Extensions de corps: Theorie de Galois, NIveau M1-M2 9782729827809 [DJVU]

Table of contents :
Préface......Page 6
Introduction......Page 8
Table des matières......Page 10
Notations......Page 14
A. Caractéristique d'un corps......Page 16
B. Sous-corps premier d'un corps......Page 17
2. Notion d'extension de corps......Page 18
3. Degré d'une extension de corps......Page 21
4. Isomorphismes d'extensions de corps......Page 22
5. Exercices......Page 23
1. Elément algébrique, élément transcendant......Page 26
2. Extensions simples, transcendantes......Page 27
A. Caractérisation des extensions simples, algébriques......Page 28
B. Exemples d'extensions simples, algébriques......Page 30
C. Extensions simples, algébriques, isomorphes......Page 31
4. Extensions algébriques, extensions transcendantes......Page 33
A. Méthode de formulation algébrique......Page 36
B. Les trois fameuses constructions impossibles......Page 39
C. Caractérisation des constructions possibles......Page 41
6. Exercices......Page 43
A. Préliminaires......Page 50
B. Notion de corps de décomposition d'un polynôme......Page 51
A. Extensions normales......Page 54
B. Clôture normale......Page 55
A. Polynômes irréductibles séparables......Page 56
B. Notion d'extension séparable - Corps parfaits......Page 59
4. Extensions purement inséparables......Page 62
5. Exercices......Page 65
2. Groupe des éléments non nuls d'un corps fini......Page 70
3. Caractérisation des corps finis......Page 72
4. Sous-corps d'un corps fini......Page 73
5. Propriétés des corps finis......Page 74
6. Exercices......Page 76
1. Théorème fondamental de l'Algèbre......Page 82
2. Plongement d'un corps dans un corps algébriquement clos......Page 87
3. Clôture algébrique d'un corps......Page 88
4. Clôture algébrique d'un corps fini......Page 91
5. Transcendance de e et de pi sur Q......Page 92
6. Théorème de Frobenius......Page 93
7. Exercices......Page 94
1. Notion de racine n-ème primitive de l'unité......Page 98
2. Extensions cyclotomiques - Polynômes cyclotomiques......Page 99
3. Polynômes et extensions cyclotomiques sur Q......Page 103
4. Théorème de Wedderburn......Page 105
5. Polynômes cyclotomiques sur un corps fini......Page 107
A. Notion de n-ème polynôme primitif sur Fp......Page 108
B. Factorisation dans Fp[X] - Algorithme de Berlekamp......Page 111
6. Exercices......Page 121
A. Groupe de Galois......Page 124
B. Correspondance de Galois......Page 125
A. K-monomorphismes - Degré de séparabilité......Page 127
B. Extensions galoisiennes, de degré fini......Page 133
C. Théorème fondamental de Galois......Page 138
B. Construction des polygones réguliers......Page 140
C. Une preuve du Théorème fondamental de l'Algèbre......Page 145
4. Norme et Trace......Page 146
A. Notions de Norme et Trace......Page 147
B. Quelques applications des notions de norme et trace......Page 150
5. Exercices......Page 152
2. Discriminant d'une base d'un corps de nombres......Page 162
3. Entiers algébriques......Page 164
A. Anneau des entiers algébriques d'un corps de nombres......Page 168
B. Bases entières d'un corps de nombres......Page 169
A. Généralisation de la notion d'entiers algébriques......Page 171
B. Anneaux intégralement clos......Page 172
D. Idéaux fractionnaires d'un D.I......Page 173
E. Idéaux fractionnaires d'un anneau de Dedekind......Page 175
A. Propriétés préliminaires......Page 179
B. Norme d'un idéal, non nul, d'un anneau D......Page 181
7. Exercices......Page 184
9 Résolution des équations par radicaux......Page 190
1. Extensions radicales......Page 191
B. Caractérisation des polynômes résolubles par radicaux......Page 193
A. Polynômes de degré premier impair......Page 198
B. Equation polynômiale générale......Page 200
4. Exercices......Page 204
1. Corps ordonnés......Page 206
2. Corps valués......Page 209
3. Topologie d'un corps valué......Page 216
A. Complétion d'un corps valué......Page 218
B. Corps des nombres p-adiques......Page 220
1. Transcendance de e sur Q......Page 222
2. Transcendance de pi sur Q......Page 224
Bibliographie......Page 230
Index......Page 232