Einführung in die algebraische Zahlentheorie [1 ed.] 3540459731, 9783540459736 [PDF]

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Springer-Lehrbuch

Alexander Schmidt

Einführung in die algebraische Zahlentheorie

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Prof. Dr. Alexander Schmidt NWF I-Mathematik Universität Regensburg Universitätsstraße 31 93040 Regensburg E-mail: [email protected]

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Mathematics Subject Classification (2000): 11A05, 11A07, 11A15, 11R04, 11R29, 11M06

ISBN 978-3-540-45973-6 Springer Berlin Heidelberg New York Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Übersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielfältigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfältigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulässig. Sie ist grundsätzlich vergütungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Springer ist ein Unternehmen von Springer Science+Business Media springer.de © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2007 Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Text und Abbildungen wurden mit größter Sorgfalt erarbeitet. Verlag und Autor können jedoch für eventuell verbliebene fehlerhafte Angaben und deren Folgen weder eine juristische Verantwortung noch irgendeine Haftung übernehmen. Satz: Datenerstellung durch den Autor unter Verwendung eines Springer TEX-Makropakets Herstellung: LE-TEX Jelonek, Schmidt & Vöckler GbR, Leipzig Umschlaggestaltung: WMXDesign GmbH, Heidelberg Gedruckt auf säurefreiem Papier

175/3100YL - 5 4 3 2 1 0

F¨ ur Reinhard B¨olling

Vorwort

Dieses Buch gibt eine Einf¨ uhrung in die Grundgedanken der modernen Algebraischen Zahlentheorie, einer der traditionsreichsten und gleichzeitig heute besonders aktuellen Grunddisziplinen der Mathematik. Ausgehend von Themenbereichen, die u ¨ blicherweise der elementaren Zahlentheorie zugeordnet werden (Kleiner Fermatscher Satz, Quadratisches Reziprozit¨atsgesetz), f¨ uhrt es anhand konkreter Problemstellungen zu den Techniken, die das Herz der modernen Theorie ausmachen. Der technische Apparat wird nur so weit entwickelt, wie es f¨ ur die konkreten Fragestellungen n¨otig ist, soll aber auch einen Vorgeschmack auf die allgemeine Theorie geben. Alle Fortschritte, die die Algebraische Zahlentheorie in den letzten Jahrzehnten erreicht hat, beruhen auf modernen und komplizierten mathematischen Theorien, die zum Teil anderen mathematischen Disziplinen, wie etwa der Topologie, Algebraischen Geometrie oder Analysis, entstammen. Dies bringt f¨ ur die heranwachsende Generation ein Dilemma mit sich. Man kann (und wird) lange brauchen, um sich mit den Techniken der modernen Zahlentheorie vertraut zu machen. Dieser Aufwand wird durch die große Eleganz der Theorie belohnt, die die Einsichten vieler Generationen von Mathematikern in kondensierter Form aufhebt. Allerdings bleibt auf diesem Wege der Blick auf die urspr¨ unglichen Fragen lange verstellt. Der Ausgangspunkt ist sozusagen erst wieder vom Dach des Geb¨ audes aus sichtbar. Nun kann man verschiedene Arten von Lehrb¨ uchern schreiben und auch lesen. Ein systematisches Studium der Zahlentheorie ist unabdingbar f¨ ur jeden, der den Anspruch, hat tiefer zu dringen und vielleicht sp¨ater selbst zu forschen. Wer dies anstrebt, dem sei, in dieser Reihenfolge, die Lekt¨ ure der Monographien [Neu] und [NSW] ans Herz gelegt. Das vorliegende Buch ist als Einf¨ uhrung konzipiert. Es setzt m¨ oglichst wenig voraus und entwickelt die Theorie anhand konkreter Probleme, wie z.B. der Fermat-Gleichung, in lockerer Form und nicht in gr¨ oßter Allgemeinheit. Wer dadurch Lust auf mehr bekommen hat, sei auch auf die Lehrb¨ ucher [BS], [IR] und [Se] hingewiesen.

VIII

Vorwort

Wie es bei einem einf¨ uhrenden Buch nicht u ¨ berraschen wird, stammt keines der behandelten Resultate von mir, und auch die gegebenen Beweise sind nicht neu. Ich habe darauf verzichtet, jeweils die Herkunft zu erw¨ahnen. Lediglich klassische, namhafte S¨ atze werden unter dem Namen ihres Entdeckers gef¨ uhrt. Unter Auslassung der hinteren Kapitel ist es gut m¨oglich, dieses Buch als Grundlage f¨ ur einen einsemestrigen Kurs zu nehmen. Aus einem solchen ist es auch entstanden. Wie weit man dabei im Stoff kommt, wird wesentlich von den Vorkenntnissen des Publikums abh¨ angen. Im Text werden nur Schulkenntnisse vorausgesetzt und der algebraische Apparat, soweit gebraucht, behutsam entwickelt. Ab Kapitel 8 werden Kenntnisse in Analysis und linearer Algebra vorausgesetzt, jedoch nicht mehr, als durch die Grundvorlesungen eines Mathematikstudiums abgedeckt wird. Der Inhalt der letzten beiden Kapitel eignet sich nach meiner Erfahrung gut f¨ ur ein Seminar. Bedanken m¨ ochte ich mich bei meinen Freunden und Kollegen Anton Deitmar, Daniel Huybrechts, Stefanie Knorr, Otmar Venjakob, Denis Vogel, Gabor Wiese und Kay Wingberg, die eine vorl¨ aufige Version gelesen, viele Verbesserungen gefunden und wichtige Anregungen gegeben haben. Ein besonderer Dank geht an Frau Eva-Maria Strobel f¨ ur ihr gr¨ undliches Korrekturlesen. Ich selbst habe den Stoff der vorderen Kapitel bereits als Abiturient kennen gelernt. Zu danken ist dies Herrn Dr. Reinhard B¨olling und seinen damaligen Kursen in Wissenschaftlich-Praktischer-Arbeit f¨ ur ausgew¨ahlte Sch¨ uler der Ostberliner Heinrich-Hertz-Oberschule. Mit beeindruckendem p¨adagogischem Geschick bereitete Herr B¨ olling komplizierten mathematischen Stoff so auf, dass er, hohes Engagement vorausgesetzt, von Sch¨ ulern verstanden werden konnte. Inhalt und Darstellung der ersten sechs Kapitel sind stark an den damaligen Unterricht angelehnt, und ich hoffe, dass große Teile des Buches auch f¨ ur motivierte Abiturienten lesbar sind.

Regensburg, November 2006

Alexander Schmidt

Inhaltsverzeichnis

Kapitel 1: Rechnen mit Restklassen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 Teilbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Primzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Kongruenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Der Kleine Fermatsche Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Primzahlen mit vorgegebener Restklasse I . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Polynomkongruenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7 Primitive Wurzeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 1 3 7 13 14 15 17

Kapitel 2: Das Quadratische Reziprozit¨ atsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Quadratische Reste modulo p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Das Quadratische Reziprozit¨ atsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Primzahlen mit vorgegebener Restklasse II . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Quadratsummen I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21 21 24 27 29

Kapitel 3: Diophantische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 Hindernisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Lineare Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Diophantische Gleichungen modulo p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Diophantische Gleichungen modulo Primpotenzen . . . . . . . . . . . 3.5 Anwendung des QRG auf diophantische Gleichungen . . . . . . . . .

35 35 37 40 43 45

Kapitel 4: Die Gaußschen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1 Abelsche Gruppen, Ringe und K¨ orper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Euklidische Ringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Primzerlegung in den Gaußschen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Quadratsummen II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5 Pythagor¨ aische Tripel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6 Erweiterte Zahlringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49 49 53 56 59 61 63

X

Inhaltsverzeichnis

Kapitel 5: Algebraische Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1 Polynomringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Endlich erzeugte abelsche Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Ganze algebraische Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Kreisteilungspolynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5 Primzahlen mit vorgegebener Restklasse III . . . . . . . . . . . . . . . . .

65 65 67 71 75 79

Kapitel 6: Quadratische Zahlk¨ orper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 6.1 Quadratische Zahlk¨ orper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 6.2 Rechnen mit Idealen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 6.3 Primideale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 6.4 Gebrochene Ideale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 6.5 Das Zerlegungsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 6.6 Die Idealklassengruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 6.7 Einheiten in quadratischen Zahlk¨ orpern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 6.8 Anwendung auf diophantische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 6.9 Kriterien f¨ ur hK > 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 6.10 Euklidizit¨ at von OK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 Kapitel 7: Der Große Fermatsche Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 7.1 Der Fall n = 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 7.2 Der Satz von Sophie Germain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 7.3 Kummers Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 7.4 Der Fall n = 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 Kapitel 8: Analytische Methoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 8.1 Dirichlet-Charaktere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 8.2 Gauß- und Jacobi-Summen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 8.3 Diophantische Gleichungen modulo p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 8.4 Die Riemannsche Zetafunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 8.5 L-Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 8.6 Primzahlen mit vorgegebener Restklasse IV . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 Kapitel 9: p-adische Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 9.1 Der p-adische Abstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 9.2 Der K¨ orper der p-adischen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 9.3 Ganze p-adische Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 9.4 Die p-adische Entwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 9.5 p-adische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 9.6 Das Hilbert-Symbol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 9.7 Die Produktformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

Inhaltsverzeichnis

XI

Kapitel 10: Quadratische Formen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 10.1 Quadratische Formen u orpern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 ¨ ber K¨ 10.2 Zwei S¨ atze von Witt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 10.3 Reelle quadratische Formen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 10.4 Quadratische Formen u ¨ ber lokalen K¨orpern . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 10.5 Der Satz von Hasse-Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 10.6 Quadratsummen III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 10.7 Geschlechtertheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 Bezeichnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 Sachverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

Kapitel 1 Rechnen mit Restklassen

In diesem Kapitel wird an grunds¨ atzliche Definitionen, wie die der Teilbarkeit, erinnert. Wir zeigen, dass es unendlich viele Primzahlen gibt. Außerdem zeigen wir den Kleinen Fermatschen Satz und die Existenz primitiver Wurzeln modulo p. All dies wird oft als elementare Zahlentheorie“ bezeichnet. ”

1.1 Teilbarkeit Im Zentrum des zahlentheoretischen Interesses stehen die nat¨ urlichen Zahlen IN = { 1, 2, 3, 4, . . . } .

Nat¨ urliche Zahlen kann man stets addieren. Die Umkehroperation, die Subtraktion n − m, ist in IN nur durchf¨ uhrbar, wenn m kleiner als n ist. Man befreit sich von dieser Einschr¨ ankung, indem man zu den ganzen Zahlen ZZ = { . . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . . }

u ur die Umkehrung die ¨ bergeht. Im Falle der Multiplikation ist das Hindernis f¨ Teilbarkeitsrelation. Definition 1.1.1. Eine ganze Zahl a teilt eine ganze Zahl b (symbolisch: a|b), wenn eine ganze Zahl c mit ac = b existiert. Man nennt dann a Teiler von b. Die Zahl 0 teilt offensichtlich nur die 0 (was nicht bedeutet, dass man dem Quotienten 0/0 einen Sinn geben k¨ onnte), und jede Zahl teilt 0. Die Zahlen ±1 teilen jede Zahl und spielen eine Sonderrolle. Man nennt sie Einheiten. Ist a
= 0, so existiert der Quotient c = b/a in ZZ genau dann, wenn a|b, und ist dann eindeutig bestimmt. Man befreit sich von dieser Einschr¨ankung ¨ durch Ubergang zu den rationalen Zahlen Q. Dort ist die Division (außer durch 0) uneingeschr¨ ankt durchf¨ uhrbar. Die Teilbarkeitsrelation verliert durch diese Konstruktion jedoch nicht ihre Bedeutung. Wir werden zun¨achst einige Eigenschaften sammeln. Den Beweis des n¨ achsten Lemmas u ¨berlassen wir dem Leser.

2

Kapitel 1. Rechnen mit Restklassen

Lemma 1.1.2. F¨ ur a, b, c, m, n ∈ ZZ gilt: (i) a|b und a|c =⇒ a|(b + c), (ii) a|b =⇒ a|bc, (iii) a|n und b|m =⇒ ab|nm. Die Menge der Teiler einer von Null verschiedenen ganzen Zahl a ist nicht leer (sie enth¨ alt die 1) und endlich (wegen d|a ⇒ |d| ≤ |a|). Daher ist die folgende Definition sinnvoll. Definition 1.1.3. Der gr¨ oßte gemeinsame Teiler zweier von Null verschiedener ganzer Zahlen a und b ist die gr¨oßte nat¨ urliche Zahl d mit d|a und d|b. Bezeichnung: d = (a, b). Wir nennen a und b teilerfremd oder auch relativ prim, wenn (a, b) = 1 gilt. Außerdem setzen wir (0, a) = (a, 0) = |a| f¨ ur beliebiges ganzes a. Eine wichtige Eigenschaft des gr¨ oßten gemeinsamen Teilers ist seine lineare Kombinierbarkeit. Diese ist der Inhalt des folgenden Satzes. Satz 1.1.4. Sei d = (a, b). Dann existieren ganze Zahlen x, y mit d = ax + by. Beweis. F¨ ur a = 0 oder b = 0 ist die Aussage trivial, also sei ab
= 0. Wir k¨ onnen außerdem annehmen, dass a und b positiv sind, ansonsten ¨andern wir zum Schluss das Vorzeichen von x bzw. y. Des Weiteren sei o.B.d.A. b ≤ a. Wir f¨ uhren den Euklidischen Algorithmus aus, d.h. wir teilen sukzessive mit Rest: a = bq1 + r1 , 0 ≤ r1 < b 0 ≤ r2 < r1 b = r1 q2 + r2 , r1 = r2 q3 + r3 , 0 ≤ r3 < r2 .. .. . . rn−2 = rn−1 qn + rn ,

rn = 0.

Die Folge b > r1 > r2 > · · · ist eine strikt fallende Folge nichtnegativer ganzer Zahlen. Daher bricht der Prozess ab, d.h. es gibt ein n mit rn = 0. Nun gilt rn−1 = d. Das sieht man folgendermaßen. Von unten nach oben durch die Gleichungen gehend sehen wir, dass rn−1 sowohl a als auch b teilt. Also gilt rn−1 ≤ d. Von oben nach unten gehend sehen wir, dass rn−1 durch d teilbar ist. Hieraus folgt d = rn−1 . Starten wir nun von der vorletzten Zeile rn−3 = rn−2 qn−1 + d und setzen sukzessive ein, erhalten wir die gew¨ unschte Darstellung d = ax + by. ⊓ ⊔ Hieraus folgern wir, dass der gr¨ oßte gemeinsame Teiler nicht nur bez¨ uglich der Kleiner-Relation maximal ist, sondern auch im multiplikativen Sinne. Korollar 1.1.5. e|a und e|b =⇒ e|(a, b). Beweis. Es existieren x, y ∈ ZZ mit ax + by = (a, b). Also ist (a, b) durch e teilbar. ⊓ ⊔

1.2 Primzahlen

3

Dies ist die wichtigste Eigenschaft des gr¨ oßten gemeinsamen Teilers. Sp¨ater werden wir in Zahlbereichen arbeiten, in denen keine Kleiner-Relation definiert ist. Die in Korollar 1.1.5 formulierte Eigenschaft wird dort zur Definition des gr¨ oßten gemeinsamen Teilers. Man muss sich dann nat¨ urlich Rechenschaft ablegen, ob ein solcher u ¨ berhaupt existiert (das ist nicht immer der Fall) und in welchem Sinne er eindeutig ist. Wir beenden diesen Abschnitt mit zwei einfachen Korollaren aus dem eben Gesagten. Korollar 1.1.6. a|bc und (a, b) = 1 =⇒ a|c. Beweis. Sei bc = za und ax + by = 1. Dann ist c = cax + cby = a(cx + zy). ⊓ ⊔ Korollar 1.1.7. a|m, b|m und (a, b) = 1 =⇒ ab|m. Beweis. W¨ ahle x, y mit ax + by = 1. Dann ist m = max + mby. Nun gilt ⊔ ab|max und ab|mby, also ab|m. ⊓

Aufgabe 1. Man zeige: (2, 3, 7) ist das einzige Tripel nat¨ urlicher Zahlen ≥ 2 mit der Eigenschaft das Produkt zweier +1 ist durch die dritte teilbar“. ” Aufgabe 2. F¨ ur eine nat¨ urliche Zahl n bezeichnet man das Produkt n · (n − 1) · · · 1 mit n! (sprich: n Fakult¨ at“). F¨ ur m, n ∈ IN zeige man (m! · n!) | (m + n)! . ” Aufgabe 3. Man zeige, dass f¨ ur eine nat¨ urliche Zahl n die Zahlen n(n + 1) und n(n + 2) niemals Quadratzahlen sind. Aufgabe 4. Man zeige, dass zu jeder nat¨ urlichen Zahl n eine nat¨ urliche Zahl m mit √ √ √ n ( 2 − 1) = m + 1 − m existiert.

Aufgabe 5. F¨ ur eine reelle Zahl x bezeichne [x] die gr¨ oßte ganze Zahl kleiner gleich x. Man zeige f¨ ur reelle Zahlen x, y die Ungleichung [x] + [y] ≤ [x + y].

1.2 Primzahlen Beginnend mit der Zahl 1 l¨ asst sich jede nat¨ urliche Zahl durch sukzessives Addieren der 1 gewinnen. Also ist 1 der Grundbaustein, aus dem sich durch Addition alle nat¨ urlichen Zahlen produzieren lassen. Bez¨ uglich der Multiplikation ergibt sich ein anderes Bild. Hier sind die Primzahlen die Grundbausteine. Definition 1.2.1. Eine ganze Zahl p > 1 heißt Primzahl, wenn 1 und p die einzigen positiven Teiler von p sind.

4

Kapitel 1. Rechnen mit Restklassen

Man beachte, dass 1 keine Primzahl ist. Das sieht zun¨achst wie eine willk¨ urliche Festlegung aus, hat aber einen tieferen Sinn: Die 1 teilt jede Zahl und ist f¨ ur die Teilbarkeitslehre uninteressant. Dass man die negativen Zahlen −2, −3, −5, −7, . . . nicht als Primzahlen bezeichnet, ist eine althergebrachte Konvention, die man auch anders festlegen k¨ onnte. Denn auch f¨ ur diese Zahlen ist die folgende Aussage richtig. Lemma 1.2.2. Ist p eine Primzahl und gilt p | ab, so folgt p | a oder p | b. Beweis. Angenommen p ∤ a. Dann ist (a, p) = 1 und nach Korollar 1.1.6 ist b durch p teilbar. ⊓ ⊔ Man kann sich leicht u urliche Zahl p > 1 genau dann ¨ berlegen, dass eine nat¨ Primzahl ist, wenn die Aussage von Lemma 1.2.2 f¨ ur p richtig ist. In allgemeineren Zahlbereichen wird diese Aussage zur definierenden Eigenschaft f¨ ur Primelemente. Den n¨ achsten Satz kennt jeder aus der Schulzeit, hat aber typischerweise nie einen Beweis daf¨ ur gesehen. Satz 1.2.3. Jede nat¨ urliche Zahl n ist in, bis auf die Reihenfolge, eindeutiger Weise das Produkt von Primzahlen. Beweis. 1. Existenz der Zerlegung per Induktion: n = 1 ist das (leere) Produkt von 0 Primzahlen. Sei n > 1 und die Aussage sei f¨ ur alle Zahlen m, 1 ≤ m ≤ n − 1 richtig. Ist n eine Primzahl, so sind wir fertig. Ansonsten l¨asst sich n in der Form n = m1 m2 mit 1 ≤ m1 , m2 ≤ n − 1 schreiben. Da sich m1 und m2 als Produkt von Primzahlen schreiben lassen, ist dies auch f¨ ur n der Fall. 2. Eindeutigkeit der Zerlegung: F¨ ur n = 1 ist dies klar und wir nutzen wieder Induktion. Sei n > 1 und p1 p2 · · · pk = n = q1 q2 · · · ql .

Nach Lemma 1.2.2 teilt p1 eines der qi , i = 1, . . . , l. Nach eventueller Umnummerierung k¨onnen wir p1 |q1 annehmen. Weil q1 eine Primzahl ist, folgt p1 = q1 . Dann teilen wir beide Seiten durch p1 und wenden die Induktionsvoraussetzung an. ⊓ ⊔ Typischerweise fasst man mehrfach vorkommende Primzahlen zusammen, so dass jede nat¨ urliche Zahl n eine bis auf Reihenfolge eindeutige Zerlegung der Form n = pe11 · · · pekk , ei ≥ 1, i = 1, . . . , k , mit paarweise verschiedenen Primzahlen p1 , . . . , pk hat.

Korollar 1.2.4. Es gibt unendlich viele Primzahlen.

1.2 Primzahlen

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Beweis. Angenommen, es g¨ abe nur endlich viele und P sei ihr Produkt. Dann w¨are P + 1 gr¨ oßer als 1 und durch keine Primzahl teilbar. Dies widerspr¨ache der Aussage von Satz 1.2.3. Daher gibt es unendlich viele Primzahlen. ⊓ ⊔ Es ist wohlbekannt, dass die Reihe ∞
1 n n=1 N 1 divergiert, d.h. die Partialsummen n=1 n u ur hinreichend großes ¨ bersteigen f¨ N jede gegebene Schranke. Das n¨ achste Theorem sagt uns, dass es sehr viele“ ” Primzahlen gibt, d.h. wenn man die Nichtprimzahlen aus dieser Reihe entfernt, divergiert sie immer noch. Der bekannten (und erstaunlichen) Formel ∞
1 π2 = n2 6 n=1 entnehmen wir, dass es in einem wohlbestimmten Sinne mehr Prim- als Quadratzahlen gibt. Theorem 1.2.5 (Euler). Die Reihe


p Primz.

1 p

divergiert.

Beweis. Zun¨ achst setzen wir als bekannt voraus, dass die Folge (1 + n1 )n von 1 p−1 unten gegen die Eulersche Zahl e konvergiert. Also gilt (1 + p−1 ) < e und 1 1 1 1 1 somit log(1 + p−1 ) < p−1 = p + p(p−1) . Unter Beachtung von 1−1 1 = 1 + p−1 p

erhalten wir somit f¨ ur jedes N  1
 1 
1
1 < + . log log 1 + 1 = p−1 p p(p − 1) 1− p p≤N p≤N p≤N p≤N

Erinnern wir uns an die geometrische Reihe 1 1 1 = 1 + + 2 + ··· p p 1 − p1

und bezeichnen mit p+ (n) den gr¨ oßten Primteiler einer nat¨ urlichen Zahl n (Vereinbarung: p+ (1) = 0, p+ (0) = ∞), so erhalten wir andererseits durch Ausmultiplizieren
1
1   1 1 1 + · · · ) = + > . = (1 + p p2 n n 1 − p1 n≤N p≤N p≤N p+ (n)≤N

Zusammen ergibt dies

log


1
1
1 < + . n p p(p − 1)

n≤N

p≤N

p≤N

6

Kapitel 1. Rechnen mit Restklassen





1 W¨ urde nun p 1p konvergieren, so auch p p(p−1) , d.h. die rechte Seite der Ungleichung bliebe bei → ∞ beschr¨ ankt. Die linke Seite wird aber beliebig N 1 divergiert. Dieser Widerspruch zeigt, dass auch die groß, weil die Reihe n  Reihe p 1p divergiert. ⊓ ⊔

Andererseits haben wir den

Satz 1.2.6. In der Folge der nat¨ urlichen Zahlen gibt es beliebig große primzahlfreie Teilabschnitte. Beweis. F¨ ur jedes n ≥ 1 ist unter den n aufeinanderfolgenden Zahlen (n + 1)! + 2, (n + 1)! + 3, . . . , (n + 1)! + (n + 1)

keine Primzahl, denn die erste Zahl ist durch 2 teilbar, die zweite durch 3, usw. ⊓ ⊔ Bemerkung: Die Anzahl π(N ) der Primzahlen kleiner gleich N verh¨alt sich nach dem Primzahlsatz (siehe [FB], Kap.VII, Thm. 4.5) asymptotisch wie N log(N ) , d.h. π(N ) log(N ) lim = 1. N →∞ N Unter Annahme der Riemannschen Vermutung kann eine noch feinere Aussage getroffen werden. Aufgabe 1. Sei p eine Primzahl und n eine nat¨ urliche Zahl. Sei pk , k ≥ 0, die h¨ ochste p-Potenz, die in n! aufgeht. Man zeige


n n n + 2 + 3 +··· . k= p p p Aufgabe 2. Man zeige (m + n − 1)! ∈ ZZ. m! · n! Man gebe ein Gegenbeispiel im Fall (m, n) = 1 an. (m, n) = 1 =⇒

Eine Funktion f : IN −→ C heißt zahlentheoretische Funktion. Man nennt f multiplikativ, wenn f¨ ur (m, n) = 1 stets f (mn) = f (m)f (n) gilt. Aufgabe 3. Man zeige, dass die Funktion τ (n) = Anzahl der positiven Teiler von n multiplikativ ist. Aufgabe 4. Man zeige, dass die Funktion σ(n) = Summe der positiven Teiler von n multiplikativ ist.

1.3 Kongruenzen

7

Aufgabe 5. Man zeige, dass die M¨ obius-Funktion 1, n = 1, 0, n ist durch eine Quadratzahl > 1 teilbar, µ(n) = (−1)k , n ist Produkt von k paarweise verschiedenen Primzahlen, multiplikativ ist.




Aufgabe 6. Man zeige, dass f¨ ur eine nat¨ urliche Zahl n die Zahl n(n + 1)(n + 2) niemals eine Quadratzahl ist. Aufgabe 7. Es seien a, n ≥ 2 nat¨ urliche Zahlen. Man zeige: Ist an −1 eine Primzahl, so gilt a = 2 und n ist eine Primzahl.

1.3 Kongruenzen In diesem Abschnitt wird das Rechnen mit Restklassen modulo einer nat¨ urlichen Zahl eingef¨ uhrt. Im wirklichen“ Leben machen wir das oft intuitiv, so ” betrachten wir Wochentage modulo 7, Monate modulo 12, Uhrzeiten modulo 12 oder 24, usw. Sei m > 1 eine fixierte nat¨ urliche Zahl. Definition 1.3.1. Zwei ganze Zahlen a und b heißen kongruent modulo m (symbolisch: a ≡ b mod m), wenn m|(a − b). Bei gegebenem m wollen wir ganze Zahlen, die kongruent modulo m sind, als ¨ ¨ gleich ansehen. Der formale Weg, dies zu tun, ist der Ubergang zu Aquiva¨ lenzklassen bez¨ uglich einer Aquivalenzrelation. Wir erinnern an die relevanten Definitionen. Eine Relation R auf einer Menge M ist eine Teilmenge R ⊂ M × M der Menge der geordneten Paare (x, x′ ) von Elementen aus M . Man schreibt x ∼ x′ genau dann, wenn (x, x′ ) ∈ R, und bezeichnet die Relation suggestiv auch mit ∼. ¨ Eine Relation ∼ heißt Aquivalenzrelation, wenn die folgenden drei Bedingungen erf¨ ullt sind: Reflexivit¨ at: Es gilt x ∼ x f¨ ur alle x ∈ M . Symmetrie: Es gilt x ∼ x′ genau dann, wenn x′ ∼ x. Transitivit¨ at: Aus x ∼ x′ und x′ ∼ x′′ folgt x ∼ x′′ .

¨ Sei auf M die Aquivalenzrelation ∼ gegeben. F¨ ur jedes x ∈ M heißt die Teilmenge {x′ ∈ M | x ∼ x′ } ⊂ M ¨ die Aquivalenzklasse von x bzgl. ∼. Insbesondere ist das Element x selbst ¨ in seiner Aquivalenzklasse enthalten, und man sagt, x sei ein Repr¨ asentant ¨ oder auch Vertreter seiner Aquivalenzklasse. Man sieht leicht ein, dass zwei ¨ Aquivalenzklassen entweder disjunkt oder gleich sind. Daher zerf¨allt die Men¨ ge M in die disjunkte Vereinigung der Aquivalenzklassen. Will man nun Elemente aus M , die die ∼-Relation miteinander eingehen, als gleich betrachten,

8

Kapitel 1. Rechnen mit Restklassen

¨ so geht man von M zur Menge der Aquivalenzklassen bzgl. ∼ u ¨ ber. Das machen wir nun mit der Menge ZZ der ganzen Zahlen und der Relation kongruent ’ modulo m‘. ¨ Lemma 1.3.2. Die Relation a ∼ b ⇐⇒ a ≡ b mod m ist eine Aquivalenzrelation auf ZZ. Beweis. Wir haben die folgenden Eigenschaften nachzuweisen: Reflexivit¨ at: a ≡ a mod m f¨ ur jedes a ∈ ZZ. Symmetrie: a ≡ b mod m =⇒ b ≡ a mod m. Transitivit¨ at: (a ≡ b mod m und b ≡ c mod m) =⇒ a ≡ c mod m.

Das ist ganz einfach und sei dem Leser u ¨ berlassen.

⊓ ⊔

¨ Definition 1.3.3. Die Aquivalenzklassen bez¨ uglich der Relation a ∼ b ⇐⇒ a ≡ b mod m heißen Restklassen modulo m. Bei fixiertem m wird die Restklasse einer ganzen Zahl a mit a ¯ bezeichnet. Die Menge aller Restklassen modulo m wird mit ZZ/mZZ bezeichnet. Die Restklasse a ¯ modulo m einer ganzen Zahl a besteht genau aus der Menge a + mZZ = {a + mb | b ∈ ZZ} ⊂ ZZ.

Es gibt genau m Restklassen modulo m. Diese werden durch die ganzen Zahlen 0, 1, . . . , m − 1 vertreten. Man kann sich nat¨ urlich auch andere Vertreter w¨ ahlen. Wir wollen nun mit Restklassen modulo m rechnen. Dass dies m¨oglich ist, zeigt das n¨ achste Lemma, dessen elementarer Beweis dem Leser u ¨ berlassen sei. Lemma 1.3.4. Gilt a ≡ b mod m und c ≡ d mod m, so gelten die Kongruenzen a + c ≡ b + d mod m, a − c ≡ b − d mod m und ac ≡ bd mod m. Daher kann man Restklassen modulo m addieren, subtrahieren und multiplizieren, indem man beliebige Vertreter addiert, subtrahiert bzw. multipliziert und dann wieder zur Restklasse u ¨bergeht. Eine Division von Restklassen ist im Allgemeinen nicht m¨ oglich. Bemerkung: Die Menge ZZ/mZZ der Restklassen modulo m wird mit diesen Operationen ein kommutativer Ring mit 1 (siehe Abschnitt 4.1). Kongruenzen modulo dem Produkt paarweise teilerfremder Zahlen kann man simultan l¨ osen. Dies ist der Inhalt des Chinesischen Restklassensatzes:

1.3 Kongruenzen

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Satz 1.3.5 (Chinesischer Restklassensatz). Seien r1 , . . . , rk ∈ ZZ und seien m1 , . . . , mk paarweise teilerfremde nat¨ urliche Zahlen gr¨oßer als 1. Dann hat das System von Kongruenzen x ≡ r1 x ≡ r2 .. .

mod m1 mod m2 .. .

x ≡ rk

mod mk

eine L¨osung x ∈ ZZ und x ist eindeutig bestimmt modulo m1 m2 · · · mk . Beweis. Der Fall k = 1 ist offensichtlich. Betrachten wir zun¨achst den Fall k = 2. Wegen (m1 , m2 ) = 1 existieren a, b ∈ ZZ mit am1 + bm2 = 1. F¨ ur die Zahl x = r2 am1 + r1 bm2 gilt nun x ≡ r1 bm2 mod m1 . Aber bm2 = 1 − am1 ≡ 1 mod m1 , also x ≡ alt man x ≡ r2 am1 ≡ r2 (1 − bm2 ) ≡ r2 mod m2 . Dies r1 mod m1 . Analog erh¨ zeigt die Existenz von x im Fall k = 2. Wir fahren per Induktion u ur 2, . . . , k−1 ¨ber k fort. Ist k > 2 und der Satz f¨ schon bewiesen, so wenden wir die Induktionsvoraussetzung f¨ ur k − 1 an und erhalten ein y ∈ ZZ mit y ≡ r1 y ≡ r2 .. .

mod m1 mod m2

y ≡ rk−1

mod mk−1 .

Dann wenden wir die Induktionsvoraussetzung f¨ ur k = 2 an und erhalten ein x ∈ ZZ mit x≡ y mod m1 · · · mk−1 x ≡ rk mod mk .

Dieses x erf¨ ullt die gew¨ unschte Bedingung. Es bleibt die Eindeutigkeit modulo m1 · · · mk zu zeigen. Erf¨ ullen x1 und x2 beide die gegebenen Kongruenzen, so gilt ur i = 1, . . . , k. x1 ≡ x2 mod mi f¨

Daher gilt mi |(x1 − x2 ) f¨ ur i = 1, . . . , k. Da die mi paarweise teilerfremd sind, ergibt eine induktive Anwendung von Korollar 1.1.7 die Teilbarkeitsrelation m1 · · · mk | (x1 − x2 ), d.h. x1 ≡ x2 mod m1 · · · mk . ⊓ ⊔ Bemerkung: Eine ¨ aquivalente Formulierung des Chinesischen Restklassenurlisatzes ist die folgende: F¨ ur paarweise teilerfremde m1 , . . . , mk ist die nat¨ che Abbildung ϕ : ZZ/(m1 · · · mk )ZZ −→ (ZZ/m1 ZZ) × · · · × (ZZ/mk ZZ) a mod m1 · · · mk −→ (a mod m1 , . . . , a mod mk )

bijektiv. Sie ist außerdem mit Addition und Multiplikation vertr¨aglich, d.h. ein Ringisomorphismus (siehe Abschnitt 4.1).

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Kapitel 1. Rechnen mit Restklassen

Definition 1.3.6. Die Menge (ZZ/mZZ)× der primen Restklassen modulo m ist die Teilmenge der Restklassen in ZZ/mZZ, die bez¨ uglich Multiplikation ein Inverses haben. D.h. f¨ ur eine Klasse a ¯ ∈ ZZ/mZZ gilt genau dann ¯¯b = ¯1 existiert. a ¯ ∈ (ZZ/mZZ)× , wenn eine Klasse ¯b ∈ ZZ/mZZ mit a Die inverse Klasse einer primen Restklasse a ¯ ist eine eindeutig bestimmte prime Restklasse. Dies ist ein Standardargument: Sind ¯b1 , ¯b2 zwei Inverse zu ¨ a ¯, so gilt ¯b1 = ¯b1 (¯ a¯b2 ) = (¯b1 a ¯)¯b2 = ¯b2 . Ublicherweise bezeichnet man das Inverse zu a ¯ mit a ¯−1 . Lemma 1.3.7. Die Menge (ZZ/mZZ)× der primen Restklassen modulo m ist unter Multiplikation abgeschlossen. ¯ Beweis. Es seien a ¯, ¯b prime Restklassen und c¯, d¯ Restklassen mit a ¯c¯ = ¯1 = ¯bd. ¯ ¯ ¯ Dann gilt (¯ ab)(¯ cd) = ¯ 1, d.h. a ¯b ist auch eine prime Restklasse. ⊓ ⊔ Bemerkung: Mit der Multiplikation als Operation wird (ZZ/mZZ)× zu einer abelschen Gruppe (siehe Abschnitt 4.1). Korollar 1.3.8. Ist ab ≡ 0 mod m, so ist a ¯ oder ¯b eine nicht-prime Restklasse. Beweis. Ansonsten w¨ are ¯ 0=a ¯¯b auch eine prime Restklasse, was niemals der Fall ist. ⊓ ⊔ Nun fragt man sich, wann Gleichungen L¨ osungen modulo m haben. Dieses Problem wird uns im weiteren Verlauf noch oft besch¨aftigen. Den einfachsten Fall einer linearen Gleichung in einer Unbestimmten k¨onnen wir sofort l¨osen. Satz 1.3.9. Es seien a, b ∈ ZZ gegeben. Die Kongruenz ax ≡ b mod m

ist genau dann in ZZ l¨osbar, wenn (a, m) | b gilt. Beweis. Sei ax ≡ b mod m mit x ∈ ZZ. Dann gibt es ein y ∈ ZZ mit ax = b+ym. Also teilt (a, m) die Zahl b = ax − ym. Gelte nun umgekehrt (a, m)|b. Nach Satz 1.1.4 finden wir ganze Zahlen c, d mit ac + md = (a, m). Dann gilt b b + md =b ac (a, m) (a, m) und folglich ist b x=c (a, m) eine L¨ osung der Kongruenz. ⊓ ⊔ Korollar 1.3.10. Die Restklasse modulo m einer ganzen Zahl a ist genau dann prim, wenn a teilerfremd zu m ist, d.h. a ¯ ∈ (ZZ/mZZ)× ⇐⇒ (a, m) = 1.

1.3 Kongruenzen

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Beweis. Offenbar ist a ¯ genau dann prime Restklasse, wenn die Kongruenz ax ≡ 1 mod m eine ganzzahlige L¨ osung hat. Nach Satz 1.3.9 ist dies ¨aquivalent zu (a, m)|1, d.h. zu (a, m) = 1. ⊓ ⊔ Ist m = p eine Primzahl, so ist (a, p) = 1 a¨quivalent zu p ∤ a und wir erhalten das Korollar 1.3.11. Ist p eine Primzahl, so gibt es genau p−1 prime Restklassen modulo p und genau eine (die ¯ 0) nicht-prime Restklasse. Eine ganze Zahl a
= 0 definiert eine prime Restklasse modulo fast aller Primzahlen. Korollar 1.3.12. Ist m = p eine Primzahl, so folgt aus a ¯¯b = ¯0, dass a ¯ = ¯0 oder ¯b = ¯ 0 ist. Dies ist eine direkte Konsequenz aus Korollar 1.3.8. Man beachte, dass die Primzahlvoraussetzung notwendig ist, z.B. gilt modulo 15 die Gleichung ¯3 · ¯5 = ¯ 0. Definition 1.3.13. F¨ ur m > 1 sei ϕ(m) := #(ZZ/mZZ)× die Anzahl der primen Restklassen modulo m. Man setzt ϕ(1) = 1. Die Funktion n → ϕ(n) heißt Eulersche ϕ-Funktion. Satz 1.3.14. Die Eulersche ϕ-Funktion ist eine multiplikative zahlentheoretische Funktion, d.h. f¨ ur n, m ∈ IN mit (n, m) = 1 gilt ϕ(nm) = ϕ(n)ϕ(m).

Beweis. Nach dem Chinesischen Restklassensatz ist eine Restklasse modulo nm durch ihre Reste modulo n und modulo m eindeutig gegeben und umgekehrt. Ist nun a eine ganze Zahl, so erhalten wir nach Korollar 1.3.10 die ¨ Aquivalenzen a ¯ ∈ (ZZ/nmZZ)× ⇔ (a, nm) = 1 ⇔ (a, n) = 1 und (a, m) = 1 ⇔ × ¯ ∈ (ZZ/mZZ)× . ⊓ ⊔ a ¯ ∈ (ZZ/nZZ) und a Wegen ihrer Multiplikativit¨ at m¨ ussen wir, um die Eulersche ϕ-Funktion zu berechnen, nur noch ihre Werte auf Primzahlpotenzen bestimmen. Lemma 1.3.15. Sei p eine Primzahl und e eine nat¨ urliche Zahl. Dann gilt ϕ(pe ) = (p − 1)pe−1 . urlichen Zahlen Beweis. Die Restklassen modulo pe werden durch die pe nat¨ 1, . . . , pe repr¨ asentiert. Nach Korollar 1.3.10 werden die primen Restklassen genau durch die nicht durch p teilbaren Zahlen unter diesen repr¨asentiert. Unter den Zahlen 1, . . . , pe gibt es genau pe−1 durch p teilbare. Daher gilt ϕ(pe ) = pe − pe−1 = (p − 1)pe−1 . ⊓ ⊔

12

Kapitel 1. Rechnen mit Restklassen

Satz 1.3.16. Ist n = pe11 · · · pekk , mit paarweise verschiedenen Primzahlen p1 , . . . , pk und nat¨ urlichen Zahlen e1 , . . . , ek , so gilt ϕ(n) =

k 

i=1

(pi − 1)piei −1 .

Wir haben nun die Eulersche ϕ-Funktion berechnet. Allerdings ist diese Berechnung rein theoretischer Natur. Beim praktischen Rechnen scheitert man daran, eine gegebene große nat¨ urliche Zahl in ihre Primfaktoren zu zerlegen. Die Schwierigkeit, diese Zerlegung zu finden, hat aber auch ihr Gutes: Ein weitverbreitetes kryptographisches Verfahren (RSA) basiert darauf. Bemerkenswerterweise ist es hier die Unf¨ ahigkeit, ein Problem zu l¨osen, die zur praktischen Anwendung f¨ uhrt. Wir beenden diesen Abschnitt mit der folgenden Aussage. Satz 1.3.17. F¨ ur jede nat¨ urliche Zahl m gilt die Gleichung
ϕ(d) = m, d|m

wobei sich die Summation u ¨ ber die positiven Teiler d von m erstreckt.

Beweis. Wir f¨ uhren den Beweis per Induktion u ¨ ber die Anzahl der verschiedenen Primteiler von m. F¨ ur m = 1 ist die Aussage ist trivial. Sei nun m = npe , (n, p) = 1 und f¨ ur n sei alles schon bewiesen. Jeder Teiler von npe hat eine eindeutige Darstellung der Form dpi mit d|n und 0 ≤ i ≤ e. Daher erhalten     wir e d|npe ϕ(d) = d|n ϕ(d) + d|n ϕ(dp) + · · · + d|n ϕ(dp ) e = n + nϕ(p) + · · · nϕ(p ) = n(1 + ϕ(p) + · · · + ϕ(pe )) = n(1 + (p − 1)p0 + · · · + (p − 1)(pe−1 )) = npe = m. ⊓ ⊔

Aufgabe 1. Die Folge (an ) ganzer Zahlen sei rekursiv durch die Regel a1 = 2,

an+1 = a2n − an + 3

gegeben. Man zeige, dass keines der Folgenglieder durch 19 teilbar ist. Aufgabe 2. (Bruchrechnung modulo m) F¨ ur a ∈ ZZ/mZZ und b ∈ (ZZ/mZZ)× bea zeichne b die eindeutig bestimmte Restklasse c modulo m mit bc = a. Unter der Voraussetzung, dass alle Nenner in (ZZ/mZZ)× sind, verifiziere man die folgenden Rechenregeln: ac a c · = , b d bd c ad + bc a + = . b d bd

1.4 Der Kleine Fermatsche Satz

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1.4 Der Kleine Fermatsche Satz Der folgende Satz bietet ein (vom numerischen Standpunkt unbrauchbares) Kriterium, um zu entscheiden, ob eine gegebene nat¨ urliche Zahl Primzahl ist. Satz 1.4.1 (Satz von Wilson). Eine nat¨ urliche Zahl p ist genau dann eine Primzahl, wenn (p − 1)! ≡ −1 mod p. Beweis. Sei n keine Primzahl und sei n = pe11 · · · pekk die Primfaktorzerlegung. Ist k ≥ 2, so sind die Zahlen pei i paarweise verschieden und kleiner als n. Also ist (n − 1)! durch n teilbar. Ist k = 1, e1 ≥ 2, so ist p1 < n und also (n − 1)! durch p1 teilbar. Also ist (n − 1)! keine prime Restklasse modulo n. Dies zeigt die Notwendigkeit. Sei nun p eine Primzahl. Dann werden die primen Restklassen modulo p durch die nat¨ urlichen Zahlen 1, 2, . . . , p − 1 repr¨ asentiert. Es gibt zu jeder primen Restklasse a ¯ eine eindeutig bestimmte ¯ = ¯b ⇔ a ¯−1 = ¯b−1 . inverse Restklasse a ¯−1 , die selbst wieder prim ist. Es gilt a −1 −1 ¯ Außerdem ist f¨ ur a ¯
= ±1 auch a ¯
= a ¯, weil aus a ¯ =a ¯ sofort a ¯2 = ¯1 und 2 also p|(a − 1) = (a + 1)(a − 1) folgt. Also heben sich im Produkt  r¯ r¯∈(ZZ/pZZ)×

alle Faktoren bis auf ±¯ 1 auf, und wir erhalten (p − 1)! ≡ −1 mod p.

⊓ ⊔

Erhebt man eine prime Restklasse modulo m in die ϕ(m)-te Potenz, so erh¨ alt man ¯ 1. Dies ist der Inhalt des folgenden klassischen Satzes. Satz 1.4.2 (Kleiner Fermatscher Satz). F¨ ur (a, m) = 1 gilt aϕ(m) ≡ 1 mod m. Zum Beweis ben¨ otigen wir das folgende Lemma 1.4.3. Ist a ¯ ∈ (ZZ/mZZ)× , so induziert die a ¯-Multiplikation ¯b →  a ¯¯b eine bijektive Abbildung a ¯·

(ZZ/mZZ)× −→ (ZZ/mZZ)× . Beweis. Injektivit¨ at: a ¯¯b1 = a ¯¯b2 ⇒ ¯b1 = a ¯−1 a ¯¯b1 = a ¯−1 a ¯¯b2 = ¯b2 . −1 ¯ ¯ Surjektivit¨ at: b = a ¯(¯ a b). Beweis von Satz 1.4.2. Nach Lemma 1.4.3 erhalten wir    r¯ = (¯ ar¯) = a ¯ϕ(m) · r¯∈(ZZ/mZZ)×

r¯∈(ZZ/mZZ)×

⊓ ⊔

r¯ .

r¯∈(ZZ/mZZ)×

Multiplizieren wir beide Seiten mit dem Inversen der primen Restklasse  ¯, erhalten wir r¯∈(ZZ/mZZ)× r a ¯ϕ(m) = ¯ 1.

Gilt nun (a, m) = 1 f¨ ur ein a ∈ ZZ, so liegt nach Korollar 1.3.10 die Restklasse ¯ϕ(m) = ¯ 1 folgt aϕ(m) ≡ 1 mod m. ⊓ ⊔ a ¯ von a modulo m in (ZZ/mZZ)× . Aus a

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Kapitel 1. Rechnen mit Restklassen

Korollar 1.4.4. Ist p eine Primzahl, so gilt f¨ ur jedes a ∈ ZZ ap ≡ a

mod p.

Beweis. Ist a nicht durch p teilbar, so gilt ap−1 = aϕ(p) ≡ 1 mod p. Multiplizieren wir diese Kongruenz mit a, erhalten wir das Gew¨ unschte. Ist a durch p teilbar, so gilt a ≡ 0 ≡ ap mod p. ⊓ ⊔

Aufgabe: Sei p eine Primzahl. Man zeige die Kongruenz (a + b)p ≡ ap + bp mod p und nutze diese, um f¨ ur m = p einen alternativen Beweis des Kleinen Fermatschen Satzes mit Hilfe von vollst¨ andiger Induktion nach a zu geben.

1.5 Primzahlen mit vorgegebener Restklasse I Wir haben gelernt, dass es unendlich viele Primzahlen gibt. F¨ ur m > 2 ist es interessant zu fragen, ob prime Restklassen modulo m durch unendlich viele Primzahlen repr¨ asentiert werden. Wir werden diese Frage im Verlauf des Buches immer wieder aufgreifen und entsprechend dem jeweiligen Kenntnisstand unser Wissen erweitern. Im Moment haben wir noch nichts Tiefliegendes zur Verf¨ ugung, k¨ onnen aber in wenigen F¨ allen den Beweis daf¨ ur, dass unendlich viele Primzahlen existieren, geeignet modifizieren, um genauere Aussagen zu erhalten. Satz 1.5.1. Es gibt unendlich viele Primzahlen kongruent −1 modulo 3. Beweis. Wir nehmen an, dass es nur endlich viele Primzahlen kongruent −1 modulo 3 gibt und f¨ uhren diese Annahme zum Widerspruch. Sei P das Produkt dieser endlich vielen Primzahlen. Dann gilt 3P − 1 ≡ −1 mod 3. Andererseits ist 3P − 1 weder durch 3 noch durch eine Primzahl kongruent −1 modulo 3 teilbar, hat also ausschließlich Primteiler kongruent 1 modulo 3 und w¨ are daher selbst kongruent 1 modulo 3. Dieser Widerspruch widerlegt die Annahme. ⊓ ⊔ Satz 1.5.2. Es gibt unendlich viele Primzahlen kongruent −1 modulo 4. Beweis. Wir nehmen an, es g¨ abe nur endlich viele solche Primzahlen. Sei P ihr Produkt. Dann gilt 4P − 1 ≡ −1 mod 4. Andererseits ist 4P − 1 ungerade und durch keine Primzahl kongruent −1 modulo 4 teilbar. Also sind alle Primteiler von 4P − 1 kongruent 1 modulo 4, und folglich 4P − 1 ≡ 1 mod 4. Dieser Widerspruch widerlegt die Annahme. ⊓ ⊔

Aufgabe: Man zeige, dass es unendlich viele Primzahlen p ≡ ±3 mod 8 gibt.

1.6 Polynomkongruenzen

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1.6 Polynomkongruenzen Nachdem wir Restklassen ganzer Zahlen betrachtet haben, betrachten wir nun Restklassen von Polynomen. Wir betrachten Polynome in ZZ[X], d.h. Ausdr¨ ucke der Form f = an X n + an−1 X n−1 + · · · + a0 mit ganzen Zahlen a0 , a1 , . . . , an , die man die Koeffizienten von f nennt. Die ganze Zahl grad(f ) := max(i | ai
= 0) heißt der Grad von f . Dem Nullpolynom wird der Grad −∞ zugeordnet. Polynome werden entsprechend den Regeln


(ai + bi )X i bi X i = ai X i + i

i

i


i

ai X i ·


i

bi X i =



i

j+k=i

(aj · bk )X i

addiert und multipliziert. Setzt man f¨ ur die Variable X eine Zahl a ein, erh¨alt man eine Zahl f (a), den Wert von f in a. Wie zuvor sei m > 1 eine fixierte nat¨ urliche Zahl. Definition 1.6.1. Zwei Polynome f, g ∈ ZZ[X] heißen kongruent modulo m (symbolisch: f ≡ g mod m), falls alle Koeffizienten des Polynoms f − g durch m teilbar sind. Den Beweis des folgenden Lemmas u ¨berlassen wir dem Leser. Lemma 1.6.2. Gilt f1 ≡ f2 mod m und g1 ≡ g2 mod m, so gilt f1 + g1 ≡ f2 + g2 f1 − g1 ≡ f2 − g2 f1 g1 ≡ f2 g2

mod m, mod m, mod m .

Mit anderen Worten: Polynomkongruenzen k¨onnen addiert, subtrahiert und multipliziert werden. Es ist wohlbekannt, dass man Nullstellen von Polynomen als Linearfaktoren abspalten kann. Gleiches gilt auch f¨ ur Nullstellen modulo m. Satz 1.6.3. Es sei f ∈ ZZ[X] ein Polynom vom Grad n. Ist a ∈ ZZ eine Nullstelle von f modulo m, d.h. f (a) ≡ 0 mod m ,

so existiert ein Polynom f1 ∈ ZZ[X] vom Grad n − 1 mit f ≡ f1 · (X − a)

mod m.

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Kapitel 1. Rechnen mit Restklassen

Beweis. Sei f = an X n + · · · + a0 . Wir setzen h1 = an X n−1 und erhalten eine Gleichung f = h1 · (X − a) + g1 , wobei g1 ∈ ZZ[X] einen kleineren Grad als f hat. Es gilt g1 (a) ≡ 0 mod m. Wir f¨ uhren den Prozess mit g1 fort und erhalten eine Gleichung g1 = h2 · (X − a) + g2 .

In jedem Schritt f¨ allt der Grad um mindestens 1, weshalb dieser Prozess abbricht. Folglich gibt es ein n, so dass gn = hn+1 · (X − a) + gn+1 ,

wobei gn+1 ein konstantes Polynom, d.h. eine ganze Zahl b ist. Nun ist gn+1 (a) ≡ 0 mod m, d.h. m|b, und wir erhalten mit f1 = h1 + · · · + hn+1 die Kongruenz f = (h1 + · · · + hn+1 )(X − a) + b ≡ f1 · (X − a) mod m.

Das beendet den Beweis.

⊓ ⊔

Ist a eine Nullstelle von f modulo m, dann ist jedes b ≡ a mod m auch Nullstelle von f modulo m. Daher fasst man die Nullstellen von f mod m als Elemente in ZZ/mZZ auf. Die Anzahl der Nullstellen modulo m eines Polynoms f kann im Allgemeinen den Grad von f u ¨ bersteigen. Z.B. hat das quadratische Polynom f = X 2 − 1 modulo 8 die vier verschiedenen Nullstellen ¯ 1, ¯ 3, ¯ 5, ¯ 7. Einfacher ist die Situation, wenn m eine Primzahl ist: Satz 1.6.4. Sei p eine Primzahl und f ∈ ZZ[X] ein Polynom vom Grad n, dessen Koeffizienten nicht alle durch p teilbar sind. Dann hat f h¨ochstens n verschiedene Nullstellen modulo p. Beweis. Angenommen, das Polynom f h¨ atte die n + 1 verschiedenen Nullstelonnen wir Linearfaktoren abspallen ¯b1 , . . . , ¯bn+1 modulo p. Nach Satz 1.6.3 k¨ ten und finden also ein Polynom f1 vom Grad n − 1 mit

f ≡ f1 · (X − b1 ) mod p. ¯ ¯ Wegen bi
= b1 f¨ ur i > 1 sind nach Korollar 1.3.12 die Zahlen b2 , . . . , bn+1 Nullstellen modulo p von f1 . F¨ uhren wir diesen Prozess fort, erhalten wir eine ganze Zahl c (ein Polynom vom Grad 0) mit Dann ist

f ≡ c · (X − b1 ) · · · (X − bn ) mod p. 0 ≡ f (bn+1 ) ≡ c · (bn+1 − b1 ) · · · (bn+1 − bn ) mod p.

F¨ ur i = 1, . . . , n gilt nach Voraussetzung (bn+1 − bi )
≡ 0 mod p, weshalb c nach Korollar 1.3.12 durch p teilbar ist. Aber dann sind alle Koeffizienten von f durch p teilbar, was ausgeschlossen war. Dieser Widerspruch zeigt, dass f h¨ochstens n Nullstellen modulo p hat. ⊓ ⊔

1.7 Primitive Wurzeln

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Aufgabe 1. Es sei p eine Primzahl. Man finde ein Polynom f ∈ ZZ[X], so dass f ≡ 0 mod p, aber f (a) ≡ 0 mod p f¨ ur alle a ∈ ZZ gilt. Aufgabe 2. Sei p eine Primzahl und n eine p-Potenz. Man zeige die Polynomkongruenz (X + 1)n ≡ X n + 1 mod p. Aufgabe 3. Sei p eine Primzahl. Man zeige: Gilt die Polynomkongruenz so ist n eine p-Potenz.

(X + 1)n ≡ X n + 1

mod p,

Hinweis: Sei n = pk m, (m, p) = 1. Dann gilt (X + 1)n ≡ (X + 1)p

km

k

≡ (X p + 1)m ≡ X n + mX p

k (m−1)

+···

mod p.

1.7 Primitive Wurzeln Additiv bauen sich die Restklassen modulo m auf die denkbar einfachste Art auf: Man erh¨ alt alle Restklassen, indem man die Klasse ¯1 hinreichend oft zu sich selbst addiert. Multiplikativ stellt sich diese Frage f¨ ur die primen Restklassen und wird im Primzahlfall m = p in diesem Abschnitt beantwortet. Wir f¨ uhren zun¨ achst den Begriff der Ordnung einer Restklasse ein. Definition 1.7.1. Sei p eine Primzahl und sei a ¯ ∈ (ZZ/pZZ)× eine prime Restklasse. Die Ordnung von a ¯ (symbolisch: ord (¯ a)) ist die kleinste nat¨ urliche Zahl mit 1. a ¯ord(¯a) = ¯ Der Kleine Fermatsche Satz impliziert ord (¯ a) ≤ ϕ(p) = p − 1, insbesondere ist die Ordnung wohldefiniert. Als N¨ achstes zeigen wir, dass die auftretenden Ordnungen sogar Teiler von p − 1 sein m¨ ussen. Satz 1.7.2. Sei a ¯ eine prime Restklasse modulo p. Dann gilt f¨ ur r ∈ IN r ¯ a)|r. a ¯ = 1 ⇐⇒ ord (¯ Insbesondere gilt: ord (¯ a)|(p − 1).

Beweis. Die Richtung ⇐ ist trivial. Sei nun r eine nat¨ urliche Zahl mit a ¯r = ¯1. Wir setzen d = (r, ord (¯ a)) und w¨ ahlen gem¨ aß Satz 1.1.4 ganze Zahlen x, y mit rx + ord (¯ a)y = d. Dann gilt a ¯d = a ¯rx+ord(¯a)y = (¯ ar )x (¯ aord(¯a) )y = ¯1. Folglich gilt ord (¯ a) ≤ d, also ord (¯ a) = d und ord (¯ a)|r. Dies zeigt die Implikation ⇒. Schließlich gilt nach dem Kleinen Fermatschen Satz a ¯p−1 = ¯1, also ord (¯ a)|(p − 1). ⊓ ⊔ Lemma 1.7.3. Sei d ein positiver Teiler von p−1. Dann gibt es entweder keine oder genau ϕ(d) verschiedene prime Restklassen modulo p der Ordnung d.

18

Kapitel 1. Rechnen mit Restklassen

Beweis. Angenommen es existiert ein a ¯ ∈ (ZZ/pZZ)× der Ordnung d. Dann ist a ¯ Nullstelle modulo p des Polynoms f = X d − 1.

¯d sind wegen der Minimalit¨at von d paarweiDie Restklassen a ¯, a ¯2 , . . . , a se verschieden. Außerdem sind sie s¨ amtlich Nullstellen von f mod p. Nach ¯d } die genaue Nullstellenmenge von f moSatz 1.6.4 ist daher {¯ a, a ¯2 , . . . , a dulo p. Jede Restklasse der Ordnung d ist Nullstelle von f und somit von ¯i mit (i, d) = 1 haben der Form a ¯i , 1 ≤ i ≤ d. Genau die Potenzen a die Ordnung d. Das sieht man folgendermaßen ein: Ist (i, d) > 1, so ist d i i (¯ ai ) (i,d) = a ¯ (i,d) d = (¯ ad ) (i,d) = ¯ 1, also ord (¯ ai ) < d. Gilt andererseits (i, d) = 1 i r ir ¯ ¯ und ist (¯ a ) = 1, so ist a ¯ = 1, also d | ir und folglich d | r. ⊓ ⊔ Definition 1.7.4. Eine Restklasse a ¯ ∈ ZZ/pZZ heißt primitive Wurzel modulo p, wenn a ¯ die (maximal m¨ogliche) Ordnung p − 1 hat. Satz 1.7.5 (Gauß). Sei d ein positiver Teiler von p − 1. Dann gibt es genau ϕ(d) verschiedene prime Restklassen modulo p der Ordnung d. Insbesondere gibt es genau ϕ(p − 1) verschiedene primitive Wurzeln modulo p. Beweis. F¨ ur d |(p − 1) bezeichne A(d) die Anzahl der primen Restklassen modulo p der Ordnung d. Jede prime Restklasse hat eine Ordnung, also gilt
A(d) = p − 1. d|p−1

Unter Ausnutzung von Lemma 1.7.3 und Satz 1.3.17 erhalten wir

p−1= ϕ(d) = p − 1. A(d) ≤ d|p−1

d|p−1

Also ist A(d) = ϕ(d) f¨ ur alle d |(p − 1). Insbesondere gilt A(p − 1) = ϕ(p − 1), d.h. es gibt genau ϕ(p − 1) verschiedene primitive Wurzeln modulo p. ⊓ ⊔ Korollar 1.7.6. Sei a ¯ eine primitive Wurzel modulo p. Dann durchl¨auft die Menge der Potenzen ¯p−1 a ¯, a ¯2 , . . . , a alle primen Restklassen modulo p. Mit anderen Worten: Jede prime Restklasse modulo p ist von der Form a ¯n f¨ ur ein eindeutig bestimmtes n, 1 ≤ n ≤ p − 1. Beweis. Die primen Restklassen ¯p−1 a ¯, a ¯2 , . . . , a sind paarweise verschieden: Ansonsten w¨ urde man durch Dividieren ein j, 1 erhalten, was im Widerspruch dazu st¨ unde, dass a 1 ≤ j ≤ p − 2, mit a ¯j = ¯ primitive Wurzel ist. Es gibt aber nur p − 1 prime Restklassen und daher sind die angegebenen Restklassen bereits alle. ⊓ ⊔

1.7 Primitive Wurzeln

19

Aufgabe 1. Sei p eine Primzahl. Wie viele verschiedene Funktionen f : ZZ/pZZ −→ {0, +1, −1}

mit der Eigenschaft f (¯ a¯b) = f (¯ a)f (¯b) f¨ ur alle a, b gibt es? Aufgabe 2. Sei p eine Primzahl. Man zeige: Hat a ¯ in ZZ/pZZ die Ordnung 3, so hat a + 1 die Ordnung 6. Hinweis: Man zeige zuerst die Kongruenz (a + 1)2 ≡ a mod p.

Kapitel 2 Das Quadratische Reziprozit¨ atsgesetz

Das Quadratische Reziprozit¨ atsgesetz (QRG) wurde von Euler vermutet und zuerst von Gauß bewiesen. Es ist einer der wichtigsten S¨atze der klassischen Zahlentheorie. Es setzt die Frage, ob eine Primzahl p quadratischer Rest modulo einer Primzahl q ist, in Beziehung zu der reziproken“ Frage, ob q qua” dratischer Rest modulo p ist. Ein solcher Zusammenhang ist erstaunlich und tiefliegend, da eine Aussage u ¨ ber Reste modulo q mit einer u ¨ ber Reste modulo p verkn¨ upft wird. Das Quadratische Reziprozit¨atsgesetz ist von globaler Natur, d.h. nicht durch Rechnen mit Restklassen modulo einer festen Zahl zu verstehen. Ein tieferes Verst¨ andnis des QRG erh¨alt man erst im Rahmen seiner modernen Verallgemeinerung, der sogenannten Klassenk¨orpertheorie, die z.B. in [Neu] behandelt wird.

2.1 Quadratische Reste modulo p Im Folgenden bezeichne p stets eine von 2 verschiedene Primzahl. Definition 2.1.1. Eine ganze Zahl a (bzw. ihre Restklasse mod p) heißt quadratischer Rest modulo p, wenn p ∤ a und a ¯ = ¯b2 ∈ ZZ/pZZ f¨ ur ein b ∈ ZZ. Wenn p ∤ a und a kein quadratischer Rest ist, dann heißt a quadratischer Nichtrest. Lemma 2.1.2. Sind a und b quadratische Reste modulo p, so ist dies auch ab. Ist a quadratischer Rest und b quadratischer Nichtrest, so ist ab ein Nichtrest. Beweis. Zun¨ achst ist mit a und b auch ab prim zu p. Ist a ≡ c2 mod p und 2 b ≡ d mod p, so gilt ab ≡ (cd)2 mod p, was die erste Aussage zeigt. Nun sei a quadratischer Rest und b quadratischer Nichtrest. Sei a ≡ c2 mod p. W¨are c−1 e¯)2 , und somit ab ≡ e2 mod p f¨ ur ein e ∈ ZZ, so w¨ are ¯b = a ¯−1 ab = c¯−2 e¯2 = (¯ b ein quadratischer Rest. Widerspruch. ⊓ ⊔

22

Kapitel 2. Das Quadratische Reziprozit¨ atsgesetz

  Definition 2.1.3. F¨ ur a ∈ ZZ ist das Legendre-Symbol ap folgendermaßen definiert: ⎧   ⎨ +1, wenn a quadratischer Rest mod p, a 0, wenn p | a, = ⎩ p −1, wenn a quadratischer Nichtrest mod p.     Aus a ≡ b mod p folgt offenbar ap = pb . Wir benutzen daher auch  a¯  die Notation p , d.h. wir fassen das Legendre-Symbol als Funktion auf den Restklassen modulo p auf. Wir sagen, eine ganze Zahl g sei primitive Wurzel modulo p, wenn ihre Restklasse g¯ ∈ ZZ/pZZ eine primitive Wurzel ist. Lemma 2.1.4. Sei g eine primitive Wurzel modulo p. Dann gilt f¨ ur r ∈ IN  r g = (−1)r . p Beweis. Zu zeigen ist: g r ist quadratischer Rest ⇐⇒ 2|r. ¯ 2 . Dann ist h ¯ = g¯n f¨ (=⇒): Sei g¯r = h ur ein n. Also ist g¯r = g¯2n . Nach Satz 1.7.2 gilt somit p − 1 = ord (¯ g) | (r − 2n) und folglich ist r gerade. g r/2 )2 . ⊓ ⊔ (⇐=): Ist r gerade, so gilt g¯r = (¯ Korollar 2.1.5. In ZZ/pZZ gibt es genau quadratische Nichtreste.

p−1 2

quadratische Reste und

p−1 2

Beweis. Nach Korollar 1.7.6 durchlaufen die Werte g r , r = 1, . . . , p − 1, genau die primen Restklassen modulo p. Nach Lemma 2.1.4 sind die quadratischen Reste genau die Werte mit geradem Exponenten und die quadratischen Nichtreste genau die Werte mit ungeradem Exponenten. ⊓ ⊔ Eine Quadratzahl n2 ist offenbar quadratischer Rest modulo aller Primzahlen p mit p ∤ n. F¨ ur eine feste ganze Zahl a, die keine Quadratzahl ist, stellt sich die Frage, ob a quadratischer Rest (bzw. Nichtrest) modulo unendlich vieler Primzahlen ist. Wir werden diese Frage sp¨ater positiv beantworten. Zun¨ achst zeigen wir die Multiplikativit¨ at des Legendre-Symbols. Satz 2.1.6.



ab p



   a b = . p p

Beweis. Es gilt die Implikation p|ab =⇒ p|a oder p|b. Daher ist die linke Seite der Gleichung genau dann gleich Null, wenn es die rechte ist. Sei g eine primitive Wurzel modulo p. Sind a und b nicht durch p teilbar, so existieren r, s mit a ¯ = g¯r , ¯b = g¯s , und es gilt  r  s        r+s  g ab g g a b = = (−1)r+s = (−1)r (−1)s = = . p p p p p p ⊓ ⊔

2.1 Quadratische Reste modulo p

23

Korollar 2.1.7. Das Produkt zweier quadratischer Nichtreste ist ein quadratischer Rest. Beweis. Sind a und b quadratische Nichtreste, so gilt (−1)(−1) = 1. Daher ist ab quadratischer Rest.

 ab  p

=

 a  b  p

p

= ⊓ ⊔

Mit Hilfe des Legendre-Symbols k¨ onnen wir das L¨osungsverhalten quadratischer Gleichungen modulo p angeben. Satz 2.1.8. Die quadratische Gleichung X 2 + aX + b = 0 hat modulo p  2  • genau zwei verschiedene L¨osungen, wenn a −4b = +1, p  a2 −4b  = 0, • genau eine L¨osung, wenn p  a2 −4b  • keine L¨osung, wenn = −1. p

Beweis. Da p als ungerade vorausgesetzt ist, k¨ onnen wir Restklassen modulo p durch 2 teilen. Die gegebene Gleichung ist ¨ aquivalent zu a 2 a2 − + b ≡ 0 mod p X+ 2 4 bzw. zu (2X + a)2 ≡ a2 − 4b mod p. Hieraus folgt die Behauptung.

⊓ ⊔

Wegen p > 2 sind die Restklassen modulo p der Zahlen −1, 0 und 1 paarweise verschieden. Daher ist das Legendre-Symbol bereits durch seine Restklasse modulo p eindeutig bestimmt. Diese berechnet sich wie folgt. Satz 2.1.9 (Euler). F¨ ur a ∈ ZZ gilt   p−1 a =a ¯ 2 p

in ZZ/pZZ.

Beweis. Ist a durch p teilbar, so sind beide Seiten gleich Null. Also k¨onnen p−1 p−1 wir p ∤ a annehmen. Wegen (¯ a 2 )2 = a ¯p−1 = ¯1 nimmt a ¯ 2 nur die Werte a p−1 +¯ 1, −¯ 1 an, und wir m¨ ussen zeigen: p = 1 ⇐⇒ a ¯ 2 = ¯1. a p−1 ur ein b. Also ist a ¯ 2 = ¯bp−1 = ¯1. (=⇒): Ist p = 1, so ist a ¯ = ¯b2 f¨ p−1 ¯ also (⇐=): Sei g eine primitive Wurzel und a ¯ = g¯r . Dann ist g¯r 2 = 1, a r , weshalb r gerade ist. Dann ist = (−1) = 1. ⊓ ⊔ (p − 1)|r p−1 2 p

24

Kapitel 2. Das Quadratische Reziprozit¨ atsgesetz

2.2 Das Quadratische Reziprozit¨ atsgesetz Theorem 2.2.1 (Quadratisches Reziprozit¨ atsgesetz). Es seien p, q > 2 Primzahlen. Dann gilt     p−1 q−1 q p 2 2 = (−1) . q p Mit anderen Worten: der beiden Primzahlen p und 1   q kongruent    Ist eine modulo 4, so gilt pq = pq . Im verbleibenden Fall gilt pq = − pq .

Bevor wir das QRG beweisen, formulieren wir noch seine zwei sogenannten Erg¨ anzungss¨ atze. Mit Hilfe des   QRG und seiner Erg¨anzungss¨atze kann man dann die Legendre-Symbole ap bequem ausrechnen.

Theorem 2.2.2 (1. Erg¨ anzungssatz zum QRG).   p−1 −1 = (−1) 2 . p Mit anderen Worten: −1 ist genau dann quadratischer Rest modulo einer Primzahl p, wenn p kongruent 1 modulo 4 ist.

Theorem 2.2.3 (2. Erg¨ anzungssatz zum QRG).   p2 −1 2 = (−1) 8 . p Mit anderen Worten: 2 ist genau dann quadratischer Rest modulo einer Primzahl p, wenn p kongruent ±1 modulo 8 ist. Zum Beweis des QRG ben¨ otigen wir das sogenannte Gauß-Lemma. Sei   p−1 . H= ¯ 1, ¯ 2, . . . , 2 ¯ mit h ¯ ∈ H. Sei nun a ¯∈ Dann hat jedes Element aus (ZZ/pZZ)× die Gestalt ±h × (ZZ/pZZ) ein fixiertes Element. Dann erhalten wir Gleichungen der folgenden Form ¯ 1 ∈ H, ε1 ∈ {+1, −1} h1 , h a ¯·¯ 1 = ε1 · ¯ ¯ 2 ∈ H, ε2 ∈ {+1, −1} a ¯·¯ 2 = ε2 · ¯ h2 , h .. .. .. . . . p−1 ¯ ¯ a ¯· = ε p−1 · h p−1 , h p−1 ∈ H, ε p−1 ∈ {+1, −1}. 2

2

2

Lemma 2.2.4 (Gauß-Lemma).

2

2

p−1    2 a εi . = p i=1

2.2 Das Quadratische Reziprozit¨ atsgesetz

25

¯ i paarweise verschieden sind. W¨are Beweis. Zun¨ achst zeigen wir, dass die h n¨amlich ¯ hi = ¯ hj , so schließt man a ¯2¯i2 = a ¯2 ¯j 2 , also ¯i2 = ¯j 2 , also ¯i = ±¯j. Wegen ¯i, ¯j ∈ H folgt i = j. Also taucht jedes Element aus H genau einmal ¯ i auf, und wir erhalten als h a ¯

p−1 2

·

p−1

p−1

p−1

p−1

p−1

2 

2 

2 

2 

2 

¯i =

i=1

i=1

Teilen wir beide Seiten durch

εi ·

 p−1 2 i=1

¯i = h

i=1

i=1

εi ·

¯i .

i=1

¯i und wenden Satz 2.1.9 an, erhalten wir

p−1     2 p−1 a 2 εi = =a ¯ p i=1

in ZZ/pZZ,

was wegen p ≥ 3 die Behauptung zeigt.

⊓ ⊔

Beweis des QRG und seiner Erg¨anzungss¨atze. 1. Schritt: Satz 2.1.9 f¨ ur a = −1 impliziert die Behauptung des 1. Erg¨anzungssatzes. 2. Schritt: Wir schreiben f¨ ur 1 ≤ i ≤ p−1 2 mit 1 ≤ hi ≤ und daher

p−1 2 ,

a · i = ε i · hi + e i · p

εi ∈ {±1} und ei ∈ ZZ. Ist εi = +1, so gilt 2ai = 2hi + 2ei p 2hi 2ai = + 2ei . p p   2ai = 2ei , p

Folglich gilt

  und 2ai ist in diesem Fall eine gerade ganze Zahl. Ist εi = −1, so gilt p 2ai = p − 2hi + (2ei − 1)p, und daher p − 2hi 2ai = + 2ei − 1. p p   Folglich gilt 2ai = 2ei − 1, p   und 2ai ist in diesem Fall eine ungerade ganze Zahl. Zusammen erhalten p wir die Gleichung 2ai εi = (−1)[ p ] . 3. Schritt: Nach dem Gauß-Lemma (2.2.4) und Schritt 2 gilt   p1 2ai a = (−1) i=1 [ p ] , p



wobei p1 =

p−1 2

ist.

26

Kapitel 2. Das Quadratische Reziprozit¨ atsgesetz

4. Schritt: Sei a ungerade. Dann gilt      a+p    a+p  4 2 2a 2a + 2p 4 2 = = = . p p p p p 4 Beachtet man nun p = 1, so folgt unter Verwendung der wohlbekannten Formel f¨ ur die Summe der ersten n nat¨ urlichen Zahlen aus Schritt 3 die Formel   p1 (a+p)i 2a = (−1) i=1 [ p ] p p1 p1 ai = (−1) i=1 i + i=1 [ p ] 2 p p −1 ai 1 = (−1) 8 + i=1 [ p ] .

 





Setzt man in dieser Gleichung a = 1, so erh¨alt man die Aussage des 2. Erg¨ anzungssatzes. 5. Schritt: Aus der Multiplikativit¨ at des Legendre-Symbols, dem 2. Erg¨anzungssatz und der letzten Gleichung in Schritt 4 erh¨alt man f¨ ur ungerades a   die Gleichung p1 ai a = (−1) i=1 [ p ] . p



6. Schritt: Von nun an sei a = q eine von p verschiedene Primzahl gr¨oßer als 2 und q1 = q−1 2 . Wir setzen S1 = # {(i, j) | 1 ≤ i ≤ p1 , 1 ≤ j ≤ q1 , qi > pj} S2 = # {(i, j) | 1 ≤ i ≤ p1 , 1 ≤ j ≤ q1 , qi < pj} . Weil stets qi
= pj ist, gilt S1 + S2 = p1 q1 .   F¨ ur ein fest gew¨ahltes i ist qi > pj ¨ aquivalent zu j ≤ qi p . Also gilt   p1
qi S1 = . p i=1 Analog erh¨ alt man

 q1 
pj

S2 =

j=1

Zusammen mit Schritt 5 zeigt dies    p1 qi q p = (−1)( i=1 [ p ]+ q p





q

.

q1 pj j=1 q

und der Beweis des QRG ist erbracht.

[ ]) = (−1)(S1 +S2 ) = (−1)p1 q1 , ⊓ ⊔

  Mit Hilfe dieser S¨ atze ist das Legendre-Symbol ap schnell ausgerechnet.       Zum Beispiel: 19 2 17 = = = +1 19 17 17             21 3 7 23 23 2 2 = = (−1) (−1) = = (−1)(+1) = −1. 23 23 23 3 7 3 7

2.3 Primzahlen mit vorgegebener Restklasse II

27

2.3 Primzahlen mit vorgegebener Restklasse II Jetzt wenden wir das Quadratische Reziprozit¨ atsgesetz an. Wir beginnen mit einem Lemma. Lemma 2.3.1. F¨ ur beliebiges a ∈ ZZ hat die Zahl n = 4a2 + 1 nur Primteiler kongruent 1 modulo 4. Beweis. Zun¨ achst ist n stets positiv und ungerade. Ist p ein Primteiler von n, so ist −1 quadratischer Rest modulo p. Nach dem ersten Erg¨anzungssatz zum QRG folgt p ≡ 1 mod 4. ⊓ ⊔ Satz 2.3.2. Es gibt unendlich viele Primzahlen kongruent 1 modulo 4. Beweis. Angenommen es g¨ abe nur endlich viele. Sei P ihr Produkt. Dann ist die Zahl 4P 2 + 1 durch keine Primzahl kongruent 1 modulo 4 teilbar. Nach dem obigen Lemma hat sie aber nur solche Primteiler. Widerspruch. ⊓ ⊔ Dieses Vorgehen kann verallgemeinert werden. Satz 2.3.3. Zu jeder ganzen Zahl a
= 0 existieren unendlich viele Primzahlen p, so dass a quadratischer Rest modulo p ist. Beweis. Wir nehmen   an, dass es nur endlich viele (ungerade) Primzahlen p1 , . . . , pn mit pai = 1 g¨ abe. Wir w¨ ahlen eine ganze Zahl A prim zu a. Ist a ungerade, so w¨ ahlen wir A gerade und umgekehrt. Ferner sei A so groß gew¨ ahlt, dass die ganze Zahl N = (p1 · · · pn A)2 − a

gr¨ oßer als 1 ist. Entsprechend unseren Wahlen ist N ungerade, durch keines der pi teilbar und es gilt (N, a) = 1. Sei q ein Primteiler von N . Dann ist a quadratischer Rest modulo q. Widerspruch. ⊓ ⊔ Satz 2.3.4. Es gibt unendlich viele Primzahlen kongruent 1 modulo 3. Nach dem letzten Satz gibt es unendlich viele Primzahlen p mit  Beweis. −3 = 1. Daher folgt alles aus dem n¨ achsten Lemma. ⊓ ⊔ p

Lemma 2.3.5. Eine ungerade Primzahl p ist genau dann ≡ 1 mod 3, wenn   −3 = 1. p   = 0, so dass wir p > 3 annehmen k¨onnen. Dann Beweis. Zun¨ achst ist −3 3          gilt p−1 p−1 −3 p −1 3 p 2 2 (−1) = = (−1) = . p p p 3 3 p Nun ist aber 3 = +1 ⇐⇒ p ≡ 1 mod 3. ⊓ ⊔

28

Kapitel 2. Das Quadratische Reziprozit¨ atsgesetz

Satz 2.3.6. Sei  a ∈ ZZ kein Quadrat. Dann existieren unendlich viele Primzahlen p mit ap = −1.

Sei zun¨ achst a = −1. Nach dem 1. Erg¨anzungssatz zum QRG ist Beweis.  −1 = −1 a quivalent zu p ≡ −1 mod 4. Nach Satz 1.5.2 gibt es unendlich ¨ p viele solche Primzahlen. Im Fall a = 2 m¨ ussen wir nach dem 2. Erg¨anzungssatz zum QRG zeigen, dass es unendlich viele Primzahlen kongruent ±3 modulo 8 gibt. Angenommen es g¨ abe nur endlich viele. Seien p1 = 3, p2 , . . . , pn diese Primzahlen und sei N = 8p2 · · · pn + 3. Dann ist N > 1 ungerade und durch keines der pi teilbar, d.h. N hat nur Primteiler kongruent ±1 mod 8. Das widerspricht N ≡ 3 mod 8. Daher gibt  es unendlich viele Primzahlen p mit 2p = −1. Im Fall a = −2 schließen wir so: Seien p1 = 5, p2 , . . . , pn alle ungeraden = −1 (das sind die kongruent −1, −3 mod 8). Sei Primzahlen mit −2 p N = 8p2 · · · pn + 5.

Dann ist N > 1 ungerade und durch keines der pi teilbar. Daher hat N nur Primteiler kongruent 1, 3 mod 8. Daswiderspricht N ≡ −3 mod 8. Daher gibt  = −1. es unendlich viele Primzahlen p mit −2 p Da sich das Legendre-Symbol nicht ¨ andert, wenn wir a um ein Quadrat ab¨ andern, k¨ onnen wir nun annehmen, dass a = (−1)ǫ 2e q1 · · · qn mit paarweise verschiedenen ungeraden Primzahlen qi und n ≥ 1, e,  ǫ ∈ {0, 1} gilt. Wir nehmen nun an, dass p1 , . . . , pm alle Primzahlen mit ap = −1 sind. Dann gilt insbesondere pi
= qj f¨ ur beliebige i, j. Sei α ein quadratischer Nichtrest modulo qn . Mit Hilfe des Chinesischen Restklassensatzes finden wir ein N ∈ IN mit N ≡ 1 mod 8, N ≡ 1 mod p1 , . . . , pm , N ≡ 1 mod q1 , . . . , qn−1 , N ≡ α mod qn . Sei

N = ℓ1 · · · ℓr

die Primfaktorzerlegung von N . Da N weder durch 2 noch durch eines der pi oder qi teilbar ist, sind die ℓi s¨ amtlich ungerade und von den pi und qi verschieden. Daher gilt   a    −1 ǫ   2 e   qj  · · = . ℓi ℓi ℓi ℓi i i i,j i

Wegen N ≡ 1 mod 4 ist eine gerade Anzahl der ℓi kongruent 1 modulo 4, weshalb der erste Faktor gleich 1 ist. Wegen N ≡ 1 mod 8 ist eine gerade ur Anzahl der ℓi kongruent ±3 modulo 8. Also ist der zweite Faktor gleich 1. F¨ festes qj gilt      qj  ℓi = . ℓi qj i i

2.4 Quadratsummen I

29

Entsprechend unserer Wahl von N erhalten wir die Gleichung   a    ℓi    N  = = = −1. ℓi qj qj i i,j j   Daher muss ℓai = −1 f¨ ur mindestens ein i gelten. Widerspruch.

⊓ ⊔

Aufgabe 1. Man zeige, dass es unendlich viele Primzahlen kongruent 5 modulo 6 gibt. Aufgabe 2. Man zeige, dass es unendlich viele Primzahlen kongruent 1 modulo 6 gibt. Aufgabe 3. Man zeige: F¨ ur jedes a ∈ ZZ hat die Zahl n = 9a2 +3a+1 nur Primteiler kongruent 1 modulo 3.

2.4 Quadratsummen I Wir wollen mit Hilfe des Quadratischen Reziprozit¨atsgesetzes Darstellungen von Primzahlen als Quadratsummen herleiten. Der folgende Satz ist ein Klassiker. Satz 2.4.1 (Lagrange). Eine ungerade Primzahl ist genau dann als Summe zweier Quadrate darstellbar, wenn sie kongruent 1 modulo 4 ist. Da die Summe zweier Quadrate stets ≡ 0, 1, 2 mod 4 ist, ist die gegebene Bedingung notwendig. Auch die Primzahlbedingung ist notwendig, wie das Beispiel der Zahl 21 zeigt (aber siehe Satz 4.4.1). Um die wesentlich tieferliegende Tatsache zu zeigen, dass die Bedingung auch hinreichend ist, brauchen wir den Satz 2.4.2 (Satz von Thue). Ist p eine Primzahl und sind e, f nat¨ urliche Zahlen mit ef > p, so existieren zu jedem r ∈ ZZ ganze Zahlen x, y mit 0 ≤ x < e, 1 ≤ y < f und (p, y) = 1, so dass gilt x mod p. r≡± y Beweis. Ist e ≥ p, so finden wir zu y = 1 schon das gesuchte x. Ist f ≥ p, so setzen wir x = 0, y = 1, falls p|r. Ansonsten ist r mod p eine prime Restklasse und wir finden zu x = 1 ein passendes y. Daher k¨onnen wir ohne Einschr¨ ankung annehmen, dass e, f < p gilt. Wir betrachten die Differenzen yr − x,

x = 1, . . . , e, y = 1, . . . , f.

Mindestens zwei dieser ef > p Zahlen sind kongruent modulo p. Sei also y1 r − x1 ≡ y2 r − x2 mod p mit x1
= x2 oder y1
= y2 . W¨are y1 − y2 ≡ 0

30

Kapitel 2. Das Quadratische Reziprozit¨ atsgesetz

mod p, dann w¨ are auch x1 − x2 = r(y1 − y2 ) ≡ 0 mod p und wegen e, f < p erhielten wir x1 = x2 , y1 = y2 . Also ist y1 − y2
≡ 0 mod p. Nun ist x1 − x2 |x1 − x2 | r≡ ≡± y1 − y2 |y1 − y2 | und Z¨ ahler und Nenner des letzten Bruches liegen offensichtlich im geforderten Bereich. ⊓ ⊔ Beweis von Satz 2.4.1. Es verbleibt zu zeigen, dass die Bedingung hinreichend ist, also sei p ≡ 1 mod 4 eine Primzahl. Nach dem ersten Erg¨anzungssatz zum √ QRG existiert ein r ∈ ZZ mit r2 ≡ −1 mod p. Wir setzen nun e = f = [ p] + 1 √ und wenden den Satz von Thue an. Da p keine ganze Zahl ist, existieren √ √ x, y ∈ ZZ, 0 ≤ x < p, 1 ≤ y < p, mit r≡±

x y

mod p

=⇒ −1 ≡ r2 ≡

x2 y2

mod p.

Also ist x2 + y 2 ≡ 0 mod p. Aber 0 < x2 + y 2 < 2p, also x2 + y 2 = p.

⊓ ⊔

In ganz analoger Weise zeigt man die folgende Aussage. Satz 2.4.3. Eine Primzahl p > 3 ist genau dann von der Form p = x2 + 3y 2 mit ganzen Zahlen x und y, wenn p ≡ 1 mod 3. Beweis. Die Notwendigkeit der Bedingung   ist klar. Ist p ≡ 1 mod 3, dann gilt nach Lemma 2.3.5 die Gleichung −3 = 1, also existiert ein r ∈ ZZ mit p √ r2 ≡ −3 mod p. Wir setzen wieder e = f = [ p] + 1. Nach dem Satz von Thue √ √ existieren x, y ∈ ZZ, 0 ≤ x < p, 1 ≤ y < p, mit r≡±

x y

mod p

=⇒ −3 ≡ r2 ≡

x2 y2

mod p.

Also ist x2 + 3y 2 ≡ 0 mod p. Aber 0 < x2 + 3y 2 < 4p, also x2 + 3y 2 = cp, mit c ∈ {1, 2, 3}. Ist c = 1, sind wir fertig. Ist c = 2, betrachten wir die Gleichung x2 + 3y 2 = 2p modulo 4. Die linke Seite nimmt nur die Werte ¯0, ¯1, ¯3 und die rechte Seite nur den Wert ¯ 2 an. Also kann dieser Fall nicht auftreten. Bleibt der Fall c = 3. Dann ist x durch 3 teilbar, x = 3x′ . Dann gilt y 2 + 3x′2 = p und wir sind auch in diesem Fall fertig. ⊓ ⊔ Eine etwas kompliziertere Variante dieser Art der Argumentation ergibt die folgende Aussage. Satz 2.4.4. Eine Primzahl p
= 163 hat genau dann eine Darstellung der Form p = x2 + xy + 41y 2

mit ganzen Zahlen x, y, wenn p quadratischer Rest modulo 163 ist.

2.4 Quadratsummen I

31

Bemerkung: 163 = (−1)2 + (−1) · 2 + 41 · 22 . Beweis. Ist p quadratischer Rest modulo 163, so ist p
= 2 und es gilt     −163 p = = 1. p 163

Daher finden wir ein r ∈ ZZ mit r2 ≡ −163 mod p. Jetzt√wenden wir den Satz √ √ √ 4 von Thue an und setzen e = [ 163 p] + 1 sowie f = [( 4 163)−1 p] + 1. Dann 2 2 erhalten wir x, y√∈ ZZ, 0 ≤ x < e, 1 ≤ y < f mit x + 163y = cp. Wegen x2 + 163y 2 < 2p 163 < 26p folgt c ∈ {1, . . . , 25}. Angenommen, c h¨atte einen ungeraden Primteiler q. Dann ist q ∈ {3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23}. Wir berechnen  −163   −1   −163   6  = 3 = −1, = 13 = −1, 3 13  −163   2   −163   7   17   3  = 5 = −1, = 17 = 7 = 7 = −1, 5 17  −163   −2   −163   8   2  = 7 = −1, = 19 = 19 = −1, 7 19  −163   2   −163   −2  2 = 11 = −1, = 23 = − 23 = −1. 11 23

Also ist −163 kein quadratischer Rest modulo q und deshalb folgt aus x2 + 163y 2 ≡ 0 mod qx′ , y = qy ′ folgt q 2 |cp und  −163  q, dass x ≡ y ≡ 0 mod q. Mit x = 2 ′ wegen = 1 gilt p
= q. Daher gilt c = q c mit c′ ∈ ZZ. Wir erhalten p x′2 + 163y ′2 = c′ p und haben unser gegebenes c verkleinert. Infolge dessen k¨onnen wir annehmen, dass c eine 2-Potenz ist, c = 2i , 0 ≤ i ≤ 4. Der Fall i = 1 kann nicht auftreten, was man modulo 8 einsieht, weil die Quadrate modulo 8 genau ¯ 0, ¯ 1, ¯ 4 sind. Daher kann x2 + 163y 2 modulo 8 nur die Werte ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 0, 1, 3, 4, 5, 7 annehmen. Aber 2p ist stets kongruent 2 oder 6 modulo 8. Ist i ≥ 3, so folgt aus x2 + 163y 2 ≡ x2 + 3y 2 ≡ 0 mod 8, dass x2 ≡ y 2 ≡ 0 mod 4 gilt. Also sind x und y gerade, und wir k¨ onnen c = 2i durch c′ = 2i−2 ersetzen. Insgesamt haben wir nun eine Gleichung der Form x2 + 163y 2 = cp mit c ∈ {1, 4} erreicht. Indem wir gegebenenfalls x und y verdoppeln, erreichen Z und wir eine Darstellung mit c = 4. Nun ist x ≡ y mod 2, d.h. z = x−y 2 ∈ Z wir erhalten die Gleichung 4p = (2z + y)2 + 163y 2 , also p = z 2 + zy + 41y 2 . Es bleibt die andere Richtung zu zeigen. Ist p = x2 + xy + 41y 2 , so ist p
= 2 und es gilt 4p = (2x + y)2 + 163y 2 .  p   4p  = 163 = 1. ⊓ ⊔ ur p
= 163 folgt 163 Also ist 4p ≡ (2x + y)2 mod 163 und f¨ Wir nennen eine ganze Zahl Quadratzahl, wenn sie das Quadrat einer ganzen Zahl ist, d.h. wir z¨ ahlen die Zahl 0 mit zu den Quadratzahlen.

32

Kapitel 2. Das Quadratische Reziprozit¨ atsgesetz

Theorem 2.4.5 (Lagrange). Jede nat¨ urliche Zahl ist Summe von vier Quadratzahlen. Zentral f¨ ur den Beweis ist die folgende Bemerkung, die besagt, dass das Produkt zweier Summen von vier Quadraten wieder eine Summe von vier Quadraten ist. Lemma 2.4.6 (Euler-Identit¨ at). F¨ ur x1 , x2 , x3 , x4 , y1 , y2 , y3 , y4 ∈ ZZ gilt die Identit¨at (x21 + x22 + x23 + x24 )(y12 + y22 + y32 + y42 ) = (x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 + x4 y4 )2 +(x1 y2 − x2 y1 + x3 y4 − x4 y3 )2 +(x1 y3 − x2 y4 − x3 y1 + x4 y2 )2 +(x1 y4 + x2 y3 − x3 y2 − x4 y1 )2 . Zum Beweis ist nichts zu sagen, man multipliziert einfach aus. Ihren Ursprung hat diese Gleichung in den Quaternionen. Eine Quaternion (oder auch hyperkomplexe Zahl) ist ein Ausdruck der Form z = x1 + x2 i + x3 j + x4 k, wobei x1 , x2 , x3 , x4 reelle Zahlen und i, j, k Symbole sind, die den Rechenregeln −1 = i2 = j 2 = k 2 und ij = −ji = k, jk = −kj = i und ki = −ik = j gen¨ ugen. Die Norm einer Quaternion ist durch N (z) = x21 + x22 + x23 + x24 definiert und die obige Identit¨ at entspricht genau dem Multiplikationsgesetz N (z)N (z ′ ) = N (zz ′ ) f¨ ur die Quaternionennorm. Beweis von Theorem 2.4.5. Wegen der Euler-Identit¨at gen¨ ugt es zu zeigen, dass jede Primzahl Summe von vier Quadratzahlen ist. Sei p eine Primzahl, die wir ohne Einschr¨ ankung als ungerade annehmen k¨onnen. Es gibt (p + 1)/2 Quadrate modulo p, also auch genauso viele Restklassen der Form −1−x2 . Da es insgesamt nur p verschiedene Restklassen gibt, muss unter diesen wenigstens ein Quadrat sein, d.h. die Gleichung x2 +y 2 +1 = 0 hat eine L¨osung modulo p. W¨ ahlen wir Repr¨asentanten x, y mit −p/2 < x, y < p/2, so folgt p 2 0 < x2 + y 2 + 1 < 3 < p2 . 2 Also gibt es ein n ∈ IN, n < p, so dass np Summe von drei, also insbesondere auch von vier Quadraten ist. Sei m die kleinste nat¨ urliche Zahl, so dass mp Summe von vier Quadraten ist. Offenbar gilt m < p. Wir zeigen m = 1. Angenommen m w¨ are echt gr¨ oßer als 1 und mp = x21 + x22 + x23 + x24 .

(∗)

ur i = 1, 2, 3, 4. Dann gilt Sei nun xi ≡ yi mod m mit −m/2 < yi ≤ m/2 f¨ y12 + y22 + y32 + y42 ≡ 0 mod m, also existiert ein r ∈ ZZ, r ≥ 0, mit rm = y12 + y22 + y32 + y42 .

y12 +y22 +y32 +y42

2

2

2

2

(∗∗)

2

≤ m /4+m /4+m /4+m /4 = m , gilt r ≤ m. MulWegen tiplizieren wir die Gleichungen (∗) und (∗∗), so erhalten wir eine Darstellung von rpm2 als Summe von vier Quadraten

2.4 Quadratsummen I

33

rpm2 = A2 + B 2 + C 2 + D2 ,

(∗∗∗)

wobei A, B, C und D gerade die Terme auf der rechten Seite der EulerIdentit¨ at sind. Wegen xi ≡ yi mod m sind B, C und D durch m teilbar. Außerdem gilt A = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 + x4 y4 ≡ x21 + x22 + x23 + x24 = mp ≡ 0 mod m.

Folglich ist auch rp = (A/m)2 + (B/m)2 + (C/m)2 + (D/m)2 Summe von vier Quadraten. Wir zeigen nun, dass r weder gleich 0 noch gleich m sein kann: Aus r = 0 folgt y1 = y2 = y3 = y4 = 0. Daher sind x1 , x2 , x3 , x4 durch m teilbar und (∗∗) impliziert m2 |mp, also m|p. ur i = 1, 2, 3, 4, insbesondere ist m gerade. Es gilt Aus r = m folgt yi = m/2 f¨ xi = m/2 + ci m mit ci ∈ ZZ, i = 1, 2, 3, 4. Wir erhalten x2i = m2 /4 + ci m2 + c2i m2 ≡ m2 /4 mod m2 . Durch Aufsummieren folgt mp = x21 + x22 + x23 + x24 ≡ m2 mod m2 , woraus wieder m|p folgt. In beiden F¨ allen haben wir m|p erhalten, was, da p eine Primzahl ist, im Widerspruch zu 1 < m < p steht. Daher gilt 1 ≤ r ≤ m − 1. Dies steht wiederum im Widerspruch zur Minimalit¨ at von m. Die Annahme m > 1 ist damit zum Widerspruch gef¨ uhrt. Es folgt m = 1, und der Beweis ist beendet. ⊓ ⊔ Schlussbemerkung: Wir haben gezeigt, dass jede nat¨ urliche Zahl Summe von vier Quadraten ist. Der Beweis benutzte zum einen die entsprechende Aussage u ¨ ber Primzahlen und zum anderen die von den Quaternionen herkommende Euler-Identit¨ at. Die Normgleichung N (z)N (z ′ ) = N (zz ′ ) f¨ ur komplexe Zahlen z = x1 + ix2 , z ′ = y1 + iy2 impliziert die Identit¨at (x21 + x22 )(y12 + y22 ) = (x1 y2 + x2 y1 )2 + (x1 y1 − x2 y2 )2 ,

und zeigt uns, dass auch das Produkt von Summen zweier Quadrate wieder Summe zweier Quadrate ist. Nach Satz 2.4.1 ist daher jedes Produkt von Primzahlen inkongruent 3 modulo 4 Summe zweier Quadrate. Um alle nat¨ urlichen Zahlen zu bestimmen, die Summe zweier Quadrate sind, brauchen wir allerdings mehr Einsicht. Hier wird uns die Arithmetik der Gaußschen Zahlen weiterhelfen (siehe Abschnitt 4.4). Die Frage, welche nat¨ urlichen Zahlen sich als Summe dreier Quadrate darstellen lassen, l¨asst sich nicht durch Normgleichungen behandeln. Sie wird im allgemeinen Kontext quadratischer Formen erst in Abschnitt 10.6 beantwortet. Aufgabe: Eine ungerade Primzahl p ist genau dann von der Form p = x2 + 2y 2 mit ganzen Zahlen x und y, wenn p kongruent 1 oder 3 modulo 8 ist.
−2 ¨ = +1 ⇐⇒ p ≡ 1, 3 mod 8. Hinweis: Man benutze die Aquivalenz p

Kapitel 3 Diophantische Gleichungen

Diophantische Gleichungen sind Polynomgleichungen mit ganzen (oder rationalen) Koeffizienten, bei denen man nach ganzzahligen (oder rationalen) L¨ osungen sucht.

3.1 Hindernisse Manchmal ist es einfach festzustellen, dass eine Gleichung keine ganzzahligen L¨ osungen besitzt, weil es ein offensichtliches Hindernis gegen die Existenz von L¨ osungen gibt. Im Wesentlichen sind dies zwei Arten von Hindernissen. Reelle Hindernisse: Hat eine Gleichung keine reellen L¨osungen, so hat sie auch keine rationalen und keine ganzzahligen L¨osungen. Zum Beispiel hat die Gleichung X 2 + XY + Y 2 + 1 = 0 wegen X 2 + XY + Y 2 + 1 = (X + 12 Y )2 + 34 Y 2 + 1 > 0 keine reellen L¨osungen. Bei sehr einfach gebauten Gleichungen (z.B. Polynomen in einer Variablen) kann man manchmal auch (Zwischenwertsatz) die Bereiche eingrenzen, in denen sich die reellen Nullstellen befinden. Liegt in diesen Bereichen keine ganze Zahl, so gibt es keine ganzzahligen L¨ osungen. Ein Beispiel hierf¨ ur ist die Gleichung f (X) = 2X 3 + 5X 2 − 1 = 0.

Wegen f (−3) = −10, f (−2) = 3, f (−1) = 2, f (0) = −1 und f (1) = 6 liegen die drei L¨ osungen in den offenen Intervallen (−3, −2), (−1, 0) und (0, 1) und k¨ onnen daher nicht ganzzahlig sein. Auf diese Art kann man nat¨ urlich niemals die Existenz rationaler L¨ osungen ausschließen. Grunds¨ atzlich verschieden zu den reellen Hindernissen sind die

36

Kapitel 3. Diophantische Gleichungen

Hindernisse modulo m: Hat eine Gleichung keine L¨osungen modulo einer nat¨ urlichen Zahl m, so hat sie auch keine ganzzahligen L¨osungen. Dies wendet sich zum Beispiel auf die Gleichung X 2 + 3Y 2 = 23242 an, die keine L¨ osung modulo 4 hat. Im Folgenden werden wir die Phrase fast alle‘ oder fast jede‘ als Synonym ’ ’ f¨ ur alle bis auf endlich viele‘ verwenden. So sagen wir beispielsweise, dass ’ eine Gleichung L¨osungen modulo fast jeder Primzahl hat, wenn es h¨ochstens endlich viele Primzahlen gibt, modulo derer die Gleichung keine L¨osungen besitzt. Ein Beispiel, in dem das Ausbleiben von Hindernissen schon hinreichend f¨ ur die Existenz von ganzzahligen L¨ osungen ist, ist das folgende. Satz 3.1.1. F¨ ur a ∈ ZZ hat die Gleichung

X2 − a = 0

genau dann eine ganzzahlige L¨osung, wenn sie eine L¨osung modulo fast jeder Primzahl hat. Beweis. W¨ are die Gleichung in ZZ nicht osbar, so g¨abe es nach Satz 2.3.6  l¨ unendlich viele Primzahlen p mit ap = −1. Das bedeutet aber, dass die Gleichung keine L¨ osungen modulo p f¨ ur unendlich viele Primzahlen p hat. ⊓ ⊔ Allerdings gibt es, wie wir bald sehen werden, Gleichungen, bei denen es kein direktes Hindernis gegen die Existenz ganzzahliger L¨osungen gibt, die aber trotzdem keine solchen L¨ osungen haben. Der Nachweis der Nichtexistenz fordert dann aber deutlich mehr mathematische Einsicht. ¨ Ublicherweise ist man an der Existenz simultaner L¨osungen einer endlichen Anzahl f1 = 0, . . . , fn = 0 ganzzahliger Polynomgleichungen in einer oder vor allem auch mehreren Variablen interessiert. Nun kann es sein, dass man eine Anzahl simultaner ganzzahliger L¨ osungen gefunden hat und nachweisen will, dass dies alle sind. Ein hinreichendes Kriterium ist das folgende. Lemma 3.1.2. Sei

f1 (X1 , . . . , Xr ) .. .

=0 .. .. . .

fn (X1 , . . . , Xr ) = 0 ein System ganzzahliger diophantischer Gleichungen, d.h. f1 , . . . , fn sind Polynome mit Koeffizienten in ZZ, und sei k eine nat¨ urliche Zahl. Angenommen, es gibt zu jeder nat¨ urlichen Zahl N eine nat¨ urliche Zahl m > N , so dass das gegebene Gleichungssystem modulo m h¨ochstens k verschiedene L¨osungen besitzt. Dann hat das Gleichungssystem auch h¨ochstens k verschiedene ganzzahlige L¨osungen.

3.2 Lineare Gleichungssysteme (i)

(i)

37 (i)

Beweis. Seien (xi , x2 , . . . , xr ), i = 1, . . . , k + 1, verschiedene ganzzahlige L¨ osungen. Dann sind diese f¨ ur hinreichend großes m auch modulo m verschieden und geben also k + 1 verschiedene L¨ osungen modulo m. Wir wissen aber, dass es beliebig große m gibt, so dass h¨ ochstens k verschiedene L¨osungen modulo m existieren. Widerspruch. ⊓ ⊔

Aufgabe 1. Man zeige, dass f¨ ur p = 2, 3, 5 die Fermat-Gleichung Xp + Y p = Zp keine ganzzahlige L¨ osung (x, y, z) mit p ∤ xyz besitzt. √ Aufgabe 2. Man betrachte die folgenden Beweise f¨ ur die Irrationalit¨ at von 2 und lege sich Rechenschaft dar¨ uber ab, welche Art von Hindernis benutzt wird. √ √ abe Beweis 1: W¨ are 2 ∈ Q, so g¨ √ es ein minimales ganzes √ k ≥ 1 mit k 2 ∈ ZZ. Wir betrachten √ die ganze√Zahl ℓ = ( 2 − 1)k. Wegen 0 < 2 − 1 < 1 ist 1 ≤ ℓ < k und es gilt ℓ 2 = 2k − k 2 ∈ ZZ. Widerspruch. √ urzen des Bruches erreichen Beweis 2: Angenommen,, 2 = a/b, a, b ∈ ZZ. Durch K¨ wir, dass a oder b ungerade ist. Durch Quadrieren erhalten wir 2b2 = a2 . Also ist a gerade und b ungerade. Nun ist b2 ≡ 1 mod 4 und die Gleichung 2 = X 2 hat keine L¨ osungen modulo 4. Widerspruch. √ Beweis 3: Angenommen, 2 = a/b, a, b ∈ ZZ, und es sei p eine Primzahl mit p ≡ ±3 mod 8. Durch K¨ urzen des Bruches erreichen wir, dass a oder b nicht durch p teilbar ist. Durch Quadrieren erhalten wir 2b2 = a2 . Also sind a und b nicht durch p teilbar. Nach dem zweiten Erg¨ anzungssatz zum QRG ist 2 kein quadratischer Rest modulo p. Nach Lemma 2.1.2 ist folglich auch a2 kein quadratischer Rest modulo p. Widerspruch. Aufgabe 3. Ist p eine Primzahl mit p ≡ ±1 mod 8, so gibt es kein Hindernis modulo p gegen die Existenz einer Quadratwurzel aus 2. Kann es ein Hindernis modulo p2 geben?

3.2 Lineare Gleichungssysteme Wir betrachten nun ein lineares Gleichungssystem der Form a11 X1 + · · · + a1m Xm a21 X1 + · · · + a2m Xm .. .

= = .. .

b1 b2 .. .

(S)

an1 X1 + · · · + anm Xm = bn

mit ganzen Zahlen aij , bi .

Wir suchen nun nach ganzzahligen L¨ osungen des Systems (S), d.h. nach L¨ osungen (x1 , . . . , xm ) ∈ ZZm . Im Fall n = m = 1 ist das einfach: Die Gleichung aX = b ist genau dann l¨ osbar, wenn b durch a teilbar ist. Am einfachsten w¨ are es, wenn ein lineares Gleichungssystem genau dann eine ganzzahlige

38

Kapitel 3. Diophantische Gleichungen

L¨osung h¨ atte, wenn es eine L¨ osung in IR und eine L¨osung modulo p f¨ ur jede Primzahl p h¨ atte. Das ist aber nicht richtig, wie man am Beispiel der Gleichung p2 X = p sieht, die ja offensichtlich keine ganzzahlige L¨ osung aber eine eine L¨osung in IR und eine L¨ osung modulo jeder Primzahl hat. Wir m¨ ussen daher Hindernisse modulo beliebiger Primpotenzen oder, was auf das gleiche hinausl¨auft, modulo beliebiger nat¨ urlicher Zahlen betrachten. Tun wir das, ist sogar das reelle Hindernis entbehrlich: Satz 3.2.1. Das lineare Gleichungssystem (S) hat genau dann eine ganzzahlige L¨osung, wenn es eine L¨osung modulo jeder nat¨ urlichen Zahl hat. Zum Beweis des Satzes vereinfachen wir das Gleichungssystem, d.h. wir formen es zu einem anderen ( ¨ aquivalenten“) Gleichungssystem um, dessen ” L¨osungen sich auf einfache Weise aus den L¨ osungen des urspr¨ unglichen Systems ergeben und umgekehrt. Erlaubte Umformungen der n×(m + 1)-Matrix ⎛ ⎞ a11 · · · a1m b1 ⎜ a21 · · · a2m b2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ .. . . . . ⎟ ⎝ . . .. .. ⎠ an1 · · · anm bn

sind die folgenden: 1) Vertausche zwei Zeilen (nichts passiert). 2) Multipliziere eine Zeile mit −1 (nichts passiert). 3) Ziehe f¨ ur i
= j ein ganzzahliges Vielfaches der i-ten Zeile von der j-ten Zeile ab (nichts passiert). 4) Vertausche f¨ ur 1 ≤ i < j ≤ m die i-te mit der j-ten Spalte (entspricht der Substitution Xi → Xj , Xj → Xi ). 5) Ziehe f¨ ur 1 ≤ i, j ≤ m, i
= j, ein ganzzahliges Vielfaches der i-ten Spalte von der j-ten Spalte ab (entspricht der Substitution Xj → Xj − aXi ). Lemma 3.2.2. Mit Hilfe der Umformungen 1) − 5) kann man jede gegebene Matrix in eine Matrix der Form ⎛ ⎞ e 1 0 · · · 0 0 · · · 0 c1 ⎜ 0 e 2 · · · 0 0 · · · 0 c2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ .. .. .. ⎟ .. ⎜ . . . . ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 0 · · · e r 0 · · · 0 cr ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 0 · · · 0 0 · · · 0 cr+1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ . .. ⎟ .. .. ⎝ .. . . . ⎠ 0 0 ··· 0 0 ··· 0

cn

mit 0 ≤ r ≤ min(n, m), einander sukzessive teilenden nat¨ urlichen Zahlen e1 | e2 | · · · | er und ganzen Zahlen c1 , . . . , cn umwandeln.

3.2 Lineare Gleichungssysteme

39

Bevor wir das Lemma beweisen, zeigen wir, wie sich der Satz daraus ableitet. Beweis von Satz 3.2.1. Hat das lineare Gleichungssystem (S) eine ganzzahlige L¨ osung, so hat es auch L¨ osungen modulo N f¨ ur jedes N ∈ IN. Um die nichttriviale Aussage zu beweisen, formen wir das System in ein ¨aquivalentes System um, dessen Matrix die in Lemma 3.2.2 beschriebene Form hat. Die Existenz einer L¨ osung modulo N impliziert cr+1 ≡ · · · ≡ cn ≡ 0 mod N und, weil N beliebig war, folgt cr+1 = · · · = cn = 0. Ist r = 0, so beendet dies den Beweis. Sei nun r ≥ 1. Wegen der Existenz einer L¨osung modulo ei erur 1 ≤ i ≤ r. Hieraus erhalten wir eine ganzzahlige halten wir ci ≡ 0 mod ei f¨ L¨ osung. ⊓ ⊔ Beweis von Lemma 3.2.2. Wir bringen mit Hilfe der Operationen 1)–5) den unschte Form. Bei Teil der Matrix, der von den aij gebildet wird, auf die gew¨ Umformungen der Art 1)–3) m¨ ussen wir auch die rechte Spalte entsprechend mit umformen. Sind alle aij = 0, ist nichts zu tun. Ansonsten erreichen wir durch Zeilen- und Spaltenvertauschungen, dass links oben der betragsm¨aßig ur alle i, j mit kleinste Wert ungleich Null steht, d.h. a11
= 0 und |a11 | ≤ |aij | f¨ aij
= 0. Ist nun eines der von Null verschiedenen Elemente der ersten Spalte nicht durch a11 teilbar, so erreichen wir durch Abziehen eines Vielfachen der ersten Zeile einen kleineren Absolutbetrag an dieser Stelle und bringen durch Zeilenvertauschung diesen Wert nach links oben. Bei jedem Schritt verringert sich der Absolutbetrag von a11 . Nach endlich vielen Schritten sind alle von Null verschiedenen Elemente der ersten Spalte durch a11 teilbar und ur durch Abziehen von Vielfachen der ersten Zeile erreichen wir ai1 = 0, f¨ i = 2, . . . , n. Mit Hilfe des analogen Prozesses erreichen wir dann auch a1j = 0, f¨ ur j = 2, . . . , m. Ist nun eines der aij , 2 ≤ i ≤ n, 2 ≤ j ≤ m, nicht durch a11 teilbar, so addieren wir die erste Spalte zur j-ten und ziehen dann ein geeignetes Vielfaches der ersten Zeile von der i-ten ab, um an der Stelle aij ein von Null verschiedenes Element zu erhalten, das betragsm¨aßig kleiner als a11 ist. Dies bringen wir nach links oben und r¨ aumen dann wieder die erste Spalte und Zeile aus. Nach endlich vielen Schritten erhalten wir eine Matrix mit a11
= 0, a1j = 0 f¨ ur 2 ≤ j ≤ m, ai1 = 0 f¨ ur 2 ≤ i ≤ n und a11 |aij f¨ ur alle i, j. Falls a11 negativ ist, multiplizieren wir noch die erste Zeile mit −1. Dann machen wir in gleicher Weise mit der Manipulation der Restmatrix weiter, die durch Streichen der ersten Zeile und Spalte entsteht. Alle Manipulationen an dieser Restmatrix a ¨ndern nichts daran, dass ihre Eintr¨age s¨amtlich durch a11 teilbar sind. Jetzt gehen wir induktiv voran. Am Ende dieses Prozesses bekommt die Matrix die gew¨ unschte Form. ⊓ ⊔ Die Frage nach rationalen L¨ osungen ist nun einfach zu beantworten. Wir erhalten die beiden folgenden Kriterien. Satz 3.2.3. Das lineare Gleichungssystem (S) hat genau dann eine rationale L¨osung, wenn es eine reelle L¨osung hat.

40

Kapitel 3. Diophantische Gleichungen

Beweis. Hat das lineare Gleichungssystem (S) eine rationale L¨osung, so hat es auch eine reelle L¨ osung. Um die nichttriviale Aussage zu beweisen, formen wir das System in ein ¨ aquivalentes System um, dessen Matrix die in Lemma 3.2.2 beschriebene Form hat. Hinreichend und notwendig f¨ ur die Existenz reeller, ⊔ wie auch rationaler L¨ osungen ist dann die Bedingung cr+1 = · · · = cn = 0. ⊓ Bemerkung: Satz 3.2.3 bleibt richtig, wenn wir im Gleichungssystem (S) rationale Koeffizienten erlauben. Wir k¨ onnen n¨ amlich das Gleichungssystem mit einer geeigneten nat¨ urlichen Zahl multiplizieren, um ein ¨aquivalentes System mit ganzzahligen Koeffizienten zu erhalten. Auch kann man in der Aussage von Satz 3.2.3 die reellen Zahlen durch einen beliebigen K¨orper (siehe Abschnitt 4.1) ersetzen, der die rationalen Zahlen enth¨alt. Der Beweis bleibt w¨ ortlich der gleiche. Satz 3.2.4. Das lineare Gleichungssystem (S) hat genau dann eine rationale L¨osung, wenn f¨ ur unendlich viele Primzahlen p eine L¨osung modulo p existiert. Beweis. Das Gleichungssystem (S) habe die rationale L¨osung (x1 , . . . , xm ). Wir w¨ ahlen N ∈ IN mit (N x1 , . . . , N xm ) ∈ ZZm . Sei p eine Primzahl mit (p, N ) = 1. Dann existiert ein M ∈ ZZ mit N M ≡ 1 mod p. Eine L¨osung von (S) modulo p ist dann durch das Tupel (M N x1 , . . . , M N xm ) ∈ ZZm gegeben. Also hat (S) eine L¨ osung modulo fast jeder Primzahl, insbesondere modulo unendlich vieler Primzahlen. Wir nehmen nun an, dass (S) eine L¨osung modulo p f¨ ur unendlich viele Primzahlen p hat. Wir formen das System in ein ¨ aquivalentes System um, dessen Matrix die in Lemma 3.2.2 beschriebene Form hat. Die Existenz einer L¨ osung modulo p impliziert cr+1 ≡ · · · ≡ cn ≡ 0 mod p. Da diese Kongruenz f¨ ur unendlich viele Primzahlen p erf¨ ullt ist, folgt cr+1 = · · · = cn = 0. Daher existiert eine rationale L¨osung. ⊓ ⊔

3.3 Diophantische Gleichungen modulo p Wir betrachten ein System diophantischer Gleichungen f1 (X1 , . . . , Xr ) .. .

=0 .. .. . .

(S)

fn (X1 , . . . , Xr ) = 0 mit ganzzahligen Polynomen fi ∈ ZZ[X1 , . . . , Xr ], und suchen nach simultanen L¨ osungen modulo einer Primzahl p. Infolge dessen k¨onnen wir die Koeffizienten der Polynome fi auch als Elemente in ZZ/pZZ auffassen, weil das Ersetzen eines Polynoms fi durch ein Polynom gi ≡ fi mod p die L¨osungsmenge modulo p invariant l¨ asst. Das heißt, wir sehen die fi als Elemente von ZZ/pZZ[X1 , . . . , Xr ] an und lassen insbesondere Monome, deren Koeffizient durch p teilbar ist, weg. Die L¨ osungsmenge L(S) modulo p ist eine Teilmenge von (ZZ/pZZ)r .

3.3 Diophantische Gleichungen modulo p

41

Bezeichnen wir mit A(S) die M¨ achtigkeit von L(S), so gilt trivialerweise 0 ≤ A(S) ≤ pr .

F¨ ur ein Monom der Form X1µ1 X2µ2 · · · Xrµr heiße µ = µ1 + · · · + µr der Grad des Monoms. F¨ ur ein Polynom f ist der Grad als das Maximum der Grade der in f auftretenden Monome definiert. Unser n¨ achstes Ziel ist der Satz von Chevalley-Warning, welcher eine Aussage u ¨ ber A(S) macht, wenn in (S) vergleichsweise viele“ Variablen auftau” chen. Theorem 3.3.1 (Chevalley-Warning). Es seien vonNull verschiedene Pon lynome f1 , . . . , fn ∈ ZZ/pZZ[X1 , . . . , Xr ] gegeben. Ist i=1 grad(fi ) < r, so gilt f¨ ur die Anzahl A(S) der L¨osungen des Gleichungssystems (S) in (ZZ/pZZ)r die Kongruenz A(S) ≡ 0 mod p. Wir werden das Theorem im Verlauf des Abschnitts beweisen. Zun¨achst geben wir ein Korollar an. Korollar Sind die konstanten Terme von f1 , . . . , fn s¨amtlich gleich 0 3.3.2. n und gilt i=1 grad(fi ) < r, so hat das System (S) in ZZ/pZZ eine von (0, . . . , 0) verschiedene, d.h. eine nichttriviale L¨osung. Beweis. Weil es die triviale L¨ osung (0, . . . , 0) gibt, gilt A(S) ≥ 1. Außerdem ist A(S) durch p teilbar, weshalb es mindestens noch p − 1 weitere L¨osungen geben muss. ⊓ ⊔ Beispiel: Die Gleichung X12 + X22 + X32 = 0 hat eine nichttriviale L¨osung modulo jeder Primzahl p. Nun beweisen wir Theorem 3.3.1. Zun¨ achst betrachten wir f¨ ur jedes u ∈ IN bliche Konvendas Monom X u (also eine Variable, Grad u). Wir setzen die u ¨ tion, dass X 0 das konstante Monom 1 ist. Lemma 3.3.3. Die Summe


s(X u ) :=

xu

x∈ZZ/pZZ

ist gleich 0 f¨ ur u = 0 und wenn u ≥ 1 und nicht durch p − 1 teilbar ist. F¨ ur u ≥ 1 und (p − 1) | u ist die Summe gleich −1. Beweis. F¨ ur u = 0 gilt offensichtlich mit v ≥ 1, so gilt
xu = x∈ZZ/pZZ



x∈ZZ/pZZ




xu = p · 1 = 0. Ist u = (p − 1)v

(xp−1 )v .

x∈ZZ/pZZ

42

Kapitel 3. Diophantische Gleichungen

Auf der rechten Seite sind p − 1 Summanden gleich 1 und einer 0. Also ist die Summe gleich p−1 = −1 ∈ ZZ/pZZ. Ist nun u ≥ 1 und nicht durch p−1 teilbar, so prime Restklasse x0 ∈ ZZ/pZZ mit xu0
= 1. Multiplizieren wir  gibt es eine u u x∈ZZ/pZZ x mit x0 , so permutieren sich nach Lemma 1.4.3 die Summanden  
und wir erhalten
xu . xu = xu0 x∈ZZ/pZZ

x∈ZZ/pZZ

 Daher gilt − 1)( x∈ZZ/pZZ xu ) = 0. Wegen xu0
= 1 folgt hieraus, dass die Summe gleich 0 ist. ⊓ ⊔ (xu0

Beweis des Satzes von Chevalley-Warning. Zun¨achst k¨onnen wir annehmen, dass keines der von Null verschiedenen Polynome f1 , . . . , fn konstant ist. In diesem Fall gilt n¨ amlich A(S) = 0 und die Kongruenz A(S) ≡ 0 mod p ist trivialerweise erf¨ ullt.  n p−1 Wir setzen P = ). Ist x = (x1 , . . . , xr ) eine simultane i=1 (1 − fi Nullstelle der fi , so gilt P (x) = 1 ∈ ZZ/pZZ. Ist fi (x)
= 0 f¨ ur ein i, so ist fi (x)p−1 = 1, also 1 − fi (x)p−1 = 0 und folglich auch P (x) = 0. (Man sagt, dass P die charakteristische Funktion von L(S) ist.) Daher gilt
A(S) ≡ P (x) mod p. x∈(ZZ/pZZ)r

Es bleibt daher zu zeigen, dass (1 − fip−1 )



x∈(ZZ/pZZ)r

P (x) = 0 gilt. Der Grad des

Polynoms ist gleich (p − 1) · grad(fi ). Nach Voraussetzung ist P ein Polynom in r Variablen vom Grad echt kleiner als r(p−1). Wir k¨onnen daher P als Linearkombination von Monomen der Form X1µ1 · · · Xrµr mit µ1 +· · ·+µr < r(p − 1) schreiben. Insbesondere ist in jedem dieser Monome mindestens ein µi kleiner als p − 1. Nun gilt 
  

xµr r . xµ1 1 · · · xµ1 1 · · · xµr r = x∈(ZZ/pZZ)r

x1 ∈ZZ/pZZ

xr ∈ZZ/pZZ

Nach Lemma 3.3.3 ist mindestens einer der Faktoren und damit auch das  Produkt gleich 0. Daher ist x∈(ZZ/pZZ)r P (x) eine Summe von Nullen und selbst gleich 0. ⊓ ⊔

Sind die Bedingungen des Satzes von Chevalley-Warning nicht erf¨ ullt, so kann man oft zeigen, dass f¨ ur hinreichend großes p L¨osungen existieren. Als ein Beispiel sei der folgende Satz angegeben. Satz 3.3.4. Sei p eine Primzahl kongruent 1 modulo 4 und seien a, b, c ganze Zahlen, die nicht durch p teilbar sind. Dann hat die Gleichung aX 4 + bY 4 = c f¨ ur p > 41 stets eine L¨osung modulo p. Den Beweis werden wir sp¨ ater f¨ uhren (siehe Theorem 8.3.4).

3.4 Diophantische Gleichungen modulo Primpotenzen

43

Aufgabe 1. Man zeige: F¨ ur jede Primzahl p hat die Gleichung 2X12 +3X22 +4X32 = 0 eine nichttriviale L¨ osung modulo p. Aufgabe 2. F¨ ur welche Primzahlen p hat die Gleichung X12 + X22 = 0 eine nichttriviale L¨ osung modulo p ?

3.4 Diophantische Gleichungen modulo Primpotenzen Bei Gleichungen in einer Variablen zeigt sich, dass die Existenz einer L¨osung modulo einer hinreichend hohen (von der Gleichung abh¨angenden) p-Potenz die Existenz von L¨ osungen modulo beliebig hoher p-Potenzen impliziert. Dies wird mit einer Variation u ¨ ber das aus der Numerik bekannte Newton” Verfahren“ gezeigt. Dieses Verfahren erweckt ein wenig den Anschein, als ob sich Baron M¨ unchhausen am eigenen Zopf aus dem Sumpf ziehe. Wie von Zauberhand wird die L¨ osung besser und besser. Wir benutzen im Folgenden die Notation pn ||a, wenn pn | a und pn+1 ∤ a. Satz 3.4.1. Sei f = am X m + · · · + a0 ∈ ZZ[X] ein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten und f ′ = am mX m−1 + · · · + a1 seine Ableitung. Sei n ≥ 1 und es existiere ein x ∈ ZZ mit f (x) ≡ 0

mod pn .

Gilt pk ||f ′ (x) mit 2k < n, so gibt es ein y ∈ ZZ mit f (y) ≡ 0

mod pn+1 ,

so dass außerdem pk ||f ′ (y) und y ≡ x mod pn−k gilt. Beweis. Sei f (x) = pn a und f ′ (x) = pk b mit a, b ∈ ZZ, (b, p) = 1, und 2k < n. Dann existiert eine ganze Zahl s mit sb ≡ −a mod p. Wir setzen y = x+pn−k s. Nach der binomischen Formel gilt f¨ ur i = 1, . . . , m ai y i = ai xi + ai ixi−1 pn−k s + p2n−2k s2 Ri ,

Ri ∈ ZZ.

Summieren wir diese Gleichungen auf und addieren a0 , erhalten wir die Tay” lorentwicklung“ f (y) = f (x) + pn−k sf ′ (x) + p2n−2k s2 R, Einsetzen ergibt

R ∈ ZZ.

f (y) = pn (a + sb) + p2n−2k s2 R.

Nun gilt p|(a + sb) und 2n − 2k > n, also f (y) ≡ 0 mod pn+1 . Die Aussage y ≡ x mod pn−k folgt nach Konstruktion. Es bleibt die Behauptung u ¨ber die Ableitung zu zeigen. Entwickeln wir f ′ (y) = f ′ (x + pn−k s) wie oben, erhalten wir f ′ (y) = f ′ (x) + pn−k sf ′′ (x) + p2n−2k s2 Q, Q ∈ ZZ. Wegen n − k > k und 2n − 2k > k ist f ′ (y) genau k mal durch p teilbar.

⊓ ⊔

44

Kapitel 3. Diophantische Gleichungen

Ist im letzten Satz k = 0, d.h. ist f ′ (x) zu p teilerfremd, so gilt y ≡ x mod pn und f ′ (y) ist auch zu p teilerfremd. Korollar 3.4.2. Ist x1 ∈ ZZ eine L¨osung von der Kongruenz f (X) ≡ 0 mod p, so dass f ′ (x1 )
≡ 0 mod p gilt, so existieren ganze Zahlen x2 , x3 , . . . mit f (xn ) ≡ 0

mod pn

und xn+1 ≡ xn mod pn f¨ ur alle n ≥ 1.

Dies l¨ asst sich jetzt leicht auf den Fall einer Gleichung in mehreren Variablen ausdehnen. Definition 3.4.3. Sei F ∈ ZZ[X1 , . . . , Xr ] und x = (x1 , . . . , xr ) ∈ ZZr mit F (x1 , . . . , xr ) ≡ 0 mod p, so dass ∂F (x)
≡ 0 mod p ∂Xi f¨ ur mindestens einen Wert i, 1 ≤ i ≤ r gilt. Dann heißt x primitive L¨ osung der Gleichung F (X1 , . . . , Xr ) = 0 modulo p. (1)

(1)

Korollar 3.4.4. Sei F ∈ ZZ[X1 , . . . , Xr ] und x(1) = (x1 , . . . , xr ) ∈ ZZr eine primitive L¨osung von F (X1 , . . . , Xr ) = 0 modulo p. Dann existiert eine Folge von r-Tupeln x(2) , x(3) , . . . ∈ ZZr , so dass F (x(n) ) ≡ 0

mod pn

und x(n+1) ≡ x(n) mod pn f¨ ur alle n ≥ 1. ∂F (x(1) )
≡ 0 mod p. Indem wir alle bis auf die Beweis. Sei i so gew¨ ahlt, dass ∂X i i-te Variable festhalten, erhalten wir ein Polynom in einer Variablen (1)

(1)

(1)

f (X) = F (x1 , . . . , xi−1 , X, xi+1 , . . . , x(1) r ). (1)

Die ganze Zahl xi ist Nullstelle von f modulo p und erf¨ ullt die Bedingung (1) f ′ (xi )
≡ 0 mod p. Nun folgt die Behauptung aus dem letzten Satz, sogar (1) (n) ur j
= i und alle n setzen mit der Zusatzinformation, dass wir xj = xj f¨ k¨ onnen. ⊓ ⊔

Aufgabe 1. Man zeige: F¨ ur jede Primzahl p = 2 und jedes n ∈ IN hat die Gleichung osung (x1 , x2 , x3 ) modulo pn , so dass x1 , x2 , x3 nicht alle X12 + X22 + X32 = 0 eine L¨ durch p teilbar sind. Aufgabe 2. Man finde alle Primzahlen p f¨ ur die die folgende Aussage richtig ist: F¨ ur jedes n ∈ IN hat die Gleichung X12 + X22 = 0 eine L¨ osung (x1 , x2 ) modulo pn , so dass p ∤ x1 x2 .

3.5 Anwendung des QRG auf diophantische Gleichungen

45

3.5 Anwendung des QRG auf diophantische Gleichungen Unter Zuhilfenahme der Ergebnisse des letzten Abschnitts findet man diophantische Gleichungen, bei denen es kein offensichtliches Hindernis gegen die Existenz einer ganzzahligen L¨ osung gibt. Im Allgemeinen folgt daraus allerdings nicht, dass eine solche existiert. Eines der ersten bekannten Beispiele war das folgende. Theorem 3.5.1 (Lind, Reichardt). Die Gleichung X 4 − 17 = 2Y 2

hat sowohl L¨osungen in IR als auch L¨osungen modulo jeder nat¨ urlichen Zahl m > 1. Aber es existieren keine rationalen, also insbesondere auch keine ganzzahligen L¨osungen. Wir f¨ uhren den Beweis in mehreren Schritten. Lemma 3.5.2. Die Gleichung von Lind und Reichardt hat eine L¨osung in IR. Beweis. Das ist offensichtlich.

⊓ ⊔

Lemma 3.5.3. Die Gleichung von Lind und Reichardt hat eine L¨osung modulo p, wenn p kongruent 1, 3 oder 7 modulo 8 ist.     Beweis. Nach den Erg¨ anzungss¨ atzen zum QRG folgt −2 = 1 oder p2 = 1. p   Ist −2 = 1 und b2 ≡ −2 mod p, so ist 14 − 17 ≡ 2(2b)2 mod p. p 2 Ist p = 1 und b2 ≡ 2 mod p, so ist 34 − 17 ≡ 2(4b)2 mod p. ⊓ ⊔ Lemma 3.5.4. Die Gleichung von Lind und Reichardt hat eine L¨osung modulo p, wenn p kongruent 5 modulo 8 ist.

Beweis. Nach Satz 3.3.4 haben wir f¨ ur p > 41 immer   eine L¨osung.  Es verbleiben die F¨ alle p = 5, 13, 29, 37. In jedem Fall ist 2p = −1 und −1 = 1. Falls p  17  2 = −1, so ist −17 = 2t modulo p l¨ o sbar und x = 0, y = t ist eine L¨osung p modulo p. Wir berechnen  17   2  = 5 = −1, 5  17   29   12   3   17   2  = 3 = −1, 29 = 17 = 17 = 17 = 3  17   37   3  37 = 17 = 17 = −1. Es verbleibt der Fall p = 13. Hier findet man wegen 44 − 17 = 239 ≡ 5 ≡ 18 = osung x = 4, y = 3. ⊓ ⊔ 2 · 32 mod 13 die L¨

Lemma 3.5.5. Die Gleichung von Lind und Reichardt hat f¨ ur jede ungerade Primzahl p eine primitive L¨osung modulo p.

46

Kapitel 3. Diophantische Gleichungen

Beweis. Ist x4 − 17 − 2y 2 = 0 und 4x3 ≡ 0 ≡ −4y mod p, so folgt p|x und p|y, d.h. p|17. Folglich ist f¨ ur p
= 17 jede L¨ osung modulo p primitiv. F¨ ur p = 17 ist x = 3, y = 7 eine primitive L¨ osung modulo p. ⊓ ⊔ Korollar 3.5.6. F¨ ur ungerades p und n ≥ 1 hat die Gleichung von Lind und Reichardt eine L¨osung modulo pn . Beweis. Dies folgt aus Lemma 3.5.5 und Korollar 3.4.4.

⊓ ⊔

Lemma 3.5.7. Die Gleichung von Lind und Reichardt hat L¨osungen moduur alle n. lo 2n f¨ Beweis. Wir setzen y = 4 und suchen L¨ osungen von X 4 ≡ 17 + 2 · 42 = n 5 osung und die Ableitung 4 · 33 ist 49 mod 2 . Modulo 2 = 32 ist x = 3 eine L¨ genau zweimal durch 2 teilbar. Daher sind die Voraussetzungen von Satz 3.4.1 mit k = 2 und n = 5 erf¨ ullt und wir erhalten sukzessive L¨osungen xn der Gleichungen x4n ≡ 49 mod 2n f¨ ur jedes n. Dann ist x = xn , y = 4 eine L¨osung modulo 2n . ⊓ ⊔ Korollar 3.5.8. Die Gleichung von Lind und Reichardt hat L¨osungen modulo jeder nat¨ urlichen Zahl m > 1. Beweis. Dies folgt aus Korollar 3.5.6, Lemma 3.5.7 und dem Chinesischen Restklassensatz 1.3.5. ⊓ ⊔ Satz 3.5.9. Die Gleichung X 4 − 17Y 4 = 2Z 2

hat keine von (0, 0, 0) verschiedene ganzzahlige L¨osung. Beweis. Sei (x, y, z) eine von (0, 0, 0) verschiedene ganzzahlige L¨osung. Ist ur z = 0, so impliziert x4 = 17y 4 sofort x = y = 0. Entsprechend kann man f¨ x = 0 oder y = 0 argumentieren. Also sind x, y und z von Null verschieden. Die Tripel (±x, ±y, ±z) sind auch L¨ osungen, also k¨onnen wir o.B.d.A. annehmen, dass x, y, z ≥ 1. Sind die drei Zahlen x, y, z nicht paarweise teilerfremd, so k¨ onnen wir die L¨ osung verkleinern. Gibt es z.B. eine Primzahl p mit p|x und p|z, so gilt p2 |17y 4 , also p | y. Dann gilt p4 |2z 2 und folglich p2 |z. Wir erhalten osung. Also k¨onnen wir annehmen, dass mit (x/p, y/p, z/p2) eine kleinere L¨ die drei Zahlen x, y, z paarweise teilerfremd sind. Wir sehen insbesondere, dass z nicht durch 17 teilbar sein kann, weil sonst auch x durch 17 teilbar w¨ are, und dass x nicht durch 17 teilbar sein kann, weil sonst auch z durch 17 teilbar w¨ are. Wir nehmen f¨ ur einem Moment z > 1 an. Sei z = pe11 · · · perr die Primzahlzerlegung. F¨ ur pi , i = 1, . . . , r, gilt dann x4 ≡ 17y 4 mod pi . Daher ist 17 quadratischer Rest modulo jedem ungeraden pi . Nach dem QRG folgt

3.5 Anwendung des QRG auf diophantische Gleichungen

Außerdem gilt folgt



2 17





pi 17



=



17 pi



47

= 1.

= 1, und aus der Multiplikativit¨at des Legendre-Symbols   z = 1. 17 F¨ ur z = 1 gilt diese Gleichung trivialerweise auch. Sei nun t ∈ ZZ mit ahlt. Dann erhalten wir nacheinander die folgenden Konz ≡ t2 mod 17 gew¨ gruenzen: x4 − 17y 4 ≡ 2t4 mod 17, x4 ≡ 2t4 mod 17, x16 ≡ 24 t16 mod 17. Nach dem Kleinen Fermatschen Satz gilt x16 ≡ 1 ≡ t16 mod 17. Aus der letzten Kongruenz folgt also 1 ≡ 16 mod 17, und wir erhalten den gesuchten Widerspruch. ⊓ ⊔

Korollar 3.5.10. Die Gleichung von Lind und Reichardt hat keine ganzzahligen L¨osungen. Beweis. Man setze y = 1 in Satz 3.5.9.

⊓ ⊔

Der folgende Satz vervollst¨ andigt den Beweis von Theorem 3.5.1. Satz 3.5.11. Die Gleichung von Lind und Reichardt hat keine rationalen L¨osungen. Beweis. Angenommen, es g¨ abe x, y ∈ Q mit x4 −17 = 2y 2 . Seien x = ab , y = dc (a, b, c, d ∈ ZZ, b, d > 0) die gek¨ urzten Darstellungen. Durch Multiplizieren mit den Nennern erhalten wir die Gleichung a4 d2 − 17b4d2 = 2c2 b4 .

Also gilt d2 |2c2 b4 . Wegen (c, d) = 1 folgt d2 |2b4 , also d|b2 . Andererseits gilt b4 |a4 d2 und wegen (a, b) = 1 folgt b4 |d2 , also b2 |d. Folglich ist d = b2 und durch K¨ urzen erhalten wir die Gleichung a4 − 17b4 = 2c2 .

Nach Satz 3.5.9 folgt a = b = c = 0, aber b ist von Null verschieden. Widerspruch. ⊓ ⊔

Kapitel 4 Die Gaußschen Zahlen

Jede komplexe Zahl l¨ asst sich eindeutig in der Form x + yi mit reellen Zahlen x, y schreiben. Komplexe Zahlen der Form a + bi,

a, b ∈ ZZ,

heißen Gaußsche Zahlen. Man sieht leicht, dass die Summe und das Produkt Gaußscher Zahlen wieder Gaußsche Zahlen sind, d.h. √ die Gaußschen Zahlen bilden einen Ring, der mit ZZ[ i ] oder auch mit ZZ[ −1] bezeichnet wird. Bestimmte Schl¨ usse, die wir gleich auf die Gaußschen Zahlen anwenden werden, sind auch f¨ ur allgemeinere Ringe richtig. Der Effektivit¨at halber beginnen wir mit einigen abstrakten algebraischen Definitionen.

4.1 Abelsche Gruppen, Ringe und Ko ¨rper Definition 4.1.1. Ein Paar (A, +) bestehend aus einer Menge A und einer bin¨aren Operation + : A × A → A, (a, b) → a + b, heißt abelsche Gruppe, wenn die folgenden Axiome erf¨ ullt sind: (i) a + (b + c) = (a + b) + c f¨ ur alle a, b, c ∈ A, (ii) a + b = b + a f¨ ur alle a, b ∈ A, (iii) es existiert ein Element 0 ∈ A mit a + 0 = a f¨ ur alle a ∈ A, (iv) f¨ ur alle a ∈ A existiert ein b ∈ A mit a + b = 0. Die in (i) und (ii) geforderten Eigenschaften der Operation + heißen Assoziativit¨at und Kommutativit¨ at. Das Element 0 in (iii) ist eindeutig bestimmt (siehe Aufgabe 1). Man nennt es das neutrale Element. Das Element b in (iv) ist auch eindeutig bestimmt, heißt das zu a inverse Element und wird mit −a bezeichnet. Wenn es der Kontext nahelegt, schreibt man die Operation manchmal auch in multiplikativer Form als (a, b) → ab. Dann bezeichnet man das neutrale Element mit 1 und das inverse Element zu a ∈ A mit a−1 . Beispiele: (ZZ, +), (ZZ/nZZ, +), ((ZZ/nZZ)× , · ), (Q, +), (IR, +), (C, +), ((IR  {0}), · ), (IR>0 , · ) sind abelsche Gruppen.

50

Kapitel 4. Die Gaußschen Zahlen

Man kann Elemente einer abelschen Gruppe mit ganzen Zahlen multiplizieren. Dies geschieht nach der Regel 0 · a = 0, n · a = a+ ··· + a   

f¨ ur n > 0

n-mal

und n · a = −(−n) · a f¨ ur n < 0.

Ein Homomorphismus abelscher Gruppen ist eine Abbildung f : A −→ A′ ,

die mit den Gruppenoperationen +A und +A′ von A und A′ kompatibel ist, d.h. es gilt f (a +A b) = f (a) +A′ f (b) f¨ ur alle a, b ∈ A. Wegen f (0A ) = f (0A + alt man f (0A ) = 0A′ , d.h. jeder Homomorphismus 0A ) = f (0A ) + f (0A ) erh¨ bildet das neutrale Element 0A von A auf das neutrale Element 0A′ von A′ ab. Ein bijektiver Homomorphismus heißt Isomorphismus und man nennt zwei abelsche Gruppen isomorph, wenn es einen Isomorphismus zwischen ihnen gibt. Eine nichtleere Teilmenge B ⊂ A heißt Untergruppe von A, wenn f¨ ur alle a, b ∈ B auch −a und a + b in B enthalten sind. B ist dann insbesondere selbst eine Gruppe. Wie im Abschnitt 1.3 im Fall der Untergruppe mZZ ⊂ ZZ geschehen, kann man ganz allgemein von einer abelschen Gruppe A zur Menge der Restklassen modulo einer Untergruppe B u ¨ bergehen und mit den Restklassen rechnen. Das geschieht folgendermaßen: Sei B ⊂ A eine Untergruppe und a, a′ ∈ A. Man sagt, dass a und a′ kongruent modulo B sind (symbolisch: a ≡ a′ mod B), wenn a − a′ ∈ B ¨ gilt. Man verifiziert leicht, dass Kongruenz modulo B eine Aquivalenzrelation ¨ ist. Die Aquivalenzklassen haben die Form a + B = {a + b | b ∈ B} ⊂ A

und heißen Restklassen modulo B. Es gilt genau dann a + B = a′ + B, wenn a − a′ ∈ B. Die Menge aller Restklassen modulo B in A wird mit A/B bezeichnet. Die Operation + : A/B × A/B → A/B (a1 + B) + (a2 + B) := (a1 + a2 ) + B

ist wohldefiniert, d.h. unabh¨ angig von der Auswahl der die Restklassen repr¨ asentierenden Elemente a1 , a2 ∈ A und macht A/B in nat¨ urlicher Weise zu einer abelschen Gruppe. Man nennt A/B die Faktorgruppe von A nach B. Definition 4.1.2. Ein Tripel (A, +, · ) bestehend aus einer Menge A und Operationen +, · : A × A → A heißt (kommutativer) Ring (mit 1-Element), wenn (A, +) eine abelsche Gruppe ist und außerdem die folgenden Axiome erf¨ ullt sind: (i) a(bc) = (ab)c f¨ ur alle a, b, c ∈ A, (ii) ab = ba f¨ ur alle a, b ∈ A, (iii) es existiert ein Element 1 ∈ A mit a1 = a f¨ ur alle a ∈ A, ur alle a, b, c ∈ A. (iv) a(b + c) = ab + ac f¨

4.1 Abelsche Gruppen, Ringe und K¨ orper

51

F¨ ur jedes a ∈ A gilt a · 0 = a(1 − 1) = a − a = 0. Das Element 1 ∈ A ist eindeutig bestimmt (siehe Aufgabe 1). Bemerkung: Allgemeiner kann man auch Ringe betrachten, in denen die Multiplikation nicht notwendig kommutativ ist (d.h. Axiom (ii) wird nicht gefordert), und man kann auch auf die Existenz der 1 (Axiom (iii)) verzichten. In diesem Buch werden wir nur kommutative Ringe mit 1-Element betrachten. Beispiele: 1. ZZ, ZZ/nZZ, Q, IR, C mit der u ¨ blichen Addition und Multiplikation sind Ringe. 2. Die einelementige Menge A = {0} mit 0 + 0 = 0, 0 · 0 = 0 heißt Nullring. Im Nullring ist 0 = 1. Dies ist aber der einzige Ring, f¨ ur den das der Fall ist, weil aus 0 = 1 f¨ ur ein beliebiges Element a ∈ A folgt: a = a1 = a0 = 0. 3. Ist A ein Ring, so ist die Menge A[X] der Polynome mit Koeffizienten in A auch wieder ein Ring. Definition 4.1.3. Ein Ring A heißt nullteilerfrei, wenn aus ab = 0 stets a = 0 oder b = 0 folgt. Beispiele: 1. ZZ, Q, IR, C sind nullteilerfrei. 2. ZZ/nZZ ist nullteilerfrei ⇐⇒ n ist Primzahl. 3. Ist A nullteilerfrei, so gilt dies auch f¨ ur A[X]. Ist A nullteilerfrei, und ab = ac mit a
= 0, so folgt a(b − c) = 0, daher b − c = 0, also b = c. Mit anderen Worten: In nullteilerfreien Ringen kann man Gleichungen k¨ urzen. Definition 4.1.4. Die Menge A× der Einheiten eines Ringes A besteht aus den Elementen, die ein Inverses bez¨ uglich Multiplikation haben. D.h. f¨ ur a ∈ A gilt genau dann a ∈ A× , wenn ein b ∈ A mit ab = 1 existiert. Die Multiplikationsabbildung macht A× zu einer abelschen Gruppe mit 1 als neutralem Element. Man nennt (A× , · ) die Einheitengruppe von A. Beispiele: 1. ZZ× = {±1}. 2. Q× = Q  {0}. 3. (ZZ/nZZ)× ist die in Kapitel 1 definierte Gruppe der primen Restklassen modulo n. 4. In C[X] sind die Einheiten gerade die von Null verschiedenen konstanten Polynome. Definition 4.1.5. Ein Ring K heißt K¨ orper, wenn K × = K  {0}. orper. Beispiele: 1. Q, IR, C sind K¨ 2. ZZ/nZZ ist ein K¨ orper ⇐⇒ n ist Primzahl. 3. Der Nullring ist kein K¨ orper.

52

Kapitel 4. Die Gaußschen Zahlen

Definition 4.1.6. Sei A ein Ring und a, b ∈ A. Man sagt, dass b durch a teilbar ist (symbolisch: a|b), wenn ein c ∈ A mit b = ac existiert. Definition 4.1.7. Wir nennen zwei Elemente a, b ∈ A assoziiert (symbolisch: a = ˆ b), wenn a|b und b|a gilt. ¨ Assoziiertheit ist offensichtlich eine Aquivalenzrelation. Lemma 4.1.8. Ist A nullteilerfrei, so gilt a = ˆ b dann und nur dann, wenn eine Einheit u ∈ A× mit a = ub existiert. Beweis. Ist a = 0, so ist auch b = 0. Ist a
= 0 und a = ub und b = va, so gilt a(uv − 1) = 0. Wegen der Nullteilerfreiheit gilt uv = 1, also u, v ∈ A× . Gilt umgekehrt a = ub mit u ∈ A× , so folgt a|b und b|a, also a = ˆ b. ⊓ ⊔ Definition 4.1.9. Ein Element d ∈ A heißt gr¨ oßter gemeinsamer Teiler von a und b, wenn die folgenden zwei Eigenschaften erf¨ ullt sind. (i) d|a und d|b, (ii) aus (e|a und e|b) folgt e|d. Im Ring ZZ ist die in (1.1.3) definierte Zahl d = (a, b) ein gr¨oßter gemeinsamer Teiler von a und b, siehe Korollar 1.1.5. Ein weiterer ist durch −d gegeben. Im allgemeinen m¨ ussen gr¨ oßte gemeinsame Teiler nicht existieren. Lemma 4.1.10. Es seien d und d′ gr¨oßte gemeinsame Teiler der Ringelemente a, b ∈ A. Dann gilt d = ˆ d′ . Ist A nullteilerfrei, so existiert eine Einheit u ∈ A× mit d′ = ud. Beweis. Nach Definition gilt d|d′ und d′ |d, also sind d und d′ assoziiert. Der zweite Teil der Aussage folgt aus Lemma 4.1.8. ⊓ ⊔ Definition 4.1.11. Ein Element π ∈ A heißt irreduzibel, wenn es von Null verschieden und keine Einheit ist (d.h. π ∈ A  (A× ∪ {0})) und die folgende Implikation gilt: π = ab =⇒ a ∈ A× oder b ∈ A× . Mit π ∈ A sind auch alle Elemente der Form πu, u ∈ A× , irreduzibel. Beispiele: 1. In ZZ sind die irreduziblen Elemente gerade die von der Form ±p mit p Primzahl. 2. In C[X] sind die irreduziblen Elemente die Polynome vom Grad 1 (Hauptsatz der Algebra). 3. Das Polynom X 2 + 1 ist irreduzibel in IR[X]. Definition 4.1.12. Ein nullteilerfreier Ring heißt faktoriell, wenn jede von Null verschiedene Nichteinheit a ∈ A  (A× ∪ {0}) eine, bis auf Einheiten und Reihenfolge, eindeutige Zerlegung in ein Produkt irreduzibler Elemente hat.

4.2 Euklidische Ringe

53

Das heißt, jedes a ∈ A  (A× ∪ {0}) kann als Produkt irreduzibler Elemente geschrieben werden, und ist ′ a = π1 · · · πn = π1′ · · · πm ,

′ , so gilt n = m und nach mit irreduziblen Elementen π1 , . . . , πn und π1′ , . . . , πm ′ ˆ πi f¨ ur alle i. geeigneter Umnumerierung πi =

Beispiele: 1. ZZ ist faktoriell (siehe Satz 1.2.3). 2. C[X] ist faktoriell (siehe Satz 4.2.4 unten). 3. Allgemeiner gilt (Gauß): Ist A faktoriell, so ist auch A[X] faktoriell. Definition 4.1.13. Ein Element π ∈ A heißt Primelement, wenn es von Null verschieden und keine Einheit ist (d.h. π ∈ A  (A× ∪ {0})) und die folgende Implikation gilt: π|ab =⇒ π|a oder π|b. Lemma 4.1.14. In einem nullteilerfreien Ring ist jedes Primelement irreduzibel. In einem faktoriellen Ring ist jedes irreduzible Element auch Primelement. Beweis. Ist π ein Primelement im nullteilerfreien Ring A und π = ab, so gilt insbesondere π|ab, also π|a oder π|b. Nehmen wir ohne Einschr¨ankung π|a an, so folgt wegen a|π aus Lemma 4.1.8, dass π = au f¨ ur ein u ∈ A× gilt. Durch Subtrahieren erhalten wir 0 = a(u − b) und deshalb b = u ∈ A× . Also ist π irreduzibel. Ist nun A faktoriell und π irreduzibel, so folgt aus π|ab, dass π (bzw. ein zu π assoziiertes Element) entweder in der Zerlegung von a in irreduzible Elemente oder in der von b auftauchen muss. Also gilt π|a oder π|b und π ist deshalb ein Primelement. ⊓ ⊔

Aufgabe 1. Man zeige, dass das 0-Element in einer abelschen Gruppe und das 1-Element in einem Ring eindeutig bestimmt sind. Aufgabe 2. Man bestimme die Einheitengruppen der Ringe ZZ[X] und Q[X]. Aufgabe 3. Sei A ein nullteilerfreier Ring. Man zeige: Ist jede von Null verschiedene Nichteinheit a ∈ A  (A× ∪ {0}) Produkt von Primelementen, dann ist A faktoriell.

4.2 Euklidische Ringe Die einfachsten unter den faktoriellen Ringen sind die euklidischen Ringe, die durch die Existenz eines euklidischen Algorithmus zur Berechnung eines gr¨ oßten gemeinsamen Teilers charakterisiert sind. Der Abbruch des Algorithmus wird durch einen absteigenden Z¨ ahler“ erzwungen, den man euklidische ” Normfunktion nennt.

54

Kapitel 4. Die Gaußschen Zahlen

Definition 4.2.1. Ein nullteilerfreier Ring A heißt euklidisch, wenn es eine Abbildung ( euklidische Normfunktion“) ν : A  {0} → IN gibt, so dass es zu ” a, b ∈ A, b
= 0, stets q, r ∈ A mit a = qb + r

und

( ν(r) < ν(b) oder r = 0 )

gibt. Beispiele: 1. Der Ring ZZ der ganzen Zahlen ist euklidisch. Eine Normfunktion ist durch den Absolutbetrag gegeben. 2. F¨ ur jeden K¨ orper k ist der Polynomring k[X] euklidisch. Als Normfunktion verwendet man ν(f ) = grad(f ) + 1. Man findet zu a, b ∈ k[X] die gesuchten Elemente q, r ∈ k[X], indem man so lange Vielfache des Polynoms b vom Polynom a abzieht, bis der Rest einen Grad echt kleiner als grad(b) hat. Auf einem Ring k¨ onnen verschiedene euklidische Normfunktionen existieren. Der n¨achste Satz zeigt, dass jeder euklidische Ring eine euklidische Normfunktion besitzt, die einer zus¨ atzlichen Bedingung gen¨ ugt. Manche Autoren fordern diese Zusatzbedingung schon in der Definition, so dass der folgende Satz zeigt, dass die in der Literatur vorkommenden Definitionen f¨ ur die Euklidizit¨ at eines Ringes ¨ aquivalent sind. Satz 4.2.2. Es sei A ein euklidischer Ring. Dann gibt es auf A eine euklidische Normfunktion ν : A  {0} −→ IN mit ν(ab) ≥ ν(a)

f¨ ur alle von Null verschiedenen a, b ∈ A.

Beweis. Sei µ : A  {0} −→ IN eine euklidische Normfunktion. Wir setzen µ(a′ ). ν(a) = min ′ a =a ˆ

Wir zeigen zun¨ achst, dass auch ν eine euklidische Normfunktion ist. Seien also a, b ∈ A, b
= 0, gegeben und sei b′ unter den zu b assoziierten Elementen eines, f¨ ur das µ(b′ ) minimal ist, d.h. ν(b) = µ(b′ ). Nach Voraussetzung gibt es q, r ∈ A mit a = b′ q + r und r = 0 oder µ(r) < µ(b′ ). Nun gilt b′ = be mit einer Einheit e ∈ A× , und wir erhalten a = qeb + r mit r = 0 oder ν(r) ≤ µ(r) < µ(b′ ) = ν(b). Also ist ν eine euklidische Normfunktion. Um die im Satz formulierte Eigenschaft zu zeigen, sei 0
= a ∈ A beliebig und 0
= b ∈ A so gew¨ ahlt, dass ν(ab) minimal ist. Angenommen, es w¨are ν(ab) < ν(a). Weil ν auf assoziierten Elementen gleiche Werte annimmt, ist dann b keine Einheit. Wir schreiben a = abq + r mit q, r ∈ A und r = 0 oder ν(r) < ν(ab). Wegen r = a(1−qb) gilt r
= 0, sonst w¨ are b eine Einheit. Also gilt ν(a(1−qb)) < ν(ab) im Widerspruch zur Wahl von b. ⊓ ⊔ Analog wie in Kapitel 1 f¨ ur den Ring ZZ der ganzen Zahlen zeigt man nun, dass euklidische Ringe stets faktoriell sind.

4.2 Euklidische Ringe

55

Lemma 4.2.3. In einem euklidischen Ring existieren zu beliebigen Elementen a, b ∈ A gr¨oßte gemeinsame Teiler. Jeder gr¨oßte gemeinsame Teiler d von a und b l¨asst sich in der Form d = ax + by mit x, y ∈ A darstellen. In einem euklidischen Ring ist jedes irreduzible Element ein Primelement. Beweis. Es seien a, b ∈ A gegeben. Wir m¨ ussen zeigen, dass ein gr¨oßter gemeinsamer Teiler existiert und dass sich jeder gr¨oßte gemeinsame Teiler linear aus a und b kombinieren l¨ asst. F¨ ur a = 0 oder b = 0 ist die Aussage trivial, also sei ab
= 0. Wir f¨ uhren den Euklidischen Algorithmus aus, d.h. wir teilen sukzessive mit Rest: ν(r1 ) < ν(b) a = bq1 + r1 , b = r1 q2 + r2 , ν(r2 ) < ν(r1 ) r1 = r2 q3 + r3 , ν(r3 ) < ν(r2 ) .. .. . . rn−2 = rn−1 qn + rn ,

rn = 0.

Die Folge ν(b) > ν(r1 ) > ν(r2 ) > · · · ist eine strikt fallende Folge nat¨ urlicher Zahlen. Daher bricht der Prozess ab, d.h. es gibt ein n mit rn = 0. Wir behaupten, dass d := rn−1 ein gr¨ oßter gemeinsamer Teiler von a und b ist. Das sieht man folgendermaßen. Von unten nach oben durch die Gleichungen gehend sehen wir, dass d sowohl a als auch b teilt. Starten wir nun von der vorletzten Zeile rn−3 = rn−2 qn−1 + d und setzen sukzessive ein, erhalten wir eine Darstellung d = ax + by mit x, y ∈ A. Ist nun e ∈ A ein Element mit e|a und e|b, so folgt e|(ax + by) = d. Daher ist d ein gr¨oßter gemeinsamer Teiler von a und b. Ist nun d′ ein weiterer gr¨ oßter gemeinsamer Teiler, so gilt nach Lemma 4.1.10 d′ = du mit u ∈ A× . Folglich gilt d′ = uxa + uyb, d.h. jeder gr¨oßte gemeinsame Teiler l¨ asst sich linear kombinieren. Es bleibt zu zeigen, dass jedes irreduzible Element ein Primelement ist. Sei π ∈ A irreduzibel und seien ab ∈ A mit π|ab. Wir m¨ ussen zeigen, dass π eines der Elemente a, b teilt. Angenommen, π ∤ a. Dann ist 1 ∈ A ein gr¨oßter gemeinsamer Teiler von π und a. Wir w¨ ahlen x, y ∈ A mit πx + ay = 1. Dann gilt b = bπx + aby und folglich π|b. Daher ist π ein Primelement. ⊓ ⊔ Satz 4.2.4. Euklidische Ringe sind faktoriell. Beweis. Wir m¨ ussen zeigen, dass jedes Element a ∈ A  (A× ∪ {0}) eine bis auf Reihenfolge und Assoziiertheit eindeutige Zerlegung in irreduzible Elemente hat. Wir zeigen zun¨ achst die Existenz einer Zerlegung. Es sei ν eine euklidische Normfunktion auf A, die der Bedingung von Satz 4.2.2 gen¨ ugt. Wir nehmen an, dass es Elemente a ∈ A  (A× ∪ {0}) gibt, die sich nicht als Produkt irreduzibler Elemente schreiben lassen, und f¨ uhren diese Annahme zum Widerspruch. Unter diesen Elementen sei a ein Element mit minimalem Wert ν(a). Da a selbst nicht irreduzibel ist, gibt es b, c ∈ A  (A× ∪ {0}) mit a = bc. Da sich a nicht als Produkt irreduzibler Elemente schreiben l¨asst, muss dies auch f¨ ur b oder c gelten. Sei o.B.d.A. b nicht als Produkt irreduzibler Elemente darstellbar. Wir zeigen ν(b) < ν(a).

56

mit

Kapitel 4. Die Gaußschen Zahlen

Wegen c ∈ / A× gilt a ∤ b. Da A euklidisch ist, existieren q, r ∈ A, r
= 0, b = aq + r,

ν(r) < ν(a).

Wir erhalten r = b − aq = b(1 − cq) und daher ν(r) ≥ ν(b). Wir erhalten ν(b) < ν(a), im Widerspruch zur Wahl von a. Daher l¨asst sich jedes a ∈ A  (A× ∪ {0}) als Produkt irreduzibler Elemente schreiben. Es verbleibt die Eindeutigkeit zu zeigen. Ein Element a ∈ A  (A× ∪ {0}) habe die zwei Zerlegungen a = p1 . . . pr = q1 . . . qs mit irreduziblen Elementen p1 , . . . , pr , q1 , . . . , qs . Zu zeigen: Es gilt r = s und, nach eventueller Umnummerierung, pi = ˆ qi , i = 1, . . . , r. Sei ohne Einschr¨ ankung r ≤ s. Nach Lemma 4.2.3 sind p1 , . . . , pr Primelemente. Aus p1 |a = q1 · · · qs folgt p1 |qj f¨ ur ein j. Nach Umnummerierung sei dies q1 . Also gilt q1 = ε1 p1 f¨ ur ein ε1 ∈ A. Da q1 irreduzibel und p1 keine ˆ q1 . K¨ urzen durch p1 ergibt Einheit ist, gilt ε1 ∈ A× und p1 = p2 · · · pr = ε1 q2 . . . qs .

Da p2 ein Primelement und daher keine Einheit ist, gilt p2 ∤ ε1 . Folglich gilt p2 |q2 . . . qs . Jetzt fahren wir induktiv fort und erhalten, nach eventueller Umnummerierung, die Gleichungen qi = εi pi = ˆ pi , εi ∈ A× , i = 1, . . . , r, sowie 1 = ε1 · · · εr · qr+1 · · · qs .

Die irreduziblen Elemente qr+1 , . . . , qs sind daher Einheiten, was nicht m¨oglich ist. Folglich gilt r = s. ⊓ ⊔

4.3 Primzerlegung in den Gaußschen Zahlen Nach diesen allgemeinen und ganz abstrakten Vorbereitungen wenden wir uns dem Ring ZZ[ i ] = {a + bi, a, b ∈ ZZ}

der Gaußschen Zahlen zu. Wir bestimmen zun¨achst die Einheitengruppe. Dann zeigen wir, dass ZZ[ i ] euklidisch, also insbesondere faktoriell ist und charakterisieren die Primelemente. Definition 4.3.1. F¨ ur eine komplexe Zahl z = x + yi, x, y ∈ IR, heißt die Norm von z.

N (z) = |z|2 = x2 + y 2

Bezeichnen wir mit z¯ = x − yi die zu z komplex-konjugierte Zahl, so gilt N (z) = z z¯.

at N (zz ′ ) = N (z)N (z ′ ). Man sieht Insbesondere gilt f¨ ur z, z ′ ∈ C die Identit¨ leicht, dass die Norm einer Gaußschen Zahl stets eine nichtnegative ganze Zahl ist. Ferner ist N (z) = 0 ¨ aquivalent zu z = 0. Als N¨achstes bestimmen wir die Einheitengruppe von ZZ[ i ].

4.3 Primzerlegung in den Gaußschen Zahlen

Satz 4.3.2. Es gilt

57

ZZ[ i ]× = {±i, ±1}.

Die Einheiten in ZZ[ i ] sind genau die Elemente der Norm 1. Beweis. Ist 1 = N (u) = u¯ u, so ist u eine Einheit. Ist u eine Einheit und uv = 1, so gilt N (u)N (v) = 1 und deshalb N (u) = N (v) = 1. Daher sind die Einheiten genau die Elemente der Norm 1. Setzt man u = a + bi, a, b ∈ ZZ, so impliziert a2 + b2 = N (u) = 1, dass u ∈ {±i, ±1}. Daher sind die angegebenen Elemente die einzigen Einheiten. ⊓ ⊔ Satz 4.3.3. Die Norm auf ZZ[ i ] ist eine euklidische Normfunktion. Beweis. Zun¨ achst ist die Norm einer von Null verschiedenen Gaußschen Zahl von Null verschieden, d.h. die Norm nimmt auf ZZ[ i ]  {0} Werte in IN an. Seien a, b ∈ ZZ[ i ], b
= 0. Die komplexe Zahl ab hat rationalen Real- und Imagin¨ arteil, d.h. es gibt u, v ∈ Q mit a = u + vi. b Nun w¨ ahlen wir ganze Zahlen x, y ∈ ZZ mit |u − x| ≤ 21 , |v − y| ≤ 12 . Mit q = x + yi erhalten wir

a 1 1 − q = (u − x)2 + (v − y)2 ≤ + < 1. N b 4 4 Setzen wir r = a − bq ∈ ZZ[ i ], so gilt a

N (r) = N (b)N − q < N (b). b Also erf¨ ullen q und r das Gew¨ unschte. ⊓ ⊔ Aus den S¨ atzen 4.3.3 und 4.2.4 erhalten wir: Satz 4.3.4. Der Ring ZZ[ i ] der Gaußschen Zahlen ist euklidisch, insbesondere faktoriell. Jedes irreduzible Element in ZZ[ i ] ist ein Primelement. Wir wollen nun die Primelemente in ZZ[ i ] genauer kennenlernen. Insbesondere interessieren wir uns daf¨ ur, ob eine Primzahl p ∈ ZZ in ZZ[ i ] prim bleibt oder ob sie (und wenn, dann wie) in Primfaktoren zerf¨allt. Lemma 4.3.5. Ist π ∈ ZZ[ i ] mit N (π) = p mit p Primzahl, so ist π Primelement in ZZ[ i ]. Beweis. Ist π = ab, so ist p = N (π) = N (a)N (b). Daher gilt N (a) = 1 oder N (b) = 1 und nach Korollar 4.3.2 ist a oder b eine Einheit. Daher ist π irreduzibel und, da ZZ[ i ] faktoriell ist, ein Primelement. ⊓ ⊔

58

Kapitel 4. Die Gaußschen Zahlen

Wegen N (1 + i) = N (1 − i) = 2 sind 1 + i und 1 − i Primelemente und 2 = (1 + i)(1 − i)

ist eine Primelementzerlegung von 2 ∈ ZZ[ i ]. Allerdings haben nicht alle Primelemente in ZZ[ i ] eine Primzahl als Norm. Zum Beispiel ist 3 ∈ ZZ[ i ] irreduzibel, also ein Primelement, und es gilt N (3) = 9. Satz 4.3.6. Sei π ∈ ZZ[ i ] ein Primelement. Dann tritt genau einer der beiden folgenden F¨alle auf: (a) N (π) = p2 f¨ ur eine Primzahl p und π = ˆ p. (b) N (π) = π¯ π = p ist eine Primzahl. Umgekehrt ist jede Primzahl p entweder Primelement in ZZ[ i ] oder von der Form p = π¯ π mit einem Primelement π der Norm p. Beweis. Sei p = π1 · · · πn eine Primelementzerlegung der Primzahl p in ZZ[ i ]. Dann gilt p2 = N (p) = N (π1 ) · · · N (πn ).

Nach Satz 4.3.2 gilt N (πj ) > 1 f¨ ur j = 1, . . . , n. Folglich ist n ≤ 2. Im Fall n = 1 ist p Primelement. Im Fall n = 2 gilt p = N (π1 ) = π1 π ¯1 . Sei nun π ∈ ZZ[ i ] ein Primelement. Dann teilt π die nat¨ urliche Zahl N (π) > 1 und deshalb auch eine Primzahl p. Ist p Primelement in ZZ[ i ], so folgt π = ˆ p und ¯1 mit einem Primelement π1 der Norm p, so N (π) = N (p) = p2 . Gilt p = π1 π ist, wegen der Eindeutigkeit der Primzerlegung, π assoziiert zu π1 oder zu π ¯1 . In jedem Fall gilt π¯ π = N (π) = N (π1 ) = p. ⊓ ⊔ Es verbleibt zu kl¨ aren, wann welcher Fall eintritt.

Satz 4.3.7. Eine Primzahl p ist genau dann ein Primelement in ZZ[ i ], wenn p kongruent 3 modulo 4 ist. Beweis. Zun¨ achst ist 2 kein Primelement in ZZ[ i ]. Sei p
= 2 und kein Primelement. Nach Satz 4.3.6 gilt p = π¯ π f¨ ur ein Primelement π. Setzt man π = a+bi, a, b ∈ ZZ, so folgt p = a2 + b2 , also p ≡ 1 mod 4. Dies zeigt eine Richtung. Ist p ≡ 1 mod 4, so existiert nach dem 1. Erg¨ anzungssatz zum QRG ein x ∈ ZZ mit x2 ≡ −1 mod p. Es gilt p | (x2 + 1) = (x + i)(x − i). Aber x + i und x − i sind nicht durch p teilbar und p daher kein Primelement. ⊓ ⊔ Wir schließen, dass eine ungerade Primzahl p genau dann von der Form p = π¯ π = (a+ bi)(a− bi) = a2 + b2 ist, wenn sie kongruent 1 modulo 4 ist. Dies gibt einen neuen und strukturelleren Beweis von Theorem 2.4.1! Wir k¨onnen jetzt sogar zeigen, dass die Darstellung als Summe zweier Quadrate eindeutig ist (siehe Aufgabe 2). Ist p von der Form π¯ π und gilt π =¯ ˆ π , so erhalten wir mit π = a + bi a + bi = u(a − bi),

u ∈ {±1, ±i}.

4.4 Quadratsummen II

59

Aus u = ±1 w¨ urde folgen, dass p ein Quadrat ist, also scheidet diese M¨oglichkeit aus. F¨ ur u = ±i erhalten wir a = ±b. Aus p = N (π) = 2a2 folgt dann p = 2. In der Tat gilt 2 = (1 + i)(1 − i) und (1 − i) = (−i)(1 + i). Zusammenfassend erhalten wir das Theorem 4.3.8 (Zerlegungsgesetz in ZZ[ i ]). Eine Primzahl p ist in ZZ[ i ] Produkt zweier assoziierter Primelemente ⇐⇒ p = 2, Produkt zweier nicht assoziierter Primelemente ⇐⇒ p ≡ 1 mod 4, Primelement ⇐⇒ p ≡ 3 mod 4. Wir haben gesehen, dass die Arithmetik der Gaußschen Zahlen ZZ[ i ] sich nur unwesentlich von der des gewohnten Ringes ZZ unterscheidet. Dass es vier anstelle von nur zwei Einheiten gibt, stellt kein wirkliches Problem dar. Der entscheidende Punkt unserer Betrachtungen ist das gerade bewiesene Zerlegungsgesetz, das die Schnittstelle zwischen der Arithmetik von ZZ und der von ZZ[ i ] ist. Wir werden es ausnutzen, um mit Hilfe des Umwegs u ¨ber die Gaußschen Zahlen Eigenschaften gew¨ ohnlicher ganzer Zahlen nachzuweisen. Aufgabe 1. Man gebe eine Primelementzerlegung der Zahl 30 ∈ ZZ[ i ] an. Aufgabe 2. Es sei p ≡ 1 mod 4 eine Primzahl. Man zeige, dass die nach Satz 2.4.1 existierende Darstellung von p als Summe zweier Quadratzahlen bis auf Vertauschung der Summanden eindeutig ist. Hinweis: Man schreibe p = a2 + b2 in der Form p = N (a + bi) = (a + bi)(a − bi).

4.4 Quadratsummen II Als direkte Anwendung des Zerlegungsgesetzes in ZZ[ i ] zeigen wir den Satz 4.4.1. Eine nat¨ urliche Zahl ist genau dann Summe zweier Quadratzahlen, wenn in ihrer Primfaktorzerlegung jede Primzahl kongruent 3 modulo 4 in gerader Vielfachheit vorkommt. Beweis. Eine nat¨ urliche Zahl ist genau dann Summe zweier Quadrate, wenn sie als Norm einer Gaußschen Zahl α ∈ ZZ[ i ] vorkommt. Sei nun n = N (α) und α = π1 · · · πr eine Primzerlegung von α in ZZ[ i ]. Dann gilt

n = N (α) = N (π1 ) · · · N (πr ).

Nach Satz 4.3.6 und dem Zerlegungsgesetz ist f¨ ur ein Primelement π ∈ ZZ[ i ] die Norm N (π) entweder gleich 2, eine Primzahl kongruent 1 modulo 4 oder das Quadrat einer Primzahl kongruent 3 modulo 4. Dies zeigt, dass die gegebene Bedingung notwendig ist.

60

Kapitel 4. Die Gaußschen Zahlen

Sei nun

n = (p1 · · · pr ) · (n′ )2

mit Primzahlen pi
≡ 3 mod 4, i = 1, . . . , r. Nach dem Zerlegungsgesetz finden wir Primelemente πi ∈ ZZ[ i ] mit N (πi ) = pi , i = 1, . . . , r. Wir erhalten n = N (α) mit α = π1 · · · πr · n′ . ⊓ ⊔ Eine weitere Anwendung des Zerlegungsgesetzes ist der folgende Satz. Satz 4.4.2. Die einzige ganzzahlige L¨osung der Gleichung X2 + 1 = Y 3 ist x = 0, y = 1. Mit anderen Worten: F¨ ur eine nat¨ urliche Zahl n ist die Zahl n2 + 1 niemals eine Kubikzahl. Beweis. Seien x, y ∈ ZZ mit x2 + 1 = y 3 gegeben. Wir betrachten im Ring ZZ[ i ] die Gleichung (x + i)(x − i) = y 3 .

Wegen 2i = (x + i) − (x − i) ist der gr¨ oßte gemeinsame Teiler von x + i und x − i (bis auf Assoziiertheit) eine Potenz des Primelements (1 + i). Ist π ein Primelement ungerader Norm mit π|(x + i), so folgt π ∤ (x − i). Daher ist die Vielfachheit, mit der π das Element x + i teilt, gleich der Vielfachheit, mit der π das Element y 3 teilt. Folglich ist diese Vielfachheit durch 3 teilbar. Sei r die Vielfachheit, mit der 1 + i das Element x + i teilt. Da 1 + i und 1 − i assoziiert sind, ist auch x − i genau r mal durch 1 + i teilbar. Folglich ist y 3 genau 2r mal durch 1 + i teilbar, d.h. 3 | r. Da nun jeder Primfaktor von x + i in durch drei teilbarer Potenz auftritt, existieren α ∈ ZZ[ i ] und u ∈ ZZ[ i ]× mit x + i = α3 · u.

Setze α = a + bi, a, b ∈ ZZ. Dann gilt α3 = a(a2 − 3b2 ) + b(3a2 − b2 )i. Im Fall u = ±1 erhalten wir b(3a2 − b2 ) = ±1. Hieraus folgt b = ±1 und a = 0, daher x = 0. Im Fall u = ±i erhalten wir a(a2 − 3b2 ) = ±1. Hieraus folgt a = ±1 und b = 0. Wieder folgt x = 0. Das beendet den Beweis. ⊓ ⊔

Aufgabe: Es sei n eine ungerade, quadratfreie nat¨ urliche Zahl, die sich als Summe zweier Quadratzahlen schreiben l¨ asst. Man zeige: Diese Darstellung ist genau dann, bis auf Vertauschung der Summanden, eindeutig, wenn n eine Primzahl ist. Hinweis: Sind zwei Darstellungen n = a2 + b2 = c2 + d2 bis auf Reihenfolge die gleichen, so folgt a + bi = (c + di)u oder a + bi = (c − di)u f¨ ur eine Einheit u ∈ ZZ[ i ]× . Ist n keine Primzahl, so benutze man die Primzerlegung von n in ZZ[ i ], um verschiedene Darstellungen zu erhalten.

4.5 Pythagor¨ aische Tripel

61

4.5 Pythagor¨ aische Tripel Ein Tripel ganzer Zahlen (a, b, c) mit a2 + b2 = c2 heißt pythagor¨ aisches Tripel. Das Tripel (3, 4, 5) ist wohl das popul¨arste Beispiel. Der Name ist vom Satz des Pythagoras abgeleitet, da man zu einem solchen Tripel (a, b, c) mit a, b, c > 0 ein ebenes rechtwinkliges Dreieck mit den Seitenl¨angen a, b und c findet: c   b  · a

a 2 + b 2 = c2

In diesem Abschnitt wollen wir alle pythagor¨ aischen Tripel bestimmen. Triviale Tripel sind solche, in denen a oder b gleich 0 ist, und diese wollen wir aus der Betrachtung ausschließen. Mit (a, b, c) sind auch die Tripel (±a, ±b, ±c), und f¨ ur jedes d ∈ ZZ auch (da, db, dc) pythagor¨aische Tripel. Wir werden uns bei der Bestimmung aller pythagor¨ aischen Tripel auf nicht k¨ urzbare L¨osungen beschr¨ anken. Auch nehmen wir an, dass a, b, c > 0 sind. Schließlich kann man noch a und b vertauschen. Da modulo 4 nur 0 und 1 Quadrate sind, muss bei einer nicht k¨ urzbaren L¨ osung c ungerade und genau eine der Zahlen a, b gerade sein. Wir vermeiden Vieldeutigkeit, indem wir annehmen, dass a gerade ist. Ein pythagor¨ aisches Tripel (a, b, c) mit a, b, c > 0, ggT (a, b, c) = 1 und geradem a nennt man primitiv, und offensichtlich kennt man alle pythagor¨ aischen Tripel, wenn man alle primitiven kennt. Indem wir die Gleichung a2 + b2 = c2 durch c2 teilen, werden wir zun¨achst auf die Frage nach den rationalen L¨ osungen der Gleichung X2 + Y 2 = 1 gef¨ uhrt, d.h. wir suchen alle Punkte auf der Einheitskreislinie {(x, y) ∈ IR2 | 2 x +y 2 = 1} mit rationalen Koordinaten (x, y). Wir interpretieren diese Punkte als komplexe Zahlen der Form x + yi,

x, y ∈ Q.

Die Menge solcher komplexer Zahlen ist abgeschlossen unter Addition, Multiplikation und Division und bildet daher einen K¨orper. Dieser heißt der K¨orper der rationalen Gaußschen Zahlen und wird mit Q(i) bezeichnet. Unser erstes Ziel ist die Bestimmung aller z = x + yi ∈ Q(i) mit N (z) = z z¯ = x2 + y 2 = 1.

Eine wichtiges Hilfsmittel in der Zahlentheorie ist Hilberts Satz 90. Dies ist ein Satz aus Hilberts ber¨ uhmtem Zahlbericht von 1897 [Hi] und war in der dortigen Nummerierung Satz 90. Alle sp¨ ater gefundenen Verallgemeinerungen des Hilbertschen Satzes wurden stets auch mit diesem Namen bezeichnet. F¨ ur die Klassifizierung der pythagor¨ aischen Tripel brauchen wir den folgenden Spezialfall.

62

Kapitel 4. Die Gaußschen Zahlen

Satz 4.5.1 (Hilberts Satz 90 f¨ ur Q(i)/Q). Eine rationale Gaußsche Zahl z ∈ Q(i) hat genau dann die Norm 1, wenn sie von der Gestalt z = y · y¯−1

f¨ ur ein von Null verschiedenes y ∈ Q(i) ist.

Beweis. Ist z von der angegebenen Gestalt, so gilt y y¯ N (z) = z z¯ = · = 1. y¯ y i Die Bedingung ist also hinreichend. Ist z = −1, so gilt z = −i . F¨ ur z
= −1 mit N (z) = 1 gilt z(1 + z¯) = z + z z¯ = 1 + z. Also hat y = 1 + z die gew¨ unschte Eigenschaft. ⊓ ⊔

Nun sind wir in der Lage, unser Hauptergebnis zu formulieren, welches eine vollst¨ andige Auflistung aller pythagor¨ aischen Tripel beinhaltet. Theorem 4.5.2. Ist (a, b, c) ein primitives pythagor¨aisches Tripel, so existieren eindeutig bestimmte ganze Zahlen A > B > 0, (A, B) = 1, A und B nicht beide ungerade, mit a = 2AB,

b = A2 − B 2

und c = A2 + B 2 .

Umgekehrt ist f¨ ur jedes solche Paar A, B das Tripel (a, b, c) ein primitives pythagor¨aisches Tripel. Beweis. Seien A, B mit den angegebenen Eigenschaften gegeben. Dann rechnet man leicht die Gleichung a2 + b2 = c2 nach. Auch gilt a, b, c > 0. Sei p eine Primzahl, die a, b und c teilt. Dann gilt p | 2A2 und p | 2B 2 . Wegen (A, B) = 1 verbleibt nur die M¨ oglichkeit p = 2. Aber A und B sind nicht beide ungerade, also ist c ungerade. Folglich ist (a, b, c) primitiv. Sei nun (a, b, c) ein primitives pythagor¨ aisches Tripel und sei z = bc + ac i. Dann gilt N (z) = 1 und nach Satz 4.5.1 existieren α, β ∈ Q mit b a α+β α2 − β 2 2αβ + i=z= = 2 + 2 i. 2 c c α − βi α +β α + β2 Wegen a/c
= 0 sind α und β von Null verschieden. Indem wir α und β mit einer geeigneten rationalen Zahl multiplizieren erreichen wir, dass α und β ganzzahlig, teilerfremd und nicht beide negativ sind. Wegen a/c > 0 haben α und β dasselbe Vorzeichen und sind folglich beide positiv. Aus b/c > 0 folgt α > β. W¨ aren α und β beide ungerade, so w¨ are der Bruch 2αβ α2 + β 2

einmal durch 2 k¨ urzbar und danach unk¨ urzbar. Wegen 2αβ/(α2 + β 2 ) = a/c w¨ urde hieraus a = αβ folgen, aber a ist als gerade vorausgesetzt. Daher sind α und β nicht beide ungerade. Wir haben am Anfang des Beweises gesehen, dass

4.6 Erweiterte Zahlringe

63

die Br¨ uche (α2 − β 2 )/(α2 + β 2 ) und 2αβ/(α2 + β 2 ) dann bereits in gek¨ urzter Form sind. Daher sind a, b, c von der angegebenen Gestalt f¨ ur A = α, B = β. Schließlich bleibt die Eindeutigkeit von A und B zu zeigen, was leicht aus ⊓ ⊔ 2A2 = b + c und 2B 2 = c − b folgt. Das beendet den Beweis.

4.6 Erweiterte Zahlringe Wir betrachten nun allgemeinere Zahlbereiche. Sei d ∈ ZZ quadratfrei (d.h. √ durch keine Quadratzahl > 1 teilbar) und von 0 und 1 verschieden. Mit d bezeichnen wir eine (willk¨ urlich, aber fest √ gew¨ahlte) komplexe L¨osung der Gleichung X 2 = d (die andere ist dann − d). Die Menge der komplexen √ Zahlen a + b d, a, b ∈ ZZ, √ ist ein Ring angenommen √ √ Da d als quadratfrei √ √ und wird mit ZZ[ d] bezeichnet. ist, ist d keine rationale Zahl. Ist a + b d = a′ + b′ d, so gilt (b′ − b) d = (a − a′ ) und daher a = a′ und b = b′ , d.h. die Darstellung ist eindeutig. Wir √ betrachten nun die folgende Normfunktion auf ZZ[ d]: √ √ √ N (a + b d) = (a + b d)(a − b d) = a2 − db2 . Ist d negativ, so ist N (z), wie im Falle der Gaußschen Zahlen, gerade das Quadrat des Absolutbetrages von z als komplexe Zahl. F¨ u√ r positives d√ist das nicht richtig, die Norm kann sogar negativ sein. So hat 2 − 1 ∈ ZZ[ 2] angig vom Vorzeichen von d verifiziert die Norm (−1)2 − 2 · 12 = −1. Unabh¨ man leicht die Regel N (zz ′ ) = N (z)N (z ′ ). Ist N (z) = 0, so folgt aus der Quadratfreiheit von d, dass z = 0 ist. Satz 4.3.3 verallgemeinert sich in folgender Weise. Satz 4.6.1. Die Funktion √ ν : ZZ[ d]  {0} −→ IN, z −→ |N (z)|,

ist eine euklidische Normfunktion, falls

|x2 − dy 2 | < 1

f¨ ur alle rationalen Zahlen x, y ∈ Q mit |x| ≤ 12 , |y| ≤

1 2

gilt.

Beweis. Der Beweis ist im Prinzip der gleiche wie der von Satz 4.3.3. Wir √ bemerken zun¨ achst, dass f¨ ur komplexe Zahlen x, y ∈ C der Form x = a + b d, √ y = a′ + b′ d mit a, a′ , b, b′ ∈ Q auch die komplexen Zahlen x + y, xy und x/y von dieser Gestalt sind. F¨ ur den Quotienten (wir nehmen nat¨ urlich y
= 0 an) sieht man das durch √ √ √ a+b d (a + b d)(a′ − b′ d) aa′ − bb′ d a′ b − ab′ √ x √ = = + = d. y a′2 − db′2 a′2 − db′2 a′2 − db′2 a′ + b ′ d √ Seien a, b ∈ ZZ[ d], b
= 0. Wie wir gerade gesehen haben, hat die komplexe Zahl a/b die Gestalt

64

Kapitel 4. Die Gaußschen Zahlen

√ a =u+v d b mit u, v ∈ Q. Nun w¨ ahlen √ wir ganze Zahlen x, y ∈ ZZ mit |u − x| ≤ 1/2, |v − y| ≤ 1/2. Mit q = x + y d erhalten wir nach Voraussetzung  a

     − q  = (u − x)2 − d(v − y)2  < 1. N b √ Setzen wir r = a − bq ∈ ZZ[ d], so gilt  a

   − q  < |N (b)| = ν(b). ν(r) = |N (r)| = N (b)N b Also erf¨ ullen q und r das Gew¨ unschte. ⊓ ⊔ √ Korollar 4.6.2. F¨ ur d = −2, −1, 2, 3 ist der Ring ZZ[ d] euklidisch und daher auch faktoriell. Beweis. Es gilt in den verschiedenen F¨ allen: d = −2: |x2 + 2y 2 | ≤ 43 < 1; d = +2: |x2 − 2y 2 | ≤ 12 < 1;

d = −1: |x2 + y 2 | ≤ 12 < 1; d = +3: |x2 − 3y 2 | ≤ 43 < 1. ⊓ ⊔

√ Leider ist der Ring ZZ[ d] oft nicht faktoriell (und √ damit insbesondere nicht euklidisch). So haben wir beispielsweise im Ring ZZ[ −5] die Zerlegung √ √ (1 + −5)(1 − −5) = 6 = 2 · 3. √ √ √ Die Elemente 1+ −5, 1− −5, 2, 3 sind s¨ amtlich irreduzibel, also ist ZZ[ −5] nicht faktoriell. Ein weiteres, ganz praktisches Problem ist das folgende. Die dritte Einheitswurzel 1 1√ −3 ζ3 = e2πi/3 = − + 2 2 √ urden aber gerne mit ζ3 arbeiten, um zum liegt nicht im Ring ZZ[ −3]. Wir w¨ Beispiel zur L¨ osung der Fermat-Gleichung X 3 + Y 3 = Z 3 die Identit¨at X 3 + Y 3 = (X + Y )(X + ζ3 Y )(X − ζ3 Y )

heranziehen zu k¨ onnen. Wir werden uns diesem Problem in Kapitel 6 widmen. √ Aufgabe 1. Man zeige: α ∈ ZZ[ d] ist genau dann eine Einheit, wenn N (α) = ±1. √ √ Aufgabe 2. Es sei p eine Primzahl. Man zeige, dass die Elemente p ∈ ZZ[ p] und √ √ −p ∈ ZZ[ −p] irreduzibel sind. Aufgabe 3. Man zeige: n = 26 ist die einzige nat¨ urliche Zahl mit der Eigenschaft n − 1 ist Quadratzahl und n + 1 ist Kubikzahl“. ” √ √ Hinweis:√Man betrachte die Gleichung (x + −2)(x − −2) = y 3 im euklidischen Ring ZZ[ −2] und analysiere die Primzerlegung beider Seiten. √ Aufgabe 4. Es sei d ungerade und kleiner als −2. Man√zeige, dass 2 ∈ ZZ[ d] irreduzibel, aber kein Primelement ist. Insbesondere ist ZZ[ d] nicht faktoriell.

Kapitel 5 Algebraische Zahlen

In diesem Kapitel betrachten wir algebraische Zahlen. Das sind die komplexen Zahlen, die als Nullstelle eines Polynoms mit rationalen Koeffizienten auftreten. Eine algebraische Zahl heißt ganz-algebraisch, wenn sie Nullstelle eines normierten Polynoms mit ganzzahligen Koeffizienten ist. Als Teilmenge der algebraischen Zahlen spielen die ganz-algebraischen eine analoge Rolle wie die ganzen Zahlen in den rationalen. Um grunds¨ atzliche Eigenschaften algebraischer und ganz-algebraischer Zahlen elegant nachweisen zu k¨onnen, beginnen wir mit vorbereitenden Betrachtungen u ¨ber Polynomringe und endlich erzeugte abelsche Gruppen.

5.1 Polynomringe Sei A ein Ring. Wir betrachten den Polynomring A[X], dessen Elemente formale Ausdr¨ ucke der Form an X n + an−1 X n−1 + · · · + a0 ,

n ≥ 0, a0 , . . . , an ∈ A,

mit den u ur Addition und Multi¨ blichen Rechenregeln (siehe Abschnitt 1.6) f¨ plikation sind. Wir fassen A als Teilring von A[X] auf, indem wir einem a ∈ A das konstante Polynom a zuordnen. Wir haben z.B. bereits Polynome mit ganzzahligen Koeffizienten untersucht. Betrachtet man, wie in Abschnitt 1.6, ganzzahlige Polynome modulo einer nat¨ urlichen Zahl m, so ist es sinnvoll, diese als Elemente im Polynomring ZZ/mZZ[X] aufzufassen. Lemma 5.1.1. Ist A nullteilerfrei, so ist auch A[X] nullteilerfrei und es gilt (A[X])× = A× . Beweis. Offensichtlich ist das konstante Polynom a mit a ∈ A× eine Einheit in A[X]. Seien f = an X n + · · · + a0 , an
= 0, und g = bm X m + · · · + b0 , bm
= 0, von Null verschiedene Polynome. Dann gilt f g = an bm X n+m + Terme kleineren Grades .

66

Kapitel 5. Algebraische Zahlen

Aus f g = 0 folgt daher an bm = 0 im Widerspruch zur Nullteilerfreiheit von A. Also ist A[X] nullteilerfrei. Ist (mit den gleichen Bezeichnungen) f g = 1, so w¨ urde, wenn n oder m verschieden von 0 w¨aren, an bm = 0 folgen. Dies ist aber wegen der Nullteilerfreiheit von A nicht m¨oglich. Also gilt m = n = 0 ⊓ ⊔ und a0 b0 = 1. Wir nennen ein von Null verschiedenes Polynom f ∈ A[X] vom Grad n normiert, wenn der h¨ ochste Koeffizient an gleich 1 ist, d.h. f ist von der Form f = X n + an−1 X n−1 + · · · + a0 ,

ai ∈ A, i = 0, . . . , n − 1 .

Ist A = k ein K¨orper, so ist wegen des letzten Lemmas f¨ ur jedes Polynom f = an X n + · · · + a0 ∈ k[X], an
= 0, das Polynom an−1 n−1 a0 f˜ = X n + X + ···+ an an das eindeutig bestimmte normierte Polynom f˜ mit f = ˆ f˜. Wir haben schon gesehen (Beispiel 2, Seite 54), dass k[X] euklidisch und damit nach Satz 4.2.4 auch faktoriell ist. Daher hat jedes Polynom f
= 0 aus k[X] eine eindeutige Zerlegung der Form f = a · P1 · · · Pr

mit einer Einheit a ∈ k × und normierten Primpolynomen P1 , . . . , Pr . Ist f selbst normiert, so gilt a = 1.

Lemma 5.1.2. Seien f, g ∈ Q[X] normierte Polynome. Sind alle Koeffizienten ihres Produktes f g ganzzahlig, so sind auch schon alle Koeffizienten von f und g ganzzahlig, d.h. f, g ∈ ZZ[X]. Beweis. Sei f = X n +an−1 X n−1 +· · ·+a0 und g = X m +bm−1 X m−1 +· · ·+b0 . Sei M die kleinste nat¨ urliche Zahl (das kleinste gemeinsame Vielfache der urzter Schreibweise) mit M f ∈ ZZ[X]. Wir Nenner von a0 , . . . , an−1 in gek¨ urliche Zahl setzen Ai = M ai ∈ ZZ, i = 0, . . . , n. Analog sei N die kleinste nat¨ mit N g ∈ ZZ[X] und Bj = N bj , j = 0, . . . , m. Es gilt M N f g = An Bm X n+m + (An Bm−1 + An−1 Bm )X n+m−1 + · · · + A0 B0 .

Wegen f g ∈ ZZ[X] sind s¨ amtliche Koeffizienten auf der linken und daher auch auf der rechten Seite durch M N teilbar. Wir zeigen M N = 1, indem wir die Annahme M N > 1 zum Widerspruch f¨ uhren. Angenommen, p w¨are eine Primzahl, die M N teilt. Wegen der Minimalit¨ at der Wahl von M und N gibt es Koeffizienten Ai , Bj , die nicht durch p teilbar sind. Seien i0 , j0 die jeweils gr¨ oßten darunter vorkommenden Indizes. Dann hat der Koeffizient vor X i0 +j0 die Gestalt Ai0 Bj0 + p · Rest,

ist also insbesondere nicht durch p teilbar. Aber dieser Koeffizient ist durch M N teilbar, was einen Widerspruch ergibt. Folglich gilt M N = 1 und daher M = N = 1. Nach Definition von M und N folgt f, g ∈ ZZ[X].

5.2 Endlich erzeugte abelsche Gruppen

67

Variante: Etwas abstrakter h¨ atte man eben auch folgendermaßen schließen k¨onnen: (N f )(M g) = ¯ 0 ∈ ZZ/pZZ[X], also N f = ¯0 oder M g = ¯0 wegen der Nullteilerfreiheit von ZZ/pZZ[X]. ⊓ ⊔ Mit Hilfe vollst¨ andiger Induktion folgt hieraus der Satz 5.1.3. Sei f ∈ ZZ[X] ein normiertes Polynom und sei f = P1 · · · Pr

seine Zerlegung in normierte Primpolynome in Q[X]. Dann sind alle Koeffizienten der Polynome Pi ganzzahlig, d.h. P1 , . . . , Pr ∈ ZZ[X]. Korollar 5.1.4. Ein normiertes irreduzibles Polynom in ZZ[X] bleibt in Q[X] irreduzibel, ist also ein Primelement in Q[X]. Auf diese Weise kann man Polynome in Q[X] als irreduzibel erkennen. Satz 5.1.5 (Eisensteinkriterium). Sei f = X n + an−1 X n−1 + · · · + a0 ein normiertes Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten. Gibt es eine Primzahl p ur i = 0, . . . , n − 1, aber p2 ∤ a0 , so ist f ein Primpolynom in Q[X]. mit p | ai f¨ Beweis. Sei f = gh mit g = X k + bk−1 X k−1 + · · · + b0 , h = X l + cl−1 X l−1 + · · · + c0 , k, l ≥ 1. Nach Satz 5.1.3 liegen g und h in ZZ[X]. Sei i0 der kleinste Index mit p ∤ bi und j0 der kleinste Index mit p ∤ cj . Dann gilt f¨ ur den Koeffizienten ai0 +j0 vor X i0 +j0 in f ai0 +j0 = bi0 cj0 + p · Rest,

weshalb dieser nicht durch p teilbar ist. Aus der gemachten Voraussetzung an f folgt i0 + j0 = n und daher i0 = k, j0 = l. Insbesondere gilt p | b0 und p | c0 . Hieraus folgt p2 | a0 im Widerspruch zur Annahme. Also kann sich f nicht in der angegebenen Form zerlegen und ist daher irreduzibel. ⊓ ⊔ Beispiele: Die Polynome X 2 + 3X + 6 und X 5 + 2X 4 + 10, X 6 − 5 sind Primpolynome in Q[X].

5.2 Endlich erzeugte abelsche Gruppen Eine abelsche Gruppe A heißt endlich erzeugt, wenn es endlich viele Elemente a1 , . . . , an ∈ A gibt, so dass jedes Element a ∈ A eine (nicht notwendig eindeutige) Darstellung der Form a = α1 a1 + · · · + αn an mit α1 , . . . , αn ∈ ZZ hat. Eine abelsche Gruppe, die bereits von einem Element erzeugt wird, heißt zyklische Gruppe. Sind a1 , . . . , ak Elemente einer abelschen Gruppe A, so heißt die Untergruppe a1 , . . . , ak  := {a ∈ A | a = α1 a1 + · · · + αk ak , α1 , . . . , αk ∈ ZZ} ⊂ A

68

Kapitel 5. Algebraische Zahlen

die von a1 . . . , ak in A erzeugte Untergruppe. Per Konvention ist die von der leeren Menge von Elementen erzeugte Untergruppe die Nullgruppe. Beispiele: 1. Die abelsche Gruppe (ZZ, +) ist zyklisch, sie ist n¨amlich durch das Element 1 erzeugt. Ein anderer Erzeuger ist −1. 2. F¨ ur m ∈ IN ist (ZZ/mZZ, +) eine zyklische Gruppe. Ein Erzeuger ist die Restklasse der 1. Allgemeiner ist f¨ ur a ∈ ZZ die Restklasse a ¯ genau dann ein Erzeuger von ZZ/mZZ, wenn (a, m) = 1 gilt. 3. Ist p eine Primzahl, so ist die Gruppe ((ZZ/pZZ)× , · ) zyklisch. Als Erzeuger kann man eine beliebige primitive Wurzel modulo p w¨ahlen (vgl. Abschnitt 1.7). Die einfachsten Beispiele endlich erzeugter abelscher Gruppen sind endliche abelsche Gruppen, d.h. solche, die aus endlich vielen Elementen bestehen. Definition 5.2.1. Es sei A eine endliche abelsche Gruppe. Die Anzahl ihrer Elemente heißt ihre Ordnung und wird mit #A bezeichnet. Satz 5.2.2. Es sei A eine endliche abelsche Gruppe der Ordnung n = #A. Dann gilt n · a = 0 f¨ ur jedes a ∈ A. Beweis. Sei a ∈ A fixiert. F¨ ur b1 , b2 ∈ A folgt durch Addition von −a aus a + b1 = a + b2 , dass b1 = b2 gilt. Auch gilt b = a + (b − a) f¨ ur jedes b ∈ A. Daher ist die Abbildung A → A, b → a + b, eine Bijektion. Durch Aufaddieren aller Elemente von A ergibt sich die Gleichung


b= (a + b) = n · a + b. b∈A

b∈A

Zieht man von dieser Gleichung

b∈A



b∈A

b ab, so erh¨alt man n · a = 0.

⊓ ⊔

Hieraus folgt beispielsweise der Kleine Fermatsche Satz 1.4.2: F¨ ur m ∈ IN ist (ZZ/mZZ)× eine endliche abelsche Gruppe der Ordnung ϕ(m). Die Gruppenoperation wird multiplikativ geschrieben. Nach Korollar 5.2.2 gilt xϕ(m) = ¯1 f¨ ur jedes x ∈ (ZZ/mZZ)× . Als n¨ achstes untersuchen wir die Untergruppen von ZZ. Lemma 5.2.3. Sei B ⊂ (ZZ, +) eine von Null verschiedene Untergruppe. Dann gilt B = mZZ = {ma | a ∈ ZZ}, wobei m die eindeutig bestimmte kleinste nat¨ urliche Zahl in B ist.

Beweis. Da mit b auch −b in B liegt, enth¨ alt B mindestens eine nat¨ urliche Zahl. Sei m = min(b ∈ IN | b ∈ B).

5.2 Endlich erzeugte abelsche Gruppen

69

Zun¨ achst ist mit m auch jedes ganzzahlige Vielfache von m in B, also mZZ ⊂ B. Angenommen, es g¨ abe ein b ∈ B, b ∈ / mZZ. Dann gibt es ein n ∈ ZZ mit nm < b < (n + 1)m, also 0 < b − nm < m. Weil b und m in B liegen, gilt dies auch f¨ ur b − nm, was im Widerspruch zur Minimalit¨at von m steht. Also gilt B = mZZ. ⊓ ⊔ Wichtig f¨ ur uns ist der folgende Satz 5.2.4. Jede Untergruppe einer endlich erzeugten abelschen Gruppe ist endlich erzeugt. Genauer: Kann man die abelsche Gruppe A durch n Elemente erzeugen, so kann man jede Untergruppe B ⊂ A durch n oder weniger Elemente erzeugen. Insbesondere ist jede Untergruppe einer zyklischen Gruppe wieder zyklisch. ur Elemente a1 , . . . , an ∈ Beweis. Sei A endlich erzeugt, d.h. A = a1 , . . . , an  f¨ A, und B ⊂ A eine Untergruppe. F¨ ur i = 0, . . . , n setzen wir Ai = a1 , . . . , ai  sowie Bi = B ∩ Ai , und zeigen per Induktion, dass Bi durch i oder weniger Elemente erzeugt werden kann. Im Fall i = 0 gilt B0 = 0 und die Aussage ist trivial. Wir nehmen nun an, dass f¨ ur 0 ≤ i < n die Untergruppe Bi durch i oder weniger Elemente erzeugt werden kann und betrachten die Menge H = {α ∈ ZZ | ∃ α1 , . . . , αi ∈ ZZ mit α1 a1 + · · · + αi ai + αai+1 ∈ B}.

Man u ¨ berlegt sich leicht, dass H eine Untergruppe von ZZ ist, also gilt H = 0 oder H = mZZ, wobei m die kleinste nat¨ urliche Zahl in H ist. Im ersten Fall gilt Bi+1 = Bi und der Induktionsschritt ist beendet. Sei also H = mZZ, m ∈ IN. Wir w¨ ahlen m1 , . . . , mi ∈ ZZ mit bi+1 := m1 a1 + · · · + mi ai + mai+1 ∈ Bi+1 . F¨ ur jedes b ∈ Bi+1 gibt es ein n ∈ ZZ mit b − nai+1 ∈ Ai . Dann gilt n ∈ H, also m|n. Folglich gilt n n bi+1 = (b − nai+1 ) − (m1 a1 + · · · + mi ai ) ∈ Ai . b− m m n Daher gilt b − m bi+1 ∈ Bi+1 ∩ Ai = Bi . Wir k¨onnen daher jedes b ∈ Bi+1 als Summe eines Elements aus Bi und eines ganzzahligen Vielfachen von bi+1 schreiben. Nach Induktionsvoraussetzung wird Bi durch i oder weniger Elemente erzeugt, also kann man Bi+1 durch i + 1 oder weniger Elemente erzeugen. ⊓ ⊔ Schließlich wollen wir endlich erzeugte abelsche Gruppen bis auf Isomorphie bestimmen. Hat man endlich viele abelsche Gruppen A1 , . . . , An gegeben, so ist ihr Produkt A1 × · · · · ×An = {(a1 , . . . , an ) | ai ∈ Ai , i = 1, . . . , n}

mit komponentenweiser Addition eine abelsche Gruppe. Das r-fache Selbstprodukt einer abelschen Gruppe A wird mit Ar bezeichnet, wobei man die Konvention A0 = 0 setzt, d.h. das nullfache Selbstprodukt ist die triviale Gruppe.

70

Kapitel 5. Algebraische Zahlen

Satz 5.2.5 (Hauptsatz u ¨ber endlich erzeugte abelsche Gruppen). Sei A eine endlich erzeugte abelsche Gruppe. Dann existieren ganze Zahlen r, s ≥ 0, einander sukzessive teilende nat¨ urliche Zahlen 1 < e1 | e2 | · · · | es und ein Isomorphismus abelscher Gruppen ∼ ZZr × ZZ/e1 ZZ × · · · × ZZ/es ZZ. A = Insbesondere l¨asst sich jede endlich erzeugte abelsche Gruppe als Produkt endlich vieler zyklischer Gruppen schreiben. Beweis. Es sei A = a1 , . . . , an . Wir betrachten die Untergruppe B in ZZn , B = {(α1 , . . . , αn ) ∈ ZZn | α1 a1 + · · · + αn an = 0}.

Weil A durch a1 , . . . , an erzeugt wird, ist die Abbildung ZZn /B → A, die die Restklasse (α1 , . . . , αn )+B auf das Element α1 a1 +· · ·+αn an in A abbildet, ein Isomorphismus, d.h. wir k¨ onnen A mit der Faktorgruppe ZZn /B identifizieren. n Als Untergruppe von ZZ kann B nach Satz 5.2.4 durch n (oder weniger) Elemente erzeugt werden. Wir finden daher b1 , . . . , bn ∈ ZZn mit B = b1 , . . . , bn . Wir betrachten die n×n-Matrix, in deren i-ter Spalte gerade bi steht. Nach Lemma 3.2.2 k¨ onnen wir diese Matrix durch elementare Umformungen auf die ⎛ ⎞ Gestalt e1 0 · · · 0 0 · · · 0 ⎜ 0 e2 · · · 0 0 · · · 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ .. ⎟ .. .. ⎜ . ⎟ . . ⎜ ⎟ ⎜ 0 0 · · · es 0 · · · 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 0 ··· 0 0 ··· 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ . ⎟ .. .. ⎝ .. ⎠ . . 0 0 ··· 0 0 ··· 0

mit nat¨ urlichen Zahlen e1 | · · · |es bringen. Die erlaubten Umformungen 1)-5) aus Abschnitt 3.2 entsprechen Wechseln der Basis von ZZn . Wegen A ∼ = ZZn /B erhalten wir somit einen Isomorphismus n−s . A∼ = ZZ/e1 ZZ × · · · × ZZ/es ZZ × ZZ Schließlich erhalten wir das Ergebnis, indem wir aus dieser Darstellung die (redundanten) Einsen unter den ei entfernen. ⊓ ⊔ Es ist nicht schwierig zu zeigen, dass die Zahlen r, s, sowie e1 , . . . , es eindeutig bestimmt sind. Siehe die untenstehenden Aufgaben 1 und 2. Aufgabe 1. Man nennt Elemente a1 , . . . , ar ∈ A in einer abelschen Gruppe linear unabh¨ angig, wenn f¨ ur ganze Zahlen α1 , . . . , αr das Element α1 a1 + · · · + αr ar ∈ A genau dann gleich dem neutralen Element 0 ∈ A ist, wenn α1 = · · · = αr = 0 gilt. Sei A eine endlich erzeugte abelsche Gruppe. Man zeige: Die Zahl r in Satz 5.2.5 ist die Maximalanzahl linear unabh¨ angiger Elemente in A. Insbesondere ist r eindeutig bestimmt.

5.3 Ganze algebraische Zahlen

71

Aufgabe 2. Man zeige, dass die Zahl s und die nat¨ urlichen Zahlen e1 | · · · |es in Satz 5.2.5 eindeutig bestimmt sind. Hinweis: Man betrachte f¨ ur jede nat¨ urliche Zahl n die n-Torsionsuntergruppe nA

= {a ∈ A | n · a = 0}

von A und berechne die Zahlen ei aus den Ordnungen dieser endlichen abelschen Gruppen. Aufgabe 3. Es sei A eine endliche abelsche Gruppe und a ∈ A. Die Ordnung ord (a) ist als die kleinste nat¨ urliche Zahl n mit n · a = 0 definiert. Man zeige, dass #A durch ord (a) teilbar ist. Hinweis: Man verallgemeinere den Beweis von Satz 1.7.2.

5.3 Ganze algebraische Zahlen In diesem Abschnitt besch¨ aftigen wir uns mit (ganzen) algebraischen Zahlen. Definition 5.3.1. Eine komplexe Zahl α heißt algebraisch, wenn es ein normiertes Polynom f = X n + an−1 X n−1 + · · · + a0 ∈ Q[X]

mit f (α) = 0 gibt. Die Zahl α heißt ganz-algebraisch, wenn man f mit ganzzahligen Koeffizienten w¨ahlen kann. Eine nicht algebraische komplexe Zahl heißt transzendent. Beispiele: 1. Jede rationale Zahl ist algebraisch. Jede ganze Zahl ist ganzalgebraisch. √ ur d ∈ Q und ganz-algebraisch f¨ ur d ∈ ZZ. 2. ± d ist algebraisch f¨ 3. Es ist bekannt, dass e und π transzendent sind. Lemma 5.3.2. Die Menge der algebraischen Zahlen ist von der Kardinalit¨at abz¨ahlbar-unendlich. Beweis. Da es nur abz¨ ahlbar-unendlich viele rationale Zahlen gibt, gibt es zu jedem Grad n nur abz¨ ahlbar-unendlich viele Polynome vom Grad n mit rationalen Koeffizienten. Daher gibt es u ¨ berhaupt nur abz¨ahlbar-unendlich viele Polynome in Q[X]. Jedes dieser Polynome hat nur endlich viele Nullstellen, also gibt es h¨ ochstens abz¨ ahlbar-unendlich viele algebraische Zahlen. Schließlich sind alle rationalen Zahlen algebraisch, d.h. es gibt unendlich viele algebraische Zahlen. ⊓ ⊔ Korollar 5.3.3. Es gibt u ¨ berabz¨ahlbar viele transzendente komplexe Zahlen. ahlbar. Beweis. Die Kardinalit¨ at von C ist u ¨berabz¨

⊓ ⊔

72

Kapitel 5. Algebraische Zahlen

Wir sehen also, dass eine willk¨ urlich gew¨ ahlte komplexe Zahl mit der Wahrscheinlichkeit 1 transzendent ist. Trotzdem ist es schwierig, von einer gegebenen komplexen Zahl nachzuweisen, dass sie transzendent ist. Satz 5.3.4. Eine rationale Zahl ist genau dann ganz-algebraisch, wenn sie in ZZ liegt. Beweis. Elemente von ZZ sind ganz-algebraisch. Sei α ∈ Q  ZZ und sei α = a Z, b > 1, in gek¨ urzter Schreibweise. Ist f = X n + an−1 X n−1 + b , a, b ∈ Z · · · + a0 , a0 , . . . , an−1 ∈ ZZ, ein Polynom mit f (α) = 0, so erhalten wir durch Multiplizieren mit bn die Identit¨ at an + ban−1 an−1 + · · · + bn a0 = 0.

Folglich ist an durch b teilbar, was der Teilerfremdheit von a und b widerspricht. ⊓ ⊔

√ Bemerkung: Dies ur die Irrationalit¨at von 2. √ gibt einen ”neuen“ Beweis √ f¨ W¨ are n¨ amlich 2 ∈ Q, so w¨ urde auch 2 ∈ ZZ gelten. Aber 2 ist keine Quadratzahl. Lemma 5.3.5. Eine komplexe Zahl α ist genau dann algebraisch, wenn ein m ∈ IN existiert, so dass mα ganz-algebraisch ist. Beweis. Sei 0
= f = X n + an−1 X n−1 + · · · + a0 ,

a0 , . . . , an−1 ∈ Q

ein Polynom mit f (α) = 0. W¨ ahlen wir ein m ∈ IN mit mai ∈ ZZ f¨ ur i = 0, . . . , n − 1. Dann gilt (mα)n + man−1 (mα)n−1 + · · · + mn a0 = 0,

also ist mα ganz-algebraisch. Der umgekehrte Schluss zeigt, dass aus mα ganzalgebraisch folgt, dass α algebraisch ist. ⊓ ⊔

F¨ ur komplexe Zahlen α1 , . . . , αn bezeichnen wir mit ZZ[α1 , . . . , αn ] die Menge aller komplexen Zahlen der Form
z= 0 ≤ i1 , . . . , in ∈ ZZ, ai1 ,...,in αi11 · · · αinn , endl.

ai1 ,...,in ∈ ZZ.

Diese Menge ist offensichtlich ein Ring.

Satz 5.3.6. ZZ[α1 , . . . , αn ] ist (bez¨ uglich Addition) genau dann eine endlich erzeugte abelsche Gruppe, wenn α1 , . . . , αn ganz-algebraische Zahlen sind.

5.3 Ganze algebraische Zahlen

73

Beweis. Seien α1 , . . . , αn ganz-algebraisch und sei f¨ ur i = 1, . . . , n (i)

(i)

fi = X Ni + aNi −1 X Ni −1 + · · · + a0

ein normiertes Polynom mit ganzen Koeffizienten, so dass fi (αi ) = 0 gilt. Mit Hilfe der Relationen (i)

(i)

Ni −1 i − · · · − a0 αN i = −aNi −1 αi

k¨onnen wir jede Summe von Produkten von Potenzen der αi so umformen, ochstens in der Potenz Ni − 1 auftaucht. Daher ist ZZ[α1 , . . . , αn ] als dass αi h¨ abelsche Gruppe von den N1 · · · Nn Elementen αe11 · · · αenn , 0 ≤ ei ≤ Ni − 1, erzeugt. Dies zeigt eine Richtung. Nun nehmen wir an, dass ZZ[α1 , . . . , αn ] endlich erzeugt ist. Sei α = αi f¨ ur ein i. Die Inklusion ZZ[α] ⊂ ZZ[α1 , . . . , αn ] zusammen mit Satz 5.2.4 zeigt, dass auch ZZ[α] endlich erzeugt ist. Wir w¨ ahlen ein endliches System von erzeugenden Elementen und w¨ ahlen N ∈ IN groß genug, so dass alle gew¨ahlten Erzeuger Summen von α-Potenzen vom Exponenten kleiner N sind. Dann ist auch 1, α, . . . , αN −1 ein Erzeugendensystem. Daher gibt es ganze Zahlen a0 , . . . , aN −1 mit αN = a0 + a1 α + · · · + aN −1 αN −1 .

Folglich ist α ganz-algebraisch.

⊓ ⊔

Korollar 5.3.7. (i) Die Summe und das Produkt ganz-algebraischer Zahlen sind wieder ganz-algebraisch. (ii) Die Summe und das Produkt algebraischer Zahlen sind wieder algebraisch. Das Inverse einer von Null verschiedenen algebraischen Zahl ist wieder algebraisch. Beweis. Sind α und β ganz-algebraisch, so ist ZZ[α, β] endlich erzeugt. Wegen α + β ∈ ZZ[α, β] gilt ZZ[(α + β)] ⊂ ZZ[α, β].

Daher ist auch ZZ[(α + β)] endlich erzeugt und α + β ganz-algebraisch. Das Argument f¨ ur das Produkt ist das gleiche. Sind α und β algebraisch, so existieren von Null verschiedene n, m ∈ ZZ, so dass nα und mβ ganz-algebraisch sind. Dann sind auch nmα und nmβ ganz-algebraisch. Daher ist nm(α + β) ganz-algebraisch und α + β algebraisch. Das Argument f¨ ur das Produkt ist wieder das gleiche. Ist α
= 0 algebraisch und gilt αn + an−1 αn−1 + · · · + a0 = 0,

a0 , . . . , an−1 ∈ Q,

so k¨ onnen wir diese Gleichung so oft durch α teilen, bis der konstante Term von Null verschieden ist, also o.B.d.A. a0
= 0. Teilen wir durch a0 αn , erhalten    n wir 1 an−1 1 1 + ··· + =0 + α a0 α a0 und somit ist auch 1/α algebraisch.

⊓ ⊔

74

Kapitel 5. Algebraische Zahlen

Nach Korollar 5.3.7 ist die Menge der ganz-algebraischen Zahlen ein Ring, und wir bezeichnen diesen mit O. Die Menge der algebraischen Zahlen ist ein ¯ bezeichnet wird. Wir haben einen Turm von K¨orpern K¨ orper, der mit Q ¯  C. QQ Wichtig ist der folgende Satz. Satz 5.3.8. Ist eine komplexe Zahl α Nullstelle eines Polynoms mit a0 , . . . , an−1 α ∈ O.

X n + an−1 X n−1 + · · · + a0 ¯ Sind a0 , . . . , an−1 ∈ O, so gilt ¯ so gilt auch α ∈ Q. ∈ Q,

Bemerkung: Der sogenannte Hauptsatz der Algebra (siehe z.B. [Bo], Abschnitt 6.3) besagt, dass jedes nicht konstante Polynom mit komplexen Koeffizienten eine komplexe Nullstelle hat. Daher zerf¨allt jedes Polynom f ∈ C[X] in Linearfaktoren. Man sagt, der K¨ orper C sei algebraisch abgeschlossen. ¯ algebraisch Der erste Teil von Satz 5.3.8 besagt, dass auch der K¨orper Q abgeschlossen ist. Die im zweiten Teil des Satzes beschriebene Eigenschaft bezeichnet man als die Ganzabgeschlossenheit von O. Beweis von Satz 5.3.8. Sind a0 , . . . , an−1 ∈ O, so sieht man wie im Beweis von Satz 5.3.6, dass ZZ[α, a0 , . . . , an−1 ] eine endlich erzeugte abelsche Gruppe ist. Also ist α ∈ O. Sind a0 , . . . , an−1 ∈ ¯ so finden wir ein m ∈ ZZ, m
= 0, so dass ma0 , . . . , man−1 in O liegen. Daher Q, ist mα Nullstelle eines Polynoms mit Koeffizienten in O. Nach dem ersten Teil ¯ des Beweises gilt mα ∈ O und daher α ∈ Q. ⊓ ⊔ Definition 5.3.9. Sei α eine algebraische Zahl. Ein normiertes Polynom f ∈ Q[X] mit f (α) = 0 heißt Minimalpolynom von α, wenn es unter den Polynomen mit dieser Eigenschaft minimalen Grad hat. Satz 5.3.10. Das Minimalpolynom einer algebraischen Zahl α ist eindeutig bestimmt, irreduzibel und es teilt jedes Polynom g ∈ Q[X] mit g(α) = 0. Das Minimalpolynom einer ganz-algebraischen Zahl liegt in ZZ[X]. Beweis. Seien f, g ∈ Q[X] mit f (α) = 0 = g(α) gegeben und sei h = (f, g) der gr¨ oßte gemeinsame Teiler von f und g. Da h sich aus f und g linear kombinieren l¨ asst, gilt auch h(α) = 0. Hat f minimalen Grad, so folgt f = ˆ h, also f |g. Ist g auch von minimalem Grad, so folgt g|f , also f = ˆ g, was die Eindeutigkeit des (normierten) Minimalpolynoms zeigt. Wir sehen auch, dass das Minimalpolynom fα von α jedes Polynom g mit g(α) = 0 teilt. W¨are fα nichttrivial zerlegbar, so w¨ are α Nullstelle mindestens eines der Faktoren, im Widerspruch zur Minimalit¨ at des Grades von fα . Ist α ganz-algebraisch, so existiert ein normiertes f ∈ ZZ[X] mit f (α) = 0. Das Minimalpolynom fα teilt f und ist daher einer der Faktoren in der Primpolynomzerlegung von f . Nach Satz 5.1.3 liegt dann auch fα in ZZ[X]. ⊓ ⊔

5.4 Kreisteilungspolynome

75

5.4 Kreisteilungspolynome Definition 5.4.1. Sei n eine nat¨ urliche Zahl. Eine komplexe Zahl ζ heißt n-te Einheitswurzel, wenn ζ n = 1 gilt. Die n-ten Einheitswurzeln sind gerade die Nullstellen des Polynoms X n − 1, daher gibt es h¨ ochstens n verschiedene. Wegen |ζ|n = |ζ n | = 1 haben Einheitswurzeln den Betrag 1. Offensichtlich ist das Produkt n-ter Einheitswurzeln wieder eine n-te Einheitswurzel. Eine spezielle n-te Einheitswurzel ist die komplexe Zahl ζn = e2πi/n = cos(2π/n) + i sin(2π/n). Die Potenzen ζnk , k = 0, . . . , n − 1, sind paarweise verschieden, also gibt es genau n verschiedene n-te Einheitswurzeln. Die einzigen reellen Einheitswurzeln sind ±1. Definition 5.4.2. Eine n-te Einheitswurzel ζ heißt primitiv, wenn alle n-ten Einheitswurzeln Potenzen von ζ sind. ur k ∈ ZZ ist ζnk Lemma 5.4.3. Die n-te Einheitswurzel ζn ist primitiv. F¨ genau dann primitiv, wenn (k, n) = 1 gilt. Beweis. ζn ist offensichtlich primitiv. Ist (k, n) = 1, so existieren a, b ∈ ZZ mit ak + bn = 1 und daher ist (ζnk )a = ζnak+bn = ζn . In diesem Fall ist ζn und damit auch jede n-te Einheitswurzel eine Potenz von ζnk . Ist d = (k, n) > 1, so sind die Potenzen von ζnk gerade die Einheitswurzeln ζndj , j = 1, . . . , m d. In diesem Fall ist ζnk keine primitive n-te Einheitswurzel (aber eine primitive n ⊓ ⊔ d -te Einheitswurzel). Korollar 5.4.4. Es gibt genau ϕ(n) verschiedene primitive n-te Einheitswurzeln. Die Zuordnung ZZ/nZZ −→ {n-te Einheitswurzeln} a −→ ζna

ist ein Isomorphismus abelscher Gruppen. Die primen Restklassen modulo n werden gerade auf die primitiven n-ten Einheitswurzeln abgebildet. Definition 5.4.5. Das Polynom Φn =



ζ n =1 ζ primitiv

(X − ζ)

heißt das n-te Kreisteilungspolynom. Beispiele: Φ1 = X − 1, Φ2 = X + 1, Φ3 = X 2 + X + 1, Φ4 = X 2 + 1, Φ5 = X 4 + X 3 + X 2 + X + 1, Φ6 = X 2 − X + 1.

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Kapitel 5. Algebraische Zahlen

Lemma 5.4.6. F¨ ur n ∈ IN gilt

Xn − 1 =



Φd ,

d|n

wobei sich das Produkt auf der rechten Seite u urlichen Teiler d ¨ ber alle nat¨ von n erstreckt. Beweis. Jede n-te Einheitswurzel ζ ist f¨ ur genau einen Teiler d von n primitive d-te Einheitswurzel (d ist die kleinste nat¨ urliche Zahl mit ζ d = 1). Daher sind  n X − 1 und d|n Φd normierte Polynome in C[X], die die gleichen Nullstellen haben. Hieraus folgt die Aussage. ⊓ ⊔ Bemerkung: Ein Vergleich der Grade gibt uns einen neuen Beweis der Formel  d|n ϕ(d) = n (siehe Satz 1.3.17).

Satz 5.4.7. Die Kreisteilungspolynome haben ganzzahlige Koeffizienten, d.h. f¨ ur jedes n ∈ IN gilt Φn ∈ ZZ[X].

Beweis. Wir beweisen die Aussage per Induktion u ¨ber n. Es gilt Φ1 = X − 1, was den Induktionsanfang liefert. Sei nun n > 1 und Φm ∈ ZZ[X] f¨ ur jedes m < n. Wir betrachten die Gleichung  X n − 1 = Φn · Φd . d|n d 1 inseparabel (d.h. nicht separabel). 3. Ist p eine Primzahl, so ist das Polynom X p − 1 separabel, aber inseparabel modulo p, da (X p − 1)′ = pX p−1 modulo p gleich dem Nullpolynom ist. Lemma 5.4.10. Ein Polynom f
= 0 in Q[X] ist genau dann separabel, wenn in seiner normierten Primzerlegung f = aP1 · · · Pr ,

a ∈ Q× ,

kein Faktor zweimal auftaucht. Ein Polynom f ∈ ZZ[X] ist genau dann separabel modulo p, wenn nicht alle Koeffizienten durch p teilbar sind und in der normierten Primzerlegung in ZZ/pZZ[X] f¯ = bP1 · · · Ps , b ∈ (ZZ/pZZ)× , kein Faktor zweimal auftaucht.

Beweis. Aus der Produktregel folgt f ′ = aP1′ P2 · · · Pr + aP1 P2′ P3 · · · Pr + · · · + aP1 · · · Pr−1 Pr′ .

Taucht ein Faktor Pi doppelt auf, so teilt er auch f ′ , also (f, f ′ )
= 1, und f ist inseparabel. Nehmen wir an, dass die Pi paarweise verschieden sind. Wegen grad(Pi′ ) < grad(Pi ) ist Pi′ und damit auch P1 · · · Pi−1 Pi′ Pi+1 · · · Pr nicht durch Pi teilbar. Die anderen Summanden sind durch Pi teilbar, also ist f ′ prim zu Pi f¨ ur i = 1, . . . , r und folglich (f, f ′ ) = 1. Die Aussage u ¨ ber die Separabilit¨ at modulo p folgt vollkommen analog. ⊓ ⊔ Lemma 5.4.11. Das Polynom X n − 1 ist separabel und es ist genau dann separabel modulo p, wenn (p, n) = 1 ist. Beweis. F¨ ur das Polynom f = X n − 1 gilt f ′ = nX n−1 , und die Gleichung n (−1)(X − 1) + ( n1 X)nX n−1 = 1 zeigt, dass f separabel ist. Gilt (p, n) = 1, so existiert n1 ∈ ZZ/pZZ, und mit dem gleichen Argument sehen wir, dass X n − 1 separabel modulo p ist. Im Fall p | n ist f ′ ≡ 0 mod p und daher X n − 1 inseparabel modulo p. ⊓ ⊔ F¨ ur eine Primzahl p sind die Binomialkoeffizienten   p , i = 1, . . . , p − 1, i durch p teilbar. Außerdem gilt nach dem Kleinen Fermatschen Satz: ap ≡ a mod p f¨ ur jedes ganze a. Zusammenfassend erhalten wir f¨ ur ein Polynom g = an X n + · · · + a0 die Kongruenz

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Kapitel 5. Algebraische Zahlen

g(X)p ≡ apn X pn + apn−1 X p(n−1) + · · · + ap0 ≡ an (X p )n + an−1 (X p )n−1 + · · · + a0 ≡ g(X p ) mod p.

Jetzt haben wir alles zum Beweis des folgenden Theorems vorbereitet. Theorem 5.4.12. Die Kreisteilungspolynome sind als Elemente von Q[X] irreduzibel. Somit ist Φn das Minimalpolynom jeder primitiven n-ten Einheitswurzel. Beweis. Sei Φn = f g eine Zerlegung in normierte Polynome, und sei ζn eine Nullstelle von (o.B.d.A.) f . Wir nutzen die folgende Aussage: Behauptung: Ist eine primitive n-te Einheitswurzel ζ Nullstelle von f , so ist f¨ ur jede Primzahl p ∤ n auch ζ p Nullstelle von f . ur jedes k ∈ IN, (k, n) = 1, auch Aus der Behauptung folgt, dass mit ζn f¨ ζnk Nullstelle von f ist, d.h. jede primitive n-te Einheitswurzel ist Nullstelle von f . Aus Gradgr¨ unden gilt dann f = Φn . Es bleibt die Behauptung zu zeigen. Ist ζ p keine Nullstelle von f , so gilt g(ζ p ) = 0. Folglich ist ζ eine Nullstelle modulo p von g(X)p ≡ g(X p ) und damit auch eine Nullstelle modulo p von g. Das heißt, f und g haben eine gemeinsame Nullstelle modulo p. Wegen der linearen Kombinierbarkeit des gr¨ oßten gemeinsamen Teilers kann (f¯, g¯) ∈ ZZ/pZZ[X] nicht 1 sein. Deshalb haben f¯ und g¯ einen gemeinsamen Primfaktor und nach Lemma 5.4.10 ist Φn = f g nicht separabel modulo p. Wegen Φn |(X n − 1) ist dann auch X n − 1 inseparabel modulo p. Nach Lemma 5.4.11 folgt p|n, und wir erhalten einen Widerspruch. ⊓ ⊔ Korollar 5.4.13. Ist eine primitive n-te Einheitswurzel Nullstelle eines Polynoms mit rationalen Koeffizienten vom Grad kleiner oder gleich 2, so gilt n ∈ {1, 2, 3, 4, 6}. Umgekehrt ist f¨ ur diese Werte von n jede primitive n-te Einheitswurzel Nullstelle eines Polynoms mit rationalen Koeffizienten vom Grad kleiner oder gleich 2. Beweis. Sei f (ζ) = 0. Da Φn das Minimalpolynom von ζ ist, gilt Φn |f . Insbesondere ist ϕ(n) = grad(Φn ) ≤ grad(f ) ≤ 2. Hieraus folgt n ∈ {1, 2, 3, 4, 6}. Andererseits gilt grad(Φn ) ≤ 2 f¨ ur n ∈ {1, 2, 3, 4, 6}. ⊓ ⊔ Aufgabe 1. Ist p > 3 eine Primzahl, so ist Φ3 genau dann irreduzibel modulo p, wenn p primitive Wurzel modulo 3 ist. Aufgabe 2. Φ12 ist modulo jeder Primzahl reduzibel.

5.5 Primzahlen mit vorgegebener Restklasse III

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5.5 Primzahlen mit vorgegebener Restklasse III Mit Hilfe der Kreisteilungspolynome zeigen wir nun das folgende Theorem 5.5.1. Zu jedem n > 1 gibt es unendlich viele Primzahlen p mit p ≡ 1 mod n. Wir beginnen mit einem Lemma. Lemma 5.5.2. Sei a ∈ ZZ und p eine Primzahl. Ist n ∈ IN nicht durch p teilbar, so sind die folgenden Aussagen ¨aquivalent: (i) Φn (a) ≡ 0 mod p. (ii) n ist die Ordnung von a modulo p. Beweis. Angenommen a ist Nullstelle von Φn modulo p. Wegen  Φd Xn − 1 = d|n

n

gilt a ¯ = 1 ∈ ZZ/pZZ. Nach Satz 1.7.2 erhalten wir ord (¯ a)|n. W¨are k = ord (¯ a) echt kleiner als n, so folgt aus  Φd , Xk − 1 = d|k

dass a Nullstelle modulo p eines weiteren Kreisteilungspolynoms Φd0 mit d0 |n, d0
= n ist. Sei g ∈ ZZ/pZZ[X] der gr¨ oßte gemeinsame Teiler von Φd0 und Φn als Polynome in ZZ/pZZ[X] aufgefasst (als solche sind sie nicht notwendig irreduzibel). Wegen der linearen Kombinierbarkeit des gr¨oßten gemeinsamen Teilers ist a ¯ dann auch eine Nullstelle von g, weshalb g nicht konstant ist. Daher taucht in der Primpolynomzerlegung modulo p von X n − 1 mindestens ein Faktor doppelt auf, und nach Lemma 5.4.10 ist X n − 1 modulo p inseparabel. Dies widerspricht dem Ergebnis von Lemma 5.4.11. Also ist n = ord (¯ a). Ist nun umgekehrt n = ord (¯ a), so gilt a ¯n − 1 = 0 ∈ ZZ/pZZ und a ist Nullstelle von Φd modulo p f¨ ur ein d|n. W¨ are Φd (¯ a) = 0 f¨ ur ein d|n, d < n, so w¨ are schon a ¯d − 1 = 0 im Widerspruch zu Minimalit¨at von n. Also gilt a) = 0. ⊓ ⊔ Φn (¯ Korollar 5.5.3. Ist n nicht durch p teilbar, so sind die folgenden Aussagen ¨aquivalent. (i) Φn (a) ≡ 0 mod p f¨ ur ein a ∈ ZZ. (ii) p ≡ 1 mod n. Beweis. Ist a Nullstelle von Φn modulo p, so ist nach Lemma 5.5.2 die Ordnung von a ¯ gleich n, und insbesondere folgt aus Satz 1.7.2, dass n|(p − 1). Ist umgekehrt p ≡ 1 mod n, so gibt es wegen der Existenz einer primitiven Wurzel modulo p ein Element a ¯ der Ordnung n in (ZZ/pZZ)× . Nach Lemma 5.5.2 a) = 0. ⊓ ⊔ gilt Φn (¯

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Kapitel 5. Algebraische Zahlen

Beweis von Theorem 5.5.1. Angenommen es g¨ abe nur endlich viele Primzahlen kongruent 1 modulo n und sei P ihr Produkt. Sei r eine beliebige nat¨ urliche Zahl. Behauptung: Die Zahl Φn (nrP ) hat nur Primteiler kongruent 1 modulo n. Sei p ein solcher Primteiler. Dann ist nrP eine Nullstelle von Φn modulo p. Ist p
≡ 1 mod n, so folgt aus Korollar 5.5.3, dass p|n. Der konstante Term des  Polynoms Φn ist gleich (−ζ) ζ n =1 ζ primitiv

und daher eine Einheitswurzel. Der konstante Term liegt aber auch in ZZ und ist daher gleich ±1. Aus p|n folgt somit Φn (nrP ) ≡ ±1 mod p, was einen Widerspruch darstellt. Dies zeigt die Behauptung. Jetzt setzen wir auf die bereits u ¨bliche Weise fort. Da Φn ein normiertes Polynom ist, gilt Φn (rnP ) → ∞ f¨ ur r → ∞. Insbesondere ist Φn (rnP ) > 1 f¨ ur hinreichend großes r. Ist nun p eine Primzahl, die Φn (nrP ) teilt, so ist p ≡ 1 mod n, also p|P . Folglich teilt p auch den konstanten Koeffizienten von Φn . Da wir diesen schon als ±1 erkannt haben, erhalten wir einen Widerspruch. ⊓ ⊔

Kapitel 6 Quadratische Zahlk¨ orper

Viele zahlentheoretische Probleme lassen sich besser verstehen, wenn man den gegebenen Zahlbereich (¨ ublicherweise ZZ bzw. Q) geeignet erweitert, z.B. durch die Hinzunahme von Einheitswurzeln oder anderen algebraischen Zahlen. Es bietet sich daher an, gleich im Ring O der ganz-algebraischen Zahlen zu arbeiten. Das hieße jedoch, u ¨ ber das Ziel hinauszuschießen. O selbst ist viel zu groß. Jede Erweiterung des Zahlbereichs geht n¨amlich auch immer mit Informationsverlust einher. Daher m¨ ochte man nur so viel hinzunehmen, wie f¨ ur ein gegebenes Problem sinnvoll ist, u ¨ blicherweise endlich viele (ganz-) ¯ der endlich viele algebraische Zahlen. Sei K der kleinste Teilk¨orper von Q, alt. Man schreibt dann gegebene algebraische Zahlen α1 , . . . , αr enth¨ K = Q(α1 , . . . , αr ). Der K¨ orper K hat endlichen Grad u ¨ ber Q, d.h. K ist als Q-Vektorraum endlichdimensional. K¨ orper von endlichem Grad u orper. Ist ¨ber Q heißen Zahlk¨ K ein Zahlk¨ orper, so nennt man OK = K ∩ O

den Ring der ganzen Zahlen oder auch den Ganzheitsring von K. Er besteht aus allen Elementen von K, die ganz-algebraische Zahlen sind. Die Untersuchung der Ganzheitsringe von Zahlk¨ orpern ist ein zentrales Thema der algebraischen Zahlentheorie. Quadratische Zahlk¨ orper sind, nach Q selbst, die einfachsten Zahlk¨orper. Sie entstehen aus den rationalen Zahlen durch Hinzunahme einer Quadratwurzel. Alle grunds¨ atzlichen Ph¨ anomene, denen man beim Studium von Zahlk¨ orpern begegnet, tauchen schon bei quadratischen Zahlk¨orpern auf. In diesem Kapitel werden wir sie gr¨ undlich studieren. Am Ende jedes Abschnitts erl¨ autern wir, ohne Beweise zu geben, wie sich die Ergebnisse auf allgemeine Zahlk¨ orper ausdehnen.

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Kapitel 6. Quadratische Zahlk¨ orper

6.1 Quadratische Zahlk¨ orper Sei d ∈ ZZ im Folgenden quadratfrei √ und von 0 und 1 verschieden, insbesondere urlich, aber√fest ist d kein Quadrat in Q. Mit d bezeichnen wir eine (willk¨ gew¨ ahlte) komplexe L¨ osung der Gleichung X 2 = d (die andere ist dann − d). Wir betrachten die folgende Teilmenge der komplexen Zahlen √ √ Q( d) = {z ∈ C | z = x + y d, x, y ∈ Q}. √ √ √ ′ Ist x + y d = x′ + y ′ d, so folgt wegen der Irrationalit¨at von d, dass √ x=x, ′ y = y . Also ist die Darstellung eindeutig. Mit anderen Worten, Q( d) ist√ein √ zweidimensionaler Q-Vektorraum mit Basis (1, d). Offensichtlich√ist Q( d) abgeschlossen unter Addition und Multiplikation. Ist√ z = x +√y d
= 0, so √ gilt auch x − y d
= 0 und daher x2 − dy 2 = (x + y d)(x − y d)
= 0. Wir erhalten √ √ √ 1 x−y d x y 1 √ = 2 = 2 − 2 = d ∈ Q( d). 2 2 2 z x − dy x − dy x − dy x+y d √ Folglich ist Q( d) mit den von C geerbten algebraischen Operationen ein √ K¨ orper. Auch u ¨ berlegt man sich leicht, dass jedes Element von Q( d) Nullstelle eines Polynoms von √ Grad ≤ 2 mit rationalen Koeffizienten ist. Daher ist jedes Element von Q( d) algebraisch. Wir haben einen Turm von K¨orpern √ ¯  C. Q  Q( d)  Q √ Offensichtlich erhalten wir den gleichen K¨ orper Q( d), wenn wir am Anfang die√andere komplexe L¨ osung der Gleichung X 2 = d ausw¨ahlen, d.h. der K¨orper Q( d) ist unabh¨ angig von der getroffenen Auswahl. √ Definition 6.1.1. Ein K¨orper der Form √ Q( d) heißt quadratischer Zahlk¨ orper. Ist d > 0, so nennt man Q( d) reell-quadratisch, im Fall d < 0 imagin¨ ar-quadratisch. √ Von nun an sei d fixiert und K = Q( d). √ √ Definition 6.1.2. F¨ ur z = x + y d ∈ K heißt σ(z) = x − y d das konjugierte Element zu z. Im Fall d < 0 gilt σ(z) = z¯ (komplexe Konjugation). Man verifiziert leicht die folgenden Eigenschaften: Lemma 6.1.3. F¨ ur z, z ′ ∈ K gilt (i) σ(z + z ′ ) = σ(z) + σ(z ′ ). (ii) σ(zz ′ ) = σ(z)σ(z ′ ). (iii) σ(σ(z)) = z. (iv) z ∈ Q ⇐⇒ z = σ(z).

6.1 Quadratische Zahlk¨ orper

ist.

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Die Rolle von ZZ in Q u ¨ bernimmt in K der Ring OK , der wie folgt definiert

Definition 6.1.4. Der Ring der ganzen Zahlen OK von K ist die Menge aller Elemente von K, die ganz-algebraisch sind. Nach Korollar 5.3.7 ist OK ein Ring. Nach Satz 5.3.4 gilt

OK ∩ Q = ZZ. √ Elemente der Form a + b d, a, b ∈ ZZ, sind stets ganz. Daher haben wir eine √ Inklusion von Ringen ZZ[ d] ⊆ OQ(√d) . Beide Ringe m¨ ussen aber nicht notwendig u ¨bereinstimmen. So gilt zum Bei√ spiel −1 + −3 ∈ OQ(√−3) , ζ3 = 2 √ aber ζ3 ∈ / ZZ[ −3].

Wir werden jetzt den Ring OK genau bestimmen. Hierzu f¨ uhren wir Norm und Spur eines Elements aus K ein. Definition 6.1.5. N (z) = σ(z)z heißt die Norm von z und Sp(z) = σ(z) + z heißt die Spur von z. Lemma 6.1.6. Norm und Spur eines Elementes aus K liegen in Q. Beweis. Nach Lemma 6.1.3 (i) und (ii) gilt σ(N (z)) = σ(σ(z)z) = zσ(z) = N (z) und σ(Sp(z)) = σ(σ(z) + z) = z + σ(z) = Sp(z). Die Behauptung folgt daher aus Lemma 6.1.3 (iv). ⊓ ⊔ Lemma 6.1.7. Ein z ∈ K liegt genau dann in OK , wenn Spur und Norm in ZZ liegen. Beweis. Sei z ∈ OK . Dann ist z Nullstelle eines normierten Polynoms f ∈ ZZ[X]. Nach Lemma 6.1.3 gilt f (σ(z)) = σ(f (z)) = σ(0) = 0. Folglich liegt mit z auch σ(z) in OK und daher N (z), Sp(z) ∈ OK ∩ Q = ZZ. Liegen f¨ ur z ∈ K Norm und Spur in ZZ, so ist z Nullstelle des Polynoms f (X) = (X − z)(X − σ(z)) = X 2 − Sp(z)X + N (z) ∈ ZZ[X],

und deshalb ganz-algebraisch.

⊓ ⊔

Satz 6.1.8. Ist d
≡ 1 mod 4, so sind die Elemente von OK genau die von der √ Form a + b d, a, b ∈ ZZ. Ist d ≡ 1 mod 4, so sind die Elemente von OK genau die von der Form √ a+b d , a, b ∈ ZZ, a ≡ b mod 2. 2

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Kapitel 6. Quadratische Zahlk¨ orper

√ Beweis. Sei z = a + b d mit a, b ∈ Q. Dann gilt nach Lemma 6.1.7 z ∈ OK ⇐⇒ N (z), Sp(z) ∈ ZZ ⇐⇒ a2 − db2 , 2a ∈ ZZ.

F¨ ur beliebiges d und a, b ∈ ZZ ist die letzte Bedingung offensichtlich erf¨ ullt. Ist d ≡ 1 mod 4 und a = 21 A, b = 12 B mit A, B ∈ ZZ, A ≡ B mod 2, so ist a2 − db2 = 41 (A2 − dB 2 ) ∈ ZZ und 2a = A ∈ ZZ. Die angegebenen Elemente sind daher ganz. Es bleibt zu zeigen, dass dies alle sind. Wegen 2a ∈ ZZ ist 4db2 = (2a)2 − 4(a2 − db2 ) ∈ ZZ. Da d quadratfrei ist, folgt 2b ∈ ZZ. Daher gibt ur es A, B ∈ ZZ mit 2a = A, 2b = B. Aus a2 − db2 ∈ ZZ folgt 4|A2 − dB 2 . F¨ d
≡ 1 mod 4 ist dies nur f¨ ur gerades A und B m¨oglich, d.h. in diesem Fall gilt a, b ∈ ZZ. Im Fall d ≡ 1 mod 4 ist die Bedingung ¨aquivalent zu A ≡ B mod 2. ⊓ ⊔ Definition 6.1.9. Ein n-Tupel (a1 , . . . , an ) von Elementen eines Ringes A heißt Ganzheitsbasis von A, wenn jedes Element a ∈ A eine eindeutige Darstellung der Form a = α1 a1 + · · · + αn an

mit α1 , . . . , αn ∈ ZZ besitzt.

Nat¨ urlich braucht ein Ring keine Ganzheitsbasis zu besitzen, und wenn eine √ Ganzheitsbasis existiert, ist sie nicht eindeutig bestimmt. Sei nun K = Q( d) ein quadratischer Zahlk¨ orper und √  d,√ wenn d
≡ 1 mod 4, ω= 1 d), wenn d ≡ 1 mod 4. (1 + 2 Aus Satz 6.1.8 folgt sofort der

√ Satz 6.1.10. Ist K = Q( d) ein quadratischer Zahlk¨orper, so ist (1, ω) eine Ganzheitsbasis des Ringes OK . Der Fall allgemeiner Zahlk¨ orper: Sei K ein Zahlk¨ orper und OK der Ring der ganzen Zahlen. Ist n der Grad von Q (d.h. n = dimQ K), so hat OK eine Ganzheitsbasis der L¨ange n, die Ku ber ¨ im Allgemeinen jedoch schwer zu bestimmen ist. Spur und Norm k¨onnen auch ur Elemente f¨ ur Elemente aus K definiert werden und liegen in Q (bzw. in ZZ f¨ aus OK ). Allerdings kann im allgemeinen Fall aus der Ganzzahligkeit von Spur und Norm noch nicht auf die Ganzzahligkeit des Elementes geschlossen werden.

6.2 Rechnen mit Idealen

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Ein Automorphismus eines K¨ orpers K ist eine bijektive Abbildung τ : K → K, die mit Addition und Multiplikation vertr¨ aglich ist. Aufgabe 1. Sei τ : K → K ein K¨ orperautomorphismus. Man zeige: (i) τ (0) = 0, τ (1) = 1, (ii) τ (−a) = −τ (a), ur a = 0. (iii) τ (a−1 ) = τ (a)−1 f¨ √ orper. Man zeige,√dass es genau Aufgabe 2. Sei K = Q( d) ein quadratischer Zahlk¨ √ zwei K¨ orperautomorphismen von K amlich idK : K → K, a+b d → a+b d, √ √ gibt, n¨ und σ : K → K, a + b d → a − b d. √ Aufgabe 3. Sei K = Q( d) ein quadratischer Zahlk¨ orper. Eine Ganzheitsbasis der Form (z, σ(z)) heißt Normalbasis. Man zeige: OK hat genau dann eine Normalbasis, wenn d ≡ 1 mod 4 gilt.

6.2 Rechnen mit Idealen Wir wollen nun√Elemente von OK in ihre Primfaktoren zerlegen. Wir haben am Beispiel Q( −5) aber schon gesehen, dass es keine eindeutige Zerlegung geben muss. Einen Ausweg aus diesem Problem bietet die folgende Idee, die auf Kummer zur¨ uckgeht, und die besagt, dass es einen gr¨oßeren Bereich idea” ler Zahlen“ gibt, in den sich OK abbildet und in dem die Eindeutigkeit der Primzerlegung wieder richtig ist. Im Beispiel √ √ √ 6 = 2 · 3 = (1 + −5)(1 + −5) in Q( −5) wird die Eindeutigkeit der Primzerlegung auf die folgende Weise wieder hergestellt. Es gibt ideale Primzahlen“ p, q1 , q2 , so dass die folgenden Gleichungen ” gelten: 2 = p2 , 3 = q1 q2 , √ √ (1 + −5) = pq1 , (1 − −5) = pq2 . Es ist dann

6 = p2 q1 q2 = (pq1 )(pq2 )

die eindeutige Zerlegung der Zahl 6 in ideale Primzahlen“. Was sind nun ” aber diese idealen Zahlen“? Sie sind jedenfalls nicht Elemente eines gr¨oßeren ” unglichen Form waren ideaRinges, in dem OK enthalten ist. In ihrer urspr¨ le Zahlen Elemente in einer abelschen Gruppe, deren Definition jedoch von gewissen Auswahlen abhing. Heutzutage erkl¨ art man sich die idealen Zahlen eleganter und konzeptioneller mit Hilfe der von Dedekind eingef¨ uhrten Ideale. Sei im Folgenden K entweder ein quadratischer Zahlk¨orper oder gleich Q (OQ = ZZ).

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Kapitel 6. Quadratische Zahlk¨ orper

Definition 6.2.1. Eine nichtleere Teilmenge a von OK heißt Ideal, wenn die folgenden Bedingungen erf¨ ullt sind: (i) mit a, b ∈ a ist auch a + b ∈ a. (ii) f¨ ur α ∈ OK und a ∈ a ist auch αa ∈ a. Aus (ii) folgt, dass das Element 0 in jedem Ideal enthalten ist. Offensichtliche Beispiele von Idealen sind das Nullideal (0), das nur aus dem Element 0 besteht, und der Ring OK selbst. Dies sind Beispiele des allgemeineren Konzepts eines Hauptideals. Definition 6.2.2. F¨ ur ein Element a ∈ OK ist die Menge aOK = {aα | α ∈ OK }

ein Ideal. Es heißt das von a erzeugte Hauptideal und wird mit (a) bezeichnet. Ein Ideal a ⊂ OK heißt Hauptideal, wenn es ein a ∈ OK mit a = (a) gibt. Das Nullideal ist ein Hauptideal und der ganze Ring OK = (1) ist auch ein Hauptideal. Das erzeugende Element eines Hauptideals ist nicht eindeutig bestimmt, aber es gilt Lemma 6.2.3. Die von Elementen a, b ∈ OK erzeugten Hauptideale (a) und (b) sind genau dann gleich, wenn a und b assoziiert sind, d.h. (a) = (b) ⇐⇒ a = ˆ b. Beweis. Aus a ∈ (b) folgt, dass ein α ∈ OK mit a = αb existiert. Also gilt b|a. Analog schließt man a|b, also a = ˆ b. Die R¨ uckrichtung ist offensichtlich. ⊓ ⊔ Lemma 6.2.4. Ist a ein Ideal und a ∈ a, so gilt (a) ⊂ a. Beweis. Nach Bedingung (ii) von Definition 6.2.1 liegen mit a auch alle Ele⊓ ⊔ mente aα, α ∈ OK , in a. Um mit dem Begriff des Ideals etwas vertrauter zu werden, schauen wir uns den Fall K = Q genauer an. Satz 6.2.5. In ZZ ist jedes Ideal ein Hauptideal. Genauer: Jedes Ideal a in ZZ hat eine eindeutige Darstellung der Form a = (m), m ∈ ZZ, m ≥ 0. Beweis. Ideale sind insbesondere Untergruppen. Nach Lemma 5.2.3 sind die Untergruppen von ZZ s¨ amtlich von der Form mZZ, m ∈ ZZ, m ≥ 0. Diese Untergruppen sind bereits Ideale, und zwar Hauptideale. ⊓ ⊔ Wir f¨ uhren die folgenden Operationen auf der Menge der Ideale in OK ein.

6.2 Rechnen mit Idealen

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Definition 6.2.6. Seien a, b ⊂ OK Ideale. Ihre Summe und ihr Produkt sind in folgender Weise definiert:
a + b = {a + b | a ∈ a, b ∈ b}, ab = { ai bi | ai ∈ a, bi ∈ b}. endl.

Man verifiziert leicht, dass a+b und ab wieder Ideale sind. Die Notwendigkeit, bei der Definition des Produktes beliebige endliche Summen zuzulassen, ergibt sich daraus, dass die Menge der Produkte ab, a ∈ a, b ∈ b, im Allgemeinen kein Ideal ist. Die Summe von Hauptidealen (a1 ) + · · · + (an ) wird typischerweise mit (a1 , . . . , an ) bezeichnet. Schauen wir uns am Beispiel K = Q an, was die gegebenen Definitionen bedeuten. Satz 6.2.7. F¨ ur nat¨ urliche Zahlen n, m gelten die folgenden Identit¨aten von Idealen in ZZ: (n)(m) = (nm),

(n) + (m) = (ggT (n, m)).

Beweis. Die Aussage u ¨ber das Produkt und die Inklusion (n) + (m) ⊂ (ggT (n, m)) sind offensichtlich. Die verbleibende Inklusion folgt aus der linearen Kombinierbarkeit des gr¨ oßten gemeinsamen Teilers (Satz 1.1.4). Es existieren n¨ amlich x, y ∈ ZZ mit d = ggT (n, m) = xn+ym. Daher ist d ∈ (n)+(m), also (d) ⊂ (n) + (m). ⊓ ⊔ Wir sehen, dass die Multiplikation von Idealen genau der Multiplikation von Zahlen entspricht, die Addition von Idealen aber nichts mit der Addition von Zahlen zu tun hat, sondern der Bildung des gr¨oßten gemeinsamen Teilers entspricht. Lemma 6.2.8. Sei a ⊂ OK ein Ideal. Dann ist a eine endlich erzeugte abelsche Gruppe. Jedes Ideal ist Summe endlich vieler Hauptideale. Beweis. Ein Ideal ist insbesondere eine Untergruppe von (OK , +). Nach Satz 6.1.10 ist OK eine endlich erzeugte abelsche Gruppe. Nach Satz 5.2.4 ist daher auch jedes Ideal endlich erzeugt. Ist das Ideal a durch seine Elemente a1 , . . . , ar als abelsche Gruppe erzeugt, so gilt insbesondere a = (a1 , . . . , ar ) = (a1 ) + · · · + (ar ). ⊓ ⊔ Definition 6.2.9. Man sagt, dass OK ein Hauptidealring ist, wenn jedes Ideal in OK ein Hauptideal ist. Satz 6.2.10. Ist OK euklidisch, so ist OK ein Hauptidealring. Beweis. Nach Lemma 6.2.8 ist jedes Ideal endlich erzeugt. Daher gen¨ ugt es (Induktion u ur beliebige a, b ∈ ¨ ber die Anzahl der Erzeuger) zu zeigen, dass f¨ OK das Ideal (a, b) = (a) + (b) ein Hauptideal ist. Da OK euklidisch ist, existiert ein gr¨ oßter gemeinsamer Teiler d ∈ OK von a und b und es existieren

88

Kapitel 6. Quadratische Zahlk¨ orper

r, s ∈ OK mit d = ra + sb. Wegen d|a und d|b gilt (d) ⊂ (a, b). Wegen der linearen Kombinierbarkeit von d gilt aber auch (d) ⊃ (a, b). Daher ist (a, b) = (d) ein Hauptideal. ⊓ ⊔ Bemerkung: Der Ring OK ist nicht immer ein Hauptidealring. Es kann auch vorkommen, dass OK ein Hauptidealring, aber nicht euklidisch ist (siehe Abschnitt 6.10). Analog wie mit Restklassen modulo einer Zahl kann man mit Restklassen modulo eines Ideals rechnen. Definition 6.2.11. Sei a ⊂ OK ein Ideal. Man sagt, dass zwei Elemente a, b ∈ OK kongruent modulo a (symbolisch: a ≡ b mod a) sind, wenn a − b ∈ a gilt. ¨ Man verifiziert leicht, dass dies eine Aquivalenzrelation ist. Im Fall K = Q gilt

a ≡ b mod m ⇐⇒ a ≡ b mod (m).

Aus der Definition eines Ideals folgen in einfacher Weise die folgenden Rechenregeln. Lemma 6.2.12. Gilt a ≡ b mod a und c ≡ d mod a, so gilt auch a + c ≡ b + d mod a und ac ≡ bd mod a. Also k¨ onnen Restklassen modulo a addiert und multipliziert werden. Wegen a − b = a + (−1)b existieren auch Differenzen. Man bezeichnet die Menge ur a = (1) = OK ist der Restklassen modulo a mit OK /a. Dies ist ein Ring. F¨ OK /a der Nullring. Definition 6.2.13. Man sagt, dass zwei Ideale a, b ⊂ OK teilerfremd oder auch relativ prim sind, wenn a + b = (1) = OK gilt. Nach Satz 6.2.7 sind zwei ganze Zahlen genau dann teilerfremd, wenn die von ihnen in ZZ erzeugten Hauptideale teilerfremd im Sinne der obigen Definition sind. Lemma 6.2.14. F¨ ur teilerfremde Ideale a, b ⊂ OK gilt ab = a ∩ b.  Beweis. Zun¨ achst ist jedes Element der Form ai bi , ai ∈ a, bi ∈ b, sowohl in a also auch in b enthalten. Daher gilt ab ⊂ a ∩ b. Wegen a + b = (1) existieren ein x ∈ a und ein y ∈ b mit x + y = 1. Ist nun a ∈ a ∩ b, so gilt a = ax + ay ∈ ab. ⊓ ⊔ Ganz analog zur Situation in ZZ gilt der Chinesische Restklassensatz.

6.2 Rechnen mit Idealen

89

Satz 6.2.15 (Chinesischer Restklassensatz). Seien r1 , . . . , rk ∈ OK und seien a1 , . . . , ak paarweise teilerfremde Ideale in OK . Dann hat das System von Kongruenzen x ≡ r1 mod a1 x ≡ r2 mod a2 .. .. . . mod ak

x ≡ rk

eine L¨osung x ∈ OK und x ist eindeutig bestimmt modulo a1 a2 · · · ak . Beweis. Der Beweis ist vollkommen analog zum Beweis des klassischen Chinesischen Restklassensatzes (Satz 1.3.5). Der K¨ urze halber beschr¨anken wir uns auf den Fall k = 2. Wegen a1 + a2 = (1) existieren a ∈ a1 und b ∈ a2 mit a + b = 1. F¨ ur das Element x = r2 a + r1 b gilt nun x ≡ r1 b mod a1 . Aber b = 1 − a ≡ 1 mod a1 , also x ≡ r1 mod a1 . Analog erh¨ alt man x ≡ r2 a ≡ r2 (1 − b) ≡ r2 mod a2 . Es bleibt die Eindeutigkeit zu zeigen. Erf¨ ullen x und x′ beide die geforderten Kongruenzen, so ist ⊓ ⊔ x − x′ ∈ a1 ∩ a2 . Nach Lemma 6.2.14 gilt daher x ≡ x′ mod a1 a2 . Zur sp¨ ateren Verwendung stellen wir noch das folgende Lemma bereit. Lemma 6.2.16. Jede aufsteigende Kette a1 ⊂ a2 ⊂ a3 ⊂ · · ·

⊂ OK

von Idealen in OK wird station¨ar, das heißt, es gibt eine nat¨ urliche Zahl N mit aN = aN +1 = aN +2 = · · · . Beweis. Wir setzen b :=

∞ 

an .

n=1

Die Menge b ist ein Ideal in OK . Nach Lemma 6.2.8 existieren b1 , . . . , br ∈ b mit b = (b1 , . . . , br ). F¨ ur hinreichend großes N ∈ IN gilt b1 , . . . , br ∈ aN , also ⊓ ⊔ b = aN = aN +1 = · · · . Der Fall allgemeiner Zahlk¨ orper: Alle Aussagen dieses Abschnitts u ¨ bertragen sich w¨ortlich auf den Fall eines allgemeinen Zahlk¨ orpers, siehe [Neu], Kap. I. Aufgabe 1. F¨ ur α, β ∈ OK zeige man (α)(β) = (αβ). Ist γ ein gr¨ oßter gemeinsamer Teiler von α und β, so gilt (α) + (β) ⊂ (γ).

90

Kapitel 6. Quadratische Zahlk¨ orper

Aufgabe 2. Man zeige, dass mit a, b ⊂ OK auch a ∩ b ein Ideal ist. Im Fall K = Q, ur nat¨ urliche Zahlen n, m ∈ IN die Gleichung OK = ZZ, zeige man f¨ (n) ∩ (m) = (kgV(n, m)),

wobei kgV(n, m) das kleinste gemeinsame Vielfache von n und m bezeichnet. Aufgabe 3. Man zeige: a(b + c) = ab + ac. Aufgabe 4. Man zeige in Verallgemeinerung von Lemma 6.2.14 (a + b)(a ∩ b) ⊂ ab ⊂ a ∩ b.

6.3 Primideale Sei im Folgenden K entweder ein quadratischer Zahlk¨orper oder gleich Q (OQ = ZZ). Ist K = Q und p ∈ ZZ eine Primzahl, so folgt f¨ ur a, b ∈ ZZ aus ab ∈ (p), dass a ∈ (p) oder b ∈ (p) ist. Das motiviert die folgende Definition 6.3.1. Ein Ideal p  OK heißt Primideal, wenn aus ab ∈ p stets a ∈ p oder b ∈ p folgt. Den Fall p = OK haben wir ausgeschlossen, nicht aber den Fall p = (0). In der Tat ist, wegen der Nullteilerfreiheit von OK , das Nullideal stets ein Primideal. Das ist in unserem Kontext etwas st¨orend, aber in allgemeineren Zusammenh¨ angen ist es unabdinglich, das Nullideal eines nullteilerfreien Ringes als Primideal zu betrachten. Daher machen wir das hier auch so. Lemma 6.3.2. Sei 0
= π ∈ OK . Dann ist das Hauptideal (π) genau dann ein Primideal, wenn π ein Primelement ist. Beweis. Es gilt a ∈ (π) dann und nur dann, wenn π|a. Daher folgt die Aussage direkt aus den Definitionen von Primideal und Primelement. ⊓ ⊔ Im Hauptidealring ZZ = OQ ist daher jedes von (0) verschiedene Primideal von der Form pZZ mit einer Primzahl p. Lemma 6.3.3. Es sei (0)
= p ⊂ OK ein Primideal. Dann gilt f¨ ur eine Primzahl p.

p ∩ ZZ = pZZ

√ Beweis. Im Fall K = Q ist die Aussage trivial, also sei K = Q( d). Zun¨achst liest man direkt aus den entsprechenden Definitionen ab, dass p ∩ ZZ ein Primideal in ZZ ist. Es verbleibt zu zeigen, dass p ∩ ZZ nicht das Nullideal ist. Dazu gen¨ ugt es, ein Element
= 0 in p ∩ ZZ zu finden. Sei x ∈ p, x
= 0. Dann ist N (x) = xσ(x) von Null verschieden und in p ∩ ZZ enthalten. ⊓ ⊔

6.3 Primideale

91

Definition 6.3.4. Ein Ideal m  OK heißt Maximalideal, wenn es kein Ideal a mit m  a  OK gibt. Lemma 6.3.5. Jedes Ideal a  OK ist in einem Maximalideal enthalten. Beweis. Ist a maximal, so ist nichts zu zeigen. Anderenfalls gibt es ein Ideal a2 mit a = a1  a2  OK . Ist a2 maximal, so sind wir fertig. Ansonsten machen wir weiter und erhalten eine Kette von Idealen a1  a2  · · ·

 OK .

Nach Lemma 6.2.16 muss dieser Prozess abbrechen.

⊓ ⊔

Satz 6.3.6. Jedes Maximalideal ist ein Primideal. / m, so ist Beweis. Sei m ein Maximalideal und a, b ∈ OK mit ab ∈ m. Ist a ∈ das Ideal m + (a) echt gr¨ oßer als m. Wegen der Maximalit¨at von m gilt m + (a) = (1). Daher existieren ein m ∈ m und ein α ∈ OK mit m + αa = 1. Dann gilt b = 1 · b = mb + αab ∈ m.

⊓ ⊔

Korollar 6.3.7. Jedes Ideal a  OK ist in einem Primideal enthalten. Beweis. Jedes Ideal ist in einem Maximalideal enthalten, und Maximalideale sind Primideale. ⊓ ⊔ Die Umkehrung von Satz 6.3.6 gilt fast, wie der n¨achste Satz zeigt. Satz 6.3.8. Jedes von (0) verschiedene Primideal von OK ist maximal. Beweis. Sei zun¨ achst K = Q, OK = ZZ. Die von (0) verschiedenen Primideale in ZZ sind genau die von der Form (p) mit einer Primzahl (p). Nach Lemma 6.3.5 ist (p) in einem Maximalideal m enthalten. Da jedes Maximalideal ein Primideal ist, gilt m = (q) f¨ ur eine Primzahl q. Aus p ∈ m folgt q | p, also p = q, (p) = m. Daher ist (p) ein Maximalideal. √ Sei nun K = Q( d) ein quadratischer Zahlk¨orper und sei p ein von (0) verschiedenes Primideal in OK . Nach Lemma 6.3.3 gilt p ∩ ZZ = pZZ

f¨ ur eine Primzahl p. Angenommen p sei nicht maximal. Dann existiert ein Maximalideal m mit p  m. Wir haben die Inklusionen pZZ = p ∩ ZZ ⊂ m ∩ ZZ  ZZ. Wegen der Maximalit¨ at von pZZ folgt m ∩ ZZ = pZZ. Nun sei α ∈ m  p. Dann liegt α nicht in ZZ. Die Norm von α liegt in m ∩ ZZ = p ∩ ZZ. Die Identit¨at α2 − Sp(α)α + N (α) = 0

zeigt dann α(α − Sp(α)) ∈ p. Wegen α ∈ / p folgt α − Sp(α) ∈ p. Wegen α ∈ m folgt Sp(α) ∈ m ∩ ZZ = p ∩ ZZ. Damit erhalten wir α = Sp(α) + (α − Sp(α)) ∈ p

und somit einen Widerspruch.

⊓ ⊔

92

Kapitel 6. Quadratische Zahlk¨ orper

Lemma 6.3.9. Zu jedem von (0) verschiedenen Ideal a ⊂ OK gibt es von (0) verschiedene Primideale p1 , . . . , pn , so daß a deren Produkt umfasst, d.h. p1 · · · pn ⊂ a. Beweis. Sei a ein Ideal, f¨ ur das die Aussage des Lemmas falsch ist. Offenbar gilt weder a = OK , noch ist a ein Primideal. Daher gibt es Elemente b1 , b2 ∈ OK , die beide nicht in a enthalten sind, aber b1 b2 ∈ a. Wir betrachten die echt gr¨ oßeren Ideale a1 = a + (b1 ) und a2 = a + (b2 ). Es gilt a1 a2 = (a + (b1 ))(a + (b2 )) = a2 + a(b1 ) + a(b2 ) + (b1 b2 ) ⊂ a.

urde dies W¨ urde sowohl a1 als auch a2 ein Primidealprodukt enthalten, so w¨ ur a gelten. Wir finden daher ein echt gr¨oßeres auch f¨ ur a1 a2 und damit auch f¨ Ideal, f¨ ur das die Behauptung des Lemmas auch falsch ist. Wenn wir diesen Prozess iterieren, erhalten wir eine nicht station¨ar werdende aufsteigende Ket⊔ te von Idealen in OK . Dies widerspricht der Aussage von Lemma 6.2.16. ⊓ Lemma 6.3.10. Sei p ein Primideal und seien a1 , . . . , an Ideale mit a1 · · · an ⊂ p.

Dann gilt ai ⊂ p f¨ ur ein i.

Beweis. Anderenfalls k¨ onnten wir f¨ ur jedes i = 1, . . . , n ein ai ∈ ai  p w¨ahlen und es w¨ urde a1 · · · an ∈ p gelten. Aber p ist ein Primideal. ⊓ ⊔ Der Fall allgemeiner Zahlk¨ orper: Alle Aussagen dieses Abschnitts u ¨ bertragen sich w¨ortlich auf den Fall eines allgemeinen Zahlk¨ orpers.

6.4 Gebrochene Ideale Um das Theorem u ¨ ber die Primidealzerlegung zu beweisen, brauchen wir noch eine Technik, Ideale auch durch einander dividieren zu k¨onnen. Der Quotient ist nat¨ urlich nicht mehr notwendig ein Ideal, sondern ein gebrochenes Ideal“. ” Diese Erweiterung des Idealbegriffs ist n¨ otig, denn ein Ideal a  OK hat ur jedes Ideal bez¨ uglich Multiplikation niemals ein Inverses, da ab ⊂ a  OK f¨ b ⊂ OK gilt. Definition 6.4.1. Eine Teilmenge a ⊂ K heißt gebrochenes Ideal in K, wenn es ein α ∈ OK , α
= 0, gibt, so dass die Menge ein Ideal in OK ist.

αa = {αa | a ∈ a}

6.4 Gebrochene Ideale

93

Beispiel: F¨ ur eine nat¨ urliche Zahl n ist die Menge a aller rationalen Zahlen der Form a/n, a ∈ ZZ, ein gebrochenes Ideal in Q. In der Tat gilt na = ZZ. Insbesondere ist jedes Ideal in OK ein gebrochenes Ideal in K (setze α = 1). Der besseren Unterscheidung halber nennen wir Ideale in OK von jetzt ab ganze Ideale. Lemma 6.4.2. (i) Ist a ⊂ K ein gebrochenes Ideal, so existiert ein n ∈ IN, so dass na ein ganzes Ideal ist. (ii) Jedes gebrochene Ideal ist (bez¨ uglich Addition) eine endlich erzeugte abelsche Gruppe. Beweis. (i) Nach Definition existiert ein α ∈ OK , α
= 0, so dass αa ⊂ OK ein ganzes Ideal ist. Wegen σ(α) ∈ OK ist auch σ(α)αa ⊂ OK ein ganzes Ideal. Außerdem gilt 0
= ασ(α) = N (α) ∈ ZZ. Daher erf¨ ullt n = |N (α)| die gew¨ unschte Bedingung. (ii) Nach (i) existiert ein n ∈ IN mit na ⊂ OK . Nach Lemma 6.2.8 finden wir Elemente a1 , . . . , ar ∈ na, die das ganze Ideal na erzeugen. Die Elemente n−1 a1 , . . . , n−1 ar erzeugen dann a. ⊓ ⊔ Nach Lemma 5.3.5 existiert zu jedem x ∈ K ein n ∈ IN mit nx ∈ OK . Es ist (nx)OK ein ganzes Ideal und daher ist die Menge {xa | a ∈ OK } ⊂ K ein gebrochenes Ideal. Definition 6.4.3. F¨ ur ein x ∈ K heißt

xOK = {xa | a ∈ OK }

das von x erzeugte gebrochene Hauptideal.

Gebrochene Ideale werden nach exakt den gleichen Regeln addiert und multipliziert wie ganze Ideale, d.h.
ai bi | ai ∈ a, bi ∈ b}. a + b = {a + b | a ∈ a, b ∈ b}, ab = { endl.

Bez¨ uglich der Multiplikation ist das Ideal (1) = OK ein neutrales Element, d.h. es gilt (1)a = a f¨ ur jedes gebrochene Ideal a. F¨ ur Hauptideale verifiziert man einfach die Regel (xOK )(yOK ) = (xy)OK . −1

Wegen (xOK )(x OK ) = OK impliziert dies die Existenz eines Inversen f¨ ur von (0) verschiedene gebrochene Hauptideale. Dass auch f¨ ur beliebige von (0) verschiedene gebrochene Ideale ein Inverses existiert, ist der Inhalt des folgenden Theorems.

94

Kapitel 6. Quadratische Zahlk¨ orper

Theorem 6.4.4. Die Menge der von (0) verschiedenen gebrochenen Ideale bildet bez¨ uglich Multiplikation eine abelsche Gruppe. Das Inverse von a ist durch a−1 = {b ∈ K | ba ⊂ OK } gegeben.

Beweis. Sei a
= (0) ein gebrochenes Ideal in K. Wir betrachten die Menge a∗ = {b ∈ K | ba ⊂ OK } ⊂ K.

Schritt 1: a∗ ist ein gebrochenes Ideal
= (0). Beweis: Sei a ∈ a  {0}. Dann ist nach Definition die Menge aa∗ ein Ideal
= (0) in OK . Nach Lemma 5.3.5 existiert ein m ∈ IN mit ma ∈ OK . Da (ma)a∗ = m(aa∗ ) ein von (0) verschiedenes ganzes Ideal ist, ist a∗ ⊂ K ein gebrochenes Ideal
= (0). Schritt 2: Aus a ⊂ b folgt b∗ ⊂ a∗ . Beweis: Die Implikation kann direkt aus der Definition abgelesen werden.

Schritt 3: Aus a∗ ⊃ OK folgt a ⊂ OK . Beweis: Gilt a∗ ⊃ OK , so ist 1 ∈ a∗ und folglich a = 1 · a ⊂ OK . Schritt 4: F¨ ur ein von (0) verschiedenes Primideal p ⊂ OK gilt p∗  OK . Beweis: Sei a ∈ p, a
= 0. Nach Lemma 6.3.9 finden wir von (0) verschiedene Primideale p1 , . . . , pr mit p1 · · · pr ⊂ (a) ⊂ p. Ohne Einschr¨ankung k¨onnen wir annehmen, dass r minimal gew¨ ahlt ist. Nach Lemma 6.3.10 muss eines der Primideale (o.B.d.A. p1 ) in p enthalten sein. Nach Satz 6.3.8 gilt dann / aOK , also p1 = p. Wegen p2 · · · pr
⊂ (a) gibt es ein b ∈ p2 · · · pr mit b ∈ a−1 b ∈ / OK . Aber bp ⊂ aOK und daher a−1 b ∈ p∗ . Schritt 5: Aus a∗ = OK folgt a = OK . Beweis: Es sei a∗ = OK . Nach Schritt 3 gilt a ⊂ OK . W¨are a  OK , so w¨ urde nach Korollar 6.3.7 ein Primideal p mit a ⊂ p ⊂ OK existieren. Nach Schritt 2 gilt dann OK ⊂ p∗ ⊂ a∗ = OK , also p∗ = OK im Widerspruch zu Schritt 4.

Schritt 6: F¨ ur ein ganzes Ideal a ⊂ OK , a
= (0), gilt a∗ a = OK . ussen nachweisen, Beweis: Das Ideal b = a∗ a ⊂ OK ist ein ganzes Ideal. Wir m¨ dass b gleich OK ist. Es gilt a(a∗ b∗ ) = bb∗ ⊂ OK .

Hieraus schließen wir a∗ b∗ ⊂ a∗ . Sei nun β ∈ b∗ beliebig. Wegen 1 ∈ a∗ folgt β m ∈ a∗ f¨ ur alle m ≥ 1. Folglich ist ZZ[β] ⊂ a∗ als Untergruppe einer endlich erzeugten abelschen Gruppe selbst endlich erzeugt. Nach Satz 5.3.6 gilt β ∈ OK . Dies zeigt b∗ ⊂ OK . Wegen b ⊂ OK folgt OK ⊂ b∗ , also b∗ = OK . Nach Schritt 5 folgt b = OK . Letzter Schritt: F¨ ur jedes gebrochene Ideal a
= (0) gilt a∗ a = OK . Beweis: F¨ ur x ∈ K, x
= 0, verifiziert man leicht die Regel a∗ = (x)(xa)∗ .

W¨ ahlen wir x so, dass xa ganz ist, so folgt hieraus und aus Schritt 6 die Formel

6.4 Gebrochene Ideale

95

a∗ a = (x)(xa)∗ a = (xa)∗ (xa) = OK .

Das beendet den Beweis.

⊓ ⊔

Wir sagen, dass ein ganzes Ideal a ein ganzes Ideal b teilt, wenn ein ganzes Ideal c mit ac = b existiert. Korollar 6.4.5. F¨ ur ganze Ideale a, b ⊂ OK gilt a | b ⇐⇒ b ⊂ a.

Beweis. Die Implikation =⇒ ist offensichtlich. Das Nullideal teilt nur sich selbst, also k¨ onnen wir im Weiteren a
= (0) voraussetzen. Ist b ⊂ a, so ist c = a−1 b ⊂ a−1 a = OK

ein ganzes Ideal und ac = b. Dies zeigt die andere Richtung.

⊓ ⊔

Korollar 6.4.6. F¨ ur ein ganzes Ideal a  OK ist an+1  an f¨ ur alle n ∈ IN. Das heißt, wir erhalten eine strikt fallende Folge von Idealen OK  a  a2  a3  · · · . Beweis. Aus an = an+1 folgt durch Multiplikation mit a−n die Gleichheit ur alle n ∈ IN. ⊓ ⊔ a = OK . Ist a
= OK , so ist daher auch an
= an+1 f¨ Jetzt k¨ onnen wir den Satz u ¨ber die eindeutige Primidealzerlegung beweisen. Theorem 6.4.7. Jedes von (0) und (1) verschiedene Ideal a ⊂ OK hat eine bis auf die Reihenfolge der Faktoren eindeutige Zerlegung in ein Produkt von Primidealen a = p1 · · · pn . Beweis. Wir zeigen zun¨ achst die Existenz. Sei a von (0) und (1) verschieden. Nach Korollar 6.3.7 und Lemma 6.3.9 finden wir Primideale p, p1 , . . . , pr mit p1 · · · pr ⊂ a ⊂ p.

Nach Lemma 6.3.10 ist eines der pi (o.B.d.A. p1 ) in p enthalten und nach Satz 6.3.8 ist p = p1 . Dann ist p2 · · · pr ⊂ p−1 1 a ⊂ OK .

−1 Ist p−1 1 a = OK , dann ist a = p1 . Anderenfalls ist p1 a in einem Primideal enthalten und wir setzen den Prozess fort. Nach n ≤ r Schritten erhalten wir −1 −1 p−1 n pn−1 · · · p1 a = OK

und daher a = p1 · · · pn . Es bleibt die Eindeutigkeit zu zeigen. Seien a = p1 · · · pr = q1 · · · qs

zwei Primzerlegungen des ganzen Ideals a. Es gilt a ⊂ p1 und nach Lemma 6.3.10 ist eines der qi (o.B.d.A. q1 ) in p1 enthalten. Nach Satz 6.3.8 ist

96

Kapitel 6. Quadratische Zahlk¨ orper

q1 = p1 . Jetzt multiplizieren wir beide Seiten mit p−1 1 und setzen den Prozess fort. Im Endeffekt erhalten wir r = s und, nach eventueller Umnummerierung, pi = qi f¨ ur i = 1, . . . , r. ⊓ ⊔ Fassen wir mehrfach vorkommende Primideale zusammen und setzen f¨ ur ein Primideal p die Konvention p0 = OK , so k¨onnen wir jedes ganze Ideal a
= (0) eindeutig in der Form  a= pep p

schreiben. Das Produkt erstreckt sich u ¨ber alle von Null verschiedenen Primideale in OK , die Exponenten ep sind nichtnegative ganze Zahlen und es gilt ep = 0 f¨ ur alle bis auf endlich viele p. Mit Hilfe der eindeutigen Primidealzerlegung definieren wir nun den gr¨ oßten gemeinsamen Teiler zweier ganzer Ideale.   Definition 6.4.8. F¨ ur ganze Ideale a = p pep und b = p pfp heißt  ggT(a, b) = pmin(ep ,fp ) p

der gr¨ oßte gemeinsame Teiler von a und b.

Nach Theorem 6.4.7 ist das Ideal ggT(a, b) durch die folgenden beiden Eigenschaften eindeutig bestimmt: (i) ggT(a, b) | a und ggT(a, b) | b. (ii) Sei c ein ganzes Ideal. Aus c | a und c | b folgt c | ggT(a, b). Satz 6.4.9. Es gilt ggT(a, b) = a + b. Insbesondere sind a und b genau dann teilerfremd (im Sinne von Definition 6.2.13), wenn ggT(a, b) = (1) gilt. Beweis. Nach Korollar 6.4.5 ist ggT(a, b) das kleinste Ideal, das sowohl a als auch b enth¨ alt, also gleich a + b. ⊓ ⊔ Mit Hilfe der eindeutigen Primidealzerlegung erhalten wir das folgende Resultat. Satz 6.4.10. F¨ ur jedes ganze Ideal a  OK gilt ∞

an = (0).

n=1 n Beweis. Das Ideal b = ∩∞ n=1 a ist durch beliebige Potenzen des Ideals a teilbar. F¨ ur b
= (0) widerspricht dies der eindeutigen Primidealzerlegung. ⊓ ⊔

6.5 Das Zerlegungsgesetz

97

Der Fall allgemeiner Zahlk¨ orper: Alle Aussagen dieses Abschnitts u ¨ bertragen sich w¨ortlich auf den Fall eines allgemeinen Zahlk¨ orpers, siehe [Neu], Kap. I. Aufgabe 1. Sei OK ein Hauptidealring. Man zeige, dass jedes irreduzible Element ein Primelement ist. Aufgabe 2. Man zeige: Jedes gebrochene Ideal a ⊂ K, a = (0), hat eine eindeutige Produktdarstellung pep . a= p

Das Produkt erstreckt sich u ¨ ber alle von Null verschiedenen Primideale in OK , die ur alle bis auf endlich viele p. Exponenten ep sind ganze Zahlen und es gilt ep = 0 f¨ Das Ideal a ist genau dann ganz, wenn ep ≥ 0 f¨ ur alle p gilt.

6.5 Das Zerlegungsgesetz F¨ ur Anwendungen ist es nun wichtig zu wissen, auf welche Weise sich eine ganze Zahl n, als Element in OK aufgefasst, in Primelemente zerlegt. Da OK nicht notwendig faktoriell ist, ist diese Frage allerdings nicht sinnvoll. Anstelle dessen werden wir uns f¨ ur die Primidealzerlegung des Hauptideals (n) interessieren. Nun haben wir eine Notationsdoppelung, weil f¨ ur n ∈ ZZ das Symbol (n) sowohl das von n erzeugte Hauptideal in ZZ, als auch das von n in OK erzeugte Hauptideal bedeuten kann. Wir werden diese Ideale daher mit achste Lemma kl¨art die Beziehung zwischen nZZ und nOK bezeichnen. Das n¨ diesen Idealen. Lemma 6.5.1. F¨ ur n ∈ ZZ gilt

nOK ∩ ZZ = nZZ.

Insbesondere gilt f¨ ur n, m ∈ ZZ: nOK = mOK ⇐⇒ nZZ = mZZ. Beweis. F¨ ur n = 0 ist die Aussage trivial. Sei n
= 0. Die Inklusion nZZ ⊂ ur ein beliebig gew¨ahltes Element a ∈ nOK ∩ ZZ nOK ∩ ZZ ist offensichtlich. F¨ existiert nach Definition ein α ∈ OK mit a = nα. Nun liegt α = a/n in Q. Nach Satz 5.3.4 folgt α ∈ ZZ, und daher gilt a ∈ nZZ. ⊓ ⊔ Wir k¨ onnen daher mit Hilfe der Zuordnung nZZ → nOK die Menge der Ideale in ZZ als Teilmenge der Ideale von OK auffassen. Diese Zuordnung respektiert Produkte. F¨ ur eine nat¨ urliche Zahl n interessieren wir uns f¨ ur die ur die Primidealzerlegung des ganzen Primidealzerlegung von n in OK , d.h. f¨ Ideals nOK . Da wir n zun¨ achst in ZZ zerlegen k¨onnen, k¨onnen wir uns auf den Fall n = p mit einer Primzahl p beschr¨ anken. Sei (1,√ω) die in Abschnitt 6.1 konstruierte Ganzheitsbasis des Ringes OK , √ d.h. ω = d, wenn d
≡ 1 mod 4, und ω = 12 (1 + d), wenn d ≡ 1 mod 4.

98

Kapitel 6. Quadratische Zahlk¨ orper

Lemma 6.5.2. Sei n ∈ ZZ. Die Zahl a + bω, a, b ∈ ZZ, liegt genau dann in nOK , wenn a und b in nZZ liegen. Insbesondere gibt es f¨ ur n ∈ ZZ, n
= 0, genau n2 viele Restklassen modulo nOK . Beweis. Jedes Element von OK hat eine eindeutige Darstellung der Form α+βω, α, β ∈ ZZ. Daher hat jedes Element in nOK eine eindeutige Darstellung der Form nα + nβω, α, β ∈ ZZ. Folglich sind die n2 Elemente k + ℓω,

k = 0, 1, . . . , n − 1, ℓ = 0, 1, . . . , n − 1,

paarweise inkongruent modulo nOK . Jedes Element x = α + βω ∈ OK ist zu einem der obigen Elemente kongruent. Daher gibt es genau n2 Restklassen ⊓ ⊔ modulo nOK . Satz 6.5.3. Sei a
= (0) ein ganzes Ideal. Die Anzahl der Restklassen modulo a, d.h. die Anzahl der Elemente des Ringes OK /a ist endlich. Beweis. Sei a ∈ a ein von Null verschiedenes Element. Dann liegt N (a) = aσ(a) in a ∩ ZZ und ist von Null verschieden. Daher gilt N (a)OK ⊂ a und es gibt mehr Restklassen modulo N (a)OK als Restklassen modulo a. Nach dem letzten Lemma gibt es f¨ ur n ∈ ZZ, n
= 0, genau n2 Restklassen modulo nOK . ⊓ ⊔ Definition 6.5.4. Die Zahl #(OK /a) heißt die Norm von a und wird mit N(a) bezeichnet. Wir setzen N((0)) = 0. Korollar 6.5.5. F¨ ur n ∈ ZZ gilt: N(nOK ) = n2 . Die Aussage des n¨ achsten Lemmas folgt direkt aus dem Chinesischen Restklassensatz 6.2.15. Lemma 6.5.6. F¨ ur teilerfremde ganze Ideale a und b gilt N(ab) = N(a)N(b). Um die Voraussetzung der Teilerfremdheit zu eliminieren, brauchen wir den folgenden, in vielerlei Hinsicht n¨ utzlichen Satz. Satz 6.5.7. Seien a und b ganze, von Null verschiedene Ideale. Dann existiert ein zu a teilerfremdes ganzes Ideal c, so dass bc ein Hauptideal ist. Beweis. Seien

a = pa1 1 · · · pann ,

b = pb11 · · · pbnn

die nicht notwendig minimalen (d.h. wir lassen ai = 0 bzw. bi = 0 zu) Primidealzerlegungen. Nach Korollar 6.4.6 existiert f¨ ur jedes i ein αi ∈ pbi i  pbi i +1 . Nach dem Chinesischen Restklassensatz existiert ein α ∈ OK mit α ≡ αi mod pbi i +1 f¨ ur i = 1, . . . , n. Die Primidealzerlegung von α sieht folgendermaßen aus:

6.5 Das Zerlegungsgesetz

99

(α) = pb11 · · · pbnn · c,

wobei c ein Produkt von Primidealen ist, die weder in der Primidealzerlegung von a, noch in der von b vorkommen. Wir erhalten bc = (α), und c ist zu a teilerfremd. ⊓ ⊔ Seien nun (0)
= b ⊂ a ⊂ OK ganze Ideale und sei a/b ⊂ OK /b

die (additive) Untergruppe der Restklassen modulo b, die durch ein Element ¨ in a repr¨ asentiert werden. Die offensichtliche Aquivalenz α ≡ β mod b ⇐⇒ (α ≡ β mod a und α − β = 0 ∈ a/b) zeigt das folgende Lemma. Lemma 6.5.8. Seien (0)
= b ⊂ a ⊂ OK ganze Ideale. Dann zerf¨allt jede Restklasse modulo a in #(a/b) Restklassen modulo b, d.h. #(OK /b) = #(OK /a)#(a/b). Lemma 6.5.9. F¨ ur von (0) verschiedene ganze Ideale a, b gilt #(OK /a) = #(b/ab). Beweis. Nach Satz 6.5.7 finden wir ein ganzes zu a teilerfremdes Ideal c, f¨ ur das bc = (α) mit einem α ∈ OK gilt. Wir betrachten die Abbildung OK /a −→ b/ab a ¯ −→ αa

und weisen folgendes nach: Die Abbildung ist wohldefiniert: Wegen bc = (α) gilt α ∈ b. Daher ist f¨ ur a ∈ OK die Restklasse von αa modulo ab in b/ab enthalten. Es bleibt die Repr¨ asentantenunabh¨ angigkeit nachzuweisen. Ist a1 − a2 ∈ a, so ist αa1 − unschte. αa2 = α(a1 − a2 ) in ab. Das zeigt das Gew¨ Die Abbildung ist injektiv: Ist αa ∈ ab, so gilt

ab | (α)(a) = bc(a).

Folglich teilt a das Ideal c(a), und da a und c teilerfremd sind, gilt a ∈ a. Die Abbildung ist surjektiv: Sei b ∈ b. Wir m¨ ussen die Existenz eines a ∈ OK mit αa ≡ b mod ab

nachweisen. Da c zu a teilerfremd ist, ist der gr¨oßte gemeinsame Teiler von (α) = bc und ab gleich b, und es gilt (α) + ab = b. Hieraus erhalten wir die Existenz eines a ∈ OK mit aα − b ∈ ab. Satz 6.5.10. F¨ ur ganze Ideale a, b gilt: N(ab) = N(a)N(b).

⊓ ⊔

100

Kapitel 6. Quadratische Zahlk¨ orper

Beweis. F¨ ur a = (0) oder b = (0) ist die Aussage des Satzes trivialerweise richtig. Seien a, b
= (0). Nach Lemma 6.5.9 gilt: N(ab) = #(OK /ab) = #(OK /b)#(b/ab) = #(OK /b)#(OK /a) = N(a)N(b).

⊓ ⊔ Genauso, wie wir vorher bei den Gaußschen Zahlen mit Elementen gearbeitet haben, k¨ onnen wir jetzt mit Idealen argumentieren und erhalten die folgenden S¨ atze. Lemma 6.5.11. Gilt N(p) = p, mit p Primzahl, so ist p ein Primideal. urde dies nach Anwendung Beweis. W¨ are p als Ideal in OK zerlegbar, so w¨ der Norm eine Zerlegung von p = N(p) in ZZ implizieren. ⊓ ⊔ Lemma 6.5.12. F¨ ur eine Primzahl p ist pOK entweder ein Primideal oder das Produkt zweier (nicht notwendig verschiedener) Primideale der Norm p. Beweis. Dies folgt aus N(pOK ) = p2 .

⊓ ⊔

Definition 6.5.13. Eine Primzahl p heißt in K tr¨ age, wenn pOK ein Primideal ist, zerlegt, wenn pOK = p1 p2 mit Primidealen p1
= p2 in OK , verzweigt, wenn pOK = p2 f¨ ur ein Primideal p in OK . Sei nun fω das Minimalpolynom von ω, d.h.  2 X − d, wenn d
≡ 1 mod 4, fω (X) = X 2 − X − d−1 , wenn d ≡ 1 mod 4. 4 Das Verhalten einer Primzahl p kann man wie folgt ablesen.

Satz 6.5.14. Eine Primzahl p ist in K tr¨age, wenn fω irreduzibel modulo p ist, zerlegt, wenn fω modulo p in zwei verschiedene Linearfaktoren zerf¨allt, verzweigt, wenn fω modulo p eine doppelte Nullstelle hat. Beweis. Sei f ∈ ZZ[X] so, dass f¯ ein Primteiler von f¯ω in ZZ/pZZ[X] ist. Wir betrachten das ganze Ideal p = pOK + f (ω)OK . Behauptung: p
= OK .

Beweis: Anderenfalls w¨ are 1 ∈ pOK + f (ω)OK , d.h. es g¨abe α, β ∈ OK mit αp + βf (ω) = 1. Sei g ∈ ZZ[X] ein lineares Polynom mit α = g(ω) und sei h ∈ ZZ[X] ein lineares Polynom mit β = h(ω). Die Polynome g und h existieren, weil (1, ω) eine Ganzheitsbasis ist. Dann gilt g(ω)p + h(ω)f (ω) − 1 = 0.

6.5 Das Zerlegungsgesetz

101

Daher gilt

fω | (gp + hf − 1), ¯ f¯ − ¯1). Also gilt f¯ | ¯1 in und modulo p betrachtet erhalten wir: f¯ | f¯ω | (h ZZ/pZZ[X], im Widerspruch dazu, dass f¯ ein Primpolynom ist. Also ist p ein echtes Ideal. Behauptung: p ist ein Primideal. Beweis: Seien α, β ∈ OK mit αβ ∈ p. Es existieren (lineare) Polynome F, G ∈ ¯ = 1 ∈ ZZ/pZZ[X], so g¨abe es ZZ[X] mit α = F (ω), β = G(ω). W¨ are (f¯, F¯ G) ¯ ¯ ¯ ¯ Polynome h, g ∈ ZZ[X] mit hf + g¯F G = 1. Hieraus folgt 1 ≡ h(ω)f (ω) + g(ω)F (ω)G(ω) mod pOK .

Wegen pOK ⊂ p, f (ω) ∈ p und F (ω)G(ω) = αβ ∈ p erhalten wir den Wider¯ spruch 1 ∈ p. Damit wird f¯ von einem der beiden Primpolynome F¯ oder G geteilt. Je nachdem folgt α ∈ p oder β ∈ p. Also ist p ein Primideal. Nehmen wir nun an, dass fω modulo p irreduzibel ist. Dann k¨onnen wir f = fω setzen und es gilt 0 = f (ω), folglich p = pOK . Zerf¨allt fω modulo p in die Linearfaktoren f¯1 und f¯2 , dann gilt 0 = fω (ω) ≡ f1 (ω)f2 (ω) mod pOK .

Bilden wir die Primideale p1 , p2 wie oben, so folgt, dass

p1 p2 = p2 OK + pf1 (ω)OK + pf2 (ω)OK + f1 (ω)f2 (ω)OK ⊂ pOK .

oglichkeiten pOK = p1 , p2 , p1 p2 . Daher gilt pOK |p1 p2 und es verbleiben die M¨ W¨ are pOK = p1 , so w¨ are f1 (ω) ∈ pOK . Also existiert ein Polynom g ∈ ZZ[X] mit f1 (ω) = pg(ω). Es folgt fω |(f1 − pg) und modulo p erhalten wir den Widerspruch f¯ω |f¯1 . Analog schließen wir die M¨oglichkeit pOK = p2 aus und erhalten pOK = p1 p2 . Hat fω modulo p eine Doppelnullstelle, so k¨ onnen wir f1 = f2 w¨ahlen und erhalten p1 = p2 . Es bleibt zu zeigen, dass f¯1
= f¯2 auch p1
= p2 impliziert. Dies folgt aus der linearen Kombinierbarkeit des gr¨oßten gemeinsamen Teilers. ¯ = 1 ∈ ZZ/pZZ[X]. Dann gibt Wir w¨ ahlen Polynome g, h ∈ ZZ[X] mit f¯1 g¯ + f¯2 h es ein Polynom F ∈ ZZ[X] mit f1 g + f2 h − pF = 1. Einsetzen von ω ergibt f1 (ω)g(ω) + f2 (ω)h(ω) − pF (ω) = 1.

W¨ are nun p1 = p2 , so w¨ are der Ausdruck auf der linken Seite in p1 und wir erhalten einen Widerspruch. ⊓ ⊔

√ √ Erinnern wir uns an die Abbildung σ : K → K, σ(x + y d) = x − y d. F¨ ur z ∈ OK ist auch σ(z) ∈ OK und umgekehrt. Ist a ein gebrochenes Ideal, so ist σ(a) = {σ(a) | a ∈ a}

auch ein gebrochenes Ideal und a ist genau dann ganz, wenn σ(a) ganz ist.

102

Kapitel 6. Quadratische Zahlk¨ orper

Definition 6.5.15. Die Zahl  2   1 ω    = 4d, wenn d
≡ 1 mod 4, ∆K =  d, wenn d ≡ 1 mod 4, 1 σ(ω)  heißt die Diskriminante des quadratischen Zahlk¨orpers K.

Satz 6.5.16. Eine Primzahl p ist genau dann in K verzweigt, wenn sie die Diskriminante ∆K von K teilt. Beweis. Angenommen, die Primzahl p ist verzweigt in OK , pOK = p2 . Dann gilt σ(p)2 = σ(p)OK = pOK = p2 . Wegen der Eindeutigkeit der Primidealzerlegung folgt p = σ(p). Angenommen, f¨ ur jedes a + bω ∈ p w¨are b ∈ pZZ. Dann w¨ are jedes auftretende a ∈ p ∩ ZZ = pZZ. Hieraus w¨ urde p = pOK folgen. Also findet man a, b ∈ ZZ, 0 < b < p mit a + bω ∈ p. Wegen σ(p) = p ist auch a + bσ(ω) ∈ p. Wir schließen b(ω − σ(ω)) ∈ p und b2 ∆K ∈ p ∩ ZZ = pZZ. Wegen 0 < b < p folgt p | ∆K . Sei umgekehrt ∆K durch p teilbar. Wir betrachten zun¨achst den Fall d
≡ 1 mod 4. Dann gilt fω = X 2 − d. F¨ ur ungerades p folgt aus p | ∆K auch ur p | d und fω hat modulo p eine doppelte Nullstelle. Modulo 2 hat X 2 − d f¨ ungerades d die Doppelnullstelle 1 und f¨ ur gerades d die Doppelnullstelle 0. Nun betrachten wir den Fall d ≡ 1 mod 4. Dann gilt ∆K = d und fω = X 2 − X − (d − 1)/4. Ein Diskriminantenteiler p ist notwendig ungerade und modulo p gilt fω ≡ (X − 1/2)2 . ⊓ ⊔ Korollar 6.5.17. Mindestens eine und h¨ochstens endlich viele Primzahlen verzweigen in K. Beweis. Das folgt aus Satz 6.5.16 und daraus, dass der Betrag von ∆K stets gr¨ oßer als 1 ist. ⊓ ⊔ Als n¨ achstes bestimmen wir das Zerlegungsverhalten von Primzahlen in K. Das Ergebnis formuliert sich am elegantesten in Termen des LegendreSymbols. √ Theorem 6.5.18 (Zerlegungsgesetz in K). Sei K = Q( d) ein quadratischer Zahlk¨orper mit Diskriminante ∆K . Dann gilt: (i) Eine ungerade Primzahl p ist in K   tr¨age, wenn ∆pK = −1,   zerlegt, wenn ∆pK = +1,   verzweigt, wenn ∆pK = 0.

(ii) Die Primzahl 2 ist in K

tr¨age, wenn ∆K ≡ 5 mod 8, zerlegt, wenn ∆K ≡ 1 mod 8, verzweigt, wenn ∆K ≡ 0 mod 2.

6.5 Das Zerlegungsgesetz

103

Beweis. Sei p ungerade. Ist d
≡ 1 mod 4, so ist das Minimalpolynom fω = X 2 − d genau dann irreduzibel modulo p, wenn d kein quadratischer Rest modulo p ist. Wenn d ≡ 1 mod 4 ist, so gilt fω = X 2 − X − (d − 1)/4. Die Substitution fω (X + 1/2) = X 2 − d/4 zeigt dann das gleiche Ergebnis. Nun betrachten wir den Fall p = 2. Ist d
≡ 1 mod 4, so ist ∆K = 4d gerade und 2 ist verzweigt. Sei ∆K = d ≡ 1 mod 4. Dann ist fω genau dann irreduzibel modulo 2, wenn (d − 1)/4 ungerade ist. ⊓ ⊔ Korollar 6.5.19. Zerlegt sich p in OK in der Form pOK = p1 p2 , so gilt p2 = σ(p1 ).

Beweis. Wegen σ(p1 )|σ(pOK ) = pOK gilt σ(p1 ) = pi , i = 1 oder 2. Wir w¨ahlen, wie im Beweis von Satz 6.5.16, a, b ∈ ZZ, 0 < b < p mit a + bω ∈ p1 . W¨ are σ(p1 ) = p1 , schließt man a + bσ(ω) ∈ p1 und deshalb b2 ∆K ∈ p1 ∩ ZZ = ⊓ ⊔ pZZ. Also p | ∆K , was ausgeschlossen war. Satz 6.5.20. F¨ ur jedes ganze Ideal a gilt aσ(a) = N(a)OK . Beweis. Beide Seiten sind multiplikativ, und so k¨onnen wir annehmen, dass a = p ein Primideal ist. Sei p ∩ ZZ = pZZ. Ist p verzweigt, so gilt p = σ(p), sowie N(p) = p und pσ(p) = p2 = pOK . Ist p zerlegt, so gilt N(p) = p und age, so gilt p = pOK , N(p) = p2 , N(p)OK = p2 OK = pOK = pσ(p). Ist p tr¨ 2 p = pσ(p). ⊓ ⊔ Jetzt verstehen wir, wie die Norm eines Hauptideals mit der Norm eines erzeugenden Elementes zusammenh¨ angt. Satz 6.5.21. F¨ ur α ∈ OK gilt: N(αOK ) = |N (α)|. Beweis. Es gilt N(αOK )OK = αOK σ(αOK ) = (ασ(α))OK = N (α)OK . Nach Lemma 6.5.1 folgt N(αOK )ZZ = N (α)ZZ. ⊓ ⊔ Schließlich erhalten wir den wichtigen Endlichkeitsatz: Satz 6.5.22. Zu jeder nat¨ urlichen Zahl n existieren nur endlich viele ganze Ideale a ⊂ OK mit N(a) ≤ n. Beweis. Es gen¨ ugt zu zeigen, dass zu jeder nat¨ urlichen Zahl n nur endlich viele Ideale a mit N(a) = n existieren. Nach Satz 6.5.20 gilt a | N(a)OK f¨ ur jedes ganze Ideal a. Das Ideal nOK hat aber nur endlich viele Teiler, daher gibt es auch nur endlich viele ganze Ideale der Norm n. ⊓ ⊔ Wir definieren nun die Eulersche ϕ-Funktion auf ganzen, von (0) verschiedenen Idealen von OK durch ϕ(a) := #(OK /a)× .

Der Chinesische Restklassensatz impliziert f¨ ur teilerfremde ganze Ideale a, b die Regel ϕ(a)ϕ(b) = ϕ(ab).

104

Kapitel 6. Quadratische Zahlk¨ orper

Lemma 6.5.23. Die Restklasse modulo a eines Elements α ∈ OK ist genau dann eine prime Restklasse, wenn (α) + a = (1) gilt. Beweis. Gilt β¯α ¯ =¯ 1 ∈ OK /a, so existiert ein a ∈ a mit βα + a = 1. Daher gilt (α) + a = (1). Ist umgekehrt (α) + a = (1), so existieren ein β ∈ OK und ein a ∈ a mit βα + a = 1. Dann gilt β¯α ¯=¯ 1 ∈ OK /a. ⊓ ⊔ Satz 6.5.24 (Verallgemeinerter Kleiner Fermatscher Satz). prim zu a, so gilt αϕ(a) ≡ 1 mod a.

Ist (α)

Beweis. Es ist (OK /a)× eine endliche abelsche Gruppe der Ordnung ϕ(a). Nach Satz 5.2.2 gilt xϕ(a) = ¯ 1 f¨ ur jedes x ∈ (OK /a)× . Ist nun (α) prim zu a, so liegt nach Lemma 6.5.23 die Restklasse von α modulo a in (OK /a)× . ⊓ ⊔ Hieraus folgt αϕ(a) ≡ 1 mod a. Wir wollen unsere neugewonnenen Fertigkeiten anwenden, indem wir zeigen, dass OK f¨ ur d = −163 ein Hauptidealring ist. Dieses Beispiel ist aus zwei Gr¨ unden interessant. Zum einen ist OK nicht euklidisch (siehe Abschnitt 6.10). Zum anderen √ ist d = −163 die betragsm¨aßig gr¨oßte negative Zahl, f¨ ur die OK , K = Q( d), u ¨ berhaupt ein Hauptidealring ist.

√ Satz 6.5.25. Der Ganzheitsring OK von K = Q( −163) ist ein Hauptidealring.

Beweis. Es gen¨ ugt zu zeigen, dass jedes Primideal ein Hauptideal ist. Es gen¨ ugt also zu zeigen, dass sich jede Primzahl in das Produkt von Hauptprimidealen zerlegt.  Nach  dem Zerlegungsgesetz ist 2 tr¨age und jede ungerade Primzahl p mit −163 = −1 ist tr¨ age. Daher gen¨ ugt es zu zeigen, dass jede p   =
−1 sich in O in das Produkt zweier ungerade Primzahl p mit −163 p  p   −163  K = 163 . Daher m¨ ussen wir Hauptprimideale zerlegt. F¨ ur p
= 2 gilt p die F¨ alle p = 163 und p ungerade und quadratischer Rest modulo 163 betrachten. Wir haben schon in Satz 2.4.4 gesehen, dass jede dieser Primzahlen 2 2 von der Form √ a + ab + 41b mit a, b ∈ ZZ ist. Wegen −163 ≡ 1 mod 4 gilt 1 ur α = a + bω erhalten wir ω = 2 (1 + −163). F¨ N (α) = Daher gilt

(2a + b)2 b2 + 163 = a2 + ab + 41b2 = p. 4 4 (p) = (α)(σ(α)).

Die Hauptideale auf der rechten Seite haben Norm p, sind also Primideale. ⊓ ⊔ Der Fall allgemeiner Zahlk¨ orper: Sei K ein Zahlk¨ orper von Grad n. Dann zerf¨ allt jede Primzahl in OK in das Produkt von h¨ ochstens n Primidealen. Man sagt, dass p verzweigt ist, wenn

6.6 Die Idealklassengruppe

105

einer der Primfaktoren doppelt vorkommt. Die verzweigten Primzahlen sind genau die Teiler der Diskriminante ∆K . Auch kann man das Zerlegungsverhalten einer Primzahl p an der Primzerlegung eines geeigneten Polynoms modulo p ablesen. Die Norm ist auch in der allgemeinen Situation multiplikativ und es gelten die S¨ atze 6.5.22 und 6.5.24. Siehe [Neu], Kap. 1.

Aufgabe 1. Man zeige die Gleichung ϕ(a) = N(a) ·

p|a

(1 −

1 ). N(p)

Aufgabe 2. Ist die Zuordnung (Ideale in OK ) −→ (Ideale in ZZ) a −→ a ∩ ZZ mit Produkten vertr¨ aglich? Aufgabe 3. Man zeige ϕ(b) = N(a). b|a

√ Aufgabe 4. Sei K = Q( d) mit d = np, n > 0, p Primzahl. Angenommen es gilt (p) = (α)2 in OK . Man zeige, dass eine von ±1 verschiedene Einheit in OK existiert. √ Aufgabe 5. Man gebe die Primidealzerlegung von (6) in Q( −5) an. √ √ Aufgabe 6. Man gebe die Primidealzerlegung von (p) in Q( p) und Q( −p) an. Aufgabe 7. Man zeige: Sind f¨ ur zwei quadratische Zahlk¨ orper K, K ′ die Mengen ′ der zerlegten Primzahlen die gleichen, so gilt K = K .

6.6 Die Idealklassengruppe Will man sich die Idealarithmetik f¨ ur das Rechnen mit Zahlen nutzbar machen, so steht man vor den folgenden Problemen: • nicht jedes Ideal ist ein Hauptideal, • eine Zahl α ist durch das Ideal (α) nur bis auf Assoziiertheit bestimmt. Dem ersten Problem wenden wir uns in diesem, dem zweiten im n¨achsten Abschnitt zu. Unser Vorgehen ist typisch algebraisch“. Wir definieren eine ” abelsche Gruppe, die Idealklassengruppe, die die Differenz zwischen beliebigen Idealen und Hauptidealen misst. Ist diese Gruppe trivial, so ist OK ein Hauptidealring. Ansonsten gibt uns die Struktur dieser Gruppe weitere Informationen. Es ist eine bemerkenswerte Tatsache, dass die Idealklassengruppe ¨ stets endlich ist, d.h. der Ubergang von Zahlen zu Idealen hat uns nicht ins Uferlose gef¨ uhrt.

106

Kapitel 6. Quadratische Zahlk¨ orper

¨ Wir f¨ uhren die folgende Aquivalenzrelation auf der Menge der von (0) verschiedenen gebrochenen Ideale eines Zahlk¨ orpers K ein: a ∼ b ⇐⇒ a−1 b ist ein gebrochenes Hauptideal.

¨ Aquivalenzklassen bez¨ uglich ∼ multipliziert man, indem man Vertreter mul¨ tipliziert und wieder zur Aquivalenzklasse u ¨bergeht. Man u ¨ berlegt sich leicht, dass diese Definition vertreterunabh¨ angig ist. ¨ Definition 6.6.1. Die Menge der Aquivalenzklassen bez¨ uglich ∼ zusammen mit der durch die Multiplikation gebrochener Ideale induzierten Verkn¨ upfung heißt die Idealklassengruppe von K und wird mit Cl (K) bezeichnet. Mit anderen Worten: Cl (K) ist die Faktorgruppe der Gruppe der von (0) verschiedenen gebrochenen Ideale von K nach der Untergruppe der von (0) verschiedenen gebrochenen Hauptideale von K. Satz 6.6.2. Es sei K ein quadratischer Zahlk¨orper. Dann sind die folgenden Aussagen ¨aquivalent. (i) Cl (K) = 1, (ii) OK ist ein Hauptidealring, (iii) OK ist faktoriell. Bemerkung: Die Implikation (iii)⇒(ii) gilt f¨ ur allgemeine Ringe nicht, so ist z.B. der Polynomring ZZ[X] faktoriell, aber kein Hauptidealring. Beweis. (i)=⇒(ii). Sei Cl (K) = 1. Das Nullideal ist stets ein Hauptideal. Ist ur ein a ⊂ OK ein von (0) verschiedenes Ideal, so gilt a ∼ (1), also a = (a) f¨ a ∈ K. Da a ganz ist, folgt a ∈ OK , d.h. a ist ein ganzes Hauptideal. (ii)=⇒(i). Sei OK ein Hauptidealring und a ⊂ K ein von (0) verschiedenes gebrochenes Ideal. Nach Definition existiert ein α ∈ OK , so dass αa ein ganzes Ideal ist. Dann existiert ein a ∈ OK mit αa = (a), also ist a = (α−1 a) ein gebrochenes Hauptideal. Wir schließen a ∼ (1) und, weil a beliebig war, Cl (K) = 1. (iii)=⇒(ii). Sei OK faktoriell, a ⊂ OK ein von (0) verschiedenes Ideal und N(a) seine Norm. Es sei N(a) = π1 · · · πn die (im wesentlichen eindeutige) Zerlegung des Elementes N(a) ∈ OK in irreduzible Elemente. Nach Lemma 4.1.14 sind die Elemente πi , i = 1, . . . , n, Primelemente in OK . Daher sind die Ideale (πi ), i = 1, . . . , n, Hauptprimideale und (N(a)) = (π1 ) · · · (πn )

ist die eindeutige Zerlegung von (N(a)) in Primideale. Wegen a|(N(a)) folgt  a= (πi ) i∈J

mit einer Teilmenge J ⊂ {1, . . . , n}. Insbesondere ist a ein Hauptideal. Folglich ist jedes Ideal in OK ein Hauptideal.

6.6 Die Idealklassengruppe

107

× ∪ {0}). Dann ist (ii)=⇒(iii). Sei OK ein Hauptidealring und a ∈ OK  (OK das Ideal (a) von (0) und (1) verschieden. Sei

(a) = p1 · · · pn

seine eindeutige Zerlegung in Primideale. Da OK ein Hauptidealring ist, gilt pi = (πi ), i = 1, . . . , n, mit Primelementen πi ∈ OK . Nach Lemma 6.2.3 gilt a= ˆ π1 · · · πn .

× Nach Lemma 4.1.8 gibt es eine Einheit e ∈ OK mit a = e · π1 · · · πn . Ersetzen wir π1 durch eπ1 , erhalten wir eine Darstellung a = π1 · · · πn von a als Produkt von Primelementen, die nach Lemma 4.1.14 auch irreduzibel sind. Sei nun

a = q1 · · · qm

eine weitere Darstellung von a als Produkt irreduzibler Elemente. Wegen π1 |a ur ein i, nach Umnumerierung sei dies q1 . Da q1 irreduzibel ist, gilt π1 |qi f¨ folgt π1 = ˆ q1 , d.h. q1 = e1 π1 mit einer Einheit e1 . Nun teilen wir beide Seiten der Gleichung π1 · · · πn = q1 · · · qm durch π1 und fahren induktiv fort. Wir ˆ qi , i = 1, . . . , n. erhalten n = m und, nach eventueller Umnumerierung, πi = Daher ist OK faktoriell. ⊓ ⊔ Ziel dieses Abschnitts ist der Beweis des folgenden, fundamentalen Theorems. Theorem 6.6.3. Die Idealklassengruppe Cl (K) eines quadratischen Zahlk¨orpers K ist endlich. Zum Beweis brauchen wir zun¨ achst eine explizitere Kenntnis der Ideale in OK . Satz 6.6.4. Sei a ⊂ OK ein von (0) verschiedenes Ideal und a ∈ IN durch urliche Zahl unter den y ∈ IN, aZZ = a ∩ ZZ gegeben. Es sei a2 die kleinste nat¨ die in einem Element x + yω ∈ a, x ∈ ZZ, auftauchen. Ferner sei a1 die kleinste nichtnegative ganze Zahl, so dass a1 + a2 ω in a liegt. Dann hat jedes Element in a eine eindeutige Darstellung der Form αa + β(a1 + a2 ω) mit α, β ∈ ZZ. Alle Elemente dieser Form liegen in a. Es gilt a2 |a und a2 |a1 , sowie a1 < a. Beweis. Wir beweisen zun¨ achst die folgende Behauptung: F¨ ur x, y ∈ ZZ folgt aus x + yω ∈ a, dass a2 |x und a2 |y. Beweis der Behauptung: Sei y = qa2 + r mit 0 ≤ r ≤ a2 − 1. Dann gilt x − qa1 + rω = (x + yω) − q(a1 + a2 ω) ∈ a. Wegen der Minimalit¨at von a2 folgt r = 0, daher a2 |y. F¨ ur d
≡ 1 mod 4 gilt ω 2 = d ∈ ZZ. Aus yd + xω = ur d ≡ 1 mod 4 gilt ω(x + yω) ∈ a folgt nach dem eben Bewiesenen a2 |x. F¨ d−1 . Aus y + (x + y)ω = ω(x + yω) ∈ a folgt a2 |(x + y) und ω 2 = ω + d−1 4 4 daher a2 |x. Dies zeigt die Behauptung.

108

Kapitel 6. Quadratische Zahlk¨ orper

Wegen a, a1 + a2 ω ∈ a sind insbesondere a und a1 durch a2 teilbar. Wegen der Minimalit¨ at von a1 gilt außerdem 0 ≤ a1 < a. Sei nun x + yω ∈ a beliebig. Wir erhalten a1 y x−y = (x + yω) − (a1 + a2 ω) ∈ a ∩ ZZ = aZZ. a2 a2 Daher existiert ein α ∈ ZZ mit x − y aa21 = αa, und wir erhalten y x + yω = αa + (a1 + a2 ω). a2 unschte. Umgekehrt liegen alle Nun setzen wir β = ay2 und erhalten das Gew¨ Elemente der Form αa + β(a1 + a2 ω), α, β ∈ ZZ, in a, weil a und a1 + a2 ω in a liegen. Die Darstellung ist eindeutig, weil (1, ω) eine Ganzheitsbasis ist. ⊓ ⊔ Definition 6.6.5. Die eben konstruierte Darstellung a = aZZ + (a1 + a2 ω)ZZ heißt die kanonische Darstellung von a. Satz 6.6.6. Es sei a = aZZ + (a1 + a2 ω)ZZ die kanonische Darstellung des von (0) verschiedenen Ideals a ⊂ OK . Dann gilt N(a) = aa2 . Beweis. Es gilt x+yω ≡ x′ +y ′ ω mod a ⇔ x−x′ +(y −y ′ )ω = αa+β(a1 +a2 ω) f¨ ur α, β ∈ ZZ ⇔ y ≡ y ′ mod a2 und x ≡ x′ + aa12 (y − y ′ ) mod a. Daher gibt es ⊓ ⊔ genau aa2 Restklassen modulo a. Zum Beweis von Theorem 6.6.3 werden wir den Minkowskischen Gitterpunktsatz ben¨ otigen. Seien v1 , v2 ∈ IR2 zwei linear unabh¨angige Vektoren. Die Menge Γ aller Vektoren av1 + bv2 ∈ IR2 mit a, b ∈ ZZ heißt Gitter im IR2 und (v1 , v2 ) heißt Basis von Γ . Ein Gitter hat viele Basen, so sind mit einer Basis (v1 , v2 ) z.B. auch (−v1 , v2 ) und (v1 , v2 + 2v1 ) wieder Basen von Γ . Ist nun (v1 , v2 ) eine Basis des Gitters Γ , so heißt die Menge aller Vektoren αv1 + βv2 mit α, β ∈ [0, 1] eine Grundmasche des Gitters. Ist v1 = (x1 , y1 ) und v2 = (x2 , y2 ), so gilt bekanntermaßen die folgende Formel f¨ ur den Fl¨acheninhalt I(Γ ) der Grundmasche:     x1 x2   I(Γ ) = det := |x1 y2 − x2 y1 |. y1 y2 

Ist (v1′ , v2′ ) mit v1′ = (x′1 , y1′ ) und v2′ = (x′2 , y2′ ) eine weitere Basis von Γ , so existieren 2×2 Matrizen A und B mit ganzzahligen Eintr¨agen, so dass gilt   ′ ′     ′ ′ x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 . = , B· A· = y1′ y2′ y1 y2 y1′ y2′ y1 y2   10 Man schließt A · B = , also det(A) · det(B) = 1. Weil diese Determi01 nanten ganze Zahlen sind folgt, | det(A)| = | det(B)| = 1. Die Produktformel f¨ ur Determinanten liefert

6.6 Die Idealklassengruppe

109

   ′ ′        det x1 x2  = det x′1 x′2  .    y1 y2 y1 y2 

Mit anderen Worten: Die Grundmasche selbst h¨angt von der Auswahl einer Basis des Gitters Γ ⊂ IR2 ab, nicht aber der Fl¨acheninhalt I(Γ ) der Grundmasche. Beispiel: Sei K ein imagin¨ ar-quadratischer Zahlk¨orper. Identifizieren wir in der u blichen Weise die komplexe Zahlenebene mit dem IR2 , so wird OK zum ¨ Gitter. F¨ ur den Grundmascheninhalt gilt die Formel ! I(OK ) = 12 |∆K |, wobei ∆K die Diskriminante von K ist. Dies werden wir in Satz 6.6.9 in allgemeinerer Form beweisen.

Definition 6.6.7. Eine Teilmenge X ⊂ IR2 heißt konvex, wenn zu v, w ∈ X mit jedem t ∈ [0, 1] auch tv + (1 − t)w in X liegt. Die Menge X heißt zentralsymmetrisch, wenn mit jedem v ∈ X auch −v in X liegt. Theorem 6.6.8 (Minkowskischer Gitterpunktsatz). Sei Γ ⊂ IR2 ein Gitter und sei X ⊂ IR2 eine konvexe und zentralsymmetrische Teilmenge, f¨ ur deren Fl¨acheninhalt I(X) die Ungleichung I(X) > 4I(Γ ) gilt. Dann existiert ein von (0, 0) verschiedener Gitterpunkt in X. Beweis. Es gen¨ ugt, die Existenz zweier verschiedener Gitterpunkte γ1 , γ2 ∈ Γ  1  1 mit 2 X + γ1 ∩ 2 X + γ2
= ∅ zu zeigen. Liegt n¨ amlich ein Punkt 1 2 x1

+ γ1 = 12 x2 + γ2 ,

x1 , x2 ∈ X,

in diesem Durchschnitt, so erhalten wir den von (0, 0) verschiedenen Punkt x = γ1 − γ2 = 12 x2 − 21 x1

urde in X ∩ Γ . W¨ aren die Mengen 12 X + γ, γ ∈ Γ , paarweise disjunkt, so w¨ das auch f¨ ur ihren Durchschnitt mit jeder Grundmasche M gelten. Also w¨are
   I M ∩ 21 X + γ . I(Γ ) = I(M ) ≥ γ∈Γ

Verschiebt man die Menge M ∩ ( 21 X + γ) um −γ, erh¨alt man die Menge gleichen Fl¨ acheninhalts (M − γ) ∩ 21 X. Die Mengen M − γ u ¨ berdecken den 2 ganzen IR , daher erhalten wir
  (M − γ) ∩ 21 X = I 12 X = 41 I(X). I(Γ ) ≥ γ∈Γ

Dies widerspricht der Annahme des Satzes.

⊓ ⊔

110

Kapitel 6. Quadratische Zahlk¨ orper

√ Jetzt betrachten wir die folgende Einbettung von K = Q( d) in den IR2 : 2 K √ −→ IR !  z = a + b d −→ φ(z) = a, b |d| , ! wobei die Quadratwurzel |d| auf der rechten Seite positiv gew¨ahlt sei. Diese √ Einbettung h¨ angt von der Wahl der komplexen Zahl d ab. Beim Wechsel zur anderen komplexen L¨ osung der Gleichung X 2 = d ¨andert sich das Vorzeichen der zweiten Komponente von φ(z). Die Abbildung φ ist ein Homomorphismus.

φ:

Satz 6.6.9. F¨ ur ein ganzes Ideal a
= (0) ist φ(a) ⊂ IR2 ein Gitter mit Grund! mascheninhalt I(φ(a)) = 12 N(a) |∆K |. Beweis. Ist a = aZZ + (a1 + a2 ω)ZZ die kanonische Darstellung von a, so ist φ(a) = ZZφ(a) + ZZφ(a1 + a2 ω). a2 ω) = Der Vektor so ist φ(a1 +! ! φ(a) hat die Gestalt (a, 0). Ist d
≡ 1 mod 4, ! (a1 , a2 |d|) und daher gilt in diesem Fall I(φ(a)) = aa2 |d| = 12 aa2 |∆K |. ! Ist d ≡ 1 mod 4, so gilt φ(a1 + a2 ω) = ( 2a12+a2 , a22 |d|) und daher I(φ(a)) = ! ! 1 1 ⊓ ⊔ 2 aa2 |d| = 2 aa2 |∆K |. Schließlich gilt N(a) = aa2 nach Satz 6.6.6.

Satz 6.6.10. Jedes ganze Ideal a
= (0) enth¨alt ein Element α
= 0 mit ⎧ ⎨ 1 N(a)!|∆ |, wenn ∆ > 0, K K |N (α)| ≤ 2 ⎩ 2 N(a)!|∆ |, wenn ∆ < 0. π

K

K

Beweis. Sei zun¨ achst ∆K > 0. Ist φ(α) = (x, y), so gilt N (α) = x2 − y 2 . F¨ ur beliebiges R > 0 enth¨ alt die Menge {(x, y)√∈ IR√2 ; |x2 − √ y2| ≤ √ R} das (konvexe und zentralsymmetrische) Quadrat [− R, R] × [− R, R] vom Inhalt 4R. F¨ ur R > I(φ(a)) gibt es nach dem Minkowskischen Gitterpunktsatz ein Element α ∈ a, α
= 0, so dass φ(α) in diesem Quadrat liegt. Daher existiert zu jedem ǫ > 0 ein 0
= α ∈ a mit ! |N (α)| ≤ 21 N(a) |∆K | + ǫ.

Nun ist |N (α)| f¨ ur alle α ∈ a eine ganze Zahl. Da ǫ > 0 beliebig!klein gew¨ahlt werden kann, finden wir ein α ∈ a, α
= 0, mit |N (α)| ≤ 12 N(a) |∆K |. Wir betrachten nun den Fall ∆K < 0. F¨ ur φ(α) = (x, y) gilt N (α) = x2 + y 2 . 2 2 2 Der Bereich {(x, y) ∈ IR ; |x + y | ≤ R} ist gerade die Kreisscheibe vom √ acheninhalt πR. Wie oben schließt man Radius R um (0, 0) und hat den Fl¨ aus dem Minkowskischen Gitterpunktsatz die Existenz eines α ∈ a, α
= 0, ! mit |N (α)| ≤ π2 N(a) |∆K |. ⊓ ⊔ Theorem 6.6.11. Jede Idealklasse enth¨alt ein ganzes Ideal a
= (0) mit ! N(a) ≤ 12 ( π4 )s |∆K |,

ur ∆K < 0 ist. Insbesondere ist die wobei s = 0 f¨ ur ∆K > 0 und s = 1 f¨ Idealklassengruppe Cl (K) endlich.

6.6 Die Idealklassengruppe

111

Beweis. Sei b
= (0) ein beliebiges gebrochenes Ideal und γ ∈ OK , so dass γb−1 ⊂ OK .

Nach Satz 6.6.10 existiert ein α ∈ γb−1 , α
= 0, mit ! |N (α)| ≤ 21 ( π4 )s N(γb−1 ) |∆K |.

Wegen (α) ⊂ γb−1 ist das Ideal a := (γ)−1 b(α) ganz, und es gilt ! N(a) = N(γb−1 )−1 N((α)) ≤ 21 ( π4 )s |∆K |.

Nach Satz 6.5.22 existieren nur endlich viele solche ganzen Ideale und daher ist Cl (K) endlich. ⊓ ⊔

Definition 6.6.12. Die Ordnung der Gruppe Cl (K) heißt die Klassenzahl von K und wird mit hK bezeichnet. Satz 6.6.13. F¨ ur jedes gebrochene Ideal a ist das Ideal ahK ein Hauptideal. Beweis. Nach Satz 5.2.2 ist die hK -te Potenz jedes Elements in Cl (K) trivial. Daher ist die hK -te Potenz jedes Ideals ein Hauptideal. ⊓ ⊔ Korollar 6.6.14. Ist (n, hK ) = 1 und an ein Hauptideal, so ist a schon ein Hauptideal. Beweis. Wegen der linearen Kombinierbarkeit des gr¨oßten gemeinsamen Teilers existieren a, b ∈ ZZ mit an + bhK = 1, also a = (an )a (ahK )b . Nach Voraussetzung ist an ein Hauptideal und nach Satz 6.6.13 ist ahK ein Hauptideal. Daher ist auch a ein Hauptideal. ⊓ ⊔ √ ur die neEs war schon Gauß bekannt, dass die Klassenzahl von Q( d) f¨ gativen Werte d = −1, −2, −3, −7, −11, −19, −43, −67, −163

gleich 1 ist. Seit 1967 weiß man, siehe [St], dass dies alle sind, d.h. es gibt genau neun imagin¨ ar-quadratische Zahlk¨ orper der Klassenzahl 1. Merkw¨ urdigerweise wusste man schon seit 1934, siehe [HL], dass es h¨ochstens 10 davon geben kann. Man vermutet, dass es unendlich viele reell-quadratische Zahlk¨orper der Klassenzahl 1 gibt. Theorem 6.6.11 liefert uns nicht nur die Endlichkeit der Idealklassengruppe, sondern auch einen konstruktiven Weg zu ihrer ! Berechnung. Zun¨achst muss man alle ganzen Ideale a mit N(a) ≤ 21 ( π4 )s |∆K | finden. Wegen ur die kanonische Darstellung solcher Ideale nur endN(a) = aa2 verbleiben f¨ lich viele M¨ oglichkeiten, so dass man diese auffinden kann. Dann muss man feststellen, welche von diesen Idealen in der gleichen Idealklasse liegen und die Multiplikationstabelle aufstellen.

112

Kapitel 6. Quadratische Zahlk¨ orper

√ alt jede Idealklasse ein ganzes Ideal Beispiel: K = Q( −5).√Nach Satz 6.6.11 enth¨ der Norm kleiner als 21 π4 20 < 3. Das einzige ganze Ideal der Norm 1 ist (1) = OK . Jedes ganze Ideal der Norm 2 ist ein Teiler des Ideals (2). Nach Satz 6.5.18 gilt (2) = p2 mit einem Primideal p. Daher ist p das einzige ganze Ideal der Norm 2. Alternativ kann man auch u ¨ber die kanonische Darstellung argumentieren: N(a) = asst wegen a2 |a nur oglichkeit a2 = 1, a = 2 zu. F¨ ur a1 = 0 erh¨ alt aa2 = 2 l¨ √ die M¨ ist. Wegen a man die Untergruppe 2ZZ + −5ZZ, die kein Ideal in OK 1 < a verbleibt √ nur noch der Fall a1 = 1. In der Tat ist p := 2ZZ + (1 + −5)ZZ ein Ideal der Norm 2. Also gibt es h¨ ochstens zwei Idealklassen. W¨ are p ¨ aquivalent zur Klasse der (1), dann w¨ are es ein√Hauptideal, p = (a) mit einem a ∈ OK . Aus N(p) = 2 folgt N (a) = 2, aber in Q( −5) gibt es kein Element der Norm 2, weil die Gleichung x2 + 5y 2 = 2 keine ganzzahlige L¨ osung besitzt. Folglich ist p kein Hauptideal und es gibt zwei ur die Gruppenstruktur auf der zweielementigen Menge Idealklassen, also hK = 2. F¨ Cl(K) besteht kein Spielraum. Cl(K) ist isomorph zur Gruppe ({±1}, ·), wobei die Klasse von p auf −1 abgebildet wird.

Der Fall allgemeiner Zahlk¨ orper: In analoger Weise wird auch die Endlichkeit der Klassenzahl eines beliebigen Zahlk¨ orpers bewiesen, siehe [Neu], Kap. I. Man weiß bis heute nicht, ob es unendlich viele Zahlk¨ orper der Klassenzahl 1 gibt. Aufgabe ur d = −7, −3, −2, −1, 2, 3, 5, 13 der Ring OK f¨ ur √ 1. Man zeige, dass f¨ K = Q( d) ein Hauptidealring ist. √ ur K = Q( 6). Aufgabe 2. Man zeige hK = 1 f¨ √ Aufgabe 3. Man zeige hK = 1 f¨ ur K = Q( d) und d = 21, 29. √ ur K = Q( 7). Aufgabe 4. Man zeige hK = 1 f¨ √ Aufgabe 5. Man zeige, dass Q −23 die Klassenzahl 3 hat.

6.7 Einheiten in quadratischen Zahlko ¨rpern Nun wenden wir uns dem zweiten der am Anfang des letzten Abschnitts angesprochenen Probleme zu, n¨ amlich der Frage, inwieweit ein Element α ∈ OK durch das Hauptideal (α) bestimmt ist. Nach den Lemmata 4.1.8 und 6.2.3 ist α durch (α) bis auf Multiplikation mit einer Einheit bestimmt. Die Menge der Einheiten in OK werden wir jetzt untersuchen. Zun¨achst fragen wir uns, welche Einheitswurzeln in OK liegen k¨ onnen. Lemma 6.7.1. F¨ ur d
= d′ ist

√ √ Q( d) ∩ Q( d′ ) = Q, ¯ (oder in C) gebildet wird. wobei der Durchschnitt in Q

6.7 Einheiten in quadratischen Zahlk¨ orpern

113

Beweis. Es seien d
= d′ quadratfrei und von 0 und 1 verschieden. Gegeben seien x, x′ , y, y ′ ∈ Q mit √ √ x + y d = x′ + y ′ d′ . Wir m¨ ussen zeigen, dass y = 0 = y ′ gilt. Sei y
= 0. Eine elementare Umfor√ mung zeigt y ′2 d′ = (x − x′ )2 + 2(x − x′ )y d + y 2 d. √ Aus der Irrationalit¨ at von d folgt x − x′ = 0. Daher gilt y ′2 d′ = y 2 d.

Insbesondere ist dann auch y ′ von Null verschieden und dd′ w¨are ein Quadrat ur d = d′ m¨ oglich, was aber ausgeschlossen war. Den in Q. Das ist aber nur f¨ ′ ⊓ ⊔ Fall y
= 0 behandelt man analog.

√ Satz 6.7.2. Der quadratische Zahlk¨orper Q( d) enth¨alt genau die 6-ten Einheitswurzeln ⇐⇒ d = −3, 4-ten Einheitswurzeln ⇐⇒ d = −1, 2-ten Einheitswurzeln ⇐⇒ d
= −1, −3.

Beweis. Jeder quadratische Zahlk¨ orper enth¨ alt die zweiten Einheitswurzeln ±1. Dies sind auch die einzigen√Einheitswurzeln in ZZ und damit auch in Q (siehe Satz 5.3.4).√ Sei ζ ∈ Q( d) eine primitive n-te Einheitswurzel. Da jedes Element in Q( d) Nullstelle eines Polynoms kleiner gleich zweiten Grades ist, zeigt Korollar 5.4.13, ur n
= 1, 2 zeigt √ dass n ∈ {1,′ 2, 3, 4, 6} ist. F¨ ur jedes d √
= d. Nun m¨ ussen wir nur noch Lemma 6.7.1, dass ζ ∈ / Q( d′ ) f¨ √ √ bemerken, dass ζ4 ∈ Q( −1) und ζ6 = 12 + 2−3 ∈ Q( −3) gilt. ⊓ ⊔ Jetzt bestimmen wir die Einheitengruppe von OK , die man (nicht ganz korrekt, aber ohne wirkliche Gefahr einer Verwirrung) die Einheitengruppe ur imagin¨ar-quadratische Zahlk¨orper von K nennt und mit EK bezeichnet. F¨ kann EK leicht bestimmt werden. Satz 6.7.3. In einem imagin¨ar-quadratischen Zahlk¨orper K sind alle Einheiten Einheitswurzeln. Insbesondere ist EK endlich und f¨ ur d
= −1, −3 gilt EK = {±1}. Beweis. Die Norm N (e) = σ(e)e einer Einheit in e ∈ OK ist offensichtlich eine Einheit in ZZ, also gleich ±1. Im Fall d < 0 gilt σ(e) = e¯ (komplexe Konjugation) und folglich ist N (e) = e¯e das Quadrat des komplexen Absolutbetrages. Daher hat jede Einheit e den komplexen Absolutbetrag 1 und es gilt N (e) = 1. F¨ ur die Spur Sp(e) = e + e¯ folgt mit Hilfe der Dreiecksungleichung |Sp(e)| ≤ 2. Die Gleichung e2 − Sp(e)e + N (e) = 0 zeigt, dass e Nullstelle eines der Polynome X 2 + aX + 1 mit a ∈ {−2, −1, 0, 1, 2} ist. Daher ist e eine Einheitswurzel. ⊓ ⊔

114

Kapitel 6. Quadratische Zahlk¨ orper

F¨ ur reell-quadratische Zahlk¨ orper ist das Problem der Einheitenbestimmung schwieriger. Die einzigen Einheitswurzeln√in einem reell-quadratischen √ Zahlk¨ √ ist wegen (1 + 2)(−1 + 2) = 1 die Zahl √orper sind ±1, aber z.B. (1 + 2) eine Einheit in Q( 2). Wir beginnen mit einem Lemma. √ Lemma 6.7.4. Sei d > 0 und K = Q( d) als Teilk¨orper von IR aufgefasst. Sei M > 1 eine beliebige reelle Zahl. Dann existieren h¨ochstens endlich viele Einheiten e ∈ OK mit 1 < e < M . Beweis. F¨ ur eine Einheit e gilt eσ(e) = N (e) = ±1. Aus 1 < e folgt daher −1 < σ(e) < +1. F¨ ur e < M liegt Sp(e) = e + σ(e) zwischen 0 und M + 1. Daher kommen f¨ ur Spur und Norm von e nur endlich viele Werte in Frage. Also ist e eine der endlich vielen Nullstellen der endlich vielen Polynome ⊓ ⊔ X 2 − aX + b mit a ∈ {1, 2, . . . , M }, b ∈ {±1}. Lemma 6.7.5. Sei K ein reell-quadratischer Zahlk¨orper. Angenommen, es gibt eine von ±1 verschiedene Einheit. Dann gibt es eine von ±1 verschiedene Einheit ε, so dass jede Einheit e ∈ EK eine eindeutige Darstellung der Form hat.

e = ±εa ,

a ∈ ZZ,

Beweis. Mit e sind auch −e, e−1 und −e−1 Einheiten. Also k¨onnen wir annehmen, dass eine Einheit > 1 existiert. Nach Lemma 6.7.4 existiert dann eine kleinste Einheit ε > 1. Um zu zeigen, dass jede Einheit von der Form ugt es zu zeigen, dass jede Einheit e > 1 von der Form ±εa , a ∈ ZZ, ist, gen¨ are nicht von dieser Form. Dann existiert ein εn , n > 0 ist. Angenommen, e w¨ n > 0 mit εn < e < εn+1 . Hieraus folgt, dass eε−n eine Einheit mit 1 < eε−n < ε ist. Aber wir haben angenommen, dass ε minimal ist. Die Eindeutigkeit der Darstellung ist klar. ⊓ ⊔ Eine Einheit ε wie in Lemma 6.7.5 heißt Grundeinheit von K. Die in Lemma 6.7.5 gemachte Voraussetzung ist stets erf¨ ullt. Das ist der Inhalt des folgenden Theorems. Theorem 6.7.6. Jeder reell-quadratische Zahlk¨orper besitzt eine Grundeinheit, d.h. eine Einheit ε, so dass jede Einheit e ∈ EK eine eindeutige Darstellung der Form e = (−1)k εa , a ∈ ZZ, k ∈ {0, 1}, besitzt.

Beweis. Nach Lemma 6.7.5 gen¨ ugt es zu zeigen, dass eine von ±1 verschiedene Einheit existiert. Die Strategie ist die folgende. Wir konstruieren eine Folge α1 , α2 , . . . von Elementen in OK so, dass

6.7 Einheiten in quadratischen Zahlk¨ orpern

115

(i) |αi+1 | < |α√ und i| (ii) |N (αi )| ≤ ∆K √ f¨ ur alle i ∈ IN gilt. Da es nur endlich viele Ideale der Norm ≤ ∆K gibt, existieren i
= j mit (αi ) = (αj ). Daher ist α−1 i αj eine Einheit. Bedingung (i) impliziert, dass diese von ±1 verschieden ist. Wir kommen nun zur Konstrukachst bemerken wir, dass die Menge der (x, y) ∈ IR2 tion der Folge αi . Zun¨ mit |a11 x + a12 y| ≤ b1 , |a21 x + a22 y| ≤ b2 , aij , bi ∈ IR, bi > 0, eine zentralsymmetrische konvexe Teilmenge im IR2 vom Fl¨ acheninhalt 4b1 b2 I= | det(aij )|

ist. Wir fassen die Elemente ω und σ(ω) u ¨ ber die Einbettung K ⊆ IR auch als reelle Zahlen auf. Das Gebiet M1 der (x, y) ∈ IR2 mit ! |x − ωy| ≤ 1, |x − σ(ω)y| ≤ ∆K   −1 √ hat den Fl¨ acheninhalt I(M1 ) = 4 ∆K  det 1, −ω, 1, −σ(ω)  = 4. Nach dem Minkowskischen Gitterpunktsatz existieren a1 , b1 ∈ ZZ mit (a1 , b1 ) ∈ M1 und (a1 , b1 )
= (0, 0). Wir setzen α1 = a1 − b1 ω√∈ OK . Offenbar gilt |α1 | ≤ 1 und |N (α1 )| = |(a1 − b1 ω)| · |(a1 − b1 σ(ω))| ≤ ∆K . Nehmen wir nun an, wir h¨ atten αi mit (i) und (ii) konstruiert. Dann betrachten wir das Gebiet Mi+1 der (x, y) ∈ IR2 mit 2 ! |αi | , |x − σ(ω)y| ≤ ∆K . |x − ωy| ≤ 2 |αi | Nach dem Minkowskischen Gitterpunktsatz existieren ai+1 , bi+1 ∈ ZZ mit (ai+1 , bi+1 ) ∈ M1 und (ai+1 , bi+1 )
= (0, 0). Wir setzen αi+1 = ai+1 − bi+1 ω. Offenbar gilt |αi+1 | ≤ |α2i | < |αi | und ! |N (αi+1 )| = |(ai+1 − bi+1 ω)| · |(ai+1 − bi+1 σ(ω))| ≤ ∆K . Das beendet den Beweis.

⊓ ⊔

In einem reell-quadratischen Zahlk¨ orper existieren genau vier Grundeinheiten. Ist ε eine Grundeinheit, so sind die anderen Grundeinheiten gerade −ε, assig spricht man oft auch von der Grundeinheit ε−1 und −ε−1 . Etwas nachl¨ von K. In der ur √ Praxis kann es schwer sein, die Grundeinheit zu finden. Z.B. ist f¨ K = Q( 94) die Grundeinheit durch √ ε = 2143295 + 221064 94 gegeben. Wenn die Grundeinheit Norm 1 hat, dann hat jede Einheit √ die Norm√1. Es tauchen aber auch Grundeinheiten der Norm −1 auf, z.B.√1 + 2 ur die die Grundeinheit von Q( d) die in Q( 2). Die Werte 1 < d < 100, f¨ Norm −1 hat, sind die folgenden: 2, 5, 10, 13, 17, 26, 29, 37, 41, 53, 58, 61, 65, 73, 74, 82, 85, 89, 97.

116

Kapitel 6. Quadratische Zahlk¨ orper

Das nachstehende Kriterium werden wir in Abschnitt 10.7 beweisen. Satz 6.7.7. Sei p ≡ 1 mod 4 eine Primzahl. Dann hat die Grundeinheit von √ K = Q( p) die Norm −1. Ein Algorithmus, der nacheinander Grundeinheiten f¨ ur alle reell-quadratischen Zahlk¨ orper auswirft, ergibt sich aus dem Beweis von Lemma 6.7.4. Man testet f¨ ur a = 1, 2, 3, . . . die Nullstellen von X 2 − aX ± 1 darauf, ob sie eine Einheit > 1 in einem reell-quadratischen Zahlk¨orper sind. Wenn ja, hat man eine Grundeinheit gefunden. Wir rechnen bis zum dritten Schritt, um das Prinzip zu erl¨ autern: a = 1: Die Gleichung X 2 − X + 1 = 0 hat keine osungen. Die Gleichung √ reellen L¨ osungen 12 (1 ± 5). Wir finden die Grundeinheit X 2 − X − 1 = 0 hat die L¨ √ √ ε = 12 (1 + 5) des K¨ orpers Q( 5). osung X = 1. a = 2: Die Gleichung X 2 − 2X + 1 = 0 hat die rationale Doppell¨ √ Die Gleichung X 2 − 2X osungen 1 ± 2. Wir finden die √ L¨ √ − 1 = 0 hat die orpers Q( 2). Grundeinheit ε = 1 + 2 des K¨ √ 2 osungen 21 (3± 5). Die Grundeinheit a = 3: Die Gleichung X −3X+1 = 0 hat die L¨ √ von Q( 5) haben wir√aber schon gefunden. Die Gleichung X 2 − 3X − 1√= 0 hat die L¨ osungen 21 (3 ± 13). Wir erhalten die Grundeinheit ε = 21 (3 + 13) des √ K¨ orpers Q( 13). und so weiter . . .

Der Fall allgemeiner Zahlk¨ orper: Sei K ein Zahlk¨ orper vom Grad n. Dann gibt es (nach Galoistheorie, siehe z.B. [Bo], Kap. 4) genau n verschiedene K¨ orpereinbettungen τ : K ֒→ C. Sei r1 die Anzahl der τ mit τ (K) ⊂ IR. Die verbleibenden Einbettungen tauchen paarweise auf, weil die Nachschaltung der komplexen Konjugation eine weitere Einbettung von K nach C erzeugt. Die Anzahl der komplexen Einbettungen sei gleich 2r2 , so dass wir die Formel r1 + 2r2 = n erhalten. Beispiele: K imagin¨ ar-quadratisch: r1 = 0, r2 = 1, n = 2. K reell-quadratisch: r1 = 2, r2 = 0, n = 2. √ K = Q( 3 2) : r1 = 1, r2 = 1, n = 3. Die Einheitengruppe EK von K hat nach dem Dirichletschen Einheitensatz die folgende Struktur: Es gibt s = r1 + r2 − 1 Grundeinheiten ε1 , . . . , εs und jede Einheit e ∈ EK hat eine eindeutige Darstellung der Form e = ζεa1 1 · · · εas s

mit a1 , . . . , as ∈ ZZ und einer Einheitswurzel ζ aus K. Die Menge der Einheitswurzeln in K ist endlich. F¨ ur Beweise dieser Aussagen siehe [Neu], Kap. I.

6.8 Anwendung auf diophantische Gleichungen

117 √

Aufgabe 1. Man finde eine Grundeinheit des K¨ orpers Q( 3). √ √ Aufgabe 2. Man finde Grundeinheiten der K¨ orper Q( 21) und Q( 29). Aufgabe 3. Man √ zeige: Ist d > 0 durch eine Primzahl p ≡ 3 mod 4 teilbar, so hat jede Einheit in Q( d ) die Norm +1. Aufgabe 4. Man zeige, dass unter den Summen 1 + 2 + · · · + n unendlich viele Quadratzahlen vorkommen. √ Hinweis: Man benutze die Kenntnis der Einheitengruppe von Q( 2).

6.8 Anwendung auf diophantische Gleichungen Als Beispiele daf¨ ur, wie sich die in diesem Kapitel erarbeiteten Techniken anwenden lassen, zeigen wir nun die folgenden S¨atze. Satz 6.8.1. Die Gleichung

X2 + 5 = Y 3

hat keine ganzzahlige L¨osung. Bemerkung: Diese Gleichung hat L¨ osungen modulo n f¨ ur jedes n ≥ 1 und (offensichtlich) auch reelle L¨ osungen. Beweis. Wir nehmen an, dass x, y ∈ ZZ mit x2 + 5 = y 3 existieren. W¨are 3 x durch 5 teilbar, so auch y. Dann w¨ are x2 + 5 durch √ 5 teilbar, ist aber kongruent 5 modulo 25. Also 5 ∤ x. Im K¨ orper K = Q( −5) erhalten wir die √ √ Gleichung (x + −5)(x − −5) = y 3 . √ √ 2 und 5 sind√in K Sei α = x + −5, also σ(α) √ = x − −5. Die Primzahlen verzweigt. Sei p = (2, 1 + −5) das Primideal mit p2 = (2) und q = ( −5) das Primideal mit q2 = (5). Wir zeigen (α, σ(α)) = pi , mit i = 0 oder i = 1. √ Zun¨ achst gilt (α, σ(α)) ⊃ (α − σ(α)) = (2 −5). Daher kommen als Primteiler des Ideals (α, σ(α)) nur p und q in Frage. Aus q |(α) folgt q |(x), also 5 | x, ur ein i ≥ 0. was wir schon ausgeschlossen haben. Also gilt (α, σ(α)) = pi f¨ √ Wegen 2 ∤ (x + −5) gilt i ∈ {0, 1}. Ist x gerade, so ist N (α) = x2 + 5 ungerade, also p ∤ √ (α) und deshalb gilt i = 0. Ist x ungerade, so folgt aus α = (x − 1) + (1 + −5), dass p |(α) und p |(σ(α)), und daher gilt i = 1. Als n¨ achstes zeigen wir die Existenz eines Ideals a mit a3 = (α). Um das einzusehen, gen¨ ugt es zu zeigen, dass die Vielfachheit jedes Primideals in der Zerlegung von (α) durch 3 teilbar ist. Ist P ein in (α), aber nicht in (σ(α)) aufgehendes Primideal, so muss wegen (α)(σ(α)) = (y)3 die Vielfachheit von P durch 3 teilbar sein. Es verbleibt der Fall, dass x ungerade und

118

Kapitel 6. Quadratische Zahlk¨ orper

P = p ist. Sei pk ||(α). Dann gilt pk ||(σ(α)) und p2k ||(y)3 , woraus 3|2k, also 3|k folgt. Es gilt hK = 2 (siehe Abschnitt 6.6, Seite 112) und a3 ist ein Hauptideal. Nach Korollar 6.6.14 ist somit a selbst schon ein Hauptideal. Sei β ∈ OK mit a = (β). Dann gilt (α) = (β)3 , und daher existiert eine Einheit u ∈ EK√mit β in der Form a+ b −5 β 3 = uα. Nach Satz 6.7.3 gilt u = ±1. Stellen wir nun √ dar, so erhalten wir durch Betrachten der Terme vor −5 die Identit¨at (3a2 − 5b2 )b = ±1.

Daher gilt b = ±1 und 3a2 − 5 = ±1. Die letzte Gleichung wird offensichtlich f¨ ur keine ganze Zahl a erf¨ ullt, und wir erhalten den gew¨ unschten Widerspruch. ⊓ ⊔ Mit Hilfe des Einheitensatzes kann man alle L¨osungen der sogenannten ur d > 0 angeben. Pellschen Gleichung X 2 − dY 2 = 1 f¨ Satz 6.8.2. F¨ ur quadratfreies d > 0 hat die Pellsche Gleichung X 2 − dY 2 = 1

unendlich viele ganzzahlige L¨osungen. Es gibt eine L¨osung√(x1 , y1 ), so dass √ alle anderen L¨osungen von der Form ±(xn , yn ) mit xn + yn d = (x1 + y1 d)n , n ∈ ZZ, sind. Beweis. (x,√y) ist offenbar osung der Pellschen√Gleichung, √ genau dann eine L¨ wenn x+ y d ∈ K = Q( d) ein Element der Norm 1 ist. Da x+ y d ganz ist, sind die osungen gerade die Einheiten, die Norm 1 haben und √ auftretenden L¨ in ZZ[ d] ⊂ OK liegen. Sei d
≡ 1 mod 4. Hat die Grundeinheit ε die Norm 1, so sind dies alle Einheiten. Gilt N (ε) = −1, so sind dies gerade die Einheiten von der Form ±(ε2 )n , n ∈ ZZ. Es verbleibt der Fall d ≡ 1 mod 4. Die Menge √ I = {m ∈ ZZ | N (±εm ) = +1, ±εm ∈ ZZ[ d ]}

ist ein Ideal in ZZ. Wir zeigen zun¨ √achst, dass I nicht das Nullideal ist. Dazu gen¨ ugt es, ein b > 0 mit εb ∈ ZZ[ d] zu finden, weil dann 2b ∈ I ist. Sei f¨ ur n>0 √ 1 εn = (an + bn d), an , bn ∈ ZZ, an ≡ bn mod 2. 2 √ Wegen N (ε) = ±1 gilt ε−n = ± 21 (an −bn d). Da es nur endlich viele M¨oglichkeiten f¨ ur die Restklassen von ai und bi modulo 4 gibt, findet man n > m mit an ≡ am , bn ≡ bm mod 4. Dann gilt √ √ εn−m = ± 14 (an + bn d)(am − bm d) √  √  = ± 41 an am − bn bm d + (am bn − an bm ) d ∈ ZZ[ d ]. √ Folglich gilt I = aZZ f¨ ur ein a
= 0. Ist εa = x1 + y1 d, so ist (x1 , y1 ) die gesuchte Grundl¨ osung. ⊓ ⊔

6.9 Kriterien f¨ ur hK > 1

119

Aufgabe: Man finde eine nichttriviale ganzzahlige L¨ osung (x, y, z) ∈ ZZ3 der Glei2 2 3 chung X + 5Y = Z (nichttrivial bedeutet xyz = 0).

6.9 Kriterien fu ¨ r hK > 1 √ Sei K = Q( d) ein quadratischer Zahlk¨ orper. Wie u ¨blich nehmen wir an, dass d ganz und quadratfrei ist. In diesem Abschnitt werden wir Folgerungen aus hK = 1 ziehen. Im Umkehrschluss erhalten wir hinreichende Kriterien f¨ ur die ¨ Nichttrivialit¨ at der Idealklassengruppe. Basis unserer Uberlegungen sind die folgenden einfachen Lemmata. Lemma 6.9.1. Sei hK = 1. Dann ist f¨ ur jede Primzahl q, die nicht tr¨age in K ist, q oder −q Norm eines Elementes aus OK . Beweis. Es gilt (q) = q1 q2 mit Primidealen q1 , q2 ⊂ OK . Wegen hK = 1 ur ein Primelement α ∈ OK und q2 = (σ(α)). Folglich gilt gilt q1 = (α) f¨ N (α) = ±q. ⊓ ⊔ Lemma 6.9.2. Ist a ∈ ZZ Norm eines Elementes aus OK , so gilt   a
= −1 p f¨ ur jeden ungeraden Primteiler p von d. √ Beweis. Ist d
≡ 1 mod 4, so gilt a = N (b + c d) f¨ ur b, c ∈ ZZ. Folglich ist a = b2 − dc2 durch p teilbar oder quadratischer Rest modulo p. Im Fall d ≡ 1 mod 4 erhalten wir 4a = b2 − dc2 , b, c ∈ ZZ, und damit das gleiche Ergebnis. ⊓ ⊔ Im Beweis der n¨ achsten S¨ atze werden wir den Dirichletschen Primzahlsatz benutzen, den wir erst in Abschnitt 8.6 mit analytischen Methoden beweisen werden. Er besagt, dass es zu teilerfremden nat¨ urlichen Zahlen a und n stets unendlich viele Primzahlen kongruent a modulo n gibt. Satz 6.9.3. Es sei d < 0 und hK = 1. Dann ist d = −1 oder d = −p f¨ ur eine Primzahl p
≡ 1 mod 4. Beweis. Angenommen, −d h¨ atte mehr als einen Primteiler, also −d = p1 p2 d′ ′ mit p1 , p2 , d ∈ IN und p1 < p2 Primzahlen. 1. Fall: p1 = 2. Wir w¨ ahlen uns eine Primzahl q ≡ 5 mod 8, die quadratischer Nichtrest modulo p2 und quadratischer Rest modulo jedes Primteilers von d′ ist. Dass man eine solche Primzahl q findet, folgt mit Hilfe des Chinesischen Restklassensatzes aus dem Dirichletschen Primzahlsatz. Wir erhalten         ′  ∆K d −1 2 p2 d = = = (+1)(−1)(−1)(+1) = +1. q q q q q q

120

Kapitel 6. Quadratische Zahlk¨ orper

Daher ist q in OK zerlegt und nach Lemma 6.9.1 Norm eines Elementes aus OqK (wegen d < 0 kann −q nicht Norm sein). Nach Lemma 6.9.2 ist deshalb p2
= −1 im Widerspruch zur Konstruktion von q. ahlt eine Primzahl q ≡ 1 mod 8, die quadratischer 2. Fall: p1 > 2. Man w¨ Nichtrest modulo p1 und p2 und quadratischer Rest modulo jedes ungeraden Primteilers von d′ ist. Wir erhalten         ′  ∆K d −1 p1 p2 d = = = (+1)(−1)(−1)(+1) = +1. q q q q q q Wie vorher schließen wir, dass sich q in OK zerlegt und nach Lemma 6.9.1 Norm eines Elementes aus OK ist. Dies f¨ uhrt wieder wegen Lemma 6.9.2 zum Widerspruch. Also gilt d = −1 oder d = −p f¨ ur eine Primzahl p. Den Fall p ≡ 1 mod 4 schließen wir auf ¨ahnliche Weise aus. Dann w¨ urden wir n¨amlich eine Primzahl q ≡ 3 mod 4 finden, die Nichtrest modulo p ist, und es gilt        d −1 p ∆K = = = (−1)(−1) = +1. q q q q Also zerlegt sich q in OK , ist nach Lemma 6.9.1 Norm eines Elements aus OK , im Widerspruch zu Lemma 6.9.2. ⊓ ⊔ Der reell-quadratische Fall ist geringf¨ ugig komplizierter. Satz 6.9.4. Es sei d > 1 und hK = 1. Dann ist d eine Primzahl oder das Produkt zweier Primzahlen inkongruent 1 modulo 4. Beweis. Es sei d = p1 p2 d′ , d′ ∈ IN, p1
= p2 Primzahlen. Unter der Voraussetzung hK = 1 schließen wir nacheinander die folgenden F¨alle aus. 1. Fall: p1 = 2, p2 ≡ 1 mod 4. Wir w¨ ahlen eine Primzahl q ≡ 5 mod 8, die kein quadratischer Rest modulo p2 , aber quadratischer Rest modulo eines jeden Primteilers von d′ ist. Dann gilt        ′  ∆K d 2 p2 d = = = (−1)(−1)(+1) = +1. q q q q q √ Also ist q zerlegt in Q( d). Nach Lemma 6.9.1   ist q oder−q Norm eines = 1. Nach Elementes aus OK . Nach Lemma 6.9.2 gilt pq2 = 1 oder −q p2 Voraussetzung ist aber der erste Wert gleich −1, und wegen p2 ≡ 1 mod 4 gilt dies auch f¨ ur den zweiten. 2. Fall: p1 = 2, p2 ≡ 3 mod 4, d′ > 1. Wir k¨onnen annehmen, dass d′ nur Primteiler kongruent 3 modulo 4 hat, ansonsten kommen wir in Fall 1. Wir w¨ ahlen eine Primzahl q ≡ 5 mod 8, die kein quadratischer Rest modulo p2 , aber quadratischer Rest modulo jedes Primteilers von d′ ist. Dann gilt        ′  ∆K d 2 p2 d = = = (−1)(−1)(+1) = +1. q q q q q

6.10 Euklidizit¨ at von OK

121





Es folgt, dass q oder −q Norm eines Elementes aus OK ist. Wegen pq2 = −1 und Lemma 6.9.2 kann q keine Norm sein. Folglich ist −q Norm und f¨ ur einen beliebig gew¨ ahlten Primteiler p von d′ gilt      −q −1 q = = −1, p p p im Widerspruch zu Lemma 6.9.2. onnen p2
= 2 annehmen, ansonsten sind wir im 3. Fall: p1 ≡ 1 mod 4. Wir k¨ Fall 1. Genauso k¨ onnen wir annehmen, dass d′ ungerade ist. Wir w¨ahlen eine Primzahl q ≡ 1 mod 4, die kein quadratischer Rest modulo p1 und p2 , aber quadratischer Rest modulo jedes Primteilers von d′ ist. Dann gilt        ′  ∆K d p1 p2 d = = = (−1)(−1)(+1) = +1. q q q q q   q Also ist q oder −q Norm, aber es gilt ±q p1 = p1 = −1, im Widerspruch zu Lemma 6.9.2. 4. Fall: p1 ≡ 3 mod 4, p2 ≡ 3 mod 4, d′ > 1. Wir k¨onnen annehmen, dass jeder Primteiler von d′ kongruent 3 modulo 4 ist, ansonsten kommen wir in Fall 2 oder 3. Wir w¨ ahlen eine Primzahl q ≡ 1 mod 4, die kein quadratischer Rest modulo p1 und p2 , aber quadratischer Rest modulo eines jeden Primteilers von d′ ist. Dann gilt        ′  ∆K d p1 p2 d = = = (−1)(−1)(+1) = +1. q q q q q   Also ist q oder −q Norm eines Elements aus OK . Wegen pq1 = −1 scheidet ′ q aus,  also  −1 ist  q −q  Norm. Ist nun p ein beliebiger Primteiler von d , so gilt −q = p p = −1, im Widerspruch zu Lemma 6.9.1. p Dies beendet den Beweis. ⊓ ⊔ Man kann sogar zeigen, dass in den ausgeschlossenen F¨allen die Klassenzahl stets gerade ist. Wir werden dies in Abschnitt 10.7 im Rahmen der sogenannten Geschlechtertheorie beweisen.

6.10 Euklidizit¨ at von OK In diesem Abschnitt werden wir alle d < 0 bestimmen, f¨ ur die der Ring √ der ar-quadratischen Zahlk¨orpers K = Q( d) euganzen Zahlen OK des imagin¨ klidisch ist. √ Theorem 6.10.1. Der Ring OK , K = Q( d), d < 0, ist genau f¨ ur die folgenden Werte von d euklidisch: d = −1, −2, −3, −7, −11. Wir beginnen mit dem Nachweis der Euklidizit¨at.

122

Kapitel 6. Quadratische Zahlk¨ orper

√ Satz 6.10.2. F¨ ur K = Q( d) und d = −1, −2, −3, −7, −11 ist die Norm N : OK  {0} → IN, a → a¯ a = |a|2 , eine euklidische Normfunktion. Beweis. Die F¨ alle d = −1, −2 sind bereits behandelt √ worden (Korollar 4.6.2). Also sei d ∈ {−3, −7, −11}. Dann ist mit ω = (1 + d)/2 das Paar (1, ω) eine Ganzheitsbasis. Behauptung: Zu jedem x ∈ K existiert ein q ∈ OK mit |x − q| < 1. Beweis der Behauptung: Wir k¨ onnen durch Subtraktion eines geeigneten Elements aus OK annehmen, dass x! in der von (1, ω) aufgespannten Grundmasche liegt, welche den Fl¨ acheninhalt |d|/2 hat. Die Grundmasche ist die Vereinigung der beiden kongruenten Dreiecke mit Eckpunkten 0, 1, ω bzw. 1, 1 + ω, ω. F¨ ur den Umkreisradius R dieser Dreiecke erhalten wir nach der Formel Pro” dukt der Seitenl¨ angen durch 4 mal Fl¨ acheninhalt“: √

√ 1−d · 1−d 2 ! 2

·1 1−d = ! . |d| 4 |d| F¨ ur die betrachteten Werte von d ist der Umkreisradius daher kleiner 1. Nun liegt x in einem dieser Dreiecke und hat daher zu einem der Punkte 0, 1, ω, 1+ω einen Abstand kleiner 1. Das zeigt die Behauptung. Nun seien a, b ∈ OK , b
= 0, beliebig. Wir finden ein q ∈ OK mit | ab − q| < 1 und setzen r = a − bq. Dann gilt |r| = |a − bq| < |b|. ⊓ ⊔ √ ur d = −5, −6, −10 eine nichttriviale IdealNach Satz 6.9.3 hat Q( d) f¨ klassengruppe und daher kann der Ring OQ(√d) f¨ ur diese Werte von d nicht euklidisch sein. Es bleibt zu zeigen, dass f¨ ur d < −11 der Ring OQ(√d) niemals euklidisch ist. Mit dem folgenden Satz ist der Beweis von Theorem 6.10.1 beendet. √ Satz 6.10.3. F¨ ur d < −11 und K = Q( d) gibt es auf OK keine euklidische Normfunktion. R=

Beweis. Sei d ≤ −12. Dann gilt f¨ ur jedes a ∈ OK , a
= 0, ±1, die Ungleichung N (a) > 3. Wir nehmen nun an, dass OK euklidisch ist. Dann gibt es eine Normfunktion ν wie in Satz 4.2.2. Sei nun b ∈ OK eine von Null verschiedene Nichteinheit, welche unter allen Nichteinheiten einen minimalen Wert ν(b) hat. Dann ist jedes a ∈ OK entweder durch b teilbar, oder es gilt a = qb + e × . Da ±1 die einzigen Einheiten in OK sind, gibt es f¨ ur eine Einheit e ∈ OK h¨ ochstens drei Restklassen modulo b in OK . Wir erhalten 3 ≥ #(OK /(b)) = N((b)) = N (b) > 3.

Dieser Widerspruch zeigt, dass OK nicht euklidisch ist.

⊓ ⊔

Wir erhalten somit als Beispiele f¨ ur imagin¨ ar-quadratische Zahlk¨ √orper der Klassenzahl 1 mit nicht-euklidischem Ganzheitsring die K¨orper Q( d) mit d = −19, −43, −67, −163.

6.10 Euklidizit¨ at von OK

123

Bemerkung: Im reell-quadratischen ist die Situation anders. Unter Annahme der verallgemeinerten Riemannschen Vermutung wurde gezeigt, dass f¨ ur jedes d > 0 mit hQ(√d) = 1 der Ring OQ(√d) euklidisch ist. Allgemeiner gilt unter Annahme der verallgemeinerten Riemannschen Vermutung, dass f¨ ur jeden Zahlk¨ orper K mit hK = 1 und unendlicher Einheitengruppe der Ring OK euklidisch ist, siehe [We]. Ist K galoissch u ¨ ber Q und hat einen Einheitenrang gr¨ oßer gleich 4, so ist dies auch ohne Annahme der verallgemeinerten Riemannschen Vermutung bewiesen, siehe [HM].

Kapitel 7 Der Große Fermatsche Satz

Die folgende Behauptung wurde 1637 von Fermat aufgestellt, wird verwirrenderweise Großer Fermatscher Satz genannt und wurde erst im Jahr 1994 von A. Wiles [Wi, TW] bewiesen. Großer Fermatscher Satz (Wiles). F¨ ur jede nat¨ urliche Zahl n ≥ 3 hat die Gleichung Xn + Y n = Zn keine nichttrivialen (d.h. xyz
= 0) L¨osungen (x, y, z) ∈ ZZ3 . Um Wiles’ Beweis wiederzugeben, der auf den Techniken der arithmetischen algebraischen Geometrie und auf der Theorie der Modulformen beruht, fehlen uns in diesem Buch die Voraussetzungen. Wir werden den Großen Fermatschen Satz nur f¨ ur kleine Exponenten beweisen und einige Ergebnisse ohne Beweis vorstellen. Zun¨ achst kann man die in Frage kommenden Exponenten n einschr¨anken. Jede nat¨ urliche Zahl n ≥ 3 ist durch 4 oder durch eine ungerade Primzahl p teilbar. Durch Ausklammern gibt uns daher jede nichttriviale L¨osung der Gleichung osung der Gleichung X 4 + Y 4 = Z 4 oder X n + Y n = Z n eine nichttriviale L¨ eine nichttriviale L¨ osung einer Gleichung X p + Y p = Z p mit einer ungeraden Primzahl p. Um den Großen Fermatschen Satz zu beweisen, gen¨ ugt es daher, diese beiden F¨ alle zu betrachten.

7.1 Der Fall n = 4 Im Fall n = 4 ist der Beweis elementar. Man kann sogar etwas mehr zeigen. Satz 7.1.1. Die Gleichung X4 + Y 4 = Z2 hat keine nichttrivialen ganzzahligen L¨osungen.

126

Kapitel 7. Der Große Fermatsche Satz

Der Beweis beruht auf der Technik des unendlichen Abstiegs“, d.h., g¨abe es ” eine nichttriviale L¨ osung, so g¨ abe es auch eine in geeignetem Sinne kleinere nichttriviale L¨ osung. Beweis. Angenommen die Gleichung h¨ atte nichttriviale ganzzahlige L¨osungen. Unter diesen sei (x, y, z) eine L¨ osung mit kleinstm¨oglichem Wert |z| ∈ IN. Wir werden aus (x, y, z) eine weitere nichttriviale L¨osung (x′ , y ′ , z ′ ) mit |z ′ | < |z| konstruieren. Dies widerspricht der Annahme u ¨ ber (x, y, z) und zeigt den Satz. Wir k¨ onnen o.B.d.A. annehmen, dass x, y, z > 0 gilt. W¨aren x und y nicht teilerfremd und p eine Primzahl mit p | x, p | y, so folgte p4 |z 2 und daher p2 |z. Die Gleichung  4  4  2 x y z + = p p p2

liefert dann eine weitere L¨ osung der Gleichung X 4 + Y 4 = Z 2 mit betragsm¨ aßig kleinerer dritter Komponente. Analog schließt man, wenn (x, z) > 1 oder (y, z) > 1 ist. Also k¨ onnen wir x, y und z als paarweise teilerfremd annehmen. Die Zahlen x und y k¨ onnen nicht beide ungerade sein, weil sonst urde, was nicht m¨ oglich ist. Sei o.B.d.A. x ungerade, z 2 ≡ 2 mod 4 gelten w¨ y gerade, also z ungerade. Wir schreiben die Gleichung in der Form y 4 = (z − x2 )(z + x2 )

und betrachten den gr¨ oßten gemeinsamen Teiler d = (z − x2 , z + x2 ). Zun¨achst gilt 2|d. G¨ abe es eine ungerade Primzahl p mit p | d, so folgte p | 2z, p | 2x2 , im Widerspruch zu (x, z) = 1. Wegen 4 ∤ 2z gilt d = 2. Das Produkt von z − x2 und z + x2 ist eine vierte Potenz. W¨ are z − x2 genau einmal durch 2 teilbar, g¨ abe es ganze Zahlen a, b mit (a, b) = 1, 2 ∤ a und z − x2 = 2a4 , z + x2 = 8b4 . Dies ist nicht m¨ oglich, weil dann x2 = 4b4 − a4 kongruent −1 modulo 4 w¨are. 2 Daher ist z + x genau einmal durch 2 teilbar, und es existieren ganze Zahlen a, b, (a, b) = 1, 2 ∤ b mit z − x2 = 8a4 z + x2 = 2b4 . Aus a = 0 w¨ urde z 2 = x4 , also y = 0 folgen. Daher k¨onnen wir o.B.d.A. a, b > 0 annehmen. Wegen (a, b) = 1 und x2 = b4 − 4a4 gilt (b, x) = 1. F¨ ur eine ungerade Primzahl p folgen aus p | (b2 − x) und p | (b2 + x) die Aussagen p|b und p|x. Daher gilt (b2 − x, b2 + x) = 2. Aus der Gleichung 4a4 = (b2 − x)(b2 + x)

schließen wir die Existenz von c, d ∈ ZZ mit

b2 − x = 2c4 b2 + x = 2d4 .

So erhalten wir die Gleichung c4 + d4 = b2 .

7.2 Der Satz von Sophie Germain

127

Wegen 2b4 = z + x2 ≤ z 2 + x4 < 2z 2 folgt b < z. Mit (c, d, b) haben wir eine neue nichttriviale L¨ osung der Gleichung X 4 + Y 4 = Z 2 mit betragsm¨aßig kleinerer dritter Komponente gefunden. Wie am Anfang erkl¨art, beendet dies den Beweis. ⊓ ⊔

7.2 Der Satz von Sophie Germain Von jetzt an sei n = p eine ungerade Primzahl. Bei der Untersuchung der Gleichung Xp + Y p = Zp hat man seit jeher die folgende Fallunterscheidung gemacht. 1. Die Suche nach (nichttrivialen) L¨ osungen (x, y, z) mit p ∤ xyz, der sogenannte erste Fall“. ” 2. Die Suche nach nichttrivialen L¨ osungen (x, y, z) mit p | xyz, der sogenannte zweite Fall“. ” Diese Fallunterscheidung taucht implizit auch in Wiles’ Beweis auf. Das n¨achste Theorem beschreibt eine interessante Methode, den ersten Fall zu behandeln. Sie stammt von Sophie Germain. Theorem 7.2.1. Sei p eine ungerade Primzahl, so dass 2p + 1 wieder eine Primzahl ist. Dann hat die Gleichung Xp + Y p + Zp = 0 keine ganzzahlige L¨osung (x, y, z) mit p ∤ xyz. Beweis. Sei q = 2p + 1 und (x, y, z) eine nichttriviale L¨osung mit paarweise teilerfremden x, y, z ∈ ZZ. Wir formen die Ausgangsgleichung in (−z)p = xp + y p = (x + y)(y p−1 − xy p−2 + · · · + xp−1 )

um. Wegen p ∤ z gilt p ∤ (x + y). Sei r ein Primteiler des gr¨oßten gemeinsamen Teilers von x + y und y p−1 − xy p−2 + · · · + xp−1 . Dann gilt r
= p und x ≡ −y mod r. Daher gilt 0 ≡ y p−1 − xy p−2 + · · · + xp−1 ≡ py p−1

mod r.

Wir erhalten r|y und folglich auch r|z im Widerspruch zur Teilerfremdheit von y und z. Also gilt (x + y, y p−1 − xy p−2 + · · · + xp−1 ) = 1.

Wegen der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung existieren a, t ∈ ZZ mit y

p−1

− xy

p−2

x + y = ap + · · · + xp−1 = tp .

Aus Symmetriegr¨ unden erhalten wir auch ganze Zahlen b, c, s, u mit

128

Kapitel 7. Der Große Fermatsche Satz

x+z y+z z p−1 − yz p−2 + · · · + y p−1 xp−1 − zxp−2 + · · · + z p−1

= = = =

bp cp sp up .

Wegen 2p + 1 = q ist eine p-te Potenz stets kongruent 0, 1 oder −1 modulo q. Aus q > 3 und der Kongruenz xp + y p + z p = 0 ≡ 0

mod q

folgt, dass eine der drei Zahlen x, y, z durch q teilbar ist. O.B.d.A. gelte q | x. Die Zahlen y und z sind dann nicht durch q teilbar. Wir erhalten q | 2x = ap + bp − cp .

Wieder nehmen die Summanden nur die Werte 0, ±1 modulo q an und wir erhalten, dass eine der Zahlen a, b, c durch q teilbar ist. Wegen der paarweisen Teilerfremdheit von x, y und z und da x durch q teilbar ist, kann dies nur c sein. Außerdem folgt q | (ap + bp ) = (2x + y + z). Also gilt y ≡ −z mod q, und wir erhalten sp = z p−1 − yz p−2 + · · · + y p−1 ≡ py p−1

mod q.

p−1

Da weder y noch p durch q teilbar sind, gilt py ≡ ±1 mod q. Nun gilt (−z)p = xp +y p = (x+y)tp . Modulo q schließen wir die Kongruenz y p ≡ ytp und unter erneuter Verwendung von 2p + 1 = q erhalten wir y ≡ ±1 mod q. Folglich gilt y p−1 ≡ 1 mod q und wir erhalten ±1 ≡ py p−1 ≡ p mod q.

Aber wegen q = 2p + 1 kann p nicht kongruent ±1 modulo q sein. Der gefundene Widerspruch zeigt die Aussage des Theorems. ⊓ ⊔ Theorem 7.2.1 wendet sich z.B. auf p = 3, 5, 11, 23 an. Es ist nicht bekannt, ob es unendlich viele Primzahlen p gibt, so dass 2p + 1 auch eine Primzahl ist.

7.3 Kummers Theorem In diesem Abschnitt stellen wir, ohne Beweise zu geben, E. Kummers Resultate zum Großen Fermatschen Satz vor. p−1 X in der Zerlegung T p − 1 = i=0 (T − ζpi ), erh¨alt Substituiert man T = −Y man die Identit¨ at p−1  Xp + Y p = (X + ζpi Y ). i=0

Kummers Idee war es, diese Identit¨ at auszunutzen, um die Fermat-Gleichung zu behandeln. Sie liegt im K¨ orper K = Q(ζp ), den man aus den rationalen Zahlen durch Adjunktion einer p-ten Einheitswurzel erh¨alt. F¨ ur einen modernen Beweis des folgenden Theorems sei der Leser auf [Wa], Thm. 6.23 und Thm. 9.3 verwiesen.

7.3 Kummers Theorem

129

Theorem 7.3.1 (Kummer). Sei p eine ungerade Primzahl und K = Q(ζp ). Gilt p ∤ hK , so hat die Gleichung Xp + Y p = Zp keine nichttriviale ganzzahlige L¨osung. Die Voraussetzung p ∤ hK kann in dem Sinne abgeschw¨acht werden, dass hK nicht oft“ durch p teilbar ist. Es war lange Zeit die Hoffnung, dass man ” diese abgeschw¨ achte Bedingung f¨ ur alle p zeigen kann (getan hat man dies f¨ ur alle p < 4 000 000). Die Frage, ob das f¨ ur alle Primzahlen p richtig ist, ist bis heute offen. Eine positive Antwort w¨ urde einen wesentlich einfacheren Beweis des Großen Fermatschen Satzes liefern. Sei K = Q(ζp ). Man kann zeigen (siehe [Wa], Thm. 11.1), dass hK = 1 nur f¨ ur die Primzahlen p = 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 gilt. Man nennt p regul¨ are Primzahl, wenn die Klassenzahl hK nicht durch p teilbar ist. Gilt p | hK , so heißt die Primzahl p irregul¨ ar. Mit anderen Worten hat Kummer den Großen Fermatschen Satz f¨ ur alle regul¨aren Primzahlen gezeigt. Die kleinste irregul¨ are Primzahl ist p = 37. Die n¨achsten sind 59, 67, 101, 103, 131, 149, 157, . . . . 1

¨ Heuristische Uberlegungen (siehe [Wa], §5.3) legen nahe, dass etwa e− 2 ≃ 61% 1 der Primzahlen regul¨ ar und 1 − e− 2 ≃ 39% der Primzahlen irregul¨ar sind. Computerberechnungen st¨ utzen diese Heuristik. Bis heute weiß man aber noch nicht einmal, ob es unendlich viele regul¨ are Primzahlen gibt. Aber man weiß, dass es unendlich viele irregul¨ are gibt ([Wa], Thm. 5.17). Wie erkennt man, ob eine Primzahl regul¨ ar ist? Zu diesem Zweck betrachtet man die Bernoulli-Zahlen Bn , die eindeutig durch die Potenzreihenentwicklung ∞
xn x = B n ex − 1 n=0 n! gegeben sind. Es gilt B0 = 1, B1 = − 21 , B2 = 61 , B3 = 0 und allgemeiner 1 1 , B6 = 42 , ur n ≥ 1. Die n¨ achsten geraden Werte sind B4 = − 30 B2n+1 = 0 f¨ 1 5 691 B8 = − 30 , B10 = 66 , B12 = − 2730 . F¨ ur die Bernoulli-Zahlen gilt der

Satz 7.3.2 (von Staudt-Clausen). F¨ ur gerades positives n gilt
1 ∈ ZZ. Bn + p p−1|n

Insbesondere ist der Nenner von Bn (in gek¨ urzter Schreibweise) genau durch die Primzahlen p mit (p − 1)|n teilbar .

130

Kapitel 7. Der Große Fermatsche Satz

Wir sehen, dass 2 und 3 stets im Nenner aufgehen, und dass f¨ ur gerades n < p − 1 der Nenner von Bn prim zu p ist. F¨ ur einen Beweis des von StaudtClausenschen Satzes sei der Leser auf [Wa], Thm. 5.10 verwiesen. F¨ ur einen modernen Beweis des folgenden Theorems siehe [Wa], Thm. 5.34. Theorem 7.3.3 (Kummer). Eine Primzahl p ist genau dann irregul¨ar, wenn der Z¨ahler einer der Bernoulli-Zahlen B2 , B4 , . . . , Bp−3 durch p teilbar ist. Zum Beispiel ist der Z¨ ahler von B12 durch 691 teilbar, weshalb 691 irregul¨ ar ist. Theorem 7.3.3 er¨ offnet die M¨ oglichkeit zu Berechnungen. Der tiefere Sinn der Bernoulli-Zahlen erhellt sich erst im Zusammenhang mit der Riemannschen Zetafunktion, siehe Abschnitt 8.4.

7.4 Der Fall n = 3 √ Da wir die Arithmetik von Q(ζ3 ) = Q( −3) gut kennen, k¨onnen wir die Fermat-Gleichung f¨ ur n = 3 behandeln. Wir sammeln zun¨achst unser Wissen √ √ u ¨ ber K = Q(ζ3 ). Wir setzen ζ = ζ3 = 21 (−1 + −3), λ = 1 − ζ = 12 (3 − −3). Lemma 7.4.1. (i) hK = 1. (ii) (1, ζ) ist eine Ganzheitsbasis von OK . (iii) (3) = p2 mit p = (λ). (iv) {0, ±1} ist ein vollst¨andiges Vertretersystem f¨ ur die Restklassen mod p. (v) EK = {±1, ±ζ, ±ζ 2} und diese Menge ist auch ein vollst¨andiges Vertretersystem f¨ ur die primen Restklassen modulo p2 . (vi) F¨ ur α, β ∈ OK und k ≥ 1 gilt: α ≡ β mod pk =⇒ α3 ≡ β 3 mod pk+2 . Beweis. Behauptung (i) kann man daraus schließen, dass OK euklidisch ist (siehe Abschnitt 6.10). Alternativ kann man Theorem 6.6.11 benutzen, um zu sehen, dass jede Idealklasse ein ganzes Ideal der Norm < 2 enth¨alt. Behauptung (ii) folgt aus Satz 6.1.10. Zu (iii) bemerkt man, dass wegen N (λ) = 3 das Ideal p = (λ) prim ist und (3) teilt. Wegen ∆K = −3 und nach Satz 6.1.10 verzweigt die Primzahl 3 in K, also gilt (3) = p2 . Die Zahlen 0, ±1 sind inkongruent modulo 3, also auch inkongruent modulo p. Wegen N(p) = 3 gibt es aber nur drei verschiedene Restklassen modulo p. Dies zeigt (iv). Die Aussage EK = {±1, ±ζ, ±ζ 2 } folgt aus den S¨atzen 6.7.2 und 6.7.3. Es gibt ϕ(p2 ) = 6 prime Restklassen modulo p2 = (3) und die Restklassen der sechs Einheiten sind offenbar prim. Es bleibt zu zeigen, dass keine zwei ur i, j ∈ {0, 1, 2}, i
= j, Elemente aus EK kongruent modulo p2 sind. W¨are f¨ ±ζ i ≡ ±ζ j

mod p2 ,

7.4 Der Fall n = 3

131

so folgte 1 ≡ ±ζ j−i mod p2 , also p2 |(1 ± ζ j−i ). Nun ist f¨ ur j
= i das Element 1 + ζ j−i = −ζ 2(j−i) eine Einheit, weshalb dieser Fall ausscheidet. Andererseits gilt (1 − ζ) = p und (1 − ζ 2 ) = (−ζ 2 )(1 − ζ) = p, weshalb f¨ ur j
= i auch 1 + ζ j−i nicht durch p2 teilbar ist. Daher sind die Elemente in EK paarweise inkongruent modulo p2 , was (v) zeigt. Es bleibt (vi) zu zeigen. Ist α − β ∈ pk , so gilt wegen 3 ∈ p2 α3 − β 3 = (α − β)3 + 3αβ(α − β) ∈ pk+2 .

⊓ ⊔

Satz 7.4.2. F¨ ur 3 | n hat die Gleichung

Xn + Y n = Zn

keine nichttrivialen L¨osungen in OQ(√−3) = ZZ[ζ3 ]. √ Beweis. Wir k¨ onnen n = 3 annehmen und setzen K = Q( −3). Die Gleichung ist ¨ aquivalent zu x3 + y 3 + (−z)3 = 0, d.h. x, y, −z spielen symmetrische Rollen. Sei (x, y, z) eine nichttriviale L¨ osung. Angenommen, x, y und z w¨aren nicht paarweise teilerfremd. Wegen x3 + y 3 = z 3 gibt es dann ein Primideal q mit q |(x), q |(y) und q |(z). Wegen hK = 1 gilt q = (α) f¨ ur ein α ∈ OK , und wir k¨ onnen x, y, z durch α teilen. Auf diese Art und Weise erhalten wir nach endlich vielen Schritten eine L¨ osung (x, y, z) mit paarweise teilerfremden Zahlen x, y, z ∈ OK . Sind x, y, z alle nicht durch p = (λ) teilbar, so gilt nach (7.4.1)(iv) und (vi) ±1 ≡ z 3 = x3 + y 3 ≡ (±1) + (±1) ≡ 0, ±2 mod p3 .

Dies ist nicht m¨ oglich, also haben wir den ersten Fall“ erledigt, d.h. eine der ” drei Zahlen x, y, z muss durch p teilbar sein. Da x, y und −z symmetrische Rollen spielen, gelte o.B.d.A. p | z. Um ein Abstiegsargument zu bekommen, zeigen wir nun mehr, n¨amlich Es gibt keine paarweise teilerfremden α, β, γ ∈ OK , so dass α3 + β 3 = ελ3m γ 3

mit ε ∈ EK , p ∤ αβγ und m ∈ IN gilt. Nehmen wir an, es g¨ abe solche Tripel. Sei (α, β, γ) unter diesen eines mit minimalem m ∈ IN.

Behauptung 1: F¨ ur i, j ∈ {0, 1, 2}, i
= j, gilt (α + ζ i β, α + ζ j β) = p. Beweis: Sei q ein Primideal mit q | (α + ζ i β), q | (α + ζ j β). Dann gilt q |(ζ i − ζ j )β = ζ i (1 − ζ j−i )β. Nun gilt ζ j−i ∈ {ζ, ζ 2 }. Wegen 1 − ζ 2 = (1 − ζ)(−ζ 2 ) schließen wir in jedem Fall q | (Einheit)(1 − ζ)β.

Folglich gilt q = p = (1 − ζ) oder q |β. Analog erhalten wir

q | ζ −i (α + ζ i β) − ζ −j (α + ζ j β) = (ζ −i − ζ −j )α = (Einheit)(1 − ζ)α.

132

Kapitel 7. Der Große Fermatsche Satz

Dies impliziert q = p oder q | α. Die Annahme q
= p f¨ uhrt daher zum Widerspruch gegen die Teilerfremdheit von α und β, weshalb q = p gilt. Es bleibt zu zeigen, dass p in der Tat α + ζ i β teilt. Wegen p | (α + β)(α + ζβ)(α + ζ 2 β) = ελ3m γ

teilt p mindestens eine der Zahlen α+ζ i β. Aber die Differenzen der Zahlen sind durch p teilbar, also sind sie s¨ amtlich durch p teilbar. Das zeigt Behauptung 1. Unter Verwendung von Behauptung 1 k¨ onnen wir nun, nach eventueller Multiplikation von α und β mit einer Potenz von ζ, annehmen, dass α + ζβ und α + ζ 2 β genau einmal durch p teilbar sind. Es gilt dann (α + β) = p3m−2 c31 (α + ζβ) = pc32 (α + ζ 2 β) = pc33 mit ganzen, von p verschiedenen und paarweise teilerfremden Idealen c1 , c2 , c3 . Da p ein Hauptideal ist, ist c3i , i = 1, 2, 3, ein Hauptideal. Wegen 3 ∤ hK sind die Ideale ci bereits selbst Hauptideale. Sei ci = (ci ), i = 1, 2, 3. Behauptung 2: Es gilt m ≥ 2. Beweis: Die Elemente α, β ∈ OK sind nicht durch p teilbar. Daher k¨onnen wir ihre Restklasse modulo p2 durch eine der in Lemma 7.4.1(v) angegebenen Zahlen repr¨ asentieren. Nach Lemma 7.4.1(vi) gilt daher α3 + β 3 ≡ (±1) + (±1) mod p4 .

Wegen p | (α3 + β 3 ) gilt daher λ3m εγ 3 = α3 + β 3 ≡ 0 mod p4 und deshalb muss m ≥ 2 sein. Dies zeigt Behauptung 2. Wir schreiben jetzt α + β = λ3m−2 ε1 c31 α + ζβ = λε2 c32 α + ζ 2 β = λε3 c33 mit Einheiten εi , i = 1, 2, 3. Multiplizieren wir die erste Gleichung mit ζ, die zweite mit ζ 2 und addieren auf, so erhalten wir wegen 1 + ζ + ζ 2 = 0 die Gleichung 0 = λ3m−2 ε1 ζc31 + λε2 ζ 2 c32 + λε3 c33 . Division durch ε3 λ ergibt eine Gleichung ε′ λ3(m−1) c31 = ηc32 + c33 mit Einheiten ε′ , η ∈ OK . Da die ci prim zu p sind, folgt aus Lemma 7.4.1(iv), ur i = dass ci ≡ ±1 mod p ist. Nach Lemma 7.4.1(vi) gilt c3i ≡ ±1 mod p3 f¨ 1, 2, 3. Wegen m ≥ 2 erhalten wir η(±1) + (±1) ≡ 0

mod p3 .

Insbesondere ist die Einheit η ≡ ±1 mod p2 , und aus (7.4.1)(v) folgt η = ±1. Wir erhalten c33 + (±c2 )3 = ε′ λ3(m−1) c31 . Dies ist wieder eine L¨ osung einer Gleichung vom angegebenen Typ, aber mit λ-Exponenten m − 1 ≥ 1. Wir hatten aber m minimal gew¨ahlt. Dieser Widerspruch beendet den Beweis. ⊓ ⊔

Kapitel 8 Analytische Methoden

In diesem Kapitel geben wir einen kurzen Einblick in analytische Methoden der Zahlentheorie. Viele Ergebnisse werden wir allerdings nicht selbst beweisen, sondern zitieren. Zum Verst¨ andnis sind Grundkenntnisse in reeller und komplexer Analysis notwendig.

8.1 Dirichlet-Charaktere Definition 8.1.1. Ein Dirichlet-Charakter modulo n ist ein Homomorphismus χ : (ZZ/nZZ)× −→ C× , d.h. eine komplexwertige Funktion auf (ZZ/nZZ)× mit χ(¯1) = 1 und χ(¯ a¯b) = × ¯ ¯ χ(¯ a)χ(b) f¨ ur alle a ¯, b ∈ (ZZ/nZZ) . ¯ = 1, χ(¯ Beispiele: 1. Die Zuordnung χ(1) 2) = −1 definiert einen DirichletCharakter modulo 3. 2. Die Zuordnung χ(¯ 1) = 1, χ(¯ 3) = −1 definiert einen Dirichlet-Charakter modulo 4. 3. In Verallgemeinerung von ur jede ungerade Primzahl p definiert das  1.: F¨ Legendre-Symbol: χ(¯ a) = ap¯ einen Dirichlet-Charakter modulo p. Unter den Dirichlet-Charakteren modulo n gibt es einen ausgezeichneten, n¨ amlich den, der konstant 1 ist. Dieser wird mit ǫ bezeichnet und heißt der triviale Charakter. Die Menge der Dirichlet-Charaktere modulo n wird durch die Multiplikation a) = χ(¯ a)ψ(¯ a) χψ : (ZZ/nZZ)× −→ C× , χψ(¯

zu einer abelschen Gruppe mit dem trivialen Charakter ǫ als neutralem Element. Wegen a ¯ϕ(n) = ¯ 1 f¨ ur jedes a ¯ ∈ (ZZ/nZZ)× nimmt ein modulo n definierter Dirichlet-Charakter nur ϕ(n)-te Einheitswurzeln als Werte an. Insbesondere gibt es zu jedem n nur endlich viele Dirichlet-Charaktere modulo n. Außerdem gilt |χ(¯ a)| = 1 f¨ ur alle a ¯ ∈ (ZZ/nZZ)× . Das Inverse einer Einheitswurzel ist

134

Kapitel 8. Analytische Methoden

ihr komplex-konjugiertes, also gilt auch f¨ ur jeden Dirichlet-Charakter χ die Gleichung ¯ χ−1 = χ, a). wobei χ ¯ der zu χ komplex-konjugierte Charakter ist, d.h. χ(¯ ¯ a) = χ(¯ Wie viele verschiedene Dirichlet-Charaktere modulo n gibt es nun? Ist n = p eine Primzahl, so ist die Gruppe (ZZ/pZZ)× zyklisch. Ist g¯ ∈ (ZZ/pZZ)× ein Erzeuger, d.h. eine primitive Wurzel modulo p, so ist ein Dirichlet-Charakter modulo p eindeutig durch die Auswahl der (p − 1)-ten Einheitswurzel χ(¯ g) festgelegt. Daher gibt es genau p − 1 Dirichlet-Charaktere modulo p. F¨ ur ein allgemeines n ist (ZZ/nZZ)× eine abelsche Gruppe der Ordnung ϕ(n). Schreiben wir gem¨ aß Satz 5.2.5 (ZZ/nZZ)× ∼ = C1 × · · · × Cr

als Produkt zyklischer Gruppen Ci der Ordnung ci , so gilt ϕ(n) = c1 · · · cr . Ein Charakter wird eindeutig dadurch gegeben, dass wir f¨ ur jedes i = 1, . . . , r einem fixierten Erzeuger der zyklischen Gruppe Ci eine ci -te Einheitswurzel zuordnen. Daher erhalten wir folgenden Satz. Satz 8.1.2. Es gibt genau ϕ(n) Dirichlet-Charaktere modulo n. Zu jedem a ¯∈ ¯
= ¯ 1, gibt es einen Dirichlet-Charakter modulo n mit χ(¯ a)
= 1. (ZZ/nZZ)× , a Wichtig sind die folgenden Summenformeln. Satz 8.1.3. (i) Es sei a ¯ ∈ (ZZ/nZZ)× . Dann gilt 
ϕ(n), wenn a ¯ = ¯1, χ(¯ a) = 0, wenn a ¯=
¯1, χ mod n

wobei die Summe u ¨ ber alle Dirichlet-Charaktere modulo n l¨auft. (ii) Es sei χ ein Dirichlet-Charakter modulo n. Dann gilt 
ϕ(n), wenn χ = ǫ, χ(¯ a) = 0, wenn χ
= ǫ, × a ¯ ∈(ZZ/nZZ)

wobei die Summe u ¨ ber alle primen Restklassen modulo n l¨auft. Beweis. (i) F¨ ur jeden Dirichlet-Charakter ψ modulo n ist die Abbildung χ → ψχ der Menge der Dirichlet-Charaktere modulo n in sich eine Bijektion. Die −1 ¯ Umkehrabbildung ist durch  Multiplikation mit ψ gegeben. Wegen χ(1) = 1 1) gleich der Anzahl der Dirichlet-Charaktere f¨ ur jeden Charakter ist χ χ(¯ modulo n, also gleich ϕ(n). Nun sei a ¯
= 1 und es sei ψ ein Dirichlet-Charakter modulo n mit ψ(¯ a)
= 1. Dann gilt 


ψ(¯ a) · χ(¯ a) = ψχ(¯ a) = χ(¯ a). χ mod n

Wir erhalten (ψ(¯ a) − 1) det die Summe.



χ mod n

χ mod n

a) = 0, und wegen ψ(¯ a) − 1
= 0 verschwinχ mod n χ(¯

8.1 Dirichlet-Charaktere

135

(ii) Die Aussage ist im Fall χ = ǫ trivial. Sei χ
= ǫ und ¯b ∈ (ZZ/nZZ)× mit χ(¯b)
= 1. Die ¯b-Multiplikation definiert eine Bijektion von (ZZ/nZZ)× auf sich. Daher gilt  


¯ χ(b) · χ(¯ a) = χ(¯b¯ a) = χ(¯ a). a ¯∈(ZZ/nZZ)×

Wir erhalten (χ(¯b) − 1) schwindet die Summe.



a ¯∈(ZZ/nZZ)×

a ¯∈(ZZ/nZZ)×

a ¯ ∈(ZZ/nZZ)×

χ(¯ a) = 0, und wegen χ(¯b) − 1
= 0 ver⊓ ⊔

Wir fassen durch die Regel χ(a) := χ(¯ a) Dirichlet-Charaktere modulo n auch als komplexwertige Funktionen auf der Menge der zu n teilerfremden ganzen Zahlen auf. Lemma 8.1.4. Es seien n und m nat¨ urliche Zahlen und d ihr gr¨oßter gemeinsamer Teiler. Sei χ ein Dirichlet-Charakter modulo n, aufgefasst als Funktion auf der Menge der zu n teilerfremden ganzen Zahlen. H¨angt χ auf dieser Menge nur von der Restklasse modulo m ab, so h¨angt χ nur von der Restklasse modulo d ab. Beweis. Nach Satz 1.1.4 existieren x, y ∈ ZZ mit xn + ym = d. Sind nun die ganzen Zahlen a, b ∈ ZZ, a ¯, ¯b ∈ (ZZ/nZZ)× , kongruent modulo d, so gilt a = b + e(xn + ym) f¨ ur ein e ∈ ZZ. Die Zahlen b und b + exn haben die gleiche Restklasse modulo n. Daher ist χ(b + exn) definiert, und es gilt χ(b) = χ(b + exn). Nun gilt a ≡ b + exn mod m, und nach Voraussetzung erhalten wir χ(a) = χ(b). ⊓ ⊔ Definition 8.1.5. Sei χ ein Dirichlet-Charakter modulo n. Die kleinste nat¨ urliche Zahl d, so dass χ nur von der Restklasse modulo d abh¨angt, heißt der F¨ uhrer von χ und wird mit fχ bezeichnet. Bemerkung: Nach Lemma 8.1.4 gilt fχ | n. Beispiele: 1. Es ist fχ genau dann gleich 1, wenn χ = ǫ ist. 2. Weil es modulo 2 nur die prime Restklasse ¯1 gibt, ist jeder Charakter modulo 2 gleich ǫ. Insbesondere gibt es keinen Charakter mit F¨ uhrer 2. 1) = 1, χ(¯ 3) = −1, χ(¯5) = 1, χ(¯7) = −1 3. Ist χ : (ZZ/8ZZ)× → C durch χ(¯ gegeben, so h¨ angt χ nur von den Restklassen modulo 4 ab und 4 ist minimal mit dieser Eigenschaft. Also gilt fχ = 4. 1) = 1, χ(¯ 5) = −1 gegeben, so h¨angt χ nur 4. Ist χ : (ZZ/6ZZ)× → C durch χ(¯ von der Restklasse modulo 3 ab und daher gilt fχ = 3. Es gibt nun in der Literatur zwei Vorgehensweisen, um einen modulo n definierten Dirichlet-Charakter χ, aufgefasst als Funktion auf der Menge der zu n teilerfremden ganzen Zahlen, zu einer Funktion auf ganz ZZ auszudehnen.

136

Kapitel 8. Analytische Methoden

Die einfache Variante: Ist χ ein Dirichlet-Charakter modulo n, so setzt man χ(a) = 0 f¨ ur jedes a ∈ ZZ mit (a, n)
= 1. Die verfeinerte Variante: Man fasst zun¨ achst χ als Funktion auf (ZZ/fχ ZZ)× auf und setzt dann χ(a) = 0 f¨ ur jedes a ∈ ZZ mit (a, fχ )
= 1. Beide Varianten haben ihre Vor- und Nachteile. Wir werden im Weiteren mit der verfeinerten Variante arbeiten. Diese hat den Vorteil, dass es nur einen trivialen Charakter ǫ : ZZ → C,

ǫ(a) = 1 f¨ ur alle a ∈ ZZ,

gibt, anstelle eines trivialen Charakters modulo n f¨ ur jedes n. Offensichtlich gilt χ(0)
= 0 ⇐⇒ χ(0) = 1 ⇐⇒ fχ = 1 ⇐⇒ χ = ǫ. Beispiel: Ist p eine ungerade Primzahl, so definiert das Legendre-Symbol   a χ : ZZ −→ C, χ(a) = , p einen Dirichlet-Charakter vom F¨ uhrer p, der die Werte 0 und ±1 annimmt. Von jetzt an nehmen wir den Standpunkt ein, dass Dirichlet-Charaktere komplexwertige Funktionen auf ZZ sind, die auf die beschriebene Art und Weise (n¨ amlich die verfeinerte“) aus Homomorphismen (ZZ/nZZ)× → C× entste” hen. Jeder Dirichlet-Charakter χ hat seinen F¨ uhrer fχ und ist ein Charakter modulo n f¨ ur jedes Vielfache n von fχ . Es seien χ, ψ : ZZ → C Dirichlet-Charaktere und sei n das kleinste gemeinsame Vielfache der F¨ uhrer fχ und fψ . Wir fassen χ und ψ als Charaktere modulo n auf: χ, ψ : (ZZ/nZZ)× −→ C× , multiplizieren sie und erhalten einen Charakter modulo n χψ : (ZZ/nZZ)× −→ C× . Dann dehnen wir den Charakter χψ nach der oben beschriebenen verfeinerten Methode zu einer komplexwertigen Funktion auf ZZ aus.

Definition 8.1.6. Der so erhaltene Dirichlet-Charakter χψ : ZZ → C heißt das Produkt von χ und ψ. Beispiele: 1. F¨ ur jeden Dirichlet-Charakter χ gilt χχ ¯ = χχ−1 = ǫ. 2. F¨ ur den oben definierten Charakter χ : (ZZ/4ZZ)× → C mit χ(¯1) = 1, ¯ χ(3) = −1 vom F¨ uhrer 4 gilt χ2 = ǫ. Lemma 8.1.7. F¨ ur a ∈ ZZ mit (a, fχ ) = 1 = (a, fψ ) gilt χψ(a) = χ(a)ψ(a).

Bemerkung: F¨ ur allgemeines a ∈ ZZ kann die obige Formel falsch sein. Zum Beispiel ist f¨ ur χ
= ǫ immer 1 = ǫ(0) = (χχ−1 )(0), aber 0 = χ(0)χ−1 (0).

8.2 Gauß- und Jacobi-Summen

137

Beweis von Lemma 8.1.7. Ist a = 0, so ist die Voraussetzung nur f¨ ur fχ = fψ = 1, also nur f¨ ur χ = ψ = ǫ erf¨ ullt. Die Behauptung ist in diesem Fall offensichtlich. Sei a
= 0. Dann ist die Restklasse a ¯ von a modulo ¯ auch prime Restklasse modulo n = kgV(fχ , fψ ). Nach fχ fψ prim. Daher ist a Konstruktion gilt χψ(a) = χψ(¯ a) = χ(¯ a)ψ(¯ a) = χ(a)ψ(a). ⊓ ⊔ Die Summenformel in Satz 8.1.3 (ii) modifiziert sich entsprechend, wenn man Dirichlet-Charaktere als Funktionen auf ZZ auffasst. Satz 8.1.8. Sei χ : ZZ → C ein Dirichlet-Charakter modulo n. Dann gilt  n
n, wenn χ = ǫ, χ(a) = 0, wenn χ
= ǫ. a=1

Beweis. Die Aussage f¨ ur χ = ǫ ist offensichtlich. Sei fχ > 1 der F¨ uhrer von angt nur von der Restklasse modulo fχ ab. Also χ. Dann gilt fχ | n und χ(a) h¨ gilt fχ n

n n
χ(¯ a). χ(a) = χ(a) = fχ a=1 fχ × a=1 a ¯ ∈(ZZ/fχ ZZ)

Nach Satz 8.1.3 (ii) verschwindet die letzte Summe.

⊓ ⊔

Aufgabe 1. Man zeige die Assoziativit¨ at der Charaktermultiplikation χ1 (χ2 χ3 ) = (χ1 χ2 )χ3 . Aufgabe 2. Man zeige f¨ ur Dirichlet-Charaktere χ, ψ mit (fχ , fψ ) = 1 die Gleichung fχψ = fχ fψ .

8.2 Gauß- und Jacobi-Summen In diesem Abschnitt werden wir Gaußsche und Jacobische Summen einf¨ uhren und untersuchen. Es handelt sich um gewisse Charaktersummen, deren komplexer Absolutbetrag bestimmt werden kann. Dies werden wir im n¨achsten Abschnitt zur Absch¨ atzung der Anzahl der L¨osungen modulo p einer diophantischen Gleichung benutzen. Sei p eine Primzahl und sei χ : ZZ → C ein Dirichlet-Charakter modulo p. F¨ ur a ∈ ZZ h¨ angt die komplexe Zahl ζpa = e2πai/p nur von der Restklasse von a ¨ modulo p ab. Von jetzt an werden wir auf den Uberstrich bei der Bezeichnung von Restklassen verzichten und bezeichnen Elemente von ZZ/pZZ mit einfachen Buchstaben.

138

Kapitel 8. Analytische Methoden

Definition 8.2.1. Die Gaußsche Summe zum Dirichlet-Charakter χ modulo p und a ∈ ZZ/pZZ ist als die komplexe Zahl
ga (χ) = χ(x)eax2πi/p x∈ZZ/pZZ

erkl¨art. Insbesondere wird g(χ) = g1 (χ) gesetzt. Beispiel: Sei χ der eindeutig bestimmte nichttriviale Dirichlet-Charakter modulo 3, d.h.√ χ(1) = 1, χ(2) = −1. Dann gilt g√ 0 (χ) = 0, g1 (χ) = √ √ √ √ −1+ −3 −1− −3 −1− −3 −1+ −3 −3 und g (χ) = − = − = − −3. 2 2 2 2 2 Satz 8.2.2. Es gilt ⎧ χ(a−1 )g(χ), ⎪ ⎪ ⎨ 0, ga (χ) = 0, ⎪ ⎪ ⎩ p,

f¨ ur f¨ ur f¨ ur f¨ ur

a
= 0, a
= 0, a = 0, a = 0,

χ
= ǫ, χ = ǫ, χ
= ǫ, χ = ǫ.

 Beweis. Ist a = 0 und χ
= ǫ, so gilt ga (χ) = x χ(x) = 0 nach Satz 8.1.8. Die Aussage ur a = 0 und χ = ǫ ist offensichtlich. Ist a
= 0 und χ = ǫ, so gilt  f¨ ga (χ) = x eax2πi/p . Da a prime Restklasse modulo p ist, ist der letzte Term gleich der Summe aller p-ten Einheitswurzeln, d.h. der mit (−1) multiplizierte Koeffizient vor X p−1 im Polynom X p −1, und daher gleich Null. Sei also a
= 0, χ
= ǫ. Dann gilt

χ(ax)eax2πi/p = g(χ). χ(a)χ(x)eax2πi/p = χ(a)ga (χ) = x∈ZZ/pZZ

x∈ZZ/pZZ

Dies vervollst¨ andigt den Beweis.

Satz 8.2.3. Ist χ
= ǫ und a
= 0, so gilt

|ga (χ)| =

⊓ ⊔

√

p.

Beweis. Wegen |χ(a−1 )| = 1 folgen aus Satz 8.2.2 die Gleichungen |ga (χ)| = ur beliebiges b
= 0. Außerdem gilt g0 (χ) = 0. Deshalb gen¨ ugt |g(χ)| = |gb (χ)| f¨
es, die Gleichung |ga (χ)|2 = (p − 1)p a∈ZZ/pZZ

zu zeigen. Nun gilt



χ(x)χ(y)ea(x−y)2πi/p . ga (χ)ga (χ) = |ga (χ)|2 = a

a

a

x,y

Daher sind wir fertig, wenn wir f¨ ur beliebige x, y ∈ ZZ/pZZ die G¨ ultigkeit der Aussage  p
p, wenn x = y
= 0, χ(x)χ(y) ea(x−y)2πi/p = (∗) 0, sonst, a=1

8.2 Gauß- und Jacobi-Summen

139

gezeigt haben. Nun ist a → ea(x−y)2πi/p ein Dirichlet-Charakter modulo p. Es handelt sich genau dann den trivialen Charakter ǫ, wenn x = y gilt. um p ur x = y und gleich 0 Nach Satz 8.1.3 ist daher a=1 ea(x−y)2πi/p gleich p f¨ 2 f¨ ur x
= y. Bemerkt man noch, dass χ(x)χ(x) = |χ(x)| gleich 1 f¨ ur x
= 0 und gleich 0 f¨ ur x = 0 ist, folgt hieraus (∗). Dies beendet den Beweis. ⊓ ⊔ Definition 8.2.4. Die Jacobische Summe zu den Dirichlet-Charakteren χ und ψ modulo p und c ∈ ZZ/pZZ ist als die komplexe Zahl
χ(a)ψ(b) Jc (χ, ψ) = a,b∈ZZ/pZZ a+b=c

erkl¨art. Insbesondere wird J(χ, ψ) = J1 (χ, ψ) gesetzt. Offenbar gilt Jc (χ, ψ) = Jc (ψ, χ). Satz 8.2.5. F¨ ur c = 0 gelten die folgenden Aussagen: (i) J0 (ǫ, ǫ) = p. (ii) F¨ ur χ
= ǫ gilt J0 (χ, ǫ) = J0 (ǫ, χ) = 0. (iii) F¨ ur χ =
ǫ gilt J0 (χ, χ−1 ) = (p − 1)χ(−1).

(iv) Sind χ, ψ und χψ von ǫ verschieden, so gilt J0 (χ, ψ) = 0.

Beweis. Es gilt J0 (χ, ψ) =







χ(x)ψ(−x) = ψ(−1)

χ(x)ψ(x).

x∈ZZ/pZZ

x∈ZZ/pZZ

Im Fall χ = ψ = ǫ ist die letzte Summe gleich p. Dies zeigt (i). Im Fall χ
= ǫ und ψ = χ−1 gilt ψ(−1) = χ(−1), und die letzte Summe ist gleich p − 1, was (iii) zeigt. F¨ ur χψ
= ǫ erhalten wir nach Lemma 8.1.7 und Satz 8.1.8 die Gleichungen p


χψ(x) = 0. χψ(x) = χ(x)ψ(x) = x∈ZZ/pZZ

x∈ZZ/pZZ

x=1

Dies zeigt (ii) und (iv).

⊓ ⊔

Satz 8.2.6. F¨ ur c
= 0 gelten die folgenden Aussagen: (i) Jc (ǫ, ǫ) = p. (ii) F¨ ur χ
= ǫ gilt Jc (χ, ǫ) = Jc (ǫ, χ) = 0.

(iii) F¨ ur χ
= ǫ gilt Jc (χ, χ−1 ) = −χ(−1). (iv) Sind χ, ψ und χψ von ǫ verschieden, so gilt Jc (χ, ψ) =

g(χ)g(ψ)χψ(c) . g(χψ)

140

Kapitel 8. Analytische Methoden

Beweis. Die Aussage (i) ist offensichtlich und (ii) folgt direkt aus Satz 8.1.8. F¨ ur (iii) beachte man

a
 a  −1 −1 Jc (χ, χ ) = χ(a)χ (b) = χ = χ . b c−a a+b=c

a+b=c b=0

a=c

Die Abbildung a c−a xc ist eine Bijektion (mit Umkehrabbildung x → x+1 ). Daher gilt

−1 χ(x) = −χ(−1). Jc (χ, χ ) = χ(x) = −χ(−1) + ZZ/pZZ  {c} −→ ZZ/pZZ  {−1}, a −→

x

x=−1

Um (iv) zu zeigen, berechnet man $ $# #

y2πi/p x2πi/p ψ(y)e χ(x)e g(χ)g(ψ) = y

x

=




χ(x)ψ(y)e(x+y)2πi/p

x,y

=



c

=




(χ(x)ψ(y)) ec2πi/p

x+y=c

Jc (χ, ψ)ec2πi/p

c

=




Jc (χ, ψ)ec2πi/p .

c=0

Nun gilt f¨ ur c
= 0
Jc (χ, ψ) = χ(x)ψ(y) = x+y=c




χ(cx′ )ψ(cy ′ ) = χψ(c)J(χ, ψ).

x′ +y ′ =1

Setzt man dies in die vorherige Gleichung ein, erh¨alt man
χψ(c)ec2πi/p g(χ)g(ψ) = J(χ, ψ) c=0

= J(χ, ψ)g(χψ). F¨ ur ein fest gew¨ ahltes c
= 0 ergibt sich mit Hilfe der Gleichung Jc (χ, ψ) = χψ(c)J(χ, ψ) die Aussage von (iv). ⊓ ⊔ Korollar 8.2.7. Ist c
= 0 und sind χ, ψ und χψ von ǫ verschieden, so gilt √ |Jc (χ, ψ)| = p. Beweis. Dies folgt wegen |χψ(c)| = 1 aus Satz 8.2.6 (iv) und Satz 8.2.3.

⊓ ⊔

8.3 Diophantische Gleichungen modulo p

141

8.3 Diophantische Gleichungen modulo p In diesem Abschnitt zeigen wir exemplarisch, wie man die Anzahl der L¨osungen modulo p bei bestimmten Gleichungen absch¨atzen kann. F¨ ur eine Gleichung f (X) = 0, f ∈ ZZ[X], bezeichnen wir mit Ap (f ) die Anzahl der L¨osungen modulo p. Wir werden uns auf Gleichungen mit vierten Potenzen beschr¨anken. Ein Dirichlet-Charakter χ modulo p ist immer schon eindeutig durch seinen Wert auf einer primitiven Wurzel g gegeben. Gilt χ4 = ǫ, so unterscheiden wir die folgenden F¨ alle. Ist p ≡ 3 mod 4, so gibt es nur zwei M¨oglichkeiten, n¨amlich χ = ǫ und χ = Legendre-Symbol“. Dies sieht man so ein: χ(g) ist eine (p − 1)” te Einheitswurzel (wegen ϕ(p) = p − 1), aber auch eine 4-te Einheitswurzel (wegen χ4 = ǫ). Daher ist χ(g)2 = χ(g 2 ) eine p−1 2 -te und eine 2-te Einheits2 ungerade ist, muss χ(g) = 1 sein. Daher haben wir nur die wurzel. Da p−1 2 M¨oglichkeiten χ(g) = ±1. Ist p ≡ 1 mod 4, kann man χ(g) nach Belieben als ±1, ±i festsetzen, d.h. in diesem Fall gibt es vier verschiedene DirichletCharaktere χ modulo p mit χ4 = ǫ. Lemma 8.3.1. Es sei p eine Primzahl kongruent 1 modulo 4 und g eine primitive Wurzel modulo p. Dann gilt f¨ ur k ∈ ZZ:  4, wenn 4 | k, Ap (X 4 − g k ) = 0, wenn 4 ∤ k. Beweis. Wir setzen a ¯ = g¯k . Nach Satz 1.6.4 gilt Ap (X 4 − a ¯) ≤ 4. Angenom4 men, Ap (X − a ¯)
= 0. Dann gilt a ¯ = ¯b4 f¨ ur ein ¯b ∈ (ZZ/pZZ)× . Es gilt ¯b = g¯l f¨ ur ein l ∈ ZZ, und wegen g¯k = a ¯ = g¯4l , folgt (p − 1) | (4l − k). Da p − 1 durch 4 teilbar ist, ist auch k durch 4 teilbar. Dies impliziert Ap (X 4 − g k ) = 0 f¨ ur l l+ p−1 l+ p−1 l+ 3(p−1) 4 2 4 , g¯ , g¯ vier 4 ∤ k. Im Fall k = 4l, l ∈ ZZ, existieren mit g¯ , g¯ paarweise verschiedene L¨ osungen der Gleichung X 4 = a ¯ in ZZ/pZZ. ⊓ ⊔ Satz 8.3.2. Es sei p eine Primzahl kongruent 1 modulo 4. F¨ ur a ∈ ZZ gilt: ⎧ 1, wenn p | a, ⎨ p−1 Ap (X 4 − a) = 4, wenn a ¯ 4 = ¯1, ⎩ 0, sonst.

Beweis. Ist a durch p teilbar, so ist ¯ 0 die eindeutig bestimmte L¨osung von X4 = a ¯ in ZZ/pZZ. Sei a prim zu p und g eine primitive Wurzel modulo p. ur ein ganzes k und es gilt Dann ist a ¯ = g¯k f¨   k(p−1) p−1 1 ⇐⇒ g¯ 4 = ¯ 1 ⇐⇒ (p − 1) | 41 (p − 1)k ⇐⇒ 4 | k. a ¯ 4 =¯ ⊓ ⊔

Korollar 8.3.3. Es sei p eine Primzahl kongruent 1 modulo 4 und a ∈ ZZ.
Dann gilt Ap (X 4 − a) = χ(a), χ4 =ǫ

wobei χ die vier Dirichlet-Charaktere modulo p mit χ4 = ǫ durchl¨auft .

142

Kapitel 8. Analytische Methoden

Beweis. Ist a durch p teilbar, so ist χ(a) = 0 f¨ ur χ
= ǫ, woraus die Formel folgt. Nehmen wir an, es gelte p ∤ a. Sei g eine primitive Wurzel modulo p und a ¯ = g k . Ist k = 4l, l ∈ ZZ, so gilt


χ4 (g l ) = 4. χ(g 4l ) = χ(a) = χ4 =ǫ

χ4 =ǫ

χ4 =ǫ

Ist k nicht durch 4 teilbar, so betrachten wir den Dirichlet-Charakter χ0 , der durch χ0 (g) = eπi/2 = i gegeben ist. Wir haben χ40 = ǫ, χ0 (a)
= 1 und erhalten 


(χ0 (a) − 1) χ(a) = χ(a) − χ(a) = 0, χ4 =ǫ

woraus



χ4 =ǫ

χ4 =ǫ

χ4 =ǫ

χ(a) = 0 folgt.

⊓ ⊔

Theorem 8.3.4. Sei p eine Primzahl kongruent 1 modulo 4 und seien a, b, c ganze Zahlen, die nicht durch p teilbar sind. Dann gilt f¨ ur die Anzahl Ap der L¨osungen modulo p der Gleichung aX 4 + bY 4 = c die Ungleichung √ |Ap − p| < 3 + 6 p. Insbesondere ist Ap > 0 f¨ ur p > 41.

Beweis. Wir haben mit Ap = Ap (aX 4 + bY 4 − c)
Ap = Ap (aX 4 − α)Ap (bY 4 − β) α+β=c

β α )Ap (Y 4 − ) a b α+β=c  

α
β   ψ χ = a b 4 4

=

=




Ap (X 4 −

α+β=c

χ =ǫ







ψ =ǫ

χ(a−1 )ψ(b−1 )χ(α)ψ(β)

χ4 =ǫ=ψ 4 α+β=c

=




χ(a−1 )ψ(b−1 )Jc (χ, ψ).

χ4 =ǫ=ψ 4

Analysieren wir die einzelnen Summanden, so erhalten wir unter Benutzung der Ergebnisse des letzten Abschnitts: • χ = ǫ = ψ: ein Summand ist gleich p, • χ = ǫ, ψ
= ǫ oder χ
= ǫ, ψ = ǫ: sechs Summanden sind gleich 0, • χ
= ǫ, ψ = χ−1 : drei Summanden haben den Betrag 1, √ • χ
= ǫ, ψ
= ǫ, χψ
= ǫ: sechs Summanden haben den Betrag p. Bringen wir p auf die andere Seite und wenden die Dreiecksungleichung an, √ √ so erhalten wir |Ap − p| ≤ 3 + 6 p. Weil aber 3 + 6 p keine ganze Zahl ist, gilt auch die strikte Ungleichung. ⊓ ⊔

8.4 Die Riemannsche Zetafunktion

143

8.4 Die Riemannsche Zetafunktion Viele der tiefliegenden arithmetischen Gesetzm¨aßigkeiten eines Zahlk¨orpers sind in seiner Zetafunktion enthalten. Die Zetafunktion des K¨orpers Q ist die Riemannsche Zetafunktion, die wir in diesem Abschnitt einf¨ uhren. Sie ist durch eine Reihenentwicklung gegeben. Lemma 8.4.1. F¨ ur reelles s > 1 ist die Reihe ∞
1 n=1

ns

absolut konvergent.

Beweis. Wir erinnern an die Notation [x] f¨ ur die gr¨oßte ganze Zahl kleiner gleich einer reellen Zahl x. F¨ ur N ≥ 2 gilt % N N N

1 1 1 = 1 + = 1 + dx s s n n [x + 1]s 1 n=2 n=1 % N 1 N 1−s − 1 , dx = 1 + < 1+ s x 1−s 1 was wegen s > 1 f¨ ur N → ∞ gegen 1 +

1 s−1

< ∞ strebt.

⊓ ⊔

Wir wollen diese Reihe auch f¨ ur komplexes s betrachten und m¨ ussen daher die Funktion ns auf komplexe Argumente ausdehnen. Wir betrachten die Reihenentwicklung der e-Funktion s2 s3 s4 + + + ··· . 2 3! 4! Wegen des starken Anwachsens der Fakult¨ at ist diese Reihe f¨ ur jedes s ∈ C absolut konvergent (das sieht man beispielsweise mit dem Quotientenkriteriur s ∈ C als den Grenzwert dieser Reihe. Die komplexe um). Man definiert es f¨ Exponentialfunktion s → es , C → C, ist unendlich oft (komplex) stetig differenzierbar (sie ist gleich ihrer komplexen Ableitung), und wie im Reellen erf¨ ullt sie auch f¨ ur komplexe Zahlen z, w die Funktionalgleichung es = 1 + s +

ez+w = ez ew . Da außerdem ez = ez¯ gilt, folgt insbesondere |ez |2 = ez ez¯ = ez+¯z = e2 Re(z) = (eRe(z) )2 ,

ur n > 0 und s ∈ C setzt man nun also |ez | = eRe(z) . F¨ ns = es·log n

und erh¨ alt |ns | = nRe(s) .

144

Kapitel 8. Analytische Methoden

Satz 8.4.2. F¨ ur Re(s) > 1 ist die Reihe ∞
1 ζ(s) = ns n=1

absolut konvergent. Die Zuordnung s → ζ(s) ist auf dem Gebiet {s ∈ C | Re(s) > 1} eine holomorphe (d.h. komplex-differenzierbare) Funktion und heißt die Riemannsche Zetafunktion. Beweis. Die Konvergenz ist nach dem oben Gesagten klar. F¨ ur Re(s) ∞> α > 1 ur jedes α > 1 die Reihe n=1 n1s in gilt | n1s | < n1α , und daher konvergiert f¨ aßig. Nach dem Satz von Weidem Gebiet {s ∈ C | Re(s) > α} gleichm¨ erstraß ist damit ζ(s) als gleichm¨ aßiger Grenzwert holomorpher Funktionen holomorph in diesem Gebiet. ⊓ ⊔ Ohne die notwendigen Definitionen zu geben, erw¨ahnen wir, dass man sagen kann, wann ein unendliches Produkt a1 a2 · · · komplexer Zahlen konvergiert und wann es absolut konvergiert. Im Falle absoluter Konvergenz kann man die Faktoren beliebig umordnen, ohne den Grenzwert zu a¨ndern. Wegen der Eindeutigkeit der Primzahlzerlegung und unter Zuhilfenahme von 1 1 1 = 1 + s + 2 s + ··· , 1 − p−s p (p ) erhalten wir f¨ ur ζ(s) eine Darstellung als unendliches Produkt  1 . ζ(s) = 1 − p−s p Der Zusammenhang mit den Bernoulli-Zahlen (siehe Abschnitt 7.3) ist durch den folgenden Satz gegeben. F¨ ur einen Beweis verweisen wir auf [Neu], Kap. VII, Kor. 1.10.

Satz 8.4.3 (Euler). F¨ ur die Werte von ζ(s) an den positiven geraden Stellen s = 2k, k = 1, 2, . . ., gilt (2π)2k ζ(2k) = (−1)k−1 B2k . 2(2k)! ∞ 2 Insbesondere erhalten wir aus B2 = 16 die bekannte Formel n=1 n12 = π6 . Die Werte von ζ(s) an ungeraden nat¨ urlichen Zahlen sind der Gegenstand tiefliegender Vermutungen. Wir dehnen jetzt die Riemannsche Zetafunktion auf den gr¨oßeren Definitionsbereich Re(s) > 0 aus. Satz 8.4.4. Die Funktion 1 s−1 hat eine eindeutig bestimmte holomorphe Fortsetzung auf das Gebiet {s ∈ C | Re(s) > 0}. φ(s) = ζ(s) −

8.4 Die Riemannsche Zetafunktion

145

Beweis. Wir benutzen 1 = s−1 Dies ergibt φ(s) =

∞

n=1

%∞

t

−s

% ∞ n+1
t−s dt. dt = n=1 n

1

φn (s) mit φn (s) =

n+1 % n

(n−s − t−s )dt.

Wir zeigen nun, dass die Summe der φn (s) f¨ ur Re(s) > 0 absolut konvergent ist. Es gilt |φn (s)| ≤ sup |n−s − t−s |. n≤t≤n+1

Man kann durch elementare Rechnungen zeigen, dass f¨ ur die Ableitung f ′ (t) −s −s ur t ∈ [n, n + 1] die Ungleichung der Funktion f (t) = |n − t | f¨ f ′ (t) ≤ gilt. Es gilt f (n) = 0, und daher

|s| |s| ≤ Re(s)+1 |ts+1 | n

|s| . nRe(s)+1   Die Reihe φn (s) wird folglich durch |s| n−(Re(s)+1) majorisiert und ist daher absolut konvergent f¨ ur Re(s) > 0. Der Grenzwert ist eine holomorphe Funktion. Dass die angegebene Fortsetzung eindeutig ist, folgt aus dem Identit¨ atssatz der Funktionentheorie. ⊓ ⊔ sup

n≤t≤n+1

|n−s − t−s | ≤

Hieraus erhalten wir sofort das Korollar 8.4.5. Die Riemannsche Zetafunktion ζ(s) setzt sich eindeutig zu einer holomorphen Funktion auf dem Bereich {s ∈ C | Re(s) > 0}  {1}

fort und hat einen einfachen Pol mit Residuum 1 bei s = 1. Man kann sogar zeigen ([Neu], Kap. VII, Kor. 1.7), dass die Riemannsche Zetafunktion eine eindeutig bestimmte holomorphe Fortsetzung auf die im ur n ∈ IN gilt Punkt s = 1 gelochte Ebene C  {1} hat. F¨ ζ(−2n) = 0, ζ(1 − 2n) = −B2n /2n.

(siehe [Neu], Kap. VII, Thm. 1.8). Die Riemannsche Vermutung besagt, dass alle von −2n, n ∈ IN, verschiedenen Nullstellen der Riemannschen Zetafunktion den Realteil 1/2 haben. Der n¨ achste Satz legt die Basis f¨ ur den Begriff der Dirichlet-Dichte.

146

Kapitel 8. Analytische Methoden

Satz 8.4.6. Es gilt lim

s→1

 p

1 ps

1 log s−1

= 1.

Beweis. Mit Hilfe der Produktdarstellung der Riemannschen Zetafunktion und der Reihenentwicklung f¨ ur den Logarithmus erhalten wir f¨ ur reelles s > 1: ∞ −sm



1 p = + ψ(s), log ζ(s) = − log(1 − p−s ) = s m p p p p m=1 mit ψ(s) =

 ∞ p ∞


m=2

Daher gilt

m=2

1

pms

p−sm m .

=

F¨ ur festes p ist

∞ 1 1 1
1 1 ≤ . = 2s s p2s m=0 pms p (p − 1) p(p − 1)

ψ(s) ≤


p

∞
1 1 ≤ =1 p(p − 1) n=2 n(n − 1)

und folglich bleibt ψ(s) f¨ ur s → 1 beschr¨ ankt. Nun gilt f¨ ur s > 1  1 1 log(φ(s) + s−1 ) − ψ(s) log ζ(s) − ψ(s) p ps = , 1 = 1 1 log s−1 log s−1 log s−1 1 , wie in Satz 8.4.4. Da φ(s) in einer Umgebung von wobei φ(s) = ζ(s) − s−1 s = 1 holomorph ist, bleibt insbesondere φ(s) bei s → 1 beschr¨ankt. Da auch ψ(s) bei s → 1 beschr¨ ankt bleibt, folgt die Behauptung. ⊓ ⊔

Definition 8.4.7. F¨ ur eine Menge P von Primzahlen nennt man, wenn er existiert, den Grenzwert  1 δ(P ) = lim

s→1

p∈P

ps

1 log s−1

die Dirichlet-Dichte von P . Nach Satz 8.4.6 hat die Menge aller Primzahlen die Dichte 1. Nicht jede Menge P von Primzahlen hat eine Dirichlet-Dichte. Ist die Dichte δ(P ) definiert, so gilt 0 ≤ δ(P ) ≤ 1, und man sollte sich δ(P ) als die Wahrscheinlichkeit vorstellen, dass eine willk¨ urlich gew¨ ahlte Primzahl in P liegt. Endliche Primzahlmengen haben die Dichte 0. Unterscheiden sich zwei Primzahlmengen nur um endlich viele Primzahlen, so haben sie die gleiche Dichte (oder keine). F¨ ur einen Zahlk¨ orper K hat man die Dedekindsche Zetafunktion ur Re(s) > 1 durch die absolut konvergente Reihe ζK (s), die f¨
1 ζK (s) = N(a)s a

8.5 L-Reihen

147

gegeben ist. Die Summe erstreckt sich u ¨ber alle von Null verschiedenen ganzen Ideale von K. Wegen der Eindeutigkeit der Primidealzerlegung und der Multiplikativit¨ at der Norm haben wir die Produktdarstellung  1 ζK (s) = . −s 1 − N(p) p Einen Beweis des folgenden Satzes findet der Leser in [Neu], VII, Kor. 5.11.

Satz 8.4.8. Die Dedekindsche Zetafunktion ζK (s) hat eine eindeutige Fortsetzung zu einer holomorphen Funktion ζK : C  {1} −→ C

und einen einfachen Pol bei s = 1.

Die Riemannsche Zetafunktion ordnet sich durch ζ(s) = ζQ (s) in dieses allgemeinere Konzept ein. Das Residuum von ζK (s) bei s = 1 berechnet sich durch die ber¨ uhmte Klassenzahlformel ([Neu], Kap. VII, Kor. 5.11) aus wichtigen Invarianten des Zahlk¨ orpers K. Die verallgemeinerte Riemannsche Vermutung f¨ ur die Dedekindsche Zetafunktion besagt, dass jede Nullstelle von ζK (s) im kritischen Streifen“ ” 0 < Re(s) < 1 den Realteil 1/2 hat.

8.5 L-Reihen F¨ ur einen Dirichlet-Charakter χ : ZZ → C betrachten wir die Dirichletsche L-Reihe ∞
χ(n) . L(s, χ) = ns n=1

Wegen |χ(n)| ≤ 1 konvergiert die Reihe f¨ ur Re(s) > 1 absolut, und wir erhalten eine holomorphe Funktion, die Dirichletsche L-Funktion zu χ. F¨ ur χ = ǫ erhalten wir die Riemannsche Zetafunktion. F¨ ur χ
= ǫ gilt (siehe [Neu], Kap. VII, Kor. 8.6): Satz 8.5.1. F¨ ur jeden Dirichlet-Charakter χ
= ǫ setzt sich die Funktion ur Re(s) > 1 erL(s, χ) zu einer holomorphen Funktion auf ganz C fort. F¨ halten wir eine Produktdarstellung der Form  1 . L(s, χ) = −s 1 − χ(p)p p Das folgende Theorem besagt, dass sich die Dedekindsche Zetafunktion eines Kreisteilungsk¨ orpers in das Produkt von L-Funktionen aufspaltet.

148

Kapitel 8. Analytische Methoden

Theorem 8.5.2. F¨ ur den n-ten Kreisteilungsk¨orper K = Q(ζn ) gilt  L(s, χ) ζK (s) = χ mod n

Das Produkt auf der rechten Seite erstreckt sich u ¨ ber alle Dirichlet-Charaktere modulo n, d.h. u ¨ ber die Charaktere χ mit fχ |n. Bemerkung: Benutzt man, abweichend von unserem Vorgehen, die einfa” che“ Methode (siehe Seite 136), um Dirichlet-Charaktere modulo n zu Funktionen auf ZZ auszudehnen, so erh¨ alt man modifizierte L-Reihen. In Theorem 8.5.2 taucht dann ein Korrekturterm auf. Beweis von Theorem 8.5.2. Wegen der Produktdarstellungen gen¨ ugt es, f¨ ur jede Primzahl p die Identit¨ at   1 1 = (∗) −s 1 − N(p) 1 − χ(p)p−s χ mod n

p|p

zu zeigen, wobei sich das Produkt auf der linken Seite u ¨ber die endlich vielen Primideale p in K erstreckt, die das Hauptideal (p) teilen. Nun sei (p) = pe11 · · · pegg

die Primidealzerlegung von (p) in K, und sei n = pr m mit (m, p) = 1. Nach [Neu], Kap. I, Thm. 10.3, gilt e1 = · · · = eg = ϕ(pr ), sowie N(p1 ) = · · · = N(pg ) = pf , wobei f die kleinste nat¨ urliche Zahl mit pf ≡ 1 mod m ist. r Weiterhin gilt f g = ϕ(n)/ϕ(p ) = ϕ(m). Es sei nun χ ein Dirichlet-Charakter modulo n. Aus p | fχ folgt χ(p) = 0. Diese Charaktere k¨ onnen wir ignorieren. Anderenfalls gilt fχ | m und wegen pf ≡ 1 mod m ist χ(p) eine f -te Einheitswurzel. Es gibt genau ϕ(m) Charaktere χ mit fχ | m und von diesen wird jede f -te Einheitswurzel genau g-mal als Wert χ(p) angenommen. Daher gilt 

(1 − χ(p)p−s ) =

χ mod n

f −1 a=1

(1 − ζ a p−s )g ,

(∗∗)

wobei ζ eine primitive f -te Einheitswurzel ist. Die Polynomidentit¨at Tf − 1 = f

f −1 a=0

(T − ζ −a ) = (−1)f ·

f −1

−a

f −1 a=0

ζ −a ·

zeigt wegen (−1) · a=0 ζ = −1 die Gleichung Einsetzen von T = p−s liefert f −1 a=1

(1 − ζ a p−s )g = (1 − p−f s )g =

g 

i=1

f −1 a=0

f −1

(1 − ζ a T )

a=0 (1

− ζaT ) = 1 − T f .

(1 − N(pi )−s ).

Zusammen mit (∗∗) zeigt dies die gesuchte Identit¨at (∗).

⊓ ⊔

8.6 Primzahlen mit vorgegebener Restklasse IV

149

Auf den ersten Blick harmlos, aber tiefliegend und von fundamentaler Bedeutung ist nun das Korollar 8.5.3. F¨ ur χ
= ǫ gilt L(1, χ)
= 0, d.h. die L-Funktion zu χ hat keine Nullstelle bei s = 1. Beweis. Sei χ
= ǫ, n = fχ und K = Q(ζn ). Dann taucht L(s, χ) als ein Faktor  in der Zerlegung ζK (s) = L(s, ψ) ψ mod n

auf. Ein Faktor auf der rechten Seite, n¨ amlich der zu ψ = ǫ, hat einen einfachen Pol bei s = 1, und die anderen Faktoren sind holomorph bei s = 1. W¨are L(1, χ) = 0 f¨ ur ein χ
= ǫ, so w¨ urde sich der Pol auf der rechten Seite aufheben, und dann w¨ are ζK (s) holomorph auf ganz C. Aber ζK (s) hat einen Pol bei s = 1. Also gilt L(1, χ)
= 0 f¨ ur alle χ
= ǫ. ⊓ ⊔

8.6 Primzahlen mit vorgegebener Restklasse IV Jetzt nutzen wir das Nichtverschwinden der L-Reihen bei s = 1, um den folgenden Satz zu zeigen: Theorem 8.6.1 (Dirichletscher Primzahlsatz). Sei n ∈ IN und a ∈ ZZ mit (a, n) = 1. Dann hat die Menge der Primzahlen p mit p≡a

mod n

die Dichte 1/ϕ(n). Insbesondere gibt es unendlich viele Primzahlen kongruent a modulo n. Beweis. Sei χ ein Dirichlet-Charakter modulo n. Mit Hilfe der Produktdarstellung der L-Reihe und der Potenzreihenentwicklung f¨ ur den Logarithmus erhalten wir f¨ ur reelles s > 1
log(1 − χ(p)p−s ) log L(s, χ) = − p

∞

χ(p)m p−sm = m p m=1
χ(p) = + gχ (s). ps p

Wie im Beweis von Satz 8.4.6 zeigt man, dass der Grenzwert der Reihe ∞

χ(p)m p−sm gχ (s) = m p m=2 f¨ ur s → 1 beschr¨ankt bleibt. Nun bilden wir die Summe

150

Kapitel 8. Analytische Methoden




χ(a)−1 log L(s, χ) =





p χ mod n

χ mod n


χ(a)−1 χ(p) + χ(a)−1 gχ (s). ps χ mod n

Die zweite Summe auf der rechten Seite ist f¨ ur s → 1 beschr¨ankt, und wir bezeichnen sie mit g(s). Wir untersuchen die erste Summe auf der rechten Seite. Nach Satz 8.1.3 gilt 
ϕ(n), f¨ ur p ≡ a mod n, χ(a)−1 χ(p) = 0, f¨ ur p
≡ a mod n, p ∤ n. χ mod n

Daher erhalten wir
χ(a)−1 log L(s, χ) = χ mod n





χ(a)−1 χ(p) ϕ(n) + g(s) + . ps ps

p≡a mod n

(∗)

p|n χ mod n

Laufen wir nun auf der reellen Achse mit s von rechts nach 1 und untersuchen die linke Seite von (∗). F¨ ur χ
= ǫ gilt L(1, χ)
= 0, also bleibt log L(s, χ) beschr¨ ankt bei s → 1. F¨ ur χ = ǫ gilt nach Satz 8.4.6 log L(s, ǫ) lim = 1. s→1 log 1 s−1 Der zweite Summand auf der rechten Seite von (∗), d.h. g(s), ist bei s → 1 beschr¨ ankt und der dritte Summand offensichtlich auch. Daher erhalten wir  ϕ(n) p≡a mod n 1 s→1 log s−1

lim

ps

= 1.

Dies zeigt die Behauptung.

⊓ ⊔

Als zweite Anwendung zeigen wir: Satz ur ein Nichtquadrat a ∈ ZZ hat die Menge der Primzahlen p mit  a  8.6.2. F¨ = 1 die Dichte 1/2. p Hieraus folgt sofort, dass auch die Menge der Primzahlen p mit die Dichte 1/2 hat.

a p

= −1

Beweis. Wegen der Multiplikativit¨ at des Legendre-Symbols k¨onnen wir a als quadratfrei annehmen. Sei a = (−1)ε 2e p1 · · · pn , wobei die pi paarweise verschiedene ungerade Primzahlen sind, und seien genau k der n Primzahlen pi kongruent −1 modulo 4. Dann gilt f¨ ur jede ungerade Primzahl p       2 p−1 p −1 p−1 a p p ··· . = (−1)ε 2 (−1)e 8 (−1)k 2 p p1 pn   Daher h¨ angt ap nur von der Restklasse von p modulo 8p1 · · · pn ab. Wir fassen die rechte Seite als Funktion auf (ZZ/8p1 · · · pn ZZ)× auf und bezeichnen sie mit χ. Dann ist χ ein Charakter modulo 8p1 · · · pn mit χ2 = ǫ.

8.6 Primzahlen mit vorgegebener Restklasse IV

151

Wir behaupten, dass χ nicht der triviale Charakter ist. Ist a durch mindestens eine ungerade Primzahl teilbar (d.h. n ≥ 1), so finden wir nach dem Chinesischen Restklassensatz ein A ∈ ZZ mit A ≡ 1 mod 8p2 · · · pn und so, dass A quadratischer Nichtrest modulo p1 ist. Dann gilt χ(A) = −1. Da a quadratfrei und von 1 verschieden ist, verbleiben die F¨ alle a = ±2, d.h. e = 1, ε ∈ {0, 1}. b−1

b2 −1

Hier sieht man das explizit: F¨ ur b ∈ (ZZ/8ZZ)× gilt χ(b) = (−1)ε 2 + 8 . Im Fall ε = 0 gilt z.B. χ(3) = −1, w¨ ahrend im Fall ε = 1 z.B. χ(5) = −1 gilt. Hieraus folgt χ
= ǫ. Sei nun ein b ∈ (ZZ/8p1 · · · pn ZZ)× mit χ(b) = −1 fixiert. Dann definiert die b-Multiplikation auf (ZZ/8p1 · · · pn ZZ)× eine Bijektion zwischen der Menge der Restklassen a mit χ(a) = 1 und der Menge der Restklassen a mit χ(a) = −1. Daher haben beide Mengen die M¨ achtigkeit 12 ϕ(8p1 · · · pn ). Nun wenden wir Theorem 8.6.1 an ur die Dichte der Menge P der  und erhalten, dass f¨ Primzahlen p mit ap = 1 gilt: δ(P ) =

1 2 ϕ(8p1

· · · pn ) = ϕ(8p1 · · · pn )

1 2

⊓ ⊔

Bemerkung: Der im letzten Beweis √ konstruierte Charakter heißt der zum quadratischen Zahlk¨ orper K = Q( a) assoziierte Charakter χK . Man kann zeigen, dass jeder Dirichlet-Charakter der Ordnung 2 von dieser Form ist. Der Charakter χK ist eindeutig durch die Eigenschaft p ist zerlegt in K ⇐⇒ χK (p) = 1

bestimmt. Eine Primzahl p ist genau dann in K verzweigt, wenn χK (p) = 0, und genau dann tr¨ age, wenn χK (p) = −1 gilt. Außerdem gilt fχK = |∆K |.

Kapitel 9 p-adische Zahlen

Ein m¨ ogliches Hindernis gegen die Existenz ganzzahliger L¨osungen einer diophantischen Gleichung ist die Nichtexistenz einer L¨osung modulo einer nat¨ urlichen Zahl m. Nach dem Chinesischen Restklassensatz gen¨ ugt es, die Frage der Existenz von L¨ osungen modulo Primpotenzen zu betrachten. Die Sprache der p-adischen Zahlen erlaubt es uns, sehr bequem auszudr¨ ucken, dass eine Gleiur alle n ∈ IN hat. Dies ist n¨amlich ¨aquivalent chung eine L¨ osung modulo pn f¨ zur Existenz einer L¨ osung im Ring der ganzen p-adischen Zahlen. Hat man osungen einer Gleichung, so sind diezwei modulo pn u ¨ bereinstimmende L¨ se bez¨ uglich p“ nahe beieinander, und umso n¨aher, je gr¨oßer n ist. Diese ” intuitive Einsicht kann man durch die Einf¨ uhrung der p-adischen Metrik for¨ malisieren. Der Ubergang von Q zu Cauchy-Folgen rationaler Zahlen bzgl. der p-adischen Metrik liefert uns (anstelle von IR f¨ ur den gew¨ohnlichen Abstand) den K¨ orper Qp der p-adischen Zahlen.

9.1 Der p-adische Abstand Erinnern wir uns zun¨ achst, wie man den K¨ orper IR aus Q durch einen Vervollst¨ andigungsprozess erh¨ alt. Wir haben auf Q die Betragsfunktion  x, wenn x ≥ 0, |x| = −x, wenn x < 0,

und die dazu assoziierte Abstandsfunktion d(x, y) = |x − y|. Diese erf¨ ullt die Dreiecksungleichung d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z). Man sagt, dass eine Folge (xn )n∈IN rationaler Zahlen gegen die rationale Zahl x konvergiert, wenn zu jedem ε > 0 ein N ∈ IN existiert, so dass |xn − x| < ε f¨ ur alle n ≥ N gilt. Eine Cauchy-Folge in Q ist eine Folge (xn )n∈IN rationaler Zahlen, so dass zu ur alle n, m ≥ N existiert. jedem ε > 0 ein N ∈ IN mit |xn − xm | < ε f¨ Wegen der Dreiecksungleichung ist jede konvergente Folge eine Cauchy-Folge. Es gibt aber Cauchy-Folgen, die nicht gegen eine rationale Zahl konvergieren. Man erh¨ alt nun die reellen Zahlen als Vervollst¨ andigung der rationalen Zahlen

154

Kapitel 9. p-adische Zahlen

bez¨ uglich der Abstandsfunktion d, d.h. IR = {Cauchy-Folgen (xi )i∈IN in Q} / ∼, ¨ wobei die Aquivalenzrelation ∼ durch

(xi )i∈IN ∼ (yi )i∈IN ⇐⇒ (xi − yi )i∈IN ist eine Nullfolge

gegeben ist (eine Nullfolge ist eine Folge, die gegen 0 konvergiert). Man fasst orper von IR auf, indem man jeder rationalen Zahl x die den K¨ orper Q als Teilk¨ konstante Cauchy-Folge x, x, . . . zuordnet. Der K¨orper IR der reellen Zahlen ist vollst¨ andig, d.h. jede Cauchy-Folge in IR konvergiert gegen eine reelle Zahl, und daher f¨ ur die Analysis geeignet, weil man Grenzprozesse ausf¨ uhren kann. Die anschauliche Bedeutung einer reellen Zahl als Punkt auf der Zahlengeraden ist hierbei von großem Nutzen f¨ ur das intuitive Verst¨andnis der Situation. Wir werden im Folgenden den gleichen Prozess bez¨ uglich anderer Abstandsuhren. Im Prinzip passiert nichts Neues, aber man funktionen auf Q durchf¨ muss ganz auf den mathematischen Formalismus vertrauen, weil eine intuitive Interpretation, wie man sie bei den reellen Zahlen hat, nicht zur Verf¨ ugung steht. Sei p eine beliebige Primzahl, die wir f¨ ur den Rest der Betrachtungen festhalten. Jede von Null verschiedene rationale Zahl r hat eine eindeutige Darstellung der Form a r = pn b mit a, b, n ∈ ZZ, b > 0 und (a, b) = (a, p) = (b, p) = 1. Definition 9.1.1. Die in der obigen Zerlegung auftauchende ganze Zahl n =: vp (r) heißt die p-Bewertung von r. Man setzt die Konvention vp (0) = ∞. Den Beweis des folgenden Lemmas u ¨ berlassen wir dem Leser. Lemma 9.1.2. F¨ ur x, y ∈ Q gilt

vp (xy) = vp (x) + vp (y),

vp (x + y) ≥ min(vp (x), vp (y)).

Ist vp (x)
= vp (y), so gilt sogar vp (x + y) = min(vp (x), vp (y)). Definition 9.1.3. F¨ ur eine rationale Zahl r heißt  −v (r) p p , r
= 0, |r|p = 0, r = 0, der p-Betrag von r.

Mit Hilfe der Konvention p−∞ = 0 h¨ atte man sich die Fallunterscheidung ersparen k¨ onnen. Man beachte, dass der p-Betrag einer rationalen Zahl r klein wird, wenn der Z¨ ahler von r (in gek¨ urzter Schreibweise) durch eine große pPotenz teilbar ist. Eine ganze Zahl hat einen p-Betrag kleiner oder gleich 1, und dieser wird um so kleiner, je ¨ ofter die Zahl durch p teilbar ist.

9.1 Der p-adische Abstand

155

Korollar 9.1.4. F¨ ur x, y ∈ Q gilt |xy|p = |x|p |y|p ,

|x + y|p ≤ max(|x|p , |y|p ).

Ist |x|p
= |y|p , so gilt sogar |x + y|p = max(|x|p , |y|p ). Definition 9.1.5. Seien x, y ∈ Q. Die Zahl

dp (x, y) = |x − y|p

heißt der p-adische Abstand von x und y.

Beispiel: Es gilt d2 (4, 16) = 14 , d3 (4, 16) = 13 , d5 (4, 16) = 1. Da |r|p = 0 nur f¨ ur r = 0 gilt, ist dp (x, y) = 0 ¨ aquivalent zu x = y. Außerdem gilt dp (x, z) = |x − z|p = |(x − y) + (y − z)|p ≤ max(|x − y|p , |y − z|p ) = max(dp (x, y), dp (y, z)), und diese Relation nennt man die versch¨ arfte Dreiecksungleichung. Wegen max(dp (x, y), dp (y, z)) ≤ dp (x, y)+dp (y, z) gilt nat¨ urlich auch die gew¨ohnliche Dreiecksungleichung, und wir k¨ onnen in genau der gleichen Art und Weise wie bez¨ uglich des gew¨ ohnlichen Abstands u ¨ber Begriffe wie konvergente Folge, offene Teilmenge, abgeschlossene Teilmenge usw. sprechen. Zur Unterscheidung sagt man, eine Folge konvergiert p-adisch, eine Teilmenge ist bez¨ uglich der p-adischen Topologie offen bzw. abgeschlossen usw. Allerdings muss man eine neue Intuition entwickeln, die nicht aus der geometrischen Anschauung kommt. Beispiele: 1. Die Folge

1, p, p2 , p3 , . . .

konvergiert p-adisch gegen 0. In der Tat ist n

dp (0, pn ) = | − pn |p = p−vp (−p

)

= p−n ,

und p−n wird f¨ ur großes n beliebig klein. 2. Die Folge 1 1 1, , , . . . 2 3 enth¨ alt die (jetzt immer p-adisch) divergente Teilfolge 1, p1 , p12 , . . . Enthalten 1 1 , p+1 , p21+1 , p31+1 , . . ., die gegen 1 konvergiert ist aber auch die Teilfolge 1+1 n (weil p gegen 0 geht). Typische geometrische Gebilde sind die offene und die abgeschlossene Kreisscheibe vom Radius r um x ∈ Q, die wir mit K(x, r) = {y ∈ Q | dp (x, y) < r} K(x, r) = {y ∈ Q | dp (x, y) ≤ r}

bezeichnen. Man sieht leicht, dass K(x, r) eine offene und K(x, r) eine abgeschlossene Teilmenge ist. Der n¨ achste Satz zeigt, dass die p-adische Topologie ohnungsbed¨ urftig ist. auf Q einigermaßen gew¨

156

Kapitel 9. p-adische Zahlen

Satz 9.1.6. Sei x ∈ Q und r > 0 eine reelle Zahl. (i) In der offenen Kreisscheibe K(x, r) ist jeder Punkt Mittelpunkt, d.h. f¨ ur jedes x′ ∈ K(x, r) gilt K(x, r) = K(x′ , r). (ii) F¨ ur hinreichend kleines ε > 0 gilt K(x, r) = K(x, r − ε),

K(x, r) = K(x, r + ε).

Das heißt, offene Kreisscheiben sind auch abgeschlossen und abgeschlossene Kreisscheiben sind auch offen. (iii) F¨ ur r ∈ IR  {pa , a ∈ ZZ} gilt K(x, r) = K(x, r).

(iv) Sei r = p , a ∈ ZZ. Dann gilt K(x, pa ) = K(x, pa−1 ). Es existieren rationale Zahlen x1 , . . . , xp−1 ∈ K(x, pa ), so dass a

K(x, pa ) = K(x, pa−1 ) ⊔

p−1 &

K(xi , pa−1 ).

i=1

Das heißt, jede abgeschlossene Kreisscheibe vom Radius pa zerf¨allt in die disjunkte Vereinigung von p abgeschlossenen Kreisscheiben vom Radius pa−1 . Bemerkung: Nach (iii) ist der Rand ∂K(x, r) := K(x, r)  K(x, r) f¨ ur r ∈ IR  {pa , a ∈ ZZ} leer. Nach (iv) hat K(x, r) f¨ ur r = pa , a ∈ ZZ, mehr ” Rand als Inneres“: K(x, pa ) = K(x, pa−1 ) ist eine abgeschlossene Kreisscheibe vom Radius pa−1 , w¨ ahrend ∂K(x, pa ) disjunkte Vereinigung von p − 1 abgeschlossenen Kreisscheiben vom Radius pa−1 ist. Beweis von Satz 9.1.6. Sei x′ ∈ K(x, r). F¨ ur y ∈ K(x, r) gilt wegen der versch¨ arften Dreiecksungleichung dp (x′ , y) ≤ max(dp (x′ , x), dp (x, y)) < r.

Daher gilt K(x′ , r) ⊂ K(x, r). Wegen x ∈ K(x′ , r) erhalten wir in analoger Weise auch die Inklusion K(x, r) ⊂ K(x′ , r). Das zeigt Aussage (i). Die Abstandsfunktion dp (x, y) nimmt nur die abz¨ahlbar vielen Werte pa , a ∈ ZZ, und 0 an. Also gilt f¨ ur r > 0 und hinreichend kleines ε > 0: dp (x, y) < r ⇐⇒ dp (x, y) ≤ r − ε, a

dp (x, y) ≤ r ⇐⇒ dp (x, y) < r + ε.

Ist r nicht von der Form p , a ∈ ZZ, so gilt

dp (x, y) < r ⇐⇒ dp (x, y) ≤ r.

Das zeigt die Behauptungen (ii) und (iii). F¨ ur r = pa , a ∈ ZZ, erhalten wir dp (x, y) < pa ⇐⇒ dp (x, y) ≤ pa−1 ,

was die erste Aussage von (iv) zeigt. Um die zweite Aussage von (iv) zu zeigen betrachten wir zun¨ achst den Fall x = 0 und r = 1 = p0 . Sei y ∈ K(0, 1). Wir a schreiben y = b mit a ∈ ZZ, b ∈ IN, (a, b) = 1. Wegen |y|p = dp (0, y) ≤ 1 gilt p ∤ b. Daher durchl¨ auft

9.1 Der p-adische Abstand

157

0, b, 2b, . . . , (p − 1)b

alle Restklassen modulo p. Nun gilt f¨ ur i = 0, 1, . . . , p − 1    a − ib   .  dp (i, y) = |y − i|p =  b  p

−1

Daher gilt dp (i, y) ≤ p , wenn a ≡ ib mod p, und dp (i, y) = 1 sonst. Wir erhalten die disjunkte Zerlegung K(0, 1) =

p−1 &

K(i, p−1 ).

i=0

F¨ ur beliebiges a ∈ ZZ gilt K(0, pa ) = pa · K(0, 1) und f¨ ur i = 0, . . . , p − 1 gilt K(pa i, pa−1 ) = pa · K(i, p−1 ). Durch Strecken um den Faktor pa erhalten wir daher p−1 & K(0, pa ) = K(pa i, pa−1 ). i=0

Verschiebung um x ergibt dann a

K(x, p ) =

p−1 &

K(x + pa i, pa−1 ).

i=0

ur i = 1, . . . , p − 1 und erhalten die in (iv) Nun setzen wir xi = x + pa i f¨ behauptete Zerlegung. ⊓ ⊔ In vollkommen analoger Weise zum Fall des gew¨ohnlichen Abstands sagt man, dass eine Folge (xn )n∈IN rationaler Zahlen eine p-adische CauchyFolge ist, wenn f¨ ur jedes ε > 0 ein N ∈ IN mit dp (xn , xm ) < ε f¨ ur alle n, m ≥ N existiert. Wegen der versch¨ arften Dreiecksungleichung kann man ur alle n ≥ N schreiben diese Bedingung auch in der Form dp (xn , xN ) < ε f¨ (was f¨ ur den gew¨ ohnlichen Abstand falsch ist). Es gibt p-adische CauchyFolgen, die keinen Grenzwert in Q haben. Beispiel: Sei p eine Primzahl ≡ ±1 mod 8, d.h. nach dem zweiten Erg¨anzungssatz zum Quadratischen Reziprozit¨ atsgesetz ist 2 quadratischer Rest modulo p. Wir finden also eine ganze Zahl x = x1 mit x2 ≡ 2

mod p.

Wegen p
= 2 ist 2x prim zu p, d.h. x ist eine primitive L¨osung modulo p der Gleichung X 2 −2 = 0. Nach Korollar 3.4.2 finden wir eine Folge ganzer Zahlen (xn )n∈IN mit x2n ≡ 2 mod pn , xn+1 ≡ xn mod pn .

F¨ ur n, m ≥ N gilt xn − xm ≡ 0 mod pN , d.h. dp (xn , xm ) ≤ p−N . Daher ist die konstruierte Folge eine p-adische Cauchy-Folge. Sie hat aber keinen Grenzwert are n¨ amlich y ∈ Q ihr Grenzwert, erhielten wir dp (y 2 , 2) < p−n f¨ ur in Q. W¨ jedes n ∈ IN, also dp (y 2 , 2) = 0 und folglich y 2 = 2. Es gibt aber keine Quadratwurzel aus 2 in Q.

158

Kapitel 9. p-adische Zahlen

Zur besseren Unterscheidung werden wir von nun an den gew¨ohnlichen Betrag |x| und den gew¨ ohnlichen Abstand d(x, y) auf Q mit |x|∞ und d∞ (x, y) bezeichnen. Lemma 9.1.7. (i) Ist (xn )n∈IN eine p-adische Cauchy-Folge, so ist die Folge der p-Betr¨age (|xn |p )n∈IN eine Cauchy-Folge bez¨ uglich des gew¨ohnlichen Abstands. (ii) Die Folge (xn )n∈IN ist genau dann eine p-adische Nullfolge, wenn die uglich des gew¨ohnlichen Abstands Folge der p-Betr¨age (|xn |p )n∈IN bez¨ gegen 0 konvergiert. (iii) Sei (xn )n∈IN eine p-adische Cauchy-Folge, aber keine p-adische Nullfolge. ur alle Dann gibt es ein N ∈ IN und ein k ∈ ZZ , so dass |xn |p = pk f¨ n ≥ N gilt. Beweis. F¨ ur rationale Zahlen x und y impliziert die Dreiecksungleichung f¨ ur den p-adischen Abstand die Ungleichungen Daher gilt

−|x − y|p ≤ |x|p − |y|p ≤ |x − y|p .     |x|p − |y|p  ≤ |x − y|p . ∞

(1) (2)

Nun sei (xn ) eine p-adische Cauchy-Folge. Dann gibt es zu jedem ε > 0 ein N ∈ IN mit |xn − xm |p < ε f¨ ur alle n, m ≥ N . Unter Verwendung von (2) folgt hieraus f¨ ur n, m ≥ N die Ungleichung     |xn |p − |xm |p  ≤ |xn − xm |p < ε. ∞

Daher ist die Folge (|xn |p ) eine Cauchy-Folge bez¨ uglich des gew¨ohnlichen Abstands. Dies zeigt (i). Eine Folge (xn ) rationaler Zahlen ist genau dann eine p-adische Nullfolge, wenn es zu jedem ε > 0 ein N ∈ IN mit |xn |p < ε f¨ ur alle n ≥ N gibt. Nun ist |xn |p einenicht-negative rationale Zahl, d.h. die Bedingung |xn |p < ε    |x | < ε. Folglich ist (x ) genau dann eine p-adische ist a quivalent zu ¨ n p ∞ n Nullfolge, wenn (|xn |p ) eine Nullfolge bez¨ uglich des gew¨ohnlichen Abstands ist. Dies zeigt (ii). Der p-adische Abstand |x|p nimmt nur die abz¨ahlbar vielen Werte pk , k ∈ ZZ, und 0 an. Ist nun (xn ) eine p-adische Cauchy-Folge, die keine Nullfolge ist, so muss nach (i) und (ii) die Folge (|xn |p ) station¨ar werden, d.h. es gibt ur hinreichend großes n ∈ IN. Dies zeigt (iii). ⊓ ⊔ ein k ∈ ZZ mit |xn |p = pk f¨

9.2 Der K¨ orper der p-adischen Zahlen

159

9.2 Der K¨ orper der p-adischen Zahlen Wir fixieren bis auf weiteres eine Primzahl p und betrachten den im letzten Abschnitt eingef¨ uhrten p-adischen Abstand auf Q. Definition 9.2.1. Der K¨ orper der p-adischen Zahlen Qp ist die Vervollst¨andigung von Q bez¨ uglich des p-adischen Abstandes dp . Mit anderen Worten: Die Elemente von Qp (sogenannte p-adische Zahlen) ¨ uglich der sind Aquivalenzklassen p-adischer Cauchy-Folgen (xn )n∈IN in Q bez¨ ¨ Aquivalenzrelation (xi )i∈IN ∼ (yi )i∈IN ⇐⇒ (xi − yi )i∈IN ist eine p-adische Nullfolge. ¨ Es ist leicht einzusehen, dass dies eine Aquivalenzrelation ist. Ist (x′n ) eine ′ Teilfolge der Cauchy-Folge (xn ), so gilt (xn ) ∼ (xn ). Von einer Cauchy-Folge, die keine Nullfolge ist, werden wir im Weiteren stillschweigend annehmen, dass alle ihre Folgenglieder von Null verschieden sind. Dies erreichen wir durch ¨ ¨ Ubergang zu einer geeigneten Teilfolge, ohne dabei die Aquivalenzklasse zu andern. Den Beweis des n¨ achsten Lemmas u ¨ ¨ berlassen wir dem Leser. Lemma 9.2.2. Sind (xn ), (yn ) und (x′n ), (yn′ ) Cauchy-Folgen mit (xn ) ∼ (x′n ) und (yn ) ∼ (yn′ ), so gilt auch (xn + yn ) ∼ (x′n + yn′ ) und (xn yn ) ∼ (x′n yn′ ). Ist (yn ) ∼ (yn′ ) keine Nullfolge, so gilt (xn /yn ) ∼ (x′n /yn′ ). Korollar 9.2.3. Die Operationen Addition und Multiplikation sowie die Division

Qp × Qp −→ Qp Qp × (Qp  {0}) −→ Qp ,

die durch Addition, Multiplikation und Division repr¨asentierender CauchyFolgen gegeben sind, sind wohldefiniert. Durch diese Operationen wird Qp zu einem K¨orper. Wir fassen den K¨ orper Q der rationalen Zahlen als Teilk¨orper des K¨orpers Qp der p-adischen Zahlen auf, indem wir einer rationalen Zahl a die konstante Cauchy-Folge a, a, a, . . . zuordnen. Der p-adische Betrag setzt sich durch die Regel |(xn )n∈IN |p = lim |xn |p n→∞

in nat¨ urlicher Weise von Q auf Qp fort. Lemma 9.1.7 impliziert die folgenden Aussagen: Der Grenzwert existiert und ist unabh¨angig von der Auswahl der repr¨ asentierenden Cauchy-Folge. Es gilt |(xn )n∈IN |p = 0 dann und nur dann, wenn (xn )n∈IN eine p-adische Nullfolge ist. Ist die Cauchy-Folge (xn )n∈IN keine Nullfolge, so wird die Folge der p-Bewertungen (vp (xn ))n∈IN station¨ar, und wir nennen ihren Grenzwert (der eine ganze Zahl ist) die p-Bewertung asentierten p-adischen Zahl. Macht man die der durch die Folge (xn )n∈IN repr¨ Konvention, einer Nullfolge die p-Bewertung ∞ zuzuordnen, so setzt sich die

160

Kapitel 9. p-adische Zahlen

p-Bewertung in nat¨ urlicher Weise von Q auf Qp fort. Ferner sind p-Betrag und p-Bewertung durch die Regel |(xn )n∈IN |p = p−vp ((xn )n∈IN )

auseinander bestimmbar. Mit Hilfe des p-adischen Abstands dp ((xn )n∈IN , (yn )n∈IN ) = |(xn − yn )n∈IN |p

erhalten wir in nat¨ urlicher Weise Begriffe wie konvergente Folge p-adischer Zahlen, offene Teilmenge von Qp , abgeschlossene Teilmenge von Qp usw. Der Beweis des n¨ achsten Satzes ist Routine und sei dem Leser u ¨ berlassen. Satz 9.2.4. Alle f¨ ur die p-Bewertung, den p-Betrag und den p-adischen Abstand auf Q im letzten Abschnitt formulierten Eigenschaften setzen sich in nat¨ urlicher Weise auf Qp fort. Insbesondere bleiben Lemma 9.1.2, Korollar 9.1.4, Satz 9.1.6 und Lemma 9.1.7 richtig, wenn man in ihren Aussagen Q durch Qp ersetzt. Die K¨ orper Qp (p Primzahl) stehen vollkommen gleichberechtigt neben dem K¨ orper IR der reellen Zahlen. Es gibt nur eine wesentliche Abweichung: Die Anordnung, d.h. die ≤-Relation auf Q, setzt sich nicht nach Qp fort. Es ist nicht m¨ oglich, die Elemente von Qp in sinnvoller Weise anzuordnen. In dieser Hinsicht sind die K¨ orper Qp eher mit dem K¨ orper C der komplexen Zahlen zu vergleichen. Der folgende Satz ist die p-adische Version des Satzes von BolzanoWeierstraß. Satz 9.2.5. Der K¨orper Qp ist vollst¨andig, d.h. jede Cauchy-Folge in Qp konvergiert. Jede in Qp beschr¨ankte Folge hat einen H¨aufungspunkt. Jede abgeschlossene und beschr¨ankte Teilmenge in Qp ist kompakt. Beweis. Es gen¨ ugt zu zeigen, dass jede beschr¨ankte Folge einen H¨aufungspunkt hat. Sei (xn ) eine beschr¨ ankte Folge in Qp . Die Folgenglieder xn sind uglich des p-adischen Abnach Definition von Qp Cauchy-Folgen in Q bez¨ stands. Wir w¨ ahlen f¨ ur jedes n ∈ IN ein x′n ∈ Q mit dp (xn , x′n ) ≤ p−n . Die uglich des p-adischen Abstands beschr¨ankt. Folge rationaler Zahlen (x′n ) ist bez¨ Wir werden zeigen, dass (x′n ) eine Cauchy-Folge als Teilfolge besitzt. Diese konvergiert tautologischerweise gegen die Zahl x′ ∈ Qp , die durch sie definiert ist. Die entsprechende Teilfolge der Folge (xn ) konvergiert dann in Qp gegen x′ . Die Existenz einer Cauchy-Teilfolge der Folge (x′n ) wird wie im reellen Fall durch Intervallschachtelung“ bewiesen. Wir w¨ahlen uns x ∈ Q und a ∈ ZZ ” geeignet, so dass die beschr¨ ankte Folge (x′n ) vollst¨andig in der abgeschlossenen Kreisscheibe vom Radius pa um x enthalten ist. Nach Satz 9.1.6 (iv) zerf¨ allt diese Kreisscheibe in die disjunkte Vereinigung von p abgeschlosseussen nen Kreisscheiben vom Radius pa−1 . In einer dieser Kreisscheiben m¨

9.3 Ganze p-adische Zahlen

161

unendlich viele Folgenglieder liegen. Wir entfernen, beginnend bei x′2 , alle Folgenglieder, die nicht in dieser Kreisscheibe liegen. Diese zerf¨allt weiter in die disjunkte Vereinigung von p abgeschlossenen Kreisscheiben vom Radius ussen unendlich viele Folgenglieder pa−2 , und in einer dieser Kreisscheiben m¨ liegen. Wir entfernen, beginnend bei x′3 , alle Folgenglieder, die nicht in dieser Kreisscheibe liegen. Dieser Prozess wird nun immer weiter fortgef¨ uhrt und liefert eine Teilfolge (x′′i ) von (x′i ), so dass alle x′′i mit i ≥ N gemeinsam in einer abgeschlossenen Kreisscheibe vom Radius pa−N +1 liegen. Die versch¨arfte Dreiecksungleichung liefert |x′′i − x′′j |p ≤ pa−N +1

Daher ist die Teilfolge adischen Abstands.

(x′′n )

von

(x′n )

f¨ ur alle i, j ≥ N.

eine Cauchy-Folge bez¨ uglich des p⊓ ⊔

Von nun an werden wir p-adische Zahlen wie richtige“ Zahlen ansehen ” und sie auch nur noch mit einem einfachen Buchstaben bezeichnen. Neben der topologischen Charakterisierung der reellen Zahlen gibt es noch eine algebraische, n¨ amlich die Darstellung als unendlicher Dezimalbruch. Auch hierzu gibt es eine p-adische Entsprechung, auf die wir in Abschnitt 9.4 eingehen werden. Aufgabe: Man zeige, dass die Operationen Addition und Multiplikation sowie die Division

Qp × Qp −→ Qp Qp × (Qp  {0}) −→ Qp

stetig bez¨ uglich der p-adischen Topologie sind.

9.3 Ganze p-adische Zahlen Die G¨ ultigkeit der versch¨ arften Dreiecksungleichung hat eine merkw¨ urdige Folgerung. Ist n¨ amlich |x|p ≤ 1 und |y|p ≤ 1, so gilt auch |x+y|p ≤ 1. Gleiches gilt auch f¨ ur das Produkt. Also ist die Menge solcher p-adischer Zahlen unter Addition und Multiplikation abgeschlossen, d.h. ein Ring. Definition 9.3.1. Die Elemente x ∈ Qp mit |x|p ≤ 1 heißen ganze padische Zahlen. Sie bilden einen Ring, der mit ZZp bezeichnet wird. ( ' ¨ Aquivalent hierzu ist: ZZp = x ∈ Qp | vp (x) ≥ 0 .

Lemma 9.3.2. Der Ring ZZp ist als Teilmenge in Qp beschr¨ankt, offen und abgeschlossen. Insbesondere ist ZZp kompakt.

162

Kapitel 9. p-adische Zahlen

Beweis. Es ist ZZp gerade die abgeschlossene Kreisscheibe K(0, 1) vom Radius 1 um den Punkt 0, also insbesondere beschr¨ankt. Nach Satz 9.1.6 (zusammen mit Satz 9.2.4) ist ZZp sowohl offene als auch abgeschlossene Teilmenge ⊓ ⊔ von Qp . Nach Satz 9.2.5 ist ZZp kompakt. Lemma 9.3.3. Die Menge ZZ der ganzen Zahlen liegt dicht in ZZp , d.h. jede ganze p-adische Zahl kann als Grenzwert einer Folge ganzer Zahlen geschrieben werden. ugt zu zeigen, dass zu jedem n ∈ IN ein Beweis. Sei a ∈ ZZp beliebig. Es gen¨ An ∈ ZZ mit vp (a − An ) ≥ n existiert. Die Folge (An )n∈IN konvergiert dann n¨ amlich p-adisch gegen a. Sei nun n ∈ IN fixiert, und sei (ai )i∈IN eine Folge rationaler Zahlen, die p-adisch gegen a konvergiert. Wegen vp (a) ≥ 0 k¨onnen wir durch Weglassen endlich vieler Anfangsglieder der Folge die G¨ ultigkeit der Ungleichungen ur alle i, j ∈ IN vp (ai ) ≥ 0, vp (ai − aj ) ≥ n f¨

annehmen. Sei nun ai = ci /di , ci ∈ ZZ, di ∈ IN, p ∤ di , und sei An ∈ ZZ eine ganze Zahl mit d1 An ≡ c1 mod pn . An existiert wegen d¯1 ∈ (ZZ/pn ZZ)× . Sei i ∈ IN beliebig. Dann gilt c1 c ci ai − a1 = − = pn , c ∈ ZZ, d ∈ IN, p ∤ d. di d1 d Also gilt d(ci d1 − c1 di ) = pn cd1 di , und wegen p ∤ d folgt pn |ci d1 − c1 di . Aufgrund der Wahl von An gilt pn | (ci d1 − d1 An di ). Wegen p ∤ d1 finden wir also ein b ∈ ZZ mit pn b = ci − An di . Wir erhalten ai − An = pn dbi , also vp (ai − An ) ≥ n. Da i beliebig war, folgt vp (a − An ) ≥ n. ⊓ ⊔ Der n¨ achste Satz ist der erste Schritt zu einer algebraischen Charakterisierung der ganzen p-adischen Zahlen. ur jede nat¨ urliche Satz 9.3.4. Die nat¨ urliche Inklusion ZZ ֒−→ ZZp induziert f¨ Zahl n einen Isomorphismus ∼

ZZ/pn ZZ −→ ZZp /pn ZZp . Beweis. Es gilt pn ZZp = {a ∈ ZZp | vp (a) ≥ n}. Daher bildet sich eine ganze Zahl a genau auf das Nullelement in ZZp /pn ZZp ab, wenn sie selbst in pn ZZ liegt. Dies zeigt die Injektivit¨ at der Abbildung. Nun sei a ¯ ∈ ZZp /pn ZZp beliebig, und ¯. Nach Lemma 9.3.3 finden wir ein An ∈ ZZ sei a ∈ ZZp irgendein Vertreter von a mit vp (a − An ) ≥ n. Dann ist auch An ein Vertreter von a ¯ und die Restklasse von An in ZZ/pn ZZ ist ein Urbild von a ¯. Dies zeigt die Surjektivit¨at. ⊓ ⊔ Also definiert jedes a ∈ ZZp eine Folge (an ∈ ZZ/pn ZZ)n∈IN , die Folge seiner ugt der Kompatibilit¨atsbedingung Restklassen modulo pn . Diese Folge gen¨ an+1 ≡ an

mod pn

9.3 Ganze p-adische Zahlen

163

f¨ ur alle n. Solch eine Folge von Restklassen nennt man kompatibles System von Restklassen. Die Menge aller kompatiblen Systeme (an ∈ ZZ/pn ZZ)n∈IN bezeichnet man mit lim ZZ/pn ZZ ← − n und nennt sie den projektiven Limes des Systems · · · → ZZ/p3 ZZ → ZZ/p2 ZZ → ZZ/pZZ.

Durch die Verkn¨ upfungen (an ) + (bn ) := (an + bn ) und (an )(bn ) := (an bn ) wird limn ZZ/pn ZZ zu einem kommutativen Ring. ←− Satz 9.3.5. Indem man einer ganzen p-adischen Zahl die Folge ihrer Restklasurlichen Isomorphismus sen modulo pn , n ∈ IN, zuordnet, erh¨alt man einen nat¨ ∼

Φ : ZZp −→ lim ZZ/pn ZZ. ← − n

Beweis. Die Abbildung Φ ist offenbar mit den definierten algebraischen Operationen auf limn ZZ/pn ZZ vertr¨ aglich. Haben zwei ganze p-adische Zahlen a, b ←− die gleiche Restklasse modulo pn , so gilt vp (a − b) ≥ n. Ist nun Φ(a) = Φ(b), so gilt vp (a − b) ≥ n f¨ ur jedes n ∈ IN und deshalb a − b = 0. Also ist Φ injektiv. Nun sei (an ∈ ZZ/pn ZZ)n∈IN ein kompatibles System von Restklassen. Wir w¨ahlen f¨ ur jedes n einen Vertreter An ∈ ZZ von an . Dann gilt f¨ ur n, m ∈ IN die Ungleichung vp (An − Am ) ≥ min(m, n). Also ist die Folge (An )n∈IN eine padische Cauchy-Folge und konvergiert gegen ein a ∈ ZZp . Wegen vp (a−An ) ≥ n stimmt die Restklasse von a modulo pn mit an u ¨berein, d.h. Φ(a) = (an )n∈IN . Daher ist Φ auch surjektiv. ⊓ ⊔ Schließlich untersuchen wir ringtheoretische Eigenschaften von ZZp . Lemma 9.3.6. Ein Element u ∈ Qp ist genau dann eine Einheit in ZZp , wenn vp (u) = 0 bzw. |u|p = 1 gilt. Beweis. Ist vp (u) = 0, so ist vp (u−1 ) = −vp (u) = 0, also u, u−1 ∈ ZZp . Ist umgekehrt u ∈ ZZ× ur ein v ∈ ZZp und daher vp (u) + vp (v) = 0. p , so gilt uv = 1 f¨ ⊓ ⊔ Wegen vp (u) ≥ 0, vp (v) ≥ 0 folgt vp (u) = 0. Zp gerade der Rand der abAlso ist die Einheitengruppe ZZ× p des Rings Z geschlossenen Kreisscheibe vom Radius 1 um den Punkt 0 in Qp . F¨ ur die algebraische Beschreibung von ZZp als projektiver Limes bedeutet dies, dass man eine Einheit bereits am ersten Glied erkennen kann. Korollar 9.3.7. Ein Element u ∈ ZZp ist genau dann eine Einheit, wenn seine Restklasse u1 ∈ ZZ/pZZ von Null verschieden ist. Zp  pZZp ⇔ u1
= 0. ⊓ ⊔ Beweis. F¨ ur u ∈ ZZp gilt: u ∈ ZZ× p ⇔ vp (u) = 0 ⇔ u ∈ Z

164

Kapitel 9. p-adische Zahlen

Lemma 9.3.8. Jedes a ∈ Q× p hat eine eindeutige Darstellung der Form a = pn u,

n ∈ ZZ, u ∈ ZZ× p.

Beweis. Mit n = vp (a) erhalten wir vp (ap−n ) = 0, also u = ap−n ∈ ZZ× p. −n Ist umgekehrt a = pn u, u ∈ ZZ× , so folgt n = v (a), u = ap , was die p p Eindeutigkeit der Darstellung zeigt. ⊓ ⊔ ahlbar vielen Die Menge Q× p ist also die disjunkte Vereinigung der abz¨ × n × (multiplikativen) Translate p ZZp , n ∈ ZZ, von ZZp . Schließlich bestimmen wir noch alle Ideale in ZZp . Satz 9.3.9. Die Ideale in ZZp sind genau die Hauptideale (0) und pn ZZp mit n ∈ IN. Diese bilden eine absteigende Kette ZZp  pZZp  p2 ZZp  p3 ZZp 

Insbesondere ist ZZp ein Hauptidealring.

···

 (0).

Beweis. Sei a ⊂ ZZp ein von Null verschiedenes Ideal und sei n = min vp (a). a∈a

Sei 0
= a ∈ a beliebig. Dann gilt f¨ ur u = ap−vp (a) die Gleichung vp (u) = 0, also × n vp (a)−n u und pvp (a)−n u ∈ ZZp . Also a ⊂ pn ZZp . u ∈ ZZp . Folglich gilt a = p p Umgekehrt existiert aufgrund der Wahl von n ein a ∈ a mit n = vp (a), also n −1 ∈ a, d.h. pn ZZp ⊂ a. ⊓ ⊔ a = pn u mit einem u ∈ ZZ× p . Daher gilt p = au

Aufgabe 1. Man zeige, dass es außer der Identit¨ at keine weiteren K¨ orperautomorphismen von IR gibt. Hinweis: Man zeige, dass f¨ ur jeden K¨ orperautomorphismus τ : IR → IR die Implikation x < y =⇒ τ (x) < τ (y) gilt. Hieraus schließe man, dass τ stetig ist. Aufgabe 2. Man zeige, dass es außer der Identit¨ at keine weiteren K¨ orperautomorphismen von Qp gibt. Hinweis: Man zeige, dass jeder K¨ orperautomorphismus τ : Qp → Qp stetig bez¨ uglich des p-adischen Abstands ist.

9.4 Die p-adische Entwicklung Jede reelle Zahl kann als Dezimalzahl geschrieben werden, wobei unendlich viele Nachkommastellen (aber keine 9er-Periode) erlaubt sind. Eine analoge Beschreibung existiert auch f¨ ur die p-adischen Zahlen. Zun¨ achst besitzt jede nichtnegative ganze Zahl N eine eindeutig bestimmte p-adische Entwicklung, d.h. eine Darstellung der Form

9.4 Die p-adische Entwicklung

165

N = a0 + a1 p + · · · + an p n ,

mit ai ∈ {0, 1, . . . , p − 1}. Man erh¨ alt diese, indem man N sukzessive mit Rest durch p teilt: N = a0 + pN1 N1 = a1 + pN2 .. . Nn−1 = an−1 + pNn N n = an . Im Zahlensystem zur Basis p w¨ urde man jetzt N = an . . . a1 a0 schreiben. Da im p-adischen Sinne die Potenzen pn bei wachsendem n kleiner werden, bevorzugen wir die Schreibweise N = 0, a0 a1 . . . an . Mit dieser Konvention gilt beispielsweise 10 = 0, 0101 (2-adisch) 10 = 0, 101 (3-adisch) 10 = 0, 02 (5-adisch). Nun kann man auch Vorkommastellen zulassen. Wir setzen n
ai pi ∈ Q. a−m a−m+1 . . . a−1 , a0 a1 . . . an = i=−m

Da pn f¨ ur n → ∞ p-adisch gegen 0 konvergiert, k¨onnen wir auch unendlich viele Nachkommastellen zulassen. Wir setzen ∞
ai p i . a−m a−m+1 . . . a−1 , a0 a1 . . . = i=−m

Wegen der versch¨ arften Dreiecksungleichung ist die Folge der Partialsummen  n i a p eine p-adische Cauchy-Folge. Daher definiert die Reihe eine wohli i=−m bestimmte p-adische Zahl. Satz 9.4.1. Jede p-adische Zahl x ∈ Qp hat eine eindeutig bestimmte Darstellung ∞
x= ai pi = a−m a−m+1 . . . a−1 , a0 a1 . . . i≫−∞

mit ai ∈ {0, 1, . . . , p − 1}. Ihre p-adische Bewertung vp (x) ist die kleinste Zahl i ∈ ZZ mit ai
= 0. Insbesondere liegt x genau dann in ZZp , wenn alle Vorkommastellen Null sind, d.h. wenn ai = 0 f¨ ur i < 0 gilt. Beweis. Sei x = summe

∞

i=r

ai pi , ar
= 0. Nach Korollar 9.1.4 gilt f¨ ur jede Partial-

n n

vp ( ai pi ) = r, ai pi ) = vp (ar pr + i=r

i=r+1

also auch vp (x) = r. Insbesondere liegt x genau dann in ZZp , wenn alle Vorkommastellen Null sind. Wenn wir x mit einer festen p-Potenz multiplizieren,

166

Kapitel 9. p-adische Zahlen

verschiebt sich lediglich das Komma. Daher k¨onnen wir uns sowohl beim Beweis der Existenz, als auch beim Beweis der Eindeutigkeit der Darstellung auf den Fall x ∈ ZZp beschr¨ anken. Sei nun x = a0 + a1 p + a2 p 2 + · · · 2

Dann gilt x − (a0 + a1 p + a2 p + · · · + an−1 p

n−1

.

) ∈ pn ZZp und

Nn = a0 + a1 p + a2 p2 + · · · + an−1 pn−1

ist die p-adische Entwicklung der, nach Satz 9.3.4 eindeutig bestimmten, ganzen Zahl Nn mit 0 ≤ Nn < pn und x ≡ Nn mod pn . Dies zeigt die Eindeutigkeit der Reihendarstellung. Sei umgekehrt, f¨ ur n ∈ IN, Nn die eindeutig bestimmte ganze Zahl mit 0 ≤ Nn < pn und x ≡ Nn mod pn . Wegen Nn+1 ≡ Nn mod pn stimmen die ersten n Stellen der p-adischen Entwicklungen von Nn+1 mit denen von Nn u ¨ berein, d.h. es gibt eine Folge a0 , a1 , . . . ganzer Zahlen, ai ∈ {0, . . . , p − 1}, mit Nn = a0 + a1 p + · · · + an−1 pn−1 f¨ ur alle n. Wir erhalten ∞
ai p i . x = lim Nn = n→∞

i=0

Dies zeigt die Existenz der p-adischen Entwicklung.

⊓ ⊔

Aufgabe 1. Man zeige, dass eine p-adische Zahl genau dann in Q liegt, wenn ihre p-adische Entwicklung periodisch ist, wobei eine Vorperiode zugelassen ist. Aufgabe 2. Man entwickle Rechenregeln f¨ ur die Addition und Multiplikation padischer Zahlen in ihrer p-adischen Entwicklung.

9.5 p-adische Gleichungen Wir betrachten ein System diophantischer Gleichungen f1 (X1 , . . . , Xr ) .. .

=0 .. .. . .

(S)

fn (X1 , . . . , Xr ) = 0 mit p-adisch ganzen Polynomen fi ∈ ZZp [X1 , . . . , Xr ], und wir suchen nach simultanen L¨ osungen in ZZrp . Wir zeigen Satz 9.5.1. Das System (S) hat genau dann eine L¨osung in ZZrp , wenn eine L¨osung modulo pm f¨ ur jedes m ∈ IN existiert. Beweis. Wir zeigen die nichttriviale Richtung. F¨ ur jedes m ∈ IN und jede der endlich vielen L¨ osungen von (S) in (ZZ/pm ZZ)r w¨ahlen wir einen Vertreter in ZZrp . Die Menge dieser Elemente in ZZrp hat wegen der Kompaktheit von ZZrp mindestens einen H¨ aufungspunkt. Ist (x1 , . . . , xr ) ∈ ZZrp ein solcher H¨aufungspunkt, so gilt

9.5 p-adische Gleichungen

167

fi (x1 , . . . , xr ) ≡ 0

mod pm ,

i = 1, . . . , n,

f¨ ur jedes m ∈ IN, da sich in beliebiger p-adischer N¨ahe, und insbesondere im Abstand ≤ p−m von (x1 , . . . , xr ), eine L¨ osung von (S) modulo pm befindet. Also gilt fi (x1 , . . . , xr ) = 0, i = 1, . . . , n. ⊓ ⊔ Die folgende Aussage ist fast identisch zu der von Satz 3.4.1, nur dass als Koeffizienten des Polynoms f ganze p-adische anstelle ganzer Zahlen zugelassen sind. Am Beweis ¨ andert sich nichts, er bleibt wortw¨ortlich der gleiche und sei daher dem Leser u ¨ berlassen. Lemma 9.5.2. Sei f ∈ ZZp [X] ein Polynom und f ′ seine Ableitung. Sei n ≥ 1, und es existiere ein x ∈ ZZp mit f (x) ≡ 0

mod pn .

Gilt vp (f ′ (x)) = k mit 2k < n, so gibt es ein y ∈ ZZp mit f (y) ≡ 0

mod pn+1 ,

so dass außerdem vp (f ′ (y)) = k und y ≡ x mod pn−k gilt. Satz 9.5.3. Sei f ∈ ZZp [X] ein Polynom und f ′ seine Ableitung. Sei n ≥ 1, und es existiere ein x ∈ ZZp mit f (x) ≡ 0

mod pn .

Gilt vp (f ′ (x)) = k mit 2k < n, so existiert eine Nullstelle y von f in ZZp , die kongruent zu x modulo pn−k ist. Beweis. Wir wenden Lemma 9.5.2 auf x(1) = x an und erhalten ein x(2) ∈ ZZp mit x(2) ≡ x(1) mod pn−k sowie f (x(2) ) ≡ 0 mod pn+1

und

vp (f ′ (x(2) )) = k.

Nun wenden wir Lemma 9.5.2 auf x(2) und n + 1 an. So erhalten wir induktiv eine Folge x(1) , x(2) , . . . ganzer p-adischer Zahlen mit x(q+1) ≡ x(q)

mod pn+q−k−1

und

f (x(q) ) ≡ 0 mod pn+q−1 .

Dies ist eine Cauchy-Folge. F¨ ur ihren Limes y ∈ ZZp gilt f (y) = 0, und außerdem ist y ≡ x mod pn−k . ⊓ ⊔ Wir wenden dies auf verschiedene Gleichungen an. Satz 9.5.4. Sei p > 2. Dann existieren genau p − 1 verschiedene (p − 1)-te Einheitswurzeln in Qp . Diese liegen alle in ZZp . Beweis. Das Polynom f = X p−1 − 1 hat p − 1 Nullstellen modulo p, n¨amlich, nach dem Kleinen Fermatschen Satz, alle nichttrivialen Restklassen modulo p. F¨ ur jedes a ∈ ZZp  pZZp gilt vp (f ′ (a)) = vp ((p − 1)a) = 0. Satz 9.5.3 liefert uns p − 1 verschiedene (in jeder Restklasse modulo p eine) Nullstellen in ZZp . Dies sind dann auch schon alle (p − 1)-ten Einheitswurzeln, weil f im K¨orper Qp h¨ ochstens grad(f ) = p − 1 viele Nullstellen haben kann. ⊓ ⊔

168

Kapitel 9. p-adische Zahlen

F¨ ur p
= 2 und u ∈ ZZp bezeichne von u modulo p.

u p

das Legendre-Symbol der Restklasse

Satz 9.5.5. Es sei a = pn u, u ∈ ZZ× p . Es existiert genau dann eine Quadratwurzel aus a in Qp , wenn ⎧   u ⎪ ⎨ = 1, falls p
= 2, p 2|n und ⎪ ⎩ u ≡ 1 mod 8, falls p = 2.

Beweis. Wegen n = vp (a) ist die Bedingung 2 | n offenbar notwendig. Ist n gerade, so ist a genau dann ein Quadrat, wenn u ein Quadrat ist. Außerdem muss eine Quadratwurzel von u notwendig wieder in ZZ× p liegen. Sei p
= 2. Hat u eine Quadratwurzel, so ist u quadratischer Rest modulo p. Umgekehrt sei u quadratischer Rest modulo p. Dann hat die Gleichung osung y ∈ (ZZ/pZZ)× und f ′ (y) = 2y ist ungleich 0 f (X) = X 2 − u = 0 eine L¨ in ZZ/pZZ. Satz 9.5.3 liefert eine L¨ osung in ZZp . Im Fall p = 2 bemerken wir zun¨ achst, dass ungerade Quadrate stets kongruent 1 modulo 8 sind. Gilt nun u ≡ 1 mod 8, so ist 3 eine L¨osung der Gleichung f (X) = X 2 − u = 0 modulo 23 , und es gilt v2 (f ′ (3)) = v2 (6) = 1. Satz 9.5.3 liefert dann eine L¨ osung in ZZ2 . ⊓ ⊔ × Korollar 9.5.6. Die Untergruppe Q×2 p der Quadrate ist offen in Qp . Zu je× dem x ∈ Qp gibt es ein ε > 0, so dass gilt

|y − x| < ε =⇒ y/x ∈ Q×2 p .

Beweis. Nach Satz 9.5.5 ist eine Einheit u ∈ ZZ× p ein Quadrat, wenn u ≡ 1 mod p3 gilt. Sei nun x = pn u ∈ Q× , n = v (x), u ∈ ZZ× ur ein y ∈ Qp p p p . Gilt f¨ die Ungleichung vp (y − x) ≥ n + 3, also y − x = pn+3 z, z ∈ ZZp , so folgt x + pn+3 z z y = = 1 + p3 ≡ 1 mod p3 , x x u und deshalb y/x ∈ Q×2 . p

⊓ ⊔

Die genaue Bedingung daf¨ ur, dass eine rationale Zahl in Qp zum Quadrat wird, ist die folgende. Satz 9.5.7. Ein Nichtquadrat d ∈ Q wird genau dann zum Quadrat in Qp , √ wenn die Primzahl p im quadratischen Zahlk¨orper Q( d) zerlegt ist. Bemerkung: Man sollte diesen Satz so verstehen:√p zerf¨allt genau dann in √ Q( d), wenn es keine echte K¨ orpererweiterung Qp ( d) gibt, d.h. wenn in Qp bereits eine Quadratwurzel aus d existiert.

9.5 p-adische Gleichungen

169

Beweis von Satz 9.5.7. Wir k¨ onnen die Zahl d nach Belieben mit Quadraten multiplizieren und daher annehmen, dass d ganzzahlig,
= 0, 1 und quadratfrei ist. Im Fall vp (d) = 1 ist d kein Quadrat in Qp , und nach Theorem 6.5.18 ist √ p verzweigt in K = Q( d). Es bleibt der Fall vp (d) = 0.   Sei zun¨ achst p
= 2. Dann ist d genau dann Quadrat in Qp , wenn dp = 1 gilt. Wegen ∆K ∈ {d, 4d} ist dies ist aber auch genau die Bedingung daf¨ ur, dass p in K zerlegt ist. Im Fall p = 2 ist d genau dann Quadrat in Q2 , wenn d ≡ 1 mod 8 ist. Dies ist ¨ aquivalent zu ∆K ≡ 1 mod 8 und nach Satz 6.5.18 ¨aquivalent dazu, dass 2 √ allt. ⊓ ⊔ in Q( d) zerf¨ Korollar 9.5.8. Eine rationale Zahl ist dann und nur dann ein Quadrat, wenn sie ein Quadrat in IR und in jedem der K¨orper Qp , p Primzahl, ist. Es ist sogar hinreichend, dass sie ein Quadrat in Qp f¨ ur fast alle Primzahlen p ist. × Beweis. Ist d ∈ Q√ kein Quadrat, so betrachten wir den quadratischen Zahlk¨ orper K = Q( d). Da∆K kein Quadrat ist, existieren nach Satz 2.3.6 unendlich viele p mit ∆pK = −1. Solche p sind tr¨age in OK , und nach Satz 9.5.7 ist d kein Quadrat in Qp f¨ ur solche p. ⊓ ⊔

Schließlich bestimmen wir ein Vertretersystem von Q× p modulo Quadraten ×2 und bestimmen die Struktur der Faktorgruppe Q× /Q p p . ×2 die Ordnung 4. Ein vollst¨andiges Satz 9.5.9. (i) F¨ ur p
= 2 hat Q× p /Qp Vertretersystem ist durch

ZZ× p

{1, u, p, pu}

ein beliebig gew¨ahlter quadratischer Nichtrest gegeben, wobei u ∈ ist. ×2 ist 8. Ein vollst¨andiges Vertretersystem ist (ii) Die Ordnung von Q× 2 /Q2 durch {±1, ±5, ±2, ±10} gegeben.

ahlter quadratischer Nichtrest. Beweis. Sei p
= 2 und u ∈ ZZ× p ein beliebig gew¨ Dann ist nach Satz 9.5.5 f¨ ur ein beliebiges a = pn v, v ∈ ZZ× p , genau einer der −1 −1 Werte a, au , ap , a(pu)−1 ein Quadrat in Qp . Im Fall p = 2 argumentiert man analog. ⊓ ⊔

Aufgabe 1. Sei p = 2 eine Primzahl und ζ ∈ Qp eine primitive n-te Einheitswurzel. Man zeige n |(p − 1), d.h. Qp enth¨ alt genau die (p − 1)-ten Einheitswurzeln. alt. Aufgabe 2. Man zeige, dass Q2 nur die zweiten Einheitswurzeln enth¨

170

Kapitel 9. p-adische Zahlen

Aufgabe 3. Man zeige, dass die K¨ orper IR, Q2 , Q3 , Q5 , . . . paarweise nicht isomorph sind. Aufgabe 4. Man zeige, dass der K¨ orper Qp keine Anordnung besitzt. Hinweis: Man zeige, dass −1 ∈ Qp Summe von Quadraten ist.

9.6 Das Hilbert-Symbol ur eine Primzahl p. Sei k gleich IR oder einer der K¨ orper Qp f¨ Definition 9.6.1. F¨ ur a, b ∈ k × setzen wir das Symbol (a, b) gleich 1, wenn die Gleichung (∗) aX 2 + bY 2 = Z 2 eine von (0, 0, 0) verschiedene L¨osung in k 3 besitzt. Ansonsten setzen wir (a, b) = −1. Das so definierte Symbol (a, b) ∈ {±1} heißt das HilbertSymbol von a und b. Das Hilbert-Symbol ¨ andert sich offenbar nicht, wenn man a oder b mit einem Quadrat multipliziert, d.h. f¨ ur a, b, c ∈ k × gilt (a, bc2 ) = (a, b) = (ac2 , b). Daher induziert das Hilbert-Symbol eine Abbildung k × /k ×2 × k × /k ×2 −→ {±1}.

Unser Ziel ist es, den folgenden Satz zu zeigen:

Satz 9.6.2. F¨ ur das Hilbert-Symbol gelten die folgenden Eigenschaften: (i) (a, b) = (b, a), (ii) (a, −a) = 1 und (a, 1 − a) = 1, (iii) (aa′ , b) = (a, b)(a′ , b) und (a, bb′ ) = (a, b)(a, b′ ), (iv) aus (a, b) = 1 f¨ ur alle b folgt a ∈ k ×2 .

Hierbei seien a, a′ , b, b′ ∈ k × und a
= 1 in der zweiten Aussage von (ii). Bemerkung: Eigenschaften (i), (iii), (iv) besagen, dass das Hilbert-Symbol eine nichtausgeartete symmetrische Bilinearform auf dem F2 -Vektorraum k × /k ×2 induziert. Eigenschaft (ii) besagt, dass das Hilbert-Symbol ein Sym” bol“ im Sinne der algebraischen K-Theorie ist. Wegen seiner Multiplikativit¨ at und Symmetrie wird das Hilbert-Symbol durch den folgenden Satz vollst¨ andig beschrieben. Dort benutzen wir f¨ ur a ∈ ZZ2 die Notation: (−1)a = (−1)a mod 2 .

9.6 Das Hilbert-Symbol

171

Satz 9.6.3. Das Hilbert-Symbol berechnet sich wie folgt. (i) Ist k = IR, so gilt (a, b) = 1, falls a oder b positiv ist. F¨ ur a < 0 und b < 0 gilt (a, b) = −1.

(ii) Ist k = Qp und sind u, v ∈ ZZ× p , so gilt   p−1 u (p, p) = (−1) 2 , (p, u) = , (u, v) = 1, wenn p
= 2, p (2, 2) = 1, (2, u) = (−1)

u2 −1 8

, (u, v) = (−1)

u−1 v−1 2 2

, wenn p = 2.

Wir werden die S¨ atze 9.6.2 und 9.6.3 dadurch beweisen, dass wir das HilbertSymbol auf allen m¨ oglichen Werten aus (k × /k ×2 ) × (k × /k ×2 ) berechnen. F¨ ur k = IR bedeutet dies, vier Hilbert-Symbole zu berechnen. F¨ ur Qp , p
= 2, m¨ ussen wir 16, im Fall k = Q2 m¨ ussen wir 64 Symbole berechnen. Das ist nicht elegant, aber machbar. Bevor wir mit den Berechnungen anfangen, stellen wir zun¨achst eine Verbindung zwischen dem Hilbert-Symbol und Normgruppen her. F¨ ur ein beliebiges d ∈ k × betrachten wir die Teilmenge Nd := {x ∈ k × | es ex. a, b ∈ k mit x = a2 − db2 },

die wegen (a2 − db2 )(a′2 − db′2 ) = (aa′ + bb′ d)2 − d(ab′ + a′ b)2 und   2 2 1 a b = −d a2 − db2 a2 − db2 a2 − db2

sogar eine Untergruppe von k × ist. Ist d = c2 , c ∈ k × , so gilt f¨ ur jedes x ∈ k ×  2 2  x−1 x+1 −d , x= 2 2c d.h. es gilt Nd = k × , wenn d ein Quadrat ist.

Satz 9.6.4. Seien a, b ∈ k × . Dann gilt (a, b) = 1

⇐⇒

Insbesondere gilt: a ∈ Nb ⇐⇒ b ∈ Na .

a ∈ Nb .

Beweis. Ist b = c2 , c ∈ k, so ist (0, 1, c) eine nichttriviale L¨osung von (∗), also (a, b) = 1 f¨ ur alle a ∈ k × . In diesem Fall ist auch Nb = k × . Sei nun b kein Quadrat. Ist a = z 2 − by 2 , so ist (1, y, z) eine nichttriviale L¨ osung von (∗), also (a, b) = 1. Ist umgekehrt (a, b) = 1 und (x, y, z)
= (0, 0, 0) eine L¨ osung von (∗), so gilt x
= 0, weil sonst b ein Quadrat in k w¨are. Wir erhalten y2 z2 a = 2 −b 2, x x und folglich gilt a ∈ Nb . Die zweite Behauptung folgt nun aus der ersten und aus der Symmetrie des Hilbert-Symbols. ⊓ ⊔

172

Kapitel 9. p-adische Zahlen

√ Bemerkung: Es ist Nb gerade die Normgruppe der Erweiterung k( b)/k, d.h. die Untergruppe der Elemente in x ∈ k × mit x = Nk(√b)/k (y) f¨ ur ein √ × y ∈ k( b) . Daher nennt man das Hilbert-Symbol auch Normrestsymbol. Im Beweis von Satz 9.6.4 haben wir bis auf die, direkt aus der Definition abzulesende, Symmetrie des Hilbert-Symbols die S¨atze 9.6.2 und 9.6.3 nicht benutzt. Daher k¨ onnen wir die Aussage von Satz 9.6.4 beim Beweis dieser S¨ atze benutzen. Beide folgen aus den nachstehenden Tabellen, die das HilbertSymbol vollst¨ andig beschreiben. Im Fall k = IR ist {±1} ein vollst¨andiges Verur k = Qp haben wir in Satz 9.5.9 Vertretersystem von k × modulo k ×2 , und f¨ tretersysteme angegeben. Das Hilbert-Symbol ist vollst¨andig durch die nachstehenden Tabellen gegeben. k = IR : +1 −1 +1 + + −1 + − , k = Qp , p ≡ 1 mod 4, u ∈ ZZ× p kein quadratischer Rest: 1 u p pu

1 + + + +

u + + − −

p + − + −

pu + − − + ,

k = Qp , p ≡ 3 mod 4, u ∈ ZZ× p kein quadratischer Rest: 1 u p pu

1 + + + +

u + + − −

p + − − +

pu + − + − ,

k = Q2 : +1 −1 +5 −5 +2 −2 +10 −10

+1 −1 +5 −5 +2 −2 +10 −10 + + + + + + + + + − + − + − + − + + + + − − − − + − + − − + − + + + − − + + − − + − − + + − − + + + − − − − + + + − − + − + + − .

9.6 Das Hilbert-Symbol

173

Die Gleichung aX 2 + bY 2 = Z 2 hat genau dann keine nichttriviale L¨osung in IR3 , wenn a und b negativ sind. Dies zeigt die Tabelle f¨ ur k = IR. Um den Rechenaufwand f¨ ur die anderen Tabellen zu verringern, beginnen wir mit einem Lemma, das die Aussagen (i), (ii), sowie einen Teil von (iii) des Satzes 9.6.2 enth¨ alt. Lemma 9.6.5. F¨ ur a, a′ , b ∈ k × gelten die folgenden Aussagen: (i) (ii) (iii) (iv) (v)

(a, b) = (b, a), (a, −a) = 1 und (a, 1 − a) = 1, wenn a
= 1, (a, b) = 1 =⇒ (aa′ , b) = (a′ , b), (a, 1) = 1, (a, a) = (−1, a).

Beweis. Aussage (i) folgt direkt aus der Definition des Hilbert-Symbols. Das Tripel (1, 1, 0) ist eine nichttriviale L¨ osung von aX 2 − aY 2 = Z 2 , und (1, 1, 1) ist eine nichttriviale L¨ osung der Gleichung aX 2 + (1 − a)Y 2 = Z 2 , was (ii) zeigt. Gilt nun (a, b) = 1, so ist nach Satz 9.6.4 a ∈ Nb , und weil Nb ⊂ k × eine Untergruppe ist, gilt a′ ∈ Nb ⇐⇒ aa′ ∈ Nb . Eine erneute Anwendung ur von Satz 9.6.4 zeigt damit Aussage (iii). Wegen N1 = k × gilt (a, 1) = 1 f¨ jedes a. Dies zeigt (iv). Nach (ii) gilt (−a, a) = 1, woraus nach (iii) und (iv) die Gleichungen (a, a) = (−a2 , a) = (−1, a) folgen. Das zeigt (v) und beendet den Beweis. ⊓ ⊔ Wir beginnen nun mit der Verifikation der Tabellen. Wegen (1, a) = 1 steht in der ersten Zeile und Spalte nur +. Der Fall p
= 2. Sei u ∈ ZZ× p ein quadratischer Nichtrest modulo p, und sei 3 (x, y, z) ∈ Qp eine nichttriviale L¨ osung der Gleichung pX 2 + uY 2 = Z 2 .

Durch Multiplizieren mit einer geeigneten p-Potenz erreichen wir, dass x, y, z ∈ are y durch p teilbar, so auch z. Dann ZZp und nicht alle durch p teilbar sind. W¨ ist px2 durch p2 teilbar, aber x kann nicht auch noch durch p teilbar sein. Also gilt vp (y) = 0. Die gleiche Argumentation schließt auch aus, dass z durch p Zp . Betrachten wir die Gleichung modulo p, teilbar ist. Also y, z ∈ ZZ× p, x ∈ Z erhalten wir, dass u quadratischer Rest ist, im Widerspruch zur Wahl von u. Also existiert keine nichttriviale L¨ osung, und es gilt (p, u) = −1. Ein belieist entweder Quadrat oder von der Form uc2 , c ∈ ZZ× biges v ∈ ZZ× p . Daher p v erhalten wir die Formel (p, v) = p f¨ . ur v ∈ ZZ× p Die Funktionen X → X 2 und Y → u−1 − Y 2 nehmen modulo p jeweils genau (p + 1)/2 Werte an. Daher gibt es x, y ∈ ZZp , so dass (x, y) eine L¨osung modulo p der Gleichung X 2 + Y 2 = u−1 ist. Sei ohne Einschr¨ankung x nicht durch p teilbar. F¨ ur das Polynom f (X) = X 2 +y 2 −u−1 gilt dann vp (f (x)) ≥ 1 ′ und vp (f (x)) = 0. Nach Satz 9.5.3 existiert ein x1 ∈ ZZp mit f (x1 ) = 0. Dann

174

Kapitel 9. p-adische Zahlen

ist (x1 , y, 1) eine nichttriviale L¨ osung von uX 2 + uY 2 = Z 2 , also (u, u) = 1. Wegen (p, u) = −1 folgt (pu, u) = −1 und (pu, v) = vp f¨ ur ein allgemeines × v ∈ ZZp .   Nach Lemma 9.6.5 (v) gilt (p, p) = (p, −1) = −1 p . Wegen (p,−p) = 1 2 erhalten nach Lemma 9.6.5 (iii) (p, pu) = (p, −p u) = (p, −u) = −u p . Analog 2 2 u ) = (pu, −1) = folgt aus (pu, −pu) = 1 die Gleichung (pu, pu) = (pu, −p  −1  . Das zeigt die Tabellen f¨ u r p =
2. p Der Fall p = 2. Wegen (a, −a) = 1 gilt (5, −5) = (2, −2) = (10, −10) = 1.

Wegen (1 − a, a) = 1 folgt (−1, 5) = (−4, 5) = (1 − 5, 5) = 1, sowie (−1, 2) = (1−2, 2) = 1. Da − 35 ein Quadrat in Q2 ist, schließt man (−2, −5) = (−2, 3) = (1 − 3, 3) = 1. Wegen (5, −5) = 1 folgt hieraus mit Lemma 9.6.5 (iii) die Gleichung (−10, −5) = (−2, −5) = 1 Wenn f¨ ur a, b ∈ ZZ2 die Gleichung

aX 2 + bY 2 = Z 2

eine nichttriviale L¨ osung (x, y, z) ∈ Q32 hat, so k¨onnen wir durch Multiplikation mit einer geeigneten 2-Potenz erreichen, dass x, y, z ∈ ZZ2 und nicht alle gerade sind. Nun hat diese Gleichung f¨ ur (a, b) = (−1, −1), (−1, −2) keine L¨ osungen modulo 8, die nicht alle gerade sind. Daher gilt (−1, −1) = (−1, −2) = −1.

Wegen Lemma 9.6.5 (iii) impliziert (−1, 5) = 1 die Gleichungen (−1, 10) = (−1, 2) = 1, (−1, −5) = (−1, −1) = −1 und (−1, −10) = (−1, −2) = −1.

Nach Lemma 9.6.5 (v) erhalten wir (5, 5) = (2, 2) = (10, 10) = 1 und (−5, −5) = (−2, −2) = (−10, −10) = −1.

Aus (−2, −5) = 1 folgt (−2, 10) = (−2, −2) = −1, sowie (−2, −10) = (−2, 2) = 1, und hieraus wiederum (−2, 5) = (−2, 10) = −1. Aus (5, −5) = 1 folgt (5, 10) = (5, −2) = −1, und aus (5, −1) = 1 erhalten wir (5, 2) = (5, −2) = −1. Wieder mit (5, −5) = 1 erhalten wir (5, −10) = (5, 2) = −1. Aus (2, −1) = 1 folgt (2, −5) = (2, 5) = −1. Aus (2, 2) = 1 folgt (2, 10) = (2, 5) = −1, woraus wegen (2, −1) = 1 sofort (2, −10) = (2, 10) = −1 folgt. Schließlich folgt aus (−5, −2) = 1 die Gleichheit (−5, 10) = (−5, −5) = −1. Damit ist die Tabelle vollst¨ andig ausgerechnet, und die S¨atze 9.6.2, 9.6.3 sind bewiesen. ⊓ ⊔ Bemerkung: Es ist offensichtlich nicht die eleganteste Methode, Eigenschaften einer Abbildung dadurch zu beweisen, dass man alle F¨alle einzeln durchrechnet. Das lag hier an der expliziten Definition des Hilbert-Symbols. Um das Hilbert-Symbol abstrakt (und automatisch mit den Eigenschaften von Satz 9.6.2 versehen) definieren zu k¨ onnen, braucht man die Normrestabbildung der lokalen Klassenk¨ orpertheorie, siehe [Neu], Kap. V, §2.

9.7 Die Produktformel

175

Korollar 9.6.6. F¨ ur a ∈ k × /k ×2 und ε = ±1 sei

Haε = {b ∈ k × /k ×2 | (a, b) = ε}.

(i) Es gilt H11 = k × /k ×2 und H1−1 (ii) F¨ ur a
= 1 gilt ⎧ ⎨ 1, #Haε = 2, ⎩ 4,

= ∅.

wenn k = IR, wenn k = Qp , p
= 2, wenn k = Q2 .

′

(iii) Sind Haε und Haε′ nichtleer, so gilt ′

Haε ∩ Haε′ = ∅

⇐⇒

a = a′ und ε = −ε′ .

Beweis. Das sieht man leicht durch Inspektion der obigen Tabellen f¨ ur das Hilbert-Symbol. ⊓ ⊔ Bemerkung: F¨ ur a
= 1 ist Haε eine affine Hyperebene im F2 -Vektorraum × ×2 k /k . Die Aussage in (iii) besagt, dass zwei Hyperebenen sich genau dann nicht schneiden, wenn sie parallel sind.

9.7 Die Produktformel Der K¨ orper Q der rationalen Zahlen liegt als Teilk¨orper in IR und jedem Qp . Zwecks Vereinheitlichung der Notation f¨ uhren wir die Bezeichnung IR = Q∞ ein und bezeichnen den Standardbetrag auf IR mit | |∞ . Es sei P gleich der Menge der Primzahlen zusammen mit dem Symbol ∞. Man nennt P die Menge der Stellen von Q. Bemerkung: Sei K ein K¨ orper. Eine Funktion | | : K → IR mit den Eigenschaften (i) |x| ≥ 0, und |x| = 0 ⇐⇒ x = 0, (ii) |xy| = |x| |y|, (iii) |x + y| ≤ |x| + |y|

heißt Bewertung auf K und definiert durch d(x, y) = |x−y| einen Abstandsbegriff. Auf jedem K¨ orper existiert die triviale Bewertung, die durch |0| = 0 und |x| = 1 f¨ ur alle x
= 0 gegeben ist. Zwei Bewertungen heißen ¨aquivalent, wenn die durch sie definierten Mengen von Cauchy-Folgen in K die gleichen sind. Jede Stelle v ∈ P definiert eine Bewertung | |v auf Q. Erstaunlicherweise gilt die folgende Umkehrung: Auf Q ist jede nichttriviale Bewertung ¨aquivalent zu einer der Bewertungen | |v , v ∈ P . Siehe [Neu], Kap. II, Satz 3.7. F¨ ur a, b ∈ Q× und eine Stelle v ∈ P bezeichne (a, b)v das Hilbert-Symbol ur die von a und b in Qv . Es gilt die folgende grundlegende Produktformel f¨ Hilbert-Symbole (a, b)v , a, b ∈ Q× , v ∈ P .

176

Kapitel 9. p-adische Zahlen

Satz 9.7.1 (Produktformel f¨ ur das Hilbert-Symbol). F¨ ur a, b ∈ Q× gilt (a, b)v = 1 f¨ ur fast alle v ∈ P und  (a, b)v = 1. v∈P

Beweis. Wir k¨ onnen, ohne die Hilbert-Symbole zu ver¨andern, a und b mit Quadraten multiplizieren und deshalb annehmen, dass a und b ganz und quadratfrei sind. Da eine ganze Zahl nur endlich viele Primteiler hat, gilt a, b ∈ ZZ× p f¨ ur fast alle p, und nach Satz 9.6.3 (ii) folgt (a, b)v = 1 f¨ ur fast alle v ∈ P . Um nun die Produktformel zu beweisen, k¨onnen wir uns wegen der Multiplikativit¨ at und der Symmetrie des Hilbert-Symbols auf die F¨alle (a, b) = (−1, −1), (a, b) = (−1, p), p Primzahl, und (a, b) = (p, q), p, q Primzahlen, beschr¨ anken. 1. Fall. (a, b) = (−1, −1): Es gilt (−1, −1)p = 1 f¨ ur p
= 2, (−1, −1)∞ = −1 und (−1, −1)2 = −1. 2. Fall. (a, b) = (−1, p), p
= 2 Primzahl: Es gilt (−1, p)∞ = 1, (−1, p)q = 1   p−1 p−1 = (−1) 2 und (−1, p)2 = (−1) 2 . f¨ ur q ∤ 2p, (−1, p)p = −1 p

3. Fall. (a, b) = (−1, 2): Wegen (−1) · 12 + 2 · 12 = 12 gilt (−1, 2)v = 1 f¨ ur alle v ∈ P , und die Produktformel ist trivial. 4. Fall. (a, b) = (p, q), p, q ungerade Primzahlen: Es gilt (p, q)∞ = 1, (p, q)r =     p−1 q−1 1 f¨ ur r ∤ 2pq, (p, q)p = pq , (p, q)q = pq und (p, q)2 = (−1) 2 2 . Die Produktformel folgt aus dem Quadratischen Reziprozit¨atsgesetz. 4. Fall. (a, b) = (2, p), p eine ungerade Primzahl. Es gilt (2, p)∞ = 1, (2, p)r =   p2 −1 1 f¨ ur r ∤ 2p, (2, p)p = p2 , (2, p)2 = (−1) 8 . Die Produktformel folgt aus dem zweiten Erg¨anzungssatz zum QRG. ur jedes p ∈ P . ⊓ ⊔ 5. Fall. (a, b) = (2, 2). Es gilt (2, 2)p = 1 f¨ Bemerkung: Im Beweis der Produktformel ging an entscheidender Stelle das Quadratische Reziprozit¨ atsgesetz ein. Umgekehrt kann man das QRG leicht aus der Produktformel erhalten. Der Vorteil der Produktformel ist, dass sie sich in nat¨ urlicher Weise auf beliebige Zahlk¨ orper verallgemeinert. Es entsteht nun die Frage, ob die Produktformel die einzige Relation zwischen den lokalen Hilbert-Symbolen zweier rationaler Zahlen ist. Das ist in der Tat so. Wir beginnen damit, lokale Daten durch globale zu approximieren.

Nach Konstruktion ist jedes Element aus Qv Grenzwert (bzgl. | |v ) einer Folge rationaler Zahlen. Konvergiert eine Folge rationaler Zahlen bez¨ uglich zweier Stellen v1 , v2 ∈ P , so definiert sie (bzw. ihr Grenzwert ist) sowohl eine Zahl in Qv1 als auch in Qv2 . Der folgende Satz ist auf den ersten Blick sehr erstaunlich. Auf den zweiten erkennt man ihn als den Chinesischen Restklassensatz im neuen Gewand wieder. Der Vorteil der untenstehenden Formulierung ist, dass die unendliche Stelle mit einbezogen wird.

9.7 Die Produktformel

177

Satz 9.7.2 (Simultane Approximation). Es seien v1 , . . . , vn ∈ P endlich viele (paarweise verschiedene) Stellen, und es sei f¨ ur i = 1, . . . , n ein Element xi ∈ Qvi beliebig vorgegeben. Dann existiert eine Folge a1 , a2 , . . . rationaler Zahlen, die f¨ ur i = 1, . . . , n in Qvi gegen xi konvergiert. Beweis. Seien p1 , . . . , pn paarweise verschiedene Primzahlen, xi ∈ Qpi beliebig vorgegebene Elemente und x∞ ∈ IR eine beliebige reelle Zahl. Gesucht wird eine Folge rationaler Zahlen, die simultan gegen die vorgegebenen Werte konvergiert. Nach Multiplikation mit einer geeigneten nat¨ urlichen Zahl k¨onnen ur alle i gilt. Es ist zu zeigen, dass f¨ ur beliebiges wir annehmen, dass xi ∈ ZZpi f¨ N ∈ IN und beliebiges ε > 0 ein x ∈ Q mit |x − x∞ |∞ < ε und vpi (x − xi ) ≥ N

existiert. Wir wenden den Chinesischen Restklassensatz auf das System von Z mit vpi (x0 −xi ) ≥ N Kongruenzen x ≡ xi mod pN i an und erhalten ein x0 ∈ Z N f¨ ur i = 1, . . . , n. Nun sei m = pN · · · p und r ∈ IN teilerfremd zu m und so 1 n groß gew¨ ahlt, dass |m/r|∞ < ε gilt. Dann existiert eine ganze Zahl a mit  am    < ε.  x0 − x∞ − r ∞ arften Dreiecksungleichung erf¨ ullt die Wegen vpi (am/r) ≥ Ni und der versch¨ rationale Zahl x = x0 − am/r alle geforderten Bedingungen. ⊓ ⊔ Korollar 9.7.3. Es seien v1 , . . . , vn ∈ P endlich viele (paarweise verschiedene) Stellen. Dann ist die nat¨ urliche Abbildung n  ×2 Q× −→ Q× vi /Qvi i=1

×2 surjektiv. Mit anderen Worten: eine beliebige Vorgabe von Klassen in Q× vi /Qvi , × i = 1, . . . , n, wird durch ein Element in Q simultan realisiert.

Beweis. Nach Satz 9.7.2 finden wir zu beliebig gegebenen xi ∈ Q× vi und beur alle i. Bei hinreichend klein liebigem ε > 0 ein x ∈ Q× mit |x − xi |vi < ε f¨ ur i = 1, . . . , n. ⊓ ⊔ gew¨ ahltem ε impliziert Korollar 9.5.6, dass x/xi ∈ Q×2 vi f¨ Das Korollar impliziert, dass jede vorgegebene endliche Familie lokaler Hilbert-Symbole durch rationale Zahlen realisiert wird. Der n¨achste Satz ist viel allgemeiner und betrachtet simultane Vorgaben bei allen Stellen. Satz 9.7.4. Es seien rationale Zahlen a1 , . . . , an ∈ Q× und Zahlen εi,v = ±1 f¨ ur i = 1, . . . , n und jedes v ∈ P gegeben. Es gibt genau dann ein x ∈ Q× mit (ai , x)v = εi,v

f¨ ur alle v ∈ P, i = 1, . . . , n,

wenn die folgenden Bedingungen (1)–(3) erf¨ ullt sind. (1) Fast alle εi,v sind gleich 1.  ur i = 1, . . . , n. (2) Es gilt v∈P εi,v = 1 f¨

(3) F¨ ur jedes v ∈ P existiert ein xv ∈ Q× ur i = 1, . . . , n. v mit (ai , xv ) = εi,v f¨

178

Kapitel 9. p-adische Zahlen

Beweis. Nach Multiplikation mit einer geeigneten Quadratzahl k¨onnen wir annehmen, dass die ai ganze Zahlen sind. Sei S die Menge aller Primteiler der ai vereinigt mit {2, ∞}. Sei T die endliche Menge der v ∈ P mit εi,v = −1 f¨ ur ein i. Wir behandeln zun¨ achst den Spezialfall S ∩ T = ∅ und setzen   ℓ. ℓ und m = 8 a= ℓ∈S ℓ=2,∞

ℓ∈T ℓ=∞

Wegen S ∩ T = ∅ gilt (a, m) = 1, und nach dem Dirichletschen Primzahlsatz (Theorem 8.6.1) existiert eine Primzahl p ∈ / S ∪ T mit p ≡ a mod m. Wir zeigen, dass x = pa die gew¨ unschte Eigenschaft hat, d.h. (ai , x)v = εi,v f¨ ur alle v ∈ P , i = 1, . . . , n. F¨ ur v ∈ S gilt εi,v = 1 wegen S ∩ T = ∅, und wir m¨ ussen (ai , x)v = 1 f¨ ur i = 1, . . . , n zeigen. F¨ ur v = ∞ folgt dies aus x > 0. Ist v = ℓ eine Primzahl, so gilt nach Konstruktion x ≡ a2 mod m. Also ist x ein Quadrat modulo ℓ, falls ℓ
= 2, und ein Quadrat modulo 8, falls ℓ = 2 ist. Außerdem gilt vℓ (x) = 0, und nach Satz 9.5.5 folgt, dass x ein Quadrat in Qℓ ist. Also gilt (ai , x)ℓ = 1 f¨ ur alle i. F¨ ur v = ℓ ∈ / S sind nach Konstruktion von S die Zahlen ai ℓ-adische Einheiten. Außerdem ist ℓ
= 2, und nach Satz 9.6.3(ii) gilt f¨ ur jedes b ∈ Q× ℓ die Gleichung  vℓ (b) ai (ai , b)ℓ = . ℓ

Ist ℓ ∈ / T und von p verschieden, so gilt vℓ (x) = 0. In diesem Fall gilt also ur alle i. (ai , x)ℓ = 1 und nach Konstruktion von T auch εi,ℓ = 1 f¨ F¨ ur ℓ ∈ T gilt vℓ (x) = 1. Nach Voraussetzung (3) existiert ein xℓ ∈ Q× ℓ mit (ai , xℓ )ℓ = εi,ℓ f¨ ur alle i. Nach Konstruktion von T ist mindestens einer dieser Werte gleich −1. Daher muss vℓ (xℓ ) ungerade sein. Wir erhalten   ai (ai , x)ℓ = ur i = 1, . . . , n. = (ai , xℓ )ℓ = εi,ℓ f¨ ℓ

Es verbleibt der Fall v = p, den wir unter Verwendung von Bedingung (2) aus der Produktformel ableiten. Es gilt   (ai , p)p = (ai , p)v = εi,v = εi,p . v =p

v =p

Dies zeigt die Aussage des Satzes im Fall S ∩ T = ∅. Wir f¨ uhren nun den allgemeinen Fall auf den Spezialfall zur¨ uck. Nach Korollar 9.7.3 finden wir ein ur alle v ∈ S. Insbesondere gilt (ai , xv )v = (ai , y)v y ∈ Q× mit y/xv ∈ Q×2 v f¨ f¨ ur v ∈ S, i = 1, . . . , n. Wir ¨ andern nun die Vorgaben ab und setzen ε′i,v = ur alle v ∈ P , i = 1, . . . , n. Wegen ε′i,v = 1 f¨ ur v ∈ S und alle i εi,v · (ai , y)v f¨ sind wir mit dem modifizierten Problem im Spezialfall und finden ein x′ ∈ Q× mit (ai , x′ )v = ε′i,v f¨ ur alle v ∈ P und alle i. Nun pr¨ uft man leicht nach, dass x = x′ y eine L¨ osung des Ausgangsproblems ist. Dies beendet den Beweis. ⊓ ⊔

9.7 Die Produktformel

179

Korollar 9.7.5. Zu jeder Vorgabe (εv )v∈P , εv = ±1, lokaler Hilbert-Symbole, f¨ ur die εv = 1 f¨ ur fast alle v und die Produktformel v∈P εv = 1 gilt, gibt es rationale Zahlen a, b ∈ Q× mit (a, b)v = εv f¨ ur alle v ∈ P . / Q2v f¨ ur jedes der endlich vielen v mit Beweis. Wir w¨ ahlen a ∈ Q× mit a ∈ εv = −1. Das ist nach Korollar 9.7.3 m¨ oglich. Nach Satz 9.6.2 (iv) existiert dann f¨ ur jedes v ∈ P ein bv ∈ Q× v mit (a, bv )v = εv (setze bv = 1, wenn εv = 1). Damit sind die Voraussetzungen von Satz 9.7.4 (n = 1) erf¨ ullt und ⊓ ⊔ wir finden das gesuchte b ∈ Q× . Der Fall allgemeiner Zahlk¨ orper: Sei K ein Zahlk¨orper und p ⊂ OK ein von Null verschiedenes Primideal. F¨ ur x ∈ K heißt die gr¨oßte ganze Zahl a mit x ∈ pa die p-Bewertung von x und wird mit vp (x) bezeichnet. Die Funktion | |p : K −→ IR, x −→ N(p)−vp (x) ,

ist eine Bewertung auf K. Die reelle Zahl |x|p heißt der p-Betrag von x ∈ K. Die Vervollst¨ andigung von K bez¨ uglich des p-adischen Abstands wird mit Kp bezeichnet. Die nat¨ urliche Inklusion Q ֒→ K setzt sich zu einer Einbettung Qp ֒→ Kp fort, wobei p die Primzahl mit p ∩ ZZ = pZZ ist. Man sagt, vp setze vp fort. Weitere Bewertungen auf K erh¨ alt man als Fortsetzungen des Standardbetrags von Q. Jede der r1 Einbettungen K ֒→ IR (vgl. die Schlussbemerkung nach Abschnitt 6.7) definiert durch die Einschr¨ankung des Standardbetrags von IR eine Bewertung auf K, bez¨ uglich derer die Vervollst¨andigung von K isomorph zu IR ist. Analog definiert jede der r2 Einbettungen K ֒→ C durch Einschr¨ ankung des Standardbetrags von C eine Bewertung auf K. Die Vervollst¨ andigung von K bez¨ uglich dieser Bewertungen ist isomorph zu C. Bewertungen, die zu einem Primideal assoziiert sind, nennt man nichtarchimedische oder auch endliche Stellen; Bewertungen, die von einer reellen oder komplexen Einbettung induziert sind, heißen archimedische oder auch unendliche Stellen. Die Menge aller Stellen von K (archimedische und nichtarchimedische) bezeichnet man mit PK . Jede nichttriviale Bewertung auf K ist zu einer der Bewertungen | |v , v ∈ PK , ¨ aquivalent. Alle in diesem Kapitel vorgestellten Resultate haben ihre nat¨ urliche Verallgemeinerung auf Zahlk¨ orper und ihre Vervollst¨ andigungen. Siehe [Neu], Kap. II und V. Aufgabe 1. Man leite das Quadratische Reziprozit¨ atsgesetz und seine Erg¨ anzungss¨ atze aus der Produktformel f¨ ur das Hilbert-Symbol her. Aufgabe 2. Man zeige, dass f¨ ur jede nat¨ urliche Zahl n und jede Stelle v ∈ P die in Q× Untergruppe der n-ten Potenzen Q×n v v offen ist.

Kapitel 10 Quadratische Formen

In diesem Kapitel nehmen wir die Untersuchung diophantischer Gleichungen wieder auf. Gleichungen u ¨ber IR und u ¨ber Qp , p Primzahl, sind vergleichsweise einfach zu l¨osen. Man ist daher daran interessiert, ob die Existenz von L¨ osungen in IR und allen Qp bereits die Existenz rationaler L¨osungen impliziert. Man nennt die K¨ orper Qv , v ∈ P , lokale K¨orper, da sie Eigenschaften rationaler Zahlen in der N¨ ahe“ der Stellen v ∈ P reflektieren. Den K¨orper ” Q bezeichnet man als global. In dieser Sprache stellt sich also die Frage, ob die Existenz lokaler L¨ osungen u ¨ berall bereits die Existenz globaler L¨osungen impliziert. Ist dies richtig, sagt man, dass ein Lokal-Global-Prinzip gelte. Die einfachste Form von Gleichungen sind lineare. Wir betrachten ein lineares Gleichungssystem der Form Ax = b, (S) wobei A eine n×n-Matrix mit rationalen Eintr¨ agen und b = (b1 , . . . , bn ) ein als Spalte geschriebenes n-Tupel von rationalen Zahlen ist. In diesem einfachen Fall ist es leicht zu sehen, dass (S) genau dann eine L¨osung in Q hat, wenn es eine L¨ osung in Qv f¨ ur ein v ∈ P gibt. F¨ ur v = ∞ ist dies die Aussage von Satz 3.2.3. F¨ ur v = p, p Primzahl, bleibt das Argument das gleiche, siehe die Bemerkung nach Satz 3.2.3. Insbesondere gilt f¨ ur lineare Gleichungssysteme das Lokal-Global-Prinzip. Im linearen Fall k¨ onnen wir sogar Ganzheitsaussagen machen. Unter Ber¨ ucksichtigung des Chinesischen Restklassensatzes und von Satz 9.5.1 liest sich Satz 3.2.1 in folgender Weise: Sind alle Eintr¨age von A und b ganzzahlig, so hat (S) genau dann eine ur alle Primzahlen p ganzzahlige L¨osung, wenn eine L¨osung in ZZp f¨ existiert. Die Gleichung X 4 − 17 = 2Y 2 hat keine rationalen L¨osungen, aber L¨osungen ur alle p (vgl. Abschnitt 3.5). Das Lokal-Global-Prinzip gilt in IR und in Qp f¨ also nicht immer. Ziel dieses Kapitels ist es zu zeigen, dass das Lokal-GlobalPrinzip f¨ ur quadratische Gleichungen richtig ist.

182

Kapitel 10. Quadratische Formen

Wir betrachten eine rein-quadratische Gleichung der Form n

aij Xi Xj = a, ai Xi2 + i=1

(Q)

1≤i r′ gilt. Dann ist aus Anzahlgr¨ unden das System x1 , . . . , xr , er′ +1 , . . . , en von Vektoren im IRn linear abh¨angig. Es gibt also reelle Zahlen α1 , . . . , αr , β1 , . . . , βn−r′ , nicht alle Null, mit α1 x1 + · · · + αr xr + β1 er′ +1 + · · · + βn−r′ en = 0.

Die Einheitsvektoren er′ +1 , . . . , en sind linear unabh¨angig, weshalb mindestens eines der αi ungleich 0 ist. Mit Hilfe von (∗) folgt r


αi xi = α21 + . . . + α2r > 0. f(r′ ,s′ ) i=1

Andererseits gilt f(r′ ,s′ )

r
i=1



αi xi = f(r′ ,s′ ) −

Dieser Widerspruch zeigt r ≤ r′ .

′ n−r


i=1

 βi er′ +i = −β12 − · · · − βs2′ ≤ 0.

⊓ ⊔

Definition 10.3.2. Sei f eine nichtausgeartete reelle quadratische Form in n Variablen. Das (eindeutig bestimmte) Paar (r, s) mit f ∼ f(r,s) heißt die Signatur von f . Man nennt f positiv definit, wenn r = n, negativ definit, wenn s = n, und indefinit, wenn rs
= 0 gilt. Der n¨ achste Satz folgt direkt aus dem Sylvesterschen Tr¨agheitssatz. Satz 10.3.3. Eine nichtausgeartete reelle quadratische Form stellt genau dann die Null (und damit jede reelle Zahl) dar, wenn sie indefinit ist. Eine positiv definite Form stellt jede positive reelle Zahl dar, aber keine negative. Eine negativ definite Form stellt jede negative, aber keine positive reelle Zahl dar.

10.4 Quadratische Formen u orpern ¨ber lokalen K¨

191

Aufgabe 1. Man zeige GW (IR) ∼ = ZZ[X]/(X 2 −1), wobei GW (IR) der GrothendieckWitt-Ring ist (siehe Aufgabe 2, Abschnitt 10.2). Hinweis: Man betrachte die Abbildung [f(r,s) ] − [f(r′ ,s′ ) ] → (r − r ′ ) + (s − s′ )X.

Aufgabe 2. Man zeige W (IR) ∼ = ZZ, wobei W (IR) der Witt-Ring ist (siehe Aufgabe 4, Abschnitt 10.2). Aufgabe 3. Man zeige: GW (C) ∼ = ZZ, W (C) ∼ = ZZ/2ZZ. Hinweis: Man betrachte die Abbildung [f1 ] − [f2 ] → Rg(f1 ) − Rg(f2 ).

10.4 Quadratische Formen u orpern ¨ ber lokalen K¨ Wir betrachten nun quadratische Formen u ¨ ber k = Qv , v ∈ P . Neben die Invarianten Rang und Determinante tritt nun eine weitere, die HasseInvariante. Zun¨ achst bemerken wir, dass (mehr oder weniger per definitionem) das Hilbert-Symbol ins Spiel kommt. Lemma 10.4.1. Es sei ab
= 0. Dann gilt

a, b stellt 1 ∈ k dar ⇐⇒ (a, b) = 1.

Beweis. Nach Satz 10.1.9 stellt a, b genau dann die 1 dar, wenn a, b, −1 die 0 darstellt. Die letzte Bedingung ist ¨ aquivalent zu (a, b) = 1. ⊓ ⊔ F¨ ur eine nichtausgeartete Diagonalform setzen wir  (ai , aj ). ε(a1 , . . . , an ) := 1≤i 0. a ∼ b ⇐⇒ a−1 b = (γ) f¨

+ ¨ Man u bez¨ uglich ∼ multipli¨ berlegt sich leicht, dass man Aquivalenzklassen zieren kann und dass auch die Inversen zweier ¨ aquivalenter gebrochener Ideale wieder ¨ aquivalent sind. + ¨ Definition 10.7.4. Die Menge der Aquivalenzklassen bez¨ uglich ∼ zusammen mit der durch die Multiplikation gebrochener Ideale induzierten Verkn¨ upfung heißt die Idealklassengruppe im engeren Sinne von K und wird mit Cl 0 (K) bezeichnet. Wir setzen h0K = #Cl 0 (K).

Mit anderen Worten: Cl 0 (K) ist die Faktorgruppe der Gruppe der von (0) verschiedenen gebrochenen Ideale von K nach der Untergruppe der von Elementen α ∈ K mit N (α) > 0 erzeugten gebrochenen Hauptideale von K.

10.7 Geschlechtertheorie

203

Lemma 10.7.5. F¨ ur d < 0 gilt h0K = hK . Im Fall d > 0 sei ε eine Grundein heit. Dann gilt hK , wenn N (ε) = −1, 0 hK = 2hK , wenn N (ε) = +1. Beweis. Zun¨ achst hat im imagin¨ ar-quadratischen Fall jedes Element positive Norm. Im reell-quadratischen Fall gibt es stets Elemente negativer Norm. In diesem Fall zerf¨ allt jede Idealklasse in eine oder zwei Idealklassen im engeren Sinne. Ist nun γ ∈ K × mit N (γ) < 0 und a ein gebrochenes Ideal, so gilt + a ∼ a · (γ) dann und nur dann, wenn (γ) = (γ ′ ) f¨ ur ein γ ′ ∈ K × mit N (γ ′ ) > 0 gilt. Gibt es eine Einheit e der Norm −1, so kann man γ ′ = eγ setzen. Umgekehrt ist γ/γ ′ eine Einheit der Norm −1. Nach Theorem 6.7.6 ist jede Einheit e ∈ EK von der Form ±εa mit a ∈ ZZ. Daher gibt es genau dann eine Einheit e der Norm −1, wenn die Grundeinheit ε die Norm −1 hat. ⊓ ⊔ Die einer Basis (α, β) eines gebrochenen Ideals a zugeordnete quadratische Form f(α,β) hat nicht nur ganzzahlige Koeffizienten, sondern es gilt auch die folgende Relation zwischen ihnen. Lemma 10.7.6. F¨ ur f(α,β) = AX12 + BX1 X2 + CX22 gilt B 2 − 4AC = ∆K ,

wobei ∆K die Diskriminante des quadratischen Zahlk¨orpers K ist. Beweis. Wir haben gesehen, dass sich f(α,β) nicht ¨andert, wenn man a durch (γ) · a und (α, β) durch (γα, γβ) f¨ ur ein γ ∈ K × positiver Norm ersetzt. Indem wir f¨ ur γ eine geeignete nat¨ urliche Zahl w¨ahlen, erreichen wir a ⊂ OK . Beim Wechsel zu einer anderen Basis von a ¨ andert sich die quadratische Form ¨ der Determinante ±1, weshalb der Wert f(α,β) durch eine Ubergangsmatrix onnen wir zur kanonischen Basis (siehe B 2 − 4AC invariant bleibt. Daher k¨ Satz 6.6.4) √ von a wechseln. Dann gilt α = a und √ β = a1 +a2 ω mit a, a1 , a2 ∈ ZZ, ur d
≡ 1 mod 4 und ω = (1 + d)/2 f¨ ur d ≡ 1 mod 4 ist. Nach wobei ω = d f¨ Satz 6.6.6 gilt N(a) = aa2 , und wir erhalten (ασ(β) + σ(α)β)2 − 4N (α)N (β) = (σ(ω) − ω)2 = ∆K . a2 a22 Das zeigt die Aussage. B 2 − 4AC =

⊓ ⊔

¨ Wir wollen nun untersuchen, welche Aquivalenzklassen bin¨arer quadratischer Formen von gebrochenen Idealen herkommen. Wir sammeln zun¨achst ein paar Eigenschaften.

204

Kapitel 10. Quadratische Formen

√ Lemma 10.7.7. Sei K = Q( d) ein quadratischer Zahlk¨orper und a ⊂ K ein von Null verschiedenes gebrochenes Ideal. Dann gilt: (i) Ga ist nichtausgeartet. (ii) Ist d < 0, so ist Ga positiv definit. (iii) Ist d > 0, so ist Ga indefinit. (iv) d(Ga ) = −∆K (in Q× /Q×2 ). (v) Ga stellt N(a) dar. Beweis. Es gilt N (x) = 0 nur f¨ ur x = 0. Im imagin¨ar-quadratischen Fall sind Normen stets positiv, w¨ ahrend es im reell-quadratischen Fall stets Elemente positiver wie auch negativer Norm gibt. Dies zeigt (i)–(iii). Aussage (iv) folgt wegen d(Ga ) = AC − B 2 /4 aus Lemma 10.7.6. Es existieren x1 , x2 ∈ Q mit N(a) = αx1 + βx2 , und es gilt f(α,β) (x1 , x2 ) = N(a)2 /N(a) = N(a). Dies zeigt (v) und beendet den Beweis.

⊓ ⊔

Es stellen sich nun die folgenden Fragen: ¨ 1. Welche Aquivalenzklassen bin¨ arer rationaler quadratischer Formen der Determinante −∆K kommen als Geschlechter vor? 2. Wann liegen zwei gebrochene Ideale im gleichen Geschlecht? √ ur a ∈ Q× sind Satz 10.7.8. Sei K = Q( d) ein quadratischer Zahlk¨orper. F¨ die folgenden Aussagen ¨aquivalent. (i) Es existiert ein gebrochenes Ideal a, so dass a durch Ga dargestellt wird. (ii) Es gibt ein gebrochenes Ideal a mit N(a) = |a| und a > 0, falls d < 0 ist. ur v = ∞ und f¨ ur alle v = p ∤ ∆K . (iii) (a, ∆K )v = 1 f¨ Beweis. Wir zeigen nacheinander die folgenden Implikationen. (ii)=⇒(i): Gilt a = N(a) f¨ ur ein gebrochenes Ideal a, so wird a nach Lemma 10.7.7 (v) durch Ga dargestellt. Ist d > 0, a < 0 und −a = N(a), so stellt Ga das Element −a dar. Sei nun ξ ∈ K × ein beliebiges Element mit N (ξ) < 0. Dann stellt G(ξ)·a das Element a dar. (i)=⇒(iii): Ga stellt stets N(a) dar. Nach Voraussetzung gilt dies auch f¨ ur a. Nach Korollar 10.4.5 (ii) (das auch im Fall v = ∞ gilt), erhalten wir   (a, −d(Ga ))v = εv (Ga ) = N(a), −d(Ga ) v

f¨ ur alle v ∈ P . Wegen d(Ga ) = −∆K bleibt daher (N(a), ∆K )v = 1 f¨ ur v = ∞ und f¨ ur v = p ∤ ∆K zu zeigen. Die Aussage f¨ ur v = ∞ ist wegen N(a) > 0 trivial. Wir multiplizieren nun a mit einer geeigneten nat¨ urlichen Zahl und erhalten a ⊂ OK . Sei a = p1 · · · pn die Primidealzerlegung von a. Dann gilt N(a) = N(p1 ) · · · N(pn ). Nun gelte p ∤ ∆K . F¨ ur ein Primideal p haben wir die folgenden M¨ oglichkeiten:

10.7 Geschlechtertheorie

• • •

205

N(p) ist eine Quadratzahl. Dann gilt (N(p), ∆K )p = 1. N(p) = q f¨ ur eine Primzahl q
= p. Ist p ungerade, so gilt nach Satz 9.6.3 (N(p), ∆K )p = 1 . Im Fall p = 2 ist ∆K ungerade, und daher gilt ∆K = d ≡ 1 mod 4. Nach Satz 9.6.3 folgt (q, ∆K )2 = (−1)(q−1)(∆K −1)/4 = 1. N(p) = p. Dann zerlegt sich p in K, und p ist einer der Primteiler. Nach ur p
= 2. Im Fall p = 2 gilt Satz 9.6.3 folgt (N(p), ∆K )p = ∆pK = 1 f¨ ∆K ≡ 1 mod 8, und wir erhalten (2, ∆K )2 = 1.

(iii)=⇒(ii): Wir multiplizieren a mit einem geeigneten Quadrat und nehmen an, dass a ganzzahlig und quadratfrei ist. Ist d < 0, so impliziert (a, ∆K )∞ = 1, dass a > 0 ist. Sei nun p eine Primzahl, die in K tr¨age ist. Setzt man alt man f¨ ur p
= 2 a = pk a′ mit k = 0, 1 und (a′ , p) = 1, so erh¨  k ∆K = (−1)k , 1 = (a, ∆K )p = (p, ∆K )k = p also k = 0. Ist 2 in K tr¨ age, so gilt ∆K ≡ 5 mod 8. Mit den gleichen Bezeichnungen erhalten wir 1 = (a, ∆K )2 = (2k a′ , ∆K )2 = (−1)k , und auch in diesem Fall ist k = 0. Mit anderen Worten: In der Primzerlegung von |a| tauchen nur Primzahlen auf, die in K nicht tr¨age sind, d.h. solche Primzahlen, die Normen von Primidealen in OK sind. Daher ist |a| Norm eines Ideals. ⊓ ⊔ Mit Hilfe von Satz 10.7.8 erhalten wir die Antwort auf Frage 1. Satz 10.7.9. Es sei K ein quadratischer Zahlk¨orper und ∆K seine Diskri¨ minante. Eine Aquivalenzklasse G nichtausgearteter rationaler bin¨arer quadratischer Formen der Determinante −∆K ist genau dann Geschlecht eines ur v = ∞ und f¨ ur alle v = p ∤ ∆K gebrochenen Ideals von K, wenn εv (G) = 1 f¨ ¨ gilt. Es gibt genau 2t−1 solcher Aquivalenzklassen, wobei t die Anzahl der in K/Q verzweigten Primzahlen bezeichnet. Beweis. Es sei a ⊂ K ein von Null verschiedenes gebrochenes Ideal. Nach Lemma 10.7.7 stellt Ga das Element N(a) dar. Korollar 10.4.5 impliziert εv (Ga ) = (N(a), ∆K )v f¨ ur alle v ∈ P . Nach Satz 10.7.8 sind diese HasseInvarianten gleich 1 f¨ ur v = ∞ und v = p ∤ ∆K . ¨ Sei nun G eine Aquivalenzklasse quadratischer Formen der Determinante −∆K mit den geforderten Hasse-Invarianten. Sei a ∈ Q× ein durch G dargestelltes Element. Wir erhalten εv (G) = (a, ∆K )v f¨ ur alle v ∈ P . Nach ur ein gebrochenes Ideal a dargestellt. Satz 10.7.8 wird a dann auch von Ga f¨ Da zwei bin¨ are Formen gleicher Determinante ¨aquivalent sind, sobald sie ein gemeinsames Element ungleich 0 darstellen, folgt G = Ga . Nach Satz 10.5.5 ist eine bin¨ are rationale Form gegebener Determinan¨ te bis auf Aquivalenz durch ihre Hasse-Invarianten gegeben. Bei ∞ beachte man, dass die Signatur durch die Hasse-Invariante und das Vorzeichen der

206

Kapitel 10. Quadratische Formen

Determinante berechnet werden kann. Nach dem gerade Gezeigten kommen genau die Formen vor, bei denen nur die Hasse-Invarianten εp f¨ ur jeden der t vielen Diskrimantenprimteiler von 1 verschieden sind. Da das Produkt aller Hasse-Invarianten gleich 1 ist, verbleiben h¨ ochstens 2t−1 M¨oglichkeiten. Es bleibt zu zeigen, dass alle diese Hasse-Invarianten auch vorkommen. Zun¨achst ur orper Qp , p |∆K , ein Quadrat ist. F¨ bemerken wir, dass ∆K in keinem der K¨ ungerades p |∆K gilt vp (∆K ) = 1, und die Aussage ist offensichtlich. Ist ∆K gerade, so ist ∆K /4
≡ 1 mod 4, was die Aussage auch f¨ ur p = 2 zeigt. Da das Hilbert-Symbol nichtausgeartet ist, finden wir zu gegebenen εp , p |∆K , Elemente ap ∈ Q× p mit (ap , ∆K )p = εp . Ist das Produkt dieser εp gleich 1, so existiert nach Satz 9.7.4 ein a ∈ Q× mit (a, ∆K )p = εp f¨ ur alle p |∆K und (a, ∆K )v = 1 f¨ ur alle anderen v ∈ P . Die Diagonalform a, −a∆K  hat dann wegen εv (a, −a∆K ) = (a, −a∆K )v = (a, ∆K )v (a, −a)v = (a, ∆K )v die gew¨ unschten Hasse-Invarianten. ⊓ ⊔ Die Antwort auf Frage 2 wird durch den folgenden Satz gegeben. Satz 10.7.10. Es sei K ein quadratischer Zahlk¨orper, und es seien a, a′ ⊂ K von Null verschiedene gebrochene Ideale. Dann gilt Ga = Ga′ genau dann, wenn sich a und a′ in Cl 0 (K) um ein Quadrat unterscheiden. Beweis. Es seien (α, β) und (α′ , β ′ ) Basen von a und a′ . Da beide Formen die gleiche Determinante −∆K haben, ist nach Lemma 10.2.4 f(α,β) genau dann a ¨quivalent zu f(α′ ,β ′ ) , wenn f(α,β) und f(α′ ,β ′ ) ein gemeinsames Element in Q× darstellen. Dies ist ¨ aquivalent zur Existenz von z, z ′ ∈ K × mit N (z ′ ) N (z) = . N(a) N(a′ ) Daher gilt Ga = Ga′ genau dann, wenn es ein γ ∈ K × mit N(a) = N (γ)N(a′ ) gibt. Man beachte, dass γ automatisch positive Norm hat. Ist nun a(a′ )−1 = ur ein c ∈ K × positiver Norm, so gilt b2 · (c) f¨ N(a)N(a′ )−1 = N(b2 )N (c) = N (N(b)c),

und es gilt Ga = Ga′ . Nun sei Ga = Ga′ und γ ∈ K × mit N(a) = N (γ)N(a′ ). Wir schreiben   c  qj j rdkk , pai i σ(pi )bi a(a′ )−1 (γ −1 ) = j

i

k

wobei die Exponenten in ZZ liegen und wir Primideale, die eine in K zerlegte Primzahl p teilen, mit p, Primideale, die eine in K verzweigte Primzahl q teilen, mit q und Primideale, die eine in K tr¨age Primzahl r teilen, mit r bezeichnet haben. Bilden wir die Norm, erhalten wir  c   qj j pai i +bi rk2dk . 1= i

j

k

ur alle i Hieraus folgt, dass alle cj und alle dk gleich 0 sind, und ai = −bi f¨ gilt. Wir erhalten

10.7 Geschlechtertheorie

207

a(a′ )−1 (γ −1 ) =



pai i σ(pi )−ai .

i

Wegen pi σ(pi ) = (pi ) folgt ′ −1

a(a )

(γ

−1

+

)∼

was die Behauptung des Satzes zeigt.

#

 i

pai i

$2

, ⊓ ⊔

Zusammenfassend haben wir das folgende Theorem bewiesen. √ Theorem 10.7.11. Sei K = Q( d) ein quadratischer Zahlk¨orper und sei t die Anzahl der Primteiler der Diskriminante ∆K . Dann hat die Gruppe Cl 0 (K)/2 der Idealklassen von K im engeren Sinne modulo Quadraten die Ordnung 2t−1 . Als Korollar erhalten wir die in Abschnitt 6.7 formulierte Aussage u ¨ ber Grundeinheiten. Korollar 10.7.12. (=Satz 6.7.7) Sei p eine Primzahl kongruent 1 modulo 4. √ Dann hat jede Grundeinheit des reell-quadratischen Zahlk¨orpers K = Q( p) die Norm −1. Beweis. Es gilt t = 1, also ist in Cl 0 (K) jedes Element ein Quadrat. Nach dem Hauptsatz u ¨ber endlich erzeugte abelsche Gruppen impliziert dies, dass h0K ungerade ist. Nach Lemma 10.7.5 ist das nur m¨oglich, wenn die Grundeinheit die Norm −1 hat. ⊓ ⊔

Aufgabe 1. Ein Term der Gestalt f = AX12 + BX1 X2 + CX22 , A, B, C ∈ ZZ,

heißt ganzzahlige bin¨ are quadratische Form. Die ganze Zahl D(f ) = B 2 − 4AC heißt Diskriminante von f . Sei K ein quadratischer Zahlk¨ orper und f eine ganzzahlige bin¨ are quadratische Form der Diskriminante ∆K . Im Fall ∆K < 0 nehmen wir f ur eine Basis (α, β) eines gebrochenen als positiv definit an. Man zeige: f = f(α,β) f¨ Ideals in K. √ Hinweis: Man zeige, dass die Menge ZZ · 2A + ZZ · (B + ∆K ) ein Ideal in OK ist. Aufgabe 2. Zwei ganzzahlige bin¨ are quadratische Formen f und g heißen eigentlich aquivalent, wenn es eine ganzzahlige 2×2-Matrix M der Determinante 1 mit g(x) = ¨ f (M x) gibt. Sei K ein quadratischer Zahlk¨ orper. Man zeige: Im Fall ∆K > 0 gibt es ¨ ganzzahliger bin¨ arer quadratischer Formen genau h0K eigentliche Aquivalenzklassen der Diskriminante ∆K . Im Fall ∆K < 0 gibt es genau hK positiv und hK negativ ¨ definite Aquivalenzklassen. √ Hinweis: Man fixiere d ∈ C und nenne√eine Basis (α, β) eines gebrochenen Ideals ¨ a ⊂ K orientiert, wenn (σ(α)β−ασ(β))/ d > 0 ist. Die eigentliche Aquivalenzklasse

208

Kapitel 10. Quadratische Formen

angt nicht von der Auswahl der orientierten Basis (α, β) von a ab. von f(α,β) h¨ ¨ Man zeige, dass zwei Ideale genau dann die gleiche eigentliche Aquivalenzklasse ganzzahliger bin¨ arer quadratischer Formen definieren, wenn sie im engeren Sinne aquivalent sind. ¨ Aufgabe 3. Es sei K ein quadratischer Zahlk¨ orper. Sei a ∈ ZZ, a = 0, durch eine ganzzahlige bin¨ are quadratische Form f der Diskriminante ∆K rational dargestellt. Man zeige, dass es eine zu f rational ¨ aquivalente ganzzahlige bin¨ are quadratische Form g der Diskriminante ∆K gibt, die a ganzzahlig darstellt. Hinweis: Man betrachte zun¨ achst den Fall a > 0 und zeige, dass es ein ganzes Ideal b mit N(b) = a gibt. Nach Aufgabe 1 liegt f im Geschlecht eines gebrochenen Ideals a. Wegen Ga = Gb gibt es ein gebrochenes Ideal c und ein ξ ∈ K × positiver Norm mit ab = c2 (ξ). Nun gilt ξ ∈ a′ := ac−2 und N (ξ) = aN(a′ ).

Bezeichnungen

IN – die nat¨ urlichen Zahlen 1, 2, . . . ZZ – die ganzen Zahlen Q – die rationalen Zahlen IR – die reellen Zahlen C – die komplexen Zahlen n! – = n(n − 1) · · · 1 (n Fakult¨ at) [x] – die gr¨ oßte ganze Zahl kleiner gleich x Re(s) – der Realteil der komplexen Zahl s a|b – a teilt b ϕ – die Eulersche ϕ-Funktion – die Einheitengruppe des Ringes A A× a= ˆ b – a ist assoziiert zu b ¯ Q – der K¨ orper der algebraischen Zahlen O – der Ring der ganz-algebraischen Zahlen OK – der Ganzheitsring des Zahlk¨ orpers K ∆K – die Diskriminante des Zahlk¨ orpers K Sp(x) – die Spur von x N (x) – die Norm von x N(a) – die Norm eines Ideals a Cl (K) – die Idealklassengruppe des Zahlk¨ orpers K – die Klassenzahl des Zahlk¨ orpers K hK × EK – = OK die Einheitengruppe des Zahlk¨orpers K Qp – der K¨ orper der p-adischen Zahlen ⊔ – disjunkte Vereinigung ZZp – der Ring der ganzen p-adischen Zahlen Cl 0 (K) – die Idealklassengruppe im engeren Sinne des Zahlk¨orpers K h0K – die Klassenzahl im engeren Sinne des Zahlk¨orpers K

Literaturverzeichnis

Lehrb¨ ucher [BS] [Bo] [FB] [IR]

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Sachverzeichnis

abelsche Gruppe 49 — endlich erzeugte 67 — Homomorphismus 50 — Isomorphismus 50 Ableitung 43, 76, 167 ¨ Aquivalenzrelation 7 assoziiert 52 Bernoulli-Zahlen Bewertung 175

euklidische Normfunktion 54 Eulersche ϕ-Funktion 11, 103 Faktorgruppe 50 faktoriell 52 Fakult¨ at 3 fast alle 36 Fermat-Gleichung 37

129, 144

Chinesischer Restklassensatz

9, 89

Dedekindsche Zetafunktion 146 diophantische Gleichung 40, 166 Dirichlet-Charakter 133 — F¨ uhrer 135 — trivialer 133 Dirichlet-Dichte 146 Dirichletsche L-Funktion 147 Dirichletsche L-Reihe 147 Dirichletscher Primzahlsatz 149 Diskriminante 102 Dreieckszahl 200 Einheit 1, 51 Einheitengruppe 51, 113 Einheitswurzel 75 — primitive 75 Eisensteinkriterium 67 Element — irreduzibles 52 — konjugiertes 82 — neutrales 49

Ganzheitsbasis 84 Ganzheitsring 81 Gauß-Lemma 24 Gauß-Summe 138 Gaußsche Zahlen 49 — rationale 61 Geschlecht 202 Gitter 108 — Basis 108 — Grundmasche 108 Gleichungssystem — diophantisches 40, 166 — lineares 37 Grothendieck-Witt-Ring 189 Großer Fermatscher Satz 125 Grundeinheit 114 Grundmasche 108 Gruppe — abelsche 49 — endlich erzeugte 67 — zyklische 67 gr¨ oßter gemeinsamer Teiler 2, 52, 96

214

Sachverzeichnis

Hasse-Invariante 192 Hauptideal 86 — gebrochenes 93 Hauptidealring 87 Hilbert-Symbol 170 — Produktformel 175 Hilberts Satz 90 62 Hindernis 35 — modulo m 36 — reelles 35 hyperkomplexe Zahl 32 Ideal 85 — ganzes 93 — gebrochenes 92 — Haupt- 86 — kanonische Darstellung — Maximal- 91 — Norm 98 — Null- 86 — Prim- 90 — Produkt 87 — Summe 87 — teilerfremd 88 Idealklassengruppe 105 — im engeren Sinne 202 Jacobi-Summe

Newton-Verfahren 43 Norm 83 — einer komplexen Zahl — eines Ideals 98 Normalbasis 85 Normrestsymbol 172 Nullideal 86 Nullring 51 Ordnung — einer Gruppe 68 — einer Restklasse 17

108

139

Klassenzahl 111 Kleiner Fermatscher Satz 13, 104 kompatibles System 163 Kreisteilungspolynom 75 K¨ orper 51 — algebraisch abgeschlossener 74 — globaler 181 — lokaler 181 — Zahl- 81 K¨ orperautomorphismus 85, 164 Legendre-Symbol 22, 102 Lind-Reichardt-Gleichung 45 Lokal-Global-Prinzip 181 Maximalideal 91 Minimalpolynom 74 Minkowskischer Gitterpunktsatz M¨ obius-Funktion 7 neutrales Element

49

56

109

p-adische Cauchy-Folge 157 p-adische Entwicklung 164 p-adische Zahlen 159 — ganze 161 p-Betrag 154 p-Bewertung 154 Pellsche Gleichung 118 Polynom — Grad 41 — homogenes 41 — normiertes 66 — separabel modulo p 77 — separables 77 Polynomring 65 Primelement 4, 53 Primideal 90 Primidealzerlegung 95 primitive L¨ osung 44 primitive Wurzel 18 Primzahl 3 — irregul¨ are 129 — regul¨ are 129 — tr¨ age 100 — verzweigte 100 — zerlegte 100 Primzahlzerlegung 4 projektiver Limes 163 pythagor¨ aisches Tripel 61 — primitives 61 quadratische Form 182 — ausgeartete 182 — benachbarte 187 — Determinante 183 — hyperbolische 185 — indefinite 190

Sachverzeichnis — negativ definite 190 — nichtausgeartete 182 — positiv definite 190 — Rang 182 quadratische Formen —¨ aquivalente 183 quadratischer Nichtrest 21 quadratischer Rest 21 Quadratisches Reziprozit¨ atsgesetz — 1. Erg¨ anzungssatz 24 — 2. Erg¨ anzungssatz 24 Quadratzahl 31 Quaternion 32

215

24

Relation 7 relativ prim 2, 88 Restklasse — kompatibles System 163 — modulo m 8 — Ordnung 17 — prime 10 Riemannsche Vermutung 6, 145 — verallgemeinerte 123, 147 Riemannsche Zetafunktion 144 Ring 50 — der ganzen Zahlen 81, 83 — euklidischer 54 — faktorieller 52 — ganzabgeschlossener 74 — nullteilerfreier 51 Satz — Chinesischer Restklassen- 9, 89 — Dirichletscher Einheiten- 116 — Dirichletscher Primzahl- 149 — Großer Fermatscher 125 — Kleiner Fermatscher 13, 104 — Minkowskischer Gitterpunkt- 109 — Sylvesterscher Tr¨ agheits- 189

— von Chevalley-Warning 41 — von Gauß 18, 199, 200 — von Hasse-Minkowski 182, 194 — von Kummer 129, 130 — von Lagrange 29, 32 — von Meyer 195 — von Staudt-Clausen 129 — von Thue 29 — von Wiles 125 — von Wilson 13 — Wittscher Ketten¨ aquivalenz- 187 — Wittscher K¨ urzungs- 185 separabel 77 Signatur 190 Spur 83 Stellen 175 Sylvesterscher Tr¨ agheitssatz 189 Teiler 1 teilerfremd Untergruppe

2, 88 50

Witt-Ring 189 Wittscher Ketten¨ aquivalenzsatz Wittscher K¨ urzungssatz 185 Zahl — algebraische 71 — ganz-algebraische 71 — hyperkomplexe 32 — transzendente 71 zahlentheoretische Funktion 6 — multiplikative 6, 11 Zahlk¨ orper 81 — Diskriminante 102 — imagin¨ ar-quadratischer 82 — quadratischer 82 — reell-quadratischer 82

187