1 ¸ 1 ¨ n n ¸ © 2 2¹

1 ' t2

1 § u n 1  u n u n  u n 1 ·  ¸ ¨ 't © 't 't ¹

(9.121)

 u n 1  2 u n  u n 1 .

u u

u u n 1

1 n 2

n

1 2

2'u

u n

u n 1

t n 1 t

n

1 2

tN

t

2't 't

n

1 2

t n 1

t

Bild 9.20: Diskretisierung eines Verschiebungsverlaufs Diese Ansätze werden nunmehr in das dynamische Gleichungssystem  K˜U M ˜ Ün  C ˜ U n n

Pn t

(9.122)

einsetzt; hieraus folgt § M  1 ' t ˜ C· ˜ U ¨ ¸ n 1 2 © ¹





1 ' t 2 ˜ P n  ' t 2 ˜ K  2 M ˜ U n  §¨ M  ' t ˜ C ·¸ ˜ U n 1 . 2 © ¹ (9.123)

Mit der diagonalisierten Massenmatrix und der zwangsdiagonalisierten Dämpfungsmatrix ist dann die Auflösung nach U n 1 möglich. Bei nichtlinearen Problemen (K(U)) wird bevorzugt mit einer folgendermaßen modifizierten Gleichung gerechnet:   P int M ˜ Ün  C ˜ U n n

Pn ext ,

welche dann die diskret approximierte Lösung hat:

(9.124)

243

9.8 Lösung der Bewegungsgleichung

· § ¨ M  1 ' t ˜ C ¸ ˜ U n 1 ¸ ¨ 2 ¹ ©

· § 1 § · ' t 2 ˜ ¨ Pn ext  Pn int ¸  2 M ˜ U n  ¨ M  ' t ˜ C ¸ ˜ U n 1 . ¸ ¨ 2 © ¹ ¹ © (9.125)

Bei vernachlässigter Dämpfung vereinfacht sich diese weiter zu U n 1





' t 2 ˜ M 1 Pn ext  Pn int  2 U n  U n 1 .

(9.126)

Die zuvor erläuterten Ansätze entwickeln die Lösung zum Zeitpunkt t  ' t aus der Lösung zum Zeitpunkt t, weshalb man hier von explizierter Integration spricht. Dem stehen Verfahren gegenüber, die Gleichungen sofort zum Zeitpunkt t  ' t iterativ lösen, die dementsprechend implizite Integrationsverfahren (z. B. nach Houbolt, Wilson, Newmark) benannt werden. Stabilität des zentralen Differenzenverfahrens Das Integrationsverfahren nach der zentralen Differenzenmethode ist nur bedingt stabil, d. h., der Zeitschritt ' t darf einen bestimmten kritischen Wert ' t krit nicht überschreiten. Um dies zu erläutern, wird vereinfacht ein 1-FHG-System angesetzt. Die Bewegungsgleichung lautet für diesen Fall: m ˜ ü n  c ˜ u n  k ˜u n Fn .

(9.127)

Mit Einführung des Lehr‘schen Dämpfungsmaßes [ und der Eigenkreisfrequenz Z folgt weiter ü n  2 [ Z ˜ u n  Z2 ˜ u n

pn .

(9.128)

Werden die Geschwindigkeit und die Beschleunigung wieder als zentrale Differenzen eingeführt u n

ün

1  u n 1  u n 1 , 2 't 1 2 ' t2

u n 1  2 u n  u n 1

(9.129)

(9.130)

und in die Bewegungs-DGL eingesetzt, so erhält man u n 1

2  Z2 ˜ ' t 2 1 2 [ Z˜'t ' t2 un  u n 1  ˜ pn . 1  2 [ Z ˜ 't 1 2 [ Z˜'t 1 2 [ Z˜ 't

Diese Gleichung muss nun in die Matrixform

(9.131)

244

9 FEM-Ansatz für dynamische Probleme º ª ª 2  Z2 ˜ ' t 2 1 2 [ Z˜'tº ' t2  » » ˜ ª un º  « « 1  2 [ Z ˜ ' t » «u 1  2 [ Z ˜ ' t » ˜ pn » «1  2 [ Z ˜ ' t ¬ n 1 ¼ « 1 0 0 ¼» ¬« ¼» ¬«

ª u n 1 º « u » ¬ n ¼ U n 1 =

˜

A

un

+

L ˜ pn

(9.132)

(9.133)

überführt werden. Die eingeführten Ausdrücke bezeichnen hierbei

A Zeitintegrationsoperator L Lastoperator. Für den m-ten Zeitpunkt unter der beliebigen Anfangsbedingung u o und ohne einwirkender äußeren Belastung L ˜ p n 0 folgt dann

um

Am ˜ uo .

(9.134)

Stabilität der Lösung verlangt weiterhin, dass der größte Eigenwert der Matrix kleiner oder gleich eins  O d 1 ist. Wenn das betrachtete Minimalsystem noch dämpfungsfrei ist, können die Eigenwerte*) bestimmt werden aus § 2  Z2 ˜ ' t 2 det ¨¨ 1 ©

0· ¸ 1 ¸¹

1 1 O 0 0

0

(9.135a)

oder aus





 2  Z2 ˜ ' t 2  O O  1

0.

(9.136)

Die beiden Eigenwerte finden sich so zu

O1, 2

2  Z2 ˜ ' t 2 r 2

2  Z2 ˜ ' t 2 2  1 , 4

(9.137)

und für den Grenzfall O d 1 ergibt sich als kritischer Zeitschritt 't d

2 Z

' t krit .

(9.138)

Bei einem gedämpften System erhielte man stattdessen 't d *)

2§ 2 ¨ [  1  [ ·¸ ¹ Z©

' t krit .

(9.139)

Anmerkung: Zur Lösung von Gl. (9.135a)

2  Z 2 ˜ ' t 2  O 1

1 0O

0

(9.135b)

245

9.8 Lösung der Bewegungsgleichung

Um die eingehende Eigenfrequenz einmal beispielhaft abzuschätzen, sei hier ein einfaches Stab-Modell gewählt.

x

U, A, E

1

L

2

m1 = ½ UA L

m2 = ½ UA L

Bild 9.21: Längsschwinger mit einem FHG pro Knoten Hierfür lautet die Massen- und Steifigkeitsmatrix: ª1 U A ˜ L «2 « « 0 ¬«

M

º » », 1 » U A ˜ L» ¼ 2 0

K

ª 1  1º E˜A « ». » L « ¬«  1 1 »¼

Die Eigenfrequenz wird ermittelt aus 1 § 1 1 U A˜L ¨ 2 E A ˜ ¨ det Z ¨ L 1 1 0 ¨ ©

· ¸ ¸ ¸ 1 U A˜L¸ ¹ 2 0

0

(9.140)

zu

Z

2 L

E . U

(9.141)

Der Wurzelausdruck bezeichnet die Wellenausbreitungsgeschwindigkeit c in einem Werkstoff. Somit kann der kritische Zeitschritt auch angegeben werden zu c

Z

2

E , U

(9.142)

c L

(9.143)

L . c

(9.144)

oder 't d

246

9 FEM-Ansatz für dynamische Probleme

Diese Ungleichung wird allgemein als CFL-Bedingung nach Courant, Friedrichs und Lewy bezeichnet. Physikalisch beschreibt ' t die Zeit, die eine Welle im betrachteten Material braucht, um von einem Knoten eines Elementes zum anderen zu gelangen. Die vorstehende Abschätzung gilt für Stab- und Balkenstrukturen. Bei ebenen Strukturen, z. B. in Schalen, bestimmt sich die Wellenausbreitungsgeschwindigkeit zu c

E U1  Q 2

.

(9.145)

Die charakteristische Länge L ist dann aus der Schalenfläche A S und der größten Elementkantenlänge L max zu bilden: L

AS . L max

(9.146)

Damit wird als Problem sichtbar, dass das kleinste Element die Rechenzeit dominiert. Um dies zu verhindern, sollte bei dynamischen Berechnungen mit möglichst großen Elementen bzw. gleich großen Elementen gerechnet werden. Sind aus irgendwelchen Gründen jedoch kleine Elemente erforderlich, greift man in der Praxis zu einer Massenskalierung. Hiermit ist die fiktive Erhöhung der Dichte gemeint, und zwar Ui

 ' t Ziel 2 ˜ E



L min i 1  Q 2



(i = ab i-ter Zeitschritt).

Dies hat auf die elastodynamischen Effekte keinerlei Auswirkungen.

(9.147)

247

10 Grundgleichungen der nichtlinearen Finite-Element-Methode Bei der vorausgegangenen Formulierung der FE-Methode wurde angenommen, dass die Verschiebungen einer Struktur klein sind und sich der Werkstoff linear elastisch verhält. In der finiten Gleichung K˜U

P

macht sich diese Linearität so bemerkbar, dass bei einer Laststeigerung auf D ˜ P auch die Verschiebungen um D ˜ U zunehmen. Hiervon abweichend treten in der Praxis häufig aber auch nichtlineare Materialprobleme (Plastizität, Kriechen) und geometrisch nichtlineare Probleme (Instabilität) auf. Wir wollen nun im Sinne einer Abrundung der Elastostatik auf diese Problemkreise ebenfalls noch kurz eingehen, da derartige alternative Berechnungen in der Anwendung /CHE 88/ immer wichtiger werden.

10.1 Lösungsprinzipien für nichtlineare Aufgaben Übertragen auf die hier zu behandelnden Aufgaben kann ein nichtlineares Gleichungssystem in der folgenden Form ĭ U

R  U  P { K U ˜ U  P

0

(10.1)

dargestellt werden. Hierin bezeichnet R  U die den Elementspannungen in einem bestimmten Zustand entsprechenden inneren Knotenkräfte und P wieder die äußeren Kräfte. Man sieht, dass die Knotenkräfte durch eine zustandsabhängige Steifigkeitsmatrix gebildet werden. Insofern ist auch die vorstehende Gleichung nicht direkt lösbar, sondern kann nur iterativ gelöst werden. Gemäß der Zielsetzung, nur einen eingeschränkten Überblick über nichtlineare Probleme geben zu wollen, beschränken wir uns im Folgenden auf zwei Lösungsprinzipien (s. hierzu auch /ZIE 75/):  Die direkte Iteration, bei der von folgender Gleichung ausgegangen wird: K U ˜ U

P.

(10.2)

Nimmt man hier mit U o U einen sinnvollen Ausgangszustand (z. B. aus einer linearen Rechnung) an, so ergibt sich mit 1

U

1 K oU ˜P



(10.3)

ein erster Näherungswert, der durch sukzessives Einsetzen in n

U

1 K n 1 U ˜ P





(10.4)

10 Grundgleichungen der nichtlinearen Finite-Element-Methode

248

weiter verbessert werden kann. Die Iteration wird gewöhnlich abgebrochen, wenn die Zustandsänderungen gemäß n

U  n 1 U d ȕ ˜ 'U

(wobei E



1 V xx  V yy 2  V yy  V zz 2  V zz  V xx 2  6 W xy 2  W yz 2  W zx 2 2

@

R e2 (10.22)

oder

>

1 V1  V 2 2  V 2  V3 2  V3  V1 2 2

@

R e2 .

(10.23)

Die Deutung dieser Bedingungen zeigt Bild 10.6. Im ebenen Fall handelt es sich dabei um eine Ellipse und im räumlichen Fall um einen Zylinder. Ein Spannungszustand ist dann folgendermaßen zu charakterisieren: Innerhalb des Zylinders liegt elastisches Verhalten vor, auf dem Zylinder plastisches und außerhalb des Zylinders liegende Zustände sind nicht möglich.

Fließgrenzlinie, plastischer Bereich

V2

elastischer Bereich

a)

Re

einachsiger Druck V1 V1 F F

WF

Re 3

 Re  WF

Re

R  e 3  Re

b)

F

einachsiger Zug V1 V1 F

V1 reiner Schub V1 V2

V3 hydrostatische Achse R V2 Fließzylinder 0 Fließgrenzfläche Oktaederebene V1

Bild 10.6: Darstellung der v. Mises‘schen Fließbedingung (nach /CHE 89/) a) Grenzlinie für einen ebenen Spannungszustand b) Fließgrenzfläche für einen räumlichen Spannungszustand

Mt

10.4 Geometrische Nichtlinearität

257

Eine weitere Fließbedingung geht auf Tresca zurück und ist wie folgt definiert:





7 ı1, ı 2, ı 3 { W max

k

W krit ,

(10.24)

d. h., Fließen tritt bei einem kritischen Schubspannungswert ein. Sowohl v. Mises wie auch Tresca werden bevorzugt für die Metallplastifizierung zu Grunde gelegt. Die Tresca-Bedingung wird jedoch überwiegend in der Umformsimulation herangezogen. Der Rechenalgorithmus beruht, wie zuvor beschrieben, darauf, das Gleichgewicht zwischen äußeren und inneren Kräften herzustellen. Dies muss in einem iterativen Prozess erfolgen, und zwar wie folgt: Pnm 1

t m 1 ³ B ˜ ı n dV

(10.25)

V

mit 1 ım n

m ım n 1  ' ı n 1 .

(10.26)

Der Index m zählt hierbei die Iterationen und der Index n den Zustand. Der Zustand entsteht dadurch, dass am einfachsten das Werkstoffgesetz diskret über Paare V i , H i beschrieben wird. In diesem Fall kann zwischen zwei Zuständen V i , H i ; V j , H j eine Tangenten-Elastizitätsmatrix E T n 1

E el, pl V n , H n ; V n 1 , H n 1

(10.27)

bestimmt werden, die wiederum die Berechnung eines zweckmäßigen Spannungszuwachses ' ım n 1

E T n 1 ˜ ' İ m n 1

(10.28)

ermöglicht. In der Praxis sind derartige iterative Rechnungen immer sehr aufwändig, da das Gleichungssystem für jeden Iterationsschritt und Zustand neu gelöst werden muss.

10.4 Geometrische Nichtlinearität In den vorausgegangenen Kapiteln haben wir bei allen Problemen stillschweigend unterstellt, dass in den betrachteten Körpern sowohl die Verschiebungen als auch die Verzerrungen relativ klein sind. Für ein finites Element bedeutet dies, dass man während des gesamten Belastungsvorganges eine sich nicht wesentlich verändernde Geometrie annehmen kann, für die ein linearer Verschiebungsansatz ausreichend ist. Bei vielen Praxisproblemen treffen diese Voraussetzungen aber so nicht zu, sondern es treten oft große Verschiebungen mit kleinen Verzerrungen auf. Typisch hierfür sind große Formänderungen.

10 Grundgleichungen der nichtlinearen Finite-Element-Methode

258

Völlig unabhängig von diesem Verhalten muss aber natürlich wieder die Gleichgewichtsgleichung (10.11) in jedem betrachteten Zustand gelten. In Ergänzung zu den bereits diskutierten Gleichungen gilt es jetzt aber, einen anderen Zusammenhang zwischen den Verschiebungen und Verzerrungen zu berücksichtigen. Wir wollen diesen hier in der Form ĭ U

t

³ Bˆ ˜ ıˆ dV  P

0

(10.29)

V

einführen. Mit dem Dach über der Bˆ -Matrix und über dem Spannungsvektor ıˆ sei wieder die funktional nichtlineare Abhängigkeit dieser Größen hervorgehoben. Insbesondere ergibt sich jetzt die Abhängigkeit bei der Verschiebungs-Verzerrungsmatrix als w ݈

ˆ u ˜ wd . B

(10.30)

Für das nachfolgende Lösungsverfahren erweist es sich als problemgerechter, die Bˆ -Matrix in zwei Anteile aufzuspalten, und zwar wie folgt: Bˆ u

B  B N u .

(10.31)

Hierbei soll B das phasenweise lineare Verhalten und B N u das nichtlineare Verhalten erfassen. Die Additivität (Überlagerung zu Bˆ ) entspricht in etwa dem realen Verhalten*). Die Lösung von Gl. (10.29) kann wieder nur iterativ erfolgen. Wir wählen hierzu zweckmäßigerweise das Newton-Raphson-Verfahren. Zur Aufbereitung des Verfahrens bilden wir zunächst die nach Gl. (10.7) erforderliche Ableitung

wĭ

ª ˆt ˆ t ˜ w ıˆ dV º»wU { K ˜ w U . « ³ wB ˜ ıˆ dV  ³ B T ¬V ¼ V

(10.32)

Weiter ist dazu noch die Spannungsableitung als w ıˆ

ˆ ˜ wd E˜B

(10.33)

und die abgeleitete Verschiebungs-Verzerrungsmatrix wBˆ

wB N

(10.34)

nötig. Setzen wir dies vorstehend ein, so folgt

*)

Anmerkung: Metallische Werkstoffe erfahren bereits im elastischen Bereich lokale plastische Verformungen und weisen umgekehrt im plastischen Bereich noch elastische Anteile auf. Bei Entlastung führen die elastischen Anteile im plastischen Bereich zu Eigenspannungen im Werkstoff.

10.5 10.4Instabilitätsprobleme Geometrische Nichtlinearität

259

ª º « » ˆ t ˜E˜B ˆ dV wd » . « ³ wB t ˜ ıˆ dV  ³ B N «V » V   » « ˆ ¬ ¼ K

wĭ wU

(10.35)

Im zweiten Term dieser Gleichung erkennen wir die typische Bauform einer Steifigkeit. Werten wir diesen Term nun unter Berücksichtigung von Gl. (10.31) aus, so führt dies zu t ³ B ˜ E ˜ B dV 

ˆ K

t t t ³ B ˜ E ˜ B N dV  ³ B N ˜ E ˜ B dV  ³ B N ˜ E ˜ B N dV

V

V

V

V

K  K N.

(10.36) Mit K finden wir die uns schon bekannte lineare Steifigkeitsmatrix wieder, und mit K N kann eine neue Matrix (Initialverschiebungsmatrix) abgespalten werden, die die großen Verschiebungen erfasst. Des Weiteren soll aber auch noch der erste Term von Gl. (10.35) betrachtet werden, der die Form einer Kraft aufweist. Diesen wollen wir folgendermaßen umformen: t ³ wB N ˜ ıˆ dV

K V ˜ wd .

(10.37)

V

Die hierin zusätzlich zu definierende Matrix K V (Initialspannungsmatrix) ist somit spannungs- und damit zustandsabhängig. Nach dieser Zwischenbetrachtung können wir die Gl. (10.32) zweckmäßiger schreiben als wĭ

K  K V  K N ˜ wU { K T ˜ wU

(10.38)

und alle Steifigkeitsanteile zur Tangentialsteifigkeitsmatrix zusammenfassen, somit sind wieder die Voraussetzungen für eine iterative Lösung gegeben.

10.5 Instabilitätsprobleme Als eine bekannte Anwendung der geometrisch nichtlinearen Theorie gelten speziell die Instabilitätseffekte, so wie sie bei schlanken Stäben oder dünnen Blechen (s. hierzu auch Kapitel 7.3.6) unter Drucklasten auftreten. Da wir hier nur einen Überblick über finite Formulierungsmöglichkeiten geben wollen, beschränken wir uns in der theoretischen Darlegung auf die bekannten Euler‘schen Knickfälle von stabartigen Konstruktionen. Um dabei die Analogie zur elementaren Mechanik zeigen zu können, gehen wir von dem im Bild 10.7 gezeigten schlanken Druckstab bzw. Balken aus.

10 Grundgleichungen der nichtlinearen Finite-Element-Methode

260 F

M N

E·J, A, L

dx N + dN M + dM x, u

Bild 10.7: Druckstab zum Eulerfall I

z, w

Unter der Wirkung der äußeren Kraft F und ab einer bestimmten Lasthöhe biegt bekanntlich der Stab zu einer anderen Gleichgewichtslage aus. Da das Erreichen von Gleichgewichtslagen über das Prinzip der virtuellen Arbeit bestimmbar ist, können wir auch hier von dieser Ersatzgleichgewichtsbedingung ausgehen. Für den zuvor gezeigten Biegefall bestimmen wir zunächst mit V xx



F Mb  ˜z A J



F   E ˜ J ˜ w cc  ˜z A J

(10.39)

die auftretende Normalspannung und mit  z ˜ Gw cc

GH xx

(10.40)

die Faserdehnung. Damit lässt sich die innere virtuelle Formänderungsarbeit wie folgt ansetzen: L

GWi

³ V xx ˜ GH xx dV

V

§F

·

L

³ ³ ¨  E ˜ z ˜ w cc ¸z ˜ Gw cc ˜ dA ˜ dx | ³ E ˜ J y ˜ w cc ˜ Gw cc ˜ dx . ¹ o A© A o (10.41)

Hierin ist mit 2 ³ z dA A

Jy

das Flächenträgheitsmoment abgespalten worden. In der konventionellen Theorie der Knickung wird gewöhnlich die Arbeit der wirkenden Druckkräfte vernachlässigt, weshalb Gl. (10.41) auch für eine gute Abschätzung ausschließlich auf Biegung reduziert werden kann. Weiterhin setzen wir mit

10.5 Instabilitätsprobleme

GWa

261

³ F ˜ Gu

(10.42)

u

die virtuelle Arbeit der äußeren Einzelkraft an. Hierin geht mit Gu die geometrische Verkürzung (s. Bild 10.8) eines Balkeninkrements durch die Biegeauslenkung ein. Diese bestimmt sich aus einem Streckenvergleich zu u

dL  dx

dx 2   w c 2 ˜ dx 2  dx

dx 1   w c 2  dx

(10.43)

ª 1   w c 2  1ºdx | 1  w c 2 ˜ dx «¬ ¼» 2

bzw. als differenzieller Zuwachs Gu

ª 1  w c  Gw c 2  1  w c 2 ºdx | w c ˜ Gw c ˜ dx . «¬ 2 »¼ 2

(10.44)

F dL

w cdx

z, w wc x, u

dx

u

dL

Bild 10.8: Bestimmung der geometrischen Verkürzung eines Balken-Elementchens

Substituieren wir nun diese Größe in Gl. (10.42), so findet man für die äußere virtuelle Arbeit L

³ F ˜ w c ˜ Gw c ˜ dx .

GWa

(10.45)

o

Für den Fall des Gleichgewichts ist somit zu fordern: L

E ˜ J y ³ w cc ˜ Gw cc ˜ dx o

L

F ³ w c ˜ Gw c ˜ dx .

(10.46)

o

Wir übertragen jetzt den vorstehend entwickelten Lösungsweg auf ein geeignetes FE-Modell und führen in Gl. (10.46) wieder den für eine Idealisierung mit Balken-Elementen relevanten Verschiebungsansatz bzw. die entsprechenden Ableitungen als

10 Grundgleichungen der nichtlinearen Finite-Element-Methode

262 G c ˜ Gd, Gw cc G s ˜ Gd

Gw c

(10.47)

ein. Somit liegt folgende Gleichung vor: L L t ª st s c c º « E ˜ J y ³ G ˜ G dx  F ³ G ˜ G dx » d ¬ ¼ o o

0,

(10.48)

die wir nun interpretieren können zu

K  K N ˜ U

0.

(10.49)

Hierin bezeichnet K die uns schon bekannte linear elastische Steifigkeitsmatrix, und K N bezeichnet die so genannte geometrische Steifigkeitsmatrix (nichtlinearer Anteil) auf Gesamtstrukturebene. Die Summe aus beiden Matrizen können wir wieder zur Tangentensteifigkeitsmatrix KT

K  KN

(10.50)

zusammenfassen. Für ein Balken-Element haben wir schon im Kapitel 5.33 die Biegesteifigkeitsmatrix zu

k

ª12  6L  12  6L º E ˜ Jy « 4L2 6L 2L2 » » « 12 6L » L3 « « » 4L2 ¼ ¬

erstellt. Unter Benutzung der Balkenansatzfunktionen erhält man entsprechend die geometrische Balkensteifigkeitsmatrix aus Gl. (10.48) zu

kN

ª36  3L  36  3Lº 4L2 3L  L2 » F «« » .  30L « 36 3L» » « 4L2 ¼ ¬

(10.51)

Die äußere Last F ist hier als Druckkraft angesetzt. Nach geeignetem Zusammenbau ist die vorstehende Gl. (10.49) zu lösen. Eine nichttriviale Lösung erhält man aber nur für U z 0 aus der Gleichung det K  K N

0.

(10.52)

10.5 Instabilitätsprobleme

263

Wird diese Gleichung fallspezifisch (d. h. unter Berücksichtigung der Randbedingungen) aufgelöst, so kann zunächst die kritische Knicklast Fkrit und danach die Knickform zufolge o

U durch Einsetzen der Kraft in Gl. (10.49) bestimmt werden.

Die Bestätigung dieses Lösungsverfahrens wollen wir am Euler-Fall II des knickbelasteten Stabes von Bild 10.9 zeigen. Nach Euler kann das Biegeknickproblem durch die DGL w cc  P 2 ˜ w

0

(10.53)

mit

F E˜J

P2

(10.54)

beschrieben werden. Der bekannte Lösungsansatz hierfür ist wx

C1 ˜ cosP ˜ x  C 2 ˜ sinP ˜ x .

a)

(10.55)

Fkrit = ?

b)

h = 10

F

x, u

z, w

w2 = 0

2 L=LK/2

b = 25

LK = 500

E = 70.000 N/mm2

1

w1 = 0

Bild 10.9: Knickstab zum Euler-Fall II und minimales FE-Modell Über die Randbedingungen (beispielsweise w(o) = 0, w(L) = 0) führt dies zu dem Eigenwertproblem sin P ˜ L K

0,

(10.56)

welches nur durch die ganzzahlige Lösung P ˜ LK

n˜S,

n = 1, 2, 3, 4, ...

(10.57)

befriedigt werden kann. Setzt man in diese Gleichung wieder den Faktor P ein, so folgt daraus für die kritischen Lasten

10 Grundgleichungen der nichtlinearen Finite-Element-Methode

264

Fkrit

n 2 ˜ S2 n

LK 2

E˜J.

(10.58)

Im Bild 10.10 sind für das vorstehende Beispiel verschiedene FE-Modelle und deren kritische Lasten als Ergebnis des Eigenwertproblems nach Gl. (10.52) im Vergleich zur analytischen Lösung nach Gl. (10.58) gezeigt. Man kann dabei unterstellen, dass die analytische Lösung die realen Verhältnisse weitestgehend gut trifft. Die einfachste FE-Lösung beruht hierbei unter Nutzung der Symmetrie auf einem Halbmodell und führt mit Gl. (10.52) zur charakteristischen Gleichung

det K  K N

ª8O ˜ L  F ˜ L « 15 « F « « 24O  10 ¬

F º 10 » » 96O 12 F »  L 5 L »¼ 24O 

0 mit O

E˜J L2

(10.59)

bzw.

Fkrit

1,3

208 r 31.744 ˜O 3

oder

Fkrit

1

5.800,6 N

Fkrit

3

75.088,4 N

Fkrit [N] analytische Lösung n. Gl.(10.58)

1 Element + Symmetrie1 Element ausnutzung 2 Elemente

4 Elemente 8 Elemente

Modell w' = 0 Eigenwert n 1

5757,3

7000

5800,6

5800,6

5755

5752

2

23029,1

35000

-

28000

23117

22950

3

51815,4

-

75088,4

75088,4

53125

51500

Bild 10.10: Vergleich einer analytischen Lösung mit FE-Lösungen eines Stabilitätsproblems

10.5 Instabilitätsprobleme

265

Insofern sind folgende Schlüsse aus der Tabelle zu ziehen: x

x

x

Durch nur ein finites Element können die kritischen Laststufen der Knickkraft auch nicht annähernd richtig wiedergegeben werden. Selbst bei der Wahl von zwei finiten Elementen kann nur die erste kritische Last hinreichend genau bestimmt werden, die höheren kritischen Lasten bleiben ungenau. Erst durch die Wahl von n > 4 finiten Elementen kommen die kritischen Lasten in eine Größenordnung, die als exakt bezeichnet werden kann.

Die Knickproblematik am Balken ist somit anders als die Biegeproblematik einzustufen.

266

11 Wärmeübertragungsprobleme Schon in der einleitenden Wertung der FE-Methode wurde herausgestellt, dass die Methode nicht nur in der Elastizitätstheorie, sondern auch bei Feldproblemen wie Wärmeleitung, Potenzialströmung elektrischer Felder und Magnetismus anwendbar ist. Da insbesondere die Wärmeübertragung im Maschinen- und Fahrzeugbau eine wichtige Rolle spielt, wollen wir in der nachfolgenden Darstellung auch noch kurz auf die methodische Aufbereitung dieses Problemkreises /SVO 75/ eingehen.

11.1 Physikalische Grundlagen Die weiteren Ausführungen sollen auf homogene, metallische Materialien eingeschränkt bleiben. Demzufolge wollen wir unter Wärmeübertragung die Ausbreitung von Wärme in Körpern charakterisieren und als einen Austausch von wärmeren mit kälteren Zonen verstehen. Würde bei einem derartigen Austausch nicht laufend neue Wärme zugeführt, so würde ein Ausgleichsvorgang einsetzen, an dessen Ende der gesamte Körper eine einheitliche Temperatur hätte. Während dieses Ausgleichsvorganges ändert sich die Temperatur an jedem Ort des Körpers mit der Zeit. Alle Ausgleichs-, Aufheiz- und Abkühlvorgänge sind demnach instationäre Wärmeübertragungsvorgänge (T(x, y, z; t)). Ändert sich dagegen das Temperaturfeld zeitlich nicht, so hat man es mit einem stationären Wärmeübertragungsvorgang (T(x, y, z)) zu tun. Ein derartiger Vorgang bedarf somit einer dauernden Wärmezufuhr, wobei der Körper als Energieleiter fungiert. Das Vordringen eines Wärmestroms (= Wärmemenge/Zeit) in einem Körper ist aber nur möglich, wenn ein Temperaturgefälle vorhanden ist. Der Wärmestrom sucht sich deshalb seinen Weg dort, wo das Temperaturgefälle am steilsten ist. Der Wärmestrom muss darum eine Proportionalität zum Temperaturgradienten*), zur Größe der Berührungsfläche und zur Wärmeleitfähigkeit O des Materials aufweisen. Diese Überlegung führt letztlich zur so genannten Fourier‘schen Wärmeleitungsgleichung  Q

O ˜ A ˜

wT , wn

(11.1)

die man auch pro Fläche beziehen und als Wärmestromdichte q

 Q A

O ˜

wT wn

(11.2)

angeben kann. Der ablaufende Vorgang der Wärmeübertragung kann mit der Strömung von Wasser durch Kies verglichen werden. Demnach entspricht die stationäre Wärmeübertragung einer Strö*)

Anmerkung: Ein Gradient ist negativ, wenn er vom höheren zum niedrigeren Potenzial führt. Der Wärmestrom breitet sich infolgedessen in Richtung des negativen Temperaturgradienten aus.

11.1 Physikalische Grundlagen

267

mung durch eine gesättigte Kiesschicht und die instationäre Wärmeübertragung einer Strömung durch eine trockene Kiesschicht (s. Bild 11.1).

Bild 11.1: Wärmeleitungsanalogon an einem mit Kies gefüllten Behälter (nach /STE 71/) a) stationärer Strömung b) instationärer Strömung

Die dann bei einer stationären Strömung durch den Kies in einer Zeiteinheit durchdrungene  “ ist bei dem gezeigten Strömungsprofil proportional zum Gefälle Wassermenge „ dQ wT / wx , zum Querschnitt  dy ˜ dz und zur Durchlässigkeit (O):

 dQ

O ˜ dy ˜ dz ˜

wT . wx

(11.3)

Hingegen wird bei einer instationären Strömung, im Sinne einer Sättigung des trockenen Kieses, in jedem Volumen-Element dem durchströmenden Wasser ein Teil entzogen. Über auf der tragen auf die instationäre Wärmeübertragung wird also dem Wärmestrom dQ  /w x @ dx entzogen. Strecke dx dem Volumen-Element dV dx ˜ dy ˜ dz der Anteil >wdQ Dies ist gleich der Temperaturänderung wT/w t je Zeiteinheit eines Massenelements dm U ˜ dx ˜ dy ˜ dz mit der spezifischen Wärmekapazität c, also



 w dQ dx wx

dm ˜ c ˜

wT wt

U ˜ c ˜ dx ˜ dy ˜ dz ˜

wT . wt

(11.4)

Bei Anwendungsproblemen interessiert in der Regel die zeitliche Temperaturänderung wT/w t an einer bestimmten Stelle im Körper. Diese ergibt sich aus der Kontinuitätsbedingung (quasi Gleichgewichtsgleichung), wonach die vom Volumen-Element dV aufgenommene Wärmeleistung gleich dem entzogenen Wärmestrom sein muss. Dieser ergibt sich durch Ableitung von Gl. (11.3) zu  w dQ dx wx

wT · w § ¨  O ˜ dy ˜ dz ˜ ¸dx wx © wx ¹

O ˜

w 2T wx 2

˜ dx ˜ dy ˜ dz ,

(11.5)

11 FEM-Ansatz für Wärmeübertragungsprobleme

268

woraus sich weiter durch Gleichsetzen mit Gl. (11.4) findet: U ˜ c ˜ dx ˜ dy ˜ dz ˜

wT wt

O˜

wT U˜c˜ wt

O˜

w 2T

˜ dx ˜ dy ˜ dz

wx 2 w 2T wx 2

(11.6) .

Angemerkt sei noch einmal, dass bisher nur die x-Richtung berücksichtigt ist. Der nun eintretende Vorzeichenwechsel tritt auf, weil eine im Volumen verbleibende Wärmeleistung einen Gewinn (+), aber für den Wärmeleistungsstrom einen Verlust (-) darstellt. Da neben einer Erwärmung durch Wärmeübertragung mitunter auch noch eine durch innere Wärmequellen erfolgen kann, wollen wir der Vollständigkeit halber jetzt auch eine Wärmequelle einbauen, deren innere Wärmeleistung anzusetzen ist mit

 dQ Vi

I ˜ U ˜ dx ˜ dy ˜ dz .

(11.7)

Darin bezeichnet I die Ergiebigkeit (spezifische Wärmeleistung) einer Wärmequelle. Ergänzen wir damit die vorstehende DGL (11.6), so führt dies zu U˜c˜

wT wt

O˜

w 2T wx 2

 q Vi .

(11.8)

Wir verallgemeinern jetzt diese DGL, indem wir berücksichtigen, dass sich der Wärmeleitungsstrom nicht nur in x-Richtung, sondern in allen drei Raumrichtungen ausbreiten kann. Die Bilanzgleichung lautet für diesen Fall: ȡ˜c˜

wT wt

’ t ˜ Ȝ ˜ ’ ˜ T  q Vi *)

(11.9)

mit der Wärmeleitfähigkeitsmatrix

Ȝ

ªȜ x « 0 « «¬ 0

0 Ȝy 0

0º 0 ». » Ȝ z »¼

(11.10)

Zur Lösung dieser Differenzialgleichung bedarf es im Weiteren Randbedingungen für den Körper und gegebenenfalls Anfangsbedingungen für die Temperatur. Im Bild 11.2 ist zunächst ein Körper gezeigt, für den die wesentlichen Wärmeübertragungsrandbedingungen angedeutet worden sind. Hierzu zählen: *)

Anmerkung: Nabla-Operator:

’

t

ª w « ¬ wx

w wy

w º » wz ¼

11.1 Physikalische Grundlagen x

269

die Temperaturbedingung, d. h. die Temperatur auf der Oberfläche muss in einem Bereich gleich der Umgebungstemperatur sein, T0

Tf

(11.11)

und x

die Wärmestrombedingung, d. h., ein Wärmestrom auf der Oberfläche pflanzt sich auf der Normalen zur Oberfläche in den Körper hinein fort, O

wT wn

q V .

(11.12)

Bild 11.2: Wärmeübertragung an einem Körper (nach /BAT 86a/)

Sollen hingegen noch andere Wärmeübertragungseffekte (Konduktion = Wärmeleitung, Konvektion = Wärmeübergang, Wärmestrahlung) betrachtet werden, so sind die vorstehenden Randbedingungen aufgabenspezifisch zu erweitern, um  Temperaturbedingungen und Wärmestrombedingungen in bestimmten Punkten oder auf bestimmten Flächen,  Konvektionsbedingungen,  Strahlungsbedingungen,  Wärmekontaktbedingungen und  Isolierungsbedingungen. Eine entsprechende Übersicht hierzu gibt Bild 11.3.

11 FEM-Ansatz für Wärmeübertragungsprobleme

270

1. Temperatur-Randbedingung

2. Wärmefluss-Randbedingung

. qV (x, y, z; t)

n TV = Ti0(x, y, z; t)

Vi

q q n

q V

T, unbekannt

Oq 3. Wärmeübertragungs-Randbed. TV, unbekannt

4. Wärmestrahlungs-Randbed. TV, unbekannt

Tf

q V

DTf  TV

q V

c R (TS 4  TV 4 ) TS, bekannt

5. Wärmekontakt

6. Isolierung

n TV2, bekannt

. qV = 0

TV1, unbekannt

Bild 11.3: Randbedingungen zur Lösung von Temperaturfeldproblemen

Einzelne Randbedingungen können dabei an Körpern alleine oder in Kombination vorkommen, wodurch eine konventionelle mathematische Lösung äußerst schwierig bis unmöglich ist.

11.3 Lösungsverfahren

271

11.2 Diskretisierte Wärmeleitungsgleichung Der physikalische Effekt der Wärmeleitung findet nur in festen Körpern, und zwar im Inneren oder an der Oberfläche sich berührender Körper statt. Um hier den Temperaturverlauf bestimmen zu können, ist es zweckmäßig, den Körper in eine Anzahl von finiten Elementen zu unterteilen und das Problem bereichsweise zu lösen. Aus diesem Grunde wandeln wir die DGL (11.9) in die finite Grundgleichung für das Wärmeleitungsproblem um. Hierzu machen wir, wie in Kapitel 3 dargestellt, vom Galerkin‘schen Prinzip Gebrauch und stellen für ein Element das folgende Funktional



wT



º tª t t ³ G « ȡ ˜ c ˜ wt  ’ ˜ Ȝ ˜ ’ T » dV  ³ G ˜ q V dV ¬ ¼ V V

(11.13)

0

auf. Nun machen wir noch in bekannter Weise einen Approximationsansatz für die Temperatur über diskrete Knotentemperaturen, und zwar mit T  x , y , z; t

G  x , y, z ˜ Te t .

(11.14)

Hierin bezeichnet wieder G den Ansatzfunktionsvektor und Te den Knotentemperaturvektor für ein Element. Setzt man jetzt den Ansatz in Gl. (11.13) ein, so erhält man

>

@

  ³ ’ ˜ G t ˜ Ȝ ˜ ’ ˜ G dV ˜ T  ³ G t ˜ q dV U ˜ c ³ G t ˜ G dV ˜ T e e V V

V

0

(11.15)

V

und hieraus die finite Wärmeleitungsgleichung  k ˜T q c˜T e e e

0.

(11.16)

Mit Gl. (11.15) konnten also alle Vorschriften zur Erstellung einer diskreten Wärmeleitungsgleichung hergeleitet werden. Wir wollen das Problem jetzt erneut erweitern, indem wir den resultierenden Wärmeflussvektor am Knoten verallgemeinern in qe

 Q i

(diskreter Wärmefluss am Knoten)

t

(verteilter Wärmefluss im Volumen)

 ³ G ˜ q V dV

(11.17)

V

 ³ G t ˜ q 0 d 0

(verteilter Wärmefluss auf der Oberfläche)

0

 ³ G t ˜ D ˜ Tf d 0

(Konvektionseffekte)

0

Unter der Annahme, dass homogene isotrope Körper vorliegen, kann Gleiches N = konst. (spezif. Wärme/Volumen) und O = konst. für alle Richtungen angesetzt werden. Hiermit kann nunmehr definiert (s. auch /STE 92/) werden:

11 FEM-Ansatz für Wärmeübertragungsprobleme

272  die Wärmekapazitätsmatrix

c

t

N ³ G ˜ G dV mit N = U ˜ c

(11.18)

V

und

 die Wärmeleitungsmatrix k

t

t

O ³ ’ ˜ G ˜ ’ ˜ G dV  D ³ G ˜ G d0 . V

(11.19)

0

Den weiteren Anteil in der Wärmeleitungsmatrix erhält man dabei durch Einarbeitung des Wärmeübergangs, der weiterhin zwischen einem Gas oder Flüssigkeit und einem Körper bestehen kann. Der Wärmestrom hat dabei an der Grenzfläche einen Übergangswiderstand (D = Wärmeübergangszahl) zu überwinden. Nachdem alle Beziehungen auf Elementebene gegeben sind, muss man sich wieder dem Zusammenbau zu einem Körpermodell zuwenden. Es sei im Weiteren angenommen, dass die verwendeten Elementgeometrien (Knotenanordnungen) die gleiche Form haben, wie die in der Elastostatik oder Elastodynamik verwendeten Elemente, sodass auch der ZusammenbauAlgorithmus den schon in Kapitel 3 aufgestellten Regeln gehorcht. Die Besonderheit dabei ist nur, dass jetzt pro Knoten mit der Temperatur nur eine Unbekannte*) vorliegt. Führt man den Zusammenbau damit entsprechend durch, so führt dies zu  K ˜T C˜T

Q,

(11.20)

welches also die Systemgleichung des instationären Wärmeleitungsproblems darstellt. Verschwindet hierin der transiente Anteil, so reduziert sich Gl. (11.20) auf das stationäre Wärmeleitungsproblem K˜T

Q.

(11.21)

Wie in der nachfolgenden Tafel des Bildes 11.4 deutlich wird, gibt es dabei von der Problemformulierung eindeutige Analogien zur mechanischen Bauteilanalyse, welches sowohl für die Matrizen als auch die physikalischen Konstanten gilt. Der Grad der DGLs ist hingegen niedriger.

*)

Anmerkung: Die Temperatur ist eine skalare Größe, die von einem Knoten aus in alle Richtungen mit gleicher Intensität wirkt. Bei elastomechanischen Problemen können hingegen alle Größen in den drei Raumrichtungen unterschiedlich sein. FE-Programme für die Elastik müssen deshalb eine andere Speichertechnik benutzen.

11.3 Lösungsverfahren

273

Temperaturanalyse

DGL-System:

DGL-System:  K ˜T C˜T

Q

M˜ÜK˜U

P

mit

mit T Q K C O N D

Verschiebungsanalyse

Knotenpunkt-Temperatur Knotenpunkt-Wärmeflüsse Wärmeleitungsmatrix Wärmekapazitätsmatrix Wärmeleitfähigkeit spez. Wärme je Volumen Wärmeübergangskoeffizient

U P K M E U Q

Knotenpunkt-Verschiebungen Knotenpunkt-Kräfte Steifigkeitsmatrix Massenmatrix Elastizitätsmatrix Dichte Querkontraktion

Bild 11.4: Zusammenhänge zwischen dem Temperaturfeldproblem und der elastomechanischen Analyse

Neben den schon angedeuteten Formulierungsmöglichkeiten bei Wärmeübertragungsproblemen können in der Praxis auch noch stationäre nichtlineare Probleme mit einer temperaturabhängigen Wärmeleitungsmatrix K(T) und einem temperaturabhängigen Wärmefluss Q(T) vorkommen. Dieser Aufgabentyp sei aber hier ausgeklammert.

11.3 Lösungsverfahren Die Lösungsprinzipien für die zuvor diskutierten Problemkreise weichen nur in einigen Punkten von den zuvor in der Elastostatik diskutierten Strategie ab, sodass wir uns hier mit ein paar prinzipiellen Hinweisen kurzhalten können. Zunächst sei unterstellt, dass ein im Gleichungssystem und in den Randbedingungen stationäres Problem nach Gl. (11.21) vorliegt. Dies kann formal nach den unbekannten Knotenparametern T durch Inversion aufgelöst werden: T

K 1 ˜ Q .

(11.22)

An der Bauform der Gleichung ist sofort zu erkennen, dass ein numerisch völlig identisches Problem zu dem elastostatischen Gleichungssystem vorliegt, welches in Kapitel 5.4.5 behandelt wurde. Wir erinnern uns, dass dieses Gleichungssystem nur dann lösbar ist, wenn eine positiv definite Gesamtsteifigkeitsmatrix K über entsprechende Randbedingungen erstellt werden konnte. Im Fall der stationären Wärmeleitung weist die Matrizengleichung einen Rangunterschied von eins auf, was für die Invertierung mindestens eine vorgeschriebene Temperatur,

11 FEM-Ansatz für Wärmeübertragungsprobleme

274

z. B. T0 Tf (Umgebungstemperatur), erforderlich macht. Diese Bezugsetzung ist auch insofern sinnvoll, da sich ein Temperaturzustand immer auf eine Referenztemperatur bezieht. Liegt die zusätzliche Schwierigkeit einer nichtlinearen Wärmeleitungsmatrix K(T) vor, so kann die vorstehende Gleichung nur iterativ, beispielsweise mit dem schon im Kapitel 10.1 beschriebenen Newton-Raphson-Verfahren, gelöst werden. Etwas anders erweist sich die Lösungsproblematik bei der instationären Gleichung (11.20). In den meisten kommerziell angebotenen FEM-Wärmeleitungsprogrammen wird als Lösungsverfahren die direkte Integration nach der Zeit /ALT 82/ verwandt, welche ein Temperaturfeld zu unterschiedlichen Zuständen zu bestimmen gestattet. Dazu zerlegt man den Betrachtungszeitraum in eine Anzahl von Zeitinkrementen ' t t i 1  t i mit t 0, t1 " , t i , " und bildet damit in der Gleichung die Ableitung zu i T

1 i

't

 i 1 T  i T

(11.23)

und setzt diese in die Gleichung  K˜T C˜T

Q

ein. Man erhält so 1

i

1 C ˜ i 1T  C ˜ iT  K ˜ iT i 't 't 1

i

't

C ˜ i 1T

Q

(11.24)

§ 1 · Q¨ C K ¸ i T ¸ ¨ i't © ¹

bzw. die identische Gleichung i

K* ˜ iT

i

Q* ,

die ausgehend von einem Anfangszustand i T

(11.25) o

T

¦ T f möglicherweise mit einer

ersten linearen Näherung von einem Punkt ausgehend aufgerollt werden kann und iterativ mit verschiedenen mathematischen Verfahren (z. B. Gauß-Seidel, Jakobi, Konjugate Gradient, Überrelaxation etc.) zu lösen ist. Da hier deutlich weniger Unbekannte ermittelt werden müssen, erweisen sich alle Verfahren vergleichsweise als sehr schnell.

11.5 Thermisch-transiente strukturmechanische Berechnung

275

11.4 Thermisch-stationäre strukturmechanische Berechnung Ein in der Praxis häufiges Problem ist, dass Temperaturen in Festkörpern mit mechanischen Beanspruchungen verbunden sind. Derartige Multiphysikaufgaben*) können entweder zweistufig oder als gekoppeltes Problem (z. B. in ANSYS, FEMLAB) behandelt werden: x

Zweischritt-Lösung K ther ˜ T

Tvor o İ

Į˜ T,

ı

E˜İ

mit konventionellem FE-Programm und zusätzlichem Wärmeleitungsmodul. x

Einschritt-Lösung (Multiphysikansatz)

K ther

0

0

K mech

˜

T

Tvor

U

U vor

o T, U , ı

mit speziellen Multiphysik- bzw. Multifeld-Elementen. Im Folgenden soll die Zweischritt-Lösung auf das Problem der stationären Temperatur- und Spannungsverteilung in einem Rohr dargestellt werden. Derartige Fragestellungen sind im Maschinen- und Kraftwerksbau geläufig. Insofern zeigt das umseitige Bild 11.5 die Situation eines Rohres in einem Heißdampf-Kühlkreislauf. Für die Auslegung sind der Temperaturdurchgang durch die Wandung und die thermisch-mechanische Beanspruchung von Interesse. Bei der Simulation ist besonders zu berücksichtigen, dass der Elastizitätsmodul und der Wärmeausdehnungskoeffizient temperaturabhängig sind, z. B. für Cr-Ni-Stahl E15 qC | 2,15 ˜ 105 N/mm 2 ,

D15 qC | 13,9 ˜ 10 6 K 1 ,

E 300 qC | 1,90 ˜ 105 N/mm 2 ,

D 300 qC | 17 ˜ 10 6 K 1 .

Die Auswertung in den umseitigen Abbildungen ist auf die Temperatur und die Spannung in der Rohrwandung bezogen, die hier als dünnwandig  R a /R i d 1,2 angesetzt wurde. Für die Modellierung wurden rechteckige Kreisring-Elemente verwendet, weswegen bei diesem „einfachen“ Problem nur Abweichungen von ca. 1-2 % gegenüber der analytischen Lösung auftreten. Mit den angegebenen Formeln /TIM 51/ lässt sich die FE-Rechnung überschlägig gut kontrollieren.

*)

Anmerkung: Allgemeine Multiphysikaufgaben bestehen in thermisch-mechanische, magneto-mechanische, thermisch-magnetische oder elektromagnetisch-thermisch-mechanische Kopplungen.

11 FEM-Ansatz für Wärmeübertragungsprobleme

276

r z

°C 00 f = 3 a mp T i ißd He

V axial

y

analytische Lösung: V axial |  D ˜ E ˜ 'T ˜ (1  Q) V tangential |

V tangential

T(r ) Kühlwasser Ta = 15°C

D ˜ E ˜ 'T 2(1  Q )

T  Ti ª r º ln Ti  a ªR º «R » ln « a » ¬ i ¼ ¬ Ri ¼

180 200 Tangen tia

Axialsp a

lspannu ng

Temp er

nnung

-4.91E+057.49E+05

atur

1.99E+05

-6.43E+05

2

Tangentialspannung (mN/mm ) -6.43E+05 2 Axialspannung (mN/mm ) -1.04E+06

-3.95E+05

-1.47E+05

1.01E+05

3.49E+05

5.97E+05

-7.93E+05

-5.45E+05

-4.91E+05

-2.97E+05

-1.99E+05

Temperatur (Celsius)

7.20E+01

1.29E+02

1.86E+02

2.43E+02

3.00E+02

1.50E+01

Bild 11.5: Ermittlung der stationären thermo- und elastomechanischen Beanspruchung über die Wanddicke eines dampfdurchströmten Rohrs

11.5 Thermisch-transiente strukturmechanische Berechnung Im Kapitel 11.6 ist die instationäre Wärmeleitungsgleichung hergeleitet worden, mit der sich Aufheizvorgänge analysieren lassen. Bei Aufheizvorgängen interessieren gewöhnlich der Zeitverlauf des Aufheizens und die hierdurch hervorgerufene Temperaturverteilung. In vielen Fällen, wenn komplizierte Bauteile in Vorrichtungen geschweißt werden, ist damit auch die Initiierung von Eigenspannungen verbunden, da sich diese später den mechanischen Spannungen überlagern. Eigenspannungen werden durch die zeitliche Differenz zwischen Aufheiz- und Abkühlvorgängen eingeprägt und lassen sich mit FEM leider nur sehr unsicher bestimmen. Als Beispiel für ein transientes strukturmechanisches Problem soll im Bild 11.6 das Laserschweißen /GRO 01/ von dünnen Stahlblechen betrachtet werden. Der fokussierte Laserstrahl mit einem definierten Leistungseintrag (Q = 150 W/mm 2 ) und einer vorgegebenen

11.5 Thermisch-transiente strukturmechanische Berechnung

277

Vorschubgeschwindigkeit (v = 2 mm/s) wird über die Blechkanten geführt und mit Zusatzdraht verschweißt. Spannpratze

Schweißrichtung

rechte Blechhälfte

Schweißpunkt

Modell Leistung Q

40

linke Blechhälfte

s 40

Bild 11.6: Situation beim Laserschweißen

Im obigen FE-Modell ist die Symmetrie ausgenutzt und ein ebenes vierknotiges SchalenElement zu Grunde gelegt worden. Der Schweißprozess wird durch punktuelle bzw. kantenbezogene Randbedingungen simuliert. Der Leistungseintrag des Lasers erfolgt am linken Blechrand und wird mit Vorschubgeschwindigkeit gesteuert.

Temperatur in °C

Im Bild 11.7 ist exemplarisch der zeitliche Verlauf ausgewählter Knotenpunkttemperaturen in der Schweißnaht dargestellt. Die angegebenen Linien „s“ geben den Temperaturverlauf an bestimmten Stellen wieder bzw. zeigen die Ausstrahlung der Temperatureinwirkung in das Material. Die augenblickliche Position findet sich aus dem linearen Zusammenhang s v ˜ t , d. h. zu 5 sec. korrespondiert die Stellung 10 mm vom Ursprung.

800 720 640 560 480 400 320 240 160 80

s=8

s=4 s=0

0 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 Zeit in s 0

1

2

3

4

5 6 7 Weg in mm

8

9

10

Bild 11.7: Knotenpunkt-Temperaturverlauf in der Schweißnaht über dem Weg

11 FEM-Ansatz für Wärmeübertragungsprobleme

278

Weiter gibt Bild 11.8 Informationen über den Temperaturverlauf in der Schweißnaht und die augenblicklich initiierte Elementspannung. a)

b)

V 165 N / mm 2

T = 20 °C

T = 463 °C T = 537 °C T = 685 °C

V

249 N / mm 2

aufgeschmolzenes Metall

Bild 11.8: Ausgewerteter Temperatur- und Spannungsverlauf im Blech (analysiert mit ANSYS) bei s = 10 mm

Im Zentrum der externen Wärmequelle ist die FE-Berechnung allerdings sehr unsicher.

279

12 Mehrkörpersysteme In den letzten Jahren hat mit der Entwicklung mechatronischer Systeme der MKS-Ansatz größere Bedeutung erlangt, da er Kinematik, Kinetik und Elastik (EMKS)*) miteinander verknüpfen kann. Mittlerweile können umfangreiche MKS-Analysen mit komfortablen Programmen (z. B. MEDYNA, ADAMS-ANYS) bearbeitet werden, wobei die Programme laufend verbessert werden. Erst die MKS-Theorie hat Gesamtsystemsimulationen (Fahrzeuge, Roboter etc.) im Rechner ermöglicht und die Probleme somit einer Optimierung /KNO 96/ erschlossen. Weil die Anwendungsbreite zunehmen wird, soll abschließend noch die Lücke zwischen MKS und FEM geschlossen werden.

12.1 Merkmale eines MKS In der Technik kommen überwiegend geregelte Mehrkörpersysteme /LAG 94/ mit definierten An- und Abtrieben vor. Diese Systeme bezeichnet man als kinematisch linear, wenn die Geometrie- bzw. Lageänderungen zwischen den Einzelkörpern klein bleiben. Nichtlineare Geometrien kommen in der Praxis recht selten vor. Ein Mehrkörpersystem stellt immer ein mechanisches Ersatzsystem (Modell) einer technischen Realisierung dar. Hieraus folgt, dass Annahmen zu treffen sind, die die „realen Verhältnisse“ bestmöglich annähern. „Bestmöglich“ bedeutet im Ingenieurwesen: so real wie möglich, einschätzbare Vernachlässigungen und angemessener Aufwand. Im umseitigen Bild 12.1 ist ein mögliches Mehrkörpersystem angedeutet worden. Diesem lassen sich die folgenden Eigenschaften zuordnen:  Es besteht aus einer endlichen Anzahl N von Körpern (starr oder elastisch).  Die Körper sind durch passive, mechanische oder elektromechanische sowie durch aktive Elemente (Antriebe) untereinander verbunden. Zugleich treten kinematische Bedingungen durch Führungen, Lager und Gelenke auf.  Die kinematischen Bindungen erzeugen Zwänge, die die Bewegungsmöglichkeiten des MKS einschränken. und  Auf die Körper können äußere Kräfte Fi und Momente M i (i = 1, ..., n) einwirken. Wird mit r die Anzahl der gegebenen Zwangsbedingungen bezeichnet, dann hat das MKS den Freiheitsgrad f = 6 ˜ N  r (bei räumlichen Bewegungen) bzw. f = 3 ˜ N  r (bei ebenen Bewegungen).

*)

Anmerkung: Bei MKS existiert auch eine Theorie der „flexiblen MKS“, abgekürzt EMKS.

12 Mehrkörpersysteme

280 Kupplung Körper

Körper

Dämpfer

Feder

Spiel

Umgebung Gelenk

zi I xi

x y ( KS)0

xi

Fi

Izi

(KS)i I yi yi

z Inertialsystem

Körper i

Mi

Bild 12.1: Verallgemeinertes Mehrkörpersystem

Definitionsgemäß heißt ein Freiheitsgrad aktiv, wenn er zu einem unabhängigen Antrieb gehört. Bei einem aktiven Mechanismus (z. B. Roboter) sind im Allgemeinen alle Freiheitsgrade aktiv. Die Freiheitsgrade (FHG) werden dabei von der Ausführung der Gelenke beeinflusst. Gelenke können gewisse Freiheitsgrade sperren und darüber die Beweglichkeit einschränken. Ein wichtiges Lösungsmerkmal für MKS ist der Strukturaufbau (Topologie, s. /WAL 89/):  Systeme mit Baumstruktur: Solche Systeme zerfallen in getrennte Teilsysteme mit Zwanglauf, wenn alle Gelenke zwischen einem beliebigen Knotenpaar entfernt werden. Für derartige Systeme sind die Bewegungsgleichungen leicht zu ermitteln.  Systeme mit kinematisch geschlossenen Schleifen: Dies sind Systeme, bei denen die zuvor aufgestellte Bedingung nicht erfüllt ist. Das im Bild 12.1 modellierte System hat keine Baumstruktur: Auf dem Weg von der Umgebung über die drei Körper zurück zum Ausgangspunkt gibt es zwischen allen Körpern ein Gelenk. Man kann das System nicht in zwei Teilsysteme zerlegen, wenn man nur ein Gelenk entfernt. Das Aufstellen der Bewegungsgleichungen für kinematisch geschlossene Schleifen ist extrem aufwändig, da neben den Bindungsgleichungen auch noch Verträglichkeitsbedingungen zu berücksichtigen sind.

12.2 Kinematik von MKS

281

Ziel muss es stets sein, die Kinematik eines MKS durch elementare Gleichungen der Mechanik /SCH 99/ zu beschreiben.

12.2 Kinematik von MKS Die Aufgabenstellung der Kinematik ist die Ermittlung der Lage, Geschwindigkeit und Beschleunigung von bewegten Einzelkörpern. Hierbei wird die Lage eines Körpers durch seine Position und seine Orientierung erfasst. Zur Erfassung der räumlichen Bewegung eines Körpers wird ein Referenzkoordinatensystem (KS) R benötigt. Weiterhin ist ein mit dem Körper (z. B. i-ter Körper) fest verbundenes Koordinatensystem (hier KS i ) erforderlich. Das allgemeine Kinematikproblem kann insofern auf die Dynamik der Koordinatensysteme zurückgeführt werden. Zu beachten ist dabei aber noch, dass es für die Wahl des Referenzsystems zwei grundsätzlich unterschiedliche Möglichkeiten gibt: a) Das Referenzsystem ist ein Inertialsystem (KS) o , d. h., das Koordinatensystem ist beschleunigungsfrei. In der Anwendung wird das (KS) o in der Regel auf eine nicht bewegliche Basis gesetzt; die Bewegung eines Körpers wird dann bezüglich dieser Basis in Inertialkoordinaten beschrieben. b) Das Referenzsystem ist ein Relativsystem, d. h. ein mit einem anderen beweglichen Körper j des MKS verbundenes Koordinatensystem. Die Bewegung eines Körpers wird relativ zu einem Referenzkörper beschrieben. Im Bild 12.2 sind die Verhältnisse zwischen den Inertial- und Körperkoordinaten dargestellt, und zwar für den Punkt P, der sich relativ bewegen soll. Hierin bezeichnen (s. auch /HEI 98/):  (KS) o das Inertialsystem*) und (KS) i das Körpersystem;  O i ein körperfester Bezugspunkt und P ein variabler Körperpunkt;  e xo , e yo , e zo die Einheitsvektoren des (KS) o ;  (o) e xi , (o) e yi , (o) e zi die Einheitsvektoren des körperfesten (KS) i , dargestellt im (KS) o ;  der Ortsvektor im Inertialsystem (KS) o (o ) rp

*)

x ˜ e xo  y ˜ e yo  z ˜ e zo ;

Anmerkung: Inertialsystem = beschleunigungsfreies Koordinatensystem

(12.1)

12 Mehrkörpersysteme

282  der Ortsvektor im Körpersystem (KS) i (i ) rp

u ˜ e xi  v ˜ e yi  z ˜ e zi .

(12.2)

Die Koordinaten der Einheitsvektoren sind durch die Richtungskosinusse gegeben. Fasst man diese Koordinaten zu einer Matrix zusammen, so erhält man die Transformationsmatrix (siehe T in Kapitel 5.4.1), die innerhalb der MKS auch mit Rotations- oder Drehmatrix (R) benannt wird: (OK) R

{R

ª e , e , e º, «¬ (o) xi (o) yi (o) zi »¼

(12.3)

sie beschreibt die Orientierung des (KS) i bezüglich des (KS) o . Wie früher schon bewiesen, ist die Transformationsmatrix orthogonal, d. h., es gilt R ˜ Rt

I,

(12.4)

hieraus folgt auch für die inverse Rotationsmatrix R -1

Rt

R.

(12.5)

Die Bedeutung dieser Beziehung ist vor allem darin zu sehen, dass die Inversion einfach auf die Transposition zurückzuführen ist.

zR , w yR , w P ( o ) e zi

Bahnkurve von P (o) e yi

r (o ) p

(o ) rop bzw. (i) rp

Körper i Oi

(KS)i

x Ix

(o)exi

xR , u

e xo

(o)ro

( KS) 0 e zo

e yo

Iz z

Bild 12.2: Inertial- und Körperkoordinaten bzw. -systeme als Rechtssysteme

y Iy

12.2 Kinematik von MKS

283

Weiterhin lässt sich in der Kinematik eine allgemeine Bewegung des Punktes P als die Überlagerung einer Translation und einer Rotation ausführen. In dem vorstehenden Bild ergibt sich für (o ) rop

(o ) ro

 R i ˜ (i) rp .

(12.6)

Die Gleichung stellt also eine Koordinatentransformation (KS) i o (KS) o dar.

12.2.1

Drehmatrix

In den vorstehenden Skizzen sind schon rechtsdrehende Körper-Koordinatensysteme ( KS) K eingeführt worden. Als Zusammenhang (s. Bild 12.3) kann zwischen den Koordinaten des Punktes P im Inertialsystem und im gedrehten Koordinatensystem bei einer Drehung um die x-Achse angegeben werden: ª1 ªxº 0 « « » «0 cos ij x « y» «0 sin ij «z» x (o ) ¬ ¼ (K) ¬

º ªuº « » »  sin ij x » ˜ « v » «w » cos ij x » ¼ (K) ¬ ¼ 0

(12.7)

bzw. ( K ) R x I x ˜ ( R ) rP ,

(o ) rP

zK

mit ( K ) R x

R I x .

P

z ( o ) rP

w

Bild 12.3: Elementardrehung um die x-Achse mit dem Körperpunkt P um den Winkel I x

u yK Ix

z

x ˆ xK

y

In analoger Weise findet sich die Drehmatrix für die Elementardrehungen um die y- und zAchse:

R y I y

ª cos I y « « 0 «¬ sin I y

R z I z

ªcos I z « sin I z « ¬« 0

0 sin I y º » 1 0 », 0 cos I y »¼  sin I z cos I z 0

0º 0» . » 1¼»

(12.8)

(12.9)

12 Mehrkörpersysteme

284

Zusammengesetzte Dehnungen können jetzt in einfacher Weise aus drei nacheinander ausgeführten Elementardrehungen gebildet werden. Von den vielen Möglichkeiten, diese auszuführen, haben praktisch nur die Kardan- und die Euler-Winkel größere Bedeutung erlangt: x

Drehung um die Kardan-Winkel 1. Rotation um die x-Achse 2. Rotation um die neue y-Achse

R x I x , R y I y ,

3. Rotation um die neue z-Achse

R z I z ,

daraus folgt: (o ) rP

R x I x ˜ R y I y ˜ R z I z ˜ ( K ) rP { R KARD I x , I y , I z ˜ ( K ) rP .

(12.10)

Führt man die Matrizenmultiplikation durch, so folgt für die Kardan’sche Drehmatrix

R KARD

ª c y ˜ cz « «c x ˜ s z  s x ˜ s y ˜ c z «¬s x ˜ s z  c x ˜ s y ˜ c z

Als Abkürzungen wurden benutzt: s x

x

 cy ˜ sz cx ˜ cz  s x ˜ s y ˜ sz sx ˜ cy  cx ˜ s y ˜ sz sin I x , c z

º »  sx ˜ cy » . c x ˜ c y »¼ sy

(12.11)

cos I z usw.

Drehung um die Euler-Winkel Gemäß Vereinbarung müssen hier die Elementardrehungen nacheinander um die z-, xund wieder z-Achse ausgeführt werden. Die Drehmatrix für Euler-Winkel lautet so: R EUL I x , I y , I z

R z I x ˜ R x I y ˜ R z I z

(12.12)

bzw.

R EUL

ª s x ˜ c y ˜ s z  c x ˜ c z « « cx ˜ c y ˜ sz  s x ˜ cz «¬ s y ˜ sz

 s x ˜ c y ˜ cz  cx ˜ sz cx ˜ c y ˜ cz  s x ˜ sz s y ˜ cz

sx ˜ sy º »  cx ˜ sy » . c y »¼

(12.13)

Besonders anzumerken ist, dass die Matrizenprodukte in Gl. (12.10) und Gl. (12.13) nicht kommutativ sind. Eine andere Reihenfolge der Multiplikation führt zu einem anderen Ergebnis, d. h., die Orientierung des Körpers ist anders.

12.2 Kinematik von MKS 12.2.2

285

Ebene Bewegung

Um die Problematik mit einfacher Darstellung weitertreiben zu können, wollen wir uns auf einen ebenen Fall beschränken. Im Bild 12.4 ist die ebene Bewegung charakterisiert, ohne Einschränkung der Allgemeinheit gilt hier z = 0. y P(x, y) yK v ( K ) rP

xK u

yo

Iz

z

(KS) K (o) rP (o) ro

0 (KS)o

x

xo

Bild 12.4: Verhältnisse bei der ebenen Bewegung

Die Bewegung lässt sich jetzt in der x-, y-Ebene eindeutig beschreiben, und zwar durch (o ) rP

ªxº « y » , (o) ro ¬ ¼

ªx o º « y » und ( K ) rP ¬ o¼

ªu º « v» . ¬ ¼

Eine Drehung kann somit nur noch um die z-Achse erfolgen und ist eindeutig durch die Drehmatrix R z I z

ªcos I z « sin I ¬ z

 sin I z º cos I z »¼

gegeben. Eine allgemeine Lage lässt sich nunmehr angeben durch

(12.14)

12 Mehrkörpersysteme

286 (o) ro  R z ˜ ( K ) rP ,

(o) rP

(12.15)

welches in Koordinaten ªx º « y» ¬ ¼

ª x o º ªcos I z « y »  « sin I ¬ o¼ ¬ z

 sin I z º ªu º ˜ cos I z »¼ «¬ v »¼

(12.16)

entspricht. Die Geschwindigkeit erhält man bekanntlich durch Differenziation nach der Zeit. Es ergibt sich  (o ) ro  R z ˜ ( K ) rP  R z ˜ ( K ) rP .

(o ) rP

(12.17)

Um die Matrizenkooperationen ausführen zu können, wollen wir in einer Zwischenbetrachtung die Drehmatrix kurz ableiteten:  I R z z

wR z I z  ª sin I z ˜ Iz { « wI z ¬ cos I z

 cos I z º  ˜ Iz .  sin I z »¼

(12.18)

Auch die Entwicklung von Gl. (12.17) ist etwas mühsam, weshalb die Ausrechnung hier verkürzt werden soll. Zunächst kann geschrieben werden: ª x º « y » ¬ ¼

 cos I z º ªu ˜ I z º ªcos I z  ˜  sin I z »¼ «¬ v ˜ I z »¼ «¬ sin I z

ª x o º ª sin I z « y »  « cos I ¬ o¼ ¬ z

 sin I z º ªu º ˜ . cos I z »¼ «¬ v »¼

(12.19)

Führt man die Matrizenoperationen aus und fasst geeignet zusammen, so findet sich ª x º « y » ¬ ¼

ª x o º ªcos I z « y »  « sin I ¬ o¼ ¬ z

 sin I z º ªu  v ˜ I z º . ˜ cos I z »¼ «¬ v  u ˜ I z »¼

(12.20)

Für einen starren Körper ist insbesondere u v 0 , weshalb sich die Gleichung entsprechend vereinfacht. Eine weitere Vereinfachung ergibt sich, wenn die Ausgangsgleichung modifiziert wird. Aus Gl. (12.15) folgt auch ( K ) rP

R z t ˜  (o) rP - (o) ro .

Berücksichtigt man dies in Gl. (12.17) und setzt rP (o ) rP

  (o ) ro  R z ˜ R z

Das Matrizenprodukt ergibt

t

 (o) rP - (o) ro .

(12.21) 0 , so findet sich

(12.22)

12.3 Kinetik von MKS

 ˜R  t R z z

Hierin ist I z ª x º « y » ¬ ¼

287

ª sin I z I z « ¬ cos I z

 cos I z º ª cos I z ˜  sin I z »¼ «¬ sin I z

sin I z º cos I z »¼

ª0 « ¬I z

 I z º ». 0 ¼

(12.23)

Z z , also die Winkelgeschwindigkeit. Endgültig erhält man so ª x o º ª 0 « y »  «Z ¬ o¼ ¬ z

 Zz º ªx  x o º . ˜ 0 »¼ «¬ y  y o »¼

(12.24)

Ohne weitere Herleitungen ergibt sich für die Beschleunigung ªx º «y » ¬ ¼

ªx o º ª 0 «y »  «I ¬ o¼ ¬ z

 I z º ª x  x o º ª 0 « »˜ 0 ¼ «¬ y  y o »¼ ¬I z

 I z º ª x  x o º . »˜ 0 ¼ «¬ y  y o »¼

(12.25)

Wird weiterhin noch Gl. (12.24) zur Elimination von  x  x o und  y  y o herangezogen, so kann letztlich die Endgleichung

ªx º «y » ¬ ¼

ªx o º ª Zz 2 «y »  « ¬ o ¼ ¬ Dz

angegeben werden. Mit D z

 D z º ªx  x o º »˜« »  Zz 2 ¼ ¬ y  y o ¼

(12.26)

I ist dabei die Winkelbeschleunigung eingearbeitet worden. z

12.3 Kinetik von MKS Zum Aufgabenkreis der Kinetik gehört die Bewegung von massebehafteten Körpern unter der Einwirkung von Kräften und Momenten. Die Kinetik verfolgt somit die Verknüpfung von kinematischen Größen mit Kraftgrößen. Die Beschreibung des Bewegungsverhaltens eines Starrkörpersystems mit n Freiheitsgraden führt zu einem Satz von n gewöhnlichen DGLs 2. Ordnung, die bekanntlich gut lösbar sind. Wir stoßen heute auf viele Fragestellungen, wo die Kinetik eine große Rolle spielt, wie beispielsweise:  Simulation des Bewegungsverhaltens von Mechanismen unter der Einwirkung von Kräften;  Analyse von mechatronischen Strukturen bzw. Prototypen, um für bestimmte Bewegungsabläufe die Antriebe zu dimensionieren, sowie  Unterstützung beim Entwurf von Steuerungs- und Regelalgorithmen, um die erforderlichen Stellgrößen für vorgegebene Bahnkurven festzulegen. Zur Lösung kinetischer Probleme können zwei grundverschiedene Vorgehensweisen herangezogen werden:

12 Mehrkörpersysteme

288 x

Bei der Netwon-Euler-Methode werden die N-Einzelkörper des Mehrkörpersystems frei geschnitten und die Wirkung benachbarter Körper durch Schnittkräfte- und Schnittmomente berücksichtigt. Die Impuls- und Drallsätze für die Einzelkörper liefen 6 ˜ N Gleichungen. Mit den aus den Bindungen resultierenden Zwangsbedingungen werden dann die Schnittreaktionen eliminiert.

x

Die Lagrange'sche Methode basiert auf dem d'Alembert'schen Prinzip und lässt schon zu Anfang nur solche Verschiebungen zu, die mit den Zwangsbedingungen vereinbar sind. Bei den so genannten Lagrange'schen Gleichungen 2. Art erhält man unmittelbar f Bewegungsgleichungen, wodurch die Elimination der Schnittgrößenreaktionen entfällt.

In der folgenden Übersicht des Bildes 12.5 sind die beiden Lösungsmethoden von ihrem Ablauf gegenübergestellt.

Newton-Euler-Methode

Lagrange-Gleichungen 2. Art

Koordinatensystem Freiheitsgrade

Bindungen, Zwangsbedingungen

verallgemeinerte Koordination

Freischneiden

kinetische Energie

äußere Kräfte und Momente

verallgemeinerte Kräfte

Impuls- und Drallsatz

Lagrange-Formalismus

Elimination der Schnittreaktionen

Bewegungsgleichungen

Bild 12.5: Aufstellung der Bewegungsgleichungen mit der Newton-Euler-Methode und den Lagrange-Gleichungen 2. Art

12.3 Kinetik von MKS 12.3.1

289

Grundbeziehungen für den starren Körper

Um sich im Weiteren mit Starrkörperkinetik beschäftigen zu können, müssen zunächst ein paar Beziehungen für einen einzelnen starren Körper zusammengestellt werden. Dazu ist im Bild 12.6 ein beliebiger Körper gezeigt, der sich um (KS) o bewegt. Körper K mit der Masse m

vS (KS)K

S

(o)rSP { (K)rP

(o ) r s

dF P

0 (KS)0

(o )

Z

(o)r P

dm

vP

Bild 12.6: Beschreibungsgrößen am starren Körper (Idealfall: (KS) K liegt im Körperschwerpunkt S)

Am Körper wirken die resultierenden äußeren Kräfte

F

³ dF

(12.27)

K

und das resultierende äußere Moment (o) M

~ ³ (o) rP x dF { ³ (o) r ˜ dF . K

(12.28)

K

Mit diesen Kraftgrößen können jetzt für die Starrkörperbewegung das Bewegungsgesetz sowie der Impuls- und der Dreh- bzw. Drallsatz (im Inertialsystem) aufgestellt werden:  Bewegungsgesetz (Transformation der im Schwerpunkt vereinigten ganzen Masse) m ˜ (o) rS

³ (o) rP ˜ dm F ,

(12.29)

K

 Impulssatz (Schwerpunktsatz)

dp dt

d d m ˜ rS { m ˜ v S dt dt

F,

(12.30)

12 Mehrkörpersysteme

290

 Drehimpuls oder Drallsatz*) in der 1. Formulierung (direkt über (KS) o ) 

(o) L

(12.31)

(o) M

mit (o) L

³  (o) rP x

(o ) v P

˜ dm

K

~ ³ (o) rP ˜(o) v P dm .

(12.32)

K

 Drallsatz in der 2. Formulierung (über den Schwerpunkt) (o) L

(o) rS x (o) v S ˜ m  (s ) L rel, S ,

(12.33)

der Relativdrall des Schwerpunktes um ein beliebiges (KS) K ist gegeben durch

³ ( o ) rSP x  ( o ) Ȧ x

(S) L rel, S

( o ) rSP

˜ dm

K

 ³ ( o ) ~rSP t ˜( o ) ~rSP dm ˜( o ) Ȧ .

(12.34)

K

Aus dem hergeleiteten Relativdrall**) kann weiter die Matrix des Massenträgheitsmomentes um (KS) o abgeleitet werden: (o) Ĭ S

 ³ ( o ) ~rSP t ˜ ( o ) ~rSP dm .

(12.35)

K

Die Massenmatrix ist in Gl. (12.35) in Basiskoordinaten (auf das Inertialsystem bezogen) ausgedrückt und damit von der Orientierung des Körpers abhängig. Dies ist generell unzweckmäßig, weil die Massenträgheitsmomente für viele Körpergeometrien schon bestimmt worden sind. Das Massenträgheitsmoment in körpereigenen Koordinaten ergibt sich damit zu (K ) ĬS

 ³ ( K ) ~rP t ˜ ( K ) ~rP dm .

(12.36)

K

*)

Anmerkung: In Gl. (12.30) ist der Tildeoperator eingeführt worden, dieser ersetzt das Kreuzprodukt zweier Vektoren durch ein Matrizenprodukt. Allgemein gilt für das Kreuzprodukt a x b die a ˜ b , wenn äquivalente Darstellung ~

~ a

**)

ª a « « az «¬ a y

 az 0 ax

ay º »  a x » und b 0 »¼

ªb x º «b » ist. « y» ¬« b z ¼»

Anmerkung: a x b = -b x a, d. h., beim Vertauschen der Vektoren ändert das Vektorprodukt sein Vorzeichen. Entwicklungssatz für Mehrfachprodukte: (a x b ) x c

(a ˜ c) ˜ b  ( b ˜ c) ˜ a

12.3 Kinetik von MKS

291

Die vorstehenden Beziehungen gelten allgemein. Wenn jedoch der Koordinatenursprung von (KS) K und der Schwerpunkt zusammenfallen, vereinfacht sich das Problem:  Drallsatz d LS dt

d  (o) ĬS ˜ (o) Ȧ dt

(12.37)

MS

mit M S ³ (o) ~ rSP dF ,

(12.38)

K

 kinetische Energie*) E kin

1 t ³ ( o ) v P ˜ ( o ) v P dm 2K · § ¸ ¨ ¸. ¨ 1¨ ¸ t t t ( o ) v S ˜ ( o ) v S m  ( o ) Ȧ ˜ ( OK ) R ˜ (K) Ĭ S ˜ ( OK ) R ˜ ( o ) Ȧ ¸  

2 ¨  

¸ ¨ Anteil der Translation (o) Ĭ S ¨¨   ¸¸ Anteil der Rotation ¹ ©

(12.39)

Damit sind die wesentlichen Grundbeziehungen für starre Körper hergeleitet worden.

12.3.2

Newton-Euler-Methode

Bei der Newton-Euler-Methode geht man von den Freikörperbildern jedes einzelnen Körpers eine MKS aus. Im umseitigen Bild 12.7 ist ein derartiges Freikörperbild für einen Hebel aus einem Gelenkmechanismus gezeigt. Die Wechselwirkung mit dem Nachbarkörper wird durch die Schnittgrößen Fi 1, i , M i 1, i bzw. Fi, i 1 , M i, i 1 (Index bedeutet: vom Körper i – 1 auf den Körper i bzw. entsprechend) angegeben.

*)

Anmerkung: Die Formulierung von Gl. (12.39) bedarf einiger Zwischenschritte, die der Vollständigkeit halber hier angegeben seien:  (o) rSP

1.

( o ) rP

(o ) rS

2.

( o ) rP

(o ) rS  (o ) rSP ist auch ( o ) v P

(o) v S

 ( o ) rSP x ( o ) Ȧ

bzw. (o) v P

(o) v S

 ( o ) ~rSP t ˜ ( o ) Ȧ { ( o ) v S   ( OK ) R ˜ ( K ) ~rP t ˜ ( o ) Ȧ

oder (o) v P

t

˜ vP

(o) vS

t

˜ ( o ) v S  ( o )Ȧ t ˜ ( o ) ~rSP t ˜ ( o ) ~rSP ˜ ( o ) Ȧ

12 Mehrkörpersysteme

292

Fi 1,i

Mi1,i

Oi 1

( o )Ȧ i

( o ) v Si

(o)r i, Si

 Fi , i 1

 Mi1,i

Si Oi mi g

Bild 12.7: Nomenklatur am Freikörperbild des Körpers i

Aus dem Gleichgewicht am Körper gilt demzufolge an den Schnittufern:  Fi 1, i ist die Kraftwirkung des Körpers i – 1 auf den Körper i. Analoges gilt für M i 1, i .   Fi, i 1 ist insofern die Reaktionskraft des Körpers i auf den Körper i + 1. Analoges gilt für  M i, i 1 . Die Bewegungsgleichungen können jetzt schrittweise durch die Anwendung des Impuls- und Drallsatzes sowie der inversen Dynamik aufgestellt werden. Verallgemeinert ergibt sich beispielsweise für den dargestellten Körper i:  Impulssatz m i ˜ ( o ) v Si

Fi , mit Fi

Fi 1, i  Fi, i 1  m i ˜ g ,

(12.40)

 Drallsatz ~

 i  ( o ) Ȧ ˜ ( o ) Ĭ Si ˜ ( o ) Ȧ i ( o ) Ĭ Si ˜ ( o ) Ȧ

M Si

(12.41)

mit M Si

M i 1, i  M i, i 1  ( o ) ~ri, Si ˜ Fi, i 1  ( o ) ~ri 1, Si ˜ Fi 1, i .

(12.42)

Bei der Erstellung der Gleichungen ist es zweckmäßig, die kinematischen Größen auf die körperfesten Koordinatensysteme zu beziehen, welche man am günstigsten in die Gelenkachsen legt. Für die Kinetik ist es hingegen zweckmäßiger, den Massenschwerpunkt zu benutzen. Damit ist eine weitere Transformation verbunden, die vorstehend in die Ortsvektoren ~ ~ ( o ) ri 1, Si und ( o ) ri , Si mit eingeschlossen ist. Wenn man aus den vorstehenden Beziehungen des Kapitels 12.2 die Geschwindigkeiten ( o ) v Si und die Winkelgeschwindigkeiten ( o ) Ȧ i als bekannt angenommen werden, können

12.4 Lagrange’sche Methode

293

aus einem rekursiven Algorithmus alle Kräfte und Momente bestimmt werden, wenn die Antriebsgrößen bekannt sind. Es gilt dann Fi 1, i

Fi, i 1  m i ˜ g  m i ˜ ( o ) v Si ,

(12.43)

M i 1, i

M i, i 1  ( o ) ~ri, Si ˜ Fi, i 1  ( o ) ~ri 1, Si ˜ Fi 1, i ~˜  i  ( oi ) Ȧ  ( o ) Ĭ Si ˜ ( o ) Ȧ ( o ) Ĭ Si ˜ ( o ) Ȧ i .

(12.44)

Dieses Iterationsverfahren lässt sich sehr gut als Rechneralgorithmus aufbauen.

12.4 Lagrange’sche Methode Die wohl verbreitetste Methode, die Bewegungsgleichungen eines MKS aufzustellen, besteht in der Anwendung der Lagrange’schen Gleichung 2. Art: d § wE · wE ¨ ¸ dt © wq ¹ wq

Q.

(12.45)

In dieser Gleichung bezeichnet E { E kin die kinetische Energie des Systems, q generalisierte Koordinaten und Q

>Q1 Q 2 " Q k " Q n 1 Q n @t

(12.46)

der Vektor der verallgemeinerten Kräfte. Eine andere Darstellung von Gl. (12.45) ergibt sich, wenn konservative Kräfte Q k (eingeprägte Kräfte*) aus einem konstanten Potenzial, z. B. E pot ) auftreten. Die verallgemeinerte Kraft ist dann aufzuspalten (konservative + nicht konservative Kräfte) in Q

Qk  Qn .

(12.47)

Wenn dies berücksichtigt wird, kann die Lagrange’sche Gleichung auch folgendermaßen angegeben werden: d § wE kin · wE kin wE pot  ¨ ¸ wq wq dt © wq ¹

Qn .

(12.48)

Für ein MK-System, welches aus mehreren Körpern besteht, müssen die Energieausdrücke über eine Summation bestimmt werden. Die kinetische Energie eines Körpers ist in Gl. (12.39) schon definiert worden; über alle Körper finden wir somit *)

Anmerkung: Die Arbeit oder Energie ist immer dann einfach zu formulieren, wenn konservative Kräfte vorliegen. Eine Kraft bezeichnet man als konservativ, wenn sie aus einem Potenzial herrührt und selbst nicht wegabhängig ist.

12 Mehrkörpersysteme

294 N

>(o) vSi t ˜ (o) vSi ˜ mi  (o) Ȧ n t ˜ (OK)R i ˜ (K ) ĬSi ˜ (OK) R i t ˜(o) Ȧi @

¦ E kin i

E kin

i 1

(12.49) Um zu einer allgemein gültigen Bewegungsgleichung zu kommen, müssen wir die vorstehende Gleichung weiter spezifizieren. Dies ist durch die Verknüpfung der realen Systemgrößen mit den verallgemeinerten Größen über die Jacobi-Matrix (s. hierzu auch Kapitel 7.2.3) möglich. Es soll daher gelten: (o ) v Si

J Ti ˜ q i , (o) Ȧi

J Ri ˜ q i .

(12.50)

Damit lässt sich die Energie eines Einzelkörpers angeben zu

1 t q i ˜ m i ˜ q i , 2

E kin i

(12.51)

worin jetzt die Elementmassenmatrix die folgende Form annimmt: m i (q )

m i ˜ J Ti t ˜ J Ti  J Ri t ˜ ( OK ) R i (q ) ˜ ( K ) Ĭ Si ˜ ( OK ) R i (q ) t ˜ J Ri .

(12.52)

Für ein Gesamtsystem ist eine geeignete Überlagerung vorzunehmen, sodass formal für die zusammengefasste kinetische Energie angegeben werden soll: 1 t q ˜ M ˜ q . 2

E kin

(12.53)

Für die Kräfte im System besteht noch nach Gl. (12.47) der Zusammenhang Q

N

N

N

i 1

i 1

i 1©

§

¦ J i ˜ Fk i  ¦ J i ˜ Fn i { ¦ ¨¨  J i

wE pot · N ¸  ¦ J i ˜ Fn . i wq i ¸¹ i 1

(12.54)

Damit lässt sich unter Anwendung der Lagrange’schen Gl. (12.48) die folgende Bewegungsgleichung aufstellen:   q t ˜ M(q)c ˜ q  Q k M(q) ˜ q

Qn .

(12.55)

Die Massenmatrix m i ist hierbei für ein Einzelglied eines Mechanismus und M als Gesamtmassenmatrix (Überlagerung aller Einzelmasse) auf ein globales Mechanismenkoordinatensystem zu verstehen. Entsprechend sind in q alle Freiheitsgrade und weiter im Lastvektor Q n alle am Mechanismus „angreifenden Kräfte“ zusammengefasst worden. Sinnvoll lässt sich die vorstehende Gleichung (12.54) nur numerisch lösen. Als Weiterentwicklung der vorstehenden Theorie gilt heute die EMKS, wobei jetzt alle Glieder als elastisch angenommen werden und somit der direkte Übergang zur FEM geschaffen wurde.

12.5 Mechanismenstrukturen

295

12.5 Mechanismenstrukturen Die meisten Mechanismen in der Praxis gehen auf Gelenkgetriebe zurück. Das Merkmal dieser Getriebe ist die Periodizität, d. h., alle Kräfte, Wege, Geschwindigkeiten und Beschleunigungen ändern sich periodisch. Bei aktiven Mechanismen werden vorgeschriebene Bewegungen verlangt. Dies setzt „Zwanglauf“ voraus. Dieser ist gegeben, wenn die „Grübler’sche Zwanglaufbedingung“ erfüllt ist: F

3  N  1  2G ,

N = Anzahl der Körper bzw. Getriebeglieder (einschließlich Gestell) G = Anzahl der Gelenke

Der Wert F gibt somit die Anzahl der erforderlichen Antriebe an.

Bild 12.8: Schmiedemanipulator als Doppelschwinge mit ausgebildeter Koppelstange als Streckarm

Im Bild 12.8 ist ein Schmiedemanipulator wiedergegeben. Er erfüllt die Aufgabe, Bauteile beim Warmschmieden zu händeln. Getriebetechnisch liegt eine Doppelschwinge mit Koppelstange und unabhängigen Antrieben sowie Baumstruktur vor.

12 Mehrkörpersysteme

296

Die Bewegungsmöglichkeiten bestehen im rotatorischen Schwenken und verschiedenen Greifbewegungen, wofür lineare Antriebe (Hydraulikzylinder) und Drehantriebe benötigt werden. Für die MKS-Analyse wurde eine geeignete Software eingesetzt, die ein transparentes Bild von der Starrkörperbewegung und der elastomechanischen Beanspruchung vermittelt. Da ein großer Informationsanfall über alle Bewegungssequenzen, Gelenke und Glieder vorliegt, zeigt Bild 12.9 nur einen kleinen Ergebnisauszug in einer komprimierten Darstellung.

Antriebs- und Gelenkkräfte

Geschwindigkeiten Beschleunigungen

Weg des Greifarms Weg des Koppelpunktes

Weg des Antriebzylinders

Bild 12.9: Kinematische Analyse des Manipulators (nur ausgezeichnete Gelenke ausgewertet)

Zum Leistungsumfang des Programms gehören die Ermittlung aller Wege, Geschwindigkeiten, Beschleunigungen und Kräfte an den Gelenken. Je Bewegungssequenz kann weitere eine elastomechanische Analyse durchgeführt werden.

297

13 Bauteiloptimierung Die Industrie verfolgt heute intensiv die Realisierung durchgängiger CAE-Ketten und ist immer mehr daran interessiert, auch Optimierungsmodule (opti SLANG, TOSCA, CAOSS etc.) in FE-Programmen verfügbar zu haben. Viele Bemühungen in dieser Richtung sind in der Vergangenheit daran gescheitert, dass die mit einer Optimierung von FE-Modellen verbundene große Rechen- und Speicherkapazität nicht kostengünstig verfügbar war. Dies hat sich in den letzten Jahren dramatisch geändert, denn moderne Workstations und PCs überschreiten mittlerweile das Leistungsniveau älterer Großrechner. Eine zielgerichtete Bauteiloptimierung ist damit praktizierbar geworden.

13.1 Formulierung einer Optimierungsaufgabe Die Gewichts- und Spannungsminimierung an Bauteilen kann als ein Grundproblem der Mechanik begriffen werden, weshalb es in der Vergangenheit schon eine Vielzahl von Arbeiten gegeben hat, die sich problemkonform mit der Optimierung von FEM-Modellen auseinandergesetzt haben. Der Schwerpunkt dieser Arbeiten lag in der Übertragung von mathematischen Parameteroptimierungsmethoden, so genannten Gradienten- oder Suchverfahren, auf diesen Problemkreis. Zu diesem Zweck muss eine Problemstellung als Zielfunktion mit Nebenbedingungen formuliert werden. Stellt man sich beispielsweise die Aufgabe, ein Bauteil minimalen Eigengewichts zu finden, so muss die Gewichtsfunktion des Bauteils in Abhängigkeit von den entsprechenden Maßparametern aufgestellt werden. Allgemein ist also ein Problem /FOX 70/ G x1 , " , x n x x opt o MINIMUM!

(13.1)

mathematisch zu lösen. In der Technik wird es aber so sein, dass die Parameter x i nicht beliebig gegen null streben können, sondern das durch Nebenbedingungen bestimmte Parametergrenzen gegeben sein werden. Als Grenzbedingungen wird man demnach finden:  geometrische Nebenbedingungen wie

x i grenz  x i ! 0,

(13.2)

 Spannungsnebenbedingungen wie V i x  V max  0 ,

(13.3)

und  Verformungsbedingungen wie u i x  u max  0 .

(13.4)

13 Bauteiloptimierung

298

Im einfachsten Fall (Lagrange-Verfahren) können Zielfunktionen und Nebenbedingungen zu der resultierenden Optimierungsfunktion /WEC 89/ Z

m 1

n 1

o

i 1

i m

i n

G x  ¦ O i x igrenz  x i  ¦ O i Vi  x  V max  ¦ O i  u i  x  u max o MIN! (13.5)

zusammengefasst werden. Als Extremwert ist sodann zu erfüllen: erst abnehmend, dann steigend 1. Z(x) erst negativ, dann positiv 2. Z´(x) und 3. Zcc (x) > 0 also positiv

Je nach angesetzter Optimierungsstrategie findet sich dann das Minimum durch wiederholtes Ableiten der Zielfunktion und Voranschreiten in der Gradientenrichtung (z. B. HookeJeeves-Verfahren) oder durch Aufspannen eines unregelmäßigen Simplex im Suchraum und Bewertung der Eckpunkte (z. B. Box-Verfahren). Dies sind alles sehr rechnerintensive Vorgänge, da bei jedem Optimierungsschritt die Geometrie verschoben und somit wieder die gesamte finite Systemgleichung gelöst werden muss. Es zeigt sich somit in der Praxis, dass eine Parameteroptimierung nur bei wenigen Parametern  x i : 5 d i  8 sinnvoll und wirtschaftlich vertretbar ist. Ein weiterer Nachteil besteht oft noch darin, dass im Regelfall der Optimierungsprozess eine Netzanpassung erforderlich machen wird, welches wieder adaptive Algorithmen für die Netzentzerrung bedarf. Im Zusammenhang mit CACE erlebt derzeit die Parameteroptimierung eine zweite Blütezeit.

13.2 Parameteroptimierung Einige FE-Systeme bieten neuerdings integrierte Optimierer an, denen meist jedoch nur einfache Variationsstrategien zu Grunde liegen. Nachteilig ist, dass selbst bei nur wenigen Parametern viel Rechenzeit benötigt wird und man bei den ausgewiesenen Verbesserungen nicht sicher ist, ob das tatsächliche Minimum erreicht worden ist. Der Ansatzpunkt der Optimierungsstrategie ist dabei das parametrisierte Datenmodell des Pre-Prozessors /BAI 78/, welches die Bauteilgenerierung mit assoziativer Geometrieverknüpfung ermöglicht. Die Vorgehensweise ist in etwa die, dass an dem 3-D-Geometriemodell des Bauteils Parameter interaktiv als variabel oder unabhängig deklariert werden können. Über ein Tableau lassen sich dann weiter zwei Optimierungsziele vorgeben, und zwar  Minimierung der größten Spannungsdifferenz oder  Minimierung der Masse.

13.2 Parameteroptimierung

299

Manchmal ist es auch möglich, diese beiden Ziele multikriteriell zu verknüpfen, d. h., es soll eine ausgewogene Problemlösung erzeugt werden. Die von den Programmsystemen genutzte Strategie ist meist die so genannte eindimensionale Suche, d. h., eine Zielfunktion wird zunächst mit einem Startvektor x o belegt und dafür die zu optimierenden Verhältnisse berechnet. Danach wird ein Parameter der Zielfunktion Zx1 , " , x j , " , x n o MINIMUM!

(13.6)

variiert, und zwar wechselseitig nach oben bzw. unten mit der Schrittweite p zu xj

x jo r p ˜ x jo

(13.7)

und festgestellt, wie sich die Zielfunktion ändert. Bei Erfolg wird weiter in die als richtig erkannte Richtung getastet. Ist nach einigen Schritten keine Verbesserung mehr möglich, wird der nächste Parameter variiert, bis eine Abbruchschranke für die absolute Änderung der Zielfunktion unterschritten wird. Durch diese Technik kann also nur in einem begrenzten Gebiet ein lokales Minimum gefunden werden, welches für praktische Vorgaben jedoch meist ausreichend ist.

Bild 13.1: Ausgangsverhältnisse bei der Winkelstütze a) Grundentwurf b) Spannungsverteilung

Als Beispiel für eine einfache Spannungsoptimierung sei die im Bild 13.1 gezeigte Winkelstütze gewählt, die in Hochregallagern zur Abstützung von Fachböden dient. Verlangt ist dabei in der am höchsten beanspruchten Region die Unterschreitung eines Spannungsreferenzwertes. Variabel soll bei diesem Bauteil die innere Form sein, die so anzupassen ist, bis die Fließgrenze von AlMg1 mit R p 0, 2

95 N/mm 2 unterschritten ist.

13 Bauteiloptimierung

300 Der Startvektor für die Ausgangskontur wurde mit

xo t

>65q, 10, 90q@

gewählt. Hierdurch wird in der Kehle die zulässige Spannung weit überschritten, bzw. die Verformungen sind auch zu hoch. Nach zwölf Variationen weist das Programm den im Bild 13.2 dargestellten Konturverlauf mit dem Lösungsvektor x opt t

>52q, 32, 101q@

aus. Der Spannungsabbau auf V max 90,7 N/mm 2 ist durch Materialauftrag eingetreten, weshalb die Stütze um 20 % schwerer wird.

Bild 13.2: Optimierte Winkelstütze

13.3 Bionische Strategie Komplexere mathematische Optimierungsverfahren haben sich bisher in der Praxis nur schwer durchsetzen können, da der Anwender zu viel Hintergrundwissen haben muss, um die Verfahren stabil anwenden zu können. Eine gute Chance akzeptiert zu werden zeichnet sich hingegen bei dem CAO-Verfahren (Computer Aided Optimization /MAT 89/) ab, das die Strategie des biologischen Wachstums verwendet. Dies geht zurück auf die Erkenntnis, dass die Natur bei der Auslegung von Bäumen, Knochen, Skeletten und Ähnliches ein ganz bestimmtes Designziel verfolgt, welches als Axiom der konstanten Oberflächenspannung charakterisiert werden kann. Umgesetzt heißt dies, dass auf technische Bauteile dieses biologische Formgebungsprinzip /SAU 91/ übertragen werden muss und dafür eine Strategie erforderlich ist. In einer Vielzahl von praktischen Anwendungsfällen hat sich die Simulation des Baumwachstums als sehr erfolgreich erwiesen. Aus der Schnittflächenanalyse von Stämmen hat

13.3 Bionische Strategie

301

man herausgefunden, dass ein Stamm aus einem unveränderlichen Kern und einer sich anpassenden Randzone (Kambium) besteht. Über die Randzone wird das Wachstum adaptiv gesteuert, und zwar in dem an überlasteten Bereichen ein Materialauftrag und an unterbelasteten Bereichen ein Materialabtrag vorgenommen wird. Dieses Wachstumsprinzip muss jetzt durch einen rechnerunterstützten Algorithmus nachgebildet werden, der die Konturanpassung initiiert. Bei der Programmrealisierung KONTOPT*) wird das Baumwachstum durch eine analoge Temperaturdehnungsstrategie nachgebildet. Normalerweise ist dafür keine explizit formulierte Zielfunktion nötig, weil sich Wachstum gezielt durch Wärmedehnung nachbilden lässt. Diese einfache Aussage bedarf aber dennoch eines komplizierten Ablaufs, der jedoch leicht zu durchschauen ist. Die wesentlichen Schritte des CAO-Prinzips können wie folgt zusammengefasst werden:  Ausgangssituation ist stets ein mehr oder weniger günstiger Grundentwurf eines Bauteils, der gewöhnlich aus Erfahrung entsteht. Das Netz sollte dabei so gelegt werden, dass etwa zwei bis drei dünne Elementreihen äquidistant zur äußeren Bauteilberandung verlaufen. Diese Elemente repräsentieren im Weiteren das Kambium.  Mit dem so aufbereiteten Modell wird dann eine erste FE-Analyse durchgeführt und die Vergleichsspannungen nach v. Mises berechnet. Damit sind alle Zonen hoher und niedriger Beanspruchung bekannt.  Nunmehr wird bezüglich einer als zulässig angesehenen Referenzspannung eine Spannungsdifferenz über das Bauteil gebildet und diese proportional einem Temperaturfeld gesetzt. Unabhängig davon, dass dies gegen physikalische Regeln verstößt, ist dies ein pragmatischer Ansatz.  Dieses Temperaturfeld wird dann durch Multiplikation mit dem Wärmeausdehnungskoeffizienten in eine Vergleichsdehnung umgewandelt, und zwar so, dass sich nur die Randschicht ausdehnt. Dies bedingt, dass der Wärmeausdehnungskoeffizient des Kerns zu null und der E-Modul des Randes E Rand | E Kern / 400 N/mm 2 herabgesetzt wird. Durch die somit gummiweiche Oberflächenschicht kann sich die Kontur anpassen, ohne dass Zwangsspannungen im Kern hervorgerufen werden.  Damit im Weiteren eine verträgliche Netzänderung eintritt, muss der Dehnungszustand skaliert werden, womit ein gleichmäßiges Wachstum hervorgerufen werden kann.  Dieser Vorgang wird durch eine erste Iteration ausgelöst, in dem der bestimmte Dehnungszustand als vorgeschriebene Dehnungen des Problems behandelt wird und hiermit eine neue FE-Analyse erfolgt. Konsequenz ist, dass das Netz zufolge hoher Dehnungen auswächst und zufolge niedriger Dehnungen wegschrumpft.  Im Allgemeinen bedarf eine Konturanpassung mehreren Iterationen, um alle Spannungsspitzen abzubauen. *)

Anmerkung: KONTOPT (Kontur-Optimierung) ist eine Eigenentwicklung des Fachgebietes Leichtbau-Konstruktion an der Universität Kassel.

13 Bauteiloptimierung

302

 Von Vorteil ist dabei, dass Sperrzonen (Fenster über Knotenpunkte) für Konturänderungen eingekreist werden können. Dies verhindert beispielsweise, dass sich Anschraubflächen verwerfen oder Achsabstände ändern. Die Umsetzung dieser Schritte in einen Algorithmus zeigt das folgende Flussdiagramm von Bild 13.3.

Ausgangsgeometrie

FE-Modell der Ausgangsstruktur

FE-Analyse/lin.-elast. Statik - Verschiebungen - Spannungen

Optimale Lösung erreicht?

konturoptimiertes Bauteil ja

Vvi || Vref nein Optimierungsstrategie

- Temperaturdehnungsanalogie 'Ti { Vvi  VVref ref - FE-Analyse Temperaturausdehnung

U TUT K K1˜1F ˜ FTT

variierte Bauteilkontur - Aufskalierung der Temperaturdehnungen - Netzentzerrung

Bild 13.3: Flussdiagramm der Temperaturdehnungsstrategie (nach /FRE 95/)

13.4 Selektive Kräftepfadoptimierung

303

Ein recht breites Anwendungsfeld findet die biotechnische Optimierung mittlerweile in der Glättung von Kerbspannungen bei 2-D- und 3-D-Bauteilgeometrien. Dies belegt im Weiteren auch das folgende Beispiel, bei dem es um die Lebensdauererhöhung eines wechselbeanspruchten Bauteils ging. Die Ausgangssituation erwies sich wegen der hohen Kerbspannung in einem Übergangsbereich und der dadurch abgeminderten Lebensdauer als insgesamt sehr unbefriedigend. Aufgabe war es deshalb, durch nur kleine Änderungen die Oberflächenspannung abzusenken und somit auch die Lebensdauer zu erhöhen. Durch Anwendung der Temperaturdehnungsstrategie (und zwar nach 30 Iterationen) war es tatsächlich möglich, mittels Konturanpassung das Spannungsniveau um 31 % abzusenken, welches auch aus Bild 13.4 abgeleitet werden kann. a)

b)

c)

ursprüngliche Kerbkontur optimierte Kerbkontur

Bild 13.4: Optimierung eines Kerbbereichs (nach /FRE 95/) a) Konturvergleich b) Spannungshöhe in der Ausgangskontur c) Spannungshöhe in der optimierten Kontur

Diese Absenkung der Spannung geht dabei einher mit einer Verlängerung der Lebensdauer des Bauteils, die sich im vorliegenden Fall mit 40 % einstellte.

13.4 Selektive Kräftepfadoptimierung Ein Sonderproblem des Leichtbaus besteht weiter darin, dass vielfach nicht einfach Konturen verschoben werden können, da dies meist mit einer Gewichtszunahme verbunden ist, wie die vorausgegangene Winkelstütze belegt. Viel wirksamer lassen sich oft Spannungen und Verformungen durch gezielte Einbringung von Sicken oder Rippen beeinflussen, wodurch das Gewicht nicht unbedingt zunehmen muss. Die Problematik besteht somit darin,

13 Bauteiloptimierung

304

die Zonen für wirksame Versteifungen zu lokalisieren und dann deren Form im genau notwendigen Umfang auszubilden. Diese praktisch interessierende Fragestellung kann mittels des Prinzips der selektiven Pfadoptimierung gelöst werden, welches eine Spezialisierung des Temperaturdehnungsprinzips darstellt. Für die Pfadoptimierung besteht die Voraussetzung, dass zu einem Belastungsfall die Hauptspannungen V1 , V 2 , V 3 bekannt sind bzw. mittels einer FE-Analyse ermittelt werden können. Gewöhnlich lassen die FE-Post-Prozessoren eine Darstellung der Hauptspannungstrajektorien zu, welche eine Richtungsinformation über die größte Beanspruchung geben. Bei vielen Bauteilen wird dieses Beanspruchungsmaximum auf der Oberfläche liegen, sodass damit auch die Ausprägungsrichtung für die Versteifungselemente bekannt ist. Der Optimierungsalgorithmus funktioniert nun im Wesentlichen so, dass in einer ausgewählten Beanspruchungssektion ein oder mehrere Knoten in der Nähe der V1 -Trajektorie ausgewählt werden können und dort lokales Wachstum initiiert werden kann. Nach einer entsprechenden Anzahl von Iterationen bildet sich dann in Abhängigkeit von der Bauteildimension entweder eine Rippe oder eine Sicke aus. Der Unterschied zwischen diesen Versteifungselementen besteht im Wesentlichen darin, dass Rippen auf massive Bauteile aufgesetzt und Sicken in dünnen Blechen eingeprägt werden. Die Erzeugung von Sicken ist daher mit der lokalen Symmetrie verbunden. Als Optimierungskriterium ist demzufolge wieder das Minimierungskriterium für die Spannungsdifferenz Z

no

2 ¦ V Vi  V ref o MINIMUM!

(13.8)

i 1

heranzuziehen, und zwar in dem eingeschränkten Variationsgebiet der Knoten Pi i 1, " , n o , die im Wesentlichen die Hauptspannungstrajektorien bilden. Ein anschauliches Beispiel für diese Vorgehensweise soll ein Scharnier an einer Fahrwerksklappe eines Verkehrsflugzeuges sein. Dieses Scharnier ist hoch belastet, d. h., es muss große Kräfte übertragen können und darf andererseits aber nicht zu schwer sein. Als konstruktive Alternative bietet sich demzufolge eine verrippte oder versickte Lösung an. Im Bild 13.5 ist zunächst ein Scharnierteil gezeigt, in dem die Spannungsspitze durch das Aufsetzen von Rippen entschärft worden ist. Der Algorithmus bietet hierbei die Möglichkeit, eine oder mehrere Spannungspfade zu identifizieren und diese zu Rippen auswachsen zu lassen, und zwar so lange, bis in dem Variationsgebiet die auftretende Spannung unterhalb der Referenzspannung liegt. Letztlich werden verrippte Bauteile immer nur in einer Urformtechnologie herstellbar sein.

13.4 Selektive Kräftepfadoptimierung a)

305

b)

c)

Bild 13.5: Massives Scharnierteil mit initiiertem Rippenwachstum (nach /FRE 95/) a) Grundentwurf b) Spannungsverteilung im Grundentwurf c) lokal optimiertes Teil

Methodisch aufwändiger ist hingegen das Einbringen von Sicken, da hiermit die Einhaltung der Volumenkonstanz des Bauteils verbunden ist. Materialauftrag auf der Oberfläche bedingt gleichsam einen Materialabtrag auf der Unterseite bei Einhaltung der Äquidistanz der Flächen. Dass auch dies algorithmisch zu beherrschen ist, zeigt das Blechteil im Bild 13.6, in dem jetzt zwei Sicken eingeprägt worden sind, welches ebenfalls zu einer Spannungsabsenkung führt.

a)

b)

Bild 13.6: Leichtes Scharnierteil mit initiiertem Sickenwachstum (nach /FRE 95/) a) Ansicht von oben b) Ansicht von unten Probleme mit der Vorgabe Volumen- oder Materialkonstanz werden heute mit dem Fachtermini Topologieoptimierung bezeichnet. Das Merkmal hierbei ist, eine konstante Materialmenge so umzuschichten, dass alle Restriktionen eingehalten werden.

306

14 Grundregeln der FEM-Anwendung Im Nachgang zu den bisherigen theoretischen Darlegungen zur FE-Methode sollen abschließend einige Grundprinzipien der Anwendung diskutiert werden, deren Nichtbeachtung entweder zu Fehlern oder unnötigem Nachbesserungsaufwand führt. Da in der Praxis die Anwendungsgesichtspunkte und damit Probleme naturgemäß sehr vielschichtig sind, können die folgenden Ausführungen nur als Erfahrungsquerschnitt /KLE 94b/ verstanden werden.

14.1 Fehlerquellen Die FE-Methode ist als ingenieurmäßiges Werkzeug natürlich auch fehlerbehaftet, oder überall dort, wo Menschen einen Ablauf steuern, können sich Fehler einstellen. Mit dem Bewusstwerden dieser Unwägbarkeit muss auch die Sensibilität gegenüber möglichen Fehlerquellen wachsen. Im Bild 14.1 ist eine Übersicht (s. auch /DEG 02/) gegeben, die die Hauptursachen zusammenfasst. In der Verantwortung des Berechnungsingenieurs fällt somit, die erforderlichen Schritte mit der angemessenen Sorgfalt durchzuführen.

Anwender falsche Idealisierung schlechte Elemente verletzte Kompatibilität ungenaue Materialdaten

x

x

x

falsche Randbedingungen schlechtes Lösungsverfahren zu grobes Konvergenzkriterium

x

falsche Selektion

x

PreProcessing

x x x x

Lösungsverfahren

PostProcessing

Programm-Handhabung

x

x x

x x x x x

schlechte Vernetzung schlechte Elementformulierung keine Warnungen (Elementcheck) zu ungenauer Gleichungslöser ungenaue Rückrechnung keine Warnungen falsche Mittelung falsche Darstellung keine Warnungen

Bild 14.1: Fehlerquellen bei FE-Analyse (siehe auch Checkliste auf S. 375)

Trotz der Kumulierung von Fehlern /HAR 85/ ist die FEM mit ca. 7-10 % Abweichung vom realen Verhalten (wenn die exakte Lösung bekannt ist) eines der genausten Berechnungsverfahren. Ihre Stärke liegt in der flexiblen Anpassbarkeit an reale Gegebenheiten und der Variabilität bezüglich Änderungen. Wird FEM gezielt in Produktentwicklungsprozesse eingesetzt, so fordern die üblichen Qualitätsstandards (ISO 9001, QS-9000, VDA 6.1, bzw. ISO/TS 16949) eine Validierung und Verifizierung dieser Dienstleistung. Dies setzt voraus, dass mit analytischen Abschätzungen die Richtigkeit einer FEM nachgewiesen werden kann.

14.2 Elementierung und Vernetzung

307

14.2 Elementierung und Vernetzung Zum Problemkreis der Elementierung soll hier die problemspezifische Auswahl der Elementtypen aus einer Programmbibliothek, die Vernetzungsregeln und die Gruppenbildungstechnik gezählt werden, mit denen wir uns nacheinander befassen wollen. Auf die erste Hürde bei der Aufbereitung eines FEM-Modells stößt man bei der Wahl der Elementtypen, mit denen eine Struktur oder ein Bauteil nachzubilden ist. Innerhalb der Theorie unterscheidet man sieben Grundelemente, die in der Regel auch in FE-Programmen verfügbar sind. Aufgabe des Anwenders ist es dann, hieraus auszuwählen und gegebenenfalls verschiedene Elemente zu kombinieren. Damit sind im Wesentlichen zwei Fehlerquellen verbunden:  Durch die Elementierung wird der tatsächlich vorliegende Verformungs- und Spannungszustand nicht richtig wiedergegeben. oder  Bei einer von der Bauteilgeometrie bzw. dem Tragverhalten erzwungenen Kombination von Elementen wird gegen den Grundsatz der Verträglichkeit bei den mechanischen Knotenfreiheitsgraden verstoßen. Diese Bedingungen sollen nun einmal exemplarisch diskutiert werden. Für die praktische Anwendung gibt es im Prinzip eine einfache Regel, die folgendermaßen zu handhaben ist: Stahlbaustrukturen oder Wellensysteme sollten mit stabartigen Elementen (Stab, Balken), dünnwandige Bauteile sollten durch ebene Elemente (Scheibe, Platte, Schale) und x dickwandige Bauteile durch volumetrische Elemente (Volumina, Kreisring-Elemente) x x

nachgebildet werden. Die marktverbreiteten kommerziellen FEM-Systeme bieten alle eine relativ große Auswahl an Elementen unterschiedlichster Knotenanzahl und Geometrie an, sodass die Realität fast immer recht gut abgebildet werden kann. Im Bild 14.2 ist noch einmal eine überblickartige Zusammenstellung über die wichtigsten Grundelemente gegeben. Angetragen sind jeweils die Knotenverschiebungen und die zugehörigen Knotenkräfte infolge der äußeren Belastung. Am STAB- und SCHALEN-Element sind jeweils durch Strichierung noch die beiden fiktiven Freiheitsgrade markiert. Besonders zu beachten ist, ob bei Elementen „Schubweichheit“ eine Rolle spielt. Bei kurzen Balken müssen dann Timoshenko-Elemente und bei dicken Schalen Reissner-MindlinElemente herangezogen werden.

14 Grundregeln der FEM-Anwendung

308 Stab

Qy2

Balken qz

N2

v1

x

u1

2

Ix

1

Scheibe

u1 z y v1 w1

N31

py

2

\ y1

Platte x

px

y

x u1

z

pz

Ix Iy

Schale

Mxz Myz

w1

Qz

pz py

px

Volumina

N43 N41

N42 v2 Iy

u2 w2

Ix

2

Iz

pz

2

py

2

Kreisring

px

v3

z

pr

2 M y2

\ z1

N32

v1

Mz

x

w1

y

Qy

Qz

Qz2

Px

T2

N2

w3 u3 r

Bild 14.2: Katalog der Grundelemente

w3 u3

14.2 Elementierung und Vernetzung

309

Im Prinzip sind zwischen allen Elementen Verknüpfungen über die Freiheitsgrade herstellbar. Die natürlichen Kombinationen sind jedoch  Stab- mit Balken-Element,  Stab- mit Scheiben-Element,  Balken- mit Platten-Element,  Balken - mit Schalen-Element und  Stab- oder Balken- mit Volumen-Element.

F Balken

Gelenk K

singulär

F

Im Bild 14.3 sind verschiedene Möglichkeiten einer elastischen oder starren Kopplung angedeutet. Der erste Fall führt die Anbindung zu dem Problem, dass ein Gelenk ausgebildet wird. Infolgedessen würde die Gesamtsteifigkeitsmatrix singulär. Dieses Problem kann mit den anderen Anbindungstechniken umgangen werden.

F

Bild 14.3: Knotenkopplung mittels Constraint-Prinzip

Balken

Balken

Alle anderen Sonderverknüpfungen können unter Zuhilfenahme eines starren Kopplungselements (Constraint-Element) erzwungen werden. In den meisten FE-Programmen ist dieses Kopplungselement als versteiftes Balken-Element mit sechs translatorischen Freiheitsgraden abgebildet. Diesbezüglich überträgt das verstarrte Element nur Starrkörperbewegungen von einem Knoten zu einem anderen.

Bei jedem Kopplungselement können die Anzahl und die Art der weiterzuleitenden Freiheitsgrade individuell gesteuert werden. Ein typischer Anwendungsfall für eine derartige Problematik ist im folgenden Bild 14.4 aufgegriffen worden. Hierbei geht es darum, die Spannungskonzentration in bestimmten Sektionen eines Blechs näher zu betrachten. Von der Elementierung her hat man dabei mehrere Möglichkeiten:

310

14 Grundregeln der FEM-Anwendung

1. Man bildet das Blech durchgehend mit Schalen-Elementen nach, womit man aber nur die Möglichkeit hat, die Spannungen entweder auf der Ober- oder Unterseite zu betrachten. 2. Man bildet das Blech durchgehend zweischichtig mit Volumen-Elementen nach. Von Vorteil ist hierbei, dass jetzt die Spannungen an allen Stellen (auch über die Dicke) vorliegen; nachteilig ist jedoch die höhere Anzahl von Knotenfreiheitsgraden und die eingeschränkte Möglichkeit zu variieren. 3. Die wirtschaftlichste Alternative ist im vorliegenden Fall jedoch, ein kombiniertes Schalen-Volumen-Modell aufzubauen, so wie im vorliegenden Beispiel dargestellt. Damit liegt ein Kompromiss zwischen Wirtschaftlichkeit, Genauigkeit und Variabilität des Modells vor.

Bild 14.4: Eingespannte Blattfeder als Kombinationsmodell aus Schalen- und VolumenElementen unter Benutzung von Kopplungselementen

Wie bei der Blattfeder gezeigt, werden in dem Beispiel die Knoten der Schalen-Elemente mit den Knoten der Volumen-Elemente verbunden, welches eigentlich eine unnatürliche Verknüpfung darstellt, da drei Drehfreiheitsgrade überzählig sind. Der Übergang zwischen den Elementen wird je Knotenreihe über drei Constraint-Elemente hergestellt, die nur die translatorischen Freiheitsgrade weitergeben, wodurch die Drehfreiheitsgrade herausfallen. Vergleichsrechnungen zu reinen Schalen- und Volumen-Modellen zeigen in den Spannungsund Verschiebungswerten sehr geringe Unterschiede im Promillebereich, sodass die gewählte Möglichkeit ein praktikabler Weg ist, auf den man bei praktischen Fällen kaum verzichten kann.

14.3 Netzaufbau

311

14.3 Netzaufbau Eng verbunden mit der Elementierung ist der Problemkreis des Netzaufbaus, dem wir uns jedoch auch zuwenden wollen. Diesbezüglich sollen hier angesprochen werden:  die Element-Teilungsregel,  die Partnerregel der Knotenpunkte,  Erfahrungsergebnisse über das Konvergenzverhalten der Elemente,  mögliche Fehlerquellen bei allzu starker Entartung von der Elementgrundgeometrie und  die Ausnutzung der Symmetrie. Jeder der aufgeführten Punkte hat erheblichen Einfluss auf das Ergebnis /N.N. 94/. Eine globale Regel für die Elementteilung ist, dass an vermuteten Spannungskonzentrationsstellen das Netz engmaschig sein sollte, während es an Stellen gleichmäßiger Spannungskonzentration ruhig grob sein darf. Diese Regel kann jedoch durch die Wahl von quadratischen oder kubischen Elementen entschärft werden, die ebenfalls den Effekt einer Genauigkeitserhöhung in einem Gebiet haben. Gedanklich kann man die Analogie herstellen, dass zusätzliche Seitenmittenknoten bei beispielsweise einem Viereck-Element näherungsweise wie eine Viertelung des Gebietes wirken oder bei einem Dreieck-Element einer Drittelung entsprechen. Typische Anwendungen für notwendige Netzverdichtungen stellen in der Praxis Kerbprobleme mit den zu erwartenden Spannungskonzentrationen dar. Der im umseitigen Bild 14.5 gezeigte einfache Kerbstab kann zu diesem Problemkreis als repräsentativer Fall angesehen werden. Das Beispiel ist zudem symmetrisch, weshalb hier nur eine Viertelscheibe betrachtet werden braucht. Vom Netzaufbau her ist es hierbei zweckmäßig, zwei Makros (mesh areas) zu bilden und diese mit abgestimmten Teilern zu vernetzen. Problemkonform wäre in diesem Fall eine von der Kerbe ausgehende logarithmische Elementgrößenteilung, die ein Makro abgestuft von dicht bis grob vernetzt. Um Unterschiede transparent werden zu lassen, wurde das Netz einmal mit einem free meshAlgorithmus durch lineare Dreieck-Elemente und das andere Mal mit einem mapped meshAlgorithmus durch lineare Viereck-Elemente gebildet. Die Dreieck-Elemente wurden dabei teilweise so verzerrt, dass eine Netzkorrektur vorgenommen werden musste. Das manuell gesteuerte Netz mit Viereck-Elementen zeigte bereits von Anfang an eine brauchbare Topologie. Mit den gebildeten Netzen wurde auch eine FE-Berechnung durchgeführt. Die Auswertung und Darstellung der Knotenspannungen zeigen ein deutlich besseres Genauigkeitsverhalten des Viereck-Elements gegenüber dem Dreieck-Element. Damit ist die Erkenntnis aus Kapitel 7.2.6 erneut bestätigt worden. Für praktische Anwendungsfälle mit hohen Genauigkeitsforderungen sollte man daher zumindest quadratische Dreieck-Elemente wählen, während man mit linearen Viereck-Elementen in der Regel gut leben kann. Zu der Vernetzung sei noch die Anmerkung gemacht, dass die meisten Pre-Prozessoren über automatische Vernetzungsgeneratoren mit free-mesh-Algorithmen verfügen. Bei 2-D-Gebie-

14 Grundregeln der FEM-Anwendung

312

ten funktioniert ein derartiger Algorithmus nur mit ebenen Dreieck-Elementen und bei 3-D-Gebieten entsprechend nur mit volumetrischen Tetraeder-Elementen. Meist kann die relative Dimensionalität im Verhältnis zur Größe des Bauteils eingestellt werden, wodurch sich in etwa die Qualität des Ergebnisses steuern lässt. Für bestimmte Anwendungsfälle kann es sein, dass ein derartiges Netz ausreichend oder wie bei Gussteilen nur als free net möglich ist. Eine sinnvolle Anwendung ist vor allem dann gegeben, wenn zu Anfang keine Einschätzung über Spannungskonzentrationen vorliegt, sodass ein zunächst freies Netz hier hilfreich ist, sich an ein gesteuertes hochwertiges Netz heranzutasten.

a)

b)

c)

d)

Bild 14.5: Zuglasche mit Bohrung a) vernetzt mit Dreieck-Scheiben-Elementen, b) zugehörige Spannungsverteilung, c) vernetzt mit Viereck-Scheiben-Elementen, d) zugehörige Spannungsverteilung Ein relativ triviales Vernetzungsprinzip besteht in der Partnerregel für die Knotenpunkte. Diese Regel impliziert die Aussage, dass stets jeder Knoten eines Elements einen Knotenpartner im anschließenden Element finden muss. Ein Netzaufbau, bei dem also Seitenmittenknoten eines Elements nur auf die andere Seite eines anderen Elements stoßen, führt somit

14.3 Netzaufbau

313

zwangsläufig zum ungewollten Klaffen der Struktur. Im Bild 14.6 ist ein hierzu konstruiertes Beispiel dargestellt.

falsch

korrekt

Bild 14.6: Zusammenbau gleichwertiger Elemente nach der Partnerregel für die Knotenpunkte

Die gewählten linearen Reckteck-Scheiben-Elemente können nicht mit quadratischen Dreieck-Scheiben-Elementen gekoppelt werden, weil sich die Seiten geometrisch anders und auch die Elemente numerisch anders verhalten. Es ist insofern einsichtig, dass in einem Netz nur Elemente gleichen (Ansatz)-Typs verwandt werden können. Die zuvor bei der Vernetzung aufgetretene Problematik des erforderlichen Netztrimmens tritt in der Anwendungspraxis immer wieder auf. Viele Generatoren bieten daher eine Routine „model checking“ an, wobei geprüft wird, ob  Knoten doppelt nummeriert sind,  Elemente ausgelassen sind oder  Elemente entartet sind. Am schwierigsten sind hierbei die Elementverzerrungen*) zu beheben, weil damit oft größere Netzkorrekturen verbunden sind, die manuell beseitigt werden müssen. Im umseitigen Bild 14.7 sind einige häufig vorkommende Anomalien zusammengestellt, die gewöhnlich zu Berechnungsfehlern oder zumindest zu nicht akzeptierbaren Ergebnisabweichungen führen. Dies sind im Wesentlichen:  sehr starke Elementverzerrungen, was durch große Unterschiede in den Diagonalen abgeprüft werden kann;  große Unterschiede in den Seitenlängen von Elementen, welches über die Knotenkoordinaten geprüft werden kann;  sehr spitze Winkel in Elementen oder  das Überschreiten von Grenzwinkeln in der Krümmung von Elementen. *)

Anmerkung: Einige Programme verfügen bereits über adaptive Netzoptimierer, die entweder automatisch verdichten oder entzerren können. Dieses Problem ist dominant bei großen Dehnungen (z. B. Umformsimulation).

14 Grundregeln der FEM-Anwendung

314

Es ist dann Aufgabe des Anwenders, diese latenten Fehlerquellen zu erkennen und durch geschickte Eingriffe in die Netztopologie zu beseitigen, wenn es nicht sowieso vom Generator durch Selbstprüfung bemängelt wird.

Element-Check

Bemerkung

1. Verzerrungsprüfung

Diagonalverhältnis: dmin

d

dmax

2. Seitenverhältnisprüfung smax

Seitenverhältnis:

smin

3. Spitzwinkligkeitsprüfung

| 0,4 bis 1,0

smin | 0,5 bis 1,0 smax Winkelrestriktion: Dmin ~ > 10°

Dmin 4. Überkrümmungsprüfung

Winkelrestriktion:

n D d Dgrenz | 45° Dgrenz

Bild 14.7: Typische Elementanomalien

14.4 Bandbreiten-Optimierung Bei der vorausgegangenen Diskussion der Lösungsverfahren für die finiten Gleichungen ist schon die Bedeutung der Besetzung der Systemmatrizen K und M deutlich geworden, da hierdurch der Speicherbedarf und der Rechenaufwand bestimmt werden. Insofern ist es

14.4 Bandbreiten-Optimierung

315

wichtig, für ein Netz eine optimale Nummerierung zu finden, weil hierdurch die so genannte Bandbreite minimiert wird. Zielsetzung ist es somit, Matrizen möglichst ohne Nullelemente abzuspeichern, wodurch auch große Matrizen in den Hauptspeicher geladen werden können. Ansonsten müssten die Systemmatrizen immer wieder in den Hintergrundspeicher ausgelagert werden, wodurch unnötig lange Bearbeitungszeiten /KANN 77/ entstünden.

m

k =2

Bandbreiten-Optimierungsalgorithmen gehören mittlerweile zum normalen Leistungsumfang jeden FE-Programms. Da die Algorithmen größtenteils heuristischen Ursprungs sind, werden oft mehrere Algorithmen angeboten, die in der Regel jedoch unterschiedlich erfolgreich sind.

K=

3

2

1

0

0

2

4

3

0

0

1

3

5

1

2

0

0

1

2

0

0

0

2

0

6

Bevor die Algorithmen kurz diskutiert werden sollen, gilt es, zunächst die Bandbreite und das Speicherverfahren darzulegen. Als Beispiel mag dazu die im Bild 14.8 konstruierte Steifigkeitsmatrix mit typischer Bandstruktur dienen.

Bild 14.8: Steifigkeitsmatrix mit der Bandbreite 2 mK  1 5

Ganz allgemein hat eine Matrix Bandstruktur, wenn alle ihre Elemente jenseits von zwei symmetrischen, durch die Bandbreite festgelegte Konturen verschwinden. Wenn K symmetrisch ist, kann dieses Verhalten auch durch k ij

0, für j ! i  m K

beschrieben werden. Die Bandbreite ist dann 2 m K  1 und 2 m K die Zahl der besetzten Nebendiagonalen in K.

Für die Abspeicherung der Originalmatrix benutzt man in der Regel ein eindimensionales Feld A

k ij ,

in das nur die oberste Hälfte von K präsentgehalten wird. Die Nullelemente außerhalb der Kontur sind dabei entfernt worden. Das Speicherschema hierzu zeigt das Bild 14.9. Bezeichnet man jetzt mit m i die Zeilennummer des ersten nicht verschwindenden Elements in der Spalte i, so beschreibt die Variable m i , i = 1, n die Kontur der Matrix, entsprechend weist die Variable i  m i die Spaltenhöhe aus. Außer dem Feld A wird noch der Vektor AMAX (I) gespeichert, der insbesondere noch einmal die Diagonalelemente von K bereithält. Damit ist eine direkte Zuordnung von Speicherplatz zu Originalmatrix gegeben.

14 Grundregeln der FEM-Anwendung

316 Kontur

mk=3

a) k11

k12

0

k14

0

0

0

0

k22

k23

0

0

0

0

0

k33

k34

0

k36

0

0

k44

k45

k46

0

0

k55

k56

0

k58

k66

k67

0

k77

k78

K= symmetrisch

m6 = 3

k88 b)

A(1) = k11, A(2) = k22, A(3) = k12,

A(21) speichert k58

A(4) = k33, A(5) = k23, A(6) = k44, A(7) = k34, A(8) = 0, .... etc. c)

A=

A(1) A(3) A(9) A(2) A(5) A(8) A(15) A(4) A(7) A(6) A(11) A(14) ; A MAX = A(21) A(10) A(13) A(12) A(17) A(20) A(16) A(19) A(18)

1 2 4 6 10 12 16 18 22

Bild 14.9: Speicherschema für die EDV-gerechte Matrizenverarbeitung a) typische Steifigkeitsmatrix b) Umsortierung in ein eindimensionales Feld c) Zuordnung zwischen Speicherfeld und Ursprungsmatrix

Um die Bandbreite einer Matrix klein zu halten, müssen alle Koeffizienten die ungleich null sind zur Hauptdiagonalen hingeschoben und alle Nullelemente von der Hauptdiagonalen weggeschoben werden. Diesen Effekt erreicht man durch eine entsprechende Knotenpunktnummerierung. Man kann dazu sicherlich auch manuelle Strategien nutzen, hierbei gilt die oberste Regel, dass der Nummernsprung in einem Element möglichst klein sein soll. Unter Berücksichtigung dieser Regel soll sich die Nummerierung von Gebieten immer in die Richtung erstrecken, wo die geringere Anzahl von Elementen gebildet wird. Wie auch das folgende Bild 14.10 zeigt, ist diese Vorgehensweise schlichtweg am effektivsten, da sich dadurch die geringste Bandbreite einstellt.

14.4 Bandbreiten-Optimierung

36 55

59

37

33

11

21

5

48

38

26

30

42

20

41

39

51

17

4

40

76

66 43

8 67

25 75

14 65

63

6 73

24 68

9 50

70 31

15 34

64

29 32

16 61

79

78

52 74

12 77

69

49

71

23 60

44

57

3 45

72

19 53

58

22 62

47

27

28 56

10 46

35 54

18

z

7

13

1

y

317

2

x

Modellgebiet: - 4 x 5 Schalenelemente, - 79 Knoten

Maximale Bandbreite

Mittlere Bandbreite

Ausgangszustand Sloan Gibbs-King Gibbs-Poole-Stockmeyer

74 29 26 27

35 10 11 12

2794 858 884 998

Sortierung nach aufsteigendem y

17

12

996

20

14

1146

y x

4 3 2 1

Profile

8 7 6 5

Sortierung nach aufsteigendem x 5 6 7 8

y

1 2 3 4 x

Bild 14.10: Testbeispiel für Bandbreiten- und Profilnummerierung

Ein derartiges Vorgehen ist unter dem rechnerunterstützten Gesichtspunkt natürlich nicht wirtschaftlich, weshalb einige automatische Algorithmen /SCH 80/ entwickelt worden sind, wie beispielsweise die von Rosen, Cuthill-McKee, Sloan, Gibbs-King, Gibbs-Poole-Stockmeyer usw. Diese Algorithmen arbeiten alle nach mehr oder weniger intuitiven Prinzipien und liefern daher nicht mit Sicherheit die optimale Nummerierung mit der minimal möglichen Bandbreite der zugehörigen Matrizen.

318

14 Grundregeln der FEM-Anwendung

Der Grundalgorithmus einer einfachen Koeffizientenvertauschung, welches äquivalent einer Knotennummerierung ist, geht auf Rosen zurück. Obwohl das Verfahren einsichtig und einfach ist, bereitet es Probleme bei sehr großen Matrizen und bei einer ungünstigen Ausgangsnummerierung. Hiergegen benutzt der Cuthill-McKee-Algorithmus einen vier- oder fünfseitigen Graphen, der über das zu nummerierende Gebiet aufgespannt wird und vertauscht darin die Knotennummern solange, bis innerhalb eines Graphen die Differenz der Knotennummern minimal ist. Bei dieser Abstimmung werden auch die angrenzenden Graphen mit berücksichtigt. Die ansonsten noch angegebenen Verfahren stellen im Kern nur Abwandlungen des CMK-Algorithmus dar und sollen daher ohne nähere Erläuterung angegeben werden. Um nun die Wirksamkeit einer Bandbreitenreduzierung ausweisen zu können, ist im vorstehenden Bild ein Gebiet mit einer bewusst ungünstigen Nummerierung erzeugt worden. Man erkennt an der Auswertung, dass alle Verfahren die Bandbreite der Steifigkeitsmatrix deutlich reduzieren. Im Grunde genommen ist jedoch die Bandbreite nicht das alleinige Kriterium für einen geringen Speicherbedarf und geringe Rechenzeit, sondern hierbei ist auch das numerische Rechenverfahren für die Gleichungslösung mitentscheidend. Wird insbesondere das Gleichungslösungsverfahren von Cholesky benutzt, so ist das Profil der Steifigkeitsmatrix gleich wichtig. Mit Profil wird dabei die effektiv benötigte Anzahl von Koeffizienten bezeichnet, die für die Gleichungslösung unbedingt erforderlich sind. Bandbreite und Profil hängen natürlich unmittelbar zusammen, sodass durch eine Umnummerierung beides beeinflusst wird.

14.5 Genauigkeit der Ergebnisse Zum Einstieg in das Manuskript wurde ausgeführt, dass die Methode der finiten Elemente heute als das leistungsfähigste numerische Verfahren des Ingenieurwesens gilt. In der Tat ist es auch so, dass bei richtiger Modellbildung und abgestimmten Eingangsdaten eine sehr gute Übereinstimmung der theoretischen Ergebnisse mit überprüfenden Experimenten erzielt werden konnte. So war es beispielsweise am Fachgebiet für Leichtbau-Konstruktion an der Universität Kassel möglich, statisch belastete Strukturen mit etwa 7 % Abweichung zu DMS-Messungen hinsichtlich der Spannungsverteilung zu analysieren oder ein Eigenfrequenzspektrum bis auf 5 % Abweichung zu entsprechenden Resonanzprüfungen zu ermitteln. Dies bedarf natürlich einer sorgfältigen Arbeitsweise und einer dezidierten Abstimmung bezüglich  der Feinheit des Netzes,  der gewählten Elementtypen,  des Werkstoffverhaltens und der Werkstoffdaten sowie  der numerischen Genauigkeit der Rechnung.

Auf die ersten beiden Aspekte ist zuvor schon eingegangen worden, sodass wir diese Aussage nur noch durch eine Bemerkung bezüglich der Netzfeinheit ergänzen wollen. Hierzu beziehen wir uns auf die Konvergenzbetrachtungen der vorstehenden Kapitel, aus denen unter anderem die Erkenntnisse abzuleiten sind, dass man bei Zugrundelegung eines bestimmten Netzes nie den Abstand zum exakten Ergebnis weiß. Einige Programmsysteme

14.6 Qualitätssicherung

319

bieten daher die Möglichkeit, quasi auf Knopfdruck ein Netz doppelt so fein zu machen. Stellt man dann bei einer erneuten Rechnung fest, dass es nur noch geringere Änderungen zur vorausgegangenen Rechnung gibt, so kann man das erste Ergebnis quasi als ausreichende Näherung ansehen. Dass ein derartiges Vorgehen praktizierbar ist, belegt unter anderem die Tatsache, dass sich die Rechenleistung der Supermikro-Rechner in den letzten 3 Jahren mehr als verzehnfacht hat. Einen weiteren Ansatzpunkt für ein gutes Ergebnis ergibt sich auch in der programmtechnischen Möglichkeit, ein Gleichungssystem doppelt genau zu lösen. Die Programmsysteme, die diese Verhaltensweise zeigen, bezeichnet man als so genannte hVersionen, womit zum Ausdruck gebracht wird, dass die Ergebnisgüte eine Funktion des relevanten Elementdurchmessers h ist. Gänzlich anderes Verhalten zeigen hingegen Programme der so genannten p-Versionen (z. B. PROBE /N.N. 94/), die den Polynomgrad p der Ansatzfunktion als variabel ansetzen. Bei einer gleich feinen Elementteilung können also mit einer p-Version mehr Freiheitsgrade in einem Gebiet untergebracht werden und somit ein aussagefähigeres Ergebnis erzielt werden. Zum Konvergenzverhalten sei noch angemerkt, dass unter Benutzung beschränkter verträglicher Verschiebungszustände die gefundene Lösung für eine Struktur eine wertvolle Grenzeigenschaft besitzt, die in der Überschätzung der Formänderungsenergie besteht:  Für eine gegebene Belastung wird deshalb die berechnete Formänderungsenergie kleiner oder höchstens gleich sein der Formänderungsenergie in der realen Struktur. Dies lässt sich damit erklären, dass die reale Struktur keine Beschränkung hinsichtlich der möglichen Verschiebungen kennt. Die mit der Verschiebungsmethode gefundene Lösung muss somit immer eine untere Schranke für die Verschiebungen darstellen.  Bei vorgeschriebenen Verschiebungen wird die berechnete Formänderungsenergie dagegen eine obere Schranke darstellen, sodass dann die Kräfte immer zu groß bestimmt werden.

Diese unter anderen von Rayleigh für linear elastische Strukturen formulierte Aussage gilt im Wesentlichen auch für nichtlineares Materialverhalten und Temperaturbelastung. Neben den methodischen und numerischen Verbesserungsmöglichkeiten spielen auch noch die Werkstoffdaten eine nicht zu unterschätzende Rolle, da hiermit die Steifigkeit eines Bauteils bestimmt wird. So haben wir vorstehend erkannt, dass bei linear elastischen Rechnungen die Querkontraktionszahl Q und der Elastizitätsmodul E bzw. bei nichtlinearen Rechnungen zusätzlich noch die Fließgrenze R e und bei dynamischen Rechnungen ergänzend noch die Dichte U mit zu den Eingangsgrößen gehören. Bei Verwendung von Standardwerten für diese Größen muss man sich natürlich auch über die statistischen Größen und die damit erzielten Rechnerergebnisse im Klaren sein, die dann nur für eine Werkstoffgruppe gelten. Strebt man hingegen eine Aussage an, die letztlich auch mit einem Experiment in Einklang steht, so ist es notwendig, abgesicherte Materialdaten zu verwenden. Dies soll unter anderem auch das Bild 14.11 verdeutlichen, das beispielsweise Materialkenngrößen verschiedener

14 Grundregeln der FEM-Anwendung

320

Stähle*) aufführt, die im Labor des Fachgebiets Leichtbau-Konstruktion an der Universität Kassel gemessen wurden. Strebt man hingegen eine Aussage an, die letztlich auch mit einem Experiment in Einklang steht, so ist es notwendig, abgesicherte Materialdaten zu verwenden. Dies soll unter anderem auch das Bild 14.11 verdeutlichen, das beispielsweise Materialkenngrößen verschiedener Stähle aufführt, die im Labor des Fachgebiets Leichtbau-Konstruktion an der Universität Kassel gemessen wurden.

R eH bzw. R p 0, 2

Q Werkstoffe

E

Rm

>N/mm 2 @

>N/mm @

>N/mm2 @

2

C 22

0,277

328 (min. 240)

499 (min. 430)

205.600 (210.000)

C 45

0,28

496 (min. 340)

708 (min. 620)

197.300 (210.000)

QStE 500

0,315

625 (min. 500)

777 (min. 550-700)

196.300 (210.000)

Bild 14.11: Materialkennwerte einiger Stähle (Vergütungs- und Feinkornstahl) im Vergleich Es fällt hierbei auf, dass die Abweichungen von den bekannten Standardwerten für Stahl

Ȟ



0,3; E 2,1 ˜ 10 5 N/mm 2 teils noch erheblich sind. Damit wird offensichtlich, dass die Materialdaten manchmal eine nicht zu vernachlässigende Fehlergröße darstellen. Resümierend lässt sich feststellen, dass FEM-Ergebnisabweichungen auf systematische Fehler (numerische Fehler, Approximationsfehler) und stochastische Abweichungen (Abmessungsschwankungen, streuende Materialdaten) zurückzuführen sind.

14.6 Qualitätssicherung Mit der Etablierung der FEM als Standardwerkzeug der Produktentwicklung unterliegt auch eine interne oder externe Dienstleistung zunehmend den Maßstäben von Qualitätssicherungsmodellen. Bestreben ist es, die Ausführungsqualität von Berechnungen zu erhöhen, in dem diese nachvollziehbar und überprüfbar gemacht sowie persönliche Verantwortlichkeiten geschaffen werden. In der Industrie wurden dazu die im Bild 14.12 herausgestellten Darlegungsmodelle festgeschrieben.

*)

Anmerkung: Qualitäten nach DIN EN 10 083-1 und DIN EN 10 113

14.6 Qualitätssicherung

321

Qualitätsmodelle

DIN EN ISO 9001:2000

NAFEMS QSS

Produkte Dienstleistungen Prozesse SAFESA strukturierte Vorgehensweise für FEA

Bild 14.12: Industrielle Qualitätssicherungsmodelle

Am verbreitetsten ist die DIN EN ISO 9000:2000, welche ein QM-Prozessmodell für entwickelnde und produzierende Unternehmen sowie Dienstleister darlegt. Dies ist ein Organisationsrahmen, der auf die fehlerfreie Erbringung aller Arbeitsschritte ausgerichtet ist. Durch eine Zertifizierung müssen die Unternehmen nachweisen, dass sie dieses Qualitätsmodell (Prozessorganisation, QM-Handbuch) aufrechterhalten und tatsächlich leben. Parallel dazu wurde mit NAFEMS QSS (Quality System Supplement to ISO 9001) ein Standard mit alleiniger Ausrichtung auf FEM-Dienstleistungen geschaffen. Die Erweiterung umfasst insbesondere Forderungen an die Personalqualifikation, Software und die Risikokategorie des Produktes. Hiernach muss ein FEM-Berechner über ausreichende Berufserfahrungen verfügen, Produktverständnis und Fachkenntnisse in der FE-Methode sowie der Numerik der Algorithmen aufweisen. Weiterhin muss ein Berechnungsprojekt strukturiert geplant werden und über die Stufen Modellierung, Berechnung und Ergebnisinterpretation nachvollziehbar sein. Der ergänzende SAFESA-Standard gipfelt in der Forderung: Keine Freigabe von FE-Ergebnissen ohne Prüfung.“ und „100-%-Prüfung bei sicherheitsrelevanten Bauteilen. Bei „nicht sicherheitsrelevanten Bauteilen“ ist zumindest „die Richtigkeit eines Ergebnisses stichprobenhaft“ abzusichern. Damit sind die künstlerischen Freiheiten von FEBerechnern zurückgeschnitten und die Projektverantwortung in den Mittelpunkt gerückt worden. Eine noch andere Dimension gibt in diesem Zusammenhang das Produkthaftungsgesetz (ProdHaftG) vor, welches den rechtlichen Rahmen für den Berechnungsingenieur schafft. Falls das Versagen eines Bauteils nachweislich auf mangelnde Sorgfalt bei der Berechnung zurückzuführen ist, greift letztlich das gesamte Strafregister vom BGB bis zum StGB.

322

Fallstudien*)

*)

Anmerkung: Die nachfolgenden Fallstudien wurden überwiegend mit dem FE-Programm I-DEAS der Firma EDS bzw. einige ergänzende Rechnungen mit dem System ABAQUS von HKS bearbeitet.

323

Fallstudie 1: zu Kapitel 4 Matrix-Steifigkeitsmethode In der Literaturstelle von Hahn /HAH 75/ ist dargestellt, dass mit einfachen Stab-Elementen sehr schön statisch bestimmte und statisch überbestimmte Fachwerkstrukturen behandelt werden können. Um dies exemplarisch zu untermauern, soll hier die Lösung des so genannten Navier‘schen Problems übernommen werden. Dieses Problem besteht in der Berechnung der freien Knotenverschiebungen des vielfach statisch überbestimmten elastischen Fachwerks von Bild 1.1 unter gegebenen äußeren Kräften. Mit der Lösung haben sich im 17. Jahrhundert viele Mathematiker beschäftigt und sehr komplizierte Lösungswege entwickelt. y F 8y 8

F 8x

L7

L1

H u1 = 0 v1 = 0

L2

u7 = 0 v7 = 0

D2

D1

x 1

H 3

2

H 3

3

H 3

4

5

6

7

H

Bild 1.1: Mehrfach statisch überbestimmte Fachwerkstruktur Alle Stäbe sollen dabei gleichen Querschnitt (A = konst.) haben und aus gleichem Werkstoff (E = konst.) bestehen. Wir wählen die Idealisierung so, dass jeder Stab ein finites Element mit zwei Knoten und jeweils 2 Freiheitsgraden  u i , v i sein soll. Bei acht Knoten erhalten wir so eine 16-x-16-Gesamtsteifigkeitsmatrix.

Da jeder Knoten c bis i unverrückbar gelagert ist, braucht letztlich aber nur eine 2-x-2Matrix >16 x 16  14 x 14 @ invertiert werden, welches im Grunde ein leichtes Unterfangen darstellt, wie die folgende Lösung zeigt.

Fallstudie 1: zu Kapitel 4 Matrix-Steifigkeitsmethode

324 a) Systemgleichung 1

3

2

16

F1x

1

0

F1y

2

0

F2x

3

0

F2y

4

0 .

=

F8x

15

F8y

16

u8

k15 15 k15 16 k16 15 k16 16

v8

(1)

b) Kondensierte Lösungsgleichung 1 F8 x F8 y

2

1 k1515 2 k1615

k1516 k1616

˜

u8

(2)

v8

mit cos 2 D i i 1 Li 7

k1515

E˜A¦

7

cosD i ˜ sinD i Li i 1

E˜A¦

k1516 { k1615

k1616

E˜A 7 ¦ cos 2 D i ˜ sinD i , H i 1

7 sin 2 D i

E ˜A¦

i 1

Li

(3)

E˜A 7 ¦ cosD i ˜ sin 2 D i , H i 1

E˜A 7 ¦ sin 3 D i . H i 1

(4)

(5)

Für die vorgegebenen Kräfte F8 x , F8 y erhalten wir die unbekannten Knotenverschiebungen durch Inversion der abgespaltenen Steifigkeitsmatrix zu u8 v8

k1616 1 k1515 ˜ k1616  k1615 ˜ k1516  k1616

 k1516

k1515

˜

F8 x , F8 y

womit dann auch die Verschiebung des Knotenpunktes j bestimmt ist.

(6)

325

Fallstudie 2: zu Kapitel 5 Konzept der FEM / Allgemeine Vorgehensweise Die Hilfsmittel im Ingenieurwesen entwickeln sich unaufhaltsam zu Computermethoden. Zukünftige Produktentwickler müssen Fertigkeiten und Kenntnisse in der virtuellen Produktentwicklung aufweisen. Virtuelle Produktentwicklung besteht heute schon, wie im Bild 2.1 dargestellt, aus einer leistungsfähigen Methodenkette.

CAE – Computer Aided Engineering K

P CAD

MKS

FEM

OPT

STL

Bild 2.1: Einsatz rechnerunterstützter Methoden (CAE) vom Konzept zum Produkt

In dieser Fallstudie soll allerdings nur der Weg vom CAD-Modell zum FE-Modell bzw. zur FE-Berechnung skizziert werden. Das hierfür benutzte Beispiel sei die Druckplatte eines einfachen Papierlochers. Die erste Stufe vom CAD-Exportfile bis zum FE-Importfile zeigt Bild 2.2. In diesem Fall ist der ganze Locher mit dem CAD-System CATIA V5 konstruiert worden. Als gefährdetes Bauteil wird vom Konstrukteur die Handdruckplatte angesehen, die im Weiteren mit einer FE-Rechnung analysiert werden soll.

Produktentwicklung 1. Das Produkt „Locher“ ist mit CATIA V5 als Volumenmodell entwickelt worden. CATIA V5 ist ein CAD-System der neuen Generation, welches neben der Zeichnungserstellung und Bauteilparametrisierung noch über Optionen verfügt, Produktwissen zu verwalten und bestimmte Anwendungsprozesse (Blechumformung, NC-Bearbeitung, Verkabelung, Toleranzen, einfache lineare FE-Analysen etc.) zu simulieren. 2. Aus dem CAD-Modell kann natürlich ein Bauteil oder auch eine Baugruppe für eine Weiterbearbeitung exportiert werden. Da die Weiterbearbeitung mit einem FEM-System erfolgen soll, muss ein geeigneter Datentransfer vorgenommen werden. Hierzu stehen softwaretechnisch die IGES- und STEP-Schnittelle*) zur Verfügung, die Grafik und Technologie austauschen können. 3. In dem FE-Programm bzw. Pre-Prozessor kommt als Importfile ein Volumenmodell an, welches in unterschiedlicher Weise vernetzt werden kann. Im umseitigen Bild sind die einzelnen Schritte gemacht worden.

*)

Anmerkung: IGES = Initial Graphics Exchange Spezification STEP = Standard for the Exchange of Product Model Data (ISO 10303)

326

Fallstudie 2: zu Kapitel 5 Konzept der FEM / Allgemeine Vorgehensweise

3-D-CAD-Modell

Bauteil „Handdruckplatte“

Step-File

IGES-File

importiertes Volumen

zur Weiterbearbeitung im FEProgramm Bild 2.2: Vom CAD-Modell zum Volumenmodell im Pre-Prozessor

Fallstudie 2: zu Kapitel 5 Konzept der FEM / Allgemeine Vorgehensweise

327

Bauteilanalyse 4. Das Bauteilmodell liegt nun im Pre-Prozessor eines FE-Programms vor und muss für die Berechnung weiter aufbereitet werden. Ein wesentlicher Punkt ist hierbei die Auswahl des Berechnungsmodells. 5. Bei der zu berechnenden Handdruckplatte, die aus einem dünnen Stahlblech gefertigt wurde, bietet sich ein Schalenmodell geradezu an. Wenn also ein Schalenmodell berechnet werden soll, muss in dem vorliegenden Bauteil eine „Midsurface“ gebildet und diese mit der physikalischen Dicke des Teils belegt werden. Gewählt wurden lineare SchalenElemente, die im „free mesh“ vernetzt wurden. 6. In dem anderen Fall ist das importierte Volumenmodell mit parabolischen „TetraederElementen“ modelliert bzw. auch durch „free mesh“ vernetzt worden. Dem TetraederElement liegt ein quadratischer Ansatz zugrunde, der natürlich schneller genauere Ergebnisse ermitteln wird, wie der lineare Schalenansatz. Der Ablauf vom Bauteilmodell über die Stufen Vernetzung und physikalischer Datensatz (F, Q, E, ...) ist im umseitigen Bild 2.3 dargestellt. Die unterschiedliche Vorgehensweise hat natürlich auch Einfluss auf die erzielten Ergebnisse, welches die folgende Tabelle ausweist.

lin. Schalen-Modell

quadr. Volumen-Modell

Anzahl „Knoten“

3.504

18.298

Anzahl „Elemente“

3.349

8.837

max. Spannung

98 %

100 %

max. Durchbiegung

104 %

100 %

1 Sekunde

12 Sekunden

Rechenzeit

Das qualitativ höherwertige Volumenmodell mit fünfmal mehr Knoten als das Schalenmodell wird insgesamt näher an der exakten Lösung des Problems liegen. Den Nachteil erkennt man in der Rechenzeit, wenn man sich sehr große FE-Modelle vorstellt.

328

Fallstudie 2: zu Kapitel 5 Konzept der FEM / Allgemeine Vorgehensweise

Volumenmodell mit kreierter „Midsurface“

Volumenmodell mit „Tetraeder-Elementen“

Schalenmodell mit „Viereck-Schalen-Elementen“

ausgewertete FE-Analyse „Spannungsverlauf“

Bild 2.3: Vom Bauteilmodell zur FE-Analyse

329

Fallstudie 3: zu Kapitel 5 Konzept der FEM / Schiefe Randbedingungen Im Kapitel 5 ist dargelegt worden, dass für die Lösbarkeit einer finiten Gleichung die Randbedingungen eine entscheidende Rolle spielen. Darüber hinaus ist bei Systemen mit beweglichen Auflagern vielfach von Interesse, wie groß die Verschiebungen am Auflager sind. Um die Randbedingungsproblematik noch einmal hervorzuheben, ist im Bild 3.1 eine einfache Fachwerkstruktur mit schiefer Stützung gezeigt. Fy 2

9

4

10

6

8

11

12

Fx 1 y

9

8

1 x

5

3

6

5

7

~y

7 ~x

Bild 3.1: Beispiel mit schiefen Randbedingungen Diese Fachwerkstruktur muss für die Berechnung statisch bestimmt gelagert werden. Da die Auflager im Knoten i und k jedoch nicht in Richtung des globalen Koordinatensystems unterdrückt werden können, müssen für diese beiden Knoten ein eigenes Koordinatensystem eingeführt werden. Im Bild 3.2 ist das entsprechend verformte System dargestellt.

Bild 3.2: Verformtes Fachwerk mit Verschiebungsvektoren Die Verschiebungsvektoren an den schiefen Auflagern verlaufen jetzt in Richtung des gex . drehten Koordinatensystems  ~

330

Fallstudie 4: zu Kapitel 5 Konzept der FEM / Durchdringung Zu einer besonderen Art von Randbedingungen führt die Kontaktproblematik (siehe insbesondere Kapitel 8). Dieser Problemkreis soll ebenfalls anhand eines einfachen Beispiels dargestellt werden. Bild 4.1 zeigt einen Gummi-Faltenbalgen, wie er z. B. zum Schutz von Gelenkwellen zur Anwendung kommt. Auf Grund der Symmetrie wird das Bauteil aus Kreisring-Elementen modelliert und somit auf ein zweidimensionales Berechnungsmodell reduziert. Für die Vermeidung einer räumlichen Überschneidung der Elemente müssen bestimmte Kontaktzonen definiert und bei jedem Rechenschritt iterativ auf Kontakt geprüft werden.

Bild 4.1: Gummi-Faltenbalg

Gängige FE-Programme prüfen die Durchdringung der Elemente im Normalfall nicht, da es sich bei dieser Kontrolle um einen sehr aufwändigen und rechenintensiven Prozess handelt, der die reine Rechenzeit um einiges vervielfachen würde. Die exemplarische Auswertung dieser Problemstellung ist im Bild 4.2 aufbereitet worden. Man erkennt zunächst am Deformationsverhalten, wie sich das obere Bauteil auf das untere Bauteil abstützt und welche Verformungen dabei entstehen. Des Weiteren zeigt der Spannungsplot, wie die eingeleitete Flächenlast durch die Körper auf die Auflage abgeleitet wird. Im unteren Teil des Bildes 4.2 ist dasselbe Modell ohne vorherige Definition von Kontaktbedingungen dargestellt, welches zu einem sinnlosen Ergebnis führt.

Fallstudie 4: zu Kapitel 5 Konzept der FEM / Durchdringung a)

331

9.57E+01 7.38E+01 5.27E+01 4.13E+01 3.17E+01 2.41E+01 1.74E+01 1.17E+01 5.95E+00 3.09E+00 2.25E-01

b)

Bild 4.2: Kreisring-Elemente des Faltenbalgs a) mit Kontaktbedingungen, b) ohne Kontaktbedingungen

332

Fallstudie 5: zu Kapitel 7 Anwendung von Schalen-Elementen Wie schon an verschiedenen Stellen erwähnt, ist es sinnvoll und zweckmäßig, dünnwandige Bauteile mit finiten Schalen-Elementen zu modellieren. Ein schönes Beispiel für eine derartige Anwendung ist die im Bild 5.1 gezeigte Flanschverbindung für einen Druckkessel.

Netz 5

pi

Netz 4 (Schrauben)

100 bar

Netz 2 (Deckel) Netz 1 (Rohrstutzen)

Netz 3 (Dichtung)

Bild 5.1: Beanspruchte Flanschverbindung Die Vorgeschichte dieses Problems war, dass der Flansch im Betrieb bei einem bestimmten Spitzenwert des Innendrucks leckte, welches Kunden regelmäßig reklamierten. Eine Möglichkeit, dies zu beheben, ist, die Flanschverbindung zu versteifen. Ohne Änderungen am Kessen kann Steifigkeit nur durch eine „Hinterfütterung“ der Deckelverschraubung erzeugt werden. Um diesen Effekt zu erzielen, wurde eine geteilte Hinterlegscheibe konstruiert, die eine ausreichende Versteifung bringen müsste. Um hier sicherzugehen, sollte dies mit einer FE-Simulation untermauert werden. Das nachfolgende Bild 5.2 zeigt das im Pre-Prozessor erstellte Modell, welches aus vier Einzelnetzen besteht. Da das Objekt völlig symmetrisch ist, reicht für die Analyse ein Viertelflansch aus. Rohrstutzen, Deckel und Hinterlegscheibe sind im free mesh mit linearen Schalen-Elementen abgebildet. Für die Dichtung wurde hingegen ein Volumenmodell*) aus linearen Quader-Elementen gewählt. Die Dichtung besteht aus einer Gummi-Metallstruktur, für die hier ebenfalls lineares Materialverhalten vorausgesetzt sei, da die Dichtung nur mit ca. 0,2-0,3 mm verpresst wird. Im ganzen Dichtbereich wird weiterhin „Kontakt“ angenommen. Für die Verschraubung werden elastische Balken-Elemente, die entsprechend vorgespannt werden können, gewählt.

Fallstudie 5: zu Kapitel 7 Anwendung von Schalen-Elementen

333

Hinterlegscheibe Dichtung

Rohrstutzen

Deckel

Bild 5.2: FE-Modell der Flanschverbindung

Die Auswertung der FE-Analyse zeigt das weitere Bild 5.3 anhand von Spannungsauswertungen (Vergleichsspannung nach von Mises). Insgesamt sind die hier auftretenden Spannungen in einem zulässigen Bereich. Es treten leichte Spannungskonzentrationen um die Schraubenlöcher auf, die aber regelmäßig durch Setzen abgebaut werden.

8.91E+05 8.46E+05 8.02E+05 7.57E+05 7.13E+05 6.69E+05 6.24E+05 5.80E+05 5.35E+05 4.91E+05 4.46E+05 4.02E+05 3.57E+05 3.13E+05 2.68E+05 2.24E+05 1.79E+05 1.35E+05 9.04E+04 4.59E+04 1.47E+03

Bild 5.3: Spannungsanalyse am Flansch und an der Dichtung (Angabe in m N/mm 2 )

334

Fallstudie 5: zu Kapitel 7 Anwendung von Schalen-Elementen

An der Dichtung im Bild 5.4 sieht man einen leichten Einzugseffekt, der durch die simulierte Pressung um den Schraubenkopf entsteht. Die angegebenen Spannungen in der Dichtung sind resultierende Betragsspannungen aus Druck und auftretendem Schub.

5.00E+03 4.75E+03 4.50E+03 4.25E+03 4.00E+03 3.75E+03 3.50E+03 3.25E+03 3.00E+03 2.75E+03 2.50E+03 2.25E+03 2.00E+03 1.75E+03 1.50E+03 1.25E+03 1.00E+03 7.50E+02 5.00E+02 2.50E+02 0.00E+00

1.70E-01 1.62E-01 1.53E-01 1.45E-01 1.37E-01 1.29E-01 1.21E-01 1.13E-01 1.05E-01 9.71E-02 8.90E-02 8.10E-02 7.29E-02 6.49E-02 5.68E-02 4.88E-02 4.07E-02 3.27E-02 2.46E-02 1.66E-02 8.50E-03 4.51E-04

Bild 5.4: Resultierende Spannungen in der Dichtung (Angabe in mN/mm)

Weiter sind im Bild 5.5 noch die Deformationen in dem Flanschdeckel bestimmt worden. Diese erreichen eine Größe von 0,17 mm, während die Dichtung bis 0,2 mm abdichtet. Mit der durchgeführten FERechnung ist nun bewiesen, dass die Hinterlegscheibe eine ausreichende Steifigkeit bringt, um zusammen mit der Dichtung das Problem des Leckens auch beim Spitzendruck zu lösen.

Bild 5.5: Verformungsbild des Flansches (Angabe in mm)

335

Fallstudie 6: zu Kapitel 7.5 Anwendung von Volumen-Elementen / Mapped meshing Bei materiellen Körpern spielen die Randbedingungen eine große Rolle. Einfache Auflager (Loslager, Festlager) wie in der Mechanik sind in der Praxis aber relativ selten. Es überwiegen dort Verschraubungen, Klemmungen oder gekoppelte Stützungen, die dann richtig in das Modell eingearbeitet werden müssen. Als ein allgemeiner Randbedingungsfall wird am Beispiel einer aus Volumen-Elementen modellierten Blattfeder der Fall vorgeschriebener Verschiebungen an bestimmten Knotenpunkten einer Struktur dargestellt. Die Theorie dazu ist schon sehr früh im Kapitel 5.3.3 hergeleitet worden. Hiernach kann gemäß den auftretenden Möglichkeiten  unbekannte Verschiebungen ( U unknown ),  bekannte Verschiebungen ( U sup pressed ) und  vorgeschriebene Verschiebungen ( U prescribed ) eine finite Systemgleichung wie folgt partitioniert werden:

ª K uu « « K su «¬ K pu

K us K ss K ps

K up º ª U u º » « » K sp » ˜ « U s » K pp »¼ «¬ U p »¼

ª Fu º « » « Fs » . «¬ Fp »¼

(1)

Dies führt zu den drei Einzelgleichungen

K uu ˜ U u  K up ˜ U p

Fu { 0,

K su ˜ U u  K sp ˜ U p

Fs ,

K pu ˜ U u  K pp ˜ U p

Fp { 0.

(2)

Hierin ist zu berücksichtigten, dass

 die bekannten Verschiebungen an den Auflagern U s { 0 sind,  die Reaktionskräfte Fs an den Auflagern auftreten,  es jedoch keine vorgeschriebenen Kräfte gibt, d. h. Fp { 0 ist. Damit können die unbekannten Verschiebungen bestimmt werden zu

Uu

K uu 1 ˜ K up ˜ U p .

(3)

336

Fallstudie 6: zu Kapitel 7.5 Anwendung von Volumen-Elementen / Mapped meshing

Diese unbekannten Verschiebungen werden in der hier betrachteten Problemstellung einer zwangsweise verformten Blattfeder aus Kunststoff angewendet, die in der im Bild 6.1 gezeigten Bauform in einem Messgerät eingebaut wird. Das freie Ende dieser Blattfeder macht dabei einen vorgeschriebenen Weg von ca. 15 mm und speichert potenzielle Energie. Das Federmaterial sei aus POM mit

 einem mittleren E-Modul von E m 2.250 N/mm 2 ,  einer Streckgrenze von R H 70 N/mm 2 und  einer Querkontraktion von Q = 0,32. Die linear elastische FEM-Analyse zeigt, dass bei den vorgegebenen Verhältnissen die maximal in den Randzonen der Blattfeder auftretenden Zug- bzw. Druckspannungen 26,2 N/mm 2 betragen. Der Materialwert R eH für die Streckgrenze übersteigt diese Spannungen mit einem Sicherheitsfaktor von 2,7. Es ist daher auch bei wiederholter Betätigung nicht mit Relaxation des Materials zu rechnen.

Bild 6.1: Spannungen und Deformation in einer Kunststoff-Blattfeder

337

Fallstudie 7: zu Kapitel 7.5 Anwendung der Volumen-Elemente / Free meshing In dem gezeigten Bild 7.1 ist eine Tretkurbel eines Fahrradkettenantriebes dargestellt, die hinsichtlich des Spannungsverlaufs und der Verformungen analysiert werden soll. Es handelt sich hierbei um ein sehr kompaktes Aluminium-Schmiedeteil, welches einer Torsions- und Biegebeanspruchung unterliegt.

Bild 7.1: Fahrradtretkurbel Um die Geometrie der Freiformflächen möglichst exakt nachbilden zu können, wurden parabolische Tetraeder-Elemente mit Seitenmittenknoten ausgewählt.

Bild 7.2: FE-Netz der Tretkurbel

338

Fallstudie 7: zu Kapitel 7.5 Anwendung der Volumen-Elemente

Diese Elemente werden in modernen FE-Systemen bei automatischen Meshprozeduren, dem so genannten free meshing, üblicherweise verwendet. Für eine realistische Modellbildung der Krafteinleitung war es notwendig, ein Stück des Pedalbolzens zu berücksichtigen. Damit ein möglichst durchschnittliches Fahrerspektrum abgedeckt werden kann, wurde als maximale Fußkraft Fz 1.000 N gewählt. Das erzeugte Drehmoment wird dann über einen Vierkant in das Kettenblatt eingeleitet. Da bei der Analyse nur die Augenblicksstellung der ungünstigsten Krafteinleitung betrachtet wird, kann für die Anbindung an das Vierkantprofil eine feste Einspannung mit u = 0, v = 0 und w = 0 angenommen werden. Unter diesen Vorgaben ist im Bild 7.3 zunächst die elastische Verformbarkeit der Kurbel ausgewertet worden. Es ist erkennbar, dass insbesondere im vorderen Bereich die Knoten translatorisch und rotatorisch ausgelenkt werden. Die Kurbel muss daher eine ausreichende Torsions- und Biegesteifigkeit aufweisen.

Bild 7.3: Deformation der Tretkurbel bei Belastung Im weiteren Interesse ist noch abzuklären, ob die Beanspruchung in der Kurbel zulässig ist. Bild 7.4 zeigt die entsprechende Spannungsauswertung über Isolinien.

Fallstudie 7: zu Kapitel 7.5 Anwendung der Volumen-Elemente

339

Wie zu erwarten war, nehmen die Spannungen zu bzw. verdichten sich an den Randbedingungsstellen. Ausgewertet wurden dabei die Vergleichsspannung

VV





V x 2  V y 2  V z 2  V x V y  V y V z  V x V z  3§¨ W xy 2  W yz 2  W xz 2 ·¸ © ¹

(1)

nach von Mises.

Bild 7.4: Spannungsverteilung in der Tretkurbel bei Belastung Die Spannungen sind aber nicht kritisch, da im Gesenk geschmiedete Al-Legierungen Streckgrenzenwerte von 200-420 N/mm 2 aufweisen.

340

Fallstudie 8: zu Kapitel 9 Dynamische Probleme Die nachfolgend im Bild 8.1 dargestellte Welle wird in einer Kartonagenmaschine zum Schneiden von Pappkartons eingesetzt. Um den Schneidevorgang sauber ausführen zu können, sollen die Eigenfrequenzen und Eigenformen dieser Welle berechnet werden. 40 m T

V m 3r2  t2 12

Ø60

Ø100

Ø120 Ø600

Ø80

x

Ø60

y

E U 250

350

100 1300

200

2,1 ˜ 106 N/mm 2 7,81 kg/dm 3 400

Bild 8.1: Schneidwelle für Kartonagenmaschine Wie im Kapitel 9.4 dazu ausgeführt worden ist, gilt es in diesem Fall, das Eigenschwingungsproblem

M˜Ü K˜U

0

(1)

der Biegung zu lösen. Die Dämpfung ist hierbei vernachlässigt worden, da keine sinnvollen Werte ermittelbar sind. Für die Idealisierung wählen wir zweckmäßigerweise 2-D-Balken-Elemente. Des Weiteren bauen wir das Schneidenblatt mit seiner Masse und seinem Massenträgheitsmoment, so wie im Kapitel 9.2.2 gezeigt, an den entsprechenden Knoten der darunter liegenden Balken-Elemente ein. Das so aufbereitete System ist dann mit dem FEM-Paket I-DEAS mithilfe des Lanczos-Algorithmus dynamisch durchgerechnet worden. Bei diesem Berechnungsverfahren müssen, im Gegensatz zu weniger effektiven Lösungsverfahren, keine möglichen Vorzugsrichtungen vordefiniert werden. Das Programm untersucht das ganze FE-Modell selbstständig auf alle vorkommenden Eigenformen. Dadurch ist gewährleistet, dass keine Eigenfrequenzen bzw. deren zugehörige Eigenformen vom Bediener übersehen werden.

Fallstudie 8: zu Kapitel 9 Dynamische Probleme

341

Die Eigenfrequenzen konnten so gefunden werden zu: 66,34 s 1

#

n1

Z 2 250,95 s 1

#

n2

15057

1 / min

Z 3 568,35 s 1

#

n3

34101

1 / min

Z 4 781,87 s 1

#

n4

46912,2 1 / min

Z 5 817,16 s 1

#

n5

49029,6 1 / min

Z1

3980,4 1 / min

Wir wissen, dass man ein Maschinenelement nie mit seinen Eigenfrequenzen anregen sollte, da es so zerstört würde. Um also die zulässigen Betriebsbereiche vor Augen zu haben, zeichnen wir uns das Frequenzband auf. Hierin ist sofort zu erkennen, welche Betriebszustände möglich sind, welche Eigenfrequenzen dazu durchfahren werden müssen und wie der Abstand zu den nächstliegenden Anregungen ist. Bei den meisten Anwendungen wird die hier betrachtete Welle auf Grund der Höhe der Frequenzen nur in der ersten Eigenfrequenz auf kritische Anregung untersucht werden müssen. Z (s -1) Z1

Z

Z

Z Z

5.000 10.000 15.000 20.000 25.000 30.000 35.000 40.000 45.000 50.000

n1

n2

n3

n4 n5 n (min -1)

Bild 8.2: Frequenzband der Schneidwelle Die sich dabei einstellenden Eigenfrequenzen zeigt das nächste Bild 8.3. Das Messerblatt zum Kartonschneiden befindet sich dabei auf der Knotenposition Nr. 14. Aus den Eigenformen lässt sich dann mit Bezug auf die dazugehörenden Frequenzen eine Aussage über die Qualität der im Betrieb entstehenden Schneidkante machen.

342

Fallstudie 8: zu Kapitel 9 Dynamische Probleme

Mode Number 1: 66,34 Hz

Mode Number 2: 250,95 Hz

Mode Number 3: 568,35 Hz

Mode Number 4: 781,87 Hz

Mode Number 5: 817,16 Hz

Bild 8.3: Erste fünf Eigenschwingungsformen der Schneidwelle

343

Fallstudie 9: zu Kapitel 9.6 Erzwungene Schwingungen Im Folgenden soll eine aus Volumen-Elementen aufgebaute Stimmgabel als repräsentatives Beispiel für eine erzwungene Schwingung behandelt werden. Die Kraft soll durch einen kurzen Schlag auf einen Zinken als Impuls P = 100 N für die Dauer von 1 ms aufgebracht werden. Danach soll die Stimmgabel frei ausschwingen. Mittels einer dynamischen FEMAnalyse wollen wir im Weiteren die Eigenschwingungsformen und das Ausschwingverhalten der Stimmgabel ermitteln. Das Eigenverhalten des Modells erhält man aus der Lösung der homogenen DGL der freien Schwingungen

M˜ÜK˜U

(1)

0

bzw. dem zugehörigen Eigenwertproblem. Die Eigenformen werden mit einer Modalanalyse nach der Block-Lanczos-Methode ermittelt. Die Auswertung wird auf die ersten acht Eigenfrequenzen und Eigenschwingungen beschränkt. Diese sind im Bild 9.1 dargestellt. Die erste Eigenform (x-Richtung) hat eine Eigenfrequenz von 148,96 Hz. Die zweite Eigenform (152,19 Hz) ist orthogonal zur ersten gerichtet. Die dritte Eigenform wird durch Torsion der Zinken gegeneinander erzeugt. Sie tritt mit höherer Frequenz (296,36 Hz) auf. Die weiteren ermittelten Eigenformen basieren auf den ersten dreien, weisen aber höhere Ordnungen auf. In der nächsten Betrachtung bringen wir den Schlag am Ende eines Zinkens in x-Richtung auf und berechnen in Zeitschritten von 0,0001 Sekunden das Schwingungsbild. In der transienten Analyse wird die Folgende inhomogene DGL mit Kraftanregung gelöst:

 K˜U M˜Ü C˜U

P t .

(2)

Der Schlag ist quantifiziert durch Pt0

0

0,

Pt0 d t d t1 1 ms 100 N, Pt ! t1 0. Da Ausschwingen erfolgen soll, berücksichtigen wir noch zusätzlich mit

C

0,0001 ˜ K

(3)

0,01 % Strukturdämpfung. Am Bildschirm beobachten wir, dass vom Zeitpunkt t 0 ausgehend die Stimmgabel in x-Richtung mit der Amplitude u ausgelenkt wird und nach 0,1 s bereits eine deutliche Abnahme der Amplitude festzustellen ist. Hierbei wurde im Wesentlichen die erste Eigenfrequenz angeregt. Der Verlauf der Amplitude am Lastangriffspunkt ist im Bild 9.2 dargestellt.

Fallstudie 9: zu Kapitel 9.6 Erzwungene Schwingungen

344

n1 = 148,96 Hz

y

n 2 = 152,19 Hz

x z

n 3 = 296,39 Hz

Bild 9.1a: Die ersten vier Eigenschwingungsformen der Stimmgabel

n 4 = 312,94 Hz

Fallstudie 9: zu Kapitel 9.6 Erzwungene Schwingungen

345

n 5 = 901,80 Hz

n 7 = 1183 Hz

n 6 = 930,54 Hz

n 8 = 1880 Hz

Bild 9.1b: Die fünfte bis achte Eigenschwingungsform der Stimmgabel

Fallstudie 9: zu Kapitel 9.6 Erzwungene Schwingungen

346

20 15 10

ux (mm)

5 0 -5

0

0,05

0,1

-10 -15 -20 -25 t (s)

Bild 9.2: Zeitverlauf der Amplitude in x-Richtung

0,15

0,2

347

Fallstudie 10: zu Kapitel 10 Materialnichtlinearität In den vorausgegangenen Beispielen sind alle Verformungen und Spannungsverläufe linear elastisch analysiert worden, d. h., es wurde als Berechnungsgrundlage eine lineare Verlängerung des elastischen Bereichs des Spannungs-Dehnungsdiagramms verwendet. Die Problemstellung wird nun dahingehend erweitert, dass ein Material gewählt werden soll, das einem realistischen, nichtlinearen Verlauf des Spannungs-Dehnungs-Diagramms gehorcht. Bei dem in diesem Beispiel betrachteten Bauteil handelt es sich um einen Handgriff für einen Fluggastsitz. Dieser Griff wird einseitig belastet und besteht aus einer MgAl-Gusslegierung und wird im Druckgussverfahren gefertigt. Das Material hat eine Fließgrenze bzw. 0,2-%-Dehngrenze von R p 0, 2

105 N/ mm 2 . Die Fließgrenze liegt also deutlich unterhalb der Zug-

festigkeit von R m 180 N/ mm 2 , sodass ausgeprägtes Fließen des Materials anzunehmen ist. Um Fließen aber programmtechnisch erfassen zu können, muss ein eindeutiger Zusammenhang gegeben sein zwischen den von den Spannungen hervorgerufenen Dehnungen. Zur Beschreibung dieses Zusammenhanges wählen wir das so genannte Ziegler-PragerGesetz.

V (N/mm2)

Die Strukturmechaniker Prager und Ziegler entwickelten in den 50er-Jahren Gesetzmäßigkeiten, mit denen der Vorgang der Verfestigung bei plastischen Umformvorgängen mathematisch beschrieben werden kann, siehe auch Bild 10.1. Mithilfe dieses Gesetzes wird aus der Fließgrenze, der Bruchfestigkeit und der maximalen Bruchdehnung von 5 % ein Materialverhalten, ähnlich dem im Bild 10.1 unter e gezeigten, generiert.

3 2 plastischer Bereich 1

Bild 10.1: Spannungs-Dehnungsgesetz: c ideal-plastisches Verhalten d Verhalten nach Prager e Verbesserung des Prager-Gesetzes nach Ziegler

elastischer Bereich

5,0

0,2 H(%)

Fallstudie 10: zu Kapitel 10 Materialnichtlinearität

348 Die Gesamtdehnung ergibt sich so zu H ges

H el  H pl

(1)

und die elastische Dehnung zu

H el

VF . E

(2)

1.77E+02

1.22E+02

1.59E+02

1.09E+02

1.42E+02

0.92E+02

1.20E+02

0.85E+02

1.06E+02

0.73E+02

0.88E+02

0.61E+02

0.71E+02

4.88E+03

0.53E+02

3.65E+03

3.54E+01

4.43E+03

1.78E+01

1.22E+03

3.35E-02

0.00E+00

300

50

F = 1200 N

240

31

Bild 10.2: Verformungs- und Spannungsdiagramm Handgriff a) linear elastische Berechnung b) materialnichtlineare Berechnung Im Bild 10.2 sind verschiedene Ergebnisse einer linear elastischen und der plastischen Berechnung dargestellt. Die Verformungen bei der plastischen Rechnung sind etwas größer als bei der linear elastischen Rechnung, da die innere Randzone in einem gewissen Bereich wegfließt. Im Weiteren ist die Spannungsauswertung gezeigt. Wie im Kapitel 10 dargelegt, wird die Spannungsverteilung iterativ ermittelt, indem Gleichgewicht zwischen den äußeren Kräften und der inneren Spannungsverteilung gefordert wird. Im ersten Iterationsschritt wird quasi eine linear elastische Rechnung bis zur Fließgrenze durchgeführt und in den weiteren Iterationsschritten mittels einer Überschreitungsrechnung auf der Ziegler-Prager-Kurve Gleichgewicht hergestellt.

Fallstudie 10: zu Kapitel 10 Materialnichtlinearität

349

Eine Gegenüberstellung der Höchstwerte der am Handgriff durchgeführten Rechnungen zeigt noch die folgende Tabelle des Bildes 10.3.



u max mm

V max N/mm 2

linear elastische Analyse

0,74

177

plastische Analyse

2,37

122

FEM-Rechnung



Bild 10.3: Höchstwerte der Deformation und Spannungsverteilung Es ist zu erkennen, dass die Spannung bei zugelassenem Fließen niedriger ist als bei unterstelltem linearem Werkstoffgesetz. Dafür bilden sich aber größere Verformungen aus. Sicher kann aber die plastische Analyse als die realistischere Berechnungsmethode angesehen werden. Insbesondere wenn die angesetzten Belastungen Spannungen im Bauteil erzeugen, die höher als die Fließgrenze des Materials sind, muss für Berechnungen mit hohem Genauigkeitsgrad die Materialnichtlinearität Anwendung finden.

350

Fallstudie 11: zu Kapitel 10.4 Geometrische Nichtlinearität Zum Problemkreis Nichtlinearität ist ausgeführt worden, dass man prinzipiell eine Materialnichtlinearität Eİ und eine geometrische Nichtlinearität (K(U)) zu unterscheiden hat. In Ergänzung zu dem vorstehenden Beispiel soll deshalb an einer Gummidichtung für den Eisenbahnbereich exemplarisch auf große Verformungen eingegangen werden.

Bild 11.1: Gummidichtung im Trägerprofil

Die Abmessungen und die Einbausituation dieser Dichtung zeigt das vorstehende Bild 11.1. Wegen der Symmetrie ist es dabei ausreichend, nur eine Hälfte zu betrachten. Beim Einsatz z. B. als Abdichtung für eine Tür oder Fenster wird die Dichtung um einen definierten Weg zusammengedrückt. Die dabei entstehende Verformung des Bauteils ist zu groß für eine linear elastische Berechnung, da bei hohen Verformungsgraden nicht mehr von der Anfangsgeometrie ausgegangen werden kann, sondern die Verformungen müssen inkrementell aufgebracht werden. So kann in jeder „Teilrechnung“ auf ein aktuelles Netz Bezug genommen werden. Des Weiteren ist noch das Materialgesetz von Gummi zu berücksichtigen. Unter der Voraussetzung, dass Gummi homogen, isotrop und inkompressibel ist, kann hier das Materialgesetz von Mooney-Rivlin /FUN 89/ in der Formänderungsformulierung angesetzt werden: T

p  2 c1 B  2 c 2 B 1 .

Danach ergibt sich der Spannungstensor nach CAUCHY T aus dem hydrostatischen Druckanteil p, dem linken CAUCHY-GREEN Tensor B und den beiden Materialkonstanten c1 und c 2 ,

Fallstudie 11: zu Kap. 10.4 Geometrische Nichtlinearität

die c2

für

das

hier

durchgeführte

Berechnungsbeispiel

351

mit

c1

0,5 N/mm 2

und

2

0,3 N/mm angenommen worden sind.

Das in der Berechnung zu Grunde liegende Modell ist in Bild 11.1 dargestellt. Die Feinheit der Iterationsschritte wird in modernen nichtlinearen Lösern automatisch an die aktuelle Geometrie angepasst. Dazu werden die Ergebnisse z. B. mit einer Energiebilanz auf Konvergenzverhalten untersucht. Bild 11.2a zeigt die Geometrie vor und nach der Berechnung. In Bild 11.2b sind die dabei auftretenden Spannungen dargestellt. a)

b)

Starrkörperweg

Tür

MISES

VALUE 4.70E-03 5.20E-02 9.93E-02 1.46E-01 1.93E-01 2.41E-01 2.88E-01 3.35E-01 3.83E-01 4.30E-01 4.77E-01 5.25E-01 5.72E-01 6.19E-01

Rahmen

Bild 11.2: Situation am Gummiprofil a) Verformung der Gummitürdichtung bei 10 mm Türweg b) Spannungsverteilung in der Türdichtung im deformierten Zustand

Fallstudie 11: zu Kap. 10.4 Geometrische Nichtlinearität

352

Da der Türdichtungsverband für Hochgeschwindigkeitszüge ein Sicherheitsteil darstellt, war es Auflage der abnehmenden Behörden, das Ergebnis zu verifizieren. Bei einfachen Bauteilen ist dies meist mit analytischen Rechenmodellen innerhalb gewisser Schranken möglich. Bei dem vorliegenden nichtlinearen Problem und dem Mooney-Rivlin-Gesetz ist dies nicht einfach möglich, weshalb der Weg über ein Experiment gegangen werden musste. Bild 11.3 zeigt die Auswertung in einer Gegenüberstellung. a)

[N] 200 180 160 140 120 100 80 60 40 20 0

b)

0 1.0 [mm] [N]

2.0

3.0 4.0

5.0 6.0

7.0 8.0

200 180 160 140 1 120 1 2 100 2 80 1 60 2 40 20 1 2 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 [mm]

Bild 11.3: Verifizierung und Validierung eines FE-Ergebnisses a) Versuchsdaten b) FE-Analyse zu zwei Shorehärten Man erkennt eine recht gute Übereinstimmung des FE-Ergebnisses.

9.0 10.0

353

Fallstudie 12: zu Kapitel 11 Wärmeleitungsprobleme Wie bei der einführenden Beschreibung der FE-Methode erwähnt worden ist, lässt sich diese auch auf viele verschiedene Feldprobleme wie z. B. die  Wärmeleitung,  Wärmeübertragung durch Konvektion und  Wärmestrahlung aus der Thermodynamik anwenden. Wir wollen nun zu dieser Problemgruppe als einfaches Beispiel eine Zustandsanalyse eines Kühlkörpers für einen Leistungstransistor im Überlastungsbetrieb betrachten. An den Außenwänden des Kühlkörpers findet dabei Konvektion mit der Wärmeübergangszahl D 20 W/m 2 qC statt. Die Wärmeleitung im Körper beträgt O = 0,45 W/mm °C. Der Wärmeübergang vom Kühlkörper in die Grundplatine ist zu null gesetzt worden.

Bild 12.1: Leistungstransistor am Kühlkörper

354

Fallstudie 12: zu Kapitel 11 Wärmeleitungsprobleme

Die Verlustleistung im Transistor wird im FE-Modell durch eine Wärmequelle mit konstant abgegebener Energiemenge an vier Oberflächenknoten des Kühlkörpers simuliert. Es ergibt sich mit diesen Randbedingungen ein wie im Bild 12.2 dargestellter stationärer Temperaturverlauf im Kühlkörper.

4.65E+02 4.62E+02

4.57E+02

4.52E+02

4.49E+02

4.46E+02 4.44E+02

4.42E+02

4.41E+02

4.39E+02 4.38E+02

Bild 12.2: Stationäre Temperaturverteilung im Kühlkörper Eine Temperatur von 465 °C ist sicher zu hoch für jeden Halbleiter. Sowohl für den Hersteller als auch für den Anwender ist es aber von großem Interesse abzuschätzen, wie lange in dem Transistor die in Wärme umgesetzte elektrische Verlustleistung erzeugt werden kann, bis die für das Halbleitermaterial höchstzulässige Temperatur von 200 °C überschritten und das elektronische Bauteil zerstört wird. Daher ist eine zeitabhängige Erwärmung, wie sie im Bild 12.3 dargestellt ist, zu bestimmen. Zu diesem Zweck ist eine Serie von FE-Rechnungen mit zeitinkrementeller Abstufung durchzuführen. Als berechneter Temperaturwert ist jeweils die Temperatur an den Knoten, an denen die Wärme in den Kühlkörper eingeleitet worden ist, als Referenzwert angenommen worden. Dabei wird jedoch der Rücken des Transistors betrachtet. Die eigentliche Temperatur im Inneren des Halbleiters ist jedoch in Wirklichkeit noch ein wenig höher als in Bild 12.3 dargestellt. Dieses gilt insbesondere bei stufenartig einsetzenden Überlasten, wie sie z. B. im Fall eines Kurzschlusses auftreten würden. Für derartige Fälle wäre es ratsam, den Transistor ebenfalls im FE-Modell mitzumodellieren.

T [°C]

Fallstudie 12: zu Kapitel 11 Wärmeleitungsprobleme

355

500 465 400 300 200 100 20 1 0,8

2

3

4

5

6

7 t [s]

Bild 12.3: Zeitabhängige Erwärmung des Transistors Es ergibt sich somit, dass der Halbleiter maximal 0,8 Sekunden mit der gewählten Überlast betrieben werden kann, bis seine maximale Betriebstemperatur überschritten und die Funktion gefährdet wird. Ein derartiges Erwärmungszeit-Diagramm muss jeweils bei einer anderen Verlustwärme neu erstellt werden.

356

Übungsaufgaben

357

Übungsaufgabe 4.1 Drei starre masselose Balken seien nur in der vertikalen Richtung verschieblich. Sie sind durch ein System von linear elastischen Federn gekoppelt. Für die angegebene Belastung F sind die Verschiebungen der Balken und die Federkräfte zu berechnen.

u0

c1

x u1 c2

c3 c4 c5

u2 F u3

Ergebnis  c 2  c 3  c 4 º ª u1 º ª c1  c 2  c 3  c 4 « » « » c 2  c 3  c 5  c 2  c 3  c5 » ˜ « u 2 » « » « » « c 4  c 5 ¼» ¬« u 3 ¼»  c4  c5 ¬«

ª0º « » «0» « » ¬« F ¼»

358

Übungsaufgabe 5.1 Ermitteln Sie für das dargestellte System aus zwei Stäben die Knotenverschiebungen und die Knotenkräfte!

A2, E2, A 2

A1, E1, A1

F x Gehen Sie dabei schrittweise vor, indem Sie x x x x x

das verwendete Element beschreiben, die Gesamtsteifigkeitsbeziehung mit den eingearbeiteten Randbedingungen erstellen, das reduzierte System nach den unbekannten Verschiebungen auflösen, die Reaktionskräfte berechnen, die Schnittkräfte berechnen.

1

3

2 1

2 1

1

c1

E1 ˜ A1 A1

c2

E2 ˜ A2 A2

2

2

Element-Nr. 1, 2 lokale Knoten-Nr. globale Knoten-Nr.

Ergebnisse Berechnung der Reaktionskräfte: F1

F

Berechnung der Knotenverschiebungen: u2

F , c1

u3

§ 1 1·  ¨ ¸ ˜F © c1 c 2 ¹

Berechnung der Schnittkräfte: S11

F ,

S12

F

F,

S 21

F ,

S 22

F

359

Übungsaufgabe 5.2 Ermitteln Sie für das abgebildete System aus vier Stäben die Knotenverschiebungen und Kräfte im dargestellten Augenblickszustand!

starr F

alle Stäbe E, A, A

x

Gehen Sie dabei schrittweise vor, indem Sie x x x x x x

das verwendete Element beschreiben, die Gesamtsteifigkeitsbeziehung über die Blockaddition erstellen, die Randbedingungen einarbeiten und die reduzierte Beziehung erstellen, das reduzierte System nach den unbekannten Verschiebungen auflösen, die Reaktionskräfte berechnen, die Schnittkräfte berechnen.

1

1

2

1 F

4

3 1

3

2 1

5 4

2

2 1

2

2

Element-Nr. 1, 2 lokale Knoten-Nr. globale Knoten-Nr.

Ergebnisse Berechnung der Knotenverschiebungen:

u4

F 5c

u3

2F 5c

Übungsaufgabe 5.2

360 Berechnung der Reaktionskräfte: F1



2 F 5

F2



2 F 5

F5

1  F 5

Berechnung der Schnittkräfte: 2 F 5

S11



S12

2 F 5

S 21



S22

2 F 5

S31

1 F 5

S32

1  F 5

S 41

1 F 5

S42

1  F 5

2 F 5

361

Übungsaufgabe 5.3 Ermitteln Sie für das dargestellte zweidimensionale Stabsystem aus zwei Stäben die Knotenverschiebungen und Kräfte!

y A2, E2, A

A1, E1, A

45° 45°

x

c1

E1 ˜ A1 l

c2

E2 ˜ A2 l

F



2 1

1 2

F

Gehen Sie dabei schrittweise vor, indem Sie x x x x x x x

die Steifigkeitsbeziehung um die y-Komponente erweitern, die Transformationsmatrix erstellen, die Elemente transformieren, die Gesamtsteifigkeitsbeziehung mit den eingearbeiteten Randbedingungen erstellen, das reduzierte System nach den unbekannten Verschiebungen auflösen, die Reaktionskräfte berechnen, die Schnittkräfte berechnen.

D

3 2 2

1

D 1

2 2 F

1

1

Übungsaufgabe 5.3

362 Ergebnisse

Reaktionskräfte:

Fx1

1 4

Fy1

1 4

Fx 3



Fy3

1 4

1 4

Schnittkräfte:

S11x

1 4

S 21x

1 4

S11y

1 4

S21y



1 4

S12 x



1 4

S22 x



1 4

S12 y



1 4

S 22 y

1 4

363

Übungsaufgabe 5.4 Ermitteln Sie für das dargestellte System aus fünf Stäben die Knotenverschiebungen und Kräfte unter besonderer Berücksichtigung der Symmetrie!

F1

F2

1 ˜ 2 2

1 ˜ 2 2

F1 = 1

1 ˜ 2 2

F2 = 2 E=1 A=2

y

1 ˜ 2 2

1

x

Gehen Sie dabei schrittweise vor, indem Sie x x x x x x x

das verwendete Element beschreiben, die Elementsteifigkeitsmatrizen transformieren, die Gesamtsteifigkeitsmatrix mithilfe der Boole‘schen Matrix erstellen, in die Gesamtsteifigkeitsbeziehung die Randbedingungen einarbeiten, die reduzierte Steifigkeitsbeziehung nach den unbekannten Verschiebungen auflösen, die Reaktionskräfte berechnen, die Schnittkräfte berechnen.

1

4

D

1 1

F1 2

3 2 2 1

3 1

D 2

2

2

D F2 2

Übungsaufgabe 5.4

364 Ergebnisse

Reaktionskräfte:

Fx1



2 3

Fy1

2 3

Fx 4



5 6

Fy 4



S 21



S 21

0

S22

1 3

S22

0

5 6

Schnittkräfte: S11 x



S11y

2 3

2 3

S12 x

2 3

S12 y



2 3

S31x

5 6

S31y

5 6

S32 x



5 6

S32 y



5 6

1 3

365

Übungsaufgabe 5.5 Ermitteln Sie für das dargestellte zweidimensionale Stabsystem aus fünf Stäben die Knotenverschiebungen und Kräfte. Fy Fx y A

x

alle Stäbe E, A A

A

Gehen Sie dabei schrittweise vor, indem Sie x x x x x x x x

die Elementsteifigkeitsmatrix beschreiben, die Elemente transformieren, die Gesamtsteifigkeitsmatrix über die Blockaddition erstellen, die Gesamtsteifigkeitsbeziehung mit den eingearbeiteten Randbedingungen erstellen, das reduzierte System nach den unbekannten Verschiebungen auflösen, die Reaktionskräfte berechnen, die Schnittkräfte berechnen, eine reduzierte Konstruktion erstellen. Fy Fx

3 2 3

1

5

2

1 1

1

2

2 1

2

2

1 1

4

2

4

Übungsaufgabe 5.5

366 Ergebnisse

Reaktionskräfte: F1x

1  Fx  2 2

F1y



F2 x

0

F2 y



F4 x



F4 y

1 Fx  2 2

1



1 Fx  2 2



2 1 1



2

˜ Fy

1 Fx  2 2

1

2 1



˜ Fy



˜ Fy

2 1 1





2 1







2 1

˜ Fy

˜ Fy

Schnittkräfte:

S11

0

S 21x

0

S11

0

S 21y

c ˜ v3

S12

0

S 22 x

0

S12

0

S 22 y

c ˜ v3

S 31x

 u3  v 3 c ˜ 2 12

S 31y

  u3  v 3 c ˜ 2 1 2

S 32 x

u3  v3 c ˜ 2 12

Übungsaufgabe 5.5

367

S 32 y

u3  v3 c ˜ 2 12

S41x

0

S51

u3  v3 c 2 12

S41y

0

S51

 u3  v3 c 2 1 s

S42 x

0

S52

 u3  v3 c 2 12

S42 y

0

S52

u3  v3 c 2 12

368

Übungsaufgabe 5.6 Ermitteln Sie für den dargestellten Balken die Reaktionskräfte und die Biegelinie!

E, I = 1

M=1

y

x z

A
= 1

Gehen Sie dabei schrittweise vor, indem Sie x x x x x x

das Finite-Element-Modell erstellen, die Elementsteifigkeitsmatrix beschreiben, die Gesamtsteifigkeitsbeziehung mit den eingearbeiteten Randbedingungen erstellen, das reduzierte System nach den unbekannten Verschiebungen auflösen, die Reaktionskräfte berechnen, die Biegelinie bestimmen.

M=1 1

Ergebnisse Reaktionskräfte:

F1

M1

F2



3 2

1 2 3 2

1

2

369

Übungsaufgabe 5.7 Bestimmen Sie für den gezeigten Balken die Verschiebungen, die Reaktionskräfte und die Schnittkräfte. Unterteilen Sie den Balken dazu in eine unterschiedliche Zahl von Elementen! q=1 M

y

x E, I = 1 A
= 2

z

Gehen Sie dabei schrittweise vor, indem Sie unter Berücksichtigung der Symmetrie für eine Unterteilung in zwei und drei Elementen folgende Arbeitsschritte durchführen: x x x x x x

die Elementsteifigkeitsmatrix beschreiben, die Belastungen verschmieren, die Gesamtsteifigkeitsbeziehung mit den eingearbeiteten Randbedingungen erstellen, das reduzierte System nach den unbekannten Verschiebungen auflösen, die Schnittgrößen beschreiben, die Schnittgrößenverläufe darstellen.

1. Für zwei Elemente

1

2

1

1

3

2

2 1

2

2. Für drei Elemente

1 1

1

2 2 1

2

3 2 1

4

3

x

2 z

Übungsaufgabe 5.7

370 Ergebnisse  für die unbekannten Verschiebungen für zwei Elemente

u

ª w1 º «M » « 1» «w2 » « » « M2 » « w3 » « » ¬ M3 ¼

ª 0,208 º « 0 » « » « 0,148 » « » « 0,229 » « 0 » « » ¬ 0,333 ¼

und für drei Elemente

u

ª w1 º «M » « 1» «w2 » « » « M2 » « w3 » « » « M3 » «w4 » « » ¬ M4 ¼

ª 0,208 º « 0 » « » « 0,181 » « » « 0,160 » , « 0,105 » « » « 0,283 » « 0 » « » ¬ 0,333 ¼

 der Schnittgrößen für zwei Elemente ª 0, 25 º ª 0,25 º » « » « « » « 1 » «  0,5208 » «  48 » » « »« » « » « «  0,25 » « 0,25 » » « » « « » « 1 » » «¬ 0,395 »¼ « ¬ 48 ¼

F1

ª Q1 º « » « » « M1 » » « « » « Q2 » « » « » «¬ M 2 »¼

F 2

ª 0,75 º ª 0,25 º «  0,3958 3 » «  0,0208 3 » « »« » «  0,75 » « 0,25 » « » « » ¬ 0,0208 3 ¼ ¬ 0,0208 3 ¼

ª 0 º « » « » «  0,5 » « » « » «  0,5 » « » « » «¬ 0,375 »¼

ª 0,5 º «  0,375 » « » « 1 » « » ¬ 0 ¼

Übungsaufgabe 5.7

371

und für drei Elemente

F1

ª  0,1 6 º ª  0,1 6 º » » « « «  0,509»  «  0,00925» «  0,1 6 » « 0,1 6 » » » « « ¬ 0,45 ¼ ¬ 0,00925 ¼

0 ª º «  0,49974» « » «  0,3 3 » « » ¬ 0,44474 ¼

F 2

ª 0,5 º ª 0,1 6 º «  0,454» «  0,00925» » « »« «  0,5 » « 0,1 6 » » « » « ¬ 0,287 ¼ ¬ 0,00925 ¼

ª 0,3 3 º » « «  0,44474» «  0, 6 » » « ¬ 0,2774 ¼

F 3

ª 0,8 3 º ª 0,1 6 º » » « « «  0,287 »  «  0,00925» «  0,8 3 » « 0,1 6 » » » « « ¬0,00925¼ ¬ 0,00925 ¼

ª  0, 6 º » « «  0,27 » « 1 » » « ¬ 0 ¼

372

Übungsaufgabe 5.8 Bestimmen Sie die Verschiebungen bzw. Verdrehungen des dargestellten Systems!

F=1

EI = 1 L1 = 1

M x

EI = 1/3 L2 = 1

z

Gehen Sie bei der Lösung schrittweise vor, und zwar indem Sie  die einzelnen Steifigkeitsmatrizen erstellen,  die Verknüpfung der Elemente über eine Koinzidenztabelle und Boole‘sche Matrix durchführen,  die Gesamtsteifigkeitsmatrix aufstellen und  die Gleichung lösen.

1 1

Ergebnisse

w2

1 4

M 21



M 22

3 8

3 8

1

2

2 2

1

3 2

373

Übungsaufgabe 6.1 Erläutern Sie für ein eindimensionales 2-Knoten-Element veränderlichen Querschnitt die Steifigkeitsmatrix: A(x) = A 0 ˜ e -E ˜ x mit Et0 .

A0 x

L

Gehen Sie dabei schrittweise vor, indem Sie  die einfachste geeignete Ansatzfunktion wählen,  die Bedingungen angeben, die diese Ansatzfunktion erfüllen muss,  die Formfunktion des stabartigen Elements bestimmen und  mit der Formfunktion die Steifigkeitsmatrix berechnen.

Ergebnisse u x

D 0  D1 ˜ x

1

g1 ( x ) ~ k

E ˜ A0 2

L

x L ˜

g2 (x)

x L

1  e ߘL ˜ ª 1 ß

« 1 ¬

 1º 1 »¼

374

Übungsaufgabe 7.1 Ermitteln Sie für die dargestellte Grundplatte eines Hydro-Prüfstandes die größte Durchsenkung! Der Rahmen sei als starr zu betrachten.

x

a

a

y z a

F

k

a

k

Gegeben: a, t, E, F, k, Ȟ

t

k

1 3

Gehen Sie dabei schrittweise vor, indem Sie  die Gleichung für die Gesamtdurchsenkung aufstellen,  die Gleichung für die Durchsenkung der Feder aufstellen,  die Gleichung für die Durchsenkung der Platte (mit den in Kapitel 7 gegebenen Matrizen) aufstellen,  die beiden Gleichungen addieren.

Ergebnis

w max Kraftangriffspunkt

F 4

§1 80 a 2 · ¸ ¨  ¨k ¸ 79 E ˜ t 3 ¹ ©

375

Übungsaufgabe 7.2 Ermitteln Sie für das dargestellte System die kleinste kritische Beullast p

x y z

a p a t

Gegeben: a, t, E, Q

1 3

Gehen Sie dabei schrittweise vor, indem Sie  die Randbedingungen und Freiheitsgrade ermitteln,  die benötigten linearen und nichtlinearen Teilmatrizen aufstellen,  die charakteristische Gleichung entwickeln und  die kritische Beullast berechnen.

Ergebnis

p krit min

3 E ˜ t3 ˜ 2 a2

p krit !

376

Übungsaufgabe 9.1 In einer dynamisch belasteten Tragstruktur tritt der folgende Stab auf. Bestimmen Sie die Eigenfrequenz der Längsschwingung!

L = 1.000 mm E = 70.000 N/mm 2 kg U = 2 ,7 { 2,7 ˜ 10 9 Ns 2 /mm 4 dm 3

Idealisieren Sie einmal in einem und einmal in zwei Elemente(n).

Ergebnisse

Z

8.819,12

Z1

8204

1 s

1 s

Z2

28664

1 s

377

Übungsaufgabe 9.2 Ermitteln Sie für die dargestellte Rakete die erste harmonische Längsfrequenz!

m, c

Gehen Sie dabei schrittweise vor, indem Sie die für Längsfrequenz  die Massen- sowie die Steifigkeitsmatrix erstellen,  die Determinanten bestimmen,  die Gleichung lösen.

Ergebnis

O1

12 c m

O2

0

378

Übungsaufgabe 9.3 Ermitteln Sie bei dem skizzierten Torsionsschwinger die 1. Eigenfrequenz!

JM U, G, Jp, L

Gehen Sie dabei schrittweise vor, indem Sie  die Bewegungsgleichung für die freie ungedämpfte Schwingung aufstellen,  die Randbedingungen einarbeiten,  das Gleichungssystem lösen.

Ergebnis Z

3˜ G ˜ J p L ˜ U ˜ J p ˜ L  3 J M

379

Übungsaufgabe 9.4 Gegeben sei das dargestellte schwingfähige System. Berechnen Sie für dieses System die ersten Eigenfrequenzen!

L

L M x, u z, w

Beachten Sie, dass sich hier die Symmetrie des Modells gut nutzen lässt.

Ergebnis Z1



12 E ˜ J 3

L

˜

1 § 156 U ˜ A ˜ L  M · ¨ ¸ 2¹ © 420

380

Übungsaufgabe 10.4 Der dargestellte Balken ist links fest eingespannt und rechts verschiebbar gelagert. Der Balken erfährt eine gleichmäßige Temperaturerhöhung 'T. Berechnen Sie nach der FEMethode in erster Näherung die ersten beiden „kritischen Temperaturerhöhungen“ 'Tkrit, bei welcher der Balken mit seinen Eigenformen knickt!

E=1 J=1 L=1 D T 102 A= 1

E, A, J  'T 2

1

x z, w

2L

Beachten Sie, dass die erste Eigenform aus einem Stab-Modell und die zweite Eigenform aus einem Balken-Element bestimmt werden kann.

Ergebnisse 1. Eigenform: F A

D ˜ E ˜ 'T , 'Tkrit

2. Eigenform: det K  K N

§ E ˜ Jy det ¨¨ © L3

ª12  18 F 6  1 Fº « 10 » 15 » det « 2 » 1 « «¬ 6  10 F 4  15 F»¼

Fkrit D˜E˜A

F ª 36 3L º · ª 12 6L º «6L 4L2 »  30L «3L 4L2 » ¸¸ ¬ ¼ ¬ ¼¹

0

48 

24 24 12 2 12 1 2 F F F  36  F  F 15 5 75 10 100

F2 

104 F  80 3

0

0

4 4 13  2 31 2, 49, Fkrit ,1 13  2 31 32,18 3 3 Fkrit ,1 Fkrit ,2 2,49 32,18 'Tkrit ,1 249, 'Tkrit ,2 A D T E 10  2 A D T E 10  2

Fkrit ,1









3.218

381

Übungsaufgabe 11.1 Stellen Sie für das gezeigte Kabelstück ein finites „Einelement-Modell“ auf, welches den stationären Zusammenhang zwischen den Wärmeflüssen und der Temperatur wiedergibt!

1 Q

1

dx T1

x ,T

2 L

A

Q2 T2

Gehen Sie dabei schrittweise vor, indem Sie  die eindimensionale Fourier’sche Wärmeleitungsgleichung aufstellen,  den Zusammenhang zwischen der Wärmestromdichte und den Wärmeeinflüssen herstellen und  einen linearen Ansatz benutzen.

Ergebnis O˜A ª 1 L «¬ 1

 1º ª T1 º ˜ 1 »¼ «¬T2 »¼

ª Q1 º «Q » ¬ 2¼

382

Übungsaufgabe 11.2 Ermitteln Sie für das aus Scheiben-Elementen bestehende FE-Modell die Temperaturen an den Knotenpunkten!

3

5

3

2

3

3 3

1 1 1

2 2

1

1

2

2

4

Gegeben:

K W1

K W2

ª 1 1 0 º « 1 2 1» « » «¬ 0 1 1 »¼

K W3

ª 1 0 1º « 0 1 1» « » «¬ 1 1 2 »¼

Knotentemperaturen: 100qC

T1 T4

0qC

T5

0qC

Gehen Sie dabei schrittweise vor, indem Sie    

in Analogie zur Verschiebungsanalyse die Gesamtwärmeleitungsmatrix bestimmen, die Gesamtwärmeleistungsbeziehungen erstellen, das reduzierte System nach den unbekannten Temperaturen auflösen, die Temperaturen an den Knoten d und e berechnen.

Ergebnisse T3

25

T2

37,5

383

Mathematischer Anhang

Mathematischer Anhang

384

Zielsetzung des Anhanges soll es sein, die vorstehenden Darlegungen zur Mathematik und Mechanik, insbesondere für den im Selbststudium lernenden FEM-Interessenten, noch etwas vertiefter darzustellen bzw. über einige Lücken schnell hinwegzuhelfen.

A) Vektoren und Matrizen Die Rechnung mit Vektoren und Matrizen hat in der ganzen MKS- und FEM-Theorie große Bedeutung, weshalb hier einige Grundbeziehungen wiederholt werden sollen. Zunächst existieren in der Vektorrechnung mehrere „Produkte“, die entsprechend richtig ausgerechnet werden müssen: Skalarprodukt zweier Vektoren a ˜ b ˜ cosa, b

a˜b

a x ˜ bx  a y ˜ b y  a z ˜ bz ,

(A1)

Vektorprodukt zweier Vektoren axb

a y ˜ b z  a z ˜ b y ,

a z ˜ bx  a x ˜ bz , a x ˜ by  a y ˜ bx i j

i

j

k

ax

ay

az

ax

ay ,

bx

by

bz

bx

by

(A2)

Spatprodukt (mehrfache Produkte)

a x b ˜ c a, b, c

ax

ay

az

bx cx

by cy

bz cz

(A3)

bzw. das dreifache Vektorprodukt

a x b x c a ˜ c ˜ b  b ˜ c ˜ a .

(A4)

Die Matrizenrechnung wurde etwa 1850 von dem englischen Mathematiker Sylvester entwickelt. Eine Matrix bezeichnet eine rechteckige Anordnung von Größen in m-Zeilen und nSpalten, z. B.

A

ª a11 a12 «a a 22 « 21 « # « ¬ a m1 a m 2

" a1n º " a 2n » ». # » » a m3 " a mn ¼

a13 a 23

(A5)

Dieser Matrix A kann man direkt keinen Wert zuordnen, dagegen können die Elemente a ij

Zahlen, Funktionen oder selbst wieder Matrizen sein.

Mathematischer Anhang

385

Von einer Quadratmatrix kann weiter eine Determinante bildet werden. Dies ist eine Rechenvorschrift, die auf einer Matrix anzuwenden ist, und zwar a11 a12 " a1n a 21 a 22 " a 2 n . # # a n1 a n 2 " a nn

det A

(A6)

Zum Beispiel lautet die Determinante einer 2-x-2-Matrix a11 a12 a 21 a 22

a11 ˜ a 22  a 21 ˜ a12 .

(A7)

Verschwindet die Determinante einer Matrix (det A = 0), so bezeichnet man die Matrix als singulär. Die inverse Matrix A 1 einer nicht-singulären Quadratmatrix A ist definiert durch die Beziehung A 1 ˜ A

A ˜ A 1

I.

(A8)

Mittels der Inversion lässt sich die in der gewöhnlichen Zahlenrechnung definierte Division in die Matrixalgebra übertragen. Zur Demonstration der Inversion soll das folgende lineare Gleichungssystem gegeben sein: a11 ˜ x1  a12 ˜ x 2  a13 ˜ x 3 " a1n ˜ x n a 21 ˜ x1  a 22 ˜ x 2  a 23 ˜ x 3 " a 2 n ˜ x n # a n1 ˜ x1  a n 2 ˜ x 2  a n 3 ˜ x 3 " a nn ˜ x n

y1 , y2 ,

(A9)

yn ,

welches symbolisch in Matrixform geschrieben werden kann:

A˜x

y.

(A10)

Hierbei sei angenommen, dass alle a ij bekannt sind und auch der Vektor y gegeben sei. Die Auflösung nach dem unbekannten x erfolgt wieder aus einer linearen Gleichung heraus, und zwar aus x1 x2

a11 ˜ y1  a12 ˜ y 2  a13 ˜ y 3 " a1n ˜ y n , a 21 ˜ y1  a 22 ˜ y 2  a 23 ˜ y 3 " a 2n ˜ y n ,

#

xn

a n1 ˜ y1  a n 2 ˜ y 2  a n 3 ˜ y 3 " a nn ˜ y n ,

(A11)

Mathematischer Anhang

386 welches ebenfalls symbolisch geschrieben werden kann als x

A 1 ˜ y .

(A12)

Um eine derartige Inversion überschaubar darstellen zu können, soll von folgendem Gleichungssystem ausgegangen werden: ª a11 a12 «a a 22 « 21 ¬« a 31 a 32

a13 º ª x1 º a 23 » ˜ « x 2 » » « » a 33 ¼» ¬« x 3 ¼»

ª y1 º «y » . « 2» ¬« y 3 ¼»

(A13)

Für die Bestimmung der unbekannten x i wählen wir die so genannte Cramer‘sche Regel, die zunächst zu folgender Lösung führt:

x1

y1 y2 y3 a 11 a 21 a 31

a 12 a 13 a 22 a 23 a 32 a 33 , x2 a 12 a 13 a 22 a 23 a 32 a 33

a11 a 21 a 31

y1 a 13 y 2 a 23 y 3 a 33 , x3 det A

a 11 a 12 y1 a 21 a 22 y 2 a 31 a 32 y 3 . det A

(A14)

Im Prinzip sind die auftretenden Determinanten mit der Sarrus’schen Regel (aber nur 3-x-3Matrix) bestimmbar. Hier soll aber kein Sonderfall, sondern die allgemeine Determinantenbestimmung nach dem Laughton-Prinzip*) dargestellt werden. Beliebige Determinanten können somit entweder nach der Spalte oder nach der Zeile /RIE 96/ entwickelt werden. Die Formeln dazu lauten:  j-te Spaltenentwicklung det A

(1)1 j ˜ a1 j ˜ det A1 j  (1) 2  j ˜ a 2 j ˜ det A 2 j  "  (1) n  j ˜ a nj ˜ det A nj

n

¦ (1) i  j ˜ a ij ˜ det A ij , i 1

 i-te Zeilenentwicklung det A

(1) i 1 ˜ a i1 ˜ det A i1  (1) i  2 ˜ a i 2 ˜ det A i 2  "  (1) i  n ˜ a in ˜ det A in

n

¦ (1) i  j ˜ a ij ˜ det A ij . j 1

*)

Anmerkung: Charles Laughton (16. Jahrhundert), englischer Mathematiker, verallgemeinerte die Cramer’sche Regel und das Sarrus-Prinzip.

Mathematischer Anhang

387

Zur Entwicklung der Determinanten nach den Spalten wollen wir hilfsweise noch die Adjunten-Regel benutzen. Man erhält so      ,   

(A15)

die Zählerdeterminanten entsprechend dem nachfolgenden Algorithmus entwickelt werden: y1 a12 a13 y 2 a 22 a 23 y 3 a 32 a 33 a11 y1 a13 a 21 y 2 a 23 a 31 y 3 a 33 a11 a12 y1 a 21 a 22 y 2 a 31 a 32 y 3

 y1

a12 a13 a12 a13 a 22 a 23  y2  y3 a 22 a 23 a 32 a 33 a 32 a 33

 y1

a11 a13 a11 a13 a 21 a 23  y2  y3 . a 21 a 23 a 31 a 33 a 31 a 33

 y1

a11 a12 a11 a12 a 21 a 22  y2  y3 a 21 a 22 a 31 a 32 a 31 a 32

(A16)

Die invertierte Matrix kann so angegeben werden als a 23 a 33

 y2

a12 a 32

a 13 a 33

 y3

a 12 a 22

a 21 a 23 1  y1 a 31 a 33 det A

 y2

a 11 a 13 a 31 a 33

 y3

a 11 a 13 a 21 a 23

 y1

A 1

a 22 a 32

a a 22  y1 21 a 31 a 32

a a 12  y 2 11 a 31 a 32

a 13 a 23 (A17)

a a12  y 3 11 a 21 a 22

mit

a11 detA

a12

a 21 a 22 a 31 a 32

a13

a11

a12

a11 ˜ a 22 ˜ a 33  a12 ˜ a 23 ˜ a 31  a13 ˜ a 21 ˜ a 32

a 23 a 21 a 22  a 31 ˜ a 22 ˜ a13  a 32 ˜ a 23 ˜ a11  a 33 ˜ a 21 ˜ a12 a 33 a 31 a 32 (A18)

In Kapitel 4 ist die Inversion einer 2-x-2-Matrix

A

ª a 11 a 12 º «¬a » 21 a 22 ¼

erforderlich. Wendet man hierauf das vorstehende Prinzip an, so führt dies zu

(A19)

Mathematischer Anhang

388  a 12 º . a 11 »¼

1 ª a 22 a11 ˜ a 22  a 21 ˜ a 12 «¬ a 21

A 1

(A20)

Für Handrechnungen ist das zuvor gezeigte Verfahren recht transparent; in EDV-Programmen wird hingegen meist die Gauß-Jordan-Elimination zur Inversion bevorzugt.

B) Matrizen-Eigenwertproblem Die vorstehend dargestellten Instabilitätsprobleme (7.3.7/10.5) und die Bestimmung der Eigenfrequenzen schwingfähiger Systeme (9.4) führen auf die Lösung des Eigenwertproblems. Macht man zum Beispiel für die Schwingungs-DGL

M˜ÜK˜U

0,

(B1)

den Ansatz

U

x ˜ e iȦ ˜ t

(B2)

mit dem Eigenvektor x und der Eigenfrequenz Z, so führt dies zu dem allgemeinen Matrizen-Eigenwertproblem

 Z2 ˜ M  K x

0.

(B3)

Da es in der Numerik jedoch Standardlöser für das so genannte spezielle Eigenwertproblem gibt, ist zunächst eine Umformung sinnvoll. Mit O als

 OM 1 ˜ M  M 1 ˜ K x

  OI  A x

2

Z kann Gl. (B3) geschrieben werden

0.

(B4)

Im besonderen Fall liegen mit M und K noch positiv definite, symmetrische Matrizen vor. Für die Nutzung der Symmetrie ist dann zweckmäßiger, auf die Massenmatrix eine Dreieckszerlegung anzuwenden. Ausgangsgleichung hierfür ist

 OLt ˜ L  K

0.

(B5) 1

Multipliziert man diese Gleichung mit Lt vor und klammert L aus, so folgt § · t 1 ˜ K ˜ L1 ¸ L ˜ x   OI  A * x* 0 . ¨  OI  L © ¹

(B6)

Die Symmetrieeigenschaft kann so auf A * übertragen werden. Durch verschiedene numerische Verfahren (z. B. Jacobi-Iteration, Vektoriteration nach v. Mises) können im Weiteren die Eigenwerte O i Z i 2 und die Eigenvektoren x * bestimmt werden. Die richtigen Eigenvektoren folgen aus der Rücktransformation

Mathematischer Anhang

x

389

L1 ˜ x * .

(B7)

C) Variationsrechnung Bei der Herleitung der finiten Grundgleichung wurde in Kapitel 3.4.1 von dem Variationsprinzip Gebrauch gemacht und die Variation einer Funktion Gy x eingeführt. Diese ist definiert als Gy

~y  x  y x .

(C1)

Im Gegensatz hierzu ist das Differenzial einer Funktion definiert als dy

y x  dx  y x .

(C2)

Der wesentliche Unterschied ist dabei, dass bei einer Variation die Funktion und bei einer Differenziation das Argument veränderlich ist. Diese Darlegung kann auch aus dem Bild 1/C herausinterpretiert werden.

~ y

y yB

B

dy yA

dx

A

y(x)

xA

x

xB

x

Bild 1/C: Variation und Differenziation einer Funktion

Die Differenziation dy bezeichnet hierin die tatsächliche Änderung von y bei einer Veränderung von x. Demgegenüber bezeichnet die Variation Gy eine gedachte oder virtuelle Änderung der Funktion y(x) nach ~y  x . Die Funktion ~y  x soll dabei in der Nachbarschaft von y(x) liegen.

Mathematischer Anhang

390

Aufgabe der Variationsrechnung (begründet von Euler und Bernoulli) ist es, einen möglichen Abstand zu minimieren oder allgemein das Minimum eines Funktionals zu finden, d. h.

Gy

0.

(C3)

Bei dem vorstehenden Problem (Abstandsminderung) kann für die Variation folgender Ansatz gemacht werden:

Gy

D ˜ I x ,

(C4)

worin D ein Parameter und I x eine beliebige Funktion darstellen. An Randbedingungen ist zu berücksichtigen, dass an den Endpunkten die Kurven zusammenfallen bzw. dort die Variation Gy x A /x B

0

(C5)

verschwindet. Als Erkenntnis kann daraus gewonnen werden, dass  die Variation einer Funktion Gy stets beliebig klein ist und  die Variation an vorgegebenen Stützstellen zu null werden kann, welches einem Zusammenfallen von ~y  x A /x B und ~y  x A /x B entspricht. In der Mechanik wird die Variation oft auf einen Verschiebungsverlauf angewandt, weshalb man hier dann auch von virtuellen Verschiebungen spricht. Weiterhin werden in den vorstehenden Kapiteln schon die beiden Regeln § wy · G¨ ¸ © wx ¹

w Gy , wx

(C6)

G ³ y dx

³ Gy ˜ dx

(C7)

benutzt, die jetzt mit dem Ansatz von Gl. (C4) beweisbar sind.

D) Stabilität Ein Problem des zuvor im Kap 9 und 11 benutzten Differenzenverfahrens ist die numerische Stabilität, d. h., ein Iterationsschritt 't darf nicht über einen bestimmten kritischen Wert ' t krit liegen. Um dies aufzeigen zu können, sei hier ein 1-Freiheitsgrad-Schwinger angenommen. Für diesen Fall lautet die Bewegungsgleichung:

m ˜ x  d ˜ x  c ˜ x

F( t ) .

(D1)

Mathematischer Anhang

391

Mit Einführung des Lehr’schen Dämpfungsmaßes [ und der Eigenkreisfrequenz Z lässt sich die bekannte DGL aufstellen: x n  2[ ˜ Z ˜ x n  Z 2 ˜ x n

pn .

(D2)

Werden die zentralen Differenzen für die Geschwindigkeit x n 1  x n 1 2' t

x n

(D3)

und die Beschleunigung x n 1  2 x n  x n 1 2' t 2

x n

(D4)

in die DGL eingesetzt, so folgt x n 1 xn

2  Z2 ˜ ' t 2 1  2[ ˜ Z ˜ ' t ' t2 ˜ xn  ˜ x n 1  ˜ pn 1  2[ ˜ Z ˜ ' t 1  2[ ˜ Z ˜ ' t 1  2[ ˜ Z ˜ ' t xn .

(D5)

In Matrixform lautet die Gleichung auch ª 2  Z2 ˜ ' t 2 « «1  2 [ ˜ Z ˜ ' t «¬ 1

ª x n 1 º « x » ¬ n ¼



º ª 1  2[ ˜ Z ˜ ' t º ' t2 »˜p » ˜ ª xn º  « 1  2[ ˜ Z ˜ ' t » « x 1 2 t  [ ˜ Z ˜ ' » » n ¬ n 1 ¼ « »¼ «¬ »¼ 0 0

bzw. als Zustandsgleichung n 1

x

A ˜ n x  L ˜ pn .

(D6)

Die Matrix A wird als Iterationsnäherungsoperator und der Vektor L als Lastoperator bezeichnet. Für den n-ten Zeitschritt, beliebige Anfangsbedingungen o x und lastfreien Schwinger p n 0 folgt: m

x

m

A ˜ ox .

(D7)

Um eine sinnvolle Lösung zu erhalten, muss die Matrix A näher betrachtet werden. Hierzu wird eine spektrale Zerlegung durchgeführt: m

A

Pt ˜ mJ ˜ P .

(D8)

Mathematischer Anhang

392

Die Matrix P enthält die Eigenvektoren und die Matrix m J enthält auf der Hauptdiagonalen die Eigenwerte O i (Jordanform) der Matrix m A . Der Vektor m J besitzt nur dann eine Schranke für m o f , wenn der spektrale Radius von A kleiner oder gleich eins ist > U A d 1@ , d. h., der Betrag des größten Eigenwertes der Matrix A muss kleiner oder gleich eins sein. Wird eine Eigenwertuntersuchung der Matrix A für ein ungedämpftes System vorgenommen, so gilt § 2  Z2 ˜ ' t 2 det¨¨ 1 ©

1 0· 1 ¸ O 0 1 ¸¹ 0

0.

(D9)

Für die beiden Eigenwerte folgt sodann

O1, 2

2  Z2 ˜ ' t 2 r 2

2  Z2 ˜ ' t 2 2  1 . 4

(D10)

Wird O d 1 gefordert, so folgt hieraus für den Zeitschritt 't d

2 Z max

{ ' t krit .

(D11)

Wird ein gedämpftes System betrachtet, so folgt entsprechend 't d

2

§¨ [ 2  1  [ ·¸ { ' t . krit ¹ Z max ©

(D12)

Bleiben bei der Iteration die Zeitschritte ' t unter den kritischen Zeitschritten, so ist das Verfahren stabil. Wird der Zeitschritt überschritten, schaukeln sich die Fehler auf, die Lösung wird dann sehr f a l s c h sein.

393

QM-Checkliste einer FE-Berechnung 1. Modellbildung/Idealisierung x Wahl des Berechnungsalgorithmus  Idealisierung x Modellreduktion  Betrachtung kritischer Beulteile  Topologie  Symmetrie x Materialeigenschaften

Ÿ linear, nichtlinear, Zeit- oder Temperaturabhängigkeit Ÿ elastisch-plastisch, ideal-plastisch Ÿ physikalisch und mechanisch richtig Ÿ Vernachlässigung von Verrippungen, Fasen etc. Ÿ Randbedingungen Ÿ isotrop oder orthotrop

2. Modellgenerierung/Diskretisierung x Vernetzung  Elementeigenschaften  Wahl des Elementtyps  Wahl der Elementgröße  Ansatzfunktionen  geometrische x Elementformulierung x Gittergenerierung x Randbedingungen  Lasteinleitung  Lagerung  Zwangsbedingungen

Ÿ elastisch, starr Ÿ geeignete Elemente, kompatible Verschiebungsansätze Ÿ ausreichende Netzfeinheit Ÿ Randkonturen Ÿ Netzverfeinerung bei Kerben, Absätzen, Rissen Ÿ vollständig, Schalendicke etc. Ÿ Übergänge vom groben zum feinen Netz, Elementformen Ÿ Lastgröße bei Symmetrie, Überlagerung, Flächenlasten etc. Ÿ keine Starrkörperbewegung, realitätsnah, Flächen-Linien Ÿ Couple DOF

3. Modellzusammenbau x Funktion x Kontakt

Ÿ Elementkopplungen Ÿ Definitionen korrekt, Reibung etc.

394

QM-Checkliste einer FE-Berechnung

4. Berechnung x Fehlerausgabe x Programmfehler  Rundungsfehler  Inkompatibilität der Programmroutinen x Wahl der Iterationsschritte

Ÿ Überprüfung der Berechnungsfehler Ÿ in der Regel vernachlässigbar Ÿ Versionswechsel Ÿ Konvergenz

5. Beurteilung der Ergebnisse x Verifikation  visuelle Kontrolle  Stetigkeit der Spannungen  Überschlagsrechnung  exakte analytische Lösungen  experimentelle Ergebnisse x Plausibilität x Prüfen der Ergebnisgüte x linear/nichtlinear

Ÿ sind Verschiebungen oder Spannungen realistisch Ÿ bei Elementübergängen

Ÿ physikalisch korrekt, Bewegungen, Durchdringungen Ÿ Netzverfeinerung, Berechnung mit anderen FE-Programmen Ÿ Spannungen unterhalb der zulässigen Werte

395

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400

Sachwortverzeichnis A ABAQUS 3 Abbruchschranke 299 Anfangsbedingung 228, 391 Anfangsdehnungsverfahren 251 Anfangsspannungen 25 Anfangsspannungsmatrix 159 Anfangsspannungsverfahren 251 Anregung 227 Anregungsfunktion 230, 237 Ansatz, isoparametrischer 126 Ansatzfunktion 31, 60, 89 ANSYS 3 Antwortfunktion 237 Arbeit, virtuelle 27, 202 Auflager 329 Aussagesicherheit einer FE-Analyse 8 B Balken-Element 53, 95 Balken-Scheiben-Elemente 119 Balkensteifigkeitsmatrix, geometrische 262 Bandbreiten-Optimierung 314 Bauteilanalyse, rechnerunterstützte 43 Bauteiloptimierung 297 Bedingung nach v. Mises 255 Bernoulli-Balken 82, 120 Bernoulli-Hypothese 53 Beulform 164 Beulung 156 Bewegungsdifferenzial-Gleichung 233 Bewegungsgleichung 391 Biegelinienbeziehung 55 Bilanzgleichung 268 Bisektionsmethode 221 Blockaddition 36 B-Matrix 103, 132, 179 Boole‘sche Matrix 69, 70 Boole‘sche Zuordnungsmatrix 68 Box-Verfahren 298 C CAE-Konzeption 41 CAE-Prozesskette, konventionelle 6 CAO-Verfahren 300 CFL-Bedingung 246 Cholesky-Verfahren 75

Sachwortverzeichnis Coulomb‘sches Reibgesetz 184 Cramer‘sche Regel 100 D d'Alembert‘sches Prinzip 26, 203 Dämpfung 213 Dämpfungsmaß 391 Dämpfungsmatrix 212 DGL 46, 52, 55, 213, 225, 343, 391 Diagonalhypermatrizen 68 Diagonalmatrix 208 Differenzenmethode, zentrale 241 Differenzenverfahren, zentrales 243 Differenzialoperatorenmatrix 20 DIN EN ISO 9000:2000 321 Drallsatz 290 Drehmatrix 283 Drehstab-Element, lineares 51 Drehträgheit 206 3-D-Balken-Element 93 Dreieck-Element 98 Dreieck-Platten-Element 152 Dreieck-Schalen-Element 166 Dreieck-Scheiben-Element 209 Duhamel-Integral 238 E Eigenform 164 Eigenfrequenz 213 Eigenkreisfrequenz 217 Eigenschwingungsform 342 Eigenschwingungsproblem 225, 340 Eigenspannung 25 Eigenvektor 164, 213, 227, 392 Eigenvektorenmatrix 218 Eigenwerte 392 Eigenwertmatrix 218 Eigenwertproblem 163 Einheitserregung 231 Einheitsmatrix 18 Einheitsquadrat 137 Einzelsteifigkeitsmatrix, transformierte 65 Elastizitätsmatrix 21 Element, isoparametrisches 129 Element, kubisches 110 Element, vollverträgliches 149 Elementardrehung 283 Elementdämpfungsmatrix 212 Elementdrehsteifigkeitsmatrix 53

Sachwortverzeichnis Elemente, kompatible 91 Elemente, verträgliche 144 Elementierung 307 Elementmassenmatrix 48, 57, 204 Elementsteifigkeitsmatrix 36, 48 Elementteilung 311 Elementträgheitsmatrix 53 Endmassenwirkung 207 Energie, kinetische 291 Ersatzgleichgewichtsgleichung 27 ESZ 141 Euler-Fall 263 F Fachwerkstruktur 323, 329 Federelement 35 Fehlerquelle 306 FE-Löser 42 Flächenkoordinaten 105, 106 Flächenträgheitsmoment 207 Flansch, gebördelter 165 Formfunktion 47, 49, 101 Fourier‘sche Wärmeleitungsgleichung 266 free meshing 311, 337 Freiheitsgrad 280 Freiheitsgrad, primärer 225 Freiheitsgrad, sekundärer 225 Frequenzband 341 Frontlösungsverfahren 74, 77, 78 Funktionsmatrix 108 G Galerkin 31 Gauß‘sche Quadratur 134 Gauß-Punkt 138, 139 Gesamtkraftvektor 40 Gesamtmassenmatrix 71 Gesamtsteifigkeitsmatrix 40, 71, 87 Gleichungslöser 81 Grundgleichung, finite 16 Gummidichtung 350 Guyan-Reduktion 222 H Hermite Polynome 59 Hooke‘sches Gesetz 19 Hooke-Jeeves-Verfahren 298 Householder-Givens-Modifikation 221 Householder-Verfahren 221

401 h-Version 8 Hypergleichung 39 I I-DEAS 3 IGES 6 Impuls 343 Impulssatz 289 Inertialsystem 281 Initialverschiebungsmatrix 259 Instabilitätsprobleme 259 Integration, direkte 239 Integration, numerische 134 Interpolationspolynom 134 Intervall, normiertes 136 Invarianz der äußeren Arbeit 64 Inversion der Koeffizientenmatrix 16 Inzidenzmatrix 69 Iteration, direkte 247 Iterationsverfahren 74 J Jacobi-Matrix 108, 127, 133, 210 K Kinematik 281 Kinetik 279, 287 Kirchhoff‘sche Theorie dünner Platten 140 Knickfälle 259 Knotenkraft 66 Knotenkraft, äquivalente 65 Knotenkreisverschiebungsvektor 177 Knotenlastvektor 48, 53 Knotenvektor 63 Knotenverschiebungsvektor 56 Konstantelement (CST = constant strain triangle) 98 Kontaktfläche 184 Kontakt-Knotenpunktkraft 195, 199, 201 Kontaktkörper 182 Kontaktproblem 187 Kontaktproblematik 330 Kontinuitätsbedingung 267 Kontur 315 Konvergenz 119, 153, 173 Konvergenzbetrachtung 96 Koordinatenüberrelaxation 221 Körper, isotroper 271 Kräfte, dissipative 27

402 Kräftepfadoptimierung 303 Kraftgrößen-Methode 12 Kreisfrequenz 219 Kreisring-Dreieck-Element 177 Kreisring-Element 175 Kriechen 247 L Lage, allgemeine 285 Lagrange-Multiplikatoren 184 Lagrange'sche Methode 288 Lanczos-Verfahren 221 Lösung, homogene 231 Lösung, iterative 189 M mapped meshing 311, 335 MARC 3 Massenmatrix 61 Massenträgheitsmoment 51 Materialreibung 212 Matrix-Steifigkeitsmethode 34 MCAE-Systeme 7 Mechanismenstruktur 295 Mehrkörpersystem 279 Meshprozeduren 338 Mises, von 339 Mises‘sche Fließbedingung 256 Mittenknoten 111 MKS 279, 281, 287, 291 Modalmatrix 218 Modenüberlagerung 239 Momentengleichgewicht 23 Mooney-Rivlin 350, 353 Multifeld-Element 275 Multiphysik 12 Multiphysikaufgabe 275 N NASTRAN 3 Navier‘sches Problem 323 Nebenbedingung 185, 297 Netwon-Euler-Methode 288 Netzaufbau 311 Netztopologie 314 Newton-Cotes-Quadratur 134 Newton-Euler-Methode 291 Newton-Raphson 189, 248 Nichtlinearität 250

Sachwortverzeichnis Nichtlinearität, geometrische 257 O Oberflächenlastvektor 48, 53 Optimierungsfunktion 298 Ortsvektor 281 Out-of-balance-Vektor 191 P Parameteroptimierung 298 Partnerregel 312 Pascal‘sches Dreieck 91, 143 Pascal’sches Dreieck, dreidimensionales 171 Passfederverbindung 187 Pfadoptimierung, selektive 304 Plastizität 247, 253 Plattenbeulung 157 Platten-Element 139 Platten-Elemente, Problematik 143 Plattenstreifen 156 Polynome 91 Polynomgrad 9 positiv definit 74 Post-Prozessor 42 Pre-Prozessor 42 Prisma-Element 173 Produkthaftungsgesetz 321 Produktregel 55 p-Version 9 Q Quader-Element 173 Quadratscheibe, gelochte 105 Qualitätssicherung 320 Querkontraktion 21, 22 R Randbedingung 268, 329 Rapid-Product-Development 174 Rayleigh-Quotient 217 Reaktionskraft 37 Rechenzeit 80 Rechteck-Element 111 Rechteckimpuls 233 Rechteck-Platten-Element 146 Reduktion, statische 229 Referenzsystem 281 Relativsystem 281

Sachwortverzeichnis Restmethode, gewichtete 32 Restwert 32 Rotationsmatrix 282 S Sandwich-Element 155 Schalen-Element 165 Scheiben-Element 97 Schubverformung 120, 121, 155 Schweißnaht 277 Schwingung, erzwungene 228 Schwingung, freie 226 Schwingungsdifferenzial 203 Schwingungsdifferenzialgleichung 33, 46, 47 shape function 48 Simpson‘sche Regel 134 Sonderrandbedingungen 72 Spaltenhypervektoren 68 Spannungszustand, ebener (ESZ) 22, 97 St. Venant‘sche DGL 158 Stab-Element 45 Stab-Element, lineares 46 Stabilität 390 Standardschnittstelle 6 Starrkörperbewegung 37, 89, 289 Steifigkeitsmatrix 62 Steifigkeitsmatrix, geometrische 159 Steifigkeitstransformation 62 Stoffgesetz 24 Strategie, bionische 300 Struktur, ungebundene 69 Strukturdämpfung 235, 343 Stützstellen 30, 134 Symmetrie 5 Systemsteifigkeitsmatrix 36, 87 T Tangentensteifigkeitsmatrix 248 Tätigkeitsanalyse 7 Taylor‘sche Reihenentwicklung 248 Temperaturdehnungsstrategie 301 Temperaturgradient 266 Temperaturverteilung 354 Tetraeder-Element 170 Timoshenko-Balken 120 Topologie 280 Tragwerk 38 Transformationsmatrix 64, 282

403 Transponierung 17 Tresca 257 U Überrelaxationsfaktor 249 V Validierung 10 Variationsprinzip 27 Vektoriteration 221 Verfahren, explizites 239 Verfahren, implizites 239 Verformungszustand 34 Vergleichsspannung 339 Vergrößerungsfunktion 232 Verkettbarkeitsregel 17 Verschiebungsansatz 30, 66, 109 Verschiebungseinflusszahlen 35 Verschiebungsgrößen-Methode 12 Verträglichkeit, kinematische 24 Verzerrungszustand, ebener (EVZ) 22 Viereck-Element 125 Volumen-Element 170 Volumen-Elemente, lineare 171 Volumenkräfte 28 W Wärmedehnung 25 Wärmekapazitätsmatrix 272 Wärmeleistung, innere 268 Wärmeleitfähigkeitsmatrix 268 Wärmeleitung 353 Wärmeleitungsanalogon 267 Wärmeleitungsgleichung, diskretisierte 271 Wärmeleitungsgleichung, instationäre 276 Wärmeleitungsmatrix 272 Wärmestromdichte 266 Wärmeübertragung, instationäre 267 Wärmeübertragung, stationäre 266 Werkstoffgesetz 82 Winkelbeschleunigung 287 Winkelgeschwindigkeit 287 Z Zeitschritt 392 Ziegler-Prager-Gesetz 347 Zielfunktion 297 Zielkörper 182 Zwangsspannung 25