Exam ST1 Janvier 2015 [PDF]

Zitiervorschau

- Séries Temporelles Univariées Master 1 ESA - 2014-2015 - Semestre 1, session 1 ..... Aucun document autorisé à l’exception des tables statistiques Gilbert Colletaz 13 janvier 2015 - durée : 3 heures

Exercice 1 ( 2 points [1+1]) On considère le processus autorégressif suivant : (1 − 2.0L + 0.96L2 ) xt = ut

(1)

où L est l’opérateur de retard usuel et ut un bruit blanc de variance σu2 . 1. Ce processus est-il stationnaire (justifiez votre réponse) ? 2. Proposez une éventuelle transformation de la série x en une série y telle qu’un processus ARMA pourrait être ajusté sur la série y . Vous illustrerez votre proposition en indiquant les valeurs des yt associées aux 5 observations de x qui vous sont données dans la table 1.

Exercice 2 (3 points [1.5+1.5]) On considère trois aléatoires, xt , yt , et zt définies selon :  Pt  xt = (1 − θ) j=0 uj , yt = θut   zt = x t + y t

(2)

où ut est un bruit blanc de variance σu2 .

1. Quelles sont les espérance et variance de x. Le processus gouvernant xt est-il stationnaire ? Dans l’écriture ARIM A(p, d, q), précisez les valeurs des paramètres p, d et q qui le définissent. 2. Le processus gouvernant zt est-il stationnaire (justifiez votre réponse) ? Dans l’écriture ARIM A(p, d, q), précisez les valeurs des paramètres p, d et q qui le définissent.

Exercice 3 ( 5 points [2+1+2]) On considère l’équation suivante : xt = φxt−1 + ut − θut−4

avec θ = φ4 et ut un processus en bruit blanc de variance σu2 . 1

(3)

1. Vérifiez que les polynômes (1 − φL) et (1 − θL4 ) possèdent une racine commune et déduisez en conséquence l’écriture ARMA minimale pour x. Écrivez l’équation de cette écriture minimale. 2. Quelle(s) condition(s) faudrait-il imposer au coefficient φ pour avoir la stationarité de xt ? 3. Donnez les expressions des 4 premiers coefficients de la fonction d’autocorrélation de x .

Exercice 4 (4 points [2+1+1]) Un ensemble d’observations journalières obéit au processus suivant : yt = 100 + (1 − θ1 L)(1 − θ2 L7 )ut

(4)

1. Donnez les expressions des ρy (i), coefficients de corrélation entre yt et yt−i , pour i = 1, . . . , 10. 2. Quelles sont les expressions des deux premiers coefficients de la fonction d’autocorrélation partielle de la série y. 3. Application numérique avec θ1 = −0.8, θ2 = −0.6 et σu2 = 100. On vous donne également dans la table 2 les valeurs des 7 dernières innovations connues. Avec ces éléments, quelles prévisions optimales formulez-vous pour le mardi 13, le mercredi 14 , le samedi 31 janvier et le dimanche 1er février (rappelez au passage en quoi ces prévisions sont optimales). En plus de la prévision ponctuelle, donnez un encadrement à 95% de confiance pour ces prévisions.

Exercice 5 (3 points [1+2]) On a estimé sur une série observée pendant 263 mois les corrélations, corrélations partielles et corrélations inverses jusqu’à l’ordre 18. Les résultats sont présentés dans la table 3 ci-après. Au moyen de ces informations, 1. Diriez-vous que la série en question est stationnaire ou non stationnaire, et pourquoi ? 2. Quelle proposition de filtre feriez-vous (justifiez votre choix en 4 ou 5 lignes)

Exercice 6 (3 points [0.5+0.5+2]) On considère un processus ARMA(1,1) que l’on sait être stationnaire et inversible (1 − φL)(xt − μ) = (1 − θL)ut

(5)

où ut est un bruit blanc de variance σu2 . 1. Quelle est l’espérance de xt ? ˆt+1 , en fonction des informa2. Donnez l’équation de la prévision de x pour un horizon d’une période, i.e. t x tions connues en t et des paramètres du processus ARMA(1,1). 3. Donnez l’équation de la fonction de prévision pour un horizon de prévision h positif quelconque, i.e. exprimez la valeur de t x ˆt+h en fonction des informations connues en t et des paramètres du processus ARMA(1,1).

2

t 1 2 3 4 5

xt 12 24 30 27 42

Table 1 – 5 premières réalisations du processus xt

jour lundi 5 janvier mardi 6 janvier mercredi 7 janvier jeudi 8 janvier vendredi 9 janvier samedi 10 janvier dimanche 11 janvier lundi 12 janvier

ut 20 16 8 -12 10 -9 13 18

Table 2 – dernières innovations connues du processus yt

k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

rk -0.46 0.03 0.06 -0.11 0.07 0.03 -0.09 0.05 0.00 -0.05 0.27 -0.53 0.21 -0.00 -0.00 0.03 -0.00 -0.05

φˆkk -0.46 -0.22 -0.03 -0.12 -0.04 0.04 -0.05 -0.03 0.01 -0.04 0.28 -0.40 -0.26 -0.26 -0.16 -0.07 -0.02 -0.03

cor. inverse 0.52 0.31 0.021 0.24 0.19 0.19 0.18 0.20 0.16 0.19 0.26 0.51 0.23 0.23 0.13 0.10 0.08 0.07

Table 3 – corrélations, corrélations partielles et corrélations inverses estimées à l’ordre k

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