Eds PDF [PDF]

Zitiervorschau

Universitatea Politehnica din Bucures¸ti

CONSULTAT¸IE ECUAT¸II S¸I SISTEME DE ECUAT¸II DIFERENT¸IALE

Alexandru NEGRESCU

Alexandru Negrescu (UPB)

22 ianuarie 2016

1 / 38

1

Modele matematice descrise de ecuat¸ii diferent¸iale Legea Weber-Fechner ˘ apitor ˘ Modelul prada-r

2

Ecuat¸ii diferent¸iale Ecuat¸ii cu variabile separabile Ecuat¸ii liniare Ecuat¸ii omogene Ecuat¸ii Bernoulli Ecuat¸ii exacte Ecuat¸ii liniare cu coeficient¸i constant¸i Ecuat¸ii Euler-Cauchy

3

Sisteme de ecuat¸ii diferent¸iale Metoda substitut¸iei Metoda matricei exponent¸iale Metoda matricei fundamentale

4

˘ Bibliografie s¸i recomandari Alexandru Negrescu (UPB)

22 ianuarie 2016

2 / 38

Modele matematice descrise de ecuat¸ii diferent¸iale

Legea Weber-Fechner

Legea Weber-Fechner

Gustav Theodor Fechner (1801-1887) Alexandru Negrescu (UPB)

22 ianuarie 2016

3 / 38

Modele matematice descrise de ecuat¸ii diferent¸iale

Legea Weber-Fechner

Legea Weber-Fechner Fie I intensitatea unui stimul dat unui subiect. ˆIntr-un experiment prin ˆ care se da˘ un stimul, intensificandu-l gradat cu ∆I, valoarea minima˘ a lui ∆I la care subiectul poate simt¸i diferent¸a dintre I s¸i I + ∆I se numes¸te prag de discriminare. Fie E intensitatea emot¸iei (nivelul de ˘ senzat¸ie) corespunzatoare stimulului I. Legea lui Weber ∆I = k∆E. I ˘ Fechner a privit-o ca pe o ecuat¸ie diferent¸iala,

dI = kdE. I

Legea Weber-Fechner E = k−1 ln I + C. Alexandru Negrescu (UPB)

22 ianuarie 2016

4 / 38

Modele matematice descrise de ecuat¸ii diferent¸iale

˘ apitor ˘ Modelul prada-r

˘ apitor ˘ Modelul prada-r

Alexandru Negrescu (UPB)

22 ianuarie 2016

5 / 38

Modele matematice descrise de ecuat¸ii diferent¸iale

˘ apitor ˘ Modelul prada-r

˘ apitor ˘ Modelul prada-r

dp dt dP dt

Alexandru Negrescu (UPB)

= αp − βpP = −γP + δpP

22 ianuarie 2016

6 / 38

Ecuat¸ii diferent¸iale

Ecuat¸ii cu variabile separabile

Ecuat¸ii cu variabile separabile

O ecuat¸ie cu variabile separabile este o ecuat¸ie de forma y 0 (x) = f (x)g (y(x)) , unde f : I → R s¸i g : J → R sunt funct¸ii continue cu g(y) 6= 0, pentru orice y ∈ J, I s¸i J fiind doua˘ intervale deschise nevide din R.

Alexandru Negrescu (UPB)

22 ianuarie 2016

7 / 38

Ecuat¸ii diferent¸iale

Ecuat¸ii cu variabile separabile

Ecuat¸ii cu variabile separabile

1. Determinat¸i solut¸ia ecuat¸iei diferent¸iale y0 = √

xy 3 , 1 + x2

s¸tiind ca˘ y(0) = −1.

Alexandru Negrescu (UPB)

22 ianuarie 2016

8 / 38

Ecuat¸ii diferent¸iale

Ecuat¸ii cu variabile separabile

Ecuat¸ii cu variabile separabile

1bis. Determinat¸i solut¸iile ecuat¸iilor diferent¸iale: a) x2 y 0 = y − xy, s¸tiind ca˘ y(−1) = −1; 2 b) xex + yy 0 = 0, s¸tiind ca˘ y(0) = 1.

Alexandru Negrescu (UPB)

22 ianuarie 2016

9 / 38

Ecuat¸ii diferent¸iale

Ecuat¸ii liniare

Ecuat¸ii liniare

O ecuat¸ie liniara˘ este o ecuat¸ie de forma y 0 (x) = a(x)y(x) + b(x), unde a, b : I → R sunt funct¸ii continue pe I.

Alexandru Negrescu (UPB)

22 ianuarie 2016

10 / 38

Ecuat¸ii diferent¸iale

Ecuat¸ii liniare

Ecuat¸ii liniare

2. Determinat¸i solut¸ia ecuat¸iei diferent¸iale y0 +

2 y = −2(1 + ln x), x

s¸tiind ca˘ y(1) = 59 .

Alexandru Negrescu (UPB)

22 ianuarie 2016

11 / 38

Ecuat¸ii diferent¸iale

Ecuat¸ii liniare

Ecuat¸ii liniare

2bis. Determinat¸i solut¸iile ecuat¸iilor diferent¸iale: a) xy 0 + 2y = x2 − x + 1, s¸tiind ca˘ y(1) = 12 ; b) y 0 + y tg x = cos2 x, s¸tiind ca˘ y(0) = −1.

Alexandru Negrescu (UPB)

22 ianuarie 2016

12 / 38

Ecuat¸ii diferent¸iale

Ecuat¸ii omogene

Ecuat¸ii omogene

O ecuat¸ie omogena˘ este o ecuat¸ie de forma Ç 0

y (x) = f

y(x) x

å

,

unde f : I → R este o funct¸ie continua˘ s¸i f (r) 6= r pentru orice r ∈ I.

Alexandru Negrescu (UPB)

22 ianuarie 2016

13 / 38

Ecuat¸ii diferent¸iale

Ecuat¸ii omogene

Ecuat¸ii omogene

3. Determinat¸i solut¸ia ecuat¸iei diferent¸iale xy 2 y 0 = x3 + y 3 ,

x > 0,

s¸tiind ca˘ y(1) = 3.

Alexandru Negrescu (UPB)

22 ianuarie 2016

14 / 38

Ecuat¸ii diferent¸iale

Ecuat¸ii omogene

Ecuat¸ii omogene

3bis. Determinat¸i solut¸iile ecuat¸iilor diferent¸iale: a) (x2 + 2xy)y 0 = 2(xy + y 2 ), s¸tiind ca˘ y(1) = 2; b) x2 y 0 − 2xy − y 2 = 0, s¸tiind ca˘ y(1) = 1.

Alexandru Negrescu (UPB)

22 ianuarie 2016

15 / 38

Ecuat¸ii diferent¸iale

Ecuat¸ii Bernoulli

Ecuat¸ii Bernoulli

O ecuat¸ie Bernoulli este o ecuat¸ie de forma y 0 (x) = a(x)y(x) + b(x)y α (x), unde a, b : I → R sunt funct¸ii continue neidentic nule s¸i neproport¸ionale pe I iar α ∈ R\{0, 1}.

Alexandru Negrescu (UPB)

22 ianuarie 2016

16 / 38

Ecuat¸ii diferent¸iale

Ecuat¸ii Bernoulli

Ecuat¸ii Bernoulli

4. Determinat¸i solut¸ia ecuat¸iei diferent¸iale xy 0 = y + xy 3 (1 + ln x), s¸tiind ca˘ y(1) =

√ 3 5 5 .

Alexandru Negrescu (UPB)

22 ianuarie 2016

17 / 38

Ecuat¸ii diferent¸iale

Ecuat¸ii Bernoulli

Ecuat¸ii Bernoulli

4bis. Determinat¸i solut¸iile ecuat¸iilor diferent¸iale: a) x2 y 0 − 2xy = 3y 4 , s¸tiind ca˘ y(1) = 12 ; b) xy 0 + 5y = 2x2 y 4 , s¸tiind ca˘ y(1) = 3.

Alexandru Negrescu (UPB)

22 ianuarie 2016

18 / 38

Ecuat¸ii diferent¸iale

Ecuat¸ii exacte

Ecuat¸ii exacte

Fie D o mult¸ime nevida˘ s¸i deschisa˘ din R2 s¸i fie P, Q : D → R2 , doua˘ funct¸ii de clasa˘ C 1 pe D, cu Q(x, y) 6= 0 pe D. O ecuat¸ie de forma y 0 (x) = −

P (x, y(x)) , Q(x, y(x))

i.e.

P (x, y(x))dx + Q(x, y(x))dy = 0,

se numes¸te ecuat¸ie exacta˘ daca˘ exista˘ o funct¸ie F : D → R, de clasa˘ ˆ C 2 , astfel ˆıncat ( ∂F ∂x (x, y) = P (x, y(x)), ∂F ∂y (x, y) = Q(x, y(x)).

Alexandru Negrescu (UPB)

22 ianuarie 2016

19 / 38

Ecuat¸ii diferent¸iale

Ecuat¸ii exacte

Ecuat¸ii exacte

5. Determinat¸i solut¸ia ecuat¸iei diferent¸iale ex (y 2 − x)dx + 2ex ydy = 0, s¸tiind ca˘ y(0) = 1.

Alexandru Negrescu (UPB)

22 ianuarie 2016

20 / 38

Ecuat¸ii diferent¸iale

Ecuat¸ii exacte

Metoda factorului integrant Daca˘

1 ∂P ∂Q (x, y) − (x, y) = f (x), Q(x, y) ∂y ∂x Å

ã

˘ putem cauta factorul integrant h ca solut¸ie a ecuat¸iei liniare s¸i omogene h0 (x) = f (x)h(x). Daca˘

1 ∂P ∂Q (x, y) − (x, y) = g(y), P (x, y) ∂y ∂x Å

ã

˘ putem cauta factorul integrant h ca solut¸ie a ecuat¸iei liniare s¸i omogene h0 (y) = −g(y)h(y).

Alexandru Negrescu (UPB)

22 ianuarie 2016

21 / 38

Ecuat¸ii diferent¸iale

Ecuat¸ii exacte

Metoda factorului integrant

6. Determinat¸i solut¸ia ecuat¸iei diferent¸iale (y 2 − x)dx + 2ydy = 0, s¸tiind ca˘ y(0) = 1.

Alexandru Negrescu (UPB)

22 ianuarie 2016

22 / 38

Ecuat¸ii diferent¸iale

Ecuat¸ii exacte

Ecuat¸ii exacte. Metoda factorului integrant

˘ 6bis. Integrat¸i urmatoarele ecuat¸ii diferent¸iale: a) (3x2 y − 1)dx + (x3 + 6y − y 2 )dy = 0; b) (xy 2 − sin x cos x)dx − y(1 − x2 )dy = 0; c) (e2y − y cos xy)dx + (2xe2y − x cos xy + 2y)dy = 0; d) xydx + (2x2 + 3y 2 − 20)dy = 0; e) (2y 2 + 3x)dx + 2xy)dy = 0; f) (y 2 + xy 3 )dx + (5y 2 − xy + y 3 sin y)dy = 0.

Alexandru Negrescu (UPB)

22 ianuarie 2016

23 / 38

Ecuat¸ii diferent¸iale

Ecuat¸ii liniare cu coeficient¸i constant¸i

Ecuat¸ii liniare cu coeficient¸i constant¸i

y (n) (x) + an−1 y (n−1) (x) + · · · + a1 y 0 (x) + a0 y(x) = f (x)

Alexandru Negrescu (UPB)

22 ianuarie 2016

24 / 38

Ecuat¸ii diferent¸iale

Ecuat¸ii liniare cu coeficient¸i constant¸i

Ecuat¸ii liniare cu coeficient¸i constant¸i

y(x) = yo (x) + yp (x) ˘ Pentru aflarea solut¸iei ecuat¸iei omogene corespunzatoare, se descompune polinomul caracteristic P (λ) = λn + an−1 λn−1 + · · · + a1 λ + a0 ˆın factori de forma: ˘ (λ − a)m , caruia ˆıi corespund solut¸iile eax , xeax , ..., xm−1 eax ;

˘ (λ2 + bλ + c)m , cu b2 − 4ac < 0, caruia ˆıi corespund solut¸iile eαx cos βx, eαx sin βx, xeαx cos βx, xeαx sin βx, ..., xm−1 eαx cos βx, xm−1 eαx sin βx, unde α ± iβ sunt solut¸iile ecuat¸iei λ2 + bλ + c = 0.

Alexandru Negrescu (UPB)

22 ianuarie 2016

25 / 38

Ecuat¸ii diferent¸iale

Ecuat¸ii liniare cu coeficient¸i constant¸i

Ecuat¸ii liniare cu coeficient¸i constant¸i Se scrie f (x) = eax (Q(x) cos bx + R(x) sin bx) s¸i se cauta˘ yp (x) = eax (S(x) cos bx + T (x) sin bx) , unde S s¸i T sunt polinoame de grad egal cu max(gradQ, gradR). ˘ acin ˘ a˘ multipla˘ de ordinul m a polinomului P , se Daca˘ a + bi este rad ˘ cauta solut¸ia particulara˘ yp (x) = xm eax (S(x) cos bx + T (x) sin bx) .

Alexandru Negrescu (UPB)

22 ianuarie 2016

26 / 38

Ecuat¸ii diferent¸iale

Ecuat¸ii liniare cu coeficient¸i constant¸i

Ecuat¸ii diferent¸iale liniare neomogene

7. Determinat¸i solut¸ia ecuat¸iei diferent¸iale y 000 − 3y 00 + 3y 0 − y = x − 4ex .

Alexandru Negrescu (UPB)

22 ianuarie 2016

27 / 38

Ecuat¸ii diferent¸iale

Ecuat¸ii Euler-Cauchy

Ecuat¸ii Euler-Cauchy

an xn y (n) (x) + an−1 xn−1 y (n−1) (x) + · · · + a1 xy 0 (x) + a0 y(x) = f (x) Pentru x > 0 se face substitut¸ia x = et s¸i atunci y(x) = y(et ) =: z(t).

Alexandru Negrescu (UPB)

22 ianuarie 2016

28 / 38

Ecuat¸ii diferent¸iale

Ecuat¸ii Euler-Cauchy

Ecuat¸ii Euler-Cauchy

8. Determinat¸i solut¸ia ecuat¸iei diferent¸iale x2 y 00 − xy 0 + y = ln x.

Alexandru Negrescu (UPB)

22 ianuarie 2016

29 / 38

Sisteme de ecuat¸ii diferent¸iale

Metoda substitut¸iei

Metoda substitut¸iei

9. Determinat¸i solut¸ia sistemului de ecuat¸ii diferent¸iale (

x01 = 5x1 − 3x2 + 8 x02 = x1 + x2 + 32t,

s¸tiind ca˘ x1 (0) = 2 s¸i x2 (0) = 0.

Alexandru Negrescu (UPB)

22 ianuarie 2016

30 / 38

Sisteme de ecuat¸ii diferent¸iale

Metoda matricei exponent¸iale

Metoda matricei exponent¸iale

10. Determinat¸i solut¸ia sistemului de ecuat¸ii diferent¸iale (

x01 = −2x1 + x2 + 2e−t x02 = x1 − 2x2 + 1,

s¸tiind ca˘ x1 (0) = 1 s¸i x2 (0) = 0.

Alexandru Negrescu (UPB)

22 ianuarie 2016

31 / 38

Sisteme de ecuat¸ii diferent¸iale

Metoda matricei exponent¸iale

Metoda matricei exponent¸iale

Sistemul diferent¸ial x0 (t) = Ax(t) + b(t), cu x(0) = x0 , are solut¸ia x(t) = eAt x0 + eAt

Alexandru Negrescu (UPB)

Z

0

t

e−As b(s) ds.

22 ianuarie 2016

32 / 38

Sisteme de ecuat¸ii diferent¸iale

Metoda matricei exponent¸iale

Metoda matricei exponent¸iale ˘ i.e., exista˘ o matrice S Daca˘ matricea A este diagonalizabila, ˘ astfel ˆıncat ˆ inversabila˘ s¸i D diagonala, A = SDS −1 , atunci eAt = SeDt S −1 , unde

à

eDt =

Alexandru Negrescu (UPB)

eλ1 t 0 0 eλ2 t .. .. . . 0 0

... 0 0 ... 0 0 .. . . .. . . . ... 0 eλn t

í

.

22 ianuarie 2016

33 / 38

Sisteme de ecuat¸ii diferent¸iale

Metoda matricei exponent¸iale

Metoda matricei exponent¸iale

eAt = αn−1 An−1 tn−1 + · · · + α1 At + α0 In , unde αn−1 , ..., α1 , α0 sunt funct¸ii dependente de t. Funct¸ia p(s) = αn−1 sn−1 + · · · + α1 s + α0 ˘ pentru fiecare valoare proprie λ (de multiplicitate algebrica˘ m) verifica, a lui A, relat¸iile: r(λt) = eλt , r 0 (λt) = eλt , ..., r (m−1) (λt) = eλt .

Alexandru Negrescu (UPB)

22 ianuarie 2016

34 / 38

Sisteme de ecuat¸ii diferent¸iale

Metoda matricei fundamentale

Metoda matricei fundamentale

11. Determinat¸i solut¸ia sistemului de ecuat¸ii diferent¸iale (

x01 = 2x1 − x2 + et x02 = 3x1 − 2x2 + e−t ,

s¸tiind ca˘ x1 (0) = 0 s¸i x2 (0) = 1.

Alexandru Negrescu (UPB)

22 ianuarie 2016

35 / 38

Sisteme de ecuat¸ii diferent¸iale

Metoda matricei fundamentale

Metoda matricei fundamentale

Sistemul diferent¸ial x0 (t) = Ax(t) + b(t), cu x(0) = x0 , are solut¸ia x(t) = X(t)X −1 (0)x0 + X(t)

Z

t 0

X −1 (s)b(s) ds,

unde X(t) este o matrice fundamentala˘ a sistemului x0 (t) = Ax(t).

Alexandru Negrescu (UPB)

22 ianuarie 2016

36 / 38

˘ Bibliografie s¸i recomandari

˘ Bibliografie s¸i recomandari

C. Constanda, Differential Equations. A Primer for Scientists and Engineers, Springer, 2013. R. K. Nagle, E. Saff, A. D. Snider, Fundamentals of Differential Equations, Addison-Wessley, 2012. ˘ Geometrie analitica˘ s¸i diferent¸iala. ˘ T. Stihi, R. Vidican, Algebra˘ liniara. ˆ Ecuat¸ii diferent¸iale. Teoria campurilor, Ed. Fair Partners, 2009. I. I. Vrabie, Differential Equations. An Introduction to Basic Concepts, Results and Applications, World Scientific, 2004. D. Zill, A First Course in Differential Equations with Modeling Applications, Brooks/Cole, 2013.

Alexandru Negrescu (UPB)

22 ianuarie 2016

37 / 38

˘ Bibliografie s¸i recomandari

Va˘ mult¸umesc pentru atent¸ie!

Alexandru Negrescu (UPB)

22 ianuarie 2016

38 / 38