Elméleti fizika II. - Klasszikus erőterek [PDF]

Zitiervorschau

© Typotex Kiadó

ELMÉLETI FIZIKA II.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Gálfi László, Kunszt Zoltán, Niedermayer Ferenc, Typotex, 2010

© Typotex Kiadó

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Gálfi László, Kunszt Zoltán, Niedermayer Ferenc, Typotex, 2010

© Typotex Kiadó

L. D. Landau – E. M. Lifsic

ELMÉLETI FIZIKA II. KLASSZIKUS ERİTEREK

Typotex, 2010

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Gálfi László, Kunszt Zoltán, Niedermayer Ferenc, Typotex, 2010

© Typotex Kiadó

Az eredeti mő címe ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА II. – ТЕОРИЯ ПОЛЯ ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА» МОСКВА, 1973 Copyright © L. D. Landau és E. M. Lifsic, Moszkva, 1975 Hungarian translation © Gálfi László, Kunszt Zoltán, Niedermayer Ferenc, Boschán Péter, Typotex, 2010 ISBN 978-963-279-129-6

Minden jog fenntartva. A letöltött mővek három különbözı regisztrált számítógépen korlátlan alkalommal olvashatók, valamint összesen egy alkalommal kinyomtathatók. Bármilyen másolás, sokszorosítás, illetve a fájlok védelmének feltörése tilos!

Az elektronikus kiadást támogatta:

Ez a mő a Tankönyvkiadó 1976-os kiadásának digitalizálásával készült kereshetı módon A digitalizálásra a Typotex Kiadó adott engedélyt Felelıs kiadó: Votisky Zsuzsa Az elektronikus kiadás mőszaki szerkesztıje: Benkı Márta

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Gálfi László, Kunszt Zoltán, Niedermayer Ferenc, Typotex, 2010

© Typotex Kiadó

L. D. LANDAU Nobel-díjas (1908-1968)

E. M. LIFSIC Lenin-díjas (1915)

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Gálfi László, Kunszt Zoltán, Niedermayer Ferenc, Typotex, 2010

© Typotex Kiadó

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Gálfi László, Kunszt Zoltán, Niedermayer Ferenc, Typotex, 2010

© Typotex Kiadó

AZ ELSŐ ÉS MÁSODIK KIADÁS ELŐSZAVÁBÓL

Ezt a könyvet az elektromágneses és gravitációs terek elmélete tárgyalásának, tehát az elektrodinamikának és az általános relativitáselméletnek szenteltük. Az elektromágneses tér teljes, logikusan összefüggő elméletéhez szorosan hozzá tartozik a speciális relativitáselmélet. Ezért az utóbbit vettük a tárgyalás alapjául. A törvények levezetésében variációs elvekből indulunk ki, így végig biztosíthatjuk a tárgyalás legnagyobb általánosságát, egységét és lényegében egyszerűségét is. Elméleti fizika sorozatunk általános tervének megfelelően ebben a kötetben egyáltalán nem érintjük a polározható kondenzált közeg elektrodinamikájának problémáit. Itt a "mikroszkopikus" elektrodinamika- a vákuum és a ponttöltések elektrodinamikájának ,- kifejtésére szorítkozunk. A könyv olvasásához az elektromágneses jelenségeknek az általános fizikai tankönyvek színvonalán való ismerete szükséges. Ugyancsak jól kell tudni a vektoranalízist. Nem tételezzük fel a tenzoranalízis ismeretét, ezt a gravitációs terek elméletével párhuzamosan tárgyaljuk. ~OSZKVA,

1939. DECEMBER

~OSZKVA,

1947. JÚNIUS

www.interkonyv.hu

L.LANDAU,

E.LIFSIC

Hungarian translation © Gálfi László, Kunszt Zoltán, Niedermayer Ferenc, Typotex, 2010

© Typotex Kiadó

A HATODIK KIADÁS ELŐSZAVÁBÓL

E könyv első kiadása több mint harminc évvel ezelőtt jelent meg. Az azóta napvilágot látott kiadások alkalmával a könyvet többször átdolgoztuk és kiegészítettük; jelenlegi terjedelme majdnem kétszerese az eredetinek. Egyszer sem merült fel azonban annak szükségessége, hogy változtassunk az elmélet felépítésének L. D. Landau által javasolt módszerén vagy a kifejtés általa ihletett stílusán, amelynek fő jellemvonása az érthetőségre és egyszerűségre való törekvés. Minden erőmmel arra törekedtem, hogy ezt a stílust megőrizzem azokban az átdolgozásokban is, amelyeket már egyedül kellett elvégeznem. Az előző öt kiadáshoz képest az elektrodinamikának szentelt kilenc fejezet majdnem változatlan maradt. A gravitációs tér elméletét tárgyaló fejezeteket viszont átdolgoztuk és kiegészítettük. E fejezetek anyaga kiadásról kiadásra lényegesen bővült, végül szükségessé vált az anyag átcsoportosítása is.

MoszKVA, !972. DECEMBER

www.interkonyv.hu

E.M. LIFSIC

Hungarian translation © Gálfi László, Kunszt Zoltán, Niedermayer Ferenc, Typotex, 2010

© Typotex Kiadó

NÉHÁNY JELÖLÉS

Háromdimenziós mennyiségek A háromdimenziós tenzorindexeket görög betűkkel jelöljük. A térfogat-, felület- és hosszúságelemek: dV, df, dl. Egy részecske impulzusa és energiája: p és (;.. A Hamilton-függvény: dV. Az elektromágneses erőtér skalár- és vektorpotenciálja: rp és A. Az elektromos és mágneses térerősségek: E és H. A töltés- és áramsűrűség: 12 és j Az elektromos dipólmomentum: d. A mágneses dipólmomentum: m

Négydimenziós mennyiségek A négydimenziós tenzorindexeket az i, k, l, ... latin betűkkel jelöljük; ezek a O, l, 2, 3, értékeken futnak végig. A ( +, -, -, -) szignatúrájú metrikát használjuk. Az indexek fel- és lehúzása a (6,2) képlet szerint történik (29. oldal). Egy négyesvektor komponensei: Ai= (A 0 , A). A negyedrendű antiszimmetrikus egységtenzor: éklm, ahol e0123 = l (a meghatározást lásd a 32. oldalon). A négyes-helyzetvektor: x;= (ct, r). A négyessebesség: ui= dxijds. A négyesimpulzus: pi = ((;.j c, p). Az áram négyesvektora: / = (qz, ev). Az elektromágneses tér négyespotenciálja: Ai = (rp, A). F oAk oA; (F k . k , " , ,. Az el ek tromagneses eroter n egyestenzora: ik = oxi - oxk ik omponenseme és az E, H vektoroknak a kapcsolatát lásd a 89. oldalon). Az energia-impulzus négyestenzora: Tik (definícióját lásd a 112. oldalon).

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Gálfi László, Kunszt Zoltán, Niedermayer Ferenc, Typotex, 2010

© Typotex Kiadó

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Gálfi László, Kunszt Zoltán, Niedermayer Ferenc, Typotex, 2010

© Typotex Kiadó

I. FEJEZET

A RELATIVITÁS ELVE

l. §. A kölcsönhatások terjedési sebessége A természetben végbemenő folyamatok leírásához vonatkoztatási rendszerre van szükségünk. Vonatkoztatási rendszernek nevezzük a részecskék térbeli helyzetét megadó koordináta-rendszer és e rendszerben rögzített, az időmérésére szolgáló órák együttesét. Léteznek olyan vonatkoztatási rendszerek, amelyekben szabadon mozgó, azaz külső erők hatása alatt nem álló testek sebessége állandó. Az ilyen vonatkoztatási rendszert inerciarendszernek nevezzük. Ha két vonatkoztatási rendszer egymáshoz képest egyenes vonalú egyenletes mozgást végez, és az egyik inerciarendszer, akkor nyilvánvalóan a másik is az (minden szabadon mozgó test egyenes vonalú egyenletes mozgást végez ebben a rendszerben is). Ebből következik, hogy tetszőlegesen sok, egymáshoz képest egyenletesen mozgó inerciarendszer létezik. A tapasztalat szerint érvényes a relativitás elve. Ez az elv azt mondja ki, hogy a természettörvények valamennyi inerciarendszerben azonosak. Másképp megfogalmazva, a természettörvényeket kifejező egyenletek változatlanok maradnak, ha egy adott inerciarendszerről egy másikra térünk át. Ez azt jelenti, hogy egy bizonyos természettörvényt különböző inerciarendszerekben tér- és időkoordinátákkal kifejező egyenletek azonos alakúak. ' A mechanikában az anyagi részek kölcsönhatását a kölcsönható testek koordinátáitól függő potenciális energia segítségével adjuk meg. Könnyen belátható, hogy a kölcsönhatás ilyen leírása esetén hallgatólagosan feltételeztük azt, hogy az erőhatás terjedési sebessége végtelen nagy. Valóban, potenciális energia használata esetén egy kiszemelt részecskére a többiek által kifejtett erő minden időpontban csak a részecskék e pillanatban elfoglalt helyzetétől függ. Ha a kölcsönható részecskék bármelyikének megváltoztatjuk a helyzetét, az a többi részecskére kifejtett erőhatá­ sokban pillanatszerűen, késedelem nélkül megmutatkozik. A tapasztalat szerint azonban a természetben nem létezik pillanatszerű kölcsönhatás. Ezért a kölcsönhatások terjedésének pillanatszerűségét feltételező mechanika

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Gálfi László, Kunszt Zoltán, Niedermayer Ferenc, Typotex, 2010

© Typotex Kiadó

12

I. A RELATIVITÁS ELVE

pontatlan. Ha a kölcsönható testek egyikével valami történik, egy másik testen a valóságban ez csak bizonyos idő elteltével érződik. Csupán véges időtartam eltelte után figyelhetők meg a másik testen olyan folyamatok, amelyeket az adott változás idézett elő. Ha a két test távolságát elosztjuk a szóban forgó időinterval­ lummal, megkapjuk a kölcsönhatás terjedési sebességét. A kölcsönhatás maximális terjedési sebességének azt a sebességet nevezzük, amellyel a két test távolságát el kell osztanunk, hogy megkapjuk azt a minimális időtartamot, amelynek eitelte után az egyik testen végbement változások kezdik éreztetni hatásaikat a másikon. Nyilvánvaló, hogy ha van a kölcsönhatások terjedésének maximális sebessége, akkor a természetben semmilyen test sem mozoghat ennél a sebességnél gyorsabban. Ellenkező esetben ugyanis lehetővé válna, hogy a kölcsönhatások terjedésének maximális sebességénél gyorsabb test segítségével olyan új kölcsönhatást valósítsunk meg, amelynek a terjedési sebessége felülmúlná a kölcsönhatások terjedésének lehető legnagyobb sebességét. Egyik testtől a másikig terjedő kölcsönhatást gyakran "jelnek" nevezzük, amely az első testtől indul ki, és "közli" a második testtel az első testen végbement változásokat. A kölcsönhatások terjedési sebességét ilyenkor "jelsebességnek" mondjuk. A relativitás elvéből többek között az is következik, hogy a kölcsönhatások terjedési sebességének értéke minden inerciarendszerben ugyanakkora. Tehát a kölcsönhatások terjedési sebessége vonatkoztatási rendszertől független univerzális állandó. Később látni fogjuk, hogy ez az állandó sebesség a fény terjedésének sebessége vákuumban; éppen ezért á kölcsönhatások terjedésének maximális sebességét röviden fénysebességnek nevezzük. Jelölésére rendszerint a c betűt használjuk, számszerű értéke pedig:

c

= 2,998 ·1010 cm/s.

(1,1)

A gyakorlati esetek túlnyomó többségében a klasszikus mechanika elegendően pontosnak mutatkozik. Ez a fénysebesség nagy számértékével magyarázható: a mindennapi életben előforduló' sebességértékek a fénysebességhez képest általában annyira kicsik, hogy az eredmények pontosságát gyakorlatilag nem befolyásolja, ha a fénysebességet végtelen nagynak tételezzük fel. A relativitási elvnek és a kölcsönhatás véges terjedési sebességének egyesítését Einsteinféle relativitási elvnek nevezzük (A. Einstein 1905) a kölcsönhatás terjedési sebességének végtelenségét feltételező Galilei-féle relativitási elvtől való megkülönböztetésül. Az Einstein-féle relativitási elvet a továbbiakban egyszerűen relativitási elvnek mondjuk. A reá épülő mechanikát relativisztikus mechanikának nevezzük. Abban a határesetben, amikor mozgó testek sebességei kicsinyek a fénysebességhez képest, a kölcsönhatás terjedési sebességének véges volta elhanyagolhatóan kis befolyást

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Gálfi László, Kunszt Zoltán, Niedermayer Ferenc, Typotex, 2010

© Typotex Kiadó

1. §. A KÖLCSÖNHATÁSOK TERJEDÉSI SEBESSÉGE

13

:gyakorol a mozgásra. Ekkor a relativisztikus mechanika gyakorlatilag átmegy a szokásos mechanikába, amely eleve feltételezi,. hogy a kölcsönhatások terjedése pillanatszerű; ezt a mechanikát Newton-féle vagy klasszikus mechanikának nevezzük. A relativisztikus mechanikából a klasszikus mechanikát formálisan úgy kaphatjuk meg, hogy a relativisztikus mechanika képleteiben elvégezzük a c --+ = határme.netet. A tér már a klasszikus mechanikában is relatív, azaz a különböző események között fennálló térbeli kapcsolatok függenek attól, hogy azokat melyik vonatkoztatási rendszerben írjuk le. Az a kijelentés, hogy két különböző időpontban végbement esemény a tér ugyanazon helyén vagy egymástól adott távolságban megy végbe, ·csak akkor értelmes, ha megmondjuk: melyik vonatkoztatási rendszerhez viszonyítva tettük ezt a kijelentést. Az idő a klasszikus mechanikában abszolút: az idő tulajdonságai nem függenek a vonatkoztatási rendszertől, az idő minden vonatkoztatási rendszerben ugyanaz. Ha tehát valamely két esemény valamilyen megfigyelő számára egyidejű, akkor szük.ségképpen egyidejű lesz bármilyen másik megfigyelő számára. Általában két adott esemény között eltelt időintervallumnak minden vonatkoztatási rendszerben ugyanakkorának kell lennie. Könnyen belátható azonban, hogy az abszolút idő fogalma az Einstein-féle relativitási elvvel mély ellentmondásban áll. E célból elég felidézni, hogy az abszolút idő létén alapuló klasszikus mechanikában a sebesség-összetevésnek az a jól ismert .szabálya érvényes, amely szerint az összetett mozgás sebessége egyszerűen az összetevő sebességek vektorösszege. Ezt az általános törvényt kellene alkalmaznunk a kölcsönhatások terjedésére is, amiből azonnal következne, hogy a kölcsönhatások terjedési sebessége különböző inerciarendszerekben szükségképpen különböző. Így ellentmondásba kerülnénk a relativitás elvéveL A tapasztalat azonban teljes mértékben a relativitási elvet igazolja. A mérések szerint (először Miche!son, 1881-ben) a fény sebessége teljesen független terjedésének irányától; a klasszikus mechanika szerint a Földmozgásának irányában terjedő fény sebessége más, mint az ellentétes irányban terjedő fényé. A relativitási elvből ezek szerint az következik, hogy az idő nem abszolút. Az idő különböző vonatkoztatási rendszerekben különbözőképpen telik. Így az a kijelentés, hogy két adott esemény között valamilyen meghatározott időtartam telt el, csak akkor értelmes, ha megmondjuk azt is, melyik vonatkoztatási rendszerben tettük ezt a kijelentést. Például egy bizonyos vonatkoztatási rendszerben egyidejű események nem lesznek egyidejűek egy másik vonatkoztatási rendszerben. Ennek megvilágítása érdekében vizsgáljuk meg a következő egyszerű példát. Vegyünk két, Kés K' inerciarendszert (a koordinátatengelyek rendre x, y, z és x', y', z'), és tegyük fel, hogy aK' rendszer aK-hoz képest az x és x' tengelyek mentén jobbra mozog. (1. ábra).

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Gálfi László, Kunszt Zoltán, Niedermayer Ferenc, Typotex, 2010

© Typotex Kiadó

l. A RELATIVITÁS ELVE

14

z

z'

B ..-A~ C

y

XI

x

y' l. ábra

Induljanak ki jelek az x' tengely valamely A pontjából két ellentétes irányban. Minthogy a jel terjedési sebessége aK' rendszerben (mint minden inerciarendszerben és mindkét irányban) c, a jelek az A ponttól egyenlő távolságban levő B és C pontokat a K' rendszerben ugyanabban az időpillanatban érik el. Másrészről viszont könnyű meggyőződni arról, hogy ugyanaz a két esemény (a jel megérkezése B-be és C-be) egyáltalán nem lesz egyidejű aK rendszer megfigyelője számára. Valóban, a jel sebessége aK rendszerhez képest a relativitási elv szerint ugyancsak c, és minthogy a B pont (aK rendszerhez képest) elébemegy a feléje küldött jelnek, a C pont pedig (az A-ból a B-be küldött) jel irányával megegyező irányban mozog, a K rendszerben a jel a B pontba előbb érkezik, mint a C pontba. Ily módon az Einstein-féle relativitási elv az alapvető fizikai nézeteink lényeges megváltozásához vezet. A mindennapi tapasztalat alapján alkotott fogalmaink a térről és időről csak közelítőleg érvényesek, amit azzal tudunk megmagyarázni, hogy amindennapi életben csak olyan sebességértékekkel van dolgunk, amelyek nagyon kicsik a fénysebességhez képest.

2. §. Ívhossz A későbbiekben gyakran szerepel az esemény fogalma. Egy eseményt meghatároz az a hely, ahol végbemen t, és az az idő, amikor megtörtént Tehát valamely anyagi részecskével megtörtént eseményt a részecske három térbeli koordinátája és a történést jellemző időpillanat határoz meg. A szemléletesség kedvéért gyakran hasznos négydimenziós ábrázolást használni, amelynek tengelyein a három térkoordinátát és az időt mérjük fel. Ebben a négydimenziós térben az esemény egy ponttal ábrázolható. Ezeket a pontokat világpontoknak nevezzük. A négydimenziós térben minden részecskének egy bizonyos vonal (világ· vonal) felel meg. A világvonal pontjai meghatározzák a részecske koordinátáit minden időpillanatban. Az egyenes vonalú egyenletes mozgást végző anyagi pont világvonala egyenes.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Gálfi László, Kunszt Zoltán, Niedermayer Ferenc, Typotex, 2010

© Typotex Kiadó

2. §. ÍVHOSSZ

15

Most rnegf0g;alrnazzuk matematikai alakban a fénysebesség állandóságát. E célból felveszünk egy K és egy K' vonatkoztatási rendszert, melyek egymáshoz képest állandó sebességgel mozognak. Koordinátatengelyeiket úgy választjuk meg, hogy az x és x' tengelyek essenek egybe, az y és z tengelyek pedig legyenek párhuzamosak az. y' és z' tengelyekkel; az időt a K rendszerben t-vel, aK' -ben t' -vel jelöljük. Legyen az az első esemény, hogy a K rendszer XI, Yh ZI, koordinátájú pontjából aK rendszer fi időpillanatában egy fénysebességgel terjedő jel indul ki. Ennek a jelnek terjedését fogjuk nyomon követni a K rendszerből. Második esemény legyen az, hogy a jel a t 2 időpillanatban megérkezik az x 2, y 2, z 2 pontba. A jel fénysebességgel terjed, tehát az általa megtett út c(t 2 - ti). Ugyanakkor ez az út egyenlő az [(x 2 -xi)2 + +(y2-Y1?+(z2-zi)2]112 távolsággaL A két esemény K rendszerben érvényes koordinátái között fennáll tehát az alábbi összefüggés: (2,1) Ugyanez a két esemény (a jel terjedése) aK' rendszeren is rnegfigyelhető. Legyenek az első esemény koordinátái a K' rendszerben x~, y~, z~, t~, a második esernényé pedig x;, y~, z~, t~. AK és K' rendszerekben a fénysebesség azonos, tehát a (2,1)-hez hasonlóan azt kapjuk, hogy (x~ -xi) 2 + (y~-yi) 2 + (z~ -zi) 2 -c 2 (t~ -tD 2~= 0.

Ha

X1,

Yh

Z1, t1

és X2, y2, z2, s12

=

t2

(2,2)

valarnilyen két esemény koordinátái, akkor az

[c2(t2-tl)2-(x2-xl)2-(y2-Yl)2-(z 2-zi)2]1i 2

(2,3}

rnennyiséget a két esemény ívhosszának nevezzük. Minthogy a fénysebesség minden inerciarendszerben ugyanakkora, ha két esemény ívhossza az egyik rendszerben eltűnik, akkor az nulla az összes többi rendszerben is. Ha két esemény végtelenü! közel van egymáshoz, ívelenmégyzetük az alábbi rnódon adható meg: (2,4) A (2,3) vagy a (2,4) kifejezések alakja lehetővé teszi, hogy az ívhosszat forrnailag úgy kezeljük, mint egy négydimenziós tér (amelynek a tengelyeire az x, y, z koordinátákat és a ct szorzatot rnérjük fel) két pontjának távolságát. Az ívhossz nagyságát meghatározó szabályunk és a geometriai távolság kiszámítására vonatkozó szabály közt van azonban egy lényeges különbség: az ívhossz négyzetének képzésekor a különböző koordináták különbségeinek négyzetét nem azonos, hanern különböző előjelekkel kell összeadni.l A (2, 4)~kvadratikus alakkal meghatározott geometriát pszeudoeuklideszi geometriának nevezik, a szokásos euklideszi geometriától való megkülönböztetésül. Ezt a geometriát a relativitáselmélettel kapcsolatban G. Minkowski vezette be. 1

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Gálfi László, Kunszt Zoltán, Niedermayer Ferenc, Typotex, 2010

© Typotex Kiadó

16

I. A RELATIVITÁS ELVE

Amint a fentiekben megmutattuk, ha valamely inerciarendszerben ds = O, akkor egy másik inerciarendszerben is ds' = O. Másrészről ds és ds' azonos rendben végtelen kicsiny mennyiségek. Ebből a két tulajdonságból következik, hogy ds2 -nek és ds' 2 -nek arányosaknak kelllenniük egymással:

ds2 =a ds' 2 • Itt az a együttható csupán a két inerciarendszer relatív sebességének abszolút értékétől függhet. (A hely- és időkoordinátáktól azért nem függhet, mert akkor a tér különböző pontjai és a különböző időpillanatok nem lennének egyenértékűek, ami ellentmondásban áll a téridő homogenitásávaL Nem függhet a relatív sebesség irányától sem, mert ez a tér izotrop voltának mondana ellent.) Vizsgáljunk meg ezek után három vonatkoztatási rendszert, K-t, K1·et, Kd, és jelöljük V1-gyel és Vz-vel a K1 és K2 rendszer K-hoz viszonyított mozgásának sebességét. Ekkor ds2 = a (V1) ds!, ds2 = a (V2) ds~. Ugyanilyen joggal azt is írhatjuk, hogy ds~

= a (V12) ds~,

ahol V12 a K2 rendszer Jú-hez viszonyított mozgása sebességének abszolút értéke. Ezeket az egyenlőségeket egymással összehasonlítva, azt kapjuk, hogy teljesül az (2, 5)

összefüggés. De V12 nemcsak a V1 és V2 vektorok abszolút értékétől, hanem a közöttük levő szögtől is függ. Ugyanakkor (2,5) bal oldalán ez a szögfüggés nem lép fel. Ezért a (2,5) összefüggés csak akkor lehet érvényes, ha az a(V) függvény állandó. Az állandó értéke (2,5) szerint csak l lehet, tehát (2,6) A végtelen kicsiny ívelemek egyenlőségéből a véges ívhosszak egyenlősége is következik: s = s'. Végeredményben így ahhoz a nagyon jelentős eredményhez jutottunk, hogy az események ívhossza minden inerciarendszerben ugyanaz, tehát az ívhossz invariáns minden olyan transzformációval szemben, amely egy adott inerciarendszerről valamilyen másik inerciarendszerre való áttérést jelent. Ez az invarianciatulajdonság éppen a fénysebesség változatlanságának matematikai megfogalmazása. Valamely K vonatkoztatási rendszerben jelölje ismét x1, Yh z1, t1 és x 2, y 2, z 2, t 2 két esemény koordinátáit. Kérdés, létezik-e olyan K' vonatkoztatási rendszer, amelyben ez a két esemény a tér ugyanazon pontjában megy végbe.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Gálfi László, Kunszt Zoltán, Niedermayer Ferenc, Typotex, 2010

© Typotex Kiadó

2. §. ÍVHOSSZ

17

Bevezetve a lz-tl

(xz-xi) 2+(yz-Y1)2+(zz-zi)2 = lrz

= t1z,

jelölést, az események ívhosszának négyzete a K rendszerben

és a K' rendszerben .Az ívhossz invarianciája miatt

.Azt akarjuk, hogy aK' rendszerben a két esemény ugyanabban a térbeli pontban menjen végbe, azaz /~ 2 = O legyen. Ekkor

Tehát a kívánt tulajdonságú vonatkoztatási rendszer akkor létezik, ha s~ 2 > O, azaz az események ívhossza valós. A valós ívhosszakat időszerű ívhosszaknak nevezzük. Ha tehát két esemény között az ívhossz időszerű, akkor létezik olyan vonatkoztatási rendszer, amelyben a két esemény ugyanazon a helyen megy végbe. Ebben a rendszerben a két esemény között eltelt idő: '

tl2

2 /z12 = -sl2 . = -cl ,/vc2t12c

(2,7)

Ha két esemény ugyanazzal a testtel történik meg, akkor a két esemény intervalluma mindig időszerű. Valóban, az az út, amit a test a két esemény között megtesz, nem lehet több, mint ct12 , mivel a test sebessége nem lehet nagyobb, mint a fénysebesség. Ezért mindig teljesül, hogy Ezek után felvetődik a kérdés, lehetséges-~ olyan koordináta-rendszert választani, amelyben a két esemény ugyanabban az időpillanatban megy végbe? Csakúgy, mint .az előzőekben, a Kés K' rendszerekben most is igaz, hogy c 2 t~2 -li2 = c 2 t~~-~~~­ .Azt követeljük, hogy t~ 2 = O legyen, tehát

Következésképpen csak abban az esetben lehet találni a keresett tulajdonságú rendszert, ha a két esemény ívhossza képzetes. A képzetes ívhosszakat térszerű ívhoszszaknak nevezzük. Ha tehát két esemény ívhossza térszerű, akkor létezik olyan vonatkoztatási 2 Elméleti fizika II. -42 221/II.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Gálfi László, Kunszt Zoltán, Niedermayer Ferenc, Typotex, 2010

© Typotex Kiadó

18

I. A RELATIVITÁS ELVE

rendszer, amelyben a két esemény egyidejű. Ebben a rendszerben az események távolsága: 2t2 . l12 - ,/!2 (2, 8) Y 12 -C 12 - lS12 • l

-

Az ívhosszak időszerű és térszerű ívhosszakra való felosztása (az ívhossz invarianciája miatt) abszolút fogalom. Ez azt jelenti, hogy az ívhossz időszerű vagy térszerű volta nem függ a vonatkoztatási rendszertől. Válasszunkmost valamilyen eseményt- jelöljük O-val- a négydimenziós téridő­ koordinátarendszer origójának. Így a négydimenziós koordináta-rendszerben, amelynek ten_gelyeire az x, y, z és t értékeit mérjük fel, az O eseménynek megfelelő világpont

a

abszolút jövő

c

abszolút

elválasztott abszofút

múlt d

l

b

2. ábra

a koordináták kezdőpontja lesz. Vizsgáljuk meg ezek után, milyen viszonyban van az adott O eseménnyel a többi esemény. A szemléletesség kedvéért csak az időt és az egyik térkoordinátát vegyük szemügyre, amelyeket két tengelyre mérünk feL Az x = O, t = O ponton áthaladó, egyenes vonalú egyenletes mozgást végző részecskét olyan egyenes vonal ábrázolja, amely átmegy O-n és a t tengelyhez viszonyított meredeksége egyen16 a részecske sebességéveL Minthogy a lehető legnagyobb sebesség a fénysebesség, létezik legnagyobb szög, amelyet a szóban forgó egyenes a t tengellyel bezárhat. A 2. ábrán két olyan egyenest tüntettünk fel, melyek két, az O eseményen (azaz az x= Oponton, t= O-ban) ellentétes irányban áthaladó jel (fénysebességgel történő) terjedését ábrázolják. Mindazok a vonalak, amelyek részecskék mozgásait ábrázolják, csak az aOc és dOb tartomány belsejében fekhetnek. Az ab és cd egyenesek egyenletenyilvánvalóan x = ±ct. Vizsgáljuk megmost azokat az eseményeket, amelyeknek világvonalai az aOc tartomány belsejében futnak. Könnyű belátni, hogy e tartomány minden pontjában c2 t 2 -x2 >O. Más szóval, e tartomány bármely pontjának és az O eseménynek az intervalluma időszerű. Ebben a tartományban t> O, azaz e tartomány mindegyik eseménye az O esemény "után" ment végbe.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Gálfi László, Kunszt Zoltán, Niedermayer Ferenc, Typotex, 2010

© Typotex Kiadó

3.§. SAJÁTIDŐ

19

Két olyan esemény azonban, amelyet időszerű ívhossz választ el, semmilyen vonatkoztatási rendszerben sem lehet egyidejű. Nincsen tehát olyan vonatkoztatási rendszer, amelyben az aOc tartomány bármely eseménye az O esemény "előtt" ment volna végbe, vagyis amikor t -< O volt. Tehát az aGe tartomány minden eseménye j_övőbeli az O eseményhez képest, mégpedig bármelyik vonatkoztatási rendszerben. Ezért ezt a tartományt az O eseményhez viszonyított "abszolút jövőnek" nevezhetjük. Teljesen hasonlóan abOdtartomány mindegyik eseménye "abszolút múltbeli" az O eseményhez képest, hiszen e tartomány eseményei minden vonatkoztatási rendszerben az O esemény előtt mentek végbe. Végül vizsgáljuk még meg a dOa és cOb tartományokat. E tartomány bármelyik eseményének és az O eseménynek az ívhossza térszerű. Ezek az események bármelyik vonatkoztatási rendszerben különböző térbeli pontokban játszódnak le. Ezért ezeket a tartományokat az O eseményétől "abszolút elválasztott" tartományoknak nevezhetjük. Az "egyidejű", "előbb" és "később" fogalmak mindezen eseményekre relatívek. E tartományban bármely esemény hez lehet találni olyan vonatkoztatási rendszert, amelyben az esemény korábban zajlik le, mint O, olyat, amelyben később zajlik le, mint O, és végül olyan rendszert is, amelyben a vizsgált esemény O-val egyidőben megy végbe. Ha az egy térbeli koordináta helyett mind a három térkoordinátát figyelembe veszszük, akkor a 2. ábra két egymást metsző egyenesei helyett az x, y, z, t koordináták négydimenziós koordináta-rendszerében az xz+ y 2 + z 2 - c2 t2 = O "kúpot" kapjuk, amelynek tengelye a t tengellyel esik egybe. (Ezt a kúpot "fénykúpnak" szokás nevezni.) Az "abszolút jövő" és az "abszolút múlt" tartományai természetesen e kúp belső tartományát képezik. Két esemény között csak akkor lehet oksági összefüggés, ha közöttük az intervallum időszerű. Ez közvetlen következménye annak, hogy semmilyen kölcsönhatás sem terjedhet a fénysebességnél nagyobb sebességgel. Amint a fentiekben láttuk, ilyen eseményekre a "korábban", "későbben" fogalmaknak abszolút értelmük van, és ez szükséges feltétele annak, hogy az ok és okozat fogalmainak fizikai értelme legyen.

3. §.

Sajátidő

Tételezzük fel, hogy valamilyen inerciarendszerből figyelünk egy hozzánk képest mozgó órát. Az óra mozgása bármely pillanatban meghatározott sebességgel jellemezhető. Így minden időben található az órával pillanatnyilag együttmozgó (egyező sebességű) koordináta-rendszer, amelynek a sebessége állandó, amely tehát inerciarendszernek tekinthető. tetszőlegesen

2*

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Gálfi László, Kunszt Zoltán, Niedermayer Ferenc, Typotex, 2010

© Typotex Kiadó

20

l. A RELATIVITÁS ELVE

Végtelenü! kicsi dt időtartam elteltével (a nyugvó, azaz a mi rendszerünkben órán mérve) a mozgó óra

levő

távolságban lesz. Kérdés, mekkora dt' időtartam elteltét mutatja ugyanekkor a mozgó óra? A mozgó órához rögzített koordináta-rendszerben ez az óra nyugalomban van, így ott dx:' = dy' = dz' = O. Az ívelernnégyzet invarianciája miatt

amiből

dt ' = dt

v1-

dx2+dy2+dz2 c2 dt2

De

ahol v a mozgó óra pillanatnyi sebessége; így dt' =ds - = dt

c

v-v'i

1--. 2 c

Ezt a kifejezést integrálva, megkaphatjuk a mozgó óra által jelzett ha a nyugvó óra szerint t 2 - t1 időtartam telik el:

(3,1)

t;- t~ időtartamo t, (3,2)

Azt az időt, amelyet valamely adott tárggyal együtt mozgó óra mér, a szóban forgó tárgy sajátidejének nevezzük. A (3,1) és (3,2) képletek a sajátidőt annak a vonatkoztatási rendszernek az idejével kifejezve adják meg, amelyben a mozgást vizsgáljuk. A (3,1) vagy a (3,4) képletekből láthatjuk, hogy a mozgó objektum sajátideje mindig kisebb annál az időtartamnál, amit a nyugvó rendszerben mérünk. Másképp kifejezve, a mozgó órák lassabban járnak, mint a nyugvók. Végezzen egy óra egyenes vonalú egyenletes mozgást a K inerciarendszerhez képest. Az órához rögzített K' vonatkoztatási rendszer szintén inerciális. Ekkor aK-ban ülő megfigyelő szerint aK' rendszer órái lassabban járnak, mint a saját órái. Fordítva, a K' rendszerbeli megfigyelő szerint a K rendszerbeli órák járnak lassabban. Meggyőződhetünk arról, hogy ez nem jelent semmiféle ellentmondást, ha figyelembe

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Gálfi László, Kunszt Zoltán, Niedermayer Ferenc, Typotex, 2010

© Typotex Kiadó

3. §: SAJÁTIDŐ

21

vesszük a következőket. Ha ki akarjuk mutatni, hogy a K' rendszerbeli órák késnek a K rendszerbeli órákhoz képest, a következőképpen járhatunk el. Egy bizonyos időpillanatban haladjon el egy K' -ben levő óra egy K-ben levő óra mellett, és az órák állása egyezzen meg. Ha egy későbbi időpillanatban össze akarjuk hasonlítani a Kés K' óráinak járását, aK' rendszer előbb tárgyalt óráját most aK rendszer egy másik órájával kell egybevetnünk, azzal, amelyik mellett a K' -ben levő óra a későbbi idő­ pillanatban éppen elhalad. Azt kapjuk, hogy a K' -ben kiszemelt óra késik K óráihoz képest. Látjuk, hogy két különböző rendszerben levő órák járását akkor tudjuk összehasonlítani, ha van néhány óránk az egyik és egy óránk a másik rendszerben. Eljárásunk tehát nem szimmetrikus a két rendszerre nézve. Mindig az az óra késik, amelyet a másik vonatkoztatási rendszer különböző óráival hasonlítunk össze. Tekintsünk két órát, amelyek egyike zárt pályán mozog a másik (inerciarendszerünkben nyugvó) órához képest. Amikor a mozgó óra visszatér a kiindulási pontba, a mozdulatlan órához, azt tapasztaljuk, hogy a mozgó óra késik a mozdulatlan órához képest. A fordított érvelés, amely a mozgó órát tekintené mozdulatlannak, most nem használható, minthogy az olyan óra, amely zárt pályán mozog, nem végez. egyenes vonalú egyenletes mozgást, tehát a hozzá rögzített vonatkoztatási rendszer nem lehet inerciarendszer. Ha a természettörvények csak inerciarendszerekben azonosak, az álló órához. (inerciarendszer), illetve a mozgó órához (nem inerciális rendszer) rendelt vonatkoztatási rendszerek különböző tulajdonságúak, így az a megfontolás, amely szerint a nyugvó órának késnie kell a mozgóhoz képest, többé nem érvényes. Bármely óra által mutatott időtartam egyenlő az ennek az órának a világvonala , l ds vonal menti integrállaL Ha az óra nyugalomban van . , menten vett ,VI1agvona1a c az időtengeilyet párhuzamos egyenes; ha azonban az óra zárt görbe mentén végez gyorsuló mozgást, és visszatér a kiindulási helyre, akkor világvonala olyan görbe, amely a nyugvó óra egyenes világvonalát két pontban metszi: a mozgás kezdetén,. illetve végén. Láttuk azonban, hogy a nyugvó órák mindig nagyobb időtartaroot mutatnak, mint a mozgók. Ily módon azt a végkövetkeztetést vonhatjuk le, hogy két adott világpont között az Jds vonal menti integrál akkor maximális, ha e két pontot összekötő egyenes mentén integrálunk. 2

I

2 Természetesen mindig felt~telezzük. hogy ezek a pontok és a pontokat összekötő vonalak olyanok, hogy minden ds vonalelem időjellegű. Az integrál fent kimutatott tulajdonsága a négydimenziós geometria pszeudoeuklideszi voltával kapcsola tos. Euklideszi térben az egyenes vonal mentén vett integrál természetesen minimális lenne ...

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Gálfi László, Kunszt Zoltán, Niedermayer Ferenc, Typotex, 2010

© Typotex Kiadó

22

l. A RELATIVITÁS ELVE

4. §. Lorentz-transzformáció Az alábbiakban meghatározzuk az egyik inerciarendszerről a másikra való áttérés transzformációs képleteit, vagyis azokat az összefüggéseket, amelyek segítségével egy esemény valamely K inerciarendszerbeli x, y, z, t koordinátáinak ismeretében ki tudjuk számítani ugyanannak az eseménynek egy K' inerciarendszerbeli x', y', z', t' koordinátáit. A klasszikus mechanikában e feladat megoldása nagyon egyszerű. Az abszolút idő feltételezésének megfelelő en t = t'; továbbá ha a koordinátatengelyeket úgy választjuk, ahogy azt eddigi példáinkban tettük (tehát az x és x' tengelyek egybeesnek, az y, z tengelyek párhuzamosak az y', z' tengelyekkel, a mozgás pedig az x és x' tengelyek mentén történik), akkor az y és z koordináták nyilván megegyeznek az y' és z' koordinátákkal, az x és x' koordináták pedig azzal a távolsággal különböznek, amelyet az egyik rendszer a másikhoz képest megtett. Ha az időt attól a pillanattól mérjük, amikor a két rendszer koordinátái egybeestek, továbbá ha a K' rendszer sebességeK-hoz képest V, akkor ez aszóban forgó távolság V t. Tehát

x = x'+ V t,

y =y',

z = z',

t = t'.

(4,1)

Ezek a képletek írják le a Galilei-transzjormációt. Könnyű belátni, hogy ez a transzformáció nem tesz eleget a relativitási elvnek: két esemény ívhossza egy ilyen transzformáció alkalmával nem marad változatlan. A relativisztikus transzformációs képletek éppen abból a követelményből kiindulva határozhatók meg, hogy a transzformáció során az események között az intervallumok változzanak. Amint a 2. §-ban láttuk: két esemény intervallumát a megfelelő két világpont távolságának tekinthetjük a négydimenziós koordináta-rendszerben. Azt mondhatjuk tehát, hogy a keresett transzformáció szükségképpen minden távolságot változatlanul hagy az x, y, z, ct négydimenziós térben. Ilyen transzformáció azonban csak a párhuzamos eltolás és a koordináta-rendszer forgatása. Közülük a koordináta-rendszernek önmagával való párhuzamos eltolása érdektelen, mivel az nem jelent mást, mint a térkoordináták origójának eltolását és az időmérés kezdőpillanatának megváltoztatását. Tehát a keresett transzformáció matematikailag az x, y, z, t négydimenziós koordináta-rendszer elforgatásaként adható meg. A négydimenziós térben minden forgatásthat speciális forgatásbóllehet összetenni, mégpedig az xy, zy, xz, tx, ty, tz síkokban való forgatásokból (ahhoz hasonlóan, ahogy a közönséges térben minden forgatást három, az xy, zy és xz síkokban való

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Gálfi László, Kunszt Zoltán, Niedermayer Ferenc, Typotex, 2010

© Typotex Kiadó

4. §. LORENTZ-TRANSZFORMÁCIÓ

23

forgatásból tehetünk össze). E hat forgatásból az első három csupán a térkoordinátákat transzformálja; ezek aszokásos háromdimenziós forgatások. Vizsgáljuk ezek után a tx síkbeli elforgatást; ebben az esetben az y és z koordináták változatlanqk maradnak. Az ilyen transzformációnak spedálisan a (ct) 2 -x2 kü· lönbséget (a ct, x pont origótól mért "távolságának" négyzetét) kell változatlanul hagynia. A régi és az új koordináták kapcsolata e transzformáció esetében a legáltalánosabb alakban az alábbi képletekkel adható meg: x= x' ch 1p+ct' sh 'IfJ,

ct= x' sh 1p+ct' ch 'IfJ,

(4,2)

ahol 'IfJ az "elfordulás szöge". Könnyen beláthatjuk, hogy a (4,2) transzformáció esetén valóban fennáll a c2 t 2 -x2 = c2 t' 2 -x' 2 egyenlőség. A (4,2) összefüggések abban 1 különböznek a koordinátatengelyek forgatását megadó szokásos képletektől, hogy bennük trigonometrikus függvények helyett hiperbolikus függvények szerepelnek. Ebben nyilvánul meg a pszeudoeuklideszi és az euklideszi geometria különbsége. Írjuk most fel a K inerciarendszerről olyan K' inerciarendszerre történő áttérés szabályait, amely K-hoz képest V sebességgel mozog az x tengely mentén. Nyilvánvaló, hogy a transzformáció ebben az esetben csupán az x koordinátát és a t időt változtatja meg. Ezért a régi és az új koordináták kapcsolata (4,2) alakú, csupán a 'IfJ szöget kell meghatároznunk, mely csak a V relatív sebességtől függhet. 3 Vizsgáljuk a K rendszerből K' origójának a mozgását. Ekkor x' = O, a (4.2) kép· letek x = ct' sh 'IfJ, ct = ct' ch 'IfJ alakúak lesznek; egyiket a másikkal elosztva:

x -=th'ljJ. ct Nyilvánvaló azonban, hogy xjt a K' rendszernek a K-hoz viszonyított V sebessége. Tehát

v

th'ljJ = - . c Ebből

v l Ch'!jJ=R. V2 1 -c23 A félreértések elkerülése végett megjegyezzük, hogy V-vel mindenütt a két inerciarendszer .állandó relatív sebességétjelöljük, v-vel pedig a mozgó részecske sebességét; az utóbbinak egyáltalán nem kell állandónak lennie.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Gálfi László, Kunszt Zoltán, Niedermayer Ferenc, Typotex, 2010

© Typotex Kiadó

24

l; A RELATIVITÁS ELVE

Ezeket az összefüggéseket (4,2)-be helyettesitve, kapjuk, hogy

v

x'+Vt' x= V2' 1-c2

y= y',

z= z',

(4,3)

Ezek a keresett összefüggések. A (4,3) képletek írják le a Lorentz-transzformációt, amely a későbbiek szempontjából alapvető jelentőségű. Az x', y', z', t' koordinátákat x, y, z, t-vel kifejező inverz összefüggéseket V-nek -V -vel való helyettesítésével kaphatjuk meg a legegyszerűbben, (minthogy a K rendszer a K'-höz képest- V sebességgel mozog). Ezeket az inverz képleteket közvetlenül is megkaphatjuk a (4,3) egyenletnek x', y', z', t'-re való megoldásávaL Könnyűbelátni (4,3) segitségével, hogy a c ...... = határesetben a Lorentz-transzformáció képletei valóban átmennek a klasszikus mechanikában megismert Galileitranszformáció képleteibe. V > c es etén a (4,3) összefüggések szerint az x, t koordináták képzetessé válnak.. Ebbó1 arra kell következtetnünk, hogy a fénysebességnél nagyobb sebességű mozgás nem lehetséges. Sőt olyan koordináta-rendszert sem használhatunk, amely a fény· sebességgel megegyező sebességgel mozog - ebben az esetben ui. a (4,3) képletben a nevező zérussá válna. A fénysebességhez képest kis sebességek esetén (4,3) helyett az alábbi közelítő képleteket kapjuk:

x= x'+Vt',

y= y',

z= z',

t=

t'+~ x'. c

(4,4}

Tekintsük a K rendszerben nyugvó, x tengeily el párhuzamos vonalzó t. Ennek hoszszát aK rendszer megfigyelője Llx = x2-x1 értékűnek méri. (x2 és x1 a vonalzó két végének a koordinátái aK rendszerben.) Me kk ora ugyanennek a vonalzónak a hossza a K' rendszerben? E célból meg kell határoznunk valamilyen t' időpillanatban a vonalzó végeinek koordinátáit (x~ és x~) ebben a rendszerben. (4,3) szerint: x~+Vt' Xl

=v V2' 1-c2

.

A rúd hossza aK' rendszerben Lfx' = x~-x~; kivonva x 2 -ből x 1 -et, az találjuk, hogy

Ll x' Llx =v V 2 . 1-c2

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Gálfi László, Kunszt Zoltán, Niedermayer Ferenc, Typotex, 2010

© Typotex Kiadó

4.§. LORBNTZ-TRANSZFORMÁCIÓ

25

A rúd sajáthosszának nevezzük a rúdnak abban a koordináta-rendszerben mért hosszúságát, amelyben az nyugalomban van. Jelölje lo = Llx a sajáthosszat. Valamilyen másik K' rendszerben a rúd hossza legyen l. Ekkor (4,5) A rúd. hossza tehát abban a rendszerben a legnagyobb, amelyikben nyugalomban van.

'

A rúd hossza olyan rendszerben, amelyben az V sebességgel mozog, Y1- V 2 / c2 -szer rövidebb. A speciális relativitáselméletnek ezt az eredményét Lorentz-kontrakciónak nevezzük. Minthogy a test transzverzális méretei mozgása folyamán nem változnak, a test ({)térfogata l-hez hasonlóan csökken: (4,6) ahol

mo a test sajáttéifogata.

A Lorentz-transzformáció segítségéveilevezethetjük a sajátidőre vonatkozó ismert eredményünket is (3.§). Legyen egy óra nyugalomban a K' rendszerben. Két eseményként válasszunk olyan eseményeket, amelyek aK' rendszerben a térnek ugyanabban az x', y', z', pontjában mennek végbe. E két esemény közt eltelt idő a K' rendszerben legyen Lit' = t~- t~. Határozzuk most meg azt a Lit időtartamot, amely a K rendszerben ugyanezt a két eseményt elválasztja. (4,3)-ból azt kapjuk, hogy

Az egyiket a másikból kivonva:

teljes egyezésben a (3, l )-gyel. Végül megemlítjük a Lorentz-transzforinációnak még egy olyan általános tulajdonságát, amelyben különbözik a Galilei-transzformációtóL A Galilei-transzformációk egymással felcserélhetők, ami azt jelenti, hogy két, egymást követő Galileitranszformáció (különböző V 1 és V 2 sebességekkel) végeredménye független végrehajtásuk sorrendjétőL Két, egymást követő Lorentz-transzformáció eredménye viszont

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Gálfi László, Kunszt Zoltán, Niedermayer Ferenc, Typotex, 2010

© Typotex Kiadó

26

L A RELATIVITÁS ELVE

általában függ elvégzésük sorrendjétőL Tisztán matematikai szempontból ez a tulajdonság már abból látható, hogy a Lorentz-transzformációt formálisan a négydimenziós koordinátatérben forgatásként értelmeztük Ismeretes, hogy két (különböző tengely körül végzett) forgatás eredménye függ a forgatás végrehajtásának sorrendjétőL Kivételt csak a párhuzamos V1 és V 2 vektoroknak megfelelő transzformációk képeznek (ami a koordináták négydimenziós terében azonos tengely körül elvégzett két forgatásnak felel meg).

5. §. Sebességek transzformációja Az előző fejezetben sikerült levezetnünk azokat a képleteket, melyek lehetővé teszik, hogy egy esemény valamilyen inerciarendszerben adott koordinátáiból kiszámítsuk egy másik rendszerbeli koodinátáit. Most meghatározzuk egy mozgó részecske különböző inerciarendszerben érvényes sebességkomponenseinek összefüggéseit. Válasszuk ismét úgy aK és K' inerciarendszert, hogy aK' aK rendszerhez képest V sebességgel mozogjon az x tengely mentén. Legyen vx = dxfdt a részecske sebességének x komponense aK rendszerben, v~ = dx' fdt' pedig e részecske sebességének x komponense aK' rendszerben. (4,3) szerint: dx

= dx'+V dt' v2'

V

dy

= dy',

dz= dz',

l--

Elosztva az

első

c2

dt'+!:_ dx' c2 dt =--===--

~

három egyenletet a negyedikkel, továbbá bevezetve a dr'

dr

v =dt'

v'= dt'

jelöléseket, azt kapjuk, hogy

v'Y

v~+ V

v'V' 1+-xc2

Vy

=

-p2 l -c2 -

V

v'V ' 1+-xc2

(5,1)

Ezek a képletek határozzák meg a sebesség transzformációját (5,1) a sebességösszetevés szabálya a speciális relativitáselméletben. A c - = határesetben azt kapjuk, ' v, vy = vy,' vz = vz.' h ogy vx = vx+

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Gálfi László, Kunszt Zoltán, Niedermayer Ferenc, Typotex, 2010

© Typotex Kiadó

5. §. SEBESSÉGEK TRANSZFORMÁCIÓJA

27

Speciálisan, ha a részecske mozgása az x tengellyel párhuzamos, v x= v, vY= V2 = V2' = o, vx' = v ,,es

"kh ' = = O, azt k apJU , ogy vY

V=

v'+V v'V 1+ c2-

(5,2)

Könnyű belátni, hogy amíg az összetevő sebességek kisebbek a fénysebességnél, vagy azzal egyenlőek, az eredő sebesség sem lehet nagyobb a fénysebességnéL A fénysebességnél jóval kisebb V sebességértékek esetén (tetszőleges v mellett) Vjc szerint sorba fejthetünk Első rendben azt kapjuk, hogy

Ezeket az

egyenlőségeket

vektorjelölést használva, a

l v= v' +V (Vv')v' 2 . - c-

. (5,3)

alakban foglalhatjuk össze. Figyeljük meg, hogy a sebesség-összeadás (5,1) relativisztikus törvényében a v' és V összetevő sebességek nem szimmetrikusan szerepeinek (hacsak .nem mindkettő az x tengellyel párhuzamos). Ez a körülmény természetes kapcsolatban van a Lorentztranszformációknak az előző szakaszban említett nem felcserélhető voltával. Válasszuk meg most úgy a koordinátákat, hogy valamely adott pillanatban a részecske sebessége az xy síkban legyen. Ekkor a K rendszerben a részecske sebességkomponensei v x = v cos() és vY = v sin(), a K' rendszerben pedig v~ = v' cos()' és v~ = v' sin ()' (v, v' és (), ()' a sebességek abszolút értékei, illetve az x és x' tengellyel bezárt szögeinek értékei aK és K' rendszerben). Az (5,1) képlet segítségével azt kapjuk, hogy v' tg ()

v

l - V2 sin()' c2

= ----:---=--=v' cos ()'+V ·

(5,4)

Ez a képlet megadja a sebesség irányának változását egyik vonatkoztatási rendegy másikra való áttérés során. Fontos speciális esetként vizsgáljuk meg a fényaberrációt: hogyan változik meg a

szerről

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Gálfi László, Kunszt Zoltán, Niedermayer Ferenc, Typotex, 2010

© Typotex Kiadó

28

I. A RELATIVITÁS ELVE

fény terjedésének iránya, ha egy adott vonatkoztatási rendszerről egy másikra térünk át? Ebben az esetben v = v' = c, és így a fenti képlet

!1 _vz 1

tg 8 =

ez

sin 8' v -+cos 8'

(5,5}

c

alakú. Az (5,1) összefüggésekből kiindulva, könnyen megkaphatjuk a sin 8-ra és a cos 8-ra vonatkozó transzformációs képleteket is :

-v2

v

V

l--

sin 8 =

V ez sin ()', l+-cos8' c

A V« c esetben az (5,6)

egyenletekből,

sin fJ-sin 8'

cos

cos()'+c

e = -...,v=---

(5,6}

1+- cos()' c

V je szerint első rendben adódik, hogy

=-~sin()' cos()'. c

Bevezetve a Ll() = 6'- 6 (aberrációs szög) jelölést, ugyancsak Ll() =

dső

rendben:

~ sin 8',

(5, 7)

c

ami nem más, mint a fényaberrációra vonatkozó ismert elemi képlet.

6. §. Négyesvektorok Egy esemény (ct, x, y, z) koordinátáit úgy foghatjuk fel, illint a négydimenziós tér egy helyzetvektorának négy komponensét (vagy ahogy a rövidség kedvéért mondjuk, mint egy négyes helyzetvektort). E vektor komponenseit x;·vel jelöljük, ahol i lehetséges értékei O, l, 2, 3, és x 0 = ct,

x1 = x,

x 2 =y,

x 3 = z.i

A négyes helyvektor hosszának "négyzetét" az

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Gálfi László, Kunszt Zoltán, Niedermayer Ferenc, Typotex, 2010

© Typotex Kiadó

29

6. §. NÉGYESVEKTOROK

kifejezés definiálja. Ez a kvadratikus alak a négydimenziós tér forgatásaival szemben invariáns. Általánosságban Ai négydimenziós vektornak vagy röviden négyesvektornak nevezzük az AD, Al, A2, A 3 négy mennyiség összességét, ha azok a négydimenziós ko·ordináta-rendszer transzformációi során úgy transzformálódnak, mint az xi négyes helyzetvektor komponensei. Lorentz-transzformáció esetén tehát

A'D+~A'l AD

=

v

As= A's.

--==c=--,--

V2 ' 1-c2

(6,1)

Egy négyesvektor négyzetét a helyvektor négyzetéhez hasonlóan az (AD)2 -(A1)2 -(A2)2 -(A3)2 ·Összeggel definiáljuk Az írásmód egyszerűsítése céljából lent indexelt komponenseit is definiálni:

előnyös

a négyesvektorok (6,2)

Az Ai mennyiségeket a négyesvektor kontravariáns, az A; mennyiségeket pedig ugyanazon négyesvektor kovariáns komponenseinek nevezzük. A négyesvektor négy:zete ekkor a következő: 3

L AiA;= ADAD+A1 A1 +A 2A2+A3As. i=O

Az ilyen típusú összegeket kényelmes egyszerűen A;A; alakba írni, elhagyva az •Összegezés jelét. Általában fogadjuk el szabályként, hogy ha egy adott kifejezésben . valamely index kétszer szerepel, akkor a szerint az index szerint összegezni kell, az ·Összegezés jeiét pedig elhagyjuk. Az azonos indexek egyikének alsó, másikának felső indexnek kell lennie. Az összegező indexek használata nagyon kényelmes, mert jelentős mértékben egyszerűsíti a képletek alakját. Ebben a könyvben a O, l, 2, 3 értékeket befutó négyesindexeket latin i, k, l, ... , betűkkel jelöljük. A négyesvektorok négyzetéhez hasonlóan adható meg két különböző négyesvektor skaláris szorzata is: AiB; = ADBD+A1B1+A 2B2+A 3Bs.

Nyilvánvaló, hogy A;B; és A;Bi egyenlő egymással. Általában minden összegező indexpárban a felső és az alsó indexek felcserélhetők. 4 4 A legújabb irodalomban gyakran teljesen elhagyják a négydimenziós vektorok indexeit, négyzeteiket és skalárszorzataikat pedig egyszerűen A 2-tel, illetve AB-vel jelölile Ebben a könyvben ilyen jelöléseket nem használunk.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Gálfi László, Kunszt Zoltán, Niedermayer Ferenc, Typotex, 2010

© Typotex Kiadó

30

I. A RELATIVITÁS ELVE

AzAiBi szorzat négyesskalár, azaz invariáns a négydimenziós koordináta-rendszer elforgatásaival szemben. Ezt a tulajdonságot közvetlenül is könnyen beláthatjuk, 5 de már abból is nyilvánvaló, hogy minden négyesvektor azonos módon transzformálódik. A négyesvektor AD komponensét időszerű komponensnek, az Al, A 2 , A3 komponenseket pedig térszerű komponenseknek nevezzük (a négyes helyvektorra emlékezve). Egy négyesvektor négyzete lehet pozitív, negatív vagy nulla; e három esetnek megfelelően beszélünk időszerű, térszerű és fényszerű 6 négyesvektorokról (ismét az intervallumoknál használt terminológiához igazodva). A tiszta térbeli forgatások esetén (azaz olyan transzformációknál, amelyek az időtengelyt nem érintik) az Ai négyesvektor három térkomponense háromdimenziós A vektort alkot. A négyesvektor időkomponense pedig (ugyanezen transzformációknál) háromdimenziós skalár. Amikor egy négyesvektor komponenseit felírjuk, gyakran használjuk az jelölést. Ugyanennek a négyesvektornak a kovariáns komponensei: A; = (AD, -A), a négyesvektor négyzete pedig AiA; = (AD) 2 -A2 • Így a négyes helyvektornál:

A háromdimenziós vektorok esetében (x, y, z koordinátákban) természetesen felesleges különbséget tenni kontravariáns és kovariáns komponensek között. Mindenütt (ahol ez nem vezethet félreértésekre) a hármasvektorok komponenseit az A"{e~,; = x, y, z) alakban írjuk, azaz csak alsó indexeket használunk, melyeket görög betűkkel jelölünk. A kétszer ismétlődő görög betűs indexek x, y, z-re vonatkozó összegezés! jelentenek (pl. AB = AocBa). Másodrendű négyestenzornak nevezzük a 16 Aik mennyiség összességét, ha az Aik mennyiségek a koordináták transzformációjakor úgy transzformálódnak, mint négyesvektorok komponenseinek a szorzatai. Hasonlóan definiálhaták a magasabb rendű tenzorok is. ö Csupán arra kell vigyázni, hogy a négyesvektor kovariáns komponenseinek transzformációs törvénye (előjelekben) nem azonos a kontravariáns komponensek transzformációs szabályávaL Így (6, 1) helyett nyilván az

összefüggések állnak fenn. 6 A fényszerü négyesvektorokat izotrop vektoroknak is nevezzük.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Gálfi László, Kunszt Zoltán, Niedermayer Ferenc, Typotex, 2010

© Typotex Kiadó

31

6. §. NÉGYESVEKTOROK

Egy másodrendű négyestenzor komponenseit háromféleképpen adhatjuk meg: koJ:?.travariáns ·Aik, kovariáns A;k vagy kevert Aik kompbnensek formájában. (Az utóbbi esetben általában különbséget kell tennünk Aik és Ak; között, azaz vigyázni kell arra, hogy az első vagy a második index áll-e felül.) A komponensek különböző alakjainak kapcsolatát a következő általános sz.abály adja meg: az idő­ szerű index felhúzása vagy lehúzása nem okoz változást, de a térszerű indexek (1, 2, 3) felhúzása vagy lehúzása megváltoztatja a komponens előjelét, tehát Aoo

=

A 00,

Aoo = Aoo,

Ao1

= -A01,

Aol = AOl,

Au= A 11,

••. ,

Aol =-Am,

All =-An, .. " .

Tisztán térbeli transzformációk esetén a kilenc Au, A12 , ... , A 33 komponens háromdimenziós tenzort alkot, a három A 01 , A 02 , A 03 és a három A10, A 20, A 30 komponens háromdimenziós vektort képez, A 00 pedig háromdimenziós skalár. Az Aik tenzort szimmetrikusnak mondjuk, ha Aik = Aki, és antiszimmetrikusnak, ha Aik =-A";· Antiszimmetrikus tenzor valamennyi diagonális eleme (azaz az. A00, A11 , ••• komponensek) zérus, minthogy pl. A 00 = -A00 • Szimmetrikus tenzor esetén az Aik és Ak; komponensek megegyeznek, ilyenkor azokat egyszerűen Ab alakban írjuk, az indexeket egymás felett helyezve el. Minden tenzoregyenlőségben az egyenlet két oldalán azonos számú és azonosan (alul vagy felül) elhelyezett szabad (nem összegező) indexnek kell szerepelnie. A tenzoregyenlőségekben a szabad indexeket áthelyezhetjük (fel- vagy lehúzhatjuk), de az indexek áthelyezését egyidejűleg kell elvégezni az egyenlet minden tagjában. Nem engedhető meg különböző tenzorok kontra- és kovariáns komponenseinek egyenlővé tétele; ha valamilyen véletlen folytán igaz volna is egy ilyen egyenlőség, valamelyik vonatkoztatási rendszerben, biztosan érvényét veszítené egy másik rendszerre való. áttéréskor. Az Aik tenzor komponenseiből összegezéssei skalárt lehet képezni: Ai;= A 0o+A11+A2 2+A3s

(nyilván A;; = A/). Ezt az összeget a tenzor átlósösszegének (spurjának) nevezzük, magát a skalárt képező műveletet pedig a tenzor kontrakciójának (esetleg indexegybeejtésnek). Két négyesvektor fentebb vizsgált skalárszorzatának képzése is tulajdonképpen indexegybeejtés: az A;B; skalárt az A;Bk tenzorból kontrakcióval képezhetjük Az indexpárok minden egyes kontrakciója általában 2-vel csökkenti a tenzor rendjét. Például az A;kli mennyiség egy másodre~dű tenzor, A;"Bk négyesvektor, Aikik skalár stb. Egységtenzornak nevezzük, és ob-val jelöljük azt a tenzort, amelyre bármely A 1 vektor esetén fennáll a (6,3)

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Gálfi László, Kunszt Zoltán, Niedermayer Ferenc, Typotex, 2010

© Typotex Kiadó

32

l. A RELATIVITÁS ELVE

egyenlőség.

E tenzor komponensei nyilván:

(j~= l

{l,o,

ha ha

i= k, i oF- k.

(6, 4)

E tenzor átlósösszege b;.= 4. Ha a b1 tenzor i indexét lehúzzuk, vagy a k indexét felhúzzuk, a gik kontra-, illetve a g 1k kovariáns tenzort kapjuk. Ezeket metrikus tenzoroknak nevezzük. A g 1k és g 1k tenzor ok komponensei azonosak, és mátrixalakban így adhaták meg:

ik

-

-

(g ) - (gtK) -

o o o) l oo -1o - lo oo ( o o o -1

(6,5)

(az i index a sorokat, a k index pedig az oszlopokat számozza a O, l, 2, 3 értékek sorrendjében). Nyilvánvaló, hogy

(6,6) Így két négyesvektor skaláris szorzatát a következő alakban is írhatjuk: (6,7)

bL

A g 1k, g 1k tenzorok kivételesek abban az értelemben, hogy e tenzorok komponensei minden koordináta-rendszerben azonosak. Ugyanilyen tulajdonságú a teljesen antiszimmetrikus negyedrendű eiklm egységtenzor is. E tenzor komponenseelőjelet váltanak bármelyik két index felcserélésekor, a zérustól különböző komi ponensei + l~gyel vagy -1-gyel egyenlők. Az antiszimmetriából következik, hogy e tenzor minden olyan komponense, melynek két vagy több indexe megegyezik, eltű­ nik. Zérustól csak azok a komponensek különböznek, amelyeknek mind a négy indexe különböző. Legyen eo123 = + 1 (6, 8) (ekkor e 0 1 23 = - l). E választás mellett egy zérustól különböző komponens attól +l vagy -l, hogy az i, k, l, m indexeket páros vagy páratlan számú cserével (permutációval) lehet O, l, 2, 3 alakra hozni. Az el nem tűnő komponensek száma: 4! = 24, ezért (6, 9) efklmei!cJm =-24.

függően

A koordináta-rendszer elforgatásakor az eiklm mennyiségek úgy viselkednek, mint egy tenzor komponensei. Ha viszont egy vagy három koordináta előjeiét megváltoztatjuk, az e1klm komponensek (mivel definíciójuk minden koordináta-rendszerben azonos) nem változnak meg, noha a tenzorkomponensnek előjelet kellene váltania.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Gálfi László, Kunszt Zoltán, Niedermayer Ferenc, Typotex, 2010

© Typotex Kiadó

33

6. §. NÉGYESVEKTOROK

Éppen ezért ei/elm szigorú értelemben nem mondható tenzornak; szokásos elnevezése: pszeudo tenzor. Tetszőleges rendű pszeudotenzorok, például a pszeudoskalárok, amelyek minden koordinátatranszformációnál változatlanok maradnak, kivéve a tükrözéseket (a koordináták előjeleinek olyan megváltoztatását, mely forgatásra nem vezethető vissza), ekkor előjelet váltanak. Az eiklm eprst szorzat nyolcadrendű négyestenzort, mégpedig már valódi négyestenzort alkot. Belőle egy vagy néhány indexpár kontrakciójával hatod·, negyed- és másodrendű tenzorokat képezhetünk. Mindezek a tenzorok, valamennyi koordinátarendszerben azonos alakúak. Így komponenseik kifejezhetők a aJ, egységtenzor szorzatainak lineáris kombinációjaként, minthogy ez az egyetlen olyan tenzor, amelynek komponensei minden koordináta-rendszerben ugyanazok. Ezeket a·kombinációkat könnyen megszerkeszthetjük, figyelembe véve az indexek felcserélésével kapcsola tos szimmetriatulajdonságaikat. 7 Ha Aik antiszimmetrikus tenzor, akkor az Aik tenzort és az A*ik

=

.!.._ eiklmA 2 lm

pszeudotenzort egymás duálisának nevezzük. Hasonlóan az ei/elmAm harmadrendű antis!immetrikus tenzor az A 1 vektor duálisa. Az A 1"A~, skaláris szorzat nyilvánvalóan pszeudoskalár. A fent említettekkel kapcsolatban emlékeztetni szeretnénk a háromdimenziós vektorok és tenzorole hasonló tulajdonságaira. Teljesen antiszimmetrikus harmadrendű ·egységtenzornak nevezzük az e""f3Y mennyiségek összességét, melyek bármelyik két indexüle felcserélésekor előjelet váltanak. Zérustól csak azok a komponensek különböznek, amelyeknek három különböző indexük van. Az exyz = l választással élünk; a többi komponens +l vagy -l, attól függően, hogy páros vagy páratlan felcserélést kell ahhoz végrehajtanunk, hogy az a, fJ, y sorrendet x, y, z sorrendre változtassuk. 8 7

A teljesség kedvéért felsoroljuk a

megfelelő

képleteket:

ai8 ai olep o~ oks okt , a; o's o't a; o:' om om t a'r

{;ip éklmeln·et =

eilclme.Pl'Sm

= -

a! l,

p

o'p

'

eilc(rneprlm

a; ok,. ai o' o' ' '

lobok

= - 2(010~~- o~o;),

eiklmepklm

= -

60; .

E képletekben az általános együtthaták helyességét a teljes kontrakció elvégzésével, a (6, 9) képlet segítségével ellenőrizhetjük. Az első képlet következményeként kapjuk, hogy

eP''"AipAk,.A,,Amt

= - Aeiklm>

e'klmeP''''AipAkrAz,Amt

= 24A,

ahol az A az A;k mennyiségekből képzett determináns. 8 Az eiklm négyestenzor komponenseinek invarianciája a négydimenziós koordináta-rendszer ·elforgatásaival szemben és az e""f3Y hármastenzor komponenseinek invarianciája a térbeli koordinátatengelyek elforgatása esetén annak az általános szabálynak speciális folyománya, amely szerint .egy teljesen antiszimmetrikus tenzor, ha rendje egyenlő azon tér dimenziójának számával, amelyben a tenzort definiáltuk, invariáns a szóban forgó térben felvett koordináta-rendszer elforgatásaival szemben. Elm!loti

fizika II. -42 221jii.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Gálfi László, Kunszt Zoltán, Niedermayer Ferenc, Typotex, 2010

© Typotex Kiadó

34

l. A RELATIVITÁS ELVE

Az eaf3yet."• szorzat valódi hatodrendű háromdimenziós tenzort képez, éppen ezért ki tudjuk fejezni a (Jaf3 háromdimenziós egységtenzor szorzatainak lineáris kombinációjaként. 9 . A koordináta-rendszer tükrözésekor (mindegyik koordináta előjelének megváltoztatása esetén) a közönséges háromdimenziós vektor komponensei is előjelet váltanak. Az ilyen vektorokat poláris vektoroknak nevezzük. Ugyanakkor egy olyan vektor komponensei, amelyet két polárvektor vektorszorzataként állítunk elő, nem váltanak előjelet. Az ilyen vektorokat axiális vektoroknak nevezzük. Egy poláris és egy axiális vektor skaláris szorzata nem valódi skalár, hanem pszeudoskalár: előjelet vált a koordináták tükrözésekor. Az axiális vektor egy antiszimmetikus tenzorral duális pszeudovektor. Ha tehát C = A X B, akkor

'l

Ca=

12

eaf3yCf3y,

ahol

C 13y

=

A 13By-AyBf3.

Térjünk vissza a négyestenzorokhoz. Az Aik antiszimmetrikus négyestenzor térszerű komponensei (i, k = l, 2, 3) a tisztán térbeli elforgatásakkal szemben úgy viselkednek, mint egy háromdimenziós tenzor komponensei; a fent mondottak szerint ezeket a komponenseket kifejezhetjük egy háromdimenziós axiális vektor segítségével is. Ugyanakkor az A 01 , A02, A03 komponensek a tisztán térbeli elforgatásakkal szemben háromdimenziós poláris vektort alkotnak. Ennek megfelelően az antiszimmetrikus négyestenzor komponenseit az

(6,10)

mátrixszal reprezentálhatjuk, ahol a p és a vektorok a térbeli transzformációk során poláris, illetve axiális vektorként viselkednek. Egy antiszimmetrikus négyestenzor komponenseinek felsorolásakor az alábbi jelölést használjuk: Aik=

(p, a);

ugyanennek a tenzornak a ko variáns komponensei pedig: Aik 9

A teljesség kedvéért megadjuk a

megfelelő

eaf3yel.llv =

Ha egy,

kettő

(-p, a).

képleteket: Dat.

Oa/l

Dj3t.

Öf3f.l

Oav Öf3v .

Öy;t

Oyf.l

Öyv

vagy három indexpárt egybeejtünk, az alábbi összefüggéseket kapjuk: eaf3yeAf.lY = DaJ..Of3p- Öall0f3J.,

www.interkonyv.hu

=

e~f3yeJ.f3y = 2Öa;.,

eaf3yeaf3y = 6.

Hungarian translation © Gálfi László, Kunszt Zoltán, Niedermayer Ferenc, Typotex, 2010

© Typotex Kiadó

35

6. §. NÉGYESVEKTOROK

Befejezésül a négydimenziós tenzoranalízis néhány differenciál- és integrálszabályával foglalkozunk. Egy skalár négyesgradiense négyesvektor:

::i

=

c'

~~ ~qJ)-

A parciális deriváltakat egy négyesvektor kovariáns komponenseinek kell tekintenünk. Valóban: egy skalár

= oq;_ dxi

dg;

ox'

differenciálja ismét skalár; amiből nyilvánvalóan következik (minthogy a jobb oldal két négyesvektor skaláris szorzata), hogy a fenti állítás igaz. Általában, az x 1koordináták szerint végrehajtandó differenciálás o foxi operátorait egy négyesvektor-operátor kovariáns komponenseinek kell tekinteni. Ezért pl. egy Ai négyesvektor oA;jox; kifejezéssel definiált divergenciája skalár, minthogy abban az A; kontravariáns komponenseket differenciáljuk. 10 A háromdimenziós térben definiálhatunk vonal menti, felületi és térfogati integrálokat. A négydimenziós térben ennek megfelelően négyféle integrálás létezik. l. Vonal menti integrálás a négydimenziós térben. Az integrálás elemei az ívhosszak, azaz a dx; négyesvektor. 2. Kétdimenziós felületre vett integrálás a négydimenziós térben. Mint ismeretes, a háromdimenziós térben két dr és dr' vektorból felépített paralelogramma területének vetülete az xr~.x/3 koordinátasíkra dx(/. dx~- dxfJ dx:. Hasonlóan, a négydimenziós térben a végtelenü! kis felületelemet egy másodrendű antiszimmetrikus df:k = 10

Ha viszont a differenciálást az x; "kontravariáns koordináták" szerint végezzük, akkor a

~ = (...!.. io

m2, a (11,1) csak akkor teljesülhet, ha M > m1 + m 2 , azaz egy test csak akkor bo· molhat el spontán két részre, ha a részek tömegeinek összege kisebb az illető test tömegénéL Megfordítva, haM< m1 +m2, akkor a test (az adott bomlással szemben) stabil, tehát spontán nem bomolhat el. A bomlás megvalósításához ilyen esetben legalább annyi energiát kell közölni a testtel, amennyi az m1 +m 2-M "kötési energia" fedezéséhez elegendő. Egy bomlási folyamatra az energiamegmaradás törvényemellett érvényes az írnpulzusmegmaradás törvénye is, amely szerint a bomlástermékek összes impulzusa · egyenlő a bomló részecske impulzusával, esetünkben zérussal: P10+P2o = O. Tehát P~o = P~o• vagy (11,2) egyenlőség

A (11,1) és (11,2) egyenletek egyértelműen giáit:

meghatározzákakirepülő

részecskék ener(11,3)

5 A 11-13. §-okban c = l választással élünk. Más szóval, a sebességméréskor egységül a fénysebességet választjuk (ezért a hosszúság és az idő dimenziója azonos). Ez a választás a relativisztikus mechanikában kézenfekvő, és nagymértékben egyszerűsíti a képleteket. Ebben a kötetben (amelynek jelentős részét a nemrelativisztikus elméletnek szenteljük), általában nem használjuk ezt az egységrendszert; ha mégis, akkor erre minden alkalommal külön felhívjuk a figyelmet. Nem jelent nehézséget visszaírni a szokásos alakba egy olyan képletet, amelyben c = l-et vet· tünk: a fénysebességet úgy kell visszaírnunk, hogy a helyes dimenziókat megkapjuk.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Gálfi László, Kunszt Zoltán, Niedermayer Ferenc, Typotex, 2010

© Typotex Kiadó

ll. §. RÉSZECSKÉK BOMLÁSA

51

Bizonyos értelemben fordított feladat annak kiszámítása, hogy mennyi két ütköző részecske M összes energiája tömegközépponti rendszerben (vagy ahogy rövidíteni szokás: C rendszerben, a centrum = középpont szó nyomán), tehát abban a rendszerben, amelyben az ütköző részecskék összimpulzusa zérus. A C rendszerbeli összes energia kiszámításával egyúttal megadhatjuk annak feltételét is, hogy végbemehet-e valamely rugalmatlan ütközési folyamat, melyben az ütköző részecskék állapota vagy száma ("részecskekeltés") megváltozik Egy ilyen folyamat csak akkor valósulhat meg, ha az egyes "reakciótermékek" tömegeinek összege kisebb M-nél. Eredeti koordináta-rendszerünkben az m1 tömegű, t1 energiájú részecske szó· ródjon rugalmasan egy m2 tömegű nyugalomban levő részecskén. (Az ilyen rendszert laboratóriumi rendszernek nevezzük.) A két részecske összes energiája:

összes impulzusuk pedig p = P1 +P2 = p1. A két részecskének mint egyetlen, összetett rendszernek a sebessége (9,8) szerint: (11,4)

Ez éppen C rendszernek a laboratóriumi rendszerhez (L rendszerhez) viszonyított sebessége. A keresett M tömeg kiszámításához nem kell ténylegesen végrehajtani az egyik rendszerről a másik rendszerre való áttérésnek megfelelő transzformációt. E helyett közvetlenül használhatjuk a (9,6) képletet, me1y összetett rendszerre éppúgy alkalmazható, mint az egyes részecskékre. Tehát

amiből

(11,5)

Feladatok l. Egy V sebességgel mozgó részecske két részre bomlik. Határozzuk meg a bomlástermékek energiáinak és kirepülési szögeinek összefüggését!

Megoldás. Legyen l 0 az egyik bomlástermék-részecske C rendszerben mért energiája [azaz (11,3)ból t 10 vagy t 20 ], l ugyanennek a részecskének L rendszerben mért energiája, () pedig L rendszerbeli kirepülési szöge (a V irányhoz képest). A (9,15) transzformációs képletek segítségével azt kapjuk, hogy

t _ r5- Vp cos () o-

V1- V2

'

4*

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Gálfi László, Kunszt Zoltán, Niedermayer Ferenc, Typotex, 2010

© Typotex Kiadó

IL RELATIVISZTIKUS MECHANIKA amiből

(1)

Az ~-t cos e függvényében megadó fordított összefüggést az egyenlet határozza meg:

(1)-ből

származtatható másodfokú

(2)

amelynek egy (ha a vizsgált részecske C rendszerben mért v0 sebességére v 0 > V) vagy két (ha v0 < V) pozitív gyöke Van. Az utóbbi kétértékűség eredetét jól megvilágítja a következő geometriai szerkesztés. A (9,15) képlet szerint a részecske L rendszerbeli impulzuskomponenseit a C rendszerbeli impulzuskomponensekkel a következőképpen lehet kifejezni: P. = Po sin 80 •

00 kiküszöbölése után azt kapjuk, hogy

Ez a Px, Py változókban egy ellipszis egyenlete. Az ellipszis féltengelyeinek hossza Po/Y 1- V 2 és Po; középpontja pedig (a 3. ábrán az o pont) a p = o ponttól (a 3. ábrán az A ponttól) 6 8o v 1- V 2 távolságra van.

N

V;:..v0

V p 0 /80 = v 0 , akkor az A pont az ellipsziserr kívül fekszik (3b ábra), és egy adott() szöghöz a p vektornak (és így az energiának is) két értéke tartozik. A szerkesztésből az is látszik, hogy ebben az esetben a () csak olyan értékeket vehet fel, amelyek egy jól definiált ()max szögnél kisebbek (()max mellett a p vektor éppen az ellipszis érintője). A ()max értékét legegyszerűbben abból a feltételből határozhatjuk meg, hogy a (2) egyenlet diszkriminánsa zérus, amiből az adódik, hogy . PoVl-V 2 sm ()max= v . 111

2. Határozzuk meg a bomlástermékek energiaeloszlását az L rendszerben! 6

A klasszikus határesetben az ellipszis körbe megy át (lásd az L kötet 16. §-át).

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Gálfi László, Kunszt Zoltán, Niedermayer Ferenc, Typotex, 2010

© Typotex Kiadó

53

ll.§. RÉSZECSKÉK BOMLÁSA

Megoldás. A C rendszerben a bomlástermékek irányeloszlása izotrop, azaz a dQ 0 = 2n sin 80 d80 térszögelemben levő részecskék relatív száma: l l dN=- dfJ 0 =-Idcos8 0 !. 2 4n

(l)

Az L rendszerbeli energia a C rendszer mennyiségeivel az alábbimódon adható meg:

t= t 0 +p0 Vcos 80 V1- V 2

•

Az t energia lehetséges értékeinek minimuma és maximuma: és d cos 80 1-tdt-vel kifejezve, az l-re normált energiaeloszlás (a kétfajtil végtermék(mindegyikére):

dN =

-bfl- V 2vp

2

dt.

0

3. Határozzuk meg két azonos részecskére való bomlás esetén a bomástermékek közötti szög (szétrepülési szög) lehetséges értékeit az L rendszerben. Megoldás. C rendszerben a részecskék ellentétes irányban repülnek szét, tehát 810 = :n:- 820 = 80 • A C és az L rendszerbeli szögek kapcsolata (5,4) szerint:

ctg e1 = (A jelen esetben Vlo = után azt kapjuk, hogy

V2o

V0

cos8 0 +V

v 0 sin8 0 Vl-VZ

,

-v0 cos 80 + V ctg e2 = -----;:=== v 0 sin 80 Yl - V 2

= Vo.) A keresett szétrepülési szög e =

e lehetséges értékeit e kifejezés adódnak:

szélső

értékei határozzák meg;

2 arc tg

ha

Vo -< V-< _v_o_ :

ha

V>~:

Yl-vg

el+

(~VI- V 2)-
* l =O.

..

J~fJ = Je~fJ-t

az (50,13) alakban írva és az egyenletet megoldva, azt kapjuk, hogy JC = J(1-P).

A polarizált rész intenzitása J

= l E~P> 12 = J- ]Ct) = JP. A fény polarizált része általában elliptikusarr polarizált hullám, az ellipszis tengelyei az Sa.{J tenzor főtengelyeivel esnek egybe. A tengelyek b1 és b2 nagysága, a b1 tengely és az y tengely által bezárt rp szög a tg 2rp

=-i~

egyenlőségekből

határozható meg. 2. Állítsunk elő tetszőleges részlegesen polarizált hullámot két inkoherens elliptikusarr polarizált hullám szuperpozíciójaként. Megoldás. A hermitikus (]*-gal, a másodikat n~1 >-gyel szorozva és a kettőt egymásból kivonva, a en< 2 >* = O, azaz az n< 1 >és n< 21 egységvektorok merőlegesek egymásra.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Gálfi László, Kunszt Zoltán, Niedermayer Ferenc, Typotex, 2010

© Typotex Kiadó

167

51.§. AZ ELEKTROSZTATIKUS TÉR FELBONTÁSA A keresett felbontás:

A komplex amplitúdó mindig megválasztható úgy, hogy a két valós, a másik képzetes legyen (vö. a 48. §-sal). Az

választással (ahol most bi-re és b2-re a egyenletből azt kapjuk, hogy

bi+b;

=

merőleges összetevő

közül az egyik

1 normálási feltétel érvényes) az nn< 2 >* = O

Látható, hogy az elliptikusarr polarizált rezgések ellipszisei hasonlóak (a tengelyek aránya azonos), és egymásra merőlegesek. 3. Határozzuk meg a Stokes-paraméterek transzformációs szabályát az y, z tengelyek rp szöggel való elforgatása során. Megoldás. A keresett szabályokat a Stokes-paraméterek és az yz síkbeli kétdimenziós tenzor komponensei között fennálló összefüggések határozzák meg. Az eredmény a következő:

51. §. Az elektrosztatikus tér felbontása A töltések általlétrehozott erőtér (mező) formálisan szintén kifejthető síkhullámok szerint (Fourier-integrálként). Ez a kifejtés azonban lényegesen különbözik a vákuumbeli elektromágneses hullámok kifejtésétőL A töltések tere nem elégít ki homogén hullámegyenletet, és így ennek a kifejtés egyik tagja sem tesz eleget. Ebből az következik, hogy egy töltés terének kifejtésében szereplő síkhullámokra nem áll fenn a w2 k 2 = 2 összefüggés, ez csak monokromatikus elektromágneses síkhullámokra c teljesül. Ha az elektrosztatikus teret formálisan síkhullámok szuperpozíciójaként állítjuk elő, akkor e hullámok frekvenciája zérus lesz, mivel a vizsgált erőtér az időtől független; a hullámvektorok természetesen nullától különbözőek. Vizsgáljuk a kezdőpontban levő e ponttöltés általlétrehozott teret. A tér q; potenciálját a (51,1) 6q; = -4neb(r) egyenlet határozza meg (lásd a 36. §-t).

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Gálfi László, Kunszt Zoltán, Niedermayer Ferenc, Typotex, 2010

© Typotex Kiadó

168

VI. ELEKTROMÁGNESES HULLÁMOK

Állítsuk elő tp·t térbeli Fourier-integrálként, azaz a következő alakban: (51,2)

Itt tpk =

Jtp(r)e-ikr dV.

Alkalmazzuk (51,2) mindkét oldalára a Laplace-operátort:

így a 6tp kifejezés Fourier-együtthatája (6 tp )k = - k 2tpk. (6tp)k másrészt úgy is meghatározható, hogy az (51,1) egyenlet mindkét oldalának megfelelő Fourier-komponensét vesszük: (6tp)k

=-J 4neb(r)e-ikr dV = -4ne.

Összehasonlítva a két kifejezést, a következőre jutunk: tpk

4ne

=-F.

Ez a képlet adja a feladat megoldását. A tp potenciálhoz hasonlóan kifejthető az E

térerősség

(51,3) is:

+=

E --

f

E ikr d3k ke (2n)3.

(51,4)

(51,2) segítségével írhatjuk, hogy

Ezt (51,4)-gyel összevetve, azt kapjuk, hogy 'k E k = - l li[!k

.4nek =-17·.

(51,5)

Innen látható, hogy a Coulomb-tér kifejtésében szereplő "hullámok" térerőssége a hullámvektor irányába mutat. Ezért e hullámokat longitudinálisnak nevezhetjük.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Gálfi László, Kunszt Zoltán, Niedermayer Ferenc, Typotex, 2010

© Typotex Kiadó

.52.§. AZ ELEKTROMÁGNESES TÉR SAJÁTREZGÉSEI

169

52. §. Az elektromágneses tér sajátrezgései Vizsgáljuk a tér valamely véges térfogatában a szabad (töltésmentes) elektromágneses teret. A további számítások egyszerűsitése érdekében feltételezzük, hogy a kiválasztott térfogat hasáb, melynek oldalai: A, B, C. Ekkor a hasábban levő tér minden jellemző mennyiségét hármas Fourier-sorba fejthetjük (a három koordináta szerint). Írjuk ezt a kifejtést (pl. a vektorpotenciálra) a következő alakba: (52,1) Ak vektor lehetséges értékeire összegezünk; k komponensei, mint ismeretes, a következő

értékeket vehetik fel: k _ 2nnx_ xA '

k _ 2nnz z-

c .

(52,2)

ahol nx, ny, nz pozitív és negatív egész számok. Minthogy az A vektorpotenciál valós, az (52,1) sorfejtésben szereplő együtthaták között fennáll az A_k = A~ összefüggés. A divA = O egyenletből következik, hogy minden k-ra (52,3) vagyis az Ak komplex vektor merőleges a természetesen időfüggőek, az

megfelelő

hullámvektorra. Az Ak vektorok (52, 4)

egyenletet elégítik ki. Ha a kiválasztott térfogat A, B, C méretei elég nagyok, akkor a szomszédos kx, kY, kz értékek (melyekre nx, ny, nz 1-gyel különbözik) igen közel vannak egymáshoz. Beszélhetünk a lehetséges kx, ky, kz értékek számáról a nem nagy Llkx, Lik~, Llkz intervallumokban. Mivel, mondjuk, kx szomszédos értékei 1-gyel különböző nx értékeknek felelnek meg, ezért a Llkx intervallumban levő lehetséges kx értékek Llnx száma egyszerűen az nx értékek megfelelő intervallumának nagyságával egyenlő. Így

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Gálfi László, Kunszt Zoltán, Niedermayer Ferenc, Typotex, 2010

© Typotex Kiadó

170

VI. ELEKTROMÁGNESES HULLÁMOK

A L1kx, LlkY, L1kz intervallumokba eső komponensekkel séges Ll n számát a Ll nx Ll nY Linz szorzat adja, azaz

rendelkező

k vektorok lehet-

(52, 5)

ahol V = ABC a térfogat. Most már könnyen meghatározhatjuk a Lik intervallumba eső nagyságú, a LJQ térszögelembe mutató hullámvektorok lehetséges értékeinek a számát. Ehhez csak ,,k-térbeli" gömbkoordinátákra kell áttérnünk, és L1kxL1kyLikz helyett ez új koordinátákban kell felírnunk a térfogatelemet Így Lln

= (;:)3 k 2 Lik LIQ.

Végül a tetszőleges irányú, Lik intervallumba eső abszolút séges értékeinek száma (Ll Q helyett egyszerűen 4n-t írva): Lln =

2~2 k

2

(52, 6) értékű

k vektorok lehet·

Lik.

Számítsuk ki a vizsgált tér

teljes energiáját a V térfogatban az Ak mennyiségek segítségévet Az elektromos és mágneses térerősség: l . l . E= - - A = - - LAkeikr,

c H= rot A=

c

k

iL kXAkeikr.

(52,7)

k

Az összegek négyzetreemelésénél szem előtt kell tartanunk, hogy a k ;;"' - k' tagok szorzatai a térfogatra való integrálás során zérust adnak. Valóban, az ilyen tagok egy é(k+k')r típusú szorzótényezőt tartalmaznak, és például az

integrál nullától különböző egész nx·re nulla. Azok a tagok pedig, amelyekben k' =- k miatt az exponenciális tényezők eltűnnek, a dV szerinti integrálással egyszerűen a V térfogatot adják.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Gálfi László, Kunszt Zoltán, Niedermayer Ferenc, Typotex, 2010

© Typotex Kiadó

171

52.§. AZ ELEKTROMÁGNESES TÉR SAJÁTREZGÉSEI

Eredményünk tehát a

következő:

{52,3) szerint ·és igy végül (52, 8) Ennek az összegnek minden egyes tagja megfelel az (52,1) sorfejtés egy tagjának. Az (52,4) egyenlet értelmében az Ak vektorok az idő harmonikus függvényei a hullá~vektor abszolút értékeitől függő mk = ck frekvenciával. E függvények választásától függően az (52,1) sorfejtés egyes tagjai álló vagy haladó síkhullámok lehetnek Írjuk a tér sorfejtését olyan alakba, hogy egyes tagjai haladó síkhullámok legyenek. A sort így alakítjuk át: A

= L (akeikr + a~e-ikr).

(52, 9)

k

Ebből

az alakból azonnal látható, hogy A valós. Az egyes ak vektorok

időfüggése

(52,10) Ezért az (52,9) sor egyes tagjai csak a kr-mkt különbségtől függnek, ami ak irányba terjedő hullámnak felel meg. Az (52,9) és (52,1) sorfejtéseket összevetve, azt kapjuk, hogy az együtthatók kap·· 'Csolata:

;az időderiváltakra pedig (52,10) szerint

Ák

=

-ick(ak-al:)

teljesül. Ezt (52,8)-ba helyettesítve, kifejezhetjük a tér energiáját az (52,9) sorfejtési együtthatók segítségéveL Az aka-k és a:a~k tagok kiejtik egymást. A L aka: és L a_ka~~c. összegek csak az összegezési indexjelölésében különböznek, ezért egymással egyenlők. Végül is kapjuk, hogy (52,11) A

lmllámmező

www.interkonyv.hu

teljes energiája tehát az egyes síkhullámok energiáinak összege.

Hungarian translation © Gálfi László, Kunszt Zoltán, Niedermayer Ferenc, Typotex, 2010

© Typotex Kiadó

172

VI. ELEKTROMÁGNESES HULLÁMOK

Hasonlóan számíthatjuk ki a

:2

impulzusát; az eredmény a

hullámmező

IS

teljes

4~ c IE X H dV

dV =

következő:

I! k

k

~k

(52,12)

c .

Ez az eredmény a síkhullámok energiája és impulzusa között ismert összefüggés a. 47. §alapján előre várható volt. Az (52,9) kifejtés változók diszkrét sorozatával (ak vektorok) írja le a mezőt egy olyan folytonos sorozat helyett, amilyen például a tér minden pontjában megadott A(x, y, z, t) potenciállal való leírás. Most az ak változókat tovább transzformáljuk, így a téregyenletek olyan alakra hozhatók, amelyek megfelelnek a mechanika kanonikus egyenleteinek (a Hamilton·egyenleteknek). Vezessünk be valós "kanonikus változókat" a

Qk =

Vv

( *) 4:n;c2 ak+ak,

(52,13)

összefüggésekkel. A mező Hamilton·függvényét úgy kapjuk, hogy ezeket az (52,11) energiakifejezésbehelyettesítjük: (52,14)

.

.

A B'JújBPk = Qk Hamilton-egyenletek megegyeznek a Pk = Qk egyenlőségekkel, amelyek tehát valóban a mozgásegyenletek következményei [ezt az (52,13) transzformáció együtthatóinak helyes megválasztásával értük el]. A B'JújBQk =- Pk egyenletek a (52,15)

mozgásegyenletekre vezetnek, ezek éppen a téregyenletek Minden Qk és Pk vektor merőleges a k hullámvektorra, azaz két független komponense van. E vektorok irányát a megfelelő haladó hullám polarizációs iránya

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Gálfi László, Kunszt Zoltán, Niedermayer Ferenc, Typotex, 2010

© Typotex Kiadó

173

52.§. AZ ELEKTROMÁGNESES TÉR SAJÁTREZGÉSEI

szabja meg. Qki·vel (j= l, 2) jelölve a Qk vektor k-ra merőleges síkban komponensét, írhatjuk, hogy Q~= L Q~i; hasonlóanPk-ra is. Ekkor

fekvő

két

J 'Ir'.

=--ctg --x+C, 2c 2cp

ahol C

www.interkonyv.hu

tetszőleges

állandó.

Hungarian translation © Gálfi László, Kunszt Zoltán, Niedermayer Ferenc, Typotex, 2010

© Typotex Kiadó

57.§. LEKÉPEZÉS SZÉLES SUGÁRNYALÁBOKKAL

189

Adott x 1 mellett a C és x 2 állandókat úgy határozzuk meg, hogy a(x) folytonos legyen az x = O · és x= l pontokban: p eH --=--ctgC x1 2c '

- ctg (eH - -l+C) . - -p =-eH 2ep 2c 1-x2

Kiküszöbölve innen a C állandót, azt kapjuk, hogy

2cp eH! g= - H ctg-2-, e ep

h= g-l,

!=~. eH! eH sm-2cp

·

57. §. Leképezés széles sugárnyalábokkal Az előző szakaszban tárgyalt, keskeny nyalábok segítségével megvalósított le· képezés csak közelítő; a kép annál pontosabb (azaz élesebb), minél keskenyebbek a nya]ábok. Vizsgáljuk most meg a tetszőleges szélességű nyalábokkal végzett leképe· .zést. Keskeny nyalábok segítségével a tárgyakat bármilyen tengelyszimmetrikus optikai rendszeren keresztül leképezhetjük. Ezzel ellentétben széles sugarak esetén erre a -célra csak meghatározott módon felépített optikai rendszerek alkalmasak. Mint azt .az 56. §-ban már megjegyeztük, még ilyen megszorítások esetén sem lehetséges leké· pezés a tér minden pontjában. A további következtetések egy lényeges megjegyzésen alapulnak. Egy O pontból kiinduló összes sugár a rendszeren áthaladva, találkozzék ismét egy O' pontban. Könnyen belátható, hogy a 1p optikai úthossz minden sugárra ugyanakkora. Valóban, .az O és O' pontok közelében a bennük találkozó sugarak hullámfelületei O, ill. O' középpontú gömbfelületek, amelyek a pontok felé közeledve, az O, ill. O' ponttá 2sugorodnak. A hullámfelületek mentén viszont a fázis állandó, így a fázisváltozás különböző sugarakon haladva, két adott hullámfelület között ugyanakkora. Ebből következik, hogy az O és O' pontok között a teljes fázisváltozás is ugyanakkora a kü· lönböző sugarakra. Határozzuk meg egy kis egyenes szakasz széles nyalábokkal való leképzésének fel· tételeit. A kép ilyenkor szintén egy kis egyenes szakasz. Vegyünk fel egy-egy tengelyt e szakaszok mentén (jelöljük ezeket ~-vel és ~,-vel), az O és O' kezdőpontokat pedig

f értéke a helyes 'SZükség. 6

www.interkonyv.hu

előjellel

szerepel, ennek megállapítására azonban további vizsgálatra van

Hungarian translation © Gálfi László, Kunszt Zoltán, Niedermayer Ferenc, Typotex, 2010

© Typotex Kiadó

190

VII. A FÉNY TERJEDÉSE

· a tárgy és a kép valamely egymásnak megfelelő pontjaiban vegyük fel. Legyen 'IfJ az. O-ból induló és O' -be érkező sugarakhoz tartozó optikai úthossz. Az O ponthoz végtelenűl közeli, d~ koordinátájú pontból kiinduló és a kép d~' koordinátájú pontjában találkozó sugarakra az optikai úthossz 'lfJ+d'lfJ, ahol

Vezessük be a leképezés "nagyítását":

mint a kép d~' és a tárgy d~ hosszelemeinek hányadosát. Minthogy a leképezett sza-kasz kicsi, az IX nagyítást állandónak vehetjük a szakasz mentén. A szokásos módon 01pjo~ =-n.,, B'ljJ/8~' = n; (n~, n; a sugárirányok és a ~' ill ( tengelyek által bezárt szögek koszinuszai), így d'!jJ = (1Xn~- n 0) d~. Éppúgy mint a tárgy és a kép tetszőleges, egymásnak megfelelő két pontjára, itt is fennáll, hogy a d~ koordinátájú pontból kiinduló és a d~' pontba érkező minden sugárra a 'lfJ+d'lfJ optikai úthossz ugyanakkora. Ebből a következő feltételt kapjuk: IX~n~ -n~ =

(57,1}

const.

Ez a keresett feltétel, amelynek az optikai rendszerben haladó sugaraknak eleget kell tenniük kis egyenes szakasz széles nyalábok segítségével megvalósított leképezésekor. Az (57,1) feltételnek az O pontból kiinduló minden sugárra teljesülnie kell. Alkalmazzuk most a kapott feltételt tengelyszimmetrikus optikai rendszer segítségével történő leképezésre. Vizsgáljuk először az optikai tengelyen (az x tengelyen) fekvő egyenes szakasz leképezését. Szimmetriamegfontolásokból nyilvánvaló, hogy a kép is a tengelyen lesz. Az optikai tengely mentén haladó sugár (nx = l) a tengelyszimmetria miatt a rendszeren áthaladva nem változtatja meg az irányát, vagyis n~ = l. Ebből következik, hogy az (57,1) jobb oldalán szereplő állandó az adott esetben IXx-1, és így (57,1)-et a következő alakba írhatjuk:

8-val és 8' -vel jelölve egysugárés az optikai tengely által bezárt szöget, a tárgy és a kép pontjaiban: l -nx j= l -cos 8 = 2 sin 2

www.interkonyv.hu

~

,

. 2 8' ' -2 sm l -nx-

2 .

Hungarian translation © Gálfi László, Kunszt Zoltán, Niedermayer Ferenc, Typotex, 2010

© Typotex Kiadó

58. §. A GEOMETRIAI OPTIKA HATÁRAI

191

Így a leképezés feltétele:

.

(}

Slll

l

. (}' =const = Slll

VIXx.

(57,2)

T

Tekintsük továbbá a tengelyszimmetrikus rendszer optikai tengelyére merőleges, kis felületelem leképezését. A kép nyilvánvalóan szintén merőleges lesz a tengelyre (57,1)-et a leképezendő felületen fekvő tetszőleges szakaszra alkalmazva, azt kapjuk, hogy rx, sin (}' -sin (} = const, ahol(} és (}' továbbra is a sugár és az optikai tengely által bezárt szögek. A Jeképezendő sík és az optikai tengely metszéspontjából kiinduló és a tengely mentén ((} = O) haladó sugárra a szimmetria miatt (}' = O. Így const = O, tehát a leképezés feltétele: sin(} (57,3) ~ = const = rx,. sm v Könnyen belátható, hogy háromdimenziós tárgyak széles nyalábokkal akkor sem képezhetők le, ha a tárgy térfogata kicsi, mivel az (57,2) és (57,3) feltételek nem egyeztethetők össze.

58. §. A geometriai optika határai Egy monokromatikus síkhullám amplitúdója definíció szerint mindig és mindenütt ugyanakkora. Egy ilyen hullám a tér bármilyen irányában végtelen kiterjedés ü, és időben - co -től + co -ig mindig létezik. Bármely hullám, amelynek amplitúdója nem mindenhol és nem mindig állandó, csak többé-kevésbé lehet monokromatikus. A továbbiakban a hullámok monokromatikustól való eltérésének mértékével foglalkozunk. Tekintsünk egy olyan elektromágneses hullámot, amelynek amplitúdója a tér minden pontjában az idő függvénye. Legyen wo a hullám valamilyen átlagfrekvenciája. Ekkor a hullámmező (pl. az elektromos erőtér) egy adott potban E 0 (t)eiwot alakú. Ezt a mezőt, amely természetesen nem monokromatikus, monokromatikus összetevők szerint Fourier-integráiba lehet fejteni. A kifejtésben az w frekvenciához tartozó amplitúdó a következő integrállal arányos: +=

J Eo(t)é(w-wo)t dt.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Gálfi László, Kunszt Zoltán, Niedermayer Ferenc, Typotex, 2010

© Typotex Kiadó

192

VII. A FÉNY TERJEDÉSE

Az eiCw-wo)t szorzótényező periodikus függvény, amelynek átlagértéke zérus. Ha Eo állandó lenne, az integrál pontosan nullát adna w ~ wo esetén. Ha E 0 (t) változik, de 1/(w-w 0) időtartam alatt majdnem állandó, akkor az integrál majdnem zérus, annál pontosabban, minéllassabban változik E 0 . Az integrál csak akkor különbözhet észrevehetően nullától, ha Eo(t) is észrevehetően változik 1/(w-wo) nagyságrendű időtartam alatt. Jelöljük Lit-vel annak az időtartamnak a nagyságrendjét, amelynek elteltével a hullám amplitúdója a tér adott pontjában észrevehetően megváltozik A fenti meggondolásból következik, hogy a hullám spekirális felbontásában még észrevehető intenzitással szereplő Wo-tól legtávolabb eső frekvenciákat az lf(wo-w) "'Lit feltételből határozhatjuk meg. Llw-val jelölve a spekirális felbontás frekvenciatartományát (az w 0 átlagfrekvencia körül), fennáll tehát a következő összefüggés: Llw Ll t ....... 1.

(58,1)

Látjuk, hogy a hullám valóban annál inkább monokromatikus (vagyis Llw annál kisebb), minél nagyobb Lit, azaz minéllassabban változik az amplitúdójaa tér egyes pontjaiban. A hullámvektorra is könnyen levezethetünk (58,1)-hez hasonló összefüggést. Legyenek Llx, Lly, Llz azoknak a távolságoknak nagyságrendjei az x, y, z tengelyek mentén, amelyeken a hullám amplitúdója észlelhetően megváltozik Egy adott idő­ pillanatban a hullámtér a koordináták függvényében Eo(r)ékor alakú, ahol ko a hullámvektor valamilyen átlagos értéke. (58,1)-hez hasonlóan meghatározható az adott hullám Fourier-kifejtését jellemző Lik intervallum nagysága: (58,2) Speciális esetként tekintsünk egy véges idő alatt kisugárzott hullámot. Jelöljük L1t-vel a kisugárzás időtartamának nagyságrendjét. A tér egy pontjában a hullám amplitúdója Lit idő alatt bizonyosan észrevehető módon megváltozik; ezalatt a hullám teljes egészében áthalad az adott ponton. Az (58,1) összefüggés alapján ekkor kijelenthetjük, hogy a hullám "monokromatikustól való eltérésének mértéke", Llw biztosan nem lehet 1/Llt-nél kisebb (természetesen nagyobb lehet): Ll

>Ú)

~

l

Hasonlóan, ha Llx, Lly, Llz a hullám térbeli kiterjedését

www.interkonyv.hu

(58,3)

Lit. jellemző

mennyiségek,

Hungarian translation © Gálfi László, Kunszt Zoltán, Niedermayer Ferenc, Typotex, 2010

© Typotex Kiadó

193

58.§. A GEOMETRIAI OPTIKA HATÁRAI

akkor a hullám kifejtésében hogy

szereplő

hullámvektor értéktartományára azt kapjuk, (58,4)

A fenti képletekből következik, hogy véges szélességű nyaláb terjedése esetén a fény terjedési iránya az adott nyalábban nem lehet szigorúan állandó. Ha az x tengely a fény (átlagos) terjedési irányába mutat, akkor (58,5) ahol eY a nyaláb átlagos terjedési irányától való eltérés nagyságrendje, }, pedig a hullámhossz. Az (58,5) képletből megkaphatjuk az optikai képek élességének korlátait is. Egy olyan fénynyaláb, amely a geometriai optika szerint egy közös pontba összefutó sugarakból áll, a valóságban nem pontszerű, hanem elmosódott képet ad. A folt Ll szélességére (58,5)-ből azt kapjuk, hogy l A. LJO). r időfüggését az

(70,13) 10

n >> 1 esetén a n

Jn(ns)

=

Jcos [n(~n

_!_

8

sin

md~

o

integrálban a kis ~értékek játszanak lényeges szerepet (nem kicsiny~ értékekre az integrandus gyorsan oszcillál). Ennek megfelelőerr a koszinusz argumentumát kifejtjük~ hatványai szerint: =

Jn(ne)

=

~J

cos

[nC~"~~+ ~)]d;.

o

Az integrál gyors konvergenciája miatt a felső határt =-re változtattuk; a ~ 3-ös tagot meg kell tartani az elsőfokú tagban szereplő kis 1- e "'> (l- e2 )/2 együttható miatt. A kapott integrál egyszerű helyettesítéssei a (70,9) al:;tkra hozható.

16

Elméleti fizika II. -

www.interkonyv.hu

42221/IL

Hungarian translation © Gálfi László, Kunszt Zoltán, Niedermayer Ferenc, Typotex, 2010

© Typotex Kiadó

242

IX. ELEKTROMÁGNESES HULLÁMOK KISUGÁRZÁSA

paraméteres egyenlet határozza meg, ahol a ; paraméter Az x, y koordinátákra azt kapjuk, hogy x= a(s-ch;),

na

(l)' •

= - H;. (zvs ), w

-től

+ oo -ig változik.

y= aVsZ-1 sh;.

A Fourier-komponenseket (most Fourier-integráiba számítjuk ki, mint az előző esetben. Az eredmény: Xw

oo

_ Yw -

(70,14)

fejtésről

van szó) ugyanúgy

na Vs2 -l H(l)(. ) iv

WB

(70,15)

lVB ,

ahol H}~;> az elsőfajú, iv rendű Hankel-függvény, és bevezettük a

w Vafp,a3

w p,v3

V=---=-

(70,16)

jelölést (v0 a részecskék relatív sebessége a végtelenben; az energia A számítások során felhasználtuk a következő ismert összefüggést: +=

Je

P~-ix

t

= p, v~/2). 11

sh e d't"-l'Jt _ . Huve) függvény tiszta képzetes, deriváltja pedig: H);>'(ivs) valós.

Hungarian translation © Gálfi László, Kunszt Zoltán, Niedermayer Ferenc, Typotex, 2010

© Typotex Kiadó

24J

70.§. SUGÁRZÁS COULOMB-KÖLCSÖNHATÁS ESETÉN

képlet segítségével számíthatjuk ki, ahol Zp(z) a p-ed rendű Bessel-egyenlet tetszőleges megoldása. 12 Figyelembe véve, hogy a H~!>(ive) Hankel-függvény e _,. = esetén eltűnik, a következő eredményt kapjuk:

23 (

4 d?!:w = 3:n3 oc w5 ~-~ c flVo ml m2

)2 IH\l>c· )l H\1>'c·) zv lV

zv

lV

(70,19)

.:1 UW.

Vizsgáljuk meg külön a kis és nagy frekvenciák határeseteit A Hankel-függvényt meghatározó +oo

J

eiv(~-sh d~

=

inH;v(iv)

(70,20)

integrálban a .; integrálási változónak csak az a tartománya lényeges, amelyben a kitevő egységnyi nagyságrendű. Kis frekvenciák esetén (v « l) ezért a nagy ; értékek tartománya lényeges. Nagy .;-kre viszontsh; » ;. Ezért közelítőleg

I . +=

i H;. (zv) """'-;x (l) •

e-lV

sh "

a; = Ho(l)(ív).

Hasonlóképpen kapjuk azt, hogy Hf!>~(iv) ""'='

Hb1 )'(iv).

Végül felhasználva a Bessel-függvények elméletéből ismert, kis x-ekre érvényes

·H(l)c· ) 2 I 2 zozx""='-n:n; yx közelítő kifejezést (y= é, ahol C az Euler-állandó; y= 1,781 ... ), az effektív sugárzásra" kis frekvenciák es etén a következő képietet kapjuk: HV3

ha

W

>-'"_0

ha

a

(70,22)

ami a frekvenciától független kifejezés. Térjünk most át két, egymást az U = a/r (a > O) törvény szerint taszító részecske ütközését követő sugárzás vizsgálatára. A mozgás a következő egyenletű hiperbolán játszódik le: a(e 2 -l) - l + e cos rp = ; (70,23) r

y=av'e 2 -lsh;,

x=a(e+ch;),

t=

V

pa3 -.-(.ssh;+;) a.-

(70,24)

[a és e (70,12)-ből adódik]. A számításokat erre az esetre nem kell újra elvégezni, mert visszavezethetők az előzőekre. Valóban, az x koordináta Fourier-komponensét meghatározó Xw

=

~

I

+= eiv(e

sh O.

(84,3)

Hangsúlyozni kell, hogy a (84,3) feltétel és a gik tenzor határozott szignatúrájára (a főértékek előjeleire) vonatkozó feltétel (82.§) nem azonos. Ha egy g ik tenzor az utóbbi feltételt nem elégíti ki, az a gik általában nem felelhet meg valódi gravitá·ciós térnek, azaz nem adhatja meg egy valóságos téridő metrikáját. Ugyanakkor a (84,3) feltétel sérülése csupán azt vonná maga után, hogy a megfelelő vonatkoztatási rendszert nem lehetne valódi testekkel megvalósítani; de há ezzel egyidejűleg a fő­ értékekre vonatkozó feltétel teljesül, akkor a koordináták megfelelő transzformálásával elérhetjük, hogy a goo pozitív legyen (egy ilyen rendszerre példa a forgó koordináta-rendszer; lásd a 89.§-t). Következő lépésként meghatározzuk a dl térbeli távolságelemet A speciális relativitáselméletben a dl-et két infinitezimálisan közeli, de ugyanabban az időpillanatban végbemenő esemény közötti ívelemként definiáltuk. Az általános relativitáselméletben azonban ez a definíció általában nem kielégitő, azaz nem lehet dl-et egyszerűen úgy definiálni, hogy ds-be dx 0 = O-t teszünk. Gravitációs térben ugyanis, .a sajátidő a tér különböző pontjaiban különböző kapcsolatban áll az x 0 koordinátával. dl-et ezért az alábbiak szerint definiáljuk. Induljon el a tér valamely B pontjából (amelynek koordinátái x"'+dx"') egy fényjel .a hozzá infinitezimálisan közeli A pontba (amelynek koordinátái x"'), majd onnan .azonnal forduljon vissza ugyanazon az úton. Az ehhez szükséges idő (amelyet ugyanabban a B pontban mérünk) c-vel szorozva nyilvánvalóan a két pont távolságának kétszerese. Az ivelernnégyzet képletében válasszuk szét az idő- és a térkoordinátákat: (84,4) ahol megállapodásunknak megfelelően a kétszer ismétlődő görög indexek l, 2, 3 értékeire összegezünk A fényjel egyik pontból való kiindulásának és visszaérkezésének megfelelő események ívelernnégyzete zérus. A ds2 = O egyenletet dx0 -ra megoldva, két gy ö köt kapunk: 1 dx0 (l) = - - (-go"' dx"'- f(go".gof3-g"'f3goo) dx"' dxf3), goo l (-go"' dx"' go o

dx°C2l = -

www.interkonyv.hu

(84,5)

+V (go~of3- g,f3goo) dx"' dxf3),

Hungarian translation © Gálfi László, Kunszt Zoltán, Niedermayer Ferenc, Typotex, 2010

© Typotex Kiadó

84.§. TÁVOLSÁGOK ÉS IDŐTARTAMOK

305

:ami a jel A és B között két lehetséges irányú terjedésének felel meg. Ha xO a jel A-ba való beérkezésének pillanata, akkor a B-ből való elindulásának és a B-be való visszatérésének megfelelő pillanatai x 0 + dx0 - g Do;+ goof, ""

gOD-+ gOD•

ahol!,"' = of/ox"'. Ilyen helyettesítés esetén a (84, 7) háromdimenziós tenzor változatlan marad.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Gálfi László, Kunszt Zoltán, Niedermayer Ferenc, Typotex, 2010

© Typotex Kiadó

88. §. ÁLLANDÓ GRAVITÁCIÓS ERŐTÉR

323

egyidejű

bármely másik két esemény között eltelt időtartammaL Ugyanakkor az x 0 világidő különböző térpontokban mért azonos időtartamainak a.,; sajátidő különböző időtartamai felelnek meg. Az x 0 és -c közötti (84,1) összefüggést a jelen esetben "C

1,;=-r goox 0 c

(88,1)

alakba írhatjuk bármely véges időtartam esetén is. Gyenge gravitációs térben a (87,12) közelítő képietet használhatjuk; ebben az esetben (88,1) ugyanilyen pontossággal a

xo"C= c

rp)

( 1+c2

(88,2)

összefüggésbe me gy át. A sajátidő tehát annál lassabban · telik, minél kisebb a tér szóban forgó pontjában a gravitációs potenciál, azaz minél nagyobb a gravitációs potenciál abszolút értéke. (A 99. §·ban megmutatjuk, hogy rp mindig negatív.) Ha két azonosan járó óra közül az egyiket bizonyos időre gravitációs térbe helyezzük, az a továbbiakban késni fog a másikhoz képest. Már említettük, hogy sztatikus gravitációs térben a metrikus tenzor g 0"' komponensei nullával egyenlők. A 84. § eredményei szerint ez azt jelenti, hogy ilyenkor az órákat az egész térben szinkronizálhatjuk. Azt is megemlítjük, hogy a térbeli távolságelemet sztatikus térben egyszerűen az alábbi összefüggés adja meg: d/ 2 = -go:p dxrx dxf3. (88,3) Stacionárius térben g 0" nem zérus, így az órák nem szinkronizálhatók a teljes térben. Minthogy a g;k·k függetlenek x 0 -tól, a tér különböző pontjaiban végbemenő két egyidejű esemény közteltelt (84,14) világidőtartamot az alábbi alakba írhatjuk: :(88,4)

E képlet alkalmazható bármely két pontra, amely rajta van az órák szinkronizálásának vonalán. Zárt kontúr mentén szinkronizálva az órákat, a kiindulási pontba való visszatérés esetén észlelt világidő-különbség (88, 5)

ahol a szóban forgó zárt kontúr mentén kell integrálnunk.22 A (88,5) integrál azonosan zérus, ha ago: o dx" /g0 0 összeg a térkoordináták valamilyen függvényének teljes differenciáljával egyenlő. De ez egyúttal azt is jelentené, hogy sztatikus térrel van dolgunk, mert ebben az esetben egy x 0 - x 0 +f(x"') alakú transzformációval az összes g"'0 zérussá tehető. 22

21*

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Gálfi László, Kunszt Zoltán, Niedermayer Ferenc, Typotex, 2010

© Typotex Kiadó

324

X. RÉSZECSKE GRAVITÁCIÓS ERŐTÉRBEN

Vizsgáljuk meg fénysugár terjedését állandó gravitációs térben. Az 53. §-ban azt láttuk, hogy a fény frekvenciája a 'P eikonál időcleriváltja (negatív előjellel). Az x 0 /c világidőben mért frekvencia ezért wo =-c B!p/Ox 0 • Mivel a (87,9) eikonál-egyenlet állandó gravitációs térben x 0 -t expliciten nem tartalmazza, az w 0 frekvencia a fény· .sugár terjedése közben állandó marad. A sajátidőben mért w = - B!p/8r: frekvencia ugyanakkor a tér különböző poptjaiban különböző. A 81.p a'P ox0 a'P c ------0 or: oY!J ar: 8x Go "összefüggés miatt Wo (88,6) w= Ygoo. Ebből

gyenge gravitációs tér esetén

közelítőleg

az (88, 7)

,összefüggést kapjuk. Látjuk, hogy a fény frekvenciája a gravitációs potenciál .abszolút értékének növekedésével, tehát az erőteret létrehozó testekhez közeled ve, növekszik; és megfordítva, az erőteret létrehozó testektől távolodó fénysugár frekvenciája csökken. Ha a fénysugár kibocsátásának helyén a gravitációs potenciál értéke rp1, és ugyanitt a fénysugár frekvenciája w, akkor egy olyan pontba érve, ahol a gravitációs potenciál rp 2 , a frekvencia (ennek a pontnak a sajátidejében mérve)

A Napon levő atomok által kibocsátott vonalas színkép a Napon ugyanúgy néz ki, mint az ugyanolyan földi atomok által kibocsátott színkép a Földön megfigyelve. Ha azonban a Napon levő atomok által kibocsátott spektrumot a Földön figyeljük meg, akkor a fentiekből az következik, hogy színképvonalai eltolódnak a Földön kibocsátott fény ugyanazon színképvonalaihoz képest. Egy w frekvenciájú vonal eltolódása

Llw

=

!pl

-q; 2

c2

w,

(88. 8)

ahol rp 1 és rp 2 a gravitációs potenciál értékei a kibocsátás, illetve a spektrum megfigyelé-sének helyén. Ha a Napon vagy a csillagokban kibocsátott spektrumot a Földön figyeljük meg, akkor l rp1l > l q; 2I, és (88,8)-ból az következik, hogy Ll ev -< O, tehát az

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Gálfi László, Kunszt Zoltán, Niedermayer Ferenc, Typotex, 2010

© Typotex Kiadó

88. §. ÁLLANDÓ G RAVIT ÁCIÓS ERŐTÉR

325

eltolódás a kisebb frekvenciák felé történik. A most leírt jelenséget gravitációs vöröseltolódásnak nevezzük.

E jelenség eredetét a világidővel kapcsolatban mondottakból kiindulva, közvetlenüt is megvilágíthatjuk Az erőtér állandóságamiatt az a világidőtartam, amely ahhoz kell,. hogy a fényhullám egy bizonyos rezgése a tér egy adott pontjából a tér egy másik pontjába érjen, független x 0 -tól. Ezért az egységnyi világidő alatt végbement rezgések száma a sugár mentén minden pontban ugyanaz. De egy és ugyanaz a világidőtartam annál nagyobb sajátidőtartamnak felel meg, minél távolabb vagyunk az erőteret létrehozó testektőL Következésképpen a testektől távolodó fénysugár egységnyi sajátidő alatt végbement rezgéseinek száma csökken. Állandó gravitációs erőtérben a mozgó részecske energiája, amit a hatásnak a világidő szerinti -c oS/ ox 0 deriváltjaként definiáltunk, megmarad. Ez például abból következik, hogy a Hamilt~m-Jacobi-egyenletben x 0 expeliciten nem szerepel. Az így definiált energia a Pk = mcuk = mcgkiui kovariáns négyesimpulzus időszerű komponense. Sztatikus térben ds 2 = g 00 (dx 0 )2-dl2 , így az to energiára azt kapjuk, hogy to

=

dx 0 dx 0 mc2goo - - = mc2goo ,; · • r goo(dx0 )2 -d/2 ds

Vezessük be a részecske sajátidőben, tehát az adott helyen levő megfigyelő által mért sebességét: dl c dl V=-=-==-dr: ]lg oo dx 0 • Ekkor az energia (88,9)

Ez a mennyiség marad állandó a részecske mozgása során. Könnyű megmutatni, hogy a (88,9) kifejezés stacionárius terekben is érvényes, ha a v sebességet a részecske pályája mentén szinkronizált órák által meghatározott sajátidőben mérjük. Ha a részecske az x 0 világidő-pillanatban indul az A pontból, és az x 0 +dx0 pillanatban érkezik az infinitezimálisan közeli B pontba, akkor a sebesség definíciójában most nem az (x 0 +dx0 )-x0 = dxo időtartamot kell vennünk, hanem az x 0 +dx0 és az x 0 -

az A pontbeli x 0

www.interkonyv.hu

gor~. dxrt. időadat különbségét, ahol az utóbbi a B pontban egyidejű goo

időpillanattal:

Hungarian translation © Gálfi László, Kunszt Zoltán, Niedermayer Ferenc, Typotex, 2010

© Typotex Kiadó

X. RÉSZECSKE G RAVIT ÁCIÓS ERŐTÉRBEN

326

Ez(még Vg 00 jc-vel megszorozva, a megfelelő sajátidőtartamot kapjuk, ezért a sebesség: (88,10)

ahol a (84. §-ban már említett) g háromdimenziós vektorra és a g 00 háromdimenziós skalán:a a (88,11)

h= goo

jelölést vezettük be. A y"13 -val adott metrikájú háromdimenziós térben a v hármassebesség kovariáns komponenseit és e hármasvektor négyzetét a következőképpen adhatjuk meg: 23 (88,12)

Megjegyezzük, hogy a ds ívelemet a sebességgel a fenti definíciók szerint kifejezve, a szokásoshoz h~sonló képlethez jutunk: ds2~ =

goo(dx0) 2 + 2g0" dx 0 dx"+ g"p dx" dxP

= h(dx0 -g""dx") 2 -dl 2

=

= h(dx0 -g""dx"-) 2 (t-~:).

(88,13)

Az ui= dxifds négyessebesség komponensei: V"

U"=-v--::::==2· c l-_!!_

(88,14)

c2

Ekkor az energia:

ami (88,14) behelyettesítése után (88,9) alakú lesz. 23

A továbbiakban a négyesvektorok és négyestenerek mellett többször használunk olyan hármasvektorokat és hármastenzorokat is, amelyeket a y"13 -val adott metrikájú háromdimenziós térben definiálunk; ilyenek például a már bevezetett g és v vektorok. A négyestenzorok esetén a tenzoroperációkat (így az indexek fel- és lehúzását) a g ik metrikus tenzor segítségével végezzük, a hármastenzorok esetén viszont ugyanezt a y"p·val hajtjuk végre. Hogy elkerüljük az ebből adádható félreértéseket, a háromdimenziós mennyiségek esetén a négydimenziós mennyiség.;k Jelölésére használtaktól eltérő jeleket alkalmazunk.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Gálfi László, Kunszt Zoltán, Niedermayer Ferenc, Typotex, 2010

© Typotex Kiadó

88.§. ÁLLANDÓ G RAVIT ÁCIÓS ERŐTÉR

Gyenge gravitációs helyettesítve,

erőtér

közelítőleg

327

és kis sebességek határesetében (88,9)-be g 00

=

2ep

l + - -t c2

érvényes lesz az (88,15)

képlet, ahol mcp a részecske potenciális energiája a gravitációs térben, egyezésben a (87,10) Lagrange-függvénnyet

Feladatok 1. Határozzuk meg az állandó gravitációs térben

levő

részecskére ható

erőt.

Megoldás. Ti 1 számunkra szilkséges komponenseire az alábbi összefüggéseket kapjuk: 1 h;"', r "'oo =2 (1)

Ezekben a kifejezésekben a g háromdimenziós vektoron és a h háromdimenziós skaláron az összes tenzorműveletet (kovariáns differenciálások, indexek Je- és felhúzása) a Y efw esetén g 00 negatívvá válik, ami nem megengedett. A forgó vonatkoztatási rendszerek nagy távolságokban való alkalmazhatatlansága azzal kapcsolatos, hogy a forgás sebessége a fénysebességnél nagyobbá válna, ezért egy ilyen rendszert lehetetlen valóságos testekkel létrehozni. Mint stacionárius terekben általában, forgó testen sem lehet az órákat egyértelműen szinkronizálni a test minden pontján. Egy zárt görbe mentén végezve el a szinkronizálást, azt kapjuk, hogy a kiindulási pontba visszatérve, az idő kiindulási értékétől [lásd (88,5)-öt]

mennyiséggel különbözik; feltételezve, hogy kicsi a fénysebességhez képest),

Lit

w = -ez

f

r2 drp

oJrje

« l (azaz a forgatás sebessége

2w = +- e zS'

(89,3)

ahol S a kontúr területének a forgástengelyt merőlegesen metsző síkra vett vetülete. (Az előjel + vagy - aszerint, hogy a kontúrt a forgással egyező vagy ellentétes irányban jártuk be.)

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Gálfi László, Kunszt Zoltán, Niedermayer Ferenc, Typotex, 2010

© Typotex Kiadó

331

90. §. AZ ELEKTRODINAMIKA EGYENLETEI G RAVITÁCIÓS TÉRBEN

Tételezzük fel, hogy a fénysugár valamely zárt görbe mentén terjed. Számítsuk ki v je rendű tagokig bezárólag a fénysugárnak a kiindulási pontba való visszatéréséig ·eltelt t időt. A fény sebessége a definíció szerint c, ha az időt zárt görbe mentén szinkronizáljuk, és minden pontban a sajátidőt használjuk. Minthogy a sajátidő és a világidő eltérése v2 jc2 nagyságrendű, a vjc rendű tagokig vett pontosság esetén, a keresett t időintervallum kiszámításakor ezt a különbséget elhanyagolhatjuk Ezért azt kapjuk, hogy

;a

L 2w t = - ± - 2 s, c

c

ahol L a görbe hossza. Ha tehát a fénysebességet az Lj t hányadossal mérjük, az adó· és A< 2 > főértékekhez tartozó nj 1 > és 11~2 > sajátvektorok egymásra merőlegesek: (3)

Speciálisan, ha a (2) egyenletnek van két olyan A és A* gy öke, amelyek egymás komplex-konjugáltjai, és amelyeknek az n1 és n7 egymáshoz komplex-konjugált sajátvektorok felelnek meg, azokra is teljesül az

(4) összefüggés. Az A 1k tenzort kifejezhetjük

főértékei

és

megfelelő

sajátvektorai segítségével: (5)

(hacsak valamelyik n11i szorzat nem nulla; lásd alább). A (2) egyenlet gyökeinek jellegétől függően a következő három eset lehetséges. I. Mind a négy A sajátérték valós. Ebben az esetben valósak az n1 sajátvektorok is, mivel pedig az n1-k egymásra kölcsönösen merőlegesek, emiatt három sajátvektor iránya térszerlí, egyé pedig idő­ szerlí (ezek az n1n1 =-l, illetve az n1n1 =+l feltételekkel normálhatók). Ha a koordinátatengelyeket a sajátvektorok irányában vesszük fel, A 1k diagonális lesz:

o -A(l)

o o

o o -A(2)

o

jJ

(6)

II. A (2) egyenletnekkét valós (A< 2 >, A< 3 >) és két komplex gyöke van, amelyek egymásnak komplexkonjugáltjai (A'±iA"). A két komplex gyöknek megfelelő, egymáshoz komplex-konjugált n1, n7 vektorokat a1±ib1 alakban írjuk; mivel a komplex sajátvektorok csupán tetszőleges komplex szorzó erejéig határozottak, azokat az n;~l = n7n*' = l feltételekkel normálhatjuk A (4) egyenletet is figyelembe véve, az a1, b1 valós vektorokra az

feltételek adódnak, amiből a1a1 = 1/2, b1b1 = -1/2 következik, tehát az a1 vektor időszerű, a b, pedig térszerlí .16 Mivel csupán egy vektor lehet időszerlí, lehet két komplex-konjugált gyökpárja. 16

www.interkonyv.hu

ebből

az következik, hogy a (2) egyenleteknek nem

Hungarian translation © Gálfi László, Kunszt Zoltán, Niedermayer Ferenc, Typotex, 2010

© Typotex Kiadó

95.§. AZ EINSTEIN-EGYENLETEK

355

A koordinátatengelyeket az ai, b1, n< 2l1, n< 3 J1 vektorok irányába véve fel, az A;k tenzor alakja [amelyet (5) segítségével számithatunk ki]:

o o

/\" -íl.'

o o

(7)

-1\-k általában nem adhaták meg a koordináták valamilyen függvényének teljes dif!'erenciáljaként. 34 A négyláb célszerü megválasztását sugallhatja már az is, ha ds 2-et előzetesen (98, 6) alakra hozzuic ds 2 (88,13) alakban való kifejezésének az

e~o> =

(yh; -Yhg),

e~"-> = (o, e("->)

bázisvektorok felelnek meg, ahol e(•> megválasztása d/ 2 térbeli alakjától fü~g. 35 A Y•• , mennyiségeket Ricci-féle forgási együtthatáknak nevezzük.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Gálfi László, Kunszt Zoltán, Niedermayer Ferenc, Typotex, 2010

© Typotex Kiadó

380

XI. A GRAVITÁCIÓS ERŐTÉR EGYENLETEI

Ezek amennyiségek az alábbi szimmetriatulajdonságokkal rendelkeznek: (98,12)

Határozzuk meg a görbületi tenzor négylábkomponenseit. E cél érdekében (91,6) definícióból indulunk ki, ezt a bázisvektorok kovariáns deriváltjaira alkalmazva:

vagy R(a) (b) (c) (d)

=

(e(a)i; k; z- e(a)i; l;

k)e[b)e~c)efd)·

Ezt a kifejezést könnyen átírhatjuk a Y abc mennyiségek segítségéveL Az

összefüggést használjuk, majd ismételt kovariáns deriválás után a bázisvektorok differenciálhányadosait újból ugyanúgy kifejezhetjük; eközben a Yabc skalármenynyiség kovariáns deriválíja megegyezik közönséges deriváltjával. 36 Eredményünk: !R(a)(b)(c){d)

=

Y abc, d- Y abd, c+YabAYfcd-yfdc)+yafb>c (99,10) - 2 + -b2 + 2 "-1 a c - '

egyenletteL Ekkor az erőtér potenciálját tetszőleges, a testen a következő integrál adja meg:

kívüllevő

x, y, z pontban

(99,11) 1 Itt valamennyi c) gravitációs energiája: első·

c U=- 5 ,ra3km-c2 arccos-, a 1 2

2

(99,15)

a megnyúlt forgási ellipszoidé (a >b = c) pedig

a V3km ar ch-. 5 a2 -c2 c 2

U= -

(99,16)

Az x2 , y 2, z2 négyzetek integrálását legegyszerűbben az x= ax', y= by', z= ez' helyettesítéssei végezhetjük el, amikor is az ellipszoid térfogatára vett integrál helyett egy egységnyi sugarú gömb .térfogatára vett integrált kell kiszámítanunk. 2

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Gálfi László, Kunszt Zoltán, Niedermayer Ferenc, Typotex, 2010

© Typotex Kiadó

385

99.§. A NEWTON-TÖRVÉNY

Gömbre (a= c) mindkét összefüggés az U= -3km2 f5a értéket adja, amely természetesen elemi úton is levezethető. 3

Feladat Határozzuk meg egy egészében egyenletesen forgó, saját gravitációs homogén tömegeloszlású folyadék egyensúlyi alakját.

erőtere

által összetartott,

Megoldás. Az egyensúly feltétele az, hogy a test felületén a gravitációs potenciál és a "centrifugális erő" potenciáljának összege állandó legyen:

(w a forgás szögsebessége; a forgás tengelye a z tengely). A keresett alak egy lapos forgási eiiipszoid.

Az eiiipszoid paramétereinek meghatározása céljából az egyensúlyi feltéteibe behelyettesí1jük (99,13)at és a (99,10) segítségével kiküszöböljük z2-et; eredményünk:

=const,

amiből

az következik, hogy a szögletes zárójelben végeredményként az

egyenlet adódik

(J

=

~

levő

kifejezés nulla. Az integrálásokat elvégezve,

ma2 w a test z tengelyre vonatkoztatott impulzusmomentuma), amely meg-

határozza a c/ a arányt adott w vagy J esetén. e/a-nak J-től való függése egyértelmű, J növelésével monoton csökken. Kiderül azonban, hogy a fenti szimmetrikus alak csupán abban az esetben stabil (kis perturbációkkal szemben), ha J nem túlságosan nagy. Pontosabban, a stabilitás J= 0,24 k 1 ' 2m 5 ' 3 p,- 116 értéknél megszűnik (ekkor ela= 0,58). J további növekedésénél az egyensúlyi alak háromtengelyű eiiipszoiddá válik, fokozatosan (értelemszerűen l-től, ill. 0,58-tól) csökkenő b/a és efa értékekkel. Ez az alak aztán ismét instabiiiá válik J= 0,31 k 112 m513p,- 1 ' 6-nál (amikor a: b: c= l: 0,43: 0,34). 4

3

A homogén a sugarú gömb belsejében a potenciál

· 4 G. Lamb: "Hidrodinamil~a" (XII. fejezet, Gosztyehizdat 1947.) könyvében találhatunk ezekkel a kérdésekkel foglalkozó irodalmi útmutatásokat.

25

Elméleti fizika Il. -

www.interkonyv.hu

42221 /II.

Hungarian translation © Gálfi László, Kunszt Zoltán, Niedermayer Ferenc, Typotex, 2010

© Typotex Kiadó

386

XII. GRAVITÁLÓ TESTEK ERŐTERE

100. §. Gömbszimmetrikus gravitációs

erőtér

Vizsgáljunk gömbszimmetrikus gravitációs erőtereket Ilyen erőteret tetszőleges gömbszimmetrikus anyageloszlás létesíthet; ilyenkor természetesen, nemcsak az anyageloszlás, hanem a mozgás is gömbszimmetrikus, azaz a sebesség minden pontban sugárirányú. Az erőtér gömbszimmetriája azt jelenti, hogy a téridő metrikája, tehát a ds ívelemet megadó kifejezés a középponttól egyenlő távolságban levő pontokban azonos alakú. Euklideszi térben ez a távolság a helyvektor hosszával egyenlő: nemeuklideszi térben azonban nincs olyan mennyiség, amely egyesítené az euklideszi helyvektor összes tulajdonságait (hossza egyenlő a középponttól mért távolsággal és a kör kerületének 2n-ed részével). Ezért a "helyvektor" megválasztása a jelen esetben önkényes. "Gömbi" r, e, rp térkoordinátákat bevezetve, a ds 2 -et megadó legáltalánosabb gömbszimmetrikus kifejezés ds2 = h(r, t) dr 2 +k(r, t) (sin 2 () drp 2 +de2 )+l(r, t) dt 2 +a(r, t) dr dt

(100,1)

alakú, ahol a, h, k, l az r "helyvektor" és a t "idő" valamilyen függvényei. Az általános relativitáselméletben a koordináta-rendszert tetszőlegesen választhatjuk, ezért a koordinátákat még alávethetjük a ds2 gömbszimmetriáját nem sértő tetszőleges transzformációnak; ez azt jelenti, hogy az r és t koordinátákat az

képletekkel transzformálhatjuk, ahol /1 és /z az r' és t' új koordináták tetszőleges függvényei. E lehetőséget felhasználva, válasszuk meg az r koordinátát és t időt oly módon, hogy egyrészt a ds2 -et megadó kifejezésben a dr dt tag a(r, t) együtthatója zérussá válj on, másrészt a k(r, t) együttható egyszerűen - r 2 legyen. 5 Ez utóbbi azt jelenti, hogy az r helyvektort olymódon választottuk meg, hogy az origó köré írt kör kerülete 2nr legyen (a e =n/2 síkban a köríveleme dl= r drp). Célszerű h-t és /-et rendre -e,; és ée• alakba írni, ahol A. és v az r és t valamilyen függvénye. Így ds2 -re a következő kifejezést kapjuk: (100,2) 5 Ezek a feltételek még nem határozzák meg egyértelműen az időkoordináta megválasztását Pontosabban szólva, az időkoordinátát még tetszőleges t = f(t} alakú, r-et nem tartalmazó transzformációnak vethetjük alá.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Gálfi László, Kunszt Zoltán, Niedermayer Ferenc, Typotex, 2010

© Typotex Kiadó

100. §. GÖMBSZIMMETRIKUS GRAVITÁCIÓS ERŐTÉR

x 0 , xl, x 2 , x 3 gyanánt a ct, r, különböző komponenseire a go o

= e•,

gn

e, rp

387

koordinátákat véve, a metrikus tenzor zérustól

= -é,

g 22

=-

r2 ,

g 33

=-

r2 sin2 e

kifejezést kapjuk. Nyilvánvaló, hogy Ennek ismeretében, felhasználva a (86,3) képletet, könnyen kiszámíthatjuk a Fk1 mennyiségeket. A számítás eredménye (a vessző r szerinti, a betű feletti pont pedig t szerinti differenciálást jelent): ;t'

r ll l -- 2' (100,3) l

r~3

= ctg e,

2 rl2 -

3 r13 -

Fio =

~ , F~3 =-r sin ee-".

-'

r

2

Az összes többi F~1 komponens (a fentiekből csupán az alsó indexek felcserélésében különbözőkön kívül) zérussal egyenlő. Az egyenletek felírásához meg kell még határoznunk (92, 7) segítségével az R~ tenzorkomponenseket Egyszerű számítás után az alábbi egyenleteket kapjuk: (100,4)

(100,5) (100,6) (100,7)

[(95,6) összes többi komponense azonosan eltűnik]. Az energia-impulzus-tenzor komponenseit (94,9) alapján kifejezhetjük az anyag s energiasűrűségével, p nyomásával és v sugárirányú sebességéveL 25*

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Gálfi László, Kunszt Zoltán, Niedermayer Ferenc, Typotex, 2010

© Typotex Kiadó

388

XII. GRAVITÁLÓ TESTEK ERŐTERE

A (100,4) egyenletek maradéktalanul integrálhaták az anyagrneutes gömbszimmetrikus terek igen fontos esetében, azaz az erőteret létrehozó tömegeken kívül. Az energia-impulzus-tenzort zérussá téve, a következő egyenleteket kapjuk:

e-;.(~+ J_) _J_= r r2, r2

O

•

(100,8) (100,9) (100,10)

{a negyedik, (100,5) alatti egyenlet a másik három következménye, azért elhagyhatjuk]. (100,10)-bőllátjuk, hogy A nem függ az időtől. Továbbá a (100,8) és (100,9) egyenleteket összeadva, ).'+v' = O adódik, azaz A+v

= F(t),

(100,11)

ahol F(t) csak az idő függvénye. A ds 2 . íveJemnégyzet (100,2) alakjában még meghagytuk azt a lehetőséget, hogy az időt tetszőleges t = f(t') alakú transzformációinak vessük alá. Ez ekvivalens egy tetszőleges időfüggvény v-höz való hozzáadásával. Ily módon a (100,11)-ben levő F(t)~t mindig zérussá tehetjük. Így tehát a általánosság korlátozása nélkül úgy vehetjük, hogy A+v = O. Látható, hogy a gömbszimmetrikus gravitációs tér vákuumban az egyenletekből következően szükségképpen sztatikus. A (100,9) egyenletet könnyen integrálhatjuk:

e-J.=

e~=

const 1+--. r

(100,12)

Amint annak lennie kell, a végtelenben (r --+=)e-;. = e• = l, tehát kiadódik, hogy a gravitáló testektől messze, a metrika euklideszi. A const együttható könnyen kifejezhető a tömegekkel, megkövetelve, hogy nagy távolságokban, ahol az erőtér gyenge, a Newton-törvény legyen érvényes. 6 Nevezetesen, go 0 = l +2cp/c2, ahol a ep potenciál a Newton-féle (99,4) kifejezésével egyenlő: ep= -kmjr (m az erőteret létrehozó test teljes tömege). Ebből látható, hogy const =- 2kmjc 2 • E mennyiség hosszúságdimenziójú, és a test rg gravitációs sugarának nevezzük: 2km rg=-2- ö c

(100,13)

a Gömbszimmetrikus eloszlású anyag gömb alakú üregének belsejében levő térre a const.= 0-nak kell teljesülnie, mivel ellenkező eseiben a metrikának szingularitása volna az r = O pontban: Tehát .a metrika egy ilyen üreg belsejében automatikusan euklideszivé válik, vagyis az üreg belsejében .{akárcsak a Newton-elméletben) nincs gravitációs erőtér.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Gálfi László, Kunszt Zoltán, Niedermayer Ferenc, Typotex, 2010

© Typotex Kiadó

100. §. GÖMBSZIMMETRIKUS G RAVITÁCIÓS ERŐTÉR

Végeredményünk tehát az, hogy a ds2

389

téridő-metrika:

= (1- rrg) c2 dt2- r2(sin2 (J dcp2 + d(J2)-

dr2

(100,14)

1-.!i_ r

Az Einstein-egyenletek fenti megoldását K. .')chwarzschild adta meg (1916). E megoldás teljesen meghatároz egy tetszőleges gömbszimmetrikus tömegeloszlás által létrehozott gravitációs erőteret a tömegen kívül. Hangsúlyozzuk, hogy ez a megoldás nemcsak nyugvó, de mozgásban levő tömegekre is igaz, amennyiben a mozgás szintén rendelkezik a szükséges szimmetriával (például gömbszimnwtrikus pulzáló mozgás). Megjegyezzük, hogy a (100,14) metrika csak a gravitáló test össztömegétől függ, éppen úgy, mint a newtoni elméletben. A háromdimenziós tér metrikája meghatározza a térbeli távolság ívelemnégyzetét: dl 2 =

dr 2

---+r2(sin2 (J dcp 2 +d(J2).

(100,15)

1- Tg r Az r koordináta geometriai jelentése, hogy a (100,15) metrikában az erőtér középpontja körül rajzolt kör kerülete 2nr. Ugyanakkor két ugyanazon a sugáron levő r1 és r2 pont közötti távolságot az (100,16)

integrál adja. Látható továbbá, hogy goo ezért

:§

l. A (84,1) képlet szerint a valódi idő d..,; = d..,;~

dt.

Vg 00 dt~ (100,17}

Az egyenlőség jele a végtelenben érvényes, amikor t megegyezik a valódi idővel. A tömegtől véges távolságban tehát "lassabban" telik az idő, mint végtelen távolságban. Végülleírjuk még ds2 -nek a koordináta-rendszer kezdőpontjától nagy távolságban érvényes közelítő alakját: (100,18) A második tag kis járulékot ad a ds~ Galilei-féle metrikához. Az erőteret létre-

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Gálfi László, Kunszt Zoltán, Niedermayer Ferenc, Typotex, 2010

© Typotex Kiadó

XII. G RAVITÁLÓ TESTEK ERŐTERE

390

hozó tömegektől nagy távolságban minden erőtér gömbszimmetrikus. Ezért (100,18) a testek bármilyen rendszerétől nagy távolságban érvényes metrikát határozza meg. Néhány általános kijelentést tehetünk a gravitáló tömeg belsejében levő gömb· szimmetrikus gravitációs térre vonatkozóan. A (100,6) egyenletből látható, hogy r -+ O esetén .:t-nak is legalább r 2 szerint zérushoz kell tartania, ellenkező esetben ugyanis az egyenlet jobb oldala r -+ O esetén végtelenné válna, azaz Tg-nak r = Ü· ban szinguláris pontja lenne. A (100,6) egyenletet formálisan, a A jr=o = O határ· feltétel mellett integrálva, azt kapjuk, hogy (100,19)

Mivel (100,10) szerint Tg= e-•T00

~O,

látható, hogy

A,~

O, azaz (100,20)

Továbbá a (100,4)

egyenletből

(100,6)-ot kivonva,

adódik, tehát v' +A.' ~O. De r __.. = esetén (a tömegtől nagy távolságban) a metrika Galilei-féle metrikába me gy át, azaz v -+ O, A -+ O. Ezért v'+ A.' ~ O-ból következik, hogy az egész térben (100,21) Mivel A ~ O, nyilván v

=:'§

O, azaz e•

=:'§

l.

(100,22)

A kapott egyenlőtlenségek azt mutatják, hogy a térmetrikának és az órák járásának a gömbszimmetrikus, vákuumbeli gravitációs erőtérre kapott (100,16) és (100,17) tulajdonságai a gravitáló tömegek belsejében levő térre is érvényesek. Ha a gravitációs teret egy a "sugarú", gömb alakú test hozza létre, akkor r > a esetén Tg = O. Ezért az r > a pontokban (100,19) szerint

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Gálfi László, Kunszt Zoltán, Niedermayer Ferenc, Typotex, 2010

© Typotex Kiadó

100. §. GÖMBSZIMMETRIKUS GRAVITÁCIÓS ERŐTÉR

391

Másrészt alkalmazhatjuk a vákuumban érvényes (100,14) képletet, amely szerint 2 cr

A =-ln (1- km_)· 2 A két kifejezés összehasonlításával a

m

I

4n T&r 2 dr = -c2

(100,23)

o

adódik, ami a test teljes tömegének energia-impulzus-tenzorával való kifejezése. Speciálisan, sztatikus anyageloszlás esetén a test belsejében rg = s, tehát

I a

4n m ="(;2

(100,24)

sr2 dr.

o

Vegyük észre, hogy bár a (100,2) metrikában a térbeli térfogatelem 4V = 4nr 2e;.fz dr, ahol (100,20) szerint e;.;z > l, az integrálást 4rrr2 dr szerint kell elvégezni. Ez a különbség a test gravitációs tömeghiányát fejezi ki.

Feladatok l. Határozzuk meg a Schwarzschild-metrikájú (100,14) tér görbületi tenzorának invariánsait Megoldás. (100,3)-ból vett Ii~·ekkel (92,1) szerint (vagy a 92.§ 2. feladatában kapott képletek szerint) számolva, a görbületi tenzor zérustól különböző komponenseire az

r,

R 0101 = 3 ' r R121 2 -

-

R

131

sin2

3__ -

()

-

ru 2(r-r,) '

R2a2a = -

rru sin2 ()

kifejezéseket nyerjük. Így azután a (92,20) szerinti 11 és 12 invariánsok:

(Azok a szorzatok, amelyekben az Rik~m duális tenzor szerepel, azonosan zérusok.) A görbületi tenzor a Petrov-féle D- típushoz tartozik (valós ;.elJ = J.< 2 > = - r/2r 3 invariánsokkal). Megjegyezzük, hogy az invariánsoknak csak az r = O pontban van szingularitásuk, r = ru·ben nincs. 2. Határozzuk meg a térbeli görbületet az előző feladatban szereplő metrika esetén. Megoldás. A háromdimenziós tér Pa{Jyo görbületi tenzorának komponenseit kifejezhetjük a PrxfJ tenzor (és a Y~{J tenzor) komponenseinek segítségéve!, így elegendőPrxfJ komponenseit kiszámítanunk

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Gálfi László, Kunszt Zoltán, Niedermayer Ferenc, Typotex, 2010

© Typotex Kiadó

392

XII. G RAVITÁLÓ TESTEK ERŐTERE

(lásd a 92.§ l. feladatát). Prx{3 ugyanúgy ből vett értékeivel adódik, hogy

fejezhető

ki Ya/i-val, mint az

e Prp"' = 2r3, ru Pe=

Prrprrp

tenzor g;k-val. Yrx!i (100,15)-

r P~=--f, r

és P~ = O, ha a ,= (3. Megjegyezzük, hogy P~, P: > O, P; A 92.§ l. feladatában kapott képlet felhasználásával:

P,e,e

R;k


O. YeeYrprp (Ez azt jelenti, hogy a síknak a rá merőleges sugárral való metszéspontja közelében rajzolt kis háromszögek szögeinek összege n-nél nagyobb.) Ugyanakkor a középpanton átmenő "sík" Gauss-féle görbülete K < O; ez azt jelenti, hogy az ebben a síkban felvett kis háromszögek szögeinek összege n-nél kisebb. (Hangsúlyozzuk, hogy ez utóbbi tulajdonság nem vonatkozik azokra a háromszögekre, amelyek belső pontként tartalmazzák a tér középpontját; a szög összege egy ilyen háromszögben nagyobb, mint :n:.) 3. Határozzuk meg azt a forgási felületet, amelynek geometriája ugyanolyan, mint az üres gömbszimmetrikus gravitációs tér középpontján átmenő síké. Megoldás. A z = z(r) forgási felületen a geometriát (hengerkoordinátákban) a

íveJemnégyzet határozza meg. Ezt a () = n/2 "síkban" áf2

= r2

levő

(100,15)

dr 2

dcp2 + ---1-~ r

ívelemnégyzettel összehasonlítva, azt kapjuk, hogy

l +z'2 =

)-1,

r ( 1--:-.

amiből

Az r= ru helyen ennek a függvénynek szingularitása, elágazási pontja van. Ez azzal kapcsolatos, hogy a (100,15) térbeli metrikának [a (100,14) téridő-metrikával ellentétben] valóban szingularitása van r = r.-nél. A középpanton átmenő "sík" előző feladatban megmutatott általános tulajdonságait úgy is megkaphatjuk, hogy az itt kapott szemléletes modell görbületét vizsgáljuk. 4. Transzformáljuk a (100,14) intervallumot olyan koordinátákba, amelyekben a térmetrika kanform-euklideszi alakú (azaz a d/ 2 euklideszi kifejezésével arányos).

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Gálfi László, Kunszt Zoltán, Niedermayer Ferenc, Typotex, 2010

© Typotex Kiadó

100. §. GÖMBSZIMMETRIKUS G RAVITÁCIÓS ERŐTÉR Megoláás. Az

parametrizálást véve,

(100,14)-ből

azt kapjuk, hogy

A e, e, ep koordinátákat izotrop gömbkoordinátáknak nevezzük; helyettük használhatjuk az x, y, z izotrop Descartes-koordinátákat is. Speciálisan, nagy távolságokban (e» r 0 ) közelítőleg azt kapjuk,. hogy

5. Határozzuk meg gömbszimmetrikus gravitációs tér egyenleteit anyagban, együttmozgó vonatkoztatási rendszerben. Megoldás. A (100,1) ívelemnégyzetben szereplő r, t koordináta két lehetséges transzformációját arra használjuk, hogy egyrészt zérussá tegyük a dr dt tag a(r, t) együtthatóját, másrészt minden pontban eltüntessük az anyag sugárirán:, ú sebességét (a sebesség többi komponense a gömbszimmetria miatt úgyis zérus). Ezek után az r és t koordinátákat még tetszőleges r = r(r'), t= t(t')· transzformációknak vethetjük alá. Jelöljük az így megválasztott radiális koordinátát és időt R-rel és r-val, a h, k, l együtthaták pedig legyenek rendre -e", -é', e" (A, p, v az R és r változók függvényei). Ekkor az ívelemnégyzet:

Az energia-impulzus-tenzor komponensei az együttmozgó vonatkoztatási rendszerben:

Tl =

T8 = e, Hosszadalmas számítás után a 8nk

következő

8nk

-~T 11 =~p=

- 8nk 4 c

(A

vessző

T~

= -p.

téregyenleteket kapjuk: 7 le (

fl'

2 , ')

y+~tv

·z)

l .• 3 -e-v (.. ~t---zflv+4fl

"

-e-~,

4

c

8nk To c4 0 c

=

(2)•

T~= 8nk p= _!_e-A(2v"+v'2+2p"+fl'2-p'A'--v'A'+p'v')+ 4

+

S~k

l

2 e-

T~

!

= 8nk 4

n=

c

0 =

(3)

e-v(Av+ fú- i{t- 2X-J..z_ 2(.1- {1,2), e

__!__

2

= - e-lc(fl" +~ p,'24

p,'

A') +__!__2 e-•(A!t + p,2z ) +e-fl'

2

e-A(2ft' + fJ,p,'- ~p,'- v'/t).

(4} (5)·

R, a pont pedig T szerinti differenciálást jelent.)

7 Az Rik komponenseket közvetlenül kiszámíthatjuk, vagy ahogy a szövegben tettük, a 92. §2. feladatában kapott képletek segítségével határozhatjuk meg.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Gálfi László, Kunszt Zoltán, Niedermayer Ferenc, Typotex, 2010

© Typotex Kiadó

394

XII. GRAVITÁLÓ TESTEK ERŐTERE

A., ft, v-re könnyű néhány általános összefüggést felírni, kiindulva a téregyenletekből következő T~k = O összefüggésekbőL A (86,11) képietet felhasználva, az alábbi két egyenletet kapjuk:

.

.

2e

Jc+2,u = - - - ,

p+ e

'

2p'

(6)

v=---.

p+ e

Ha p mint e függvénye ismert, akkor a (6) egyenleteket integrálva:

Jc+2,u

=-2

de

/ p+ J--+ e

v= -2

1 (R),

dp

/ p+ e J--+

2 (r)

(7)

adódik, ahol / 1 (R) és / 2( r) tetszőlegesen megválasztható függvények, minthogy a fent mondottak értelmében szabad a koordinátákat tetszőleges alakú, R = R(R'), r = r(r') transzformációknak alávetni. 6. Határozzuk meg egy hengerszimmetrikus test körüli, anyagmentes, sztatikus gravitációs teret leíró egyenleteket (H. Wey!, 1917).

Megoldás. x 1

= rp, x 2 = e, x 3 = z hengerkoordinátákban a sztatikus ívelernnégyzetet ds 2 = e•c 2 dt 2 -e"' drp 2 - é' (de 2 +dz2 )

alakban keressük, ahol v, w, ,u a e és z változók függvényei; az ilyen ábrázolás a koordinátákat egy e= e(e', z'), z= z(e', z') transzformáció erejéig rögzíti, mely a de 2 +dz2 kvadratikus alakot csupán ' egy közös szorzó erejéig változtatja meg. Az

egyenletekből

(ahol a

,e és , z indexek e és z szerinti differenciálást jelentenek), összeadva őket a

összefüggést kapjuk, ahol V+OJ

e'(e,z) =e

2.

Tehát e'(e, z) a e, z változók harmonikus függvénye. A harmonikus függvények ismert tulajdonságai szerint ez azt jelenti, hogy létezik a z'(e, z) harmonikus társ, amelyre e' +iz'= f(e+iz) teljesül, ahol fa e+ iz komplex változó analitikus függvénye. Új koordinátákként e'-t és z'-t választva, mivel a e, z ~ e', z' transzformáció konform leképzés, az adódik, hogy

ahol fl(e',z') valamilyen új függvény. Ugyanakkor e"'= e' 2e-•; bevezetve az w+v =y jelölést, és a továbbiakban elhagyva a vesszőket, (l)

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Gálfi László, Kunszt Zoltán, Niedermayer Ferenc, Typotex, 2010

© Typotex Kiadó

101. §. MOZGÁS GÖMBSZIMMETRIKUS GRAVITÁCIÓS ERŐTÉRBEN adódik. Erre a metrikárarészletesenfelírva az R~ hogy

395

= O, R~- R~ = O, R: = O egyenleteket, azt kapjuk, (2)

~-~~ az -e ae az '

~

=

ae

_g_ [(~)2- (~)2]· 2

Be

(3)

az

Megjegyezzük, hogy (2) éppen hengerkoordinátákban felírt Laplace-egyenlet (rp-től nem függő függvényre). Ezt az egyenletet megoldva, a y(e, z) függvényt a (2) és (3) egyenletek teljesen meghatározzák. A teret létreh~zó testtől messze a v és y függvényeknek zérushoz kell tartaniuk.

101. §. Mozgás gömbszimmetrikus gravitációs erőtérben Vizsgáljuk meg egy test gömbszimmetrikus gravitációs erőtérben végzett mozgását. Mint minden gömbszimmetrikus erőtérben, a mozgás most is a koordináták kezdő­ pontján átmenő síkban megy végbe; válasszuk e síkot a e = nj2 síknak. A részecske pályájának meghatározása céljából a Hamilton-Jacobi-egyenletet használjuk : g

ik

as as ax; axk

2 2 -

mc -

o'

itt m a részecske tömege. Az erőteret létesítő test tömegét m' -vel jelöljük. A (100,14) metrikus tenzor segítségével ez az egyenlet az

2_(l- rg) (as) 2_l_ (as )2-m c ( as) ( l-~)-1 r cat r ar r arp j

2 2

2

=

0

(101,1)

alakra hozható, ahol r g = 2m'kjc 2 a középpanti test gravitációs sugara. A Hamilton-Jacobi-egyenlet megoldásának általános szabálya szerint S-et az S = -1'4+lrp+S,(r)

(101,2)

alakban keressük, állandó .ho"" =-CS ~maVa""b(r-ra)---ca Bt Bx""

(106,14)

Valóban, ha a rendszer mindössze egy mozdulatlan részecskéből áll, az egyenlet jobb oldalán Snk egyszerűen m.t5(r- r.) szerepel, ez az egyenlet (második közelítésben) helyesen adja a részecske c2 által keltett erőteret. 45

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Gálfi László, Kunszt Zoltán, Niedermayer Ferenc, Typotex, 2010

© Typotex Kiadó

431

106. §. RÉSZECSKERENDSZEREK MOZGÁSEGYENLETEI

kifejezésre vezet. E lineáris egyenlet megoldása :46

ahoifa

L:o.j = rp

=

_L

segeuegyenlet megoldása. Figyelembe véve a

adódik. Végül

egyszerű

számítások után a

kma

Ir-ra l

~:o.r

= 2/r összefüggést,

következő

eredményt kapjuk: (106,15)

Itt na az r-ra vektor irányába mutató egységvektor. A (106,1), (106,13), (106,15) kifejezések elegendőek a keresett Lagrange-függvény másodrendű tagokig terjedő pontossággal való kiszámításához. A többi részecske által keltett "külső" gravitációs erőtérben mozgó részecske Lagrange-függvénye: La

ds = -maC -d =t

mac2

(

Sorba fejtve a gyök öt és elhagyva a lényegtelen pontossággal az L _ mav~ a 2

+

mav~ _ 8c2

maC

2

12

2

va. v v"'vfJ ) ' l+ hoo + 2hoa. __!!._--i+ ha.r::.;. c c c

(hoo2 + h

mac 2

V~ .L.J:-h

Oa. C

'

2c2

állandót, e kifejezést

a. {3_

rx{JVaVa

h5o

8 +

hoo 4c2

2)

Va

előírt

(106, 16)

alakba írhatjuk át. Itt h;k összes értékét az ra pontban kell vennünk; közben ismét e] kell hagynunk a végtelenné váló tagokat, ami az La·ban együtthatóként szereplő ma tömeg "újranormálására" vezet. Stacionárius esetben a (106,14) egyenlet jobb oldalán levő második tag hiányzik. A rendszertől nagy távolságban azonnal felírható az így kapott egyenlet megoldása, a (43,4) egyenlet (44,3) megoldásának analógiájára: ' 2k hooc = -~ (nXJ)"' ,f cr 46

!

f

[ahol J = (r x ,uv) dV= teljes egyezésben van.

www.interkonyv.hu

L; m.(r. x v.)

a rendszer impulzusmomentuma]. Ez a (105,19) képlettel

Hungarian translation © Gálfi László, Kunszt Zoltán, Niedermayer Ferenc, Typotex, 2010

© Typotex Kiadó

XII. G RAVIT ÁLÓ TESTEK ERŐTERE

438

A számítások további menete a következő. A rendszer teljes Lagrange-függvénye magától értetődően nem egyenlő az egyes testek La függvényeinek összegével, hanem azt úgy kell megalkotni, hogy az egyik testre ható fa erőt helyesen adja vissza a többi test adott mozgása esetén. E célból az La Lagrange-függvény differenciálásával számítsuk ki az fa erőket: fa

=

(aLa) ar

r=ra

.

(A differenciálást a h;k·kra vonatkozó kifejezésekben a "megfigyelési pont" r futó koordinátái szerint kell elvégeznünk.) Ezek után könnyű olyan általános Lagrangeparfüggvényt megszerkeszteni, amelyből mindezek az fa erők előállíthaták a ciális deriválásokkaL Nem vesztegeíve az időt az egyszerű közbenső számításokkal, azonnal a Lagrangefüggvényre kapott végeredményt adjuk meg :47

aLjora

L =

I

a

mav~ 2

+I I' a b

3kmambv~ 2c2rab

+L a

ma v~ 8c2

+I I' a b

kmamb _ 2rab

ahol rab= lra-rbl, nab az ra-rb irányú egységvektor, az összegező jelnél pedig azt jelenti a vessző, hogy el kell hagyni a b = a vagy c = a tagokat.

Feladatok l. Határozzuk meg gravitációs tér hatásintegrálját newtoni közelítésben. Megoldás. g,k (106,3) kifejezésének segítségével a (93,3) képlet szerint azt kapjuk, hogy G = =-2(vrp) 2/c', így az erőtér hatásintegrálja:

A gravitációs tér és a ft

sűrűségeloszlású

tömegek együttes hatásintegrálja: (l)

Könnyen meggyőződhetünk arról, hogy S-nek rp szerinti variálása a (99,2) Poisson-egyenletre vezet, amint annak lennie kell. Az energiasűrűséget a A Lagrange-sűrűségből [(l) integrandusábóll a (32,5) általános képlet szerint számíthatjuk ki, ami az adott esetben (amikor /l-ban nem szerepel rp időderiváltja) a második 47 Lagrange-függvénynek megfelelő mozgásegyenleteket elsőként A. Einstein, L. liifeld és B. Hoffmann (1938), továbbá A. Eddington és G. Clark (1938) adtak meg.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Gálfi László, Kunszt Zoltán, Niedermayer Ferenc, Typotex, 2010

© Typotex Kiadó

106. §. RÉSZECSKERENDSZEREK MOZGÁSEGYENLETEI

439

és a harmadik tag előjelének a megváltoztatását jelenti. Az energiasürűséget úgy integráljuk a térre, hogy a második tagban f-lrp = rp ,6.rpj4nk helyettesítés! végzünk, majd parciálisarr integrálunk, az erőtér és a gravitáló anyag összes energiáját végül

J[

2

f1.V- - l- (vrp)·'] dV 2 8nk

alakban kapjuk meg. Tehát a Newton-elméletben a gravitációs tér energiasürűsége W=- (vrp) 2/8nk. 48 2. Határozzuk meg gravitáló közelítésben.

testekből

álló rendszer tömegközéppontjának koordinátáit második

l'v/egoldás. A gravitációs kölcsönhatás Newton-törvényének és az elektrosztatikus kölcsönhatás Coulomb-törvényének hasonlóságát figyelembe véve, a tömegközéppont koordinátáit a 65.§ l. feladatában kapott képlethez hasonlóval adhatjuk meg: 2 +p~ _ -L l .", r ( m c mb R - - -km. -- " L., ' -) t a a a 2m, 2 b rab '

o _ "L., ( m.c 2 + P2- - -km. mb- ) . - L". , a 2m. 2 b rab

0-

3. Határozzuk meg két, egymással összemérhető tömegü gravitáló test pálya-perihéliumának szekuláris eltolóelását (H. Robertson, 1938).

Megoldás. Két

testből

álló rendszer Lagrange-függvénye:

Hamilton-függvényre áttérve és kiküszöbölve abból a tömegközéppont mozgását (lásd a 65.§ 2. feladatát), azt kapjuk, hogy

(1 (

ahol p a relatív mozgás impulzusa. Határozzuk meg az impulzus Pr sugárirányú összetevőjét a J (impulzusmomentum) és az 8 (energia) paraméterek függvényében. Ezt a függvényt a ?6 = 8 egyenlet határozza meg (a másodrendü tagokban p 2-nek nulladik közelítésben kapott kifejezését kell használni):

48 Az esetleges félreértések elkerülése végett megemlítjük, hogy ez a kifejezés nem egyezik meg az energia-impulzus-pszeudotenzor (- g)t00 kom ponensével [amelyet a (l 06,3)-beli gil,- val számí tot· tunk]; W-hez(- g)Tik·bó1 is adódik járulék.

www.interkonyv.hu

Hungarian translation © Gálfi László, Kunszt Zoltán, Niedermayer Ferenc, Typotex, 2010

© Typotex Kiadó

XII. GRAVITÁLÓ TESTEK ERŐTERE

440

A számítás további menete a 101. §-ban elvégzetthez hasonló. MeghatározzuK a felírt algebrai p,-et, majd az s. = p, dr

egyenletből

f

integrálban úgy transzformáljuk az r változót, hogy a J-t tartalmazó tag J2jr 2 alakú legyen. Ezután a gyök alatti kifejezést a kis relativisztikus korrekciók szerint sorba fejtve, azt kapjuk, hogy

S = r

Jlfv A+~-(Jz- 6k2mim~ r

c2

)_!_dr r2

(vö. (101,6)-tal], ahol A, B állandó együtthatók, amelyeknek konkrét kiszámítására nincs szükség_ Végeredményben a relatív mozgás pálya-perihéliumának elfordulására az adódik, hogy 0 rp

= 6nk 2mim~ = 6nk(m 1 +m 2) c2 J2 c2 a(l -é) 1

Ezt (101,7)-tel összehasonlítva, azt látjuk, hogy a pálya adott méretei és alakja esetén a perihélium elmozdulása ugyanolyan, mint egy rögzített erőcentrum körül mozgó m1 + m2 tömegű testé. 4. Határozzuk meg egy olyan gömb alakú pörgettyű precessziójának frekvenciáját, amely pályamozgását egy, a saját tengelye körül forgó központi tP•t gravitációs terében végzi. Megoldás. A keresett effektus első közelitésben két függetlenrésZ összegeként adható meg, amelyek közül az egyik a gömbszimmetrikus erőtér nem-klasszikus tulajdonságaival (H. Wey!, 1923), a másik pedig a központi test forgásával kapcsolatos (L. Schiff, 1960). Az első részt a pörgettyű Lagrange-függvényében megjelenő kiegészítő tag írja le, amely a (106,17)beli második tagnak felel meg. Írjuk a pörgettyű egyes (dm tömegű) elemeinek sebességét v = V+ +w x r alakban, ahol V pálya menti mozgásának sebessége, w a szögsebesség, r a dm elemnek a pörgettyű tömegközéppontjához viszonyított helyvektora. (Ez utóbbit válasszuk úgy, hogy a pörgettyű térfogatára vett dm integrál zérus legyen.) Az w-tól független tagokat elhagyva, az w szerint négyzetes tagokat pedig elhanyagolva azt kapjuk, hogy

fr

o< I-L

=

3km' 2V (w x r) dm 2c2 R '

ahol m' a központi test tömege,· R = l R0 +r l a dm tömegeiemnek a centrumtól mért távolsága, R0 a pörgettyű tömegközéppontjának helyvektora. Az 1/R"" 1/R0 -nr/Rg (ahol n= R 0/R0) szerinti sorfejtés első tagjának integrálja zérus, a második tag integrálját pedig az

képlet segítségevel számíthatjuk ki, ahol kapjuk, hogy

e

a

pörgettyű

tehetetlenségi nyomatéka. Eredményül azt

3km' oWL = - - J(v0 X n) 2 2c R~

'

ahol J = ew a pörgettyű impulzusmomentuma. A Lagrange-függvénynek a központi test forgásával kapcsolatos járulékos tagját (106,17)-ből is megkaphatnánk, de a 105. § feladatának (l) képlete segítségével még egyszerűbben kiszámíthatjuk:

o< 2lL=

www.interkonyv.hu

l:!5__J c2

J'(wxr)xR Ra dm,

Hungarian translation © Gálfi László, Kunszt Zoltán, Niedermayer Ferenc, Typotex, 2010

© Typotex Kiadó

106. §. RÉSZECSKERENDSZEREK MOZGÁSEGYENLETEI

441

ahol J' a központi test impulzusmomentuma. Elvégezve az

sorfejtést és az integrálást: (j