Elemente de Algebra Liniara [PDF]

Zitiervorschau

Nicolae Cotfas

Liviu-Adrian Cotfas

ELEMENTE DE ˘ LINIARA ˘ ALGEBRA

N. Cotfas: Tel: 074 278 4634 E-mail: [email protected] http://fpcm5.fizica.unibuc.ro/~ncotfas/

˘ ¸ II DIN BUCURES EDITURA UNIVERSITAT ¸ TI

Introducere Pe parcursul acestei c˘ art¸i ne propunem s˘ a oferim o init¸iere ˆın algebra liniar˘ a celor interesat¸i de utilizarea modelelor matematice ˆın fizic˘ a, inginerie ¸si economie. Prezentarea unor not¸iuni ¸si rezultate referitoare la matrice, determinant¸i, spat¸ii vectoriale, operatori liniari ¸si produse tensoriale este urmat˘a de aplicat¸ii ˆın studiul formelor p˘ atratice, conicelor, ecuat¸iilor diferent¸iale liniare, reprezent˘arilor liniare ale grupurilor, reprezent˘ arilor liniare ale algebrelor Lie ¸si ˆın descrierea sistemelor cuantice. Introducerea unei not¸iuni sau prezentarea unui rezultat matematic este preg˘ atit˘a ˆ prin exemple adecvate. In cazul unor demonstrat¸ii mai dificile ne-am limitat la analiza unui caz particular sau la prezentarea de exemple care s˘ a scoat˘ a ˆın evident¸˘a ˆ ideea de baz˘ a a demonstrat¸iei. Imp˘art¸irea materialului expus ˆın itemi a permis inserarea unui num˘ ar mare de trimiteri atˆat la definit¸ii ¸si teoreme cat ¸si la diverse comentarii, exemple ¸si exercit¸ii. Itemii marcat¸i cu * pot fi ocolit¸i la o prim˘a lectur˘ a. Cartea se adreseaz˘a ˆın primul rˆ and student¸ilor de la facult˘a¸tile de fizic˘ a. Se urm˘are¸ste familiarizarea cititorului cu convent¸ia de sumare a lui Einstein, notat¸ia lui Dirac, operatorii Pauli, transformarea Fourier finit˘ a ¸si cu produsul tensorial de spat¸ii ¸si operatori. Pentru a fi ˆın concordant¸˘a cu terminologia din mecanica cuantic˘a, ˆın loc de spat¸iu cu produs scalar finit-dimensional se utilizeaz˘ a termenul de spat¸iu Hilbert. ˆIn ultimul capitol al c˘ art¸ii ar˘ at˘ am cum sunt utilizate ˆın mecanica cuantic˘a unele dintre not¸iunile ¸si rezultatele prezentate ˆın capitolele 1-3. Consider˘am c˘a studiul sistemelor cuantice cu spat¸iu Hilbert finit-dimensional, bazat ca model matematic pe algebra liniar˘ a, este adecvat pentru un prim contact al student¸ilor cu universul fascinant al fizicii cuantice. Cartea se bazeaz˘ a pe cursurile predate de primul autor la Facultatea de Fizic˘a, Universitatea din Bucure¸sti. Not¸iunile ¸si rezultatele teoretice au fost amplu ilustrate de al doilea autor prin inserarea unor exercit¸ii ¸si a unor aplicat¸ii bazate pe programul MATHEMATICA.

Bucure¸sti, 2015

Nicolae Cotfas Liviu-Adrian Cotfas

Cuprins 1 Matrice ¸si determinant¸i 1.1 Matrice . . . . . . . . . . . . 1.2 Determinant¸i . . . . . . . . . 1.3 Matrice diagonalizabile . . . . 1.4 Matrice hermitiene . . . . . . 1.5 Matrice unitare ¸si ortogonale 1.6 Produs tensorial de matrice .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

2 Spat¸ii vectoriale finit-dimensionale 2.1 Spat¸ii vectoriale . . . . . . . . . . . . 2.2 Transform˘ari liniare . . . . . . . . . 2.3 Dualul unui spat¸iu vectorial . . . . . 2.4 Sume de spat¸ii vectoriale . . . . . . . 2.5 Produs tensorial de spat¸ii vectoriale 2.6 Tensori pe un spat¸iu vectorial . . . . 3 Spat¸ii Hilbert finit-dimensionale 3.1 Spat¸ii cu produs scalar . . . . . . . . 3.2 Baze ortonormate . . . . . . . . . . . 3.3 Dualul unui spat¸iu cu produs scalar 3.4 Frame-uri exacte . . . . . . . . . . . 3.5 Spat¸ii Hilbert . . . . . . . . . . . . . 3.6 Mult¸imi convexe . . . . . . . . . . . 3.7 Adjunctul unui operator liniar . . . . 3.8 Operatori autoadjunct¸i (hermitieni) 7

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . .

11 11 16 27 31 32 34

. . . . . .

39 39 59 79 83 88 96

. . . . . . . .

103 103 109 115 120 124 128 130 134

8

CUPRINS

3.9 3.10 3.11 3.12 3.13 3.14 3.15 3.16 3.17

Elemente de calcul funct¸ional . . . . . . . . Operatori pozitivi . . . . . . . . . . . . . . Proiectori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Transform˘ari unitare ¸si ortogonale . . . . . Transformarea Fourier finit˘ a. . . . . . . . . Transformarea Fourier finit˘ a bidimensional˘ a Transformarea Fourier unitar˘a . . . . . . . Elemente ale structurii unui spat¸iu Hilbert . Produs tensorial de spat¸ii Hilbert . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

141 144 146 151 159 169 173 178 186

4 Forme p˘ atratice 193 4.1 Definit¸ie ¸si exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 4.2 Reducerea la forma canonic˘ a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 5 Conice ¸si cuadrice 203 5.1 Conice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 5.2 Reducerea la forma canonic˘ a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 5.3 Cuadrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 6 Ecuat¸ii ¸si sisteme de ecuat¸ii diferent¸iale liniare 215 6.1 Ecuat¸ii diferent¸iale de ordinul ˆıntˆai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 6.2 Ecuat¸ii diferent¸iale liniare de ordin superior . . . . . . . . . . . . . . 221 6.3 Sisteme diferent¸iale liniare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 7 Reprezent˘ ari liniare 7.1 Grupuri . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Reprezent˘ ari liniare . . . . . . . . . . . 7.3 Reprezent˘ ari ireductibile . . . . . . . . 7.4 Reprezent˘ ari unitare ¸si ortogonale . . 7.5 Grupul rotat¸iilor. Reprezent˘ari liniare

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

241 241 242 245 247 249

8 Algebre Lie 257 8.1 Algebre Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 8.2 Reprezent˘ ari liniare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264 8.3 Reprezent˘ ari ireductibile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266

9

CUPRINS

8.4

Reprezent˘ arile algebrelor sl(2, C), su(2) ¸si o(3) . . . . . . . . . . . . 268

9 Sisteme cuantice cu spat¸iu Hilbert finit-dimensional 9.1 St˘ ari pure ¸si st˘ ari mixte . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2 Sisteme cuantice cu spat¸iu Hilbert bidimensional . . . 9.3 M˘asur˘atori ideale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4 M˘asur˘atori generalizate . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.5 Sisteme compuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.6 Evolutia ˆın timp a st˘ arii unui sistem cuantic . . . . . . 9.7 Versiuni finit-dimensionale ale oscilatorului armonic .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

279 279 285 294 302 306 324 335

Capitolul 1

Matrice ¸si determinant¸i 1.1

Matrice

1.1.1 Definit¸ie. Fie K unul dintre corpurile R, C. Prin matrice cu n linii ¸si m coloane, cu elemente din K, se ˆınt¸elege o aplicat¸ie de forma A : {1, 2, ..., n} × {1, 2, ..., m} −→ K : (i, j) 7→ aij , descris˘a uzual cu ajutorul  a11 a12  a21 a22  A= . ..  .. .

tabloului ··· ··· .. .

a1m a2m .. .

an1 an2 · · ·

anm



  , 

care cont¸ine valorile functiei. Vom nota cu Mn×m (K) mult¸imea tuturor matricelor cu n linii ¸si m coloane, cu elemente din K. 1.1.2 O reprezentare alternativ˘ a foarte avantajoas˘a este 

   A=  

a11

a12

a21 .. .

a22 .. .

···

a1m

··· .. .

a2m .. .

an1 an2 · · ·

anm



   .  

12

Elemente de Algebr˘a liniar˘ a

1.1.3 O notat¸ie standard pentru elementele matricei A este Aij , respectiv Aij , adic˘ a     A11 A12 · · · A1m A11 A12 · · · A1m    A21 A22 · · · A2m   A2 A2 · · · A2  m  2   1  A= . . .. ..  , respectiv A =  . .. .. ..  ..  ..  .. . . .  . . .    An1 An2 · · · Anm An1 An2 · · · Anm 1.1.4 Suma A+B a dou˘ a matrice A, B ∈ Mn×m (K) se define¸ste prin relat¸ia       a11 · · · a1m b11 · · · b1m a11 +b11 · · · a1m +b1m  ..  ..  +  .. ..  =  .. .. .. .. ..  . , . . . .   . .   . . an1 · · · anm bn1 · · · bnm an1 +bn1 · · · anm +bnm iar produsul dintre un num˘ ar λ ∈ K ¸si o matrice A ∈ Mn×m (K) prin     a11 · · · a1m λa11 · · · λa1m  ..  =  .. ..  . .. .. λ  ... . . .   . .  an1 · · · anm λan1 · · · λanm

1.1.5 Propozit¸ie. Dac˘ a A, B, C ∈ Mn×m (K) ¸si α, β ∈ K, atunci (A+B)+C = A+(B +C), A + B = B + A, α(A + B) = αA + αB,

(α+β)A = αA+βA,

1A = A,

α(βA) = (αβ)A.

Demonstrat¸ie. Relat¸iile rezult˘ a din (aij +bij )+cij = aij +(bij +bij ),

aij + bij = bij + aij ,

α(aij + bij ) = αaij + αbij ,

(α+β)aij = α aij +β aij ,

1 aij = aij ,

α(βaij ) = (αβ)aij .

1.1.6 Produsul AB al matricelor A ∈ Mn×m (K) ¸si B ∈ Mm×p (K) se define¸ste prin Pm   Pm    j=1 a1j bjp j=1 a1j bj1 · · · b11 · · · b1p a11 · · · a1m       .. ..  =  . .. . .. .. .. .. ..  ·  ... .    . . . . . .   Pm Pm bm1 · · · bmp an1 · · · anm j=1 anj bj1 · · · j=1 anj bjp ˆInmult¸irea matricelor este definit˘a numai ˆın cazul ˆın care num˘ arul de coloane ale primului factor este egal cu num˘ arul de linii ale celui de al doilea.

13

Matrice ¸si determinant¸i

1.1.7 Propozit¸ie. Dac˘ a A ∈ Mn×m (K), B ∈ Mm×p (K) ¸si C ∈ Mp×q (K), atunci A(BC) = (AB)C. Demonstrat¸ie. Avem m X

aij

j=1

p X

bjk ckl

k=1

!

=

p X k=1

 

m X j=1



aij bjk  ckl .

1.1.8 Propozit¸ie. Dac˘ a A ∈ Mn×m (K) ¸si B, C ∈ Mm×p (K), atunci A(B + C) = AB + AC. Demonstrat¸ie. Avem m X

aij (bjk + cjk ) =

m X

aij bjk +

aij cjk .

j=1

j=1

j=1

m X

1.1.9 Propozit¸ie. Dac˘ a A ∈ Mn×m (K), B ∈ Mm×p (K) ¸si λ ∈ K, atunci λ(AB) = (λA)B = A(λB). Demonstrat¸ie. Avem λ

m X j=1

aij bjk =

m m X X aij (λbjk ). (λaij )bjk = j=1

j=1

1.1.10 ˆIn cazul unei matrice p˘ atrate A, elementele aii formeaz˘a diagonala principal˘a. Dac˘a singurele elemente nenule sunt cele de pe diagonala principal˘a, A este numit˘ a matrice diagonal˘ a. O notat¸ie convenabil˘ a este   α1 0 · · · 0  0 α2 · · · 0    diag(α1 , α2 , ..., αn ) =  . .. . . . .  .. . ..  . 0

0

1.1.11 Pentru orice n, matricea unitate de ordinul  1 0  I ≡ In = diag(1, 1, ..., 1) =  .  ..

···

αn

n 0 ··· 1 ··· .. . . . . 0 0 ···

 0 0  ..  . 1

14

Elemente de Algebr˘a liniar˘ a

este element neutru fat¸˘ a de ˆınmult¸irea matricelor oricare ar fi A ∈ Mn×n (K).

AI = IA = A ,

1.1.12 Definit¸ie. O matrice p˘ atrat˘ a A ∈ Mn×n (K) este inversabil˘ a dac˘ a exist˘a o matrice B ∈ Mn×n (K) astfel ˆıncˆ at AB = BA = I. Matricea B este numit˘ a inversa lui A ¸si se noteaz˘ a cu A−1 . 1.1.13 Inversa unei matrice A ∈ Mn×n (K), dac˘ a exist˘a, este unic˘ a,  AB = BA = I =⇒ B = BI = B(AC) = (BA)C = IC = C. AC = CA = I 1.1.14 Pentru o matrice inversabil˘a A ∈ Mn×n (K), se definesc puterile ˆıntregi prin A0 = I,

Ak = A . . . A} , | A{z k ori

−1 −1 −1 A−k = A | A {z. . . A } . k ori

1.1.15 Pentru A, B ∈ Mn×n (K) exist˘a AB ¸si BA, dar, ˆın general, AB 6= BA. De exemplu,





0 1 1 0 1 1 0 0





1 1 0 0 0 1 1 0





= =





0 0 1 1 1 1 0 0





, .

1.1.16 Definit¸ie. Comutatorul a dou˘ a matrice p˘ atrate A, B ∈ Mn×n (K) este [A, B] = AB − BA iar anti-comutatorul este {A, B} = AB + BA. 1.1.17 Matricele Pauli (mai multe notat¸ii alterantive sunt prezentate)     0 1 1 0 , , σ1 ≡ σx ≡ X = σ0 ≡ I = 1 0 0 1     0 −i 1 0 σ2 ≡ σy ≡ Y = , σ3 ≡ σz ≡ Z = i 0 0 −1

15

Matrice ¸si determinant¸i

verific˘ a relat¸iile [σ1 , σ2 ] = 2iσ3 ,

[σ2 , σ3 ] = 2iσ1 ,

σ12 = σ22 = σ32 = I,

[σ3 , σ1 ] = 2iσ2

{σ1 , σ2 } = {σ2 , σ3 } = {σ3 , σ1 } = 0.

1.1.18 Definit¸ie. Urma unei matrice p˘ atrate este suma elementelor de pe diagonala principal˘a   a11 a12 · · · a1n  a21 a22 · · · a2n    tr  . .. ..  = a11 + a22 + · · · + ann . ..  .. . . .  an1 an2 · · ·

ann

1.1.19 Aplicat¸ia Mn×n (K) −→ K : A 7→ tr A este liniar˘ a, tr (A+B) = tr A + tr B,

tr (αA) = α tr A,

¸si ciclic˘ a, tr (AB) = tr (BA),

tr (ABC) = tr (BCA) = tr (CAB).

ˆIn particular, dac˘ a S este o matrice inversabil˘a, atunci tr (S −1 AS) = tr A. 1.1.20 Definit¸ie. Fiecarei matrice  a11 a12 · · · a1m  a21 a22 · · · a2m  A= . .. .. ..  .. . . . an1 an2 · · · anm

i se poate asocia transpusa,   a11 a21 · · ·  a12 a22 · · ·     7→ tA =  .. .. ..  .  . . a1m a2m · · ·

an1 an2 .. . anm

1.1.21 Aplicat¸ia Mn×m (K) −→ Mm×n (K) : A 7→ tA este liniar˘ a, t

(A + B) = tA + tB,



  . 

t

(αA) = α tA,

¸si t

(AB) = tB tA,

tt

( A) = A.

1.1.22 Definit¸ie. A ∈ Mn×n (K) este numit˘ a matrice simetric˘ a dac˘ a A = tA, adic˘ a aij = aji ,

oricare ar fi i, j ∈ {1, 2, ..., n}.

A ∈ Mn×n (K) este numit˘ a matrice antisimetric˘ a dac˘ a A = −tA.

16

Elemente de Algebr˘a liniar˘ a

1.1.23 Orice A ∈ Mn×n (K) este suma dintre o matrice simetric˘a ¸si una antisimetric˘a 1 1 A = (A + tA) + (A − tA). 2 2 1.1.24 ˆIn mod uzual, o matrice este definit˘a ca fiind o aplicat¸ie A : {1, 2, ..., n}×{1, 2, ..., m} −→ K, dar ˆın anumite situat¸ii, o definit¸ie alternativ˘a poate fi mai avantajoas˘a. Putem, de exemplu, defini o matrice ca fiind o aplicat¸ie de forma A : {0, 1, 2, ..., n} × {0, 1, 2, ..., m} −→ K sau A : {−n, −n+1, ..., n−1, n} × {−m, −m+1, ..., m−1, m} −→ K sau A : ({0, 1, ..., n} × {0, 1, ..., m}) × ({0, 1, ..., n} × {0, 1, ..., m}) −→ K.

1.2

Determinant¸i

1.2.1 Definit¸ie. Prin permutare de ordinul n se ˆınt¸elege o funct¸ie bijectiv˘ a s : {1, 2, ..., n} −→ {1, 2, ..., n}. descris˘a ˆın mod uzual cu ajutorul unui tabel   1 2 ··· n s= . s(1) s(2) · · · s(n)

Not˘am cu Sn mult¸imea tuturor permut˘ arilor de ordinul n.

1.2.2 Prin signatura permut˘ arii s : {1, 2, ..., n} −→ {1, 2, ..., n} se ˆınt¸elege num˘ arul Y s(i) − s(j) . ε(s) = i−j 1≤i 0, λ2 > 0, ... , λn > 0, atunci 

  M = S −1  

ln λ1 0 ··· 0 ln λ2 · · · .. .. .. . . . 0 0 ···

are proprietatea eM = A ¸si definim  ln λ1 0 ···  0 ln λ2 · · ·  ln A = S −1  . .. ..  .. . . 0 0 ···

0 0 .. . ln λn

0 0 .. . ln λn



  S  

   S. 

1.3.11 ˆIn general, dac˘ a f : J −→ R este o funct¸ie ¸si matricea (1.7) satisface condit¸ia λ1 , λ2 , ..., λn ∈ J, atunci putem defini matricea   f (λ1 ) 0 ··· 0  0 f (λ2 ) · · · 0   −1  f (A) = S   S. .. .. .. ..   . . . . 0

0

···

f (λn )

31

Matrice ¸si determinant¸i

1.4

Matrice hermitiene

1.4.1 Definit¸ie. Adjuncta (conjugata transpusei) matricei   a11 a12 · · · a1m  a21 a22 · · · a2m    A= . ..  ∈ Mn×m (C) .. ..  .. . .  . este matricea

an1 an2 · · · 

  A∗ = tA¯ =  

anm

··· ··· .. .

a ¯n1 a ¯n2 .. .

a ¯1m a ¯2m · · ·

a ¯nm

a ¯11 a ¯12 .. .

a ¯21 a ¯22 .. .



  . 

1.4.2 Adjuncta unei matrice cu elemente reale este transpusa A∗ = tA,

oricare ar fi A ∈ Mn×m (R).

1.4.3 Aplicat¸ia Mn×m (K) −→ Mm×n (K) : A 7→ A∗ este conjugat liniar˘ a (A + B)∗ = A∗ + B ∗ ,

(αA)∗ = α ¯ A∗ ,

¸si (AB)∗ = B ∗ A∗ ,

(A∗ )∗ = A.

1.4.4 Definit¸ie. O matrice hermitian˘ a (autoadjunct˘ a) este o matrice p˘ atrat˘ a   a11 · · · a1n  .. ..  ∈ M .. A= . n×n (C) . .  an1 · · · ann care coincide cu adjuncta ei (A∗ = A), adic˘ a satisface relat¸ia aij = a ¯ji ,

∀i, j ∈ {1, 2, ..., n}.

Matricea A este numit˘ a antihermitian˘ a dac˘ a A∗ = −A. 1.4.5 Orice matrice A este suma dintre o matrice hermitian˘a ¸si una antihermitian˘a, 1 1 A = (A + A∗ ) + (A − A∗ ). 2 2

32

Elemente de Algebr˘a liniar˘ a

1.4.6 Matricele Pauli (pag. 14-17) sunt hermitiene ¸si pentru orice matrice hermitian˘a A ∈ M2×2 (C) exist˘a a0 , a1 , a2 , a3 ∈ R, unic determinate, astfel ˆıncˆ at 1 A = (a0 I + a1 σ1 + a2 σ2 + a3 σ3 ) . 2 Aceast˘a relat¸ie se poate scrie sub forma 1 A = (a0 I + a · σ) 2 utilizˆ and notat¸iile a = (a1 , a2 , a3 )

¸si

σ = (σ1 , σ2 , σ3 ).

ˆIn particular, avem tr A = a0 . 1.4.7 Orice matrice hermitian˘a este diagonalizabil˘a (a se vedea pag. 137-12).

1.5

Matrice unitare ¸si ortogonale

1.5.1 Propozit¸ie. Dac˘ a A ∈ Mn×n (C), atunci relat¸iile A A∗ = I,

A∗ A = I,

A−1 = A∗

sunt echivalente. Demonstrat¸ie. Dac˘a A A∗ = I, atunci A este inversabil˘a, A A∗ = I

=⇒

detA detA∗ = detI = 1

=⇒

detA 6= 0

¸si ˆınmult¸ind relat¸ia A A∗ = I la stˆ anga cu A−1 obt¸inem A−1 = A∗ . Similar, dac˘ a ∗ A A = I, atunci A este inversabil˘a, A∗ A = I

=⇒

detA∗ detA = detI = 1

=⇒

detA 6= 0

¸si ˆınmult¸ind relat¸ia A A∗ = I la dreapta cu A−1 obt¸inem A−1 = A∗ . Evident, relat¸ia A−1 = A∗ implic˘ a celelalte dou˘ a relat¸ii. 1.5.2 Definit¸ie. O matrice A ∈ Mn×n (C) este numit˘ a matrice unitar˘ a dac˘ a A∗ A = I

(condit¸ie echivalent˘a cu A−1 = A∗ ¸si cu A A∗ = I).

33

Matrice ¸si determinant¸i 1.5.3 Dac˘a A este matrice unitar˘a, atunci |detA| = 1. ˆIntr-adev˘ar, A∗ A = I

=⇒

detA detA∗ = 1

|detA|2 = 1.

=⇒

1.5.4 Mult¸imea U (n) = { A ∈ Mn×n (C) |

A∗ A = I },

ˆınzestrat˘a cu ˆınmult¸irea, este grup (numit grupul unitar de ordinul n). Submult¸imea SU (n) = { A ∈ U (n) | det A = 1 } este subgrup al lui U (n) (numit grupul special unitar de ordinul n). 1.5.5 Orice matrice unitar˘a este diagonalizabil˘a (a se vedea pag. 154-9). 1.5.6 Propozit¸ie. Dac˘ a A ∈ Mn×n (R), atunci relat¸iile A tA = I,

t

A−1 = tA

A A = I,

sunt echivalente. 1.5.7 Definit¸ie. O matrice A ∈ Mn×n (R) este numit˘ a matrice ortogonal˘ a dac˘ a t

A A=I

(condit¸ie echivalent˘a cu A−1 = tA ¸si cu A tA = I). 1.5.8 Dac˘a A este matrice ortogonal˘ a, atunci detA ∈ {−1, 1}. 1.5.9 Mult¸imea O(n) = { A ∈ Mn×n (R) |

t

A A = I },

ˆınzestrat˘a cu ˆınmult¸irea, este grup (numit grupul ortogonal de ordinul n). Submult¸imea SO(n) = { A ∈ O(n) | det A = 1 } este subgrup al lui O(n) (numit grupul special ortogonal de ordinul n).

34

1.6

Elemente de Algebr˘a liniar˘ a

Produs tensorial de matrice

1.6.1 Definit¸ie (caz particular). Suma direct˘ a a matricelor  1 1 1  ! a1 a2 a3 b11 b12  2 2 2  A =  a1 a2 a3  , B= b21 b22 3 3 3 a1 a2 a3 este matricea bloc-diagonal˘ a  1 a1  2  a1  3 A⊕B =  a1   0 0

a12 a13

0

a22 a23 a32 a33

0 0

0 0

b11 b21

0 0

0



      b12  b22 0 0

Definit¸ia se poate u¸sor extinde la matrice arbitrare.

1.6.2 Definit¸ie (caz particular). Produsul tensorial al matricelor  1 1 1  ! a1 a2 a3 b11 b12  2 2 2  B= A =  a1 a2 a3  , b21 b22 3 3 3 a1 a2 a3 este bloc-matricea



adic˘ a

a11 B a12 B a13 B



  A ⊗ B =  a21 B a22 B a23 B  , a31 B a32 B a33 B 

a11 b11 a11 b12  a1 b2 a1 b2  1 1 1 2  2 1 2 1  a1 b1 a1 b2 A⊗B =  a2 b2 a2 b2  1 1 1 2  3 1 3 1  a1 b1 a1 b2

 a12 b11 a12 b12 a13 b11 a13 b12 a12 b21 a12 b22 a13 b21 a13 b22    a22 b11 a22 b12 a23 b11 a23 b12  . a22 b21 a22 b22 a23 b21 a23 b22    a32 b11 a32 b12 a33 b11 a33 b12 

(1.8)

a31 b21 a31 b22 a32 b21 a32 b22 a33 b21 a33 b22

Definit¸ia se poate u¸sor extinde la matrice arbitrare. Produsul tensorial mai este numit produs direct sau produs Kronecker.

35

Matrice ¸si determinant¸i

1.6.3 Exemple. Avem

1 0

I ⊗ σ1 =

0 1

0 1 1 0

σ1 ⊗ I =

!

!

⊗

⊗

0 1 1 0

1 0 0 1

!

!



0 1 0 0



   1 0 0 0  ,  =  0 0 0 1   0 0 1 0 

0 0 1 0



   0 0 0 1   =  1 0 0 0 .   0 1 0 0

1.6.4 Se arat˘ a u¸sor ca produsul tensorial are urm˘atoarele propriet˘a¸ti (αA) ⊗ B = A ⊗ (αB) = α(A ⊗ B); (A + B) ⊗ C = A ⊗ C + B ⊗ C; A ⊗ (B + C) = A ⊗ B + A ⊗ C; A ⊗ (B ⊗ C) = (A ⊗ B) ⊗ C;

t(A

⊗ B) = tA ⊗ tB.

1.6.5 Exercit¸iu. Ar˘atat¸i c˘ a tr (A ⊗ B) = (tr A)(tr B). 1.6.6 Teorem˘ a . Dac˘ a A, C ∈ Mn×n (K) ¸si B, D ∈ Mm×m (K), atunci (A ⊗ B)(C ⊗ D) = AC ⊗ BD. Demonstrat¸ie. A se vedea pag. 94-20 1.6.7 Dac˘a A ∈ Mn×n (K) ¸si B ∈ Mm×m (K), atunci A ⊗ B = (A ⊗ Im )(In ⊗ B)

det(A ⊗ B) = (det A)m (det B)n .

Dac˘a matricele A, B sunt inversabile, atunci A ⊗ B este inversabil˘a ¸si (A ⊗ B)−1 = A−1 ⊗ B −1 .

1.6.8 Teorem˘ a. Dac˘ a matricele A, B sunt hermitiene, atunci A ⊗ B este hermitian˘ a. Dac˘ a matricele A, B sunt unitare, atunci A ⊗ B este unitar˘ a.

36

Elemente de Algebr˘a liniar˘ a

Demonstrat¸ie. Avem (A ⊗ B)∗ = A∗ ⊗ B ∗

¸si

(A ⊗ B)(A ⊗ B)∗ = (AA∗ ) ⊗ (BB ∗ ).

1.6.9 Exercit¸iu. Fie A ∈ Mn×n (K), B ∈ Mm×m (K) ¸si C = A ⊗ Im +In ⊗ B. Ar˘atat¸i c˘ a eC = eA ⊗ eB .

[A ⊗ Im , In ⊗ B] = 0,

1.6.10 Teorem˘ a. Dac˘ a a este valoare proprie a matricei A ∈ Mn×n (C) ¸si b este valoare proprie a matricei B ∈ Mm×m (C), atunci: ab este valoare proprie a matricei A⊗B; a+b este valoare proprie a matricei A⊗I +I ⊗B. Demonstrat¸ie. A se vedea pag. 188-6. 1.6.11 ˆIn cazul produsului tensorial este avantajoas˘a folosirea perechilor de indici pentru indexarea liniilor ¸si coloanelor. Utilizˆand prescurtarea ij ≡ (i, j) ¸si ordonarea lexicografic˘ a, avem {1, 2, 3} × {1, 2} = {11, 12, 21, 22, 31, 32}. Produsul tensorial (1.8) poate fi privit ca fiind aplicat¸ia j i A⊗B : {11, 12, 21, 22, 31, 32}×{11, 12, 21, 22, 31, 32} −→ K, (A⊗B)ij kℓ = Ak Bℓ ,

¸si avem 

    A⊗B =     

11 11 11 11 11 α11 11 α12 α21 α22 α31 α32



12  12 12 12 12 α12 11 α12 α21 α22 α31 α32  21  21 21 21 21 α21 11 α12 α21 α22 α31 α32  , 22 α22 α22 α22 α22  α α22 32  31 22 21 12 11  31 31 31 31 31 α11 α12 α21 α22 α31 α31 32 

i j unde αij kℓ = ak bℓ .

32 32 32 32 32 α32 11 α12 α21 α22 α31 α32

1.6.12 Definit¸ie. Pentru o matrice descris˘a utilizˆ and perechi de indici   ij T = Tkℓ 1≤i,k≤n, 1≤j,ℓ≤m

se pot defini dou˘ a urme part¸iale ¸si anume,

37

Matrice ¸si determinant¸i

n X

tr1 T =

Tiℓij

i=1

!

, 1≤j,ℓ≤m

  m X ij  tr2 T =  Tkj j=1

.

1≤i,k≤n

1.6.13 ˆIn cazul produsului tensorial (1.8) avem tr1 (A⊗B) =

3 X i=1



tr2 (A⊗B) = 

Relat¸iile obt¸inute,

2 X j=1

αij iℓ

!

=

 αij kj

i=1

1≤j,ℓ≤2



3 X

aii bjℓ

!

= (tr A)B, 1≤j,ℓ≤2

  2 X aik bj  =

= (tr B)A.

j

1≤i,k≤3

j=1

tr1 (A⊗B) = (tr A)B,

1≤i,k≤3

tr2 (A⊗B) = (tr B)A

au loc oricare ar fi matricele A ¸si B. 1.6.14 Matricea tr1 T este o sum˘a de blocuri diagonale 

11 T 11 T 11 T 11 T11 22 21 12  T 12 T 12 T 12 T 12  12 21 22 tr1  11 21 21 21 21  T11 T12 T21 T22 22 T 22 T 22 T 22 T11 22 21 12



  = 

11 T 11 T11 12 12 T 12 T11 12

!

+

21 T 21 T21 22 22 T 22 T21 22

!

,

iar tr2 T are ca elemente urmele tuturor blocurilor 

  tr2  

11 T11 12 T11 21 T11 22 T11

11 T12 12 T12 21 T12 22 T12

11 T21 12 T21 21 T21 22 T21

11 T22 12 T22 21 T22 22 T22







11 T 11 T11 12 12 T 12 T11 12



tr tr     =  21    21  T11 T12 tr tr 22 T 22 T11 12

11 T 11 T21 22 12 T 12 T21 22 21 T 21 T21 22 22 T 22 T21 22

1.6.15 Propozit¸ie. Oricare ar fi matricele A, B, avem (tr2 (A⊗B)) ⊗ (tr1 (A⊗B)) = (tr (A⊗B)) A⊗B.

! 

  !  . 

38

Elemente de Algebr˘a liniar˘ a

Demonstrat¸ie. Consecint¸˘ a direct˘ a a relat¸iilor tr1 (A⊗B) = (tr A)B, 1.6.16 Matricea

tr (A ⊗ B) = (tr A)(tr B).

tr2 (A⊗B) = (tr B)A, 

  1 0 0     0 0 0 = 0 0 0  1 0 0

11 T 11 T 11 T 11 T11 12 21 22

 T 12 T 12 T 12 T 12  22 21 12 T =  11 21 T 21 T 21 T 21  T11 12 21 22 22 T 22 T 22 T 22 T11 22 21 12

 1 0   0  1

nu este produsul tensorial a dou˘ a matrice A, B ∈ M2×2 (K) deoarece (tr2 T ) ⊗ (tr1 T ) 6= (tr T ) T. 1.6.17 Teorem˘ a. Dac˘ a T este o matrice descris˘ a cu perechi de indici   ij T = Tkℓ , 1≤i,k≤n, 1≤j,ℓ≤m

atunci tr ((A ⊗ Im )T ) = tr (A tr2 T ),

oricare ar fi

A ∈ Mn×n (C),

tr ((In ⊗ B)T ) = tr (B tr1 T ),

oricare ar fi

B ∈ Mm×m (C).

Demonstrat¸ie. Avem P P i j kℓ P i PP kℓ Ak δℓ Tij = Ak (tr2 T )ki = tr (A tr2 T ), (A⊗Im )ij tr ((A⊗Im )T ) = kℓ Tij = i,j k,ℓ

i,j k,ℓ

tr ((In ⊗B)T ) =

PP i kℓ δk (In ⊗B)ij kℓ Tij = i,j k,ℓ i,j k,ℓ

PP

i,k

Bℓj

Tijkℓ =

P j,ℓ

Bℓj (tr1 T )ℓj = tr (B tr1 T ).

1.6.18 Definit¸ie. ˆIn cazul oric˘ arei matrice descrise folosind perechi de indici   ij T = Tkℓ 1≤i,k≤n, 1≤j,ℓ≤m

se pot defini dou˘ a transpuse part¸iale ¸si anume   ij ij t1 T = t1Tkℓ , unde t1Tkℓ = Tiℓkj , t2

T =



t2 ij Tkℓ

1≤i,k≤n, 1≤j,ℓ≤m



1≤i,k≤n, 1≤j,ℓ≤m

,

unde

t2 ij Tkℓ

iℓ . = Tkj

Capitolul 2

Spat¸ii vectoriale finit-dimensionale 2.1

Spat¸ii vectoriale

2.1.1 Definit¸ie. Fie K unul dintre corpurile R, C. Un spat¸iu vectorial peste K este o mult¸ime V considerat˘a ˆımpreun˘a cu dou˘ a operat¸ii + : V × V −→ V : (x, y) 7→ x+y · : K × V −→ V : (α, x) 7→ αx satisf˘ acˆ and urm˘atoarele axiome:

(adunarea), (ˆınmult¸irea cu scalari)

∀x, y, z ∈ V;

1.

(x + y) + z = x + (y + z),

2.

exist˘a un element 0 ∈ V astfel ˆıncˆ at 0 + x = x + 0 = x,

3.

∀x ∈ V;

oricare ar fi x ∈ V exist˘a −x ∈ V astfel ˆıncˆ at x + (−x) = (−x) + x = 0; ∀x, y ∈ V;

4.

x + y = y + x,

5.

α(x + y) = αx + αy,

6.

(α + β)x = αx + βx,

7.

α(βx) = (αβ)x,

8.

1x = x,

∀x ∈ V.

∀α ∈ K, ∀x, y ∈ V;

∀α, β ∈ K, ∀x ∈ V;

∀α, β ∈ K, ∀x ∈ V;

2.1.2 Elementele spat¸iului V sunt numite vectori, iar cele ale lui K scalari. Un spat¸iu vectorial peste R este numit spat¸iu vectorial real, iar unul peste C spat¸iu vectorial complex. ˆIn loc de x+(−y) scriem x−y.

40

Elemente de Algebr˘a Liniar˘a

2.1.3 Propozit¸ie. Dac˘ a a) b) c) d)

V este spat¸iu vectorial, atunci: αx = 0 ⇐⇒ α = 0 or x = 0; α(−x) = (−α)x = −αx; α(x − y) = αx − αy; (α − β)x = αx − βx.

Demonstrat¸ie. a) Avem 0x = (0 + 0)x = 0x + 0x =⇒ 0x = 0, α(0 + 0) = α0 + α0 =⇒ α0 = 0,  1 αx = 0 =⇒ x = 0 = 0. α 6= 0 α b)

0 = α0 = α(x + (−x)) = αx + α(−x) =⇒ α(−x) = −αx, 0 = 0x = (α + (−α))x = αx + (−α)x =⇒ (−α)x = −αx.

c)

α(x − y) = α(x + (−y)) = αx + α(−y) = αx − αy.

d)

(α − β)x = (α + (−β))x = αx + (−β)x = αx − βx.

2.1.4 Exemplu. (R3 , +, ·), unde

(x1 , x2 , x3 ) + (y1 , y2 , y3 ) = (x1 + y1 , x2 + y2 , x3 + y3 ),

α(x1 , x2 , x3 ) = (αx1 , αx2 , αx3 ) este un spat¸iu vectorial real. 2.1.5 Exemplu. Mult¸imea de matrice    x11 x12 x13 M2×3 (R) = xij ∈ R x21 x22 x23 are o structur˘ a de spat¸iu vectorial real definit˘a prin      x11 + y11 y11 y12 y13 x11 x12 x13 = + x21 + y21 y21 y22 y23 x21 x22 x23    x11 x12 x13 αx11 αx12 α = x21 x22 x23 αx21 αx22

x12 + y12 x13 + y13 x22 + y22 x23 + y23  αx13 . αx23

2.1.6 Exemplu. Mult¸imea F(R, C) a tuturor funct¸iilor ϕ : R −→ C are o structur˘ a de spat¸iu vectorial complex definit˘a de (ϕ + ψ)(x) = ϕ(x) + ψ(x), (α ϕ)(x) = α ϕ(x), ∀α ∈ C.



,

41

Spat¸ii vectoriale finit-dimensionale

2.1.7 Exemplu. R este spat¸iu vectorial real ˆın raport cu adunarea ¸si ˆınmult¸irea. 2.1.8 Exemplu. (C, +, ·), unde (x1 + y1 i) + (x2 + y2 i) = x1 + x2 + (y1 + y2 )i, α(x + yi) = αx + αyi, ∀α ∈ R, este un spat¸iu vectorial real. 2.1.9 Exemplu. C are o structura de spat¸iu vectorial complex ˆın raport cu adunarea ¸si ˆınmult¸irea numerelor complexe. 2.1.10 Definit¸ie. Fie V un spat¸iu vectorial peste K. Prin subspat¸iu vectorial al lui V se ˆınt¸elege o submult¸ime W ⊆ V satisf˘acˆand condit¸ia  x, y ∈ W =⇒ αx + βy ∈ W. (2.1) α, β ∈ K 2.1.11 Propozit¸ie. Submult¸imea W ⊆ V este subspat¸iu vectorial dac˘ a ¸si numai dac˘ a urm˘ atoarele condit¸ii sunt ˆındeplinite: a)

b)

x∈W y∈W



x∈W α∈K



=⇒ x + y ∈ W,

(2.2)

=⇒ αx ∈ W.

(2.3)

Demonstrat¸ie. (2.1) ⇒ (2.2): Alegem α = β = 1. (2.1) ⇒ (2.3): Alegem β = 0. (2.2) & (2.3) ⇒ (2.1):   (2.3) (2.2) x, y ∈ W αx ∈ W =⇒ =⇒ αx + βy ∈ W. α, β ∈ K βy ∈ W 2.1.12 Orice subspat¸iu vectorial W ⊆ V are o structura de spat¸iu vectorial, operat¸iile fiind cele induse din V. 2.1.13 Exercit¸iu. S˘ a se arate c˘ a W = {x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 | x1 + x2 + x3 = 0 } este un subspat¸iu vectorial al spat¸iului V = R3 .

42

Elemente de Algebr˘a Liniar˘a

Rezolvare. Fie x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ W, y = (y1 , y2 , y3 ) ∈ W ¸si α, β ∈ R. Avem x ∈ W =⇒ x1 + x2 + x3 = 0 y ∈ W =⇒ y1 + y2 + y3 = 0



=⇒ αx1 + βy1 + αx2 + βy2 + αx3 + βy3 = 0,

ceea ce arat˘ a c˘ a αx + βy = (αx1 + βy1 , αx2 + βy2 , αx3 + βy3 ) ∈ W. 2.1.14 Exemplu. Mult¸imea  W = x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3

 x1 + 2x2 − x3 = 0 x1 − x2 + x3 = 0

este un subspat¸iu vectorial al spat¸iului V = R3 . 2.1.15 Exemplu. Mult¸imea solut¸iilor unui sistem liniar omogen

W=

      

x = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Rn



a11 x1 +a12 x2 +a1n xn = 0 a21 x1 +a22 x2 +a2n xn = 0 ............................ ak1 x1 +ak2 x2 +akn xn = 0

este un subspat¸iu vectorial al spat¸iului V = Rn .

      

2.1.16 Exemplu. R ≡ {x = x + 0i | x ∈ R } ⊂ C este un subspat¸iu vectorial al spat¸iului C considerat ca spat¸iu vectorial real. 2.1.17 Exemplu. W = { f : R −→ R | f derivabil˘ a } este un subspat¸iu vectorial al spat¸iului V = { f : R −→ R | f continu˘ a }. 2.1.18 Exemplu. Mult¸imea matricelor simetrice  W = A ∈ M3×3 (R) | tA = A

este un subspat¸iu vectorial al spat¸iului  

  a11 a12 a13  M3×3 (R) = A =  a21 a22 a23  aij ∈ R   a31 a32 a33 

al tuturor matricelor cu trei linii ¸si trei coloane.

43

Spat¸ii vectoriale finit-dimensionale

2.1.19 Propozit¸ie. Dac˘ a V este spat¸iu vectorial peste K ¸si {v1 , v2 , ..., vn } ⊂ V, atunci def

span {v1 , v2 , ..., vn } = { α1 v1 +α2 v2 + ... +αn vn | α1 , α2 , ..., αn ∈ K } este subspat¸iu vectorial al lui V, numit subspat¸iul generat de {v1 , v2 , ..., vn }. Demonstrat¸ie. Avem λ(α1 v1 + α2 v2 + ... + αn vn ) + µ(β1 v1 + β2 v2 + ... + βn vn ) = (λα1 + µβ1 )v1 + (λα2 + µβ2 )v2 + ... + (λαn + µβn )vn . 2.1.20 Definit¸ie. Spunem c˘ a {v1 , v2 , ..., vn } este un sistem de generatori pentru V sau c˘ a {v1 , v2 , ..., vn } genereaz˘ a spat¸iul V dac˘ a span {v1 , v2 , ..., vn } = V.

2.1.21 Dac˘a {v1 , v2 , ..., vn } este un sistem de generatori pentru V, atunci orice vector x ∈ V se poate scrie sub forma x = α1 v1 + α2 v2 + · · · + αn vn . 2.1.22 Exercit¸iu. S˘ a se arate c˘ a vectorii v1 = (1, 1) ¸si v2 = (1, −1) formeaz˘a un sistem de generatori pentru spat¸iul vectorial R2 . Rezolvare. Avem de ar˘ atat c˘ a R2 = span{v1 , v2 }, adic˘ a R2 = {α1 (1, 1) + α2 (1, −1) | α1 , α2 ∈ R}. Evident, {α1 (1, 1) + α2 (1, −1) | α1 , α2 ∈ R} ⊆ R2 . R˘ amˆ ane de ar˘ atat incluziunea 2 invers˘ a. Fie x = (x1 , x2 ) ∈ R . Ar˘at˘am c˘a exist˘a α1 , α2 ∈ R astfel ˆıncˆ at x = α1 v1 + α2 v2 , adic˘ a (x1 , x2 ) = α1 (1, 1) + α2 (1, −1), ceea ce este echivalent cu (x1 , x2 ) = (α1 + α2 , α1 − α2 ).

Aceast˘a relat¸ie se mai poate scrie 

¸si conduce la

α1 =

α1 + α2 = x1 α1 − α2 = x2

x1 + x2 , 2

α2 =

x1 − x2 . 2

44

Elemente de Algebr˘a Liniar˘a

2.1.23 Exercit¸iu. S˘ a se arate c˘ a ˆın R3 avem span{(1, 2, 3), (−1, 1, 0)} = span{(1, 2, 3), (−1, 1, 0), (0, 3, 3)}. Indicat¸ie. Avem (0, 3, 3) = (1, 2, 3) + (−1, 1, 0). 2.1.24 Propozit¸ie. Dac˘ a {v1 , v2 , ..., vn } este un sistem de generatori pentru V astfel ˆıncˆ at exist˘ a k ∈ {1, 2, ..., n} cu X vk = λi vi , i6=k

atunci {v1 , v2 , ..., vn }\{vk } este sistem de generatori pentru V .

Demonstrat¸ie. Orice vector x ∈ V este o combinat¸ie liniar˘ a de v1 , v2 , ..., vn . Dar x=

n X i=1

αi vi =⇒ x =

X i6=k

αi vi + αk

X

λi vi =

i6=k

X (αi + αk λi )vi . i6=k

2.1.25 Definit¸ie. Spunem c˘ a spat¸iul vectorial V este finit generat dac˘ a admite un sistem de generatori finit. 2.1.26 Convent¸ie. Dac˘a nu se ment¸ioneaz˘ a contrariul, spat¸iile vectoriale considerate ˆın continuare vor fi presupuse finit generate. 2.1.27 Propozit¸ie. Urm˘ atoarele dou˘ a afirmat¸ii sunt echivalente: a) Niciunul dintre vectorii v1 , v2 , ..., vn nu se poate scrie ca o combinat¸ie liniar˘ a de ceilalt¸i; b) relat¸ia α1 v1 + α2 v2 + · · · + αn vn = 0 este posibil˘ a numai dac˘ a α1 = α2 = · · · = αn = 0, adic˘ a α1 v1 + · · · + αn vn = 0

=⇒

α1 = · · · = αn = 0.

Demonstrat¸ie. a)⇒b) Presupunˆand, de exemplu, c˘a relat¸ia α1 v1 + · · · + αn vn = 0 are loc pentru αn 6= 0 obt¸inem α2 αn−1 α1 v2 − · · · − vn−1 . vn = − v1 − αn αn αn b)⇒a) Dac˘a, de exemplu, avem vn = β1 v1 + β2 v2 + · · · + βn−1 vn−1 , atunci β1 v1 + β2 v2 + · · · + βn−1 vn−1 − vn = 0,

adic˘ a α1 = · · · = αn = 0 nu este singurul caz ˆın care α1 v1 + · · · + αn vn = 0.

45

Spat¸ii vectoriale finit-dimensionale

2.1.28 Definit¸ie. Sistemul de vectori {v1 , v2 , ..., vn } este liniar independent dac˘ a α1 v1 + α2 v2 + · · · + αn vn = 0

=⇒

α1 = α2 = · · · = αn = 0.

2.1.29 ˆIn cazul unui sistem de vectori liniar independent¸i niciunul dintre vectori nu se poate scrie ca o combinat¸ie liniar˘ a de ceilalt¸i vectori. 2.1.30 Exercit¸iu. S˘ a se arate c˘ a vectorii v1 = (1, 2) ¸si v2 = (−1, 3) din R2 sunt liniar independent¸i. Rezolvare. Fie α1 v1 + α2 v2 = 0, adic˘ a α1 (1, 2) + α2 (−1, 3) = (0, 0) (α1 , 2α1 ) + (−α2 , 3α2 ) = (0, 0) (α1 − α2 , 2α1 + 3α2 ) = (0, 0). Ultima relat¸ie este echivalent˘ a cu sistemul  α1 − α2 = 0 2α1 + 3α2 = 0 care conduce la α1 = α2 = 0. 2.1.31 Exercit¸iu. Un sistem de vectori liniar independent¸i nu poate cont¸ine vectorul nul. Rezolvare. Dac˘a vn = 0, atunci 0v1 + 0v2 + · · · + 0vn−1 + 1vn = 0. 2.1.32 Orice subsistem al unui sistem de vectori liniar independent¸i este un sistem de vectori liniar independent¸i. 2.1.33 Propozit¸ie. Dac˘ a {v1 , ..., vn } este un sistem de vectori astfel ˆıncˆ at niciunul dintre ei nu este combinat¸ie liniar˘ a de cei scri¸si ˆın fat¸a lui, atunci {v1 , v2 , ..., vn } este un sistem de vectori liniar independent¸i. Demonstrat¸ie. Fie α1 v1 + α2 v2 + · · · + αn vn = 0. Trebuie ca αn = 0 deoarece ˆın caz contrar vn = −

α2 αn−1 α1 v1 − v2 − · · · − vn−1 , αn αn αn

(2.4)

46

Elemente de Algebr˘a Liniar˘a

adic˘ a vn este combinat¸ie liniar˘ a de vectorii scri¸si ˆın fat¸a lui. Avˆ and ˆın vedere c˘a 0vn = 0, relat¸ia (2.4) se mai scrie α1 v1 + α2 v2 + · · · + αn−1 vn−1 = 0. La fel ca mai sus se arat˘ a c˘ a αn−1 = 0, apoi αn−2 = 0, ... , α1 = 0. 2.1.34 Din orice sistem de generatori ai unui spat¸iu vectorial V se poate obt¸ine un sistem de generatori liniar independent¸i eliminˆ and succesiv vectorii care se pot scrie ca o combinat¸ie liniar˘ a de vectorii aflat¸i ˆınaintea lor. Mai exact, plec˘ am de la sistemul de generatori {v1 , v2 , ..., vn } ¸si aplic˘ am urm˘atoarele operat¸ii sistemului rezultat ˆın etapa anterioar˘ a: a) elimin˘ am primul vector dac˘ a acesta este nul; b) elimin˘ am al doilea vector dac˘ a acesta se obt¸ine din primul prin ˆınmult¸irea cu un scalar; c) elimin˘ am al treilea vector dac˘ a acesta este combinat¸ie liniar˘ a de primii doi; d) elimin˘ am al patrulea vector dac˘ a acesta este combinat¸ie liniar˘ a de vectorii precedent¸i, etc. 2.1.35 Exercit¸iu. S˘ a se obt¸in˘ a un sistem liniar independent plecˆ and de la sistemul 4 de vectori {v1 , v2 , v3 , v4 , v5 } ⊂ R , unde v1 = (0, 0, 0, 0), v2 = (1, 0, −1, 1), v3 = (2, 0, −2, 2), v4 = (1, 1, 1, 1), v5 = (2, 1, 0, 2). R˘ aspuns. {v2 , v4 }. 2.1.36 Definit¸ie. Prin baz˘ a a unui spat¸iu vectorial se ˆınt¸elege un sistem de generatori format din vectori liniar independent¸i. 2.1.37 Pentru a ar˘ ata c˘ a B = {v1 , v2 , ..., vn } este baz˘ a ˆın V avem de ar˘ atat c˘a: a) V = span {v1 , v2 , ..., vn }; b) α1 v1 + α2 v2 + · · · + αn vn = 0 =⇒ α1 = α2 = · · · = αn = 0. 2.1.38 Propozit¸ie. Dac˘ a B = {v1 , v2 , ..., vn } este baz˘ a ˆın V, atunci orice vector x ∈ V se poate scrie ˆın mod unic sub forma x = α1 v1 + α2 v2 + · · · + αn vn

47

Spat¸ii vectoriale finit-dimensionale

(numerele α1 , α2 , ... , αn se numesc coordonatele lui x ˆın baza B). Demonstrat¸ie. Deoarece B genereaz˘ a spat¸iul V exist˘a α1 , α2 , ..., αn ˆın K astfel ˆıncˆ at x = α1 v1 + α2 v2 + · · · + αn vn .

Relat¸ia

α1 v1 + α2 v2 + · · · + αn vn = β1 v1 + β2 v2 + · · · + βn vn , echivalent˘ a cu (α1 − β1 )v1 + (α2 − β2 )v2 + · · · + (αn − βn )vn = 0, conduce la α1 −β1 = 0, α2 −β2 = 0,... , αn −βn = 0, adic˘ a α1 = β1 , α2 = β2 ,... , αn = βn . 2.1.39 Exercit¸iu. S˘ a se arate c˘ a B = {e1 = (1, 0), e2 = (0, 1)} este baz˘ a ˆın R2 . Rezolvare. B este sistem de generatori: oricare ar fi (x1 , x2 ) ∈ R2 avem (x1 , x2 ) = (x1 , 0) + (0, x2 ) = x1 (1, 0) + x2 (0, 1) = x1 e1 + x2 e2 . B este sistem de vectori liniar independent¸i: α1 e1 + α2 e2 = 0

⇒

α1 (1, 0) + α2 (0, 1) = (0, 0)

⇒

(α1 , α2 ) = (0, 0).

2.1.40 Propozit¸ie. Dac˘ a V este un spat¸iu vectorial, M = {v1 , v2 , ..., vn } este un sistem de vectori liniar independent¸i ¸si S = {w1 , w2 , ..., wk } este un sistem de generatori ai lui V, atunci: a) n ≤ k; b) sistemul de vectori M se poate completa pˆ ana la o baz˘ a a lui V ad˘ augˆ and vectori din S. Demonstrat¸ie. a) Vectorul vn este nenul deoarece sistemul de vectori liniar independent¸i M nu poate cont¸ine vectorul nul. Acest vector este o combinat¸ie liniar˘ a de w1 , w2 , ..., wk . Deoarece cel put¸in unul dintre coeficient¸ii acestei combinat¸ii liniare este nenul, din sistemul de generatori {vn , w1 , w2 , ..., wk } se poate elimina un vector astfel ˆıncˆ at el s˘ a r˘ amˆ an˘ a ˆın continuare sistem de generatori. Vom elimina primul vector care este

48

Elemente de Algebr˘a Liniar˘a

combinat¸ie liniar˘ a de cei aflat¸i ˆınaintea lui. Vectorul eliminat este unul dintre vectorii w1 , w2 , ..., wk ¸si-l not˘ am cu wi1 . Consider˘am ˆın continuare sistemul de vectori liniar independent¸i M1 = {v1 , v2 , ..., vn−1 } sistemul de generatori S1 = {vn , w1 , w2 , ..., wk }\{wi1 } ¸si facem acelea¸si operat¸ii, adic˘ a lu˘ am vn−1 din M1 , ˆıl ad˘ aug˘ am la S1 ¸si elimin˘ am primul vector wi2 care este combinat¸ie liniar˘ a de cei aflat¸i ˆın fat¸a lui. Rezult˘a astfel sistemul de vectori liniar independent¸i M2 = {v1 , v2 , ..., vn−2 } ¸si sistemul de generatori S2 = {vn−1 , vn , w1 , w2 , ..., wk }\{wi1 , wi2 }. Procesul poate fi continuat pˆ an˘ a introducem tot¸i vectorii sistemului de vectori liniar independent¸i M ˆın sistemul de generatori, ceea ce arat˘ a c˘a n ≤ k. b) Dup˘ a introducerea tuturor vectorilor din M ˆın sistemul de generatori se obt¸ine un sistem de generatori Sn = {v1 , v2 , ..., vn , w1 , w2 , ..., wk }\{wi1 , wi2 , ..., win }. Eliminˆand vectorii care sunt combinat¸ii liniare de cei aflat¸i ˆın fat¸a lor rezult˘ a o baz˘ a care cont¸ine vectorii din M. 2.1.41 Teorem˘ a. Oricare dou˘ a baze ale unui spat¸iu vectorial V cont¸in acela¸si num˘ ar de vectori. a baze ale lui Demonstrat¸ie. Fie B = {e1 , e2 , ..., en } ¸si B ′ = {e′1 , e′2 , ..., e′k } dou˘ V. Fiecare dintre ele este atˆ at sistem de vectori liniar independent¸i cˆat ¸si sistem de generatori pentru V. Conform propozit¸iei precedente trebuie sa avem simultan n ≤ k ¸si k ≤ n.

49

Spat¸ii vectoriale finit-dimensionale

2.1.42 Definit¸ie. Spunem c˘ a spat¸iul vectorial V are dimensiune n ¸si scriem dim V = n

dac˘ a V admite o baz˘ a format˘a din n vectori. 2.1.43 Notat¸ie. Pentru a indica corpul peste care este considerat V scriem dimK V. 2.1.44 Exercit¸iu. S˘ a se arate c˘ a: a) dimR R2 = 2 b) dimR {(x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 | x1 + x2 + x3 = 0 } = 2 c) dimR C = 2 d) dimC C = 1. Rezolvare. a) {e1 = (1, 0), e2 = (0, 1)} este baz˘ a a lui R2 . b) Din {(x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 | x1 + x2 + x3 = 0 } = {(x1 , x2 , −x1 − x2 ) | x1 , x2 ∈ R} = {x1 (1, 0, −1) + x2 (0, 1, −1) | x1 , x2 ∈ R}

rezult˘ a c˘ a {(1, 0, −1), (0, 1, −1)} este sistem de generatori. Deoarece relat¸ia x1 (1, 0, −1) + x2 (0, 1, −1) = (0, 0, 0)

conduce la x1 = x2 = 0, sistemul de generatori {(1, 0, −1), (0, 1, −1)} este un sistem de vectori liniar independent¸i ¸si deci o baz˘ a. c) C = {x + yi | x, y ∈ R } considerat ca spat¸iu vectorial real admite baza {1, i}. d) O baz˘ a a lui C peste C este B = {1}. 2.1.45 MATHEMATICA: Dimensiunea subspat¸iului generat de o mult¸ime In[1]:=MatrixRank[{{1,0,0}, {0,1,1}, {1,1,1}}]

7→

Out[1]=2

2.1.46 Propozit¸ie. a) Dac˘ a W ⊆ V este subspat¸iu vectorial, atunci dim W ≤ dim V. b) Dac˘ a W ⊆ V este subspat¸iu ¸si dim W = dim V, atunci W = V. Demonstrat¸ie. a) Fie {v1 , v2 , ..., vn } baz˘ a ˆın V ¸si {w1 , w2 , ..., wk } baz˘ a ˆın W. Deoarece {w1 , w2 , ..., wk } este sistem liniar independent ˆın V ¸si {v1 , v2 , ..., vn } sistem de generatori ˆın V rezult˘ a c˘ a k ≤ n (vezi pag. 47-40). b) Orice baz˘ a a lui W este sistem liniar independent ˆın V ¸si deci poate fi prelungit˘a pˆ an˘ a la o baz˘ a a lui V. Deoarece dim W = dim V rezult˘ a c˘a orice baz˘ a a lui W este deja baz˘ a pentru V.

50

Elemente de Algebr˘a Liniar˘a

2.1.47 Teorem˘ a (Kronecker). Dac˘ a    A= 

¸si

Ai = (ai1

a11 a21 .. . an1

ai2

a12 · · · a22 · · · .. .. . . an2 · · · ...

a1m a2m .. . anm



   ∈ Mn×m (K) 

aim ),

atunci



  Aj =  

a1j a2j .. .

anj



  , 

rang A = dim span{A1 , A2 , ..., An } = dim span {A1 , A2 , ..., Am }. Demonstrat¸ie. Fie r = rang A. Deoarece rangul lui A nu se schimb˘ a prin permutarea liniilor (sau coloanelor) putem presupune c˘a a11 a12 · · · a1r a21 a22 · · · a2r 6= 0. d = ··· ··· ··· ··· ar1 ar2 · · · arr Ar˘at˘am c˘ a {A1 , A2 , ..., Ar } este sistem liniar independent ¸si c˘a matricele Ar+1 ,...,Am din Mn×1 (K) sunt combinat¸ii liniare de A1 , A2 , ... , Ar . Din relat¸ia α1 A1 + α2 A2 + · · · + αr Ar = 0 rezult˘ a c˘ a

 a11 α1 + a12 α2 + · · · + a1r αr = 0    a21 α1 + a22 α2 + · · · + a2r αr = 0 ..................................................    ar1 α1 + ar2 α2 + · · · + arr αr = 0

Acesta este un sistem Cramer cu solut¸ia i ∈ {1, 2, ..., n} ¸si j ∈ {1, 2, ..., m}, avem a11 a12 · · · a21 a22 · · · ··· ··· ··· ar1 ar2 · · · ai1 ai2 · · ·

α1 = α2 = · · · = αr = 0. Oricare ar fi a1r a1j a2r a2j · · · · · · = 0. arr arj air aij

51

Spat¸ii vectoriale finit-dimensionale

Dezvoltˆ and acest determinant dup˘a ultima linie, obt¸inem relat¸ia (−1)r+2 ai1 λ1 + (−1)r+3 ai2 λ2 + · · · + (−1)2r+1 air λr + (−1)2r+2 aij d = 0, unde λ1 =

a12 a22 ··· ar2

··· ··· ··· ···

nu depind de i. Rezult˘a

a1r a1j a2r a2j , · · · · · · arr arj

aij = −(−1)r

···

λr =

a11 a21 ··· ar1

··· ··· ··· ···

a1r−1 a1j a2r−1 a2j ··· · · · arr−1 arj

λ2 λr λ1 ai1 − (−1)r−1 ai2 − · · · − (−1)1 air , d d d

oricare ar fi i ∈ {1, 2, ..., n}, adic˘ a Aj = −(−1)r

λ1 1 λ2 λr A − (−1)r−1 A2 − · · · − (−1)1 Ar . d d d

Am ar˘ atat astfel c˘ a dimhA1 , A2 , ..., Am i = rang A. Deoarece rang A = rang tA deducem c˘ a dimhA1 , A2 , ..., An i = rang A. 2.1.48 Exercit¸iu S˘ a se arate c˘ a vectorii v1 = (v11 , v12 , v13 ),

v2 = (v21 , v22 , v23 ),

v3 = (v31 , v32 , v33 )

din R3 sunt liniar independent¸i dac˘ a ¸si numai dac˘ a v11 v12 v13 v21 v22 v23 v31 v32 v33

2.1.49 Teorem˘ a. Sistemul de ecuat¸ii liniare

6= 0.

 a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1m xm = b1    a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2m xm = b2 ....................................................    an1 x1 + an2 x2 + · · · + anm xm = bn

52

Elemente de Algebr˘a Liniar˘a

admite solut¸ie dac˘ a ¸si numai dac˘ a 

a11 a12  a21 a22 rang   ··· ··· an1 an2

··· ··· ··· ···

  a1m  a2m   = rang    ··· anm

a11 a12 a21 a22 ··· ··· an1 an2

 a1m b1 a2m b2   ··· ···  anm bn

··· ··· ··· ···

(rangul matricei sistemului este egal cu rangul matricei extinse). Demonstrat¸ie. Afirmat¸ia rezult˘ a din teorema anterioar˘ a ¸tinˆ and seama de faptul c˘a sistemul considerat se mai poate scrie 

  a11  a21     x1   · · ·  + x2  an1 2.1.50 Fie

  a12  a22   + · · · + xm    ··· an2

  a1m b1  b2 a2m  = ···   ··· anm bn



 . 

 a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1m xm = b1    a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2m xm = b2 ....................................................    an1 x1 + an2 x2 + · · · + anm xm = bn

un sistem de ecuat¸ii liniare compatibil (adic˘ a care admite solut¸ie) ¸si fie r rangul matricei sistemului. Schimbˆ and eventual ordinea ecuat¸iilor ¸si indexarea necunoscutelor, putem presupune c˘ a a11 a12 · · · a1r a21 a22 · · · a2r · · · · · · · · · · · · 6= 0. ar1 ar2 · · · arr

ˆIn cazul ˆın care r < n este suficient s˘ a lu˘ am ˆın considerare doar primele r ecuat¸ii  a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1m xm = b1    a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2m xm = b2 ....................................................    ar1 x1 + ar2 x2 + · · · + arm xm = br

(2.5)

(numite ecuat¸ii principale) deoarece restul de ecuat¸ii vor fi combinat¸ii liniare de

53

Spat¸ii vectoriale finit-dimensionale

acestea. Sistemul de ecuat¸ii (2.5) poate fi privit ca un sistem Cramer  a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1r xr = b1 − a1r+1 xr+1 − · · · − a1m xm    a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2r xr = b2 − a2r+1 xr+1 − · · · − a2m xm ............................................................................    ar1 x1 + ar2 x2 + · · · + arr xr = br − arr+1 xr+1 − · · · − arm xm

cu necunoscutele x1 , x2 , ..., xr (numite necunoscute principale) considerˆand xr+1 , ... , xm ca parametri care pot lua valori arbitrare. ˆIn cazul ˆın care b1 = b2 = · · · = bn = 0 (sistem omogen), spat¸iul solut¸iilor sistemului este un spat¸iu vectorial de dimensiune m − r.

2.1.51 Convent¸ia de sumare a lui Einstein. Utilizarea de indici superiori pentru indexarea coordonatelor vectorilor permite scrierea unor expresii matematice sub o form˘a mai simpl˘a. Reprezentarea x = x1 v1 + x2 v2 + · · · + xn vn

a unui vector x ∈ V ˆın raport cu o baz˘ a B = {v1 , v2 , ..., vn } se poate scrie utilizˆ and convent¸ia de sumare a lui Einstein (un indice care apare ˆıntr-un produs atˆat ca indice inferior cˆ at ¸si ca indice superior este indice de sumare) sub forma x = xi vi a baze ¸si 2.1.52 Definit¸ie. Fie B = {v1 , v2 , ..., vn }, B′ = {v1′ , v2′ , ..., vn′ } dou˘ v1′ = α11 v1 + α21 v2 + · · · + αn1 vn

Matricea

v2′ = α12 v1 + α22 v2 + · · · + αn2 vn ............................................. vn′ = α1n v1 + α2n v2 + · · · + αnn vn . 

α11

 2  α1 S=   ··· αn1

α12 α22 ···

αn2

··· ··· ···

···

α1n α2n ···

αnn



  .  

este numit˘ a matricea de trecere de la baza B la B′ . 2.1.53 Utilizˆand convent¸ia de sumare, relat¸iile (2.6) se pot scrie sub forma vi′ = αji vj .

(2.6)

54

Elemente de Algebr˘a Liniar˘a

2.1.54 Propozit¸ie. Matricea S este inversabil˘ a ¸si inversa ei  1  β1 β21 · · · βn1  2   β1 β22 · · · βn2  −1  S =    ··· ··· ··· ···  β2n

β1n

βnn

···

este matricea de trecere de la baza B′ la B.

Demonstrat¸ie. Fie vj = βjk vk′ . Din relat¸iile vi′ = αji vj = αji βjk vk′

vj = βjk vk′ = βjk αik vi , rezult˘ a egalit˘ a¸tile βjk αik = δji , unde δji

=



αji βjk = δik ,

(2.7)

1 dac˘ a i=j 0 dac˘ a i 6= j.

2.1.55 Teorem˘ a. vi′ = αji vj x = xj vj = x′i vi′

)

=⇒

(

xj = αji x′i x′i = βji xj

Demonstrat¸ie. Din xj vj = x′i vi′ = x′i αji vj rezult˘ a relat¸ia xj = αji x′i care conduce la adic˘ a

βjk xj = βjk αji x′i = δik x′i = x′k , x′k = βjk xj .

2.1.56 Propozit¸ie. Orice spat¸iu vectorial complex V are o o structur˘ a natural˘ a de spat¸iu vectorial real care se poate obt¸ine prin restrict¸ia scalarilor ¸si dimR V = 2 dimC V.

55

Spat¸ii vectoriale finit-dimensionale

Demonstrat¸ie. Fie {v1 , v2 , ..., vn } o baz˘ a a spat¸iului vectorial complex V. Oricare ar fi x ∈ V exist˘a numerele complexe α1 +β1 i, α2 +β2 i, ... , αn +βn i astfel ˆıncˆ at x = (α1 +β1 i)v1 + (α2 +β2 i)v2 + · · · + (αn +βn i)vn . Scriind aceast˘ a relat¸ie sub forma x = α1 v1 + β1 iv1 + α2 v2 + β2 iv2 + · · · + αn vn + βn ivn , deducem c˘ a B = { v1 , iv1 , v2 , iv2 , ... , vn , ivn } este sistem de generatori pentru spat¸iul vectorial real V. Ar˘at˘am c˘a vectorii care formeaz˘ a sistemul B sunt liniar independent¸i peste R. Relat¸ia α1 v1 + β1 iv1 + α2 v2 + β2 iv2 + · · · + αn vn + βn ivn = 0 se poate scrie (α1 +β1 i)v1 + (α2 +β2 i)v2 + · · · + (αn +βn i)vn = 0 ¸si conduce la α1 + β1 i = α2 + β2 i = · · · = αn + βn i = 0, adic˘ a la α1 = β1 = α2 = β2 = · · · = αn = βn = 0. 2.1.57 Propozit¸ie. Dac˘ a V este un spat¸iu vectorial real, atunci spat¸iul V × V = { (x1 , x2 ) | x1 , x2 ∈ V } considerat ˆımpreun˘ a cu adunarea pe componente (x1 , x2 ) + (y1 , y2 ) = (x1 +y1 , x2 +y2 ) ¸si ˆınmult¸irea cu numere complexe (α+βi)(x1 , x2 ) = (αx1 −βx2 , αx2 +βx1 )

este un spat¸iu vectorial complex notat cu C V ¸si dimC C V = dimR V

(spat¸iul C V se nume¸ste complexificatul lui V)

56

Elemente de Algebr˘a Liniar˘a

Demonstrat¸ie. Fie {v1 , v2 , ..., vn } o baz˘ a a spat¸iului vectorial real V. Ar˘at˘am c˘a B = { (v1 , 0), (v2 , 0), ... , (vn , 0) } este baz˘ a a spat¸iului vectorial complex C V. Oricare ar fi x1 , x2 ∈ V, exist˘a numerele reale α1 , α2 , ... , αn ¸si β1 , β2 , ... , βn astfel ˆıncˆ at x1 = α1 v1 + α2 v2 + · · · + αn vn ,

x2 = β1 v1 + β2 v2 + · · · + βn vn .

Deoarece i(vj , 0) = (0, vj ), avem (x1 , x2 ) = (α1 v1 + α2 v2 + · · · + αn vn , 0) + (0, β1 v1 + β2 v2 + · · · + βn vn ) = (α1 +β1 i)(v1 , 0) + (α2 +β2 i)(v2 , 0) + · · · + (αn +βn i)(vn , 0). Dac˘a (α1 +β1 i)(v1 , 0) + (α2 +β2 i)(v2 , 0) + · · · + (αn +βn i)(vn , 0) = (0, 0), atunci (α1 v1 + α2 v2 + · · · + αn vn , β1 v1 + β2 v2 + · · · + βn vn ) = 0 ceea ce conduce la α1 = α2 = · · · = αn = 0 ¸si β1 = β2 = · · · = βn = 0. 2.1.58 Scriind x1 +x2 i ˆın loc de (x1 , x2 ), obt¸inem C

V = { x1 +x2 i | x1 , x2 ∈ V }

¸si ˆınmult¸irea cu scalari (α+βi)(x1 +x2 i) = (αx1 −βx2 ) + (αx2 +βx1 )i coincide formal cu ˆınmult¸irea numerelor complexe. 2.1.59 Definit¸ie. Prin relat¸ie de echivalent¸˘ a pe o mult¸ime M se ˆınt¸elege o submult¸ime R ⊆ M × M cu propriet˘a¸tile: 1) (x, x) ∈ R, ∀x ∈ M (reflexivitate); 2) (x, y) ∈ R =⇒ (simetrie);  (y, x) ∈ R (x, y) ∈ R 3) =⇒ (x, z) ∈ R (tranzitivitate). (y, z) ∈ R ˆIn loc de (x, y) ∈ R se prefer˘ a s˘ a se scrie xRy sau x ∼ y.

57

Spat¸ii vectoriale finit-dimensionale

2.1.60 Definit¸ie. Prin partit¸ie a unei mult¸imi M se ˆınt¸elege o familie {Mi }i∈J de submult¸imi ale lui M cu propriet˘a¸tile: 1) Mi 6= ∅, ∀i ∈ J 2) Mi ∩ Mj = ∅, ∀i, j ∈ J cu i 6= j S 3) i∈J Mi = M.

2.1.61 Propozit¸ie. a) Dac˘ a ∼ este o relat¸ie de echivalent¸˘ a pe M , atunci mult¸imile distincte de forma x ˆ={y |y∼x}

(clas˘ a de echivalent¸a ˘ a lui x)

formeaz˘ a o partit¸ie a lui M , notat˘ a cu M/∼. b) Invers, dac˘ a {Mi }i∈J este o partit¸ie a lui M , atunci relat¸ia x∼y

dac˘ a exist˘ a i ∈ J astfel ˆıncˆ at x, y ∈ Mi

este o relat¸ie de echivalent¸˘ a pe M . Demonstrat¸ie. a) Reunind toate clasele de echivalent¸˘a obt¸inem mult¸imea M ¸si avem x ˆ 6= ∅ deoarece x ∈ x ˆ. ˆIn plus,  x∼y x ∈ yˆ ∩ zˆ =⇒ =⇒ y ∼ z =⇒ yˆ = zˆ. x∼z b) Evident, relat¸ia ∼ este reflexiv˘a ¸si simetric˘a. Dac˘a x ∼ y ¸si y ∼ z, atunci exist˘a i, j ∈ J astfel ˆıncˆ at x, y ∈ Mi ¸si y, z ∈ Mj . Mult¸imile partit¸iei fiind disjuncte, rezult˘ a c˘a Mi = Mj ¸si prin urmare x ∼ z. 2.1.62 Propozit¸ie. Dac˘ a V este un spat¸iu vectorial peste corpul K ¸si W ⊆ V este un subspat¸iu vectorial, atunci relat¸ia x∼y

dac˘ a

x−y ∈W

este o relat¸ie de echivalent¸˘ a pe V. Mult¸imea factor V/∼ format˘ a din toate clasele de echivalent¸˘ a x ˆ =x+W ={ x+y | y ∈W } considerat˘ a ˆımpreun˘ a cu operat¸iile x ˆ + yˆ = x cy,

αˆ x = αx, c

este spat¸iu vectorial (numit spat¸iu factor ¸si notat cu V/W).

58

Elemente de Algebr˘a Liniar˘a

Demonstrat¸ie. Avem x−x=0∈W

=⇒

x ∼ x,

x ∼ y =⇒ x − y ∈ W =⇒ y − x ∈ W =⇒ y ∼ x,   x∼y x−y ∈W =⇒ =⇒ x − z = (x − y) + (y − z) ∈ W =⇒ x ∼ z. y∼z y−z ∈W Deoarece W + W = { x + y | x, y ∈ W } = W ¸si αW = { αx | x ∈ W } = W, avem (x + W) + (y + W) = x + y + W,

α(x + W) = αx + W

ceea ce arat˘ a c˘ a operat¸iile cu clase de echivalent¸˘a sunt bine definite (nu depind de reprezentantul ales). Elementul neutru este ˆ0 = 0 + W = W, iar opusul lui x ˆ este c = −x + W. −ˆ x = −x

2.1.63 Exercit¸iu. Descriet¸i spat¸iul vectorial factor R2 /W ˆın cazul W = { (x, 0) | x ∈ R }. Rezolvare. ˆIn acest caz

(x, y) ∼ (x′ , y ′ ) ⇐⇒ (x, y) − (x′ , y ′ ) ∈ W ⇐⇒ y = y ′ . Rezult˘a c˘ a [ (x, y) = (x, y) + W = { (x′ , y) | x′ ∈ R } ¸si prin urmare [ R2 /W = { (0, y) | y ∈ R }.

Trecerea de la R2 la R2 /W se realizeaz˘ a “ignorˆ and” coordonata x, adic˘ a identificˆ and 2 2 vectorii (x, y) din R cu acela¸si y. Elementele lui R /W sunt clasele de echivalent¸˘a [ (0, y), adic˘ a dreptele paralelele cu Ox. 2.1.64 Teorem˘ a. Dac˘ a W este subspat¸iu vectorial al lui V, atunci dim V/W = dim V − dim W. Demonstrat¸ie. Fie {v1 , v2 , ..., vk } o baz˘ a a lui W pe care o complet˘ am pˆ an˘ a la o baz˘ a {v1 , v2 , ..., vk , vk+1 , ..., vn } a lui V. Ar˘at˘am c˘a {ˆ vk+1 , vˆk+2 , ... , vˆn } este baz˘ aa lui V/W. Dac˘a

59

Spat¸ii vectoriale finit-dimensionale

x = α1 v1 + ... + αk vk + αk+1 vk+1 + ... + αn vn ∈ V, atunci x ˆ = α1 vˆ1 + ... + αk vˆk + αk=1 vˆk+1 + ... + αn vˆn = αk+1 vˆk+1 + ... + αn vˆn . Rezult˘a c˘ a {ˆ vk+1 , vˆk+2 , ... , vˆn } este sistem de generatori. Pe de alt˘a parte, dac˘ a αk+1 vˆk+1 + αk+2 vˆk+2 + ... + αn vˆn = ˆ0, atunci αk+1 vk+1 + αk+2 vk+2 + ... + αn vn ∈ W ¸si deci exist˘a α1 , α2 , ... , αk ∈ K astfel ˆıncˆ at αk+1 vk+1 + αk+2 vk+2 + ... + αn vn = α1 v1 + α2 v2 + ... + αk vk , relat¸ie care conduce la αk+1 = αk+2 = ... = αn = 0.

2.2

Transform˘ ari liniare

2.2.1 Definit¸ie. Fie V, W spat¸ii vectoriale peste acela¸si corp K . O aplicat¸ie A : V −→ W : x 7→ Ax este numit˘ a transformare liniar˘ a (sau operator liniar, aplicat¸ie liniar˘ a) dac˘ a A(αx + βy) = αAx + βAy,

∀x, y ∈ V, ∀α, β ∈ K.

2.2.2 Utiliz˘am notat¸iile L(V, W) = { A : V −→ W | A este transformare liniar˘ a} L(V ) = { A : V −→ V | A este operator liniar }. 2.2.3 Exercit¸iu. Dac˘a A ∈ L(V, W), atunci A0 = 0. 2.2.4 Exercit¸iu. S˘ a se arate c˘ a A : R3 −→ R2 ,

A(x1 , x2 , x3 ) = (x1 + 2x2 − x3 , x1 + x3 )

este transformare liniar˘ a.

60

Elemente de Algebr˘a Liniar˘a

Rezolvare. Fie α, β ∈ K ¸si x = (x1 , x2 , x3 ), y = (y1 , y2 , y3 ) vectori din R3 . Avem A(αx + βy) = A(α(x1 , x2 , x3 ) + β(y1 , y2 , y3 )) = A((αx1 , αx2 , αx3 ) + (βy1 , βy2 , βy3 )) = A(αx1 + βy1 , αx2 + βy2 , αx3 + βy3 ) = (αx1 + βy1 + 2(αx2 + βy2 ) − (αx3 + βy3 ), αx1 + βy1 + αx3 + βy3 ) = (αx1 + 2αx2 − αx3 , αx1 + αx3 ) + (βy1 + 2βy2 − βy3 , βy1 + βy3 ) = α(x1 + 2x2 − x3 , x1 + x3 ) + β(y1 + 2y2 − y3 , y1 + y3 ) = αA(x1 , x2 , x3 ) + βA(y1 , y2 , y3 ) = αAx + βAy. 2.2.5 Exercit¸iu. S˘ a se arate c˘ a A : R3 −→ R3 ,

A(x1 , x2 , x3 ) = (x2 +x3 , x1 +x3 , x1 +x2 )

este operator liniar.

y′

(x′ , y ′ )

r (x, y)

y r

α β

x′

x

Figura 2.1: Rotat¸ia planului de unghi α .

2.2.6 Exercit¸iu. S˘ a se arate c˘ a rotat¸ia planului de unghi α este un operator liniar. Indicat¸ie. Identific˘ am planul cu spat¸iul vectorial R2 . Expresia ˆın coordonate a rotat¸iei de unghi α este Rα : R2 −→ R2 : (x, y) 7→ (x′ , y ′ ), unde (v. Fig. 2.1)

61

Spat¸ii vectoriale finit-dimensionale

x′ = r cos(β + α) = r cos β cos α − r sin β sin α = x cos α − y sin α,

y ′ = r sin(β + α) = r cos β sin α + r sin β cos α = x sin α + y cos α, adic˘ a Rα (x, y) = (x cos α − y sin α, x sin α + y cos α). 2.2.7 Exercit¸iu. Fie V = { a0 x2 + a1 x + a2 | a0 , a1 , a2 ∈ R }

spat¸iul vectorial al polinoamelor de grad cel mult 2. S˘ a se arate c˘ a operatorul de derivare d d : V −→ V, (a0 x2 + a1 x + a2 ) = 2a0 x + a1 , dx dx este operator liniar. 2.2.8 Exercit¸iu. Compusa a dou˘ a transform˘ari liniare este transformare liniar˘ a. 2.2.9 Propozit¸ie. Dac˘ a A : V −→ W este o transformare liniar˘ a, atunci def

ker A = { x ∈ V | Ax = 0 }

este subspat¸iu al lui V, numit nucleul lui A, ¸si def

im A = { Ax | x ∈ V }

este subspat¸iu al lui W, numit imaginea lui A. Demonstrat¸ie. Avem  x, y ∈ kerA =⇒ A(αx + βy) = αAx + βAy = 0 =⇒ αx + βy ∈ ker A. α, β ∈ K Dac˘a v, w ∈ im A, atunci exist˘a x, y ∈ V ˆıncˆ at v = Ax ¸si w = Ay. Oricare ar fi α, β ∈ K, avem αv + βw = αAx + βAy = A(αx + βy), ceea ce arat˘ a c˘ a αv + βw ∈ im A. 2.2.10 MATHEMATICA: Baz˘a ˆın ker A In[1]:=MatrixForm[{{1, 2, 3}, {2, 4, 6}, {3, 6, 9}}]

7→

In[2]:=NullSpace[{{1, 2, 3}, {2, 4, 6}, {3, 6, 9}}]

7→



1  Out[1]= 2 3

2 4 6



3  6  9

Out[2]={{−3,0,1},{−2,1,0}}

62

Elemente de Algebr˘a Liniar˘a

2.2.11 Teorem˘ a. Dac˘ a V este un spat¸iu vectorial finit-dimensional ¸si A : V −→ W

o transformare liniar˘ a, atunci

dim V = dim Ker A + dim Im A. Demonstrat¸ie. Fie B0 = {v1 , v2 , ..., vk } o baz˘ a a subspat¸iului ker A, unde k = dim Ker A. Acest sistem de vectori liniar independent¸i ˆıl prelungim pˆ an˘ a la o baz˘ a a lui V B = {v1 , v2 , ..., vk , vk+1 , vk+2 , ..., vn }, unde n = dim V. Vom ar˘ ata c˘ a

B ′ = {Avk+1 , Avk+2 , ..., Avn }

este o baz˘ a a subspat¸iului im A. ′ B este sistem de vectori liniar independent¸i: Din αk+1 Avk+1 + αk+2 Avk+2 + · · · + αn Avn = 0 rezult˘ a A(αk+1 vk+1 + αk+2 vk+2 + · · · + αn vn ) = 0, ceea ce arat˘ a c˘ a αk+1 vk+1 + αk+2 vk+2 + · · · + αn vn ∈ ker A. Sistemul de vectori B0 fiind o baz˘ a ˆın ker A, rezult˘ a c˘ a exist˘a α1 , α2 , ..., αk ∈ K astfel ˆıncˆ at αk+1 vk+1 + αk+2 vk+2 + · · · + αn vn = α1 v1 + α2 v2 + · · · + αk vk , adic˘ a α1 v1 + α2 v2 + · · · + αk vk − αk+1 vk+1 − αk+2 vk+2 − · · · − αn vn = 0. Deoarece B este baz˘ a ˆın V, acest˘ a relat¸ie este posibil˘ a doar ˆın cazul α1 = α2 = · · · = αk = αk+1 = αk+2 = · · · = αn = 0, ceea ce arat˘ a c˘ a B ′ este sistem de vectori liniar independent¸i. B ′ este sistem de generatori: Oricare ar fi y ∈ im A exist˘a x ∈ V astfel ˆıncˆ at y = Ax. Plecˆ and de la reprezentarea x = λ1 v1 + λ2 v2 + · · · + λn vn a lui x ˆın baza B se obt¸ine y = Ax = λ1 Av1 + λ2 Av2 + · · · + λk Avk + λk+1 Avk+1 + · · · + λn Avn = 0 + 0 + · · · + 0 + λk Avk + λk+1 Avk+1 + · · · + λn Avn ,

63

Spat¸ii vectoriale finit-dimensionale ceea ce arat˘ a c˘ a B ′ este sistem de generatori pentru im A. 2.2.12 Exercit¸iu. Fie aplicat¸ia liniar˘ a A : R3 −→ R4 , A(x1 , x2 , x3 ) = (x1 + x2 + x3 , x1 − x3 , 2x1 + x2 , x2 + 2x3 ). Descriet¸i ker A ¸si im A indicˆ and baze ˆın aceste subspat¸ii. Rezolvare. Avem     ker A = (x1 , x2 , x3 )   

x1 + x2 + x3 x1 − x3 2x 1 + x2 x2 + 2x3

=0 =0 =0 =0

      

= { α(1, −2, 1) | α ∈ R }.

Rezult˘a c˘ a {(1, −2, 1)} este baz˘ a ˆın ker A. Complet˘am aceast˘ a baz˘ a pˆ an˘ a la baza 3 {(1, −2, 1), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} a lui R . Din demonstrat¸ia teoremei precedente rezult˘ a c˘a {A(0, 1, 0), A(0, 0, 1)} = {(1, 0, 1, 1), (1, −1, 0, 2)} este baz˘ a a subspat¸iului vectorial im A. 2.2.13 Exercit¸iu. Fie operatorul liniar P : R2 −→ R2 ,

A(x1 , x2 ) = (x1 , 0).

Descriet¸i ker P ¸si im P indicˆ and baze ˆın aceste subspat¸ii. 2.2.14 Propozit¸ie. Fie A : V −→ W o transformare liniar˘ a. a) Transformarea A este injectiv˘ a dac˘ a ¸si numai dac˘ a Ker A = {0}. b) Transformarea A este surjectiv˘ a dac˘ a ¸si numai dac˘ a Im A = W. Demonstrat¸ie. a) S ¸ tim c˘ a A0 = 0. Dac˘a A este injectiv˘ a, atunci Ax = 0 implic˘ a x = 0 ¸si deci Ker A = {0}. Invers, dac˘ a Ker A = {0}, atunci Ax = Ay =⇒ Ax − Ay = 0 =⇒ A(x − y) = 0 =⇒ x − y = 0 =⇒ x = y. b) Afirmat¸ia rezult˘ a din definit¸ia subspat¸iului Im A. 2.2.15 Exercit¸iu. Dac˘a A : V −→ W este o transformare liniar˘ a injectiv˘ a, atunci {v1 , v2 , ..., vn } este sistem de vectori liniar independent¸i ˆın V dac˘ a ¸si numai dac˘ a {Av1 , Av2 , ..., Avn } este sistem de vectori liniar independent¸i ˆın W. Rezolvare. Fie {v1 , v2 , ..., vn } un sistem de vectori liniar independent¸i. Relat¸ia

64

Elemente de Algebr˘a Liniar˘a

α1 Av1 + α2 Av2 + ... + αn Avn = 0, care se mai poate scrie A(α1 v1 + α2 v2 + ... + αn vn ) = 0, conduce la relat¸ia α1 v1 + α2 v2 + ... + αn vn = 0, din care rezult˘ a α1 = α2 = ... = αn = 0. Invers, presupunˆ and c˘a {Av1 , Av2 , ..., Avn } este sistem de vectori liniar independent¸i, relat¸ia α1 v1 + α2 v2 + ... + αn vn = 0 implic˘ a α1 Av1 + α2 Av2 + ... + αn Avn = 0, relat¸ie care conduce la α1 = α2 = ... = αn = 0. 2.2.16 Propozit¸ie. Inversa unei aplicat¸ii liniare bijective este o aplicat¸ie liniar˘ a. Demonstrat¸ie. Fie A : V −→ W o aplicat¸ie liniar˘ a bijectiv˘ a. Oricare ar fi x, y ∈ W ¸si α, β ∈ K, are loc relat¸ia αx + βy = αA(A−1 x) + βA(A−1 y) = A(αA−1 x + βA−1 y) ¸si prin urmare A−1 (αx + βy) = αA−1 x + βA−1 y. 2.2.17 Definit¸ie. Prin izomorfism liniar se ˆınt¸elege o transformare liniar˘ a bijectiv˘ a. 2.2.18 Fie A : V −→ W o transformare liniar˘ a. Avem  Ker A = {0} A este izomorfism ⇐⇒ Im A = W. 2.2.19 Definit¸ie. Spunem c˘ a spat¸iile vectoriale V ¸si W sunt izomorfe dac˘ a exist˘a un izomorfism liniar A : V −→ W. 2.2.20 Teorem˘ a. Dou˘ a spat¸ii vectoriale (finit dimensionale) peste acela¸si corp K sunt izomorfe dac˘ a ¸si numai dac˘ a au aceea¸si dimensiune.

65

Spat¸ii vectoriale finit-dimensionale

Demonstrat¸ie. Fie V ¸si W spat¸ii vectoriale peste K izomorfe ¸si fie A : V −→ W un izomorfism liniar. Din relat¸iile Ker A = {0},

Im A = W,

dim V = dim Ker A + dim Im A

rezult˘ a c˘ a dim V=dim W. Invers, dac˘ a dim V=dim W = n, alegˆand o baz˘ a {v1 , v2 , ..., vn } ˆın V ¸si o baz˘ a {w1 , w2 , ..., wn } ˆın W, putem defini izomorfismul A : V −→ W,

A(α1 v1 + α2 v2 + · · · + αn vn ) = α1 w1 + α2 w2 + · · · + αn wn .

2.2.21 Privite doar ca spat¸ii vectoriale, spat¸iile izomorfe nu difer˘a prin nimc unul fat¸˘ a de altul, ¸si pot fi identificate. Ele sunt doar reprezent˘ari diferite ale aceluia¸si obiect matematic. ˆIn unele construct¸ii sau aplicat¸ii, anumite concretiz˘ ari ale unui spat¸iu vectorial pot fi mai utile decˆ at altele. 2.2.22 Teorem˘ a. Dac˘ a V este un spat¸iu vectorial peste K, atunci orice baz˘ a B = {v1 , v2 , ..., vn } a lui V (cu ordinea vectorilor fixat˘ a) define¸ste izomorfismul A : V −→ Kn ,

A(α1 v1 + · · · + αn vn ) = (α1 , · · · , αn )

care permite identificarea lui V cu Kn . Demonstrat¸ie. Aplicat¸ia A este liniar˘ a, Ker A = {0} ¸si Im A = Kn . 2.2.23 Pˆ an˘ a la un izomorfism, R, R2 , R3 , ... sunt toate spat¸iile vectoriale reale finit-dimensionale, iar C, C2 , C3 , ... sunt toate spat¸iile vectoriale complexe finit-dimensionale posibile. 2.2.24 Exercit¸iu. S˘ a se arate c˘ a aplicat¸ia A : R4 −→ M2×2 (R), este izomorfism liniar.

A(x1 , x2 , x3 , x4 ) =

x1 x2 x3 x4

!

66

Elemente de Algebr˘a Liniar˘a

2.2.25 Exercit¸iu. S˘ a se arate c˘ a spat¸iile vectoriale reale C ¸si R2 sunt izomorfe. Indicat¸ie. Aplicat¸ia A : C −→ R2 , A(x + yi) = (x, y) este un izomorfism liniar. 2.2.26 Definit¸ie. Fie V ¸si W spat¸ii vectoriale peste acela¸si corp K, BV = {v1 , v2 , ..., vm } baz˘ a ˆın V, BW = {w1 , w2 , ..., wn } baz˘ a ˆın W, A : V −→ W transformare liniar˘ a ¸si fie Avi = aji wj ,

adic˘ a Av1 = a11 w1 + a21 w2 + · · · + an1 wn , Av2 = a12 w1 + a22 w2 + · · · + an2 wn ,

Matricea

....................................................... Avm = a1m w1 + a2m w2 + · · · + anm wn . 

  A=  

a11

a12

a1m

···

a2m .. . anm

a21 a22 · · · .. .. . . . . . n n a1 a2 · · ·

     

este numit˘ a matricea lui A ˆın raport cu bazele BV ¸si BW . 2.2.27 ˆIn cazul unei aplicat¸ii A : V −→ V alegem, ˆın general, o singur˘a baz˘ a. 2.2.28 Orice vector x se poate reprezenta unic sub forma n X x i vi x = x i vi , adic˘ a x= i=1

¸si

Ax = A

m X i=1

x i vi

!

=

m X

xi Avi =

i=1

m X i=1



xi 

n X j=1

aji



wj  =

m n X X j=1

aji

xi

i=1

!

wj .

Transformarea A este complet determinat˘a de matricea corespunz˘atoare. 2.2.29 Utilizˆand notat¸iile x = xi vi = x1 v1 +x2 v2 + · · · +xm vm ,

y = y j wj = y 1 w1 +y 2 w2 + · · · +y n wn ,

67

Spat¸ii vectoriale finit-dimensionale

relat¸ia y = Ax se poate scrie sub forma  1   1 y a1 a12 · · ·  2   2  y   a1 a22 · · ·     . = . .. . .  ..   .. . .    yn



a1m

 a2m     ..   .  

an1 an2 · · ·

anm

x1



 x2   . ..  .  

xm

2.2.30 Exercit¸iu. S˘ a se determine matricea aplicat¸iei liniare A : R2 −→ R3 ,

A(x1 , x2 ) = (2x1 − 3x2 , x1 + 2x2 , x1 − x2 )

ˆın raport cu bazele {v1 = (1, 1), v2 = (1, −1)} ˆın Rezolvare. Din relat¸iile

R2 ,

{w1 = (1, 0, 0), w2 = (0, 1, 0), w3 = (0, 0, 1)} ˆın R3 .

Av1 = A(1, 1) = (−1, 3, 0) = −1 w1 + 3 w2 + 0 w3 Av2 = A(1, −1) = (5, −1, 2) = 5 w1 − 1 w2 + 2 w3 rezult˘ a c˘ a matricea c˘ autat˘ a este 

 A= 

−1

5



 3 −1  . 0 2

2.2.31 Propozit¸ie. Fie A : U −→ V, B : V −→ W dou˘ a aplicat¸ii liniare ¸si fie BU , BV ¸si BW baze ˆın spat¸iile vectoriale U , V ¸si W, respectiv. Matricea aplicat¸iei BA : U −→ W,

(BA)x = B(Ax)

ˆın raport cu bazele BU , BW este produsul dintre matricea aplicat¸iei B ˆın raport cu bazele BV , BW ¸si matricea aplicat¸iei A ˆın raport cu bazele BU , BV . Demonstrat¸ie. Fie BU = {u1 , u2 , ..., un }, BV = {v1 , v2 , ..., vm } ¸si BW = {w1 , w2 , ..., wp }. Dac˘a p m X X aji vj , Bvj = bkj wk , Aui = j=1

k=1

68

Elemente de Algebr˘a Liniar˘a

atunci (BA)ui = B(Aui ) = B =

Pm

j=1 aji

Pm

j=1 aji vj

Pp

k=1 bkj wk =

=

Pm

j=1 aji Bvj

Pp

k=1

P m

 b a j=1 kj ji wk .

ˆ cazul unei schimb˘ 2.2.32 Teorem˘ a. In ari de baz˘ a, matricea unui operator liniar A : V −→ V se transform˘ a conform formulei A′ = S −1 AS,

unde S este matricea de trecere de la baza veche la cea nou˘ a. a baze ˆın V, Demonstrat¸ie. Fie B = {v1 , v2 , ..., vn }, B′ = {v1′ , v2′ , ..., vn′ } dou˘   1 1 1 α1 α2 · · · αn  α2 α2 · · · α2   1 n  2 , unde vi′ = αji vj , S= . . .   . .. . . . .   . . αn1 αn2 · · · αnn

matricea de trecere de la  1 a1  a2  1 A=  ..  . an1

¸si



  A =   ′

a′ 11

baza a12 a22 .. . an2

B la B′ ¸si fie

··· ··· .. . ···

a′ 12 · · ·

a1n a2n .. . ann

  ,   

a′ 1n

a′ 22 · · · .. .. . .

a′ 2n .. .

a′ n1 a′ n2 · · ·

a′ nn

a′ 21 .. .



  ,  

unde

unde

Avi = aki vk ,

k

Avi′ = a′ i vk′ ,

matricele lui A ˆın raport cu bazele B ¸si respectiv B′ . Din relat¸iile   Avi′ = A αji vj = αji Avj = αji akj vk , Avi′ = a′ ji vj′ = a′ ji αkj vk

rezult˘ a c˘ a j

αkj a′ i = akj αji , adic˘ a relat¸ia SA′ = AS, care poate fi scris˘a sub forma A′ = S −1 AS.

69

Spat¸ii vectoriale finit-dimensionale

2.2.33 Definit¸ie. Fie V un spat¸iu vectorial peste K ¸si A : V −→ V un operator liniar. Spunem c˘a num˘ arul λ ∈ K este valoare proprie a lui A dac˘ a exist˘a un vector v 6= 0, numit vector propriu, astfel ˆıncˆ at Av = λv. 2.2.34 Propozit¸ie. Dac˘ a λ este valoare proprie a operatorului A : V −→ V, atunci Vλ = { x ∈ V | Ax = λx }

este subspat¸iu vectorial al lui V (numit subspat¸iul propriu corespunz˘ ator valorii proprii λ). Demonstrat¸ie. Avem ) x, y ∈ Vλ =⇒ α, β ∈ K

A(αx + βy) = αAx + βAy = αλx + βλy = λ(αx + βy).

2.2.35 Exercit¸iu. S˘ a se afle valorile proprii ale operatorului A : R3 −→ R3 ,

A(x1 , x2 , x3 ) = (x2 + x3 , x1 + x3 , x1 + x2 ),

¸si s˘ a se determine subspat¸iile proprii corespunz˘atoare. Rezolvare. Fie λ valoare proprie. Rezult˘a c˘a exist˘a x = (x1 , x2 , x3 ) 6= (0, 0, 0) ˆıncˆ at A(x1 , x2 , x3 ) = λ(x1 , x2 , x3 ), adic˘ a (x2 + x3 , x1 + x3 , x1 + x2 ) = (λx1 , λx2 , λx3 ), ceea ce este echivalent cu faptul c˘ a sistemul omogen  x + x3 = λx1    2 x1 + x3 = λx2    x1 + x2 = λx3 ,

adic˘ a

 −λx1 + x2 + x3 = 0    x1 − λx2 + x3 = 0    x1 + x2 − λx3 = 0

admite ¸si alte solut¸ii ˆın afar˘a de (x1 , x2 , x3 ) = (0, 0, 0). S¸tim c˘a acest lucru se ˆıntˆampl˘ a dac˘ a ¸si numai dac˘ a λ este astfel ˆıncˆ at

70

Elemente de Algebr˘a Liniar˘a

−λ 1 1 1 −λ 1 1 1 −λ

adic˘ a dac˘ a

= 0,

(2.8)

λ3 − 3λ − 2 = 0, relat¸ie care conduce la valorile proprii λ1 = λ2 = −1 ¸si λ3 = 2. Avem V−1 = { x ∈ R3 | Ax = −x }

= { (x1 , x2 , x3 ) | (x2 + x3 , x1 + x3 , x1 + x2 ) = (−x1 , −x2 , −x3 ) } = { (x1 , x2 , x3 ) | x1 + x2 + x3 = 0 } = { (α, β, −α − β) | α, β ∈ R } = { α(1, 0, −1) + β(0, 1, −1) | α, β ∈ R } ¸si V2 = { x ∈ R3 | Ax = 2x } = {(x1 , x2 , x3 ) | x1 = x2 = x3 } = {α(1, 1, 1) | α ∈ R }. 2.2.36 ˆIn raport cu baza canonic˘ a {(1, 0, 0),  0 1  A=  1 0 1 1

(0, 1, 0), (0, 0, 1)}, matricea lui A este  1  1  , 0

iar ecuat¸ia (2.8) s-a obt¸inut sc˘ azˆand λ din fiecare element situat pe diagonala principal˘a. Ecuat¸ia (2.8) se mai poate scrie det(A − λI) = 0,

unde

este matricea unitate.



1 0 0



   I= 0 1 0   0 0 1

71

Spat¸ii vectoriale finit-dimensionale

2.2.37 Propozit¸ie. Polinomul (numit polinomul caracteristic) a11 − λ a12 a a22 − λ 21 P (λ) = det(A − λI) = ··· ··· a a n1

n2

··· ··· ··· ···

··· ann − λ a1n a2n

asociat unui operator liniar A : V −→ V folosind matricea ˆıntr-o baz˘ a fixat˘ a, nu depinde de baza aleas˘ a.

Demonstrat¸ie. Avem det(A′ − λI) = det(S −1 AS − λI) = det(S −1 (A − λI)S) = detS −1 det(A − λI) detS =

1 detS

det(A − λI) detS = det(A − λI).

2.2.38 Deoarece P (λ) = (−1)n λn + (−1)n−1 (a11 + a22 + ... + ann )λn−1 + ... + det A, rezult˘ a c˘ a ˆın cazul unui operator liniar A : V −→ V, urma operatorului tr A = a11 + a22 + ... + ann ¸si det A, numere definite cu ajutorul unei baze, nu depind de baza aleas˘ a. 2.2.39 MATHEMATICA: Det[A], Tr[A],

CharacteristicPolynomial[A,t]

7→ 7→ In[3]:=CharacteristicPolynomial[{{1,2,3},{4,5,6},{7,8,9}},t] → 7

,

In[1]:=Det[{{1,2,3},{4,5,6},{7,8,9}}]

Out[1]=0

In[2]:=Tr[{{1,2,3},{4,5,6},{7,8,9}}]

Out[2]=15 Out[3]=18t+15t2 −t3

2.2.40 Propozit¸ie (Ciclicitatea urmei). Dac˘ a A, B, C : V −→ V sunt operatori liniari, atunci tr AB = tr BA

¸si

tr ABC = tr BCA = tr CAB.

Demonstrat¸ie. Dac˘a aji ¸si bji sunt elementele matricelor A ¸si B ˆıntr-o baz˘ a fixat˘a, atunci X j X tr AB = ai bij = bij aji = tr BA. i,j

i,j

Utilizˆand aceast˘ a proprietate a urmei, obt¸inem tr ABC = tr A(BC) = tr (BC)A = tr BCA, tr ABC = tr (AB)C = tr C(AB) = tr CAB.

72

Elemente de Algebr˘a Liniar˘a

2.2.41 Teorem˘ a. Fie V un spat¸iu vectorial peste K ¸si fie A : V −→ V un operator liniar. Num˘ arul λ ∈ K este valoare proprie a lui A dac˘ a ¸si numai dac˘ a este r˘ ad˘ acin˘ a a polinomului caracteristic, adic˘ a P (λ) = 0. Demonstrat¸ie. Conform definit¸iei, λ ∈ K este valoare proprie dac˘ a ¸si numai dac˘ a exist˘a x 6= 0 cu Ax = λx. ˆIntr-o baz˘ a fixat˘a, acest lucru este echivalent cu faptul c˘a sistemul   (a11 − λ)x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = 0      a21 x1 + (a22 − λ)x2 + · · · + a2n xn = 0  ...................................................      a x + a x + · · · + (a − λ)x = 0 n1 1 n2 2 nn n

are ¸si alte solut¸ii ˆın afar˘a de (0, 0, ..., 0), ceea ce are loc a11 − λ a12 ··· a1n a21 a22 − λ · · · a2n ··· ··· ··· ··· an1 an2 · · · ann − λ

dac˘ a ¸si numai dac˘ a = 0.

ˆIn cazul ˆın care V este spat¸iu vectorial real, numai r˘ ad˘ acinile reale ale polinomului caracteristic sunt valori proprii ale lui A. 2.2.42 Definit¸ie. Fie A : V −→ V un operator liniar. Spunem c˘a subspat¸iul W ⊆ V este subspat¸iu invariant dac˘ a A(W) ⊆ W, adic˘ a dac˘ a w ∈ W =⇒ Aw ∈ W. 2.2.43 Propozit¸ie. Subspat¸iile proprii ale unui operator liniar sunt invariante. Demonstrat¸ie. Fie A : V −→ V un operator liniar, λ o valoare proprie a lui A ¸si fie Vλ subspat¸iul propriu corespunz˘ ator. Dac˘a w ∈ Vλ , atunci Aw = λw ∈ Vλ . 2.2.44 Exercit¸iu. Ar˘atat¸i c˘ a ˆın cazul rotat¸iei de unghi α ˆın jurul axei Oz Rα : R3 −→ R3 ,

Rα (x, y, z) = (x cos α−y sin α, x sin α+y cos α, z)

73

Spat¸ii vectoriale finit-dimensionale z W1

O

y

W2

x Figura 2.2: Subspat¸iile invariante ale unei rotat¸ii ˆın jurul lui Oz. subspat¸iile W1 = { (0, 0, z) | z ∈ R }

(axa Oz),

W2 = { (x, y, 0) | x, y ∈ R }

(planul xOy)

sunt subspat¸ii invariante (v. Fig. 2.2). 2.2.45 Propozit¸ie. Dac˘ a subspat¸iul W ⊂ V de dimensiune m este subspat¸iu invariant al operatorului A : V −→ V, atunci exist˘ a o baz˘ a B = {e1 , e2 , ..., en } ˆın raport cu care matricea lui A are forma 

        A=        

a11

a12

···

a1m

a1m+1

···

a1n

a21

a22

···

a2m

a2m+1

···

a2n

···

···

···

···

···

···

···

amm

amm+1

···

amn

am1 am2 · · · 0

0

···

0

am+1,m+1 · · ·

am+1,n

0

0

···

0

am+2,m+1 · · ·

am+2,n

···

···

···

···

···

···

···

0

0

···

0

an,m+1

···

an,n



        .        

Demonstrat¸ie. Baza B se poate obt¸ine completˆ and o baz˘ a {e1 , e2 , ..., em } a lui W pˆ an˘ a la o baz˘ a a lui V. 2.2.46 Am ar˘ atat c˘ a valorile proprii ale operatorului A : R3 −→ R3 ,

A(x1 , x2 , x3 ) = (x2 + x3 , x1 + x3 , x1 + x2 ),

74

Elemente de Algebr˘a Liniar˘a

sunt λ1 = λ2 = −1, λ3 = 2 ¸si c˘ a subspat¸iile proprii corespunz˘atoare sunt V−1 = { α(1, 0, −1) + β(0, 1, −1) | α, β ∈ R } ¸si V2 = {α(1, 1, 1) | α ∈ R }. Matricea lui A ˆın raport cu baza {v1 = (1, 0, −1), v2 = (0, 1, −1), v3 = (1, 1, 1)} a lui R3 format˘ a din vectori proprii ai lui A are forma diagonal˘ a   −1 0 0    A=  0 −1 0  . 0 0 2 2.2.47 Propozit¸ie. Matricea unui operator liniar A : V −→ V ˆın raport cu o baz˘ a B este o matrice diagonal˘ a dac˘ a ¸si numai dac˘ a B este format˘ a doar din vectori proprii ai lui A. Demonstrat¸ie. Dac˘a B = {v1 , v2 , ..., vn } este o baz˘ a a lui V format˘a din vectori proprii ai lui A Avi = λi vi (unele dintre numerele λ1 , λ2 , ..., λn aceast˘ a baz˘ a este  λ1 0   0 λ2   A= 0  0   ··· ···  0

0

putˆ and fi egale), atunci matricea lui A ˆın 0

0

···

0

0

···

λ3

0

···

···

···

···

0

0

···

0



 0    0  .  ···   λn

Invers, dac˘ a matricea lui A ˆın raport cu o baz˘ a B = {w1 , w2 , ..., wn } are forma

75

Spat¸ii vectoriale finit-dimensionale

diagonal˘ a

atunci



α1

  0   A=  0   ···  0

0

0

0

···

α2

0

0

···

0

α3

0

···

···

···

···

···

0

0

0

···

0



 0    0  ,  ···  

αn

Awi = αi wi , oricare ar fi i ∈ {1, 2, ..., n}. Deoarece o baz˘ a nu poate cont¸ine vectorul nul, rezult˘ a c˘a w1 , w2 , ..., wn sunt vectori proprii ai lui A ¸si α1 , α2 , ..., αn valorile proprii corespunz˘ atoare. 2.2.48 Exercit¸iu. Nu exist˘a o baz˘ a ˆın raport cu care matricea operatorului A : R2 −→ R2 ,

A(x1 , x2 ) = (2x1 + x2 , 2x2 ),

s˘ a fie matrice diagonal˘ a. Rezolvare. Este suficient s˘ a ar˘ at˘ am c˘a nu exist˘a o baz˘ a a lui R2 format˘a din vectori proprii ai lui A. ˆIn raport cu baza canonic˘ a {e1 = (1, 0), e2 = (0, 1)}, matricea lui A este ! 2 1 A= . 0 2 Polinomul caracteristic

2−λ 1 P (λ) = 0 2−λ

= (2 − λ)2

admite r˘ ad˘ acinile λ1 = λ2 = 2. Singura valoare proprie este λ = 2 ¸si subspat¸iul propriu corespunz˘ ator este V2 = {(x1 , x2 ) ∈ R2 | A(x1 , x2 ) = 2(x1 , x2 ) } = {(x1 , x2 ) ∈ R2 | (2x1 + x2 , 2x2 ) = (2x1 , 2x2 ) }

= {(α, 0) | α ∈ R} = {α(1, 0) | α ∈ R},

ceea ce arat˘ a c˘ a tot¸i vectorii proprii ai lui A sunt de forma α(1, 0). Nu exist˘a doi vectori proprii liniar independent¸i care s˘ a formeze o baz˘ a a lui R2 .

76

Elemente de Algebr˘a Liniar˘a

2.2.49 Exercit¸iu. Rotat¸ia de unghi α a planului Rα : R2 −→ R2 ,

Rα (x, y) = (x cos α − y sin α, x sin α + y cos α),

admite valori proprii numai ˆın cazul ˆın care α ∈ mathbbZπ. 2.2.50 Studiul unui operator liniar devine mai u¸sor de realizat prin utilizarea unei baze ˆın raport cu care matricea lui este diagonal˘ a. O astfel de baz˘ a nu exist˘a ˆın toate cazurile. 2.2.51 Dac˘a exist˘a o baz˘ a ˆın raport cu care  α1 0 0   0 α2 0   0 α3 A=  0   ··· ··· ···  0

0

0

atunci r˘ ad˘ acinile polinomului caracteristic α1 − λ 0 0 0 ··· 0 α2 − λ 0 0 ··· 0 0 α3 − λ 0 · · · P (λ) = ··· ··· ··· ··· ··· 0 0 0 0 ···

matricea lui A este diagonal˘ a  0 ··· 0  0 ··· 0    0 ··· 0  ,  ··· ··· ···   0 · · · αn 0 = (α1 −λ)(α2 −λ) · · · (αn −λ) 0 · · · αn − λ 0

sunt α1 , α2 , ..., αn , ¸si apart¸in toate lui K (num˘ arul lor, ¸tinˆ and seama de multiplicit˘ a¸ti, este dim V).

2.2.52 Definit¸ie. Fie A : V −→ V un operator liniar ¸si λ o valoare proprie a lui A. Spunem c˘ a λ are multiplicitatea algebric˘ a k dac˘ a este r˘ ad˘ acin˘ a de ordinul k a polinomului caracteristic. Prin multiplicitate geometric˘ a a lui λ se ˆınt¸elege dimensiunea subspat¸iului propriu Vλ corespunz˘ator lui λ. 2.2.53 Propozit¸ie. Dac˘ a v1 , ..., vk sunt vectori proprii ai operatorului A : V −→ V corespunz˘ atori la valori proprii distincte λ1 , ..., λk ,

77

Spat¸ii vectoriale finit-dimensionale

Avi = λi vi , atunci {v1 , v2 , ..., vk } este sistem de vectori liniar independent¸i. Demonstrat¸ie (cazul n = 3). Din α1 v1 + α2 v2 + α3 v3 = 0

(2.9)

rezult˘ a A(α1 v1 + α2 v2 + α3 v3 ) = 0, adic˘ a relat¸ia α1 Av1 + α2 Av2 + α3 Av3 = 0, care se mai scrie α1 λ1 v1 + α2 λ2 v2 + α3 λ3 v3 = 0.

(2.10)

Adunˆ and relat¸ia (2.10) cu relat¸ia (2.9) ˆınmult¸it˘a cu (−λ3 ) se obt¸ine α1 (λ1 − λ3 )v1 + α2 (λ2 − λ3 )v2 = 0.

(2.11)

Aplicˆand operatorul A relat¸iei (2.11) obt¸inem α1 (λ1 − λ3 )λ1 v1 + α2 (λ2 − λ3 )λ2 v2 = 0.

(2.12)

Adunˆ and relat¸ia (2.12) cu relat¸ia (2.11) ˆınmult¸it˘a cu (−λ2 ) rezult˘ a α1 (λ1 − λ3 )(λ1 − λ2 )v1 = 0. Deoarece λ1 , λ2 , λ3 sunt distincte ¸si v1 = 6 0, rezult˘ a α1 = 0 ¸si apoi din (2.11) obt¸inem ˆ α2 = 0. Inlocuind ˆın (2.9) pe α1 ¸si α2 cu 0, deducem c˘a α3 = 0. 2.2.54 Din propozit¸ia anterioar˘ a rezult˘ a existent¸a formei diagonale ˆın cazul ˆın care r˘ ad˘ acinile polinomului caracteristic sunt distincte ¸si toate apart¸in corpului K peste care este considerat V. 2.2.55 Teorem˘ a. Fie V un spat¸iu vectorial peste K ¸si fie A : V −→ V un operator liniar. Exist˘ a o baz˘ a a lui V ˆın raport cu care matricea lui A este diagonal˘ a dac˘ a ¸si numai dac˘ a toate r˘ ad˘ acinile polinomului caracteristic apart¸in lui K ¸si pentru fiecare dintre ele multiplicitatea algebric˘ a este egal˘ a cu cea geometric˘ a. Demonstrat¸ie. (ˆın cazul a dou˘ a r˘ ad˘ acini λ1 6= λ2 cu multiplicit˘ a¸tile 2 ¸si respectiv 3). ˆIn cazul considerat dim V = 2+3 = 5, dim Vλ = 2 ¸si dim Vλ = 3. Fie {v1 , v2 } baz˘ a ˆın 2 1 Vλ1 = { x ∈ V | Ax = λ1 x }

78

Elemente de Algebr˘a Liniar˘a

¸si {w1 , w2 , w3 } baz˘ a ˆın Vλ2 = { x ∈ V | Ax = λ2 x }.

Este suficient s˘ a ar˘ at˘ am c˘ a {v1 , v2 , w1 , w2 , w3 } este baz˘ a ˆın V. Fie α1 v1 + α2 v2 + α3 w1 + α4 w2 + α5 w3 = 0.

(2.13)

Aplicˆand A obt¸inem λ1 (α1 v1 + α2 v2 ) + λ2 (α3 w1 + α4 w2 + α5 w3 ) = 0. Adunˆ and aceast˘ a relat¸ie cu relat¸ia (2.13) ˆınmult¸it˘a cu (−λ2 ), obt¸inem (λ1 − λ2 )(α1 v1 + α2 v2 ) = 0 de unde α1 = α2 = 0. ˆInlocuind ˆın (2.13), rezult˘ a α3 = α4 = α5 = 0. 2.2.56 Fiecare matrice

     

a11 a12 · · · a21 a22 · · · .. .. . . . . . an1 an2 · · ·

a1n a2n .. . ann



   ∈ Mn×n (K)  

poate fi privit˘ a ca fiind matricea ˆın raport cu baza canonic˘a B = {e1 = (1, 0, 0, ..., 0), e2 = (0, 1, 0, ..., 0), ... , en = (0, 0, ..., 0, 1)}

a operatorului liniar

A : Kn −→ Kn ,



   A  

x1





  x2     = ..   .   

xn

a11 a21 .. .

a12 · · ·

a22 · · · .. .

..

.

an1 an2 · · ·

a1n



 a2n     ..   .   ann

x1



 x2   . ..  .  

xn

2.2.57 Valorile proprii ai unei matrice A ∈ Mn×n (K) coincid cu valorile proprii ale operatorului liniar asociat A : Kn −→ Kn . 2.2.58 MATHEMATICA: Eigenvalues[A] , Eigenvectors[A] In[1]:=MatrixForm[{{0,1,1}, {1,0,1}, {1,1,0}}] In[2]:=Eigenvalues[{{0,1,1}, {1,0,1}, {1,1,0}}] In[3]:=Eigenvectors[{{0,1,1}, {1,0,1}, {1,1,0}}]

7→ 7→ 7 →



0

 Out[1]= 1

1

1 0 1

Out[2]={2,−1,−1}



1  1  0

Out[3]={{1,1,1},{−1,0,1},{−1,1,0}}

79

Spat¸ii vectoriale finit-dimensionale

2.2.59 O matrice A ∈ Mn×n (K) este diagonalizabil˘ a dac˘ a operatorul n n liniar asociat A : K −→ K este diagonalizabil.

2.3

Dualul unui spat¸iu vectorial

2.3.1 Definit¸ie. Fie V un spat¸iu vectorial peste corpul K. O funct¸ie ϕ : V −→ K este numit˘ a form˘ a liniar˘ a dac˘ a ∀x, y ∈ V, ∀α, β ∈ K.

ϕ(αx + βy) = αϕ(x) + βϕ(y),

2.3.2 Dac˘a B = {v1 , v2 , ..., vn } este baz˘ a ˆın V ¸si ϕ : V −→ K este form˘a liniar˘ a, atunci exist˘a numerele ϕi = ϕ(vi ), unic determinate, astfel ˆıncˆ at ϕ(x) = ϕi xi ,

adic˘ a

ϕ(xi vi ) = ϕi xi .

2.3.3 Definit¸ie. Fie V un spat¸iu vectorial peste K. Spat¸iul V ∗ = L(V, K), adic˘ a V ∗ = { ϕ : V −→ K | ϕ este form˘a liniar˘ a }

considerat ˆımpreun˘ a cu adunarea V ∗ ×V ∗ −→ V ∗ : (ϕ, ψ) 7→ ϕ+ψ,

unde

ϕ + ψ : V −→ K, (ϕ+ψ)(x) = ϕ(x)+ψ(x)

¸si ˆınmult¸irea cu scalari K × V ∗ −→ V ∗ : (λ, ϕ) 7→ λϕ,

unde

λϕ : V −→ K, (λϕ)(x) = λ ϕ(x)

este spat¸iu vectorial (numit dualul lui V). 2.3.4 Teorem˘ a Dac˘ a V este spat¸iu vectorial, atunci dim V ∗ = dim V.

Demonstrat¸ie Fie B = {v1 , ..., vn } o baz˘ a ˆın V. Ar˘at˘am c˘a B∗ = {v 1 , ..., v n }, unde  1 for i = j, i i i v : V −→ K, v (vj ) = δj = 0 for i 6= j, adic˘ a v i : V −→ K,

v i (x1 v1 + x2 v2 + · · · + xn vn ) = xi ,

80

Elemente de Algebr˘a Liniar˘a

este baz˘ a ˆın V ∗ . Fie α1 v 1 + α2 v 2 + · · · + αn v n = 0,

adic˘ a

(α1 v 1 + α2 v 2 + · · · + αn v n )(x) = 0,

∀x ∈ V,

sau echivalent α1 v 1 (x) + α2 v 2 (x) + · · · + αn v n (x) = 0,

∀x ∈ V.

Alegˆand x = v1 obt¸inem α1 = 0, aleg˘and x = v2 obt¸inem α2 = 0, etc. Dac˘a ϕ ∈ V ∗ , atunci notˆ and ϕi = ϕ(vi ) obt¸inem 1 2 ϕ(x) = ϕ(x v1 + x v2 + · · · + xn vn ) = x1 ϕ(v1 ) + x2 ϕ(v2 ) + · · · + xn ϕ(vn )

= v 1 (x) ϕ1 + v 2 (x) ϕ2 + · · · + v n (x) ϕn = (ϕ1 v 1 + ϕ2 v 2 + · · · + ϕn v n )(x),

oricare ar fi x ∈ V, adic˘ a ϕ = ϕ1 v 1 + ϕ2 v 2 + · · · + ϕn v n = ϕi v i .

2.3.5 Definit¸ie. Fie B = {v1 , v2 , ..., vn } o baz˘ a ˆın V. Baza lui V ∗ B∗ = {v 1 , v 2 , ..., v n },

format˘ a din formele liniare v i : V −→ K, definite prin  1 pentru i = j, i i v (vj ) = δj = 0 pentru i 6= j, adic˘ a din funct¸iile v i : V −→ K,

v i (x1 v1 + x2 v2 + · · · + xn vn ) = xi

este numit˘ a duala bazei B. 2.3.6 Dac˘a B = {v1 , v2 , ..., vn } este o baz˘ a ˆın V ¸si B∗ = {v 1 , v 2 , ..., v n } este duala ei x ∈ V =⇒ x = xi vi cu xi = v i (x) ∗ i ϕ ∈ V =⇒ ϕ = ϕi v cu ϕi = ϕ(vi ). 2.3.7 Dac˘a B = {v1 , v2 , ..., vn } este o baz˘ a ˆın V ¸si B∗ = {v 1 , v 2 , ..., v n } duala ei, atunci  1  x  x2    ¸si V ∗ −→ Kn : ϕ 7→ (ϕ1 ϕ2 ... ϕn ) V −→ Kn : x 7→  .   ..  xn

sunt izomorfisme care permit identificarea spat¸iilor V ¸si V ∗ cu Kn . Avem

81

Spat¸ii vectoriale finit-dimensionale



  ϕ(x) = (ϕi v i )(x) = ϕi xi = (ϕ1 ϕ2 ... ϕn )  

x1 x2 .. . xn



  . 

2.3.8 Teorem˘ a. Fie V spat¸iu vectorial peste corpul K, a baze ˆın V, B = {v1 , v2 , ..., vn }, B′ = {v1′ , v2′ , ..., vn′ } dou˘ ∗ 1 ′2 n ∗ 1 2 n ′ ′ ′ B = {v , v , ..., v }, B = {v , v , ..., v } dualele lor ¸si    β11 β21 · · · βn1 α11 α12 · · · α1n     β2 β2 · · · β2  α2 α2 · · · α2  n n  2 2  1  1 −1 , S = S= .   . .. .. . . .. . . ..    .. . . . . .  . .  .  n n n n n β1 β2 · · · βnn α1 α2 · · · αn matricele de trecere ˆıntre B ¸si B′ . Oricare ar fi x = xj vj = x′i v ′ i ∈ V

      

i

ϕ = ϕj v j = ϕ′i v ′ ∈ V ∗

¸si

avem vi′ = αji vj ,

v ′ i = βji v j ,

ϕ′i = αji , ϕj

x′i = βji xj .

(2.14)

Demonstrat¸ie. Avem xj vj = x′i vi′ = x′i αji vj

=⇒

xj = αji x′i

=⇒

βjk xj = βjk αji x′i = δik x′i = x′k .

Deoarece x′k = v ′ k (x) ¸si xj = v j (x), relat¸ia precedent˘a se poate scrie sub forma k

v ′ (x) = βjk v j (x)

sau

k

v ′ (x) = (βjk v j )(x).

Relat¸ia avˆand loc oricare ar fi x ∈ V, rezult˘ a c˘a k

v ′ = βjk v j . Utilizˆand liniaritatea lui ϕ obt¸inem ϕ′i = ϕ(vi′ ) = ϕ(αji vj ) = αji ϕ(vj ) = αji ϕj . 2.3.9 Definit¸ie. Dualul V ∗∗ = (V ∗ )∗ al dualului lui V ∗ este numit bidualul lui V.

82

Elemente de Algebr˘a Liniar˘a

2.3.10 Avem V ∗∗ = { f : V ∗ −→ K | f este form˘a liniar˘ a } ¸si dim V ∗∗ = dim V ∗ = dim V.

Spat¸iile V ¸si V ∗∗ avˆand aceea¸si dimensiune, pot fi identificate alegˆand cˆate o baz˘ a ˆın fiecare dintre ele. Evident, o astfel de identificare se face ˆıntr-o infinitate de feluri. Ar˘at˘ am c˘a exist˘a un mod natural de a identifica pe V cu ∗∗ V . Relat¸iile (2.14) arat˘ a existent¸a unei periodicit˘ a¸ti ˆın trecerea la dual. 2.3.11 Teorem˘ a Izomorfismul liniar Ψ : V −→ V ∗∗ : x 7→ Ψ[x], prin care x corespunde formei liniare Ψ[x] : V ∗ −→ K,

Ψ[x](f ) = f (x),

permite o identificare natural˘ a a lui V cu V ∗∗ . Demonstrat¸ie. Funct¸ia Ψ[x] apart¸ine spat¸iului V ∗∗ deoarece Ψ[x](αf + βg) = (αf + βg)(x) = α f (x) + β g(x) = α Ψ[x](f ) + β Ψ[x](g). Aplicat¸ia Ψ : V −→ V ∗∗ este transformare liniar˘ a Ψ[αx + βy](f ) = f (αx + βy) = αf (x) + βf (y) = (αΨ[x] + βΨ[y])(f ), oricare ar fi f ∈ V ∗ . Transformarea Ψ este injectiv˘ a deoarece Ψ[x] = 0

⇐⇒

Ψ[x](f ) = 0, ∀f ∈ V ∗

⇐⇒

f (x) = 0, ∀f ∈ V ∗ ,

adic˘ a ker Ψ = {0}. Din teorem˘ a dimensiunii rezult˘ a relat¸ia dim ker Ψ + dim im Ψ = dim V, care conduce la egalitatea im Ψ = V ∗∗ , echivalent˘a cu surjectivitatea lui Ψ.

83

Spat¸ii vectoriale finit-dimensionale

2.4

Sume de spat¸ii vectoriale

2.4.1 Propozit¸ie. Dac˘ a W1 ⊆ V ¸si W2 ⊆ V sunt subspat¸ii vectoriale, atunci W = W1 ∩ W2 este subspat¸iu vectorial al lui V. Demonstrat¸ie. Avem    x, y ∈ W1  x, y ∈ W αx + βy ∈ W1 =⇒ x, y ∈ W2 =⇒ =⇒ αx + βy ∈ W. α, β ∈ K αx + βy ∈ W2  α, β ∈ K

2.4.2 ˆIn general, reuniunea a dou˘ a subspat¸ii vectoriale ale unui spat¸iu vectorial V nu este un subspat¸iu vectorial. De exemplu, W1 = {(x, 0) | x ∈ R}

¸si

W2 = {(0, y) | y ∈ R}

sunt subspat¸ii vectoriale ale lui R2 , dar W = W1 ∪ W2 nu este subspat¸iu vectorial al lui R2 . ˆIntr-adev˘ ar, (1, 0) ∈ W ¸si (0, 1) ∈ W dar (1, 0) + (0, 1) = (1, 1) 6∈ W. 2.4.3 Propozit¸ie. Dac˘ a W1 ⊆ V ¸si W2 ⊆ V sunt subspat¸ii vectoriale, atunci def

W1 +W2 = {w1 +w2 | w1 ∈ W1 , w2 ∈ W2 } este un subspat¸iu vectorial al lui V. Demonstrat¸ie. Avem  ( w1 + w2 ∈ W1 + W2  α(w1 + w2 ) + β(w1′ + w2′ ) ′ ′ w1 + w2 ∈ W1 + W2 =⇒  = (αw1 + βw1′ ) + (αw2 + βw2′ ) ∈ W1 + W2 . α, β ∈ K

2.4.4 Definit¸ie. Fie W1 , W2 ⊆ V dou˘ a subspat¸ii vectoriale. Subspat¸iul vectorial W1 + W2 = {w1 + w2 | w1 ∈ W1 , w2 ∈ W2 } este numit suma direct˘ a a subspat¸iilor W1 ¸si W2 . 2.4.5 Exercit¸iu S˘ a se arate c˘ a: a) W1 = {(x, 0) | x ∈ R} este subspat¸iu vectorial al lui R2 ;

b) W1 = {(0, y) | y ∈ R} este subspat¸iu vectorial al lui R2 ;

c) W1 + W2 = R2 .

84

Elemente de Algebr˘a Liniar˘a

2.4.6 Teorema (dimensiunii). Dac˘ a W1 ¸si W2 sunt subspat¸ii vectoriale ˆın V, atunci dim (W1 +W2 ) = dim W1 + dim W2 − dim (W1 ∩W2 ). Demonstrat¸ie. Fie B0 = {u1 , u2 , ..., un }

o baz˘ a a spat¸iului vectorial W1 ∩ W2 pe care o complet˘ am pˆ an˘ a la o baz˘ a B1 = {u1 , u2 , ..., un , v1 , v2 , ..., vk } a spat¸iului vectorial W1 ¸si pˆ an˘ a la o baz˘ a B2 = {u1 , u2 , ..., un , w1 , w2 , ..., wm }

a spat¸iului vectorial W2 , unde n = dim (W1 ∩ W2 ),

n + k = dim W1 ,

n + m = dim W2 .

Este suficient s˘ a ar˘ at˘ am c˘ a B = {u1 , u2 , ..., un , v1 , v2 , ..., vk , w1 , w2 , ..., wm }

este o baz˘ a a lui W1 + W2 . B este sistem de generatori: Orice vector de forma x1 + x2 cu x1 ∈ W1 si x2 ∈ W2 este o combinatie liniara de vectorii lui B. B este sistem de vectori liniar independent¸i: Relat¸ia α1 u1 + ... + αn un + β1 v1 + ... + βk vk + γ1 w1 + ... + γm wm = 0

(2.15)

se poate scrie sub forma α1 u1 + ... + αn un + β1 v1 + ... + βk vk = −γ1 w1 − ... − γm wm . Egalitatea dintre vectorul α1 u1 + ... + αn un + β1 v1 + ... + βk vk apart¸inˆ and lui W1 si vectorul −γ1 w1 − ... − γm wm apart¸inˆ and lui W2 este posibil˘ a numai dac˘ a −γ1 w1 − ... − γm wm ∈ W1 ∩ W2 , adic˘ a dac˘ a exist˘a δ1 , δ2 , ..., δ1 ∈ K astfel ˆıncˆ at −γ1 w1 − γ2 w2 − ... − γm wm = δ1 u1 + δ2 u2 + ... + δn un . Scriind ultima relat¸ie sub forma δ1 u1 + δ2 u2 + ... + δn un + γ1 w1 + γ2 w2 + ... + γm wm = 0 ¸si ¸tinˆ and seama de faptul c˘ a B2 este baz˘ a ˆın W2 , rezult˘ a δ1 = δ2 = ... = δn = γ1 = γ2 = ... = γm = 0. Relat¸ia (2.15) devine

85

Spat¸ii vectoriale finit-dimensionale

α1 u1 + ... + αn un + β1 v1 + ... + βk vk = 0. Tinˆ and seama de faptul c˘ a B1 este baz˘ a ˆın W1 , obt¸inem α1 = α2 = ... = αn = β1 = β2 = ... = βk = 0. Prin urmare B este baz˘ a a lui W1 + W2 ¸si dim(W1 + W2 ) = n + k + m = dim W1 + dim W2 − dim (W1 ∩ W2 ). 2.4.7 Definit¸ie. Fie W1 , W2 dou˘ a subspat¸ii ale spat¸iului vectorial V. Spunem c˘ a suma W1 + W2 este direct˘ a ¸si utiliz˘ am notat¸ia W1 ⊕ W2 dac˘ a reprezentarea unui vector w ∈ W1 +W2 ca suma w = w1 +w2 a unui vector w1 ∈ W1 ¸si a unui vector w2 ∈ W2 este unic˘ a. 2.4.8 Propozit¸ie. Fie W1 , W2 ⊆ V dou˘ a subspat¸ii. Suma W1 + W2 este direct˘ a dac˘ a ¸si numai dac˘ a W1 ∩ W2 = {0}. Demonstrat¸ie. “=⇒” Dac˘a W1 ∩ W2 6= {0}, atunci exist˘a x ∈ W1 ∩ W2 nenul care admite reprezent˘ arile x = x + 0 ¸si x = 0 + x, ceea ce arat˘ a c˘a suma nu este direct˘ a. “⇐=” Fie subspat¸iile W1 ¸si W2 cu W1 ∩ W2 = {0}. Dac˘a v ∈ W1 + W2 admite reprezent˘ arile v = w1 + w2 cu w1 ∈ W1 ¸si w2 ∈ W2 , v = w1′ + w2′ cu w1′ ∈ W1 ¸si w2′ ∈ W2 , atunci w1 + w2 = w1′ + w2′ . Scriind aceast˘ a relat¸ie sub forma w1 − w1′ = w2 − w2′ din w1 − w1′ ∈ W1 , w2 − w2′ ∈ W2 ¸si W1 ∩ W2 = {0} deducem c˘a w1 − w1′ = 0, a c˘a suma este direct˘ a. a w1 = w1′ ¸si w2 = w2′ , ceea ce arat˘ w2 − w2′ = 0, adic˘ 2.4.9 Dac˘a W1 + W2 este sum˘a direct˘ a, atunci dim W1 ⊕ W2 = dim W1 + dim W2 .

86

Elemente de Algebr˘a Liniar˘a

2.4.10 Exercit¸iu. S˘ a se arate c˘ a R2 = {(x, 0) | x ∈ R} ⊕ {(0, y) | y ∈ R}. Rezolvare. Avem {(x, 0) | x ∈ R} + {(0, y) | y ∈ R} = R2

{(x, 0) | x ∈ R} ∩ {(0, y) | y ∈ R} = {(0, 0)}.

2.4.11 Exercit¸iu. S˘ a se arate c˘ a R3 = {(x, y, 0) | x, y ∈ R} + {(x, 0, z) | x, z ∈ R} dar suma nu este direct˘ a. Rezolvare. Orice vector (α, β, γ) ∈ R3 admite reprezentarea (α, β, γ) = (α, β, 0) + (0, 0, γ) cu (α, β, 0) ∈ {(x, y, 0) | x, y ∈ R} ¸si (0, 0, γ) ∈ {(x, 0, z) | x, z ∈ R}, dar {(x, y, 0) | x, y ∈ R} ∩ {(x, 0, z) | x, z ∈ R} = {(x, 0, 0) | x ∈ R}. 2.4.12 Exercit¸iu. S˘ a se arate c˘ a R2 = {(α, α) | α ∈ R} ⊕ {(0, β) | β ∈ R}.

Rezolvare. Orice vector (x, y) ∈ R2 admite reprezentarea (x, y) = (x, x) + (0, y − x)

cu (x, x) ∈ {(α, α) | α ∈ R} ¸si (0, y − x) ∈ {(0, β) | β ∈ R}. ˆIn plus {(α, α) | α ∈ R} ∩ {(0, β) | β ∈ R} = {(0, 0)}. 2.4.13 Exercit¸iu. S˘ a se arate c˘ a M3×3 (R) = {A ∈ M3×3 (R) | tA = A } ⊕ {A ∈ M3×3 (R) | tA = −A } unde tA este transpusa matricei A.

Indicat¸ie. Orice matrice A ∈ M3×3 (R) admite reprezentarea 1 1 A = (A + tA) + (A − tA) 2 2 cu t(A + tA) = A + tA ¸si t(A − tA) = −(A − tA).

87

Spat¸ii vectoriale finit-dimensionale

2.4.14 Am definit suma a dou˘ a spat¸ii vectoriale ˆın cazul ˆın care ambele sunt subspat¸ii ale unui spat¸iu vectorial dat. Ea poate fi privit˘a ca o sum˘a direct˘ a interioar˘ a. Suma direct˘ a a dou˘ a spat¸ii vectoriale se poate ˆıns˘ a defini ˆın cazul a dou˘ a spat¸ii vectoriale peste acela¸si corp, arbitrare ca o sum˘a exterioar˘ a. 2.4.15 Propozit¸ie. Dac˘ a V ¸si W sunt dou˘ a spat¸ii peste acela¸si corp K, atunci V × W = { (x, y) | x ∈ V, y ∈ W }, considerat ˆımpreun˘ a cu adunarea (x, y) + (x′ , y ′ ) = (x + x′ , y + y ′ ) ¸si ˆınmult¸irea cu scalari α(x, y) = (αx, αy) este un spat¸iu vectorial, notat cu V ⊕ W, ¸si dim(V ⊕ W) = dim V + dim W. Demonstrat¸ie. Dac˘a {v1 , v2 , ..., vn } ¸si {w1 , w2 , ..., wk } sunt baze ˆın V ¸si W, atunci { (v1 , 0), (v2 , 0), ..., (vn , 0), (0, w1 ), (0, w2 ), ..., (0, wk ) } este baz˘ a ˆın V ⊕ W. 2.4.16 Definit¸ie. Fie V ¸si W dou˘ a spat¸ii vectoriale peste acela¸si corp K. Spat¸iul vectorial def

V ⊕W = { (x, y) | x ∈ V, y ∈ W } este numit suma direct˘ a a spat¸iilor V ¸si W. 2.4.17 Spat¸iile V ¸si W pot fi identificate respectiv cu subspat¸iile { (x, 0) | x ∈ V },

{ (0, y) | y ∈ W }

ale spat¸iului V ⊕ W, ¸si avem { (x, 0) | x ∈ V } ∩ { (0, y) | y ∈ W } = {(0, 0)}, { (x, 0) | x ∈ V } + { (0, y) | y ∈ W } = V ⊕ W. 2.4.18 Exemplu. Avem R2 = R ⊕ R, R3 = R ⊕ R ⊕ R, ...

88

2.5

Elemente de Algebr˘a Liniar˘a

Produs tensorial de spat¸ii vectoriale

2.5.1 Pentru a defini produsul tensorial a dou˘ a spat¸ii vectoriale este preferabil ca spat¸iile s˘ a fie privite ca spat¸ii de funct¸ii. Un spat¸iu vectorial V peste K se poate identifica cu bidualul V ≡ (V ∗ )∗ = { f : V ∗ −→ K | f este form˘a liniar˘ a}

asociind fiec˘ arui vector x ∈ V forma liniar˘ a

x : V ∗ −→ K : ϕ 7→ ϕ(x).

Aceast˘a identificare are avantajul c˘a nu presupune alegerea unei baze. Alegˆand o baz˘ a {v1 , v2 , ..., vn } ¸si asociind fiec˘ arui vector x = xi vi funct¸ia x : {1, 2, ..., n} −→ K,

x(i) = xi ,

obt¸inem identificarea V ≡ { f : {1, 2, ..., n} −→ K | f este funct¸ie }. 2.5.2 Forma liniar˘ a x : V ∗ −→ K : ϕ 7→ ϕ(x) este complet determinat˘a de valorile luate pe baza dual˘ a {v 1 , v 2 , ..., v n } : v 1 (x) = x1 , v 2 (x) = x2 , ... , v n (x) = xn . Astfel, reprezent˘ arile alternative x : V ∗ −→ K

¸si

x : {1, 2, ..., n} −→ K

ale unui vector x ∈ V se pot obt¸ine una din cealalt˘a. 2.5.3 Definit¸ie. Fie V, W dou˘ a spat¸ii vectoriale peste acela¸si corp K. O aplicat¸ie Φ : V ∗ × W ∗ −→ K este numit˘ a form˘ a biliniar˘ a dac˘ a Φ(αϕ+βψ, η) = αΦ(ϕ, η)+βΦ(ψ, η), Φ(ϕ, αη+βµ) = αΦ(ϕ, η)+βΦ(ϕ, µ), oricare ar fi ϕ, ψ ∈ V ∗ , η, µ ∈ W ∗ ¸si α, β ∈ K.

89

Spat¸ii vectoriale finit-dimensionale

2.5.4 Produsul tensorial a doi vectori x ∈ V ¸si y ∈ W, identificat¸i cu formele liniare x : V ∗ −→ K : ϕ 7→ ϕ(x)

y : W ∗ −→ K : ψ 7→ ψ(y)

¸si

este forma biliniar˘a x ⊗ y : V ∗ × W ∗ −→ K,

(x⊗y)(ϕ, ψ) = ϕ(x) ψ(y)

Au loc relat¸iile (x+y)⊗z = x⊗z + y⊗z,

∀x, y ∈ V,

∀z ∈ W;

x⊗(y+z) = x⊗y + x⊗z,

∀x ∈ V, ∀y, z ∈ W;

(αx)⊗y = x⊗(αy) = α x⊗y,

∀x ∈ V,

∀y ∈ W, ∀α ∈ K.

2.5.5 Definit¸ie. Utilizˆand identific˘ arile V ≡ (V ∗ )∗ ¸si W ≡ (W ∗ )∗ , produsul tensorial al spat¸iilor vectoriale V ¸si W se define¸ste ca fiind spat¸iul vectorial V ⊗ W = { Φ : V ∗ ×W ∗ −→ K | Φ este form˘a biliniar˘a }

al tuturor formelor biliniare Φ : V ∗ ×W ∗ −→ K.

2.5.6 Teorem˘ a Fie V ¸si W dou˘ a spat¸ii vectoriale peste acela¸si corp K. Dac˘ a {v1 , v2 , ..., vn } este baz˘ a ˆın V ¸si {w1 , w2 , ..., wm } este baz˘ a ˆın W, atunci { vi ⊗wj | i ∈ {1, 2, ..., n}, j ∈ {1, 2, ..., m} } este baz˘ a ˆın V ⊗W, ¸si prin urmare, dim V ⊗W = dim V · dim W. Demonstrat¸ie. Dac˘a Φ : V ∗ ×W ∗ → K este o form˘a biliniar˘a, atunci

Φ(ϕ, ψ) = Φ(ϕ(vi )v i , ψ(wj )wj ) = Φ(v i , wj ) ϕ(vi ) ψ(wj ) = Φ(v i , wj ) vi ⊗ wj (ϕ, ψ)

oricare ar fi ϕ ∈ V ∗ ¸si ψ ∈ W ∗ , adic˘ a avem ij Φ = Φ vi ⊗ w j Dac˘a numerele αij ∈ K sunt astfel ˆıncˆ at ij α vi ⊗ wj = 0, adic˘ a

unde Φij = Φ(v i , wj ) αij vi ⊗ wj (ϕ, ψ) = 0

pentru orice ϕ ∈ V ∗ ¸si ψ ∈ W ∗ , atunci alegˆand ϕ = v k ¸si ψ = wℓ obt¸inem relat¸ia αij vi ⊗ wj (v k , wℓ ) = 0,

adic˘ a

αij v k (vi ) wℓ (wj ) = 0.

Deoarece v k (vi ) = δik ¸si wℓ (wj ) = δjℓ , obt¸inem αij = 0, oricare ar fi i, j.

90

Elemente de Algebr˘a Liniar˘a

2.5.7 O form˘ a biliniar˘a Φ : V ∗ ×W ∗ −→ K este complet determinat˘a de numerele Φij = Φ(v i , wj ), adic˘ a de funct¸ia Φ(i, j) = Φij .

Φ : {1, 2, ..., n} × {1, 2, ..., m} −→ K, Deoarece v i (x) = xi ¸si wj (y) = y j , formei biliniare x ⊗ y : V ∗ × W ∗ −→ K,

(x⊗y)(ϕ, ψ) = ϕ(x) ψ(y)

ˆıi corespunde funct¸ia x ⊗ y : {1, 2, ..., n} × {1, 2, ..., m} −→ K,

(x⊗y)(i, j) = xi y j ,

adic˘ a funct¸ia x ⊗ y : {1, 2, ..., n} × {1, 2, ..., m} −→ K,

(x⊗y)(i, j) = x(i) y(j),

¸si are loc relat¸ia (x⊗y)ij = xi y j . 2.5.8 Utilizˆand identific˘ arile V ≡ { f : {1, 2, ..., n} −→ K | f este funct¸ie },

W ≡ { g : {1, 2, ..., m} −→ K | g este funct¸ie }, produsul tensorial al spat¸iilor V ¸si W se define¸ste ca fiind spat¸iul vectorial V ⊗W = { Φ : {1, 2, ..., n} × {1, 2, ..., m} −→ K | Φ este funct¸ie } al tuturor funct¸iilor de forma Φ : {1, 2, ..., n} × {1, 2, ..., m} −→ K. 2.5.9 ˆIn unele aplicat¸ii ˆın mecanica cuantic˘a se prefer˘ a pentru baze index˘arile {v0 , v1 , ..., vn−1 }, {w0 , w1 , ..., wm−1 } care conduc la identific˘ arile V ≡ { f : {0, 1, ..., n−1} −→ K | f este funct¸ie },

W ≡ { g : {0, 1, ..., m−1} −→ K | g este funct¸ie }, ¸si prin urmare la V ⊗W = { Φ : {0, 1, ..., n−1} × {0, 1, ..., m−1} −→ K | Φ este funct¸ie }.

Spat¸ii vectoriale finit-dimensionale

91

2.5.10 Dac˘a represent˘ am spat¸iile V ¸si W ca spat¸ii de polinoame V ≡ {α0 +α1 X +· · ·+αn−1 X n−1 | α0 , α1 , ..., αn−1 ∈ K },

W ≡ {β0 +β1 Y +· · ·+βm−1 Y m−1 | β0 , β1 , ..., βm−1 ∈ K },

atunci produsul lor tensorial este spat¸iul vectorial     n−1 X X m−1 i j γij X Y γij ∈ K V ⊗W =   i=0 j=0

al polinoamelor de grad cel mult n−1 ˆın raport cu X ¸si m−1 ˆın raport cu Y . ˆIn aceast caz, produsul tensorial a doi vectori (α0 + α1 X + · · · + αn−1 X n−1 ) ⊗ (β0 + β1 Y + · · · + βm−1 Y m−1 ) este produsul uzual (α0 + α1 X + · · · + αn−1 X n−1 )(β0 + β1 Y + · · · + βm−1 Y m−1 ) al celor dou˘ a polinoame. Sistemele {1, X, ..., X n−1 } ¸si {1, Y, ..., Y m−1 } sunt baze ˆın V ¸si W, iar { X i Y j | i ∈ {0, 1, ..., n−1}, j ∈ {0, 1, ..., m−1} } este baz˘ a ˆın V ⊗ W . 2.5.11 ˆIn V ⊗W exist˘a elemente care nu sunt de forma x ⊗ y. De exemplu, ˆın cazul V = W = C2 , elementul v1 = (1, 0), v1 ⊗v2 +v2 ⊗v1 cu v2 = (0, 1), apart¸ine spat¸iului C2 ⊗C2 , dar nu exist˘a x = αv1 + βv2 cu v1 ⊗v2 +v2 ⊗v1 = x⊗y, y = γv1 + δv2 deoarece α, β, γ, δ ar trebui s˘ a satisfac˘a relat¸iile contradictorii αγ = 0 = βδ, αδ = 1 = βγ. 2.5.12∗ Definit¸ie. Spunem c˘ a Φ ∈ V ⊗W este separabil (unentangled, ˆın englez˘ a) dac˘ a exist˘a x ∈ V ¸si y ∈ W astfel ˆıncˆ at Φ = x ⊗ y. ˆIn cazul opus, spunem c˘a Φ este neseparabil (entangled, ˆın englez˘ a).

92

Elemente de Algebr˘a Liniar˘a

2.5.13 Alegˆand o baz˘ a {v1 , v2 , ..., vn } ˆın V ¸si o baz˘ a {w1 , w2 , ..., wm } ˆın W, produsul tensorial V ⊗ W se poate descrie ca fiind format din toate combinat¸iile liniare X Φ= Φij vi ⊗ wj cu Φij ∈ K. i,j

Deoarece Φ se mai poate scrie XX X X Φ= ( Φij vi ) ⊗ wj = vi ⊗ ( Φij wj ) j

i

i

j

rezult˘ a c˘ a orice element din V ⊗ W este o sum˘a de elemente separabile ) ( X xi ⊗yi xi ∈ V, yi ∈ W . V ⊗W = i

Fiec˘arui element Φ = Φij vi ⊗wj i se poate asocia ˆın mod natural matricea   11 Φ · · · Φ1m  ..  ∈ M .. Φ =  ... n×m (K). . .  n1 nm Φ ··· Φ

2.5.14 Deoarece x = x i vi y = y j wj



=⇒ x ⊗ y = xi y j vi ⊗ wj ,

matricea asociat˘ a produsului x ⊗ y  1 1 x y x1 y 2  x2 y 1 x2 y 2   .. ..  . .

este matricea de rangul 1  · · · x1 y m · · · x2 y m   ..  . .. . . 

xn y 1 xn y 2 · · ·

xn y m

Pe de alt˘ a parte, orice matrice de rangul 1 are aceast˘ a form˘a ( v. pag. 50-47). Un element Φ este separabil dac˘ a ¸si numai dac˘ a matricea Φ are rangul 1. 2.5.15 Matricea Φ asociat˘ a unui element Φ ∈ V ⊗ W depinde de bazele alese, dar rang Φ este independent de aceast˘ a alegere. ˆIn cazul ˆın care este mai mare decˆ at 1, num˘ arul ˆıntreg  11  Φ · · · Φ1m  ..  , .. rang Φ = rang  ... . .  Φn1 · · ·

Φnm

93

Spat¸ii vectoriale finit-dimensionale

numit rangul Schmidt, este o m˘ asur˘a a gradului de inseparabilitate al lui ij Φ = Φ vi ⊗ wj . El are o utilizare limitat˘ a deoarece rang : Mn×m (K) −→ N nu este funct¸ie continu˘ a. 2.5.16 Fiecare baz˘ a {v1 , v2 , ..., vn } a unui spat¸iu vectorial V (cu vectorii ˆıntr-o ordine fixat˘a) define¸ste o reprezentare matriceal˘ a pentru elementele lui V  1  x  x2    x = x1 v1 +x2 v2 +· · ·+xn vn 7→ x =  .  = t(x1 x2 · · · xn ). .  .  xn ˆIn cazul produsului tensorial V ⊗ W, alegˆand ordinea lexicografic˘a

v1 ⊗w1 , v1 ⊗w2 , ..., v1 ⊗wm , v2 ⊗w1 , v2 ⊗w2 , ..., v2 ⊗wm , ..., vn ⊗wm pentru elementele bazei, putem asocia lui Φ = Φ11 v1 ⊗w1 + · · · + Φ1m v1 ⊗wm + Φ21 v2 ⊗w1 + · · · + Φnm vn ⊗wm matricea coloan˘ a Φ = t(Φ11 Φ12 · · · Φ1m Φ21 Φ22 · · · Φ2m · · · Φn1 Φn2 · · · Φnm ). Matricea lui x ⊗ y este produsul tensorial al matricelor corespunz˘atoare lui x ¸si y. De exemplu, ˆın reprezentare matriceal˘ a, relat¸ia (x1 v1 +x2 v2 ) ⊗ (y 1 w1 +y 2 w2 ) = x1 y 1 v1 ⊗ w1 +x1 y 2 v1 ⊗ w2 devine

+ x2 y 1 v2 ⊗ w1 +x2 y 2 v2 ⊗ w2

 1 y1 x  1   1   x1 y 2  y x  = ⊗ 2 2  x2 y 1  . y x x2 y 2 

2.5.17 Am prezentat dou˘ a reprezent˘ari matriceale pentru elementele lui V ⊗ W. De exemplu, Φ = Φ11 v1 ⊗ w1 + Φ12 v1 ⊗ w2 + Φ21 v2 ⊗ w1 + Φ22 v2 ⊗ w2 admite reprezent˘ arile matriceale  11  Φ !  Φ12  Φ11 Φ12  ¸si Φ= Φ=  Φ21  . Φ21 Φ22 Φ22

94

Elemente de Algebr˘a Liniar˘a

2.5.18 Definit¸ie. Fie A : V −→ V ¸si B : W −→ W doi operatori liniari. Deoarece orice element Φ ∈ V ⊗ W este sum˘a de elemente de forma x ⊗ y, relat¸ia (A⊗B) (x⊗y) = (Ax)⊗(By) define¸ste operatorul liniar A⊗B : V ⊗ W −→ V ⊗W, X X (A⊗B) xi ⊗yi = (Axi )⊗(Byi ), i

i

numit produsul tensorial al operatorilor A ¸si B.

2.5.19 Din relat¸ia ((A⊗B)(x ⊗ y))(ϕ, ψ) = ((Ax) ⊗ (By))(ϕ, ψ) = ϕ(Ax) ψ(By) = (x ⊗ y)(ϕ◦A, ψ◦B)

rezult˘ a c˘ a

((A⊗B)Φ)(ϕ, ψ) = Φ(ϕ◦A, ψ◦B), P oricare ar fi Φ = i xi ⊗yi ∈ V ⊗ W.

2.5.20 Propozit¸ie. Dac˘ a A, C ∈ L(V) ¸si B, D ∈ L(W), atunci (A ⊗ B)(C ⊗ D) = (AC) ⊗ (BD). Demonstrat¸ie. Egalitatea are loc pentru orice vector de forma x ⊗ y din V ⊗ W (A ⊗ B)(C ⊗ D)(x ⊗ y) = (A ⊗ B) (Cx) ⊗ (Dy) = (ACx) ⊗ (BDy) = (AC) ⊗ (BD)(x ⊗ y). 2.5.21 Fie {v1 , v2 , ..., vn } baz˘ a ˆın V ¸si {w1 , w2 , ..., wm } baz˘ a ˆın W. Matricea operatorului liniar T : V ⊗ W −→ V ⊗ W este   ij T = Tkℓ , 1≤i,k≤n, 1≤j,ℓ≤m

cu elementele ij Tkℓ = (v i ⊗ wj )(T (vk ⊗ wℓ ))

satisf˘ acˆ and relat¸ia T (vk ⊗ wℓ ) =

n X m X i=1 j=1

ij Tkℓ vi ⊗ wj .

95

Spat¸ii vectoriale finit-dimensionale

2.5.22 Propozit¸ie. Dac˘ a A ∈ L(V) ¸si B ∈ L(W), atunci matricea lui A ⊗ B este produsul tensorial al matricelor corespunz˘ atoare lui A ¸si B. Demonstrat¸ie. Fie {v1 , v2 , ..., vn } baz˘ a ˆın V ¸si {w1 , w2 , ..., wm } baz˘ a ˆın W. Matricele lui A ¸si B sunt
A = Aik 1≤i,k≤n cu Avk = Aik vi , adic˘ a Aik = v i (Avk ),   B = Bℓj cu Bwℓ = Bℓj wj , adic˘ a Bℓj = v j (Bvℓ ). 1≤j,ℓ≤m

Avem

(A⊗B)(vk ⊗wℓ ) = (Avk )⊗(Bwℓ ) = Aik Bℓj vi ⊗wj = (A⊗B)ij kℓ vi ⊗wj , unde j i (A ⊗ B)ij kℓ = Ak Bℓ .

2.5.23 Dac˘a A ∈ L(V) ¸si B ∈ L(W), din relat¸ia (A⊗B)Φ = (A⊗B)(Φkℓ vk ⊗wℓ ) = Φkℓ (Avk )⊗(Bwℓ ) rezult˘ a c˘ a

kℓ = Φkℓ Aik Bℓj vi ⊗wj = (A ⊗ B)ij kℓ Φ vi ⊗wj kℓ ((A⊗B)Φ)ij = (A ⊗ B)ij kℓ Φ .

2.5.24 ˆIn cazul  1  x x= , x2

y=

obt¸inem





y1 y2



,

A=



A11 A12 A21 A22



A11 B11 A11 B21 A12 B11 A12 B21

, 

B=



x1 y 1

B11 B21 B12 B22



,



    A1 B 2 A1 B 2 A1 B 2 A1 B 2   x1 y 2  1 2 2 1 2 2    1 1 (A ⊗ B)(x ⊗ y) =   2 1  2 1 2 1 2 1 2 1  A B A B A B A B  x y  1 2 2 1 2 2    1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 A1 B1 A1 B2 A2 B1 A2 B2 x y =

A11 x1 + A12 x2

A21 x1 + A22 x2

!

⊗

B11 y 1 + B21 y 2

B12 y 1 + B22 y 2

!

= (Ax) ⊗ (By).

96

2.6

Elemente de Algebr˘a Liniar˘a

Tensori pe un spat¸iu vectorial

2.6.1 Fie V un spat¸iu vectorial peste corpul K, dou˘ a baze B = {e1 , e2 , ..., en } (baza veche), dualele lor

B′ = {e′1 , e′2 , ..., e′n }

∗

B∗ = {e1 , e2 , ..., en },

¸si matricele de trecere  α11 α12 · · ·   α2 α2 · · · 2  1 S= . .. ..  .. . .  αn1 αn2 · · ·

unde

α1n α2n .. . αnn

B′ = {e′1 , e′2 , ..., e′n },



   ,  

e′i = αji ej

(baza nou˘ a),

S

¸si

−1



   =  

β11

β21

β12 .. .

β22 .. .

···

βn1

··· .. .

βn2 .. .

β1n β2n · · ·

βnn



   ,  

ej = βji e′i .

(2.16)

Fiecare vector x ∈ V poate fi reprezentat ˆın B ¸si B′ xi = ei (x), x = xi ei = x′j e′j cu x′j = e′j (x), ¸si avem x′i = βji xj . Similar, fiecare form˘ a liniar˘ a ϕ ∈ V ∗ poate fi reprezentat˘a ˆın B∗ ¸si B′ ∗ ϕi = ϕ(ei ), ϕ = ϕi ei = ϕ′j e′j cu ϕ′j = ϕ(e′j ), ¸si avem ϕ′i = αji ϕj . 2.6.2 Dac˘a V este un spat¸iu vectorial peste corpul K, atunci asociind fiec˘ arui x ∈ V forma liniar˘ a (v. pag. 82-11) x : V ∗ −→ K,

x(ϕ) = ϕ(x),

obt¸inem un izomorfism V −→ (V ∗ )∗ care permite identificarea lui V cu (V ∗ )∗ . De aceea, plecˆ and de la definit¸ia

97

Spat¸ii vectoriale finit-dimensionale

V ⊗ V = { T : V ∗ ×V ∗ −→ K | T este form˘a biliniar˘a }, obt¸inem V ⊗ V ∗ = { T : V ∗ ×V −→ K | T este form˘a biliniar˘a },

V ∗ ⊗V ∗ = { T : V ×V −→ K | T este form˘a biliniar˘a }. 2.6.3 Fiecare element T ∈ V ⊗ V admite reprezent˘arile T ij = T (ei , ej ), cu T = T ij ei ⊗ ej = T ′kℓ e′k ⊗ e′ℓ T ′kℓ = T (e′k , e′ℓ ), ¸si avem T ′kℓ = βik βjℓ T ij . Fiecare element T ∈ V ⊗ V ∗ admite reprezent˘arile k

T = Tji ei ⊗ ej = T ′ ℓ e′k ⊗ e′ℓ

cu

¸si avem

Tji = T (ei , ej ), T ′ kℓ = T (e′k , e′ℓ ),

k

T ′ ℓ = βik αjℓ Tji . Fiecare element T ∈ V ∗ ⊗ V ∗ admite reprezent˘arile T = Tij ei ⊗ ej = T ′ kℓ e′k ⊗ e′ℓ

cu

Tij = T (ei , ej ), T ′ kℓ = T (e′k , e′ℓ ),

¸si avem T ′ kℓ = αik αjℓ Tij . 2.6.4 Definit¸ie. Un tensor de tip (p, q), adic˘ a de p ori contravariant ¸si q ori covariant, pe un spat¸iu vectorial V este un obiect matematic T descris ˆın fiecare baz˘ a a lui V de (dim V)p+q coordonate i i ...i

Tj11j22...jpq care la o schimbare de baz˘ a (2.16) se transform˘a conform relat¸iei i i ...i

i

m

k k ...k

q p m2 1 2 1 T ′ j11 j22 ...jpq = βki11 βki22 · · · βkpp αm j1 αj2 · · · αjq Tm1 m2 ...mq .

2.6.5 Un tensor este complet determinat de coordonatele lui ˆıntr-o baz˘ a fixat˘a. Dac˘a se cunosc coordonatele unui tensor ˆıntr-o baz˘ a, atunci pot fi calculate coordonatele lui ˆın oricare alt˘a baz˘ a.

98

Elemente de Algebr˘a Liniar˘a

2.6.6 Exemple. Elementele lui V sunt tensori de tipul (1, 0). Elementele lui V ∗ sunt tensori de tipul (0, 1). Elementele lui V ⊗ V sunt tensori de tipul (2, 0). Elementele lui V ⊗ V ∗ sunt tensori de tipul (1, 1). Elementele lui V ∗ ⊗ V ∗ sunt tensori de tipul (0, 2). Numerele din K pot fi privite ca tensori de tip (0, 0). 2.6.7 Exercit¸iu. Obiectul matematic ale c˘arui coordonatele ˆın orice baz˘a sunt ( 1 dac˘ a i = j, Tji = δji = 0 dac˘ a i 6= j este un tensor de tipul (1, 1). k i m k Rezolvare. Avem T ′ ij = δji = βki αkj = βki αm j δm = βk αj Tm .

2.6.8 Propozit¸ie Orice operator liniar A : V −→ V este un tensor de tipul (1, 1). Coordonatele lui A ˆıntr-o baz˘ a B = {e1 , e2 , ..., en } sunt coeficient¸ii din dezvoltarea Aei = Aji ej . Demonstrat¸ie. Din Ae′i = A′ ji e′j obt¸inem relat¸ia A(αki ek ) = A′ ji αm j em , care poate fi scris˘a sub forma j

′ αki Aek = αm j A i em m ′j m ′j ¸si conduce la αki Am a αki Am a formul˘ a k em = αj A i em , adic˘ k = αj A i . Din acest˘ j s k m s m ′ obt¸inem relat¸ia βm αi Ak = βm αj A i , echivalent˘a cu s

s A′ i = βm αki Am k , s αm A′ j = δ s A′ j = A′ s . deoarece βm i j j i i

2.6.9 Teorem˘ a. Orice aplicat¸ie (p+q)-liniar˘ a ∗ ∗ T :V × · · · × V }∗ × |V × V × {z· · · × V} −→ K | × V {z p ori

q ori

este un tensor de tipul (p, q) ale c˘ arui coordonate ˆın baza {e1 , e2 , ..., en } sunt i i ...i

Tj11j22...jpq = T (ei1 , ei2 , ..., eip , ej1 , ej2 , ..., ejq ).

99

Spat¸ii vectoriale finit-dimensionale

Mai mult, orice tensor de tipul (p, q) corespunde unei aplicat¸ii (p+q)-liniare ¸si numai uneia. Demonstrat¸ie. (ˆın cazul particular p = q = 1). Avem k

T ′ ℓ = T (e′k , e′ℓ ) = T (βik ei , αjℓ ej ) = βik αjℓ T (ei , ej ) = βik αjℓ Tji . Invers, utilizˆ and coordonatele Tji ˆıntr-o baz˘ a fixat˘a, putem defini aplicat¸ia biliniar˘a T : V ∗ × V −→ K,

T (ϕ, x) = T (ϕi ei , xj ej ) = Tji ϕi xj ,

independent de baza aleas˘ a T (ϕ′k e′ k , x′ ℓ e′ℓ ) = T ′ kℓ ϕ′k x′ ℓ = βak αbℓ Tba αik ϕi βjℓ xj = δai δjb Tba ϕi xj = Tji ϕi xj . 2.6.10 Propozit¸ie (Suma a doi tensori). i i ...i i i ...i Dac˘ a Aj11 j22 ...jpq ¸si Bj11 j22 ...jpq sunt coordonatele a doi tensori A ¸si B de tip (p, q), atunci i i ...i

i i ...i

i i ...i

Tj11j22...jpq = Aj11 j22 ...jpq + Bj11 j22 ...jpq sunt coordonatele unui tensor de tip (p, q), notat cu A + B, adic˘ a i i ...i

i i ...i

i i ...i

(A + B)j11 j22 ...jpq = Aj11 j22 ...jpq + Bj11 j22 ...jpq . Demonstrat¸ie. (cazul p = q = 1). Avem i

i

i

k i m k i m k k i m k T ′ j = A′ j + B ′ j = βki αm j Am + βk αj Bm = βk αj (Am + Bm ) = βk αj Tm .

2.6.11 Propozit¸ie (ˆInmult¸irea unui tensor cu un scalar). i i ...i Dac˘ a λ ∈ K ¸si Aj11 j22 ...jpq sunt coordonatele unui tensor A de tip (p, q), atunci i i ...i

i i ...i

Tj11j22...jpq = λAj11 j22 ...jpq sunt coordonatele unui tensor de tip (p, q), notat cu λA, adic˘ a i i ...i

i i ...i

(λA)j11 j22 ...jpq = λAj11 j22 ...jpq . i m k k Demonstrat¸ie. (cazul p = q = 1). Avem T ′ ij = λA′ ij = λβki αm j Am = βk αj Tm .

2.6.12 Propozit¸ie ( Produsul tensorial a doi tensori, ˆıntr-un caz particular). l sunt Dac˘ a Aijk sunt coordonatele unui tensor A de tip (1, 2) ¸si Bm coordonatele unui tensor B de tip (1, 1), atunci

100

Elemente de Algebr˘a Liniar˘a

il l Tjkm = Aijk · Bm

sunt coordonatele unui tensor de tip (2, 3), notat cu A ⊗ B, adic˘ a l (A ⊗ B)iljkm = Aijk · Bm .

Demonstrat¸ie. Avem il

i

l

ar . T ′ jkm = A′ jk · B ′ m = βai αbj αck Aabc βrl αsm Bsr = βai βrl αbj αck αsm Tbcs

Generalizarea definit¸iei produsului tensorial este imediat˘ a. 2.6.13 Produsul x ⊗ ϕ dintre un vector x ∈ V si o 1-form˘a ϕ ∈ V ∗ are coordonatele (x ⊗ ϕ)ij = xi ϕj , iar produsul tensorial x ⊗ y a doi vectori coordonatele (x ⊗ y)ij = xi y j . 2.6.14 Propozit¸ie (Contract¸ia unui tensor, ˆıntr-un caz particular). Fie Aij klm coordonatele unui tensor A de tip (2, 3). Numerele n X j Aij Tkm = kim i=1

sunt coordonatele unui tensor de tip (1, 2), obt¸inut prin contract¸ia lui A ˆın raport cu primul indice de contravariant¸˘ a ¸si al doilea indice de covariant¸a ˘.

Demonstrat¸ie. Avem P T ′ jkm = ni=1 A′ ij kim
j c r ab Pn Pn ab d j c r i d i = i=1 βa βbj αck αdi αrm Aab i=1 βa αi βb αk αm Acdr = δa βb αk αm Acdr cdr =

j c r Pn j c r ab b = βbj αck αrm δad Aab cdr = βb αk αm a=1 Acar = βb αk αm Tcr .

2.6.15 Operat¸ia de contract¸ie se poate face ˆın raport cu orice pereche de indici format˘ a dintr-un indice superior ¸si un indice inferior. 2.6.16 Exercit¸iu. S˘ a se arate c˘ a dac˘ a x ∈ V ¸si ϕ ∈ V ∗ , atunci num˘ arul γ = xi ϕi este un tensor de tip (0, 0), numit scalar.

Spat¸ii vectoriale finit-dimensionale

101

Rezolvare. Num˘ arul γ se obt¸ine prin contract¸ie din x⊗ϕ ¸si nu depinde de baza aleas˘ a n n X X βji αki xj ϕk = δjk xj ϕk = xj ϕj = γ. x′i ϕ′i = γ′ = i=1

i=1

Capitolul 3

Spat¸ii Hilbert finit-dimensionale 3.1

Spat¸ii cu produs scalar

3.1.1 Definit¸ie. Fie H un spat¸iu vectorial real (un spat¸iu vectorial peste R). Un produs scalar pe H este o aplicat¸ie h, i : H × H −→ R

care satisface urm˘atoarele trei condit¸ii: a) hx, αy + βzi = αhx, yi + βhx, zi, b) hx, yi = hy, xi, ∀x, y ∈ H; c) hx, xi ≥ 0, ∀x ∈ H ¸si hx, xi = 0 ⇐⇒ x = 0.

∀x, y, z ∈ H ¸si ∀α, β ∈ R;

3.1.2 Exemplu. Relat¸ia h(x1 , ..., xn ), (y1 , ..., yn )i = x1 y1 + · · · + xn yn =

n X

xk y k

k=1

define¸ste un produs scalar pe spat¸iul Rn , oricare ar fi n ∈ {1, 2, 3, ...}. 3.1.3 Definit¸ie. Fie H un spat¸iu vectorial complex (un spat¸iu vectorial peste C). Un produs scalar pe H este o aplicat¸ie h, i : H × H −→ C

care satisface urm˘atoarele trei condit¸ii:

104

Elemente de Algebr˘a Liniar˘a

a) hx, αy + βzi = αhx, yi + βhx, zi, ∀x, y ∈ H; b) hx, yi = hy, xi, c) hx, xi ≥ 0, ∀x ∈ H ¸si hx, xi = 0 ⇐⇒ x = 0.

∀x, y, z ∈ H ¸si ∀α, β ∈ C;

3.1.4 Exemplu. Relat¸ia h(x1 , ..., xn ), (y1 , ..., yn )i = x ¯1 y1 + · · · + x ¯n yn =

n X

x ¯k yk

k=1

define¸ste un produs scalar pe spat¸iul Cn , oricare ar fi n ∈ {1, 2, 3, ...}. 3.1.5 ˆIn cazul unui spat¸iu vectorial complex cu produs scalar ¯ zi. hαx + βy, zi = hz, αx + βyi = α ¯ hz, xi + β¯ hz, yi = α ¯ hx, zi + βhy, 3.1.6 Definit¸ie. Spunem despre doi vectori c˘a sunt coliniari dac˘ a unul dintre ei se poate obt¸ine ˆınmult¸indu-l pe cel˘alalt cu un scalar. 3.1.7 Teorem˘ a (Cauchy-Schwarz). a) Dac˘ a h, i : H×H −→ K este produs scalar, atunci |hx, yi|2 ≤ hx, xi hy, yi,

oricare ar fi x, y ∈ H. b) Egalitatea |hx, yi|2 = hx, xi hy, yi are loc dac˘ a ¸si numai dac˘ a x ¸si y sunt coliniari. Demonstrat¸ie. a) Relat¸ia are, evident, loc ˆın cazul y = 0. Dac˘a y 6= 0, atunci adic˘ a Alegˆand

hx + λy, x + λyi ≥ 0,

∀λ ∈ K,

¯ xi + λhx, yi + λλhy, ¯ yi ≥ 0, hx, xi + λhy, λ=−

relat¸ia devine hx, xi −

∀λ ∈ K.

hy, xi hy, yi

|hx, yi|2 |hx, yi|2 |hx, yi|2 − + ≥ 0, hy, yi hy, yi hy, yi

105

Spat¸ii Hilbert finit-dimensionale adic˘ a hx, xi hy, yi ≥ |hx, yi|2 . b) Dac˘a x = αy, atunci |hαy, yi|2 = hαy, αyi hy, yi,

Pentru y 6= 0, avem

x = αy

⇒

adic˘ a

|hx, yi|2 = hx, xi hy, yi.

hy, xi = hy, αyi = αhy, yi

⇒

α=

hy, xi . hy, yi

Dac˘a y 6= 0 ¸si |hx, yi|2 = hx, xi hy, yi, atunci 2   x − hy, xi y = x − hy, xi y, x − hy, xi y = 0 hy, yi hy, yi hy, yi ¸si prin urmare avem hy, xi x− y = 0, hy, yi adic˘ a hy, xi y. x= hy, yi

3.1.8 Definit¸ie. Fie H un spat¸iu vectorial peste corpul K. Prin norm˘ a pe H se ˆınt¸elege o aplicat¸ie

|| || : H −→ R cu propriet˘a¸tile: a) k x k≥ 0 oricare ar fi x ∈ H ¸si k x k= 0 ⇐⇒ x = 0; b) k αx k= |α| k x k, oricare ar fi α ∈ K, x ∈ H; c) k x+y k≤k x k + k y k, oricare ar fi x, y ∈ H. 3.1.9 Propozit¸ie. Dac˘ a h, i : H × H −→ K este produs scalar, atunci p || · || : H −→ R, ||x|| = hx, xi

este norm˘ a (numit˘ a norma asociat˘ a produsului scalar).

Demonstrat¸ie. Avem p ||x|| = hx, xi ≥ 0 ¸si ||x|| = 0 ⇐⇒ x = 0; p p ||αx|| = hαx, αxi = α¯ αhx, xi = |α| ||x||;

||x + y||2 = hx + y, x + yi = hx, xi + hx, yi + hy, xi + hy, yi

= ||x||2 + 2 Re hx, yi + ||y||2 ≤ ||x||2 + 2 |Re hx, yi| + ||y||2 ≤ ||x||2 + 2 |hx, yi| + ||y||2 ≤ ||x||2 + 2 ||x|| ||y|| + ||y||2

= (||x|| + ||y||)2

106

Elemente de Algebr˘a Liniar˘a

deoarece |Re (a + ib)| = |a| =

√

a2 ≤

p

a2 + b2 = |a + ib|.

3.1.10 Produsul scalar este complet determinat de norma asociat˘a. ˆIn cazul unui spat¸iu vectorial real 1 hx, yi = (||x + y||2 − ||x − y||2 ), ∀x, y ∈ H, 2 iar ˆın cazul unui spat¸iu vectorial complex 1 hx, yi = (||x+y||2 −||x−y||2 −i||x+iy||2 +i||x−iy||2 ), 4

∀x, y ∈ H.

3.1.11 Inegalitatea Cauchy-Schwarz se poate scrie sub forma |hx, yi| ≤ ||x|| ||y||. 3.1.12 Exemplu. Pe spat¸iul vectorial real R2 = {x = (x1 , x2 ) | x1 , x2 ∈ R } unde (x1 , x2 ) + (y1 , y2 ) = (x1 +y1 , x2 +y2 ), α(x1 , x2 ) = (αx1 , αx2 ), relat¸ia hx, yi = x1 y1 + x2 y2 define¸ste un produs scalar. Num˘arul p ||x|| = hx, xi, adic˘ a

||(x1 , x2 )|| =

q

x21 + x22

reprezint˘ a lungimea vectorului x = (x1 , x2 ). 3.1.13 ˆIn R2 , utilizˆ and formula cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b obtinem relat¸ia (a se vedea figura 3.2) hx, yi = x1 y1 +x2 y2 = ||x|| ||y|| (cos a cos b − sin a sin b) = ||x|| ||y|| cos(a−b)

107

Spat¸ii Hilbert finit-dimensionale

x2 e2

x

e1

x2

Figura 3.1: Lungimea vectorului x = (x1 , x2 ) din R2 . din care rezult˘ a c˘ a produsul scalar hx, yi a doi vectori x ¸si y este egal cu produsul lungimilor vectorilor ˆınmult¸it cu cosinusul unghiului dintre ei. ˆIn particular, vectorii sunt ortogonali (perpendiculari) dac˘ a ¸si numai dac˘ a hx, yi = 0.

x y

a b

Figura 3.2: Produsul scalar a doi vectori din R2 .

3.1.14 Plecˆ and de la produsul scalar a doi vectori nenuli calculat ˆın dou˘ a feluri q q h(x1 , y1 ), (x2 , y2 )i = x1 x2 + y1 y2 = x21 + y12 x22 + y22 cos α, putem deduce sinusul unghiului format de ei

108

Elemente de Algebr˘a Liniar˘a

sin α =

p

1 − cos2 α =

s

1−

|x1 y2 − x2 y1 | (x1 x2 + y1 y2 )2 p =p 2 (x21 + y12 )(x22 + y22 ) x1 + y12 x22 + y22

¸si apoi aria paralelogramului determinat de cei doi vectori   q q x y 1 1 2 2 2 2 . aria = x1 + y1 x2 + y2 sin α = det x2 y 2

3.1.15 Exemplu. Pe spat¸iul vectorial complex

C2 = {x = (x1 , x2 ) | x1 , x2 ∈ C } unde (x1 , x2 ) + (y1 , y2 ) = (x1 +y1 , x2 +y2 ), α(x1 , x2 ) = (αx1 , αx2 ), relat¸ia hx, yi = x ¯1 y1 + x ¯2 y2 define¸ste un produs scalar. Num˘arul p ||x|| = hx, xi, adic˘ a

||(x1 , x2 )|| =

p

|x1 |2 +|x2 |2

reprezint˘ a lungimea vectorului x = (x1 , x2 ). 3.1.16 Definit¸ie Prin distant¸˘ a pe o mult¸ime M 6= ∅ se ˆınt¸elege o aplicat¸ie d : M × M −→ R cu propriet˘a¸tile: a) d(x, y) ≥ 0 oricare ar fi x, y ∈ M ¸si d(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y; b) d(x, y) = d(y, x), oricare ar fi x, y ∈ M ; c) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), oricare ar fi x, y, z ∈ M. 3.1.17 Propozit¸ie. Dac˘ a h, i : H × H −→ K este produs scalar, atunci p d : H × H −→ R, d(x, y) = ||x−y|| = hx−y, x−yi este distant¸˘ a.

Demonstrat¸ie. Avem

109

Spat¸ii Hilbert finit-dimensionale

d(x, y) =k x−y k≥ 0 ¸si d(x, y) = 0 ⇔ k x−y k= 0 ⇔ x−y = 0 ⇔ x = y; d(x, y) =k x − y k=k (−1)(y − x) k= | − 1| k y − x k=k y − x k= d(y, x);

d(x, y) =k x−y k=k x−z+z−y k≤k x−z k + k z−y k= d(x, z)+d(z, y).

3.1.18 Definit¸ie. Un spat¸iu vectorial echipat cu o norm˘a este numit spat¸iu vectorial normat. O mult¸ime nevid˘ a echipat˘ a cu o distant¸˘a este numit˘ a spat¸iu metric. 3.1.19 Orice spat¸iu cu produs scalar are ¸si o structur˘a de spat¸iu vectorial normat. Orice spat¸iu normat are ¸si o structur˘a natural˘a de spat¸iu metric.

Spat¸ii cu produs scalar Spat¸ii normate Spat¸ii metrice Figura 3.3: Spat¸ii metrice. 3.1.20 MATHEMATICA: EuclideanDistance[{a, b, c}, {x, y, z}] In[1]:=EuclideanDistance[{a, b, c}, {x, y, z}]

7→Out[1]=

√

Abs[a−x]2 +Abs[b−y]2 +Abs[c−z]2 √ 7→ Out[2]=3 3

In[2]:=EuclideanDistance[{1,2,3}, {4,5,6}]

3.2

Baze ortonormate

3.2.1 Definit¸ie. Un vector unitar sau versor este un vector x cu ||x|| = 1. 3.2.2 Utilizˆand norma corespunz˘ atoare, inegalitatea Cauchy-Schwarz se poate scrie |hx, yi| ≤ ||x|| ||y||.

110

Elemente de Algebr˘a Liniar˘a ˆIn cazul unui spat¸iu vectorial real cu produs scalar, dac˘ a x 6= 0 ¸si y 6= 0, atunci hx, yi −1 ≤ ≤ 1. ||x|| · ||y|| Num˘ arul ϕ ∈ [0, π] cu proprietatea hx, yi cos ϕ = ||x|| · ||y|| reprezint˘ a unghiul dintre x ¸si y. Relat¸ia precedent˘a se mai poate scrie hx, yi = ||x|| ||y|| cos ϕ.

3.2.3 MATHEMATICA: VectorAngle[u,v] 7→ In[2]:=VectorAngle[{1, 1, 0}, {1, 1, 1}] 7→

Out[1]= π2

In[1]:=VectorAngle[{1, 2}, {2, -1}]

Out[2]=ArcCos

hq i 2 3

3.2.4 Definit¸ie. Fie H un spat¸iu cu produs scalar ¸si M ⊆ H o submult¸ime. Spunem c˘ a vectorii x, y ∈ H sunt ortogonali ¸si scriem x ⊥ y dac˘ a hx, yi = 0. Spunem c˘ a x ∈ H este ortogonal pe M ¸si scriem x ⊥ M dac˘ a x ⊥ y, ∀y ∈ M . 3.2.5 Dac˘a vectorii x, y ∈ H sunt ortogonali, atunci

||x+y||2 = hx+y, x+yi = hx, xi + hy, yi = ||x||2 + ||y||2 ,

adic˘ a ||x+y||2 = ||x||2 + ||y||2 . 3.2.6 Definit¸ie. Fie H un spat¸iu cu produs scalar ¸si {v1 , v2 , ..., vk } ⊂ H. Spunem c˘ a {v1 , v2 , ..., vk } este un system ortogonal dac˘ a hvi , vj i = 0

ˆın cazul i 6= j.

Spunem c˘ a {v1 , v2 , ..., vk } este un system ortonormat dac˘ a  1 ˆın cazul i = j, hvi , vj i = δij = 0 ˆın cazul i 6= j. 3.2.7 Versorul corespunz˘ ator vectorului x = (1, 2, 3) este q   √ 1 x = √1 (1, 2, 3) = √1 , 27 , √3 . 14 14 14 hx,xi

3.2.8 MATHEMATICA: Normalize[x] In[1]:=Normalize[{1, 2, 3}]

7→

Out[1]=



√1 , 14

q

2 √3 , 7 14



111

Spat¸ii Hilbert finit-dimensionale

3.2.9 Propozit¸ie. Orice sistem ortogonal de vectori nenuli este liniar independent. Demonstrat¸ie. Fie {v1 , v2 , ..., vk } un sistem ortogonal de vectori nenuli. Dac˘a atunci

α1 v1 + α2 v2 + · · · + αk vk = 0,

0 = hv1 , α1 v1 + α2 v2 + · · · + αk vk i = α1 hv1 , v1 i+ α2 hv1 , v2 i+ · · · + αk hv1 , vk i = α1 ||v1 ||2 . Deoarece v1 6= 0, obt¸inem α1 = 0. Similar, se poate deduce c˘a α2 = 0, ... , αk = 0.

x

Pw x

w

Figura 3.4: Proiect¸ia ortogonal˘ a lui x pe w.

3.2.10 Propozit¸ie. Proiect¸ia ortogonal˘ a a lui x pe w 6= 0 este hw, xi w. Pw x = hw, wi Demonstrat¸ie. Proiect¸ia ortogonal˘ a a lui x pe w este un vector de forma λw. Impunˆ and condit¸ia (x − λw) ⊥ w, obt¸inem relat¸ia hw, x − λwi = 0 care conduce la λ = hw, xi/hw, wi (v. Fig. 3.4). 3.2.11 Dac˘a ||w|| = 1, atunci proiect¸ia lui x pe w este vectorul Pw x = hw, xi w. 3.2.12 Proiect¸ia ortogonal˘ a a vectorului x = (1, 2, 3) pe w = (1, 1, 1) este P(1,1,1) (1, 2, 3) =

h(1,1,1),(1,2,3)i h(1,1,1),(1,1,1)i

(1, 1, 1) = (2, 2, 2).

3.2.13 MATHEMATICA: Projection[x, w] In[1]:=Projection[{1, 2, 3}, {1, 1, 1}]

7→

Out[1]=(2,2,2)

112

Elemente de Algebr˘a Liniar˘a

3.2.14 Teorem˘ a (Metoda de ortogonalizare Gram-Schmidt). Dac˘ a sistemul {u1 , u2 , ..., un } este liniar independent, atunci {w1 , w2 , ..., wn }, unde w1 = u1 , hw1 ,u2 i w2 = u2 − hw w1 , 1 ,w1 i ..............................

wn = un −

hw1 ,un i hw1 ,w1 i

w1 −

hw2 ,un i hw2 ,w2 i

w2 − · · · −

este un sistem ortonormat astfel ˆıncˆ at

hwn−1 ,un i hwn−1 ,wn−1 i

wn−1 ,

span {w1 , w2 , ... , wk } = span {u1 , u2 , ... , uk } oricare ar fi k ∈ {1, 2, ..., n}. Demonstrat¸ie. Avem   hw1 , u2 i hu2 , w1 i hw2 , w1 i = u2 − w1 , w1 = hu2 , w1 i − hw1 , w1 i = 0. hw1 , w1 i hw1 , w1 i

Similar, se poate ar˘ ata c˘ a orice vector wk este ortogonal pe w1 , w2 , ... , wk−1 . 3.2.15 Teorem˘ a (Metoda de ortonormalizare Gram-Schmidt). Dac˘ a sistemul {u1 , u2 , ..., un } este liniar independent, atunci {v1 , v2 , ..., vn }, unde v1 = ||uu11 || , v2 =

u2 −hv1 ,u2 i v1 ||u2 −hv1 ,u2 i v1 || ,

........................ vn =

un −hv1 ,un i v1 −hv2 ,un i v2 −···−hvn−1 ,un i vn−1 ||un −hv1 ,un i v1 −hv2 ,un i v2 −···−hvn−1 ,un i vn−1 || ,

este un sistem ortonormat astfel ˆıncˆ at span {v1 , v2 , ... , vk } = span {u1 , u2 , ... , uk } oricare ar fi k ∈ {1, 2, ..., n}. Demonstrat¸ie. Se poate verifica direct c˘a v2 ⊥ v1 , apoi v3 ⊥ v1 ¸si v3 ⊥ v2 , etc. 3.2.16 Ortonormalizˆand sistemul de vectori {(1, 1, 0), (1, 1, 1)} obt¸inem sistemul ortonormat  o n √1 , √1 , 0 , (0, 0, 1) . 2 2

113

Spat¸ii Hilbert finit-dimensionale

3.2.17 MATHEMATICA: Orthogonalize[{u1,u2,...,un}}] In[1]:=Orthogonalize[{{1, 1, 0}, {1, 1, 1}}]

7→

Out[1]=

nn

o o ,{0,0,1}

√1 , √1 ,0 2 2

3.2.18 Definit¸ie. O baz˘ a ortonormat˘ a este o baz˘ a {v1 , v2 , ... , vn } cu proprietatea hvi , vj i = δij , adic˘ a o baz˘ a format˘a din versori ortogonali. 3.2.19 Cu ajutorul metodei de ortonormalizare Gram-Schmidt, din orice baz˘ a se poate obt¸ine una ortonormat˘a. 3.2.20 Teorem˘ a Dac˘ a B = {v1 , v2 , ... , vn } este o baz˘ a ortonormat˘ a, atunci n X hvi , xivi x= i=1

¸si

hx, yi =

n X i=1

hx, vi i hvi , yi,

v u n uX ||x|| = t |hvi , xi|2 i=1

oricare ar fi vectorii x ¸si y.

Demonstrat¸ie. Orice vector x ∈ V se poate scrie ca o combinat¸ie liniar˘ a n X x i vi x= i=1

¸si avem

hvk , xi =

*

vk ,

n X

x i vi

i=1

hx, yi =

* n X i=1

+

=

n X i=1

hvi , xivi , y

||x||2 = hx, xi =

xi hvk , vi i =

+

=

n X

xi δik = xk

i=1

n X hx, vi i hvi , yi i=1

n n X X |hx, vi i|2 . hx, vi i hvi , xi = i=1

i=1

3.2.21 Exemplu. Sistemul {e1 = (1, 0), e2 = (0, 1)} este baz˘ a ortonormat˘a ˆın R2 ¸si (x1 , x2 ) = x1 (1, 0) + x2 (0, 1) = x1 e1 + x2 e2 = h(1, 0), (x1 , x2 )ie1 + h(0, 1), (x1 , x2 )ie2 = he1 , xie1 + he2 , xie2 .

114

Elemente de Algebr˘a Liniar˘a

  o n  este baz˘ a orto3.2.22 Exercit¸iu. S˘ a se arate c˘ a e′1 = √12 , √12 , e′2 = √12 , − √12 normat˘a ˆın R2 ¸si s˘ a se scrie vectorul x = (2, 3) ca o combinat¸ie liniar˘ a de e′1 ¸si e′2 .

Rezolvare. Avem he′1 , e′1 i = he′2 , e′2 i = 1,

he′1 , e′2 i = he′2 , e′1 i = 0

¸si x = he′1 , xie′1 + he′2 , xie′2 =

√5 e′ 2 1

−

√1 e′ . 2 2

3.2.23∗1 Definit¸ie. ˆIn spat¸iul Cd , considerat cu produsul scalar standard, despre dou˘ a baze {v1 , v2 , ..., vd }

¸si

{w1 , w2 , ..., wd }

spunem c˘ a sunt complementare (unbiased,ˆın englez˘ a) dac˘ a 1 oricare ar fi j, k ∈ {1, 2, ..., d}. |hvj , wk i| = √ , d 3.2.24∗ ˆIn C2 , oricare dou˘ a dintre bazele ortonormate B0 = {(1, 0), (0, 1, )} , n o B1 = √1 (1, 1), √1 (1, −1) , 2 n 2 o 1 1 B2 = √ (1, i), √ (1, −i) 2 2 sunt baze complementare.

3.2.25∗ ˆIn C3 , oricare dou˘ a dintre bazele ortonormate B0 = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} , n

o B1 = √1 (1, 1, 1), √1 1, ε, ε2 , √1 1, ε2 , ε , 3 3 n 3
1
o 1 1 2 B2 = √ (1, ε, ε) , √ 1, ε , 1 , √ 1, 1, ε2 , 3 3 n 3 o
1 1 2 2 B3 = √ 1, ε , ε , √ (1, ε, 1) , √1 (1, 1, ε) , 3 3 3 unde ε = e

2πi 3

2π = cos 2π 3 +i sin 3 , sunt baze complementare.

3.2.26∗ ˆIn C4 , oricare dou˘ a dintre bazele ortonormate 1

Paragrafele marcate cu * pot fi omise la o prim˘ a lectur˘ a.

115

Spat¸ii Hilbert finit-dimensionale

B0 = {(1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1)} , B1 = B2 = B3 = B4 =

1



1 1 1 2 (1, 1, 1, 1), 2 (1, 1, −1, −1), 2 (1, −1, −1, 1), 2 (1, −1, 1, −1) 1 1 1 1 2 (1, −1, −i, −i), 2 (1, −1, i, i), 2 (1, 1, i, −i), 2 (1, 1, −i, i) , 1 1 1 1 2 (1, −i−, i, −1), 2 (1, −i, i, 1), 2 (1, i, i, −1), 2 (1, i, −i, 1) , 1 1 1 1 2 (1, −i, −1, −i), 2 (1, −i, 1, i), 2 (1, i, −1, i), 2 (1, i, 1, −i)

,

sunt baze complementare.

3.2.27 Propozit¸ie. Fie H un spat¸iu cu produs scalar ¸si M ⊂ H o submult¸ime. Mult¸imea tuturor vectorilor ortogonali pe M M ⊥ = { x ∈ V | x ⊥ u, ∀u ∈ M } este un subspat¸iu vectorial. Demonstrat¸ie. Oricare ar fi x ∈ M , avem  x, y ∈ M ⊥ =⇒ hu, αx + βyi = αhu, xi + βhu, yi = 0, α, β ∈ K

¸si prin urmare αx + βy ∈ M ⊥ .

3.2.28 Teorem˘ a. Dac˘ a H este un spat¸iu cu produs scalar ¸si K ⊂ H un subspat¸iu vectorial, atunci H = K ⊕ K⊥ . p Demonstrat¸ie. Dac˘a x ∈ K ∩ K⊥ , atunci ||x|| = hx, xi = 0, ¸si prin urmare K ∩ K⊥ = {0}. Este suficient s˘ a ar˘ ata˘ am c˘ a dim K+dim K⊥ =dim H. Pornim de la o baz˘ a ortonormat˘a {v1 , v2 , ..., vk } a lui K ¸si o extindem pˆ an˘ a la o baz˘ a {v1 , v2 , ..., vk , u1 , u2 , ..., un−k } a lui H. Din ea obt¸inem prin ortonormalizare o baz˘ a {v1 , v2 , ..., vk , vk+1 , vk+2 , ..., vn } ˆın H. Se poate observa imediat c˘ a {vk+1 , vk+2 , ..., vn } este baz˘ a ˆın K⊥ ¸si prin urmare dim K+dim K⊥ = dim H.

3.3

Dualul unui spat¸iu cu produs scalar

3.3.1 Propozit¸ie. ˆ In cazul unui spat¸iu cu produs scalar H avem

116

Elemente de Algebr˘a Liniar˘a

hx, ui = hy, ui, ∀u ∈ H

=⇒

x=y .

Demonstrat¸ie. Alegˆand u = x−y, obt¸inem hx, x−yi = hy, x − yi =⇒ hx−y, x−yi = 0 =⇒ ||x−y|| = 0 =⇒ x = y. 3.3.2 Teorem˘ a. Fie H un spat¸iu cu produs scalar. Pentru orice form˘ a liniar˘ a ϕ : H −→ C exist˘ a a ∈ H, unic determinat, astfel ˆıncˆ at ϕ(x) = ha, xi,

oricare ar fi x ∈ H.

Demonstrat¸ie. Fie {v1 , v2 , ..., vn } o baz˘ a ortonormat˘a. Din relat¸ia + * n ! n n n X X X X xi vi ϕ(vj ) vj , xi ϕ(vi ) = ϕ x i vi = i=1

i=1

rezult˘ a c˘ a

a=

i=1

j=1

n X

ϕ(vj ) vj

j=1

satisface condit¸ia impus˘a, iar din propozit¸ia precedent˘a, rezult˘ a c˘a a este unic. 3.3.3 Din unicitatea lui a rezult˘ a c˘a vectorul nu depinde de baza aleas˘ a.

Pn

j=1 ϕ(vj ) vj ,

definit utilizˆ and o baz˘ a,

3.3.4 ˆIn cazul unui spat¸iu cu produs scalar H, avem H∗ = { H −→ C : x 7→ ha, xi | a ∈ H }. 3.3.5 Notat¸ia lui Dirac. ˆIn cazul H = Cn , produsul scalar a doi vectori a = (a1 , a2 , ..., an )

¸si

b = (b1 , b2 , ..., bn )

poate fi scris utilizˆ and ˆınmult¸irea matricelor sub forma

ha, bi = a ¯ 1 b1 + a ¯2 b2 + ... + a ¯ n bn = Utilizˆand notat¸iile

a ¯1 a ¯2 · · ·

a ¯n




   

b1 b2 .. . bn



  . 

117

Spat¸ii Hilbert finit-dimensionale

ha| =

a ¯1 a ¯2 · · ·

a ¯n






  |bi =  

¸si

b1 b2 .. . bn

obt¸inem o notat¸ie alternativ˘a pentru produsul scalar



  , 

ha, bi = ha|bi. Pentru forma liniar˘ a Cn −→ C : x 7→ ha, xi,

adic˘ a

Cn −→ C : |xi 7→ ha|xi, se utilizeaz˘ a notat¸ia ha|. Aplicat¸ia

|biha| : Cn −→ Cn : |xi 7→ |biha|xi

este un operator liniar cu matricea asociat˘a 

 b1  b2    |biha| =  .  a ¯1 a ¯2 · · ·  ..  bn



b1 a ¯1 
 b2 a ¯1 a ¯n =  .  ..

bn a ¯1

b1 a ¯2 · · · b2 a ¯2 · · · .. .. . . bn a ¯2 · · ·

 b1 a ¯n b2 a ¯n   . ..  . 

bn a ¯n

3.3.6 ˆIn cazul unui spat¸iu Hilbert oarecare H, este uneori convenabil s˘ a se utilizeze notat¸ia |ai pentru vectorii a ∈ H ¸si ha| pentru formele liniare asociate H −→ C : |xi 7→ ha|xi. 3.3.7 Dac˘a B = {v1 , v2 , ... , vn } este o baz˘ a ortonormat˘a, atunci (v. pag. 113-20) n X hvi , xivi , oricare ar fi x ∈ H. x= i=1

Utilizˆand notat¸ia lui Dirac, aceast˘ a relat¸ie se poate scrie n X hvi |xi |vi i, oricare ar fi |xi ∈ H, |xi = i=1

sau

|xi =

n X i=1

|vi ihvi |xi,

oricare ar fi |xi ∈ H.

(3.1)

118

Elemente de Algebr˘a Liniar˘a

Utilizˆand operatorul identitate I : H −→ H,

I|xi = |xi,

relat¸ia (3.1) se poate scrie sub forma n X |vi ihvi |. I=

(3.2)

i=1

Relat¸ia (3.2) reprezint˘ a rezolut¸ia identit˘ a¸tii asociat˘a bazei B.

3.3.8 Relat¸ia (3.2) corespunde, ˆın cazul bazei canonice R3 ,

a lui 

B = {v1 = (1, 0, 0), v2 = (0, 1, 0), v3 = (0, 0, 1)}

egalit˘ a¸tii        1 0 0 1 0 0  0 1 0  =  0  (1 0 0) +  1  (0 1 0) +  0  (0 0 1). 0 0 1 0 0 1

3.3.9 Definit¸ia proiect¸iei ortogonale pe un vector unitar w se poate scrie sub forma

Pw x = hw, xi w Pw |xi = |wihw|xi

¸si prin urmare,

Pw = |wihw|. 3.3.10 Exercit¸iu. Dac˘a w este un vector unitar, atunci tr |wihw| = 1. Solut¸ie. Dac˘a {|v1 i, |v2 i, ... , |vn i} este baz˘ a ortonoirmat˘a, atunci tr |wihw| =

n X i=1

n X hw|vi ihvi |wi = hw|I|wi = hw|wi = 1. hvi |wihw|vi i = i=1

3.3.11 Dac˘a B = {|v1 i, |v2 i, ... , |vn i} este o baz˘ a ortonormat˘a, atunci {hv1 |, hv2 |, ... , hvn |} este duala ei deoarece hvi |vj i = δij .

ˆIn particular, din (3.2) rezult˘ a relat¸ia n X ha|vi ihvi |. ha| = i=1

119

Spat¸ii Hilbert finit-dimensionale

3.3.12 Un sistem de vectori {|v1 i, |v2 i, ... , |vn i} este baz˘ a ortonormat˘a dac˘ a ¸si numai dac˘ a sunt ˆındeplinite urm˘atoarele dou˘ a condit¸ii: n X |vi ihvi | = I. hvi |vj i = δij ; i=1

3.3.13 ˆIn spat¸iul bidimensional    α 2 C = |ψi = β echipat cu produsul scalar     α1 α2 = β1 β2

α ¯1

β¯1

 α, β ∈ C ,




α2 β2



=α ¯ 1 α2 + β¯1 β2 ,

fiecare dintre sistemele de vectori (am indicat diverse notat¸ii utilizate)      1 0 |0i ≡ | ↑i = , |1i ≡ | ↓i = , 0 1  |+i ≡ | րi =

 |⊕i ≡ |si =

√1 2

√1 2



 1 i

1 1 



, |−i ≡ | ցi =

, |⊖i ≡ |ti =

√1 2

√1 2





1 −i

1 −1





,

este baz˘ a ortonormat˘a. Ele sunt numite baza computat¸ional˘ a, baza diagonal˘ a ¸si baza circular˘ a. ˆIn aplicat¸ii, unele notat¸ii pot fi mai sugestive decˆ at altele. 3.3.14∗ Exercit¸iu. Ar˘atat¸i c˘ a ˆın C2 , oricare dou˘ a dintre bazele {|0i, |1i}, {|+i, |−i}, {|⊕i, |⊖i} sunt baze complementare (v. pag. 114-23). 3.3.15 Teorem˘ a. Matricea de trecere ˆıntre dou˘ a baze ortonormate este o matrice unitar˘ a. Demonstrat¸ie. Fie {v1 , v2 , ..., vn } ¸si  α11 · · · α1n  .. .. .. S= . . . αn1 · · ·

αnn

a baze ortonormate ¸si fie {v1′ , v2′ , ..., vn′ } dou˘    α ¯ 11 · · · α ¯ n1   ..  .. S ∗ =  ... , . . 

matricea de trecere ˆıntre ele ¸si adjuncta ei, adic˘ a

α ¯ 1n · · ·

α ¯ nn

120

Elemente de Algebr˘a Liniar˘a

vj′ =

n X

αij vi .

i=1

Din relat¸ia P P P P δij = hvi′ , vj′ i = h nk=1 αki vk , nm=1 αmj vm i = nk=1 nm=1 α ¯ ki αmj hvk , vm i Pn Pn Pn = k=1 m=1 α ¯ ki αmj δkm = k=1 α ¯ ki αkj

rezult˘ a c˘ a S ∗ S = I.

3.3.16 ˆIn cazul unui spat¸iu vectorial real cu produs scalar, matricea de trecere ˆıntre dou˘ a baze ortonormate este o matrice ortogonal˘ a.

3.4

Frame-uri exacte

3.4.1 ˆIn R2 vectorii corespunz˘ atori varfurilor unui triunghi echilateral   q    2 1 √1 1 1 √ √ √ , 0 , w = − w0 = , w = − , , − 1 2 3 6 2 6 2 nu formeaz˘ a o baz˘ a ortonormat˘a, dar verific˘ a relat¸ia remarcabil˘a 2 X |wi ihwi |, I= i=0

adic˘ a, ˆın scriere matriceal˘ a, 1 0

0 1

!

 q

=

2 3

0

 

r

2 3

! 

0 +



− √1



 − √1 6

6 √1 2

    − √1 1 6  − √1 √ + 1 2 6 −√ 2

Versorii corespunz˘ atori vectorilor wi , ui = adic˘ a vectorii (v. Fig. 3.5), u0 = (1, 0) , verific˘ a relat¸ia

1 ||wi ||

wi ,

 √  u1 = − 12 , 23 ,

I=

2 3

2 P

i=0

|ui ihui |.

 √  u2 = − 21 , − 23

1 −√ 2



.

121

Spat¸ii Hilbert finit-dimensionale

u1 u0

u2

Figura 3.5: Frame-ul finit u0 , u1 , u2 . 3.4.2∗ Definit¸ie. Fie H un spat¸iu d-dimensional cu produs scalar. Un sistem de vectori unitari {u1 , u2 , ..., uk } este numit frame dac˘ a exist˘a dou˘ a constante 0 < α ≤ β < ∞ astfel ˆıncˆ at 2

α|hx|xi| ≤

k X i=1

|hx|ui i|2 ≤ β|hx|xi|2 ,

oricare ar fi

x ∈ H.

Sistemul de vectori {u1 , u2 , ..., uk } este numit frame exact dac˘ a exist˘a 0 < α < ∞ astfel ˆıncˆ at k X i=1

|hx|ui i|2 = α|hx|xi|2 ,

oricare ar fi

x ∈ H.

ˆ 3.4.3∗ Teorem˘ a. Intr-un spat¸iu complex d-dimensional cu produs scalar H, orice frame exact {u1 , u2 , ..., uk } verific˘ a rezolut¸ia identit˘ a¸tii k P (3.3) I = kd |ui ihui |. i=1

Demonstrat¸ie. Fie {v1 , v2 , ..., vd } o baz˘ a ortonormat˘a ˆın H ¸si k

S=

dX |ui ihui |. k i=1

Din relat¸ia

122

Elemente de Algebr˘a Liniar˘a

αd = α

d X j=1

2

|hvj |vj i| =

d X k X j=1 i=1

|hvj |ui i|2 = k

rezult˘ a c˘ a α = k/d. Avem k k dX dX hvj |S|vj i = hvj |ui ihui |vj i = |hvj |ui i|2 = |hvj |vj i|2 = 1. k k i=1

i=1

Oricare ar fi j 6= ℓ, au loc relat¸iile 2 = hvj +vℓ |vj +vℓ i = hvj +vℓ |S|vj +vℓ i = 2 + hvj |S|vℓ i + hvℓ |S|vj i,

2 = hvj +ivℓ |vj +ivℓ i = hvj +ivℓ |S|vj +ivℓ i = 2 + ihvj |S|vℓ i − ihvℓ |S|vj i,

care conduc la hvj |S|vℓ i = 0.

3.4.4∗ Vom utiliza termenul de frame exact pentru a desemna orice sistem de vectori unitari {u1 , u2 , ..., uk } care satisface rezolut¸ia identit˘a¸tii (3.3). ˆIn particular, orice baz˘ a ortonormat˘a este un frame exact. 3.4.5∗ Teorem˘ a. Fie H un spat¸iu d-dimensional cu produs scalar. Dac˘ a {u1 , u2 , ..., uk } este un frame exact, atunci k k P P |xi = kd |ui ihui |xi, hx| = kd hx|ui ihui |, i=1

hx|yi =

d k

k P

i=1

i=1

||x||2 =

hx|ui ihui |yi,

oricare ar fi x, y ∈ H.

d k

k P

i=1

|hx|ui i|2 ,

Demonstrat¸ie. Toate relat¸iile rezult˘ a direct din (3.3). 3.4.6∗ Exercit¸iu. Vectorii corespunz˘atori vˆarfurilor unui tetraedru regulat     u1 = − √13 , √13 , √13 , u2 = √13 , − √13 , √13 ,     u3 = √13 , √13 , − √13 , u4 = − √13 , − √13 , − √13 formeaz˘ a un frame exact ˆın R3 .

3.4.7∗ Exercit¸iu. Vectorii corespunz˘atori vˆarfurilor unui icosaedru regulat √±1 (1, τ, 0), √±1 (−1, τ, 0), τ +2 τ +2 √±1 τ +2

(τ, 0, 1),

√±1 τ +2

(τ, 0, −1),

√±1 τ +2

(0, 1, τ ),

√±1 τ +2

(0, −1, τ )

123

Spat¸ii Hilbert finit-dimensionale √

definit utilizˆ and ‘num˘ arul de aur’ τ = 1+2 formeaz˘ a un frame exact ˆın R3 .

5

= 1.6180339887...,

3.4.8∗ Exercit¸iu. Vectorii corespunz˘ atori varfirilor unui poligon regulat cu k laturi
2mπ um = cos 2mπ , unde m = 0, 1, ..., k − 1, k , sin k formeaz˘ a un frame exact ˆın R2 astfel ˆıncˆ at k−1 P I = k2 |um ihum |. m=0

3.4.9∗ Exercit¸iu. Sistemul infinit de vectori

u(t) = (cos t, sin t) ,

unde t ∈ [0, 2π),

formeaz˘ a un frame exact infinit ˆın R2 astfel ˆıncˆ at Z 2π 1 dt |u(t)ihu(t)|. I= π 0 3.4.10∗ Exercit¸iu. ˆIn spat¸iul L2 (R), sistemul infinit de vectori ∞ |z|2 P zn √ |zi = e− 2 |ni, unde z ∈ C, n=0

n!

definit utilizˆ and o baz˘ a ortonormat˘a {|0i, |1i, |2i, ...}, formeaz˘a un frame exact infinit astfel ˆıncˆ at Z 1 dRe z dIm z |zihz|. I= π C E a devine Scriind |q, pi ˆın loc de |zi = √12 (q − ip) , relat¸ia anterioar˘ ZZ 1 I= dq dp |q, pihq, p|. 2π R2

Frame-ul infinit |ziz∈C , numit sistemul de st˘ ari coerente standard sau sistemul de st˘ ari coerente Schr¨ odinger-Klauder-Glauber, joac˘a un rol fundamental ˆın mecanica cuantic˘a, optic˘ a ¸si, ˆın general, ˆın modelele cuantice din fizic˘ a [14, 28].

124

3.5

Elemente de Algebr˘a Liniar˘a

Spat¸ii Hilbert

3.5.1 Orice spat¸iu cu produs scalar are o structur˘a de spat¸iu normat cu norma p ||x|| = hx, xi, ¸si o structur˘ a de spat¸iu metric, cu distant¸a definit˘a prin relat¸ia p d(x, y) = ||x−y|| = hx−y, x−yi.

3.5.2 O consecint¸˘ a direct˘ a a relat¸iei ||u||2 = hu, ui este identitatea paralelogramului ||x + y||2 + ||x − y||2 = 2 ||x||2 + 2 ||y||2 .

3.5.3 Definit¸ie. Fie (xk )k≥0 un ¸sir de elemente din spat¸iul cu produs scalar H. Spunem c˘ a (xk )k≥0 converge la a ¸si scriem lim xk = a dac˘ a k→∞

lim ||xk − a|| = 0,

k→∞

adic˘ a dac˘ a oricare ar fi ε > 0 exist˘a kε ∈ N astfel ˆıncˆ at ||xk − a|| < ε,

oricare ar fi k ≥ kε .

3.5.4 Definit¸ie. Fie (xk )k≥0 un ¸sir de elemente din spat¸iul cu produs scalar H. Spunem c˘ a (xk )k≥0 este ¸sir Cauchy dac˘ a pentru orice ε > 0 exist˘a kε ∈ N astfel ˆıncˆ at k ≥ kε , ||xk − xℓ || < ε, oricare ar fi ℓ ≥ kε . 3.5.5 Propozit¸ie. Orice ¸sir convergent este un ¸sir Cauchy. Demonstrat¸ie. Fie ε > 0. Dac˘a limk→∞ xk = a, atunci exist˘a kε ∈ N astfel ˆıncˆ at ε oricare ar fi k ≥ kε , ||xk − a|| < , 2 ¸si prin urmare ||xk − xℓ || = ||xk − a + a − xℓ || ≤ ||xk − a|| + ||xℓ − a|| < ε, oricare ar fi k ≥ kε ¸si ℓ ≥ kε . 3.5.6 Definit¸ie. Un spat¸iu metric este complet dac˘ a orice ¸sir Cauchy este convergent. Un spat¸iu normat complet este numit spat¸iu Banach. Un spat¸iu cu produs scalar complet este numit spat¸iu Hilbert.

125

Spat¸ii Hilbert finit-dimensionale

3.5.7 Convent¸ie. ˆIn funct¸ie de corpul peste care este spat¸iul vectorial, spat¸iul Hilbert este un spat¸iu Hilbert real sau un spat¸iu Hilbert complex. ˆIn afar˘a de cazul ˆın care se indic˘ a contrariul, prin spat¸iu Hilbert vom ˆınt¸elege ˆın continuare un spat¸iu Hilbert complex. 3.5.8 Exemple. Fie n ∈ {1, 2, 3, ...}. Spat¸iul Rn echipat cu produsul scalar h(x1 , ..., xn ), (y1 , ..., yn )i = x1 y1 + · · · + xn yn = este un spat¸iu Hilbert real de dimensiune n. Spat¸iul Cn echipat cu produsul scalar

n X k=1

h(x1 , ..., xn ), (y1 , ..., yn )i = x ¯1 y1 + · · · + x ¯n yn = este un spat¸iu Hilbert complex de dimensiune n.

xk y k

n X

x ¯k yk

k=1

3.5.9 Definit¸ie. Spunem despre dou˘ a spat¸ii cu produs scalar H ¸si K c˘a sunt izomorfe dac˘ a exist˘a un izomorfism liniar T : H −→ K cu hT x, T yi = hx, yi,

oricare ar fi x, y ∈ H.

3.5.10 Teorem˘ a. Orice spat¸iu cu produs scalar real n-dimensional este izomorf cu Rn Orice spat¸iu cu produs scalar complex n-dimensional este izomorf cu Cn . Demonstrat¸ie. Fie {v1 , v2 , ..., vn } o baz˘ a ortonormat˘a ˆın spat¸iul considerat H. Din n n X X hvi , xi hvi , yi hx, vi i hvi , yi = hx, yi = i=1

i=1

rezult˘ a c˘ a izomorfismul liniar

H → Rn : x 7→ (hv1 , xi, hv2 , xi, . . . , hvn , xi)

(3.4)

H → Cn : x 7→ (hv1 , xi, hv2 , xi, . . . , hvn , xi)

(3.5)

¸si respectiv, pastreaz˘a produsul scalar neschimbat. 3.5.11 Izomorfismele (3.4) ¸si (3.5) permit identificarea lui H cu Rn , respectiv Cn . Orice spat¸iu cu produs scalar finit-dimensional este un spat¸iu Hilbert.

126

Elemente de Algebr˘a Liniar˘a ˆIn cazul spat¸iilor finit-dimensionale, se poate utiliza termenul de spat¸iu Hilbert ˆın locul celui de spat¸iu cu produs scalar.

3.5.12 Dou˘ a spat¸ii Hilbert izomorfe sunt identice ca structur˘a matematic˘ a. Toate spat¸iile Hilbert n-dimensionale sunt izomorfe ˆıntre ele. Orice spat¸iu Hilbert n-dimensional se poate identifica cu spat¸iul Hilbert Cn . 3.5.13 Propozit¸ie. Suma direct˘ a a dou˘ a spat¸ii Hilbert H ⊕ K = { (x, y) | x ∈ H, y ∈ K } echipat˘ a cu produsul scalar h(x, y), (x′ , y ′ )i = hx, x′ i + hy, y ′ i este spat¸iu Hilbert. Demonstrat¸ie. Norma asociat˘ a p p p ||(x, y)|| = h(x, y), (x, y)i = hx, xi + hy, yi = ||x||2 + ||y||2

are proprietatea  ||x|| ≤ ||(x, y)|| ≤ ||x|| + ||y||, ||y||

oricare ar fi

(x, y) ∈ H ⊕ K.

ˆIn particular, din relat¸ia  ||xk − xℓ || ≤ ||(xk , yk ) − (xℓ , yℓ )|| ≤ ||xk − xℓ || + ||yk − yℓ || ||yk − yℓ || rezult˘ a c˘ a

(xk , yk )k≥0 este ¸sir Cauchy

⇐⇒

iar din relat¸ia ||xk − a|| ||yk − b||



≤ ||(xk , yk ) − (a, b)|| ≤ ||xk − a|| + ||yk − b||

rezult˘ a c˘ a lim (xk , yk ) = (a, b)

k→∞

  (xk )k≥0 este ¸sir Cauchy ¸si  (yk )k≥0 este ¸sir Cauchy,

⇐⇒

 lim xk = a   k→∞ ¸si   lim yk = b. k→∞

127

Spat¸ii Hilbert finit-dimensionale

3.5.14 Dac˘a {v1 , v2 , ..., vn }, {w1 , w2 , ..., wk } sunt baze ortonormate ˆın H ¸si K, atunci { (v1 , 0), (v2 , 0), ..., (vn , 0), (0, w1 ), (0, w2 ), ..., (0, wk ) } este baz˘ a ortonormat˘a ˆın H ⊕ K. 3.5.15 Exemple. Avem C2 = C ⊕ C, C3 = C ⊕ C ⊕ C, etc. 3.5.16 ˆIn funct¸ie de context, prin Cn se ˆınt¸elege spat¸iul Hilbert Cn = { (x1 , x2 , ..., xn ) | x1 , x2 , ..., xn ∈ C }, identificat cu spat¸iul matricelor linie Cn = { (x1 x2 ... xn ) | x1 , x2 , ..., xn ∈ C }, sau spat¸iul matricelor coloan˘ a  1  x      x2    n C =  .  = t(x1 x2 ... xn ) .   .     xn

1 2 x , x , ..., xn ∈ C

        

.

3.5.17 Izomorfismul Mn×m (C) → Cnm :   a11 · · · a1m  .. ..  7→ t(a , a , · · · , a , a , · · · , a , · · · , a , · · · , a ) ..  . 11 21 n1 12 n2 1m nm . .  an1 · · · anm devine un izomorfism de spat¸ii Hilbert dac˘ a echip˘ am spat¸iul vectorial complex Mn×m (C) cu produsul scalar     * a11 · · · a1m b11 · · · b1m +  .. ..  ,  .. ..  = X a .. .. ¯ij bij ,  . . . .   . .  ij an1 · · · anm bn1 · · · bnm adic˘ a dac˘ a utiliz˘ am produsul scalar Hilbert-Schmidt hA, Bi = tr (A∗ B),

unde A∗ este adjuncta (complex conjugata transpusei) lui A. Spat¸iul Mn×m (C) devine ˆın acest fel un spat¸iu Hilbert izomorf cu Cnm . 3.5.18 Spat¸iul L(H) al tuturor operatorilor liniari A : H −→ H este un spat¸iu Hilbert cu produsul scalar Hilbert-Schmidt hA, Bi = tr (A∗ B),

128

Elemente de Algebr˘a Liniar˘a

definit cu ajutorul unei baze ¸si independent de baza aleas˘ a. Norma asociat˘ a produsului scalar este p p ||A|| = hA, Ai = tr (A∗ A).

(3.6)

3.5.19∗ O alt˘ a norm˘a, neutilizat˘ a pe parcursul acestei c˘art¸i, este ||A|| = sup{ ||Ax|| | x ∈ H cu ||x|| = 1 }.

3.5.20∗ Dou˘ a norme || ||a , || ||b : K −→ [0, ∞) definite pe un spat¸iu vectorial K se numesc echivalente dac˘ a exist˘a α, β ∈ (0, ∞) astfel ˆıncˆ at α||x||a ≤ ||x||b ≤ β||x||a ,

oricare ar fi x ∈ K.

ˆIn cazul unui spat¸iu K finit-dimensional, se poate ar˘ ata c˘a oricare dou˘ a ˆ norme sunt echivalente. In particular, dac˘ a H este un spat¸iu Hilbert finit-dimensional, atunci orice norm˘a || || : L(H) −→ [0, ∞) este echivalent˘a cu norma Hilbert-Schmidt (3.6).

3.6

Mult¸imi convexe

3.6.1 Definit¸ie. Fie V un spat¸iu vectorial ¸si M ⊂ V o submult¸ime. Spunem c˘ a M este mult¸ime convex˘ a dac˘ a { (1−t)x+ty | t ∈ [0, 1] } ⊂ M,

oricare ar fi x, y ∈ M.

Figura 3.6: Mult¸ime convex˘a ¸si mult¸ime neconvex˘a.

129

Spat¸ii Hilbert finit-dimensionale

3.6.2 Definit¸ie. Fie H un spat¸iu Hilbert, x ∈ V ¸si M ⊂ H o submult¸ime. Prin distant¸a de la x la M se ˆınt¸elege num˘ arul δ(x, M ) = inf ||x−u||. u∈M

x u M

Figura 3.7: Distant¸a de la x la M .

3.6.3∗ Teorem˘ a Dac˘ a H este un spat¸iu Hilbert, M ⊂ H este o mult¸ime convex˘ a ˆınchis˘ a ¸si x ∈ H−M , atunci exist˘ a un element unic y ∈ M astfel ˆıncˆ at δ(x, M ) = ||x − y||. Demonstrat¸ie. Fie δ = δ(x, M ). Ar˘at˘am mai ˆıntˆai c˘a δ > 0. Presupunˆand c˘a δ = 0 rezult˘ a c˘ a pentru orice n ∈ {1, 2, 3, ...} exist˘a xn ∈ M astfel ˆıncˆ at ||x − xn || < n1 ¸si prin urmare limn→∞ xn = x. Deoarece M este ˆınchis˘ a ar rezulta c˘a x ∈ M , ˆın contradict¸ie cu ipoteza. Pentru fiecare n ∈ {1, 2, 3, ...} alegem yn ∈ M astfel ˆıncˆ at 1 (3.7) δ ≤ ||x − yn || < δ + n ¸si ar˘ at˘am c˘ a (yn )n≥1 este ¸sir Cauchy. Scriind identitatea paralelogramului 2 ||x − yn ||2 + 2 ||x − ym ||2 = ||yn − ym ||2 + ||2x − yn − ym ||2 sub forma

  2 1 1 ||yn − ym ||2 = 2 ||x − yn ||2 + 2 ||x − ym ||2 − 4 x − yn + ym , 2 2 obt¸inem c˘ a     1 2 1 2 2 ||yn − ym || ≤ 2 δ + +2 δ+ − 4δ2 , n m adic˘ a

130

Elemente de Algebr˘a Liniar˘a

||yn − ym ||2 ≤

2 2 4δ + 2 4δ + 2 4δ 4δ + + + . + ≤ n m n 2 m2 n m

Pentru orice ε > 0, alegˆ and N ∈ N astfel ˆıncˆ at

8δ N

< ε, avem n≥N oricare ar fi m ≥ N.

||yn − ym ||2 ≤ ε,

Spat¸iul Hilbert H fiind complet, exist˘a y = limn→∞ yn ¸si y apart¸ine mult¸imii ˆınchise M . Trecˆ and la limit˘ a ˆın relat¸ia (3.7) obt¸inem c˘a δ = ||x − y||. Presupunˆand c˘a exist˘a dou˘ a elemente y, y ′ ∈ M cu δ = ||x − y|| = ||x − y ′ || ¸si folosind identitatea paralelogramului deducem relat¸ia 4δ2 = 2 ||x − y||2 + 2 ||x − y ′ ||2 = ||y − y ′ ||2 + ||2x − y − y ′ ||2
2 = ||y − y ′ ||2 + 4 x − 1 y + 1 y ′ ≥ ||y − y ′ ||2 + 4δ2 2

2

din care rezult˘ a y = y′.

3.7

Adjunctul unui operator liniar

3.7.1 Teorem˘ a. Fie H, K spat¸ii Hilbert ¸si A : H −→ K un operator liniar. Exist˘ a un operator liniar A∗ : K −→ H care verific˘ a relat¸ia hA∗ x, yi = hx, Ayi,

∀x ∈ K, y ∈ H.

¸si el este unic determinat. Demonstrat¸ie. Fie {v1 , v2 , ..., vn } o baz˘ a ˆın H. Pentru x ∈ K fixat, aplicat¸ia ϕ : H −→ C,

ϕ(y) = hx, Ayi

este o form˘ a liniar˘ a. S ¸ tim (v. pag. 116-2) c˘a exist˘a n n n X X X hAvj , xivj ϕ(vj ) vj = hx, Avj i vj = a= j=1

j=1

j=1

astfel ˆıncˆ at ϕ(y) = ha, yi, ∀y ∈ H. Punˆand A∗ : K −→ H,

care satisface relat¸ia

A∗ x = a,

obt¸inem operatorul liniar n X hAvj , xivj , A∗ x = j=1

(3.8)

131

Spat¸ii Hilbert finit-dimensionale

hA∗ x, yi

=

*

+

n P

n P hAvj , xi vj , y = hx, Avj ihvj , yi j=1 j=1 * + n P = x, hvj , yiAvj = hx, Ayi, j=1

∀x ∈ K, y ∈ H.

Presupunˆand c˘ a B : K −→ H este un alt operator satisf˘acˆand (3.8), obt¸inem relat¸ia hA∗ x, yi = hBx, yi,

care conduce la A∗ = B.

∀x ∈ K, y ∈ H

3.7.2 Definit¸ie. Fie H, K spat¸ii Hilbert ¸si A : H −→ K un operator liniar. Operatorul liniar A∗ : K −→ H care verific˘ a relat¸ia hA∗ x, yi = hx, Ayi,

∀x ∈ K, y ∈ H

este numit adjunctul lui A. Alte notat¸ii utilizate sunt A+ , A† . 3.7.3 Propozit¸ie. Fie H un spat¸iu Hilbert. Dac˘ a A, B : H −→ H sunt operatori liniari ¸si dac˘ a λ ∈ C, atunci A + B : H −→ H, (A + B)x = Ax + Bx, λA : H −→ H, (λA)x = λ Ax, AB : H −→ H, (AB)x = A(Bx), sunt operatori liniari ¸si (A∗ )∗ = A, (A+B)∗ = A∗ +B ∗ , ∗ ∗ ¯ (λA) = λ A , (AB)∗ = B ∗ A∗ .

Demonstrat¸ie. Avem (A + B)(αx + βy) = A(αx + βy) + B(αx + βy) = αAx + βAy + αBx + βBy = α(A + B)x + β(A + B)y; (λA)(αx + βy) = λ A(αx + βy) = λαAx + λβAy = α(λA)x + β(λA)y; (AB)(αx + βy) = A(B(αx + βy)) = A(αBx + βBy) = αA(Bx) + βA(By) = α(AB)x + β(AB)y. Relat¸ia (A∗ )∗ = A rezult˘ a din h(A∗ )∗ x, yi = hx, A∗ yi = hAx, yi,

∀x, y ∈ H.

Avem h(A + B)∗ x, yi = hx, (A + B)yi = hx, Ayi + hx, Byi = hA∗ x, yi + hB ∗ x, yi = h(A∗ + B ∗ )x, yi,

132

Elemente de Algebr˘a Liniar˘a

adic˘ a, pentru orice x ∈ H,

h(A + B)∗ x, yi = h(A∗ + B ∗ )x, yi,

∀y ∈ H.

De aceea, (A + B)∗ = A∗ + B ∗ . Similar, pentru orice x ∈ H avem ¯ hx, Ayi h(λA)∗ x, yi = hx, (λA)yi = hx, λ Ayi = λ ∗ ∗ ¯ ¯ A x, yi = h(λA ¯ ∗ )x, yi, = λhA x, yi = hλ ∀y ∈ H, ¸si acest˘ a relat¸ie conduce la ¯ ∗ )x, (λA)∗ x = (λA ∀x ∈ H, ¯ ∗ . Oricare ar fi x ∈ H are loc relat¸ia adic˘ a (λA)∗ = λA h(AB)∗ x, yi = hx, (AB)yi = hx, A(By)i = hA∗ x, Byi = hB ∗ (A∗ x), yi = h(B ∗ A∗ )x, yi, ∀y ∈ H

care conduce la (AB)∗ = B ∗ A∗ .

3.7.4 Teorem˘ a. Matricea adjunctului A∗ al unui operator liniar A : H −→ H ˆın raport cu o baz˘ a ortonormat˘ a este adjuncta matricei operatorului A ˆın raport cu baza considerat˘ a. Demonstrat¸ie. Fie

a11 · · ·  .. .. A= . . an1 · · ·

 a1n ..  , .  ann



a∗11 · · ·  .. A∗ =  ... . a∗n1 · · ·

 a∗1n ..  .  ∗ ann

matricele lui A ¸si A∗ ˆın raport cu baza ortonormat˘a {v1 , v2 , ..., vn }, adic˘ a n n X X a∗ij vi . aij vi , A∗ vj = Avj =

(3.9)

i=1

i=1

Relat¸ia

u=

n X hvi , uivi i=1

are loc pentru orice u ∈ H. ˆInlocuind pe u cu Avj ¸si respectiv A∗ vj obt¸inem n n X X hvi , A∗ vj ivi . (3.10) hvi , Avj ivi , A∗ vj = Avj = i=1

i=1

Din (3.9) ¸si (3.10) rezult˘ a relat¸iile

aij = hvi , Avj i,

a∗ij = hvi , A∗ vj i

care conduc la a∗ij = hvi , A∗ vj i = hAvi , vj i = hvj , Avi i = a ¯ji .

133

Spat¸ii Hilbert finit-dimensionale

3.7.5∗ Teorem˘ a. Dac˘ a Λ : H −→ K este o transformare liniar˘ a, atunci operatorii Λ∗ Λ : H −→ H

¸si

ΛΛ∗ : K −→ K

au acelea¸si valori proprii nenule, cu acelea¸si multiplicit˘ a¸ti. Demonstrat¸ie. Dac˘a µ este o valoare proprie a lui Λ∗ Λ ¸si u un vector propriu corespunz˘ator, atunci Λ∗ Λu = µu. ˆIn cazul ˆın care µ 6= 0, din acest˘ a relat¸ie obt¸inem egalitatea ΛΛ∗ Λu = µΛu posibil˘ a numai dac˘ a Λu 6= 0. De aceea a este o valoare proprie a operatorului ΛΛ∗ iar Λu un vector propriu corespunz˘ator. Dac˘a u1 , u2 , ... , uk sunt vectori proprii liniar independent¸i ai operatorului Λ∗ Λ corespunz˘atori valorii µ, atunci din α1 Λu1 + α2 Λu2 + · · · + αk Λuk = 0 obt¸inem relat¸ia α1 Λ∗ Λu1 + α2 Λ∗ Λu2 + · · · + αk Λ∗ Λuk = 0, echivalent˘ a cu egalitatea α1 u1 + α2 u2 + · · · + αk uk = 0 care conduce la α1 = · · · = αk = 0. Prin urmare, Λu1 , ... , Λuk sunt vectori liniar independent¸i. 3.7.6 Utilizˆand notat¸ia lui Dirac, fiec˘ arui vector |vi ∈ H ˆıi asociem forma liniar˘ a hv| : H −→ C : |wi 7→ hv|wi. Dac˘a A : H −→ H este operator liniar, atunci

hAv|wi = hv|A∗ wi = hv|A∗ |wi.

Forma liniar˘ a corespunz˘ atoare vectorului A|vi este hv|A∗ . 3.7.7 Sistemul de vectori {|v1 i, ... , |vn i} este baz˘ a ortonormat˘a dac˘ a ¸si numai dac˘ a n X |vi ihvi | = I. hvi |vj i = δij , i=1

134

Elemente de Algebr˘a Liniar˘a

Dac˘a A : H −→ H este operator liniar, atunci n n n X X X hvi |A|vj i |vi ihvj |. |vj ihvj | = |vi ihvi |A A = IAI = i,j=1

j=1

i=1

3.7.8 Exercit¸iu. S˘ a se arate c˘ a adjunctul operatorului |uihv| este |vihu|, adic˘ a avem (|uihv|)∗ = |vihu|. Solut¸ie. Elementele matriceale corespunz˘atoare satisfac relat¸ia hvi |uihv|vj i = hu|vi i hvj |vi = hvj |vihu|vi i.

3.8

Operatori autoadjunct¸i (hermitieni)

3.8.1 Definit¸ie. Pe un spat¸iu finit-dimensional, un operator autoadjunct A : H −→ H este un operator care coincide cu adjunctul (A = A∗ ), adic˘ a hAx, yi = hx, Ayi,

∀x, y ∈ H.

(3.11)

3.8.2 Not˘am cu A(H) mult¸imea operatorilor autoadjunct¸i definit¸i pe H, adic˘ a ∗ A(H) = { A ∈ L(H) | A = A } = { A ∈ L(H) | hAx, yi = hx, Ayi, ∀x, y ∈ H }.

3.8.3 Fie H un spat¸iu Hilbert bidimensional (de exemplu, H = C2 ) ¸si fie {|0i, |1i} o baz˘ a ortonormat˘a fixat˘a. Operatorul identitate I : H −→ H,

I = |0ih0| + |1ih1|

¸si operatorii Pauli (mai multe notat¸ii sunt prezentate) σ1 ≡ σx ≡ X : H −→ H,

σ1 ≡ σx ≡ X = |1ih0| + |0ih1|

σ2 ≡ σy ≡ Y : H −→ H,

σ2 ≡ σy ≡ Y = i |1ih0| − i |0ih1|

σ3 ≡ σz ≡ Z : H −→ H,

σ3 ≡ σz ≡ Z = |0ih0| − |1ih1|

sunt operatori autoadjunct¸i.

135

Spat¸ii Hilbert finit-dimensionale

3.8.4 Propozit¸ie.

a) A, B ∈ A(H) b)

A ∈ A(H) α∈R

=⇒



=⇒

A + B ∈ A(H). αA ∈ A(H).

c) Dac˘a A, B ∈ A(H), atunci : AB ∈ A(H)

⇐⇒

AB = BA.

d) Dac˘a operatorul A ∈ A(H) este inversabil, atunci A−1 ∈ A(H). Demonstrat¸ie. Utiliz˘am propriet˘a¸tile adjunctului prezentate la pag. 131-3. a) Avem (A + B)∗ = A∗ + B ∗ = A + B b) Avem (αA)∗ = α ¯ A∗ = αA. c) Dac˘a AB ∈ A(H), atunci AB = (AB)∗ = B ∗ A∗ = BA. Dac˘a AB = BA, atunci (AB)∗ = B ∗ A∗ = BA = AB ¸si prin urmare AB ∈ A(H). d) Avem hA−1 x, yi = hA−1 x, A(A−1 y)i = hA(A−1 x), A−1 yi = hx, A−1 yi.

3.8.5 Unele rezultate similare se pot obt¸ine ˆın cazul matricelor hermitiene. Spat¸iul matricelor hermitiene n×n este un spat¸iu Hilbert real de dimensiune n2 cu produsul scalar definit prin relat¸ia hA, Bi = tr(AB) Matricele 

1 0 0 0



,



0 0 0 1



,



0 1 1 0



,



0 −i i 0



formeaz˘ a o baz˘ a ortogonal˘ a ˆın spat¸iul matricelor hermitiene 2×2.

136

Elemente de Algebr˘a Liniar˘a

O alt˘ a baz˘ a ortogonal˘ a remarcabil˘a este {I, σ1 , σ2 , σ3 }. Matricele 

1 0 0  0 0 0 0 0 0  0 0 0  0 1 0 0 0 0  0 0 0  0 0 0 0 0 1





0 1 0 ,  1 0 0 0 0 0   0 0 1 ,  0 0 0 1 0 0   0 0 0 ,  0 0 1 0 1 0





0 −i 0 ,  i 0 0 0 0 0   0 0 −i ,  0 0 0 i 0 0   0 0 0  ,  0 0 −i 0 i 0



,



,

 

formeaz˘ a o baz˘ a ortogonal˘ a ˆın spat¸iul matricelor hermitiene 3×3. 3.8.6 Propozit¸ie. Un operator liniar A : H −→ H este autoadjunct dac˘ a ¸si numai dac˘ a matricea lui ˆın raport cu o baz˘ a ortonormat˘ a este hermitian˘ a. Demonstrat¸ie. Consecint¸˘ a direct˘ a a rezultatului prezentat la pag. 132-4. 3.8.7 Spat¸iul operatorilor autoadjunct¸i A(H) este un spat¸iu vectorial real. Echipat cu produsul scalar hA, Bi = tr(AB)

el devine un spat¸iu Hilbert real de dimensiune d2 , unde d = dim H. 3.8.8 ˆIn spat¸iul Hilbert A(C2 ) sistemul {I, σ1 , σ2 , σ3 } este o baz˘ a ortogonal˘ a. 2 Fiecare operator A ∈ A(C ) admite o reprezentare de forma (v. pag. 32-6) 1 1 A = (a0 I + a1 σ1 + a2 σ2 + a3 σ3 ) = (a0 I + a · σ) 2 2 cu a0 ∈ R ¸si a = (a1 , a2 , a3 ) ∈ R3 unic determinat¸i. Valorile proprii ale lui A sunt λ1,2 = 12 (a0 ± ||a||). 3.8.9 Distant¸a definit˘a de produsul scalar ˆın A(H) este p p d(A, B) = ||A−B|| = hA−B, A−Bi = tr(A−B)2 .

ˆIn cazul H = C2 , o alt˘ a distant¸˘a foarteutil˘ a este  1 1 1 (a0 I + a · σ) , (b0 I + b · σ) = (|a0 − b0 | + ||a − b||). d˜ 2 2 2

137

Spat¸ii Hilbert finit-dimensionale

3.8.10 Propozit¸ie. Dac˘ a A : H −→ H este operator autoadjunct, atunci: a) valorile proprii ale lui A sunt reale; b) vectorii proprii corespunz˘ atori la valori proprii distincte sunt ortogonali. Demonstrat¸ie. a) Fie λ o valoare proprie ¸si u 6= 0 un vector propriu corespunz˘ator, ¯ adic˘ a Au = λu. Din relat¸ia hAu, ui = hu, Aui rezult˘ a c˘a λ = λ. b) Fie λ1 6= λ2 dou˘ a valori proprii distincte ¸si u1 , u2 vectori proprii corespunz˘atori, adic˘ a Au1 = λ1 u1 ¸si Au2 = λ2 u2 . Din hAu1 , u2 i = hu1 , Au2 i rezult˘ a hu1 , u2 i = 0. 3.8.11 Propozit¸ie. ˆ In cazul unui operator auto-adjunct, toate rad˘ acinile polinomului caracteristic sunt reale. Demonstrat¸ie Fie A ∈ A(H) ¸si fie λ1 o r˘ ad˘ acin˘ a a polinomului caracteristic, adic˘ a a11 − λ1 a · · · a 12 1n a a − λ · · · a 21 22 1 2n = 0. ··· ··· ··· ··· an1 an2 · · · ann − λ1

ˆIn acest caz, sistemul de ecuat¸ii  (a11 − λ1 )x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = 0    a21 x1 + (a22 − λ1 )x2 + · · · + a2n xn = 0 ..................................................    an1 x1 + an2 x2 + · · · + (ann − λ1 )xn = 0

admite ˆın Cn o solut¸ie (x1 , x2 , ..., xn ) 6= (0, 0, ..., 0). Adunˆ and ecuat¸iile sistemului ˆınmult¸ite respectiv cu x ¯1 , x ¯2 , ..., x ¯n obt¸inem relat¸ia n n X X ajk xk x ¯j = λ1 xj x ¯j . j,k=1

j=1

Deoarece matricea lui A ˆıntr-o baz˘ a ortonormat˘a este hermitian˘a, adic˘ a ajk = a ¯kj , avem Pn Pn ¯kj xk x ¯j ¯j j,k=1 a j,k=1 ajk xk x ¯1. = Pn =λ λ1 = Pn 2 2 |x | |x | j j j=1 j=1

3.8.12 Teorem˘ a. Dac˘ a A : H −→ H este operator autoadjunct, atunci exist˘ a o baz˘ a ortonormat˘ a B ˆın H astfel ˆıncˆ at matricea lui A ˆın raport cu B este o matrice diagonal˘ a.

Demonstrat¸ie. Utiliz˘am induct¸ia matematic˘ a. Afirmat¸ia este evident adev˘arat˘ a dac˘ a

138

Elemente de Algebr˘a Liniar˘a

dim H = 1. Presupunˆand c˘ a afirmat¸ia este adev˘arat˘ a ˆın cazul dim H = n−1, ar˘ at˘am c˘a ea este adev˘arat˘ a ¸si ˆın cazul dim H = n. Fie H un spat¸iu vectorial de dimensiune n ¸si fiet A ∈ A(H). S ¸ tim c˘ a A are cel put¸in o valoare proprie λ1 . Fie u 6= 0 un u este ¸si el vector propriu corespunz˘ ator, adic˘ a Au = λ1 u. Vectorul unitar v1 = ||u|| vector propriu corespunz˘ ator valorii λ1 . Subspat¸iul vectorial format din tot¸i vectorii ortogonali pe v1 , K = {v1 }⊥ = { x ∈ H | hv1 , xi = 0 },

este un subspat¸iu invariant x∈K

⇒

hv1 , Axi = hAv1 , xi = λ1 hv1 , xi = 0

⇒

Ax ∈ K

de dimensiune n − 1 ¸si span{v1 } ⊕ K = H. Relat¸ia hAx, yi = hx, Ayi fiind satisf˘acut˘ a de orice x, y ∈ H, rezult˘ a c˘ a restrict¸ia lui A la K A|K : K −→ K

verific˘ a relat¸ia hA|K x, yi = hx, A|K yi oricare ar fi x, y ∈ K. Aceasta arat˘ a c˘a A|K ˆ este operator autoadjunct. In virtutea ipotezei de induct¸ie, exist˘a o baz˘ a ortonormat˘ a {v2 , v3 , ..., vn } ˆın K ˆın raport cu care matricea lui A|K este o matrice diagonal˘ a,   λ2 0 ··· 0  0 λ3 · · · 0   A|K =   ··· ··· ··· ···  0 0 · · · λn Sistemul de vectori B = {v1 , v2 , v3 , ..., vn } este o baz˘ a ortonormat˘a ˆın H ¸si matricea lui A ˆın raport cu baza B este   λ1 0 0 ··· 0  0 λ2 0 ··· 0     A= 0 0 λ3 · · · 0  .  ··· ··· ··· ··· ···  0 0 0 · · · λn

3.8.13 Cu notat¸iile din demonstrat¸ia teoremei, operatorul A admite reprezentarea n X λi |vi ihvi | = λ1 |v1 ihv1 | + λ2 |v2 ihv2 | + · · · + λn |vn ihvn |. A= i=1

De exemplu, avem

I = |0ih0| + |1ih1|

σx = |+ih+| − |−ih−|

σz = |0ih0|−|1ih1|

σy = |⊕ih⊕| − |⊖ih⊖|

139

Spat¸ii Hilbert finit-dimensionale

unde 1 |±i = √ (|0i ± |1i) 2

1 |⊕i = √ (|0i + i |1i) 2

1 |⊖i = √ (|0i − i |1i). 2

3.8.14 Teorem˘ a. Doi operatori autoadjunct¸i A, B : H −→ H comut˘ a, adic˘ a AB = BA, dac˘ a ¸si numai dac˘ a exist˘ a o baz˘ a ortonormat˘ a format˘ a din vectori proprii comuni ai lui A ¸si B. Demonstrat¸ie. “⇐” Dac˘a {v1 , v2 , ..., vn } este o baz˘ a ortonormat˘a format˘a din vectori proprii comuni ai lui A ¸si B, Avj = αj vj , Bvj = βj vj , Pn atunci, oricare ar fi x = j=1 xj vj , avem n n n X X X xj BAvj = (BA)x. xj αj βj vj = xj ABvj = (AB)x = j=1

j=1

j=1

“⇒” Presupunem c˘ a AB = BA ¸si c˘a B are doar dou˘ a valori proprii β1 ¸si β2 . Subspat¸iile proprii corespunz˘ atoare H1 ¸si H2 , care verific˘ a relat¸iile Bx = β1 x, oricare ar fi x ∈ H1 , Bx = β2 x, oricare ar fi x ∈ H2 , sunt ortogonale ¸si H = H1 ⊕ H2 . Deoarece

x ∈ H1 =⇒ B(Ax) = A(Bx) = β1 (Ax) =⇒ Ax ∈ H1 , x ∈ H2 =⇒ B(Ax) = A(Bx) = β2 (Ax) =⇒ Ax ∈ H2 , putem considera restrict¸iile A|H1 : V1 −→ H1 ¸si A|H2 : H2 −→ H2 . Operatorii A|H1 ¸si A|H2 fiind autoadjunct¸i, ˆın spat¸iile Hilbert H1 ¸si H2 exist˘a baze ortonormate {v1 , v2 , ..., vk } ¸si {vk+1 , vk+2 , ..., vn } formate din vectori proprii ai lui A. Sistemul de vectori {v1 , v2 , ..., vk , vk+1 , vk+2 , ..., vn } este o baz˘ a ortonormat˘a ˆın H format˘a din vectori proprii ai lui A ¸si B. Dac˘a B are mai multe valori proprii, demonstrat¸ia este similar˘a. 3.8.15∗ ˆIn spat¸iul Hilbert C2 , vectorii |u1 i = |0i, |u3 i =

√1 |0i 3

+

q

q πi + 23 e 3 |1i, q πi πi |u4 i = √13 e 3 |0i + 23 e− 3 |1i

|u2 i = 2 3 |1i,

πi √1 e− 3 |0i 3

140

Elemente de Algebr˘a Liniar˘a

formeaz˘ a un frame exact 4

1X |uj ihuj | = I. 2 j=1

Operatorii autoadjunct¸i

Πj = |uj ihuj |,

unde j ∈ {1, 2, 3, 4},

formeaz˘ a o baz˘ a ˆın spat¸iul Hilbert L(C2 ) ¸si hΠj , Πk i = |huj |uk i|2 =

1 , 3

pentru j 6= k.

Frame-ul {|u1 i, |u2 i, |u3 i, |u4 i} este simetric ¸si ( 4 P 2 L(C ) = αj |uj ihuj |

) αj ∈ C , j=1 ) ( 4 P A(C2 ) = αj |uj ihuj | αj ∈ R . j=1 2

3.8.16∗ Teorem˘ a. Dac˘ a {|uj i}dj=1 este un frame exact ˆın spat¸iul Hilbert d-dimensional H ¸si dac˘ a exist˘ a o constant˘ a a ∈ (0, ∞) astfel ˆıncˆ at |huj |uk i|2 = a,

pentru 2

j 6= k,

a ˆın L(H). atunci a = 1/(d+1) ¸si {|uj ihuj |}dj=1 este baz˘ Demonstrat¸ie. Plecˆ and de la rezolut¸ia identit˘a¸tii d2

1X |uj ihuj | = I, d j=1

obt¸inem relat¸ia 2

d 1 X 1 d = tr I = 2 |huj |uk i|2 = 2 (d2 + a d2 (d2 − 1)), d d 2

j,k=1

Pd2

|uj ihuj | = 0, obt¸inem relat¸ia   d2 X X X 1 1 d αk + αj = αj  αj |huj |uk i|2 = αk + 0= d+1 d+1

din care rezult˘ a a = 1/(d+1). Presupunˆand c˘a d2

j=1

j=1 αj

j=1

j6=k

Pd2

care arat˘ a c˘ a α1 = · · · = αd2 ¸si prin urmare 0 = j=1 αj |uj ihuj | = α1 I. De aceea, ar de d2 , sunt linear independent¸i. α1 = · · · = αd2 = 0 ¸si operatorii |uj ihuj |, ˆın num˘

141

Spat¸ii Hilbert finit-dimensionale 3.8.17∗ ˆIn spat¸iul Hilbert C3 , vectorii unitari |u1 i = √12 (|0i + |1i),

|u2 i = √12 (|1i + |2i),

|u3 i = √12 (|2i + |0i),

|u4 i = √12 (ε|0i + ε¯|1i),

|u5 i = √12 (ε|1i + ε¯|2i),

|u6 i = √12 (ε|2i + ε¯|0i),

ε|0i + ε|1i), |u7 i = √12 (¯

|u8 i = √12 (¯ ε|1i + ε|2i),

|u9 i = √12 (¯ ε|2i + ε|0i)

unde {|0i, |1i, |2i} este o baz˘ a ortonormat˘a ¸si ε = e 9 1 P |uj ihuj | = I 3

2πi 3

, formeaz˘a un frame exact

j=1

simetric

|huj |uk i|2 =

1 4

pentru j 6= k,

¸si astfel ˆıncˆ at {|uj ihuj |}9j=1 este baz˘ a ˆın L(C3 ).

3.9

Elemente de calcul funct¸ional

3.9.1 Plecˆ and de la un operator liniar A : H −→ H putem defini operatorii A0 = I, A1 = A, A2 = AA, A3 = AAA, ... ¸si P (A) = a0 Am +a1 Am−1 +· · ·+am−1 A+am I, oricare ar fi polinomul P (X) = a0 X m +a1 X m−1 +· · ·+am−1 X +am . 3.9.2 ˆIn spat¸iul Hilbert L(H), despre o serie de operatori X Ak k≥0

spunem c˘ a este convergent˘ a dac˘ a exist˘a B ∈ L(H) astfel ˆıncˆ at m X Ak = B, lim m→∞

adic˘ a astfel ˆıncˆ at

k=0

142

Elemente de Algebr˘a Liniar˘a

m X Ak − B = 0. lim m→∞ k=0

Operatorul B se nume¸ste suma seriei ¸si scriem B = A0 + A1 + A2 + · · ·

sau

B=

∞ X

Ak .

k=0

3.9.3 Urmˆ and analogia cu dezvolt˘arile ˆın serie de puteri 1 1 2 1 3 1! z + 2! z + 3! z + · · · , 1 − 2!1 z 2 + 4!1 z 4 − 6!1 z 6 + · · · , 1 1 3 1 5 1 7 1! z − 3! z + 5! z − 7! z + · · ·

ez = 1 + cos z = sin z =

,

definim operatorii 1 1 2 1 3 1! A + 2! A + 3! A + · · · , 1 6 1 2 1 − 2! A + 4!1 A4 − 6! A + ··· , 1 3 1 5 1 7 1 1! A − 3! A + 5! A − 7! A + · · ·

eA = 1 + cos A = sin A =

.

Se poate ar˘ ata c˘ a seriile de operatori implicate sunt convergente. 3.9.4 Teorem˘ a. ˆ In cazul a doi operatori liniari A, B : H −→ H avem: AB = BA

=⇒

eA · eB = eA+B .

Demonstrat¸ie. ˆInmult¸ind termen cu termen seriile absolut convergente obt¸inem ∞ ∞ ∞ P P 1 Aj P B k j k · = eA · eB = j! k! j! k! A B =

j=0

k=0

∞ P

P

n=0

1 n!

j+k=n

j,k=0

n! j k j! k! A B

=

∞ P

n=0

1 n n! (A+B)

3.9.5 ˆIn cazul unui operator diagonalizabil n X λi |vi ihvi |, A= i=1

avem

A2 =

n X

i,j=1

λi λj |vi ihvi |vj ihvj | =

n X i=1

λ2i |vi ihvi |,

= eA+B .

143

Spat¸ii Hilbert finit-dimensionale

αA2 + βA + γI =

n X i=1

¸si P (A) =

n X i=1

(αλ2i + βλi + γ) |vi ihvi |

P (λi ) |vi ihvi |,

oricare ar fi polinomul P.

Putem defini operatorul f (A) : H −→ H,

f (A) =

n X i=1

f (λi ) |vi ihvi |,

pentru orice funct¸ie f : D −→ C al c˘arei domeniu de definit¸ie cont¸ine λ1 , ..., λn . Deoarece f (A) depinde doar de valorile luate de funct¸ia f ˆın punctele λ1 , ..., λn , acela¸si operator corespunde la o infinitate de funct¸ii. ˆIn particular, avem eA = cos A = sin A =

Pn

λi i=1 e |vi ihvi |, Pn i=1 cos λi |vi ihvi |, Pn i=1 sin λi |vi ihvi |.

Dac˘a λ1 , ..., λn ∈ [0, ∞), atunci putem defini operatorul n p X √ A= λi |vi ihvi | i=1

√ cu proprietatea ( A)2 = A. T ¸ inˆ and seama c˘a lim λ ln λ = 0, putem admite λց0

c˘ a 0 ln 0 = 0 ¸si defini operatorul n X λi ln λi |vi ihvi |, A ln A = i=1

3.9.6 Plecˆ and de la reprezent˘ arile (v. pag. 119-13 ¸si pag. 138-13) σx = |+ih+| − |−ih−|, unde |0i = |1i =





1 0 0 1





,

,

σy = |⊕ih⊕| − |⊖ih⊖|, |+i =

√1 2

|−i =

√1 2

 

1 1



1 −1

|⊕i =

, 

,

σz = |0ih0|−|1ih1|, √1 2

|⊖i =



√1 2

1 i





1 −i

, 

,

144

Elemente de Algebr˘a Liniar˘a

se obt¸ine t

e−i 2 σx

t

e−i 2 σy

t

e−i 2 σz

3.10

t

t

= e−i 2 |+ih+| + ei 2 |−ih−| ! 1 1 t 1 −i 2t + 21 ei 2 = 2e 1 1 t

t

1 −1

−1

= e−i 2 |⊕ih⊕| + ei 2 |⊖ih⊖| ! 1 −i t t + 21 ei 2 = 12 e−i 2 i 1 t

t

= e−i 2 |0ih0| + ei 2 |1ih1| ! 1 0 t t + ei 2 = e−i 2 0 0

1

1

i

−i 1

0 0 0 1

!

! !

cos 2t

=

−i sin 2t

sin 2t t

=

e−i 2

0 t

0 ei 2

cos 2t

− sin 2t

cos 2t

=

−i sin 2t

cos 2t

!

!

!

,

.

Operatori pozitivi

3.10.1 Definit¸ie. Fie H un spat¸iu Hilbert ¸si A : H −→ H un operator autoadjunct. Spunem c˘ a A este operator pozitiv ¸si scriem A ≥ 0 dac˘ a hx|A|xi ≥ 0,

oricare ar fi

|xi ∈ H.

Spunem c˘ a A este operator pozitiv definit ¸si scriem A > 0 dac˘ a hx|A|xi > 0,

oricare ar fi

|xi 6= 0.

3.10.2 Orice operator autoadjunct A este diagonalizabil ¸si se poate scrie sub forma X A= λi |vi ihvi |. i

Oricare ar fi |xi ∈ H avem

hx|A|xi =

X i

λi |hvi |xi|2 .

Operatorul A este pozitiv dac˘ a ¸si numai dac˘ a λi ≥ 0, oricare ar fi i. Operatorul A este pozitiv definit dac˘ a ¸si numai dac˘ a λi > 0, oricare ar fi i.

,

145

Spat¸ii Hilbert finit-dimensionale

3.10.3 Teorem˘ a. Operatorul liniar A : H −→ H este pozitiv dac˘ a ¸si numai dac˘ a exist˘ a un operator liniar B : H −→ H astfel ˆıncˆ at A = B ∗ B.

Demonstrat¸ie. Dac˘a A = B ∗ B, atunci A este pozitiv deoarece hx, Axi = hx, B ∗ Bxi = hBx, Bxi ≥ 0, oricare ar fi x ∈ H. P P √ Dac˘a A = i λi |vi ihvi | ≥ 0, atunci putem alege B = i λi |vi ihvi |.

3.10.4 Definit¸ie. ˆIn spat¸iul A(H), definim relat¸ia de inegalitate A≤B

B −A ≥ 0.

dac˘ a

3.10.5 Exercit¸iu. Oricare ar fi operatorul liniar C, avem A≤B

=⇒

CAC ∗ ≤ CBC ∗.

3.10.6 Definit¸ie. Fie H, K dou˘ a spat¸ii Hilbert. Spunem despre o aplicat¸ie liniar˘ a f : A(H) −→ A(K)

c˘ a este o aplicat¸ie pozitiv˘ a dac˘ a A≥0

=⇒

f (A) ≥ 0.

3.10.7 Mult¸imea operatorilor pozitivi definit¸i pe un spat¸iu Hilbert H este o mult¸ime convex˘a: oricare ar fi x ∈ H ¸si oricare ar fi λ ∈ [0, 1] avem hx, Axi ≥ 0, ⇒ hx, ((1 − λ)A + λB)xi ≥ 0. hx, Bxi ≥ 0 3.10.8 Operatorul autoadjunct 1 (a0 I + a · σ) , 2 verific˘ a relat¸ia 0 ≤ A ≤ I dac˘ a ¸si numai dac˘ a A : C2 −→ C2 ,

A=

||a|| ≤ a0 ≤ 2 − ||a||.

ˆIn particular, ˆın acest caz ||a|| ≤ 1.

3.10.9 Dac˘a A, B : H −→ H sunt operatori liniari, atunci 0 ≤ A ≤ I, =⇒ 0 ≤ (1−t)A+tB ≤ I, oricare ar fi 0≤B≤I

t ∈ [0, 1].

146

Elemente de Algebr˘a Liniar˘a

3.11

Proiectori

3.11.1 Dac˘a H este spat¸iu Hilbert ¸si K ⊂ H un subspat¸iu, atunci (v. pag. 115-28) H = K ⊕ K⊥ . Fiecare vector |xi ∈ H poate fi scris ˆın mod unic sub forma |xi = |x′ i + |x′′ i

cu

|x′ i ∈ K,

|x′′ i ∈ K⊥

¸si aplicat¸ia P : H −→ H,

P |xi = |x′ i,

este un operator liniar, P (α|xi + β|yi) = α|x′ i + β|y ′ i = αP |xi + βP |yi, cu proprietatea P (H) = K, numit proiectorul (ortogonal) pe subspat¸iul K. 3.11.2 Din relat¸ia ||x||2 = hx|xi = hx′ +x′′ |x′ +x′′ i = hx′ |x′ i+hx′′ |x′′ i = ||x′ ||2 + ||x′′ ||2 rezult˘ a c˘ a ||P x|| ≤ ||x||,

oricare ar fi |xi ∈ H,

¸si ||P x|| = ||x||

⇐⇒

|xi ∈ K.

3.11.3 Din relat¸iile hx|P |xi = hx|x′ i = hx′ |x′ i = ||P x||2 ≥ 0,

hx|xi = hx′ +x′′ |x′ +x′′ i = hx′ |x′ i+hx′′ |x′′ i ≥ hx′ |x′ i = hx|P |xi, adev˘arate oricare ar fi |xi ∈ H, rezult˘ a c˘a 0 ≤ hx|P |xi ≤ hx|I|xi, adic˘ a 0 ≤ P ≤ I.

147

Spat¸ii Hilbert finit-dimensionale

3.11.4 Fiecare baz˘ a ortonormat˘a {|v1 i, |v2 i, ..., |vk i} a lui K poate fi extins˘a pˆ an˘ a la o baz˘ a {|v1 i, |v2 i, ..., |vk i, |vk+1 i, ..., |vn i} a lui H ¸si, pentru orice |xi, avem n k X X ′′ ′ |vi ihvi |xi, ¸si |x i = |vi ihvi |xi. |x i = i=1

i=k+1

Relat¸ia

P |xi =

k X i=1

|vi ihvi |xi

verificat˘ a oricare ar fi |xi ∈ H, arat˘ a c˘a P poate fi definit ˆın felul urm˘ator k X |vi ihvi |. (3.12) P = i=1

Matricea lui P ˆın baza considerat˘a  1 0 ...   0 1 ...   .. .. . .  . . .   P =  0 0 ...    0 0 ...   .. .. . . .  . . 0 0 ...

are forma  0 0 ... 0  0 0 ... 0   .. .. . . .  . ..  . .   1 0 ... 0    0 0 ... 0   .. .. . . ..  . .  . . 0 0 ...

0

Complementul ortogonal al proiectorului P n X ⊥ P =I −P = |vi ihvi | i=k+1

este proiectorul corespunz˘ ator subspat¸iului K⊥ .

3.11.5 Teorem˘ a. Un operator liniar P : H −→ H este proiector dac˘ a ¸si numai dac˘ a P 2 = P = P ∗.

(3.13)

Demonstrat¸ie. Dac˘a P este proiector, atunci relat¸ia (3.13) rezult˘ a din (3.12). Admit¸ˆand c˘a P verific˘ a relat¸ia (3.13), dovedim c˘a P este proiectorul corespunz˘ator subspat¸iului K = { |ui | P |ui = |ui } Orice vector |xi ∈ H poate fi scris sub forma |xi = P |xi + (|xi − P |xi).

148

Elemente de Algebr˘a Liniar˘a

Din relat¸ia P (P |xi) = P 2 |xi = P |xi rezult˘ a c˘a P |xi ∈ K. Oricare ar fi |ui ∈ K, avem ∗ P |ui = |ui, ¸si prin urmare hu| = hu|P . Din relat¸ia hu|(|xi − P |xi) = hu|P ∗ |xi − hu|P ∗ P |xi = 0

rezult˘ a c˘ a |xi−P |xi ∈ K⊥ .

3.11.6 Operatorul autoadjunct (v. pag. 136-8) 1 A : C2 −→ C2 , A = (a0 I + a · σ) , 2 este proiector dac˘ a ¸si numai dac˘ a a0 = ||a|| = 1. 3.11.7 Exercit¸iu. Singurele valori proprii posibile ale unui proiector P sunt 0 ¸si 1. Solut¸ie. Dac˘a λ este valoare proprie a lui P , atunci exist˘a |xi = 6 0 astfel ˆıncˆ at P |xi = λ |xi. Din relat¸ia (λ2 − λ) |xi = (P 2 − P )|xi = 0

obt¸inem egalitatea λ2 − λ = 0, verificat˘ a numai de λ = 0 ¸si λ = 1. 3.11.8 Dac˘a P este proiectorul corespunz˘ator subspat¸iului K ⊂ H, atunci spat¸iul propriu corespunz˘ ator lui 1 este K, iar cel corespunz˘ator lui 0 este K⊥ , adic˘ a K = { |ui | P |ui = |ui }

¸si

K⊥ = { |ui | P |ui = 0 }.

3.11.9 Dac˘a proiectorii P1 , P2 : H −→ H sunt astfel ˆıncˆ at P1 P2 = 0, atunci P2 P1 = P2∗ P1∗ = (P1 P2 )∗ = 0. 3.11.10 Definit¸ie. Doi proiectori P1 , P2 : H → H se numesc ortogonali dac˘ a P1 P2 = 0. 3.11.11 Propozit¸ie. Proiectorii P1 , P2 : H −→ H sunt ortogonali dac˘ a ¸si numai dac˘ a subspat¸iile corespunz˘ atoare K1 , K2 sunt ortogonale. Demonstrat¸ie. Dac˘a K1 ⊥ K2 , atunci P2 |xi ∈ K2 ⊆ K1⊥ , ¸si prin urmare P1 P2 |xi = 0, oricare ar fi |xi ∈ H. Invers, dac˘ a P1 P2 = 0, |yi ∈ K1 ¸si |zi ∈ K2 , atunci |yi = P1 |yi, |zi = P2 |zi ¸si avem hy|zi = hy|P1∗ P2 |zi = hy|P1 P2 |zi = 0.

149

Spat¸ii Hilbert finit-dimensionale

3.11.12 Propozit¸ie. Suma P = P1 +· · ·+Pm a proiectorilor P1 , P2 , ..., Pm este un proiector dac˘ a ¸si numai dac˘ a ei sunt ortogonali doi cˆ ate doi. Demonstrat¸ie. Dac˘a P1 , P2 , ... , Pm : H −→ H sunt proiectori ortogonali, atunci P 2 = (P1 +· · ·+Pm )2 = P1 +· · ·+Pm = P,

adic˘ a P este proiector. Invers, dac˘ a P este proiector ¸si i 6= j, atunci (v pag. 146-3) m m X X 2 2 2 ||Pi x|| + ||Pj x|| ≤ ||Pk x|| = hx|Pk |xi = hx|P |xi ≤ hx|xi = ||x||2 , k=1

k=1

adic˘ a avem

||Pi x||2 + ||Pj x||2 ≤ ||x||2 ,

oricare ar fi

|xi ∈ H.

Punˆand Pi y ˆın loc de x, obt¸inem relat¸ia ||Pi y||2 + ||Pj Pi y||2 ≤ ||Pi y||2 ,

oricare ar fi |yi ∈ H,

din care rezult˘ a c˘ a Pj Pi y = 0,

oricare ar fi |yi ∈ H.

3.11.13 Propozit¸ie. Produsul P = P1 P2 a doi proiectori P1 , P2 : H −→ H este un proiector dac˘ a ¸si numai dac˘ a P1 P2 = P2 P1 . Demonstrat¸ie. Dac˘a P = P1 P2 este proiector, atunci P1 P2 = P = P ∗ = (P1 P2 )∗ = P2∗ P1∗ = P2 P1 . Dac˘a P1 P2 = P2 P1 , atunci P 2 = P P = P1 P2 P1 P2 = P12 P22 = P1 P2 = P . 3.11.14 Dac˘a P1 , P2 : H −→ H sunt proiectorii pe subspat¸iile K1 , K2 ¸si dac˘ a P1 P2 = P2 P1 , atunci P = P1 P2 este proiectorul pe subspat¸iul K = K1 ∩ K2 . 3.11.15 Propozit¸ie. Fie P1 , P2 proiectorii corespunz˘ atori subspat¸iilor K1 , K2 . Urm˘ atoarele patru relat¸ii sunt echivalente: a) P1 ≥ P2 ;

c) P1 P2 = P2 ;

b) K1 ⊇ K2 ;

d) P2 P1 = P2 .

Demonstrat¸ie. a)⇒b). Dac˘a |xi ∈ K2 , atunci x = P2 |xi. Din relat¸ia (v. pag. 146-3) ||x||2 ≥ ||P1 x||2 = hx|P1 |xi ≥ hx|P2 |xi = hx|xi = ||x||2

rezult˘ a c˘ a ||P1 x|| = ||x||, ceea ce este posibil numai dac˘ a P1 x = x, adic˘ a |xi ∈ K1 . b)⇒c). Fie |xi ∈ H. Deoarece P2 |xi ∈ K2 ⊆ K1 , avem P1 P2 |xi = P2 |xi.

150

Elemente de Algebr˘a Liniar˘a

c)⇒d). Dac˘a P1 P2 = P2 , atunci P2 P1 = P2∗ P1∗ = (P1 P2 )∗ = P2∗ = P2 . d)⇒a). Fie |xi ∈ H. Utilizˆand relat¸iile P2∗ = (P2 P1 )∗ = P1∗ P2∗ ¸si P2 ≤ I, obt¸inem hx|P2 |xi = hx|P2∗ P2 |xi = hx|P1∗ P2∗ P2 P1 |xi = hx|P1∗ P2 P1 |xi ≤ hx|P1∗ P1 |xi = hx|P1 |xi. 3.11.16 Propozit¸ie. Diferent¸a P = P1 −P2 a doi proiectori P1 , P2 : H −→ H este un proiector dac˘ a ¸si numai dac˘ a P1 ≥ P2 . Demonstrat¸ie. Dac˘a P = P1 − P2 este proiector, atunci, pe baza propozit¸iei precedente, din P1 = P + P2 rezult˘ a c˘a (P1 − P2 )P2 = P P2 = 0, adic˘ a are loc relat¸ia P1 P2 = P2 , echivalent˘ a cu P1 ≥ P2 . Invers, dac˘ a P1 ≥ P2 , adic˘ a P1 P2 = P2 = P2 P1 , atunci P 2 = (P1 −P2 )2 − P12 − P1 P2 − P2 P1 + P22 = P1 −P2 = P. 3.11.17 Teorem˘ a. Orice operator autoadjunct A admite descompunerea spectral˘ a X A= µi Pi , i

unde µi sunt valorile proprii ale lui A ¸si Pi sunt proiectorii ortogonali corespunz˘ atori care satisfac relat¸iile X Pi = I. Pi2 = Pi = Pi∗ Pi Pj = δij Pi i

Demonstrat¸ie. S ¸ tim (v. pag. 138-13) c˘a A se poate scrie sub forma n n X X |vi ihvi | = I ¸si hvi |vj i = δij λi |vi ihvi |, cu A= i=1

i=1

(unele valori λi pot s˘ a coincid˘ a). Dac˘a A are doar dou˘ a valori proprii distincte, λ1 = λ2 = · · · = λk = µ 1 ,

λk+1 = λk+2 = · · · = λn = µ2 ,

atunci A admite descompunerea A = µ1 P1 + µ2 P2 unde P1 , P2 sunt proiectorii ortogonali P1 = |v1 ihv1 | + · · · + |vk ihvk |,

P2 = |vk+1 ihvk+1 | + · · · + |vn ihvn |

care satisfac relat¸iile P1 + P2 = I ¸si P1 P2 = 0. ˆIn cazul mai multor valori proprii demonstrat¸ia este similar˘a.

151

Spat¸ii Hilbert finit-dimensionale

3.11.18 Exemplu. Valorile proprii ale operatorului autoadjunct A : C3 −→ C3 ,

A(x1 , x2 , x3 ) = (x2 +x3 , x1 +x3 , x1 +x2 )

sunt λ1 = 2 ¸si λ2 = λ3 = −1. Subspat¸iile proprii corespunz˘atoare V2 = { (x1 , x2 , x3 ) | x1 = x2 = x3 } = { (α, α, α) | α ∈ C }

V−1 = { (x1 , x2 , x3 ) | x1 +x2 +x3 = 0 } = { (α, β, −α−β) | α, β ∈ C }

sunt ortogonale. Notˆand cu P2 ¸si P−1 proiectorii ortogonali corespunz˘atori, avem A = 2P2 + (−1)P−1 . ˆIn subspat¸iul V2 o baz˘ a ortonormat˘a este format˘a din vectorul v1 = Alegˆand ˆın V−1 baza ortonormat˘a o   n  v2 = √12 , − √12 , 0 , v3 = √16 , √16 , − √26



√1 , √1 , √1 3 3 3

 .

rezult˘ a

P2 = |v1 ihv1 |,

P−1 = |v2 ihv2 |+|v3 ihv3 |,

adic˘ a A = 2P2 + (−1)P−1 = 2|v1 ihv1 | − ( |v2 ihv2 |+|v3 ihv3 | ).

3.12

Transform˘ ari unitare ¸si ortogonale

3.12.1 Definit¸ie. Fie H un spat¸iu Hilbert. O transformare unitar˘ a ˆın H este o aplicat¸ie liniar˘ a A : H −→ H cu proprietatea hAx, Ayi = hx, yi,

∀x, y ∈ H.

3.12.2 Transform˘arile unitare p˘ astreaz˘ a nemodificat˘ a norma vectorilor: p p ||Ax|| = hAx, Axi = hx, xi = ||x||, ∀x ∈ H.

3.12.3 Fie H un spat¸iu Hilbert bidimensional ¸si {|0i, |1i} o baz˘ a ortonormat˘a fixat˘a. Operatorul identitate I ¸si operatorii Pauli σx = |1ih0|+|0ih1|

σy = i |1ih0|−i |0ih1|

σz = |0ih0|−|1ih1|

sunt transform˘ari unitare. Transformarea Hadamard

152

Elemente de Algebr˘a Liniar˘a

H : H −→ H,

1 1 H = √ (|0i+|1i)h0| + √ (|0i−|1i)h1| 2 2

este o transformare unitar˘a cu propriet˘a¸tile 1 1 H|1i = √ (|0i−|1i), H|0i = √ (|0i+|1i), 2 2

H 2 = I.

3.12.4 Propozit¸ie. Fie A, B : H −→ H aplicat¸ii liniare. Dac˘ a A este transformare unitar˘ a, atunci ¸si A−1 este transformare unitar˘ a. Dac˘ a A ¸si B sunt transform˘ ari unitare, atunci AB este transformare unitar˘ a. Demonstrat¸ie. Dac˘a A este transformare unitar˘a, atunci ker A = {0} Ax = 0

=⇒

||x|| = ||Ax|| = 0

=⇒

x=0

¸si conform teoremei dimensiunii dim Im A = dim H − dim Ker A = dim H.

De aceea, A este o transformare bijectiv˘ a. Transformarea A−1 este unitar˘a hx, yi = hA(A−1 x), A(A−1 y)i = hA−1 x, A−1 yi. Dac˘a A ¸si B sunt transform˘ari unitare, atunci h(AB)x, (AB)yi = hA(Bx), A(By)i = hBx, Byi = hx, yi,

∀x, y ∈ H.

3.12.5 Transformarea identitate I : H −→ H : x 7→ x este o transformare unitar˘a ¸si compunerea aplicat¸iilor este asociativ˘a (A(BC))x = A((BC)x) = A(B(Cx)) = (AB)(Cx) = ((AB)C)x,

∀x ∈ H.

De aceea, mult¸imea transform˘arilor unitare { A : H −→ H | hAx, Ayi = hx, yi, ∀x, y ∈ H } are o structur˘ a natural˘a de grup (grupul transform˘ arilor unitare ale lui H). 3.12.6 Propozit¸ie. Fie H un spat¸iu Hilbert ¸si A : H −→ H o aplicat¸ie liniar˘ a. Urm˘ atoarele afirmat¸ii sunt echivalente: a) A este transformare unitar˘ a; ∗ b) A A = I;

153

Spat¸ii Hilbert finit-dimensionale A este bijectiv˘ a ¸si A−1 = A∗ .

c)

Demonstrat¸ie. Dac˘a A este transformare unitar˘a, adic˘ a atunci are loc relat¸ia A∗ A

hAx, Ayi = hx, yi,

∀x, y ∈ H,

hA∗ Ax, yi = hx, yi,

∀x, y ∈ H,

A∗ A

care conduce la = I. Dac˘a = I, atunci A∗ AA−1 = A−1 , adic˘ a A∗ = A−1 . Dac˘a A este bijectiv˘ a ¸si A−1 = A∗ , atunci hAx, Ayi = hA∗ Ax, yi = hA−1 Ax, yi = hx, yi,

∀x, y ∈ H.

3.12.7 Propozit¸ie. O aplicat¸ie liniar˘ a A : H −→ H este transformare unitar˘ a dac˘ a ¸si numai dac˘ a matricea ei ˆın raport cu o baz˘ a ortonormat˘ a este o matrice unitar˘ a. P Demonstrat¸ie. Dac˘a {v1 , v2 , ..., vn } este o baz˘ a ortonormat˘a ¸si Avi = nj=1 aji vj , atunci P P hAvi , Avj i = h nk=1 aki vk , nm=1 amj vm i P P P P ¯kj = nk=1 a∗jk aki . ¯mj hvk , vm i = nk=1 aki a = nk=1 nm=1 aki a Dac˘a A este transformare unitar˘a, atunci are loc relat¸ia n X a∗jk aki = hAvi , Avj i = hvi , vj i = δij k=1

= I. Invers, dac˘ a A∗ A = I, atunci P D P E P P n hAx, Ayi = A ( ni=1 xi vi ) , A = ni=1 nj=1 xi y¯j hAvi , Avj i j=1 yj vj

echivalent˘ a cu

A∗ A

=

Pn Pn i=1

¯j δij j=1 xi y

=

Pn

¯i i=1 xi y

= hx, yi.

3.12.8 Teorem˘ a. Dac˘ a A : H −→ H este transformare unitar˘ a, atunci: a) orice valoare proprie λ verific˘ a relat¸ia |λ| = 1; b) Vectorii proprii corespunz˘ atori la valori proprii distincte sunt ortogonali. Demonstrat¸ie a) Fie λ o valoare proprie a lui A ¸si u 6= 0 un vector propriu corespunz˘ator, adic˘ a Au = λu. Din relat¸ia hAu, Aui = hu, ui rezult˘ a c˘a |λ| = 1. b) Fie λ1 6= λ2 dou˘ a valori proprii distincte, u1 , u2 vectori proprii corespunz˘atori, adic˘ a Au1 = λ1 u1 ¸si Au2 = λ2 u2 . Din relat¸ia hAu1 , Au2 i = hu1 , u2 i rezult˘ a c˘a hu1 , u2 i = 0.

154

Elemente de Algebr˘a Liniar˘a

3.12.9 Teorem˘ a. Dac˘ a A : H −→ H este transformare unitar˘ a, atunci exist˘ a o baz˘ a ortonormat˘ a B ˆın H astfel ˆıncˆ at matricea lui A ˆın raport cu B este o matrice diagonal˘ a. Demonstrat¸ie. Utiliz˘am metoda induct¸iei matematice. Afirmat¸ia este evident adev˘arat˘ a dac˘ a dim H = 1. Presupunˆand c˘ a afirmat¸ia este adev˘arat˘ a ˆın cazul dim H = n−1, ar˘ at˘am c˘ a ea este adev˘arat˘ a ¸si dac˘ a dim H = n. Fie H un spat¸iu vectorial de dimensiune n ¸si A : H −→ H o transformare unitar˘a. Fie λ1 ∈ C o valoare proprie ¸si u 6= 0 u este de un vector propriu corespunz˘ ator, adic˘ a Au = λ1 u. Vectorul unitar v1 = ||u|| asemenea vector propriu corespunz˘ator lui λ1 . Subspat¸iul format din tot¸i vectorii ortogonali pe v1 K = {v1 }⊥ = { x ∈ V | hv1 , xi = 0 }

este un subspat¸iu invariant

x ∈ K ⇒ hv1 , Axi = λ1 hλ1 v1 , Axi = λ1 hAv1 , Axi = λ1 hv1 , xi = 0 ⇒ Ax ∈ K

de dimensiune n−1 ¸si span{v1 }⊕ K = H. Relat¸ia hAx, Ayi = hx, yi avˆand loc pentru orice x, y ∈ H, rezult˘ a c˘ a restrict¸ia lui A la K A|K : K −→ K

verific˘ a relat¸ia hA|K x, A|K yi = hx, yi, oricare ar fi x, y ∈ K, adic˘ a este transformare unitar˘a. Conform ipotezei de induct¸ie, exist˘a o baz˘ a ortonormat˘a {v2 , v3 , ..., vn } ˆın K astfel ˆıncˆ at matricea lui A|K este o matrice diagonal˘ a   λ2 0 ··· 0  0 λ3 · · · 0   A|K =   ··· ··· ··· ···  0 0 · · · λn Sistemul de vectori B = {v1 , v2 , v3 , ..., vn } este baz˘ a ortonormat˘a ˆın H ¸si matricea lui A ˆın aceast˘ a baz˘ a este o matrice diagonal˘ a   λ1 0 0 ··· 0  0 λ2 0 ··· 0     A= 0 0 λ3 · · · 0  .  ··· ··· ··· ··· ···  0 0 0 · · · λn

3.12.10 Teorem˘ a. Orice operator unitar A admite descompunerea spectral˘ a X A= µi Pi , i

155

Spat¸ii Hilbert finit-dimensionale

unde µi sunt valorile proprii ¸si Pi sunt proiectorii ortogonali corespunz˘ atori cu propriet˘ a¸t ile X Pi = I. Pi2 = Pi = Pi∗ Pi Pj = δij Pi i

Demonstrat¸ie. Este similar˘a demonstrat¸iei prezentate la pag. 150-17. 3.12.11 Teorem˘ a. Fie K ⊂ H un subspat¸iu vectorial al spat¸iului Hilbert H. Orice operator unitar U : K −→ H se poate prelungi pˆ an˘ a la un operator unitar U : H −→ H. Demonstrat¸ie. Fie {v1 , v2 , ..., vk } o baz˘ a ortonormat˘a ˆın K pe care o extindem pˆ an˘ a la o baz˘ a {v1 , v2 , ..., vk , vk+1 , ..., vn } ˆın H. Sistemul ortonormat w1 = U v1 , w2 = U v2 , ... , wk = U vk il extindem pˆ an˘ a la o baz˘ a {w1 , ..., wk , wk+1 , ..., wn } ˆın H. Operatorul U : H −→ H, U vj = wj ,

oricare ar fi j ∈ {1, 2, ..., k, k+1, ..., n},

este o extensie unitar˘a a operatorului unitar U : K −→ H. 3.12.12 Exist˘ a un analog real al not¸iunii de transformare unitar˘a, dar nu toate propriet˘a¸tile prezentate ˆın cazul complex se p˘ atreaz˘ a ˆın cazul real. 3.12.13 Definit¸ie. Fie H un spat¸iu Hilbert real. O transformare ortogonal˘ a ˆın H este o aplicat¸ie liniar˘ a A : H −→ H cu proprietatea hAx, Ayi = hx, yi,

∀x, y ∈ H.

3.12.14 Transform˘arile ortogonale p˘ astreaz˘ a nemodificat˘ a norma vectorilor. Mult¸imea transform˘arilor ortogonale { A : H −→ H | hAx, Ayi = hx, yi, ∀x, y ∈ H } are o structur˘ a natural˘a de grup (grupul transform˘ arilor ortogonale). 3.12.15 Propozit¸ie. O aplicat¸ie liniar˘ a A : H −→ H este transformare ortogonal˘ a dac˘ a ¸si numai dac˘ a matricea ei in raport cu o baz˘ a ortonormat˘ a este o matrice ortogonal˘ a.

156

Elemente de Algebr˘a Liniar˘a

3.12.16 Teorem˘ a. Dac˘ a A : H −→ H este o transformare ortogonal˘ a, atunci: a) singurele valori proprii posibile ale lui A sunt 1 ¸si −1; b) vectorii proprii corespunz˘ atori la valori proprii distincte sunt ortogonali.

y′

(x′ , y ′ )

r (x, y)

y r

t α

x′

x

Figura 3.8: Rotat¸ia de unghi t ˆın jurul originii. 3.12.17 Exercit¸iu. Dac˘a identific˘ am planul cu spat¸iul Hilbert real R2 , atunci rotat¸ia Rt de unghi t ˆın jurul originii este transformare ortogonal˘ a. Ar˘atat¸i c˘ a, ˆın general, Rt nu admite nicio valoare sau vector propriu. p Solut¸ie. Notˆand r = x2 +y 2 ¸si punˆand (v. Fig. 3.8) Rt (x, y) = (x′ , y ′ ),

obt¸inem x′ = r cos(α + t) = r cos α cos t − r sin α sin t = x cos t − y sin t, y ′ = r sin(α + t) = r cos α sin t + r sin α cos t = x sin t + y cos t, adic˘ a Rt (x, y) = (x cos t − y sin t, x sin t + y cos t). Matricea rotat¸iei Rt ˆın raport cu baza canonic˘ a este   cos t − sin t Rt = . sin t cos t R˘ ad˘ acinile ecuat¸iei caracteristice

157

Spat¸ii Hilbert finit-dimensionale

cos t − λ − sin t sin t cos t − λ

sunt

λ1,2 = cos t ±

p

=0

cos2 t − 1

¸si ele sunt reale dac˘ a ¸si numai dac˘ a cos t ∈ {−1, 1}, adic˘ a dac˘ a ¸si numai dac˘ a t ∈ Zπ. 3.12.18 Rotat¸ia R(t) de unghi t ˆın jurul unui vector unitar v ∈ R3 . Fie (v1 , v2 , v3 ) coordonatele lui v ˆın raport cu baza canonic˘ a B = {e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1)}.

ˆIn cazurile v = e3 ¸si v = −e3 , matricea lui Rt ˆın raport cu baza B este    cos t − sin t 0 cos t sin t 0      Rt =   sin t cos t 0  ¸si respectiv Rt =  − sin t cos t 0 0 0 1 0 0 1

ˆIn cazul v 6= ±e3 , deoarece e1 e2 e3 v × e3 = v1 v2 v3 = (v2 , −v1 , 0) 0 0 1 ¸si

e1 e2 e3 v × (v × e3 ) = v1 v2 v3 = (v1 v3 , v2 v3 , −v12 − v22 ) 0 0 1



 . 

sistemul de vectori ) ( (v1 v3 , v2 v3 , −v12 − v22 ) ′ (v2 , −v1 , 0) ′ ′ ′ p , e2 = , e3 = (v1 , v2 , v3 ) B = e1 = p v12 + v22 v12 + v22 este o baz˘ a ortonormat˘a. Matricea de trecere  √ v22 2 √v12v3 2 v1 v1 +v2  v1 +v2  −v1 v2 v3  S =  √v12 +v22 √v12 +v22 v2   −v12 −v22 √ 0 v3 2 2 v1 +v2

de la B la B′ este       

158

Elemente de Algebr˘a Liniar˘a iar matricea de trecere de la B′ la B este ˆın jurul lui v ˆın raport cu baza B′ este  cos t − sin t  Rt =   sin t cos t 0 0

tS.

0

Matricea rotat¸iei de unghi t



 0   1

iar matricea aceleia¸si rotat¸ii ˆın raport cu baza canonic˘ a B este   cos t − sin t 0 t   S. sin t cos t 0 S Rt tS = S    0 0 1

Se observ˘ a c˘ a

   v1 0 S  0  =  v2  1 v3 

¸si prin urmare

ˆIn particular, avem 

   v1 0  0  = tS  v2  . 1 v3 





v1  t  S Rt S v2  = S   sin t v3 0

cos t 0

adic˘ a



      0 v1  0       0  0 = S 0 = v2  , 1 1 v3 1

cos t − sin t 0

S Rt tS v = v. 3.12.19 ˆIn cazul unei transform˘ari ortogonale A : H −→ H, ˆın general, nu exist˘a o baz˘ a B astfel ˆıncˆ at matricea lui A ˆın raport cu B s˘ a fie una diagonal˘ a.

159

Spat¸ii Hilbert finit-dimensionale

3.13

Transformarea Fourier finit˘ a

3.13.1 Definit¸ie. Spunem despre o funct¸ie de variabil˘ a discret˘a ϕ : Z −→ C c˘ a este periodic˘ a cu perioada N dac˘ a ϕ(n+N ) = ϕ(n), 3.13.2 Oricare ar fi k ∈ Z, funct¸ia exponent¸ial˘a

oricare ar fi

2πi

Z −→ C : n 7→ e N

n ∈ Z.

kn

(3.14)

este o funct¸ie periodic˘ a cu perioada N deoarece 2πi

eN

k(n+N )

2πi

=eN

kn 2kπi

e

2πi

=eN

kn

.

Am utilizat relat¸ia e2kπi = cos 2kπ + i sin 2kπ = 1. 2πi

Deoarece e N

(k+N )n

2πi

=e N

kn

, exist˘a numai N funct¸ii de forma (3.14).

3.13.3 Orice funct¸ie ϕ : {0, 1, ..., N −1} −→ C se poate prelungi prin periodicitate pˆ an˘ a la o funct¸ie periodic˘ a ϕ : Z −→ C cu perioada N , ¸si orice funct¸ie periodic˘ a ϕ : Z −→ C cu perioada N este complet determinat˘a de restrict¸ia ei la mult¸imea {0, 1, ..., N −1}, adic˘ a de numerele ϕ(0), ϕ(1), ... , ϕ(N −1). Deoarece ... = ϕ(n−2N ) = ϕ(n−N ) = ϕ(n) = ϕ(n+N ) = ϕ(n+2N ) = ... funct¸ia ϕ poate fi considerat˘a ca fiind definit˘a pe mult¸imea ZN a claselor de resturi modulo N , adic˘ a ϕ : ZN −→ C.

160

Elemente de Algebr˘a Liniar˘a

3.13.4 Teorem˘ a. Dac˘ a ϕ : Z −→ C este funct¸ie periodic˘ a cu perioada N , atunci NP −1 NP −1 2πi 2πi (3.15) e N nk ϕ(n) = N1 e− N km ϕ(m) m=0

k=0

ϕ(n) =

1 N

NP −1

2πi

e− N

nk

NP −1

2πi

km

eN

(3.16)

ϕ(m).

m=0

k=0

Demonstrat¸ie. Din formula (suma seriei geometrice) ( N −1 X N m 2 N −1 q = 1 + q + q + ··· + q = 1−q N 1−q

m=0

dac˘ a q = 1, dac˘ a q 6= 1,

(3.17)

rezult˘ a relat¸ia N −1 X

e

2πi N

m(n−k)

=

m=0

N −1  X

e

2πi N

(n−k)

m=0

care conduce la N −1 1 P N

e

2πi N

nm

m=0

NP −1

− 2πi mk N

e

m

=

ϕ(k) =

k=0

(

1 N

N 0

NP −1 k=0

dac˘ a k ≡ n (modulo N ),

dac˘ a k 6≡ n (modulo N ), N −1 P

e

2πi N

m(n−k)

m=0



ϕ(k) = ϕ(n).

3.13.5 S ¸ tim c˘ a orice funct¸ie periodic˘ a continu˘ a f : R −→ C cu perioada T f (t+T ) = f (t),

oricare ar fi

t ∈ R,

cu derivata continu˘ a pe port¸iuni, este dezvoltabil˘ a ˆın serie Fourier Z ∞ T X 2πi 2πi 1 cu ck = f (t) = ck e T kt e− T kt f (t) dt. T 0

(3.18)

k=−∞

Din (3.15) rezult˘ a c˘ a ϕ : Z −→ C, periodic˘ a cu perioada N , admite reprezentarea N −1 N −1 X 2πi 1 X − 2πi km ϕ(n) = ck e N nk e N cu ck = ϕ(m). (3.19) N m=0

k=0

3.13.6 Definit¸ie. Transformata Fourier a funct¸iei periodice ϕ : Z −→ C cu perioada N este funct¸ia F [ϕ] : Z −→ C,

F [ϕ](k) =

N −1 X

2πi

e− N

kn

ϕ(n).

n=0

Transformata Fourier invers˘ a a lui ϕ este funct¸ia

(3.20)

161

Spat¸ii Hilbert finit-dimensionale

F

−1

[ϕ] : Z −→ C,

F

−1

N −1 1 X 2πi kn e N ϕ(n). [ϕ](k) = N

(3.21)

n=0

3.13.7 Transformatele Fourier F [ϕ] ¸si F −1 [ϕ] sunt funct¸ii periodice cu perioada N F −1 [ϕ](k+N ) = F −1 [ϕ](k)

F [ϕ](k+N ) = F [ϕ](k), ¸si F [F −1 [ϕ]] = ϕ,

F −1 [F [ϕ]] = ϕ.

3.13.8 ˆIn cazul N = 2, transformata Fourier a unei funct¸ii ϕ : {0, 1} −→ C este funct¸ia F [ϕ] : {0, 1} −→ C,

F [ϕ](k) =

1 X

kn − 2πi 2

e

ϕ(n) =

(−1)kn ϕ(n),

n=0

n=0

adic˘ a funct¸ia

1 X

F [ϕ](0) = ϕ(0) + ϕ(1), F [ϕ](1) = ϕ(0) − ϕ(1).

F [ϕ] : {0, 1} −→ C, Transformata invers˘ a este F −1 [ϕ] : {0, 1} −→ C,

F −1 [ϕ](0) = 21 (ϕ(0)+ϕ(1)), F −1 [ϕ](1) = 21 (ϕ(0)−ϕ(1)).

3.13.9 ˆIn cazul N = 3 avem − 2πi 3

e

kn



− 2πi 3

= e

kn

=

    

1

√

3 √2 − 12 + i 23

− 12 − i

dac˘ a kn ∈ 3Z,

dac˘ a kn ∈ 3Z+1, dac˘ a kn ∈ 3Z+2,

¸si prin urmare transformata Fourier a unei funct¸ii ϕ : {0, 1, 2} −→ C este funct¸ia F [ϕ] : {0, 1, 2} −→ C,

F [ϕ](k) =

2 X

n=0

e−

2πi 3

kn

ϕ(n),

162

Elemente de Algebr˘a Liniar˘a

adic˘ a avem F [ϕ](0) = ϕ(0) + ϕ(1) + ϕ(2),   √  √  F [ϕ](1) = ϕ(0) + − 21 − i 23 ϕ(1) + − 21 + i 23 ϕ(2),   √  √  F [ϕ](2) = ϕ(0) + − 21 + i 23 ϕ(1) + − 21 − i 23 ϕ(2). Ultimele relat¸ii se mai pot scrie    1 1 F [ϕ](0) √     F [ϕ](1)  =  1 − 21 − i 23 √ F [ϕ](2) 1 − 21 + i 23

1 − 21 −

√

3 √2 i 23

− 21 + i



ϕ(0)



    ϕ(1)  . ϕ(2)

3.13.10 ˆIn cazul N = 4, transformata Fourier a unei funct¸ii ϕ : {0, 1, 2, 3} −→ C este funct¸ia F [ϕ] : {0, 1, 2, 3} −→ C,

F [ϕ](k) =

3 X

e−

2πi 4

kn

ϕ(n) =

3 X

(−i)kn ϕ(n),

n=0

n=0

adic˘ a avem F [ϕ](0) = ϕ(0) + ϕ(1) + ϕ(2) + ϕ(3), F [ϕ](1) = ϕ(0) − iϕ(1) − ϕ(2) + iϕ(3),

F [ϕ](2) = ϕ(0) − ϕ(1) + ϕ(2) − ϕ(3), F [ϕ](3) = ϕ(0) + iϕ(1) − ϕ(2) − iϕ(3).

3.13.11 Exercit¸iu. S˘ a se calculeze transformata Fourier a funct¸iei ϕ(n) = an ,

ϕ : {0, 1, ..., N −1} −→ C, unde a ∈ C este fixat. Rezolvare. Utilizˆand formula (3.17) obt¸inem F [ϕ](k) =

N −1 X n=0

− 2πi N

e

kn n

a =

N −1  X

− 2πi N

ae

n=0

k

n

=

  

2πi

N

dac˘ a a = e N k,

1−aN

dac˘ a a 6= e N k .

2πi 1−a e− N k

3.13.12 Exercit¸iu. Fie m ∈ {0, 1, ..., N −1} fixat ¸si funct¸ia delta discret˘ a

2πi

163

Spat¸ii Hilbert finit-dimensionale

1.0

0.5

-20

10

-10

20

-0.5

-1.0

1.0

0.5

0.5

-20

10

-10

20

-20

10

-10

-0.5

20

-0.5

-1.0

anga) ¸si partea imaginar˘a Figura 3.9: Funct¸ia δ3 , partea real˘ a Re F [δ3 ] = cos 6πi N m (stˆ 6πi Im F [δ3 ] = sin N m a transformatei Fourier F [δ3 ] ˆın cazul N = 10.

δm : {0, 1, ..., N −1} −→ C,

δm (n) =

(

1 dac˘ a n=m 0 dac˘ a n 6= m.

S˘ a se arate c˘ a 2πi

F [δm ](k) = e− N

km

.

Rezolvare. Avem F [δm ](k) =

NP −1 n=0

2πi

e− N

kn

2πi

δm (n) = e− N

km

2πi = cos 2πi N km + i sin N km.

Scriind δ ˆın loc de δ0 , avem F [δ](k) = 1,

2πi

F [δ1 ](k) = e− N k ,

4πi

F [δ2 ](k) = e− N k , ...

3.13.13 Spat¸iul funct¸iilor ϕ : Z −→ C, periodice cu perioada N , este un spat¸iu Hilbert cu produsul scalar N −1 X ϕ(n) ψ(n), hϕ, ψi = n=0

iar {δ, δ1 , δ2 , ..., δN −1 } este baz˘ a ortonormat˘a.

164

Elemente de Algebr˘a Liniar˘a

3.13.14 Oricare ar fi j ∈ Z, avem 2πi

eN

kn

2πi

=eN

(k+jN )n

2πi

=eN

k(n+jN )

.

De aceea, ˆın relat¸iile (3.20) ¸si (3.21), putem considera c˘a n parcurge mult¸imea ZN . Astfel, transformata Fourier a funct¸iei ϕ : ZN −→ C este funct¸ia X 2πi F [ϕ] : ZN −→ C, F [ϕ](k) = e− N kn ϕ(n), n∈ZN

iar transformata Fourier invers˘ a este funct¸ia F −1 [ϕ] : ZN −→ C,

F −1 [ϕ](k) =

1 X 2πi kn e N ϕ(n). N n∈ZN

3.13.15 Oricare ar fi n0 ∈ Z, au loc relat¸iile F [ϕ](k) =

n0 X +N −1

2πi

e− N

kn

ϕ(n)

¸si

F −1 [ϕ](k) =

n=n0

1 N

n0 X +N −1

2πi

eN

kn

ϕ(n).

n=n0

3.13.16 ˆIn cazul ˆın care N = 2M +1 este impar, mult¸imea {−M, −M +1, ..., M −1, M } este sistem de reprezentant¸i pentru ZN ¸si prin urmare F [ϕ](k) =

M P

2πi

e− N

kn

ϕ(n),

n=−M

F −1 [ϕ](k) = N1

Dac˘a funct¸ia real˘ a

M P

2πi

eN

kn

ϕ(n).

n=−M

ϕ : {−M, −M +1, ..., M −1, M } −→ R este par˘ a, adic˘ a ϕ(−n) = ϕ(n),

oricare ar fi n ∈ {−M, −M +1, ..., M −1, M },

atunci, utilizˆ and schimbarea n 7→ −n, obt¸inem M M P P 2πi 2πi F [ϕ](k) = e− N kn ϕ(n) = e N kn ϕ(−n) =

n=−M M P

n=−M

e

2πi N

kn

ϕ(n) = F [ϕ](k),

n=−M

adic˘ a transformata Fourier F [ϕ] este funct¸ie real˘ a.

165

Spat¸ii Hilbert finit-dimensionale 3.13.17 ˆIn cazul ˆın care N = 2M +1 este impar, relat¸ia (3.15) devine ϕ(n) =

1 N

M P

2πi

eN

nk

Aceast˘a relat¸ie, scris˘a sub forma 1 N

2πi

e− N

km

ϕ(m).

(3.22)

k=−M

k=−M

ϕ(n) =

M P

M P

2πi

nk

eN

F [ϕ](k),

(3.23)

k=−M

poate fi privit˘ a ca o reconstruct¸ie a lui ϕ plecˆ and de la valorile lui F [ϕ]. Dac˘a num˘ arul ˆıntreg L este astfel ˆıncˆ at 0 < L < M , atunci funct¸ia L P 2πi nk ϕL (n) = N1 eN F [ϕ](k) (3.24) k=−L

este o aproximat¸ie a lui ϕ, obt¸inut˘ a folosind doar F [ϕ](k) cu −L ≤ k ≤ L. Astfel de aproximat¸ii sunt utilizate pentru compresia datelor ˆın descrierea digital˘ a a sunetelor sau imaginilor. Trecerea ϕ 7→ ϕL poate fi utilizat˘ a pentru filtrarea semnalelor (eliminarea unor zgomote) ¸si pentru prelucrarea imaginilor (eliminarea unor defecte).

3.13.18 ˆIn cazul general N ∈ {2, 3, 4, ...}, funct¸ia ϕ poate fi aproximat˘a utilizˆ and ϕL (n) =

1 N

L P

2πi

eN

nk

F [ϕ](k)

(3.25)

k=−L

cu L ∈ {1, 2, ...} ales astfel ˆıncˆ at 2L+1 ≤ N . Dac˘a ϕ este funct¸ie real˘ a atunci utilizˆ and schimbarea k 7→ −k obt¸inem relat¸ia ϕL (n) = =

1 N 1 N

L P

k=−L L P

2πi

eN

nk

P

2πi

km

ϕ(m)

2πi

km

ϕ(m) = ϕL (n)

e− N

m∈ZN 2πi

e− N

nk

P

eN

m∈ZN

k=−L

care arat˘ a c˘ a ϕL este funct¸ie real˘ a. 3.13.19 ˆIn figura 3.10 prezent˘ am funct¸ia periodic˘ a ϕ : Z −→ R cu perioada N = 20 definit˘a prin ϕ(n) = (n/10)2

pentru

− 10 ≤ n ≤ 9

166

Elemente de Algebr˘a Liniar˘a

¸si funct¸ia periodic˘ a ϕ3 (n) =

3 1 X 2πi nk e 20 F [ϕ](k). 20 k=−3

Funct¸ia ϕ3 este o aproximat¸ie a lui ϕ deoarece ϕ(n) =

9 1 X 2πi nk e 20 F [ϕ](k). 20 k=−10

1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 -30

-20

10

-10

20

0.8 0.6 0.4 0.2 -30

-20

-10

10

20

Figura 3.10: Funct¸iile ϕ ¸si ϕ3 . 3.13.20 ˆIn cazul ˆın care perioada este un num˘ ar par 2N , unei funct¸ii ϕ : {0, 1, ..., 2N −1} −→ C ˆıi putem asocia funct¸iile ϕpar : {0, 1, ..., N −1} −→ C, ϕimpar : {0, 1, ..., N −1} −→ C,

ϕpar (n) = ϕ(2n), ϕimpar (n) = ϕ(2n+1),

30

167

Spat¸ii Hilbert finit-dimensionale

¸si avem F [ϕ](k) =

2N P−1

2πi

e− 2N

kn

ϕ(n)

n=0

=

NP −1

2πi

e− 2N

k 2m

ϕ(2m) +

NP −1

2πi

e− 2N

2πi

e− N

km

πi

ϕpar (m) + e− N

k

ϕ(2m + 1),

NP −1

2πi

e− N

km

ϕimpar (m)

m=0

m=0

=

k (2m+1)

m=0

m=0

=

NP −1

 k  F [ϕpar ](k) + e− πi N F [ϕimpar ](k)  F [ϕ ](k−N )+e par

− πi N

k

dac˘ a k ∈ {0, 1, ..., N −1}

F [ϕimpar ](k−N ) dac˘ a k ∈ {N, N +1, ..., 2N −1}.

Utilizˆand formula obt¸inut˘ a, calculul transformatelor Fourier ale funct¸iilor de forma ϕ : {0, 1, ..., 2N −1} −→ C se poate reduce succesiv pˆ an˘ a la calculul transformatelor unor funct¸ii de forma ψ : {0, 1} −→ C. Aceast˘a metod˘ a de calcul foarte eficient˘a este numit˘ a transformarea Fourier rapid˘ a. 3.13.21 S ¸ tim c˘ a ˆın cazul N = 2, transformata Fourier a unei funct¸ii ϕ : {0, 1} −→ C este funct¸ia F [ϕ] : {0, 1} −→ C,

F [ϕ](0) = ϕ(0) + ϕ(1), F [ϕ](1) = ϕ(0) − ϕ(1).

3.13.22 Calculul transformatei Fourier a unei funct¸ii ϕ : {0, 1, 2, 3} −→ C se poate reduce la calculul transformatelor Fourier ale funct¸iilor ϕpar : {0, 1} −→ C, ϕimpar : {0, 1} −→ C, Avem

ϕpar (n) = ϕ(2n), ϕimpar (n) = ϕ(2n+1).

168

Elemente de Algebr˘a Liniar˘a

F [ϕ](k) =

  F [ϕpar ](k) + e− πi2 k F [ϕimpar ](k)

dac˘ a k ∈ {0, 1},

 F [ϕ ](k−2)+e k F [ϕimpar ](k−2) dac˘ a k ∈ {2, 3} par  ϕ(0) + ϕ(1) + ϕ(2) + ϕ(3) dac˘ a k = 0,     ϕ(0) − iϕ(1) − ϕ(2) + iϕ(3) dac˘ a k = 1, =  ϕ(0) − ϕ(1) + ϕ(2) − ϕ(3) dac˘ a k = 2,    ϕ(0) + iϕ(1) − ϕ(2) − iϕ(3) dac˘ a k = 3. − πi 2

3.13.23 ˆIn cazul N = 23 , unei funct¸ii de forma

ϕ : {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} −→ C, funct¸iilor ϕpar : {0, 1, 2, 3} −→ C,

ϕpar (n) = ϕ(2n),

ϕimpar : {0, 1, 2, 3} −→ C,

ϕimpar (n) = ϕ(2n+1)

li se poate aplica direct formula obt¸inut˘ a la punctul anterior. 3.13.24 Spat¸iul funct¸iilor periodice ϕ : Z −→ C cu perioada N se poate identifica cu CN asociind funct¸iei ϕ elementul x = (x0 , ..., xN −1 ) ∈ CN cu xn = ϕ(n). Obt¸inem ˆın acest fel transformarea Fourier pe CN , adic˘ a F : CN −→ CN : x 7→ F [x],

unde F [x]k =

N −1 X

2πi

e− N

kn

xn

n=0

¸si inversa ei F −1 : CN −→ CN : x 7→ F −1 [x],

unde F −1 [x]k =

N −1 1 X 2πi kn e N xn . N n=0

3.13.25 Definit¸ie. O matrice de forma 

c0

c1 c0

 cd−1   C =  cd−2 cd−1  .. ..  . . c1 c2

c2 · · · c1 · · · c0 · · · .. . . . . c3 · · ·

se nume¸ste matrice circulant˘ a.

cd−1 cd−2 cd−3 .. . c0

      

(3.26)

169

Spat¸ii Hilbert finit-dimensionale

3.13.26 Teorem˘ a. Valorile proprii ale matricei (3.26) sunt coordonatele transformatei Fourier ale primei linii, adic˘ a d−1 X 2πi e− d kn cn cu k ∈ {0, 1, ..., d−1}, λk = n=0

iar vectorii proprii corespunz˘ atori sunt   2πi 2πi 2πi vk = t 1, e− d k , e− d 2k , ..., e− d (d−1)k .

Demonstrat¸ie. Coordonata j a lui Cvk este d−1 d−1 X X 2πi 2πi kℓ − 2πi e− d k(n+j) cn = λk e− d kj . e d cd−j+ℓ = (Cvk )j = ℓ=0

3.14

n=0

Transformarea Fourier finit˘ a bidimensional˘ a

3.14.1 Fie N1 , N2 ∈ {2, 3, 4, ...}. Dac˘a k1 , k2 ∈ Z, atunci funct¸ia ϕ : Z × Z −→ C,

2πi

ϕ(n1 , n2 ) = e N1

k1 n1

2πi

e N2

k2 n2

,

(3.27)

este o funct¸ie periodic˘ a cu perioadele (N1 , 0) ¸si (0, N2 ), adic˘ a ϕ(n1 , n2 ) = ϕ(n1 +N1 , n2 ) = ϕ(n1 , n2 +N2 ),

∀(n1 , n2 ) ∈ Z×Z.

(3.28)

Dac˘a ˆın (3.27) ˆınlocuim k1 cu k1 +N1 sau k2 +N2 , atunci ϕ nu se schimb˘ a. Dintre funct¸iile (3.27) doar N1 N2 sunt distincte ¸si ele pot fi descrise utilizˆ and clase de resturi ca fiind cele corespunz˘atoare lui (k1 , k2 ) ∈ ZN1 ×ZN2 . Un sistem de reprezentant¸i pentru ZN1×ZN2 este {0, ..., N1−1}×{0, ..., N2−1}. 3.14.2 Funct¸iile periodice ϕ : Z × Z −→ C cu perioadele (N1 , 0) ¸si (0, N2 ) se pot identifica cu funct¸iile ϕ : {0, 1, ..., N1 −1} × {0, 1, ..., N2 −1} −→ C, iar ˆın cazul ˆın care N1 = 2M1 +1 ¸si N2 = 2M2 +1 sunt impare cu ϕ : {−M1 , −M1 +1, ..., M1 } × {−M2 , −M2 +1, ..., M2 } −→ C.

170

Elemente de Algebr˘a Liniar˘a

Din relat¸ia (3.28) rezult˘ a c˘ a putem considera ϕ definit˘a pe ZN1 ×ZN2 , adic˘ a ϕ : ZN1 × ZN2 −→ C. 3.14.3 Teorem˘ a. Dac˘ a ϕ : Z×Z −→ C este periodic˘ a cu perioadele (N1 , 0) ¸si (0, N2 ), atunci ϕ(n1 , n2 ) = N11N2 ϕ(n1 , n2 ) = N11N2

NP 2 −1 1 −1 NP k1 =0 k2 =0 NP 2 −1 1 −1 NP

2πi

e N1

n1 k1

2πi

e N2

n2 k2

NP 1 −1 NP 2 −1

k1 m1 − 2πi k2 m2 − 2πi N N

e

e

1

2

ϕ(m1 , m2 ),

m1 =0 m2 =0 − 2πi n1 k1 − 2πi n2 k2 N N

e

e

1

2

NP 2 −1 1 −1 NP

2πi

e N1

k1 m1

2πi

e N2

k2 m2

ϕ(m1 , m2 ).

m1 =0 m2 =0

k1 =0 k2 =0

Demonstrat¸ie. Relat¸iile rezult˘ a direct din teorema prezentat˘a la pag. 160-4. 3.14.4 Definit¸ie. Transformata Fourier a funct¸iei periodice ϕ : Z×Z −→ C cu perioadele (N1 , 0) ¸si (0, N2 ) este funct¸ia NX 2 −1 1 −1 N X − 2πi k n − 2πi k n e N1 1 1 e N2 2 2 ϕ(n1 , n2 ). F [ϕ] : Z×Z −→ C, F [ϕ](k1 , k2 ) = n1 =0 n2 =0

Transformata Fourier invers˘ a a lui ϕ este funct¸ia NX 2 −1 1 −1 N X 2πi 1 k n 2πi k n −1 −1 e N1 1 1 e N2 2 2 ϕ(n1 , n2 ). F [ϕ] : Z×Z −→ C, F [ϕ](k1 , k2 ) = N1 N2 n1 =0 n2 =0

3.14.5 Transformatele Fourier ale funct¸iilor periodice cu perioadele (N1 , 0) ¸si (0, N2 ) sunt funct¸ii periodice cu acelea¸si perioade, F [F −1 [ϕ]] = ϕ

F −1 [F [ϕ]] = ϕ.

¸si

Astfel, transformata Fourier a funct¸iei ϕ : ZN1 ×ZN2 −→ C este funct¸ia F [ϕ] : ZN1 ×ZN2 −→ C definit˘a prin relat¸ia F [ϕ](k1 , k2 ) =

X

X

n1 ∈ZN1 n2 ∈ZN2

k1 n1 − 2πi k2 n2 − 2πi N N

e

1

e

2

ϕ(n1 , n2 ),

171

Spat¸ii Hilbert finit-dimensionale

0.4

0.4 4

4

0.3 0.2

0.2 2

2

0.1

0.0

0.0

0

0 -2

-2 -2

0

-2

0 2

2 -4

-4

0.4

0.4

0.3

4

4

0.2

0.2 2

2

0.1

0.0

0.0

0

0 -2

-2 -2

0 2

-2

0 2

-4

-4

Figura 3.11: Funct¸iile ϕ (stˆ anga) ¸si ϕ2,2 (dreapta) ˆın diverse reprezent˘ari grafice.

iar transformata Fourier invers˘ a funct¸ia F −1 [ϕ] : ZN1 ×ZN2 −→ C, F −1 [ϕ](k1 , k2 ) =

1 N1 N2

X

X

2πi

e N1

k1 n1

2πi

e N2

k2 n2

ϕ(n1 , n2 ).

n1 ∈ZN1 n2 ∈ZN2

3.14.6 ˆIn cazul ˆın care N1 = 2M1 +1 ¸si N2 = 2M2 +1 sunt impare, din teorema prezentat˘ a la pag. 170-3 rezult˘ a c˘a

172

Elemente de Algebr˘a Liniar˘a

ϕ(n1 , n2 ) = N11N2

M P2

M P1

2πi

e N1

n1 k1

2πi

n2 k2

e N2

k1 =−M1 k2 =−M2

×

M P2

M P1

k1 m1 − 2πi k2 m2 − 2πi N N

e

e

1

2

ϕ(m1 , m2 ).

m1 =−M1 m2 =−M2

Aceast˘a relat¸ie, scris˘a sub forma

M P2

M P1

ϕ(n1 , n2 ) =

2πi

n1 k1

e N1

2πi

e N2

n2 k2

F [ϕ](k1 , k2 ).

k1 =−M1 k2 =−M2

poate fi privit˘ a ca o reconstruct¸ie a lui ϕ plecˆ and de la valorile lui F [ϕ]. Dac˘a L1 , L2 sunt astfel ˆıncˆ at 0 < L1 < M1 ¸si 0 < L2 < M2 , atunci funct¸ia ϕL1 ,L2 (n1 , n2 ) =

L1 P

L2 P

2πi

e N1

n1 k1

2πi

e N2

n2 k2

F [ϕ](k1 , k2 )

k1 =−L1 k2 =−L2

este o aproximat¸ie a lui ϕ, obt¸inut˘ a folosind doar F [ϕ](k) cu −Li ≤ ki ≤ Li . Astfel de aproximat¸ii sunt utilizate pentru compresia datelor ¸si prelucrarea imaginilor (eliminarea unor defecte). 3.14.7 ˆIn figura 3.11 prezent˘ am ˆın diverse reprezentari grafice funct¸iile ϕ, ϕ2,2 : {−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3}×{−4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4} −→ R definite prin ϕ(n1 , n2 ) =

|n1 n2 | n21 + n22 + 1

¸si ϕ2,2 (n1 , n2 ) =

2 P

2 P

3 P

4 P

e

2πi 7

n1 k1

e−

2πi 7

e

2πi 9

n2 k2

F [ϕ](k1 , k2 ),

k1 =−2 k2 =−2

unde 1 F [ϕ](k1 , k2 ) = 12

k1 m1

e−

2πi 9

k2 m2

m1 =−3 m2 =−4

3.14.8 MATHEMATICA: Programul utilizat pentru a obt¸ine Fig. 3.11

ϕ(m1 , m2 ).

173

Spat¸ii Hilbert finit-dimensionale

In[1]=

M1 = 3; M2 = 4; N1 = 2 M1 + 1; N2 = 2 M2 + 1 f[n_, k_] := N[Abs[n k]/(n^2 + k^2 + 1)] Ff[n_, k_] := N[(1/(N1 N2)) Sum[Exp[2 Pi I a n/N1] Exp[2 Pi I b k/N2] f[a, b], {a,-M1, M1}, {b,-M2, M2}]] g[n_, k_] :=

N[Re[Sum[Ff[a, b] Exp[-2 Pi I a n/N1] Exp[-2 Pi I b k/N2], {a,-2,2}, {b,-2, 2}]]]

DiscretePlot3D[f[n, k], {n, -M1, M1}, {k, -M2, M2}] DiscretePlot3D[g[n, k], {n, -M1, M1}, {k, -M2, M2}] DiscretePlot3D[f[n, k], {n, -M1, M1}, {k, -M2, M2}, ExtentSize -> Full] DiscretePlot3D[g[n, k], {n, -M1, M1}, {k, -M2, M2}, ExtentSize -> Full] Image[Table[f[n, k], {n, -M1, M1}, {k, -M2, M2}] ] Image[Table[g[n, k], {n, -M1, M1}, {k, -M2, M2}] ]

3.15

Transformarea Fourier unitar˘ a

3.15.1 Din relat¸iile (3.15) ¸si (3.15) rezult˘ a c˘a pentru transformarea Fourier, ˆın afar˘a de (3.20), se poate alege ¸si definit¸ia u¸sor diferit˘ a NP −1 2πi (3.29) e− N kn ϕ(n). F [ϕ](k) = √1N n=0

ˆIn acest caz, transformarea invers˘ a este NP −1 2πi e N kn ϕ(n). F −1 [ϕ](k) = √1N n=0

3.15.2 Transformarea Fourier (3.29) este o transformare unitar˘a deoarece matricea   1 1 1 ··· 1 2πi 2πi 2πi  1 e− N e− N 2 · · · e− N (N −1)    1  − 2πi 2 − 2πi 4 − 2πi 2(N −1)  N N N   1 e e · · · e F =√   N  .. .. .. ..  .. .  .  . . . 2πi 2πi 2 (N −1) − 2(N −1) − (N −1) − 2πi e N ··· e N 1 e N a lui F ˆın raport cu baza ortonormat˘a {δ, δ1 , δ2 , ..., δN −1 } este unitar˘a  1 dac˘ a k = m (modulo N ), kn − 2πi mn 1 PN −1 2πi N N e = n=0 e N 0 dac˘ a k 6= m (modulo N ). Prin urmare, ˆın cazul transform˘ arii Fourier unitare (3.29), avem

174

Elemente de Algebr˘a Liniar˘a

F −1 = F ∗ . 3.15.3 ˆIn cazul N = 2, transformata Fourier unitar˘a a unei funct¸ii ϕ : {0, 1} −→ C este funct¸ia (v. pag. 161-8) F [ϕ](0) = √12 (ϕ(0)+ϕ(1)),

F [ϕ] : {0, 1} −→ C,

F [ϕ](1) = √12 (ϕ(0)−ϕ(1)),

¸si ea coincide cu transformata invers˘ a F −1 [ϕ](0) = √12 (ϕ(0)+ϕ(1)), −1 F [ϕ] : {0, 1} −→ C, F −1 [ϕ](1) = √12 (ϕ(0)−ϕ(1)). 3.15.4 Fie H un spat¸iu Hilbert de dimensiune N ¸si {|v0 i, |v1 i, ..., |vN −1 i} o baz˘ a ortonormat˘a ˆın H. Asociind vectorului N −1 X |vn ihvn |xi |xi = n=0

funct¸ia

ϕ : {0, 1, 2, ..., N −1} −→ C,

ϕ(n) = hvn |xi,

obt¸inem o identificare a spat¸iului Hilbert H cu spat¸iul Hilbert al funct¸iilor periodice cu perioada N . Prin acest˘ a identificare, definit¸ia (3.29) corespunde relat¸iei NP −1 2πi e− N kn hvn |xi. hvk |F |xi = √1N n=0

Utilizˆand rezolut¸ia identit˘a¸tii N −1 X |vk ihvk |, I= k=0

obt¸inem c˘ a

F |xi = I F |xi =

NP −1 k=0

|vk ihvk |F |xi = √1N

NP −1

k,n=0

oricare ar fi |xi ∈ H, adic˘ a formula NP −1 2πi F = √1N e− N kn |vk ihvn |. k,n=0

2πi

e− N

kn

|vk ihvn |xi,

(3.30)

175

Spat¸ii Hilbert finit-dimensionale

3.15.5 Din relat¸ia (3.30) rezult˘ a NP −1 F 2 = N1 =

F =

2πi

e− N

k,n=0 j,ℓ=0 −1 NP −1 NP

1 N

2πi

e− N

kn − 2πi jℓ N

e

n(k+ℓ)

k,ℓ=0 n=0

Deoarece 4

NP −1

N −1 X

n,k=0

|vn ihv−n |vk ihv−k | =

|vk ihvn |vj ihvℓ |

|vk ihvℓ | = N −1 X n=0

NP −1 k=0

|vk ihv−k |.

|vn ihvn | = I,

orice valoare proprie λ a lui F satisface relat¸ia λ4 = 1, adic˘ a apart¸ine mult¸imii {1, −1, i, −i}. Pentru N > 4, toate cele patru numere sunt valori proprii ¸si operatorii P0 = 14 (I + F + F 2 + F 3 ), P1 = 41 (I + iF − F 2 − iF 3 ), P2 = 14 (I − F + F 2 − F 3 ),

P3 = 41 (I − iF − F 2 + iF 3 ),

care satisfac relat¸iile Pk∗ = Pk ,

Pk Pℓ = δkℓ Pk ,

P0 + P1 + P2 + P3 = I,

sunt proiectorii ortogonali corespunz˘atori, adic˘ a F Pk = (−i)k Pk ,

oricare ar fi k ∈ {0, 1, 2, 3}.

Transformarea Fourier F admite descompunerea spectral˘ a 3 X (−i)k Pk = P0 − iP1 − P2 + iP3 . F = k=0

3.15.6∗ Polinoamele Hermite Hk (x) = (−1)k ex

2

dk −x2 e , dxk

k ∈ {0, 1, 2, ...}

verific˘ a relat¸iile de recurent¸˘a Hk′ (x) = 2k Hk−1 (x).

Hk+1 (x) − 2x Hk (x) + 2k Hk−1 (x) = 0, ˆIn cazul transform˘arii Fourier continue f 7→ F[f ],

unde

1 F[f ](ξ) = √ 2π

Z

∞ −∞

e−iξx ϕ(x) dx,

176

Elemente de Algebr˘a Liniar˘a

funct¸ia Hermite-Gauss fk (x) = Hk (x) e−

fk : R −→ R,

x2 2

,

este funct¸ie proprie F[fk ] = (−i)k fk , adic˘ a (v. [12], pag 194) Z ∞ ξ2 x2 1 √ e−iξx Hk (x) e− 2 dx = (−i)k Hk (ξ) e− 2 . 2π −∞ 3.15.7∗ Plecˆ and de la funct¸ia periodic˘ a Φk : R −→ R,

Φk (x) =

∞ P

α=−∞

cu perioada N , definim funct¸ia

Hk

φk : ZN −→ R,

q

2π N

q 2  2π − 12 (αN +x) N (αN +x) e

φk (n) = Φk (n).

3.15.8∗ Teorem˘ a [20]. Pentru orice k ∈ {0, 1, 2, ...}, funct¸ia φk : ZN −→ R,  q ∞ P π 2 2π (αN +n) e− N (αN +n) φk (n) = Hk N α=−∞

este funct¸ie proprie a transform˘ arii Fourier finite N −1 1 X − 2πi jn √ e N φk (n) = (−i)k φk (j), N n=0

adic˘ a

F [φk ] = (−i)k φk . Demonstrat¸ie. Funct¸ia periodic˘ a Φk (x) admite dezvoltarea ˆın serie Fourier Φk (x) =

∞ X

2πi

aℓ e N

ℓx

ℓ=−∞

cu coeficient¸ii aℓ =

1 N

=

1 N

Notˆand t =

q

2π N

RN 0

RN 0

2πi

e− N

ℓx

ℓx − 2πi N

e

Φk (x) dx ∞ P

α=−∞

− 21

e

q

2π N

2 (αN +x)

Hk

q

2π N

 (αN +x) dx

(αN +x) ¸si utilizˆ and formulele Hk (−x) = (−1)k Hk (x) ¸si

177

Spat¸ii Hilbert finit-dimensionale

√ (α+1) 2πN

∞ Z X

f (t) dt =

√ α=−∞ α 2πN

obt¸inem relat¸ia aℓ =

= =

∞ P

√1 2πN α=−∞ ∞ P √1 2πN α=−∞ √1 √1 N 2π ik

√

=

(−i)k √ N

e

care conduce la Φk (x) =

√ α 2πN √ (α+1) R 2πN √ α 2πN q −iℓt 2π N

φk (j) = =

(−i)k √ N

q  N ℓ t −αN − 2πi N 2π

e

q −iℓt 2π N

e

1 2

e− 2 t Hk (t) dt

1 2

∞ P

aℓ e

2πi ℓx N

=

∞ P

2πi

eN

π 2 jℓ − N ℓ

e

k (−i) √ N

∞ P

e

2πi ℓx N

π 2 −N ℓ

e

ℓ=−∞

= (−i)k

√1 N √1 N

NP −1

2πi

eN

jn

∞ P

π

α=−∞

n=0

NP −1

2πi

eN

n=0

jn

 q  Hk ℓ 2π N

 q  Hk ℓ 2π N

ℓ=−∞ NP −1 P π 2πi 2 ∞ j(αN +n) − N N e (αN +n) (−i)k √1N α=−∞ e n=0

= (−i)k

1 2

e− 2 t Hk (t) dt

 q  Hk −ℓ 2π N q   π 2 e− N ℓ Hk ℓ 2π N

ℓ=−∞

Din relat¸ia

f (t) dt

−∞

e− 2 t Hk (t) dt

e

−∞

∞

π 2 ℓ −N

=

N

R∞

√ (α+1) R 2πN

Z

2

e− N (αN +n) Hk

q

Hk 2π N

q

2π N

 (αN + n)

 (αN + n)

φk (n)

obt¸inut˘ a cu ajutorul egalit˘ a¸tii ∞ X

ℓ=−∞

rezult˘ a

ϕ(ℓ) =

N −1 X

∞ X

ϕ(αN + n)

n=0 α=−∞

N −1 1 X − 2πi jn √ e N φk (n) = (−i)k φk (j), N n=0

oricare ar fi j ∈ ZN .

178

Elemente de Algebr˘a Liniar˘a

3.15.9 Deoarece spat¸iul Hilbert al funct¸iilor de forma φ : ZN −→ C este un spat¸iu de dimensiune N , dintre funct¸iile φk cel mult N sunt liniar independente.

3.16

Elemente ale structurii unui spat¸iu Hilbert

3.16.1 Vom considera cazul unui spat¸iu Hilbert H de dimensiune impar˘a, d = 2s+1, de¸si majoritatea rezultatelor prezentate sunt valabile ¸si ˆın cazul ˆın care H are dimensiune par˘ a. Spat¸iul H se poate identifica (utilizˆ and o baz˘ a ortonormat˘a) d cu C ¸si ˆıl vom privi ca fiind spat¸iul tuturor funct¸iilor de forma ϕ : {−s, −s+1, ..., s−1, s} −→ C considerat cu produsul scalar hϕ, ψi =

s X

ϕ(n) ψ(n).

n=−s

3.16.2 Funct¸iile {δk }sk=−s , unde δk : {−s, −s+1, ..., s−1, s} −→ C,

δk (n) = δkn =

(

1 dac˘ a k = n, 0 dac˘ a k 6= n,

formeaz˘ a o baz˘ a ortonormat˘a, numit˘ a baza canonic˘ a sau baza computat¸ional˘ a. Scriind |ki ˆın loc de δk avem s X |kihk| = I hk|ℓi = δkℓ , k=−s

¸si

|ϕi = I|ϕi =

s X

k=−s

|kihk|ϕi =

s X

k=−s

ϕ(k) |ki.

3.16.3 ˆIn reprezentarea aleas˘ a, transformarea Fourier direct˘ a este s P 2πi e− d kn ϕ(n), F : Cd −→ Cd : ϕ 7→ F [ϕ], F [ϕ](k) = √1d k=−s

iar cea invers˘ a

F −1 : Cd −→ Cd : ϕ 7→ F −1 [ϕ], Deoarece

F −1 [ϕ](k) =

√1 d

s P

k=−s

e

2πi kn d

ϕ(n).

179

Spat¸ii Hilbert finit-dimensionale

s P

F = IF I =

n,k=−s

avem F =

√1 d

s P

|nihn|F |kihk| = 2πi kn d

e−

n,k=−s

F −1 = F ∗ =

√1 d

F 2 = F ∗2 =

s P

n=−s

˜ s 3.16.4 Funct¸iile {|ki} k=−s , unde

s P

e−

2πi kn d

n,k=−s

|nihk|,

|nihk|,

s P

e

2πi kn d

n,k=−s

¸si

√1 d

|nihk|

F 2 [ϕ](k) = ϕ(−k).

|−nihn|,

s 1 X 2πi kn ∗ ˜ e d |ni, |ki = F |ki = √ d n=−s

formeaz˘ a o baz˘ a ortonormat˘a ¸si

ˆIn particular, avem

s 1 X − 2πi kn ˜ e d hn|. hk| = hk|F = √ d n=−s

˜ ℓi ˜ = δkℓ , hk| ¸si deci |ϕi = I|ϕi =

s X

k=−s

s X

˜ k| ˜ =I |kih

s X

˜ |kihk|F |ϕi =

k=−s

˜ k|ϕi ˜ |kih =

k=−s

s X

k=−s

˜ F [ϕ](k) |ki.

3.16.5 Funct¸iile {|ni}sn=−s sunt funct¸ii proprii ale operatorului autoadjunct Q : Cd −→ Cd : ϕ 7→ Qϕ,

(Qϕ)(n) = n ϕ(n),

˜ s ¸ii proprii ale operatorului autoadjunct iar funct¸iile {|ki} k=−s sunt funct Avem

P : Cd −→ Cd ,

P = F ∗ QF.

Q|ni = n|ni, oricare ar fi n ∈ {−s, −s+1, ..., s−1, s}, ˜ = k|ki, ˜ P |ki

oricare ar fi k ∈ {−s, −s+1, ..., s−1, s}

¸si descompunerile spectrale

Q=

s P

n=−s

n |nihn|,

P =

s P

k=−s

˜ k|. ˜ k |kih

180

Elemente de Algebr˘a Liniar˘a

3.16.6 Operatorii unitari 2πi P d

A = e− ¸si B=e

2πi Q d

: Cd −→ Cd ,

A=

: Cd −→ Cd ,

B=

s P

− 2πi kα d

˜ =e Aα |ki

2πi k d

k=−s s P

e

2πi n d

n=−s

verific˘ a relat¸iile (adunarea se face modulo d) Aα |ni = |n+αi,

e−

B β |ni = e

2πi nβ d

˜ k|, ˜ |kih

|nihn|,

|ni,

˜ = |k+βi, [ B β |ki

˜ |ki,

(Aα ϕ)(n) = ϕ(n−α),

(B β ϕ)(n) = e

Ad = B d = I,

Aα B β = e−

2πi nβ d

2πi αβ d

ϕ(n),

B β Aα ,

oricare ar fi ϕ ∈ Cd ¸si α, β ∈ Z. Operatorii πi

D(α, β) = e d αβ Aα B β

α, β ∈ {−s, −s+1, ..., s−1, s},

cu

satisf˘ acˆ and relat¸ia πi

D(α, β)|ϕi = e− d αβ

s X

e

2πi βn d

ϕ(n−α)|ni,

n=−s

definesc o reprezentare a unei versiuni finte a grupului Heisenberg-Weyl. 3.16.7 ˆIn cazul ˆın care exist˘a, transformata Fourier a unei funct¸ii f : R −→ C este R∞ F[f ] : R −→ C, F[f ](ξ) = √12π −∞ e−iξx f (x) dx. Transformata Fourier a funct¸iei gaussiene (v. Fig. 3.12) gκ : R −→ R,

κ

2

gκ (x) = e− 2 x ,

unde κ ∈ (0, ∞) este un parametru, este o funct¸ie de aceea¸si form˘a 1 F[gκ ] = √ g 1 . κ κ Utilizˆand metodele de la pag. 176-8 se poate ar˘ ata c˘a funct¸iile (v. Fig. 3.12) ∞ X κπ 2 e− d (αd+n) , gκ : {−s, −s+1, ..., s−1, s} −→ R, gκ (n) = α=−∞

verific˘ a relat¸ia similar˘a

1 F [gκ ] = √ g 1 . κ κ Funct¸iile gκ pot fi privite ca versiuni finite ale funct¸iilor gaussiene gκ .

181

Spat¸ii Hilbert finit-dimensionale

-15

-10

-5

1.0

1.0

0.8

0.8

0.6

0.6

0.4

0.4

0.2

0.2

5

10

15

-15

-10

5

-5

10

15

Figura 3.12: Funct¸iile g2/3 , g2/3 (stˆ anga) ¸si g3/2 , g3/2 (dreapta) ˆın cazul d = 31. 3.16.8 Funct¸ia g1 , cu proprietatea F [g1 ] = g1 , este un analog finit al gaussienei 1 2 g1 (x) = e− 2 x , iar funct¸ia normat˘a (v. Fig. 3.13) s X g1 (g1 (n))2 , g= , unde ||g1 ||2 = ||g1 || n=−s este un analog finit al gaussienei normate

1 − 21 x2 √ . 4 πe

Distribut¸ia binomial˘a

s+n b(n) = C2s

b : {−s, −s+1, ..., s−1, s} −→ R,

1

2

poate ¸si ea fi privit˘ a ca un analog finit al gaussienei g1 (x) = e− 2 x de¸si s 2s P P 2πi j − 2πi k(j−s) s+n e− d kn C2s F [b](k) = √1d = √1d C2s e d j=0 k=−s  2s 2s  πi 2πi 2πi πi 4s = √1d e d ks 1+e− d k cos2s kπ = √1d e d k +e− d k =√ d . d Distribut¸ia binomial˘a normat˘a (v. Fig. 3.13) s 2s P P j 2 s+n 2 b 2s , , unde ||b||2 = (C2s ) = (C2s ) = C4s b = ||b|| n=−s

j=0

1 − 12 x2 √ . 4 πe

este un alt analog finit al gaussieniei normate

3.16.9 Sistemele de d2 vectori {|α, βi}sα,β=−s ¸si {|α, βii}sα,β=−s , unde πi

|α, βi = D(α, β)|gi = e− d αβ

s P

n=−s s − πi αβ P d

|α, βii = D(α, β)|bi = e

sunt frame-uri exacte ˆın Cd deoarece

e

n=−s

2πi βn d

e

g(n−α)|ni,

2πi βn d

b(n−α)|ni,

182

Elemente de Algebr˘a Liniar˘a

0.5 0.4 0.4 0.3 0.3

0.2 0.2

0.1

0.1

-15

-10

5

-5

10

15

-15

-10

-5

5

10

15

Figura 3.13: Gaussienele finite g (stˆ anga) ¸si b (dreapta) ˆın cazul d = 31.

s 1 X |α, βihα, β| = I d

¸si

α,β=−s

s 1 X |α, βiihhα, β| = I. d α,β=−s

Ele pot fi privite ca versiuni finite ale sistemului de st˘ ari coerente standard 2 {|q, pi} din L (R) (v. pag. 123-10). 3.16.10 Utilizˆand frame-ul {|α, βi}sα,β=−s , putem asocia fiec˘ arei funct¸ii f : {−s, −s+1, ..., s−1, s}×{−s, −s+1, ..., s−1, s} −→ C operatorul liniar d

d

Af : C −→ C ,

s 1 X Af = f (α, β) |α, βihα, β|. d α,β=−s

Invers, fiec˘ arui operator liniar A : Cd −→ Cd ˆıi putem asocia funct¸ia fA : {−s, −s+1, ..., s−1, s}×{−s, −s+1, ..., s−1, s} −→ C definit˘a prin formula fA (α, β) = hα, β|A|α, βi. Corespondent¸e similare ˆıntre funct¸ii ¸si operatori liniari se pot defini utilzˆ and s frame-ul {|α, βii}α,β=−s . 3.16.11 Unei funct¸ii ϕ : {−s, −s+1, ..., s−1, s} −→ C i se poate asocia funct¸ia Wigner discret˘ a

183

Spat¸ii Hilbert finit-dimensionale

Wϕ : {−s, −s+1, ..., s−1, s}×{−s, −s+1, ..., s−1, s} −→ C, definit˘a prin s 1 X 4πi mk ϕ(n−k) ϕ(n+k). e d Wϕ (n, m) = d k=−s

3.16.12 Se ¸stie c˘ a funct¸ia Γ a lui Euler permite o prelungire a funct¸iei factorial oricare ar fi n ∈ {0, 1, 2, 3, ...}

Γ(n+1) = n!, ¸si c˘ a lim |Γ(x)| = ∞,

x→n

oricare ar fi n ∈ {0, −1, −2, −3, ...}.

Admit¸ˆ and c˘ a 1 =0 Γ(n)

pentru n ∈ {0, −1, −2, −3, ...}

obt¸inem o definit¸ie extins˘a pentru coeficient¸ii binomiali ( n! a k ∈ {0, 1, 2, ..., n}, Γ(n+1) k! (n−k)! dac˘ k = Cn = Γ(k+1) Γ(n−k+1) 0 dac˘ a k ∈ Z\{0, 1, 2, ..., n}. 3.16.13 Dac˘a n, m ∈ {−s, −s+1, ..., s−1, s}, atunci coeficientul lui X s+m din polinomul (1+X)s−n (1−X)s+n este s+m X s+m−k k Km (n) = , (−1)k Cs+n Cs−n k=0

adic˘ a avem

(1−X)s+n (1+X)s−n =

s X

Km (n) X s+m .

m=−s

Polinoamele Km (X) se numesc polinoame Kravchuk. 3.16.14 Teorem˘ a. Funct¸iile polinomiale Km : {−s, −s+1, ..., s−1, s} −→ R, s+m X k s+m−k (−1)k Cs+n Cs−n Km (n) = k=0

verific˘ a relat¸ia

s X

n=−s

s+n s+m C2s Km (n) Kℓ (n) = 4s C2s δmℓ ,

(3.31)

184

Elemente de Algebr˘a Liniar˘a

oricare ar fi m, ℓ ∈ {−s, −s+1, ..., s−1, s}. Demonstrat¸ie. Polinomul de dou˘ a variabile ! s s s X X X s+n C2s Km (n) Kℓ (n) X s+m Y s+ℓ P (X, Y ) = m=−s ℓ=−s

n=−s

se mai poate scrie P (X, Y ) = =

s P

n=−s s P

n=−s

s+n C2s

s P

m=−s

Kk (n) X s+m

s P

Kℓ (n) X s+ℓ

ℓ=−s

s+n C2s (1−X)s+n (1+X)s−n (1−Y )s+n (1+Y )s−n

= [(1−X)(1−Y ) + (1+X)(1+Y )]2s = 4s (1 + XY )2s = 4s

s P

m=−s

s+m s+m s+m C2s X Y .

3.16.15∗ Se ¸stie c˘ a funct¸ia hipergeometric˘a  X  ∞ (a)k (b)k z k a, b z = F , 2 1 c (c)k k!

(3.32)

k=0

unde

(α)k = α(α+1)...(α+k−1) =

Γ(α+k) , Γ(α)

verific˘ a relat¸ia    Γ(γ) Γ(γ −β +n) −n, β −n, β 2 F1 z = Γ(γ +n) Γ(γ −β) 2 F1 β −γ −n+1 γ

 1−z .

Utilizˆand aceast˘ a relat¸ie obt¸inem egalitatea     Γ(1−n−m) Γ(2s+1) −s−m, −s−n −s−m, −s−n −1 = 2 F1 2 F1 2 . 1−n−m −2s Γ(s−n+1) Γ(s−m+1) Deoarece

(−α)k = (−α)(−α+1)...(−α+k−1) = (−1)k relat¸ia anterioar˘ a se poate scrie sub forma s+m P (−1)k Γ(s+m+1) Γ(s+n+1) Γ(1−m−n) k=0

k!

Γ(s+m−k+1) Γ(s+n−k+1) Γ(1−m−n+k)

sau sub forma

Γ(α+1) , Γ(α−k+1)

  −s−m, −s−n Γ(1−n−m) Γ(2s+1) = Γ(s−n+1) F 2 Γ(s−m+1) 2 1 −2s

185

Spat¸ii Hilbert finit-dimensionale

s+m P k=0

Γ(s+n+1) Γ(s−n+1) (−1)k k! Γ(s+n−k+1) Γ(s+m−k+1)Γ(1−m−n+k)

  −s−m, −s−n Γ(2s+1) F = Γ(s+m+1) 2 , Γ(s−m+1) 2 1 −2s

echivalent˘ a cu   s+m P −s−m, −s−n s+m s+m−k k k = C2s 2 F1 (−1) Cs+n Cs−n 2 , −2s k=0 adic˘ a cu

  −s−m, −s−n 2 −2s

s+m Km (n) = C2s 2 F1

(3.33)

3.16.16 Din relat¸iile (3.31), (3.32) ¸si (3.33) rezult˘ a c˘a funct¸iile Kravchuk   q 1 −s−m, −s−n s+m s+n Km (n) = s C2s C2s 2 F1 2 −2s 2 formeaz˘ a o baz˘ a ortonormat˘a ˆın Cd s X Km (n) Kℓ (n) = δmℓ n=−s

¸si ˆın plus

Km (n) = Kn (m),

(3.34)

oricare ar fi n, m ∈ {−s, −s+1, ..., s−1, s}. Scriind |mi ˆ ˆın loc de Km avem s X ˆ = δmℓ |mih ˆ m| ˆ = I. hm| ˆ ℓi ¸si m=−s

3.16.17 Transformarea unitar˘a d

d

K : C −→ C ,

K|ni =

s X

m=−s

Kn (m) |mi,

este numit˘ a transformare Kravchuk. Din relat¸ia (3.34) rezult˘ a c˘a K∗ = K

¸si prin urmare

K 2 = I.

3.16.18 ˆIn concluzie, printre “uneltele” matematice disponibile ˆın cazul unui spat¸iu Hilbert de dimensiune impar˘a d = 2s+1 se afl˘ a: - transform˘arile unitare Fourier ¸si Kravchuk; ni}sn=−s ; ni}sn=−s , {|ˆ - bazele ortonormate {|ni}sn=−s , {|˜

186

Elemente de Algebr˘a Liniar˘a

-

3.17

operatorii autoadjunct¸i Q ¸si P ; 2πi 2πi transform˘arile unitare A = e− d P ¸si B = e d Q ; utilizarea funct¸iei Wigner ϕ 7→ Wϕ ; gaussienele finite g ¸si b; frame-urile exacte {|α, βi}sα,β=−s ¸si {|α, βii}sα,β=−s ; metoda de cuantificare f 7→ Af ; metoda de decuantificare A 7→ fA . reprezent˘ ari liniare ale algebrelor Lie su(2), o(3), sl(2, C); reprezent˘ ari liniare ireductibile ale grupurilor SO(3) ¸si SU (2); un frame infinit (spin coherent states, ˆın englez˘ a) definit cu ajutorul reprezent˘ arilor liniare ireductibile ale lui SO(3) sau SU (2) (v. [28]).

Produs tensorial de spat¸ii Hilbert

3.17.1 Fie H ¸si K dou˘ a spat¸ii Hilbert. Orice element Φ ∈ H⊗K este de forma X Φ= xi ⊗yi cu xi ∈ H, yi ∈ K, i

iar relat¸ia

* X i

xi ⊗yi ,

X j

x′j ⊗yj′

+

=

X hxi , x′j ihyi , yj′ i i,j

define¸ste un produs scalar ˆın H⊗K. Astfel, produsul tensorial a dou˘ a spat¸ii Hilbert este un spat¸iu Hilbert. 3.17.2 Dac˘a BH = {v1 , v2 , ..., vn }, BK = {w1 , w2 , ..., wm } sunt baze ortonormate ˆın H ¸si respectiv K, atunci hvi ⊗wj , vk ⊗wℓ i = hvi , vk i hwj , wℓ i = δik δjℓ ¸si prin urmare B = { vi ⊗wj | i ∈ {1, 2, ..., n}, j ∈ {1, 2, ..., m} }

este baz˘ a ortonormat˘a ˆın H ⊗ K.

187

Spat¸ii Hilbert finit-dimensionale

3.17.3 Utilizˆand notat¸ia comprimat˘a |vi wj i = |vi i⊗|wj i relat¸iile de completitudine ¸si ortogonalitate se scriu X |vi wj ihvi wj | = I, hvi wj |vk wℓ i = δik δjℓ . i,j

Oricare ar fi Φ ∈ H⊗K, avem X |Φi = |vi wj ihvi wj |Φi, i,j

adic˘ a |Φi admite reprezentarea |Φi = Φij |vi wj i

Φij = hvi wj |Φi.

cu

Produsul scalar a dou˘ a elemente Φ, Ψ ∈ H ⊗ K se poate scrie sub forma X X Φij Ψij . hΦ|Ψi = hΦ|vi wj ihvi wj |Ψi = i,j

i,j

3.17.4 Utilizˆand baza computat¸ional˘ a {|00i, |01i, |10i, |11i} (vectorii sunt enumerat¸i ˆın ordine lexicografic˘ a), un element Φ ∈ C2⊗C2 se poate reprezenta sub forma Φ = Φ00 |00i + Φ01 |01i + Φ10 |10i + Φ11 |11i ¸si lui i se pot asocia matricele Φ=



Φ00 Φ01 Φ10 Φ11



,

 Φ00  Φ01   Φ=  Φ10  . Φ11 

Produsul scalar a dou˘ a elemente Φ, Ψ ∈ C2 ⊗C2 , adic˘ a hΦ|Ψi =

1 X

Φij Ψij = Φ00 Ψ00 + Φ01 Ψ01 + Φ10 Ψ10 + Φ11 Ψ11

i,j=0

se mai poate scrie sub forma ∗

hΦ|Ψi = tr (Φ Ψ) = tr sau sub forma

Φ00 Φ10 Φ01 Φ11

!

Ψ00 Ψ01 Ψ10 Ψ11



188

Elemente de Algebr˘a Liniar˘a

hΦ|Ψi = Φ∗ Ψ =



Φ00 Φ01 Φ10 Φ11

 Ψ00   Ψ01     Ψ10  . Ψ11 

3.17.5 Produsul tensorial a doi operatori A : H → H ¸si B : K → K este operatorul definit prin

A⊗B : H⊗K −→ H⊗K, (A⊗B) (x ⊗ y) = (Ax) ⊗ (By)

pentru elementele de forma x ⊗ y ¸si extins prin linearitate la H⊗K. 3.17.6 Dac˘a A : H −→ H, B : K −→ K sunt operatori liniari, |ai ∈ H, |bi ∈ K sunt vectori proprii corespunz˘ atori valorilor proprii a, b, adic˘ a atunci

A|ai = a |ai

¸si

B|bi = b |bi,

(A⊗B) (|ai⊗|bi) = ab (|ai⊗|bi) ¸si (A⊗I +I ⊗B) (|ai⊗|bi) = (a+b) (|ai⊗|bi), adic˘ a ab este valoare proprie a operatorului A ⊗ B, iar a+b este valoare proprie a operatorului A⊗I +I ⊗B. 3.17.7 Propozit¸ie. Dac˘ a A : H −→ H ¸si B : K −→ K sunt operatori liniari definit¸i pe spat¸iile Hilbert H ¸si K, atunci (A⊗B)∗ = A∗ ⊗B ∗ .

Demonstrat¸ie. Din relat¸iile h(A⊗B)(x⊗y), z⊗ui = hx⊗y, (A⊗B)∗ (z⊗u)i ¸si h(A⊗B)(x⊗y), z⊗ui = h(Ax)⊗(By), z⊗ui = hAx, zihBy, ui

= hx, A∗ zihy, B ∗ ui = hx⊗y, (A∗ z)⊗(B ∗ u)i

= hx⊗y, (A∗ ⊗B ∗ )(z⊗u)i

verificate oricare ar fi x, z ∈ H ¸si y, u ∈ K, rezult˘ a

(A⊗B)∗ (z⊗u) = (A∗ ⊗B ∗ )(z⊗u),

¸si prin urmare (A⊗B)∗ = A∗ ⊗B ∗ .

oricare ar fi z ∈ H ¸si u ∈ K,

189

Spat¸ii Hilbert finit-dimensionale

3.17.8 Teorem˘ a. Produsul Produsul Produsul Produsul

tensorial tensorial tensorial tensorial

a a a a

doi doi doi doi

operatori autoadjunct¸i este autoadjunct. operatori unitari este operator unitar. operatori pozitivi este operator pozitiv. proiectori este proiector.

Demonstrat¸ie. Afirmat¸iile din enunt¸ pot fi verificate folosind propozit¸ia anterioar˘ a. Alternativ, se pot utiliza rezultatele prezentate la pag. 35-8, pag. 36-10 ¸si pag. 95-22. 3.17.9 Teorem˘ a (Existent¸a ¸si unicitatea urmelor part¸iale). Pentru orice T ∈ L(H ⊗ K) exist˘ a X ∈ L(H) ¸si Y ∈ L(K) astfel ˆıncˆ at tr ((A ⊗ I)T ) = tr (AX), oricare ar f i A ∈ L(H), tr ((I ⊗ B)T ) = tr (BY ),

oricare ar f i

¸si ei sunt unic determinat¸i.

B ∈ L(K),

Demonstrat¸ie. Pentru forma liniar˘ a L(H) −→ C : A 7→ tr ((A ⊗ I)T ) definit˘a pe spat¸iul Hilbert L(H) exist˘a X ∈ L(H) astfel ˆıncˆ at (v. pag. 116-2) tr ((A ⊗ I)T ) = hX ∗ , Ai,

oricare ar fi

A ∈ L(H).

Dar, hX ∗ , Ai = tr (XA). Demonstrat¸ia existent¸ei ¸si unicit˘ a¸tii lui Y este similar˘a. 3.17.10 Definit¸ie. Urmele part¸iale ale unui operator T ∈ L(H ⊗ K) sunt operatorul liniar tr1 T : K −→ K care verific˘ a relat¸ia tr ((I ⊗ B)T ) = tr (B tr1 T ),

oricare ar fi B ∈ L(K),

¸si operatorul liniar tr2 T : H −→ H care verific˘ a relat¸ia tr ((A ⊗ I)T ) = tr (A tr2 T ),

oricare ar fi A ∈ L(H).

3.17.11 Formele liniare hvi wj | = hvi | ⊗ hwj | = v i ⊗ wj formeaz˘ a baza dual˘ a a spat¸iului (H ⊗ K)∗ deoarece hvi wj |vk wℓ i = hvi |vk ihwj wℓ i = δik δjℓ . Elementele matricei unui operator

190

Elemente de Algebr˘a Liniar˘a

T : H ⊗ K −→ H ⊗ K ˆın baza { |vi wj i | i ∈ {1, 2, ..., n}, j ∈ {1, 2, ..., m} } sunt ij Tkℓ = hvi wj |T |vk wℓ i.

3.17.12 Teorem˘ a. Urmele part¸iale ale lui T ∈ L(H ⊗ K) sunt operatorii n X Tiℓij , tr1 T : K −→ K cu elementele matriceale hwj |tr1 T |wℓ i = i=1

tr2 T : H −→ H

hvi |tr2 T |vk i =

cu elementele matriceale

m X

ij Tkj .

j=1

Demonstrat¸ie. A se vedea pag. 38-17. 3.17.13 Definit¸ie. Transpu¸sii part¸iali ai lui T ∈ L(H ⊗ K) sunt operatorii t1

cu elementele matriceale

t1 ij Tkℓ

= Tiℓkj ,

t2

cu elementele matriceale

t2 ij Tkℓ

iℓ = Tkj .

T : H ⊗ K −→ H ⊗ K T : H ⊗ K −→ H ⊗ K

3.17.14 Teorem˘ a. Dac˘ a |Φi = Φij |vi wj i este un element al spat¸iului H ⊗ K ¸si  11  Φ · · · Φ1m  ..  .. Φ =  ... . .  n1 nm Φ ··· Φ este matricea corespunz˘ atoare, atunci tr1 |ΦihΦ| = Φ∗ Φ

tr2 |ΦihΦ| = ΦΦ∗ .

¸si

Demonstrat¸ie. Avem hwj |(tr1 |ΦihΦ|)|wℓ i =

n P

i=1

(|ΦihΦ|)ij iℓ =

n P

¯ iℓ = (Φ∗ Φ)j , Φij Φ ℓ

i=1 m P ij hvi |(tr2 |ΦihΦ|)|vk i = (|ΦihΦ|)kj = Φij j=1 j=1 m P

¯ kj = (ΦΦ∗ )i . Φ k

3.17.15 Pentru |Φi ∈ H⊗K, num˘ arul coeficient¸ilor nenuli dintr-o reprezentare |Φi = Φij |vi i ⊗ |wj i depinde de bazele alese. El nu poate fi mai mic decˆ at rangul Schmidt

191

Spat¸ii Hilbert finit-dimensionale



Φ11 · · ·  .. r = rang  ... . Φn1 · · ·

 Φ1m ..  . .  nm Φ

3.17.16 Teorem˘ a (descompunerea Schmidt). Dac˘ a r este rangul Schmidt al lui |Φi ∈ H⊗K, atunci exist˘ a numerele µ1 ≥ · · · ≥ µr > 0 ¸si dou˘ a baze ortonormate {|a1 i, ..., |an i} ˆın H ¸si {|b1 i, ..., |bm i} ˆın K astfel ˆıncˆ at r X√ |Φi = µk |ak i ⊗ |bk i. k=1

Demonstrat¸ie. Fie {|v1 i, ..., |vn i} o baz˘ a ˆın H, {|w1 i, ..., |wm i} o baz˘ a ˆın K ¸si fie |Φi = Φij |vi i ⊗ |wj i. Operatorul autoadjunct tr2 |ΦihΦ| :: H −→ H, este diagonalizabil ¸si pozitiv hx|(tr2 |ΦihΦ|)|xi =

X j

tr2 |ΦihΦ| =

X j

¯ ℓj hx|vi ihvℓ |xi = Φij Φ

¯ ℓj |vi ihvℓ |, Φij Φ

X j

|Φij hx|vi i|2 ≥ 0.

Dac˘a {|a1 i, ..., |an i} este baza ortonormat˘a ˆın H format˘a de vectorii proprii ai operatorului tr2 |ΦihΦ| ¸si dac˘ a µ1 ≥ µ2 ≥ · · · ≥ µn ≥ 0 sunt valorile proprii corespunz˘ atoare acestor vectori, atunci n X µk |ak ihak |. tr2 |ΦihΦ| = k=1

Fie r ′ astfel ˆıncˆ at µ1 ≥ µ2 ≥ · · · ≥ µr′ > 0 = µr′ +1 = · · · = µn . Punˆand |vi i = cki |ak i, obt¸inem relat¸ia n X X ij ¯ ℓj k s µk |ak ihak |, Φ Φ ci c¯ℓ |ak ihas | = j

posibil˘ a numai dac˘ a

k=1

X

¯ ℓj ck c¯s = µk δks . Φij Φ i ℓ

j

Din aceast˘ a relat¸ie rezult˘ a c˘ a {|b1 i, ..., |br′ i}, unde

192

Elemente de Algebr˘a Liniar˘a

1 |bk i = √ Φij cki |wj i, µk este un sistem ortonormat ¸si Φij cki |wj i = 0,

pentru k ∈ {r ′ +1, ..., n}.

an˘ a la o baz˘ a ortonormat˘a {|b1 i, ..., |bm i} ¸si Sistemul {|b1 i, ..., |br′ i} poate fi extins pˆ avem r′ X √ ij ij k |Φi = Φ |vi i ⊗ |wj i = Φ ci |ak i ⊗ |wj i = µk |ak i ⊗ |bk i k=1

cu r ′ = r deoarece rangul Schmidt este independent de baza utilizat˘ a.

Capitolul 4

Forme p˘ atratice 4.1

Definit¸ie ¸si exemple

4.1.1 Definit¸ie. Fie V un spat¸iu vectorial peste corpul K, unde K = R sau K = C. Prin form˘ a biliniar˘ a se ˆınt¸elege o aplicat¸ie g : V × V −→ K astfel ˆıncˆ at g(αx+βy, z) = α g(x, z)+β g(y, z) g(x, αy+βz) = α g(x, y)+β g(x, z)

∀x, y, z ∈ V, ∀α, β ∈ K.

4.1.2 Alegˆand o baz˘ a {e1 , e2 , ..., en } si utilizˆ and reprezent˘arile n n X X yj ej xi ei , y= x= i=1

j=1

ale vectorilor x ¸si y obt¸inem P  P P Pn n n n g(x, y) = g x e , y e i=1 j=1 xi yj g(ei , ej ) i=1 i i j=1 j j =   y  1 g11 g12 · · · g1n  y  g21 g22 · · · g2n    2    = (x1 x2 ... xn )    · · · · · · · · · · · ·   ...  gn1 gn2 · · · gnn yn unde gij = g(ei , ej ).

194

Elemente de Algebr˘a liniar˘ a

4.1.3 Definit¸ie Fie g : V ×V −→ K o form˘a Matricea    g11 g12 · · · g1n  g21 g22 · · · g2n      G = . .. ..  =  . . .  . . . .   gn1 gn2 · · · gnn

biliniar˘a ¸si B = {e1 , e2 , ..., en } baz˘ a ˆın V. g(e1 , e1 ) g(e1 , e2 ) · · · g(e2 , e1 ) g(e2 , e2 ) · · · .. .. .. . . . g(en , e1 ) g(en , e2 ) · · ·

g(e1 , en ) g(e2 , en ) .. . g(en , en )

se nume¸ste matricea lui g ˆın raport cu baza B.

    

4.1.4 Propozit¸ie. Fie g : V ×V −→ K o form˘ a biliniar˘ a, B, B ′ dou˘ a baze ˆın V ¸si S ′ matricea de trecere de la B la B . Dac˘ a G este matricea lui g ˆın ′ raport cu B ¸si G este matricea lui g ˆın raport cu baza B ′ , atunci G ′ = t S G S.

Demonstrat¸ie. Fie B = {e1 , e2 , ..., en }, B ′ = {e′1 , e′2 , ..., e′n }, e′i =   α11 α12 · · · α1n  α21 α22 · · · α2n   S=  ··· ··· ··· ··· , αn1 αn2 · · · αnn

(4.1) Pn

j=1 αji ej ,

adic˘ a

′ = g(e′ , e′ ). Avem ¸si fie gij = g(ei , ej ), gij i j P P ′ ′ gij = g(ei , e′j ) = g ( nk=1 αki ek , nm=1 αmj em ) P P P P = nk=1 nm=1 αki αmj g(ek , em ) = nk=1 nm=1 αki gkm αmj ,

relat¸ie echivalent˘ a cu (4.1).

4.1.5 Expresia ˆın coordonate ′ gij =

n n X X

αki αmj gkm

k=1 m=1

G′

tS

a relat¸iei = G S, obt¸inut˘ a ˆın demonstrat¸ia propozit¸iei, ne arat˘ a c˘a orice form˘ a biliniar˘a este un tensor de tip (0, 2). 4.1.6 Definit¸ie. Spunem c˘ a forma biliniar˘a g : V × V −→ K este o form˘ a biliniar˘ a simetric˘ a dac˘ a g(x, y) = g(y, x),

∀x, y ∈ V.

195

Forme p˘ atratice

4.1.7 Definit¸ie. O aplicat¸ie Q : V −→ K este numit˘ a form˘ a p˘ atratic˘ a dac˘ a exist˘a o form˘a biliniar˘a simetric˘a g : V × V −→ K astfel ˆıncˆ at ∀x ∈ V.

Q(x) = g(x, x),

4.1.8 Propozit¸ie. Fiec˘ arei forme p˘ atratice Q : V −→ K ˆıi corespunde o singur˘ a form˘ a biliniar˘ a simetric˘ a g : V × V −→ K astfel ˆıncˆ at Q(x) = g(x, x),

∀x ∈ V.

Demonstrat¸ie. Din relat¸ia Q(x + y) = g(x + y, x + y) = g(x, x) + g(x, y) + g(y, x) + g(y, y) = Q(x) + Q(y) + 2 g(x, y) rezult˘ a 1 g(x, y) = 2



Q(x + y) − Q(x) − Q(y)



,

∀x, y ∈ V.

4.1.9 Dac˘a Q : V −→ K este o form˘a p˘ atratic˘ a ¸si g : V × V −→ K forma biliniar˘a simetric˘a asociat˘ a, atunci alegˆand o baz˘ a {e1 , e2 , ..., en } obt¸inem relat¸ia   x  1 g11 g12 · · · g1n n  X x  g21 g22 · · · g2n   2   gij xi xj = (x1 x2 ... xn )  Q(x) = . ,  ··· ··· ··· ···   ..  i,j=1 gn1 gn2 · · · gnn xn

unde gij = g(ei , ej ) ¸si x1 , x2 , ... , xn sunt coordonatele lui x ˆın baza aleas˘ a.

4.1.10 Definit¸ie. Matricea unei forme p˘ atratice ˆın raport cu o baz˘ a este matricea formei biliniare simetrice asociate ˆın raport cu acea baz˘a. 4.1.11 Aplicat¸ia Q : R3 −→ R,

Q(x1 , x2 , x3 ) = x21 + 3x22 + x23 − 2x1 x2 − 4x1 x3

este o form˘ a p˘ atratic˘ a deoarece exist˘a forma biliniar˘a simetric˘a

196

Elemente de Algebr˘a liniar˘ a

g : R3 × R3 −→ R, g((x1 , x2 , x3 ), (y1 , y2 , y3 )) = x1 y1 + 3 x2 y2 + x3 y3 −x1 y2 − x2 y1 − 2x1 y3 − 2x3 y1 astfel ˆıncˆ at Q(x1 , x2 , x3 ) = g((x1 , x2 , x3 ), (x1 , x2 , x3 )).

4.2

Reducerea la forma canonic˘ a

4.2.1 Matricea unei forme p˘ atratice depinde de baza aleas˘ a. In aplicat¸ii, este avantajoas˘a utilizarea unei baze ˆın raport cu care expresia ˆın coordonate a formei p˘ atratice s˘ a fie cˆ at mai simpl˘a. 4.2.2 Definit¸ie. Spunem c˘ a forma p˘ atratic˘ a Q : V −→ K are ˆın raport cu baza {e1 , e2 , ..., en } forma canonic˘ a dac˘ a matricea lui Q ˆın raport cu aceast˘ a baz˘ a este o matrice diagonal˘ a   λ1 0 ··· 0  0 λ2 · · · 0   G=  ··· ··· ··· ···  0 0 · · · λn

adic˘ a, expresia ˆın coordonate a formei Q ˆın raport cu acest˘ a baz˘ a este de forma Q(x) = λ1 x21 + λ2 x22 + · · · + λn x2n .

4.2.3 Expresia “forma p˘ atratic˘ a Q : V −→ K are ˆın raport cu baza {e1 , e2 , ..., en } forma canonic˘ a” trebuie ˆınt¸eleas˘ a ˆın sensul “funct¸ia Q : V −→ K are ˆın raport cu baza {e1 , e2 , ..., en } expresia cea mai simpl˘a.” 4.2.4 Teorem˘ a (Gauss). Orice form˘ a p˘ atratic˘ a poate fi redus˘ a la forma canonic˘ a, adic˘ a, pentru orice form˘ a p˘ atratic˘ a Q : V −→ K, exist˘ a o baz˘ a ˆın raport cu care expresia lui Q are forma Q(x) = λ1 x21 + λ2 x22 + · · · + λn x2n .

197

Forme p˘ atratice

Demonstrat¸ie. Baza c˘ autat˘ a poate fi obt¸inut˘ a ˆın toate cazurile utilizˆ and metoda prezentat˘ a ˆın rezolv˘arile urm˘atoarelor dou˘ a exercit¸ii. 4.2.5 Exercit¸iu. S˘ a se reduc˘a la forma canonic˘ a forma p˘ atratic˘ a Q : R3 −→ R,

Q(x1 , x2 , x3 ) = x21 +3x22 +x23 −2x1 x2 −4x1 x3 ,

indicˆ and ¸si baza utilizat˘ a. Rezolvare. Deoarece x = (x1 , x2 , x3 ) = x1 (1, 0, 0) + x2 (0, 1, 0) + x3 (0, 0, 1), numerele x1 , x2 , x3 pot fi privite ca fiind coordonatele vectorului x ∈ R3 ˆın raport cu baza canonic˘ a B = {e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1)}. Grupˆand ˆıntrun p˘ atrat termenii care cont¸in pe x1 , ¸si apoi pe cei care cont¸in pe x2 , obt¸inem relat¸ia Q(x) = (x1 − x2 − 2x3 )2 + 2x22 − 3x23 − 4x2 x3 = (x1 − x2 − 2x3 )2 + 2(x2 − x3 )2 − 5x23 = x′1 2 + 2x′2 2 − 5x′3 2 care ne sugereaz˘a necesitatea de a c˘auta o baz˘ a B ′ = {e′1 , e′2 , e′3 } astfel ˆıncˆ at coordo′ ′ ′ ′ a B s˘ a se exprime cu ajutorul coordonatelor natele x1 , x2 , x3 ˆın raport cu baza c˘autat˘ x1 , x2 , x3 ˆın raport cu baza canonic˘ a B prin relat¸iile  ′  x1 = x1 − x2 − 2x3 x′ = x2 − x3 (4.2)  ′2 x3 = x3 .

Determinarea bazei B ′ este echivalent˘a cu g˘asirea matricei   α11 α12 α13 S =  α21 α22 α23  α31 α32 α33 P P P de trecere de la B la B ′ . Relat¸iile e′j = 3i=1 αij ei ¸si x = 3i=1 xi ei = 3j=1 x′j e′j conduc la relat¸ia   3 3 3 3 3 3 X X X X X X  αij x′j  ei , αij ei = x′j x′j e′j = xi ei = i=1

echivalent˘ a cu

j=1

j=1

i=1

i=1

j=1

198

Elemente de Algebr˘a liniar˘ a

  x1 = α11 x′1 + α12 x′2 + α13 x′3 x = α21 x′1 + α22 x′2 + α23 x′3  2 x1 = α31 x′1 + α32 x′2 + α33 x′3 .

Numerele αij pot fi imediat identificate dac˘ a, folosind relat¸iile (4.2), exprim˘ am x1 , ′ ′ ′ x2 , x3 cu ajutorul coordonatelor x1 , x2 , x3   x1 = x′1 + x′2 + 3x′3 x = x′2 + x′3  2 x3 = x′3 Se obt¸ine

 1 1 3 S =  0 1 1 , 0 0 1 

ceea ce conduce la B ′ = {e′1 = (1, 0, 0), e′2 = (1, 1, 0), e′3 = (3, 1, 1)}. ˆIn raport cu aceast˘ a baz˘ a Q are forma canonic˘ a 2

2

2

Q(x) = x′1 + 2x′2 − 5x′3 . 4.2.6 Exercit¸iu. S˘ a se reduc˘a la forma canonic˘ a forma p˘ atratic˘ a Q : R3 −→ R,

Q(x1 , x2 , x3 ) = x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 ,

indicˆ and ¸si baza utilizat˘ a. Rezolvare. Efectu˘ am mai ˆıntˆ ai schimbarea de coordonate   x1 = x′1 + x′2 x = x′1 − x′2  2 x3 = x′3 care conduce la

2

2

Q(x) = x′1 − x′2 + 2x′1 x′3 , ¸si apoi utiliz˘ am metoda folosit˘a ˆın exercit¸iul anterior. Se obt¸ine 2

2

2

2

2

Q(x) = (x′1 + x′3 )2 − x′2 − x′3 = x′′1 − x′′2 − x′′3 , unde

 ′′  x1 = x′1 + x′3 x′′ = x′2  ′′2 x3 = x′3 .

199

Forme p˘ atratice Exprimˆand coordonatele init¸iale x1 , x2 , x3 ˆın funct¸ie de cele finale x′′1 , x′′2 , x′′3 ,   x1 = x′′1 + x′′2 − x′′3 x = x′′1 − x′′2 − x′′3  2 x3 = x′′3 ,

rezult˘ a ca matricea de trecere ˆıntre baza init¸ial˘a {e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1)} ¸si baza final˘ a B ′′ = {e′′1 , e′′2 , e′′3 } este   1 1 −1 S =  1 −1 −1  , 0 0 1

ceea ce conduce la B ′′ = {e′′1 = (1, 1, 0), e′′2 = (1, −1, 0), e′′3 = (−1, −1, 1)}. ˆIn raport cu aceast˘ a baz˘ a, Q are forma canonic˘ a 2

2

2

Q(x) = x′′1 − x′′2 − x′′3 . Teorem˘ a.(Jacobi) Fie Q : V −→ K  g11  g21   ··· gn1

o form˘ a p˘ atratic˘ a ¸si fie  g12 · · · g1n g22 · · · g2n   ··· ··· ···  gn2 · · · gnn

matricea ei ˆın raport cu o baz˘ a B. Dac˘ a ∆1 = g11 6= 0, g g ∆2 = 11 12 g21 g22

6= 0,

................................... ∆n =

g11 g12 g21 g22 ··· ··· gn1 gn2

··· ··· ··· ···

g1n g2n ··· gnn

6= 0,

atunci exist˘ a o baz˘ a B ′ ˆın raport cu care Q are expresia ∆n−1 ′ 2 1 ′ 2 ∆1 ′ 2 x + x + ··· + x . Q(x) = ∆1 1 ∆2 2 ∆n n Demonstrat¸ie. Fie B = {e1 , e2 , ..., en } ¸si fie g : V × V −→ K forma biliniar˘a simetric˘ a corespunz˘ atoare lui Q. Ar˘at˘ am c˘a exist˘a o baz˘ a B ′ format˘a din vectori de forma

200

Elemente de Algebr˘a liniar˘ a

e′1 = α11 e1 e′2 = α12 e1 + α22 e2 ........................ e′n = α1n e1 + α2n e2 + · · · + αnn en satisf˘acˆ and pentru orice j ∈ {1, 2, ..., n} relat¸iile  g(e′j , e1 ) = 0    ′   g(ej , e2 ) = 0 ......................    g(e′j , ej−1 ) = 0   g(e′j , ej ) = 1

adic˘ a

 g11 α1j + g21 α2j + · · · + gj1 αjj = 0      ............................................................. g1j−1 α1j +g2j−1 α2j +· · ·+gjj−1 αjj = 0      g1j α1j + g2j α2j + · · · + gjj αjj = 1

¸si c˘a ˆın raport cu astfel de baz˘ a Q are expresia g11 g12 · · · g g ··· ∆j = 21 22 ··· ··· ··· gj1 gj2 · · ·

indicat˘ a. Deoarece g1j g2j 6= 0 · · · gjj

(4.3)

sistemul (4.3) este un sistem Cramer care permite determinarea coeficient¸ilor α1j , α2j , ... , αjj ai lui e′j . In particular, αjj = ∆j−1 /∆j ¸si ′ = g(e′ , e′ ) = g(e′ , α e + α e + · · · + α e ) gjj jj j 1k 1 2k 2 j j j = α1j g(e′j , e1 )+α2j g(e′j , e2 )+· · ·+αj−1j g(e′j , ej−1 )+αjj g(e′j , ej ) = αjj .

Dac˘a k < j, atunci ′ = g(e′j , e′k ) = g(e′j , α1k e1 + α2k e2 + · · · + αkk ek ) gjk

= α1k g(e′j , e1 ) + α2k g(e′j , e2 ) + · · · + αkk g(e′j , ek ) = 0.

4.2.7 Teorem˘ a. Dac˘ a V este un spat¸iu vectorial euclidian real, Q : V −→ R este o form˘ a p˘ atratic˘ a a c˘ arei matrice ˆın raport cu o baz˘ a ortonormat˘ a B este

201

Forme p˘ atratice



g11 g12  g21 g22 G=  ··· ··· gn1 gn2

··· ··· ··· ···

 g1n g2n  , ···  gnn

atunci exist˘ a o baz˘ a ortonormat˘ a B ′ ˆın raport cu care Q are forma 2

2

2

Q(x) = λ1 x′1 + λ2 x′2 + · · · + λn x′n ,

unde λ1 , λ2 , ... , λn sunt valorile proprii ale matricei G. Demonstrat¸ie. Fie B = {e1 , e2 , ..., en }. Relat¸ia A : V −→ V,

Aei =

n X

gji ej ,

j=1

define¸ste un operator autoadjunct a c˘arui matrice ˆın raport cu baza B coincide cu matricea G a lui Q ˆın raport cu aceea¸si baz˘ a. Deoarece A este diagonalizabil, exist˘a ′ ′ ′ ′ o baz˘ a ortonormat˘a B = {e1 , e2 , ..., en } format˘a din vectori proprii ai lui A ˆın raport cu care matricea lui A este   λ1 0 ··· 0  0 λ2 · · · 0   A′ =   ··· ··· ··· ··· . 0 0 · · · λn Notˆand cu S matricea de trecere de la B la B ′ avem A′ = S −1 GS.

Pe de alt˘ a parte, ¸stim c˘ a matricea G ′ a formei p˘ atratice Q ˆın raport cu baza B ′ este G ′ = t SGS.

Deoarece matricea de trecere ˆıntre dou˘ a baze ortonormate este o matrice ortogonal˘ a, −1 t avem S = S ¸si   λ1 0 ··· 0  0 λ2 · · · 0   G ′ = t SGS = S −1 GS = A′ =   ··· ··· ··· ··· . 0 0 · · · λn

Capitolul 5

Conice ¸si cuadrice 5.1

Conice

5.1.1 Vom prezenta ˆın continuare unele aplicat¸ii ale algebrei liniare ˆın geometrie. 5.1.2 Definit¸ie. Prin conic˘ a se ˆınt¸elege mult¸imea solut¸iilor unei ecuat¸ii de forma a11 x2 + 2 a12 xy + a22 y 2 + 2a10 x + 2a20 y + a00 = 0,

(5.1)

avˆand cel put¸in unul dintre coeficient¸ii a11 , a12 , a22 nenul. 5.1.3 Ecuat¸ia x2 + y 2 − 4 = 0

(5.2)

1 2 1 2 x + y −1=0 9 4

(5.3)

x2 − y 2 − 1 = 0

(5.4)

este ecuat¸ia unui cerc,

este ecuat¸ia unei elipse,

este ecuat¸ia unei hiperbole, y2 − x − 1 = 0 este ecuat¸ia unei parabole, iar x2 − y 2 = 0 reprezint˘ a ecuat¸ia a dou˘ a drepte concurente.

(5.5)

204

Elemente de Algebr˘a liniar˘ a

-4

-4

4

4

2

2

2

-2

4

-4

2

-2

-2

-2

-4

-4

4

4

2

2

2

-2

4

-4

2

-2

-2

-2

-4

-4

4

4

Figura 5.1: Cercul, elipsa, hiperbola ¸si parabola definite de ecuat¸iile (5.2) - (5.5). 5.1.4 ˆIn cazul unei translat¸ii de vector (x0 , y0 ) a reperului, urmate de o rotat¸ie de unghi α, leg˘ atura ˆıntre coodonatele (x, y) ale unui punct ˆın raport cu reperul init¸ial R ¸si coordonatele (x′ , y ′ ) ale aceluia¸si punct ˆın raport cu reperul final R′ este (v. Fig. 5.2)  x = x0 + x′ cos α − y ′ sin α (5.6) y = y0 + x′ sin α + y ′ cos α 5.1.5 ˆIn urma schimb˘ arii de reper (translat¸ie cu (2, 1), urmat˘a de rotat¸ie de unghi π4 ) √ √ ( x = 2 + 22 x′ − 22 y ′ y =1+

√

2 ′ 2 x

+

√

2 ′ 2 y

205

Conice ¸si cuadrice

y

x′

y′

α

y0 x0

x

Figura 5.2: Schimbarea de reper (5.6). ecuat¸iile conicelor (v. Fig. 5.3) x2 + y 2 − 4x − 2y + 1 = 0

(5.7)

13x2 + 13y 2 − 10xy − 42x − 6y − 27 = 0

(5.8)

2xy − 2x − 4y + 3 = 0 √ √ √ x2 +y 2 −2xy−(2+ 2)x+(2− 2)y+3 2−1 = 0

(5.9)

devin (v. (5.2) - (5.5) ) x′2 + y ′2 − 4 = 0

1 ′2 1 ′2 9x + 4y − 1 = x′2 − y ′2 − 1 = 0

0

y ′2 − x′ − 1 = 0.

5.1.6 Teorem˘ a. La o schimbare de reper, ecuat¸ia unei conice a11 x2 + 2 a12 xy + a22 y 2 + 2a10 x + 2a20 y + a00 = 0 se transform˘ a ˆıntr-o ecuat¸ie de aceea¸si form˘ a,

(5.10)

206

Elemente de Algebr˘a liniar˘ a

-4

-4

4

4

2

2

2

-2

4

-4

-2

-2

-2

-4

-4

4

4

2

2

2

-2

4

-4

-2

-2

-2

-4

-4

2

4

2

4

Figura 5.3: Cercul, elipsa, hiperbola ¸si parabola definite de ecuat¸iile (5.7) - (5.10).

a′11 x2 + 2 a′12 xy + a′22 y 2 + 2a′10 x + 2a′20 y + a′00 = 0, iar parametrii

I = a11 + a22 ,

a a δ = 11 12 a12 a22

r˘ amˆ an invariant¸i, adic˘ a

,

a11 a12 a10 ∆ = a12 a22 a20 a10 a20 a00



207

Conice ¸si cuadrice

a11 + a22 = a′11 + a′22 , a11 a12 a′11 a′12 ′ a12 a22 = a′ 12 a22 a11 a12 a10 a12 a22 a20 a10 a20 a00

Demonstrat¸ie. Relat¸ia

,

′ a11 a′12 a′10 ′ ′ ′ = a 12 a22 a20 ′ ′ a′ 10 a20 a00

.

f (x, y) = a11 x2 + 2 a12 xy + a22 y 2 + 2a10 x + 2a20 y + a00 se poate scrie ˆın form˘ a matriceal˘ a       a11 a12 a10 x X A B f (x, y) = ( x y 1 )  a12 a22 a20   y  = ( t X 1 ) t , B a00 1 a10 a20 a00 1

utilizˆ and notat¸iile X=



x y



Relat¸ia

,

B= 



a10 a20



,

A=



a11 a12 a12 a22



.

x = x0 + x′ cos α − y ′ sin α y = y0 + x′ sin α + y ′ cos α

se poate scrie sub forma     ′  x cos α − sin α x0 x  y  =  sin α cos α y0   y ′  1 0 0 1 1

sau

utilizˆ and notat¸iile  ′  x ′ X = , y′ Din relat¸ia





=



T =



x0 y0

X 1

R T 0 1 

,



X′ 1

R=





,

cos α − sin α sin α cos α



.

208

Elemente de Algebr˘a liniar˘ a

  X A B f (x, y) = 1) t B a00 1   ′    t R T X A B R 0 t ′ = ( X 1) t tB a 1 0 1 T 1 00   ′   A B′ X′ = ( tX ′ 1 ) t ′ ′ 1 B a00 ( tX



rezult˘ a c˘ a, ˆın urma schimb˘ arii aceea¸si form˘ a,  ′ A ′ ∆ = det t ′ B  t R = det t T  A = det t B

de reper, f (x, y) se transform˘a ˆıntr-un polinom de  B′ a′00      R T A B 0 det det t 0 1 B a00 1  B =∆ a00

¸si A′ = t RAR, adic˘ a       ′ ′ cos α sin α a11 a12 cos α − sin α a11 a12 = , a′12 a′22 − sin α cos α a12 a22 sin α cos α relat¸ie care conduce la δ′ = δ ¸si I ′ = I.

5.2

Reducerea la forma canonic˘ a

5.2.1 ˆIn cazul unei translat¸ii a reperului  x = x0 + x′ y = y 0 + x′ , polinomul

f (x, y) = a11 x2 + 2 a12 xy + a22 y 2 + 2a10 x + 2a20 y + a00 se transform˘a ˆın f˜(x′ , y ′ ) = a11 x′ 2 + 2a12 x′ y ′ + a22 y ′ 2 + 2(a11 x0 + a12 y0 + a10 )x′ + 2(a12 x0 + a22 y0 + a20 )y ′ + f (x0 , y0 ).

(5.11)

209

Conice ¸si cuadrice

5.2.2 Definit¸ie. Spunem c˘ a punctul (x0 , y0 ) este un centru al conicei (5.1) dac˘ a, ˆın raport cu reperul translatat cu (x0 , y0 ), avem f˜(x′ , y ′ ) = 0

f˜(−x′ , −y ′ ) = 0.

⇐⇒

(5.12)

Propozit¸ie. Punctul (x0 , y0 ) este un centru al conicei (5.1) dac˘ a ¸si numai dac˘ a   a11 x0 + a12 y0 + a10 = 0 (5.13)  a12 x0 + a22 y0 + a20 = 0.

Demonstrat¸ie. Afirmat¸ia rezult˘ a din (5.11) ¸si (5.12).

5.2.3 Teorem˘ a. a) Dac˘ a δ 6= 0, atunci conica (5.1) are un singur centru ¸si anume   1 −a10 a12 1 a11 −a10 , . (x0 , y0 ) = δ −a20 a22 δ a12 −a20 ˆ reperul rezultat ˆın urma translat¸iei cu (x0 , y0 ), ecuat¸ia conicei este b) In ∆ 2 2 = 0. a11 x′ + 2 a12 x′ y ′ + a22 y ′ + δ c) Exist˘ a un reper ˆın raport cu care ecuat¸ia conicei este ∆ λ1 X 2 + λ2 Y 2 + = 0, δ unde λ1 ¸si λ2 sunt r˘ ad˘ acinile ecuat¸iei a11 − λ a12 = 0, adic˘ a λ2 − I λ + δ = 0. a12 a22 − λ

Demonstrat¸ie. a) ˆIn cazul δ 6= 0, sistemul (5.13) are solut¸ia unic˘ a (x0 , y0 ). b) Din relat¸ia (5.11) rezult˘ a c˘ a ecuat¸ia conicei ˆın reperul rezultat ˆın urma translat¸iei cu (x0 , y0 ) este 2

2

a11 x′ + 2 a12 x′ y ′ + a22 y ′ + f (x0 , y0 ) = 0. Deoarece valoarea parametrului ∆ nu depinde de reperul utilizat, a11 a12 0 , ∆ = a12 a22 0 0 0 f (x0 , y0 )

relat¸ie care conduce la f (x0 , y0 ) = ∆ δ. c) Conform teoremei prezentate la pag. 200-7, ˆın cazul formei p˘ atratice Q : R2 −→ R,

2

2

Q(x′ , y ′ ) = a11 x′ + 2 a12 x′ y ′ + a22 y ′ ,

210

Elemente de Algebr˘a liniar˘ a

exist˘a o baz˘ a ortonormat˘a a lui R2 format˘a din vectori proprii ai matricei   a11 a12 , a12 a22 ˆın raport cu care Q are forma canonic˘ a Q : R2 −→ R,

Q(X, Y ) = λ1 X 2 + λ2 Y 2 .

Rotind reperul rezultat ˆın urma translat¸iei cu (x0 , y0 ) astfel ˆıncˆ at axele s˘ a fie dirijate de-a lungul vectorilor proprii ai matricei   a11 a12 , a12 a22 ecuat¸ia conicei devine λ1 X 2 + λ2 Y 2 +

∆ δ

= 0.

5.2.4 Dac˘a δ = a11 a22 − a212 = 0, atunci cel put¸in unul dintre coeficient¸ii a11 , a22 este nenul, deoarece ˆın caz contrar am avea a11 = a12 = a22 = 0. Vom analiza cazul a11 6= 0, deoarece cazul a22 6= 0 conduce la rezultate similare. 5.2.5 Teorem˘ a a) ˆ In cazul ˆın care δ = 0, a11 6= 0 ¸si ∆ = 0, exist˘ a un reper ˆın raport cu care ecuat¸ia conicei este 2

a′22 y ′ + 2a′20 y ′ + a′00 = 0. b) ˆ In cazul ˆın care δ = 0, a11 6= 0 ¸si ∆ 6= 0, exist˘ a un reper ˆın raport cu care ecuat¸ia conicei este r ∆ Y 2 = 2pX, unde p = − 3 . I Demonstrat¸ie. Efectuˆ and o rotat¸ie de unghi α a reperului,  x = x′ cos α − y ′ sin α y = x′ sin α + y ′ cos α, ecuat¸ia conicei devine a′11 x2 + 2 a′12 xy + a′22 y 2 + 2a′10 x + 2a′20 y + a′00 = 0, cu a′11 =

1 (a11 cos α + a12 sin α)2 . a11

and ˆın vedere invariant¸a , rezult˘ a a′11 = 0. Avˆ Alegˆand α astfel ˆıncˆ at ctg α = − aa12 11 2 ′ ′ ′ lui δ, rezult˘ a c˘ a a11 a22 − a12 = 0, relat¸ie care conduce la a′12 = 0. a) Din relat¸ia

211

Conice ¸si cuadrice

0 0 a′10 ∆ = 0 a′22 a′20 ′ ′ a′ 10 a20 a00

= a′10 2 a′22 = 0

rezult˘ a a′10 = 0. ˆIn urma rotat¸iei considerate, ecuat¸ia conicei este 2

a′22 y ′ + 2a′20 y ′ + a′00 = 0. b) Dac˘a ∆ 6= 0, atunci a′10 6= 0 ¸si ecuat¸ia conicei 2

a′22 y ′ + 2a′10 x′ + 2a′20 y ′ + a′00 = 0 se poate scrie succesiv a′22

a′22





 2a′20 ′ y + ′ y + 2a′10 x′ + a′00 = 0, a22 ′2

a′ y ′ + 20 a′22

Efectuˆ and translat¸ia

ecuat¸ia conicei devine

2

a′ a′ − a′ 2 x′ + 22 00′ ′ 20 2a10 a22

+ 2a′10

   X = x′ +   Y = y′ + Y2 =

!

= 0.

a′22 a′00 −a′20 2 2a′10 a′22 a′20 a′22 ,

−2 a′10 X. a′22

Deoarece ∆ = a′10 2 a′22 ¸si I = a′22 , ecuat¸ia se mai poate scrie r ∆ 2 Y = − 3 X. I 5.2.6 T ¸ inˆ and seama c˘ a r˘ ad˘ acinile ecuat¸iei λ2 − I λ + δ = 0 verific˘ a relat¸iile λ1 + λ2 = I,

λ1 λ2 = δ,

din teoremele anterioare, rezult˘ a c˘a exist˘a urm˘atoarele cazuri:

212

Elemente de Algebr˘a liniar˘ a

δ0 δ>0 δ>0 δ 0 ¸si ∆ = 0 ¸si ∆ = 0 ¸si ∆ = 0 ¸si ∆ 6= 0

Ce reprezint˘a conica hiperbol˘a elips˘ a mult¸imea vid˘a un punct dou˘ a drepte concurente dou˘ a drepte paralele, o dreapt˘a sau mult¸imea vid˘a o parabol˘a

Cuadrice

5.3.1 Definit¸ie. Prin cuadric˘ a se ˆınt¸elege mult¸imea solut¸iilor unei ecuat¸ii de forma 2 a11 x + a22 y 2 + a33 z 2 +2 a12 xy + 2 a13 xz + 2 a23 yz +2a10 x + 2a20 y + 2 a30 z + a00 = 0, cu cel put¸in unul dintre coeficient¸ii a11 , a22 , a33 a12 , a13 , a23 nenul. 5.3.2 Ecuat¸iile reduse ale cuadricelor. Dac˘a a, b, c ∈ (0, ∞), atunci cuadrica x2 y 2 z 2 + 2 + 2 −1=0 a2 b c se nume¸ste elipsoid, x2 y 2 z 2 + 2 − 2 −1=0 a2 b c se nume¸ste hiperboloid cu pˆ anz˘ a, x2 y 2 z 2 − 2 − 2 −1=0 a2 b c se nume¸ste hiperboloid cu dou˘ a pˆ anze, 2 y2 x + 2 −z = 0 2 a b se nume¸ste paraboloid eliptic, x2 y 2 − 2 −z = 0 a2 b se nume¸ste paraboloid hiperbolic, x2 y 2 + 2 −1=0 a2 b

213

Conice ¸si cuadrice

se nume¸ste cilindru eliptic, x2 y 2 − 2 −1=0 a2 b se nume¸ste cilindru hiperbolic, y 2 − 2ax = 0 se nume¸ste cilindru parabolic. Cuadrica x2 y 2 − 2 =0 a2 b reprezint˘ a dou˘ a plane concurente, x 2 − a2 = 0 reprezint˘ a dou˘ a plane paralele, x2 = 0 reprezint˘ a un plan, x2 y 2 + 2 =0 a2 b reprezint˘ a o dreapt˘a, x2 y 2 z 2 + 2 + 2 =0 a2 b c reprezint˘ a un punct, iar x2 y 2 z 2 + 2 + 2 + 1 = 0, a2 b c

x2 y 2 + 2 + 1 = 0, a2 b

x 2 + a2 = 0

reprezint˘ a mult¸imi vide. 5.3.3 La o schimbare de reper, ecuat¸ia unei cuadrice a11 x2 + a22 y 2 + a33 z 2 +2 a12 xy + 2 a13 xz + 2 a23 yz +2a10 x + 2a20 y + 2 a30 z + a00 = 0, se transform˘a ˆıntr-o ecuat¸ie de aceea¸si form˘a, iar parametrii

214

Elemente de Algebr˘a liniar˘ a

I = a11 + a22 + a33 , a11 a12 a11 + J = a12 a22 a13 a11 a12 a13 δ = a12 a22 a23 , a13 a23 a33 a11 a12 a13 a10 a a a a ∆ = 12 22 23 20 a13 a23 a33 a30 a10 a20 a30 a00

a13 a22 a23 + a33 a23 a33

,

nu ˆı¸si schimb˘ a valoarea. Urmˆand analogia cu conicele, se poate obt¸ine o clasificare a cuadricelor ¸si o metod˘ a de reducere la forma canonic˘ a (redus˘a).

Capitolul 6

Ecuat¸ii ¸si sisteme de ecuat¸ii diferent¸iale liniare 6.1

Ecuat¸ii diferent¸iale de ordinul ˆıntˆ ai

6.1.1 Definit¸ie. O ecuat¸ie diferent¸ial˘ a de ordinul ˆıntˆ ai este o ecuat¸ie de forma F (x, y, y ′ ) = 0,

(6.1)

unde x este variabila independent˘a, y funct¸ia necunoscut˘a, y ′ derivata funct¸iei necunoscute ¸si F : I × R × R −→ R este o funct¸ie continu˘ a, I fiind un interval. Prin solut¸ie a ecuat¸iei (6.1) se ˆınt¸elege o funct¸ie derivabil˘ a ϕ : (a, b) −→ R cu (a, b) ⊆ I ¸si astfel ˆıncˆ at

F (x, ϕ(x), ϕ′ (x)) = 0,

∀x ∈ (a, b).

6.1.2 Definit¸ie. Spunem c˘ a ecuat¸ia diferent¸ial˘a y ′ = f (x, y),

unde f : D ⊆ R2 −→ R

este o ecuat¸ie diferent¸ial˘a scris˘a sub form˘ a normal˘ a. Prin solut¸ie a ecuat¸iei (6.2) se ˆınt¸elege o funct¸ie derivabil˘ a ϕ : (a, b) −→ R astfel ˆıncˆ at:

(6.2)

216

Elemente de Algebr˘a Liniar˘a

1) 2)

(x, ϕ(x)) ∈ D,

ϕ′ (x) = f (x, ϕ(x)),

∀x ∈ (a, b); ∀x ∈ (a, b).

6.1.3 Ecuat¸ia (6.2) se mai poate scrie dy = f (x, y) dx sau sub forma dy = f (x, y) dx

(6.3) (6.4)

numit˘ a form˘ a simetric˘ a. Solut¸ia ecuat¸iei (6.4) se poate c˘auta sub forma y = y(x) sau x = x(y) sau, mai general, sub form˘ a parametric˘a  x = x(t) y = y(t). Ecuat¸ia (6.4) este caz particular pentru ecuat¸ia P (x, y) dx + Q(x, y) dy = 0,

unde P, Q : D ⊆ R2 −→ R,

care este forma general˘ a a unei ecuat¸ii simetrice. Prin solut¸ie a ecuat¸iei (6.5) se ˆınt¸elege o pereche de aplicat¸ii derivabile ϕ, ψ : (a, b) −→ R astfel ˆıncˆ at: 1) (ϕ(t), ψ(t)) ∈ D,

∀t ∈ (a, b)

2) P (ϕ(t), ψ(t)) ϕ′ (t) + Q(ϕ(t), ψ(t)) ψ ′ (t) = 0,

∀t ∈ (a, b).

6.1.4 Se ¸stie c˘ a dac˘ a f : (a, b) −→ R este o funct¸ie continu˘ a, atunci funct¸ia F : (a, b) −→ R,

F (x) =

Z

x

f (t) dt

x0

este o primitiv˘ a a lui f , oricare x0 ∈ (a, b), adic˘ a avem Z x ar fi  d f (t) dt = f (x), ∀x ∈ (a, b). dx x0

(6.5)

217

Ecuat¸ii ¸si sisteme de ecuat¸ii diferent¸iale liniare

6.1.5 Teorem˘ a. Fie ecuat¸ia cu variabile separabile y ′ = f (x) g(y),

(6.6)

f : I −→ R sunt funct¸ii continue definite pe intervalele I ¸si J. g : J −→ R a) Dac˘ a y0 ∈ J este astfel ˆıncˆ at g(y0 ) = 0, atunci funct¸ia constant˘ a unde

ϕ : I −→ R,

ϕ(x) = y0

este solut¸ie a ecuat¸iei (6.6). b) Dac˘ a y0 ∈ J este astfel ˆıncˆ at g(y0 ) 6= 0, atunci relat¸ia Z y Z x 1 du = f (v) dv + C, (6.7) y0 g(u) x0 unde x0 ∈ I ¸si C este o constant˘ a, define¸ste implicit o solut¸ie local˘ a y = y(x) a ecuat¸iei (6.6). Demonstrat¸ie. a) Deoarece ϕ′ (x) = 0 ¸si g(ϕ(x)) = g(y0 ) = 0, rezult˘ a c˘a ϕ′ (x) = f (x) g(ϕ(x)),

∀x ∈ I.

b) Derivˆand relat¸ia (6.7) ˆın raport cu x, considerˆand y = y(x), rezult˘ a 1 y ′ (x) = f (x), g(y(x)) adic˘ a y ′ (x) = f (x) g(y(x)). 6.1.6 Exercit¸iu. S˘ a se rezolve ecuat¸ia y ′ = xy. Rezolvare. Funct¸ia constant˘ a ϕ : R −→ R, ϕ(x) = 0 este solut¸ie a ecuat¸iei. Scriind ecuat¸ia sub forma y′ = x, echivalent˘a cu (ln y)′ = x, y deducem c˘ a x2 x2 + c, adic˘ a y(x) = C1 e 2 , ln y = 2 unde c ¸si C1 = ec sunt constante. 6.1.7 MATHEMATICA: DSolve[eqns, y[x], x] In[1]:=DSolve[y’[x] == x y[x], y[x], x]

7→ Out[1]=



y[x]→e

x2 2

C[1]



218

Elemente de Algebr˘a Liniar˘a

6.1.8 Ecuat¸ia (6.6) poate fi scris˘a sub forma dy = f (x) g(y) dx sau forma simetric˘a f (x) g(y) dx − dy = 0. Forma diferent¸ial˘ a f (x) g(y) dx − dy nu este diferent¸iala total˘a a unei funct¸ii. 1 ˆInmult¸ind ecuat¸ia anterioar˘ , se obt¸ine ecuat¸ia a cu factorul integrant g(y) 1 f (x) dx − dy = 0 (6.8) g(y) al c˘ arei membru stˆ ang este o diferent¸ial˘a total˘a deoarece ∂ ∂ (f (x)) = ∂y ∂x



1 − g(y)



.

Ecuat¸ia (6.8) se poate scrie sub forma dF = 0, unde F (x, y) =

Z

x x0

f (t)dt −

Rezult˘a c˘ a relat¸ia F (x, y) = C, adic˘ a Z x Z f (u)du − x0

y y0

Z

y y0

1 dt. g(t)

1 dv = C g(v)

define¸ste implicit o solut¸ie a ecuat¸iei (6.6) dac˘ a alegem y0 astfel ˆıncˆ at g(y0 ) 6= 0. 6.1.9 Propozit¸ie. Ecuat¸ia omogen˘ a y′ = f

y 

x se reduce la o ecuat¸ie cu variabile separabile dac˘ a se utilizeaz˘ a schimbarea de variabil˘ a y(x) = x z(x), unde z(x) este noua funct¸ie necunoscut˘ a. Demonstrat¸ie. Derivˆand y(x) = x z(x) obt¸inem relat¸ia y ′ (x) = z(x) + x z ′ (x) care ne permite s˘ a scriem ecuat¸ia sub forma 1 z ′ = (f (z) − z). x

219

Ecuat¸ii ¸si sisteme de ecuat¸ii diferent¸iale liniare

6.1.10 Propozit¸ie. Ecuat¸ia liniar˘ a omogen˘ a y ′ = f (x) y are solut¸ia general˘ a

Rx

y(x) = C e

x0

f (t)dt

,

unde C este o constant˘ a arbitrar˘ a. Demonstrat¸ie. Rezolvarea ecuat¸iei poate fi prezentat˘a dupa cum urmeaz˘a dy dx dy y

Ry

= f (x) y, = f (x) dx,

du y0 u

=

Rx

x0

ln |y| − ln |y0 | =

f (t) dt, Rx

Rx

y(x) = y0 e

x0

x0

f (t) dt,

f (t) dt

.

6.1.11 Exercit¸iu. S˘ a se rezolve ecuat¸ia y ′ = x2 y. Rezolvare. Solut¸ia general˘ a a ecuat¸iei este Rx

y(x) = y0 e

x0

t2 dt

,

adic˘ a

y(x) = C1 e

x3 3

.

6.1.12 MATHEMATICA: DSolve[eqns, y[x], x] nn oo Rx In[1]:=DSolve[y’[x]==f[x] y[x], y[x], x] 7→ Out[1]= y[x]→e 1 f[K[1] dK[1] C[1] In[2]:=DSolve[y’[x]==x^2 y[x], y[x], x]

7→ Out[2]=



y[x]→e

x3 3

C[1]



6.1.13 Propozit¸ie. Solut¸ia general˘ a a ecuat¸iei liniare neomogene y ′ = f (x) y + g(x)

(6.9)

se obt¸ine adunˆ and solut¸ia general˘ a a ecuat¸iei liniare omogene asociate y ′ = f (x) y cu o solut¸ie particular˘ a y˜ a ecuat¸iei (6.9).

(6.10)

220

Elemente de Algebr˘a Liniar˘a

Demonstrat¸ie. Dac˘a y verific˘ a (6.10) ¸si y˜ verific˘ a (6.9), atunci (y+ y˜)′ (x) = f (x) y(x)+f (x) y(x)+g(x) = f (x) (y+ y˜)(x)+g(x). Dac˘a y ¸si y˜ verific˘ a (6.9), atunci y − y˜ verific˘ a (6.10) (y− y˜)′ (x) = f (x) y(x)+g(x)−f (x) y˜(x)−g(x) = f (x) (y− y˜)(x). 6.1.14 Propozit¸ie. O solut¸ie particular˘ a y˜ a ecuat¸iei liniare neomogene y ′ = f (x) y + g(x) poate fi g˘ asit˘ a folosind metoda variat¸iei constantei, c˘ autˆ and-o de forma Rx

y˜(x) = C(x) e

x0

f (t)dt

.

Demonstrat¸ie. ˆInlocuind ˆın ecuat¸ie, obt¸inem relat¸ia −

C ′ (x) = g(x) e

Rx

x0

f (t)dt

care permite determinarea funct¸iei C(x). 6.1.15 Exercit¸iu. S˘ a se rezolve ecuat¸ia y ′ = y + x. 6.1.16 MATHEMATICA: DSolve[eqns, y[x], x] In[1]:=DSolve[y’[x]==y[x]+x, y, x]

7→ Out[1]={{y[x]→−1−x−ex C[1]}}

6.1.17 Propozit¸ie. Schimbarea de variabil˘ a z = y 1−α permite reducerea ecuat¸iei y ′ = f (x) y + g(x) y α , numit˘ a ecuat¸ia Bernoulli, la o ecuat¸ie liniar˘ a. Demonstrat¸ie. Dac˘a α = 1, atunci ecuat¸ia este deja o ecuat¸ie liniar˘ a. ˆIn cazul α 6= 1, ˆımp˘ art¸ind cu y α obt¸inem ecuat¸ia y −α y ′ = f (x) y 1−α + g(x) care se poate scrie 1 (y 1−α )′ = f (x) y 1−α + g(x). 1−α

221

Ecuat¸ii ¸si sisteme de ecuat¸ii diferent¸iale liniare

6.1.18 Propozit¸ie. Ecuat¸ia Riccati y ′ = f (x) y 2 + g(x) y + h(x) se poate rezolva utilizˆ and schimbarea de variabil˘ a 1 y = yp + z ˆın cazul ˆın care se cunoa¸ste o solut¸ie particular˘ a yp . Demonstrat¸ie. ˆIn urma schimb˘ arii de variabil˘ a indicate ecuat¸ia devine z ′ = −(2f (x) yp (x) − g(x)) z − f (x) adic˘ a o ecuat¸ie liniar˘ a.

6.2

Ecuat¸ii diferent¸iale liniare de ordin superior

6.2.1 Definit¸ie. O ecuat¸ie diferent¸ial˘ a liniar˘ a de ordinul n este o ecuat¸ie de forma a0 (x) y (n) + a1 (x) y (n−1) + · · · + an−1 (x) y ′ + an (x) y = f (x),

(6.11)

unde a0 , a1 , ..., an , f : I −→ R sunt funct¸ii continue definite pe un interval I ¸si a0 (x) 6= 0, oricare ar fi x ∈ I. Prin solut¸ie a ecuat¸iei (6.11) se ˆınt¸elege o funct¸ie ϕ : I −→ R

astfel ˆıncˆ at:

1) ϕ admite derivate continue pˆ an˘ a la ordinul n; 2) a0 (x) ϕ(n) (x) + a1 (x) ϕ(n−1) (x) + · · · + an (x) ϕ(x) = f (x), ∀x ∈ (a, b). 6.2.2 Teorem˘ a (de existent¸˘ a ¸si unicitate). Dac˘ a sunt funct¸ii continue ¸si

a0 , a1 , ..., an , f : I −→ R a0 (x) 6= 0,

atunci ecuat¸ia diferent¸ial˘ a

∀x ∈ I,

222

Elemente de Algebr˘a Liniar˘a

a0 (x) y (n) + a1 (x) y (n−1) + · · · + an−1 (x) y ′ + an (x) y = f (x) admite pentru fiecare (x0 , y00 , y01 , ..., y0n−1 ) ∈ I × Rn o unic˘ a solut¸ie ϕ : I −→ R

astfel ˆıncˆ at ϕ(x0 ) = y00 ,

ϕ′ (x0 ) = y01 ,

... , ϕ(n−1) (x0 ) = y0n−1 .

6.2.3 Utilizˆand operatorul diferent¸ial

unde

L = a0 (x) D n + a1 (x) D n−1 + · · · + an−1 (x) D + an (x), D=

d , dx

D2 =

d2 , dx2

...

, Dn =

dn , dxn

ecuat¸ia (6.11) se scrie Ly = f. Operatorul linar L : C n (I) −→ C 0 (I), unde C n (I) = { ϕ : I −→ R | ϕ admite derivate continue pˆ an˘ a la ordinul n },

C 0 (I) = { ϕ : I −→ R | ϕ este funct¸ie continu˘ a },

este un operator liniar

L(α ϕ + β ψ) = α Lϕ + β Lψ

∀α, β ∈ R, ∀ϕ, ψ ∈ C n (I).

6.2.4 Teorem˘ a. Spat¸iul V = { ϕ : I −→ R | Lϕ = 0 } al tuturor solut¸iilor ecuat¸iei liniare omogene Ly = 0, este un spat¸iu vectorial de dimensiune n. Demonstrat¸ie. Dac˘a ϕ, ψ ∈ V, atunci L(αϕ + βψ) = αLϕ + βLψ = 0

223

Ecuat¸ii ¸si sisteme de ecuat¸ii diferent¸iale liniare

oricare ar fi α, β ∈ R. Conform teoremei de existent¸˘a ¸si unicitate, pentru x0 ∈ I fixat, aplicat¸ia A : V −→ Rn ,

Aϕ = (ϕ(x0 ), ϕ′ (x0 ), ..., ϕ(n−1) (x0 ))

este un izomorfism liniar. Rezult˘a c˘a spat¸iile vectoriale V ¸si Rn sunt izomorfe, ¸si prin urmare dim V = dim Rn = n. 6.2.5 Rezolvarea ecuat¸iei Ly = 0 ˆınseamn˘a determinarea spat¸iului vectorial V = { ϕ : I −→ R | Lϕ = 0 } al tuturor solut¸iilor, ceea ce se poate realiza indicˆ and o baz˘ a {y1 , y2 , ... , yn }, caz ˆın care Funct¸iile

V = { c1 y1 + c2 y2 + · · · + cn yn | c1 , c2 , ... , cn ∈ R }. y1 , y2 , ... , yn : I −→ R

din V formeaz˘ a o baz˘ a a lui V dac˘ a sunt liniar independente, adic˘ a dac˘ a α1 y1 + α2 y2 + · · · + αn yn = 0

=⇒

α1 = α2 = · · · = αn = 0.

6.2.6 Propozit¸ie. Funct¸iile y1 , y2 , ... , yn : I −→ R

din V sunt liniar independente dac˘ a ¸si numai dac˘ a ˆıntr-un punct fixat x0 ∈ I avem y1 (x0 ) y2 (x0 ) ··· yn (x0 ) y1′ (x0 ) y2′ (x0 ) ··· yn′ (x0 ) (6.12) 6= 0. ··· ··· ··· ··· (n−1) (n−1) (n−1) y (x0 ) y2 (x0 ) · · · yn (x0 ) 1

Demonstrat¸ie. Deoarece

A : V −→ Rn ,

Aϕ = (ϕ(x0 ), ϕ′ (x0 ), ..., ϕ(n−1) (x0 ))

este un izomorfism liniar, funct¸iile y1 , y2 , ... , yn : I −→ R sunt liniar independente dac˘ a ¸si numai dac˘ a vectorii corespunz˘atori (n−1)

(x0 ) ),

(n−1)

(x0 ) ),

Ay1 = ( y1 (x0 ), y1′ (x0 ), ... , y1 Ay2 = ( y2 (x0 ), y2′ (x0 ), ... , y2

....................................................... (n−1)

Ayn = ( yn (x0 ), yn′ (x0 ), ... , yn

(x0 ) )

224

Elemente de Algebr˘a Liniar˘a

sunt liniar independent¸i, ceea ce este echivalent cu (6.12). 6.2.7 Teorem˘ a (Abel-Liouville). Dac˘ a y1 , y2 , ... , yn : I −→ R sunt n solut¸ii ale ecuat¸iei Ly = 0, atunci funct¸ia (numit˘ a wronskian) y1 (x) y2 (x) ′ y1 (x) y2′ (x) W : I −→ R W (x) = ··· ··· (n−1) (n−1) y (x) y2 (x) 1

··· ··· ··· ···

verific˘ a relat¸ia

−

W (x) = W (x0 ) e

a1 (t) x0 a0 (t)

Rx

dt

yn (x) yn′ (x) ··· (n−1) yn (x)



,

(6.13)

unde x0 ∈ I este un punct fixat. Demonstrat¸ie (cazul n = 2.) Ar˘at˘ am c˘a W verific˘ a ecuat¸ia liniar˘ a a (x) 1 W ′ (x) = − W (x). a0 (x) ˆIn cazul n = 2, ecuat¸ia Ly = 0, adic˘ a a0 (x) y ′′ + a1 (x) y ′ + a2 y = 0 conduce la y ′′ = − ¸si W ′ (x)

=

a1 (x) ′ a2 (x) y − y, a0 (x) a0 (x)

y1 (x) y2 (x) y ′ (x) y ′ (x) 2 1 ′ ′ y1 (x) y2 (x) y1 (x) y2 (x) + y1′ (x) y2′ (x) y1′′ (x) y2′′ (x)

d dx

=

= − a1 (x) W (x). a0 (x)

6.2.8 Din relat¸ia (6.13) rezult˘ a c˘ a dac˘ a W se anuleaz˘ a ˆıntr-un punct din I, atunci se anuleaz˘ a ˆın toate punctele. 6.2.9 Propozit¸ie. Solut¸ia general˘ a a ecuat¸iei liniare neomogene Ly = f

Ecuat¸ii ¸si sisteme de ecuat¸ii diferent¸iale liniare

225

se obt¸ine adunˆ and la solut¸ia general˘ a a ecuat¸iei omogene asociate Ly = 0 o solut¸ie particular˘ a y˜ a ecuat¸iei neomogene. Demonstrat¸ie. Deoarece L˜ y = f , obt¸inem Ly = 0 =⇒ L(y + y˜) = f

¸si

Ly = f =⇒ L(y − y˜) = 0.

6.2.10 Teorem˘ a (Metoda variat¸iei constantelor). Dac˘ a n X y(x) = ck yk (x) k=1

este solut¸ia general˘ a a ecuat¸iei omogene Ly = 0,

atunci o solut¸ie particular˘ a a ecuat¸iei neomogene Ly = f poate fi g˘ asit˘ a c˘ autˆ and-o de forma n X y˜(x) = ck (x) yk (x) k=1

cu c1 (x), c2 (x), ... , cn (x) solut¸ie a sistemului  Pn ′  k=1 ck (x) yk (x) = 0        Pn c′ (x) y ′ (x) = 0  k=1 k  k   ..........................................  Pn  (n−2)  ′  (x) = 0  k=1 ck (x) yk        Pn c′ (x) y (n−1) (x) = f (x) . k=1 k k a0 (x)

Demonstrat¸ie. T ¸ inˆ and sema de (6.14), obt¸inem relat¸iile P y˜(x) = nk=1 ck (x) yk (x), P y˜′ (x) = nk=1 ck (x) yk′ (x),

............................................ P (n−1) (x), y˜(n−1) (x) = nk=1 ck (x) yk P (n) y˜(n) (x) = nk=1 ck (x) yk (x) + af0(x) (x)

(6.14)

226

Elemente de Algebr˘a Liniar˘a

care conduc la L˜ y = a0 (x) y˜(n) + a1 (x) y˜(n−1) + · · · + an−1 (x) y˜′ + an (x) y˜   P (n) (n−1) = nk=1 ck (x) a0 (x) yk +a1 (x) yk +· · · + an−1 (x) yk′ +an (x) yk +f (x) = f (x).

6.2.11 Definit¸ie. Prin ecuat¸ie diferent¸ial˘ a liniar˘ a de ordinul n cu coeficient¸i constant¸i se ˆınt¸elege o ecuat¸ie de forma a0 y (n) + a1 y (n−1) + · · · + an−1 y ′ + an y = f (x),

(6.15)

unde a0 , a1 , ..., an sunt numere reale ¸si f : I −→ R este o funct¸ie continu˘ a definit˘a pe un interval I ⊆ R. 6.2.12 Ecuat¸ia (6.15) este un caz particular pentru ecuat¸ia (6.11) ¸si anume cel ˆın care funct¸iile a0 (x), a1 (x), ... , an (x) sunt funct¸ii constante. Ecuat¸ia (6.15) se poate scrie sub forma P (D)y = f, unde P este polinomul P (r) = a0 r n + a1 r n−1 + · · · + an−1 r + an , numit polinomul caracteristic asociat ecuat¸iei considerate. 6.2.13 Folosind notat¸ia lui Euler eiϕ = cos ϕ + i sin ϕ, definim pentru fiecare num˘ ar complex r = α + iβ funct¸ia complex˘a R −→ C : x 7→ erx = e(α+iβ)x = eαx cos(βx) + i eαx sin(βx) cu propriet˘a¸tile D e(α+iβ)x = (α + iβ) e(α+iβ)x , Re (D erx ) = D( Re erx ), Im (D erx ) = D( Im erx ),

unde Re z ¸si Im z reprezint˘ a partea real˘ a ¸si repectiv imaginar˘a a num˘ arului z. 6.2.14 Propozit¸ie. Funct¸ia y : R −→ C, este solut¸ie a ecuat¸iei omogene

y(x) = erx ,

227

Ecuat¸ii ¸si sisteme de ecuat¸ii diferent¸iale liniare

P (D)y = 0 dac˘ a ¸si numai dac˘ a r este r˘ ad˘ acin˘ a a polinomului caracteristic, adic˘ a a0 r n + a1 r n−1 + · · · + an−1 r + an = 0. Demonstrat¸ie. Deoarece D k erx = r k erx ¸si

avem

P (D) erx = ( a0 r n + a1 r n−1 + · · · + an−1 r + an )erx P (D) erx = 0

⇐⇒

P (r) = 0.

6.2.15 Propozit¸ie. Dac˘ a polinomul caracteristic P (r) are r˘ ad˘ acinile r1 , r2 , ... , rk cu multiplicit˘ a¸tile m1 , m2 , ... , mk , adic˘ a P (r) = a0 (r − r1 )m1 (r − r2 )m2 · · · (r − rk )mk , atunci P (D) admite factorizarea P (D) = a0 (D − r1 )m1 (D − r2 )m2 · · · (D − rk )mk ordinea factorilor putˆ and fi schimbat˘ a f˘ ar˘ a a afecta rezultatul. Demonstrat¸ie. Afirmat¸ia rezult˘ a din liniaritatea lui D ¸si din relat¸ia D p D q = D p+q . 6.2.16 Propozit¸ie. Dac˘ a Q(r) este un polinom ¸si ϕ(x) este o funct¸ie, atunci Q(D) (erx ϕ) = erx Q(D + r)ϕ, oricare ar fi r ∈ C. Demonstrat¸ie. Ar˘at˘ am mai ˆıntˆ ai prin induct¸ie c˘a D k (erx ϕ) = erx (D + r)k ϕ. Avem D (erx ϕ) = erx Dϕ + rerx ϕ = erx (D + r)ϕ. Presupunˆand c˘ a D k (erx ϕ) = erx (D + r)k ϕ, obt¸inem D k+1 (erx ϕ) = D(erx (D + r)k ϕ) = erx (D + r)(D + r)k ϕ = erx (D + r)k+1 ϕ. Dac˘a Q(r) = α0 r m + α1 r m−1 + · · · + αm−1 r + αm , atunci

228

Elemente de Algebr˘a Liniar˘a

Q(D) (erx ϕ) = α0 D m (erx ϕ)+α1 D m−1 (erx ϕ)+ · · · +αm−1 D(erx ϕ)+αm erx ϕ = erx [α0 (D+r)m +α1 (D+r)m−1 + · · · +αm−1 (D+r)+αm ]ϕ = erx Q(D + r)ϕ. 6.2.17 Propozit¸ie. Solut¸ia general˘ a a ecuat¸iei (D − r)k y = 0

este

y(x) = c0 erx + c1 x erx + · · · + ck−1 xk−1 erx . Demonstrat¸ie. Conform propozit¸iei anterioare avem relat¸a D k (e−rx y) = e−rx (D − r)k y

care arat˘ a c˘ a ecuat¸ia (D − r)k y = 0 este echivalent˘a cu ecuat¸ia D k (e−rx y) = 0

care implic˘ a adic˘ a

e−rx y(x) = c0 + c1 x + · · · + ck−1 xk−1 , y(x) = c0 erx + c1 x erx + · · · + ck−1 xk−1 erx .

6.2.18 Propozit¸ie. Fie ecuat¸ia diferent¸ial˘ a liniar˘ a omogen˘ a cu coeficient¸i reali P (D)y = 0, unde P (r) = a0 r n + a1 r n−1 + · · · + an−1 r + an este polinomul caracteristic. a) Dac˘ a rj este r˘ ad˘ acin˘ a real˘ a a lui P cu multiplicitatea mj , atunci funct¸iile erj x ,

x erj x ,

···

, xmj −1 erj x

sunt solut¸ii particulare ale ecuat¸iei P (D)y = 0. b) Dac˘ a rj = αj + iβj este r˘ ad˘ acin˘ a complex˘ a a lui P cu multiplicitatea mj , atunci α x α x e j cos(βj x), x e j cos(βj x), · · · , xmj −1 eαj x cos(βj x), eαj x sin(βj x),

x eαj x sin(βj x),

···

, xmj −1 eαj x sin(βj x)

sunt solut¸ii particulare ale ecuat¸iei P (D)y = 0.

Demonstrat¸ie. Ecuat¸ia P (D)y = 0 admite o factorizare de forma

229

Ecuat¸ii ¸si sisteme de ecuat¸ii diferent¸iale liniare

Q(D) (D − rj )mj y = 0

¸si (D−rj )mj y = 0 implic˘ a P (D)y = 0. Deoarece ec. P (D)y = 0 are coeficient¸i reali ( P (D) (Re y) = Re ( P (D)y ) = 0 P (D)y = 0 =⇒ P (D) (Im y) = Im ( P (D)y ) = 0 adic˘ a ˆın cazul ˆın care rj este r˘ ad˘ acin˘ a complex˘a cu multiplicitatea mj funct¸iile
y : R −→ R, y(x) = Re c0 erj x + c1 x erj x + · · · + cmj −1 xmj −1 erj x ¸si
y : R −→ R, y(x) = Im c0 erj x + c1 x erj x + · · · + cmj −1 xmj −1 erj x

sunt solut¸ii ale ecuat¸iei P (D)y = 0, oricare ar fi constantele reale c0 , c1 , ... , cmj −1 .

6.2.19 Se poate demonstra c˘ a, ˆın toate cazurile, ˆın spat¸iul solut¸iilor exist˘a o baz˘ a format˘a din solut¸ii particulare de tipul celor prezentate ˆın propozit¸ia anterioar˘ a. 6.2.20 Exercit¸iu. S˘ a se determine solut¸ia general˘ a a ecuat¸iilor ′′ ′ a) y − 5y + 6y = 0, b) y ′′′ − 6y ′′ + 12y ′ − 8y = 0, c)

y ′′ + y ′ + y = 0,

d)

(D 2 − D + 1)3 y = 0,

e)

(D − 3)4 (D 2 + 2)2 y = 0.

R˘ aspuns.

a) y(x) = c1 e2x + c2 e3x . b) y(x) = c1 e2x + c2 x e2x + c3 x2 e2x . 1

√

3 2 x)

1

+ c2 e− 2 x sin(

√

3 2 x).

c)

y(x) = c1 e− 2 x cos(

d)

y(x) = c1 e 2 x cos(

e)

y(x) = c1 e3x + c2 x e3x + c3 x2 e3x + c4 x3 e3x √ √ √ √ +c5 cos( 2x) + c6 sin( 2x) + c7 x cos( 2x) + c8 x sin( 2x).

√ 1 3 3 x 2 sin( x) + c e 2 2 2 x) √ √ 1 1 +c3 x e− 2 x cos( 23 x) + c4 x e− 2 x sin( 23 x) √ √ 1 1 +c5 x2 e− 2 x cos( 23 x) + c6 x2 e− 2 x sin( 23 x). 1

√

230

Elemente de Algebr˘a Liniar˘a

6.2.21 MATHEMATICA: DSolve[eqns, y[x], x] In[1]:=DSolve[y’’[x] - 5 y’[x] + 6 y[x] == 0, y[x], x]

7→

Out[1]={{y[x]→e2x C[1]+e3x C[2]}}

7→

Out[2]={{y[x]→e2x C[1]+e2x x C[2]+e2x x2 C[3]}}

7→

Out[3]=

In[2]:=DSolve[y’’’[x] - 6 y’’[x] + 12 y’[x] - 8 y[x] == 0, y[x], x] In[3]:=DSolve[y’’[x] + y’[x] + y[x] == 0, y[x], x]

nn h√ i h √ ioo y[x]→e−x/2 C[2] Cos 23x +e−x/2 C[1] Sin 23x

6.2.22 Propozit¸ie. Ecuat¸ia Euler

a0 xn y (n) + a1 xn−1 y (n−1) + · · · + an−1 x y ′ + an y = 0

se reduce la o ecuat¸ie diferent¸ial˘ a liniar˘ a cu coeficient¸i constant¸i prin t schimbarea de variabil˘ a x = e , unde t este noua variabil˘ a independent˘ a. Demonstrat¸ie (cazul n = 3). Notˆand cu z(t) noua funct¸ie necunoscut˘a, avem relat¸ia y(x) = z(ln x) care, prin deriv˘ ari succesive, conduce la 1 ′ ′ y (x) = x z (ln x) = e−t z ′ (t), y ′′ (x) =

1 x2

z ′′ (ln x) −

1 x2

z ′ (ln x) = e−2t ( z ′′ (t) − z ′ (t) ),

y ′′′ (x) = x13 z ′′′ (ln x) − x33 z ′′ (ln x) − x23 z ′ (ln x) = e−3t ( z ′′′ (t) − 3z ′′ (t) + 2z ′ (t) ). ˆIn urma schimb˘ arii de variabil˘ a, ecuat¸ia Euler a0 x3 y ′′′ + a1 x2 y ′′ + a2 x y ′ + a3 y = 0 devine a0 z ′′′ + (−3a0 + a1 )z ′′ + (2a0 − a1 + a2 )z ′ + a3 z = 0. 6.2.23 Relat¸ia x = et , echivalent˘ a cu t = ln x, conduce la d dt d 1 d d = = = e−t . dx dx dt x dt dt Ecuat¸ia Euler se poate scrie   n n−1 d n d n−1 d + an y = 0 a0 x + a1 x + · · · + an−1 x dxn dxn−1 dx ¸si, formal, schimbarea de variabil˘ a x = et ˆın ecuat¸ia Euler se poate realiza ˆınlocuind d d x cu et ¸si operatorul de derivare dx cu e−t dt . De remarcat c˘a 2    d d d d2 d = e−t e−t = e−2t 2 − e−2t . e−t dt dt dt dt dt

231

Ecuat¸ii ¸si sisteme de ecuat¸ii diferent¸iale liniare

6.3

Sisteme diferent¸iale liniare

6.3.1 Definit¸ie. Prin sistem diferent¸ial liniar de ordinul ˆıntˆ ai se ˆınt¸elege un sistem de ecuat¸ii diferent¸iale de forma  ′ y1 = a11 (x)y1 + a12 (x)y2 + · · · + a1n (x)yn + f1 (x)      ′   y2 = a21 (x)y1 + a22 (x)y2 + · · · + a2n (x)yn + f2 (x) (6.16) .............................................................        yn′ = an1 (x)y1 + an2 (x)y2 + · · · + ann (x)yn + fn (x) unde x este variabila independent˘ a, y1 , y2 , ... , yn sunt funct¸iile necunoscute ¸si aij : I −→ R, unde i, j ∈ {1, 2, ..., n}, fi : I −→ R,

sunt funct¸ii continue definite pe un interval I ⊆ R.

6.3.2 Sistemul diferent¸ial liniar (6.16) se poate scrie sub forma matriceal˘ a Y ′ = A(x)Y + F (x) utilizˆ and notat¸iile 

  Y = 

y1 y2 .. . yn



  , 



a11 (x) a12 (x) · · ·

  a21 (x) a22 (x) · · ·   A(x) =  ··· ···  ···   an1 (x) an2 (x) · · ·

6.3.3 Teorem˘ a (de existent¸˘ a ¸si unicitate). Dac˘ a aij : I −→ R, unde fi : I −→ R,

a1n (x)



 a2n (x)    , ···    ann (x)



  F (x) =  

f1 (x) f2 (x) .. . fn (x)



  . 

i, j ∈ {1, 2, ..., n},

sunt funct¸ii continue, atunci oricare ar fi (x0 , y10 , y20 , ..., yn0 ) ∈ I ×Rn , exist˘ a o unic˘ a solut¸ie Y (x) ˆıncˆ at   y10  y20    Y ′ = A(x) Y + F (x) ¸si Y (x0 ) =  .  .  ..  yn0

232

Elemente de Algebr˘a Liniar˘a

6.3.4 Teorem˘ a. Spat¸iul V al tuturor solut¸iilor sistemului diferent¸ial liniar omogen Y ′ = A(x) Y

este un spat¸iu vectorial de dimensiune n. Demonstrat¸ie. Pentru x0 ∈ I fixat, din teorema de existent¸˘a ¸si unicitate, rezult˘ a c˘ a aplicat¸ia liniar˘ a V −→ Rn : Y 7→ Y (x0 ) este un izomorfism liniar. 6.3.5 Rezolvarea sistemului omogen Y ′ = AY este echivalent˘a cu g˘asirea unei baze a lui V, adic˘ a cu g˘ asirea a n solut¸ii liniar independente. 6.3.6 Definit¸ie. Plecˆ and de la n solut¸ii ale sistemului omogen Y ′ = A(x)Y       y11 y12 y1n  y21   y22   y2n        Y1 =  .  , Y2 =  .  , ... , Yn =  .  , . . .  .   .   .  yn1 yn2 ynn construim matricea Wronski

¸si wronskianul



y11  y21 W =  ··· yn1

y12 y22 ··· yn2

··· ··· ··· ···

 y1n y2n   ···  ynn

w = det W. 6.3.7 Teorem˘ a. Solut¸iile Y1 , Y2 , ... , Yn formeaz˘ a o baz˘ a a spat¸iului vectorial V dac˘ a ¸si numai dac˘ a wronskianul lor este nenul ˆıntr-un punct fixat x0 ∈ I, adic˘ a w(x0 ) 6= 0. Demonstrat¸ie. Deoarece V −→ Rn : Y 7→ Y (x0 ) este un izomorfism liniar, solut¸iile Y1 , Y2 , ... , Yn sunt liniar independente dac˘ a ¸si n numai dac˘ a vectorii Y1 (x0 ), Y2 (x0 ), ... , Yn (x0 ) din R sunt liniar independent¸i, ceea ce este echivalent cu w(x0 ) 6= 0.

233

Ecuat¸ii ¸si sisteme de ecuat¸ii diferent¸iale liniare

6.3.8 Teorem˘ a. Wronskianul solut¸iilor Y1 , Y2 , ... , Yn verific˘ a relat¸ia Rx

w(x) = w(x0 ) e

x0

tr A(t) dt

,

(6.17)

unde tr A(t) = a11 (t) + a22 (t) + · · · + ann (t) este urma matricei A(t). Demonstrat¸ie (cazul n = 2.) Avem y (x) y12 (x) y ′ (x) y12 (x) 11 d 11 ′ w (x) = dx = ′ y21 (x) y22 (x) y21 (x) y22 (x) a11 (x) y11 (x)+a12 (x) y21 (x) y12 (x) = a21 (x) y11 (x)+a22 (x) y21 (x) y22 (x)

= (a11 (x) + a22 (x)) w(x),

y11 (x) y ′ (x) 12 + ′ (x) y21 (x) y22



y11 (x) a11 (x) y12 (x)+a12 (x) y22 (x) + y21 (x) a21 (x) y12 (x)+a22 (x) y22 (x)



adic˘ a w verific˘ a ecuat¸ia diferent¸ial˘a liniar˘ a w′ = tr A(x) w. 6.3.9 Din relat¸ia (6.13) rezult˘ a c˘ a dac˘ a wronskianul se anuleaz˘ a ˆıntr-un punct x0 ∈ I, atunci el se anuleaz˘ a ˆın toate punctele x ∈ I. 6.3.10 Propozit¸ie. Solut¸ia general˘ a a sistemului liniar neomogen Y ′ = A(x) Y + F (x) se obt¸ine adunˆ and la solut¸ia general˘ a a sistemului liniar omogen asociat Y ′ = A(x) Y o solut¸ie particular˘ a Y˜ a sistemului neomogen. Demonstrat¸ie. Deoarece Y˜ ′ = A(x) Y + F (x), obt¸inem Y ′ = A(x) Y =⇒ (Y + Y˜ )′ = A(x) (Y + Y˜ ) + F (x), Y ′ = A(x) Y + F (x) =⇒ (Y − Y˜ )′ = A(x) (Y − Y˜ ). 6.3.11 Folosind matricea Wronski W asociat˘a unei baze {Y1 , Y2 , ... , Yn } a lui V, solut¸ia general˘ a Y = c1 Y1 + c2 Y2 + · · · + cn Yn a ecuat¸iei liniare omogene Y ′ = A(x) Y se poate scrie sub forma

234

Elemente de Algebr˘a Liniar˘a

Y (x) = W (x) C,



  C= 

unde

c1 c2 .. . cn

6.3.12 Teorem˘ a (Metoda variat¸iei constantelor). Dac˘ a solut¸ia general˘ a a sistemului



   ∈ Rn . 

Y ′ = A(x) Y este Y (x) = W (x) C, atunci o solut¸ie particular˘ a sistemului neomogen Y ′ = A(x) Y + F (x) se poate obt¸ine c˘ autˆ and-o de forma Y˜ (x) = W (x) C(x), unde C(x) este o solut¸ie a sistemului C ′ (x) = W −1 (x) F (x). Demonstrat¸ie. Deoarece W ′ = A(x)W ¸si Y˜ ′ (x) = W ′ (x) C(x) + W (x) C ′ (x), avem Y˜ ′ = A(x) Y˜ + F (x) dac˘ a ¸si numai dac˘ a W (x) C ′ (x) = F (x). 6.3.13 Definit¸ie. Prin sistem diferent¸ial liniar omogen cu coeficient¸i constant¸i se ˆınt¸elege un sistem de ecuat¸ii de forma Y ′ = AY,

unde

A ∈ Mn×n (R).

6.3.14 Propozit¸ie. Funct¸ia vectorial˘ a Y : R −→ Cn , Y (x) = w eλx , unde   w1  w2    w =  .  ∈ Cn  ..  wn

verific˘ a relat¸ia

Y ′ = AY dac˘ a ¸si numai dac˘ a Aw = λw.

235

Ecuat¸ii ¸si sisteme de ecuat¸ii diferent¸iale liniare

Demonstrat¸ie. Deoarece Y ′ (x) = λw eλx , ˆınlocuind ˆın Y ′ = AY obt¸inem Aw = λw. 6.3.15 Fie λ o r˘ ad˘ acin˘ a a polinomului caracteristic det (A − λI) = 0.

Dac˘a λ ∈ R, atunci λ este valoare proprie a matricei A ¸si alegˆand un vector propriu corespunz˘ ator w ∈ Rn obt¸inem solut¸ia netrivial˘a Y (x) = w eλx a sistemului Y ′ = AY . Dac˘a λ 6∈ R, atunci exist˘a w ∈ Cn astfel ˆıncˆ at Aw = λw ¸si     Y2 (x) = Im w eλx Y1 (x) = Re w eλx ,

sunt solut¸ii ale sistemului Y ′ = AY .

6.3.16 Exercit¸iu. S˘ a se determine solut¸ia general˘ a a sistemului  ′ y1 = y1 + y2 y2′ = −y1 + y2 . Rezolvare. Ecuat¸ia

1−λ 1 −1 1 − λ

=0

are r˘ ad˘ acinile λ1 = 1 + i ¸si λ2 = 1 − i. O solut¸ie particular˘a a ecuat¸iei Av = (1 + i)v, adic˘ a      1 1 v1 v1 = (1 + i) v2 −1 1 v2   1 este v = . Rezult˘a c˘ a solut¸ia general˘ a a sistemului este       i 1 1 (1+i)x (1+i)x Y (x) = c1 Re e + c2 Im e i i       1 1 x x e (cos x + i sin x) e (cos x + i sin x) + c2 Im = c1 Re i i     cos x sin x x = c1 e + c2 ex , − sin x cos x adic˘ a



y1 (x) = c1 ex cos x + c2 ex sin x y2 (x) = −c1 ex sin x + c2 ex cos x.

6.3.17 MATHEMATICA: DSolve[{eqn1, eqn2}, {y1[x], y2[x]}, x] In[1]:=DSolve[{y1’[x] == y1[x]+y2[x],y2’[x] == -y1[x]+y2[x]},{y1[x], y2[x]},x]

7→

Out[1]={{y1[x]→ex C[1] Cos[x]+ex C[2] Sin[x], y2[x]→ex C[2] Cos[x]−ex C[1] Sin[x]}}

236

Elemente de Algebr˘a Liniar˘a

6.3.18 Dac˘a matricea A ∈ Mn×n (R) este diagonalizabil˘a ¸si {v1 , v2 , ..., vn }, unde       v11 v12 v1n  v21   v22   v2n        v1 =  .  , v2 =  .  , ··· vn =  .  , . . .  .   .   .  vn1 vn2 vnn n este o baz˘ a a lui R format˘ a din vectori proprii ai lui A corespunz˘atori valorilor proprii λ1 , λ2 , ... , λn (distincte sau nu), atunci solut¸ia general˘ a a sistemului Y ′ = AY este       v11 v12 v1n  v21   v22   v2n        Y (x) = c1  .  eλ1 x + c2  .  eλ2 x + · · · + cn  .  eλn x .  ..   ..   ..  vn1

vn2

vnn

6.3.19 Exercit¸iu. S˘ a se determine solut¸ia general˘ a a sistemului  ′  y1 = y2 + y3 y ′ = y1 + y3  2′ y3 = y1 + y2 Rezolvare. Rezolvˆ and ecuat¸ia

−λ 1 1 1 −λ 1 = 0, 1 1 −λ obt¸inem λ1 = 2, ¸si λ2 = λ3 = −1. Deoarece subspat¸iile proprii corespunz˘atoare sunt V2 = { α(1, 1, 1) | α ∈ R },

V−1 = { α(1, 0, −1) + β(0, 1, −1) | α, β ∈ R },

rezult˘ a c˘ a solut¸ia general˘ a a sistemului este       1 1 0 Y (x) = c1  1  e2x + c2  0  e−x + c3  1  e−x . 1 −1 −1

6.3.20 MATHEMATICA: DSolve[{eqn1, eqn2, eqn3}, {y1[x], y2[x], y3[x]}, x] In[1]:=Eigenvalues[[{0,1,1},{1,0,1},{1,1,0}}] 7→ Out[1]={2,−1,−1} In[2]:=Eigenvectors[[{0,1,1},{1,0,1},{1,1,0}}] 7→ Out[2]={{1,1,1},{−1,0,1},{−1,1,0}} In[3]:=DSolve[{y1’[x]==y2[x]+y3[x], y2’[x]==y1[x]+y3[x],

y3’[x]==y1[x]+y2[x]}, {y1[x],y2[x],y3[x]}, x]

7→

Out[3]={{y1[x]→ 31 e−x (2+e3x ) C[1]+ 13 e−x (−1+e3x ) C[2]+ 13 e−x (−1+e3x ) C[3], y2[x]→ 31 e−x (−1+e3x ) C[1]+ 13 e−x (2+e3x ) C[2]+ 31 e−x (−1+e3x ) C[3],

y3[x]→ 13 e−x (−1+e3x ) C[1]+ 13 e−x (−1+e3x ) C[2]+ 31 e−x (2+e3x ) C[3]}}

Ecuat¸ii ¸si sisteme de ecuat¸ii diferent¸iale liniare

237

6.3.21 S ¸ tim c˘ a, ˆın general, o matrice A ∈ Mn×n (R) nu este diagonalizabil˘a. Dac˘a λ este o r˘ ad˘ acin˘ a real˘ a (respectiv, complex˘a) cu multiplicitatea m a polinomului caracteristic, atunci partea din solut¸ia general˘ a corespunz˘atoare lui λ poate fi g˘asit˘ a c˘autˆ and-o de forma   α11 xm−1 + α12 xm−2 + · · · + α1m−1 x + α1m  α21 xm−1 + α22 xm−2 + · · · + α2m−1 x + α2m  λx  Y (x) =   ...................................................................  e , αn1 xm−1 + αn2 xm−2 + · · · + αnm−1 x + α1m

unde coeficient¸ii αjk sunt reali (respectiv, complec¸si). ˆIn cazul complex, ˆın final se separ˘a p˘ art¸ile real˘ a ¸si imaginar˘a ale a solut¸iei g˘asite.

6.3.22 Exercit¸iu. S˘ a se determine solut¸ia general˘ a a sistemului  ′ y = −y + y  1 1 2 y2′ = −y2 + 4y3  ′ y3 = y1 − 4y3

Rezolvare. Valorile proprii sunt λ1 = 0 ¸si λ2 = λ3 = −3, iar subspat¸iile proprii corespunz˘ atoare V0 = { α(4, 4, 1) | α ∈ R },

V−3 = { α(1, −2, 1) | α ∈ R }.

Deoarece dimV−3 = 1, rezult˘ a c˘ a matricea sistemului nu este diagonalizabil˘a. C˘ autˆ and partea din solut¸ia general˘ a referitoare la λ2 = λ3 = −3 de forma   α1 x + β1 Y (x) =  α2 x + β2  e−3x , α3 x + β3

g˘asim

   1 x Y (x) = α1  −2x + 1  e−3x + β1  −2  e−3x . 1 x−1 

Solut¸ia general˘ a a sistemului este       4 x 1 Y (x) = c1  4  + c2  −2x + 1  e−3x + c3  −2  e−3x . 1 x−1 1

6.3.23 O alt˘ a metod˘ a de rezolvare a sistemelor liniare omogene cu coeficient¸i constant¸i, numit˘ a metoda elimin˘ arii, se bazeaz˘ a pe faptul c˘a fiecare dintre funct¸iile necunoscute yj verific˘ a o ecuat¸ie diferent¸ial˘ a liniar˘ a.

238

Elemente de Algebr˘a Liniar˘a

6.3.24 Exercit¸iu. S˘ a se rezolve sistemul  ′  y1 = y2 y ′ = y3  2′ y3 = y1 .

Rezolvare. Funct¸ia necunoscut˘ a y1 verific˘ a ecuat¸ia liniar˘ a y1′′′ − y1 = 0.

√

a c˘a Deoarece P (r) = r 3 − 1 are r˘ ad˘ acinile r1 = 1 ¸si r2,3 = − 12 ± i 23 , rezult˘ √ √ 1 1 3 3 y1 (x) = c1 ex + c2 e− 2 x cos x + c3 e− 2 x sin x. 2 2 Prin derivarea lui y1 , se obt¸in y2 ¸si y3 . 6.3.25 Deoarece izomorfismul de spat¸ii vectoriale 2

Mn×n (K) −→ Kn : 

a11 a12  a21 a22   ··· ··· an1 an2

··· ··· ··· ···

 a1n a2n  → 7 (a11 , a12 , ..., a1n , a21 , a22 , ..., a2n , ..., an1 , an2 , ..., ann ) ···  ann

permite identificarea spat¸iului vectorial Mn×n (K) cu  a11 a12 · · ·  a21 a22 · · ·  || · || : Mn×n (K) −→ R,  · · · · · · · · · an1 an2 · · ·

2

Kn , aplicat¸ia  a1n v u n u X a2n   = t |aij |2 · · ·  i,j=1 ann

este o norm˘a pe Mn×n (K). ˆIn particular, o serie de matrice ∞ X ak Ak k=0

este convergent˘ a dac˘ a exist˘a limita

lim

m→∞

m X

ak Ak

k=0

adic˘ a dac˘ a exist˘a B ∈ Mn×n (K) astfel ˆıncˆ at m X k ak A − B = 0. lim m→∞ k=0

Ecuat¸ii ¸si sisteme de ecuat¸ii diferent¸iale liniare

239

6.3.26 Propozit¸ie. Dac˘ a seria de puteri ∞ X ak x k k=0

are raza de convergent¸˘ a R > 0 ¸si dac˘ a A ∈ Mn×n (K) este astfel ˆıncˆ at ||A|| < R, atunci seria de matrice ∞ X ak Ak k=0

este convergent˘ a.

Demonstrat¸ie. Alegˆand r astfel ˆıncˆ at ||A|| < r < R obt¸inem relat¸ia ak Ak = |ak | Ak ≤ |ak | ||A||k < |ak | r k . P k Seria ∞ a, din criteriul comparat¸iei rezult˘ a c˘a seria k=0 ak r fiind absolut convergent˘ P∞ P∞ k a, ceea ce implic˘ a convergent¸a seriei k=0 ak Ak . k=0 ||ak A || este convergent˘

6.3.27 Deoarece seria exponent¸ial˘a ∞ X xk x x2 ex = =1+ + + ··· k! 1! 2! k=0

are raza de convergent¸˘ a r = ∞, rezult˘ a c˘a pentru orice matrice A ∈ Mn×n (K) putem defini matricea ∞ X A A2 Ak A =1+ + + ··· , e = k! 1! 2! k=0

numit˘ a exponent¸iala matricei A. Se poate ar˘ ata c˘a funct¸ia matriceal˘ a R −→ Mn×n (K) : t 7→ etA

este derivabil˘ a ¸si c˘ a (etA )′ = A etA adic˘ a

Y (t) = etA C este solut¸ie a sistemului liniar Y ′ = AY , oricare ar fi C ∈ Rn . 6.3.28 MATHEMATICA: Series[Exp[A], {A, 0, n}] 3 4 2 In[1]:=Series[Exp[A], {A, 0, 4}] 7→ Out[1]=1+A+ A2 + A6 + A24 +0[A]5 6.3.29 Exercit¸iu. S˘ a se determine solut¸ia sistemului  ′  y1 = y2 + y3 y ′ = y1 + y3  2′ y3 = y1 + y2 .

240

Elemente de Algebr˘a Liniar˘a

Rezolvare. Matricea sistemului

este diagonalizabil˘a 

 0 1 1 A= 1 0 1  1 1 0 

  2 0 0 1 1 S −1 AS =  0 −1 0  , unde S= 1 0 0 0 −1 1 −1 Deoarece   2 0 0 A = S  0 −1 0  S −1 , 0 0 −1 obt¸inem  k  k 2 0 0 2 0 0 Ak = S  0 −1 0  S −1 = S  0 (−1)k 0 0 0 −1 0 0 (−1)k ¸si  k  2t  ∞ k ∞ 2 0 0 e k X X t  (tA) −1 tA k   = S 0 (−1) 0 S =S 0 e = k! k! k=0 k=0 0 0 (−1)k 0 relat¸ie care permite scrierea explicit˘a a solut¸iei generale.

 0 1 . −1



 S −1

 0 0 e−t 0  S −1 , 0 e−t

6.3.30 MATHEMATICA: Eigenvalues[A] , Eigenvectors[A] , MatrixForm[MatrixExp[tA]]  0

In[1]:=MatrixForm[[{0,1,1},{1,0,1},{1,1,0}}]

1

1

7→ Out[1]=  1 0 1 1

1

0

 

7→ Out[2]={2,−1,−1} In[3]:=Eigenvectors[{{0,1,1},{1,0,1},{1,1,0}}] 7→ Out[3]={{1,1,1},{−1,0,1},{−1,1,0}}

In[2]:=Eigenvalues[{{0,1,1},{1,0,1},{1,1,0}}]

In[4]:=MatrixForm[MatrixExp[t {{0, 1, 1}, {1, 0, 1}, {1, 1, 0}}]]

7→

 1 −t e  3  1 −t Out[4]= e  3 1 −t 3e

2 + e3t





−1 + e3t
−1 + e3t

1 −t 3e 1 −t 3e 1 −t 3e


−1 + e3t
2 + e3t
−1 + e3t

1 −t 3e 1 −t 3e 1 −t 3e

−1 + e3t −1 + e3t
2 + e3t





    

Capitolul 7

Reprezent˘ ari liniare Vom prezenta cˆ ateva elemente referitoare la grupuri ¸si reprezent˘arile lor liniare.

7.1

Grupuri

7.1.1 Definit¸ie. Prin grup se ˆınt¸elege o mult¸ime G pe care este definit˘a o lege de compozit¸ie intern˘ a G × G −→ G : (x, y) 7→ x y satisf˘ acˆ and condit¸iile: ∀g1 , g2 , g3 ∈ G;

1)

(g1 g2 )g3 = g1 (g2 g3 ),

2)

exist˘a e ∈ G astfel ˆıncˆ at ge = eg = g,

∀g ∈ G;

3) oricare ar fi g ∈ G, exist˘a g −1 ∈ G astfel ˆıncˆ at gg −1 = g−1 g = e. Grupul este numit grup comutativ (sau abelian) dac˘ a, ˆın plus, 4)

g1 g2 = g2 g1

∀g1 , g2 ∈ G.

7.1.2 Propozit¸ie. a) Elementul e cu proprietatea ge = eg = g,

∀g ∈ G

este unic ˆın G ¸si se nume¸ste element neutru. b) Pentru orice g ∈ G, elementul g −1 cu proprietatea

242

Elemente de Algebr˘a liniar˘ a

gg −1 = g−1 g = e este unic ˆın G ¸si se nume¸ste inversul lui g. Demonstrat¸ie. Avem ge = eg = g, ge′

=

¸si gg−1 = g−1 g = e gh = hg = e

e′ g )

= g,

∀g ∈ G ∀g ∈ G

)

=⇒

e = ee′ = e′

=⇒ h = he = h(gg −1 ) = (hg)g −1 = eg −1 = g−1 .

7.1.3 ˆIn cazul ˆın care ˆın locul notat¸iei multiplicative g1 g2 se utilizeaz˘ a notat¸ia aditiv˘a g1 +g2 , elementul neutru este notat cu 0. Elementul h cu proprietatea h + g = g + h = 0 este notat cu −g ¸si numit opusul lui g.

7.2

Reprezent˘ ari liniare

7.2.1 Definit¸ie. Fie G ¸si G′ dou˘ a grupuri. O aplicat¸ie f : G −→ G′ este numit˘ a morfism de grupuri dac˘ a f (g1 g2 ) = f (g1 ) f (g2 ),

∀g1 , g2 ∈ G.

7.2.2 Mult¸imea tuturor automorfismelor unui spat¸iu vectorial V GL(V) = { A : V −→ V | A este liniar˘ a ¸si bijectiv˘ a} ˆımpreun˘ a cu operat¸ia de compunere este grup (grupul automorfismelor lui V). 7.2.3 Definit¸ie. Prin reprezentare liniar˘ a a grupului G ˆın spat¸iul vectorial V peste corpul K (numit˘ a ¸si reprezentare K-liniar˘ a) se ˆınt¸elege un morfism de grupuri

243

Reprezent˘ ari liniare

T : G −→ GL(V) : g 7→ T (g), adic˘ a o aplicat¸ie astfel ˆıncˆ at T (g1 g2 ) = T (g1 ) T (g2 ),

∀g1 , g2 ∈ G.

Dimensiunea reprezent˘arii este prin definit¸ie dimensiunea lui V. 7.2.4 Mult¸imea matricelor inversabile de ordinul n cu elemente din K GL(n, K) = { A ∈ Mn×n (K) | det A 6= 0 } ˆımpreun˘ a cu ˆınmult¸irea matricelor este grup (numit grupul general linear). 7.2.5 Definit¸ie. Prin reprezentare matriceal˘ a n-dimensional˘a a unui grup G se ˆınt¸elege un morfism de grupuri de forma T : G −→ GL(n, K) : g 7→ T (g). Reprezentarea este numit˘ a real˘ a ˆın cazul K = R ¸si complex˘a ˆın cazul K = C. 7.2.6 Propozit¸ie. Fie V un spat¸iu vectorial peste corpul K. Dac˘ a {e1 , e2 , ..., en } este o baz˘ a a lui V ¸si T : G −→ GL(V) : g 7→ T (g) o reprezentare liniar˘ a a unui grup G ˆın V, atunci aplicat¸ia T : G −→ GL(n, K),  t11 (g) t12 (g)   t21 (g) t22 (g)  T (g) =  ···  ···  tn1 (g) tn2 (g)

··· ··· ··· ···

t1n (g)



 t2n (g)   , ···   tnn (g)

unde elementele tij (g) sunt astfel ˆıncˆ at n X tij (g)ei , ∀g ∈ G, ∀j ∈ {1, 2, ..., n}, T (g)ej = i=1

este o reprezentare matriceal˘ a n-dimensional˘ a a lui G.

244

Elemente de Algebr˘a liniar˘ a

Demonstrat¸ie. Deoarece T (g1 g2 ) = T (g1 ) T (g2 ), din relat¸iile P T (g1 g2 )ej = ni=1 tij (g1 g2 )ei , T (g1 ) T (g2 )ej

= T (g1 ) = =

rezult˘ a c˘ a tij (g1 g2 ) =

Pn

Pn

k=1 tkj (g2 )ek

k=1 tkj (g2 )

Pn

n X

Pn

i=1 (

=

Pn

Pn

k=1 tkj (g2 )T (g1 )ek

i=1 tik (g1 )ei

k=1 tik (g1 )tkj (g2 )) ei

tik (g1 ) tkj (g2 ),

k=1

∀i, j ∈ {1, 2, ..., n},

adic˘ a T (g1 g2 ) = T (g1 ) T (g2 ).

7.2.7 Matricea T (g) este matricea transform˘arii liniare T (g) : V −→ V ˆın raport cu baza considerat˘a. Alegˆand o alt˘a baz˘ a {e′1 , e′2 , ..., e′n }, se poate defini ˆın mod similar reprezentarea T ′ : G −→ GL(n, K) : g 7→ T ′ (g). S ¸ tim ˆıns˘ a c˘ a cele dou˘ a reprezent˘ari matriceale sunt legate prin relat¸ia T ′ (g) = S −1 T (g) S,

∀g ∈ G,

unde S este matricea de trecere de la baza {e1 , e2 , ..., en } la {e′1 , e′2 , ..., e′n }. 7.2.8 Definit¸ie. Dou˘ a reprezent˘ ari matriceale n-dimensionale peste K ale unui grup T1 : G −→ GL(n, K)

¸si

T2 : G −→ GL(n, K)

sunt numite echivalente dac˘ a exist˘a S ∈ GL(n, K) astfel ˆıncˆ at T2 (g) = S −1 T1 (g) S,

∀g ∈ G.

7.2.9 Aplicat¸ia R : R −→ GL(R2 ) : t 7→ R(t), unde

R(t) : R2 −→ R2 , R(t)(x, y) = (x cos t − y sin t, x sin t + y cos t),

este o reprezentare liniar˘ a a grupului aditiv (R, +) ˆın spat¸iul vectorial R2 . Alegˆand ˆın R2 baza {e1 = (1, 0), e2 = (0, 1)}, obt¸inem reprezentarea matriceal˘ a   cos t − sin t R : R −→ GL(2, R) : t 7→ R(t) = . sin t cos t Avem R(t + s) = R(t) R(s).

245

Reprezent˘ ari liniare

7.3

Reprezent˘ ari ireductibile

7.3.1 Definit¸ie. Dou˘ a reprezent˘ ari liniare n-dimensionale peste K ale unui grup G T1 : G −→ GL(V1 )

T2 : G −→ GL(V2 )

¸si

sunt numite echivalente dac˘ a exist˘a un izomorfism liniar S : V1 −→ V2 astfel ˆıncˆ at T1 (g) = S −1 T2 (g) S,

∀g ∈ G,

adic˘ a astfel ˆıncˆ at diagrama V1

T1 (g)

- V1

S

S

?

?

V2

T2 (g)

- V2

este comutativ˘a. 7.3.2 Definit¸ie. Fie T : G −→ GL(V) o reprezentare liniar˘ a a grupului G ˆın V. Spunem c˘ a subspat¸iul W ⊆ V este invariant fat¸˘a de T dac˘ a T (g)(W) ⊆ W,

∀g ∈ G.

7.3.3 Definit¸ie. Spunem c˘ a reprezentarea liniar˘ a T : G −→ GL(V) este o reprezentare ireductibil˘ a dac˘ a singurele subspat¸ii invariante sunt {0} ¸si V. ˆIn caz contrar, reprezentarea este numit˘ a reductibil˘ a. 7.3.4 Reprezentarea liniar˘ a T : R −→ GL(R3 ) : t 7→ T (t), unde T (t) : R3 −→ R3 , T (t)(x, y, z) = (x cos t − y sin t, x sin t + y cos t, z) este o reprezentare liniar˘ a reductibil˘a a grupului aditiv (R, +) ˆın R3 . Subspat¸iul W = { (x, y, 0) | x, y ∈ R } ⊂ R3 este subspat¸iu invariant.

246

Elemente de Algebr˘a liniar˘ a

7.3.5 Propozit¸ie. Dac˘ a T1 : G −→ GL(V1 )

¸si

T2 : G −→ GL(V2 )

sunt dou˘ a reprezent˘ ari K-liniare, atunci aplicat¸ia T : G −→ GL(V1 ⊕ V2 ),

T (g)(x1 , x2 ) = (T1 (g)x1 , T2 (g)x2 )

este o reprezentare K-liniar˘ a a grupului G ˆın spat¸iul produs direct V1 ⊕V2 , numit˘ a suma reprezent˘arilor T1 ¸si T2 , notat˘ a cu T1 ⊕T2 . Demonstrat¸ie. Avem T (g1 g2 )(x1 , x2 ) = (T1 (g1 g2 )x1 , T2 (g1 g2 )x2 ) = (T1 (g1 ) T1 (g2 )x1 , T2 (g1 ) T2 (g2 )x2 ) = T (g1 )(T1 (g2 )x1 , T2 (g2 )x2 ) = T (g1 )T (g2 )(x1 , x2 ). 7.3.6 Propozit¸ie. Dac˘ a



 T : G −→ GL(n, K) : g 7→ T (g) =  



 R : G −→ GL(k, K) : g 7→ R(g) =  

t11 (g) · · · ···

···

t1n (g) ···

tn1 (g) · · ·

tnn (g)

r11 (g) · · ·

r1k (g)

···

···

rk1 (g) · · ·

··· rkk (g)

sunt dou˘ a reprezent˘ ari matriceale, atunci

T ⊕ R : G −→ GL(n+k, K)  t11 (g) · · · t1n (g) 0   ··· ··· ··· ···    tn1 (g) · · · tnn (g) 0  (T ⊕R)(g) =   0 0 0 r11 (g)    0 0 0 ···  0 0 0 rk1 (g)

0 ··· 0 ··· ··· ···

0



 ,      

     0   r1k (g)    ···   rkk (g) ···

este o reprezentare a lui G, numit˘ a suma reprezent˘arilor T ¸si R.

247

Reprezent˘ ari liniare

7.4

Reprezent˘ ari unitare ¸si ortogonale

7.4.1 Definit¸ie. O submult¸ime H ⊆ G este numit˘ a subgrup al grupului G dac˘ a  g1 ∈ H =⇒ g1 g2−1 ∈ H. g2 ∈ H 7.4.2 Fie V un spat¸iu Hilbert finit-dimensional. Mult¸imea transform˘arilor unitare U (V) = { A : V −→ V | hAx, Ayi = hx, yi, ∀x, y ∈ V } este un subgrup al grupului GL(V) al tuturor automorfismelor lui V. 7.4.3 Definit¸ie. Prin reprezentare unitar˘ a a grupului G ˆın spat¸iul Hilbert V se ˆınt¸elege un morfism de grupuri T : G −→ U (V). 7.4.4 Dac˘a T : G −→ U (V) este reprezentare unitar˘a, atunci hT (g)x, T (g)yi = hx, yi,

∀x, y ∈ V, ∀g ∈ G.

7.4.5 Teorem˘ a. Mult¸imea matricelor unitare de ordinul n U (n) = { A ∈ Mn×n (C) | A∗ A = I } are o structur˘ a de grup ˆın raport cu ˆınmult¸irea matricelor, iar SU (n) = { A ∈ U (n) | det A = 1 } este un subgrup al lui U (n). Demonstrat¸ie. a) Produsul a dou˘ a matrice unitare A ¸si B este o matrice unitar˘a (AB)∗ (AB) = B ∗ A∗ AB = B ∗ B = I ¸si inversa unei matrice unitare A este o matrice unitar˘a A−1 = A∗

=⇒

(A−1 )∗ = (A∗ )∗ = A = (A−1 )−1 .

b) Afirmat¸ia rezult˘ a din relat¸iile det(AB) = detA detB,

det(A−1 ) = (detA)−1 .

248

Elemente de Algebr˘a liniar˘ a

7.4.6 Definit¸ie. Prin reprezentare matriceal˘ a unitar˘ a a grupului G se ˆınt¸elege un morfism de grupuri T : G −→ U (n). 7.4.7 Fie V un spat¸iu Hilbert real. Mult¸imea transform˘arilor ortogonale O(V) = { A : V −→ V | hAx, Ayi = hx, yi, ∀x, y ∈ V } este un subgrup al grupului GL(V) al tuturor automorfismelor lui V. 7.4.8 Definit¸ie. Prin reprezentare ortogonal˘ a a grupului G ˆın spat¸iul Hilbert real V se ˆınt¸elege un morfism de grupuri T : G −→ O(V). 7.4.9 Dac˘a T : G −→ O(V) este o reprezentare ortogonal˘ a, atunci hT (g)x, T (g)yi = hx, yi,

∀x, y ∈ V, ∀g ∈ G.

7.4.10 Fie A ∈ Mn×n (R) o matrice cu n linii ¸si n coloane cu elemente numere reale ¸si fie t A transpusa ei. Relat¸iile A t A = I,

t

A A = I,

A−1 = t A,

unde I ∈ Mn×n (C) este matricea unitate, sunt echivalente (v. pag. 32-1). 7.4.11 Definit¸ie. Matricea A ∈ Mn×n (C) este numit˘ a matrice ortogonal˘ a dac˘ a t

A A=I

(condit¸ie echivalent˘a cu A−1 = t A ¸si A t A = I). 7.4.12 Dac˘a A este o matrice ortogonal˘ a, atunci detA ∈ {−1, 1}. 7.4.13 Teorem˘ a. Mult¸imea matricelor ortogonale de ordinul n  O(n) = A ∈ Mn×n (R) | t A A = I

are o structur˘ a de grup ˆın raport cu ˆınmult¸irea matricelor, iar SO(n) = { A ∈ O(n) | det A = 1 }

este un subgrup al lui U (n).

249

Reprezent˘ ari liniare

7.4.14 Definit¸ie. Prin reprezentare matriceal˘ a ortogonal˘ a a grupului G se ˆınt¸elege un morfism de grupuri T : G −→ O(n).

7.5

Grupul rotat¸iilor. Reprezent˘ ari liniare

7.5.1 Propozit¸ie. SO(2) =



cos t − sin t sin t cos t

  t ∈ [0, 2π) .

Demonstrat¸ie. Avem  −1   cos t − sin t cos t sin t = , sin t cos t − sin t cos t ¸si 

α β γ δ



∈ SO(2)

=⇒

cos t − sin t sin t cos t

 2 α + γ2 = 1    2 β + δ2 = 1 αβ + γδ = 0    αδ − βγ = 1.

=1

Din relat¸iile α2 + γ 2 = 1 ¸si β 2 + δ2 = 1 rezult˘ a c˘a exist˘a t, s ∈ [0, 2π) astfel ˆıncˆ at     α β cos t sin s = , γ δ sin t cos s dar αβ + γδ = 0 αδ − βγ = 1.



=⇒

sin(t + s) = 0 cos(t + s) = 1.



=⇒

  s = −t sau  s = 2π − t.

7.5.2 Exercit¸iu. Dac˘a A ∈ SO(3), atunci exist˘a t ∈ [0, 2π) ¸si o matrice S ∈ O(3) astfel ˆıncˆ at   1 0 0 S −1 AS =  0 cos t − sin t  . 0 sin t cos t Rezolvare. Fie

250

Elemente de Algebr˘a liniar˘ a



 a11 a12 a13 A =  a21 a22 a23  ∈ SO(3). a31 a32 a33

Matricea A este matricea ˆın raport cu baza canonic˘ a a unei transform˘ ari ortogonale 3 3 A : R −→ R . Ecuat¸ia caracteristic˘a corespunz˘atoare este   a22 a23 a11 a13 a11 a12 3 2 + + λ − det A = 0 −λ +(a11 + a22 + a33 )λ − a32 a33 a31 a33 a21 a22

Deoarece tA = A−1 , adic˘ a 

a11 a21 a31  a12 a22 a32 a13 a23 a33



    =      

a22 a32 a − 21 a23 a21 a22

a23 − a33 a31 a33 a31 − a32

a12 a12 a32 a13 a13 a33 a a11 a31 − 11 a13 a33 a13 a11 a11 a31 a12 a12 a32

 a22 a23     a21   a23    a21  a22

¸si det A = 1, rezult˘ a c˘ a λ = 1 este valoare proprie a lui A. Fie e1 un vector propriu corespunz˘ ator cu ||e1 || = 1, adic˘ a Ae1 = e1 . Subspat¸iul vectorilor ortogonali pe e1 V = {x ∈ R3 | hx, e1 i = 0 }

este un subspat¸iu invariant x∈V

=⇒

hAx, e1 i = hAx, Ae1 i = hx, e1 i = 0.

Dac˘a {e2 , e3 } este o baz˘ a ortonormat˘a ˆın V, atunci B = {e1 , e2 , e3 } este o baz˘ a 3 ortonormat˘a a lui R , ˆın raport cu care matricea lui A are forma   1 0 0 A′ =  0 α β  , 0 γ δ   α β unde este o matrice ortogonal˘ a. Notˆand cu S matricea de trecere de la γ δ baza canonic˘ a la baza B, avem relat¸ia     1 0 0 a11 a21 a31  0 α β  = S −1  a12 a22 a32  S, 0 γ δ a13 a23 a33

din care rezult˘ a

251

Reprezent˘ ari liniare

ceea ce arat˘ a c˘ a astfel ˆıncˆ at



α β γ δ

α β γ δ

= 1,



∈ SO(2). Conform exercit¸iului anterior exist˘a t ∈ [0, 2π)



α β γ δ

7.5.3 Matricea



=



cos t − sin t sin t cos t



.



 1 0 0  0 cos t − sin t  0 sin t cos t

este matricea unei rotat¸ii ˆın jurul vectorului e1 (vectorul propriu corespunz˘ator valorii λ = 1). Grupul SO(3) este grupul rotat¸iilor spat¸iului tridimensional. 7.5.4 Aplicat¸ia SO(3) −→ O(R3 ) prin care matricei   a11 a12 a13 g =  a21 a22 a23  ∈ SO(3) a31 a32 a33 i se asociaz˘ a transformarea ortogonal˘ a g : R3 −→ R3 ,

g(x1 , x2 , x3 ) = (a11 x1 +a12 x2 +a13 x3 , a21 x1 +a22 x2 +a23 x3 , a31 x1 +a32 x2 +a33 x3 ) este o reprezentare ortogonal˘ a a grupului SO(3) ˆın R3 . 7.5.5 Exercit¸iu. Aplicat¸ia T : SO(3) −→ GL(F(R3 , C)) : g 7→ T (g), unde T (g) : F(R3 , C) −→ F(R3 , C),

(T (g)f )(x) = f (g −1 x),

este o reprezentare liniar˘ a ˆın spat¸iul vectorial complex F(R3 , C) al tuturor funct¸iilor f : R3 −→ C. Rezolvare. Avem

252

Elemente de Algebr˘a liniar˘ a

(T (g1 g2 )f )(x) = f ((g1 g2 )−1 x) = f (g2−1 g1−1 x) = f (g2−1 (g1−1 x)) = (T (g2 )f )(g1−1 x) = (T (g1 )(T (g2 )f ))(x) = (T (g1 )T (g2 )f )(x). 7.5.6 Mult¸imea de matrice  O(1, 3) = A ∈ GL(4, R) | A I1,3 t A = I1,3 ,

unde

I1,3



 1 0 0 0  0 −1 0 0   =  0 0 −1 0  0 0 0 −1

considerat˘a ˆımpreun˘ a cu ˆınmult¸irea este grup (se nume¸ste grupul Lorentz). 7.5.7 Exercit¸iu. SU (2) =



α β −β¯ α ¯

Rezolvare. Avem 

α β γ δ



∈ SU (2) =⇒

      

  α, β ∈ C, |α|2 + |β|2 = 1 α ¯ γ + β¯ δ = 0

−βγ + αδ = 1

|α|2 + |β|2 = 1

 γ = −β¯    δ=α ¯ =⇒    |α|2 + |β|2 = 1.

7.5.8 Grupul SU (2) admite parametrizarea     0 ≤ ϕ < 2π   i ei(ϕ−ψ)/2 sin 21 θ ei(ϕ+ψ)/2 cos 12 θ   0 ≤ θ ≤ π SU (2) =  −2π ≤ ψ ≤ 2π  i e−i(ϕ−ψ)/2 sin 12 θ e−i(ϕ+ψ)/2 cos 12 θ cu proprietatea   i ei(ϕ−ψ)/2 sin 21 θ ei(ϕ+ψ)/2 cos 21 θ   i e−i(ϕ−ψ)/2 sin 12 θ e−i(ϕ+ψ)/2 cos 21 θ 

=

eiϕ/2

0

0

e−iϕ/2

 

cos 12 θ i sin 12 θ

 !  iψ/2 e 0  , cos 12 θ 0 e−iψ/2

i sin 12 θ

parametrii ϕ, θ, ψ fiind numit¸i unghiurile lui Euler.

253

Reprezent˘ ari liniare

7.5.9 Exercit¸iu. Dac˘a a, b ∈ Mn×n (K), atunci tr (ab) = tr (ba). Rezolvare. Avem n n X n X n n n X X X X (ba)jj = tr (ba). bji aij = aij bji = (ab)ii = tr (ab) = i=1

i=1 j=1

j=1 i=1

j=1

7.5.10 Folosind baza canonic˘ a a lui R3 , putem identifica grupul SO(3) cu grupul de transform˘ari { A : R3 −→ R3 | detA = 1, ||Ax|| = ||x||,

∀x ∈ R3 }.

7.5.11 Propozit¸ie. a) Spat¸iul matricelor antihermitiene de ordinul doi cu urm˘ a nul˘ a W = { u ∈ M2×2 (C) | u∗ = −u, tr u = 0 } este un spat¸iu vectorial real de dimensiune 3 ¸si   ix3 −x2 + ix1 3 h : R −→ W, h(x1 , x2 , x3 ) = x2 + ix1 −ix3 este un izomorfism cu proprietatea ||x||2 = det h(x),

∀x ∈ R3 .

b) Aplicat¸ia η : SU (2) −→ SO(3) : g 7→ η(g), unde η(g) : R3 −→ R3 ,

η(g)x = h−1 (g h(x) g ∗ )

este un morfism de grupuri cu nucleul        1 0 1 0 −1 0 Ker η = g ∈ SU (2) η(g) = = , . 0 1 0 1 0 −1

Demonstrat¸ie. a) Avem     α11 + iβ11 α12 + iβ12 iβ11 α12 + iβ12 u= ∈ W =⇒ u = . α21 + iβ21 α22 + iβ22 −α12 + iβ12 −iβ11 b) Din definit¸ia lui η rezult˘ a c˘ a

254

Elemente de Algebr˘a liniar˘ a

η(g1 g2 )x = h−1 ((g1 g2 ) h(x) (g1 g2 )∗ ) = h−1 (g1 g2 h(x) g2∗ g1∗ ) = h−1 (g1 h(h−1 (g2 h(x) g2∗ ))g1∗ ) = η(g1 )(η(g2 )x) = (η(g1 ) η(g2 ))x. Utilizˆand baza canonic˘ a a lui R3 , obt¸inem relat¸iile     cos ϕ − sin ϕ 0 eiϕ/2 0  =  sin ϕ cos ϕ 0  , η 0 e−iϕ/2 0 0 1   ! 1 0 0 cos 12 θ i sin 12 θ =  0 cos θ − sin θ  , η i sin 12 θ cos 12 θ 0 sin θ cos θ

din care deducem c˘ a det η(g) = 1. Deoarece (g h(x) g ∗ )∗ = g (h(x))∗ g∗ = −g h(x) g ∗

tr(g h(x) g ∗ ) = tr(g g ∗ h(x)) = tr h(x) = 0 ||η(g)x||2 = det (g h(x) g ∗ ) = det h(x) = ||x||2 rezult˘ a c˘ a η este un morfism de grupuri bine definit. Elementul g ∈ SU (2) apart¸ine nucleului lui η dac˘ a ¸si numai dac˘ a η(g)x = x, oricare ar fi x ∈ R3 . Din relat¸iile η(g)(1, 0, 0) = (1, 0, 0), η(g)(0, 1, 0) = (0, 1, 0),     1 0 −1 0 rezult˘ a c˘ ag∈ , . 0 1 0 −1

η(g)(0, 0, 1) = (0, 0, 1)

7.5.12 Prin morfismul η : SU (2) −→ SO(3), fiecare element al lui SO(3) corespunde la dou˘ a elemente din SU (2) care difer˘a doar prin semn, η(g) = η(−g). Orice reprezentare liniar˘ a T : SU (2) −→ GL(V) cu T (g) = T (−g) define¸ste o reprezentare liniar˘ a a grupului SO(3). 7.5.13 Exercit¸iu. Aplicat¸ia SU (2) −→ GL(C2 ) obt¸inut˘ a asociind fiecarui element   α β g= ∈ SU (2) −β¯ α ¯ transformarea

g : C2 −→ C2 ,

¯ 1+α g(z1 , z2 ) = (αz1 + βz2 , −βz ¯ z2 )

este o reprezentare unitar˘a bidimensional˘ a a lui SU (2).

255

Reprezent˘ ari liniare

Rezolvare. Avem (g1 g2 )(z1 , z2 ) = g1 (g2 (z1 , z2 )). 7.5.14 Exercit¸iu. a) Aplicat¸ia T : SU (2) −→ GL(F(C2 , C)) obt¸inut˘ a asociind fiecarui element g ∈ SU (2) transformarea T (g) : F(C2 , C) −→ F(C2 , C),

(T (g)f )(z1 , z2 ) = f (g −1 (z1 , z2 ))

este o reprezentare liniar˘ a a grupului SU (2) in spat¸iul vectorial complex al tuturor funct¸iilor f : C2 −→ C. b) Pentru orice n ∈ N subspat¸iul vectorial al polinoamelor omogene de grad n ( ) n X 2 k n−k En = f : C −→ C, f (z1 , z2 ) = ak z1 z2 ak ∈ C k=0

este un subspat¸iu invariant al reprezent˘arii de la punctul a).

Rezolvare. Inversul elemntului g=



g

−1

α β −β¯ α ¯

este =





∈ SU (2)

α ¯ −β β¯ α



,

iar ˆın cazul f (z1 , z2 ) =

n X

ak z1k z2n−k

k=0

obt¸inem (T (g)f )(z1 , z2 ) = f (g −1 (z1 , z2 )) =

n X k=0

¯ 1 + αz2 )n−k . ak (¯ αz1 − βz2 )k (βz

7.5.15 Se poate ar˘ ata c˘ a reprezent˘arile lui SU (2) induse ˆın subspat¸iile En sunt reprezent˘ ari ireductibile, ¸si c˘a ele sunt pˆ an˘ a la o echivalent¸˘a toate reprezent˘arile ireductibile ale grupului SU (2). Notˆand j = (n−1)/2, adic˘ a n = 2j+1, obt¸inem f (z1 , z2 ) =

n X k=0

¸si

ak z1k z2n−k =

j X

m=−j

aj+m z1j+m z2j−m .

256

Elemente de Algebr˘a liniar˘ a

(T (g)f )(z1 , z2 ) =

j X

m=−j

¯ 1 + αz2 )j−m . aj+m (¯ αz1 − βz2 )j+m (βz

Pentru fiecare element a ∈ SO(3) exist˘a exact dou˘ a elemente ga ¸si −ga ˆın SU (2) astfel ˆıncˆ at a = η(ga ) = η(−ga ). Deoarece (T (−g)f )(z1 , z2 ) = (−1)2j (T (g)f )(z1 , z2 ), ˆın cazul in care j este intreg, relat¸ia SO(3) −→ GL(E2j+1 ) : a 7→ T (ga ) este o reprezentare ireductibil˘a (2j + 1)-dimensional˘a a grupului SO(3) ˆın spat¸iul vectorial E2j+1 .

Capitolul 8

Algebre Lie 8.1

Algebre Lie

8.1.1 Definit¸ie. Fie K unul dintre corpurile R ¸si C. Prin algebr˘ a asociativ˘ a peste corpul K se ˆınt¸elege o mult¸ime A considerat˘a ˆımpreun˘a cu trei operat¸ii A × A :−→ A : (a, b) 7→ a + b (adunarea) K × A :−→ A : (α, a) 7→ αa (ˆınmultirea cu scalari) A × A :−→ A : (a, b) 7→ ab (ˆınmultirea intern˘ a)

astfel ˆıncˆ at A ˆımpreun˘a cu primele dou˘ a operat¸ii este spat¸iu vectorial ¸si 1)

a(b + c) = ab + ac,

∀a, b, c ∈ A;

2)

(a + b)c = ac + bc,

∀a, b, c ∈ A;

3)

a(bc) = (ab)c,

∀a, b, c ∈ A;

4) α(ab) = (αa)b = a(αb), ∀a, b ∈ A, ∀α ∈ K. Prin dimensiunea algebrei A se ˆınt¸elege dimensiunea spat¸iului vectorial A. 8.1.2 Exemple. a) Mult¸imea Mn×n (K) a tuturor matricelor p˘ atrate de ordinul n, considerat˘a ˆımpreun˘a cu operat¸iile de adunare a matricelor, ˆınmult¸ire cu scalari ¸si produsul matricelor, este o algebr˘ a asociativ˘a peste K. b) Dac˘a V este un spat¸iu vectorial peste K, atunci mult¸imea L(V) a tuturor operatorilor liniari A : V −→ V, considerat˘a ˆımpreun˘a cu adunarea operatorilor, ˆınmult¸irea cu scalari ¸si compunerea operatorilor, este o algebr˘ a asociativ˘a peste K.

258

Elemente de Algebr˘a liniar˘ a

8.1.3 Definit¸ie. Fie K unul dintre corpurile R ¸si C. Prin algebr˘ a Lie peste corpul K se ˆınt¸elege o mult¸ime L considerat˘a ˆımpreun˘a cu trei operat¸ii L × L :−→ L : (a, b) 7→ a + b (adunarea), K × L :−→ L : (α, a) 7→ αa (ˆınmultirea cu scalari), L × L :−→ L : (a, b) 7→ [a, b] (crosetul)

astfel ˆıncˆ at L ˆımpreun˘a cu primele dou˘ a operat¸ii este spat¸iu vectorial ¸si 1)

[αa + βb, c] = α[a, c] + β[b, c],

2)

[a, b] + [b, a] = 0,

∀a, b, c ∈ L, ∀α, β ∈ K;

∀a, b ∈ L;

3) [[a, b], c]+[[b, c], a]+[[c, a], b] = 0, ∀a, b, c ∈ A (identitatea Jacobi). Prin dimensiunea algebrei Lie se ˆınt¸elege dimensiunea spat¸iului vectorial L. 8.1.4 O algebr˘ a Lie L poate fi privit˘a ca un spat¸iu vectorial L pe care s-a definit o lege de compozit¸ie intern˘ a suplimentar˘ a L × L :−→ L : (a, b) 7→ [a, b] compatibil˘a cu structura de spat¸iu vectorial. 8.1.5 Propozit¸ie. a) Plecˆ and de la orice algebr˘ a asociativ˘ a A, se obt¸ine o structur˘ a de algebr˘ a Lie pe A definind cro¸setul prin [a, b] = ab − ba. b) Algebra Lie peste K obt¸inut˘ a plecˆ and de la Mn×n (K) se noteaz˘ a cu gl(n, K). c) Algebra Lie peste K obt¸inut˘ a plecˆ and de la L(V) se noteaz˘ a cu gl(V).

Demonstrat¸ie. Avem [αa+βb, c] = (αa + βb)c−c(αa + βb) = α(ac − ca)+β(bc − cb) = α[a, c]+β[b, c], [a, b] = ab − ba = −(ba − ab) = −[b, a], [[a, b], c] + [[b, c], a] + [[c, a], b] = [(ab − ba), c] + [(bc − cb), a] + [(ca − ac), b] = (ab−ba)c−c(ab−ba)+(bc−cb)a−a(bc−cb)+(ca−ac)b−b(ca−ac) = 0. 8.1.6 Definit¸ie. Prin baz˘ a a algebrei Lie L se ˆınt¸elege o baz˘ a {v1 , v2 , ... , vn } a k spat¸iului L, privit ca spat¸iu vectorial. Coeficient¸ii cij ∈ K din relat¸iile n X ckij vk [vi , vj ] = k=1

se numesc constantele de structur˘ a ale algebrei L referitoare la baza aleas˘ a.

259

Algebre Lie

8.1.7 Notˆand



    i ej =     

0 ··· 0 0 0 ··· 0

··· ··· ··· ··· ··· ··· ···

0 ··· 0 0 0 ··· 0

0 ··· 0 1 0 ··· 0

0 ··· 0 0 0 ··· 0

··· ··· ··· ··· ··· ··· ···

0 ··· 0 0 0 ··· 0

         

(singurul element nenul este la intersect¸a dintre coloana i ¸si linia j), orice matrice admite reprezentarea   a11 a12 · · · a1n   n  a2 a2 · · · a2  X n  2  1 aji eij = aji eij .  =  ··· ··· ··· ···    i,j=1 an1 an2 · · · ann

ˆIn cazul n = 2, ! a11 a12 = a11 2 2 a1 a2

1 0 0 0

!

+ a12

0 1 0 0

!

+ a21

0 0 1 0

!

+ a22

0 0 0 1

!

= a11 e11 + a12 e21 + a21 e12 + a22 e22 . 8.1.8 Propozit¸ie. Algebra Lie gl(n, K), de dimensiune n2 , admite baza { eij | i, j ∈ {1, 2, ..., n} }

cu

i k [eij , ekm ] = δm ej − δjk eim .

i ek . Demonstrat¸ie. Avem eij ekm = δm j

8.1.9 Definit¸ie. Prin subalgebr˘ a Lie a algebrei L se ˆınt¸elege un subspat¸iu vectorial L1 ⊆ L astfel ˆıncˆ at a ∈ L1 b ∈ L1



=⇒ [a, b] ∈ L1 .

8.1.10 Fiecare subalgebr˘ a Lie a unei algebre L are o structur˘a de algebr˘ a Lie. 8.1.11 Exercit¸iu. a) Mult¸imea matricelor cu urm˘a nul˘ a sl(n, K) = { g ∈ gl(n, K) | tr g = g11 +g22 + · · · +gnn = 0 }

260

Elemente de Algebr˘a liniar˘ a este o subalgebr˘ a Lie, de dimensiune n2 −1, a algebrei gl(n, K). b) Mult¸imea matricelor antihermitiene u(n) = { g ∈ gl(n, C) | t g¯ = −g } are o structur˘ a natural˘a de algebr˘ a Lie real˘ a de dimensiune n2 . c) Mult¸imea matricelor antihermitiene cu urm˘a nul˘ a su(n) = u(n) ∩ sl(n, C) = { g ∈ u(n) | tr g = 0 } are o structur˘ a natural˘a de algebr˘ a Lie real˘ a de dimensiune n2 −1. d) Mult¸imea matricelor strˆ amb simetrice o(n) = { g ∈ gl(n, R) | t g = −g } are o structur˘ a natural˘a de algebr˘ a Lie real˘ a de dimensiune e) Mult¸imea de matrice   1 0 0 0     0 −1 0 0 o(1, 3) = g ∈ gl(4, R) g   0 0 −1 0    0 0 0 −1

n(n−1) . 2

  1 0 0 0     0 −1 0 t  0 =−     0 0 −1 0  g    0 0 0 −1 



are o structur˘ a natural˘a de algebr˘ a Lie real˘ a de dimensiune 6 (numit˘ a algebra Lie a grupului Lorentz).

Rezolvare. a) Avem tr(a + b) = tr a + tr b, tr(αa) = α tr a, n n n X n n X n X X X X (ba)jj = tr ba bjk akj = akj bjk = (ab)kk = tr ab = k=1

k=1 j=1

j=1 k=1

j=1

¸si prin urmare, tr [a, b] = tr(ab−ba) = 0, oricare ar fi a, b ∈ gl(n, K). O baz˘ a a algebrei Lie sl(n, K) este { ejk | k 6= j } ∪ { ekk −enn | k ∈ {1, 2, ..., n−1} }. b) Dac˘a α ∈ R ¸si a, b ∈ u(n), atunci t (αa) = α ¯ ta ¯ = −(αa), t (a

+ b) = t a ¯ + t¯b = −a − b = −(a + b),

t [a, b]

= t (ab − ba) = t¯b t a ¯ − ta ¯ t¯b = ba − ab = −[a, b].

O baz˘ a a algebrei Lie u(n) este

261

Algebre Lie

{ ejk −ekj | k < j } ∪ { i(ejk +ekj ) | k < j } ∪ { i ekk | k ∈ {1, 2, ..., n} }. c) O baz˘ a a algebrei Lie su(n) este { ejk −ekj | k < j } ∪ { i(ejk +ekj ) | k < j } ∪ { i (ekk − enn ) | k ∈ {1, 2, ..., n−1} }. d) O baz˘ a a algebrei Lie o(n) este { ejk −ekj | k < j }. e) Se obt¸ine

   0 α1 α2 α3      α 0 α α 1 4 5   α1 , α2 , ... , α6 ∈ R o(1, 3) =   α2 −α4 0 α6    α3 −α5 −α6 0

      

.

O baz˘ a a algebrei Lie o(1, 3) este { e21 +e12 , e31 +e13 , e41 +e14 , e31 −e13 , e24 −e42 , e34 −e43 }. 8.1.12 Definit¸ie. Fie G ⊆ GL(n, K) un subgrup. Prin subgrup cu un parametru al grupului G se ˆınt¸elege un morfism de grupuri g : R −→ G, adic˘ a o aplicat¸ie astfel ˆıncˆ at g(t + s) = g(t) g(s),

∀t, s ∈ R.

8.1.13 Exercit¸iu. Oricare ar fi matricea a ∈ gl(n, K), aplicat¸ia g : R −→ GL(n, K),

g(t) = eta ,

este un subgrup cu un parametru al lui GL(n, K) astfel ˆıncˆ at dg (0) = a dt (a poate fi privit ca fiind “generatorul infinitezimal” al subgrupului considerat). Rezolvare. T ¸ inˆ and seama de definit¸ia exponent¸ialei unei matrice obtinem d ta e = aeta . g(t + s) = e(t+s)a = eta esa = g(t) g(s), dt

262

Elemente de Algebr˘a liniar˘ a

8.1.14 Dac˘a matricea A ∈ Mn×n (K) este diagonalizabil˘a, atunci exist˘a o matrice inversabil˘a S ∈ Mn×n (K) ¸si λ1 , λ2 , ... , λn astfel ˆıncˆ at   λ1 0 ··· 0  0 λ2 · · · 0   A = S −1   · · · · · · · · · · · ·  S, 0 0 · · · λn relat¸ie din care rezult˘ a tr A = λ1 + λ2 + ... + λn ¸si egalitatea  λ1  e 0 ··· 0  0 eλ2 · · · 0   eA = S −1   · · · · · · · · · · · ·  S, 0 0 · · · eλn care conduce la

det eA = eλ1 +λ2 +...+λn = etr A . Se poate ar˘ ata c˘ a relat¸ia det eA = etr A are loc pentru orice matrice A. 8.1.15 Exercit¸iu. a) Dac˘a g : R −→ SL(n, K) este un subgrup cu un parametru, atunci dg dt (0) ∈ sl(n, K). ta b) Dac˘a a ∈ sl(n, K), atunci e ∈ SL(n, K), oricare ar fi t ∈ R ¸si aplicat¸ia g : R −→ SL(n, K),

g(t) = eta

este un subgrup cu un parametru al lui SL(n, K) astfel ˆıncˆ at Rezolvare (cazul n=2). Dac˘a g : R −→ SL(n, K),

g(t) =

este un subgrup cu un parametru, atunci g11 (t) g12 (t) = 1, g (t) g (t) 21 22

Derivˆand aceast˘ a relat¸ie obt¸inem egalitatea ′ ′ (t) g11 (t) g12 g11 (t) g12 (t) + g (t) g (t) g′ (t) g′ (t) 21 22 22 21

g11 (t) g12 (t) g21 (t) g22 (t)

!

,

∀t ∈ R. = 0,

∀t ∈ R

dg dt (0)

= a.

263

Algebre Lie

care ˆın cazul t = 0 devine ′ ′ (0) g11 (0) g12 0 1 adic˘ a

tr

1 0 + g′ (0) g′ (0) 22 21

dg ′ ′ (0) = g11 (0) + g22 (0) = 0. dt

= 0,

Exercit¸iu. a) Dac˘a g : R −→ U (n) este un subgrup cu un parametru, atunci dg dt (0) ∈ u(n). ta b) Dac˘a a ∈ u(n), atunci e ∈ U (n), oricare ar fi t ∈ R ¸si aplicat¸ia g : R −→ U (n),

g(t) = eta ,

este un subgrup cu un parametru al lui U (n) astfel ˆıncˆ at

dg dt (0)

= a.

Rezolvare. Dac˘a g : R −→ U (n) este un subgrup cu un parametru, atunci g(t) t g(t) = I

∀t ∈ R.

Derivˆand aceast˘ a relat¸ie obt¸inem egalitatea d d g(t) t g(t) + g(t) t g(t) = 0 dt dt care ˆın cazul t = 0 devine d d g(0) + t g(0) = 0. dt dt 8.1.16 Exercit¸iu. a) Dac˘a g : R −→ SU (n) este un subgrup cu un parametru, atunci dg dt (0) ∈ su(n). ta b) Dac˘a a ∈ su(n), atunci e ∈ SU (n), oricare ar fi t ∈ R ¸si aplicat¸ia g : R −→ SU (n),

g(t) = eta ,

este un subgrup cu un parametru al lui SU (n) astfel ˆıncˆ at 8.1.17 Exercit¸iu. a) Dac˘a g : R −→ O(n)

dg dt (0)

= a.

264

Elemente de Algebr˘a liniar˘ a este un subgrup cu un parametru, atunci dg dt (0) ∈ o(n). ta b) Dac˘a a ∈ o(n), atunci e ∈ O(n), oricare ar fi t ∈ R ¸si aplicat¸ia g(t) = eta

g : R −→ O(n),

este un subgrup cu un parametru al lui O(n) astfel ˆıncˆ at

8.2

dg dt (0)

= a.

Reprezent˘ ari liniare

8.2.1 Definit¸ie. Fie L o algebr˘ a Lie peste K ¸si L′ o algebr˘ a Lie peste K′ , unde corpurile K ¸si K′ apart¸inˆ and lui {R, C}, sunt astfel ˆıncˆ at K ⊆ K′ . Prin morfism de algebre Lie de la L la L′ se ˆınt¸elege o aplicat¸ie liniar˘ a A : L −→ L′ cu proprietatea ∀a, b ∈ L.

A([a, b]) = [Aa, Ab],

8.2.2 Definit¸ie. Spunem ca algebrele Lie L ¸si L′ peste acela¸si corp K sunt izomorfe dac˘ a exist˘a un morfism bijectiv de algebre Lie (numit izomorfism) A : L −→ L′ . 8.2.3 Propozit¸ie. Dac˘ a algebrele Lie L ¸si L′ peste acela¸si corp K ¸si de aceea¸si dimensiune au ˆın raport cu dou˘ a baze {e1 , e2 , ..., en } ¸si ′ ′ ′ a respectiv {e1 , e2 , ..., en } acelea¸si constante de structur˘ n n X X [ei , ej ] = ckij ek , [e′i , e′j ] = ckij e′k , k=1

k=1

atunci ele sunt izomorfe.

Demonstrat¸ie. Aplicat¸ia A : L −→ L′ , Aej = e′j , adic˘ a n n X X ai e′i ai ei ) = A( i=1

i=1

este un izomorfism de algebre Lie. Ea este, evident, liniar˘ a, bijectiv˘ a ¸si hP i P P n n n A[a, b] = A i,j=1 ai bj A[ei , ej ] i=1 ai ei , j=1 bj ej = Pn Pn P P = i,j=1 ai bj k=1 ckij Aek = ni,j=1 ai bj nk=1 ckij e′k P P = ni,j=1 ai bj [e′i , e′j ] = ni,j=1 ai bj [Aei , Aej ] = [Aa, Ab].

265

Algebre Lie

8.2.4 Propozit¸ie. Algebrele Lie reale o(3) ¸si su(2) sunt izomorfe. Demonstrat¸ie. Algebra Lie o(3) admite baza

cu

{ o1 = e23 − e32 , o2 = e31 − e13 , o3 = e12 − e21 } [o1 , o2 ] = o3 ,

[o2 , o3 ] = o1 ,

[o3 , o1 ] = o2 ,

iar algebra Lie su(2) baza   i 1 1 1 i 1 2 2 2 u1 = − (e1 − e2 ), u2 = − (e2 − e1 ), u3 = − (e2 + e1 ) 2 2 2 cu [u1 , u2 ] = u3 , [u2 , u3 ] = u1 , [u3 , u1 ] = u2 . 8.2.5 Definit¸ie. Prin reprezentare liniar˘ a a algebrei Lie L ˆın spat¸iul vectorial complex V (numit˘ a ¸si reprezentare C-liniar˘ a) se ˆınt¸elege un morfism de algebre ̺ : L −→ gl(V), adic˘ a o aplicat¸ie liniar˘ a cu proprietatea ̺([a, b]) = ̺(a) ̺(b) − ̺(b) ̺(a),

∀a, b ∈ L.

8.2.6 Exercit¸iu. Dac˘a L este o algebr˘ a Lie complex˘a, atunci aplicat¸ia

unde

̺ : L −→ gl(L) : a 7→ ̺(a), ̺(a) : L −→ L,

̺(a)x = [a, x],

este o reprezentare liniar˘ a a algebrei L ˆın spat¸iul L, numit˘ a reprezentarea adjunct˘ a. Rezolvare. Aplicat¸ia ̺ este bine definit˘a ̺(a)(αx + βy) = [a, αx + βy] = α[a, x] + β[a, y] = α ̺(a)x + β ̺(a)y liniar˘ a ̺(αa + βb)x = [αa + βb, x] = α[a, x] + β[b, x] = (α ̺(a) + β ̺(b))x ¸si din identitatea Jacobi rezult˘ a

266

Elemente de Algebr˘a liniar˘ a

̺([a, b])x = [[a, b], x] = −[[b, x], a] − [[x, a], b] = [a, [b, x]] − [b, [a, x]] = ̺(a)(̺(b)x) − ̺(b)(̺(a)x) = (̺(a)̺(b) − ̺(b)̺(a))x = [̺(a), ̺(b)]x.

8.3

Reprezent˘ ari ireductibile

8.3.1 Definit¸ie. Fie ̺ : L −→ gl(V) o reprezentare liniar˘ a a algebrei Lie L ˆın V. Spunem c˘ a subspat¸iul vectorial W ⊆ V este invariant fat¸˘a de ̺ dac˘ a ̺(a)(W) ⊆ W,

∀a ∈ L,

adic˘ a dac˘ a  x∈W =⇒ ̺(a)x ∈ W. a∈L 8.3.2 Definit¸ie. Spunem c˘ a reprezentarea liniar˘ a ̺ : L −→ gl(V) este o reprezentare ireductibil˘ a dac˘ a singurele subspat¸ii invariante sunt {0} ¸si V. ˆIn caz contrar, reprezentarea este numit˘ a reductibil˘ a. 8.3.3 Propozit¸ie. Fie L1 , L2 dou˘ a algebre Lie izomorfe, ϕ : L1 −→ L2 un izomorfism de algebre Lie. Dac˘ a ̺2 : L2 −→ gl(V) este o reprezentare liniar˘ a a algebrei L2 , atunci ̺1 : L1 −→ gl(V),

̺1 (a) = ̺2 (ϕ(a)),

este o reprezentare liniar˘ a a algebrei Lie L1 ˆın V. Reprezentarea ̺1 este ireductibil˘ a dac˘ a ¸si numai dac˘ a ̺2 este ireductibil˘ a. Demonstrat¸ie. Avem ̺1 (αa + βb) = ̺2 (ϕ(αa + βb)) = ̺2 (α ϕ(a) + β ϕ(b)) = α̺2 (ϕ(a)) − β̺2 (ϕ(b)) = α̺1 (a) − β̺1 (b), ̺1 ([a, b]) = ̺2 (ϕ([a, b])) = ̺2 ([ϕ(a), ϕ(b)])) = [̺2 (ϕ(a)), ̺2 (ϕ(b))] = [̺1 (a), ̺1 (b)].

267

Algebre Lie

Dac˘a W ⊂ V este un subspat¸iu vectorial, atunci avem x ∈ W =⇒ ̺2 (a)x ∈ W,

∀a ∈ L2 ,

dac˘ a ¸si numai dac˘ a x ∈ W =⇒ ̺1 (a)x = ̺2 (ϕ(a)) ∈ W,

∀a ∈ L1 .

8.3.4 Cunoa¸sterea reprezent˘ arilor ireductibile ale algebrei Lie o(3) este echivalent˘a cu cunoa¸sterea reprezent˘ arilor ireductibile ale algebrei Lie su(2). 8.3.5 Exercit¸iu. Dac˘a S : V1 −→ V2 este un izomorfism de spat¸ii vectoriale ¸si ̺2 : L −→ gl(V2 ) este o reprezentare liniar˘ a a algebrei Lie L ˆın spat¸iul vectorial V2 , atunci ̺1 : L −→ gl(V1 ),

̺1 (a) = S −1 ̺2 (a) S,

este o reprezentare liniar˘ a a algebrei Lie L ˆın spat¸iul vectorial V1 . Reprezentarea ̺1 este ireductibil˘a dac˘ a ¸si numai dac˘ a ̺2 este ireductibil˘a. Rezolvare. Avem ̺1 (αa + βb) = S −1 ̺2 (αa + βb) S = α S −1 ̺2 (a) S + β S −1 ̺2 (b) S = α ̺1 (a) + β ̺1 (b), ̺1 ([a, b]) = S −1 ̺2 ([a, b]) S = S −1 (̺1 (a) ̺1 (b) − ̺1 (b) ̺1 (a)) S −1 = S ̺2 (a) S S −1 ̺2 (b) S − S −1 ̺2 (b) S S −1 ̺2 (a)) S = ̺1 (a) ̺1 (b) − ̺1 (b) ̺1 (a) = [̺1 (a), ̺1 (b)]. Subspat¸iul W ⊂ V1 este invariant dac˘ a ¸si numai dac˘ a S(W) ⊂ V2 este invariant. Dac˘a subspat¸iul S(W) este invariant, adic˘ a y ∈ S(W) =⇒ ̺2 (a)y ∈ S(W),

∀a ∈ L,

atunci x ∈ W =⇒ ̺1 (a)x = S −1 ̺2 (a) Sx ∈ W, Deoarece ̺2 (a) = S̺1 (a)S −1 , din x ∈ W =⇒ ̺1 (a)x ∈ W, rezult˘ a

∀a ∈ L,

∀a ∈ L.

268

Elemente de Algebr˘a liniar˘ a

Sx ∈ S(W) =⇒ ̺2 (a)Sx = S̺1 (a)x ∈ S(W),

∀a ∈ L.

8.3.6 Definit¸ie. Spunem c˘ a reprezent˘arile liniare ̺1 : L −→ gl(V1 )

̺2 : L −→ gl(V2 )

¸si

sunt echivalente dac˘ a exist˘a un izomorfism liniar S : V1 −→ V2 astfel ˆıncˆ at ̺1 (a) = S −1 ̺2 (a) S,

(8.1)

adic˘ a dac˘ a diagrama ̺1 (a)

V1

- V1

S

S

?

?

V2

̺2 (a)

- V2

este comutativ˘a, oricare ar fi a ∈ L.

8.4

Reprezent˘ arile algebrelor sl(2, C), su(2) ¸si o(3)

8.4.1 Exercit¸iu. S˘ a se arate c˘ a matricele ! 1 0 1 , a3 = 2 0 −1

a+ =

0 1 0 0

!

,

a− =

0 0 1 0

!

formeaz˘ a o baz˘ a a algebrei Lie complexe sl(2, C) ¸si [a3 , a± ] = ±a± ,

[a+ , a− ] = 2 a3 .

Dac˘a ̺ : sl(2, C) −→ gl(V) este o reprezentare a algebrei Lie sl(2, C) ˆın spat¸iul V, atunci A3 = ̺(a3 ),

A+ = ̺(a+ ),

A− = ̺(a− )

269

Algebre Lie

verific˘ a relat¸iile [A3 , A± ] = ±A± , Rezolvare. Matricea α11 α12 α21 α22

!

[A+ , A− ] = 2 A3 .

∈ M2×2 (C)

apartine algebrei Lie sl(2, C) dac˘ a ¸si numai dac˘ a α11 + α22 = 0. Dar, ˆın acest caz, ! α11 α12 = 2α11 a3 + α12 a+ + α21 a− . α21 −α11

Deoarece ̺ este morfism de algebre Lie obt¸inem [A3 , A± ] = [̺(a3 ), ̺(a± )] = ̺([a3 , a± ]) = ̺(±a± ) = ±̺(a± ) = ±A± , [A+ , A− ] = [̺(a+ ), ̺(a− )] = ̺([a+ , a− ]) = ̺(2 a3 ) = 2̺(a3 ) = 2 A3 . 8.4.2 Propozit¸ie. Dac˘ a ̺ : sl(2, C) −→ gl(V) este reprezentare ireductibil˘ a de dimensiune n = 2j +1, atunci exist˘ a v 6= 0 astfel ˆıncˆ at A3 v = jv

¸si

A+ v = 0,

unde A3 = ̺(a3 ), A+ = ̺(a+ ). Demonstrat¸ie. Operatorul liniar A3 : V −→ V admite cel put¸in o valoare proprie λ ∈ C. Fie x0 ∈ V un vector propriu corespunz˘ator, adic˘ a A3 x0 = λx0 . Deoarece A3 (A+ x0 ) = (A3 A+ )x0 = (A+ A3 + A+ )x0 = A+ A3 x0 + A+ x0 = (λ + 1)A+ x0 , rezult˘ a c˘ a vectorul x1 = A+ x0 verific˘ a relat¸ia A3 x1 = (λ + 1)x1 . Similar, din A3 (A+ x1 ) = (A3 A+ )x1 = (A+ A3 + A+ )x1 = A+ A3 x1 + A+ x1 = (λ + 2)A+ x1 rezult˘ a c˘ a vectorul x2 = A+ x1 = (A+ )2 x0 verific˘ a relat¸ia A3 x2 = (λ + 2)x2 . Se poate astfel ar˘ ata c˘ a tot¸i vectorii din ¸sirul

270

Elemente de Algebr˘a liniar˘ a

x0 ,

x1 = A+ x0 ,

x2 = (A+ )2 x0 ,

x3 = (A+ )3 x0 ,

...

verific˘ a relat¸ia A3 xk = (λ + k)xk . Vectorii nenuli din acest ¸sir sunt vectori proprii ai lui A3 , ¸si deoarece corespund la valori proprii distincte, ei sunt liniar independent¸i. Spat¸iul V fiind finit dimensional, rezult˘ a ca ¸sirul x0 , x1 , x2 , ... poate cont¸ine doar un num˘ ar finit de vectori nenuli, adic˘ a exist˘a xl 6= 0 cu xl+1 = A+ xl = 0. Alegˆand v = xl , avem A+ v = 0. Fie ¸sirul de vectori w0 = v,

w1 = A− w0 ,

w2 = (A− )2 w0 ,

...

Avem A3 w0 = (λ + l)w0 , A3 w1 = A3 (A− w0 ) = (A3 A− )w0 = (A− A3 − A− )w0 = (λ + l − 1)w1 , A3 w2 = A3 (A− w1 ) = (A3 A− )w1 = (A− A3 − A− )w1 = (λ + l − 2)w2 ¸si, ˆın general, A3 wk = (λ + l − k)wk . La fel ca mai sus se arat˘ a c˘ a ¸sirul w0 , w1 , w2 , ... cont¸ine un num˘ ar finit de termeni nenuli, c˘ a exist˘a wm 6= 0 cu wm+1 = A− wm = 0. Deoarece A+ w1 = A+ (A− w0 ) = (A+ A− )w0 = ([A+ , A− ] + A− A+ )w0 = 2 A3 w0 = (2λ + 2l)w0 , A+ w2 = A+ (A− w1 ) = (A+ A− )w1 = ([A+ , A− ] + A− A+ )w1 = (2 A3 + A− A+ )w1 = 2(λ + l − 1)w1 + (2λ + 2l)A− w0 = 2(2λ + 2l − 1)w1 , A+ w3 = A+ (A− w2 ) = (A+ A− )w2 = ([A+ , A− ] + A− A+ )w2 = (2 A3 + A− A+ )w2 = 2(λ + l − 2)w2 + 2(2λ + 2l − 1)A− w1 ¸si, ˆın general,

= 3(2λ + 2l − 2)w2 ,

271

Algebre Lie

A+ wk = k(2λ + 2l − k)wk−1 , subspat¸iul W = hw0 , w1 , ... , wm i, generat de vectorii liniar independent¸i w0 , w1 , ... , wm , este invariant fat¸˘a de act¸iunea operatorilor A3 , A+ ¸si A− . Reprezentarea ̺ fiind ireductibil˘a, trebuie ca W = V ¸si deci n = m + 1. Matricea operatorului A3 ˆın raport cu baza {w0 , w1 , ... , wm } este matricea diagonal˘ a   λ+l 0 ··· 0 0  0  λ + l − 1 ··· 0 0    ··· . ··· ··· ··· ···    0  0 ··· λ + l − m + 1 0 0 0 ··· 0 λ+l−m

Pe de alt˘ a parte, din relat¸ia [A+ , A− ] = 2 A3 , rezult˘ a c˘a 1 1 trA3 = tr([A+ , A− ]) = (tr(A+ , A− ) − tr(A− A+ )) = 0. 2 2 Deducem c˘ a (λ + l) + (λ + l − 1) + · · · (λ + l − m) = 0, adic˘ a m(m + 1) (m + 1)(λ + l) − = 0. 2 Deoarece n = m + 1, rezult˘ a c˘ a m n−1 λ+l = = , 2 2 ¸si notˆ and j = (n − 1)/2, obt¸inem A3 v = j v. 8.4.3 Propozit¸ie. Dac˘ a ̺ : sl(2, C) −→ gl(V)

este reprezentare ireductibil˘ a de dimensiune n = 2j +1 ¸si v 6= 0 este astfel ˆıncˆ at A3 v = j v, atunci sistemul de vectori { v−j , v−j+1 , ... , vj }, definit prin relat¸iile

A+ v = 0,

272

Elemente de Algebr˘a liniar˘ a

vj = v,

A− vk =

p

j(j + 1) − k(k − 1) vk−1 ,

este o baz˘ a a lui V astfel ˆıncˆ at p A3 vk = k vk , A+ vk = j(j + 1) − k(k + 1) vk+1 .

Demonstrat¸ie. Deoarece

j(j + 1) − k(k − 1) = 0

=⇒

k = −j sau k = j + 1,

rezult˘ a c˘ a exist˘a constantele nenule c1 , c2 , ... , c2j astfel ˆıncˆ at vj = w0 ,

vj−1 = c1 w1 ,

vj−2 = c2 w2 ,

... v−j = c2j w2j ,

unde {w0 , w1 , ..., w2j } este baza lui V obtinut˘ a ˆın demonstrat¸ia propozit¸iei precedente. Deoarece A3 wk = (j − k)wk , rezult˘ a c˘a A3 vk = k vk . Din relat¸ia p p A− vj = j(j +1) − j(j −1) vj−1 = 2j vj−1 rezult˘ a

A+ vj−1 =

√1 2j

=

√1 2j

A+ A− vj = √12j (A− A+ + 2A3 )vj p √ 2j vj = 2j vj = j(j +1) − (j −1)j vj .

p Presupunˆand c˘ a A+ vk = j(j + 1) − k(k + 1) vk+1 , obt¸inem 1 1 A+ A− vk = √ (A− A+ + 2A3 )vk A+ vk−1 = √ j(j+1)−k(k−1) 1 j(j+1)−k(k−1)

=√

1 j(j+1)−k(k−1)

=√ =

p

j(j+1)−k(k−1)

p

j(j + 1) − k(k + 1)A− vk+1 + 2A3 vk

( (j(j + 1) − k(k + 1)) + 2k ) vk



j(j + 1) − (k − 1)k vk .

8.4.4 Teorem˘ a. a) Oricare ar fi n ∈ {0, 1, 2, ...}, oricare ar fi spat¸iul vectorial complex V de dimensiune n = 2j +1 ¸si oricare ar fi baza {v−j , v−j+1 , ... , vj } a lui V aplicat¸ia ̺ : sl(2, C) −→ gl(V) definit˘ a prin relat¸iile A3 vk = k vk ,

A± vk =

p

j(j + 1) − k(k ± 1) vk±1 ,

(8.2)

273

Algebre Lie

unde A3 = ̺(a3 ) ¸si A± = ̺(a± ), este o reprezentare ireductibil˘ a a algebrei Lie sl(2, C). b) Reprezent˘ arile (8.2) cu aceea¸si dimensiune sunt echivalente. c) Reprezent˘ arile (8.2) sunt, pˆ an˘ a la o echivalent¸a ˘, toate reprezent˘ arile ireductibile finit dimensionale ale algebrei Lie sl(2, C). Demonstrat¸ie. a) Avem [A3 , A± ] vk = (A3 A± − A± A3 )vk p p = (k ± 1) j(j + 1) − k(k ± 1) vk±1 − k j(j + 1) − k(k ± 1) vk±1 p = ± j(j + 1) − k(k ± 1) vk±1 = ±A± vk , [A+ , A− ] vk = (A+ A− − A− A+ )vk p p = j(j + 1) − k(k − 1) A+ vk−1 − j(j + 1) − k(k + 1) A− vk+1

= (j(j + 1) − k(k − 1))vk − (j(j + 1) − k(k + 1))vk = 2k vk = 2A3 vk ,

ceea ce arat˘ a c˘ a relat¸iile (8.2) definesc o reprezentare a algebrei Lie sl(2, C). Fie W 6= {0} un subspat¸iu invariant ¸si fie x = x−j v−j + x−j+1 v−j+1 + · · · + xj vj ∈ W un vector nenul fixat. Cel put¸in unul dintre coeficient¸ii lui x este nenul. Fie k = min{ l | xl 6= 0 }. Din (8.2) rezult˘ a c˘ a (A+ )j−l x = c vj , unde c este o constant˘ a nenul˘ a. Deoarece W este invariant, din relat¸ia precedent˘a rezult˘ a c˘ a vj ∈ W ¸si apoi c˘ a vectorii A− vj ,

(A− )2 vj ,

(A− )3 vj ,

... ,

(A− )2j vj ,

care coincid pˆ an˘ a la ˆınmult¸irea cu anumite constante nenule cu vectorii vj−1 ,

vj−2 ,

... ,

v−j ,

apart¸in lui W. Rezult˘a astfel c˘ a orice subspat¸iu invariant nenul W coincide cu V. b) Dac˘a ̺ : sl(2, C) −→ gl(V),

̺′ : sl(2, C) −→ gl(V ′ )

274

Elemente de Algebr˘a liniar˘ a

sunt dou˘ a reprezent˘ ari liniare de dimensiune n = 2j + 1 ¸si {v−j , v−j+1 , ... , vj },

′ ′ {v−j , v−j+1 , ... , vj′ }

bazele corespunz˘ atoare, atunci S : V −→ V ′ ,

Svk = vk′

este un izomorfism liniar ¸si ̺(a) = S −1 ̺′ (a) S,

∀a ∈ sl(2, C).

c) Afirmat¸ia rezult˘ a din rezultatele prezentate la pag. 269-2 ¸si pag. 271-3. 8.4.5 Propozit¸ie. Dac˘ a ̺1 : L −→ gl(V1 ),

̺2 : L −→ gl(V2 )

sunt reprezent˘ ari liniare ale algebrei Lie L, atunci aplicat¸ia ̺1 ⊕ ̺2 : L −→ gl(V1 ⊕ V2 ) definit˘ a prin relat¸ia (̺1 ⊕ ̺2 )(a)(x1 , x2 ) = (̺1 (a)x1 , ̺2 (a)x2 ) este o reprezentare liniar˘ a ˆın spat¸iul V1 ⊕ V2 = { (x1 , x2 ) | x1 ∈ V1 , x2 ∈ V2 } (numit˘ a suma direct˘ a a reprezent˘ arilor ̺1 ¸si ̺2 ). Demonstrat¸ie. Aplicat¸ia ̺1 ⊕ ̺2 este liniar˘ a (̺1 ⊕ ̺2 )(αa + βb) = α(̺1 ⊕ ̺2 )(a) + β(̺1 ⊕ ̺2 )(b) ¸si (̺1 ⊕ ̺2 )([a, b])(x1 , x2 ) = (̺1 ([a, b])x1 , ̺2 ([a, b])x2 ) = ([̺1 (a), ̺1 (b)]x1 , [̺2 (a), ̺2 (b)]x2 ) = (̺1 (a)̺1 (b)x1 − ̺1 (b)̺1 (a)x1 , ̺2 (a)̺2 (b)x2 − ̺2 (b)̺2 (a)x2 ) = (̺1 ⊕ ̺2 )(a) (̺1 (b)x1 , ̺2 (b)x2 ) − (̺1 ⊕ ̺2 )(b) (̺1 (a)x1 , ̺2 (a)x2 ) = [(̺1 ⊕ ̺2 )(a), (̺1 ⊕ ̺2 )(b)](x1 , x2 ).

275

Algebre Lie

8.4.6 ˆIn teorema de la pag. 272-4 am descris reprezent˘arile ireductibile ale algebrei Lie sl(2, C). Se poate ar˘ ata c˘a orice reprezentare liniar˘ a finit dimensional˘a a algebrei Lie sl(2, C) este o sum˘a direct˘ a de astfel de reprezent˘ari. 8.4.7 Propozit¸ie. Fie L o algebr˘ a Lie real˘ a. Definind pe complexificatul spat¸iului vectorial L C

L = { a + i a′ | a, a′ ∈ L }

cro¸setul [a + i a′ , b + i b′ ] = [a, b] − [a′ , b′ ] + i ([a, b′ ] + [a′ , b]) obt¸inem o algebr˘ a Lie complex˘ a, numit˘ a complexificata algebrei Lie reale L. Demonstrat¸ie. Prin calcul direct se arat˘ a c˘a ′ ′ ′ [(α + iα )(a + ia ) +(β + iβ )(b + ib′ ), c + ic′ ] = (α + iα′ )[a + ia′ , c + ic′ ] + (β + iβ ′ )[b + ib′ , c + ic′ ], [a + ia′ , b + ib′ ] = −[b + ib′ , a + ia′ ], [[a + ia′ , b + ib′ ], c + ic′ ] +[[b + ib′ , c + ic′ ], a + ia′ ] +[[c + ic′ , a + ia′ ], b + ib′ ] = 0. 8.4.8 Propozit¸ie. a) Dac˘ a L este o algebr˘ a Lie real˘ a ¸si dac˘ a ̺ : L −→ gl(V) este o reprezentare liniar˘ a (ˆın spat¸iul vectorial complex V), atunci ̺˜ : CL −→ gl(V),

̺˜(a + ia′ )x = ̺(a)x + i ̺(a′ )x

este o reprezentare liniar˘ a. b) Reprezentarea ̺˜ este ireductibil˘ a dac˘ a ¸si numai dac˘ a ̺ este ireductibil˘ a. Demonstrat¸ie. a) Se arat˘ a prin calcul direct c˘a ̺˜ este aplicat¸ie C-liniar˘ a ′ ′ ′ ′ ̺˜( (a + ia ) + (b + ib ) ) = ̺˜(a + ia ) + ̺˜(b + ib ), ̺˜( (α + iβ)(a + ia′ ) ) = (α + iβ) ̺˜(a + ia′ ) ¸si c˘a

276

Elemente de Algebr˘a liniar˘ a

̺˜( [a + ia′ , b + ib′ ]) = [˜ ̺(a + ia′ ), ̺˜(b + ib′ )]. b) Dac˘a W ⊂ V este astfel ˆıncˆ at x∈W oricare ar fi a ∈ L, atunci x∈W

=⇒

̺(a)x ∈ W,

̺˜(a + ia′ )x = ̺(a)x + i ̺(a′ )x ∈ W,

=⇒

oricare ar fi a + ia′ ∈ C L. Invers, dac˘ a x∈W

=⇒

̺˜(a + ia′ )x ∈ W,

oricare ar fi a + ia′ ∈ C L, atunci x∈W

=⇒

̺(a)x = ̺˜(a + i0)x ∈ W,

oricare ar fi a ∈ L. 8.4.9 L poate fi identificat˘ a cu o submult¸ime a lui C L folosind aplicat¸ia L −→ C L : a 7→ a + i 0. Mai mult, [a, b] = [a + i0, b + i0],

∀a, b ∈ L.

Dac˘a {b1 , b2 , ..., bn } este o baz˘ a a algebrei Lie reale L, L = { α1 b1 + α2 b2 + · · · + αn bn | αj ∈ R }, atunci {b1 , b2 , ..., bn } este ˆın acela¸si timp baz˘ a a algebrei Lie complexe C L, C

L = { α1 b1 + α2 b2 + · · · + αn bn | αj ∈ C }.

8.4.10 Propozit¸ie. a) Dac˘ a ̺ : CL −→ gl(V) este o reprezentare liniar˘ a a complexificatei algebrei Lie reale L, atunci ̺|L : L −→ gl(V),

̺|L (a)x = ̺(a + i0)x,

este o reprezentare liniar˘ a a lui L. b) Reprezentarea ̺|L este ireductibil˘ a dac˘ a ¸si numai dac˘ a ̺ este ireductibil˘ a.

277

Algebre Lie

Demonstrat¸ie. a) Aplicat¸ia ̺|L este R-liniar˘ a ̺|L (a + b) = ̺(a + b + i0) = ̺(a + i0) + ̺(b + i0) = ̺|L (a) + ̺|L (b), ̺|L (αa) = ̺(αa + i0) = α̺(a + i0) = α̺|L (a) ¸si ̺|L ([a, b]) = ̺([a, b] + i0) = ̺([a + i0, b + i0]) = [̺(a + i0), ̺(b + i0)] = [̺|L (a), ̺|L (b)]. b) Dac˘a W ⊂ V este astfel ˆıncˆ at x∈W

=⇒

̺(a + ia′ )x ∈ W,

oricare ar fi a + ia′ ∈ CL, atunci x∈W

=⇒

̺|L (a)x = ̺(αa + i0)x ∈ W,

oricare ar fi a ∈ L. Invers, dac˘ a x∈W

=⇒

̺|L (a)x ∈ W,

oricare ar fi a ∈ L, atunci x ∈ W =⇒ ̺(a + ia′ )x = ̺(a + i0)x = ̺( (a + i0) + (0 + i) (a′ + i0) )x oricare ar fi a + ia′ ∈ CL.

= ̺(a + i0)x + i̺(a′ + i0)x = ̺|L (a)x + i̺|L (a′ )x ∈ W,

8.4.11 Propozit¸ie. Complexificata C su(2) a algebrei su(2) este izomorf˘ a cu sl(2, C). Demonstrat¸ ie. Algebra Lie real˘ a su(2) admite baza  i 1 i u1 = − (e11 − e22 ), u2 = − (e12 − e21 ), u3 = − (e12 + e21 ) 2 2 2 cu [u1 , u2 ] = u3 ,

[u2 , u3 ] = u1 ,

[u3 , u1 ] = u2 ,

iar algebra Lie complex˘  a sl(2, C) baza 1 1 2 2 1 a3 = (e1 − e2 ), a+ = e1 , a− = e2 2 cu [a3 , a± ] = ±a± ,

[a+ , a− ] = 2 a3 .

Aplicat¸ia C-liniar˘ a A : C su(2) −→ sl(2, C), definit˘a prin

278

Elemente de Algebr˘a liniar˘ a

i 1 (a+ − a− ), Au3 = − (a+ + a− ), 2 2 este un izomorfism de algebre Lie deoarece   [Au1 , Au2 ] = −i a3 , 12 (a+ − a− ) = − 2i [a3 , a+ ] + 2i [a3 , a− ] Au1 = −i a3 ,

Au2 =

= − 2i (a+ + a− ) = A u3 = A [u1 , u2 ],

[Au2 , Au3 ] =

1

2

 (a+ − a− ), − 2i (a+ + a− ) = − 4i ([a+ , a− ] − [a− , a+ ])

= − 2i [a+ , a− ] = −i a3 = Au1 = A [u2 , u3 ],

  [Au3 , Au1 ] = − 2i (a+ + a− ), −i a3 = − 12 [a+ , a3 ] − 12 [a− , a3 ] = − 21 a+ − 12 a− = Au2 = A [u3 , u1 ].

8.4.12 Din rezultatul prezentat la pag. 276-10 rezult˘ a c˘a descrierea reprezentarilor ireductibile ale algebrelor Lie izomorfe o(3) ¸si su(2) este echivalent˘a cu descrierea reprezentarilor ireductibile ale algebrei Lie complexe Csu(2). Pe de alt˘ a parte, din rezultatele prezentate la pag. 266-3 ¸si pag. 277-11 rezult˘ a c˘ a descrierea reprezent˘ arilor ireductibile ale algebrei Csu(2) este echivalent˘a cu descrierea reprezent˘ arilor ireductibile ale algebrei sl(2, C), reprezent˘ari descrise ˆın teorema de la pag. 272-4. 8.4.13 Propozit¸ie. Plecˆ and de la orice algebr˘ a Lie complex˘ a L se poate obt¸ine o algebr˘ a Lie real˘ a L0 prin restrict¸ia scalarilor, ¸si dimR L0 = 2 dimC L. 8.4.14 Alegˆand baze adecvate, se poate ar˘ ata c˘a algebra Lie real˘ a sl(2, C)0 obt¸inut˘ a din sl(2, C) prin restrict¸ia scalarilor, este izomorf˘a cu algebra Lie o(1, 3) a grupului Lorentz.

Capitolul 9

Sisteme cuantice cu spat¸iu Hilbert finit-dimensional 9.1

St˘ ari pure ¸si st˘ ari mixte

9.1.1 Formalismul matematic utilizat pentru descrierea unui sistem cuantic se bazeaz˘ a pe utilizarea unui spat¸iu Hilbert H, finit sau infinit-dimensional. Vom prezenta cˆ ateva elemente ale acestui formalism, limitˆ andu-ne la cazul ˆın care H este finit-dimensional. 9.1.2 Fiecare vector nenul |ψi ∈ H descrie o stare a sistemului cuantic, dar vectorii care se pot obt¸ine unul din altul prin ˆınmult¸ierea cu o constant˘a descriu aceea¸si stare. Astfel, tot¸i vectorii α|ψi cu α ∈ C∗ = C−{0} descriu aceea¸si stare. ˆIn general, pentru descrierea unei st˘ ari se prefer˘ a utilizarea unui vector |ψi normat, adic˘ a astfel ˆıncˆ at p ||ψ|| = hψ|ψi = 1.

Aceast˘a restrict¸ie determin˘a vectorul corespunz˘ator unei st˘ ari pˆ an˘ a la un factor de faz˘a deoarece tot¸i vectorii eiθ |ψi

cu

θ∈R

au aceea¸si norm˘a ¸si descriu aceea¸si stare.

280

Elemente de Algebr˘a Liniar˘a

9.1.3 Spat¸iul A(H) al operatorilor autoadjunct¸i A : H −→ H definit¸i pe un spat¸iu Hilbert de dimensiune d este un spat¸iu Hilbert real de dimensiune d2 cu produsul scalar hA, Bi = tr (AB) ¸si norma asociat˘ a ||A|| =

√ p hA, Ai = tr A2 .

9.1.4 Pentru descrierea st˘ arii sistemului cuantic, ˆın locul vectorului normat |ψi se poate utiliza proiectorul ortogonal corespunz˘ator ̺ψ : H −→ H,

care este un operator autoadjunct pozitiv

̺ψ = |ψihψ|,

h̺ψ ϕ1 , ϕ2 i = hϕ1 , ψihψ, ϕ2 i = hϕ1 , ̺ψ ϕ2 i, hϕ|̺ψ |ϕi = hϕ|ψihψ|ϕi = |hψ|ϕi|2 ≥ 0,

¸si cu urma egal˘ a cu 1 (v. pag. 118-10 ) tr ̺ψ = tr |ψihψ| = 1. Plecˆ and de la aceste propriet˘a¸ti, se define¸ste un concept matematic care ne permite s˘ a distingem o clas˘ a mai larg˘ a de st˘ ari ale unui sistem cuantic. 9.1.5 Definit¸ie. Un operator autoadjunct ̺, pozitiv ¸si cu urma egal˘a cu 1 ̺∗ = ̺,

̺ ≥ 0,

tr ̺ = 1,

se nume¸ste operator densitate. 9.1.6 Operatorii densitate descriu st˘ ari generalizate ale sistemului cuantic. Printre ei se afl˘ a operatorii de forma ̺ψ = |ψihψ| care descriu st˘ ari pure. Ceilalt¸i operatori densitate descriu st˘ ari mixte. 9.1.7 Fiecare operator densitate, fiind autoadjunct, este diagonalizabil, adic˘ a exist˘a d o baz˘ a ortonormat˘a {|ψj i}j=1 astfel ˆıncˆ at d X pj |ψj ihψj |. (9.1) ̺= j=1

Valorile proprii pj , care nu sunt obligatoriu distincte, verific˘ a condit¸iile

Sisteme cuantice cu spat¸iu Hilbert finit-dimensional

pj ≥ 0

n X

¸si

281

pj = tr ̺ = 1

j=1

din care se deduce imediat c˘a

0 ≤ pj ≤ 1. Starea ̺ este o suprapunere de st˘ ari pure |ψj ihψj | cu probabilit˘a¸tile pj . 9.1.8 Deoarece ̺2 =

d X j=1

¸si

p2j |ψj ihψj |

0 ≤ pj ≤ 1

p2j ≤ pj

=⇒

avem 2

h̺, ̺i = tr ̺ = adic˘ a

d X

p2j

j=1

||̺|| =

p

≤

d X

pj = tr ̺ = 1,

j=1

h̺, ̺i ≤ 1.

9.1.9 ˆIn cazul unei st˘ ari pure, exist˘a o baz˘ a ortonormat˘a {|ψj i}dj=1 astfel ˆıncˆ at ̺ = p1 |ψ1 ihψ1 |, adic˘ a ˆın reprezentarea (9.1) doar p1 este nenul. Dac˘a ̺ nu este stare pur˘a, atunci ˆın reprezentarea (9.1) cel put¸in dou˘ a dintre numerele pj sunt nenule, ¸si prin urmare d d X X 2 2 2 pj = 1. pj < tr ̺ = ||̺|| = j=1

j=1

ˆIn cazul unui operator densitate ̺, avem ||̺|| = 1 dac˘ a ̺ este stare pur˘ a, ||̺|| < 1 dac˘ a ̺ nu este stare pur˘ a. Putem spune c˘ a tr ̺2 m˘ asoar˘ a puritatea st˘ arii ̺. Dac˘a U este o transformare unitar˘a, atunci

282

Elemente de Algebr˘a Liniar˘a

tr (U ̺U ∗ )2 = tr ̺2 , adic˘ a transform˘arile unitare p˘ astreaz˘ a nemodificat˘ a puritatea st˘ arilor. 9.1.10 Fiecare stare (pur˘a sau mixt˘a) ̺=

d X j=1

pj |ψj ihψj |

este o suprapunere de st˘ ari pure, considerate cu anumite probabilit˘a¸ti. Entropia von Neumann (v. pag. 142-5) d P S[̺] = −tr (̺ ln ̺) = −tr pj ln pj |ψj ihψj | j=1

=−

d P

pj ln pj

j=1

a st˘ arii ̺ este o m˘ asur˘a a gradului de impuritate. Valoarea minim˘a S[̺] = 0 se atinge ˆın cazul unei st˘ ari pure, iar cea maxim˘a S[̺] = ln d ˆın cazul p1 = 1 asur˘a a lipsei de p2 = pd = ... = d . Entropia S[̺] poate fi privit˘a ¸si ca o m˘ informat¸ie privind starea ̺. 9.1.11 ∗1 Operatorul densitate ̺ reprezint˘ a o stare pur˘ a dac˘ a ¸si numai dac˘ a ̺2 = ̺. ˆIn cazul unei st˘ ari pure ̺ = |ψihψ| avem

̺2 = |ψihψ|ψihψ| = |ψihψ| = ̺.

Oricare ar fi operatorul densitate ̺ exist˘a pj ∈ [0, 1] cu baz˘ a ortonormat˘a {|ψj i}dj=1 astfel ˆıncˆ at d X pj |ψj ihψj |. ̺=

Pd

j=1 pj = 1

¸si o

j=1

Deoarece d d d d X X X X pj |ψj ihψj | p2j |ψj ihψj |, pj |ψk ihψk | = pj pk |ψj ihψj |ψk ihψk | = j=1

k=1

j,k=1

egalitatea ̺2 = ̺ este echivalent˘a cu relat¸ia 1

Paragrafele marcate cu * pot fi omise la o prim˘ a lectur˘ a.

j=1

283

Sisteme cuantice cu spat¸iu Hilbert finit-dimensional

d X j=1

p2j |ψj ihψj |

=

d X j=1

pj |ψj ihψj |,

din care rezult˘ a p2k

= hψk |

d X j=1

p2j |ψj ihψj |ψk i

= hψk |

d X j=1

pj |ψj ihψj |ψk i = pk .

Egalitatea ̺2 = ̺ are loc dac˘ a ¸si numai dac˘ a p2k = pk ,

oricare ar fi k ∈ {1, 2, ..., d}.

Deoarece p2k = pk Pd

⇒

pk ∈ {0, 1},

condit¸ia j=1 pj = 1 este ˆındeplinit˘a doar ˆın cazul ˆın care doar unul dintre numerele p1 , p2 , ..., pd este egal cu 1. ˆIn acest caz, ̺ reprezint˘a o stare pur˘a. 9.1.12 ∗ Mult¸imea Σ a operatorilor densitate, definit¸i pe un spat¸iu Hilbert H, este o mult¸ime convex˘a ˆın spat¸iul vectorial L(H) al tuturor operatorilor liniari definit¸i pe H deoarece ̺1 ∈ Σ, ̺1 ∈ Σ, λ ∈ [0, 1]

⇒

((1−λ)̺1 +λ̺2 )∗ = (1−λ)̺1 +λ̺2 , (1 − λ)̺1 + λ̺2 ≥ 0, tr ((1 − λ)̺1 + λ̺2 ) = 1

⇒ (1−λ)̺1 +λ̺2 ∈ Σ.

9.1.13 ∗ Spunem c˘ a ̺ ∈ Σ este punct extrem al mult¸imii convexe Σ dac˘ a relat¸ia ̺ = (1 − λ)̺1 + λ̺2

cu

̺1 , ̺2 ∈ Σ λ ∈ [0, 1]

este posibil˘ a doar ˆın cazul ̺ = ̺1 = ̺2 . 9.1.14 ∗ Orice stare pur˘ a este punct extrem al mult¸imii convexe Σ. Fie starea pur˘a ̺ = |ψihψ| ¸si ̺1 , ̺2 ∈ Σ, λ ∈ [0, 1] astfel ˆıncˆ at ̺ = (1 − λ)̺1 + λ̺2 . Deoarece ̺2 = ̺, ultima relat¸ie se mai poate scrie ̺ = (1 − λ)̺̺1 ̺ + λ̺̺2 ̺,

284

Elemente de Algebr˘a Liniar˘a

¸si avem 1 = (1 − λ)tr (̺̺1 ̺) + λtr (̺̺2 ̺).

(9.2)

Operatorii densitate ̺1 ¸si ̺2 verific˘ a relat¸iile tr (̺̺i ̺) = tr (̺2 ̺i ) = tr (̺̺i ) = h̺, ̺i i ≤ |h̺, ̺i i| ≤ ||̺|| ||̺|| ≤ 1 ¸si tr (̺̺i ̺) =

d X j=1

hej , ̺̺i ̺ej i =

d X h̺ej , ̺i ̺ej i ≥ 0, j=1

unde {ej }j=1,...,d este o baz˘ a ortonormat˘a a lui H. Dac˘a am avea tr (̺̺1 ̺) < 1 sau tr (̺̺1 ̺) < 1, atunci (1 − λ)tr (̺̺1 ̺) + λtr (̺̺2 ̺) < 1, ceea ce ar fi ˆın contradict¸ie cu relat¸ia (9.2). R˘ amˆ ane c˘ a tr (̺̺1 ̺) = tr (̺̺2 ̺) = 1, ¸si prin urmare h̺, ̺i i = tr (̺̺i ) = tr (̺2 ̺i ) = tr (̺̺i ̺) = 1. Conform teoremei Cauchy-Schwartz, |h̺, ̺i i|2 ≤ h̺, ̺i h̺i , ̺i i. Deoarece h̺, ̺i ≤ 1 ¸si h̺i , ̺i i ≤ 1, avem

|h̺, ̺i i|2 = h̺, ̺i h̺i , ̺i i

ceea ce ¸stim c˘ a este posibil doar dac˘ a ̺ este de forma ̺ = c ̺i , cu c o constant˘a. Din relat¸ia tr ̺ = tr ̺i = 1 rezult˘ a ̺ = ̺i . 9.1.15 ∗ Orice punct extrem al mult¸imii convexe Σ este stare pur˘ a. P Fie ̺ un punct extrem al lui Σ. S¸tim c˘a exist˘a pj ∈ [0, 1] cu dj=1 pj = 1 ¸si o baz˘ a ortonormat˘a {|ψj i}dj=1 astfel ˆıncˆ at d X pj |ψj ihψj | = p1 |ψ1 ihψ1 | + p2 |ψ2 ihψ2 | + · · · + pd |ψd ihψd |. ̺= j=1

Este suficient s˘ a ar˘ at˘ am c˘ a fiecare coeficient pj nu poate fi decˆ at 0 sau 1. De exemplu, dac˘ a am avea 0 < p1 < 1, atunci ̺ ar admite reprezentarea ̺ = p1 |ψ1 ihψ1 | + (1 − p1 )̺1 ,

285

Sisteme cuantice cu spat¸iu Hilbert finit-dimensional

unde ̺1 =

p2 pd |ψ2 ihψ2 | + · · · + |ψd ihψd |, 1 − p1 1 − p1

ceea ce este posibil numai dac˘ a p2 pd ̺ = |ψ1 ihψ1 | = |ψ2 ihψ2 | + · · · + |ψd ihψd |. 1 − p1 1 − p1

Ultima relat¸ie nu poate fi adev˘arat˘ a deoarece din ea ar rezulta c˘a pd p2 |ψ2 ihψ2 |ψ1 i + · · · + |ψd ihψd |ψ1 i, |ψ1 ihψ1 |ψ1 i = 1 − p1 1 − p1

adic˘ a |ψ1 i = 0. R˘ amˆ ane c˘ a p1 = 0 sau p1 = 1. Printr-un rat¸ionament similar, P se obt¸ine c˘ a p2 , p3 , ..., pd nu pot fi decˆ at 0 sau 1. Din relat¸ia dj=1 pj = 1, rezult˘ a c˘ a doar unul dintre coeficient¸ii p1 , p2 , ..., pd este egal cu 1, ¸si prin urmare ̺ este de forma |ψk ihψk |, adic˘ a reprezint˘a o stare pur˘a.

9.2

Sisteme cuantice cu spat¸iu Hilbert bidimensional

9.2.1 ˆIn cazul unui sistem cuantic descris de un spat¸iu Hilbert bidimensional H (sistem numit qubit ˆın englez˘ a), utilizˆ and o baz˘ a ortonormat˘a fixat˘a {|0i, |1i}, fiecare element |ψi ∈ H poate fi reprezentat unic sub forma |ψi = α|0i + β|1i. Izomorfismul liniar 2

H −→ C : α|0i + β|1i 7→



α β



ne permite s˘ a identific˘ am spat¸iul H cu spat¸iul Hilbert complex bidimensional     α 2 C = α, β ∈ C , β

cu produsul scalar definit prin     α2 α1 =α ¯ 1 α2 + β¯1 β2 . , β2 β1 ˆIn particular, avem |0i ≡



1 0



¸si

|1i ≡



0 1



.

286

Elemente de Algebr˘a Liniar˘a

Pentru |ψ1 i = α1 |0i + β1 |1i ¸si |ψ2 i = α2 |0i + β2 |1i, avem     α2 α1 ¯ . , hψ1 |ψ2 i = α ¯ 1 α2 + β1 β2 = β2 β1 9.2.2 Spat¸iul C2 poate fi privit ca fiind spat¸iul Hilbert al functiilor

dac˘ a identific˘ am ψ =



α β



{0, 1} −→ C : s 7→ ψ(s) ∈ C2 cu funct¸ia

ψ : {0, 1} −→ C,

definit˘a prin

ψ(0) = α, ψ(1) = β.

9.2.3 ˆIn mecanica cuantic˘ a, momentul cinetic este o m˘ arime discret˘a. Singurele 3 1 valori posibile sunt 0, ± 2 ~, ±~, ± 2 ~, ±2~, ... , unde ~ este constanta lui Planck ˆımp˘ art¸it˘ a cu 2π. Particule cum ar fi electronul, protonul ¸si neutronul au un moment cinetic intrinsec egal cu 21 ~, numit spin. ˆIn acest caz, pentru orice direct¸ie, valorile posibile ale spinului sunt ± 12 ~. Alegˆand 21 ~ ca unitate de m˘ asur˘a pentru spin, putem considera c˘a singurele valori posibile sunt ±1. Dac˘a se ia ˆın considerare doar spinul, st˘ arile particulei pot fi descrise 2 cu ajutorul spat¸iului Hilbert C . Dac˘a |0i ¸si |1i sunt st˘ arile proprii ˆın care spinul are valori bine determinate, 1 ¸si respectiv −1, atunci orice element de forma α|0i + β|1i descrie o stare posibil˘ a a particulei rezultat˘ a dintr-o suprapunere a celor dou˘ a st˘ ari. 9.2.4 Spat¸iul L(C2 ) al operatorilor liniari A : C2 −→ C2 este un spat¸iu Hilbert de dimensiune 4, cu produsul scalar definit prin relat¸ia hA, Bi = tr (A∗ B), pentru care operatorii Pauli {σ0 = I, σ1 , σ2 , σ3 } formeaz˘a o baz˘ a ortogonal˘ a. 2 Orice operator A ∈ L(C ) se poate reprezenta sub forma ! r0 +r3 r1 −ir2 1 1 , A = (r0 σ0 + r1 σ1 + r2 σ2 + r3 σ3 ) = 2 2 r1 +ir2 r0 −r3

cu r0 , r1 , r2 , r3 ∈ C. Rezolvˆ and ecuat¸ia caracteristic˘a

Sisteme cuantice cu spat¸iu Hilbert finit-dimensional



r0 +r3 2

r1 −ir2 2

−λ

r1 +ir2 2

r0 −r3 2

287

= 0, −λ

se obt¸in pentru A valorile proprii complexe p r0 ± r12 + r22 + r32 λ1,2 = . 2

9.2.5 Spat¸iul A(C2 ) al operatorilor autoadjunct¸i A : C2 −→ C2 este un spat¸iu Hilbert real de dimensiune 4 cu produsul scalar definit prin relat¸ia hA, Bi = tr (AB), pentru care operatorii Pauli {σ0 = I, σ1 , σ2 , σ3 } formeaz˘a o baz˘ a ortogonal˘ a. 2 Orice operator A ∈ A(C ) se poate reprezenta sub forma ! r0 +r3 r1 −ir2 1 1 , A = (r0 σ0 + r · σ) = 2 2 r1 +ir2 r0 −r3 cu r0 ∈ R, r = (r1 , r2 , r3 ) ∈ R3 ¸si σ = (σ1 , σ2 , σ3 ). Rezolvˆand ecuat¸ia r0 +r3 2 2 − λ r1 −ir 2 = 0, r0 −r3 r1 +ir2 −λ 2

2

se obt¸in pentru A valorile proprii reale r0 ± ||r|| λ1,2 = . 2

9.2.6 Deoarece, pentru A ∈ A(C2 ) avem tr A = r0 ¸si A≥0

⇐⇒

||r|| ≤ r0 ,

operatorul A este operator densitate dac˘ a ¸si numai dac˘ a r0 = 1

¸si

||r|| ≤ 1.

Valorile proprii ale unui operator densitate ! 1+r3 r1 −ir2 1 1 ̺ = (I + r · σ) = 2 2 r1 +ir2 1−r3 sunt λ1,2 =

1 ± ||r|| . 2

288

Elemente de Algebr˘a Liniar˘a

Puritatea st˘ arii ̺, adic˘ a 1 tr ̺2 = λ21 + λ22 = (1 + ||r||2 ) 2 verific˘ a relat¸ia 1 ≤ tr ̺2 ≤ 1, 2 iar impuritatea 1−tr ̺2 =

1 (1 − ||r||2 ) 2

relat¸ia 1 0 ≤ 1−tr ̺2 ≤ . 2 9.2.7 St˘ arile posibile (pure sau mixte) ale unui qubit se afl˘ a ˆın corespondent¸˘a unu-la-unu cu punctele apart¸inˆ and sferei ˆınchise de raz˘ a 1, centrate ˆın origine Ω2 = { r ∈ R3 | ||r|| ≤ 1 } = {(r1 , r2 , r3 ) ∈ R3 | r12 + r22 + r32 ≤ 1 }, numit˘ a sfera lui Bloch sau sfera lui Poincar´e. St˘ arii pure θ iφ θ |ψi = cos |0i + sin e |1i, 2 2 descrise de operatorul densitate ! 1+cos θ sin θ e−iφ 1 ̺= , 2 sin θ eiφ 1+cos θ ˆıi corespunde vectorul unitar r = (sin θ cos φ, sin θ sin φ, cos θ) ∈ S 2 = ∂Ω2 . St˘ arile pure corespund la puncte apart¸inˆ and suprafet¸ei sferei, iar cele mixte la puncte interioare. Puritatea unei st˘ ari cre¸ste cˆand ne apropiem de suprafat¸a sferei, iar impuritatea cˆand ne apropiem de centrul sferei. 9.2.8 Punctul de pe sfer˘ a diametral opus punctului cu coordonatele unghiulare (ϕ, θ) are coordonatele (ϕ+π, π−θ). Produsul scalar al st˘ arilor pure corespunz˘atoare θ θ iφ π−θ π − θ i(φ+π) cos |0i + sin e |1i ¸si cos |0i + sin e |1i 2 2 2 2 este zero. Astfel, fiecare pereche de puncte diametral opuse ale sferei S 2 reprezint˘ a o pereche de st˘ ari pure ortogonale.

289

Sisteme cuantice cu spat¸iu Hilbert finit-dimensional

r3 r θ

1 r2

r1

φ

Figura 9.1: Sfera lui Bloch, numit˘ a ¸si sfera lui Poincar´e. 9.2.9 ˆIn cazul unui qubit, starea 1 |+i = √ (|0i + |1i) 2 este suma normalizat˘a a st˘ arilor |0i ¸si |1i, dar operatorul densitate corespunz˘ator 1 |+ih+| = (|0ih0| + |0ih1| + |1ih0| + |1ih1|) 2 difer˘a de suma normalizat˘a 1 ̺ = (|0ih0| + |1ih1|) 2 a operatorilor densitate corespunz˘atori st˘ arilor |0i ¸si |1i. 9.2.10 Operatorul densitate 1 ̺ = (|0ih0| + |1ih1|) 2 nu reprezint˘ a o stare pur˘a deoarece nu exist˘a o stare astfel ˆıncˆ at

|ψi = α|0i + β|1i

290

Elemente de Algebr˘a Liniar˘a

sistemul de ecuat¸ii

1 |ψihψ| = (|0ih0| + |1ih1|), 2 |α|2 = 21 ,

|β|2 = 21 , αβ¯ = 0

neavˆand solut¸ii. 9.2.11 ˆIn general, descompunerea unei st˘ ari mixte ˆın st˘ ari pure nu este unic˘ a. Notˆand 1 1 |+i = √ (|0i + |1i) ¸si |−i = √ (|0i − |1i) 2 2 avem 1 1 (|0ih0| + |1ih1|) = (|+ih+| + |−ih−|). 2 2 9.2.12 ˆIn spat¸iul Hilbert L(C2 ), operatorii autoadjunct¸i 1 1 1 1 √ I, √ σ1 , √ σ2 , √ σ3 2 2 2 2 formeaz˘ a o baz˘ a ortonormat˘a . Numerele r0 , r1 , r2 , r3 din relat¸a ! r0 +r3 r1 −ir2 1 , A= 2 r1 +ir2 r0 −r3 numite parametrii Stokes ai lui A, se pot exprima sub forma ri = hA, σi i = tr (Aσi ). Alte baze ortonormate se pot obt¸ine plecˆ and de la baze ortonormate ale lui 2 C . Dac˘a {|ui, |vi} este baz˘ a ortonormat˘a ˆın C2 , atunci operatorii |uihu|, |uihv|, |vihu|, |vihv| formeaz˘ a o baz˘ a ortonormat˘a ˆın L(C2 ). 9.2.13 Se ¸stie c˘ a relat¸iile z 1!

+

cos z = 1 −

z2

ez = 1 +

sin z =

z 1!

−

z2 2!

+

+

z4

+

z5

2! z3 3!

z3 3!

+

z4 4!

−

z6

+ ...

4! 5!

−

6! z7 7!

+ ...

+ ...

291

Sisteme cuantice cu spat¸iu Hilbert finit-dimensional

au loc oricare ar fi z ∈ C. 9.2.14 Dac˘a operatorul A este astfel ˆıncˆ at A2 = I, atunci operatorul eitA = I +

(it)2 2 (it)3 3 it A+ A + A + 1! 2! 3!

verific˘ a relat¸ia     t2 t4 t6 t t3 t5 t7 itA e = 1 − + − + ... I + i − + − + . . . A, 2! 4! 6! 1! 3! 5! 7! adic˘ a avem eitA = cos t I + i sin t A,

oricare ar fi t ∈ R.

9.2.15 Fie r = (r1 , r2 , r3 ) ∈ R3 un vector unitar. Deoarece σ12 = σ22 = σ32 = I

σ1 σ2 = −σ2 σ1 ,

¸si

operatorul r · σ = r1 σ1 + r2 σ2 + r3 σ3 verific˘ a relat¸ia (r · σ)2 = I ¸si prin urmare, eit r·σ = cos t I + i sin t r · σ,

oricare ar fi t ∈ R.

ˆIn particular, operatorii t

t

Rx (t) = e−i 2 σx ,

t

Ry (t) = e−i 2 σy ,

Rz (t) = e−i 2 σz

verific˘ a relat¸iile (a se vedea ¸si pag. 143-6) Rx (t) = cos 2t I − i sin 2t σx = Ry (t) = cos 2t I − i sin 2t σy =

cos 2t −i sin 2t cos 2t sin 2t t

t 2

t 2

Rz (t) = cos I − i sin σz =

−i sin 2t

e−i 2

cos 2t !

− sin 2t cos 2t ! 0 . t

0 ei 2

,

!

,

292

Elemente de Algebr˘a Liniar˘a

9.2.16 ∗ Vectorul Bloch corespunz˘ ator st˘ arii Rx (t)|ψi cu matricea densitate Rx (t)|ψihψ|R∗x (t)

se obt¸ine rotind ˆın jurul lui Ox vectorul Bloch corespunz˘ator st˘ arii |ψi. Mai general, dac˘ a ̺ este matrice densitate , vectorul corespunz˘ator st˘ arii ∗ Rx (t)̺Rx (t) se obt¸ine rotind ˆın jurul lui Ox vectorul Bloch corespunz˘ator st˘ arii ̺ deoarece ! ! 1+r3 r1 −ir2 1+r3′ r1′ −ir2′ ∗ Rx (t) Rx (t) = , r1 +ir2 1−r3 r1′ +ir2′ 1−r3′ cu



    r1′ 1 0 0 r1  r2′  =  0 cos t − sin t   r2  . 0 sin t cos t r3′ r3

Similar, vectorul corespunz˘ator st˘ arii Ry (t)̺R∗y (t) se obt¸ine rotind ˆın jurul lui Oy vectorul Bloch corespunz˘ator st˘ arii ̺ deoarece ! ! 1+r3 r1 −ir2 1+r3′ r1′ −ir2′ , Ry (t) R∗y (t) = r1′ +ir2′ 1−r3′ r1 +ir2 1−r3 cu



    r1′ cos t 0 − sin t r1  r2′  =  0   r2  . 1 0 ′ r3 sin t 0 cos t r3

Vectorul corespunz˘ ator st˘ arii Rz (t)̺R∗z (t) se obt¸ine rotind ˆın jurul lui Oz vectorul Bloch corespunz˘ator st˘ arii ̺ deoarece ! ! 1+r3 r1 −ir2 1+r3′ r1′ −ir2′ ∗ Rz (t) Rz (t) = , r1 +ir2 1−r3 r1′ +ir2′ 1−r3′ cu



    r1′ cos t − sin t 0 r1  r2′  =  sin t cos t 0   r2  . r3′ 0 0 1 r3

9.2.17 ∗ Transform˘ arile unitare corespund rotat¸iilor sferei Bloch. O transformare unitar˘a U : C2 −→ C2 este o transformare cu proprietatea U U ∗ = U ∗ U = I.

293

Sisteme cuantice cu spat¸iu Hilbert finit-dimensional

Elementele matricei corespunz˘atoare u00 u01 u10 u11

U=

!

verific˘ a relat¸iile |u00 |2 + |u01 |2 = 1,

|u00 |2 + |u10 |2 = 1,

|u10 |2 + |u11 |2 = 1,

|u01 |2 + |u11 |2 = 1,

u ¯00 u10 + u ¯01 u11 = 0,

u ¯00 u01 + u ¯10 u11 = 0.

O matrice verific˘ a primele patru relat¸ii dac˘ a ¸si numai dac˘ a este de forma a b ! ′ ′ cos t2 ei 2 − sin t2 ei 2 U= . c d ′ ′ cos t2 ei 2 sin t2 ei 2 Pentru a verifica ¸si ultimele dou˘ a relat¸ii, este necesar ¸si suficient ca a − c = b − d, adic˘ a s˘ a fie de forma ′

a

U=

′

c

b

′

− sin t2 ei 2

cos t2 ei 2

′

sin t2 ei 2

cos t2 ei

b+c−a 2

!

.

Ultima matrice se poate scrie sub forma   (a−b)+(a−c) ′ i (a−c)−(a−b) t t′ i 2 2 − sin 2 e cos 2 e b+c  U = ei 4  (a−c)−(a−b) (a−b)+(a−c) ′ ′ t −i t −i 2 2 cos 2 e sin 2 e sau

t

i b+c 4

U =e

e−i 2

0 t

0 ei 2

!

′

cos t2

′

sin t2

′

− sin t2

′

cos t2

! 

t′′

e−i 2

0 ei

0 t′′ 2



,

adic˘ a sub forma unui produs de rotat¸ii ˆınmult¸it cu un factor de faz˘a U = ei unde t =

a−b 2

¸si t′′ =

a−c 2 .

b+c 4

Rz (t) Ry (t′ ) Rz (t′′ ),

294

Elemente de Algebr˘a Liniar˘a

9.2.18 Operat¸iile logice cu st˘ ari cuantice, cu ajutorul c˘arora se proceseaz˘ a informat¸ia cuantic˘ a, sunt descrise de opertori unitari (numit¸i quantum gates ˆın englez˘ a). Printre transform˘arile unitare frecvent utilizate se afl˘ a transform˘arile Pauli   1 0 I = |0ih0| + |1ih1| cu matricea I= , 0 1   0 1 σ1 = |0ih1| + |1ih0| cu matricea σ1 = , 1 0   0 −i , σ2 = i|1ih0|−i|0ih1| cu matricea σ2 = i 0   1 0 σ3 = |0ih0| − |1ih1| cu matricea σ3 = , 0 −1 transformarea Hadamard H=

√1 (|0ih0| 2

+ |1ih0|

+|0ih1| − |1ih1|)

cu matricea

1 H=√ 2





1 1 1 −1

,

transformarea de faz˘a S = |0ih0| + i |1ih1|

cu matricea

S=



1 0 0 i

T =



1 0 0 eiπ/4



,

transformarea π/8 iπ/4

T = |0ih0| + e

|1ih1|

cu matricea



.

¸si rotat¸iile Rx (t), Ry (t), Rz (t).

9.3

M˘ asur˘ atori ideale

9.3.1 Orice informat¸ie referitoare la un sistem cuantic se poate obt¸ine doar ˆın urma unei m˘ asur˘atori. Descrierea oferit˘a de mecanica cuantic˘a nu este una determinist˘a: m˘ asurˆand aceea¸si observabil˘ a ˆın cazul a dou˘ a sisteme aflate ˆın aceea¸si stare, preparate identic, rezultatele obt¸inute pot fi diferite.

Sisteme cuantice cu spat¸iu Hilbert finit-dimensional

295

9.3.2 Fiecare operator autoadjunct A : H −→ H admite descompunerea spectral˘ a X A= λ Pλ , λ

unde λ parcurge valorile proprii ale lui A, iar Pλ sunt proiectorii ortogonali pe subspat¸iile proprii corespunz˘atoare. Operatorii Pλ verific˘ a relat¸iile ( X Pλ dac˘ a λ = λ′ Pλ Pλ′ = Pλ = I, Pλ∗ = Pλ = Pλ2 , 0 dac˘ a λ 6= λ′ . λ

9.3.3 O m˘ asur˘ atoare ideal˘ a corespunde unui operator autoadjunct (observabila) X A= λ Pλ λ

care satisface condit¸iile: 1) singurele rezultate care se pot obt¸ine sunt valorile proprii λ; 2) ˆın starea ̺ rezultatul λ se obt¸ine cu probabilitatea p(λ) = tr (̺Pλ );

3) ˆın cazul obt¸inerii rezultatului λ, starea dup˘a m˘ asur˘atoare devine P ̺P λ λ . ̺′ = p(λ) O m˘ asur˘atoare ideal˘ a mai este numit˘ a ¸si proiectiv˘ a sau von Neumann. 9.3.4 ˆIn cazul unei st˘ ari pure |ψi, operatorul densitate ̺ψ = |ψihψ| verific˘ a relat¸ia tr (̺ψ Pλ ) = hψ|Pλ |ψi. ˆIn starea pur˘a |ψi, rezultatul λ se obt¸ine cu probabilitatea p(λ) = hψ|Pλ |ψi iar starea sistemului dup˘a m˘ asur˘atoare este starea pur˘ a Pλ |ψi |ψλ i = p . p(λ)

9.3.5 Starea post-m˘ asur˘atoare |ψλ i este o stare proprie a observabilei m˘ asurate A|ψλ i = λ|ψλ i.

296

Elemente de Algebr˘a Liniar˘a

Dac˘a subspat¸iul propriu corespunz˘ator valorii λ este unidimensional, aparatul cu care s-a m˘ asurat observabila A poate fi utilizat pentru a prepara sisteme cuantice ˆın starea |ψλ i. 9.3.6 Valoarea medie a observabilei A ˆın starea ̺ este X hAi = λ p(λ) = tr (̺A). λ

ˆIn cazul unei st˘ ari pure |ψi, valoarea medie a lui A este X hAi = λ p(λ) = hψ|A|ψi. λ

9.3.7 ˆIn cazul unui qubit, observabila σ3 admite reprezentarea spectral˘ a P1 = |0ih0| σ3 = 1 · P1 + (−1) · P−1 , unde P−1 = |1ih1|. M˘asurˆand observabila σ3 ˆın starea |ψi = a|0i + b|1i

cu

|a|2 + |b|2 = 1,

se obt¸ine rezultatul λ = 1 cu probabilitatea p(1) = hψ|P1 |ψi = |a|2 ¸si rezultatul λ = −1 cu probabilitatea p(−1) = hψ|P−1 |ψi = |b|2 . Dup˘ a m˘ asur˘atoare, starea sistemului devine a P |ψi p1 |0i = |a| p(1)

ˆın cazul ˆın care rezultatul este λ = 1 ¸si P |ψi b p−1 = |1i |b| p(−1)

a ˆın cazul λ = −1. Dar starea |a| |0i coincide cu |0i ¸si Valoarea medie a observabilei σ3 ˆın starea |ψi este

hψ|σ3 |ψi = |a|2 − |b|2 . M˘asurˆand observabila σ3 ˆın starea

b |b| |1i

cu |1i.

297

Sisteme cuantice cu spat¸iu Hilbert finit-dimensional

1 1 ̺ = (I + r · σ) = 2 2

r1 −ir2

1+r3

r1 +ir2 1−r3

!

se obt¸ine rezultatul λ = 1 cu probabilitatea ! ! 1 0 1+r3 r1 −ir2 1 1+r3 p(1) = tr (̺P1 ) = tr = 2 2 0 0 r1 +ir2 1−r3 ¸si rezultatul λ = −1 cu probabilitatea ! 0 0 1 p(−1) = tr (̺P−1 ) = tr 2 0 1

1+r3

r1 −ir2

r1 +ir2 1−r3

!

=

1−r3 . 2

Dup˘ a m˘ asur˘atoare, starea sistemului devine ! 1 0 P1 ̺P1 = |0ih0| = tr (P1 ̺P1 ) 0 0 ˆın cazul ˆın care rezultatul este λ = 1 ¸si P−1 ̺P−1 = tr (P−1 ̺P−1 )

0 0 0 1

!

= |1ih1|

dac˘ a λ = −1, adic˘ a |0i ˆın primul caz ¸si |1i ˆın al doilea. 9.3.8 Dac˘a se ¸stie c˘ a sistemul cuantic a fost preparat ˆın una dintre st˘ arile ortogonale |ψ1 i, |ψ2 i, ... , |ψn i, atunci m˘ asurˆand observabila A = |ψ1 ihψ1 |+2 |ψ2 ihψ2 |+...+n |ψn ihψn | = P1 +2P2 +...+nPn se poate identifica starea ˆın care a fost preparat sistemul f˘ar˘ a a o modifica. Singurele rezultate care se pot obt¸ine ˆın urma m˘ asur˘atorii sunt 1, 2, ... , n. Dac˘a sistemul a fost preparat ˆın starea |ψk i, atunci se va obt¸ine rezultatul k, ¸si rezultatul k se va obt¸ine numai ˆın acest caz deoarece ( 1 dac˘ a j = k, p(j) = hψk |Pj |ψk i = 0 dac˘ a j 6= k. Obt¸inerea rezultatului k va indica faptul c˘a sistemul a fost preg˘ atit ˆın starea |ψk i ¸si ¸stim c˘ a dup˘a m˘ asur˘atoare starea va fi Pk |ψk i = |ψk i. p(k)

298

Elemente de Algebr˘a Liniar˘a

Dac˘a sistemul ortonormat {|ψ1 i, |ψ2 i, ..., |ψn i} nu este baz˘ a ˆın spat¸iul Hilbert al sistemului cuantic, atunci 0 este valoare proprie a lui A ¸si A = 0P0 +P1 +2P2 +...+nPn

cu

P0 = I − P1 −P2 −...−Pn .

ˆIn cazul ˆın care sistemul cuantic a fost preparat ˆın una dintre st˘ arile ortogonale |ψ1 i, |ψ2 i, ... , |ψn i, rezultatul 0 nu se poate obt¸ine. 9.3.9 Dac˘a vectorii unitari |ψ1 i ¸si |ψ2 i nu sunt ortogonali, atunci vectorul normat |ψ2 i − |ψ1 ihψ1 |ψ2 i |ψ1⊥ i = p 1 − |hψ1 |ψ2 i|2 este ortogonal pe |ψ1 i ¸si |ψ2 i admite descompunerea p |ψ2 i = hψ1 |ψ2 i|ψ1 i + 1 − |hψ1 |ψ2 i|2 |ψ1⊥ i.

9.3.10 Dac˘a se ¸stie c˘ a sistemul cuantic a fost preparat ˆın una dintre st˘ arile neortogonale |ψ1 i ¸si |ψ2 i, atunci m˘ asurˆand observabila (v. pag. 298-9) A = |ψ1 ihψ1 | + 2|ψ1⊥ ihψ1⊥ | = P1 + 2P2 nu se obt¸ine o informat¸ie complet˘ a privind starea sistemului. Singurele rezultate care se pot obt¸ine ˆın urma m˘ asur˘atorii sunt 1 ¸si 2. Dac˘a sistemul a fost preparat ˆın starea |ψ1 i, atunci se obt¸ine: - rezultatul 1 cu probabilitatea p(1) = hψ1 |P1 |ψ1 i = 1 ¸si - rezultatul 2 cu probabilitatea p(2) = hψ1 |P2 |ψ1 i = 0. Dac˘a sistemul a fost preparat ˆın starea |ψ2 i, atunci se obt¸ine: - rezultatul 1 cu probabilitatea p(1) = hψ2 |P1 |ψ2 i = |hψ1 |ψ2 i|2 ¸si - rezultatul 2 cu probabilitatea p(2) = hψ2 |P2 |ψ2 i = 1−|hψ1 |ψ2 i|2 . Prin urmare: - rezultatul 2 indic˘ a starea |ψ2 i; - rezultatul 1 nu permite identificarea st˘ arii. 9.3.11 O stare |ψi r˘ amˆ ane nemodificat˘ a ˆın urma unei m˘ asur˘atori dac˘ a alegem o observabil˘ a A pentru care |ψi este stare proprie. Dac˘a starea |ψi este necunoscut˘ a, nu avem cum s˘ a alegem m˘ asur˘atori care s˘ a o lase nemodificat˘ a. Probabilitatea p(λ) = hψ|Pλ |ψi = hψ|Pλ∗ Pλ |ψi = ||Pλ ψ||2

299

Sisteme cuantice cu spat¸iu Hilbert finit-dimensional

este p˘ atratul lungimii proiect¸iei vectorului |ψi pe subspat¸iul propriu corespunz˘ ator valorii λ. M˘asurˆand o observabil˘ a A ˆıntr-o stare necunoscut˘a |ψi, obt¸inem ca rezultat o valoare proprie λ a lui A ¸si putem deduce doar c˘a p(λ) = ||Pλ ψ||2 6= 0. Dup˘ a m˘ asur˘atoare, din starea necunoscut˘a |ψi mai r˘ amˆ anem doar cu proiect¸ia ei pe un subspat¸iu propriu al lui A. 9.3.12 Dac˘a am dispune de un num˘ ar mare de copii ale sistemului cuantic preg˘ atite ˆın starea |ψi ¸si dac˘ a am repeta m˘ asur˘atoarea observabilei A, rezultatele obt¸inute ar fi distribuite ˆın jurul valorii medii hAi = hψ|A|ψi. O m˘ asur˘a a gradului de dispersare a lor este dat˘ a de abaterea medie p˘ atratic˘ a p p ∆A = hψ, (A − hAi)2 ψi = hψ, A2 ψi − hψ, Aψi2 , adic˘ a

∆A =

p p h(A − hAi)2 i = hA2 i − hAi2 .

9.3.13 Deoarece σ1 admite reprezentarea spectral˘ a σ1 = |+ih+| − |−ih−|

1 |±i = √ (|0i ± |1i), 2

cu

m˘ asurˆand σ1 ˆın starea |0i se obt¸ine: - rezultatul 1 cu probabilitatea p(1) = h0|+ih+|0i = 21 ¸si - rezultatul −1 cu probabilitatea p(−1) = h0|−ih−|0i = 12 . Prin urmare, se pot obt¸ine ambele rezultate ¸si valoarea medie a lui σ1 este hσ1 i = h0|σ1 |0i = 0. Deoarece σ12 = I, ˆın starea |0i avem hσ12 i = 1

¸si

∆σ1 =

q

hσ12 i − hσ1 i2 = 1.

Similar, se poate ar˘ ata c˘ a ˆın starea |0i avem hσ2 i = 0,

hσ22 i = 1

¸si

∆σ2 = 1.

9.3.14 Dac˘a |ψi este stare proprie a observabilei A, A|ψi = λ|ψi, atunci, ˆın starea |ψi, avem p ∆A = hψ, A2 ψi − hψ, Aψi2 = 0.

300

Elemente de Algebr˘a Liniar˘a

9.3.15 ∗ Teorem˘ a (Relat¸ia de incertitudine). Dac˘ a A, B : H −→ H sunt doi operatori autoadjunct¸i ¸si p p ∆A = hψ, (A − hAi)2 ψi, ∆B = hψ, (B − hBi)2 ψi, atunci

|hψ|[A, B]|ψi| , 2 oricare ar fi starea normat˘ a |ψi ∈ H. ∆A ∆B ≥

Demonstrat¸ie. Fie C = A − hAi, D = B − hBi ¸si hCψ, Dψi = α + βi

cu

α, β ∈ R.

Din relat¸iile hψ, CDψi = hCψ, Dψi = α + βi hψ, DCψi = hDψ, Cψi = α − βi

rezult˘ a c˘ a

hψ, [C, D]ψi = hψ, CDψi − hψ, DCψi = 2βi

hψ, {C, D}ψi = hψ, CDψi + hψ, DCψi = 2α

¸si prin urmare

|hψ, [C, D]ψi|2 + |hψ, {C, D}ψi|2 = 4 |hCψ, Dψi|2 .

ˆIns˘a, conform inegalit˘ a¸tii Cauchy-Schwarz, |hCψ, Dψi|2 ≤ hCψ, Cψi hDψ, Dψi.

Deoarece hCψ, Cψi = hψ, C 2 ψi ¸si hDψ, Dψi = hψ, D 2 ψi, din ultimele relat¸ii obt¸inem |hψ, [C, D]ψi|2 ≤ 4 |hCψ, Dψi|2 ≤ 4 hψ, C 2 ψi hψ, D 2 ψi,

adic˘ a inegalitatea hψ, C 2 ψi hψ, D 2 ψi ≥

|hψ, [C, D]ψi|2 . 4

Utilizˆand relat¸iile hψ, C 2 ψi = hψ, (A − hAi)2 ψi = (∆A)2 ,

hψ, D 2 ψi = hψ, (B − hBi)2 ψi = (∆B)2 ,

hψ, [C, D]ψi = hψ, [A, B]ψi,

ultima inegalitate se mai scrie

∆A ∆B ≥

|hψ, [A, B]ψi| . 2

Sisteme cuantice cu spat¸iu Hilbert finit-dimensional

301

9.3.16 Dac˘a preg˘ atim un num˘ ar mare de sisteme cuantice identice, toate ˆın aceea¸si stare |ψi, ¸si le utiliz˘ am pe unele dintre ele pentru a m˘ asura observabila A , iar pe celelalte pentru a m˘ asura observabila B, atunci abaterile medii p˘ atratice ∆A ¸si ∆B verific˘ a relat¸ia de incertitudine |hψ|[A, B]|ψi| . ∆A ∆B ≥ 2 9.3.17 Observabilele σ1 ¸si σ2 verific˘ a relat¸ia [σ1 , σ2 ] = 2i σ3 , ¸si prin urmare |hψ|2i σ3 |ψi| , 2 oricare ar fi starea normat˘a |ψi ∈ C2 . ˆIn cazul |ψi = |0i, avem (v. pag. 299-13) ∆σ1 ∆σ2 ≥

∆σ1 = ∆σ2 = 1,

σ3 |0i = |0i,

¸si prin urmare, egalitate ˆın relat¸ia de incertitudine ∆σ1 ∆σ2 =

|h0|2i σ3 |0i| . 2

9.3.18 ∗ Dac˘ a s-ar putea obt¸ine copii identice ale unei st˘ ari cuantice necunoscute (v. pag. 306-12), atunci starea ar putea fi identificat˘ a. Orice stare a unui qubit poate fi descris˘a cu ajutorul unui vector α ∈ [0, 1], √ |ψi = α|0i + β eiθ |1i cu β = 1−α2 , θ ∈ (−π, π].

M˘asurˆand observabila σ3 = |0ih0| − |1ih1| se obt¸ine rezultatul 1 cu probabilitatea α2 ¸si rezultatul −1 cu probabilitatea β 2 . Dup˘ a m˘ asur˘atoare, qubit-ul ajunge ˆın starea |0i ˆın primul caz ¸si ˆın starea |1i ˆın al doilea. Dac˘a dispunem de un num˘ ar mare de copii ale st˘ arii |ψi, atunci coeficient¸ii α ¸si β pot fi √ √ determinat¸i cu mare precizie. Vectorii (|0i + |1i)/ 2 ¸si (|0i − |1i)/ 2 sunt vectori proprii ai observabilei σ1 = |1ih0| + |0ih1|, corespunz˘atori valorilor proprii 1 ¸si -1. Deoarece |ψi =

α+β eiθ |0i+|1i α−β eiθ |0i−|1i √ √ √ + √ , 2 2 2 2

302

Elemente de Algebr˘a Liniar˘a m˘ asurˆand σ1 , obt¸inem rezultatul 1 cu probabilitatea |α+β eiθ |2 /2 ¸si rezultatul −1 cu probabilitatea |α−β eiθ |2 /2. Dup˘ a m˘ asur˘atoare, qubit-ul ajunge ˆın √ √ starea (|0i + |1i)/ 2 ˆın primul caz ¸si ˆın starea (|0i − |1i)/ 2 ˆın al doilea. Dac˘a dispunem de un num˘ ar mare de copii ale st˘ arii |ψi, atunci   |α+β eiθ |2 |α−β eiθ |2 1 − cos θ = 2αβ 2 2 √ √ poate fi determinat cu mare precizie. Vectorii (|0i + i|1i)/ 2 ¸si (|0i − i|1i)/ 2 sunt vectori proprii ai observabilei σ2 = i|1ih0|−i|0ih1|, corespunz˘atori valorilor proprii 1 ¸si -1. Deoarece |ψi =

α+β eiθ |0i+|1i α−β eiθ |0i−|1i √ √ √ + √ , 2 2 2 2

m˘ asurˆand σ2 , obt¸inem rezultatul 1 cu probabilitatea |α−iβ eiθ |2 /2 ¸si rezultatul −1 cu probabilitatea |α+iβ eiθ |2 /2. Dup˘ a m˘ asur˘atoare, qubit-ul ajunge ˆın √ √ starea (|0i + i|1i)/ 2 ˆın primul caz ¸si ˆın starea (|0i − i|1i)/ 2 ˆın al doilea. Dac˘a dispunem de un num˘ ar mare de copii ale st˘ arii |ψi, atunci   1 |α−iβ eiθ |2 |α+iβ eiθ |2 sin θ = − 2αβ 2 2 poate fi determinat cu mare precizie.

9.4

M˘ asur˘ atori generalizate

9.4.1 ˆIn cazul unei m˘ asur˘atori ideale, starea post-m˘ asur˘atoare este o stare proprie a operatorului autoadjunct asociat ¸si repetarea m˘ asur˘atorii va da acela¸si ˆ rezultat. In realitate ˆıns˘ a, multe dintre m˘ asur˘atorile efectuate ˆın laborator nu sunt de acest tip. De exemplu, un fotodetector detecteaz˘ a prezent¸a unui foton absorbindu-l, astfel c˘ a repetarea m˘ asur˘atorii nu mai este posibil˘ a. 9.4.2 Relat¸iile referitoare la o m˘ asur˘atoare ideal˘ a X Pλ = I, p(λ) = tr (̺Pλ ), λ

p(λ) = hψ|Pλ |ψi

303

Sisteme cuantice cu spat¸iu Hilbert finit-dimensional

se mai pot scrie sub forma X Pλ∗ Pλ = I,

p(λ) = tr (Pλ ̺Pλ∗ ),

λ

p(λ) = hψ|Pλ∗ Pλ |ψi.

9.4.3 O m˘ asur˘ atoare generalizat˘ a corespunde unui sistem de operatori {Mλ }, indexat¸i folosind valorile λ care se pot obt¸ine ˆın urma m˘ asur˘atorii, ¸si care satisface condit¸iile: P ∗ Mλ Mλ = I; 1) λ

2) ˆın starea ̺ rezultatul λ se obt¸ine cu probabilitatea p(λ) = tr (Mλ ̺Mλ∗ );

3) ˆın cazul obt¸inerii rezultatului λ, starea dup˘a m˘ asur˘atoare devine ∗ M ̺M λ λ . ̺′ = p(λ) 9.4.4 ˆIn cazul unei st˘ ari pure |ψi, operatorul densitate ̺ψ = |ψihψ| verific˘ a relat¸ia tr (Mλ ̺ψ Mλ∗ ) = hψ|Mλ∗ Mλ |ψi.

ˆIn starea pur˘a |ψi, rezultatul λ se obt¸ine cu probabilitatea p(λ) = hψ|Mλ∗ Mλ |ψi,

iar starea sistemului dup˘a m˘ asur˘atoare este starea pur˘ a Mλ |ψi |ψλ i = p . p(λ)

9.4.5 Dac˘a {Mλ } este m˘ asur˘atoare generalizat˘ a, atunci operatorii {Eλ }, unde Eλ = Mλ∗ Mλ

sunt autoadjunct¸i Eλ∗ = (Mλ∗ Mλ )∗ = Mλ∗ Mλ = Eλ , pozitivi hψ, Eλ ψi = hψ, Mλ∗ Mλ ψi = hMλ ψ, Mλ ψi ≥ 0 ¸si

X λ

Eλ =

X λ

Mλ∗ Mλ = I.

304

Elemente de Algebr˘a Liniar˘a

9.4.6 Definit¸ie. Un set de operatori {Aλ : H −→ H}, satisf˘acˆand condit¸iile X Aλ ≥ 0 ¸si Aλ = I, A∗λ = Aλ ,

(9.3)

λ

este numit m˘ asur˘ a cu valori operatori probabilitate (POVM).

9.4.7 Dac˘a {Mλ } este m˘ asur˘atoare generalizat˘ a, atunci {Eλ = Mλ∗ Mλ } este POVM. √ Invers, dac˘ a {Eλ } este POVM, atunci {Mλ = Eλ } este o m˘ asur˘atoare generalizat˘ a cu proprietatea Mλ∗ Mλ = Eλ . M˘asur˘atoarea generalizat˘ a corespunz˘atoare lui {Eλ } nu este unic˘ a: dac˘ a {Uλ } √ asur˘atoare generalisunt operatori unitari, atunci {Mλ = Uλ Eλ } este o m˘ zat˘ a cu proprietatea p p Mλ∗ Mλ = Eλ Uλ∗ Uλ Eλ = Eλ .

9.4.8 Un POVM {Eλ } corespunde la mai multe m˘ asur˘atori {Mλ }, dar din relat¸ia p(λ) = tr (Mλ ̺Mλ∗ ) = tr (̺Mλ Mλ∗ ) = tr (̺Eλ ).

rezult˘ a c˘ a probabilit˘a¸tile p(λ) sunt acelea¸si. Dac˘a nu suntem interesat¸i de starea post-m˘ asur˘atoare, putem considera c˘a fiecare POVM {Eλ } reprezint˘a o m˘ asur˘atoare generalizat˘ a. 9.4.9 ∗ Dac˘a se ¸stie c˘ a sistemul cuantic a fost preg˘ atit ˆın una dintre st˘ arile neortogonale |ψ1 i ¸si |ψ2 i, atunci nu exist˘a o m˘ asur˘atoare generalizat˘ a {Eλ } care s˘ a ne permit˘ a s˘ a indic˘ am ˆın ce stare a fost preg˘ atit sistemul. Admit¸ˆand c˘a ar exista o astfel de m˘sur˘atoare {Eλ }, ar trebui ca fiecare rezultat λ s˘ a indice una ¸si numai una dintre st˘ arile |ψ1 i ¸si |ψ2 i. Dac˘a E1 este suma operatorilor Eλ care corespund lui |ψ1 i, ¸si E2 a celor care corespund lui |ψ2 i, atunci hψ1 |E1 |ψ1 i = 1

¸si

hψ2 |E2 |ψ2 i = 1.

Deoarece E1 +E2 = I, din prima relat¸ie rezult˘ a c˘a p p h E2 ψ1 , E2 ψ1 i = hψ1 , E2 ψ1 i = hψ1 , (I − E1 )ψ1 i = 0, √ ¸si prin urmare avem E2 |ψ1 i = 0, ceea ce implic˘ a E2 |ψ1 i = 0. Utilizˆand descompunerea ortogonal˘ a (v. pag. 298-9)

305

Sisteme cuantice cu spat¸iu Hilbert finit-dimensional

|ψ2 i = hψ1 |ψ2 i|ψ1 i + obt¸inem c˘ a

p

1 − |hψ1 |ψ2 i|2 |ψ1⊥ i,

hψ2 |E2 |ψ2 i = (1 − |hψ1 |ψ2 i|2 )hψ1⊥ |E2 |ψ1⊥ i. Deoarece hψ1⊥ |E1 |ψ1⊥ i ≥ 0 ¸si hψ1⊥ |E2 |ψ1⊥ i ≥ 0, din relat¸ia

hψ1⊥ |E1 |ψ1⊥ i + hψ1⊥ |E2 |ψ1⊥ i = hψ1⊥ |E1 +E2 |ψ1⊥ i = hψ1⊥ |ψ1⊥ i = 1

rezult˘ a c˘ a hψ1⊥ |E2 |ψ1⊥ i ≤ 1, ¸si prin urmare hψ2 |E2 |ψ2 i ≤ (1 − |hψ1 |ψ2 i|2 ) < 1, ˆın contradict¸ie cu hψ2 |E2 |ψ2 i = 1. 9.4.10 ˆIn cazul unei m˘ asur˘atori ideale, rezultatele posibile λ fiind valorile proprii ale operatorului autoadjunct corespunz˘ator, num˘ arul lor nu poate dep˘ a¸si dimensiunea spat¸iului Hilbert H. ˆIn schimb, ˆın cazul unei m˘ asur˘atori generalizate, num˘ arul rezultatelor posibile λ coincide cu num˘ arul operatorilor Eλ ¸si poate dep˘ a¸si dimensiunea spat¸iului Hilbert H. 9.4.11 S ¸ tiind c˘ a sistemul cuantic a fost preparat ˆın una dintre st˘ arile neortogonale |0i + |1i √ , |ψ1 i = |0i ¸si |ψ2 i = 2 utiliz˘ am m˘ asur˘atoarea generalizat˘ a {E1 , E2 , E3 }, unde ! ! 0 0 1 −1 1√ 1√ , E2 = 2+ 2 , E3 = 2+1√2 E1 = 2+ 2 0 2 −1 1

√ 2+1 1

√

1 2−1

pentru a identifica starea ˆın care a fost preparat sistemul. Singurele rezultate care se pot obt¸ine ˆın urma m˘ asur˘atorii sunt 1, 2 ¸si 3. Dac˘a sistemul a fost preparat ˆın starea |ψ1 i, atunci se obt¸ine: - rezultatul 1 cu probabilitatea p(1) = hψ1 |E1 |ψ1 i = 0, - rezultatul 2 cu probabilitatea p(2) = hψ1 |E2 |ψ1 i = 2+1√2 , - rezultatul 3 cu probabilitatea p(3) = hψ1 |E3 |ψ1 i =

√ 1+√2 . 2+ 2

!

,

306

Elemente de Algebr˘a Liniar˘a

Dac˘a sistemul a fost preparat ˆın starea |ψ2 i, atunci se obt¸ine: - rezultatul 1 cu probabilitatea p(1) = hψ2 |E1 |ψ2 i = 2+1√2 , - rezultatul 2 cu probabilitatea p(2) = hψ2 |E2 |ψ2 i = 0, - rezultatul 3 cu probabilitatea p(3) = hψ2 |E3 |ψ2 i =

√ 1+√2 . 2+ 2

Prin urmare: - rezultatul 1 indic˘ a starea |ψ2 i, - rezultatul 2 indic˘ a starea |ψ1 i, - rezultatul 3 nu permite identificarea st˘ arii. Informat¸ia oferit˘a de m˘ asur˘atoarea generalizat˘ a {E1 , E2 , E3 } este mai bogat˘a decˆ at cea oferit˘a de m˘ asur˘atoarea ideal˘ a prezentat˘a la pag. 298-10. 9.4.12 Exist˘ a argumente puternice ˆın favoarea faptului c˘a o stare cuantic˘ a necunoscut˘ a nu poate fi clonat˘ a, adic˘ a nu se pot obt¸ine copii identice ale ei (v. [26] (pag. 532)). Este util s˘ a obt¸inem cˆat mai mult˘ a informat¸ie cu ajutorul unei singure m˘ asur˘atori. Exist˘ a m˘ asur˘atori care se pot face simultan (joint measurements, ˆın englez˘ a). De exemplu, dac˘ a {E1 , E2 , E3 , E4 } este o m˘ asur˘atoare generalizat˘ a, atunci ′′ ′′ ′ ′ {E1 = E1+E2 , E2 = E3+E4 } ¸si {E1 = E1+E3 , E2 = E2+E4 } sunt ¸si ele masur˘atori. Efectuˆ and m˘ asur˘atoarea {E1 , E2 , E3 , E4 } putem considera c˘a am f˘acut simultam m˘ asur˘atorile {E1′ , E2′ } ¸si {E1′′ , E2′′ }.

9.5

Sisteme compuse

9.5.1 Orice spat¸iu Hilbert d-dimensional H este izomorf cu Cd ¸si poate fi privit ca fiind spat¸iul tuturor funct¸iilor complexe definite pe o mult¸ime cu d elemente. ˆIn loc de H putem utiliza spat¸iul Cd , privit ca fiind spat¸iul de funct¸ii {ϕ : {0, 1, ..., d−1} −→ C | ϕ este funct¸ie } cu produsul scalar hϕ, ψi =

d−1 X k=0

ϕ(k) ψ(k).

307

Sisteme cuantice cu spat¸iu Hilbert finit-dimensional

Sistemul de funct¸ii {δ0 , δ1 , ..., δd−1 }, unde δk : {0, 1, ..., d−1} −→ C,

δk (j) = δkj =

(

1 dac˘ a j = k, 0 dac˘ a j 6= k

este baz˘ a ortonormat˘a, numit˘ a baza computat¸ional˘ a. 9.5.2 Fiec˘arui element ϕ ∈ Cd ˆıi corespunde forma liniar˘ a hϕ| : Cd −→ C : |ψi 7→ hϕ|ψi.

Scriind |ki ˆın loc de δk ¸si |ϕi ˆın loc de ϕ, avem ¸si

hk|ϕi = hδk , ϕi = ϕ(k),

hk|ji = δkj ,

|ϕi = I|ϕi = hϕ| = hϕ|I =

P k

|kihk|ϕi =

k

hϕ|kihk| =

P

X k

P k

ϕ(k) |ki,

k

ϕ(k) hk|.

P

|kihk| = I

Dac˘a A : Cd −→ Cd este operator liniar, atunci A|ϕihψ| = |Aϕihψ|

¸si

|ϕihψ|A = |ϕihA∗ ψ|.

9.5.3 Dac˘a A : Cd −→ Cd este operator liniar, atunci X X j A = IAI = |jihj|A|kihk| = Ak |jihk|. j,k

Numerele  ¸si

j,k

Ajk = hj|A|ki

sunt elementele matricei lui A ˆın baza {|ji}, adic˘ a    A0d−1 h0|A|0i ··· h0|A|d−1i   ..  .. . .. ..  . . = . d−1 hd−1|A|0i · · · hd−1|A|d−1i Ad−1

A00 · · ·  .. A =  ... . d−1 A0 ···

tr A =

X k

Operatorul liniar

Akk =

X k

hk|A|ki.

|ϕ1 ihϕ2 | : Cd −→ Cd : |ψi 7→ |ϕ1 ihϕ2 |ψi,

corespunz˘ ator la dou˘ a elemente ϕ1 , ϕ2 ∈ Cd , are urma X X tr |ϕ1 ihϕ2 | = hk|ϕ1 ihϕ2 |ki = ϕ1 (k) ϕ2 (k) = hϕ2 |ϕ1 i, k

k

308

Elemente de Algebr˘a Liniar˘a

adic˘ a avem tr |ϕ1 ihϕ2 | = hϕ2 |ϕ1 i. 9.5.4 Dac˘a identific˘ am Cn cu spat¸iul de funct¸ii {ϕ : {0, 1, ..., n−1} −→ C | ϕ este funct¸ie } ¸si Cm cu spat¸iul de funct¸ii {ψ : {0, 1, ..., m−1} −→ C | ψ este funct¸ie }, atunci produsul tensorial Cn ⊗ Cm poate fi privit ca fiind spat¸iul de funct¸ii {Ψ : {0, 1, ..., n−1} × {0, 1, ..., m−1} −→ C | Ψ este funct¸ie }. Printre elementele lui Cn ⊗ Cm se afl˘ a funct¸iile de forma Ψ(j, k) = ϕ(j) ψ(k), notate cu ϕ ⊗ ψ, adic˘ a (ϕ ⊗ ψ)(j, k) = ϕ(j) ψ(k), dar nu toate elementele lui Cn ⊗ Cm admit o astfel de descompunere. Orice element Ψ ∈ Cn ⊗ Cm este o sum˘a de elemente de forma ϕ ⊗ ψ, adic˘ a X ϕj ⊗ ψj . Ψ= j

9.5.5 Oricare ar fi ϕ, ϕ1 , ϕ2 ∈ Cn , ψ, ψ1 , ψ2 ∈ Cm ¸si α ∈ C avem ((αϕ)⊗ψ)(j, k) = α ϕ(j) ψ(k) = α (ϕ⊗ψ)(j, k), (ϕ⊗(αψ))(j, k) = α ϕ(j) ψ(k) = α (ϕ⊗ψ)(j, k), ((ϕ1 +ϕ2 )⊗ψ)(j, k) = ϕ1 (j) ψ(k)+ϕ2 (j) ψ(k) = (ϕ1 ⊗ψ)(j, k)+(ϕ2 ⊗ψ)(j, k), (ϕ⊗(ψ1 +ψ2 ))(j, k) = ϕ(j) ψ1 (k)+ϕ(j) ψ2 (k) = (ϕ⊗ψ1 )(j, k)+(ϕ⊗ψ2 )(j, k), adic˘ a au loc relat¸iile (αϕ)⊗ψ = α (ϕ⊗ψ) = ϕ⊗(αψ), (ϕ1 +ϕ2 )⊗ψ == ϕ1 ⊗ψ+ϕ2 ⊗ψ, ϕ⊗(ψ1 +ψ2 ) = ϕ⊗ψ1 +ϕ⊗ψ2 .

9.5.6 Relat¸ia hϕ1 ⊗ ψ1 , ϕ2 ⊗ ψ2 i = hϕ1 , ϕ2 i hψ1 , ψ2 i, extins˘ a utilizˆ and aditivitatea, adic˘ a

Sisteme cuantice cu spat¸iu Hilbert finit-dimensional

* X j

ϕj ⊗ ψj ,

X k

ϕk ⊗ ψk

define¸ste un produs scalar ˆın

Cn

⊗

+

=

Cm .

309

X hϕj , ϕk i hψj , ψk i j,k

Cele nm elemente de forma

|jki = |ji ⊗ |ki formeaz˘ a o baz˘ a ortonormat˘a ˆın Cn ⊗ Cm , numit˘ a baza computat¸ional˘ a. 9.5.7 ˆIn C2 ⊗ C2 , baza computat¸ional˘ a este {|00i, |01i, |10i, |11i}. St˘ arile Bell |ß0 i = √12 (|00i + |11i), |ß1 i = |ß2 i = |ß3 i =

√1 2 √i 2 √1 2

(|10i + |01i), (|10i − |01i), (|00i − |11i)

formeaz˘ a o alt˘ a baz˘ a ortonormat˘a cu propriet˘a¸ti remarcabile. 9.5.8 Fiec˘arui element |ϕ1 i⊗|ψ1 i ∈ Cn ⊗Cm ˆıi corespunde forma liniar˘ a hϕ1 |⊗hψ1 | : Cn ⊗Cm −→ C,

definit˘a prin (hϕ1 |⊗hψ1 |)(|ϕi⊗|ψi) = hϕ1 |ϕi hψ1 |ψi. Vom utiliza notat¸ia hjk| = hj|⊗hk|. 9.5.9 Baza computat¸ional˘ a {|jki}, fiind o baz˘ a ortonormat˘a, au loc relat¸iile X |ijihij| = I ¸si hij|kℓi = δik δjℓ . i,j

Dac˘a

̺ : Cn ⊗Cm

−→ Cn ⊗Cm este un operator liniar, atunci X X ij ̺ = I̺I = |ijihij|̺|kℓihkℓ| = ̺kℓ |ijihkℓ|, i,j,k,ℓ

i,j,k,ℓ

unde ̺ij ın raport cu baza {|jki}. kℓ = hij|̺|kℓi sunt elementele matricei lui ̺ ˆ

310

Elemente de Algebr˘a Liniar˘a

9.5.10 Matricea unui operator liniar ̺ : C2 ⊗C2 −→ C2 ⊗C2 ˆın raport cu baza computat¸ional˘ a {|00i, |01i, |10i, |11i} ordonat˘a lexicografic este  00 00 00 00  ̺00 ̺01 ̺10 ̺11  ̺01 ̺01 ̺01 ̺01   01 10 11  ̺ =  00 10 10 10   ̺10 00 ̺01 ̺10 ̺11  11 11 11 ̺11 00 ̺01 ̺10 ̺11

 h00|̺|00i h00|̺|01i h00|̺|10i h00|̺|11i  h01|̺|00i h01|̺|01i h01|̺|10i h01|̺|11i    = ,  h10|̺|00i h10|̺|01i h10|̺|10i h10|̺|11i  h11|̺|00i h11|̺|01i h11|̺|10i h11|̺|11i 

urmele ei part¸iale sunt matricele

00 ̺00 00 ̺01 01 ̺01 00 ̺01

tr 1 ̺ = 

¸si



!

10 ̺10 10 ̺11 11 ̺11 10 ̺11

+

00 ̺00 00 ̺01 01 ̺00 ̺01 01



tr  tr  tr 2 ̺ =    10 10   ̺00 ̺01 tr tr 11 ̺11 00 ̺01

!

,

00 ̺00 10 ̺11 01 ̺01 10 ̺11 10 ̺10 10 ̺11 11 ̺11 10 ̺11

tr (tr 1 ̺) = tr ̺ = tr (tr 2 ̺). 9.5.11 Produsul tensorial a doi operatori A : Cn → Cn

¸si

B : Cm → Cm

este operatorul A⊗B : Cn ⊗Cm −→ Cn ⊗Cm , definit prin relat¸ia (A⊗B)(ϕ⊗ψ) = (Aϕ) ⊗ (Bψ) ¸si extins folosind aditivitatea, adic˘ a X X (A⊗B) ϕj ⊗ψj = (Aϕj )⊗(Bψj ). j

j

! 

  !  , 

311

Sisteme cuantice cu spat¸iu Hilbert finit-dimensional

9.5.12 Exemple. Avem (σ1 ⊗σ2 )|10i = (σ1 |1i)⊗(σ2 |0i) = i |01i, (σ1 ⊗σ2 )(|10i+|01i) = (σ1 ⊗σ2 )|10i+(σ1 ⊗σ2 )|01i = i |01i − i |10i, (|iihj| ⊗ |kihℓ|) (|ϕi⊗|ψi) = hj|ϕi hℓ|ψi |ii⊗|ki = ϕ(j) ψ(ℓ) |iki. 9.5.13 Din relat¸iile (|ϕ1 i⊗|ψ1 ihϕ2 |⊗hψ2 |)(|ϕi⊗|ψi) = hϕ2 |ϕi hψ2 |ψi |ϕ1 i⊗|ψ1 i, (|ϕ1 ihϕ2 |⊗|ψ1 ihψ2 |)(|ϕi⊗|ψi) = hϕ2 |ϕi hψ2 |ψi |ϕ1 i⊗|ψ1 i rezult˘ a c˘ a |ϕ1 i⊗|ψ1 ihϕ2 |⊗hψ2 | = |ϕ1 ihϕ2 |⊗|ψ1 ihψ2 |, ¸si prin urmare tr 1 (|ϕ1 i⊗|ψ1 ihϕ2 |⊗hψ2 |) = hϕ2 |ϕ1 i |ψ1 ihψ2 |, tr 2 (|ϕ1 i⊗|ψ1 ihϕ2 |⊗hψ2 |) = hψ2 |ψ1 i |ϕ1 ihϕ2 |. ˆIn particular, avem |ijihkℓ| = |iihk|⊗|jihℓ|

¸si

tr 1 |ijihkℓ| = δik |jihℓ|, tr 2 |ijihkℓ| = δjℓ |iihk|.

9.5.14 Dac˘a A, B : C2 −→ C2 au ˆın raport cu baza {|0i, |1i} matricele ! ! b00 b01 a00 a01 , , B= A= b10 b11 a10 a11 atunci operatorul A⊗B : C2 ⊗C2 −→ C2 ⊗C2 are  0 0 0 0 a0 b0 a0 b1 !  0 1 0 1 0 0 a0 B a1 B  a0 b0 a0 b1 = A⊗B =   a10 b00 a10 b01 a10 B a11 B

matricea a01 b00 a01 b01 a01 b10 a01 b11 a11 b00 a11 b01

a10 b10 a10 b11 a11 b10 a11 b11

¸si

tr 1 (A ⊗ B) =

a00 b00 a00 b01 a00 b10 a00 b11

!

+

a11 b00 a11 b01 a11 b10 a11 b11

!

= (tr A) B,

    

312

Elemente de Algebr˘a Liniar˘a   a00 b00 tr  a00 b10 tr 2 (A ⊗ B) =    1 0  a 0 b0 tr a10 b10

a00 b01 a00 b11 a10 b01 a10 b11





tr tr



a01 b00 a01 b01 a01 b10 a01 b11 a11 b00 a11 b10

!

   = (tr B) A.   a11 b01  a11 b11

ˆIn particular, din ultimele dou˘ a relat¸ii rezult˘ a c˘a

tr 2 (A⊗B) ⊗ tr 1 (A⊗B) = tr (A⊗B) A⊗B. 9.5.15 ˆIn cazul unui operator liniar T : Cn ⊗Cm −→ Cn ⊗Cm , o conditie necesar˘a pentru a exista operatorii liniari A : Cn −→ Cn astfel ˆıncˆ at T = A⊗B B : Cm −→ Cm este ca (tr 2 T ) ⊗ (tr 1 T ) = (tr T ) T. 9.5.16 Un sistem compus din dou˘ a subsisteme cuantice A ¸si B, descrise de spat¸iile n m Hilbert C ¸si C , este descris de spat¸iul Hilbert Cn ⊗ Cm . Orice operator liniar A : Cn −→ Cn referitor la sistemul cuantic A devine un operator liniar referitor la sistemul compus A&B prin identificarea cu A⊗Im . Similar, orice operator B : Cm −→ Cm referitor la sistemul cuantic B devine un operator referitor la sistemul compus A&B prin identificarea cu In ⊗ B. 9.5.17 O stare pur˘a |Ψi ∈ Cn ⊗ Cm a sistemului compus este numit˘ a stare separabil˘ a n m (unentangled state, ˆın englez˘ a) dac˘ a exist˘a st˘ arile pure |ϕi ∈ C ¸si |ψi ∈ C astfel ˆıncˆ at |Ψi = |ϕi⊗|ψi. ˆIn caz contrar, |Ψi este numit˘ a stare neseparabil˘ a (entangled state, ˆın englez˘ a). 9.5.18 Starea |Ψi = 21 (|00i − |01i + |10i − |11i) ∈ C2 ⊗ C2 este separabil˘a deoarece |Ψi =

√1 (|0i+|1i) 2

⊗

√1 (|0i−|1i). 2

St˘ arile Bell sunt neseparabile. Pentru ca ß0 s˘ a fie separabil˘a, adic˘ a

Sisteme cuantice cu spat¸iu Hilbert finit-dimensional

313

1 √ (|00i + |11i) = (α|0i+β|1i)⊗(α′ |0i+β ′ |1i) 2 ar trebui ca α, β, α′ , β ′ s˘ a verifice relat¸iile contradictorii 1 αα′ = √ = ββ ′ ¸si αβ ′ = 0 = βα′ . 2 9.5.19 Alegˆand o baz˘ a {|ϕi i} ˆın Cn ¸si o baz˘ a {|ψj i} ˆın Cm , o stare pur˘a |Ψi ∈ Cn ⊗Cm se poate reprezenta sub forma n−1 X X m−1 Ψij |ϕi i⊗|ψj i. |Ψi = i=0 j=0

Num˘ arul



Ψ00 · · ·  .. .. r = rang  . .  n−10 Ψ ···

 Ψ0m−1  ..  .  n−1m−1 Ψ

nu depinde de bazele alese ¸si este numit rangul Schmidt al lui |Ψi. El este 1 dac˘ a ¸si numai dac˘ a |Ψi este separabil˘a. Dac˘a |Ψi este neseparabil˘a, rangul Schmidt poate fi considerat ca o m˘ asur˘a a gradului de inseparabilitate. ˆIn cazul starii Bell |ß0 i = √1 (|00i + |11i) ∈ C2 ⊗ C2 , rangul Schmidt este 2 ! √1 0 2 = 2. rang 0 √12 9.5.20 Valorile medii a dou˘ a observabile A : Cn −→ Cn ¸si B : Cm −→ Cm ˆın starea pur˘a separabil˘a |Ψi = |ϕi⊗|ψi sunt hAi = hϕ|⊗hψ|A⊗ Im |ϕi⊗|ψi = hϕ|A|ϕi = tr (A|ϕihϕ|), (9.4) hBi = hϕ|⊗hψ|In ⊗ B|ϕi⊗|ψi = hψ|B|ψi = tr (B|ψihψ|). Se observ˘ a c˘ a hAi nu depinde de |ψi, iar hBi nu depinde de |ϕi. Operatorul densitate corespunz˘ator st˘ arii pure separabile |Ψi = |ϕi⊗|ψi este ̺ = |ΨihΨ| = |ϕi⊗|ψihϕ|⊗hψ| = |ϕihϕ| ⊗ |ψihψ|. Deoarece tr 2 ̺ = |ϕihϕ| ¸si tr 1 ̺ = |ψihψ| avem ̺ = (tr 2 ̺) ⊗ (tr 1 ̺), iar relat¸iile (9.4) se pot scrie sub forma

314

Elemente de Algebr˘a Liniar˘a

hAi = tr (A tr 2 ̺)

¸si

hBi = tr (B tr 1 ̺).

9.5.21 Oricare ar fi operatorul densitate ̺ : Cn ⊗Cm −→ Cn ⊗Cm ¸si oricare ar fi operatorii autoadjunct¸i A : Cn −→ Cn ¸si B : Cm −→ Cm , avem P P i j kℓ PP kℓ Ak δℓ ̺ij (A⊗Im )ij tr ((A⊗Im )̺) = kℓ ̺ij = i,j k,ℓ = Aik i,k

tr ((In ⊗B)̺) =

P

PP

kℓ (In ⊗B)ij kℓ ̺ij =

i,j k,ℓ = Bℓj j,ℓ

P

adic˘ a au loc relat¸iile tr ((A ⊗ Im )̺) = tr (A tr2 ̺), tr ((In ⊗ B)̺) = tr (B tr1 ̺),

i,j k,ℓ k (tr2 ̺)i = tr (A tr2 ̺),

(tr1 ̺)ℓj = tr (B

oricare ar fi

PP i,j k,ℓ

δki Bℓj ̺kℓ ij

tr1 ̺),

A : Cn −→ Cn ,

B : Cm −→ Cm .

(9.5)

Astfel, dac˘ a sistemul compus A&B este ˆın starea ̺ (pur˘a sau mixt˘a), atunci statistica m˘ asur˘atorilor efectuate asupra sistemului A se poate descrie folosind operatorul densitate redus ̺A = tr2 ̺, iar statistica m˘ asur˘atorilor efectuate asupra sistemului B folosind operatorul densitate redus ̺B = tr1 ̺. Operatorii densitate redu¸si tr2 ̺ : Cn −→ Cn

¸si

tr1 ̺ : Cm −→ Cm

sunt (v. pag. 189-9) singurii operatori liniari care satisfac relat¸iile (9.5). 9.5.22 Dac˘a |ϕa i ¸si |ψb i sunt vectori proprii ai operatorilor A : Cn −→ Cn ¸si B : Cm −→ Cm corespunz˘atori valorilor proprii a ¸si b, adic˘ a A|ϕa i = a |ϕa i,

B|ψb i = b |ψb i,

atunci |ϕa i⊗|ψb i este un vector propriu al operatorului A⊗B corespunz˘ator valorii proprii ab, adic˘ a (A⊗B)(|ϕa i⊗|ψb i) = ab (|ϕa i⊗|ψb i). ˆIn particular, avem (A⊗Im )(|ϕa i⊗|ψi) = a (|ϕa i⊗|ψi), (In ⊗B)(|ϕi⊗|ψb i) = b (|ϕi⊗|ψb i),

oricare ar fi

|ψi ∈ Cm ,

oricare ar fi |ϕi ∈ Cn .

315

Sisteme cuantice cu spat¸iu Hilbert finit-dimensional

Dac˘a descompunerile spectrale ale observabilelor A ¸si B sunt X X A= a PaA ¸si B= b PbB , a

b

atunci observabilele A⊗Im ¸si In ⊗B au descompunerile X X A⊗Im = a PaA ⊗Im ¸si In ⊗B = b In ⊗PbB . a

b

M˘asurˆand A⊗Im ˆın starea ̺, rezultatul a se obt¸ine cu probabilitatea p(a) = tr ((PaA ⊗ Im )̺) = tr (PaA tr2 ̺), adic˘ a egal˘ a cu probabilitatea obt¸inerii rezultatului a ˆın cazul m˘ asur˘arii observabilei A ˆın starea tr2 ̺. Valoarea medie a observabilei A⊗Im ˆın starea ̺ este egal˘ a cu valoarea medie a observabilei A ˆın starea tr2 ̺ (v. pag. 314-21) tr ((A ⊗ Im )̺) = tr (A tr2 ̺). Similar, m˘ asurˆand In ⊗B ˆın starea ̺, obt¸inem rezultatul b cu probabilitatea p(b) = tr ((In ⊗ PbB )̺) = tr (PbB tr1 ̺),

adic˘ a egal˘ a cu probabilitatea obt¸inerii rezultatului b ˆın cazul m˘ asur˘arii observabilei B ˆın starea tr1 ̺. Valoarea medie a observabilei In ⊗B ˆın starea ̺ este egal˘ a cu valoarea medie a observabilei B ˆın starea tr1 ̺ (v. pag. 314-21) tr ((In ⊗ B)̺) = tr (B tr1 ̺). 9.5.23 Starea Bell |ß0 i este neseparabil˘a. Operatorul densitate corespunz˘ator, adic˘ a ̺ : C2 ⊗C2 → C2 ⊗C2 , cu matricea

̺ = |ß0 ihß0 | = 21 (|00ih00|+|11ih11|+|00ih00|+|11ih11|) 

1 0 0 1



  0 0 0 0  1   ̺=  2 0 0 0 0   1 0 0 1

nu este produsul tensorial a doi operatori deoarece (v. pag. 312-15) ! ! 1 1 0 0 2 2 ̺A = tr 2 ̺ = , ̺B = tr 1 ̺ = 0 12 0 12 ¸si

316

Elemente de Algebr˘a Liniar˘a



1 0 0  1 0 1 0 (tr 2 ̺) ⊗ (tr 1 ̺) =  4  0 0 1 0 0 0

 0  0   6= (tr ̺) ̺. 0   1

Starea Bell |ß0 i nu este un produs tensorial de st˘ ari pure, dar nici operatorul densitate corespunz˘ ator ̺ = |ß0 ihß0 | nu este un produs tensorial de operatori densitate. S¸tim ˆıns˘ a c˘ a valorile medii hAi ¸si hBi a dou˘ a observabile A⊗I2 ¸si I2 ⊗B ˆın starea Bell ̺ = |ß0 ihß0 | se pot exprima sub forma (v. pag. 314-21) hAi = tr (A tr 2 ̺)

¸si

hBi = tr (B tr 1 ̺).

ari pure. Deoarece tr (̺A )2 = tr (̺B )2 = 12 < 1, operatorii ̺A ¸si ̺B nu descriu st˘ A B Gradul de impuritate al st˘ arilor ̺ ¸si ̺ este maxim (v. pag. 287-6). ˆIn cazul ˆın care sistemul compus este ˆın starea pur˘a neseparabil˘a |ß0 i, informat¸ia pe care o avem despre sistemul compus reprezint˘a maximul posibil. ˆIn acela¸si timp, informat¸ia referitoare la fiecare dintre subsistemele componente reprezint˘a minimul posibil. 9.5.24 Starea singlet i i |ß2 i = √ (|10i − |01i) = √ (|1i ⊗ |0i − |0i ⊗ |1i) 2 2 are proprietatea remarcabil˘a de a-¸si p˘ astra, pˆ an˘ a la un factor de faz˘a, forma ˆın urma trecerii la oricare alt˘a baz˘ a ortonormat˘a {|0′ i, |1′ i}. Scriind |0′ i = a |0i + b |1i, |1′ i = c |0i + d |1i

matricea de trecere U=

a c b d

!

este unitar˘a, ¸si prin urmare, p √ p |ad − bc| = det U det U ∗ = det(U U ∗ ) = det I2 = 1.

Deoarece elementul i i √ (|1′ i⊗|0′ i−|0′ i⊗|1′ i) = (ad − bc) √ (|1i⊗|0i−|0i⊗|1i) 2 2

317

Sisteme cuantice cu spat¸iu Hilbert finit-dimensional

din C2 ⊗C2 difer˘ a de |ß2 i doar prin factorul (ad − bc) cu |ad − bc| = 1, ambii descriu aceea¸si stare. Pentru |ß2 i se obt¸ine descompunerea Schmidt 1 1 |ß2 i = √ |ϕ0 i⊗ |ψ0 i + √ |ϕ1 i⊗ |ψ1 i 2 2 alegˆ and bazele ortonormate: {|ϕ0 i = √12 (|0i + |1i), |ϕ1 i = {|ψ0 i =

√i

2

(|0i − |1i), |ψ1 i =

√i

(|0i − |1i)}

2 −1 √ (|0i 2

pentru primul sistem,

+ |1i)}

pentru al doilea sistem.

ˆIn particular, se observ˘ a c˘ a rangul Schmidt al lui |ß2 i este r = 2, adic˘ a gradul de inseparabilitate al st˘ arii |ß2 i este maxim. 9.5.25 Dac˘a ̺A : Cn −→ Cn ¸si ̺B : Cm −→ Cm sunt operatori densitate, atunci ̺A ⊗̺B : Cn ⊗Cm −→ Cn ⊗Cm este operator densitate ¸si ̺A = tr 2 (̺A ⊗̺B ),

̺B = tr 1 (̺A ⊗̺B ).

Dac˘a sistemul compus A&B se afl˘ a ˆın starea ̺A ⊗̺B , atunci oricare ar fi observabilele A : Cn −→ Cn ¸si B : Cm −→ Cm , avem hAi = tr ((A⊗ Im )(̺A ⊗̺B )) = tr (A̺A ) hBi = tr ((In ⊗ B)(̺A ⊗̺B )) = tr (B̺B ).

ˆIn particular, hAi nu depinde de ̺B , ¸si hBi nu depinde de ̺A . m m n n ¸ B B A A s i ̺B 9.5.26 Dac˘a ̺A 1 , ̺2 , ..., ̺k : C −→ C sunt 1 , ̺2 , ..., ̺k : C −→ C operatori densitate ¸si p1 , p2 , ..., pk este o distribut¸ie de probabilitate, adic˘ a

p1 , p2 , ..., pk ∈ [0, 1] atunci ̺=

k X j=1

k X

¸si

pj = 1,

j=1

B pj ̺A j ⊗̺j

este operator densitate ¸si tr 2 ̺ =

k X j=1

pj ̺A j ,

tr 1 ̺ =

k X j=1

pj ̺B j .

318

Elemente de Algebr˘a Liniar˘a

Dac˘a sistemul compus A&B se afl˘ a ˆın starea ̺, atunci oricare ar fi n n observabilele A : C −→ C ¸si B : Cm −→ Cm , avem hAi = tr (A tr 2 ̺)

hBi = tr (B tr 1 ̺),

¸si

B si hBi nu depinde de ̺A , ̺A , ..., ̺A . B adic˘ a hAi nu depinde de ̺B 2 1 1 , ̺2 , ..., ̺k , ¸ k

9.5.27 O stare mixt˘a ̺ : Cn ⊗Cm → Cn ⊗Cm a sistemului compus A&B este numit˘ a stare separabil˘ a (unentangled state, ˆın englez˘ a) dac˘ a exist˘a operatorii densitate m m B B ̺B 1 , ̺2 , ..., ̺k : C −→ C

n n A A ̺A 1 , ̺2 , ..., ̺k : C −→ C ,

¸si o distribut¸ie de probabilitate p1 , p2 , ..., pk astfel ˆıncˆ at k X B p j ̺A ̺= j ⊗̺j . j=1

ˆIn caz contrar, ̺ este numit˘ a stare neseparabil˘ a (entangled state, ˆın englez˘ a). 9.5.28 Alegˆand o baz˘ a {|ϕi i} ˆın Cn ¸si o baz˘ a {|ψj i} ˆın Cm , o stare pur˘a |Ψi a sistemului compus se poate reprezenta sub forma n−1 X m−1 X Ψij |ϕi i⊗|ψj i. |Ψi = i=0 j=0

Conform teoremei de descompunere a lui Schmidt (v. pag. 191-16), bazele {|ϕi i} ¸si {|ψj i} se pot alege astfel ˆıncˆ at s˘ a obt¸inem descompunerea |Ψi =

r−1 X i=0

Ψii |ϕi i⊗|ψi i

cu

Ψii ∈ (0, ∞).

Dac˘a sistemul compus este ˆın starea pur˘a |Ψi, atunci operatorii densitate care descriu st˘ arile celor dou˘ a subsisteme r−1 P ii 2 ̺A = tr 2 |ΨihΨ| = (Ψ ) |ϕi ihϕi |, ̺B = tr 1 |ΨihΨ| =

i=0 r−1 P i=0

(Ψii )2 |ψi ihψi |

au acelea¸si valori proprii nenule ¸si anume (Ψ00 )2 , (Ψ11 )2 , ... , (Ψr−1r−1 )2 . Entropiile von Neumann ale st˘ arilor celor dou˘ a subsisteme sunt egale r−1 X (Ψii )2 ln(Ψii )2 S[̺A ] = S[̺A ] = i=0

319

Sisteme cuantice cu spat¸iu Hilbert finit-dimensional

¸si ele reprezint˘ a o m˘ asur˘a a gradului de inseparabilitate a st˘ arii |Ψi. 9.5.29 ∗ Orice stare poate fi purificat˘ a ˆın sensul urm˘ator: oricare ar fi operatorul A n n densitate ̺ : C −→ C exist˘a o stare pur˘a |Ψi ∈ Cn ⊗Cn astfel ˆıncˆ at Exist˘ a pj ∈ [0, 1] cu

Pn

̺A = tr 2 |ΨihΨ|. o baz˘ a ortonormat˘a {|ϕj i} ˆın Cn astfel ˆıncˆ at X = pj |ϕj ihϕj |.

si j=1 pj = 1 ¸ ̺A

j

Alegˆand ˆın Cn o baz˘ a ortonormat˘a arbitrar˘a {|ψj i} ¸si X√ |Ψi = pj |ϕj i⊗|ψj i j

obt¸inem

tr 2 |ΨihΨ| = tr 2

X√ j,k

pj pk |ϕj i⊗|ψj ihϕk |⊗hψk | =

n X j=1

pj |ϕj ihϕj | = ̺A .

9.5.30 Dac˘a subsistemele A ¸si B ale unui sistem compus se afl˘ a la distant¸˘a unul fat¸˘ a de cel˘ alalt, singurele m˘ asur˘atori realizabile experimental sunt cele locale, adic˘ a referitoare fie la A, fie la B. Astfel operatorii implicat¸i sunt de forma A⊗Im sau In ⊗B. Plecˆ and de la descompunerea spectral˘ a σ3 = |0ih0| − |1ih1| a observabilei σ3 obt¸inem c˘a σ3 ⊗I2 are descompunerea spectral˘ a σ3 ⊗I2 = |0ih0|⊗I2 − |1ih1|⊗I2 . ˆIn cazul unui sistem compus din doi qubit¸i, aflat ˆın starea neseparabil˘a asurˆand observabila σ3 ⊗I2 se pot obt¸ine: |ß2 i = √i2 (|10i − |01i), m˘ - rezultatul 1 cu probabilitatea 1 p(1) = hß2 |(|0ih0|⊗I2 )|ß2 i = , 2 - rezultatul -1 cu probabilitatea 1 p(−1) = hß2 |(|1ih1|⊗I2 )|ß2 i = . 2 Dup˘ a m˘ asur˘atoare starea sistemului compus este starea separabil˘a (|0ih0|⊗I2 )|ß2 i p = −i |01i p(1)

320

Elemente de Algebr˘a Liniar˘a

ˆın cazul obt¸inerii rezultatului 1 ¸si starea separabil˘a (|1ih1|⊗I2 )|ß2 i p = i |10i p(−1)

ˆın cazul obt¸inerii rezultatului -1. Admitem c˘ a primul qubit se afl˘ a la dispozit¸ia lui Alice ¸si al doilea la dispozit¸ia lui Bob, situat¸i la distant¸˘ a unul fat¸˘a de cel˘alalt. Dac˘a Alice m˘ asoar˘ a observabila σ3 ¸si obt¸ine rezultatul 1, atunci ea ¸stie c˘a dup˘a m˘ asur˘atoare qubitul ei se afl˘ a ˆın starea |0i, iar al lui Bob ˆın starea |1i. Dac˘a obt¸ine rezultatul -1, atunci ea ¸stie c˘ a dup˘a m˘ asur˘atoare qubitul ei se afl˘ a ˆın starea |1i, iar al lui Bob ˆın starea |0i. Astfel, Alice poate s˘ a prevad˘ a cu precizie ce rezultat va obt¸ine Bob m˘ asurˆand σ3 . 9.5.31 St˘ arile Bell verific˘ a relat¸iile |ß0 i = (σ0 ⊗I)|ß0 i,

|ß1 i = (σ1 ⊗I)|ß0 i,

|ß2 i = (σ2 ⊗I)|ß0 i,

|ß3 i = (σ3 ⊗I)|ß0 i

9.5.32 Codificarea superdens˘ a. Primind un sistem clasic cu doar dou˘ a st˘ ari posibile, 0 ¸si 1, putem deduce dac˘ a starea lui este 0 sau 1, adic˘ a obt¸inem un bit de informat¸ie. Primind un sistem cuantic cu spat¸iu Hilbert bidimensional (qubit), ˆın general, prin m˘ asur˘atori nu putem extrage mai mult˘ a informat¸ie decˆ at ˆın ˆ cazul clasic (v. pag. 301-18 ¸si pag. 306-12). In situat¸ii speciale ˆıns˘ a, se poate transmite cu ajutorul unui qubit echivalentul a doi bit¸i. Consider˘ am un sistem cuantic compus din doi qubit¸i aflat ˆın starea Bell ß0 cu qubit¸ii A ¸si B la distant¸˘a unul fat¸˘a de cel˘alalt. Admitem c˘a Alice are la dispozit¸ie qubitul A, iar Bob qubitul B ¸si c˘a Alice dore¸ste s˘ a-i transmit˘a lui Bob unul dintre mesajele 00, 01, 10 , 11, sau echivalent, mesajul k, unde k este unul dintre numerele 0, 1, 2, 3. Alice aplic˘ a qubitului avut la dispozit¸ie transformarea σk ¸si apoi ˆıl trimite lui Bob. Avˆ and la dispozit¸ie ambii qubit¸i, Bob m˘ asoar˘ a observabila O = 0 |ß0 ihß0 | + 1 |ß1 ihß1 | + 2 |ß2 ihß2 | + 3 |ß3 ihß3 | ¸si obt¸ine rezultatul k. Acest lucru se ˆıntˆampl˘ a deoarece ˆın urma transform˘arii σk aplicate de Alice qubitului A, starea sistemului compus A&B a devenit (σk ⊗ I)|ß0 i = |ßk i.

Sisteme cuantice cu spat¸iu Hilbert finit-dimensional

321

9.5.33 Oricare ar fi |ψi = α|0i+β|1i ∈ C2 , avem 3 1 1 P (|00i + |11i) ⊗ (α|0i+β|1i) |ßk i ⊗ σk |ψi = 2√ 2 2 k=0

1 + 2√ (|10i + |01i) ⊗ (α|1i+β|0i) 2

1 + 2√ (i|10i − i|01i) ⊗ (iα|1i−iβ|0i) 2 1 + 2√ (|00i − |11i) ⊗ (α|0i−β|1i) 2

=

√1 2

(α|000i+α|011i+β|100i+β|111i)

= |ψi ⊗ |ß0 i. Relat¸ia obt¸inut˘ a, referitoare la un sistem compus din trei qubit¸i, permite transmiterea la distant¸˘ a a st˘ arii necunoscute |ψi. 9.5.34 Teleportarea unei st˘ ari cuantice necunoscute. Admitem c˘a Alice ¸si Bob, aflat¸i la distant¸˘ a unul fat¸˘ a de cel˘ alalt, au la dispozit¸ie cˆ ate un qubit al unui sistem compus din doi qubit¸i aflat ˆın starea |ß0 i. Mai admitem c˘a Alice mai are la dispozit¸ie un alt qubit aflat ˆın starea necunoscut˘a |ψi pe care dore¸ste s˘ ao transfere qubitului aflat la dispozit¸ia lui Bob. Astfel, sistemul compus format din cei trei qubit¸i se afl˘ a ˆın starea |Ψi = |ψi⊗|ß0 i care se mai poate scrie 1 |Ψi = (|ß0 i⊗σ0 |ψi + |ß1 i⊗σ1 |ψi + |ß2 i⊗σ2 |ψi + |ß3 i⊗σ3 |ψi). 2 Alice efectueaz˘a asupra sistemului de doi qubit¸i avut la dispozit¸ie m˘ asur˘atoarea observabilei O = 0 |ß0 ihß0 | + 1 |ß1 ihß1 | + 2 |ß2 ihß2 | + 3 |ß3 ihß3 | lucru echivalent cu m˘ asurarea ˆın cazul sistemului de trei qubit¸i a observabilei O⊗I2 = 0 |ß0 ihß0 |⊗I2 + 1 |ß1 ihß1 |⊗I2 + 2 |ß2 ihß2 |⊗I2 + 3 |ß3 ihß3 |⊗I2 . Rezultatele posibile sunt 0,1,2,3. Rezultatul k se obt¸ine cu probabilitatea 1 p(k) = hΨ|(|ßk ihßk |⊗I2 )|Ψi = , 4 iar ˆın cazul obt¸inerii lui, starea sistemului devine (|ßk ihßk |⊗I2 )|Ψi p = |ßk i⊗σk |ψi, p(k)

adic˘ a qubitul aflat la dispozit¸ia lui Bob trece ˆın starea σk |ψi. Admitem c˘a Alice poate s˘ a-l informeze pe Bob c˘a a obt¸inut rezultatul k folosind o cale de

322

.

Elemente de Algebr˘a Liniar˘a

comunicare clasic˘ a. Bob va aplica transformarea σk qubitului avut la dispozit¸ie f˘acˆ and ca starea acestuia s˘ a devin˘a

σk2 |ψi = |ψi. Starea necunoscut˘ a |ψi a fost astfel teleportat˘ a de la Alice la Bob.

9.5.35 Inegalitatea lui Bell. ˆIntr-un laborator C se prepar˘a sisteme formate din cˆate dou˘ a particule. Dup˘ a prepararea fiec˘ arei perechi, una dintre particule este trimis˘a lui Alice ¸si cealalt˘ a lui Bob. Alice are la dispozit¸ie dou˘ a dispozitive care-i permit s˘ a m˘ asoare dou˘ a m˘ arimi fizice A1 ¸si A2 , putˆ and obt¸ine rezultatul a1 ∈ {−1, 1} ¸si respectiv a2 ∈ {−1, 1}. Similar, Bob poate m˘ asura m˘ arimile fizice B1 ¸si B2 , putˆ and ˆ obt¸ine rezultatul b1 ∈ {−1, 1} ¸si b2 ∈ {−1, 1}. In cazul fiec˘ arei particule primite Alice m˘ asoar˘ a una dintre m˘ arimile A1 , A2 , ales˘ a la ˆıntˆamplare, iar Bob una dintre m˘ arimile B1 , B2 ales˘ a tot la ˆıntˆ amplare. Admitem c˘a Alice ¸si Bob se afl˘ a la distant¸˘a unul fat¸˘ a de cel˘ alalt ¸si c˘ a ˆın cazul fiec˘ arei perechi de particule, m˘ asur˘atoarea se efectueaz˘a simultan astfel c˘ a rezultatele obt¸inute nu se influent¸eaz˘a unul pe cel˘alalt. Mai admitem c˘ a pentru fiecare pereche de particule preparat˘a ˆın laboratorul C, m˘ arimile A1 , A2 , B1 , B2 au valori bine determinate a1 , a2 , b1 , b2 ∈ {−1, 1}. Dup˘ a efectuarea unui mare num˘ ar de m˘ asur˘atori, Alice ¸si Bob se ˆıntˆalnesc ¸si calculeaz˘ a valorile medii E(A1 B1 ), E(A1 B2 ), E(A2 B1 ), E(A2 B2 ) ale produselor de m˘ arimi A1 B1 , A1 B2 , A2 B1 , A2 B2 . Deoarece a1 , a2 , b1 , b2 ∈ {−1, 1}, avem fie (a1 +a2 )b1 = 0, fie (a2 −a1 )b2 = 0, ¸si prin urmare a1 b1 +a2 b1 +a2 b2 −a1 b2 = (a1 +a2 )b1 + (a2 −a1 )b2 ∈ {−2, 2}.

Notˆand cu p(a1 , a2 , b1 , b2 ) probabilitatea ca ˆınainte de m˘ asur˘atori sistemul de dou˘ a particule s˘ a fie ˆın starea ˆın care m˘ arimile A1 , A2 , B1 , B2 au valorile a1 , a2 , b1 , b2 obt¸inem pentru valoarea medie E(A1 B1 +A2 B1 + A2 B2 −A1 B2 ) a m˘ arimii A1 B1 + A2 B1 + A2 B2 −A1 B2 relat¸iile

323

Sisteme cuantice cu spat¸iu Hilbert finit-dimensional

E(A1 B1 +A2 B1 +A2 B2 −A1 B2 ) =

P

a1 ,a2 ,b1 ,b2

≤

P

a1 ,a2 ,b1 ,b2

E(A1 B1 +A2 B1 +A2 B2 −A1 B2 ) =

P

p(a1 , a2 , b1 , b2 )(a1 b1 +a2 b1 +a2 b2 −a1 b2 ) p(a1 , a2 , b1 , b2 ) · 2 = 2, p(a1 , a2 , b1 , b2 )a1 b1

a1 ,a2 ,b1 ,b2

+

P

p(a1 , a2 , b1 , b2 )a2 b1

a1 ,a2 ,b1 ,b2

+

P

p(a1 , a2 , b1 , b2 )a2 b2

a1 ,a2 ,b1 ,b2

−

P

p(a1 , a2 , b1 , b2 )a1 b2

a1 ,a2 ,b1 ,b2

= E(A1 B1 ) + E(A2 B1 ) + E(A2 B2 ) − E(A1 B2 ), din care rezult˘ a inegalitatea lui Bell E(A1 B1 ) + E(A2 B1 ) + E(A2 B2 ) − E(A1 B2 ) ≤ 2. 9.5.36 Dac˘a ˆın experimentul prezentat la pag. 322-35, ˆın laboratorul C se prepar˘a sisteme compuse din doi qubit¸i ˆın starea |ß2 i, Alice m˘ asoar˘ a observabilele A1 = σ3

¸si

A2 = σ1 ,

¸si Bob m˘ asoar˘ a B1 =

−σ3 − σ1 √ 2

¸si

B2 =

σ3 − σ1 √ , 2

atunci conform mecanicii cuantice hA1 B1 i =

√1 hß2 |σ3 ⊗ 2

(−σ3 − σ1 )|ß2 i =

√1 , 2

hA2 B1 i =

√1 hß2 |σ1 ⊗ 2

(−σ3 − σ1 )|ß2 i =

√1 , 2

hA2 B2 i =

√1 hß2 |σ1 ⊗ 2

(σ3 − σ1 )|ß2 i =

hA1 B2 i =

√1 hß2 |σ3 ⊗ 2

(σ3 − σ1 )|ß2 i = − √12 .

√1 , 2

Se constat˘ a c˘ a √ hA1 B1 i + hA2 B1 i + hA2 B2 i − hA1 B2 i = 2 2 > 2, adic˘ a, inegalitatea lui Bell este violat˘ a. Deoarece relat¸ia √ hA1 B1 i + hA2 B1 i + hA2 B2 i − hA1 B2 i = 2 2

324

Elemente de Algebr˘a Liniar˘a

este confirmat˘a experimental, trebuie s˘ a admitem c˘a cel put¸in una dintre ipotezele, aparent rezonabile, utilizate pentru deducerea inegalit˘ a¸tii lui Bell nu este satisf˘ acut˘ a ˆın cazul sistemelor cuantice. St˘ arile neseparabile ofer˘a ceva inexistent ˆın fizica clasic˘ a. Ele reprezint˘a o important˘a resurs˘a, amplu exploatat˘a ˆın teoria cuantic˘a a informat¸iei (v. pag. 320-32, pag. 321-34 ¸si [2, 17, 26]).

9.6

Evolutia ˆın timp a st˘ arii unui sistem cuantic

9.6.1 Pentru orice sistem cuantic izolat exist˘a un operator autoadjunct H, numit hamiltonianul sistemului, astfel ˆıncˆ at evolut¸ia ˆın timp a st˘ arii sistemului este descris˘a de ecuat¸ia ∂ψ = Hψ, i ∂t numit˘ a ecuat¸ia Schr¨ odinger. 9.6.2 Dac˘a H nu depinde de timp, prin calcul direct, se constat˘ a c˘a ψ(q, t) = e−i(t−t0 )H ψ(q, t0 ) verific˘ a ecuat¸ia Schr¨ odinger ¸si deci descrie evolut¸ia st˘ arii sistemului ˆın funct¸ie −i(t−t )H 0 de starea la momentul t0 . Operatorul e , numit operator de evolut¸ie, este un operator unitar +  ∗ e−i(t−t0 )H e−i(t−t0 )H = ei(t−t0 )H e−i(t−t0 )H = I.

9.6.3 Dac˘a ψ0 este o funct¸ie proprie a hamiltonianului sistemului Hψ0 = E0 ψ0

¸si dac˘ a la momentul t0 starea sistemului este descris˘a de ψ0 ψ(q, t0 ) = ψ0 (q), atunci starea sistemului nu variaz˘ a ˆın timp ψ(q, t) = e−i(t−t0 )H ψ0 (q) = e−i(t−t0 )E0 ψ0 (q) Funct¸iile proprii ale hamiltonianului descriu st˘ ari stat¸ionare ale sistemului.

325

Sisteme cuantice cu spat¸iu Hilbert finit-dimensional 9.6.4 ˆIn cazul unui qubit cu hamiltonianul H : C −→ C,

H = ωσ1 = ω(|0ih1| + |1ih0|)

¸si deci, ˆın baza computat¸ional˘ a {|0i, |1i}, cu matricea ! ! 0 ω 0 1 , = H=ω ω 0 1 0 nivelele de energie sunt solut¸iile ecuat¸iei −E ω = 0, ω −E adic˘ a

E± = ±ω. St˘ arile stat¸ionare corespunz˘atoare sunt 1 1 |+i = √ (|0i + |1i) ¸si |−i = √ (|0i − |1i). 2 2 Utilizˆand reprezentarea spectral˘ a H = ω|+ih+| − ω|−ih−| obt¸inem c˘ a e−i(t−t0 )H = e−iω(t−t0 ) |+ih+| + eiω(t−t0 ) |−ih−| ! 1 1 −iω(t−t0 ) = 2e (1 1) + 12 eiω(t−t0 ) 1 =

cos ω(t−t0 ) −i sin ω(t−t0 )

−i sin ω(t−t0 ) cos ω(t−t0 )

!

1 −1

!

(1 − 1)

.

ˆIn reprezentare matriceal˘ a, plecˆ and de la forma diagonal˘ a ! ! ! √1 √1 √1 √1 ω 0 2 2 2 2 H= √1 √1 √1 √1 − − 0 −ω 2 2 2 2 obt¸inem e−i(t−t0 )H =

√1 2 √1 2

√1 2 − √12

!

e−i(t−t0 )ω

0

0

ei(t−t0 )ω

!

√1 2 √1 2

√1 2 − √12

!

,

326

Elemente de Algebr˘a Liniar˘a

adic˘ a reobt¸inem c˘ a −i(t−t0 )H

e

=

cos ω(t−t0 ) −i sin ω(t−t0 ) −i sin ω(t−t0 ) cos ω(t−t0 )

!

.

9.6.5 Starea la un moment t0 determin˘a complet evolut¸ia ˆın timp a st˘ arii sistemului. Se admite c˘ a pentru fiecare t ∈ R exist˘a un operator unitar U (t, t0 ) astfel ˆıncˆ at ψ(q, t) = U (t, t0 ) ψ(q, t0 ), pentru orice evolut¸ie posibil˘ a ψ(q, t) a st˘ arii sistemului cuantic considerat. Produsul scalar a dou˘ a solut¸ii ale ecuat¸iei Schr¨ odinger nu variaz˘ a ˆın timp hψ1 (q, t), ψ2 (q, t)i = hψ1 (q, t0 ), ψ2 (q, t0 )i. Dou˘ a st˘ ari ortogonale la un moment t0 r˘ amˆ an ortogonale la orice alt moment. Impunˆ and ca ψ(q, t) s˘ a verifice ecuat¸ia Schr¨ odinger, obt¸inem ecuat¸ia d i U (t, t0 ) = H U (t, t0 ). (9.6) dt Operatorii de evolut¸ie verific˘ a relat¸iile U (t, t0 ) = I

¸si

U (t, t0 ) = U (t, t1 ) U (t1 , t0 ).

9.6.6 S¸tim c˘ a orice operator unitar este diagonalizabil ¸si unimodulare, adic˘ a de forma eiλ , cu λ ∈ R. Exist˘ a astfel ˆıncˆ at  iλ1 e 0 ··· 0   0 eiλ2 · · · 0 ∗ U (t, t0 ) = S  . .. .. ..  .. . . .  0

0

···

eiλd

Din aceast˘ a relat¸ie rezult˘ a c˘a

c˘a valorile lui proprii sunt o transformare unitar˘a S 

    S.  

U (t, t0 ) = eiA(t,t0 ) , unde A(t, t0 ) este operatorul autoadjunct  λ1 0 · · ·   0 λ2 · · · ∗ A(t, t0 ) = S  . .. . .  .. . .  0

0

···

0



 0   S. ..  .  

λd

327

Sisteme cuantice cu spat¸iu Hilbert finit-dimensional

Operatorul unitar U (t, t0 ) verific˘ a ecuat¸ia (9.6) ¸si condit¸ia U (t0 , t0 ) = I dac˘ a d A(t, t0 ) = −H ¸si A(t0 , t0 ) = 0. dt ˆIn cazul ˆın care H nu depinde de timp, reobt¸inem U (t, t0 ) = e−i(t−t0 )H . 9.6.7 Spat¸iul st˘ arilor unei  particule care L2 (R) = Ψ : R −→ C

se sc˘ a de-a lungul unei Zmi¸  drepte este ∞ |Ψ(q)|2 dq < ∞ −∞

(spat¸iul Hilbert al funct¸iilor de p˘ atrat integrabil), operatorul coordonat˘a este Ψ 7→ qˆΨ,

unde

(ˆ q Ψ)(q) = q Ψ(q),

(9.7)

iar impulsul este descris de operatorul Ψ 7→ pˆΨ,

unde

pˆΨ = −i

dΨ . dq

(9.8)

9.6.8 Leg˘ atura dintre variabilele complementare qˆ ¸si pˆ se poate exprima cu ajutorul transform˘arii Fourier Z ∞ 1 F[Ψ](p) = √ e−ipq ψ(q) dq. 2π −∞ Deoarece ˆın cazul unei funct¸ii Ψ ∈ L2 (R) avem limq→±∞ Ψ(q) = 0, integrˆ and prin p˘ art¸i, obt¸inem relat¸ia i h R ∞ −ipq dΨ √−i F −i dΨ dq (p) = 2π −∞ e dq (q) dq R ∞ = √12π −∞ p e−ipq Ψ(q) dq = p F[Ψ](p)

care se mai poate scrie

F pˆ = qˆ F

sau

pˆ = F −1 qˆ F. 9.6.9 ˆIn starea cuantic˘ a descris˘a de funct¸ia normat˘a Ψ, num˘ arul Z b |Ψ(q)|2 dq a

reprezint˘ a probabilitatea de a g˘asi particula ˆın intervalul [a, b], Z b |F[Ψ](p)|2 dp a

(9.9)

328

Elemente de Algebr˘a Liniar˘a

probabilitatea ca impulsul particulei s˘ a apart¸in˘ a intervalului [a, b], iar hˆ q i = hΨ, qˆ Ψi

¸si

hˆ pi = hΨ, pˆ Ψi

reprezint˘ a valorile medii ale coordonatei ¸si impulsului ˆın starea Ψ. 9.6.10 Descrierea evolut¸iei ˆın timp a st˘ arii sistemului se reduce la g˘asirea hamiltonianului H ¸si rezolvarea ecuat¸iei Schr¨ odinger. ˆIn general, H este de forma 2 1 d2 pˆ + V (ˆ q , t) = − + V (q, t) H= 2m 2m dq 2 unde m este masa particulei iar V (q, t) este energia potent¸ial˘a. Ecuat¸ia Schr¨ odinger este o ecuat¸ie diferent¸ial˘a de ordinul al doilea ∂Ψ 1 ∂2Ψ i =− + V (q, t)Ψ ∂t 2m ∂q 2 ˆIn cazul ˆın care H nu depinde de timp, st˘ arile stat¸ionare Ψn (q, t) = e−itEn Ψn (q) corespund funct¸iilor proprii ale hamiltonianului 1 ∂ 2 Ψn − + V (q)Ψn = En Ψn 2m ∂q 2 iar evolut¸ia ˆın timp a st˘ arii sistemului este descris˘a de funct¸ia ∞ X cn e−itEn Ψn (q) Ψ(q, t) = n=0

cu coeficient¸ii cn determinat¸i de condit¸ia ca Ψ(q, t) s˘ a coincid˘ a cu o stare dat˘ a, la un moment fixat.

9.6.11 O versiune foarte simplificat˘a a sistemului cuantic prezentat se obt¸ine admit¸ˆand c˘ a pentru particula considerat˘a num˘ arul de pozit¸ii care se pot distinge este finit. Admitem c˘ a num˘ arul pozit¸iilor ce pot fi distinse, d = 2s+1, este impar ¸si utiliz˘ am inelul Zd = Z/dZ al ˆıntregilor modulo d ca model matematic pentru descrierea lor. Alegˆand {−s, −s+1, ..., s−1, s} ca o mult¸ime de reprezentant¸i ‘standard’ pentru elementele lui Zd , st˘ arile sistemului cuantic considerat sunt descrise de spat¸iul de funct¸ii ℓ2 (Zd ) = {ψ : {−s, −s+1, ..., s−1, s} −→ C | ψ este funct¸ie }, care considerat ˆımpreun˘ a cu produsul scalar

329

Sisteme cuantice cu spat¸iu Hilbert finit-dimensional

s X

hψ1 , ψ2 i =

ψ1 (n) ψ2 (n)

n=−s

este un spat¸iu Hilbert d-dimensional, izomorf cu spat¸iul Hilbert standard Cd . Spunem despre o funct¸ie ψ ∈ ℓ2 (Zd ) c˘a este normat˘a dac˘ a v u s p uX ||ψ|| = hψ, ψi = t |ψ(n)|2 = 1. n=−s

Oric˘ arei funct¸ii ψ neidentic nule ˆıi corespunde funct¸ia normat˘a

ψ ||ψ|| .

9.6.12 Asociem coordonatei operatorul (a se vedea (9.7)) Q : ℓ2 (Zd ) −→ ℓ2 (Zd ),

(Qψ)(n) = n ψ(n),

iar impulsului operatorul (a se vedea (9.9)) P : ℓ2 (Zd ) −→ ℓ2 (Zd ),

P = F −1 QF = F ∗ QF,

unde F este transformarea Fourier finit˘ a s 1 X − 2πi kn F [ψ](k) = √ e d ψ(n), d n=−s

ℓ2 (Zd ) −→ ℓ2 (Zd ) : ψ 7→ F [ψ], cu inversa 2

2

∗

ℓ (Zd ) −→ ℓ (Zd ) : ψ 7→ F [ψ],

s 1 X 2πi kn ψ(n). e d F [ψ](k) = √ d n=−s ∗

9.6.13 ˆIn cazul unei st˘ ari normate ψ ∈ ℓ2 (Zd ), avem

|ψ(n)|2 = probabilitatea ca particula s˘ a se afle ˆın punctul n

¸si |F [ψ](k)|2 = probabilitatea ca particula s˘ a aib˘ a impulsul k. Num˘ arul hQi = hψ, Qψi =

s X

ψ(n)(Qψ)(n) =

n=−s

reprezint˘ a valoarea medie a coordonatei, iar

s X

n=−s

hP i = hψ, P ψi = hψ, F ∗ QF ψi = hF [ψ], QF [ψ]i = valoarea medie a impulsului ˆın starea |ψi.

n|ψ(n)|2

s X

n=−s

n|F [ψ](n)|2

330

Elemente de Algebr˘a Liniar˘a

9.6.14 Pentru fiecare m ∈ {−s, −s+1, ..., s−1, s}, funct¸ia ( ψm : {−s, −s+1, ..., s−1, s} −→ C,

ψm (n) =

1 dac˘ a n = m, 0 dac˘ a n 6= m

este funct¸ie proprie a operatorului coordonat˘a Q Qψm = m ψm , iar funct¸ia ψ˜m = F −1 [ψm ], adic˘ a 1 2πi ψ˜m (k) = √ e d mk d

ψ˜m : {−s, −s+1, ..., s−1, s} −→ C, este funct¸ie proprie a operatorului impuls P

P ψ˜m = F −1 QF F −1 [ψm ] = m F −1 [ψm ] = m ψ˜m . 9.6.15 ˆIn starea ψm particula se afl˘ a ˆın punctul m ( 1 dac˘ a n = m, 2 |ψm (n)| = 0 dac˘ a n 6= m, dar impulsul ei este complet nedeterminat 2 1 2 1 − 2πi mn d = , ∀n ∈ {−s, −s+1, ..., s−1, s}. |F [ψm ](n)| = √ e d d Similar, ˆın starea ψ˜m impulsul are valoarea m ( 1 dac˘ a n = m, 2 2 |F [ψ˜m ](n)| = |ψm (n)| = 0 dac˘ a n 6= m, dar pozit¸ia particulei este complet nedeterminat˘a 2 1 2 1 2πi mn ˜ d = , |ψm (n)| = √ e d d

∀n ∈ {−s, −s+1, ..., s−1, s}.

9.6.16 Scriind |ni ˆın loc de ψn ¸si |˜ ni ˆın loc de ψ˜n avem Q= P =

s P

n=−s s P

n=−s

n|nihn|, n|˜ nih˜ n|,

s P

2πi e− d kn |kihn|, d n=−s s P 2πi F ∗ = √1d e d kn |kihn|. n=−s

F = √1

Sistemele de funct¸ii proprii {|ni} ¸si {|˜ ni} ale lui Q ¸si P

331

Sisteme cuantice cu spat¸iu Hilbert finit-dimensional

P |˜ ni = n|˜ ni

Q|ni = n|ni, sunt baze ortonormate ˆın ℓ2 (Zd ) s X |nihn| = I ¸si n=−s s X

n=−s

Deoarece

|˜ nih˜ n| = I

¸si

hn|mi =

(

h˜ n|mi ˜ =

(

1 dac˘ a n = m, 0 dac˘ a n 6= m, 1 dac˘ a n = m, 0 dac˘ a n 6= m.

h˜ n|ψi = hF ∗ [ψn ], ψi = hψn , F [ψ]i = hn|F [ψ]i, orice element |ψi ∈ ℓ2 (Zd ) se poate scrie sub forma s s X X ψ(n) |ni, |nihn|ψi = |ψi = n=−s

n=−s

unde funct¸ia

ψ : {−s, −s+1, ..., s−1, s} −→ C,

ψ(n) = hn|ψi

este |ψi ˆın reprezentarea coordonatelor ¸si sub forma s s X X F [ψ](n) |˜ ni, |˜ nih˜ n|ψi = |ψi = n=−s

n=−s

unde funct¸ia

F [ψ] : {−s, −s+1, ..., s−1, s} −→ C,

F [ψ](n) = h˜ n|ψi

este |ψi ˆın reprezentarea impulsurilor. 9.6.17 Evolut¸ia ˆın timp a st˘ arii sistemului cu hamiltonianul dependent de timp 1 2 H : ℓ2 (Zd ) −→ ℓ2 (Zd ), H= P + β cos(ωt) Q, 2µ poate fi analizat˘ a rezolvˆand ecuat¸ia Schr¨ odinger ∂Ψ = HΨ i ∂t cu ajutorul programului MATHEMATICA. ˆIn Fig. 9.2, 9.3, 9.4 prezent˘ am evolut¸ia ˆın timp a distribut¸iei de probabilitate |Ψ(n, t)|2 privind localizarea particulei ˆın cazul ˆın care la momentul t = 0,

332

Elemente de Algebr˘a Liniar˘a

Ψ(n, 0) =

(

1 dac˘ a n = −3,

0 dac˘ a n 6= −3,

adic˘ a particula se afl˘ a ˆın punctul n = −3. ˆIn partea de jos a Fig. 9.2, 9.3, 9.4 prezent˘ am evolut¸ia distribut¸iei de probabilitate |F [Ψ](k, t)|2 referitoare la impulsul particulei. Se observ˘ a c˘a la momentul t = 0 impulsul este complet nedeterminat, toate valorile posibile fiind egal probabile.  YHn, 0L¤2 1.0

0.8

0.6

time=0 0.4

0.2

-10

-5

5

10

5

10

n

 FHYLHk, 0L¤2

time=0

-10

-5

0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 k

Figura 9.2: Distribut¸ia de probabilitate privind pozitia particulei ¸si distribut¸ia de probabilitate privind impulsul particulei la momentul t = 0. 9.6.18 MATHEMATICA: Programul utilizat pentru a obt¸ine Fig. 9.2, 9.3, 9.4 time = 0; mu = 100; beta = 2; omega = 7; d = 21; s = (d - 1)/2 T[n_, m_] := N[(1/d ) Sum[k Exp[2 Pi I (n - m) k/d], {k, 1, d}]] H[n_, m_, t_] := (1/(2 mu)) Sum[ T[n, k] T[k, m], {k, 1, d}] + beta n Cos[omega t] DiscreteDelta[n - m] eqns = {Table[psi[n]’[t] == Sum[- I H[n, m, t] psi[m][t], {m, 1, d}], {n, 1, d}], psi[8][0] == 1, Table[psi[n][0] == 0,

333

Sisteme cuantice cu spat¸iu Hilbert finit-dimensional  YHn, 1L¤2

0.6 0.5 0.4

time=1 0.3 0.2 0.1

-10

-5

5

10

5

10

n

 FHYLHk, 1L¤2

0.25

0.20

0.15

time=1 0.10

0.05

-10

-5

k

Figura 9.3: Distribut¸ia de probabilitate privind pozitia particulei ¸si distribut¸ia de probabilitate privind impulsul particulei la momentul t = 1.

{n, 1, 7}], Table[psi[n][0] == 0, {n, 9, d}]} ndsolve = NDSolve[eqns, Table[psi[n], {n, d}], {t, 10}] Psi = Normalize[Table[Evaluate[Abs[psi[n][time]] /. ndsolve][[1]], {n, 1, d}]] ListPlot[Table[{n - s - 1, Psi[[n]]^2}, {n, 1, d}] , Filling -> Axis, AxesOrigin -> {0, 0}, PlotRange -> All, PlotLegends -> Placed["time=0", {0.25, 0.5}], AxesLabel -> {n, Abs[\[CapitalPsi] [n, 0]]^2}] FPsi[k_] := N[(1/Sqrt[d]) Sum[Exp[2 Pi I k n/d] Psi[[n]], {n, 1, d}]] ListPlot[Table[{n - s - 1, Abs[FPsi[n]]^2}, {n, 1, d}] , Filling -> Axis, AxesOrigin -> {0, 0}, PlotRange -> All, PlotLegends -> Placed["time=0", {0.25, 0.5}], AspectRatio -> 0.2, AxesLabel -> {k, Abs[F[\[CapitalPsi]] [k, 0]]^2}]

334

Elemente de Algebr˘a Liniar˘a  YHn, 5L¤2

0.4

0.3

time=5 0.2

0.1

-10

-5

5

10

5

10

n

 FHYLHk, 5L¤2 0.4

0.3

time=5

0.2

0.1

-10

-5

k

Figura 9.4: Distribut¸ia de probabilitate privind pozitia particulei ¸si distribut¸ia de probabilitate privind impulsul particulei la momentul t = 5. 9.6.19 Mult¸imea {−s, −s+1, ..., s−1, s} este spat¸iul configurat¸iilor sistemului iar {−s, −s+1, ..., s−1, s}×{−s, −s+1, ..., s−1, s} poate fi privit˘ a ca fiind spat¸iul fazelor. Funct¸ia Wigner discret˘ a W : {−s, −s+1, ..., s−1, s}×{−s, −s+1, ..., s−1, s} −→ C, definit˘a prin W (n, m) =

s 1 X 4πi mk e d ψ(n − k) ψ(n + k), d k=−s

poate fi utilizat˘ a ˆın locul funct¸iei de und˘a

335

Sisteme cuantice cu spat¸iu Hilbert finit-dimensional

ψ : {−s, −s+1, ..., s−1, s} −→ C. Descrierea alternativ˘ a bazat˘ a pe utilizarea funct¸iei Wigner ofer˘a anumite avantaje atˆ at ˆın efectuarea unor calcule cˆat ¸si ˆın interpretarea formalismului matematic.

9.7

Versiuni finit-dimensionale ale oscilatorului armonic

9.7.1 Utilizˆand relat¸ia (9.9), adic˘ a pˆ = F −1 qˆ F, hamiltonianul oscilatorului armonic 1 1 d2 1 1 + q2 H = pˆ2 + qˆ2 = − 2 2 2 2 dq 2 se mai poate scrie sub forma H = 12 F −1 qˆ2 F + 21 qˆ2

sau

H = 12 pˆ2 + 21 F pˆ2 F −1 .

9.7.2 Operatorul H1 : ℓ2 (Zd ) −→ ℓ2 (Zd ),

H1 =

1 1 −1 2 F Q F + Q2 , 2 2

unde Q este operatorul coordonat˘a (Qψ)(n) = n ψ(n), ¸si F este transformarea Fourier finit˘ a s 1 X − 2πi kn F [ψ](k) = √ ψ(n), e d d n=−s

este hamiltonianul unei versiuni finit-dimensionale a oscilatorului armonic. El este Fourier invariant, adic˘ a verific˘ a relat¸a F H1 = H1 F echivalent˘a cu F −1 H1 F = H1 . 9.7.3 Operatorul cu diferent¸e finite P 2 : ℓ2 (Zd ) −→ ℓ2 (Zd ),

(P 2 ψ)(n) = −[ψ(n+1) − 2ψ(n) + ψ(n−1)] 2

d este o versiune fint-dimensional˘a a operatorului different¸ial pˆ2 = − dq 2 , iar

336

Elemente de Algebr˘a Liniar˘a

H2 : ℓ2 (Zd ) −→ ℓ2 (Zd ),

H2 =

1 2 1 P + F P 2 F −1 , 2 2

este hamiltonianul unui oscilator finit, Fourier invariant ¸si cu valori proprii nedegenerate. Din relat¸ia H2 ψ = λ ψ

=⇒

H2 (F ψ) = F (H2 ψ) = λ(F ψ)

rezult˘ a c˘ a funct¸iile proprii ale lui H2 sunt ˆın acela¸si timp funct¸ii proprii ale lui F . Funct¸iile proprii normate h0 , h1 , ..., h2s ale lui H2 , considerate ˆın ordinea cresc˘ atoare a num˘ arului alternant¸elor de semn, se numesc funct¸ii Harper. Ele formeaz˘ a o baz˘ a ortonormat˘a ˆın ℓ2 (Zd ) ¸si are loc relat¸ia F =

2s X

(−i)n |hn ihhn |

n=0

utilizat˘ a pentru a defini transformarea Fourier fract¸ionar˘ a α

F =

2s X

(−i)nα |hn ihhn |.

n=0

9.7.4 Dac˘a α se afl˘ a ˆıntr-o vecin˘ atate suficient de mic˘ a a lui 1, atunci operatorii 1 1 1 1 ¸si H2,α = P 2 + F α P 2 F −α H1,α = F −α Q2 F α + Q2 2 2 2 2 reprezint˘ a versiuni deformate ale oscilatorilor H1 ¸si H2 . 9.7.5 Utilizˆand st˘ arile coerente standard (v. pag. 123-10), hamiltonianul oscilatorului armonic se poate scrie sub forma [14]   2 ZZ 1 p q2 1 + H=− + |q, pihq, p| dq dp 2 2π 2 2 R2

Deoarece frame-urile {|α, βi}sα,β=−s ¸si {|α, βii}sα,β=−s reprezint˘a versiuni finte ale sistemului de st˘ ari coerente standard, operatorii (v. pag. 182-10)  2  s P β2 α H3 = − 21 + 1d + |α, βihα, β|, 2 2 α,β=−s  2  s P β2 α + H4 = − 21 + 1d |α, βiihhα, β| 2 2 α,β=−s

sunt hamiltonienii unor versiuni finite ale oscilatorului armonic.

337

Sisteme cuantice cu spat¸iu Hilbert finit-dimensional

9.7.6 Cˆ and dimensiunea d = 2s+1 cre¸ste, valorile proprii ale operatorilor H1 , H2 , H3 , H4 au tendint¸a de a deveni echidistante (v. Fig. 9.5), iar funct¸iile proprii de a sem˘ ana cu funct¸iile proprii Hermite-Gauss ale oscilatorului armonic H. .. .

6 25

20

15

10

5

0

H3

H

Figura 9.5: Valorile proprii ale operatorului H3 (ˆın cazul d = 21) ¸si ale lui H.

Bibliografie [1] I. Armeanu, Analiz˘ a Funct¸ional˘ a, Editura Universit˘ a¸tii din Bucure¸sti, 1998. [2] S. Barnett, Quantum Information, Oxford University Press, 2009. [3] R. J. Beerends, H. G. ter Morsche, J. C. van den Berg, E. M. van de Vrie, Fourier and Laplace Transforms, Cambridge University Press, 2003. ´ [4] D. Bekl´emichev, Cours de G´eom´etrie Analytique et d’Alg`ebre Lin´eaire, Editions Mir, Moscou, 1988. [5] V. Brˆınz˘ anescu, O. St˘ an˘ a¸sil˘ a, Matematici Speciale. Teorie, Exemple, Aplicat¸ii, Editura ALL EDUCATIONAL S. A., 1998. [6] Liviu-Adrian Cotfas, A finite-dimensional quantum model for the stock market, Physica A 392 (2013) 371-380. [7] Nicolae Cotfas and Daniela Dragoman, Properties of finite Gaussians and the discrete-continuous transition, J. Phys. A: Math. Theor. 45 (2012) 425305. [8] Nicolae Cotfas and Daniela Dragoman, Finite oscillator obtained through finite frame quantization, J. Phys. A: Math. Theor. 46 (2013) 355301 [9] Nicolae Cotfas and Jean-Pierre Gazeau, Finite tight frames and some applications, J. Phys. A: Math. Theor. 43 (2010) 193001 [10] N. Cotfas, J.-P. Gazeau and A. Vourdas, Finite-dimensional Hilbert space and frame quantization, J. Phys. A: Math. Theor. 44 (2011) 175303. [11] N. Cotfas ¸si L.-A. Cotfas, Elemente de Analiz˘ a Matematic˘ a, Editura Universit˘ a¸tii din Bucure¸sti, 2010. 339

340

Elemente de Algebr˘a Liniar˘a

[12] N. Cotfas ¸si L.-A. Cotfas, Complemente de Matematic˘ a I, Editura Universit˘ a¸tii din Bucure¸sti, 2012. [13] N. Cotfas ¸si L.-A. Cotfas, Hypergeometric type operators and their supersymmetric partners, J. Math. Phys. 52 (2011) 052101 [14] J.-P. Gazeau, Coherent States in Quantum Physics, Wiley-VCH, Berlin, 2009. [15] S. J. Gustafson and I. M. Sigal, Mathematical Concepts of Quantum Mechanics, Springer, Berlin, 2011. [16] P. Hamburg, P. Mocanu ¸si N. Negoescu, Analiz˘a Matematic˘a (Funct¸ii complexe), Editura Didactic˘ a ¸si Pedagogic˘ a, Bucure¸sti, 1982. [17] G. Jaeger, Quantum Information, Springer Science & Business Media, 2007. [18] J. F. James, A Student’s Guide to Fourier Transforms: With Applications in Physics and Engineering, Cambridge University Press, 2011. [19] L. V. Kantorovich, G. P. Akilov, Analiz˘ a Funct¸ional˘ a, Editura S¸tiint¸ific˘ a ¸si Enciclopedic˘ a, Bucure¸sti, 1986. [20] M. L. Mehta, 1987 Eigenvalues and eigenvectors of the finite Fourier transform, J. Math. Phys. 28 (1987) 781 [21] A. Messiah, Quantum Mechanics, vol. I, North-Holland, Amsterdam, 1961. [22] W. Miller, Jr., Lie Theory and Special Functions, Academic Press, New York, 1968. [23] G. Mocic˘ a , Probleme de Funct¸ii Speciale, Editura Didactic˘a ¸si Pedagogic˘ a, Bucure¸sti, 1988. ´ [24] M. Na¨ımark, A. Stern, Th´eorie des Repr´esentations des Groupes, Editions Mir, Moscou, 1979. [25] C. N˘ast˘ asescu, C. Nit¸˘ a, C. Vraciu, Bazele Algebrei, vol I, Editura Academiei, Bucure¸sti, 1986.

Sisteme cuantice cu spat¸iu Hilbert finit-dimensional

341

[26] M. A. Nielsen, I. L. Chuang, Quantum Computation and Quantum Information, Cambridge University Press, 2000. [27] A. F. Nikiforov, S. K. Suslov, and V. B. Uvarov, Classical Orthogonal Polynomials of a Discrete Variable Springer-Verlag, Berlin, 1991. [28] A. Perelomov, Generalized Coherent States and Their Applications , Springer, Berlin, 1986. [29] D. Petz, Quantum Information Theory and Quantum Statistics, Springer, 2008. [30] M.-E. Piticu, M. Vraciu, C. Timofte, G. Pop, Ecuat¸ii Diferent¸iale. Culegere de Probleme, Editura Universit˘ a¸tii Bucure¸sti, 1995. [31] I. L. Popescu, I. Armeanu, D. Blideanu, N. Cotfas ¸si I S¸andru, Probleme de Analiz˘ a Complex˘ a, Editura Tehnic˘ a, Bucure¸sti, 1995. [32] R. Richtmyer, Principles of Advanced Mathematical Physics, Springer-Verlag, 1978. [33] M. Ruzzi, Jacobi θ-functions and discrete Fourier transform, J. Math. Phys. 47 (2006) 063507. [34] J.D. Talman, Special Functions. A Group Theoretical Approach, Benjamin, New York, 1968. [35] C. Teleman, M. Teleman, Elemente de teoria grupurilor cu aplicat¸ii ˆın topologie ¸si fizic˘ a, Editura S ¸ tiint¸ific˘ a, Bucure¸sti, 1973. [36] C. Udri¸ste, C. Radu, C. Dicu, O. M˘al˘ancioiu, Algebr˘ a, Geometrie ¸si Ecuat¸ii Diferent¸iale, Editura Didactic˘a ¸si Pedagogic˘ a, Bucure¸sti, 1982. [37] N. Ja. Vilenkin, Fonctions Sp´eciales et Th´eorie de la Repr´esentation des Groupes, Dunod, Paris, 1969. [38] N. J. Vilenkin and A. U. Klimyk, Special Functions and Integral Transforms, Kluwer Academic, Dordrecht, 1992. [39] V. S. Vladimirov, Ecuat¸iile Fizicii Matematice, Editura S¸tiint¸ific˘ a ¸si Enciclopedic˘ a, Bucure¸sti, 1980.

342

Elemente de Algebr˘a Liniar˘a

[40] V. Vladimirov, Distributions en Physique Math´ematique , Editions MIR, Moscou, 1979. [41] V. S. Vladimirov ¸si alt¸ii, Culegere de Probleme de Ecuat¸iile Fizicii Matematice, Editura S ¸ tiint¸ifc˘a ¸si Enciclopedic˘ a , Bucure¸sti, 1981. [42] A. Vourdas, Quantum systems with finite Hilbert space, Rep. Prog. Phys. 67 (2004) 267-320. [43] E. T. Whittaker and G. N. Watson, Cambridge Mathematical Library: A Course of Modern Analysis, Cambridge University Press, Cambridge, 2000.