Ejercicios Fractura-Fatiga [PDF]

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Fractura

Problema 1 Un componente estructural en forma de lámina muy ancha, tiene que ser fabricada con un acero 4340. Se dispone de dos chapas de esta aleación, cada una con un tratamiento térmico distinto y por lo tanto con distintas propiedades mecánicas. Un material llamado A, tiene un limite elástico de 860 MPa y una tenacidad de fractura en deformaciones planas de 98,9 MPa m . El otro material llamado Z tiene valores de 1515 MPa y 60,4 MPa m respectivamente. a) Para cada aleación, determinar si existen condiciones de deformación plana en el caso de que la lamina sea de 10 mm de espesor. b) No es posible detectar defectos menores de 3 mm, que es el límite de resolución del aparato de detección con el que se dispone. Si el espesor de la lámina es suficiente como para que se pueda utilizar el valor de KIc, determinar si se podrá o no detectar una grieta crítica, suponer que la tensión de diseño es igual a la mitad del límite elástico. Suponer que para esta configuración el valor de Y es igual a 1.

Solución: a) La condición de deformación plana ocurre cuando se cumple que: Para el material A 2

⎛K ⎞ B = 2,5 ⋅ ⎜ Ic ⎟ ⎜σ ⎟ ⎝ y ⎠

2

⎛ 98,9 MPa m ⎞ ⎟ = 0,03306 m = 33,06 mm B = 2,5 ⋅ ⎜⎜ ⎟ ⎝ 860 MPa ⎠ B = 33,06 mm > 10 mm ⇒ No se cumple la condición de deformación plana Para el material Z 2

⎛ 60,4 MPa m ⎞ ⎟ = 0,003973 m = 3,973 mm B = 2,5 ⋅ ⎜ ⎜ 1515 MPa ⎟ ⎝ ⎠ B = 3,973mm < 10 mm ⇒ En este caso sí se cumple la condición de deformación plana

Solución (cont.): b) Necesitamos solamente determinar el tamaño crítico del defecto para el material Z ya que el material A no tenemos una situación de deformación plana y KIc no puede utilizarse.

K Ic = Y ⋅ σ ⋅ π ⋅ acr 2

Y = 1; σ = σy/2

⎞ ⎛ ⎜ 1 60,4 MPa m ⎟ ⎟ = 0,002023 m = 2,023 mm acr = ⋅ ⎜ π ⎜ 1,0 ⋅ 1515 MPa ⎟ ⎟ ⎜ 2 ⎠ ⎝ el tamaño crítico de las grietas para el material Z tamaño de la grieta = 2acr = 4,046 mm > 3 mm ⇒ puede ser detectado puesto que es mayor que 3 mm

Problema 2

SOLUCIÓN

SOLUCiON (cont.)

Problema 3

SOLUCIÓN

2acr

Problema 4 de 10

SOLUCIÓN

A partir de la intercepción con el locus del DAF (punto F), podemos saber el nuevo valor de Kr ∼ 0,6 y Sr ∼ 0,98 Para el mismo σaplicado en A, la longitud crítica, acr se calcula:

Kr = 0,6 = [1,12 · 480 · (πacr)^1/2]/180 acr = 12,8 mm La presión de rotura en el punto F, para un mismo tamaño de grieta (punto A):

Sr = 0,98 = [PR·30/2,5]/550 PR = 45 MPa

Fatiga

Problema 5 Una barra cilíndrica de 6,4 mm de diámetro fabricada a partir de la aleación de aluminio 2014-T6 es sometida a cargas cíclicas de tracción compresión a lo largo de su eje. Si las cargas máximas de tracción y compresión son 5340 N y - 5340 N, respectivamente determinar su vida a fatiga. Suponer que la tensión representada gráficamente en la figura del enunciado es la amplitud de la tensión.

SOLUCIÓN Calculemos primero el área que tiene la barra cilíndrica:

π ⋅ (6,4 ⋅10 −3 )

2

A = π ⋅r = 2

σ max = Vida a fatiga

σ min = σa =

σ max − σ min 2

=

4 5340 N 0,000032 m 2 − 5340 N

0,000032 m 2

= 0,000032 m 2

= 165,99 MPa = −165,99 MPa

165,99MPa − (165,99MPa) = 165,99MPa 2

Problema 6 Una lámina grande de acero va a someterse a tensiones cíclicas de tracción compresión de magnitudes de 100 MPa y 50 MPa respectivamente. Antes del ensayo se ha determinado que la mayor grieta superficial existente es de 2 mm. Estimar la vida a fatiga de una chapa si su tenacidad de fractura en tensiones planas es de 25 MPa m y los valores de m y A de la ecuación da m -12 respectivamente, para incremento de = A ⋅ (ΔK ) son 3,0 y 1,0x10 dN

tensión en MPa y a en metros. Suponga que el parámetro Y es independiente de la longitud de la grieta y que tiene valor igual a 1. SOLUCIÓN Primero es necesario calcular la longitud de la grieta crítica, ac, que será el límite de integración superior cuando integremos la ecuación del enunciado para calcular la vida a fatiga. Por otro lado, debe tenerse claro que el esfuerzo aplicado es solo el asociado a esfuerzos de tracción 2

1 ⎛ K ⎞ 1 ⎛ 25 MPa m ⎞⎟ aC = ⋅ ⎜ Ic ⎟ = ⋅ ⎜ = 0,019 m π ⎝ Y ⋅ σ ⎠ π ⎜⎝ 1 ⋅100 MPa ⎟⎠ 2

SOLUCIÓN (cont.)

(

da m = C (ΔK ) dN Nf =

ac

da

∫ C (YΔσ

a0

πa

)

m

da = C YΔσ π a dN ac

1

= Cπ

Nf =

m 2

∫

da

(Δσ )m a Y m a 0

m 2

=

−12

3 2

CY 3π (100 )

∫

3 a 0

da a

m 2

=

(1x10 ) −12

Seguir calculando vosotros

m

⎛ 1 1 ⎞⎟ ⎜ − 3 ⎜ ⎟ (1)3 π 2 (100)3 ⎝ a0 ac ⎠ 1

⎞ ⎛ 1 1 ⎟ ⎜ − 3 ⎟ ⎜ (1)3 π 2 (100)3 ⎝ 0,002 m 0,02 m ⎠ 1

(1x10 )

ac

1

)

Problema 7

SOLUCiON

SOLUCiON (cont.)

Problema 8

L/2

σ = 32Fb/πd3 psi = 6,895 MPa

SOLUCiON

SOLUCiON (cont.)

Problema 9 El esfuerzo de diseño de un componente de un avión indica que éste no sea superior a un tercio del límite elástico del material. En servicio, dicho componente se ve sometido a esfuerzos mecánicos que varían cíclicamente entre σy/12 y un valor máximo de σy/3. En el componente no se detectó ningún defecto, luego de realizar una inspección minuciosa mediante ensayos no destructivos, con un equipo de ultrasonidos cuyo límite de resolución es igual a 0,1 mm. Suponiendo que el comportamiento de cualquier defecto presente en el material puede ser descrito por la mecánica de la fractura elástica lineal (Y = 1) y que el crecimiento de las grietas de fatiga está controlado por la ecuación de Paris (donde m = 3 y C = 1). Deduzca: a) La expresión para el tamaño crítico de una grieta en el componente b) La expresión para la vida del componente (número de ciclos a rotura). Asuma que Y no cambia con la longitud de la grieta c) Comente los resultados en términos del límite elástico y la tenacidad de fractura

SOLUCiON

a) La expresión para el tamaño crítico de una grieta en el componente σy 1/3 σy

K Ic = Yσ max π acrítica

1/12 σy

1 3

σ max = σ y

acrítica

9 ⎛⎜ K Ic ⎞⎟ = π ⎜⎝ σ y ⎟⎠

2

e

Y =1

SOLUTION (Continued) b) La expresión para la vida del componente (número de ciclos a rotura). Asuma que Y no cambia con la longitud de la grieta Propagación en el régimen de Paris

(

da m = C (ΔK ) dN

da = C YΔσ π a dN

)

m

Si integramos la ecuación de Paris asumiendo que Y es constante, obtenemos:

CY

m

m Nf 2

af

0

a0

(Δσ ) π ∫ dN = ∫ m

da a

m 2

a0

es la longitud de la grieta

af

es el tamaño de la grieta para

detectable =

Nf =

0,1 mm

la condición crítica =

acrítica

2

(m − 2) CY (Δσ ) π m

m

m 2

⎛ ⎜ 1 1 ⎜ m−2 − m−2 ⎜a 2 af 2 ⎝ 0

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

1 ⎛ ⎞ 2 ⎜ ⎟ π σ 128 1 y − Nf = ⎟ 3 ⎜ 0,0001 3K Ic ⎟ 3 2 ⎜ σy π ⎝ ⎠

Problema 10 Un componente estructural de grandes dimensiones es sometido a condiciones de carga cíclica cada día: 200 MPa durante 12 horas y 20 MPa el resto del día. Además, durante el período sometido a máximo esfuerzo y simultáneamente, el componente sufre otra condición de carga cuya variación es de 30 MPa y frecuencia 50 Hz (causada por las vibraciones). En el componente no se detectó ningún defecto, luego de realizar una inspección minuciosa mediante ensayos no destructivos, con un equipo de ultrasonidos cuyo límite de resolución es igual a 0,2 mm. Considerando al componente como una placa infinita: a) Determine la longitud de la grieta necesaria para que propague causado por la acción de las vibraciones b) La longitud crítica de la grieta para la condición de fractura c) Calcule la vida del componente

Datos: Propiedades del material:

σ (MPa)

KIc = 100 MPa·m1/2

215

ΔKth = 3,0 MPa·m1/2 para R = Pmin/Pmax = 0,1

20 0

ΔKth = 1,5 MPa·m1/2

185

Ley de Paris:

para R = Pmin/Pmax = 0,86

da = 10 −8 ·(ΔK ) 2 dN

da/dN (m/ciclo) vs ΔK en MPa·m1/2

Condiciones de trabajo:

20 12 h

σ

Geometría simplificada del componente

2a

24 h

t (h)

2a = 0,2 mm (umbral de detección de la técnica de ensayos no destructivos utilizada)

2W

σ

SOLUTION VIBRACIONES R = Pmin/Pmax = 0,86

ΔKth = 1,5 MPa·m1/2

ΔK = Δσ·(π·a)1/2 = 30·(π·0,0001)1/2 = 0,53 MPa·m1/2 < ΔKth (SI EXISTIESEN GRIETAS, ÉSTAS NO PROPAGARÍAN) CONDICIÓN DE CARGA PRINCIPAL R = 0,1

ΔKth = 3,0 MPa·m1/2

ΔK = Δσ·(π·a)1/2 = 180·(π·0,0001)1/2 = 3,19 MPa·m1/2 > ΔKth (SI EXISTIESEN GRIETAS, ÉSTAS SI PROPAGARÍAN) Las grietas de longitud ≤ 0,1 mm, sólo pueden propagar bajo la condición de carga principal (∆σ =180 MPa, f = 1/86400 Hz). Por lo tanto, debemos determinar cuanto tendría que ser la longitud de las grietas para que comenzasen a crecer por el efecto de las vibraciones

ΔK th vibraciones = 1,5 MPa·m1/2 = 30· π·ath vibraciones → a th vibraciones = 0,8 mm

SOLUTION (Continued)

Para grietas con tamaños superiores a 0,8 mm, la propagación es debido a ambas solicitaciones: Variación de carga principal + vibración (∆σ = 30 MPa, f = 50 Hz) K I max = σ max · π·ac = 215· π·a c = K Ic = 100MPa·m1/2

a c = 68 mm

SOLUTION (Continued) TIEMPO DE VIDA DEL COMPONENTE: Calculemos primero el tiempo que se necesita para que se inicie el efecto de las vibraciones, es decir, cuantos ciclos deben pasar para que la grieta bajo las condiciones principal alcancen el tamaño del umbral de crecimiento (0,8 mm)

N=

a th vibraciones 1 1 0,0008 · Ln = ·Ln = 2042 ciclos 2 2 −8 2 C·Y ·( Δσ) ·π a0 1·10 ·(180) ·π 0,0001

2042 ciclos (f = 1/86400 Hz) es equivalente a 2042 días o 5,59 años Cuando la grieta alcance esta longitud (0,8 mm), el resto de crecimiento vendrá dominado fundamentalmente por el efecto de las vibraciones: a0 = athvibraciones = 0,8 mm; ac = 68 mm (valor crítico de rotura)

N=

ac 1 1 68 · Ln = · Ln = 157126 ciclos C·Y 2 ·( Δσ)2 ·π a th vibraciones 1·10 −8 ·(30) 2 ·π 0,8 157126 ciclos es equivalente a 0,073 días

El mismo día que la grieta alcance la longitud de 0,8 mm, propagará inestablemente hasta fallar. Por tanto, la vida del componente es ∼ 5,59 años

Problema 11

SOLUTION

SOLUTION (Continued)

Problema 12

SOLUTION

Problema 13

SOLUTION

Problema 14

SOLUTION

SOLUTION (Continued)

Problema 15

SOLUTION

Combinados

Problema 16 En las figuras, se muestra el esquema de una viga de un acero dúplex de sección cuadrada (B=W= 11,111 mm), la cual tiene una grieta (longitud 2c = 2 mm) en la superficie sometida al máximo esfuerzo de flexión en cuatro puntos (σ4ptos = 3P(S2-S1)/2W2B), así como el diagrama de análisis de fallo S1 = 20 mm

DAF

1 0.9 0.8 0.7

S2 = 40 mm

0.6 0.5

Kr

2c

0.4

Otros datos del problema:

0.3

P = 13,72 KN σy = 600 MPa Y = 1 (no cambia con el crecimiento de la grieta) C = 2,6x 10-12 m=3 ΔKth (definido para velocidades de 10-10 m/ciclo)

0.2 0.1 0 0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Sr a) Si sólo se aplica el esfuerzo constante de flexión en cuatro puntos. Calcule si el material es fiable. b) Si adicionalmente al esfuerzo de flexión constante, la viga se sometiera a cargas cíclicas con una amplitud del esfuerzo de 50 MPa. Calcule si la grieta propaga establemente bajo éstas condiciones de esfuerzos.

SOLUTION a) Tenemos que saber donde se sitúa el punto que describe las condiciones de servicio de la viga, es decir calcular el correspondiente Sr y Kr. Sr = σaplicado / σy = 0,5 σaplicado = σ4ptos = 3 (13720 N x 20 mm) / 2 B3 = 300 MPa Kr = Kaplicado / KIc = 0,42 Kaplicado = Y σaplicado (πa)1/2 = 300 MPa (3,1416 x 0,001 m)1/2 = 16,815 MPa m1/2 Debo calcular la tenacidad de fractura del material. Lo cual se puede hacer de dos formas: Primera vía y la más exacta. Calcularla aplicando la condición de deformación plana. KIc = σy (B / 2,5)1/2 = 40 MPa m1/2 (aplicar la condición de deformación plana) Segunda vía y de forma estimada. Estimar el valor utilizando la ecuación de Paris para una velocidad de crecimiento de la grieta de 10-7 m/ciclo.

SOLUTION (Continued)

DAF

1 0.9 0.8

La situación del punto con respecto al DAF, nos indica que bajo estas condiciones la grieta es estable y por tanto que el material es fiable

0.7

Kr

0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Sr

SOLUTION (Continued)

b) Tengo que comprobar si la grieta crecerá para la condición de carga cíclica. Por lo que

debo calcular el umbral de propagación, ΔKth (definido para velocidades de 10-10 m/ciclo). 1/2

da/dN = C (ΔKth)m (Ley de Paris) → ΔKth = (da/N / C)1/m = 3,37 MPa m Tenemos que la amplitud del esfuerzo es σa = 50 MPa. El esfuerzo medio σm = 300 MPa. Por lo que la variación del esfuerzo es Δσ = 100 MPa.

ΔK = Y Δσ (πa)1/2 = 100 MPa (3,1416 x 0,001 m)1/2 = 5,6 MPa m1/2 > 3,37 MPa m1/2 (bajo estas condiciones de carga cíclica, la grieta se encuentra dentro el régimen de Paris)

Problema 17 En la figura, se muestra el esquema de una viga de acero, la cual tiene una grieta (longitud 2c = 2 mm) en la superficie sometida al máximo esfuerzo de flexión en cuatro puntos (σ4ptos = 300 MPa). Utilice como diagrama de análisis de fallos (DAF) la gráfica correspondiente a un cuarto de circunferencia de radio 1. Otros datos del problema: σy = 600 MPa; Y = 1 (no cambia con el crecimiento de la grieta; C = 2,6 10-12 ; m = 3; y KIc = 40 MPam1/2.

2c

Si sólo se aplica el esfuerzo constante de flexión en cuatro puntos, se garantiza que el material es fiable (Sr = 0,5 y Kr = 0,42). Si adicionalmente al esfuerzo de flexión constante, la viga se sometiera, durante toda su vida en servicio, a cargas cíclicas con una variación del esfuerzo de 100 MPa y una frecuencia de 1 Hz. a) Calcule si la viga continúa siendo fiable después de transcurridos 25 días. Sitúe en el DAF la posición del punto (Sr; Kr) correspondiente al día 25. Nota: considere que bajo estas condiciones la grieta está creciendo.

da m = C (ΔK ) dN

SOLUTION

CY m (Δσ ) π m

m Nf 2

af

0

a0

∫ dN =

∫

da a

m 2

25 días a 1Hz → 2160000 ciclos de fatiga

2,6 ⋅ 10

1 1

a 2f

−12

⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ (100) π (2160000) = 2 ⋅ ⎜ 1 − 1 ⎟ ⎜ a2 a2 ⎟ f ⎠ ⎝ 0 3

3 2

3

1 2,6 ⋅ 10 −12 (100 ) π 2 (2160000) = − (0,001)1/ 2 2 3

a f ( 25 días ) = 3,9 mm Ahora calculemos de nuevo Sr y Kr: Sr = σaplicado / σy = (300 + 50) / 600 = 0,58 Kr = Κaplicado / ΚIc = 350 MPa (3,1416 x 0,0039 m)1/2 / 40 = 0,97

SOLUTION (Continued)

DAF

1

25 días (no es fiable, rompe antes)

0.9 0.8

Condición crítica bajo esfuerzo combinado

0.7

Kr

0.6 0.5

Condición crítica (solo flexión)

Esfuerzo de flexión constante

0.4 0.3 0.2 0.1 0 0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Sr

Problema 18

0.6

0.7

0.8

0.9

1

SOLUCIÓN

SOLUCIÓN (continuación)

Problema 19 En las figuras, se muestra el esquema de una viga de acero cargada en flexión por tres puntos, así como su correspondiente diagrama de análisis de fallo (punto bajo el esfuerzo de flexión constante). La misma presenta una grieta superficial justo en la zona de máximo esfuerzo, tiene un límite elástico de 450 MPa, una KIc = 20 MPam1/2, un ΔKth = 3,5 MPam1/2, mientras que las constantes Y y C toman los valores de 1 y 2x10-13, respectivamente. Además de la flexión constante, la viga comienza a vibrar con una variación de esfuerzos de 100 MPa, m = 4, y frecuencia de 5 Hz. DAF 1

0.9 0.8 0.7

2c

Kr

0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

Sr

a) Bajo el esfuerzo combinado ¿Es fiable la viga después de transcurridos 16,666 minutos? b) Sitúe el nuevo punto en el DAF (después de cesar la acción de las vibraciones).

SOLUCIÓN

1

SOLUCIÓN (continuación)