Examen de Structures en Plasticité [PDF]

Zitiervorschau

UNIVERSITE DES MONTAGNES INSTITUT SUPERIEUR DES SCIENCES ET DE TECHNOLOGIE

EXAMEN DE CALCUL DE STRUCTURES EN PLASTICITE (UGC 408) SESSION NORMALE Durée : 4h Chargé de l’Unité d’Enseignement : Dr. Ing. PETTANG NANA Ursula Joyce

Documents et ordinateurs portables autorisés EXERCICE 1 : 8 pts

La figure ci-dessus représente une structure OAB formée de deux poutres en flexion de longueur l, perpendiculaires entre elles au point A. L’appui O est une articulation fixe sans frottement (M=0), tandis que l’appui B est une articulation sans frottement, libre de se déplacer horizontalement. Ces deux extrémités sont reliées entre elles par un câble horizontal OB.

Les différents éléments de cette structure (poutres et câble) obéissent à un comportement élastique parfaitement plastique caractérisé par les diagrammes ci-dessus (à noter que le câble ne supporte que des efforts de traction : 𝑁 ≥ 0). Partant d’un état initial naturel, la structure est soumise à un effort horizontal Q que l’on fait croître progressivement à partir de zéro. 1. Statique. Expliquer pourquoi la réaction d’appui en B, notée Y, est nulle et en déduire les diagrammes de moments fléchissants statiquement admissibles le long des poutres OA et AB en fonction du chargement Q et l’effort de traction N dans le câble. 2. Phase élastique. Calculer l’énergie élastique de la structure définie par : 1/5

Où (EI)p (ES)c désignent respectivement la rigidité en flexion des poutres et en traction du câble. En déduire, par application du théorème du potentiel minimum les valeurs de l’effort de traction N dans le câble et du moment fléchissant MA au point A en fonction du chargement Q. Calculer le déplacement horizontal q de l’appui B. 3. Limite d’élasticité, phase élastoplastique et charge limite 3.1. A quelle condition la première plastification de produit-elle au point A ? Se plaçant dans le cas où cette condition est vérifiée, calculer la limite d’élasticité Qe de la structure. 3.2. On poursuit le chargement au-delà de cette limite d’élasticité (Q=Qe+∆Q, ∆Q≥0). En supposant que le point A reste en charge plastique (∆MA=0) décrire de problème isostatique associé à ∆Q, puis calculer ∆N et ∆q en fonction de ∆Q. Montrer que la règle d’écoulement plastique est bien vérifiée au point A. 3.3. Calculer la charge limite Ql de la structure et décrire le mécanisme de ruine plastique correspondant. Tracer la courbe donnant le chargement Q en fonction de q de l’état initial jusqu’à la ruine plastique de la structure. 3.4. Analyser la décharge totale de la structure effectuée à partir de la valeur Q = Ql, le câble n’ayant subi aucun allongement plastique. EXERCICE 2 : FLEXION ISOTROPE D’UNE PLAQUE CIRCULAIRE 12 pts

Une plaque ayant la forme d’un disque circulaire de rayon R et d’épaisseur 2h est soumise à un chargement défini par l’ensemble des conditions suivantes exprimées en utilisant les coordonnées cylindriques (figure):

2/5

3/5

4/5

C.A. = Cinématiquement admissible S.A. = Statiquement admissible

5/5