Exercice Avec Correction Topographie [PDF]

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TOPOMETRIE

EXERCICE N°1:

Vous travaillez pour un géomètre et vous venez d’effectuer le relevé de terrain représenté par le schéma ci-dessous :



Les points S et A sont des points déjà connus dont voici leur coordonnée :

Points S A



X (m) 346 220 346 188

Y (m) 650 340 650 247

Vous avez également noté à partir de la station « S » les résultats suivants :

Points

Distance (m)

Angle Hor (gr)

B 1 2 3 4

115.60 96.66 170.00 196.74 99.02

0,000 27.64 45.03 90.26 118.08

On donne :

L’angle topo (AŜB) = 224.10 gr Travail demandé :

1. Calculez les gisements suivants : GAS , GSB. 2. Calculez les gisements des points formant le polygone par rapport à « S », (c’est à dire GS1, GS2, GS3 et GS4). 3. Calculez les coordonnées rectangulaires des points formant le polygone (1234). 4. Calculez le périmètre (P) du polygone (1234). 5. Calculez la surface (S) du polygone (1234).

CORRECTION

1. Calcul les gisements GAS et GSB:  Calcul GAS :

On a ∆XAS = XS – XA = 32 m (∆XAS et ∆YAS ont même signe)

et

et ∆YAS = YS – YA = 93 m 0gr < GSR < 100gr

→ Tan(g) = ‫∆׀‬XAS / ∆YAS ‫ =׀‬0.3441 → g = 21.10gr. Alors GAB = g = 21.10gr



Calcul GSB : On a GSB = GAS – 200 + angle topo (AŜB). → GSB = 21.10 – 200 + 224.10 = 45.20 gr.

2. Calcul des gisements GtS1 ; GtS2 ; GtS3 ; GtS4: 

Calcul GS1 : On a GS1 = GSB + Angle Horizontal (BŜ1) = 45.20 + 27.64= 72.84 gr.



Calcul GS2 : On a GS2 = GSB + Angle Horizontal (BŜ2) = 45.20 + 45.03= 90.23 gr.



Calcul GS3 : On a GS3 = GSB + Angle Horizontal (BŜ3) = 45.20 + 90.26= 135.46 gr.



Calcul GS4 : On a GS4 = GSB + Angle Horizontal (BŜ4) = 45.20 + 118.08= 163.28 gr.

3. Calcule les coordonnées rectangulaires des sommets : 1 ; 2 ; 3 et 4:  Calcul des coordonnées de point (1) à partir de point S : X1 = XS + DS1× sin (G S1) = 346 220+ 96.66× sin (72.84) = 346308 m. Y1 = YS + D S1 × cos (G S1) = 650 340+ 96.66× cos (72.84) = 650380 m. Donc : 1 (346308; 650380). 

Calcul des coordonnées de point (2) à partir de point S :

X2 = XS + DS2× sin (G S2) = 346 220+ 170× sin (90.23) = 346388 m. Y2 = YS + D S2 × cos (G S2) = 650 340+ 170× cos (90.23) = 650366 m. Donc : 2 (346388; 650366). 

Calcul des coordonnées de point (3) à partir de point S :

X3 = XS + DS3× sin (G S3) = 346 220+ 196.74× sin (135.46) = 346387 m. Y3 = YS + D S3 × cos (G S3) = 650 340+ 196.74× cos (135.46) = 650236 m. Donc : 3 (346387; 650236). 

Calcul des coordonnées de point (4) à partir de point S :

X4 = XS + DS4× sin (G S4) = 346 220+ 99.02× sin (163.28) = 346274 m. Y4 = YS + D S4 × cos (G S4) = 650 340+ 99.02× cos (163.28) = 650257 m. Donc : 4 (346274; 650257).

4. Calculer le périmètre (P) du polygone 1234 : Le périmètre du polygone ABCDE égale la somme des distances D12 , D23 , D34 et D41. → P1234 = D12 + D23 + D34 + D41 .  Calcul D12 : → D12 = = 81.22m Avec (∆X12 = X2 - X1)  Calcul D23 :

→

D23 =

= 130.00m.

 Calcul D34 :

→

D34 =

= 114.93m.

 Calcul D41 :

→

D41 =

= 127.61m.

Donc:

P1234 = 81.22+ 130.00+ 114.93+ 127.61 = 453.76 m.

5. Calcul la surface (S) du polygone 1234 : On a

2S = X1 (Y4 – Y2) + X2 (Y1 – Y3) + X3 (Y2 – Y4) + X4 (Y3 – Y1).

→ 2S = -37 747 572 + 49 879 872 + 37 756 183 – 49 863 456. → 2S = 25 027 m². Donc S (1234) = 12 513.50 m².

EXERCICE N°2:

Soit un polygone (1234), Un topographe à stationné un point intérieur (S) connu en coordonnées rectangulaires et levé par rayonnement les quatre sommets, en s’orientant sur un point géodésique (R).





Les points géodésiques S et R sont des points déjà connus dont voici leurs coordonnées : Points

X (m)

Y (m)

S R

346774 346833

650305 650402

Vous avez également noté à partir de la station S les résultats suivants : Station S

Points Visées R 1 2 3 4

Tour d’horizon (gr) 000.00 297.49 43.27 83.25 232.24

Distances réduites (m) ….. 92.66 82.87 107.28 107.04

Travail demandé :

1. Calculer le gisement GSR et la distance DSR. 2. Calculer les gisements suivants : GtS1 ; GtS2 ; GtS3 ; GtS4. 3. Calculer les coordonnées rectangulaires des sommets : 1 ; 2 ; 3 et 4. 4. Calculer le périmètre (P) du polygone (1234) ? 5. Calculer la surface (S) du polygone (1234) au cm prés ?

CORRECTION

1. Calcul de gisement GSR et de la distance DSR: 

Calcul GSR :

On a ∆XSR = XR – XS = 59 m (∆XSR et ∆YSR ont même signe)

et

et ∆YSR = YR – YS = 97 m 000gr < GSR < 100gr

→ Tan(g) = ‫∆׀‬XSR / ∆YSR‫ = ׀‬0.6082 → g = 34.79gr. Alors GAB = g = 34.79gr

 On a

Calcul DSR : DSR =

= 113.53 m.

Avec

(∆XSR = XR - XS) et (∆YSR = YR - YS)

2. Calcul des gisements GtS1 ; GtS2 ; GtS3 ; GtS4: 

Calcul GS1 : On a GS1 = GSR + Angle Horizontal (RŜ1) = 34.79+ 297.49 = 332.28gr.



Calcul GS2 : On a GS2 = GSR + Angle Horizontal (RŜ2) = 34.79+ 43.27 = 78.06gr.



Calcul GS3 : On a GS3 = GSR + Angle Horizontal (RŜ3) = 34.79+ 83.25 = 118.04gr.



Calcul GS4 : On a GS4 = GSR + Angle Horizontal (RŜ4) = 34.79+ 232.24 = 267.03gr.

3. Calcule les coordonnées rectangulaires des sommets : 1 ; 2 ; 3 et 4: 

Calcul des coordonnées de point (1) à partir de point S :

X1 = XS + DS1× sin (G S1) = 346774+ 92.66 × sin (332.28) = 346 693 m. Y1 = YS + D S1 × cos (G S1) = 650305+ 92.66 × cos (332.28) = 650 350 m. Donc : 1 (346 693 ; 650 350). 

Calcul des coordonnées de point (2) à partir de point S :

X2 = XS + DS2× sin (G S2) = 346774+ 82.87 × sin (78.06) = 346 852 m. Y2 = YS + D S2 × cos (G S2) = 650305+ 82.87 × cos (78.06) = 650 333 m. Donc : 2 (346 852 ; 650 333). 

Calcul des coordonnées de point (3) à partir de point S :

X3 = XS + DS3× sin (G S3) = 346774+ 107.28 × sin (118.04) = 346 877 m. Y3 = YS + D S3 × cos (G S3) = 650305+ 107.28 × cos (118.04) = 650 275 m. Donc : 3 (346 877 ; 650 275). 

Calcul des coordonnées de point (4) à partir de point S :

X4 = XS + DS4× sin (G S4) = 346774+ 107.04 × sin (267.03) = 346 681 m. Y4 = YS + D S4 × cos (G S4) = 650305+ 107.04 × cos (267.03) = 650 252 m. Donc: 4 (346 681; 650 252).

4. Calculer le périmètre (P) du polygone 1234 : Le périmètre du polygone ABCDE égale la somme des distances D12 , D23 , D34 et D41. → P1234 = D12 + D23 + D34 + D41 .  Calcul D12 :

→

D12 =

= 159.91 m

 Calcul D23 :

→

D23 =

= 63.12 m.

 Calcul D34 :

→

D34 =

= 197.34 m.

 Calcul D41 :

→

D41 =

= 98.73 m.

Donc:

P1234 = 159.91+ 63.12+ 197.34 + 98.73 = 519.10m.

5. Calcul la surface (S) du polygone 1234 : On a

2S = X1 (Y2 – Y4) + X4 (Y1 – Y3) + X3 (Y4 – Y2) + X2 (Y3 – Y1).

→ 2S = -28 082 133+ 26 013 900 + 28 097 037 – 26 001 075. → 2S = 27 729 m². Donc S (1234) = 13 864.5 m².

Avec

(∆X12 = X2 - X1)