Einführung in die Technische Mechanik: Festigkeitslehre 3540378901, 9783540378907, 9783540378921, 3540378928 [PDF]

Zitiervorschau

Springer-Lehrbuch

Herbert Balke

Einführung in die Technische Mechanik Festigkeitslehre

123

Professor Dr.-Ing. habil. Herbert Balke Institut für Festkörpermechanik Technische Universität Dresden 01062 Dresden [email protected]

ISBN 978-3-540-37890-7

e-ISBN 978-3-540-37892-1

DOI 10.1007/978-3-540-37892-1 Springer Lehrbuch ISSN 0937-7433 Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. © 2008 Springer-Verlag Berlin Heidelberg Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Übersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielfältigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfältigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulässig. Sie ist grundsätzlich vergütungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Herstellung: le-tex publishing services oHG, Leipzig Einbandgestaltung: WMXDesign, Heidelberg Gedruckt auf säurefreiem Papier 987654321 springer.com

Vorwort Die Festigkeitslehre“ schließt, wie die schon vorliegende Kinetik“, an die ” ” Statik“ des dreib¨ andigen Lehrbuches Einf¨ uhrung in die Technische Mecha” ” nik“ an. Ihr vordergr¨ undiges Ziel besteht in der Entwicklung der F¨ahigkeit, Bauteile zu dimensionieren und Tragf¨ ahigkeitsnachweise zu f¨ uhren. Inhalt und Umfang des Buches entsprechen im Wesentlichen meiner zweisemestrigen Vorlesung im Grundstudium der Studieng¨ange Maschinenbau, Verfahrenstechnik und Werkstoffwissenschaft an der Technischen Universit¨at Dresden, orientieren sich aber ebenso am Stoff f¨ ur vergleichbare Studieng¨ange anderer Technischer Hochschulen und Universit¨ aten. So fließen die Hauptbestandteile des Buches auch in die Lehre der Technischen Mechanik f¨ ur den interdisziplin¨ aren Studiengang Mechatronik unserer Universit¨at ein. Konzeptionell beruht die Festigkeitslehre in diesem Buch auf den statischen Grundgesetzen, d. h. der Kr¨ aftebilanz und der Momentenbilanz als Bedingungen f¨ ur das Gleichgewicht belasteter K¨ orper einschließlich beliebiger K¨orperteile, den kinematischen Beziehungen und den Materialgleichungen. Das Konzept ist mit Ber¨ ucksichtigung von Tr¨ agheitslasten widerspruchsfrei auf kinetische Probleme erweiterbar. Es erm¨ oglicht, durch begleitende Beispiele unterst¨ utzt, von einfachen Situationen schrittweise zu komplexeren Anordnungen u ur Ingenieure unverzichtbare Abstraktions¨ berzugehen und so das f¨ und Modellierungsverm¨ ogen zu entwickeln. Das Konzept vermittelt einen direkten Anschluss zur modernen Kontinuumsmechanik als Grundlage computergest¨ utzter Berechnungsmethoden sowie zu einer allgemeineren Feldtheorie, die neben den mechanischen auch thermodynamische und elektromagnetische Erscheinungen umfasst. Eine solche Theorie erlangt zunehmend Bedeutung, da immer h¨ aufiger technische Strukturen aus Werkstoffen mit physikalisch gekoppelten Eigenschaften, so genannte smarte oder intelligente Materialien, zum Einsatz kommen. Ein nachhaltiges Eindringen in die Inhalte der Festigkeitslehre ist nur durch ¨ selbstst¨ andige Bearbeitung entsprechender Ubungsaufgaben m¨oglich. Deshalb wird dem Leser empfohlen, die Probleme der ausgef¨ uhrten Beispiele zun¨ achst ohne Zuhilfenahme der angegebenen Ergebnisse zu l¨osen. Meinen verehrten Lehrern, den Herren Professoren H. G¨oldner, F. Holzweißig, G. Landgraf und A. Weigand, bin ich daf¨ ur verpflichtet, dass sie meine Begeisterung f¨ ur das Fach Technische Mechanik“ geweckt haben. Besonderer ” Dank gilt Herrn Prof. H. G¨ oldner, der als Hauptinitiator der Studienrichtung Angewandte Mechanik“ an der Technischen Universit¨at Dresden nicht nur ” die organisatorischen Voraussetzungen f¨ ur mein vertieftes Mechanikstudium geschaffen, sondern auch mit seiner langj¨ ahrigen Lehrt¨atigkeit inhaltliche Akzente gesetzt und damit die Stoffauswahl in meinem Buch beeinflusst hat.

VI

Vorwort

In diesem Zusammenhang sei auf den in elf Auflagen erschienenen Leitfa” den der Technischen Mechanik“ von H. G¨ oldner und F. Holzweißig verwiesen, dessen bew¨ ahrte Stoffdarlegung anhand von Beispielen auch von mir bevorzugt wurde. Die im Leitfaden“ wie in vielen einf¨ uhrenden Mecha” niklehrb¨ uchern immer wieder anzutreffende Vermischung einer Kontinuumselastostatik mit einer Punktkinetik wurde jedoch in meiner dreib¨andigen Einf¨ uhrung in die Technische Mechanik bewusst vermieden, weil sie wegen ihrer konzeptionellen Widerspr¨ uchlichkeit das Verst¨andnis der Mechanik als Ganzes erschwert. Stattdessen dient die in der Technik praktizierte Kontinuumshypothese durchg¨ angig als allgemein g¨ ultige Grundannahme. Im Entstehungszeitraum des Buches konnte ich zahlreiche fachliche Kontakte nutzen. So haben mich die mir von Herrn Prof. R. Kreißig und Herrn Prof. J. Naumann (Technische Universit¨ at Chemnitz) freundlicherweise gew¨ahrten Gespr¨ ache in der Wahl meines Konzeptes best¨arkt. Mit Herrn Prof. V. Ulbricht stand und stehe ich in einer st¨andigen Diskussion u ¨ ber die inhaltliche Abstimmung unserer beiden abwechselnd laufenden Großvorlesungen zur Technischen Mechanik. Das gemeinsame Bem¨ uhen um methodische und didaktische Verbesserungen der Lehrveranstaltung hat sich auch vorteilhaft auf die Erarbeitung des Buchmanuskriptes ausgewirkt. Die in der Lehre langj¨ ahrig erfahrenen Herren Prof. S. S¨ahn, Dr.-Ing. habil. V. Hellmann, Doz. Dr.-Ing. habil. D. Weber und Dr.-Ing. J. Brummund haben das gesamte Manuskript kritisch gelesen und mir zahlreiche n¨ utzliche Anmerkungen u ¨ bermittelt. Der Hinweis auf die Analogie zwischen elastostatischen Stabilit¨atsproblemen und thermodynamischen Phasenumwandlungen stammt von Herrn Dr. rer. nat. H.-A. Bahr, die grafische Darstellung der dazugeh¨origen Diagramme von Herrn Dipl.-Ing. P. Neumeister. Die numerischen Rechnungen zur Veranschaulichung des Prinzips von DE SAINT VENANT wurden von Herrn Dr.-Ing. V. B. Pham ausgef¨ uhrt. Bei der Nachrechnung der Beispiele haben mich die Herren Dipl.-Ing. C. H¨ ausler, A. Liskowsky und P. Neumeister unterst¨ utzt. An der Textkorrektur waren Frau Dr.-Ing. K. Thielsch, Frau Dr.-Ing. B. Hildebrandt sowie die Herren Dipl.-Ing. G. Haasemann, M. Hofmann, M. K¨astner und A. Liskowsky beteiligt. Die Kontrolllesung der vorletzten Manuskriptversion besorgten die Herren Dipl.-Ing. C. H¨ ausler und P. Neumeister. Dabei hat mich Herr Dipl.Ing. P. Neumeister noch zu einigen Verbesserungen im letzten Kapitel angeregt. Allen genannten Personen bin ich zu Dank verpflichtet. Der gr¨ oßte Teil meiner Bildvorlagen wurde von Frau C. Fischer in eine elektronische Form gebracht. Die Herstellung des reproduktionsreifen Manuskriptes lag wieder in den bew¨ ahrten H¨ anden von Frau K. Wendt. Bei der Textutzt, hat sie und Zeichenverarbeitung von Herrn Dipl.-Ing. C. H¨ausler unterst¨

Vorwort

VII

mit unerm¨ udlichem Einsatz nicht nur den Schriftsatz realisiert, sondern auch meine zahlreichen erg¨ anzenden Bildvorlagen in die elektronische Fassung eingearbeitet. Hierf¨ ur bedanke ich mich ganz herzlich. Nicht zuletzt bin ich dem Springer-Verlag f¨ ur die erwiesene Geduld und die gute Zusammenarbeit verbunden. Dresden, im Fr¨ uhjahr 2008

H. Balke

Inhaltsverzeichnis Einf¨ uhrung ................................................................... Zug, Druck und Schub 1 1.1 Verschiebung, Dehnung und Gleitung........................ Spannung.......................................................... 1.2 Elastisches Material ............................................. 1.3 W¨armedehnung .................................................. 1.4 Dimensionierung bei einfachen Beanspruchungen ......... 1.5 Beispiele ........................................................... 1.6 Erg¨anzungen zum einachsigen Spannungszustand......... 1.7 ucksichtigung von Volumenkr¨aften....................... 1.7.1 Ber¨ agen Schnitt ............................ 1.7.2 Spannungen am schr¨ aherungen f¨ ur den einachsigen Spannungszustand ...... 1.7.3 N¨

7 8 14 17 18 18 23 23 25 26

2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6

Allgemeine Spannungs- und Verzerrungszust¨ ande Spannungsvektor ................................................. Zweiachsiger Spannungszustand .............................. Dreiachsiger Spannungszustand ............................... Verschiebungen und Verzerrungen ............................ HOOKEsches Gesetz ............................................ Arbeit, Verzerrungsarbeit und -energie ......................

31 32 39 46 52 55

3 3.1 3.2 3.3 3.4

Reine Torsion gerader St¨ abe Torsion von St¨aben mit Kreisquerschnitt.................... Torsion von St¨aben mit Rechteckquerschnitt............... Torsion d¨ unnwandiger St¨abe mit offenem Querschnitt ... Torsion d¨ unnwandiger St¨abe mit geschlossenem Querschnitt..............................................................

4 4.1 4.2 4.3 4.3.1 4.3.2 4.4 4.5 4.5.1 4.5.2 4.5.3 4.5.4

1

63 68 70 72

Reine Biegung gerader Balken Voraussetzungen ................................................. 81 Spannungen bei gerader Biegung ............................. 82 Spannungen bei schiefer Biegung ............................. 87 Bekannte Hauptachsen im Schwerpunkt .................... 88 Beliebige Schwerpunktachsen.................................. 89 Spannungen infolge Biegemoment und L¨angskraft ........ 95 Biegeverformung ................................................. 98 Differenzialgleichung der elastischen Linie .................. 98 Anwendungsf¨alle ................................................. 100 Differenzialgleichung vierter Ordnung........................ 110 Elastische Linie bei schiefer Biegung ......................... 112

X

Inhaltsverzeichnis

4.5.5 4.5.6

Elastische Linie bei ver¨anderlicher Steifigkeit............... 113 Biegung infolge Temperatur ................................... 113

5 5.1 5.2

Querkraftbiegung prismatischer Balken Balken mit gedrungenem Querschnitt ....................... 119 Balken mit d¨ unnwandigen offenen Querschnitten ......... 126

6 6.1 6.2

Festigkeitshypothesen Problem der Festigkeitsbewertung ............................ 133 Beispiele f¨ ur Festigkeitshypothesen ........................... 133

7 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.5.1 7.5.2 7.5.3

Energiemethoden Einflusszahlen..................................................... Satz von CASTIGLIANO ....................................... Elastische Verzerrungsenergie der St¨abe .................... Symmetrie und Antisymmetrie ................................ Anwendungsf¨alle ................................................. Gerade Biegung .................................................. Ber¨ ucksichtigung von Biegung und Torsion................. L¨angskrafteinfluss ................................................

143 148 149 151 153 153 166 168

8 8.1 8.1.1 8.1.2 8.1.3 8.2 8.3 8.3.1 8.3.2 8.3.3 8.3.4

Elastostatische Stabilit¨ atsprobleme Gleichgewichtsarten konservativer Systeme vom Freiheitsgrad 1 .............................................................. Verzweigung und Stabilit¨at der Gleichgewichtsl¨ osungen . Imperfektionseinfluss ............................................ Durchschlagproblem ............................................. Diskrete konservative Systeme von h¨ oherem Freiheitsgrad Knicken elastischer St¨abe ...................................... Gelenkig gelagerter Knickstab ................................. Beiderseitig eingespannter Knickstab ........................ Knickst¨abe mit mehreren Bereichen.......................... Begrenzung der elastischen Theorie infolge Plastizit¨at ...

173 178 185 191 193 194 195 204 207 209

9 9.1 9.2 9.2.1 9.2.2 9.2.3 9.2.4 9.3 9.3.1

Rotationssymmetrische Spannungszust¨ ande Membrantheorie von Rotationsschalen ...................... Kreiszylinder und Kreisscheiben ............................... Grundlagen ........................................................ Ebener Spannungszustand ..................................... Ebener Verzerrungszustand .................................... Konstante Axialdehnung........................................ Rotationssymmetrisch belastete Kreisplatten............... Voraussetzungen .................................................

215 219 219 223 232 235 238 238

Inhaltsverzeichnis

XI

9.3.2 9.3.3

Grundgleichungen ................................................ 240 Anwendungsf¨alle ................................................. 246

10 10.1 10.2 10.3

Kerb- und Rissprobleme Das Prinzip von DE SAINT VENANT....................... 253 Spannungs¨ uberh¨ohungen und Formzahl ..................... 259 Grundidee der Bruchmechanik ................................ 262

11 11.1 11.2

Inelastisches Materialverhalten Elastoplastizit¨at .................................................. 269 Viskoelastizit¨at ................................................... 272

12

Zusammenfassung der Grundgleichungen der linearen Elastizit¨ atstheorie Globale und lokale Kr¨afte- und Momentenbilanzen ....... Kinematische Beziehungen ..................................... Linear-elastische Materialgleichungen ........................ Elastostatische Randwertaufgaben ........................... Elastokinetische Anfangsrandwertaufgaben .................

12.1 12.2 12.3 12.4 12.5

279 288 294 294 295

Ausgew¨ ahlte Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301 Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305

Einf¨ uhrung Die Festigkeitslehre hat die Untersuchung der Tragf¨ahigkeit belasteter Bauteile zum Inhalt. Sie schließt an die Statik an. In der Statik wurden die als einfache K¨ orper idealisierten Bauteile zun¨achst als starr angenommen. Die Grundgesetze der Statik, d. h. die Kr¨aftebilanz und die Momentenbilanz als Bedingungen f¨ ur das Gleichgewicht belasteter K¨ orper und beliebiger K¨ orperteile, verk¨ urzt als Gleichgewichtsbedingungen, Gleichgewichtsbilanzen oder statische Bilanzen bezeichnet, erlaubten die Berechnung der Schnittreaktionen statisch bestimmter Tragwerke. In der Realit¨ at verursachen die angreifenden Lasten vermittels der Schnittreaktionen Verformungen der als Kontinuum betrachteten K¨orper. Diese Verformungen, die Ausdruck der ungleichm¨ aßig verteilten Verschiebungen der K¨orperpunkte sind, gehen mit den lokalen Beanspruchungen der K¨orper einher. Als Beanspruchungen werden die spezifischen Gr¨oßen Spannung und Verzerrung eingef¨ uhrt. Erstere ist eine statische Gr¨ oße und folglich in den Gleichgewichtsbedingungen zu bilanzieren. Letztere ergibt sich kinematisch aus dem Verschiebungszustand der K¨ orperpunkte. Beide sind frei von K¨orperabmessungen und d¨ urfen gewisse materialspezifische Grenzwerte nicht u ¨ berschreiten. Sie stehen in einem materialtypischen Zusammenhang, der f¨ ur viele wichtige Konstruktionsmaterialien innerhalb bestimmter Grenzen linear ist. Die Gleichung, die den materialtypischen Zusammenhang einschließlich seines G¨ ultigkeitsbereiches beschreibt und als Materialgleichung bezeichnet wird, muss an die Ergebnisse von Experimenten angepasst werden. In den meisten technischen Anwendungsf¨ allen sind die Verschiebungen der gelagerten K¨ orper sehr viel kleiner als die typischen K¨orperabmessungen. Es werden dann lineare Beziehungen zwischen Verschiebungen und Verzerrungen benutzt, wobei Verzerrungsbetr¨ age bis zu etwa 5 % meist zugelassen werden k¨ onnen, sofern keine material- oder funktionsbedingten Einschr¨ankungen vorliegen. Unter diesen Voraussetzungen sind die Verformungen in den Gleichgewichtsbedingungen bis auf Ausnahmen wie z. B. bei Stabilit¨atsuntersuchungen vernachl¨ assigbar. Die Gesamtheit der f¨ ur den ganzen K¨ orper und beliebige Teile desselben, darunter differenzielle K¨ orperelemente, geltenden statischen Bilanzen sowie der lokal geltenden kinematischen Beziehungen und Materialgleichungen bildet orper vorliegenden Verteilungen die Grundlage f¨ ur die Berechnung der im K¨ ( Felder“) von Spannungen, Verzerrungen und Verschiebungen. Dabei wer” den in einfacheren F¨ allen zur Gewinnung leicht handhabbarer analytischer Formeln spezielle statische oder kinematische Annahmen hinzugezogen, so bei der Betrachtung der St¨ abe unter Zug bzw. Druck und Torsion sowie der Balken unter Biegung und Querkraftschub. Die genannten Voraussetzungen

2

Einf¨ uhrung

und Annahmen erlauben die Untersuchung von sowohl statisch bestimmten als auch statisch unbestimmten Anordnungen. Die Beurteilung der Bauteilfestigkeit bei Kombination verschiedener Beanspruchungen im Vergleich zu Versuchsdaten aus einfachen Experimenten erfordert besondere Festigkeitshypothesen, in denen u. U. inelastisches Materialverhalten ber¨ ucksichtigt werden muss. Die Bereitstellung dieser Hypothesen erm¨ oglicht zusammen mit der Berechnung von Spannungen und Verzerrungen die L¨ osung elementarer Dimensionierungsaufgaben. H¨ aufig interessieren nur die Verformungen an diskreten Punkten von Stabanordnungen einschließlich damit verbundener statisch unbestimmter Reaktionen. Diese lassen sich besonders effektiv unter Nutzung von Energiemethoden bestimmen, welche in anwendungsbereiter Form mitgeteilt werden. ¨ Bauteilversagen kann auch ohne Uberschreiten der Materialfestigkeit eintreten, wenn die belastete Anordnung oberhalb einer kritischen Last ihre Stabilit¨ at oder urspr¨ ungliche Steifigkeit verliert. Die genannten Ph¨anomene beruhen auf der Geometrieabh¨ angigkeit der Gleichgewichtsbedingungen und Materialgleichungen. Sie sind Ausdruck der Nichtlinearit¨at des Gesamtgleichungssystems. Die damit verbundene Verzweigung der Gleichgewichtsl¨osungen und Unterschiedlichkeit der Gleichgewichtsarten werden an diskreten konservativen Systemen erl¨ autert. Im Fall schlanker elastischer Druckst¨abe liefern die Verzweigungsl¨ osungen die kritischen Knickkr¨afte. Gest¨ utzt auf die gewonnenen Erfahrungen bei der Ermittlung der elementaren Spannungs- und Verformungsverteilungen in St¨aben und Balken, werden die statischen Bilanzen, die kinematischen Beziehungen und die Materialgleichungen auf rotationssymmetrische Anordnungen, darunter Scheiben, dickwandige Zylinder und Platten, angewendet und die entsprechenden Felder berechnet. Die ermittelten Ergebnisse f¨ ur die Scheibe mit Kreisloch unter Zug verweisen beispielhaft auf die Bedeutung von Spannungs¨ uberh¨ohungen sowie das Abklingverhalten von Gleichgewichtslastgruppen gem¨aß dem Prinzip von DE SAINT VENANT (1797-1886) und f¨ uhren auf die Grundidee der Bruchmechanik. Festigkeitshypothesen, die vor dem Versagen nur einen linear-elastischen Zusammenhang zwischen Spannungen und Verzerrungen ber¨ ucksichtigen, sind in ihrer Anwendbarkeit begrenzt. Dies wird an den F¨allen elastoplastischen und viskoelastischen Materialverhaltens demonstriert und unterstreicht die Bedeutung inelastischer Verzerrungen als m¨ogliche Beanspruchungsparameter. Der Inhalt des vorliegenden Buches wird haupts¨achlich durch die linearelastische Modellierung der Spannungs- und Verzerrungsfelder einfacher Anordnungen bestimmt. Die Herleitung der entsprechenden analytischen For-

Einf¨ uhrung

3

meln dient der Entwicklung des Grundverst¨ andnisses im Umgang mit den Ausgangshypothesen und -gleichungen. Die gewonnenen Formeln erm¨oglichen die schnelle L¨ osung einfacher Festigkeitsprobleme sowie Absch¨atzungen in komplizierteren Situationen. Auch bei Anwendung kommerzieller Modellierungssoftware sind sie unverzichtbar f¨ ur den Test der Computerprogramme und die qualitative Kontrolle der Ergebnisse. Der modernen Modellierungssoftware, die zunehmende Nutzung erf¨ahrt, liegen die statischen Bilanzen, die kinematischen Beziehungen und die Materialgleichungen in allgemeiner Form zugrunde. Zweckm¨aßigerweise wird deshalb erg¨ anzend auf diese allgemeinen Zusammenh¨ ange eingegangen. Dabei werden kinetische Terme in geometrisch linearisierter Form ber¨ ucksichtigt. Die Kenntnis der angegebenen Gleichungen stellt eine zwingende Voraussetzung f¨ ur den verantwortungsvollen Umgang mit der auf diesen Gleichungen beruhenden Modellierungssoftware dar. Die in der Festigkeitslehre berechneten Felder bilden die unverzichtbare Grundlage f¨ ur die Beurteilung der Tragf¨ ahigkeit und Sicherheit von Bauteilen. Das beschriebene Konzept dient dar¨ uber hinaus als bew¨ahrte Ausgangsbasis f¨ ur das Eindringen in eine allgemeinere nichtlineare Kontinuumsmechanik von K¨ orpern aus beliebigen Materialien und die Formulierung weitergehender Feldprobleme deformierbarer K¨ orper unter Ber¨ ucksichtigung thermischer und elektromagnetischer Erscheinungen. Es erm¨oglicht damit die Nutzung der sich schnell entwickelnden Computersoftware zur numerischen Bearbeitung immer anspruchsvollerer Modelle. Die f¨ ur das Verst¨ andnis der Festigkeitslehre erforderlichen Voraussetzungen umfassen außer den schon in der Statik ben¨ otigten Hilfsmitteln Kenntnisse in folgenden mathematischen Teilgebieten: lineare Transformation von Koordinatensystemen, Hauptachsentransformation symmetrischer Matrizen, homogene lineare Gleichungssysteme, Funktionen von mehreren Variablen, partielle Ableitungen, Linien-, Fl¨ achen- und Volumenintegrale sowie gew¨ohnliche lineare Differenzialgleichungen. Der R¨ uckgriff auf diese Kenntnisse wird jedoch so gering wie m¨ oglich gehalten und z. T. im Zusammenhang mit den jeweiligen mechanischen Problemen durch Erl¨ auterungen unterst¨ utzt.

Kapitel 1 Zug, Druck und Schub

1

1

1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.7.1 1.7.2 1.7.3

Zug, Druck und Schub Verschiebung, Dehnung und Gleitung........................ Spannung.......................................................... Elastisches Material ............................................. W¨armedehnung .................................................. Dimensionierung bei einfachen Beanspruchungen ......... Beispiele ........................................................... Erg¨anzungen zum einachsigen Spannungszustand......... Ber¨ ucksichtigung von Volumenkr¨aften....................... Spannungen am schr¨agen Schnitt ............................ N¨aherungen f¨ ur den einachsigen Spannungszustand ......

7 8 14 17 18 18 23 23 25 26

1 Zug, Druck und Schub Wie schon in der Statik werden die in der Technik auftretenden materiellen Objekte (Konstruktionen, Tragwerke, Bauelemente u. ¨a.) als strukturlose K¨ orper idealisiert, die nur durch ihre geometrische Gestalt und ihre Abmessungen charakterisiert sind. Die unter Belastung eintretende Verformung der K¨ orper wird als kontinuierlich vorausgesetzt. Wir betrachten zun¨achst die einfachsten F¨ alle solcher Verformungen.

1.1 Verschiebung, Dehnung und Gleitung Gegeben sei ein Rechteck der L¨ ange l0 und beliebiger H¨ohe (Bild 1.1). C

B

¢l

l0 l

Bild 1.1. Zur Definition der Dehnung

Die senkrechte Seitenlinie bei C werde um Δl gegen¨ uber der Seitenlinie bei B nach rechts verschoben. Die Dehnung ε des Rechtecks ist dann definiert durch Δl l − l0 ε= = . (1.1) l0 l0 Sie besitzt keine Dimension. In (1.1) wurde die der Verl¨angerung l − l0 gleichende Verschiebung Δl, wie in der Technik meist u ¨ blich, auf die Ausgangsl¨ ange l0 bezogen. Es gibt auch Situationen, in denen der Bezug auf die uhren beide Dehnungsdefiniaktuelle L¨ ange l zweckm¨ aßig ist. F¨ ur |Δl|  l0 f¨ tionen n¨ aherungsweise auf das gleiche Ergebnis. Die Definition der Dehnung nach (1.1) setzt voraus, dass sich bei ihrer Anwendung auf beliebig kleine Teill¨ angen des Rechtecks an allen Punkten des Rechtecks derselbe Zahlenwert ergibt. Die Gleichheit einer Gr¨oße an allen Punkten eines Gebietes wird auch als Homogenit¨at bezeichnet. Bild 1.2 zeigt ein Quadrat mit der Seitenl¨ ange l, das in der Richtung 1 um Δl verl¨ angert und in der Richtung 2 um Δl gestaucht wurde. Dabei ging das gestrichelt eingezeichnete Quadrat von Bild 1.2a in einen Rhombus u ¨ ber, dessen spitze Winkel um die Gr¨ oße γ gegen¨ uber dem urspr¨ unglich rechten Winkel verringert sind (Bild 1.2b). Diese Abweichung vom rechten Winkel heißt Schubverzerrung oder Gleitung. F¨ ur kleine Dehnungen |Δl|/l  1 ist auch |γ|  1, und der Fl¨ acheninhalt des Rechtecks (l+Δl)(l−Δl) = l2 −(Δl)2 ≈ l2

1.1

8

1. Zug, Druck und Schub l

l+Dl

2

2

y 1

¼/2

l-Dl

l

u

v

¼/4 x

1

¼/2 - °

1

¼/2 + °

¼/2

2

2

a)

1

b) Bild 1.2. Zur Definition der Gleitung

gleicht n¨ aherungsweise dem Fl¨ acheninhalt des unverzerrten Quadrats. Hinsichtlich des Zusammenhanges zwischen der relativen L¨angen¨anderung Δl/l und der Abweichung von rechten Winkel γ sei auf das Beispiel 2.3 verwiesen. Dehnungen und Gleitungen werden unter dem Oberbegriff Verzerrungen zusammengefasst. Sie sollen k¨ unftig der Voraussetzung |ε|, |γ|  1

(1.2)

gen¨ ugen, die die Modellbildung sehr vereinfacht und f¨ ur viele Konstruktionen keine erhebliche Einschr¨ ankung darstellt.

1.2

1.2 Spannung Wir betrachten jetzt einen gem¨ aß Bild 1.3 bei B eingespannten kreiszylindrischen Stab.

B

a

¾

d

B

¾ ¾

¾ l

a A

A FN

FN

FN

FN a)

Bild 1.3. Zur Erkl¨ arung der Normalspannung

b)

1.2

Spannung

9

Das Material des Stabes besitze an allen Stabpunkten die gleichen Verformungseigenschaften. Diese Gleichheit wird, wie schon erw¨ahnt, als Homogenit¨ at bezeichnet. Dar¨ uber hinaus seien die Verformungseigenschaften bez¨ uglich beliebiger mit dem Material verbundener Richtungen gleich (Isotropie). Homogenit¨ at und Isotropie des Materials stellen f¨ ur die anschließende Erkl¨ arung des Spannungsbegriffes keine notwendigen Voraussetzungen dar. Sie werden zur Vereinfachung der Erl¨ auterungen und Modelle angenommen. Normal zum Querschnitt A greife eine Zugkraft FN an (Bild 1.3a), deren Wirkungslinie auf der Stabachse liegt. Wie sich diese Kraft im Inneren des Stabes auswirkt, erkl¨ art der entsprechend dem Vorgehen in der Statik gef¨ uhrte Schnitt. Dieser erzeuge eine Schnittebene, welche eine Orientierung senkrecht zur Stabachse besitzt und sich außerhalb der mit der L¨ange a bemaßten Gebiete im Inneren des Stabes befindet. Die Stabl¨ange l sei wesentlich gr¨ oßer als der Stabdurchmesser d. Dann existiert erfahrungsgem¨aß ein Stabbereich der L¨ ange l − 2a  2a, in dem die als Schnittreaktion zu erwartende L¨ angskraft statisch ¨ aquivalent durch eine gleichm¨aßig u ¨ber der Schnittebene verteilte normale Fl¨ achenkraft σ ersetzt werden kann. In dieses Ergebnis ist die Symmetrie der Anordnung von Bild 1.3 eingegangen. Es muss hervorgehoben werden, dass mit dieser Fl¨ achenkraft (auch als Kontaktkraft oder Spannung bezeichnet) die gesamte Wechselwirkung der beiden Stabteile als an der Schnittfl¨ ache konzentriert vorausgesetzt wird. Zus¨atzliche Wechselwirkungen u angen hinweg (so genannte Fernwirkungen), die z. B. dadurch ¨ ber endliche L¨ entstehen, dass sich die beiden Stabteile infolge Gravitation oder infolge unterschiedlicher elektrostatischer Volumenladungen anziehen, werden hierbei nicht einbezogen. Fernwirkungen, die von außerhalb des betrachteten K¨orpers liegenden Ursachen herr¨ uhren, sind besonders zu ber¨ ucksichtigen, vgl. hierzu Abschnitt 1.7.1. Diese Betrachtungsweise ist bei rein mechanischen Problemen technischer Anwendungen zul¨ assig. Von den beiden statischen Grundgesetzen wurde die Momentenbilanz wegen der Symmetrie der Anordnung aus Bild 1.3 bereits erf¨ ullt. In der urspr¨ unglichen (globalen) Kr¨ aftebilanz f¨ ur den K¨ orper mit endlichen Abmessungen n  Fi = 0 (1.3) i=1

verbleibt nur eine Einzelkraft, die Zugkraft FN , w¨ahrend sich der Rest der Summe hier durch Multiplikation der konstanten Fl¨achenkraft σ mit der Querschnittsfl¨ ache A ergibt. Die Kr¨ aftebilanz liefert deshalb die Gleichgewichtsgleichung ↑:

−FN + σA = 0

(1.4)

10

1. Zug, Druck und Schub

bzw. σ=

FN . A

(1.5)

Die Fl¨ achenkraft σ in (1.4) heißt Normalspannung. Wenn sie in Verbindung mit ihren Z¨ ahlpfeilen gem¨ aß Bild 1.3 positiv ist, d. h. σ > 0 gilt, wird sie als Zugspannung bezeichnet. Dieser Fall liegt in Bild 1.3a f¨ ur FN > 0 vor. Nach Bild 1.3b wurde der Orientierungssinn des Z¨ahlpfeiles der a¨ußeren Kraft ge¨ andert. Folglich liefert die Kr¨ aftebilanz (1.3) f¨ ur FN > 0 jetzt σ=−

FN 1 Sicherheitsfaktoren gegen¨ bzw. Bruch bezeichnen. Analoges gilt f¨ ur Druck- oder Schubspannungen. Werden plastische Dehnungen bei geringer Materialverfestigung, d. h. geringem Spannungszuwachs wie z. B. im Anfangsfließbereich gem¨aß Bild 1.6b, zugelassen, so d¨ urfen sie eine zul¨ assige Dehnung nicht u ¨berschreiten. Außer der Beschr¨ ankung der lokalen Beanspruchungen m¨ ussen auch die Tragf¨ ahigkeit und Funktionsf¨ ahigkeit der Bauteile als Ganzes beurteilt werden. Beispielsweise soll meistens das Ausknicken schlanker St¨abe infolge axialer Druckkr¨ afte vermieden werden. Dieses Problem wird im Kapitel 8 er¨ortert. Des Weiteren sind Verformungen, die die Funktion von Bauteilen beeintr¨achtigen, zu verhindern.

1.6

1.6 Beispiele Im folgenden einfachen Beispiel wird, ausgehend von den drei Gleichungen zur Statik, Kinematik und zum Materialverhalten, das typische Vorgehen der linearen Elastostatik als Grundlage der Festigkeitslehre erl¨autert. Beispiel 1.1 Der Zugstab von Bild 1.3a bestehe aus linear-elastischem Material mit dem Elastizit¨ atsmodul E. Gesucht ist die Verschiebung des Angriffspunktes der Kraft F nach Bild 1.9.

1.6

Beispiele

19 E

d

A F

a a l

u

Bild 1.9. Zur Verschiebungsberechnung beim Zugstab

L¨osung: Unter der Voraussetzung d  l werden gem¨ aß dem Prinzip von DE SAINT VENANT im gr¨ oßten Teil des Stabes, d. h. im Gebiet der L¨ange l − 2a mit a ≈ d  l, eine konstante Spannung σ=

F A

und wegen σ = Eε eine konstante Dehnung ε herrschen. Die im Bild 1.9 eingetragene Verschiebung u des Kraftangriffspunktes ist gleich der Verl¨angerung des Zugstabes Δl = u. Sie liefert die Stabdehnung ε=

Δl . l

Die Elimination von σ und ε aus den drei Gleichungen ergibt u = Δl =

Fl . EA

Das Ergebnis mit Kraft und L¨ ange im Z¨ ahler sowie Elastizit¨atsmodul und Querschnittsfl¨ ache im Nenner gen¨ ugt der Anschauung. Die Dimension des Ausdrucks stimmt mit der Dimension der Verschiebung u ¨berein. Das Produkt EA wird als Dehn- oder L¨ angssteifigkeit bezeichnet.  Beispiel 1.2 Gegeben ist ein beiderseits eingespannter Stab, an dessen Absatz die Kraft 2F axial eingeleitet wird (Bild 1.10). Die Abmessungen seiner Querschnittsfl¨ achen A1 und A2 seien wesentlich kleiner als die Teill¨angen l1 und l2 . Die Elastizit¨ atsmoduln der Stababschnitte haben die Werte E1 und E2 . Gesucht sind die Lagerreaktionen. L¨osung: Die als symmetrisch erkannte Anordnung von Bild 1.10a wird freigeschnitten. Von den Lagerreaktionen verbleiben gem¨ aß Bild 1.10b nur die axialen Kr¨afte

20

1. Zug, Druck und Schub FC

C

FC

A1 l1 F

F

F

FL1

F FL2

l2 A2 B

FB

FB

a)

b)

c)

Bild 1.10. Abgesetzter Stab eingespannt a), freigemacht b) und in zwei Bereichen geschnit-

ten c)

FB und FC . Damit sind die horizontale Kr¨ aftebilanz und die Momentenbilanz identisch erf¨ ullt. Die vertikale Kr¨ aftebilanz FC − FB − 2F = 0

↑:

(a)

enth¨ alt zwei Unbekannte, zeigt also einfache statische Unbestimmtheit an. Es m¨ ussen deshalb die Verformungen ber¨ ucksichtigt werden. Die L¨angskr¨afte gem¨ aß Bild 1.10c sind bereichsweise konstant: FL1 = FC = konst. ,

FL2 = FB = konst.

(b)

Die Gesamtverl¨ angerung des Stabes Δl = Δl1 + Δl2 =

FL1 l1 FL2 l2 + E1 A1 E2 A2

verschwindet, so dass nach Einsetzen der L¨ angskr¨afte (b) die noch fehlende Gleichung FB l2 FC l1 + =0 E1 A1 E2 A2

(c)

folgt. Die Au߬ osung des Gleichungssystems (a), (c) liefert FC =

2F 1+

E 2 A 2 l1 E 1 A 1 l2

,

FB =

2F 1+

E 2 A 2 l1 E 1 A 1 l2

− 2F .

Der Sonderfall l1 = l2 , E1 = E2 , A1 = A2 f¨ uhrt auf das anschauliche Ergebnis FC = F , FB = −F . Anmerkung: Die St¨ orungen der abschnittsweise gleichm¨aßigen Spannungsverteilung infolge der Querdehnungsbehinderung an den Einspannungen und infolge des Absatzes konnten wegen der Abmessungsvoraussetzungen gem¨aß dem Prinzip von DE SAINT VENANT vernachl¨assigt werden. 

1.6

Beispiele

21

Beispiel 1.3 Der beiderseits eingespannte schlanke Stab nach Bild 1.11 wird um ΔT = 50 K erw¨ armt. Seine W¨ armedehnzahl betr¨ agt α = 1, 2 · 10−5 K−1 und sein 5 assige Spannung ist σzul = Elastizit¨ atsmodul E = 2, 1 · 10 MPa. Seine zul¨ 150 MPa. Gesucht sind die Spannung σ f¨ ur die gegebene Erw¨armung und assige Spannung nicht u die maximale Erw¨ armung ΔTmax , so dass die zul¨ ¨ berschritten wird. l0 ¢T Bild 1.11. Eingespannter Stab unter Temperatureinwirkung

L¨osung: Die L¨ angen¨ anderung des Stabes mit einer f¨ ur die Anwendung des Prinzips von DE SAINT VENANT im Vergleich zu den Querschnittsabmessungen hinreichend großen L¨ ange l0 muss verschwinden, d. h.  σ Δl = εl0 = + αΔT l0 = 0 E bzw. σ = −EαΔT .

(a)

Einsetzen der Zahlenwerte ergibt die Druckspannung σ = −126 MPa. F¨ ur σzul = |σ| = EαΔTmax folgt mit den gegebenen Zahlenwerten ΔTmax =

σzul ≈ 60 K . Eα

Der Rundungsfehler von etwa 1% liegt dabei unter dem Fehler der Materialdaten.  Beispiel 1.4 Die zweischnittige Bolzenverbindung nach Bild 1.12 u ¨bertr¨agt die Kraft 2F = 4 assige Schubspannung gegen Abscheren des Bolzens betr¨agt 2 · 10 N. Die zul¨ τzul = 100 MPa. Gesucht ist der minimale Durchmesser des Bolzens. L¨osung: Jeder der beiden Bolzenquerschnitte mit dem Fl¨acheninhalt A = πd2 /4 u agt die Kraft F . Die Schubspannungsverteilung wird stark vereinfacht ¨ bertr¨ als konstant u ache A angenommen. Aus ¨ber der Querschnittsfl¨ τ=

F ≤ τzul A

22

1. Zug, Druck und Schub F 2F F

¿d Bild 1.12. Zweischnittige Bolzenverbindung

folgt

 d≥

4 F = 11, 3 mm . π τzul

Dieser Wert ist entsprechend einschl¨ agiger Norm auf das n¨achst gr¨oßere zugelassene Maß zu erh¨ ohen.  Beispiel 1.5 Ein starrer Balken h¨ angt mittels dreier elastischer St¨abe gem¨aß Bild 1.13 an einer starren Decke. 1

2

3

a

l

a P

F

1

2 a

FS1

FS2

3 a

FS3 P

¢l1

¢l2

¢l3

F

Bild 1.13. Starrer Balken mit elastischer Aufh¨ angung

Die Stabquerschnitte haben die Fl¨ achen Ai = A = 1 cm2 . Der Elastizit¨ats5 unglich modul betr¨ agt E = 2 · 10 MPa und die Stabl¨ange l = 1 m. Die urspr¨ spannungsfreie Anordnung wird durch die Kraft F = 1, 2 · 104 N belastet. Gesucht sind die Stabspannungen σi sowie die Stabverl¨angerungen Δli , wobei ufen ist. die Forderung |Δli | < Δlzul = 1 mm zu u ¨ berpr¨ L¨osung: Die Freischnittskizze nach Bild 1.13 enth¨ alt keine Verformungen. Die stati-

1.7

Erg¨ anzungen zum einachsigen Spannungszustand

23

schen Gleichungen lauten: ↑: 

P :

FS1 + FS2 + FS3 − F = 0 ,

(a)

−2aFS1 − aFS2 = 0 .

(b)

Da die horizontale Kr¨ aftebilanz keine weitere Information liefert, ist die Anordnung einfach statisch unbestimmt. In der Verformungsskizze gilt |Δli |  l, weshalb die Parallelit¨at und die Abst¨ ande der St¨ abe n¨ aherungsweise erhalten bleiben, so dass der Strahlensatz die kinematische Zwangsbedingung Δl3 − Δl1 Δl2 − Δl1 = 2a a

(c)

liefert. Das HOOKEsche Gesetz σ = Eε l¨ asst sich als FSi Δli =E A l

(d)

schreiben. Aus (a), (b) und (b), (c), (d) entsteht das Gleichungssystem −FS1 + FS3 = F , 5FS1 + FS3 = 0 . Dessen L¨ osung und (b) ergeben die Stabkr¨ afte FS1 = −F/6 = −2·103 N ,

FS2 = F/3 = 4·103 N ,

FS3 = 5F/6 = 104 N ,

die Stabspannungen σ1 = −20 MPa ,

σ2 = 40 MPa ,

σ3 = 100 MPa

und die Stabverl¨ angerungen Δl1 = −0, 1 mm ,

Δl2 = 0, 2 mm ,

Δl3 = 0, 5 mm ,

ugen. welche alle der Forderung |Δli | < Δlzul = 1 mm gen¨



1.7 Erg¨ anzungen zum einachsigen Spannungszustand 1.7.1 Ber¨ ucksichtigung von Volumenkr¨ aften Im Abschnitt 1.2 wurde darauf verwiesen, dass statische Fernwechselwirkungen mit K¨ orpern außerhalb des betrachteten K¨orpers auftreten k¨onnen.

1.7

24

1. Zug, Druck und Schub

Ein wichtiges Beispiel stellt die Massenanziehung (Gravitation) dar. Die als K¨ orper idealisierten technischen Objekte besitzen eine Masse und unterliegen deshalb der Erdanziehung. Die dadurch verursachte, auf die K¨orper wirkende Gewichtskraft ergibt sich aus der u ¨ber dem K¨orpervolumen verteilten Dichte ρ und der Erdbeschleunigung g. In Erdoberfl¨achenn¨ahe kann mit 2 g ≈ 9, 81 m/s gerechnet werden. Abweichungen von diesem Wert infolge des Breitengradeinflusses liegen unter einem Prozent. Das Produkt ρg besitzt die 3 Maßeinheit N/m und stellt folglich eine Volumenkraft dar. Diese Volumenkraft verursacht eine ungleichm¨ aßige Spannungsverteilung im K¨orper. Hierzu betrachten wir den Stab von Bild 1.14, der seinem Eigengewicht unterliegt. FL+dFL

g

dy

h

S

y

A

dy ½gAdy FL

Bild 1.14. Stab unter Eigengewicht

Nach Eintragen der Stabachsenkoordinate y und Freischneiden eines Volumenelementes mit der Grundfl¨ ache A und der H¨ohe dy kann die auf das Volumenelement wirkende Gewichtskraft angegeben werden. Sie betr¨agt ρgAdy. Außerdem greift in dem Querschnitt mit der Fl¨ache A an der Stelle y infolge der dort wirkenden konstanten Spannung σ(y) die L¨angskraft FL = Aσ(y) an. Bei Fortschreiten um dy ¨ andert sie sich um dFL . Die Wirkungslinien aller als resultierende Kr¨ afte zusammengefassten Kraftdichten fallen infolge der Symmetrie der Anordnung zusammen und gehen durch den Schwerpunkt S des Volumenelementes. Damit liefert die Kr¨ aftebilanz ↑:

−FL + FL + dFL − ρgAdy = dFL − ρgAdy = 0 .

(1.21)

In der verbleibenden Differenz ist ρgAdy ein Quellterm (auch als Inhomogenit¨ at bezeichnet), der den Zuwachs dFL der L¨angskraft bedingt. Die L¨ angskraftverteilung im Stab ergibt sich aus (1.21) durch unbestimmte Integration f¨ ur homogene Massendichte und konstante Querschnittsfl¨ache zu FL = ρgAy + C .

(1.22)

Die Integrationskonstante C ist wegen der Randbedingung FL (0) = 0

(1.23)

1.7

Erg¨ anzungen zum einachsigen Spannungszustand

25

null zu setzen, so dass schließlich die Spannungsverteilung σ=

FL = ρgy A

(1.24)

folgt. Sie w¨ achst vom Anfangswert null linear bis zum Endwert ρgh, entsprechend dem Gesamtgewicht ρghA, an. Die St¨ orung der Verteilung (1.24) im Einspannbereich wird wieder gem¨ aß dem Prinzip von DE SAINT VENANT (s. a. Kapitel 10) vernachl¨ assigt. Erg¨ anzend sei noch angemerkt, dass der Stab bei einer beschleunigten Bewegung in Stabrichtung durch eine entgegen der Beschleunigung wirkende Tr¨ agheitskraft pro Volumeneinheit belastet wird. Diese Kraft kann in (1.21) ber¨ ucksichtigt werden (vgl. a. Abschnitt 12.5). 1.7.2 Spannungen am schr¨ agen Schnitt Zum tieferen Verst¨ andnis des einachsigen Spannungszustandes und als Vorbereitung f¨ ur das anschließende Kapitel betrachten wir nochmals den Stab von Bild 1.3, f¨ uhren jetzt aber einen Schnitt aus, der einen schr¨agen ebenen Fl¨ achenanteil der Gr¨ oße A enth¨ alt (Bild 1.15a). Die Abmessung h des herausgeschnittenen Stabteils (Bild 1.15b) ist unwesentlich, sie kann auch null sein. ¾ ¿ A

A

t

t h

¾

Acos

Acos ¿

¾ a)

F

b)

¾ c)

d)

Bild 1.15. Spannungen am schr¨ agen Schnitt

An der unter dem Winkel ϕ geneigten Schnittfl¨ ache wirkt gem¨aß Bild 1.15b eine Fl¨ achenkraft t, die wegen der gleichm¨ aßigen Verteilung von σ ebenfalls gleichm¨ aßig verteilt ist. Sie wird auch als Spannungsvektor bezeichnet. Ihre Gr¨ oße folgt aus der Kr¨ aftebilanz ↑:

tA − σA cos ϕ = 0 ,

t = σ cos ϕ ,

(1.25)

h¨ angt also vom Neigungswinkel ϕ der schr¨ agen Schnittfl¨ache ab. An jedem Punkt dieser Fl¨ ache kann der Fl¨ achenkraftvektor t in einen normalen Anteil σϕ (als Normalspannung bezeichnet) und einen tangentialen Anteil τϕ (als Tangential- oder Schubspannung bezeichnet) zerlegt werden (Bild 1.15c). Ihre

26

1. Zug, Druck und Schub

Gr¨ oßen ergeben sich zu σϕ = t cos ϕ = σ cos2 ϕ =

σ (1 + cos 2ϕ) 2

(1.26)

bzw. τϕ = t sin ϕ = σ sin ϕ cos ϕ =

σ sin 2ϕ 2

(1.27)

und sind ebenfalls gleichm¨ aßig verteilt (Bild 1.15d). Auch sie h¨angen offensichtlich vom Neigungswinkel ϕ der schr¨ agen Schnittfl¨ache ab. Aus (1.27) ist noch ersichtlich, dass die maximale Schubspannung τmax = σ/2 an der Schnittfl¨ ache mit dem Neigungswinkel ϕ = 45◦ auftritt. 1.7.3 N¨ aherungen f¨ ur den einachsigen Spannungszustand Wir kommen nochmals auf den Zugstab aus Bild 1.3 zur¨ uck, setzen jetzt aber außer der Forderung nach einer im Vergleich zur Stabl¨ange sehr kleinen Querabmessung voraus, dass die Stabquerschnittsfl¨ache A = πr2 vermittels der Funktion r = r(x)

(1.28)

geringf¨ ugig von der Stabachsenkoordinate x abh¨angen soll (Bild 1.16). Ø 2r

F Ø 2r0

FL

F

x l Bild 1.16. Zugstab mit ver¨ anderlichem Querschnitt

Die L¨ angskraft FL im Stab ist FL = F = konst. F¨ ur die mittlere axiale Normalspannung σm (x) im Querschnitt A(x) gilt σm (x) = Unter der Annahme

FL FL = 2 . A(x) πr (x)

 dr(x)     1 dx

(1.29)

(1.30)

k¨ onnen die im Querschnitt A(x) vorliegende radiale Abh¨angigkeit der axialen Normalspannung und damit einhergehende radial orientierte Schubspannungen vernachl¨ assigt werden. Die verbleibende mittlere Spannung σm verursacht dann wegen (1.13) eine mittlere Dehnung ε(x), die wie die Spannung nur noch von der Achskoordinate x abh¨ angt.

1.7

Erg¨ anzungen zum einachsigen Spannungszustand

27

F¨ ur den Fall einer solchen ortsabh¨ angigen Dehnung betrachten wir noch den als eine Volllinie idealisierten Zugstab in Bild 1.17 und markieren die an den Stellen A bei x bzw. B bei x + dx befindlichen Stabpunkte. A x

B dx

A

B

u u+du Bild 1.17. Zur Definition der Dehnung bei beliebiger Verschiebungsfunktion

Nach der Dehnung des Stabes befinden sich die beiden Stabpunkte an den Stellen A bei x + u(x) und B  bei x + dx + u(x + dx) = x + dx + u(x) + du(x). Die Dehnung ε(x) des Stabelementes dx an der Stelle x folgt dann aus ε(x) =

(dx + u + du − u) − dx du A B  − AB = = dx dx AB

(1.31)

und die Verschiebung u(x) an der Stelle x wegen (1.13) und (1.29) zu x u(x) = 0

FL ε(¯ x)d¯ x + u(0) = E

x 0

d¯ x + u(0) . A(¯ x)

(1.32)

Beispiel 1.6 F¨ ur den Zugstab aus Bild 1.16 seien der Radiusverlauf r(x) = r0 exp(−x/l) atsmodul E sowie die Kraft F gegeben. Gesucht ist mit r0  l, der Elastizit¨ die Verschiebung des Kraftangriffspunktes. L¨osung: Mit (1.32), FL = F , A = πr2 = πr02 exp(−2x/l) sowie u(0) = 0 ergibt sich F u(l) = 2 πr0 E

l 0

e2x/l dx =

F Fl Fl l 2x/l l · e (e2 − 1) = 1, 02 2 ,  = 2 2 πr0 E 2 2πr0 E r0 E 0

ein Wert, der erwartungsgem¨ aß gr¨ oßer ist als im Sonderfall r = r0 .



Kapitel 2 Allgemeine Spannungs- und Verzerrungszust¨ ande

2

2

2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6

Allgemeine Spannungs- und Verzerrungszust¨ ande Spannungsvektor ................................................. Zweiachsiger Spannungszustand .............................. Dreiachsiger Spannungszustand ............................... Verschiebungen und Verzerrungen ............................ HOOKEsches Gesetz ............................................ Arbeit, Verzerrungsarbeit und -energie ......................

31 32 39 46 52 55

2 Allgemeine Spannungs- und Verzerrungszust¨ ande Im Folgenden werden die lokalen Gleichgewichtsbilanzen f¨ ur diefferenzielle K¨ orperteile angegeben. Die in der Realit¨ at auftretenden Verschiebungen von Punkten der gelagerten K¨ orper seien wie bisher als hinreichend klein im Vergleich zu den entsprechenden K¨ orperabmessungen angenommen, so dass ihr Einfluss auf die Gleichgewichtsbilanzen f¨ ur den aktuellen Belastungszustand vernachl¨ assigbar ist. Obwohl diese Verschiebungen bei ungleichm¨aßiger Verteilung u orperpunkte Verzerrungen und damit Spannungen im ¨ ber die K¨ K¨ orper verursachen, wird ihre Kenntnis f¨ ur die allgemeine Definition des Spannungsbegriffes unter obiger Voraussetzung nicht ben¨otigt.

2.1

2.1 Spannungsvektor Zur Untersuchung des Spannungszustandes eines beliebig belasteten, im Gleichgewicht befindlichen K¨ orpers betrachten wir die Anordnung nach Bild 2.1, wo als ¨ außere Lasten beispielhaft drei Einzelkr¨afte Fi , eine Streckenlast q und ein Einzelmoment M auftreten. Denkbar w¨aren auch Fl¨achenkr¨afte, Volumenkr¨ afte und Momente pro L¨ angeneinheit (Linienmomente), die nicht eingetragen wurden, sowie Momente pro Fl¨ acheneinheit und Momente pro Volumeneinheit, welche in der vorliegenden Theorie nicht ber¨ ucksichtigt werden. Die Lasten k¨ onnen auch im K¨ orperinneren angreifen. F2

A q

¾

dA F1

F1

P

n s t

F3 M

M

¿

Bild 2.1. Zur Definition des Spannungsvektors

Wir zerlegen den K¨ orper in zwei Teile mit der gemeinsamen glatten Schnittfl¨ ache A. In dieser Schnittfl¨ ache befindet sich das Fl¨achenelement dA, das den Punkt P einschließt und den nach außen gerichteten Normaleneinheitsvektor n besitzt. Es unterliegt einer auf ihm glatt verteilten Fl¨achenkraft t, die der angrenzende, hier nicht eingezeichnete K¨ orperteil aus¨ ubt. Eine Momentenwechselwirkung u ¨ ber dA hinweg wird ausgeschlossen.

32

2. Allgemeine Spannungs- und Verzerrungszust¨ ande

Die gesamte, auf das Fl¨ achenelement dA wirkende Kraft dF ist dF = tdA .

(2.1)

Die Fl¨ achenkraft t heißt, wie oben schon erw¨ahnt, Spannungsvektor. Die Gr¨ oße dieses Vektors h¨ angt nicht nur von der Position P des Fl¨achenelementes dA, sondern auch von der Orientierung des Normaleneinheitsvektors n relativ zum K¨ orper ab (vgl. Abschnitt 1.7.2). Der Spannungsvektor t bzw. der gem¨ aß (2.1) bestimmte Kraftvektor dF und der Normalenvektor n liegen in einer Ebene, deren Schnittlinie mit der Fl¨ ache A im Punkt P den tangentialen Einheitsvektor s besitzt. Die Vektoren t bzw. dF/dA k¨onnen nach dem Normaleneinheitsvektor n und dem tangentialen Einheitsvektor s gem¨aß t=

dFT dFN n+ s = σn + τ s dA dA

(2.2)

zerlegt werden (Bild 2.1), wobei σ die Normalspannung und τ die Schubspannung bezeichnen. Die Gr¨ oßen σ und τ sind die Maßzahlen oder Koordinaten des Vektors t bez¨ uglich der aus n und s bestehenden Vektorbasis. Wenn der Spannungsvektor t mit dem Normalenvektor n einen spitzen Winkel einschließt, wird die Normalspannung σ positiv und heißt Zugspannung. Bei einem stumpfen Winkel ist die Normalspannung σ negativ und bezeichnet eine Druckspannung.

2.2

2.2 Zweiachsiger Spannungszustand Eine gegen¨ uber Bild 2.1 vereinfachte Situation entsteht f¨ ur einen prismatischen K¨ orper, der nur durch Spannungsvektoren belastet wird, die parallel zu den Grundfl¨ achen orientiert und gleichm¨ aßig u ¨ ber den Seitenfl¨achen verteilt sind. Dies f¨ uhrt zu einem zweiachsigen oder ebenen Spannungszustand, abgek¨ urzt als ESZ. Ein solcher Spannungszustand existiert exakt an freien K¨ orperoberfl¨ achen und n¨ aherungsweise z. B. in d¨ unnen Scheiben, die durch gleichm¨ aßig u ¨ ber der Scheibendicke verteilte ¨außere Fl¨achenkr¨afte normal zum Scheibenrand und parallel zur Scheibenmittelebene belastet werden. Er hat technische Bedeutung (vgl. Abschnitt 9.2.2). Wir betrachten nach Bild 2.2a das aus einer senkrecht zur z-Achse liegenden Scheibe herausgeschnittene quaderf¨ ormige Element mit der Dicke b und den Seitenfl¨ achen x = konst. bzw. y = konst. Die Seitenfl¨ achen seien gem¨ aß Bild 2.2a durch glatt verteilte Spannungsvektoren belastet, die bereits in normale und tangentiale Anteile (Spannungen) zerlegt wurden. Diese Spannungen sind jeweils durch nur einen Pfeil symbolisiert. Der eingef¨ uhrte Doppelindex ist so definiert, dass der erste Index die Koordinate anzeigt, zu welcher die ¨ außere Normale der betrachteten Fl¨ache

2.2

Zweiachsiger Spannungszustand

33

¾yy

ty

¿yx y

¾xx

ey ez z ex

dy

b dick

P

dx

¿xy

¿yx

dy

dA

dx ¿yx

tx

¾yy

¾yy a)

t

¾xx ¾xx

¿xy x

¿xy

n

b)

Bild 2.2. Kartesisches Scheibenelement im ebenen Spannungszustand

parallel ist (z. B. x f¨ ur beide vertikale Fl¨ achen), w¨ahrend der zweite Index die zugeordnete Fl¨ achenkraftrichtung angibt. Die Z¨ ahlpfeile der Spannungen in Bild 2.2a weisen dabei definitionsgem¨ aß auf der Seite, wo die Fl¨achennormale die positive Koordinatenrichtung besitzt, in positive Koordinatenrichtung. Die betreffende Seite heißt positives Schnittufer. Auf der gegen¨ uberliegenden Seite, dem negativen Schnittufer, sind die Z¨ ahlpfeile der Spannungen in negativer Koordinatenrichtung orientiert. So zeigt der Z¨ahlpfeil der Normalache x = konst. in positiver x-Richtung, spannung σxx an der rechten Fl¨ an der linken Fl¨ ache x = konst. in negativer x-Richtung. Der Z¨ahlpfeil der ache x = konst. die positive Schubspannung τxy besitzt an der rechten Fl¨ y-Orientierung, an der linken Fl¨ ache x = konst. die negative y-Orientierung. Der Spannungsvektor t an einer beliebig orientierten Schnittfl¨ache dA des Scheibenelementes (Bild 2.2b) ist durch die Spannungsvektoren an den Koordinatenfl¨ achen x = konst. bzw. y = konst. bestimmt. Denn die f¨ ur das Scheibenelement g¨ ultigen (lokalen) Kr¨ aftebilanzen →:

tx dA − σxx dA cos ϕ − τyx dA sin ϕ = 0 ,

↑ :

ty dA − τxy dA cos ϕ − σyy dA sin ϕ = 0

liefern tx = σxx cos ϕ + τyx sin ϕ = σxx nx + τyx ny ,

(2.3a)

ty = τxy cos ϕ + σyy sin ϕ = τxy nx + σyy ny .

(2.3b)

Die Gr¨ oßen nx und ny bezeichnen die Koordinaten des Fl¨achennormalenvektors n. In die Bilanzen (2.3) gehen Volumenkr¨ afte nicht ein, da das Volumen des Scheibenelementteiles aus Bild 2.2b  dA 1 1  dA cos ϕ sin ϕ b = cos ϕ sin ϕ(dA)2 (2.4) 2 b b 2b betr¨ agt und Terme der Ordnung (dA)2 gegen¨ uber Termen der Ordnung dA entfallen.

34

2. Allgemeine Spannungs- und Verzerrungszust¨ ande

Bez¨ uglich des Momentengleichgewichts des Scheibenelementes von Bild 2.2a gilt wie schon in Abschnitt 1.2 die lokale Momentenbilanz 

P :

τxy dybdx − τyx dxbdy = 0

d. h. τxy = τyx ,

(2.5)

die so genannte Gleichheit der zugeordneten Schubspannungen. In (2.5) bleiben Volumenkr¨ afte ¨ ahnlich wie in den Kr¨ aftebilanzen bedeutungslos, da sie wieder auf Differenziale h¨ oherer Ordnung f¨ uhren. Die Symmetriebedingung (2.5) kann verletzt sein, wenn das Scheibenmaterial elektrisch polarisiert oder magnetisiert ist und einem a ¨ußeren elektrischen oder magnetischen Feld unterliegt. Unter diesen Voraussetzungen wirken Volumenmomente, welche hier ausgeschlossen werden. Die auf der rechten Seite von (2.3) enthaltenen Spannungen k¨onnen in der symmetrischen Matrix   σxx τyx σxx τxy = (σkl ) = τxy σyy τyx σyy angeordnet werden. Sie legen den Spannungszustand im betrachteten K¨orperpunkt vollst¨ andig fest. Dabei vermitteln sie eine lineare Beziehung zwischen dem Normalenvektor n des Fl¨ achenelementes und dem auf diesem Fl¨achenelement wirkenden Spannungsvektor t. In diesem Zusammenhang werden sie als Koordinaten des Spannungstensors bez¨ uglich der Vektorbasis ex , ey bezeichnet. Derselbe Spannungszustand ist auch mittels einer gedrehten Vektorbasis angebbar. Hierzu betrachten wir Bild 2.3. ¾yy

¾vv

¿yx

¿vu ¿uv

y

v

¾xx ev ez

ey eu z

ex

u

dy

b dick

x

¿xy ¾xx

¿xy

dx

dv

¾uu

du ¿uv

¿yx ¾yy a)

¾uu

b dick

¿vu

¾vv

b)

Bild 2.3. Spannungszustand in verschiedenen kartesischen Vektorbasissystemen

Zu der Vektorbasis ex , ey wurde die mit dem Winkel ϕ um die z-Achse geuhrt. Ein und derselbe Spannungstensor hat drehte Vektorbasis eu , ev eingef¨ bez¨ uglich der gedrehten Vektorbasis die neuen Koordinaten σuu , σvv und τuv

2.2

Zweiachsiger Spannungszustand

35

anstelle der alten σxx , σyy und τxy . Zur Berechnung der neuen Spannungstensorkoordinaten in Abh¨ angigkeit von den alten werden an rechtwinkligen Dreiecksscheibenelementen mit Hypothenusen in u- bzw. v-Richtung (Bild 2.4) die lokalen Kr¨ aftebilanzen in u- bzw. v-Richtung aufgestellt.

y

v ev ez

ey eu z

ex

u

¾xx

¿yx a)

dA cos ¾yy

¾uu

¿xy

¿xy

dA

x

¿uv

¾xx

¾vv ¿vu

dA

dA cos

dA sin

¿yx b)

dA sin ¾yy

Bild 2.4. Zur Transformation der Spannungstensorkoordinaten

Sie liefern f¨ ur die Zerlegung nach Bild 2.4a

:

σvv dA − σyy dA cos2 ϕ + τyx dA cos ϕ sin ϕ + τxy dA sin ϕ cos ϕ −σxx dA sin2 ϕ = 0 ,

:

τvu dA + σxx dA sin ϕ cos ϕ + τxy dA sin2 ϕ − σyy dA cos ϕ sin ϕ −τyx dA cos2 ϕ = 0

bzw. mit (2.5) σvv = σxx sin2 ϕ + σyy cos2 ϕ − 2τxy sin ϕ cos ϕ ,

(2.6)

τvu = −(σxx − σyy ) sin ϕ cos ϕ + τxy (cos2 ϕ − sin2 ϕ) .

(2.7)

Die Kr¨ aftebilanz in u-Richtung gem¨ aß der Zerlegung nach Bild 2.4b ergibt σuu = σxx cos2 ϕ + σyy sin2 ϕ + 2τxy sin ϕ cos ϕ .

(2.8)

K¨ unftig werden wir auch die vereinfachte Schreibweise σxx = σx , σyy = σy und σuu = σu , σvv = σv benutzen. Bei Anwendung der Formeln sin2 ϕ = (1 − cos 2ϕ)/2, cos2 ϕ = (1 + cos 2ϕ)/2 und 2 sin ϕ cos ϕ = sin 2ϕ in (2.6) bis (2.8) entsteht noch σu =

1 1 (σx + σy ) + (σx − σy ) cos 2ϕ + τxy sin 2ϕ , 2 2

(2.9)

σv =

1 1 (σx + σy ) − (σx − σy ) cos 2ϕ − τxy sin 2ϕ , 2 2

(2.10)

36

2. Allgemeine Spannungs- und Verzerrungszust¨ ande

1 τuv = − (σx − σy ) sin 2ϕ + τxy cos 2ϕ . 2

(2.11)

Die mathematische Struktur der Gleichungen (2.6) bis (2.8) bzw. (2.9) bis (2.11) ist identisch zur Struktur der Transformationsgleichungen der Fl¨achenmomente zweiter Ordnung in der Statik. Sie spiegelt die mathematischen Eigenschaften von Tensoren zweiter Stufe wider, zu denen sowohl Fl¨achenmomente zweiter Ordnung als auch Spannungstensoren geh¨oren. Die zweite Stufe entspricht dabei den zwei Indizes an den Tensorkoordinaten σkl . Sie ist von der Dimension des Raumes zu unterscheiden, die hier wegen des ebenen Spannungszustandes zwei betr¨ agt im Gegensatz zur Dimension drei beim dreiachsigen Spannungszustand (s. Abschnitt 2.3). Wie im Fall der Fl¨ achenmomente zweiter Ordnung liefert (2.11) mit der Forur den Winkel 2ϕ in der Formel derung τuv = 0 eine Bestimmungsgleichung f¨ tan 2ϕ0 =

2τxy . σx − σy

(2.12)

Zu den beiden L¨ osungen ϕ0 und ϕ¯0 = ϕ0 + π/2 geh¨oren zwei senkrecht aufeinander stehende Achsen, die als Hauptachsen bzw. -richtungen bezeich σ1,2 heißen net werden. Die dazu geh¨ orenden Normalspannungen σ1 , σ2 = Hauptspannungen. Sie berechnen sich durch Einsetzen von ϕ0 und ϕ¯0 in (2.8) bzw. (2.9) zahlenm¨ aßig direkt oder nach Elimination der Winkel aus (2.12), (2.9) und (2.10) zu  1 1 2 , (σx − σy )2 + τxy σ1 ≥ σ2 , (2.13) σ1,2 = (σx + σy ) ± 2 4 wobei die Winkelzuordnung hinsichtlich der Hauptspannungen auch aus τxy tan ϕ01,2 = (2.14) σx − σ2,1 entnehmbar ist. Zur Herleitung von (2.14) wurde das Additionstheorem tan 2α =

2 tan α 1 − tan2 α

auf (2.12) angewendet und (2.13) benutzt. Die Angabe des Hauptachsenbezugssystems und der beiden Hauptspannungen legen den ebenen Spannungszustand vollst¨andig fest und begr¨ unden den Begriff zweiachsiger Spannungszustand“. ” Mit (2.9), (2.10) und (2.13) folgt noch die Beziehung σu + σv = σx + σy = σ1 + σ2 ,

(2.15)

in der die Summen offensichtlich invariant gegen¨ uber dem Wechsel der Bezugssysteme sind und deshalb als Rechenkontrollen dienen k¨onnen.

2.2

Zweiachsiger Spannungszustand

37

Die Beziehungen (2.9) bis (2.15) lassen sich in derselben Weise wie bei den Fl¨ achenmomenten zweiter Ordnung in der Statik mittels des MOHRschen Tr¨ agheitskreises, nach MOHR (1835-1918), veranschaulichen. Beispiel 2.1 Gegeben ist die Scheibe unter reiner Schubbeanspruchung τ gem¨aß Bild 1.4d bzw. Bild 1.7. Gesucht sind die Hauptspannungen und -richtungen. L¨osung: Nach Bild 1.7 und Bild 2.3a ist τxy = τ sowie σx = σy = 0. Aus (2.13) folgt σ1,2 = ±τ und aus (2.14) tan ϕ01,2 =

τ = ±1 −(∓τ )

bzw. ϕ01 = 45◦ ,

ϕ02 = 135◦ .

Der reine Schubspannungszustand (auch als reiner Schub bezeichnet) ist also gem¨ aß den Alternativen von Bild 2.5 angebbar. ¿

¾ ¿ ¿

2 y

¾

1 45° x

=

¾

¾= ¿ ¾

¿ Bild 2.5. Alternative Beschreibungen des reinen Schubspannungszustandes

¨ Ahnliches gilt auch f¨ ur unterschiedliche Beschreibungen ein und desselben Verzerrungszustandes (siehe hierzu Bild 1.2 und Beispiel 2.3).  Abschließend seien noch die lokalen Kr¨ aftebilanzen des differenziellen Scheibenelementes im ebenen, ¨ ortlich ver¨ anderlichen Spannungszustand betrachtet. Hierf¨ ur ben¨ otigen wir den Begriff der partiellen Ableitung einer Funktion z = f (x, y) von zwei unabh¨ angigen Variablen x und y. Bei Ver¨ anderung nur einer unabh¨ angigen Variable, z. B. x um Δx, kann der Grenzwert des Differenzenquotienten der Funktion z = f (x, y) ∂f (x, y) ∂f 1  f (x + Δx, y) − f (x, y) = = = f,x = z,x lim Δx→0 Δx ∂x ∂x gebildet werden. Dieser Grenzwert stellt die partielle Ableitung der Funktion z = f (x, y) nach x mit verschiedenen Schreibweisen dar. Die Diffe-

38

2. Allgemeine Spannungs- und Verzerrungszust¨ ande

renziationsregeln f¨ ur Funktionen von einer unabh¨angigen Variablen k¨onnen u ¨ bernommen werden, wobei nur die u ¨brige Variable y als Konstante anzusehen ist. Die Erweiterung auf drei und mehr unabh¨angige Variable erfordert ¨ keine weiteren grunds¨ atzlichen Uberlegungen. In den lokalen Kr¨ aftebilanzen soll die Wirkung der Volumenkr¨afte fx und ¨ wie beim Stab in Bild 1.14 fy (Bild 2.6) mit einbezogen werden. Ahnlich bekommt die Schnittkraft σx bdy beim Fortschreiten um dx den Zuwachs ∂(σx bdy) ∂σx dx = bdy dx , ∂x ∂x wobei das partielle Ableitungssymbol ∂()/∂x das Festhalten der y-Koordinate beinhaltet und die Konstanz des kartesischen Fl¨achendifferenzials bdy beim Ableiten ber¨ ucksichtigt wurde. Entsprechend gewinnt die Kraft τyx bdx beim Fortschreiten um dy in der y-Richtung den Zuwachs ∂τyx ∂(τyx bdx) dy = bdx dy . ∂y ∂y Wegen der Ortsunabh¨ angigkeit der kartesischen Fl¨achendifferenziale bdx und bdy wurden in Bild 2.6 nur die Spannungen und ihre partiellen Differenziale eingetragen. Es empfiehlt sich aber bei Untersuchung des Kr¨aftegleichgewichtes krummlinig berandeter Scheibenelemente oder bei ver¨anderlicher Scheibendicke die Kr¨ afte selbst in die Elementskizze einzutragen und damit die Ver¨ anderlichkeit der Fl¨ achenelemente bei der partiellen Ableitung schon im Bild mit zu erfassen. Dies wird am Beispiel von Polarkoordinaten im Kapitel 9 demonstriert. ¾y +

∂ ¾y dy ∂y ¿yx +

Dicke b

y ey ez z

ex x

¿xy +

fy

¾x

fx

¿xy dx P

∂¿yx dy ∂y

dy

∂ ¿xy dx ∂x

¾x +

∂ ¾x dx ∂x

¿yx ¾y

Bild 2.6. Zum Gleichgewicht des Scheibenelementes im ebenen Spannungszustand

2.3

Dreiachsiger Spannungszustand

39

In der horizontalen Kr¨ aftebilanz →:

∂σx dxbdy ∂x ∂τyx − τyx bdx + τyx bdx + dybdx + fx bdxdy = 0 ∂y

− σx bdy + σx bdy +

verbleiben nach Herausk¨ urzen des gemeinsamen Faktors bdxdy nur die Volumenkraft fx und die partiellen Ableitungen der beiden Spannungen σx , τyx in der Form ∂σx ∂τyx + + fx = 0 . ∂x ∂y

(2.16a)

¨ Das Ergebnis der obigen Uberlegungen f¨ ur die y-Richtung lautet ∂σy ∂τxy + + fy = 0 . ∂x ∂y

(2.16b)

Die beiden Gleichungen (2.16) sind lokale Kr¨ aftebilanzen. An dieser Stelle sei darauf verwiesen, dass im kinetischen Fall beschleunigter Bewegungen die Erweiterung von (2.16) nur die Ber¨ ucksichtigung von Tr¨agheitsanteilen in den Volumenkr¨ aften erfordert (s. Abschnitt 12.5). Beide lokalen Kr¨ aftebilanzen (2.16) und die lokale Momentenbilanz (2.5) enthalten, wie bereits in Abschnitt 1.2 gefordert, keine Einzellasten. In der Momentenbilanz, z. B. um P ausgef¨ uhrt, haben die partiellen Spannungsableitungen und die Volumenkr¨ afte keinen Einfluss. Die Symmetriebedingung (2.5) bleibt also sowohl in der Statik als auch in der Kinetik g¨ ultig. Sie sorgt f¨ ur die Kopplung zwischen (2.16a) und (2.16b). Die beiden als lineare inhomogene partielle Differenzialgleichungen einzuordnenden Beziehungen (2.16) enthalten die drei Unbekannten σx , σy und τxy . Deshalb ist das Gleichungssystem (2.16) einfach statisch unbestimmt. Diese Unbestimmtheit kann durch Hinzunahme von Gleichungen f¨ ur die Verformungskinematik und das Materialverhalten beseitigt werden. Dar¨ uber hinaus sind die Gleichungen (2.16) durch statische Rand- oder Sprungbedingungen zu erg¨ anzen, die Angaben u ¨ ber den Spannungsvektor betreffen (vgl. Kapitel 12).

2.3 Dreiachsiger Spannungszustand Im allgemeinen Fall ist von einem dreiachsigen oder r¨aumlichen Spannungszustand auszugehen. Die Erweiterung der Anordnung von Bild 2.3a f¨ uhrt auf das quaderf¨ ormige differenzielle Volumenelement im Bild 2.7.

2.3

40

2. Allgemeine Spannungs- und Verzerrungszust¨ ande ¾yy

¿yx

y ¿yz

ey ez

ex

x

¿zy dy

z

¿xy

¾xx

¿xz

¿zx

dz

¾zz dx

Bild 2.7. Kartesisches Quaderelement im r¨ aumlichen Spannungszustand

Die drei sichtbaren Koordinatenfl¨ achen sind durch glatt verteilte Spannungsvektoren belastet, die mittels ihrer Koordinatentripel (σxx , τxy , τxz ) ,

(τyx , σyy , τyz ) ,

(τzx , τzy , σzz )

bez¨ uglich der kartesischen Basis ex , ey , ez beschrieben werden. Auf den R¨ uckseiten liegen die entgegengesetzt gleich großen Fl¨achenkr¨afte vor. ¨ Ahnlich wie in Abschnitt 2.2 fragen wir nach dem Zusammenhang zwischen dem Spannungsvektor an einem beliebig orientierten Fl¨achenelement mit der Einheitsnormalen n und den Spannungsvektoren an fest orientierten Koordinatenfl¨ achenelementen eines freigeschnittenen Tetraeders (Bild 2.8). Ersterer ist in Bild 2.8 als t eingetragen. F¨ ur ihn werden zwei Komponentenzerleuglich gungen benutzt, eine bez¨ uglich der Basis ex , ey , ez und die andere bez¨ des Normaleneinheitsvektors n sowie des tangentialen Einheitsvektors s des Fl¨ achenelementes dA. Die Zerlegungen sind t = tx ex + ty ey + tz ez = σn + τ s ,

(2.17)

wobei σ wieder eine Normalspannung und τ eine Schubspannung bezeichnen. Von den Spannungsvektoren an den Koordinatenfl¨achenelementen liegt bereits die Koordinatendarstellung vor. Die Inhalte der Fl¨ achenelemente in den Koordinatenebenen ergeben sich als Projektionen des geneigten Fl¨ achenelementes dA auf die Koordinatenebenen aus dAx = dA cos(n, ex ) = nx dA , dAy = dA cos(n, ey ) = ny dA , dAz = dA cos(n, ez ) = nz dA ,

(2.18)

2.3

Dreiachsiger Spannungszustand

41 y

dAz ¿zy

¾zz

¿zx ¿xy ¾xx

¾

n ey

¿xz ez dAx

ex

s ¿ ¿yx

t

dA x

¿yz ¾yy

z

dAy

Bild 2.8. Zur Darstellung des Spannungsvektors

wobei n = nx ex + ny ey + nz ez

(2.19)

gilt und (n, ek ), k = x, y, z den Winkel zwischen dem Normalenvektor n und dem Basisivektor ek bezeichnet. Die Kr¨ aftebilanz f¨ ur das Tetraeder, in der ¨ ahnlich wie in Abschnitt 2.2 Volumenkr¨ afte weggelassen werden k¨ onnen, f¨ uhrt mit der linken Gleichung von (2.17) und gem¨ aß Bild 2.8 auf ←:

− tx dA + σxx dAx + τyx dAy + τzx dAz = 0 ,

↓ :

− ty dA + τxy dAx + σyy dAy + τzy dAz = 0 ,

:

− tz dA + τxz dAx + τyz dAy + σzz dAz = 0 .

(2.20)

Hieraus entsteht unter Benutzung von (2.18) tx = σxx nx + τyx ny + τzx nz , ty = τxy nx + σyy ny + τzy nz ,

(2.21)

tz = τxz nx + τyz ny + σzz nz . Diese Beziehungen, die auf CAUCHY (1789-1857) zur¨ uckgehen, stellen den angek¨ undigten Zusammenhang zwischen den auf die Basis ex , ey , ez bezogenen kartesischen Koordinaten des an einem beliebig orientierten Schnittfl¨ achenelement ndA wirkenden Spannungsvektors t und den kartesischen Koordinaten der Spannungsvektoren an den kartesischen Koordinatenfl¨achenelementen dar. Im ebenen Spannungszustand gem¨aß (2.3) entfallen die zindizierten Terme.

42

2. Allgemeine Spannungs- und Verzerrungszust¨ ande

Bez¨ uglich des Momentengleichgewichts des Quaders von Bild 2.7 gelten in Verallgemeinerung von (2.5) die Symmetriebedingungen τxy = τxy ,

τxz = τzx ,

τyz = τzy .

(2.22)

Der r¨ aumliche Spannungszustand ist demnach durch sechs unabh¨angige Angaben bestimmt, die in der symmetrischen Matrix ⎞ ⎛ σxx τxy τxz

 σkl = ⎝ τyx σyy τyz ⎠ τzx τzy σzz angeordnet werden k¨ onnen. Diese Angaben stellen wie im ebenen Fall die Koordinaten des Spannungstensors dar. Es entstehen auch hier keine Missverst¨ andnisse, wenn die doppelten Indizes an den Normalspannungen durch einfache ersetzt werden, d. h. wir benutzen k¨ unftig die Schreibweise σxx = σx , σyy = σy und σzz = σz . Analog zum ebenen Fall kann auch ein und derselbe r¨aumliche Spannungszustand bez¨ uglich verschiedener gegeneinander r¨aumlich gedrehter Vektorbasen beschrieben werden. Die Spannungstensorkoordinaten in Bezug auf die alte Vektorbasis und die Spannungstensorkoordinaten in Bezug auf die neue, gedrehte Vektorbasis h¨ angen u ¨ber Gleichungen voneinander ab, die den Beziehungen (2.6) bis (2.8) ¨ ahneln und in der weiterf¨ uhrenden Literatur zu finden sind. Im Folgenden schr¨ anken wir den Spannungsvektor t so ein, dass er normal zum schr¨ agen Schnittfl¨ achenelement wirken soll, und geben seine Koordinatendarstellung unter Nutzung von (2.17) und (2.19) an: t = tx ex + ty ey + tz ez = σn = σnx ex + σny ey + σnz ez

(2.23)

bzw. tx = σnx ,

ty = σny ,

tz = σnz .

(2.24)

Einsetzen von (2.24) in (2.21) ergibt ein lineares homogenes Gleichungssystem f¨ ur die unbekannten Richtungskosinus nx , ny und nz , das unter Benutzung von (2.22) in der Form (σx − σ)nx +

τxy ny +

τxz nz = 0 ,

τyx nx +(σy − σ)ny +

τyz nz = 0 ,

τzx nx + geschrieben werden kann.

τzy ny +(σz − σ)nz = 0

(2.25)

2.3

Dreiachsiger Spannungszustand

43

Die notwendige Bedingung f¨ ur nichttriviale L¨ osungen von (2.25) besteht im Verschwinden der Koeffizientendeterminante    σx − σ τxy τxz    τyx (2.26) σy − σ τyz  = 0 .   τ τzy σz − σ  zx Ohne Beweis sei festgestellt, dass die in (2.26) ausgedr¨ uckte Polynomgleichung dritten Grades 2 2 2 − σ 3 + (σx + σy + σz )σ 2 − (σx σy + σx σz + σy σz − τxy − τxz − τyz )σ    σx τxy τxz    (2.27) +  τyx σy τyz  = 0 τ σz  zx τzy

wegen der Symmetrie der Koeffizientenmatrix von (2.26) drei reelle L¨osungen besitzt. Diese drei L¨ osungen (Wurzeln) sind die Eigenwerte σi , i = 1, 2, 3 oder Hauptwerte des Spannungstensors und heißen Hauptspannungen. Die drei Eigenwerte seien verschieden. Dann erzeugt jeder dieser Eigenwerte mit (2.25) ein homogenes Gleichungssystem f¨ ur die drei Koordinaten des zum jeweiligen Eigenwert geh¨ orenden Eigenvektors. F¨ ur i = 1 lautet das Gleichungssystem der zu bestimmenden Eigenvektorkoordinaten (σx − σ1 )n1x +

τxy n1y +

τxz n1z = 0 ,

τyx n1x +(σy − σ1 )n1y +

τyz n1z = 0 ,

τzx n1x +

(2.28)

τzy n1y +(σz − σ1 )n1z = 0 .

In (2.28) sind genau zwei Gleichungen linear unabh¨angig. Mittels dieser Gleichungen lassen sich zwei Eigenvektorkoordinaten durch die dritte ausdr¨ ucken. Der aus (2.28) folgende Eigenvektor n1 = n1x ex + n1y ey + n1z ez ,

(2.29)

der die Richtung einer Hauptachse hat, besitzt zun¨achst eine unbestimmte L¨ ange, die durch die Normierungsbedingung |n1 | = n21x + n21y + n21z = 1

(2.30)

festgelegt wird, so dass n1x , n1y und n1z die Richtungskosinus von n1 darstellen. Die Wiederholung der Prozedur (2.28), (2.30) f¨ ur i = 2, 3 f¨ uhrt auf die verbleibenden Eigenvektoren n2 und n3 . Diese k¨onnen in einem Rechtssystem, dem Hauptachsenbezugssystem, angeordnet werden. Ihre Richtungskosinus bilden dann eine eigentlich orthogonale Matrix. Diese Matrix beschreibt

44

2. Allgemeine Spannungs- und Verzerrungszust¨ ande

die r¨ aumliche Drehung des Hauptachsenbezugssystems gegen¨ uber dem Ausgangssystem. Die zu den Hauptachsen senkrechten Ebenen heißen Hauptebenen. Bei einer Doppelwurzel von (2.27) bestimmen die dazugeh¨origen Eigenvektoren eine Ebene, die senkrecht zum Eigenvektor der dritten Wurzel von (2.27) angeordnet ist. Die beiden Eigenvektoren der Doppelwurzel k¨onnen so gew¨ ahlt werden, dass sie zusammen mit dem dritten Eigenvektor ein kartesisches Rechtssystem bilden (Orthonormierung). Entsteht das Hauptachsenbezugssystem durch Drehung um nur eine Koordinatenachse des Ausgangsbezugssystems, wobei diese Koordinatenachse schon eine Hauptachse ist, so f¨ uhrt die erl¨ auterte Vorschrift zur Berechnung der Hauptspannungen und -richtungen auf die speziellen Formeln (2.12) bis (2.14). Verschwindet eine Hauptspannung, so liegt ein ebener Spannungszustand vor. Umgekehrt geht der ebene Spannungszustand immer mit dem Verschwinden einer Hauptspannung einher. Ein einachsiger Spannungszustand ist gegeben, wenn zwei Hauptspannungen null sind. Drei gleiche Hauptspannungen charakterisieren den hydrostatischen Spannungszustand, bei dem jedes orthogonale Bezugssystem Hauptachsensystem ist. Mit Kenntnis der Hauptspannungen l¨ asst sich (2.27) nach den Regeln der Algebra auch als −(σ − σ1 )(σ − σ2 )(σ − σ3 ) = −σ 3 + (σ1 + σ2 + σ3 )σ 2 −(σ1 σ2 + σ1 σ3 + σ2 σ3 )σ + σ1 σ2 σ3 = 0

(2.31)

schreiben. Die Koeffizienten von (2.27) und (2.31) legen dasselbe Polynom fest. Sie sind offensichtlich nicht vom Wechsel des Bezugs vom x, y, z-System auf das Hauptachsensystem betroffen und heißen deshalb Invarianten des Spannungstensors. Ohne Beweis sei noch die maximale Schubspannung τmax angegeben, deren Definition f¨ ur σk und σl mit k = l durch τmax =

1 |σk − σl |max , 2

τmax =

1 (σ1 − σ3 ) , 2

k, l = 1, 2, 3

(2.32)

bzw. σ1 ≥ σ2 ≥ σ3

(2.33)

gegeben ist, wobei die Hauptspannungen der Gr¨oße nach geordnet sind. Die maximale Schubspannung wirkt in Ebenen, die jeweils eine Neigung von je uber den Hauptachsen 1 und 3 besitzen. 45◦ gegen¨ Die Hauptspannungen und die maximale Schubspannung haben Bedeutung f¨ ur die Beurteilung der Festigkeit von Bauteilen (vgl. Kapitel 6).

2.3

Dreiachsiger Spannungszustand

45

Das oben erl¨ auterte Eigenwertproblem des Spannungstensors ist identisch mit dem Eigenwertproblem symmetrischer quadratischer Matrizen. Beispiel 2.2 Bei der Berechnung eines Bauteiles wurde der r¨ aumliche Spannungszustand mit den Zahlenwerten σx = 100 MPa, σy = 80 MPa, σz = 90 MPa, τxy = 0, τxz = 20 MPa und τyz = 20 MPa ermittelt (vgl. a. Bild 2.7). Gesucht sind die Hauptspannungen und -richtungen sowie die maximale Schubspannung. L¨osung: In der Eigenwertgleichung (2.27) wird der normierte Eigenwert σ ¯ mittels σ=σ ¯ · 10 MPa eingef¨ uhrt, so dass σ 2 − 234¯ σ + 648 = 0 −¯ σ 3 + 27¯ ¯2 = 9 und σ ¯3 = 6 folgt. Die Hauptspannungen mit den L¨ osungen σ ¯1 = 12, σ sind dann σ1 = 120 MPa, σ2 = 90 MPa und σ3 = 60 MPa. Aus den gegebenen Spannungswerten und der ersten Hauptspannung σ1 ergibt sich mit (2.28) das homogene Gleichungssystem zur Bestimmung der Richtungskosinus n1x , n1y und n1z des Eigenvektors n1 der ersten Hauptrichtung −2n1x

+2n1z = 0 , − 4n1y +2n1z = 0 ,

2n1x + 2n1y −3n1z = 0 . Diese Gleichungen liefern n1x = n1z und n1y = n1z /2. Die Normierungsbedingung (2.30) ergibt n21x + n21y + n21z =

9 2 n =1 4 1z

bzw. n1x = 2/3, n1y = 1/3 und n1z = 2/3. uhren auf n2x = −2/3, n2y = 2/3 und Analoge Rechnungen f¨ ur σ2 und σ3 f¨ n2z = 1/3 bzw. n3x = −1/3, n3y = −2/3 und n3z = 2/3. Die Normierung der Eigenvektoren wurde so realisiert, dass die Eigenvektoren n1 , n2 und n3 der Hauptrichtungen ein Rechtssystem bilden. Die maximale Schubspannung betr¨ agt nach (2.32) bzw. (2.33) τmax =

1 (σ1 − σ3 ) = 30 MPa . 2 

Es sei noch erw¨ ahnt, dass zur Untersuchung inhomogener dreiachsiger Spannungszust¨ ande und bei Ber¨ ucksichtigung von beliebigen Volumenkr¨aften ein-

46

2. Allgemeine Spannungs- und Verzerrungszust¨ ande

schließlich Tr¨ agheitsanteilen die Anordnung aus Bild 2.6 um Terme bez¨ uglich der z-Richtung erweitert werden muss. Das Kr¨aftegleichgewicht f¨ uhrt dann auf drei Gleichungen anstelle von (2.16a) und (2.16b) sowie in den dazugeh¨ origen statischen Randbedingungen f¨ ur den Spannungsvektor auf die Ber¨ ucksichtigung einer z-Komponente (s. Kapitel 12). Die Symmetrie (2.22) des Spannungstensors als Ausdruck der Erf¨ ullung der Momentenbilanz bleibt bestehen. An dieser Stelle ist zu bemerken, dass die mitunter anzutreffenden, durch die Punktmechanik inspirierten kugelf¨ ormigen Massen- bzw. Volumenelemente anstelle der durch Koordinatenfl¨ achen wie in Bild 2.7 abgegrenzten Elemente f¨ ur die obigen Betrachtungen ungeeignet sind. Denn sie hinterlassen auch bei noch so geringen Abmessungen in dichtester Packung L¨ ucken, die im Widerspruch zu der mit dem K¨ orperbegriff eingef¨ uhrten Kontinuumsannahme stehen, und die Erf¨ ullung ihres Momentengleichgewichtes bleibt offen (s. a. Kapitel 12).

2.4

2.4 Verschiebungen und Verzerrungen Wird ein K¨ orper belastet, so verformt er sich. Dabei werden die K¨orperpunkte in Abh¨ angigkeit von ihrem Ort verschoben. Die Verschiebungen aller K¨ orperpunkte bilden den Verschiebungszustand des K¨orpers, auch als Verschiebungsfeld bezeichnet. Ortsver¨ anderliche Verschiebungsfelder verursachen i. Allg. Verzerrungen des K¨ orpers. Die Verzerrungen gehen gemeinsam mit den Spannungen in die Materialgleichungen ein. Es werden deshalb Definitionsgleichungen f¨ ur die Verzerrungen ben¨otigt, die kinematischer (auch geometrischer) Natur sind. Zur Berechnung des kinematischen Zusammenhangs zwischen dem Verschiebungsfeld der K¨ orperpunkte und den daraus folgenden Verzerrungen betrachten wir ein kartesisches Volumenelement des K¨orpers. Von einer in der x, yEbene liegenden Fl¨ ache dieses elementaren Quaders sind in Bild 2.9 die materiellen Seitenlinien AB und AC eingezeichnet. Zun¨ achst werde der Quader nur parallel zur x, y-Ebene bewegt. Dabei wird der anf¨ anglich bei A(x, y) befindliche K¨ orperpunkt an den Ort A verschoben. Der entsprechende Verschiebungsvektor ergibt sich als Funktion der beiden unabh¨ angigen Ortskoordinaten x und y der Ausgangslage A des K¨orperpunktes zu u(x, y) = rA − rA = ux (x, y)ex + uy (x, y)ey .

(2.34)

In Bild 2.9 wurde der Vektor u zur Vereinfachung ohne die Argumente x und y eingetragen.

2.4

Verschiebungen und Verzerrungen y

47

ux(x;y+dy)

uy(x;y+dy)

C¢¢ °

y+dy

C¢ xy2

C

dy

B¢ °xy1

A¢ uy(x;y) y

A rA

u

uy(x+dx;y) B¢¢

B

rA¢ ux(x+dx;y)

ux(x;y) ey z ex

x

x+dx

dx

x

Bild 2.9. Zur Berechnung der Verzerrungen

Infolge ebener Verzerrung des Quaderelemetes wird der in der Ausgangsanordnung um dx vom K¨ orperpunkt bei A entfernte K¨orperpunkt bei B nach  B verschoben. Der dabei erzeugte Winkel γxy1 zwischen der materiellen Seitenlinie im verzerrten Zustand A B  und im Ausgangszustand AB sei hinaherungsweise A B  ≈ A B  , und die reichend klein, |γxy1 |  1. Dann ist n¨ Dehnung des mit seinen Enden urspr¨ unglich in den Punkten A und B befindlichen materiellen L¨ angenelementes dx ergibt sich analog zu (1.31) und (x,y) dx in der Form mit ux (x + dx, y) = ux (x, y) + ∂ux∂x εxx =

∂u A B  − AB 1  x dx + ux(x + dx, y) − ux(x, y) − dx = , (2.35) = dx ∂x AB

wobei das Symbol ∂()/∂x wieder die partielle Ableitung f¨ ur festgehaltenes y bezeichnet und der Doppelindex xx auf die Form der rechten Seite in (2.35) Bezug nimmt. ¨ Eine ¨ ahnliche Uberlegung bez¨ uglich des materiellen Elementes dy f¨ uhrt auf εyy =

∂uy . ∂y

(2.36)

48

2. Allgemeine Spannungs- und Verzerrungszust¨ ande

Wir setzen auch |εxx |, |εyy |  1 voraus. F¨ ur |γxy1 |  1 gilt dann in derselben N¨ aherungsordnung noch ∂u B  B  1  y γxy1 =   = uy (x + dx, y) − uy (x, y) = (2.37) dx ∂x AB und analog γxy2 =

∂ux . ∂y

(2.38)

Das verzerrte materielle Zweibein A B  − A C  weicht deshalb um die Schubverzerrung ∂uy ∂ux + (2.39) γxy = γxy1 + γxy2 = ∂y ∂x vom urspr¨ unglich rechten Winkel ab. Bei einer r¨ aumlichen Verzerrung des K¨ orpers ist das materielle Zweibein AB − AC aus Bild 2.9 um einen dritten Schenkel in z-Richtung AD zu erg¨ anzen und die Abh¨ angigkeit aller Verschiebungsvektorkoordinaten ux , uy und uz von den unabh¨ angigen Ortsvariablen x, y und z zu beachten. F¨ ur analoge N¨ aherungen wie oben bleiben die Formeln (2.35), (2.36) und (2.39) erhalten. Es kommen noch eine Dehnung in z-Richtung εzz sowie zwei Schubverzerrungen γxz bzw. γyz in den Ebenen x − z bzw. y − z hinzu, so dass sich schließlich insgesamt drei Dehnungen εxx =

∂ux , ∂x

εyy =

∂uy , ∂y

εzz =

∂uz , ∂z

|εxx |, |εyy |, |εzz |  1

(2.40)

∂uz ∂uy + , ∂z ∂y

(2.41)

und drei Schubverzerrungen ∂ux ∂uy ∂ux ∂uz + , γxz = + , ∂y ∂x ∂z ∂x |γxy |, |γxz |, |γyz |  1 γxy =

γyz =

ergeben. Die Dehnungen (2.40) und Schubverzerrungen (2.41) lassen sich mit der Definition 1 (2.42) εkl = γkl , k = l 2 und der Indexvereinbarung xx = x, xy = y, xz = z zu den Maßzahlen oder Koordinaten des so genannten Verzerrungstensors  1 ∂uk ∂ul + , k, l = x, y, z (2.43) εkl = 2 ∂xl ∂xk

2.4

Verschiebungen und Verzerrungen

49

zusammenfassen. Die Verzerrungen (2.43), welche den Verzerrungszustand eindeutig festlegen, werden auch h¨ aufig in der Matrixform ⎞ ⎞ ⎛ ε ⎛ 1 1 x ε ε ε 2 γxy 2 γxz xx xy xz

 ⎟ ⎜ εkl = ⎝ εyx εyy εyz ⎠ = ⎝ 21 γyx εy 12 γyz ⎠ 1 εzx εzy εzz γzx 1 γzy εz 2

2

angegeben. Die schon angesprochene Kleinheit der Betr¨ age |εkl | in (2.43) garantieren wir ur die Verschiebungsgradienten. Die durch die Bedingung |∂uk /∂xl |  1 f¨ vorgenommene N¨ aherung erlaubt auch die Vernachl¨assigung der hier nicht erkl¨ arten lokalen Starrk¨ orperrotationen, welche z. B. f¨ ur das Knicken schlanker St¨ abe bedeutsam sind (s. Abschnitt 8.3). Sie stellt eine geometrische Linearisierung dar. Der Verzerrungstensor (2.43) besitzt dieselben mathematischen Eigenschaften wie der Spannungstensor. Er ist offensichtlich symmetrisch, d. h. seine Koordinaten gen¨ ugen der Bedingung εkl = εlk ,

(2.44)

so dass in den neun kinematischen (auch geometrischen) Beziehungen (2.43) nur sechs unabh¨ angig sind. Die Transformation der Verzerrungstensorkoordinaten bei Drehung des Bezugssystems erfolgt nach denselben Gleichungen wie beim Spannungstensor. Beispielsweise ergeben sich im ebenen Fall, der durch das Verschwinden einer Hauptdehnung definiert ist, beim Wechsel vom kartesischen x, y-System auf das kartesische u, v-System in der schon festgelegten Hauptebene nach Bild 2.3 die Transformationsgleichungen 1 1 (εx + εy ) + (εx − εy ) cos 2ϕ + 2 2 1 1 εv = (εx + εy ) − (εx − εy ) cos 2ϕ − 2 2 γuv = − (εx − εy ) sin 2ϕ + γxy sin 2ϕ , εu =

1 γxy sin 2ϕ , 2 1 γxy sin 2ϕ , 2

(2.45) (2.46) (2.47)

in denen die Definition (2.42) und die Indexvereinfachung xx, yy, uu, vv → x, y, u, v eingesetzt wurden. Der Formalismus zur Bestimmung der Hauptwerte und -achsen kann vom Spannungstensor allein durch Austausch der Bezeichnungen unter Beachtung von (2.42) vollst¨andig u ¨ bernommen werden. Nach Sortierung der Hauptdehnungen in der Anordnung ε1 ≥ ε2 ≥ ε3

(2.48)

50

2. Allgemeine Spannungs- und Verzerrungszust¨ ande

ergibt sich die maximale Schubverzerrung analog zur maximalen Schubspannung bis auf den Faktor 1/2 aus γmax = ε1 − ε3 .

(2.49)

Besonders erw¨ ahnt sei die erste Invariante e des Verzerrungstensors e = εxx + εyy + εzz = ε1 + ε2 + ε3 .

(2.50)

¨ des Volumens Sie liefert die auf das Ausgangsvolumen V0 bezogene Anderung V −V0 , wie die homogene Dehnung eines Quaders mit den Kantenl¨angen l1 , l2 und l3 zeigt. Es gilt zun¨ achst V − V0 l1 (1 + ε1 )l2 (1 + ε2 )l3 (1 + ε3 ) − l1 l2 l3 = V0 l1 l2 l3 = (1 + ε1 )(1 + ε2 )(1 + ε3 ) − 1 . assigung der nichtlinearen Terme F¨ ur |εi |  1 und die daher erlaubte Vernachl¨ ergibt sich V − V0 ≈ ε1 + ε2 + ε3 = e . (2.51) V0 Der Ausdruck (2.51) heißt Volumendehnung. Abschließend wird nochmals darauf hingewiesen, dass f¨ ur die im Gleichgewicht befindlichen K¨ orper bei ihrer Bindung an eine feste Umgebung sowie wegen der vorausgesetzten sehr kleinen Dehnungen und Winkel¨anderungen die Ortskoordinaten der materiellen K¨ orperpunkte in der Ausgangsposition n¨ aherungsweise auch zur Angabe der aktuellen Position benutzt werden d¨ urfen (geometrische Linearisierung). Ausgenommen davon ist das Kapitel 8 ¨ u atsprobleme. Im Ubrigen geh¨oren zu den Differenzial¨ ber elastische Stabilit¨ gleichungen (2.43) noch kinematische (auch geometrisch genannte) Randbedingungen mit Angaben u ¨ ber die Verschiebungen (s. Kapitel 12). Beispiel 2.3 Man betrachte das Bild 1.2 und bestimme den Zusammenhang zwischen der relativen L¨ angen¨ anderung ε = Δl/l und der Abweichung vom rechten Winkel γ. Das Ergebnis ist mittels der Transformationsformeln (2.45) bis (2.47) zu u ufen. ¨ berpr¨ L¨osung: Aus Bild 1.2b kann  π γ  l/2 − Δl/2 1−ε − = = tan 4 2 l/2 + Δl/2 1+ε

2.4

Verschiebungen und Verzerrungen

51

abgelesen werden. Das Additionstheorem f¨ ur den Tangens liefert π π γ  tan 4 − tan γ2 1 − tan γ2 tan − = = . 4 2 1 + tan π4 tan γ2 1 + tan γ2 Wegen |γ|, |ε|  1 gelten tan γ/2 ≈ γ/2, (1+γ/2)−1 ≈ 1−γ/2 und (1+ε)−1 ≈ 1 − ε. Daraus ergibt sich π γ  1 − γ/2 − ≈ ≈ (1 − γ/2)2 ≈ (1 − ε)2 tan 4 2 1 + γ/2 bzw. im Rahmen der geometrischen Linearisierung γ = 2ε . F¨ ur die Anwendung der Transformationsformeln (2.45) bis (2.47) sind zun¨ achst gem¨ aß Bild 1.2 die Beziehungen εx = ε1 = ε, εy = ε2 = −ε, γxy = 0 und ϕ = π/4 festzustellen. Diese f¨ uhren auf εu = 0, εv = 0 und γuv = −2ε = −γ. Das Minuszeichen gen¨ ugt der Tatsache, dass γ eine Verkleinerung des urspr¨ unglich rechten Winkels in Bild 1.2 bezeichnet, ein durch die Achsen u, v gegebener rechter Winkel aber nach Bild 1.2b um γ vergr¨oßert wird.  Das Beispiel 2.3 zeigt, dass wie im Fall des Spannungszustandes ein und derselbe Verzerrungszustand durch genau einen Verzerrungstensor festgelegt wird, wobei die Koordinaten des Verzerrungstensors, d. h. die Beschreibung des Verzerrungszustandes, in unterschiedlichen Bezugssystemen, hier x, y bzw. u, v, verschieden ausfallen (vgl. auch Beispiel 2.1). Beispiel 2.4 Auf der Oberfl¨ ache eines ebenen Blechs befinden sich drei Dehnmessstreifen a, b und c mit den Richtungen nach Bild 2.10. y

c b

ey ez

45° ex

a x

Bild 2.10. Dehnmessstreifenanordnung

Gesucht sind die Koordinaten des Verzerrungstensors bez¨ uglich des x, y, zSystems in Abh¨ angigkeit von den gemessenen Dehnungen εa , εb und εc . L¨osung: ur εb ergibt Aus Bild 2.10 k¨ onnen εx = εa und εy = εc abgelesen werden. F¨

52

2. Allgemeine Spannungs- und Verzerrungszust¨ ande

sich mit (2.45) εb = εu =

1 1 1 (εx + εy ) + (εx − εy ) cos 90◦ + γxy sin 90◦ 2 2 2

und folglich εxy =

1 1 γxy = (2εb − εa − εc ) . 2 2

Die restlichen Verzerrungstensorkoordinaten εz , εzx und εzy bleiben unbestimmt. 

2.5

2.5 HOOKEsches Gesetz Die bereits in Abschnitt 1.3 aus den Ergebnissen des Zugversuches gewonnenen linear-elastischen Materialgleichungen werden jetzt auf den dreiachsigen Spannungszustand verallgemeinert. Wir setzen weiterhin Isotropie, d. h. Richtungsunabh¨ angigkeit, und Homogenit¨ at, d. h. Ortsunabh¨angigkeit, der Materialeigenschaften des K¨ orpers voraus. Zun¨ achst liege ein einachsiger Spannungszustand σ vor (Bild 2.11a). ¾

¾ ¾y

a)

¾x

¾x

+

+

y ¾z z

x

¾y b)

Bild 2.11. Zur Verallgemeinerung des HOOKEschen Gesetzes

Die Dehnung ε in Richtung der Spannung σ, die so genannte L¨angsdehnung, folgt mit dem schon aus (1.13) bekannten Elastizit¨atsmodul E zu ε=

σ E

und die dazugeh¨ orige Querdehnung mit der Querkontraktionszahl ν nach (1.15) zu σ εq = −νε = −ν . E

2.5

HOOKEsches Gesetz

53

Wird der K¨ orper außer durch eine L¨ angsspannung σx noch durch zwei Querspannungen σy und σz beansprucht (Bild 2.11b), so verringert sich die L¨angsdehnung in x-Richtung um die anteiligen Querdehnungen infolge der L¨angsdehnungen in y- bzw. z-Richtung, so dass εx =

 1 ν ν 1 σx − σy − σz = σx − ν(σy + σz ) E E E E

(2.52)

entsteht. Dabei durften die anteiligen Terme wegen ihrer linearen Abh¨angig¨ keit von der Spannung addiert werden. Die Wiederholung der Uberlegung f¨ ur die y- und die z-Richtung liefert noch ν σx + E ν εz = − σx − E

εy = −

 1 ν 1 σy − σz = σy − ν(σx + σz ) , E E E  ν 1 1 σy + σz = σz − ν(σx + σy ) . E E E

(2.53) (2.54)

Nach Addition der drei Dehnungen entsteht die Volumendehnung (2.50) in der Form 1 − 2ν e = εx + εy + εz = (σx + σy + σz ) . (2.55) E Sie ist also der Spannungssumme proportional. Mit ihrer Hilfe l¨asst sich die Umkehrung des Gleichungssystems (2.52) bis (2.54) als ν  E  ν ν 1+ εx + εy + εz σx = 1+ν 1 − 2ν 1 − 2ν 1 − 2ν =

σy = =

σz = =

 E ν εx + e , 1+ν 1 − 2ν

(2.56)



E  ν ν  ν εx + 1 + εy + εz 1 + ν 1 − 2ν 1 − 2ν 1 − 2ν  E ν εy + e , 1+ν 1 − 2ν

(2.57)



E  ν ν ν εx + εy + 1 + εz 1 + ν 1 − 2ν 1 − 2ν 1 − 2ν  E ν εz + e 1+ν 1 − 2ν

(2.58)

schreiben. In den Gleichungssystemen (2.52) bis (2.54) und (2.56) bis (2.58) ist die bedeutsame Symmetrie der aus den Materialkonstanten gebildeten Koeffizientenmatrix zu erkennen.

54

2. Allgemeine Spannungs- und Verzerrungszust¨ ande

Der Beanspruchungsfall reinen Schubes nach Bild 1.7 und Gleichung (1.16) wird auf die drei Ebenen xy, xz und yz angewendet: τxy = Gγxy ,

τxz = Gγxz ,

τyz = Gγyz .

(2.59)

Alle drei Gleichungen enthalten als Materialkonstante denselben Schubmodul G. Der noch zu beweisende Zusammenhang (1.17) zwischen den drei Materialkonstanten E, G und ν bleibt bestehen (s. Abschnitt 2.6). Wie im Fall einachsiger Spannung m¨ ussen gegebenenfalls auch unter allgemeineren Bedingungen W¨ armedehnungen ber¨ ucksichtigt werden. Bei isotropem Material d¨ urfen sie sich in den drei Hauptrichtungen des thermischen Verzerrungstensors nicht unterscheiden. Die drei gleichen Hauptwerte gelten in allen kartesischen Bezugssystemen. Temperatur¨anderungen erzeugen deshalb keine Schubverzerrungen. Dies demonstriert die selbst¨ahnliche Vergr¨oßerung eines kartesischen Netzes infolge Temperaturerh¨ohung um ΔT gem¨aß dem Bild 2.12. ¢T

Bild 2.12. Verformung infolge Temperaturerh¨ ohung

In Verallgemeinerung von (1.18) und (2.52) bis (2.54) ergibt sich damit  1 σx − ν(σy + σz ) + αΔT , E  1 σy − ν(σx + σz ) + αΔT , εy = E  1 εz = σz − ν(σx + σy ) + αΔT E

εx =

(2.60)

oder aufgel¨ ost nach den Normalspannungen mit (2.55)  1 E ν εx + e − EαΔT , 1+ν 1 − 2ν 1 − 2ν  1 E ν σy = εy + e − EαΔT , 1+ν 1 − 2ν 1 − 2ν  1 E ν σz = e − EαΔT . εz + 1+ν 1 − 2ν 1 − 2ν

σx =

(2.61)

Hier bezeichnet α wieder die W¨ armedehnzahl. Die Beziehungen (2.59) bleiben bestehen.

2.6

Arbeit, Verzerrungsarbeit und -energie

55

2.6

2.6 Arbeit, Verzerrungsarbeit und -energie Bei Belastung und Verformung von K¨ orpern wird in den K¨orpern Arbeit verrichtet, die bei elastischem Materialverhalten in diesen gespeichert und w¨ ahrend der Entlastung zur¨ uckgewonnen werden kann. Die Speicherung ist mit dem Begriff Energie“ verbunden. Arbeit und Energie stellen streng zu ” unterscheidende fundamentale Definitionen der Mechanik dar, deren Kenntnis f¨ ur das theoretische Verst¨ andnis als auch f¨ ur die L¨osung praktischer Aufgaben wichtig ist (s. Kapitel 6 bis 8). Die Arbeit W , die eine Kraft F w¨ ahrend der Verschiebung l¨angs eines Weges u verrichtet, betr¨ agt bei gleichen Orientierungen von Kraft und Verschiebung definitionsgem¨ aß u u)d¯ u. (2.62) W = F (¯ 0

Wirkt die Kraft F außerhalb des Zugstabes in Bild 2.13 und besitzt einen Angriffspunkt, der mit dem rechten Ende des Zugstabes zusammenf¨allt, so verrichtet sie an der Verschiebung u die a ¨ußere Arbeit Wa , welche sich mit (2.62) zu u u)d¯ u (2.63) Wa = F (¯ 0

ergibt. F a

a

u

l

FL u

F A

Bild 2.13. Zur Berechnung der Arbeit am Zugstab

Die L¨ angsdehnung des Zugstabes geht einher mit einer nach Bild 2.13 ortsunabh¨ angigen, im Inneren des Stabes wirkenden Kraft, der L¨angskraft FL . Die L¨ angskraft verrichtet an der Verschiebung u des rechten Zugstabendes (Bild 2.13) die innere Arbeit u Wi = −

FL (¯ u)d¯ u.

(2.64)

0

Das Minuszeichen entsteht, weil die L¨ angskraft FL am freigeschnittenen rechten Zugstabende entgegengesetzt zur Wegkoordinate u gerichtet ist. Es wird bei der Definition der inneren Arbeit in anderen Darstellungen mitunter weggelassen. Dies bedingt dann ein Pluszeichen zwischen innerer Arbeit und Po-

56

2. Allgemeine Spannungs- und Verzerrungszust¨ ande

tenzial der inneren Lasten anstelle des Minuszeichens (s.u. (2.70)). Befindet sich das rechte Zugstabende w¨ ahrend der Lastaufbringung immer im Gleichgewicht, d. h. F (u) = FL (u) ,

(2.65)

so folgt die Identit¨ at u Wa =

u FL (¯ u)d¯ u = −Wi .

F (¯ u)d¯ u= 0

(2.66)

0

F¨ ur die Berechnung der inneren Arbeit setzen wir eine hinreichende Schlankheit und homogene linear-elastische Materialeigenschaften des Zugstabes voraus. Die St¨ orung des Spannungs- und Verzerrungszustandes im Einspannund Krafteinleitungsbereich mit der Abklingl¨ange a  l kann dann gem¨aß dem Prinzip von DE SAINT VENANT (s. Abschnitt 10.1) vernachl¨assigt werden. Es ergibt sich wie in Beispiel 1.1 n¨ aherungsweise im gesamten Stabvolumen eine konstante Spannung σ = FL /A und eine konstante Dehnung ε=

u . l

(2.67)

Damit wird die bei der Verformung des Zugstabes verrichtete innere Arbeit, die so genannte Verzerrungsarbeit, u Wi = −

ε FL (¯ u)d¯ u = −Al

0

σ(¯ ε)d¯ ε.

(2.68)

0

Aus ihr kann, da der Integralausdruck auf der rechten Seite von (2.68) an allen Stellen des Zugstabes gleich ist, die spezifische innere Verzerrungsarbeit je Volumeneinheit ε Wi ∗ = − σ(¯ ε)d¯ ε (2.69) Wi = Al 0

gewonnen werden. Das Integral in (2.69) stellt die Fl¨ ache unter der Spannungsdehnungskurve dar (Bild 2.14). Das lineare Kurvenst¨ uck 1j entsprechend dem HOOKEschen Gesetz liefert f¨ ur Be- und Entlastungswege gleiche Fl¨achen (vertikal schraffiert), d. h. die bei Belastung verrichtete innere Arbeit (2.69) wird bei Entlastung vollst¨ andig zur¨ uckgewonnen. Sie war im Zugstab gespeichert. Eine Arbeit mit dieser besonderen Eigenschaft wird bis auf ein aus formalen Gr¨ unden noch zu ber¨ ucksichtigendes Minuszeichen als Energie, potenzielle Energie oder Potenzial bezeichnet, hier als die spezifische elastische Verzerrungsenergie U ∗ . Die statische Last, deren Arbeit gespeichert wurde,

2.6

Arbeit, Verzerrungsarbeit und -energie

57

heißt konservativ (energieerhaltend) oder Potenziallast. Mit der Definition U ∗ = −Wi∗ , d. h. U ∗ (0) = 0, und dem HOOKEschen Gesetz (1.13) ergibt sich aus (2.69) ∗

U =

−Wi∗

ε =

ε σ(¯ ε)d¯ ε=

0

E ε¯d¯ ε= 0

¾

1 1 2 σ2 Eε = = σε . 2 2E 2

(2.70)

2 3 1

Bild 2.14. Spannungsdehnungsdiagramm mit Be- und Entlastungswegen 3

2

Die Maßeinheit f¨ ur U ∗ ist Nm/m = N/m , gleicht also der Maßeinheit der Spannung, obwohl beide Gr¨ oßen physikalisch verschieden voneinander sind. Das Spannungsdehnungsdiagramm metallischer Konstruktionswerkstoffe setzt sich meist oberhalb eines linearen Anfangsst¨ uckes nichtlinear fort. Dies ummte zeigen, erg¨ anzend zu Bild 1.6, das Geradenst¨ uck 1j und der gekr¨ Linienabschnitt 2jin Bild 2.14. Die unter beiden Kurven 1jund 2jbefindliche horizontal schraffierte Fl¨ ache repr¨ asentiert die spezifische Verzerrungsarbeit (2.69). Das Entlastungsverhalten der genannten Materialien kann n¨ aherungsweise durch die Gerade 3j parallel zu 1j beschrieben werden. Dann wird nur die Arbeit zur¨ uckgewonnen, welche der Fl¨ache unter der Geraj 3 entspricht. Der Rest geht zum gr¨ oßten Teil in W¨arme u den ¨ ber, w¨ahrend ein kleiner Teil davon, begleitet von Strukturver¨ anderungen des Materials, im Material verbleibt. Das beschriebene Materialverhalten heißt elastoplastisch. F¨ ur linear-elastisches Material l¨ asst sich die Beziehung (2.66) mit (2.69) und (2.70) als −Wi = −AlWi∗ = AlU ∗ = U =

1 1 Alσε = FL u = Wa 2 2

(2.71)

schreiben, wobei U die Verzerrungsenergie des Stabes bezeichnet. Es gibt auch nichtlinear-elastische Materialien mit Kennlinien wie in Bild 2.15, bei denen Be- und Entlastungsweg u ¨ bereinstimmen, so dass wieder U ∗ = ∗ −Wi folgt. In diesem Fall kann zur spezifischen Verzerrungsenergie U ∗ die ¯ ∗ definiert werden, f¨ ur die so genannte spezifische Erg¨ anzungsenergie U ¯ ∗ = σε − U ∗ U

(2.72)

58

2. Allgemeine Spannungs- und Verzerrungszust¨ ande ¾

U*

U*

Bild 2.15. Spannungsdehnungsdiagramm bei nichtlinearer Elastizit¨ at

gilt und die gelegentlich als Hilfsrechengr¨ oße Verwendung findet. Bei linearem Material entstehen in Bild 2.15 zwei Dreiecke mit gleichem Fl¨acheninhalt, d. h. ¯∗ = U∗ . U (2.73) Unter reiner homogener Schubbeanspruchung gem¨aß Bild 1.7 betr¨agt die spezifische innere Verzerrungsarbeit wegen |γ|  1 Wi∗

1 =− ahb

γ

γ τ (¯ γ )ahbd¯ γ=−

0

τ (¯ γ )d¯ γ,

(2.74)

0

die f¨ ur linear-elastisches Material mit (1.16) unabh¨angig vom Belastungsweg ist und deshalb auf die spezifische elastische Verzerrungsenergie ∗

U =

−Wi∗

γ =

γ τ (¯ γ )d¯ γ=

0

G¯ γ d¯ γ= 0

1 1 2 τ2 Gγ = = τγ 2 2G 2

(2.75)

f¨ uhrt. Zur Berechnung der spezifischen Verzerrungsenergie des linear-elastischen Materials im r¨ aumlichen Spannungs- und Verzerrungszustand notieren wir zun¨ achst die spezifische innere Verzerrungsarbeit als Summe aller Anteile der Normalspannungen an den Dehnungen gem¨aß (2.69) und der Schubspannungen an den Schubverzerrungen gem¨ aß (2.74) in der Form   σx (εx , εy , εz )dεx + σy (εx , εy , εz )dεy + σz (εx , εy , εz )dεz −Wi∗ =  (2.76) + τxy (γxy )dγxy + τxz (γxz )dγxz + τyz (γyz )dγyz . Dabei wird die Abh¨ angigkeit der Normalspannungen von allen drei Dehnungen entsprechend (2.56) bis (2.58) und der Schubspannungen von der jeweiligen Schubverzerrung nach (2.59) angezeigt. Alle Verzerrungen variieren zwischen null und einem Endwert. Die letzten drei Summanden in (2.76) sind bestimmte Integrale einer Funktion von einer Ver¨anderlichen. Dagegen ∗ . Das Linienintebilden die ersten drei Summanden ein Linienintegral −WiL

2.6

Arbeit, Verzerrungsarbeit und -energie

59

gral, auch als Kurven- oder Wegintegral bezeichnet, h¨angt genau dann nicht vom Weg L der Zustandsvariablen εx , εy und εz ab, wenn sein Integrand das vollst¨ andige Differenzial einer Zustandsfunktion UL∗ (εx , εy , εz ) ist, d. h.    ∗  ∂UL ∂UL∗ ∂UL∗ ∗ dεx + dεy + dεz −WiL = (σx dεx + σy dεy + σz dεz ) = ∂εx ∂εy ∂εz L L  (2.77) = dUL∗ = UL∗ (εx , εy , εz ) . L

Notwendig und hinreichend f¨ ur die Existenz der auch als Potenzial bezeichneten Zustandsfunktion UL∗ sind die Bedingungen ∂σx ∂σy = , ∂εy ∂εx

∂σx ∂σz = , ∂εz ∂εx

∂σy ∂σz = , ∂εz ∂εy

(2.78)

welche wegen der Symmetrie der Koeffizientenmatrix des Gleichungssystems (2.56) bis (2.58) erf¨ ullt werden. Die Integration von (2.77) unter Beachtung von (2.56) bis (2.58) f¨ ur einen beliebigen Weg L vom unverzerrten zum verzerrten Zustand liefert 1 − ν E (ε2x + ε2y + ε2z ) + ν(εx εy + εx εz + εy εz ) , UL∗ (εx , εy , εz ) = (1 + ν)(1 − 2ν) 2 (2.79) ein Ergebnis, das durch die Bildung von σx =

∂UL∗ , ∂εx

σy =

∂UL∗ , ∂εy

σz =

∂UL∗ ∂εz

(2.80)

aus (2.79) und Vergleich mit (2.56) bis (2.58) best¨atigt wird. Wegen der Potenzialeigenschaft (2.80) heißt das elastische Materialgesetz konservativ. Das Wort konservativ weist auf den Fakt hin, dass bei Verformung des Materials Energie nicht dissipiert, d. h. nicht irreversibel in W¨arme umgewandelt wird. Die Addition von UL∗ in der Form (2.79) zu den mit (2.59) berechneten letzten drei Integralen aus (2.76) ergibt die spezifische elastische Verzerrungsenergie 1 − ν E (ε2x + ε2y + ε2z ) + ν(εx εy + εx εz + εy εz ) U∗ = (1 + ν)(1 − 2ν) 2 +

G 2 2 2 (γ + γxz + γyz ), 2 xy

(2.81)

welche mit (2.52) bis (2.54) und (2.59) auch als U∗ =

1 (σx εx + σy εy + σz εz + τxy γxy + τxz γxz + τyz γyz ) 2

(2.82)

geschrieben werden kann. Desweiteren l¨ asst sich U ∗ noch allein durch die Spannungen ausdr¨ ucken.

60

2. Allgemeine Spannungs- und Verzerrungszust¨ ande

Die spezifische elastische Verzerrungsenergie ist in einen Volumen- und einen Gestalt¨ anderungsanteil zerlegbar ∗ U ∗ = UV∗ + UG .

(2.83)

Ersterer folgt aus der mittleren Spannung σm =

1 (σx + σy + σz ) 3

mit der Volumendehnung e aus (2.55) zu UV∗ =

1 1 − 2ν σm e = (σx + σy + σz )2 ≥ 0 , 2 6E

(2.84)

letzterer unter Beachtung von (1.17) in (2.81) und (2.84) aus der Differenz ∗ UG = U ∗ − UV∗ nach elementarer Rechnung zu ∗ UG =

 1  2 2 2 (σx −σy )2 +(σx −σz )2 +(σy −σz )2 +6(τxy +τxz +τyz ) ≥ 0 . (2.85) 12G

∗ Die spezifische Gestalt¨ anderungsenergie UG ist Bestandteil einer klassischen Festigkeitshypothese zur Beurteilung der Bauteilbeanspruchung unter allgemeinen Spannungszust¨ anden (s. Kapitel 6). Die spezifische Verzerrungsenergie U ∗ dient als Grundlage sowohl numerischer Berechnungsverfahren als auch der effizienten Bestimmung diskreter Verformungsgr¨ oßen (s. Kapitel 7, in dem der Zusammenhang zwischen der Wegunabh¨ angigkeit von U ∗ und der Symmetrie der Steifigkeitskoeffizienten nochmals angesprochen wird). Dar¨ uber hinaus findet sie bei allgemeinen ¨ theoretischen Uberlegungen Verwendung. Hierzu betrachten wir abschließend den Zusammenhang (1.17) zwischen den Konstanten des isotropen linearelastischen Materials. Gem¨ aß Bild 2.5 kann ein- und derselbe Spannungszustand im Bezugssystem x, y oder im Hauptachsensystem 1, 2 beschrieben werden. Beide Beschreibungen m¨ ussen zu der gleichen spezifischen Verzerrungsenergiedichte f¨ uhren. Diese betr¨ agt nach (2.82) f¨ ur die reine Schubbeanspruchung

U∗ =

1 1 τxy γxy = (σ1 ε1 + σ2 ε2 ) 2 2

bzw. mit (2.59) sowie (2.52) und (2.53) in Hauptachsenkoordinaten  1+ν 2  τ2 1  τ2  = σ1 (σ1 − νσ2 ) + σ2 (σ2 − νσ1 ) = 1 + ν − (−1 − ν) = τ , 2G 2E 2E E so dass E = 2G(1 + ν) aus (1.17) best¨ atigt wird.

Kapitel 3 Reine Torsion gerader St¨ abe

3

3

3 3.1 3.2 3.3 3.4

Reine Torsion gerader St¨ abe Torsion von St¨aben mit Kreisquerschnitt.................... Torsion von St¨aben mit Rechteckquerschnitt............... Torsion d¨ unnwandiger St¨abe mit offenem Querschnitt ... Torsion d¨ unnwandiger St¨abe mit geschlossenem Querschnitt..............................................................

63 68 70 72

3 Reine Torsion gerader St¨ abe Als ein m¨ ogliches Modell einfacher Konstruktionselemente wurde bisher der gerade prismatische bzw. zylindrische Stab unter einachsigem Zug- oder Druckspannungszustand betrachtet. Die Stabquerabmessungen waren definitionsgem¨ aß wesentlich kleiner als die Stabl¨ ange, so dass die u ¨ ber dem Stabquerschnitt konstante Spannungsverteilung nach dem Prinzip von DE SAINT VENANT (s. a. Kapitel 10) nahezu im gesamten Stab als g¨ ultig angesehen werden konnte. Wir untersuchen jetzt wieder schlanke gerade St¨abe mit konstanter Querschnittsfl¨ ache. Diese St¨ abe sind jedoch an den Enden durch entgegengesetzt gleich große Torsionsmomente in Stabachsrichtung belastet. Wir erwarten auch hier eine L¨ osung f¨ ur die Spannungs- und Verzerrungsfelder, die bis auf St¨ orungen in den begrenzten Lasteinleitungsgebieten nicht von der Stabl¨ angskoordinate abh¨ angen. Es wird sich erweisen, dass der Spannungszustand in jedem Stabpunkt die Charakteristik des reinen Schubes wie in Beispiel 2.1 besitzt. In diesem Zusammenhang findet auch der Begriff reine Torsion“ ” Anwendung.

3.1 Torsion von St¨ aben mit Kreisquerschnitt Der einfachste Fall einer Torsionsbeanspruchung liegt bei St¨aben mit Kreisquerschnitt vor. Kreisringquerschnitte sind einbezogen. Zur Bereitstellung der Grundannahmen wird wie beim Zugstab von den Grundgesetzen der Statik, den kinematischen Beziehungen und der Materialgleichung ausgegangen. Die das Problem wesentlich vereinfachende Annahme ist kinematischer Natur. Dies zeigt Bild 3.1. Die Momente Mt verursachen eine Relativverdrehung ϕ des Stabquerschnittes C gegen¨ uber dem Stabquerschnitt B. St¨orungen im Lasteinleitungsbereich bleiben unber¨ ucksichtigt, d. h. alle Querschnitte zwischen B und C sind bez¨ uglich der Torsionsbelastung als gleichberechtigt anzusehen. Axiale Verschiebungen aus Ebenen z = konst. heraus treten beim Kreisquerschnitt wegen Symmetrie und wegen der Gleichberechtigung aller Querschnitte nicht auf. Die Verdrehung eines zwischen B und C befindlichen Querschnitts, f¨ ur die Starrheit des Querschnitts in seiner Ebene angenommen ¨ wird, w¨ achst beim Ubergang von B nach C linear mit dem Abstand von B bis auf den Winkel ϕ bei C an. Eine urspr¨ unglich zur Stabachse parallele Mantellinie auf dem Kreiszylinder mit dem Radius r wird schraubenf¨ormig verwunden. F¨ ur den entstehenden Winkel γ zwischen Mantel- und Schraubenlinie gelte |γ|  1. Der Winkel γ beschreibt die schon in Bild 1.7 erl¨auterte Schubverzerrung des Materials. Mit der getroffenen Annahme, dass die Stabquerschnitte bei ihrer Verdrehung in ihrer Ebene unverzerrt bleiben, f¨ uhrt

3.1

64

3. Reine Torsion gerader St¨ abe

die Kinematik der Torsion nach Bild 3.1 im Rahmen der Linearisierung auf lγ(r) = rϕ .

(3.1)

Mt B

°

C r z

l

Mt

Bild 3.1. Zur kinematischen Annahme f¨ ur die Torsionsverformung

Außer γ entstehen keine weiteren Verzerrungen. Das HOOKEsche Gesetz (1.16) oder eine der Gleichungen (2.59) liefert mit (3.1) ϕ τ = Gγ = G r l

(3.2)

bzw. mit der Abk¨ urzung Gϕ/l = K τ = Kr .

(3.3)

Das Verh¨ altnis ϕ/l = ϑ stellt die so genannte Drillung dar. Der Spannungszustand ist in jedem Stabpunkt eben. Die Hauptrichtungen des ebenen Spannungszustandes in einem solchen Stabpunkt liegen in der Tangentialebene am Kreiszylinder durch diesen Punkt, und zwar unter 45◦ geneigt gegen die Mantellinie des Kreiszylinders (s. Bild 2.5). Bild 3.2 demonstriert außer der Gleichheit der zugeordneten Schubspannungen (vgl. (2.5) oder (2.22)) mittels der unterschiedlichen Pfeill¨angen auch die aus den kinematischen Annahmen und dem linearen Materialgesetz folgende lineare Abh¨ angigkeit (3.3) der Schubspannungen vom Radius. Die Statik des Torsionsproblems reduziert sich auf die globale Momentenbilanz des ¨ außeren Torsionsmomentes Mt mit dem resultierenden Moment der tangentialen Fl¨ achenkr¨ afte (Schubspannungen) an einem Querschnitt im Stabinneren. Diese Bilanz folgt nach Bild 3.2 und 3.3 aus der elementaren Kraft τ rdθdr in Umfangsrichtung θ mit dem Abstand r zur Momentenbe-

3.1

Torsion von St¨ aben mit Kreisquerschnitt

65

Mt

¿~r

Bild 3.2. Zur Veranschaulichung der Schubspannungen bei Torsion

zugsachse z sowie unter Ber¨ ucksichtigung von (3.3) zu ra 2π Mt =

2

ra 2π

τ r dθdr = K ri 0

r3 dθdr .

(3.4)

ri 0

¿ dµ

dr

¿ r

ra

¿

rdµ

¿

r

ri dµ

µ

z Bild 3.3. Zur Berechnung des Torsionsmomentes

Dabei wurde der allgemeinere Fall eines Kreisringquerschnittes zugelassen. Die Beziehung (3.4) stellt auch die Definitionsgleichung des Schnittmomentes ur die gegebene Schubspannungsverteilung τ (r) dar. Mt f¨ Die Integrationen in Umfangs- und Radiusrichtung k¨onnen getrennt ausgef¨ uhrt werden, mit dem Ergebnis ra Mt = K2π

π r3 dr = K (ra4 − ri4 ) = KIp . 2

(3.5)

ri

Der Ausdruck Ip =

π 4 (r − ri4 ) 2 a

(3.6)

stellt das schon in der Statik angegebene polare Fl¨achentr¨agheitsmoment f¨ ur Kreisringquerschnitte dar. Er enth¨ alt f¨ ur ri = 0 den Sonderfall des Kreisquerschnitts.

66

3. Reine Torsion gerader St¨ abe

Mit (3.3) und (3.5) ergibt sich der radiale Schubspannungsverlauf τ=

Mt r. Ip

(3.7)

Dessen Maximalwert am Außenrand folgt aus τmax =

Mt Mt ra = , Ip Wt

Wt =

Ip . ra

(3.8)

Das Widerstandsmoment gegen Torsion Wt f¨ ur den Kreisringquerschnitt Wt =

π ra4 − ri4 2 ra

(3.9)

enth¨ alt den Sonderfall des Vollquerschnittes mit ri = 0 π Wtv = ra3 . 2

(3.10)

Der relative Verdrehwinkel ϕ zwischen den Querschnitten C und B (s. Bild 3.1) folgt durch Einsetzen der vor (3.3) eingef¨ uhrten Abk¨ urzung K = Gϕ/l in (3.5) zu Mt l ϕ= , (3.11) GIp ein Ergebnis, das mit zunehmendem Verh¨ altnis l/ra weniger durch Lasteinleitungs- oder Lagerungseffekte beeintr¨ achtigt wird. Der Vergleich mit dem Ergebnis von Beispiel 1.1 zeigt die Analogie des Verdrehwinkels des Torsionsstabes und der Verl¨ angerung des Zugstabes. Das Produkt GIp heißt Torsionssteifigkeit. Beispiel 3.1 Eine abgesetzte Welle ist einseitig eingespannt und am freien Ende durch ein Torsionsmoment Mt belastet (Bild 3.4). Die Abmessungen sind Æd1

Æd2

l1

Mt

l2

Bild 3.4. Abgesetzte Welle unter Torsionsbelastung

d1 =50 mm, d2 =40 mm und l1 =l2 =1200 mm. Der Schubmodul betr¨agt G=83 GPa, die zul¨ assige Schubspannung τzul =28 MPa und die zul¨assige Verdrehung des Endquerschnittes ϕzul = 0, 02. Gesucht ist das maximal m¨ogliche Torsionsmoment Mt max .

3.1

Torsion von St¨ aben mit Kreisquerschnitt

67

L¨osung: Die Einhaltung der zul¨ assigen Schubspannung erfordert im schw¨acheren Wellenquerschnitt gem¨ aß (3.8) und (3.10) Mt π  d2 3 τmax = ≤ τzul , Wt2 = Wt2 2 2 und folglich Mt ≤ τzul Wt2 = τzul

π  d2 3 π N = 203 mm3 · 28 ≈ 352 Nm . 2 2 2 mm2

F¨ ur die Verdrehung des Endquerschnittes, die sich aus zwei Anteilen Δϕ1 und Δϕ2 nach (3.11) zusammensetzt, gilt ϕ = Δϕ1 + Δϕ2 =

M t l1 M t l2 + ≤ ϕzul GIp1 GIp2

und deshalb Mt ≤

ϕzul G 0, 02 · 83 · 103 Nmm−2 π mm4 ≈ 247 Nm . = l1 l2 −4 + 20−4 ) 2 1200 mm(25 + Ip1 Ip2

Das maximal m¨ ogliche Torsionsmoment Mt max ist der kleinere der beiden  berechneten Werte. F¨ ur ihn ergibt sich Mt max = 247 Nm. In der L¨ osung des Beispiels 3.1 bleiben außer den St¨oreinfl¨ ussen der Momenteneinleitung und der Einspannung auch der St¨ oreinfluss des Wellenabsatzes ¨ unber¨ ucksichtigt (s. a. Kapitel 10). Ahnliches gilt f¨ ur die folgende Aufgabe. Beispiel 3.2 Eine beidseitig eingespannte Welle ist im Inneren durch ein Torsionsmoment Mt belastet (Bild 3.5). Gegeben sind die Abmessungen a und R sowie das Torsionsmoment Mt und der Schubmodul G. Gesucht werden die Lagerreaktionen, der maximale Schubspannungsbetrag und dessen Ort. L¨osung: Nach dem Freimachen der Welle ergibt sich f¨ ur die Momentenbilanz :

Mt + MC − MB = 0

mit den beiden unbekannten Lagerreaktionen MB und MC . Das Problem ist deshalb einfach statisch unbestimmt und erfordert die Ber¨ ucksichtigung der Verformung. Die in Bild 3.5 im gleichen Z¨ ahlsinn wie der von Mt eingetragene Verdrehung ϕ des Querschnitts der Momenteneinleitung kann nach (3.11) als Verdrehung des rechten Endquerschnittes des Bereiches 1 oder als Verdrehung des linken Endquerschnittes des Bereiches 2 berechnet werden. Im ersten Fall ergibt sich ϕ = MB 2a/(GIp ) und im zweiten Fall wegen der

68

3. Reine Torsion gerader St¨ abe Mt

Æ2R

B

C 2a

a Mt ,

MB

MC 2

1

MB ,

MB 1 MC

MC 2

Bild 3.5. Welle unter Torsionsbelastung

entgegengesetzten Z¨ ahlrichtung von Moment und Winkel ϕ = −MC a/(GIp ), so dass wir MB 2a MC a =− , MC + 2MB = 0 GIp GIp erhalten. Dies liefert zusammen mit der Momentenbilanz die Lagermomente MB und MC Mt 2 , MC = − Mt . MB = 3 3 Damit ergibt sich der maximale Schubspannungsbetrag gem¨aß (3.8) und (3.10) am Mantel der Welle im Bereich 2 zu |τ |max =

2 |MC | 2Mt 4Mt · = = . Wt 3 πR3 3πR3 

3.2

3.2 Torsion von St¨ aben mit Rechteckquerschnitt Bei Torsion von St¨ aben mit Kreisquerschnitt ist die Schubspannungsverteilung im Querschnitt durch die lineare Beziehung (3.7) gegeben. Am ¨außeren Zylindermantel greifen keine ¨ außeren Fl¨ achenkr¨afte (Spannungsvektoren) an. Folglich sind die im Querschnitt denkbaren, den tangentialen Koordinaten des Spannungsvektors zugeordneten Schubspannungen τ senkrecht zur Randkontur bei r = ra nach (2.22) gleich null. Die verbleibenden Schubspannungen τ im Querschnitt besitzen ebenfalls eine Orientierung in Umfangsrichtung konzentrischer Kreise (Bild 3.6a).

3.2

Torsion von St¨ aben mit Rechteckquerschnitt

69 y

r

¿

h

z

¿=0

z

ra

a)

b)

x

¿max

b

Bild 3.6. Torsionsspannungen im Kreiszylinder a) und Rechteckzylinder b)

Dieser Sachverhalt bleibt bei anderen Querschnittsformen qualitativ erhalten und liefert f¨ ur Rechteckquerschnitte das Bild 3.6b. In den Ecken schließen die verschwindenden a ¨ußeren tangentialen Fl¨achenkr¨afte die zugeordneten Schubspannungen im Inneren in x- und y-Richtung aus, so dass dort τ = 0 gilt. Die hier nicht ausgef¨ uhrte genaue Rechnung f¨ ur den elliptischen Querschnitt zeigt die maximale Schubspannung τmax dort an, wo die kleine Halbachse den Querschnittsrand durchst¨ oßt. Dem entspricht hier die Mitte der langen Seitenlinien. Sowohl beim Stab mit Kreisquerschnitt als auch beim Stab mit Rechteckquerschnitt verschwindet die Schubspannung auf der z-Achse. Im Gegensatz zum Kreisquerschnitt treten jetzt torsionsbedingte axiale Verschiebungen uz (x, y) auf (so genannte Querschnittsverw¨olbung). Werden sie z. B. durch eine starre Einspannung behindert, so f¨ uhrt dies zu W¨olbnormalspannungen σz , deren Integral u ¨ber der Querschnittsfl¨ache wegen der verschwindenden L¨ angskraft null ergibt. Die W¨ olbnormalspannungen liefern auch kein resultierendes Biegemoment. Sie klingen nach dem Prinzip von DE SAINT VENANT (s. a. Kapitel 10) in z-Richtung u ¨ ber einer L¨ange ab, die etwa der Hauptabmessung des Querschnitts gleicht. Die quantitative Berechnung des Verdrehwinkels ϕ und der maximalen Schubspannung τmax beruht auf weitergehenden theoretischen Untersuchungen. Als Ergebnis werden Formeln analog zu (3.11) und (3.8) angegeben: Mt l , It = c1 hb3 , GIt Mt τmax = , Wt = c2 hb2 . Wt ϕ=

(3.12) (3.13)

Die Konstanten c1 und c2 h¨ angen vom Seitenverh¨altnis h/b ab und sind der folgenden kleinen Tabelle entnehmbar.

70

3. Reine Torsion gerader St¨ abe

h/b

1

2

4

10

∞

c1

0,141

0,229

0,281

0,312

0,333

c2

0,208

0,246

0,282

0,312

0,333

F¨ ur die Querschnittskenngr¨ oße It , die Torsionstr¨agheitsmoment heißt, gilt die Beziehung It ≤ Ip , welche mit (3.12) und Ip = Ixx + Iyy = (bh3 + hb3 )/12 durch die Tabelle best¨ atigt wird. Hier sei noch auf eine Analogie zwischen dem Torsionsproblem und einer u ¨ ber dem tordierten Querschnitt hydrostatisch aufgespannten Seifenhaut mit der H¨ ohe uz (x, y) u ¨ ber dem Querschnitt hingewiesen. Es l¨asst sich zeigen, dass die Schubspannung τzx der partiellen Ableitung ∂uz (x, y)/∂y der Memur die branfl¨ achenfunktion uz (x, y) proportional ist. Entsprechendes gilt f¨ oßere H¨ohenliniendichte der FunktiSchubspannung τzy . Folglich zeigt die gr¨ on uz (x, y) l¨ angs der Geraden z = 0, y = 0 im Vergleich zur Geraden z = 0, x = 0 die gr¨ oßeren Schubspannungen an.

3.3

3.3 Torsion d¨ unnwandiger St¨ abe mit offenem Querschnitt D¨ unnwandige St¨ abe mit offenen Querschnitten, Beispiele hierf¨ ur zeigt Bild 3.7, werden h¨ aufig im Leichtbau eingesetzt. 0

s

s 0

h

±

± ±

h h

a)

b)

c)

Bild 3.7. Offene Querschnitte d¨ unnwandiger St¨ abe

Die Querschnittsdicke wird hier mit δ bezeichnet. Sie ist wesentlich kleiner als die Umfangsl¨ ange h des Querschnittes. Die Stabl¨ange L erf¨ ullt die Voraussetzung L  h. Die bisher angenommenen Voraussetzungen der Torsionstheorie bleiben bestehen. Dies betrifft insbesondere auch die Starrheit der Querschnitte in ihrer Ebene. Die Starrheit muss gegebenenfalls durch Aussteifungen gesichert werden. F¨ ur sehr schlanke Rechteckformen k¨ onnen die Querschnittskennwertkonstanten aus der Tabelle von Abschnitt 3.2 entnommen werden. Es ergibt

3.3

Torsion d¨ unnwandiger St¨ abe mit offenem Querschnitt

71

sich gem¨ aß (3.12) und (3.13) It =

1 3 hδ , 3

Wt =

1 2 hδ . 3

(3.14)

Diese Formeln gelten n¨ aherungsweise auch f¨ ur gekr¨ ummte und abgewinkelte Querschnittsformen. Dabei wird der l¨ angs der Konturkoordinate s auf der Mittellinie des Querschnittes gemessene Umfang anstelle der H¨ohe benutzt. Bei starken Abweichungen von der schmalen Rechteckform m¨ ussen Korrekturfaktoren ber¨ ucksichtigt werden, die in Taschenb¨ uchern zu finden sind. Die maximalen Schubspannungswerte treten ¨ ahnlich wie beim Rechteck an den langen Außenr¨ andern auf (Bild 3.8). Dazwischen verl¨auft die Schubspannung wegen ihres Nulldurchganges auf der Mittellinie n¨aherungsweise linear.

¿max s z

Bild 3.8. Torsionsschubspannungsverlauf im offenen Querschnitt d¨ unnwandiger St¨ abe

F¨ ur Querschnitte, die abschnittsweise aus schmalen Teilfl¨achenst¨ ucken mit den L¨ angen hi und Breiten δi zusammengesetzt sind wie z. B. in Bild 3.9,

Mt

hi

±i Mt ± max

Bild 3.9. Aus schmalen Rechtecken zusammengesetzter Querschnitt

gilt in Verallgemeinerung von (3.14) It =

1 hi δi3 , 3

Wt =

It δmax

(3.15)

mit der Verdrehung nach der ersten Formel von (3.12) ϕ=

Mt l GIt

(3.16)

72

3. Reine Torsion gerader St¨ abe

und der maximalen Schubspannung nach der ersten Formel von (3.13) τmax =

Mt Mt = δmax . Wt It

(3.17)

Letztere tritt also an den Seitenberandungen der breitesten Teilquerschnitte auf. Hinsichtlich m¨ oglicher axialer Verschiebungen werden wegen der Starrheit der Querschnitte in ihrer Ebene nur die in der durch die Koordinaten z, s beschriebenen Mittelfl¨ ache liegenden Verschiebungen uz (s) und us = zf (s) betrachtet. Die Proportionalit¨ at us ∼ z ergibt sich aus der Proportionalit¨at ur die entsprechende Schubus ∼ ϕ und (3.16) mit Ersatz von l durch z. F¨ verzerrung γzs nach Bild 3.8 und (2.41) folgt aus (2.59) γzs =

∂us ∂uz τzs ∂uz + = + f (s) = =0. ∂s ∂z ∂s G

F¨ ur St¨ abe mit ebener Mittelfl¨ ache wie in Bild 3.7a und Bild 3.9 kann f (s) ≡ 0 gesetzt werden, desgleichen die dann verbleibende konstante Verschiebung olbungsfreiheit der Querschnitte bei Torsion trifft auch f¨ ur uz . Diese Verw¨ St¨ abe zu, die aus B¨ undeln ebener Plattenstreifen bestehen wie z. B. T-, Labe und deren Drehachse mit der Schnittlinie der Plattenstreifen oder Y-St¨ zusammenf¨ allt. Bei St¨ aben mit nichtebenen Mittelfl¨ achen wie in den Bildern 3.7b, c verschwindet zwar auch die Mittelfl¨ achenschubverzerrung γzs , aber nicht mehr die Funktion f (s). Dies f¨ uhrt zu einer Verw¨ olbung uz (s), deren Behinderung, z. B. durch eine starre Einspannung, W¨ olbnormalspannungen σz verursacht. Das Integral der W¨ olbnormalspannungen u ¨ber dem Stabquerschnitt ergibt wie beim Rechteckquerschnitt null. Die W¨ olbnormalspannungen klingen aber in z-Richtung mit L¨ angen ab, die deutlich gr¨oßer als die Querschnittsumfangsabmessungen sein k¨ onnen. Wir konstatieren hier eine durch die Geometrie des Querschnitts bedingte Form des Stabk¨orpers, bei der bez¨ uglich der Anwendung des Prinzips von DE SAINT VENANT Vorsicht geboten ist (s. a. Abschnitt 10.1).

3.4

3.4 Torsion d¨ unnwandiger St¨ abe mit geschlossenem Querschnitt Die hier dargelegte Theorie der reinen Torsion d¨ unnwandiger St¨abe mit geschlossenem Querschnitt gilt nur, wenn Verw¨olbungsbehinderungen ausgeschlossen werden. Wir gehen von einem d¨ unnwandigen Stab mit Kreisringquerschnitt unter Torsionsbelastung aus (Bild 3.10).

3.4

Torsion d¨ unnwandiger St¨ abe mit geschlossenem Querschnitt

73

± ¿max » ¿

Mt r

2rm Bild 3.10. Torsion eines d¨ unnwandigen Stabes mit Kreisringquerschnitt

Die Torsionsschubspannung h¨ angt wegen der G¨ ultigkeit von (3.3) linear vom Radius r ab. Die D¨ unnwandigkeit des Stabes mit δ  rm bedingt einen nur geringen Unterschied der Spannungen am Innen- und Außenrand des Ringquerschnitts im Vergleich zum Maximalwert τmax . Es kann deshalb eine u ¨ ber der Wanddicke δ n¨ aherungsweise konstante Schubspannungsverteilung τ angenommen werden. Mit dieser statischen Hypothese ergibt sich das resultierende Moment der im Ringquerschnitt 2πrm δ wirkenden Schubspannungen τ zu 2 τδ Mt = 2πrm δτ rm = 2πrm

(3.18)

oder, ausgedr¨ uckt durch die vom mittleren Radius rm eingeschlossene Fl¨ache 2 Am = πrm und die als Schubfluss bezeichnete Gr¨oße t = τδ ,

(3.19)

Mt = 2Am t .

(3.20)

als

Beim tordierten d¨ unnwandigen Kreiszylinderrohr tritt wie auch beim Vollkreiszylinder keine Verw¨ olbung des Querschnitts auf. Dies trifft f¨ ur beliebige d¨ unnwandige geschlossene Querschnitte nicht zu. Wir setzen voraus, dass die dann zu erwartenden Querschnittsverw¨ olbungen nicht behindert werden, so dass keine W¨ olbnormalspannungen entstehen k¨onnen (reine Torsion), und verallgemeinern die obige Betrachtung zum Kreiszylinderrohr auf d¨ unnwandige St¨ abe mit beliebiger Querschnittsform. Es wird wie bisher angenommen, dass die Querschnittsform des Stabes (Bild 3.11a) unter Torsionsbelastung erhalten bleibt. Dies muss gegebenenfalls durch Aussteifungen gew¨ ahrleistet werden. Die jetzt von der auf der Mittellinie liegenden Umfangskoordinate s abh¨ angige Wanddicke δ(s) sei wieder

74

3. Reine Torsion gerader St¨ abe

wesentlich kleiner als die Querschnittsumfangsabmessungen und diese wesentlich kleiner als die Stabl¨ ange l.

¿±ds ds

±(s) P Mt

¿±ds

r(s)

¿±ds

¿±l s

s ±(s)

0 a)

l

b)

P c)

¿±) ±l+ld( ds ¿

Mt

dAm ds

r(s)

Bild 3.11. Zur Torsion d¨ unnwandiger St¨ abe mit beliebiger Querschnittsform

Die letztgenannte Voraussetzung konnte im Bild 3.11 aus Platzgr¨ unden zeichnerisch nicht dargestellt werden. Die statische Annahme enth¨ alt wie beim Kreisrohr im Querschnitt wirkende Schubspannungen, die konstant u ¨ber der Wanddicke δ verteilt und tangential zur Umfangskoordinate s, d. h. n¨ aherungsweise tangential zum Rand, orientiert sind. Die Kr¨ aftebilanz in Stabachsrichtung liefert nach Bild 3.11b d(τ δ) = 0 ,

(3.21)

τ δ = t = konst.

(3.22)

d. h.

Der Schubfluss t h¨ angt also nicht von der Umfangskoordinate s ab. Die maximale Schubspannung tritt deshalb im Gegensatz zur Torsion von d¨ unnwandigen St¨ aben mit offenem Querschnitt an der Stelle mit der kleinsten Wanddicke auf. Bild 3.11b zeigt auch die identische Erf¨ ullung der Kr¨aftebilanz in Richtung der Umfangskoordinate s an. Das resultierende Moment Mt des Schubflusses t = τ δ betr¨agt nach Bild 3.11a und (3.22)   (3.23) Mt = r(s)tds = t r(s)ds , wobei der Kreis im Integralzeichen darauf hinweist, dass die Integration vom beliebig gew¨ ahlten Ursprung 0 der Umlaufkoordinate s beginnend l¨angs der

3.4

Torsion d¨ unnwandiger St¨ abe mit geschlossenem Querschnitt

75

Querschnittsmittellinie bis zum vollst¨ andigen Umlauf auszuf¨ uhren ist. Gem¨aß Bild 3.11c kann noch der Inhalt der schraffierten Dreiecksfl¨ache durch die Basisl¨ ange ds und die H¨ ohe r(s) ausgedr¨ uckt werden, d. h. dAm = so dass nach Einsetzen in (3.23)

1 rds , 2

(3.24)



Mt = t

2dAm = 2tAm

(3.25)

entsteht. Wie aus Bild 3.11c ersichtlich, bezeichnet Am analog zum Kreisringquerschnitt den Inhalt der von der Mittellinie umfassten Fl¨ache, die erwartungsgem¨ aß nicht von der Wahl des Bezugspunktes P abh¨angt. F¨ ur Schubfluss und Schubspannung ergibt sich aus (3.25) und (3.22) t = τδ =

Mt , 2Am

(3.26)

eine Beziehung, die als erste Formel von BREDT (1842-1900) bezeichnet wird. Die maximale Schubspannung τmax an der Stelle mit der kleinsten Wanddicke δmin ist Mt Mt τmax = = , Wt = 2Am δmin , (3.27) 2Am δmin Wt wobei die Gr¨ oße Wt wieder das Widerstandsmoment gegen Torsion bezeichnet. Zur Berechnung des Verdrehwinkels ϕ kann die Verzerrungsenergie herangezogen werden. Dazu wird in dem Ausdruck f¨ ur die Arbeit (2.62) die Kraft F als Bestandteil eines Kr¨ aftepaares F a zweier paralleler Kr¨afte mit dem Abstand a aufgefasst. Dieses Kr¨ aftepaar ist wegen der G¨ ultigkeit der Momenaquivalent. Das Verschiebungstenbilanz der Statik einem Moment Mt = F a ¨ differenzial d¯ u in (2.62) l¨ asst sich bei einer Drehung der Abstandsgeraden um dϕ¯ durch d¯ u = adϕ¯ ausdr¨ ucken, so dass aus der a¨ußeren Arbeit (2.63) u Wa =

ϕ F d¯ u=

0

ϕ F adϕ¯ =

0

Mt (ϕ)d ¯ ϕ¯

(3.28)

0

entsteht. Wenn das Torsionsmoment Mt den Stab aus linear-elastischem Material verdreht, wird die ¨ außere Arbeit (3.28) analog zu (2.71) als Verzerrungsenergie 1 (3.29) U = Mt ϕ 2

76

3. Reine Torsion gerader St¨ abe

im Stab gespeichert. Diese Energie bestimmt sich andererseits aus (2.82) f¨ ur reinen Schub mit (2.59) und (3.26) zu     Mt2 1 1 1 U = U ∗ dV = τ 2 lδds = τ γdV = lδds . (3.30) 2 2G 2G 4δ 2 A2m V

V

Der Vergleich von (3.29) und (3.30) liefert mit Einf¨ uhrung des Torsionstr¨ agheitsmomentes It den gesuchten Verdrehwinkel ϕ (zweite Formel von BREDT) 4A2m Mt l , It =  ds . (3.31) ϕ= GIt δ(s) Ohne Beweis sei darauf verwiesen, dass die bei beliebigen d¨ unnwandigen geschlossenen Querschnitten wie schon bei d¨ unnwandigen offenen Querschnitten infolge behinderter Querschnittsverw¨ olbung auftretenden W¨olbnormalspannungen in axialer Richtung Eindringtiefen erreichen k¨onnen, die nicht mehr klein im Vergleich zu den Umfangsabmessungen sind (s. a. Abschnitt 10.1). Die Anwendung der BREDTschen Formeln (3.26) und (3.31) wird am Problem des tordierten d¨ unnwandigen Kastentr¨ agers nach Bild 3.12 erl¨autert. s3 ± s4 ±

±

Mt s1

2±

a s2

s 2a

Bild 3.12. Zur Torsion eines Kastentr¨ agers

Das linear-elastische Material des Tr¨ agers der L¨ange l mit l  a  δ besitze den Schubmodul G. Wir berechnen die maximale Schubspannung τmax im Tr¨ ager infolge des Torsionsmomentes Mt . Nach (3.27) ergibt sich mit Am = 2a2 τmax =

Mt Mt = 2 . 2Am δmin 4a δ

(3.32)

Dieser Wert tritt im oberen horizontalen und in den beiden vertikalen Querschnittsbereichen auf. Die auf die L¨ ange l des Tr¨ agers bezogene Relativverdrehung ϕ der Endquerschnitte, die Drillung ϑ = ϕ/l, kann aus (3.31) gewonnen werden. Das im Nenner des Torsionstr¨ agheitsmomentes It stehende Umlaufintegral ist mit

3.4

Torsion d¨ unnwandiger St¨ abe mit geschlossenem Querschnitt

77

abschnittsweise konstanten Wanddicken durch 

ds = δ(s)

2a 0

ds1 + 2δ

a 0

ds2 + δ

2a 0

ds3 + δ

a 0

ds4 2a a 2a a a = + + + =5 δ 2δ δ δ δ δ

gegeben, so dass f¨ ur das Torsionstr¨ agheitsmoment 16 3 4A2m 4(2a2 )2 It =  ds δ= a δ = 5a 5 δ(s) folgt. Damit nimmt die Drillung den Wert ϑ=

Mt 5 Mt ϕ = = l GIt 16 a3 δG

an. Beispiel 3.3 Ein torsionsbelastetes Rohr besitze einen d¨ unnwandigen Kreisringquerschnitt (Bild 3.13). ±

rm

±

rm

a)

b)

Bild 3.13. Zum Vergleich geschlossener und offener Querschnittsformen

Im Fall a) ist der Querschnitt geschlossen und im Fall b) infolge eines Schlitzes l¨ angs einer Mantellinie offen. Gesucht sind das Verh¨altnis der maximalen Torsionsschubspannungen des geschlitzten und des ungeschlitzten Rohres sowie das Verh¨ altnis der Drillungen des geschlitzten und ungeschlitzten Rohres. L¨osung: Die Widerstandsmomente gegen Torsion des ungeschlitzten Rohres Wtu nach (3.27) und des geschlitzten Rohres Wtg nach (3.14) sind 2 δ, Wtu = 2πrm

Wtg =

2 πrm δ 2 . 3

Der Ausdruck f¨ ur das Torsionstr¨ agheitsmoment des ungeschlitzten Rohres aß (3.31) mit Itu hat gem¨  2πrm ds = δ(s) δ

78

3. Reine Torsion gerader St¨ abe

die Form Itu =

2 2 ) 4(πrm 3 δ = 2πrm δ. 2πrm

Dieses Ergebnis kann wegen der Kreisringform des Querschnittes mit rm = aherungsweise auch als polares Fl¨achenra − δ/2 = ri + δ/2 und δ  rm n¨ tr¨ agheitsmoment Ip aus (3.6) gewonnen und damit best¨atigt werden:  π  π 4 δ 4 δ 4 ra − ri4 = rm + − rm − Ip = 2 2 2 2  π 4 3 δ 4 3 δ 3 r + 4rm − rm + 4rm = 2πrm δ . ≈ 2 m 2 2 Das Torsionstr¨ agheitsmoment des geschlitzten Rohres Itg ergibt sich nach (3.14) zu 1 Itg = 2πrm δ 3 . 3 F¨ ur das Verh¨ altnis der maximalen Schubspannungen liefern (3.17) und (3.27) den Ausdruck 2 rm δ Wtu 2πrm (τmax )g =3 1. = = (τmax )u Wtg 2πrm δ 2 /3 δ

Das Verh¨ altnis der Drillungen betr¨ agt mit (3.15), (3.16) und (3.31) 3 ϑg r2 δ ϕg Itu 2πrm =3 m = = = 1. 3 ϑu ϕu Igu 2πrm δ /3 δ2

Bei geschlitzten Rohren sind also wegen rm  δ die maximalen Schubspannungen und noch mehr die Verdrehungen wesentlich gr¨oßer als bei ungeschlitzten Rohren. 

Kapitel 4 Reine Biegung gerader Balken

4

4

4 4.1 4.2 4.3 4.3.1 4.3.2 4.4 4.5 4.5.1 4.5.2 4.5.3 4.5.4 4.5.5 4.5.6

Reine Biegung gerader Balken Voraussetzungen ................................................. Spannungen bei gerader Biegung ............................. Spannungen bei schiefer Biegung ............................. Bekannte Hauptachsen im Schwerpunkt .................... Beliebige Schwerpunktachsen.................................. Spannungen infolge Biegemoment und L¨angskraft ........ Biegeverformung ................................................. Differenzialgleichung der elastischen Linie .................. Anwendungsf¨alle ................................................. Differenzialgleichung vierter Ordnung........................ Elastische Linie bei schiefer Biegung ......................... Elastische Linie bei ver¨anderlicher Steifigkeit............... Biegung infolge Temperatur ...................................

81 82 87 88 89 95 98 98 100 110 112 113 113

4 Reine Biegung gerader Balken ¨ Ahnlich wie im Fall der reinen Torsion gerader St¨abe k¨onnen f¨ ur Balken unter Biegebelastung vereinfachende Annahmen getroffen werden, die außerhalb der Lasteinleitungsbereiche auf elementare Formeln zur Berechnung der Spannungen und Verformungen f¨ uhren.

4.1

4.1 Voraussetzungen Die Querschnittshauptabmessungen der zu untersuchenden Balken seien wesentlich kleiner als die Balkenl¨ ange. Dies zeigt Bild 4.1 am Beispiel eines Prismas mit dem Rechteckquerschnitt der H¨ ohe h und der Breite b sowie einer L¨ ange l. l F

F h

b FQ

Mb reine Biegung

v Bild 4.1. Zu den Voraussetzungen der reinen Biegung

Reine Biegung liegt dort vor, wo als Schnittreaktion nur das Biegemoment Mb auftritt, im Beispiel nach Bild 4.1 also zwischen den Einleitungsstellen der Kr¨ afte F . F¨ ur die Verformung der restlichen Balkenteile wird von den Schnittreaktionen zwar das Biegemoment infolge Querkraftbelastung ber¨ ucksichtigt, die direkte Wirkung der Schnittreaktion Querkraft FQ auf die Verformung aber vernachl¨ assigt. Außerdem werden im Folgenden nur Balkendurchbiegungen, d. h. Verschiebungen v der Balkenachse, der Verbindungslinie der Querschnittsfl¨ achenschwerpunkte, zugelassen, die betragsm¨aßig nicht wesentlich gr¨ oßer als die Balkenh¨ ohe h sind (das Bild 4.1 stellt die Verschiebung v aus zeichentechnischen Gr¨ unden unrealistisch vergr¨ oßert dar). Von der strengen Einhaltung dieser Annahme sind sehr schlanke, bez¨ uglich ihrer L¨angsverschie-

82

4. Reine Biegung gerader Balken

bung unbehinderte Balken ausgenommen. Unter den genannten Voraussetzungen bleiben senkrecht zur Balkenachse angeordnete Querschnitte bei der Verformung des Balkens eben und senkrecht zur verformten Balkenachse (Bild 4.1). Diese wichtige kinematische Hypothese geht auf JACOB BERNOULLI (1654-1705) zur¨ uck. Wegen der vorausgesetzten Verformungskinematik wird nur eine in Balkenachsrichtung orientierte Normalspannung erwartet, die so genannte Biegespannung. Wird die Biegebeanspruchung durch normal zur Balkenober- oder Balkenunterseite angreifende Fl¨achenkr¨afte verursacht, so sind die Biegespannungen sehr viel gr¨oßer als die Fl¨achenkr¨afte. Die von Querkr¨ aften herr¨ uhrenden Schubspannungen im Balkenquerschnitt werden gesondert ber¨ ucksichtigt (s. Kapitel 5). Die genannten Annahmen sind unabh¨ angig von speziellen Eigenschaften isotroper homogener Materialien g¨ ultig und auch auf gekr¨ ummte Balken wie z. B. in Bild 4.2 mit R  h, b anwendbar. B-B

h

B F

b

R B Bild 4.2. Gekr¨ ummter Balken

Im Weiteren setzen wir linear-elastisches Material voraus und berechnen die Verteilung der Biegespannungen im Querschnitt des Balkens.

4.2

4.2 Spannungen bei gerader Biegung Hinsichtlich der Auswertung der kinematischen Hypothese von BERNOULLI wird zun¨ achst ein Balkenelement der L¨ ange dz in einer Anordnung betrachtet, bei der eine Schwerpunkthauptachse y der Fl¨achenmomente zweiter Ordnung des Querschnittes in der Zeichenebene liegt (Bild 4.3). O

x y,v

z

%

dz =ds

d Mb

ds Mb

ds*

y

Bild 4.3. Biegeverformung eines Balkenelementes

4.2

Spannungen bei gerader Biegung

83

Dieses Balkenelement werde durch die Schnittmomente Mb um die Hauptachse x senkrecht zur Zeichenebene gebogen. Die Parallelit¨at des Momentenvektors und einer Querschnittshauptachse pr¨agt den Begriff der geraden Biegung. Dabei bleibe eine normal auf der Zeichenebene stehende, die strichpunktierte Linie enthaltende differenziell dicke Schicht des Balkenelementes ungedehnt. Die strichpunktierte Linie, welche im ungekr¨ ummten Zustand der z-Achse entspricht, heißt in diesem Zusammenhang neutrale Faser. Das ungedehnte Schichtelement besitzt die L¨ange dz = ds und den Kr¨ ummungsradius . Wegen des Ebenbleibens der Querschnitte schneiden sich die seitlichen Begrenzungsgeraden des dargestellten Fl¨achensegmentes im Kr¨ ummungsmittelpunkt O. Infolge der urspr¨ unglich prismatischen Gestalt des Balkens hat ein an der Stelle y befindliches Balkenelement vor der Biegung die L¨ ange dz = ds und danach die L¨ ange ds∗ . Seine Dehnung betr¨agt deshalb unter Ber¨ ucksichtigung des Biegewinkels dϕ εz =

ds∗ − ds ( + y)dϕ − dϕ y = = , ds dϕ 

(4.1)

h¨ angt also vom Kr¨ ummungsradius  der Schwerpunktlinie und der Querschnittskoordinate y ab. Die Gleichung (2.54) des HOOKEschen Gesetzes liefert f¨ ur den vorliegenden einachsigen Spannungszustand σz = Eεz

(4.2)

und mit der kinematischen Beziehung (4.1) die im Querschnitt des Balkens von y linear abh¨ angige Verteilung y (4.3) σz = E .  Bei reiner Biegung liegt im Balken keine L¨ angskraft vor. Mb x

S z

x

z

¾z(y)

y

dA y

Bild 4.4. Zum Gleichgewicht des Balkens

Aus der globalen Kr¨ aftebilanz in z-Richtung ergibt sich deshalb gem¨aß Bild 4.4, wo die Biegespannung nach (4.3) eingezeichnet wurde,  →: σz dA = 0 . (4.4) A

84

4. Reine Biegung gerader Balken

Der Kr¨ ummungsradius  h¨ angt nicht von der Querschnittskoordinate y ab. Gleiches trifft auf den Elastizit¨ atsmodul bei homogenem Material zu. Dann m¨ unden (4.3) und (4.4) in  E ydA = 0 , (4.5)  A

eine Beziehung, die erf¨ ullt ist, da das Integral in (4.5) das statische Moment der Querschnittsfl¨ ache bez¨ uglich des Schwerpunktes darstellt und dieses, wie in der Statik gezeigt wurde, verschwindet. Die globale Momentenbilanz bez¨ uglich der x-Achse liefert gem¨aß Bild 4.4 zun¨ achst  

−Mb +

x :

yσz dA = 0 A

und anschließend mit (4.3) E Mb = 



y 2 dA =

E σz Ixx = Ixx .  y

(4.6)

A

Dabei wurde von der in der Statik getroffenen Definition des Fl¨achentr¨aguglich der x-Achse Gebrauch gemacht. heitsmomentes Ixx bez¨ Eine Momentenbilanz um die y-Achse f¨ uhrt nach Bild 4.4 mit (4.3) auf das Ergebnis   E E xσz dA = xydA = − Ixy = 0 , (4.7)   A

A

in dem das Deviationsmoment Ixy wegen des Bezuges auf die Querschnittshauptachsen x, y verschwindet und daher das Nichtvorhandensein der Schnittmomentenkomponente in y-Richtung best¨atigt (gerade Biegung). Die Beziehung (4.6) enth¨ alt die gesuchte Biegespannung σz =

Mb y Ixx

(4.8)

und außerdem den schon EULER (1707-1783) bekannten Zusammenhang Mb =

EIxx 

(4.9)

zwischen dem Biegemoment Mb , der Biegesteifigkeit EIxx und dem Kr¨ ummungsradius . Zur Bestimmung der betragsm¨ aßig gr¨ oßten Biegespannung im Querschnitt des Balkens muss der gr¨ oßte Abstand |y|max von der ungedehnten und deshalb spannungsfreien Schicht y = 0 im Querschnitt aufgesucht werden. Dies f¨ uhrt

4.2

Spannungen bei gerader Biegung

85

auf das Widerstandsmoment Wb gegen Biegung Wb =

Ixx , |y|max

(4.10)

|Mb | Wb

(4.11)

das in die technische Formel |σz |max =

eingeht. Die Beanspruchung belasteter Bauteile darf die Beanspruchbarkeit des Materials nicht u ¨ berschreiten. Bei gleicher Beanspruchbarkeit des Materials und gleichem Sicherheitsfaktor f¨ ur Zug- oder Druckspannungen gibt es nur eine zul¨ assige Spannung σzul , und es gilt die Beziehung |σz |max ≤ σzul ,

(4.12)

welche der Dimensionierungsvorschrift (1.20) entspricht. Die in den Formeln (4.8), (4.10) und (4.11) enthaltenen Querschnittskennonnen f¨ ur einfache Querschnittsformen meist aus Tabelgr¨ oßen Ixx und Wb k¨ lenb¨ uchern entnommen werden. F¨ ur ein tieferes Verst¨andnis des Einflusses der Fl¨ achenverteilung im Querschnitt auf die Querschnittskenngr¨oßen insbesondere auch bei komplizierten Fl¨ achenberandungen ist es jedoch g¨ unstig, den Berechnungsweg f¨ ur Ixx und Wb zu kennen. Hierzu betrachten wir den Balken mit T-Querschnitt nach Bild 4.5, y

3h

¾z max 3/2h

y zS

4h

¾z

x

3h

Mb

5/2h

y x

¾z max

h Bild 4.5. Zur geraden Biegung eines Balkens mit T-Querschnitt

der durch das Biegemoment Mb parallel zur Querschnittshauptachse x belastet ist, und wiederholen die aus der Statik bekannten Schritte zur Bestimmung des Fl¨ achenschwerpunktes und des Fl¨ achentr¨agheitsmomentes Ixx . Der T-Querschnitt ist einfach symmetrisch. Das Ausgangskoordinatensystem x ¯, y¯ wird zweckm¨ aßig so angeordnet, dass die y¯-Achse mit der Symmetrielinie und die x ¯-Achse mit der unteren Begrenzungslinie des T-Querschnittes zu-

86

4. Reine Biegung gerader Balken

sammenfallen. F¨ ur die horizontale Schwerpunktkoordinate folgt dann x¯s = 0. Die Querschnittsfl¨ ache betr¨ agt 6h2 , so dass sich mit der Summe der statischen Momente von Teilfl¨ achen die vertikale Schwerpunktkoordinate zu  5 1  3 y¯s = 2 2h · 12h2 − h · 2 · 3h2 = h 6h 2 2 ergibt. Das Fl¨ achentr¨ agheitsmoment bez¨ uglich der x¯-Achse ist Ix¯x¯ =

1 1 · 3h(4h)3 − · 2h(3h)3 = 46h4 . 3 3

Die Transformation dieses Ergebnisses auf die zu x ¯ parallele Achse x im Schwerpunkt S mittels des Satzes von STEINER (1796-1863) liefert  5 2 17 4 h · 6h2 = h . Ixx = Ix¯x¯ − y¯s2 A = 46h4 − 2 2 Die Spannungsverteilung im T-Querschnitt nach (4.8) zeigt Bild 4.5. Die Randwerte der Biegespannung sind  3  Mb 3 3Mb · h= = σz max , σz y = h = 2 Ixx 2 17h3   5 Mb 5 5Mb σz y = − h = − · h=− = −|σz |max . 2 Ixx 2 17h3 Im vorliegenden Beispiel w¨ are das Widerstandsmoment mit |y|max = 5h/2 Wb =

17 3 Ixx 17h4 2 · = h = |y|max 2 5h 5

und k¨ onnte mit (4.11) und (4.12) f¨ ur Materialien mit gleicher Zug- und Druckfestigkeit wie z. B. im Fall der Fließspannung von Baustahl verwendet werden. Jedoch erlangt die im Widerstandsmoment unbeachtet gebliebene, betragsm¨ aßig kleinere Zugspannung σz max Bedeutung, wenn das Balkenmaterial auf Zug empfindlicher als auf Druck reagiert wie z. B. Konstruktionskeramik. Dieser Aspekt wird in Kapitel 6 nochmals angesprochen. Beispiel 4.1 Der nach Bild 4.6 gelagerte Balken besitzt einen Kreisringquerschnitt. F¨ ur gegebene Abmessungen a, Ri und Ra ist die Kraft F gesucht, so dass die zul¨ assige Spannung σzul nicht u ¨ berschritten wird. L¨osung: Die am prismatischen Balken demonstrierte Theorie der geraden Biegung gilt auch f¨ ur kreiszylindrische Balken.

4.3

Spannungen bei schiefer Biegung

87

F a

a

B

C

x z

y 2Ri 2Ra Bild 4.6. Zur zul¨ assigen Belastung bei Balkenbiegung

Das maximale Biegemoment Mb tritt an der Einleitungsstelle der Kraft F auf: Fa . Mb = 2 F¨ ur das Fl¨ achentr¨ agheitsmoment Ixx ergibt sich π Ixx = (Ra4 − Ri4 ) 4 und f¨ ur das Widerstandsmoment Wb =

Ixx π Ra4 − Ri4 = . |y|max 4 Ra

Die zul¨ assige Kraft Fzul folgt damit aus (4.11) und (4.12): Fzul ≤

2 π Wb σzul = (R4 − Ri4 )σzul . a 2aRa a

Die maximale Biegespannung wirkt im Punkt x = 0, y = Ra des Krafteinleitungsquerschnittes. Sie gleicht hier dem maximalen Betrag der Biegespannung. Die wirkliche Spannungsverteilung in der N¨ ahe der Krafteinleitungsstelle wird durch die elementare Biegetheorie nur unzureichend beschrieben. Sie muss bei Bedarf mit genaueren Methoden bestimmt werden (s. a. Kapitel 10). 

4.3 Spannungen bei schiefer Biegung Im Folgenden sei die Lage des Fl¨ achenschwerpunktes im Balkenquerschnitt bekannt und ein Querschnittsbezugssystem mit dem Ursprung der Koordinaten x, y im Schwerpunkt gegeben.

4.3

88

4. Reine Biegung gerader Balken

4.3.1 Bekannte Hauptachsen im Schwerpunkt Wir betrachten zun¨ achst den Fall, bei dem die Koordinatenachsen x, y mit den bekannten Hauptachsen der Fl¨ achenmomente zweiter Ordnung zusammenfallen wie im Beispiel des einfach symmetrischen Querschnittes nach Bild 4.7. y

0

P

Mb M by ¯ S z

®

x M bx

P¢

0

Bild 4.7. Zur schiefen Biegung bei bekannten Hauptachsen

Das gegebene Biegemoment, welches bei schiefer Biegung zu keiner Hauptachse parallel angeordnet ist, kann in zwei Momente Mbx und Mby parallel zu den Hauptachsen x und y zerlegt werden. Jedes dieser Momente verursacht eine Biegespannungsverteilung gem¨ aß (4.8) σz1 =

Mbx y, Ixx

σz2 = −

Mby x. Iyy

Das Minuszeichen in der zweiten Gleichung zeigt an, dass f¨ ur positive x Druck entsteht. Voraussetzungsgem¨ aß werden wie bisher die mit den Spannungen σz1 und σz2 verbundenen Verformungen in den aktuellen Gleichgewichtsbedingungen vernachl¨ assigt. Beide Spannungen und ihre dazugeh¨origen Dehnungen gehen in die jeweilige lineare Gleichung des HOOKEschen Gesetzes (1.13) ein. Spannungssummen und Dehnungssummen erf¨ ullen ebenfalls ¨ (1.13), so dass die wegen der Linearit¨ at erlaubte Superposition (Uberlagerung) σz = σz1 + σz2 =

Mbx Mby Mb cos α Mb sin α y− x= y− x Ixx Iyy Ixx Iyy

(4.13)

die Gesamtbiegespannung σz ergibt. Die lineare Funktion σz (x, y) nach (4.13) kann man sich als H¨ ohe u ¨ ber der ebenen Querschnittsfl¨ache aufgetragen denken. Alle H¨ ohen bilden eine gegen¨ uber der Querschnittsebene geneigte Ebene. Die Schnittlinie beider Ebenen gen¨ ugt der Bedingung σz = 0, bzw. mit (4.13) y=

Ixx (tan α)x = (tan β)x , Iyy

tan β =

Ixx tan α Iyy

(4.14)

4.3

Spannungen bei schiefer Biegung

89

und wird als Spannungsnulllinie bezeichnet. Sie verl¨auft durch den Schwerpunkt S. Ihr Neigungswinkel gegen¨ uber der x-Achse ist β. Im Bild 4.7 wurde sie durch die Symbolik 0 − · − 0 markiert. Mit der beschriebenen geometrischen Interpretation der linearen Funktion σz der beiden Variablen x und y als gegen¨ uber der Querschnittsebene geneigte Ebene ergeben sich die betragsm¨ aßig gr¨ oßten Spannungswerte mit den Koordinaten der am weitesten von der Spannungsnulllinie entfernten Punkte P bzw. P  . 4.3.2 Beliebige Schwerpunktachsen Auch wenn die Schwerpunktachsen x und y nicht mit den Hauptachsen zusammenfallen, muss die Biegespannungsverteilung im Balkenquerschnitt wie in (4.13) linear von x und y abh¨ angen, allerdings mit konstanten Vorfaktoren a und b, die zun¨ achst unbekannt sind: σz = ax + by .

(4.15)

Die Kr¨ aftebilanz der Biegespannungsverteilung f¨ ur verschwindende L¨angskraft    σz dA = a xdA + b ydA = 0 A

A

A

ist erf¨ ullt, da der Ursprung des Bezugssystems mit den Achsen x und y im Schwerpunkt liegt (Bild 4.8) und die diesbez¨ uglichen statischen Momente definitionsgem¨ aß null sind. y 0 P

Mb

M by ¯ S z

®

M bx

x

P¢

0

Bild 4.8. Zur schiefen Biegung bei beliebigen Schwerpunktachsen

90

4. Reine Biegung gerader Balken

Die resultierenden Momente Mbx bzw. Mby (die Schnittmomente) der Biegespannungsverteilung (4.15) gen¨ ugen gem¨ aß Bild 4.8 den Gleichungen    Mbx = yσz dA = a xydA + b y 2 dA = Mb cos α , 



A

−Mby =

xσz dA = a A

A 

A

2

xydA = −Mb sin α .

x dA + b A

A

Sie ergeben unter Ber¨ ucksichtigung der Definitionen    Ixx = y 2 dA , Iyy = x2 dA , Ixy = − xydA A

A

A

ein lineares Gleichungssystem f¨ ur die beiden Unbekannten a und b. Die L¨osung des Gleichungssystems ist a=

−Mbx Ixy + Mby Ixx , 2 −I I Ixy xx yy

b=

Mby Ixy − Mbx Iyy . 2 −I I Ixy xx yy

Einsetzen in (4.15) liefert die gesuchte Biegespannungsverteilung im Querschnitt Mby Ixx − Mbx Ixy Mby Ixy − Mbx Iyy x+ y. (4.16) σz = 2 −I I 2 −I I Ixy Ixy xx yy xx yy Wie in Abschnitt 4.3.1 ist auch hier die Spannungsnulllinie aus σz (x, y) = 0 zu bestimmen. Ihre Gleichung lautet mit (4.16) und Mbx = Mb cos α sowie Mby = Mb sin α y=

Ixx sin α − Ixy cos α Mby Ixx − Mbx Ixy x = (tan β)x . x= Mbx Iyy − Mby Ixy Iyy cos α − Ixy sin α

(4.17)

Nach Eintragung der Spannungsnulllinie in der Querschnittsfl¨ache (Bild 4.8) ergeben sich wieder die von der Spannungsnulllinie am weitesten entfernten Punkte P und P  , wo die betragsm¨ aßig gr¨ oßten Biegespannungen auftreten. Das Vorzeichen von σz folgt aus (4.16). uhrt (4.17) auf das Im Sonderfall Ixy = 0, d. h. x und y sind Hauptachsen, f¨ Ergebnis Ixx Ixx sin α x= (tan α)x , y= Iyy cos α Iyy welches mit (4.14) u ¨bereinstimmt. Beispiel 4.2 Ein Balken mit dem T-Querschnitt nach Beispiel 4.1 unterliegt schiefer Bie-

4.3

Spannungen bei schiefer Biegung

91

gung infolge des Momentes Mb gem¨ aß Bild 4.9. Gesucht werden die maximale und die betragsm¨ aßig gr¨ oßte Biegespannung f¨ ur tan α = 0, 2. 3h P

0 y

0 4h

zS

Mb

®

x

3h 5h/2 y P¢ h

Bild 4.9. Schiefe Biegung eines Balkens mit T-Querschnitt

L¨osung: Wegen der Symmetrie des T-Querschnitts sind die Hauptachsenrichtungen bekannt. Aus Beispiel 4.1 kann die Schwerpunktlage u ¨ bernommen werden. ur das Fl¨ achentr¨ agheitsmoment bez¨ uglich der Außerdem gilt Ixx = 17h4 /2. F¨ Hauptachse y folgt Iyy =

1 1 5 · 3h · h3 + · h · (3h)3 = h4 . 12 12 2

Die Spannungsnulllinie ergibt sich aus (4.14): y=

17 1 Ixx · x = 0, 68x , (tan α)x = Iyy 5 5

(s. Bild 4.9). Die maximale Biegespannung wirkt im Punkt P mit dem Wert nach (4.13)  3 3  2Mb 3 2Mb 3 σz − h, h = · h cos α + · h sin α 4 2 2 17h 2 5h4 2 = der auf Zug hinweist.

3Mb  cos α sin α  Mb + = 0, 291 3 , h3 17 5 h

92

4. Reine Biegung gerader Balken

Die betragsm¨ aßig gr¨ oßte Biegespannung liegt im Punkt P  vor. Sie ist gem¨aß (4.13) h 5  2Mb 5h 2Mb h σz , − h = − cos α − · · sin α 4 2 2 17h 2 5h4 2 =−

Mb Mb  5 cos α sin α  + = −0, 328 3 3 h 17 5 h 

eine Druckspannung.

Beispiel 4.3 F¨ ur den Balken mit der Querschnittsform nach Bild 4.10 wird der maximale Spannungsbetrag infolge des Biegemomentes Mb gesucht. y h P2

Mb

y u S1

2h yS

v S

x S2

xS

P1

h x

3h

Bild 4.10. Schiefe Biegung eines Balkens mit L-Querschnitt

L¨osung: Es m¨ ussen die Schwerpunktkoordinaten und die Fl¨achenmomente zweiter Ordnung bez¨ uglich eines Schwerpunktbezugssystems bestimmt werden. Hierf¨ ur wird zun¨ achst das beliebige, aber zweckm¨aßige Bezugssystem x ¯, y¯ eingef¨ uhrt. Unter Benutzung der bekannten Koordinaten der Schwerpunkte S1 und S2 f¨ ur die beiden Teilfl¨ achen nach Bild 4.10 ergeben sich die Schwerpunktkoordinaten der Gesamtfl¨ ache A = 4h2 1

h · 2h2 + 2h · 2h2 5 = h, 4h2 4 1 h · 2h2 + 2 h · 2h2 3 y¯S = = h. 4h2 4

x ¯S = 2

Die Fl¨ achenmomente bez¨ uglich des x ¯, y¯-Systems sind wegen der Addierbarkeit der Teilfl¨ achenmomente bez¨ uglich gleicher Bezugssysteme und der

4.3

Spannungen bei schiefer Biegung

93

G¨ ultigkeit des Satzes von STEINER 2h · h3 10 4 h · (2h)3 + = h , 3 3 3 h · (2h)3 2h · h3 28 4 Iy¯y¯ = + + (2h)2 · 2h2 = h , 3 12 3 h h2 · (2h)2 − 2h · · 2h2 = −3h4 . Ix¯y¯ = − 4 2

Ix¯x¯ =

F¨ ur die Fl¨ achenmomente bez¨ uglich der Koordinatenachsen x und y im Schwerpunkt S der Gesamtfl¨ ache folgt mittels des Satzes von STEINER 10 4  3 2 13 4 h − h · 4h2 = h , Ixx = Ix¯x¯ − y¯S2 A = 3 4 12 28 4  5 2 37 4 Iyy = Iy¯y¯ − x h − h · 4h2 = h , ¯2S A = 3 4 12 3 5 3 Ixy = Ix¯y¯ + x ¯S y¯S A = −3h4 + h · h · 4h2 = h4 . 4 4 4 Die Spannungsnulllinie lautet nach (4.17) mit α = 0 y=−

9 3 12 Ixy x = − · x = − x = −0, 243x . Iyy 4 37 37

Ihre Lage ist im Bild 4.10 strichpunktiert angedeutet. Als Stellen maximaler Biegespannungsbetr¨ age kommen die Punkte P1 und P2 in Betracht. Sie haben die Koordinaten 5 x1 = − h , 4

3 y1 = − h 4

und

1 x2 = − h , 4

y2 =

5 h. 4

Einsetzen dieser Werte in (4.16) ergibt mit dem Nenner  3 2 13 37 25 2 h4 − h4 · h4 = − h8 , − Ixx Iyy = N = Ixy 4 12 12 9 σz1 =

3h  117Mb Mb 9Mb  3 4 5h 37 (−Ixy x1 − Iyy y1 ) = − h + h · =− · , N 25h8 4 4 12 4 100h3

σz2 =

Mb 9Mb  3 4 h 37 5h  33Mb − h · + (−Ixy x2 − Iyy y2 ) = · = , N 25h8 4 4 12 4 25h3 σz1 = −1, 17

Mb , h3

σz2 = 1, 32

Mb . h3

Der zweite Wert ist der betragsm¨ aßig gr¨ oßere und deshalb der gesuchte. Es handelt sich um eine Zugspannung. Die L¨ osung der oben gestellten Aufgabe kann auch auf dem Weg des Beispiels 4.2 erfolgen. Hierf¨ ur sind zun¨ achst die Haupttr¨ agheitsmomente und die jetzt

94

4. Reine Biegung gerader Balken

mit u und v bezeichneten Hauptachsen zu bestimmen. Die aus der Statik bekannten und zu (2.13), (2.14) analogen Formeln ergeben die mit I1 und I2 bezeichneten Haupttr¨ agheitsmomente  1 1 2 (Ixx − Iyy )2 + Ixy I1,2 = (Ixx + Iyy ) ± 2 4  1  13 37   1  13 37 2  3 2 h4 , + ± − = + 2 12 12 4 12 12 4 I1,2 = tan ϕ01 =

 25 12

±

5 4 h , 4

I1 =

10 4 h , 3

Ixy 3 =3, =  13 10  Ix − I2 − 4 12 12

I2 =

5 4 h , 6

ϕ01 = 71, 57◦ .

Der Winkel ϕ01 wird zwischen den Achsen x und u gemessen (Bild 4.10). Die Biegespannungsverteilung gem¨ aß (4.13) und Bild 4.10 ist σz =

Mb cos ϕ01 Mb sin ϕ01 v+ u. I1 I2

Zu ihr geh¨ ort die aus σz = 0 folgende Spannungsnulllinie v=−

I1 10 6 (tan ϕ01 )u = − · · 3u = −12u , I2 3 5

welche mit der schon berechneten Spannungsnulllinie u ¨bereinstimmt. ¨ Die Koordinaten der geometrischen Punkte transformieren sich beim Ubergang vom x, y-System auf das u, v-System nach u = x cos ϕ01 + y sin ϕ01 ,

v = −x sin ϕ01 + y cos ϕ01 .

Damit haben die Punkte P1 und P2 die neuen Koordinaten u1 = −1, 107h , v1 = 0, 949h ,

u2 = 1, 107h , v2 = 0, 632h .

Die Spannungen an diesen Stellen besitzen die Werte Mb cos ϕ01 Mb sin ϕ01 Mb v1 + u1 = −1, 17 3 , I1 I2 h Mb cos ϕ01 Mb sin ϕ01 Mb = v2 + u2 = 1, 32 3 . I1 I2 h

σz1 = σz2

Diese wurden schon oben erhalten. Welche der beiden demonstrierten Rechenwege g¨ unstiger ist, h¨angt vom gestellten Problem ab. Im vorliegenden Fall scheint die erste der beiden Varianten vorteilhafter zu sein. 

4.4

Spannungen infolge Biegemoment und L¨ angskraft

95

Erg¨ anzend sei darauf hingewiesen, dass bei kreisf¨ormigen Querschnitten das Deviationsmoment f¨ ur alle Schwerpunktachsen verschwindet. Folglich verursacht jedes Biegemoment gerade Biegung.

4.4 Spannungen infolge Biegemoment und L¨ angskraft H¨ aufig sind prismatische oder zylindrische St¨ abe gleichzeitig durch Biegung und axialen Zug beansprucht. Statt Zug kann auch Druck auftreten, der als Zug mit negativem Vorzeichen ber¨ ucksichtigt wird. Im Folgenden seien die Lage des Schwerpunktes und der Haupttr¨agheitsachsen x, y der Querschnittsfl¨ ache bekannt. Dann ergibt sich die Biegespanaß Bild 4.7 und (4.13) zu nung infolge eines Biegemomentes Mb gem¨ σzb =

Mbx Mby y− x. Ixx Iyy

(4.18)

Eine L¨ angskraft FL , deren Wirkungslinie per Definition durch die Querschnittsfl¨ achenschwerpunkte des prismatischen Balkens verl¨auft, erzeugt in einem Querschnitt mit der Fl¨ ache A und in hinreichender Entfernung von ihrem Angriffspunkt die Zugl¨ angsspannung σzl =

FL . A

(4.19)

Wegen der Vernachl¨ assigung der Verformungen in den aktuellen Gleichgewichtsbedingungen und wegen der Linearit¨ at des HOOKEschen Gesetzes (1.13) k¨ onnen die beiden Spannungen (4.18) und (4.19) wieder analog zu (4.13) additiv zusammengesetzt werden. Die Gesamtspannung ergibt sich aus σz =

Mbx Mby FL . y− x+ Ixx Iyy A

(4.20)

Wird σz als Funktion der beiden in der Querschnittsfl¨ache liegenden Koordinaten x und y u ache aufgetragen, dann beschreibt ¨ ber der Querschnittsfl¨ (4.20) eine geneigte Ebene, die mit der Querschnittsebene eine Schnittlinie ullt ist. Diese Spannungsnulllinie verl¨auft jetzt f¨ ur erzeugt, auf der σz = 0 erf¨ FL = 0 im Gegensatz zur Spannungsnulllinie in Abschnitt 4.3.1 nicht durch den Schwerpunkt. Der maximale Spannungsbetrag |σz |max ist in dem Querschnittspunkt zu finden, der den gr¨ oßten senkrechten Abstand von der Spannungsnulllinie besitzt. Herrscht dort eine Zugspannung, so stellt diese auch die maximale Zugspannung dar. Anderenfalls muss, sofern die maximale Zugspannung gesucht wird, noch der auf der Gegenseite der Spannungsnulllinie am weitesten entfernt liegende Punkt in (4.20) eingesetzt werden.

4.4

96

4. Reine Biegung gerader Balken

Ein spezieller Fall liegt vor, wenn das Biegemoment durch eine exzentrisch angreifende, axial orientierte Kraft verursacht wird (Bild 4.11). y A

L

y

xF F y F S z

F x z

x

Bild 4.11. Balken unter exzentrischer Zugkraft

Die L¨ ange L weist ¨ ahnlich wie schon in fr¨ uheren Betrachtungen, z. B. in Bild 1.3, auf die ungef¨ ahre Gr¨ oße des G¨ ultigkeitsbereiches der elementaren L¨ osungen (4.18) und (4.19) gem¨ aß dem Prinzip von DE SAINT VENANT hin. Dieser Aspekt wird in Kapitel 10 genauer besprochen. Aus (4.20) folgt durch Einsetzen der speziellen Form des Momentes der Kraft F F yF F xF F . (4.21) y+ x+ σz = Ixx Iyy A Das Pluszeichen vor dem zweiten Term von (4.21) gen¨ ugt der Tatsache, dass der Biegemomentenanteil F xF f¨ ur positive x positive Biegespannungen erzeugt. Beispiel 4.4 Ein prismatischer Balken mit Rechteckquerschnitt wird durch eine exzentrische Zugkraft F belastet (Bild 4.12). Gesucht ist die maximale Normalspannung. y 0 4h P¢

F S 2h h z

P x

0 8h

Bild 4.12. Zum Balken mit Rechteckquerschnitt unter exzentrischer Zugkraft

L¨osung: Die Querschnittsfl¨ ache A sowie die Fl¨ achentr¨agheitsmomente Ixx und Iyy bez¨ uglich der Hauptachsen x und y ergeben sich zu A = 32h2 ,

Ixx =

8h (4h)3 , 12

Iyy =

4h (8h)3 , 12

4.4

Spannungen infolge Biegemoment und L¨ angskraft

97

so dass (4.21) mit yF = h und xF = 2h σz =

3y 3x  F 12F h 12F 2h F  1 + + + y + x = 32h2 8h(4h)3 4h(8h)3 32h2 4h 8h

liefert. Die Spannungsnulllinie σz = 0 bzw. 1+

3x 3y + =0 4h 8h

verl¨ auft durch die Punkte (0, −4h/3) und (−8h/3, 0), s. Bild 4.12. Da der Kraftangriffspunkt der Zugkraft im ersten Quadranten liegt, wirkt am Punkt P (4h, 2h) die gr¨ oßte Zugspannung 3 3  F F  σz max = 1 + · 2 + ·4 = 2 . 32h2 4 8 8h  Erg¨ anzend zu dem betrachteten Beispiel ist festzustellen, dass im Falle einer Druckkraft im Punkt (2h, h) der Zugbereich unter der Spannungsnulllinie von Bild 4.12 liegt. Wird der Angriffspunkt dieser Druckkraft in Richtung Schwerpunkt S verschoben, so wandert die Spannungsnulllinie an den Querur ein schnittsrandpunkt P  und der Zugbereich verschwindet. Dies zeigt f¨ beliebiges Rechteck nochmals Bild 4.13a, wo der betreffende Randpunkt mit P bezeichnet wurde. y xF F h

S

yF z

h/6 x

0 P

0

b/6

b a)

b)

Bild 4.13. Zum Querschnittskern eines Rechteckquerschnittes

Bleiben die Koordinaten xF und yF des Angriffspunktes der Druckkraft F zun¨ achst noch variabel, so liefert (4.21) mit σz = 0 σz = −

12F yF 12F xF F y− x− =0. 3 3 bh hb bh

98

4. Reine Biegung gerader Balken

Einsetzen des Punktes P mit den Koordinaten x = −b/2 und y = −h/2 ergibt h h yF = − xF , 6 b eine Geradengleichung f¨ ur den Kraftangriffspunkt. Sie begrenzt die schraffierte Fl¨ ache von Bild 4.13b im ersten Quadranten. Die Wiederholung der obigen Vorgehensweise f¨ ur jeden Eckpunkt des Rechteckes in Bild 4.13a f¨ uhrt auf die verbleibenden Begrenzungsgeraden der schraffierten Fl¨ache in Bild 4.13b. F¨ ur Angriffspunkte von Druckkr¨ aften innerhalb dieser Fl¨ache schneidet keine Spannungsnulllinie den Querschnitt, der dann zugspannungsfrei bleibt. Die schraffierte Fl¨ ache heißt Querschnittskern. Sie hat technische Bedeutung f¨ ur spr¨ ode Materialien, die keine Zugbeanspruchung infolge exzentrischer Druckkr¨ afte erleiden d¨ urfen oder die im Druckbereich vorgespannt werden sollen. Hinsichtlich des Problems der Krafteinleitung sei auf Kapitel 10 verwiesen.

4.5

4.5 Biegeverformung In Abschnitt 4.1 wurde die f¨ ur die Balkenbiegung wesentliche kinematische Hypothese von BERNOULLI angenommen, nach der senkrecht zur Balkenachse angeordnete Querschnitte bei der Verformung des Balkens eben und senkrecht zur verformten Balkenachse bleiben. Mit dieser Voraussetzung konnte f¨ ur gerade Biegung die axiale Dehnung einer beliebigen Stelle des Querschnittes gem¨ aß (4.1) durch den Kr¨ ummungsradius der verformten Balkenachse und eine Querschnittskoordinate ausgedr¨ uckt werden. Die Balkenachse stellt die Verbindungslinie der Querschnittsfl¨achenschwerpunkte dar. Der Kr¨ ummungsradius beschreibt die Biegung der Balkenachse um eine Hauptachse des Querschnittes, liegt also in einer senkrecht zu dieser Hauptachse angeordneten Ebene. Die benutzte Querschnittskoordinate hat die Richtung des Kr¨ ummungsradius. Im Folgenden leiten wir den geometrischen Zusammenhang zwischen dem Kr¨ ummungsradius der zu einer ebenen Kurve verformten Balkenachse und der dazugeh¨ origen Verschiebung bei gerader Biegung her (s. Bild 4.1 und Bild 4.3). 4.5.1 Differenzialgleichung der elastischen Linie In der Mathematik wird der Kr¨ ummungsradius der Kurve, welche eine bis zur zweiten Ordnung differenzierbare Funktion y(x) darstellt (Bild 4.14), durch die Beziehung ds = dϕ

(4.22)

4.5

Biegeverformung

99

definiert. y

%+d% %

d

+d

2

ds

ds=

y(x)

x

¢d 1+y

dy = y¢dx dx

x+dx

x

x

Bild 4.14. Zur Berechnung des Kr¨ ummungsradius

In (4.22) geben ds die differenzielle Bogenl¨ angen¨ anderung und dϕ die differenzielle Tangentenwinkel¨ anderung der Kurve beim Fortschreiten um dx auf der x-Achse an. Außerdem enth¨ alt (4.22) den Fakt, dass der Kr¨ ummungsradius senkrecht auf der Kurventangente im jeweiligen Kurvenpunkt steht. Wegen ϕ = arctan y  mit y  = dy/dx kann (4.22) als 1 dϕ dϕ dx y  1 y   = = · = · =  ds dx ds 1 + y 2 (1 + y 2 )3/2 1 + y 2

(4.23)

geschrieben werden. Dabei wurde die Kettenregel der Differenziation angewendet und das Bogenl¨ angendifferenzial ds nach Bild 4.14 mittels des Satzes von PYTHAGORAS (um 580 v.Chr. - um 496 v.Chr.) berechnet. Die rechte Seite von (4.23) stellt die Kr¨ ummung der Kurve dar. Der Kr¨ ummungsradius soll definitionsgem¨ aß immer eine positive Gr¨oße sein. ¨ Deshalb ist in (4.23) bei Offnung der Kurve entgegengesetzt zur y-Richtung ein Minuszeichen einzuf¨ ugen. Dies wird nochmals deutlich, wenn sich in (4.23) der vorzeichenbestimmende Z¨ ahler y  aus der parabolischen Funktion y = −cx2 , c > 0 zu y  = −2c ergibt. In der Mechanik der Balkenbiegung treten die Durchbiegung v und die Achsenkoordinate z an die Stelle der negativen Ordinate y und der Abszisse x (Bild 4.15). z

z

Mb

Mb

v

v a)

Mb

Mb b)

Bild 4.15. Zum Vorzeichen der Balkenkr¨ ummung

Wir nehmen jetzt noch eine kleine Balkenverdrehung ϕ an, d. h. |ϕ|  1 und ur die hier betrachteten Durchbiegungen, die deshalb |v  | ≈ |ϕ|  1. Dies ist f¨

100

4. Reine Biegung gerader Balken

sehr viel kleiner als die Balkenl¨ ange sind, immer erf¨ ullt. F¨ ur gerade Balken heißt die Balkenverdrehung auch Balkenneigung. Unter Beachtung der oben gef¨ uhrten Diskussion zum Vorzeichen der Kurvenkr¨ ummung und mit den ge¨ anderten Bezeichnungen ergibt sich dann aus (4.23) 1 = ∓v  . 

(4.24)

Das Minuszeichen in (4.24) geh¨ ort zur Kr¨ ummung von Bild 4.15a mit der dazugeh¨ origen Festlegung des Z¨ ahlsinns des Biegemomentes Mb . Das Pluszeichen entspricht der Anordnung von Bild 4.15b. Wir benutzen meist die erstgenannte M¨ oglichkeit. Ihre Kombination mit (4.9) f¨ uhrt auf die Differenzialgleichung der so genannten elastischen Linie oder Biegelinie Mb 1 = −v  = ,  EIxx

(4.25)

in der alle Terme von der Achsenkoordinate z abh¨angen k¨onnen. Die Differenzialgleichung (4.25) ist f¨ ur bekannte rechte Seiten direkt zu integrieren, da die gesuchte Funktion v(z) nur als zweite Ableitung v  (z) auftritt. Im Ergebnis erscheinen gem¨ aß der zweiten Ordnung von (4.25) zwei Integrationskonstanten, die aus zwei zu formulierenden Randbedingungen zu bestimmen sind. Die Randbedingungen zu der Differenzialgleichung zweiter Ordnung (4.25) enthalten Aussagen u ¨ ber bekannte Verschiebungen (Durchbiegungen) und Verdrehungen der Balkenachse an den Balkenenden. Sie heißen kinematische oder geometrische Randbedingungen. Muss die Balkenl¨ange wegen abschnittsweiser bzw. unstetiger Verteilung der eingepr¨agten Lasten, auf Grund von Lagerungen zwischen den Balkenenden oder infolge von Abwinkelungen in Bereiche aufgeteilt werden, so sind die Randbedingungen durch weitere Aussagen bez¨ uglich der Balkendurchbiegung und -verdrehung an den ¨ ¨ Ubergangsstellen, so genannte Ubergangsbedingungen, zu erg¨anzen. Die Gesamtzahl der voneinander unabh¨ angigen Informationen gleicht dabei genau dem Zweifachen der Bereichsanzahl zuz¨ uglich unbekannter Lagerreaktionen im Fall von statischer Unbestimmtheit. 4.5.2 Anwendungsf¨ alle Im Folgenden sei zun¨ achst eine konstante Biegesteifigkeit angenommen. Außerdem verzichten wir wegen der geraden Biegung auf die Indizierung des Fl¨ achentr¨ agheitsmomentes. Dann kann (4.25) in der Form EIv  = −Mb geschrieben werden.

(4.26)

4.5

Biegeverformung

101

Wir betrachten den durch die eingepr¨ agten Einzellasten F0 und M0 belasteten eingespannten Balken nach Bild 4.16 und berechnen die Durchbiegung sowie die Verdrehung des Balkens an der Lasteinleitungsstelle. F0 0

M0

EI

v0

l z

z

F0 FQ Mb

M0 z v

Bild 4.16. Eingespannter Balken unter Einzellasten

F¨ ur die erforderliche Ermittlung des Schnittmomentes Mb in (4.26) wird ein Koordinatensystem z, v und ein Z¨ ahlsinn des Schnittmomentes Mb gem¨aß Bild 4.16 eingef¨ uhrt. Dies entspricht Bild 4.15a, da die Orientierung der Balkenachskoordinate f¨ ur das Vorzeichen in (4.24) bedeutungslos war. Mit der Momentenbilanz f¨ ur die Schnittstelle ergibt sich das Biegemoment als Mb = −F0 z − M0 . Einsetzen in (4.26) und zweimalige Integration liefert mit den Integrationskonstanten C1 , C2 EIv  = F0

EIv = F0

z2 + M0 z + C1 , 2

z3 z2 + M0 + C1 z + C2 . 6 2

An der Einspannung z = l verschwinden Durchbiegung und Verdrehung des Balkens. Die Randbedingungen lauten folglich v(l) = 0 , bzw. F0

v  (l) = 0

l3 l2 + M0 + lC1 + C2 = 0 , 6 2

F0

l2 + M0 l + C1 = 0 . 2

102

4. Reine Biegung gerader Balken

Das Gleichungssystem f¨ ur die beiden Unbekannten C1 und C2 hat die L¨osung C1 = −F0

l2 − M0 l , 2

C2 = F0

l3 l2 + M0 . 3 2

Die gesuchten Verformungen v0 und ϕ0 sind F0 l3 M0 l 2 C2 = + , EI 3EI 2EI

v0 = v(0) =

ϕ0 = −v  (0) = −

(4.27a)

F0 l2 M0 l C1 = + . EI 2EI EI

(4.27b)

Das Minuszeichen in der zweiten Gleichung entsteht, weil der in Bild 4.16 eingetragene Verdrehungswinkel ϕ0 einem negativen Anstieg im Koordinatensystem z, v entspricht. Es sei noch erw¨ ahnt, dass in obiger Rechnung die Lagerreaktionen nicht ben¨ otigt wurden. Der Leser u ¨ berzeuge sich, dass die Benutzung der Koordinate z¯ = l − z in Bild 4.16 dasselbe Ergebnis (4.27) liefert. Beispiel 4.5 Der gest¨ utzte Balken nach Bild 4.17 unterliegt einer konstanten Streckenlast der Intensit¨ at q. Gesucht sind Ort und Gr¨ oße der maximalen Durchbiegung des Balkens. L¨osung: Das Gleichgewicht des gesamten Balkens erfordert die Lagerreaktionen FB = ql/2 und FC = ql/2. F¨ ur die Verformungsberechnung werden die Koordinaten z und v eingef¨ uhrt, deren Ursprung sich im Lager B befindet. Aus zeichentechnischen Gr¨ unden ist die Achskoordinate z in Bild 4.17 parallel zur Balkenachse dargestellt, eine ¨ Verfahrensweise, von der wir im Folgenden des Ofteren Gebrauch machen. q C

B l

q

FB

FC

q FB z v

Mb FQ

Bild 4.17. Gest¨ utzter Balken mit konstanter Streckenlast

4.5

Biegeverformung

103

Nach Festlegung des Z¨ ahlsinns f¨ ur das Schnittmoment Mb folgt aus der Momentenbilanz f¨ ur die Schnittstelle und mit (4.26) Mb =

q (lz − z 2 ) = −EIv  . 2

Die Integration ergibt mit den Integrationskonstanten C1 und C2 q  z2 z3  + C1 , EIv  = − l − 2 2 3 EIv = −

q  z3 z4  l − + C1 z + C2 . 2 6 12

An den Lagern verschwindet die Durchbiegung, d. h. v(0) = 0 = C2 ,

v(l) = 0 = −

q  l4 l4  − + C1 l , 2 6 12

C1 =

ql3 . 24

Die maximale Durchbiegung vmax tritt in Balkenmitte z = l/2 auf. Sie hat den Wert l 1  ql4 ql4  1 1  5ql4 = − − = . vmax = v 2 EI 48 12 8 32 384  Die Anordnungen nach Bild 4.16 und 4.17 waren statisch bestimmt und durch nur einen Bereich charakterisierbar. Wir gehen jetzt zu allgemeineren Situationen u ¨ ber. Der gest¨ utzte Balken nach Bild 4.18 unterliegt einer unstetigen Lasteinleitung in Form der Einzelkraft F . Gesucht ist die Durchsenkung des Kraftangriffspunktes. Nach Freischnitt des Balkens ergeben die Gleichgewichtsbedingungen die ben¨ otigten Lagerreaktionen b FB = F , l

FC =

a F , l

l =a+b .

Wir zerlegen den Balken in zwei Bereiche, die am Kraftangriffspunkt aneinandergrenzen, und f¨ uhren in jedem Bereich i ein Koordinatensystem zi , vi sowie einen Z¨ ahlpfeil f¨ ur das Schnittmoment Mbi ein. Die Schnittmomente und die Differenzialgleichungen der elastischen Linie gem¨ aß (4.26) einschließlich ihrer

104

4. Reine Biegung gerader Balken a

b F

B

C

F FB

FC Mb1

FB FQ1

z1

FQ2 Mb2

FC z2

v1

v2 a

b

z2

z1 v1

v1¢> 0

v2¢< 0

v2

Bild 4.18. Gest¨ utzter Balken mit Einzelkraft

Integrale in den beiden Bereichen lauten: 0 ≤ z1 ≤ a , Mb1 = FB z1 =

0 ≤ z2 ≤ b ,

−EIv1

,

 FB  z12 + C1 , EI 2  FB  z13 + C1 z1 + C2 , v1 = − EI 6 v1 = −

Mb2 =FC z2 = −EIv2 ,  FC  z22 + C3 , EI 2  FC  z23 v2 = − + C3 z2 + C4 . EI 6 v2 = −

F¨ ur die Bestimmung der vier Integrationskonstanten C1 bis C4 werden vier ¨ Rand- bzw. Ubergangsbedingungen ben¨ otigt. An den gest¨ utzten Balkenenden verschwindet die Verschiebung, d. h. v1 (0) = 0 ,

v2 (0) = 0 ,

¨ des Bereiches 1 zum woraus C2 = C4 = 0 folgt. An der Ubergangsstelle Bereich 2, hier die Krafteinleitungsstelle, muss die Balkenverschiebung stetig sein. Anderenfalls w¨ urde dort der Balken zerst¨ort werden. Stetigkeit der Verschiebung bedeutet v1 (a) = v2 (b) .

4.5

Biegeverformung

105

Zur Erhaltung der Balkenfunktion darf die Balkenachse bei Verformung auch keinen Knick bekommen. Hinsichtlich der dann stetigen Verdrehung gilt nach ¨ Bild 4.18 f¨ ur a < b wegen v1 (a) > 0 und v2 (b) < 0, die Ubergangsbedingung v1 (a) = −v2 (b) . Wie man Bild 4.18 weiter entnimmt, entsteht das entgegengesetzte Vorzeichen der Verdrehungen v1 und v2 infolge der gegenseitigen Spiegelung der Koordinatensysteme z1 , v1 und z2 , v2 . Eine Spiegelung der Koordinatensysteme liegt immer vor, wenn die einander entsprechenden Koordinatenz¨ahlrichtungen nicht durch Drehung in der Ebene zur Deckung gebracht werden k¨onnen. ¨ Die beiden Ubergangsbedingungen liefern wegen C2 = C4 = 0 das Gleichungssystem   F a  b3 F b  a3 + aC1 = − + bC3 , − EIl 6 EIl 6 −

 F b  a2 + C1 = EIl 2

 F a  b2 + C3 EIl 6

mit der L¨ osung C1 = −

a (2b2 + a2 + 3ab) , 6l

C3 = −

b (2a2 + b2 + 3ab) . 6l

Die Balkenverschiebung vF an der Krafteinleitungsstelle ist  F a2 b 2 F b  a3 + aC1 = . vF = v1 (a) = − EIl 6 3EIl Der Sonderfall a = b = l/2 ergibt vF = F l3 /(48EI). Dieser Wert beschreibt dann die maximale Durchbiegung. Wir merken noch an, dass statt der zwei Achskoordinaten z1 und z2 auch eine durchlaufende Koordinate verwendet werden kann. Dies funktioniert jedoch nicht bei Balkenabwinklungen, weshalb wir die erstgenannte, allgemeinere Variante eingef¨ uhrt haben. Bez¨ uglich weiterer Belastungs- und Lagerungsf¨ alle gerader Balken sei auf entsprechende Tabellen in einschl¨ agigen Taschenb¨ uchern des Maschinen- und Bauwesens verwiesen. Wir betrachten nun den Fall eines abgewinkelten Balkens, der gem¨aß Bild 4.19a durch eine Einzelkraft F belastet ist. Gesucht ist die Verschiebung vB des Lagers B. Die eingepr¨ agte Kraft und die Lagerreaktionen zeigt Bild 4.19b. Diese ¨außeren Lasten sind symmetrisch zur eingezeichneten Winkelhalbierenden angeordnet.

106

4. Reine Biegung gerader Balken

a

F F

C a

B

F

F

a)

b)

F

F

F

Mb1

FL1

F

F v2

z1

FQ1 z2

v1

FQ2 Mb2

c)

d)

FL2

Bild 4.19. Abgewinkelter Balken unter Einzelkraft

Wir f¨ uhren die Koordinaten zi , vi und Z¨ ahlpfeile f¨ ur die Schnittmomente Mbi , i = 1, 2 in den Bereichen i = 1 (Bild 4.19c) und i = 2 (Bild 4.19d) ein. Die Z¨ ahlpfeile f¨ ur die hier vollst¨ andig vorliegenden Schnittkr¨afte FQi und afte gehen allerdings nicht in die FLi wurden mit eingetragen. Die Schnittkr¨ Schnittmomentenbilanzen ein, welche, wie u uglich der Schnittstel¨ blich, bez¨ len formuliert werden. F¨ ur die Schnittmomente und Differenzialgleichungen der elastischen Linie nach (4.26) einschließlich ihrer Integrale in den beiden Bereichen ergibt sich 0 ≤ z1 ≤ a , Mb1 = −F z1 =

0 ≤ z2 ≤ a ,

−EIv1

,

EIv1 = F z1 , z2 EIv1 = F 1 + C1 , 2 z13 EIv1 = F + C1 z1 + C2 , 6

Mb2 =F z2 − F a = −EIv2 , EIv2 =F a − F z2 , z2 EIv2 =F az2 − F 2 + C3 , 2 z3 z22 EIv2 =F a − F 2 + C3 z2 + C4 . 2 6

Die Verschiebung am Lager C verschwindet, d. h. v1 (0) = 0 ,

C2 = 0 .

4.5

Biegeverformung

107

Die L¨ angen¨ anderung der Balken infolge L¨ angskraft wird hier gegen¨ uber der Durchbiegung vernachl¨ assigt. Diese Vereinfachung muss im konkreten Einzelfall u. U. kontrolliert werden (s. a. Beispiel 7.7). Die Verk¨ urzung des Abstandes zwischen den Balkenenden infolge Verdrehung ϕ der Balkenelemente ist von der Ordnung ϕ2 , die Durchbiegung infolge Verdrehung ϕ dagegen von der Ordnung ϕ (s. Abschnitt 8.3.1 und Bild 8.12). Sie wird ebenfalls vernachl¨ assigt. Damit ergibt sich v2 (0) = 0 ,

C4 = 0 ,

v1 (a) = 0 ,

C1 = −F

a2 . 6

Die rechtwinklige Ecke, die den horizontalen mit dem vertikalen Balkenteil verbindet, wird infolge der Belastung des Tragwerkes verdreht (Bild 4.20). z1

v1¢

v2

v1

z2 v1¢,v2¢> 0

v2¢

¨ Bild 4.20. Zur Ubergangsbedingung f¨ ur die Balkenverdrehungen

Die Tangenten an der Biegelinie bleiben dabei senkrecht zueinander. Die onnen durch Drehung in der Ebene Koordinatensysteme z1 , v1 und z2 , v2 k¨ miteinander zur Deckung gebracht werden. Beide Verdrehungen v1 und v2 ¨ haben die gleiche, hier positive Orientierung. Folglich lautet ihre Ubergangsbedingung a2 v1 (a) = v2 (0) , F + C1 = C3 . 2 Einsetzen von C1 liefert C3 = F

a2 . 3

Die Lagerverschiebung vB ergibt sich zu F a3  1 1 1  2F a3 − + = . vB = v2 (a) = EI 2 6 3 3EI

Beispiel 4.6 F¨ ur den abgewinkelten Balken nach Bild 4.21 ist die Verdrehung des freien Balkenendes infolge des Einzelmomentes M0 gesucht.

108

4. Reine Biegung gerader Balken a Mb1

z1

B

Mb2 v1

a z2

v2 M0

M0

M0

Bild 4.21. Abgewinkelter Balken mit Einzelmoment

L¨osung: Mit den angegebenen Teilfreischnitten, Koordinatensystemen und Schnittmomentenz¨ ahlpfeilen ergibt sich 0 ≤ z1 ≤ a , Mb1 = M0 =

0 ≤ z2 ≤ a ,

−EIv1

Mb2 =M0 = −EIv2 ,

,

EIv1 = −M0 z1 + C1 , EIv1 = −M0

EIv2 = − M0 z2 + C3 ,

z12 + C1 z1 + C2 , 2

EIv2 = − M0

z22 + C3 z2 + C4 . 2

¨ Die Rand- und Ubergangsbedingungen lauten: v1 (a) = 0 ,

v1 (a) = 0 ,

v2 (a) = 0 ,

v1 (0) = v2 (a) .

Aus der zweiten Bedingung folgt C1 = aM0 und damit aus der letzten Gleichung C3 = 2aM0 . Die Verdrehung des freien Balkenendes ist v2 (0) =

2aM0 C3 = . EI EI

F¨ ur die Gewinnung dieses Ergebnisses wurden die erste und die dritte Bedingung nicht ben¨ otigt. Das Ergebnis gleicht erwartungsgem¨aß der doppelten Verdrehung des freien Endes eines eingespannten Balkens der L¨ange a, welcher am freien Ende durch das Einzelmoment M0 belastet ist (vgl. hierzu Bild 4.16 und die diesbez¨ ugliche Rechnung).  Es verbleibt noch die Er¨ orterung eines statisch unbestimmten Problems. Dies liegt mit dem Balken vor, der gem¨ aß Bild 4.22 links eingespannt und rechts gest¨ utzt ist. Die Belastung des Balkens erfolgt durch eine konstante Streckenlast q. Gesucht sind die Lagerreaktionen.

4.5

Biegeverformung

109 q B

C l

EI q

FBh MB FBv

FC q Mb

MB

FBv z

FQ

v Bild 4.22. Statisch unbestimmt gelagerter Balken

Nach Freischneiden des gesamten Balkens zeigen die Gleichgewichtsbilanzen → : FBh = 0 , ↑ : FBv + FC − ql = 0 ,  l C : MB − FBv l + ql = 0 2 mit den letzten zwei Gleichungen f¨ ur die drei Unbekannten FBv , FC und MB die einfach statische Unbestimmtheit der Lagerung an. Die fehlende Information zur Bestimmung der statisch Unbestimmten folgt aus der zugeh¨origen kinematischen Bedingung am Angriffspunkt der statisch Unbestimmten. Die Teilfreischnittskizze f¨ uhrt auf z2 = − EIv  , 2 z3 − MB z − q = − EI(v  + C1 ) , 6 z4 z2 − MB − q = − EI(v + C1 z + C2 ) . 2 24

Mb = FBv z − MB − q z2 2 z3 FBv 6 FBv

F¨ ur die Bestimmung der beiden Integrationskonstanten C1 , C2 und einer statisch unbestimmten Lagerreaktion werden drei Randbedingungen ben¨otigt. Diese lauten: v(0) = 0 ,

v  (0) = 0 ,

v(l) = 0 .

Hieraus folgen C2 = 0, C1 = 0 und FBv

l4 l3 l2 − MB − q =0, 6 2 24

110

4. Reine Biegung gerader Balken

so dass sich zusammen mit der obigen Momentenbilanz bez¨ uglich C zun¨achst 5 ql , 8

FBv =

MB =

ql2 8

und nach Benutzung der vertikalen Kr¨ aftebilanz 3 ql 8

FC = ergeben.

4.5.3 Differenzialgleichung vierter Ordnung F¨ ur gerade Balken, die durch kontinuierlich verteilte Streckenlasten quer zur Balkenachse belastet sind, wurde in der Statik eine Beziehung zwischen Streckenlast, Querkraft und Biegemoment angegeben. Mit Bezug auf Bild 4.23 sei dieser Zusammenhang nochmals dargestellt. q FQ Mb

Mb+dMb

P z

dz

FQ+dFQ

v Bild 4.23. Balkenelement mit Streckenlast

Die vertikale Kr¨ aftebilanz lautet ↑ : −dFQ − qdz = 0 ,

dFQ = FQ = −q dz

(4.28)

und die Momentenbilanz bez¨ uglich P 

P : dMb − FQ dz = 0 bzw. unter Verwendung von (4.26) dMb = Mb = FQ = −(EIv  ) . dz

(4.29)

Differenziation und Einsetzen von (4.28) liefern die Differenzialgleichung vierter Ordnung f¨ ur die elastische Linie (Biegelinie) (EIv  ) = q .

(4.30)

F¨ ur konstante Biegesteifigkeit EI f¨ uhrt dies auf EIv  = q .

(4.31)

4.5

Biegeverformung

111

Beide Differenzialgleichungen (4.30) und (4.31) lassen sich f¨ ur gegebene Streckenlast ohne Benutzung der Schnittreaktionen und eventuell darin enthaltener statisch unbestimmter Lagerreaktionen direkt integrieren. Entsprechend der vierten Ordnung der Differenzialgleichungen treten jetzt vier Randbedingungen auf. Diese bestehen außer den schon benutzten kinematischen Informationen (auch als geometrisch bezeichnet) f¨ ur Balkendurchbiegung und -verdrehung in statischen Angaben (auch dynamisch oder kinetisch genannt) u ¨ ber Biegemoment und Querkraft an den Balkenenden. Die statischen Randbedingungen werden unter Ber¨ ucksichtigung von (4.26) bzw. (4.29) ausgewertet. An einem Bereichsrand k¨ onnen rein kinematische, rein statische oder gemischte Randbedingungen vorliegen. Beispiel 4.7 Ein gest¨ utzter Balken mit konstanter Biegesteifigkeit EI ist durch eine ver¨anderliche Streckenlast q(z) = q0 sin(πz/l) belastet (Bild 4.24). q0

EI l z v Bild 4.24. Balken mit ver¨ anderlicher Streckenlast

Gesucht wird die maximale Durchbiegung. L¨osung: Nach Einsetzen der Streckenlast in (4.31) folgt EIv  = q0 sin π

z l cos π + C1 , π l l2 z = − q0 2 sin π + C1 z + C2 , π l l3 z2 z = q0 3 cos π + C1 + C2 z + C3 , π l 2 z l4 z3 z2 = q0 4 sin π + C1 + C2 + C3 z + C4 . π l 6 2

EIv  = − q0 EIv  EIv  EIv

z , l

112

4. Reine Biegung gerader Balken

Die Randbedingungen f¨ uhren der Reihe nach auf v(0)

C4 = 0 ,

=0, 

Mb (0) = 0 ,

v (0) = 0 , C2 = 0 ,

Mb (l) = 0 ,

v  (l) = 0 , C1 = 0 ,

v(l)

C3 = 0 .

=0,

Die maximale Durchbiegung vmax liegt in Balkenmitte z = l/2 vor. Sie betr¨ agt l q0 l4 = 4 . vmax = v 2 π EI  Erg¨ anzend verweisen wir hier auf die Differenzialgleichung der Biegeschwingung, die aus (4.30) bzw. (4.31) entsteht, wenn dort die der Beschleunigung ∂ 2 v/∂t2 (t bezeichnet die Zeit) entgegengesetzt wirkende Tr¨agheitskraft pro L¨ angeneinheit −A∂ 2 v/∂t2 (A − Balkenquerschnittsfl¨ache,  − Massendichte) zus¨ atzlich zur Streckenlast q eingesetzt wird (vgl. a. Abschnitt 12.5). Wegen der zweiten Zeitableitung in der Differenzialgleichung werden dann zur vollst¨ andigen Formulierung des Problems außer den Randbedingungen noch zwei Anfangsbedingungen ben¨ otigt, welche die o¨rtlichen Verteilungen der Balkenverschiebung und -verschiebungsgeschwindigkeit zu einem festen Zeitpunkt betreffen. 4.5.4 Elastische Linie bei schiefer Biegung Wegen der Linearit¨ at der Differenzialgleichung (4.26) k¨onnen im Fall schiefer Biegung nach Zerlegung des Biegemomentenvektors in zwei Komponenten uglich der Querschnittshauptachsen x und y (Bild 4.25) Mbx und Mby bez¨ Mby Mbx

u f

x S z y

Mbx

x,u y

z

Mbx Mby

v v Mby

Bild 4.25. Zur elastischen Linie bei schiefer Biegung

4.5

Biegeverformung

113

zwei getrennte Differenzialgleichungen f¨ ur die Verschiebungsvektorkoordinaten u und v angeschrieben werden: Mbx = −EIxx v  ,

(4.32a)

Mby = +EIyy u .

(4.32b)

Dabei entspricht das positive Vorzeichen in (4.32b) der Zuordnung der Z¨ahlaß Bild 4.25 derjenigen von Bild 4.15b. pfeile von Mby und u gem¨ Die Integration der Gleichungen (4.32a, b) ist getrennt auszuf¨ uhren, desgleichen die Bestimmung der anfallenden Integrationskonstanten aus den zugeh¨ origen Randbedingungen gem¨ aß der r¨ aumlichen Lagerung. Der Betrag f des Verschiebungsvektors ergibt sich aus  (4.33) f = u2 + v 2 . 4.5.5 Elastische Linie bei ver¨ anderlicher Steifigkeit Die Querschnittsfl¨ ache eines Balkens kann abschnittsweise unterschiedlich oder schwach kontinuierlich ver¨ anderlich sein. Im erstgenannten Fall, der h¨ aufig in Form abgesetzter Wellen auftritt, ist die Balkenachse in Bereiche mit konstanter Biegesteifigkeit aufzuteilen, die Differenzialgleichung (4.26) bereichsweise zu integrieren und die der Anzahl der ¨ Bereiche entsprechende Menge an Rand- und Ubergangsbedingungen bereitzustellen. Die Vorgehensweise entspricht vollkommen der bei abschnittsweise gegebener Belastung des homogenen Balkens. Die Vorgehensweise ist schon bei einer kleinen Bereichsanzahl aufwendig. In der Ingenieurpraxis kann jedoch zur L¨ osung solcher Probleme auf kommerzielle Computerprogramme zur¨ uckgegriffen werden. Der zweite Fall erfordert die Angabe der von der Balkenachskoordinate schwach abh¨ angigen stetigen Funktion f¨ ur die Biegesteifigkeit. Die Integration von (4.26) unter Ber¨ ucksichtigung dieser Funktion bedarf h¨aufig numerischer Verfahren. 4.5.6 Biegung infolge Temperatur Im Folgenden betrachten wir eine Beispielanordnung, bei der ein Temperaturfeld, d. h. die r¨ aumlich verteilte Temperatur, einen Balken zu gerader Biegung veranlasst. Dieser Fall liegt in Bild 4.26 vor. Die Lage der Hauptachsen x und y ist f¨ ur den zu betrachtenden Rechteckquerschnitt bekannt. Das Temperaturfeld T relativ zu einem Ausgangsniveau besitze einen in y linearen Verlauf mit den Temperaturen T1 an der Oberseite und T2 an der Unterseite des Balkens. In x- und z-Richtung ¨andert sich die Temperatur nicht. Die Gleichung des Temperaturfeldes lautet mit Be-

114

4. Reine Biegung gerader Balken T1 b x

h

z

h

T ¢T

y,v l y

Tm

T2

Bild 4.26. Balken mit Temperaturfeld

nutzung der konstanten mittleren Temperatur Tm und des y-proportionalen Zuwachses ΔT T = Tm + ΔT (y) .

(4.34)

Bei vorausgesetzter Linearit¨ at zwischen Temperaturdehnung und Temperaturerh¨ ohung gem¨ aß (1.18) gilt mit (4.34) εt = α(Tm + ΔT ) = αTm + αΔT .

(4.35)

Der erste Summand bedeutet eine gleichm¨ aßige L¨angsdehnung des Balkens, die, wenn sie wie in Bild 4.26 nicht behindert wird, keine Spannungen verur¨ sacht. Er bleibt deshalb außerhalb der anschließenden Uberlegungen. e t Der elastische Anteil ε = ε − ε der Gesamtdehnung ε in Balkenachsrichtung erzeugt f¨ ur linear-elastisches Material nach (1.13) die Spannung σb = Eεe = E(ε − εt ) = Eε − EαΔT .

(4.36)

Die Gesamtdehnung ε l¨ asst sich durch die kinematischen Beziehungen (4.1) sowie (4.25) als ε = −yv  und der Temperaturzuwachs ΔT mittels des konstanten Temperaturgradienten g=

T2 − T1 h

(4.37)

als ΔT = gy

(4.38)

σb = −Ev  y − Eαgy

(4.39)

ausdr¨ ucken, so dass aus (4.36)

entsteht. Das Minuszeichen vor dem ersten Summanden entspricht der Z¨ahlpfeilzuordnung von Bild 4.15a.

4.5

Biegeverformung

115

Das resultierende Biegemoment der Spannungsverteilung (4.39) ist   σb Mb = yσb dA = −E(v  +αg) y 2 dA = −E(v  +αg)Ixx = Ixx . (4.40) y A

A

Daraus folgen mit der vereinfachten Schreibweise f¨ ur das Fl¨achentr¨agheitsmoment Ixx = I die Beziehungen v  = −

Mb − αg EI

(4.41)

Mb y. I

(4.42)

und σb =

Wegen der Lagerung nach Bild 4.26 verschwindet das Biegemoment, so dass der temperaturbedingte Kr¨ ummungsanteil von (4.41), vT = −αg, auf vT = −αgz + C1 , vT = −αg

z2 + C1 z + C2 2

f¨ uhrt. Die Randbedingungen vT (0) = 0 und vT (0) = 0 ergeben C1 = C2 = 0. Die temperaturbedingte Verschiebungsfunktion mit g aus (4.37) vT = −αg

T2 − T1 z 2 z2 = −α · · 2 h 2

(4.43)

beschreibt eine Parabel. Da alle Punkte der Balkenachse z bei der vorliegenden z-unabh¨ angigen Temperaturbelastung untereinander gleichberechtigt sind, m¨ ussen sie nach der Verformung auf einem Kreis liegen, der die Balkenachse in der Einspannung ber¨ uhrt und der n¨ aherungsweise den Radius 1/(αg) besitzt. Der Leser u ¨berzeuge sich, dass die TAYLOR-Reihenentwicklung (TAYLOR, 1685-1731) der Kreisgleichung um z = 0 f¨ ur |z|  1/(αg) in zweiter Ordnung mit (4.43) u ¨bereinstimmt. Die Verschiebung des Balkenendes betr¨ agt vT (l) = −α

T2 − T1 2 l = −vT l . 2h

Sie ist f¨ ur T2 > T1 nach oben gerichtet (Bild. 4.27). T1 z

vT l

T2 > T1

v Bild 4.27. Biegelinie infolge Temperaturbelastung

(4.44)

116

4. Reine Biegung gerader Balken

Wird diese Verschiebung durch das Lager B gem¨aß Bild 4.28 behindert, so verursacht sie eine statisch unbestimmte Lagerreaktion FB . T1 T2 > T 1

B

FB vF l z v Bild 4.28. Statisch unbestimmt gelagerter Balken unter Temperaturbelastung

F¨ ur die Berechnung dieser Lagerkraft vergleichen wir die Verschiebung vF l infolge der Kraft FB an der Stelle z = l mit der Verschiebung vT l aus (4.44). Es gilt unter Verwendung von (4.27a) vF l =

FB l3 T2 − T1 2 = −vT l = α l 3EI 2h

(4.45)

FB =

3EIαg 3EIα(T2 − T1 ) = . 2lh 2l

(4.46)

bzw. mit (4.37)

Die hier nicht berechneten restlichen Lagerreaktionen folgen dann aus den Gleichgewichtsbedingungen f¨ ur den gesamten Balken. Die Gesamtdurchbiegung v ergibt sich wegen der Linearit¨at von (4.41) als Summe zweier Anteile zu v = vF + vT .

(4.47)

ur Der kraftbedingte Anteil vF kann dem Anwendungsfall nach Bild 4.16 f¨ aß (4.46) entnommen werden, wobei noch die Variable M0 = 0, F0 = FB gem¨ z durch l − z entsprechend Bild 4.26 zu ersetzen ist. Es ergibt sich αg (3lz 2 − z 3 ) . (4.48) vF = 4l Die Summe (4.47) von (4.48) und (4.43) liefert die Verschiebung v=

αg 2 (lz − z 3 ) , 4l

(4.49)

deren qualitativer Verlauf in Bild 4.28 durch die d¨ unn gestrichelte Linie dargestellt ist.

Kapitel 5 Querkraftbiegung prismatischer Balken

5

5 5.1 5.2

5

Querkraftbiegung prismatischer Balken Balken mit gedrungenem Querschnitt ....................... 119 Balken mit d¨ unnwandigen offenen Querschnitten ......... 126

5 Querkraftbiegung prismatischer Balken Die bisher betrachtete reine Biegung wurde ausschließlich durch die Schnittreaktion Biegemoment verursacht. Dies ist z. B. im mittleren Bereich des Balkens von Bild 4.1 exakt erf¨ ullt, wo das von der axialen Koordinate unabh¨ angige Biegemoment mit einer verschwindenden Querkraft einhergeht. Im Gegensatz dazu enth¨ alt der Abschnitt 4.5.2 Anwendungsf¨alle, bei denen das Biegemoment infolge ¨ außerer quer zur Balkenachse angreifender Kr¨afte entsteht und folglich die Schnittreaktion Querkraft auftritt. Diese Querkraft erzeugt sowohl Spannungen als auch Verformungen, die f¨ ur schlanke Balken vernachl¨ assigt werden k¨ onnen. Im Folgenden lassen wir diese vereinfachende Annahme fallen.

5.1 Balken mit gedrungenem Querschnitt Wir gehen von einem prismatischen Balken aus. Der Balken besitze einen wenigstens einfach symmetrischen Querschnitt mit einer Form, die einem Rechteck nahe kommt (Bild 5.1). a

a

F

F

h

h z l

b

Bild 5.1. Prismatischer Balken mit Querkraft belastet

F¨ ur die Querschnittshauptabmessungen h und b gelte b  h. Eine auf der Symmetrielinie des Balkenendquerschnittes angreifende Einzelkraft F erzeugt im gesamten Balken eine konstante Querkraft. Dann ist gem¨aß dem Prinzip von DE SAINT VENANT (s. a. Kapitel 10) außerhalb der Randst¨orbereiche mit der Abklingl¨ ange a ein linear ver¨ anderlicher Biegezustand, begleitet von Schubeffekten, zu erwarten. Bei der Beschreibung der Schubeffekte muss ber¨ ucksichtigt werden, dass an Balkenober- und Balkenunterseite keine tangentialen Fl¨ achenkr¨ afte angreifen. Folglich verschwinden die zugeordneten Schubspannungen im Querschnitt an Balkenober- und Balkenunterseite. Zur Berechnung der Spannungen wird an der Stelle z der Balkenachse ein Element mit der L¨ ange dz herausgeschnitten (Bild 5.2) und mit dem Hauptachsenkoordinatensystem x, y im Schwerpunkt S versehen. Die Querkraft FQy infolge der eingepr¨ agten Kraft F zeigt am rechten Schnittufer in positive

5.1

120

5. Querkraftbiegung prismatischer Balken FQy FQy

FQy

Mb + dMb

Mb x

S z y y1

b (y)

¿ (y)

~ y ~ dy

x y FN

z

dz

¿ (y) FN + dFN

AR a)

b) Bild 5.2. Balkenelement mit Koordinaten und Z¨ ahlpfeilen

y-Richtung (Bild 5.2b). Zu sehen sind auch die Z¨ahlpfeile f¨ ur das Biegemoment Mb und die resultierende Kraft FN eines Teils der Biegespannungen. Letztere greifen an einem aus dem Balkenelement durch einen weiteren Freischnitt herausgetrennten Teil an (Bild 5.2b). Dieses Teil ist außerdem durch Schubspannungen τ beansprucht. Es wird die vereinfachende statische Annahme getroffen, dass die Schubspannungsverteilung nicht von der Koordinate x abh¨ angt. An der oberen Schnittfl¨ ache y = konst. des Balkenelementteils besitzt die Schubspannung die Gr¨ oße τ (y). Dieser Wert gilt auch f¨ ur die zugeordnete Schubspannung an den oberen Kanten der vertikalen Schnittfl¨achen z = konst. (Bild 5.2a, b). Im Inneren der so genannten Restfl¨ache AR des Querschnittes (Bild 5.2a) liegt an der Stelle y˜ der Schubspannungswert τ (˜ y) vor. Zu ihm geh¨ ort der Biegespannungswert σz =

Mb (z) y˜ , Ixx

(5.1)

in dem nur das Biegemoment von z abh¨ angt. Die resultierende Kraft dieser Spannungsverteilung auf der Restfl¨ ache ist  σz dA . (5.2) FN = AR

Ihr Zuwachs in z-Richtung dFN steht mit der resultierenden Kraft der Schubspannungen (Bild 5.2b) im Gleichgewicht, d. h. →:

−τ (y)b(y)dz + dFN = 0

(5.3)

5.1

Balken mit gedrungenem Querschnitt

bzw. mit (5.2) und (5.1) τ (y) =

1 d · b(y) dz

 σz dA =

121

1 dMb · · b(y)Ixx dz

AR

 y˜dA .

(5.4)

AR

F¨ ur die Z¨ ahlpfeildefinitionen von Bild 5.2b gilt die aus der Statik bekannte Beziehung dMb = FQy . (5.5) dz Sie f¨ uhrt zusammen mit der Definition des statischen Momentes y1

 Sx (y) =

y˜dA =

y˜b(˜ y)d˜ y

(5.6)

y

AR

der Restfl¨ ache AR bez¨ uglich der x-Achse auf τ (y) =

FQy Sx (y) . Ixx b(y)

(5.7)

Dieses Ergebnis muss f¨ ur alle Querschnittsformen, deren seitliche Begrenzungslinien nicht parallel zur y-Achse und folglich nicht parallel zur festgelegten Richtung der Schubspannungen im Querschnitt verlaufen, eine N¨aherung sein. Sie stellt selbst dann noch eine, wenn auch bessere N¨aherung dar, wenn die Parallelit¨ at erf¨ ullt ist. Dies liegt an der vorausgesetzten Unabh¨angigkeit der Schubspannung von der x-Koordinate. Die N¨aherung stimmt demnach umso besser mit der Realit¨ at u ¨ berein, je schlanker der Querschnitt ist. Die Formel (5.7) ist auch bei ver¨ anderlicher Querkraft FQy (z) anwendbar, da die Ableitung dFQy /dz in ihre Herleitung nicht eingeht. Als Anwendungsfall diene ein Balken mit Rechteckquerschnitt, der durch eine eingepr¨ agte Einzelkraft F quer belastet ist (Bild 5.3). F

F B

x

z

~ y

y

b a)

h

¿max

C x

h z

y,v l b)

Bild 5.3. Balken mit Rechteckquerschnitt unter Einzelkraft

122

5. Querkraftbiegung prismatischer Balken

Die gesuchte Schubspannungsverteilung τ (y) u ¨ ber dem Querschnitt außerhalb der Randst¨ orbereiche ergibt sich aus (5.7) f¨ ur b(˜ y) = b = konst. mit Ixx

bh3 , = 12

h/2  b h/2 b  h2 Sx (y) = − y2 b˜ yd˜ y = y˜2  = 2 y 2 4

(5.8)

y

zu τ (y) =

y2  F 3 1−4 2 . 2 h bh

(5.9)

Der Maximalwert von τ (y) tritt in der Mittelebene des Balkens y = 0 auf ahrend an Ober- und Unterseite (Bild 5.3a) und betr¨ agt τmax = 3F/(2bh), w¨ des Balkens τ (±h/2) = 0 die Bedingung lastfreier Randfl¨achen zusammen mit der Gleichheit der zugeordneten Schubspannungen erf¨ ullt ist. Das nach den elementaren Theorien berechnete Verh¨altnis der maximalen Normalspannung infolge Biegung bei B und der maximalen Schubspannung bei C im Einspannquerschnitt z = 0 (Bild 5.3b) ergibt mit σz max = 6F l/(bh2) σz max l 6l 2bh =4 , = 2· τmax bh 3 h

(5.10)

d. h. f¨ ur l > 2h also immer noch fast eine Zehnerpotenz. Zur Absch¨ atzung des Querkrafteinflusses auf die Durchsenkung der Achse des Balkens nach Bild 5.1 betrachten wir nochmals Bild 1.7, das die Schubverzerrung γ = τ /G des elastischen Materials infolge der homogen verteilten Schubspannung τ gem¨ aß (1.16) zeigt. Beim Balkenelement ist die Schubspannung ungleichm¨ aßig u ¨ber dem Querschnitt verteilt, und zwar so, dass die Kr¨ aftefreiheit an Balkenober- und Balkenunterseite gew¨ahrleistet wird. Deshalb und wegen (1.16) verschwindet die Schubverzerrung an Balkenober- und Balkenunterseite und besitzt ihr Maximum an derselben Stelle wie die Schubspannung. Die urspr¨ unglich ebenen Balkenquerschnitte erleiden infolge dieser Verformung eine S-f¨ ormige Verw¨ olbung, wobei die Balkenfasern einschließlich Balkenachse, -oberseite und -unterseite parallel zueinander bleiben und sich uber um den der mittleren Schubverzerrung gleichenden Schubwinkel γs gegen¨ der unverformten Lage verdrehen. Dies zeigt Bild 5.4, in dem zur alleinigen Darstellung des Schubanteils die endlichen Biegemomente nicht eingetragen ullung des Gleichgewichtes belaswurden, das Differenzial dMb jedoch zur Erf¨ sen wurde. Die Bestimmung der mittleren Schubverzerrung γs erfordert eine zus¨ atzliche Information. Hierf¨ ur wird von dem Ansatz γs =

FQy , GAs

As = A/κ

(5.11)

ausgegangen, in dem die so genannte Schubfl¨ ache As u ¨ ber den noch zu bestimmenden Korrekturfaktor κ aus der Querschnittsfl¨ache A folgt. Das Produkt

5.1

Balken mit gedrungenem Querschnitt z

v

123 z

z+dz

FQ dvs

°s

dMb FQ

Bild 5.4. Zur Schubverformung des Balkenelementes

GAs heißt Schubsteifigkeit des Balkens. Zur Festlegung von κ dient die Annahme, dass die elastisch gespeicherte Energie im Balkenelement infolge der mittleren Schubverzerrung γs oder infolge der durch die Schubspannungsverteilung bedingten Schubverzerrung γ(y) gleich gesetzt werden darf. Die erstgenannte Energie betr¨ agt wegen der Linearit¨at zwischen FQy und der Verschiebung dvs (Bild 5.4) 1 1 FQy dvs = FQy γs dz 2 2 und die letztgenannte analog 1 2

(5.12)

 τ (y)γ(y)dAdz .

(5.13)

A

Der Vergleich von (5.12) mit (5.13) liefert unter Ber¨ ucksichtigung von (1.16), (5.7) und (5.11)  2  2 2 2 FQy FQy τ Sx (y) = dA = dy (5.14) κ 2 GA G GIxx b(y) A

h

bzw. κ=

A 2 Ixx



Sx2 (y) dy . b(y)

(5.15)

h

F¨ ur das Rechteck nach Bild 5.3 ergibt sich mit dem statischen Moment (5.8) und A = bh sowie Ixx = bh3 /12  h/2  2  bh h4 1 2 2 2 1 b 4 κ = 2 6 12 · · − h y + y dy b h b 4 16 2 −h/2   1 1 1 1 1 1 1 6 = 36 · 2 · − · · + · = . 16 2 2 3 8 5 32 5

(5.16)

124

5. Querkraftbiegung prismatischer Balken

F¨ ur andere gedrungene Querschnittsformen bleibt der Korrekturfaktor auch nahe eins. Wir verzichten auf die Angabe entsprechender Zahlenwerte. Denn bei schlanken Balken kann die Schubdurchsenkung, wie auch das folgende Beispiel zeigt, gegen¨ uber der Biegedurchsenkung vernachl¨assigt werden. Dagegen sollten bei dicken Balken außer der Schubdurchsenkung auch die Lagernachgiebigkeiten ber¨ ucksichtigt werden. Dies ist mit Hilfe von Computerprogrammen, z. B. auf der Basis der Methode der finiten Elemente, m¨oglich. Die Durchsenkung vS eines Balkens infolge bereichsweise konstanten Querkraftschubes ¨ andert sich in jedem Balkenbereich proportional zum dortigen origen Bereichskoordinate. Insbesondere treSchubwinkel γs und der dazugeh¨ ten im Gegensatz zur elastischen Linie infolge Biegung an Querkraftsprungstellen Spr¨ unge des Schubwinkels auf. Dies ist z. B. an der Einspannung des Balkens in Bild 5.3 der Fall. Die Gleichung f¨ ur die Durchsenkungsfunktion lautet hier vs (z) = γs z .

(5.17)

Sie erf¨ ullt die Randbedingung vs (0) = 0, aber es gilt vs (0) = γs = 0. Die Gesamtdurchsenkung v ergibt sich als Summe der Anteile infolge Biegung vb und Schub vs aus v = vb + vs .

(5.18)

Beispiel 5.1 F¨ ur den Balken nach Bild 5.3 sind der Gesamtdurchsenkungsverlauf sowie die biege- und schubbedingten Verschiebungsanteile des Kraftangriffspunktes gesucht. Die elastischen Konstanten E und G seien bekannt. L¨osung: Nach Einf¨ uhrung des Koordinatensystems z, v und Freischnitt (Bild 5.5) l

F

z

l-z Mb

F

FQ y

v Bild 5.5. Zur Balkendurchsenkung infolge Biegung und Schub

ergeben sich die Schnittreaktionen Mb = −F (l − z) ,

FQy = F = konst.

5.1

Balken mit gedrungenem Querschnitt

125

Die Gleichung der Biegelinie (4.26) liefert EIvb =F (l − z) , z2 + C1 ) , 2 2 3 z z EIvb =F (l − + C1 z + C2 ) . 2 6

EIvb =F (lz −

Die Randbedingungen vb (0) = 0 und vb (0) = 0 f¨ uhren auf C1 = C2 = 0, so dass die Biegebelastung den Durchsenkungsverlauf   F lz 2 z 3 − vb = EI 2 6 verursacht. Die Verschiebung des Kraftangriffspunktes betr¨agt damit vb (l) =

F l3 , 3EI

vgl. a. (4.27a). Der Durchsenkungsverlauf infolge der konstanten Querkraft FQy = F ist mit (5.17), (5.11) κF z vs = γs z = GA und die Verschiebung des Kraftangriffspunktes infolge Schub vs (l) =

κF l. GA

Der Gesamtdurchsenkungsverlauf v = vb + vs =

F  lz 2 z 3  κF − + z EI 2 6 GA

ergibt wegen des Schubanteils an der Einspannung die erwartete Verdrehung der Balkenachse κF . v  (0) = vs (0) = γs = GA Die biege- und schubbedingten Verschiebungsanteile des Kraftangriffspunktes bilden unter Ber¨ ucksichtigung von (1.17) und der Querschnittsabmessungen nach Bild 5.3 das Verh¨ altnis κF l 3EI bh3 3κE κEh2 3(1 + ν)  h 2 vs (l) = · · = = = . vb (l) GA F l3 G 12bhl2 4Gl2 5 l Mit der Querkontraktionszahl ν ≈ 0, 3 ist dieses Ergebnis durch den Ausur typische Balkenabmessungen gilt (h/l)2  1, druck (h/l)2 bestimmt. F¨ und die Gesamtdurchsenkung der Balkenachse kann n¨aherungsweise allein

126

5. Querkraftbiegung prismatischer Balken



durch den Biegeanteil ausgedr¨ uckt werden.

Beispiel 5.2 Ein schlanker Balken besteht aus zwei aufeinander geklebten gleichen Teilbalken und unterliegt einer Dreipunktbiegebelastung (Bild 5.6). a F

D -D

a D

B

H C

y

D

H

b

Bild 5.6. Dreipunktbiegung eines zusammengesetzten Balkens

Die zul¨ assige Schubspannung der Klebefuge τzul soll nicht u ¨ berschritten werden. Gesucht sind die zul¨ assige Kraft F und das Verh¨altnis der maximalen Biegedurchsenkungen f¨ ur intakte (i) und gel¨oste (l) Klebeverbindung. L¨osung: Die maximale Schubspannung τmax des geklebten Balkens mit Rechteckquerschnitt tritt nach (5.9) bei y = 0 auf, und es gilt τmax =

3 F/2 · ≤ τzul , 2 b · 2H

F ≤

8 bHτzul . 3

Die maximale Biegedurchsenkung vF entsteht an der Krafteinleitungsstelle. Sie ist umgekehrt proportional zum Fl¨ achentr¨agheitsmoment des Balkenquerschnittes. Der intakte Balken besitzt das Tr¨ agheitsmoment Ii = b(2H)3 /12. Das Tr¨ agheitsmoment der beiden voneinander gel¨osten Balken betr¨agt in der Summe Il = 2bH 3 /12. Das entsprechende Verh¨altnis der maximalen Biegedurchsenkungen ist Il 2bH 3 1 vF i = = = . vF l Ii b(2H)3 4 Die Durchsenkung infolge Querkraftschub wurde wegen der vorausgesetzten Schlankheit des Balkens vernachl¨ assigt. Bez¨ uglich der Krafteinleitungsprobleme sei auf Kapitel 10 verwiesen. 

5.2

5.2 Balken mit d¨ unnwandigen offenen Querschnitten Im Gegensatz zu Balken mit gedrungenen Querschnittsformen werden jetzt Querschnittsformen betrachtet, bei denen ¨ ahnlich wie in Abschnitt 3.3 eine Abmessung deutlich kleiner als die verbleibenden ist. Die Vorgehensweise wird am Beispiel eines querkraftbelasteten prismatischen Balkens mit einfach symmetrischem U-Querschnitt demonstriert (Bild 5.7).

5.2

Balken mit d¨ unnwandigen offenen Querschnitten a

A-AR

s,s~

s1

FQy

x

127

M s2

S z

2a ¿ (s)

±(s)

¢ (dMb )

y

FN + dFN

FN

AR s3 e

s~=h

z

dz

xM a)

b) Bild 5.7. Balken mit U-Querschnitt unter Querkraft

Der Ursprung der Hauptachsenkoordinaten x, y befindet sich voraussetzungsgem¨ aß wieder im Schwerpunkt S. Auf Grund der jetzt vorliegenden Querschnittsform des am Mantel von tangentialen Fl¨ achenkr¨aften freien Balkenk¨orpers kann angenommen werden, dass die Schubspannung τ n¨aherungsweise gleichm¨ aßig u ¨ ber die Wanddicke δ  a verteilt und parallel zur mittleren Konturlinie orientiert ist. Dies gilt unabh¨ angig von der Richtung der hier z-unabh¨ angigen Querkraft. Wir untersuchen nur den Fall einer Querkraftkomponente FQy . Zur Bestimmung des Zusammenhanges zwischen Querkraftschub- und Biegenormalspannungen betrachten wir ein Teil des Balkenelementes der L¨ange dz (Bild 5.7b). Dort wurde zur Gew¨ ahrleistung der Momentenbilanz der dem Teil des Balkenelementes entsprechende Anteil des Biegemomentenzuwachses Δ(dMb ) mit eingetragen. Die Biegespannungsverteilung ist analog zu (5.1) σz =

Mb (z) ·y . Ixx

(5.19)

Ihre Integration u ¨ber der im Bild 5.7a schraffiert gekennzeichneten Restfl¨ache AR liefert die Normalkraft  FN = σz dA . (5.20) AR

128

5. Querkraftbiegung prismatischer Balken

Analog zu (5.3) steht der Zuwachs dFN der Normalkraft FN mit der resultierenden Kraft der Schubspannungen an der Fl¨ache s = konst., 0 ≤ s ≤ h, h-L¨ ange der mittleren Querschnittskontur, im Gleichgewicht (Bild 5.7b), d. h. →:

−τ (s)δ(s)dz + dFN = 0

(5.21)

bzw. mit (5.20), (5.19) und dA = δ(˜ s)d˜ s, s ≤ s˜ ≤ h d 1 · τ (s) = δ(s) dz



1 dMb · σz dA = · δ(s)Ixx dz

h y(˜ s)δ(˜ s)d˜ s.

(5.22)

s

AR

Das statische Moment bez¨ uglich der x-Achse lautet jetzt h

s y(˜ s)δ(˜ s)d˜ s=−

Sx =

y(˜ s)δ(˜ s)d˜ s.

(5.23)

0

s

Wegen (5.5) folgt dann aus (5.22) τ (s) =

FQy Sx (s) . Ixx δ(s)

(5.24)

F¨ ur den vorliegenden Querschnitt sei die Wanddicke δ unabh¨angig von der Konturkoordinate s. Dann ist in (5.24) nur der Verlauf des statischen Momentes zu berechnen. Hierzu unterteilen wir die Konturlinie in drei Bereiche und werten die rechte Gleichung von (5.23) aus. Dabei erinnern wir uns an die Voraussetzung, dass x und y Hauptachsenkoordinaten mit dem Ursprung im Schwerpunkt darstellen. s1 Sx1 = −

−aδd˜ s1 = δas1 , 0

s2

Sx2 = Sx1 (a) − −a s3

Sx3 = Sx2 (a) −

0 ≤ s1 ≤ a ,

δ δ s˜2 δd˜ s2 = a2 δ − (s22 − a2 ) = (3a2 − s22 ) , 2 2 aδd˜ s3 = δ(a2 − as3 ) ,

−a ≤ s2 ≤ a ,

0 ≤ s3 ≤ a .

0

Bild 5.8 zeigt den normierten Schubspannungsverlauf τ Ixx Sx (s) = , FQy a2 δa2 aufgetragen u ¨ ber der Konturkoordinate s. An den Ecken wird der Schubfluss τ δ stetig umgelenkt. Dies darf nicht dar¨ uber hinwegt¨auschen, dass dort

5.2

Balken mit d¨ unnwandigen offenen Querschnitten

129

Spannungserh¨ ohungen existieren, die mit der dargelegten Theorie nicht erfasst werden. 1 1 ¿ Ixx

3/2

2

FQy a

1 1 Bild 5.8. Nomierter Schubspannungsverlauf

Das vorliegende Beispiel soll noch zur Erkl¨ arung des so genannten Schubmittelpunktes benutzt werden. Durch diesen Punkt, in Bild 5.7a mit M bezeichnet, verl¨ auft die Wirkungslinie der Querkraft FQy . Wenn die ¨außeren Querkr¨ afte in der Ebene x = xM liegen, verursachen sie keine Torsion des Stabes, also weder Torsionsschubspannungen im Stab noch Verdrehungen der ¨ Stabquerschnitte. Die statische Aquivalenz der Querkraft FQy mit der Schubspannungsverteilung erfordert die Momenten¨ aquivalenz, welche bei Bezug auf den Schwerpunkt mit (5.24) und den berechneten statischen Momenten unter Ausnutzung der Symmetrie auf FQy xM

FQy  2aδ = Ixx

a 0

δ as1 ds1 + e 2

a

(3a2 − s22 )ds2



−a

f¨ uhrt. Bei Beachtung der D¨ unnwandigkeit ergibt sich das Tr¨agheitsmoment Ixx zu Ixx ≈

δ(2a)3 8 + 2aδa2 = δa3 12 3

und der Schwerpunktabstand e zu e≈

2aδ a2 a = , 4aδ 4

so dass f¨ ur die horizontale Koordinate des Schubmittelpunktes nach Auswertung der Integrale  1 1 1 3 1 5 4 2 · + · xM = δa 3 − ·2 = a 8δa3 2 4 2 3 8 folgt. Im allgemeineren Fall der Querkraftbiegung um beide Hauptachsen treten auch ¨ außere Querkr¨ afte in x-Richtung auf. Deren Wirkungslinien m¨ ussen zur

130

5. Querkraftbiegung prismatischer Balken

Vermeidung von Torsion ebenfalls durch den Schubmittelpunkt verlaufen, d. h. im vorliegenden Fall in der Symmetrieebene des Stabes y = 0 liegen. ¨ Die obigen Uberlegungen k¨ onnen auch auf andere Querschnittsformen angewendet werden. Sonderf¨ alle hierf¨ ur mit Kennzeichnung des Schubmittelpunktes zeigt Bild 5.9. M

M M

a)

b)

c)

M d)

Bild 5.9. Zur Lage des Schubmittelpunktes M spezieller Querschnitte

Erg¨ anzend sei noch angemerkt, dass bei Querschnitten mit verzweigter Konturlinie wie in Bild 5.9a, d die Schubfl¨ usse aller Zweige an der Konturverzweigungsstelle die Kr¨ aftebilanz erf¨ ullen m¨ ussen, d. h. dort ist die Summe aller Schubzufl¨ usse gleich der Summe aller Schubabfl¨ usse. Bez¨ uglich weiterer Beispiele sowie auch d¨ unnwandiger geschlossener Querschnitte wird auf die umfangreiche Spezialliteratur verwiesen.

Kapitel 6 Festigkeitshypothesen

6

6 6.1 6.2

6

Festigkeitshypothesen Problem der Festigkeitsbewertung ............................ 133 Beispiele f¨ ur Festigkeitshypothesen ........................... 133

6 Festigkeitshypothesen 6.1

6.1 Problem der Festigkeitsbewertung Bereits in Abschnitt 1.5 wurde die Forderung angesprochen, die in Bauteilen infolge Belastung auftretenden Beanspruchungen und Verformungen so zu begrenzen, dass die Funktionsf¨ ahigkeit der Bauteile erhalten bleibt. Im Zugversuch nach Bild 1.6 ist der Spannungszustand einachsig und der Verzerrungszustand dreiachsig. Bei reiner Schubbeanspruchung gem¨aß den Bildern 1.4, 1.7 und 2.5 liegt ein zweiachsiger Spannungszustand und wegen (2.52) bis (2.54) ein zweiachsiger Verzerrungszustand vor. Im allgemeinen Fall k¨onnen alle Hauptspannungen und -dehnungen verschieden von null sein. Der festigkeitsm¨ aßige Vergleich dieser Beanspruchungen mit der Beanspruchbarkeit von Probek¨ orpern unter einfachen Versuchsbedingungen erfordert Hypothesen, die eine ¨ aquivalente Bewertung der komplizierten und der einfachen Beanspruchung erm¨ oglichen, so genannte Festigkeits- oder Anstrengungshypothesen. Die G¨ ultigkeit dieser Hypothesen h¨ angt vom Material des Bauteiles, der Art seines Versagens, dem Zeitablauf der Belastung, der Temperatur des Bauteiles und weiteren m¨ oglichen Einfl¨ ussen ab. Diese Vielfalt kann nur unter einschr¨ ankenden Bedingungen ber¨ ucksichtigt werden. Im Folgenden betrachten wir Materialien, die sowohl hinsichtlich ihrer Verformungseigenschaften als auch bez¨ uglich ihres Festigkeitsverhaltens isotrop sind. Wir setzen f¨ ur das Bauteil und den Versuchsk¨orper Raumtemperatur voraus. Die Belastung sei wie beim Zugversuch (s. Abschnitt 1.3) monoton wachsend sowie isotherm und quasistatisch. Zyklische Belastungen, die mit weitergehenden Experimenten verbunden sind, werden hier nicht betrachtet.

6.2

6.2 Beispiele f¨ ur Festigkeitshypothesen Wir fragen zun¨ achst nach einer im Versuch festzustellenden Begrenzung der Gr¨ oße der Koordinaten des Spannungstensors. Die Antwort auf diese Frage l¨ asst sich am einfachsten in einem Hauptachsenbezugssystem f¨ ur den Spannungstensor finden und f¨ uhrt im Raum der Hauptspannungen auf eine Fl¨ache f¨ ur den kritischen Zustand f (σ1 , σ2 , σ3 ) = 0 ,

(6.1)

die so definiert ist, dass auf einer ihrer Seiten der Zustand unkritisch ist, w¨ ahrend auf der anderen Seite Versagen vorliegt. Wegen der Isotropie des Materials sind alle Hauptspannungen gleichberechtigt, was eine wenigstens dreifache Symmetrie der Fl¨ ache (6.1) zur Folge hat.

134

6. Festigkeitshypothesen

Im ebenen Spannungszustand geht, wenn z. B. σ2 = 0 gesetzt wird, die r¨ aumliche Fl¨ ache (6.1) in eine ebene Kurve u ¨ ber, die der Gleichung f (σ1 , σ3 ) = 0

(6.2)

gen¨ ugt. Die einfachste Beschreibung des spr¨ oden Trennbruches liefert die Hypothese der maximalen Hauptnormalspannung, auch als Normalspannungshypothese bezeichnet. Sie geht davon aus, dass Trennbruch durch Zugspannungen verursacht wird und begrenzt deshalb die maximale positive Hauptspannung durch eine Bruchfestigkeit f¨ ur Zug σBz . Werden die Hauptspannungen in der Reihenfolge σ1 ≥ σ2 ≥ σ3 geordnet, so definiert σv1 = σ1 ,

σ1 > 0

(6.3)

eine erste Vergleichsspannung, welche zur Vermeidung des Bruches der Bedingung σv1 < σBz

(6.4)

gen¨ ugen muss. Das Kleiner-Zeichen kann ¨ ahnlich wie in Abschnitt 1.5 und im Folgenden durch Einf¨ uhrung eines Sicherheitsfaktors in ein Gleichheitszeichen u uhrt werden. Sind alle Hauptspannungen negativ, so tritt nach obiger ¨ berf¨ Hypothese kein Bruch ein. Praktisch wird aber auch die betragsm¨aßig gr¨oßte negative Hauptspannung durch eine Druckfestigkeit σBd begrenzt, die meist deutlich gr¨ oßer als die Zugfestigkeit ist. Es gilt dann σv1 = −σ3 ,

σ3 < 0 ,

(6.5)

und Bruch wird bei σv1 < σBd

(6.6)

vermieden. Die durch die Vergleichsspannung σv1 bestimmte Bruchgrenzfl¨ ache (6.3) mit σv1 = σBz und (6.5) mit σv1 = σBd hat wegen der isotropiebedingten Dreifachsymmetrie die Form einer W¨ urfeloberfl¨ache, wobei zwei Eckpunkte des W¨ urfels auf der Raumdiagonale σ1 = σ2 = σ3 liegen. Die entsprechende quadratische Grenzkurve des ebenen Spannungszustandes nach (6.2) ist in Bild 6.1 dargestellt und wird wegen ihrer Symmetrie nur unterhalb der eingezeichneten Symmetrielinie ausgewertet. Auf die im Widerspruch zu der Festlegung σ1 ≥ σ2 ≥ σ3 stehenden Ungleichungen σ1 ≥ σ3 ≥ σ2 = 0 im ersten Halbquadranten und 0 = σ2 ≥ σ1 ≥ σ3 im dritten Halbquadranten muss keine R¨ ucksicht genommen werden, da es nur auf die Nicht¨ uberschreitung der Begrenzungsgeraden σ1 = σBz und σ3 = −σBd

6.2

Beispiele f¨ ur Festigkeitshypothesen

135

ankommt. Die mit •1 bezeichneten Punkte zeigen intakte Materialzust¨ande an, w¨ ahrend •1z auf Zugbruch und •1d auf Bruch unter Druck verweisen. Materialien, auf die die Normalspannungshypothese anwendbar ist, sind z. B. Konstruktionskeramiken und Hartmetalle. Die Beschr¨ ankung auf zwei Materialkennwerte σBz und σBd sowie die Außerachtlassung der mittleren Hauptspannung lassen nur eine grobe Beschreibung des realen Bruchverhaltens zu. F¨ ur h¨ ohere Genauigkeitsanspr¨ uche muss die durch (6.1) charakterisierte Grenzfl¨ ache im Hauptspannungsraum unter Ausnutzung der Dreifachsymmetrie vollst¨ andig ausgemessen werden. ¾3 ¾Bz ¾F

1 2 2,3

-¾Bd

-¾F 2,3 2

2,3 2

Bruch 1z Flie¼beginn

3

¾F ¾Bz 3

¾1

1z

-¾F 3 1

1 1d

-¾Bd

1d

Bild 6.1. Versagensgrenzkurven f¨ ur den ebenen Spannungszustand

Experimente zeigen, dass das plastische Fließen von duktilen polykristallinen Metallen haupts¨ achlich durch die maximale Schubspannung (2.32) bzw. (2.33) verursacht wird. Bei Annahme der so genannten Schubspannungshypothese f¨ uhrt der Vergleich von (2.33) mit einem einachsigen Spannungszustand τmax =

1 σv2 (σ1 − σ3 ) = , 2 2

σ1 ≥ σ2 ≥ σ3

(6.7)

auf die Vergleichsspannung nach TRESCA (1814-1885) σv2 = σ1 − σ3 .

(6.8)

Diese Vergleichsspannung darf eine im einachsigen Zugversuch zu bestimmende Fließfestigkeit σF nicht u ¨ berschreiten, wenn Fließen vermieden werden soll, d. h. σv2 < σF .

(6.9)

136

6. Festigkeitshypothesen

Die vollst¨ andige Fließgrenzfl¨ ache τmax = σF /2 mit τmax nach (2.32) bildet wegen der isotropiebedingten Dreifachsymmetrie von (2.32) im Hauptspannungsraum ein gleichfl¨ achiges offenes Sechseckprisma um die Raumdiagonale σ1 = σ2 = σ3 . Die Schnittkurve des Sechseckprismas mit der Ebene σ2 = 0 des ebenen Spannungszustandes ist ein Sechseck gem¨aß Bild 6.1. Die Punkte •2 repr¨ asentieren elastische Materialzust¨ ande, wenn sie sich im Inneren des Sechsecks befinden. Liegen diese Punkte auf dem Sechseckrand, so zeigen sie den Beginn, das Andauern oder das Ende eines Fließvorganges an. Die experimentellen Daten zum Fließen duktiler polykristalliner Metalle k¨onnen auch durch die Vergleichsspannung σv3 nach HUBER (1872-1950), v. MISES (1883-1953) und HENCKY (1885-1951) beschrieben werden, die sich nicht wesentlich von der TRESCA-Vergleichsspannung unterscheidet. Sie ist definiert durch   1 2 + τ2 + τ2 ) (σx − σy )2 + (σx − σz )2 + (σy − σz )2 + 6(τxy σv3 = xz yz 2   1 = (6.10) (σ1 − σ2 )2 + (σ1 − σ3 )2 + (σ2 − σ3 )2 . 2 Fließen bleibt aus, solange die Vergleichsspannung σv3 die Fließspannung σF nicht erreicht, σv3 < σF .

(6.11)

Die zweite Gleichung von (6.10) zeigt an, dass die mit σv3 berechnete Fließgrenzfl¨ ache σv3 = σF im Hauptspannungsraum einen offenen Kreiszylinder um die Raumdiagonale σ1 = σ2 = σ3 darstellt. In (6.10) ist auch ersichtlich, dass der einem vorliegenden Spannungszustand u ¨berlagerte hydrostatische Spannungszustand herausf¨ allt und deshalb die Vergleichsspannung σv3 nicht beeinflusst. Der Kreiszylinder erzeugt mit der Ebene σ2 = 0 eine elliptische Schnittlinie (Bild 6.1). Hinsichtlich der Punkte •3 gilt das schon bez¨ uglich der TRESCA-Bedingung Gesagte. F¨ ur die Vergleichsspannung (6.10) existieren verschiedene Motivationen. Eine davon benutzt die Zusatzvoraussetzung isotropen linear-elastischen Materialverhaltens und die Hypothese, dass die im Material elastisch gespeicherte spezifische Gestalt¨ anderungsenergie (2.85) f¨ ur das plastische Fließen urs¨achlich ist. Im einachsigen Spannungszustand liefert (2.85) ∗ = UG

2 2σv3 . 12G

(6.12)

Der Vergleich von (6.12) mit (2.85) f¨ uhrt zu (6.10). Andere Motivationen beruhen auf den hier nicht erkl¨ arten Begriffen der zweiten Invariante des Spannungsdeviators oder der Oktaederschubspannung, die ihre Bedeutung auch

6.2

Beispiele f¨ ur Festigkeitshypothesen

137

dann beibehalten, wenn nicht auf die spezifische elastische Gestalt¨anderungsenergie (2.85) zur¨ uckgegriffen werden kann. Die drei angegebenen Vergleichsspannungen sind bei Vorliegen eines eineindeutigen Zusammenhanges zwischen Spannungen und Verzerrungen wie z. B. im HOOKEschen Gesetz (2.52) bis (2.54) und (2.59) in Vergleichsdehnungen umrechenbar. Dies ist bei elastoplastischem Materialverhalten (s. Bild 1.6b) oder bei viskoelastischen Materialeigenschaften (s. Abschnitt 11.2) nicht gegeben. Dann liegt es nahe, als Beanspruchungsmaß von vornherein eine Vergleichsdehnung zu benutzen. Als solche kommen z. B. die maximale Hauptdehnung und die gr¨ oßte Schubverzerrung in Frage. Diese Beanspruchungen w¨ aren dann durch eine kritische Verzerrung f¨ ur Bruch oder Sch¨adigung zu begrenzen. Die bisher betrachteten Beanspruchungen wurden bez¨ uglich der Zeit als monoton bis zu einem konstanten zul¨ assigen Wert wachsend vorausgesetzt. Wechselnde Beanspruchungen, deren Amplituden deutlich unter den statischen Festigkeitswerten liegen, k¨ onnen bei hinreichend großer Lastwechselzahl zum Bruch f¨ uhren. Zur Ber¨ ucksichtigung dieses Ph¨ anomens werden so genannte Sch¨ adigungshypothesen ben¨ otigt, die weitere experimentell zu bestimmende Materialkennwerte erfordern. Diesbez¨ ugliche Informationen sind der Spezialliteratur zu entnehmen.

2R

Beispiel 6.1 Eine Welle mit Kreisquerschnitt (Bild 6.2) ist infolge der Kraft F auf Biegung und infolge des Momentes Mt auf Torsion beansprucht.

B

¾b max

F

r

¿max

B Mt ¾b

B¢ l

¿

B¢ y

Bild 6.2. Welle unter Biege- und Torsionsbeanspruchung

Gesucht sind Ort und Gr¨ oße der maximalen Vergleichsspannung nach der Hypothese der spezifischen elastischen Gestalt¨ anderungsenergie. Die Querkraftschubspannungen und Randst¨ oreffekte sollen vernachl¨assigt werden. L¨osung: Das maximale Biegemoment tritt an der Einspannung auf und hat die Gr¨oße Mb max = F l > 0. Das Torsionsmoment ist in allen Querschnitten gleich ucksichtigung des St¨oreinflusses der dem eingeleiteten Moment Mt . Ohne Ber¨ Einspannung (s. Kapitel 10) ergibt sich der maximale Biegespannungsbetrag

138

6. Festigkeitshypothesen

in den Punkten B und B  nach Bild 6.2 und (4.11) zu |σb |max =

Mb max Fl = . Wb Wb

Die maximale Schubspannung infolge Torsion liegt an allen Punkten des Zylindermantels vor (Bild 6.2) und betr¨ agt gem¨aß (3.8) τmax =

Mt . Wt

Die Vergleichsspannung nach der Hypothese der spezifischen elastischen Gestalt¨ anderungsenergie (6.10) reduziert sich f¨ ur die K¨orperpunkte, in denen die Biegenormalspannung σb und die Torsionsschubspannung τ wirken, auf    1 2 σv3 = 2σb + 6τ 2 = σb2 + 3τ 2 . 2 Ihr Maximalwert ist wegen I = πR4 /4, |y|max = R in (4.10) mit Wb = πR3 /4 und Wt = πR3 /2 aus (3.10), d. h. Wt = 2Wb , durch    M 2 F l 2 t 2 = +3 σv3 max = σb2 max + 3τmax Wb 2Wb an den Stellen B und B  gegeben.



Beispiel 6.2 Ein Material besitze die Zugfestigkeit σBz = 0, 5σ0 und die Druckfestigkeit σBd = 2σ0 . Es unterliegt einem ebenen Spannungszustand nach Bild 6.3. ¿yx ¿xy

¾x

¾x

¿xy

y x

¿yx

Bild 6.3. Ebener Spannungszustand

Die Beanspruchungsf¨ alle a) σx = −2σ0 ,

τxy = σ0

b) σx = 0 ,

τxy = σ0

sind nach der Hypothese der maximalen Hauptnormalspannung zu pr¨ ufen. L¨osung: Die Hauptspannungen f¨ ur den ebenen Spannungszustand folgen aus (2.13)

6.2

Beispiele f¨ ur Festigkeitshypothesen

139

mit den Indizes 1, 3 statt 1, 2 zu   σx 2 σx 2 , σ1,3 = ± + τxy 2 2

σ2 = 0 .

Im Beanspruchungsfall a) ergeben sich die Werte √ σ1,3 = −σ0 ± 2σ0 , σ1 = 0, 414σ0 , σ3 = −2, 414σ0 ,

σ2 = 0 ,

die in Bild 6.4 durch den Punkt ◦Pa gekennzeichnet sind und die mit (6.3) bis (6.6) zu den Ungleichungen σv1 =

σ1 = 0, 414σ0 < σBz = 0, 5σ0 ,

σv1 = − σ3 = 2, 414σ0 > σBd = 2σ0 f¨ uhren. ¾3 /¾0 1

O -2

-1

1

¾1 /¾0

z Pb

-1

-2

d Pa

Bild 6.4. Bruchgrenzkurve und Beanspruchungen im ebenen Spannungszustand

Der Beanspruchungsfall b) liefert entsprechend σ1,3 = ±σ0 ,

σ1 = σ0 ,

σ3 = −σ0 ,

σ2 = 0 .

ugt wegen (6.3) Er wird in Bild 6.4 durch den Punkt •Pb symbolisiert und gen¨ bis (6.6) σv1 = σ1 = σ0 > σBz = 0, 5σ0 , σv1 = − σ3 = σ0 < σBd = 2σ0 . Beide Beanspruchungsf¨ alle liegen außerhalb der Bruchgrenzkurve. Sie sind deshalb nicht realisierbar. W¨ urde versucht werden, die mit ◦Pa bzw. •Pb gekennzeichneten Spannungszust¨ ande auf Wegen mit konstanten Verh¨altnissen

140

6. Festigkeitshypothesen

σ3 /σ1 zu erreichen, so f¨ uhrte der Weg OPa zu einem Druckbruch bei d, der Weg OPb dagegen zu einem Zugbruch bei z (Bild 6.4). 

Kapitel 7 Energiemethoden

7

7

7 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.5.1 7.5.2 7.5.3

Energiemethoden Einflusszahlen..................................................... Satz von CASTIGLIANO ....................................... Elastische Verzerrungsenergie der St¨abe .................... Symmetrie und Antisymmetrie ................................ Anwendungsf¨alle ................................................. Gerade Biegung .................................................. Ber¨ ucksichtigung von Biegung und Torsion................. L¨angskrafteinfluss ................................................

143 148 149 151 153 153 166 168

7 Energiemethoden Die bisherigen Betrachtungen betrafen im Wesentlichen die Berechnung der Verteilungen von Spannungen, Verzerrungen und Verschiebungen an allen Punkten eines K¨ orpers. Die Grundlagen f¨ ur die Berechnung dieser Verteilungen (Felder) bildeten die f¨ ur den K¨ orper g¨ ultigen Gleichgewichtsbedingungen, d. h. die statischen Bilanzen der auf den K¨orper wirkenden Kr¨afte und Momente, des Weiteren die kinematischen Beziehungen zwischen den Verschiebungen und Verzerrungen sowie der f¨ ur das K¨orpermaterial typische Zusammenhang zwischen Spannungen und Verzerrungen. Die L¨osung des auf dieser Grundlage beruhenden Gleichungssystems erfolgte unter Hinzunahme weiterer vereinfachender Annahmen speziell f¨ ur stabf¨ormige K¨orper unter L¨ angskraft-, Torsions-, Biege- oder Querkraftschubbelastung. Wegen der Linearit¨ at aller benutzten Gleichungen k¨ onnen die Ergebnisse f¨ ur einzeln auftretende Teillasten zu einem Gesamtergebnis f¨ ur das gemeinsame Auftreten ¨ dieser Teillasten aufsummiert werden (Prinzip der Uberlagerung). Die L¨ osung des auf den genannten Grundlagen beruhenden Gleichungssystems ist auf verschiedenen Wegen m¨ oglich, die u. U. vom Anwendungszweck des Ergebnisses abh¨ angen. Insbesondere existieren f¨ ur Stabtragwerke Aufgabenstellungen, bei denen nur die Verschiebungen und Verdrehungen an einzelnen Punkten der Stabachsen oder im Fall statischer Unbestimmtheit die erg¨ anzenden Gleichungen zur Ermittlung von Lager- bzw. Schnittreaktionen gefragt sind. Eine M¨ oglichkeit, diese reduzierte Information mit entsprechend geringerem Aufwand gewinnen zu k¨ onnen, beruht auf der Existenz der elastischen Verzerrungsenergie f¨ ur das gesamte Tragwerk. Die Verzerrungsenergie ist durch die Steifigkeit oder Nachgiebigkeit des Tragwerkes charakterisiert, in welche die Abmessungen und die elastischen Materialeigenschaften eingehen. In diesem Zusammenhang sind die so genannten Einflusszahlen bedeutsam, die im Folgenden am Beispiel der Balkenbiegung erkl¨art werden.

7.1

7.1 Einflusszahlen Wir betrachten nochmals einen eingespannten Balken, der am freien Ende durch eine Einzelkraft F und ein Einzelmoment M belastet ist (Bild 7.1). F M EI

v l

Bild 7.1. Eingespannter Balken unter Einzelkraft und -moment

144

7. Energiemethoden

Die Verschiebung v und Verdrehung ϕ des Balkenendes k¨onnen aus (4.27) entnommen werden: v=

l3 l2 F+ M , 3EI 2EI

(7.1a)

ϕ=

l2 l F+ M . 2EI EI

(7.1b)

Die in dem linearen Gleichungssystem (7.1) enthaltene Matrix  3    l /3 l2 /2 α γ 1 = EI l2 /2 l δ β

(7.2)

besitzt als Elemente die Einflusszahlen α, γ, δ und β, welche den Einfluss der Lasten F und M auf die Verformungen v und ϕ vermitteln. Die Matrix (7.2) ist symmetrisch bez¨ uglich der Hauptdiagonale, d. h. γ=δ .

(7.3)

Im Beispiel von Bild 7.1 verursachten die Lasten F und M als Wirkungen Verschiebungen und Verdrehungen am gleichen Ort. F1

1

M1

F2

M2

2

v Bild 7.2. Gest¨ utzter Balken unter zwei Lastgruppen

Eine komplexere Situation von zwei Lastgruppen F1 , M1 und F2 , M2 , die an den verschiedenen Orten 1 und 2 eines gest¨ utzten Balkens angreifen, zeigt Bild 7.2. Wegen der Linearit¨ at der zugrunde liegenden Gleichungen d¨ urfen wieder die Verformungen infolge der einzelnen Lasten zu Gesamtverformungen u ¨ berlagert werden. Das Ergebnis lautet in Verallgemeinerung von (7.1) v1 = α11 F1 + α12 F2 + γ11 M1 + γ12 M2 ,

(7.4a)

v2 = α21 F1 + α22 F2 + γ21 M1 + γ22 M2 ,

(7.4b)

ϕ1 = δ11 F1 + δ12 F2 + β11 M1 + β12 M2 ,

(7.4c)

ϕ2 = δ21 F1 + δ22 F2 + β21 M1 + β22 M2 .

(7.4d)

7.1

Einflusszahlen

145

Es kann wieder aus der L¨ osung der Gleichung der elastischen Linie gewonnen werden. Die Indizes an den Lasten und Verformungen zeigen jetzt die Stelle des Auftretens dieser Gr¨ oßen am Balken an (Bild 7.2). Die aus den Einflusszahlen αij , γij , δij und βij f¨ ur i, j = 1, 2 bestehende, durch die Nachgiebigkeit des Balkens bestimmte Koeffizientenmatrix von (7.4) ist wie die Koeffizientenmatrix (7.2) symmetrisch zur Hauptdiagonale, d. h. es gilt αij = αji ,

γij = δji ,

βij = βji ,

i, j = 1, 2 .

(7.5)

Die nach MAXWELL (1831-1879) benannten Symmetriebeziehungen (7.5) beruhen auf der Existenz einer elastisch gespeicherten Verzerrungsenergie f¨ ur das Tragwerk. Da sich die Energie eines K¨ orpers aus der Summe der Energien seiner Teile ergibt, ist die Existenz der Verzerrungsenergie des K¨orpers gesichert, wenn dem K¨ orpermaterial in jedem K¨orperelement eine spezifische Verzerrungsenergie zuordenbar ist. Wie in Abschnitt 2.6 gezeigt wurde, geh¨ ort zu dem linearen HOOKEschen Material (2.52) bis (2.54) und (2.59) wegen der Symmetrieeigenschaften der Koeffizientenmatrix von (2.52) bis (2.54) eine solche lokale spezifische Verzerrungsenergie, und folglich besitzen Tragwerke aus HOOKEschem Material eine globale elastische Verzerrungsenergie. Auch f¨ ur Tragwerke ist die wechselseitige Bedingtheit von Existenz einer Verzerrungsenergie und Symmetrie der Nachgiebigkeitsmatrix gegeben. Dies soll am Beispiel des Balkens von Bild 7.3 durch Realisierung verschiedener Lastwege demonstriert werden. F1

F2

v v11= ®11F1

v12= ®12F2

v22= ®22F2

v21= ®21F1

a) F2

F1 v11 b)

v12

v22 c)

Bild 7.3. Anordnung zur Erzeugung verschiedener Lastwege

Auf einem ersten Lastweg 1 erzeugt die Kraft F1 an der Stelle 1 die mit ihr linear anwachsende Verschiebung v11 = α11 F1 sowie an der Stelle 2 die mit ihr linear anwachsende Verschiebung v21 = α21 F1 und bleibt anschließend konstant. Dann erzeugt die Kraft F2 an der Stelle 2 die mit ihr linear anwachsende Verschiebung v22 = α22 F2 zus¨ atzlich zu der schon infolge der

146

7. Energiemethoden

Kraft F1 verursachten Verschiebung v21 und außerdem an der Stelle 1 die zu v11 hinzukommende mit F2 linear anwachsende Verschiebung v12 = α12 F2 (Bild 7.3a). Der gesamte Belastungsvorgang erfolgt quasistatisch, d. h. ohne Beschleunigung irgendwelcher Balkenelemente. Die Annahme dieser bisher immer getroffenen Voraussetzung f¨ ur Lastaufbringungsprozesse sei hier nochmals besonders hervorgehoben. ahrend ihrer Verschiebung v1 = v11 + v12 an der Die Kraft F1 verrichtet w¨ Stelle 1 gem¨ aß Bild 7.3a die durch die Fl¨ ache in Bild 3.7b angegebene Arbeit 1 1 F1 v11 + F1 v12 = α11 F12 + α12 F1 F2 . 2 2

(7.6)

Die von der Kraft F1 an der Stelle 2 vor Aufbringen der Kraft F2 verursachte Verschiebung v21 geht nicht in die Arbeit, welche die Kraft F2 verrichtet, ein. Letztere betr¨ agt (Bild 7.3a, c) 1 1 F2 v22 = α22 F22 . 2 2

(7.7)

Die durch die Kr¨ afte F1 und F2 auf dem Belastungsweg 1 verrichtete gesamte (1) Arbeit Wa folgt aus der Summe von (7.6) und (7.7), d. h. Wa(1) =

1 1 α11 F12 + α12 F1 F2 + α22 F22 . 2 2

(7.8)

Der Index a“ weist darauf hin, dass die von der Umgebung auf den Bal” (1) ken ausge¨ ubten Kr¨ afte, also die ¨ außeren Kr¨afte, die Arbeit Wa verrichtet haben. Zu den ¨ außeren Kr¨ aften existieren an den Krafteinleitungsstellen innere Kr¨ afte, welche als Reaktionen mit den a¨ußeren Kr¨aften w¨ahrend des gesamten Belastungsweges im Gleichgewicht stehen und folglich die Arbeit (1)

Wi

= −Wa(1)

(7.9)

verrichten. Das Minuszeichen entsteht wie in (2.64), weil die inneren Kr¨afte entgegengesetzt zu den zugeordneten Verschiebungen orientiert sind. uber Auf einem zweiten Belastungsweg 2, bei dem die Kr¨afte F1 und F2 gegen¨ dem ersten Belastungsweg in umgekehrter Reihenfolge bis zu den gleichen Endwerten wie beim Belastungsweg 1 aufgebracht werden, wird die Arbeit Wa(2) =

1 1 (2) α22 F22 + α21 F2 F1 + α11 F12 = −Wi 2 2

(7.10)

verrichtet. Die realisierte Arbeit soll unabh¨ angig von der Reihenfolge der Lastaufbringung sein. Dann gilt (1)

Wa(1) = Wa(2) = −Wi

(2)

= −Wi

=U ,

(7.11)

7.2

Satz von CASTIGLIANO

147

wobei U das Potenzial der inneren Kr¨ afte bzw. die im Balken elastisch gespeicherte Energie bezeichnet. Kinetische Energieanteile treten nicht auf, da die Belastung, wie oben betont wurde, quasistatisch erfolgte. Aus dem wegen (7.11) g¨ ultigen Vergleich von (7.8) mit (7.10) ergibt sich die Symmetrie α12 = α21 . Diese Symmetrie erlaubt wie im Fall der lokal g¨ ultigen spezifischen elastischen Verzerrungsenergie (2.82) die Darstellung der globalen Verzerrungsenergie des Balkens von Bild 7.3 in der Form U=

1 1 F1 v1 + F2 v2 , 2 2

(7.12)

wobei v1 bzw. v2 die Verschiebungen an den Stellen 1 bzw. 2 nach Aufbringung der Kr¨ afte F1 und F2 bezeichnen. Die Best¨atigung von (7.12) erfolgt durch Einsetzen von v1 = α11 F1 + α12 F2 ,

v2 = α21 F1 + α22 F2

(7.13)

in (7.12), Anwendung von α12 = α21 und Vergleich des Ergebnisses mit (7.10), (7.11). Die demonstrierte Vorgehensweise kann f¨ ur beliebige Lastpaare der Anordnung von Bild 7.2 angewendet werden und f¨ uhrt dann auf die Symmetrien (7.5). Die Verallgemeinerung von (7.4) auf n Kr¨ afte Fj und n Momente Mj ergibt die Verformungen vi und ϕi an den Lasteinleitungsstellen i vi =

n 

(αij Fj + γij Mj ) ,

ϕi =

j=1

n 

(δij Fj + βij Mj )

(7.14)

j=1

mit den Symmetriebeziehungen αij = αji ,

γij = δji ,

βij = βji ,

i, j = 1, . . . , n .

(7.15)

Die dazugeh¨ orige Verzerrungsenergie ist zun¨ achst 1 (Fi vi + Mi ϕi ) 2 i=1 n

U=

(7.16)

bzw. nach Einsetzen von (7.14) 1  (Fi αij Fj + Fi γij Mj + Mi δij Fj + Mi βij Mj ) , 2 i=1 j=1 n

U=

n

wobei noch (7.15) benutzt werden kann.

(7.17)

148

7.2

7. Energiemethoden

7.2 Satz von CASTIGLIANO Von der elastischen Verzerrungsenergie (7.17) des Balkens bilden wir die partielle Ableitung nach einer in den Summen befindlichen Kraft Fk . Die Ableiur tung darf unter die Summenzeichen gezogen werden. Mit ∂Fj /∂Fk = 1 f¨ ur j = k sowie den entsprechenden Gleichungen j = k und ∂Fj /∂Fk = 0 f¨ zum Index i folgt unter Nutzung von (7.15) ∂U 1 1 = (αik Fi + δik Mi ) + (αkj Fj + γkj Mj ) ∂Fk 2 i=1 2 j=1 n

n

1 1 (αkj Fj + γkj Mj ) + (αkj Fj + γkj Mj ) 2 j=1 2 j=1 n

= =

n 

n

(αkj Fj + γkj Mj ) .

(7.18)

j=1

Der letzte Ausdruck stellt aber wegen der ersten Gleichung aus (7.14) die Verschiebung vk in Richtung der Kraft Fk dar, weshalb ∂U = vk ∂Fk

(7.19)

∂U = ϕk . ∂Mk

(7.20)

gilt. Analog finden wir

Die Beziehungen (7.19) und (7.20) geben den Inhalt des Satzes von CASTIGLIANO (1847-1884) f¨ ur linear-elastisches Material wieder, wonach die partielle Ableitung der Verzerrungsenergie des Balkens nach einer Einzellast die zugeordnete Verformung in Richtung dieser Einzellast liefert. Der hier am Beispiel abgeleitete Satz, der in manchen B¨ uchern als zweiter, in anderen B¨ uchern als erster Satz von CASTIGLIANO bezeichnet wird, gilt, weil er allein auf der Existenz der lokalen spezifischen elastischen Verzerrungsenergie (2.81) beruht, f¨ ur beliebige im Gleichgewicht befindliche K¨orper. F¨ ur die Anwendung des Satzes auf stabf¨ ormige K¨ orper ist es nur erforderlich, die elastische Verzerrungsenergie mittels der jeweiligen Beanspruchungstheorie durch alle Lasten auszudr¨ ucken, die zur Verzerrungsenergie des K¨orpers beitragen. Kontinuierlich verteilte Lasten sind mit einzubeziehen, da sie auch an der Verzerrungsenergie beteiligt sind. Lagerreaktionen statisch bestimmter Systeme, welche Verschiebungen des K¨ orpers als Ganzes, so genannte Starrk¨ orperverschiebungen, verhindern, tragen nicht zur Verzerrungsenergie bei und d¨ urfen deshalb nicht als Argumente in der Verzerrungsenergie enthalten sein. Statisch unbestimmte Lagerreaktionen werden zun¨achst als ¨außere Lasten in die Verzerrungsenergie mit einbezogen. Die Anwendung von (7.19)

7.3

Elastische Verzerrungsenergie der St¨ abe

149

und (7.20) auf diese Reaktionen liefert nach Nullsetzen der zugeordneten Verschiebungen und Verdrehungen die fehlenden Bestimmungsgleichungen zur Berechnung der statisch Unbestimmten. Es sei noch erw¨ ahnt, dass Beziehungen von der Art wie (7.19) und (7.20) auch im Fall nichtlinear elastischen Materialverhaltens angebbar sind, wenn die spezifische Verzerrungsenergie durch die spezifische Erg¨anzungsenergie gem¨aß (2.72) ersetzt wird. Von der Erg¨ anzungsenergie ist auch bei der Ber¨ ucksichtigung von W¨ armespannungen auszugehen.

7.3

7.3 Elastische Verzerrungsenergie der St¨ abe In die Verzerrungsenergie der St¨ abe aus linear-elastischem Material k¨onnen angsbeanspruchung UL und QuerAnteile infolge Biegung UB , Torsion UT , L¨ kraftschub UQ eingehen. Die Verzerrungsenergie berechnet sich als Integral der spezifischen Verzerrungsenergie (2.82) u ¨ ber das Stabvolumen V unter Beachtung des jeweiligen Spannungszustandes und des HOOKEschen Gesetzes. Mit der Biegespannung σb bei gerader Biegung infolge des Biegemomentes achentr¨ agheitsmoment Ixx ergibt sich Mbx um eine Hauptachse x mit dem Fl¨ gem¨ aß (2.82), (4.2) und (4.8)  2    2 2 1 σb Mbx Mbx 1 1 2 dV = y dAdz = dz . (7.21) UB = 2 2 E 2 EIxx 2 EIxx V

A

l

l

Bei schiefer Biegung entsteht f¨ ur jede Hauptachse ein Anteil wie in (7.21). Das Torsionsmoment Mt verursacht in einem Stab mit Kreis- bzw. Kreisringquerschnitt nach (2.82), (3.2) und (3.7) die Verzerrungsenergie  2    1 τ Mt2 2 Mt2 1 1 dV = r dAdz = dz . (7.22) UT = 2 2 G 2 GIp 2 GIp V

l

A

l

Bei anderen Querschnittsformen ist Ip durch It wie z. B. nach (3.12) zu ersetzen. uhrt bei gleichm¨ aßiger Normalspannungsverteilung σ Eine L¨ angskraft FL f¨ u ache A auf die Verzerrungsenergie (2.70) ¨ ber der Querschnittsfl¨  2   1 1 1 σ FL2 FL2 UL = dV = dz . (7.23) Adz = 2 E 2 EA2 2 EA V

l

l

H¨ aufig sind die L¨ angskraft und die Dehnsteifigkeit EA konstant u ¨ber der Stabl¨ ange. Dann gilt die vereinfachte Beziehung UL =

FL2 l . 2EA

(7.24)

150

7. Energiemethoden

Die Verzerrungsenergie infolge Querkraftschubspannungen bei gerader Biegung um die Hauptachse x ist mit (2.82), (1.16) und (5.7)  2   2 FQy Sx2 (y) 1 τ 1 UQ = dV = dAdz (7.25) 2 b2 (y) 2 G 2 GIxx V

l

A

bzw. mit dA = b(y)dy und κ = κy = konst. in (5.15)  2 FQy κy dz . UQ = 2 GA

(7.26)

l

Bei Systemen aus m St¨ aben summieren sich die Verzerrungsenergien Ui der einzelnen St¨ abe i zur Gesamtverzerrungsenergie U=

m 

Ui .

(7.27)

i=1

Erfolgt eine Querkraftbiegung um die beiden Hauptachsen x und y, ergibt sich die Verschiebung vk in Richtung einer Kraft Fk nach (7.19) und (7.27) bei Ber¨ ucksichtigung aller Beanspruchungen (7.21), (7.22), (7.23) und (7.26) zu  m   ∂U Mbyi ∂Mbyi Mti ∂Mti Mbxi ∂Mbxi = + + + vk = ∂Fk (EI ) ∂F (EI ) ∂F (GI xx i k yy i k t )i ∂Fk i=1 l i  FLi ∂FLi FQxi ∂FQxi FQyi ∂FQyi + + κxi + κyi dzi . (7.28) (EA)i ∂Fk (GA)i ∂Fk (GA)i ∂Fk Dabei konnte die partielle Ableitung ∂()/∂Fk unter die Integralzeichen gezogen werden, weil die Integrationsgebiete li nicht von Fk abh¨angen. Die Vorgehensweise zur Bestimmung einer Verdrehung ϕk in Richtung eines auft analog: Einzelmomentes Mk verl¨   m  ∂U Mbyi ∂Mbyi Mti ∂Mti Mbxi ∂Mbxi ϕk = = + + + ∂Mk (EI ) ∂M (EI ) ∂M (GI xx i k yy i k t )i ∂Mk i=1 l i  FQxi ∂Fqxi FQyi ∂FQyi FLi ∂FLi + + κxi + κyi (7.29) dzi . (EA)i ∂Mk (GA)i ∂Mk (GA)i ∂Mk Bei ebener Verformung ebener Tragwerke, die aus schlanken Balken bestehen, k¨ onnen h¨ aufig Quer- und L¨ angskrafteinfl¨ usse gegen¨ uber den Biegeeffekten vernachl¨ assigt werden. Im Fall r¨ aumlicher Anordnungen sind außer der Biegeverformung auftretende Torsionsverformungen meistens zu ber¨ ucksichtigen.

7.4

Symmetrie und Antisymmetrie

151

Bevor wir die Leistungsf¨ ahigkeit der Vorschriften (7.28) und (7.29) demons¨ trieren, f¨ uhren wir noch einige hilfreiche Uberlegungen aus, die die geometrische Anordnung von Tragwerken einschließlich ihrer Lasten betreffen.

7.4

7.4 Symmetrie und Antisymmetrie Aufgaben, die Symmetrien oder Antisymmetrien enthalten, k¨onnen h¨aufig ¨ vereinfacht werden. Diesbez¨ ugliche Uberlegungen sind nicht an die Nutzung von Energiemethoden gebunden, werden aber hier ausgef¨ uhrt, weil sich die Beispiele dieses Kapitels gut f¨ ur ihre Anwendung eignen. Im Folgenden betrachten wir beispielhaft ebene Tragwerke, die aus Balken bestehen und wenigstens eine Symmetrieachse besitzen. Die Lasten seien zu dieser Symmetrieachse entweder symmetrisch oder antisymmetrisch angeordnet wie im Fall des im Gleichgewicht befindlichen Balkens nach Bild 7.4. a

F

a

F

F/2 F

b

b z

F/2

F/2

F

a bF

a

F

F

b

F/2

b z

v

v

FL

FL

FQ

FQ

a bF

Mb

Mb a)

a

F

b)

Bild 7.4. Symmetrischer Balken symmetrisch a) und antisymmetrisch b) belastet

Der Ursprung des z, v-Koordinatensystems befindet sich auf der Symmetrieachse des Balkens. Zur Vermeidung von Starrk¨ orperverschiebungen werden im Einklang mit der Symmetrie (Bild 7.4a) und der Antisymmetrie (Bild 7.4b) die Vertikalverschiebungen der Balkenenden und die Horizontalverschiebung der Balkenmitte null gesetzt. Definitionsgem¨ aß gilt f¨ ur eine mit fS (z) bezeichnete symmetrische Funktion fS (z) = fS (−z)

(7.30)

152

7. Energiemethoden

und f¨ ur eine antisymmetrische Funktion fA (z) fA (z) = −fA (−z) ,

fA (0) = 0 .

(7.31a,b)

In Bild 7.4a erf¨ ullen Durchbiegung v, L¨ angskraft FL und Moment Mb die  Gleichung (7.30), dagegen Verdrehung v und Querkraft FQ die Beziehungen (7.31). In Bild 7.4b gilt umgekehrt, dass die Durchbiegung v, die L¨angskraft ugen, w¨ahrend die VerFL und das Moment Mb den Beziehungen (7.31) gen¨ drehung v  und die Querkraft FQ die Gleichung (7.30) befriedigen. Das aus (7.31b) folgende wichtige Ergebnis ist hervorzuheben: - Bei einem geometrisch, d. h. hinsichtlich seiner Abmessungen, symmetrischen Balken mit symmetrischer Belastung verschwinden auf der Symmetrieachse die Verdrehung und die Querkraft. - Bei einem geometrisch symmetrischen Balken mit antisymmetrischer Belastung verschwinden auf der Symmetrieachse die Durchbiegung, die L¨ angskraft und das Moment. Beliebige Lastf¨ alle geometrisch symmetrischer Tragwerke k¨onnen immer in symmetrische und antisymmetrische Teillastf¨alle zerlegt werden. Das Gesamtgleichungssystem zur Bestimmung eventueller statisch Unbestimmter zerf¨ allt dabei vorteilhaft in zwei kleinere entkoppelte Gleichungssysteme. Die ¨ Gesamtl¨ osung ergibt sich durch Uberlagerung (Superposition) der Teill¨osungen. Diese Vorgehensweise enth¨ alt selbstverst¨andlich die M¨oglichkeit, bei rein symmetrischer oder rein antisymmetrischer Belastung geometrisch symmetrischer Tragwerke von Beginn an die Zahl der statisch Unbestimmten zu reduzieren. Zur Demonstration betrachten wir den durch die Streckenlast q unsymmetrisch belasteten geometrisch symmetrischen Rahmen nach Bild 7.5. q 2

q

=

q 2

S

q 2

+

q 2

A

Bild 7.5. Unsymmetrisch belasteter symmetrischer Rahmen

Die Lagerung enth¨ alt drei statisch Unbestimmte. Im symmetrischen Teillastfall (S) verschwindet auf S die Querkraft. Es verbleiben L¨angskraft und Biegemoment als statisch Unbestimmte. Im antisymmetrischen Teillastfall

7.5

Anwendungsf¨ alle

153

(A) verschwinden L¨ angskraft und Biegemoment auf A. Es verbleibt nur die Querkraft als statisch Unbestimmte. Auf die gewonnenen Erkenntnisse kommen wir im n¨achsten Abschnitt nochmals zur¨ uck.

7.5

7.5 Anwendungsf¨ alle 7.5.1 Gerade Biegung ¨ Zur Uberpr¨ ufung der abgeleiteten Methode nach CASTIGLIANO betrachten wir nochmals den eingespannten Balken unter Einzelkraft und -moment (Bild 7.6). Fk Mk EI

l Fk FQ

Mb

Mk z v

Bild 7.6. Eingespannter Balken unter Einzelkraft und -moment

Wir fragen nach der Verschiebung und der Verdrehung des rechten Balkenendes. Es soll nur der Biegeanteil der Verzerrungsenergie ber¨ ucksichtigt werden. Gem¨ aß (7.28) sind der Biegemomentenverlauf Mb (z, Fk , Mk ) und die partiellen Ableitungen ∂Mb /∂Fk sowie ∂Mb /∂Mk zu berechnen: Mb = −Fk z − Mk ,

∂Mb = −z , ∂Fk

∂Mb = −1 . ∂Mk

(7.32)

Aus (7.28), (7.29) und (7.32) folgt  vk =

Mb ∂Mb 1 dz = EI ∂Fk EI

l

 ϕk = l

Mb ∂Mb 1 dz = EI ∂Mk EI

l

(Fk z 2 + Mk z)dz =

0

l (Fk z + Mk )dz = 0

Mk l 2 Fk l3 + , 3EI 2EI

Mk l Fk l2 + , 2EI EI

(7.33a)

(7.33b)

d. h. die Best¨ atigung von (7.1). Zu bemerken ist, dass sich die Minuszeichen der Ausdr¨ ucke (7.32) bei der Produktbildung unter den Integralen von (7.33) herausquadrieren. Deshalb ist hier die Zuordnung der Z¨ahlpfeile f¨ ur die

154

7. Energiemethoden

Schnittgr¨ oße Mb und die Durchsenkung v anders als bei der Gleichung der elastischen Linie (4.25) bedeutungslos. Sie muss nur im Integrationsbereich fest beibehalten werden. Wir verzichten deshalb in u ¨ bersichtlichen F¨allen auf die Angabe dieser Z¨ ahlpfeile. Beispiel 7.1 F¨ ur den durch die Kraft F belasteten abgewinkelten Balken nach Bild 7.7 ist die Verschiebung des Lagers B gesucht. a z2

F C

EI

F a

EI

z1 F

B

F F

Bild 7.7. Abgewinkelter Balken

Es soll nur Biegeenergie ber¨ ucksichtigt werden. L¨osung: Das Tragwerk ist statisch bestimmt gelagert. Die Verzerrungsenergie darf als Lastargument nur die a ¨ußere Kraft F enthalten. Die Lagerreaktionen bei B und C sind deshalb durch F auszudr¨ ucken. Die Verschiebung vB des Lagers B findet horizontal statt. Sie wird durch vB =

∂U ∂F

bestimmt. F¨ ur den abgewinkelten Balken sind die beiden Bereiche mit den Bereichskoordinaten z1 und z2 festzulegen. Zur Berechnung der Biegemomente und der partiellen Ableitungen empfiehlt sich das Anlegen einer Tabelle. Wegen der Beschr¨ ankung auf Biegung wird der Index b“ beim Biegemoment ” weggelassen. Außerdem werden f¨ ur die beiden Bereiche i = 1, 2 die jeweiligen Integrationsgrenzen eingetragen. i

Mi

1

F z1

∂Mi ∂F z1

2

F a − F z2

a − z2

Grenzen 0, a 0, a

7.5

Anwendungsf¨ alle

155

Die Ausf¨ uhrung der Integration nach (7.28) liefert ∂U = vB = ∂F

a 0

M1 ∂M1 dz1 + EI ∂F

a 0

M2 ∂M2 dz2 EI ∂F

2 1  2F a3 F a3  1 +1− + = . = EI 3 2 3 3EI Das Ergebnis ist identisch mit dem des Anwendungsfalles nach Bild 4.19.  Der Satz von CASTIGLIANO l¨ asst sich, wie in Abschnitt 7.2 schon bemerkt, auch auf statisch unbestimmt gelagerte Tragwerke anwenden. Die statisch unbestimmten Lagerreaktionen, d. h. die r u ¨ berz¨ahligen Lagerreaktionen Xl , l = 1, . . . , r, die nicht durch Anwendung der Gleichgewichtsbilanzen allein ermittelt werden k¨ onnen, sind als zun¨ achst nicht zu den Lagerlasten zu z¨ ahlende ¨ außere Lasten aufzufassen. Sie gehen neben den gegebenen a ¨ußeren Einzellasten Fi , Mj und den durch Parameter qk charakterisierten außeren Streckenlasten in die Argumentliste der Verzerrungsenergie ein. Die ¨ r Zwangsbedingungen verschwindender Verformungen an den Lagern lauten dann ∂U (Fi , Mj , qk , Xl ) = 0 , m = 1, . . . , r (7.34) ∂Xm und ergeben die fehlenden Gleichungen zur Bestimmung der statisch Unbestimmten. Wir betrachten hierzu den durch eine konstante Streckenlast der Intensit¨at q belasteten Balken nach Bild 7.8, dessen Lagerreaktionen gesucht sind. q B

q FBh

C l

EI

MB

FBv

FC

q

Mb FQ

FC z v

Bild 7.8. Balken mit konstanter Streckenlast

Es liegt eine einfache statische Unbestimmtheit vor. Wir w¨ahlen zweckm¨aßig ucken das Biegemoment Mb durch die FC als statisch Unbestimmte und dr¨ außere Streckenlast q sowie die statisch Unbestimmte X1 = FC aus, ohne ¨ weitere Gleichgewichtsbedingungen benutzen zu m¨ ussen. Dann gilt Mb = FC z − q

z2 , 2

∂Mb =z . ∂FC

156

7. Energiemethoden

Bei Beschr¨ ankung auf den Biegeanteil in der Verzerrungsenergie erhalten wir ∂U (q, FC ) vB = = ∂FC

l 0

Mb ∂Mb 1 dz = EI ∂FC EI

1  l3 ql4  = FC − =0, EI 3 8

l  z3  FC z 2 − q dz 2 0

d. h. FC =

3 ql . 8

Die statischen Bilanzen liefern damit → : FBh = 0 , 3 5 FBv = ql , ↑ : FBv − ql + ql = 0 , 8 8  3 2 l2 1 2 C : MB − q + ql = 0 , MB = ql . 2 8 8 Das Ergebnis ist identisch mit dem des Anwendungsfalles nach Bild 4.22. Beispiel 7.2 Ein gerader Balken mit der Biegesteifigkeit EI unterliegt teilweise einer konstanten Streckenlast q (Bild 7.9). q

EI B C a

a

MB FB

FC z2

z1

Bild 7.9. Gerader Balken, teilweise unter Streckenlast

Gesucht sind die Lagerreaktionen. L¨osung: Nach dem Freimachen und Weglassen der verschwindenden horizontalen Lagerkraft bei B verbleiben zwei statische Bilanzgleichungen f¨ ur die drei Lagerreaktionen. Es liegt also einfache statische Unbestimmtheit vor. Wir w¨ahlen zweckm¨ aßig FC als statisch Unbestimmte, teilen zwei Bereiche i = 1, 2 ein und legen zur Auswertung des Satzes von CASTIGLIANO auf der Grundlage des Biegeanteils der Verzerrungsenergie eine Tabelle f¨ ur die Biegemomente

7.5

Anwendungsf¨ alle

157

Mi und die partiellen Ableitungen ∂Mi /∂FC an. i 1 2 Es gilt

Mi

∂Mi ∂FC

Grenzen

0

0, a

−z2

0, a

z12 2  a + z2 − FC z2 qa 2 q

  1 1 1 1 ∂U (q, FC ) a3 vC = qa − · − + FC =0, = ∂FC EI 2 2 3 3

d. h. 7 qa . 4

FC = Die statischen Bilanzen ergeben damit

3 FB = − qa , 4  3a 1 = 0 , MB = − qa2 . B : MB + FC a − qa 2 4 ↑ : FB − qa + FC = 0 ,

 Wenn f¨ ur ein Tragwerk Verformungen an Stellen gesucht werden, an denen keine Einzellasten in Richtung der gesuchten Verformung wirken, so werden dort Hilfslasten installiert, die nach Bildung der diesbez¨ uglichen partiellen Ableitungen null zu setzen sind. Wir betrachten hierzu das Tragwerk von Bild 7.10, f¨ ur das die Verschiebung des Lagers C gesucht ist. 2a q

EI 2a

q z2

a

EI

z1

EI z3

C B

FH

-

FH +qa 2

Bild 7.10. Zur Benutzung einer Hilfskraft

FH FH +qa 2

158

7. Energiemethoden

Da am horizontal verschieblichen Lager C keine Horizontalkraft vorliegt, wird dort die Hilfskraft FH angebracht. Die Lagerreaktionen des statisch bestimmten Tragwerkes sind durch die ¨ außere Streckenlast q und die als ¨außere Last ucken. Dies wurde in Bild 7.10 schon ausgeltende Hilfskraft FH auszudr¨ gef¨ uhrt. F¨ ur die drei Bereiche i, i = 1, 2, 3 fertigen wir eine Tabelle der Biegemomente Mi , der partiellen Ableitungen ∂Mi /∂FH und der Integrationsgrenzen an. i 1 2 3

∂Mi ∂FH

Mi FH z1 F

 z2 + qa z2 − q 2 + FH a 2 2 FH z3 H

Grenzen

z1 z2 +a 2 z3

0, a 0, 2a 0, 2a

Die Verschiebung des Lagers C ergibt sich mit (7.28) zu    ∂U (q, FH )  qa4  1 8 4 1 16 1 8  qa4  · + − · − · . = = vC = vH  =   ∂FH  EI 2 3 2 4 4 2 3 EI FH =0

FH =0

Bei statisch unbestimmten Systemen treten die gegebenen ¨außeren Lasten, die statisch Unbestimmten und die Hilfslasten als Argumente in der Verzerrungsenergie auf. Beispiel 7.3 F¨ ur das mehrfach abgewinkelte Tragwerk mit konstanter Biegesteifigkeit EI nach Bild 7.11 sind die Lagerreaktionen, die Verschiebung des Angriffspunktes der Kraft F und die Verdrehung des Balkenendes am Lager C gesucht. a

a

F FBh

B MB

z3

z4

F

FBv

a z2

FCh

C a

z1 FCv MH

Bild 7.11. Mehrfach abgewinkeltes Tragwerk

L¨osung: Das Freimachen zeigt eine zweifache statische Unbestimmtheit des Trag-

7.5

Anwendungsf¨ alle

159

werkes an. Als statisch Unbestimmte werden die Lagerkr¨afte FCh und FCv gew¨ ahlt. Die Verschiebung des Angriffspunktes der Kraft F hat im Rahmen der linearen Biegetheorie nur eine vertikale Komponente, welche in Richtung von F liegt. Hier wird also keine Hilfskraft ben¨ otigt. Dagegen muss zur Beuhrt werden. In rechnung der Verdrehung bei C ein Hilfsmoment MH eingef¨ den Biegemomenten Mi der vier Bereiche i = 1, . . . , 4 sind demnach die Lasucksichtigen. Die entsprechende Tabelle mit ten F, FCh , FCv und MH zu ber¨ den Integrationsgrenzen 0, a f¨ ur alle Bereiche ist nachfolgend angegeben. i

Mi

1

FCv z1 + MH

2

FCv a + MH − FCh z2

3

F z3

4

F (a + z4 ) + FCv (a − z4 ) −FCh a + MH

∂Mi ∂FCh

∂Mi ∂FCv

∂Mi ∂F

∂Mi ∂MH

0

z1

0

1

−z2

a

0

1

0

0

z3

0

−a

a − z4

a + z4

1

Die Gleichungen f¨ ur die statisch Unbestimmten und die Verformungen lauten  ∂U (F, FCh , FCv , MH )  0=   ∂FCh MH =0 

1

1 1 a3  1  FCh + 1 + FCv − − 1 + = +F −1− , EI 3 2 2 2  ∂U (F, FCh , FCv , MH )  0=   ∂FCv MH =0 

1

1

1 2 1 a3 1  FCh − − 1 + = + FCv + 1 + 1 − + +F 1− , EI 2 2 3 2 3 . . . . 3. .  ∂U (F, FCh , FCv , MH )  vF =   ∂F MH =0

1 2 1  a3  1 1 FCh − 1 − +1+ + , = + FCv 1 − +F EI 2 3 2 3 . . . . 3. .

160

7. Energiemethoden

 ∂U (F, FCh , FCv , MH )  ϕC =   ∂MH MH =0 

1

1 1 1  a2  FCh − − 1 + FCv + 1 + 1 − +F 1+ . = EI 2 2 2 2 Wegen MH = 0 bezieht sich die durch zugeordnete Unterstreichungen gekennzeichnete Symmetrie des Gleichungssystems nur auf die Koeffizientenmatrix der ersten drei Gleichungen. Die Aufl¨ osung des Gleichungssystems liefert FCh =

3 F , 2

FCv =

1 F . 2

Die statischen Bilanzen und die restlichen Lagerreaktionen sind dann → : FBh + FCh = 0 ,

3 FBh = − F , 2

↑ : FBv + FCv − F = 0 ,

FBv =

1 F , 2

MB =

1 Fa . 2



B : MB − F 2a + FCh a = 0 ,

Die Verformungen ergeben sich nach Einsetzen der Ergebnisse f¨ ur FCh und FCv zu 3 F a3 F a2 vF = , ϕC = . 4 EI 4EI  In den bisher behandelten Anwendungsf¨ allen und Beispielen bestanden die Tragwerke aus unverzweigten oder verzweigten Balkenstrukturen. Außer solchen als offen bezeichneten Tragwerken existieren auch geschlossene Strukturen, so genannte geschlossene Rahmen wie z. B. in Bild 7.12. M B

1 0¢

0 2

F

C

Bild 7.12. Geschlossener Rahmen

Die Lagerreaktionen dieses Tragwerkes ergeben sich nach Freischneiden des gesamten Tragwerkes aus den drei Gleichgewichtsbilanzen, jedoch nicht die

7.5

Anwendungsf¨ alle

161

Schnittreaktionen. Mit einem Schnitt wie in Bild 7.12 k¨onnen z. B. an der Stelle 0 die Schnittreaktionen Biegemoment M0 , Querkraft FQ0 und L¨angskraft uhrt werden. Die Schnittreaktionen an der Stelle 0 sind dann u FL0 eingef¨ ¨ ber j j 1 2 oder abh¨angig die Gleichgewichtsbedingungen f¨ ur den Rahmenteil außeren Lasten ausdr¨ uckbar. Letztere enthalten von M0 , FQ0 , FL0 und den ¨ die gegebenen ¨ außeren Lasten und die statisch bestimmten Lagerreaktionen als schon berechnete lineare Funktionen der gegebenen a¨ußeren Lasten. Die Schnittreaktionen M0 , FQ0 und FL0 stellen statisch Unbestimmte des als dreifach innerlich statisch unbestimmt bezeichneten Tragwerkes dar. Die Verzerrungsenergie der Tragwerksteile ist dann eine Funktion der ¨außeren Lasten F und M sowie der statisch Unbestimmten M0 , FQ0 und FL0 : U1 = U1 (F, M, M0 , FQ0 , FL0 ) ,

U2 = U2 (F, M, M0 , FQ0 , FL0 ) .

(7.35)

Die einzuhaltende Stetigkeit der Verformungen an der Stelle 0 erfordert die Gleichheit der Verformungen des Teils 1jund des Teils 2jan der Stelle 0, d. h. wegen der entgegengesetzten Orientierungen der Schnittreaktionen von Teil 1jund 2j, ∂U2 ∂U1 =− , ∂M0 ∂M0

∂U1 ∂U2 =− , ∂FQ0 ∂FQ0

∂U1 ∂U2 =− ∂FL0 ∂FL0

(7.36)

bzw. wegen der Zusammensetzung der gesamten Energie gem¨aß U = U1 + U2 , ∂U =0, ∂M0

∂U =0, ∂FQ0

∂U =0. ∂FL0

(7.37)

(7.38a,b,c)

Das Gleichungssystem (7.38) wird zur Berechnung der statisch Unbestimmten M0 , FQ0 und FL0 benutzt. Als Demonstration betrachten wir den durch ein Einzelmoment MC an der Ecke C belasteten Rahmen nach Bild 7.13. Die Biegesteifigkeit sei EI. Die Anwendung der Gleichgewichtsbedingungen auf den ¨außerlich statisch bestimmten Rahmen ergibt die eingetragenen Lagerkr¨afte. Ein m¨oglicher zweckm¨ aßiger Teilschnitt an der rechten oberen Rahmenecke f¨ uhrt auf die drei statisch unbestimmten Schnittreaktionen M0 , Fh0 und Fv0 , wobei die Kr¨ afte sowohl als L¨ angs- als auch als Querkr¨ afte agieren. Wir ber¨ ucksichtigen nur Biegeanteile in der Verzerrungsenergie und stellen die Momentenverl¨aufe in vier Bereichen nebst deren Ableitungen nach den statisch Unbestimmten in einer Tabelle zusammen.

162

7. Energiemethoden 2a

Fv0 MC

MC

M0

Fh0

C

M0 Fh0

z3 z1

z4

a

Fv0

z2 MC 2a

MC 2a

0,481

0,281

0,519

Mi MC 0,148

0,052

Bild 7.13. Geschlossener Rahmen unter Einzelmoment

i 1

Mi M0 − Fh0 z1

M

C



∂Mi ∂M0

∂Mi ∂Fh0

∂Mi ∂Fv0

Grenzen

1

−z1

0

0, a

1

−a

−z2

0, 2a

2

M0 − Fh0 a −

3

M0 − Fv0 z3

1

0

−z3

0, 2a

4

M0 − Fv0 2a − Fh0 z4 − MC

1

−z4

−2a

0, a

2a

+ Fv0 z2

Die Auswertung von (7.38) ergibt das Gleichungssystem ∂U =0, ∂M0

∂U =0, ∂Fh0

∂U =0 ∂Fv0

mit den Koeffizienten M0 a 1+2+2+1 1 1 − −2− 2 2 4 4 − − −2 2 2

Fh0

Fv0

MC a

1 1 − −2− 2 2 1 1 +2+ 3 3 4 2 + 2 2

4 4 − − −2 2 2 4 2 + 2 2 8 8 + +4 3 3

4 − −1 4 4 1 + 4 2 8 +2 6

7.5

Anwendungsf¨ alle

163

Das inhomogene Gleichungssystem besitzt erwartungsgem¨aß wieder eine symmetrische Koeffizientenmatrix. Seine L¨ osung lautet: M0 = −

59 MC , 210

Fh0 = −

3MC , 7a

Fv0 = −

2MC . 5a

In Bild 7.13 ist noch der Biegemomentenverlauf angegeben. Der maximale Betrag des Biegemomentes tritt neben der Lasteinleitungsstelle (im Bereich 3 f¨ ur z3 → 2a) auf und hat den Wert |Mb max | = 0, 519MC . Beispiel 7.4 Man bestimme die Schnittreaktionen M0 , Fh0 und Fv0 des Rahmens von Bild 7.13 mittels des Satzes von CASTIGLIANO unter Ausnutzung der geometrischen Symmetrie. L¨osung: Die Gesamtbelastung zerf¨ allt gem¨ aß Bild 7.14a in eine symmetrische Teilbelastung (S) und eine antisymmetrische Teilbelastung (A). MC 2

MC

MC 2

MC 2

= MC 2a

MC 2

+

MC 2a

MC 2a

S

MC 2a

A

a) MC 2

MS FS

z2

z1

z1

S

b)

MS

z2

A z3

FS

MC 2

FA

MC aFS 2

MC + FA 2a c)

z3 MC 2a

Bild 7.14. Zerlegung der Belastung

Die Schnittmomente und ihre Ableitungen f¨ ur den symmetrischen Belastungsanteil ergeben gem¨ aß Bild 7.14b die nachfolgende Tabelle.

164

7. Energiemethoden

i

Mi

∂Mi ∂MS

∂Mi ∂FS

Grenzen

1

MS

1

0

0, a

1

−z2

0, a

1

−a

0, a

2 3

MC − FS z2 MS − 2 MC − FS a MS − 2

und nach (7.38) das Gleichungssystem  MC

1 a  ∂U MS (1 + 1 + 1) − FS a + 1 − (1 + 1) = 0 , =2 ∂M0 EI 2 2   MC 1 

1

1 ∂U a2  MS − − 1 + FS a + 1 + +1 =0 =2 ∂FS EI 2 3 2 2 mit der L¨ osung FS = −3MC /(7a) und MS = 5MC /42. Der antisymmetrische Belastungsanteil entsprechend Bild 7.14c liefert die Tabelle i 1 2 3

Mi FA z1 MC FA a + 2 MC MC − z3 FA (a − z3 ) + 2 2a

∂Mi ∂FA

Grenzen

z1

0, a

a

0, a

a − z3

0, a

und nach (2.38b) die Gleichung

1 2 1  MC  2 1  ∂U a2  FA a + 1 + 1 − + + 1+1− + =0 =2 ∂FA EI 3 2 3 2 2 3 mit der L¨ osung FA = −2MC /(5a). Aus den Bildern 7.13 und 7.14 folgen Fh0 = FS , Fv0 = FA und M0 = MS + aFA = (5/42 − 2/5)MC = −59MC /210, d. h. die Best¨atigung des vorher ermittelten Ergebnisses. Erg¨ anzend sei angemerkt, dass das symmetrische Teilproblem aus Bild 7.14a in ein zweifach symmetrisches und ein symmetrisch/antisymmetrisches Unterteilproblem zerlegt werden k¨ onnte. Alle drei Teilaufgaben w¨aren dann nur einfach innerlich statisch unbestimmt. Wir u ¨ berlassen dem Leser die Ausf¨ uhrung dieses Ansatzes und den Vergleich des Ergebnisses mit der vorliegenden L¨ osung. 

7.5

Anwendungsf¨ alle

165

Beispiel 7.5 Der Kreisringrahmen nach Bild 7.15 ist durch die Kraft F belastet. Seine Biegesteifigkeit betrage EI. Es gilt b  R. MB F 2

B R O

R

C

O b

MC F 2

F Bild 7.15. Kreisringrahmen unter Einzelkraft

Gesucht werden Gr¨ oße und Ort des maximalen Biegemomentenbetrages sowie die Verschiebung vF des Kraftangriffspunktes. L¨osung: Wegen der Doppelsymmetrie des Tragwerkes einschließlich Belastung reicht es aus, nur einen Viertelkreis des Rahmens zu betrachten (Bild 7.15). An der Stelle C erzeugt die ¨ außere Kraft F wegen der Symmetrie zur vertikalen Achse OB eine L¨ angskraft von der Gr¨ oße F/2. Auf der horizontalen Symmetrieachse OC verschwindet die Querkraft. Es verbleibt als statisch Unbestimmte allein das Schnittmoment MC . Wir ber¨ ucksichtigen nur Biegeenergie. Das Biegemoment an der Stelle ϕ sowie seine partiellen Ableitungen nach MC und F ergeben sich zu M = MC −

F R(1 − cos ϕ) , 2

∂M =1, ∂MC

R ∂M = − (1 − cos ϕ) . ∂F 2

Die Auswertung von (7.38a) liefert f¨ ur vier Viertelkreise ∂U =4 ∂MC ∂U =4 ∂F

π/2 0

π/2 0

 FR π M ∂M π 4R  MC + − +1 =0 , Rdϕ = EI ∂MC EI 2 2 2

 FR 4R2  MC  π M ∂M Rdϕ = − +1 + EI ∂F EI 2 2 4

π/2

2 1 − cos ϕ dϕ . 0

Aus der ersten Gleichung folgt 1 1 MC = F R − = 0, 1817F R = M (0) 2 π

166

7. Energiemethoden

und damit M (π/2) = −0, 3183F R. Wegen des monotonen Momentenverlaufes tritt der maximale Biegemomentenbetrag |M |max = |M (π/2)| = 0, 3183F R am Lager B auf. Die Verschiebung des Kraftangriffspunktes vF =

∂U ∂F

folgt aus der zweiten Gleichung und dem Ergebnis f¨ ur MC zu  π F R3 4R2 MC  π  F R  π F R3  π 2  vF = − +1 + −2+ − = 0, 1488 . = EI 2 2 4 2 4 EI 4 π EI  7.5.2 Ber¨ ucksichtigung von Biegung und Torsion H¨ aufig unterliegen ebene Tragwerke einer r¨ aumlichen Belastung, die zu Biegeund Torsionsbeanspruchungen des Tragwerkes f¨ uhrt. Eine solche Situation ist f¨ ur den abgewinkelten Balken von Bild 7.16 gegeben, an dem eine Einzelkraft F senkrecht zur Tragwerksebene angreift. b GIt

z2 EI

EI

a z1 vF ,F

vx

vy Bild 7.16. Abgewinkelter Balken r¨ aumlich belastet

Die Biegesteifigkeit EI und die Torsionssteifigkeit GIt seien bekannt. Gesucht wird die Verschiebung des Kraftangriffspunktes. Zun¨ achst ist festzustellen, dass der Verschiebungsvektor des Kraftangriffspunktes die drei Vektorkoordinaten vx , vy und vF besitzen k¨onnte. Hilfskr¨afte in Richtung von vx und vy erzeugen jedoch keine Verschiebung in Richtung von vF , so dass wegen der Symmetrie der Einflusszahlen auch F keine Verschiebung in Richtung von vx und vy verursacht. Es verbleibt also nur die Verschiebung vF in Richtung von F .

7.5

Anwendungsf¨ alle

167

Die erforderlichen Schnittmomente f¨ ur Biegung Mb und Torsion Mt sowie die dazugeh¨ origen Ableitungen nach der Kraft F sind: Mb1 = F z1 ,

∂Mb1 = z1 , ∂F

Mb2 = F z2 ,

∂Mb2 = z2 , ∂F

Mt2 = F a ,

∂Mt2 =a. ∂F

Die Auswertung von (7.28) liefert ∂U vF = = ∂F

a 0

Mb1 ∂Mb1 dz1 + EI ∂F

b  0

Mb2 ∂Mb2 Mt2 ∂Mt2  + dz2 EI ∂F GIt ∂F

F b3 F a2 b F a3 F F a2 b + + (a3 + b3 ) + = = . 3EI 3EI GIt 3EI GIt Beispiel 7.6 Ein eingespannter Viertelkreisbalken mit den Steifigkeiten f¨ ur Biegung EI und Torsion GIt ist durch eine senkrecht auf der Viertelkreisebene stehende Kraft F belastet (Bild 7.17). Seine Querschnittsabmessungen seien wesentlich kleiner als sein Kr¨ ummungsradius a. EI, GIt M t FQ Mb

a

a F

F

Bild 7.17. R¨ aumlich belasteter Viertelkreisbalken

Gesucht ist die Verschiebung vF des Kraftangriffspunktes. L¨osung: Nach Freischnitt ergeben sich die Schnittmomente und ihre Ableitungen Mb = −F a sin ϕ ,

∂Mb = −a sin ϕ , ∂F

Mt = F a(1 − cos ϕ) ,

∂Mt = a(1 − cos ϕ) . ∂F

168

7. Energiemethoden

Die Auswertung von (7.28) f¨ ur Biegung und Torsion liefert ∂U = vF = ∂F

π/2 0

F a3 F a3 sin2 ϕ + (1 − cos ϕ)2 dϕ EI GIt

 F a3  π EI  3π = + −2 . EI 4 GIt 4 Verschiebungen in anderen Richtungen als die der Kraft F treten wie bei der Anordnung von Bild 7.16 nicht auf.  7.5.3 L¨ angskrafteinfluss Bei Fachwerken bestehen die Schnittreaktionen allein aus L¨angskr¨aften. Bild 7.18 zeigt ein einfaches Fachwerk, dessen St¨abe die L¨angssteifigkeit EA besitzen und das durch die Einzelkraft F belastet ist.

1

2

FS2

a

45°

FS3

FS1 F

3 F Bild 7.18. Fachwerk mit Einzelkraftbelastung

Gesucht sind die Stabkr¨ afte. Freimachen des Knotens weist auf drei Stabkr¨ afte und folglich auf einfach statische Unbestimmtheit hin. Wir w¨ahlen die Stabkraft FS2 als statisch Unbestimmte. Die Knotengleichgewichtsgleichungen √ √ 2 2 ↑ : FS2 + FS1 = 0 , ← : FS3 + FS2 −F =0 2 2 liefern die Stabkr¨ afte in Abh¨ angigkeit von der gegebenen ¨außeren Kraft F und der gew¨ ahlten statisch Unbestimmten FS2 . Die Stabkr¨afte, ihre Ableitungen nach der statisch Unbestimmten FS2 und die Stabl¨angen werden in einer Tabelle zusammengefasst.

7.5

Anwendungsf¨ alle

169

i

∂FSi FS2 √ 2 − 2

FSi √ 2 FS2 − 2

1 2

FS2 F−

3

√

2 FS2 2

Stabl¨ange a √ 2a

1 √ 2 − 2

a

Die Auswertung von entweder (7.34) oder (7.38c) zusammen mit (7.24) und (7.27) ergibt √ 3   √ ∂U 1 li FSi ∂FSi 2 a 1 FS2 + 2FS2 − F + FS2 = 0 , = = ∂FS2 EA ∂FS2 EA 2 2 2 i=1 √ 2F √ . FS2 = 2(1 + 2) Einsetzen dieses Ergebnisses in die Knotengleichgewichtsgleichungen f¨ uhrt auf √ F 1+2 2 √ , FS3 = − √ F . FS1 = − 2(1 + 2) 2(1 + 2)

Beispiel 7.7 Der eingespannte Balken von Bild 7.19 hat die Biegesteifigkeit EI und sei durch einen elastischen Stab mit der L¨ angssteifigkeit EA gest¨ utzt. Gesucht ist die Stabkraft. a q

q

Mb

FG

G EI

b

EA

FB

z

FG

C

FG

Bild 7.19. Eingespannter Balken mit elastischer St¨ utze

L¨osung: Freischnitt von Balken und Stab weisen auf einfach statische Unbestimmtheit hin. Wir w¨ ahlen FG als statisch Unbestimmte. Das Schnittmoment Mb im

170

7. Energiemethoden

Balken und seine Ableitung nach FG sind q Mb = FG z − z 2 , 2

∂Mb =z . ∂FG

Die Auswertung von (7.34) oder (7.38c) zusammen mit (7.21), (7.24) und (7.27) liefert ∂U = ∂FG

a 0

a3  1 Mb ∂Mb FG b 1  FG b = FG − qa + =0 dz + EI ∂FG EA EI 3 8 EA

und folglich FG =

3 qa · 8

1 . 3I b 1+ 2 · a A a

Das Ergebnis f¨ uhrt f¨ ur 3Ib/(a3 A) → 0 auf den bekannten Wert der Anordnung nach Bild 7.8. 

Kapitel 8 Elastostatische Stabilit¨ atsprobleme

8

8 8.1

8

8.1.1 8.1.2 8.1.3 8.2 8.3 8.3.1 8.3.2 8.3.3 8.3.4

Elastostatische Stabilit¨ atsprobleme Gleichgewichtsarten konservativer Systeme vom Freiheitsgrad 1 .............................................................. Verzweigung und Stabilit¨at der Gleichgewichtsl¨ osungen . Imperfektionseinfluss ............................................ Durchschlagproblem ............................................. Diskrete konservative Systeme von h¨ oherem Freiheitsgrad Knicken elastischer St¨abe ...................................... Gelenkig gelagerter Knickstab ................................. Beiderseitig eingespannter Knickstab ........................ Knickst¨abe mit mehreren Bereichen.......................... Begrenzung der elastischen Theorie infolge Plastizit¨at ...

173 178 185 191 193 194 195 204 207 209

8 Elastostatische Stabilit¨ atsprobleme Bei allen bisher er¨ orterten Problemen lag den Gleichgewichtsbedingungen der betrachteten K¨ orper n¨ aherungsweise der unverformte Ausgangszustand zugrunde. Einfache Beispiele weisen darauf hin, dass K¨orper ihre Gleichgewichtslage bei geringf¨ ugiger Verletzung der statischen Bilanzen verlassen k¨ onnen, wobei sie ihre Tragf¨ ahigkeit verlieren. F¨ ur das Verst¨andnis dieser bedeutsamen Erscheinung muss die lastbedingte Lage¨anderung, welche Starrk¨ orperverschiebungen und Verformungen der K¨ orper umfasst, in den statischen Bilanzen ber¨ ucksichtigt werden. Wir erl¨ autern dies zun¨achst an Beispielen diskreter konservativer Systeme vom Freiheitsgrad 1. Solche Systeme bestehen aus einem starren K¨ orper, der kinematisch und elastisch mit der Umgebung verbunden ist. Außerdem wechselwirkt der K¨orper u ¨ber konservative Lasten mit der Umgebung. Konservative Lasten besitzen, wie schon in Abschnitt 2.6 erkl¨ art, ein Potenzial, das der potenziellen Energie gleicht, welche bei der Arbeitsverrichtung durch die jeweilige konservative Last gespeichert wird. Es existiert deshalb immer die grunds¨atzliche M¨oglichkeit der mathematischen Umrechnung zwischen konservativen Lasten und ihrem Potenzial bzw. umgekehrt. Die an den diskreten konservativen Systemen vom Freiheitsgrad 1 gewonnenen Erkenntnisse werden anschließend partiell auf diskrete Systeme mit h¨ oherem Freiheitsgrad und kontinuierliche Systeme verallgemeinert.

8.1 Gleichgewichtsarten konservativer Systeme vom Freiheitsgrad 1 Wir betrachten einf¨ uhrend zun¨ achst einen starren homogenen Stab, dessen im Stabschwerpunkt S angreifende, vertikal nach unten gerichtete konstante Eigengewichtskraft FG von einem gelenkigen Lager B aufgenommen wird, so dass sich der Stab bei vertikaler Anordnung im Gleichgewicht befindet (Bild 8.1a, c). Wird der stehende Stab (Bild 8.1a) aus seiner vertikalen Lage um den kleinen Winkel ϕ ausgelenkt (Bild 8.1b), so kann zwar noch die vertikale Kr¨aftebilanz ullt werden, nicht aber die Momentenbilanz. Es verbleibt mit FBv = FG erf¨ wegen des nicht ausgeglichenen Kr¨ aftepaares nach Bild 8.1b das Moment FG xS = FG (l/2) sin ϕ, das offensichtlich eine Vergr¨oßerung des Winkels ϕ verursacht. Der stehende Stab entfernt sich also bei einer geringf¨ ugigen geometrischen St¨ orung der Gleichgewichtslage von dieser Lage. Eine solche Gleichgewichtslage heißt instabil oder labil.

8.1

174

8. Elastostatische Stabilit¨ atsprobleme FBv B FBh y l

yS

S

l 2

l 2

y

S

S

S

yS

FG B

FG

FBh

x

xS

xS

x

FBv a)

b)

c)

d)

Bild 8.1. Verschiedene Gleichgewichtsarten eines Stabes

Bei der h¨ angenden Gleichgewichtsanordnung des Stabes (Bild 8.1c) f¨ uhrt eine kleine Auslenkung ϕ (Bild 8.1d) zu dem nichtausgeglichenen r¨ ucktreibenden Moment FG xS = FG (l/2) sin ϕ. Wie die Anschauung bzw. die hier nicht ausgef¨ uhrte L¨ osung des kinetischen Problems zeigt, schwingt dann der Stab als Pendel mit kleiner Amplitude um die Ausgangslage, bleibt also in der N¨ ahe der Ausgangsanordnung. Eine Gleichgewichtslage dieser Art wird als stabil bezeichnet. Die Eigenschaft der nichtausgeglichenen Last, den Stab von der betrachteten Gleichgewichtslage zu entfernen oder ihn dahin zur¨ uckzubewegen und dort zu belassen, kann, wenn diese Last wie im vorliegenden Fall konservativ ist, d. h. ein Potenzial besitzt, auch energetisch ausgedr¨ uckt werden. Hierf¨ ur benutzen wir ein kartesisches Bezugssystem mit den Koordinaten x und y. Der Ursprung des Bezugssystems wird zweckm¨ aßig in den Fußpunkt der vertikalen Stabanordnung gem¨ aß Bild 8.1 gelegt. Außer den kartesischen Koordinaten f¨ uhren wir noch eine Winkelkoordinate ϕ ein, die in der stehenden Anordnung (Bild 8.1b) im Uhrzeigersinn und in der h¨angenden Anordnung (Bild 8.1d) entgegen dem Uhrzeigersinn gez¨ ahlt wird. Die Arbeit W bei Verschiebung des Stabschwerpunktes S in Richtung der agt in der Anordnung von Bild 8.1 Koordinate y von y = 0 bis y = yS betr¨ yS FG dy = −FG yS .

W =−

(8.1)

0

Hier wurde ber¨ ucksichtigt, dass die in Betrag und Richtung konstante Gewichtskraft FG eine entgegengesetzt zur Koordinate y gerichtete Orientierung besitzt. Eine konstante Kraft ist immer konservativ, denn die Arbeit (8.1) der angt nur von der Lagekoordinate yS des Kraftangriffskonstanten Kraft FG h¨ punktes ab und nicht von der Art des Weges, den der Kraftangriffspunkt

8.1

Gleichgewichtsarten konservativer Systeme vom Freiheitsgrad 1

175

zwischen Anfangs- und Endpunkt des Weges durchl¨auft. Das Potenzial zu der Arbeit (8.1) gen¨ ugt der Definition V = −W = FG yS .

(8.2)

F¨ ur die stehende Anordnung (Index s) nach Bild 8.1a, b ist das Potenzial   l 2 l (8.3) − x2S = FG cos ϕ . Vs = FG yS = FG 2 2 Vs FG

Vh FG l

l/2 a)

l/2

xS

xS b)

Bild 8.2. Potenzielle Energie als Potenzialgebirge

Das normierte Potenzial Vs /FG = yS ergibt eine Kreisgleichung mit dem Radius l/2 und dem Mittelpunkt im Koordinatenursprung. Es kann als Potenzialgebirge u ¨ ber der Grundrisskoordinate xS veranschaulicht werden (Bild 8.2a). Eine auf dem Potenzialberg von Bild 8.2a, dem relativen Maximum des Potenzials, angeordnete Kugel rollt nach einer kleinen Lagest¨orung, die auch durch eine geringf¨ ugige Anfangswinkelgeschwindigkeit der massebehafteten Kugel verursacht werden kann, den Potenzialhang hinab und entfernt sich von der Ausgangslage. Diese Kugel ist analog zu dem gem¨aß Bild 8.1a im Gleichgewicht befindlichen Stab. Im Fall der h¨ angenden Anordnung (Index h) nach Bild 8.1c, d ist das Potenzial der Gewichtskraft    

l 2 1 (8.4) − x2S = FG l 1 − cos ϕ . Vh = FG yS = FG l − 2 2 Das normierte Potenzial Vh /FG = yS gen¨ ugt einer Kreisgleichung mit dem Radius l/2 und dem Mittelpunkt bei yS = l (Bild 8.2b). Eine in der Potenzialmulde, dem relativen Minimum des Potenzials, positionierte Kugel rollt nach einer Lagest¨ orung, die wiederum auch durch eine geringf¨ ugige Anfangswinkelgeschwindigkeit der Kugel verursacht werden kann, zur¨ uck und schwingt um die Ausgangslage, bleibt also in der n¨ aheren Umgebung der Ausgangslage. Diese Kugel ist analog zu dem im Gleichgewicht befindlichen h¨angenden Stab.

176

8. Elastostatische Stabilit¨ atsprobleme

Die M¨ oglichkeit, verschiedene Arten des Gleichgewichts durch die Lage einer im Potenzialgebirge beweglichen Kugel zu charakterisieren, dr¨ ucken wir jetzt mathematisch etwas allgemeiner aus. Der Charakter der Potenziale (8.3) und (8.4) in der Umgebung einer Gleichgewichtslage wird durch das Verhalten seines Zuwachses ΔV bez¨ uglich der Lagekoordinate beschrieben. Wir benutzen statt der Grundrisskoordinate xS = (l/2) sin ϕ den Winkel ϕ als m¨ogliche, mit der Kinematik des Systems vertr¨ agliche Lagekoordinate und die Definitiucksicht auf on d()/dϕ = () . Damit ergibt sich der Potenzialzuwachs ohne R¨ Erf¨ ullung des Gleichgewichtes als TAYLOR-Reihenentwicklung (TAYLOR, 1685-1731) um eine bei ϕ = ϕ0 angenommene Gleichgewichtslage zu ΔV = V (ϕ0 +Δϕ)−V (ϕ0 ) = V0 Δϕ+

1  V (Δϕ)2 +. . . , 2! 0

|Δϕ|  1, (8.5)

wobei der Index 0“ die Einsetzung des Argumentes ϕ = ϕ0 nach Bildung ” der Ableitung bezeichnet. Die Gleichgewichtslage ϕ = ϕ0 ist zun¨achst noch nicht bekannt. Sie kann aber, wie Bild 8.2 zeigt, durch Nullsetzen der ersten Ableitung des Potenzials V (xS ) nach der Grundrisskoordinate xS bestimmt werden. An den Stellen, wo das Potenzial diese Bedingung erf¨ ullt, hier xS = 0, heißt es station¨ ar. Die anschauliche Stationarit¨atsforderung an das Potenzial ur xS (ϕ) = 0 durch die Ableitung wird mit V  (ϕ) = xS (ϕ)dV (xS )/dxS f¨  uckt. V (ϕ) nach der rechnerisch bequemeren Lagekoordinate ϕ ausgedr¨ Im Fall der stehenden Anordnung gem¨ aß Bild 8.1a ist die erste Ableitung des Potenzials (8.3) nach der Lagekoordinate ϕ l Vs = −FG sin ϕ . 2 Sie stellt offensichtlich auch das nichtausgeglichene Moment des Kr¨aftepaares (FG l/2) sin ϕ dar. Das Verschwinden der Potenzialableitung bzw. des Momentes zeigt die Gleichgewichtslage an: Vs = 0 ,

sin ϕ = 0 ,

ϕ = ϕ0 = 0 ,

 Vs0 =0.

(8.6)

ullt. Die Das Gleichgewicht ist hier nur f¨ ur einen speziellen Wert ϕ = ϕ0 erf¨ zweite Ableitung des Potenzials l Vs = −FG cos ϕ 2  hat bei ϕ = ϕ0 = 0 den Wert Vs0 = −FG l/2. Damit ergibt sich der Potenzialzuwachs (8.5) in zweiter Ordnung zu

1 ΔVs ≈ − FG l(Δϕ)2 < 0 . 4

(8.7)

8.1

Gleichgewichtsarten konservativer Systeme vom Freiheitsgrad 1

177

Der Nichtgleichgewichtszustand in Nachbarschaft der instabilen Gleichgewichtslage nach Bild 8.1a bzw. Bild 8.2a geht also mit einem negativen Potenzialzuwachs einher. F¨ ur die h¨ angende Anordnung nach Bild 8.1c, d bzw. Bild 8.2b ergeben sich gem¨ aß der ersten und zweiten Ableitung von (8.4) nach der Winkelkoordinate l Vh = FG sin ϕ , 2

l Vh = FG cos ϕ 2

die Gleichgewichtslage mit Vh = 0 ,

sin ϕ = 0 ,

ϕ = ϕ0 = 0 ,

 Vh0 =0

(8.8)

und der Potenzialzuwachs (8.5) in zweiter Ordnung ΔVh ≈

1 FG l(Δϕ)2 > 0 . 4

(8.9)

Der Nichtgleichgewichtszustand in Nachbarschaft der stabilen Gleichgewichtslage gem¨ aß Bild 8.1c bzw. Bild 8.2b ist demnach mit einem positiven Potenzialzuwachs verbunden. In den Anordnungen nach Bild 8.1 muss die Beschr¨ankung auf |ϕ|  1 nicht eingehalten werden. Insofern bedeutet ϕ = ±2nπ, n = 1, 2, 3, . . . eine Wiederholung des schon Vorhandenen, w¨ ahrend ϕ = ±nπ, n = 1, 3, 5, . . . die stehende mit der h¨ angenden Anordnung austauscht. ¨ Die obigen Uberlegungen sind wie folgt zusammenzufassen. Bei diskreten konservativen Systemen, deren Anordnung durch nur eine Lagekoordinate beschrieben wird, f¨ uhrt ein station¨ arer Wert der potenziellen Energie in der Lagekoordinate auf die dazugeh¨ orige Gleichgewichtsbedingung des Systems. Eine Gleichgewichtslage, f¨ ur die die potenzielle Energie ein relatives Minimum besitzt, ist stabil, bei einem relativen Maximum labil. Die Pr¨ ufung der Art des Extremums erfolgt u ¨ ber das Vorzeichen des Potenzialzuwachses bez¨ uglich des Lagekoordinatenzuwachses ohne R¨ ucksicht auf Erf¨ ullung der Gleichgewichtsbedingung. K¨ unftig wollen wir unter Extrema relative Extrema verstehen. Im Folgenden betrachten wir Modelle einfacher technischer Anordnungen, in denen neben dem Potenzial der konstanten ¨außeren Last diskrete elastische Federpotenziale vorkommen. F¨ ur die vollst¨andige Beschreibung der dann m¨ oglichen Gleichgewichtslagen ist die Ber¨ ucksichtigung der Verformung in der Gleichgewichtsbedingung zwingend erforderlich. Dadurch entsteht eine gegen¨ uber der fr¨ uher behandelten linearen Theorie zur Berechnung von Spannungen und Verzerrungen qualitativ neue nichtlineare Problemklasse, die solche kritischen Ph¨ anomene wie Mehrdeutigkeit und Instabilit¨at der L¨osungen offenbart.

178

8. Elastostatische Stabilit¨ atsprobleme

8.1.1 Verzweigung und Stabilit¨ at der Gleichgewichtsl¨ osungen ¨ Wir setzen die vorangegangenen Uberlegungen fort und untersuchen jetzt die Gleichgewichtslagen des nach Bild 8.3 bei D elastisch eingespannten starren Stabes, der durch eine richtungstreue ¨ außere Kraft F belastet ist. Wird der Stab um den Winkel ϕ ausgelenkt, verschiebt sich der Kraftangriffspunkt um den Koordinatenwert y = l(1−cos ϕ). Dabei soll die Kraft F f¨ ur jeden Winkel ϕ die vertikale Kr¨ aftebilanz und die Momentenbilanz des Stabes erf¨ ullen. Ersteres ist in der Freischnittskizze von Bild 8.3 bereits ber¨ ucksichtigt worden. Wegen der Befriedigung der noch anzugebenden Momentengleichgewichtsbedingung h¨ angt die Kraft F , welche als Gleichgewichtskraft bezeichnet wird, vom Winkel ϕ ab. lsin

F

F l(1- cos ) y

l

l

lcos

D D

F MT

Bild 8.3. Elastisch eingespannter Stab unter richtungstreuer Kraft

Von der Gleichgewichtskraft F i. Allg. verschieden ist eine als konstant vorausgesetzte ¨ außere Kraft F a , welche dieselbe Orientierung und denselben Angriffspunkt wie die Gleichgewichtskraft F besitzt. Zu ihr geh¨ort das ¨außere Potenzial V a = −F a y = −F a l(1 − cos ϕ) .

(8.10)

Das Minuszeichen in (8.10) weist darauf hin, dass das Potenzial V a der außeren Kraft F a mit zunehmendem y abnimmt. Als Beispiel f¨ ur die ¨außere ¨ Kraft F a kann die Schwerkraft eines massebehafteten K¨orpers dienen, dessen Schwerpunkt sich am oberen Ende des Stabes von Bild 8.3 befindet. Das innere Potenzial V i des Systems ist durch die Energiespeicherf¨ahigkeit der Feder bei D gegeben. Die Feder sei durch einen nichtlinearen Zusammenhang zwischen dem Moment MT und dem Winkel ϕ mit den Eigenschaften MT (ϕ) = c1 ϕ + c2 ϕ2 + c3 ϕ3 ,

c1 > 0 ,

MT (ϕ) > 0

(8.11)

8.1

Gleichgewichtsarten konservativer Systeme vom Freiheitsgrad 1

179

charakterisiert. Das Federpotenzial des auf die Feder mit der Orientierung ϕ wirkenden Momentes ist damit ϕ i

V =

MT (ϕ)d ¯ ϕ¯ .

(8.12)

0

Das gesamte Potenzial V folgt aus der Summe der Teilpotenziale ϕ a

MT (ϕ)d ¯ ϕ¯ − F a l(1 − cos ϕ) .

i

V =V +V =

(8.13)

0

Seine Ableitung nach der Lagekoordinate ϕ ist V  = MT (ϕ) − F a l sin ϕ .

(8.14)

Nullsetzen der Ableitung liefert die in ϕ ausgedr¨ uckte Gleichgewichtsgleichung MT (ϕ) − F l sin ϕ = 0 ,

(8.15)

in der jetzt die Gleichgewichtskraft F als Funktion der Lagekoordinate ϕ anstelle der konstanten a ¨ußeren Kraft F a auftritt. Die Beziehung (8.15) kann auch unmittelbar als Momentenbilanz aus Bild 8.3 abgelesen werden. Der Zusammenhang zwischen der Gleichgewichtslast F und der Lagekoordinate ϕ ist, anders als bei den bisher betrachteten elastischen Systemen der vorausgegangenen Kapitel, nichtlinear. Bei der Auswertung von (8.15) sind zwei F¨ alle zu unterscheiden. Wegen (8.11) stellt ϕ=0

(8.16)

eine L¨ osung von (8.15) dar. Die zweite L¨ osung beschr¨anken wir auf betragsm¨ aßig kleine Winkel, d. h. ϕ = 0 ,

|ϕ|  1 .

(8.17)

Die Gleichgewichtskraft F aus (8.15) ist dann mit (8.11), sin ϕ ≈ ϕ − ϕ3 /6 und der Definition der kritischen Kraft Fc = c1 /l 1+ F ≈

c2 c3 ϕ + ϕ2 c1 c1 Fc . 1 − ϕ2 /6

(8.18)

Zur Illustration von (8.18) betrachten wir drei Sonderf¨alle der Konstanten in (8.11):

180

8. Elastostatische Stabilit¨ atsprobleme

a) c2 = c3 = 0 (lineare Kennlinie), F =

 ϕ2  Fc ≈ 1 + Fc , 1 − ϕ2 /6 6

(8.19)

siehe Bild 8.4a, b) c2 = 0 , c3 = −c1 < 0 (kubische Kennlinie), F =

 1 − ϕ2 ϕ2 5 2 2 F )F ϕ Fc , ≈ (1 − ϕ )(1 + ≈ 1 − c c 1 − ϕ2 /6 6 6

(8.20)

siehe Bild 8.4b, c) c2 = +c1 , c3 = 0 (quadratische Kennlinie), ϕ2 1+ϕ Fc ≈ (1 + ϕ)(1 + )Fc ≈ (1 + ϕ)Fc , 2 1 − ϕ /6 6

F =

(8.21)

siehe Bild 8.4c. F

¢ Fc

2

F

F

Fc

Fc

¢ F3 ¢F1 ¢

3

1 V

2

3

1 V

Fc

1

3

V Fc

F

a

N

Fc F

a)

2

Fa

a

b)

c)

Bild 8.4. Gleichgewichtsarten der Anordnung aus Bild 8.3, Instabilit¨ at auf Strichellinien;

der Pfeil f¨ ur die Kraft F a zeigt deren Zunahme an

Wie dem Bild 8.4a zu entnehmen ist, verliert die Umkehrfunktion der Gleichgewichtsl¨ osung F (ϕ) des Falles a) oberhalb von F = Fc ihre Eindeutigkeit. Man spricht von L¨ osungsverzweigung an dem kritischen Punkt ϕ = ϕc = 0, F = Fc , der ein Verzweigungspunkt ist. Die Kraft Fc heißt Verzweigungslast. F¨ ur einen Wert F > Fc liegen drei verschiedene Gleichgewichtslagen mit den Winkeln ϕ1 , ϕ2 und ϕ3 vor. Im Fall b) nach Bild 8.4b existieren mit F < Fc drei verschiedene Winkel ϕ1 , ϕ2 und ϕ3 .

8.1

Gleichgewichtsarten konservativer Systeme vom Freiheitsgrad 1

181

Die Anordnung c) gestattet gem¨ aß Bild 8.4c f¨ ur F < Fc zwei verschiedene Winkel ϕ1 und ϕ2 sowie f¨ ur F > Fc zwei verschiedene Winkel ϕ1 und ϕ3 . F¨ ur technische Zwecke wird gefordert, die Gleichgewichtsl¨osungen zu ermitteln, welche gegen¨ uber einer St¨ orung stabil sind. Hierzu betrachten wir zun¨ achst in Bild 8.4a die mit dem Symbol “ gekennzeichnete ¨außere Kraft ” F a und bilden die Nichtgleichgewichtskraft ΔF1 = F a − F (ϕ1 + Δϕ) > 0

(8.22)

infolge einer geringf¨ ugigen geometrischen St¨ orung Δϕ der Gleichgewichtslage 1. Gem¨ aß (8.22) sowie Bild 8.3 vergr¨ oßert sie den Winkel ϕ, so dass eine Entfernung von der Gleichgewichtslage 1 und anschließend eine Ann¨aherung an die Gleichgewichtslage 3 stattfindet. außere Kraft F a f¨ uhrt auf die NichtDie mit “ in Bild 8.4a gekennzeichnete ¨ ” gleichgewichtskraft ΔF3 = F a − F (ϕ3 + Δϕ) < 0 .

(8.23)

Letztere verursacht nach Bild 8.3 eine Winkelverkleinerung und deshalb zun¨ achst eine Ann¨ aherung an die Gleichgewichtslage 3. Der Stab schwingt aber u ¨ ber die Gleichgewichtslage 3 hinaus zu einer Nichtgleichgewichtsposition links von der Gleichgewichtslage 3. Die dabei entstehende Nichtgleichgewichtskraft ist bei hinreichender Kleinheit der geometrischen St¨orung wie ΔF1 in (8.22) positiv und bewegt den Stab gem¨aß Bild 8.3 zur Gleichgewichtslage 3 zur¨ uck. Der Stab schwingt um die Gleichgewichtslage mit nicht anwachsender Amplitude. Die linke Seite des Bildes 8.4a liefert wegen Symmetrie der Anordnung das gleiche Ergebnis. Folglich stellen die ausgezogenen Kurvenst¨ ucke und gef¨ ullten Kreise stabile Gleichgewichtslagen dar, w¨ahrend der leere Kreis eine instabile Gleichgewichtslage markiert. Eine ¨ahnliche Diskussion k¨ onnte f¨ ur die u osungen in Bild 8.4 gef¨ uhrt werden. Wir ¨ brigen L¨ gehen jedoch vom Kraftbild zum physikalisch gleichberechtigten, aber formal u ¨ bersichtlicheren Energiebild u ¨ ber. Zun¨ achst benutzen wir als Anschauungsbeispiel wieder die Anordnung aus Bild 8.4a. Die gesamte potenzielle Energie hat in diesem Fall wegen MT (ϕ) = c1 ϕ und mit (8.13) die Form V =Vi+Va =

1 c1 ϕ2 − F a l(1 − cos ϕ) . 2

(8.24)

In Bild 8.4a ist der qualitative Verlauf des Potenzials V u ¨ber der Lagekoordia als Parameter aufgetragen. Bei zunehmennate ϕ mit der a ußeren Kraft F ¨ der ¨ außerer Kraft ¨ andert sich die Form des Potenzialverlaufes dahingehend, dass sich das anf¨ anglich deutliche Minimum erst abflacht und dann in ein Maximum umwandelt, wobei gleichzeitig zwei neue symmetrisch angeordne-

182

8. Elastostatische Stabilit¨ atsprobleme

te Minima entstehen. Die Lagekoordinate der Potenzialminima h¨angt dabei stetig von der Gleichgewichtskraft ab. Zu der vorher im Kraftdiagramm von Bild 8.4a festgestellten instabilen Gleichgewichtslage 1 geh¨ort im Potenzialdiagramm ein Maximum und zu den stabilen Gleichgewichtslagen 2 und 3 je ein Potenzialminimum. Die der Potenzialableitung ∂V (ϕ, F a )/∂ϕ am Nichtgleichgewichtspunkt N entsprechende Nichtgleichgewichtslast, die im Potenzialgebirge als Hangabtriebskraft interpretiert werden kann, bewegt den Stab von der instabilen Gleichgewichtslage 1 weg. Das Entgegengesetzte gilt f¨ ur die stabilen Gleichgewichtslagen 2 und 3. Eine Gleichgewichtslage eines diskreten konservativen Systems ist also stabil (in Bild 8.4a durch ausgef¨ ullte Kreise gekennzeichnet), wenn dort die gesamte potenzielle Energie ein Minimum besitzt, bei einem Maximum instabil oder labil (DIRICHLET, 1805-1859). Der genaue allgemeine Beweis der DIRICHLETschen Stabilit¨atsaussage ergibt sich aus der G¨ ultigkeit der beiden Grundgesetze der Kinetik, der Impulsbilanz und der Drehimpulsbilanz, die hier nicht zur Verf¨ ugung stehen. Erg¨ anzend zu der obigen mechanischen Betrachtung sei angemerkt, dass zu Bild 8.4a in der Thermodynamik ein Analogon existiert, welches dort Phasen¨ uberg¨ ange 2. Ordnung beschreibt. Im Fall b) der kubischen Kennlinie ist das gesamte Potenzial V =

1 1 c1 ϕ2 − c1 ϕ4 − F a l(1 − cos ϕ) 2 4

(8.25)

und im Fall c) bei quadratischer Kennlinie V =

1 1 c1 ϕ2 + c1 ϕ3 − F a l(1 − cos ϕ) . 2 3

(8.26)

Die entsprechenden Verl¨ aufe sind unter den Gleichgewichtskraftdiagrammen in Bild 8.4b, c angegeben und a ¨hnlich wie Bild 8.4a diskutierbar. Zur quantitativen energetischen Pr¨ ufung der Stabilit¨at aller Varianten des Systems von Bild 8.3 untersuchen wir die analytischen Bedingungen f¨ ur die Existenz der Extrema der gesamten potenziellen Energie. Dazu bilden wir die Ableitungen des Potenzials bis zur hier ausreichenden vierten Ordnung nach dem Lageparameter ϕ. Aus (8.14) ergibt sich V  = MT − F a l cos ϕ ,

V  = MT + F a l sin ϕ ,

V  = MT + F a l cos ϕ . (8.27a,b,c) F¨ ur die Gleichgewichtslage ϕ = ϕ1 = 0 folgt in allen drei F¨allen der verschiedenen Federgesetze von (8.11) aus V  = c1 − F l = 0

(8.28)

die den kritischen Punkt C charakterisierende kritische Kraft Fc = c1 /l, unterhalb derer V  > 0 gilt, d. h. ein Minimum bzw. Stabilit¨at vorliegen.

8.1

Gleichgewichtsarten konservativer Systeme vom Freiheitsgrad 1

183

Gleichgewichtslagen mit Kr¨ aften oberhalb dieses Punktes besitzen ein Potenzialmaximum und sind instabil. Bei Untersuchung der Stabilit¨ at der so genannten nachkritischen Gleichgewichtslagen ϕ = 0 in (8.19) bis (8.21) sind wieder die drei F¨alle unterschiedlicher Konstantenfestlegungen f¨ ur die Federcharakteristik (8.11) zu diskutieren. Wegen Gleichgewicht gilt F a = F , und F a in (8.27a) kann durch F aus (8.15) ersetzt werden, wobei wir die F¨ alle b) und c) zur Vereinfachung auf |ϕ|  1, d. h. (8.20) und (8.21) beschr¨ anken. Mit Fc l = c1 folgt dann: a) c2 = c3 = 0

c1 ϕ ϕ  cos ϕ = c1 1 − >0, sin ϕ tan ϕ Minimum =

Stabilit¨ at , V  = c1 −

ϕ2 , 2

5  ϕ2  5 V  ≈ c1 − 3c1 ϕ2 − c1 1 − ϕ2 1 − ≈ − c1 ϕ2 < 0 , 6 2 3 Maximum =

Instabilit¨ at , c3 = −c1 < 0 ,

b) c2 = 0 ,

c) c2 = +c1 ,

cos ϕ ≈ 1 −

c3 = 0 ,

ϕ2  V  ≈ c1 + 2c1 ϕ − c1 (1 + ϕ) 1 − ≈ c1 ϕ , 2 ϕ < 0 , Maximum =

Instabilit¨ at ; ϕ > 0 , Minimum =

Stabilit¨at. F¨ ur die analytische Stabilit¨ atspr¨ ufung des kritischen Punktes C m¨ ussen wegen (8.28) h¨ ohere Ableitungen von V herangezogen werden. In der Auswertung von (8.27b, c) mit (8.11), ϕ = 0 und F a l = c1 unterscheiden wir die F¨ alle a), b) und c): a) V  = 0 ,

V  = c1 > 0 , Minimum =

Stabilit¨at ,

b) V  = 0 ,

V  = −6c1 + c1 = −5c1 < 0 , Maximum =

Instabilit¨at ,

c) V  = 2c1 = 0 , Wendepunkt =

Instabilit¨ at . Die durch den Wendepunkt im Potenzialverlauf (Bild 8.4c), Fall F a = Fc angezeigte Instabilit¨ at ergibt sich daraus, dass der Wendepunkt immer einen negativen Potenzialzuwachs erlaubt, wenn auch im Gegensatz zum Maximum (Bild 8.4b) nur bei einer der beiden m¨ oglichen entgegengesetzt orientierten geometrischen St¨ orungen. Ein wichtiges Ergebnis von Bild 8.4 besteht darin, dass die im Verzweigungspunkt instabilen Systeme b) und c) unterhalb der Verzweigungspunkte instabile Gleichgewichtslagen besitzen. Dies kann bei Abweichungen von der idealen Geometrie, so genannten Imperfektionen, dazu f¨ uhren, dass aus den mehrdeutigen Verzweigungspunkten eindeutige Lastmaxima mit einer im Vergleich

184

8. Elastostatische Stabilit¨ atsprobleme

zur Verzweigungslast abgesenkten Lastgr¨ oße, so genannte Grenzpunkte, entstehen. Diese und die f¨ ur gr¨ oßere Koordinatenbetr¨age sich anschließenden Gleichgewichtslagen sind f¨ ur konstante ¨ außere Kr¨afte F a instabil. Die Kenntnis der Verzweigungspunkte reicht dann zur Dimensionierung des Systems nicht aus. Auf diesen Sachverhalt kommen wir in Abschnitt 8.1.2 nochmals zur¨ uck. Beispiel 8.1 Ein vertikal angeordneter starrer Stab unterliegt einer vertikalen richtungstreuen Kraft F . Sein Loslager D ist durch eine lineare Feder mit der Konstante c horizontal gest¨ utzt (Bild 8.5). F

F

l(1-cos ) y

l

lcos

c x

D

Bild 8.5. Zum Ausweichproblem eines Stabes

Gesucht werden die kritische Kraft, bei welcher der Stab auszuweichen beginnt, und die nachkritischen Gleichgewichtslagen in der N¨ahe der kritischen Gleichgewichtslage. Außerdem ist die Stabilit¨at der Gleichgewichtslagen zu pr¨ ufen, f¨ ur die die Gleichgewichtskraft F einer konstanten ¨außeren Kraft F a gleicht. L¨osung: ullenden ¨auDie potenzielle Energie V a der noch nicht die Kr¨aftebilanz erf¨ a a a a ßeren Kraft F ist V = −F y = −F l(1−cos ϕ) und die potenzielle Energie der Feder V i = (c/2)x2 = (c/2)l2 sin2 ϕ. Damit folgen das gesamte Potenzial und seine Ableitungen nach dem Lageparameter ϕ c V = V a + V i = l2 sin2 ϕ − F a l(1 − cos ϕ) , 2 c V  = cl2 sin ϕ cos ϕ − F a l sin ϕ = l2 sin 2ϕ − F a l sin ϕ , 2 V  = cl2 cos 2ϕ − F a l cos ϕ. Die Gleichgewichtslagen ergeben sich aus V  = 0, d. h. (cl cos ϕ − F ) sin ϕ = 0

8.1

Gleichgewichtsarten konservativer Systeme vom Freiheitsgrad 1

185

mit der Fallunterscheidung 1) sin ϕ = 0 :

ϕ=0,

2) cl cos ϕ − F = 0 :

F = F1 beliebig ,

F = F2 = cl cos ϕ ≈ cl(1 − ϕ2 /2) , |ϕ|  1 .

Der Ausweichvorgang beginnt bei ϕ = 0 am kritischen Punkt C, wo V  (0) = uhrt. cl2 − Fc l = 0 auf die kritische Kraft Fc = cl f¨ Zur Stabilit¨ atspr¨ ufung der beiden F¨ alle werden die Gleichgewichtsl¨osungen in die zweite Ableitung V  eingesetzt. 1)

ϕ = 0 , F1 beliebig : V  (0) = cl2 − F1 l F1 < cl , F1 > cl ,

2) ϕ = 0 , F2 = cl cos ϕ : V



V  > 0 , V



ϕc in der N¨ahe von ϕc negativ. Er positiv, f¨ ur ϕ = ϕc null und f¨ ¨ zeigt jeweils den Ubergang von den stabilen (ausgezogenen) zu den instabilen ¨ (gestrichelten) Gleichgewichtslagen an. Das an der Ubergangsstelle ϕ = ϕc befindliche Kraftmaximum, auch als Grenzlast bezeichnet, entspricht jetzt einem kritischen Punkt (so genannter Grenzpunkt), an dem zwar die zweite Ableitung des Potenzials nach dem Lageparameter verschwindet, aber keine L¨ osungsverzweigung eintritt.

188

8. Elastostatische Stabilit¨ atsprobleme

Es sei noch erw¨ ahnt, dass der prozentuale Abfall der kritischen Last infolge Imperfektionen bei unsymmetrischen Systemen des Typs gem¨aß Bild 8.4c von niedrigerer Ordnung in der Imperfektion als bei symmetrischen Systemen des Typs gem¨ aß Bild 8.4b ist und deshalb deutlicher ausf¨allt. In beiden F¨allen der Systeme entsprechend Bild 8.4b, c reicht die alleinige Kenntnis der Verzweigungslast des perfekten Systems f¨ ur die Beurteilung des Tragverhaltens nicht aus. Solche Systeme werden als imperfektionsempfindlich bezeichnet. Dagegen sind am Verzweigungspunkt und im nachkritischen Bereich stabile Anordnungen, wie in Bild 8.4a gezeigt, nicht imperfektionsempfindlich. Beispiel 8.2 Der Stab des Systems nach Bild 8.3 besitze im unbelasteten Zustand eine geringf¨ ugige Auslenkung (Imperfektion) |ϕ0 |  1 (Bild 8.8a) und eine elastische Einspannung mit dem Drehfedermoment MT = cϕ (Bild 8.8b). F

Fl c

F

perfektes System

0 0

C imperfektes System 0< 0

C a)

0 >0

F b)

c) MT

Bild 8.8. Elastisch eingespannter Druckstab mit Imperfektion

Gesucht werden die zu der vertikal wirkenden konstanten ¨außeren Kraft F a geh¨ orende Gleichgewichtskraft F (ϕ) und die Art des Gleichgewichtes. L¨osung: Das gesamte Potenzial V des Systems und seine ersten beiden Ableitungen nach der Lagekoordinate ϕ sind   1 2 cϕ − F a l cos ϕ0 − cos(ϕ0 + ϕ) , 2 V  = cϕ − F a l sin(ϕ0 + ϕ) ,

V =

V  = c − F a l cos(ϕ0 + ϕ) .

8.1

Gleichgewichtsarten konservativer Systeme vom Freiheitsgrad 1

189

Die Stationarit¨ atsforderung an das Potenzial ergibt die Gleichgewichtsbedingung ϕ c cϕ − F l sin(ϕ0 + ϕ) = 0 , . F = l sin(ϕ0 + ϕ) Damit wird die zweite Ableitung  ϕ V  = c 1 − >0, tan(ϕ0 + ϕ)

0 ≤ ϕ < π − ϕ0 ,

ϕ0 > 0 ,

d. h. das Gleichgewicht ist im angegebenen Auslenkungsbereich stabil. Bild 8.8c zeigt die qualitative Darstellung der entsprechenden Gleichgewichtskraft neben dem schon bekannten Gleichgewichtskraftdiagramm des perfekten Systems. F¨ ur negative Imperfektionen und Lagekoordinaten ergibt sich das an der Vertikalen gespiegelte Bild.  Beispiel 8.3 Der starre rechtwinklige Tr¨ ager nach Bild 8.9a ist bei B gelenkig gelagert und durch eine vertikal wirkende lineare Feder mit der Konstante c elastisch gest¨ utzt. cy e

a

y F x

c F

a

B a)

b)

FB

Bild 8.9. Rechtwinkliger Tr¨ ager unbelastet a) und belastet b)

Im belasteten Zustand unterliegt er der vertikal nach unten gerichteten Gleichgewichtskraft F , die zu einer konstanten ¨ außeren Kraft F a geh¨ort. Die Wirkungslinie von F besitzt am Belastungsbeginn die Exzentrizit¨at (Imperfektion) e. Gesucht sind die kritische Kraft des perfekten Systems f¨ ur e = 0, die Gleichgewichtskraft in Abh¨ angigkeit von der Auslenkung ϕ (Bild 8.9b) f¨ ur das perfekte System mit e = 0 und f¨ ur das imperfekte System mit e = 0, 02a einschließlich der zu erwartenden Grenzlast. L¨osung: Die Geometrie des Systems deutet auf ein unsymmetrisches Verhalten bez¨ uglich der Auslenkung ϕ hin (Bild 8.9b). Es werden deshalb Ableitungen d()/dϕ = () bis zu dritten Ordnung bereitgestellt.

190

8. Elastostatische Stabilit¨ atsprobleme

F¨ ur die Verschiebungskoordinaten x und y nach Bild 8.9b folgt x = a(1 − cos ϕ) + e sin ϕ , 

y = a sin ϕ − a(1 − cos ϕ) ,

x = a sin ϕ + e cos ϕ ,

y  = a cos ϕ − a sin ϕ ,

x = a cos ϕ − e sin ϕ ,

y  = −a sin ϕ − a cos ϕ ,

x = −a sin ϕ − e cos ϕ ,

y  = −a cos ϕ + a sin ϕ .

Die gesamte potenzielle Energie des Systems und ihre Ableitungen sind 1 2 cy − F a x , V  = cyy  − F a x , 2 = c(y 2 + yy  ) − F a x , V  = c(3y  y  + yy  ) − F a x .

V = V 

Die Stationarit¨ atsforderung an die potenzielle Energie liefert die Gleichgewichtsbedingung V  = 0 bzw. cyy  − F x = ca2 (cos2 ϕ − sin2 ϕ + sin ϕ − cos ϕ) − F (a sin ϕ + e cos ϕ) = 0 . F¨ ur das perfekte System e = 0 existieren zwei L¨osungen: ϕ=0,

F = F1 beliebig

ϕ = 0 ,

F = F2 = ca(cos2 ϕ − sin2 ϕ + sin ϕ − cos ϕ)/ sin ϕ

und

bzw. mit |ϕ|  1 und cos ϕ ≈ 1 − ϕ = 0 ,

ϕ2 , sin ϕ ≈ ϕ 2

3  F2 = ca 1 − ϕ . 2

Die kritische Kraft des perfekten Systems folgt aus V  = 0 f¨ ur ϕ = 0 zu y 2 + yy   Fc = c = ca .  x ϕ=0 Bei diesem Kraftwert zweigt von der Gleichgewichtsl¨osung ϕ = 0, F1 beliebig, die Gleichgewichtsl¨ osung ϕ = 0, F2 = ca(1 − 3ϕ/2) ab (Bild 8.10). Der Verzweigungspunkt ϕ = 0, F = Fc ist wegen V  (0, Fc ) = −3ca2 = 0 instabil.

8.1

Gleichgewichtsarten konservativer Systeme vom Freiheitsgrad 1

191

-F ca 1

C C

e/a 0 0,02

0,5

5

10

/°

Bild 8.10. Gleichgewichtsl¨ osungen des Beispiels 8.3

Die Gleichgewichtskraft des imperfekten Systems folgt aus V  = 0 zu cos 2ϕ + sin ϕ − cos ϕ cos2 ϕ − sin2 ϕ + sin ϕ − cos ϕ F = . = e e ca sin ϕ + cos ϕ sin ϕ + cos ϕ a a Der Verlauf dieser Funktion f¨ ur e = 0, 02a ist in Bild 8.10 mit eingetragen. Er zeigt bei ϕ = 5, 6◦ am kritischen Punkt, der jetzt ein Grenzpunkt ist, als Maximum die Grenzlast Fc (e = 0, 02a) = 0, 71ca, welche deutlich unter der  kritischen Verzweigungslast Fc (e = 0) = ca liegt. ¨ Ahnlich wie in Bild 8.7 ist in Bild 8.10 die Gleichgewichtsl¨osung des imperfekten Systems f¨ ur Winkel rechts des als Kraftmaximum vorliegenden kritischen Punktes instabil. Das Beispiel 8.3 demonstriert nochmals die begrenzte Aussagekraft der Verzweigungslast f¨ ur das Tragverhalten. 8.1.3 Durchschlagproblem Wir betrachten das System nach Bild 8.6 und nehmen jetzt betragsm¨aßig gr¨ oßere Winkel 0 < ϕ0  π/2 an. Damit entsteht aus dem Verzweigungsproblem mit Imperfektionen ein so genanntes Durchschlagproblem. Als Lageparameter wird der Winkel ψ = ϕ − ϕ0 benutzt, so dass im unbelasteten Zustand ψ = 0 gilt. F¨ ur |ψ|  1 bleiben die im vorausgegangenen Unterabschnitt beschriebenen Systemeigenschaften qualitativ erhalten. Im vorliegenden Fall soll noch das Verhalten des Systems nach Erreichen der instabilen Gleichgewichtslage des kritischen Punktes untersucht werden. Eine gegen¨ uber Bild 8.7 erweiterte typische Lastverformungskurve hat qualitativ die Form nach Bild 8.11. Die Bestimmungsgleichung aus (8.32) f¨ ur die Lagekoordinate des station¨aren Wertes der Kraft F (ϕ) liefert jetzt außer dem ersten kritischen Winkel ϕc noch einen zweiten ϕ¯c = π − ϕc bzw. außer ψc = ϕc − ϕ0 noch ψ¯c = ϕ¯c − ϕ0 . Der zweite Winkel f¨ uhrt mit (8.33) auf F (ψ¯c ) = −Fc . Im Gebiet ϕc < ϕ < ϕ¯c

192

8. Elastostatische Stabilit¨ atsprobleme F cl

Z Fc cl

C

kinetisch

H

Ãc O

Ãc

A

Ãh ¼ -

0

Ã

kinetisch C Bild 8.11. Gleichgewichtskraft des Systems nach Bild 8.6 f¨ ur 0 < ϕ0  π/2

bzw. ψc < ψ < ψ¯c ist V  entsprechend (8.36) negativ, außerhalb dieses ¨ Gebietes und der Ubergangsstellen positiv. Dem stabilen L¨osungsbereich 0 ≤ ψ < ψc schließt sich ein instabiler Bereich ψc ≤ ψ ≤ ψ¯c und danach wieder ein stabiler Bereich ψ > ψ¯c an. Letzterer endet nach weiterer Kraftzunahme oberhalb von H an der Asymptote ψ = π − ϕ0 . Die Gleichgewichtslagen im Gebiet ψc < ψ < ψh sind vom lastfreien Zustand O aus durch Vorgabe konstanter ¨ außerer Kr¨ afte ansteigender Gr¨oße nicht erreichbar, da das System bei Einnahme des kritischen Punktes C unter Umwandlung potenzieller Energie in kinetische nach H durchschl¨ agt. Die Koordinate der stabilen Gleichgewichtslagen h¨ angt demnach unstetig von der Gleichgewichtskraft ab. Bei Vorgabe der Verschiebung Δy (Bild 8.6) ist der Durchschlag vermeidbar. ¯ von Eine Kraftabnahme A unterhalb H f¨ uhrt zu dem kritischen Punkt C, dem aus ein r¨ uckw¨ artiges Durchschlagen stattfindet, welches wieder bei Verschiebungsvorgabe nicht auftritt. Die beim Durchschlagen gewonnene kinetische Energie kann beim Anhalten des Systems Sch¨ aden verursachen. An dem erl¨ auterten Durchschlagproblem wird ersichtlich, dass die mit den Potenzialableitungen durchgef¨ uhrten Analysen des lokalen Systemverhaltens durch Betrachtungen des globalen Systemverhaltens wesentliche Erg¨anzungen erfahren. Es sei noch erw¨ ahnt, dass das beschriebene Modell ein Analogon zu Phasen¨ uberg¨ angen 1. Ordnung in der Thermodynamik darstellt.

8.2

Diskrete konservative Systeme von h¨ oherem Freiheitsgrad

193

8.2

8.2 Diskrete konservative Systeme von h¨ oherem Freiheitsgrad ¨ Die bisherigen Uberlegungen zur Untersuchung der Gleichgewichtsarten der konservativen Systeme vom Freiheitsgrad 1 lassen sich grunds¨atzlich auf diskrete konservative Systeme von h¨ oherem Freiheitsgrad verallgemeinern. Dies soll hier nur angedeutet werden. Es wird angenommen, dass die Kinematik des Systems durch f verallgemeinerte Koordinaten ql beschreibbar ist, wobei f den Freiheitsgrad des Systems bezeichnet. Die auftretenden ¨ außeren Lasten seien durch nur einen Lastparameter λa charakterisierbar. Die potenzielle Energie V der diskreten elastischen Federn des Systems und der ¨ außeren Lasten, d. h. die gesamte potenzielle Energie, hat damit die Form V = V (ql , λa ) .

(8.37)

Zur Gewinnung der Gleichgewichtsbedingungen werden zun¨achst die f partiellen Ableitungen Gk (ql , λa ) des Potenzials (8.37) nach den verallgemeinerten Koordinaten qk bei festgehaltenem Lastparameter λa Gk (ql , λa ) =

∂V (ql , λa ) , ∂qk

k = 1, ..., f

(8.38)

berechnet. Sie bilden den Gradienten des Potenzials. Der Stationarit¨atsforderung an das Potenzial (8.37) wird durch Nullsetzen der Ableitungen (8.38) und damit des Gradienten bzw. des Differenzials des Potenzials gen¨ ugt. Dies ergibt f Gleichgewichtsbedingungen Gk (ql , λ) = 0 ,

k = 1, ..., f .

(8.39)

Die f Gleichungen (8.39) f¨ ur die f Koordinaten ql definieren einen Spaltenvektor ql (λ). Dieser Vektor beschreibt im f -dimensionalen Raum der Koordinaten ql einen Gleichgewichtsweg mit λ als Wegparameter. Auf diesem Weg herrscht Stabilit¨ at, wenn die potenzielle Energie ein Minimum in den verallgemeinerten Koordinaten bei festgehaltenem Lastparameter besitzt. Normalerweise sind die betrachteten Systeme im lastfreien Zustand und in der n¨ aheren Umgebung des lastfreien Zustandes stabil. Dann gilt f¨ ur die a Determinante der Matrix der zweiten Ableitungen von V (ql , λ ) auf dem Gleichgwichtsweg (8.39) zun¨ achst die Bedingung  ∂ 2 V (ql , λa ) det >0. (8.40) ∂qk ∂qm Verlust der Eindeutigkeit, der Stabilit¨ at oder beider Eigenschaften ist erstmals m¨ oglich, wenn mit einer Nullstelle der Determinante aus (8.40) ein erster

194

8. Elastostatische Stabilit¨ atsprobleme

kritischer Punkt erreicht wird. Zur Untersuchung der Art des Gleichgewichtes am kritischen Punkt und auf dem nachkritischen Weg k¨onnen Potenzreihenentwicklungen der Beziehungen (8.37) bis (8.40) hilfreich sein, oder es m¨ ussen numerische Methoden eingesetzt werden. Diesbez¨ ugliche Betrachtungen, welche auch f¨ ur die mittels der Methode der finiten Elemente diskretisierten kontinuierlichen Systeme zutreffen, gehen u uhrung in die Technische ¨ber eine Einf¨ Mechanik hinaus.

8.3

8.3 Knicken elastischer St¨ abe Gerade schlanke St¨ abe unter axialem Druck, die als elastische Kontinua modelliert werden, k¨ onnen bei Kr¨ aften oberhalb eines kritischen Wertes ihre geradlinige Gestalt verlieren, indem sie ausknicken. Dieses Ph¨anomen stellt eine m¨ ogliche Versagensursache dar und muss deshalb quantitativ untersucht werden. Seine Beschreibung gelingt durch Ber¨ ucksichtigung der aktuellen Biegeverformungen in den Gleichgewichtsbedingungen. Diese Verformungen werden der Biegetheorie der Balken aus Kapitel 4 entnommen. Bei konservativer Belastung der elastischen St¨abe existiert auch ein Potenzial, das die Biegeverformungen erfasst. Die Stationarit¨atsforderung an das Potenzial f¨ uhrt auf die Gleichgewichtsbedingungen der St¨abe in ihrer aktuellen Konfiguration. Elastische St¨ abe besitzen einen unendlichen, nicht abz¨ahlbaren Freiheitsgrad. Zur Bestimmung ihrer Biegeverformungen werden wie schon in Abschnitt 4.5 Differenzialgleichungen, die aber jetzt nichtlinear sind, benutzt, im Gegensatz zu den nichtlinearen algebraischen Gleichungen im Fall der diskreten Systeme wie z. B. (8.15). Die Verzerrungsenergie der elastischen St¨abe enth¨alt Integrale u ucke in den Verformungsfunktionen und deren Ableitungen ¨ber Ausdr¨ ahnlich wie schon in Abschnitt 7.3 angegeben. Zur Durchsetzung der Statio¨ narit¨ atsforderung an das gesamte Potenzial der belasteten St¨abe wird deshalb die so genannte Variationsableitung dieses integralen Potenzials anstelle der gew¨ ohnlichen bzw. partiellen Ableitungen der Potenzialfunktion nach den Lageparametern der diskreten Systeme ben¨ otigt. Da uns die Variationsrechnung im Rahmen der eingeschr¨ ankten mathematischen Vorkenntnisse nicht zur Verf¨ ugung steht, versuchen wir, das Problem mit Hilfe von Differenzialgleichungen zu l¨ osen. Es sei noch erw¨ ahnt, dass das Knicken druckbelasteter St¨abe den einfachsten Fall darstellt, in dem als Kontinuum betrachtete Bauteile einer Last ausweichen. Kompliziertere Ausweichprobleme entstehen z. B. beim Beulen gedr¨ uckter Platten und Schalen oder beim Kippen von Balken mit schlanken Querschnittsformen. Diesbez¨ uglich muss auf die Spezialliteratur verwiesen werden.

8.3

Knicken elastischer St¨ abe

195

8.3.1 Gelenkig gelagerter Knickstab Wir betrachten als Demonstrationsbeispiel den schon von EULER untersuchten axial gedr¨ uckten Stab nach Bild 8.12. Hinsichtlich seiner Biegeverformung benutzen wir wie in Abschnitt 4.1 die kinematische Hypothese von BERNOULLI. Zur Vereinfachung des vorliegenden Problems nehmen wir neben der Voraussetzung gerader Biegung um die Achse mit dem minimalen Haupttr¨ agheitsmoment noch zus¨ atzlich die Undehnbarkeit der Schwerpunktlinie des Stabes an, d. h. wir vernachl¨ assigen die L¨angskraftverformung infolge des axialen Druckes. Der dadurch entstehende Fehler ist nachweislich unbedeutend. Die in Bild 8.12 eingezeichnete Bogenl¨ angenkoordinate s, welche die Schnittstelle S festlegt, hat dann denselben Wert f¨ ur einen Schwerpunktlinienpunkt in der unverformten geraden und der verformten Konfiguration. Sie unterscheidet sich von der Achskoordinate z des Fußpunktes von S. EI

F l

0

f

s

0

dz F

z v

M

s S

ds

dv

FL

FQ

Bild 8.12. Zum gelenkig gelagerten Knickstab

F¨ ur den Zusammenhang zwischen der Kr¨ ummung dϕ/ds der Schwerpunktlinie und dem Biegemoment M gelten (4.23) und (4.25) in der urspr¨ unglichen Form M dϕ =− . (8.41) ds EI Die Momentenbilanz um die Schnittstelle S des verformten Balkenabschnittes der L¨ ange s erfordert 

S :

M − Fv = 0 .

(8.42)

Durch Einsetzen von (8.41) in (8.42) und Differenziation nach s entsteht F dv d2 ϕ · . =− ds2 EI ds

(8.43)

196

8. Elastostatische Stabilit¨ atsprobleme

Gem¨ aß Bild 8.12 gilt dv = sin ϕ , ds

(8.44)

d2 ϕ F sin ϕ = 0 + ds2 EI

(8.45)

so dass aus (8.43)

folgt. F¨ ur diese gew¨ ohnliche nichtlineare Differenzialgleichung kann eine L¨osung, n¨ amlich ϕ≡0,

(8.46)

erraten werden. Sie gilt erwartungsgem¨ aß f¨ ur nicht zu große Druckkr¨afte, bei denen der Stab unverformt bleibt, d. h. nicht ausknickt. Eine zweite L¨osung f¨ ur den verformten Zustand ist elementar nicht gewinnbar. Wir ermitteln deshalb zun¨ achst eine N¨ aherungsl¨ osung durch die Linearisierung sin ϕ ≈ ϕ

(8.47)

in (8.45). Dies und die Abk¨ urzung α2 =

F EI

(8.48)

ergeben die lineare homogene Differenzialgleichung d2 ϕ d2 ϕ F ϕ = + + α2 ϕ = 0 . ds2 EI ds2

(8.49)

Die Beziehung (8.49) ist zwar linear in ϕ, enth¨alt aber mit dem Produkt F ϕ einen nichtlinearen Zusammenhang zwischen Kraft und Verdrehung, der gegen¨ uber den linearen Modellen der Kapitel 4, 5 und 7 qualitativ andere L¨ osungen verursacht. Die allgemeine L¨ osung von (8.49) ist ϕ = A cos αs + B sin αs ,

(8.50)

wobei A und B Integrationskonstanten bezeichnen. Die G¨ ultigkeit von (8.50) wird durch Einsetzen in (8.49) best¨ atigt. Zur Bestimmung der Konstanten A und B dienen zwei Randbedingungen, welche wegen der momentenfreien Lagerung (s. Bild 8.12) und (8.41) dϕ  dϕ  =0, =0 (8.51a,b)   ds s=0 ds s=l lauten. Mit der Ableitung von (8.50), d. h. dϕ = −Aα sin αs + Bα cos αs , ds

(8.52)

8.3

Knicken elastischer St¨ abe

197

liefern sie Bα = 0 ,

Aα sin αl = 0 .

(8.53a,b)

In (8.48) hat F = 0 keine physikalische Bedeutung. Deshalb ist α = 0, und es folgt B = 0. F¨ ur die von ϕ ≡ 0 verschiedene zweite L¨osung muss A =  0 sein, was auf sin αl = 0 ,

αk l = kπ ,

k = 1, 2, ...

(8.54)

f¨ uhrt. Die αk heißen Eigenwerte des homogenen Eigenwertproblems, bestehend aus der linearen homogenen Differenzialgleichung (8.49) mit den homogenen Randbedingungen (8.51). Der niedrigste Eigenwert, bei dem Knicken stattfindet, ist der kritische, n¨ amlich α1 l = αc l = π mit der kleinsten kritischen Kraft gem¨ aß (8.48) Fc = EIα2c =

π 2 EI . l2

(8.55)

Zu ihm geh¨ ort die aus (8.50) und (8.53) folgende Eigenfunktion ϕ = Ac cos αc s ,

(8.56)

welche die Knickform bis auf die unbestimmte Amplitudenkonstante Ac beschreibt. Die Konstante Ac gibt den Neigungswinkel ϕ0 an den Lagern in Bild 8.12 an. H¨ ohere aus (8.54) zu bestimmende Eigenwerte und dazu geh¨orende Eigenfunktionen sind technisch uninteressant. Das im Fall des elastischen Knickstabes erzielte Ergebnis besitzt ein Analogon zu der aus (8.15) gewinnbaren linearen N¨ aherung f¨ ur den starren Druckstab mit diskretem linearen Einspannmoment MT = c1 ϕ. In erster Ordnung, sin ϕ ≈ ϕ, f¨ uhrt (8.15) auf c1 ϕ − F lϕ = (c1 − F l)ϕ = 0 .

(8.57)

Die Erf¨ ullung dieser Gleichgewichtsbedingung ist f¨ ur beliebige Auslenkungen ϕ durch die kritische Kraft Fc = c1 /l gegeben. Bei beiden Modellen zweigt am kritischen Punkt, der ein Verzweigungspunkt ist und durch die kritische Verzweigungslast bestimmt wird, eine zweite L¨osung von der urspr¨ unglichen L¨ osung ab. Der beim starren Druckstab nach Bild 8.4a durchgef¨ uhrte Stabilit¨ atstest der urspr¨ unglichen L¨ osung ϕ1 zeigt, wenn er auf den elastischen Knickstab angewendet wird, ebenfalls die Instabilit¨at der urspr¨ unglichen L¨ osung an. Sowohl f¨ ur den elastischen Knickstab als auch f¨ ur den elastisch eingespannten starren Druckstab k¨ onnen infolge der Linearisierung keine Aussagen u ¨ ber einen Zusammenhang zwischen der a ußeren Kraft und der Auslenkung jen¨

198

8. Elastostatische Stabilit¨ atsprobleme

seits des kritischen Punktes getroffen werden. F¨ ur die Gewinnung solcher Aussagen ist, wie am diskreten System nach Bild 8.4 demonstriert wurde, eine nichtlineare Analyse des nachkritischen Systemverhaltens erforderlich. In diesem Sinne suchen wir jetzt unter Benutzung der vollst¨andigen nichtlinearen Gleichung (8.45) des kontinuierlichen Systems eine N¨aherungsbeziehung zwischen der Kraft F und der Balkenverdrehung ϕ0 an den Lagern f¨ ur eine symmetrisch vorausgesetzte Form des Durchbiegungsverlaufes (Bild 8.12). Die Substitution dϕ =u, ds

d2 ϕ du du dϕ · =u = 2 ds dϕ ds dϕ

(8.58)

f¨ uhrt in (8.45) mit (8.48) zu udu + α2 sin ϕdϕ = 0 bzw. nach unbestimmter Integration auf 1  dϕ 2 u2 − α2 cos ϕ = − α2 cos ϕ = C . 2 2 ds

(8.59)

(8.60)

Die Integrationskonstante C ist wegen (8.41) und der Momentenfreiheit der Lager durch

gegeben, so dass

C = −α2 cos ϕ0

(8.61)

 dϕ = −α 2(cos ϕ − cos ϕ0 ) ds

(8.62)

¨ entsteht. Das Minuszeichen vor der Wurzel sorgt f¨ ur Ubereinstimmung mit (8.41). Gleichung (8.62) beschreibt die geometrische Gestalt der Balkendurchbiegung. Ihr Integral l

−ϕ  0

ds = αl = −

α 0

ϕ0

dϕ  2(cos ϕ − cos ϕ0 )

(8.63)

wird mittels der trigometrischen Formel cos ϕ = 1 − 2 sin2 (ϕ/2) und der zweckm¨ aßigen Substitution ϕ0 π π ϕ sin η , ϕ = ϕ0 ... − ϕ0 , η = ... − , sin = sin 2 2 2 2 ϕ ϕ0 1 cos dϕ = sin cos ηdη 2 2 2

8.3

Knicken elastischer St¨ abe

199

zu π/2 αl = −π/2

dη  1 − sin2 ϕ20 sin2 η

(8.64)

umgeformt. Es kann zwar nicht analytisch gel¨ ost, aber f¨ ur |ϕ| ≤ |ϕ0 |  1 2 ϕ0 2 und sin 2 sin η  1 bequem mittels einer Potenzreihenentwicklung des Integranden gen¨ ahert berechnet werden. Mit dem ersten Reihenglied und sin2 (ϕ0 /2) ≈ ϕ20 /4 ergibt sich π/2 αl ≈ −π/2

 ϕ0 1 sin2 η dη ≈ 1 + sin2 2 2

π/2

1+

−π/2

 ϕ20 π sin2 η dη = π + ϕ20 . 8 16 (8.65)

Quadrieren und Einsetzen der Definition (8.48) liefert

ϕ2 2 ϕ2  F l2 = π2 1 + 0 ≈ π2 1 + 0 EI 16 8

(8.66)

F ϕ2 =1+ 0 . Fc 8

(8.67)

bzw. wegen (8.55)

Dieses Ergebnis ist mit der nichtlinearen L¨ osung (8.19) f¨ ur den elastisch eingespannten starren Druckstab vergleichbar und durch ein Diagramm ¨ahnlich wie in Bild 8.4a darzustellen. Im Rahmen der gewonnenen N¨ aherung berechnen wir noch die lastabh¨angige Verschiebung v(l/2) des Schwerpunktlinienmittelpunktes quer zur Stabachse. Wegen der schon benutzten Voraussetzung |ϕ|  1 stellt die Eigenfunktion aherung f¨ ur die Funktion des Bie(8.56) mit der Amplitude Ac = ϕ0 eine N¨ gewinkels dar. Sie liefert mit (8.44) und αc l = π die gesuchte Verschiebung l/2 l/2 l/2 ϕ0 v = l, sin ϕds ≈ ϕds ≈ ϕ0 cos αc sds = 2 π l

0

woraus mit (8.67)

0

(8.68)

0

F 1 π2  l  = 1 + · 2 v2 Fc 8 l 2

(8.69)

entsteht. Die Projektion der undehnbaren Bogenl¨ angenelemente ds (Bild 8.12) auf die Ausgangsrichtung ist dz = cos ϕds. Damit folgt die Verschiebung f des Kraft-

200

8. Elastostatische Stabilit¨ atsprobleme

angriffspunktes n¨ aherungsweise zu l f =l−

l cos ϕds ≈ l −

0

0

ϕ2  ds = 1− 2

l 0

ϕ2 ds 2

(8.70)

bzw. ϕ2 f= 0 2

l 0

ϕ2 cos αc sds = 0 2 2

l

cos2

0

lϕ2 π sds = 0 . l 4

(8.71)

Die Kombination von (8.67) und (8.71) ergibt schließlich F f =1+ . Fc 2l

(8.72)

Die beiden Gleichungen (8.67) und (8.72) zeigen, dass die Lastauslenkungskurve des elastischen Knickstabes ¨ ahnlich wie die des elastisch eingespannten starren Druckstabes im nachkritischen Bereich ansteigt. Der elastische Knickstab nach Bild 8.12 ist deshalb wie der elastisch eingespannte starre Druckstab unempfindlich gegen¨ uber kleinen geometrischen Imperfektionen. Diese Aussage gilt auch f¨ ur die noch zu besprechenden anderen Lagerungsf¨alle des Knickstabes. Auf diesbez¨ ugliche Beweise verzichten wir. ¨ Zur Uberpr¨ ufung der Stabilit¨ at der abzweigenden L¨osung setzen wir weiterhin voraus, dass die Form der abzweigenden L¨osung (8.56) bei einer St¨orung erhalten bleibt. Mit dieser kinematischen Zwangsbedingung wird das kontinuierliche System wie ein diskretes behandelt. Die Verdrehung von letzterem h¨ angt nur noch von dem einen Parameter Ac = ϕ0 als Lageparameter ab. Eine Diskussion der Nichtgleichgewichtskraft ¨ ahnlich wie zu Bild 8.4a, die auch energetisch ausgef¨ uhrt werden kann, liefert dann Stabilit¨at der abzweigenden L¨ osung. Dies steht im Einklang mit der Erfahrung. Analoge Argumente gelten f¨ ur Lasten unterhalb des Verzweigungspunktes. Eine mathematisch strenge hinreichende Begr¨ undung der Stabilit¨atsaussage erfordert Definitionen dar¨ uber, wie St¨ orungen der Gleichgewichtsl¨osung und dazugeh¨orige Abweichungen im Fall des elastischen Kontinuums angesichts des unendlichen ¨ Freiheitsgrades zu messen sind. Solche Uberlegungen k¨onnen hier nicht ausgef¨ uhrt werden. Der Gleichung (8.72) ist noch zu entnehmen, dass sogar Werte von f /l im Prozentbereich zu nur geringen Laststeigerungen u ¨ber den kritischen Wert uhren. Folglich stellt die kritische Verzweigungslast eine f¨ ur konFc hinaus f¨ struktive Zwecke brauchbare Belastungsgrenze der Druckst¨abe im elastischen Bereich dar.

8.3

Knicken elastischer St¨ abe

201

Zur Bestimmung der kritischen Verzweigungslast reichte die Linearisierung (8.47) aus. Die Projektion dz des Differenzials ds auf die urspr¨ ungliche Achsrichtung (Bild 8.12) wird in gleicher N¨ aherungsordnung benutzt:

ϕ2  ≈ ds . dz = ds cos ϕ ≈ ds 1 − 2

(8.73)

Damit wird (8.44) zu dv/dz = v  ≈ ϕ, und aus (8.41) folgt mit (8.42) v  +

F v=0. EI

(8.74)

Die allgemeine L¨ osung von (8.74) lautet mit (8.48) v = C1 cos αz + C2 sin αz .

(8.75)

Wegen der Unverschiebbarkeit der Lager quer zur Stabachse gem¨aß Bild 8.12 gelten die Randbedingungen v(0) = 0 ,

v(l) = 0 .

(8.76a,b)

Die erste liefert C1 = 0. Aus der zweiten folgt C2 sin αl = 0 ,

αk l = kπ ,

k = 1, 2, ... .

(8.77)

uhrt auf die schon bekannte kritische Der niedrigste Eigenwert α1 l = αc l = π f¨ Knickkraft (8.55) und die Eigenfunktion v = C2 sin

π z, l

(8.78)

welche die Knickform bis auf die unbestimmte Amplitude der Ausbiegung C2 wiedergibt. Die beschriebene Vorgehensweise, welche auf die linearisierte Kr¨ ummung in der Differenzialgleichung (8.74) f¨ uhrt, wird auch als Theorie zweiter Ordnung bezeichnet. Sie soll auf weitere Lagerungsf¨ alle angewendet werden. EI F l/2 = l0 Bild 8.13. Einseitig eingespannter Knickstab

Die Ausbiegung des einseitig eingespannten Knickstabes nach Bild 8.13 mit ange des beiderseits gelenkig gelagerten der L¨ ange l0 = l/2, wobei l die L¨ Stabes nach Bild 8.12 bezeichnet, l¨ asst sich durch die vorliegende L¨osung (8.55), (8.78) beschreiben. Dies zeigt Bild 8.14.

202

8. Elastostatische Stabilit¨ atsprobleme

l0

F

F

F

l = 2l0

Bild 8.14. Zum Vergleich der Ausbiegung des einseitig eingespannten und des beiderseits

gelenkig gelagerten Knickstabes

Zum Vergleich der beiden Systeme musste nur die Einspannstelle des Stabes nach Bild 8.13 auf die Symmetrielinie der Ausbiegung des Stabes von Bild 8.12 gelegt werden. Die kritische Knickkraft des einseitig eingespannten Stabes betr¨agt demnach Fc =

π 2 EI . 4l02

(8.79)

Beispiel 8.4 F¨ ur den exzentrisch gedr¨ uckten Knickstab nach Bild 8.15 ist die Gleichgewichtskraft F in Abh¨ angigkeit von der Durchbiegung der Balkenmitte nach der Theorie zweiter Ordnung zu bestimmen. F

F EI

e l F FQ

M

FL

~e

v S

z

Bild 8.15. Exzentrisch gedr¨ uckter Knickstab

L¨osung: Aus der Teilschnittskizze des verformten Systems lesen wir die Momentenbilanz bez¨ uglich der Schnittstelle 

S :

F (e + v) − M = 0

ab. In der Theorie zweiter Ordnung ist die Gleichung der elastischen Linie gem¨ aß (4.25) zu verwenden, wobei im Biegemoment die Durchbiegung v der Schnittstelle ber¨ ucksichtigt wird. Daraus folgt EIv  = −M = −F (e + v)

8.3

Knicken elastischer St¨ abe

203

bzw. mit α2 = F/(EI) v  + α2 v = −eα2 . Die L¨ osung dieser linearen inhomogenen Differenzialgleichung besteht aus aren Teil vp , d. h. v = vh +vp . Der einem homogenen Teil vh und einem partikul¨ homogene Teil entspricht der bekannten Funktion vh = A cos αz + B sin αz gem¨ aß (8.75), der partikul¨ are vp = −e wird durch Einsetzen best¨atigt. Die allgemeine L¨ osung der Differenzialgleichung ist damit v = vh + vp = A cos αz + B sin αz − e . Die quer zur Stabachse unverschieblichen Lager erfordern die Randbedingungen v(0) = 0 = A − e und v(l) = 0 = A cos αl + B sin αl − e . F¨ ur verschwindende Exzentrizit¨ at e = 0 ergibt sich der schon in (8.77) gefundene niedrigste Eigenwert αc l = π mit der bis auf die unbestimmte Amplitude B festgelegten Eigenfunktion v = B sin αc z. Bei vorhandener Exzentrizit¨ at liefert das inhomogene Gleichungssystem A=e,

B=e

1 − cos αl . sin αl

Einsetzen in die allgemeine L¨ osung an der Stelle z = l/2 f¨ uhrt unter Benutl l zung von sin αl = 2 sin α 2 cos α 2 auf l  l 1 − cos αl v = e cos α + − 1 . 2 2 2 cos α 2l F e=0

Fc

e0

v (l/2) Bild 8.16. Gleichgewichtskraft nach Theorie 2. Ordnung des exzentrisch gedr¨ uckten Knick-

stabes

204

8. Elastostatische Stabilit¨ atsprobleme

Der Klammerausdruck ergibt f¨ ur hinreichend kleine Kr¨afte, d. h. αl  1, mit cos x ≈ 1 − x2 /2 die inverse Form des Kraftverschiebungszusammenhanges v(l/2) ≈ e(αl)2 /8. F¨ ur αl → π strebt der Klammerausdruck und folglich auch v(l/2) nach unendlich. Der qualitative Verlauf der Kraft F u ¨ ber der Durchbiegungsamplitude v(l/2) ist in Bild 8.16 dargestellt. Er ¨ ahnelt dem Bild 8.8c, wenn dort die Parabel des nachkritischen Verhaltens zu einer horizontalen Geraden abgeflacht wird.  8.3.2 Beiderseitig eingespannter Knickstab Wir bestimmen die kritische Knickkraft und die Knickform des beiderseits eingespannten Stabes von Bild 8.17 nach der Theorie zweiter Ordnung. EI F l F

F M0

M0 FQ M

FL

F v S

z

M0

Bild 8.17. Beiderseits eingespannter Knickstab

Die dargestellte symmetrische Knickform besitzt die geringste Welligkeit und deshalb die gr¨ oßte Nachgiebigkeit gegen¨ uber anderen m¨oglichen Knickformen bei diesen Randbedingungen. Sie f¨ uhrt auf symmetrische Einspannmomente M0 und verschwindende vertikale Einspannkr¨afte. Aus der Teilfreischnittskizze des verformten Systems wird die Momentenbilanz bez¨ uglich der Schnittstelle 

S :

F v − M − M0 = 0

(8.80)

abgelesen. Die Gleichung der elastischen Linie ist dann EIv  = −M = M0 − F v bzw. mit der Abk¨ urzung α2 = F/EI v  + α2 v =

M0 . EI

(8.81)

8.3

Knicken elastischer St¨ abe

205

Ihre allgemeine L¨ osung lautet v = A cos αz + B sin αz + M0 /F .

(8.82)

Die Randbedingungen sind v(0) = 0 =

+ M0 /F ,

A



αB , v (0) = 0 = 

l l l = 0 = −α(sin α ) A + α(cos α )B . v 2 2 2

(8.83a,b,c)

Die dritte Gleichung, welche anstelle der Forderungen v(l) = 0 und v  (l) = 0 stehen darf, liefert wegen B = 0 und A = 0 die Eigenwertgleichung sin α

l =0, 2

αk

l = kπ , 2

k = 1, 2, ...

(8.84)

mit dem niedrigsten Wert α1 l = αc l = 2π f¨ ur die kritische Knickkraft Fc =

π 2 EI . (l/2)2

(8.85)

Diese kritische Kraft ist erwartungsgem¨ aß gr¨ oßer als die in (8.55) angegebene kritische Kraft des beiderseits gelenkig gelagerten Knickstabes. Die zur Knickkraft (8.85) geh¨ orende Knickform folgt aus (8.82) mit (8.83) und α1 l = 2π: M0 2π  v= 1 − cos z . (8.86) F l Die Amplitude M0 /F der die Knickform beschreibenden Eigenfunktion (8.86) bleibt hier wie bei allen homogenen Eigenwertproblemen unbestimmt. Den trivialen Fall v ≡ 0 schließen wir aus. Bild 8.17 gibt die Knickform qualitativ wieder. Beispiel 8.5 F¨ ur den Knickstab mit der Lagerung nach Bild 8.18 sind die kritische Knickkraft und die Knickform nach der Theorie zweiter Ordnung zu ermitteln. L¨osung: Nach Freimachen des Stabes werden die Lagerreaktionen unter Beachtung der Gleichgewichtsbedingungen eingetragen. Die Momentenbilanz um die Schnittstelle S der Freischnittskizze 

S :

Fv +

M0 z − M0 − M = 0 l

206

8. Elastostatische Stabilit¨ atsprobleme EI , l F

F

F -

M0 l

M0 l FQ M FL

M0 F

v S

M0 l

M0

z Bild 8.18. Knickstab mit Einspannung und gelenkiger Lagerung

f¨ uhrt auf die Gleichung der elastischen Linie v  + α2 v =

M0 z M0 − , EI EIl

α2 =

F EI

mit der allgemeinen L¨ osung v = A cos αz + B sin αz +

M0 z M0 − . F Fl

Die Randbedingungen lauten v(0) = 0 = 

v (0)= 0 =

A

+ M0 /F , αB − M0 /(F l) ,

v(l) = 0 = (cos αl)A + (sin αl)B . Nichttriviale L¨ osungen des linearen homogenen Gleichungssystems f¨ ur die drei Unbekannten A, B und M0 /F erfordern das Verschwinden der Koeffizientendeterminante −αl cos αl + sin αl = 0 . M¨ ogliche Nullstellen dieser Eigenwertgleichung sind als Schnittstellen der Funktionen tan αl und αl in Abh¨ angigkeit von αl in Bild 8.19 eingezeichnet. Der niedrigste nichttriviale Eigenwert liegt nahe bei 3π/2. Seine genaue Gr¨ oße αc l = 4, 4934 liefert die kritische Knickkraft  4, 4934 2  4, 4934 2 π 2 EI π 2 EI Fc = α2c EI = EI = ≈ . l π l2 (0, 7l)2 Die R¨ uckeinsetzung des Eigenwertes aus der Eigenwertgleichung tan αc l = αc l in das homogene Gleichungssystem ergibt den L¨osungsvektor A = −αc lB,

8.3

Knicken elastischer St¨ abe

207

®l,tan®l

¼ 2

¼

3¼ 2

®l

Bild 8.19. Zur Eigenwertbestimmung

B = B, M0 /F = αc lB und damit die Knickform   v = B(−αc l cos αc z+sin αc z+αc l−αc z) = B αc l(1−cos αc z)+sin αc z−αc z . Die ausgef¨ uhrte L¨ osung ist in dem Problem nach Bild 8.17 enthalten, wenn dort eine antisymmetrische Knickform mit Nulldurchgang bei z = l/2 und antisymmetrische Lagerreaktionen benutzt werden.  Die vier Lagerungsf¨ alle des Knickstabes nach den Bildern 8.12, 8.13, 8.18 und 8.17 sind als EULER-F¨ alle bekannt. Bild 8.20 fasst sie nochmals in Verbindung mit der Knickkraftformel FK =

π 2 EImin 2 lK

(8.87)

ange und Imin das minimale zusammen, wobei lK die so genannte Knickl¨ Haupttr¨ agheitsmoment des Stabquerschnittes bezeichnen. F F

F

F

l

lK : l

2

1

~ 0,7

0,5

Bild 8.20. Zu den Knickl¨ angen der EULER-F¨ alle

8.3.3 Knickst¨ abe mit mehreren Bereichen Zur Berechnung der kritischen Knickkr¨ afte nach der Theorie 2. Ordnung f¨ ur elastische St¨ abe, die mehrfache Unterst¨ utzungen oder abschnittsweise

208

8. Elastostatische Stabilit¨ atsprobleme

verschiedene Biegesteifigkeiten besitzen, werden Bereiche eingeteilt, so dass innerhalb jedes Bereiches die Gleichung der elastischen Linie zu integrieren ist. Die zus¨ atzlich auftretenden Integrationskonstanten folgen aus den ¨ Ubergangsbedingungen an den Bereichsgrenzen. Wir betrachten hierzu exemplarisch den Stab mit zwei Bereichen nach Bild 8.21 und bestimmen die Eigenwertgleichung sowie die kritische Knickkraft f¨ ur a = b. EI F

a

b F v0 a

v2

F

v1

F v0 a

v0 z2

z1 F

Bild 8.21. Knickstab mit zwei Bereichen

In der Freischnittskizze sind die Lagerkr¨ afte, welche die Gleichgewichtsbilanzen erf¨ ullen, und die verwendeten Koordinaten eingetragen. Die Momentenbilanzen bez¨ uglich der Schnittstellen S1 , S2 in den einzelnen Bereichen (Bild 8.22) und die dazugeh¨ origen Gleichungen der elastischen Linie lauten mit α2 = F/(EI)   EIv1 = −M1 = − − (v0 − v1 )F , v1 + α2 v1 = α2 v0 ,     z2 v0 EIv2 = −M2 = − F v2 + F (a − z2 ) , v2 + α2 v2 = α2 v0 −1 . a a

v2

F F v0 a

S2 FQ2 FL2 M2

a-z2

M1

FL1 v 1 FQ1 S1 b -z1

v0 F

Bild 8.22. Freischnittskizzen der Bereiche

Die allgemeinen L¨ osungen der beiden Differenzialgleichungen sind v1 = A cos αz1 + B sin αz1 + v0 ,   v2 = C cos αz2 + D sin αz2 + v0 (z2 /a) − 1 .

8.3

Knicken elastischer St¨ abe

209

¨ Außer der Definition v0 = v1 (b) liegen vier Rand- und Ubergangsbedingungen vor: v1 (b) = v0 = A cos αb + B sin αb + v0 , v2 (0) = 0 = C − v0 , v1 (0)

= αB =

v2 (0)

v1 (0) = 0 = A + v0 ,

v2 (a) = 0 = C cos αa + D sin αa ,

= αD + v0 /a .

Nach Elimination von A = −v0 und C = v0 muss die Koeffizientendeterminante des homogenen Gleichungssystems f¨ ur die verbliebenen Unbekannten B, D und v0 null gesetzt werden:    sin αb 0 − cos αb    0 sin αa cos αa     −αa αa 1 = sin αa sin αb − αa sin αa cos αb − αa cos αa sin αb = 0 . Diese Eigenwertgleichung l¨ asst sich f¨ ur sin αa sin αb = 0 auch als 1 − αa(cot αb + cot αa) = 0 schreiben. Sie w¨ are bei gegebenen Abmessungsverh¨altniss a/b auszuwerten. Wir betrachten nur den Sonderfall a = b. Dann ergibt sich der niedrigste Eigenwert aus tan αa = 2αa zu αa = 1, 166. Die kritische Knickkraft hat damit den Wert Fc = 0, 138π 2EI/a2 , der deutlich unter dem des beiderseits gelagerten EULER-Stabes mit der Knickl¨ ange a liegt. 8.3.4 Begrenzung der elastischen Theorie infolge Plastizit¨ at In Abschnitt 1.3 wurde am Beispiel des Spannungsdehnungsdiagrammes eines duktilen Baustahles gezeigt, dass sich außerhalb des elastischen Bereiches ein Gebiet mit elastoplastischem Verhalten anschließt. M¨ogliche f¨ ur Zug und Druck gleiche Idealisierungen dieser Materialeigenschaft sind in Bild 8.23 dargestellt. Bei Knickproblemen ist es u ¨ blich, im Gegensatz zu Bild 1.3b und (1.6) eine positive Druckspannung als eine auf das Fl¨ achenelement hinzeigende Normalfl¨ achenkraft zu benutzen. ¾ ¾F

Bild 8.23. Zur Idealisierung elastoplastischen Materialverhaltens

210

8. Elastostatische Stabilit¨ atsprobleme

Knickst¨ abe m¨ ussen so dimensioniert werden, dass die im Stab wirkende Druckspannung weder die Knickdruckspannung noch die Fließdruckspannung u ¨ berschreitet. Die positive Druckspannung σd der St¨abe nach Bild 8.20 ist durch F (8.88) σd = A definiert. Zur kritischen Knickkraft geh¨ ort gem¨aß (8.87) die positive spannung π 2 EImin FK σK = = , 2 A AlK  die mittels der Definitionen des Tr¨ agheitsradius i = Imin /A und genannten Schlankheitsgrades  2 /I λ = AlK min = lK /i

Knick-

(8.89) des so

(8.90)

in σK = π 2

E λ2

(8.91)

umgeformt wird. Sie h¨ angt hyperbolisch vom Schlankheitsgrad λ ab (so genannte EULER-Hyperbel, vgl. Bild 8.24). Die oben ausgesprochenen, beide zu erf¨ ullenden Dimensionierungsbedingungen lauten damit: σd < σK ,

σd < σF .

(8.92a,b)

Die in den Ungleichungen (8.92) auftretenden Grenzen σK und σF sind in Bild 8.24 eingezeichnet. ¾ ¾K ..

¾F

U

¾d ¸ Bild 8.24. Zur Begrenzung des elastischen Knickens

Zur Veranschaulichung der n¨ otigen Schlankheitsgrade f¨ ur elastisches Knicken ¨ ¨ bestimmt. Dort gilt σF = σK und folglich werde der Ubergangspunkt U ur einen Stahl E/σF ≈ 103 angenommen, so muss λ = π E/σF . Wird z. B. f¨ der Schlankheitsgrad die Bedingung λ  100 erf¨ ullen. Bei einer Knickl¨ange ormigem Stabquerschnitt mit dem Radius R ergibt sich aus lK = l und kreisf¨ (8.90) f¨ ur das Verh¨ altnis von Stabl¨ ange zu Stabradius l/R  50.

8.3

Knicken elastischer St¨ abe

211

Infolge elastoplastischen Knickens, das hier nicht behandelt werden kann, tritt ¨ im Ubergangsbereich zwischen Fließen des gesamten Stabquerschnittes und rein elastischem Knicken eine weitere, gestrichelt angegebene Begrenzungslinie auf. Diese kann in die erforderlichen Sicherheitsfaktoren eingearbeitet werden, welche die Grenzspannungen der Ungleichungen in zul¨assige Spannungen u uhren und dabei insbesondere auch geometrische Imperfektionen ¨ berf¨ und andere Unzul¨ anglichkeiten der Modelle ber¨ ucksichtigen.

Kapitel 9 Rotationssymmetrische Spannungszust¨ ande

9

9

9 9.1 9.2 9.2.1 9.2.2 9.2.3 9.2.4 9.3 9.3.1 9.3.2 9.3.3

Rotationssymmetrische Spannungszust¨ ande Membrantheorie von Rotationsschalen ...................... Kreiszylinder und Kreisscheiben ............................... Grundlagen ........................................................ Ebener Spannungszustand ..................................... Ebener Verzerrungszustand .................................... Konstante Axialdehnung........................................ Rotationssymmetrisch belastete Kreisplatten............... Voraussetzungen ................................................. Grundgleichungen ................................................ Anwendungsf¨alle .................................................

215 219 219 223 232 235 238 238 240 246

9 Rotationssymmetrische Spannungszust¨ ande Im Folgenden werden Rotationsk¨ orper betrachtet, die rotationssymmetrisch belastet sind, so dass der Spannungszustand nicht von der Umfangskoordinate abh¨ angt und eine Hauptachse des Spannungszustandes in Umfangsrichtung zeigt. Die genannten Eigenschaften des Spannungszustandes gelten wegen der vorausgesetzten Isotropie des Materials auch f¨ ur den Verzerrungszustand.

9.1 Membrantheorie von Rotationsschalen Rotationssymmetrische Spannungszust¨ ande k¨ onnen auf Zweiachsigkeit beschr¨ ankt sein (vgl. Abschnitt 2.2). Wir geben hierf¨ ur zwei technisch wichtige Beispiele an. Die d¨ unnwandige Kugelschale nach Bild 9.1 mit h  R unterliege dem statischen Innendruck p, der z. B. durch eine Gasf¨ ullung auf die Innenwand ausge¨ ubt wird.

h p

R

Bild 9.1. D¨ unnwandige Kugelschale unter Innendruck

Wegen der D¨ unnwandigkeit der Kugelschale darf die statische Annahme getroffen werden, dass die tangential zur Umfangsrichtung orientierte Normalaßig u spannung σt gleichm¨ ¨ber der Wanddicke h verteilt ist. Eine solche u ¨ ber der Wanddicke konstante Normalspannung heißt Membranspannung.

R ¾t

p

h ¾t

Bild 9.2. Durchmesserschnitt der Kugelschale

Der Durchmesserschnitt gem¨ aß Bild 9.2 erlaubt, die Kr¨aftebilanz f¨ ur eine Kugelschalenh¨ alfte aufzustellen, wobei die Schnittfl¨ache durch den Radius R

9.1

216

9. Rotationssymmetrische Spannungszust¨ ande

der Schalenmittelfl¨ ache und die Wanddicke h ausgedr¨ uckt werden kann. Es folgt πR2 · p − 2πRh · σt = 0

↑: bzw.

σt =

pR . 2h

(9.1)

Schubspannungen treten an dem betrachteten Schnitt wegen Symmetrie nicht auf. Deshalb ist die Umfangsspannung eine Hauptspannung. Die statische Annahme gleichm¨ aßig u ¨ ber der Wanddicke verteilter Normalspannungen wird auch f¨ ur die d¨ unnwandige geschlossenen Zylinderschale unter Innendruck nach Bild 9.3a u ¨ bernommen. Sie gilt in einem Segment S der L¨ ange b. Die Begrenzungsebenen des Segmentes senkrecht zur Zylinderachse m¨ ussen eine hinreichende Entfernung a von den Zylinderb¨oden besitzen.

S

p

b

a

¿2R

h

a

a) ¾l

¾t

p

¾t b

p S ¾l b)

c)

Bild 9.3. D¨ unnwandige geschlossene Zylinderschale unter Innendruck a), Durchmesser-

schnitt b) und Axialschnitt c)

Wegen der zweifach zusammenh¨ angenden Form des Zylinders gilt hier das Prinzip von DE SAINT VENANT (vgl. Abschnitt 10.1) in einer modifizierten Form. Ohne Beweis sei darauf verwiesen, dass das Abklingverhalten√der St¨ orung infolge der Zylinderb¨ oden durch die charakteristische L¨ange Rh bestimmt wird. Die Entfernung a sollte um einen gewissen Faktor gr¨oßer als diese Abklingl¨ ange sein, wobei der Faktor von den Genauigkeitsanforderungen abh¨ angt. Die Kr¨ aftebilanz f¨ ur den Zylinderteil nach Bild 9.3b liefert die L¨angsspannung σl . pR → : 2πRh · σl − πR2 p = 0 , σl = . (9.2) 2h

9.1

Membrantheorie von Rotationsschalen

217

F¨ ur die Umfangsspannung σt ergibt sich gem¨ aß Bild 9.3c ↑:

2bh · σt − 2Rb · p = 0 ,

σt =

pR = 2σl , h

(9.3)

also das Doppelte der L¨ angsspannung σl . In Bild 9.3b, c wurden nur die Schnittfl¨ achenkr¨ afte eingetragen, die in die Bilanzen (9.2) und (9.3) eingehen. Die Gleichungen (9.2) und (9.3) beinhalten statische Bestimmtheit. Die betrachteten Schnittfl¨ achen sind wegen Symmetrie wieder frei von Schubspannungen, und die beiden Spannungen σl und σt , die auch als Membranspannungen bezeichnet werden, stellen Hauptspannungen dar. Die Beziehungen (9.1) bis (9.3) werden Kesselformeln genannt. In sie geht das Verh¨ altnis R/h  1 ein, woraus σl , σt  p folgt. Deshalb kann in allen F¨ allen die Radialspannung σr , deren Betrag in der Kesselwand von |σr | = p am Innenrand auf |σr | = 0 am Außenrand abnimmt, im Vergleich zu σl und σt vernachl¨ assigt werden. Dies muss nicht mehr gelten, wenn gleichzeitig Innenund Außendruck auftreten. Die Formeln (9.1) bis (9.3) d¨ urfen dann immer noch angewendet werden, sofern vorherrschender Außendruck nicht Ausbeulen der Schalen verursacht. Statt des Druckes p ist die Differenz zwischen Innen- und Außendruck einzusetzen. Bei reinem Innen- oder Außendruck f¨ uhren die Kesselformeln n¨aherungsweise auf zweiachsige Spannungszust¨ ande in bekannten Hauptrichtungen. Das Hauptachsensystem des ebenen Spannungszustandes in der Kugelschale liegt wegen der Gleichheit der beiden von null verschiedenen Hauptspannungen mit beliebiger Orientierung parallel zur Tangentialebene der Schalenmittelfl¨ache. Die Hauptachsen des ebenen Spannungszustandes in der Zylinderschale sind parallel zu einer Mantellinie und zur Umfangsrichtung orientiert. Wir untersuchen noch die radiale Aufweitung ΔRK der Kugelschale (Bild 9.4).

¢RK

R

Bild 9.4. Zur radialen Aufweitung der Kugelschale

Dazu gehen wir von der Tangential- oder Umfangsdehnung εtK der Kugel εtK =

ΔRK 2π(R + ΔRK ) − 2πR = 2πR R

(9.4)

aus. In (9.4) wurde die Umfangs¨ anderung auf den Umfang bezogen. Das HOOKEsche Gesetz hat f¨ ur die lokale Orientierung des Hauptachsensystems

218

9. Rotationssymmetrische Spannungszust¨ ande

des ebenen Spannungszustandes anstelle des kartesischen Bezugssystems von (2.52) bis (2.54) die Form εtK =

1 1−ν (σt − νσt ) = σt E E

(9.5)

ΔRK 1 − ν pR · = . E 2h R

(9.6)

bzw. mit (9.1) und (9.4) εtK =

Im Fall der Zylinderschale ist die Umfangsdehnung εtZ infolge der radialen orten Segment S (Bild 9.3a) analog zu (9.4) Aufweitung ΔRZ im ungest¨ εtZ =

ΔRZ . R

(9.7)

Das HOOKEsche Gesetz (2.52) bis (2.54) f¨ ur den ebenen Spannungszustand im lokal orientierten Hauptachsensystem des Zylindersegmentes S ergibt mit (9.2) und (9.3) sowie (9.7) εtZ =

ΔRZ 1 2 − ν pR (σt − νσl ) = = . E E 2h R

(9.8)

Aus (9.6) und (9.8) folgt ΔRZ 2−ν >1. = ΔRK 1−ν

(9.9)

Dieses Ergebnis hat Konsequenzen, wenn ein Kessel z. B. aus einem Kreiszylinder und halbkugeligen B¨ oden zusammengesetzt wird. Die infolge Innendruck verursachten unterschiedlichen Aufweitungen der Teile m¨ ussen durch entsprechende Biegeverformungen ausgeglichen werden (Bild 9.5).

Bild 9.5. Biegeverformungen eines zusammengesetzten Kessels

Zus¨ atzlich zu den schon vorhandenen Membranspannungen enstehen dann noch Biegenormal- und Querkraftschubspannungen. Dies gilt sinngem¨aß auch f¨ ur andere Formen der Kesselb¨ oden. Auf die entsprechenden Details kann hier nicht eingegangen werden.

9.2

Kreiszylinder und Kreisscheiben

219

9.2 Kreiszylinder und Kreisscheiben Die im Folgenden zu untersuchenden Rotationsk¨orper haben die Form von Kreiszylindern oder Kreisscheiben. Hohlzylinder und Ringscheiben werden mit einbezogen. M¨ ogliche rotationssymmetrische Belastungen sind Innendruck, Außendruck, L¨ angskr¨ afte, Temperaturfelder mit radialen Gradienten und Tr¨ agheitskr¨ afte infolge konstanter Winkelgeschwindigkeit um die Achse der Rotationsk¨ orper. Alle Lasten werden als unabh¨angig von den Koordinaten in Umfangs- und Achsrichtung angenommen. Rotationssymmetrische Spannungszust¨ ande k¨ onnen auch durch rotationssymmetrische Radialverschiebungen verursacht werden. Die genannten Modelle idealisieren Bau¨ Ihr Studium hat deshalb teile wie Wellen, Naben, rotierende Scheiben u. A. unmittelbare technische Bedeutung. Dar¨ uber hinaus k¨onnen die dabei gewonnenen analytischen Ergebnisse als Grundlage der notwendigen Tests von Computerrechnungen dienen. Wegen der kreiszylindrischen Geometrie ist es zweckm¨ aßig, ein Zylinderkoordinatensystem zu benutzen. 9.2.1 Grundlagen Wie schon bei Ermittlung der Beanspruchungen in St¨aben infolge Zug, Torsion oder Biegung beruht auch die Berechnung von Spannungen und Verformungen der rotationssymmetrisch belasteten kreiszylindrischen K¨orper auf der gemeinsamen L¨ osung der lokalen statischen, kinematischen und stofflichen Gleichungen. Zur Formulierung der lokalen statischen Bilanzen betrachten wir den Kreisrohrzylinder mit den Zylinderkoordinaten r, ϕ, z nach Bild 9.6.

r

z

Bild 9.6. Kreisrohrzylinder mit Zylinderkoordinaten

An der Stelle r, ϕ, z befindet sich ein Volumenelement, das durch die Koordinatenfl¨ achen r = kr , ϕ = kϕ und z = kz sowie durch die Koordinatenfl¨achen r = kr + dr, ϕ = kϕ + dϕ und z = kz + dz begrenzt wird, wobei die Gr¨oßen kr , kϕ und kz Konstanten darstellen. Dieses Volumenelement ist in Bild 9.7a, b herausgeschnitten und mit zwei Ansichten vergr¨ oßert dargestellt worden. An den Schnittfl¨ achenelementen greifen elementare Schnittkr¨afte an, die sich aus

9.2

220

9. Rotationssymmetrische Spannungszust¨ ande

den jeweiligen Fl¨ achenkr¨ aften (Spannungen) σr , σϕ und σz , multipliziert mit den dazugeh¨ origen Fl¨ achenelementen, ergeben. In allen Teilskizzen von Bild 9.7 sind nur die in der Zeichenebene liegenden elementaren (differenziellen) Schnittkr¨ afte eingetragen. ¾rrd dz+(¾rrd dz),r dr

frd drdz

dz ¾ dr

¾ dr dz

r ¾rrd dz

a)

dr z

d z

¾zrd dr+(¾zrd dr),z dz

¾zrd dr

dz

b)

¾rdrd dz

¾ dr dz ¾ drdzd c)

d

¾

drdz

dz ¾ dr d d)

dr

¾ dr dz

z

Bild 9.7. Volumenelement mit elementaren Kr¨ aften

¨ In Ubereinstimmung mit der Rotationssymmetrie bleiben Vorder- und R¨ uckseite des Volumenelementes gem¨ aß Bild 9.7a frei von Schubspannungen in Umfangsrichtung ϕ und die Fl¨ achen ϕ = konst. frei von Schubspannungen in z-Richtung. Aus gleichem Grund entfallen die Schubspannungen an den Fl¨ achen ϕ = konst. in r-Richtung. F¨ ur Zylinderl¨angen, die sehr viel gr¨oßer als die Außendurchmesser sind, k¨ onnen außerhalb von Lasteinleitungsbereichen auch die Schubspannungen an Fl¨ achen z = konst. in r-Richtung einschließlich der zugeordneten Schubspannungen weggelassen werden. Des Weiteren uglich der Winkel¨anderung dϕ. besitzt die Kraft σϕ drdz kein Differenzial bez¨ Das Kraftdifferenzial σr rdϕdz bekommt beim Fortschreiten um das Koordinatendifferenzial dr den Zuwachs (σr rdϕdz),r dr, wobei das Symbol (...),r = ∂(...)/∂r wie in Abschnitt 2.2 die partielle Ableitung nach r bezeichnet. An dem Volumenelement greift auch eine mit der Rotationssymmetrie vertr¨ agliche Volumenkraft f in radialer Richtung, z. B. infolge Rotation des Zyur die radiale Kr¨aftebilinders, an. Sie wird in N/m3 gemessen. Ihr Beitrag f¨ lanz ergibt sich durch Multiplikation mit dem Inhalt rdϕdrdz des Volumenelementes. In z-Richtung liege keine Volumenkraft vor. Dies zeigt Bild 9.7b. Das Symbol (...),z = ∂(...)/∂z bezeichnet wieder die partielle Ableitung, jetzt in zRichtung.

9.2

Kreiszylinder und Kreisscheiben

221

Wegen der getroffenen Voraussetzungen geben die Koordinaten r, ϕ und z in jedem K¨ orperpunkt die Hauptrichtungen des Spannungstensors mit den Hauptspannungen σr , σϕ und σz an. In der Kr¨ aftebilanz bez¨ uglich der z-Richtung heben sich die elementaren Kr¨ afte σz rdϕdr heraus, so dass nur (σz rdϕdr),z dz = rdϕdrdzσz,z = 0 bzw. σz,z = 0

(9.10)

verbleibt, da die Gr¨ oßen r, dϕ und dr bei partieller Ableitung nach z als Konstanten anzusehen sind. Wegen (9.10) und der Rotationssymmetrie kann die Axialspannung σz nur noch eine Funktion der Radiuskoordinate r sein. In der Kr¨ aftebilanz bez¨ uglich der r-Richtung in Bild 9.7a kompensieren sich die beiden elementaren Kr¨ afte σr rdϕdz. Es muss jedoch die Resultierende der ucksichtigt beiden elementaren Umfangskr¨ afte σϕ drdz gem¨aß Bild 9.7c ber¨ werden. Die radiale Kr¨ aftebilanz lautet damit ↑:

f rdϕdrdz + (σr rdϕdz),r dr − σϕ drdzdϕ = 0

bzw. mit der Notation (...),r = ∂(...)/∂r = (...) (σr r) − σϕ + f r = 0 .

(9.11)

Die beiden statischen Gleichungen (9.10) und (9.11) enthalten die drei Unbekannten σr , σϕ und σz . Das Gleichungssystem ist also statisch unbestimmt. Erg¨ anzend sei hier vermerkt, dass die in Zylinderkoordinaten geschriebenen lokalen Kr¨ aftebilanzen (9.10) und (9.11), abgesehen von der vorausgesetzten Rotationssymmetrie und den weggelassenen Schubspannungen, nichts grunds¨ atzlich Neues gegen¨ uber den in Kapitel 2 angedeuteten und in Kapitel 12 vollst¨ andig aufgeschriebenen kartesischen Darstellungen enthalten. Beide Varianten sind physikalisch ¨ aquivalent und lassen sich mit Hilfe der Tensoranalysis ineinander umrechnen. Da wir einerseits hier u ¨ber dieses Werkzeug nicht verf¨ ugen und andererseits die lokalen Kr¨ aftebilanzen nicht in voller Allgemeinheit ben¨ otigen, stellten wir zweckm¨ aßigerweise die lokalen Kr¨aftebilanzen nochmals direkt in Zylinderkoordinaten auf. Wegen der statischen Unbestimmtheit der Beziehungen (9.10) und (9.11) m¨ ussen die kinematischen und die stofflichen Gleichungen hinzugezogen werden. Die kinematischen Zusammenh¨ ange zwischen Verschiebungen und Verzerrungen liegen mit (2.43) schon vor. Hinsichtlich ihrer m¨oglichen Umrechnung in Zylinderkoordinaten gilt das schon bez¨ uglich der lokalen Kr¨aftebilanzen

222

9. Rotationssymmetrische Spannungszust¨ ande

Gesagte, d. h. wir leiten die ben¨ otigten Gleichungen in Zylinderkoordinaten unter Ausnutzung der Rotationssymmetrie nochmals her. F¨ ur die beabsichtigte Verwendung des HOOKEschen Gesetzes, welches isotropes Material beschreibt, stimmen die Hauptrichtungen des Spannungs- und Verzerrungstensors u uglich der Hauptrichtungen r, ϕ, z ¨ berein, d. h. wegen (2.59) entfallen bez¨ mit den Schubspannungen auch die Schubverzerrungen. Wir betrachten in Bild 9.8 das unverzerrte Kreisringsegment mit den Ecken A, B, C und D. D¢ D dr

C¢ C A¢

ur+ ur,r dr

B¢

A

B d

ur

r Bild 9.8. Zur Herleitung der Verzerrungen

Dieses Segment wird bei Gew¨ ahrleistung der Rotationssymmetrie in das Segment mit den Ecken A , B  , C  und D verzerrt. Die radiale Dehnung εr des Segmentes ergibt sich aus der Verl¨ angerung der L¨ange dr, bezogen auf die L¨ ange dr. Dieser Sachverhalt kann durch die Radialverschiebung ur des Punktes B nach B  und die Radialverschiebung ur + (∂ur /∂r)dr = ur + ur,r dr des uckt werden: Punktes C nach C  ausgedr¨ εr =

B  C  − BC dr + ur + ur dr − ur − dr = ur,r = ur . = dr BC

(9.12)

Die Umfangsdehnung εϕ folgt aus der Verl¨ angerung des Bogens rdϕ, bezogen auf die L¨ ange dieses Bogens, unter Zuhilfenahme der Radialverschiebung ur des Punktes B nach B  , also aus εϕ =

  (r + u )dϕ − rdϕ u r r = =  rdϕ r AB

A B  − AB

.

(9.13)

Die Axialdehnung εz berechnet sich wegen der rechtwinkligen Anordnung gem¨ aß Bild 9.7b aus der Axialverschiebung uz wie in kartesischen Koordinaten nach (2.40) mittels der partiellen Ableitung εz =

∂uz . ∂z

(9.14)

Wegen des Verschwindens der Schubverzerrungen in dem Zylinderkoordinatensystem zeigen die Koordinaten r, ϕ und z in jedem K¨orperpunkt die

9.2

Kreiszylinder und Kreisscheiben

223

Hauptrichtungen des Verzerrungstensors mit den Hauptwerten εr , εϕ und εz an. Als Materialgleichungen dienen die Beziehungen (2.60) des HOOKEschen Gesetzes einschließlich Temperaturglied. Es sind nur die kartesischen Indizes x, y und z durch die Indizes r, ϕ und z des Zylinderkoordinatensystems auszutauschen. Das ist erlaubt, weil beide Bezugssysteme orthonormiert und die Gleichungen (2.60) rein algebraischer Natur, d. h. frei von Ortsableitungen, sind. Die an verschiedenen K¨ orperpunkten unterschiedliche Orientierung des Zylinderkoordinatensystems gegen¨ uber der an allen K¨orperpunkten gleichen Orientierung des kartesischen Koordinatensystems wird infolge der lokalen G¨ ultigkeit des HOOKEschen Gesetzes ber¨ ucksichtigt. Das Ergebnis der Umbenennung lautet 1 [σr − ν(σϕ + σz )] + αΔT , E 1 εϕ = [σϕ − ν(σr + σz )] + αΔT , E 1 εz = [σz − ν(σr + σϕ )] + αΔT . E εr =

(9.15a,b,c)

Im Folgenden werden die Lasten weiter spezifiziert. 9.2.2 Ebener Spannungszustand Der ebene Spannungszustand f¨ ur scheibenf¨ ormige K¨orper wurde bereits in Abschnitt 2.2 besprochen. Er wird jetzt durch die Rotationssymmetrie eingeschr¨ ankt. Wir nehmen eine konstante Scheibendicke an, die wesentlich kleiner als der Radius einer Vollscheibe bzw. als die Radiusdifferenz einer Ringscheibe ist. Die ¨ außeren Kr¨ afte seien parallel zur Scheibenebene orientiert und gleichm¨ aßig u ber der Scheibendicke verteilt. Dann bleibt die Scheibe ¨ n¨ aherungsweise frei von Normal- und Schubspannungen in z-Richtung. Die einzige verbleibende unabh¨ angige Ortsvariable, von der Spannungen und Dehnungen abh¨ angen, ist der Radius r. Der Verschiebungszustand in der r, ϕEbene kann allein durch die Radialverschiebung ur beschrieben werden. Das ¨ Ziel der anschließenden Uberlegungen besteht deshalb darin, eine Gleichung zur Bestimmung der Funktion ur (r) aufzustellen. Zun¨ achst l¨ osen wir das Gleichungssystem (9.15a, b) unter Beachtung von σz = 0 nach den Spannungen σr und σϕ auf.  E  εr + νεϕ − (1 + ν)αΔT , 1 − ν2  E  σϕ = εϕ + νεr − (1 + ν)αΔT . 1 − ν2 σr =

(9.16a) (9.16b)

224

9. Rotationssymmetrische Spannungszust¨ ande

Einsetzen in die Gleichgewichtsgleichung (9.11) ergibt f¨ ur konstante Materialparameter E, ν und α zun¨ achst σr r + σr − σϕ + f r  E  r(εr + νεϕ ) + (1 − ν)(εr − εϕ ) − r(1 + ν)αΔT  + f r = 0 = 2 1−ν bzw. nach Substitution von εr = ur und εϕ = ur /r aus (9.12) und (9.13) sowie Division durch r ur +

1  ur ur 1 − ν2 − 2 = (rur ) = (1 + ν)αΔT  (r) − f (r) . r r r E

(9.17)

Von der Richtigkeit des mittleren Terms u ¨ berzeugt man sich durch Ausdifferenzieren. Die Beziehung (9.17) stellt eine gew¨ ohnliche lineare inhomogene Differenzialgleichung f¨ ur die gesuchte Radialverschiebungsfunktion ur (r) dar. Ihre allgemeine L¨ osung ist bei gegebenen St¨ orfunktionen ΔT (r) und f (r) unter Nutzung des mittleren Terms von (9.17) durch direkte Integration bestimmbar. Wegen der zweiten Ordnung der Differenzialgleichung werden zur Bestimmung spezieller L¨ osungen zwei Randbedingungen ben¨otigt. Wie in den Abschnitten 2.2 und 2.4 schon bemerkt, sind an jedem der beiden R¨ander statische Festlegungen mittels des Spannungsvektors oder kinematische mittels des Verschiebungsvektors zu treffen, die beide aus der technischen Aufgabenstellung gewonnen werden m¨ ussen. Da das vorliegende Problem eben und rotationssymmetrisch ist, verbleiben nur Festlegungen f¨ ur die radiale Richtung. Die diesbez¨ ugliche Koordinate des Spannungsvektors ist die Fl¨achenkraft Radialspannung σr , die entsprechende Koordinate des Verschiebungsvektors die Radialverschiebung ur . An einem Rand ist nur eine von beiden Vektorkoordinaten vorgebbar. Es existieren jedoch immer zwei R¨ander, so dass zwei Randbedingungen zu formulieren sind. Bei Vollscheiben entartet der Innenrand zu einem Punkt, dem Mittelpunkt der Scheibe. Dort m¨ ussen die Rabereinstimmen. Denn nach dialspannung σr und die Umfangsspannung σϕ u ¨ Bild 9.7c, d gilt f¨ ur r = 0 die Bilanz ↑:

σr drdϕdz − σϕ drdzdϕ = 0

und folglich σr = σϕ . In technischen Anwendungen kommt als Volumenkraft die Tr¨agheitskraft infolge Rotation um die z-Achse vor. Ihre Gr¨ oße betr¨agt f (r) = ρω 2 r ,

(9.18)

9.2

Kreiszylinder und Kreisscheiben

225

wobei ω die Winkelgeschwindigkeit und ρ die Dichte bezeichnen. Einsetzen in (9.17) und zweimalige Integration liefern nacheinander (rur ) = 2C1 r + (1 + ν)αΔT r − α C2 + (1 + ν) ur = C1 r + r r

1 − ν2 2 3 ρω r , 2E

r

ΔT r¯d¯ r−

1 − ν2 2 3 ρω r . 8E

(9.19)

a

Wie erwartet, treten zwei Integrationskonstanten 2C1 bzw. C1 und C2 auf. Die untere Integrationsgrenze a ist beliebig w¨ ahlbar, sofern die Integrationskonstante C2 noch nicht festliegt. Sie kann z. B. bei einer Ringscheibe gleich dem Innenradius und bei einer Vollscheibe null gesetzt werden. Zur Berechnung der Spannungen σr und σϕ setzen wir die Verzerrungen εr und εϕ aus (9.12) und (9.13) in (9.16) ein:  E   ur − (1 + ν)αΔT , ur + ν 2 1−ν r  E  ur σϕ = + νur − (1 + ν)αΔT . 2 1−ν r σr =

(9.20a) (9.20b)

Die Spannungen (9.20) sind durch die Radialverschiebung (9.19) ausdr¨ uckbar. Hierzu f¨ uhren wir noch die neuen Konstanten K1 =

E C1 , 1−ν

K2 =

E C2 1+ν

(9.21a,b)

ein. Die Radialverschiebung ur sowie die Spannungen σr und σϕ lauten dann α 1−ν 1 + ν K2 K1 r + + (1 + ν) ur = E E r r σr = K1 −

K2 Eα − 2 2 r r

r ΔT r¯d¯ r−

1 − ν2 2 3 ρω r , (9.22) 8E

a

r ΔT r¯d¯ r−

3+ν 2 2 ρω r , 8

(9.23)

a

r  1 + 3ν K2 1 ρω 2 r2 . ΔT r¯d¯ r − σϕ = K1 + 2 − Eα ΔT − 2 r r 8

(9.24)

a

Wir betrachten jetzt den homogenen Sonderfall ΔT ≡ 0, ω = 0. Gegeben sei die Ringscheibe nach Bild 9.9 unter bekanntem radialen Innenzug σi und Außenzug σa . Es gilt nach (9.23)und (9.24) σr = K1 −

K2 , r2

σϕ = K1 +

K2 . r2

(9.25a,b)

226

9. Rotationssymmetrische Spannungszust¨ ande

¾i

r

¾a

2a 2b Bild 9.9. Ringscheibe unter radialem Innen- und Außenzug

Die Randbedingungen sind statischer Natur, da an den beiden R¨andern die radialen Fl¨ achenkr¨ afte σi und σa gegeben sind. Sie lauten σr (a) = σi ,

σr (b) = σa

(9.26a,b)

und liefern zusammen mit (9.25a) das Gleichungssystem K1 −

K2 = σi , a2

K1 −

K2 = σa b2

(9.27a,b)

f¨ ur die beiden unbekannten Integrationskonstanten K1 und K2 mit der L¨osung K1 =

a2 b2 σi 2 − ab2

σa − 1

,

K2 =

a2 (σa − σi ) . 2 1 − ab2

(9.28a,b)

Zur Veranschaulichung des Ergebnisses diene die gelochte Scheibe mit dem Radienverh¨ altnis a/b → 0. Dies f¨ uhrt auf K1 = σa und K2 = a2 (σa − σi ). Zwei Belastungssituationen seien f¨ ur die Auswertung von (9.25) gegeben: a) Der Innenzug verschwindet, d. h. σi = 0. K1 = σa ,

K2 = a2 σa ,

σr = σa (1 −

a2 ), r2

σϕ = σa (1 +

a2 ). r2

(9.29)

Die Spannungsverl¨ aufe sind in Bild 9.10a qualitativ dargestellt. Die Kontrolle der Radialspannung an den R¨andern r = a und r = b best¨ atigt die Erf¨ ullung der statischen Randbedingungen. F¨ ur die Umfangsspannung σϕ ergibt sich am Lochrand σϕ (a) = 2σa , d. h. eine Spannungs¨ uberh¨ ohung um den so genannten Formfaktor σϕ (a)/σa = 2 gegen¨ uber dem Wert σϕ (b) = σa weit weg vom Lochrand. Dieses wichtige Ergebnis ist bei der Dimensionierung von gelochten Scheiben unter Spr¨ odbruchbedingungen zu ber¨ ucksichtigen.

9.2

Kreiszylinder und Kreisscheiben

227

¾

2¾a

pi

¾a

d ¾r

2a

¾

pi

¾r

¾a a)

b)

2b

Bild 9.10. Spannungen in einer gelochten Scheibe unter Außenzug a) und Innendruck b)

b) Der Außenzug verschwindet, w¨ ahrend am Innenrand der radiale Druck pi herrscht, d. h. σa = 0, σi = −pi . K1 = 0 ,

K 2 = a2 p i ,

σr = −pi

a2 , r2

σϕ = pi

a2 . r2

(9.30)

Bild 9.10b enth¨ alt die qualitativen Spannungsverl¨aufe. Die Radialspannungen am Innen- und Außenrand best¨ atigen wieder die Erf¨ ullung der statischen Randbedingungen. F¨ ur die Vollscheibe entartet ein Rand, wie schon bemerkt, zu einem Punkt, dem Mittelpunkt der Scheibe. Dort ist die Radialverschiebung aus (9.22) null. Außerdem sind in diesem Sonderfall die Spannungen σr aus (9.23) und σϕ aus (9.24) auf der Rotationsachse gleich groß, und sie bleiben beschr¨ankt. Beide Forderungen bedingen K2 = 0 und folglich ur =

1−ν K1 r , E

σr = σϕ = K1 .

(9.31)

Unterliegt die Vollscheibe am Außenrand der radialen Zugspannung σa , so ergibt sich ein homogener zweiachsiger Spannungszustand σr = σϕ = σa , dessen Hauptachsen beliebig orientiert sind und der deshalb auch als isotrop in seiner Ebene bezeichnet wird. Die dazugeh¨ orige Radialverschiebung ist ahrend sich die Verzerrungen aus (9.12) und (9.13) zu ur = (1 − ν)σa r/E, w¨ εr = εϕ =

1−ν σa E

(9.32)

ergeben. Dasselbe Ergebnis folgt aus (2.52), (2.53) mit σz = 0 und der Isotropie des Spannungszustandes σx = σy = σa .

228

9. Rotationssymmetrische Spannungszust¨ ande

Zur Untersuchung der erw¨ armten Vollscheibe ohne Volumenkraft nach Bild 9.11 benutzen wir die radiale Verschiebung in der Form (9.19) C2 α ur = C1 r + + (1 + ν) r r

r ΔT r¯d¯ r.

(9.33)

0

¢T(r)

r Æ2b

Bild 9.11. Erw¨ armte Vollscheibe

Die Forderung ur (0) = 0 f¨ uhrt im dritten Summanden von (9.33) auf den unbestimmten Ausdruck 0/0. Hier kann die Regel von L’HOSPITAL (16611704) angewendet werden, wobei Z¨ ahler und Nenner durch ihre Ableitungen zu ersetzen sind:  r 1 rΔT (r)  ΔT (¯ r )¯ r d¯ r= =0. (9.34) lim  r→0 r 1 r=0 0

Damit ergibt sich aus ur (0) = 0 wieder C2 = 0. Dieses Ergebnis liefert nach Einsetzen der Radialverschiebung (9.33) in (9.20a) die Radialspannung  E α (1 + ν)C1 − (1 − ν 2 ) 2 σr = 2 (1 − ν ) r

r

ΔT r¯d¯ r .

(9.35)

0

Zur Bestimmung der verbliebenen Integrationskonstante C1 dient die statische Randbedingung am kr¨ aftefreien Außenrand r = b. Sie lautet σr (b) = 0

(9.36)

bzw. mit (9.35) α C1 = (1 − ν) 2 b

b ΔT rdr .

(9.37)

0

Die Radialspannung σr folgt durch Einsetzen von (9.37) in (9.35) zu r  1 b 1 σr = Eα 2 ΔT (r)rdr − 2 ΔT (¯ r)¯ r d¯ r b r 0

0

(9.38)

9.2

Kreiszylinder und Kreisscheiben

229

und die Umfangsspannung σϕ mit C2 = 0, (9.37), (9.33) und (9.20b) zu r  1 b 1 ΔT (¯ r)¯ r d¯ r − ΔT (r) . σϕ = Eα 2 ΔT (r)rdr + 2 b r 0

(9.39)

0

In den Endergebnissen (9.38) und (9.39) wurde zur Erinnerung an die Ortsabh¨ angigkeit des Temperaturfeldes das Argument r mitgeschrieben. Beispiel 9.1 F¨ ur die rotationssymmetrisch erw¨ armte Vollscheibe nach Bild 9.12 sind die Radial- und die Tangentialspannungsverteilungen gesucht und mit der Voraussetzung b = 2c grafisch darzustellen. ¢T 0 Æ2c Æ2b

Bild 9.12. Vollscheibe mit speziellem Temperaturprofil

L¨osung: Es sind die allgemeinen Gleichungen (9.38) und (9.39) f¨ ur das gegebene spezielle Temperaturprofil auszuwerten. Die in (9.38) und (9.39) enthaltenen Integrale lauten  2 r b ΔT0 r2 , r ≤ c c2 , . ΔT (¯ r)¯ r d¯ r= ΔT (r)rdr = ΔT0 2 2 ΔT0 c2 , r > c 0 0 Die analytischen Ausdr¨ ucke der Spannungen m¨ ussen f¨ ur den erw¨armten und den kalten Bereich getrennt aufgeschrieben werden. Mit der Abk¨ urzung EαΔT0 = σ0 ergibt sich 0≤r≤c, c 0 einhergehen. Der Z¨ahlpfeil der Querkraft zeigt am positiven Schnittufer, d. h. auf der Seite des Plattenelementes, wo der Radius r um das Differenzial dr zugenommen hat, in positive z-Richtung. Auf dem Plattenelement greift auch eine Fl¨ achenkraft p in z-Richtung an. F¨ ur die Formulierung der Gleichgewichtsbilanzen sind die Schnittreaktionen, multipliziert mit den L¨ angen, auf denen sie wirken, zu benutzen. Zu ber¨ ucksichtigende Lastdifferenziale bez¨ uglich der Radiuskoordinate r m¨ ussen deshalb von den entsprechenden Produkten aus Schnittreaktion und diffe¨ renzieller Wirkungsl¨ ange gebildet werden. Damit wird jeweils die Anderung sowohl der statischen als auch der geometrischen Gr¨oße infolge der krummli¨ nigen Elementberandungen erfasst. Ahnlich wurde auch bei der Aufstellung der Kr¨ aftebilanz (9.11) f¨ ur die Kreisscheibe verfahren. Die Kr¨ aftebilanz in z-Richtung ⊗ :

prdϕdr + qr rdϕ + (qr rdϕ),r dr − qr rdϕ = 0

ergibt mit der Bezeichnung (. . .),r = (. . .) pr + (qr r) = 0 .

(9.53)



Die Momentenbilanz in r-Richtung :

mϕ dr − mϕ dr = 0

gen¨ ugt der Rotationssymmetrie. Die Momentenbilanz in ϕ-Richtung



:

−mr rdϕ + mr rdϕ + (mr rdϕ),r dr − mϕ drdϕ − qr rdϕdr = 0

enth¨ alt im vorletzten Term die mit dem Winkel dϕ berechnete Resultierende der beiden Momente mϕ dr und als letzten Term das Moment der Querkraft uglich der Achse A − A (Bild 9.20). Differenziale h¨oherer Ordnung qr rdϕ bez¨ werden wie schon fr¨ uher weggelassen, da sie im Grenz¨ ubergang exakt gegen null gehen. Das Ergebnis der Bilanz ist (mr r) − mϕ − qr r = 0 .

(9.54)

Die Differenziation von (9.54) nach dem Radius r und die Benutzung von (9.53) gestatten die Elimination von (qr r) , so dass (mr r) − mϕ = −pr

(9.55)

242

9. Rotationssymmetrische Spannungszust¨ ande

entsteht. Die resultierende statische Gleichung (9.55) enth¨alt die beiden unbekannten Schnittmomente mr und mϕ , ist also einfach statisch unbestimmt. Zur Berechnung der Verzerrungen betrachten wir die Verformungskinematik eines Plattenquerschnitts in der r, z-Ebene (Bild 9.21).

r , ur

w w¢

z

P

z

-ur z,w Bild 9.21. Zur Verformungskinematik eines Plattenquerschnitts

Da die Durchbiegung w der Plattenmittelfl¨ache voraussetzungsgem¨aß viel kleiner als die lateralen Plattenabmessungen bleibt, entsteht eine nur geringe Verdrehung der Mittelfl¨ achentangente, die n¨aherungsweise durch die Ableitung der Durchbiegung nach dem Radius w (r) beschrieben werden kann. Sie verursacht f¨ ur den an der Stelle z befindlichen Plattenpunkt P die Radialverschiebung ur = −zw .

(9.56)

Das Minuszeichen ber¨ ucksichtigt den Fakt, dass die Radialverschiebung ur f¨ ur positive z und w negativ ist. Wegen der Rotationssymmetrie sind die Verzerrungen εr und εϕ wie in Abschnitt 9.2 Hauptdehnungen. Sie ergeben sich nach (9.12) und (9.13) aus (9.56) zu εr = ur = −zw (r) ,

εϕ =

ur w (r) = −z . r r

(9.57a,b)

Das HOOKEsche Gesetz f¨ ur den ebenen Spannungszustand mit ΔT = 0 entnehmen wir (9.16): σr =

E (εr + νεϕ ) , 1 − ν2

σϕ =

E (εϕ + νεr ) . 1 − ν2

(9.58a,b)

Diese Spannungen stellen wie die Dehnungen Hauptwerte dar. Einsetzen von (9.57) in (9.58) liefert σr = −

E w (w + ν )z , 2 1−ν r

σϕ = −

E w ( + νw )z , 2 1−ν r

(9.59a,b)

9.3

Rotationssymmetrisch belastete Kreisplatten

243

wo die Durchbiegung w(r) nicht von z abh¨ angt. Damit folgt f¨ ur die Schnittmomente aus (9.51) h

2

E w  mr = − ) (w + ν 1 − ν2 r

z 2 dz = −

−h 2

Eh3 w  (w ), + ν 12(1 − ν 2 ) r

(9.60a)

w Eh3 ( + νw ) . 12(1 − ν 2 ) r

(9.60b)

h

E w mϕ = − + νw ) ( 1 − ν2 r

2

z 2 dz = −

−h 2

Die Spannungen (9.59) k¨ onnen mittels (9.60) auch durch die Schnittmomente ausgedr¨ uckt werden: σr =

12mr z, h3

σϕ =

12mϕ z. h3

(9.61a,b)

Wir vergleichen diese Formeln mit der Beziehung (4.8) f¨ ur die gerade Biegung eines Balkens mit Rechteckquerschnitt gem¨ aß Bild 9.22. Mb

h z b

Bild 9.22. Zum Vergleich der Platten- und Balkenbiegespannungen

Das zu ber¨ ucksichtigende Fl¨ achentr¨ agheitsmoment ist I = bh3 /12, so dass sich die Biegespannung σb zu σb =

12Mb Mb z= 3 z I h b

(9.62)

ergibt. Man sieht die Analogie zwischen dem auf die Balkenbreite b bezogenen Biegemoment Mb und den Schnittmomenten pro L¨angeneinheit mr und mϕ der Platte. Es ist u ¨ blich, die so genannte Plattensteifigkeit K=

Eh3 12(1 − ν 2 )

(9.63)

einzuf¨ uhren. Sie entspricht f¨ ur ν = 0 der Biegesteifigkeit eines Balkens mit Rechteckquerschnitt, bezogen auf die Balkenbreite. Wir eleminieren mit (9.60) die Schnittmomente aus (9.55) und verwenden dabei die Abk¨ urzung (9.63): 

(w + ν

w  w pr )r − ( + νw ) = . r r K

244

9. Rotationssymmetrische Spannungszust¨ ande

Ausdifferenzieren f¨ uhrt auf w + 2

 " w w w 1! 1 p − 2 + 3 = r (rw ) . = r r r r r K

(9.64)

Die Richtigkeit des mittleren Terms kann durch Bilden der Ableitungen gezeigt werden. Die Beziehung (9.64) stellt eine gew¨ohnliche lineare inhomogene Differenzialgleichung vierter Ordnung f¨ ur die gesuchte Durchbiegungsfunktion w(r) bei gegebener St¨ orfunktion p(r) dar. Ihre allgemeine L¨osung besteht aus der Summe der mit vier Integrationskonstanten versehenen allgemeinen L¨ osung der homogenen Differenzialgleichung von (9.64) ohne rechte Seite und einer L¨ osung der inhomogenen Differenzialgleichung (9.64) mit rechter Seite. Wegen der besonderen Form des mittleren Terms von (9.64) ist die Differenzialgleichung (9.64) direkt integrierbar. Zur Bestimmung der vier Integrationskonstanten m¨ ussen vier Randbedingungen angegeben werden. Hierf¨ ur stehen bei der Kreisringplatte der Innenund der Außenrand zur Verf¨ ugung. Im Fall der Vollplatte entartet der Innenrand ¨ ahnlich wie bei der Vollkreisscheibe zu einem Punkt. Es gibt kinematische Randbedingungen mit Aussagen u ¨ ber die Durchbiegung w und die achentangente sowie statische Randbedingungen Verdrehung w der Mittelfl¨ mit Festlegungen u oßen mr und qr . An jedem Punkt sind ¨ber die Schnittgr¨ zwei Bedingungen zu stellen: f¨ ur w oder qr und w oder mr . F¨ ur die Ber¨ ucksichtigung der Querkraft kombinieren wir noch (9.54), (9.60) und (9.63) zu 1   w  w − 2 = −K (rw ) , (9.65) qr = −K w + r r r wobei die rechte Seite von (9.65) durch Ausdifferenzieren best¨atigt wird. Hinsichtlich der Vollplatte muss im Zentrum r = 0 die Rotationssymmetrie gew¨ ahrleistet werden, d. h. w (0) = 0 .

(9.66)

Des Weiteren f¨ uhrt eine beschr¨ ankte Druckverteilung p(r) mit Erf¨ ullung der lokalen Kr¨ aftegleichgewichtsbilanz an einem Volumenelement vom Radius dr auf π(dr)2 p(0) + 2π(dr)qr (0) = 0

(9.67)

und folglich zu qr (0) = 0 .

(9.68a)

9.3

Rotationssymmetrisch belastete Kreisplatten

245

Unter der genannten Voraussetzung m¨ ussen die Radialspannung σr und die ur r = 0 u Umfangsspannung σϕ f¨ ¨bereinstimmen und beschr¨ankt bleiben. Dies u agt sich gem¨ aß (9.61) auf die dazugeh¨ orenden Biegemomente, d. h. ¨ bertr¨ mr (0) = mϕ (0) = ∞ .

(9.68b)

Im Fall einer in z-Richtung orientierten axialen Einzelkraft FQ ist die globale Kr¨ aftebilanz an einer Teilplatte vom Radius r aufzustellen: FQ + 2πrqr (r) = 0 ,

qr (r) = −

FQ . 2πr

(9.69)

Sie ergibt f¨ ur r → 0 eine unendlich große Querkraft qr . Die durch sie verursachte Durchbiegung wird durch Einsetzen von (9.69) in (9.65) sowie abwechselnde Multiplikation mit r und unbestimmte Integration bestimmt. Sie ergibt sich aus w=

 r2 FQ C1 + C2 ln r + C3 r2 + ln r , 2πK 4

(9.70)

wobei drei Integrationskonstanten C1 , C2 und C3 auftreten. Die erforderliche Dimensionslosigkeit im Argument der Logarithmusfunktion l¨asst sich durch Benutzung gleichberechtigter anderer Integrationskonstanten nachweisen, z. B. r C1 + C2 ln r = C¯1 − C2 ln r0 + C2 ln r = C¯1 + C2 ln r0 mit C¯1 als neuer Integrationskonstante und r0 als willk¨ urlichen konstanten Bezugsradius. Die Konstante C2 in (9.70) entf¨ allt wegen (9.66). Es verbleibt w=

 FQ r2 C1 + C3 r2 + ln r . 2πK 4

(9.71)

Die restlichen Konstanten C1 und C3 sind aus zwei Bedingungen am Plattenaußenrand zu bestimmen. Bei der speziellen Druckverteilung p(r) = p0 = konst. ergibt die abwechselnde Multiplikation von (9.64) mit dem Radius r und unbestimmte Integration die allgemeinere L¨ osung von (9.64) f¨ ur p = p0 w = A1 + A2 ln r + A3 r2 + A4 r2 ln r +

p0 r 4 64K

(9.72)

mit den vier Integrationskonstanten A1 , . . . , A4 . F¨ ur die Bestimmung der Integrationskonstanten m¨ ussen am Innen- und Außenrand je zwei Bedingungen formuliert werden.

246

9. Rotationssymmetrische Spannungszust¨ ande

9.3.3 Anwendungsf¨ alle Eine kleine Auswahl von Anwendungsf¨ allen soll m¨ogliche Kombinationen von Randbedingungen demonstrieren. a) Bild 9.23: p0

Æ2b

Bild 9.23. Gest¨ utzte Vollplatte unter konstantem Druck p0

Zu den Randbedingungen (9.66) und (9.68a) oder (9.68b) kommen noch die Forderungen nach Verschwinden der Durchbiegung und des Momentes der Radialspannungen am Außenrand r = b hinzu, d. h. mr (b) = 0.

w(b) = 0 ,

(9.73a,b)

b) Bild 9.24: p0 Æ2a Æ2b

Bild 9.24. Gest¨ utzte Kreisringplatte unter konstantem Druck p0

Der Innenrand r = a ist lastfrei, d. h. mr (a) = 0 ,

qr (a) = 0.

(9.74a,b)

Am Außenrand r = b verschwinden die Durchbiegung und das Moment der Radialspannungen, d. h. w(b) = 0 ,

mr (b) = 0.

(9.75a,b)

c) Bild 9.25: q0

q0 qr Æ2a Æ2b

qr r Æ2a

dr

Bild 9.25. Gest¨ utzte Kreisringplatte unter Linienkraft q0

9.3

Rotationssymmetrisch belastete Kreisplatten

247

Am Innenrand verschwindet das Moment der Radialspannungen, w¨ahrend die Querkraft qr wegen der Erf¨ ullung der globalen vertikalen Kr¨aftebilanz ↓:

2πaq0 + 2πaqr = 0

durch die auf dem Kreisumfang mit dem Radius r = a gleichm¨aßig verteilte Linienkraft q0 gegeben ist, d. h. mr (a) = 0 ,

qr (a) = −q0 .

(9.76a,b)

Am Außenrand r = b gelten wieder die Bedingungen (9.73). d) Bild 9.26: m0

m0

m0

m0

mr Æ2a

mr Æ2a

dr

Æ2b

Bild 9.26. Eingespannte Kreisringplatte, belastet durch ein Ringmoment m0

Am Innenrand r = a verschwindet die Querkraft qr , w¨ahrend das Moment der Radialspannungen gleich dem gegebenen Ringmoment ist, d. h. qr (a) = 0 ,

mr (a) = m0 .

(9.77a,b)

Zur Gewinnung von (9.77b) wurde das lokale Momentengleichgewicht des Elementes nach Bild 9.20 herangezogen, da das auf dem Kreis r = a verteilte ullt. Ringmoment m0 die globale Momentenbilanz bereits allein erf¨ Am Außenrand r = b verschwinden die Durchbiegung und die Verdrehung der Mittelfl¨ achentangente, d. h. w(b) = 0 ,

w (b) = 0.

(9.78a,b)

Beispiel 9.7 Die eingespannte Kreisplatte unter konstantem Druck p0 nach Bild 9.27 besteht aus elastischem Material mit dem Elastizit¨atsmodul E und der Querkontraktionszahl ν. Gesucht sind die Durchbiegungsfunktion und die maximale Hauptspannung nach Ort und Gr¨ oße. L¨osung: Die Durchbiegungsfunktion und ihre ersten beiden Ableitungen f¨ ur konstan-

248

9. Rotationssymmetrische Spannungszust¨ ande

¾1 max

p0 h

Æ2b

r w Bild 9.27. Eingespannte Kreisplatte unter konstantem Druck

ten Druck p0 sind nach (9.72) Eh3 p0 r 4 , K= , 64K 12(1 − ν 2 ) p0 r 3 , A2 r−1 + 2A3 r + A4 (2r ln r + r) + 16K 2 3p0 r , −A2 r−2 + 2A3 + A4 (2 ln r + 3) + 16K 3p0 r . 2A2 r−3 + 2A4 r−1 + 8K

w = A1 + A2 ln r + A3 r2 + A4 r2 ln r + w = w = w =

F¨ ur den Ausdruck r ln r bei r = 0 gilt nach der Regel von L’HOSPITAL       ln r  r−1   =0 r ln r = −1  = = −r   −2 r −r 0 0 0 0 und folglich

  r(r ln r) = 0 . 0

Das erstere Ergebnis f¨ uhrt mit der Randbedingung w (0) = 0 nach (9.66) auf A2 = 0, das letztere verweist dann auf die Beschr¨anktheit der Durchbiegung w(0). anktheit des Momentes mr im PlatVerschwindende Querkraft qr bzw. Beschr¨ tenzentrum r = 0 erfordern entsprechend (9.68a) bzw. (9.68b) A4 = 0. Mit dem Verschwinden der Durchbiegung und Verdrehung der Plattenmittelfl¨ achentangente am Außenrand r = b gem¨aß (9.78a, b) ergibt sich p0 b 4 , 64K p0 b 3 . 2A3 b + 16K

w(b) = 0 = A1 + A3 b2 + w (b) = 0 =

9.3

Rotationssymmetrisch belastete Kreisplatten

249

Die L¨ osung dieses Gleichungssystems f¨ ur die beiden verbliebenen Integrationskonstanten A1 und A3 ist A3 = −

p0 b 2 , 32K

A1 =

p0 b 4 . 64K

Sie liefert die Durchbiegungsfunktion w(r) =

p0 b 4 r2 r2 2 r 4  p0 b 4 1−2 2 + 4 = 1− 2 . 64K b b 64K b

Ihr Verlauf ist in Bild 9.27 qualitativ aufgetragen. Damit sind die Schnittmomente (9.60)

r2  p0 b2  r2 p0 b 2  r 2 3 2 −1+ν 2 −1 = 1 + ν − (3 + ν) 2 , mr = − 16 b b 16 b

r2  p0 b2  r2 p0 b 2  r 2 1 + ν − (3ν + 1) mϕ = − − 1 + ν 3 − 1 = . 16 b2 b2 16 b2 Beide h¨ angen monoton von der Radiuskoordinate r ab und besitzen die Randwerte mϕ (0) = mr (0) =

1+ν p0 b 2 , 16

mr (b) = −

p0 b 2 , 8

ν mϕ (b) = − p0 b2 . 8

Die maximalen Spannungen treten wegen (9.61) an den Plattenoberfl¨achen auf. Im vorliegenden Fall ist die Radialspannung am Außenrand r = b f¨ ur z = −h/2 die gesuchte maximale Hauptspannung σ1 max . Sie betr¨agt  h  12mr (b)  h  p0 b2 6 3 b2 = = · · p0 . · − = σ1 max = σr b, − 2 h3 2 8 h2 4 h2 Ihr Ort ist in Bild 9.27 eingezeichnet. Hier muss noch beachtet werden, dass die Einspannung den mit der Plattentheorie berechneten Spannungszustand st¨ ort, so dass es zu Spannungs¨ uberh¨ ohungen kommt, die nicht elementar bestimmt werden k¨ onnen (s. a. Kapitel 10).  Beispiel 9.8 Eine eingespannte Kreisplatte ist durch eine axiale Einzelkraft FQ nach Bild 9.28 belastet. Es sind die Durchbiegung und die Schnittreaktionen im Plattenzentrum r = 0 zu untersuchen. L¨osung: Wir gehen von der Durchbiegungsfunktion (9.71) aus, in der bereits die Einzelkraft FQ und die Randbedingung (9.66) eingearbeitet worden sind: w(r) =

 FQ r2 C1 + C3 r2 + ln r . 2πK 4

250

9. Rotationssymmetrische Spannungszust¨ ande

FQ Æ2b

r w Bild 9.28. Eingespannte Kreisplatte mit axialer Einzelkraft FQ

F¨ ur die Bestimmung der verbliebenen Konstanten C1 und C3 werden die Randbedingungen am Außenrand r = b nach (9.78) herangezogen. Sie liefern das Gleichungssystem C1 + C3 b2 +

b2 ln b = 0 , 4

2bC3 +

b b ln b + = 0 , 2 4

dessen Au߬ osung und Einsetzen w(r) =

FQ  1 2 r2 r (b − r2 ) + ln 2πK 8 4 b

ergeben. Damit ist die maximale Durchbiegung wmax im Plattenzentrum r = 0 durch FQ b2 wmax = w(0) = 16πK bestimmt. Die Schnittmomente folgen aus (9.60) mit r r FQ FQ  r ln , w = 1 + ln w = 4πK b 4πK b zu r r FQ  FQ  mr = − 1 + (1 + ν) ln , mϕ = − ν + (1 + ν) ln . 4π b 4π b Sie divergieren f¨ ur r/b → 0 und f¨ uhren zu unendlichen Spannungen. Gleiches trifft wegen (9.69) f¨ ur die Querkraft und die hier nicht spezifizierten Querkraftschubspannungen zu. Offensichtlich sind im Plattenzentrum die Voraussetzungen der Plattentheorie verletzt und die L¨osungsfunktionen f¨ ur die lokal wirkenden Momente und Spannungen unbrauchbar. Dagegen ist die Verschieur bung wmax Ausdruck der Verformung der gesamten Platte. Das Ergebnis f¨ diese globale Gr¨ oße kann verwendet werden. 

Kapitel 10 Kerb- und Rissprobleme

10

10

10 10.1 10.2 10.3

Kerb- und Rissprobleme Das Prinzip von DE SAINT VENANT....................... 253 Spannungs¨ uberh¨ohungen und Formzahl ..................... 259 Grundidee der Bruchmechanik ................................ 262

10 Kerb- und Rissprobleme Die auf der Basis der Gleichgewichtsbedingungen, Verschiebungsverzerrungsbeziehungen und Materialgesetze bisher durchgef¨ uhrten Berechnungen von Spannungs- und Verzerrungsfeldern betrafen idealisierte F¨alle wie z. B. Zug, Torsion und Biegung. Die gewonnenen elementaren L¨osungen sind in der N¨ ahe von Stellen, wo die Lasten in anderer Form als die Lasten gem¨aß der elementaren L¨ osungen eingeleitet werden oder sich die K¨orpergeometrie stark andert, nur bedingt richtig. Wie mit dieser Problematik umzugehen ist, wird ¨ im Folgenden besprochen.

10.1

10.1 Das Prinzip von DE SAINT VENANT Bereits bei der Behandlung des Zugstabes in Kapitel 1 wurde darauf hingewiesen, dass die konstante Verteilung der Spannung u ¨ber dem Stabquerschnitt infolge der L¨ angskrafteinleitung nur in dem Stabbereich gilt, dessen Grenzen sich in einer gewissen Entfernung von den Querschnitten der Krafteinleitung bzw. Einspannung befinden. F¨ ur diese Entfernung wurde der Begriff der Abklingl¨ ange eingef¨ uhrt, welche die Abnahme der st¨orenden Einfl¨ usse der Krafteinleitung bzw. der Einspannung auf die elementare L¨osung charakterisiert. Die Gr¨ oße der Abklingl¨ ange konnte mit Bezug auf das empirische Prinzip von DE SAINT VENANT etwa gleich der Stabquerschnittsabmessung gesetzt werden. Dieser Sachverhalt soll jetzt ausf¨ uhrlicher behandelt werden. Wir betrachten zun¨ achst nochmals einen eingespannten Zugstab. Dieser besitze einen Rechteckquerschnitt und befinde sich im ebenen Spannungszustand (Bild 10.1). F¨ ur die Querschnittsabmessungen b und h gelte b < h. Am freien Ende greift im Bereich −a ≤ y ≤ a die konstante Normalfl¨achenkraft aß Bild 10.1a in die konstante mittlere Verσ0 an. Diese Verteilung kann gem¨ teilung der Intensit¨ at σm und die Abweichung Δσz (y) zerlegt werden. Die Abweichung gen¨ ugt der auf die Dicke b bezogenen Kr¨aftebilanz h/2 Δσz (y)dy = 2a(σ0 − σm ) − 2( −h/2

h − a)σm = 0 . 2

(10.1)

Sie befriedigt infolge ihrer Symmetrie auch die Momentenbilanz. Wegen der Erf¨ ullung beider Bilanzen wird sie als Gleichgewichtsgruppe bezeichnet. Die tats¨ achliche Lastverteilung σ0 und die konstante Verteilung σm sind wegen (10.1) statisch ¨ aquivalent. Wegen der vorausgesetzten Linearit¨ at aller Ausgangsgleichungen kann die gesuchte L¨ osung f¨ ur die Belastung σ0 aus der elementaren L¨osung infolge der

254

10. Kerb- und Rissprobleme

konstant verteilten Belastung σm und der L¨ osung infolge der Gleichgewichts¨ gruppe Δσz (y) zusammengesetzt werden (Superposition oder Uberlagerung). Die konstante Verteilung w¨ urde außerhalb des durch die Einspannung gest¨orten Gebietes im Stab die Normalspannung σz (y) = σm verursachen. Dieses Ergebnis wird durch die Gleichgewichtsgruppe Δσz (y) im Lasteinleitungsgebiet 0 ≤ z  h gest¨ ort, und zwar umso st¨ arker, je konzentrierter die Kraft eingeleitet wird. ¾m

¾m

¾m

- ¾m

¾0 - ¾m

¾0 -a z

h

=

+

a ¾z(y) y

b

¢¾z(y)

h/2 h l

a)

¾m

¾m

¾m ¾0

-a z

¾z(y) ¿(y)

a

y

h/2 h

b) Bild 10.1. Zum Prinzip von DE SAINT VENANT

Mit a  h n¨ ahert sich die konstante Fl¨ achenkraft einer u ¨ ber der Dicke b gleichm¨ aßig verteilten Linienkraft an. F¨ ur diesen Fall wurde mittels einer numerischen Rechnung auf der Basis der Methode der finiten Elemente das Abklingen des St¨ orungseinflusses bestimmt und in Bild 10.1a anhand zweier Schnittstellen z = h/2 und z = h grob dargestellt. In der Entfernung z = h unterscheidet sich das wirkliche Spannungsfeld vom konstanten gestrichelt eingezeichneten Verlauf nur noch um wenige Prozent. Der Fehler liegt außerhalb der Aufl¨ osung von Bild 10.1a. Bei Betrachtung der Einspannung kann man sich zun¨achst die Einspannwirkung durch eine konstante Normalfl¨ achenkraft σm an der linken Stirnfl¨ache des Stabes ersetzt denken. Diese Fl¨ achenkraft verursacht eine Querkontrak-

10.1 Das Prinzip von DE SAINT VENANT

255

tion des Stabes, welche von der Einspannung verhindert wird, so dass eine antisymmetrische Schubfl¨ achenkraftverteilung τ (y) entsteht. Wegen der Erf¨ ullung der lokalen Gleichgewichtsbilanzen a ¨ndert sich die konstante Norache des Stabes in eine ver¨anderliche Verteimalfl¨ achenkraft σm an der Stirnfl¨ lung σz (y) mit gleicher resultierender Kraft. Dies ist in Bild 10.1b qualitativ dargestellt. Das Abklingverhalten der Gleichgewichtsgruppe, die jetzt aus der Normalfl¨ achenkraftdifferenz σz (y) − σm und der Tangentialfl¨achenkraft τ (y) besteht, wird ¨ ahnlich wie im Fall der gegebenen Lastverteilung am rechten Stabende durch die charakteristische Querschnittsabmessung h bestimmt. Die mittels der Methode der finiten Elemente berechneten Normalspannungsverteilungen σz (y) in den Querschnitten z = l − h/2 und z = l − h, deren Unterschied zu der konstanten gestrichelt eingezeichneten Verteilung σm bei z = l − h in Bild 10.1b wieder die Grenze der Aufl¨osung erreicht, belegen diese Aussage. Die Querdehnungsbehinderung senkrecht zur Zeichenebene bleibt im verwendeten Modell des ebenen Spannungszustandes außer Acht. Zu erg¨anzen ist auch noch, dass die Intensit¨ at der Einspannwirkung im realen Fall elastischer statt starrer Einspannung geringer ausf¨ allt und die unendlich großen Spannungswerte infolge der rechtwinkligen Kerbe bei konstruktiven Kerbradien in endliche Werte u ¨bergehen. In Verallgemeinerung der obigen Ergebnisse formulieren wir eine empirisch gest¨ utzte Vermutung, die als das Prinzip von DE SAINT VENANT bekannt ist, in folgender Form: Werden Lastverteilungen auf einem kleinen Teil eines im Gleichgewicht befindlichen K¨ orpers durch statisch ¨ aquivalente Verteilungen (mit gleicher resultierender Kraft und gleichem resultierendem Moment) auf diesem K¨ orperteil ersetzt, so k¨ onnen die Unterschiede der von ihnen verursachten Spannungen und Verzerrungen in Entfernungen, die groß sind im Vergleich zu der charakteristischen Abmessung des belasteten K¨orperteils, vernachl¨ assigt werden. Die Kurzfassung dieser Vermutung lautet: Die Wirkung einer Gleichgewichtsgruppe klingt mit ihrer charakteristischen L¨ ange ab. F¨ ur das auf der Erfahrung gest¨ utzte Prinzip setzen wir homogenes, isotropes, linear-elastisches Material voraus. Die Linearit¨at erlaubt die notwendige ¨ Uberlagerung einzelner Felder zu einem Gesamtfeld. Homogenit¨at und Isotropie betreffen den vorhandenen Erfahrungsbereich f¨ ur die Anwendbarkeit des Prinzips. Zahlenm¨ aßige Angaben zu Abklingl¨angen von Gleichgewichtsgruppen h¨ angen im einzelnen Anwendungsfall von der Anordnung, den Genauigkeitsforderungen an die zu berechnenden Spannungsverteilungen und

256

10. Kerb- und Rissprobleme

der zu benutzenden Fehlerdefinition einschließlich des Spannungsmaßes bei Mehrachsigkeit (s. z. B. Kapitel 6) ab. So kann der maximale Betrag der abklingenden St¨ orung |σz (y) − σm | gem¨ aß Bild 10.1a auf den Betrag der ungest¨ orten elementaren L¨ osung |σm | bezogen werden. Liegt dagegen als Belastung allein die Gleichgewichtsgruppe wie z. B. Δσz (y) in Bild 10.1a vor, so ist das dadurch verursachte eingedrungene Feld nur mit der Gleichgewichtsgruppe selbst vergleichbar. Zur Erl¨ auterung der letztgenannten Situation betrachten wir noch das Problem einer unendlich ausgedehnten Vollscheibe konstanter Dicke h, welche durch eine radial gerichtete ¨ außere Fl¨ achenkraft σ0 belastet ist (Bild 10.2).

¾0 ¾i (i) (a)

¾0

a

¾a

h

r

a a)

b)

Bild 10.2. Vollkreisscheibe unter radialer Fl¨ achenkraft; Draufsicht a) und vergr¨ oßerter Durchmesserschnitt des befreiten Kreisringes b)

Die radiale Fl¨ achenkraft wirkt von außerhalb der Scheibe an der im Scheibeninneren befindlichen Zylindermantelfl¨ ache mit dem Radius a und stellt eine Gleichgewichtsgruppe dar. Die Gleichgewichtsgruppe besitzt die charakteristische Abmessung 2a. Sie kann als Modell einer in der Zylinderfl¨ache wirkenden Grenzfl¨ achenspannung dienen. Es kommt hier aber nicht auf die technische Realisierbarkeit dieser Anordnung an. Das Abklingverhalten des ebenen rotationssymmetrischen Spannungszustandes in der Scheibe f¨ ur r > a soll diskutiert werden. Dies gelingt leicht auf der Basis der im Folgenden angegebenen analytischen L¨osung. Aus der Scheibe wird ein Kreisring mit dem mittleren Radius a und der Wandst¨arke 2ε herausgeschnitten (Bild 10.2b). Am inneren Kreisringmantel vom Radius a − ε außeren Kreisringmantel vom Radius greift die Fl¨ achenschnittkraft σi , am ¨ a + ε die Fl¨ achenschnittkraft σa an. Den Kreisring denken wir uns in dif¨ ferenzielle Sektorelemente mit dem Offnungswinkel dϕ zerlegt. Die radiale Kr¨ aftebilanz liefert f¨ ur die im Grenz¨ ubergang ε/a → 0 gleich großen Angriffsfl¨ achen der verbleibenden radialen Kr¨ afte (−σi + σ0 + σa )hadϕ = 0 .

(10.2)

10.1 Das Prinzip von DE SAINT VENANT

257

Gleichung (10.2) beschreibt den Sprung der Radialspannung am Radius r = a infolge der ¨ außeren Fl¨ achenkraft σ0 (siehe hierzu auch Abschnitt 12.1). Im Innenbereich r < a verbleibt eine radial belastete Vollscheibe, f¨ ur die sich (i) nach (9.23), (9.24) mit ΔT = 0, ω = 0 und K2 = 0 die Spannungen σr = (i) σϕ = σi ergeben. Daraus folgt wegen des HOOKEschen Gesetzes (9.15b) und σz = 0 die Umfangsdehnung ε(i) ϕ =

1 (i) 1−ν (σϕ − νσr(i) ) = σi . E E

Die im Außenbereich r ≥ a + ε verbliebene Scheibe mit Loch unterliegt der radialen Fl¨ achenkraft σa am Lochrand r = a + ε. Die Spannungen im Außenbereich sind dann mit (9.30) und pi = −σa  a 2  a 2 σr(a) = σa , σϕ(a) = −σa . r r Dies f¨ uhrt auf die Umfangsdehnung ε(a) ϕ =

1 (a) 1 + ν  a 2 (σϕ − νσr(a) ) = − σa . E E r

Die Stetigkeit der Radialverschiebung an der Krafteinleitungsstelle r = a (i) (a) erfordert die Stetigkeit der Umfangsdehnung, d. h. εϕ (a) = εϕ (a) oder 1−ν 1+ν σi = − σa . E E Aus dieser Beziehung und der Kr¨ aftebilanz (10.2) ergeben sich die Fl¨achenschnittkraft σa = −(1 − ν)σ0 /2 und die Spannungen im Außenbereich  a 2 1 − ν  a 2 σ0 =− , σr(a) = σa r 2 r  a 2   2 a 1−ν σϕ(a) = −σa σ0 = . (10.3) r 2 r F¨ ur ν = 0, 3 sind die auf die Intensit¨ at σ0 der Gleichgewichtsgruppe bezogenen Betr¨ age der Spannungen schon bei r = 2a auf unter 10% abgeklungen. Mit zunehmendem Radius n¨ ahern sie sich sehr schnell den Werten des statisch aquivalenten Lastfalls der unbelasteten Scheibe an. ¨ Zum Vergleich sei noch auf die gelochte Scheibe unter Radialzug am Lochrand verwiesen. Diese Belastung bildet ebenfalls eine Gleichgewichtsgruppe. Die dazugeh¨ origen Spannungen klingen auch mit (a/r)2 ab, besitzen aber wegen der verringerten Tragf¨ ahigkeit der gelochten Scheibe eine gegen¨ uber der Vollscheibe um den Faktor 2/(1 − ν) gr¨ oßere Amplitude. In obigem Beispiel war das Abklingverhalten der Gleichgewichtsgruppe entweder numerisch oder analytisch bekannt, und das Prinzip von DE SAINT VENANT wurde nachtr¨ aglich best¨ atigt. Wir betrachten jetzt einen Fall,

258

10. Kerb- und Rissprobleme

in dem das Prinzip ben¨ otigt wird. Bild 10.3 zeigt einen Balken, der durch zwei statisch ¨ aquivalente Kr¨ aftepaare der Gr¨oße Mb = F h belastet ist. Die Kr¨ aftepaare erzeugen im hinreichend großen Abstand z = l von dem Balkenst¨ uck, an dem das jeweilige Kr¨ aftepaar eingeleitet wird, die gem¨aß (4.8) eingezeichnete, hier σb genannte Biegespannungsverteilung σb (y) =

Mb Fh ·y = y. Ixx Ixx

h 2

l

F z

2F

Mb h

x y

h 2

l

Mb

¾b(y)

(10.4)

z

=

x

F

¾b(y)

a)

y

2F

b) Bild 10.3. Balken unter statisch ¨ aquivalenten Kr¨ aftepaaren

Es wird erwartet, dass an der Stelle z = l die auf σb (y) bezogene Differenz zwischen σb (y) und der Normalspannungsverteilung σz (y) im Querschnitt z = 0 (Bild 10.3a) bzw. z = 0+ (Bild 10.3b) abgeklungen ist (der durch 0+ bezeichnete Querschnitt liegt unmittelbar links neben der Wirkungslinie der Kraft 2F , so dass das Kr¨ aftepaar im Schnittmoment Mb erfasst wird). Nach dem Prinzip von DE SAINT VENANT kann in beiden Anordnungen unter der Voraussetzung lh

(10.5)

die elementare Beziehung (10.4) als technisch brauchbare Formel angewendet werden. Vom linken Balkenende ausgehende St¨orungen m¨ ussen dabei ebenfalls abgeklungen sein. Bei speziellen Geometrien, die mehrere Abmessungen enthalten, ist die f¨ ur das Abklingverhalten einer Gleichgewichtsgruppe verantwortliche charakteristische L¨ ange nicht immer leicht erkennbar. Manchmal existiert diese L¨ange auch gar nicht, weshalb das Prinzip von DE SAINT VENANT zun¨achst als Vermutung ausgesprochen wurde. Zwei Beispiele demonstrieren Situationen, in denen das Prinzip nicht gilt. Im Fall eines durch zwei gleich große, entgegengesetzt orientierte Biegemomente (so genanntes Bimoment) belasteten I-Balkens nach Bild 10.4a agieren die beiden Flansche f¨ ur b/h = 0 als getrennte Balken, die jeweils das Moment M bis zur Einspannung durchleiten. Die aus den beiden Momenten bestehende Gleichgewichtsgruppe dringt also f¨ ur beliebig kleine Verh¨altnisse b/h beliebig weit in den Balken ein. Der Effekt bleibt bestehen, wenn der

10.2 Spannungs¨ uberh¨ ohungen und Formzahl M

h

M

h

M

259

b/2

h M

h

b/2

b

M a)

M b)

Bild 10.4. Balken unter Bimoment

I-Querschnitt durch einen Rechteckkastenquerschnitt nach Bild 10.4b ersetzt wird. Er charakterisiert das weitreichende Abklingverhalten der in den Abschnitten 3.3 und 3.4 erw¨ ahnten W¨ olbnormalspannungen. Es sei auch an die in Abschnitt 9.1 besprochene Zylinderschale nach Bild 9.3 erinnert. Die charakteristische L¨ ange der Randst¨orung war durch das geo√ metrische Mittel Rh aus Radius R und Wanddicke h gegeben, so dass die zweifach zusammenh¨ angende Form des Querschnitts ber¨ ucksichtigt wurde. In belasteten Bauteilen mit Rissen k¨ onnen bei spezieller Orientierung der Risse an den Rissspitzen unendlich große Spannungswerte auftreten (s.u. Bild 10.9). Die Unbeschr¨ anktheit der Spannungswerte geht nicht verloren, wenn sich die Risse in weiter, aber endlicher Entfernung vom Einleitungsgebiet einer Gleichgewichtsgruppe befinden, d. h. die durch die Gleichgewichtsgruppe verursachte St¨ orung klingt in solchen Anordnungen nicht ab. Im Hinblick auf die erl¨ auterten Beispiele erwarten wir die G¨ ultigkeit des oben von uns vermuteten Prinzips von DE SAINT VENANT einschr¨ankend f¨ ur belastete K¨ orper mit einfach zusammenh¨ angender konvexer Gestalt. Belastete K¨ orper mit mehrfach zusammenh¨ angender Form wie die gelochte Scheibe unter Innendruck oder mit konkaver Querschnittsform wie der Balken aus Bild 10.4a m¨ ussen individuell hinterfragt werden.

10.2 Spannungs¨ uberh¨ ohungen und Formzahl Das Prinzip von DE SAINT VENANT erlaubt in technisch wichtigen Anwendungsf¨ allen die Benutzung elementarer Berechnungsformeln f¨ ur weite Bereiche des belasteten Bauteils, wobei Spannungs¨ uberh¨ohungen an abrupten Querschnitts¨ uberg¨ angen durch so genannte Formzahlen erfasst werden. Hierzu betrachten wir Bild 10.5, in dem eine abgesetzte Welle durch Zug, Biegung oder Torsion beansprucht ist. ¨ Aus den Uberlegungen vom Abschnitt 10.1 folgt, dass die elementaren Formeln (1.5), (4.11) bzw. (3.8) zur Berechnung der maximalen Spannungsbetr¨ age benutzt werden d¨ urfen, sofern die entsprechenden Querschnitte 1 bzw. 2

10.2

260

10. Kerb- und Rissprobleme III

II

III

I Mb

2 II

III

1

1

2

b)

II

I

I

Mt

F a)

c)

2

1

Bild 10.5. Abgesetzte Welle mit Zug-, Biege- bzw. Torsionsbelastung

weit genug entfernt von den Stellen I, II und III sind. Diese Spannungsbetr¨ age werden jetzt als Nennspannungen bezeichnet und bekommen den Index n. Man erh¨ alt gem¨ aß Bild 10.5a, b, c σn1,2 =

F , A1,2

σbn1,2 =

|Mb | , Wb1,2

τtn1,2 =

|Mt | , Wt1,2

(10.6a,b,c)

wobei in (10.6c) die Schubspannungen zur Hervorhebung der urs¨achlichen Torsionsbelastung mit dem Index t versehen wurden. Zur quantitativen Erfassung der Spannungs¨ uberh¨ohungen infolge der Kerbuhrt. Ihre wirkung an den Stellen II in Bild 10.5 wird die Formzahl αK eingef¨ Definition lautet Formzahl =

maximale Spannung = αK ≥ 1 . Nennspannung

(10.7)

Die Nennspannung ist f¨ ur den kleineren Querschnitt zu berechnen. Die Formzahl (10.7) kann auch f¨ ur die Stellen III bestimmt werden, wenn die Welle und die Einspannung gleiche Elastizit¨ atskonstanten besitzen und die Abmes¨ sungsverh¨ altnisse des Uberganges Welle-Einspannung vorliegen. angt von den Querabmessungen und dem Kerbradius ab. Die Formzahl αK h¨ Zur Erl¨ auterung dienen die beiden Varianten des Flachzugstabes nach Bild 10.6 im ebenen Spannungszustand. F¨ ur die Stabdicke setzen wir d <  voraus. Damit sollen Querbehinderungseffekte vernachl¨assigbar bleiben. Die Formzahl ist beispielsweise als Funktion von /(b2 − b1 ) und b1 /b2 angebbar. F¨ ur zwei symmetrisch angeordnete Außenkerben zeigt Bild 10.6a den qualitativen Verlauf der axialen Normalspannung u ¨ ber dem Symmetriequerschnitt. Der maximale Wert σmax tritt im Kerbgrund auf. Zur beispielhaften Absch¨ atzung des St¨ orbereiches jeder Kerbe betrachten wir den Flachzugstab mit  = b2 − b1  b1 unter der konstanten Fernfeldspannung σ∞ infolge der ¨ Kraft F und fassen das Problem als Uberlagerung zweier Teilprobleme 1j j und 2 auf (Bild 10.7).

10.2 Spannungs¨ uberh¨ ohungen und Formzahl

261

F

F

Dicke d

Dicke d 2b2

¾max %

%

2b1

2b1

2b2

F

F

a)

b)

Bild 10.6. Flachzugstab mit Außenkerbe a) und Absatz b)

¾¥

t( )

%

t( )

y x

1

2

¾¥ ¨ Bild 10.7. Zur Uberlagerung zweier Teilprobleme

Dies ist wegen der Linearit¨ at des zugrunde liegenden Gleichungssystems erlaubt. In den vergr¨ oßert dargestellten Kerben wurden die Spannungsvektoren t(ϕ) = σ∞ cos ϕ eingetragen (vgl. hierzu auch (1.25) und Bild 1.15). Sie he¨ ben sich bei Uberlagerung der beiden Teilprobleme gegenseitig auf. Beim Teilproblem 1jergibt sich damit in der Scheibe der homogene Spannungszustand σ = σ∞ = konst. Das Teilproblem 2jenth¨alt die Kerbwirkung, welche infolge der Gleichgewichtsgruppe t(ϕ) mit der charakteristischen L¨ange von der Gr¨ oßenordnung des Kerbdurchmessers 2 entsteht. Diese L¨ange bestimmt nach dem Prinzip von DE SAINT VENANT den Eindringbereich des st¨ orenden Kerbspannungsfeldes. Wegen der qualitativen Vergleichbarkeit der Anordnung mit der gelochten Scheibe unter Innendruck ist die G¨ ultigkeit des Prinzips trotz der konkaven K¨ orperform gegeben. Allerdings wird erwartet,

262

10. Kerb- und Rissprobleme

dass in der Anordnung von Bild 10.7 infolge der Einachsigkeit der Gleichgewichtsgruppe die Spannungen in y- und x-Richtung verschieden schnell abklingen werden. In die Formzahl des abgesetzten Stabes nach Bild 10.6b gehen ebenfalls die Abmessungsverh¨ altnisse /(b2 − b1 ) und b1 /b2 ein. Der Kerbspannungszustand ist wegen der Unsymmetrie der Anordnung bez¨ uglich horizontaler Ebenen komplizierter und wurde nicht mit dargestellt. Wir diskutieren nur das Abklingproblem. Die mit dem Kerbspannungszustand verbundene Gleichgewichtsgruppe, welche durch die gegenseitige Querdehnungsbehinderung des breiten und des schmalen Stabteils entsteht, ist ¨ahnlich wie in Bild 10.1b u ¨ber der L¨ ange 2b1 verteilt und klingt in beiden Stabteilen mit dieser L¨ange ab. F¨ ur das Erreichen der elementaren L¨ osung im oberen Stabteil ist allerdings a hnlich wie in Bild 10.1a die L¨ a nge 2b ¨ 2 wesentlich. Die zahlenm¨ aßige Ermittlung der Formzahlen erfordert in der Regel analytischen oder numerischen Aufwand. Deshalb wurden f¨ ur wichtige Standardgeometrien entsprechende Diagramme erstellt, die in der Literatur verf¨ ugbar sind.

10.3

10.3 Grundidee der Bruchmechanik In der Realit¨ at ist davon auszugehen, dass tragende Bauteile mit Defekten behaftet sind. Beispielsweise k¨ onnen im Bauteilinneren Hohlr¨aume vorliegen. Hierzu betrachten wir verschiedene gelochte Scheiben unter ebener Fernfeldbelastung σ∞ nach Bild 10.8 und geben die maximale Normalspannung an. In allen F¨ allen seien die Lochabmessungen sehr viel kleiner als die Außenabmessungen, d. h. a/c, a/c1 , a/c2  1, b < a. Hinsichtlich Bild 10.8a u ¨ bernehmen wir aus (9.29) σy (x = a, y = 0) = σϕ (r = a, ϕ = 0) = 2σ∞ .

(10.8)

F¨ ur Bild 10.8b gilt σy (x = a, y = 0) = σϕ (r = a, ϕ = 0) = 3σ∞

(10.9)

und f¨ ur Bild 10.8c  2a  σ∞ . σy (x = a, y = 0) = 1 + b

(10.10)

Die letzten beiden Angaben erfolgten ohne Beweis. In den Teilbildern sind die zu den Spannungen geh¨ orenden Orte durch Punkte markiert. F¨ ur a = b in (10.10) kann noch (10.9) best¨ atigt werden.

10.3 Grundidee der Bruchmechanik

263 ¾¥

y

¾¥

r

y

x

r 2c2

x

2a

2a ¾¥ 2c1

2c a)

b) ¾¥ y 2b

2c2

x 2a ¾¥ 2c1

c) Bild 10.8. Scheiben mit Kreisloch a), b) oder elliptischem Loch c)

Bemerkenswert ist nun, dass das elliptische Loch f¨ ur a/b → ∞ zum Riss entartet und dabei das Spannungsverh¨ altnis σy /σ∞ in (10.10) unendlich groß wird (siehe Bild 10.9). In diesem Fall kann die Spannung nicht als Beanspruchungsparameter verwendet werden. ¾¥ y

a

¾y

2c 2 x

a % ¾¥ 2w

Bild 10.9. Scheibe mit Innenriss unter Außenzug

Es l¨ asst sich zeigen, dass der Verlauf der Spannung σy in Rissspitzenn¨ahe f¨ ur y = 0 und   a durch die Beziehung KI σy () = √ 2π

(10.11)

264

10. Kerb- und Rissprobleme

gegeben ist, unabh¨ angig davon, ob der Rechnung ein ebener Spannungs- oder Verzerrungszustand zugrunde gelegt wird. In (10.11) bezeichnet die Konstante KI den so genannten Spannungsintensit¨ atsfaktor der Riss¨offnungsart I, bei der sich auf den Rissr¨ andern gegen¨ uber liegende Punkte w¨ahrend der Belastung normal voneinander entfernen. Die Belastungsh¨ohe und die Bauteilgeometrien gehen nur in den Spannungsintensit¨atsfaktor ein. Sie beeinflussen nicht den Typ der singul¨ aren Abh¨ angigkeit von . F¨ ur Scheibenabmessungen c2 /w  1 hat der Spannungsintensit¨atsfaktor die Form √ KI = σ∞ πaf (a/w) . (10.12) Die Geometriefunktion f (a/w) ist dimensionslos und besitzt f¨ ur a/w → 0 ¨ den Grenzwert lim f (a/w) = 1. In Ubereinstimmung damit wird der Span√ nungsintensit¨ atsfaktor KI in der Einheit MPa m gemessen. Bei komplizierteren Scheibengeometrien k¨ onnen in der Funktion f weitere Abmessungsverh¨ altnisse als Argumente auftreten. In allen F¨allen stellt sich das Rissspitzennahfeld (10.11) in einem Bereich ein, dessen charakteristische Abmessung wesentlich kleiner ist als die Rissl¨ange und die kleinste Entfernung der Rissspitze vom n¨ achsten Scheibenrand bzw. von der n¨achsten Lastangriffsstelle. ¨ Reale Materialien verformen sich nach Uberschreiten gewisser Spannungswerte nicht nur elastisch. Beispielsweise zeigen Metalle elastoplastisches Verhalten gem¨ aß Bild 1.6. In diesem wichtigen Fall bildet sich im Rissspitzennahfeld an der Rissspitze eine plastische Zone. Unter der Annahme, dass diese Zone klein ist im Vergleich zu dem G¨ ultigkeitsbereich des durch KI bestimmten Spannungsfeldes (10.11), kann KI als Parameter zur Charakterisierung der Beanspruchung benutzt werden. Dieser Beanspruchungsparameter darf, damit der Riss sich nicht beschleunigt ausbreitet, eine materialtypische Grenze, den kritischen Spannungsintensit¨ atsfaktor KIc , nicht u ¨ berschreiten. Die Versagenshypothese f¨ ur den kritischen Zustand, bei dem statisch Rissausbreitung m¨ oglich ist, lautet demnach KI = KIc .

(10.13)

Die Gr¨ oße KIc , welche die Beanspruchbarkeit des Materials charakterisiert, wird als Bruchz¨ ahigkeit bezeichnet. Sie ergibt sich aus Experimenten an Proben mit definierten Rissen, die meist von einem Außenrand der Probe ins Innere verlaufen. Sowohl in diesen Experimenten als auch bei der Anwendung von (10.13) auf Bauteile mit Rissen ist unbedingt zu kontrollieren, ob die plastische Zone gen¨ ugend klein im Vergleich zu dem KI -dominierten Gebiet bleibt. Da die charakteristische Abmessung des Letzteren nur einen Bruchteil der geringsten Entfernung zwischen Rissspitze und n¨achstem Rand

10.3 Grundidee der Bruchmechanik

265

bzw. n¨ achster Lasteinleitungsstelle betr¨ agt, muss die plastische Zone sehr viel kleiner als diese Entfernung sein. Die Absch¨ atzung ihrer Gr¨oßenordnung f¨ uhrt bei bekannten Werten f¨ ur die Fließgrenze σF und die Bruchz¨ahigkeit KIc auf den Ausdruck (KIc /σF )2 . Damit ein geometrieunabh¨angiger KIc -Wert gemessen werden kann, muss des Weiteren die Probendicke f¨ ur den ebenen Verzerrungszustand hinreichend groß und f¨ ur den ebenen Spannungszustand hinreichend klein sein. Zur Bestimmung des Spannungsintensit¨ atsfaktors kann auf Sammelwerke der Bruchmechanik zur¨ uckgegriffen werden, oder es sind Computerrechnungen, z. B. auf der Basis der Methode der finiten Elemente, auszuf¨ uhren. Erg¨ anzend sei noch erw¨ ahnt, dass in Abh¨ angigkeit von den Eigenschaften der Materialien und Belastungen auch f¨ ur KI < KIc so genanntes unterkritisches Risswachstum stattfinden kann. Diese Erscheinung wird z. B. bei St¨ahlen unter zyklischer Belastung sowie bei Kunststoffen und Keramiken unter statischer Belastung beobachtet. Der Riss verl¨ angert sich dann, bis nach einer kritischen Zyklenzahl oder Belastungszeit der Spannungsintensit¨atsfaktor KI den kritischen Wert KIc erreicht und Bruch eintritt. Hinsichtlich der Anwendung bruchmechanischer Methoden auf die Festigkeitsbewertung von Bauteilen wird auf die Spezialliteratur verwiesen.

Kapitel 11 Inelastisches Materialverhalten

11

11 11.1 11.2

11

Inelastisches Materialverhalten Elastoplastizit¨at .................................................. 269 Viskoelastizit¨at ................................................... 272

11 Inelastisches Materialverhalten Der bisher benutzte Zusammenhang zwischen Spannungen und Verzerrungen bei konstanter Temperatur war durch das HOOKEsche Gesetz (2.52) bis (2.54) und (2.59) gegeben. Dieser Zusammenhang ist mit der Existenz einer spezifischen elastischen Verzerrungsenergie gem¨ aß (2.81) oder (2.82) verbunden. Außerdem besitzt er die spezielle Eigenschaft der Linearit¨at. Die meisten Konstruktionsmaterialien zeigen bei mechanischer Belastung auch inelastisches Deformationsverhalten, welches nicht durch das HOOKEsche Gesetz beschrieben werden kann. M¨ ogliche Konsequenzen der Inelastizit¨ at sind Nichtlinearit¨ at und Belastungsgeschwindigkeitseinfluss. In jedem Fall wird bei inelastischer Verformung mechanische Arbeit nichtumkehrbar (irreversibel) in W¨ arme u uhrt (dissipiert). Sie steht anders als die elas¨berf¨ tisch gespeicherte Energie nicht mehr zur weiteren Verf¨ ugung. Im Folgenden werden zwei wichtige Modelle inelastischen Materialverhaltens mit Beschr¨ ankung auf den einachsigen Spannungszustand besprochen und auf einfache Beanspruchungsf¨ alle angewendet.

11.1

11.1 Elastoplastizit¨ at Das schon in Bild 1.6b dargestellte Spannungsdehnungsdiagramm f¨ ur einen duktilen Baustahl zeigte jenseits der zur Fließspannung σF geh¨orenden elastischen Dehnung bei Fließbeginn εF = σF /E einen ausgepr¨agten Bereich plastischen Fließens unter konstanter Spannung σF an. Dies demonstriert nochmals schematisch Bild 11.1. Es wurde davon ausgegangen, dass der Einfluss der Belastungsgeschwindigkeit bei der experimentellen Aufnahme des zu Bild 11.1 f¨ uhrenden Diagramms vernachl¨ assigt werden kann. ¾ ¾F p

F

Bild 11.1. Idealisiertes Spannungsdehnungsdiagramm f¨ ur elastoplastisches Material

Hinsichtlich eines Vorzeichenwechsels der Spannung gilt die bereits in Abschnitt 1.3 ausgesprochene Annahme, dass die Gr¨oße des Fließspannungswertes nicht vom Vorzeichen der Spannung abh¨ angt. Demnach wird die Spannung σ im Stab bei der Idealisierung gem¨ aß Bild 11.1 durch |σ| ≤ σF eingeschr¨ankt. Dagegen ist die plastische Dehnung εp durch den Bruch des Stabes begrenzt. Diese Grenze wurde in Bild 11.1 offen gelassen.

270

11. Inelastisches Materialverhalten

Ein Stab mit der Querschnittsfl¨ ache A und der ideal-elastoplastischen Materialeigenschaft nach Bild 11.1 tr¨ agt eine Kraft F mit dem maximalen Betrag |F |max = AσF = FTrag , die so genannte Traglast. Erreicht in einem statisch bestimmten Fachwerk ein Stab die Traglast, so kann die Belastung nicht weiter erh¨ oht werden. Bei statisch unbestimmten Fachwerken beginnt der Stab zu fließen, dessen ¨ Spannung zuerst die Fließspannung erreicht. Uberschreitet er nicht seine Bruchdehnung, ist eine Laststeigerung m¨ oglich, bis weitere St¨abe zu fließen beginnen und das Fachwerk kinematisch unbestimmt wird. Wir betrachten noch die reine gerade Biegung eines Balkens mit Rechteckquerschnitt infolge der Momente M (Bild 11.2). z

M

h

M

y b Bild 11.2. Zur elastoplastischen Balkenbiegung

Das Balkenmaterial gen¨ uge dem Diagramm nach Bild 11.1. Daraus ergeben sich zwei Belastungsregime. a) Elastischer Bereich: Der elastisch berechnete Biegespannungsbetrag u ¨ bersteigt nicht die Fließgrenze, d. h. entsprechend (4.8) gilt f¨ ur M ≥ 0 |σb | =

M |y| ≤ σF , I

(11.1)

woraus mit I = bh3 /12 und y = h/2 das elastische Grenzmoment Mel = σF

bh2 6

(11.2)

folgt. Die Biegespannung verl¨ auft u ¨ ber dem Balkenquerschnitt linear und erreicht an Balkenober- und Balkenunterseite gerade die Fließspannung σF (Bild 11.3). - ¾F

¾b y

¾F

Bild 11.3. Elastischer Grenzzustand der Balkenbiegung

11.1 Elastoplastizit¨ at

271

b) Elastoplastischer Bereich: Die mit weiterer Vergr¨ oßerung des Biegemomentes M an Balkenober- und Balkenunterseite beginnende Plastifizierung hebt nicht die durch die Balkengeometrie bedingte kinematische Zwangsbedingung der BERNOULLIHypothese (s. Abschnitt 4.1) auf. Die Dehnung ε, welche sich im Plastifizierungsgebiet y¯ ≤ |y| ≤ h/2 (s. Bild 11.4a) aus dem elastischen Anteil εF = σF /E und einem plastischen Anteil εp (s. Bild 11.1) zusammensetzt, bleibt linear in der Querschnittskoordinate y. Die zu den betragsm¨aßig gr¨ oßeren Dehnungswerten in N¨ ahe von Balkenober- und Balkenunterseite geh¨ orenden Spannungen werden nach Bild 11.1 durch die Fließspannung begrenzt. Infolgedessen stellt sich u ¨ ber dem Balkenquerschnitt der Spannungsverlauf gem¨ aß Bild 11.4b ein.

(-h/2)

-¾F el.-pl.

2y

h

2y

(y) y a)

el. el.-pl.

(h/2)

¾F b)

Bild 11.4. Elastoplastische Biegung: Dehnungsverlauf a) und Spannungsverlauf b)

Die dick markierten Punkte weisen auf die Schwerpunkte der Fl¨achen unter dem Spannungsverlauf hin. Sie werden zur Berechnung des elastoplastischen Momentes Mep der Biegespannungen benutzt. Dieses ergibt sich aus einem elastischen Anteil des Balkenkerns |y| ≤ y¯ und einem elastoplastischen Anteil der beiden Randzonen y¯ ≤ |y| ≤ h/2. In der Summe folgt h  h2  1 h y¯2  y¯ 2 − y¯ b y¯ + = bσF − . (11.3) Mep = 2σF b y¯ + 2σF 2 3 2 2 2 4 3 Die Beziehung (11.3) geht mit y¯ = h/2 in (11.2) u ¨ber. Das gr¨oßte m¨ogliche Moment in (11.3) entsteht bei vollst¨ andiger Plastifizierung des Querschnittes, d. h. y¯ = 0 (Bild 11.5). Es wird als Traglastmoment MTrag bezeichnet. Sein Wert bestimmt sich nach (11.3) oder Bild 11.5 sowie gem¨aß (11.2) zu MTrag = σF

3 bh2 = Mel . 4 2

(11.4)

Die Aussch¨ opfung der gegen¨ uber dem elastischen Grenzmoment Mel zus¨atzlichen Tragreserve wird allerdings durch die kritische Dehnung f¨ ur Bruch oder Sch¨ adigung εS begrenzt. Auf eine solche Begrenzung der Beanspruchung wurde bereits in Abschnitt 6.2 hingewiesen. Wegen des linearen Dehnungs-

272

11. Inelastisches Materialverhalten - ¾F

h/2

¾

y

¾F

Bild 11.5. Zur vollst¨ andigen Plastifizierung des Rechteckquerschnittes

verlaufes (s. Bild 11.4a) kann der am Rand y = h/2 auftretende maximale Dehnungswert mittels des Strahlensatzes ausgedr¨ uckt werden. h h = ε(¯ y) . (11.5) ε 2 2¯ y ¨ Am Ubergang y¯ vom elastischen zum elastoplastischen Gebiet gilt ε(¯ y) = ur die maximale Dehnung σF /E, so dass mit (11.5) f¨ h σ h h F (11.6) ε = = εF < εS 2 E 2¯ y 2¯ y folgt. Elimination von y¯ aus (11.3) und (11.6) liefert mit (11.2) und (11.4)  1  εF 2 , εF < εS . (11.7) Mel ≤ Mep < MTrag 1 − 3 εS F¨ ur eine Ausnutzung der elastoplastischen Tragreserve muss die kritische oßer als die elastische Grenzdehnung Dehnung εS offensichtlich deutlich gr¨ εF = σF /E bei Fließbeginn sein. Beispielsweise liefert εS = 3εF den elastoplastischen Belastungsbereich Mel ≤ Mep < 0, 96MTrag . Gr¨oßere kritische Dehnungen erschließen dann nur noch geringf¨ ugige weitere Tragreserven. Die Modellierung der elastoplastischen Biegung beruhte auf der Annahme eines einachsigen Spannungszustandes. Bei Beanspruchungssituationen mit mehrachsiger Spannung ist das elastoplastische Materialmodell tensoriell zu verallgemeinern. Darauf kann hier nicht eingegangen werden.

11.2

11.2 Viskoelastizit¨ at Metalle bei hohen Temperaturen und verschiedene Kunststoffe verformen sich unter konstant gehaltener Belastung im Zeitablauf. Ein solcher Vorgang wird Kriechen genannt. Wir betrachten hierzu als einfachsten Fall den Zugstab von Bild 11.6a. Die Kraft F0 verursacht im nicht n¨aher bezeichneten Messgebiet ahrend der Aufbringung der Kraft des Stabes die Spannung σ0 = F0 /A. W¨ verstreicht die Zeit t0 (Bild 11.6b). Anschließend bleibt die Kraft und damit

11.2 Viskoelastizit¨ at

273

die Spannung konstant. Bei hinreichend kleiner Zeit t0 bis zum Erreichen des Spannungswertes σ0 stellt sich im Stab nur die elastische Dehnung ein. Diese wird im Fall von Linearit¨ at durch den Elastizit¨ atsmodul E gem¨aß σ0 (11.8) εe = E charakterisiert (Bild 11.6c). F¨ ur gr¨ oßere Zeiten t > t0 kommt noch ein zeitlich anwachsender Dehnungsanteil εv (t) hinzu, der als viskos bezeichnet wird. Die Gesamtdehnung ε ergibt sich aus der Summe des elastischen und des viskosen ¾ 2¾0 A ¾0

a)

t0 t1

F0

t2

t

b)

¾ 2¾0

2¾0

t0

t1

t2

(t) (s) (p)

¾0

¾0

v e

t0 t1 c)

t2

t d)

Bild 11.6. Zugstab aus kriechf¨ ahigem Material a), Belastungsregime b), zeitabh¨ angige Deh-

nungen c) und Isochronen d)

Dehnungsanteils als ε = εe + εv (t) .

(11.9)

¨ Die zeitliche Anderung der Dehnung, die so genannte Dehnungsgeschwindigkeit dε/dt = ε, ˙ besteht bei der konstanten Spannung σ0 nur aus einem viskosen Anteil ε˙ = ε˙v . In Bild 11.6c sind drei Bereiche mit verschieden großen Zeitableitungen ε¨ der Dehnungsgeschwindigkeit ε˙ erkennbar: Prim¨arkriechen (p) f¨ ur ε¨ < 0, Sekund¨ arkriechen (s) f¨ ur ε¨ ≈ 0 und Terti¨arkriechen (t) f¨ ur ε¨ > 0. Wir betrachten den realistischen Sonderfall des sehr ausgepr¨agten Sekund¨arkriechens. Dann kann ε˙v ≈ konst.

(11.10)

274

11. Inelastisches Materialverhalten

gesetzt werden. Wenn die Konstante in (11.10) von der Spannung abh¨angt wie in Bild 11.6c, wo bei Verdoppelung der Spannung die Dehnung auf mehr als das Zweifache anw¨ achst, so liegt nichtlinear viskoses Materialverhalten vor. Dies veranschaulichen nochmals die f¨ ur feste Zeiten ti konstruierten Kurven der Funktionen σ(ε, ti ), so genannte Isochronen, in Bild 11.6d. Bei linear-viskoelastischem Material sind die Isochronen Geraden. Unter dieser Voraussetzung und f¨ ur εv (0) = 0 darf (11.10) als ε˙v =

σ0 , η

εv =

σ0 t η

(11.11a,b)

geschrieben werden, wobei die Konstante η die Z¨ahigkeit bezeichnet. Die Gesamtdehnung (11.9) erscheint dann mit (11.8) als lineare Funktion der Spannung, multipliziert mit dem zeitabh¨ angigen Faktor 1/E + t/η, der so genannten Kriechfunktion, 1 t  σ0  E  + = 1+ t . (11.12) ε(t) = σ0 E η E η Sie ist in Bild 11.7 schematisch dargestellt. ¾ ¾0

t

¾0 t/´ ¾0 /E t Bild 11.7. Gesamtdehnung bei Sekund¨ arkriechen

Wegen der bei kriechf¨ ahigem Material immer vorhandenen Elastizit¨at besteht auch die M¨ oglichkeit, in einer kurzen Zeitspanne eine Verformung aufzubringen, diese konstant zu halten und den zeitlichen R¨ uckgang der anfangs erzeugten Schnittlasten zu betrachten. Der damit verbundene Spannungsabbau wird als Relaxation bezeichnet. Der einfachste Fall liegt wieder beim Zugstab vor. Wird dieser wie in Bild 11.8a zum Zeitpunkt t = 0 durch Vorgabe einer pl¨ otzlichen Verschiebung Δl gedehnt, wobei wir wie bisher die Zeitspanne der Verschiebungsrealisierung im Vergleich zur anschließenden Zeit vernachl¨ assigen, so ergibt sich im Stab die konstante Dehnung ε0 = Δl/l (Bild 11.8b). In Verallgemeinerung von (11.11a) wird jetzt angenommen, dass die viskose Dehnungsgeschwindigkeit an jedem Zeitpunkt t von der Spannung

11.2 Viskoelastizit¨ at

275 ¾

E,´ 0

l

¾0

v e

¢l

t

a)

b)

t c)

Bild 11.8. Zur Relaxation des Zugstabes

σ(t) zu diesem Zeitpunkt gem¨ aß ε˙v (t) =

σ(t) η

(11.13)

abh¨ angt. Die gesamte Dehnungsgeschwindigkeit ist dann mit (11.8) und (11.13) σ σ˙ + . (11.14) ε˙ = ε˙e + ε˙v = E η F¨ ur ε˙ = 0 in der Zeit t > 0 gem¨ aß Bild 11.8b folgt daraus die lineare homogene Differenzialgleichung σ η σ˙ + = 0 , τ= . (11.15) τ E Die Abk¨ urzung τ bezeichnet die so genannte Relaxationszeit. Dies wird aus der L¨ osung von (11.15) in der Form σ = Ce−t/τ

(11.16)

deutlich, wobei die Integrationskonstante C der durch die Voraussetzungen ugt. gegebenen Anfangsbedingung σ(t → 0) = Eε0 mit C = Eε0 = σ0 gen¨ Die abklingende Spannung σ(t) = σ0 e−t/τ

(11.17)

ist in Bild 11.8c qualitativ dargestellt. Aus ihr folgen noch der elastische Dehnungsanteil εe = ε0 e−t/τ und der viskose Dehnungsanteil εv = ε0 (1 − e−t/τ ) , deren qualitative Verl¨ aufe in Bild 11.8b ersichtlich sind. F¨ ur die Verallgemeinerung des angegebenen viskoelastischen Materialmodells auf mehrachsige Spannungszust¨ ande, nichtlineare Spannungsabh¨angigkeiten und eine genauere Erfassung des Einflusses der Belastungsgeschichte sind

276

11. Inelastisches Materialverhalten

weitere Annahmen zu treffen. Die Ber¨ ucksichtigung der modifizierten Materialmodelle bei der Berechnung von Spannungen und Verformungen belasteter Bauteile erfordert meist den Einsatz numerischer L¨osungsmethoden. Diesbez¨ uglich muss auf die Spezialliteratur verwiesen werden.

Kapitel 12 Zusammenfassung der Grundgleichungen der linearen Elastizit¨ atstheorie

12

12

12

12.1 12.2 12.3 12.4 12.5

Zusammenfassung der Grundgleichungen der linearen Elastizit¨ atstheorie Globale und lokale Kr¨afte- und Momentenbilanzen ....... Kinematische Beziehungen ..................................... Linear-elastische Materialgleichungen ........................ Elastostatische Randwertaufgaben ........................... Elastokinetische Anfangsrandwertaufgaben .................

279 288 294 294 295

12 Zusammenfassung der Grundgleichungen der linearen Elastizit¨ atstheorie Die bisher besprochenen wesentlichen Bestandteile der linearen Elastizit¨atstheorie, welche statischer, kinematischer und materialspezifischer Natur sind, kamen in den vorangegangenen Kapiteln bereits wiederholt zur Anwendung. Beginnend mit dem einfachsten Fall des Zugstabes wurden die Berechnungsformeln f¨ ur St¨ abe unter Torsions-, Biege- und Querkraftschubbelastung hergeleitet und dar¨ uber hinaus auch rotationssymmetrische Spannungsfelder behandelt. Realit¨ atsnahe Beanspruchungsanalysen von Bauteilen und Konstruktionen erfordern jedoch ein noch tieferes Verst¨andnis der Elastizit¨atstheorie einschließlich ihrer ingenieurm¨ aßigen L¨ osungsmethoden. Ausgangspunkt daf¨ ur sind die Grundgleichungen der linearen Elastizit¨atstheorie, welche im Folgenden zusammenfassend dargelegt werden. Diese Gleichungen dienen einerseits der Erstellung genauerer analytischer Modelle. Andererseits bilden sie das theoretische Fundament kommerziell verf¨ ugbarer Computerprogramme zur Strukturberechnung. Eine verantwortungsvolle und sichere Handhabung dieser Computerprogramme erfordert zwingend das Verst¨andnis der dazugeh¨ origen theoretischen Grundlagen. Wegen des erwiesenermaßen hohen Abstraktionsgrades der Grundgleichungen wird dem potenziellen Nutzer kommerzieller Software dringend empfohlen, die schon verf¨ ugbaren elementaren Formeln je nach Problemstellung unter Zuhilfenahme der Spezialliteratur durch weitere analytische L¨ osungen zu erg¨anzen und damit die numerischen Rechnungen zu testen.

12.1 Globale und lokale Kr¨ afte- und Momentenbilanzen Am Beginn der Statik starrer K¨ orper wurden die unabh¨angigen Vektoren Einzelkraft, Einzelmoment und Moment einer Kraft eingef¨ uhrt. Das Einzelmoment kann wie die Einzelkraft a priori gegeben sein. Oder es ist als Moment eines Kr¨ aftepaares entstanden. Das Einzelmoment und das Moment einer Kraft stellen gegen¨ uber der Kraft neuartige Gr¨ oßen dar, wie ihre Dimension deutlich macht. Zur Charakterisierung des Gleichgewichts von K¨ orpern werden sowohl Kr¨afte als auch Momente ben¨ otigt. Deshalb besitzt der h¨aufig zitierte Satz Die Statik ist die Lehre vom Gleichgewicht der Kr¨afte“ ” keine Allgemeing¨ ultigkeit. Stattdessen gilt:

12.1

280

12. Zusammenfassung der Grundgleichungen der linearen Elastizit¨ atstheorie

Die Statik ist die Lehre vom Gleichgewicht der K¨orper und beliebiger ” K¨ orperteile unter der Wirkung von Kr¨ aften und Momenten.“ Die letztere Aussage benennt klar den K¨ orper als das Objekt, welches im Experiment bez¨ uglich seines Gleichgewichtes, d. h. der Beibehaltung der Ruhe trotz Belastung, zu beobachten ist, und wird mathematisch durch zwei Gleichungen, die Kr¨ afte- und die Momentenbilanz ausgedr¨ uckt. Die Momentenbilanz kann i. Allg. nicht aus der Kr¨ aftebilanz gewonnen werden, wie das Beispiel eines K¨ orpers unter der Wirkung eines Einzelmomentes oder eines Kr¨ aftepaares zeigt: Die Summe der Kr¨ afte verschwindet. Damit der K¨orper im Gleichgewicht bleibt, muss zus¨ atzlich das Einzelmoment bzw. das Moment des Kr¨ aftepaares null sein. Die K¨ orper besitzen ein Volumen und eine Oberfl¨ache. Unterliegen sie ihrem Eigengewicht, so wird ihnen noch die u ¨ ber dem Volumen verteilte Dichte  einer Masse zugeordnet. In der Statik wurde schon darauf hingewiesen, dass die auf einen K¨orper wirkenden Lasten außer konzentrierten Kr¨ aften und Momenten auch Kraftund Momentendichten mit Bezug auf L¨ angen-, Fl¨achen- oder Volumeneinheiten enthalten k¨ onnen. Alle diese Lasten, die Ausdruck der Wechselwirkung mit benachbarten K¨ orpern darstellen, m¨ ussen bei Feststellung dessen, welcher K¨ orper hinsichtlich seines Gleichgewichtes zu pr¨ ufen ist, definiert werden. Die Durchf¨ uhrung dieser Maßnahme des Befreiens oder Freischneidens f¨ ur den K¨ orper als Ganzes betrifft auch beliebige K¨orperteile. Sie ist eine notwendige Voraussetzung daf¨ ur, die genannten Wechselwirkungen bilanzieren zu k¨ onnen. Sollen konzentrierte Lasten (Einzelkr¨afte und -momente) mit bilanziert werden, so d¨ urfen die betrachteten K¨orper i. Allg. keine differenziellen Abmessungen haben. Die Kr¨ afte- und die Momentenbilanz (Gleichgewichtsbedingungen) sind dann globaler Natur. Sie enthalten Integrale u ¨ber K¨ orperl¨ angen L, K¨ orperfl¨ achen A sowie das K¨orpervolumen V und haben die Form     Fi + qdL + tdA + fdV = 0 , (12.1) FR = i

MG =



ri × Fi +

i

 k



L

 Mk +

V

A

r × qdL + L



mL dL + L

 r × tdA +

A



mA dA + A

r × fdV + V

mV dV = 0 .

(12.2)

V

Alle Terme der Kr¨ aftebilanz (12.1) wurden schon benutzt: Einzelkr¨afte Fi bei vielen Aufgaben der Statik und Festigkeitslehre, die Linienkraft q bei der Platte und als so genannte Streckenlast beim Balken, die Fl¨achenkraft bzw. der Spannungsvektor t und die Volumenkraft f haupts¨achlich in der

12.1 Globale und lokale Kr¨ afte- und Momentenbilanzen

281

Festigkeitslehre. Von der Momentenbilanz (12.2) sind die Momente ri × Fi der Einzelkr¨ afte Fi , gebildet als Kreuzprodukt mit dem Ortsvektor ri des Angriffspunktes der Einzelkraft, und die Einzelmomente Mi aus der Statik bekannt. Letztere traten als Einspann- und Schnittmomente beim Balken auf. Sie kamen auch in der Beziehung (7.20) des Satzes von CASTIGLIANO vor. Die Momente der Linien-, Fl¨ achen- und Volumenkr¨afte werden durch die jeweiligen Kreuzprodukte erkl¨ art. Momente pro L¨angeneinheit mL wurden in der Statik angesprochen und fanden in der Plattentheorie Verwendung. Momente pro Fl¨ acheneinheit mA bzw. pro Volumeneinheit mV haben in einer erweiterten mechanischen Theorie bzw. in der Elektrodynamik Bedeutung. Sie werden hier nicht weiter beachtet. Die beiden globalen Bilanzen (12.1) und (12.2) besitzen den Rang von Naturgesetzen. Sie werden deshalb auch als Grundgesetze der Statik bezeichnet. Bei ihrer Verletzung bewegt sich der K¨ orper beschleunigt. Im allgemeinen Fall m¨ ussen dann die rechten Seiten von (12.1) und (12.2) durch Beschleunigungsterme, welche die Dichteverteilung des K¨ orpers ber¨ ucksichtigen, erg¨anzt werden. Aus (12.1) entsteht die so genannte Impulsbilanz und aus (12.2) die so genannte Drehimpulsbilanz (s. Abschnitt 12.5). Beide voneinander unabh¨ angig zu erf¨ ullenden Bilanzen stellen, erg¨ anzt um das Gesetz von der Erhaltung der Masse, die Grundgesetze der Kinetik und damit der Mechanik dar. Sie gelten wie ihre statischen Sonderf¨ alle f¨ ur beliebige K¨orper und K¨ orperteile endlicher Abmessungen. Greifen an K¨ orpern oder K¨ orperteilen nur Fl¨ achen- und Volumenlasten an, so d¨ urfen die K¨ orper oder K¨ orperteile differenzielle Abmessungen besitzen. Unter dieser f¨ ur die Differenzierbarkeit der Lastverteilungen getroffenen notwendigen Voraussetzung kann aus der globalen Kr¨aftebilanz (12.1) eine lokal geltende Vektordifferenzialgleichung nebst den dazugeh¨origen lokal geltenden Randbedingungen gewonnen werden, w¨ ahrend (12.2) auf die lokal geltende algebraische Gleichung der Momentenbilanz f¨ uhrt. Zur Ausf¨ uhrung des erstgenannten Gedankens ben¨otigen wir den Integralsatz von GAUSS (1777-1855): Der durch eine geschlossene Fl¨ache A hindurchgehende Fluss eines Fl¨ achenvektors t ist gleich der Quellst¨arke dieses Vektors in dem von A eingeschlossenen Volumen V . Der entsprechende mathematische Ausdruck lautet   t · ndA = A

div tdV ,

(12.3)

V

wobei der Normaleneinheitsvektor n auf dem Oberfl¨achenelement dA bez¨ uglich der geschlossenen Fl¨ ache nach außen zeigt.

xk , k = 1, 2, 3 Die kartesischen Ortskoordinaten x, y, z werden in x1 , x2 , x3 = umbenannt. Als Folge davon tragen die Vektorkoordinaten und Basisvekto-

282

12. Zusammenfassung der Grundgleichungen der linearen Elastizit¨ atstheorie

ren der kartesischen Komponentenzerlegung Zahlen- statt Buchstabenindizes, d. h. 3  t = tx e x + ty e y + tz e z = tk e k , (12.4) k=1

n = nx ex + ny ey + nz ez =

3 

nk ek .

(12.5)

k=1

Die partiellen Ableitungen nach den kartesischen Ortskoordinaten werden in der Form ∂(...)/∂xk = (...),k geschrieben. Das Skalarprodukt der Vektoren t · n und die Divergenz des Vektors t in (12.3) bekommen dann die Form t·n=

3 

div t =

tk n k ,

k=1

so dass aus (12.3)

3 3   ∂tk = tk,k , ∂xk k=1

  3

tk nk dA =

A k=1

  3 V

(12.6a,b)

k=1

tk,k dV

(12.7)

k=1

entsteht. Im Hinblick auf die gew¨ unschte Differenzierbarkeit belassen wir in (12.1) nur den Fl¨ achen- und den Volumenterm, d. h.   tdA + fdV = 0 . (12.8) A

V

Mit Benutzung der Doppelindizes σxx = σx usw. sowie Vereinheitlichung der ur die Koordinaten des Spannungstensors in (2.21) Notation τkl = σkl , k = l f¨ sind die Koordinaten des Spannungsvektors t gem¨aß (2.17) in (12.8) als tl =

3 

σkl nk ,

l = 1, 2, 3

(12.9)

k=1

schreibbar. Damit folgt aus dem Fl¨ achenterm in der Kr¨aftebilanz (12.8) und dem GAUSSschen Integralsatz in der Form (12.7) f¨ ur jede Spannungsvektorkoordinate tl     3 3 σkl nk dA = σkl,k dV , l = 1, 2, 3 . (12.10) A k=1

V

k=1

12.1 Globale und lokale Kr¨ afte- und Momentenbilanzen

283

Die Koordinatendarstellung von (12.8)   3

 σkl nk dA +

A k=1

fl dV = 0 ,

l = 1, 2, 3

(12.11)

V

ergibt mit (12.10)   3 V

 σkl,k + fl dV = 0 ,

l = 1, 2, 3 .

(12.12)

k=1

Der G¨ ultigkeit von (12.12) f¨ ur beliebige K¨ orper, d. h. f¨ ur beliebige Volumina, kann nur entsprochen werden, wenn der Integrand des Volumenintegrals in (12.12) verschwindet. Diese f¨ ur die Feldtheorie der Mechanik und anderer Kontinuumstheorien typische Schlussweise liefert 3 

σkl,k + fl = 0 ,

l = 1, 2, 3 .

(12.13)

k=1

Ausgeschrieben f¨ uhrt (12.13) auf ∂σ11 ∂σ21 ∂σ31 + + + f1 = 0 , ∂x1 ∂x2 ∂x3 ∂σ12 ∂σ22 ∂σ32 + + + f2 = 0 , ∂x1 ∂x2 ∂x3 ∂σ13 ∂σ23 ∂σ33 + + + f3 = 0 . ∂x1 ∂x2 ∂x3

(12.14a,b,c)

Dies sind die drei am Ende von Abschnitt 2.3 vorhergesagten, der globalen Kr¨ aftebilanz in Vektorform (12.8) bzw. in Koordinatendarstellung (12.11) entsprechenden lokalen Kr¨ aftebilanzen (Kr¨ aftegleichgewichtsbedingungen) des K¨ orpervolumenelementes. Sie enthalten im Sonderfall des ebenen Spannungszustandes die beiden Gleichungen (2.16a) und (2.16b). Ihr mechanischer Inhalt ist nicht an die Darstellung in einem kartesischen Bezugssystem gebunden. Er bleibt bei Umrechnungen der Darstellung in krummlinige Koordinaten bestehen. Die dann zu verwendenden Basisvektoren sind jedoch ortsabh¨ angig. Diese Abh¨ angigkeit liefert bei den Ortsableitungen der Vektoren, die in ihrer Zerlegung aus Koordinaten und Basisvektoren bestehen, zus¨ atzliche Terme. Analoges gilt f¨ ur Tensoren wie Spannung und Verzerrung. Die Regeln f¨ ur die Umrechnungen der Vektor- und Tensorkoordinaten zwischen unterschiedlichen krummlinigen Bezugssystemem werden in der Tensoranalysis behandelt. Sie sind hier nicht verf¨ ugbar. Diese Schwierigkeit konnte in Abschnitt 9.2.1 wegen der vereinfachenden Bedingungen des rotationssymmetrischen Sonderfalls umgangen werden. Es war dort m¨oglich, die Polarkoordinatendarstellung der lokalen Kr¨ aftegleichgewichtsbedingung (9.11) und

284

12. Zusammenfassung der Grundgleichungen der linearen Elastizit¨ atstheorie

der Verzerrungen (9.12), (9.13) aus einer anschaulichen Betrachtung direkt zu gewinnen. Analog zu den obigen Ausf¨ uhrungen k¨ onnen wir bez¨ uglich der globalen Momentenbilanz (12.2) den eingeschr¨ ankten Sonderfall   r × tdA + r × fdV = 0 (12.15) A

V

betrachten und daraus eine ¨ aquivalente lokale Bilanz gewinnen. Hierzu schreiben wir den Spannungsvektor t mit Hilfe von (2.17), (2.21) und Zahlenindizes als 3 3 3 3  3     tk e k = σlk nl ek = σlk ek nl . (12.16) t= k=1

k=1 l=1

l=1 k=1

Einsetzen von (12.16) in (12.15) und Umformung des Fl¨achenintegrals mit Hilfe des GAUSSschen Satzes (12.7) liefert   3 3 

 r× σlk ek ,l + r × f dV = 0 . V

l=1

(12.17)

k=1

Da die Einheitsvektoren ek konstant sind, ergeben sich die partiellen Ableitungen 3 

 r,l = xk ek ,l = el , ek,l = 0 , (12.18) k=1

so dass aus (12.17)   3

V

l=1

el ×

3 

3 3  

  σlk ek + r × σlk,l + fk ek dV = 0

k=1

k=1

(12.19)

l=1

folgt. Der Inhalt der rechten runden Klammer verschwindet, da in (12.13) der Summationsindex k durch l und der freie Index l durch k ersetzt werden d¨ urfen. F¨ ur beliebige Volumina kann folglich (12.19) nur mit 3 3  

 el × σlk ek = 0 l=1

(12.20)

k=1

erf¨ ullt werden. Die Kreuzprodukte gleicher Basisvektoren sind 0, die der restlichen ergeben mit (12.20) (σ23 − σ32 )e1 + (σ31 − σ13 )e2 + (σ12 − σ21 )e3 = 0

(12.21)

12.1 Globale und lokale Kr¨ afte- und Momentenbilanzen

285

bzw. die in den Koordinaten des Spannungstensors formulierte lokale Momentenbilanz σkl = σlk ,

k, l = 1, 2, 3 .

(12.22)

Die in (12.22) ausgedr¨ uckte Gleichheit der zugeordneten Schubspannungen war auch schon in (2.5) und (2.22) auf der Grundlage des Hebelgesetzes von ARCHIMEDES angegeben worden. Bei ihrer Herleitung aus der globalen Momentenbilanz (12.15) wurde zwar die der globalen Kr¨aftebilanz (12.8) bzw. (12.11) ¨ aquivalente lokale Kr¨ aftebilanz (12.13) benutzt. Das Ergebnis (12.22) konnte aber nicht aus der Kr¨ aftebilanz allein gewonnen werden. Es sei auch betont, dass der K¨ orper, f¨ ur dessen Gleichgewicht außer der Erf¨ ullung der lokalen Kr¨ aftebilanz (12.13) auch die Befriedigung der lokalen Momentenbilanz (12.22) gefordert wird, ein in Koordinaten, hier kartesischen Koordinaten, wohldefiniertes Volumenelement ist, welches der postulierten Kontinuit¨ atsannahme gen¨ ugt. Im Gegensatz dazu enth¨alt die immer noch in vielen elementaren Lehrb¨ uchern dargelegte Punktmechanik keinen mathematisch ¨ korrekten Ubergang von den diskreten Punkten zum Kontinuum und ist deshalb mit den Grundgleichungen der Elastizit¨ atstheorie nicht vereinbar. Die Umformung der globalen Kr¨ aftebilanz (12.11) in die lokale Kr¨aftebilanz (12.13) f¨ uhrte infolge der Anwendung der GAUSSschen Satzes auf partielle Differenzialgleichungen. Der dabei infolge der Differenziation entstandene Informationsverlust muss noch behoben werden. Zu diesem Zweck werden auf glatten Fl¨ achen mit sprungartigen Variablen- oder Eigenschafts¨anderungen ¨ statische Sprungbedingungen (auch als Ubergangsbedingungen bezeichnet) formuliert, welche am K¨ orperrand in statische Randbedingungen u ¨ bergehen. Hierzu betrachten wir den Querschnitt eines im Grenz¨ ubergang scheibenf¨ormigen Volumenelementes mit der Dicke δb, das von einer Sprungfl¨ache S − S durchzogen wird (Bild 12.1). Diese Sprungfl¨ ache trennt K¨orperbereiche (2) von K¨ orperbereichen (1) mit unterschiedlichen Materialeigenschaften. S

t

(2)

(S)

(1) n

n(2) t

±b

(2)

dA dA

(2)

±A m (1)

n

t

(1)

(1)

S

dA

Bild 12.1. Zu den statischen Sprungbedingungen

286

12. Zusammenfassung der Grundgleichungen der linearen Elastizit¨ atstheorie

Die Mantelfl¨ ache δAm schneidet aus der Sprungfl¨ache ein Fl¨achenelement der Gr¨ oße dA mit dem Einheitsnormalenvektor n heraus, welcher von (1) nach (2) zeigt. Fl¨ achenkr¨ afte, die an der Mantelfl¨ache δAm angreifen sowie Volumenkr¨ afte, gehen bei dem von dA → 0 unabh¨angigen Grenz¨ ubergang (1) (2) δb → 0 nach null, und die Deckfl¨ achenelemente dA bzw. dA , zu denen die Einheitsnormalenvektoren n(1) bzw. n(2) geh¨oren, nehmen die Gr¨oße dA an. An dem Sprungfl¨ achenelement dA greife die Fl¨achenkraft t(S) an, an den Deckfl¨ achenelementen dA(1) und dA(2) jeweils die Fl¨achenkraft t(1) bzw. t(2) . Dann ergibt die mit den Fl¨ achenkr¨ aften (Spannungsvektoren) und dem Fl¨ achenelement dA gebildete Kr¨ aftebilanz t(S) dA + t(2) dA + t(1) dA = 0 ,

t(S) + t(2) + t(1) = 0 .

(12.23)

Als Beispiele f¨ ur Sprungfl¨ achenkr¨ afte k¨ onnen die elementar berechnete Zugspannungs¨ anderung infolge des L¨ angskraftsprunges im Beispiel 1.2 mit A1 = achenkraft σ0 aus Bild 10.2 dienen. Sprunghafte EiA2 und die radiale Fl¨ genschafts¨ anderungen entstehen h¨ aufig durch gebietsweise unterschiedliche elastische Konstanten. Im Folgenden bleiben Sprungfl¨ achenkr¨ afte außerhalb der Betrachtungen. Dann ergibt sich aus der lokalen Kr¨ aftebilanz (12.23) die Beziehung −t(1) = t(2) ,

(12.24)

welche manchmal als Reaktionsprinzip bezeichnet wird. Mit den Zerlegungen t(1) =

3 

(1)

tk ek ,

t(2) =

k=1

3 

(2)

tk ek

(12.25)

k=1

entsteht aus (12.24) noch (1)

(2)

−tk = tk ,

k = 1, 2, 3 .

(12.26)

Dies kann wegen (12.9) und der entgegengesetzten Orientierung der Einheitsnormalenvektoren der Fl¨ achenelemente dA(1) und dA(2) gem¨aß Bild 12.1 (1) (2) −nk = nk = nk auch als (1)

−tl

=

3  k=1

(1) (1)

−σkl nk =

3  k=1

(1)

σkl nk =

3 

(2)

(2)

σkl nk = tl

,

l = 1, 2, 3

k=1

(12.27) geschrieben werden. Befindet sich die Sprungfl¨ ache am Rand des betrachteten K¨opers, so f¨ uhren die Gleichungen (12.26) bzw. (12.27) auf die statischen Randbedingungen,

12.1 Globale und lokale Kr¨ afte- und Momentenbilanzen

287

die hier Kraftrandbedingungen sind. Mit gegebenen Fl¨achenkraftkoordinaten (2) t¯k = tk und nach Weglassen des Index (1) in (12.27) entsteht dann 3 

σkl nk = t¯l ,

l = 1, 2, 3 .

(12.28)

k=1

Pro Oberfl¨ achenpunkt sind i. Allg. drei Angaben m¨oglich, im ebenen Sonderfall nur zwei. Punkte, in denen die Oberfl¨ ache nicht glatt ist, stellen eine Ausnahme von dieser Regel dar. Die in die Randbedingungen eingehenden Kraftverteilungen m¨ ussen zusammen mit allen u ¨brigen am K¨orper angreifenden Lasten die globalen Bilanzen (12.1) und (12.2) erf¨ ullen. Wir betrachten als Anwendungsfall die Rechteckscheibe im ebenen Spannungszustand nach Bild 12.2. ¾0

¾0 y

b

ey ex

x a

Bild 12.2. Rechteckscheibe im ebenen Spannungszustand

Statt einer K¨ orperoberfl¨ ache steht jetzt eine Randkontur f¨ ur die Aufstellung der Randbedingungen zur Verf¨ ugung. An allen Teilr¨andern sind vollst¨andige Informationen u außeren Fl¨ achenkr¨ afte bzw. Linienkr¨afte pro Schei¨ber die ¨ bendicke oder Spannungsvektoren gegeben. Im Einzelnen gilt f¨ ur die Auswertung von (12.28) an den jeweiligen R¨ andern: x = 0, 0 ≤ y ≤ b :

nx = −1, ny = 0, t¯x = −σ0 , σxx = σ0 , σxx nx = t¯x , σxy = 0. σxy nx = t¯y ,

x = a, 0 ≤ y ≤ b :

nx = 1,

y = 0, 0 ≤ x ≤ a :

ny = 0, ¯ σxx nx = tx , σxy nx = t¯y ,

t¯x = σ0 ,

t¯y = 0,

t¯y = 0,

σxx = σ0 , σxy = 0.

ny = −1, t¯x = 0, t¯y = 0, σyx = 0, σyx ny = t¯x , nx = 0,

σyy ny = t¯y ,

σyy = 0.

288

12. Zusammenfassung der Grundgleichungen der linearen Elastizit¨ atstheorie

y = b, 0 ≤ x ≤ a :

ny = 1, t¯x = 0, t¯y = 0, σyx = 0, σyx ny = t¯x ,

nx = 0,

σyy ny = t¯y ,

σyy = 0.

An den vorliegenden R¨ andern parallel zu den kartesischen Koordinatenlinien stellen die Spannungsvektor- oder Fl¨ achenkraftkoordinaten einen Teil der Koordinaten des Spannungstensors dar. Die statische Randbedingung, die auch als Gleichheit (2)

tk = t¯k

(12.29) (2)

der festzulegenden Spannungsvektorkoordinaten tk und der gegebenen Spanuckt werden kann, ist deshalb an der jenungsvektorkoordinaten t¯k ausgedr¨ weiligen Koordinatenfl¨ ache unmittelbar ablesbar. Hierbei muss nur die Orientierung der eingetragenen Z¨ ahlpfeile gegebener Fl¨achenkr¨afte bez¨ uglich der Z¨ ahlpfeildefinition der Spannungstensorkoordinaten (s. z. B. Bild 2.2a) beachtet werden. In obigem Zusammenhang wird h¨ aufig eine verk¨ urzte, aber missverst¨andliche Sprechweise verwendet. Sie besagt, dass z. B. die R¨ander y = 0 und y = b in Bild 12.2 spannungsfrei sind, obwohl dort die Normalspannung σx = σ0 verschieden von null ist (!). Es empfiehlt sich deshalb, besser die Spannungsvektorkoordinaten, welche gegeben sind, zu benennen und das Wort Kraftrand” bedingungen“ anstelle des Terms Spannungsrandbedingungen“ zu benutzen. ” 12.2

12.2 Kinematische Beziehungen Die in Abschnitt 2.4 bereitgestellten kinematischen Zusammenh¨ange zwischen den Verschiebungen und Verzerrungen εkl =

1 (uk,l + ul,k ) , 2

(...),k =

∂(...) , ∂xk

k, l = 1, 2, 3

(12.30)

gelten lokal. Sie stellen lineare partielle Differenzialgleichungen dar. An einer Sprungfl¨ ache muss wegen der angenommenen Kontinuit¨at des K¨orpers der Verschiebungsvektor stetig sein, d. h. in Koordinaten gilt (1)

(2)

uk = uk .

(12.31)

Liegt die Sprungfl¨ ache am K¨ orperrand und sind dort die Verschiebungen (2) ¯k gegeben, so hat die kinematische Randbedingung mit der Schreibuk = u (1) weise uk = uk die Form ¯k , uk = u

(12.32)

12.2 Kinematische Beziehungen

289

wobei maximal drei Informationen u¯k vorliegen k¨onnen. Starrk¨ orperbewegungen eines K¨ orpers verursachen definitionsgem¨aß keine Verzerrungen. Deshalb k¨ onnen gegebene Verzerrungsfelder die Lage eines K¨ orpers im Raum nicht bestimmen. Hierzu sind in Abh¨angigkeit von den schon vorgegebenen Verschiebungsrandbedingungen zus¨atzliche Verschiebungsfestlegungen zu treffen. Wir betrachten als Anwendungsfall eine Scheibe im ebenen Spannungszustand. Diese sei am gesamten Rand festgehalten und durch ein ebenes Temperaturfeld ΔT (x, y) gem¨ aß Bild 12.3 belastet.

Dicke d