Elektromagnetism - Från bärnsten till fältteori [1 ed.] 9789144015101 [PDF]

Zitiervorschau

ELEKTRO MAGNETISM Från bärnsten till fältteori

Lars Alfred Engström

ratur rs

Stude

Uppsala Universitetsbibliotek

Ångströmbiblioteket

En2

Lars Alfred Engström

Elektromagnetism Från bärnsten till fältteori

UPPSALA

UNIVERSITETSBIBLIOTEK Ångströmbiblioteket

Studentlitteratur

K Kopieringsförbud Della verk är skyddat av lagen om upphovsrätt Kopiering, utöver lärares rätt att kopiera för

undervisningsbruk enligt BONUS-Presskopias

avtal. är förbjuden. Sådant avtal tecknas mellan upphovsrättsorganisationer och huvudman for

utbildningsanordnare lex kommuner/universitet För information om avtalet hänvisas till

utbildningsanordnarens huvudman eller BONUS-Presskopia

Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan

åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller

fängelse i upp till två år samt bli skyldig ati erlägga ersättning till upphovsman/rättsinnehavare.

Denna trycksak är miljöanpassad, både när det gäller papper och tryckprocess.

Art.nr 7373 ISBN 978-91-44-01510-1

Upplaga 1:11

© Lars Alfred Engström och Studentlitteratur 2000 www.studentlitteratur.se

Studentlitteratur AB, Lund

Omslagslayout: Sune Andersson

Printed by Holmbergs i Malmö AB, Sweden 2012

Innehållsförteckning Kapitel 1

Vad är elektromagnetism?

Kapitel 2

Från bärnsten och järnmalm till elektromagnetisk

3

fältteori Kapitel 3

Matematiska grundbegrepp Cartesiskt koordinatsystem

9

Cylindriskt koordinatsystem

10

Sfäriski koordinatsystem

12

Linjeintegral

14

Flödesintegral

17

Gradient

Kapitel 4

22

Vektorvärd integrand

25

Uppgifter på matematiska grundbegrepp

26

Elektrostatik

29

Coulombs lag, E-fält

29

Elektrisk flödestäthel, D-fält

30

Maxwells ekvationer i elstatiken, Gauss sals

30

E-fält från godtycklig laddningsfördelning

32

Exempel 4:1

34

Potential

39

Metaller i elstatiken

41

Kapacitans

45

Plattkondensator

46

Dielektriska material

48

Elektrisk dipol

50

Polarisation och polarisationsladdningstäthet

51

Samband mellan E, D och Pi dielektriska material Plautkondensator med dielektrikum

53

Uppgifter på elstatik

58

56

Kapitel 5

Ström och strömtäthet, resistans

64

Ström och strömläthet

64

Mobilitet, ledningsförmåga och resistivitet

65

Isolatorer, metaller och supraledare Resistans

66 67

Supraledning - bakgrund till 1987 års Nobelpris i fysik 71 Uppgifter på ström, strömläthet och resistans 75 Kapitel 6

Magnetostatik i vakuum Biot-Savarts lag

78

Exempel 6:1

80

Lionssatsen

81

Magnetiski flöde. O

84

Magnetiskt dipolmoment m

84

material

86

Induktion och elektromotorisk spänning

91

Magnetiserande fältstyrka, H-fält Maxwells ekvationer i magnetostatiken, cirkula

Uppgifter på magnetostatik i ickemagnetiska Kapitel 7

78

Elektromotorisk spänning

81

91

Induktion

93

Exempel 7:1

95

Induktans

97

Magnetiska material

103

Uppgifter på Induktion och clektromolorisk spänning 100

Kapitel 8

Magnetisering M, magnetiseringsströmmar den och Jsm

103

Magnetiserande fältstyrka H i magnetiska material Paramagnetism, magnetisk susceptibilitet mm och

105

Diamagnetism

107

relativ permeabilitet H,

Meissnereffekt; supraledare är perfekta diamagneter Ferromagneter

106 108

109

Magnetiska kretsar

111

Magnetiskt minne, kärnminne

115

Uppgifter på magnetiska kretsar

117

Kapitel 9

Kapitel 10

Maxwells fullständiga ekvationer

120

Uppgifter på Maxwells fullständiga ekvationer

122

Ljus är en elektromagnetisk våg

123

Beskrivning av en fortskridande plan våg Kan ett E-fält i form av en fortskridande plan våg vara en lösning till Maxwells ekvationer?

123

124

Uppgifter på avsnittet Ljus är en elektromagnetisk våg 130 Kapitel 11

Kapitel 12

Från ellära till optik

Intensitet i en elektromagnetisk våg Plan elektromagnetisk våg i gränsskikt mellan

132

dielektriska material

138

Superposition av elektromagnetiska vågor

147

Uppgifter på avsnittet Från ellära till optik

155

Vägledare

161

Fältteori eller kretsteori

161

Rektangulär hålrumsvågledare TEM-mod på koaxialkabel Uppgiſter på vågledare Index

132

164

170 174 176

.

Förord

Syftet med denna bok är att fylla tomrummet som finns mellan två kategorier böcker om elektromagnetism. Å ena sidan finns det gott om elementära framställningar, som beskriver olika specialfall. Dessa är ofta lättillgängliga ur matematisk synpunkt men Maxwells teori görs inte full rättvisa - helhetsbilden blir aldrig tydlig. Å andra sidan finns det gott om fullödiga framställningar där Maxwells fyra ekvationer blir en utsiktspunkt som ger fullständig överblick. Men dessa framställningar förutsätter god förtrogenhet med vektoranalys, om inte matematiken skall skymma sikten.

I denna framställning betonas helhetsbilden. Vägen till utsiktspunkten - förståelse

av Maxwells ekvationer - går dock inte via vektoranalys. Genom all vi studerar Maxwells ekvationer på integralform minimerar vi behovet av matematiska förkunskaper. Integralformen är intuitivt tilltalande och underlättar den

begreppsliga förståelsen. Framställningen bygger enbart på kunskaper i analys i en

och flera variabler samt viss förtrogenhet med vektoralgebra. Kapitel 3 sammanfattar de matematiska begrepp och beteckningssätt som används. Vanligen presenteras elektromagnetismen på ett induktivt sält; empiriskt funna samband med begränsad giltighel generaliseras och leder så småningom fram till en allmän teori. Nackdelen är att det tar lång tid att nå överblick. Denna framställning presenterar teorin på det rakt motsalla sättet, dvs deduktivi

Maxwells ekvationer postuleras redan i kapitel 2. Resten av framställningen är

tillämpningar av dessa ekvationer. Olika delavsniui blir variationer på ell och samma tema. Tillsynes disparata fenomen finner sin plats i helheten. Det ges rika tillfällen till igenkänning när specialfall dyker upp som konsekvenser av det

allmänna. När kapitel 3 är inhämtat skall läsaren förhoppningsvis finna att huvuddelen av stoffet bara utgör förtydliganden av det som redan sagts i kapitel 2, där Maxwells ekvationer presenteras.

Denna bok erbjuder alltså en väg till förståelse av elektromagnetismen där de matematiska hindren minimerats. Den primära målgruppen är ganska bred studerande på flertalet civilingenjörs- och ingenjörsprogram samt vissa kategorier lärarstuderande. Blivande gymnasielärare i fysik och sluderande på fysikprogram eller civilingenjörsprogram i teknisk fysik (F och Y) har ofta kunskaper i vektoranalys och bör därför välja en huvudlitteratur som utnyttjar detta språk.

2

Tänk er en kraft som i likhet med gravitationen avtar omvänt proportionellt mot kvadraten på avståndet, men som är en miljard miljard miljard miljard gånger starkare! Det finns också en annan skillnad. Det finns två slags materia som vi kan kalla positiv och negativ. De lika slagen repellerar och de olika attraherar varandra - till skillnad från gravitationen där vi enbart har attraktion. Vad skulle hända? En samling positiv materia skulle pressas isär med en enorm kraft och spridas

ut i alla riktningar. En samling negativ skulle göra detsamma. Men en jämn blandning av positiv och negativ materia skulle uppföra sig helt annorlunda. De olika delarna skulle dras samman av en ofantlig attraktion. Nettoresultatet skulle bli att krafterna skulle balansera varandra nästan helt och vi skulle få en lät finkornig blandning av positivt och negativt. Mellan olika klumpar av en sådan blandning skulle vi knappast märka några krafter alls. Det finns en sådan kraft: den elektriska kraften. All materia är en blandning av positiva protoner och negativa elektroner, som

attraherar och repellerar med denna enorma kraft. Balansen mellan positivt och negativt är dock

så perfekt att, när du står bredvid någon annan, känner du ingen kraft alls. Om du stod på armlängds avstånd från någon annan, och ni båda hade en procent mer elektroner än protoner, skulle kraften vara otroligt stor. Hur stor? Tillräckligt för att lyfta Empire State Building? Nej!

Tillräckligt för att lyfta Mount Everest? Nej! Repulsionen skulle vara tillräckligt stor för att lyfta en massa motsvarande hela jordens! Med så enorma krafter så perfekt balanserade i denna läla blandning, är det inte svån an förstå au materia då den söker hålla positivt och negativu i balans, kan uppvisa både hårdhet och styrka. Empire State Building lex. svänger bara två meter i vinden på grund av att de elektriska krafterna håller varje elektron och prolon på i stort sett rätt plats. ...

Du vet förstås au alomer är uppbyggda av positiva protoner i kärnan och elektroner utanför. Du frågar kanske: "Om den elektriska kraften är så enorm, varför kommer inte proloner och

elektroner au smälla samman? Om laddningarna vill lägga sig i en intim blandning, varför är den inte ännu intimare?" Svaret har att göra med kvanteffekter. Om vi försöker stänga in våra

elektroner i en region mycket nära protonema måste de ha en mycket stor rörelsemängd enligt Heisenbergs osäkerhetsrelation. Ju snävare region desto större rörelsemängd. Det är denna rörelse, krävd av kvantmekanikens lagar, som hindrar den elektriska atraktionen från ali dra laddningarna närmare varandra.

Det finns en annan fråga: "Vad är det som håller ihop kärnan?". I en kärna finns många protoner, alla är positiva. Varför stöter de inte bort varandra? Det visar sig att det i kärnan finns ickeelektriska krafter förutom de elektriska. Dessa kärnkrafter är starkare än de elektriska och klarar att hålla protonerna samman trots deras rępulsion. Kärnkrafterna har dock mycket kort räckvidd - kraften avtar mycket snabbare än 1/5 (r=partiklarnas avstånd). Detta har viktiga konsekvenser. Om en kärna har för många proloner kan den inte hållas samman. Eu exempel är uran som har 92 protoner. Kärnkrafterna verkar huvudsakligen mellan varje prolon (eller neutron) och dess närmaste grannar, medan de elektriska verkar över ett större avstånd. Varje proton känner alltså av repulsionen från samtliga övriga. Ju fler proloner vi har i kärnan desto starkare blir repulsionen. I fallet uran är balansen mellan kärnkrafter och elektriska krafter mycket delikat. Om man knackar försiktigt på en sådan kärna (vilket man kan genom all skicka in en långsam neutron), klyvs den i två positiva bilar vilka flyger isär p.g.a. den elektriska repulsionen. Den energi som frigörs är densamma som i en atombomb. Energin kallas vanligen

"kärnenergi", men egentligen är det en "elektrisk" energi som frigörs när de elektriska krafterna

övervinner kärnkrafterna.

Slutligen kan vi fråga: vad är det som håller samman en negativt laddad elektron (elektronen

innehåller inga kärnkrafter). Om en elektron är gjord av en substans kommer ju varje del all stötas bort av de övriga. Varför flyger de inte isär? Men har elektronen "delar"? Kanske vi bör

säga att elektronen bara är en punktladdning och att elektriska krafter bara verkar mellan olika punktladdningar så att elektronen inte kan påverka sig själv. Kanske. Allt vi kan säga är au frågan om vad som håller samman en elektron lett till många svårigheter, då man försökt göra en fullständig teori för elektromagnetismen. Frågan har aldrig blivit besvarad.

3

Kapitel 2

Från bärnsten och järnmalm till elektromagnetisk fältteori Det faktum att en bit bärnsten, efter att den gnidits, får förmågan att dra till sig lätta

föremål såsom hårstrån och fjädrar anses ha varit känt redan av Thales från Miletos omkring 600 år f.Kr. Ordet elektricitet härstammar från det grekiska ordet

e'lektron, som betyder bärnsten. Thales från Miletos anses också ha känt till att en

viss malm från det grekiska distriktet Magnesia hade förmågan att dra till sig järnföremål. Fantasin stimulerades av de mystiska krafterna hos magneter. Enligt legenden skall den naturliga magneten ha upptäckts av en fåraherde från Kreta.

Hans järnskodda sandaler och järnspetsen på hans herdestav gjorde att han drogs kraftigt mot marken. Då han grävde för att finna orsaken fann han malmen, som innehöll den naturliga magneten. I norr trodde grekerna att det fanns berg med så stark magnetism att båtar måste fogas samman med träplugg. Järnspikarna skulle annars dras ut ur skrovet av de enorma krafterna. I Kina har troligtvis magneter använts som kompasser långt tidigare. Enligt traditionen skall kejsaren Houng-ti hafi en sådan så tidigt som 2637 1.Kr.

William Gilbert 1540-1603 har kallats "den moderna elektricitetslärans fader" eller "magnetismens Gallilei"*. Genom experiment försökte han vederlägga all ogrundad spekulation och ofruktbar vidskepelse som förekom i samband med elektriska och magnetiska fenomen. Gilbert gjorde en klar åtskillnad mellan fenomenen. Han visade att bärnsten, men även flera andra ämnen såsom glas och diamant, drog till sig föremål men endast under förutsättning all de gnidits. Alla slags föremål kunde attraheras av de elektriska krafterna medan den naturliga magneten, som Gilbert visade bestod av järn, endast kunde dra till sig ett fåtal

magnetiserbara material. Magneter fordrade ingen gnidning för att fungera. Gilbert fann all de elektriska krafterna kunde skärmas, d.v.s. utestängas från elt område, med hjälp av ett tunt metallskikt. De magnetiska krafterna visade sig * Enligt Sven Ove Hansson (i boken Vetenskap och ovetenskap, Tidens förlag 1995) har William Gilbert hämtat det mesta av sina rön om magnetismen från en bok skriven av

(sjömannen) Robert Norman. Norman publicerade på sitt modersmål (engelska) 19 år innan

Gilbert publicerade på latin.

däremot opåverkade av de material han provade. Elektriskt laddade föremål hade ingen tendens att orientera sig i viss riktning så som en magnetiserad järnbit. Eti starkt upphettal järnföremål påverkades inte av magneter. Hur man än delade en magnet kunde man aldrig få en isolerad nord- eller sydpol. Magnetpoler förekom alltså alltid parvis, dvs som magnetiska dipoler. Genom sin största upptäckt, alt jorden själv var en stor magnetisk dipol, avfärdade Gilbert den vanliga upp fattningen bland filosofema, aut magnetnålen påverkades av en utomjordisk pol. Gilberts arbete uppskattades inte av hans samtida. Hans kritik av gängse

uppfattningar var alltför allvarlig och den egna beskrivningen alltför långt före sin tid. Gilberts publikationer beskriver inte bara vad som var känt om magnetism under hans egen tid utan även under de följande 200 åren. Typiskt för de

vanföreställningar som levde kvar långt efter Gilben, var åsikten att vitlök var magnetens speciella motgift. Vitlöken får magnetens själ att somna in och den förlorar sin kraft. Eu skäl till att Gilberts arbete inte rönte uppskattning ens i upplysta kretsar var at han själv överskattade magnetismens roll som

förklaringsgrund. Kopernikus beskrivning av planeternas rörelse behövde inget stöd från Gilberts magnetiska krafter - det räckte bra med Newtons gravitation.

Under 1700-lalet gjordes stora framsteg vad gäller förståelsen för elektriska fenomen. Man insåg att det fanns två slags laddning - lika repellerade och olika attraherade varandra. Kraften var proportionell mou laddningarnas storlek, halverade man ena laddningen halverades även kraften. Vid kraftig uppladdning uppstod gnistor. Alt dessa var av samma natur som åskvädrets blixtar hade man misstänkt redan före Benjamin Franklins tid 1706 - 1790. Franklin visade det dock experimentellt under ett åskväder 1752. Med hjälp av en drake och en metallbil (en nyckel) i linans nedre ände lyckades han ladda en kondensator. Dessa laddningar uppförde sig på precis samma sätt som de man får då man gnider bärnsten. Åskvädrets blixtar och bärnstenens krafter var alltså av samma natur.

Hur den elektriska kraften varierar med avståndet mellan laddningarna demonstrerades först av Joseph Priestley, 1733 - 1804, i ett experiment som

Franklin uppmanade honom till. Priestly fann 1766 att eu sfäriskt plåtskal, trots

att det uppladdats kraftigt, inte påverkade små korkbitar som släppts på skalets insida. Från Newtons teori var det väl känt att gravitationskrafterna från ell

sfäriski skal av materia inte ger någon kraft inuti skalet. (Krafterna tar alltså ut

varandra fullständigt i varje punkt i det inre av skalet.) Detta sammanhänger med att gravitationskrafterna avtar omvänt proportionellt mot kvadraten på avståndet. De elektriska krafterna borde alltså avta på samma sätt för att förklara Priestlys experiment.

5

De elektriska krafternas beroende av laddningar och avstånd sammanſattas i den välkända Coulombs lag. Au C.A.Coulomb, 1736 - 1806, kom att knytas till denna lag beror på att han konstruerade en känslig torsionsvåg, med vars hjälp de elektriska och magnetiska krafterna kunde mälas direkt. Att det fanns ett samband mellan elektriska strömmar och magnetiska effekter var

inte obekant för H.C.Örsted, 1775 - 1851, och hans samtida. Sjöfarare hade märkt att kompassen kunde uppföra sig underligt vid åskväder. Vid flera tillfällen hade

man också konstaterat all järnföremål blivit magnetiserade efter blixtnedslag.

Men Örsted var den förste som under kontrollerade former påvisade att en strömförande ledare förmår orientera en magnetnål. Upptäckten följdes snabbt upp av André Marie Ampere, 1775 - 1836, som teoretiskt och experimentellt undersökte den ömsesidiga kraften mellan strömförande ledare. Vid denna tid

kunde alltså magnetiska effekter förklaras som krafter mellan laddningar i rörelse - elektromagnetismen blev elektrodynamik.

Michael Faraday, 1791 - 1867, gjorde omfattande undersökningar av elektro dynamiska fenomen. Det var han som fann att ett magnetfält som varierar i tiden ger upphov till elektriska krafter - det vi nu beskriver som en elektromotorisk

spänning. Han upptäckte alltså induktionen. Att vi använder ordet magnetfält i detta sammanhang är inte en slump - det var Faraday som utvecklade fältbe

greppet. Detta begrepp har visat sig så användbart att stora delar av den moderna fysiken nu beskrivs i fältteoretiska termer.

Faradays möjligheter att sammanfatta elektromagnetismen i en enhetlig fällteori begränsades dock av hans bristande matematiska skolning. Han var en självlärd bokbindarlärling. Det blev i stället hans elev James Clerk Maxwell, 1831 - 1879, som kom all göra detta. I fyra ekvationer sammanfattade han teorin för alla diutills

kända elektromagnetiska fenomen. Skrivna på integralform* har de följande utseende:

Marwells ekvationer

fdds = 0

ekv 2:1

S

$B.ds S

þE dI = 5 с

=

OB

dt

· ds

ekv 2:2

S

lekv 2:3

·dS +

COD dt

S

dS ekv

2:4

S

Vanligen skrivs ekvationerna på differentiell form, d.v.s. som fyra kopplade differen

tialekvationer. En sådan beskrivning kräver dock förtrogenhet med begrepp från vektor analysen, vilket denna framställning inte kommer alt kräva.

Innebörden av dessa ekvationer kommer att framgå i de följande kapitlen. Redan nu kan vi dock skönja en del samband som vi redan berört, Vektorfälten D och E

används för beskrivning av det elektriska fältet - i vakuum gäller sambandet D = £ E där ε är en konstant. Som framgår av den första ekvationen (ekv 2:1) ger en laddning Ở upphov till ett elektriskt fält. Vi kommer att finna att Coulombs lag ligger gömd i detta samband.

Fälten B och H beskriver det magnetiska fältet. I vakuum gäller B = u H där M.

är en konstant. Av den andra ekvationen (ekv 2:2) framgår då att ett tidsvarierande B-fält (1 anger tid) ger upphov till ett elektriskt fält, E. Det var detta Faraday fann. Den tredje ekvationen (ekv 2:3) uttalar sig enbar om B-fältet. Den uttrycker i matematisk form det Gilber fann, nämligen au magnetpoler aldrig förekommer isolerade utan enbart i form av dipoler. Ekvationen utsäger alltså att det inte finns några magnetiska monopoler.

Maxwells fjärde ekvation (ekv 2:4) är ganska innehållsrik. Vi kan först tänka oss en fysikalisk situation där D-fältet inte är tidsberoende. Sista termen är därmed

noll. Denna förenklade ekvation ger ett samband mellan H-fält och ett annat fält J som anger strömtäthet. Innebörden är alltså att strömmar ger upphov till magnetiska effekter. Örsteds upptäckt ligger alltså här.

Maxwells ekvationer sammanfatlar dock inte bara det som dittills var känt inom

elektromagnetismen. Här finns en intressant nyhet. Maxwell undersökte om hans ekvationer tillät en lösning i form av en fortskridande våg i vakuum. Detta visade sig möjligt under förutsättning att den sista termen i den fjärde ekvationen (ekv 2:4) fanns med. Men ekvationerna krävde också att vågens fashastighet hade ell alldeles bestämt värde, nämligen (EH.) - Med numeriska värden finner vi

fashastigheten 299 792 km/s.

Redan 1675 hade Ole Römer funnit aut ljushastigheten hade denna storleksord ning. Maxwell ſann alltså att ljuset var av elektromagnetisk natur. Hela optiken blir på så sätt ett specialfall av elektromagnetismen. De experimentella lagarna för hur ljus uppför sig i ex vid brytning och reflexion, Snells brytningslag och Fresnels formler, kunde nu härledas inom teorin för elektromagnetiska fenomen. Vid 1800-talets slut verkade det som om Maxwells elektromagnetism och Newtons mekanik och gravitationsteori kunde förklara alla fysikaliska fenomen. Det föreföll som om det bara återstod att fylla i en del detaljer, innan alla pusselbilar låg på plats. Fysikerna tycktes ha forskat färdigt.

7

Vi vet nu att det var långt ifrån så. Några pusselbitar gick inte att foga in i Newtons och Maxwells Icorier. Svartkroppsstrålningen, d.v.s. frågan om hur ljuset från en starkt upphettad fast kropp fördelar sig på olika frekvenser, var en sådan pusselbit. Fotoelektriska effekten och linjespektret från exciterade gasalomer utgjorde också förbryllande problem. För att förklara dessa tvingades, i nämnd ordning, Max

Planck, Albert Einstein och Niels Bohr att anta all det ljus, som Maxwell så framgångsrikt beskrivit som en kontinuerlig våg, endast kan uppta och avge energi i form av diskreta kvanta, fotoner. Detta var alltså upprinnelsen till kvantmekaniken.

Är då Maxwells beskrivning av elektrodynamiken förlegad? - Ja! I princip är den det - det är kvantelektrodynamik som gäller. Men Maxwells teori står sig fortfarande mycket bra om vi betraktar makroskopiska fenomen. Om vi undviker att uttala oss om enskilda atomer och elektroner, och i stället betraktar

medelvärden över flera partiklar, kan vi fortfarande lita på 1800-talets teori.

Fast det finns ell undantag. Det finns ett makroskopiskt elektromagnetiskt fenomen som Maxwells teori inte förklarar. Fenomenet kallas meissnereffekt och uppträder då man lägger en liten magnet på ytan av ett material, som kyls till dess

det blir supraledande. Magneten hoppar upp och svävar på en "magnetkudde".

Relativitetsteorin då? Vid höga hastigheter har vi sett att Newtons mekanik blir helt felaktig. Längd, tid och kraft blir olika i olika koordinatsystem. Maxwells

teori baseras på experiment med långsamt rörliga laddningar. Laddningsbärarnas genomsnittliga fart i en strömförande ledare är av storleksordning mm/s.

Maxwells teori borde också slå helt fel vid högre hastigheter. Men märkligt nog

gör den inte det. Den elektriska laddningen hos ett föremål är densamma i varje koordinatsystem och lagarna har precis samma form. Den magnetiska kraften på

ett laddat föremål beror på hastigheten. Byter vi koordinatsystem får vi en annan hastighet och därmed en annan kraft. Men kraften förändras exakt på det säll som relativitetsteorin föreskriver. Magnetiska krafter kan därför sägas vara en

relativistisk korrektion till de mycket starkare elektriska. I en strömförande ledare har vi hög grad av laddningsneutralitet. De starka elektriska krafterna balanserar varandra. När de negativa rör sig är det därför bara den relativistiska korrektionen som märks - det är den vi beskriver med magnetfältet. När den grekiske herden kände att hans sandaler drogs mot Magnesias berggrund, var det alltså en relativistisk korrektion till bärnstenens kraft, som han upplevde!

8

Kapitel 3

Matematiska grundbegrepp Som nämnts beskrivs elektromagnetismen, liksom flera andra delar av fysiken, med hjälp av vektorfält. Eu vekiorfält definieras genom att vi till varje punku i rummet tillordnar en vektor. En vektor har tre komposanter. Var och en är i det allmänna fallet en funktion av rummels tre koordinater och av tiden. Vektorfältet A definieras t.ex. : A A = A (x, y, 2, 1)

+A, Ý + A 2 där 4, = A, (x,y, z,1).

A = A X

A = A (x, y, z, 1) Ett vektorſält blir naturligtvis mer lätthanterligt ju färre variabler och komposanter vi har att göra med. Många fysikaliska situationer har en cylindrisk eller sfärisk symmetri. Beräkningarna förenklas avsevärt om man då väljer koordinatsystemet på lämpligt sätt.

Ovan har vi använt ett cariesiskt system med enhetsvektorerna Ř, och î. Vill vi t.ex. beskriva tyngdkraftfältet F vid jordytan är detta eu lämpligt val. Låter vi

î peka uppåt blir uttrycket för kraften helt enkelt F= - mgî där m är massan och 8 är (beloppet av) tyngdaccelerationen vid jordytan. Både x- och y-komposanten

är noll och z-komposanten är oberoende av både rumskoordinater och tid. Om vi däremot beskriver tyngdkraften ur ett vidare perspektiv, t ex på stora

avstånd från jorden, är det cartesiska koordinatsystemet klumpigt. Med origo i jordens centrum får vi F = - G

M·m (xf + yý + z2)

(x2 + y2 + 22, 312

Det sfäriska koordinatsystemet, som vi presenterar längre fram, är betydligt smidigare i detta fall. Läggs dess origo i jordens centrum får tyngdkraften formen M

. m

F = -6

2

Ĉ.

r

Koordinaten r anger avståndet till origo och enhetsvektorn ĉ pekar radiellt ut från denna punkt. G är gravitationskonstanten och M är jordmassan.

, ·

9

Cartesiskt koordinatsystem ỹ =

II

2 - î =

1

dS = \dx.dyl · Î

Ñ . î = û î = 0

1

dS = -ldx dyl. ĝ

figur 3.1

Systemet î, , î är ett högersystem d.v.s. X Û = î û x î = Â och î x ÎN = ĝ. Vektoriell produkt byter tecken då ordningsföljden ändras d.v.s. x Î = -î

0.s.v. En allmän infinitesimal förflyttning , d , kan skrivas d = dxÊ + dyỹ + dzî.

Förflyttningen görs ofta längs en given kurva. De infinitesimala förflyttningarna kommer då att bli beroende av varandra; vi måste "balansera" på kurvan. Detta kommer att illustreras i exempel längre fram i detta kapitel. Vi har även behov av alt teckna ett infinitesimalt vektorielli ytelement, dS =

ds. în , där bokstaven Sindikerar att det är fråga om en yta (surface). Skalären dS

anger en infinitesimal area och nu är en enhetsvektor som är normal till ytan. En

yla har två normalriktningar varför în inte blir helt entydig. Vid slutna ytor är konventionen den att în är riktad ut från den volym som ytan innesluter. Hur man

gör vid icke slutna ytor återkommer vi till i samband med flödesintegraler.

Betraktar vi den slutna begränsningsytan på lådan i figuren ovan kan alltså dS i den horisontella övre ytan skrivas dS = \dx dyl · Î . I lådans bottenyta får vi n = -3 d.v.s. S = -|dxdy: 1 .

En volym betecknar vi med symbolen t . Det kan lyckas mer naturligt att använda bokstaven V eller v, men V kommer att betyda potential och v brukar ange fart i elektromagnetismen. I del cartesiska koordinatsystemet tecknar vi elt

infinitesimalt volymselement dt = \dx dy.dzl . Som framgår ovan skriver vi

vektorstorheter med rak fet stil medan skalära storheter skrivs med kursiv stil.

Beloppstecknen på de infinitesimala yl- och volymselementen kan slopas om man tillser att integrationen sker från lägre mot högre gräns.

10

Cylindriskt koordinatsystem RdodR! î

dS =

do

do

do

R

dS = \Rdodz

R

Ř

î

î

0

figur 3.2

Om det problem vi studerar har cylindrisk symmetri låter vi z-axeln sammanfalla med symmetriaxeln. Vi ersätter x-och y-koordinaterna med radien R, som mäter den aktuella punktens (vinkelräta) avstånd från symmetriaxeln, och vridningsvinkeln 0, som vanligen mäts från x-axeln, se vänstra delen av figur 3.2. Till var och en av dessa koordinater knyter vi en enhetsvektor Ř, Ộ, î. Riktningen på vektorerna kopplas till den förflyttning vi får då respektive koordinat ökar, medan övriga hålls konstanta. Enhetsvektorn Å blir alltså riktad radiellt ut från

symmetriaxeln och Ộ blir "tangent tillmantelytan" iriktning mot ökande o. Med den omloppsriktning vi valt för vinkeln o kommer vektorerna Ř, Ộ, î , i nämnd ordning, aut bilda ett högersystem. Vi får alltså samma multiplikationstabell för vektoriell

produkt som vi fick för de cartesiska enhetsvektorerna. En allmän infinitesimal

förflyttning kan skrivas d = dRÊN + Rdoộ + dzî.

Notera all den andra termen i uttrycket för d inte är helt trivial. Vi inser att

förändringen do i Ộ -riktningen ger en term som är dimensionslös, medan de övriga termerna har dimensionen längd. Vi kan kontrollera att termen Rdoộ är korrekt genom att beräkna omkretsen på en cirkel definierad genom R=R, 050< 21 och

z=0, se i ex cirkeln i den högra figurens bottenplan, figur 3.2. Eftersom R och z är

konstanta (lika med R, respektive 0) har vi dR = dz =0, d.v.s. d= R do6. Summerar vi beloppen av dessa infinitesimala bidrag får vi som sig bör cirkelns 2π

omkrets: $|d1] = [ R,dº = 21R,

.

11

Bokstaven C under den första integralen anger att integrationen sker längs en kurva (curve) och ringen på integrationstecknet anger att kurvan i detta fall är sluten.

Ett vektoriellt ytelement får naturligtvis olika utseende beroende på var ytelementet ligger, se högra delen av figur 3.2. På cylinderns mantelyta är dR =

0,dz eftersom R hela tiden är R,. Vi finner dS = |R, dodz|R. I övre cirkelylan är = 0. Vi får dS = |RdodRî . Vi kan kontrollera att cirkelytans area är vad vi väntar oss genom att summera beloppen av de infinitesimala ytelementen i övre cirkelytan. 21 R

R

ſids= 5 ſ R$ dR = 21. rdr = rr, S

0

0

2

0

Notera den fundamentala skillnaden mellan variabeln R och cylinderradien R, i högra delen av figur 3.2. Variabeln R är en koordinat som, i beräkningen av

cirkelytans area, varierar från 0 upp till ett visst maximalt värde, R,

Ett infinitesimalt volymselement tecknas precis som om det vore ett litet rätblock

där längd, bredd och höjd är respektive dR, Rdo och dz. Vi finner (figur 3.2) dt = \dR · Rdo · dz|. För att säkerställa all volymen blir en positiv storhet har beloppstecknen tillfogats. Metoden för beräkning av volym i sfäriska koordinater blir alltså:

Volym = [dt = SSS\AR ·Rdo. dz] τ

τ

All räkna ut volymen av en cylinder eller rak cirkulär kon är naturliga tillämpningar. Notera att volymselementet genomgående tecknas som en produkt av d:s tre komposanter - så blir det även i sfäriska koordinater som presenteras nedan.

Vid beräkningen av cylinderns volym måste vi tilldela cylindern en viss höjd, i ex Zo. Här måste vi, på samma sätt som vi gjorde med R och R, ovan, göra en klar distinktion mellan variabeln z och cylinderhöjden Zo. Vill vi räkna ut volymen av en del av cylindern i form av en "tårtbit" med medelpunktsvinkel o, kommer p.s.s. variabeln 0 alt variera från t ex 0 till 0.

12

Sfäriskt koordinatsystem För all ge konkretion åt vår beskrivning av ett sfäriskt koordinatsystem kan vi ha jordklotet i tankarna, figur 3.3. Vi lägger koordinatsystemets origo i jordens symmetricentrum. De koordinater vi använder kan därmed beskrivas som: r anger avståndet från jordens centrum, r=|r120 vinkeln 0 anger vinkeln till jordaxeln, 05 ost vinkeln o anger meridianens vridning i förhållande till Greenwichmeridianen, 050< 20

Observera att vinkeln 8 enbart löper mellan noll (vid nordpolen) och I (vid

sydpolen) och alltså inte går varvet runt Det gör däremot vinkeln o.

ө

0

IN

r=lr|

figur 3.3

Enhetsvektorerna i ett sfäriskt koordinatsystem är f, ô, Ộ. Som tidigare är dessa riktningar de vi förflyttar oss i då respektive koordinat ökar, medan övriga hålls konstanta. Därmed pekar î radiellt ut från centrum - med jordklotet som exempel

pekar den t ex "uppåt" i varje punkt på jordytan. Vektorn ő kommer att peka

"söder ut" i varje punkt (utom på sydpolen, där det bara finns nordlig riktning). Slutligen kommer Ộ att peka "öster ut" i varje punkt där detta är möjligt. (På syd och nordpol är det inte det.)

Vektorerna , ê, Ộ i nämnd ordning utgör ett högersystem. All teckna vektorn r

till en godtycklig punkt i rummet blir nu lätt; r = rî. Beroendet av 6 och o ligger impliciti f. Samtliga enhetsvektorer beror av o och o.

13

Hur ser en infinitesimal förflyttning dl ut? En förflyttning kopplad till dr är oproblematisk, den blir helt enkelt dr ĉ. En ändring av eger olika stor förflyttning beroende på r. Vi inser att r do ên är det korrekta uttrycket. Figuren nedan, figur 3.4, kan vara till hjälp. Förflyttning kopplad till do är den som är minst

trivial att teckna. Den radie som utsätts för vridning då o ändras är ju inte r, ulan

den cylinderradie som anger punktens avstånd från Z-axeln. Vill vi fortsätta att utnyttja jordklotsmetaforen är det "polcirkelns" radic som utsätts för vridning då

o ändras. Denna är r-sino och förflyttning sammanhängande med do blir därför

r.sino.do Ộ. Detta sammanlaget ger

d] = dr f+r 48 6 + rsing dò -ộ.

Med dessa små infinitesimala förflyttningar kan vi teckna t ex elt vektoriellt ytelement dS på ytan av en sfär med radier, och ett volymselement dt. Vi räknar som om det vore fråga om en rektangel respektive ett rätblock.

Vi finner dS = 1",d0 . r, sino - dº • f . r, sino do

Totala arean av en sådan sfärisk yta blir 2π

π

rosino

flas1 = 5 [-2sine de do S

0

do ds

0 TT

dᎾ

r2. 21. ſsine do = 41r? :

de

0

do

För volymselementet finner vi

dt = |2 sine dr.dedol

figur 3.4

Summerar vi detta över ett släriskt område, eli klot, med radie ro 2π

π

π

får vi

το

ſdt = 5 5 fr sine dr de dø = 2115 2n| Sr 5-2 sinô drde T

0

0

0

0

ar jaar*

= 47 fradr

41 r 0

3

Uttrycken för en sfärs area och volym känns igen.

0

=

.

14

Linjeintegral

Som framgått av kapitel 2 är de samband som elektromagnetismen grundar sig på, Maxwells ekvationer (ekv 2:1 - 2:4), skrivna med hjälp av en del matematiska begrepp. Ett av dessa är begreppet linjeintegral av ett vektorfält. Av skäl som kommer att framgå nedan är det lämpligt att beteckna vektorfältet F. Integrations området är en kurva C.

dl

stopp

Formellt skriver vi fF.d. Integranden är alltså en skalärproduki

mellan vektorfältet och den infinitesimala vektoriella förflyttningen dl.

C start

För au kurvan C skall vara helt entydig

måste även integrationsriktningen anges.

Linjeintegralen byter tecken om riktningen omkastas. Är C en sluten kurva markeras detta med en ring på integrationstecknet.

Låter vi F vara ett kraftfält kommer linjeintegralen au få en mycket konkret

fysikalisk innebörd. Arbete, som vi betecknar med skalären W, är ju just kraft

multiplicerad med förflyllning i kraftens riktning. Notera au skalärprodukten har just de egenskaper som vi behöver för att på eu koncist sätt teckna en krafts arbete; förſlyllning vinkelrätt mot kraften ger t ex inget bidrag.

W = F:s arbete vid förflyttning längs C = {f.d. För att illustrera ovanstående på elt enkelt säu låter vi F vara tyngdkraften på massan m i en region nära jordytan, d.v.s. F -mgî (figur 3.5). Vi söker tyngdkraftens arbete då vi förſlyttar oss längs linjen z = hx/a, från punkten (0,0,0) till (a,0,h).

stopp

Allmänt gäller dl dxôi + dyỹ + dzî. I detta

speciella fall har vi dock dy=0. Dessutom måste kravet z = hx/a uppfyllas under hela förflytt ningen. Det innebär att dr och dz kommer all bero av varandra. Vi låter dz bero av dx .

A

d

Z

start

а

F

figur 3.5 Via sambandet dz

dz =

dx

dx finner vi dz =

h

dx dvs dl = dxÊ +

h a

dxê

15

Summerar vi alla inſinitesimala bidrag till kraftens arbete får vi a

a

W = ſr.dl = [(-mgî) · (dx8+dxî) = с

0

-mg.

* dx) = -mgh.

0

Vi ser att våra räkningar återspeglar en mycket bekant egenskap hos tyngdkraftfältet; fältets arbete är enbart beroende av z-koordinaten, i detta fall

höjden h.

Fältets arbete är nära knutet till begreppet potentiell energi Wp. Det är bara ett

tecken som skiljer. Då man definierar potentiell energi är det inte fältkraftens, F:s, arbete man beräknar. Man är i stället intresserad av en yttre krafts arbete. Denna yllre kraft är den som en aktör måste använda för att motverka F vid

förflyttningen. Kraſten betecknas FA (applied force) och definieras genom kravet på kraftjämvikt F + FA = 0 vilket ger FA = -F. Definition av potentiell energi

W

=

Р С

1.4 = 5-F.01

3:1 ekv

C

I vårt exempel får vi alltså W, = -W = mgh vilket verkar mycket bekant.

Vi låter nu kurvan C utgöras av hela omkretsen till triangeln (figur 3.6) och beräknar linjeintegralen av F över denna slutna kurva. Integralen måste nu delas upp i tre delar.

Vi inför beteckningarna A, B och D för

B

Ꭰ.

hörnpunkterna. Kurvan C är alltså sammansatt av förflyllningarna A → B,

1

C

Z

h

B → D och D → A. F

fF.d1 = [F.dl+fF.dl+fF.dl

a

figur 3.6

Integralen A + B = -mgh enligt tidigare. D

0

Längs linjen B → D gäller dl = dxê d.v.s. [F.dl = (-mgî) · dxf = 0 B

a

16

A

0

Längs D→ A gäller d = d: î dvs fF.dl = (-mgî) · dzî = mgh. D

h

Observera att vi inte lagt in något minustecken då vi tecknat dl i de senaste två integralerna. Au vi rör oss från högre mot lägre värde på variabeln (x resp. z ) bokförs med hjälp av integrationsgränserna. Nettoresultatet för den slutna linjeintegralen blir alltså: ..d = – mgh + 0) + mgh = 0.

Något annat resultat kan man givetvis inte vänta sig då vi har med (ett statiski) tyngdkraftfält att göra. Tyngdkraftfältet är konservativt och med detta menas alt arbetet längs en sluten kurva blir noll, för varje sluten kurva C.Vore det inte så vore det alltför lätt att konstruera evighetsmaskiner.

Definition av

konservativt kraftfält

fF.d = 0 för varje sluten kurva C ekv 3:2

Begreppet potentiell energi förutsätter konservativa fält eftersom potentiella energin i en punkt annars inte blir entydig. Antag t.ex. att kurvorna C, och C2 i figuren nedan förbinder punkterna R och A längs olika vägar. Kombinationen (C1-C2) ger en sluten kurva. (Ett negativt tecken på en kurva anger all integrationen skall ske i motsatt riktning.)

$ F.dl F.d = [F.dl + C-C2

C =

SF.al

s F.dl - ſF. dl = 0 C.

A

-C2 C

C2

C2

dvs fF.dl= [F F.dl. C

R

C2

Är fältet konservativi måste alltså F:s arbele vara detsamma oavsett vilken väg vi väljer från R till A. Därmed blir även Fa:s arbete (ekv 3:1) väldefinierat. Väljer vi R som referenspunkt, dvs den punkt där potentiella energin sätts till noll, kommer potentiella energin W, i punkten A enbart att vara en funktion av A:s koordinater.

=

17

Det hittills sagda tillåter oss alt

aktuell

punkt

förtydliga definitionen av potenti ell energi.

F

referens punkt

Definition av potentiell energi Wp

F

för ett konservativt kraftfält aki W

akt

dl =

P

ref

-F.dl.

ekv 3:3

ref

Flödesintegral Den andra typen av integral som förekommer i Maxwells ekvationer, flödesintegralen, skrivs :

SA dS eller fa · ds där dS = ds - n. S

US

=

ds. ñ

S

Ringen på integrationstecknet anger all ytan

S är sluten (vilket ytan i figur 3.7 inte är).

Här har vi delat in ytan S i infinitesimala vektoriella yelement ds = ds: 1. Integran den är alltså en skalärprodukt mellan vektor

S

figur 3.7

fältet A och dS. Mer konkret är det A:s pro jektion på normalriktningen în som summeras. Som nämnts är în riktad utåt då ytan är sluten. Om ytan inte är sluten har vi i princip frihet att välja în på två olika

sätt. Vi låter dock vårt val vara kopplat till en positiv omloppsriktning längs ylans randkurva C, se figuren nedan. A

d8

Denna koppling kan göras via högerhandsregeln: ñ

om höger hands fingrar pekar i kurvans (C:s)

omloppsriktning pekar tummen i în:s riktning. S CС

18

Samma koppling erhålls med skruvregeln,

där C:s omloppsriktning anger vridnings riktningen hos en vanlig högergängad skruv och în pekar i den riktning, som skruven flyttar sig.

omlopps

riktning

Denna koppling mellan omloppsriktning och normalriktning är viktig att komma ihåg då man tillämpar Maxwells samband (ekv 2:2 och 2:4), där vi har både linjeintegral och flödesintegral i samma ekvation.

Även flödesintegraler har en mycket konkret fysikalisk tolkning. Redan namnet antyder att den mäter hur mycket som flödar genom den aktuella ylan S. Som en första illustration låter vi A vara ljudintensiteten från en punktformig ljudkälla, som sänder ut ljudeffekten p. SI-enheten för p är W (watt).

Ljudintensiteten är effekt per areaenhet. Sl-enheten hos A är alltså W/m² (wall

per kvadratmeter). Om källan strålar isotropi, dvs likformigt i alla riktningar, får vi sfärisk symmetri och väljer därför sfäriska koordinater. Vi finner A =

р

A

f.

dS = ds ñ

41:52

Bakom detta uttryck ligger tanken att

ingen ljudeffekt absorberas, dvs ingen

dämpning. Genom varje sfär (radie r), med

a

centrum i ljudkällan, flödar effekten p. A har alltså tecknats som effekten p för

delad över den sfäriska ytan 41 : p2

I figuren har vi lagt in ett sfäriskt skal med radien a som har sitt centrum i

punktkällan. Ylan S är just detta sfäriska skal. Vi beräknar hur stor effekt som

födar genom den slulna ytan S. (Svaret är kanske självklart men nu är det beräkningen av flödesintegralen som är det intressanta.)

På ytan gäller r=a d.v.s. dS = aʼsino dedo . f (figur 3.4). Vi får 2π

ФА dS S

=

T

π Р

ssi4πα2 0

0

27. fa? sino · dodo .• E = p. [ sin Ꮎ = ᏧᎾ = p. p. 41 0

19

Notera att det, trots att vektorn ĉ är olika riktad i olika punkter på ytan, ändå gäller att A är parallell med dS på varje infinitesimalt ytelement. Det var alltså korrekt

att använda sambandet f f = | vilket vi gjorde i något led i beräkningen ova . Det resultat vi kom fram till var naturligtvis väntat. Absorberas ingen effekt bör hela effekten p flöda genom varje sluten yta som omsluter ljudkällan. Ytan S

behöver givetvis inte vara ett sfäriskt skal - det behöver bara vara slutet. Om S har godtycklig form blir räkningarna svårare, men resultatet måste bli detsamma.

Hur blir det om ljudkällan ligger utanför det område som innesluts av S? Det

verkar intuitivt troligt att all effekt som födar in genom S också kommer att föda ut - inget absorberas ju. Inflödet bokförs negativt eftersom A och în har

(huvudsakligen) motsatta riktningar medan utflödet bokförs positivt. Figuren nedan illustrerar detta.

Ligger ljudkällan utanför S bör alltså

А.

flödet summera till noll d.v.s.

$$A ds = 0. S

Det samband mellan ljudintensitet A och ljudeffekt p som vi nu funnit kan

sammanfattas:

$a ds = p , där p anger innesluten lkudeffekt. S

Det intressanta är nu att sambandet mellan elektrisk laddning Q och vektorfältet

D, elektrisk flödestäthet, i elektromagnetismen, är helt analogt med ovanstående.

Den mentala bild av förhållandet mellan p och A som vi skaffat oss, har bärighet i elektromagnetismen. Eftersom laddning även kan vara negativ får vi tänka oss att D-fältet inte bara har källor - regioner med positiv laddning - utan även all en region med negativ laddning ger sänkor där fältlinjer försvinner.

Det är precis detta som Maxwelluttrycker i fd ds Q anger den laddning som innesluts av S.

S

=

Q (ekv 2:1).

20

Vi kan nu också sc innebörden av sambandet

$B. ds = 0 (ekv 2:3). S

B

S

N

S

Flödet av B-fältet, den magnetiska flödestätheten, är noll när vi summerar över en

sluten yta S. Då måste summan av alla källor till B-fältet inom S summera till noll. Källorna utgörs här av magnetiska nordpoler (+ poler) och sydpoler (- poler). Enligt denna ekvation finns inga isolerade magnetpoler, dvs inga monopoler. Ett annat sätt att uttrycka detta är att säga au B-fältets fältlinjer varken kan börja

eller sluta i någon punkt - de bildar alltid slutna kurvor. Figuren ovan illustrerar B-fältet från en vanlig stavmagnet, som är exempel på en

magnetisk dipol (tvåpol). Utanför magneten går fältlinjerna från nord till syd. Men inuti magneten måste linjerna gå från syd- till nordpol. Har Maxwell rätt i denna sin tredje ekvation kan man inte, 1 ex genom att dela magneten på mitten, få en isolerad syd eller nordpol. Varje del kommer, visar det sig också, omedelbart att utvecklas till en dipol.

I ett sista konkret exempel på flödesintegral studerar vi sambandet mellan strömstyrka I, SI-enhet A (ampere),

och strömtäthet J , SI-enhet A/m². Ylan S behöver i detta fall inte vara sluten.

luids S

Vi tänker oss den geometriska situation som illustreras i figur 3.8. För strömlätheten* gäller J = aRộ i ell cylindriskt koordinatsystem. Låt S vara den

rektangelyla i yz-planet (d.v.s planet o = 1/2 ) som definieras genom 0 < Rsa och 0 Szsh.

* Storheten a är en konstant med Sl-enheten A/m². Annars går dimensionsanalysen inte ihop.

21

J

ILJuids

S h

ÎN = 1/2

figur 3.8

Ytan Sär inte sluten varför ytnormalen în kan väljas både till û och -Â. Vi väljer în = -f eftersom den riktningen sammanfaller med J:s riktning på ytan S, förutsatt all a > 0. Vi söker nu ell uttryck för strömmen genom S, som alltså på detta sätt kommer att bli positiv. Ytelementet* blir dS = dR.dz. (-Ĥ).

Strömtäthetens riktning © är olika i olika punkter i rummet. I det aktuella planet 0 = 1/2 gäller dock © -

ha

a

Vi finner 1 = [J.ds = 5 far ſar(-8) ·dRdz (-8) ah. ah? -x= ah. ſrdR = ale S

0

0

0

Antag att vi i stället hade sökt strömmen genom en del av mantelylan S' definierad

genom R = a , 05051/2 och 0 Szsh.

dS

I detta fall kan ytnormalen väljas till Ân eller

-Ř. Vi ser dock direkt att integranden JidS innehåller en faktor Ộ Â = 0.

S'

Strömmen genom ytan S'är alltså noll.

Detta är givetvis också intuitivt uppenbart. Strömtätheten J går ju aldrig genom S', den bara stryker utefter ytan. Vi ser alt skalärprodukten JidS har de egenskaper som vår intuitiva bild av flöde genom en yta fordrar. Det är J:s projektion på ytnormalen în som mäter hur mycket ström som passerar genom den aktuella ytan. * I just detta plan kunde vi naturligtvis använt y som variabel i stället för R. Då hade vi tecknat ytelementet ds dy.dz. (-8) =

22

Gradient

I samband med att vi studerade linjeinte

akt

graler (ekv 3:3) såg vi att vi, om ett kraftfält

F är givet, kan definiera potentiell energi enligt:

-F.dl

W P

där "ref" anger referenspunkt och "akt" anger

ref

den (aktuella) punkt där vi vill beräkna den

potentiella energins värde. Vi tänker oss nu att situationen är den at vi, redan från början, vet Wp, som

funktion av den aktuella punktens koordinater. Vi söker kraftfältet F. Vi vill alltså

hitta en allmän metod att beräkna F då W, är given. Detta låter sig göras om vi tecknar en infinitesimal ändring i potentiella energin på

två sätt. Vi låter dW, beteckna den infinitesimala ändringen då vi förflyttar oss d. Ur ovanstående integral finner vi dw = - F.d.

Det andra uttrycket för dw, får vi om vi erinrar oss definitionen av gradient i

matematiken. Gradienten av en skalär funktion W, skrivs (grad Wp) och är en vektor för vilken det gäller au

dᎳP.

(grad wn) •d för varje d.

=

Gradientens projektion på förflyttningen d mäter alltså ändringen i Wp Eftersom

båda våra uttryck för dw, skall gälla för varje d , kan vi dra slutsatsen: F

ekv 3:4

- (grad W)

Om vi alltså känner W, som funktion av den aktuella punktens koordinater,

kommer problemet att beräkna F aut återföras på problemet att beräkna gradienten av en given funktion.

Nedan sammanfattar vi hur dessa beräkningar går till i de tre typer av

koordinatsystem vi presenterat i detta kapitel. I stället för att bara ange tre olika recept kan vi härleda dem genom att ta fasta på nedanstående matematiska definition: дw

aw

dw P

I dx +

дх

I dy++

ду

aw.

Idz.

дz

Detta uttryck brukar användas som definition av begreppet partiell derivata.

23

Här har cartesiska koordinater använts för att beskriva den aktuella punktens läge. Uttrycket blir dock helt analogt om vi vill använda cylindriska eller sfäriska

koordinater. För tydlighets skull anges även dessa: ᏧᎳ.

aw.

OR

до

2Ꮃ.

OW .

PAR +

dW = P

dᎳ

P

I dr+

dr

aw

ldo +

Pdz cylinderkoordinater

дz

ᏧᎳ,

fde+do sfäriska koordinater дф

ᏧᎾ

Eſtersom vi redan tidigare lärt oss teckna d uttryckt i olika koordinatsystem kan vi nu lista ut hur uttrycken för gradient måste se ut i vart och ett av våra tre

koordinatsystem. Vi kombinerar bara detta (tredje) uttryck för dW, med

definitionen av gradient ovan.

I cartesiska koordinater finner vi: OW dW

(grad W2) d1 =

=

дх

р

I dx ++

OW

W

aldy + 3-dz

aw

OW

I dx +

(grad Wo) · (drâ + dyỹ + dzî) =

дw

I dyt

дх

dys

ду

Idz.

дz

Om denna ekvation skall vara uppfylld för godtyckliga dl måste vektorn (grad WP) ha utseendet: aw (grad W)

P+

дх

aw

OW

Iỹt

ду

Pî.

§

az

ekv 3:5

Upprepas della resonemang i 1 ex sfäriska koordinater finner vi aw

D.d1

(grad W

=

дw

I drt

dw

or

P

ᏧᎾ

aw

P 10+

aw

(grad W,) · (drf + rdoên + rsin Odoo)

I drt

dr

Ido

до

дw

aw

Ldo +

дө

'ldo.

дф

Den sista av dessa ekvationer kan inte vara uppfylld för godtyckliga d på annat

sätt än genom att:

(grad W)

=

aw

OW

dr

ᏧᎾ

Pit +

1

Pô

aw

r. sino

дф

.

ekv 3:6

Såväl detta uttryck som det man finner för cylindriska koordinater stämmer med de beräkningsrecept som listas i tabellverk, 1 ex Physics Handbook.

24

Som en illustration kan vi återknyta till de uttryck för potentiell energi i tyngdkraftfältet som vi använt oss av tidigare i kapitlet.

Då vi rör oss i en snäv region nära jordytan har vi W, = mgz där z anger (den aktuella punktens) höjd över jordytan (som alltså valis till referensnivå). Vi noterar att W, är oberoende av x och y' som anger den aktuella punktens plats i horisontalplanet. Söker vi nu den kraft som ger upphov till denna potentiella energi får vi (via ekv 3:4 och 3:5) ett välbekant resultat: aw

F = -(grad W Wp

ди.

дх

дW.

+

ду

På större avstånd från jorden gäller uttrycket W Р

az

=

Là)

-

-mg2.

G.

Mºm

Mär jordmassan och G gravitationskonstanten. Här används sfäriska koordinater, ranger (den aktuella punktens) avstånd från jordens centrum. Uttrycket förutsätter att referenspunkten ligger oändligt långt från jorden och att r inte är mindre än jordens radie. Vi finner (via ekv 3:4 och 3:6) att: дW.

F - (grad W)

=

now

aw

Pot Ppt C. rae rsine ao ar 1

Mºme G

Jämför detta uttryck med det som gavs inledningsvis i detta kapitel. Slutligen kan vi ersätta avståndet r med 2

r =

VX

2

2.

+ y + z och få uttrycket W р

Mm

G 2

Nx

2.

2

+ y

+ 2

Här kan den som så önskar använda sig av caresiska koordinater (ekv 3:4 och 3:5) för att beräkna kraften. Resultatet bör bli F

G.

M : m (xí + xy + z2)

(x2 + y2 + 22, 3/2

Notera alt i =

(xã + yỹ + zł)

(x2 + y2 + z2)

1/2

25

Vektorvärd integrand De två typer av integraler som vi hittills behandlat, linje- och flödesintegral, har

det gemensamt att integranden varit en skalärprodukt. Den storhet vi integrerat har alltså varit en skalär. Då och då uppstår dock integraler av typ

Sadl , ſads eller ſadt där dl = \dll, ds = |ds| och dt är skalärer τ

medan A är en vektorstorhet. Integranden är alltså en vektor i dessa uttryck och

resultatet av integrationen blir givetvis också en vektor. Eftersom en vektor har tre komposanter är en sådan integral liktydig med tre integraler - en för varje komposant. I cartesiska koordinater har vi l.ex

{adt = [(4,8+1,5+1_7)dt = ({a_4e)s +($4,6e}+ -]-{{d[{adv}e De cartesiska enhetsvektorerna har vanligtvis en fixerad riktning i rummet och

kan därför brytas ut ur integrationen, precis som en konstant faktor. Så är det

vanligtvis inte med vektorerna Řn och Ộ i cylindriska koordinater, eller de

sfäriska enhetsvektorerna f , ê och Ộ. Dessa vektorer har för det mesta olika

riktning i olika punkter på integrationsområdet och kan därför inte betraktas som

konstanter. För att lösa integraler där dessa vektorer ingår blir det nödvändigt att projicera dessa vektorer på fixerade riktningar - förslagsvis de cartesiska

enhetsvektorerna. Därigenom kommer vektorernas beroende av integrations variablerna att bli explicit och integralen kan genomföras.

Som ettexempel beräknar vi integralen ſêal

där C är halvcirkeln som definieras

C

genom R=a, z=0 och 050 ST, se figur 3.9.

(Innebörden av integralen är alltså att vi summerar alla vektorer Ŕviktade med sträckelementen dl.

Några olika representanter för Ân har markerats i figuren.)

Längs C gäller all dl = lado 6l = ado .

R=a

(Förutsall all do 20 d.v.s. att vi integrerar

från lägre till högre värde på vinkeln $ .)

ÊN

TT

Vifår ſŘdl = ſŘado. 0

figur 3.9

|

26

Vektorn Ř:s riktning beror av vinkeln o och kan därför inte brytas ut ur

integrationen. Vi uttrycker den i de cartesiska enhetsvektorerna. Ur figur 3.9 har vi direkt Ân = cos î + sinó ý, vilket ger

TI

TI

(Řd!= Rado = ſa cosodo * + ſa sinodo º

2a û

0

Slutresultatet blir alltså en vektor i ý:s riktning. Ett resultat som verkar mycket naturligt av symmetriskäl. De övriga rörliga enhetsvektorernas projektioner på de cartesiska koordinaterna finns i facit till uppgift 3:7 och 3:8.

Uppgifter på matematiska grundbegrepp En sfärisk volym med radie a har en massfördelning som beskrivs av

3:1

densiteten p (r) =

(M/a*),, där r är avståndet från sfärens

centrum. Beräkna sfärens totala massa. 3:2

En cylinder med radie a och höjd h har densiteten p (R) = A· R+B . Ranger avståndet från cylinderns symmetriaxel. Beräkna cylinderns massa.

3:3

En spiralformad kurva ges i parameterform genom: x = a coso , y = a sino och z ho/ (21) , där 050