Elemente Inginerie Mecanica [PDF]

Zitiervorschau

CAPITOLUL 1. Elemente introductive

9

PARTEA I CAPITOLUL 1– ELEMENTE INTRODUCTIVE 1.1. ELEMENTE GENERALE – SCURT ISTORIC Apărută din cele mai îndepărtate timpuri, mecanica este o ramură a ştiinţelor naturii, care studiază una din cele mai simple forme de mişcare a materiei, cunoscută sub denumirea de mişcare mecanică, definită ca modificarea a poziţiei relative a unui corp, sau parte a acestuia, faţă de un alt corp, considerat ca reper (sistem de referinţă). Baza fenomenelor studiate de mecanică o constituie două noţiuni fundamentale: materia şi mişcarea. Conceptul de materie a avut în timp o evoluţie complexă. În antichitate, prin materie era considerată numai una din formele sale multiple de existenţă, substanţa. Această viziune simplistă a fost continuu completată, odată cu noile descoperiri, iar cele mai recente descoperiri în domeniul fizicii nucleare, radioactivităţii arată clar că nu au fost epuizate toate formele de manifestare ale materiei. Caracteristica dominantă a speciei umane, de depăşire şi autodepăşire a făcut ca problemele cerute de dezvoltarea civilizaţiei umane să fie din ce în ce mai complexe, generând inevitabil, adăugarea de noi capitole disciplinei. Utilizând noi metode de cercetare şi investigaţie, dispunând de aparatul matematic continuu dezvoltat şi perfecţionat, mecanica a devenit o ştiinţă independentă, capabilă să răspundă celor mai complexe probleme ridicate de tehnica modernă. Aprofundarea studiului acestor noi descoperiri, ce sau constituit în domenii ale disciplinei, a făcut ca ulterior din disciplina mecanică să se desprindă ramuri noi cum ar fi: Mecanica relativistă, Mecanica cuantică, Mecanica ondulatorie, Mecanica fluidelor, ca şi discipline cu pronunţat caracter tehnic - aplicativ cum ar fi: Mecanica mediului continuu elastic, mai bine cunoscut sub denumirea de Rezistenţa materialelor, Macanisme şi Organe de maşini, Electrotehnica, Mecanica şi construcţia navei şi lista poate continua. Asemănător a evoluat şi noţiunea de mişcare. În antichitate, bazele cunoştinţelor de mecanică au fost puse de Arhitas din Tareut (430–365 î.e.n.), Aristotel (384–322 î.e.n.), dar întemeietorul staticii, prin teoriile sale asupra pârghiilor, asupra unor probleme de echilibru, a compunerii şi descompunerii forţelor paralele, prin definirea centrului de greutate, poate fi considerat Arhimede din Siracuza (287–212 î.e.n.). El stabileşte şi legile de bază ale hidrostaticii. Legat de mişcare, timp de secole, a dominat în ştiinţă concepţia aristoteliană. Conform lucrării sale “Mecanica”, Aristotel afirmă că , “un corp care se află în mişcare se opreşte atunci când forţa ce acţionează asupra lui îşi încetează acţiunea”. Limitele acestei teorii, bazate în principal pe observare au fost depăşite de Galileo Galilei, considerat fondatorul dinamicii, fiind învăţatul care a descoperit legea inerţiei, legile căderii corpurilor, legea oscilaţiilor pendului, legile mişcării corpurilor pe plan înclinat, etc. Înfruntând misticismul, ideile învechite scolastice şi religioase, acesta introduce în mecanică metodele de cercetare ştiinţifică şi experimentale, înlocuind vechiul concept bazat numai pe observare. Noua metodă constă în abstractizări ale fenomenului (modelare) şi apoi verificări experimentale. Lucrările lui Galileo Galilei au fost continuate şi extinse de o întreagă serie de mari oameni de ştiinţă cum ar fi: E. Torricelli (1608-1647), ucenic al lui G. Galilei, care sa ocupat în mod deosebit de studiul mişcării fluidelor şi presiunii atmosferice; Simon Steve (1548-1650), cu rezultate în compunerea forţelor, a presiunii apei pe pereţii vaselor; Cr. Huigens (1629–1695) elaboratorul teoriei ondulatorii a luminii, cel ce s-a ocupat cu studiul pendulului, a ciocnirilor corpurilor elastice, a introdus noţiunile de moment de inerţie mecanic, acceleraţie centripetă, centrifugă, etc; V. Varignon (1654–1722) cunoscut pentru

CAPITOLUL 1. Elemente introductive

10

metodele sale geometrice aplicate în mecanică, prin definirea formelor finale ale relaţiilor legate de noţiunea de moment şi teorema momentelor. Rezultatele cercetătorilor lui Galilei şi a urmaşilor lui au fost valorificate de cel ce este considerat părintele mecanicii clasice Isaac Newton (1642-1727), matematician, fizician şi astronom englez, care în lucrarea „Philosophiae Naturalis Principia Matematica” (Principiile matematice ale filozofiei naturale”), apărută la 8 mai 1686, a expus în mod sistematic şi unitar noţiunile şi principiile mecanicii alături de teoria gravităţii universale. În sens filozofic, mişcarea, ca şi materia, este veşnică, necreabilă şi absolută, repaosul fiind relativ şi temporar, mişcarea constituindu-se ca o însusire esenţială a materiei. Acestor nume ilustre ce au reprezentat etape în dezvoltarea primară a teoriilor mecanice mai putem adăuga: Leonardo da Vinci (1452-1519), pictor, savant şi inginer italian, care printre altele s-a ocupat de studiul frecării, al zborului, a demonstrat imposibilitatea existentei mişcării perpetue; astronomul polonez Nicolai Copernic (1473-1543) ce a arătat că planetele au o dublă mişcare; marele Johannes Kepler (1571-1630) astronom german care a stabilit că planetele au o mişcare după traiectorii eliptice stabilind cele tei legi ce le guvernează mişcarea şi care î-i poartă numele. Teoriile lui Newton au fost preluate şi dezvoltate de mulţi alţi oameni de ştiinţă, dintre care sau remarcat matematicianul elveţian Leonhard Euler (1707-1783), matematicianul francez Louis de Lagrange (1736-1813), Pierce Simon de Laplace (1749-1827), Denis Poisson (1781-1840), matematicianul irlandez William Rowan Hamilton (1805-1865) şi altii care au adus pană aproape de perfecţiune această ştiinţă. Conceptele mecanice au fost în continuare dezvoltate de o mulţime de nume consacrate ale ştiinţei. Astfel fizicianul francez Charles Coulomb (1736-1806) obţine rezultate deosebite în stabilirea expresiei forţelor electrostatice şi magnetice, în studiul frecării , obţinând legile frecării ce îi poartă numele, fizicianul englez Michael Faraday (1791-1867) cu completarea studiului câmpurilor magnetice şi fenomenele de electroliză. Continuând rezultatele lui M. Faraday şi modelul creat de el legat de câmpul magnetic, fizicianul scoţian James Clerk Maxwell (1831-1879) a reuşit să formuleze legile câmpului electromagnetic. Fizicianul german Heinrich Hertz continuă studiul câmpurilor magnetice, obţinând rezultate deosebite ca şi în studiul vibraţiilor mecanice. Nu putem neglija numele lui Albert Einstein (1879-1955) fizician german care este părintele celei mai evoluate teorii, denumită de el teoria relativităţii. Nu putem trece cu vederea contribuţia în epoca modernă la dezvoltarea mecanicii teoretice şi aplicate a unor savanţi de origine română ce şi-au căpătat un renume mondial, domeniile cu cele mai mari reuşite fiind în domeniul zborurilor şi deplasării corpurilor în fluide. Lista poate începe cu Herman Oberth, savant născut la Sighişoara ale cărui contribuţii în domeniul zborurilor cosmice sunt unanim recunoscute. Henri Coandă (1886-1972), inginer, om de ştiinţă, constructor de avioane, pionier al aviaţiei, autor a peste 250 de invenţii brevetate, cu aplicaţii în diverse domenii. Este considerat părintele propulsiei cu motoare cu reacţie, pune bazele propulsiei pe verticală a avioanelor, descoperitorul, teoreticianul efectului devierii unui fluid în zona de contact cu un corp sau alt fluid, efect ce îi poartă numele. A desfăşurat o activitate deosebită şi în numeroase alte domenii precum: - aparate de ochire pentru avioanele militare; - tun de aviaţie fără recul; - înlocuirea metalelor din diverse construcţii; - rezervoare de beton pentru combustibil; - cisterne de beton pentru transportul pe calea ferată; - instalaţie solară pentru desalinizarea apei marine etc.

CAPITOLUL 1. Elemente introductive

11

Aurel Vlaicu (1882–1913), a construit unul din primele planoare româneşti, A. Vlaicu –1909 şi avioane monoplanare. A. Vlaicu Nr. I (1910) şi A. Vlaicu Nr. II (1911) cu care a obţinut performanţe de răsunet la vremea respectivă. Traian Vuia (1872–1950) – constructor de motoare şi avioane, inventator, pionier al aviaţiei mondiale, eminent om politic. Este primul om din lume care a construit şi a zburat cu un avion mai greu decât aerul, T. Vuia Nr. I, ce a decolat numai cu mijloacele de bord, iar în 1918 realizează două tipuri de elicoptere, prevăzute cu aripi rotative. Grigore (Gogu) Constantinescu (1881–1965) considerat părintele sonicităţii, (ştiinţa transmiterii energiei prin fluide compresibile), savant de talie mondială unanim recunoscut pentru rezultatele tehnice deosebite ale aplicaţiilor teoriei sale. Anghel Saligni (1854–1925), inginer constructor, inventator, om de ştiinţă, întemeietorul ingineriei româneşti, pionier al ştiinţei şi tehnicii mondiale, îndeosebi prin soluţiile noi în proiectarea şi executarea construcţiilor de poduri şi a construcţiilor industriale (portul Constanţa, silozurile de cereale ale portului Constanţa). Unul din pionierii proiectării şi utilizării structurilor din construcţii din beton armat, constructorul primelor poduri combinate de şosea şi cale ferată (Adjud – Tg. Ocna), primele poduri metalice cu console fără culee (linia ferată Filiaşi – Tg. Jiu). Cea mai importantă realizare a sa este conceperea şi proiectarea complexului de poduri peste braţul Borcea la Feteşti şi peste Dunăre la Cernavodă, cel mai mare din Europa şi al treilea din lume la acea vreme, cu o lungime totală de 4088 m, inaugurat la 14 septembrie 1895. Nu trebuie neglijat efortul făcut de inginerii din ultimele generaţii, ca E. Carafoli, în domeniul construcţiei de avioane, precum şi domnilor Caius Iacob, Gheorghe Ştefan, Radu Voinea, Dumitru Mangeron, Octave Onicescu, Mihai Sofonea, pentru contribuţiile domniilor lor în dezvoltarea teoretică a mecanicii, precum şi în formarea şi dezvoltarea şcolii de mecanică din România ultimilor decenii. Mulţumesc pe această cale profesorilor mei, Petre Sima şi Mihai Tofan de la universitatea ,,TRANSILVANIA,, DIN BRAŞOV, pentru modul în care m-au ajutat în formarea mea; primul prin uimitoarea simplitate a modului de predare a mecanicii şi al doilea prin fascinaţia rafinamentului calculului matematic, pentru care păstrez o recunoştinţă unică.

1.2. PRINCIPIILE MECANICII Deoarece mecanica clasică este o ştiinţă a naturii, în elaborarea teoriilor ei, iniţiatorii, pornind de la realităţi evidente, ce nu puteau fi demonstrate matematic au introdus mai multe principii sau axiome. Acestea reprezintă realităţi ce pot fi evidenţiate experimental dar nu se pot demonstra şi matematic. Isaac Newton a enunţat pentru prima dată în formă finală (utilizată şi în prezent ) aceste principiile, pe care le-a denumit axiomele sau legile mişcării. Legea I – Principiul inerţiei: Un corp îşi păstrează starea de repaus (nemişcare) sau de mişcare rectilinie şi uniformă atâta timp cât nu intervin alte forte care să-i modifice această stare. Cele două stări mecanice, starea de repaus şi de mişcare rectilinie şi uniformă se numesc stări inerţiale. Legea a-II-a – Principiul acţiunii: Variaţia mişcării este proporţională cu forţa ce produce modificarea, păstrând sensul şi direcţia ei. Cum variaţia vitezei în raport cu timpul este acceleraţia, pe baza acestui principiu Isaac Newton a stabilit legea fundamentală:

CAPITOLUL 1. Elemente introductive

12

F = ma Aceasta arată că, coeficientul de proporţionalitate între forţă şi variaţia mişcării este masa corpului m. Prin aceasta Isaac Newton stabilea că variaţia mişcării nu depinde de viteza corpului şi nici de acţiunea simultană a altor forţe, dacă F este o rezultantă. Legea a-III-a – Principiul acţiunii şi reacţiunii. Aceasta stabileste că, totdeauna la orice acţiune corespunde o reacţiune egală şi de sens contrar sau acţiunile reciproce a două puncte materiale sunt totdeauna egale şi îndreptate în sens contrar. În lucrarea sa Newton defineşte ca fiind Corolarul I, un alt principiu de bază al mecanicii clasice denumit principiul paralelogramului forţelor. Conform acestui principiu, dacă asupra unui punct M acţionează simultan două forţe F1 şi F2 efectul lor este acelaşi cu al acţiunii unei singure forţe F , având mărimea şi sensul diagonalei paralelogramului construit pe cele două forţe .

a S = a+ b b Pentru a enunţa aceste legi, Newton a formulat o serie de ipoteze simplificatoare. Astfel prin corp material se înţelege un punct material, iar mişcarea, pentru a putea să fie studiată se raportează la un sistem de referinţă absolut şi imobil. În legea a-II-a masa m este considerată constantă. Denumirile de acţiune şi reacţiune în sensul legii a-III-a sunt convenţionale deoarece este impropriu să se afirme că forţele de acţiune şi reacţiune îşi fac echilibru, ele acţionând asupra a două corpuri diferite.

1.3. MODELELE UTILIZATE ÎN MECANICĂ Necesitatea de a obţine metode cât mai generale de calcul matematic, capabile să poată acoperi marea diversitate a fenomenelor din natură a impus realizare unor modele de calcul, capabile să se suprapună cât mai fidel peste evenimentele, determinările experimentale verificând rezultatele obţinute prin calcul bazate pe modelul utilizat. Acest nou mod de gândire a apărut odată cu terecerea de la gândirea aristotelică şi scolastică a evului mediu. Depăşirea acestui mod de gândire s-a realizat într-o perioadă foarte lungă de timp, iar fundamentele noului mod de gândire, bazat pe cercetare şi verificare experimentală au fost puse de Galileo Galilei şi finalizate de Isaac Newton. În lucrarea sa fundamentală ,,PHILOSOPHIAE NATURALIS PRINCIPIA MATHEMATICA’’, Newton defineşte primul model al mecanicii, punctul material. Realizarea modelelor în mecanică a fost impusă de necesitatea de a simplifica pe de o parte studiul mişcării mecanice întâlnită într-o mare diversitate în jurul nostru, conferind o mare generalitate metodelor de studio. Pe de altă parte, realizarea modelelor permite utilizarea generalizată a unor calculelor matematice unice. În urma confirmării rezultatelor obţinute prin calculul matematic de către valorile obţinute experimental se validează modelul matematic folosit şi metodica de calcul utilizată. În studiul mişcării mecanice, punctul material substituie, fie punctele materiale de dimensiuni foarte mici, având formă sferică de raza r foarte mică, neglijabilă, fie corpurile de mari dimensiuni, în cazul particular în care toate

CAPITOLUL 1. Elemente introductive

13

forţele ce acţionează asupra lui au dreptele suport, concurente într-un punct. Acest punct, (exemplu centrul de greutate) substituie corpul studiat. O mulţime de puncte materiale dispuse la distanţe relativ mari, dar care interacţionează între ele formează un sistem de puncte materiale. Dacă într-un anumit spaţiu delimitat de un domeniu finit, punctele materiale infinit de mici sunt dispuse foarte apropiate între ele, dispuse uniform şi formând diferite structuri cu dispunere uniformă în spaţiu, astfel că detaşând orice volum elementar din orice poziţie din spaţiul dat, numărul de puncte materiale este acelaşi s-au foarte apropiat, acesta constituie continuul material. Cu alte cuvinte, în cadrul sistemelor de puncte materiale, dispunerea lor spaţială este discretă, iar în cazul conţinuului de material (corpuri) dispunerea este continuă. Acest model se mai defineşte ca mediu continuu sau corp material continuu sau simplu corp. Dacă punctele materiale ale unui corp îşi păstrează poziţia lor relativă şi distanţa dintre ele constantă, indiferent de sistemul de forţe ce acţionează asupra sa atunci corpul devine un nou model, respectiv corp rigid, sau corp nedeformbil, sau mai simplu rigid. Corpul real suferă deformaţii sub acţiunea forţelor ce acţionează asupra sa. Deformaţiile sunt elastice, dacă, după încetarea acţiunii corpul îşi recapătă forma şi dimensiunile iniţiale şi respectiv plastice în cazul în care corpul nu-şi mai recapătă forma şi dimensiunile iniţiale. Pornind de la raportul celor trei dimensiuni cu ajutorul cărora stabilim volumul unui corp, în mecanică se mai utilizează şi modele particulare ale corpurilor. Astfel, dacă două din cele trei dimensiuni sunt neglijabile în raport cu a treia, atunci corpul poartă numele de bară (dacă este rigid), respectiv fir, dacă este flexibil (nu opune rezistenţă la modificarea formei). Dacă două dintre dimensiuni au valori comparabile între ele dar mult mai mari decât cea de a treia, atunci vorbim de suptafeţe materiale sau plăci. Dacă grosimea este atât de mică încât placa se poate deforma uşor, acest model poartă numele de membrană. Aceste modele de studiu se completează în funcţie de posibilităţile de mişcare ale punctului şi rigidului cu două situaţii distincte : - a) punctul şi rigidul liber ; - b) punctul şi rigidul supus la legărturi. Un punct este liber dacă poate ocupa orice punct în spaţiu. Orice restricţie geometrică, constând în imposibilitatea ca punctul să se desprindă de o suprafaţă sau curbă constituie o legătură mecanică iar punctul este supus la legături. Dacă trei puncte necoliniare oarecare ale unui corp ocupă o poziţie oarecare determintă şi ele pot ocupa dependent unul de altul orice poziţie învecinată, atunci corpul este liber. Aceste modele rezolvă toate problemele de mişcare mecanică de la cele mai generale şi până la cele mai simple mişcări ale punctului sau rigidului. Pentru a defini mişcarea mecanică, definită ca modificarea poziţiei în timp şi spaţiu s-a configurat un model fizic constănd dintr-un reper considerat fix sau mobil, purtând numele de sistem de referinţă fix (absolut), respectiv mobil (relativ).

CAPITOLUL 1. Elemente introductive

14

CAPITOLUL 2– ELEMENTE DE CALCUL VECTORIAL 2.1. ELEMENTE GENERALE Deoarece, pe parcursul acestui curs, se utilizează în general mărimi vectoriale, cu care este necesar să se efectueze diferite operaţii şi calcule matematice, am considerat util ca, din multitudinea şi complexitatea aspectelor de calcul vectorial dezvoltate la disciplinele de matematică să fie reamintite pe B scurt, operaţiile şi proprietăţile ce vor fi utilizate. O mărime scalară, sau scalar este complet determinată prin valoarea lor r numerică. Aceasta, reprezintă un număr pozitiv sau negativ urmat de unitatea de măsură, precizând de câte ori este A cuprinsă unitatea de măsură în mărimea dată. Exemple: Fig. 2.1 Exemplu de distanţa dintre două puncte (4 metri), durata de timp (2 mărime vectorială secunde), temperatura (- 5 grade Celsius), etc. O mărime vectorială r , este definită complet dacă sunt precizate cele trei elemente: direcţie, sens şi modul. Direcţia vectorului, reprezintă dreapta suport pe care se află punctul de aplicaţie şi vârful mărimii vectoriale. Luând două puncte pe această dreaptă A şi B (fig. 2.1) prin sens se înţelege modul de parcurgere al ei de la A la B sau invers. Modulul, sau scalarul vectorului  r , este un număr real ce reprezintă multiplul unităţii de măsură a mărimii vectoriale studiate. În sistem de coordonate cartezian un vector se poate descompune după cele trei direcţii ale spaţiului cu ajutorul proiecţiilor sale pe cele trei axe. Prin definiţie, numim vector de poziţie a unui punct în raport cu un sistem de referinţă, vectorul care uneşte originea sistemului cu punctul dat. Acesta se notează cu r . Pentru simplificarea scrierii cele trei proiecţii se notează uzual cu x, y şi z. În cazul altor vectori, aceste trei litere apar ca indici la litera ce simbolizează mărimea studiată. Spre exemplu, vectorul ω : z pr oz r =z ω = ωx i + ω y j + ωz k M Conform figurii 2.2. x = prox r = r cos α y = proy r = r cos β z = proz r = r cos γ

γ k α O i prox r

β j

prOy r = y

prOM r =x x Fig. 2.2. Proiecţia unui vector r pe axele unui tetraedru regulat drept

2.1.

Cosinusurile unghiurilor pe care direcţia vectorului r le face cu axele Ox, Oy şi Oz ale sistemului de referinţă, notate uzual cu α, β, γ, poartă numele de cosinuşi directori şi se bucură de proprietatea: cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1

CAPITOLUL 1. Elemente introductive

15

Vectorul r se scrie cu ajutorul proiecţiilor pe axele sistemului de referinţă cu relaţiile: r = x ⋅ i + y ⋅ j + z ⋅ k = r cos α ⋅ i + r cos β ⋅ j + r cos γ ⋅ k

2.2.

În acest caz modulul vectorului de poziţie r , de proiecţii x, y şi z este dat de relaţia:  r = x 2 + y 2 + z 2

2.3.

Condiţia  r =0 este îndeplinită dacă şi numai dacă x=y=z=0, adică vectorul se reduce la un punct. Prin definiţie numim versor, un vector de modul egal cu unitatea. Versorul vectorului r , se notează cu u r şi este dat de relaţia: ur =

r x⋅i + y⋅ j + z⋅k == r x2 + y2 + z2

2.4.

2.2. POZIŢII PARTICULARE ALE VECTORILOR Fie doi vectori oarecare:

a = ax ⋅ i + a y ⋅ j + az ⋅ k şi r = x ⋅ i + y ⋅ j + z ⋅ k Doi sau mai mulţi vectori sunt paraleli dacă, proiecţiile lor pe cele trei axe ale sistemului de referinţă sunt proporţionale. Prin această particularitate. Aceşti vectori formează un fascicol de vectori paraleli. Dacă r a , atunci:

ax a y az = = = ct . x y z

2.5.

Doi, sau mai mulţi vectori pot fi egali în modul, dacă scalarii vectorilor respectivi sun egali. Doi, sau mai mulţi vectori care au aceiaşi direcţie, sens şi modul se numesc echipolenţi. Cu alte cuvinte doi vectori ce au acelaşi modul dacă sunt paraleli şi au acelaşi sens atunci ei sunt echipolenţi. Matematic, condiţia ce se poate scrie este că proiecţiile devin din proporţionale egale: ax=x; ay=y; az=z;

2.6.

2.3. OPERAŢII CU VECTORI. Operaţiile cu mărimile vectoriale au fost aprofundate în cadrul disciplinelor de matematici, motiv pentru care în continuare se v-a face mai mult o trecere în revistă a lor, evidenţiind numai acele aspecte utilizate în cadrul disciplinei.

CAPITOLUL 1. Elemente introductive

16

2.3.1 Produsul unui vector cu un scalar v = ar

Prin produsul unui vector cu un scalar se obţine tot un vector. Fie vectorul r şi scalarul a. Vectorul rezultat ω va avea aceeaşi direcţie cu r , modulul este egal cu modulul lui r amplificat cu scalarul a ( ω = a  r ). Când a este pozitiv vectorii au acelaşi sens, iar dacă a este negativ vectorii au sens contrar. 2.3.2. Adunarea şi scăderea vectorilor Prin adunarea şi scăderea a doi sau mai mulţi vectori se obţin întotdeauna mărimi vectoriale. Cum s-a studiat şi demonstrat în cadrul cursurilor de matematică, însumarea vectorială se poate realiza prin mai multe metode. În continuare sunt prezentate cele mai utilizate metode grafice şi analitice de calcul, utilizate pe parcursul acestei lucrări. 2.3.2.1. Metoda paralelogramului Se defineşte vectorul sumă S , sau suma a doi vectori mărimea dată de relaţia: S = a +b

2.7.

şi vectorul diferenţă D sau diferenţa a doi vectori a şi b mărimea dată de relaţia: D = a − b = a + ( −b )

2.8.

Reprezentarea calculului grafic a sumei şi diferenţei a doi vectori obţinute prin utilizarea metodei paralelogramului sunt redate în figura 2.3. Metoda constă în obţinerea prin translaţii şi paralelism a doi vectori, echipolenţi cei doi vectori daţi dar având originea comună. Ducând apoi paralele prin vârfurile celor doi vectori se obţine vectorul sumă, ce reprezintă diagonala mare a paralelogramului anterior obţinut. D = a- b S= a+ b Pentru calculul diferenţei, se a realizează aceiaşi operaţie, deosebirea constând în construcţia grafică a vectorului a cu vectorul -b b b , respectând aceiaşi regulă. De Fig. 2.3. Metoda paralelogramului această dată rezultă vectorul diferenţă, ce reprezintă diagonala mică a aceluiaşi paralelogram.

CAPITOLUL 1. Elemente introductive

17

2.3.2.2. Metoda triunghiului Metoda triunghiului, este o metodă simplificată faţă de metoda paralelogramului. Această metodă, porneşte de la observaţia că b laturile paralelogramului sunt congruente, doua a câte două. Ca atare diagonala paralelogramului este în acelaşi timp cea de a treia latură comuna a S =b +a celor două triunghiuri la care celelalte două laturi sunt vectorii însumaţi. În primul caz, se duce în O b vârful vectorului b originea unui vector Fig. 2.4. Metoda triunghiului echipolent cu vectorul a ; se uneşte originea vectorului b cu vârful vectorului a şi se obţine vectorul sumă S = b + a . În cel de al doilea caz, ducând în vârful vectorului a un vector echipolent cu vectorul b rezultă aceiaşi sumă S = a + b . Această dublă egalitate probează proprietatea de comutativitate a adunării vectoriale. 2.3.2.3. Metoda poligonală Metoda poligonală, porneşte de la observaţia că vectorul rezultant obţinut prin metoda triunghiului uneşte originea primului vector cu vârful celui de al doilea. În cazul a trei vectori, aplicând metoda triunghiului de două ori, rezultă că se va duce în vârful sumei primilor doi vectori originea vectorului echipolent cu al treilea vector al adunării. Suma celor trei vectori , va fi segmentul orientat ce uneşte originea primului vector al sumei cu vârful vectorului echipolent cu cel de al treilea. Putem extinde rezultatul la un sistem de n vectori oarecare în spaţiu, repetând aceiaşi metodă. Vectorul rezultant va uni originea primului vector cu vârful vectorului echipolent, corespunzător ultimului vector al sumei. În cazul însumării, utilizând metoda poligonală, a trei sau mai mulţi vectori având direcţii oarecare în spaţiu, vectorul rezultant se obţine astfel. Se porneşte de la primul vector din sistem, care se alege la întâmplare s-au după o anumită motivaţie. În continuare se aşează succesiv, după o ordine impusă sau aleatoriu aleasă (proprietatea de comutativitate permite alegerea oricărei ordine de adunare a celor n vectori) originea vectorului echipolent celui de al doilea vector, în vârful său originea vectorului echipolent celui de al treilea şi operaţia se repetă succesiv cu restul vectorilor, respectând aceiaşi regulă. Vectorul rezultant este segmentul uneşte originea primului vector cu vârful echipolentului ultimului vector şi poartă numele de rezultantă notându-se uzual cu R . V1

V2

V2 V3

V1

V3 V4 R

V4 Fig. 2.5. Metoda poligonală

CAPITOLUL 1. Elemente introductive

18

Deoarece prin însumarea vectorială utilizând metoda poligonală, putem însuma şi vectorii care au aceiaşi direcţie şi modul dar sens opus, metoda este valabilă şi în cazul când nu sunt numai adunări dar şi diferenţe între cei n vectori cu care se operează.Reprezentarea grafică a acestei metode pentru patru vectori este redată în figura 2.5. R = V1 + V2 + V3 + V4 2.3.2.4. Metoda proiecţiilor Metoda proiecţiilor este o metodă ce pune bazele metodelor analitice ale calculului vectorial. În figura 2.6. este redat un sistem de n vectori Fi , a căror rezultantă R = ∑ Fi este obţinută pe cale grafică utilizând metoda poligonală. Faţă de acest sistem de vectori luăm o dreaptă oarecare (∆) de versor u . Prin originea fiecăruia din cei n vectori din însumarea prin metoda poligonală şi vârful ultimului vector, se duce câte un plan Ki perpendicular pe dreapta ∆ . Se notează în ordine crescătoare, cu Ai, intersecţia celor n+1 plane cu dreapta ∆ . Conform rezultatelor anterioare, rezultanta celor n vectori Fi ai sistemului dat este: R = F1 + F2 + F3 + ... + Fn = ΣFi

2.9.

Analizând rezultatul grafic din fig. 2.6., rezultă că, segmentul A1An+1, reprezintă proiecţia pe dreapta ∆ a rezultantei R , notată cu pr∆ R . În mod identic rezultă corelaţia dintre proiecţiile forţelor Fi şi segmentele determinate pe dreapta dată (relaţia 2.10.). Apar evidente următoarele rezultate: K2

K3

K4

K1

Kn F2

F3

Kn+1

F1 Fn

A1

A2

A3

A4

R = ∑ Fi An An+1

∆

Fig. 2.6. Reprezentarea grafică a metodei proiecţiilor. A1An+1 = pr∆ R A1A2 = pr∆ F1 A2A3 = pr∆ F2 . . AnAn+1 = pr∆ Fn

2.10.

CAPITOLUL 1. Elemente introductive

19

În plus, analizând relaţiile dintre segmentele de pe dreapta ∆ rezultă: A1An+1 = A1A2 + A2A3 + A3A4 +…+ An-1An – AnAn+1 Se observă că însumarea segmentelor se face algebric. Înlocuind segmentele cu proiecţiile echivalente, se demonstrează că, proiecţia pe o dreaptă oarecare ∆ a rezultantei R a unui sistem de n vectori F1 , F2 , …, Fn , este egală cu suma algebrică a proiecţiilor celor n vectori pe dreapta dată. Aceasta se numeşte teorema proiecţiilor, iar matematic se exprimă cu relaţia: n

pr∆ R = ∑ pr∆ Fn

2.11.

i =1

Acest rezultat se poate valorifica dacă considerăm trei drepte concurente axele triedrului ortogonal, Ox, Oy, Oz. Faţă de acest sistem de axe se poate aplica de trei ori teorema proiecţiilor, fiecare vector putând avea maxim trei proiecţii, câte una pe fiecare axă. Dacă vectorul este perpendicular pe una din axe, este evident că proiecţia vectorului pe axa respectivă este zero. Aplicând relaţia 2.12. pe fiecare axă, rezultă că într-un sistem de coordonate cartezian cele trei proiecţii ale rezultantei R a unui sistem de forţe, F1 , F2 …, Fn este egală cu suma algebrică a proiecţiilor celor n vectori pe axele triedrului. Făcând notaţiile de mai jos: prOx R = Rx prOy R = Ry prOz R = Rz prOx F1 = F1x prOy F1 = F1y prOz F1 = F 1z . . prOx Fn = Fnx prOy Fn = Fny prOz Fn = Fnz

şi înlocuindu-le în relaţiile 2.12. se obţine: n

Rx = F1 x + F2x + …+ Fnx =

∑F

ix

i =1 n

Ry = F1 y + F2y + …+ Fny =

∑F

iy

i =1

n

Rz = F1 z + F2z +…+ Fnz =

∑F i =1

iz

2.12.

CAPITOLUL 1. Elemente introductive

20

relaţii în care însumarea se face algebric. Considerând cei trei versorii i , j , k , ai celor 3 axe de coordonate Ox, Oy, Oz, conform fig. 2.2., orice vector Fi va avea direcţia dată de cele trei unghiuri α i , β i , γ i . Aplicând proprietatea produsului scalar a doi vectori (rel.2.15.), că proiecţia unui vector pe o dreaptă este egală cu produsul scalar dintre vector şi versorul dreptei respective, se obţine: prOx Fi = i ⋅ F i = ‫ ׀‬i ‫ ׀ ·׀‬Fi ‫ ·׀‬cos αi = Fix Dacă notăm cu α, β, şi γ unghiurile pe care rezultanta R a sistemului de forţe le face cu axele sistemului, atunci:

Rx = R cos α Ry = R cos β Rz = R cos γ

respectiv: Rx = R cos α= F1cos α1 + F2cos α2 +…+Fn cos αn Ry = R cos β= F1cos β1 + F2cos β2 +…+Fn cos βn Rz = R cos γ= F1cos γ1 + F2cos γ2 +…+ Fn cos γn

2.13

Putem în acest mod să calculăm analitic rezultanta sistemului de vectori R . Direcţia lui R este dată de cele trei cosinusuri directoare ale unghiurilor α , β , γ , pe care rezultanta le formează cu axele Ox, Oy, respectiv Oz, modulul fiind calculat conform relaţiei 2.3., obţinând relaţiile 2.14. ΣFix Rx = ; R R ΣF R cos β = iy = y ; R R ΣFiz Rz cos γ = = R R cos α =

‫׀‬R‫= ׀‬

Rx + R y + Rz = 2

2

2

(ΣFix ) 2 + (ΣFiy ) 2 + (ΣFiz ) 2 .

2.14.

CAPITOLUL 1. Elemente introductive

21

Aplicaţie. Trei forţe P1 , P2 , P3 sunt diagonalele feţelor OABCDEFG, de laturi a, b, c. Să se calculeze rezultanta celor trei forţe.

paralelipipedului

Proiectând cele trei forţe în tabel sunt date proiecţiile lor.

Forţa

Fix

Fiy

Fiz

P1

a

b

0

P2

a

0

c

P3

0

b

c

Cum s-a demonstrat R = Rx i + Ry j + Rz k în care: 3

3

3

i =1

i =1

i =1

Rx = ∑ Fix = a + a + 0 = 2a, Ry = ∑ Fiy = b + 0 + b = 2b, Rz = ∑ Fiz = 0 + c + c = 2c

⇒ R = 2ai + 2bj + 2ck = 2(ai + bj + ck ) ⇒ R = Rx 2 + Ry 2 + Rz 2 = 2 a 2 + b 2 + c 2 iar direcţiile pe care aceasta le face cu axele sistemului de referinţă sunt:

Rx ΣFix 2a a = = = ; R R 2 a2 + b2 + c2 a 2 + b2 + c2 Ry ΣFiy 2b b cos β = = = = ; 2 2 2 2 R R 2 a +b +c a + b2 + c2 ΣF R 2c c cos γ = z = iz = = R R 2 a 2 + b2 + c2 a 2 + b2 + c 2 cos α =

2.3.3. Produsul scalar a doi vectori Produsul scalar a doi vectori r şi F , notat şi cu forma restrânsă 〈 r , F 〉 este prin definiţie un scalar, dat de relaţiile 2.15.:

〈 r , F 〉 = r ⋅ F = ‫ ׀‬r ‫ ׀ ·׀‬F ‫ ׀‬cos α,

2.15.

α fiind unghiul format de cei 2 vectori, având originea comună. Datorită parităţii funcţiei cosinus:

CAPITOLUL 1. Elemente introductive

22

〈 r , F 〉 = F ⋅ r = ‫ ׀‬F ‫ ׀· ׀‬r ‫ ׀‬cos(-α) = ‫ ׀‬r ‫ ׀ ·׀‬F ‫ ׀‬cos α = r ⋅ F ce demonstrează proprietatea de comutativitate a produsului scalar. Rezultă în plus că, pentru doi vectori diferiţi de zero condiţia de ortogonalitate este: F ⋅r = 0 Utilizând proiecţiile celor doi vectori, r = x⋅ i + y⋅ j + z ⋅k F = Fx i + Fy j + Fz k analitic produsul scalar este dat de relaţia: r ⋅ F = xFx + yFy + zFz Pentru suma celor trei produse ale proiecţiilor celor doi vectori ai produsului scalar se poate utiliza termenul de trinomul produsului scalar a doi vectori. Dacă u este versorul unei drepte ∆, iar F un vector a cărui dreaptă suport intersectează dreapta sub un unghi α, atunci:

〈u , F 〉 = u · F = ‫ ׀‬u ‫ ׀ ·׀‬F ‫ ·׀‬cos α = Fcos α = pr∆ F

2.16.

Aceasta reprezintă o proprietate foarte mult utilizată în calculele analitice vectoriale, anume: prin produsul scalar dintre un vector şi versorul unei drepte date se obţine proiecţia vectorului pe acea dreaptă.

2.3.4. Produsul vectorial a 2 vectori Prin definiţie, produsul vectorial P a doi vectori oarecare notaţi cu r , respectiv F , este un vector dat de relaţia: P = r ×F

F

având direcţia (fig.2.7.) perpendiculară pe planul format din cei doi vectori, originea comună cu cei doi vectori, sensul dat de regula burghiului drept, sau prin rotirea primului vector peste cel de al doilea pe drumul cel mai scurt, iar modulul este dat de relaţia:

α P

r

2.17.

A B

d O Fig.2.7. Calculul grafic al produsului vectorial

‫ ׀‬P ‫ ׀= ׀‬r ‫ ׀ ·׀‬F ‫ ·׀‬sin α 2.18.

α este unghiul format de cei doi vectori. Direcţia produsului vectorial este perpendiculară pe planul format de cei doi vectori. Din figura 2.7. rezultă că

CAPITOLUL 1. Elemente introductive

23

‫ ׀‬r ‫ ׀‬sin α =d în care d reprezintă distanţa de la originea primului vector la dreapta suport a celui de al doilea. Rezultă: ‫ ׀‬P ‫ = ׀‬F· d

2.19.

mai apare un rezultat geometric interesant. F·d reprezintă, de două ori aria triunghiului format de cei doi vectori concurenţi. Aceasta arată că, modulul produsului vectorial a doi vectori este egal cu dublul ariei triunghiului format de cei doi vectori, o proprietate utilă în unele demonstraţii. Produsul vectorial, se poate calcula analitic, pornind de la proiecţiile celor doi vectori pe axele sistemului de referinţă, ajutorul determinantului simbolic sau caracteristic metodă numită în lucrare cu denumirea de metoda determinantului. Pe prima linie, determinantul simbolic are în ordine cei trei versori ai sistemului de referinţă, pe a doua proiecţiile primului vector al produsului iar pe cea de a treia proiecţiile celui de al doilea. Proiecţiile pe axe ale sistemului de referinţă sunt minorii celor trei versori, i , j , k , ai determinantului simbolic. Rezultă: i j k 2.20. r ×F = x y z = (yFz - zFy) i + (zFx - xFz)· j + (xFy- yFx)· k Fx Fy Fz

2.3.5. Dublul produs vectorial Dublul produs vectorial a trei vectori w este un vector a cărui expresie matematică este: w = a × (b × c )

2.21.

Acesta se poate calcula prin utilizarea, de două ori succesiv, a metodei determinantului simbolic, calculând mai întâi produsul vectorilor din paranteză şi apoi produsul dintre primul vector şi produsul ultimilor doi. În multe situaţii ne avantajează calculul dublului produs vectorial a trei vectori utilizând o altă relaţie demonstrată la matematică. Această expresie se obţine prin descompunerea dublului produs vectorial după direcţiile vectorilor din paranteze, conform relaţiei: w = (a ⋅ c )b − (a ⋅ b )c

2.22.

ce arată că dublul produs vectorial a trei vectori se poate descompune după regula: produsul scalar dintre primului şi cel de al treilea vector, după direcţia celui de al doilea, din care se scade produsul scalar dintre primul şi al doilea vector după direcţia celui de al treilea.

2.3.6. Produsul mixt a trei vectori

CAPITOLUL 1. Elemente introductive

24

Produsul mixt a trei vectori a , b , c , se notează cu ( a , b , c ) şi este dat de relaţia: ( a , b , c ) = a (b ×c )

2.23.

În sens fizic, acest scalar, reprezintă volumul paralelipipedului construit cu ajutorul celor trei vectori, având aceiaşi origine, fiind consideraţi ca muchii. O consecinţă a acestui rezultat este că produsul mixt nu se schimbă când cei trei vectori sunt permutaţi circular. În consecinţă: a (b ×c ) =b ( c × a ) = c ( a ×b )

2.24.

ce demonstrează proprietatea de comutativitate a produsului mixt. O altă consecinţă este că produsul mixt este nul când cei trei vectori sunt coplanari. Expresia produsului mixt a trei vectori este dată de valoarea determinantului ce are pe cele trei linii proiecţiile celor trei vectori:

(a , b , c ) =

ax

ay

az

bx cx

by cy

bz cz

2.25.

Aplicaţie. Se dau vectorii: a = 2 i − 3 j + 4k , b = − i + 4 j − 3k , c = − i + 3 j − 2k . Se cere să se calculeze:

a )a + b + c = ? b)a ⋅ b = ? c)a × b = ? d ) a × (b × c ) = ? e ) a ⋅ (b × c ) = ? a)

Rezolvare. a + b + c = 2 i − 3 j + 4k + (− i ) + 4 j − 3k + (− i ) + 3 j − 2k = 4 j − k

Pentru punctul b), produsul scalar se obţine calculând trinomul produsului scalar, obţinând: a ⋅ b = (2 i − 3 j + 4k )(− i + 4 j − 3k ) = −2 − 12 − 12 = −26 Pentru calculul produsului vectorial de la punctul c) se vor utiliza cele două metode. În primul caz, se efectuează produsul vectorial, aplicând regula distribuţiei produsului vectorial faţă de operaţia de adunare-scădere şi aplicând proprietăţile produsului vectorial al versorilor i , j , k , respectiv:

CAPITOLUL 1. Elemente introductive

25

i × i = j × j = k × k = 0  i × j = k   j ×k = i k × i = j  Utilizând aceste relaţii se obţine: a × b = (2 i − 3 j + 4k ) × (− i + 4 j − 3k ) = 8 ji − 6 ik + 3 ji + 9 jk − 4ki + 16kj = −7 i + 2 j + 5k În al doilea caz, se aplică metoda determinantului simbolic, precizând semnul corespunzător fiecărei proiecţii al vectorilor daţi se va obţine:  i j k   a × b =  2 − 3 4  = (9 − 16) i + (−4 + 6) j + (8 − 3)k = −7 i + 2 j + 5k  −1 4 − 3    Pentru dublul produs vectorial de la punctul d) se aplică relaţia 2.22.a. respectiv:

a × (b × c ) = (a ⋅ c ) ⋅ b − (a ⋅ b ) ⋅ c , a ⋅ c = (2 i − 3 j + 4k ) ⋅ (− i + 3 j − 2k ) = −2 − 9 − 8 = −19  ⇒ a ⋅ b = (2 i − 3 j + 4k ) ⋅ (− i + 4 j − 3k ) = −26  a × (b × c ) = −19(2 i − 3 j + 4k ) − (−26)(− i + 4 j − 3k ) = 19 i − 76 j + 57 k + 26 i − 78 j + 52k a × (b × c ) = 45 i − 154 j + 109k Pentru produsul mixt de la punctul e), se calculează mai întâi produsul vectorial şi apoi cel scalar obţinând:

i b × c = −1 −1

j 4 3

k − 3 = i ( − 8 + 9) + j ( − 2 + 3) + k ( − 3 + 4) = i + j + k ⇒ −2

a ⋅ (b × c ) = (2 i − 3 j + 4 k ) ⋅ ( i + j + k ) = 2 − 3 + 4 = 3 Acelaşi rezultat se obţine, însă mult mai rapid dacă se calculând

2 −3 −1 −1

4 3

4 −3 =3 −2

foloseşte relaţia 2.25.

CAPITOLUL 1. Elemente introductive

26

PARTEA a II a. STATICA În practică, întâlnim foarte multe situaţii în care un punct sau sistem de puncte materiale, un corp sau sistem de corpuri sub acţiunea unui sistem de forţe acestea rămân în echilibru sau repaus relativ. STATICA, este partea mecanicii care studiază condiţia necesară a fi îndeplinită de un punct sau sisteme de puncte, un corp sau sisteme de corpuri, libere sau supuse unor legături, astfel încât, sub acţiunea unei forţe sau sistem de forţe, acestea să păstreze starea de echilibru pe care o aveau înainte de acţiunea forţelor sau sistemelor de forţe. Calculul echilibrului se face până înainte de apariţia mişcării. Astfel, dacă împingem pentru a deplasa o masă pe podea cu o forţă ce o mărim continuu, echilibrul se menţine până la o valoare limită sau critică, ce corespunde valorii pentru care masa începe să se deplaseze.

CAPITOLUL 3. STATICA PUNCTULUI MATERIAL Studiază punctele materiale în echilibru (fără existenţa mişcării relative). Punctul material poate fi: liber, atunci când poate ocupa orice punct în spaţiu sau supus la legături, dacă punctul este obligat să rămână pe o suprafaţă sau o curbă dată.

3.1. STATICA PUNCTULUI MATERIAL LIBER Fie M un punct material, asupra căruia acţionează un sistem de n forţe concurente, de rezultantă R , dată de relaţia: F1

F2 n

R = F1 + F2 + ... + Fn = ∑ Fi i =1

Fk Fn

iar reprezentarea grafică este redată în fig. 3.1. Dacă rezultanta R ≠ 0, punctul se va deplasa după direcţia acelei rezultante. Dacă R = 0, punctul rămâne în echilibru. Spunem că sub acţiunea sistemului de forţe dat punctul se află în echilibru. Analitic, utilizând teorema proiecţiilor, condiţia de echilibru static al punctului material se scrie cu relaţia 3.1.,

R

Fig. 3.1. Calculul rezultantei unui sistem de vectori concurenţi

‫׀‬R ‫= ׀‬

Rx + Ry + Rz =0 2

2

2

3.1.

respectiv, utilizând relaţiile 1.12.

n

Rx = F1x + F2x + …+ Fnx =

∑F i =1

ix

=0

CAPITOLUL 1. Elemente introductive

27

n

Ry = F1y + F2y + …+ Fny =

∑F

iy

=0

iz

=0

i =1 n

Rz = F1z + F2z +…+ Fnz =

∑F i =1

3.2.

Dacă sistemul de forţe este coplanar ( F1 F2 , …, Fn aparţin aceluiaşi plan π ), notând direcţiile planului cu Ox şi respectiv Oy, se obţine condiţia de echilibru a punctului în plan: n

Rx = F1x + F2x + …+ Fnx =

∑F i =1

ix

=0

3.2.a.

n

Ry = F1y + F2y + …+ Fny =

∑F i =1

iy

=0

Dacă sistemul de forţe prezintă cazul particular când cele n forţe se găsesc pe aceeaşi dreaptă (axă), dacă notăm axa cu Ox, condiţia de echilibru va fi: n

Rx = F1x + F2x + …+ Fnx =

∑F i =1

ix

=0

3.2.b.

Aplicaţie. Un punct material M de masă m, este atras de trei puncte de mase m cu o forţă după legea lui Newton. Să se determine relaţia între b şi h. Dacă cele trei puncte se găsesc în vârfurile unui triunghi isoscel de bază b şi înălţime h, iar echilibrul se realizează la jumătatea lui h. Pentru a calcula forţele F1, F2 şi F3 se y utilizează legea atracţiei universale, obţinând: A (m )

m1 ⋅ m BM 2 m ⋅m m ⋅m F3 = k 1 2 = 4 k 1 2 AM h m ⋅m F2 = k 1 2 CM F1 = k

F3

M (m 1 )

β β

B (m )

x

α

F1

F2 D

C (m )

Fig. 3.3. Aplicaţie

Efectuând calcule geometrice simple din

triunghiul isoscel dat se obţine: h2 b2 1 2 + = h + b2 4 4 2 m ⋅m m ⋅m F1 = 4k 2 1 2 , F2 = 4k 2 1 2 h +b h +b

BM ≡ CM =

Punctul material fiind în echilibru în planul triunghiului, se impun condiţiile de echilibru plan 2.2.a.

CAPITOLUL 1. Elemente introductive

28

∑F = 0 ∑F = 0 ix

iy

Înlocuind în relaţiile anterioare ce definesc condiţiile de echilibru plan, proiecţiile celor trei forţe se obţin relaţiile următoare:  F2 x − F1x = 0   F2 y + F1 y − F3 y = 0 Înlocuind proiecţiile forţelor cu relaţiile calculate anterior, se obţine:

4k

m1 ⋅ m (cos α − cos β ) = 0 ⇒ cos α = cos β ⇒ F2 x = F1 x, h2 + b2

ce confirmă rezultatul anterior, evident şi datorită simetriei problemei. În aceste condiţii:

sin α = sin β ⇒ F3 y = F1 y + F2 y = 2 F1 y = 2 F2 y = 2 F1 sin α ⇒ sin α =

F3 2 F1

Deci se obţine: sin α =

4k ⋅ m1 ⋅ m ⋅ (h 2 + b 2 ) 1 h 2 + b 2 = h 2 ⋅ 8k ⋅ m1 ⋅ m 2 h2

Din VBMD se obţine: sin β = sin α =

h b2 + h2

,

Egalând expresiile celor două relaţii matematice obţinute anterior rezultă:

h b +h 2

2

=

1 b +h , respectiv: 2 h2 2

(

2

b2 + 1)3 = 2 h2

1 b2 +1 h2

a2 + b2

b2 +1 2 h = 2

CAPITOLUL 1. Elemente introductive

29

3.2. STATICA PUNCTULUI MATERIAL SUPUS LA LEGĂTURI Cum sa arătat anterior, prin definiţie, orice legătură mecanică reprezintă o restricţie geometrică, punctul fiind obligat să rămână tot timpul în contact cu curba sau suprafaţa de care este legat. Componentele din legătură reprezintă reacţiunea (răspunsul) legăturii la acţiunea forţelor ce acţionează asupra corpului studiat pentru menţinerea echilibrului. De aceia legăturile mai poartă denumirea de reacţiuni. Că atare, punctul material are un număr redus de grade de libertate faţă de punctul liber. Atât timp cât legătura se menţine, punctul va rămâne pe acea suprafaţă, sau curbă în spaţiu sau plan. Pentru a putea analiza statica punctului material supus la legături este necesar să se introducă axioma legăturilor. Pentru cazul general aceasta postulează că: orice legătură mecanică se poate substitui cu un echivalent mecanic constând din forţe sau momente corespunzătoare. Fiind valabilă atât pentru punctul material cât şi pentru un corp sau sistem de puncte sau corpuri, forţele din legături împiedică deplasările în sensul şi pe direcţia lor, iar momentele corespunzătoare din legătură se aleg astfel încât acestea să împiedice rotirea pe direcţia şi în sensul lor. Pe scurt, componentele legăturii se aleg astfel ca efectul restrictiv exercitat asupra punctului sau corpului de componentelor legăturii să fie echivalent cu cel al legăturii. Legăturile pot fi clasificate după mai multe criterii. Astfel, putem avea: -legături unilaterale: când legătura se menţine numai într-un sens, sub acţiunea unei forţe. Exemplu, o bilă suspendată cu ajutorul unui fir de un punct considerat fix; -legături bilaterale: când, chiar dacă forţa acţionează în ambele sensuri, legătura se menţine. Exemplu, o bilă suspendată cu ajutorul unui vergele rigide de un punct considerat fix Fie o suprafaţă în spaţiu (fig. 3.3.) pe care se găseşte un punct material M, asupra căruia acţionează un sistem de forţe exterioare de rezultantă unică R . Punctul material, rămâne în echilibru dacă legătura acţionează cu o forţă R ' egală şi de sens contrar lui R . Matematic, condiţia revine la a scrie: R = R'

n

γ

RN

3.3.

R RT

n = normala la plan;

γ = plan normal ce conţine R ; M

π

π = plan de tangenţă.

T

τ

N

R' Fig. 3.3. Echilibrul punctului supus la legături.

Ducem prin M o dreaptă perpendiculară pe suprafaţa dată, apoi un plan π tangent, perpendicular pe normală. Conform teoriilor matematice aceasta se numeşte normala la

CAPITOLUL 1. Elemente introductive

30

suprafaţă în punctul M, iar versorul ei se notează cu n . Normala n şi vectorul R formează un plan γ care se intersectează cu planul π după o direcţie numită tangenta la suprafaţă în punctul M. Cum aceste 2 drepte sunt concurente în M şi perpendiculare, vectorii R şi R ' se pot descompune după cele două direcţii, conform fig.3.3. rezultând relaţiile vectoriale evidente: R = R N + RT

respectiv: R′ = N + T . Componentele legăturii au notaţii şi semnificaţii unice. Astfel, N poartă numele de componenta normală a legăturii, iar T componenta tangenţială a legăturii. Datorită direcţiei tangente la traiectorie, această componentă apare datorită interacţiunii punctului cu suprafaţa cu care se află în contact. Condiţia 3.3. devine: R N + RT = N + T

Impunând condiţia de echilibru după cele două direcţii perpendiculare, se obţine:  RN = N   RT = T

3.4.

Pornind de la cele două componente de descompunere a celor doua rezultate, întâlnim două tipuri de legături.

Cazul 1. Dacă T = 0, legătura este fără frecare şi se numeşte legătură lucie sau ideală. Acest lucru implică RT = 0. Condiţia de echilibru devine: N = RN, deoarece echilibru are loc doar pe o singură direcţie. Cazul 2. Dacă T ≠ 0, avem legătură cu frecare sau legătură rugoasă sau aspră. Condiţia de echilibru, scrisă prin descompunerea după cele două direcţii este conformă cu relaţia 2.4.. Aşa cum sa arătat pe larg în capitolul precedent, poziţia unui punct în spaţiu este redată cu ajutorul vectorului de poziţie r , care în sistemul cartezian de referinţă are drept coordonate cele trei proiecţii ale vectorului de poziţie, care în acest caz poartă numele de coordonatele punctului, în număr de trei. Scrierea celor 3 condiţii de echilibru în spaţiu, Rx = Ry = Rz = 0 este deci suficientă pentru a putea defini poziţia de echilibru a unui punct material. Aplicaţia I. Să se determine poziţia de echilibru pentru un inel ce se poate mişca pe un arc lucios sub acţiunea forţelor P şi Q (fig.3.4.) În general, pentru rezolvarea problemelor de mecanică trebuie să se urmărească două aspecte de bază:

- aspectul mecanic propriu-zis, ce constă în statică în înlocuirea legăturilor cu echivalentul mecanic, precum şi stabilirea condiţiilor de echilibru static. - aspectul matematic, constând în completarea rezultatelor din primul aspect al problemei, utilizând rezultatele de la geometrie, trigonometrie, matematică analitică şi superioară, etc, după caz, obţinând condiţii suplimentare ce ne ajută pentru rezolvarea problemei propuse.

CAPITOLUL 1. Elemente introductive

31

În cazul problemei date, analizând aspectul mecanic, se înlocuiesc tensiunile din firele ideale, ce trec peste scripete ideale (pentru care componentele date de forţele de frecare sunt nule) cu forţele ce acţionează la capetele lor, respectiv forţele P şi Q . Legătura dintre inelul dat şi cadrul cu suprafaţă lucie fiind deci fără frecare se va echivala cu o singură reacţiune N normală la suprafaţa de contact, care se opune acţiunii celorlalte două forţe, fiind evident coplanară cu ele. Condiţia de echilibru plan a punctului scrisă vectorial este: P +Q + N = 0 Punând condiţia de echilibru plan a punctului (3.2.a) revine la:

∑F ∑F

ix

=0

iy

=0

Pentru proiectarea celor trei forţe, pe sistemul de axe ales conform figurii 3.4. intervine aspectul matematic. Deoarece cele trei puncte, OAB, se găsesc pe un cerc, AB fiind diametru, atunci acest triunghi este dreptunghic în O. Totodată, arcul AB este subântins de unghiul la centru θ, respectiv unghiul cu vârful pe cerc OAB egal cu θ / 2 . Deci unghiul AOO1 devine:

y

N O Q R P A

Q

θ /2

Q

O1 θ

B

x P

N

P Fig.3.4. Aplicaţie.

R AOO1 = (π / 2 − θ / 2) ce reprezintă unghiul pe care forţa Q îl face cu axa Oy iar condiţia de echilibru revine la:

CAPITOLUL 1. Elemente introductive

P ⋅ cos P ⋅ sin

θ 2

θ

2

π

θ

π

θ

− Q ⋅ cos( + Q ⋅ sin(

32

− )=0 2 2

− )=N 2 2

Respectiv:

P ⋅ cos P ⋅ sin

θ 2

θ

2

− Q ⋅ sin + Q ⋅ cos

θ 2

θ

2

=0 =N

Din prima ecuaţie se obţine că: tg θ / 2 =P/Q Înlocuind, sin θ / 2 =tg( θ / 2 ) / 1 + tgθ / 2 şi cos θ / 2 =1 / 1 + tgθ / 2 se obţine pentru N valoarea:

N= P 2 + Q 2 Având în vedere că forţele P şi Q sunt tot timpul pe catetele triunghiului dreptunghic, iar N ipotenuza sa, cum se poate observa din metoda de însumare vectorială grafică reprezentată alăturat, rezultatul era mult mai lesne de obţinut.

CAPITOLUL 1. Elemente introductive

33

Aplicaţia II. Trei corpuri de greutăţi P, Q, G sunt suspendate de un fir ideal trecut peste doi scripeţi ideali fixaţi în punctele A şi B ca în figură. Să se găsească valoarea AC pentru poziţia de echilibru a sistemului de corpuri. raportului CB ρ Q

α

ρ P

β

ρ G

ρ Q

ρ P

ρ P

ρ G

α

ρ Q

β

ρ G

Atât firele cât şi scripeţii, fiind ideale, se vor dezvolta numai tensiuni în lungul firelor care vor fi de modul egale cu greutăţile corpurilor de care sunt legate. Grafic, alegând o scară de reprezentare convenabilă, putem rezolva problema conform detaliului b, din figură în care este redată soluţia grafică a ecuaţiei vectoriale P + Q + G = 0 . Pentru rezolvarea analitică, se descompun după sistemul de axe ales cele trei forţe, valorile obţinute fiind redate tabelar în continuare. Forţa

Fix

Fiy

P Q G

− P sin α Q sin β 0

P cos α Q cos β -G

Cele trei forţe fiind coplanare, condiţiile de echilibru se reduce doar la condiţia ca rezultanta să fie nulă, în planul forţelor. Conform relaţiilor 3.2.a, se obţine:

 3  P2 + G 2 − Q2 F = 0 ⇒ − P sin α + Q sin β = 0 cos α = ∑ ix  2 PG  i =1  ⇒  3 2 2 2  F = 0 ⇒ P cos α + Q cos β − G = 0 cos β = Q + G − P iy ∑  2QG i =1 Din condiţii geometrice însă:

CAPITOLUL 1. Elemente introductive

34

P2 + G2 − Q2 Q( P 2 + G 2 − Q 2 ) CD CD AC cosβ cos α = , cosβ = ⇒ = = 2 2 PG = ; Q + G 2 − P 2 P(Q 2 + G 2 − P 2 ) AC BC CB cosα 2QG Având în vedere că, întotdeauna −1 ≤ cos θ ≤ 1 , aceasta implică,

−1 ≤

P2 + G 2 − Q2 P2 + G 2 − Q2 ≤ 1, respectiv, -1 ≤ ≤ 1, 2 PG 2 PG

inegalităţi din care se obţin condiţiile ca problema să aibă sens, P ≤ Q + G, G ≤ Q + P, Q ≤ P + G , condiţie care din metoda grafică reprezintă inegalităţile din triunghiuri.

3.3. FRECAREA ŞI LEGILE EI Frecarea apare ca o componentă suplimentară într-o legătură, în urma interacţiunii mecanice a suprafeţelor corpurilor în contact. Cel care în urma studiului a stabilit aceste legi ale frecării a fost Coulomb, acestea fiind cunoscute şi sub denumirile de legile lui Coulomb sau legile frecării uscate. Pentru punerea în evidenţă a forţei de frecare se utilizează un aparat special numit tribometru. În cazul frecării umede, între cele două suprafeţe aflate în contact este introdusă o substanţă cu proprietăţi antifricţiune adecvate numit lubrifiant, care modifică comportamentul legăturii, complexitatea acestui contact constituind domeniul de aplicare al unei ştiinţe mult mai recentă ce poartă numele de TRIBOLOGIE, fiind ştiinţa ce se ocupă de studiul fecării, ungerii, uzurii. I Prima lege a frecării uscate

Forţa de frecare maximă dintre suprafeţele în contact a două corpuri este proporţională cu reacţiunea normală pe suprafaţa de contact În cazul unui punct material conform fig. 3.7., cele două componente ale rezultantei forţelor exterioare R sunt: RN dată de greutatea G, respectiv, componenta din planul de tangenţă RT ≥ F în care F este forţa orizontală ce acţionează asupra punctului în tendinţa de al deplasa. Fiind o legătură cu frecare, legătura este echivalentă cu o reacţiune normală la suprafaţă N şi componenta de frecare T. Cum toate forţele sunt coplanare se studiază echilibrul corpului pentru cazul particular de echilibru plan. Conform fig. 3.7. din triunghiul dreptunghic ⇒ T = Ntgα . Din condiţia de echilibru de pe direcţia verticală ⇒ N=G, deci T = Gtgα . Pentru menţinerea în repaus a punctului este necesar ca:

CAPITOLUL 1. Elemente introductive

35

T = RT ≥ Gtgα =F R’

N

Această condiţie este respectată pentru diverse valori ale lui F ce îndeplinesc condiţia anterioară. Cum G rămâne neschimbată, rezultă că pentru RT ≥ F T echilibru se modifică numai unghiul α. O Valoarea limită maximă a unghiului α, corespunde momentului în α care dacă se mai măreşte forţa de R RN=G tracţiune corpul începe să se mişte. Această valoare extremă a Fig. 3.7. Echilibrul cu frecare unghiului α se notează cu φ şi poartă numele de unghi de frecare. Pentru această valoare tg φ, se notează cu µ (αmax=φ) şi se numeşte coeficient de frecare uscată. Valorile lui µ se stabilesc experimental pentru diferite perechi de corpuri, întâlnite mai des în practică, având în vedere şi calitatea celor două suprafeţe în contact. Deci pentru orice valoare a unghiului α cuprinsă între 0 şi φ, echilibrul se menţine. În cazul problemei spaţiale a unui punct situat pe o suprafaţă oarecare, forţa F devine un vector ce are un punct fix, punctul M ce poate acţiona pe orice direcţie. Aceste direcţii formează un fascicol de drepte concurente. Valoric, unghiul limită faţă de axa tangentei la suprafaţă în punctul respectiv fiind limitată în acest caz de pânza conică de semiunghi la vârf φ. Deci în cazul problemei spaţiale limita direcţiei forţei de frecare este un con, numit con de frecare de semiunghi la vârf φ. Pentru oricare alt unghi α ≤ φ echilibrul se păstrează. φ

A -II- a legea a frecării uscate Mărimea forţei de frecare depinde de materialul natura şi calitatea suprafeţelor în contact. A -III- a legea a frecării uscate Mărimea forţei de frecare nu depinde de viteza relativă dintre suprafeţele celor două corpuri şi nici de mărimea suprafeţei de contact.

CAPITOLUL 1. Elemente introductive

36

CAPITOLUL 4. STATICA RIGIDULUI Numim rigid un corp pentru care distanţa dintre două puncte oarecare ale sale nu se modifică sub acţiunea unor forţe exterioare finite, indiferent de valoarea lor. Rigidul este un model care simplifică foarte mult rezolvarea problemelor de mecanică. În cazul staticii corpurilor este necesar să definim şi să studiem anumite noţiuni specifice şi proprietăţilor lor. 4.1. NOŢIUNI FUNDAMENTALE Spre deosebire de punct, corpurile suferă deformaţii foarte mici sub acţiunea sistemelor de forţe exterioare, fiind considerate nedeformabile sau rigide. Dacă acţiunea unei forţe asupra unui punct putea avea că efect deplasarea acestuia după direcţia forţei respective, în cazul rigidului efectul forţei poate avea că efect nu numai deplasări pe direcţia forţei dar şi rotiri. Pentru a studia acest efect mai complex dat de acţiunea unei forţe asupra unui corp, sunt necesare definirea unor mărimi specifice. 4.1.1. Caracterul de vector alunecător al forţei Această proprietate arată că, dacă schimbăm punctul de aplicaţie al unei forţe ce acţionează asupra unui rigid pe suportul său, efectul nu se schimbă. Conform demonstraţiei grafice din fig. 4.1, considerăm în punctul B de pe dreapta suport a forţei F un sistem de două forţe coliniare, egale în modul dar de sens contrar (fig. 4.1b), al căror efect reciproc asupra corpului este nul. Anulând forţa din A cu cea din B ce au acelaşi modul sunt coliniare dar de sens contrar , rămâne o singură forţă în cu punctul de aplicare în B, egală şi de acelaşi sens cu forţa F cu punctul de aplicare în A. Ca atare, efectul rămâne neschimbat, proprietatea fiind demonstrată.

F

A

a)

F

A

A

F B

F

F b)

Fig. 4.1. Materializarea caracterului de vector alunecător.

B

c)

CAPITOLUL 1. Elemente introductive

37

4.1.2. Momentul unei forţe în raport cu un punct Această mărime este necesară în studiul echilibrului corpului întrucât, spre deosebire de punctul material, în cazul în care o forţă acţionează asupra unui corp efectul poate fi nu numai o deplasare, că în cazul punctului material, dar şi o rotire cu un unghi θ. Prin definiţie, numim moment al unei forţe F în raport cu un punct O notat cu M OF produsul vectorial dintre vectorul de poziţie al punctului de aplicaţie al forţei F în raport cu un punct ales O şi vectorul forţei F . Relaţia de calcul este 4.1. iar F soluţia grafică este redată în fig.4.3.. α M OF M OF = r × F = OA × F 4.1. r A B d O r' C Fig. 4.3. Momentul unei forţe în raport cu un punct.

Conform proprietăţii produsului vectorial, direcţia este perpendiculară pe planul format de r şi F , sensul se determină cu regula burghiului drept (tirbuşonului), sau rotind primul vector al produsului r peste vectorul F pe drumul cel mai scurt. Modulul momentului M OF

este egal cu:

‫ ׀‬M OF ‫ ׀ = ׀‬OA ‫ ׀ · ׀‬F ‫ · ׀‬sin α = ‫ ׀‬F ‫ ׀ · ׀‬OA ‫ · ׀‬sin α = F · d

4.2.

în care d reprezintă distanţa de la O la dreapta suport a forţei F . Modulul lui M OF , este egal cu dublul ariei triunghiului determinat de punctul O şi vectorul F . Conform fig. 4.3.. utilizând un sistem de axe triortogonal faţă de care, utilizând teorema proiecţiilor, putem scrie: r = x⋅i + y⋅ j + z⋅k

F = Fx ⋅ i + Fy ⋅ j + Fz ⋅ k Utilizând determinantul simbolic se poate calcula analitic M OF :

i M OF = x Fx

j y Fy

k z = (y· Fz - z· Fy)· i + (z· Fx - x· Fz)· j + (x· Fy - y· Fx)· k Fz

Utilizând vectorul linie şi coloană se pot folosi relaţiile următoare de calcul:

4.3.

CAPITOLUL 1. Elemente introductive

0

−z

M OF = r × F ⇒ M Oy = z M Oz − y

0 x

M Ox

y

38

Fx

− x Fy 0 Fz

Proprietăţile momentului unei forţe în raport cu un punct 1) M OF este nul în următoarele situaţii : a) r = 0; b) F = 0; c) cei doi vectori sunt paraleli. 2) Dacă schimbăm punctul de aplicaţie al forţei F pe o dreaptă suport, M OF rămâne neschimbat. Se poate demonstra cel mai simplu, aplicând caracterul vector alunecător al forţei, sau pornind de la observaţia că vectorul de poziţie r şi dreapta suport rămân constante, direcţia lui M OF rămâne neschimbată, sensul rămâne neschimbat iar modulul este ‫ ׀‬M OF ‫ = ׀‬F ⋅ d = constant. Pentru demonstraţia matematică se alege un punct C al cărui vector de poziţie în raport cu punctul O este r ' ca în figura 4.3.. Pornind de la relaţia de definiţie 4.1. momentul forţei este dat de relaţia: M 'OF = r × F

În triunghiul OCA, r = r '+ CA . Deci r ' = r − CA . Aplicând proprietatea de distributivitate a produsului vectorial faţă de operaţia de adunare şi scădere se obţine: M 'OF = ( r − CA) × F = r × F − CA × F = M OF .

( CA × F = 0 deoarece α = 0) 3) Odată cu schimbarea punctului de reducere O, momentul forţei se schimbă. Această proprietate arată caracterul de vector legat de punct al lui M OF . M OF = r × F şi respectiv M O, F = r ′ × F F A O’

r'

r

Fig. 4.4. Variaţia momentului unei forţe în raport cu punctul de reducere.

O Din triunghiul OO΄A, rezultă că r ' = OO + r . Înlocuind obţinem:

CAPITOLUL 1. Elemente introductive

39

M O, F = r '× F = (O 'O + r ) × F = (r + O 'O) × F = r × F + O 'O × F ) = M OF − O O × F , M O, F = M OF − O O × F '

4.4.

'

Odată cu schimbarea punctului O, momentul forţei în raport cu punctul O΄ este egal cu momentul M OF din care se scade momentul în raport cu punctul O, dat de forţa F aplicată în O΄. Aplicaţie: Să se calculeze momentul forţei F având modulul de 12KN şi care acţionează în lungul dreptei AB (de la A la B ) în raport cu punctul C. Sunt cunoscute coordonatele punctelor A(5,4,2), B (0,0,4) z şi C(4,5,0). (Fig. 4.5. coordonatele în cm) (0,0,4)B Pentru rezolvarea problemei F trebuie să se determine vectorul de poziţie A(5,4,2) a punctului A faţă de C, respectiv:

CA = ( xC − x A ) i + ( yC − y A ) j + ( zC + z A )k = i − j + 2k = r

y Mc(F)

Pentru calculul versorului forţei F, se calculează mai întâi vectorul AB , ca în cazul precedent, apoi versorul acestui vector, obţinând:

C(4,5,0) x

AB = −5i − 4 j + 2k u AB =

AB −5i − 4 j + 2k −5i − 4 j + 2k −5 i − 4 j + 2 k = = ⇒ u AB = AB 25 + 16 + 4 45 3 5

Deci:

F = F u AB = 12

−5 i − 4 j + 2 k 4 ( −5 i − 4 j + 2 k ) . = 3 5 5

Pentru calculul momentului forţei F, în raport cu punctul C, pornind de la definiţie (rel. 4.1.) şi utilizănd pentru calcul produsului vectorial, determinantul simbolic se obţine: i j k 4 4 4 MC,F = r × F = (i − j + 2k ) × (−5i − 4 j + 2k ) = 1 −1 2 = (−2 + 8)i + (−10 + 2) j + (−4 − 5)k  5 5 5 −5 −4 2 4 = (6i −8 j − 9k ) 5

M C(F ) =

4 5

36 + 64 + 81 =

4 ⋅ 181 5

dN ⋅ cm

CAPITOLUL 1. Elemente introductive

40

4.1.3. Momentul unei forţe în raport cu o dreaptă Numim moment al unei forţe în raport cu o dreaptă ∆ ( M ∆F ) proiecţia pe axa ∆ a momentului forţei F în raport cu un punct oarecare ce aparţine dreptei ∆ (fig.4.6.). Se notează cu u∆ versorul axei ∆. Cum produsul scalar dintre un vector şi un versor este proiecţia vectorului pe acea dreaptă, momentul unei forţe în raport cu o dreaptă se poate scrie că produs scalar dintre momentul forţei în raport cu punctul O şi versorul dreptei ∆: M ∆F = u∆ ⋅ M OF = u∆ ⋅ (r × F )

4.5.

În continuare se verifică dacă acest moment se schimbă funcţie de punctul ales pe dreaptă. Pentru aceasta se alege aleator un alt punct O1. Presupunem că în punctul O1 avem alt moment pe care îl notăm cu: M ' ∆F = u∆ ⋅ M O1F = u∆ ⋅ (r1 × F ) ; Conform figurii 4.6. este evidentă relaţia vectorială imediată:

u∆ M O1F

F F

M ' ∆F

O1

A

r1 r

M OF

M ∆F

Fig 4.6. Calculul momentului unei forţe în raport cu o dreaptă

O

r1 = O1O + r M '∆ = u∆ ⋅ [(O1O + r ) × F ] = u∆ ⋅ (O1O × F ) + u∆ ⋅ (r × F ) ; Deoarece u ∆ este paralel cu O1O , rezultă că primul produs mixt este nul. Deci: M ' ∆ = u ∆ (r × F ) = M∆ = ‫ ׀‬u ∆ ‫ ׀· ׀‬M OF ‫ ·׀‬cos α = 1· ‫ ׀‬M OF ‫· ׀‬cos α

Această relaţie, arată că în funcţie de semnul valorilor cosα, scalarul M∆ poate avea acelaşi sens cu u∆ sau sens contrar. Ca atare, deşi un scalar, funcţie de semnul cosinusului unghiului dintre cei doi vectori, i se poate asocia caracterul de vector. În aplicaţiile practice inginereşti, funcţie de particularităţile datelor problemei, determinarea momentului unei forţe în raport cu o axă se poate realiza mult mai uşor, proiectând forţa pe un plan perpendicular pe dreapta ∆, fig. 4.7., plan dus prin punctul O . Pentru determinarea relaţiei de calcul conform fig. 4.7. sau folosit următoarele notaţii:

CAPITOLUL 1. Elemente introductive

41

u∆ γ ∆″

∆

F ∆′ F2 M OF

M ∆F

α

d

F1

β

r

r2

π

r1

O

Fig 4.7. Calculul momentului unei forţe în raport cu o dreaptă cu ajutorul proiecţiei fortei pe un plan perpendicular pe dreapta dată.

- π plaul perpendicular pe dreapta ∆, dus prin punctul O de pe dreaptă; - γ este un plan perpendicular pe planul π astfel încât forţa F aparţine planului γ; π ∩ γ = ∆′. Dreptele ∆′ şi F = F1 + F2

- r1 este proiecţia vectorului de poziţie r pe planul π; iar r2 este proiecţia lui r pe planul γ;

r = r1 + r2 Cu d se notează distanţa de la punctul O la dreapta suport a proiecţiei forţei F pe planul π. În aceste condiţii, pornind de la definiţie rezultă: M ∆F = u∆ ⋅ M OF = u∆ ⋅ (r × F ) Înlocuind vectorii r şi F rezultă:

M ∆F

6 4 7=0 48 6 4 7=0 48 6 4 7= 0 48 = u∆ [(r1 + r2 ) × ( F1 + F2 )] = u∆ (r1 × F1 ) + u∆ (r1 × F2 ) + u∆ (r2 × F1 ) + u∆ (r2 × F2 )

Se aplică proprietatea că, dacă într-un produs mixt cel puţin doi vectori sunt paralei, atunci acel produs este nul. Cum u∆ ‫ ׀׀‬F2 , al doilea termen din dezvoltarea lui M ∆F este nul,

u∆ ‫ ׀׀‬r2 , deci şi al treilea produs mixt este nul. Cum r2 este coliniar cu F2 deci şi al patrulea produs mixt este nul. În aceste condiţii:

CAPITOLUL 1. Elemente introductive

42

M ∆F = u ∆ (r1 × F1 ) = ‫ ׀‬u∆ ‫ ׀ · ׀‬r1 × F1 ‫· ׀‬cos α/ Deoarece r1 şi F1 aparţin planului π ⊥ u∆ , produsul celor doi vectori vor avea direcţia paralelă cu ∆, deci α/ = 0. Deci, M∆F = ‫ ׀‬r1 × F1 ‫ ׀ = ׀‬r1 ‫ ׀ · ׀‬F1 ‫ · ׀‬sin β Cum ‫ ׀‬r1 ‫ · ׀‬sin β= d, rezultă relaţia finală:

M ∆F = F1 · d

4.7.

Momentul unei forţe în raport cu o dreaptă este egal cu momentul dat de proiecţia forţei pe un plan perpendicular pe dreapta ∆ în raport cu punctul în care dreapta înţeapă planul de proiecţie. Se observă că în această situaţie particulară momentul forţei F1 în raport cu dreapta ∆ are acelaşi modul cu momentul forţei F1 în raport cu punctul O. Aceasta ne dă avantajul că putem stabili prin aceasta definiţie vectorul moment al unei forţe cu o dreaptă ∆: momentul unei forţe în raport cu o dreaptă este egal cu produsul scalar dintre proiecţia forţei pe un plan perpendicular pe dreapta ∆ şi distanţa de la punctul de intersecţie al planului de către dreapta ∆ şi până la dreapta suport a proiecţiei forţei F . Pentru sipificare este avantajos să se ducă planul π prin originea forţei F . 4.1.4. Cuplul de forţe Se define[te cuplul de forţe o pereche de două forţe egale în modul, dispuse după direcţii paralele şi având sens contrar. Cuplul de forţe este un vector ce reprezit\ ca efect, momentul rezultant al celor dou\ forţe F şi - F ale cuplului în raport cu un punct oarecare. Pentru cuplul de forţe se mai utlizeaz\ denumirea prescurtat\ de cuplu. Conform fig. 4.8., momentul cuplului de forţe M ( F , − F ) este suma vectorială a momentelor forţelor F şi - F în raport cu punctul O, ales arbitrar în spaţiu. Conform relaţiei 4.1. momentul în raport cu punctul O al celor două forţe este:

M O ( F ,− F ) = M OF + M O ( − F ) = OA × F + OB × ( − F ) = OA × F − OB × F Dacă se dă factor comun forţa F , obţinem relaţia finală a momentului cuplului de forţe: M O ( F ,− F ) = (OA − OB ) × F = BA × F

4.8.

deoarece,

OA − OB = BA În concluzie, momentul cuplului de forţe, este un vector, dispus perpendicular pe planul format de cele două forţe. Sensul se determină cu regula burghiului drept, sau orice altă metodă utilizată pentru stabilirea sensului unui produs vectorial. Modulul este constant

CAPITOLUL 1. Elemente introductive

43

pentru un sistem dat de forţe depinzând numai de modulul forţelor şi distanţa dintre dreptele suport ale celor două forţe Pornind de la definitie, modulul său este dat de relaţia: ‫ ׀‬M ( F , − F ) ‫ ׀ = ׀‬BA ‫ ׀ ּ ׀‬F ּ‫ ׀‬sinα MO

O B α

-F α

F

A

d

Fig 4.8. Calculul momentului cuplului de forţe M ( F , − F )

Dar, cum rezultă din fig. 4.8. sin α =

d , şi deci AB · sin α = d, (distanţa dintre AB

dreptele suport). În consecinţă:

‫ ׀‬M ( F , − F ) ‫ = ׀‬Fּd

4.9.

4.1.4.1. Proprietăţile cuplului de forţe 1) Suma proiecţiilor forţelor pe orice direcţie u din spaţiu este nulă. Considerand versorul u , aşa cum rezultă din relaţia 1.1, matematic proiectia fortelor cuplului se calculeaza cu ajutorul produsului scalar. Deci: F ⋅ u + (− F ) ⋅ u = F ⋅ u − F ⋅ u = 0

2) Momentul unui cuplu de forţe este un vector liber. Această proprietate este demonstrată de faptul că modulul cuplul de forţe este constant pentru două forţe date, fiind egal cu produsul scalar dintre modulul forţei şi distanţa dintre dreptele suport ale forţelor. De asemeni relaţia matematica de calcul a modulului nu depinde de pozitia lui O. 3) Fiind vectori liberi, cuplurile de forţe se pot însuma vectorial, translatând toti vectorii într-un singur punct ales aleator sau funcţie de o motivaţie practică, obţinând un sistem de vectori concurenti în plan sau spatiu.

Operaţii legate de cuplurile de forţe

CAPITOLUL 1. Elemente introductive

44

Conform proprietatii 3, două sau mai multe cupluri de forţe se pot însuma vectorial, având cazul particular a n vectori concurenţi care va avea întotdeauna că rezultantă un vector unic. Calculul rezultantei se face utilizand una din metodele prezentate în capitolul 1. 4.1.5. Teoremele lui Varignon În cazul studiului staticii unui punct, sistemele de forţe prezintă o caracteristică dată de faptul că aceste forţe trebuie să aibă un punct comun, fiind deci un sistem de vectori concutenţi. Acest caz particular de forţe poarta umele de forţe concurente. Teoremele lui Varignon se referă la calculul momentului unui sistem de forţe concurente în raport cu un punct sau cu o dreaptă. Fie un sistem de forţe F1 , F2 ,..., Fn concurente în punctul A şi un punct O diferit de punctul de concurenţă al forţelor. Ne interesează să determinăm momentul rezultant al acestui sistem de forţe concurente. Un astfel de sistem de forţe au o rezultantă unica R , obţinută ca suma vectorială a celor n forţe ale sistemului. Pentru evaluarea efectului sistemului de forţe concurente în raport cu un punct O, se pleacă de la calculul rezultantei R . Înmulţind vectorial la dreapta cu r , vectorul de poziţie a punctului A în raport cu punctul O, relaţia de calcul a rezultantei se obţine: R = F1 + F2 + ... + Fn | r × relaţia devine:

r × R = r × F1 + r × F2 + ... + r × Fn ,

4.11.

sau folosind notaţiile pentru momentul unei forţe în raport cu un punct 2.6. obţinem: M O R = M O F1 + M O F 2 + ... + M O Fn

4.12.

acesta fiind cunoscuta în literatura de specialitate ca prima teoremă a lui Varignon. Relaţiile 4.11. şi 4.12. reprezintă forme de transpunerea matematică a primei teoreme a lui Varignon ce afirmă că pentru un sistem de forţe concurente, momentul rezultantei în raport cu un punct este egală cu suma vectorială a momentelor fiecărei forţe în raport cu punctul ales. Utilizand acest rezultat, momntul unui sistem de n forţe concurente, se poate calcula mai simplu cu produsul vectorial r × R , care însumează prodsul vectorial al fiecarei forţe în raport cu punctul ales ca reper. Pentru a calcula momentul sistemului de forţe în raport cu o dreaptă de versor u , vom proiecta momentele fiecarei forţe în raport cu punctul O, pe dreapta dată. Pentru aceasta, relaţia 4.10. o înmulţim scalar cu versorul u al dreptei. Rezultă: (r × R ) ⋅ u = (r × F1 ) ⋅ u + (r × F2 ) ⋅ u + ... + (r × Fn )u sau folosind notaţiile pentru momentul unei forţe în raport cu o dreaptă obţinem:

4.13.

CAPITOLUL 1. Elemente introductive

45

M ∆ ( R ) = M ∆ F1 + M ∆ F2 + ... + M ∆ Fn .

4.14.

Relaţiile 4.13. şi 4.14. reprezintă forme de transpunerea matematică a celei de a doua teoreme a lui Varignon, ce afirmă că pentru un sistem de forţe concurente, momentul rezultant în raport cu o dreaptă ∆ este egal cu suma algebrică a momentelor fiecărei forţe în raport cu dreapta ∆ şi este egal cu momentul rezultantei în raport cu dreapta dată. Prin aceasta, momntul unui sistem de forţe în raport cu o axă, putându-se calcula mai simplu cu ajutorul rezultantei. Cele două teoreme la un loc sunt cunoscute ca teoremele momentului sau teoremele lui Varignon şi sunt de preferat în problemele în care avem sisteme de forţe concurente. 4.1.6. Torsorul de reducere Dacă în cazul punctului, efectul unui sistem de forţe concurente ce acţioneză asupra sa se înlocuieşte, pentru simplificare, cu rezultanta, în cazul corpului se utilizează noţiunea de torsor de reducere, cu care se realizează echivalarea efectului unei forţe sau sistem de forţe într-un punct ales funcţie de necesitîţi. Aceasta este motivată de faptul că faţă de efectul unei forţe asupra unui punct, ce constă în deplasarea punctului după direcţia forţei, în cazul rigidului acţiunea unei forţe poate avea ca efect nu numai o deplasare dar şi o rotire a corpului. 4.1.6.1. Torsorul de reducere al unei forţe într-un punct Pentru început, se pune problema să calculăm efectul unei forţe într-un punct al unui corp. Demonstraţia se face grafic. Considerăm corpul din figura 4.11.a. Asupra sa acţionează forţa F , cu punctul de aplicaţie în A. Dorim să determinăm efectul său în punctul O al corpului. Pentru aceasta se duce prin punctul O, o dreaptă ∆, paralelă cu ∆’, dreapta suport a lui F . Cu originea în O, se duc cele doua forţe F şi - F , care nu schimbă cu nimic starea de solicitare a corpului, deoarece ele îşi anulează reciproc efectul. Dar forţa F din A şi - F din F A

F

d

MO

O

F

∆

’

MO O

-F

∆

a b Fig. 4.11. Reducerea unei forţe într-un punct.

CAPITOLUL 1. Elemente introductive

46

O, dau naştere cuplului M O şi o forţa F cu originea în O. Deoarece cuplul M O este un vector liber, putem să îl considerăm cu originea în O. Aşa cum se vede din fig. 4.11.b, asupra corpului acţionează în punctul O o forţă având acelaşi sens şi direcţie cu cea dată şi un moment egal cu momentul forţei în raport cu punctul O.Perechea de vectori F şi M O se numeşte torsorul de reducere al forţei F în raport cu punctul O. El se notează cu:

 F M O

τO = 

4.15.

şi reprezintă efectul forţei în punctul dat. 4.1.6.2. Torsorul de reducere al unui sistem de forţe într-un punct În cazul unui sistem de forţe avantajul utilizării noţiunii de torsor de reducere, este mult mai evident. Prin definiţie spunem că un sistem de forţe oarecare ce acţionează asupra unui corp se reduce ca efect într-un punct O al corpului la un torsor de reducere, format de perechea de vectori R şi M O . F1 F2 MO F1

MOF2 O

MOF1

F2 MOFk O

Fn

R

Fk Fk

MOFn Fn Fig. 4.12. Reducerea unui sistem de forţe într-un punct

 R = F1 + F2 + ... + Fn = ∑ Fi

τO =  

MO

În care: şi M O = M O R = M O F1 + M O F 2 + ... + M O Fn = ∑ M O F

i

4.16.

CAPITOLUL 1. Elemente introductive

47

4.1.6.3. Invarianţii torsorului de reducere O probemă ce se pune când evaluăm efectul unui sistem de forţe este să vedem dacă sunt mărimi ale torsorului care rămân neschimbate odată cu schimbarea punctului de reducere. Aceste mărimi fiind cunoscute ca invarianţii torsorului de reducere. Întrucât, pentru un sistem de forţe date ce acţionează asupra unui corp, vom avea:  R  M o

τO = 

în care cum sa demonstrat că: R = ∑ Fi , M O = ∑ (ri × Fi )

Dacă considerăm un alt punct de reducere O’, torsorul de reducere devine:

 R′ = ∑ F i  M O′ = ∑ (ri′× Fi )

τ O′ = 

4.17.

Din cele două relaţii, 4.16. şi 4.17. rezultă: R = R'

4.18.

ce arată că rezultanta sistemului de forţe este primul invariant. Utilizând relaţia 4.4. M O′ , momentul rezultantei din O’ devine:

M O′ = ∑ (ri′× Fi ) Dar după cum se vede din fig 4.13. putem scrie relaţia vectorială:

ri′ = ri − OO ' pe care utilizând-o în relaţia momentului M O′ se obţine:

M O′ = ∑ (ri′× Fi ) = ∑ [(ri − OO′) × Fi ] = ∑ (ri × Fi ) − ∑ OO ' × Fi = M O + OO '× ∑ Fi

= M O − OO '× R

CAPITOLUL 1. Elemente introductive

48

M O′ = M O − O O '× R O ri Ai

4.19.

Dorim să calculăm proiecţia momentului M O şi M O ' pe rezultanta R . Pentru aceasta utilizăm proprietatea produsului scalar efectuând produsul cu versorul rezultantei: R ; R = ( M O ⋅ u R )u R . uR =

r’i O’

MR

Fig. 4.13. Variatia momentului rezultant cu schimbarea punctului de reducere.

Pentru M O ' fie:

M ' R = ( M O′ ⋅ u R )u R =[( M O − OO '× R ) ⋅ u R ] u R = [ M O ⋅ u R − (OO '× R )u R ] u R .

Cum : uR =

R , R

rezultă că cel de al doilea termen al lui M ' R este nul, [ (OO ′ × R ) ⋅

R = 0 ] deoarece avem un R

produs mixt în care doi termeni sunt identici. Rezultă: M ' R = M O ' ⋅ R = M O ⋅ R ⇒ M R = M R′ = ct

4.20.

Indiferent de punctul de reducere, proiecţia momentului rezultant pe direcţia rezultantei este constant. Aşadar acesta este cel de al doilea invariant al torsorului de reducere, respectiv proiecţia momentului rezultant pe direcţia rezultantei. Dacă considerăm un sistem de coordonate cartezian, rezultanta sistemului R şi cele două momente M O şi M O′ vor avea proiecţile:

R = Rx ⋅ i + R y ⋅ j + Rz ⋅ k M O = M Ox ⋅ i + M Oy ⋅ j + M Oz ⋅ k M O ' = M O 'x ⋅ i + M O ' y ⋅ j + M O 'z ⋅ k Atunci:

R M Ox ⋅ R x + M Oy ⋅ R y + M Oz ⋅ R z = =. R R2x + R2 y + R2z R M O 'x ⋅ Rx + M O ' y ⋅ R y + M O 'z ⋅ Rz M ' R = M O '⋅u R = M O '⋅ = R R2x + R2 y + R2z

M R = M O ⋅ uR = M O ⋅

CAPITOLUL 1. Elemente introductive

49

utilizând relaţia 4.20. rezultă că: MOx · Rx + MOy · Ry + MOz · Rz = M O ' x ⋅ R x + M O ' y ⋅ R y + M O ' z ⋅ R z = constant,

4.21.

ce reprezintă cel de al treilea invariant al torsorului de reducere. Deci, în cazul unui torsor de reducere sunt trei invarianţi, doi dintre ei sunt totdeauna independenţi iar al treilea este dependent de primii doi. 4.1.6.4. Torsorul minimal şi axa centrală Considerând un punct de reducere O (fig. 4.14.), se observă că cei doi vectori ai torsorului de reducere formează un plan. În acest plan, descompunem pe MO după o direcţie dată de R şi a doua direcţie cea perpendiculară pe R . Rezultă că M O = M R + M N . Pentru a vorbi de un torsor minimal, se porneşte de la faptul că proiecţia lui M O pe R este un invariant. Din reprezentarea grafică şi relaţia lui M O rezultă că pentru un sistem de forţe dat, MO MN M O are valoarea minimă egală cu M R , atunci

O Fig. 4.14. minimal.

MR Calculul

când MN este nul. Numim torsor minimal τ Omin al unui sistem de forţe ca fiind perechea de vectori formată din:

R torsorului

R = ∑ Fi M R = (M O ⋅ uR ) ⋅ uR 

τ Omin = 

4.22.

Torsorul minimal ne ajută ca, pentru un sistem de forţe dat să cunoaştem efectul minimal al acestuia. Acest rezultat este deoebit de util în cazul problemelor de optimizare. Astfel, dacă ne punem problema realizării unui sistem de legături pentru un corp supus acţiunii unui sistem de forţe dat, este avantajos să putem cunoaşte torsorul forţelor de legătură minimă care pentru echilibru trebuie să echilibreze efectul forţelor de legătură. Prin definiţie, locul geometric al punctelor pentru care torsorul unui sistem de forţe este minimal se numeşte axă centrală. Pentru deducerea relaţiei matematice de calcul a axei centrale, se consideră un punct P aparţinând acestei axe. Conform relaţiei (4.19.) momentul tosorului de reducere în P se scrie: M P = M O − OP × R

Fie r vectorul de poziţie al lui P în raport cu originea sistemului de referinţă O. Atunci: OP = r = x ⋅ i + y ⋅ j + z ⋅ k ,

CAPITOLUL 1. Elemente introductive

50

unde x, y, z sunt coordonatele punctului P, un punct curent de pe axa centrală. În raport cu acelaşi sistem de referinţă:

M O = M Ox ⋅ i + M Oy ⋅ j + M Oz ⋅ k ; R = Rx ⋅ i + R y ⋅ j + Rz ⋅ k ; M P = M Px ⋅ i + M Py ⋅ j + M Pz ⋅ k Atunci:

i M P = MO − x Rx

j y Ry

k z = [ M Ox − ( yRz − zRy )] ⋅ i + [ M Oy − ( zRx − xRz )] ⋅ j + Rz

[ M Oz − ( xRy − yRz )] ⋅ k = M Px ⋅ i + M Py ⋅ j + M Pz ⋅ k Cum axa centrală este dreapta suport a rezultantei

R , rezultă că matematic această condiţie de paralelism se poate scrie:

M Px M Py M Pz = = = ct Rx Ry Rz

Utilizând rezultatele anterioare, ecuaţia axei centrale devine: M Ox − yR z + zR x M Oy − zR x + xR z M Oz − xR y + yR x = = = ct. Rx Ry Rz

4.23.

Aceasta este ecuaţia axei centrale pentru un sistem de forţe de rezultantă R şi cuplu rezultant cu proiecţiile MOx, MOy, MOz.

Aplicaţie. Pentru sistemul de forţe ce acţionează asupra cubului din figură se cere să se calculeze: a) torsorul de reducere în punctul O şi ecuaţia axei centrale; b) torsorul de reducere în punctul C. Se dau: OA = AB = a; F1 = 3P ; F2 = 2 P . Proiectând cele trei forţe pe axele sistemului, obţinem: 2 2 F2 x = − ⋅ F2 = − ⋅ 2P = −P 2 2 BG a 1 F = − P, cos γ = = = 2y OG a 3 3 Datorită simetriei cubului avem: α = β = γ şi deci : OG = 3a 2 = a 3 ⇒

CAPITOLUL 1. Elemente introductive

F1 X = − F1 ⋅ cos α = − 3P ⋅ i

j

51

1 = −P 3

k

M OF1 = r1 × F1 = a a a = (− aP + aP)i + (− aP + aP) j + (−aP + aP)k = 0 −P −P −P Pentru a evita unele erori se recomandă metoda tabelară, constând în realizarea unui tabel că cel de mai jos, la care numărul de linii depinde de numărul de forţe ale sistemului.

F1 F2 Σ

Fix -P -P -2P

Fiy -P -P -2P

Fiz -P 0 -P

MOix 0 0 0

MOiy 0 0 0

MOiz 0 0 0

Ecuaţia axei centrale se obţine, înlocuind valorile obţinute: z E D

F1x F

F1y G F1

y

O F1z F2 α x

A

F2y

C

F2x B

Fig. 4.15. Aplicaţie. Calculul torsorului de reducere. M Ox − yR z + zR x M Oy − zR x + xR z M Oz − xR y + yR x = = Rx Ry Rz 0 − y (− P ) + z (−2 P ) 0 + x(− P ) − z (−2 P ) 0 − x(−2 P ) + y (−2 P ) = = − 2P − 2P −P Din care rezultă:

 y − 2z 2x − 2 y  2 =  − x + 2 z 2 x1− 2 y  = 1  2

CAPITOLUL 1. Elemente introductive

52

Sau: − 4 x + 5 y − 2 z = 0  − 5 x + 4 y + 2 z = 0 Pentru trasarea acestei axe, obţinută ca intersecţie de plane, vom face pe rând intersecţia cu planele sistemului de referinţă. Astfel, pentru x=0, planul ce conţine axa centrală intersectează planul xOy după dreapta 5 y − 2 z = 0 , iar axele sistemului în punctele: x=0; y = 2; respectiv; x=0; z = 5. b)

 R = ∑ Fi = −2 P ⋅ i − 2 P ⋅ j − P ⋅ k M C = aP ⋅ i − 2 P ⋅ k 

τO = 

i

j

k

M C = M O − OC × R = − 0 a 0 = aP ⋅ i − 2aP ⋅ k − 2P − 2P − P M O ' = M O − OC × R |· u R

Această relaţie confirmă invarianţa lui

MR . M O ' ⋅ u R = M O ⋅ u R − (O O ′ × R ) ⋅ u R M O' ⋅

R R R = M O ⋅ − (OO ′ × R ) ⋅ R R R

4.1.4.7. Sisteme de forţe echivalente Prin operaţiile de echivalenţă se poate obţine o simplificare a rezolvării unor probleme sau, cum sa demonstrat în cazul cuplurilor de forţe, efetul unui cuplu dat poate fi evaluat în acelaşi plan sau în plane paralele, prin deducerea unor cupluri echivalente. Deoarece efectul unui sistem de forţe ce acţionează asupra unui corp este mai complex decat asupra unui punct, se doreşte simplificarea calculului. În cele mai multe cazuri, este foarte util şi se înlocuesc sistemele oarecare de forţe cu sisteme de forţe mai simple, care să producă în orice punct al corpului acelaşi efect. Pentru aceasta se aplică teorema de echivalenţă (VVC-83), conform căreia două sisteme de forţe ce acţionează asupra unui rigid, şi produc în orice punct acelaşi efect mecanic sunt sisteme echivalente. Tot pentru realizarea unor sisteme de forţe echivalente mai simple, se pot aplica sistemului de forţe mai multe operaţii astfel ca sistemul de forţe dat să rămană echivalent cu el însuşi. Aceste operaţii se numesc operaţii elementare (simple) de echivalenţă şi constau în: - o forţă care acţionează asupra rigidului poate fi deplasată în lungul suportului ei; - în sistemul de forţe dat se pot adăuga sau suprima perechi de forţe egale în modul coliniare şi de sens contrar;

CAPITOLUL 1. Elemente introductive

53

-

două sau mai multe forţe concurente pot fi echivalate sau înlocuite cu rezultanta lor. - o forţă poate fi înlocuită prin componentele sale pe direcţiile de descompunere date. Cum efectul unui sistem de forţe într-un punct este exprimat matematic cu ajutorul torsorului de reducere, condiţia de echivalenţă a două sisteme este că ele să aibă în orice punct al corpului acelaşi torsor de reducere 4.1.4.8. Cazuri de reducere al unui sistem de forţe oarecare Conform celor demonstrate până acum, orice sistem de forţe se reduce într-un punct la un torsor. Cum sistemele de forţe ce au acelaşi torsor sunt echivalente, în continuare se vor stabili principalele cazuri particulare ale torsorilor de reducere. Stabilirea cazurilor de reducere se face pornind de la valorile particulare pe care le pot avea cele două componente ale torsorului de reducere:

 R M O

τO = 

Cazul I de reducere Este cazul cel mai simplu de reducere, atunci cand conform relaţiei 4.24. cele două componente ale torsorului sunt nule: R = MO = 0 Daca torsorul de reducere are componentele nule, atunci corpul se află în echilibru. În aceste conditii, rezulta că, condiţia de echilibru pentru un corp, revine la:

 R =0  M O = 0

4.24.

Cazul II de reducere Următorul caz de reducere este dat de relaţia:

 R ≠0  M O = 0

4.25.

Sistemul de forţe are torsorul cu o singură componentă, R , care produce dacă se depăşeşte reacţiunea din legături o deplasare a corpului după direcţia sa. Dacă corpul este liber, atunci el se va deplasa după R . Dacă este legat în punctul O, legătura trebuie să acţioneze cu o forţă egală în modul cu R şi să acţioneze în sens contrar, stabilind echilibrul conform cazului 1 de reducere.

Cazul III de reducere Pentru acest caz de reducere, relaţia este:

CAPITOLUL 1. Elemente introductive

 R =0  M O ≠ 0

54

4.26.

Torsorul de reducere are o singură componentă, M O . Rezultă că sistemul de forţe este echivalent cu un cuplu de forţe acţionând în punctul O; Acest cuplu poate fi realizat de orice cuplu echivalent cu M O . Efectul acestui torsor, corpul va avea o mişcare de rotaţie, dacă reacţiunea din legătură este depăşită, sau corpul este liber.

Cazul IV de reducere

 R ≠0  M O ≠ 0

4.27.

În această situaţie există 2 cazuri:

MO -R R d

Fig. 4.16. Cazul 3 de reducere.

Cazul a) R ⋅MO = 0

4.28.

Torsorul are două componente, R şi M O , perpendiculare. Acest caz de reducere este echivalent cu o forţă R acţionând în lungul axei centrale şi un moment MO dat de un cuplu de forţe F şi –F, astfel încât, MO = F·d. În plus pentru acest caz paricular M R =0. Un exemplu îl constitiue corpul care, aşa cum se va vedea la cinematică, execută o mişcare de roto-translaţie plană. Cazul b) R ⋅MO ≠ 0 4.29. Este cazul cel mai general, când sistemul de forţe se reduce la o rezultantă unică de-a lungul axei centrale şi un cuplu ce formează un unghi diferit de 90o cu axa centrală. Corpul execută o mişcare de rotaţie suprapusă cu o translaţie în spaţiu după direcţii oarecare.

CAPITOLUL 1. Elemente introductive

55

4.1.7. Sisteme particulare de forţe Dacă până acum am prezentat modul în care se pot simplifica soluţionarea unor probleme prin echivalarea lor cu un sistem echivalent, adesea, în practică, sistemul de forţe prezintă anumite particularităţi, legate de proprietăţile mărimilor vectoriale ce le compun. 4.1.7.1. Sistemul de forţe coplanare Este cel mai simplu şi cel mai utilizat sistem de forţe particulare. Pentru aceste sisteme de forţe proprietatea ce conferă denumirea este că toate forţele au dreaptele suport în acelaşi plan. În cazul general:

Fi = Fix ⋅ i + Fiy ⋅ j + Fiz ⋅ k Dacă se consideră acest plan, ca fiind planul definit de axele Ox şi Oy, în acest caz, rezultanta are numai două componente după direcţiile definite anterior dat fiind că Fiz =0 şi deci:

R = ∑ Fi = ∑ Fix ⋅ i + ∑ Fiy ⋅ j = Rx ⋅ i + Ry ⋅ j

4.30.

Deci, rezultanta unui sistem de forţe coplanare aparţine aceluiaşi plan. În acelaşi timp, punctul de reducere aparţinând planului forţelor, face că şi vectorii de poziţie să aparţină planului. Deci: ri = xi ⋅ i + y i ⋅ j + 0 ⋅ k Ca atare momentul rezultant devine:

i M O = ∑ ri × Fi = x1 F1x

j y1 F1z

k

i

0 + ... + xn 0 Fnx

j

k

yn Fnz

0 0

M O = [(∑ xi ⋅ Fiy ) − (∑ yi ⋅ Fix )] ⋅ k ce scoate în evidenţă o proprietate importană a sistemului de forţe coplanare, că momentul rezultant este dispus perpendicular pe planul forţelor: MO = MO ⋅k iar componentele torsorului de reducere sunt redate de relaţia:

 R = ∑ Fix ⋅ i + ∑ Fiy ⋅ j   M O = ∑ ri × Fi = M O k

4.31.

CAPITOLUL 1. Elemente introductive

56

z

MO

O

y Fn

F1 π

F2

O

R

x Fig. 4.17. Sisteme de forţe coplanare. Conform relaţiei 4.31., componentele torsorului de reducere al unui sistem de forţe coplanare prezintă particularitatea că: rezultanta este dispusă în planul forţelor iar momentul este dispus după o direcţie perpendiculară pe planul lor. Deci, în cazul sistemului de forţe coplanare, torsorul are două componente totdeuna perpendiculare. Grafic acest caz de reducere este ilustrat în fig. 4.17. 4.1.7.2. Sistemul de forţe paralele Este un sistem de forţe particulare cu multe aplicaţii practice. Particularitatea este dată de proprietate că toate dreptele suport ale forţelor sunt paralele cu o direcţie dată u . În aceste condiţii, Fi = Fi ⋅ u F1

A Fn

r1 F2

Fi

u r2 O ri Fig. 4.18. Sisteme de forţe paralele.

 R = ∑ Fi = ∑ Fi ⋅ u = (∑ Fi ) ⋅ u = R ⋅ u M O = ∑ ri × Fi = ∑ ri × ( Fi ) ⋅ u 

τO = 

R ‫ ׀׀‬u

4.32.

Dacă în plus, se calculează produsul scalar al celor doi vectori ai torsorului de reducere rezultă: R ⋅ M O = ( R ⋅ u ) ⋅  ∑ ri × ( Fi ) ⋅ u  = 0

CAPITOLUL 1. Elemente introductive

deoarece avem un produs mixt în care doi vectori u sunt identici, ce arată că întodeauna cele două componente sunt perpendiculare.

57

R ⊥ MO .

4.1.7.3. Axa centrală şi centrul forţelor paralele Pentru determinarea axei centrale, se alege un punct curent P, de coordonate x, y şi z în raport cu sistemul de coordonate cu originea în punctul O de reducere a sistemului de forţe care să aparţină axei centrale. Conform relaţiei 4.19. vom scrie momentul rezultant în acest punct:

MP = MO − OP × R Dar:

R = ∑ Fi = ∑ Fi ⋅ u ;

M O = ∑ ri × Fi = ∑ ri × ( Fi ⋅ u ) ; OP = r

vectorul de poziţie al punctului curent P de pe axa centrală.Deci:

M P = ∑ ri × Fi ⋅ u − r × (∑ Fi ) ⋅ u = (∑ Fi ⋅ ri ) × u − (∑ Fi ) ⋅ r × u = (∑ Fi ⋅ ri − ∑ Fi ⋅ r ) × u Din concluziile anterioare am văzut că pentru sistemul de forţe paralele, proiecţia pe rezultantă a momentului rezultant M O este nulă, deci şi M P = 0 . În aceste condiţii, pentru că produsul vectorial să fie nul rezultă că cei doi vectori ai produsului sunt paraleli. Cum am văzut, matematic această condiţie se poate scrie:

∑ F ⋅ r − ∑ F ⋅r = λ ⋅u i

i

i

în care λ este un coeficient de proporţionalitate, fiind un număr real. Împărţind această relaţie cu ∑ Fi , rezultă ecuaţia vectorială a axei centrale:

r =

∑F ⋅r − λ ⋅u ∑F ∑F i

i

i

4.33.

i

cu ajutorul căreia putem determina vectorul de poziţie r :

r =

∑ F ⋅ r − λ ⋅u ∑F ∑F i

i

i

i

aceasta fiind ecuaţia vectorială a axei centrale scrisă cu ajutorul vectorului de poziţie al unui punct curent. Analizând această ecuaţie vectorială se observă că pentru un sistem de forţe dat şi pentru un punct de reducere ales,

CAPITOLUL 1. Elemente introductive

rC =

58

∑F ⋅r ∑F i

i

4.34.

i

rămâne constant, deoarece toţi termenii sunt constanţi. Rezultă că această ecuaţie reprezintă ecuaţia unui fascicul de drepte care trec printr-un punct fix al spaţiului dat de această relaţie. Acest punct fix poartă numele de centrul forţelor paralele, rC fiind vectorul său de poziţie. 4.1.7.4. Proprietăţi ale axei centrale şi centrului forţelor paralele 1) Centrul forţelor paralele nu se schimbă cu schimbarea direcţiei u . Demonstraţia acestei proprietăţi este dată de faptul că expresia centrului forţelor paralele nu depinde de versorul u . 2) Dacă înmulţim toate forţele cu o constantă k, centrul forţelor nu se schimbă. Pentru demonstraţie, se consideră noul vector de poziţie al centrului forţelor paralele rO′ considerat diferit de rO , dat de relaţia:

rO =

∑F ⋅r ∑F i

i

;

i

Utilizând aceiaşi relaţie de definiţie, rO′ devine:

rO′ =

∑ (k ⋅ F ) ⋅ r ∑k ⋅ F i

i

i

=

k ⋅ ∑ Fi ⋅ ri k ⋅ ∑ Fi

=

∑F ⋅r ∑F i

i

= rO

i

ce demonstreză enunţul formulat anterior. 3) Dacă schimbăm punctul de reducere, centrul forţelor paralele nu se schimbă, singura modificare fiind ca o translaţie a sistemului de referinţă. Pentru demonstraţie, se Ai consideră un punct O’ ≠ O. Fie Ai punctul de O’ r’i aplicaţie al forţei Fi. Conform fig. 4.19., se ri poate scrie relaţia vectorială: ri′ = O′O + ri = ri − OO′ O

Presupunem că rO ≠ rO′ . Plecând de la relaţia de definiţie şi utilizând relaţia anterioară se poate scrie:

Fig 4.19. Constanţa centrului de greutate cu schimbarea punctului originii sistemului de referinţă.

rO′ =

∑ F ⋅ r ′ = ∑ F (r − OO ′) = ∑ F r − ∑ F ⋅ OO ′ = r ∑F ∑F ∑F ∑F i

i

i

i

i i

i

O

i

i

i

i

−

(∑ Fi ) ⋅ OO ′

∑F

i

= rO − OO ′

CAPITOLUL 1. Elemente introductive

59

Odată cu schimbarea punctului O, centrul forţelor paralele rămâne neschimbat, întrucât expresia să se modifică că şi în cazul unei translaţii a sistemului de referinţă, deoarece: ri′ = ri − OO ′

iar centrul forţelor paralele se modifică după aceiaşi regulă: rO′ = rO − OO ′

4.1.8. Aplicaţii ale centrului forţelor paralele. Centrele de greutate În practică, în studiul sistemelor de puncte, datorită razei foarte mari a Pământului, se poate aproxima că două sau mai multe corpuri situate la suprafaţa pământului sunt atrase de centrul pământului cu forţe ce pot fi considerate paralele. Deci forţa de gravitaţie ce acţionează asupra a două sau mai multe corpuri constituie un sistem de forţe paralele. În această situaţie, forţele paralele se înlocuiesc cu forţele de greutate, Gi=mig, iar centrul forţelor paralele pentru un sistem de puncte materiale devine centrul de greutate al sistemului de puncte materiale. Se notează cu rC coordonata centrului de greutate pentru un sistem de puncte având masele mi şi vectorii de poziţie ri .

rC =

∑F ⋅r = ∑m ⋅ g ⋅r ∑F ∑m ⋅ g i

i

i

i

=

i

i

g ∑ mi ⋅ ri

=

g ∑ mi

∑m ⋅r ∑m i

i

4.35.

i

Într-un un sistem de coordonate cartezian, se poate scrie: rC = xC ⋅ i + yC ⋅ j + zC ⋅ k = ξ ⋅ i + η ⋅ j + ζ ⋅ k , ri = xi ⋅ i + yi ⋅ j + zi ⋅ k

4.36.

Înlocuind relaţiile 4.36. în 4.35., se obţine:

rC =

∑m ⋅ x ∑m i

i

i

⋅i +

∑m ⋅ y ∑m i

i

i

⋅j+

∑m ⋅ z ∑m i

i

⋅k

4.37.

i

Prin identificare se pot scrie relaţiile utilizate în rezolvarea problemelor de mecanică în determinarea centrelor de greutate:

CAPITOLUL 1. Elemente introductive

 ∑ mi ⋅ x i  xC = ξ = ∑ mi   ∑ mi ⋅ y i  yC = η = ∑ mi   ∑ mi ⋅ z i  zC = ζ =  ∑ mi

Dar, întucât

∑m

i

60

4.38.

= M reprezintă masa totală a sistemului de puncte, se obţine

relaţia:

M ⋅ rC = ∑ mi ri respectiv, cu ajutorul proiecţiilor pe axele sistemului:  M ⋅ xC = M ⋅ ξ = ∑ mi ⋅ xi   M ⋅ yC = M ⋅ η = ∑ mi ⋅ yi   M ⋅ zC = M ⋅ ζ = ∑ mi ⋅ zi

4.39.

Prin definiţie ,,produsul dintre masa unui punct şi distanţa până la un reper poartă numele de moment static. De aceea aceste ecuaţii, fie sub formă vectorială, fie pe baza proiecţiilor constituie teorema momentelor statice. Aceasta afirmă că, suma momentelor statice ale unui sistem de corpuri de mase mi concentrate în punctele al căror vector de poziţie este ri , de coordonate xi, yi, zi în raport cu un punct (egal cu suma algebrică a produselor scalare dintre masa fiecărui punct şi vectorul de poziţie al punctului în raport cu O), este egal cu momentul static al masei totale a punctelor concentrată în centrul lor de greutate. Deci numim moment static produsul dintre masa unui corp şi distanţa până la reperul dat. Aceste teoreme ne arată că, din punct de vedere static, efectul unui sistem de puncte materiale poate fi echivalat cu efectul unui punct ce are masa egală cu masa totală a sistemului de puncte, fiind plasată în centrul lor de masă.

CAPITOLUL 1. Elemente introductive

61

4.1.8.1. Centrul de greutate al corpurilor În cazul corpurilor, conform fig. 4.20., se divizează corpul dat într-un mare număr finit de de corpuri elementare de masă dm, al căror centru de masă faţă de sistemul de referinţă dat este vectorul de poziţie r . Considerând corpul continuu, se înlocuieşte operatorul de însumarea algebrică cu o însumare mult mai fină, respectiv operatorul de integrare, rezultând relaţia vectorială de calcul, a centrului de grutate pentru un corp: z dm ∫D r ⋅ dm rC = y r ∫ dm D

x Fig. 4.20. Calculul centrului de masă pentru un corp

Integrarea se face pe domeniul D, în care D reprezintă conturul corpului pentru care se face calculul centrului de greutate sau denumit şi centru de masă. Utilizând sistemul de coordonate cartezian din figură, în raport cu care vectorul de poziţie r are proiecţiile x, y, z, şi înlocuindu-le în relaţia anterioară de definiţie se obţine relaţia 4.57., ce redă relaţiile de calcul a celor trei proiecţii ale vectorului centrului de greutate pe axele sistemului de referinţă ales: rC =

∫ x ⋅ dm D

∫ dm D

⋅i +

∫ y ⋅ dm D

∫ dm D

⋅j+

∫ z ⋅ dm D

∫ dm

⋅k

4.40.

D

Coordonatele centrului de greutate C, în raport cu axele sistemului de coordonate cartezian dat, se notează uzual cu literele alfabetului grecesc (ξ , η , ζ ) . Pe lângă aceste notaţii se mai utilizează şi notaţiile cu caracterele latine xC , yC , zC .

 ∫ x ⋅ dm  D  xC = ξ = ∫ dm  D  ∫D r ⋅ dm  ∫ x ⋅ dm D rC = ξ i + η j + ζ k = ⇒  yC = η = dm  ∫ ∫ dm D D   ∫ x ⋅ dm  D  zC = ζ =  ∫ dm  D

4.41.

CAPITOLUL 1. Elemente introductive

62

Aceste relaţii 4.41. sunt relaţiile generale utilizate pentru calculul centrului de greutate a unui corp. Că şi în cazul sistememlor de puncte materiale în cazul unui corp, dacă se noteză masa corpului cu mC, ce este dată de relaţia:

mC = ∫ dm D

atunci, teorema momentelor statice pentru un corp, sunt date de relaţiile 4.41.:

mC rC = ∫ r ⋅ dm D

mC xC = mC ξ = ∫ x ⋅ dm D

mC yC = mCη = ∫ y ⋅ dm

4.42.

D

mC zC = mC ζ = ∫ z ⋅ dm D

Momentele statice şi teoremele lor au o deosebită importanţă practică, deoarece prin aceste relaţii să demonstrat că, din punct de vedere static efectul unui sistem de puncte sau corp se poate înlocui cu un punct matrial având masa egală cu masa sistemului de puncte sau corpuri, aceasta fiind plasată în centrul de greutate al corpului. Datorită avantajului acestei modalităţi de simplificare a staticii sistemelor de puncte materiale şi corpuri, în continuare vor fi prezentate forme particulare ale momentelor statice şi teoremele lor. 4.1.8.2. Centrul de greutate al corpurilor omogene.Teorema momentelor statice pentru corpuri omogene Cum se ştie, prin definiţie, numim corp omogen acel corp pentru care în orice parte a corpului, unitatea de volum are aceeaşi greutate. Se mai poate spune că acel corp are masa uniform distribuită în întreg volumul său. Pentru evidenţierea matematică a acestei proprietăţi se defineşte funcţia de densitate, sau densitate, raportul dintre masa unui corp şi volumul său, ce se notează cu ρ = ρ (x, y, z) , purtând şi numele de greutatea unităţii de volum a unui corp. Pentru corpurile neomogene această funcţie poate avea diverse forme de exprimare funcţie de punct. În cazul corpurilor omogene această funcţie este constantă cu punctul. În această situaţie:

ρ=

m dm ⇒ρ= ⇒ dm = ρ ⋅ dV ; V dV

Utilizând această expresie a masei elementare dm în expresia centrului de masă dată de relaţiile 4.27. se obţin expresiile centrului de masă pentru un corp omogen, conform relaţiei 4.29., atât sub formă vectorială cât şi sub formă scalară cu ajutorul proiecţiilor centrului de greutate pe axele sistemului de referinţă:

CAPITOLUL 1. Elemente introductive

 ∫D x ⋅ dV   xC = ξ =  ∫ dV D  ∫ y ⋅ dV ∫D r ⋅ ρ ⋅ dV ρ D∫ r ⋅ dV D∫ r ⋅ dV  D ⇒  yC = η = rC = = = ρ ρ ⋅ dV dV dV  ∫ ∫ ∫ ∫ dV D D D D   ∫ z ⋅ dV  D  zC = ζ =  ∫ dV  D

63

4.43.

Prin această modificare de variabilă centrul de masă se transformă dintr-o proprietate de masă, într-o proprietate geometrică devenind centru de simetrie. Procedând ca şi în cazul corpurilor oarecare, se notează cu V, volumul corpului, ce se calculează cu relaţia:

V = ∫ dV D

Cu această nouă notaţie prelucrând relaţiile 4.42., teorema momentelor statice pentru un corp omogen devin 4.44.:  V ⋅ xC = V ⋅ ξ = ∫ x ⋅ dV D   V ⋅ rC = ∫ r ⋅ dV ⇒ V ⋅ yC = V ⋅η = ∫ y ⋅ dV D D   V ⋅ zC = V ⋅ ζ = ∫ z ⋅ dV D 

4.44.

ce reprezintă teorema momentelor statice pentru un corp omogen, ce arată că un corp omogen poate fi substituit cu un punct material având întreaga sa masă concentrată în centrul de simetrie. În mecanică în special, dar din ce în ce şi în tehnică în general, corpurile, funcţie de caracteristicile lor geometrice date de raportul dintre mărimile caracteristice, lungimea L, lăţimea l şi înălţimea h acestea se împart în trei tipuri principale. Astfel dacă valorile raportului dintre cele trei dimensiuni sunt comparabile atunci corpurile se numesc blocuri, iar relaţiile anterioare 4.43. respectiv 4.44. ne dau modalităţile de calcul a centrului de greutate şi teorema momentelor statice. Dacă dimensiunile L şi l sunt mult mai mari decât h, atunci corpurile poartă numele de plăci. Dacă h, este foarte foarte mic, conferind o mare mare deformabilitate corpului, atunci aceste corpuri se numesc membrane. Dacă doar una dintre dimensiunile corpului respectiv L, este mult mai mare decăt celelalte două, atunci corpurile poartă numele de bare, stâlpi etc. Dacă acestea se pot deforma foarte uşor atunci aceste corpuri poartă numele de fire. Pentru aceste două tipuri de corpuri cu geometrie particulară se vor deduce în continuare expresiile centrelor de greutate şi teoremele momentelor statice.

CAPITOLUL 1. Elemente introductive

64

4.1.8.3. Centrul de greutate pentru corpuri omogene plane tip placă, de grosime constantă Considerând o placă omogenă de grosime constantă g, conform cu fig. 4.21., atunci elementul de volum de la corpurile tip bloc se poarte calcula cu relaţia: dV = g ⋅ dA

Utilizând această relaţie centrul de greutate va fi calculat cu noua relaţie vectorială:

rC =

∫ r ⋅ dV = ∫ r ⋅ g ⋅ dA = g ∫ r ⋅ dA = ∫ r ⋅ dA ∫ dV ∫ g ⋅ dA g ∫ dA ∫ dA

4.45.

Pentru cazul particular al plăcilor plane întodeauna se va alege pentru calcule un sistem de coordonate plan. În acest caz s-a ales planul xOy, un plan median al plăcii, situat la distanţe egale de cele două suprafeţe ce delimitează placa şi paralel cu acestea.

A

dA

dV g Fig. 4.21. Calculul centrului de greutate pentru o placă omoenă de grosime constantă.

. În aceste condiţii centrul de greutate se va afla în acest plan având coordonatele date de relaţiile 4.46.

 x ⋅ dA  xC = ξ = ∫  ∫ dA   ∫ y ⋅ dA  yC = η =  ∫ dA

4.46.

CAPITOLUL 1. Elemente introductive

65

În ambele relaţii integrarea se realizează pe suprafaţa A ce delimitează suprafaţa plăcii, fiind dată de relaţia:

A = ∫ dA A

Cu această notaţie teorema momentelor statice pentru o placă omogenă de grosime constantă devine:

 A ⋅ xC = A ⋅ ξ = x ⋅ dA ∫A  A ⋅ rC = ∫ r ⋅ dA  A  A ⋅ yC = A ⋅η = ∫ y ⋅ dA A 

4.47.

4.1.8.4. Centrul de greutate pentru corpuri omogene, de tip bară cu secţiune constantă Datorită particularităţii acestor tipuri de corpuri, considerând secţiunea S, constantă în lungul corpului, atunci elementul de volum dV este dat de relaţia: dV =S· dl dV

S

dl

Fig. 4.22. Calculul centrului de greutate pentru o bară omoenă de secţiune constantă. în care cu dl s-a notat lungimea elementară de integrare. Prin utilizarea acestei relaţii, centrul de greutate conform relaţiei 4.43. devine: l

rC =

∫ r ⋅ dV 0 l

l

=

∫ r ⋅ Sdl 0 l

∫ r ⋅ dV

∫ Sdl

0

0

l

=

S ∫ r ⋅ dl 0 l

S ∫ dl 0

l

=

∫ r ⋅ dl 0 l

∫ dl 0

ce reprezintă forma vectorială a centrului de masă al unei bare în cazul general. Utilizând proiecţiile pe axele sistemului de referinţă, cele trei proiecţii se vor calcula cu relaţiile 4.49. Funcţie de particularităţile geometrice ale modului de dispunere în spaţiu a batelor putem avea relaţii particulare. Dacă bara este dispusă într-un singur plan, xOy, atunci z=0 pentru orice punct al barei şi se vor calcula doar primele două coordonate ale centrului de greutate, întucât zC = ζ = 0 . Pentru barele drepte, considerând axa Ox axa de simetrie a barei, atunci se calculează o singură proiecţie, iar dl se înlocuieşte cu dx. Datorită faptului că, pentru

CAPITOLUL 1. Elemente introductive

66

corpurile omogene centrul de masă devine un centru geometric, respectiv cel de simetrie al corpurilor se pot trage următoarele concluzii cu largi utilizării în practică. l

xC = ξ =

l

∫ xdl 0 l

;

∫ ydl

yC = η =

0 l

∫ dl

∫ dl

0

0

l

; zC = ζ =

∫ zdl 0 l

;

∫ dl 0

Observaţii: 1. În cazul corpurilor omogene, dacă un corp are un plan de simetrie, atunci centrul de greutate se va găsi în planul respectiv. 2. Dacă un corp are o axă de simetrie (2 plane de simetrie ce se intersectează), atunci centrul de greutate se va găsi pe ea. 3. Dacă un corp are două axe de simetrie ce se intersectează, atunci centrul de greutate se va găsi la intersecţia lor. 4.1.8.5. Centrul de greutate pentru corpuri cu o formă geometrică complexă În aplicaţii putem avea foarte des situaţii în care corpul final poate fi împărţit în corpuri mult mai simple, pentru care centrul de greutate are o poziţie cunoscută sau poate fi calculată uşor. Notăm cu rC vectorul de poziţie al centrului de greutate al corpului compus din mai multe corpuri simple. Conform definiţiei acesta se calculează cu relaţia:

rC =

∫ r ⋅ dm ∫ r ⋅ dm + ∫ r ⋅ dm + ∫ r ⋅ dm D

∫ dm D

=

D1

D2

∫ dm +

∫

D1

D2

D3

dm +

∫

4.49.

dm

D3

deoarece domeniul de integrare D, care se poate diviza într-un număr finit de subdomenii Di, (în cazul dat i=3) , atunci integrala pe domeniul D, se poate calcula ca suma integralelor pe cele i subdomenii, obţinând în acest fel relaţia de mai sus. Utilizănd teoremele momentelor statice şi notând cu ri vectorul de poziţie al centrului de greutate al corpului de masă mi în raport cu sistemul de axe ales, se poare scrie:

∫ r ⋅ dm = m ⋅ r i

i

Di

∫ dm = m

i

Di

Înlocuind aceste relaţii în relaţia 4.49. se obţine:

rC = În care:

m1 ⋅ r1 + m2 ⋅ r2 + m3 ⋅ r3 ⇒ rC = m1 + m2 + m3

∑m ⋅r ∑m i

i

i

4.50.

CAPITOLUL 1. Elemente introductive

67

rC = ξ ⋅ i + η ⋅ j + ζ ⋅ k ri = ξi ⋅ i + ηi ⋅ j + ζ i ⋅ k = xCi ⋅ i + yCi ⋅ j + zCi ⋅ k iar relaţiile 4.51. stau la baza calculului centrelor de greutate pentru corpurile de formă geometrică complexă:

∑m ⋅ x ∑m ∑m ⋅ y η= ∑m ∑m ⋅ z ζ = ∑m ξ=

i

Ci

i

i

Ci

i

i

Ci

i

∑ m ⋅ξ ; ∑m ∑ m ⋅η ; = ∑m ∑ m ⋅ζ = ∑m

=

i

i

i

i

i

4.51.

i

i

i

i

Pentru utilizarea acestor relaţii 4.51. se procedează în felul următor. Se porneşte de la ideia că în tehnică sunt utilizate corpuri de forme simple. Prin corpuri de formă simplă se înţeleg acele corpuri la care centrul de greutate are o poziţie cunoscută sau care se poate calcula foarte uşor şi rapid. Pentru utilizarea acestei metode, se alege un sistem unic de referinţă în raport cu care se stabilesc coordonatele centrelor de greutate ale corpurilor simple. D D1

D2

D3 Fig. 4.23. Calculul centrului de greutate pentru un corp cu geometrie complexă. Considerând un corp de formă complexă, acesta se divizează înt-un număr finit de corpuri simple, se determină centrele de greutate ale corpurilor simple în raport cu sistemul de coordonate stabilit, iar valorile lor se trec într-un tabel de prelucrare a datelor, după care se utilizează relaţiile 4.49. determinându-se coordonatele centrului de greutate a corpului cu geometrie complexă. Este foarte util să se aibă în vedere următoarele observaţii: 1. Dacă în corpul de formă complexă apar goluri, atunci masa acelor goluri se introduce în relaţia de calcul 4.49. cu semnul minus, atât la numitor, cât şi la numărător.

Exemplu, presupunem că m2 = -m2, rezultă:

CAPITOLUL 1. Elemente introductive

rC =

∑m ⋅r ∑m i

i

i

=

m1 ⋅ r1 − m2 ⋅ r2 + m3 ⋅ r3 m1 − m2 + m3

68

4.52.

2. În cazul corpurilor omogene, dacă un corp are un plan de simetrie, atunci centrul de greutate se va găsi în planul respectiv. 3. Dacă un corp are o axă de simetrie (2 plane de simetrie ce se intersectează), atunci centrul de greutate se va găsi pe ea. 4. Dacă un corp are două axe de simetrie ce se intersectează, atunci centrul de greutate se va găsi la intersecţia lor. 5. Dacă corpul complex este omogen atunci centrul de greutate devine un centru geometric respectiv:  ∑Vi ⋅ xi  xC = ξ = ∑Vi    ∑Vi ⋅ yi  yC = η = ∑Vi   V ⋅z  zC = ζ = ∑ i i  ∑Vi în care Vi reprezintă volumul corpului i. Dacă corpul de formă complexă este compus din plăci plane de arii Ai atunci, centrul de greutate se calculează cu  ∑ Ai ⋅ xi  xC = ξ = ∑ Ai    ∑ Ai ⋅ yi  yC = η = ∑ Ai   A ⋅z  zC = ζ = ∑ i i  ∑ Ai

4.54.

iar pentru cazul particular în care corpul complex este compus din bare de secţiune constantă, de lungimi li, relaţiile devin:  ∑ Li ⋅ xi  xC = ξ = ∑ Li    ∑ Li ⋅ yi 4.55.  yC = η = ∑ Li   L ⋅z  zC = ζ = ∑ i i  ∑ Li 4.1.8.6. Calculul centrului de greutate pentru corpuri simple

CAPITOLUL 1. Elemente introductive

69

Utilizând proprietăţile date de observaţiile anterioare se pot accepta fără demonstraţie că: 1) Centrului de greutate pentru corpurile omogene tip bară de secţiune constantă fiind drepte se găseşte la jumătatea lungimii lui. 2) Centrului de greutate pentru corpurile omogene tip bară de secţiune constantă a căror geometrie admit un centru de simetrie atunci acesta este şi centru de greutate. 3) Centrul de greutate al unuei plăci omogene de grosime constană şi avînd formă dreptunghiulară se găseşte la intersecţia diagonalelor. 4) Centrul de greutate al unui disc se află în centrul cercului. 5) Centrul de greutate al unei sfere se află în centrul său. 6) Centrul de greutate al unui triunghi se găseşte la intersecţia medianelor triunghiului, la 2/3 de vârf şi la 1/3 de latura triunghiului, rezultat demonstrat de matematica elementară. În continuare sunt prezentate mai multe relaţii de calcul al centrului de masă pentru corpuri cu largă utilizare în tehnică. 7) Calcularea centrului de greutate pentru o bară omogenă de forma unui arc de cerc de rază R şi semiunghi la vârf α. y dl dθ

O

θ α

x

x

R

Fig. 4.24. Calcularea centrului de greutate pentru o bară omogenă de forma unui arc de

Datorită faptului că axa Ox este axă de simetrie centrul de greutate se va găsi pe ea. Se calculează doar:

ξ = xC =

∫ x ⋅ dl ∫ dl

Pentru aceasta se detaşează un element de arc dl, subântins de unghiul la centru dθ , situat pe direcţia θ faţă de axa Ox. Rezultă: dl = R ⋅ dθ

Proiecţia centului de greutate al acestui element de arc pe axa Ox se notează cu x. Conform figurii se poate scrie relaţia: x = R ⋅ cos θ

CAPITOLUL 1. Elemente introductive

70

Deci, făcând aceste schimbări de variabilă se pot stabili limitele de integrare de la –α la α, obţinând: α

α

ξ = xC =

∫ R ⋅ cosθ ⋅ R ⋅ dθ

−α

α

=

∫α R ⋅ dθ

R ⋅ ∫ cosθ ⋅ dθ −α

R ⋅ sin θ

=

α

θ

∫αdθ

−

α

= −α

2 R ⋅ sin α R ⋅ sin α = 2α α

4.56.

−

în care semiunghiul α este obligatoriu exprimat în radiani. 8. Calculul centrului de greutate pentru o placă omogenă de grosime constantă, având forma unui sector de cerc de rază R. şi semiunghi la vârf α. Pentru calculul relaţiei de calcul se alege o suprafaţă dA de forma unui sector de cerc de semiunghi la vârf dӨ, ce poate fi aproximată cu un triunghi isoscel de arie: dA =

1 ⋅ dl ⋅ R 2

în care, conform rezutatelor anterioare dl = R ⋅ dθ . Centrul de greutate al ariei elementare dA se găseşte la (2/3)R , care proiectat pe axa Ox devine: x=

2 ⋅ R ⋅ cos θ 3

Deoarece axa Ox este axă de simetrie se calculează doar coordonata

ξ = xC =

∫ x ⋅ dA ∫ dA

y 2/3 R

dl

dθ O

θ

α x

x

α R Fig.4.25. Calcularea centrului de greutate pentru o placă omogenă sub forma unui sector de cerc. Înlocuind mărimile ce au fost calculate mai înainte se obţine:

CAPITOLUL 1. Elemente introductive

α

ξ = xC =

2 1 2 ∫−α 3 ⋅ R ⋅ cos θ ⋅ 2 ⋅ R ⋅ dθ α

1 2 ∫−α 2 ⋅ R ⋅ dθ

71

α

=

2 ⋅ R ⋅ ∫ cos θ ⋅ dθ 3 −α α

=

∫ dθ

2 sin θ R⋅ 3 θ

α

= −α

2 sin α R⋅ 3 α

4.57.

−α

în care semiunghiul α este obligatoriu exprimat în radiani. 9. Calculul centrului de greutate pentru un con omogen de înălţime H. Aşa cum se vede din figura 4.17. axa Oz este axă de simetrie. De aceea se calculează doar poziţia centrului de masă pe această axă, respectiv:

ζ = zC =

∫ z ⋅ dV ∫ dV

Conform fig.4.17. pentru integrare se consideră elementul de volum trunchiul de con situat la distanţa z faţă de vârful conului, de înălţime dz, de raze r şi r+dr, care se poate aproxima cu un cilindru de rază r al cărui volum elementar este: dV = π ⋅ r 2 ⋅ dz z R G r r H

dz z

O

y

x Fig. 4.26. Calculul centrului de greutate pentru un con.

Pentru a reduce integrala de volum la o integrală mai simplă, din asemănarea triunghiurilor dreptunghice se poate scrie că: r z R R2 = ⇒ r = ⋅ z ⇒ dV = π ⋅ 2 ⋅ z 2 ⋅ dz R H H H

Atunci:

CAPITOLUL 1. Elemente introductive

H

∫z⋅

π ⋅ R2 2

72

H

⋅ z 2 ⋅ dz

H = ζ = 0H π ⋅ R2 2 ∫0 H 2 ⋅ z ⋅ dz

∫z

3

⋅ dz

0 H

∫z

2

⋅ dz

z4 3 = ⋅ 4 z3

H

= 0

3 H 4

4.58.

0

Aplicaţii. 1. Se consideră sistemul de puncte materiale dispuse ca în figura alăturată. Se cunosc: m1 = m; m2 =2m; m3 = 3m; m4=4m;m5=5m şi OD = OF = FA = a; BE = EF. Se cer coordonatele ξ şi η ale centrului maselor sistemului. Rezolvare: Se alege sistemul de axe în conformitate cu figura alăturată. Având cazul unui sistem particular de puncte materiale coplanare, se vor utiliza relaţiile 4.38. din care se vor utiliza doar primele două conform cu direcţiile alese pentru a defini planul, respectiv: Pct.f i) 1 2 3 4 5 ∑

m; m 2m 3m 4m 5m 15 m

xi 0 2a 21 1,51 0 -

yi 0 i 0 0,51 a -

mtxi 0 4 ma 6 ma 6 ma 0 16 ma

m i yi 0 2 ma 0 2 ma 5 ma 9 ma

∑m ⋅ x ∑m ∑m ⋅ y =η = ∑m

xC = ξ =

i

i

i

yC

i

i

i

Proiectând centrele maselor pe sistemul de referinţă ales şi aplicând metoda tabelară, , coordonatele obţinute sunt date în tabelul anexat. Utilizând cele trei sume de pe coloane şi înlocuindu-le în relaţiile coordonatelor se obţine: 16ma = 1, 07 a; 15m 9ma yC = η = = 0, 6a 15m

xC = ξ =

2. Se consideră bara omogenă din fig.3.2, unde se cunoaşte dimensiunea a. Se cer coordonatele ξ şi η ale centrului de greutate al barei. Rezolvare: Fiind o bară de formă complexă, aceasta se împarte conform figurii în trei părţi simple: arcul de cerc cu centrul în A, arcul de cerc cu centrul în B şi segmentul de dreaptă vertical. Particularizând relaţiei 4.55., coordonatele centrului de greutate al barei de formă complexă plană sunt date de expresiile:

CAPITOLUL 1. Elemente introductive

73

3  Li ⋅ xi ∑  i =1  xC = ξ = 3  Li ∑  i =1  3  Li ⋅ yi ∑  i =1  yC = η = 3  Li ∑  i =1

Nr.cor p

Forma

li

xi

1

3/4cerc

3 πa 2

2a − 3π

Bară dreaptă

3

1/2cerc

-a2

9 2 π a + a2 2

1,5 a

3 a2

4,5 a2

3a

−4 a / π

6π a 2

-8a2

∑

-

-

2a 2 ( 3π + 1)

2a 2 ( 3π + 1) /2

a

2π a

li yi

li xi

2a 3a + 3π

3a

2

yi

a ( 7π + 6 ) / 2

Pentru a stabili poziţiile centrelor de greutate ale corpurilor 1 şi 3 se folosesc relaţiile 4.56. după care se realizează proiectarea pe axele sistemului de referinţă. Valorile obţinute sunt redate în tabelul de mai sus. Înlocuind sumele obţinute prin însumarea celor trei coloane în expresiile coordonatelor centrului de greutate se obţine: xC = ξ =

4a ( 3π + 1) 7π + 6

≅ 1, 49a, yC = η =

a ( 9π − 5 ) 7π + 6

≅ 0,83a

3. Să se determine poziţia centrului de greutete al plăcii plane omogene având forma şi dimensiunile de mai jos : Este vorba de un corp compus de formă particulară, tip placă de grosime constantă, ce poate fi înpărţit în patru corpuri simple, conform definiţiei. Pentru un control cât mai bun al rezultatelor, precum şi pentru o sinteză mai bună a rezultatelor se utilizează metoda tabelară,

CAPITOLUL 1. Elemente introductive

74

completând direct sau după efectuarea calculului, rubricile sale. Corpul 1, de centru C1, este o jumătate de disc, având axa Oy axă de simetrie, raza de 6a şi semiunghi la vârf

π

. Deci centrul de greutatese află pe această axă, a cărui valoare se 2 determină cu relaţia 4.55. ⇒

π

sin 2 sin α 2 2 =−8a OC1 = y1 = - r = - 6a π 3 α 3 π 2

Aria sa este: 1 π (6a) 2 = 18π a 2 2 Corpul al doilea este un triunghi dreptunghic isoscel. Centrul de greutate se găseşte la intersecţia medianelor, respectiv, la două treimi de vârf. Pentru acest caz particular al triunghiului isoscel, mediana fiind şi bisectoare şi înălţime ⇒

A1 =

2 (6a ) 2 + (6a )2 OC2 = 3 2 care proiectată pe cele două axe faţă de care este dispus la 450, duce la rezultatele date în tabel, ţinând seamă şi de semnul corespunzător, relativ la sistemul de referinţă dat A2 =

1 (6a ) 2 = 18a 2 2

Cel de al treilea corp este un pătrat de latură 6a, iar coordonatele lui C3 , punctual de intersecţie a diagonalelor şi aria sa sunt redate în tabel. Corpul al patrulea este un gol sub forma unui sfert de disc practicat în pătrat cu centrul în punctual A, de rază 6a. Utilizând relaţia 4.55. se calculează,

π

sin 2 4 = 8a 2 AC = 6a 4 3 π π 4 iar x4 = y4 = 6a-AC4 cos

Nr. Corp.

xi

1

0

2

-2a

yi −

8

π 2a

a

π 4

= 6a-

2 8a 2 8 = 6a − a 2 π π

Ai

xiAi

yiAi

18 π a2

0

-144a3

18a2

-36a3

36a3

CAPITOLUL 1. Elemente introductive

3 4

∑

3a 8 6a − a

π

3a 8 6a − a

36a2

108a3

108a3

-9πa2

72a3-54πa3

72a3-54πa3

-------

9(π+6)a2

18(8-3π)a3

9(8-6π)a3

π

------

75

Utilizând sumele din ultima linie a tabelului şi relaţia 4.39., se obţin coordonatele centrului de greutate a corpului dat, respectiv:

18 ( 8 − 3π ) a3 2a ( 8 − 3π ) xc = = = 6 +π ∑ Ai 9 (6 + π ) a2 ∑ xi Ai

yc =

∑y A ∑A i

i

i

=

9 ( 8 − 6π ) a 3 9(6 + π ) a

2

=

(8 − 6π ) a 6 +π

4.2. STATICA RIGIDULUI. Acest capitol urmează ca pe baza mărimilor definite anterior să stabilească condiţiile ce trebuiesc îndeplinite pentru ca rigidul să rămână în echilibru. La fel ca în cazul punctului material se studiază echilibrul rigidului în cele două situaţii: rigidul liber şi rigidul supus la legături. La rândul lor ca şi în cazul legăturilor punctului material, legăturile pot fi: -fără frecare, lucii sau netede; -cu frecare, aspre sau rugoase.

4.2.1. Echilibrul rigidul liber Dacă un corp este liber, conform relaţiei 4.11., condiţia ca el să fie în echilibru este ca torsorul de reducere al forţelor exterioare să fie nul, respectiv:

  M Ox = 0  Rx = 0   R=0  τO =  ⇒  Ry = 0 şi  M Oy = 0 M O = 0  R = 0 M = 0  z  Oz 

4.61.

În conformitate cu aceste rezultate, rezultă că în cazul cel mai general, din condiţia de echilibru a unui corp putem scrie 6 ecuaţii. Aceste ecuaţii prezintă particularităţi în funcţie de sistemele particulare de forţe. Astfel, în cazul unui sistem de forţe plane, condiţiile de echilibru se reduc la trei ecuaţii, care sunt de forma:

 Rx = 0   Ry = 0 M = 0  Oz

4.62.

Datorită faptului că studiem rigidul, la cele 6 ecuaţii de echilibru, se pot adauga încă 3 ecuaţii ce reprezintă distanţele dintre cele 3 puncte care rămân constante. Cum cele 3 puncte se aleg, rezultă că dinstanţele AB, BC şi AC că sunt cunoscute, fiind redate mai jos. Ca atare

CAPITOLUL 1. Elemente introductive

76

rezultă că cele şase ecuaţii de echilibru sunt suficiente pentru determinarea celor 6 necunoscute în cazul problemelor spaţiale

z A(x1,y1,z1) B(x2,y2,z2) C(x3,y3,z3) O y

x Fig.4.29. Echilibrul rigidului.  AB = ( x − x ) 2 + ( y − y ) 2 + ( z − z ) 2 2 1 2 1 2 1  2 2 2  BC = ( x3 − x2 ) + ( y3 − y2 ) + ( z3 − z2 )  CA = ( x − x ) 2 + ( y − y ) 2 + ( z − z ) 2 3 1 3 1 3 1  4.2.2. Echilibrul rigidului supus la legături Pentru studiul echilibrului rigidului supus la legături este necesar să introducem, noţiunea de torsor de reducere al forţelor din legături, notat cu:

 R′  M O′

τ O′ = 

Pentru calculul componentelor acestui torsor fiecare legătură mecanică se înlocuieşte cu un echivalent mecanic, constând în forţe şi/sau momente. Rezultanta forţelor din legătură se notează cu R ′ iar momentul rezultant din legături cu M ′ . Condiţia de echilibru este ca cele două componente ale celor doi torsori să îşi anuleze reciproc efectul, deci τ O = τ O′ . Dacă cele două componente ale torsorului forţelor exterioare sunt conform notaţiilor R , respectiv M O , atunci condiţia de ecilibru al corpului supus la legături se exprimă vectorial cu condiţia: R = R ′ , M O = M O′ .

4.63.

Această condiţie se poate particulariza prin proiectarea acestor ecuaţii vectoriale pe axele unui sistem de axe de coordonate, convenabil ales. Componentele celor doi torsori de

CAPITOLUL 1. Elemente introductive

77

reducere trebuie să fie egale în modul, dispuse pe aceiaşi direcţie şi având sensul contrar. În multe situaţii practice se poate să se considere global atât solicitările exterioare cât şi cele din legături, condiţia de echilibru revenind la a impune condiţia ca cele două componente ale noului torsor să fie nule. 4.2.3. Legăturile fără frecare ale rigidului În cadrul acestui paragraf se pune accentul pe legăturile de fixare ale rigidului Pentru definirea şi clasificarea legăturilor fără frecare se porneşte de la faptul că în cazul cel mai general un corp poate executa în spaţiu maxim şase mişcări, constând în trei deplasări după cele trei axe ale sistemului de referinţă şi respectiv trei rotaţii după aceleaşi direcţii. Aceste şase mişcări posibile în mecanică , dar şi în tehnică în sens larg poartă numele de grade de libertate, sau mobilitate. Pentru evaluarea mişcărilor restricţionate de o legătură, se porneşte de la faptul că o forţă generează o deplasare după direcţia sa iar un cuplu o rotaţie în jurul unei axe coliniare cu momentul său. Ca atare pentru a se opune acestor mişcări legăturile vor acţiona cu o forţă pe direcţia pe care trebuie anulată deplasarea, respectiv cu un cuplu după o axă faţă de care trrebuie să anuleze rotaţia respectivă a corpului. Funcţie de resrticţiile de mişcare impuse legăturile fără frecare ale rigidului sunt: -reazemul simplu; -articulaţia; -încastrarea; -legarea cu fir. În conformitate cu axioma legăturilor orice legătură se poate înlocui cu un echivalent mecanic al său, format din forţe şi/sau momente. De aceea, principala problemă în studiul legăturilor este stabilirea echivalentul lor mecanic. 4.2.3.1. Reazemul simplu Este cea mai simplă legătură mecanică. Prin definiţie reazemul simplu este legătura mecanică care împiedică deplasarea unui punct al corpului pe osuprafaţă sau curbă dată. Echivalentul mecanic al unui reazem este o singură forţă dispusă pe direcţia pe care anulează deplasarea punctului. Această componentă se poate nota funcţie de sistemul de coordonate utilizat şi poziţia particulară în raport cu curba sau suprafaţa pe care acţionează, fie cu X, Y, Z, în sistemul cartezian fie cu V sau H , dacă acţionează în planul vertical respectiv orizontal, sau cu N dacă este dispusă după normala la o suprafaţă sau curbă dată. Aceste notaţii de regulă sunt însoţite de un indice inferior dreapta, care precizeză punctul în care acţionează legătura. Pentru redarea grafică a reazemului simplu se utilizează reprezentările grafice de mai jos.

CAPITOLUL 1. Elemente introductive

A

B

YA

VB

78

C

NC

Fig. 4.30. Simbolizarea şi notarea reazemului simplu Conform figurii 4.30. în punctul A este cazul unui reazem intermediar pentru o bară orizontală ce se opune deplasării pe direcţia Oy, notată cu YA. Muchia ascuţită a contactului dintre reazem şi bară permite deplasarea după direcţia Ox. Reazemul simplu din B este un reazem de capăt, care se opune deplasării barei orizontale după direcţia verticalei, datorită forţei VB. Cei doi cilindrii dintre suprafaţa reazemului şi suprafaţa pe care el se sprijină sugerează libertatea de deplasare pe orizontală a punctului legat B. Reazemul simplu din C este un reazem intermediar ce acţionează după direcţia normalei la o suprafaţă curbă oarecare, ce sa notat cu NC. Pentru cazurile de reazeme simple particulare redate în continuare se aplică următoarea regulă. Dacă reazemul se realizează prin contactul dintre o muchie ascuţită a corpului şi o suprafaţă sau curbă întodeuna reazemul v-a fi dispus după direcţia normalei la suprafaţă în punctul de contact. Cele mai reprezentative cazuri sunt redate mai jos. În cazul reazemului simplu, legătura are loc într-un singur sens. Pentru scrierea ecuaţiilor de echilibru a corpului supus legăturii se are în vedere că pe figură se notează forţa cu care legătura acţionează asupra corpului. Deoarece reazemul simplu anulează o deplasare rezultă că acelui corp îi mai rămân cinci grade de libertate. Deci reazemul simplu introduce o singură necunoscută. NA B A B

A

NA

NB O NA

A

NB

A NA B

B

NB

NB Fig. 4.31. Cazuri particulare de reazeme simple.

CAPITOLUL 1. Elemente introductive

79

Aplicaţie. Bara AB omogenă, de greutate G şi lungime 2l este rezemată în punctul A de un perete vertical, iar în C de muchia unui alt perete, situat la distanţa a de primul. Contactul are loc fără frecare. Să se determine unghiul θ de înclinaţie a barei faţă de orizontală în poziţia de repaus, precum şi reacţiunile din rezemele A şi C.

θ

Cum se observă, în A este un reazem simplu, realizat la cotactul ditre o muchie şi un plan, deci avem o singură componentă pe direcţia normală la plan, NA. În C este tot un reazem simplu realizat între muchia de rezemare şi suprafaţa grinzii, NC. Din condiţiile de echilibru în plan, scrise pentru grindă se obţine: ∑ Fxi = 0 ⇒ N A − N C sin θ = 0 ⇒ N A = N C sin θ  ∑ Fyi = 0 ⇒ N C cos θ − G = 0 ⇒ G = N C cos θ  ⇒  a a  3  N C cos θ = N C ⋅ ⇒ cos θ = 3 ≤ 1  a l l  ∑ M A = 0 ⇒ G ⋅ l ⋅ cos θ − N C ⋅ cos θ = 0  

3

a ≤1⇒ a ≤ l l

reprezintă condiţia ca problema să aibă sens, respectiv centrul de greutete să fie în dreapta reazemului C deoarece în caz contrar grinda cade. Cu valoarea determinată pentru funcţia cosinus se determină cele doua componente din legături. 2

l l l  a 3 NA = G 3 ; respectiv, N A = N C sin θ = G 3 1 − cos 2 θ = G 3 1−   a a a l

CAPITOLUL 1. Elemente introductive

80

4.2.3.2. Articulaţia Prin definiţie, numim articulaţie legătura ideală a unui corp care menţine fix un punct al acestuia. Aşadar în spaţiu articulaţia anulează toate cele trei deplasări şi lasă libere toate cele trei rotaţii în jurul punctului, purtând numele de articulaţie sferică. Denumirea este dată de soluţia practică de realizare a sa, constând dintr-o sferă a corpului legat înfăşurată într-o altă suprafaţă sferică fixă. Grafic, articulaţia se reprezintă conform a) Articulaţie de cap. b)Articulaţie intermediară fig. 4.32.. Anulând cele trei Fig. 4.32. Reprezentarea articulaţiei. deplasări articulaţia anulează trei grade de libertate lăsând libere trei mobilităţi, respectiv cele trei rotaţii în jurul celor trei axe ale sistemului de referinţă din z centrul teoretic al legăturii. Drept consecinţă, (fig. 4.33.) în spaţiu o articulaţie are echivalent 3 Rz componente, ce anulează cele trei translaţii, intoducând deci trei necunoscute, Rx, Ry, Rz. În plan o articulaţie are două componente, prin O Ry y care se opune tendinţei de deplasare a punctului după cele două direcţii ale Rx planului. Deci dincele trei mişcări x permise unui corp în plan (două Fig. 4.33. Echivalentul articulaţiei sferice în deplasări după direcţiile planului şi o spaţiu. rotaţi după o direcţie perpendiculară pe plan) articulaţia permite o rotatie şi anulează cele două deplasări. Deci în plan articulaţia introduce două necunoscute, forţele după direcţiile planului. Acestea se notează uzual cu XO şi YO , precizând direcţiile sistemului de referinţă şi punctul de reducere, sau cu HO şi VO, precizând planele în care se află şi punctul O.

y YO O

XO

x

Articulaţia în plan mai poartă denumirea de articulaţie cilindrică, denumirea fiind dată de soluţia practică de materializare a sa, constînd dintr-un cilindru fix în care se poate roti în interior un ax Fig. 4.34. Echivalentul (exemplu: balamaua, lagărele de rotaţie etc.). În cazul articulaţiei cilindrice în care solicitarea exterioară asupra corpului are loc pe o singură direcţie, articulaţia devine un reazem simplu.

CAPITOLUL 1. Elemente introductive

81

4.2.3.3. Încastrarea z Rz MOz MOy Ry y

O MOx

Prin definiţie, numim încastrare legătura mecanică ce anulează orice mişcare relativă între cele două corpuri aflate în legătură. Ca exemplu putem lua un cui bătut parţial într-un stâlp, un stâlp fixat în pământ etc.. Conform fig 4.35. în spaţiu o încastrare are ca echivalent mecanic 6 componente: cele trei forţe, notate cu Rx, Ry, Rz ce se opun deplasării relative pe cele trei direcţii şi cele trei momente notate cu MOx, MOy, MOz, care se

x Fig. 4.35. Echivaletul mecanic al unei opun rotirii relative în jurul celor 3 axe. În concluzie în problemele spaţiale încastrarea introduce şase necunoscute. În cazul încastrării în probleme plane (toate forţele exterioare se găsesc în acelaşi plan), conform fig. 4.36. pentru a anula cele trei mişcări din plan descrise anterior se introduc două forţe ce se opun tendinţei de deplasare după direcţiile ce definesc planul şi un moment MO, dispus perpendicular pe plan care se opune rotirii corpului în plan. Ca şi în cazul articulţiei cele două component se notează uzual cu XO şi YO sau HO VO.

Mo O

XO

x

YO y Fig. 4.36.Echivalentul mechanic al unei încastrări în plan şi

4.2.3.4. Legarea cu fir Prin definiţie, prin legarea cu fir, un punct al corpului legat se menţine tot timpul cât forţa de legătură acţionează în sensul întinderii firului la o distanţă constantă, egală cu lungimea firului, faţă de celălalt capăt reprezentând punctul de fixare. Se consideră firul ipotetic, perfect flexibil (nu opune rezistenţă la indoirea sa), inextensibil (nu se lungeşte prin întindere) şi au greutate neglijabilă. Supuse la întindere, firele iau formă rectilinie rămâmând întinse. Din cauza flexibilităţii lor firele nu pot fi comprimate. Pe baza precizărilor de mai sus, conform fig. 4.37. legarea cu fir este echivalată cu o O forţă în lungul firului care se notează cu T. Poziţia punctului M este funcţie de rezultanta forţelor ce acţionează asupra barei, în partea T inferioară a cercului. Dacă în locul firului se utilizează o vergea metalică, atunci legătura cu fir poate fi echivalată în plan cu reazemul pe un cilindru M

CAPITOLUL 1. Elemente introductive

82

iar în spaţiu cu reazemul pe o sferă. Aeastă legătură introduce o singură necunoscută. Aplicaţia I. O bilă este fixată de un plan lucios cu ajutorul unui fir ce formează cu planul un unghi α . Să se determine tensiunea în fir şi reacţiunea planului dacă bila are greutatea G, precum şi valorile extreme ale lui T şi N. Deoarece toate forţele se găsesc în planul xOy, vor fi utilizate relaţiile 2.2.a., respectiv:

∑F

ix

y

∑F

iy

T

N

Ty

x

Tx T

=0

Notând cu α , unghiul pe care tensiunea din fir îl face cu axa Oy, din condiţia de echilibru corespunzătoare acestei axe obţinem:

G

Ty − G = 0, ⇒ Ty = G

Fig.4.38. aplicaţie G T= cos α

=0

Cum, Ty = T cos α = G, ⇒

Din condiţia de echilibru după axa Ox se obţine: Tx − N = 0 Utilizând rezultatele anterioare rezultă: Tx = T sin α = Gtgα ⇒ N = Tx = Gtgα După cum rezultă din desen, dar cum se confirmă de rezultatele matematice, valorile lui T şi N sunt maxime când α → 90, respectiv valorile lui T şi N sunt minime când α → 0.

Aplicaţia II: Pentru grinda plană din figură se cere să se calculeze la echilibru torsorul forţelor de legătură din punctul A. În alegerea sensului componentelor din legăturii nu sunt reguli impuse. Se caută pe cât posibil ca acest sens să anuleze pe cât posibil tendinţele de mişcare date de sistemul de forţe exterioare ce acţionează asupra corpului. Dacă sensul ales de noi nu corespunde celui real, acest inconvenient este înlăturat prin calculele matematice din care v-a rezulta o valoare negativă. În calculele ulterioare se v-a păstra grafic sensul iniţial ales, iar în calculele matematice ulterioare modulul vectorului va fi înlocuit cu semnul minus. Utilizând echivalentul mecanic al încastrării plane, redat în fig. 4.36., la încastrarea barei din problemă din fig. 4.39. avem echivalenţa:

CAPITOLUL 1. Elemente introductive

83

 XO = X A   YO = YA M = M A  O Considerând forţele de legătură ca forţe exterioare, relaţiile se scriu ca în cazul rigidului liber:

MA

F α c/3

XA YA

Q

a/4 c b

P

a Fig. 4.39. Aplicaţie.  Rx = ∑ Fix = 0   Ry = ∑ Fiy = 0  ∑ M Oi = 0 în care Fix şi Fiy reprezintă proiecţiile pe axele sistemului de referinţă a forţelor exterioare şi de legătură, iat prin ∑ M Oi momentul rezultant al acestor forţe în raport axa Oz, ce intersectează plaxul xOy în punctul O de reducere,. obţinând:   ∑ Fi x = X A + F ⋅ cos α + Q = 0   ∑ Fiy = YA − F ⋅ sin α − P = 0  c a ∑ M Oi = P (a + b) + Q ⋅ + F ⋅ sin α ⋅ − M A = 0 3 4  Prin prelucrarea relaţiilor se obţine:   X A = −Q − F ⋅ cos α  YA = F ⋅ sin α + P   c a  M A = P (a + b) + Q ⋅ + F ⋅ ⋅ sin α 3 4 

Aplicaţia III. Pentru ridicarea unei greutăţi P se foloseşte sistemul din figură, în care bara rigidă este articulată în partea de jos şi legată cu un fir orizontal. În capătul de sus al

CAPITOLUL 1. Elemente introductive

84

grinzii se găseşte un scipete ideal peste care este trecut firul de care este legată greutatea P, de care trage electromotorul ce ridică sarcina. Se cer tensiunile T1 şi T2. Pentru rezolvare, se scriu condiţiile de echilibru plan, relaţiile 2.2.a.,

∑F ∑F

iy

=0

ix

=0

Având în vedere că scripetele este ideal, tensiunea în firul ce leagă greutatea P de electromotor este aceiaşi. Proiectând după orizontală şi verticală vectorii concurenţi din axa de rotaţie a scripetelui, se obţine:

T2

T1 cos α − T2 − P sin β = 0 T1 cos α − P − P cos β = 0

β

P α

Rezolvând acest sistem de ecuaţii, se obţine: T1 P

Fig. 4.40. Aplicaţie

P (1 + cos β ) cos α T2 = P (1 + cos β )tgα − P (sin β ) T1 =

Aplicaţia IV. Bara orizontală omogenă, de greutate G şi lungime AB=2l este încastrată în A. Greutatea P acţionează, prin intermediul unui fir fără frecare peste scripetele din C, asupra capătului B al barei. Să se determine reacţiunile din încastrarea A a barei. Fiind vorba de un sistem de corpuri se izolează bara orizontală înlocuind legăturile cu echivalentul lor mecanic. Problema fiind plană încastrarea din A se înlocuieşte cu cele două reacţiuni după direcţiile axelor sistemului de referinţă ales XA,, YA, şi un moment perpendicular pe planul forţelor MA. Firul fiind ideal tensiunea în lungul său T este constantă în modul egală cu sarcina legată P. Descompunând această tensiune după direcţiile sistemului de referinţă, se obţine Tx=Tcosα, respectiv Ty = Tsinα.: Din condiţiile de echilibru ale grinzii orizontale obţinem, YA

ΣFxi=0⇒ XA –T cosα=0 ⇒ XA=Tcosα MA XA

ΣFyi=0⇒ YA - G + T sinα=0 ⇒ Fig. 4.41. Aplicaţie

YA=G - Tsinα

ΣMA=0 ⇒ MA - G l +2l T sinα=0 ⇒ M A = G ⋅ l + 2T ⋅ l sin α

CAPITOLUL 1. Elemente introductive

85

PARTEA a III a CAPITOLUL 6. CINEMATICA PUNCTULUI Cinematica studiază mişcarea mecanică, fără a se ţine seama de masele, forţele şi momentele ce intervin, adică se urmăreşte doar aspectul pur geometric al poziţiei în spaţiu. Denumirea acestei părţi a mecanicii vine de la cuvântul grecesc cinema care înseamnă mişcare. Pentru acest studiu sunt necesare definirea unor noţiuni noi. Dintre noţiunile fundamentale ale mecanicii, în cinematică se vor aprofunda printre altele noţiunile de spaţiu şi timp. În mecanica clasică modelului folosit pentru spaţiu i se atribuie însuşirile de a fi absolut, euclidian si tridimensional, iar modelului folosit pentru timp caracterul unui parametru scalar, absolut (independent de spaţiu si de orice altă mărime) şi continuu crescator. Noţiunea de mişcare este relativă. Mişcarea unui corp se raportează în general la un reper (sistem de referinţă), convenţional presupus “fix”. Când, faţă de acest reper (sistem de referinţă), corpul pe care-l studiem (numit şi mobil) îşi modifică poziţia spunem că se află în mişcare faţă de reper. Dacă nu-şi modifică poziţia spunem că acel corp se află în repaus faţă de reperul ales. Un reper solidar cu reperul fix se numeşte fix sau absolut, mişcarea purtând numele de mişcare absolută. Reperul care nu este solidar cu reperul fix este considerat mobil. Aceiaşi mişcarea raportată însă la un reper mobil se numeşte mişcare relativă. În cele ce urmează, dacă nu se fac precizări suplimentare, se înţelege că se va studia mişcarea în raport cu un reper fix. 6.1. NOŢIUNI FUNDAMENTALE După cum s-a văzut din prezentarea generală, pentru a studia cinematica punctului material este necesară definirea unor mărimi specifice legate de cele două aspecte de bază din cinematică evaluarea poziţiei în spaţiu a punctului studiat, a modului de schimbare a acestei poziţii în timp, precum şi a departajării în timp a mişcărilor punctelor studiate. Prin mobil se înţelege punctul sau corpul care efectuează deplasarea indiferent de forma dimensiunile sale. În continuare se vor definii principalele noţiuni specifice cinematicii, cunoscute şi sub denumirea generală de parametrii cinematici. 6.1.1. Timpul Timpul este mărimea ce ne ajută să departajăm mişcările în evoluţie, în succesiunea sau în simultaneitatea lor, precum şi pentru evaluarea matematică a duratei de mişcare. Este o mărime scalară, mereu crescătoare, cu reper convenţional arbitrar ales, uzual notată cu t. 6.1.2. Traiectoria Traiectoria se defineşte ca locul geometric al punctelor succesiv atinse sau posibil a fi atinse de un punct în timpul deplasării. Traiectoria reprezintă în fapt o restricţie punctului poate fi cel mai uşor definită cu ajutorul vectorului de poziţie r(t ) conform definiţiei date în

CAPITOLUL 1. Elemente introductive

86

capitolul I. Exprimarea matematică a vectorului de poziţie depinde de sistemul de referinţă utilizat. Forma cea mai generală se exprimă cu ajutorul a trei coordonate generalizate geometrică prin care punctul material poate ocupa numai anumite poziţii în spaţiu. Poziţia q1= q1(t), q2= q2(t), q3 = q3(t), care pot fi unghiuri sau distaţe funcţie y de coordonatele utilizate. s Vectorul de poziţie se scrie, ca o funcţie : r(t ) = r (q1 , q2 , q3 )

x

Deoarece forma traiectoriei este foarte importantă, forma sa intră în modul de definire a mişcării. Dacă traiectoria este o dreaptă, mişcarea este denumită rectilinie. Dacă traiectoria este un cerc, mişcarea poartă numele de mişcare circulară. Dacă traiectoria este o elice, sau spiră mişcarea poară numele de mişcare elicoidală sau spirală. Funcţie de suprafaţa pe care este înfăşurată spira, putem avea cazurile particulare de elice cilindrică, conică, sferică etc.

Fig. 6.1 Traiectoria şi spaţiul parcurs.

6.1.3. Spaţiul parcurs Spaţiul parcurs de un mobil într-un interval de timp, se defineşte ca fiind lungimea arcului de curbă din traiectorie, cuprinsă între două puncte A şi B conform fig. 3. Punctul A, corespunde momentului t1, numit de început al studiului mişcării. Dacă acest moment se suprapune cu momentul iniţierii mişcării, atunci el se notează cu t0 şi reprezintă momentul iniţial iar punctul A, reprezintă punctul de pornire. Punctul B, reprezintă cel de al doilea moment al studiului cinematic. Dacă mişcare se sfârşeşte în acest moment t2 reprezintă momentul final al mişcării. Dacă mişcarea continuă şi după atingerea punctului B atunci t2 reprezintă un moment oarecate din timpul mişcării, notîndu-se cu t. Conform figurii arcul AB, reprezintă spaţiul parcus de mobil în intervalul t2 – t1, respectiv până la momentul t, dacă t0 =0. Este necesar să se facă distincţie între traiectorie si spaţiul parcurs, deoarece nu întotdeauna spaţiul parcurs (mai simplu spaţiul) şi traiectoria sunt mărimi echivalente. Dacă se consideră mişcarea circulară din figura 6.1., traiectoria este un cerc, iar spatiul parcurs poate fi fie lungimea arcului s, cuprins între cele două puncte A şi B, sau un număr de lungimi de cerc la care se adaugă arcul s. Dacă mişcarea este rectilinie atunci spaţiul parcurs reprezintă o distanţă, notată cu d sau x, coordonata axei în lungul căreia are loc deplasarea. Dacă primele mărimi sunt direct măsurabile, cosiderate ca mărimi primare, cu ajutorul lor se pot defini alte mărimi numite mărimi derivate, ce vor fi definite în continuare.

6.1.4. Viteza Viteza, este mărimea care ne ajută să diferenţiem doua mişcări în care se parcurge acelaşi spaţiu, dar în intervale de timp diferite. Matematic, viteza se exprimă ca raportul dintre spaţiul parcurs şi timpul de parcurgere. Când distanţa şi timpul sunt relativ mari, viteza poartă numele de viteză medie, notată cu v m dată de relaţia:

vm =

s2 − s1 ∆s = t2 − t1 ∆t

6.1.

CAPITOLUL 1. Elemente introductive

87

În care ∆s este egal cu lungimea arcului din traiectorie parcurs de mobil între cele două momente 1 şi 2. Aceasta reprezintă exprimarea spaţiului cu ajutorul coordonatei curbilinii s. Dacă intervalul de timp ∆t este foarte mic, tinzând către 0, atunci viteza poartă numele de viteză instantanee, sau momentană. Dacă raportăm mişcarea la un sistem de axe de coordonate, iar traiectoria unui punct o definim cu ajutorul vectorului de poziţie r , se poate accepta că ∆s ≈ ∆r . Cum vectorul de poziţie este un vector, rezultă că viteza instantanee este o mărime vectorială, ce se calculează cu relaţia:

∆r ∆t →0 ∆t

v = lim

6.2.

Realizând un artificiu de calcul matematic simplu, prin înmulţirea relaţiei de definiţie a vitezei cu rapoarte egale cu unitatea ce nu schimbă deci valoarea expresiei şi grupând convenabil apoi cum este redat în continuare, se obţine:

v = lim

z

∆t → 0

6.3.

deoarece:

∆s ∆r

∆s =v ∆t reprezintă modulul vitezei, iar

τ

r(t)

∆r ∆r ∆s ⋅ ⋅ ⇒ v = vτ ∆r ∆s ∆t

r(t + ∆t) y x Fig. 6.2. Determinarea vitezei instantanee

∆s ; ∆r ⇒ În

plus,

∆r →1 ∆s

conform

demonstraţiei

matematice, precum şi celei geometrice din fig. 6.2.

∆r =τ ∆r deoarece ∆r ⇒ 0, caz în care arcul de curbă subântins poate fi aproximat cu un arc de cerc, în care se ştie că tangenta în punctul median şi coarda ce subântinde arcul sunt paralele. Din cele două argumente rezultă o proprietate deosebit de importantă, vectorul viteză este totdeauna dispus după tangenta la traiectorie. Pentru simplificarea modului de scriere în mecanică se foloseşte exprimarea simplificată a operatorului de derivare în raport cu timpul a unei mărimi vectoriale prin plasarea unui punct deasupra mărimii respective. Plasarea a două puncte semnifică derivata de ordinul doi în raport cu timpul a vectorului respectiv, cum se va utiliza la exprimarea acceleraţiei. Aşadar:

CAPITOLUL 1. Elemente introductive

v=

dr & =r dt

88

6.4.

Fiind o mărime vectorială vom vorbi despre variaţia vitezei fie ca direcţie, sens sau modul, sau toate la un loc.

6.1.6. Acceleraţia Mărimea care exprimă variaţia vitezei raportată la timp poartă numele de acceleraţie. Ca şi în cazul vitezei, dacă intervalul de timp la care raportăm mişcarea este relativ mare, atunci acceleraţia poartă numele de acceleraţie medie am dată de relaţia matematică:

am =

∆v v2 − v1 = ∆t t2 − t1

6.5.

Când ∆t → 0 , aceleraţia poartă numele de acceleraţie instantanee şi se calculează cu relaţia: a = lim

∆v dv & & = = v = r& ∆t dt

6.6.

În tehnică mai există şi noţiunea de acceleraţie de ordinul al doilea, sau secundară ce redă modul de variaţie al acceleraţiei anterioare, numită în acest caz primară, da & & a&= = r& dt

6.7.

Mai poate fi denumită acceleraţia de confort, deoarece valorile ei influenţează starea fizică a omului supus unor astfel de mişcări.

CAPITOLUL 1. Elemente introductive

89

6.2. SISTEME DE REFERINŢĂ În practică, determinarea poziţiei în spaţiu a unui punct se poate realiza funcţie de instrumentele şi aparatura disponibilă cu ajutorul a trei coordonate constând în distanţe sau unghiuri. Totodată, calculele matematice impun diferite mărimi mai uşor măsurabile, sau care sunt capabile să ajute la explicarea unor fenomenre sau efecte. În continuare sunt prezentate cele mai utilizate sisteme de coordonate. 6.2.1. Sistemul de coordonate carteziene Este cel mai utilizat sistem de coordonate. Conform fig. 6.4., sistemul este definit de trei axe de referinţă doua câte două perpendiculare, de versori i , j , k ce îndeplinesc următoarele condiţii: i × j = k   j ×k = i  k × i = j  i ⋅ j = i ⋅ k = j ⋅ k = 0 i 2 = j 2 = k 2 = 1  6.10. Considerând un astfel de sistem de referinţă cartezian, conform fig.6.4. şi un punct oarecare M de pe traiectoria sa, proiecţiile sale conform capitolului I sunt x, y, z, iar vectorul de poziţie r(t ) = r ( x, y, z ) , este dat de relaţia: z

r = x⋅i + y⋅ j + z⋅k . Utilizând relaţia de definiţie, 6.4. viteza în acest caz este:

M r

k O

i

v = r&= x&⋅ i + y&⋅ j + z&⋅ k = vx ⋅ i + v y ⋅ j + vz ⋅ k ⇒

j

vx = x&  v y = y&  vz = z&

y M’

x Fig 6.4. Sistemul de referinţă cartezian

6.11.

reprezintă proiecţiile vectorului viteză în sistemul cartezian de coordonate. Utilizând aceste notaţii ale vitezei, modulul său devine:

v = x&2 + y&2 + z&2 = vx 2 + v y 2 + vz 2

6.11.a

Direcţia vitezelor într-un sistem cartezian se stabileşte cu ajutorul cosinuşilor directori ai unghiurilor α, β şi γ, pe care vectorul viteză le face cu axele Ox, Oy şi Oz.

CAPITOLUL 1. Elemente introductive

90

 vx x& = cos α = v x&2 + y&2 + z&2   vy y&  = ; cos β = v x&2 + y&2 + z&2   v z& cos γ = z = 2 v  x& + y&2 + z&2 6.12. Acceleraţia devine: a = v&= & x&⋅ i + & y&⋅ j + & z&⋅ k = ax ⋅ i + a y ⋅ j + az ⋅ k , de modul a = & x&2 + & y&2 + & z&2 = a x 2 + a y 2 + az 2 6.13. iar cei trei cosinuşi directori ai direcţiei sale conform relaţiilor de mai jos:

cos α ' =

& x& = a

& x& & x&2 + & y&2 + & z&2

; cos β ' =

& z& cos γ ' = = a

& y& = a

& y& & x&2 + & y&2 + & z&2

& z&

6.14.

& x&2 + & y&2 + & z&2

Cu expresiile obţinute se pot calcula, viteza şi acceleraţia areolară obţinând expresiile:

i j k 1 1 Ω = ⋅ r × v = x y z = ( yz&− zy&) ⋅ i + ( zx&− xy&) ⋅ j + ( xy&− yx&) ⋅ k  , 2 2 x& y& z& 6.15. i

Γ=

j

k

1 1 &) ⋅ i + ( zx& &− xy& &) ⋅ j + ( xy& &− yx& &) ⋅ k  &− zy& ⋅ r × a = x y z = ( yz& 2 2 & x& & y& & z&

Aplicaţii. 1. Legea de mişcare a unui punct este : 1 1  r = αt 2i +  β t 2 + γ  j , 2 2 

CAPITOLUL 1. Elemente introductive

91

unde α < 0, iar β, γ sunt constante. Ştiind că mişcarea începe la momentul t = 0, să se determine traiectoria, viteza, acceleraţia şi hodograful vitezei. Deoarece vectorul de poziţie are numai proiecţiei după axele Ox şi Oy, mişcarea este plană, iar traiectoria este în planul xOy. Ecuaţiile parametrice ale traiectoriei sunt: 1 1 x = αt 2; y = β t2 + γ 2 2 Eliminând timpul între coordonate, se obţine ecuaţia: y=

β x+γ α

care este o semidreaptă. Prin derivarea vectorului de poziţie se obţine: v = r&= α ti + β tj ;

a =& r&= α i + β j

ce reprezintă expresiile vitezei şi acceleraţiei. Modulul lor devine:

v = (α t ) 2 + ( β t ) 2 = α 2 + β 2 t = Kt , iar a = α 2 + β 2 ce definesc o mişcare rectilinie uniform accelerată ce porneşte din origine. 2. Un punct material se deplasează după legea x = 15 t2 ; y = 4 - 20 t2. Se cer: ecuaţia traiectorie, viteza şi acceleraţia. Prin datele problemei se dau ecuaţiile parametrice ale traiectoriei. Prin eliminarea timpului între ecuaţiile parametrice ale traiectoriei, se obţine ecuaţia acesteia: 4 y = − x+4. 3 ce arată că traiectoria este o dreaptă. Poziţia în momentul iniţial se obţine pentru t = 0 şi rezultă coordonatele punctului: x=0 ; y=4 Viteza are componentele :

vx = x&= 30t ( > 0 ) ; vy = y& = - 40t (< 0) ⇒ v = 30ti − 40tj iar modulul este:

v = (30t )2 + (40t ) 2 = 50t

CAPITOLUL 1. Elemente introductive

92

Mişcarea fiind plană, suportul vitezei are direcţia dată de cosinusul unghiului pe care viteza îl face cu axa Ox:

cos α =

vx 3 = . v 5

Acceleraţia are componentele : ax = & x&= 30(> 0 ) ; a y = & y&= −40(< 0 ) ⇒ a = 30 i − 40 j de modulul:

a = (30)2 + (40) 2 = 50 =const. şi direcţie :

cos α ′ =

ax 3 = a 5

Rezultat firesc deoarece mişcarea fiind rectilinie viteza şi acceleraţia sunt coliniare. Acceleraţia are acelaşi sens cu viteza şi este constantă. Mişcarea este uniform accelerată.

6.2.2. Sistemul de coordonate polare Este un sistem utilizat numai dacă punctul material execută o mişcare plană. Numim mişcarea plană, cazul particular în care punctul rămâne tot timpul mişcării în acelaşi plan. Pentru studiu se alege din sistemul cartezian, planul xOy. Pentru aceasta se defineşte un pol al mişcării O şi axa polară, axa Ox. Poziţia unui punct în plan îl definim prin vρ vectorului de poziţie r ≡ ρ şi unghiul θ pe care acesta îl face cu axa Ox. Se introduc v versorii acestui sistem, pe care-i notăm cu v θ a u ρ şi uθ . Versorul u ρ este versorul θ a ρ

a

j

θ uθ

θ

uρ i

y

O Fig. 6.5. Sistemul de coordonate polare

vectorului de poziţie, iar uθ este versorul perpendicular pe primul rorit în sens trigonometric, sau antiorar. Pentru a calcula parametrii cinematici vom exprima pe u ρ

şi uθ , versori variabili în direcţie cu ajutorul proiecţiilor lor pe axele sistemului.

uρ = cos θ ⋅ i + sin θ ⋅ j uθ = − sin θ ⋅ i + cos θ ⋅ j

CAPITOLUL 1. Elemente introductive

93

Având în vdere că cei doi versori depind de timp prin intermediul variabilei θ , prin derivare se obţine: u&ρ = −θ&sin θ i + θ&cos θ j = θ&(− sin θ i + cos θ j ) = θ&u

θ

u& = −θ&cos θ i − θ&sin θ j = −θ&(cos θ i + sin θ j ) = −θ&u

θ

ρ 6.16.

Ecuaţia traiectoriei va fi dată de relaţia:

r = ru ρ 6.17. Prin derivarea vectorului de poziţie după regula de derivare a produsului şi utilizând relaţiile 6.16. obţinem: & ρ + ru&ρ = ru & ρ + rθ&u v = r&= ru

θ

6.18. Scriind expresia vitezei cu ajutorul proiecţiilor conform fig.6.5. şi punând condiţia de identitate a celor două expresii vectoriale ale vitezei se obţin expresiile proiecţiilor vitezei în sistem cartezian, date de relaţiile: & ρ + rθ&u ⇒ v = vρ u ρ + v u = ru θ θ θ vρ = r&  & vθ = rθ 6.19. Expresiile vitezei în coordonate polare, cum era de aşteptat arată că viteza are două componente. Una coliniară cu uρ şi dată de variaţia în modul a vectorului de poziţie ca în cazul mişcării rectilinii dacă unghiul θ rămâne constant şi una perpendiculară pe uρ, dată de variaţia unghiului θ, dacă vectorul de poziţie ar rămâne constant, ca în cazul mişcării de rotaţie, în care θ&= ω . Aceste mişcări particulare ale punctului sunt prezentate în paragrafele 6.2.5.1., respectiv 6.2.5.2.. Derivând expresiile vitezei se obţin expresiile acceleraţiei în coordonate polare: & &= & &ρ + ru && + r& a = v&= r& ru θ&u + r& θ u + rθ&u& = (& r&− rθ&2 )u ρ + (2r& θ&+ rθ& )u

ρ

θ

θ

θ

θ

Ca şi viteza, acceleraţia are tot două componente după direcţiile sistemului de referinţă, conform fig.6.5.. Exprimând matematic aceast rezultat şi identificând relaţiile se obţin proiecţiile acceleraţiei pe axele sistemului, şi modulul său:

CAPITOLUL 1. Elemente introductive

94

aρ = & r&− rθ&2 a = aρ u ρ + aθ uθ ⇒  & θ&+ rθ& aθ = 2r&

( &r&− rθ&) + ( 2r&θ&+ rθ&&) 2

2

2

6.20. Aplicaţie: Să se determine traiectoria, viteza şi acceleraţia absolută a unui punct ale cărui ecuaţii parametrice în coordonate polare sunt : r = a ⋅ eα t  θ = β t Pentru calculul expresiei traiectoriei, r=r(θ) se elimină timpul din cele două relaţii, obţinând: α

θ θ t = ⇒ r = ae β ce reprezintă ecuaţia traiectoriei. Aceasta reprezintă ecuaţia unei spirale β

logaritmice. Pentru calculul vitezei şi acceleraţiei derivând în raport cu timpul obţinem: r&=

dr &=0 . = aα ⋅ eα t şi & r&= aα 2 ⋅ eα t , iar θ&= β , şi θ& dt

6.20.a.

Utilizând relaţiile 6.19. pentru viteză obţinem: v = vρ u ρ + v u , în care vρ = r&= aα ⋅ eα t , respectiv v = r ⋅ θ&= r ⋅ β = β ⋅ aeα t . θ θ θ

Modulul vitezei este: v = α 2 a 2 e 2α t + β 2 a 2 e 2α t = aeα t α 2 + β 2 iar unghiul făcut de viteză cu vectorul de poziţie ρ se calculează cu relaţia:

tg (v , ρ ) = tgα * =

vθ β = vρ α

Conform relaţiilor 6.20. a = aρ + aθ , iar pentru aplicaţia dată utilizând şi rezultatele din relaţia 6.20.a. rezultă:

aρ = & r&− θ&2 r = α 2 aeα t − β 2 aeα t

&+ 2θ&r&= 2αβ aeα t ⇒ aθ = rθ&

a = eα t (α 2 − β 2 ) 2 a 2 e 2α t + 4α 2 β 2 a 2 e 2α t = aeα t (α 2 + β 2 ) iar unghiul făcut de acceleraţie cu vectorul de poziţie ρ se calculează cu relaţia:

CAPITOLUL 1. Elemente introductive

tg (a , ρ ) = tg β * =

95

aθ 2αβ = 2 aρ α − β 2

6.3. MIŞCĂRILE PARTICULARE ALE PUNCTULUI MATERIAL În practică sunt studiate cel mai des forme particulare ale mişcării punctului material. Particularităţile mişcărilor punctului material sunt date în general de forma particulară a acestor traiectorii şi modul lor de dispunere, în plan sau spaţiu. Astfel, mişcările punctului material pot fi mişcări rectilinii, dacă traiectoria este dreaptă dispusă după o anumită direcţie într-un plan sau în spaţiu şi mişcări curbilinii, în plan sau în spaţiu. Mişcările curbilinii la rîndul lor se particularizează funcţie de forma particulară a curbei. Aceste mişcări la rândul lor, se particularizează în continuare funcţie de modul de variaţie în timp a celorlalţi parametrii cinematici. Astfel indiferent de forma traiectoriei, mişcările pot fi uniforme, atunci când viteza este costantă în intervalul studiat, uniform accelerate, atunci când acceleraţia este constantă şi în sfârşit cu o anumită lege de variaţie a acceleraţiei, al cărui nume este dat de forma de variaţiei (liniară, sinusoidală, cosinusoidală, parabolică, polinomială, exponenţială, etc.). Prin combinaţia acestor particularităţi obţinem principalele mişcări particulare ce au fost studiate în cadrul capitolului de cinematică în cadrul disciplinei de fizică încă din clasele gimnaziale şi de liceu. Mişcări simple 6.3.1. Mişcarea rectilinie Prin definiţie, numim mişcare rectilinie a punctului este acea mişcarea în care traiectoria sa este o linie dreaptă. Considerând sistemul de referinţă cu axa Ox de-a lungul dreptei pe care are loc mişcarea punctului, ecuaţia de mişcare se scrie: x = x(t) Prin derivări succesive se obţin viteza şi acceleraţia, ce devin: v= v x =x;

a =a x =x

Funcţie de particularităţile acestor mărimi cinematice există două tipuri de mişcări rectilinii care prezintă interes practic: mişcarea uniformă şi respectiv, uniform variată). a) Mişcarea rectilinie uniformă Mişcarea rectilinie cu viteză constantă se numeşte mişcare rectilinie uniformă v = v0 = x = const. Integrată în raport cu timpul ecuaţia de mişcare, se obţine legea spaţiului: x = vot + C

CAPITOLUL 1. Elemente introductive

96

Constanta de integrare C se determină din condiţiile iniţiale. În caz general, pentru t= 0 => x=x0, ecuaţia de mişcare devine: x - x0= vot b) Mişcarea rectilinie uniform variată Este mişcarea rectilinie particulară în care acceleraţia este constantă se numeşte mişcare rectilinie uniform variată. a = a0 = & x&= Const. Integrând relaţia (3.71) în raport cu timpul, de două ori şi apelând la condiţiile iniţiale generale se obţin ecuaţiile: a0t 2 + C1t + C2 ; şi constantele de integrare C1 = v0 ; C2 = x0 ; 2 Rezultă legea (ecuaţia) de variaţie a vitezei şi ecuaţia mişcării rectilinii uniform

⇒ v = x&= a0t + C1 ; ⇒ x = variate:

a0t 2 ⇒ v = x&= a0t + v0 ; ⇒ x = + v0t + x0 ; 2 Mişcarea se numeşte uniform accelerată dacă viteza şi acceleraţia au acelaşi sens şi uniform încetinită (întârziată) în caz contrar.

6.3.2. Mişcarea circulară Mărimile utilizate pentru definirea caracteristicilor mişcării circulare sunt redate grafic în fig.6.7. Considerând coordonata curbilinie s, cum este redată în fig.6.1., ca fiind lungimea arcului AM de pe cercul de rază R subântins de unghiul la centru θ, atunci s = θ R . Conform relaţiilor 6.18. de la sistemul de coordonate poare:

v = s&= θ&R = ω R ce reprezintă viteza punctului material pe cerc, numită viteză periferică, ce este tot timpul tangentă la traiectorie, iar semnul plus arată că sensul vitezei corespunde cu sensul de creştere a arcului s. Conform ecuaţiilor 6.19. corespunzătoare studiului mişcării în coordonate polare, acceleraţia are două componente:

CAPITOLUL 1. Elemente introductive

v = ωR

y

ω ε an

θ

O

aτ ≡ an

aρ = & r&− rθ&2  & θ&+ rθ& aθ = 2r&

M A

97

x

R

Pornind de la poziţiile particulare ale vectorului de poziţie după direcţia normalei, iar a acceleraţiei aθ după direcţia tangentei, pentru mişcarea circulară aceste componente poartă denumiri specifice. Astfel:

Fig.6.7.Mişcarea circulară a = a = − rθ&2 = − Rω 2 ρ

n

poartă numele de acceleraţie normală sau centripetă. Deoarece în acest caz particular de mişcare vectorul de poziţie r este un vector constant în modul ce este egal cu raza cercului R. Semnul minus arată o proprietate importantă a acestei acceleraţii, că sensul său este mereu îndreptat spre centrul cercului, sau centrul de mişcare. Dacă viteza unghiulară, θ&= ω este constantă, acceleraţia normală va fi constantă în modul. Se remarcă faptul că această acceleraţie nu depinde de arcul parcurs, ea reprezentând componenta acceleraţiei care produce variaţia direcţiei vitezei indiferent de modulul său. Aceasta explică faptul că deşi viteza unghiulară ω , respectiv viteza periferică, sunt constante, această componentă există. Aceasta explică de ce în cazul unui corp legat cu o sfoară şi rotit cu viteză constantă este necesar să acţionăm continuu de firul de susţinere cu o forţă constantă în modul, orientată spre centrul de mişcare. Această forţă trebuie să învingă forţa cunoscută sub denumirea de forţă centrifugă, care tinde să deplaseze corpul după direcţia tangentei aşa cum se întâmplă dacă se rupe firul. A doua componentă a acceleraţiei, numită acceleraţie tangenţială notată la fizică cu:

&≡ 2 R&ω + Rε = ε R aτ = at = aθ = 2r& θ&+ rθ& Cum r = R raza cercului, este constantă atunci, r&=0, atunci valoarea acestei &= ε , deoarece r = R ≠ 0 . este rezultă că componente este dată de acceleraţia unghiulară θ& această componentă este dată de variaţia modului vitezei periferice, respectiv variaţia de ordinul doi al arcului parcurs s. Evident, funcţie de particularităţile de variaţie ale lui s se definesc principalele particularităţi. Exprimările componentelor vitezei şi acceleraţiei cu calificativele de normală şi tangenţială se utilizează în studiul cinematicii mecanismelor cu ajutorul metodelor grafo-analitice. Analizând aceste rezultate, se observă că, dacă modulul vitezei periferice v = s&= θ&R = ω R = const. , atunci viteza unghiulară ω = const. ⇒ ω&= ε = 0 mişcarea purtând numele de mişcare circulară uniformă, acceleraţia având doar componenta normală. Dacă însă scalarul acceleraţiei tangenţiale aτ = ε R = const. , atunci, viteza unghiulară ω are variaţie uniformă, iar mişcarea poartă

CAPITOLUL 1. Elemente introductive

98

numele de mişcare circulară uniform variată. În continuare, sunt redate tabelar analogia dintre cele două mişcări simple. Se observă similitudinile de terminologie dar mai ales a expresiilor matematice ce exprimă parametrii cinematici definitori. Tipul mişcării Ecuaţiile mişcării uniforme Ecuaţiile mişcării uniform variate

rectilinie x=v0t+x0 v=v0=const. a=0 a t2 x = 0 + v0t + x0 ; 2 v = x&= a0t + v0 ; a=a0=const.

circulară element unghiular θ = ω0t + θ 0 ω = ω0 = const. ε =0 ε t2 θ = 0 + ω0t + θ 0 ; 2 ω = ε 0t + ω0

element de arc s=v0t+s0 v=v0=const. aτ = 0 a t2 s = 0τ + v0t + s0 ; 2 v = a0τ t + v0

ε = ε 0 = const.

aτ = a0τ = const.

CAPITOLUL 1. Elemente introductive

ELEMENTE DE TEORIA MECANISMELOR

99