Equazioni alle derivate parziali a caratteristiche reali [1 ed.] 978-3-642-10911-9, 978-3-642-10913-3 [PDF]

Zitiervorschau

Luigi Amerio (Ed.)

Equazioni alle derivate parziali a caratteristiche reali Lectures given at the Centro Internazionale Matematico Estivo (C.I.M.E.), held in Varenna (Como), Italy, June 1-10, 1956

C.I.M.E. Foundation c/o Dipartimento di Matematica “U. Dini” Viale Morgagni n. 67/a 50134 Firenze Italy [email protected]

ISBN 978-3-642-10911-9 e-ISBN: 978-3-642-10913-3 DOI:10.1007/978-3-642-10913-3 Springer Heidelberg Dordrecht London New York

©Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011 st Reprint of the 1 ed. C.I.M.E., Florence, 1956 With kind permission of C.I.M.E.

Printed on acid-free paper

Springer.com

CENTRO INTERNATIONALE MATEMATICO ESTIVO (C.I.M.E)

1° Ciclo - Varenna, Villa Monastero – 1–10 giugno 1956

EQUAZIONI ALLE DERIVATE PARZIALI A CARATTERISTICHE REALI

M. Cinquini-Cibrario:

Equazioni non lineari e teoria delle caratteristiche ......

1

J. Leray:

La théorie de L. Gårding des équations hyperboliques lineaires ............................................... 191

S. L. Sobolev:

Lezioni sulle equazioni iperboliche non lineari.......... 231

A. Weinstein:

Equazioni alle derivate parziali singolari ................... 337

hl A R I A C I N QUI N I

C I BRA RIO

========================================;==

EQUAZIONI NON LI1ffiARI £ TEORIA DBLLE CARATTERISTICHE

Roma - Istituto Watem3tico dell'Universita

1

EgUAZIONl NON LINEAR1_.FJ._~]:Q~IA DELLE CARATTERISTICHE

di

M. C1NQUINI-0IIJlg'T:9

INTRODUZIONE Le presenti pagine riproducono, con qualche maggiore dettaglio, le lezioni da me tenute a Varenna in occasione del 1° Corso C.I.lIl.B. 1956 dal 1/VI/r56 al 10/VI/'56.

In tali lezioni, introdotte le equazioni ed i sistemi di

equazio~

di tipo iperbolico non lineari in due variabili

indipendenti, Bono state esposte le ricerche svolte secondo un indirizzo ben determinato; precisamente sono stati trattati quei metodi risolutivi, nei quali, direttamente

0

indirettamente,

viene utilizzata la teoria delle caratteristiche, la quale nelle presenti lezioni

e

ampiamente sviluppata sia per le equazio-

ni che per i sistemi di tipo iperbolico (nel campo delle funzioni di variabile reale). Alla fine delle present! lezioni grafia al1a quale

e

e

posta una Biblio-

stata data una certa ampiezza (elencando

anche lavori non citati nel testo delle lezioni)j anche la Bibliografia

e

stata redatta, tenendo conto dell'indirizzo,

nel quale Bono state svolte le lezioni: sonG stati elencati, per soli to, soltanto lavori relativi a equazioni

0

a sistemi

non lineari in due variabili indipendenti, e nel quall sono utilizzati i metodi, a cui si

e

accennato. Questi criteri giu-

stificano le evidenti lamme della Fibliografia stessa. Naturalmente nolla esposiziono e, in particolare, nelle notazioni, mi sonG spesso allontanata dalle memorie originali, cio sia per dare maggiore sncllezza e unita all'esposizione, sia per inquadrare meglio al011.,'1.i argomenti. 11 Cap.l tratta dell'equazione di tipo iperbolico del

3

- 2 1,1.

Cinquini- 01brario

secondo ordine

(I)

F(x,y;z; p,q;r,s,t) = 0 ,

per la quale, tenendo conto sia dei risultati di H. O. Nicoletti

Le~

e di

che di quelli dell 'A. , sono risolt1 i ben noti

problemi di Cauchl, di Darboux, di Goursat e misto. Alla risoluzione del problema di DarboUx e collegata la teoria delle striscie caratteristiche dell'equazione (I), che trova nelle presenti lezioni un assetto compiuto, ed e esposta in modo alquanto piu. ampio rispetto alle memorie originali delliA. (1) Alla fine ( ~ 6) si mostra come metodi e risultati s1 semplifichino nel caso dell'equazione quasi line are (II)

A(x,y;z;p,q) r + 2B( ••• ) s + C( ••• ) t = D( ••• ).

Ii cap.II

e dedicato,

seguendo per la massima larte

lavori dell'A., all'equazione di ordine

n

d1 tipo iperbolico

(III)

per la quale, 01 tre al problema di Cauchy, sono risol ti al,cuni particolari problemi di Goursat; viene inoltre trattata per esteso la teoria delle striscie caratteristiche. Anche nel caso dell'equazione di ordine n, la trattazione riesce semplificata, quando l'equazione sia quasi linears

+A

(1)

11("')P

n- ,

1

n- " 1

+... + A ( ... )p =C( ... ) on on

M.Cinquini.C1brarip,I4], § 6', p.220-224; (5), ~~3, p.11-19.

4

- 3 I:I.

ed a taie equazione

e

Cinquini-Cibrario

dedicato l'ultimo paragrafo ( ~ 5) del

Cap. III. Nel Cap. III sana esposte le ricerche delllA. intorno ai sistemi quasi-lineari di tipo iperbolico di equazioni del primo ordine

(v)

n >-j=1

-

lA .. (x,y;z1~z2'''·'z) P j + B'J'("') qJ' n

~J

...

(i dove q

1), sia un sistema di equazioni

non lineari, delle quali alcune siano di ordine

ma~~iore

di

uno, purehe tale sistema sia di tipo iperbolico. 11 Cap.IV contiene ulteriori ricerche relative ai sistellli quasi-lineari (V), che, in quasti u1timi anni sono stati oggetto di numerosi lavori, dovuti a varii autori e rivol'l;i, in gran parte, a risolvere il problema di Cauchy, sotto ipotesi via via piu ampie ;) con siJUboli svariati. Tra l' al tro sana definite (Cap. IV, ~ 3) Ie soluzioni in sensa generalizzato

zi

=

zi(x,y) (i :: 1,2, ••• ,n), dove le funzioni

5

~i~

sono

- 4 -

M. Cinquini·Cibrario

lipschitziane in entrambe

Ie variabili nel proprio campo di

definizione, e soddisfano il sistema (V) soltanto quasi ovunque; in tale campo funzionale valgono sia il teorema di unicita(1) che quello di esistenza(2) della soluzione del problema di

~­

chy. Infine (Cap. IV, 94). ricondotto il sistema quasi lineare (V) alIa forma (VII) (i = 1,2, ••• ,n)

si estende ancora i1 campo funzionale nel quale vengono ricercate Ie soluzioni del sistema (VII); le funzioni ~~ sono assolutamente continue in ~ c lipschitziane in x. In talc campo funzionale si possono dimostrare il teorema di esistenza(3) della soluzione del problema di Cauchy per 11 sistoma (VIII) e alcuni teoremi di unicita relativi pure al problema di Cauchy(4). (1) Douglis A.,

(45] (i numeri tra [ ] si riferiscono alla

Bibliografia finale), n.3 (p.128-129) (2)

]Lax P. D., [58 , (60 j

.

(3) M. Cinquini-Cibrario [23],gJ 1,2,3.

(4)

1,".

Cinguini-Cibrario [23

[291 ' [30) .

J' §4 •

6

s.

Cinguini,

[27] ,

[28],

- 5 -

U. Cinquini-Clbrario

Alcune tr~ le questioni trattate nelle pre senti lezioni sono gia esposte sistematicamente in qualche trattato (1); vi

e

pure qualche relaziohe riaSstintiva recants relativa ad alcuni gruppi di. riSul ta ti ( 2 )

D. Hilbert, [4o.J ' Kap.V (p.291-345).

(1) R. Courant e

R. Courant e K. Friedrichs, [38J ' Chap.II,nn.21-32 (p.38-78) R. Sauer, [70. j , Kap. I, ~ 5 (p.16-26) e § 6 (P. 26-31); Kap.III, p.62-146. D. Bernstein, [3] , Chap. II, E (p.66-84); Chap. III, A,B,C, D (p.85-147). (2) Ro Courant,

[3(1,

Lax P. D,_, [60.J.

(37J. Ro Oourant e PoD. Lax, [43J, W. Tollmien, [73] •

7

(44]-

- 6 I.~.

Cinquini-·Cibrario

Cap. I

L'EQUAZIONE NON LINEARE DEL SECONDO ORDINE Dr TIPO IPERBOLICO

Generalita. Definizione di curv9 e strisce caratteristiche 1. Sia data l'equazione a derivate parziali del secon-

do ordine in due variabili indipendenti (I)

F(x,y;z;p,q;r,s,t)

=0

dove (1)

, q =

r

2

=

, s =

~ z

d x dY

, t

La F(x.y;ziE.g;r.s,t) sia definita in un CamPO __D nel guale variano x.y,z.p.g,r.s.t. e sia ~~i ~:rI -(1); ~Ol­ tre l'eguazione (I) sia di tiEo

in tutto

iperb?~~o?i~

cioe sia

D. In tutto il presente capitolo suppor!emo stmpre che

valga la (2); supporremo

~nche

inoltre che in tutto

D sia,

p. es. F

r

.,. 0

(1) Hantenendo una notazione usata in mol ti tra i nostri lavori . diremo Dn lon un c a'n-po D una funzione che sia ivi continua con

tutte le sue derivate fino a quelle di ordine n incluso, e Dn_L n. una funzione D, le CUl. derivate n esime sono inoltre lipschitziar

8

- 7 M. Cinquini-Cib;rario

Consideriamo l'equazione di secondo grado in ) (4)

Fr ~

2

..... F s ~

+ Ft

=0

,

f

e siano ~1(x.y;z;p,g;r.s,t).

2(~)

le sue radiei, che, per

1e (2) e (3) aono reali, distinte e limitate in tutto Sia un campo

6e

z

= z(x,y) ivi

una

D.

soluzione della (I), definita in

DIII; 8i considerino le due equazioni

dif~

ferenziali (5)

~ = dx

~i

(x,y;z(x,y);p(x,y),q(x,y);r(x,y),s(x,y),t(x,y») (i

=

1,2).

Esse definiscono sulla superficie integrale

L :

Z

=

z(x,y)

della (I) due sistemi di curve, che si dicono curve caratteristiche; per ogni punta di!:

pas::Ja una e una sola curva

caratteristica di uno (fissato) dei due sistemi. 2. Supponiamo di avere fissat~ sulla superficie inte-

graIe.z::.. una curva caratteristica di £n2"

determinato, dEli

due sistemi, p.es. del primo (corrispondente a11a radice

)1

della (4», e siano y

1e sue equazioni, dove

y(x)

' z = z(x,y(x»

Ll!l e

una soluzione dell'equazione

differenziale (5) (per i = 1). Noi punti di (6 )

~ =p dx

iX,f-,¥) (~) dx

+ qy' (x)-,

.~ = dx

I'

+ sy' (x)· '

Derivando la (I) rispetto a 10 derivate terze di

= Fx

e

.~ =s dx

+ ty' (x).

Z, indicando con

z(x,y) e ponendo (1) dF C-.. ) = FY + dy

+ F zP + FPI' + F q s d};'

x e a

r

dF

F P + F s + F t.

z

P

q

(1) La notazione (-di)' %~ risale a E. Goursat [49] , Tome I, Chap. IV, n.77, p.172.

9

- 8 H. Cinquinl-Clb-no a1 ottengono 1e (7)

Fr'X+

Fs~+ FtY+ (~)

r (1+ F so~-+ F t

'F

= 0

D'altra parte nei punti di (8 )

dr

dx

= Q' +

rIJ y' (x)

de dx

;

=

r-

J+

rn + Oy' (x)

de dt ~, di' di' soet~tuendo nelle (7), e e 6oluzione della (5) (per .L.=...1.) e che °

(9 )

dr Frdx F

r

;;: 0

•

valgono le ;

* o+d =

R1cavando dalle (8) ()(, ~,r in funzione di

8i trova che nei punti di

(~) dy

valgono le

J

yl(X).

e di

tenendo conto che

e

11

radice della (4)J

(~) = 0 ; + (-Fr y'(x) + F 6 ) ~+ dx dx

-

dt + (-F y'(x) +F ) - + (~)

ds r ux

r

6

dy

dx

0

oioe dalle (7) si ottengono due equazioni, nelle qual! non oompaiono pill le derivate terze.Concludendo, nei punti della caratteristioa r, appartenente alla 6uperfioie integrale I , va1gono le (5) (per i

= 1), (6)

e (9); tali relazioni 9i poa90-

no anohe scrivere

(10)

dy

=

?1

dz

=

pdx + qdy

dx

...

dp = rdx + sdy ; dq

Fr dr + (-F r

dr dx = 11 + Fa ) ds + (dF)

Fr ds + (-F r

r1

+ F ) dt +

6

(~~

dx

sdx + tdy 0

=0

dove ~1 e una radioe della (4), e sia ~ che le derivate di ° ° dO~ x,y;z;p.q:r,s,. t (11 F sono f unZ10~

3. I1 sistema di equazioni (10) 6i pub considerare, fa-

{1~ Le equazioni

(10) si trovano in

Chap. IV, n.77, p.174, form. (7).

10

Z. Goursat, [49J ' Tome I,

- 9 ItI. Cinquini- Cibrar10

= z(x,y)

cendo astrazione dall'ipotesi che sia nota una soluzione z della (I); pensando, p.es.,

~

come variabile indipendente, Ie

(10) costituiseono un sistema di sei equazioni differenziali nelle sette funzioni iheogni"l;,. y,z,p,.q,r,s2,t (pensate come funzioni di

~);

se si da ad arbitrio una di esse, Ie a1tre sono de-

terminate da1 sistema delle equazioni differenziali (10), dandone i va10ri in un punto. Le

(11)

y ~ Y(x), z

= Z(x);

p

p(x), q

= Q(x).

r

= R(x),

Sex},

s

t = 'T(x)

e una

soluzione del sistema (10), e le funzioni (11) sono defi-

(~1'~2) e ivi DI, (1) si verifiea subito

nite in un interval10

che esse soddisfano anche 1a (12)

d F

perche la (12)

e una

=

0 ,

conseguenza immediata delle (10).

Se in un punta

~o di (~1'~2)

e

F(xo ,Y(x0 ); Z(x0 ); p(x ), Q(x ); R(x0 ), S(xo )' T(xo » 00 dal1a (12) segue ehe in tutto (13)

(~1'~2)

=0 ,

e

F(x, Y(x); Z(x); p(x), Q(x); R(x), Sex), T(x»

= O.

Se 1e funzioni (11) che costituiscono una soluzione

Dr

(10~, s.C!,