Eine effiziente numerische Methode zur Gestaltsoptimierung von Stromungsgebieten 383222422X, 9783832224226 [PDF]

Zitiervorschau

Eine effiziente numerische Methode zur Gestaltsoptimierung von Str¨ omungsgebieten

Vom Fachbereich Maschinenbau der Technischen Universit¨at Darmstadt zur Erlangung des Grades eines Doktor-Ingenieurs (Dr.-Ing.) genehmigte Dissertation

von

Dipl-Ing. Thomas Lehnh¨auser aus Bad Hersfeld

Berichterstatter:

Prof. Dr. rer. nat. M. Sch¨afer

Mitberichterstatter:

Prof. Dr. rer. nat. R. Pinnau

Tag der Einreichung:

27.10.2003

Tag der m¨ undlichen Pr¨ ufung:

17.12.2003

Eidesstattliche Erkl¨ arung Hiermit erkl¨are ich an Eides statt, dass ich die vorliegende Arbeit selbstst¨andig verfasst und keine anderen als die angegebenen Hilfsmittel verwendet habe. Alle Stellen, die anderen Werken dem Wortlaut oder dem Sinn nach entnommen worden sind, sind durch Angaben der Quelle deutlich gekennzeichnet. Ich erkl¨are außerdem, dass ich noch keinen Promotionsversuch unternommen habe.

Darmstadt, den 6. Januar 2004

Thomas Lehnh¨auser

Vorwort Diese Arbeit ist ein Ergebnis meiner Anstellung als wissenschaftlicher Mitarbeiter am Fachgebiet Numerische Berechnungsverfahren im Maschinenbau an der Technischen Universit¨at Darmstadt. Diese T¨atigkeit wurde durch die VW Stiftung und der Deutschen Forschungsgemeinschaft im Rahmen des SFB 568 finanziert. Weiteren Dank schulde ich einigen Personen aus meinem pers¨onlichen Umfeld, ohne deren Unterst¨ utzung die vorliegende Arbeit nicht in dieser Form m¨oglich gewesen w¨are. Besonders danke ich: • Herrn Prof. Dr. rer. nat. M. Sch¨afer, der mit seinen Anregungen und Ratschl¨agen wesentlich zum Gelingen dieser Arbeit beigetragen hat. Insbesondere seine Bereitschaft, jederzeit f¨ ur Diskussionen u ¨ber Ideen und Probleme bereitzustehen, behalte ich in positiver Erinnerung. ¨ • Herrn Prof. Dr. rer. nat. R. Pinnau f¨ ur die freundliche Ubernahme des Korreferates. • Carlos F. Lange, der mich bei meinem Aufenthalt an der University of Alberta, Kanada wissenschaftlich betreut und in privater Hinsicht unterst¨ utzt hat. • Ilka Teschauer, mit der ich einige angenehme Jahre im gleichen B¨ uro verbracht habe • Marc Basedow, Christoph Ulrich Scholler und Frederick Hahn f¨ ur ihren Beitrag zu dieser Studie im Rahmen ihrer Studien- und Diplomarbeiten. • Allen aktuellen und ehemaligen Kollegen am Fachgebiet f¨ ur die angenehme Arbeitsatmosph¨are und einige gesellige Abende. • Nicole Heiderich, die seit Jahren meine Launen ertr¨agt und mir trotzdem großen R¨ uckhalt gibt. • Senem Ertem-M¨ uller, mit der mich eine sch¨one Freundschaft verbindet • Markus Blum, der einen wesentlichen Anteil zu meiner Freizeitgestaltung beitr¨agt und damit f¨ ur einen Ausgleich zu meiner Arbeit sorgt. • Meinen Eltern, f¨ ur die organisatorische, moralische und finanzielle Unterst¨ utzung vor, w¨ahrend und nach dem Studium. • Allen Personen, die sich die M¨ uhe gemacht haben, diese Arbeit Korrektur zu lesen und sie inhaltlich bzw. orthographisch zu verbessern.

Darmstadt, im Januar 2004

Thomas Lehnh¨auser

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Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 1.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Stand der Forschung . . . . . . . . . . . 1.2.1 Numerische Str¨omungssimulation 1.2.2 Mathematische Optimierung . . . 1.2.3 Optimierung in der Struktur- und 1.3 Ziele und Konzepte der Arbeit . . . . . . 1.4 Inhalts¨ ubersicht . . . . . . . . . . . . . .

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3 L¨ osungsmethoden zur Berechnung von Str¨ omungsvorg¨ angen ¨ 3.1 Ortliche Diskretisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2 Berechnung der Ableitungen an den KV-Seiten . . . . . 3.1.3 Berechnung der Ableitungen an den KV-Zentren . . . . 3.2 Druckkorrekturverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Unterrelaxation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Mehrgitter-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Schrittweitensteuerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Adaptive Diskretisierung des Problemgebiets . . . . . . . . . . . 3.4.1 Allgemeine Blockschnittstelle . . . . . . . . . . . . . . .

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2 Grundlegende Gleichungen der Str¨ omungsmechanik 2.1 Erhaltungsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Massenerhaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Impulserhaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3 Drehimpulserhaltung . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.4 Energieerhaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Materialgesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Navier-Stokessche Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Modellierung turbulenter Str¨omungen . . . . . . . . . . 2.4.1 Gemittelte Str¨omungsgr¨oßen . . . . . . . . . . . 2.4.2 Das k-ε-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.3 Das k-ω-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.4 Wandnahe Str¨omung . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Allgemeine skalare Transportgleichung . . . . . . . . .

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INHALTSVERZEICHNIS

3.4.2 Adaptivit¨at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.4.3 Globale Strategie zur adaptiven Gitterverfeinerung . . . . . . . . . . . . 44 3.5 Zusammenfassung der vorgestellten Methoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 4 Analyse der Methoden zur Berechnung von Str¨ omungsvorg¨ angen 4.1 Bewertungskriterien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Analyse der Diskretisierungsmethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Konvektive Staupunktstr¨omung . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2 Kanalstr¨omung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.3 Umstr¨omung eines KFZ-Modells . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Analyse der Druckkorrektur-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Deckelgetriebene Str¨omung in einem Beh¨alter . . . . . . . . . 4.3.2 Mikrow¨armetauscher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Analyse des Mehrgitter-Verfahrens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1 Turbulente Str¨omung durch einen gebogenen Kanal . . . . . . 4.4.2 Turbulente Str¨omung u ¨ber eine abgeflachte Stufe . . . . . . . 4.5 Analyse der adaptiven Gitterverfeinerung . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.1 Str¨omung durch eine D¨ use . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.2 Str¨omung um zwei Zylinder in Tandemkonfiguration . . . . . . 4.6 Bewertung der untersuchten Methoden . . . . . . . . . . . . . . . . .

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5 Konzept zur Gestaltsoptimierung von Str¨ omungsgebieten 5.1 Numerische Optimierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1 Approximationsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Gestalts¨anderung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Kopplung der Teilkomponenten . . . . . . . . . . . . . . . .

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6 Analyse der Optimierungsmethode 6.1 Minimierung des Druckverlusts (Kanalstr¨omung) . 6.2 Maximierung des Auftriebs (umstr¨omter K¨orper) . 6.3 Optimierung der Temperatur (umstr¨omte Bauteile) 6.3.1 Beheizung des Fluids . . . . . . . . . . . . . 6.3.2 K¨ uhlung der Bauteile . . . . . . . . . . . . . 6.4 Zusammenfassende Bewertung der Ergebnisse . . .

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7 Zusammenfassung

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Literaturverzeichnis

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Abbildungsverzeichnis

145

Tabellenverzeichnis

151

1

Kapitel 1 Einleitung Neben anderen Aufgaben besteht ein wesentlicher Teil der Entwicklungsphase eines Produkts in der Reduzierung verschiedenster Faktoren (Kosten, Gewicht, Haltbarkeit, usw.) unter der Pr¨amisse, dass der Einsatzzweck weiterhin erf¨ ullt wird. Diese Formulierung stellt ein Optimierungsproblem dar, das in der technischen Praxis oftmals empirisch gel¨ost wird, d. h., das gefundene Ergebnis h¨angt von den Kenntnissen und Erfahrungen der beteiligten Personen ab. Daher ist nicht sichergestellt, dass das Verbesserungspotential voll ausgesch¨opft ist. Es resultiert der Wunsch nach Optimierungsprozessen, die im Gegensatz zu den empirischen Methoden eine Sicherheit bez¨ uglich des gefundenen Optimums bieten. Selbstverst¨andlich sind solche Verfahren in der Mathematik bekannt oder Gegenstand der aktuellen Forschung. Dazu ist es jedoch n¨otig, die zu minimierende Funktion f¨ ur verschiedene Varianten auszuwerten. Eine M¨oglichkeit hierf¨ ur stellen nat¨ urlich Experimente dar, doch sind sie h¨aufig zu teuer oder zu zeitaufwendig, insbesondere dann, falls viele verschiedene Konfigurationen untersucht werden m¨ ussen. Eine Darstellung der Funktion durch ein mathematisches Modell ist daher vorzuziehen. Dies bedeutet aber nicht unbedingt, dass eine analytische Auswertung des Modells m¨oglich ist. Als Beispiel sei an dieser Stelle die Optimierung des Fl¨ ussigkeitstransports durch ein Rohrleitungssystem genannt. Ziel kann dabei sein, die Leistung der antreibende Pumpe zu minimieren. Man ist daher an einer Rohrgeometrie interessiert, die der Str¨omung einen m¨oglichst geringen Widerstand entgegensetzt. Der str¨omungsmechanische Widerstand kann dabei indirekt durch ein Differentialgleichungssystem beschrieben werden, das in der Regel nicht analytisch l¨osbar ist. Man bedient sich vielmehr numerischer Methoden, mit denen eine computergest¨ utzte Str¨omungssimulation (CFD, computational fluid dynamics) m¨oglich ist. Gegen¨ uber dem Experiment bieten sie insbesondere große Flexibilit¨at bez¨ uglich der Problemparameter. Damit ist die CFD hervorragend geeignet, um Analysen von Varianten durchzuf¨ uhren, wie sie in einem Optimierungsprozess notwendig sind.

1.1

Motivation

Die rasante Entwicklung der Leistungsf¨ahigkeit moderner Computer und der kommerziellen uglich CFD-Programme (z. B. StarCDTM, CFXTM , FluentTM , um nur wenige zu nennen) bez¨ der implementierten Algorithmen und der zur Verf¨ ugung stehenden Modelle zur Simulation komplexer str¨omungsmechanischer Vorg¨ange haben die computergest¨ utzte Str¨omungssimulation zu einem unverzichtbaren Teil in der Entwicklungsphase von technischen Produkten werden

2

1 Einleitung

lassen. Nat¨ urlich dient dabei die CFD nicht dem Selbstzweck, sondern soll Hinweise auf Ver¨ besserungspotential aufweisen und diese durch Anderung der entsprechenden Parameter auch beweisen. Die Automobilindustrie ist ein besonders gutes Beispiel, da bei der Entwicklung von Fahrzeugen die CFD an vielen unterschiedlichen Stellen zum Einsatz kommt. Neben den offensichtlichen oder nahe liegenden Anwendungsgebieten, wie der Umstr¨omung der Fahrzeugh¨ ulle zur Bestimmung des Widerstands oder der Berechnung der Str¨omungsvorg¨ange im Motor und der Abgasanlage zur Verbesserung der Verbrennung, werden auch exotische“ Gebiete abge” deckt, z. B. die Durchstr¨omung des Fahrgastraums zur Verbesserung des Klimakomforts, die K¨ uhlung des Motors und der Bremsen, der Vorgang des Betankens, die Produktion von Windschutzscheiben, usw. (vgl. z. B. [1, 2, 3]). W¨ahrend die kommerziellen CFD-Programmpakete den Anwender bei den klassischen Arbeitsschritten (Gittergenerierung, Berechnung, Visualisierung der Ergebnisse, etc.) komfortabel unterst¨ utzen, bieten sie wenig Hilfe bei der Optimierung der Str¨omung bzw. der zu Grunde liegenden Geometrie. Betrachtet man dagegen das in gewissem Sinne verwandte Gebiet der computergest¨ utzten Struktursimulation (CSD, computational structural dynamics), so kann man beobachten, dass in den letzten Jahren solche Optimierungsalgorithmen in die kommerziellen Berechnungsprogramme Einzug gehalten und sich etabliert haben. Es ist also zu vermuten, dass sich diese Entwicklung auch im Umfeld der CFD durchsetzen wird. Die vorliegende Arbeit soll daher eine M¨oglichkeit zur Gestaltsoptimierung von Str¨omungsgebieten aufzeigen.

1.2

Stand der Forschung

Die hier untersuchte Optimierung von Str¨omungsgebieten mittels ausschließlich numerischer Verfahren greift auf Programme zur Simulation der Fluidbewegung und zur mathematischen Optimierung zur¨ uck. Diese wurden in der Vergangenheit weitestgehend unabh¨angig voneinander entwickelt. Im Folgenden wird daher der Stand der Forschung zun¨achst f¨ ur die numerische Str¨omungssimulation und die mathematische Optimierung einzeln beleuchtet, um dann eine ¨ Ubersicht u uglich der Gestaltsoptimierung in der ingenieurwis¨ber Forschungsaktivit¨aten bez¨ senschaftlichen Praxis zu geben.

1.2.1

Numerische Str¨ omungssimulation

Standardverfahren der numerischen Str¨omungssimulation beruhen auf der Diskretisierung und L¨osung der Navier-Stokesschen Gleichungen mittels der Finite-Volumen-Methode (FVM). Dieses Verfahren hat sich ¨außerst effizient f¨ ur diesen Einsatz herausgestellt. Anwendungen liegen f¨ ur un-/strukturierte Gitter, komplexe Geometrien und Str¨omungen vor, vgl. zum Beispiel [25, 40, 81, 57]. Dem Problem der Kopplung der Str¨omungsgeschwindigkeiten und des Drucks wird in aller Regel mit einem Druckkorrektur-Verfahren begegnet (siehe [23, 71, 23]). Dabei gehen allerdings nur wenige Autoren auf spezielle Verfahren f¨ ur nicht-orthogonalen Gitter ein, obwohl diese einen entscheidenden Einfluss auf die Genauigkeit, Effizienz und Stabilit¨at des Verfahrens haben. Bez¨ uglich der Genauigkeit sind hier Weiss et al. [93] und Moulinec et al. [63] zu nennen, die alternative Verfahren f¨ ur die Diskretisierung der konvektiven und diffusiven Terme auf nicht-orthogonalen Gittern vorgeschlagen haben. Hinsichtlich der Stabilit¨at und Effizienz von Druckkorrektur-Verfahren f¨ ur nicht-orthogonale Gitter existieren grundlegende

1.2 Stand der Forschung

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Untersuchungen, insbesondere f¨ ur Verfahren bei denen die Terme aus der Nicht-Orthogonalit¨at vollst¨andig vernachl¨assigt werden, vgl. z. B. [72, 73]. Alternative Konzepte sind dagegen nur wenige zu finden, z. B. Cho et al. [16], deren Verfahren zumindest Anteile aus der NichtOrthogonalit¨at des Gitters ber¨ ucksichtigt. Allerdings h¨angt die Effizienz dieses Ansatzes von einem benutzerdefinierten Parameter ab. Neben der Diskretisierung der Erhaltungsgleichungen ist auch der L¨osungsalgorithmus ein wesentlicher Bestandteil eines numerischen Simulationsprogramms. Hierf¨ ur hat sich insbesondere das Mehrgitter-Verfahren als a¨ußerst effizient herausgestellt, vgl. unter anderem [33]. Speziell f¨ ur Str¨omungsprobleme verschiedenster Klassen konnten enorme Steigerungen der Effizienz gezeigt werden (z. B. [22, 41, 69, 88, 96]). Auch f¨ ur turbulente Str¨omungen existieren eine Reihe von Untersuchungen. Dabei wird deutlich, dass bei Verwendung von statistischen Turbulenzmodellen mit Wandfunktionen gute Beschleunigungswerte erzielt werden k¨onnen. Dagegen treten bei den so genannten LowRe-Modelle Effizienzeinbußen auf, vgl. z. B [68, 81, 88]. Diese Autoren schlagen Ans¨atze zur Behebung dieser Probleme vor, unter anderem durch die spezielle Behandlung von Termen auf den gr¨oberen Gittern, durch die Transformation der Erhaltungsgr¨oßen oder durch Filterung der Mehrgitter-Korrekturen. Ein interessanter Ansatz zur weiteren Erh¨ohung der Effizienz eines numerischen Simulations¨ werkzeugs ist, die Gitterweite dem Str¨omungsproblem adaptiv anzupassen. Einen guten Uberblick u ur den Bereich der numerischen Str¨omungssimulation lie¨ ber entsprechende Verfahren f¨ fern [4, 32, 74]. Verwendet man strukturierte Gitter, sind spezielle Techniken notwendig, um die Untergebiete ad¨aquat zu koppeln. Zu diesen Methoden z¨ahlen die u ¨berlappenden Gitter (vgl. z. B. [92]) oder die nicht-kontinuierlichen Gebietsschnittstellen (vgl. z. B. [86]). Um die Gitterverfeinerung adaptiv durchf¨ uhren zu k¨onnen, sind daneben noch geeignete Verfahren zur ¨ Approximation des Diskretisierungsfehlers notwendig. Einen guten Uberblick u ¨ber den aktuellen Stand der Forschung diesbez¨ uglich gibt [91] und die Referenzen darin. F¨ ur Diskretisierungen der str¨omungsmechanischen Gleichungen mit der Finiten-Volumen-Methode existieren Ans¨atze zur Approximation des Diskretisierungsfehlers, die jedoch nur f¨ ur Spezialf¨alle gelten (vgl. [7, 47]).

1.2.2

Mathematische Optimierung

Ziel der mathematischen Optimierung ist, Verfahren zur Bestimmung (lokaler) Optima von Funktionen zu entwickeln, die in der Regel nicht analytisch vorliegen. Unter Umst¨anden sind Schranken und weitere Restriktionen einzuhalten, so dass der L¨osungsraum eingeschr¨ankt ist. Dabei k¨onnen sowohl die zu optimierende Funktion als auch die Restriktionen nicht linear ¨ sein. Einen guten Uberblick u ¨ber die in dem jeweiligen Fall anwendbaren Verfahren geben z. B. [12, 66]. Die vorliegende Arbeit besch¨aftigt sich mit Problemstellungen aus dem technischen Bereich, bei denen davon auszugehen ist, dass zum Einen Schranken und Restriktionen existieren und zum Anderen der Charakter der Aufgabe nicht linear ist. Eine Reihe von Verfahren stehen f¨ ur diese Problemstellungen zur Verf¨ ugung, wie z. B. genetische Algorithmen [28, 60] oder Optimization by simulated annealing [43, 45]. Besonders effiziente Verfahren sind die Gradienten basierten Verfahren. Diese nutzen die Information des lokalen Gradienten der Zielfunktion nach den Optimierungsparametern f¨ ur die Bestimmung einer Richtung, in der ein Optimierungsschritt durchgef¨ uhrt wird. Es sei darauf hingewiesen, dass identische oder zumindest verwandte Verfahren auch zur L¨osung von linearen Gleichungssystemen eingesetzt werden, z. B. das Verfahren

4

1 Einleitung

der konjugierten Gradienten [27, 38]. Unter Umst¨anden ist die direkte Bestimmung der Gradienten jedoch aufwendig oder gar nicht m¨oglich. Eine solche Situation liegt zum Beispiel dann vor, falls die Zielfunktion ein Ergebnis einer experimentellen Messung oder einer numerischen Analyse ist. Als Ausweg kann eine Finite-Differenzen-Approximation des Gradienten angewendet werden. Im Fall der numerischen Analyse bietet sich auch das Verfahren der automatischen Differentiation an (vgl. z. B. [11, 21]). Eine weitere M¨oglichkeit stellt die Approximation der Zielfunktion durch einen Polynomansatz dar. An Stelle der eigentlichen Zielfunktion wird dann diese Approximation optimiert. Vorteil ist, dass die Gradienten des Modells analytisch vorliegen, da sie direkt aus dem Polynomansatz folgen. Umsetzungen dieses Verfahrens sind z. B. in [58, 75] gegeben.

1.2.3

Optimierung in der Struktur- und Str¨ omungsmechanik

Die Optimierung von Bauteilen bez¨ uglich ihres Einsatzzwecks ist seit langem Gegenstand der ingenieurwissenschaftlichen Forschung. Insbesondere im Bereich der Strukturmechanik konnten ¨ u uhrlichen Uberblick u ¨ber die letzten Jahre große Fortschritte erzielt werden. Einen ausf¨ ¨ber entsprechenden Anwendungen sind in [9, 70] und den Referenzen darin zu finden. Im Vergleich zu der Strukturmechanik existieren f¨ ur den Bereich der Optimierung von Str¨omungsgebieten weit weniger Ver¨offentlichungen. Erst nach erheblichen Fortschritten bei der numerischen Str¨omungssimulation und der Leistungsf¨ahigkeit von modernen Computer in den letzten Jahren finden sich auch f¨ ur diese Forschungsrichtung einige interessante Ans¨atze in der Literatur. Insbesondere im Bereich der Aerodynamik existieren eine Reihe von Untersuchungen. Dabei werden unterschiedlichste Verfahren aus der Str¨omungssimulation und der mathematischen Optimierung miteinander kombiniert. In fr¨ uhen Untersuchungen dienen reibungsfreie Str¨omungen als Grundlage f¨ ur die Bestimmung der Fluidbewegung und Gradienten basierte Verfahren f¨ ur die Optimierung (vgl. z. B. [39] f¨ ur die Optimierung von Fl¨ ugelgeometrien). Danach ersetzen Str¨omungssimulationsprogramme auf Basis der Navier-Stokes-Gleichungen ihre Vorg¨anger, z. B. f¨ ur die Optimierung von komplexen Anwendungen aus dem Flugzeugbau [10, 76, 77, 56]. In neueren Untersuchungen werden die Gradienten basierten Optimierungsverfahren nach und nach von evolution¨aren Methoden verdr¨angt, vgl. z. B. [36, 67, 80, 85]. Ziel dabei ist, den haupts¨achlichen Nachteil der Gradienten basierten Methoden zu kompensieren. Dieser besteht in der starken Abh¨angigkeit des gefundenen (lokalen) Optimums von der Startl¨osung. Dagegen versuchen die evolution¨aren Methoden den gesamten L¨osungsraum abzudecken, um so eventuell das globale Optimum zu finden. Ein weiterer interessanter Ansatz ist, nicht nur die Geometrie des Str¨omungsgebiets zu optimieren, sondern auch dessen Topologie [13]. Dies erm¨oglicht neben der ausschließlichen Verformung der vorhandenen Geometrie auch die Einf¨ uhrung von neuen R¨andern. Auch die simultane Optimierung hinsichtlich struktur- und str¨omungsmechanischen Aspekten ist ein aktuelles Forschungsgebiet, vgl. z. B. [31].

1.3 Ziele und Konzepte der Arbeit

1.3

5

Ziele und Konzepte der Arbeit

Ziel der vorliegenden Arbeit ist, eine effiziente numerische Methode zur Gestaltsoptimierung von Str¨omungsgebieten zu erarbeiten und zu untersuchen. Im Gegensatz zu anderen Ans¨atzen ist dabei nicht an die Integration eines numerischen Optimierers in den Ablauf des Str¨omungsl¨osers gedacht, sondern vielmehr an die Kopplung zweier geeigneter Programme, die sich jeweils auf ihrem Gebiet als hoch entwickelte und effiziente Ans¨atze erwiesen haben. Dies hat zum Einen den Vorteil, dass jeweils bew¨ahrte Verfahren verwendet werden, ohne diese aufwendig aneinander anpassen zu m¨ ussen. Zum Anderen bietet diese Vorgehensweise die einfache M¨oglichkeit, die Komponenten einzeln auszutauschen, z. B. um einen anderen Optimierer zu verwenden. F¨ ur die vorliegenden Arbeit wurden FASTEST-2D f¨ ur die Str¨omungssimulation und Dfo f¨ ur die numerische Optimierung ausgew¨ahlt. Jedes der aufgef¨ uhrten Werkzeuge besitzt Eigenschaften, welche sich positiv auf das Verhalten des Gesamtverfahrens auswirken. Dieser konsequente Einsatz von effizienten Verfahren unterscheidet die vorliegende Studie von anderen Untersuchungen. Im Folgenden sind kurz die wesentlichen Gr¨ unde f¨ ur die Auswahl skizziert. FASTEST-2D FASTEST-2D ist ein Str¨omungssimulationsprogramm, das auf einer Finite-Volumen-Diskretisierung zweiter Ordnung der Navier-Stokesschen-Gleichungen f¨ ur blockstrukturierte, randangepasste Gitter basiert. Die L¨osungsmethode beruht auf einem Druckkorrekturverfahren, welches durch eine Mehrgittermethode beschleunigt ist. Die M¨oglichkeit zur Simulation von praktisch relevanten, turbulenten Str¨omungen ist durch Zwei-GleichungRANS-Modelle gegeben. F¨ ur den Einsatz in einem Optimierungsprozess ist FASTEST-2D deshalb geeignet, weil es durch die hohe numerische Effizienz des Mehrgitter-Verfahrens in der Lage ist, Str¨omungsprobleme schnell zu berechnen. Dies ist insbesondere wichtig, da anzunehmen ist, dass im Laufe der Optimierung das Str¨omungssimulationsprogramm f¨ ur viele verschiedene Parameter aufgerufen wird. Der Faktor Rechenzeit“ ist auch entscheidend f¨ ur die Wahl eines Programms f¨ ur ledig” lich zwei-dimensionale Str¨omungen. Die Einsparung von Berechnungspunkten gegen¨ uber Simulationswerkzeugen f¨ ur drei dimensionale Str¨omungen bewirkt eine erhebliche Reduktion der Antwortzeiten. Insbesondere im Rahmen der Entwicklung der Methode sind solche schnellen Antwortzeiten erw¨ unscht, um die entsprechenden Schl¨ usse schnell ziehen zu k¨onnen. Aus der Sicht des Autors ist die Restriktion auf zwei-dimensionale Problemstellungen jedoch keine prinzipielle Einschr¨ankung. Neben den offensichtlichen Vorteilen besitzt FASTEST-2D in der Ausgangsfassung jedoch auch einige Nachteile, die sich insbesondere bei dem Einsatz im Rahmen einer Optimierungsprozedur negativ auswirken k¨onnen. Ein wesentlicher Teil dieser Arbeit besch¨aftigt sich daher mit der Weiterentwicklung des Programms hinsichtlich der Genauigkeit und Effizienz f¨ ur komplexe Konfigurationen. Diese konsequente Erweiterung des Str¨omungssimulationsprogramms speziell f¨ ur den Einsatz in einem Optimierungsverfahren ist ein zus¨atzliches, wichtiges Unterscheidungsmerkmal zu anderen Untersuchungen. Es sei an dieser Stelle angemerkt, dass die angedeuteten Nachteile nicht spezifisch f¨ ur FASTEST2D sind, sondern auch in anderen, kommerziellen Programmen auftreten.

6

1 Einleitung

Dfo Das Optimierungsprogramm Dfo beruht auf einem Approximationsverfahren zweiter Ordnung der Zielfunktion. An Stelle der tats¨achlichen Funktion wird also ein quadratisches Polynom durch ein Standardverfahren minimiert. Da das so gefundene Optimum nicht notwendigerweise auch eines der urspr¨ unglichen Zielfunktion sein muss, wird das Verfahren wiederholt, bis eine L¨osung des eigentlichen Problems gefunden ist. Im Gegensatz zu anderen Verfahren ben¨otigt Dfo nur Informationen u ¨ber den Wert der Zielfunktion, nicht aber den Gradienten der Zielfunktion nach den zu optimierenden Parametern. Da diese Gradienten mit den zur Verf¨ ugung stehenden Mitteln nur sehr aufwendig zu bestimmen w¨aren, eignet sich das verwendete Verfahren besonders. Dar¨ uber hinaus ist durch den im Gegensatz zu anderen Approximationsverfahren quadratischen Polynomansatz zu erwarten, dass die Anzahl an Funktionsauswertungen, d. h. der Aufrufe des Str¨omungsl¨osers, relativ gering sein wird, was sich wiederum positiv auf die Gesamtrechenzeit auswirkt. Die Rechenzeit, die der mathematische Optimierer selbst verbraucht, ist dagegen zu vernachl¨assigen. Neben diesen vorhandenen Komponenten ist zus¨atzlich eine Methode zur Verformung der Geometrie notwendig. Zu diesem Zweck dient ein Verfahren, das auf einer Deformationstechnik f¨ ur Freiformfl¨achen beruht. Damit ist es m¨oglich, große geometrische Flexibilit¨at mit einer relativen kleinen Anzahl an Parametern zu beschreiben. Zudem wird nicht, wie in einigen Ver¨offentlichungen vorgeschlagen, die Geometrie direkt, sondern das numerische Gitter verformt. Damit entf¨allt ein aufwendiger Gittergenerierungsprozess in jeder Optimierungsiteration. Stattdessen findet lediglich eine Verschiebung der Berechnungspunkte statt, was wesentlich effizienter als eine vollst¨andige Gittergenerierung zu realisieren ist.

1.4

Inhaltsu ¨ bersicht

Ein wesentlicher Teil dieser Arbeit besteht in der Erweiterung der Algorithmen des Str¨omungsl¨osers f¨ ur verzerrte Gitter bzw. Geometrien, um einen sinnvollen Einsatz in einem Optimierungsverfahren zu erm¨oglichen. Um die entsprechenden Verfahren ad¨aquat darlegen zu k¨onnen, beschreibt Kapitel 2 zun¨achst die grundlegenden Gleichungen der Str¨omungsmechanik. Kapitel 3 besch¨aftigt sich darauf aufbauend mit den numerischen Verfahren zur Diskretisierung und L¨osung dieser Gleichungen. Dabei sind die bisher verwendeten Verfahren den neu entwickelten Methoden an den geeigneten Stellen gegen¨ ubergestellt. Um die Vorteile dieser Neuentwicklungen zu demonstrieren, stellt Kapitel 4 einige Testf¨alle vor, an denen die Verbesserungen bez¨ uglich der Genauigkeit und der Effizienz deutlich abzulesen sind. Der zweite Teil dieser Arbeit besch¨aftigt sich mit der Kopplung des Str¨omungl¨osers und eines mathematischen Optimierungsverfahrens. Dazu gibt Kapitel 5 zun¨achst einen Einblick in die Grundlagen des verwendeten Optimierungsverfahrens. Dar¨ uberhinaus wird die Technik zur effizienten Gestaltsvariation n¨aher vorgestellt. Das Kapitel 6 stellt schließlich die Ergebnisse vor, die sich mit dem Optimierungsverfahren f¨ ur einige repr¨asentative Testf¨alle ergeben. Dabei werden verschiedenste Aspekte beleuchtet, die das Verfahren und das Optimierungsergebnis beeinflussen.

1.4 Inhalts¨ ubersicht

7

Abschließend gibt Kapitel 7 eine Zusammenfassung der verwendeten Verfahren und Erkenntnisse dieser Arbeit, sowie einen Ausblick auf m¨ogliche, weiterf¨ uhrende Studien.

8

1 Einleitung

9

Kapitel 2 Grundlegende Gleichungen der Str¨ omungsmechanik Eine wesentliche Grundlage dieser Arbeit ist die Simulation von Str¨omungen mit Hilfe numerischer Verfahren, welche auf der physikalisch korrekten Beschreibung der Fluidbewegung durch entsprechende Modelle beruht. Diese Modelle lassen sich aus den fundamentalen Erhaltungsgleichungen der Kontinuumsmechanik f¨ ur Masse, Impuls, Drehimpuls und Energie ableiten. Durch Verwendung von so genannten Konstitutivgleichungen, die das Materialverhalten des fließenden Mediums modellieren, erh¨alt man schließlich die aus der klassischen Str¨omungslehre bekannten Basisgleichungen. In den nachfolgenden Abschnitten sind die wesentlichen Zusammenh¨ange f¨ ur den allgemeinen drei-dimensionalen Fall skizziert, wobei auch Aspekte der statistischen Turbulenzmodellierung dargestellt werden. F¨ ur eine detaillierte Beschreibung sei auf die einschl¨agige Literatur verwiesen, z. B. Spurk [90] oder Altenbach und Altenbach [5].

2.1 2.1.1

Erhaltungsgleichungen Massenerhaltung

Die Masse m eines beliebigen Volumens V ist definiert durch
m = ρ dV ,

(2.1)

V

mit der Dichte ρ, den kartesischen Koordinaten xi und der Zeit t. Der Satz der Massenerhaltung besagt, dass die Gesamtmasse eines K¨orpers konstant bleibt, sofern keine Massenquellen oder -senken vorhanden sind:
D Dm = ρ dV = 0 , (2.2) Dt Dt V

wobei D/Dt die materielle Ableitung symbolisiert.

10

2 Grundlegende Gleichungen der Str¨ omungsmechanik

Aus Gleichung (2.2) erh¨alt man nach einigen Umformungsschritten die Kontinuit¨atsgleichung in differentieller Form: ∂ ∂ρ + (ρui ) = 0 , (2.3) ∂t ∂xi mit den Komponenten des Geschwindigkeitsvektors ui in den kartesischen Richtungen. Eine Vereinfachung von Gleichung 2.3 leitet sich aus der Annahme der Inkompressibilit¨at des fließenden Mediums ab, welche f¨ ur Fl¨ ussigkeiten in guter N¨aherung immer erf¨ ullt ist. Auch f¨ ur Gase gilt diese Voraussetzung, wenn man lediglich Str¨omungen bei kleinen Machzahlen M < 0.3 betrachtet. Folglich ist die Dichte nicht abh¨angig vom herrschenden Druck und die Kontinuit¨atsgleichung l¨asst sich wie folgt reduzieren: ∂ui =0. ∂xi

(2.4)

Dies ist gleichbedeutend mit der Quellenfreiheit (Divergenzfreiheit) des Geschwindigkeitsfelds.

2.1.2

Impulserhaltung

Der Impulsvektor Ii eines beliebigen Volumens ist definiert durch:
Ii = ρui dV .

(2.5)

V

¨ Der Impulserhaltungssatz besagt, dass die zeitliche Anderung des Impulses eines K¨orpers gleich der Summe aller auf den K¨orper einwirkenden Volumen- und Oberfl¨achenkr¨afte ist. Diesen Zusammenhang beschreibt in differentieller Form die Erste Cauchysche Bewegungsgleichung: ∂(ρui ) ∂(ρui uj ) ∂Tij + = + ρfi . ∂t ∂xj ∂xj

(2.6)

Dabei bezeichnet Tij die Komponenten des Cauchyschen Spannungstensors und fi die Volumenkr¨afte pro Masseneinheit (z. B. Gravitations- oder Auftriebskr¨afte).

2.1.3

Drehimpulserhaltung

Der Drehimpulsvektor Mi eines beliebigen Volumens ist definiert durch:
Mi = xj (ρuk ) ijk dV ,

(2.7)

V

mit dem Permutationsoperator ijk . ¨ Nach dem Drehimpulserhaltungssatz ist die zeitliche Anderung des Gesamtdrehimpulses eines K¨orpers gleich dem Gesamtmoment aller auf den K¨orper einwirkenden Volumen- und Oberfl¨achenkr¨afte. Eine Auswertung dieses Zusammenhangs f¨ uhrt unter Benutzung der Massenund Impulserhaltung auf: Tij = Tji . (2.8) Das bedeutet, dass die Erhaltung des Drehimpulses durch die Symmetrie des Cauchyschen Spannungstensors zum Ausdruck kommt.

11

2.2 Materialgesetze

2.1.4

Energieerhaltung

¨ Der Energieerhaltungssatz besagt, dass die zeitliche Anderung der Gesamtenergie eines K¨orpers W gleich der Energiezufuhr durch die Leistung der ¨außeren Kr¨afte Pa und der W¨armezufuhr Q ist. Dieser Erhlatungssatz wird auch als 1. Hauptsatz der Thermodynamik bezeichnet: DW = Pa + Q . Dt

(2.9)

Durch entsprechende Umformungen erh¨alt man den Energieerhaltungssatz in seiner differentiellen Form: ∂ρe ∂ρui e ∂uj ∂hi + = Tij − + ρq , (2.10) ∂t ∂xi ∂xi ∂xi wobei e die spezifische innere Energie, hi die Komponenten des W¨armestromvektors pro Einheitsfl¨ache und q die W¨armequellen bezeichnet. Bezieht man das Fouriersche Gesetz f¨ ur den W¨armestromvektor ein und vernachl¨assigt die durch Druck- und Reibungskr¨afte geleistete Arbeit, erh¨alt man unter der Annahme, dass die spezifische W¨armekapazit¨at cp konstant ist, die Transportgleichung f¨ ur die Temperatur:   ∂ρcp ui T ∂ ∂T ∂ρcp T + = κ + ρq . (2.11) ∂t ∂xi ∂xi ∂xi

2.2

Materialgesetze

Die Notwendigkeit eines Materialgesetzes wird durch die Betrachtung der Bilanzgleichungen (2.4), (2.6) und (2.8) deutlich. F¨ ur den drei-dimensionalen, inkompressiblen Fall stellen sie sieben Gleichungen zur Verf¨ ugung, beinhalten aber 12 Unbekannte. Dies sind die Dichte, die drei Komponenten des Geschwindigkeitsvektors ui und die neun Komponenten des Spannungstensors Tij . Um eine Schließung des Problems zu erhalten, m¨ ussen weitere Gleichungen eingef¨ uhrt werden, die eine Verkn¨ upfung zwischen den Unbekannten herstellen. Diese Konstitutivgleichungen sind materialtheoretische Beziehungen und werden daher als Materialgesetze bezeichnet. F¨ ur die in dieser Arbeit betrachteten Newtonsche Fl¨ ussigkeiten gilt der folgende Zusammenhang zwischen dem Spannungstensor Tij und den Geschwindigkeitskomponenten ui :   ∂ui ∂uj 2 ∂uk Tij = µ + − δij − p δij , (2.12) ∂xj ∂xi 3 ∂xk wobei δij den Kronecker-Operator bezeichnet. Das Materialgesetz (2.12) beinhaltet zwar mit dem Druck p eine neue Unbekannte, stellt aber sechs weitere Gleichungen zur Verf¨ ugung, so dass nun die Anzahl der Gleichungen mit der der Unbekannten u ¨bereinstimmt. Die dynamische Viskosit¨at µ ist eine Materialeigenschaft, die in der Regel als konstant angenommen werden kann. Liegt eine inkompressible Str¨omung vor, vereinfacht sich das Materialgesetz (2.12) wegen Gleichung (2.4) zu   ∂ui ∂uj Tij = µ − p δij . + (2.13) ∂xj ∂xi

12

2 Grundlegende Gleichungen der Str¨ omungsmechanik

I

I

I

I

I

I t

t

Abbildung 2.1: Definition des Mittelwertes und der Fluktuation einer Funktion φ in einer statistisch station¨aren (links) und einer statistisch instation¨aren Str¨omung (rechts).

2.3

Navier-Stokessche Gleichung

Setzt man Gleichung (2.13) in (2.6) ein, erh¨alt man die (inkompressible) Navier-Stokessche Gleichung    ∂ρui ∂(ρui uj ) ∂ui ∂uj ∂p ∂ + =− + + (2.14) µ + ρfi . ∂t ∂xj ∂xi ∂xj ∂xj ∂xi Diese bildet zusammen mit der Kontinuit¨atsgleichung (2.4) die Grundlage der Berechnung von Geschwindigkeiten und Druckverteilungen in einer inkompressiblen Str¨omung.

2.4

Modellierung turbulenter Str¨ omungen

Die oben erarbeiteten Gleichungen (2.4) und (2.14) gelten auch f¨ ur turbulente Str¨omungen. Jedoch zeichnet sich die Turbulenz durch unregelm¨aßige, hochfrequente, r¨aumliche und zeitliche Schwankungen der Str¨omungsgr¨oßen aus. Um alle turbulenten Effekte erfassen zu k¨onnen, ben¨otigt man daher eine sehr feine r¨aumliche und zeitliche Diskretisierung. Die sich daraus ableitende große Anzahl an Berechnungspunkten in Raum und Zeit bedeutet einen extrem hohen Bedarf an Speicherkapazit¨at und Rechenaufwand, der selbst f¨ ur einfachere Probleme die derzeit leistungsf¨ahigsten Rechner u ¨berfordert. N¨ahere Informationen hierzu liefert z. B. [82]. Es sind daher weitere Modellannahmen zur Berechnung turbulenter Str¨omungen notwendig. Eine M¨oglichkeit bietet die statistische Mittelung der Str¨omungsgr¨oßen.

2.4.1

Gemittelte Str¨ omungsgr¨ oßen

Die Str¨omungsgr¨oßen einer ausgebildeten turbulenten Str¨omung lassen sich in einen statistischen Mittelwert und eine momentane Schwankung unterteilen. ui = ui + u
i .

(2.15)

Die Mittelwerte ui k¨onnen entweder zeitunabh¨angig (statistisch station¨are Prozesse) sein (vgl. Abbildung 2.1 (links)), so dass sie durch 1 ui (x) = lim T →∞ T

t−T
/2

ui (x, t) dt t+T /2

(2.16)

13

2.4 Modellierung turbulenter Str¨ omungen

mit der Mittelungszeit T definiert werden k¨onnen. Oder sie sind ebenfalls zeitabh¨angig (statistisch instation¨are Prozesse, vgl. Abbildung 2.1 (rechts)). Dann gilt N 1  ui (x, t) dt , N →∞ N n=1

ui (x, t) = lim

(2.17)

wobei N als Anzahl von imagin¨aren Experimenten interpretiert werden kann. Analog der Gleichung (2.15) wird auch der Druck p zerlegt p = p + p
.

(2.18)

Setzt man die Gleichungen (2.15) und (2.18) in die Kontinuit¨atsgleichung (2.4) und in die Navier-Stokessche Gleichung (2.14) ein, so erh¨alt man nach anschließender Mittelung die so genannten Reynoldschen Gleichungen: ∂ui =0 (2.19) ∂xi und

    ∂ui ∂uj ∂ρui ∂ (ρui uj ) ∂p ∂ + =− + + µ − ρu
i u
j + ρfi . ∂t ∂xj ∂xi ∂xj ∂xj ∂xi

(2.20)

Als neue Unbekannte tauchen die gemittelten Produkte der Schwankungsgr¨oßen ρu
i u
j auf, welche auch Reynoldsche Spannungen heißen. Ziel der Turbulenzmodellierung auf Basis von gemittelten Str¨omungsgr¨oßen ist es, Gleichungen zur Bestimmung dieser Reynoldschen Spannungen zur Verf¨ ugung zu stellen. H¨aufig benutzte Modelle wie das k-ε- oder das k-ω-Turbulenzmodell beruhen auf der Annahme der G¨ ultigkeit der Beziehung   2 ∂ui ∂uj + (2.21) ρu
i u
j = −µt + ρ k δij , ∂xj ∂xi 3 welche eine Form der Boussinesq-Approximation ist. In dieser Gleichung bezeichnet µt die so genannte turbulente Viskosit¨at, die von den anderen Str¨omungsgr¨oßen abh¨angt und somit keine Stoffeigenschaft des fließenden Mediums ist. Als weitere Unbekannte taucht in Gleichung (2.21) die turbulente kinetische Energie k auf. Sie ist definiert durch: 1 k = u
i u
i . (2.22) 2 Auf die weitere Vorgehensweise f¨ ur das k-ε- bzw. k-ω-Modell gehen die folgenden Kapitel n¨aher ein.

2.4.2

Das k-ε-Modell

Unter Verwendung des von Launder und Spalding [52] eingef¨ uhrten k-ε-Turbulenzmodells wird µt unter Benutzung der Dissipationsrate der turbulenten kinetischen Energie ε berechnet: µt = Cµ ρ

k2 . ε

(2.23)

14

2 Grundlegende Gleichungen der Str¨ omungsmechanik

Cµ ist hierbei eine empirische Modellkonstante, w¨ahrend die Dissipation der turbulenten kinetischen Energie ε definiert ist durch: µ ∂u
i ∂u
j . ρ ∂xi ∂xj

ε=

(2.24)

Die endg¨ ultige Schließung des Problems erfolgt durch Einf¨ uhrung von Transportgleichungen f¨ ur k und ε:     ∂ρk ∂ µt k + ρui k − µ + = G − ρε , (2.25) ∂t ∂xi σk ∂xi     2 ∂ µt ε ε ε ∂ρε + (2.26) ρui ε − µ + = GCε1 − Cε2 . ∂t ∂xi σk ∂xi k k Hierbei ist G die Produktionsrate der turbulenten kinetischen Energie  G = µt

∂ui ∂uj + ∂xj ∂xi



∂ui . ∂xj

(2.27)

Neben Cµ bezeichnen σk , σε , Cε1 und Cε2 weitere empirische Modellkonstanten. Standardwerte, die man auch der entsprechenden Literatur entnehmen kann, sind: Cµ = 0.09 , σk = 1.0 , σε = 1.3 , Cε1 = 1.44 , Cε2 = 1.92 .

2.4.3

Das k-ω-Modell

Unter Verwendung des erstmals von Kolmogorov [46] eingef¨ uhrten und von Wilcox [94] verbesserten k-ω-Modells berechnet sich die turbulente Viskosit¨at aus: µt = ρ

k , ω

(2.28)

wobei hier wiederum k die turbulente kinetische Energie und ω = ε/k die spezifische Dissipation der turbulenten kinetischen Energie bezeichnen. Die zugeh¨origen Transportgleichungen lassen sich wie folgt definieren: ∂k ∂k + uj ∂t ∂xj ∂ω ∂ω + uj ∂t ∂xj

   ∂ νt ∂k ν+ + P − β ∗ kω , ∂xj σk ∂xj    ∂ νt ∂ω ω = ν+ + αP − βω 2 . ∂xj σω ∂xj k =

(2.29) (2.30)

Die Modellkonstanten k¨onnen zu α = 5/9, β = 3/40, β ∗ = 9/100, σk = 2 und σω = 2 gesetzt werden.

2.4 Modellierung turbulenter Str¨ omungen

2.4.4

15

Wandnahe Str¨ omung

Ein besonderes Problem bei der statistischen Modellierung turbulenter Str¨omungen ist der wandnahe Bereich. Dort existiert eine laminare Grenzschicht, in der die Annahmen, die zu den oben aufgef¨ uhrten Turbulenzmodellen f¨ uhren, nicht gelten. Dieses Gebiet zeichnet sich in der Regel durch große Gradienten der Str¨omungsgr¨oßen aus. Um die Modellierung zu vervollst¨andigen, bieten sich entweder so genannte Wandfunktionsmodelle oder Low-Reynolds-Modelle (LowRe-Modelle) an. Die Ersteren u ucken die Grenz¨berbr¨ schicht durch eine Wandfunktion, welche sich aus dem logarithmischen Wandgesetz ergibt. Daraus folgt, dass dieser Bereich nicht durch Berechnungspunkte abgebildet werden muss. Diesem offensichtlichen Vorteil steht der Nachteil gegen¨ uber, dass diese Funktion nicht universell gilt, sondern nur einige Str¨omungsf¨alle exakt abbildet, z. B. Kanal- oder Rohrstr¨omungen. Die zweite M¨oglichkeit besteht in der Korrektur der Transportgleichungen f¨ ur die Turbulenzgr¨oßen im wandnahe Bereich durch empirische D¨ampfungsfunktionen. Im Gegensatz zu dem Wandfunktionsmodell m¨ ussen allerdings Berechnungspunkte in der Grenzschicht liegen, um die Str¨omung korrekt zu berechnen. Wandfunktionsmodelle Wie bereits erw¨ahnt beruht das Wandfunktionsmodell auf dem logarithmischen Wandgesetz. Dieses besagt, dass die dimensionslose Geschwindigkeit u+ in einem Bereich von 30 < y + < 300 logarithmisch von dem dimensionslosen Wandabstand y + abh¨angt. Die entsprechenden Gr¨oßen sind dabei wie folgt definiert:  ρuτ δ ut τw , u+ = , (2.31) , mit uτ = y+ = µ uτ ρ wobei δ den Wandabstand, uτ die Wandschubspannungsgeschwindigkeit, τw die Wandschubspannung und ut die Geschwindigkeitskomponente tangential zur Wand bezeichnen. Aus diesen Beziehungen l¨asst sich dann eine Berechnungsformel f¨ ur die Wandschubspannungen bestimmen, welche als Randbedingung f¨ ur die Impulsgleichungen dient. F¨ ur weitere Details sei an dieser Stelle auf entsprechende Literatur verwiesen, z. B. Wilcox [95] oder Sch¨afer [82]. LowRe-Modelle Eine Besonderheit des k-ω-Modells ist, dass die Grundgleichungen (2.29) und (2.30) ohne Ver¨anderung auch im wandnahen Bereich verwendet werden k¨onnen, w¨ahrend das k-ε-Modell durch D¨ampfungsfunktionen angepasst werden muss. F¨ ur beide Modelle gilt jedoch, dass bei der Verwendung der LowRe-Varianten das wandnahe Gebiet hinreichend fein aufgel¨ost sein muss, d. h. einige Kontrollvolumen m¨ ussen in der laminaren Grenzschicht liegen. Die Dicke dieser Schicht kann mit y + ≈ 11 abgesch¨atzt werden. Die k-ε-LowRe-Modelle besitzen die allgemeine Grundform:     ∂ µt ∂k ρui k − µ + = G − ρε , (2.32) ∂xi σk ∂xi     2 µt ∂ ε˜ ε˜ ε˜ ∂ (2.33) ρui ε˜ − µ + = f1 Cε1 G − Cε1 f2 ρ + E , ∂xi σε ∂xi k k

16

2 Grundlegende Gleichungen der Str¨ omungsmechanik

mit ε˜ = ε − ε0 ,

(2.34)

k2 . (2.35) ε˜ Die in den Gleichungen (2.32) bis (2.35) vorkommenden Unbekannten f1 , f2 , fµ , E und ε0 sind ¨ empirisch gefundene D¨ampfungsfunktionen. Trotz theoretischer Uberlegungen lassen sich diese Funktionen nicht universell bestimmen. Oftmals dienen daher experimentelle Untersuchungen zum Abgleich, wobei wiederum die Kanal- oder Plattenstr¨omung Verwendung findet. Die bekanntesten Vorschl¨age stammen von Launder und Sharma [51] oder Lam und Bremhorst [49]. Daneben existieren jedoch viele weitere Modelle. Ein Modell von Chien [15], das sich durch sein numerisch stabiles Verhalten auszeichnet und deshalb in dieser Arbeit Verwendung findet, schl¨agt folgende Belegung der D¨ampfungsfunktionen vor: f1 = 1 , (2.36)  4 2 k ρ 2 (2.37) f2 = 1 − exp − 2 2 , 9 ε˜ µ    δ√ νutn , (2.38) fµ = 1 − exp −0.0115 ν   δ √ ε˜ νutn , E = −2µ 2 exp − (2.39) δ 2ν µt = Cµ fµ

ε0 =

2µk . δ2ρ

(2.40)

Dabei bezeichnet utn die Normalenableitung der Tangentialgeschwindigkeit an dem wandn¨achsten Punkt. Die Modellkonstanten ver¨andern sich ebenfalls und lauten: Cµ = 0.09 , σk = 1.0 , σε = 1.3 , Cε1 = 1.35 , Cε2 = 1.8 .

2.5

Allgemeine skalare Transportgleichung

Alle eingef¨ uhrten Transportgleichungen lassen sich auf eine einheitliche Form zur¨ uckf¨ uhren. Diese stellt die allgemeine skalare Transportgleichung dar. Wesentliche Bestandteile dieser Gleichung sind Terme, die konvektive und diffusive Vorg¨ange beschreiben. In Differentialform lautet sie:   ∂ ∂ ∂φ ∂ρφ + (ρui φ) = +qφ . (2.41) Γφ ∂t ∂x ∂x ∂x  i   i i  Konvektion

Dif f usion

Dabei steht φ f¨ ur die unbekannte Gr¨oße, Γφ ist der Diffusionskoeffizient und qφ der Quell- bzw. Senkterm. Eine Zusammenstellung der Koeffizienten f¨ ur die jeweilige Erhaltungsgleichung kann man der Tabelle 2.1 entnehmen.

17

2.5 Allgemeine skalare Transportgleichung

Gleichung

Φ

DΦ

Kontinuit¨atsgleichung

1

0

Impulsgleichung

ui

µ + µt

qΦ

∂ ∂xi

0

(µ + µt )

∂ui ∂xj

−

∂p ∂xi

+ ρfi

k-ε-Modell mit Wandfunktionen k-Gleichung

k

µ+

ε-Gleichung

ε

µ+

µt σk µt σε

G − ρε 2

Cε1 G kε˜ − Cε2 ε˜k

k-ε-Modell nach Chien k-Gleichung

k

µ+

µt σk

  G − ρ ε˜ + 2µ δk2

ε˜-Gleichung

ε˜

µ+

µt σε

Cε1 G kε˜ − Cε2 f2 ε˜k + E

2

Tabelle 2.1: Variablen der allgemeinen Transportgleichung f¨ur die beiden betrachteten k-εModelle

18

2 Grundlegende Gleichungen der Str¨ omungsmechanik

19

Kapitel 3 L¨ osungsmethoden zur Berechnung von Str¨ omungsvorg¨ angen Mit der Definition des Problemgebiets, den Randbedingungen und den Eigenschaften des fließenden Mediums bilden die in Kapitel 2 vorgestellten Navier-Stokes-Gleichungen die Grundlage der numerischen Simulation von Str¨omungen. Weitere zu ber¨ ucksichtigende Ph¨anomene wie die Turbulenz oder Temperatur- und Stofftransport werden durch zus¨atzliche Transportgleichungen erfasst. Zusammen bilden sie ein gekoppeltes System partieller Differentialgleichungen mit den kartesischen Komponenten des Geschwindigkeitsvektors, dem Druck und den zus¨atzlichen Skalaren als Unbekannte. F¨ ur die Berechnung einer numerischen L¨osung wird zun¨achst das gegebene Problemgebiet in eine Vielzahl finiter Untergebiete zerlegt. Das Resultat dieser Operation ist das numerische Gitter, durch das die Lage der Berechnungspunkte definiert wird. Basierend auf dem numerischen Gitter werden dann die Differentialgleichungen diskretisiert. Hierzu stehen verschiedene Methoden zur Auswahl, u.a. die Methode der finiten Differenzen, der finiten Elemente oder der finiten Volumen. Insbesondere die Finite-Volumen-Methode (FVM) ist f¨ ur die Diskretisierung der str¨omungsmechanischen Grundgleichungen gut geeignet, da die Konservativit¨at der Transportgleichungen implizit bewahrt wird. Eine Umsetzung der FVM f¨ ur blockstrukturierte, randangepasste Gitter liegt mit dem Programmpaket FASTEST f¨ ur zwei- und drei-dimensionale Str¨omungen vor. Ein Hauptaugenmerk dieser Arbeit liegt auf der Weiterentwicklung von FASTEST bez¨ uglich Genauigkeit, Effizienz und Robustheit, um den Anforderungen f¨ ur den Einsatz in einem Optimierungsverfahren zu entsprechen. Gerade diese Aspekte sind dabei ausgesprochen wichtig, um zum Einen das Optimierungsziel nicht zu verfehlen (Genauigkeit) und zum Anderen den Optimierungsprozess u ¨berhaupt bzw. in angemessener Zeit abzuschließen (Stabilit¨at und Berechnungszeit). Daher sind in den folgenden Abschnitten neben den Grundz¨ ugen von FASTEST auch die Weiterentwicklungen an den entsprechenden Stellen ausf¨ uhrlich dargestellt. Dabei wird der allgemeine, drei-dimensionale Fall zu Grunde gelegt.

20

3 L¨ osungsmethoden zur Berechnung von Str¨ omungsvorg¨ angen [3

x3

T x2 x1 [2

N t n

W w s

e

E

P

[1

b S

B

Abbildung 3.1: Beliebiges hexagonales Kontrollvolumen. Die benachbarten Punkte sind gem¨aß den Himmelsrichtungen benannt.

3.1

¨ Ortliche Diskretisierung

Das Finite-Volumen-Verfahren beruht auf einer Zerlegung des Problemgebiets in finite Volumen. Prinzipiell kann jedes dieser Volumen von beliebiger Form sein. Ein h¨aufig verwendeter Ansatz ist jedoch die Verwendung von Volumen einheitlicher Topologie. In dieser Arbeit wird eine solche Methode beruhend auf Hexaedern verwendet. Da die Volumen ein strukturiertes Gitter bilden, ist die Lage jedes KV relativ zu seinen Nachbarn bekannt. Die Speicherung aller Unbekannten findet im Gegensatz zu versetzten Gittern an den Mittelpunkten der KV statt. In Abbildung 3.1 ist exemplarisch ein solches KV mit den angrenzenden Berechnungspunkten ¨ dargestellt. Ublicherweise wird der Berechnungspunkt selbst mit P bezeichnet, w¨ahrend die Nachbarpunkte gem¨aß den Himmelsrichtungen N , S, E. W , T und B benannt sind. Sinngem¨aß werden die Seiten bzw. die Seitenmittelpunkte der jeweiligen Oberfl¨ache eines KV durch die Kleinbuchstaben n, s, e, w, t und b identifiziert. Integriert man die allgemeine skalare Transportgleichung u ¨ber ein KV und wendet den Gaußschen Integralsatz an, so erh¨alt man:


 ∂φ  ∂φ ρ dV + ρui φni dSc = qφ dV . Γφ ni dS + ∂t ∂xi c  Sc c  Sc  V 



  V 


T

FcC

FcD

(3.1)

Q

ur die sechs Teilfl¨achen der Oberfl¨ache (c = n, s, e, w, t, b) Hierbei steht V f¨ ur das Volumen und Sc f¨ des jeweiligen KV. ni bezeichnet den aus dem Gebiet heraus zeigenden Normalenvektor der jeweiligen Kontrollvolumenoberfl¨achen. Weiterhin bezeichnet T den u ¨ber das Volumen integrierten Zeitterm, FcC den konvektiven und FcD den diffusiven Fluss u ¨ ber die Teilseiten c. In Q sind alle u ¨ber das Volumen integrierten Quellen zusammengefasst. An dieser Stelle sei erw¨ahnt, dass sich diese Arbeit ausschließlich mit station¨aren Vorg¨angen besch¨aftigt und damit der Term

¨ 3.1 Ortliche Diskretisierung

21

) )(x)

Im

1111111111111111 0000000000000000 0000000000000000 1111111111111111 0000000000000000 1111111111111111 0000000000000000 1111111111111111 0000000000000000 1111111111111111 0000000000000000 1111111111111111 0000000000000000 1111111111111111 1111111111111111 0000000000000000 'x

a

'x

m

b

x

Abbildung 3.2: Approximation eines Integrals mit Hilfe der Mittelpunktsregel. T vernachl¨assigt werden kann. Seine weitere Behandlung im Rahmen der Diskretisierung wird daher nicht betrachtet. Die Oberfl¨achenintegrale u ¨ber die konvektiven und diffusiven Terme lassen sich bestimmen, indem man die Teilintegrale u ¨ber die sechs Fl¨achen eines Kontrollvolumens bestimmt und summiert, wie dies bereits in Gleichung (3.1) angedeutet ist. Die Bestimmung der Teilintegrale verl¨auft f¨ ur alle Teilfl¨achen ¨aquivalent, so dass im Folgenden nur die Vorgehensweise f¨ ur eine Ostseite e beschrieben wird. Prinzipiell stehen f¨ ur die Approximation der Oberfl¨achenintegrale mehrere M¨oglichkeiten zur Verf¨ ugung, die sich durch ihre Genauigkeit und Komplexit¨at unterscheiden. Einen guten Kompromiss zwischen beiden stellt die Mittelpunktsregel dar, welche ein Verfahren zweiter Ordnung ist:
φ dS ≈ φm δS , (3.2) S

wobei φm den Wert der stetigen Funktion φ am Mittelpunkt und δS den Integrationsbereich bezeichnet. Abbildung 3.2 illustriert die Vorgehensweise f¨ ur den ein-dimensionalen Fall, wobei hier δS = 2∆x zu setzen ist. Wendet man diese Formel auf den konvektiven Fluss u ¨ber die Ostseite FeC an, erh¨alt man:
FeC = (ρui φni )e dS ≈ (ρui ni )e δSe φe = m ˙ e φe , (3.3) Se

wobei m ˙ e den Massenfluss u ¨ber die Seite e bezeichnet. Die Gr¨oße φe muss schließlich aus den Werten der benachbarten Berechnungspunkten bestimmt werden. Hierf¨ ur werden in Abschnitt 3.1.1 eine Standardmethode und eine im Rahmen dieser Studie erarbeiteten Alternative, die sich insbesondere f¨ ur komplexe Gitter eignet, vorgestellt. Wie auch beim konvektiven Term wendet man auf den diffusiven Term FcD die Mittelpunktsregel an. Also ist folgende Approximation des diffusiven Flusses u ¨ ber die Ostseite m¨oglich:   
 ∂φ ∂φ FeD = ni dS ≈ Γφ ni δSe . (3.4) Γφ ∂xi ∂xi Se e e Je nach Orientierung der Seite treten in der Approximation des diffusiven Flusses bis zu drei Ableitungen nach den kartesischen Richtungen xi an der Stelle e auf. Zu deren Bestimmung

22

3 L¨ osungsmethoden zur Berechnung von Str¨ omungsvorg¨ angen

sei auf den Abschnitt 3.1.2 verwiesen, wo auf verschiedene Vorgehensweisen ausf¨ uhrlich eingegangen wird. Auch hier wird im Vergleich zu einer Standardmethode eine Neuentwicklung pr¨asentiert. F¨ ur den Quellterm Q kommt ebenfalls die Mittelpunktsregel zum Einsatz, wobei diese hier drei-dimensional zu interpretieren ist:
qφ dV ≈ (qφ )P δV . (3.5) Q= V

Als Besonderheit k¨onnen Ableitungen nach den kartesischen Koordinaten in den Quellen auftauchen, wie z. B. die des Drucks in den Impulserhaltungsgleichungen. Auf deren Bestimmung wird in Abschnitt 3.1.3 eingegangen.

3.1.1

Interpolation

Ein Werkzeug zur Bestimmung von Diskretisierungsmethoden im Allgemeinen und Interpolationsvorschriften im Speziellen ist eine Taylor-Reihen-Entwicklung der Funktion φ. Ist der Funktionswert an der Stelle e gesucht, bietet sich eine Entwicklung um diesen Punkt an:   ∂φ φA = φe + ((xi )A − (xi )e) + O(∆x2) . (3.6) ∂xi e Dabei bezeichnet A einen beliebigen Punkt in der Umgebung von e und O(∆x2 ) alle Terme zweiter und h¨oherer Ordnung. Zentral-Differenzen Verfahren (CDS) Durch Auswerten der Taylor-Reihe (3.6) f¨ ur die Punkte A = E, P und anschließendem, geeignetem Kombinieren beider Gleichungen erh¨alt man:       ∂φ ∂φ ∂φ (3.7) φe = γP φP + γE φE + λ1 + λ2 + λ3 + O(∆x2 ) . ∂x e ∂y e ∂z e 

 Abbruchfehler Vernachl¨assigt man die als Abbruchfehler gekennzeichneten Terme in Gleichung (3.7), erh¨alt man die Berechnungsvorschrift f¨ ur das Zentral-Differenzen Verfahren (central differencing scheme, CDS). Die Interpolationsfaktoren γP und γE sind definiert durch:  γE = 

(xE − xP )2 + (yE − yP )2 + (zE − zP )2

 γP = 

(xP − xe )2 + (yP − ye )2 + (zP − ze )2

(xE − xe)2 + (yE − ye )2 + (zE − ze )2 2

2

2

(xE − xP ) + (yE − yP ) + (zE − zP )

,

∼ = 1 − γE .

¨ 3.1 Ortliche Diskretisierung

23

x  (x E

y

P

 xP − (

+ (y P xe) 2

− ye

)2

e

−

)2 xe

+

(y E

−

)2 ye

E

yE − ye

θ2 xE − xe yP − ye

θ1 xP − xe

Abbildung 3.3: Geometrische Interpretation der Bedingung, dass das CDS Verfahren zweiter Ordnung ist (in zwei Dimensionen). Zur Bestimmung der Genauigkeit dieser Approximation dient eine Untersuchung des f¨ uhrenden Terms des Abbruchfehlers. Der Einfachheit halber wird die Vorgehensweise f¨ ur ein zweidimensionales Problem erl¨autert, wobei die Erweiterung auf drei Dimensionen analog verl¨auft. Mit dieser Restriktion sind die Koeffizienten λ1 und λ2 (λ3 kommt f¨ ur zwei Dimensionen nicht vor) in Gleichung (3.7) definiert durch: λ1 = (xP − xe ) γP + (xE − xe) γE , λ2 = (yP − ye ) γP + (yE − ye ) γE . Formal ist also die Interpolation nach dem CDS Verfahren nur erster Ordnung, wobei die zweite Ordnung dann erreicht wird, wenn gilt λ1 = λ2 = 0. Mit dieser Forderung und der Definition der Interpolationsfaktoren 3.8 folgt: 

xP − xe 2

2

(xP − xe ) + (yP − ye ) 

 − cos θ1 

yP − ye 2

2

(xP − xe ) + (yP − ye ) 

 − sin θ1

+

xE − xe

(xE − xe )2 + (yE − ye )2 

 cos θ2

+

yE − ye

(xE − xe )2 + (yE − ye )2 

 sin θ2

= 0,

(3.8)

= 0.

(3.9)

Wie auch Abbildung 3.3 zeigt, sind diese Bedingungen identisch mit der geometrischen Einschr¨ankung, dass die Winkel θ1 und θ2 gleich sein m¨ ussen. Insbesondere f¨ ur Gitter, die komplexe Geometrien abbilden, kann diese Forderung nicht im gesamten Berechnungsgebiet eingehalten werden. Folglich verringert sich in diesen F¨allen die Genauigkeit der Interpolation in Abh¨angigkeit von der Gr¨oße des auftretenden Winkelunterschieds. Zu beachten ist zudem, dass nur f¨ ur θ1 = θ2 die Interpolationsfaktoren der Gleichung γP = 1 − γE folgen. Andernfalls ist diese Beziehung nur ungef¨ahr g¨ ultig. Trotzdem wird sie verwendet, um die Konsistenz der Interpolation (Summe aller Interpolationskoeffizienten gleich 1) zu erhalten, wobei der zus¨atzliche Fehler, der in der Gr¨oßenordnung der anderen Diskretisierungsfehler liegt, akzeptiert wird.

24

3 L¨ osungsmethoden zur Berechnung von Str¨ omungsvorg¨ angen

N e

P

NE

N

E

P

NE

E e

S

SE

S

SE

Abbildung 3.4: Relative Lage des Punktes e zu den benachbarten Berechnungspunkten.

Multidimensionale lineare Interpolation (MuLI)

Eine M¨oglichkeit, die zweite Ordnung der CDS-Interpolation auch auf verzerrten Gittern zu erhalten, ist, eine bi- oder trilineare Interpolation anzuwenden, die die exakten Koordinaten des Punktes e beachtet. Dieser Ansatz hat die Nachteile, dass es zum Einen nicht eindeutig ist, welche der benachbarten Punkte als St¨ utzstellen der Interpolation dienen. Wiederum beschr¨ankt auf zwei Dimensionen kann sich e beispielsweise innerhalb der Punkte E, P , N , N E oder E, P , S, SE befinden, wie Abbildung 3.4 illustriert. Zum Anderen bildet eine bilineare Interpolation große Berechnungsmolek¨ ule, die zu einer Erh¨ohung der Anzahl der Matrixeintr¨age oder, falls diese explizit behandelt werden, zu einer Verringerung der Konvergenzrate f¨ uhren (vgl. dazu Ferziger und Peri´c [25]). Daher wird in dieser Arbeit ein anderer Ansatz verfolgt, der in Lehnh¨auser und Sch¨afer [54] beschrieben ist. Dort ist ebenfalls ein Vergleich mit anderen Vorgehensweisen ¨ahnlichen Ansatzes zu finden.

Betrachtet man die Taylor-Reihen-Entwicklung (3.6) unter Vernachl¨assigung der Terme h¨oherer Ordnung, so erkennt man, dass sie vier Unbekannte enth¨alt. Diese sind der Wert φe und die drei Ableitungen nach den kartesischen Richtungen (∂φ/∂xi )e . Wertet man die Entwicklung f¨ ur mindestens vier Punkte aus, z. B. A = P , E, N und T , so l¨asst sich daraus eine Formel f¨ ur die Bestimmung von φe gewinnen. F¨ ur bestimmte geometrische Konfigurationen ist es jedoch m¨oglich, dass die resultierende Formel keine oder keine eindeutige L¨osung besitzt. Eine Alternative ist, zun¨achst die unbekannten Ableitungen zu bestimmen. Aus Symmetriegr¨ unden werden dazu die Taylor-Reihen-Entwicklungen f¨ ur die Punkte A = P, E, N, S, T, B verwendet. Durch einfache Algebra erh¨alt man somit eine Bestimmungsgleichung f¨ ur die Ableitungen:



∂φ ∂xi

 ≈ e

ψeji j Φ, Je e

i, j = 1, 2, 3

(3.10)

¨ 3.1 Ortliche Diskretisierung

25

mit Φ1e Φ2e Φ3e ψe1i ψe2i ψe3i Je

= = = = = = =

(φE − φP ) , (φN − φS ) , (φT − φB ) , ikl [(xk,N − xk,S ) (xl,T − xl,B )] , ikl [(xk,T − xk,B ) (xl,E − xl,P )] , ikl [(xk,E − xk,P ) (xl,N − xl,S )] , (xi,E − xi,P ) ψe1i .

Dabei entspricht Je dem Volumen, das von den Vektoren, die von P nach E, von S nach N und von B nach T zeigen, aufgespannt wird. Da diese Vektoren f¨ ur ein strukturiertes Gitter niemals aufeinander fallen, ist Je immer verschiedenen von Null und damit die Approximation (3.10) ohne Einschr¨ankungen g¨ ultig. Setzt man diese in die Taylor-Reihe (3.6) f¨ ur A = P ein, erh¨alt man eine Interpolationsformel der Form: φe ≈ γE φE + (1 − γE ) φP + γN S (φN − φS ) + γT B (φT − φB ) .

(3.11)

Die Interpolationsfaktoren sind dabei wie folgt definiert: ((xi )P − (xi )e ) 1i ψe Je ((xi )P − (xi )e ) 2i = ψe Je ((xi )P − (xi )e ) 3i = ψe . Je

γE = γN S γT B

Bei dieser Approximation besteht der Abbruchfehler lediglich aus den vernachl¨assigten Termen h¨oherer Ordnung O(∆x2). Diese enthalten schlechtestenfalls Terme mit quadratischer Abh¨angigkeit von der Gitterweite. Folglich ist die hier vorgestellte Approximation unabh¨angig von der geometrischen Konfiguration der KV immer von 2. Ordnung. Daher wird auf eine eingehende Untersuchung des Approximationsfehlers verzichtet. Upwind Verfahren (UDS) Eine Alternative zu den Verfahren h¨oherer Ordnung bietet das so genannte Upwind-Verfahren (UDS). Dieses weist φe je nach Richtung des Massenflusses entweder den Wert φE oder φP zu: φe = max (0, m) ˙ φP − max (0, −m) ˙ φE .

(3.12)

Grundlage dieser Approximation ist die Annahme, dass eine Gr¨oße φ vorzugsweise in Richtung des herrschenden Massenflusses (konvektiv) transportiert wird. Demnach wird φe am ehesten durch den Werte des stromaufw¨arts liegenden Punktes approximiert. Abbildung 3.5 veranschaulicht den Sachverhalt f¨ ur ein einfaches ein-dimensionales Beispiel. Vorteil des Upwind-Verfahrens gegen¨ uber den beiden anderen Verfahren ist die uneingeschr¨ankte Beschr¨anktheit.Dies bedeutet auch implizit, dass die berechnete L¨osung immer die physikalisch sinnvollen Schranken einh¨alt.

26

3 L¨ osungsmethoden zur Berechnung von Str¨ omungsvorg¨ angen

) m

m

)(x)

)(x)

x P

e

E P

e

E

Abbildung 3.5: Approximation eines Wertes mit Hilfe des Upwind-Verfahrens. Im Allgemeinen erh¨oht sich durch die Verwendung der UDS-Approximation auch die numerische Stabilit¨at des gesamten Verfahrens. Dagegen erreicht das UDS-Approximation nicht die Genauigkeit der Verfahren zweiter Ordnung. Dies wird durch die Analyse der Taylor-Reihe (3.6) f¨ ur die entsprechenden Punkte einsichtig. Offensichtlich ist der f¨ uhrende Fehlerterm erster Ordnung und beinhaltet erste Ableitungen nach den kartesischen Koordinaten. Dieser Term ist von der Art des diffusiven Terms, was ,im Gegensatz zu der physikalischen, zu der so genannten numerischen Diffusion f¨ uhrt. Um die Stabilit¨at des UDS-Verfahrens und die Genauigkeit der Verfahren h¨oherer Ordnung zu kombinieren, benutzt man die Methode der verschobenen Korrektur ( deferred correcti” on“). Diese sieht vor, die implizit behandelten Teile des konvektiven Terms mittels UDS zu behandeln, w¨ahrend die Differenz zwischen dem Approximationsverfahren h¨oherer Ordnung und UDS explizit der Quelle zugeschlagen wird. Im Falle der Konvergenz hebt sich der Einfluss des UDS-Verfahrens auf und das Ergebnis besitzt die Genauigkeit einer reinen CDS oder MuLI-Diskretisierung. Ein Parameter erlaubt auch eine Mischung beider Anteile. Diese Vorgehensweise ist auch als flux blending“ bekannt. Damit ergibt sich der konvektive Term u ¨ber ein ” Ostseite aus:     FeC ≈ m ˙ e βf bφCDS/MuLI + (1 − βf b) φUDS ˙ β φCDS/MuLI − φUDS . (3.13) =m ˙ φUDS + m e e e  e e   e f b e

 implizit

3.1.2

explizit

Berechnung der Ableitungen an den KV-Seiten

Koordinatentransformationverfahren (CTS) Im Allgemeinen liegen die Berechnungspunkte nicht entlang der kartesischen Richtungen, sondern entlang derer eines lokalen Koordinatensystems x¯i . Damit sind die Ableitungen einer Gr¨oße nur nach den lokalen Koordinaten und nicht nach den kartesischen berechenbar. In Abbildung 3.6 ist eine m¨ogliche Lage der Berechnungspunkte an einer Ostseite eines KV mit einem

¨ 3.1 Ortliche Diskretisierung

27 T

x3

TE

K3

x2 x1

N

te NE

K2

P

ne

e

E S

K1

se

be

SE

B BE

Abbildung 3.6: Situation an einer KV-Seite. lokalen Koordinatensystem x¯i = ηi angedeutet. Um den Zusammenhang zwischen den Ableitungen in den jeweiligen Systemen herzustellen, ist eine entsprechende Koordinatentransformation notwendig. Mit den verwendeten Bezeichnungen lautet diese Vorschrift: ∂φ (¯ xj ) ∂φ ∂ x¯j β ij ∂φ = = , ∂xi ∂ x¯j ∂xi J ∂ x¯j

(3.14)

ur die Kofaktoren von ∂xi /∂ x¯j in der Jacobimatrix der Abbildung xi → x¯j steht. wobei β ij f¨ Des Weiteren repr¨asentiert J die Determinante der Jacobimatrix. Wendet man diese Vorschrift auf die Ableitungen am Mittelpunkt der Ostseite an, so erh¨alt man:   ij ψe,CT ∂φ S ≈ Φj , i, j = 1, 2, 3 , (3.15) ∂xi e Je,CT S e,CT S mit Φ1e,CT S Φ2e,CT S Φ3e,CT S 1i ψe,CT S 2i ψe,CT S 3i ψe,CT S Je,CT S

= = = = = = =

k (φE − φP ) , (φne − φse ) , (φte − φbe ) , ikl [(xk,ne − xk,se ) (xl,te − xl,be)] , ikl [(xk,te − xk,be ) (xl,E − xl,P )] , ikl [(xk,E − xk,P ) (xl,ne − xl,se )] , 1i (xi,E − xi,P ) ψe,CT . S

Die Werte von φ an den Punkten ne, se, te, be (zu deren Lage vgl. Abbildung 3.6) werden nicht gespeichert und sind daher aus den benachbarten Berechnungspunkten zu bestimmen.

28

3 L¨ osungsmethoden zur Berechnung von Str¨ omungsvorg¨ angen

N

ne

NE

ne

P

e

E

se

S

se

SE

Abbildung 3.7: Vorgehensweise zur Interpolation der Eckwerte im zwei-dimensionalen Fall

Dazu dient eine bilineare Interpolation, die z. B. f¨ ur den Punkt ne wie folgt ausgef¨ uhrt wird. Zun¨achst interpoliert man zwischen den Punkten P, E und N, N E gem¨aß Vorschrift (3.7). Durch einen zweiten Interpolationsschritt erh¨alt man dann den gesuchten Wert. Allerdings k¨onnen aus Effizienzgr¨ unden die korrekten Interpolationsfaktoren f¨ ur den zweiten Schritt weder gespeichert noch in jeder Iteration neu berechnet werden. Eine Alternative bietet die Verwendung der Faktoren, die zur Interpolation zwischen N und P dienen. Nat¨ urlich weichen diese Faktoren von den exakten ab. Der zus¨atzliche Fehler wird aber im Allgemeinen akzeptiert. Abbildung 3.7 verdeutlicht die Vorgehensweise f¨ ur die Punkte ne und se. Im Allgemeinen drei-dimensionalen Fall gehen folglich 10 Berechnungspunkte in die Approximation des diffusiven Flusses an einer Ostseite ein. Diese sind P , E, N , S, N E, SE, T , B, T E und BE.

Taylor-Reihen basiertes Verfahren (DABT)

Im Zuge der Herleitung der MuLI wurden bereits die Ableitungen von φ an den Kontrollvolumenseiten berechnet und genutzt, um eine Interpolationsformel zu gewinnen. Es liegt daher nahe, ein ¨ahnliches Verfahren zur Approximation der Ableitungen in den diffusiven Fl¨ ussen u ¨ber die KV-Seiten zu w¨ahlen. Im Gegensatz zu dem dortigen Vorgehen sollen hier jedoch diejenigen 10 Punkte in die Approximation eingehen, die auch bei dem CTS-Verfahren zum Einsatz kommen. Das Prinzip der Vorgehensweise bleibt jedoch gleich. Durch geeignete Kombination der entsprechenden Taylorreihen und Elimination der unbekannte Gr¨oße φe erh¨alt man: 

∂φ ∂xi

 ≈ e

ji ψe,DABT Φj , Je,DABT e,DABT

i, j = 1, 2, 3 .

(3.16)

¨ 3.1 Ortliche Diskretisierung

29

Formal entspricht diese Gleichung der Beziehung (3.10), die zur Gewinnung der Interpolationsvorschrift dient. Lediglich die entsprechenden Koeffizienten ¨andern sich wie folgt: Φ1e,DABT Φ2e,DABT Φ3e,DABT 1i ψe,DABT 2i ψe,DABT 3i ψe,DABT Je,DABT

= = = = = = =

(φE − φP ) , (φN − φS + φN E − φSE ) , (φT − φB + φT E − φBE ) , ikl [(xk,N − xk,S + xk,N E − xk,SE ) (xl,T − xl,B + xl,T E − xl,BE )] , ikl [(xk,T − xk,B + xk,T E − xk,BE ) (xl,E − xl,P )] , ikl [(xk,E − xk,P ) (xl,N − xl,S + xl,N E − xl,SE )] , 1i (xi,E − xi,P ) ψe,DABT .

Insbesondere enth¨alt die so gewonnene Formel keine Werte der Funktion φ an den KV-Seiten, sondern nur an den Berechnungspunkten selbst. Daher ist keine weitere Interpolation notwendig, wodurch die Eintragung eines zus¨atzlichen Fehlers verhindert wird. Die gleiche Berechnungsvorschrift wurde bereits von Moulinec und Wesseling [63] eingef¨ uhrt. Obwohl sie einer anderen Herleitung folgten, erhielten sie die gleiche Approximation. Ihre Untersuchungen best¨atigen, dass diese Diskretisierung gegen¨ uber dem CTS-Verfahren eine erh¨ohte Genauigkeit auf verzerrten Gittern besitzt.

3.1.3

Berechnung der Ableitungen an den KV-Zentren

Tauchen in der Quelle Q Ableitungen nach den kartesischen Richtungen auf, m¨ ussen diese gem¨aß der Vorschrift (3.5) am Berechnungspunkt P approximiert werden. Da wieder nicht vorauszusetzen ist, dass die Berechnungspunkte entlang der kartesischen Richtungen liegen, sondern entlang eines lokalen Koordinatensystems, ist wiederum eine Transformation notwendig. Abbildung 3.1 zeigt eine m¨ogliche Lage mit dem lokalen Koordinatensystem ξi . Wendet man die Transformation (3.14) auf die Ableitungen am Berechnungspunkt P an, so erh¨alt man:   ∂φ ψPji j ≈ Φ , i, j = 1, 2, 3 , (3.17) ∂xi P JP P mit Φ1P Φ2P Φ3P ψP1i ψP2i ψP3i JP

= = = = = = =

(φe − φw ) , (φn − φs ) , (φt − φb ) , ikl [(xk,n − xk,s ) (xl,t − xl,b)] , ikl [(xk,t − xk,b ) (xl,e − xl,w )] , ikl [(xk,e − xk,w ) (xl,n − xl,s )] , (xi,e − xi,w ) ψP1i .

Die Werte von φ an den Kontrollvolumenseiten bestimmt man durch eine entsprechende Interpolation. Mit der MuLI steht auch f¨ ur verzerrte Gitterkonfigurationen ein geeignetes Mittel zur Verf¨ ugung, um eine Eintragung von Fehlern niedriger Ordnung zu verhindern. Eine alternative Vorgehensweise ist demnach nicht notwendig.

30

3.2

3 L¨ osungsmethoden zur Berechnung von Str¨ omungsvorg¨ angen

Druckkorrekturverfahren

Die Anwendung der oben beschriebenen Diskretisierung nach der Finiten-Volumen-Methode auf die Navier-Stokesschen-Gleichungen liefert das folgende Gleichungssystem: auPi ui,P +





auCi ui,C = −δV C=NB   m ˙c = 0,

 ∂p + S ui , ∂xi P



(3.18)

bui

(3.19)

c=nb

wobei sich der Quellterm der diskreten Impulsgleichungen bui aus den Volumenkr¨aften S ui und dem Druckterm zusammensetzt. F¨ ur die weiteren Erkl¨arungen ist es sinnvoll, die Ableitungen des Drucks noch nicht durch die entsprechende Approximation zu ersetzen. Im Allgemeinen stellt die Berechnung des Drucks aus den inkompressiblen Navier-Stokes Gleichungen ein Problem dar. Die Impulsgleichungen dienen zur Bestimmung der Geschwindigkeitskomponenten, so dass die Kontinuit¨atsgleichung f¨ ur den Druck genutzt werden muss. Allerdings kommt der Druck in dieser Gleichung gar nicht vor. Diese Tatsache schl¨agt sich auch in der Koeffizientenmatrix des gekoppelten Systems Akop nieder, welche schlecht konditioniert ist und somit schlechte Konvergenzeigenschaften besitzt. Außerdem ist die Speicherung der gesamten Matrix Akop ¨außerst intensiv. Diese Nachteile f¨ uhrten zu der Entwicklung alternativer Vorgehensweisen, z. B. von Druckkorrektur-Verfahren (erstmals vorgestellt von Patankar und Spalding [71]) oder Verfahren mit k¨ unstlicher Kompressibilit¨at (Details hierzu findet man z. B. in Hirsch [40]). In dieser Arbeit findet eine Variante des Druckkorrektur-Verfahrens Anwendung. Prinzipielle Idee dieser Methoden ist, die gekoppelten Gleichungen getrennt in einem iterativen Verfahren zu l¨osen. Dabei bestimmt man zun¨achst aus den Impulsgleichungen die jeweiligen Geschwindigkeitskomponenten. Die daf¨ ur ben¨otigten, aber unbekannten Werte f¨ ur den Druck und den Massenfluss werden gesch¨atzt oder aus der vorhergehenden Iteration u ¨bernommen. Da bei dieser Bestimmung der Geschwindigkeitskomponenten die Kontinuit¨atsgleichung nicht beachtet wird, ist diese im Allgemeinen auch nicht erf¨ ullt. Um die Massenerhaltung zu gew¨ahrleisten, werden Korrekturen unter der Verwendung der Kontinuit¨atsgleichung f¨ ur Druck- und Geschwindigkeitsfeld bestimmt. Da nach der Korrektur der entsprechenden Werte die Impulsgleichungen nicht mehr notwendigerweise erf¨ ullt sind, wird der Ablauf wiederholt, bis das Ergebnis allen Gleichungen mit einer akzeptablen Genauigkeit entspricht. Ohne weitere Vorkehrungen kann es jedoch bei der verwendeten, nicht-versetzten Anordnung der Berechnungspunkte zu unphysikalischen Druckoszillationen in der L¨osung kommen. Das von Rhie und Chow [78] vorgeschlagene Vorgehen der selektiven Interpolation verhindert dies. Gewichtet man zus¨atzlich die f¨ ur die Berechnung der Massenfl¨ usse notwendige Interpolation der Geschwindigkeiten mit einem Druckterm, werden im Laufe der Iterationen auftretende Druckoszillationen effizient ged¨ampft (vgl. hierzu Miller [61] oder Ferziger und Peri´c [25]). Die folgenden Ausf¨ uhrungen skizzieren die im Rahmen dieser Arbeit verwendete Vorgehensweise, wobei an den notwendigen Stellen auch detaillierte Beschreibungen geliefert werden. Mit dem Druckfeld p∗ und den Massenfl¨ ussen m ˙ der vorhergehenden Iteration oder Startl¨osung

31

3.2 Druckkorrekturverfahren

lassen sich aus den diskretisierten Impulsgleichungen (3.18) die vorl¨aufigen Geschwindigkeitskomponenten u∗i bestimmen:  ∗  ∂p auPi u∗i,P + auCi u∗i,C = −δV + S ui . (3.20) ∂xi P C=NB Berechnet man aus diesen Geschwindigkeiten die neuen Massenfl¨ usse m ˙∗u ¨ber alle Seiten eines KV, werden diese nicht die Massenerhaltung erf¨ ullen, sondern eine virtuelle Massenquelle bm ergeben:  m ˙ ∗c = bm . (3.21) c=nb

Subtrahiert man nun die Gleichung (3.21) von (3.19), erh¨alt man eine Formel f¨ ur die Massenflusskorrekturen m ˙
c :  m ˙
c = −bm . (3.22) c=nb

Die Massenflusskorrekturen sind eine Funktion der Geschwindigkeitskorrekturen an den KVSeiten u
i,c , die entsprechend substituiert werden m¨ ussen. Dazu verwendet man die Impulserhaltungsgleichungen. Subtrahiert man Gleichung (3.20) von (3.18), kann man entsprechend umgeformt schreiben:   1  ui
δV ∂p
aC ui,C − ui , (3.23) u
i,P = − ui aP C=NB aP ∂xi P 

 ≈0

 wobei der Summenterm C=NB auCi u
i,C bei dem hier verwendeten SIMPLE -Verfahren wie angedeutet vernachl¨assigt wird. Dies ist gerechtfertigt, da dieser Ausdruck lediglich Korrekturterme enth¨alt, die im Falle der Konvergenz des Verfahrens ohnehin gegen Null tendieren. Die endg¨ ultige L¨osung wird folglich durch diese Vorgehensweise nicht beeinflusst. Durch Anwendung einer ¨ ad¨aquaten Interpolation (CDS oder MuLI, vgl. Abschnitt 3.1.1), die durch einen Uberstrich u ¨ber den entsprechenden Termen gekennzeichnet ist, erh¨alt man:   
 δV ∂p u
i,c = − ui . (3.24) aP c ∂xi c Entsprechend der selektiven Interpolation wird in Gleichung (3.24) nur der Term mit den geometrischen Gr¨oßen interpoliert, w¨ahrend die Ableitung der Druckkorrektur an der Ostseite direkt bestimmbar ist. Damit ergeben sich die Massenflusskorrekturen zu:   
 δV ∂p m ˙
e = ρu
i,eni δSe = − ui ni δSe . (3.25) aP e ∂xi e Eine Besonderheit ist die druckgewichtete Interpolation zur Berechnung der Massenfl¨ usse m ˙ ∗c . Hierzu werden die Geschwindigkeitskomponenten um den Druckterm aus den entsprechenden Impulsgleichungen erweitert:     δV ∂p∗ δV ∂p∗ u∗i,P = u∗i,P − ui + ui . (3.26) aP ∂xi P aP ∂xi P

32

3 L¨ osungsmethoden zur Berechnung von Str¨ omungsvorg¨ angen

Um den Massenfluss u ¨ber die Seiten des KV zu bestimmen, ist wiederum eine Interpolation notwendig, wobei die beiden Druckterme unterschiedlich behandelt werden:    ∗       δV ∂p δV ∂p∗ + . (3.27) u∗i,c = u∗i,P c − auPi c ∂xi c auPi ∂xi P c Schließlich m¨ ussen die Ableitungen von p
bzw. von p∗ in den Gleichungen (3.23) und (3.27) approximiert werden. Dazu bieten sich die in Abschnitt 3.1.2 vorgestellten Verfahren CTS oder DABT an. Damit steht eine Druckkorrekturgleichung in der gew¨ unschten Form  apP p
P + apC p
C = −bm (3.28) C

zur Verf¨ ugung. Die folgenden Abschnitte besch¨aftigen sich eingehender mit der Approximation der Ableitungen von p
mit den Verfahren CTS und DABT und den Auswirkungen auf das entstehende Gleichungssystem, da dies entscheidenden Einfluss auf die Stabilit¨at und die Effizienz des Verfahrens hat. Die Beschreibung der Vorgehensweisen bezieht sich wiederum nur auf eine Ostseite, wobei die anderen Seiten analog behandelt werden. Druckkorrektur-Verfahren mit CTS (SPC) 
 ∂p Verwendet man CTS f¨ ur die Bestimmung von ∂x , erh¨alt man: i e

m ˙
e

=

− (p
E

−

p
P ) ϕ1CT S

−

(p
ne

−

p
se ) ϕ2CT S

− (p
te − p
be ) ϕ3CT S ,

(3.29)

wobei die Faktoren ϕ durch  ϕjCT S =

δV auPi



ji ψe,CT S δSe ni J e,CT S e

definiert sind. Die Werte von p
an den Ecken des KV k¨onnen durch die bilineare Interpolation gewonnen werden, z. B. f¨ ur p
ne und p
se (vgl. Abbildung 3.7): p
ne = (1 − γ1 ) [(1 − γ2 )p
P + γ2 p
E ] + γ1 [(1 − γ3 )p
N + γ3 p
N E ] p
se = (1 − γ4 ) [(1 − γ5 )p
S + γ5 p
SE ] + γ4 [(1 − γ2 )p
P + γ2 p
E ] , mit ad¨aquaten Interpolationsfaktoren γi ∈ [0, 1]. Folglich l¨asst sich auch schreiben: p
ne − p
se = γ1 (1 − γ3 )p
N + γ1 γ3 p
N E −(1 − γ4 )(1 − γ5 )p
S + (1 − γ4 )γ5 p
SE +(1 − γ2 )(1 − γ1 − γ4 )p
P + γ2 (1 − γ1 − γ4 )p
E .

(3.30)

Prinzipiell kann man nun die Koeffizienten apC bestimmen. Allerdings ist es u ¨blich, die Terme, die aus der Nicht-Orthogonalit¨at des Gitters stammen, zu vernachl¨assigen, d. h. alle Anteile, die sich auf die Kantenmittelpunkte eines KV beziehen. Dieses Vorgehen ist wiederum gerechtfertigt, da es sich um Korrekturterme handelt, die im Falle der Konvergenz gegen Null tendieren.

33

3.2 Druckkorrekturverfahren

Im Falle eines orthogonalen Gitters sind diese Kreuzterme nat¨ urlich exakt Null. Ziel dieser Vorgehensweise ist, die Zahl der Diagonalen in der Matrix der Druckkorrektur-Gleichung von 19 auf 7 zu reduzieren, was zum Einen den Speicheraufwand und zum Anderen auch den Rechenaufwand zur Bestimmung der L¨osung stark reduziert. Damit besitzt auch diese Gleichung die selbe Struktur wie die diskretisierten Impulsgleichungen und es lassen sich die gleichen iterativen L¨osungsverfahren verwenden. Außerdem erkennt man an Gleichung (3.31), dass die Beachtung der Kreuzterme unter Umst¨anden einen negativen Beitrag zum Zentralkoeffizienten liefert und damit die Diagonaldominanz der Systemmatrix reduziert. Eine reduzierte Diagonaldominanz hat aber im Allgemeinen eine Verschlechterung der Konvergenzeigenschaften eines iterativen Gleichungsl¨osers zur Folge. Somit ist auch in dieser Hinsicht eine Vernachl¨assigung der Kreuzterme sinnvoll. Folglich haben die Matrixeintr¨age f¨ ur eine Ostseite das Aussehen: aeP = ϕ1CT S ,

aeE = −ϕ1CT S ,

aeN = 0 ,

aeS = 0 ,

aeT = 0 ,

aeB = 0 .

Auf gleiche Weise lassen sich auch die Eintr¨age der anderen Seiten bestimmen. Die endg¨ ultigen Matrixeintr¨age ergeben sich dann aus der Summe der Eintr¨age der einzelnen Seiten. Im Folgenden wird dieser Ansatz als simplified pressure-correction“-Methode (SPC) bezeichnet. ” Diese Bezeichnung r¨ uhrt aus der Vernachl¨assigung der Kreuzterme her. Druckkorrektur-Verfahren mit DABT (FPC) Verwendet man DABT f¨ ur die Approximation der Ableitungen der Druckkorrektur (vgl. auch Lehnh¨auser und Sch¨afer [55]), folgt damit aus Gleichung (3.25): m ˙
e = − (p
E − p
P ) ϕ1DABT − (p
N E − p
SE + p
N − p
S ) ϕ2DABT − (p
T E − p
BE + p
T − p
B ) ϕ3DABT ,

(3.31)

wobei die Faktoren ϕ nun gegeben sind durch:   ji δV ψe,DABT ϕjDABT = δSe ni . ρauPi e Je,DABT Da in Gleichung (3.31) keine Werte von p
an den Kanten auftauchen, ist auch keine weitere Interpolation notwendig, so dass man die Matrixeintr¨age direkt bestimmen kann: aeP aeN aeS aeT aeB

= = = = =

ϕ1DABT , −ϕ2DABT , ϕ2DABT , −ϕ3DABT , ϕ3DABT ,

aeE aeN E aeSE aeT E aeBE

= = = = =

−ϕ1DABT , −ϕ2DABT , ϕ2DABT , −ϕ3DABT , ϕ3DABT .

Im Falle der Approximation der Ableitungen der Druckkorrektur mit DABT beinhalten die Kreuzterme keine Werte an dem Berechnungspunkt P . Die Ber¨ ucksichtigung der Kreuzterme hat also nicht zur Folge, dass der Betrag des Zentralkoeffizienten reduziert wird. Die Diagonaldominanz der L¨osungsmatrix wird also nicht direkt gef¨ahrdet.

34

3 L¨ osungsmethoden zur Berechnung von Str¨ omungsvorg¨ angen

Die Beitr¨age der anderen Seite lassen sich zu Gleichung (3.31) analog bestimmen. Durch die Addition aller jeweiligen Komponenten ergeben sich dann die Gesamteintr¨age der Matrix. Wie im Fall von SPC ist auch hier eine 7-Stern-Diskretisierung w¨ unschenswert. Daher ist es nicht m¨oglich, die Beitr¨age der 12 Ecknachbarn N E, SE, T E, BE, usw. implizit zu behandeln. Es ist auch nicht direkt m¨oglich, sie explizit in den Quellterm aufzunehmen, da keine sinnvollen Werte f¨ ur die Druckkorrektur bei der Aufstellung des Gleichungssystems vorliegen. Wendet man allerdings den Gleichungsl¨oser f¨ ur einige Iterationen an, so k¨onnen die dann vorliegenden Werte dazu verwendet werden, die Beitr¨age der Ecknachbarn explizit zu behandeln. Nach der ¨ entsprechenden Anderung der Quellterme kann der Gleichungsl¨oser erneut angewendet werden. Da die Werte f¨ ur p
bei konvergierendem Verfahren gegen Null streben, ist diese Vorgehensweise gerechtfertigt, d. h. die L¨osung wird nicht beeinflusst. Trotz allem bedeutet auch die explizite Behandlung von Termen eine gewisse Vereinfachung. Allerdings werden im Gegensatz zu SPC keine Terme vernachl¨assigt. Daher ist die Benennung dieses Verfahrens als (semi-)full pressure-correction“-Methode (FPC) gerechtfertigt. ” Betrachtet man sich die resultierenden Koeffizientenmatrizen der Methoden SPC und FPC, so ergeben sich neben Gemeinsamkeiten auch einige Unterschiede. Zun¨achst erh¨alt man sowohl bei SPC als auch bei FPC eine Matrix mit 7 Diagonalen. Ebenfalls ergibt sich in beiden F¨allen der Zentralkoeffizient apP aus der negativen Summe der entsprechenden Nebenkoeffizienten, was in dem Programm zur Einsparung von Rechenzeit genutzt werden kann. Andererseits ist im Fall von SPC gesichert, dass alle Nebendiagonalen negative Eintr¨age besitzen, was bei FPC nicht garantiert ist. Diese Eigenschaft der so genannten M-Matrizen ist jedoch eine Voraussetzung, um iterative Gleichungsl¨oser effizient und stabil anzuwenden. Daher werden im Fall von FPC positive Eintr¨age der Nebendiagonalen vernachl¨assigt und statt dessen zu dem Zentralkoeffizienten addiert. Dieses Vorgehen ist einer Idee aus der Theorie der iterativen Gleichungsl¨oser entlehnt, um das Reihensummen-Kriterium zu erhalten. F¨ ur detaillierte Informationen sei hier auf die einschl¨agige Literatur zu dem Themenkreis der iterativen Gleichungsl¨oser f¨ ur d¨ unn besetzte Matrizen verwiesen, z. B. Saad [79].

3.2.1

Unterrelaxation

Bei der Anwendung eines Druckkorrektur-Verfahrens des SIMPLE-Typs kommt es auf Grund der Vereinfachungen sehr oft zu Instabilit¨aten im Laufe der Iterationen. Man begegnet dem ¨ durch Reduzierung der Anderung der Variablen von einer Iteration zur n¨achsten, der so genannten Unterrelaxation. Die neuen Werte der Geschwindigkeitskomponenten werden dabei nicht ausschließlich aus der Iterationsvorchrift (3.18) berechnet, sondern mit dem Wert der vorhergehenden Iteration vermischt. Mit dem Iterationsz¨ahler k und dem Unterrelaxationsfaktor α ∈ (0, 1) entsteht die Vorschrift:    1 ui k+1 ui uk+1 = α a u + b (3.32) − + (1 − αui ) uki . u i ui i C i,C aP C Durch entsprechende Umstellung von Gleichung (3.32) erh¨alt man: auPi k+1  ui k+1 u + aC ui,C = bui + (1 − αui ) uki . 

 αui i C   ˜bui u

aPi ˜

(3.33)

3.3 Mehrgitter-Verfahren

35

Damit liegt wieder ein Gleichungssystem der Form (3.18) vor, das mit Hilfe eines iterativen Verfahrens gel¨ost werden kann. Vorteil der Anwendung der Unterrelaxation vor der eigentlichen Gleichungsl¨osung ist, dass sich der Zentralkoeffizient auPi durch die Division durch αui < 1 erh¨oht und dadurch die Diagonaldominanz der Matrix vergr¨oßert wird. Eventuell zu l¨osende Transportgleichungen f¨ ur Skalare k¨onnen analog Gleichung (3.33) behandelt werden. Auch im Fall des Drucks ist eine Unterrelaxation notwendig. Da sich dessen neuer Wert aber durch Addition einer Druckkorrektur ergibt, ist die Unterrelaxationsvorschrift in diesem Fall einfacher definiert: pk+1 = pk + αp p
. (3.34)

3.3

Mehrgitter-Verfahren

Durch die oben beschriebene Diskretisierung der Transportgleichungen erh¨alt man ein System linearer Gleichungen der Form: Aφ = b . (3.35) Die Gr¨oße des Systems h¨angt von der Anzahl der Berechnungspunkte ab und kann daher bei komplexen Aufgabenstellungen in der Gr¨oßenordnung von mehreren millionen Eintr¨agen liegen. Daher wird ein Großteil der Zeit einer Berechnung mit der L¨osung der linearen Gleichungssysteme verbracht und nicht bei der Bestimmung der Matrixeintr¨age. Effiziente L¨osungsstrategien sind daher notwendig. Direkte Verfahren wie die Gauß-Elimination scheiden aus, da der Aufwand f¨ ur die L¨osung der hier auftretenden Systeme zu groß ist. Klassische iterative Verfahren eignen sich dagegen eher. Allerdings leiden ihre Konvergenzeigenschaften durch die Verringerung des Gitterabstands. Mehrgitter-Verfahren haben dagegen hervorragende Konvergenzeigenschaften, die im Idealfall unabh¨angig von dem gew¨ahlten Gitterabstand sind. Die Idee des Mehrgitter-Verfahrens beruht auf den Gl¨attungseigenschaften von klassischen iterativen L¨osern. Diese sind in der Lage, Fehleranteile mit einer Wellenl¨ange im Bereich des Gitterabstands, effizient zu reduzieren. Langwellige (bez¨ uglich des Gitterabstands) Fehleranteile werden allerdings nur langsam eliminiert. Folglich erscheint es sinnvoll, zus¨atzlich weitere Gitterebenen mit gr¨oßeren Maschenweiten f¨ ur die L¨osungsfindung zu verwenden. Ein ausf¨ uhrlicher Vergleich mit weiterf¨ uhrenden Erl¨auterungen ist unter anderem in Hackbusch [33], Hackbusch [34] oder Sch¨afer [82] zu finden. Eine Umsetzung des skizzierten Schemas f¨ ur die nichtlinearen Gleichungen in der Str¨omungsmechanik ist das so genannte Full-Approximation-Storage“ (FAS). Nach Anwendung einiger ” Iterationen des SIMPLE-Verfahrens erf¨ ullt jede berechnete Gr¨oße ihre diskretisierte Differentialgleichung bis auf ein Residuum. Bezeichnet ψ den Vektor, der alle gesuchten Gr¨oßen (also die Geschwindigkeiten ui , den Druck p und eine beliebige Anzahl von Skalaren φ) beinhaltet, so l¨asst sich schreiben:   (3.36) Ah ψ˜h = bh − rh . Dabei symbolisiert der Subskript h den Gitterabstand auf dem feinen Gitter, ψ˜ bezeichnet eine vorl¨aufige L¨osung und rh das entsprechende Residuum. Durch Linearisierung von Ah erh¨alt man eine Fehlergleichung, die die Ausgangsbasis f¨ ur das hier verwendete Mehrgitter-Verfahren

36

3 L¨ osungsmethoden zur Berechnung von Str¨ omungsvorg¨ angen

darstellt.

    Ah ψ˜h + eh − Ah ψ˜h = rh .

(3.37)

Mit Hilfe einer entsprechenden Restriktionsvorschrift (hier symbolisiert durch Ih2h ) k¨onnen nun sowohl ψ˜h als auch das Residuum rh auf ein gr¨oberes Gitter transformiert werden. Es ergibt sich das folgende Gleichungssystem:     (3.38) A2h (Ih2hψ˜h + e2h ) − Ah ψ˜h = A2h Ih2h ψ˜h + Ih2h rh . 

 ψ˜2h

Wie auch auf dem feinen Gitter stellt die Gleichung (3.38) ein gekoppeltes System dar. Die Berechnung der Matrix A2h verl¨auft dabei v¨ollig analog zur Bestimmung von Ah , wobei nat¨ urlich die ge¨anderte Definition der KV beachtet werden muss. Da die Kopplung des Gleichungssystems auf dem groben Gitter identisch mit der des Feingittersystems ist, verwendet man zu dessen L¨osung wiederum das oben beschriebene SIMPLE-Verfahren und erh¨alt als Resultat ψ˜2h . Die Differenz zwischen dieser und der restringierten L¨osung ist der gesucht Fehler e2h. Dieser h wird auf das feine Gitter transformiert (unter Verwendung einer Prolongationsvorschrift I2h ) und der vorl¨aufigen L¨osung als Korrektur zugeschlagen: h ψ ∗ = ψ˜ + I2h e2h .

(3.39)

∗

Mit der korrigierten L¨osung ψ beginnt nun wieder das SIMPLE-Verfahren auf dem feinsten Gitter. Der Vorgang wird wiederholt, bis die L¨osung mit der gew¨ unschten Genauigkeit auf dem feinen Gitter vorliegt. Durch rekursive Anwendung der oben beschriebenen Vorschrift k¨onnen beliebig viele Gittervergr¨oberungsstufen in der Prozedur beachten werden. Bei einem V-f¨ormigen Durchlauf der einzelnen Gitterebenen spricht man von einem V-Zyklus (siehe auch Abbildung 3.8). Im Fall von station¨aren Str¨omungen ist das Full Multigrid -Verfahren, wie es in Abbildung 3.8 skizziert ist, einsetzbar. Dabei wird zun¨achst auf dem gr¨obsten Gitter (1. Gitter) eine L¨osung berechnet, die entsprechend interpoliert als Startl¨osung f¨ ur das n¨achst feinere Gitter (2. Gitter) dient. Auf diesem Gitter wird dann ein Mehrgitter-Verfahren mit zwei Ebenen gestartet. Die errechnete L¨osung ist dann die Startl¨osung f¨ ur das 3. Gitter, wo nun ein Mehrgitter-Verfahren mit drei Ebenen angewendet wird. Weitere Gitterebenen werden dann analog eingebunden. Diese Vorgehensweise erm¨oglicht es, dass die Rechenzeit lediglich proportional mit der Anzahl der Berechnungspunkte steigt.

3.3.1

Schrittweitensteuerung

Die Effizienz der oben beschriebenen Mehrgitter-Prozedur ist insbesondere f¨ ur die Berechnung von laminaren Str¨omungen mit oder ohne thermische Effekte gezeigt worden, vgl. u.a. Griebel [30], Durst und Sch¨afer [24] oder Hortmann et al. [41]. Aber auch die RANS-Modelle zur Simulation von turbulenten Str¨omungen k¨onnen in das Verfahren eingebunden werden. Dabei ¨ treten bei der Verwendung der LowRe-Modelle des Ofteren Stabilit¨atsprobleme auf, vgl. u.a. Sch¨afer [81]. Die in dieser Ver¨offentlichung dokumentierten Untersuchungen zeigen, dass die Vernachl¨assigung der Mehrgitter-Korrekturen f¨ ur die turbulente kinetische Energie k und ihre Dissipation ε ( Partial Multigrid“) eine Steigerung der Stabilit¨at nach sich zieht. Allerdings ”

37

3.3 Mehrgitter-Verfahren

3

2

1 − vorläufige Lösung

1

2

3

− konvergierte Lösung

Abbildung 3.8: Schema einer sukzessiven Gitterverfeinerung (links) und prinzipielles Vorgehen bei dem FMG-Verfahren (rechts). sind die erzielten Beschleunigungen gegen¨ uber entsprechenden Eingitter-Rechnungen nicht ganz zufriedenstellend. Es liegt daher nahe, wenigstens einen Bruchteil des Korrektur f¨ ur φ = k bzw. φ = ε zu ber¨ ucksichtigen: (3.40) φk+1 = φk + κ∆φk+1 , wobei φk die aktuelle Feingitterl¨osung und ∆φk+1 die Mehrgitter-Korrektur bezeichnet. κ ist ein zun¨achst frei w¨ahlbarer Faktor (Schrittweite), der ∆φk+1 unter- oder u ¨berrelaxiert. Dabei entspricht κ = 1 dem Standardverfahren und κ = 0 dem Partial Multigrid-Verfahren. uglich der Effizienz des Verfahrens exiZu vermuten ist, dass ein optimaler Wert κ = κopt bez¨ stiert. Dabei ist nicht zu erwarten, dass κopt u ¨ber den Iterationen konstant bleibt. Daher ist eine adaptive Anpassung ohne zus¨atzliche Eingaben des Anwenders w¨ unschenswert (Schrittweitensteuerung). Diese automatische Anpassung erfolgt durch Bestimmung von κ basierend auf der diskretisierten Transportgleichung f¨ ur φ, d. h. Aφ = b, mit der Koeffizientenmatrix A und dem Quellterm b. Wie im vorhergehenden Abschnitt beschrieben, erh¨alt man durch Anwendung einiger SIMPLE-Iterationen eine vorl¨aufige L¨osung φk , die die diskretisierte Gleichung bis auf ein Residuum erf¨ ullt: (3.41) r k = b − Aφk . Geht man davon aus, dass auch die neue L¨osung die im Augenblick vorliegende diskrete Transportgleichung erf¨ ullen muss, so kann man φk+1 in Gleichung (3.41) entsprechend einsetzen. Durch Minimierung der Euklidischen Norm des nun vorliegenden Residuums,   R = ||b − A φk + κ∆φk+1 || → min

⇒

∂R =0, ∂κ

(3.42)

erh¨alt man eine Berechnungsvorschrift f¨ ur κ:  κ=

b − Aφk

T 

A∆φk+1



(A∆φk+1 )T (A∆φk+1 )

.

(3.43)

Diese enth¨alt nur bekannte Gr¨oßen und kann direkt nach jedem V-Zyklus ausgewertet werden. Im Folgenden soll f¨ ur dieses Mehrgitter-Verfahren mit Schrittweitensteuerung f¨ ur die Turbulenzgr¨oßen k und ε die Abk¨ urzung I-FMG (improved FMG) verwendet werden (vgl. auch Lehnh¨auser und Sch¨afer [53]).

38

3.4

3 L¨ osungsmethoden zur Berechnung von Str¨ omungsvorg¨ angen

Adaptive Diskretisierung des Problemgebiets

Die vorangegangenen Abschnitte dieses Kapitels besch¨aftigen sich fast ausschließlich mit der Diskretisierung der Differentialgleichungen, ohne n¨aher auf die Zerlegung des Problemgebiets in die finiten Volumen einzugehen. Die Darstellung der entsprechenden Methodik erfolgt erst an dieser Stelle, da die Vorgehensweise eng mit der hier verwendeten lokalen Gitterverfeinerung zusammenh¨angt. Die Anpassung der Gitterweite an den lokalen Diskretisierungsfehler ist eine M¨oglichkeit, um die ¨ Leistungsf¨ahigkeit eines numerischen Str¨omungsl¨osers zu erh¨ohen. Ublicherweise ist der Diskretisierungsfehler allerdings nicht im Vorhinein bekannt, so dass eine entsprechende Anpassung in der Phase der Gittergenerierung nur empirisch erfolgen kann. Nach der Bestimmung der Str¨omung kann jedoch mit Hilfe von Fehlersch¨atzern der Diskretisierungsfehler aus der diskreten L¨osung approximiert werden. Im Gegensatz zu der Standardverfeinerung wird dann nicht jede Zelle unterteilt, sondern nur diejenigen, die der Fehlersch¨atzer bestimmt. Daraus ergibt sich eine Einsparung von Berechnungspunkten. Ein nahe liegender Schluss ist, dass sich folglich auch die erforderliche Berechnungszeit bei gleicher oder besserer Genauigkeit reduziert. Dies erfordert jedoch, dass der Str¨omungsl¨oser an die lokal verfeinerten Gitter angepasst ist. Insbesondere f¨ ur strukturierte Gitter stellt eine entsprechende Anpassung ein nicht trivial zu l¨osendes Problem dar. Grundlage des hier verwendeten Ansatzes ist die Unterteilung des Problemgebiets in kleinere Einheiten, den so genannten Bl¨ocken. In jedem dieser Bl¨ocke wird ein strukturiertes Gitter erzeugt. Diese Vorgehensweise dient nicht nur der lokalen Gitterverfeinerung, sondern urspr¨ unglich der Verbesserung der Gitterqualit¨at im Vergleich zu einem rein strukturierten Gitter. Ein Beispiel f¨ ur die Diskretisierung eines Gebietes mit strukturierten bzw. block-strukturierten Gittern zeigt Abbildung 3.9. Deutlich ist zu erkennen, dass im block-strukturierten Fall orthogonale Gitter verwendet werden k¨onnen, w¨ahrend mit dem strukturierten Gitter verzerrte Kontrollvolumen auftauchen. Aus dieser Gebietszerlegung folgt auch der Ansatz f¨ ur die Parallelisierung, da die L¨osung f¨ ur jeden Teilbereich auf einem separaten Prozessor berechnet werden kann. Die Blockzerlegung erfordert jedoch eine Kommunikationsstruktur, um Informationen zwischen den Bl¨ocken auszutauschen, da die Teill¨osungen nat¨ urlich nicht unabh¨angig voneinander sind. Geht man zun¨achst davon aus, dass an einer Blockgrenze die Gitterlinien exakt aneinander stoßen, kann man den Datenaustausch durch eine zus¨atzliche Reihe Kontrollvolumen auf jeder Seite der Blockgrenze realisieren. Diese Hilfskontrollvolumen sind Bestandteil des Gitters des jeweiligen Blocks. Damit stehen die in ihnen gespeicherten Informationen den anderen KV des Blocks zur Verf¨ ugung. Die Hilfskontrollvolumen entsprechen dabei jeweils der ersten bzw. letzten Kontrollvolumenreihe des benachbarten Blocks (vgl. Abbildung 3.10). Zu gegebener Zeit werden die ben¨otigten Werte von den regul¨aren Zellen in die jeweilige Hilfszelle kopiert. F¨ ur n¨ahere Informationen sei auf die einschl¨agige Literatur verwiesen, z. B. Sch¨afer [82].

3.4.1

Allgemeine Blockschnittstelle

Obige Ausf¨ uhrungen beziehen sich auf den speziellen Fall, dass die Gitterlinien an Blockgrenzen exakt aufeinander treffen. Diese Forderung ist sehr restriktiv und l¨asst insbesondere nur wenig M¨oglichkeiten zur lokalen Gitterverfeinerung. Keine Einschr¨ankung bez¨ uglich der Anzahl und der Position der Gitterlinien besteht dagegen bei der allgemeinen Blockschnittstelle. Bei

39

3.4 Adaptive Diskretisierung des Problemgebiets

2

1 1

(interne) Blockgrenze

Abbildung 3.9: Diskretisierung eines Problemgebiets mittels eines strukturierten (links) und eines block-strukturierten Gitters (rechts). ihr gilt jedoch, dass die Hilfsvolumen nicht mehr das Element des gegen¨ uberliegenden Blocks repr¨asentieren, da sie ja die logische Fortsetzung des Gitters des zugeh¨origen Blocks sind (vgl. Abbildung 3.11). Folglich kann man die zu u ¨bertragenden Werte nicht einfach kopieren, sondern muss sie vorher entsprechend interpolieren. Hierzu wird der Ansatz von Lange et al. [50] verwendet. Dieser beruht auf der Einf¨ uhrung einer weiteren Reihe Kontrollvolumen, den so genannten virtuellen Kontrollvolumen. Diese ergeben sich aus der Verteilung der Gitterlinien des benachbarten Blocks. Im Speziellen sind diese Zellen so definiert, dass ihr Mittelpunkt genau auf der Verbindungslinie von zwei Zentren der regul¨aren Volumen liegt. Der Datentransfer erfolgt dann durch Interpolation des Wertes auf einen virtuellen Punkt und anschließendem Kopieren auf den entsprechenden Hilfspunkt, wie Abbildung 3.12 illustriert. Die dazu notwendigen Interpolationsfaktoren werden zu Beginn der Berechnung einmal bestimmt und gespeichert. Ein wichtiger Aspekt beim Datentransfer ist die Behandlung des Massenflusses. Da das SIMPLEVerfahren die Kontinuit¨atsgleichung als Kopplungsmechanismus zwischen den Geschwindigkeitskomponenten und dem Druck nutzt, ist es zwingend notwendig, dass die Massenfl¨ usse u ¨ber eine Blockgrenze an beiden Seiten exakt u ¨bereinstimmen. Die verwendete Interpolationsmethode garantiert dies jedoch nicht, so dass eine Korrekturprozedur nach jedem Austausch der Geschwindigkeiten durchlaufen werden muss. Lange et al. [50] berechnen zu diesem Zweck den nach dem Tausch resultierenden Gesamtmassenfluss getrennt u ¨ber beide beteiligte BlockoBlockgrenze

Datenaustausch

1

2

reguläres KV

1

2

1

2 Hilfs−KV

Datenaustausch

2

1

Abbildung 3.10: Vorgehensweise bei dem Datenaustausch zwischen zwei aneinandergrenzenden Bl¨ocken mit aufeinander treffenden Gitterlinien.

40

3 L¨ osungsmethoden zur Berechnung von Str¨ omungsvorg¨ angen Blockgrenze

reguläres KV

1

2

1

2 Hilfs−KV

Abbildung 3.11: Hilfskontrollvolumen bei Bl¨ocken mit nicht aufeinander treffenden Gitterlinien (allgemeine Blockschnittstelle). berfl¨achen, um mit der Differenz zwischen beiden den Massenfluss jedes KV einer Seite anteilig zu korrigieren. Zwar garantiert dieses Verfahren, dass das Kontinuit¨atsprinzip u ¨ber die gesamte Blockgrenze erf¨ ullt ist, jedoch nicht, dass es lokal f¨ ur jedes beteiligte KV gilt. Um diese potentielle Quelle von Genauigkeitsverlusten zu untersuchen, kommt daher eine weitere Korrekturmethode zum Einsatz, die restriktiver ist. Sie stellt sicher, dass der Massenfluss, der in ein KV auf der einen Seite der Blockgrenze einstr¨omt, gleich der Summe der Massenfl¨ usse ist, die die direkt benach¨ barten KV des anderen Blocks verlassen. Uberlappen sich die Kontrollvolumen nur teilweise, ¨ wird der Massenfluss entsprechend dem Uberlappungsverh¨ altnis aufgeteilt. Um die gr¨oßtm¨ogliche Genauigkeit zu erlangen, dienen die Massenfl¨ usse des Gitters mit der h¨oheren Aufl¨osung als Grundlage f¨ ur die Korrektur der Fl¨ usse der KV der anderen Seite. Dazu wird, bevor die eigentliche Berechnung beginnt, festgestellt, welcher Block die h¨ohere ¨ortliche Aufl¨osung besitzt, z. B. Block 1 in Abbildung 3.13. Jedes Randkontrollvolumen dieses Blocks wird dann auf ¨ Uberlappung mit jedem der entsprechenden KV des anderen Blocks untersucht. Dazu berechnet man die Vektoren f1 , f2 , g1 , und g2 mit den kartesischen Koordinaten der Eckpunkte. Zeigt der k¨ urzere der beiden Vektoren g1 und g2 in die Richtung von f2 , u ¨berlappen sich die untersuchten KV, andernfalls nicht. Im ersteren Fall wird die identifizierende Nummer der Feingitterzelle ¨ gespeichert, ebenso wie der Uberlappungsfaktor r, der sich berechnet aus: r=

min(|g1 |, |g2 |) . |f1 |

(3.44)

In gewissen F¨allen, z. B. f¨ ur KV F II in Abbildung 3.13, ergibt Gleichung (3.44) einen ung¨ ultigen ¨ Uberlappungsfaktor von r > 1. Aus der gleichen Abbildung wird aber auch ersichtlich, dass es in diesen F¨allen gerechtfertigt ist, r = 1 zu setzen, da der gesamte Massenfluss aus der Feingitterzelle in die Grobgitterzelle fließen muss. Schließlich wird auch die Anzahl nn der u ur jede Grobgitterzelle gespeichert. ¨berlappenden Feingitterzellen f¨ Soll w¨ahrend der Berechnungsphase ein Austausch der Massenstr¨ome durchgef¨ uhrt werden, berechnet man den Massenfluss u ˙ c aus ¨ber die Oberfl¨ache einer Zelle auf der Grobgitterseite m denen der zugeh¨origen Feingitterzellen m ˙ f des benachbarten Blocks: m ˙c=

nn  i=1

rim ˙ if .

(3.45)

41

3.4 Adaptive Diskretisierung des Problemgebiets 1

2

Blockgrenze reguläre KV Hilfs−KV virtuelle KV

Abbildung 3.12: Interpolation und Transfer beim Datenaustausch an einer allgemeinen Blockschnittstelle. 1

2 j

(x,y)2 F III i

CI

FI 1

(x,y) j−1 2

g

(x,y) i−1 1

f1

g

2

FI

(x,y)1

CI

f2

F II

Blockgrenze

Abbildung 3.13: Geometrische Konfiguration an einer Blockgrenze mit den f¨ur die Bestim¨ mung des Uberlappungsverh¨ altnisses ben¨otigten Abst¨ande. Es ist eindeutig, dass der numerische Aufwand f¨ ur diese Methode h¨oher ist als der f¨ ur die von Lange et al. [50] vorgeschlagene. Unabh¨angig von der gew¨ahlten Vorgehensweise endet die Massenflusskorrektur u ¨ber Blockgrenzen mit einer Korrektur der zugrundeliegenden Geschwindigkeitskomponenten, um die Methode konsistent zu halten.

3.4.2

Adaptivit¨ at

Unter Verwendung der allgemeinen Blockschnittstelle ist der Gitterabstand innerhalb eines Blocks frei w¨ahlbar, d. h. er ist unabh¨angig von dem Gitterabstand des benachbarten Blocks. Dies erlaubt eine lokale Gitterverfeinerung auf Basis der gegebenen Blockstruktur. Im Gegensatz zu Methoden, die die Verfeinerung zellenweise interpretieren, bleibt in jedem Block das strukturierte Gitter erhalten. Wesentlicher Vorteil dieser Vorgehensweise ist, dass die effizienten L¨osungsverfahren f¨ ur strukturierte Gitter weiterhin verwendet werden k¨onnen. Dem gegen¨ uber steht der Nachteil, dass die damit m¨ogliche Gitterverfeinerung nur bereichsweise ausf¨ uhrbar ist und nicht lokal im engsten Sinne, wie es z. B. unstrukturierte Gitter erlauben w¨ urden.

42

3 L¨ osungsmethoden zur Berechnung von Str¨ omungsvorg¨ angen

Die Adaptivit¨at erh¨alt man durch die Kombination der Methode der Gitterverfeinerung mit geeigneten Verfeinerungskriterien. Dazu dienen in der vorliegenden Arbeit drei verschiedene a posteriori Fehlerindikatoren, die in dem folgenden Abschnitt beschrieben sind. Verfeinerungskriterien Die Verfeinerungskriterien liefern die Basis f¨ ur die Entscheidung, welche Bereiche des Gitters verfeinert werden sollen und welche nicht. Daher sind sie ein wesentlicher Bestandteil dieser adaptiven Prozedur. A posteriori Fehlersch¨atzer approximieren auf Grund der diskreten L¨osung den Diskretisierungsfehler f¨ ur jedes KV und eignen sich somit als Verfeinerungskriterium. Man unterscheidet prinzipiell zwischen Fehlerestimatoren und Fehlerindikatoren, wobei erstere einer fundierten mathematischen Theorie entstammen und zweitere empirischer Natur sind. Fehlerestimatoren beruhen oft auf dem Hintergrund einer Finite-Element-Diskretisierung und sind daher in diesem Kontext nur bedingt einsetzbar. Dagegen sind die empirischen Fehlerindikatoren ohne großen Aufwand zu berechnen und liefern f¨ ur viele Anwendungsf¨alle ausreichend genaue Informationen u ¨ber die Fehlerverteilung. Wie sp¨ater noch erl¨autert, trifft dies insbesondere auf den hier untersuchten Fall der blockbasierten Verfeinerung zu. Drei Fehlerindikatoren gehen in die Untersuchung ein, wobei einer die Ver¨anderung einer Variablen u ¨ber dem KV ber¨ ucksichtigt. Die anderen beiden beruhen auf dem Vergleich von L¨osungen verschiedener Genauigkeit, die zum Einen durch Anwendung verschiedener ¨ortlicher Aufl¨osung und zum Anderen durch Methoden verschiedener Ordnung erzielt werden. Sprung-Indikator Einer der einfachsten Indikatoren ist der maximale Sprung einer Gr¨oße φ in der Richtung des lokalen Koordinatensystems ξi u ¨ber einem Berechnungselement (vgl. Abbildung 3.1):  φ = max (|∆ξi φ|) = max (|φe − φw | , |φn − φs | , |φt − φb |) . E j i=1,2,3

(3.46)

 φ ist ¨aquivalent zu dem Produkt aus der lokalen Steigung von φ und der Gitterweite h der E j entsprechenden Gitterzelle:       φ ∼ max h  ∂φ  . E j  ∂xi  i=1,2 Folglich charakterisiert der Wert des Indikators die G¨ ute der Aufl¨osung eines Gradienten durch die Anzahl an Berechnungspunkten. Er basiert damit auf der einsichtigen Beobachtung, dass große Gradienten nur durch viele Punkte korrekt beschrieben werden k¨onnen, w¨ahrend Gebiete, ¨ in denen nur wenige Anderungen der Variablen φ stattfinden, durch eine geringe Anzahl an Punkten ausreichend genau aufgel¨ost werden. Zwei-Gitter-Indikator Dieser Indikator beruht auf dem Vergleich von Ergebnissen zweier verschieden feiner Gitter. Motiviert wird dieser Ansatz durch die im vorliegenden Fall quadratische Reduzierung des Diskretisierungsfehlers bei Verkleinerung der Gitterweite. Damit liefert ein feineres Gitter ein genaueres Ergebnis als ein gr¨oberes. Das Resultat kann dann als Referenz f¨ ur einen Vergleich dienen. Streng genommen muss also f¨ ur die Approximation des Diskretisierungsfehlers auf der Gitterebene k auch die L¨osung auf einem feineren Gitter k + 1 berechnet werden. Auf Grund der Steigerung der Anzahl der Berechnungspunkte um einen Faktor acht im

43

3.4 Adaptive Diskretisierung des Problemgebiets

Se \

P

'

I

I

P

de E I

E

'

e

P

I

E

Abbildung 3.14: Rekonstruktion der ein-dimensionalen Verteilung von φ. drei-dimensionalen Fall bei Halbierung jeder Zelle in jeder Richtung bedeutet dies aber einen sehr großen Aufwand f¨ ur die Sch¨atzung des Fehlers auf der Gitterebene k. Einen vern¨ unftigen Kompromiss f¨ ur die Bestimmung des entsprechenden Fehlers stellt der Vergleich der Ergebnisse des Gitters k und der gr¨oberen Ebene k − 1 dar. Die L¨osung des gr¨oberen Gitters φk−1 wird k dann mittels bilinearer Interpolation (Interpolationsoperator Ik−1 ) auf die Knoten des feinen Gitters u uhrt. Daher kann man schreiben: ¨berf¨  φ = φk − I k φk−1 . E 2g k−1

(3.47)

τ -Fehler-Indikator Der dritte Indikator basiert auf einer Rekonstruktion h¨oherer Ordnung der Variablen φ. Mit ihr lassen sich dann neue konvektive und diffusive Fl¨ usse u ¨ber die Seiten eines jeden KV errechnen. Ein Vergleich mit Fl¨ ussen, die sich aus der Diskretisierung ergeben,  φ. f¨ uhrt dann auf den so genannten τ -Fehler-Indikator E τ Eine Beschreibung der Vorgehensweise erfolgt nur f¨ ur die Ostseite eines KV, da die anderen Seiten vollkommen analog behandelt werden k¨onnen. Mit den Werten f¨ ur φ und dem entsprechenden Gradienten ∇φ an den Berechnungspunkten E und P sind die Faktoren eines Polynoms dritter Ordnung bestimmbar.  φ(ψ) = c0 + c1 ψ + c2 ψ 2 + c3 ψ 3 .

(3.48)

Damit ist es m¨oglich, die Werte f¨ ur φ und seiner Ableitung in Richtung von ψ am Punkt e zu berechnen.   = c0 + c1 ψe + c2 ψe2 + c3 ψe3 , φ e   ∂ φ = c1 + 2c2 ψe + 3c3 ψe2 . ∂ψ e

Mit diesen Werten kann man die Fl¨ usse u ur jede konservative Str¨omungs¨ber die Ostseite des KV f¨ gr¨oße bestimmen: ˙ e ≈ ρ ( m ui )e ni δSe ,

(3.49)

˙ e φe , FeC ≈ m   ∂ φ (di )e (Si )e D  Fe ≈ µ , ∂ψ (di )e (di )e

(3.50)

e

(3.51)

44

3 L¨ osungsmethoden zur Berechnung von Str¨ omungsvorg¨ angen

wobei (di )e die Komponente eines Vektors bezeichnet, der von P nach E zeigt. Entspricht die Richtung dieses Vektors nicht der Fl¨achennormalen ni , repr¨asentiert FeD lediglich die Komponente des diffusiven Flusses in ψ-Richtung. Diese Vereinfachung reduziert den Aufwand f¨ ur die Berechnung des Fehlerindikators erheblich. Summiert man die Differenzen zwischen FeC und FeD und den Fl¨ ussen, die der Diskretisierung D entstammen (FeC und Fe ψ , diffusiver Fluss in Richtung von ψ) u ¨ber die KV-Fl¨achen c = φ e, w, n, s, erh¨alt man den Indikator E τ      D φ = E FcC − FcC + FcD − Fc ψ . (3.52) τ c

Skalierung der Indikatoren Die Str¨omungsgeschwindigkeiten in wandnahen Bereichen sind auf Grund der Haftungsbedingung sehr klein. Folglich nehmen auch die oben beschriebenen  φ auf den Indikatoren kleine Werte in diesem Bereich an. Eine Skalierung der Indikatoren E absoluten Wert φ an der jeweilige Stelle ist daher sinnvoll. Eφ =

φ E , |φ| + ε

(3.53)

wobei ε eine kleine, positive Konstante bezeichnet, z. B. ε = 0.01 φmax . In diesem Zusammenhang ist φmax der maximal auftretende Wert von φ im gesamten Str¨omungsbereich. Eine weitere Skalierung ist angebracht, um einen f¨ ur alle Indikatoren einheitlichen Wert f¨ ur das Verfeinerungskriterium angeben zu k¨onnen. Andernfalls wird der Absolutwert der einzelnen Indikatoren wegen ihrer unterschiedlichen Natur stark voneinander abweichen. In dieser Arbeit soll daher eine Skalierung auf den maximalen Wert des Indikators u ¨ber dem gesamten Gebiet auf dem gr¨obsten Gitter angewendet werden: Eφ =

Eφ φ Emax

.

(3.54)

Ein dritter Aspekt, der beachtet werden sollte, ist, dass die separate Anwendung der beschriebenen Indikatoren auf jede Komponente der Geschwindigkeit u = u1 und v = u2 eine starke Abh¨angigkeit des berechneten Fehlers von dem gegebenen Str¨omungsproblem nach sich ziehen k¨onnte. Alternativ kann auch eine Kombination der entsprechenden Fehlersch¨atzer angewendet werden: √ E uv = E u E u + E v E v . (3.55)

3.4.3

Globale Strategie zur adaptiven Gitterverfeinerung

Abbildung 3.15 zeigt schematisch den Ablauf des hier verwendeten Ansatzes zur adaptiven Gitterverfeinerung. Zun¨achst wird ein erstes Gitter mit der vom Benutzer definierten Blockstruktur generiert. Nach der Berechnung der Str¨omung approximiert der gew¨ahlte Sch¨atzer den Diskretisierungsfehler f¨ ur jedes KV. Falls der maximale Wert des Indikators u ¨ber das gesamte Gebiet kleiner als die geforderte Schranke oder die Anzahl der KV gr¨oßer als eine definierte Maximalzahl ist, wird der Zyklus gestoppt. Andernfalls findet ein Vergleich des maximalen Werts des Indikators u ¨ber einen Block statt, um die zu verfeinernden Regionen zu bestimmen. Die

45

3.4 Adaptive Diskretisierung des Problemgebiets

Start

Gittergenerierung Einlesen der vorherigen Lösung Strömungs− berechnung Schreiben der aktuellen Lösung

Redefinition der Blöcke Fehlerschätzung nein

nein #CV > #CVmax

Ja

E < E thresh für alle Blöcke

Ja

Stop

Abbildung 3.15: Ablaufdiagramm der Prozedur f¨ur die adaptive Gitterverfeinerung. Verfeinerung wird durch Verdoppeln der Anzahl der Berechnungspunkte in jede Dimension verwirklicht. Unter Umst¨anden f¨ uhrt diese Vorgehensweise dazu, dass aneinandergrenzende Bl¨ocke stark unterschiedliche Gitterabst¨ande aufweisen. Teilt man den gr¨oßeren durch den kleineren Gitterabstand, erh¨alt man das Verfeinerungsverh¨altnis χ, durch welches die interne Blockgrenze charakterisiert wird. Abbildung 3.16 zeigt die KV an einer Blockgrenze f¨ ur drei verschiedene ganzzahlige Werte χ = 2, 4, 8. Hier sei angemerkt, dass χ nicht auf ganzzahlige Werte beschr¨ankt ist, da die allgemeine Blockschnittstelle beliebige Verh¨altnisse erlaubt. Beginnt man jedoch den Verfeinerungszyklus mit einem Gitter mit aufeinander treffenden Gitterlinien, kann χ lediglich die ganzzahligen Werte χ = 1, 2, 4, 8, 16, .. annehmen. Um seinen Einfluss auf die Genauigkeit des Str¨omungsl¨osers zu untersuchen, wird das Verfeinerungsverh¨altnis χ auf drei verschiedene Maximalwerte beschr¨ankt (χmax = 2, 4, 8). Dies erreicht man, indem χ ≤ χmax in einer Schleife u uft wird. Schl¨agt dieser Test f¨ ur eine ¨ber alle internen Blockgrenzen u ¨berpr¨ Blockgrenze fehl, wird der Block mit dem gr¨oberen Gitter verfeinert. Dies a¨ndert m¨oglicher¨ weise das Verfeinerungsverh¨altnis f¨ ur andere Blockgrenzen, so dass die Uberpr¨ ufung wiederholt ullt ist. werden muss, bis χ ≤ χmax in allen F¨allen erf¨ Nachdem das Gitter damit neu definiert ist, beginnt der Zyklus mit der Gittergenerierung von neuem. Ab der zweiten Schleife ist es dann m¨oglich, das Ergebnis der Str¨omungssimulation der

46

3 L¨ osungsmethoden zur Berechnung von Str¨ omungsvorg¨ angen

Blockgrenze

Blockgrenze

Blockgrenze

Abbildung 3.16: Verfeinerungsverh¨altnis χ = 2, 4, 8 an Blockgrenzen. ¨ vorhergehenden Iteration als Startl¨osung f¨ ur die aktuelle Berechnung einzulesen. Der Ubergang vom groben zum feinen Gitter in den entsprechenden Bl¨ocken wird dabei durch eine bilineare Interpolation realisiert. Ein Nachteil der beschriebenen Vorgehensweise ist, dass die anf¨angliche vom Benutzer gew¨ahlte Blockstruktur w¨ahrend des gesamten Verfeinerungsprozesses beibehalten wird. Um aber eine sinnvolle Verfeinerung zu erhalten, ist es notwendig, dass die Blockstruktur in gewisser Weise der Str¨omung angepasst ist; d. h. Regionen mit stark unterschiedlichen Diskretisierungsfehlern m¨ ussen unterschiedlichen Bl¨ocken angeh¨oren. Dies setzt voraus, dass ein Nutzer die in der Str¨omung auftretenden Ph¨anomene und deren R¨ uckwirkung auf den Diskretisierungsfehler zumindest ansatzweise kennt und dieses Wissen in die Generierung der Blockstruktur einfließen l¨asst. Allerdings ist nicht auszuschließen, dass der Verfeinerungszyklus verlassen werden muss, um die Blockstruktur manuell anzupassen.

3.5

Zusammenfassung der vorgestellten Methoden

Mit den verschiedenen vorgestellten Diskretisierungsmethoden und L¨osungsverfahren ist man in der Lage, die kontinuierlichen Transportgleichungen zur Beschreibung von Str¨omungen Newtonscher Fluide in eine jeweilige diskrete Form zu u uhren und sie anschließend iterativ zu ¨berf¨ l¨osen. Neben den Standardmethoden liegen nun auch weitere, speziell auf komplexe Gitterkonfigurationen abgestimmte Verfahren vor. Hinsichtlich der Verwendung des Str¨omungsl¨osers im Umfeld eines Gestaltsoptimierungsprozesses, in dem unter Umst¨anden extreme Konfigurationen auftauchen, zielen die Verbesserungen sowohl auf die numerische Genauigkeit als auch auf die numerische Effizienz und Stabilit¨at der Verfahren hin. Diese Eigenschaften sind essentiell, um einen Optimierungsprozess u ¨berhaupt sinnvoll anzuwenden. Zum Einen ist eine gleichbleibend hohe numerische Genauigkeit notwendig, um dem Optimierungsalgorithmus korrekte“ Infor” mationen u ¨ber den herrschenden Systemzustand bei beliebigen Geometrie- und/oder Gitterkonfigurationen zu liefern. Zus¨atzlich kann nur bei ausreichender Stabilit¨at f¨ ur jeden Gestaltsvorschlag ein Ergebnis berechnet werden. Zum Anderen ist die Effizienz des Str¨omungsl¨osers ein Aspekt, der die ben¨otigte Gesamtzeit der Optimierung bestimmt. Da der Optimierungszyklus iterativ abl¨auft, d. h. viele verschiedene Konfigurationen berechnet werden m¨ ussen, f¨allt dieser Aspekt um so mehr ins Gewicht. Selbst geringe Steigerungen der Effizienz machen sich dann bemerkbar. Die im folgenden Kapitel 4 pr¨asentierten Untersuchungen quantifizieren die Verbesserungen der neu vorgestellten Methoden und zeigen damit ihre Eignung insbesondere f¨ ur einen Einsatz in dem Umfeld der Optimierung.

47

3.5 Zusammenfassung der vorgestellten Methoden

Initialisierung

SIMPLEŦVerfahren

MehrgitterŦVerfahren

FMGŦVerfahren

Berechne P t

Aufstellen ui ŦGleichung

Lösen

Aufstellen p ŦGleichung

Lösen

Korrigieren von ui und p

Datentransfer

k=k+1

Aufstellen Skalargleichungen Lösen

Konvergenz ?

k = kmax ? Datenausgabe

Abbildung 3.17: Vorgehensweise bei Verwendung eines Druckkorrektur-Verfahrens f¨ur station¨are Problemstellungen. Abschließend gibt Abbildung 3.17 eine schematische Zusammenfassung der Vorgehensweise f¨ ur station¨are Problemstellungen. In aller Regel beginnt die Berechnung auf der gr¨obsten Gitterebene k = 1. Da keine gr¨oberen Gitterebenen zur Verf¨ ugung stehen, kommt zur Berechnung der L¨osung das Druckkorrektur-Verfahren ohne Mehrgitter-Beschleunigung zum Einsatz. Nach Erreichen der Konvergenz auf dieser Ebene werden die Ergebnisse auf das n¨achst feinere Gitter k+1 u ¨bertragen und dort als Startl¨osung verwendet. Dann kann unter Verwendung der Gitterebene k = 1 das Druckkorrektur-Verfahren in einer Mehrgitter-Version angewendet werden. Dieser Zyklus wird bis zum feinsten Gitter kmax durchgef¨ uhrt.

48

3 L¨ osungsmethoden zur Berechnung von Str¨ omungsvorg¨ angen

49

Kapitel 4 Analyse der Methoden zur Berechnung von Str¨ omungsvorg¨ angen Einige der in Kapitel 3 vorgestellten numerischen Methoden f¨ ur komplexe Gitterkonfigurationen sind ein Ergebnis der vorliegenden Arbeit. Eine Verifikation bzw. Analyse der Leistungsf¨ahigkeit dieser Neuentwicklungen ist daher notwendig. Insbesondere der Vergleich zu den bereits existierenden Methoden soll dabei in den Vordergrund gestellt werden. An dieser Stelle sei noch einmal erw¨ahnt, dass im Folgenden ausschließlich zwei-dimensionale Str¨omungen betrachtet werden, obwohl sich die Herleitung der Methoden auf den allgemeinen drei-dimensionalen Fall bezog. Wie bereits ausf¨ uhrlich in dem einleitenden Kapitel 1 beschrieben, begr¨ undet sich diese Beschr¨ankung aus der Forderung nach kurzen Antwortzeiten f¨ ur den Optimierungsprozess, insbesondere in der Phase der Entwicklung und Untersuchung der Gesamtmethode. In Abschnitt 4.2 wird die Genauigkeit der Methoden zur Interpolation und zur Bestimmung der Ableitungen an den KV-Seiten untersucht. Dabei konkurrieren die Standardmethoden CDS bzw. CTS mit den beiden Neuentwicklungen MuLI und DABT, wobei die Verfahren nicht einzeln, sondern in der jeweiligen Kombination untersucht werden. Ein besonderer Schwerpunkt bildet hier das Verhalten auf verzerrten Gittern, da im orthogonalen Fall die jeweiligen Verfahren identisch sind. Neben zwei akademischen Testf¨allen, f¨ ur die analytische L¨osungen der Navier-Stokesschen-Gleichungen vorliegen, wird auch eine praktische Anwendung betrachtet. Abschnitt 4.3 widmet sich der Untersuchung der vorgestellten Druckkorrektur-Verfahren SPC und FPC. Das Augenmerk liegt hier auf der Analyse der Effizienz und der Stabilit¨at bei Gittern mit verzerrten Kontrollvolumen. Insbesondere in Verbindung mit der Variation der L¨osungsgenauigkeit der Druckkorrektur-Gleichung in jeder SIMPLE-Iteration ergeben sich neue Aspekte zur Steigerung der Stabilit¨at solcher Verfahren auf verzerrten Gitterkonfigurationen. Wiederum soll zun¨achst anhand eines akademischen Falles die Leistungsf¨ahigkeit der Ans¨atze untersucht werden, um dann eine komplexere Anwendung zu betrachten. Abschnitt 4.4 stellt die Untersuchungen bez¨ uglich der Effizienz und der Stabilit¨at des MehrgitterVerfahrens bei der Berechnung von turbulenten Str¨omungen vor. Insbesondere auf die Anwendung der LowRe-Modelle, bei denen auf Grund der Aufl¨osung der Grenzschicht große Seitenverh¨altnisse der KV auftreten, wird detailliert anhand zweier Beispiele eingegangen, um die Vorteile des I-FMG-Verfahrens herauszuarbeiten.

50

4.1

4 Analyse der Methoden zur Berechnung von Str¨ omungsvorg¨ angen

Bewertungskriterien

Um die Genauigkeit der Berechnungsergebnisse zu quantifizieren, sind entsprechende Bewertungskriterien notwendig. Deren Definition ist abh¨angig von der jeweils betrachteten Gr¨oße. Im Fall einer integralen Gr¨oße, wie z. B. Widerstandsbeiwert, Druckverlust etc., werden die relativen Fehler herangezogen: φref − φnum Eφ = , (4.1) φref wobei φnum f¨ ur den durch die numerische Simulation erhaltenen Wert steht. φref bezeichnet den jeweiligen Referenzwert, der sich aus einer vorliegenden analytischen L¨osung oder aus dem gitterunabh¨angigen Resultat (vgl. Gleichung (4.5)) ergibt. Betrachtet man dagegen die prim¨aren Variablen ui und p, die lokal f¨ ur jeden Berechnungspunkt vorliegen, wird der relative Fehler zus¨atzlich u ¨ber alle KV volumengewichtet summiert: Eφ =

1  φref − φnum δV , δΓ φref

(4.2)

KV

wobei δV das Volumen des zugeh¨origen KV und δΓ das des gesamten Problemgebiets repr¨asentiert. Die Ordnung der asymptotischen Konvergenz bestimmt man dann entweder aus:   Eφ2h / log 2 , (4.3) p = log Eφh falls der Bestimmung ein Fehler Eφ zu Grunde liegt, oder aus  4h  φ − φ2h p = log / log 2 , φ2h − φh

(4.4)

falls die Gr¨oße φ selbst betrachtet wird. Dabei bezeichnen 4h, 2h, h drei sukzessiv verfeinerte Gitter. Die oben erw¨ahnte gitterunabh¨angige L¨osung φGUL ergibt sich dann mit der Konvergenzordnung p zu: φGUL = φh +

4.2 4.2.1

φ2h − φh . 1 − 2p

(4.5)

Analyse der Diskretisierungsmethoden Konvektive Staupunktstr¨ omung

F¨ ur eine erste Untersuchung der Genauigkeit der vorgestellten Diskretisierungsmethoden dient zun¨achst ein einfacher Testfall. Dieser stellt die konvektive Staupunktstr¨omung auf einem Einheitsquadrat xi ∈ [0, 1] (vgl. u.a. Peri´c [72]) dar. Dieser Fall ist f¨ ur eine Analyse der Genauigkeit der Diskretisierung besonders geeignet, da f¨ ur ihn eine analytische L¨osung der Navier-StokesGleichungen vorliegt:  ρ 2 (4.6) x + x22 , u2 = x 2 , p(x1 , x2 ) = p0 − u1 = x 1 , 2 1

4.2 Analyse der Diskretisierungsmethoden

51

Abbildung 4.1: Verteilung der Isobaren und Verlauf der Stromlinien gem¨aß der analytischen L¨osung f¨ur die konvektive Staupunktstr¨omung. wobei p0 den Referenzdruck am Stagnationspunkt (x1 , x2 ) = (0, 0) bezeichnet. Abbildung 4.1 verdeutlicht die Verteilung der Isobaren und den Verlauf der Stromlinien. Besonders sei darauf hingewiesen, dass die Isobaren durch eine Kreisgleichung um den Stagnationspunkt beschrieben werden. F¨ ur die numerischen Experimente dienen drei verschiedene Arten von Gittern, die in Abbildung 4.2 dargestellt sind (vgl. wiederum Peri´c [72]). Das Erste ist ein kartesisches Gitter, welches die nahe liegende Wahl f¨ ur die Diskretisierung des Einheitsquadrats darstellt. Das zweite Gitter ¨ beinhaltet starke Anderungen der Gitterlinienrichtungen. Diese Art der Verzerrung wird u ¨blicherweise in jedem strukturierten Gitter in mehr oder weniger ausgepr¨agter Weise benutzt, um komplexe Geometrien zu approximieren. Das dritte Gitter ist aus einem kartesischen Netz durch ¨ Uberlagerung mit einer zuf¨alligen St¨orung entstanden. Offensichtlich erf¨ ullt nur das kartesische Gitter die Bedingung f¨ ur die zweite Ordnung der CDS Interpolation, w¨ahrend bei den anderen beiden Gitter dies nicht der Fall ist. In jedem Fall liegen den Berechnungen drei sukzessiv verfeinerte Gitter mit 10 × 10, 20 × 20 und 40 × 40 KV zu Grunde. Die folgenden Abbildungen verdeutlichen qualitativ die Genauigkeit der jeweils verwendeten Diskretisierung durch Darstellung der Isobaren auf den drei sukzessiv verfeinerten Gittern. Abbildung 4.3 zeigt die Isobaren f¨ ur das orthogonale Gitter I unter Verwendung von CDS/CTS. Offensichtlich approximiert das Ergebnis die analytische L¨osung sehr gut. Die alternative Diskretisierung mit MuLI/DABT ist f¨ ur diese Gitterkonfiguration identisch mit CDS/CTS, so dass auch die gleiche L¨osung berechnet wird. Daher sei auf eine gesonderte Darstellung dieser Ergebnisse verzichtet. Die Situation ¨andert sich bei der Betrachtung der verzerrten Gitter II und III. Abbildung 4.4 zeigt die Ergebnisse, die unter der Verwendung von CDS/CTS auf Gitter II erzielt wurden. Deutlich ist die Abweichung von der analytischen L¨osung im Bereich der abknickenden Gitter-

52

4 Analyse der Methoden zur Berechnung von Str¨ omungsvorg¨ angen

Abbildung 4.2: Uniformes kartesisches Gitter I (links), systematisch verzerrtes Gitter II (mitte) und zuf¨allig verzerrtes Gitter III (rechts) f¨ur das Problem der Staupunktstr¨omung. linien zu erkennen. Auch die Verfeinerung des Gitters bringt keine augenscheinliche Verbesserung, auch wenn der Bereich, in dem sich die St¨orung auswirkt, verkleinert wird. Dies r¨ uhrt jedoch aus der Tatsache heraus, dass sich die Abweichung nur in den direkt an die Gitterdeformation angrenzenden KV bemerkbar macht. Da diese bei der Gitterverfeinerung verkleinert werden, reduziert sich folglich auch der Bereich der St¨orung. Der maximale Wert der Abweichung bleibt davon jedoch unber¨ uhrt. Dagegen zeigt Abbildung 4.5 die ebenfalls auf Gitter II berechnete L¨osung bei Verwendung der MuLI/DABT Approximation. Die Isobaren zeigen keine Abweichung von der analytischen L¨osung. Da auch im Bereich der abknickenden Gitterlinien keine Beeinflussung des Ergebnisses erkennbar ist, zeigt dies, dass diese Diskretisierung die Gitterunregelm¨aßigkeiten kompensiert. Um die Genauigkeit der untersuchten Diskretisierungsverfahren zu quantifizieren, sind in den Tabellen 4.1 und 4.2 die mittleren relativen Fehler f¨ ur die Geschwindigkeiten und den Druck f¨ ur die Gitter I und II mit verschiedenen ¨ortlichen Aufl¨osungen gegen¨ ubergestellt. Die Fehler auf dem kartesischen Gitter unter Verwendung von CDS/CTS sind bereits auf dem gr¨obsten Netz sehr klein und werden bei der Gitterverfeinerung stark reduziert. Dagegen zeigt diese Verfahrenskombination seine Nachteile bei dem verzerrten Gitter II, insbesondere hinsichtlich des Drucks, wie der relative Fehler von 90% zeigt. Die Geschwindigkeiten werden dagegen relativ gut vorausgesagt, obwohl der Fehler um mehrere Gr¨oßenordnungen h¨oher liegt als im kartesischen Fall. Dagegen sind die Gr¨oßenordnungen der Fehler bei Verwendung des Verfahren MuLI/DABT f¨ ur das orthogonale und das verzerrte Gitter gleich, was unterstreicht, dass diese Diskretisierung die hier untersuchte Klasse von Gitterverzerrungen vollst¨andig kompensiert. Dieser positive Effekt spiegelt sich auch in den Konvergenzordnungen wieder. Durch die lineare Verteilung der Geschwindigkeiten ist der Fehlerterm in der Impulserhaltungsgleichung von dritter Ordnung. Daher ist eine Ordnung von drei f¨ ur die Geschwindigkeiten und zwei f¨ ur den Druck zu erwarten, obwohl das verwendete Verfahren nur eine globale Ordnung von zwei besitzt. Im Falle des kartesischen Gitters erh¨alt man nahezu die vorhergesagten Konvergenzordnungen f¨ ur Geschwindigkeit und Druck. Mit der Verwendung des verzerrten Gitters stellt sich dagegen eine starke Reduzierung der Ordnung ein, wobei besonders der Druck davon betroffen ist, der nahezu u ¨berhaupt nicht asymptotisch konvergiert. Wie erwartet, bleibt dagegen die Ordnung bei dem MuLI/DABT Verfahren auch auf dem verzerrten Gitter II erhalten. Insgesamt f¨allt auf,

4.2 Analyse der Diskretisierungsmethoden

53

Abbildung 4.3: Isobaren f¨ur die Stagnationsstr¨omung auf drei sukzessiv verfeinerten Gittern (kartesisches Gitter I) berechnet mit CDS/CTS Diskretisierung.

Abbildung 4.4: Isobaren f¨ur die Stagnationsstr¨omung auf drei sukzessiv verfeinerten Gittern (verzerrtes Gitter II) berechnet mit CDS Interpolation.

Abbildung 4.5: Isobaren f¨ur die Stagnationsstr¨omung auf drei sukzessiv verfeinerten Gittern (verzerrtes Gitter II) berechnet mit MuLI Interpolation.

54

4 Analyse der Methoden zur Berechnung von Str¨ omungsvorg¨ angen

KVs 10×10 20×20 40×40 80×80 160×160 Ordnung

CDS/CTS Gitter I Gitter II 2.0·10−4 1.9·10−2 2.5·10−5 6.3·10−3 3.1·10−6 2.1·10−3 4.0·10−7 6.5·10−4 6.4·10−8 2.1·10−4 2.6 1.6

MuLI/DABT Gitter II 4.6·10−4 5.4·10−5 6.6·10−6 8.6·10−7 1.2·10−7 2.8

Tabelle 4.1: Relativer Fehler der u-Geschwindigkeitskomponente Eu erhalten mit den vorgestellten Interpolationsmethoden auf den Gittern I und II (in Prozent) und der Konvergenzordnung f¨ur die Staupunktstr¨omung. KV 10×10 20×20 40×40 80×80 160×160 Ordnung

CDS/CTS Gitter I Gitter II 1.1·10−1 1.1·100 3.0·10−2 9.9·10−1 8.1·10−3 9.4·10−1 2.2·10−3 9.1·10−1 6.0·10−4 9.0·10−1 1.9 0.0

MuLI/DABT Gitter II 6.5·10−2 2.9·10−2 6.2·10−3 1.7·10−3 4.9·10−4 1.8

Tabelle 4.2: Relativer Fehler des Drucks Ep erhalten mit den vorgestellten Interpolationsmethoden auf den Gittern I und II (in Prozent) und der Konvergenzordnung f¨ur die Staupunktstr¨omung. dass bei Verwendung von CDS/CTS vor allem die Genauigkeit des berechneten Drucks unter der Gitterverzerrung leidet. Dagegen werden die Geschwindigkeiten weit geringer beeinflusst. Folglich zeigt sich die Erh¨ohung der Genauigkeit durch MuLI/DABT beim Druckfeld besonders deutlich. Um die gewonnen Ergebnisse zu verallgemeinern, dient das zuf¨allig verzerrte Gitter III als Grundlage der Berechnung der Staupunktstr¨omung. Da die gewonnenen Ergebnisse keine grundlegend neuen Erkenntnisse bringen, zeigt Abbildung 4.6 nur eine kurze Auswahl der Resultate. Die dargestellten Isobaren, berechnet auf einem Gitter mit 40 × 40 KV, best¨atigen, dass MuLI/DABT auch die zuf¨allig auftretenden Gitterverzerrungen kompensiert, w¨ahrend CDS/CTS deutlich unter ihren Einschr¨ankungen leidet.

4.2.2

Kanalstr¨ omung

Um die Untersuchung der Genauigkeit der Interpolationsverfahren zu vertiefen, dient als zweiter Testfall eine laminare Poisseuille-Str¨omung in einem ebenen Kanal. Dieses Str¨omungsproblem besitzt wiederum eine analytische L¨osung:  y y umax u(y) = 4 · umax 1 − , v = 0, p(x) = p0 − 8µ 2 x , (4.7) H H H

55

4.2 Analyse der Diskretisierungsmethoden

Abbildung 4.6: Isobaren f¨ur die Staupunktstr¨omung auf dem zuf¨allig verzerrten Gitter III berechnet mit CDS bzw. MuLI.

θ = 14◦

θ = 26◦

θ = 36.5◦

Abbildung 4.7: Systematisch verzerrte Gitter f¨ur das Kanalstr¨omungsproblem. wobei H die Kanalh¨ohe, umax die maximale Geschwindigkeit und p0 eine beliebige Konstante bezeichnen. Die Parameter des Problems sind so gew¨ahlt, dass eine Reynoldszahl Re = 200 basierend auf der Kanalh¨ohe erreicht wird. Die nahe liegende Diskretisierung des Gebietes ist wiederum ein kartesisches Gitter. Dieses Ausgangsgitter wird f¨ ur die folgenden Untersuchungen dann systematisch verzerrt (vgl. Abbildung 4.7), um die Abh¨angigkeit der Genauigkeit der Diskretisierungsmethoden von dem Grad der Gitterverzerrung zu dokumentieren. Die erzeugte Gitterverzerrung ist durch die maximale Abweichung der Gitterlinien in Str¨omungsrichtung von der horizontalen gekennzeichnet. Bei den untersuchten F¨allen ergeben sich Winkel von θ = 14◦ , 26◦ , 36.5◦ , wobei θ = 0◦ das kartesische Gitter beschreibt. Die Abbildungen 4.8 und 4.9 zeigen den relativen Fehler des Drucks und der u-Geschwindigkeit u ur die vorgestellten verzerrten ¨ber dem auf die Kanall¨ange normierten Abstand vom Einstrom f¨ Gitter und die Diskretisierungsmethoden CDS/CTS und MuLI/DABT. Das verwendete Gitter besitzt 160×80 KV. Der Ausschnitt zeigt den Bereich der ersten Abweichung der Gitterlinien ¨ von der Horizontalen an der Stelle l=0.25 L. Der Ubersichtlichkeit halber sind nur die Werte entlang der Horizontalen bei y = 0.75H aufgetragen. Verwendet man CDS/CTS, f¨allt der abrupte Anstieg des Fehlers im Bereich der Gitterverzerrung auf. Dies gilt sowohl f¨ ur die Geschwindigkeit als auch den Druck, wobei die Abweichung f¨ ur letzteren sehr viel h¨oher ist. Diese Erkenntnis korrespondiert mit den Aussagen bei der Staupunktstr¨omung. Des Weiteren erh¨oht sich der Fehler mit st¨arkerer Gitterverzerrung, was zu erwarten war. Allerdings zeigt sich hier, dass selbst kleine Winkel (z. B. θ = 14◦ ) schon

56

4 Analyse der Methoden zur Berechnung von Str¨ omungsvorg¨ angen Gitterverzerrung

Relativer Fehler des relativen Drucks

0.10 CDS, 14 Grad CDS, 26 Grad CDS, 36.5 Grad TBI, 14 Grad TBI, 26 Grad TBI, 36.5 Grad

0.08

0.06

0.04

0.02

0.00 0.22

0.23

0.24

0.25

0.26

0.27

0.28

Relativer Abstand vom Einstrom

Abbildung 4.8: Lokaler relativer Fehler des relativen Drucks u¨ber dem auf die Kanall¨ange normierten Abstand vom Einstrom auf einem Gitter mit 160×80 KV. bemerkenswerte Fehler nach sich ziehen. Dagegen verhindert die Verwendung von MuLI/DABT die großen Amplituden des Fehlers, wie beiden Abbildungen zu entnehmen ist. Insbesondere der Druck wird im Vergleich zu CDS/CTS sehr gut vorausgesagt. Die Geschwindigkeitsverteilung offenbart noch immer bemerkbare Fehleranteile. Allerdings bleibt der extreme Anstieg vor der Gitterverzerrung aus. Zudem ist keine eindeutige Abh¨angigkeit des Fehlers von dem Grad der Verzerrung zu erkennen. Im Fall der maximalen Verzerrung θ = 36.5◦ kann der Fehler durch Verwendung von MuLI/DABT im Vergleich zu der Standarddiskretisierung um den Faktor 10 reduziert werden. Tabelle 4.3 res¨ umiert schließlich die globalen Fehler der u-Geschwindigkeit f¨ ur die beiden Diskretisierungsverfahren auf verschiedenen Gitterweiten. Zus¨atzlich ist wieder die Konvergenzordnung angegeben. Bei Verwendung von CDS/CTS weicht die Konvergenzordnung mit steigender Gitterverzerrung immer weiter von dem optimalen Wert 2 ab, w¨ahrend dieser bei MuLI/DABT unabh¨angig vom Gitter immer erreicht wird. Zwar steigt auch bei dem MuLI/DABT Verfahren der Fehler mit der Gitterverzerrung, allerdings liegt er immer deutlich unterhalb dem der CDS/CTS Methode. Dieser Unterschied vergr¨oßert sich zudem noch bei entsprechender Gitterverfeinerung auf Grund der reduzierten Ordnung im Fall von CDS/CTS. Als Folge erreicht man mit MuLI/DABT bei dem Winkel von θ = 36.5◦ auf dem Gitter mit 80 × 40 KV bereits die gleiche Genauigkeit wie mit CDS/CTS auf dem vergleichsweise feineren Gitter mit 160 × 80 KV.

4.2.3

Umstr¨ omung eines KFZ-Modells

Wie die vorangegangenen Untersuchungen gezeigt haben, ist MuLI/DABT den Standarddiskretisierungsmethoden f¨ ur akademische Testf¨alle u ¨berlegen. Um die praktische Relevanz zu

57

4.2 Analyse der Diskretisierungsmethoden

Relativer Fehler der u−Geschwindigkeit

Gitterverzerrung 0.0020

0.0015

0.0010

0.0005

0.0000 0.22

0.23

0.24

0.25

0.26

0.27

0.28

Normierter Abstand vom Einstrom

Abbildung 4.9: Lokaler relativer Fehler der u-Komponente der Geschwindigkeit u¨ber dem auf die Kanall¨ange normierten Abstand vom Einstrom auf einem Gitter mit 160×80 KV (Symbole wie in Abbildung 4.8). KV 40×20 80×40 160×80 Ord.

θ =14◦ CDS MuLI 7.8·10−2 5.7·10−2 2.1·10−2 1.5·10−2 6.2·10−3 3.7·10−3 1.8 2.0

θ =26◦ CDS MuLI 1.5·10−1 7.8·10−2 4.5·10−2 2.0·10−2 1.6·10−2 5.0·10−3 1.5 2.0

θ =36.5◦ CDS MuLI 2.5·10−1 1.1·10−1 7.4·10−2 2.7·10−2 2.7·10−2 6.9·10−3 1.4 2.0

Tabelle 4.3: Relativer Fehler der Geschwindigkeit (in Prozent) und Konvergenzordnungen mit beiden Interpolationen auf systematisch verzerrten Gittern f¨ur das Kanalstr¨omungsproblem. u ufen, wird die Str¨omung um das Modell eines KFZ-K¨orpers betrachtet. Diese Untersu¨berpr¨ chung stellt die str¨omungsmechanische Vermessung eines solchen Modells in einem Windkanal nach. Eine ausf¨ uhrliche Beschreibung und Ergebnisse der experimentellen Untersuchung sind in Angelis [6] zu finden. Die Problemgeometrie ist in Abbildung 4.10 skizziert. Am Einstrom sind die im Experiment bestimmten Gr¨oßen f¨ ur Geschwindigkeit, turbulente Energie und ihre Dissipation vorgegeben, wobei die mittlere Geschwindigkeit hier umax = 15 m/s betr¨agt. F¨ ur den Boden und den KFZK¨orper wird eine Haftbedingung (Wand), f¨ ur den Ausstrom eine Null-Gradienten Bedingung und den oberen Rand eine Symmetriebedingung verwendet. Mit den Fluideigenschaften von Luft ergibt sich damit eine Reynoldszahl von Re = 338 000 basierend auf der L¨ange des KFZ von l = 0.297 m. Die Effekte der Turbulenz werden durch das k--Modells mit Wandfunktionen angen¨ahert. Abbildung 4.11 gibt einen Eindruck der Stromlinien im Bereich um das KFZ. Den numerischen Untersuchungen liegen drei sukzessiv verfeinerte Gitter mit 2 774, 11 096 und

58

4 Analyse der Methoden zur Berechnung von Str¨ omungsvorg¨ angen

Ausstrom

Einstrom

800

Symmetrie

81

297

Haftung 2100

Abbildung 4.10: Problemgeometrie f¨ur die turbulente Umstr¨omung des KFZ-K¨orpers (alle L¨angen in Millimeter).

Abbildung 4.11: Stromlinien f¨ur die turbulente Umstr¨omung des KFZ-K¨orpers. 44 384 KV zu Grunde. Abbildung 4.12 zeigt das gr¨obste dieser Gitter im kritischen Bereich nahe der K¨orperoberfl¨ache. Es f¨allt auf, dass nur moderate Winkel zwischen Gitterlinien auftreten. Um auch den Einfluss der Diskretisierung des konvektiven Flusses f¨ ur eine konvektionsdominierte Str¨omung n¨aher zu beleuchten, werden hier zwei flux-blending Koeffizienten betrachtet. Mit βf b = 0.0 kommt ausschließlich die Upwind-Approximation zum Einsatz, d. h. weder CDS noch MuLI werden f¨ ur die Diskretisierung des konvektiven Flusses verwendet, zum Anderen βf b = 0.9, was eine Diskretisierung des konvektiven Flusses nahe zweiter Ordnung liefert, wobei entweder CDS oder MuLI verwendet werden. H¨ohere Werte f¨ ur βf b liefern f¨ ur keine der beiden Interpolationsmethoden einen konvergierenden Algorithmus. Es sei hier angemerkt, dass die Wahl des Koeffizienten βf b nicht die Diskretisierung des diffusiven Terms und des Massenflusses beeinflusst, d. h. auch f¨ ur βf b = 0.0 muss weiterhin zwischen den Diskretisierungsvarianten CDS/CTS und MuLI/DABT unterschieden werden. Die Abbildungen in 4.13 zeigen die Verteilung der berechneten Isobaren an der R¨ uckseite des KFZ, jeweils f¨ ur CDS/CTS und MuLI/DABT mit βf b = 0.9. Den Berechnungen liegt das feinste Gitter zu Grunde. Obwohl die Gitterqualit¨at relativ gut ist, zeigen sich auch in diesem Fall lokale, unphysikalische St¨orungen des Drucks bei Verwendung von CDS/CTS, w¨ahrend diese bei MuLI/DABT nicht auftreten. Global allerdings sind kaum augenscheinliche Unterschiede zwischen beiden berechneten Verteilungen auszumachen. Jedoch werden wichtige Kennwerte, ¨ wie zum Beispiel der Widerstandsbeiwert, selbst durch geringe Anderungen des Druckfelds

4.2 Analyse der Diskretisierungsmethoden

59

Abbildung 4.12: Ausschnitt des numerischen Gitters f¨ur die turbulente Umstr¨omung des KFZK¨orpers.

Abbildung 4.13: Isobaren an der R¨uckseite des KFZ berechnet mit βf b = 0.9 (CDS (links) und MuLI (rechts)). merklich beeinflusst. Dar¨ uber gibt Tabelle 4.4 Auskunft, in der der Widerstandsbeiwert f¨ ur die verschiedenen Parameterkombinationen zusammengefasst ist. Wiederum sind die Konvergenzordnungen und die gitterunabh¨angigen L¨osungen erw¨ahnt. Die auftretenden Fehler in Bezug auf die gitterunabh¨angige L¨osung sind zudem in Abbildung 4.14 u ¨ber der Anzahl der KV aufgetragen. F¨ ur βf b = 0.0 liegt die Konvergenzordnung f¨ ur beide Interpolationsmethoden nahe an eins. W¨ahrend die beiden gitterunabh¨angigen L¨osungen sich nur wenig unterscheiden, ist die Differenz auf den einzelnen Gitterebenen gr¨oßer. Dies liegt an der geringf¨ ugig h¨oheren Konvergenzordnung im Fall von MuLI/DABT, was sich durch die Diskretisierung des diffusiven Terms mit DABT an Stelle von CTS erkl¨art. Verwendet man MuLI/DABT bei βf b = 0.9, erh¨alt man eine Konvergenzordnung nahe zwei, w¨ahrend CDS/CTS wiederum aufgrund der Gitterverzer-

60

4 Analyse der Methoden zur Berechnung von Str¨ omungsvorg¨ angen

βf b = 0.0 MuLI/DABT CDS/CTS 0.5944 0.6212 0.4920 0.5149 0.4480 0.4642 0.4148 0.4179 1.2186 1.0681

KV 2774 11096 44384 GUL Ordnung

βf b = 0.9 MuLI/DABT CDS/CTS 0.4773 0.4868 0.4148 0.4280 0.3972 0.4093 0.3903 0.4006 1.8283 1.6528

Relativer Fehler von cw

Tabelle 4.4: Widerstandsbeiwert, gitterunabh¨angige L¨osung (GUL) und Konvergenzordnungen f¨ur Berechnungen der Str¨omung um einen KFZ-K¨orper mit MuLI/DABT und CDS/CTS und zwei verschiedenen flux-blending-Koeffizienten.

10

10

−1

−2

TBI, FBC=0.9 CDS, FBC=0.9 TBI, FBC=0.0 CDS, FBC=0.0

2774

11096

44384

Anzahl der KV

Abbildung 4.14: Relativer Fehler des Widerstandsbeiwerts cw bezogen auf die entsprechende gitterunabh¨angige L¨osung berechnet mit den beiden Diskretisierungsmethoden und zwei flux-blending-Koeffizienten. rung einen deutlich niedrigeren Wert liefert. Auch die gitterunabh¨angigen L¨osungen weichen um mehrere Prozente voneinander ab. Es zeigt sich also auch f¨ ur dieses praxisnahe Beispiel, dass die Verwendung von MuLI/DABT im Vergleich zu CDS/DABT eine h¨ohere Genauigkeit liefert. Neben dem reduzierten Diskretisierungsfehler ist jedoch auch der numerische Mehraufwand zu beachten, mit dem die gesteigerte Genauigkeit erreicht wird. Eine allgemein g¨ ultige Aussage zu dem Verh¨altnis der Gesamtrechenzeiten mit der jeweiligen Kombination von Diskretisierungsmethoden ist jedoch kaum zu treffen. Dies begr¨ undet sich daraus, dass zum Einen die Anzahl der Rechenoperationen pro Auswertung der Approximation mit MuLI oder DABT gegen¨ uber CDS oder CTS ansteigt. Zum Anderen reduziert sich aber f¨ ur das Beispiel der KFZ-Umstr¨omung die bis zur Konvergenz ben¨otigte Anzahl an SIMPLE-Iterationen bei Verwendung von MuLI/DABT. Es ist aber anzunehmen,

61

4.3 Analyse der Druckkorrektur-Verfahren

KV 2774 11096 44384

CDS/CTS 2.0130·10−1 7.3840·10−1 2.9191·100

MuLI/DABT 2.1742·10−1 8.0643·10−1 3.1939·100

Faktor 1.08 1.09 1.09

Tabelle 4.5: CPU-Zeit f¨ur einen Druckkorrektur-Zyklus f¨ur die beiden Interpolationsmethoden in Sekunden auf einer SUN ULTRA/1 Workstation. dass die Reduktion der SIMPLE-Iterationen nicht allgemein gilt, sondern abh¨angig von dem jeweiligen Fall ist. Auch eine Erh¨ohung der Anzahl der ¨außeren Iterationen ist nicht auszuschließen. Um aber dennoch eine Aussage u uber ¨ ber den Mehraufwand von MuLI/DABT gegen¨ CDS/CTS zu liefern, zeigt Tabelle 4.5 die Berechnungszeit eines Druckkorrektur-Zyklus f¨ ur beide Diskretisierungsmethoden. Folglich geht nur der Einfluss der Erh¨ohung der Rechenoperationen in diesen Vergleich ein. Offensichtlich steigt die ben¨otigte CPU-Zeit dabei um ca. 10 Prozent an. Ob diese Erh¨ohung der Rechenzeit im Vergleich zu dem Gewinn an Genauigkeit akzeptabel ist, muss nat¨ urlich f¨ ur jeden Anwendungsfall einzeln abgesch¨atzt werden. Abschließend sei angemerkt, dass auch der Speicheraufwand ansteigt, da f¨ ur die Interpolation mit MuLI zus¨atzliche Interpolationsfaktoren gespeichert werden. Im Vergleich zu CDS betr¨agt dieser Mehraufwand ca. 10 Prozent.

4.3

Analyse der Druckkorrektur-Verfahren

4.3.1

Deckelgetriebene Str¨ omung in einem Beh¨ alter

F¨ ur eine grundlegende Untersuchung der beiden vorgestellten Druckkorrektur-Verfahren bez¨ uglich Effizienz und Stabilit¨at dient der Testfall einer zwei-dimensionalen, deckelgetriebenen Str¨omung in einem Beh¨alter. Um den Einfluss der Gitterverzerrung deutlich hervorzuheben, werden vier verschiedene geometrische Konfigurationen untersucht, die in Abbildung 4.15 zu sehen sind. Konfiguration I ist durch den Winkel θ = 90◦ zwischen dem Boden und den Seitenw¨anden gekennzeichnet. Das angedeutete Gitter l¨asst erkennen, dass bei dieser Konfiguration alle KV orthogonal sind. Bei den Konfigurationen II und III ist ein Teil der linken Seitenwand um 30◦ auf einer L¨ange von 0.1H bzw. 0.5H geneigt. Damit besteht das Gitter nicht ausschließlich aus orthogonalen Zellen, sondern zu einem gewissen Teil aus verzerrten KV. Bei der Konfiguration IV sind beide Seitenw¨ande vollst¨andig um 30◦ geneigt. Das Gitter enth¨alt somit ausschließlich verzerrte Zellen. Die Parameter sind f¨ ur jede Konfiguration so gew¨ahlt, dass die Reynoldszahl Re = ρuL/µ = 100 betr¨agt. Die ¨ortliche Diskretisierung besteht jeweils aus drei sukzessiv verfeinerten Gittern mit 10 × 10 KV auf dem gr¨obsten und 40 × 40 KV auf dem feinsten. Dieser Testfall wurde bereits in anderen Ver¨offentlichungen behandelt, z. B. Peri´c [73] oder Cho et al. [16]. Die folgenden Untersuchungen zeigen, wie die Stabilit¨at des SPC Verfahrens durch verzerrte KV beeintr¨achtigt wird. Im Allgemeinen steuert man dem durch eine konservativere Wahl der ¨ Unterrelaxationsparameter entgegen, d. h. durch Begrenzung der Anderung der Berechnungsgr¨oßen von einer Iteration zu n¨achsten wird der Destabilisierung entgegen gewirkt. Dies f¨ uhrt andererseits aber auch zu einer Vergr¨oßerung der Berechnungszeiten. Gelingt es dagegen die

62

4 Analyse der Methoden zur Berechnung von Str¨ omungsvorg¨ angen U

U

H 90

H

o

0.1 H

30

o

L

L

I

II U

U

H

H 0.5 H 30

o

30

L

III

o

L

IV

Abbildung 4.15: Geometrische Konfigurationen f¨ur die deckelgetriebene Str¨omung in einem Beh¨alter mit angedeutetem Gitter f¨ur die Untersuchung der Druckkorrekturverfahren. Konfiguration I: 90◦ -Beh¨alter; Konfiguration II: 30◦ -Beh¨alter (10 %); Konfiguration III: 30◦ Beh¨alter (50 %); Konfiguration IV: 30◦ -Beh¨alter. Destabilisierung mit dem FPC-Verfahren einzuschr¨anken, k¨onnen relativ hohe Unterrelaxationsparameter verwendet und damit eventuell Berechnungszeit gespart werden. Daher zeigt die in Abschnitt 4.3.1 pr¨asentierte Untersuchung den Einfluss der Unterrelaxationsparameter auf die Stabilit¨at der beiden Druckkorrekturverfahren. Dabei wird die Berechnung der Druckkorrektur gestoppt, wenn entweder die Summe der absoluten Residuen um einen Faktor von 5 gefallen ist oder die Anzahl an SIP-Iterationen 20 u ur diese ¨bersteigt. Speziell f¨ Untersuchung gilt jedoch, dass das Genauigkeitskriterium nie erreicht wird und somit in jeder SIMPLE Iteration genau 24 innere Iterationen durchgef¨ uhrt werden. In Abschnitt 4.3.1 wird ein weiterer, wesentlicher Aspekt untersucht, der zur Effizienz und Stabilit¨at der Druckkorrektur-Verfahren beitr¨agt. Dies ist das Abbruchkriterium, bei der die L¨osung der Druckkorrektur-Gleichung in jeder SIMPLE-Iteration abgebrochen wird. Im Gegensatz zu der Untersuchung im Abschnitt 4.3.1 wird hier gefordert, dass die Summe der absoluten Residuen um einen gewissen Prozentsatz fallen muss, ohne die Anzahl an SIP-Iterationen zu begrenzen. Dagegen ist die L¨osungsgenauigkeit der Impulsgleichungen von untergeordneter Bedeutung. Daher wird in jeder der folgenden Untersuchungen der iterative L¨oser zweimal auf die Impuls-

4.3 Analyse der Druckkorrektur-Verfahren

63

gleichungen angewendet, ohne die erreichte Genauigkeit zu u ufen. ¨berpr¨ Untersuchung der Unterrelaxationsparameter Im Rahmen dieser grundlegenden Untersuchung bezieht sich das erste numerische Experiment ur den sowohl SPC als auch FPC die gleiche Berechnungsvorschrift auf den 90◦ -Beh¨alter, f¨ liefern. Das verwendete Gitter ist orthogonal und ¨aquidistant in beide Raumrichtungen. Daher ist zu erwarten, dass das L¨osungsverfahren besser hinsichtlich Effizienz und Robustheit funktioniert als f¨ ur andere Konfigurationen. Das Bild oben links in Abbildung 4.16 zeigt den Bereich von Kombinationen der Unterrelaxationsparameter f¨ ur die Geschwindigkeiten αu,v und den Druck αp , die zu einem konvergierenden SIMPLE-Verfahren f¨ uhren. Offensichtlich k¨onnen auch Kombinationen von relativ hohen Werten verwendet werden. Die weiteren Bilder in der Abbildung 4.16 zeigen, dass sich der Konvergenzbereich f¨ ur SPC immer weiter verkleinert je gr¨oßer der Anteil der verzerrten KV wird. Dagegen bleibt dieser Bereich bei Verwendung von FPC nahezu konstant. Auch im Vergleich zu dem 90◦ -Beh¨alter ist der Konvergenzbereich unver¨andert. Dies unterstreicht, dass FPC in der Lage ist, die Kreuzableitungen der Druckkorrekturgleichung korrekt zu behandeln. Um die Effizienz beider Methoden zu analysieren, ist es notwendig, neben dem Konvergenzbereich auch die Abh¨angigkeit der Anzahl der SIMPLE-Iterationen und die verbrauchte CPUZeit von den Unterrelaxationsparametern zu betrachten. F¨ ur diese Untersuchung verhalten sich beide Werte proportional zueinander, da, wie oben erw¨ahnt, in jeder SIMPLE-Iteration der iterative Gleichungsl¨oser 24 mal angewendet wird. Daher zeigt Abbildung 4.17 lediglich die Abh¨angigkeit der Anzahl der SIMPLE-Iterationen von den Unterrelaxationsparametern f¨ ur ¨ den 30◦ -Beh¨alter. Der Ubersichtlichkeit halber wird auf die Darstellung weiterer Ergebnisse f¨ ur die anderen Konfigurationen und f¨ ur αp > 0.3 verzichtet. Die h¨ochsten Konvergenzraten werden ohnehin f¨ ur αp < 0.3 erreicht, so dass die nicht gezeigten Ergebnisse zu keinen neuen Erkenntnissen f¨ uhren. Das Diagramm zeigt zun¨achst, dass sich die Anzahl an Iterationen drastisch reduziert, wenn αu,v bei konstantem αp vergr¨oßert wird. Dagegen hat die Erh¨ohung von αp bei konstantem αu,v keinen bemerkbar positiven Einfluss auf das Konvergenzverhalten. Andererseits f¨ uhrt die ¨ Erh¨ohung von αp zu einer immer niedrigeren oberen Schranke f¨ ur αu,v , die den Ubergang zur Divergenz definiert. Bei Verwendung von SPC ist diese Einschr¨ankung restriktiver als bei FPC. Im Falle der Konvergenz und konstanten Werten f¨ ur αu,v unterscheiden sich die Anzahl der Iterationen im Fall von SPC und FPC kaum. Trotzdem erlaubt FPC die Verwendung von Kombinationen relativ hoher Unterrelaxationsparameter, w¨ahrend SPC f¨ ur diese Wertekombinationen divergiert. Dies erkl¨art, warum sich die Anzahl der Iterationen bei Verwendung von FPC und SPC mit jeweils den optimalen Werten f¨ ur αu,v und αp deutlich unterscheiden. F¨ ur den hier untersuchten Testfall reduziert sich die Anzahl um 35% bei Verwendung von FPC gegen¨ uber SPC. Die ben¨otigte CPU-Zeit reduziert sich nicht so stark, da die Aufstellung und Berechnung der Druckkorrektur mit FPC ein wenig aufwendiger ist. Trotzdem wird noch eine Reduzierung der Berechnungszeit um 30% erreicht. Untersuchung der Genauigkeit des L¨ osers Neben den Unterrelaxationsfaktoren beeinflussen weitere Parameter des SIMPLE-Verfahrens die Robustheit und Effizienz der Methode. Ein interessanter Punkt ist die Frage, wie genau

64

4 Analyse der Methoden zur Berechnung von Str¨ omungsvorg¨ angen

Dp

Dp SPC/FPC

1.0

SPC

1.0

FPC 0.8

0.8

0.6

0.6

0.4

0.4

0.2

0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

D u,v

Dp

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

D u,v

Dp SPC

1.0

SPC

1.0

FPC

FPC

0.8

0.8

0.6

0.6

0.4

0.4

0.2

0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

D u,v

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

D u,v

Abbildung 4.16: Einfluss der Unterrelaxationsparameter auf das Konvergenzverhalten bei Verwendung von SPC und FPC auf einem Gitter mit 80×80 KV. Oben links: 90◦ -Beh¨alter; oben rechts: 30◦ -Beh¨alter (10 %); unten links: 30◦ -Beh¨alter (50 %); unten rechts: 30◦ -Beh¨alter. die Druckkorrekturgleichung gel¨ost werden sollte. Im Gegensatz zu den Impulsgleichungen ist diese Gleichung auf Grund ihrer Eigenschaften (Poisson Gleichung mit Neumannschen Randbedingungen) relativ aufwendig zu l¨osen, d. h. die Konvergenzrate ist niedrig. Andererseits ist man in einer SIMPLE-Iteration gar nicht an einer genauen L¨osung interessiert, da die Geschwindigkeiten, die der Druckkorrekturgleichung in Form der Massenfl¨ usse zu Grunde liegen, ¨ nur vorl¨aufig sind. Ublicherweise wird die Druckkorrekturgleichung gel¨ost, bis die Summe der absoluten Residuen unter 20% des Wertes der ersten Iteration f¨allt. Oft wird auch noch die Anzahl der Anwendungen des iterativen L¨osers beschr¨ankt, z. B. auf 20. In diesem Abschnitt werden Abbruchkriterien von 2% bis 98% betrachtet, die durch den Parameter δp ∈ [0.02, 0.98] repr¨asentiert werden, wobei die Anzahl an SIP-Iterationen nicht beschr¨ankt ist. Der Unterrelaxationsfaktor αp = 0.2 ist konstant, w¨ahrend αu,v im Bereich [0.5, 0.9] variiert wird.

65

4.3 Analyse der Druckkorrektur-Verfahren

Anzahl der Simple−Iterationen

6000 1 2

1 − SPC, Dp=0.3 2 − SPC, Dp=0.2 3 − SPC, Dp=0.1 4 − FPC, Dp=0.3 5 − FPC, Dp=0.2 6 − FPC, Dp=0.1

3

4000

4 5 2000

0 0.0

6

0.2

0.4 0.6 Unterrelaxationsparameter Du,v

0.8

1.0

Abbildung 4.17: Abh¨angigkeit der Anzahl an Simple-Iterationen von den Unterrelaxationsparametern und den verschiedenen Druckkorrekturmethoden f¨ur den 30◦ -Beh¨alter auf einem Gitter mit 40×40 KV. Abbildung 4.18 zeigt die Anzahl der SIMPLE-Iterationen und CPU-Zeit aufgetragen u ¨ ber δp f¨ ur den 90◦ -Beh¨alter. Offensichtlich hat die Genauigkeit, mit der die Druckkorrektur berechnet wird, keinen großen Einfluss auf die ben¨otigte Anzahl an SIMPLE-Iterationen. Daher sinkt auch urlich weniger SIP-Iterationen angewendet werden. Die die CPU-Zeit f¨ ur h¨ohere δp , da dann nat¨ Unterrelaxationsparameter besitzen keinen prinzipiellen Effekt auf dieses Verhalten. Allerdings l¨asst sich die Anzahl an SIMPLE-Iterationen und die CPU-Zeit stark reduzieren, wenn man αu,v nahe an der Grenze zur Divergenz w¨ahlt. Abbildung 4.19 zeigt die entsprechenden Diagramme der mit SPC berechneten Ergebnisse f¨ ur den 30◦ -Beh¨alter. F¨ ur αu,v = 0.5 ¨andert sich die Situation im Vergleich zu dem 90◦ -Beh¨alter kaum. Nur bei sehr hohen Werten f¨ ur δp steigt die Anzahl der SIMPLE-Iterationen an. Dies f¨ uhrt schließlich auch zu einer Erh¨ohung der CPU-Zeit, da die Verminderung der SIP-Iterationen pro SIMPLE-Schritt nicht mehr aufgewogen wird. Erh¨oht man dagegen die Unterrelaxationsparameter f¨ ur die Geschwindigkeiten, tritt interesur αu,v = 0.7. santerweise eine untere Konvergenzschranke f¨ ur δp auf. Diese betr¨agt δp = 0.1 f¨ F¨ ur αu,v = 0.9 konvergiert gar keine der Berechnungen. Betrachtet man dagegen die Diagramme in Abbildung 4.20, so f¨allt zun¨achst auf, dass mit FPC auch die Berechnungen f¨ ur den 30◦ -Beh¨alter mit αu,v = 0.9 konvergieren. Zudem liefert dieser Unterrelaxationskoeffizient im Vergleich zu den anderen Werten f¨ ur αu,v die besten Ergebnisse bez¨ uglich Anzahl der SIMPLE-Iterationen und Rechenzeit. Auch im Vergleich zu SPC sind die damit erreichten Berechnungszeiten u ¨berlegen. Vergleicht man beide Druckkorrektur-Verfahren jedoch f¨ ur den selben Unterrelaxationsfaktor, z. B. 0.7, so zeigt sich, dass FPC im gesamten Bereich δp ∈ [0.02, 0.98] zwar weniger SIMPLE-Iterationen ben¨otigt, aber daf¨ ur SPC weniger Berechnungszeit in Anspruch nimmt. Dies dokumentiert den erh¨ohten Bedarf an Rechenzeit bei der Verwendung von FPC. Weiterhin ist dieser Abbildung zu entnehmen, dass auch bei FPC

66

4 Analyse der Methoden zur Berechnung von Str¨ omungsvorg¨ angen 2000

400 Du,v=0.5

Du,v=0.7

1500

1000

500

0 0.0

Du,v=0.7

300

Du,v=0.9 CPU−Zeit [s]

Anzahl der SIMPLE−Iterationen

Du,v=0.5

Du,v=0.9

200

100

0.2

0.4 0.6 Abbruchkriterium Gp

0.8

0 0.0

1.0

0.2

0.4 0.6 Abbruchkriterium Gp

0.8

1.0

Abbildung 4.18: Einfluss des Abbruchkriteriums des linearen Gleichungsl¨osers (Druckkorrekturgleichung) auf die Anzahl der SIMPLE-Iterationen und die CPU-Zeit f¨ur den 90◦ -Beh¨alter. 2000

400 Du,v=0.5

Du,v=0.7

1500

1000

500

0 0.0

Du,v=0.7

300 CPU−Zeit [s]

Anzahl der SIMPLE−Iterationen

Du,v=0.5

200

100

0.2

0.4 0.6 Abbruchkriterium Gp

0.8

1.0

0 0.0

0.2

0.4 0.6 Abbruchkriterium Gp

0.8

1.0

Abbildung 4.19: Einfluss des Abbruchkriteriums des linearen Gleichungsl¨osers (Druckkorrekturgleichung) auf die Anzahl der SIMPLE-Iterationen und die CPU-Zeit f¨ur den 30◦ -Beh¨alter mit dem SPC-Verfahren. eine untere Schranke f¨ ur das Abbruchkriterium auftritt, allerdings nicht bei αu,v = 0.7 wie bei SPC, sondern erst bei αu,v = 0.9. Ein interessantes Ergebnis der vorangegangenen Untersuchungen ist die Existenz einer unteren Schranke f¨ ur δp f¨ ur beide Methoden im Fall des 30◦ -Beh¨alters. Eigentlich w¨are zu erwarten, dass eine genauere Berechnung der Druckkorrektur die Stabilit¨at des Verfahrens verbessert oder zumindest nicht beeinflusst (wie im Fall des 90◦ -Beh¨alters). Das Gegenteil ist der Fall. Dies ist mit den Vereinfachungen der Druckkorrekturgleichungen zu erkl¨aren. Obwohl das Vernachl¨assigen von Termen in der Druckkorrekturgleichung (SPC/FPC) oder ihre explizite Behandlung (FPC) keine Auswirkungen auf das konvergierte Endergebnis hat, ver¨andern sie doch die Druckkorrek-

67

4.3 Analyse der Druckkorrektur-Verfahren 2000

400 Du,v=0.5

Du,v=0.7

1500

1000

500

0 0.0

Du,v=0.7

300

Du,v=0.9 CPU−Zeit [s]

Anzahl der SIMPLE−Iterationen

Du,v=0.5

Du,v=0.9

200

100

0.2

0.4 0.6 Abbruchkriterium Gp

0.8

1.0

0 0.0

0.2

0.4 0.6 Abbruchkriterium Gp

0.8

1.0

Abbildung 4.20: Einfluss des Abbruchkriteriums des linearen Gleichungsl¨osers (Druckkorrekturgleichung) auf die Anzahl der SIMPLE-Iterationen und die CPU-Zeit f¨ur den 30◦ -Beh¨alter mit dem FPC-Verfahren. turgleichung einer jeden SIMPLE-Iteration. Daher erf¨ ullt die berechnete Druckkorrektur nicht die vollst¨andige Druckkorrekturgleichung (ohne die entsprechenden Vereinfachungen). Der Unterschied zwischen der berechneten und der eigentlich gesuchten L¨osung h¨angt von dem Grad der Vereinfachungen ab. Daher ist es auch nicht notwendig, die vereinfachten Druckkorrekturgleichungen zu genau“ ” zu l¨osen. Wie die numerischen Experimente belegen, stabilisiert die Verwendung dieser groben N¨aherungen sogar das Verfahren, weil die Startl¨osung f¨ ur die Druckkorrektur immer Null ist. Nach einigen SIP-Iterationen ist das Ergebnis noch nicht allzu weit von dem Startpunkt entfernt. Falls dieses grobe Resultat eine gute“ Approximation der gesuchten Druckkorrektur ist, ” konvergiert das Verfahren. Die numerischen Experimente zeigen zudem, dass es auch bez¨ uglich der Effizienz nicht notwendig ist, die Druckkorrektur genau zu berechnen. In allen untersuchten F¨allen reichte bereits eine Reduzierung des Fehlers um 2% (δp = 0.98) aus, um ein konvergierendes Verfahren zu erhalten. Da mit solch hohen Werten f¨ ur δp die Anzahl der SIP-Iterationen zur¨ uckgeht und die Anzahl der SIMPLE-Iterationen kaum beeinflusst wird, erh¨alt man die k¨ urzesten Berechnungszeiten mit Abbruchkriterien von etwa δp ≈ 0.9. Dieser Wert unterscheidet sich deutlich von den bisher verwendeten Werten um 0.2.

4.3.2

Mikrow¨ armetauscher

Die Str¨omung in einem Beh¨alter ist ein recht akademischer Testfall, der kaum eine technisch relevante Konfiguration widerspiegelt. Deren Gitter besitzen Zellen mit stark unterschiedlichen Formen und internen Winkeln. Als Beispiel f¨ ur eine komplexe Geometrie wird im Folgenden die Str¨omung durch einen Mikrow¨armetauscher betrachtet. Abbildung 4.21 gibt einen Eindruck u ¨ber das zugeh¨orige Gitter (der gr¨oßte Teil des Ein- bzw. Ausstroms ist abgeschnitten, um die Kammer selbst detailliert zu zeigen). Auf Grund der rechteckigen Ein- und Ausstromkan¨ale

68

4 Analyse der Methoden zur Berechnung von Str¨ omungsvorg¨ angen

Interne isotherme Wand

D h

H

Ausstrom

h

Externe isotherme Wand

Einstrom

Externe isotherme Wand

L

Abbildung 4.21: Geometrische Konfiguration und ein Ausschnitt des numerischen Gitters f¨ur den Mikrow¨armetauscher. k¨onnen dort orthogonale Gitter verwendet werden. Um die runden Zylinder gut zu approximieren, sind im Tauscher O-f¨ormige Gitter vorteilhaft. Aufgrund der rechteckigen Außenseite des Tauschers sind die zugeh¨origen Gitterzellen jedoch deformiert, so dass Gitterwinkel von 45◦ bis 130◦ auftreten. Trotzdem kann man die Gitterqualit¨at als relativ gut bezeichnen, da die Gitterlinien gegl¨attet sind. F¨ ur die Untersuchungen werden vier verschieden feine Gitter mit 552 KV auf dem gr¨obsten und 35 328 KV auf dem feinsten verwendet. Die geometrische Konfiguration ist definiert durch die Kanalh¨ohe h = 0.001 m, den Zylinderdurchmesser D = h und die L¨ange und H¨ohe des Tauschers von L = 8h bzw. H = 4h. Das str¨omende Fluid ist Wasser mit konstanter Dichte und Viskosit¨at. Die Vernachl¨assigung des Temperatureinflusses auf die Stoffeigenschaften ist gerechtfertigt, da sie die Konvergenzeigenschaften der DruckkorrekturVerfahren nicht beeinflussen. Die Untersuchungen der Druckkorrektur-Verfahren werden f¨ ur drei verschiedene Reynoldszahlen Re = ρhuin /µ = 10, 1, 0.1 durchgef¨ uhrt. Diese basieren auf der Geschwindigkeit am Einlass von uin = 0.01, 0.001, 0.0001 m/s, der Dichte ρ = 1000 kg/m3 , der dynamischen Viskosit¨at µ = 1 · 10−3 Pas und der Kanalh¨ohe h. Die ¨außeren W¨ande werden auf der konstanten Temperatur von Ta = 293 K gehalten, w¨ahrend die inneren W¨ande eine Temperatur von Ti = 393 K besitzen. Die thermodynamischen Stoffgr¨oßen betragen cp = 4000 J/kgK f¨ ur die W¨armekapazit¨at und λ = 0.6 W/mK f¨ ur die W¨armeleitzahl. Damit ergibt sich die Prandtl-Zahl zu P r = 6.6667.

69

4.3 Analyse der Druckkorrektur-Verfahren

T: 293

303

313

323

333

343

353

363

373

383

393

Abbildung 4.22: Visualisierung der Str¨omung durch Stromlinien und der Temperaturverteilung f¨ur den Mikrow¨armetauscher f¨ur drei verschiedene Reynoldszahlen. Oben: Re = 0.1; Mitte: Re = 1; Unten Re = 10. Die Auftriebseffekte unter der Wirkung der Gravitation mit g = 10 m/s2 werden durch die Boussinesq-Approximation beschrieben. Zwar ist diese in dem untersuchten Temperaturbereich physikalisch nicht korrekt, jedoch beeinflusst die Erfassung der Auftriebseffekte nicht das Verhalten der untersuchten Verfahren. Mit den gew¨ahlten Parametern ergibt sich die Rayleigh-Zahl zu Ra ≈ 22753. Um einen kurzen Einblick von den Str¨omungsverh¨altnissen in dem Tauscher zu geben, zeigt Abbildung 4.22 die Stromlinien und Temperaturverteilung aus den Simulationen f¨ ur die verschiedenen Reynoldszahlen. Diesen ist zu entnehmen, dass bei Re = 0.1 die Auftriebseffekte dominieren, w¨ahrend bei Re = 10 die Str¨omung u ¨berwiegend durch Konvektion angetrieben wird.

70

4 Analyse der Methoden zur Berechnung von Str¨ omungsvorg¨ angen

Aufgrund der Erkenntnisse der vorhergehenden Untersuchungen werden f¨ ur den Mikrow¨armetauscher nur die folgenden Verfahren analysiert. Dazu geh¨ort zun¨achst SPC mit den Standardwerten f¨ ur die Anzahl der inneren Iterationen (20) und die Genauigkeit (δp = 0.2). Dabei werden 3 innere Iterationen f¨ ur die Bestimmungen der Geschwindigkeiten aus den Impulsgleichungen bzw. 5 f¨ ur die Bestimmung der Temperatur aus der Energieerhaltungsgleichung verwendet. In Summe ergibt das eine Anzahl von maximal 31 inneren Iterationen pro SIMPLE-Iteration. Dieses Verfahren konvergiert f¨ ur die Unterrelaxationsparameter αu,v = 0.9 und αp = 0.2. Da niedrigere Werte keine Verbesserung der Effizienz liefern, werden nur Ergebnisse f¨ ur diese Parameterkombination vorgestellt. Zum Vergleich dienen die Ergebnisse des FPC-Verfahrens mit den gleichen Parametern. Zus¨atzlich liegen Resultate der FPC-Methode mit einer L¨osungsgenauigkeit f¨ ur die Druckkorrektur von δp = 0.8 vor (FPC 2). In der Tabelle 4.6 sind die Anzahl der SIMPLE-Iterationen und die verbrauchte CPU-Zeit f¨ ur die drei untersuchten Verfahren und f¨ ur jede der drei Reynoldszahlen zusammengefasst. Vergleicht man zun¨achst die Anzahl der Iterationen, liefern f¨ ur die gr¨oberen Gitter sowohl SPC als FPC ann¨ahernd die gleichen Resultate. F¨ ur die feineren Gitter allerdings verbraucht FPC deutlich weniger Iterationen als SPC. Besonders f¨ ur den diffusionsdominierten Fall von Re = 0.1 ist der Unterschied erheblich. FPC 2, welche die Druckkorrekturgleichung nur sehr grob l¨ost, verbraucht auf den gr¨oberen Gittern mehr Iterationen als die beiden anderen Verfahren. Jedoch verbessert sich das Konvergenzverhalten mit der Gitterverfeinerung, so dass FPC 2 im Vergleich zu den anderen Verfahren bei der niedrigen Reynoldszahl und dem feinsten Gitter die wenigsten Iterationen ben¨otigt. F¨ ur eine fundierte Bewertung der Verfahren muss aber auch die tats¨achlich verbrauchte CPU-Zeit mit in die Analyse eingehen, die nicht nur von der Anzahl der SIMPLE-Iterationen, sondern auch von der Anzahl der inneren Iterationen und dem Verfahren selbst abh¨angt. Offensichtlich liefern beide FPC-Methoden zeitlich schnellere Verfahren als SPC. Allerdings ist der Unterschied kleiner als bei der Anzahl der ¨außeren Iterationen, da f¨ ur FPC mehr innere Iterationen bei der L¨osung der Druckkorrekturgleichung ben¨otigt werden. Zudem dauert, wie schon erw¨ahnt, das Zusammenstellen der Korrekturgleichung etwas l¨anger. Durch die Erh¨ohung von δp l¨asst sich folglich eine weitere Erh¨ohung der Effizienz erzielen, da dann deutlich weniger innere Iterationen verbraucht werden. Die Ergebnisse f¨ ur FPC 2 belegen dies.

4.4 4.4.1

Analyse des Mehrgitter-Verfahrens Turbulente Str¨ omung durch einen gebogenen Kanal

Wie bereits in Kapitel 3 angedeutet, treten bei der Simulation von turbulenten Str¨omungen Stabilit¨atsprobleme auf, falls das Standard-Mehrgitter-Verfahren in Verbindung mit einem LowReModell zum Einsatz kommt. Dieses Verhalten soll zun¨achst anhand des Testfalls einer Str¨omung durch einen gebogenen Kanal f¨ ur zwei repr¨asentative LowRe-Modelle dargelegt werden. Auch der positive Einfluss der Schrittweitensteuerung zeigt sich f¨ ur dieses Beispiel. Zum Vergleich werden die Berechnungen ebenfalls mit den entsprechenden Wandfunktionsmodellen durchgef¨ uhrt. Die Geometrie des untersuchten Str¨omungsgebiets ist in Abbildung 4.23 (oben) illustriert. Die Reynoldszahl von Re = 224000 basiert auf der Str¨omungsgeschwindigkeit am Einlass uin = 16 m/s (Blockprofil), der Kanalh¨ohe von H = 0.203 m und der dynamischen Viskosit¨at µ = 1.45 · 10−5 Pas. Die Einstromwerte f¨ ur die Turbulenzgr¨oßen sind kin = u2in/100 und

71

4.4 Analyse des Mehrgitter-Verfahrens

Re = 0.1 KV 2208 8832 35328

Iterationen SPC FPC FPC 2 134 133 265 558 550 324 2056 1120 439

SPC 5.1·100 1.0·102 1.5·103

CPU-Zeit FPC 5.5·100 1.1·102 8.7·102

FPC 2 8.3·100 5.2·101 3.1·102

CPU-Zeit FPC 5.3·100 6.4·101 4.0·102

FPC 2 9.3·100 5.4·101 3.7·102

CPU-Zeit FPC 4.0·100 3.6·101 3.1·102

FPC 2 8.8·100 3.6·101 3.2·102

Re = 1 KV 2208 8832 35328

Iterationen SPC FPC FPC 2 130 130 288 322 316 319 909 504 497

SPC 4.7·100 6.0·101 6.3·102

Re = 10 KV 2208 8832 35328

Iterationen SPC FPC FPC 2 100 108 255 194 198 188 538 436 446

SPC 3.7·100 3.9·101 4.0·102

Tabelle 4.6: Anzahl der SIMPLE-Iterationen und CPU-Zeit in Sekunden f¨ur den Mikrow¨armetauscher bei den untersuchten Reynoldszahlen und unterschiedlichen Gitterabst¨anden. 3/2

εin = kin /l mit dem L¨angenmaß l = 0.1 m. Dieser Str¨omungsfall wird auch zur Validierung von Turbulenzmodellierung herangezogen und ist daher in vielen Ver¨offentlichungen beschrieben, vgl. u.a. f¨ ur experimentelle Untersuchungen Kim und Patel [44] oder f¨ ur numerische Experimente Sotiropoulos und Ventikos [89]. F¨ ur die in der vorliegenden Untersuchung ausgef¨ uhrten Berechnungen werden jeweils f¨ unf systematisch verfeinerte Gitter mit 32 × 10 KV auf dem gr¨obsten und 512 × 160 KV auf dem feinsten Gitter verwendet. Dabei ist die Verteilung der Berechnungspunkte quer zur Str¨omungsrichtung bei Verwendung der LowRe-Modelle stark anisotrop, um die viskose Unterschicht aufzul¨osen. F¨ ur die Wandfunktionsmodelle dagegen ist die Verteilung der Berechnungspunkte in diese Richtung ¨aquidistant. Einen Eindruck der Gitterpunktverteilung f¨ ur den jeweiligen Fall geben die beiden unteren Bilder in Abbildung 4.23. Die Werte f¨ ur die Unterrelaxationsparameter betragen 0.5 f¨ ur alle berechneten Gr¨oßen und alle Modelle. Wandfunktionsmodelle Um das Konvergenzverhalten des k-ε- und des k-ω-Modells mit Wandfunktionen zu analysieren, kommen als L¨osungsmethoden das FMG-Verfahren ohne Schrittweitensteuerung und zum Vergleich das Eingitter-Verfahren (SG, Single-Grid) zum Einsatz. In Abbildung 4.24 ist die ben¨otigte CPU-Zeit u ur das jeweilige Modell aufgetragen. ¨ber der Anzahl an KV f¨

72

4 Analyse der Methoden zur Berechnung von Str¨ omungsvorg¨ angen

Wand

Ausstrom

11H

y x

Einstrom

7.5H

3H

4H 90

H

Wand

Abbildung 4.23: Geometrie des gebogenen Kanals (oben) und Ausschnitte aus den verwendeten Gittern f¨ur die Wandfunktions- (links unten) und die LowRe-Modelle (rechts unten).

Betrachtet man zun¨achst das Eingitter-Verfahren, so verhalten sich beide Modelle nahezu gleich, obwohl das k-ω-Modell etwas schneller konvergiert. Auch andere Autoren stellten dies bereits fest, vgl. z. B. Menter et al. [59]. Wie zu erwarten, verh¨alt sich die CPU-Zeit f¨ ur beide Modelle ungef¨ahr proportional zum Quadrat der Anzahl der KV. Bez¨ uglich der Mehrgitter-Methode kann man f¨ ur beide Modelle eine deutliche Beschleunigung der Berechnungen feststellen. Die Berechnungszeit reduziert sich um einen Faktor von 15, d. h. anstatt ca. 7 Stunden werden dann weniger als 30 Minuten ben¨otigt. Dabei ist die Beschleunigung f¨ ur das k-ε-Modell etwas h¨oher, so dass der Vorteil des k-ω-Modells, der beim EingitterVerfahren vorliegt, verschwindet. Mit dem FMG-Verfahren ist die Berechnungszeit f¨ ur beide Modelle, wie erwartet, linear proportional zu der Anzahl an KV. Offensichtlich l¨asst sich das Mehrgitter-Verfahren ohne Probleme in Verbindung mit Wandfunktionsmodellen anwenden.

73

4.4 Analyse des Mehrgitter-Verfahrens 10

CPU−Zeit [s]

10

10

10

10

10

5

kŦH Modell Ŧ SGŦLöser kŦH Modell Ŧ FMGŦLöser kŦZ Modell Ŧ SGŦLöser kŦZ Modell Ŧ FMGŦLöser

4

~ 7.0 Std

~ 0.5 Std

3

2

1

0

320

1280

5120

20480

81920

Anzahl der KV

Abbildung 4.24: CPU-Zeit f¨ur verschiedene Wandfunktionsmodelle und verschiedene L¨osungsstrategien f¨ur die Berechnung der Str¨omung durch einen gebogenen Kanal. Gitter 1 2 3 4 5

KV

KV in Schicht 320 0 1280 0 5120 1-3 20480 10-11 81920 29-32

k-ε/LowRe (Chien) SG FMG SU 5.92 ·100 6.02 ·100 — 1.83 ·101 3.67 ·101 0.5 2.01 ·102 1.91 ·102 1.1 2.14 ·103 div. — 2.49 ·104 — —

k-ω/LowRe (Wilcox) SG FMG SU 5.09 ·100 4.22 ·100 — 1.88 ·101 1.97 ·101 0.8 1.89 ·102 1.17 ·102 1.3 1.99 ·103 4.92 ·102 3.3 1.97 ·104 7.41 ·103 2.2

Tabelle 4.7: CPU-Zeit (in Sekunden) f¨ur verschiedene LowRe-Modelle und verschiedene L¨osungsstrategien f¨ur die Berechnung der Str¨omung durch einen gebogenen Kanal.

LowRe-Modelle Wendet man die LowRe-Modelle f¨ ur die Berechnung der vorliegenden Str¨omung an, ergeben sich die in Tabelle 4.7 pr¨asentierten CPU-Zeiten. Zus¨atzlich ist die Anzahl der Berechnungspunkte in der laminaren Grenzschicht angegeben, die die Qualit¨at der ¨ortlichen Aufl¨osung widerspiegelt. Bez¨ uglich der SG-Methode konvergiert das k-ω-Modell etwas schneller als das k-ε-Modell, wie auch bei den Wandfunktionsmodellen festzustellen ist. Da also keine gravierenden Unterschiede vorliegen, l¨asst das den Schluss zu, dass die D¨ampfungsfunktionen in dem Chien-Modell die Konvergenzgeschwindigkeit nicht negativ beeinflussen. Wendet man sich dem MehrgitterVerfahren zu, so ist auff¨allig, dass f¨ ur beide Modellvarianten keine oder nur kleine Beschleunigungen (Speed-up, SU) erzielt werden. Vielmehr treten f¨ ur das k-ε-Modell sogar noch Stabilit¨atsprobleme auf, die sich durch die Divergenz des Verfahrens auf den feineren Gittern ausdr¨ ucken. Wendet man dagegen das Mehrgitter-Verfahren mit Schrittweitensteuerung (I-FMG) an, so erh¨oht sich die Effizienz des Verfahrens deutlich, wie das Diagramm in Abbildung 4.25 illustriert.

74

4 Analyse der Methoden zur Berechnung von Str¨ omungsvorg¨ angen 10

CPU−Zeit [s]

10

5

kŦH Modell Ŧ SGŦLöser kŦH Modell Ŧ IŦFMGŦLöser kŦZ Modell Ŧ SGŦLöser kŦZ Modell Ŧ IŦFMGŦLöser

4

~ 7.0 Std

~ 0.5 Std 10

10

10

10

3

2

1

0

320

1280

5120

20480

81920

Anzahl der KV

Abbildung 4.25: CPU-Zeit f¨ur verschiedene LowRe-Modelle und verschiedene L¨osungsstrategien f¨ur die Berechnung der Str¨omung durch einen gebogenen Kanal. Deutlich sind die Vorteile gegen¨ uber dem Standard-Mehrgitter-Verfahren erkennbar. Neben den im Vergleich zu der Eingitter-Methode stark reduzierten Rechenzeiten konvergiert das Verfahren im Fall des k-ε-Modells auch auf den feineren Gittern. Die dabei erzielten Beschleunigungen entsprechen denen der Wandfunktionsmodellen festgestellten Werten. Sch¨afer [81] untersuchte f¨ ur die gleiche Testkonfiguration das Konvergenzverhalten des Mehrgitter-Verfahrens mit κ = 0 (PMG-Verfahren). Er fand dabei lediglich Beschleunigungen von bis zu einem Faktor von ungef¨ahr sieben auf dem feinsten Gitter. Im Vergleich dazu sind die mit I-FMG erzielten Beschleunigungswerte also deutlich h¨oher, was nicht besonders verwundert, da mit diesem Verfahren die Mehrgitter-Korrekturen f¨ ur k und ε wenigstens teilweise verwendet werden, wie die Diagramme in Abbildung 4.26 zeigen. Dort sind die berechneten Schrittweiten κ f¨ ur k und ε u ur ¨ber den V-Zyklen auf den beiden feinsten Gittern (wiederum beispielhaft f¨ das k-ε LowRe Modell) aufgetragen. Zu Beginn des Iterationsprozesses schwankt κ noch sehr stark. Nach einigen V-Zyklen stellt sich jedoch ein mehr oder wenig konstanter Wert f¨ ur κ ein. Dieser repr¨asentiert den optimalen Wert f¨ ur das jeweilige Gitter. Wie man den Abbildungen entnehmen kann, ist er deutlich kleiner als eins (Standard-FMG-Verfahren) aber auch deutlich gr¨oßer als Null (PMG-Verfahren). Abschließend zeigt Abbildung 4.27 den Verlauf der normierten Residuen u ur ¨ber der CPU-Zeit f¨ die beiden feinsten Gitter und das Chien-Modell. F¨ ur beide Gitterebenen ist das relativ langsame Konvergenzverhalten der SG-Methode erkennbar. Immerhin konvergiert das Verfahren u ¨berhaupt. Bei Anwendung des FMG-Verfahrens dagegen divergiert der Algorithmus auf dem vierten Gitter bereits nach wenigen V-Zyklen. Dadurch ist der Ablauf des FMG-Verfahrens unterbrochen und es k¨onnen keine Ergebnisse auf dem n¨achst feineren Gitter pr¨asentiert werden. Wendet man jedoch die Schrittweitenkontrolle an, so stabilisiert sich das Mehrgitter-Verfahren. Die Berechnungen konvergieren sowohl auf dem vierten als auch auf dem f¨ unften Gitter. Auch die reduzierten Rechenzeiten gegen¨ uber dem Eingitter und dem PMG-Verfahren sind offensichtlich.

75

4.4 Analyse des Mehrgitter-Verfahrens 1.20 N für turbulente Energie Nfür turbulente Dissipation

N für turbulente Energie Nfür turbulente Dissipation 1.70

Werte für N

Werte für N

1.00

0.80

0.60

1.20

0.70 0.40

0.20

0

20

40

60

0.20

80

0

20

V−Zyklen

40

60

80

100

V−Zyklen

Abbildung 4.26: Verlauf von κ auf den Gittern 4 (20480 KV) und 5 (81920 KV) f¨ur die Berechnung der Str¨omung durch einen gebogenen Kanal mit dem Chien-Modell. 0

0

10

10 SG−Verfahren FMG−Verfahren PMG−Verfahren I−FMG−Verfahren

−1

normiertes Residuum

normiertes Residuum

−1

10

SG−Verfahren PMG−Verfahren I−FMG−Verfahren

−2

10

−3

10

−4

10

−2

10

−3

10

−4

10

10

0

500

1000

CPU−Zeit [s]

1500

2000

0

5000

10000

15000

20000

CPU−Zeit [s]

Abbildung 4.27: Verlauf der normierten Residuen auf den Gittern 4 (20480 KV) und 5 (81920 KV) f¨ur die Berechnung der Str¨omung durch einen gebogenen Kanal mit dem Chien-Modell.

4.4.2

Turbulente Str¨ omung u ¨ber eine abgeflachte Stufe

Um den positiven Einfluss der Schrittweitensteuerung zu best¨atigen, dient die turbulente Str¨omung u ¨ber eine abgeflachte Stufe als weiterer Testfall. Abbildung 4.28 zeigt die Geometrie der berechneten Konfiguration. Dabei betragen die Werte f¨ ur die eingezeichneten L¨angen H = 0.025 m und L = 2H. Mit der Str¨omungsgeschwindigkeit am Einlass uin = 8.67 m/s (Blockprofil) und der dynamischen Viskosit¨at µ = 1.45 · 10−5 Pas ergibt sich basierend auf der L¨ange H eine Reynoldszahl von Re = 15000. Die Einstromwerte f¨ ur k und ε leiten sich, wie oben beschrieben, aus den Werten der Geschwindigkeit ab. F¨ ur die Berechnung dienen f¨ unf systematisch verfeinerte Gitterebenen mit 960 × 160 KV auf dem feinsten Gitter. Die Werte f¨ ur die Unterrelaxationsparameter betragen 0.5 f¨ ur alle berechneten Gr¨oßen. Da die erzielten Ergebnisse die Erkenntnisse des vorangegangenen Abschnitts nur best¨atigen,

76

4 Analyse der Methoden zur Berechnung von Str¨ omungsvorg¨ angen

Einstrom

Ausstrom

Symmetrie

L H Wand

Abbildung 4.28: Geometrie der abgeflachten Stufe.

10

0

1.40 N für turbulente Energie Nfür turbulente Dissipation

10

1.20

−1

1.00 10

10

Werte für N

normiertes Residuum

SG−Verfahren FMG−Verfahren I−FMG−Verfahren

−2

−3

0.80

0.60

0.40 10

−4

0

20000

40000

60000

CPU−Zeit [s]

80000

100000

0.20

0

20

40

V−Zyklen

Abbildung 4.29: Verlauf der normierten Residuen (links) und der berechneten Werte f¨ur κ auf dem Gitter 5 (153600 KV) f¨ur die Berechnung der Str¨omung u¨ber einer abgeflachten Stufe mit dem Chien-Modell.

aber keine prinzipiell neuen ergeben, werden nur die Resultate f¨ ur das LowRe-Modell von Chien pr¨asentiert. Abbildung 4.29 (links) zeigt den Verlauf der Residuen u ¨ber der CPU-Zeit, wobei wiederum die Beschleunigung des I-FMG-Verfahrens gegen¨ uber dem Eingitter-L¨oser auff¨allt, w¨ahrend das Standard-Verfahren divergiert. Interessanterweise gilt f¨ ur die adaptiv bestimmten Werte von κ nur f¨ ur die ersten V-Zyklen, dass κ = 1 ist (siehe Abbildung 4.29 (rechts)). W¨ahrend die Schrittweite f¨ ur ε in diesem Bereich unter eins liegt, wird κ f¨ ur k sogar gr¨oßer als eins berechnet. Nach 20 V-Zyklen pendelt sich dann die Schrittweite f¨ ur beide Str¨omungsgr¨oßen auf ungef¨ahr eins ein, was wieder dem Standard-Verfahren entspricht. F¨ ur diesen Str¨omungsfall ist es also ausreichend, die Korrekturen der turbulenten Energie und ihrer Dissipation f¨ ur die ersten V-Zyklen zu relaxieren, um das Verfahren zu stabilisieren.

4.5 Analyse der adaptiven Gitterverfeinerung

4.5

77

Analyse der adaptiven Gitterverfeinerung

F¨ ur die Analyse der Effizienz und der Genauigkeit der vorgeschlagenen Methode werden an dieser Stelle zwei Testf¨alle herangezogen. Als Vergleich dienen die Ergebnisse entsprechender Berechnungen mit einer Standardverfeinerung, bei der jede Zelle in vier neue aufgeteilt wird.

4.5.1

Str¨ omung durch eine D¨ use

In der ersten Untersuchung der vorgestellten Strategie f¨ ur die adaptiven Gitterverfeinerung dient der Testfall einer Str¨omung durch eine D¨ use. Dabei sollen insbesondere der Einfluss des Verfeinerungsverh¨altnisses und der Behandlung der Massenfl¨ usse an Blockgrenzen beleuchtet werden. Abbildung 4.30 gibt einen Eindruck der zugrunde liegenden Geometrie, des gr¨obsten, voll strukturierten Gitters und des typischen Str¨omungsverlaufs. Zu beachten ist, dass das Gitter in 5 Bl¨ocke entlang bzw. 3 Bl¨ocke quer zur Hauptstr¨omungsrichtung aufgeteilt ist, welche individuell verfeinert werden k¨onnen. Die entsprechenden Parameter sind so gew¨ahlt, dass die Reynoldszahl Re = 36 basierend auf der Kanalh¨ohe am Einstrom L betr¨agt. Da es sich um eine laminare Str¨omung handelt, ist ein parabelf¨ormiges Geschwindigkeitsprofil am Einstrom vorgegeben, w¨ahrend an den W¨anden die Haftbedingung gilt und am Ausstrom eine Nullgradientenbedingung angewendet wird. Die als erstes pr¨asentierten Ergebnisse zielen auf die Analyse der Effizienz der vorgestellten Methode ab. Da die Wahl des Fehlerindikators nur geringen Einfluss auf die numerische Effizienz besitzt, wird lediglich Eju im Rahmen dieser Untersuchung in Betracht gezogen. Abbildung 4.31 zeigt die Entwicklung der Anzahl der KV (bezogen auf die Anzahl der KV der entsprechenden Gitterebenen mit Standardverfeinerung) im Laufe der adaptiven Prozedur f¨ ur unterschiedliche Werte χmax . Aus dem Diagramm geht hervor, dass das Verh¨altnis nicht kontinuierlich f¨allt, sondern u ¨ber mehrere Verfeinerungsstufen konstant ist. Dieses Verhalten ist auf die Beschr¨ankung des Verfeinerungsverh¨altnisses χ zur¨ uckzuf¨ uhren. Tritt diese Beschr¨ankung in Kraft, kann es, wie in dem vorliegende Fall, dazu kommen, dass jede Gitterzelle geteilt wird. Das ist ¨aquivalent mit einer Standardverfeinerung und das Verh¨altnis der Anzahl der KV bleibt von einer Verfeinerungsstufe zur n¨achsten konstant. Je niedriger χmax gew¨ahlt wird, desto geringer f¨allt nahe liegender Weise die Einsparung von Berechnungspunkten aus. Die Unterschiede sind jedoch ¨außerst gering, so dass sich bei dem letzten Verfeinerungsschritt nahezu unabh¨angig von χmax ca. 50% der KV durch den adaptiven Ansatz einsparen lassen. Gemessen an der absoluten Anzahl von 106 Berechnungspunkten bei der Standardverfeinerung ist diese Einsparung jedoch als ¨außerst gering einzusch¨atzen, zumindest im Vergleich zu ¨ahnlichen Ans¨atzen basierend auf unstrukturierten Gittern. Eine alternative Wahl der Blockstruktur k¨onnte hier eine gewisse Verbesserung schaffen, jedoch nicht das prinzipielle Problem l¨osen, welches in der blockweisen Verfeinerung zu suchen ist. Die Abbildung 4.32 zeigt eine Auftragung der verbrauchten CPU-Zeiten u ¨ber der Anzahl der Berechnungspunkte f¨ ur die adaptive Verfeinerungsstrategie unter Verwendung des EingitterVerfahrens. Zum Vergleich sind auch die CPU-Zeiten bei Verwendung der Standardmethode eingezeichnet. Die Ergebnisse zeigen, dass die block–weise Verfeinerung keinen Einfluss auf das Verh¨altnis zwischen CPU-Zeit und Anzahl der KV hat, was h¨atte vermutet werden k¨onnen. Im Unterschied dazu ¨andert sich die Situation, falls an Stelle des Eingitter-Verfahrens das Mehrgitter-Verfahren eingesetzt wird. Abbildung 4.33 zeigt, dass die Beschleunigung des Mehr-

78

4 Analyse der Methoden zur Berechnung von Str¨ omungsvorg¨ angen

Wand

y

Ausstrom

H

Einstrom

x

Wand

Abbildung 4.30: Geometrische Konfiguration der berechneten Str¨omung durch eine D¨use, das anf¨angliche block–strukturierte Gitter und eine Visualisierung des typischen Str¨omungsfelds durch Isobaren und Stromlinien. gitter-Verfahrens bei der Standardverfeinerung linear mit der Anzahl der Verfeinerungsstufen ansteigt, w¨ahrend bei den adaptiven Verfahren der speed-up nicht so stark ausgepr¨agt ist. Hauptursache daf¨ ur ist, dass die Beschleunigungswirkung von der Anzahl der in die Prozedur einbezogenen Grobgitterebenen abh¨angt. Im Fall der Standardverfeinerung lassen sich mindestens ebenso viele Grobgitterebenen erzeugen wie Verfeinerungsschritte durchgef¨ uhrt werden. Dagegen ist dies bei dem hier verwendeten adaptiven Verfahren nicht notwendiger Weise so. Eine solche Situation kann z. B. auftreten, wenn ein Block noch nicht verfeinert wurde und er zudem eine ungerade Anzahl an KV in eine der lokalen Richtungen aufweist. F¨ ur diesen Block kann dann keine Grobgitterebene generiert werden, obwohl unter Umst¨anden bereits mehrere adaptive Verfeinerungsschritte durchgef¨ uhrt wurden. Generell stehen also bei dem adaptiven Ansatz weniger Grobgitterebenen f¨ ur das Mehrgitter-Verfahren zu Verf¨ ugung. Dies gilt nat¨ urlich speziell f¨ ur große Werte f¨ ur χmax , da dann die Verfeinerungsbedingung u ¨ ber das Verh¨altnis der ¨ortlichen Aufl¨osungen erst sp¨ater aktiv wird. Um die mit der adaptiven Verfeinerung erreichten Genauigkeit n¨aher zu beleuchten, zeigen die Abbildungen 4.34–4.39 den relativen Fehler der berechneten Abl¨osel¨ange hinter der Querschnittsverengung der D¨ use f¨ ur die verschiedenen Einflussgr¨oßen. Das Diagramm in Abbildung 4.34 zeigt den relativen Fehler u ur verschiedene Werte f¨ ur ¨ber der Anzahl der KV f¨ χmax = 2, 4, 8, wobei wiederum der Sprung der u-Geschwindigkeit als Fehlerindikator dient.

79

4.5 Analyse der adaptiven Gitterverfeinerung

Indikator Euj mit Fmax=2 Indikator Euj mit Fmax=4 u Indikator Ej mit Fmax=8

Verhältnis #KVadap/#KVstand

1.0

0.8

0.6

0.4

1

2

3

4

5

6

7

Verfeinerungsstufe

Abbildung 4.31: Anzahl der KV bezogen auf die Anzahl der KV bei Standardverfeinerung f¨ur unterschiedliche Werte χmax . 10

CPU−Zeit

10

10

10

10

6

Standardverfeinerung Indikator Euj mit Fmax=2 u Indikator Ej mit Fmax=4 u Indikator Ej mit Fmax=8

4

2

0

−2

10

2

10

3

10

4

10

5

10

6

Anzahl der KV

Abbildung 4.32: CPU-Zeit in Sekunden ¨uber Anzahl der KV mit einem Eingitter-L¨oser f¨ur unterschiedliche Werte χmax . Zun¨achst f¨allt deutlich auf, dass das Verfeinerungsverh¨altnis χ einen bemerkenswerten Einfluss auf die erreichte Genauigkeit hat. Im Vergleich mit der Standardverfeinerung kann nur das adaptive Verfahren mit χmax = 2 eine h¨ohere Genauigkeit erreichen. Dagegen folgen die Ergebnisse mit χmax = 4, 8 nur f¨ ur die ersten Verfeinerungsschritte einem positiven Trend, um dann im Laufe der weiteren lokalen Verfeinerungen an Genauigkeit zu verlieren. Abbildung 4.35 zeigt den relativen Fehler u ¨ber der CPU-Zeit unter Verwendung des MehrgitterVerfahrens. Wie bereits oben schon eingehend besprochen, verringert sich im Fall der adaptiven Verfeinerung der Effekt dieser Beschleunigungsmethode durch die reduzierte Anzahl an Gitterebenen. Trotzdem kann die Berechnungszeit durch die Anwendung des adaptiven Verfahrens mit χmax = 2 gegen¨ uber dem Standardverfahren deutlich reduziert werden, um einen bestimmten relativen Fehler, z. B. 10−3 , zu unterschreiten. Abbildung 4.36 zeigt einen Vergleich der Ergebnisse zwischen der urspr¨ unglichen und der alternativen Methode zur Behandlung der

80

4 Analyse der Methoden zur Berechnung von Str¨ omungsvorg¨ angen

Mehrgitterbeschleunigung

10

2

Standardverfeinerung Indikator Euj mit Fmax=2 u Indikator Ej mit Fmax=4 u Indikator Ej mit Fmax=8

10

10

1

0

10

2

10

3

10

4

10

5

10

6

Anzahl der KV

10

Standardverfeinerung u Indikator E j mit Fmax=2 u Indikator E j mit Fmax=4 u Indikator E j mit Fmax=8

0

gi

Relativer Fehler (Ablöselänge) |I −I

num

|/I

gi

Abbildung 4.33: Beschleunigungswerte ¨uber Anzahl der KV f¨ur die verschiedenen Verfeinerungsstrategien.

10

10

10

−1

−2

−3

10

3

10

4

10

5

10

6

Anzahl der KV

Abbildung 4.34: Relative Genauigkeit u¨ber Anzahl der KV f¨ur verschiedene Verfeinerungsstrategien. Massenfl¨ usse u ur die letztere Methode sind mit dem ¨ber interne Blockgrenzen. Die Resultate f¨ Zusatz (*) gekennzeichnet. Dem Diagramm kann entnommen werden, dass beide Verfahren keinen wesentlichen Einfluss auf das erreichte Ergebnis haben. Im Besonderen unterscheiden sich die Ergebnisse auf den feineren Gittern u ¨berhaupt nicht. Erste Schlussfolgerungen aus diesen Ergebnissen sind zum Einen, dass eine Erh¨ohung des Verh¨altnisses zwischen Genauigkeit und CPU-Zeit durch das adaptive Verfahren nur mit χmax = 2 erreicht werden kann. Zwar kann man durch h¨ohere Werte f¨ ur χmax mehr KV einsparen, doch hat dies negative Auswirkungen sowohl auf die Rechenzeit als auch auf die Genauigkeit. Zum Anderen hat die alternative Behandlung der Massenfl¨ usse trotz des numerischen Mehraufwandes keine Verbesserung der Genauigkeit der Ergebnisse zur Folge. Daher wird f¨ ur die folgenden Untersuchungen der adaptiven Gitterverfeinerung nur χmax = 2 und die urspr¨ ungliche Massenflussbehandlung verwendet.

81

gi

4.5 Analyse der adaptiven Gitterverfeinerung

num

|/I

Standardverfeinerung u Indikator E j mit Fmax=2 u Indikator E j mit Fmax=4 u Indikator E j mit Fmax=8

0

gi

Relativer Fehler (Ablöselänge) |I −I

10

10

10

10

−1

−2

−3

10

0

10

1

10

2

10

3

10

4

10

5

CPU−Zeit [s]

10

Standardverfeinerung u Indikator E j mit Fmax=2 u Indikator E j mit Fmax=2 (*) u Indikator E j mit Fmax=4 u Indikator E j mit Fmax=4 (*)

0

gi

Relativer Fehler (Ablöselänge) |I −I

num

|/I

gi

Abbildung 4.35: Relative Genauigkeit ¨uber CPU-Zeit mit dem Mehrgitter-L¨oser f¨ur verschiedene Verfeinerungsstrategien.

10

10

10

−1

−2

−3

10

3

10

4

10

5

10

6

Anzahl der KV

Abbildung 4.36: Relative Genauigkeit u¨ber Anzahl der KV f¨ur verschiedene Verfeinerungsstrategien und verschiedene Methoden zur Behandlung des Massenflusses ¨uber Blockgrenzen. Die Abbildungen 4.37–4.39 pr¨asentieren den Verlauf des relativen Fehlers u ¨ber der Anzahl der KV f¨ ur die untersuchten Fehlerindikatoren jeweils mit einer anderen Bezugsvariablen. Wie zu erwarten, liefert das adaptive Verfahren im Vergleich zu der Standardverfeinerung eine beu stimmte Genauigkeit mit weniger Berechnungspunkten. Besonders die Indikatoren Eju und E2g verbessern die Effizienz des Gesamtverfahrens erheblich. Nat¨ urlich kann man diese Rangfolge der Indikatoren nicht verallgemeinern, da sie nur f¨ ur diese Anwendung G¨ ultigkeit besitzt. Im Allgemeinen ist davon auszugehen, dass jeder vern¨ unftige Indikator f¨ ur die Fehlersch¨atzung im Rahmen dieser adaptiven Strategie in Frage kommt, da die Verfeinerung auf Blockebene ausgef¨ uhrt wird und damit nicht lokal im engeren Sinne ist. Daher wird auch die Information u ¨ber den genauen Ort und den Absolutwert von Fehlerspitzen nicht ben¨otigt. Die pr¨asentierten Ergebnisse zeigen aber die generelle Tendenz, dass die adaptive Gitterverfeinerung der Standardmethode f¨ ur jeden Indikator genauere Ergebnisse liefert.

82

10

0

Standardverfeinerung Indikator Euj v Indikator Ej uv Indikator Ej

gi

Relativer Fehler (Ablöselänge) |I −I

num

|/I

gi

4 Analyse der Methoden zur Berechnung von Str¨ omungsvorg¨ angen

10

10

10

−1

−2

−3

10

3

10

4

10

5

10

6

Anzahl der KV

10

0

Standardverfeinerung Indikator Eu2g v Indikator E2g uv Indikator E2g

gi

Relativer Fehler (Ablöselänge) |I −I

num

|/I

gi

Abbildung 4.37: Relative Genauigkeit u¨ber Anzahl der KV f¨ur den Fehlerindikator Ej mit verschiedenen Bezugsgr¨oßen φ.

10

10

10

−1

−2

−3

10

3

10

4

10

5

10

6

Anzahl der KV

Abbildung 4.38: Relative Genauigkeit ¨uber Anzahl der KV f¨ur den Fehlerindikator E2g mit verschiedenen Bezugsgr¨oßen φ.

4.5.2

Str¨ omung um zwei Zylinder in Tandemkonfiguration

Eine komplexere Anwendung des adaptiven Verfahrens ist mit der Simulation der Umstr¨omung zweier Zylinder in Tandemkonfiguration in einem Kanal gegeben. Solche Str¨omungen wurden von vielen Forschungsgruppen untersucht, wie z. B. Hu et al. [42], Mittal et al. [62], Zdravkovich [97], um nur einige zu nennen. Abbildung 4.40 zeigt eine Skizze der berechneten Geometrie, welche durch die Dimensionen der Zylinder D1 und D2 = D1 , ihrem Abstand L = 3D1 und der Kanalh¨ohe H = 5D1 definiert ist. Wie bei dem vorhergehenden Beispiel ist am Einstrom ein parabelf¨ormiges Geschwindigkeitsprofil, an den W¨anden die Haftbedingung und am Ausstrom eine Null-Gradienten-Bedingung vorgegeben. Mit den Fluideigenschaften und der mittleren Geschwindigkeit u ergibt sich dann die Reynoldszahl zu Re = 40. Das Problemgebiet ist in 29 Bl¨ocke eingeteilt. Abbildung 4.40 zeigt dazu die Blockeinteilung in der N¨ahe der Zylinder zusammen mit dem verwendeten Ausgangs-

83

10

0

Standardverfeinerung Indikator EuW v Indikator EW uv Indikator EW

gi

Relativer Fehler (Ablöselänge) |I −I

num

|/I

gi

4.5 Analyse der adaptiven Gitterverfeinerung

10

10

10

−1

−2

−3

10

3

10

4

10

5

10

6

Anzahl der KV

Abbildung 4.39: Relative Genauigkeit u¨ber Anzahl der KV f¨ur den Fehlerindikator Eτ mit verschiedenen Bezugsgr¨oßen φ. gitter und dem typischen Str¨omungsverlauf, bei dem die Stromlinien und die Druckverteilung aufgetragen sind. Um die Genauigkeit der berechneten Ergebnisse zu quantifizieren, wird f¨ ur diese Anwendung die Widerstandskr¨afte F1 und F2 , die auf den jeweiligen Zylinder wirken, herangezogen. Die Widerstandskraft wird durch eine Integration der Druckspannungen p und Schubspannungen τ u ¨ber die jeweilige Zylinderoberfl¨ache S berechnet:  F = (τ tx + pnx ) dS , (4.8) S

ur die Komponenten des Tangential- bzw. Normalenvektor in Hauptstr¨omungswobei tx und nx f¨ richtung stehen. In der Regel wird die Widerstandskraft noch normiert, so dass man den so genannten Widerstandsbeiwert erh¨alt: cd =

2F . ρu2 A

(4.9)

A bezeichnet dabei die Schattenfl¨ache des Zylinders quer zur Hauptstr¨omungsrichtung. Im vorliegenden Fall ist das also der Durchmesser f¨ ur den runden Zylinder oder die Kantenl¨ange ¨ des rechteckigen Zylinders. Auftriebskr¨afte treten in diesem Fall im Ubrigen nicht auf, da es sich um eine station¨are Str¨omung handelt und die Form und Konfiguration der Zylinder symmetrisch ist. Damit heben sich die entsprechenden Kr¨afte quer zur Hauptstr¨omung auf. Die Diagramme in der Abbildung 4.41 zeigen den relativen Fehler des Widerstandsbeiwerts f¨ ur beide Zylinder u ur die unterschiedlichen Fehlerindikatoren. Zun¨achst ¨ber der Anzahl der KV f¨ f¨allt dabei auf, dass sich die Konvergenzordnungen f¨ ur den jeweiligen Zylinder bei Verwendung der Standardverfeinerung stark unterscheiden. Im Fall des runden Zylinders stellt sich auf den feineren Gittern die erwartete Konvergenzordnung von zwei ein, w¨ahrend sich f¨ ur den rechteckigen Zylinder nur ein Wert unter eins bestimmen l¨asst. Diese Reduktion der Konvergenzordnung r¨ uhrt aus der geometrischen Singularit¨at in den vier Eckpunkten des rechteckigen Zylinders her.

84

4 Analyse der Methoden zur Berechnung von Str¨ omungsvorg¨ angen

Wand y D2 H

Ausstrom

D1 Einstrom

x

Wand L

Abbildung 4.40: Berechnete Problemgeometrie der Zylinder in Tandemkonfiguration (oben), Ausschnitt des Ausgangsgitters mit der entsprechenden Blockstruktur (mitte) und eine Visualisierung des typischen Str¨omungsverlaufs (Stromlininen und Druckverteikung,unten). Wie z. B. in Laasonen [48] nachzulesen ist, kann eine obere Schranke f¨ ur die Konvergenzordnung einer numerischen L¨osung π in der N¨ahe solcher Singularit¨aten in Abh¨angigkeit von dem Winkel θ angegeben werden:   180◦ p ≈ min 2, . θ Wie in Abbildung 4.42 skizziert, betr¨agt dieser Winkel f¨ ur den rechteckigen Zylinder θ = 270◦ . Damit ergibt sich eine theoretische Konvergenzordnung von p = 0.6667. Mit den in dieser Untersuchung pr¨asentierten numerischen Ergebnissen l¨asst sich p ≈ 0.65 berechnen, was in ¨ guter Ubereinstimmung mit dem theoretischen Wert ist. Selbstverst¨andlich wird dieser Wert auch verwendet, um die gitterunabh¨angige L¨osung zu bestimmen. Vergleicht man die erzielte Genauigkeit der verschiedenen Verfeinerungsstrategien, so stellt man fest, dass mit Hilfe des adaptiven Ansatzes immer eine gewisse Genauigkeit mit weniger Berechnungspunkten erreicht wird. Dies gilt f¨ ur alle verwendeten Indikatoren. Vor allem im Fall des Widerstandsbeiwerts des rechteckigen Zylinders ist die Verbesserung des Verh¨altnisses zwischen Genauigkeit und Anzahl der KV auff¨allig, insbesondere f¨ ur die jeweils feinsten Gitter.

85

Rel. Fehler (Widerstandsbeiwert 1. Zyl.)

4.6 Bewertung der untersuchten Methoden

10

10

10

Standardverfeinerung adap. Verfeinerung mit Euv j adap. Verfeinerung mit Euv 2g adap. Verfeinerung mit Euv W

−1

−2

−3

10

4

10

5

Rel. Fehler (Widerstandsbeiwert 2. Zyl.)

Anzahl der KV

10

10

10

Standardverfeinerung uv adap. Verfeinerung mit Ej uv adap. Verfeinerung mit E2g adap. Verfeinerung mit Euv W

−1

−2

−3

10

4

10

5

Anzahl der KV

Abbildung 4.41: Relativer Fehler des Widerstandsbeiwerts des runden (oben) und des rechteckigen (unten) Zylinders f¨ur die unterschiedlichen Fehlerindikatoren. Vergleicht man die Indikatoren untereinander, so l¨asst sich keine eindeutige Reihenfolge f¨ ur diesen Str¨omungsfall festlegen. Obwohl f¨ ur den runden Zylinder die Verwendung des Indikators Ejuv die besten Ergebnisse liefert, kann mit Hilfe von Eτuv der Widerstandsbeiwert f¨ ur den uv immer rechteckigen Zylinder am besten vorausgesagt werden. Dagegen liefert der Indikator E2g die vergleichsweise schlechteste Genauigkeit. Abbildung 4.43 zeigt einen Ausschnitt des adaptiv verfeinerten Gitters im Fall der Verwendung von Ejuv . Auch unter Verwendung der anderen Indikatoren erh¨alt man ein ¨ahnlich verfeinertes Gitter, so dass auf die entsprechenden Darstellungen verzichtet wird.

4.6

Bewertung der untersuchten Methoden

Die in Kapitel 3 vorgestellten Methoden zur Diskretisierung und L¨osung der str¨omungsmechanischen Grundgleichungen wurden in diesem Kapitel untersucht und verglichen. Dabei lag das Hauptaugenmerk auf dem Verhalten der Methoden bez¨ uglich komplexer Geometrie- bzw. Gitterkonfigurationen.

86

4 Analyse der Methoden zur Berechnung von Str¨ omungsvorg¨ angen

T

Abbildung 4.42: Geometrische Singularit¨at und der entsprechende Winkel θ f¨ur eine Ecke des rechteckigen Zylinders.

Abbildung 4.43: Ausschnitt des adaptiv verfeinerten Gitters unter Verwendung des Indikators Ejuv . Insbesondere w¨ahrend des hier zu untersuchenden Optimierungsprozesses ist zu erwarten, dass Str¨omungen unter Verwendung solcher komplexen Konfigurationen berechnet werden m¨ ussen, wobei nur schwer abzusch¨atzen ist, wie extrem die Gitterverzerrungen sein werden. Es zeigt sich, dass unter den dann herrschenden Bedingungen die neu vorgestellten Verfahren zur Interpolation und Gradientenbestimmung bez¨ uglich der Genauigkeit als auch der Effizienz deutliche Vorteile gegen¨ uber den Standardmethoden bieten. Eine Reihe von repr¨asentativen Testf¨allen best¨atigen dies. Auch f¨ ur die bei der Berechnung turbulenter Str¨omungen eingesetzte Schrittweitensteuerung zur Relaxation der Mehrgitter-Korrekturen belegen die Untersuchungen die erwartete Erh¨ohung der Stabilit¨at und Effizienz des Gesamtverfahrens. Dagegen ist die vorgeschlagene Prozedur zur lokalen Gitterverfeinerung nicht dienlich, um eine weitere Erh¨ohung des Verh¨altnisses zwischen Genauigkeit und Rechenzeit zu erhalten. Zwar kann eine gleichbleibende Genauigkeit mit einer geringeren Anzahl an Berechnungspunkten erreicht werden, aber die Reduzierung der Effizienz des Mehrgitter-Verfahrens kompensiert diesen Effekt, so dass letztendlich sogar eine Reduzierung der Effizienz festzustellen ist. Wie schon erw¨ahnt, haben die oben aufgef¨ uhrten Eigenschaften eines Berechnungsprogramms entscheidenden Einfluss auf den Verlauf und das Ergebnis einer Optimierung, um zum Einen das Optimierungsziel nicht zu verfehlen (Genauigkeit) und zum Anderen den Optimierungsprozess u ¨berhaupt bzw. in angemessener Zeit abzuschließen (Stabilit¨at und Berechnungszeit). Daher

4.6 Bewertung der untersuchten Methoden

87

kommen bis auf die lokale Verfeinerung alle in diesem Kapitel neu vorgestellten Verfahren anstelle der Standardtechniken bei den Str¨omungssimulationen im Rahmen der Optimierung zum Einsatz, ohne dass dies noch einmal explizit erw¨ahnt wird.

88

4 Analyse der Methoden zur Berechnung von Str¨ omungsvorg¨ angen

89

Kapitel 5 Konzept zur Gestaltsoptimierung von Str¨ omungsgebieten Wie schon in der Einleitung ausf¨ uhrlich beleuchtet, dient die numerische Simulation von Str¨omungen in vielen F¨allen der Optimierung von Einflussparametern, um wichtige Kenngr¨oßen (Zielfunktionen), wie z. B. Auftrieb, Widerstand, W¨arme¨ ubergang, Druckverlust, etc.) zu minimieren oder maximieren. In der Regel wird dabei zun¨achst eine Ausgangskonfiguration simuliert, um dann alternative Gestaltsvorschl¨age bez¨ uglich der Kenngr¨oße zu u ufen. Oftmals ¨berpr¨ sind die Alternativen willk¨ urlich gew¨ahlt oder basieren auf der Erfahrung und Ausbildung der beteiligten Personen. Aus dieser Beschreibung ist direkt ersichtlich, dass das gefundene Endergebnis abh¨angig von dem Kenntnisstand der involvierten Personen ist und demnach kein Optimum darstellen muss. Weiterhin kann die Suche nach verbesserten Parameterkombinationen sehr zeitintensiv sein. Der Wunsch, den Optimierungsprozess objektiv zu gestalten und gegebenenfalls zu automatisieren, liegt daher nahe. Ein Ansatz, der beide Ziele zufriedenstellend erf¨ ullen kann, besteht in der Kopplung eines numerischen Str¨omungsl¨osers mit einem geeigneten mathematischen Optimierungsalgorithmus, so dass beginnend von einer Ausgangskonfiguration in einem iterativen Verfahren ein Optimum gesucht wird. Von entscheidender Bedeutung f¨ ur die Anwendbarkeit des Gesamtverfahrens ist die numerische Effizienz der Einzelkomponenten. Bezogen auf den Str¨omungsl¨oser bedeutet das, dass die Auswertung eines Str¨omungsfalls in m¨oglichst kurzer Zeit bei gegebener Genauigkeit erwartet wird. Insbesondere bei der zu erwartenden Vielzahl von Auswertungen im Laufe des Optimierungsprozesses gewinnt dieser Aspekt an Bedeutung. Wie bereits in den vorangegangenen Kapiteln eingehend dargelegt wurde, ist der verwendete Str¨omungsl¨oser bez¨ uglich der Genauigkeit, Stabilit¨at und Effizienz gut geeignet. Die Effizienz des Optimierungsalgorithmus muss nach anderen Maßst¨aben beurteilt werden, da die von ihm verbrauchte CPU-Zeit im Vergleich zu den Berechnungszeiten f¨ ur die Str¨omung verschwindend gering sein wird. Vielmehr muss er in der Lage sein, das Optimum mit einer m¨oglichst geringen Anzahl von Funktionsaufrufen, sprich Str¨omungsberechnungen, zu finden. Abschnitt 5.1 beinhaltet eine ausf¨ uhrliche Diskussion des verwendeten Optimierers und eine Darstellung seiner besonderen Eignung f¨ ur die vorliegenden Problemstellungen. F¨ ur die vollst¨andige Formulierung des Problems bleibt schließlich noch die Definition der zu optimierenden Parameter, den so genannten Designvariablen. Prinzipiell eignet sich jeder Parameter, der das Verhalten einer Str¨omung beeinflusst, z. B. das Material des str¨omenden Mediums,

90

5 Konzept zur Gestaltsoptimierung von Str¨ omungsgebieten

die Randbedingungen oder die Gestalt der um- oder durchstr¨omten Gebiete. Oft sind jedoch aus der obigen Aufz¨ahlung die Eigenschaften des Mediums oder die Randbedingungen fest vorgegeben, so dass nur auf die Gestalt des Str¨omungsgebiets Einfluss genommen werden kann. Dabei m¨ ussen nat¨ urlich Einschr¨ankungen (Restriktionen), die aus dem vorhandenen Bauraum oder der Fertigbarkeit des Bauteils herr¨ uhren, beachtet werden. Aus der Sicht der computergest¨ utzten Optimierung ist es notwendig, die Gestalts¨anderung mathematisch zu beschreiben. Als Grundlage daf¨ ur kann die Diskretisierung des Problemgebiets, das numerische Gitter, dienen. Durch Verschiebung der Gitterpunkte auf dem Rand des Gebiets a¨ndert sich dessen Gestalt entsprechend. Eine Umverteilung der im Inneren liegenden Punkte sichert dann, dass die Eigenschaften des Gitters nicht uneingeschr¨ankt verschlechtert werden. Eine recht einfache Methode nach dem beschriebenen Ansatz ist, jeden einzelnen Randpunkt unabh¨angig von seinen Nachbarpunkten in die beiden Koordinatenrichtungen zu verschieben. Mehrere Argumente sprechen jedoch gegen die Verwendung dieser Methode. Zum Einen f¨ uhrt sie zu einer nicht beherrschbaren Anzahl an Designvariablen, da es bei der Berechnung von Str¨omungen u ¨blich ist, mehrere Tausend oder gar Millionen Gitterpunkte zu verwenden. Weiterhin besteht die Gefahr von Gebiets¨ uberschneidungen, was nur durch die Einf¨ uhrung von entsprechenden Restriktionen verhindert werden kann. Zum Anderen ist mit dieser einfachen Methode nicht zu verhindern, das die Berandung des Str¨omungsgebiets im Laufe des Optimierungsprozesses starke Knicke von einem Gitterpunkt zum n¨achsten aufweist. Ein solcher Knick m¨ usste, falls er in der Geometrie vorhanden w¨are, mit wesentlich mehr Berechnungspunkten abgebildet werden. Numerisch gesehen ist also eine solche Situation nicht erw¨ unscht. Eine besser geeignete Alternative zur Realisierung der Gestalts¨anderung wird in Abschnitt 5.2 geschildert. Mit dieser ist man in der Lage, Geometrievariationen mit einer geringen Anzahl an Freiheitsgraden zu realisieren, ohne die Flexibilit¨at stark zu beschr¨anken. Abschließend besch¨aftigt sich Abschnitt 5.3 mit den Details Kopplung der Einzelkomponenten zu einem Gesamtverfahren.

5.1

Numerische Optimierung

Im vorliegenden Fall ist die zu optimierende Funktion f (Zielfunktion, z. B. Druckverlust, Auftrieb, etc.) und folglich deren Ableitung nach den Optimierungsparametern αk (Designvariablen) nicht analytisch gegeben. Vielmehr kann die Funktion nur an diskreten Punkten durch den Aufruf des Str¨omungsl¨osers ausgewertet werden. Eine analytische Auswertung der Optimierungsaufgabe ist demnach nicht m¨oglich. Die numerische Mathematik stellt dagegen Methoden f¨ ur die Optimierung einer nichtlinearen Funktion unter Beachtung von Nebenbedingungen (Restriktionen) zur Verf¨ ugung. Man spricht auch von dem restringierten, nichtlinearen Optimierungsproblem, um das es sich bei der Gestaltsoptimierung von Str¨omungsgebieten handelt. Mathematisch formuliert kann die Problemstellung wie folgt geschrieben werden: min f (αk ) mit

lk ≤ αk ≤ uk , gm ≥ 0 , hn = 0 ,

k = 1, ..., K , m = 1, ..., M , n = 1, ..., N ,

(5.1)

5.1 Numerische Optimierung

91

wobei gm die (nichtlinearen) Ungleichungsrestriktion, hn die (nichtlinearen) Gleichungsrestriktionen und K, M, bzw. N die Anzahl der Designvariablen, der Ungleichungsrestriktion bzw. ¨ der Gleichungsrestriktionen bezeichnen. Einen guten Uberblick u ¨ber die entsprechenden Methoden f¨ ur solche Problemstellungen gibt z. B. Nocedal und Wright [66] oder Bonnans et al. [12]. Speziell mit den im ingenieurwissenschaftlichen Bereich verwendbaren Optimierungsverfahren besch¨aftigt sich Baier et al. [9]. Folgt man Baier et al. [9], so lassen sich die geeigneten Methoden der numerischen Mathematik f¨ ur restringierte, nichtlineare Optimierungsaufgaben wie folgt einteilen: • Straffunktionsverfahren • direkte Verfahren • Approximationsverfahren Diese Einteilung spiegelt neben der Effizienz auch die zeitliche Abfolge der Einf¨ uhrung der jeweiligen Verfahren wider. Eine strikte Trennung der Klassen ist jedoch nicht m¨oglich, da Verfahren der einen Klasse durchaus Ideen, Konzepte und Methoden der jeweils anderen Klassen verwenden. Insbesondere die Approximationsverfahren eignen sich f¨ ur den vorliegenden Fall, wie sp¨ater noch dargelegt wird. Eine Umsetzung der Approximationsmethode liegt mit dem Programm Dfo vor. Es basiert auf den Entwicklungen, die in Conn et al. [17], Conn et al. [18], Conn and Toint [20] und Scheinberg [83] nachzulesen sind. Da keine wesentlichen Ver¨anderungen an diesem Programm vorgenommen wurden und es somit nur als black box zu Anwendung kommt, wird im Folgenden nur eine kurze Beschreibung des Verfahrens geliefert und f¨ ur Details auf die angegebenen Literaturstellen verwiesen.

5.1.1

Approximationsverfahren

Die Anwendung eines Approximationsverfahrens ist dann vorteilhaft, wenn die Gradienten der Zielfunktion f (αk ) nach den Designvariablen entweder nicht berechenbar oder zu aufwendig zu bestimmen sind1 . Zweiteres ist in dem vorliegenden Fall der Gestaltsoptimierung von Str¨omungsgebieten der Fall. Man ist dann nicht in der Lage, klassische Optimierungsverfahren anzuwenden, da diese die Gradienteninformation f¨ ur die Bestimmung einer Suchrichtungen ben¨otigen. Grundgedanke der Approximationsverfahren ist also, nicht die Zielfunktion selbst zu minimieren, sondern diese zuerst lokal durch einen Polynomansatz zu modellieren. Anschließend wird ein Optimum der lokalen Approximation in einem Bereich gesucht, in dem die N¨aherung als gut“ erachtet wird (Trust-Region). Dazu dient ein Verfahren aus den anderen, oben ange” deuteten Verfahrensklassen, z. B. ein direktes Verfahren. Die dabei ben¨otigten Gradienten des Modells nach den Designvariablen lassen sich auf Grund des polynomialen Ansatzes analytisch bestimmen. Der so gefundene neue Punkt bildet dann den neuen Mittelpunkt f¨ ur die n¨achste Polynomapproximation und das Verfahren beginnt von Neuem, bis ein Minimum der eigentlichen Zielfunktion gefunden ist. 1

Zum Beispiel mit Hilfe eines Finite-Differenzen-Verfahrens oder der automatischen Differentiation [11]

92

5 Konzept zur Gestaltsoptimierung von Str¨ omungsgebieten

Das Approximationsverfahren Dfo verwendet ein Polynom zweiter Ordnung f¨ ur die Approximation der Zielfunktion. Es bietet die M¨oglichkeit, Schranken f¨ ur die Designvariablen und lineare Restriktionen anzugeben. Beide Einschr¨ankungen werden bereits bei der Bestimmung der neuen Designvariablen ausgewertet und nicht wie in anderen Programmen erst nach Bestimmung der Zielfunktion f¨ ur den m¨oglicherweise irrelevanten Designvariablensatz. Insbesondere die linearen Restriktionen lassen sich hervorragend dazu nutzen, Verkn¨ upfungen zwischen den Designvariablen zu beschreiben, die Gebiets¨ uberschneidungen und damit unzul¨assige Geometrien verhindern. Ein Nachteil von Dfo ist die Behandlung der nichtlinearen Restriktionen. Die daf¨ ur ben¨otigten Informationen werden nicht u ¨ ber ein N¨aherungsverfahren bereitgestellt, sondern direkt als Systemantwort angefordert. Da insbesondere auch Gradienten der nichtlinearen Restriktionen ben¨otigt werden, bedeutet dies einen sehr hohen Aufwand, falls ein Finite-Differenzen-Verfahren angewendet wird. In Conn et al. [19] wird daher vorgeschlagen, die nichtlinearen Restriktionen als Straffunktionen der Zielfunktion zuzuschlagen. Dieses Vorgehen findet auch im Rahmen dieser Arbeit Anwendung. Als Straffunktion kann z. B. die Inverse der nichtlinearen Restriktion verwendet werden. Nur im Fall von vielen nichtlinearen Restriktionen, der hier jedoch nicht betrachtet wird, ist diese Vorgehensweise ineffizient. Die Aufgabenstellung (5.1) l¨asst sich damit in die folgende Form bringen, wie sie schließlich in Dfo ausgewertet wird: mit

min f˜(αk ) lk ≤ αk ≤ uk , lm ≤ cmk αk ≤ um ,

k = 1, ..., K m = K + 1, ..., K + NL ,

(5.2)

wobei f˜ die mit den Straffunktionen belegte Zielfunktion. Die linearen Restriktionen, deren Gesamtanzahl NL betr¨agt, werden durch die Matrix cmk beschrieben. In den nachfolgenden Abschnitten wird nun zun¨achst auf die Vorgehensweise bei der Approximation der zu minimierenden Funktion eingegangen. Die anschließenden Sektionen geben dann Details zu den Ans¨atzen der Minimierung der Approximation. Methodik der Approximation Ziel ist es hier, die Funktion f˜(αk ) durch einen Polynomansatz zweiter Ordnung zu approximieren, d. h. T  βt φt (αk ) , (5.3) f˜(αk ) ≈ m(αk ) = t=1

wobei φt (αk ) eine Basis des Raums der quadratischen Polynome ist. Abh¨angig von der Anzahl der Designvariablen K besteht die vollst¨andige Basis aus T = (K + 1)(K + 2)/2 Polynomen. Die Koeffizienten βt werden so bestimmt, dass m(αk ) die Zielfunktion f˜(αk ) an den St¨ utzstellen αsj genau wiedergibt, d. h.: m(αsk ) = f˜(αsk ) f¨ ur s = 1, ..., S ,

(5.4)

wobei S die Anzahl der St¨ utzstellen bezeichnet. Liegen die Funktionswerte f˜(αsk ) an den St¨ utzstellen vor, steht damit f¨ ur die Berechnung der Koeffizienten das folgende Gleichungssystem zur Verf¨ ugung: Φts βt = f˜(αsk ) f¨ ur t = 1, ..., T ,

(5.5)

93

5.1 Numerische Optimierung

mit der Matrix:

⎞ φ1 (α1k ) · · · φQ (α1k ) ⎟ ⎜ .. .. .. Φts = ⎝ ⎠ . . . . S S φ1 (αk ) · · · φQ (αk ) ⎛

Naheliegenderweise ist die Interpolation nur dann eindeutig, wenn S = T gilt, d. h. es liegen ebenso viele St¨ utzstellen wie Unbekannte vor, und wenn Φts nicht singul¨ar, d. h. invertierbar ist. Die zweite Bedingung beschreibt eine geometrische Einschr¨ankung der Lage der St¨ utzstellen αsk zueinander. Das einfachste und offensichtlichste Beispiel f¨ ur eine solche Einschr¨ankung ist, dass St¨ utzstellen nicht aufeinander fallen d¨ urfen. Unter der Annahme, dass Φts die geforderten Eigenschaften besitzt, bleibt noch die Frage nach der Wahl der Basis φt (αk ) offen. Eine M¨oglichkeit bietet die Verwendung der Monomone. Oft ist dann jedoch das Gleichungssystem (5.5) schlecht konditioniert. Abhilfe schafft die Verwendung der so genannten Fundamentalen Newton Polynome, die sich durch ein Analogon zur GramSchmidt-Orthogonalisierung (vgl. z. B. Noble [65]) aus Φts und den Monomonen gewinnen lassen. Weitere Details zu diesem Thema sind z. B. in Scheinberg [83] oder Conn et al. [17] und den Referenzen darin zu finden. Minimierung der Approximation Durch die Approximation der Zielfunktion kann man das origin¨are Optimierungsproblem (5.2) in folgende Form umschreiben: min m(αk ) mit |αk − αpk | < ∆ptr ,

k = 1, ..., K .

(5.6)

Dabei bezeichnet der Punkt αpk den Mittelpunkt und ∆ptr die Gr¨oße der aktuellen Trust-Region. Nat¨ urlich sind die Problemstellungen (5.2) und (5.6) nicht ¨aquivalent, da die Approximation m(αk ) nur lokal innerhalb von ∆ptr als g¨ ultig angenommen wird. Folglich ist ein Optimum von (5.6) nicht notwendigerweise eines von (5.2). Diesem Umstand wird durch die iterative Anwendung des Verfahrens begegnet (Iterationsz¨ahler p), d. h. nach der L¨osung von (5.6) wird das Modell selbst und die Gr¨oße der Trust-Region angepasst und das Verfahren wiederholt, bis ∆ptr unter einen Schwellenwert f¨allt. Im Allgemeinen kann die Problemstellung (5.6) noch Restriktionen enthalten, falls diese nicht u ¨ber einen Straffunktionsansatz in die Zielfunktion aufgenommen werden. Die Minimierung des Problems in Form (5.6) erfolgt durch die Anwendung eines SQP-Verfahrens (sequential quadratic programming). Diese Methode z¨ahlt zu den direkten Verfahren f¨ ur die Optimierung von restringierten Problemstellungen (siehe oben). Sie verarbeiten nicht die Zielfunktion selbst, sondern eine quadratische Approximation der Lagrange-Funktion L. Die LagrangeFunktion setzt sich aus der Zielfunktion und den direkt behandelten Restriktionen zusammen:   L(αk , λm , µn ) = f˜(αk ) − λm g m − µn hn , (5.7) bzw. nach Anwendung der Approximation von f˜(αk )   λm g m − µn hn , L(αk , λm , µn) = m(αk ) −

(5.8)

94

5 Konzept zur Gestaltsoptimierung von Str¨ omungsgebieten

wobei λm und µn die so genannten Lagrangeparameter bezeichnen. Minimiert man L bez¨ uglich αk , λm und µn , ist die L¨osung αopt auch ein Optimum der Optimierungsaufgabe (5.6). Diese k ¨ Aquivalenz dr¨ uckt sich auch in der bekannten Kuhn-Tucker-Bedingung f¨ ur einen Optimalit¨atspunkt der restringierten Aufgabe aus: !  ∂ f˜(αk )  ∂L(αk , λm , µn )  ∂gm  ∂hn  − λm − µn =0. (5.9)   opt = ∂αk ∂αk ∂αk ∂αk  opt α k

αk

Im Sinne des SQP-Verfahrens l¨asst sich die Optimierungsaufgabe dann wie folgt schreiben: min L(αk , λm , µn) mit |αk − αpk | < ∆ptr , k = 1, ..., K ,

(5.10)

wobei L(αk , λm , µn ) eine quadratische Approximation von L(αk , λm , µn) repr¨asentiert, z. B.    1 L(αk , λm , µn ) ≈ L + ∇L (αk − αnk ) + (αk − αpk ) H (αk − αpk )  . (5.11) 2 αp k

Dabei steht H f¨ ur eine N¨aherung der Hesse-Matrix der Lagrange-Funktion zur Iteration p. In der ersten Iteration wird H gleich der Identit¨atsmatrix I gesetzt und im Lauf der Iteration durch eine Update-Formel verbessert, z. B. durch das BFGS-Verfahren von Broydon [14], Fletcher [26], Goldfarb [29] und Shanno [87]. Der Ablauf eines SQP-Verfahrens sieht damit prinzipiell wie folgt aus: 1. Initialisierung Initialisieren des Startvektors und der Approximation der Hesse-Matrix 2. Funktionsauswertung Bestimmung der Zielfunktion, der direkt behandelten Restriktionen und deren Gradienten 3. Optimierung Bestimmung einer Suchrichtung und Liniensuche entlang dieser Suchrichtung 4. Funktionsauswertung Bestimmung der Zielfunktion, der direkt behandelten Restriktionen und deren Gradienten f¨ ur das in Schritt 3 gefundene Optimum 5. Konvergenztest Falls Konvergenz noch nicht vorliegt, wird die Absch¨atzung der Hesse-Matrix mit dem Update-Verfahren verbessert und mit Schritt 3 fortgefahren. Auf eine Beschreibung der Unterpunkte von Schritt 3 (Bestimmung der Suchrichtung, Liniensuche) wird an dieser Stelle verzichtet. Es gibt dazu eine Reihe von Varianten, die in der entsprechenden Literatur nachzulesen sind. Die in dieser Arbeit verwendete Umsetzung des SQP-Verfahrens (FSQP, ausf¨ uhrliche Dokumentation in [64]) benutzt daf¨ ur eine Methode nach Armijo [8].

95

5.2 Gestalts¨ anderung

5.2

Gestalts¨ anderung

Wie in der Einf¨ uhrung dieses Kapitels dargelegt, ist eine direkte Verschiebung der Randgitterpunkte zur Gestaltsver¨anderung nicht sinnvoll. Eine Alternative bietet die Parametrisierung der Berandungslinien mit Hilfe von geeigneten Polynomans¨atzen. Diese Technik ist auch als freeform deformation technique im CAD-Kontext bekannt (vgl. z. B. Sederfeld et al. [84]). Eine Umsetzung f¨ ur die Gestaltsoptimierung ist in Harzheim et al. [37] beschrieben, die als Grundlage f¨ ur die vorliegende Umsetzung dient. Es sei an dieser Stelle angemerkt, dass im Folgenden die Beschreibung der Methodik f¨ ur den in dieser Arbeit untersuchten zwei-dimensionalen Fall dargelegt wird. Die Erweiterung f¨ ur den drei-dimensionalen Fall ist jedoch ohne Probleme m¨oglich, wie auch in den oben angegebenen Referenzen gezeigt wird. Grundidee ist, im Vorfeld der eigentlichen Optimierung, S¨atze an Vektoren T k (Shape-BasisVektoren 1 ) zu generieren, die Verschiebungskomponenten in die kartesischen Richtungen f¨ ur  0 den Vektor der Ausgangskoordinaten x 0 jeden einzelnen Gitterpunkt enthalten. Bezeichnet X  beschreiben durch: aller Gitterpunkte, so l¨asst sich dann ein deformiertes Gitter X  =X 0 + X

K 

αk T k ,

(5.12)

k=1

wobei K die Anzahl der generierten Verschiebungsvektoren und αk zun¨achst frei w¨ahlbare Skalierungsfaktoren bezeichnet. Im Rahmen der Optimierung stellen die Faktoren αk die zu optimierenden Designvariablen dar. F¨ ur die Erl¨auterung der Generierung der Verschiebungsvektoren ist es hilfreich, zun¨achst das Gitter f¨ ur ein Einheitsquadrat im ξ-Koordinatensystem zu betrachten. Die Lage eines jeden Gitterpunkts in diesem Einheitsquadrat l¨asst sich beschreiben durch:  ξ 0 =

σ τ

 ,

σ, τ ∈ [0, 1] .

(5.13)

Nun f¨ uhrt man ein weiteres Gitter ein, welches durch die Lage der so genannten Kontrollpunkte 0 0 πψω definiert ist. Dabei sind die Punkte πψω in jede Richtung a¨quidistant verteilt, d. h.  0 πψω =

ψ/Ψ ω/Ω

 ,

ψ = 1, ..., Ψ ,

ω = 1, ..., Ω ,

(5.14)

wobei Ψ und Ω die Gesamtzahl der Kontrollpunkte in die jeweilige Raumrichtung bezeichnen. F¨ ur die Berechnung der Deformation wird nun einer oder mehrere dieser Punkte verschoben, j 0 → πψω . Die folgende Transformationsvorschrift liefert dann die neuen Koordinaten d. h. πψω der Gitterpunkte: Ψ  Ω  j ξ j = Bψω πψω , (5.15) ψ=0 ω=0 1 Zur Vermeidung von un¨ ubersichtlichen Indizierungen wird an dieser Stelle auf die sonst verwendete Indexnotation f¨ ur Vektoren verzichtet

96

5 Konzept zur Gestaltsoptimierung von Str¨ omungsgebieten physikalische Koordinaten

logische Koordinaten K2

11 00 00 11 1 0 0 1 0 1

11 00 00 11

11 00 00 11

1 0 1 0

11 00 11 00

11 00 11 00

1 0 1 0 1 0

11 00 11 00 11 00

11 00 11 00 11 00

1 0 1 0

0 1 1 0 0 1

11 00 00 11

x2

0 11 0 1

11 00 00 11

1 0 1 0

1 0 1 0

0 1 1 0 0 1

0

1

[1

x1

Abbildung 5.1: Schematische Darstellung der Transformation einer beliebigen viereckigen Geometrie in ein Einheitsquadrat in den logischen Koordinaten. wobei die Deformationsfunktion Bψω durch das Produkt von zwei Bernstein-Polynomen definiert ist:

mit

Bψω = aψ (σ) bω (τ )   Ψ aψ (σ) = (1 − σ)Ψ−ψ σ ψ ψ   Ω bω (τ ) = (1 − τ )Ω−ω τ ω ω   Ψ! Ψ = ψ ψ!(Ψ − ψ)!

Die Ordnung der Bernstein-Polynome ist durch die Anzahl der Kontrollpunkte in die jeweilige Raumrichtung festgelegt. In dieser Form ist das Verfahren in der Praxis nur bedingt einsetzbar, da ein Einheitsquadrat nicht f¨ ur die Abbildung komplexer Geometrien geeignet ist. Vielmehr muss das zu verformende Gebiet aus dem physikalischen in den logischen Koordinaten  Gebiet  in ein Einheitsquadrat  x1 ξ1 transformiert werden, d. h. x = → ξ = (vgl. Abbildung 5.1). Dazu definiert man x2 ξ2 die 4 Eckpunkte eines beliebigen Vierecks, welches den zu deformierenden Gitterausschnitt umschließt (Shape-Box ). Anschließend transformiert man die Shape-Box auf das Einheitsquadrat im logischen Gebiet und erh¨alt so die logischen Koordinaten jedes Gitterpunkts. Die Inverse der dazu geeigneten Vorschrift lautet wie folgt2 :  0   1 1 1 1  #T x1 a0 a1 a2 a3 " 1 ξ10 ξ20 ξ10 ξ20 = . (5.16) x20 a20 a21 a22 a23 Die Koeffizienten der Transformationsvorschrift (5.16) lassen sich aus der Lage der Eckpunkte der Shape-Box und des Einheitsquadrats bestimmen. Zur Berechnung der L¨osung ξ 0 kann 2

Eine direkte Vorschrift existiert nicht!

5.3 Kopplung der Teilkomponenten

97

z. B. das Newton-Verfahren dienen. Mit diesen Informationen kann nun die Deformationsfunktion B ψω bestimmt werden. Liegt ein Gitterpunkt außerhalb der Shape-Box, d. h. ξi ∈ / [0, 1], nimmt er nicht an den nachfolgenden Transformationen teil und seine Verschiebungskomponenten k¨onnen zu Null gesetzt werden. Die eigentliche Deformation und die R¨ ucktransformation in das physikalische Gebiet kann dann in einem Schritt erfolgen, indem man zun¨achst die Koordinaten der Kontrollpunkte im physikalischen aus denen im logischen Gebiet unter Verwendung von Vorschrift (5.16) berechnet, d. h. j 0 0 0 πψω → pψω . Mit der Verschiebung der Punkte von pψω nach pψω kann man dann schließlich f¨ ur das deformierte Gitter in physikalischen Koordinaten schreiben: $ Ψ Ω ψω j pψω , falls ξi ∈ [0, 1] ψ=0 ω=0 B x j = (5.17) 0 andernfalls . x ,  j den Vektor aller verschobenen Gitterpunkte, l¨asst sich f¨ ur einen Satz von VerBezeichnet X schiebungsvektoren schreiben: j −X 0 . T j = X (5.18) Nachfolgend illustrieren einige Beispiele, welche M¨oglichkeiten die vorgestellte Methode bereitstellt. Abbildung 5.2 (a) zeigt ein Ausgangsgitter f¨ ur die Diskretisierung eines Einheitsquadrats. Die dickeren Linien deuten das Gitter der Kontrollpunkte an. Ihnen ist direkt zu entnehmen, dass in diesem Fall Ψ = 4 und Ω = 1 gilt. Durch Verschieben eines oder mehrerer Kontrollpunkte auf der Oberseite des Einheitsquadrats entstehen dann die verzerrten Konfigurationen, wie sie die Bilder 5.2 (b)-(d) zeigen. Ein Beispiel mit praktischer Relevanz zeigt Abbildung 5.3. Ausgehend von einem einfachen Rechteckbalken wird mit insgesamt 11 Verschiebungsfeldern ein Fl¨ ugelprofil “ erzeugt. Diese ” Konfiguration ist auch Gegenstand einer Optimierungsrechnung im n¨achsten Kapitel. Da an dieser Stelle jedoch nur Wert auf die Verdeutlichung der Verschiebungsvektoren Wert gelegt wird, zeigen die Bilder nur den Ausschnitt des gesamten Berechnungsgebiets in der N¨ahe des umstr¨omten K¨orpers mit dem entsprechenden Gitter. Unterbild (a) zeigt die Ausgangskonfiguration ohne Deformation. Die nachfolgenden Bilder stellen dann deformierte Zust¨ande dar, die durch die Anwendung der jeweiligen Verschiebungsvektoren entstehen. F¨ ur diese Pr¨asentation sind die Vektoren willk¨ urlich skaliert. Um die Dicke des gesamten Profils beeinflussen zu k¨onnen, werden drei Verschiebungsvektoren verwendet. Der erste erlaubt die Verbreiterung des Bugs, w¨ahrend der zweite und dritte die vertikale Position der unteren bzw. oberen Ecke des Hecks ver¨andert. Neben der Dicke kann damit auch der Anstellwinkel des Profils kontrolliert werden (siehe Bilder 5.3 (b)-(d)). Die n¨achsten beiden Vektoren dienen der Abrundung des Bugs bzw. Hecks (siehe Bilder 5.3 (e)-(f)). Der wesentliche Einfluss zur Generierung von Auftrieb ist nat¨ urlich die Form der Ober- und Unterseite. Daher werden jeweils drei Verschiebungsvektoren f¨ ur diese Verformung verwendet. Der K¨ urze halber zeigen die Abbildungen 5.3 (g) und (h) jeweils Kombinationen der entsprechenden drei Verschiebungskomponenten.

5.3

Kopplung der Teilkomponenten

Mit dem numerischen Optimierer, dem numerischen Str¨omungssimulationsprogramm und dem Verfahren zur Gestalts¨anderung stehen drei separate Werkzeuge zur Verf¨ ugung, die ihre Teilauf-

98

5 Konzept zur Gestaltsoptimierung von Str¨ omungsgebieten

(a)

(b)

(c)

(d)

Abbildung 5.2: Beispiele f¨ur die Deformation eines Gitters f¨ur das Einheitsquadrat mit Ψ = 4 und Ω = 1 durch Verschieben eines oder zweier Kontrollpunkte.

99

5.3 Kopplung der Teilkomponenten

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

(g)

(h)

Abbildung 5.3: Deformation eines Balkens zur Generierung von Fl¨ugelprofilen“. (a) Aus” gangskonfiguration, (b) Verbreiterung des Bugs, (c) Absenkung des unteren Teils des Hecks, (d) Absenkung des oberen Teils des Hecks, (e) Abrundung des Bugs, (f) Abrundung des Hecks, (g) Verformung der Unterseite mit 3 Verschiebungsvektoren, (h) Verformung der Oberseite mit 3 Verschiebungsvektoren.

100

5 Konzept zur Gestaltsoptimierung von Str¨ omungsgebieten

gabe effizient im Sinne der Gesamtrechenzeit l¨osen. Eine direkte Kopplung durch Einbettung der Gestalts¨anderung und des Str¨omungsl¨osers in den Ablauf des Optimierers ist auf Grund von ¨ Uberschneidungen bei der Allokierung von Speicher nur unter sehr großem Aufwand m¨oglich. Deshalb ist die Kopplung der drei Komponenten u ¨ber ein viertes Programm realisiert, welches die Koordination der Aufrufe der Teilkomponenten u uber hinaus den ¨bernimmt. Dies hat dar¨ Vorteil, dass die Ersetzung einzelner Komponenten durch entsprechende alternative Verfahren einfach zu realisieren ist, z. B. um einen Str¨omungsl¨oser f¨ ur drei Dimensionen zu verwenden oder um einen anderen Optimierer zu testen. Um den Zustand des Gesamtverfahrens zu ermitteln, werden die Datei-Ausgaben der beteiligten Programme benutzt. Die Umsetzung erfolgt im Rahmen dieser Arbeit durch die Verwendung einer Skript-Sprache. Daher wird dieses vierte Programm im Weiteren als Steuer-Skript bezeichnet. Das Gesamtverfahren l¨asst sich somit durch die folgenden Schritte charakterisieren (vgl. auch Abbildung 5.4): 1. Initialisierung Aufruf des Steuer-Skripts durch den Anwender unter Angabe eines Verzeichnisses zur Speicherung der Ergebnisse. 2. Start des Optimierers Der Optimierer wird durch das Steuer-Skript im Hintergrund gestartet, d. h. beide Programme laufen parallel. Der Optimierer berechnet einen neuen Satz an Designvariablen und gibt ihn in einer Datei (hier: desvar.dat) aus. Danach geht der Optimierer in einen Wartezustand, d. h. er ist dann inaktiv. 3. Gestalts¨ anderung Parallel zum Optimierer wartet das Steuer-Skript bis die Datei desvar.dat existiert. Es startet dann das Programm zur Gestalts¨anderung im Vordergrund, d. h. ausschließlich die Methode zur Gestalts¨anderung ist aktiv und das Steuer-Skript ist bis zu dessen Beendigung inaktiv. Das Programm zur Gestalts¨anderung verwendet die Informationen aus der Datei desvar.dat, um die Verschiebungsvektoren zu skalieren und das deformierte Gitter zu erzeugen. 4. Simulation der Str¨ omung Nach der Erzeugung eines neuen Gitters f¨ ur die verformte Geometrie startet das SteuerSkript FASTEST im Vordergrund, wobei wiederum das Steuer-Skript bis zur Beendigung von FASTEST inaktiv ist. FASTEST selbst liest das Ergebnis der vorhergehenden Simulation als Startl¨osung ein, um die Berechnung zu beschleunigen. 5. Konvergenztest der Str¨ omungssimulation (a) Konvergenz Im Fall der Konvergenz gibt FASTEST das berechnete Ergebnis der Zielfunktion (Druckverlust, Auftriebsbeiwert, etc.) in einer Datei aus (hier: putl). Das SteuerSkript sendet dann dem Optimierer ein Signal, das diesen veranlasst, fortzufahren. (b) Divergenz Falls FASTEST kein Ergebnis berechnen kann, ist die Auswertung der Zielfunktion ur die Divergenz f¨ ur diesen Designvariablensatz zun¨achst nicht m¨oglich. Ursache f¨

5.3 Kopplung der Teilkomponenten

101

von FASTEST k¨onnen unter anderem zu hoch gew¨ahlte Unterrelaxationsparameter sein. Daher ist es sinnvoll, FASTEST erneut f¨ ur diesen Designvariablensatz mit reduzierten Unterrelaxationsparametern zu starten. Falls FASTEST erneut nicht konvergiert, wird dieser Designvariablensatz ausgeschlossen. Dies wird dem Optimierer durch einen entsprechenden Eintrag in der Datei putl mitgeteilt. Auf jeden Fall wird dem Optimierer das Signal zum Fortfahren gesendet. 6. Konvergenztest des Optimierers Der Optimierer ist nun in der Lage, die Systemantwort f¨ ur den vorgeschlagenen Designvariablensatz aus der Datei putl einzulesen. Anschließend u uft er, ob ein Optimum ¨berpr¨ mit der angegebenen Genauigkeit gefunden ist. Ist dies der Fall, beendet sich das Gesamtverfahren. Andernfalls berechnet der Optimierer einen neuen Designvariablensatz und das Gesamtverfahren wird mit Punkt 3 fortgesetzt.

Ergebnis schreiben

Startlösung einlesen

Optimierer

Steuer−Skript

FASTEST

Ja

Ausschluss der Designvariablen

Nein

Konvergenz FASTEST

Konservative Parameter

Nein

Ende

Ja

Konvergenz Optimierer

Ja

Konvergenz FASTEST

FASTEST

Geometrievariation

Initialisierung

Nein

Ergebnis schreiben

Startlösung einlesen

102 5 Konzept zur Gestaltsoptimierung von Str¨ omungsgebieten

Abbildung 5.4: Ablaufdiagramm des Gesamtverfahrens

103

Kapitel 6 Analyse der Optimierungsmethode Die nachfolgenden Beispiele dienen der Analyse der vorgestellten Methode zur Gestaltsoptimierung von Str¨omungsgebieten. Die Testf¨alle sind so gew¨ahlt, dass sie verschiedene Problemstellungen aus der technischen Praxis abdecken. Es handelt sich dabei um die Minimierung des Druckverlusts in einer Kanalstr¨omung, der Maximierung der Auftriebskraft im Fall eines umstr¨omten K¨orpers und der Optimierung des W¨arme¨ ubergangs an umstr¨omten Bauteilen. Die Beispiele repr¨asentieren jedoch keine konkreten Aufgabenstellungen, sondern sollen die Eigenschaften und die prinzipielle Anwendbarkeit der Optimierungsmethode aufzeigen. Sie sind daher entsprechend abstrahiert, um die Besonderheiten des Verfahrens deutlich herauszuarbeiten. Folglich sind auch nicht die durch die Optimierung erhaltenen Geometrien von Hauptinteresse, sondern vielmehr die Einfl¨ usse verschiedenster Parameter auf das Endergebnis und den Optimierungsverlauf. Zu solchen Einflussfaktoren z¨ahlen Aspekte aus der Str¨omungsmechanik, wie z. B. der Reynolds-Zahl, aber auch Effekte aus der Numerik, wie der Diskretisierungsfehler oder die Einstellungen des Optimierers. Auch auf eventuelle Interaktionen der Parameter wird an den entsprechenden Stellen eingegangen.

6.1

Minimierung des Druckverlusts (Kanalstr¨ omung)

F¨ ur eine einf¨ uhrende Untersuchung der Optimierungsmethode dient der relativ einfache Testfall einer Kanalstr¨omung. Dabei soll die Gestalt eines Verbindungsst¨ ucks zwischen zwei versetzt angeordneten Kanalabschnitten hinsichtlich des Druckverlusts optimiert werden. Abbildung 6.1 zeigt die Geometrie einer nahe liegenden, aber wahrscheinlich nicht optimalen Variante einer Verbindung mit der Kanalh¨ohe H = 0.002 m. Trotzdem dient diese M¨oglichkeit als Startl¨osung jedes Optimierungsprozesses. Als str¨omendes Medium wird Wasser mit einer konstanten Dichte von ρ = 1000 kg/m3 und einer konstanten dynamischen Viskosit¨at von µ = 10−3 Pas angenommen. Die Diskretisierung des Problemgebiets erfolgt durch f¨ unf sukzessiv verfeinerte Gitter mit 40 × 4 KV auf der gr¨obsten und 640 × 64 KV auf der feinsten Ebene. Untersuchung des Einflusses der Reynolds-Zahl Das Augenmerk der ersten Untersuchung liegt auf dem Einfluss der Reynolds-Zahl. Durch Variation der Einstromgeschwindigkeit um = 0.0005 m/s, 0.05 m/s und 5 m/s l¨asst sich diese auf Re = 1, 100 und 10000 einstellen. F¨ ur Re = 1 und 100 liegen laminare Str¨omungen vor,

104

6 Analyse der Optimierungsmethode Ausstrom 3 Wand

2

H

Wand 5H

H

y

Einstrom

1

5H

5H

10H

x

Abbildung 6.1: Geometrie des Testfalls zweier versetzt angeordneter Kan¨ale. Die Skizze gibt die Dimensionen nicht maßstabsgetreu wider, um die Deutlichkeit zu erh¨ohen. weshalb das parabelf¨ormige Profil einer voll entwickelten Kanalstr¨omung am Einstromrand definiert wird: y  y u(y) = 6um 1− . (6.1) H H F¨ ur Re = 10000 ist die Str¨omung turbulent, so dass die Vorgabe eines Blockprofils am Einstrom sinnvoll ist: u(y) = um . (6.2) Die Effekte der Turbulenz werden durch das k-ε-Modell mit Wandfunktionen erfasst. Die Ein3/2 stromwerte f¨ ur die Turbulenzgr¨oßen sind zu kin = u2m /100 und εin = kin /l mit dem L¨angenmaß l = 0.001 m gew¨ahlt. Die Diskretisierung des Problemgebiets erfolgt mit dem feinsten Gitter, welches insgesamt 640 × 64 = 40960 Berechnungspunkte besitzt. Die Gestalts¨anderung wird durch Deformation der Ober- bzw. Unterkante des Verbindungsst¨ ucks realisiert. Die Parametrisierung erfolgt mit Hilfe von jeweils 5 Kontrollpunkten1 auf der Ober- bzw. Unterseite. Es existieren also insgesamt 10 Kontrollpunkte, von denen aber die in den Ecken liegenden nicht verschoben werden ¨ d¨ urfen, um die geometrische Ubergangsbedingung zu den Bl¨ocken 1 und 3 zu gew¨ahrleisten. Dem sei hinzugef¨ ugt, dass der rechte bzw. linke Rand des Verbindungsst¨ ucks aus dem gleichen Grund nicht verformt werden darf. Folglich ist man in der Lage, sechs unabh¨angige Verschiebungsfelder zu generieren. Abbildung 6.2 zeigt die Wirkung dieser Verschiebungsfelder auf das Ausgangsgitter. Die Abbildungen 6.3-6.5 zeigen die Ergebnisse der jeweiligen Optimierungen f¨ ur die ReynoldsZahlen Re = 1, 100 und 10000. Interessant ist, dass die optimalen Geometrien sich deutlich unterscheiden. Bei der niedrigen Reynolds-Zahl wird eine ausgepr¨agte Kanalerweiterung als optimal vorhergesagt. Daraus resultieren große Rezirkulationszonen im Bereich des Ein- bzw. Ausstroms der zu optimierenden Geometrie. Mit anwachsender Reynolds-Zahl l¨asst diese Ten1

Folglich besitzen die verwendeten Bernsteinpolynome die Ordnung 4.

6.1 Minimierung des Druckverlusts (Kanalstr¨ omung)

105

Abbildung 6.2: Darstellung der 6 Verschiebungsvektoren f¨ur den Testfall zweier versetzt angeordneter Kan¨ale anhand der resultierenden Gitter. Dargestellt ist jeweils nur ein Gitterausschnitt, um die Deutlichkeit zu erh¨ohen.

106

6 Analyse der Optimierungsmethode

denz nach und bei Re = 10000 treten bei der optimalen Gestalt keine Str¨omungsabl¨osungen mehr auf. Das Auftreten von Rezirkulationszonen bei einer optimalen Gestalt bez¨ uglich des Druckverlusts u ¨berrascht insofern, dass in den auftretenden Wirbeln zus¨atzliche Energie dissipiert wird und damit ein Anwachsen des Druckverlusts zu erwarten w¨are. Offensichtlich wird bei den niedrigeren Reynolds-Zahlen dieser Anstieg durch einen gegenteiligen Effekt mehr als kompensiert. Nach der Stromfadentheorie kann dieser zweite Effekt bei der vorliegenden Kanalstr¨omung nur die Absenkung der Wandreibungsverluste sein. Diese sind proportional zu den Wandschubspannungen, die selbst wiederum mit den Gradienten der tangentialen Geschwindigkeit an der Wand korreliert sind. Durch die Rezirkulationszonen tritt offensichtlich eine Reduzierung dieser Gradienten auf, wodurch bei den niedrigen Reynolds-Zahlen die Abl¨oseverluste mehr als aufgewogen werden. Eine Absch¨atzung dieser gegens¨atzlichen Effekte f¨ ur eine einfache Rohrstr¨omung und verschiedene Reynolds-Zahlen ist in Hahn [35] gegeben. Gegebenenfalls hat die Reynolds-Zahl nicht nur Einfluss auf die optimale Gestalt, sondern auch auf den Verlauf der Optimierung. Dazu zeigt Abbildung 6.6 den Verlauf der Reduktion des Druckverlusts u ur die untersuchten Reynolds-Zahlen. ¨ber den Optimierungsiterationen f¨ Zum Einen ist diesem Diagramm zu entnehmen, dass f¨ ur jeden Str¨omungsfall eine Reduzierung des Druckverlusts um ca. 50 % im Vergleich zu der Startl¨osung gelingt, wobei die st¨arkste Verringerung in den ersten zwanzig Iterationen erreicht wird. Dabei ist die Reduzierung f¨ ur die turbulente Str¨omung mit insgesamt 43,64 % am h¨ochsten, w¨ahrend sie f¨ ur Re = 100 mit 50,64 % am niedrigsten ausf¨allt. Zum Anderen gilt, dass sich die Anzahl der bis zur Konvergenz des Optimierers ben¨otigten Iterationen mit steigender Reynolds-Zahl leicht verringert. Insgesamt ist aber keine starke Abh¨angigkeit des Verlaufs des Verfahrens von der Reynolds-Zahl gegeben.

Untersuchung des Einfluss der Parametrisierung Um den Einfluss der Parametrisierung n¨aher zu beleuchten, kommen neben der Variante mit sechs Verschiebungsfeldern auch ein Satz mit 18 Vektoren zur Anwendung. Man erh¨alt diesen durch Erh¨ohung der Ordnung der Bernsteinpolynome auf der Ober- und Unterseite auf jeweils zehn. Damit ist man in der Lage, pl¨otzliche Kanalerweiterungen besser zu beschreiben, da der erste bzw. letzte Kontrollpunkt jeder Seite mit steigender Ordnung n¨aher an die Grenzen der parametrisierten Geometrie r¨ uckt. Prinzipiell unterscheiden sich die Verschiebungsfelder jedoch nicht von denen des letzten Abschnitts, so dass auf eine Darstellung verzichtet wird. Wiederum sind die beiden anderen Einflussfaktoren konstant gehalten, so dass dieser Untersuchung die Reynolds-Zahl Re = 100 und das feinste Gitter mit 40960 Berechnungspunkten zu Grunde liegt. Abbildung 6.7 zeigt die optimierte Gestalt f¨ ur 18 Designvariablen. Deutlich ist zu erkennen, dass ¨ sich im Bereich des Ubergangs vom ersten zum zweiten Block eine noch sch¨arfere und gr¨oßere Kanalerweiterung ergibt, als das bei 6 Designvariablen der Fall ist (vgl. Abbildung 6.4). Dagegen ist die Rezirkulationszone im Bereich des Ausstroms aus Block 2 weitgehend unver¨andert. Zus¨atzliche Informationen liefert das Diagramm in Abbildung 6.8. Es ist zu erkennen, dass mit 18 im Vergleich zu 6 Designvariablen eine weitere Reduzierung des Druckverlusts gelingt, auch wenn diese ¨außerst gering ausf¨allt. Allerdings muss das bessere Ergebnis mit ungef¨ahr dreimal so vielen Iterationen erkauft“ werden, um das gleiche Konvergenzkriterium zu erreichen. Geht ” man von dem Standpunkt aus, dass die H¨ohe der Reduzierung des Druckverlusts maßgeblich ist

6.1 Minimierung des Druckverlusts (Kanalstr¨ omung)

107

Abbildung 6.3: Optimierte Geometrie f¨ur die Verbindung zweier versetzter Kan¨ale bei Re = 1 mit 6 Designvariablen.

Abbildung 6.4: Optimierte Geometrie f¨ur die Verbindung zweier versetzter Kan¨ale bei Re = 100 mit 6 Designvariablen.

und nicht die Gestalt, mit der diese erreicht wird, erscheint es also unn¨otig, 18 Designvariablen zu verwenden und die entsprechende Rechenzeiterh¨ohung in Kauf zu nehmen. Trotzdem ist zu konstatieren, dass im Allgemeinen eine sorgf¨altige Wahl der Parametrisierung zu treffen ist, um den L¨osungsraum nicht unn¨otig einzuschr¨anken. Unter Umst¨anden sind auch in der Praxis mehrere Optimierungen mit unterschiedlichen Parametrisierungen notwendig.

108

6 Analyse der Optimierungsmethode

Abbildung 6.5: Optimierte Geometrie f¨ur die Verbindung zweier versetzter Kan¨ale bei Re = 10000 mit 6 Designvariablen.

Reduzierung des Druckverlusts in %

140 Re = 1 Re = 100 Re = 10000

120

100 80

100

60 40

80

0

10

20

30

40

60 50,64% 46,18% 43,64%

40 0

50

100

150

Anzahl der Optimierungsiterationen

Abbildung 6.6: Verlauf der Reduktion des Druckverlusts ¨uber den Optimierungsiterationen f¨ur verschiedene Reynolds-Zahlen. Untersuchung des Einflusses des Diskretisierungsfehlers Wie oben erw¨ahnt, stehen f¨ ur die Berechnung der Str¨omung durch das Kanalsystem f¨ unf verschieden feine Gitter zur Verf¨ ugung. Auf Grund des Diskretisierungsfehlers ist der berechnete Funktionswert (hier: der Druckverlust) jedoch abh¨angig von der Gitterebene, auch wenn der Designvariablensatz jeweils der gleiche ist. Unter Umst¨anden h¨angt damit auch das gefundene Optimum von der verwendeten Gitterebene ab. Um dies zu kompensieren, besteht die M¨oglichkeit, nicht das Ergebnis einer einzelnen Gitterebene direkt zu benutzen, sondern durch Anwendung der Richardson-Extrapolation eine gitterunabh¨angige L¨osung als Basis f¨ ur den Optimierungsprozess heranzuziehen. Diese l¨asst sich bestimmen, indem in jeder Optimierungsiteration die

6.1 Minimierung des Druckverlusts (Kanalstr¨ omung)

109

Abbildung 6.7: Optimierte Geometrie f¨ur die Verbindung zweier versetzter Kan¨ale bei Re = 100 mit 18 Designvariablen. Ergebnisse des Druckverlusts auf den Gittern drei bis f¨ unf berechnet werden. Mit diesen Werten und der Hilfe der Gleichungen (4.5) und (4.4) l¨asst sich dann die gitterunabh¨angige L¨osung bestimmen. Als Nachteil dieser Methode wirkt sich aus, dass f¨ ur jeden Datensatz L¨osungen auf drei verschieden feinen Gittern berechnet werden m¨ ussen. F¨ ur praktische Anwendungsf¨alle ist dies in der Regel nicht zu realisieren. Bei dem hier betrachteten einfachen Testfall liefert die Optimierung mit der gitterunabh¨angigen L¨osung jedoch einen guten Vergleichswert, um die Ergebnisse der einzelnen Gitterebenen zu verifizieren.. F¨ ur die Parametrisierung kommen 6 Verschiebungsfelder zum Einsatz, w¨ahrend die Reynolds-Zahl zu Re = 1 und Re = 100 gew¨ahlt wird. Abbildung 6.9 zeigt zun¨achst f¨ ur Re = 100 einen Ausschnitt des zu optimierenden Gebiets im ¨ Bereich des Ubergangs zwischen Block 2 und 3. Zu erkennen sind dabei die Ergebnisse, die sich bei der Optimierung mit dem jeweils berechneten Druckverlust auf den Gitterebenen drei bis f¨ unf ergeben. Zus¨atzlich ist die resultierende Gestalt eingezeichnet, falls der Optimierung die gitterunabh¨angige L¨osung zu Grunde gelegt wird. Insgesamt unterscheiden sich die vier berechneten Gestaltsvorschl¨age kaum. Insbesondere ist zu erkennen, dass sich mit feiner werdendem Gitter das Ergebnis der gitterunabh¨angigen L¨osung asymptotisch n¨ahert. Die ¨ortliche Diskretisierung der verwendeten Gitter ist also ausreichend fein, so dass der Diskretisierungsfehler in diesem Fall keinen entscheidenden Einfluss auf das Optimierungsergebnis hat. Folglich h¨atte eine Optimierung basierend auf den Ergebnissen des dritten Gitters ausgereicht, um ein hinreichend genaues Ergebnis zu erhalten. Mit diesem Wissen h¨atte nat¨ urlich durch die entsprechend niedrige Anzahl an Berechnungspunkten erheblich Rechenzeit eingespart werden k¨onnen. Die Verh¨altnisse ¨andern sich bei Verwendung der Reynolds-Zahl Re = 1. In diesem Fall l¨asst

110

Reduzierung des Druckverlusts in %

6 Analyse der Optimierungsmethode

6 DV 18 DV

100

100 80 60

80 40

0

10

20

30

40

60

40

0

100 200 Anzahl der Optimierungsiterationen

300

Abbildung 6.8: Verlauf der Reduktion des Druckverlusts ¨uber den Optimierungsiterationen f¨ur 6 und 18 Designvariablen (DV). sich mit den Ergebnissen der Gitter 3 bis 5 die erwartete Ordnung von zwei nicht f¨ ur alle Gestaltsvariationen bestimmen, so dass eine Extrapolation der Ergebnisse nicht sinnvoll ist und die gitterunabh¨angige L¨osung nicht durchg¨angig berechnet werden kann. Abbildung 6.10 zeigt daher die Ergebnisse der Optimierungsrechnungen mit den Gittern drei bis f¨ unf. Deutlich ist zu erkennen, dass sich die Gestaltsvorschl¨age im Gegensatz zu dem Fall Re = 100 deutlich unterscheiden. Insbesondere ist noch keine Ann¨aherung an eine asymptotische L¨osung zu erkennen. F¨ ur Re = 1 h¨atte also auf gar keinen Fall die Berechnung mit dem dritten Gitter ausgereicht, um eine von dem Diskretisierungsfehler weitestgehend unabh¨angige L¨osung zu erhalten. Auch bei ¨ den beiden anderen Gitterebenen besteht diesbez¨ uglich keine Sicherheit. F¨ ur eine Uberpr¨ ufung, ob das f¨ unfte Gitter ausreichend fein ist, m¨ usste eine weitere Gitterverfeinerung durchgef¨ uhrt werden. Da es an dieser Stelle jedoch nicht das Ziel ist, eine von dem Diskretisierungsfehler unabh¨angige L¨osung f¨ ur alle Reynolds-Zahlen zu finden, sondern lediglich zu zeigen, dass der Diskretisierungsfehler erheblichen Einfluss haben kann, wird auf die Verwendung einer weiteren Gitterebene verzichtet. Es dr¨angt sich jedoch die Frage auf, warum im Fall Re = 100 die verwendeten Gitterebenen ausreichend fein sind, um ein von dem Diskretisierungsfehler nahezu unabh¨angiges Ergebnis zu generieren, w¨ahrend f¨ ur Re = 1 die gleiche Aufl¨osung offensichtlich nicht ausreicht. Nat¨ urlich kann dies durch die unterschiedliche Reynolds-Zahl begr¨ undet werden. Allerdings kann zus¨atzlich ein weiteres Argument in Betracht gezogen werden. Bei Re = 1 ist der Kanal im optimalen Punkt sehr viel st¨arker aufgeweitet als bei Re = 100. Folglich sind dann die Gitterabst¨ande bei gegebener KV-Anzahl gr¨oßer und damit die Aufl¨osung geringer. Dies kann dazu f¨ uhren,

111

6.2 Maximierung des Auftriebs (umstr¨ omter K¨ orper)

3. Gitter 4. Gitter 5. Gitter Gitterunabhängige Lösung

Abbildung 6.9: Optimierte Geometrie f¨ur die Verbindung zweier versetzter Kan¨ale f¨ur verschiedene ¨ortliche Diskretisierungen bei Re = 100. dass der Bereich der asymptotischen Konvergenz verlassen wird und das Optimierungsergebnis starke Abh¨angigkeit von dem Diskretisierungsfehler aufweist. Es ist also darauf zu achten, dass die gew¨ahlte Aufl¨osung nicht nur f¨ ur die Ausgangskonfiguration hinreichend hoch ist, sondern auch f¨ ur alle w¨ahrend der Optimierung auftretenden Variationen und insbesondere auch f¨ ur den optimalen Gebietsvorschlag.

6.2

Maximierung des Auftriebs (umstr¨ omter K¨ orper)

Als zweiter Testfall dient die Maximierung der Auftriebskraft, die durch Umstr¨omung eines K¨orpers generiert wird. Als Ausgangsform f¨ ur diesen K¨orper wird eine ebene Platte angenommen. Einen Eindruck der Ausgangsgeometrie mit der entsprechenden Bemaßung gibt Abbildung 6.11. Das Gebiet ist so groß gew¨ahlt, dass die ¨außeren Gebietsr¨ander nur noch einen zu vernachl¨assigenden Einfluss auf das Str¨omungsverhalten in der unmittelbaren Umgebung um das Profil haben. Die Reynolds-Zahl basierend auf der L¨ange der Platte L = 0.5 m betr¨agt Re = 2, 5 · 106 . Als str¨omendes Medium wird Luft mit einer konstanten Dichte von ρ = 1 kg/m3 und einer konstanten dynamischen Viskosit¨at von µ = 1 · 10−5 Pas angenommen. Damit ergibt sich eine (konstante) Geschwindigkeit am Einstrom von uin = 50 m/s. Die Einstrom3/2 werte f¨ ur die Turbulenzgr¨oßen sind zu kin = u2in/100 und εin = kin /l mit dem L¨angenmaß l = 0.1 m gew¨ahlt. An dem Profil selbst gilt die Haftbedingung f¨ ur das str¨omende Medium. An der Ober- und Unterseite des Berechnungsgebiets wird eine Symmetriebedingung angenommen. Am Ausstrom gilt die u ¨bliche Null-Gradienten-Bedingung. Die Gitterpunkte sind um das Profil stark verdichtet, um die viskose Unterschicht der turbulenten Str¨omung in Wandn¨ahe aufzul¨osen. Damit kann das LowRe-Modell nach Chien f¨ ur die Bestimmung der Str¨omungsverh¨altnisse angewendet werden. Insgesamt besitzt das verwendete

112

6 Analyse der Optimierungsmethode

4. Gitter

5. Gitter

3. Gitter

Abbildung 6.10: Optimierte Geometrie f¨ur die Verbindung zweier versetzter Kan¨ale f¨ur verschiedene ¨ortliche Diskretisierungen bei Re = 1. Gitter 46080 Berechnungspunkte. F¨ ur die Parametrisierung der Geometrie werden 11 Freiheitsgrade gew¨ahlt. Eine Darstellung der entsprechenden Verschiebungsfelder zeigt die Abbildung 5.3 im vorhergehenden Kapitel. Die Verschiebungsfelder sind so gew¨ahlt, dass die Dicke des Profils linear zum Bug und zum Heck beeinflusst werden kann. Dar¨ uber hinaus ist eine vertikale Bewegung des Hecks m¨oglich. Zwei Verschiebungsfelder dienen zum Abrunden des Bugs bzw. Hecks. Die Ober- und Unterseite des K¨orpers ist mit jeweils 5 Kontrollpunkten parametrisiert, von denen jeweils die mittleren drei verschoben werden k¨onnen. Das Ziel der Optimierung ist, die Auftriebskraft Fl zu maximieren, bzw. den negativen Auftrieb zu minimieren, womit wieder ein Minimierungsproblem vorliegt, das von dem verwendeten Optimierer gel¨ost werden kann. Die Widerstandskraft Fw soll dabei einen vorgegebenen Schwelur die folgenden Untersuchungen zu lenwert Fws nicht u ¨berschreiten. Dieser Schwellenwert wird f¨ Fws = 40 N gesetzt, was einer Erh¨ohung der Widerstandskraft um ca. 40 % im Vergleich zu der Ausgangskonfiguration entspricht. Wie erw¨ahnt, wird diese Restriktion u ¨ ber einen Straffunktionsansatz der Zielfunktion hinzugef¨ ugt. In der vorliegenden Untersuchung wird die folgende Vorschrift angewendet, um die zu optimierende Funktion zu bestimmen: $ −Fl + 1/ (Fws − Fw ) falls Fw < Fws −  f˜ = (6.3) −Fl + υ (Fw − Fws + ) + 1/, andernfalls .

113

6.2 Maximierung des Auftriebs (umstr¨ omter K¨ orper)

15 L Symmetrie

Wand 6L

0.02 L L

Ausstrom

Einstrom

2.99 L

Symmetrie

y

x

Abbildung 6.11: Ausgangsgeometrie f¨ur die Optimierung des Auftriebskraft eines umstr¨omten K¨orpers. Die Skizze gibt die Verh¨altnisse nicht maßstabsgetreu wieder, um die Deutlichkeit zu erh¨ohen. Dabei bezeichnen υ und  konstante Werte, die in Abh¨angigkeit von der Problemstellung gew¨ahlt werden. Als zweckm¨aßig haben sich f¨ ur diesen Fall υ = 1010 und  = 1 herausgestellt. Abbildung 6.12 zeigt den Wert der Straffunktion u ¨ber dem Widerstandsbeiwert. Deutlich ist zun¨achst zu erkennen, dass die Straffunktion mit steigendem Widerstand monoton ansteigt. Bei zul¨assigen Werten des Widerstandsbeiwerts Fw < FwS nimmt sie einen relativ kleinen Wert an, um dann im Bereich des Schwellenwerts stark anzusteigen. Die dann f¨ ur Fw > FwS vorliegenden großen Werte liefern dem Optimierer die Information, dass es sich hier um einen unzul¨assigen Bereich handelt. Die Optimierung der auf einen umstr¨omten K¨orper wirkenden Kr¨afte ist nat¨ urlich eine klassische Anwendung aus dem Flugzeugbau. Daher ist zu vermuten, dass die optimierte Form eine Art Tragfl¨ ugel darstellt. Trotzdem ist es nicht Ziel dieser Untersuchung, einen Vorschlag f¨ ur einen optimalen Fl¨ ugel zu pr¨asentieren, da essentielle Kenngr¨oßen des Flugzeugbaus nicht in die Optimierung einfließen, z. B. der Windangriffswinkel oder die Vermeidung von Str¨omungsabrissen. Vielmehr soll der Einfluss von weiteren, bisher nicht ber¨ ucksichtigten Optimierungsparametern auf das Endergebnis demonstriert werden. Als besonders kritisch hat sich dabei die Wahl des anf¨anglichen Trust-Region-Radius ∆ini tr herausgestellt. Zwar wird dieser Suchradius im Laufe der Optimierung verkleinert, bis Konvergenz bei Unterschreiten einer Grenze festgestellt wird, aber der Anfangswert hat Einfluss auf den Konvergenzverlauf, d. h. Anzahl der Optimierungsiterationen, und auch auf das Ergebnis, d. h. das gefundene Optimum. Auch die Reinitialisierung des Suchradius im Laufe der Optimierung kann positiven Einfluss auf das Endergebnis haben, z. B. um in der Lage zu sein, ein lokales Optimum zu verlassen. Ein dritter Aspekt, der im Folgenden beleuchtet werden soll, ist der Einfluss von alternativen Verschiebungsfeldern, die

114

6 Analyse der Optimierungsmethode

Straffunktion

S

10

15

10

10

10

5

10

0

10

Fw

−5

0

20

40 Widerstandskraft Fw

60

80

Abbildung 6.12: Anteil der Straffunktion u¨ber der Widerstandskraft gem¨aß Gleichung (6.3) f¨ur FwS = 40 N, υ = 1010 und  = 1. zwar ¨aquivalente Geometrien liefern, aber dies mit unterschiedlicher Gitterqualit¨at tun. Untersuchung des Einflusses des Trust-Region-Radius Die Abbildungen 6.13(a)-6.13(c) zeigen das gefundene Optimum mit den anf¨anglichen TrustRegion-Radien ∆ini tr = 0.05, 0.1 und 0.2. Deutlich ist zu erkennen, dass die jeweils optimale Gestalt stark von diesem Parameter abh¨angt. Offensichtlich existieren mehrere lokale Optima, die je nach Schrittweite gefunden werden. Es ist allerdings davon auszugehen, dass noch weit mehr Optima existieren. ¨ Eine Ubersicht u ¨ber den durch die Profile produzierten Auftrieb gibt Abbildung 6.14. Das Diagramm zeigt den Verlauf der Auftriebsbeiwerte u ¨ber den Optimierungsiterationen. Die Beiwerte leiten sich aus den entsprechenden Kr¨aften durch geeignete Normierung ab: cl =

2Fl , ρAaus u2in

bzw.

cw =

2Fw . ρAaus u2in

(6.4)

mit der Schattenfl¨ache Aaus = 0.01 m des Ausgangsprofils quer zur Anstr¨omung. Es sei an dieser Stelle erw¨ahnt, dass bei der Simulation einiger weniger Konfigurationen Schwierigkeiten mit der Konvergenz des Str¨omungsl¨osers auftreten, d. h. es k¨onnen keine sinnvollen L¨osungen erzielt werden. Die entsprechenden Ergebnisse sind daher in den jeweiligen Diagrammen nicht dargestellt. F¨ ur eine Erkl¨arung der Konvergenzprobleme sei auf den nachfolgenden Abschnitt verwiesen.

115

6.2 Maximierung des Auftriebs (umstr¨ omter K¨ orper)

∆ini tr

0.05

0.1

0.2

Fwopt

39.60

39.67

39.12

0.09966

0.1099

0.1295

opt

A

Tabelle 6.1: Berechnete Widerstandskraft Fwopt und Schattenfl¨ache quer zur Str¨omung Aopt f¨ur das jeweilige Optimum mit verschiedenen anf¨anglichen Trust-Region-Radien ∆ini tr

(a)

(b)

(c)

Abbildung 6.13: Auftriebsoptimierte Gestalt des umstr¨omten Profils f¨ur verschiedene anf¨angliche Trust-Region-Radien ∆ini tr = 0.05 (a), 0.1 (b) und 0.2 (c). Deutlich ist dem Diagramm 6.14 zu entnehmen, dass das mit ∆ini tr = 0.05 optimierte Profil den ini gr¨oßten Auftrieb liefert, w¨ahrend mit ∆ini tr = 0.1 und ∆tr = 0.2 der gefundene maximale Wert abnimmt. Bezieht man das jeweilig bestimmte Fl¨ ugelprofil in die Betrachtung mit ein, so verwundert der Unterschied im generierten Auftrieb zun¨achst nicht. Es schließt sich allerdings die Frage an, warum man mit den beiden gr¨oßeren Schrittweiten nicht das gleiche Optimum wie im Fall ∆ini tr = 0.05 findet, da dieses zum Einen das Beste der berechneten Ergebnisse darstellt und zum Anderen auch dem abgedeckten L¨osungsraum mit gr¨oßerer Schrittweite angeh¨oren muss. Ein Erkl¨arungsansatz ist in der angewendeten Approximation zu suchen, die bei den gr¨oßeren Schrittweiten nicht in der Lage ist, das entsprechende Minimum in der Zielfunktion korrekt zu modellieren. Damit ist folglich der Optimierer auch nicht in der Lage, die entsprechende Konfiguration zu finden. Bez¨ uglich des Widerstands ist es etwas u ur ¨berraschend, dass die auf die K¨orper wirkende Kraft f¨ alle drei gezeigten Profile, wie gew¨ unscht, knapp unterhalb des Restriktionswerts liegt (vgl. Tabelle 6.1). Auf den ersten Blick scheint gerade das mit ∆ini tr = 0.2 berechnete Profil in Abbildung 6.13(c) den Eindruck zu vermitteln, dass es der Str¨omung einen h¨oheren Widerstand entgegensetzt als die anderen Profile. Wie jedoch ebenfalls Tabelle 6.1 zu entnehmen ist, besitzen alle drei Profile eine ¨ahnliche Angriffsfl¨ache quer zur Str¨omung, was das ¨ahnliche Verhalten bez¨ uglich des Widerstands erkl¨art.

116

6 Analyse der Optimierungsmethode

40

Auftriebsbeiwert cl

30

20 'trini = 0.05 'trini = 0.1 'trini = 0.2

10

0 0

50 Optimierungsiteration

100

Abbildung 6.14: Auftriebsbeiwert u¨ber den Optimierungsiterationen f¨ur verschiedene TrustRegion-Radien ∆ini tr . Untersuchung des Einflusses von alternativen Verschiebungsfeldern Wie oben erw¨ahnt, treten im Laufe der Optimierung des Auftriebs einige Konfigurationen auf, bei denen der Str¨omungsl¨oser nicht in der Lage ist, ein konvergiertes Ergebnis zu liefern. Eine solche Konfiguration zeigt Abbildung 6.15. Dabei ist nicht das eigentliche Berechnungsgitter gezeigt, sondern ein gr¨oberes, um die Deutlichkeit zu erh¨ohen. Man erkennt stark verzerrte Berechnungsvolumen im Bereich der hinteren, unteren Ecke des Profils. Diese numerisch ung¨ unstige Anordnung resultiert aus der konkaven Form der Unterseite des Profils und dem Verlauf der entsprechenden Blockschnittstelle, die zusammen mehr oder weniger einen glatten ¨ Ubergang bilden. Offensichtlich ist also die gew¨ahlte Blockaufteilung nicht geeignet, um f¨ ur alle zu untersuchenden Konfigurationen eine hochwertige Gitterqualit¨at zur Verf¨ ugung zu stellen. Dies ist auch nicht weiter verwunderlich, da die Gebietsaufteilung an die Ausgangsgeometrie angepasst ist (vgl. Abbildung 6.16). Dem sei hinzugef¨ ugt, dass eine noch extremere Profilform, d. h. eine noch steiler abfallende Profilunterseite zu einem sich u uhren w¨ urde, mit dem eine Str¨omungs¨berscheidenden Gitter f¨ berechnung prinzipiell nicht m¨oglich ist. Ein Optimum, das mit einer solchen Geometrie eventuell zu erreichen w¨are, kann folglich nicht mehr untersucht und konsequenterweise auch nicht gefunden werden. Neben der Verschlechterung der Gitterqualit¨at f¨ uhren die hier verwendeten Shape-Basis-Vektoren in Verbindung mit der Blockaufteilung also auch zu einer rein numerischen Beschr¨ankung des L¨osungsraums, was nicht akzeptabel ist. Zum Vergleich dient daher ein alternativer Satz an Shape-Basis-Vektoren. Dieser unterscheidet

6.2 Maximierung des Auftriebs (umstr¨ omter K¨ orper)

117

Abbildung 6.15: Gitterqualit¨at bei einer kritischen Geometriekonfiguration. Die dick gezeichneten Linien kennzeichnen den Verlauf der Blockschnittstellen.

Abbildung 6.16: Gitterqualit¨at im Fall der Ausgangsgeometrie mit der gew¨ahlten Blockaufteilung. sich im Vergleich zu den urspr¨ unglichen lediglich dadurch, dass sie erlauben, die internen Blockgrenzen entsprechend der Profildeformation mitzubewegen. Damit treten die stark verzerrten Gitterzellen nicht mehr auf. Die f¨ ur einen Designvariablensatz resultierende Profilgestalt selbst bleibt dagegen unver¨andert. Die Abbildung 6.17 zeigt einen Vergleich der Verl¨aufe der Blockschnittstellen unter Verwendung der jeweiligen Verschiebungsfelder f¨ ur eine kritische Profilform. Deutlich ist zu erkennen, dass die Blockschnittstellen in Abbildung 6.17(a) deformiert werden, um das Gitter im Bereich der relevanten Blockecken g¨ unstig zu gestalten. Einen detaillierten Eindruck des kritischsten Bereichs an der hinteren, unteren Ecke des Profils gibt Abbildung 6.18. Die Verbesserung der Gitterqualit¨at im Vergleich zu Abbildung 6.15 ist offensichtlich. Die Abbildungen 6.19(a) – 6.19(c) zeigen die mit ∆ini tr = 0.05, 0.1 und 0.2 berechneten optimalen Profile. Im Vergleich zu den mit den urspr¨ unglichen Shape-Basis-Vektoren gefundenen Profilen zeigen sich insbesondere f¨ ur die beiden gr¨oßeren Trust-Region-Radien deutliche Unterschiede. Abbildung 6.20 pr¨asentiert die entsprechenden Verl¨aufe des Auftriebsbeiwerts u ¨ber den Optimierungsiterationen. Es f¨allt zun¨achst auf, dass nur mit ∆ini ahnlich hoher Auftr = 0.05 ein ¨ triebsbeiwert wie mit den urspr¨ unglichen Verschiebungsfeldern erreicht wird. Dagegen liefern

118

6 Analyse der Optimierungsmethode

(a)

(b)

Abbildung 6.17: Vergleich des Verlaufs der Blockschnittstellen unter Verwendung der urspr¨unglichen (a) und der alternativen Shape-Basis-Vektoren (b) f¨ur eine kritische Profilform.

Abbildung 6.18: Darstellung der verbesserten Gitterqualit¨at, die durch Verwendung der alternativen Shape-Basis-Vektoren erreicht werden kann. Die Profilform ist identisch mit der in Abbildung 6.15.

119

6.2 Maximierung des Auftriebs (umstr¨ omter K¨ orper)

(a)

(b)

(c)

Abbildung 6.19: Auftriebsoptimierte Gestalt des umstr¨omten Profils f¨ur verschiedene anf¨angliche Trust-Region-Radien ∆ini tr = 0.05 (a), 0.1 (b) und 0.2 (c) unter Verwendung der alternativen Shape-Basis-Vektoren. die Optimierungen mit den beiden anderen Trust-Region-Radien im Vergleich deutlich geringere Werte. Wider Erwarten hat also die Verbesserung der Gitterqualit¨at keinen oder sogar negativen Einfluss auf das erzielte Ergebnis. Eine abschließende Aussage, die dieses Verhalten erkl¨art, kann im Rahmen dieser Arbeit nicht getroffen werden. Es ist aber m¨oglich, dass die Zielfunktion auf Grund der ge¨anderten Diskretisierung neue Optima aufweist. Bei den entsprechenden Parametereinstellungen f¨ ur den Optimierer wird dann eines dieser neuen Minima gefunden. Unabh¨angig davon zeigt diese Untersuchung aber, wie groß der Einfluss der Gitterqualit¨at auf das Optimierungsergebnis ist. Untersuchung des Einflusses der Reinitialisierung Wie oben angedeutet, wird der Trust-Region-Radius im Laufe der Optimierung immer mehr reduziert und damit die Wahl der neuen Designvariablen auf ein immer kleiner werdendes Gebiet beschr¨ankt. Dadurch ist es m¨oglich, dass gegen Ende der Prozedur ein lokales Optimum gefunden wird, obwohl in direkter Nachbarschaft weitere Optima liegen, die unter Umst¨anden bessere Werte bez¨ uglich der Zielfunktion liefern. Eine M¨oglichkeit, dies zu u ufen, bietet ¨berpr¨ der erneute Start der Optimierungsprozedur mit reinitialisiertem Trust-Region-Radius. Exemplarisch soll das Vorgehen anhand des Falls ∆ini ur die alternativen Verschiebungstr = 0.2 f¨ felder gezeigt werden. Diese Parameterkombination bietet auf Grund des schlechten Auftriebs nach der ersten Optimierungsrechnung das gr¨oßte Potential auf Verbesserung und die Unterschiede treten am auff¨alligsten zu Tage. Dazu zeigt die Abbildung 6.21(a) zun¨achst noch einmal die optimale Form nach der ersten Optimierung (vgl. Abbildung 6.19(c)), w¨ahrend die Abbildungen 6.21(b) und 6.21(c) die berechnete Gestalt nach der ersten bzw. der zweiten Initialisierung pr¨asentieren. Besonders die erste Initialisierung produziert eine stark ge¨anderte Form, w¨ahrend die zweite die Geometrie nur noch leicht modifiziert. Eine weitere Wiederholung des Vorgangs hat dann keine Wirkung mehr auf das Endergebnis. Erg¨anzt wird diese Untersuchung durch die Auftragung des Auftriebsbeiwerts und des Widerstandsbeiwerts u ¨ber den Optimierungsiterationen in dem Diagramm in Abbildung 6.22. Deut-

120

6 Analyse der Optimierungsmethode

40

Auftriebsbeiwert cl

30

20

10 tr 'ini = 0.05 tr 'ini = 0.1 'trini = 0.2

0 0

50 Optimierungsiteration

100

Abbildung 6.20: Auftriebsbeiwert u¨ber den Optimierungsiterationen f¨ur verschiedene TrustRegion-Radien ∆ini tr mit den alternativen Shape-Basis-Vektoren. lich sind die Stellen der Reinitialisierung bei ca. 100 und 210 Iterationen an den auftretenden Schwankungen der Beiwerte zu erkennen. Weiterhin ist dem Diagramm zu entnehmen, dass durch die Reinitialisierung der Auftriebsbeiwert gesteigert wird, ohne den Widerstandsbeiwert u ¨ber den Schwellenwert zu steigern. Durch das Reinitialisieren des Suchradius ist der Algorithmus also in der Lage, lokale Optima zu verlassen und benachbarte Extrempunkte zu finden.

6.3

Optimierung der Temperatur (umstro ¨mte Bauteile)

Als abschließender Test f¨ ur die vorgestellte Methode soll der W¨arme¨ ubergang bei umstr¨omten Bauteilen optimiert werden. Die Abbildung 6.23 zeigt die geometrische Ausgangskonfiguration. Im Prinzip handelt es sich um eine Str¨omung durch einen Kanal, in dem sich die zwei Bauteile BT1 und BT2 befinden. Als str¨omendes Medium wird Luft mit einer konstanten Dichte von ρ = 1 kg/m3 , einer konstanten dynamischen Viskosit¨at von µ = 1 · 10−5 Pas, einer konstanten W¨armeleitzahl von λ = 0.026 W/mK und einer konstanten W¨armekapazit¨at von cp = 1004 J/kgK angenommen. Am Einstrom wird ein quadratisches Geschwindigkeitsprofil gem¨aß Gleichung 6.1 mit der Kanalh¨ohe H = 4h = 0.0004 m vorgegeben. Mit der gemittelten Geschwindigkeit um = 1 m/s ergibt sich, bezogen auf die Kanalh¨ohe H, eine Reynolds-Zahl von Re = 40. F¨ ur das str¨omende Medium gilt an den W¨anden die Haftbedingung. Bez¨ uglich der Temperatur ist am Einstrom ein konstanter Wert von Tin = 293 K vorgegeben. Die eingebauten K¨orper

121

6.3 Optimierung der Temperatur (umstr¨ omte Bauteile)

(a)

(b)

(c)

Abbildung 6.21: Profile nach der Optimierung der Ausgangsgeometrie ((a), identisch mit Abbildung 6.13(b)), und nach der ersten und zweiten Initialisierung des Trust-Region-Radius mit ∆ini tr = 0.2 ((b) und (c)).

6 Auftriebsbeiwert

30

4 20 3 10 2

Widerstandsbeiwert

0

0

100 200 Optimierungsiteration

Widerstandsbeiwert cw

Auftriebsbeiwert cl

5

1

0 300

Abbildung 6.22: Auftriebsbeiwert und Widerstandsbeiwert ¨uber den Optimierungsiterationen f¨ur ∆ini tr = 0.2 mit den alternativen Shape-Basis-Vektoren und zweifacher Initialisierung des Trust-Region-Radius.

geben jeweils einen konstanten W¨armestrom von Q˙ = 1 W ab, w¨ahrend die u ¨ brigen W¨ande isoliert sind. Durch die Vorgabe des W¨armestroms ist es m¨oglich, den Temperaturgradienten

122

6 Analyse der Optimierungsmethode

Wände mit Wärmeübergang 4h

h

BT1 h

h

Ausstrom

Einstrom

isolierte Wand

BT2 h

y

isolierte Wände x

Abbildung 6.23: Ausgangsgeometrie f¨ur die Optimierung des W¨arme¨ubergangs von Bauteilen in einem Kanal. an der Bauteilwand in Normalenrichtung n als Randbedingung vorzugeben: ∂T Q˙ =− . ∂n λA

(6.5)

Dabei bezeichnet A die Gr¨oße der W¨arme abgebenden Bauteiloberfl¨ache. Wird durch die Optimierung die Bauteilfl¨ache vergr¨oßert, reduziert sich damit auch der Temperaturgradient. Am Ausstrom wird sowohl f¨ ur die Str¨omung als auch f¨ ur die Temperatur die Null-GradientenBedingung vorgegeben. Es sei angemerkt, dass Auftriebseffekte auf Grund der Fluiderw¨armung in dieser Studie nicht ber¨ ucksichtigt werden. F¨ ur die Diskretisierung des Problemgebiets dient ein Gitter mit insgesamt 25600 Berechnungspunkten. Abbildung 6.24(a) zeigt einen Ausschnitt des Gitters im Bereich der W¨arme abgebenden K¨orper. Um die Darstellung zu verbessern, ist nicht das feinste, sondern ein Gitter mit nur 1600 KV dargestellt. Die Abbildungen 6.24(b) und 6.24(c) geben einen Eindruck der m¨oglichen Gestalts¨anderungen des Berechnungsgebiets durch die verwendeten Shape-Basis-Vektoren. Da ein Verschiebungsfeld sinngem¨aß f¨ ur beide eingebauten K¨orper gilt, wird der entsprechende Shape-Basis-Vektor nur f¨ ur ein Bauteil dargestellt. Abbildung 6.24(b) zeigt, dass zum Einen eine Verl¨angerung bzw. Verk¨ urzung der Bauteile m¨oglich ist. Zum Anderen k¨onnen die K¨orper durch eine horizontale Verschiebung der Oberseite geneigt werden. Wie Abbildung 6.24(c) zu entnehmen ist, besteht weiterhin die M¨oglichkeit, die Seiten durch eine quadratische Parametrisierung zu deformieren. Abbildung 6.24(d) gibt schließlich einen Eindruck des Gitters einer Konfiguration, die durch willk¨ urliche Skalierung und anschließender Superposition aller Verschiebungsfelder entsteht. Abbildung 6.25 zeigt das Str¨omungsfeld im Fall der Ausgangskonfiguration. Dargestellt sind die Temperatur und die Stromlinien. Deutlich sind Rezirkulationszonen vor, zwischen und hinter den Bauteilen zu erkennen. Da zwischen diesen Wirbeln und der u ¨ brigen Str¨omung kein

123

6.3 Optimierung der Temperatur (umstr¨ omte Bauteile)

konvektiver W¨armetransport stattfindet, entstehen hier Gebiete mit relativ hoher Temperatur. Hinter den Bauteilen findet ein Temperaturausgleich u ¨ber dem Kanalquerschnitt statt, so dass sich in der unteren Kanalh¨alfte die Temperatur zum Ausstrom hin reduziert, w¨ahrend sich das Fluid in dem oberen Bereich weiter erw¨armt. Die maximal auftretende Temperatur ist zwischen beiden Bauteilen mit T ≈ 326 K zu finden. mit

mit

max

T aus

T BT 2

T BT

298.18 K

302.81 K

326.28 K

Tabelle 6.2: Charakteristische Temperaturwerte f¨ur die Ausgangskonfiguration: ¨uber den Ausmit strom gemittelte Str¨omungstemperatur T aus , u¨ber der Berandung des zweiten Bauteils gemit max mittelte Temperatur T BT 2 , maximal auftretende Bauteiltemperatur T BT . Im Rahmen eines Optimierungsvorgangs kann das beschriebene Beispiel auf zwei unterschiedliche Arten interpretiert werden. Zum Einen kann es sich um eine Beheizung des str¨omenden Mediums durch die W¨arme abgebenden Einbauten handeln. Eine Gr¨oße, die die G¨ ute dieses Vorgangs wiederspiegelt, ist die mittlere Temperatur des Mediums u ¨ber einen Kanalquerschnitt hinter den beiden Bauteilen. Als Querschnitt bietet sich der Ausstromrand des Berechnungsgebiets an.
1 mit Taus = T dy , (6.6) Aaus Aaus wobei Aaus die L¨ange des Ausstroms bezeichnet. Zum Anderen ist aber auch vorstellbar, dass die Kanaleinbauten auf Grund der W¨armeentwicklung gek¨ uhlt werden m¨ ussen. Eine in der Praxis entscheidende Gr¨oße ist die maximal max auftretende Bauteiltemperatur TBT : max TBT = max(T ) . BT1,2

(6.7)

Eine zweite relevante Gr¨oße ist die mittlere Temperatur u ¨ber der Berandung der Bauteile. In dem vorliegenden Fall besitzt stets der zweite K¨orper die h¨ohere mittlere Temperatur, so dass diese als charakteristische Gr¨oße gew¨ahlt wird:
1 mit TBT = T ds . (6.8) 2 ABT 2 BT 2 umiert Dabei bezeichnet ABT 2 die L¨ange der Bauteiloberfl¨ache des zweiten K¨orpers. Tabelle 6.2 res¨ die aufgef¨ uhrten Temperaturwerte f¨ ur die Ausgangskonfiguration. Sowohl das Heizungs- als auch das K¨ uhlungsproblem sollen nun in den folgenden Abschnitten mit untersucht werden. Im ersteren Fall dient Taus als Zielfunktion1 , w¨ahrend bei der K¨ uhlung der max mit als auch TBT in jeweils einer Optimierungsrechnung verwendet werden. Bauteile sowohl TBT 2 ¨ In allen F¨allen sind die Designvariablen so beschr¨ankt, dass Uberschneidungen der Bauteile, z. B. durch zu starke Neigung, vermieden werden. 1

Nichtlineare Restriktionen werden in dieser Untersuchung nicht betrachtet, so dass f = f˜ gilt.

124

6 Analyse der Optimierungsmethode

(a)

(b)

(c)

(d)

Abbildung 6.24: Darstellung des numerischen Gitters f¨ur die Ausgangskonfiguration (a) und des Einflusses der Verschiebungsvektoren auf die Gestalt der Einbauten ((b)-(d)). Dargestellt ist jeweils nur ein Ausschnitt des gesamten Berechnungsgebiets.

6.3.1

Beheizung des Fluids

Abbildung 6.26 zeigt die berechnete Geometrie, bei der die mittlere Ausstromtemperatur ein Maximum annimmt. Zus¨atzlich ist eine Visualisierung der Str¨omung durch Stromlinien und Temperaturverteilung dargestellt. Gegen¨ uber der Ausgangskonfiguration ist die H¨ohe beider Einbauten quer zur Str¨omung vergr¨oßert. Des Weiteren sind die Bauteile zu einander geneigt. Die Seitenw¨ande sind so geformt, dass das Fluid eine m¨oglichst große Kontaktfl¨ache u ¨berstreicht, ohne zus¨atzliche Rezirkulationszonen zu bilden. Dies erkl¨art auch, warum die seitlichen W¨ande nach innen und die oberen nach außen gew¨olbt sind. Im Vergleich zu der Ausgangskonfiguration vermeidet die optimierte Form des ersten Bauteils sogar die vorgelagerte Rezirkulationszone. Betrachtet man die Temperaturverteilung, so stellt man qualitativ keinen

6.3 Optimierung der Temperatur (umstr¨ omte Bauteile)

125

T: 295 298 301 304 307 310 313 316 319 322 325

Abbildung 6.25: Darstellung des Temperaturfelds und der Stromlinien f¨ur die Ausgangsgeometrie großen Unterschied zur Startgeometrie fest. Allerdings bewegt sich die Temperatur insgesamt auf einem wesentlich h¨oheren Niveau. So wird zwischen den beiden Bauteilen die maximale Temperatur von T ≈ 356 K erreicht. Das Diagramm 6.27 zeigt die relative Steigerung der mittleren Austrittstemperatur im Vergleich zum Startwert u ¨ber den Optimierungsiterationen aufgetragen. Die relative Steigerung ist dabei wie folgt definiert:   mit   mit S = 100 Taus (6.9) − Tin / T aus − Tin , wobei Tin die Einstromtemperatur bezeichnet. Zus¨atzlich ist in dem Diagramm die u ¨ber das jeweilige Bauteil gemittelte Temperatur aufgetragen. Der Abbildung ist zun¨achst zu entnehmen, dass durch die Optimierung der Bauteilgestalt eine relative Erh¨ohung der mittleren Ausstromtemperatur um ca. 40 % gelingt. Diese Steigerung resultiert nahe liegender Weise aus den h¨oheren Bauteiltemperaturen. Dass die Gr¨oßen eng miteinander verkn¨ upft sind, ist auch an der guten Korrelation der drei Kurven zu erkennen. Interessant an dem Verlauf der Kurven ist, dass nach einigen starken Schwankungen zu Beginn scheinbar eine Konvergenz gegen einen konstanten Wert zwischen der ca. 20. und 30. Iteration eintritt. Mit der 30. Iteration treten jedoch erneut starke Schwankungen auf. Zwischen der 30. und 50. Iteration wiederholt sich dieses Verhalten. Erst danach kann den Kurven eine eindeutige Konvergenz gegen das letztendlich gefundene Optimum entnommen werden. Dieser ungew¨ohnliche Optimierungsverlauf, der bei den vorhergehenden Problemstellungen nicht auftrat, ist durch stark schwankende Werte f¨ ur den Trust-Region-Radius im Laufe der Berechnung zu erkl¨aren, wie Abbildung 6.28. In diesem Diagramm sind zus¨atzlich der Verlauf zweier repr¨asentativer Designvariablen und der Zielfunktion u ¨ber den Optimierungsiterationen eingetragen. Deutlich ist zu erkennen, dass der Suchradius sich bis zur 30. Iteration nahezu monoton verkleinert, um dann sprunghaft auf den Ausgangswert anzusteigen. Eine solche Vergr¨oßerung der Trust-Region findet statt, wenn die Str¨omungsauswertung eine viel gr¨oßere Reduzierung der Zielfunktion im Vergleich der Modellvorhersage ergibt. Die Folge einer Vergr¨oßerung des

126

6 Analyse der Optimierungsmethode

Suchradius ist eine starke Variation der Designvariablen. In dem gew¨ahlten Beispiel ¨andert sich eine der Designvariablen innerhalb weniger Iterationen von 1 nach -1. Damit ist nat¨ urlich auch eine starke Ver¨anderung der Zielfunktion verbunden.

6.3.2

K¨ uhlung der Bauteile

Wie der vorhergehende Abschnitt zeigt, verhalten sich die Fluid- und die Bauteiltemperatur gleich, d. h. eine Steigerung der durchschnittlichen Bauteiltemperatur zieht auch eine st¨arkere Erw¨armung des Fluids nach sich. Bei der Optimierung der Einbauten bez¨ uglich ihrer K¨ uhlung ist das Ziel aber die Reduzierung der Wandtemperaturen. Folglich ist zu erwarten, dass sich die Gestaltung der Einbauten zur optimalen K¨ uhlung der Bauteile wesentlich von der unterscheidet, die zur effizienten Beheizung des Fluids dient. Abbildung 6.29 zeigt die gefundene Geometrie, die die maximal auftretende Bauteiltemperatur minimiert. Zus¨atzlich sind wieder die Temperaturverteilung und die Stromlinien eingetragen. Wie oben vermutet, unterscheidet sich die Geometrie betr¨achtlich von der in dem letzten Abschnitt gefundenen Gestalt. Zum Einen sind die beiden Bauteile hier von einander weg geneigt. Zum Anderen besitzen beide Bauteile unterschiedliche H¨ohen. Gegen¨ uber der Ausgangskonfiguration wird dies durch die maximal erlaubte Verringerung der H¨ohe des ersten Bauteils erreicht, w¨ahrend sich das zweite Bauteil bez¨ uglich dieses Parameters nur unwesentlich ¨andert. Die Seitenw¨ande sind leicht abgerundet, w¨ahrend die Oberseiten nur wenig verformt sind. Um die Wirkung der Form interpretieren zu k¨onnen, ist es zun¨achst wichtig, den Ort der maximalen Bauteiltemperatur bei der Ausgangskonfiguration zu kennen. Dieser befindet sich im Bereich der Rezirkulationszonen zwischen den beiden Bauteilen (vgl. Abbildung 6.25). Die durch die Optimierung gefundene Gestalt muss also insbesondere der K¨ uhlung dieses Gebiets dienen. Dies gelingt zum Einen durch die Reduzierung der Bauteilh¨ohe, was auch die H¨ohe der Rezirkulationsblase verringert. Dadurch wird weniger Energie u ¨ber die Bauteilw¨ande an diesen Teil der Str¨omung abgegeben. Zum Anderen wird durch die Neigung der beiden Einbauten die L¨ange der Kontaktzone zwischen Hauptstr¨omung und Rezirkulationsgebiet maximiert, wodurch die Diffusion der Temperatur aus dem Bauteilzwischenraum vergr¨oßert wird. Bei der max optimalen Gestalt ist dies so gut gelungen, dass die maximale Wandtemperatur TBT = 318.54 nicht mehr zwischen den Bauteilen auftritt, sondern im Bereich der Rezirkulation hinter dem zweiten Objekt, wie dies auch an den dargestellten Isothermen festzustellen ist. Insgesamt ist das Temperaturniveau des Fluids gegen¨ uber der Ausgangskonfiguration deutlich niedriger. Abbildung 6.30 zeigt den Verlauf der relativen Reduzierung der maximalen Wandtemperatur u ¨ber den Optimierungsiterationen. Es gelingt durch die Optimierung, diesen Wert um ca. 30 % zu reduzieren. Zus¨atzlich sind wieder die Mittelwerte der Temperatur u ¨ber den Bauteilen aufgetragen. W¨ahrend sich der Wert f¨ ur das erste Objekt kaum reduziert, ist der zweite K¨orper im Mittel um ca. 1 K k¨alter. Im Vergleich zu dem als Fluidbeheizung interpretierten Beispiel treten die starken Schwankungen der Zielfunktion nach Abschluss der Anfangsphase nicht auf. Die oben verwendete Zielfunktion hat den Nachteil, dass der Punkt, an dem die maximale Bauteiltemperatur auftritt, wandert. Als Folge kann sich die Funktion unter Umst¨anden bei Variation der Designvariablen sprunghaft ¨andern, was eventuell zu Problemen bei ihrer Approximation f¨ uhrt. Zwar treten keinerlei offensichtliche Auswirkungen auf, trotzdem soll zum Vergleich eine weitere Kenngr¨oße als Grundlage einer Optimierung herangezogen werden. Die Wahl f¨allt auf die u ¨ber die Oberfl¨ache des zweiten Bauteils gemittelte Temperatur, welche im

127

6.3 Optimierung der Temperatur (umstr¨ omte Bauteile)

T: 295 301 307 313 319 325 331 337 343 349 355

mit

mittlere Bauteiltemp. [K] Relative Steigerung von T aus [%]

Abbildung 6.26: Optimale Geometrie zur Maximierung der mittleren Ausstromtemperatur mit Darstellung der zugeh¨origen Stromlinien und Temperaturverteilung.

40 30 20 10 0 308

Bauteil 2

306 304 302 Bauteil 1

300 298 0

20

40 60 Optimierungsiterationen

80

Abbildung 6.27: Verlauf der prozentualen Erh¨ohung der mittleren Temperatur am Ausstrom u¨ber den Optimierungsiterationen. Zus¨atzlich ist der Verlauf der mittleren Temperatur an den jeweiligen Berandungskurven beider Bauteile angegeben.

128

Trust−Region−Radius

1

mit. Ausstromtemp.

0.6

Designvariablen

6 Analyse der Optimierungsmethode

0.4 0.2 0

0.5 0 −0.5 −1

300

299

298 0

20

40 60 Optimierungsiterationen

80

Abbildung 6.28: Verlauf des Trust-Region-Radius ¨uber den Optimierungsiterationen. Zus¨atzlich sind zwei repr¨asentative Designvariablen und die Zielfunktion eingetragen. Vergleich zu dem ersten Objekt immer die gr¨oßere ist und damit den kritischeren Kennwert darstellt. Die Abbildungen 6.31 und 6.32 zeigen die berechnete Geometrie und den Verlauf der relevanten mit Gr¨oßen u achst ¨ber den Optimierungsiterationen bei Verwendung von TBT 2 als Zielfunktion. Zun¨ f¨allt auf, dass im Vergleich zu der Geometrie in Abbildung 6.29 der erste K¨orper auch mit der alternativen Zielfunktion eine a¨quivalente Verformung erf¨ahrt. Dagegen ist das zweite Objekt nicht geneigt und auch die Seitenw¨ande haben eine andere Gestalt. Der Effekt, der von diesen Bauteilformen auf die Str¨omung und Temperaturverteilung ausge¨ ubt wird, ist trotz dieser leichten Unterschiede vergleichbar mit dem bei der Minimierung der maximalen Bauteiltemperatur. Daher zeigen die Kurven in Diagramm 6.32 einen ¨ahnlichen Verlauf wie die in Abbildung 6.30. Dar¨ uber hinaus wird deutlich, dass die mittlere Bauteiltemperatur um ca. 10 % reduziert wird.

129

6.3 Optimierung der Temperatur (umstr¨ omte Bauteile)

T: 295 297 299 301 303 305 307 309 311 313 315

max

mittlere Bauteiltemp. [K] Relative Reduzierung von TBT [%]

Abbildung 6.29: Optimale Geometrie zur Minimierung der maximal auftretenden Bauteiltemperatur mit Darstellung der zugeh¨origen Stromlinien und Temperaturverteilung.

30 20 10 0 −10

304 Bauteil 2 302 300 Bauteil 1

298 0

20

40 60 Optimierungsiterationen

80

100

Abbildung 6.30: Verlauf der prozentualen Reduzierung der maximalen Temperatur an den Bauteilen ¨uber den Optimierungsiterationen. Zus¨atzlich ist der Verlauf der mittleren Temperatur an den jeweiligen Berandungskurven beider Bauteile angegeben.

130

6.4

6 Analyse der Optimierungsmethode

Zusammenfassende Bewertung der Ergebnisse

Die vorliegenden Ergebnisse der drei vorgestellten Beispiele zeigen zun¨achst die prinzipielle Eignung der untersuchten Methode zur Gestaltsoptimierung von Str¨omungsgebieten. Bei allen Problemstellungen liegen nach der Optimierung Geometrien vor, die ein physikalisch nachvollziehbares Optimum der jeweiligen Zielfunktion darstellen. Daneben dokumentieren die numerischen Experimente aber auch, dass sowohl das Optimierungsergebnis als auch der Verlauf von einigen Parametern abh¨angen, die der Anwender vorgibt. Diese Erkenntnis ist nicht u ¨berraschend, vor allem, wenn man in Betracht zieht, dass ein Gradienten basiertes Verfahren zur Optimierung verwendet wird. Bei der L¨osung von praktischen Problemstellungen und der Interpretation der entsprechenden Ergebnisse sind diese Erfahrungen unbedingt mit einzubeziehen. Insbesondere die Maximierung der Auftriebskraft auf einen umstr¨omten K¨orper zeigt den starken Einfluss verschiedenster Faktoren. Im Speziellen sind dies der gew¨ahlte, anf¨angliche Suchradius und dessen Reinitialisierung im Laufe der Optimierung. Beide Parameter beeinflussen den Weg, auf dem der Optimierer bei der Suche nach einem Extremwert durch das L¨osungsgebiet l¨auft. Je nach eingeschlagenem Pfad wird dann das jeweilige lokale Optimum gefunden. Diese starke Abh¨angigkeit ist eine prinzipielle Eigenschaft der Gradienten basierten Optimierungsverfahren. Sie kommt nat¨ urlich dann besonders stark zum Tragen, wenn die Zielfunktion, wie in dem angesprochen Beispiel, viele lokale Optima besitzt. Auch die gew¨ahlte Parametrisierung der Problemgeometrie hat einen entscheidenden Einfluss auf das Ergebnis und die Konvergenzeigenschaften des Verfahrens. Zum Einen bestimmt die Ordnung der verwendeten Bernsteinpolynome die maximal darstellbare Gestaltsvariation. Eine zu niedrig gew¨ahlte Ordnung schließt unter Umst¨anden angestrebte L¨osungen aus. Zum Anderen kann eine große Flexibilit¨at bei der Gestalts¨anderung nur durch eine entsprechend große Anzahl an Shape-Basis-Vektoren umgesetzt werden, was direkt zu einer hohen Anzahl der Designvariablen f¨ uhrt. Nat¨ urlich bedeutet dies einen erh¨ohten Aufwand bei der Optimierung. Beide Effekte zeigen sich deutlich bei den Untersuchungen der Kanalstr¨omung. Allgemein muss dieser Zielkonflikt durch einen der jeweiligen Situation angepassten Kompromiss gel¨ost werden. Ein weiterer Aspekt, der die berechnete Geometrie beeinflusst, ist die Qualit¨at der im Laufe der Optimierung auftretenden Gitter. Dabei ist besonders auf m¨ogliche Gitter¨ uberschneidungen zu achten, die eine Str¨omungsauswertung unm¨oglich machen. Einen Eindruck dieses Einflusses gibt der Vergleich der Ergebnisse zur Maximierung des Auftriebs mit den urspr¨ unglichen und den alternativen Shape-Basis-Vektoren. Beide Felder unterscheiden sich nur durch die Verschiebungskomponenten der internen Gitterpunkte. Dagegen sind die Verschiebungskomponenten der auf dem Gebietsrand befindlichen Punkte identisch. Trotzdem ergeben sich bei ansonsten gleichen Parametern deutliche Unterschiede bei den erzielten Ergebnissen. Zum Einen ist dies dadurch zu erkl¨aren, dass die alternativen Shape-Basis-Vektoren eine gr¨oßere Gestaltsvariation ohne Gitter¨ uberschneidungen darstellen k¨onnen. Damit erh¨alt der Optimierer zus¨atzliche Informationen und findet unter Umst¨anden andere Extrempunkte. Zum Anderen ist die Zielfunktion mit einem numerischen Fehler behaftet, der von dem zu Grunde liegenden Gitter abh¨angt. Auch dieser Einfluss ist nicht zu untersch¨atzen, wie die Optimierung des durchstr¨omten Kanals bei Re = 1 zeigt. Trotz der beschriebenen Abh¨angigkeit der berechneten Gestalt von den verschiedensten Einflussgr¨oßen kann aus den pr¨asentierten Ergebnissen geschlossen werden, dass das vorgestellte

6.4 Zusammenfassende Bewertung der Ergebnisse

131

Verfahren zur Optimierung von Str¨omungsgebieten geeignet ist. Bei weiteren Anwendungen sind aber die beschriebenen Abh¨angigkeiten zu beachten und bei der Interpretation von Ergebnissen mit einzubeziehen.

132

6 Analyse der Optimierungsmethode

T: 295 297 299 301 303 305 307 309 311 313 315

mit

mittlere Bauteiltemp. [K] Relative Reduzierung von TBT2 [%]

Abbildung 6.31: Optimale Geometrie zur Minimierung der mittleren Temperatur des zweiten Bauteils (BT2) mit Darstellung der zugeh¨origen Stromlinien und Temperaturverteilung.

10 5 0 −5

304 Bauteil 2

302 300

Bauteil 1 298 0

20

40 60 Optimierungsiterationen

80

100

Abbildung 6.32: Verlauf der prozentualen Reduzierung der mittleren Temperatur am zweiten Bauteil u¨ber den Optimierungsiterationen. Zus¨atzlich ist der Verlauf der mittleren Temperatur an den jeweiligen Berandungskurven beider Bauteile angegeben.

133

Kapitel 7 Zusammenfassung Der Entwicklungsprozess von technischen Produkten beinhaltet typische Optimierungsaufgaben, die in der Praxis oftmals empirisch gel¨ost werden. Das Ergebnis von solchen empirischen Methoden ist jedoch stark von den Kenntnissen und Erfahrungen der beteiligten Personen abh¨angig, so dass der Wunsch nach automatischen und mathematisch fundierten Optimierungsprozessen besteht. Die vorliegende Arbeit pr¨asentiert einen Weg f¨ ur die Gestaltsoptimierung von Str¨omungsgebieten, der ausschließlich auf numerische Methoden zur¨ uckgreift. Dabei werden konsequent jeweils hoch entwickelte, effiziente Algorithmen angewendet. F¨ ur die Berechnung der Str¨omung bedeutet dies, dass ein Verfahren basierend auf einer Finiten-Volumen-Methode zum Einsatz kommt. Der Kopplung von Geschwindigkeit und Druck wird dabei durch ein Druckkorrektur-Verfahren Rechnung getragen. Die außerordentliche Effizienz erreicht das verwendete Programm durch den Einsatz von Beschleunigungstechniken, wie dem Mehrgitter-Verfahren und der MehrprozessorTechnik. Der verwendete Optimierer basiert auf einer Approximation der Zielfunktion durch ein quadratisches Polynom, welches im Anschluss durch Standard-Verfahren minimiert wird. Vorteil dieser Methode ist, dass neben dem Wert der Zielfunktion keine weiteren Informationen ben¨otigt werden. Aufwendige Approximationen des Gradienten sind daher nicht notwendig. Die Variation der Geometrie ist indirekt u ¨ber die Verschiebung der Gitterpunkte realisiert, was im Vergleich zu einer Gittergenerierung effizienter ausgef¨ uhrt werden kann. Die Verschiebungskomponenten sind dabei im Vorfeld der Optimierung durch die Anwendung einer Deformationstechnik f¨ ur Freiformfl¨achen berechenbar. Diese erlaubt eine große geometrische Flexibilit¨at mit einer relativ kleinen Anzahl an Parametern. Trotz des hohen Entwicklungsstands des verwendeten Str¨omungssimulationsprogramms besteht ¨ ein wesentlicher Teil dieser Arbeit in dessen Weiterentwicklung. Motivierende Uberlegung dabei ist zum Einen, dass die im Laufe der Optimierung auftretenden Gitter unter Umst¨anden Eigenschaften aufweisen, die die Genauigkeit, Stabilit¨at und Effizienz des Str¨omungsl¨osers negativ beeinflussen. Generell lassen sich solche Gitterkonfigurationen zwar durch manuellen Eingriff vermeiden, jedoch ist ein Eingriff durch den Anwender im Rahmen der automatischen Optimierung nicht erw¨ unscht. Daher muss der Str¨omungsl¨oser in der Lage sein, die ung¨ unstigen Gittereigenschaften zu kompensieren. Zum Anderen ist zu vermuten, dass f¨ ur die Optimierung von Str¨omungsgebieten eine Vielzahl an numerischen Simulationen notwendig ist, so dass jede Reduzierung der Berechnungszeit bei gegebener Genauigkeit die Anwendbarkeit des Gesamtverfahrens erh¨oht.

134

7 Zusammenfassung

Bez¨ uglich der numerischen Genauigkeit von Str¨omungssimulationen auf komplexen Gitterkonfigurationen gelingt die Verbesserung durch die Neuentwicklung von Approximationen der konvektiven und diffusiven Fl¨ usse. Im Vergleich zu den Standardverfahren gehen diese nicht von bestimmten geometrischen Konfigurationen aus und sind daher allgemein formuliert. Die numerischen Experimente zeigen, dass eine zum Teil erhebliche gesteigerte Genauigkeit aus der Anwendung der neuen Verfahren resultiert. Dies betrifft insbesondere den Druck, der in der technischen Praxis eine große Rolle spielt, z. B. bei der Bestimmung von Widerstands- und Auftriebskr¨aften. Der Mehraufwand, den die alternativen Diskretisierungen mit sich bringen, ist daher vertretbar. Hinsichtlich der Stabilit¨at und der Effizienz besteht eine wesentliche Verbesserung in der Erweiterung der Druckkorrektur-Gleichung. Dabei ist es gelungen, die u ¨blicherweise vernachl¨assigten Terme aus der Nicht-Orthogonalit¨at zu ber¨ ucksichtigen, ohne die Struktur des Gleichungssystems zu ver¨andern. Dies erlaubt, den selben Gleichungsl¨oser zu verwenden wie bisher. Die numerischen Experimente unterstreichen den Gewinn an Stabilit¨at und Effizienz f¨ ur entsprechende Gitterkonfigurationen, was sich insbesondere durch die M¨oglichkeit ausdr¨ uckt, die gleichen, hohen Unterrelaxationsfaktoren wie im orthogonalen Fall zu verwenden. Ein weiteres Resultat der Untersuchungen in diesem Zusammenhang ist, dass eine zus¨atzliche Stabilisierung des Verfahrens erreicht werden kann, falls die Druckkorrektur-Gleichung nicht zu genau“ gel¨ost ” wird. Dies begr¨ undet sich aus den angenommenen Vereinfachungen bei der Herleitung der zu Grunde liegenden Korrekturgleichung. Im Fall von turbulenten Str¨omungen ergibt sich ein Anlass zur Verbesserung durch die Erfahrung, dass das Mehrgitter-Verfahren in Verbindung mit LowRe-Turbulenz-Modellen zu Instabilit¨aten neigt. Durch vorangegangene Untersuchungen l¨asst sich schließen, dass der Grund in zu hoch berechneten Mehrgitter-Korrekturen f¨ ur die turbulenten Gr¨oßen k und ε liegt. Die Relaxation der entsprechenden Korrekturen mit einem adaptiv bestimmten Faktor erlaubt die Stabilisierung des Verfahrens, wie die Ergebnisse f¨ ur repr¨asentative Testf¨alle belegen. Auch bez¨ uglich der Beschleunigung gegen¨ uber dem Eingitter-Verfahren ergeben sich durch dieses Vorgehen zufriedenstellende Werte. Ein weiteres Potential, den verwendeten Str¨omungsl¨oser zu verbessern, liegt in der adaptiven, lokalen Verfeinerung des Gitters, um das Verh¨altnis zwischen numerischer Genauigkeit und Berechnungszeit zu erh¨ohen. Da im Rahmen dieser Studie block-strukturierte Gitter zum Einsatz kommen, liegt es nahe, die gegebene Aufteilung des Problemgebiets zu nutzen und die Gitterverfeinerung basierend auf der Blockstruktur durchzuf¨ uhren. Dies hat den Vorteil, dass in den einzelnen Untergebieten weiterhin strukturierte Gitter vorliegen und der Berechnungsablauf nur f¨ ur die Block¨ uberg¨ange modifiziert werden muss. F¨ ur die Entscheidung, welche Gitterabschnitte verfeinert werden, dienen in dieser Untersuchung einfache Fehlerindikatoren, die auf empirischen Erkenntnissen beruhen. Die betrachteten Beispiele zeigen, dass mit Hilfe der vorgestellten Methode zur lokalen Gitterverfeinerung die gleiche Genauigkeit mit weniger Berechnungspunkten zu erreichen ist. Allerdings sind bei Verwendung des Mehrgitter-Verfahrens Effizienzeinbußen festzustellen, die eine Verringerung der Beschleunigung nach sich ziehen. In den untersuchten F¨allen hebt dies den Vorteil der Reduzierung der Berechnungspunkte mehr als auf, so dass eine Standardverfeinerung ein besseres Verh¨altnis zwischen Genauigkeit und Berechnungszeit aufweist. Die Analysen zeigen, dass die neu entwickelten Verfahren zur Simulation von Str¨omungen mit Ausnahme der adaptiven Gitterverfeinerung die erwarteten Verbesserungen gegen¨ uber den

135 Standardmethoden erzielen. Die entsprechenden Methoden kommen daher bei der Optimierung der Str¨omungsgebiete ausschließlich zum Einsatz. Neben dem Programm zur Simulation der Str¨omung werden f¨ ur das Gesamtverfahren zus¨atzlich Methoden zur mathematischen Optimierung und zur Gestalts¨anderung ben¨otigt. F¨ ur die Optimierung steht mit dem Programm Dfo ein Verfahren zur Verf¨ ugung, dass sich durch seine Eigenschaften besonders gut f¨ ur den vorliegenden Fall eignet. Es beruht auf einer Approximation der Zielfunktion mittels eines quadratischen Polynoms. Anschließend wird das so ermittelte Modell minimiert und der Vorgang wiederholt, bis auch ein Minimum der eigentlichen Funktion gefunden ist. Besonderer Vorteil dieser Vorgehensweise ist, dass lediglich Informationen u ¨ber den Wert der Zielfunktion ben¨otigt werden. Der Gradient der Zielfunktion nach den Designvariablen, der mit den zur Verf¨ ugung stehenden Mitteln nur sehr aufwendig zu bestimmen w¨are, wird dagegen nicht ben¨otigt. Zur Realisierung der Gestalts¨anderung dient ein Verfahren, dass auch als Deformationstechnik f¨ ur Freiformfl¨achen im CAD-Kontext bekannt ist. Dabei wird die Geometrie zun¨achst parametrisiert und anschließend deformiert. F¨ ur jeden Punkt kann die aus der Deformation resultierende Verschiebung angegeben werden. Bezieht man dieses Vorgehen auf das numerischen Gitter zur Simulation der Str¨omung, so lassen sich Verschiebungsfelder f¨ ur jeden einzelnen Berechnungspunkt im Vorfeld der Optimierung bestimmen. Durch Skalierung dieser so genannten Shape-Basis-Vektoren mit den Designvariablen und anschließender Superposition aller Defor¨ mationen lassen sich große, geometrische Anderungen mit einer geringen Anzahl an Parametern beschreiben. Insbesondere vermeidet man durch dieses Verfahren eine aufwendige Gittergenerierung in jeder Optimierungsiteration. Den Abschluss der Arbeit bildet die Untersuchung des Gesamtverfahrens f¨ ur drei Beispiele, die abstrahierte Aufgabenstellungen aus der technischen Praxis repr¨asentieren. Es handelt sich dabei um die Minimierung des Druckverlusts in einem Kanalabschnitt, um die Maximierung des Auftriebs auf einen umstr¨omten K¨orper und um die Optimierung des W¨arme¨ ubergangs an beheizten Bauteilen. Das Hauptaugenmerk der Untersuchungen liegt dabei nicht auf der Pr¨asentation der jeweiligen optimalen Gestalt, sondern vielmehr auf der Identifikation von kritischen Einflussgr¨oßen auf den Optimierungsverlauf und dessen Ergebnis. Neben offensichtlichen Einflussgr¨oßen, wie der Reynolds-Zahl und der Wahl der Zielfunktion sind insbesondere Parameter aus der Numerik von Interesse. Bei der Optimierung des Druckverlusts in einer Kanalstr¨omung zeigt sich, dass der Diskretisierungsfehler unter Umst¨anden einen erheblichen Einfluss auf das Ergebnis haben kann. Dies kann auf eine starke Vergr¨oßerung des Problemgebiets und damit auf einer Erh¨ohung des Diskretisierungsfehlers zur¨ uckgef¨ uhrt werden. Ein weiterer Parameter, auf den der Optimierungsprozess sensibel reagiert, ist die Wahl der Verschiebungsfelder, d. h. der Parametrisierung der Problemgeometrie. Einerseits kann durch eine Parametrisierung h¨oherer Ordnung eine flexiblere Geometrievariation beschrieben werden. Andererseits erh¨oht sich dadurch auch die Anzahl der Designvariablen und damit der Optimierungsaufwand. Ein anderer Aspekt hinsichtlich der Shape-Basis-Vektoren ist die R¨ uckwirkung der Gestaltsvariation auf das zu Grunde gelegte Gitter. Unter Umst¨anden treten im Laufe der Optimierung Gitter¨ uberschneidungen auf, die eine Berechnung der Str¨omung f¨ ur diese Konfiguration unm¨oglich machen. Die Ergebnisse zeigen, dass dies starken Einfluss auf die letztendlich gefundene Gestalt hat. Ebenso sensibel reagiert der verwendete Optimierer auf die Wahl des anf¨anglichen Trust-Region-Radius. Dies ist auch nicht verwunderlich, da dieser Parameter di-

136

7 Zusammenfassung

rekt den abgesuchten Weg durch den L¨osungsraum beeinflusst. Auch die Reinitialisierung des Suchradius kann dazu beitragen, das Optimierungsergebnis zu verbessern. Insbesondere ist dies der Fall, falls in der Umgebung eines Extrempunkts weitere Optima existieren, die bessere Werte bez¨ uglich der Zielfunktion liefern. Dass der Optimierer in der Lage ist, lokale Optima durch Reinitialisierung des Suchradius zu verlassen und neue zu finden, zeigt allerdings auch die Abh¨angigkeit des Ergebnisses vom Startpunkt der Optimierung. Dies ist ein grunds¨atzlicher Nachteil von Gradienten basierten Optimierungsmethoden. Abschließend kann gefolgert werden, dass die vorgestellte Methode eine M¨oglichkeit bietet, die optimale Gestalt von Str¨omungsgebieten zu finden. Sie erledigt diese Aufgabe insbesondere auf sehr effiziente Weise, da durch die Verwendung eines Gradienten basierten Optimierungsverfahren nur relativ wenige Str¨omungsauswertungen n¨otig sind. Auch die hohe Effizienz des Str¨omungsl¨oser tr¨agt zu der hohen Leistungsf¨ahigkeit der Gesamtmethode bei. Allerdings ist ein mit dem Verfahren erzieltes Ergebnis abh¨angig von einigen numerischen Parametern, die von dem Benutzer vorgegeben werden. Wie die numerischen Experimente zeigen, k¨onnen sich die berechneten Gestaltsvorschl¨age unter Umst¨anden erheblich unterscheiden. Eine kritische ¨ Uberpr¨ ufung der Parametereinstellungen ist daher notwendig, um aussagekr¨aftig Ergebnisse zu erzielen. Bei praktischen Anwendungen empfiehlt es sich, nicht nur eine einzelne Optimierung durchzuf¨ uhren, sondern durch Variation der Einflussgr¨oßen mehrere lokale Optima zu suchen und diese zu vergleichen. Abhilfe k¨onnten alternative Optimierungsverfahren, wie z. B. genetischen Algorithmen, darstellen, die nicht nur einem Pfad durch das L¨osungsgebiet folgen, sondern ganze Bereiche absuchen. Allerdings darf nicht untersch¨atzt werden, dass dies mit einer stark erh¨ohten Zahl an Funktionsauswertungen und damit wesentlichen h¨oheren Rechenzeiten verbunden ist. Aus der Sicht der Optimierung von Str¨omungsgebieten w¨are eine Prozedur, die die Vorteile beider Verfahrensklassen in sich vereint, die beste Alternative. Prinzipiell ließe sich eine solche Prozedur durch die sequentielle Anwendung beider Verfahren realisieren. Zun¨achst bestimmt man mit einem genetischen Algorithmus ein Untergebiet des L¨osungsraums, der nur noch wenige Optima enth¨alt. Anschließend erm¨oglicht die Anwendung eines Gradienten basierten Verfahrens die effiziente Berechnung des endg¨ ultige Ergebnisses.

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144

LITERATURVERZEICHNIS

145

Abbildungsverzeichnis 2.1

Definition des Mittelwertes und der Fluktuation einer Funktion φ in einer statistisch station¨aren (links) und einer statistisch instation¨aren Str¨omung (rechts). . 12

3.1

Beliebiges hexagonales Kontrollvolumen. Die benachbarten Punkte sind gem¨aß den Himmelsrichtungen benannt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Approximation eines Integrals mit Hilfe der Mittelpunktsregel. . . . . . . . . . . Geometrische Interpretation der Bedingung, dass das CDS Verfahren zweiter Ordnung ist (in zwei Dimensionen). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Relative Lage des Punktes e zu den benachbarten Berechnungspunkten. . . . . . Approximation eines Wertes mit Hilfe des Upwind-Verfahrens. . . . . . . . . . . Situation an einer KV-Seite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vorgehensweise zur Interpolation der Eckwerte im zwei-dimensionalen Fall . . . Schema einer sukzessiven Gitterverfeinerung (links) und prinzipielles Vorgehen bei dem FMG-Verfahren (rechts). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Diskretisierung eines Problemgebiets mittels eines strukturierten (links) und eines block-strukturierten Gitters (rechts). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vorgehensweise bei dem Datenaustausch zwischen zwei aneinandergrenzenden Bl¨ocken mit aufeinander treffenden Gitterlinien. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hilfskontrollvolumen bei Bl¨ocken mit nicht aufeinander treffenden Gitterlinien (allgemeine Blockschnittstelle). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Interpolation und Transfer beim Datenaustausch an einer allgemeinen Blockschnittstelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Geometrische Konfiguration an einer Blockgrenze mit den f¨ ur die Bestimmung ¨ des Uberlappungsverh¨ altnisses ben¨otigten Abst¨ande. . . . . . . . . . . . . . . . Rekonstruktion der ein-dimensionalen Verteilung von φ. . . . . . . . . . . . . . . Ablaufdiagramm der Prozedur f¨ ur die adaptive Gitterverfeinerung. . . . . . . . . Verfeinerungsverh¨altnis χ = 2, 4, 8 an Blockgrenzen. . . . . . . . . . . . . . . . . Vorgehensweise bei Verwendung eines Druckkorrektur-Verfahrens f¨ ur station¨are Problemstellungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 3.10 3.11 3.12 3.13 3.14 3.15 3.16 3.17 4.1 4.2 4.3

20 21 23 24 26 27 28 37 39 39 40 41 41 43 45 46 47

Verteilung der Isobaren und Verlauf der Stromlinien gem¨aß der analytischen L¨osung f¨ ur die konvektive Staupunktstr¨omung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 Uniformes kartesisches Gitter I (links), systematisch verzerrtes Gitter II (mitte) und zuf¨allig verzerrtes Gitter III (rechts) f¨ ur das Problem der Staupunktstr¨omung. 52 Isobaren f¨ ur die Stagnationsstr¨omung auf drei sukzessiv verfeinerten Gittern (kartesisches Gitter I) berechnet mit CDS/CTS Diskretisierung. . . . . . . . . . 53

146 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9

4.10 4.11 4.12 4.13 4.14

4.15

4.16

4.17

4.18

4.19

4.20

4.21

ABBILDUNGSVERZEICHNIS

Isobaren f¨ ur die Stagnationsstr¨omung auf drei sukzessiv verfeinerten Gittern (verzerrtes Gitter II) berechnet mit CDS Interpolation. . . . . . . . . . . . . . . Isobaren f¨ ur die Stagnationsstr¨omung auf drei sukzessiv verfeinerten Gittern (verzerrtes Gitter II) berechnet mit MuLI Interpolation. . . . . . . . . . . . . . . Isobaren f¨ ur die Staupunktstr¨omung auf dem zuf¨allig verzerrten Gitter III berechnet mit CDS bzw. MuLI. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Systematisch verzerrte Gitter f¨ ur das Kanalstr¨omungsproblem. . . . . . . . . . . Lokaler relativer Fehler des relativen Drucks u ¨ber dem auf die Kanall¨ange normierten Abstand vom Einstrom auf einem Gitter mit 160×80 KV. . . . . . . . . Lokaler relativer Fehler der u-Komponente der Geschwindigkeit u ¨ber dem auf die Kanall¨ange normierten Abstand vom Einstrom auf einem Gitter mit 160×80 KV (Symbole wie in Abbildung 4.8). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problemgeometrie f¨ ur die turbulente Umstr¨omung des KFZ-K¨orpers (alle L¨angen in Millimeter). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Stromlinien f¨ ur die turbulente Umstr¨omung des KFZ-K¨orpers. . . . . . . . . . . Ausschnitt des numerischen Gitters f¨ ur die turbulente Umstr¨omung des KFZK¨orpers. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Isobaren an der R¨ uckseite des KFZ berechnet mit βf b = 0.9 (CDS (links) und MuLI (rechts)). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Relativer Fehler des Widerstandsbeiwerts cw bezogen auf die entsprechende gitterunabh¨angige L¨osung berechnet mit den beiden Diskretisierungsmethoden und zwei flux-blending-Koeffizienten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Geometrische Konfigurationen f¨ ur die deckelgetriebene Str¨omung in einem Beh¨alter mit angedeutetem Gitter f¨ ur die Untersuchung der Druckkorrekturverfahren. Konfiguration I: 90◦ -Beh¨alter; Konfiguration II: 30◦ -Beh¨alter (10 %); Konfiguration III: 30◦ -Beh¨alter (50 %); Konfiguration IV: 30◦ -Beh¨alter. . . . . . . . Einfluss der Unterrelaxationsparameter auf das Konvergenzverhalten bei Verwendung von SPC und FPC auf einem Gitter mit 80 × 80 KV. Oben links: 90◦ -Beh¨alter; oben rechts: 30◦ -Beh¨alter (10 %); unten links: 30◦ -Beh¨alter (50 %); unten rechts: 30◦ -Beh¨alter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Abh¨angigkeit der Anzahl an Simple-Iterationen von den Unterrelaxationsparametern und den verschiedenen Druckkorrekturmethoden f¨ ur den 30◦ -Beh¨alter auf einem Gitter mit 40×40 KV. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Einfluss des Abbruchkriteriums des linearen Gleichungsl¨osers (Druckkorrekturgleichung) auf die Anzahl der SIMPLE-Iterationen und die CPU-Zeit f¨ ur den 90◦ -Beh¨alter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Einfluss des Abbruchkriteriums des linearen Gleichungsl¨osers (Druckkorrekturgleichung) auf die Anzahl der SIMPLE-Iterationen und die CPU-Zeit f¨ ur den 30◦ -Beh¨alter mit dem SPC-Verfahren. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Einfluss des Abbruchkriteriums des linearen Gleichungsl¨osers (Druckkorrekturgleichung) auf die Anzahl der SIMPLE-Iterationen und die CPU-Zeit f¨ ur den 30◦ -Beh¨alter mit dem FPC-Verfahren. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Geometrische Konfiguration und ein Ausschnitt des numerischen Gitters f¨ ur den Mikrow¨armetauscher. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53 53 55 55 56

57 58 58 59 59

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67 68

ABBILDUNGSVERZEICHNIS

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4.22 Visualisierung der Str¨omung durch Stromlinien und der Temperaturverteilung f¨ ur den Mikrow¨armetauscher f¨ ur drei verschiedene Reynoldszahlen. Oben: Re = 0.1; Mitte: Re = 1; Unten Re = 10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.23 Geometrie des gebogenen Kanals (oben) und Ausschnitte aus den verwendeten Gittern f¨ ur die Wandfunktions- (links unten) und die LowRe-Modelle (rechts unten). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.24 CPU-Zeit f¨ ur verschiedene Wandfunktionsmodelle und verschiedene L¨osungsstrategien f¨ ur die Berechnung der Str¨omung durch einen gebogenen Kanal. . . . . . 4.25 CPU-Zeit f¨ ur verschiedene LowRe-Modelle und verschiedene L¨osungsstrategien f¨ ur die Berechnung der Str¨omung durch einen gebogenen Kanal. . . . . . . . . . 4.26 Verlauf von κ auf den Gittern 4 (20480 KV) und 5 (81920 KV) f¨ ur die Berechnung der Str¨omung durch einen gebogenen Kanal mit dem Chien-Modell. . . . . . . . 4.27 Verlauf der normierten Residuen auf den Gittern 4 (20480 KV) und 5 (81920 KV) f¨ ur die Berechnung der Str¨omung durch einen gebogenen Kanal mit dem Chien-Modell. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.28 Geometrie der abgeflachten Stufe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.29 Verlauf der normierten Residuen (links) und der berechneten Werte f¨ ur κ auf dem Gitter 5 (153600 KV) f¨ ur die Berechnung der Str¨omung u ¨ber einer abgeflachten Stufe mit dem Chien-Modell. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.30 Geometrische Konfiguration der berechneten Str¨omung durch eine D¨ use, das anf¨angliche block–strukturierte Gitter und eine Visualisierung des typischen Str¨omungsfelds durch Isobaren und Stromlinien. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.31 Anzahl der KV bezogen auf die Anzahl der KV bei Standardverfeinerung f¨ ur unterschiedliche Werte χmax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.32 CPU-Zeit in Sekunden u ur un¨ber Anzahl der KV mit einem Eingitter-L¨oser f¨ terschiedliche Werte χmax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.33 Beschleunigungswerte u ur die verschiedenen Verfeinerungs¨ber Anzahl der KV f¨ strategien. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.34 Relative Genauigkeit u ur verschiedene Verfeinerungsstrategien. ¨ber Anzahl der KV f¨ 4.35 Relative Genauigkeit u ur verschiedene ¨ber CPU-Zeit mit dem Mehrgitter-L¨oser f¨ Verfeinerungsstrategien. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.36 Relative Genauigkeit u ur verschiedene Verfeinerungsstrate¨ber Anzahl der KV f¨ gien und verschiedene Methoden zur Behandlung des Massenflusses u ¨ber Blockgrenzen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.37 Relative Genauigkeit u ur den Fehlerindikator Ej mit ver¨ber Anzahl der KV f¨ schiedenen Bezugsgr¨oßen φ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.38 Relative Genauigkeit u ur den Fehlerindikator E2g mit ver¨ber Anzahl der KV f¨ schiedenen Bezugsgr¨oßen φ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.39 Relative Genauigkeit u ur den Fehlerindikator Eτ mit ver¨ber Anzahl der KV f¨ schiedenen Bezugsgr¨oßen φ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.40 Berechnete Problemgeometrie der Zylinder in Tandemkonfiguration (oben), Ausschnitt des Ausgangsgitters mit der entsprechenden Blockstruktur (mitte) und eine Visualisierung des typischen Str¨omungsverlaufs (Stromlininen und Druckverteikung,unten). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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72 73 74 75

75 76

76

78 79 79 80 80 81

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ABBILDUNGSVERZEICHNIS

4.41 Relativer Fehler des Widerstandsbeiwerts des runden (oben) und des rechteckigen (unten) Zylinders f¨ ur die unterschiedlichen Fehlerindikatoren. . . . . . . . . 85 4.42 Geometrische Singularit¨at und der entsprechende Winkel θ f¨ ur eine Ecke des rechteckigen Zylinders. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 4.43 Ausschnitt des adaptiv verfeinerten Gitters unter Verwendung des Indikators Ejuv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 5.1

Schematische Darstellung der Transformation einer beliebigen viereckigen Geometrie in ein Einheitsquadrat in den logischen Koordinaten. . . . . . . . . . . . 5.2 Beispiele f¨ ur die Deformation eines Gitters f¨ ur das Einheitsquadrat mit Ψ = 4 und Ω = 1 durch Verschieben eines oder zweier Kontrollpunkte. . . . . . . . . . 5.3 Deformation eines Balkens zur Generierung von Fl¨ ugelprofilen“ . . . . . . . . . ” 5.4 Ablaufdiagramm des Gesamtverfahrens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1 6.2

6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9 6.10 6.11

6.12 6.13 6.14

Geometrie des Testfalls zweier versetzt angeordneter Kan¨ale. Die Skizze gibt die Dimensionen nicht maßstabsgetreu wider, um die Deutlichkeit zu erh¨ohen. . . . Darstellung der 6 Verschiebungsvektoren f¨ ur den Testfall zweier versetzt angeordneter Kan¨ale anhand der resultierenden Gitter. Dargestellt ist jeweils nur ein Gitterausschnitt, um die Deutlichkeit zu erh¨ohen. . . . . . . . . . . . . . . . . . Optimierte Geometrie f¨ ur die Verbindung zweier versetzter Kan¨ale bei Re = 1 mit 6 Designvariablen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Optimierte Geometrie f¨ ur die Verbindung zweier versetzter Kan¨ale bei Re = 100 mit 6 Designvariablen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Optimierte Geometrie f¨ ur die Verbindung zweier versetzter Kan¨ale bei Re = 10000 mit 6 Designvariablen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Verlauf der Reduktion des Druckverlusts u ur ¨ber den Optimierungsiterationen f¨ verschiedene Reynolds-Zahlen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Optimierte Geometrie f¨ ur die Verbindung zweier versetzter Kan¨ale bei Re = 100 mit 18 Designvariablen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Verlauf der Reduktion des Druckverlusts u ur ¨ber den Optimierungsiterationen f¨ 6 und 18 Designvariablen (DV). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Optimierte Geometrie f¨ ur die Verbindung zweier versetzter Kan¨ale f¨ ur verschiedene ¨ortliche Diskretisierungen bei Re = 100. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Optimierte Geometrie f¨ ur die Verbindung zweier versetzter Kan¨ale f¨ ur verschiedene ¨ortliche Diskretisierungen bei Re = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ausgangsgeometrie f¨ ur die Optimierung des Auftriebskraft eines umstr¨omten K¨orpers. Die Skizze gibt die Verh¨altnisse nicht maßstabsgetreu wieder, um die Deutlichkeit zu erh¨ohen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Anteil der Straffunktion u ur ¨ber der Widerstandskraft gem¨aß Gleichung (6.3) f¨ FwS = 40 N, υ = 1010 und  = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Auftriebsoptimierte Gestalt des umstr¨omten Profils f¨ ur verschiedene anf¨angliche Trust-Region-Radien ∆ini tr = 0.05 (a), 0.1 (b) und 0.2 (c). . . . . . . . . . . . . . Auftriebsbeiwert u ur verschiedene Trust-Region¨ber den Optimierungsiterationen f¨ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Radien ∆ini tr .

96 98 99 102 104

105 107 107 108 108 109 110 111 112

113 114 115 116

ABBILDUNGSVERZEICHNIS

6.15 Gitterqualit¨at bei einer kritischen Geometriekonfiguration. Die dick gezeichneten Linien kennzeichnen den Verlauf der Blockschnittstellen. . . . . . . . . . . . . . 6.16 Gitterqualit¨at im Fall der Ausgangsgeometrie mit der gew¨ahlten Blockaufteilung. 6.17 Vergleich des Verlaufs der Blockschnittstellen unter Verwendung der urspr¨ unglichen (a) und der alternativen Shape-Basis-Vektoren (b) f¨ ur eine kritische Profilform. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.18 Darstellung der verbesserten Gitterqualit¨at, die durch Verwendung der alternativen Shape-Basis-Vektoren erreicht werden kann. Die Profilform ist identisch mit der in Abbildung 6.15. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.19 Auftriebsoptimierte Gestalt des umstr¨omten Profils f¨ ur verschiedene anf¨angliche Trust-Region-Radien ∆ini tr = 0.05 (a), 0.1 (b) und 0.2 (c) unter Verwendung der alternativen Shape-Basis-Vektoren. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.20 Auftriebsbeiwert u ur verschiedene Trust-Region¨ber den Optimierungsiterationen f¨ Radien ∆ini . . . . . . . . . . . . . tr mit den alternativen Shape-Basis-Vektoren. 6.21 Profile nach der Optimierung der Ausgangsgeometrie ((a), identisch mit Abbildung 6.13(b)), und nach der ersten und zweiten Initialisierung des Trust-RegionRadius mit ∆ini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . tr = 0.2 ((b) und (c)). 6.22 Auftriebsbeiwert und Widerstandsbeiwert u ur ¨ber den Optimierungsiterationen f¨ ∆ini tr = 0.2 mit den alternativen Shape-Basis-Vektoren und zweifacher Initialisierung des Trust-Region-Radius. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.23 Ausgangsgeometrie f¨ ur die Optimierung des W¨arme¨ ubergangs von Bauteilen in einem Kanal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.24 Darstellung des numerischen Gitters f¨ ur die Ausgangskonfiguration (a) und des Einflusses der Verschiebungsvektoren auf die Gestalt der Einbauten ((b)-(d)). Dargestellt ist jeweils nur ein Ausschnitt des gesamten Berechnungsgebiets. . . 6.25 Darstellung des Temperaturfelds und der Stromlinien f¨ ur die Ausgangsgeometrie 6.26 Optimale Geometrie zur Maximierung der mittleren Ausstromtemperatur mit Darstellung der zugeh¨origen Stromlinien und Temperaturverteilung. . . . . . . 6.27 Verlauf der prozentualen Erh¨ohung der mittleren Temperatur am Ausstrom u ¨ber den Optimierungsiterationen. Zus¨atzlich ist der Verlauf der mittleren Temperatur an den jeweiligen Berandungskurven beider Bauteile angegeben. . . . . . . . 6.28 Verlauf des Trust-Region-Radius u ¨ber den Optimierungsiterationen. Zus¨atzlich sind zwei repr¨asentative Designvariablen und die Zielfunktion eingetragen. . . . 6.29 Optimale Geometrie zur Minimierung der maximal auftretenden Bauteiltemperatur mit Darstellung der zugeh¨origen Stromlinien und Temperaturverteilung. . 6.30 Verlauf der prozentualen Reduzierung der maximalen Temperatur an den Bauteilen u ¨ber den Optimierungsiterationen. Zus¨atzlich ist der Verlauf der mittleren Temperatur an den jeweiligen Berandungskurven beider Bauteile angegeben. . . 6.31 Optimale Geometrie zur Minimierung der mittleren Temperatur des zweiten Bauteils (BT2) mit Darstellung der zugeh¨origen Stromlinien und Temperaturverteilung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.32 Verlauf der prozentualen Reduzierung der mittleren Temperatur am zweiten Bauteil u ¨ber den Optimierungsiterationen. Zus¨atzlich ist der Verlauf der mittleren Temperatur an den jeweiligen Berandungskurven beider Bauteile angegeben. . .

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117 117

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ABBILDUNGSVERZEICHNIS

151

Tabellenverzeichnis 2.1

Variablen der allgemeinen Transportgleichung f¨ ur die beiden betrachteten k-εModelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4.1

Relativer Fehler der u-Geschwindigkeitskomponente Eu erhalten mit den vorgestellten Interpolationsmethoden auf den Gittern I und II (in Prozent) und der Konvergenzordnung f¨ ur die Staupunktstr¨omung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Relativer Fehler des Drucks Ep erhalten mit den vorgestellten Interpolationsmethoden auf den Gittern I und II (in Prozent) und der Konvergenzordnung f¨ ur die Staupunktstr¨omung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Relativer Fehler der Geschwindigkeit (in Prozent) und Konvergenzordnungen mit beiden Interpolationen auf systematisch verzerrten Gittern f¨ ur das Kanalstr¨omungsproblem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Widerstandsbeiwert, gitterunabh¨angige L¨osung (GUL) und Konvergenzordnungen f¨ ur Berechnungen der Str¨omung um einen KFZ-K¨orper mit MuLI/DABT und CDS/CTS und zwei verschiedenen flux-blending-Koeffizienten. . . . . . . . . . . 4.5 CPU-Zeit f¨ ur einen Druckkorrektur-Zyklus f¨ ur die beiden Interpolationsmethoden in Sekunden auf einer SUN ULTRA/1 Workstation. . . . . . . . . . . . . . 4.6 Anzahl der SIMPLE-Iterationen und CPU-Zeit in Sekunden f¨ ur den Mikrow¨armetauscher bei den untersuchten Reynoldszahlen und unterschiedlichen Gitterabst¨anden. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7 CPU-Zeit (in Sekunden) f¨ ur verschiedene LowRe-Modelle und verschiedene L¨osungsstrategien f¨ ur die Berechnung der Str¨omung durch einen gebogenen Kanal.

54

54

57

60 61

71 73

Berechnete Widerstandskraft Fwopt und Schattenfl¨ache quer zur Str¨omung Aopt f¨ ur das jeweilige Optimum mit verschiedenen anf¨anglichen Trust-Region-Radien ∆ini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 tr 6.2 Charakteristische Temperaturwerte f¨ ur die Ausgangskonfiguration: u ¨ber den Ausmit strom gemittelte Str¨omungstemperatur T aus , u ¨ber der Berandung des zweiten mit Bauteils gemittelte Temperatur T BT 2 , maximal auftretende Bauteiltemperatur max T BT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

6.1

152

TABELLENVERZEICHNIS

153

Symbolverzeichnis Arabische Symbole E

φ

FcC FcD fi h hi Ii m m ˙c ni T Tij ui

ui u
i uτ Pr q Ra Re r V W xi

Fehlerindikatoren auf Basis einer Gr¨oße φ konvektiver Fluss u ¨ber die Kontrollvolumenseite c diffusiver Fluss u ¨ber die Kontrollvolumenseite c Komponenten der Volumenkr¨afte typische Gitterabstand Komponenten des W¨armestroms Komponenten des Impulsvektors Masse eines K¨orpers Massenfluss u ¨ber die Kontrollvolumenseite c Komponenten des Normalenvektors Temperatur Cauchysche Spannungstensor Komponenten der Geschwindigkeit in den kartesischen Richtungen Reynolds-gemittelte Komponenten der Geschwindigkeit turbulente Fluktuationen der Geschwindigkeiten Schubspannungsgeschwindigkeit Prandtl-Zahl W¨armequellen Rayleigh-Zahl Reynolds-Zahl ¨ Uberlappungsfaktor von Kontrollvolumen Volumen eines beliebigen K¨orpers Gesamtenergie eines K¨orpers Komponenten der kartesischen Koordinaten

Griechische Symbole α αk βf b δ δp ijk ε Γφ γ k ρ µ µt ω θ ξi , η i

Unterrelaxationskoeffizienten Designvariablen Flux-blending-Koeffizient Wandabstand Konvergenzschranke f¨ ur die Druckkorrektur-Gleichung Permutationsoperator Dissipation der turbulenten kinetischen Energie Diffusionskoeffizient der allgemeinen Transportgleichung Interpolationskoeffizienten turbulente kinetische Energie Dichte des Fluids molekulare dynamische Viskosit¨at turbulente dynamische Viskosit¨at Dissipationsrate der turbulenten kinetischen geometrische Winkel Komponenten der Basis eines lokalen Koordinatensystems

Andere Symbole ∂ ∂xi ∂ ∂t

D Dt δSc δV φGUL

¨ortliche Ableitung nach den kartesischen Richtungen zeitliche Ableitung materielle Ableitung L¨ange der Kontrollvolumenseite c Volumen oder Fl¨ache eines Kontrollvolumens Gitterunabh¨angige L¨osung einer Gr¨oße φ

Lebenslauf Pers¨ onliche Daten: Name: Anschrift: Geburtsdatum: Familienstand: Staatsangeh¨origkeit:

Thomas Lehnh¨auser Otto-Hesse-Straße 19 - T5 64293 Darmstadt 17.06.1972 in Bad Hersfeld ledig deutsch

Schulausbildung: 08/1978 - 06/1982: 08/1982 - 07/1984: 08/1984 - 06/1991: Abschluss:

Grundschule, Grundschule Heimboldshausen F¨orderstufe, Haupt- und Realschule Philippsthal Gymnasium, Gesamtschule Heringen Abitur, Juni 1991

Grundwehrdienst: 07/1991 - 06/1992:

Panzerj¨agerkompanie 130, Sontra

Hochschulausbildung: 07/1992 - 09/1998: Abschluss:

Studium des allgemeinen Maschinenbaus an der TU Darmstadt Diplom, September 1998

Anstellungen: 10/1998 - 10/2003

11/2003 - dato

Wissenschaftlicher Mitarbeiter am Fachgebiet Numerische Berechnungsverfahren im MB an der TU Darmstadt Angestellter bei der Firma Stihl AG, Waiblingen