Eenheid in eenheden [PDF]

Zitiervorschau

EENHEID IN EENHEDEN

I MOM/

H » v a n don

Cursusboek behorende bij de Teleaccursus

EENHEID IN EENHEDEN met bijdragen van Ing. J. Bosschaart, ir. J. P. M. van Elk, ir. J. van Male, S. J. C. S. Schrooten en ir. H. Wieringa

eindredactie ir. J. van Male

in samenwerking met het Nederlands Normalisatie-instituut

h, v^n den akker - zwanenburgerdïjkSOO zwanenburg haarlemmermsêlf

Stichting Teleac - Utrecht 1977

© 1977

Stichting Teleac

Niets uit deze uitgave mag worden verveelvoudigd en/of openbaar gemaakt door middel van vooraf aande Ê schriftelijke toestemmen0 vin '1"1 ^ °P ^"^ anderS "^ °°k

Inhoud

Woord vooraf

-

blz. 7

Nieuwe wetten Van oud naar nieuw Voor wie is deze cursus? Organisatie

1. Inleiding 1.1. Waarom sanering van de eenheden? 1.1.1. Ideale elektrische eenheden 1.1.2. Eenheden zonder samenhang 1.1.3. Giorgien zijn MKSA-stelsel 1.1.4. Keerpunt 1948 1.2. Consequenties van de overgang 1.2.1. Voorbeeld l 1.2.2. Voorbeeld 2 1.2.3. Voorbeeld 3 1.3. Waarvoor eenheden worden gebruikt: meten van grootheden 1.3.1. Grootheid 1.3.2. Eenheid 1.4. De dimensie van een grootheid Werkblad Rekenproblemen Multiple choice-vraagstukken

10

13 13 15 16 17

2. Grootheden, dimensies, eenheden, getalwaarden 2.1. Vergelijken van grootheden 2.2. De functie van eenheden 2.3. Getalwaarden 2.4. Getalwaarde als vergelijkingsnorm 2.5. Getal als fysische grootheid en getalwaarde, kengrootheden 2.6. Relaties tussen grootheden 2.6.1. Oppervlakte van een rechthoek 2.6.2. Dimensies van oppervlakte 2.7. De eenheid van lengte 2.7.1. Voorgeschiedenis 2.7.2. De archiefmeter 2.7.3. De X-meter 2.7.4. De moderne definitie De eenheid van oppervlakte Grondeenheden en afgeleide eenheden 2.10. De eenheid van tijd Werkblad Rekenproblemen Multiple choice-vraagstukken

19 19 19 19 20 20 2!

3. Coherentie; de opbouw van het SI 3.1. Gronddimensies en afgeleide dimensies 3.2. Coherentie 3.3. De eenheid van snelheid 3.4. De coherente eenheid van versnelling 3.5. Nogmaals over coherentie 3.6. Het metrieke stelsel 3.7. Massa 3.8. Het SI 3.9. Aanvullende eenheden Werkblad Rekenproblemen Multiple choice-vraagstukken

32 32 33 35 36 37 38 40 41 42 43 44 45

22

25 27 27 28 29 30

4. De wetten van Newton; massa en gewicht 4.1. Trage massa 4.2. Zware massa 4.3. Gewicht 4.4. Massa en kracht uitgedrukt in lengte en tijd 4.5. Gravitatieveld, zwaarteveld 4.6. Gewicht en massa 4.7. Versnelling van de zwaartekracht Werkblad Rekenproblemen Multiple choice-vraagstukken

47 47 47 49 49 50 51 52 54 55 56

S. Druk, energie, vermogen 5.1. Eenheden van druk en spanning; de positie van de bar 5.1.1. De newton per vierkante meter (N/m 2 ) 5.1.2. Vloeistofdrukmeters (mmHg en mH 2 O) 5.1.3. Atmosfeer overdruk - atmosfeer absoluut 5.1.4. De bar 5.1.5. Bar contra pascal 5.1.6. Vloeistofhoogte 5.2 Eenheden van arbeid of energie en van vermogen 5.2.1. Dimensie van energie 5.2.2. De grootheid 'vermogen' 5.3 Nog een eenheid van energie: het kilowatt uur 5.4 De normversnelling gn van het technische stelsel 5.4.1. Het technische stelsel 5.4.2. De eenheid kilogramkracht 5.4.3. De 'normversnelling' gn 5.4.4. Verwarring bij gebruik vang n 5.4.5. Voorbeeld uit de stromingsleer 5.4.6. Conclusies 5.5 Omwenteling, toerental, hoeksnelheid 5.5.1. Voorbeeld l 5.5.2. Voorbeeld 2 5.5.3. Voorbeeld 3 5.5.4. Eenheid voor hoek (rad) en voor hoeksnelheid (rad/s) 5.5.5. Grootheid 'frequentie': hertz 5.5.6. Samenvatting 2 5.6. GD en massatraagheidsmoment Werkblad Rekenproblemen Multiple choice-vraagstukken

58 58

6. Elektriciteit en magnetisme, temperatuur, licht, hoeveelheid stof 6.1. Het CGS-stelsel 6.2. Elektriciteit 6.2.1. Lading 6.2.2. Stroom 6.2.3. Weerstand 6.2.4. Spanning 6.3. Magnetisme 6.4. Het elektrostatische CGS-stelsel 6.5. Het elektromagnetische CGS-stelsel 6.6. Rationalisatie 6.7. Praktische elektrische eenheden 6.8. Het quadrantstelsel 6.9. Het MKSA-stelsel 6.10. Lichteenheden 6.10.1. Straling 6.10.2. Licht 6.10.3. CIE 6.11. Keivin en graad Celsius 6.12. Hoeveelheid stof en de eenheid mol Werkblad Rekenproblemen Multiple choice-vraagstukken

77 77 78

61 64 65

68

70 73 75

79 80 81 81 82 82 83 85

88 89 90 91 92

7. Decimale voorvoegsels, schrijfwijze van symbolen, bijzondere onderwerpen 7.1. Decimale voorvoegsels 7.1.1. Decimaal afgeleide eenheden 7.1.2. Toepassingsregels 7.1.3. Eenheden met een exponent 7.1.4. Decimaal afgeleide eenheden met een eigen naam 7.1.5. Kilogram 7.1.6. Rekenen met vergelijkingen 7.1.7. Beperkte coherente stelsels 7.2. Schrijfwijze van namen, symbolen en uitdrukkingen 7.2.1. Namen van eenheden en grootheden 7.2.2. Symbolen voor grootheden 7.2.3. Symbolen voor eenheden 7.2.4. Apparatuur met beperkt aantal tekens 7.2.5. Onjuiste uitdrukkingen 7.3. Natuurconstanten 7.3.1. Het ontstaan van een natuurconstante 7.3.2. De rol van de natuurconstanten 7.4. Logaritmische eenheden 7.5. Het gebruik van niet tot het SI behorende eenheden 7.5.1. Algemene aspecten 7.5.2. Wettelijke voorschriften 7.5.3. Eenheden die blijvend zijn toegelaten 7.5.4. Eenheden toegelaten tot 31 december 1979 7.5.5. Eenheden waarvan het gebruik nog ter discussie is Werkblad Rekenproblemen Multiple choice-vraagstukken

94 94

97

99 101 102

105 106 108

8. Praktische problemen bij de overgang naar het SI 8.1. Gebruik van oude handboeken en tabellen 8.1.1. Voorbeeld l (massa) 8.1.2. Voorbeeld 2 (soortelijk gewicht) 8.1.3. Voorbeeld 3 (lineaire uitzettingscoëfficiënten) 8.1.4. Voorbeeld 4 (soortelijke grootheden) 8.2. Hulpmiddelen bij de herleiding 8.2.1. Herleidingstabel 8.2.2. Dubbelschaal 8.2.3. Conversieschuif 8.3. Nauwkeurigheid bij herleiden 8.3.1. Afrondingsproblemen 8.3.2. Nominale waarden 8.3.3. Het meten van een grootheid 8.3.4. De absolute maat 8.3.5. Controle met kalibers 8.3.6. Aantal cijfers van de getalwaarde na de herleiding 8.4. Overgang van getalwaarden- naar groothedenvergelijking 8.4.1. Groothedenvergelijking zonder getalfactoren 8.4.2. Groothedenvergelijking met getalfactoren Soortelijke grootheden Herleidingsmethoden 8.6.1. Substitutiemethode 8.6.2. Methode van Stroud Werkblad Rekenproblemen Multiple choice-vraagstukken

110 110

9. Enkele grepen uit de historie 9.1. Inleiding 9.2. Simon Stevin (1548 - 1620) 9.3. Christiaan Huygens (1629 - 1695) 9.4. Jan Hendrik van Swinden (1746 - 1823) 9.5. Giovanni Giorgi (1871 - 1950)

126

111 112

116 119 120 122 123 124

126 126 127 127 128

Bijlage l: Definities van de grondeenheden en de aanvullende eenheden Grondeenheden Aanvullende eenheden

129 129 130

Bijlage 2: Afgeleide eenheden met een eigen naam

131

Bijlage 3: Schema onderlinge samenhang van de si-eenheden met een eigen naam Bijlage 4: Sl-voorvoegsels

133

Bijlage S: Symbolen voor grootheden en bijbehorende si-eenheden Geometrie en kinematica Mechanica Warmte en chemie Elektriciteit en magnetisme Straling en licht

134 134 135 136 138 139

Bijlage 6: Herleidingsfactoren

140

Bijlage 7: Natuurconstanten

148

Bijlage 8: Documentatie Wettelijke bepalingen 1. IJkwet 1937(Stb. 627) 2. Eenhedenbesluit 1968 (Stb. 673) 3. Standaardenbesluit 1968 (Stb. 674) 4. EG-Richtlijn(71/354/EG) Normen 1. Internationale normen 1.1. Van de International Organization for Standardization (ISO) 1.2. Van de International Electrotechnical Commission (IEC) 2. Nederlandse normen Literatuur

149 149 149 149 149 149 149 149 149 150 150 150

Woordvooraf

1376 '

1 jmifiRi

Nieuwe wetten Sedert juni 1968 zijn in de Nederlandse IJkwet de Sl-eenheden opgenomen als erkende eenheden; maar deze wet schrijft het gebruik van erkende eenheden alleen dwingend voor voor aankondigingen met betrekking tot de goederen die volgens maat of gewicht worden verkocht. Na 31 december 1977 ontstaat een geheel andere situatie. De in mei 1973 aanvaarde EG-richtlijn schrijft de lidstaten voor hun wetgevingen te harmoniseren met betrekking tot de eenheden. En volgens die richtlijn mogen na 31 december 1977 voor meetmiddelen, metingen en aanduidingen in het economische verkeer en de gebieden van volksgezondheid en veiligheid en voor alle handelingen van bestuursrechtelijke aard uitsluitend erkende eenheden worden gebruikt. Dit houdt in dat dan het Internationale Stelsel van Eenheden - in alle talen met SI aangeduid - wettelijk verplicht wordt gesteld; slechts een beperkt aantal in de wet met name genoemde eenheden die niet tot het SI behoren, zal naast dit stelsel in gebruik blijven. Dit alles betekent dat enkele tot dusver veel gebruikte eenheden verdwijnen, o.a. kilogramkracht (kgf), paardekracht (pk), technische atmosfeer (at), kilocalorie (kcal). Daartegenover komen enkele nieuwe eenheden in gebruik, die voor velen nog niet of nauwelijks bekend zijn, o.a. newton (N), joule (J), keivin (K), pascal (Pa). Daarnaast blijven er ook eenheden - gelukkig het grootste in aantal - ongewijzigd voortbestaan zoals meter (m), seconde (s), kilogram (kg), volt (V), ampère (A). Ook de watt (W) behoort tot deze groep, maar die is nu niet meer beperkt tot alleen elektrisch vermogen; deze eenheid vervangt namelijk de pk en de kcal/h.

Van oud naar nieuw De overgang naar de nieuwe situatie kon niet van de ene dag op de andere worden gerealiseerd, daartoe was een voorbereiding nodig. In die periode moest veel worden verricht, niet alleen op het punt van scholing en voorlichting maar ook wat de vervanging van meetapparatuur en -gereedschap betreft. Nadat de limietdatum van 31 december 1977 is gepasseerd, zullen wij toch nog met een erfenis aan oude eenheden blijven zitten, voornamelijk in de vorm van de bestaande technische en wetenschappelijke literatuur, die nog jaren zal blijven geraadpleegd. Degenen die zich op deze gebieden bewegen, zullen daarom ook de kennis omtrent de oude eenheden niet kunnen ontberen en moeten weten hoe zij het oude naar het nieuwe moeten vertalen. Zij vormen de generatie van technici en technisch-wetenschappelijke mensen werkzaam in het bedrijfsleven, die hun opleiding achter de rug hebben en thans genoodzaakt zijn zich bij te scholen op het gebied van de eenheden, een probleem dat niet tot de moeilijkste behoort, maar ook niet moet worden onderschat.

Voor wie is deze eursus? Voornamelijk voor de groepen die in de vorige paragraaf werden omschreven, van technisch werkzame personen, is de Teleaccursus Eenheid in eenheden opgezet, maar hij zal daarnaast ook voor vele anderen zijn nut opleveren. Deze cursus wil duidelijk maken waarom de overgang naar een nieuw eenhedenstelsel noodzakelijk is. Voorts worden in deze cursus de problemen en de consequenties genoemd die uit deze overgang voortvloeien. En tenslotte wil deze Teleaccursus de nodige richtlijnen verschaffen om voor alle betrokkenen de moeilijkheden tot een minimum te beperken. Behoudens de nodige herzieningen is deze cursus een herhaling van de gelijknamige cursus die in 1975 door Teleac werd uitgezonden.

CGPM

ISO

Organisatie Tenslotte nog een korte uiteenzetting over het ontstaan van de cursus. De hoogste internationale instantie op het gebied van de eenheden is de 'Conférence Générale des Poids et Mesures' (CGPM), die het SI in 1960 heeft opgesteld. Het stelsel is door de International Organization for Standardization (ISO) overgenomen. Het Nederlandse lid van de ISO, het Nederlands Normalisatie-instituut (NNI), heeft in 1969 de normcommissie 'Invoering van het SI' ingesteld met als taak de overgang naar het nieuwe stelsel te bevorderen. Op initiatief van deze normcommissie is de onderhavige Teleaccursus Eenheid in eenheden tot stand gekomen. De volgende leden van de normcommissie hebben aan de samenstelling van dit cursusboek een bijdrage geleverd: ing. J. Bosschaart, A K Z O , Arnhem ir. J. P. M. van Elk (voorzitter), NKF Staal, Alblasserdam ir. J. van Male, Grasso, 's-Hertogenbosch S. J. C. S. Schrooten (secretaris), N N I , Rijswijk (Z.H.) ir. H. Wieringa, IWECO-TNO, Delft. De eindredactie berust bij ir. J. van Male. Wij moeten ons realiseren dat de overgang naar het nieuwe eenhedenstelsel zich op wereldschaal voltrekt en dat de thans nog steeds uit de verschillende eenhedengebruiken voortvloeiende begripsverwarringen binnen afzienbare tijd tot het verleden zullen behoren.

1. Inleiding

1.1. Waarom sanering van de eenheden?

1.1.1. Ideale elektrische eenheden In de tweede helft van de 19de eeuw bestonden er grote moeilijkheden met betrekking tot de elektrische eenheden, omdat de door de wetenschap toegepaste eenheden voor de praktijk onbruikbaar waren. Op internationaal niveau werden toen nieuwe eenheden vastgesteld, die voor beide gebieden geschikt waren. Sedertdien worden over de gehele wereld uitsluitend deze eenheden toegepast. De bekendste zijn: - ampère (A) voor elektrische stroom - volt (V) voor elektrische spanning - ohm (£7) voor elektrische weerstand - watt (W) voor elektrisch vermogen - coulomb (C) voor elektrische lading. Deze eenheden hebben niet alleen het voordeel dat ze overal worden toegepast, maar ook dat ze, zoals wij in de loop van deze cursus zullen zien, de eenvoudigst mogelijke relaties ten opzichte van elkaar hebben, relaties waarin geen (verhoudingsgetallen optreden.

De chaos vóór 1820 . . . elke stad z'n gewicht, graanmaat, ellemaat, enz.

1.1.2. Eenheden zonder samenhang Dit laatste is bij de niet-elektrische eenheden niet het geval. Wél is voor deze eenheden de chaotische toestand van vóór 1800, waarin elke regio zijn eigen eenheden erop nahield, verdwenen. Maar nog steeds zitten wij met twee grote en belangrijke geografische blokken waarin enerzijds de metrische eenheden, anderzijds de Angelsaksische eenheden worden gebruikt; meter en kilogram in het ene blok, foot, inch, yard en pound in het andere. Velen kennen de moeilijkheden die daaruit voortvloeien en die zich steeds meer hebben toegespitst naarmate de onderlinge betrekkingen hechter werden. Maar behalve deze moeilijkheden tussen de twee blokken, kampt elk blok tevens met interne problemen, voortkomend uit het feit dat de eenheden onderling dikwijls zo'n moeilijke relatie hebben. Men is daarbij genoodzaakt de eenheden van het ene gebied te herleiden tot die van het andere; de herleidingsfactoren moet men hetzij opzoeken in een tabel hetzij uit het hoofd kennen. Dat dit laatste slechts in beperkte mate mogelijk is, moge blijken uit bijlage 6 achterin dit boek. Zo kennen wij in het metrische blok diverse eenheden voor energie of arbeid, zoals kilogramkracht meter, kilocalorie, kilowatt uur, joule, erg. Elke eenheid wordt gebruikt binnen een specifiek toepassingsgebied: kilogramkracht meter in de mechanica, kilocalorie voor thermische toepassingen, kilowatt uur voor elektriciteit, enz. Bij menige toepassing echter overlappen deze gebieden elkaar. Die situatie is gegroeid met de ontwikkeling van de technische en fysische wetenschappen, die vóór de Tweede Wereldoorlog veelal nog elk hun eigen leven leidden, doch nadien in sterke mate zijn geïntegreerd.

1.1.3. Giorgi en zijn MKSA -stelsel Deze ontwikkeling heeft met zich meegebracht dat vele in de techniek gebruikte eenheden verouderd raakten. Reeds in 1901, na de sanering van de elektrische eenheden, heeft men in technisch-wetenschappelijke kringen al op deze tekortkomingen gewezen en de Italiaanse ingenieur Giovanni Giorgi stelde toen voor, ook de mechanische eenheden te saneren. Hij toonde daarbij aan dat op gemakkelijke wijze de elektrische en de mechanische eenheden konden worden gecombineerd tot één samenhangend eenhedenstelsel. Zijn stelsel is bekend geworden onder de naam MKSA-stelsel (meter, kilogram, seconde, ampère). Het onderwijs bedient zich reeds vele jaren van dit stelsel, maar de techniek heeft het toen niet willen aanvaarden.

Système International d'Unités SI

1960

CGPM

Voor ons een bekend bord, voor de Engelsman niet

Voor de Engelsman duidelijk, voor ons niet

1.1.4. Keerpunt 1948 Na de Tweede Wereldoorlog deed zich een sterke internationalisatie voor op technisch en economisch gebied; men denke slechts aan de vele internationale ondernemingen en de gemeenschappelijke projecten die de grenzen tussen de twee eenheden-blokken overschrijden. Ook de integratie van techniek en wetenschap zette zich steeds verder door. Deze ontwikkelingen maakten de noodzaak van eenhedensanering steeds duidelijker. In 1948 deed de CGPM (Conférence Générale des Poids et Mesures, een regelmatig vergaderend internationaal lichaam, dat als hoogste instantie op metrologisch* gebied kan worden gezien) een enquête uitgaan naar alle landen ter wereld. Daarin werd gevraagd naar het standpunt met betrekking tot het op wereldschaal invoeren van het MKSA-stelsel, aangepast aan het bestaande niveau van wetenschap en techniek. Deze enquête heeft twaalf jaar geduurd en heeft in die jaren levendige en soms heftige discussies uitgelokt. Ondanks veel tegenstand viel de beslissing in 1960 ten gunste van het voorstel uit en de invoering van het aangepaste MKSA-stelsel, officieel Système International d'Unités geheten en in alle talen met het symbool SI aangeduid, kon een aanvang nemen. Aanvankelijk hield zich een tiental landen afzijdig, waaronder de Verenigde Staten. In 1976 is echter door President Ford een wet ondertekend waarbij ook deze laatste mogendheid tot de invoering van het SI besluit. In vele landen is de invoering inmiddels reeds ver gevorderd. Dit geldt met name in het Verenigd Koninkrijk waar de overgang, evenals in de andere Angelsaksische landen, de grootste consequenties heeft.

l .2. Consequenties van de overgang Zo is men dus in de gehele wereld bezig aan de invoering van het SI, hetgeen uiteraard met problemen gepaard gaat. Natuurlijk zijn deze primair van financiële aard; er zijn miljoenen mee gemoeid. Maar daarnaast bestaan ook problemen van mentale en psychologische aard. Voor wetenschappelijk en technisch-wetenschappelijk werkzame personen is de overgang wat dat betreft het eenvoudigst. Niet alleen ondervinden zij de meeste hinder van de tekortkomingen in de bestaande situatie van de eenheden, maar zij zijn ook gewend om veel met eenheden te werken en kennen hun functies en onderlinge relaties. Bovendien werken velen van hen reeds jaren met het SI; de collectieve overgang, die thans een feit gaat worden, maakt het hun alleen maar gemakkelijker. De meeste in de diverse gebieden van de techniek werkzame personen komen echter slechts incidenteel of in beperkte mate met eenheden in aanraking. Voor hen spelen de bij die eenheden behorende getalwaarden doorgaans een veel belangrijker rol. * metrologie is de wetenschap van het meten 10

andere EENHEID

t andere GETALWAARDE

Ook in het dagelijks leven doet deze omstandigheid zich voor: mededelingen als 'hij is één zeventig lang', 'dat boek kost zeven vijftig', 'hij is over de veertig' en 'hij reed harder dan vijftig' zijn, hoewel er geen eenheid in wordt genoemd, voor ieder (in het Nederlandse taalgebied) ondubbelzinnig. Dit laatste geldt ook voor uitdrukkingen als 'een druk van 150 pond' of van '10 kilo', 'een stroomprijs van 10 cent per kilowatt' en 'een verwarmingsketel van 30 000 calorieën', waarin het eenhedengebruik foutief is, maar de insider toch precies weet wat ermee wordt bedoeld. Voor degene die met de getallen vertrouwd is en soms niet weet wat de eenheid precies voorstelt, is de overgang naar andere eenheden een probleem, omdat de vertrouwde getalwaarden gaan veranderen.

1.2.1. Voorbeeld l Laat ons als voorbeeld nemen een machinist die een druk onder controle moet houden. Hij leest deze af op een manometer, die een schaal kan hebben met een verdeling in psi (afkorting voor 'pound per square inch'). De machinist noemt deze eenheid veelal 'pond' en kent zijn maximaal toelaatbare druk als bijvoorbeeld 150 pond. Het is ook mogelijk dat de manometer een schaalverdeling heeft in kgf/cm 2 , -een eenheid die ook vaak technische atmosfeer (at) wordt genoemd; op vele manometers treft men nog de foutieve en sinds lang niet meer toegelaten schrijfwijze kg/cm 2 aan. Dezelfde maximum-druk wordt nu '10 kilo' genoemd (een enkeling uitte wel eens zijn verwondering over deze gelijkheid, omdat een kilo immers gelijk is aan twee pond). De laatste jaren is men ook gebruik gaan maken van de bar als eenheid van druk. De bar kon vrij gemakkelijk worden ingevoerd, omdat hij vrijwel even groot is als de kgf/cm 2 (at) en er dus geen verandering van getalwaarden mee gepaard ging. Met het SI verschijnt als nieuwe drukeenheid de pascal (Pa). Dit is een kleine eenheid, zodat men voor grote drukken als in dit voorbeeld gebruik moet maken van kilopascal (kPa = l O 1 Pa) of megapascal (MPa = 10" Pa), de druk van 10 kilo of 150 pond wordt dan aangegeven met 1000 kPa of l MPa.

1.2.2. Voorbeeld 2 Een tweede voorbeeld betrekken wij op een elektrische straalkachel, bijvoorbeeld 11

met een vermogen van 2 kilowatt (2 kW). Zo'n kachel zet de opgenomen elektrische energie geheel om in warmte. Deze grootheid werd tot dusver uitgedrukt in kilocalorie (kcal) en het thermische vermogen in kilocalorie per uur (kcal/h); de kachel uit ons voorbeeld heeft dan een vermogen van 1720 kcal/h. Met het SI wordt ook thermisch vermogen in kW uitgedrukt; het opgenomen elektrische vermogen is dus 2 kW en het afgegeven thermische vermogen eveneens 2 kW.

massa

en gewicht

gewicht

is kracht

In de boodschappentas bevindt zich een hoeveelheid (massa) van 3 kg. In haar armen voelt de dame daarvan een kracht (gewicht) van 30 newton

1.2.3. Voorbeeld 3 Met een derde voorbeeld willen wij vooruitlopen op een probleem dat in les 4 uitvoerig zal worden behandeld: massa tegenover gewicht. Dit is zonder twijfel voor velen een van de moeilijkste problemen, vooral omdat het zich ook voordoet buiten de techniek met name in het alledaagse verkeer. Met massa wordt gewoonlijk een grote, maar niet nader bepaalde hoeveelheid bedoeld van allerlei soort zaken: een massa mensen, een massa werk e.d. Van een nader bepaalde hoeveelheid spreekt men over 'gewicht', dit wordt uitgedrukt in 'kilo(gram)' en in het huishouden heel dikwijls ook in 'pond' en 'ons'. De huisvrouw zal vaker nog 'twee pond' vlees bestellen dan 'één kilo'; de kleinere hoeveelheden, bijvoorbeeld vleeswaren, koekjes e.d. gaan altijd per ons, terwijl 'pond' en 'ons' reeds sedert 1937 voor de handel zijn verboden. Opgemerkt zij dat ook de el als lengtemaat werd verboden; deze is wél snel verdwenen, doch dit is te begrijpen uit de moeilijke verhouding tussen el en meter. Ook in de techniek wordt nog steeds over gewicht gesproken, dan echter uitgedrukt in kilogram of ton (= 1000 kg). Nu is het gewicht van een lichaam gedefinieerd als de kracht die het op zijn ondersteuning uitoefent. Gewicht is dus een kracht en men zal ten onrechte geneigd zijn die kilogram en ton als krachteenheden te beschouwen. In het nieuwe eenhedenstelsel echter zien wij een nieuwe eenheid van kracht verschijnen, de newton (N), die ongeveer een tiende deel is van de kracht die wij hierboven met kilogram hebben aangeduid. Betekent dit nu dat wat vroeger 3 kg heette te wegen, in het vervolg 30 N gaat wegen? Dit is niet het geval, zij het dat er wel een addertje onder het gras schuilt. Wat 'gewicht' wordt genoemd in het alom gangbare spraakgebruik is in feite 'massa'. Doch massa en gewicht verschillen evenzeer van elkaar als bijvoorbeeld lengte en tijd. Het feit doet zich echter voor dat men lange tijd beide in dezelfde eenheid, kg, uitdrukte; dit ondanks dat de CGPM reeds in 1901 heeft vastgesteld dat de term 'gewicht' uitsluitend dient te worden gebruikt in de betekenis van 'kracht'. Sedert 1950 moet in het technisch stelsel gewicht worden uitgedrukt in 'kilogramkracht' (kgf) (in de Duits sprekende landen en Skandinavië noemt men deze krachteenheid 'kilopond', met symbool kp) en 'massa', als voorheen in kilogram (kg). Deze eenheden zijn echter zodanig gekozen dat een lichaam met een massa van 7 kg een gewicht heeft van 7 kgf (dit is dus de kracht die het op zijn ondersteuning uitoefent). In de nieuwe situatie verdwijnt die gelijkheid van getalwaarden; het gewicht wordt dan (ongeveer) 70 N. Toch kan het oude vertrouwde getal 7 uit ons voorbeeld wel worden behouden, maar het woord 'gewicht' moet dan plaats maken voor het woord 'massa'. In dit geval brengt de overgang naar het SI dus ook nog een verandering in spraakgebruik mee. Dat zal echter geen gemakkelijk haalbare kaart zijn, spraakgebruik is altijd bijzonder star. Talloze van dergelijke voorbeelden kunnen worden gegeven; ze tonen aan dat de overgang naar het SI problemen meebrengt, waarmee ieder in meer of mindere mate zal worden geconfronteerd. Deze problemen zullen echter met de kennis die uit deze cursus kan worden opgedaan, alle het hoofd kunnen worden geboden.

l .3. Waarvoor eenheden worden gebruikt: meten van grootheden GROOTHEID: iets dat kan worden vergeleken met een gestandaardiseerde grootheid (eenheid) van dezelfde soort (dimensie)

GROOTHEID (dimensie lengte)

VERGELIJKINGSGROOTHEID = EENHEID (dimensie lengte)

EENHEID:

een GROOTHEID

met een afgesproken GROOTTE

1.3.1. Grootheid Wanneer wij een definitie van het begrip grootheid zouden moeten geven, dan zou deze het best kunnen luiden: iets dat door het noemen van een verhoudingsgetal met iets anders kan worden vergeleken. En in deze betekenis moeten wij 'grootheid' hier opvatten. Het gaat bij een grootheid altijd om een 'hoeveelheid', een 'grootte', een 'omvang', een 'uitgebreidheid'. De diameter van de aarde, de oppervlakte van de maan, de massa van de zon, de temperatuur van de buitenlucht, de tijdsduur van een vliegreis zijn allemaal grootheden; de aarde, de maan, de zon, de buitenlucht en de vliegreis zelf zijn dat niet. Het karakteristieke van een grootheid is dat hij kan worden gemeten of uit metingen kan worden berekend. Dit meten is in feite niets anders dan het vaststellen van een verhouding en wel de verhouding tussen de grootte van de te meten grootheid en die van een andere grootheid, waarvan de grootte reeds bekend is. Willen wij de hoogte van een bepaald vertrek meten, dan vergelijken wij deze hoogte met de lengte van een meterstok en stellen dan vast dat de verhouding tussen beide 2,5 bedraagt. Wij zeggen dan dat het vertrek twee en een halve meter hoog is.

1.3.2. Eenheid Wij hadden in plaats van een meterstok ook een stok van een andere lengte, bijvoorbeeld een voet, kunnen gebruiken. In dat geval hadden wij een ander verhoudingsgetal, bijvoorbeeld 8 gevonden en het resultaat van onze meting had dan geluid 'acht voet'. Wij dienen ons echter te realiseren dat wij in beide gevallen dezelfde grootheid hebben gemeten en dat de twee uitkomsten dus gelijk aan elkaar moeten zijn: 2,5 meter = 8 voet. Hieruit volgt dan de verhouding tussen de twee vergelijkingsgrootheden, meter en voet. Die vergelijkingsgrootheid is de eenheid en uit ons voorbeeld wordt duidelijk dat het resultaat van de meting - het verhoudingsgetal afhangt van de keuze van de eenheid. In principe zijn wij in die keuze volkomen vrij; voor het meten kunnen wij elke willekeurige lengte aannemen als eenheid. Wij verrichten echter een meting om daaruit informatie te verkrijgen omtrent de grootte van de te meten grootheid en deze informatie is uiteraard bedoeld om aan anderen te worden verstrekt. Voor een goede communicatie is het daarom wenselijk dat een eenheid wordt toegepast die algemeen bekend is en die daartoe binnen de gemeenschap waarin hij wordt gebruikt, als een standaard is vastgelegd of anderszins ondubbelzinnig is gedefinieerd. Wij kunnen het begrip eenheid derhalve definiëren als een grootheid waarvan de grootte in een overeenkomst is vastgelegd.

l .4. De dimensie van een grootheid In de tweede alinea van 1.3.1. werd een vijftal grootheden genoemd. Wanneer wij deze wat nader bekijken, dan blijken ze elk een zodanig eigen karakter te bezitten, dat ze onderling niet met elkaar kunnen worden vergeleken. Die vergelijking (dat wil zeggen: de vraag welke van twee grootheden de grootste is) is alleen zinvol voor grootheden van dezelfde soort. Deze soort bepaalt de dimensie van de grootheid. Zo spreken wij van de dimensie 'lengte', 'tijd', 'massa', 'kracht', 'energie', 'vermogen', 'druk', 'weerstand', enz. De namen van dimensies worden in het algemeen gebruikt voor de grootheden welke die dimensies bezitten; alleen wordt voor de laatste een lidwoord toegepast: de massa van de zon heeft de dimensie 'massa', de temperatuur van de lucht heeft 13

een GROOTHEID

de dimensie 'temperatuur', enz. In enkele gevallen verschillen de uitdrukkingen voor grootheid en dimensie: een hoogte en een breedte bezitten de dimensie 'lengte', een periode de dimensie 'tijd'.

is bepaald door DIMENSIE

en GROOTTE

Een grootheid wordt dus door twee kenmerken bepaald: dimensie en grootte. Zoals wij zagen, is een eenheid ook een grootheid; en aangezien grootheden alleen vergelijkbaar zijn indien ze dezelfde dimensie bezitten, moet dus voor elke dimensie een eenheid beschikbaar zijn. Eerder is reeds gezegd dat wij bij de keuze van de eenheidgrootte in principe vrij zijn, maar in de loop van deze cursus zullen wij constateren dat door een rationele keuze van de eenheden een enorme vereenvoudiging kan worden bereikt.

14

Werkblad, lest

1. Het door G I O R G I voorgestelde eenhedenstelsel is bekend onder de naam

-stelsel.

De

grondeenheden

,

van dit

,

stelsel

zijn

en

2. Het MKSA-stelsel, aangepast aan de huidige stand van techniek en wetenschap, wordt internationaal aangeduid met het

symbool

; de betekenis van dit symbool luidt in het Nederlands

3. Een moeilijkheid bij de overgang naar andere eenheden is voor velen dat daardoor de

veranderen.

4. Een grootheid wordt bepaald door

en

Twee grootheden kunnen alleen met elkaar worden vergeleken, indien zij 5. Eenheden

hebben. worden

gebruikt

voor

het

6. De tot het SI behorende eenheid van druk is de het symbool

met

De eenheid kcal/h zal met de invoering van het

SI worden vervangen door de

15

van

met het symbool

Rekenproblemen, Ies1 (Bij het berekenen van de volgende rekenproblemen kan men gebruik maken van bijlage 6, waar eenheden tot Sl-eenheden zijn herleid)

1. Eén voet (symbool ft), is gelijk aan

meter.

2. Een vliegtuig vliegt op een hoogte van l O 000 ft. Dat is x .

. meter = .

. meter.

3. Een baby weegt 6 pond en 340 gram. In Sl-eenheden uitgedrukt is dat:

kilogram.

4. Een 'pound per square inch' (officieel symbool lbf/in 2 ) wordt dikwijls psi genoemd, l psi =

pascal =

kilo-

pascal. 5. Een Engelse manometer wijst een overdruk van 100 psi aan. Dat is x

kilopascal =

kilopascal.

6. Een technische atmosfeer (symbool at, ten onrechte dikwijls geschreven als atm) is gelijk aan

pascal of

kilopascal.

7. Een Nederlandse manometer wijst een overdruk van 10 at (dikwijls 10 ato genoemd) aan. Dat is gelijk aan =

16

kilopascal

kilopascal.

8. Een paardekracht is gelijk aan . watt.

x

watt of

kilo-

Multiple choice, les 1

A. Bij toepassing van het SI moet als eenheid van kracht worden gebruikt: 1

kilogram

2

kilogramkracht

3

kilopond

4

newton.

B. Welk van onderstaande begrippen is geen grootheid? 1

de bevolkingsgroei van Nederland

2

de kosten van levensonderhoud

3

de kleur van een appel

4

de geluidssterkte van een motor.

C. Uit het getallen-voorbeeld van les l waarin de hoogte van een kamer wordt gemeten, blijkt dat: 1

een voet groter is dan een meter

2

een meter groter is dan een voet

3

een voet gelijk is aan 3,28 meter

4

zowel antwoordmogelijkheid l als antwoordmogelijkheid 3.

D. Welke tweetal eenheden van onderstaande groepen heeft verschillende dimensies? 1

watt, paardekracht

2

yard, meter

3

ton, newton

4

pascal, bar.

E. Welke van onderstaande eenheden hoort wat de dimensies betreft niet in het rijtje thuis?

17

1

kilogramkracht meter

2

calorie

3

kilowatt uur

4

bar.

F. Welke van onderstaande grootheden heeft de dimensie van gewicht? 1

7N

2

5 ton

3

15 kg

4

3 ons.

G. Het kilogram is een eenheid van: 1

gewicht

2

massa

3

noch antwoordmogelijkheid l noch antwoordmogelijkheid 2

4

zowel antwoordmogelijkheid l als antwoordmogelijkheid 2.

H. Welke van onderstaande eenheden hoort wat de dimensie betreft niet in het rijtje thuis? 1

at

2

bar

3 kg 4

l.

J.

psi.

De watt is een eenheid van: 1

elektrisch vermogen

2

mechanisch vermogen

3

thermisch vermogen

4

de antwoordmogelijkheden l, 2 en 3 zijn alle juist.

Welke van onderstaande eenheden behoort niet tot het SI? 1

ampère

2

bar

3 kilogram 4

18

pascal.

2. Grootheden, dimensies, eenheden, getalwaarden

O AI en/l2 stellen beide een oppervlak voor. A i = 5 maal A 2

^4 stelt een oppervlak voor en m een massa

A uitdrukken in m is zinloos

2. l. Vergelijken van grootheden In de eerste les hebben wij kennis gemaakt met grootheden en gezien dat elke grootheid twee kenmerken heeft, namelijk dimensie en grootte. Indien wij twee grootheden met elkaar willen vergelijken, kan dat alleen wanneer ze dezelfde dimensie hebben. Het is altijd mogelijk een getal op te geven dat de verhouding tussen beide tot uitdrukking brengt, ook wanneer hun orden van grootte totaal verschillen. Dit is bijvoorbeeld het geval met de afstand tussen zon en aarde en de dikte van een blad papier. Die verhouding is van de orde l O 15 maar de vergelijking is toch mogelijk. Een vergelijking tussen twee grootheden van verschillende dimensie is niet mogelijk; dit onttrekt zich aan ons voorstellingsvermogen. Het is zinloos te vragen wat groter is: de temperatuur van de maan of haar inhoud, het gewicht van een auto of zijn snelheid.

2.2. De functie van eenheden In 2.1. zagen wij dat alleen dimensioneel gelijke grootheden met elkaar kunnen worden vergeleken. Wij kunnen dan vaststellen dat ze beide even groot zijn of dat één van beide groter is dan de andere. Wat is echter het antwoord, indien van een individuele grootheid wordt gevraagd hoe groot hij is, bijvoorbeeld 'hoe groot is de hoogte van de Eiffeltoren? ' Ook bij het beantwoorden van deze vraag maken wij gebruik van een vergelijking tussen de grootheid (hoogte Eiffeltoren) en een vergelijkingsmaatstaf. Het antwoord bestaat in de opgave hoeveel maal de vergelijkingsmaatstaf in de grootheid is begrepen of met andere woorden, welke hun verhouding is. Uit hetgeen in 1.3. is meegedeeld, is duidelijk dat het de vergelijkingsmaatstaf is die wij met 'eenheid' aanduiden. In die paragraaf zagen wij ook dat een opgave als bovenbedoeld alleen informatie verstrekt aan de vraagsteller, indien deze bekend is met de gekozen eenheid en dat het daarom voor een goede communicatie wenselijk is dat eenheden in een overeenkomst worden vastgesteld (zie de definitie aan het einde van l .3.2.).

2.3. Getalwaarden Het getal dat de verhouding tussen grootheid en eenheid aangeeft, noemen wij getalwaarde. Wij kunnen dus schrijven: = getalwaarde eenheid of wat hetzelfde is: grootheid = getalwaarde x eenheid

19

(1)

Wanneer wij nogmaals naar de hoogte van de Eiffeltoren vragen, dan kan het antwoord luiden: h = 300 meter (m)

(2)

h = 30 000 centimeter (cm)

(3)

h = 984 feet (ft)

(4)

In (2), (3) en (4) is h één en dezelfde grootheid, onafhankelijk van welke eenheid of welke getalwaarde dan ook. De onderlinge verhouding van de getalwaarden is het omgekeerde van de verhouding van de bijbehorende eenheden (l m = 100 cm; l f t = 0,3048 m = 30,48 cm). Voor wie geheel onbekend is met de eenheid ft, is de met vergelijking (4) verstrekte informatie van geen waarde.

De hoogte van de Eiffeltoren is driemaal die van de Dom te Utrecht. De Utrechtenaar heeft nu een indruk van de Eiffeltoren; een Japanner niet, omdat hij de Dom niet kent en deze voor hem dus geen maatstaf is. Hij krijgt wel een beter begrip als wij zeggen: de Eiffeltoren is 300 m en de Dom 100 m (in beide gevallen in dezelfde eenheid uitgedrukt)

diafragmawaarde 2,8

diafragmawaarde 11

2.4. Getalwaarde als vergelijkingsnorm Voor het kwantificeren van een grootheid is de eenheid onmisbaar, maar ze is over het algemeen niet het criterium waaraan wij de grootte van een grootheid ervaren. Dit criterium is veeleer de getalwaarde, die wij vergelijken met die van een andere, dimensioneel gelijke grootheid. Zo zal de hoogte van de Eiffeltoren worden gewaardeerd aan de hand van bijvoorbeeld de bekende hoogte van de kerktoren in de naaste omgeving of, omgekeerd, wordt een hoogte-opgave vergeleken met de hoogte van de Eiffeltoren. Men vergelijkt de getalwaarden, die dan natuurlijk wel bij dezelfde eenheid moeten behoren. Zo wordt de snelheid van een auto vergeleken met bijvoorbeeld 100 km/h en daaraan getoetst. Alleen degene die zich over de vergelijkingssnelheid een oordeel kan vormen, is tot die toetsing in staat. Bij auto's kan dat tegenwoordig vrijwel iedereen; de snelheid van een vloeistofstroom door een pijpleiding van 5 m/s zal echter voor velen nietszeggend zijn. Weliswaar kennen zij de eenheid maar zij hebben geen maatstaf voor een vergelijking. De ervaren technicus kan die snelheid echter wél beoordelen. Wij zien dus dat in de praktijk de getalwaarde de vergelijkingsmaatstaf is en niet de eenheid. Die getalwaarde is echter, zoals wij in 2.3. hebben gezien, afhankelijk van de gekozen eenheid en de getalwaardentoets vereist dat er slechts één eenheid in het geding is. Dit is de reden waarom opgaven in vreemde eenheden zo moeilijk zijn te beoordelen. Het verklaart tevens waarom het vervangen van eenheden bij velen weerstanden opwekt.

2.5. Getal als fysische grootheid en getalwaarde, kengrootheden In het voorgaande hebben wij geleerd dat een grootheid wordt gekenmerkt door een dimensie. Hierop behoort echter een aanvulling te worden gegeven, want er zijn grootheden die zgn. dimensieloos zijn; die worden uitgedrukt in één enkel getal. Sommige cursisten zullen bekend zijn met de zgn. kengrootheden, waarvan die van Reynolds, Prandtl en Mach voorbeelden zijn. Dit zijn dimensieloze grootheden. Meer bekend zijn relatieve vochtigheid en de diafragmawaarde uit de optiek. Deze laatste geeft de verhouding tussen de brandpuntsafstand van de lens en de diameter van de opening van het diafragma aan; de verhouding dus tussen twee lengten en deze is dimensieloos. Het essentiële verschil tussen een getal als fysische grootheid en een getalwaarde is, 20

dat het eerste, zijnde een grootheid, onafhankelijk is van enige eenheid. De getalwaarde is echter afhankelijk van de keuze van de eenheid en kan dus voor dezelfde grootheid verschillende waarden aannemen.

Relatie tussen elektrische spanning U, stroom / en weerstand R

2.6. Relaties tussen grootheden In 2.1. is gesteld dat een directe vergelijking tussen grootheden van verschillende dimensies niet mogelijk is. Dit wil echter geenszins zeggen dat zulke grootheden steeds volkomen onafhankelijk van elkaar zijn. Integendeel, tussen grootheden bestaan talloze relaties en het onderzoek van deze relaties is een van de belangrijkste aspecten van de natuurkunde. De meest fundamentele relaties tussen grootheden worden natuurkundige wetten genoemd en velen kennen als zodanig de wet van Ohm (U = I • R, relatie tussen elektrische spanning, stroom en weerstand), de wet van Boyle-Gay Lussac (pV — RT, relatie tussen druk, volume, gasconstante en temperatuur) en de vermaarde tweede wet van Newton (F = m • a; relatie tussen kracht, massa en versnelling).

2.6.1. Oppervlakte van een rechthoek Van de lagere school kennen wij het verband tussen lengte en oppervlak. Daar leerden wij dat de oppervlakte van een rechthoek gelijk is aan lengte maal breedte. Doordat wij zo jong met deze uitdrukking vertrouwd raakten, hebben weinigen zich ooit gerealiseerd hoe vreemd, om niet te zeggen absurd deze in feite is. De vaststelling van genoemde relatie vloeit voort uit het ervaringsfeit dat, wanneer twee verschillende rechthoeken dezelfde breedte hebben, hun oppervlakten dezelfde verhouding hebben als hun lengten. Anders gezegd: bij gelijkblijvende breedte is de oppervlakte van een rechthoek (/4r) evenredig met de lengte (/), hetgeen symbolisch kan worden weergegeven met: Ar ~ l

(5)

(~ is het symbool voor 'evenredig met' en de index r duidt op rechthoek). Dezelfde bewering geldt natuurlijk voor de breedte (b) bij gelijkblijvende lengte, zodat ook geldt: Ar ~ b

(6)

Wanneer wij nu de uitdrukkingen (5) en (6) in één uitdrukking willen combineren, dan lijkt de vergelijking:

A, = l x b Oppervlak A is een vergelijkingsoppervlak Oppervlak x is 4 maal dat van A, oppervlak ƒ is 3 maal dat van A, en oppervlak z is 3 X 4 =12 maal dat van A

(7)

op het eerste gezicht de juiste oplossing te bieden. Immers, wordt / bijvoorbeeld met de factor 3 en b met de factor 4 vergroot, dan wordt het oppervlak van de rechthoek (3 x 4 =) 12 maal zo groot en dat klopt met de ervaring.

2.0.2. Dimensie van oppervlakte Bij een nadere beschouwing doen zich echter twee moeilijkheden voor. In de eerste plaats bevat (7) alleen maar grootheden en daarmee kunnen wij geen vermenigvuldiging uitvoeren; dat gaat alleen met getallen. Wij kunnen echter de bekende grootheden in (7) volgens (1) uit 2.3. kwantificeren, dat wil zeggen: vervangen door getalwaarde maal eenheid. Stel dat de lengte van de rechthoek 3 m bedraagt en de breedte 4 ft, dan kunnen wij in plaats van (7) schrijven: A, = 3 m x 4 ft = 12 m - f t

21

(8)

Dit betekent dat het oppervlak 12 maal zo groot is als dat van een rechthoek met een lengte van l m en een breedte van l ft. De tweede moeilijkheid is van dimensionele aard. Het gelijkleken (=) in de vergelijking vereist dat de twee leden links en rechts van dit teken volledig gelijk aan elkaar zijn en dat is met (7) en (8) niet het geval; links staat immers de dimensie oppervlakte, rechts het produkt van twee lengten. Dit laatste onttrekt zich aan ons voorstellingsvermogen; wij hebben dit boven reeds met 'absurd' gekwalificeerd. Toch kennen wij uit de rekenkunde meer van dergelijke ongerijmdheden. Enige voorbeelden:

7-9

palm. Ij

De mens als vergaarbak van lengte-eenheden

8 : 3

3 0,5

Dit zijn alle vormen die oorspronkelijk voor de mens niet mogelijk waren, doch door het invoeren van negatieve, gebroken, onmeetbare en imaginaire getalbegrippen hebben deze uitdrukkingen een zinvolle, logische betekenis gekregen. Op een soortgelijke wijze nu is de uitdrukking die met (7) wordt gegeven, als een zinvolle gelijkheid aanvaard en wel door de 'afspraak' dat de dimensie lengte maal lengte per definitie gelijk is aan de dimensie oppervlakte. In deze cursus zullen wij een dergelijke afspraak met betrekking tot de uit groothedenvergelijkingen voortvloeiende dimensieproblemen vaker ontmoeten. Ook de fysische wetten die aan het begin van deze paragraaf werden genoemd, laten slechts met een 'dimensie-afspraak' de gegeven wiskundige schrijfwijze toe.

2.7. De eenheid van lengte

Henry 1(1068-1135)

l inch l foot

3 gerstekorrels is l inch, 36 gerstekorrels is l foot

2.7.7. Voorgeschiedenis Bij een keuze van een eenheid voor de dimensie 'lengte' is de mens oorspronkelijk veelvuldig uitgegaan van afmetingen aan zijn eigen lichaam. Namen van oude lengtematen herinneren daar nog aan: duim, voet, palm, el, vadem. De bekende Engelse maat yard is o.a. bepaald als de afstand van de punt van de neus van koning Henry I tot de top van de duim van zijn uitgestrekte arm. Omdat lichaamsmaten bij verschillende mensen aanzienlijk kunnen verschillen, zocht men naar nauwkeuriger definities voor de eenheden. Zo legde men zo'n 1000 jaar geleden in Engeland de voet vast als de lengte van 36 tegen elkaar liggende gerstekorrels uit het midden van de aar. In de 16de eeuw stelde men de veldroede vast op 16 'gewone voeten'. Bij het uitgaan van de kerk werden daartoe de eerste 16 kerkgangers op een rij gezet met aaneengesloten linker voeten. Ook deze maten gaven uiteindelijk echter onvoldoende waarborg voor de gewenste nauwkeurigheid. Daarom ging men er in vele steden en landstreken toe over zijn eenheden te materialiseren; dat wil zeggen men fabriceerde een voorwerp dat de gewenste eenheid in zich droeg en bewaarde dat voorwerp zorgvuldig. Voor de eenheid van lengte kon dat bijvoorbeeld een stok zijn met twee strepen of, bovendien gemakkelijker toegankelijk, een ingebeitelde of ingemetselde maat in een gevelsteen van een overheidsgebouw (o.a. Stadhuis te Leiden). Behalve voor lengte werden ook voor de dimensies massa en volume standaardeenheden gemaakt.

Een veldroede is gelijk aan de lengte van 16 linkervoeten

Een aantal voetmaten die 200 jaar geleden in gebruik waren

In 1791 werd de meter geaccepteerd als het tienmiljoenste deel van de halve aardmeridiaan. Eerst gematerialiseerd als een eindmaat (1799), later in de zgn. X-meter (1889)

Aldus ontstonden vele tientallen voetmaten (o.a. Rijnlandse voet, Amsterdamse voet), die geen van alle gelijk waren, hetgeen eveneens met de massa- en volumematen het geval was. Door deze verschillen werd de handel zeer bemoeilijkt; de nog steeds gangbare uitdrukking 'met twee maten meten' vindt daar wellicht haar oorsprong. Reeds eeuwen geleden werd dit probleem in wetenschappelijke kring onderkend. De oplossing ligt in een definitie van de eenheid die overal tot precies dezelfde eenheid leidt. Zo heeft Christiaan Huygens in 1664 voorgesteld om het derde deel van de lengte van de slinger die een slingertijd van l s heeft (pes horarius) als eenheid van lengte aan te nemen. Toen men later dit voorstel officieel wilde aannemen (Frankrijk, 1790), bleek de verwezenlijking op te veel praktische moeilijkheden te stuiten. Een ander voorstel, uit 1670 en afkomstig van Gabriël Mouton, legde een verband tussen de eenheid van lengte en de lengte van een aardmeridiaan. Dit voorstel werd wél geaccepteerd, en de lengte 'eenheid' werd gedefinieerd als het tien miljoenste deel van de halve aardmeridiaan, van Noordpool tot evenaar.

M e terconve n tie

1

CGPM

Technische Adviescommissies 1. Elektriciteit 2. Fotometrie 3. Temperatuur 4. Lengte 5. Tijd 6. Ioniserende straling 7. Eenheden CGPM Conférence Générale des Poids et Mesures CIPM Comité International des Poids et Mesures BIPM Bureau International des Poids et Mesures

2.7.2. De archiefmeter Nadat de Meridiaan over Parijs van Duinkerken tot Barcelona was opgemeten, resulteerde hieruit de lengte-éénheid die wij kennen als de meter. Hij werd als eindmaat* vastgelegd in een staaf van het toen pas kort bekende platina en opgeborgen in het Louvre (Archiefmeter, 1799). Een in ijzer uitgevoerde copie werd verstrekt aan alle staten die aan het tot stand komen van deze onderneming hadden meegewerkt. Het waren voor Nederland Van Swinden en Aeneae die de resultaten van de meridiaanmeting hadden gecontroleerd en de copie uit Parijs meenamen naar hun vaderland. De meter had aanvankelijk een moeilijk leven. Nederland was de eerste staat in de wereld die hem officieel bij de wet invoerde (1820), weliswaar onder een andere naam, te weten 'elle'; het Frans was in die tijd geen geliefde taal. In Frankrijk vond de wettelijke invoering pas in 1837 plaats. In 1875 kwam tussen zeventien landen de Meterconventie tot stand, waarbij zich later vele andere landen aansloten. Deze conventie besloot tot de oprichting van het Bureau International des Poids et Mesures (BIPM), dat werd gevestigd te Sèvres bij Parijs. Het BIPM kreeg o.a. tot taak prototypen van de internationale standaarden voor de eenheden te bewaren. * d.i. een gematerialiseerde standaard voor lengte, waarvan de afstand tussen de eindvlakken de maat voorstelt

23

Voorts werd besloten dat alle aan de Meterconventie deelnemende landen deskundigen zouden afvaardigen naar een periodiek te houden vergadering, waar alle problemen over eenheden tot een oplossing moesten worden gebracht. Deze vergadering is de zgn. Conférence Générale des Poids et Mesures (CGPM) en moet worden beschouwd als de hoogste autoriteit op het gebied van de metrologie.

Het interferometrische principe Interferentie is een verschijnsel dat ontstaat als twee golvend voortplantende 'bewegingen', afkomstig van één bron, langs verschillende wegen elkaar weer in een ander punt ontmoeten. Afhankelijk van het afgelegde wegverschil zullen deze bewegingen in het ontmoetingspunt elkaar versterken of verzwakken. De bovenstaande figuur geeft met weglating van allerlei lenzen en spleten e.d. een optische interferometer weer. Licht - op te vatten als een golfverschijnsel van bron L kan op twee manieren het oog O bereiken. Dit kan ten eerste geschieden langs weg l, weerkaatsend op de halfdoorlaatbare spiegel S via weg 2 naar A, terugkaatsend op A langs weg 2, spiegel S en weg 4 naar het oog O. Een tweede mogelijkheid is via weg l door spiegel S, langs weg 3 naar B, terug via weg 3 naar spiegel S en weerkaatsend langs weg 4 naar het oog O. De wegen l en 4 hebben de beide lichtstralen gemeen, doch de wegen 2 en 3 niet; deze laatste worden door de lichtstralen gevolgd zowel op hun heen- als terugweg. Als weg 2 niet gelijk is aan weg 3, dan hangt het van het wegverschil en de golflengte af of de golven elkaar versterken of niet. Indien wij te maken hebben met monochromatisch licht (dat wil zeggen: één golflengte) en wij B langzaam in de richting van spiegel S verplaatsen, dan zullen bij elke verplaatsing - gelijk aan een j golflengte (licht wegverschil hele golflengte) - de lichtgolven elkaar versterken. Daartussen zal een toestand zijn, dat ze elkaar verzwakken (donker). Zeer kleine verplaatsingen van B zijn op deze wijze nauwkeurig te meten (0,1 a 0,01 golflengte of 0,06 a 0,006 jUm)

2.7.3. DeX-meter Omdat de oorspronkelijke archiefmeter uit l 799 voor de steeds hoger wordende eisen van de techniek te onnauwkeurig bleek, produceerde men in 1889 een nieuwe internationale meterstandaard, de zogenaamde X-meter, waarop de eenheid door middel van twee streepjes is vastgelegd. Nederland heeft zich aanvankelijk afzijdig gehouden en trad pas in 1929 toe tot de Meterconventie; het verkreeg toen een copie van het internationale prototype. Van deze copie is de afstand tussen de streepjes nauwkeurig bekend; deze is bij 20 °C gelijk aan l m + 0,99 urn (l yum = 0,000 001 m). De stoffelijke meters zijn voor de praktijk nauwkeurig genoeg, doch de wetenschap stelt hogere eisen. Zoals de met behulp van de kerkgangers gedefinieerde voet voor de handel te onnauwkeurig was, zo is de X-meter dat voor de hedendaagse fysische wetenschap. De streepjes hebben een dikte en zijn onder de microscoop 'rafelig' en het bepalen van het midden van de streepjes is niet zuiver genoeg; er blijft een te grote onnauwkeurigheid. 2.7.4. De moderne definitie Men heeft daarom gezocht naar middelen die een scherpere definitie mogelijk maken. De oplossing is gevonden in de golflengte van een bepaalde stralingsbron, waarbij gebruik wordt gemaakt van het zogenaamde interferometrische principe. Na vanaf 1927 diverse stralingsbronnen te hebben onderzocht, is men in 1960 tot de volgende definitie van de meter gekomen: 'de meter is de lengte gelijk aan l 650 763,73 golflengten in het luchtledige van de straling overeenkomende met de overgang tussen de niveaus 2p !0 en 5d s van het atoom krypton 86'. Met deze nieuwe definitie is de nauwkeurigheid ten opzichte van de X-meter met een factor tussen 20 en 100 verbeterd. Een ander voordeel is dat de meter nu in elk natuurkundig laboratorium kan worden bepaald; men is niet meer afhankelijk van het beschikbaar zijn van een prototype, dat immers verloren kan gaan. De nieuwe definitie zal niet het eeuwige leven hebben. Het onderzoek naar nieuwe, nog nauwkeuriger meetmethoden gaat steeds verder. Wij kunnen verwachten dat in de toekomst weer een nauwkeuriger definitie zal worden gemaakt. Ook in Nederland is de nieuwe definitie in de wet opgenomen. De copie van de X-meter is dus geen primaire nationale standaard meer. Ter voorkoming van misverstanden zij opgemerkt dat een nieuwe definitie van de meter geen nieuwe eenheid van lengte oplevert; de eenheid wordt alleen nauwkeuriger vastgelegd, maar blijft tevens binnen de tolerantiegrenzen van de oude definitie, waaraan hij dus blijft beantwoorden. Interferogram van een geslepen metaaloppervlak, dat niet geheel loodrecht staat op de kijkrichting. De afstand tussen twee donkere lijnen komt overeen met een afstandsverschil tot de kijker van een halve golflengte. De slijpgroeven maken de donkere lijnen rafelig als gevolg van het hoogteverschil tussen top en bodem van de groeven. De rafeling is ca. 3 van de afstand tussen de donkere lijnen d.i. g golflengte of ca. 0,1 jUm

24

2.8. De eenheid van oppervlakte Ook bij het vaststellen van een eenheid van oppervlakte zijn wij in principe vrij in onze keuze. Voorwaarden zijn slechts dat: - de eenheid de dimensie oppervlakte heeft en - hij ondubbelzinnig is gedefinieerd. Aan deze eisen voldoen bijvoorbeeld: a. het oppervlak van een cirkel met een straal van l m; b. het oppervlak van een bol met een diameter van l m; c. het oppervlak van het internationale papierformaat A4 (de bladen van dit boek hebben dat formaat); d. het oppervlak van een vierkant met een zijde van l m. De keuzemogelijkheden zijn vrijwel onbeperkt. In 2.6.1. hebben wij de relatie tussen de grootheden oppervlakte en lengten van de zijden van een rechthoek vastgelegd in de vergelijking: Ar = l x b

lm

(7)

Wij herinneren ons dat wij deze uitdrukking mochten schrijven, omdat hij beantwoordt aan de ervaring en verder op grond van de afspraak omtrent de dimensies: lengte maal lengte heeft dezelfde dimensie als oppervlakte. Indien wij nu in (7) zowel / als b door l m vervangen en wij de grootheid Ar ontbinden volgens (1) uit 2.3., dan luidt (7): getalwaarde x oppervlakte-éénheid = l m x l m Daar wij de grootte van de eenheid vrijelijk mogen kiezen, kunnen wij aan 'getalwaarde' uit deze vergelijking elke willekeurige waarde toekennen. Kiezen wij daarvoor l dan volgt: oppervlakte-éénheid = l m x l m Het is duidelijk dat wij hier als eenheid hebben gekozen het vierkant met zijden van l m, dus keuze d. uit bovenstaande mogelijkheden. Thans moeten wij nog een geschikte naam en een symbool voor deze eenheid vaststellen. Als naam kiezen wij 'vierkante meter', in feite een lachwekkende naam (omdat een meter net zo min vierkant kan zijn als een volt krom), doch wij kennen deze uitdrukking reeds vanaf de lagere-schoolbanken en zijn eraan gewend. De naam heeft het voordeel dat hij zowel refereert aan de vierkante vorm van onze eenheid als aan de lengte van de zijden daarvan. Als symbool valt de keuze op m 2 , de bekende verkorte wiskundige schrijfwijze voor m x m. Terloops zij gewezen op de uitdrukkingen 'kwadraat' en 'kwadrateren', die vaak worden gebruikt voor 'tweede macht' resp. 'tot de tweede macht verheffen'. Deze termen vinden hun oorsprong in het Latijnse woord quadrum, dat vierkant betekent. Wij kennen dus het symbool m 2 als de aanduiding voor een oppervlak dat gelijk is aan dat van het vierkant met zijden van l m. Het is echter onjuist te menen dat met dit symbool geen ander oppervlak had kunnen worden aangegeven. Voor de geïnteresseerde lezer willen wij dit in het slot van deze paragraaf aantonen. Wie daarin niet is geïnteresseerd, kan de studie met 2.9. vervolgen.

25

In plaats van het vierkant hadden wij ook een andere regelmatige figuur als eenheid kunnen kiezen, bijvoorbeeld keuze a. uit bovenstaande voorbeelden: de cirkel met een straal van l m lengte. Het onderzoek van de cirkel leidt tot de ervaring dat zijn oppervlak evenredig is met de tweede macht van de straal. Op dezelfde wijze als wij in 2.6.1. (7) voor de rechthoek hebben afgeleid, kunnen wij voor het cirkeloppervlak schrijven:

De grootte van de eenheid van oppervlakte mogen wij willekeurig kiezen, zoals wij reeds weten. Wij kunnen dat bijvoorbeeld zodanig doen, dat de getalwaardenfactor rechts van het gelijkleken de waarde l verkrijgt. Uit vergelijking (7b) volgt dan:

of Ut}

(9) en

Deze uitdrukking beantwoordt immers eveneens aan de genoemde ervaring: bij vergroting van de straal met een bepaalde factor wordt het oppervlak vergroot met de tweede macht van die factor. Wij willen er nogmaals op wijzen dat (7) en (9) groothedenvergelijkingen zijn, geheel onafhankelijk van eenheden. Willen wij echter met deze vergelijkingen rekenen, dan moeten wij de grootheden splitsen door toepassing van (1) uit 2.3. Deze kunnen wij nu op een bijzonder handige wijze in een symbolische vorm schrijven, nl. X = {X}-[X} Hierin zijn:

(la)

X de grootheid \X} de getalwaarde [X ] de eenheid.

Vergelijk de algemene vorm (la) met de gespecificeerde vormen (2), (3) en (4) uit 2.3. (la) is daarom zo aantrekkelijk, omdat wij getalwaarden en eenheden hiermee kunnen weergeven zonder ze met name te hoeven noemen. Met een tussen accolades geplaatst grootheidssymbool wordt dus altijd een getalwaarde, met een tussen rechte haken geplaatst grootheidssymbool altijd een eenheid aangegeven. [/] betekent dus een nog niet bepaalde eenheid van lengte, [A] een dito van oppervlakte. Is de eenheid bekend, dan plaatsen wij het symbool daarvan als index bij de accoladevorm;{/}m geeft dus een willekeurige of nog niet bekende getalwaarde aan behorend bij de eenheid meter. Wij schrijven nu (7) eens op volgens (la):

Ur} Url = {/}{*}[/] [ft]

of indien wij ons voor de lengte-éénheid bepalen tot de meter: {A } [A ] = {/}m {b} m 2 (7a) Op dezelfde wijze kunnen wij (9) omvormen in: {,4,} [Ac] = [r2}m m 2 (9a) Let wel dat m hier betekent 'meter maal meter' en niet een symbool voor de eenheid van oppervlakte voorstelt; dat moeten wij nog kiezen. Waar het ons om gaat is de eenheid van oppervlakte en daarom schrijven wij (7a) en (9a) als volgt:

(7b)

(9b)

26

(7c)

«n, ... Uf] = l m2

(7d)

Evenzo volgt uit (9b): = l ] = l

of

(9c) (9d)

Reeds eerder hebben we afgeleid dat \A^\ het oppervlak voorstelt van het vierkant met zijden van l m. Op dezelfde grond zal het duidelijk zijn dat [Ac\ het oppervlak van de cirkel met een straal van l m voorstelt. Nu moeten wij aan de gevonden eenheden nog een naam en een symbool toekennen. Voor [/4r] kiezen wij de reeds toegelichte naam 'vierkante meter', voor [Ac] bijvoorbeeld 'ronde meter'. Het gebruiken van m als symbool ligt nu echter niet voor de hand, want het is duidelijk dat dit in (7d) een andere grootheid voorstelt dan in (9d) (wel natuurlijk beide met de dimensie oppervlakte!). Een goede keuze zou bijvoorbeeld zijn m voor Vierkante meter' en m voor 'ronde meter'. Hoe komt het dat wij in beide afleidingen uitkomen op eenzelfde uitdrukking voor de eenheid, namelijk m 2 (verkorting voor m X m), terwijl die eenheden niet aan elkaar gelijk zijn? Dit is te verklaren uit de keuze van de figuur die wij als uitgangspunt namen bij het onderzoek naar de relatie die tussen de grootheden oppervlakte en lengte bestaat. Waren wij uitgegaan van een bol met een straal of een diameter van l m, dan hadden wij (in beide gevallen! ) eveneens m gevonden als de resulterende uitdrukking, die zonder nadere definitie alleen de dimensie oppervlakte aangeeft (volgens de afspraak! ) maar voor de rest onbepaald is. Wij kunnen nu nog de vraag stellen welke eenheid beter is, de vierkante of de ronde meter. Als wij het oppervlak van een vierkant met zijden van l m uitdrukken in ronde meter dan blijkt dit o - m te bedragen. Drukken wij omgekeerd het oppervlak van een cirkel met een straal van l m uit in vierkante meter, dan luidt de oplossing TT m . Nu is TT de verhouding tussen de lengte van omtrek en tweemaal de straal van de cirkel (TT = 3,14159. . .). Het optreden van TT in de grootte van het cirkeloppervlak is dus een aanvaardbare zaak. Wanneer wij echter TT tegenkomen in de grootte-aanduiding van het oppervlak van een rechthoek, dan doet dat niet rationeel aan. De conclusie moet dus zijn dat de vierkante meter voorkeur moet hebben boven de ronde meter. En daarop is dan ook de keuze gevallen, met m als symbool. Vergelijking (7) wordt de definitievergelijking van de grootheid 'oppervlakte' genoemd; de 'definitie' is dat het links bedoelde oppervlak dat van een rechthoek is waarvan de rechts in de vergelijking optredende lengten die van de zijden van de rechthoek zijn.

2.9. Grondeenheden en afgeleide eenheden Wij hebben in het voorafgaande de eenheid van oppervlakte afgeleid van de eenheid van lengte. De laatste noemen wij daarom een grondeenheid, de eerste een afgeleide eenheid. Het moge duidelijk zijn dat het begrip afgeleide in feite betrokken is op de dimensie en dat dit 'afleiden' is gebaseerd op een afspraak die erop gericht is de gelijkheid aan weerszijden van het is-gelijk-teken in de groothedenvergelijking te bewerkstelligen. Het zal de lezer nu niet moeilijk vallen ook de eenheid van volume als een van de eenheid van lengte afgeleide eenheid te begrijpen. Hier ontstaat de derde macht, ook aangeduid met de uitdrukking 'kubiek' (van het Griekse woord kubos = dobbelsteen). De van de meter afgeleide eenheid van volume is de 'kubieke meter' met m' als symbool.

Op één dag draait de aarde éénmaal om haar as rond in ca. 86 400 seconden

In eenjaar draait de aarde eenmaal om de zon in ca. 31 556 925,974 7 seconden

2.10. De eenheid van tijd Er zijn vele eenheden met de dimensie tijd in gebruik: eeuw, jaar, maand, week, dag, uur, minuut, seconde; en dat is nog geen uitputtende opsomming. Deze eenheden hebben het voordeel dat ze overal ter wereld in gebruik zijn en iedereen ze kent, maar het nadeel dat zij onderling niet in een decimale verhouding staan. Zo'n decimalisering zal ook nooit volledig mogelijk zijn. Ons leven is te zeer ingesteld op het jaar en de dag dan dat deze tijdseenheden ooit zouden kunnen worden verlaten; hun verhouding ligt echter vast: 365g. De tijdseenheid van het SI is de seconde (symbool s). Evenals de meter heeft deze eenheid een interessante geschiedenis. Wij zullen daarop in deze cursus echter niet ingaan, omdat daarvoor te veel astronomische problematiek zou moeten worden verduidelijkt. Wel moet worden vermeld dat ook de definitie van de seconde aan wijziging onderhevig is geweest en wel tweemaal binnen de afgelopen twintig jaar. Tot 1956 luidde deze definitie: 'de seconde is 1/86400 deel van de middelbare zonnedag'. In 1956 werd als definitie aangenomen: 'de seconde is 1/31 556 925,974 7 deel van het tropische jaar op O januari 1900, 12.00 uur efemeridentijd'. Dit laatste is hetzelfde als 31 december 1899, 12h GMT.* De thans geldende definitie dateert uit 1967 en luidt: 'de seconde is de tijdsduur van 9 192 631 770 perioden van de straling, overeenkomend met de overgang tussen de twee hyperfijnniveaus van de grondtoestand van het atoom cesium 133'. De seconde is hiermee van een astronomisch bepaalde eenheid een zuiver fysische eenheid geworden, onafhankelijk van de (veranderende) periodiciteit der aardbewegingen. Dit is mogelijk geworden doordat men er, na jarenlang onderzoek, in is geslaagd een klok te construeren die door (onveranderende) atomaire activiteit wordt gestuurd. De algemeen gangbare tijdmeters zijn de klok (deze heeft eigenlijk als taak een tijdstip aan te geven) en de chronometer (stop watch). Evenals lengte ervaart de mens tijd als een gronddimensie en naast de meter nemen wij de seconde aan als een grondeenheid.

Greenwich Mean Time

27

Werkblad, les 2

1. De

kenmerken

die

bepalend

zijn

voor

een

grootheid

zijn

en

2. Een grootheid wordt gekwantificeerd door hem te ontbinden in een en een

3. Een grootheid is

van de keuze van de eenheid;

van deze laatste is echter de

wél afhankelijk.

4. Als vergelijkingsmaatstaf bij het beoordelen van een grootheid is de vaak

een

belangrijker

criterium

dan

de

5. De kengrootheden van Reynolds en Mach en de diafragmawaarde (of diafragmagetal) zijn voorbeelden van

groot-

heden. Zij worden uitgedrukt in een

dat onafhankelijk is

van een

6. De grootte van

een

eenheid

wordt door middel van een

vastgesteld en vastgelegd in een

of

7. De dimensie van het produkt van twee lengten is gelijkgesteld aan de dimensie 8. De

eenheden

van

lengte

en

tijd

worden

aangenomen

als

; de eenheid van oppervlakte en die van volume zijn

eenheden.

9. Het bij de oprichting van de Meterconventie ingestelde bureau wordt aangeduid met de letters

, de periodiek bijeengeroepen

internationale vergadering inzake de metrologie met de letters

Rekenproblemen, les 2 (Voor herleidingsfactoren zie bijlage 6)

1. Een Engels ounce (symbool oz) is gelijk aan gram =

kilo-

gram.

2. Een Engels pakje van een bepaald produkt bevat 9 oz, dus . . . . x kilogram = De

ƒ

prijs

per

hoeveelheid

kilogram. Het pakje kost ƒ 6,50. bedraagt

ƒ

/

kg

=

/kg.

3. Een Nederlands pakje van hetzelfde produkt kost ƒ 17,50 en bevat 0,75 kg. De prijs per hoeveelheid is hier ƒ ƒ

/kg. Het

/

kg =

pakje is blijkbaar voordeliger. m2.

4. Een hectare (ha) is gelijk aan

5. Op een terrein van 2 ha is 10 mm regen gevallen. De oppervlakte van dat land is A = . . . x

m2 =

m 2 ; de hoogte van de

waterlaag is /z = . . . . mm = . . . . m. Het volume van de neergevallen regen ( V ) is: V = A • h =

29

m2 x

Multiple choice, les 2

A. Welke van onderstaande beweringen is fout l 1

de getalwaarde van een grootheid is voor kW groter dan voor pk

2

kW en pk hebben dezelfde dimensie

3

een kW is groter dan een pk

4

de verhouding pk/kW is kleiner dan l.

B. Welke van onderstaande eenheden is de kleinste? 1

ft/min

2 km/h

3

m/min

4 m/s.

C. De hoogten van twee torens krijgen dezelfde getalwaarden, indien de eerste in meter en de tweede in foot wordt uitgedrukt. Welke van onderstaande beweringen is juist! 1

de torens zijn even hoog

2

de eerste toren is lager dan de tweede

3

de eerste toren is hoger dan de tweede

4

de vergelijking is onbepaald.

D. De verhouding tussen de inhoud en het oppervlak van een bol heeft als dimensie: 1

een getal

2

lengte

3 oppervlakte 4

volume.

E. Een kubus heeft een ribbe van 2 ft. De getalwaarde van de oppervlakte van deze kubus uitgedrukt in m 2 is: 1

0,372

2

2,23

3 3,66 4

30

24.

F. De meter werd in Nederland wettelijk ingevoerd in: 1

1799

2

1820

3

1875

4

1929.

G. De thans geldende definitie van de seconde is gebaseerd op: 1

de secondeslinger

2

de cesium-atoomklok

3

de middelbare zonnedag

4

het tropische jaar.

H. Welke van onderstaande eenheden wijkt wat de dimensie betreft van de andere drie af?

l.

J.

31

1

kilocalorie per uur

2

kilowatt uur

3

kilogramkracht meter

4

erg.

Het begrip 'dimensie' is van toepassing op: 1

een eenheid

2

een grootheid

3

energie

4

antwoordmogelijkheden l, 2 en 3 zijn alle juist.

Welke van onderstaande beweringen is fout l De afstand tussen twee punten is: 1

gelijk aan getalwaarde maal de gekozen eenheid

2

een grootheid met de dimensie lengte

3

afhankelijk van de keuze van de eenheid

4

in een verhoudingsgetal tot uitdrukking te brengen.

3. Coherentie; de opbouw van het S l Elk eenhedenstelsel, dus ook het si, kent • grondeenheden (7) • aanvullende eenheden (dimensieloos, 2) •afgeleide eenheden (vele, waarvan 17 met eigen naam) (De aantallen vermeld tussen de haakjes slaan op het SI. Zie bijlagen 1 en 2)

3. l. Gronddimensies en afgeleide dimensies In les 2 hebben wij kennis gemaakt met de begrippen grondeenheid en afgeleide eenheid. Wij hebben de meter en de seconde leren kennen als grondeenheden, en wel omdat de mens de dimensies lengte en tijd in zekere zin intui'tief ervaart. Nu zou hetzelfde ook wel kunnen worden beweerd van de dimensies oppervlakte en volume (inhoud), doch op grond van onze ervaring hebben wij een relatie tussen deze dimensies en de dimensie lengte kunnen vaststellen, waarmee de dimensie van oppervlakte gelijk kon worden gesteld aan de tweede macht van lengte en de dimensie van volume aan de derde macht van lengte. Wij kunnen dus ook zeggen dat lengte en tijd gronddimensies zijn, hun eenheden meter en seconde grondeenheden, terwijl oppervlakte en volume afgeleide dimensies zijn en hun eenheden afgeleide eenheden. Deze eenheden zijn dan wat hun dimensies betreft gedefinieerd, maar hun grootte mag willekeurig worden gekozen. Zo kozen wij in 2.8. de vierkante meter als eenheid van oppervlakte, d.i. de oppervlakte van een vierkant met zijden van l m. Op analoge wijze kunnen wij als eenheid van volume kiezen de kubieke meter, d.i. de inhoud van een kubus met ribben van l m. In deze les zullen wij de grootheden snelheid en versnelling leren kennen, waarvan de dimensies zijn afgeleid van de gronddimensies lengte en tijd. De vraag zou nu kunnen worden gesteld hoeveel gronddimensies men in de fysische en technische wetenschappen in totaal nodig heeft. Het SI telt zeven grondeenheden, waarvan alle andere eenheden worden afgeleid. Met deze grondeenheden kan het gehele gebied van de fysische en technische wetenschappen worden beschreven. Dit wil echter niet zeggen dat daarmee voorgoed het laatste woord is gesproken. Het is zeer wel mogelijk dat in de toekomst nieuwe fysische groothedenrelaties zullen worden gevonden, waarvoor het SI in zijn thans aanvaarde vorm ontoereikend zal blijken te zijn en aanvulling behoeft. Omgekeerd is het ook niet zo, dat alle thans aangenomen grondeenheden theoretisch onmisbaar zijn. In 4.4. kan de gei'nteresseerde lezer leren dat het theoretisch mogelijk is de dimensie van massa - voor het SI een gronddimensie - af te leiden van lengte en tijd, zodat de eenheid van massa bijvoorbeeld in meter en seconde had kunnen worden uitgedrukt. Omdat dit niet praktisch zou zijn geweest, heeft men dit niet gedaan en is massa aangenomen als gronddimensie.

Dimensie:

lengte

oppervlak

volume

Eenheid:

meter

vierkante meter

kubieke meter s^\

*

lm2

-Ë

Itrj^ v

lm grond-

32

lm

x

x^

1 afgeleide -

/^

m

\^

Zo is het ook denkbaar hoeveelheid stof en temperatuur als afgeleide dimensies te beschouwen, maar ook hier hebben historische ontwikkelingen en praktische overwegingen ertoe geleid deze als gronddimensie te beschouwen. Aldus is het SI het resultaat van een bewuste keuze uit alternatieve mogelijkheden, waarbij rekening is (moest worden) gehouden met zowel de historische ontwikkeling als met de eisen, die vandaag door wetenschap en techniek worden gesteld.

3.2. Coherentie Wij zullen nu ingaan op wellicht de belangrijkste eigenschap van het SI; de coherentie van het stelsel. Dit is geen eigenschap die 'bij toeval' naar voren is gekomen maar waarnaar de opstellers (CGPM) bewust hebben gestreefd, omdat hiermee een van de meest onaangename facetten van de tot nu toe gebezigde stelsels - de numerieke coëfficiënten - wordt geëlimineerd. In 1.1.2. hebben wij hierop reeds gewezen. Wanneer men de betekenis van het coherentieprincipe begrijpt, zal men ook begrijpen waarom het laten voortbestaan van niet-coherente eenheden, zoals bar en kW • h, ongewenst is. Voordat wij verdergaan, resumeren wij eerst enkele in de voorgaande lessen afgeleide relaties. De dimensies van oppervlakte en volume definieerden wij als (lengte)2 resp. (lengte)3, op grond van de aangenomen definitievergelijkingen voor de oppervlakte van een rechthoek:

de At = l x b

DEFINITIEVERGELIJKING bepaalt de

0)

en het volume van een rechthoekig blok:

DIMENSIE en de GROOTTE Fb = / x b x h

van de

COHERENTE eenheid

(2)

Deze definitievergelijkingen zijn, zoals in 2.8. is aangetoond, arbitrair vastgelegd door ze aan de genoemde figuren te verbinden; het hadden ook andere figuren kunnen zijn, omdat ook daarvoor het dimensionele verband met lengte in (1) en (2) tot uiting komt. Toch ligt de gemaakte keuze wel enigszins voor de hand, omdat een oppervlakte het gemakkelijkst met rechthoeken en de ruimte (volume) met rechthoekige blokken is op te vullen. Wanneer wij nu de vergelijking van een andere figuur willen bepalen, dan dient voor de oppervlakte (1) en voor het volume (2) als uitgangsvergelijking. Deze vergelijking, die van de definitievergelijkingen zijn afgeleid, worden afgeleide vergelijkingen genoemd. Een gemakkelijke afleiding is die voor de oppervlakte van een driehoek. Beschouwen wij driehoek ABC in nevenstaande figuur. Door uit C een lijn //AB en uit B een lijn //AC te trekken verkrijgen wij een parallelogram ABDC dat een tweemaal zo grote oppervlakte heeft als driehoek ABC; het is gemakkelijk te bewijzen dat driehoek BCD gelijk is aan ABC. Snijden wij vervolgens links de rechthoekige driehoek ACE af en schuiven wij deze als driehoek BDF rechts tegen de figuur, dan verkrijgen wij een rechthoek EFDC die een even grote oppervlakte heeft als het parallelogram ABDC en dus ook een tweemaal zo grote oppervlakte als driehoek ABC. Volgens de definitievergelijking (1) is de oppervlakte van EFDC gelijk aan: AEFDC = EF x EC = AB x EC = b • h Voor onze driehoek ABC vinden wij dus: = i* • J»

33

(3)

In woorden: de oppervlakte van een driehoek is gelijk aan een half maal basis maal hoogte, of beter uitgedrukt: gelijk aan de helft van de oppervlakte van een rechthoek met zijden gelijk aan de basis en de hoogte van die driehoek. Wij noemen (3) een afgeleide vergelijking, dat wil zeggen afgeleid van de definitievergelijking (1). De in (3) optredende factor \ is geen numerieke coëfficiënt maar een numerieke factor, die voortvloeit uit de keuze van de definitievergelijking. Moeilijker is de afleiding van de oppervlakte van een cirkel; daarbij moet men gebruik maken van differentiaal- en integraalrekening. Het resultaat luidt:

Ac =

59 of

355 113

(4)

In woorden: de oppervlakte van een cirkel is gelijk aan 7r-maal de tweedemacht van de straal, of, beter uitgedrukt: gelijk aan rr-maal het oppervlak van een vierkant met zijden gelijk aan de straal van die cirkel, -n is het getal dat de verhouding uitdrukt tussen de lengten van de halve cirkelomtrek en de straal; deze verhouding is voor alle cirkels dezelfde. TT is een dimensie loze grootheid. Voor het volume kunnen wij op analoge wijze te werk gaan. Wij zien dus dat de vergelijking voor een oppervlakte bestaat uit een numerieke factor, gevolgd door het produkt van twee lengten. Voor de vergelijking van een volume vinden wij eveneens een numerieke factor, maar nu gevolgd door het produkt van drie lengten. Als gevolg van de gekozen definities van oppervlakte en volume is deze factor voor rechthoek resp. rechthoekig blok gelijk aan l ; voor een driehoek is hij 5-, voor een cirkel TT, voor een boloppervlak 4 TT en voor een bolvolume 3TT. Let wel dat de numerieke factor, in tegenstelling tot de numerieke coëfficiënt, inherent is aan de figuur en geheel onafhankelijk van eenheden. De vergelijking van de oppervlakte van een figuur kan dus worden opgevat als het opgeven van de verhouding tussen die oppervlakte en de oppervlakte van een rechthoek met zijden waarvan de lengten gelijk zijn aan één of meer specifieke afmetingen van de bedoelde figuur. Dit komt in de (tweede versie van de) in woorden uitgedrukte vergelijkingen (3) en (4) duidelijk tot uiting. Voor volume geldt een analoge redenering. Als algemene vergelijking voor de oppervlakte van een figuur geldt derhalve:

A = f-a-b

(5)

waarin ƒ een numerieke factor is en a en b specifieke lengten zijn van de beschouwde figuur, waarbij a = b kan zijn (bijvoorbeeld de straal van een cirkel). Voor de rechthoek geldt ƒ = l; wij verkrijgen daarmee de definitievergelijking van oppervlakte. Nemen wij nu a = b = l m, dan hebben wij te maken met het vierkant met zijden van l m en (5} geeft daarvoor: ^vierkant = 1

x

l m X lm

(6)

Voor het boloppervlak geldt ƒ = 4 TT en a = b =r. Nemen wij r = xm, dan hebben wij te maken met een bol met een straal van xm en vergelijking (5) geeft daarvoor: ,4bol = 4-n x (xm) 2 = 4n x x 2 x Aderkant Nu zijn wij, zoals bekend, vrij in de keuze van de eenheid. Kiezen wij daarvoor ^vierkant yit (6), de eenheid die wij reeds met de naam vierkante meter en het symbool m 2 kennen, dan vinden wij voor elke regelmatige figuur de getalwaarde voor het oppervlak dus uit het produkt van de numerieke factor uit de vergelijking en de getalwaarden van de lengtegrootheden, behorende bij de eenheid meter. Voor volume geldt een analoge afleiding. 34

E ro" II

/=l,8m

Voorbeelden a. Rechthoek met een lengte van l ,8 m en een breedte van 0,7 m: (Definitie)vergelijking: A = l • b Uitwerking: A = l,8 m x 0,7 m = l,26 m 2

e

b. Driehoek met een basis van 0,4 m en een hoogte van 0,5 m: (Afgeleide)vergelijking: A = \b • h Uitwerking: A = \ x 0,4 m x 0,5 m = 0,1 m2

o'

II

*

b = 0,4 m r = 0,8 m

c. Cirkel met een straal van 0,8 m: (Afgeleide)vergelijking: A = -nr2 Uitwerking: A = TT x (0,8 m)2 = 77 x 0,82 m 2

d. Bol met een straal van 0,5 m: (Afgeleide)vergelijking: F = jirr3 x TT x 0,53 m3 Uitwerking: F = | x TT x (0,5 m)3 =

Met coherente eenheden kan de grootheden vergel ij k ing

0,52 m3

Uit deze voorbeelden blijkt dat, door elke grootheid rechts van het gelijkteken te vervangen door getalwaarde maal eenheid, de uitkomst (in getalwaarde maal eenheid) langs algebrai'sche weg wordt gevonden. Passen wij het stelsel m, m2 en m3 toe, dan kunnen wij met alleen de rekenkundige bewerking van de getalwaarden volstaan; het antwoord luidt dan vanzelf in de juiste eenheid. Dit is nu de eigenschap die wij met coherentie aanduiden. Voor het bovenbeschouwde gebied van de geometrie vormen de eenheden m, m2 en m3 een coherent stelsel.

worden gebruikt als getalwaard envergelijking; men vult voor de symbolen van de bekende grootheden de getalwaarden in en de uitkomst van de berekening geeft de getalwaarde van

3.3. De eenheid van snelheid Wij zullen het coherentieprincipe nogmaals toelichten aan de hand van een nieuwe grootheid: snelheid. Dit is een afgeleide grootheid, en wel van lengte en tijd. De definitievergelijking luidt:

de onbekende grootheid.

(7)

In woorden: afgelegde weg is snelheid maal tijd. Deze vergelijking brengt de ervaring tot uitdrukking dat bij een bepaalde, constante bewegingstoestand (snelheid) de afgelegde weg evenredig is met de tijd; in een tweemaal zo lange tijd wordt een tweemaal zo lange weg afgelegd. Wordt voorts bij een andere snelheid in dezelfde tijd een tweemaal zo lange weg afgelegd, dan wordt deze snelheid geacht tweemaal zo groot te zijn als de eerste. Herleiden wij (7) in deze vorm: (8)

dan verkrijgen wij de definitievergelijking van snelheid, waarmee de dimensie van snelheid wordt gedefinieerd als lengte gedeeld door tijd. Nemen wij voor de afgelegde weg de eenheid meter en voor de tijd de eenheid seconde, dan volgt bijvoorbeeld voor / = 500 m en t = 25 s uit vergelijking (8): „ = l = SOOin

35

= 20 m/s

gemiddelde snelheid km/min 19/16 = 1,19 48/32 = 1,50 63/43 = 1,47 . 72 Delft 12 Delft Zuid 32 Schiedam-R 86 Rotleldam c

86/62 = 1,39

Er is direct te zien welke de coherente eenheid voor snelheid is, want-deze volgt vanzelf uit de definitievergelijking, namelijk m/s (meter per seconde). Het blijkt dus dat wij bij gebruikmaking van coherente eenheden de eenheden als het ware kunnen vergeten; vult men de getalwaarden van lengte en tijd in voor de eenheden meter resp. seconde, dan volgt automatisch uit de berekening (hier een deling) het antwoord in de met meter en seconde coherente eenheid meter per seconde. Zo vormen ook kilometer, uur en kilometer per uur samen een coherent stelsel met betrekking tot de snelheid en eveneens de groep zeemijl, uur en knoop. Stel nu dat iemand in het bovenstaande getallenvoorbeeld lengte en tijd in meter resp. seconde, maar de uitkomst in de daarmee niet-coherente eenheid kilometer per uur uitgedrukt wil hebben. Hij moet dan m/s vervangen door:

106/80 = 1,33

l km / l h = 3,6 km/h 1000 3600 en vindt dan: v = 20 x 3,6 km/h = 72 km/h De algemeen voor dit stel niet-coherente eenheden geldende vergelijking luidt:

v = 3,6-^met coherente eenheden

kan de GROOTHEDENVERGELIJKING worden gebruikt als GETALWAARDENVERGELIJKING

Dit is een getalwaardenvergelijking die nu een andere vorm heeft dan de groothedenvergelijking (8) vanwege de toegevoegde numerieke coëfficiënt; de gebruiker moet deze of uit zijn hoofd kennen of opzoeken of zelf afleiden. Voor een ander niet-coherent stel eenheden is die coëfficiënt weer een andere (bijvoorbeeld 2,0455 voor yard, seconde, mile/h). Met coherente eenheden kan men de groothedenvergelijking dus onveranderd gebruiken als getalwaardenvergelijking; met een niet-coherent stel eenheden moet een numerieke coëfficiënt worden ingevoerd, waarvan de grootte afhangt van de gekozen eenheden.

3.4. De coherente eenheid van versnelling De grootheid versnelling is wat moeilijker aanvoelbaar dan snelheid, maar kan op overeenkomstige wijze gemakkelijk wiskundig worden gedefinieerd. De versnelling is de toename van de snelheid, gedeeld door het tijdsinterval waarover deze toename wordt gemeten. In vergelijking: a = A v/'t

(9)

waarbij het symbool A wordt gebruikt om 'toename' (in het algemeen: verandering) tot Uitdrukking te brengen. De coherente eenheid volgt direct uit vergelijking (9); daar de coherente eenheid voor v m/s en voor t s is, is deze voor a: (m/s)/s = m/s 2 uit te spreken als meter per seconde kwadraat. Bijvoorbeeld: een snelheid neemt regelmatig toe van 10 m/s tot 20 m/s in een tijd van 5 s: =

36

Au t

=

20 m/s - l O m/s = 5s

.m/s 2

snelheid 10 m/s (36 km/h)

wordt in 5 seconden opgevoerd tot

(gemiddelde) versnelling -5>

snelheid 20 m/s (72 km/h)

p—i—— = 2 m/s 2

Wij kennen nu een coherent eenhedenstelsel dat voldoende is voor de werkgebieden geometrie en kinematica (meetkunde en bewegingsleer). Het stelsel is gebaseerd op zes grootheden (/, A, V, t, r en a) waarvan twee grondgrootheden en vier afgeleide grootheden, dus tevens op vier onafhankelijke vergelijkingen nl. (1), (2), (7) en (9). Het stelsel bestaat dan ook uit twee grondeenheden (m, s) en vier afgeleide eenheden (m 2 , m 3 , m/s, m/s 2 ). De volgende paragraaf is alleen bestemd voor cursisten die zijn geïnteresseerd in een wat meer mathematisch-theoretische beschouwing van het coherentieprincipe; hij kan zonder bezwaar worden overgeslagen. 3.5. Nogmaals over coherentie In het algemeen kan men zeggen dat voor de beschrijving van een bepaald fysisch gebied n groothedensoorten nodig zijn, waarvan de onderlinge samenhang in een systeem van m onafhankelijke vergelijkingen is vastgelegd. Slechts m grootheden kunnen worden beschouwd als te zijn gedefinieerd door deze m vergelijkingen. De overige g (= n-m) grootheden moeten dan als grondgrootheid worden gekozen. Men noemt g wel de graad of orde van het beschouwde groothedenstelsel. Van het in de laatste alinea van paragraaf 3.4. bedoelde stelsel is g = 2. De m vergelijkingen hebben de algemene vorm:

Nu mag men, zoals bekend, de grootte van de grondeenheden [A ], [B], [c] . . . vrijelijk kiezen. Hieruit resulteren dan de getalwaarden {A}, {B}, {c} voor de gegeven grootheden A, B en C. Zoals uit (12) blijkt hangt de getalwaarde 1^} ook nog af van f\ = flfï- Het stelsel van de eenheden [^4], \B\, [c] . . . wordt nu een coherent stelsel, indien fi — l wordt gesteld, waarmee f i gelijk wordt aan ƒ Resumerend kunnen wij dus vaststellen dat bij coherente eenheden vergelijking (12) de vorm krijgt: {X} = f-{A}a-{B}b-{c}c

...

(14)

en vergelijking (13) de vorm:

X = f-Aa-Bb •Cc

(10)

De nieuwe grootheid X wordt gedefinieerd in een vergelijking waarin behalve een numerieke factor ƒ, machten van grondgrootheden, of reeds eerder afgeleide grootheden (A, B, C. . .) voorkomen. Vergelijking (10) kan worden geschreven volgens de regel uit 2.3. grootheid =getalwaarde X eenheid: = f-{A}a-[A]a-{B}b-[B]b-{c}c-[c]c ... (11) en vervolgens worden gesplitst in een getalwaardenvergelijking [X}-(X]

{x} = fl-{A}a-{B}b-{c}c

...

(12)

...

(13)

[x] = [A]a-[B]b-[c]c

waarbij geldt: ƒ = /i •/2

37

(15)

Wij zien nu direct dat, afgezien van de accolades, (10) en (14) dezelfde vorm hebben. Dit betekent dus dat met coherente eenheden de grootheden- en getalwaardenvergelijking dezelfde factor bevatten. Uit (15) volgt dat de afgeleide eenheid [x] direct uit de grondeenheden kan worden bepaald, zonder dat er een numerieke factor bij te pas komt. Ter verduidelijking twee voorbeelden: a. De tweede wet van Newton leert dat kracht gelijk is aan massa maal versnelling; in vergelijking: F = m •a

en een eenhedenvergelijking: (x]=f2-[A]a-[B]b-[C]c

...

(zie les 4 bij 4.1.)

De (grond)eenheid van massa is kg, de (afgeleide) eenheid van versnelling m/s 2 (zie 3.4.)- De coherente eenheid van kracht volgt nu onmiddellijk uit (15): [F] = kg • m • s"2 Later zullen wij zien dat deze afgeleide eenheid de eigen naam 'newton' heeft gekregen. b. De afgeleide vergelijking voor bewegingsenergie luidt:

E = \m • v2 waarin m massa en v snelheid voorstelt. Vergelijking (14) neemt hiervoor de vorm aan: {E} = \{m}-{v}2

(16)

en (15):

[E] = kg • mV

(17)

(17) geeft in het rechterlid dus de coherente eenheid van (bewegings)energie, afgeleid van de grondeenheden kg, m en s. Later zullen wij zien dat deze afgeleide eenheid de eigen naam 'joule' heeft gekregen. Wanneer wij vragen hoe groot de bewegingsenergie is van bijvoorbeeld een massa van 7 kg die een snelheid heeft van 6 m/s, dan geeft (16), een getalwaardenvergelijking, direct de bij de coherente eenheid behorende getalwaarden: 2 X 7 X 6 2 = 126. De bewegingsenergie bedraagt dus 126 kg • m /s of 126 joule.

3.6. Het metrieke stelsel Het SI is een stelsel van eenheden, dat voortbouwt op het metrieke stelsel uit het begin van de 19de eeuw. Sanering in de veelvuldigheid op het gebied van de eenheden was toen dringend gewenst. Het belangrijkste doel was om eenheden vast te leggen voor de handel; als motivering bij de invoering werd o.a. gesteld: 'het bevorderen van de eerlijkheid in de handel'. Het stelsel bevatte dan ook alleen maar eenheden die in het handelsverkeer nodig waren. De wetenschap was in die tijd nog niet zo ver gevorderd, dat bij de invoering van het metrieke stelsel aandacht kon worden besteed aan begrippen als dimensie, grootheid en groothedenvergelijking. Alleen de eenheden werden gedefinieerd en er werd een systeem van decimale voorvoegsels aan toegevoegd. De basis van het metrieke stelsel is de meter. In 2.7. is uiteengezet hoe de definitie van de meter oorspronkelijk werd gekozen en op welke wijze deze is geëvolueerd. De eenheid van oppervlakte was de are, gedefinieerd als het oppervlak van een vierkant met zijden van 10 m; er geldt dus l a = (10 m)2 = 100 m 2 . De eenheid van gewicht was het gram, gedefinieerd als het gewicht van l cm3 water bij zijn grootste dichtheid (dit is bij ca. 4 °C). De grootheid gewicht werd niet nader verklaard, omdat hij als algemeen bekend werd aangenomen; met andere woorden: gewicht werd ervaren als een grondgrootheid. Het is het resultaat van een weging op een balans; deze weging is een vergelijking. Hierbij wordt gebruik gemaakt van het zwaarteveld van de aarde om een mechanisme te bewegen waarmee het mogelijk is hoeveelheden van goederen met elkaar of met een standaard te vergelijken (zie nevenstaande figuur). De definitie van de eenheid van gewicht baarde al spoedig zorgen. Het bleek namelijk zeer moeilijk om l cm3 water met de gewenste nauwkeurigheid af te passen. Vergelijken met standaardgewichtsstukken op een balans bleek eenvoudiger en nauwkeuriger. Reeds ten tijde van de Franse Revolutie ging men er dan ook toe over de bepaling éénmaal zo nauwkeurig mogelijk te doen en vervolgens een (platina) cilinder te vervaardigen met een hieraan gelijk gewicht. De definitie van de eenheid werd

38

Een blik in de kluis van de BIPM te Sèvres (Parijs), waarin een standaard van de meter (bovenin) en zeven standaarden van de kilogram worden bewaard. Alleen de middelste standaard van het kilogram, gemerkt K, is het prototype van deze eenheid

Verschillende modellen van gewichten

l ; 4 3

:

j

vervolgens gewijzigd in: l kilogram is gelijk aan het gewicht van het kilogramme des archives, dat in Sèvres wordt bewaard. Bij de opzet van het metrieke stelsel was ernaar gestreefd de eenheden zo te definiëren, dat de standaarden opnieuw zouden kunnen worden nagemaakt als de oorspronkelijke standaarden verloren zouden gaan. Zowel bij de meter als bij het kilogram moest men dit beginsel al snel laten varen. Door de rol die het water speelde in de oorspronkelijke definitie van het kilogram op basis van een standaard, verkrijgt de eenheid het karakter van een grondeenheid. De eenheid van volume tenslotte was de liter, gedefinieerd als het volume dat wordt ingenomen door l kg water bij zijn grootste dichtheid. Door de onnauwkeurigheid van de bepaling van het oorspronkelijke kilogram bleek later dat l liter gelijk was aan 1,000 028 dm 3 . Pas in 1964 heeft de CGPM bepaald dat de definitie van de liter zou worden gewijzigd in l l = l dm3 exact. Strikt genomen is de liter een grondeenheid, op grond van zijn definitie. In de praktijk echter kon hij worden gelijkgesteld aan l dm 3 , zodat hij als afgeleide eenheid kon worden behandeld, hetgeen theoretisch gezien ook juist is. Het gehele systeem meter, are, liter en kilogram was dus allesbehalve een coherent stelsel. Aanvankelijk werd dit ook geenszins als een bezwaar gevoeld, omdat er weinig behoefte bestond om met onderlinge groothedenrelaties te rekenen. Deze kritiek op het metrieke stelsel wil zeker niet afdingen op de geweldige verdienste ervan, namelijk de enorme warboel op het gebied der eenheden die voordien bestond, drastisch te hebben gesaneerd.

39

Schematische voorstelling van de veerunster

3.7. Massa De grootheid die wordt bedoeld met gewicht vraagt nadere aandacht. Zoals in 3.6. is uiteengezet, wordt ze bepaald door weging en ze blijkt dan evenredig te zijn met de hoeveelheid materie, stof of goederen en voorts afhankelijk van de soort daarvan. In 3.6. hebben wij voor de weging gebruik gemaakt van de balans. Er is echter nog een ander mechanisme waarmee een weging kan worden uitgevoerd, namelijk de unster (zie nevenstaande figuur). Hierbij wordt een veer uitgerekt onder invloed van de zwaartekracht, waarbij de uitrekking evenredig is met het gewicht van het opgehangen lichaam. De unster kan worden gekalibreerd met de gewichtsstandaard. Nu doet zich het merkwaardige feit voor dat een weging met de balans op de maan dezelfde uitkomst zou geven als op aarde, doch de unster zou op de maan een meetresultaat geven dat slechts 1/6 bedraagt van dat op aarde. De gewichten van de gemeten lichamen behouden op de maan dus wel hun onderlinge verhouding (de balans vergelijkt! ) maar ze zijn tot 1/6 gereduceerd (de unster geeft absolute waarden! ). In hoofdstuk 4 zullen wij zien wat van dit alles de oorzaak is. Het moge echter duidelijk zijn dat er in deze tijd, waarin de mens in staat is de aarde te verlaten, behoefte bestaat aan een eenheid van een 'hoeveelheidsgrootheid' die onveranderlijk is, ongeacht of men hem op aarde dan wel daarbuiten hanteert. Het gewicht, dat afhankelijk is van de zwaartekracht, kan daarvoor niet de juiste grootheid zijn. De CGPM heeft reeds in 1887 dit bezwaar onderkend en bepaald dat het kilogram de grondeenheid is van de grootheid massa. Omdat massa een basisgrootheid is, onttrekt ze zich aan een definitie. Ze wordt intuïtief bekend verondersteld en kan op zijn hoogst aanvoelbaar worden gemaakt door de relatie met andere grootheden, waarop in hoofdstuk 4 nader wordt ingegaan. In 1901 heeft de CGPM vastgesteld dat de grootheid gewicht het karakter (de dimensie) heeft van een kracht, namelijk de kracht die een lichaam op zijn ondersteuning uitoefent onder invloed van de zwaartekracht van de aarde (of een ander lichaam). En zo kan het zijn dat een ruimtevaarder met een massa van 70 kg in de ruimte, nog steeds een massa van 70 kg heeft, maar wel gewichtloos is geworden, omdat hij geen kracht meer uitoefent op een ondersteuning, in dit geval op de vloer van zijn cabine.

40

(•

l*

W

H>

*»

JÖ

f o f ö 9 0

Off

W8

L„,i,.„l...,i„..l....i....l....i.„,l.„j...,l.,„i,„,L.,.i.„.L.l....L.i...I..i.. meter (m)

3.8. Het SI Het in 3.4. vermelde stelsel met als grondeenheden meter en seconde is slechts geschikt voor meetkunde en bewegingsleer. Om het gehele gebied van wetenschap en techniek te kunnen beschrijven zijn meer grondeenheden nodig. Het SI is gebaseerd op zeven basisgrootheden, met voor elk een grondeenheid, te weten: grondeenheid

kilogram (kg)

seconde (s)

grootheid

naam

symbool

lengte tijd massa temperatuur elektrische stroom lichtsterkte hoeveelheid stof

meter seconde kilogram keivin ampère candela mol

m s

kg K A cd mol

(Voor de definities van de grondeenheden, zie bijlage 1)

ampère (A) -

-35b

keivin (K)

mol (mol)

candela (cd)

Ter verduidelijking willen wij nog even aandacht schenken aan het verschil tussen mol en kilogram, omdat wij in 3.7. het hoeveelheidsbegrip ook hebben verbonden aan de grootheid massa. Uit de definitie van de mol blijkt dat 'hoeveelheid' hier optreedt in de betekenis van 'aantal'. Bij massa heeft 'hoeveelheid' meer een fysische betekenis. De coherentie of samenhang tussen de grondeenheden en de afgeleide eenheden wordt bepaald door de definitievergelijkingen van de desbetreffende fysische gebieden. Over enkele van deze eenheden zal in de volgende hoofdstukken nog worden gesproken, speciaal in die gevallen waar zich problemen voordoen met betrekking tot andere eenhedenstelsels. Een globaal overzicht van de gebruikelijke grootheden en eenheden in de verschillende vakgebieden wordt in bijlage 5 gegeven. De in het SI gevormde afgeleide coherente eenheden kunnen alle worden uitgedrukt in de grondeenheden in de vorm van produkten van machten van grondeenheden (zie 'voor de liefhebbers', 3.5.). In vele gevallen leidt dit tot gecompliceerde samenstellingen van eenheden, die de gebruiker weinig houvast bieden; 'm/s' geeft direct inzicht van snelheid, 'kg • m2 /s 3 ' echter is te gecompliceerd om er in een oogopslag de dimensie van vermogen in te ontdekken. Daarom zijn voor gecompliceerde eenheden-samenstellingen afzonderlijke namen en symbolen vastgesteld. Voor 'kg • m 2 /s 3 ' is dit watt (W). Deze eigen namen en symbolen kunnen op hun beurt weer in andere samengestelde eenheden worden toegepast (bijvoorbeeld W/(K • m)).

41

3.9. Aanvullende eenheden Een bijzondere positie wordt ingenomen door de eenheid radiaal (rad) voor vlakke hoek (a) en de eenheid steradiaal (sr) voor ruimtehoek (fi). De vlakke hoek is evenredig met de verhouding van de lengte van de boog die door de hoek wordt afgesneden van een cirkel met het middelpunt in het hoekpunt, en de straal van die cirkel. Er geldt dus:

De grootheid kan dus worden gedefinieerd door:

radiaal (rad) voor b = r

Daarmee is de grootheid hoek dan een afgeleide grootheid met als coherente eenheid m/m; algebraïsch is deze eenheid gelijk aan l en dus dimensieloos. GemaksA =r halve heeft men nu de naam radiaal voor deze dimensieloze eenheid ingevoerd om aan te geven dat wij met de grootheid hoek te maken hebben. Er geldt: rad = l . De consequentie hiervan is dat in vergelijkingen de rad al naar believen kan worden weggelaten of toegevoegd. Bij de ruimtehoek treedt een analoge situatie op. De steradiaal is de ruimtehoek binnen het kegeloppervlak dat op een bol, waarvan het middelpunt samenvalt met de top van de kegel, een oppervlakte uitsnijdt gelijk aan die van een (vlak) vierkant, dat de straal van de bol als zijde heeft. Voor de eenheid geldt weer: sr = 1. Bij het weglaten van de eenheden rad en sr is soms toch wel enige voorzichtigheid geboden. De stralingsenergie-dichtheid bijvoorbeeld wordt uigedrukt in W/m 2 , de radiantie in W/(m 2 - sr). De radiaal en steradiaal worden soms ook opgevat als grondeenheden. De CGPM heeft deze eenheden niet geclassificeerd als grondeenheden of afgeleide eenheden, vandaar dat zij in het SI als aanvullende eenheden zijn opgenomen. 2

\ sr

steradiaal (sr)

42

Werkblad, les 3

1. De dimensies van lengte en tijd zijn

, de eenheden van

lengte en tijd zijn daarom 2. De dimensies van oppervlakte, volume, snelheid en versnelling zijn ; de bijbehorende eenheden zijn

3. Als men voor de gegevens en het resultaat in de groothedenvergelijking eenheden gebruikt die geen extra ciënt

coëffi-

in de bijbehorende

geven,

dan

noemt

men

-vergelijking het

gebruikte

eenhedenstelsel

met betrekking tot die

-

vergelijking. 4. Afgeleide eenheden worden gevormd door

en

van grondeenheden. Sommige afgeleide eenheden krijgen gemakshalve een

5. De

eenheden

van

vlakke

hoek

en

ruimtehoek

worden

genoemd; ze zijn nl

43

, maar hebben toch een eigen naam, resp

Rekenproblemen, les 3 (Voor herleidingsfactoren zie bijlage 6)

1. Een auto rijdt met een snelheid van 108 kilometer per uur (in symbolen v = 108 km/h). Herleid tot het SI krijgt men: v = 108 x

m/(

s) = . . . . m/s.

2. Die snelheid is vanaf stilstand bereikt in een tijd t = 100 s. De gemiddelde versnelling a bedroeg: a = v /t =(.... m/s)/(

s) =

2

m/s . 3. Tijdens het versnellen was de afgelegde weg s: s = ï-v-t = ? x . . . . m/s x

s=

m

Dat kan ook worden berekend volgens:

m/s 2 x (

s = 3 • a • t2 = 2 x

s)2 =

m

4. De auto remt nu met een remvertraging a = 5 m/s 2 . De remweg s bedraagt: .- ^-\ v2 _ (^ . . . . m/s)/ 2o _ . . . . 1 m 11 i • a 2 x ... m/s

o

5. De remtijd t bedraagt:

f - v - • • • • rn/s _ a . . m/s 2

s

Dit is ook te berekenen volgens:

t - » /2 • ^ _ - /2 x . . . . m _ .. " V a V . . . . m/s 2 " V

44

Multiple choice, les 3

A. Welke van de volgende eenheden hoort niet in onderstaand rijtje thuis? 1

ampère

2

watt

3

meter

4

seconde.

B. Met betrekking tot de vergelijking voor de snelheid v = l/t is het volgende eenhedenstelsel niet coherent: 1

ft, min, ft/min

2

m, s, cm/s

3

km, h, km/h

4

zeemijl, uur, knoop.

C. Het gemiddelde benzineverbruik van een auto is l liter per 10 km. Deze grootheid heeft de dimensie van: 1

een getal

2

lengte

3

oppervlakte

4

volume.

D. Volgens de huidige definitie is de liter gelijk aan: 1

het volume van de platina maatkan, die te Sèvres wordt bewaard

2

het volume van l kg water bij een temperatuur van 4 °C

3

l dm 3

4

l,000 028 dm 3 .

E. Welke van onderstaande beweringen is onjuist ?

45

1

de eenheid m/s 2 heeft de dimensie lengte gedeeld door tijdkwadraat

2

m/s 2 is een coherente Sl-eenheid

3

m/s 2 is een eenheid van snelheid

4

m/s 2 is een afgeleide eenheid.

F. De snelheid van een lichaam is op een zeker moment 6 m/s en na een halve seconde is de snelheid 9 m/s. De gemiddelde versnelling is dan: 1

l,5 m/s 2

2

2,25 m/s 2

3

6 m/s 2

4

36 m/s 2 .

G. Welke van onderstaande eenheden is geen Sl-eenheid? 1

watt

2 pascal 3

newton

4

dyne.

H. De grootheid 'hoeveelheid stof wordt in het SI gemeten met de eenheid: 1

meter

2

vierkante meter

3 mol

4

I.

J.

46

kilogram.

Indien men twee verschillende grootheden van dezelfde dimensie (bijv. twee verschillende lengten) uitdrukt in verschillende eenheden (bijv. meter en centimeter), dan geldt: 1

de getalwaarden verhouden zich omgekeerd als de eenheden

2

de getalwaarden verhouden zich als de grootten der grootheden

3

de getalwaarden kunnen gelijk zijn

4

de getalwaarden kunnen nooit gelijk zijn.

Op welk van onderstaande begrippen is het begrip 'dimensie' niet van toepassing? 1

de meterstok

2

de lengte van de meterstok

3

het gewicht van de meterstok

4

noch op antwoordmogelijkheid l, noch op antwoordmogelijkheid 3.

4. De wetten van Newton; massa en gewicht 4.1. Trage massa

Eerste wet van NEWTON

Tweede wet van NEWTON

Een vrij lichaam is een lichaam dat niet wordt bei'nvloed door zijn omgeving. Hoewel in de natuur geen enkel lichaam in deze zin vrij is, kan toch in sommige gevallen, wanneer de invloed van de buitenwereld te verwaarlozen is, een lichaam als vrij worden opgevat. De eerste wet van Newton luidt: een vrij lichaam is in rust of beweegt met constante snelheid (eenparig, rechtlijnig) d.w.z. dat de versnelling gelijk aan nul is. De tweede wet van Newton zegt: om een lichaam te vertragen of te versnellen is een op dat lichaam werkende kracht noodzakelijk. Een voorbeeld uit onze directe omgeving. Om een handkar in beweging te brengen moeten wij ertegen duwen. Eenmaal op de gewenste snelheid is er nog een (kleinere) kracht nodig om de wrijvingskrachten in de contactvlakken (wiel-weg en as-lagers) te compenseren, anders zou de handkar ten gevolge van deze de beweging tegenwerkende krachten worden geremd, totdat hij tot stilstand komt. Met een kinderwagen, die een kleinere massa heeft dan de handkar, gebeurt hetzelfde; maar om in dezelfde tijd dezelfde snelheid te bereiken - dat wil zeggen een zelfde versnelling - hebben wij een kleinere kracht nodig. Wanneer wij even afzien van de wrijvingskrachten, dan blijken de krachten evenredig te zijn met de massa's. Wij kunnen dit symbolisch aangeven met de vergelijking: F ~ m bij constante versnelling a

(1)

Wanneer wij de kracht op de handkar of de kinderwagen verdubbelen, dan blijkt de snelheid in de helft van de tijd te worden bereikt; met andere woorden: wij hebben dan een tweemaal zo grote versnelling. Er blijkt ook evenredigheid te bestaan tussen kracht en versnelling, dus: F ~ a bij constante massa m

(2)

Als wij beide evenredigheden (1) en (2) combineren, dan ontstaat: F ~ m •a

(3)

Nu mogen wij op (3) een soortgelijke afspraak toepassen zoals wij die uit 2.6. kennen; wij krijgen dan: F = m •a

(4)

of in woorden: kracht is massa maal versnelling. Dit is de wiskundige formulering van de tweede wet of 'Lex secunda' van Newton. Met (4) stellen wij de dimensie van kracht per definitie gelijk aan het produkt van

47

versnelling l m/s

de dimensies massa en versnelling, of, wat hetzelfde is, aan massa maal lengte, gedeeld door tijd tot de tweedemacht. Wij kunnen nu ook meteen de coherente eenheid van kracht afleiden uit de reeds bekende grondeenheden van het SI: meter, seconde en kilogram. Deze afgeleide eenheid moet gelijk zijn aan het produkt van de coherente eenheden van massa en versnelling, dus: kg • m/s 2 . Deze afgeleide eenheid heeft een eigen naam gekregen, te weten newton, met als symbool N. De newton is de kracht die een massa van l kilogram een versnelling doet ondergaan van l meter per secondekwadraat. Omdat een massa nimmer vanzelf in beweging komt, doch alleen onder invloed van een uitwendige kracht, spreken wij in dit verband van 'trage' massa. De massa verzet zich als het ware tegen een snelheidsverandering. Ook bij het tot stilstand brengen van een bewegende massa verschijnt dit karakter van traagheid.

4.2. Zware massa Behalve het karakter van traagheid heeft massa nog een andere eigenschap, die tot uiting komt in de onderlinge relatie tussen verschillende massa's. Twee massa's oefenen namelijk een aantrekkingskracht op elkaar uit, die op geen enkele wijze kan worden opgeheven, zoals dat bijvoorbeeld wel met magnetische krachten mogelijk is door afscherming. Wederom was het Newton die dit verschijnsel als fysische wet (algemene aantrekkingswet) heeft vastgelegd in een vergelijking: (5)

In woorden: twee massa's trekken elkaar aan met een kracht die evenredig is met het produkt van de grootten van beide massa 's, m { en m?, en omgekeerd evenredig met de tweedemacht van de afstand r tussen de zwaartepunten, Een restrictie is dat de massa's niet in elkaar mogen grijpen, bijvoorbeeld twee concentrische bollen waarvan de buitenste hol is. Ook dan geldt de wet, maar dan moet hij worden toegepast op elk oneindig klein deeltje van de ene massa ten opzichte van elk oneindig klein deeltje van de andere. Integratie leert dan dat de resulterende krachten van genoemde bollen nul zijn en niet oneindig groot wat uit (5) zou volgen. In (5) zien wij nog een grootheid opgenomen, namelijk k; deze is nodig om de vergelijking dimensioneel correct te maken. Links staat immers de dimensie kracht, die met (4) is gedefinieerd. Om ook rechts deze dimensie te verkrijgen is een factor nodig waarvan de dimensie gelijk moet zijn aan lengte tot de derdemacht, gedeeld door massa maal tijd tot de tweedemacht of - wat hetzelfde is - kracht maal lengte tot de tweedemacht, gedeeld door massa tot de tweedemacht. Deze factor is hier met k aangeduid en heeft de naam gravitatieconstante; zijn coherente eenheid is N - m 2 / k g 2 . Deze constante is experimenteel bepaald en bedraagt: k «« 66,7 x l C T 1 2 N - m 2 / k g 2 Laat ons eens berekenen met welke kracht twee bollen, elk met 10 kg massa en op onderlinge (zwaartepunts)afstand van 0,4 m, elkaar aantrekken. Deze berekening volgt direct uit (5):

F = 66,7 48

N-m2 kg2

10 kg x l O kg 2 2 0,4 m

4 x 1Q-8N

Dit is wel een uitermate klein krachtje, hetgeen overigens plezierig is, want wij behoeven daardoor de voorwerpen in onze kamer niet vast te zetten om ze voor onderlinge botsingen te behoeden. De eigenschap van massa in deze paragraaf beschreven, noemt men gravitatie of zwaarte en daarom spreekt men in dit verband van 'zware' massa.

4.3. Gewicht Wanneer twee massa's een kracht op elkaar uitoefenen, gaan ze zich naar elkaar toe bewegen, aldus leert de Lex secunda van Newton. Deze beweging wordt echter gestopt, zodra de massa's met elkaar in contact komen, of indien er een staaf tussen wordt geplaatst. De massa's staan dan stil, maar de kracht blijft bestaan. In dit geval draagt die kracht een speciale naam: gewicht. Wij kunnen gewicht dus definiëren als de kracht die een lichaam op zijn ondersteuning uitoefent. Deze beschouwingen voeren ons nu naar twee interessante conclusies: a. Van gewicht is alleen sprake als er twee massa's in de beschouwing zijn opgenomen; gewicht is een relatief begrip. Wanneer wij naar het gewicht van een lichaam vragen, dan moet steeds de wedervraag volgen: ten opzichte van welk ander lichaam? b. Gewicht bestaat alleen als er sprake is van een ondersteuning. De aarde (met alles wat er zich op en aan bevindt) heeft dus geen gewicht, want ze wordt niet ondersteund. Hetzelfde geldt voor de zon, de maan en alle andere hemellichamen: ze hebben geen gewicht, ze zijn gewichtloos.

De volgende paragraaf is alleen bestemd voor cursisten die zijn geïnteresseerd in de problematiek van de afgeleide dimensies, en kan zonder bezwaar worden overgesla-

4.4. Massa en klacht uitgedrukt in lengte en tijd Was het strikt noodzakelijk om in vergelijking (5) de gravitatieconstante k in te voeren? Het antwoord luidt ontkennend. In plaats van vergelijking (5) had men evengoed mogen schrijven:

F =

(6)

Wij zetten hier (4), maar dan toegepast op mi naast: F = mi-ai

(7)

Hierin is F de kracht die op mi werkt ten gevolge van het gravitatieveld van ni2, dat is dus dezelfde kracht als die van (6). Hij doet mi een versnelling ai ondergaan. Uit (6) en (7) tezamen volgt dan:

49

—- = « j

of

(8)

Wij hebben nu een nieuwe fysische vergelijking gevonden, waarin massa wordt afgeleid van versnelling en lengte ofwel van lengte en tijd, omdat versnelling ook daarvan is afgeleid. De coherente massa-eenheid is dan blijkens het rechterlid van (8): m 3 /s 2 ; uit (4) volgt dan de coherente eenheid van kracht: m /s . Hier zien wij nu op frapante wijze hoe arbitrair afgeleide dimensies in feite zijn. Om historische maar ook praktische redenen heeft men destijds de gravitatieconstante k in (5) opgenomen, waardoor massa het karakter van basisgrootheid behield, maar nodig was dit - theoretisch gezien - geenszins; massa was dan een van lengte en tijd afgeleide dimensie geworden en kracht eveneens.

Interessant is het dan natuurlijk tenslotte nog te weten hoe groot die coherente eenheden m 3 /s 2 en m 4 /s 4 zijn, uitgedrukt in kg resp. N. Dit kunnen wij als volgt afleiden. Als wij (8) hadden bepaald uit (5) en (7) in plaats van (6) en (7), dan hadden wij gevonden: k •OT2= ai

{mf}

(12)

Men vergewisse zich ervan dat in (12) de eenheden alle tegen elkaar kunnen worden weggedeeld, als men N vervangt door kg • m/s 2 . De getalwaarde { m^*} is dus {k} maal zo groot als de getalwaarde \nt2J en de eenheid behorend bij de eerste getalwaarde, te weten m 3 /s 2 , is derhalve l/ {k} « 15 000 000 000 maal zo groot als de bij de laatste getalwaarde behorende eenheid, kg.

(9)

Dit schrijven wij teneinde onderscheid te maken met (8), als: mf = ai -r2

= {k} {m2}

(10)

l m 3 / s2 ^ 15 000000 000 kg

dan volgt uit de vergelijkingen (9) en (10):

l m 4 / s4 ^ 15 000000000 N mf

= k • mi

(11)

Deze eenheden zijn niet alleen onhandig groot, ze zijn bovendien niet met voldoende grote nauwkeurigheid te realiseren, wegens de moeilijke meetbaarheid van het verschijnsel gravitatie (zie in bijlage 7 de grote standaard-afwijking waarmee k bekend is).

Vergelijking (11) gaan wij nu volgens (la) uit 2.8. opsplitsen: {mf} ^ = {k} ^ {m,} s kg

op 10 000 000 m hoogte 15 N

kg

of:

4.5. Gravitatieveld, zwaarteveld De fysische ervaring dat massa's elkaar aantrekken, kan nog op een andere wijze tot uitdrukking worden gebracht. Men kan namelijk ook stellen dat zich om elke massa een krachtveld bevindt; dit krachtveld oefent op een zich in dit veld bevindende andere massa een kracht uit, die gericht is naar de eerstgenoemde massa. Zo'n veld noemen wij gravitatieveld. Hoe groot is nu de veldsterkte van het bij een massa mi behorend gravitatieveld? Om deze vraag te beantwoorden bekijken wij nogmaals (5), die wij daartoe in een ietwat gewijzigde vorm neerschrijven:

m.

(13)

op 10 000 m hoogte 97,7 N

97,86 N Mont Blanc (4807 m)

_i_jj 97,997 N "T a t Flat 100 m hoog

F is de kracht die op de zich in het veld van ml bevindende massa m2 wordt uitgeoefend (dit geldt natuurlijk ook omgekeerd, maar wij beperken ons hier even tot de invloed van mi op mi). Wij zien dat F (bij gelijkblijvende r\ ) evenredig is met m2 en dat g (= k • nii/r2) dus de kracht per massa op afstand r is, indien zich daar een lichaam bevindt. Wij kunnen g daarom betitelen met veldsterkte. De coherente eenheid voor g- is newton per kilogram (N/kg). Met de thans verworven kennis gaan wij nu het gravitatieveld van onze aarde eens onderzoeken. De massa van de aarde is m\ =5,977 x l O24 kg. Wij beginnen aan het aardoppervlak en wel op 45° geografische breedte waar de aardstraal - dus r - gelijk is aan 6,371 x l O6 m. Doordat de aarde is afgeplat, varieert r en wel van ca. 6357 km aan de pool tot ca. 6378 km aan de evenaar. De berekening van g0 (met de index O geven wij aan dat wij ons op het aardoppervlak bevinden) luidt nu:

66,7

i N

Een massa van 10 kg ondervindt een kracht, afhankelijk van de grootte van het zwaarteveld ter plaatse

m 2 /kg 2 x 5,977 x (6,371 x 10 6 ) 2 m 2

= 9,82 N/kg

Metingen hebben aangetoond dat g0 op 45° NBr. zeeniveau, ca. 9,806 N/kg bedraagt en van pool tot evenaar varieert van ongeveer 9,85 tot 9,77 N/kg. Dit is een veel groter verloop dan alleen uit het verloop van de aardstraal zou volgen, terwijl 50

baan van P

de uitkomst van onze berekening van go (9,82 N/kg) bovendien duidelijk groter is dan de gemeten waarde (9,806 N/kg). De oorzaak van dit laatste feit ligt in de rotatie van de aarde om haar as. De aarde trekt lichaam P aan met de gravitatiekracht F„ (zie nevenstaande figuur). Een deel van deze kracht moet worden gebruikt om de centripetale kracht Fr te leveren die nodig is om P in een cirkelvormige baan om de aardas te houden. Het (vectoriële) verschil tussen Fg en FT is de zwaartekracht Fz (of Fr + Fz = Fg). Bij deling van Fz door de massa van P vinden wij de resulterende zwaarteveldsterkte g. Daarom spreken wij van het aardse zwaarteveld, ter onderscheiding van het gravitatieveld. Omdat de invloed van de rotatie aan de evenaar het grootst is en aan de pool nul wordt, is het zwaarteveld aan de evenaar het zwakst (9,77 N/kg, op de top van de Kilimanjaro) en aan de pool het sterkst (9,85 N/kg, even sterk als het gravitatieveld, omdat de invloed van de rotatie aan de polen nul is). Overigens is de invloed van de rotatie ten opzichte van de gravitatie gering, zij het, zoals ook onze berekening aantoonde, niet altijd te verwaarlozen. Wij gaan nu ook even berekenen hoe groot g is op een hoogte van 10 000 km boven het aardoppervlak. Wij vinden: S10 ooo km

66,7 x IQ' 1 2 x 5,977 x IQ 2 (16,371 x 106)2

« 1,5 N/kg

De aantrekkingskracht is op die afstand dus heel wat kleiner dan aan het aardoppervlak. Met de vergelijking F = g • m kunnen wij nu uitrekenen met welke kracht de aarde een lichaam aantrekt, of wat het gewicht van dat lichaam is, wanneer het wordt ondersteund. Voorbeeld Een lichaam met een massa van 10 kg wordt dicht bij het aardoppervlak aangetrokken met een. kracht van 9,8 N/kg x 10 kg = 98 N op 10 000 km hoogte met 1,5 N/kg x 10kg= 15 N. Opmerking Ook dit lichaam heeft een eigen gravitatieveld en wij zouden ook kunnen vragen met welke kracht de aarde in de twee in ons voorbeeld gestelde gevallen door dat lichaam wordt aangetrokken. Het is gemakkelijk in te zien dat de uitkomsten hetzelfde zijn: 98 N en 15 N. Dit volgt onmiddellijk uit (13), die dan moet worden omgevormd in:

F =

k•

•m1 =

(g* stelt de veldsterkte van het lichaam voor). Nogmaals moge uit dit voorbeeld duidelijk worden dat gewicht een relatieve grootheid is; ten opzichte van een op de aarde steunend lichaam van 10 kg bedraagt het gewicht van de aarde 98 N en ten opzichte van een lichaam van 100 kg echter 980 N. Gewicht is dus geen constante eigenschap van een lichaam, maar afhankelijk van het zwaarteveld van een ander lichaam.

4.6. Gewicht en massa Zolang wij in de buurt van het aardoppervlak vertoeven, hebben wij te maken met een g0 van ongeveer 9,8 N/kg, die wij vrijwel als constante mogen beschouwen. Wanneer wij nu gewicht aanduiden met G, dan kunnen wij schrijven: G = g0 • m

51

(14)

Omdat voor elk lichaam m constant is en, zoals gesteld, ook g0 als praktisch constant kan worden beschouwd, is voor elk lichaam ook G een constante. Nu heeft de mens tot 1969 het aardoppervlak nooit kunnen verlaten en om die reden heeft men gewicht opgevat als een stofeigenschap; vandaar ook het begrip soortelijk gewicht waarin 'soortelijk' betrekking heeft op de soort stof: water, kwik, ijzer, goud, enz. Wij spreken dus over 'gewicht', terwijl wij 'massa' bedoelen, een gewoonte die om twee redenen problematisch is geworden. De eerste reden is dat de mens er inmiddels in is geslaagd het aardoppervlak te verlaten; enkele maanreizen hebben reeds plaatsgevonden. En omdat het gewicht van een lichaam op de maan slechts een zesde van dat op aarde is, terwijl de massa onveranderd blijft, kunnen massa en gewicht niet meer worden gelijkgesteld, zoals men op aarde (zij het, dimensioneel gezien, ten onrechte! ) steeds heeft gedaan en op praktische gronden ook kon doen. De tweede reden is voor de directe praktijk nog veel belangrijker en vloeit voort uit de invoering van het SI. In hoofdstuk 5 zullen wij zien dat de uit (14) volgende evenredigheid van massa en gewicht door de mens is aangegrepen om de eenheden zodanig te kiezen, dat de getalwaarden voor beide grootheden dezelfde zijn: een massa van x kg heeft een gewicht van x kgf (zelfs gebruikte men voor beide eenheden dezelfde naam, kilogram; de kgf dateert uit ca. 1950! ). De kilogramkracht (kgf) gaat echter met de invoering van het SI verdwijnen, de nieuwe krachteenheid is de newton (N). Maar het zou natuurlijk irreëel zijn over 'gewicht' te spreken als 'massa' wordt bedoeld en daarvoor dan ook nog de newton als eenheid te gebruiken. Als wij 'massa' bedoelen, moeten wij ook 'massa' zeggen en deze uitdrukken in kg. Wat dus moet veranderen is niet de eenheid, maar het spraakgebruik. Echter, het is reeds eerder opgemerkt, spraakgebruik is hardnekkig en over het verdwijnen van het verkeerde gebruik van 'gewicht' zal men zich niet teveel illusies moeten maken!

Van de zware bepakking heeft dit bemanningslid van de Apollo 17 weinig hinder, omdat de grootte van het zwaarteveld op de maan ca. -j is van die op onze aarde

Het bovenstaande willen wij nog eens toelichten aan de hand van het volgende voorbeeld. Een huisvrouw koopt 10 kg appelen; dit is een massa. Deze massa heeft op aarde een gewicht van 98 N en op de maan van 15 N. Het dragen van deze aankoop is op aarde derhalve een vermoeiender bezigheid dan op de maan. Dank zij die geringere zwaartekracht konden onze maan wandelaars zo'n zware, beter massale, bepakking meedragen; op aarde zouden zij daaronder bezwijken. Ter voorkoming van mogelijk misverstand willen wij er nog op wijzen dat het verkeerde gebruik van het woord 'gewicht' als aanduiding voor 'massa' moet verdwijnen, de grootheid 'gewicht' echter blijft onverminderd bestaan. In tal van problemen speelt deze grootheid een rol, vooral bij de bouw van allerlei constructies, zoals bruggen, kranen, huizen, enz., maar dan moet het ook werkelijk gaan om gewicht, dat wil zeggen: de kracht die op de ondersteuning wordt uitgeoefend. Deze wordt dan natuurlijk uitgedrukt in N en niet in kg.

4.7. Versnelling van de zwaartekracht In 4.1. leidden wij uit de traagheidseigenschap van een massa af:

F = m •a

(4)

In 4.5. vonden wij uit de zwaarte-eigenschap van een massa vergelijking (13), die wij kunnen schrijven als:

F = m -g

(13a)

waarin g de gravitatieveldsterkte is van een andere massa, die op m uit (13a) de kracht F uitoefent. Uit (4) en (13a) volgt: a -g. Dit moet ook dimensioneel gelden, zodat lengte gedeeld door tijd tot de tweede macht dezelfde dimensie moet zijn als kracht gedeeld door massa en de coherente eenheden m/s 2 en N/kg identiek moeten zijn. Dit mag op het eerste gezicht misschien verwondering wekken, maar is toch zeer plausibel; het is niet anders dan het gevolg van de dimensiedefenitie van kracht, afgeleid uit lengte, tijd en massa. Aan het aardoppervlak is de veldsterkte 9,8 N/kg en de versnelling die de zwaartekracht aan elk niet ondersteund lichaam daar meedeelt, moet dus 9,8 m/s 2 bedragen. Op 10 000 km hoogte is de veldsterkte l ,5 N/kg en de versnelling, die elk niet ondersteund lichaam daar ten gevolge van de aardse zwaartekracht ondervindt, bedraagt l ,5 m/s 2 . Ook hier stuiten wij op een in de praktijk steeds voorkomende verkeerde interpretatie van g, welke grootheid altijd in m/s 2 wordt uitgedrukt. Dit moge theoretisch juist zijn - m/s 2 is immers gelijk aan N/kg - maar het schept in feite een verkeerd beeld. Als wij de tweede wet van Newton toepassen op gewicht en stellen: gewicht is massa maal versnelling van de zwaartekracht, dan suggereren wij daarmee dat een ondersteund en dus stilstaand lichaam - immers alleen dat heeft gewicht!- een versnelling zou hebben, hetgeen tegenstrijdig is. Beter is hier de algemene aantrekkingswet toe te passen en te stellen: gewicht is massa maal zwaarteveldsterkte; g moet worden uitgedrukt in N/kg en niet in m/s 2 . Voorbeeld Over een wrijvings- en massaloze katrol hangen twee massa's: m} = 20 kg en m-i = 30 kg en g = 9,8 N/kg, gemakshalve af te ronden op 10 N/kg. Welke is de versnelling waarmee dit systeem zich in beweging zet? Uit F = m • g volgt dat massa m\ wordt aangetrokken met een kracht van (20 kg x 10 N/kg =) 200 N en massa m2 met (30 kg x 10 N/kg =) 300 N. Het verschil van deze krachten - 100 N - brengt het geheel met een massa van 50 kg in beweging en wel met een versnelling van: 50 kg

Uit dit voorbeeld blijkt dus dat de zwaarteveldsterkte van ca. 10 N/kg het beschreven systeem in beweging zet met een versnelling van 2 m/s 2 . Door g uit te drukken in m/s 2 (wat overigens bijna steeds wordt gedaan) loopt men de kans dat een nog onzekere leerling niet kan begrijpen hoe een versnelling van 10 m/s 2 iets met slechts 2 m/s 2 doet versnellen.

l kg

30 kg

53

Werkblad, les 4

1. Om een massa een snelheidsverandering te doen ondergaan is een nodig. Deze eigenschap van massa wordt aangeduid met de uitdrukking 2. Een massa ondervindt van een andere massa een Deze eigenschap van massa wordt aangeduid met de uitdrukking

3. Indien de snelheidsverandering die de in vraag 2 bedoelde kracht zou teweegbrengen, wordt verhinderd door een ondersteuning, dan krijgt het lichaam .

Een niet ondersteund lichaam is

4. De wet die de trage massa tot uitdrukking brengt, luidt: 'kracht is massa maal

'.

De wet die de zware massa tot uitdrukking brengt, luidt: 'kracht is massa maal

'

5. De twee grootheden waarnaar in vraag 4 werd gevraagd, worden uitgedrukt in de eenheden ben dezelfde

resp

Deze eenheden heb-

en

6. Het gewicht van een lichaam wordt behalve door zijn eigen massa ook bepaald door

en

van een ander lichaam.

7. De kracht die aan een massa van l O kg een versnelling geeft van 10 m/s 2 heeft een grootte van

N. Dit lichaam heeft, indien

ondersteund, in een zwaarteveld met een plaatselijke sterkte van 2 N/kg een gewicht van

54

Rekenproblemen, les 4 (Voor herleidingsfactoren zie bijlage 6)

1. Een geladen spoorwagen heeft, inclusief de lading, een massa m = 40 ton. In de Sl-eenheid uitgedrukt: m =

kg.

2. Die wagen ondervindt een versnelling a = 0,05 m/s 2 . De daartoe vereiste kracht FI bedraagt:

FI = m • a =

m/s 2 =

kg x

N.

3. Indien g = l O N/kg, dan is de gewichtskracht G van de geladen wagen:

G =m •g =

k g x . . . . N/kg =

N.

4. De wagen rijdt een helling op van 2%0, dat wil zeggen: de stijging bedraagt 2 meter (verticaal) per 1000 meter (horizontaal) de daartoe vereiste kracht bedraagt: F2 = 0,002 x G =

x

N=

N

5. De som van de twee krachten Ft en F2 is: Fj + F 2 =

N +

N=

N

6. Een hijskraan valt om ('raakt uit balans'), indien er meer dan 10 ton aan hangt. De uitgeoefende hijskracht (op aarde: g = 10 N/kg) is dan:

F = m •g =

k g x . . . . N/kg =

N

7. Wat hijskracht betreft zou ook op de maan een kracht F = N kunnen worden uitgeoefend, maar wegens het omvallen is dat niet haalbaar: ook op de maan is de last van die kraan beperkt tot . . . . ton of

kilogram. Dat is een extra reden om de

toegelaten last niet in newton maar in ton of kilogram te vermelden.

55

Multiple choice, les 4

A. Een astronaut met een massa van 60 kg heeft op de maan ongeveer een gewicht van: 1

10 kg

2

60 kg

3

60 N

4

100 N.

B. Op een bepaalde plaats op aarde is g = 9,82 N/kg. Een vrij vallend lichaam met een massa van 2 kg ondervindt op die plaats een versnelling van: 1

4,91 m/s 2

2

9,80665 m/s 2

3

9,82 m/s 2

4

19,64 m/s 2 .

C. Indien op de maan (zwaarteveldsterkte 1,52 N/kg) over een wrijvings- en massaloze katrol enerzijds een massa van 20 kg, anderzijds een van 18 kg wordt gehangen, dan ondervindt dit systeem een versnelling van: 1

25 m/s 2

2

l,52 m/s 2

3

l m/s 2

4

0,08 m/s 2 .

D. Welke van onderstaande lichamen is gewichtloos? 1

een schip op het water

2

een vliegtuig in de lucht

3

een parachutist onderweg met geopende parachute

4

geen van de drie voorgaande antwoordmogelijkheden.

E. Welke van onderstaande eenheden wijkt wat de dimensie betreft van de overige drie af ?

56

1

kg • m/s 2

2

N/kg

3

kgf/kg

4

m/s 2 .

F. Van twee lichamen A en B, waarvan A een 100 maal zo grote massa heeft als B, verkrijgt B door de aantrekking van A een versnelling die op een bepaald tijdstip 10~ 2 m/s 2 bedraagt. De versnelling van A is op dat tijdstip gelijk aan: 1

l O" 4 m/s 2

2

10~ 3 m/s 2

3

10~ 2 m/s 2

4

10"' m/s 2 .

G. Welke van onderstaande beweringen is juist? 1

de aardse zwaartekracht is altijd naar het middelpunt van de aarde gericht

2

de versnelling die een lichaam in een gravitatieveld ondervindt, is onafhankelijk van zijn massa

3

het gravitatieveld van de zon ter plaatse van de aarde is even sterk als dat van de aarde ter plaatse van de zon

4

de sterkte van het zwaarteveld kan worden bepaald met een balans.

H. Een lichaam is gewichtloos: 1

als het niet wordt ondersteund

2

als het in een vrije val verkeert

3

zowel antwoordmogelijkheid l als antwoordmogelijkheid 2

4 als alle krachten die erop werken een resultante nul hebben.

l.

J.

In het vraagstuk uit paragraaf 4.7. met de katrol (g = l O N/kg) verkleinen wij m i (oorspr. 20 kg) zodanig dat de versnelling van de massa's 2,5 m/s 2 wordt. Massa m\ wordt dan: 1

12 kg

2

16 kg

3

18 kg

4

19 kg.

Op 50 km boven het aardoppervlak is de sterkte van het gravitatieveld: (zie 4.5.)

1

9,63 N/kg

2

9,67 N/kg

3 9,75 N/kg 4

57

9,806 65 N/kg.

5. Druk, energie, vermogen

5.1. Eenheden van druk en spanning; de positie van de bar Om een eenheid van druk vast te stellen, moeten wij eerst de grootheid druk definiëren. In ons dagelijks leven kennen wij deze grootheid als de luchtdruk van de atmosfeer, de druk in de waterleiding, de bloeddruk, enz. Druk wordt ervaren als een kracht. Dit komt tot uiting bijvoorbeeld wanneer wij een geopende waterkraan met de duim trachten af te sluiten. Wij zullen daarbij ondervinden dat dit bij een kleine kraan weinig moeite kost, maar dat er bij een grotere opening meer krachtsinspanning wordt gevergd. De op de duim uitgeoefende kracht blijkt evenredig te zijn met de oppervlakte van de opening. Deze kracht is natuurlijk eveneens afhankelijk van de grootte van de druk. Wij kunnen deze ervaring vastleggen met de vergelijking:

F = p -A

(1)

waarin F de kracht, p de druk en A het oppervlak is. De grootheid druk wordt dus gedefinieerd als: (2) Bloeddrukmeting in mmHg

Drukmeting in lbf/in 2 en kp/cm 2

58

druk =

kracht oppervlak

1 Pa = 1 N/rrï

t

Vloeistofverschildrukmeter in eenvoudige uitvoering; - water in m - kwik in mmHg

In woorden: druk is kracht gedeeld door oppervlak. Bij druk denken wij in eerste instantie aan een gas of een vloeistof, maar ook in de vaste stof kan deze grootheid optreden. Wij spreken dan eerder van (materiaal)spanning. Door de cohesie van het materiaal kan de spanning in twee richtingen werken; wij onderscheiden in dit verband dan drukspanning en trekspanning. In het spraakgebruik bestaan afwijkingen. Zo wordt onder bandenspanning (bij een auto) niet de spanning in het rubber bedoeld, maar de luchtdruk in de band.

5.1.1. De newton per vierkante meter (N/m 2 ) Met de kennis van het SI waarover wij thans beschikken, kunnen wij uit (2) de Sl-eenheid van druk direct bepalen. Deze wordt afgeleid uit de (coherente) Sl-eenheden van kracht en oppervlak en is dus newton per vierkante meter, met het symbool N / m 2 . Omdat druk een in talloze fysische en technische problemen optredende grootheid is, heeft de Sl-eenheid voor deze grootheid een eigen naam gekregen, te weten pascal, met het symbool Pa. Beide symbolen - N/m 2 en Pa - worden toegepast. Op diverse plaatsen gaat men ertoe over om voor vloeistof- en gasdruk de eenheden Pa, kPa en MPa (zie voor de decimale voorvoegsels bijlage 4) te gebruiken en voor materiaalspanning de eenheid N/mm2 (deze is gelijk aan MPa); dit laatste berust echter uitsluitend op een uit traditie verklaarbare voorkeur.

5.1.2. Vloeistofdrukmeters (mmHg en mH 2 0) Er zijn tot op heden vele eenheden van druk in gebruik, die vrijwel alle met de invoering van het SI moeten verdwijnen. Dat zijn in de eerste plaats de mmHg (millimeter kwik) en de mH 2 0 (meter waterkolom). Deze eenheden zijn ontstaan door het gebruik van Vloeistofdrukmeters, bestaande uit een glazen buis waarin het vloeistofniveau omhoog wordt gebracht tengevolge van druk of van een drukverschil. De hoogte van de vloeistofkolom is dan een maat voor de druk; deze wordt in mm of m afgelezen op een schaal. De Vloeistofdrukmeters geven in het algemeen een onnauwkeurig meetresultaat, tenzij men de omstandigheden waaronder men meet, nauwkeurig vaststelt. Van de aldus voor de meter vastgestelde standaardcondities wijken de omstandigheden in de praktijk altijd af, zodat correcties noodzakelijk zijn, waarmee gecompliceerd rekenwerk gepaard gaat. Naast dit rekenwerk moet voor de genoemde eenheden ook nog een herleidingsfactor worden ingevoerd. Deze herleidingsfactoren zijn in bijlage 6 vermeld. Wij vinden: l mmHg ~ 133,322 Pa l mH 2 O = 9,806 65 x 103 Pa

5.1.3. A tmosfeer overdruk - atmosfeer absoluut De meest voorkomende drukeenheid was tot dusver de kgf/cm 2 , vaak nog aangegeven met het verouderde en thans dimensioneel onjuiste symbool kg/cm 2 . Deze eenheid wordt 'technische atmosfeer' genoemd en veelal ook met at aangeduid. Voor de herleiding naar de Sl-eenheid geldt: l kgf/cm 2 (= l at) = 98,0665 x 103 Pa (bij benadering l at « 100 000 Pa of 100 kPa). Samen met de kgf verdwijnt ook de at bij de invoering van het SI. 59

DRUKGROOTHEDEN p absolute druk pe overdruk of effectieve druk omgevingsdruk

= P~

at ato ata atm kgf/cm 2 kp/cm 2 eenheid in bar eenheden psi mmHg mH2O mWK torr

In verband met de at willen wij hier wijzen op het nog voorkomende gebruik van 'ato' en 'ata', waarmee wordt bedoeld 'atmosfeer overdruk' resp. 'atmosfeer absoluut'. Hier hebben wij te maken met een verkeerd eenhedengebruik, want met ato en ata wordt in feite dezelfde eenheid aangegeven. Als wij overdruk resp. absolute druk bedoelen, dienen wij dit bij het specificeren van de grootheid aan te geven, bijvoorbeeld de absolute druk (p) bedraagt 6 at, de overdruk (/>e) 5 at (of in SI: p = 600 kPa, pe = 500 kPa) (pe is overdruk of effectieve druk; er geldt pe = P ~ Pamb. waarin p a m b de omgevingsdruk is). 5.1.4. De bar Tenslotte spreken wij over een eenheid van druk, die de laatste jaren snel terrein heeft gewonnen: de bar, met eveneens het symbool bar. Deze eenheid is afkomstig uit het CGS-stelsel, dat in paragraaf 6.1. zal worden behandeld. De coherente eenheid van druk in dit stelsel is de barye = dyn/cm 2 , waarin de dyn = g • cm • s"2 de krachteenheid is, dus gelijk aan l O"5 N. Omdat deze drukeenheid uiterst klein is, was er behoefte aan een grotere eenheid; men koos een eenheid die gelijk was aan 106 barye en gaf die een eigen naam: bar. Hier is sprake van een methode, die voor SI-eenheden principieel nooit zal worden toegepast: het verlenen van een eigen naam aan een niet-coherente eenheid. Het voordeel van de bar was, dat hij met een afwijking van minder dan 2% gelijk is aan de at, de in de techniek alom toegepaste eenheid van druk. Het was daarom vrij gemakkelijk de bar in de techniek ingang te doen vinden, en met name in Frankrijk werd de bar reeds in 1960 wettelijk ingevoerd. Men zag het als een groot voordeel dat de bar een decimale relatie had met de meter, het kilogram en de seconde (l bar = 105 kg -m" 1 • s"2) en daarmee werd de ongemakkelijke factor 9,80665 uitgebannen. Als tweede voordeel werd aangevoerd dat l bar bij benadering gelijk is aan de atmosferische druk (standaard 1,013 25 bar). De bar is, zoals uit het bovenstaande kan worden afgeleid, gelijk aan l O5 Pa: l bar=10 5 Pa De bar is dus niet coherent met m, kg en s en behoort dan ook niet tot het SI. Een consequent invoeren van het SI betekent dus dat ook de bar moet verdwijnen.

bar ->• pascal

5.7.5. Bar contra pascal Dit nu blijkt in enige landen een moeilijke zaak. Met name Frankrijk en Duitsland verdedigen de bar met kracht en willen deze zelfs prioriteit geven boven de pascal. Op grond van politiek-economische motieven dreigt Engeland zich hierbij aan te sluiten. Dit zou evenwel een absurde ontwikkeling zijn: een land dat zijn drukeenheid, psi, moet vervangen vanwege de invoering van het SI en een niet Sl-eenheid daarvoor in de plaats zou stellen. Gelukkig wordt er door vele landen ernstige kritiek tegen deze gang van zaken ingebracht, die bovendien steeds krachtiger wordt. Natuurlijk is de vervanging van de at door een eenheid die afwijkende getalwaarden geeft, een nadeel, maar tenslotte geldt dit voor alle andere vertrouwde eenheden gelijkelijk. Dit is het offer dat men bereid was te brengen om daarmee het vrijwel ideale SI te verwerven. Het zou volkomen irreëel zijn om voor een zo algemene eenheid als die van druk een uitzondering te maken. Nochtans zal de bar volgens de EG-richtlijn naast de pascal in gebruik blijven. Dat is jammer, omdat de bar natuurlijk vanwege zijn vertrouwde getalwaarden in het voordeel is ten opzichte van de pascal en dus ook veel zal worden gebruikt. Het zo effectieve Si-gebruik zal daar nadeel van ondervinden. Op den duur zal de bar echter het veld moeten ruimen. 60

De invoering van de eenheid pascal behoeft nauwelijks problemen op te leveren. De gebruiker van drukeenheden moet zich wel realiseren hoe de komma verschuift in de voor hem vertrouwde getalwaarden. Veelal werkt hij reeds met één drukeenheid, zodat hij slechts aan één verschuiving moet wennen. Om te bepalen hoe die komma moet verschuiven, kan men het best overschakelen naar getalwaarden die horen bij de eenheid kPa (l kPa = 1000 Pa). Voor gebruikers van de eenheid kgf/cm 2 , at en bar worden de getalwaarden dan 100 maal zo groot; de komma moet dan twee plaatsen naar rechts worden verschoven. Als men veel werkt met mmH 2 0, dan worden de getallen 100 maal zo klein; de komma gaat dus twee plaatsen naar links. Met gebruikmaking van de in bijlage 6 vermelde herleidingsfactoren kan men nog meer gelijksoortige herleidingen vinden. De herleidingsfactoren zijn niet altijd een tienvoud; zo is voor psi de factor 7, daar l psi afgerond 7 kPa is. Enkele voorbeelden in tabel 5.1. illustreren het bovenstaande.

grootheid

in oude eenheid

inkPa

waterdruk bandenspanning regeldruk overdruk barometerstand

2,25 kgf/cm 2 1 ,6 kgf/cm 2 6 psi 10mmH 2 O 990 mbar

225 kPa 160 kPa 41 kPa 0,1 kPa 99kPa

Tabel 5.1. Herleiding van drukeenheden

l

Manometer als instrument om de vloeistofhoogte in een vat aan te geven

5.1.6. Vloeistofhoogte Wij willen hier ook nog even aandacht wijden aan het begrip vloeistofhoogte dat met de grootheid druk verwantschap heeft. Veel manometers zijn niet voorzien van een drukeenheid, doch van een lengte-éénheid. Deze meters dienen om aan te geven op welke hoogte het vloeistofniveau zich boven het meetpunt bevindt; die hoogte is evenredig met de druk ter plaatse van het meetinstrument, zodat dit geen lengte maar druk meet, echter lengte, of liever hoogte aangeeft. Het moge duidelijk zijn dat de aanwijzing afhankelijk is van de dichtheid van de vloeistof en ook van de sterkte van het zwaarteveld ter plaatse (p = p • g • h). Ook is het mogelijk met zo'n (druk)meter de inhoud van een tank aan te geven. De kalibratie is dan tevens afhankelijk van de doorsnede van de tank.

5.2. Eenheden van arbeid of energie en van vermogen Arbeid en energie zijn twee uitdrukkingen voor dezelfde grootheid. Arbeid wordt gebruikt voor mechanische energie, bijvoorbeeld van bewegende machines; voor de andere vormen van deze grootheid gebruikt men energie: elektrische, chemische, thermische energie, enz. Alle vormen van energie kunnen geheel of gedeeltelijk in elkaar overgaan en daarom is het niet alleen mogelijk maar ook rationeel om ze alle in dezelfde eenheid uit te drukken. In vroeger jaren realiseerde men zich dit niet. Zo meende Joule nog dat warmte een eigen existentie had. Men beschouwde warmte als een soort massaloos fluïdum dat zich in'de stof kon bevinden en er weer uit kon wegvloeien, waarbij dan de temperatuur daalde. Later heeft men ontdekt dat deze voorstelling niet houdbaar was; warmte moet worden gezien als inwendige energie (moleculaire bewegingsenergie) die van het ene lichaam naar het andere lichaam wordt overgedragen. 61

5.2.1. Dimensie van energie Wat is nu de dimensie van energie? Omdat mechanische arbeid ook energie is (arbeid kan in alle soorten worden getransformeerd) en deze energiesoort het meest tot ons voorstellingsvermogen spreekt, is de dimensie van arbeid (energie) afgeleid van de grootheden, die bij het ontstaan van arbeid uit andere energiesoorten (energie kan niet nieuw worden gecreëerd) een rol spelen. In les 4 hebben wij in een voorbeeld gebruik gemaakt van een (zware) handkar en een (lichte) kinderwagen. Wanneer wij beide wagens een helling opduwen, dan zullen wij ondervinden dat wij met de handkar meer moeite zullen hebben dan met de kinderwagen. Is de helling dezelfde maar de afstand tweemaal zo lang, dan wordt onze moeite ook verdubbeld. De verrichte arbeid blijkt evenredig te zijn met de uitgeoefende kracht en met de afgelegde weg, hetgeen kan worden uitgedrukt met de vergelijking: W = F x s

(3)

In de/e vergelijking is W de arbeid, F de kracht en s de weg. Hierbij moeten wij wel in aanmerking nemen dat F en s dezelfde richting moeten hebben. In nevenstaande figuur wordt dat verduidelijkt. Op de afgebeelde massa werkt het gewicht G. De in de richting van G afgelegde weg is de hoogte h; de arbeid is G x h. Wij kunnen echter ook de ontbonden kracht F in de richting van de weg s in aanmerking nemen. De arbeid wordt dan F x s. Vanwege de gelijkvormigheid van de driehoeken 's — h' en 'G — F' geldt echter dat G x h gelijk is aan F x s. In dit voorbeeld zijn natuurlijk alle wrijvingskrachten verwaarloosd.

1 J = 1 N-m

• Eenheid voor energie: de joule De Sl-eenheid voor energie en arbeid kunnen wij nu direct uit (3) afleiden met behulp van de eenheid van kracht, de newton, en de eenheid van weg (lengte), de meter. Het is de newton meter (N • m). Vanwege zijn veelvuldige optreden in talloze fysische relaties heeft ook deze eenheid een eigen naam gekregen: joule (spreek uit dzjoel) met het symbool J. De joule is dus gelijk aan de arbeid (of mechanische energie) die wordt verricht door een kracht van l newton over een weg van l meter in de richting van de kracht. • Kilogramkracht meter (kgf • m) Alle energie- of arbeidseenheden die tot dusver in gebruik waren, gaan verdwijnen; ze zullen worden vervangen door de joule. Dat is allereerst de kilogramkracht meter, kgf • m, dikwijls nog met kg • m (of met mkg) aangeduid. Als herleiding geldt: l kgf • m = 9,806 65 J

James Prescott Joule

• Calorie — kilocalorie Een andere energie-éénheid die gaat verdwijnen, is de calorie (cal), meestal in zijn 1000-voud kilocalorie (kcal) gebruikt. Voor de verwarmings- en de koeltechniek is dit een zwaarwegende consequentie van de overgang naar het SI. Vanwege de zelfstandige existentie die men vroeger aan warmte toekende, zag men de dimensie van deze grootheid ook als een zelfstandige dimensie. Tegenwoordig zegt men: l kcal «B 427 kgf • m

eenheid in eenheden

62

Vroeger zei men echter: l kcal 'komt overeen met' 427 kgf • m. In vergelijking schreef men dan: 427

Voor het koken van l liter water is circa 360 kJ energie nodig. Is hier 12 minuten voor nodig, dan is het vermogen van het kooktoestel (afgezien van verliezen): 360X10 3 720

kcal = A • kgf • m

In deze vergelijking is A het zogeheten 'mechanische warmte-equivalent'. In oudere geschriften komen wij de grootheid A, die de dimensie 'warmte gedeeld door arbeid' heeft, nog tegen. Naar huidige begrippen is het een zeer verwarrende grootheid! Voor de herleiding van de kcal geldt: l kcal = 4186,8 J

= 500W

Met de kcal verdwijnt ook de analoge Angelsaksische eenheid Btu (British Thermal Unit), eveneens te vervangen door de joule.

5.2.2. De grootheid 'vermogen' Na de grootheid 'energie' bezien wij de grootheid vermogen. Wij richten onze aandacht weer op de handkar die tegen de helling wordt opgeduwd en wij ervaren dan dat onze vermoeidheid na de verrichte arbeid ook nog afhangt van de tijd waarin wij de prestatie verrichten. Zij is daarmee omgekeerd evenredig. Bovendien blijkt dat wij daarbij ook aan een limiet zijn gebonden; al zouden wij de handkar in nog kortere tijd boven aan de helling willen hebben; wij zijn er niet toe in staat, het gaat ons vermogen te boven.

Om één zak meel van 50 kg 16 meter omhoog te brengen is een energie nodig van 50 kg • 10 N/kg • 16 m =8000 J = 8 kJ. Voor 125 zakken wordt dit 125 X 8000 = 1 000000 J = 1 MJ. Is hiervoor een tijd nodig van 10 ks (=10 000 s of ca. 3 uur), dan is het benodigde vermogen slechts l 000 000 J/10 000 s = 100 W, een vermogen vergelijkbaar met dat van een gloeilamp.

1 W=1 J/s

• Joule per seconde — de watt Hier ontmoeten wij de grootheid 'vermogen', groter naarmate eenzelfde hoeveelheid arbeid in een kortere tijd wordt verricht. In de vorm van een vergelijking kunnen wij deze relatie schrijven als:

p =^

(4)

Deze vergelijking stelt ons weer in staat de Sl-eenheid van vermogen (P) af te leiden uit de eenheid van arbeid (joule) en de eenheid van tijd (seconde). Wij vinden joule per seconde; dat is de eenheid waaraan de naam 'watt' is toegekend en het symbool W. De watt is dus gelijk aan het vermogen waarmee in l seconde een arbeid van l joule kan worden verricht. De watt is geen nieuwe eenheid. Iedereen kent deze eenheid uit de elektrotechniek. Een gloeilamp van 100 watt geeft meer licht dan een gloeilamp van 40 watt en heeft ook een groter vermogen. Een elektrische kachel van 500 watt verwarmt de kamer minder snel dan een kachel van 1000 watt; het vermogen is slechts half zo groot. Wij leren nu de watt ook kennen voor andere soorten van vermogen dan elektrisch vermogen. In hoofdstuk 6 zullen wij zien op welke gelukkige wijze de oorspronkelijk alleen 'elektrische' watt aan de meter, het kilogram en de seconde werd verbonden. • Watt vervangt 'paardekracht' en 'horsepower' De belangrijkste vermogenseenheid die plaats moet maken voor de watt is de paardekracht (pk). Deze is per definitie gelijk aan 75 kgf • m/s, waaruit wij kunnen afleiden: l pk = 735,498 75 W (exact)

63

eenheid in eenheden

In bijlage 6 is de getalwaarde afgerond op 735,499. Willen wij op een geheel getal afronden, dan krijgen wij 735 en niet 736, zoals vaak wordt gezien. Ook de Angelsaksische eenheid horsepower (hp) zal worden vervangen door de watt. Deze eenheid is gedefinieerd als 550 Ibf • ft/s, waaruit wij kunnen afleiden: lhp~745,700W De veel bedreven gelijkstelling van pk en hp resulteert in een afwijking van 1,4%. Met de invoering van het SI zal ook dit tot het verleden gaan behoren. • Thermische eenheid: kilocalorie per uur (kcal/h) verandert in kilowatt (kW) De thermische eenheid van vermogen was de kilocalorie per uur (kcal/h). De kilocalorie, oorspronkelijk gedefinieerd als de hoeveelheid warmte die nodig is om een kilogram zuiver water van 14,5 °C tot 15,5 °C in temperatuur te doen stijgen, is krachtens deze definitie gelijk aan 4185,5 J. Hij is reeds jaren per definitie gelijk gesteld aan 4186,8 J (een verschil dat in de praktijk te verwaarlozen is). Deze laatste getalwaarde is deelbaar door 3600, zodat exact geldt: l kcal/h = l,163 W

Het vermogen van: Benzinemotoren Dieselmotoren Elektromotoren Kolenkachels Gaskachels Oliekachels Elektrische kachels Centrale verwarming Koelkasten Vrieskisten

e.a. alle in W of kW uitdrukken!

Grote thermische vermogens, zoals die van verwarmings- en koelinstallaties, zullen nu worden uitgedrukt in kilowatt (kW). Het voordeel daarbij is dat de grote getalwaarden die daarbij steeds optraden, nu veranderen in handzamer getallen. Een nominaal vermogen van 600 000 kcal/h wordt 700 kW. Een groot voordeel bij elektromotoren wordt nu dat het opgenomen (elektrische) vermogen en het geleverde (mechanische) vermogen in dezelfde eenheid worden uitgedrukt. De verhouding tussen beide geeft dan direct het rendement. Bij (kleine) koelmachines vereist de overgang naar kW enige waakzaamheid. Er bestaat een gewoonte het vermogen van dergelijke machines op te geven in pk (of hp). Deze eenheid geeft aan dat hier het motorvermogen wordt bedoeld. Het koelvermogen wordt steeds in kcal/h (of Btu/h) opgegeven. Nu voor beide dezelfde eenheid (W of kW) zal worden gebruikt, is het noodzakelijk dat duidelijk wordt vermeld welk vermogen wordt bedoeld, dat van de motor (mechanisch) of dat van de koelmachine (thermisch).

5.3. Nog een eenheid van energie: het kilowatt uur Vergelijking (4) uit de voorgaande paragraaf kunnen wij ook in deze vorm schrijven: W = P-t

(5)

In woorden: arbeid is vermogen maal tijd. In deze vorm gesteld wordt arbeid dan beschouwd als een dimensie die wordt afgeleid uit de dimensies vermogen en tijd, terwijl volgens (4) juist vermogen de afgeleide dimensie is. De vorm van (5) vindt zijn oorsprong in de elektriciteitsleer. Daar is eerst vermogen afgeleid uit stroom en spanning en daarna energie uit vermogen en tijd. De uit (5) voortvloeiende elektrische eenheid is dan watt seconde (W • s). Er zijn voorstellen gedaan om de W • s naast de J toe te staan, maar dit zou het principe 'eenheid in eenheden' geweld aandoen. De W • s en de J zijn identieke eenheden; het is onlogisch ze beide toe te passen om zodoende de verschillende energievormen met het eenheidssymbool tot uiting te laten komen. Met het SI willen wij dit nu juist vermijden. 64

geen

kWh maar

MJ

1 jaar 1 week 1 dag 1 uur 1 min

32 Ms 600 ks 86 ks 3,6 ks 60 s

De in de elektrotechniek gebruikte eenheid is het kilowatt uur (kW • h). Deze eenheid is ook direct uit (5) af te leiden door het uur als eenheid van tijd aan te nemen. Het küowatt uur is gelijk aan 3,6 x 106 J of 3,6 MJ (megajoule); hij is dus niet coherent met de grondeenheden van het SI en behoort derhalve niet tot dit stelsel. Toch moet worden verwacht dat het kW • h nog vele jaren in gebruik zal blijven, maar men heeft afgesproken deze eenheid uitsluitend toe te passen voor de levering van elektrische energie. Niettemin is dit een hinderlijke omstandigheid voor het consequente Si-gebruik, want voor berekeningen moet dan toch weer een herleidingsfactor (te weten: 3,6 x l O 6 ), worden gebruikt. De voor het behoud van het kW • h aangevoerde argumenten zijn weinig steekhoudend. Zo stelt men dat de gebruiker niet is geïnteresseerd in zijn verbruik per seconde (in plaats van de J stelt men de W • s) maar veel meer per uur. In werkelijkheid is de gebruiker geïnteresseerd in zijn maandrekening; het zal hem daarbij weinig kunnen schelen of hij 20 kW • h of 72 MJ heeft verbruikt, als de totaalprijs onveranderd blijft. Een tweede argument is dat, wanneer men met een elektrisch vermogen van bijvoorbeeld 2000 kW gemiddeld 4000 h in een jaar draait, het jaarverbruik in kW • h direct uit de vermenigvuldiging van de getalwaarden wordt berekend: 8 x l O 6 kW • h. Dit argument lijkt sterker, maar wanneer men onthoudt dat een jaar ca. 31,5 Ms (megaseconde) omvat, zoals men daarvoor nu 8800 h hanteert, dan worden de genoemde 4000 h vervangen door 15 Ms en de vermenigvuldiging met 2000 kW levert dan even direct 30 x l O12 J of 30 x l O 6 MJ. Het enige steekhoudende argument voor het behoud van het kW • h zijn de kolossale kosten die met de vervanging van de vele miljoenen kW • h-meters gepaard gaat. Daar deze meters echter niet het eeuwige leven hebben, zou het gewenst zijn dat nieuwe meters in MJ werden gekalibreerd en men voor de vervanging een procedure vaststelde, zodat ook het kW • h op een nu reeds te bepalen tijdstip het veld kan ruimen voor de MJ.

5.4. De normversnelling gn van het technische stelsel

5.4.1. Het technische stelsel Het essentiële onderscheid tussen het SI en het tot heden in de techniek gebezigde 'technische' eenhedenstelsel is de keuze van de derde gronddimensie; in het technische stelsel is dit kracht, terwijl massa een uit lengte, tijd en kracht afgeleide dimensie is. Bij het bepalen van de eenheid van kracht heeft men gebruik gemaakt van de aantrekkingskracht van de aarde. De eenheid werd gedefinieerd als de kracht waarmee de aarde de massa van een kubieke decimeter water (= l kg) aantrekt. Deze krachteenheid kreeg oorspronkelijk dezelfde naam als de massa-eenheid: kilogram. Men achtte deze gelijkheid van naam voor twee dimensioneel verschillende eenheden daarom geen bezwaar, omdat de bedoelde aantrekkingskracht, die voor een ondersteund lichaam de naam 'gewicht' heeft — uitgedrukt in de gekozen eenheid - dezelfde getalwaarde krijgt als de aangetrokken massa, uitgedrukt in kilogram. Dit volgt uit de tweede wet van Newton, die in het technische stelsel de vorm krijgt:

G = m -g

65

(6)

gewicht = massa X aardse zwaarteveldsterkte

In woorden: gewicht is massa maal aardse zwaarteveldsterkte; g'K de versnelling van het aardse zwaarteveld. Zoals wij in hoofdstuk 4 hebben aangetoond, is het logischer g aan te duiden met sterkte van het aardse zwaarteveld dan met versnelling van de zwaartekracht of met versnelling van de vrije val. Bij benadering is g in de nabijheid van het aardoppervlak constant. Vullen wij nu in (6) genoemde eenheden in, dan volgt: l kilogram(kracht) = l kilogram(massa) x g en dus: x kilogram(kracht) = x kilogram(massa) x g

(7)

Beide leden van de laatste vergelijking hebben dezelfde getalwaarde.

5.4.2. De eenheid kilogramkracht In 1959 werd in Duitsland officieel bepaald dat de naam kilogram uitsluitend mocht worden gebruikt voor massa. De krachteenheid kreeg een nieuwe naam: kilopond, met symbool kp. Alle andere Duitssprekende landen en Skandinaviè' sloten zich hierbij aan. In Nederland (waar pond nog veel voor 0,5 kg wordt gebruikt) wilde men kilopond niet accepteren; hier werd als nieuwe naam gekozen: kilogramkracht, met symbool kgf. Dit symbool wordt ook door de overige metrische landen gebezigd. De Angelsaksische landen maken op overeenkomstige wijze onderscheid tussen Ib (pound) en Ibf (poundforce). Overigens was het bij de officiële vastlegging van kp en kgf (twee symbolen voor dezelfde eenheid) al zeker dat deze spoedig zouden worden verlaten ten gunste van de newton.

5.4.3. De 'normversnelling'gn Wij hebben boven gesteld dat g over het aardoppervlak bij benadering constant is. In werkelijkheid varieert g van ca. 9,83 N/kg aan de pool tot ca. 9,78 N/kg bij de g = 9,81 m/s 2 evenaar (zie ook 4.5.). En volgens (6) zou dit betekenen dat de kilogramkracht gelijkelijk zou variëren. Voor een eenheid is dit natuurlijk niet aanvaardbaar; de variatie bedraagt meer dan 0,5%. -g = 9,78 m/s' Om uit de impasse te geraken heeft men een normversnelling aangenomen en deze vastgesteld op: gn = 9,806 65 N/kg (exact)

= 9,81 m/s'

Hiermee echter werd het begrip 'versnelling van het aardse zwaarteveld' van zijn ontstaansgrond losgemaakt, want gn behoudt de toegekende waarde onder alle omstandigheden, ook buiten de aarde.

5.4.4. Verwarring b ij gebru ik van gn Afgezien van de ongemakkelijke getalfactor 9,806 65, veroorzaakt gn problemen waarin menigeen wel eens verstrikt is geraakt. Ia het technische stelsel wordt nimmer met massa maar altijd met gewicht gewerkt. De dimensie massa wordt in dat stelsel door middel van G/g aangeduid, waarin met g dan gn wordt bedoeld. Er ontstaat dus ook een 'normgewicht', Gn, dat evenalsg n invariant is. (Norm)gewicht wordt daarmee een eigenschap van het lichaam. Men spreekt dan ook van 'soortelijk gewicht', gedefinieerd als y = Gn/V, waarin F het volume van het lichaam is; y wordt daarmee een stofeigenschap. Zo hebben ook de andere met 'soortelijk' aangeduide grootheden, soortelijk volume, soortelijke warmte enz., geen betrekking op massa, zoals in het SI, maar op 66

gewicht; v (soortelijk volume) is in het SI gedefinieerd als V/m, in het technische stelsel als V/Gn met de eenheden m 3 /kg resp. m 3 /kgf. De getalwaarde is voor beide dezelfde, krachtens (7), maar de dimensies zijn verschillend. Nu zullen wij in de oudere technische geschriften nooit de notaties gn en Gn aantreffen, maar uitsluitend g en G. Dit kan zeer verwarrend werken, want er zijn diverse technische problemen, waarbij zowel massa als zwaarteveldsterkte (g) een rol spelen. Duiden wij de eerste aan met G/g, dan bestaat de mogelijkheid dat de twee g's, waarvan de eerste de werkelijk optredende g, de tweede de 'kunstmatige' gn voorstelt, tegen elkaar worden weggedeeld. De vergelijking van het probleem suggereert dan dat de zwaarteveldsterkte geen rol speelt. Ook komt het voor dat de vergelijking een g bevat en daarmee de indruk wekt dat de zwaartekracht een rol speelt, terwijl die g in feite gn voorstelt.

l l AP

5.4.5. Voorbeeld uit de stromingsleer Van dit laatste geval bekijken wij een voorbeeld. De vergelijking: G = e-a-Ao \llg • y • Ap *

(8)

geeft de gewichtsstroom G (uit te drukken in kgf/s) door een opening A0 als functie van de hier niet nader te specificeren coëfficiënten e en a, het soortelijk gewicht 7 van het doorstromende medium en het dmkverschil Ap over de opening. Het lijkt nu alsof de zwaartekracht via g onder het wortelteken medebepalend is voor de grootte van G. Dit is echter onjuist, hetgeen wij zien indien wij de vergelijking omwerken naar de praktische of absolute notatie, die voor het SI geldt. Daarbij substitueren wij: voor G', m -g voor 7 : P - g

(nl- ^ = ^ f= f

De vergelijking wordt dan:

of:

De doorstromende massa is onafhankelijk van de zwaarteveldsterkte. Bij een correcte notatie had in (8) Gn en gn moeten staan; de index werd, zoals gezegd, echter altijd achterwege gelaten.

5.4.6. Conclusies Bij het toepassen van vergelijkingen uit oudere geschriften is het dus altijd zaak te onderzoeken of de gebezigde notatie de technische is en of er geeng-n (geschreven als g) is ingeslopen dan wel een g uit is verdwenen door wegdelen tegen gn. Hierbij is waakzaamheid geboden, want het is niet altijd direct te zien. Met de invoering van het SI verdwijnen: a. normgewicht : Gn b. normversnelling : gn c. soortelijk gewicht : 7 Indien dan een g in de vergelijking optreedt, is dit steeds de zwaarteveldsterkte die werkelijk een rol in het probleem speelt; deze is aan de pool groter dan aan de evenaar, neemt af met de hoogte boven aarde en is op de maan slechts ca. \ van de waarde op aarde. * De punt boven een grootheidsymbool (spreek uit: fluxie) geeft aan 'per tijd'. 67

5.5. Omwenteling, toerental, hoeksnelheid De eenheid 'omwenteling' is internationaal nog in discussie. De N N I-commissie 'Invoering van het SI' staat op het standpunt dat hij moet verdwijnen. Daarbij geldt als argument dat de uitdrukking 'omwenteling' wordt gebruikt in twee betekenissen en daardoor aanleiding kan geven tot verwarring en fouten. Wij willen dit aantonen aan de hand van enige voorbeelden.

Let op!

Omwenteling is geen eenheid.

1 omw = 2rc (rad) in voorbeeld 1 en 2 1 omw = 1 in voorbeeld 3

5.5.7. Voorbeeld l Van een motor zijn gegeven: - het draaimoment (koppel) : M= 10,2 kgf • cm - het toerental : n = 3000 omw ./min Nu moet worden berekend hoe groot het vermogen P van deze motor is. Om de berekening te kunnen uitvoeren moeten wij de vergelijking kennen. Mogen wij hiervoor nu schrijven: P = M -n

Dit is inderdaad het geval. Maar indien wij de gegevens in deze vergelijking substitueren: P = 10,2 x 3000

• cm • omw. min

te herleiden in: P = 10,2 x 3000 2^1^. lm

=

50 W . omw.

dan blijven wij in de uitkomst met die 'omw.' zitten. Wel kunnen wij vaststellen dat omw. dimensieloos moet zijn (de dimensie 'vermogen' wordt immers reeds door W bepaald) maar hoe groot omw. is, kunnen wij niet direct zien. Wij kunnen het aandrijvende koppel M = 10,2 kgf • cm = l N • m vervangen beschouwen door een aan de motoras gefixeerde hefboom van l m, waarop een kracht van l N werkt. Energie (arbeid) is gelijk aan kracht maal weg. Over een omwenteling wordt door de kracht van l N een weg afgelegd van 2n • m, zodat de arbeid 277 N • m bedraagt. Per seconde wordt dus 50 x 2rr N • m aan arbeid geleverd en het vermogen bedraagt: P = 50 x 2?r

= 50 x 2rrW

(10)

Vergelijking tussen de uitkomsten van (9) en (10) voert ons tot deze conclusie: omw. = 27T ~ 6,283

5.5.2. Voorbeeld 2 In de diverse technische handboeken van vroeger datum treffen wij voor de relatie tussen koppel, vermogen en toerental veelal deze vergelijking aan: M = 71 620 ^ H

M = 71620 N/n wordt door gebruik van SI-eenhedenM=P/tj

waarin M, N en n de getalwaarden voorstellen voor resp. het koppel in kgf • cm, het vermogen in pk en het toerental (juist is hoeksnelheid! ) in omw./min, waarin omw. dus gelijk is te stellen aan 2ir. Het symbool N is thans officieel vervangen door P.

Wij kunnen deze getalwaardenvergelijking als volgt afleiden uit de groothedenvergelijkingM =7V/«. Passen wij hierop toe de vergelijking uit 2.3. 'grootheid = getalwaarde x eenheid', dan ontstaat: [M] kgf • cm =

W pk { n } omw./mi mm

In deze vergelijking stellen de tussen accolades geplaatste symbolen de getalwaarden voor, behorende bij de vermelde eenheden. Wij laten deze accolades in het volgende weg, maar wij realiseren ons dat de symbolen nu getalwaarden en geen grootheden meer voorstellen. We vormen de laatste vergelijking nu om in:

M=

n

pk • min kgf • cm x Tm

Nu vervangen wij: pk door 75 kgf • m/s (zie bijlage 6), min door 60 s en cm door 0,01 m en krijgen dan: M =

- ~ 71 620 ^ 0,01 x 2-n n n

7

Met Sl-eenheden gaan wij uit van de groothedenvergelijking geschreven als: co

Met P in watt en w in rad/s wordt M direct berekend in: N • m/rad of J/rad.

5.5. J. Voorbeeld 3 Wij bekijken nu een ander voorbeeld. Een plunjerpomp heeft een cilinderdiameter d = 5 cm en een slag s =12 cm. De pomp werkt bij een toerental n = 120 omw./min. Wij berekenen nu de capaciteit van deze pomp. De algemene vergelijking voor dit probleem luidt:

Vullen wij de gegevens in deze vergelijking in, dan volgt: = 4 x 52 x 12 x 120

omw

min

' = 28,3 omw.

mm

Nu mogen wij omwenteling echter beslist niet door 2w vervangen, want n (toerental) betekent hier 'aantal per tijd', waarvoor wij ook de uitdrukking 'rotatiefrequentie' kunnen gebruiken. In dit probleem heeft omw. derhalve de waarde 1.

HOEKSNELHEID

is HOEK per TIJD eenheid: rad/s

5.5.4. Eenheid voor hoek (rad) en voor hoeksnelheid (rad/s) In het eerste voorbeeld (5.5.1.) hadden wij niet de grootheid 'toerental' maar de grootheid 'hoeksnelheid' moeten gebruiken; deze heeft als dimensie 'hoek per tijd' en als (grootheid) symbool GJ>. De Sl-eenheid voor hoek is rad, voor hoeksnelheid rad/s. In ons voorbeeld wilden wij met omw. aangeven een hoekeenheid, die gelijk is aan 2?r rad of 360°.

69

5.5.5. Grootheid 'frequentie': hertz Voor de grootheid frequentie kent het SI een van de seconde afgeleide eenheid met een eigen naam: hertz, symbool Hz; er geldt Hz = s"1. Het is nog geen gebruik toerental in Hz uit te drukken, maar het is zeer voor de hand liggend dat men dit gaat doen. De NNI-commissie is zelfs van oordeel, dat er nauwelijks enig bezwaar tegen bestaat dit nu reeds te doen in de praktijk. De relatie tussen de grootheden hoeksnelheid (co), hoek (a) en toerental of rotatiefrequentie (n) wordt uitgedrukt in deze vergelijking: co = a • n

1 Hz = 1 s'1

5.5.6. Samenvatting Resumerend kunnen wij het volgende stellen: - omw. moet niet meer als eenheid worden gebruikt en ook uit samengestelde eenheden, zoals omw ./s, omw./min, J/omw., worden geweerd; - toerental of rotatiefrequentie («) moet worden uitgedrukt in /s, s"1 of Hz; is men nog aan de omw./min gebonden, dan dient men /min of min"1 te gebruiken; - hoeksnelheid (co) wordt uitgedrukt in rad/s; treffen wij in oude notaties omw./min aan, bedoeld met de dimensie hoek per tijd, dan vervangen wij deze

Hz alleen als eenheid voor de grootheid FREQUENTIE

eenheid door

60

rad/s (? •0,1 rad/s).

De volgende paragraaf behandelt een speciaal onderwerp uit de machinebouw en kan zonder bezwaar worden overgeslagen.

5.6. GD en massatraagheidsmoment Bij de berekening van vliegwielen wordt in het technische stelsel gewerkt met het gegeven GD , waarin G het gewicht en D de (gereduceerde) diameter van het vliegwiel voorstellen. Deze grootheid wordt uitgedrukt in kgf • ra en heeft dus de dimensie arbeid maal lengte. Waardoor moet bij de overgang naar het SI de grootheid GD nu worden vervangen? Om deze vraag te beantwoorden dienen wij de functie van het vliegwiel te begrijpen. Bij zuigermachines is de aandrijvende kracht niet regelmatig. De zuiger wordt over een deel van zijn weg aangedreven door het expanderende gas en moet over een ander deel het gas comprimeren. In het eerste geval werkt de machine versnellend, in het tweede vertragend, hetgeen in de rotatiesnelheid tot uitdrukking komt. Het vliegwiel heeft nu als functie de extra bewegingsenergie, die bij de versnelling vrijkomt, 'op te slaan' om deze tijdens de vertraging te kunnen benutten en wel zodanig dat het verschil tussen hoogste en laagste rotatiesnelheid tijdens een omwenteling, — uitgedrukt in de 'graad van oneenparigheid' - een bepaalde, voorgeschreven waarde niet overschrijdt. De rotatie-energie van een vliegwiel is uit te drukken door de vergelijking:

= 2l m • r 2 -co2

(11)

70

waarin:

E is de rotatie-energie van het vliegwiel; m is de massa van het vliegwiel; r is de gereduceerde straal van het vliegwiel; CO is de hoeksnelheid Met gereduceerd wordt bedoeld dat het vliegwiel wordt voorgesteld met de totale massa geconcentreerd in een cirkel om het asmiddelpunt, bij gelijkblijvende waarde van m • r . De graad van oneenparigheid is gedefinieerd als:

(12) waarin COmax de grootste en COmjn de kleinste hoeksnelheid is, die tijdens een omwenteling optreedt. CO stelt de gemiddelde hoeksnelheid voor, gedefinieerd als:

(13) Uit (11) volgt dat de extra energie die gedurende een omwenteling eerst wordt opgeslagen en dan weer wordt gebruikt, moet bedragen:

Werken wij deze vergelijkingen uit, met substitutie van vergelijkingen (12) en (13), dan volgt: 2

AE = \ m • r (o;

AE =

+u , )

waaruit: 2

2

(H)

AE = e • m -r oj

Nu weten wij uit 5.4.4. dat in het technische stelsel massa wordt aangeduid met G/g. Voorts is r —\D, terwijl CO in dat stelsel met n wordt aangegeven (zie 5.5.). Daarmee verkrijgt vergelijking (14) deze vorm:

AE =

GD2

(15)

3600

4 X 9,81 -2. e

-G^2-"2kgf.m 3577

(16)

(17)

In (16) zijn de symbolen tussen accolades geplaatst om aan te geven dat getalwaarden worden bedoeld. Dit is ook in (17) het geval, doch daar zijn ze weggelaten om de notatie te tonen, zoals die in bedoelde handboeken wordt gegeven. De vorm m- r uit (14) wordt massatraagheidsmoment genoemd, aangeduid met J. Dit nu is de grootheid die in de plaats komt van GD2 bij de overgang naar het SI. / wordt uitgedrukt in kg • m 2 . De relatie tussen / en GD2 is:

1 In de oudere technische handboeken worden de vergelijkingen / = GD bijna altijd als getalwaardenvergelijking opgegeven, waarbij de symbolen dus de getalwaarden voorstellen, behorend bij bepaal- Een vliegwiel met GD2 = 800 kgf • m 2 heeft dus (voor g = gn) de, opgegeven eenheden. Wordt /\E in kgf • m, GD2 in kgf • m 2 een massatraagheidsmoment _ en n in omw./min (omw. is hier gelijk aan 277) opgegeven, dan 800 X 9,80665 N • m = 800 4 X 9,80665 N/kg kan (15) worden geschreven als: 4g

71

Werkblad, les 5

1. De

definitie

van

druk

is

gedeeld

door

De si-eenheid van druk is de 2. Als een kracht van 10 000 N gelijkmatig is verdeeld over een oppervlak van 2 m 2 , bedraagt de druk 3. De dimensie van energie is per definitie gelijk aan maal

, die van vermogen aan

door

De si-eenheid voor energie is de

gedeeld , die

voor vermogen de 4. De kcal/h en de pk worden beide vervangen door de si-eenheid De eenheid, die de kcal gaat vervangen is de 5. De

sterkte van het

zwaarteveld heeft dezelfde dimensie als

De dimensie van gewicht is dezelfde als die van

6. Een ander woord voor toerental is

72

Deze grootheid wordt in het si uitgedrukt in

of

,

terwijl

de

eenheid

een

hoeksnelheid wordt

aangegeven met

Rekenproblemen, les 5 (Voor herleidingsfactoren zie bijlage 6)

1. De barometerstand bedraagt 1024,3 mbar of

kilopascal =

pascal. In een lokaal heerst een overdruk pe = 50 pascal. De absolute druk p van de lucht in dat lokaal bedraagt: P = Pamb + Pe = (

+ . . . . ) Pa =

Pa.

2. De overdruk pe in een gasleiding wordt met een U-buis gemeten. Het water (p = 1000 kg/m 3 ) daarin vertoont een niveauverschil h = 100 mm =

m. De overdruk pe bedraagt: kg/m 3 x l O N/kg x . . . . m =

ps = p • g • h =

Pa.

3. De spoorwagen uit de rekenproblemen van les 4 had een massa van 40 ton; de gewichtskracht of het gewicht bedroeg

N. De

vereiste arbeid om die wagen 10 m hoger te brengen is: W =

Nx

m=

J = . . . MJ.

6

(l MJ = l O J = l 000 000 joule) 4. De kracht die nodig is om die wagen op een helling van 2°/00 omhoog te trekken, bedroeg F = 800 N. Bij een snelheid v = 54 km/h = . . . . m/s is daarbij een vermogen P vereist van:

P=F- v =

N x

m/s=

W.

5. Een motor heeft een toerental van 3000 omwentelingen per minuut. Dan is de roratiefrequentie n =

/min = ... ./s = . . . . Hz. De

hoeksnelheid co volgt uit (met l rad = 1): cj = 2-7T • n =

73

x . . . ./s =

rad/s.

6. Die motor levert een vermogen P = 12 kW =

W. Het

moment M is dan: p M =- = GJ

w Jf = rad/s

N •m

7. De specifieke verdampingswarmte van water bedraagt bij 100 °C 539 kcal/kg. In de si-eenheid is dat

x

J/kg =

J/kg, hetgeen meestal wordt gepresenteerd als . kJ/kg.

74

Multiple choice, les 5

A. Als op een vloer 760 mm water staat, bedraagt de overdruk op die vloer (g = 9,81 N/kg): 1

760 Torr

2

7456 Pa

3

7600 Pa

4

zowel l als 2.

B. Van een roterende machine wordt opgegeven: n = 600 omw./min. De hoeksnelheid van de as bedraagt in Sl-eenheden: 1

10 Hz

2

62,8 Hz

3

l O rad/s

4

62,8 rad/s.

C. In het SI wordt rotatiefrequentie aangegeven met: 1

rad/s

2

s-1

3 Hz

4

zowel antwoordmogelijkheid 2 als antwoordmogelijkheid 3.

D. Een massa van 400 kg wordt in 32 s over een afstand van 80 m wrijvingsloos omhoog gehesen. Wat is het geleverde vermogen? (g = l O N/kg) 1

l kW

2

1,6 kW

3

10 kW

4

16 kW.

E. De normversnelling gn is:

75

1

aan de noordpool even groot als aan de evenaar

2

afhankelijk van de aardrotatie

3

op de maan kleiner dan op de aarde

4

zowel antwoordmogelijkheid l als antwoordmogelijkheid 3.

F. De statische druk van een pomp wordt gegeven met p = p • g - h, waarin h de opvoerhoogte en p de dichtheid van de vloeistof voorstellen. In deze vergelijking: 1

is g de werkelijke zwaarteveldsterkte

2

kan h niet de dimensie lengte hebben

3

stelt g de normversnelling gn voor

4

zowel antwoordmogelijkheid l als antwoordmogelijkheid 2.

G. Indien de joule wordt uitgedrukt in de grondeenheden van het SI ontstaat de vorm: 1

kg • m 2 /s 2

2

kg/m 2

3

kg • m

4

kg • s 2 /m 2 .

H. Een motor werkt bij een vermogen van 75 pk gedurende 3 uur. Hoeveel bedraagt de geleverde arbeid?

l.

J.

76

1

225 MJ

2

600 MJ

3

225 kJ

4

600 kJ.

Welke van onderstaande eenheden hoort wat de dimensie betreft niet in onderstaand rijtje thuis? 1

cal

2

eV

3

pk • h

4

mmHg.

Het over 100 m (verticaal gerekend) wrijvingsloos omhoog voeren van een massa van 50 kg langs een steile weg, kost: 1

minder arbeid dan langs een langzaam stijgende weg

2

bijna evenveel arbeid als langs een langzaam stijgende weg

3

evenveel arbeid als langs een langzaam stijgende weg

4

meer arbeid dan langs een langzaam stijgende weg.

6. Elektriciteit en magnetisme, temperatuur, licht, hoeveelheid stof 6.1. Het CGS-stelsel Het metrieke stelsel met de eenheden meter, are en liter voor respectievelijk de grootheden lengte, oppervlakte en volume heeft in het begin van de 19de eeuw een belangrijke sanering op het gebied van de eenhedenstelsels gebracht. Voor wetenschappelijke doeleinden werd evenwel het gebrek aan coherentie al spoedig als een bezwaar gevoeld, hetgeen eveneens gold voor de onduidelijkheid ten aanzien van de grootheid die in kilogram werd gemeten (massa of kracht? ). Daarom ging men zoeken naar eenheden die weliswaar metriek waren (dat wil zeggen: afgeleid van de meter) maar die bovendien onderling samenhang vertoonden en waarop men verder kon bouwen naar een omvangrijker stelsel, dat niet alleen in de handel, maar vooral in wetenschap en techniek bruikbaar zou zijn. Het is de verdienste geweest van de 'British Association for the Advancement of Science' hiervoor een oplossing te hebben geboden. Zonder op de overigens interessante geschiedenis van de diverse voorgestelde stelsels in te gaan, zullen wij hier in het kort het belangrijkste, het centimeter-g-am-seconde-stelsel (afgekort tot CGS-stelsel) bespreken. De gronddimensies van het CGS-stelsel zijn lengte, massa en tijd, waarvoor de eenheden centimeter (cm), gram (g) en seconde (s) zijn gekozen. Een doorslaggevend argument voor deze keuze was dat de dichtheid (volumieke massa) van water hiermee de waarde l g/cm3 verkreeg. Tabel 6.1. geeft een aantal CGS-eenheden met vermelding van de grootheid en de afleiding van de grondeenheden. Evenals in het SI draagt een aantal afgeleide eenheden een eigen naam. eenheid grootheid

naam

symbool

lengte

centimeter

cm

oppervlakte

vierkante centimeter

cm2

cm2

volume

kubieke centimeter

cm3

cm3

tijd

seconde

s

snelheid

centimeter per seconde

cm/s

cm • s"1

versnelling

centimeter per seconde kwadraat

cm/s2

cm • s"2

massa

gram

g

kracht

dyne

dyn

cm • g • s"2

arbeid

erg

erg

cm2 • g • s"2

vermogen

erg per seconde

erg/s

cm2 • g • s"3

druk

barye

dyn/cm 2

cm"1 • g • s" 2

Tabel 6.1. CGS-eenheden 77

afleiding

De groothedenvergelijkingen waarmee de afgeleide grootheden worden gedefinieerd, zijn dezelfde als die voor het SI worden gebruikt.

6.2. Elektriciteit Het ontstaan van eenheden voor elektriciteit en magnetisme, passend in het CGS-stelsel, hield gelijke tred met de wetenschappelijke ontwikkelingen in de 19de eeuw op deze gebieden. Er zijn daarbij twee stelsels van eenheden ontstaan, die nog steeds in wetenschappelijk verband in gebruik zijn: a. elektrostatische eenheden : ese; b. elektromagnetische eenheden : eme. Wij zullen hiervoor eerst enkele wetmatigheden van de elektriciteit en het magnetisme summier behandelen. Voor een uitgebreidere en vooral meer systematische behandeling moet naar de desbetreffende leerboeken worden verwezen.

Twee PVC buizen, geladen door deze met bont op te wrijven stoten elkaar af

De geladen PVC-buis wordt aangetrokken door een eveneens geladen perspex-buis. Deze laatste is met een zijden doek opgewreven

wet van Coulomb

6.2.1. Lading Een glazen staaf die met een zijden doek wordt gewreven blijkt te worden 'geladen'. Wij stellen ons voor dat 'iets' van de staaf naar de doek overgaat. Dat 'iets' zijn elektronen, die per definitie als negatieve lading worden beschouwd. De staaf wordt dus 'positief en de doek 'negatief geladen. Wordt een ebonieten staaf met een wollen doek gewreven, dan krijgt de staaf een negatieve lading, de doek een positieve. De glazen en de ebonieten staaf blijken elkaar na het wrijven aan te trekken; twee glazen staven stoten elkaar na het wrijven af. Hetzelfde geldt voor twee ebonieten staven. Lading kan op andere voorwerpen worden overgebracht door aanraking. De hoeveelheid lading blijkt zich te verdelen, hetgeen wij kunnen constateren door de grootte van de optredende krachten te meten. De aantrekkende of afstotende krachten blijken ook afhankelijk te zijn van de onderlinge afstand van de ladingen. Een tweemaal zo grote afstand resulteert in een viermaal zo kleine kracht; de kracht blijkt omgekeerd evenredig met het kwadraat van de afstand. Verder blijkt het medium waarin de ladingdragende voorwerpen zijn geplaatst, invloed op de grootte van de kracht te hebben. Al deze ervaringen kunnen nu worden samengevat in de volgende groothedenvergelijking:

p

=

61-62 k -e -r2

(1)

In woorden: de kracht (F) die twee ladingen (Q) op elkaar uitoefenen, is evenredig met het produkt van deze ladingen en omgekeerd evenredig met het kwadraat van hun afstand (r) en met de permittiviteit (e), die de invloed van het medium vertegenwoordigt. De (getal)factor k hangt van het gekozen stelsel af; de betekenis daarvan wordt in 6.6. nader bezien. De met (1) geformuleerde relatie wordt de 'wet van Coulomb' genoemd. Ook de richting van de kracht F, aantrekkend of afstotend, komt in (1) tot uitdrukking. Bij de proef met de staven zagen wij dat gelijksoortige ladingen elkaar afstoten, ongelijksoortige elkaar aantrekken. Hebben de grootheden Qi en Qi hetzelfde teken (beide positief of beide negatief), dan is F positief. De afstotende kracht is dus positief, de aantrekkende negatief.

78

6.2.2. Stroom Elektrische lading kan zich verplaatsen door een geleider. De zich verplaatsende hoeveelheid lading per tijd noemen wij elektrische stroom (T). Er geldt dus: /=£

(2)

6.2.3. Weerstand

wet van Joule

Wanneer een elektrische stroom door een geleider stroomt, blijkt deze laatste warm te worden (in temperatuur te stijgen). Hier is sprake van een omzetting van elektrische in thermische energie. Het thermische vermogen is gebleken evenredig te zijn met het kwadraat van de stroom en met een eigenschap van de geleider, die weerstand (K) wordt genoemd. De vergelijking die deze ervaring tot uitdrukking brengt luidt:

P = 12 • R

(3)

en wordt de wet van Joule genoemd.

6.2.4. Spanning Om een stroom tot stand te brengen moet er tussen twee punten van een geleider een potentiaalverschil zijn. Wij spreken in dit verband van elektrische spanning (U), gedefinieerd als de grootheid waarmee de stroom in de geleider moet worden vermenigvuldigd om het tussen de punten geleverde vermogen te verkrijgen. In vergelijking luidt deze relatie: P = U-I

(4)

Uit (3) en (4) leiden wij af: =

u

(5)

R

Diverse voorbeelden van spanningsbronnen Deze vergelijking wordt de wet van Ohm genoemd. Uit het verband kunnen wij zien dat de spanning als een soort drijvende kracht van de stroom kan worden opgevat en de weerstand als een grootheid die zich hiertegen verzet. wet van Ohm

6.3. Magnetisme Magnetisme werd aanvankelijk op dezelfde wijze beschouwd als elektriciteit; dat wil zeggen dat voor magnetische ladingen (= polen) een aantrekkingswet werd opgesteld, parallel aan de wet van Coulomb voor elektrische ladingen. Praktisch kan deze wet echter niet worden getoetst, omdat polen steeds paarsgewijs.(N en Z) optreden en dus niet zijn te isoleren. Het verband tussen elektriciteit en magnetisme komt tot uitdrukking in de elektrodynamische hoofdwet, waarvan één aspect in ons geval van belang is. Wanneer door twee evenwijdige geleiders een elektrische stroom wordt gevoerd, dan oefenen deze geleiders een kracht op elkaar uit. De grootte van deze kracht is evenredig met die van beide stromen en omgekeerd evenredig met de onderlinge afstand van de geleiders. Voorts is de kracht ook afhankelijk van het medium waarin de geleiders zijn geplaatst, uit te drukken in de grootheid p. (permeabiliteit) en van de lengte van het beschouwde gedeelte (/) van de geleiders, die (theoretisch) oneindig lang moeten worden voorgesteld. In vergelijkingsvorm luidt de relatie: Twee geleiders, die tegengestelde stromen voeren, stoten elkaar af

F = 79

k-r

l

(6)

De getalfactor k hangt, evenals bij de wet van Coulomb af van de keuze van het eenhedenstelsel (zie 6.6.); de factor 2 vloeit voort uit de gevolgde afleiding van de vergelijking. Gelijkgerichte stromen krijgen hetzelfde teken; het minteken wijst erop dat gelijkgerichte stromen een negatieve of elkaar aantrekkende kracht uitoefenen. De verklaring van het verschijnsel is dat een stroom om zijn geleider heen een magnetisch veld doet ontstaan dat invloed uitoefent op de stroom in een andere, zich in dat veld bevindende geleider.

ese

6.4. Het elektrostatische CGS-stelsel De eenheden uit dit stelsel worden elektrostatische eenheden genoemd, afgekort met ese. Zo kennen wij de ese van stroom, de ese van spanning, enz. Met de wetenschap dat de ese's een coherent stelsel vormen, zijn wij met hetgeen wij omtrent het SI hebben geleerd, in staat deze coherente eenheden uit de diverse vergelijkingen af te leiden. Het uitgangspunt voor het elektrostatische stelsel is de wet van Coulomb, in zijn eenvoudigste vorm, voor vacuüm, geschreven:

F =

01 ' 0 2

De permittiviteit (e) werd hier dus dimensieloos en gelijk aan l genomen (voor andere media wordt in de noemer een dimensieloze factor er ingevoerd, die de verhouding van de permittiviteit van dat medium tot die van vacuüm uitdrukt). Uit deze vergelijking, die wij als definitievergelijking van de grootheid 'lading' kunnen opvatten, volgt dat de dimensie van lading gelijk moet zijn aan de tweedemachtswortel van kracht maal lengte. De ese van lading is dus gelijk aan (zie ook tabel 6.1.):

/dyn • cm = vcm

J

• g • s"2 • cm = cm • g • s"

Uit (2) volgt de dimensie van stroom: lading gedeeld door tijd. De ese van stroom is dus gelijk aan: 2 i cm2 • e2 • s" 1 = cm

Vergelijking (3) stelt dat de tweedemacht van stroom maal weerstand de dimensie vermogen heeft, ofwel: de dimensie van weerstand is gelijk aan vermogen gedeeld door stroom kwadraat. Voor de ese van weerstand leiden wij dan af (zie voor de eenheid van vermogen tabel 6.1.): cm

(c J • è

s' 2 ) 2

Vervolgens kunnen wij de eenheid van spanning afleiden uit (5), te schrijven als U = I • R. Wij vinden voor de ese van spanning:

(c J • è •

s"2) x (cm"1 • s) = cm

Tenslotte blijkt dat alle grootheden van (6) bekend zijn, zodat wij de mediuminvloed hier nodig hebben om de vergelijking in evenwicht te brengen. De ese van permeabiliteit is derhalve: cm"2 • s 2 . 80

eme

6.5. Het elektromagnetische CGS-stelsel De eenheden uit dit stelsel worden aangegeven met eme. Ook hier onderscheiden wij de eme van stroom, van spanning, enz. Uitgangsvergelijking voor het elektromagnetische stelsel is (6), in zijn eenvoudigste vorm, voor vacuüm, geschreven als

F= -

2/!/2

/. Hieruit kan nu de eme van stroom worden afgeleid, waarvan de di-

mensie gelijk moet zijn aan de tweedemachtswortel van kracht, dus:

i i cm2 - g2 • s"1 Op analoge wijze als in 6.4. voor de ese's is geschied, kunnen nu de eme's uit (1) t/m (5) worden afgeleid. In tabel 6.2. zijn de eme's en de ese's voor de hier behandelde grootheden opgenomen. Deze tabel is een uitbreiding van tabel 6.1. grootheid

eenheid

naam

symbool

ese

stroom

I

cm2 • g2 • s"2

lading

Q

cm2 • g2 • s"1

spanning

V

cm - g - s "

cm - g - s "

weerstand

R

cm"1 - s

cm • s"1

permittiviteit

e

permeabiliteit

M

eme 3

3

1 2

1

1

1

1 2

1

cm2 • g2 • s"1 1

1

cm2 • g2 3 2

1

1 2

9

cm"2 • s2 cm"2 • s2

Tabel 6.2. Elektrostatische en elektromagnetische eenheden De relatie van deze theoretische eenheden met de praktische eenheden wordt in 6.7. behandeld.

6.6. Rationalisatie In (1) en (6) hebben wij een getalfactor k geschreven, waarop wij nog nader moeten ingaan. Oorspronkelijk (in ese en eme) is deze factor gelijk aan l gesteld, hetgeen met betrekking tot de fysische ervaringen die deze vergelijkingen tot uitdrukking brengen volkomen toelaatbaar is. Indien wij deze vergelijkingen (met k = 1) echter gebruiken voor het definiëren van andere elektrische en magnetische grootheden, zoals veldsterkte en inductie, dan verschijnt de factor -n op plaatsen waar men hem niet verwacht, terwijl hij daar waar men hem wél zou verwachten, bijvoorbeeld bij optredende bolvormigheid, ontbreekt. Door in (1) en (6) k gelijk te stellen aan 4tr bereikt met dat ir steeds in logisch verband optreedt. Men noemt dit 'rationaliseren' van de vergelijking. In het SI wordt met gerationaliseerde vergelijkingen gewerkt. De vergelijkingen (1) en (6) krijgen daar derhalve de vorm:

F =

4n • e • 2n • r

81

(7) (8)

De factor 4n in (7) verklaart dat een puntlading Q een bolvormig elektrisch veld, de factor 2?r in (8) dat de stroom in een rechte draad een cilindervormig magnetisch veld heeft.

Elektrische eenhedenstelsel 1882-1889 grondeenheden A A S afgeleide eenheden V C W J F H

6.7. Praktische elektrische eenheden In de tweede helft van de 19de eeuw ontstond in de zich toen snel ontwikkelende elektrotechniek behoefte aan praktisch bruikbare eenheden voor weerstand, stroom en spanning. De theoretische ese's en eme's hebben ongemakkelijke grootten en kunnen bovendien moeilijk worden gerealiseerd door middel van proefopstellingen. Een voorbeeld van één van de vele eenheden van weerstand die in de praktijk werden gebruikt, is de weerstand gelijk aan die van l Duitse mijl (ca. 7500 m) ijzerdraad met een diameter van 0,1 inch. Vele congressen werden gewijd aan het scheppen van orde in de eenhedenchaos. Tenslotte werden de volgende definities internationaal overeengekomen: - l ohm (12) is de weerstand van een kolom kwik met een massa van 14,4521 g, een lengte van 106,300 cm bij constante doorsnede, gemeten bij de temperatuur van smeltend ijs; - l ampère (A) is de elektrische stroom die in l seconde 1,118 mg zilver elektrolytisch neerslaat uit een zilvernitraatoplossing. De vreemde getallen in deze definities vloeien voort uit het feit dat men ernaar streefde de gedefinieerde eenheden zoveel mogelijk gelijk te maken aan een decimaal veelvoud of deel van de overeenkomstige eme, en wel: - l 12 = 109 eme van weerstand; - l A = 10"' eme van elektrische stroom. Samen met de seconde kunnen deze eenheden worden beschouwd als grondeenheden voor een goed bruikbaar stelsel van elektrische eenheden. Op de internationale congressen van 1882 en 1889 heeft men aan een aantal van ampère, ohm en seconde afgeleide eenheden eigen namen toegekend en wel: - volt (V) = ampère x ohm, af te leiden uit (5); - coulomb (C) = ampère x seconde, af te leiden uit (2); - watt (W) = volt x ampère, af te leiden uit (4); - joule (J) = watt x seconde, af te leiden uit (5) van les 5; - farad (F) = - henry(H) _ volt x seconde ampère In theoretische beschouwingen bleef men zich echter bedienen van de ese's en eme's, zodat theoretici en practici verschillende eenhedenstelsels gebruikten.

6.8. Het quadrantstelsel Maxwell toonde aan dat de tegenstelling tussen theoretisch en praktisch eenhedengebruik kon worden opgeheven door twee van de drie grondeenheden van het emestelsel (voor lengte, voor massa en voor tijd) anders te kiezen. De eme van weerstand was blijkbaar te klein, die van stroom te groot voor de praktijk. Door nu een nieuw stelsel te construeren dat met dezelfde definitievergelijkingen wordt opgebouwd als het eme-stelsel, maar met twee grondeenheden van een andere, geschikte, grootte, moet het mogelijk zijn precies op de grootte van de ohm en de ampère uit te komen. De grootten van 12 en A waren twee onafhankelijke eisen die aan het nieuwe stelsel werden opgelegd, zodat ook twee grondeenheden opnieuw moesten worden gekozen (twee voorwaardenvergelijkingen voor twee onbekenden). 82

De gehechtheid aan de seconde als eenheid voor de dimensie tijd was zo groot, dat men deze eenheid wenste te handhaven; men besloot derhalve de eenheden voor lengte en massa te wijzigen. We duiden deze nieuwe grondeenheden aan met L (lengte) en M (massa); met deze eenheden en met de seconde dienen de ohm en de ampère dus coherent te zijn. Stellen wij voorts dat L = 10^ cm en M = 10M g dan geldt enerzijds, wegens de definitie en tabel 6.2.: l n = l O9 eme van weerstand = l O9 cm • s"' l A = 10"' eme van elektrische stroom = 10"' crn5 g^ s"1 anderzijds, wegens het coherentiebeginsel van het nieuwe stelsel: l £ 2 = 1 L - s ' 1 =1(T cm -s" 1

1 1

h

i • £ l

l A = l L5 M5 s'1 =10 2 cm 2 • 102 g 2 s'1

Na gelijkstelling van de twee paren van uitkomsten en wegdelen van de CGS-eenheden volgt dan: X = 9 en yu = -ll

Bijgevolg is L = 109 cm en M = l O"11 g. De gevonden coherente eenheid L heeft een lengte gelijk aan die van de halve aardmeridiaan (aardquadrant), zoals wij kunnen vaststellen aan de hand van de oorspronkelijke definitie van de meter: het tien miljoenste deel van de halve aardmeridiaan (109 cm = 107 m). Om die reden is Maxwell's stelsel quadrantstelsel genoemd. Het quadrantstelsel kan worden beschouwd als een theoretische rechtvaardiging van het praktische elektrische eenhedenstelsel, maar het voegde daaraan niets nuttigs toe. De eenheden L en M zijn voor de mechanica onbruikbaar wegens de onpraktische grootten. Bezien wij slechts de dichtheid van water, uitgedrukt in de eenheden van het quadrantstelsel: p = l O38 M/L 3 , dan zien wij direct dat deze eenheden voor de praktijk geen nut kunnen hebben. Voor de elektriciteitsleer, zowel in theorie als in praktijk, is het quadrantstelsel echter goed bruikbaar, zolang de eenheden maar worden afgeleid van ampère, ohm en seconde en de dimensies lengte en massa achterwege blijven. Treden deze wel op dan worden de eenheden praktisch onbruikbaar. De coherente eenheid voor stroomdichtheid bijvoorbeeld zou een grootte krijgen gelijk aan 10"'4 A/m 2 . Het quadrantstelsel is daarom voor de magnetische eenheden niet praktisch en daarom bleef men zich voor het magnetisme bedienen van de eme's uit het CGS-stelsel. Ook hier werden aan enkele afgeleide eenheden eigen namen toegekend, die thans nog in gebruik zijn: oersted, gauss, gilbert, maxwell. Ze zijn met het SI niet coherent en zullen verdwijnen.

6.9. Het MKS A-stelsel Indien iemand als schepper van het SI moest worden aangewezen, dan zou dat ongetwijfeld Giovanni Giorgi (1871-1950) moeten zijn. Het is zijn grote verdienste geweest in 1901 de weg te hebben geopend naar een integraal coherent praktisch eenhedenstelsel, waarin de meter en het kilogram als grondeenheden konden worden aangenomen, ook voor de elektriciteitsleer. Om te begrijpen wat Giorgi deed, kijken we eerst even naar de praktische elektri83

sche eenheden, gegeven in het kader in de marge van 6.7. Maxwell wenste eenheden voor lengte, massa en tijd als grondeenheden en voegde daarom L en M aan het stelsel toe, waarmee A en £2 afgeleide eenheden werden, coherent met L, M en s. Dit was het quadrantstelsel, waarin L en M overigens geen praktisch nut konden hebben, wegens hun grootten. Giorgi ging daarentegen uit van de relaties die met (4) en (5) worden gegeven, waaruit resulteert: l W= l V - A = l n -A2

De uitwerking van deze vergelijking in CGS-eenheden geeft: l W = 109 eme van weerstand x (10"' eme van elektrische stroom)2 = 109 cm • s"1 x (10"1 cm2 g2 s" 1 ) 2

= 107 cm2 - g - s ' 3 Maxwell had twee vergelijkingen, waaruit L en M onafhankelijk van elkaar resulteerden, Giorgi heeft echter maar één vergelijking: l W = 1 0 7 cm 2 - g - s ' 3 en daarin kan de factor l O 7 nu op diverse manieren over de te creëren coherente eenheden van lengte en massa worden verdeeld, bijv.: l W = (109 cm)2 • (KT" g)-s' 3 dit geeft dan l W = L 2 • M • s'3

waarin L en M de reeds bekende grondeenheden van het quadrantstelsel zijn, waarmee de watt coherent is. Maar ook mogelijk is: l W = (102 cm)2 -(10 3 g)-s' 3 en dit is hetzelfde als: l W = l m 2 • kg • s"3

zodat de watt nu coherent is met de meter en het kilogram. Het was deze keuze die Giorgi deed en daarmee was de watt naar de ene zijde coherent met de ampère en de ohm, naar de andere zijde met de meter, het kilogram en de seconde. Stelt men nu: l V • A = l m 2 • kg • s'3 of l H • A 2 = l m 2 • kg - s'3

dan is het duidelijk dat er naast m, kg en s nog een grondeenheid nodig is om de vijfde eenheid uit de vier andere te kunnen afleiden. In principe kan dat zowel de volt als de ohm of de ampère zijn. Het is de laatste die als grondeenheid van het 84

MKSA-stelsel

stelsel is aangenomen en dientengevolge heeft dit de naam MKSA-stelsel (meter, kilogram, seconde, ampère) gekregen. Ook wordt het wel aangeduid als Giorgistelsel. De samenhang (coherentie) van alle afgeleide eenheden, zowel de elektrische als de mechanische met de vier grondeenheden van dit stelsel (dat na uitbreiding met nog drie grondeenheden de naam SI kreeg) wordt in de bijlagen 2 en 3 getoond. De definitie van de grondeenheid 'ampère' moet nu worden geformuleerd in termen van Sl-eenheden (zie definitie ampère in bijlage 1). De grootte van de kracht in deze definitie volgt uit (6) voor het elektromagnetische CGS-stelsel, dat wil zeggen: k = l en n = l: p _ -2

x (l O'1 eme van stroom)2 100 cm

100 cm = - 2 x 10'2 dyn

omdat l dyn = 10"s N (zie bijlage 6), is dus: F = - 2 x 10'2 x 10's N = - 2 x 10"7 N

2 • 10"7 N

Doordat de permeabiliteit oorspronkelijk dimensieloos werd aangenomen (met voor vacuüm de waarde IJLO = 1), kreeg elektrische stroom de dimensie van tweedemachtswortel van kracht. In het SI, waarin elektrische stroom als gronddimensie is gedefinieerd, krijgt n wél een dimensie, namelijk kracht gedeeld door de tweede macht van stroom. Hieruit volgt de Sl-eenheid van permeabiliteit: N/A 2 of H/m (zie ook bijlage 2). Uit de definitie van de ampère en vergelijking (8) leidt men voor vacuüm af: -2

IA!

lA

x 1Q- 7 N =

(l A)2 lm ?r (l m)

-> MO = 4w x 10'7 N/A 2 = 4;r x 10"7 H/m

lm

Schematische weergave van de definitie van de ampère

Het voorstel van Giorgi om het MKSA-stelsel algemeen in te voeren, voor alle gebieden van de techniek, vond in 1901 bij de werktuigbouw en de civiele techniek geen instemming. Het heeft tot 1948 geduurd, voordat het voorstel andermaal werd gedaan, toen door de CGPM en wél met succes.

6.10. Lichteenheden

candela

cd

lumen

lm

lux

lx

6.70.7. Straling Straling is een vorm van energie-overdracht zonder de aanwezigheid van een tussenstof, die de energie geleidt. Straling manifesteert zich in twee vormen, die voor het menselijk begrip elkaar uitsluiten: a. als emissie van deeltjes (quanta); b. als golfverschijnsel met een transversaal karakter, zoals golven in water. In de 17de eeuw werd de emissietheorie verdedigd door Isaac Newton en de golftheorie door Christiaan Huygens. Een jarenlange strijd werd in het begin van de 19de eeuw beslist in het voordeel van de golftheorie, toen Fresnelhet golfkarakter van licht onmiskenbaar wist aan te tonen. Vanwege dat golfkarakter achtte men het destijds uitgesloten dat de energie-overdracht door straling zonder tussenstof kon plaatshebben; daaruit is de ether-theorie voortgekomen. In het begin van de 20ste eeuw ontdekte men echter dat straling wel degelijk als emissie van deeltjes kon worden beschouwd. Beide verschijningsvormen moesten naast elkaar worden aanvaard. Welke theorie van toepassing is, hangt af van de gezichtshoek van waaruit men het verschijnsel onderzoekt. Dit is een van de meest 85

straling soort

bron

radio

zender

warmte

zon

licht

infrarode lamp kachel

Hierin is c de voortplantingssnelheid van de energiestroom, bekend als 'lichtsnelheid'; c is een natuurconstante (zie 7.3.).

zon

De golflengte is bepalend voor de soort straling. Van grote naar kleine golflengte onderscheidt men radio straling, warmtestraling, licht straling, ultraviolette straling, röntgenstraling, enz. De kenmerkende grootheden die bij straling optreden zijn gemakkelijk af te leiden, wanneer wij uitgaan van de dimensie energie, die in het voorgaande hoofdstuk is gedefinieerd.

gloeilamp ultraviolet

merkwaardige ontdekkingen van de wetenschap geweest, die op diverse overtuigingen, ook buiten de wetenschap, een schokeffect heeft teweeggebracht. Binnen ons kader beschouwen wij straling als golfverschijnsel. Kenmerkend hiervoor zijn de golflengte (X) en de frequentie (v)', de samenhang tussen deze grootheden is:

zon

hoogtezon

röntgen

röntgenbuizen diverse isotopen

radioactief

radium diverse isotopen

Stralingsenergie (Q) wordt evenals alle andere vormen van energie uitgedrukt in joule (J). Stralingsenergiestroom of stralingsflux () is de hoeveelheid overgedragen energie per tijd: =

De eenheid is derhalve joule per seconde = watt (W). Stralingssterkte (1) is de energiestroom per ruimtehoek; deze grootheid is van belang, omdat een stralingsbron niet altijd naar alle richtingen (even sterk) uitstraalt: ƒ = O

De eenheid is watt per steradiaal (W/sr). N.B. Let op het karakteristieke verschil tussen de grootheden en/; in de eenheid van ƒ mag daarom sr (= m 2 /m 2 = 1 ) beslist niet achterwege blijven. De stralingsflux door een vlak loodrecht op de stralingsrichting is eveneens van belang. Hier wordt verschil gemaakt tussen: a. stralingsemittantie (M), dat is de uitgezonden flux:

"f b. bestralingssterkte (E), dat is de opgevangen flux: E

=-A

De eenheid van beide grootheden is watt per vierkante meter (W/m2). 6.10.2. Licht De straling die voor het menselijk oog zichtbaar is, wordt licht genoemd. Het golflengtegebied van deze straling ligt tussen ca. 380 en 780 nm (l nrn = 10"9 m; zie hoofdstuk 7). Verschillende golflengten worden als verschillende kleuren waargenomen, namelijk 380 nm: violet; 470 nm: blauw; 520 nm: groen; 560 nm: geel; 610 nm: oranje; en 780 nm: rood; met daartussen overgangskleuren. Als er in de straling slechts één enkele golflengte optreedt, spreken wij van mono chromatisch licht. Bij gelijktijdig optreden van meer golflengten treden mengkleuren op, die het 86

oog overigens niet van mono chromatische kleuren kan onderscheiden. Komen alle golflengten gelijktijdig en met gelijke energie in de lichtstraling voor, dan ontstaat de kleur wit (wit licht). De indruk die licht op het oog maakt, is niet met meetinstrumenten rechtstreeks te meten. Toch zijn er methoden ontwikkeld om verschillende lichtindrukken met elkaar te vergelijken. Men noemt bijvoorbeeld twee verschillende lichtindrukken even helder wanneer deze, in snelle afwisseling getoond, als niet flikkerend worden waargenomen. Het zichtbare aspect van straling wordt met soortgelijke grootheden beschreven als straling. Om aan te geven dat met een grootheidssymbool een lichtverschijnsel wordt bedoeld, maakt men soms gebruik van de index v; ter onderscheiding past men voor straling dan de index e toe. Voor licht kunnen wij dus de volgende grootheden onderscheiden: a buis met oppervlak van 1/60 cm als zwart lichaam b stollend platina (2045 K) c isolatie Schematische voorstelling van de candela (cd)

a. hoeveelheid licht (Q) b. lichtstroom (CD): • t: lumen seconde (lm • s.); c. voor emittantie M — /A : lumen per vierkante meter (lm/m 2 ); d. voor verlichtingssterkte E = v//^4)

/, (/v)

lichtsterkte

cd

candela

Ü>,(