Elektryczność i Magnetyzm w Technice [PDF]

Zitiervorschau

Henryk R a w a

ELEKTRYCZNOŚĆ

I MAGNETYZM

W TECHNICE

Wydanie drugie

poprawione i uzupełnione

Wydawnictwo Naukowe P W N W a rs z a w a 2 0 0 1

N#-

^

U

W"-'

Spis rzeczy W s t ę p .................................................................................................................................

U

Część p ierw s za . Pole e le k try c zn e 1.

Pole elektryczne — właściwości fizyczne i opis m a t e m a t y c z n y .....................................................

14

1.1. Ź ró d ła stałego po la elektrycznego — ładunki e l e k t r y c z n e ............................................................ 1.2. Pole elektryczne i wielkości je o p i s u j ą c e .............................................................................................. 1.2.1. P raw o C o u lo m b a .......................................................................................................................... 1.2.2. N atężenie po la e l e k t r y c z n e g o ............................................................. 1.2.3. Indukcja elektryczna, praw o G a u s s a ........................................................................................ 1.2.4. P olaryzacja dielektryków , w ektor p o l a r y z a c j i .................................................................... 1.2.5. W ek to r gęstości p r ą d u ..................................................................................................................... ' 1.2.6. Potencjał elektryczny .................................................................................................................... 1.2.7. O brazow anie graficzne pola e l e k t r y c z n e g o ........................................................................... 1.3. R ó w nania różniczkow e pola e l e k t r y c z n e g o ....................................................................................... 1.3.1. R ów nanie różniczkow e pola elektrycznego w środow isku przew odzącym . . . 1.3.2. W aru n k i brzegow e i początkow e dla rów nań różniczkow ych cząstkow ych drugiego r z ę d u ...................................................................................................................................................... 1.4. D ielektryki i przew odniki w stałym lub w olnozm iennym polu elektrycznym . . . . 1.4.1. O gólna ch arak tery sty k a środow isk m a t e r i a l n y c h ................................................'. 1.4.2. D ielektryki idealne i r z e c z y w i s t e ............................................................................................... 1.4.3. Przew odniki doskonale, półprzew odniki i przew odzące d i e l e k t r y k i .............................. 1.4.4. Środow iska liniowe i n i e l i n i o w e ............................................................................................... 1.4.5. Środow iska jed n o ro d n e i n i e j e d n o r o d n e .................................................................................. 1.4.6. Ś rodow iska izotropow e i a n i z o t r o p o w e .................................................................................. 1.4.7. Ś rodow iska param etryczne ...................................................................................................... 1.5. Pole elektryczne n a granicy ś r o d o w i s k ............................................................................................... 1.5.1. Pole elektryczne n a granicy d i e l e k t r y k ó w ........................................................................... 1.5.2. Pole elektryczne n a granicy p r z e w o d n i k ó w ........................................................................... 1.6. W łaściwości energetyczne pola e l e k t r y c z n e g o ................................................................................ 1.6.1. E nergia w zajem nego oddziaływ ania ładunków e l e k t r y c z n y c h ......................................... 1.6.2. E nergia po la e l e k t r y c z n e g o ...................................................................................................... 1.6.3. M oc pola e l e k t r y c z n e g o ............................................................................................................. 1.7. Siły m echaniczne w p olu e l e k t r y c z n y m ..............................................................................................

14 16 18 18 21 26 31 35 38 42 44 45 47 47 48 50 50 51 52 55 56 56 60 63 63 65 67 68

2.

Ł adunki elektryczne i p r z e w o d n i k i ....................................................................................................

72

2.1. Pole elektryczne n aładow anego, jednorodnego p r z e w o d n i k a ..................................................... 2.1.1. Pole elektryczne naładow anej, przew odzącej k u l i ............................................................. 2.1.2. Pole elektryczne cienkiej w arstw y przew odzącej, naładow anej rów nom iernie ładunkiem o stałej g ę s t o ś c i ................................................................................................................................. 2.1.3. Pole elektryczne cienkiej w arstw y przew odzącej, jed n o stro n n ie naładow anej . . .

72 75 77 ' 79

5

2.2. 2.3t

2.4. 2.5. 2.6.

2.7.

2.8.

3.

Pole elektryczne naładow anego niejednorodnego p r z e w o d n i k a ............................................. 82 2.2.1. Pole elektryczne naładow anej, niejednorodnej, przew odzącej k u l i ................................... 84 E lektryzaeja o środków p r z e w o d z ą c y c h ................................................................................................ 86 2.3.1. D y n am ik a procesu elektryzacji płaskiej, przew odzącej, dw uw arstw ow ej płyty w je d n o ­ rodnym polu elektrycznym ...................................................................................................... 92 2.3.2. E lektryzaeja płaskiej, przew odzącej płyty w polu elektrycznym sinusoidalnie zm iennym w funkcji c z a s u ................................................................................................................................. 96 2.3.3. E lektryzaeja izolow anych płyt przew odzących w rów nom iernym polu elektrycznym . 99 Ł adow anie przez e l e k t r y z a c j ę ...................................................................................................... Pole elektryczne i ładunki elektryzacji od ład u n k u punktow ego um ieszczonego w pobliżu przew odzących płaszczyzn ............................................................................................................................103 Pole elektryczne w otoczeniu ostrych krawędzi naładow anych przewodników — zjawisko ulotu 107 E lektryzaeja kuli przewodzącej w polu ład u n k u p u n k t o w e g o .............................................................. 110 2.6.1. E lektryzaeja kuli u z i e m i o n e j ...................................................................................................... 111 2.6.2. E lektryzaeja odosobnionej, naładow anej k u l i .................................................................... 113 2.6.3. E lektryzaeja kuli o stałym p o t e n c j a l e ........................................................................................ 114 D yn am ik a procesu elektryzacji przew odzącej kuli w rów nom iernym polu elektrycznym . 115 2.7.1. K ula z dielektryka w rów nom iernym polu elektrycznym .................................................116 2.7.2. K ula przew odząca w rów nom iernym p o lu e l e k t r y c z n y m ........................................................119 2.7.3. D yn am ik a procesu elektryzacji przew odzącej k u l i ..................................................................... 122 E krany elektryczne ..................................................................................................................................125 2.8.1. E k ran cylindryczny w rów nom iernym polu e l e k t r y c z n y m ................................................126 Ładow anie m ikrocząsteczek dla potrzeb procesów e le k tr o te c h n o lo g ic z n y c li ........................... 130

3.1. Ł adow anie m i k r o c z ą s t e c z e k .................................................................................................................... 130 3.1.1. Ł ad o w an ie przez k o n tak t z n aład o w an ą elektrodą . . . ' .................................................133 3.1.2. Ł adow anie m ikrocząsteczek w strefie ujem nego u l o t u .............................................................. 134 3.2. R uch naładow anych cząsteczek w polu e l e k t r y c z n y m ............................................................................139 3.3. O ch ro n a obiektów przed ładunkam i e l e k t r y c z n y m i .................................................................... 142 3.3.1. Z agrożenie w ybuchem m ateriałów ziarnistych lub cieczy dielektrycznych tran sp o rto w a­ nych w izolow anych r u r o c i ą g a c h ................................................................................................143 4.

Kondensatory, pojemność elektryczna k o n d e n s a t o r ó w .................................................................... 148

4.1. Pole elektryczne i pojem ność k o n d en sato ra płaskiego j e d n o w a r s t w o w e g o ........................... 150 4.1.1. Pojem ność kond en sato ra płaskiego w ielow arstw ow ego z dielektrykiem idealnym . 153 4.1.2. W pływ polaryzacji dielektryka na pole w k o n d e n s a t o r z e ................................................156 4.1.3. K o n d en sato r plaski z dielektrykiem r z e c z y w i s t y m ............................................................. 157 4.1.4. K o n d en sato r plaski z w ielow arstw ow ym dielektrykiem r z e c z y w i s t y m ........................... 159 4.1.5. U w arstw ienie podłużne k o n d en sato ra p ł a s k i e g o .................................................................... 161 4.2. Ł adow anie i rozładow anie k o n d e n s a t o r a .........................................................................................163 4.3. Z ależność przenikalności elektrycznej od c z ę s t o t l i w o ś c i ..............................................................167 4.4. Pojem ność k o nd en sato ra c y l i n d r y c z n e g o .........................................................................................168 4.4.1. Pojem ność kond en sato ra cylindrycznego j e d n o w a r s t w o w e g o .........................................169 4.4.2. Pojem ność kond en sato ra cylindrycznego w i e lo w a r s tw o w e g o ......................................... 171 4.4.3. K o n d en sato r cylindryczny z dielektrykiem r z e c z y w i s t y m ................................................175 4.5. Pojem ność k o n d en sato ra k u l i s t e g o ...................................................................................................... 176 4.6. Bilans ładunków elektrycznych na w spólnej, odosobnionej okładzinie k o n d en sato ra . . 177 4.7. Z asady obliczania pojem ności u k ład u p r z e w o d n i k ó w .................................................................... 178 5.

Przykłady obliczeń poła elektrycznego i pojemności wybranych układów rozmieszczenia ładun­ ków .............................................................................................................................................................182

5.1.

Pole elektryczne w otoczeniu dw óch cienkich naładow anych p r z e w o d ó w ........................ ¡82 5.1.1. Pole elektryczne i pojem ność dw óch rów noległych przew odów o jednakow ych średnicach 186 5.1.2. Pole elektryczne i pojem ność dw óch rów noległych przew odów o różnych średnicach 188

6

5.1.3.

5.6. 5.7.

Pole elektryczne i pojem ność kabla o niekoncentrycznie um ieszczonym przew odzie w e w n ę t r z n y m ...................................................................................................................................... Odbicie zw ierciadlane przew odu od przew odzącej pow ierzchni cylindrycznej . . . . 5.2.1. Pojem ność kabla dw użylow ego z płaszczem p r z e w o d z ą c y m ......................................... Pole elektryczne naładow anego przew odu zaw ieszonego n ad przew odzącą płytą (ziemią) . Pole elektryczne i pojem ność dw óch przew odów zaw ieszonych n ad z i e m i ą ........................... O dbicia zw ierciadlane w środow isku dielektrycznym u w a r s t w i o n y m ......................................... 5.5.1. W ielokrotne odbicia z w i e r c i a d l a n e ........................................................................................ Pole elektryczne d i p o l a .......................................................................................................................... Pole elektryczne w arstw y p o d w ó j n e j ......................................................................................................

190 191 193 194 197 200 202 204 206

6.

Gęstość sil mechanicznych w polu e l e k t r y c z n y m ...........................................................................

208

G ęstość sit objętościow ych w d i e l e k t r y k u ......................................................................................... 6.1.1. G ęstość sił objętościow ych w dielektryku j e d n o r o d n y m ............................................... 6.1.2. G ęstość sił objętościow ych w idealnym i rzeczywistym, niejednorodnym dielektryku 6.1.3. Sity objętościow e w dielektryku o zm iennej g ę s t o ś c i ...................................................... 6.2. T ensor naprężeń p o w ie r z c h n i o w y c h ...................................................................................................... 6.2.1. N aprężenia pow ierzchniow e w d i e l e k t r y k u ........................................................................... 6.2.2. Siły rozw arstw iające d i e l e k t r y k i ............................................................................................... 6.3. Siły m echaniczne n a granicy przew odnika i d i e l e k t r y k a ............................................................. 6.3.1. Siły m echaniczne w k o n d e n s a t o r z e ........................................................................................

208 209

7.

Pole prądu e l e k t r y c z n e g o ...........................................................................................................................

228

7. 1. 7.2. 7.3. 7.4.

Ź ródło energii elektrycznej, obw ód elektryczny i p raw a go o p i s u j ą c e .................................. Praw o Jo u le’a w postaci c a ł k o w e j ...................................................................................................... M etody w yznaczania rezystancji ( k o n d u k t a n c j i ) ........................................................................... Pole p rąd u elektrycznego w otoczeniu przew odu u z i e m i a j ą c e g o ...............................................

229 235 236 238

5 2. 5.3. 5 4. 5.5.

6.1.

211

213 215 218 221

223 224

Część drug a. Pole m a g n e ty czn e s ta łe w fu n k c ji czasu 8.

Pole magnetyczne — wielkości je o p i s u j ą c e ........................................................................................

242

8.1. D ośw iadczenia A m pera i praw o Biota —S a v a r t a ........................................................................... 8.2. O pis różniczkow y po la m a g n e t y c z n e g o ............................................................................................... 8.2.1. Strum ień m a g n e t y c z n y ................................................................................................................... ' 8.2.2. N atężenie po la m agnetycznego, rów nanie M axw ella, w ek to r m agnetyzacji 8.2.3. P raw o p r z e p ł y w u ........................................................................... 8.2.4. Potencjał skalarny i w ektorow y po la m agnetycznego — rów nania różniczkow e cząst­

242 246 247 248 250

kowe drugiego r z ę d u .................................................................................................................... 8.3. W arunki brzegowe n a granicy nieciągłości m a t e r i a ł o w e j ............................................................. 8.4. E nergia pola m agnetycznego — gęstość objętościow a e n e r g i i ...................................................... 8.5. Indukcyjność w łasna i w z a j e m n a ...................................................................................................... 8.5.1. Indukcyjność w łasna obw odu e l e k t r y c z n e g o ........................................................................... 8.5.2. Indukcyjność w z a j e m n a ................................................................................................................. 8.5.3. Całkow e definicje indukcyjności własnej i w z a j e m n e j ...................................................... 8.5.4. Indukcyjności cząstkow e o b w o d u ............................................................................................... 8.6. A nalogie w opisie pom iędzy polam i: elektrycznym i m a g n e t y c z n y m .........................................

251 256 257 258 260 260 262 267

9.

Pole magnetyczne w otoczeniu przewodów z p r ą d e m ....................................................................

270

9.1. Pole m agnetyczne o d o sobnionego, prostoliniow ego przew odu z p r ą d e m ........................... 9.2. Pole m agnetyczne w otoczeniu linii d w u p r z e w o d o w e j.................................................................... 9.2.1. Indukcyjność w łasna linii d w u p r z e w o d o w e j ........................................................................... 9.3. Pole m agnetyczne kabla k o n c e n t r y c z n e g o ........................................................................................ 9.3.1. Indukcyjność w łasna k ab la k o n c e n t r y c z n e g o .................................................................... 9.4. Pole m agnetyczne w otoczeniu przew odu o skończonej d ł u g o ś c i ................................................

270 276 280 281 284 284

268

7

9.5. Pole m agnetyczne w otoczeniu zw oju k o ł o w e g o ................................................................... 285 9.6. Pole m agnetyczne solenoidu (długiej c e w k i ) ........................................................................... 288 9.7. Pole m agnetyczne t o r o i d u ................................................................................................................ 289 9.7.1. Indukcyjność w zajem na cewek naw iniętych na rdzeniu t o r o i d a l n y m ........................291 9.8. Indukcyjność w zajem na dw óch rów noległych przew odów o skończonej długości . . . 292 9.8.1. In d ukcyjność zew nętrzna odcinka przew odu p r o s t o l i n i o w e g o ................................................ 293 9.8.2. Indukcyjność w łasna przew odu o kształcie p r o s t o k ą t a ............................................................294 9.8.3. Indukcyjność w łasna linii dw uprzew odow ej o skończonej długości i różnych przekrojach poprzecznych p r z e w o d ó w .................................................................................................................... 295 9.8.4. Indukcyjność wzajem na dw óch rów noległych l i n i i ......................................................... 296 9.8.5. Indukcyjności w łasne i wzajem ne w linii t r ó j f a z o w e j ...................................................297 9.9. Pole m agnetyczne w środow isku u w a r s t w i o n y m ....................................................................... 298 9.9.1. O dbicia zw ierciadlane w polu m a g n e t y c z n y m ......................................................... ....... 299 10.

P ole m agnetyczne w f c r r o m a g n e l y k a c h ............................................................................................... 300

10.1.

10.6. 10.7. 10.8.

C h arak tery sty k a m ateriałów po d w zględem właściwości m a g n e t y c z n y c h ..................................300 10.1.1. D i a m a g n e t y k i ......................................................................................................................................302 10.1.2. P a r a m a g n e t y k i ................................................................................... 302 F e r r o m a g n e l y k i ............................................................................................................................................... 303 10.2.1. N ieliniow ość ferrom agnetyków , krzyw a m agnesow ania, pętla histerezy . . . 304 10.2.2. P rzenikalność m agnetyczna f e r r o m a g n e t y k ó w .................................................................... 307 10.2.3. M ateriały m agnetyczne m iękkie i t w a r d e .................................................................................. 308 10.2.4. D em agnetyzacja m a g n e s ó w .......................................................................................................310 10.2.5. A n izotropia m a g n e t y k ó w ............................................................................................................. 313 10.2.6. M agnetostrykcja m agnetyków ................................................................................................314 Pole m agnetyczne nam agnesow anych f e r r o m a g n e t y k ó w .............................................................315 10.3.1. Pole m agnetyczne rów nom iernie nam agnesow anej k u l i .......................................................318 10.3.2. K u la ferrom agnetyczna w rów nom iernym polu m a g n e t y c z n y m ...................................319 P otencjał w ektorow y w opisie pola w f e r r o m a g n e t y k a c h .............................................................320 10.4.1. Pole m agnetyczne m agnesu c y l i n d r y c z n e g o ........................................................................... 322 E k ran y m a g n e t y c z n e .................................................................................................................................324 10.5.1. E k ran cylindryczny w rów nom iernym polu m a g n e t y c z n y m ......................................... 325 S traty energii na p r z e m a g n e s o w a n i e ......................................................................................................328 O bw ody m a g n e t y c z n e .................................................................................................................................330 Z asady obliczania obw odów m agnetycznych z m agnesam i trw ałym i . . . . . . 333

11.

Siły m echaniczne w polu m a g n e ty c z n y m ...............................................................................................336

11.1.

G ęstość sił objętościow ych w m agnetyku .......................................................................... 336 11.1.1. G ęstość sił objętościow ych w m agnetyku j e d n o r o d n y m ................................................ 337 11.1.2. G ęstość sił objętościow ych w m agnetyku n i e j e d n o r o d n y m ................................................ 337 11.1.3. G ęstość sił m echanicznych w środow isku, w którym płyną p r ą d y .................................... 338 N ap rężen ia pow ierzchniow e w polu m a g n e t y c z n y m .......................................................................... 339 11.2.1. Siły rozw arstw iające m a g n e t y k i ................................................................................................340 Siły m echaniczne pom iędzy przew odam i z p r ą d e m .......................................................................... 341 11.3.1. Siła m echaniczna pom iędzy dw om a przew odam i r ó w n o l e g ł y m i ...................................343 11.3.2. Siła m echaniczna pom iędzy d w om a zw ojam i z p r ą d e m .......................................................345 11.3.3. O bw ód z prądem w rów nom iernym polu m a g n e t y c z n y m ................................................ 346 P oruszające się ładunki elektryczne w polu m a g n e t y c z n y m ............................................................ 347 11.4.1. Siła m echaniczna pom iędzy dw om a poruszającym i się ładunkam i punktow ym i . 347 11.4.2. Siła L o r e n t z a ..................................................................................................................................348 R ó w n an ia ruchu naładow anej cząsteczki w polu m a g n e t y c z n y m ............................................... 349 Z jaw isko sam oskurczu ( p i n c h u ) ............................................................................................................ 352 Z jaw isko I - I a l i a .............................................................................................................................................. 353 E lektryzacja środow isk przew odzących w polu m a g n e t y c z n y m ............................................... 354

10.2.

10.3.

10.4. 10.5.

11.2. 11.3.

11.4.

11.5. 11.6 . 11.7. 11.8.

8

11.8.1. M odel m atem atyczny procesu elektryzacji w po lu m a g n e t y c z n y m .................................. 354 11.8.2. E lektryzacja w stałym i rów nom iernym polu m a g n e t y c z n y m ................................. 357 11.8.3. E lektryzacja , w polu m agnetycznym z i e m i ........................................................................... 359

Część trze c ia . Pole e le k tro m a g n e ty c zn e 12.

Pole elektryczne i m agnetyczne zmienne w c z a s i e ................................................................................. 364

12.1. 12.2. 12.3.

Z jaw isko indukcji elektrom agnetycznej — praw o F arad ay a, ró w n an ia M axw ella . . 364 G ęstość p rąd u przesunięcia — całkow ita gęstość p r ą d u .............................................................367 R ów nania różniczkow e pola e le k tr o m a g n e ty c z n e g o ...........................................................................368 12.3.1. R ów nania M axw ella dla pól h a r m o n i c z n y c h .................................................................... 370 12.4. R ów nania różniczkow e cząstkow e drugiego rzędu stosow ane w opisie pola elektrom ag­ netycznego 372 12.4.1. R ów nanie falowe z t ł u m i e n i e m .......................................................................... 373 12.4.2. R ów nanie falowe bez t ł u m i e n i a ......................................................................... 374 t 12.4.3. R ów nanie p r z e w o d n i c t w a .............................................................................................................375 12.4.4. R ów nanie przew odnictw a w środow isku z w ym uszonym przepływ em p rąd u . . 375 12.4.5. R ów nanie H e l m h o l t z a ....................................................................................................................376 12.5. O pis pola elektrom agnetycznego w niejednorodnym m a g n e t y k u ............................................... 377 12.6. D yspersja c z ę s t o t l iw o ś c i o w a ................................................................................................................... 379 12.6.1. D yspersja częstotliw ościow a d i e l e k t r y k ó w .................................................... 380 12.6.2. D yspersja częstotliw ościow a m agnetyków ..................................................................................382 12.6.3. Nieliniowy m agnetyk ja k o środow isko dyspersyjne i niejednorodne . . . . 384 12.7. P rzem iany energetyczne w polu e l e k tr o m a g n e ty c z n y m ................................................................... 384 12.7.1. Strum ień m ocy — w ektor P o y n t i n g a .........................................................................................384 12.7.2. Z astosow anie w ek to ra P o yntinga d o opisu przesyłu energii elektrycznej — rola przew odów elektrycznych i d ielektryka w tym p r o c e s i e .......................................................386 12.7.3. W ektor P o yntinga w polach h a r m o n i c z n y c h ........................................................................... 388 12.7.4. Siły m echaniczne w polu e l e k tr o m a g n e ty c z n y m .................................................................... 390 ............................................................................................................ 391 12.8. Potencjały elektrodynam iczne 12.8.1. R ów nania d ’A lem berta .............................................................................................................393 12.8.2. Potencjały opóźnione — rozw iązania ogólne rów nań d ’A lem berta . . . . 394 12.8.3. Potencjały o późnione w otoczeniu źródeł sinusoidalnie zm iennych w funkcji czasu 395 12.9. Pole elektrom agnetyczne n a granicy nieciągłości m a t e r i a ł o w e j ...............................................399 12.10. Pole elektrom agnetyczne w środow iskach r u c h o m y c h ................................................................... 400 12.11. Składow a transform acji i rotacji siły e l e k t r o m o t o r y c z n e j ............................................................ 403 13.

Fale elektrom agnetyczne

13.1. 13.2.

C harakterystyk a fal e l e k t r o m a g n e t y c z n y c h ........................................................................................407 M o nochrom aty czn a fala p ł a s k a ............................................................................................................ 409 13.2.1. M onoch ro m aty czn a fala płaska w d i e l e k t r y k u .................................................................... 413 13.2.2. M onoch ro m aty czn a fala płaska w dielektryku z dyspersją częstotliw ościow ą . 415 13.2.3. M onochrom atyczna fala płaska w środow isku d o b rze przew odzącym . . . 416 Zjaw isko naskórkow ości elektrycznej .............................................................................................. 418 13.3.1. Z jaw isko naskórkow ości w odoso b n io n y m przew odzie taśm ow ym . . . . 419 13.3.2. Zjaw isko naskórkow ości w o d osobnionym przew odzie w alcowym . . . . 422 13.3.3. Zjaw isko z b l i ż e n i a .......................................................................................................................... 425 M agnetyczne zjaw isko naskórkow ości .............................................................................................. 426 P rzenikanie fali płaskiej przez granicę nieciągłości m a t e r i a ł o w e j .............................................. 428 13.5.1. P adanie fali płaskiej p o d kątem p rostym n a pow ierzchnię idealnego przew odnika 430 Poprzeczne fale e l e k t r o m a g n e t y c z n e .....................................................................................................432 O dbicia i załam an ia fal ......................................................................................................................... 433 13.7.1. Z ałam anie i odbicie fali z w ektorem E rów noległym d o płaszczyzny nieciągłości m ateriałow ej ................................................................................................................................. 437

13.3.

13.4. 13.5. 13.6. 13.7.

......................................................................................................................... 407

9

9.5. Pole m agnetyczne w otoczeniu zw oju k o ł o w e g o ............................................................................... 285 9.6. Pole m agnetyczne solenoidu (długiej c e w k i ) ....................................................................................... 288 9*7. Pole m agnetyczne t o r o i d u ..........................................................................................................................289 9.7.1. Indukcyjność w zajem na cewek naw iniętych na rdzeniu t o r o i d a l n y m ...................................291 9.8. Indukcyjność w zajem na dw óch rów noległych przew odów o skończonej długości . . . 292 9.8.1. Indukcyjność zew nętrzna odcinka przew odu p r o s t o l i n i o w e g o ................................................. 293 9.8.2. Indukcyjność w łasna przew odu o kształcie p r o s t o k ą t a ............................................................ 294 9.8.3. Indukcyjność w łasna linii dw uprzew odow ej o skończonej długości i różnych przekrojach poprzecznych p r z e w o d ó w .................................................................................................................... 295 9.8.4. Indukcyjność w zajem na dw óch rów noległych l i n i i .....................................................................296 9.8.5. Indukcyjności w łasne i wzajem ne w linii t r ó j f a z o w e j ..............................................................297 9.9. Pole m agnetyczne w środow isku u w a r s t w i o n y m .................................................................................298 9.9.1. O dbicia zw ierciadlane w polu m a g n e t y c z n y m ................................................................ 299 10.

Pole m agnetyczne w f c r r o m a g n c t y k a c li ................................................................................................300

10.1.

C h arak tery styka m ateriałów pod względem właściwości m a g n e t y c z n y c h .................................. 300 10.1.1. D i a m a g n e t y k i ...................................................................................................................................... 302 10.1.2. P a r a m a g n e t y k i .......................................................................... • ....................................................302 F e r r o m a g n e t y k i ................................................................................................................................................303 10.2.1. N ieliniow ość ferrom agnetyków , krzyw a m agnesow ania, pętla histerezy . . . 304 10.2.2. P rzenikalność m agnetyczna f e r r o m a g n e t y k ó w .................................................................... 307 10.2.3. M ateriały m agnetyczne m iękkie i t w a r d e .................................................................................. 308 10.2.4. D em agnetyzacja m a g n e s ó w .......................................................................................................310 10.2.5. A n izo tro p ia m a g n e t y k ó w ............................................................................................................. 313 10.2.6. M agnetostrykcja m agnetyków ................................................................................................314 Pole m agnetyczne nam agnesow anych f e r r o m a g n e t y k ó w ............................................................. 315 10.3.1. Pole m agnetyczne rów nom iernie nam agnesow anej k u l i .......................................................318 10.3.2. K ula ferrom agnetyczna w rów nom iernym polu m a g n e t y c z n y m ...................................319 Potencjał w ektorow y w opisie pola w f e r r o m a g n e t y k a c h .............................................................320 10.4.1. Pole m agnetyczne m agnesu c y l i n d r y c z n e g o ................................................................... 322 E krany m a g n e t y c z n e ................................................................................................................................. 324 10.5.1. E k ran cylindryczny w rów nom iernym polu m a g n e t y c z n y m ......................................... 325 S traty energii na p r z e m a g n e s o w a n i e ...................................................................................................... 328 O bw ody m a g n e t y c z n e ................................................................................................................................. 330 Z asady obliczania obw odów m agnetycznych z m agnesam i t r w a ł y m i ........................................ 333

10.2.

10.3.

10.4. 10.5. 10.6. 10.7. 10.8. 11.

Siły m echaniczne w polu m a g n e ty c z n y m ...............................................................................................336

11.1.

G ęstość sil objętościow ych w m agnetyku .......................................................................... 336 11.1.1. G ęstość sil objętościow ych w m agnetyku j e d n o r o d n y m ................................................ 337 11.1.2. G ęstość sil objętościow ych w m agnetyku n i e j e d n o r o d n y m ................................................ 337 11.1.3. G ęstość sil m echanicznych w środow isku, w którym płyną p r ą d y ...................................338 N aprężenia pow ierzchniow e w polu m a g n e t y c z n y m ........................................................................... 339 11.2.1. Siły rozw arstw iające m a g n e t y k i ................................................................................................340 Siły m echaniczne pom iędzy przew odam i z p r ą d e m ...........................................................................341 11.3.1. Siła m echaniczna pom iędzy dw om a przew odam i r ó w n o l e g ł y m i ...................................343 11.3.2. Siła m echaniczna pom iędzy dw om a zw ojam i z p r ą d e m ....................................................... 345 11.3.3. O bw ód z prądem w rów nom iernym polu m a g n e t y c z n y m ................................................ 346 P oruszające się ładunki elektryczne w polu m a g n e t y c z n y m .............................................................347 11.4.1. Sita m echaniczna pom iędzy dw om a poruszającym i się ładunkam i punktow ym i . 347 11.4.2. Siła L o r e n t z a ..................................................................................................................................348 R ó w nania ruchu naładow anej cząsteczki w polu m a g n e t y c z n y m ............................................... 349 Z jaw isko sam oskurczu ( p i n c h u ) ............................................................................................................ 352 Z jaw isko H a l l a .............................................................................................................................................. 353 E lektryzacja środow isk przew odzących w polu m a g n e t y c z n y m ............................................... 354

11.2. 11.3.

11.4.

11.5. 11.6. 11.7. 11.8.

11.8.1. M odel m atem atyczny procesu elektryzacji w polu m a g n e t y c z n y m .................................. 354 11.8.2. E lektryzacja w stałym i rów nom iernym po lu m a g n e t y c z n y m ......................................... 357 11.8.3. E lektryzacja , w polu m agnetycznym z i e m i ........................................................................... 359

Część trz e c ia . Pole e le k tro m a g n e ty c zn e 12,

Pole elektryczne i m agnetyczne zmienne w c z a s i e ..................................................................................364

12.1. 12.2. 12.3.

Z jaw isko indukcji elektrom agnetycznej — p raw o F a ra d a y a , ró w n an ia M axw ella . . 364 G ęstość p rąd u przesunięcia — całkow ita gęstość p r ą d u .............................................................367 R ów nania różniczkow e po la e le k tr o m a g n e ty c z n e g o ...........................................................................368 12.3.1. R ów nania M axw ella d la pól h a r m o n i c z n y c h .....................................................................370 12.4. R ów nania różniczkow e cząstkow e drugiego rzędu stosow ane w opisie po la elektrom ag­ netycznego ..........................................................................................................................................................372 12.4.1. R ów nanie falowe z t ł u m i e n i e m ................................................................................................373 12.4.2. R ów nanie falowe bez t ł u m i e n i a ............................................................................................... 374 12.4.3. R ów nanie p r z e w o d n i c t w a ..............................................................................................................375 12.4.4. R ów nanie przew odnictw a w środow isku z w ym uszonym przepływ em p rąd u . . 375 12.4.5. R ów nanie H e l m h o l t z a .................................................................................................................... 376 12.5. Opis pola elektrom agnetycznego w n iejednorodnym m a g n e t y k u ............................................... 377 12.6. D yspersja c z ę s t o t l iw o ś c i o w a ................................................................................................................... 379 12.6.1. D yspersja częstotliw ościow a d i e l e k t r y k ó w ..........................................................................380 12.6.2. D yspersja częstotliw ościow a m a g n e t y k ó w .......................................................................... 382 12.6.3. Nieliniowy m agnetyk ja k o środow isko dyspersyjne i n iejednorodne . . . . 384 12.7. P rzem iany energetyczne w po lu e l e k tr o m a g n e ty c z n y m ....................................................................384 12.7.1. Strum ień m ocy — w ek to r P o y n t i n g a ......................................................................................... 384 12.7.2. Z astosow anie w ektora P o y ntinga d o opisu przesyłu energii elektrycznej — rola przew odów elektrycznych i dielektryka w tym p r o c e s i e .......................................................386 12.7.3. W ektor P o y ntinga w p olach h a r m o n i c z n y c h ........................................................................... 388 12.7.4. Sity m echaniczne w p olu e l e k tr o m a g n e ty c z n y m .....................................................................390 12.8. P otencjały elektrodynam iczne .............................................................................................................391 12.8.1. R ów nania d ’A lem berta ..............................................................................................................393 12.8.2. Potencjały opóźnione — rozw iązania ogólne ró w n ań d ’A lem berta . . . . 394 12.8.3. Potencjały o późnione w otoczeniu źró d eł sinusoidalnie zm iennych w funkcji czasu 395 12.9. Pole elektrom agnetyczne na granicy nieciągłości m a t e r i a ł o w e j ............................................... 399 12.10. Pole elektrom agnetyczne w środow iskach r u c h o m y c h ................................................................... 400 12.11. Składow a transform acji i rotacji siły e l e k t r o m o t o r y c z n e j ............................................................ 403 13.

Fale elektrom agnetyczne

13.1. 13.2.

C harakterystyka fal e l e k t r o m a g n e t y c z n y c h ........................................................................................407 M o nochrom atyczn a fala p l a s k a ............................................................................................................ 409 13.2.1. M o nochro m aty czn a fala płaska w d i e l e k t r y k u .................................................................... 413 13.2.2. M o nochro m aty czn a fala plaska w d ielektryku z dyspersją częstotliw ościow ą . 415 13.2.3. M o nochro m aty czn a fala plaska w środow isku d o b rze przew odzącym . . . 416 Z jaw isko naskórkow ości elektrycznej ...............................................................................................418 13.3.1. Z jaw isko naskórkow ości w odoso b n io n y m przew odzie taśm ow ym . . . . 419 13.3.2. Z jaw isko naskórkow ości w odoso b n io n y m przew odzie w alcow ym . . . . 422 13.3.3. Z jaw isko z b l i ż e n i a ...........................................................................................................................425 M agnetyczne zjaw isko naskórkow ości ...............................................................................................426 P rzenikanie fali płaskiej przez granicę nieciągłości m a t e r i a ł o w e j ............................................... 428 13.5.1. P adanie fali płaskiej pod kątem p rostym n a pow ierzchnię idealnego przew odnika 430 P oprzeczne fale e l e k t r o m a g n e t y c z n e ..................................................................................................... 432 O dbicia i załam ania fal ..........................................................................................................................433 13.7.1. Z ałam anie i odbicie fali z w ektorem E rów noległym d o płaszczyzny nieciągłości m ateriałow ej ................................................................................................................................. 437

13.3.

13.4. 13.5. 13.6. 13.7.

..........................................................................................................................407

8 '|f

■.

toj»!..,.-...

-'«(fS-iift, s.,.

¡.A;;

,

•ftrsr m*.

13.8.

13.7.2. Z ałam anie i odbicie fali z w ektorem I-I rów noległym do płaszczyzny nieciągłości m ateriałow ej ........................................................................................................................... 13.7.3. C ałkow ite załam anie fali e l e k t r o m a g n e t y c z n e j ............................................................. 13.7.4. C ałkow ite odbicie fali e l e k t r o m a g n e t y c z n e j .................................................................... 13.7.5. Z ałam anie i odbicie fali od niedoskonałego przew odnika lub dielektryka . . P o laryzacja fal elektrom agnetycznych .......................................................................................

14.

Propagacja fal elektromagnetycznych dla potrzeb t e l e in f o r m a t y k i .........................................

14.1.

K o dow anie inform acji w fali elektrom agnetycznej, m odulacja f a l i .................................. 14.1.1. M odulacja a m p l i t u d y ............................................................................................................. 14.1.2. M odulacja c z ę s t o t l i w o ś c i ...................................................................................................... G en eracja fal e l e k t r o m a g n e t y c z n y c h ............................................................................................... 14.2.1. P rom ieniow anie dip o la H ertza ........................................................................................ 14.2.2. Pole elektrom agnetyczne w strefie b l i s k i e j .................................. .................................. 14.2.3. P ole elektrom agnetyczne w strefie dalekiej . .............................................................. W ybrane układy anten d i p o l o w y c h ............................................................................................... 14.3.1. Pole elektrom agnetyczne anteny d i p o l o w e j .................................................................... 14.3.2. C harakterystyki w ybranych anten dipolow ych . . ’ ................................................. Człow iek w sm ogu e l e k t r o m a g n e t y c z n y m .................................................................................. 14.4.1. Strefy zagrożeń .................................................................................................................... 14.4.2. Pole elektrom agnetyczne w otoczeniu i w nętrzu c z ł o w i e k a .................................. 14.4.3. K lasyfikacja z a g r o ż e ń ............................................................................................................. 14.4.4. C h arak tery sty k a podstaw ow ych zagrożeń od określonych rodzajów pól

14.2.

14.3.

14.4.

D o d a t e k ..................................................................................................................................................................... W ykaz literatury p o m o c n i c z e j ...........................................................................................................................

-i

K siążkę dedykuję mojej żonie M arii

Wstęp W urządzeniach cywilizacyjnych i technicznych znajdują zastosowanie prawie wszyst­ kie znane zjawiska wywołane przez pole elektryczne, magnetyczne i elektrom ag­ netyczne. Zjawiska te nie występują zazwyczaj w swej klasycznej, „czystej” postaci, wywołanej oddziaływaniem tylko jednego z wymienionych wyżej pól. W ydawałoby się, że ta możliwa do wystąpienia współzależność oddziaływ ań różnej natury wymaga stosowania skom plikow anych modeli m atem atycznych, opisujących zjawiska w całej ich złożoności. Jednakże doświadczenia naukow ców i inżynierów pokazują, że dokonując świadomie określonych uproszczeń, m ożna w licznych przypadkach ograniczyć się do m odelu opisującego zjawisko dom inujące w danym zastosowaniu. W odniesieniu do zagadnień omawianych w niniejszej książce takie uproszczenia są powszechnie stosow ane i polegają na dokonaniu, w każdym przypadku gdy jest to z m atematycznego lub fizycznego punktu widzenia dopuszczalne, odrębnego opisu oddziaływań przez pole elektryczne, m agnetyczne lub elektromagnetyczne. M etodyka taka m a dwie ważne zalety. Pierwszą jest możliwość posługiwania się przy opisie obiektów stosunkow o prostym i modelam i matem atycznym i i uzyskiwania w wielu przypadkach rozwiązań analitycznych (zawsze cennych i pożądanych) lub numerycznych. D rugą zaletą jest możliwość korzystania przy form ułow aniu opisu z pewnych typów rów nań różniczkowych cząstkowych lub całkowych, które co do swej postaci m atem atycznej są zbieżne z otrzym ywanym i przy opisie zjawisk o innej naturze fizycznej. Istnieje zatem możliwość w ykorzystywania różnorakich analogii i na tej podstaw ie wnioskow ania o zachow aniu się obiektu. W niniejszej książce przez pojęcie „elektryczność i m agnetyzm w technice” rozumieć będziemy zespół problem ów związanych z m atem atycznym opisem i fizycz­ ną interpretacją zjawisk towarzyszących wytw arzaniu i wykorzystywaniu w okreś­ lonych celach pól: elektrycznego, m agnetycznego i elektrom agnetycznego. W roz­ ważaniach ograniczymy się głównie do zagadnień opisywanych klasycznymi rów­ naniami Maxwella. Zakłada się, że korzystający z tej książki znają podstaw y elektrom agnetyzm u w ujęciu prezentow anym przez fizyków dla potrzeb studentów politechnik oraz mają opanowane takie działy m atem atyki, jak rachunek różniczkowy i całkowy oraz rachunek wektorowy, a także znają podstaw ow e m etody analityczne i numeryczne rozwiązywania rów nań różniczkowych cząstkowych. 11

Niniejsze, drugie wydanie książki, zostało uzupełnione, co umożliwi przede | wszystkim dogłębniejsze zrozum ienie istoty fal elektrom agnetycznych, szczególnie 8 w kontekście ich obliczania, generacji i oddziaływania na różne środow iska m ateriał- 8 ne. Przedstaw iono tu również ogólne właściwości oddziaływania pól ele k tro m a g -§ netycznych na człowieka. 1 K siążka jest adresow ana przede wszystkim do studentów wydziałów elektrycz­ nych i elektroniki politechnik oraz absolw entów tych wydziałów, którzy chcieliby i uaktualnić i pogłębić swoją wiedzę o podstaw ow ych zjawiskach wykorzystywanych w tym obszarze techniki.

Część pierwsza

Pole elektryczne

11 .

Pole elektryczne właściwości fizyczne i opis matematyczny

1.1. Źródła stałego pola elektrycznego — ładunki elektryczne Przy dzisiejszym stanie wiedzy o m aterii nieożywionej wszelkie zjawiska zaliczane do grupy zjawisk elektrycznych, m agnetycznych i elektrom agnetycznych są zdeterm ino­ wane istnieniem w przyrodzie elem entarnych — dodatnich i ujemnych — ładunków elektrycznych, których nośnikam i są odpow iednio: elektrony i protony. K onkretne zjawisko, o charakterze naturalnym bądź inicjowane świadomie przedsiębranym i środkam i oddziaływ ania technicznego, jest w istocie zawsze pochodną wzajemnego odziaływania tychże ładunków , przy czym w skali m ikrośw iata jest to zazwyczaj oddziaływanie pojedynczych ładunków bądź policzalnej ich ilości. O istocie zjawisk: w tym przypadku decyduje nie tylko sam fakt istnienia elem entarnych ładunków elektrycznych, ale również ich ciągły, nieustający ruch. Zgodnie z klasyczną teorią budow y m aterii odziaływ ania pom iędzy elem entarnym i ładunkam i elektrycznymi decydują o jej właściwościach fizycznych, chemicznych, a zapewne i biologicznych.; Przypom nijm y, że elektron jest cząstką o masie mc = 9 ,l-1 0 -31 kg i ładunku ujem nym qe = ł ,6021917(70)-10"19 C (w nawiasie podano dwie ostatnie liczby dziesiętne, względem których określany jest błąd pom iaru), proton zaś m a identyczny co do w artości bezwzględnej ładunek elektryczny, ale przeciwnego znaku. M asa p ro to n u jest 1840 razy większa od m asy elektronu. Należy zaznaczyć, że o istocie fizycznej elem entarnych ładunków elektrycznych wiemy bardzo m ało, aczkolwiek trw ają intensywne badania zmierzające do poznania ich budow y i właściwości. i W makroświecie, a w szczególności w większości konstruow anych przez człowieka urządzeniach, obserwowane bądź wykorzystywane zjawiska elektryczne, magnetycz­ ne lub elektrom agnetyczne są spow odow ane występowaniem m ikro- bądź m akroładunku, którego dokładna liczbowa m iara jest zawsze rów na wielokrotności ładun­ ku elem entarnego, przy czym trzeba mieć świadomość, że nawet ładunki czy prądy uznaw ane w technice za skrajnie małe są w istocie trudno m ierzalną lub policzalną w ielokrotnością ładunku elem entarnego. P rzykładow o, na okładzinie ujem nej k o n d en sato ra o pojem ności jednego p ik o farad a , będącego pod napięciem jednego w olta, znajduje się o koło 6,2-10 5 nadm iarow ych elektronów , a na okładzinie dodatniej b rak u je takiej sam ej liczby elektronów . W prądzie o natężeniu jednego n an o am p era w czasie jednej sekundy przez płaszczyznę przekroju' poprzecznego przew odnika przem ieszcza się o koło 6,2 -10“ sw obodnych elektronów .

14

Przedmiotem rozw ażań zawartych w niniejszej książce będą zjawiska związane z wzajemnym odziaływaniem ładunków m akroskopow ych, nazywanych dalej ła­ dunkami swobodnymi lub po prostu ładunkam i elektrycznymi, przy czym przez ładunki swobodne będziemy rozumieć te ładunki, które pod wpływem sił zewnętrz­ nych różnej natury (elektrycznych, chemicznych, tem peratury itp.) są zdolne do pokonania wiązań atom ow ych albo cząsteczkowych. W przypadku ciał stałych będą to przede wszystkim elektrony. Ich nadm iar w obiekcie będzie określał m akroskopowy ładunek ujemny, a niedobór — m akroskopow y ładunek dodatni. W przypadku cieczy i gazów ładunkam i swobodnym i m ogą być zarówno elektrony jak i jony. Ładunki m akroskopow e mogą znajdow ać się w ewnątrz ciał stałych lub na ich powierzchniach (ściślej — w cienkiej warstwie o grubości równej kilku średnicom atom ów), w cieczach albo w ich cienkich warstwach przypowie­ rzchniowych oraz w gazach, przy czym rozkład ładunków w gazie jest zazwyczaj pochodną wielu czynników, między innymi ciśnienia, tem peratury i ruchów turbulentnych. Obiekty naładow ane m ogą się znajdow ać w spoczynku lub w ruchu względem inercyjnego układu współrzędnych. W pierwszym przypadku mówimy o ładunkach statycznych, a w drugim o ładunkach ruchom ych. Ruch ładunku jest możliwy nie tylko wraz z obiektem, ale również w ew nątrz obiektu. Każdy ruch ładunku elektrycz­ nego jest w istocie określoną postacią prądu elektrycznego. W spomniane wyżej różne możliwe postacie rozkładu ładunków wewnątrz nałado­ wanego obiektu bądź na jego powierzchni skłaniają do wprowadzenia określonych funkcji rozkładu. Jeżeli ładunek jest rozmieszczony w ewnątrz obiektu, jego rozkład opisujemy definiując funkcję gęstości objętościowej p = cky/d V. Gęstość objętościowa ładunku w określonym punkcie przestrzeni jest w przypad­ ku ogólnym funkcją punktu zdefiniowanego prom ieniem wodzącym r' oraz czasu (rys. 1.1 a). Funkcja p(t', t) może być z założenia funkcją ciągłą lub dyskretną. Dyskretna postać gęstości objętościowej ładunku opisuje np. dyskretny rozkład ładunków umieszczonych na obiektach o pom ijalnie małych rozm iarach w stosunku do rozmiarów badanej przestrzeni (rys. 1.Ib) i o lokalnej gęstości p'{r'h t).

p(r9l

ftlr/.ń

Rys. 1.1. R ozkłady ładun k ó w definiow ane: a), b) gęstością objętościow ą, c) pow ierzchniow ą i d) liniową

15

W takim przypadku gęstość np. w punkcie o współrzędnej r ' możemy wyrazić zależnością: P(r', t) = p'i(r'h 0■

Powyższe rów nanie wyraża praw o G aussa w postaci różniczkowej. Jego praw a strona jest rów na zeru w każdym punkcie, w którym ładunek jest równy zeru. W punktachw których ładunek jest różny od zera, praw a strona jest rów na gęstości objętościowej p, przy czym funkcja opisująca gęstość objętościową ładunku może być funkcją ciągłą lub dyskretną, np. w postaci (1.1). Ze względu na niezależność operacji dywergencji od czasu rów nanie (1.22) można uogólnić na pola zmienne w funkcji czasu. A zatem w przypadku ogólnym divD (r, /) =

0, p(r, t).

(1.23)

Z zależności (1.24) wynika, że divE(r, t) = 0 tylko wówczas, gdy w przestrzeni zajętej przez pole nie m a swobodnych ładunków elektrycznych i przestrzeń ta jest wypełniona dielektrykiem, którego przenikalność e(r, /) = const (dielektryk jednorod­ ny). Prawo G aussa, zarów no w postaci całkowej ja k i różniczkowej, umożliwia interpretację wielu zjawisk obserwowanych w polu elektrycznym i elektrom agnetycz­ nym oraz w ykonanie w wielu przypadkach obliczeń wielkości wektorowych i skalar­ nych opisujących przede wszystkim pole elektryczne. Jako przykład wyznaczym y indukcję elektryczną p o w ew nętrznej i zew nętrznej stronie m etalowej czaszy kulistej otaczającej ładunek p u n k to w y um ieszczony w jej śro d k u geom etrycznym (rys.l.9a). Wyznaczymy rów nież zaindukow ane n a pow ierzchniach kuli ładunki.

W teorii pola wektorow ego w artość dywergencji w ektóra inform uje o źródłowości bądź bezźródłowości pola. Jeżeli dywergencja w ektora jest różna od zera, mówimy, że pole tego w ektora jest polem źródłow ym , którego źródłem jest funkcja występująca z prawej strony rów nania typu (1.23), a więc w przypadku pola elektrycznego sw obodny ładunek elektryczny o gęstości objętościowej p(r, t) lub ładunek dyskretny! (rys.l.8a). b)

Rys. 1.8. Przestrzenie, w których pole elektryczne jest: a) źródłow e, b) bezżródlow e

Pole bezżródlowe to pole, którego dywergencja jest rów na zeru, co oznacza, że I w badanej przestrzeni p(r, t)= 0 (rys,1.8b). .j Rów nanie (1.23) [również (1.22)] umożliwia określenie źródeł pola w ektora E ,| W tym celu podstaw m y D (r, t)= c(r, t) E(r, t) i zastosujm y tożsam ość (D.31) (patrz j D odatek). W wyniku otrzym amy: dive(r, t) E(r, i) = s(r, /)d iv E (r, /) + E(r, i) ■grade(r, t)-

0, p(r, /).

Stąd po przekształceniach - E ( r , 0 ’gradlnE(r, i), divE(r, /) =

P(r, 0 -E(r, i)-grad ln c(r, i), e(r, t)

(1.24)1

przy czym uwzględniono, że 25

Z zależności (1.8) i (1.16) w ynika, że w ektor indukcji w p u nktach odległych o r m a postać:

a)

b)

pllE

Strum ień indukcji przenikający przez fikcyjną pow ierzchnię kulistą o prom ieniu r jest równy = D(r)

cos(0°) = —— 4nr2 = q.

4nr*

O toczenie ład u n k u punktow ego czaszą kulistą o prom ieniu rów nym odpow iednio i rj> (ry s .l.9b) spow odow ało zaindukow anie po stro n ie w ewnętrznej ładunku ujem nego o gęstości p o ł j w ierzchniowej

{r) zwanej potenc­ jałem skalarnym pola. W ychodząc z tej przesłanki możemy stwierdzić, że jeżeli rot E(r) = 0, to E(r) = —grad(/>(r), (1-52) gdyż zawsze ro t[-g ra d r/;(r)] = 0, przy czym w przypadku ogólnym również r o t [ - grad(r) + const] = 0. Oznacza to, że w artość funkcji skalarnej c/j jest niejedno­ znaczna i może być znana z dokładnością do stałej. T a niejednoznaczność, ja k się dalej okaże, nie jest istotną przeszkodą zarów no przy wykonywaniu obliczeń jak i dokonywaniu pom iarów. Postawienie przed operacją gradientu znaku m inus jest podyktow ane koniecznoś­ cią zachowania zgodności co do znaku wyników analizy pola otrzym anych różnymi metodami. Znajomość potencjału skalarnego umożliwia wyznaczenie funkcji wektorowej E(r) i w dalszej kolejności wszystkich innych wielkości opisujących różne właściwości pól. Jak wspomnieliśmy wyżej, z punktu widzenia fizyki potencjał elektryczny jest miarą zdolności pola do w ykonania pracy. Jego elem entarna wartość (rys,1.14a), przy założeniu, że w artość dodatniego ładunku próbnego A ą dąży do zera, wynosi -c k /,(r)- 1^ ll(r)- = A q E (!~) ~d l(r) = E(r) • dl(r), Aq Aq

(1.53)

natomiast potencjał (r) = - f E(r) • dl(r) + const.

(1.54) 35

I

divE (r) = 0

(1.68)

oraz ro tE (r) = 0. Stąd i w tym przypadku w ektor E(r), ale również w ektor J(r), m ogą być opisane potencjałem skalarnym 0(r), zwanym potencjałem elektrycznym. Możemy więc napisać: E(r) = —grad (r).

(1.69)

Postępując zatem podobnie jak we wstępie do pkt. 1.3 przekształcimy wyrażenie divJ(r) = 0 do rów nania Laplace’a: V2r/>(r) = 0.

(1.70)

Tak więc opis pola w ektora gęstości prądu w jednorodnym środow isku przewodzą­ cym możemy sprow adzić do rów nania Laplace’a względem potencjału elektrycznego.

1.3.2. Warunki brzegowe i początkowe dla równań różniczkowych cząstkowych drugiego rzędu We wstępie do pkt. 1.3 i w podpunkcie 1.3.1, form ułując rów nania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu, dopuszczaliśmy możliwość opisu pola w pewnej prze­ strzeni V zarów no w przypadku istnienia w niej źródeł pola, ja k i przy ich braku. W pierwszym przypadku otrzymaliśmy rów nanie Poissona i mogliśmy skonstatow ać, że jeżeli źródłami pola są wyłącznie ładunki leżące w ewnątrz obszaru, to jednym z możliwych sposobów jego rozw iązania jest obliczenie jednej z całek (1.59). W przy­ padku zaś obszaru opisanego rów naniem Laplace’a bądź w przypadku, gdy źródła pola leżą w obszarze i poza nim, inform acja o właściwościach źródeł zewnętrznych lub ich braku musi być przekazana w postaci tzw. w arunków brzegowych. M ożna zatem powiedzieć, że w arunki brzegowe są ograniczeniam i narzuconym i na funkcję opisującą pole w ewnątrz badanego obszaru. Są również czynnikiem weryfikującym i ograniczającym liczbę możliwych rozwiązań wyłącznie do takiego, które spełnia nałożone w arunki brzegowe. Z teoretycznego punktu widzenia problem nakładania na funkcje spełniające równanie Laplace’a lub Poissona ograniczeń określa się mianem zagadnień brzego­ wych. Rozróżnia się następujące rodzaje zagadnień brzegowych: 1. Zagadnienie wewnętrzne D irichleta, nazywane pierwszym zagadnieniem brze­ gowym albo zagadnieniem brzegowym pierwszego rodzaju, polega na znalezieniu takiej funkcji (r), ciągłej w obszarze V i równej na brzegu obszaru dV(r) zadanej funkcji rp(r). W arunek ten zapisujemy następująco: (r)\ayv= 0E (r, /), ( 1 .7 l lity. J(r, 0 E(r, i) Pojęcie niejednorodności technicznej jest związane przede wszystkim z obiektami wykonanymi z dwu- lub większej liczby warstw m ateriałów o różnych właściwościach są zależnościami liniowymi, oznacza to, że param etry m ateriałow e nie zależą elektrycznych lub magnetycznych. W poszczególnych częściach urządzeń technicz­ wielkości polowych, a w szczególności od natężenia pola elektrycznego. Środowisk! nych są powszechnie stosowane wielowarstwowe dielektryki (np. izolacja kabli o takich właściwościach nazywam y liniowymi. N atom iast środow iska, których p a ra | energetycznych), przewodniki (np. pozłacane styki złącz) lub magnetyki (np. rdzenie m etry zależą od wielkości polowych, nazywamy nieliniowymi. magnetyczne wykonane z blach transform atorow ych). 50

51

Z m atem atycznego p u n k tu widzenia niejednorodność naturalną opisuje się .■ zwyczaj zależnościami ciągłymi w funkcji w ektora współrzędnych. T ak na przykłą niejednorodność dielektryka definiujem y — określając zmienność jego przenikalnoś i ewentualnie podatności elektrycznej — funkcjami: e = e(r),

’ eu ( r , i)

e.i2(r, 0

e ,3(r, t) "

£2i(r> t)

e22(r > 0

C23(r > 0

. E3i(r, t)

£32(r, 0

E33(r > 0 .

,cu ( r > i)

12(r , 0

Ki 3(r, t)

0

/c22(r, 0

'c23(r > 0

k 3i K 0

K32(r> 0

K33(r, t)

" K i( r , t)

0

ffi3(r, t)

0 ,

divD 2 = 0,

to

D ln = D 2n,

(1.92)

a jeżeli równaniami: divD j = /jj, j. divD 2 = p 2,

tO

D 2n —D j n —U p 2

— ° " p l — f f p>

(1.93)

gdzie °2

I I

o raz założeniu, że ./ i„ = i 2.i —•(,» składow e norm alne w ektora indukcji będą równ| £ > l n = - J a,

I > 2 » = - J n,

stąd ich różnica \ a2

ffl /

d -^ l j j I

jest różna od zera, co oznacza skokow ą zmianę w ektora D przy przenikaniu pr/§ granicę środowisk. j Jak wspominaliśmy w pkt. 1.5.1, nieciągłość w ektora D może być spowodow aif jedynie niezrównoważonym i ładunkam i istniejącymi na powierzchniach granicznydj stykających się środow isk [zależność (1.87) lub (1.93)]. W obec tego wyrażenia (1.97 odpow iadają gęstościom powierzchniowym ładunków swobodnych zgromadzonycl n a stykających się powierzchniach rzeczywistych dielektryków (lub źle przew odzi cych przewodników). W yrażenie (1.98) m ożna zatem zapisać w postaci: | —(Tp2

D 2n

^"pl

przy czym w przypadku ogólnym:

(1 -99; |

E1 1 ^pi = D j ’ U! = — — erp2 = D 2 ■n2 = e2 J a. |! 1 'fi Z analizy zależności (1.98) wynika, że n a powierzchniach rozgraniczających rzeczy wij ste dielektryki, w przypadku przepływu wymuszonego prądu, będą się zawsżf grom adziły ładunki swobodne. Pow oduje to skokow ą zmianę w ektora indukcji elektrycznej. Jedynie gdy w ypadkow y ładunek będzie równy zeru, a więc gdy e,/ff| = e2/