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Zitiervorschau

exercice 1 Soient a , b , c des entiers relatifs non nuls ; Montrer que c|ab ⇒ c|(a ∧ c)(b ∧ c) exercice 2 Soient a et b deux entiers naturels non nuls on pose d = a ∧ b 1) Montrer que a ∧ (a + b) = d et b ∧ (a + b) = d ; En déduire que (a.b) ∧ (a + b) divise a.d et b.d 2) En déduire que (ab ∧ (a + b)) |(a + b)2 3) Sachant que 2017 est un nombre premier , calculer (6051) ∧ (2020) exercice 3

(

1) Résoudre dans N le système 2

x∧y =3 x ∨ y = 54

.

2) Déterminer tous les entiers positifs dont le carré divise 2889 3) Déterminer x et y tel que (x ∨ y)2 − 3(x ∧ y)2 = 2889 exercice 4 1)

a) Déterminer suivant la parité de n le nombre (n2 + 1) ∧ (n + 1) b) Montrer que n2 + 1 n’est pas un carré parfait

2) Soient a , b , n des entiers naturels non nuls tels que : a(n2 + 1) = b2 (n + 1) et a ∧ b = 1 a) Montrer que a ∧ b2 = 1 , en déduire que a ≤ n et b ≤ n b) Montrer que (n2 + 1) ∧ (n + 1) = 2 c) On pose n2 + 1 = 2p et n + 1 = 2q avec p ∧ q = 1 ,

Montrer que a = q et b2 = p

d) On suppose que b = a + 1 . Déterminer les entiers a , b et n exercice 5 1) Montrer que (∀(x, y) ∈ Z2 ) :

x ∧ y = 1 ⇔ (x + y) ∧ (x2 + xy + y 2 ) = 1

2) Résoudre dans Z2 le système 19(x + y) = 5(x2 + xy + y 2 ) et x ∧ y = 1 exercice 6 1) Soit p un entier premier tel que p ≥ 3 déterminer p tel que p|(2p + 1) 2) On suppose dans cette question que p ≥ 5 a) Montrer que 2p ≡ 2[3] b) Monter que p2 ≡ 1[3] c) Déduire que (2p + p2 ) n’est pas un entier premier exercice 7 Pour tout n ∈ N on pose un = 2n + 3n 1) Montrer que u4 est un nombre premier 2) Montrer que pour tout n ∈ N :

un ∧ un+1 = 1 et que un ∧ un+2 ∈ {1, 5}

3) Déterminer n pour que un ∧ un+2 = 5 exercice 8 Les questions suivantes sont indépendantes 1)Montrer que : n ∧ (2n + 1) = 1 n ∧ (n3 + 1) = 1 (n4 + 2n2 + 1) ∧ (n4 + 3n2 + 3) = 1 2) Déterminer (a, b) dans Z2 tel que 3a = 5b 3)Résoudre dans Z2 l’équation 7(x − 2) = 2(y + 4) 4)Résoudre dans Z2 l’équation: 3x − 7y =(2 n ≡ 1[8] 5)Déterminer les entiers relatifs n tel que . n ≡ 3(13] 6)Soit dans Z2 l’équation: (E) : 48x − 13y = 6 Montrer que si (x, y) est une solution de (E) alors 6|y puis résoudre (E) exercice 9 1) Résoudre dans Z2 l’équation : (E) 3x − 2y = 1 2) Soit n un entier naturel non nul a) Montrer que le couple (14n + 3, 21n + 4) est une solution de (E) b) En déduire que 14n + 3 et 21n + 4 sont premier entre eux 3) Soit d le PGCD de 2n + 1 et 21n + 4 Montrer que d ∈ {1, 13} et que (d = 13) ⇔ (n ≡ 6[13] 4) Pour tout n ∈ N tel que n ≥ 2 . on pose A = 21n2 − 17n − 4 et B = 28n3 − 8n2 − 17n − 3 a) Montrer que A et B sont divisibles par n − 1 dans Z b) Déterminer suivant n le PGCD de A et B exercice 10 (Bac 2006) On considère dans N∗ × N∗ l’équation (E) :

x2 (x + y) = y 2 (x − y)2

1) Soit (x, y) une solution de l’équation (E) On pose d = x ∧ y et x = ad et y = bd a) montrer que :

db2 (a − b)2 = (a + b)a2

b) En déduire que : c) Montrer que :

b=1 a ̸= 1 et que (a − 1) divise (a + 1)

d) En déduire que a = 2 ou a = 3 3) Résoudre dans N∗ × N∗ l’équation (E) exercice 11 (Bac 2005) I) Soit p un entier naturel premier supérieur ou égal à 5 1) Montrer que p2 ≡ 1[3] 2)

a) En utilisant la parité de p montrer qu’il existe un entier naturel q tel que: p2 − 1 = 4q(q + 1) b) En déduire que p2 ≡ 1[8]

3) Montrer que p2 ≡ 1[24] II) Soit a un entier naturel premier avec 24 1) Montrer que a2 ≡ 1[24] 2) Existent-ils des entiers naturels a1 , a2 , ... , a23 tel que ak ∧ 24 = 1 pour tout k de {1, 2, ..., 24} et que a21 + a22 + ... + a223 = 23997

exercice 12 Soit E l’ensemble des nombres premiers de la forme 4k + 3 tel que k ∈ N ; le but de cet exercice c’est de montrer que l’ensemble E est infinie. 1) Soit p un nombre premier tel que p ≥ 3 Montrer que p s’écrit la forme 4k + 1 ou 4k + 3 telque k ∈ N 2) On suppose que l’ensemble E est fini et on pose E = {p1 , p2 , p3 , ..., pr } • Si r est paire on pose a = p1 p2 p3 ...pr + 2 a) Montrer que a ≡ 3[4] b) Montrer que tout diviseur premier de a n’appartient pas à E , en déduire que a ≡ 1[4] 3) Si r est impair on pose b = p1 p2 p3 ...pr + 4 a) Montrer que b ≡ 3[4] b) Montrer que b ≡ 1[4] 4) Montrer que l’ensemble E est infini exercice 13 Les questions suivantes sont indépendantes : 1) Montrer que 2349 ≡ 2[7] 2)Montrer que82020 ≡ 1[11] 3) soit p premier et p ̸= 5 Montrer que p|(5n+p − 5n+1 ) 4) Montrer que ∀n ∈ N : 1010n+1 + 1 ≡ 0[11] 5)Montrer que ∀n ∈ Z : 42|(n7 − n) 6)Résoudre dans N : 2n + 5n ≡ 0[7]

7)Montrer que ∀n ∈ Z : 60|(n2 (n2 − 1)(n2 + 1) 8)Soient n ∈ Z et p premier (p ≥ 3 Montrer que np ≡ n[2] puis en utilisant Fermat: déduire que (n + 1)p − (np + 1) ≡ 0[2p] 9) Montrer que x3 − 3y 3 − 6y 2 − 13x + 10 = 0 n’a pas de solution dans N2

exercice 14 On relie chaque lettre A , B , C ,....., Z respectivement par un entier de l’ensemble E = {0, 1, 2, ..., 25} , en utilisant le tableau ci-dessous A 0

B 1

C 2

D 3

E 4

F 5

G 6

H 7

I 8

J 9

K 10

L 11

M 12

N 13

O 14

P 15

Q 16

R 17

S 18

T 19

U 20

V 21

W 22

X 23

Y 24

Z 25

et on considère a et b deux entiers de E tel que a ̸= 0 On considère le codage suivant : chaque nombre n de E est codé par le nombre φ(n) de E tel que φ(n) est le reste de la division euclidienne de an + b par 26 1) On suppose que le mot F T est coder par le mot KO ( a) Montrer que le couple (a, b) vérifie le système (S) :

5a + b ≡ 10[26] 19a + b ≡ 14[26]

.

b) Résoudre dans Z2 l’équation 14x − 26y = 4 , en déduire les valeurs possibles de (a, b) 2) On suppose que a = 17 et b = 3 a) Coder le mot F ERM AT b) Déterminer l’unique entier naturel d tel que 17d ≡ 1[26] et 0 ≤ d ≤ 25 Montrer que si φ(n) = φ(p) alors n = p , et interpréter ce résultat c) Montrer que 23 × 17 ≡ 1[26] , Montrer que l’application φ est surjective d) En déduire que φ est une bijection de E vers E et , déterminer sa bijection réciproque e) Décoder le mot U T M HF O exercice 15 (Bac 2007) 1 On considère dans Z2 l’équation : (E) :

195x − 232y = 1

a) Déterminer le P GCD de 195 et 232 b) Montrer que l’ensemble des solutions de (E) est :

S = {(163 + 232k; 137 + 195k) /k ∈ Z}

d) Déterminer l’unique entier naturel d tel que 195d ≡ 1[232] et 0 ≤ d ≤ 232 2) Montrer que le nombre 233 est premier 3) Soit A l’ensemble des entiers naturels compris entre 0 et 232

Soit f l’application définie de A vers A par : pour tout a ∈ A , f (a) est le reste de la division Euclidienne de a195 par 233 On admet que (∀a ∈ A − {0}) a232 ≡ 1|233] a) Montrer que pour tous a et b de A si f (a) = f (b) alors a = b b) Soient a et b de A tel que : f (a) = b , calculer a en fonction de b c) En déduire que l’application f est bijective et déterminer sa bijection réciproque f −1 exercice 16 (Bac 2019) On admet que 2969 (L’année amazighe actuelle ) est un nombre premier Soient n et m deux entiers naturels vérifiant : n8 + m8 ≡ 0[2969] 1) On suppose dans cette question que 2969 ne divise pas n a) En utilisant le théorème de BEZOUT montrer que : (∃u ∈ Z) :

u × n ≡ 1[2969]

b) En déduire que (u × m)8 ≡ −1[2969] et que (u × m)2968 ≡ −1[2969] (On remarque que 2968 = 8 × 371) c) montrer que 2969 ne divise pas u × m d) En déduire qu’on a aussi : (u × m)2968 ≡ 1[2969] 2)

a) En utilisant les résultats précédent montrer que 2969 divise n b) Montrer que n8 + m8 ≡ 0[2969] ⇔ n ≡ 0[2969] et m ≡ 0[2969]

exercice 17 (Bac 2021) Partie I On considère dans Z × Z l’équation (E) :

47x − 43y = 1

1) vérifier que le couple (11, 12) est une solution particulière de (E) 2) Résoudre dans Z × Z l’équation (E) Partie II

On considère dans Z l’équation (F ) :

x41 ≡ 4[43]

1) Soit x une solution de (F ) a) Montrer que x et 43 sont premier entre eux puis en déduire que x42 ≡ 1[43] b) Montrer que 4x ≡ 1[43] puis déduire que x ≡ 11[43] 2) déduire la solution de l’équation (F ) dans Z ( Partie III

On considère dans Z le système à deux équations (S) :

x41 ≡ 4[43] x47 ≡ 10[47]

1) Soit x une solution du système (S) ( a) Montrer que x est solution du système (S ′ ) : b) En déduire que x ≡ 527[2021]

x ≡ 11[43] x ≡ 10[47]

( vous puvez utiliser les résultats de la partie (I) )

2) déterminer dans Z les solutions du système (S) exercice 18 Pour tout n ∈ N on pose un = 1 + 5 + 52 + 53 + ... + 5n 1) Écrire le nombre u2 dans le système de numération à base 5 puis de base 4 puis de base 3 2) Montrer que (∀n ∈ N)(∀x ∈ Z) :

un ≡ 2x[7] ⇔ 4un ≡ x[7]

3) Déterminer le reste de la division Euclidienne de u2021 par 7

exercice 19 1) Montrer que le nombre

777.......7 | {z }

est divisible par 13

12 fois le chiffre 7

2) Écrire le nombre 32022 − 1 dans le système de numération à base 9 (x) (x) (x) (x) (x) 3) Soit x ∈ N∗ tel que 36 + 45 = 103 , calculer 36 × 45