El-lære 2a : vekselstrøm [2] 8256220961 [PDF]

Zitiervorschau

Th. P. van Pelt,

■xl

' «

Oversatt av Odd Hammertoft

EL-lære 2a VEKSELSTRØM

S ^NKl Forlaget

Nasjonalbiblioteket Depotbiblioteket

Originalens tittel: Elektriciteitsleer 2a © 1984 by B.V. Uitgeverij Nijgh & Van Ditmar, The Hague, Netherlands.

Norsk utgave: © NKI Forlaget 1989

Utgiver: NKI Forlaget, Hans Burums vei 30 Postboks 111,1341 Bekkestua Tlf.: Sentralbord (02) 12 29 50 Ordrekontor (02) 12 25 75

Oversettelse: Odd Hammertoft Omslag: Inger Landsem Sats/montasje: Brødr. Fossum Printed in Norway by: Tangen Grafiske senter Godkjent til bruk i den videregående skolen av Kirke- og undervisningsdepartementet for 5 år september 1988. «Det må ikke kopieres fra denne bok i strid med åndsverkloven og fotografiloven eller i strid med avtaler om kopiering inngått med KOPINOR, interesseorgan for rettighetshavere til åndsverk. Kopiering i strid med lov eller avtale kan medføre erstatningsansvar og inndragning, og kan straffes med bøter eller eller fengsel».

ISBN 82-562-2096-1

Forord

Ellære 2a tilhører en serie tekniske fagbøker.

Boka dekker fagplanen i vekselstrømslære for elkraftlinjen ved teknisk fagskole. Den inneholder også stoff som går utover pensum, og som egner seg godt som tilvalgsstoff.

Ved siden av den pedagogiske oppbygningen er det grunn til å nevne den funksjonelle bruken av farger både når det gjelder figurer, og som middel til å framheve deler av teksten, for eksempel viktige formler. Serien vil foreløpig inneholde disse titlene: • Ellære 1 — likestrøm • Oppgavesamling til Ellære 1 • Ellære 2a — vekselstrøm • Oppgavesamling til Ellære 2a • Ellære 2b — vekselstrøm • Oppgavesamling til Ellære 2b • Likestrømsmaskiner • Vekselstrømsmaskiner • Kraftelektronikk Forlaget

Innhold

1

1

Innledning til vekselstrømsteorien

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6

Grunnbegreper Sinusformede variable størrelser Faselikhet Faseforskyvning Oppgaver Sammendrag

1 3 11 12 25 26

2

Vektordiagram eller viserdiagram

17

2.1 2.2 2.3 2.4 2.5

Framstilling av vekselstrømsstørrelser ved hjelp av vektorer Addisjon av vektorer Subtraksjon av vektorer Oppgaver Sammendrag

3

Kompleks regning

3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6

Innledning j-operatoren Regning med komplekse størrelser Forskjellige måter å uttrykke komplekse størrelser på Oppgaver Sammendrag

27 28 29 32 34 35

4

R L - og C -komponenter koplet til en sinusformet vekselspenning

37

4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7

Innledning Ren ohmsk motstand Luftspolen Kondensatoren Kompleks skrivemåte av komponentene R , L og C Oppgaver Sammendrag

17 18 21 25 26

27

37 37 38 45 51 53 54

5

Effekt og arbeid i en sinusformet strøm

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 5.10 5.11

Effekt Arbeid Produktet av to vekselstrømsstørrelser Tilsynelatende effekt Aktiv og reaktiv strøm Reaktiv effekt Sammenhengen mellom de forskjellige vekselstrømseffektene Oscillerende energi Spoler Oppgaver Sammendrag

6

Kombinasjoner av R L - og C-komponenter koplet til en vekselspenning

55 55 57 58 59 59 60 61 62 64 66 67

69

6.1 6.2 6.3 6.4 6.5

Seriekopling av R L - og C-komponenter Parallellkopling av R L- og C-komponenter Bruk av kompleks regning i vekselstrømsteorien Oppgaver Sammendrag

7

Svingekretser

90

7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6

Frie svingninger Tvungne svingninger og resonans Serieresonans Parallellresonans Oppgaver Sammendrag

90 95 95 101 108 110

8

Flerfaset vekselstrøm

8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7

Innledning Generering Kopling av fasene Effekt Symmetrisk belastning Oppgaver Sammendrag

9

Fireledernettet

9.1 9.2

Asymmetrisk ren ohmsk belastning Asymmetrisk vilkårlig belastning

69 73 78 86 88

113

•

113 113 115 123 124 128 129

130 130 132

9.3 9.4 9.5 9.6

Symmetrisk belastning Brudd i nullederen Oppgaver Sammendrag

10

Treledernettet

10.1 10.2 10.3 10.4 10.5

Asymmetrisk ren ohmsk belastning Asymmetrisk vilkårlig belastning Symmetrisk belastning Oppgaver Sammendrag

11

Energitransport

11.1 11.2 11.3 11.4 11.5 11.6 11.7 11.8 11.9 11.10

Innledning Spenningstap i enfasevekselstrømsnett Spenningstap i flerledernett Effekttap i enfasevekselstrømsnett Effekttap i flerledernett Effektfaktorens betydning Forbedring av effektfaktoren Dielektrisketap Oppgaver Sammendrag

12

Ikke-sinusformede periodiske spenninger

12.1 12.2 12.3 12.4 12.5 12.6 12.7

Grunnformer Sammensetning av spenninger og strømmer Ikke-sinusformede periodiske strømmer og spenninger Separering av strømmer og spenninger Firkantspenning i et ÆC-nettverk Oppgaver Sammendrag

13

Nettverksteori

13.1 13.2 13.3 13.4 13.5 13.6 13.7 13.8 13.9

Innledning Dualitet Superposisjonsprinsippet Transfigurasjon Koplede kretser Den ideelle transformatoren Den virkelige transformatoren Inngangs- og utgangsimpedans Separering av frekvenser

vi

134 135 137 138

139 139 142 147 147 148

149 149 149 152 153 154 154 156 158 160 161

163 163 165 167 170 172 174 175

176 176 176 178 179 180 181 183 186 187

Innkoplings- og utkoplingsfenomener Oppgaver Sammendrag

Stikkordregister

189 194 195

197

VII

1

Innledning til vekselstrømsteorien

1.1

Grunnbegreper I Ellære 1 har vi i forbindelse med periodiske spenninger og strømmer behandlet disse grunnbegrepene: • periode • frekvens • momentanverdi • toppverdi • topp-til-topp-verdi • middelverdi • effektivverdi. Vi skal nå kort repetere definisjonene.

1.1.1

Periode Med en periode mener vi tidsrommet mellom to påfølgende tidspunkter hvor strøm eller spenning på samme måte går mot null, eller på samme måte når en minimumsverdi eller maksimumsverdi. Se figurene 1.1 og 1.2.

1.1.2

Frekvens Med frekvensen til en periodisk strøm eller spenning mener vi det antall perioder som blir gjennomløpt per sekund: f = l/T.

1.1.3

Momentanverdi Den verdien som en variabel størrelse har på et bestemt tidspunkt, kaller vi momentanverdien eller øyeblikksverdien .

1

r U- r 4- r J — Figur i.l Periodisk variabel likespenning

Figur 1.2 Periodisk variabel vekselspenning

Momentanverdien er derfor en verdi som endrer seg med tiden, og den blir som regel angitt med liten bokstav. På figur 1.3 er spenningsverdien etter tiden u2 er spenningsverdien etter tiden t2 osv. Se figur 1.3.

1.1.4

Toppverdi og topp-til-topp-verdi Med toppverdiene til en spenning som endrer seg med tiden, mener vi de ytterverdiene spenningen har. De blir betegnet med f/maks eller Um og I7min.

Se figur 1.4.

Dersom maksimumsverdien I7maks eller Um og minimumsverdien f/minerlike store, snakker vi om amplitude. Spenningsforskjellen mellom maksimums- og minimumsverdien kaller vi topp-til-topp-verdien , Utt.

Figur 1.3 Momentanverdiene w,, i/2 °g u3

2

Figur 1.4 Maksimumsverdien eller toppverdien = Um topp-til-topp-verdien = [7tt

1.1.5

Middelverdi Middelverdien ’) 4id til en vilkårlig strøm kan vi skrive slik:

/.mid =

n

= [dmid

(«

=

antall verdier)

I Ellære 1, avsnitt 3.6.3, har vi gitt en annen definisjon.

Middelverdien til strømmen på figur 1.5 kan vi skrive på denne måten: j

* mid

1.1.6

_ ii + ii + i 3 + >4 + i 5 + ie 6

Effektiwerdi Med effektivverdien til en periodisk strøm eller spenning mener vi den verdien som en like stor likestrøm eller likespenning måtte ha for å utvikle den samme effekten i en like stor resistans.

Effektivverdien2) til en sinusformet strøm eller spenning er: 7= V2/2 • Zmogf/=1/2/2 • Um Vi kommer tilbake til dette i avsnitt 1.2.5.

1.2

Sinusformede variable størrelser

1.2.1

Innledning Sinusformede spenninger og strømmer hører begge til gruppen variable størrelser. De spiller en viktig rolle i elkraftteknikk og i elektronikk.

Figur 1.5 Vilkårlig vekselstrøm

’) Et annet uttrykk for middelverdien til en strøm er ZAV; AV er en forkortelse for det engelske ordet «average» som betyr gjennomsnitt. 2) Et annet uttrykk for effektivverdien til en strøm er ZRMS; RMS er en forkortelse for «Root Mean Square» som betyr «roten av det midlere kvadratet».

3

Når vi i fortsettelsen snakker om en vekselspenning eller vekselstrøm, mener vi en sinusformet størrelse, dersom ikke noe annet uttrykkelig er presisert.

1.2.2

Forholdet mellom momentanverdien og maksimumsverdien Fra Ellære 1 vet vi at det blir generert en sinusformet vekselspenning når en vinding roterer med konstant vinkelhastighet i et homogent magnetfelt.

For momentanverdien til den induserte spenningen gjelder da: e = Em • sin a

(1)

Roterer vindingen med en vinkelhastighet på co rad/s, har den etter t sekunder gjennomløpt en vinkel på: a = ta • t

(2)

Setter vi likning (2) inn i (1), får vi: e = Em ■ sin evt For en sinusformet spenning generelt kan vi derfor skrive:

u = Um • sin evt

(/niiV t is

& i rad/s w iV

Ved å velge forskjellige verdier på co • t kan vi få fram momentanverdien u som en funksjon av vinkelen a> ■ t. Se figur 1.6 og tabell 1.1.

Ofte blir en sinusformet størrelse uttrykt som en funksjon av tiden i stedet for av æ • t. Vi får da en figur som er likeformet med figur 1.6 fordi a> er en

4

konstant størrelse. Figur 1.6 forestiller derfor, riktignok i en annen målestokk, også forløpet til en sinusformet spenning som funksjon av tiden.

Tabell 1.1 sin

CO ■ t

rad.

grader

0

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

'A 71 'A 71 ’/2 71

V3 71

5/b 71

71 7 /b 71 4A 71

V2 71

5/i 71

"/b 77

2

1.2.3

71

a> t

u =

• sin cd

Um

V2/3.

t

um

l/2 ■

0 -’/2 •

Um ■ t

314 rad/s •

l2'00 =

rad

rad = ^ir • 180° = 15°

u = Um- sin evt = 100 V • sin 15° = 100V • 0,2588 = 25,88 V

1.2.4

Middelverdien til en sinusformet variabel størrelse Ser vi på en sinusformet variabel størrelse over en periode, er summen av de positive og de negative verdiene like store. Middelverdien er da lik null.

Over en halv periode er middelverdien naturligvis ikke null. Ved et sinusformet forløp er middelverdien på grunn av symmetrien lik for hver kvartperiode. Vi skal nå beregne middelverdien til et sinusformet forløp over en kvartperiode.

Når en vinding roterer med konstant vinkelhastighet i et homogent magnetfelt, forløper fluksen i vindingen cosinusformet og den induserte spenningen sinusformet med tiden. Se figur 1.7 og Ellære 1.

Ifølge Faraday er den genererte spenningen per vikling lik:

A AZ

^mid -'

Ser vi på fluksendringen over en kvart periode, det vil si T/4, blir A•?, — • t — y?)

Figur 1.11 Faseforskyvning, U ligger foran /

12

(2)

Av likningene (1) og (2) går det fram at strømmen ligger vinkelen etter spenningen. Velger vi nemlig co • t = 90°, så er u = Umogi < Im.u når sin positive maksimumsverdi vinkelen L = 50 sin 314 • / i gren 2 => i2 = 40 sin (314-t + 30°) i gren 3 => = 30 sin (314 - r - 60°)

maksimumsstrømmen i hver gren frekvensen faseforskyvningen mellom grenstrømmene

Finn:

a b c

Vi har: Vi skal finne:

Se figur 1.12. Am, Am Og A"lm

b f c Fasevinkelen mellom z,, z2 og z3.

Løsning:

a Sammenlikner vi de oppgitte strømlikningene med generelle uttrykket i = Im • sin (w - t ± cp), får vi: Am = 50 A, /2m - 40 A og Am = 30 A

13

b

f = -i

=>

j = V-i

I matematikken kaller vi j/— 1 for et imaginært tall. Av figur 3.4 går det fram at multiplikasjon fire ganger med j betyr at den komplekse størrelsen er dreid 4 • 90° = 360° mot urviseren. Det vil si at den er tilbake i sin opprinnelige stilling.

3.3

Regning med komplekse størrelser

3.3.1

Addisjon På figur 3.5 har vi bestemt summen av to komplekse tall:

V = a\ + jZ?i og Vi = ai + jZ?2 Vi ser av vektorfiguren at når vi adderer to komplekse tall, må vi legge sammen de horisontale a -komponentene (= reelle tall) og deretter de vertikale j b -komponentene (= imaginære tall). Det vil si:

V = V\ + V2 = ai + jbi + 02 + jb2 = (a 1 + 02) + j(Z?i + b2) 29

Im

Figur 3.5 Addisjon av to komplekse tall V = Vi + F2 = (tzi + a2) + j(£>i

3.3.2

+

b2)

Subtraksjon Differansen mellom vektorstørrelsene F og F kan vi også skrive med komplekse tall:

v = vx - F2 = F> + (-F2) = (fli + j^i) + [-(2)] = («1 - d2) + jØl - b2) Når vi skal trekke en vektorstørrelse fra en annen, må vi finne differansen mellom de horisontale komponentene og deretter differansen mellom de vertikale komponentene. Se figur 3.6.

3.3.3

Multiplikasjon Hvis F = F og F :

4- j b\ = 3 + j4og F = a2 + j b2 = 5 + j6, blir produktet av

Figur 3.6 Subtraksjon av to vektorstørrelser V = j/] - F2 = (

z^ = 63°26'.

Vinkelen

z^2 = 26°34'.

Vinkelen tpmellom F og F2 blir da: - ^2

= 63°26' - 26°34' = 36°52'

Se figur 3.7.

31

Figur 3.7 Vinkelen mellom to vektorer

3.3.6

Figur 3.8 Like vektorer

Sammenlikning av komplekse størrelser I elektroteknikken forekommer det blant annet i brokoplinger at:

• r4

• r2 =

Denne likningen går etter utregning over til:

F5 = F6 &

=>

a + ]b = c + ]d

a - c og b = d

Det vil si:

To komplekse størrelser er like når: • de reelle komponentene er like store og • de imaginære komponentene er like store. Dette er vist på figur 3.8.

3.4

Forskjellige måter å uttrykke komplekse størrelser på

3.4.1

Rettvinklede koordinater I avsnittene foran har vi brukt rettvinklede koordinater for å uttrykke komplekse størrelser. Den komplekse størrelsen ble da gjengitt ved en reell del a og en imaginær del b . Dette skrev vi slik:

V - a + ]b el. V = a + \b

Modulen er:

V = x a- + b~ el. | Fj = \a2 + b2 32

Figur 3.9 V = V (cos

3.4.2

+ j • sin p)

Polare koordinater En annen måte å uttrykke et komplekst tall på er med polare koordinater. Den komplekse størrelsen V blir da gjengitt ved hjelp av sin modul V og sitt argument j =

•

Multiplikasjon med j betyr at den komplekse størrelsen dreier 90° mot urviseren.

1

Regning med komplekse størrelser

•

Addisjon: a\ + jZ?i + tz2 + jb2 = (#i + a2) + j(£>i + b2)

•

Subtraksjon: a\ + jbi - (tz2 + jZ?2) = (ai - i - b2)

•

Multiplikasjon: (fli + j/?i)(tf2 + j/?2) = a\a2 + jtfiZ>2 + jtz2Z?i + y2b\b2 = (i\a2 - b\b2 + j(tfiZ)2 + a2b\) Im

Re

•

Divisjon: a\ + jbi a2 + j&2

(øl + j&i)(tf2^ jZ?2) {a2 + jb2)(a2 - ]b2)

flit?2 + b\b2 - \{a\b2 - a2b\) a2 + b2

-y(o\b2 - a2b\} o2 + b2

a\a2 + b\b2 o2 + b2

Ved divisjon må brøken multipliseres med det tilføyde komplekse tallet til nevneren.

Vinkelen mellom to komplekse størrelser V\ - a\ + jZ?i

=>

tan

V2 = a2 + jb2

=>

tan ^2 = — a2

-

ai

=> =>

=

f

XL 2tt • L

400 Q = 200 Hz • 0,3183 H

Den ikke-ideelle luftspolen En ikke-ideell luftspole er en spole med resistans (ren ohmsk motstand) R og selvinduktans L . Som vi nevnte i forrige avsnitt, kan enhver vilkårlig luftspole betraktes som en ideell luftspole med bare selvinduktans i serie med en resistans. Se figur 4.10. Det er nødvendig med en spenning w12 = z • R for å drive strømmen i gjennom resistansen R . For å motvirke den induktive reaktansen XL trengs det en reaktansspenning w23 = i • XL. Momentanverdien til den påtrykte spenningen w13 kan vi skrive slik:

«13 — «12 + «23 = i • R + i • XL Går vi over til effektiwerdien, gjelder for vektorer:

£713 = IR + LXl Den påtrykte spenningen U}3 kan vi derfor betrakte som vektorsummen av disse delspenningene: • Un = I ■ R, som er spenningen over resistansen R. Denne spenningen er i fase med strømmen /. • U2i = Ur = I ■ XL, som er reaktansspenningen. Den ligger 90° foran strømmen I.

Figur 4.10 Ikke-ideell spole = seriekopling av R og L 43

3

R

Figur 4.11 Vektordiagrammet til en ikke-ideell spole (= seriekopling av R og L )

Figur 4.12 Impedanstrekant

Vi kan nå tegne vektordiagrammet. Se figur 4.11. Av spenningstrekanten på denne figuren får vi: (713 = V(/. /?)2 ‘+ (/• XL)2 = Hr2 + X2,

(1)

4r^+xI = t/|5 /

Av den siste likningen går det fram at ]] R: + %L2 blir uttrykt i V/A = Q, og derfor har karakter av en resistans. Vi kaller den impedans Z. Det vil si:

z = Væ2 +

x2

(4.5)

Dividerer vi sidene i spenningstrekanten på figur 4.11 med / , får vi den såkalte impedanstrekanten på figur 4.12. Setter vi formel 4.5 inn i likning (1), får vi:

U = IZ

(4.6)

I en ikke-ideell spole opptrer det en faseforskyvning som er mindre enn 90°. Spenningstrekanten og impedanstrekanten gir:

cos

W = I2 • R • t = (0,2 A)2 • 300 Q • 1 Ao s = 0,2J eller W= U- I

5.3

t ■ costp = 100 V • 0,2 A • 'Aos • 0,6 = 0,2 J

Produktet av to vekselstrømsstørrelser I avsnitt 5.1 har vi vist at

p = [ u . i ] = U • 1 • cos (p Det vil si:

Produktet av den momentane spenningen og strømmen er lik produktet av effektivverdiene til spenningen og strømmen og cosinus til faseforskyvningsvinkelen.

Generelt gjelder:

Produktet av to sinusformede størrelser med samme frekvens er lik produktet av effektivverdiene og cosinus til faseforskyvningsvinkelen.

58

Disse egenskapene kan vi bruke for eksempel i elektrodynamiske måleinstrumenter. Dreiemomentet til slike måleinstrumenter er proporsjonalt med [ f] • z2], Men [ zj • z2 ] = /, • I2 • cos (p, slik at utslaget til målesystemet er proporsjonalt med • I2 • cos cp.

5.4

Tilsynelatende effekt Med tilsynelatende effekt mener vi ved vekselstrøm produktet av effektivverdiene til spenningen og strømmen.

Tilsynelatende effekt har symbolet S ( Ps).

5= U I

I i A U i V

(5.4)

5 i VA

Tilsynelatende effekt blir oppgitt i voltampere (VA). Større enheter er: 1 kV A = 103 VA ] MVA = 1()6 VA

Effekten til vekselstrømsgeneratorer og transformatorer blir alltid oppgitt i VA.

5.5

Aktiv og reaktiv strøm

5.5.1

Aktiv strøm Formelen for aktiv effekt P = U • I • cos

6.3.2

Ze = a

Seriekoplingen Seriekoplingen på figur 6.16 kan vi skrive slik: Ut = tzi + U2 + U$ T-Zt =/ • Z) + /• z2 + /• z3

Tabell 6.1 a

b

belastningsart

se figur

> 0 = +

> 0= +

overveiende induktiv

6.16 ®

> 0 = +

< 0= -

overveiende kapasitiv

6.16 @

> 0 = +

= 0

ren ohmsk

6.16 @

= 0

> 0= +

ren induktiv

6.16 @

= 0

> 0 = -

ren kapasitiv

6.16 ®

79

Figur 6.16 Impedanser med forskjellige a- og 6-verdier i det komplekse systemet

Den komplekse erstatningsimpedansen er: (6.8)

= Z\ + Zz + Z3

Det vil si:

I en seriekopling av impedanser er den komplekse erstatningsimpedansen lik summen av de komplekse impedansene.

Denne egenskapen er vist på figur 6.18. Vi skal nå beregne koplingen på figur 6.1, men denne gangen ved å bruke kompleks regning.

Figur 6.17 Seriekopling av komplekse impedanser

80

Figur 6.18 Addisjon av komplekse impedanser

Z, = -j8

Z2=1

Z3=15 + j20

U = 60 V f = 50 Hz

0-

Figur 6.19 Den komplekse skrivemåten til koplingen på figur 6.1

Ze — Z\ + Z2 + Z->, — — j8 + 1 + (15 + j20) — 16 + jl2

+ Ir = V( 16 Q)2 + (12 Q)2 = 20 Q

Ze =

cos

-

sin ip =

b

16 Q

20 fi

b

12 Q

20 Q

0,8

0,6

Skrivemåten og løsningen er ellers lik koplingen på figur 6.1.

6.3.3

Parallellkoplingen For parallellkoplingen på figur 6.20 gjelder:

_

(7 'e

1111 _ = —— + — + — Zy Z\ Zl Zt,

Figur 6.20

U Z1

—-

u

Z2

“F

u

—

Z3

(6.9)

Figur 6.21 Den komplekse skrivemåten til koplingen på Figur 6.13

81

Det vil si:

I en parallellkopling av impedanser er den inverse verdien av den totale impedansen lik summen av de inverse verdiene til de parallellkoplede komplekse impedansene.

Når vi harto parallellkoplede impedanser, kan vi skrive formel 6.9 slik:

(6.10)

Vi skal gjøre om figur 6.13 til et skjema med kompleks skrivemåte og løse eksempel 6.4 ved hjelp av kompleks regning.

C =

398 gF

=> Xc = 8 Q

=> Zi

= -j8

L =

12,74 mH

=> XL R,

=

■ 3 + j4

= 4 fij =

Erstatningsimpedansen blir da: 2 e

Z, • Z2 Zj + Z2

- j8 x (3 + j4) -j8 + 3 + j4

-J24 - j232 _ 32 - j24 3 - j4 3 - j4

(32 - j24X3 + j4) _ 96 + jl28 - j72 -J296 (3 - j4)(3 + j4) 32 + 42

=

192 + j56 _ _o ._ _ . J - = 7,68 + j2,24 25

Ze = VtPTT2 = V7,682 + 2,24 = 8 Den opptatte strømmen er: U _ 12 V Ze ~ 8 (2

6.3.4

1,5 A

Faseforskyvning Faseforskyvning mellom to spenninger Fordi spenningen og strømmen er vektorstørrelser, kan vi bestemme dem ved hjelp av kompleks skrivemåte.

82

^ = 0.4*j1.2

Z2 = 0,8*j0,4

Figur 6.22

Delspenningene på figur 6.22 kan vi skrive slik: t7, = Tz{ = 5(0,4 + j 1,2) = 2 + j6 U2 = 1Z2 = 5(0,8 + j0,4) = 4 + j2 Figur 6.23 viser disse delspenningen i et komplekst aksesystem. Faseforskyvningen (p mellom og U2 kan vi beregne slik det er beskrevet i avsnitt 3.3.5. A tan = 1 = - - 3 => = 71°34' a\ 2 j

tan

(jj • C

a>

Medco = 2æ-/blir frekvensen:

/= 1

/ 1

2tt \L • C

Forutsetter vi nå at vi kan se bort fra resistansen R på figur 7.5 fordi den er svært liten i forhold til selvinduktansen L, blir egenfrekvensen ifølge formel 7.2:

Av likningene (2) og (3) går det fram at vi har resonans når XL = Xc fordi frekvensen til den tvungne svingningen er lik egenfrekvensen i LC -kretsen. Vi kaller derfor Xt = Xc for resonansbetingelsen i en LC -seriekrets. Resonansfrekvensen er:

L iH C iF /o i Hz

(7.3)

Figur 7.6 viser vektordiagrammet for en LC -seriekrets ved resonans. Strømmen er da /. Av vektordiagrammet ser vi at spenningen over spolen Us er tilnærmet lik kondensatorspenningen Uc. Når resistansen R er svært liten i forhold til • L, er spole- og kondensatorspenningen mange ganger større enn den påtrykte spenningen U. I en slik seriekrets har vi det vi kaller spenningsresonans.

96

7.3.2

Resonanskurver Generelt gjelder dette for impedansen i en seriekrets:

Denne impedansen er avhengig av frekvensen. Vi skal se på impedansen når frekvensen er mindre, større eller lik resonansfrekvensen. Disse tilfellene kan forekomme: •

f = f} Da er ro - L = \/co- C, og kretsen er ohmsk. Impedansen 2J) = R er minimal og strømmen / = /() er maksimal. Se figur 7.7.

•

f > f Da er co • L > \/co- C, og kretsen er induktiv. Z øker når/ øker. Derimot avtar /. Se figur 7.7.

•

f < fo Da er co - L < \/co- C, og kretsen er kapasitiv. Z øker når/blir mindre. I avtar også. Se figur 7.7.

Dersom resistansen R i kretsen blir mindre, kommer punktet Zo = R til å ligge lavere og punktet / = U /Zo til å ligge høyere. Når R er mye mindre enn XL og Xc , forløper resonanskurven praktisk talt symmetrisk i forhold til den vertikale linjen gjennom/.

7.3.3

Båndbredde Dersom resonanskurven på figur 7.8 er symmetrisk, ligger frekvensen/ like mye under / som/, ligger over/ når = /.

Figur 7.7 Resonanskurvene / = f(/)og Z = f(/)

97

f2 — fQ = høyre sidebånd

f0 — f-} = venstre sidebånd

Figur 7.8 Symmetrisk resonanskurve fo - f\ = fi - fo

Figur 7.9 Båndbredde B = f2 - /,

Når frekvensen til den påtrykte spenningen er lik resonansfrekvensen fQ, slipper LC -kretsen den største strømmen /0 gjennom. Påtrykte spenninger hvor frekvensen avviker fra resonansfrekvensen, forårsaker mindre strømmer enn Io i en seriekrets. Jo mer frekvensen avviker fra/,, desto mindre strøm slipper gjennom. Selv om alle frekvenser slipper gjennom i større eller mindre grad, snakker vi om en filterkrets. Vi kan derfor tildele en LC-seriekrets et bånd som er begrenset av de to grensefrekvensenef ogf2, hvor/ ligger like mye under/som/ ligger over />. LC -kretsen har en slik impedans at strømmer som har lavere frekvens enn/ eller høyere frekvens enn/2, ikke har noen betydning. Differansen f— f = B kaller vi resonansbredden eller båndbredden . Vi kan definere båndbredden slik:

Båndbredden B er differansen mellom to frekvenser hvor effekten er 3 dB lavere enn ved resonans.

Grensefrekvensene blir også kalt — 3 dB-punktene. En dempning på — 3 dB svarer til et strømforhold på ’/2]/2 . Se eksempel 7.1. Det vil si at f = L = • Zo = °,707 • 4 Se figur 7.9. Forholdet mellom impedansene er da ]/2 , og båndbredden har betegnelsen B}2 ■ Frekvensdifferansen/ — / blir kalt venstre sidebånd og f — f) høyre sidebånd. Frekvenser som ligger i sidebåndene, kaller vi sidebåndsfrekvenser. Hvis /0 for eksempel er 200 kHz/ = 195 kHzog/ = 205 kHz, såer båndbredden/ — / — (205 — 195) kHz = 10 kHz.

98

7.3.4

Kvalitetsfaktor Q Ved resonans er den påtrykte spenningen: U = /o-Zo = f-R

(1)

Hvis resistansen R i spolen er mye mindre enn den induktive reaktansen kan vi se bort fra det ohmske spenningstapet og skrive:

Us

—

(2)

• L • Io

A) •

Fordi Us ~ t/c, får vi ifølge likningene (1) og (2) dette uttrykket:

Us/U

=

V

U

=

Uc

U

(3

= i°S

R

I kretser med liten demping er R < a>{) ■ L,slikat 1. Det går fram av likning (3) at spenningen over kondensatoren og spolen da er mye større enn den påtrykte spenningen. Vi kaller dette spenningsforhøyning ved resonans.

Faktoren ty0 • L/R blir kalt forsterkningsfaktor , spenningsforhøyningsfaktor eller kvalitetsfaktor . Symbolet er som regel (f. Vi snakker også om kretskvalitet. ■ L R

R iQ, L iH,

ceo i rad/s, Qs ubenevnt

Hvor stor kvalitetsfaktoren er, avhenger av verdiene til L, C og R .

7.3.5

Forbindelsen mellom båndbredden og kvalitetsfaktoren Av definisjonen på båndbredden følger at impedansen ved grensefrekvensene/ og f er p/2 ganger større enn resonansfrekvensen/,. Det vil si at Z = Ry/2.

99

For grensefrekvensene/ og^ kan vi skrive denne likningen slik: 1 coi • C

Ofl ■ L

1

• L

(jj 1 • c

Vi dividerer med a>2 + tu, og får: 1

—

R L

fi

- /1

R 2ir • L

For båndbredden B = f— f blir formelen da:

B = fi - /, = , - 2tt • L

R li’ L iH gj Hz

(7.5)

/o i Hz Qs ubenevnt B i Hz

(7.6)

Vi kan også omforme formel 7.5 slik:

B =

R = Rf" 2tt • L 27t/()- L

R-fo o • L

Det vil si:

B =

/o 2s

Vi ser at en stor kvalitetsfaktor Qs gir liten båndbredde B . Det betyr at LC -seriekretsen filtrerer mer selektivt. Eksempel 7.3 En spole med L = 100/zHogR, = 2 ohm er seriekoplet med en variabel kondensator og koplet til en spenning på 1 V, 100 kHz. a den kapasitansen hvor resonans opptrer Finn: b kvalitetsfaktoren til kretsen c spenningen over kondensatoren og spolen ved resonans d båndbredden Vi har: Vi skal finne:

100

L = 100//H og R, = 2 ohm, U = 1 Vog/0 = 100 kHz a C ved^, b Qs, c Us og Uc, d B

Løsning:

aXLo = 2æ/0 • L = 2æ • 105 s 1 • 10 4H = 62,83 Q.

Resonansbetingelsen XL() = XC()gir: 1

62,83 fi

2tt • 105 Hz • C

C = 0,0253 //F

• 105 Hz • 10’4 H 2 Q

L _ R ~ c

=>

Tilnærmet gjelder: