Ejercicios Propuestos de Cálculo PDF [PDF]

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1 ñlñ

FACULTAD AGROPECUARIA Y DE RECURSOS NATURALES RENOVABLES

Carrera de agronomía EJERCICIOS PROPUESTOS DE CÁLCULO

Ing. Klever A. Chamba C. DOCENTE

Loja-Ecuador Noviembre 2020

2

LÍMITES 1. Calcule los siguientes límites: 𝑎) lim (𝑥 2 + 3𝑥 − 5);

𝑏)

𝑥→2

3𝑥+𝑥 2 𝑥→0 2𝑥 2 +𝑥+1

;

𝑥 2 −3𝑥+2 𝑥→1 𝑥 2 −4𝑥+3

;

𝑐) lim 𝑒) lim 𝑔)

𝑥 6 −1 𝑥→1 𝑥 3 −1

𝑖)

√𝑥−1−2 𝑥→5 𝑥−5

lim

𝑘)

lim

𝑥−1

𝑚)

𝑥→0 √𝑥 2 +4−2

𝑜)

lim

𝑥→3

√2𝑥+10−4 𝑥−3

𝑥 3 +8 𝑥→−2 𝑥+2

𝑟)

lím

𝑓)

;

𝑥2

lim

𝑗)

lim

;

𝑛)

;

𝑞) 𝑡)

𝑢)

𝑥 2 +√𝑥 ; 𝑥→0 √𝑥 −1

𝑣)

𝑥)

lím

√1+𝑥−1 𝑥 𝑥→0

;

𝑥→−1

𝑥 2 −1 5𝑥 2 +4𝑥−1

𝑥 3 −3𝑥−2 𝑥→2 𝑥 3− 8

𝑙)

lím

lim

;

ℎ)

;

3

;

𝑥 2 −2𝑥−3 𝑥→3 𝑥 2 −5𝑥+6

;

3

𝑥→1 √𝑥 −1

3𝑥−8

𝑑) lim

;

lim

lim

𝑥→2 4𝑥+2

𝑦)

lim

3

√𝑥 −2 𝑥→8 𝑥−8

;

𝑥→0 √𝑥+3−2

lim

𝑥

𝑥−2 𝑥→2 √𝑥+2

;

;

;

1−𝑥

lim

;

𝑥→0 √5−𝑥−√5+𝑥

lim

𝑥 2 +𝑥−2 𝑥→1 𝑥−1

;

√5−𝑥−2 lím 𝑥→1 √2−𝑥−1

;

lím

;

lím (4𝑥 − 𝑥 3 ) ;

𝑥→−1

2. Calcule los límites siguientes: 3𝑥 2 −5𝑥+6 𝑥→±∞ 7𝑥 2 +8𝑥−9

1−3𝑥 𝑥→±∞ 2𝑥+3

𝑎) lim 𝑐) lim

𝑥→±∞

𝑏) lim

(𝑥−1)3

𝑒) lim (√𝑥 2 + 𝑥 − 1 − √𝑥 2 − 𝑥 + 1)

𝑥 3 −2𝑥 2 −3𝑥

𝑥→±∞

𝑥 3 +2𝑥 2 +3𝑥+4 𝑥→±∞ −8𝑥 3 +2𝑥+1

𝑥3

𝑓) lim ℎ) 𝑗) 𝑙)

3𝑥 2 𝑥→±∞ 2𝑥+1

lim ( lim

𝑥→±∞

−

𝑥→±∞

(2𝑥−1)(3𝑥 2 +𝑥+2) 4𝑥 2

)

𝑥 𝑥−√𝑥 2 +1

lim (√𝑥 + √2𝑥 − √𝑥 − √2𝑥 )

𝑥→±∞

𝑥2

𝑔) lim (𝑥 2 +2 − 𝑥+2) 𝑖) 𝑘)

𝑥3 𝑥2 − ) 2 2𝑥+1 𝑥→±∞ 2𝑥 −1

lim (

4

3

√𝑥 + √𝑥 +√𝑥 √2𝑥−1 𝑥→±∞

lim

3 m) Un termómetro se coloca cerca de una llama. La altura de la columna de mercurio en el termómetro se dar por la función H ( x) =

2 , donde x > 0 es la distancia del termómetro a la 3x

llama: a. Hallar el Lím H ( x) e interprete su resultado x→0+

b. Halle el Lím H (x) e interprete su resultado. x→

n) Un grupo de ecologistas está tratando de controlar la erosión de un campo maderero explotado y abandonado. Suponga que la erosión del suelo está dado por la función

E ( x) =

(2 x + 3)M

x 3 + 3x + 2

donde x es el número de árboles nuevos plantados y M es la magnitud

actual de erosión. Encontrar Lím E (x) e interprete su resultado. x→

o) Después de una minga de limpieza, la contaminación de un río está dada por la función

 2t + 15  C , donde t es el tiempo después que se inicia la campaña y C es el nivel L( x) =  2  3 t + 15   inicial de contaminación. Encontrar Lím L(x) e interprete su resultado. t →

p) La población de cierta especie de pez en un lago está dada por la función P( x) =

5t + 2 donde 2t + 1

t  0 es el tiempo. Trazar una gráfica para P(t) considerando los valores cercanos a t=0, valores cuando t →  y algunos valores intermedios de t.

2

q) Debe cercarse un lote rectangular de modo que el área encerrada sea de 1500 m . Tres lados pueden cercarse con material que cuesta $18 el metro, pero el cuarto lado, de longitud x, debe asegurarse con un alambre de púas adicional que cuesta $7 el metro: a. Hallar un modelo para el costo C(x) b. Trazar la gráfica de la función costo x > 0, considerando x → 0, x →  y algunos valores intermedios de x; c. Utilizar la gráfica para estimar el valor de x que minimice a C(x).

r) Supóngase que el costo diario C(x) de producir x artículos está dado por

C ( x) = 0.003x 2 + 7 x + 35 : a. Obtener el costo unitario Cu (x) ; b. Hallar Lím Cu ( x) e interprete su resultado. x→0+

c. Determine Lím Cu (x) e interprete su resultado x→

d. Trazar una gráfica de Cu (x) y estime un valor de x que minimice a Cu (x) .

4 4. Halle y grafique las asíntotas horizontales, verticales y oblicuas para las siguientes funciones dadas: a) y =

x2 x2 − 9

b) y =

c) y =

4x + 9 x2 − 4

d) y =

e) y =

x2 x 2 −1

1 x −1

x2 + x +1 − x

5

DERIVADAS 1. Usar la definición para hallar la derivada de f(x)

a). 𝑓(𝑥) = 5𝑥 + 4

b). 𝑓(𝑥) = 2𝑥 2 + 𝑥 − 1

c). 𝑓(𝑥) = 3𝑥 2 − 12𝑥 + 1

d). 𝑓(𝑥) = 1⁄(𝑥 + 1)

e). 𝑓(𝑥) = √2𝑥 − 1

f). 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 + 𝑥 2 − 4

g). 𝑓(𝑥) = 𝑥 + (1⁄𝑥)

h). 𝑓(𝑥) = √𝑥 − 2𝑥

i). 𝑓(𝑥) = 2⁄(𝑥 2 + 1)

j). 𝑓(𝑥) = 𝑥 − (1⁄𝑥)

2. Utilizando las reglas y procedimientos correspondientes, derive las siguientes funciones: a). y =

c) y =

x − 1. 3 6 x + 2

t 2 − a2 t 2 + a2

e) y = x 3 . 1 − 4 x

g) y =

b) y =

3x − 1 2 − 5x

d) y =

4 x − 4 x

f) y =

2x 4x + 9

2x + 7 1 − 2x

h) y = e 2 x

i) y = 5

j) y = e3 x−1

k) y =

l) y =

4 − ex x e

(

r) y =

x 4x + 1 2x − 1

t) y = x 3 ln x 2

x

3 ex

m) y =

2

e x − e− x e x + e−x

o) y = ln x 2 + 1

n) y = log 3 x p) y = ln 5x 3x − 1

3

)

q) y = ln

1 + 2x 1 − 2x

x 2 (2 x − 1)

3

s) y =

u) y = log 4 x − 1

x2 − 9

6 v) y =

(x − 1)2 (3x + 1)4 (2 x − 1)2

 ) f ( x) =

w) y =

3

2

x 2 + x2 3

  ) f ( x) =  x 2 − 3x + 1 + 

 ) f ( x) =

x 3 (1 − 2 x ) 2x + 1

12

   2 x − 3x + 1  1

x 3 + a 2 x − ax 2 − a 3 4

a + ax − a x − x 5

4

4

4

4

4

5

6 x(2 x − 3)( x 2 − 3x + 2)11( x − 3) Rta. ( x 2 − 3x + 1) 7

Rta.

1 44 x 3

x2 + 4

 ) f ( x) = x

 x2 − 4   4 +   2x 

2

3. Se deja caer una piedra desde una altura de 50 metros. Su altura sobre el suelo está dada por

la función H (t ) = 50 − 10t en el tiempo t; 0  t  3 . Encuentre la velocidad promedio para un periodo de t a t+h. Seguidamente, obtenga la velocidad instantánea de la piedra en el tiempo t. 2

4. Supóngase que la distancia que recorre un objeto en el tiempo t está dado por la función

s(t ) = 3t 2 + 2t. Determine la velocidad instantánea de este objeto en el tiempo t. ¿Cuál es la velocidad en el tercer segundo? 5. Supóngase que el tiempo t, el peso del pollo está dado por la función w(t ) = 1 + 2t + t . Hallar la rapidez instantánea de cambio en el, en el tiempo t. ¿Cuál es esta rapidez de cambio en la quinta semana? 2

6. El volumen de agua contenido en un tanque en el instante t esta dado por la función

V (t ) = 8(8 − t ) 2 . Hallar

dV e interprete el resultado. Obtener el tiempo t para el que dr

dV =0 dr 7. La utilidad por una empresa que fabrica y vende x artículos, está dada por la función

P( x) = −2.5 + 5x − 2 x 2 . Hallar P’(x) e interprete su resultado. Determine también P’ (3). 8. El volumen de una esfera es V (r ) = función. Evaluar

dV en r=2. dr

dV 4r 3 . Hallar y determinar el significado de esta dr 3

7 9. Una empresa pronostica que su ingreso total por la venta de x artículos es R( x) = 300 −

150 x +1

. Hallar la función de ingreso marginal. ¿Es el ingreso marginal mayor para 50 artículos o para 100 artículos? ¿Qué significa esto? 10. Una empresa de ropa estima que su costo para elaborar x artículos está dado por la función

C ( x) = 50 + 5x + 0.03x 2 . Si cada pantalón que fabrica se vende en $30. ¿Cuál es la función de utilidad? Obtener la función de utilidad marginal y evaluar en x=50 y x=100. 11. Un estudio ambiental de cierta comunidad suburbana señala que dentro de t años el nivel promedio de monóxido de carbono en el aire será Q(t ) = 0.05t + 0.1t + 3.4 partes por millón: a) ¿A qué razón cambiará el nivel de monóxido de carbono, con respecto al tiempo, dentro de 1 año? b) ¿En cuánto cambiará el nivel de monóxido de carbono este año? c) ¿En cuánto cambiará el nivel de monóxido de carbono durante los próximos 2 años? 2

12. Un incendio que comenzó en un terreno seco se extiende formando un círculo. El radio del círculo crece a razón de 2 metros por minuto. Calcule la rapidez con que crece el área del círculo cuando el radio es de 50 metros. 13. Suponga que la población de cierta ciudad, en el tiempo t, desde 1997 (cuando t=0) está dada por la función P(t ) =

3t + 1 . ¿Cuál será la rapidez de cambio de esta población en 2030 2t + 1

(cuando t=33)? 14. Suponga que el costo diario de fabricar x artículos está dado por la función

C ( x) = 0.05x 2 + 13x + 55 . Determine la derivada de la función costo por artículo e interprete el resultado cuando x=15. 15. Al dejar caer una piedra en las tranquilas aguas de un estanque, se forman ondas circulares que se mueven hacia afuera, partiendo del lugar en que cayó la piedra, a la velocidad de 3 cm/seg. En el instante en que el radio del anillo que forma una de las ondas tiene 36 cm, ¿a qué velocidad aumenta la superficie que circunda? 16. Un depósito cónico de 5 dm de altura y 3 dm de diámetro en la parte de arriba, cae agua a razón de 1 dm

3

seg.

. En el momento en que el depósito está a medio llenar, ¿a qué velocidad

se eleva la superficie del agua?

DERIVADAS DE FUNCIONES IMPLÍCITAS 1. Derivar implícitamente las siguientes funciones: a) x m y n = (x + y )

m+ n

c) xe

y2

− ey = 0

b) x y − x y + xy − 1 = 0 5

4

3

2

d) 2 y + 3 − 30 = 0 x

2

xy

8 e) xy + 2 y + 3( y + x) = 0

g)

x+ y =2

f)

x2 y2 + =1 a 2 b2

h) x 4 + 2 y 3 = 4 x 2 y

i) Dos estaciones de radar P y Q , con Q a 10 millas al este de P, están rastreando a un submarino que está en la superficie del mar. En cierto momento, el barco está a 15 millas de P y su distancia aumenta a razón de 30millas/hora. En el mismo instante, el barco está a 15 millas de Q, mientras su distancia aumenta a solo 6 millas/hora. ¿Dónde está el submarino, con qué rapidez se desplaza y en qué dirección? i) Suponga que se vacía el agua de un tanque esférico de 50 cm de radio. Si la profundidad del agua en el tanque es de 15 cm y disminuye a razón de 5 cm/seg, ¿A qué razón disminuye el radio de la superficie superior del agua? 3

j) Una mancha circular de aceite de grosor uniforme ha sido causada por el derrame de 0.8 m de aceite. El grosor de la mancha está disminuyendo a razón de 3cm/hora. ¿A qué razón aumenta el radio de la mancha cuando mide 5 metros?

DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 1. Halle la derivada de las siguientes funciones: b) f ( x) =

a) 𝑓(𝑥) = 𝑆𝑒𝑛 (𝐶𝑜𝑠 2 𝑥) 𝐶𝑜𝑠 (𝑆𝑒𝑛2 𝑥) c) f ( x) =

1 − Cos(8 x − 3 ) Tan 2 x − Ctg 2 x

x x  e) f ( x) =  Sen − Cos  2 2 

Tan 2 x Tan x 2

d) f ( x) =

Sen 2 x Cos 2 x + 1 + Ctg x 1 + Tan x

f) f ( x) =

Sen x − xCos x Cos x + xSen x

2

g) f ( x) = 3Cos 2 x − (Sen x + Cos x ) 1 − sen 2 x h) xSen y − Cos y + Cos 2 y = 0 i) xCos y = Sen( x + y) j) Un observador dirige una visual a un globo que se eleva uniforme y verticalmente a un kilómetro de distancia. En el momento en que el ángulo de elevación del anteojo es 30 grados, y está aumentando a razón de ¼ de radián por minuto, ¿a qué altura se encuentra el globo y a qué velocidad asciende?

DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS

9 a) f ( x) =

x ArcSen x + 1 − x

(

b) f ( x) = ArcCos 2 x 1 − x 2 c) f ( x) =

)

3 − Sen x 1 + Sen x Cos 2 x − 2Sen x + 2 Arcsen 2 2

1 − 1 − x2 d) f ( x) = ArcTan x

DERIVADAS DE FUNCIONES LOGARÍTMICAS Y EXPONENCIALES 1. Hallar la derivada de las siguientes funciones: 1− x 1+ x

a) f ( x) = e

(

c) f ( x) = d)

)

ln x 2 + x +1

b) f ( x) = e

e x 25 x 34 x

f ( x) =

( 1+ 3 )

e) f ( x) = ln

x

ln x 2

x4 + 1 − x2 x4 + 1 + x2

 Sen x  f) f ( x) =    x 

x

DERIVADAS SUCESIVAS 1. Hallar la cuarta derivada de las siguientes funciones: a) f ( x) = x − x + x + 2 x − 1 5

b)

4

3

f ( x) = ln x

c) f ( x) = Sen 3x + Cos 2 x d) f ( x) =

1 1− x

e) f ( x) = e

x2

10 f) f ( x) = 5 x

8

3

APLICACIONES DE LA DERIVADA 1. Determina la ecuación de la recta tangente y normal a las curvas dadas en los puntos de tangencia indicados, también calcule las longitudes de la tangente, normal, subtangente y subnormal: a) y =

x +1

P (0, 1)

b) y = (x − 1)

P (2, 1)

c) 4 x − y = 7

P (2, 3)

3

2

2

d) 3x + 2 y = 30 2

2

P (-2, 3)

2. Encuentre los ángulos de intersección entre el siguiente par de curvas.

y2 = x −1

x 2 + y 2 = 16

Y

3. Determina los intervalos en que son crecientes o decrecientes las siguientes funciones. Calcula sus máximos y mínimos (aplicando el criterio de la primera derivada) y grafique: a) y =

1 3 x − x 2 − 8x + 1 3

b) y = 3 x − 1 c) y = (x − 2) (x + 2) 2

3

4. Para las siguientes funciones, determina cuando son cóncavas hacia abajo y cuándo hacia arriba. Calcula los puntos de inflexión y grafique: a) y = x − 12 x + 1 3

b) 3x − 4 x − 1 4

3

5. Grafica la siguiente función y = 3x − 4 x − 12 x + 2 . Indica en cada caso: los intervalos donde es creciente y decreciente, intervalos donde es cóncava hacia abajo o hacia arriba, máximos y mínimos relativos y puntos de inflexión. 4

3

2

EJERCICIOS PRÁCTICOS DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS 1. Encuentra dos números enteros positivos, cuyo producto sea 200, y la suma del primera más el doble del segundo sea mínimo.

11 2. Se debe cortar y doblar un pedazo rectangular de cartón de 2m por 1m para formar una caja sin tapa. ¿Cuáles deberían ser las dimensiones de modo que la caja incluyera el mayor volumen? 2

3. Un ranchero desea construir un corral rectangular de 900 m de área. El corral estará dividido en dos partes por una cerca paralela a dos de los lados. ¿Cuáles deberían ser las dimensiones exteriores del corral si el ranchero trata de ahorrar el material de la cerca? 4. En una población, los lotes están sujetos a impuestos a razón de $1 por cada m de frente (es decir, $1 para cada m de ancho del lote) y $0.5 por cada m de fondo. ¿Cuáles serán las dimensiones del lote de mayor área que pague $200 en impuestos? 5. Cuál es el mayor perímetro de un rectángulo que puede inscribirse en un semicírculo de radio 5? 6. Se inscribe un rectángulo en un triángulo isósceles cuyos lados tienen longitudes 5, 5 y 6. Uno de los lados del rectángulo reposa sobre la base del triángulo (el lado desigual). ¿Cuál es el área mayor que tal rectángulo puede abarcar?

7. Se desea inscribir un cono dentro de otro cono. El cono exterior tiene altura 6 y radio 4 (sobre la base). El cono interior se inscribe de modo que su cúspide repose sobre la base del cono exterior. La base del cono interior es paralela a la base del cono exterior. Los ejes de los dos conos son colineales. ¿Cuál debería ser la altura del cono interior con el fin de que contenga el mayor volumen posible?

8. Un silo consta de un cilindro con una cubierta hemisférica. Hallar las dimensiones del silo con un volumen fijo de V = 18 que tenga el área mínima superficial. Excluir el piso. 9. Una ventana de estilo normando consiste en un rectángulo coronado por un semicírculo. Hallar las dimensiones de la ventana con perímetro 10 m que permita entrar la mayor cantidad de luz. 2

10. El área de un terreno es de 4800 m ; conociendo que en el interior queda un jardín con márgenes superior e inferior de 8 m, y que los márgenes laterales son de 5m, calcula las dimensiones de la superficie exterior para que el área del jardín sea máxima.

12 11. Una pieza larga y rectangular de lámina de 80 cm de ancho va a convertirse en un canal para o

agua cuando se doblan hacia arriba dos de sus aristas, hasta formar un ángulo de 90 con la base. ¿De qué medida debería ser los dobleces para que el canal tenga una capacidad máxima? 12. Una compañía elaboradora de refrescos desea minimizar el costo del aluminio que utiliza para 2

sus latas. El costo del aluminio es de 20 centavos/ cm para todo el envase, excepto para la 2

3

tapa reforzada que cuesta 40 centavos/ cm . El contenido de la lata debe ser de 335 cm .

INTEGRALES INDEFINIDAS 1. Halle las siguientes integrales empleando las reglas de integración (GALINDO, Edwin): a)

 (5x

2

+ x − 2)dx

b)

 (x + 4Sen x − 2)dx

13 c)



(x + 1)(x − 1) dx x

i)

f)

 3x

 y( y + 1)( y − 2)dy

h)

(

x + 7 x − x + 1 dx

j)

 (t

+ 7 7 )dt

l)





(1 − x )2 dx x x



k) 5 x e x dx

m)

o)

dx 2 −5



e) Tan2 xdx

g)

3.2 x − 2.3 x  2 x dx

d)

dx  x 2 −11



n)

2 + x2 − 2 − x2 4 − x4



7

)(

)

dx 4 − x2 x − x 3e x + x 2 dx x3

dx

2. Resuelva los siguientes ejercicios de aplicación de integrales (HOFFMANN, Laurence): 2 a) Halle la función f (x) cuya tangente tiene pendiente 3x + 1 para cada valor de x , y cuya gráfica pasa por el punto (2, 6). Rta. x3 + x − 4

3 b) Halle la función cuya tangente tiene como pendiente x −

2 + 2 para cada valor de x, y cuya x2

gráfica pasa por el punto (1, 3). c) Un fabricante descubrió que el costo marginal es 3q − 60q + 400 dólares por unidad cuando se producen q unidades. El costo total de producir las primeras 2 unidades es US$900. ¿Cuál es el costo total de producir las primeras 5 unidades? Rta. 1587 2

d) Se estima que dentro de x meses la población de cierta ciudad cambiará a una razón de

2 + 6 x personas por mes. Si la población actual es 5000. ¿Cuál será la población dentro de 9 meses?

Rta. 5126

e) Un minorista recibe un cargamento de 10000 kilogramos de arroz que se consumirán en un periodo de 5 meses a una razón constante de 2000 kilogramos al mes. Si los costos de almacenamiento son 1 centavo por kilo al mes, ¿Cuánto pagará el minorista en costos de almacenamiento durante los próximos 5 meses? Rta. US$250 f) Se estima que dentro de t años la población de cierta comunidad a la orilla de un lago cambiará a razón de 0.6t + 0.2t + 0.5 miles de personas al año. Los ambientalistas han encontrado que el nivel de contaminación del lago aumenta a razón de aproximadamente 5 unidades por 1000 personas. ¿En cuánto aumentará la contaminación del algo durante los próximos 2 años? 2

Rta. 15 unidades

14 3. Halle las integrales utilizando el método de sustitución (GALINDO, Edwin. 2007):

ln( 2 x) dx x

a)

 sen x Cos x dx

b)



c)

x

d)

 1− e

e)

dx  (1 + ln x )

f)

Cos(e − x )  e x dx

g)

 Cos x e

5 − 2 x 3 dx

2

x

Sen x

dx −x

dx

4. Halle las siguientes integrales indefinidas inmediatas (GALINDO, Edwin. 2007): a)



c)



e)



3

1 + ln x dx x x dx x +11 2

1 − x 2 dx

b)

a x ln a  1 + a 2 x dx

d)

 1 − sen x dx

f)

cos x



x 4 + x2

dx

5. Halle las siguientes integrales, empleando las sustituciones adecuadas (GALINDO, Edwin. 2007):

x−3

a)



b.

 xe

c)



x2 − 6x + 8 x2

dx



e)

 1 + sen x cos x dx

f)



1− e

dx

Rta.

cos 2 x

tan

(

ln x

x ln x

x2 − 6x + 8

Rta. sen a ln( sen x) + x cos a + c

d.

4x

Rta.

Rta. 1 e x 2 2

sen( x + a) dx senx

e4 x

dx

) dx

6. Ejercicios de aplicación

−

1 1 − e4 x 2

Rta. ln (2 + sen 2 x ) + c

15 a) Se estima que el precio p (dólares) de una unidad de cierto artículo cambia a razón de

dp − 135 x , donde x (cientos) de unidades es la demanda del consumidor (número de = dx 9 + x2

unidades comparadas a ese precio). Suponga que se demandan 400 unidades (x=4) cuando el precio es US$30 la unidad. - Halle la función de demanda p(x) - ¿A qué precio se demandarán las 300 unidades? ¿A qué precio no se demandarán ninguna unidad? - Cuántas unidades se demandarán a US$20 la unidad? b) Se ha plantado un árbol que después de x años crece a razón de 1 +

1 metros al año. (x + 1)2

Si después de 2 años ha alcanzado una altura de 5 metros, ¿qué altura tenía cuando se trasplantó? Rta. 2.3 m. c) Un estudio ambiental de una cierta comunidad sugiere que dentro de t años, el nivel de monóxido de carbono en el aire estará cambiando a un ritmo de 0.1t + 0.1 parte por millón por año. Si el nivel actual de monóxido de carbono en el aire es de 3.4 parte por millón. ¿Cuál será el nivel dentro de 3 años? Rta. 4.15 ppm d) Las estadísticas reunidas por el departamento de cárceles de una determinada ciudad, indican que dentro de t años, el número de internos en las prisiones de la provincia habrá aumentado 0.2t

a un ritmo de 280e por año. Actualmente 2000 internos están alojados en las prisiones de la provincia. ¿Cuántos internos deben esperar tener la provincia dentro de 10 años? Rta. 10944

e) En cierta ciudad de Los Ángeles, el nivel de ozono L(t ) a las 07H30 es 0.25 partes por millón (ppm). El pronóstico del clima afirma que durante las doce horas siguientes, el nivel de ozono t horas más tarde cambiará a razón de L' (t ) =

0.24 − 0.03t

ppm por año.

36 + 16t − t 2 - Exprese el nivel de ozono L(t ) como una función de t . ¿Cuándo ocurre el nivel máximo de ozono? ¿Qué valor tiene el nivel de ozono? - Trace la gráfica de L(t ) Rta. a)

L(t ) = 0.03 − t 2 + 16t + 36 + 0.07; 3 p.m.; 0.37 ppm

f) El valor de reventa de cierta maquina industrial decrece a una razón que depende de la edad. −t

Cuando la máquina tiene t años, la razón a la cual cambia su valor es − 960e 5

dólares al año. 1. Exprese el valor de la máquina en términos de la edad y el valor inicial. 2. Si la máquina costaba originalmente US$5200, ¿cuánto costará cuando tenga 10 años?

g) Un conservacionista descubre que la población P(t ) de ciertas especies en vías de extinción crece a razón de P' (t ) = 0.5e

−0.03t

, donde t es el número de años después de comenzar a

llevar los registros. Si la población actual es P0 = 500 (en el tiempo t = 0) , ¿Cuál será la población dentro de 10 años? Rta. 504

16

7. Halle las integrales utilizando el método de integración por partes: a)

 ln x dx

b)

 x Sen x dx

c)

 x Cos x dx

d)

 e Cos x dx

Rta.

e)

 x cos x dx

Rta. cos x + x senx + c

f)

x e

Rta. − e

g)

 x sen x cos x dx

h)

 x e dx

i)

x

j)

e

Rta. x ln x − x + c Rta. − x cos x + sen x + c Rta. x senx + 2 x cos x − 2senx + c 2

2

x

2 −x

dx

3 x

2

ln x dx

x

dx

1 x e (sen x + cos x ) + c 2

−x

2

)

+ 2x + 2 + c

1 1 sen 2 x − x cos 2 x + c 8 4

Rta.

(

(x

)

Rta. e x − 3x + 6 x − 6 + c x

Rta.

Rta. 2e

x

(

3

2

1 3 1 x  ln x −  + c 3  3

)

x +1 + c

8. Resuelva los siguientes ejercicios de aplicación práctica a) Halle la función cuya tangente tiene como pendiente (x +1)e− x para cada valor de x, y cuya gráfica pasa por el punto (1, 5). b) Después de t horas en el trabajo, un trabajador puede producir 100te −0.5t unidades por hora. ¿Cuántas unidades puede producir el trabajador durante las primeras 3 horas? c) Un fabricante descubrió que el costo marginal es (0.1q + 1)e dólares la unidad cuando se producen q unidades. Si el costo total de producir 10 unidades es US$200, ¿cuál es el costo total de producir las primeras 20 unidades? 0.03q

17 d) Se proyecta que dentro de t años la población de cierta ciudad cambiará a razón de t ln t + 1 miles de personas al año. Si la población actual es de 2 millones, ¿cuál será la población dentro de 5 años? 9. Integre las siguientes funciones racionales:

x

9.1. Integrales que contienen el trinomio

a)

x

b)

x

c.

 4x

dx + 8x + 7

2

dx + 7x − 8

2

dx + 4x + 2

2

d.

 4x

e)

 2x

dx + 4 x + 10

2

2

x

2

Rta. 1  x − 1  ln  +c 9  x +8

Rta. 1 arc tan(2 x +1) + c 2

Rta. 1 arc tan 2 x + 1 + c 6 3

dx + 20 x + 60

b)

x

2

x +1 dx − x +1

Rta.

Rta.

x−2 dx − 2x + 5

x2 dx x2 + 2x + 5

c)



d.

x

2

2x − 3 dx + 2x + 2

3   x + dx 2  2 e) dx 2  3 9 x − 12 x + 8 f)

 4x

g)

x

2x + 3 dx + 4x + 5

2

x+5 dx 2 +5

dx + px + q

1 x +1 ln +c 6 x+7

Rta.

5 x+5 arc tan +c 10 5

(ax + b)dx 2 + px + q

x

9.2. Integrales que contienen el trinomio

a)

2

1 2x − 1 ln x 2 − x + 1 + 3 arctan 2 3

(

)

1 1− x  Rta. 1 ln x 2 − 2 x + 5 + arctan +c 2 2  2 

(

Rta.

)

3  x +1 x − ln x 2 + 2 x + 5 − arctan +c 2  2 

(

(

)

)

Rta. ln x 2 + 2 x + 2 − arctan(x + 1) + c

13  3x − 2  Rta. 1 ln 9 x 2 − 12 x + 8 − arctan +c 27 54  2 

(

)

18

9.3. Integrales de funciones racionales propias descomponiendo en fracciones simples

x

a)

2

dx + 7x − 6

(3x + 7)dx

c)

x

e)

x2 + x − 1  (x + 1)(x + 2)(1 − 4) dx

3

x

b)

− 6 x + 11x − 6

dx − 2x 2 + x

(x

)

+ 6 dx

2

 (x − 1) (x − 2)

d)

2

3

2

9.4. Integrales de funciones racionales impropias a)

x 4 dx  x 4 −1

b)

c)

x 4 − 2 x3 + 3x 2 − x + 3  x3 − 2 x2 + 3 dx

d)

(x

)

+ 2 dx  x3 − 5x2 + 4 x dx

e)

3

f.

x 4 − 6 x3 + 12 x 2 + 6  x3 − 6 x2 + 12 x − 8 dx

(5x

x

3

)

+ 2 dx dx − 5x2 + 4 x 3

x2 − 1  (x + 2)2 dx

Rta.

x2 + 2x − 3 − 4 ln (x + 2) + c x+2

10. Integre las siguientes funciones irracionales (GALINDO, Edwin. 2007): a)



c)



3

dx x +3 x

b)



x dx 2x − 1

d)



3

4

dx x+4− x+4

x +1 dx x −1

11. Integrar las siguientes funciones trigonométricas (GALINDO, Edwin. 2007): b)

 cos

cos 3 x  sen4 x dx

d)

 sen (4 x) cos

 tan

f)

 sen (5x) sen (7 x) dx

a)

 cos

c)

e)

3

6

x sen3 x dx

x dx

3

4

x sen (2 x)dx

4

(4 x)dx

19

INTEGRALES DEFINIDAS 12. Calcule las siguientes integrales definidas mediante sustitución: 1

a)

dx 0 3 1 + 5x

2



 x Sen x dx 2

d)

−1

dx

2

e

Sen x

Cos x dx

0

−1

t +1 e)  3 dt t −3

2

1

2

c)

 x Cos x

b)

e2

f)

 1

ln 2 x dx x

20 e2



g)

e

9

1 dx x ln x 

 

i)

t−

1

 (t

e1

h)

3

)

+ t t 4 + 2t 2 + 1 dx

0

4   dt t

13. Resuelva las siguientes integrales definidas por partes: 

3

a)

 ln x dx

b)

1

−x  xe dx 0

 x sen x dx 0

1

c)

2

3

d)

x2

 (1 + x )

2 2

dx

0

14. Cálculo del área entre funciones a) Calcular el área comprendida entre las funciones y = x 3 − x 2 − 6 x , y el eje x b) Calcular el área comprendida entre las funciones y = x 4 + x 3 y y = x 4 + x 2 + 6 x c) Calcular el área comprendida entre la curva y = 3x 2 − x + 1 , el eje X y las rectas x = 0 y x=4 d) Calcular el área comprendida entre las curvas y = x 3 − 3x 2 + 3x; y = x e) Calcular el área comprendida entre las curvas y = − x 2 + 4 x − 4; y = 2 x − 7 f)

Grafica las funciones dadas y calcula el área comprendida entre las mismas: y =

y = x ; y = 8x

1 ; x2

g) Grafica las funciones dadas y calcula el área comprendida entre las mismas: y = x 2 + 2x + 2 ; y = 6x − 2 ; y = 1 h) Grafica las funciones dadas y calcula el área comprendida entre las mismas: y = e x ;

y = 2x − x 2 ; x = 2 ; x = 0 i)

Hallar la región limitada por el plano y = ln x ; la recta y = 2 y los ejes de coordenadas.

j)

Calcular el área de la figura limitada por las curvas: xy + 8 = 0 ; y = x 2 ; y = 1

15. Aplicaciones adicionales de la integral definida

21 a) El valor de reventa de cierta máquina industrial decrece durante un periodo de 10 años a una razón que cambia con el tiempo. Cuando la máquina tiene x años, la razón a la cual cambia su valor es 220(x − 10) dólares al año. ¿En cuánto se depreciará la máquina durante el segundo año? b) En cierta fábrica, el costo marginal es 6(q − 5) dólares la unidad cuando el nivel de producción es q unidades. ¿En cuánto aumentará el costo de fabricación total, si el nivel de producción sube de 10 a 13 unidades? 2

c) Suponga que dentro de t años un plan de inversión generará utilidades a razón de P'1 (t ) = 60e0.1t miles de dólares al año, mientras que una segunda inversión generará utilidades a razón de P'2 (t ) = 160e0.08t miles de dólares al año - ¿Durante cuántos años será rentable el segundo plan? - Calcule el exceso de utilidad suponiendo que invierte en el segundo plan durante el periodo determinado en el literal a). - Trace las curvas de la tasa de rentabilidad y = P'1 (t ) y y = P'2 (t ) y sombree la región cuya área represente el exceso de utilidad neto calculado en el literal b). d) Suponga que cuando un tractor agrícola tiene t años, genera ingresos a razón de R' (t ) = 6025 − 8t 2 dólares al año y que los costos operativos y de mantenimiento se acumulan a razón de C ' (t ) = 4681 + 13t 2 dólares al año. - ¿Cuántos años transcurren antes de que la rentabilidad de la máquina comience a disminuir? - Calcule las ganancias netas generadas por la máquina durante el tiempo determinado en el literal a). - Trace la curva de las tasas de ingresos y = R' (t ) y la curva de la tasa de costos

y = C ' (t ) y sombree la región cuya área representa las ganancias netas calculadas en el literal b). e) Un fabricante ha determinado que cuando se producen q unidades de cierto artículo, el precio al cual pueden venderse todas las unidades es p=D(q) dólares por unidad, donde D es la función de demanda dada por D(q) =

300 (0.1q + 1)2

- ¿Cuántas unidades espera vender el fabricante si el precio del artículo se fija en P0 = US12 la unidad? - Halle el excedente de los consumidores que corresponde al nivel de producción q0 hallada en el literal a). f) Suponga que se demandan q unidades de cierto artículo en el mercado (es decir, se venden) cuando el precio es p=D(q) dólares la unidad y que los fabricantes ofrecen el mismo número de unidades cuando el precio es p=S(q) dólares la unidad, donde las funciones de demanda y de oferta son respectivamente: D(q) = 110 − q 2 y S (q) =

1 2 q + 2q + 5 3

- ¿En qué nivel de producción q0 la oferta iguala a la demanda? Éste es el denominado nivel de equilibrio, y el precio correspondiente P0 es el precio de equilibrio. - Calcule el excedente de los consumidores y de los productores cuando hay equilibrio en el mercado.

22 - Trace primero la curva de demanda y la curva de oferta en el mismo eje de coordenadas, y luego sombree y marque las regiones cuyas áreas respectivas corresponden al excedente de los consumidores y de los productores cuando hay equilibrio en el mercado. g) Los registros indican que t horas después de la media noche, la temperatura en un aeropuerto local era f (t ) = −0.3t 2 + 4t + 10 grados Celsius. ¿Cuál era la temperatura media en el aeropuerto entre las 09h00 y el medio día? h)

Después

de

t

meses de trabajo, un empleado postal puede clasificar cartas por hora. ¿Cuál es la razón media a la cual el empleado Q(t ) = 700 − 400e puede clasificar el correo durante los primeros 3 meses en el trabajo? −0.5t

i) El número de bacterias de cierto cultivo, después de t minutos de un experimento, fue Q(t ) = 2000e 0.05t . ¿Cuál era el número medio de bacterias durante los primeros 5 minutos del experimento?

16. Longitudes arco 3

a) Calcular la longitud de arco de la parábola semicúbica y = x 2 , a partir de su vértice (0, 0) hasta el punto (8, 4). b. Halle la longitud de los arcos de la curva y = 8 x , entre (1, 0) y (8, 8 8 ) c. Halle la longitud de los arcos de curva x 2 = 6 y , desde (0, 0) hasta (4, 8/3)

(

)

d) Halle la longitud de los arcos de curva y = ln 1 − x 2 , entre x= ¼ y x= ¾ 17. Calcular las siguientes integrales impropias +

a)

2

−x

+

dx

 (1 + z )

b)

3 2

0 +

c)

 5

+

e)

 1

dx

0

+

dy y −1

d)

 xe

−x

dx

1 +

dx x101

f)

x

dx + 2x + 2

2

−

+

g)

z2

dx − x 2 + 4 x + 9

0

h)

 xe dx x

−

0

i)

x e

2 3x

dx

−

18. Calcular las siguientes integrales impropias (o determine la convergencia o divergencia) 2

a)

2 3

−2

4

c)

 0

4 dx x2



−2

4

dx 4x − x

0

b)

2

d)

 0

3

dx x +1

16dx 16 − x 2

23 2

2

dx e)  4 x −2 3

g)

 0

f)

4

0

e

dx 2 x − 2x − 3

h)

x 1

3

1

i)

dx

 (x − 1)

 t ln t dt

j)

 0

0

3

5

dx ln x

dx 3x − 1

19. Calcule las integrales siguientes aplicando la regla que se indica 2

a)



1 + x 3 dx (Regla de los rectángulos, trapecios y de Simpson, con n=8)

0

 ln (x 3

b)

2

)

− x + 1 dx (Regla de los rectángulos, trapecios y de Simpson, con n=8)

2

1

c)

e

− x2

dx

(Regla de los rectángulos, trapecios y de Simpson, con n=8)

0

8

d)



3

1 + x 2 dx (Regla de Simpson, con n=6)

2

20. Desprenda una hoja de una planta y calcule su área en verde y en seco, y encuentre la diferencia de área.