Elemente Calcul Financiar [PDF]

Zitiervorschau

MATEMATICI FINANCIARE

Introducere: Capitolul de fata cuprinde elemente de matematici financiare: dobanzi simple, dobanzi compuse, constituirea unui capital, amortizarea unei datorii, taxa pe valoarea adaugata (T.V.A.), profit. Sunt prezentate tipurile de credite si metodele de finantare. Acest capitol ofera o prezentare a obiectului de studiu al statisticii matematice, a instrumentelor pe care le utilizeaza.

1. Matematici financiare 1.1

Procente. Raport procentual. Determinarea procentului dintr-un numar

Intalnim adesea in vorbirea curenta exprimari de felul: 1) intr-o clasa 70% sunt baieri, iar restul (30%) fete; 2)preferintele electorale pentru partidul P1 sunt 25%, pentru partidul P2 sunt de 35 %, pentru partidul P3, sunt de 30%, iar pentru restul partidelor 10%; 3) sansele de castig ale echipei A in detrimentul echipei B sunt de 30% etc. In toate enunturile de mai sus apare notiunea de procent (p% - citim p la suna). In toate cazurile marimile se compara cu 100. p

Definitie: Numim raport procentual un raport de forma 100 , p ≥ 0 . Numarul p se numeste procent. Notatie: p% A afla p% dintr-un numar a inseamna a calcula

p ∙ a. 100

1

Exemple. 1)Se considera doua vase de 5 m3 si de 10 m3. In primul vas se afla 3 m3 de apa, iar in al doilea 4 m3. Sa se exprime in procente cat este gradul de umplere al fiecarui vas. R. Pentru primul vas volumul sau (5 m3) reprezinta valoarea baza, iar gradul de umplere (3 m3) reprezinta valoarea procentuala. Atunci, pentru un vas de 100 m3 avem un grad de umplere egal cu p. Aplicand regula de trei simpla gasim: 5 m3………. 3 m3 100 m3……………. p m3 p=

3 ∙100 =60 5

Proprietăţi Procentele sunt folosite pentru a exprima cât de mare sau mică este o cantitate în raport cu o altă cantitate. De exemplu, o creştere cu 0,15 € a unui preţ de 2,50 € reprezintă o creştere cu o fracţiune de 0,15⁄2,50 = 0,06. Pentru a exprima acest raport ca procent, se mută virgula zecimală cu 2 poziţii spre dreapta; creşterea va fi atunci de 6 %. Dacă însă preţul iniţial ar fi fost de exemplu de 8 €, atunci aceeaşi creştere cu 0,15 €, raportată acum la cei 8 €, ar reprezenta numai 0,15⁄8 = 0,01875 sau 1,875 %. Noţiunea de procent, reprezentând o evaluare „la sută”, este utilizată pentru obţinerea datelor comparative în operaţii cu date financiare, economice, demografice, etc. A nu se confunda cu „promila”, care este un termen asemănător procentului, dar nu identic: la promile este vorba de numitorul 1.000, semnul ‰ şi mutarea virgulei zecimale cu 3 poziţii spre dreapta. 2

1.2

Dobanzi. Dobanda simpla

Cea mai simpla investitie care sa aduca un venit este depunerea banilor la o banca sau C.E.C. pe o anumita perioada cu o anumita dobanda (care reprezinta o anumita suma de bani pe care deponentul o primeste dupa o perioada de timp). Aceasta este dobanda simpla. Daca insa aceasta suma se adauga la cea initiala si pentru ea se calculeaza dobanda pentru aceeasi perioada de timp, aceasta adaugandu-se la sfarsitul perioadei etc. atunci vorbim de o dobanda compusa. Pentru cele doua tipuri de dobanzi distingem: dobanda platita, care este dobanda platita de banci sau C.E.C. depondentilor pentru sumele depuse si dobanda incasata, care este dobanda incasata de banci sau C.E.C. de la debitori pentru sumele imprumutate.

Dobanda simpla Definitie: Dobanda simpla reprezinta dobanda calculata pentru suma depusa pentru o anumita perioada. Notatie: Dobanda simpla se noteaza cu D. Procentul dobanzii reprezinta suma care se plateste pentru suma depusa de 100 unitati monetare (u.m.) pentru o perioada de un an. Formula dupa care se calculeaza dobanda simpla este D=

S ∙ p∙n 100

unde S este suma depusa, n numarul de ani pe care s-a depus suma, iar p este S

procentul dobanzii ( 100 =¿ numarul de seturi de 100 continute de suma S, 3

S ∙ p=¿ dobanda pe un an pentru suma depusa, iar D reprezinta dobanda pe n 100

ani pentru suma S). De aici formula dobanzii pe m luni este data de formula : D=

S∙ p∙m 100 ∙12

Iar pentru d zile: D=

S∙ p∙d 100 ∙360

Exemple: 1) La o banca un deponent pune suma de 100.000 lei cu un procent al dobanzii de 15%. Care este dobanda obtinuta dupa un an? Dar dupa trei ani? 15 R. Dupa un an dobanda este egala cu 100000∙ 100 =15000lei , iar dupa trei ani 15 valoarea acesteia este egala cu 3 ∙100000 ∙ 100 =45000lei .

2) Sa se determin procentul dobanzii, daca o suma de 12.000 u.m. aduce in sase ani o dobanda de 2.880 u.m.? R. Aici S=12.000 u.m., D=2880, n =6. Din formula dobanzii simple rezulta p=

100 ∙ D =4 , ceea ce inseamna ca procentul anual al dobanzii este de 4%. S∙n

Dobanzi simple diferite Este posibil ca pe termenul de depunere al banilor intr-o banca, aceasta sa-si modifice dobanzile simple. Se pune problema determinarii dobanzii in acest caz. Fie t termenul de plasare a banilor t=t1+t2+t3+…+tn, unde ti este perioada de timp pentru care dobanda bancara este pi. Atunci dobanda simpla totala este egala cu suma dobanzilor simple pentru cele n perioade. 4

Exemple: Suma de 2.000.000 lei a fost depusa la o banca (cu dobanda simpla) cu procentele anuale de 6%, 7%, 8% pentru perioade de 30 , 60 respectiv 90 zile. Dobanda obtinuta pe perioada 180=(30+60+90) zile este egala cu: S=2000000

1.3

6 60 ∙7 90∙ 8 + + =73333 ( 10030∙∙360 100 ∙360 100∙ 360 )

Dobanda compusa

Notiunile de exponential si logaritm isi gasesc aplicatii practice in probleme de ,,aritmetica comerciala”. Reamintim ca un capital este plasat cu o dobanda compusa daca la sfarsitul unei perioade determinate dobanda se adauga capitalului pentru a produce o noua dobanda in perioadele urmatoare. Este un concept economic ce caracterizează calculele financiare pe termen lung. Caracteristic pentru regimul de lucru în dobânda compusă este faptul că perioadele de plasament sunt mari, iar pentru unităţile etalon timp cea mai des întâlnită este anul. Spre deosebire de regimul de lucru în dobânda simplă, dobânda obţinută în regim de dobândă compusă este în general mai mare şi de aici rezultă aplicabilitatea mai mare a regimului de dobândă compuse. În situaţia în care perioada de plasament t este un număr întreg de ani se porneşte de la tabelul următor şi de la faptul că plasamentul în regim de dobândă compusă presupune ca până la sfârşitul perioadei t, suma plasată rămâne neschimbată pentru a aduce în continuare dobânda simplă. Valoarea atinsa de un capital Se considera un capital initial C0 pus intr-o banca sau la C.E.C., cu o dobanda anuala de t% si vom calcula valoarea obtinuta de Cn din capitalul initial dupa o perioada de n ani. Vom nota cu d dobanda obtinuta de 1 u.m. dupa un an. Aceasta are valoarea

d=

t 100 .

 Capitalul din banca dupa un an este: C1= C0+ C0d= C0(1+d).  Capitalul din banca dupa doi ani este: C2= C1+ C1d= C0(1+d)2.  Capitalul din banca dupa trei ani este: C3= C2+ C2d= C2(1+d)C1=C0(1+d)3. 5

Din aproape in aproape gasim ca dupa n ani capitalul din banca este: Cn=Cn-1+Cn-1d=C0(1+d)n. Asa dar am obtinut formula pentru Cn: Cn=C0(1+d)n.

Exemple 1) Sa se determine capitalul obtinut dupa 7 ani prin depunerea intr-o banca a sumei de 3000 u.m cu o dobanda de 4%. R. Avem: C7=3000(1+0.04)7=3947,80 u.m. Constituirea unui capital In vederea constiuirii unui capital, se efectueaza o data pe an si la data fixa depunerea unui sume constant C0 cu dobanda compusa. Sa determinam capitalul C obtinut la momentul ultimei depuneri, stiind ca s-au efectuat n depuneri si ca dobanda anuala este t%. C=C0

(1+ d )n−1 d

Amortizarea unei datorii Pentru rambursarea unei datorii D contractata cu o dobanda de t%, se efectueaza in fiecare an si la data fixa depunerea unei sume constante S. Ne propunem sa stabilim o relatie intre D,S, numarul n de ani necesari rambursarii datoriei si dobanda d=t/100. Daca nu efectuam nici o rambursare anuala, datoria D, dupa n ani, va devenii datoria D’=D(1+d )n. Va trebui deci, ramburasta suma D’ o singura data, n ani dupa care s-a facut imprumutul. (1+d )n−1 D(1+d ) =S d n

1.4

Taxa pe valoare adaugata 6

Taxa pe valoare adaugata (T.V.A.) reprezinta un venit la bugetul de stat platit de consumatorii de bunuri si servicii. Ea reprezinta un impozit care se plica asupra operatiilor de vanzare-cumparare. Ea se aplica numai asupra valorilor adaugate de fiecare agent economic, adica se aplica asupra diferentelor dintre pretul de vanzare si cel de cumparare, ori de cate ori acest lucru se intampla. Principiul care sta la baza T.V.A. il constituie faptul ca bunurile si serviciile din tara sau import destinate beneficiarilor din tara noastra sunt supuse T.V.A., in timp ce bunurilor si serviciilor destinate exportului nu li se aplica T.V.A.. In aceste cazuri distingem doua cote de impozitare: a) cota normal de 19% pentru operatiile privind livrarile de bunuri mobile si transferurile proprietatii bunurilor immobile efectuate in tara, prestarile de servicii, precum si importul de bunuri, cu exceptia celor prevazute la cota zero; b) cota zero pentru exportul de bunuri si prestarile de servicii legate direct de exportul de bunuri efectuat de agentii economici cu sediul in tara noastra. Pentru calcularea si decontarea T.V.A. se disting doua catedorii de operatii: 1. T.V.A. deductibila – la cumararea bunurilor si serviciilor(notata T.V.A.D) 2. T.V.A. colectata – la vanzarea bunurilor si serviciilor (notata T.V.A.C.). Daca T.V.A.D.>T.V.A.C., adica incasarile T.V.A. sunt mai mari decat platile de T.V.A. atunci avem de-a face cu o datorie la bugetul de stat, adica T.V.A. de plata. In caz contrar spunem ca este vorba de o recuperare de la bugetul de stat, adica T.V.A. de recuperat. Exemple: 1) Un cumparator trebuie sa stie daca vrea sa cumpere un televizor care costa S=5.300.000 lei fara T.V.A., atunci el mai adauga inca 19% din S, adica 19 ∙ S=1.007 .000lei , adica in final palteste pentru a achizitiona televizorul 100 19 cu suma finala S f =S + 100 ∙ S=6307000 lei .

2) O masina de spalat cu program costa 12 000 000lei, iar T.V.A. este egla cu 1.900.000 lei. Sa se determina caloarea de productie a masinii de spalat si care este procentul T.V.A..

7

R. Valoarea de productie a masinii de spalat este egala cu 12.000.0001.900.000=10.100.000 lei. 12.000.000……100% 1.900.000……….p% p=

1.5

1.900 .000∙ 100 190 = =15,83 12.000 .000 12

Costul de productie. Pret de cost al unui produs

Prin cost de productie se inteleg toate cheltuielile realizate de un agent economic pentru producerea si comercializarea de bunuri sau servicii. Cheltuielile pot fi fixe si variabile. Cheltuielile pot fi raportate la unitatea de produs, cand il numim cost unitar si se exprima prin relatia

CTM=

CT Q

(unde CT

sunt cheltuielile totale iar Q este productia). Astfel se poate defini: CF 1)costul fix mediu (CFM) care se calculeaza dupa formula CFM= Q , unde CF

sunt costurile fixe. 2)costul variabil mediu (CVM) dat de formula

CMV =

CV Q , unde CV sunt

costurile variabile.

1.6

Profit

Eficienta activitatii uni agent economic este apreciata prin ceea ce se obtine in plus in raport cu ceea ce s-a cheltuit pentru producerea de bunuri sau servicii in cadrul activitaii. Definitie: Profitul (notat P) reprezinta diferenta dintre venituri (notate V) si cheltuieli (notate CT). Deci: P=V-CT. 8

Tot profitul il puteam calcula ca diferenta intre valoarea productiei si costul total. In acesc caz P=p∙Q – CT unde p este pretul unitar (pretul produsului), iar Q este productia. Profitul net: Pnet=Pbrut – impozit pe profit; Profitul este un venit care rasplateste munca agentului economic. Definitie: Prin profit normal sau ordinar intelegem profitul care asigura agentului economic posibilitatea de a-si continua activitatea. Cai de crestere a profitului: 1. Reducerea costului de productie 2. Productivitatea muncii 3. Promovarea metodelor moderne de management si productie a muncii 4. Reducerea cheltuielilor de productie Al doilea indicativ calificativ pentru un agent economic, pe langa profit, il reprezinta rata profitului (rp) Definitie: Numim rata profitului raportul dintre profit (P) si costurile totale(CT). P P Deci, r p= CT ∙ 100 ( ) pentru rata profitului se mai poate utiliza r p= CA ∙ 100 ( )

unde CA este cifra de afaceri, CA=p∙Q. 1.7 Credite. Metode de finantare Un agent economic, pentru a-si desfasura activitatea, are nevoie de bani pe care ii poate obtine din surse proprii sau din surse atrase. Definitie: Creditul este o suma de bani data cu imprumut unui agent economic si care urmeaza sa fie restituita impreuna cu dobanda dupa o anumita perioada de timp(scadenta). Dupa durata de finantare avem trei categorii de credite:

9

1. Credite pe termen scurt (cu durata finantarii sub un an, cu rambursarea in cel mult un an a sumei S’=S+D, unde S este suma imprumutata, iar D este dobanda simpa) 2. Credite pe termen mediu(cu durata finantarii cuprinsa intre 1 si5 ani, cu rambursarea 1-5 ani a sumei S’=S+Dc, unde Dc este dobanda compusa) 3. Credite pe termen lung(cu durata finantarii de peste 5 ani, cu rambursarea sumei S’=S+Dc). Daca rambursarea creditului S se face in transe egale in n ani, pentru credite pe S

termen mediu sau lung, in fiecare an se plateste aceeasi transa din credit n , la care se adauga o dobanda simpla la creditul ramas nerambursat.

1.8

Amortizari

Auzim adesea spunandu-se ca masina X si-a amortizat investitia, aceasta inseamna ca dupa un timp de functionare masina a realizat produse a caror valoare acopera costul masinii. Timpul in care s-a realizat recuperarea integrala a valorii investitiei se numeste termen de amortizare. Daca aceasta perioada se refera la un an o numim amortizare anuala. De obicei se considera ca amortizarea anuala este aceeasi in fiecare an din durata termenului de amortizare si spunem ca amortizarea se face in rate egale. Daca V este valoarea investitiei,T termenul de amortizare, V atunci A amortizarea anuala este egalu cu A= T

Rata anuala de amortizare are exprimarea: 1.9

r=

.

A ∙ 100 ( ) . V

Bugetul familial

Bugetul familial este format din veniturile pe care le realizeaza membrii unei familii pe un timp determinat. Din acesti bani familia trebuie sa-si acopere toate cheltuielile pe care le prognozeaza ca le va face in acelasi interval si eventula sa-si depuna restu de bani intr-un cont in banca sau la C.E.C. Veniturile unei familii pot provenii din salarii, devidende, dobanzi etc. Cheltuielile se refera la intretinere, 10

alimentatie, telefon, transport, imbracaminte, alte cheltuieli gospodaresti, divertisment etc. Este evident ca aceste cheltuieli nu pot depasi veniturile sau, daca acest lucru se intampla, atunci familia trebuie sa-si ierarhizeze cheltuielile pe baza de prioritati, renuntand la cele mai putin importante. 1.10 Bugetul personal Bugetul personal este un plan pe care il poate alcatui orice individ, in care sunt prevazute veniturile si cheltuielile pe o perioada data. Fiecare indivit trebuie sa-si suplimenteze veniturile prin mai multe activitati care sa le fie retribuite. Aici initiativa personala este decisiva in a trai mai bine. Lucrul bine facut te conduce la o pozitie mai buna pe scara ierarhiilor si-ti ofera un venit suplimentar.

11