Dynamisk analyse av konstruksjoner 8251903629 [PDF]

Zitiervorschau

dynamisk analyse av konstruksjoner

Ivar Langen Ragnar Sigbjornsson SINTEF, Avdeling for konstruksjonsteknikk

TAPIR

©TAPIR, 1979

ISBN 82-519-0362-9

V

INNHOLD

FORORD

XI

SYMBOLLISTE

XIII

1.

2.

INNLEDNING

1

1.1

Generelle bemerkninger

1

1.2

Den dynamiske likevektsligning

3

1.3

Diskretisering.

7

Frihetsgrader

MATRISEFORMULERING AV DYNAMISK LIKEVEKT ETTER

FORSKYVNINGSMETODEN

11

2.1

Innledning

H

2.2

Resymé av elementanalysen i forskyvningsmetoden

2.3

3.

12

Resymé av systemanalysen i forskyvningsmetoden

15

2.4

Dynamisk likevekt ved konsentrertmasse

16

2.5

Fri harmonisk svingning

19

ENERGIMETODER FOR DYNAMISKE PROBLEM

29

3.1

Innledning

3.2

Virtuelt arbeid.

3.3

Hamiltons prinsipp '

34

3.4

Lagranges ligninger

38

3.5

Rayleigh’s metode

3.6

Rayleigh-Ritz .

3.7

Elementmetoden ved forskyvningsformulering

52

3.7.1

Innledning

52

3.7.2

Diskretisering

52

3.7.3

Elementanalysen

53

3.7.4

Systemanalysen

62

3.7.5

Spenningsberegning

64

Kinetisk energi

Elementformulering

30

-42

46

VI

4.

3.7.6

Konvergens av elementmetoden

64

3.7.7

Nøyaktighet

67

FRI SVINGNING

/ o

4.1

Udempet fri svingning

73

4.2

Egenverdiproblemet

74

4.3

Egensvingeformenes ortogonalitetsegenskaper

78

4.4

Likedannethetstransformasjon

80

4.5

Rayleigh-kvotienten

81

4.6

Egenverdialgoritmer

83

4.6.1

Vektoriterasjon

83

4.6.2

Egenverdialgoritmer basert på likedannethetstransformasjoner

4.6.3

5.

6.

Valg av metode

97

102

4.7

Dempet fri svingning

105

4.8

Kommentarer om nøyaktighet

110

MASSEMATRISEN

5.1

Innledning

1P5

5.2

Konsistent massematrise

116

5.3

Konsentrert masse

5.4

Konsistent kontra konsentrert masse

121

5.5

Hydrodynamisk masse

123

'

REDUKSJON AV ANTALL FRIHETSGRADER

118

131

SUBSTRUKTURER

6.1

Innledning

331

6.2

Konsentrert masse - statisk kondensering

132

6.3

Rayleigh-Ritz kondensering

134

6.4

Master-slave-teknikk

139

6.5

Substrukturer i dynamisk analyse

145

6.5.1

Innledning

145

6.5.2

Resymé statisk analyse

145

6.5.3

Dynamisk analyse

149

6.6

Kobling av substrukturenes

svingeformer

151

VII

7.

BEREGNING AV TVUNGNE SVINGNINGER. LINEÆRE SYSTEMER

161

7.1

Innledning

161

7.2

Modal analyse

163

7.2.1

Udempede normalkoordinater

163

7.2.2

Dempede normalkoordinater

168

7.2.3

Modal superposisjon

171

7.2.4

Løsning av de ukoblede bevegelsesligningene

7.3

Frekvens-responsmetoden

7.3.1

System med en frihetsgrad

7.3.2

Den direkte frekvens-responsmetode

for systemer med flere frihetsgrader

7.4

173 175 175

182

Impuls-responsmetoden

187

7.4.1

System med en frihetsgrad

187

7.4.2

Sammenhengen mellom impuls-

responsfunksjonen og frekvensresponsfunksj onen

7.4.3

194

Den direkte impuls-responsmetode for systemer med flere fri­

hetsgrader 7.5

Skrittvis numerisk integrasjon av bevegelsesligningen

8.

197

7.5.1

Innledning

197

7.5.2

Metoder basert på differanseformulering

198

7.5.3

Metoder basert på numerisk integrasjon

200

7.5.4

Stabilitet

206

7.5.5

Nøyaktighet

209

7.5.6

Direkte integrasjon av det koblede system

7.6

19 5

Modal superposisjon kontra direkte integrasjon

211

223

IKKELINEÆRE SVINGNINGER

227

8.1

Innledning

227

8.1.1

Ikkelineære systemer

227

8.1.2

Beskrivelse av ikkelineære

8.1.3

svingninger

228

Løsningsmetoder

234

VIII

8.2

Perturbasjonsmetoden

235 8.2.1

Introduksjon

8.2,2

Lindstedt-Poincare ’s metode

8.2.3

Frekvens-responsfunksjonen

8.2.4

Stabilitet og Mathieus ligning

235 238

241 245

8.3

Skrittvis numerisk integrasjon av ikkelineære

systemer 249

8.3.1

Inkrementell formulering av

bevegelsesligningen

8.3.2

249

Direkte integrasjon av den

inkremente1le bevegelsesligning

255

8.3.3

iransformasjon til normalkoordinater

260 DEMPNING

265

9.1

Innledning

9.2

Matematiske dempningsmodeIler

9.2.1

Generelt

9.2,2

Lineær viskos dempning

9.2.3

Ekvivalent viskøs dempning

9.2.4

Ikkelineær viskøs dempning

9.2.5

Strukturell dempning

9.2.6

Coulombs dempning

9.3

Typer dempning i svingesysternet

9.4

Modal dempning

9.5

Dempningsmatrisen

9.5.1

Elementformulering

9 . 5 .-2

Proporsjonal dempning

9.5.3

Caughey-rekke

9.5.4

Direkte utvikling av ortogonal dempningsmatrise

10 .

STOKASTISKE SVINGNINGER 10.1

Innledning

10.2.

Stokastiske prosesser

10.2.1

Definisjon

10.2.2

Matematisk beskrivelse

10.2.3

Momenter av stokastiske prosesser

10.2.4

Kontinuitet, derivasjon og integrasjon

265

266 266 266

271

272 274

276 277 285

2 87 287

287 290

292

297

297 298 298

301

305 307

IX

10.2.5

Stasjonære prosesser

314

10.2.6

Ergodiske prosesser

316

10.2.7

Gaussprosesser

322

10.2.8

Korrelasjonsfunksjonen

327

10.2.9

Spektraltetthet og spektral-

fordeling

10.3

10.2.10 Flerdimensjonale prosesser

345

10.2.11 Generalisert harmonisk analyse

348

10.2.12 Evolusjonære prosesser

355

10.2.13 Stokastiske differensialligninger

360

Respons av lineære systemer

362

10.3.1

Generelle bemerkninger

10.3.2

System med en frihetsgrad: Stasjonær respons

10.3c3

10.3.4 1 J ,4

10.5

331

362

362

Systemer med flere frihetsgrader: Stasjonær respons

371

Ikkestasjonær respons

376

Respons av ikkelineære systemer

386

10.4.1

Generelle bemerkninger

386

10.4.2

Stokastisk linearisering

386

10.4.3

Perturl r jonsmetoden

390

Responsstatistikk

394

10.5.1

Generelle bemerkninger

394

10.5.2

Terskeloverskridelse

394

10.5.3

Sannsynlighetsfordeling av maksima

397

10.5.4

Ekstremer

404

10.5.5

Utmatting

409

10.5.6

Analyse av usikkerhet

411

MON TE CARLO SIMULERING

417

11.1

Innledning

417

11.2

Generering av slumptall

418

11.3

Simulering av stasjonære skalarprosesser

420

11.3.1

Modeller med stokastisk fase

11.3.2

Modeller med stokastisk fase

420

og frekvens

425

11.3.3

Konvergens

431

11.3.4

Anvendelse av FFT teknikken

434

11.3.5

Respons for lineære systemer

435

X

11.4

11.5

11.6

12.

Simulering av flerdimensjonale stasjonære

437

skalarprosesser

437

Simulering av stasjonære vektor-

prosesser

433

Simulering av ikkestasjonære prosesser

439

443

BELASTNINGER

12.1

Innledning

443

12.2

Bølgelast

444

12.2.1

Havoverflaten som stokastisk prosess

444

12.2.2

Bølgenes kinematikk

448

12.2.3

Bølgekrefter basert på Morison’s ligning

12.3

Vindlast

12.3.1

12.3.2

12.4

12.4.2 13.

459

Atmosfærisk turbulens som stokastisk prosess

459

Stokastiske vindkrefter

464

Jordskjelvlast

12.4.1

451

466

Jordskjelv modellert som

stokastisk prosess

466

Jordskjelveksitasjon av konstruksjoner

469

ANVENDELSER

475

13.1

475

13.2

Innledning Bølgeinduserte svingninger av

betongplattform

476

13.3

Bølgeinduserte svingninger av flytebru

482

13.4

Vindinduserte svingninger i et høyhus

491

STIKKORDLISTE

499

XI

FORORD

Denne boken er en utvidet og omarbeidet utgave av et forelesningskompendium med samme navn skrevet av Ivar Langen våren

1975 for særkursundervisningen ved Institutt for marine konstruk­

sjoner.

Senere er stoffet utvidet og brukt ved flere videreut-

danningskurs på dr.ing.-nivå for såvel skipsingeniører som

bygningsingeniører. I stoffvalget har en tatt sikte på å gi en videregående

innføring i teorien for analyse av svingninger i kompliserte konstruksjoner.

terte metoder.

Spesielt er det lagt vekt på regneriaskincri'-.

Fremstillingen forutsetter derfor kjennskap til

grunnleggende svingningsteori og sannsynlighetsregning og til kompleks analyse og Fouriertransformasjoner.

Videre forutset­

tes det gode kunnskaper i statikk og spesielt i bruk av matrisemetoder og elementmetoder.

Da begge forfatterne har hatt undervisning bare som biopp-

gaver, har det vært vanskelig å finne tid til å gjennomarbeide

stoffet så godt som en skulle ønske. gitt,

Når boken likevel blir ut­

skyldes det mange oppfordringer fra tidligere studenter og

den interesse det i dag er for dette stoffet.

Videre er det

direkte og indirekte gitt finansiell støtte til utarbeidelsen

fra SINTEF,

Institutt for marine konstruksjoner, NTH, og Det

norske Veritas. Når boken her presenteres i leselig form,

skyldes det ikke

minst Kirsten Østborg og Reidun Brun Hansen som har maskinskre­ vet manuskriptet, og Olga Hiksdal Knutsen og Guri Berge som har

utført illustrasjonene.

Trondheim, august 1979.

Ivar Langen

Ragnar Sigbjornsson

XIII

SYMBOLLISTE

Generelle regler - Matriser og vektorer betegnes med tykke bokstaver,

f.eks.

k

- Den transponerte av en matrise eller vektor betegnes ved T superindeks T, f.eks. k - Den partiell deriverte av en størrelse er delvis skrevet som

W,

_

X

3w

- -7T— 3x

W,

_ 32 w

XX

- — y dX2

- Prikk over symbolet betegner tidsderivert

Symboler Symbolene defineres når de først opptrer i teksten. viktigste symbolene og deres betydning er gitt nedenfor.

De Lokalt

i et avsnitt kan symbolene ha annen betydning.

a *1.

Konnektivitetsmatrise ,

A

Areal

se lign.

(2.7)

Belastningens potensielle energi

A

s

Skjærareal

A

Generell matrise

B

Konstant

B

Generell matrise Matrise eller vektor av tøyningsformfunksjoner, lign.

(3.83)

Influensmatrise ,

se lign.

(6.33)

se

XIV

c c

Dempningskoeffisient (h)

Hydrodynamisk dempning

Modal dempningskoeffisient,

1

se lign.

(9.63)

eller

(7.14)

C

Ekvivalent viskøs dempningskoeffisient

eq

C •

Elementdempningsmatrise

C

Konstruksjonens dempningsmatrise

C

dempningsmatrise svarende til gene­ raliserte koordinater

CI

inkrementell dempningsmatrise

cs

Strukturell dempningsmatrise

Q

Autokovariansfunksjon for X

CXY

Krysskovariansfunksjon for X og Y

CX

Kovariansmatrisen

CoYV(w) AI

Kospektraltetthet for X og Y

CohYW(æ) XY

Koherensspektrum for X og Y

D

Dynanu

D

Generell diagonalmatrise

e

Feilvektor

E

Elastisitetsmodul

E

Elastisitetsmatrise

EI

Bjelkeseivhet

f

Frekvens i Hz

f (x)

Funksjon av x

F

-

ft,fd FZ,Fd,FS

f orsterkningj

iktor, se lign.

(7.46)

Kraft

Treghetskraft, dempningskraft -

Vektor av treghetskrefter, dempningskrefter og elastiske krefter

XV

F

X

F(w)

-

Sannsynlighetsfordelingsfunksjon for X

-

Hydrodynamisk overføringsfunksjon for system med flere frihetsgrader

g

- Tyngdens akselerasjon

G

- Skjærmodul

G

- Ikkelineær vektorfunksjon

Gv(co)

- Spektralfordeling for X

Gy(co)

- Spektralfordelingsmatrise for

h

Skrittlengde i tid ved skrittvis integrasjon

-

h(t)

h(t)

X

- Impuls-responsfunksjon

Impuls-responsfunksjon for system med flere

-

frihetsgrader H

-

Matrise av forskyvningsmønstre,

se lign.

(6.8)

H(co)

- Frekvens-respons funksj onen

fL(lo)

- Den modale frekvens-respons f unks j on

H(æ)

- Frekvens-responsfunksjonen for system med flere frihetsgrader

Hz

- Hertz

i

- Imaginærenheten

I

- Treghetsmoment for bjelketverrsnitt

(sykler pr.

sekund) (i = /-T)

Impuls

I

-

Enhetsmatrise

k

-

Stivhetskoeffisient

k.

-

Modal stivhet

k

-

Elementstivhetsmatrise

K

-

Konstruksjonens stivhetsmatrise

K

-

Generalisert stivhetsmatrise

i

raliserte koordinater

Kt

-

Inkrementell stivhetsmatrise

svarende til gene­

XVI

£

-

E leme ntlengde

L

-

Lagranges funksjonal

L

-

Nedre-triangulær

matrise dannet ved

Cholesky-faktorisering (lign.

Gauss-faktorisering

m m

(lign.

(4.11))

eller

4.62))

- Masse (h)

- Hydrodynamisk masse

nr

- Modal masse

m

- Elementmassematrise

m(z,sT)

- Antall maksima større

enn z

mm(D

- Totalt antall maksima

pr. tidsenhet

M ,M ,M x y xy

- Momentkomnonenter

M

- Konstruksjonens massematrise

M

- Generalisert massematrise svarende

i intervallet AT

tilgene­

raliserte koordinater

n

- Antall frihetsgrader

n(^,AT)

- Antall opp- og nedkryssinger intervallet

n+(0,l)

avterskelen

AT

- Nullkryssingsfrekvensen

(antall oppkryssinger av null pr. N

Z i

-

tidsenhet)

Matrise eller vektor av interpolasjonsfunksjoner

( forrnfunks j oner)

p

~

Normalfordeling

-

Egenverdi i det kvadratiske egenverdiproblem

Fordelt belastning p( • )

-

Polynom

Py

-

Sannsynlighetstetthetsfunksjon

P

-

Elementlastvektor

Pr[•]

-

Sannsynlighet for at

q

-

Vektor av generalisertekoordinater

for X

XVII

Q

Lastfunksjon

X

Modal lastfunksjon

Quxy(w)

Kvadraturspektraltetthet for X og Y

Q

Konstruksjonens lastvektor

Qc

Vektor av konsentrerte knutepunktslaster

r

Forskyvning av et punkt i konstruksjonen

r

Konstruksjonens forskyvningsvektor

(frihetsgrader)

Rx

Autokorrelasjonsfunksjon for X

rxy

Krysskorrelasjonsfunksjon for X og Y

Rx

Korrelasjonsmatrisen for X

s

Overflateareal

Sv(to) X

Autospektraltetthet for X

S XY (co)

Kryss-spektraltetthet for X og Y

S

Vektor av spenningsresultanter i elementknutepunktene (to)

Spektraltetthetsmatrise for X

-4—

Tidsvariabel

T

Kinetisk energi

Tidsperiode Egenperiode

Td

Dempet egenperiode

T (x ,y)

Vektor av overflatekrefter pr.

T(co)

Faktorisert hydrodynamisk overføringsfunksjon

u

Forskyvning av massepunkt Forskyvning i x-retning

u

Forskyvningsfelt

u

Tøyningsenergi

U

Middelvindhastighet

V

Forskyvning i y-retning

arealenhet

XVIII

Elementets forskyvningsvektor

V

(frihetsgrader)

V

Volum

w

Forskyvning i z-retning

w

Vektor av hastigheter og forskyvninger, se lign.

(7.22)

w

Arbeid

wd

Energitap pga.

dempning

Romlig koordinat x(æ)

Forskyvning i frekvensrommet

x. (co) 1

Normalkoordinat i frekvensrommet

X

Stedsvektoren (romkoordinatene) Egenvekter for det spesielle egenverdiproblem

x(æ)

Forskyvningsvektor i frekvensrommet

X(t)

Stokastisk prosess

X

Vektor av volumkrefter Egenvektormatrise

X(t)

Stokastisk vektorprosess

X(co)

Lastvektor i frekvensrommet

y

Romlig koordinat

Udempet normalkoordinat

y

Vektor av udempede normalkoordinater

Y(t)

Stokastisk prosess

Y

Transformasjonsmatrise

z

Romlig koordinat

z. 1

Dempet normalkoordinat

z

Iterasjonsvektor Vektor av dempede normalkoordinater

Z z

A

(co)

Spektralprosessen til

X(t)

Matrise av iterasjonsvektorer

XIX

ZY (co)

Spektralprosessen til

a

Fasevinkel

ai ,«2

Dempningsfaktorer ved proporsjonal dempning

B

Frekvens forholdet

Y xy ’ Y yz ’ Y zx

Skjærtøyningskomponenter

6

Logaritmisk dekrement

Ar •

Forskyvningsinkrement

AT

Tidsintervall

A co

Frekvensintervall

A.

Korreksjon til forskyvningsinkrement

£

Pertubasjonsparameter

i

X(t)

(lign.

7.47)

Prosessens båndbredde Fasevinkel

£ x ,’ E y ,’ £ z

Tøyningskomponenter

£

Tøyningsvektor

n

Tapskoeffisienten Bølgeamplityden

e

Rotasjonsvinkel Fasevinkel

0

(co)

Fasespektrum

K

Bølgetallet,

K , < ,K x’ y’ xy

Krumning

X

Egenverdi

se lign.

(12.9)

DempningsforhoId

XR

Rayleigh-kvotienten

A

Diagonalmatrise av egenverdien

(spektralmatrisen)

U

Skiftverdi

Middelverdifunksjon for X

v

Poisson’s forhold (tverrkontraksjonstallet)

XX

5

Romlig avstand mellom to punkter

n

Potensiell energi

p

Masse pr.

p(-)

Spektralradius

px

Autokorrelasjonskoeffisientfunksjon for X

PXY

Krysskorrelasjonskoeffisientfunksjon for

volumenhet

X og Y a

x

,a

,o y’ z

Spenningskomponenter

ax

Standardavvik for X

°X

Variansen til X

T

Tidsvariabel Tidsforsinkelse

T

xy

ø

,T

yz

,T

zx

Skjærspenningskomponenter Vektor av formfunksjoner

Egenvekter $

Egenvektormatris en

0 o

l(x)

6

(x)

■

0

,

x < 0

2

,

X = o

0

,

x > 0

0

,

x < 0

00

,

x = 0

0

,

x > 0

Gammafunksj onen

Hearisides’

enhetsfunksjon

Dirac’s deltafunksjon

KAPITTEL

en INNLEDNING

1.1

GENERELLE BEMERKNINGER Siktemålet med dette kompendiet er å gi en videregående inn­

føring i teorien for analyse av svingninger i kompliserte kon­ struksjoner

induserte av irregulære tidsavhengige belastninger.

Det legges hovedvekt på datamaskinerienterte metoder.

Behovet

for slike analyser er blitt aktualisert gjennom de senere års utvikling innen konstruksjonsteknikken,

en utvikling som har

brakt med seg nye konstruksjonstyper og nye materialer og ikke minst nye dimensjoneringsprinsipper med hovedvekt på optimal konstruksjonssikkerhet

[1].

2

Det forutsettes i utgangspunktet at konstruksjonene kan modelleres matematisk ved hjelp av matrisemetoder eller element­ metoder som et deterministisk system karakterisert ved masse,

dempning og stivhet.

Elementmetodene ble opprinnelig utviklet

som et redskap for analyse av egensvingninger og "flutter"svingninger i flykonstruksjoner.

Senere har anvendelser på sta­

tiske problemer vært mest fremtredende

[3,4,5, 6,7].

I de se­

nere år er det imidlertid gjort store fremskritt når det gjelder effektive metoder og programsystemer for løsning av svingningsproblemer med disse metoder. Svingningsteorien er blitt utvidet betydelig i de senere

år ved innføringen av stokastiske metoder.

Behovet for slike

metoder oppsto ut fra den erkjennelse at visse lasttyper beskri­

ves mer hensiktsmessig med hjelp av stokastiske variable kastiske laster)

ke laster).

enn med deterministiske variable

At lasten er deterministisk,

entydig bestemt.

(sto­

(deterministis ­

innebærer at den er

Karakteristisk for deterministiske laster er

at det er mulig å forutsi lastens eksakte størrelse på et vilkår­

lig tidspunkt og sted.

At lasten er stokastisk,

innebærer at

den kun kan beskrives ved hjelp av statistiske gjennomsnitts ­

størrelser.

Karakteristisk for stokastiske laster er at det

ikke er mulig å forutsi lastens størrelse "eksakt".

På den annen

side er det, ved hjelp av teorien for stokastiske prosesser,

mulig å gi et utsagn om sannsynligheten for at lasten

ikke vil

overskride en gitt verdi. Responsen av deterministiske systemer påvirket av determinis­ tiske laster vil bli deterministisk.

I slike tilfeller er det

derfor mulig å forutsi responsen eksakt.

Motsatt vil responsen

av deterministiske systemer påvirket av stokastiske laster bli

stokastisk.

Da er det bare mulig å gi et statistisk utsagn om

responsens størrelse, for eksempel sannsynligheten for at respon­ sen ikke vil overskride en foreskrevet terskelverdi.

3

1.2

DEN DYNAMISKE LIKEVEKTSLIGNING Den dynamiske (tidsavhengige)

belastning adskiller seg fra

statisk belastning ved at den - gir tidsavhengig løsning - fremkaller treghetskrefter i konstruksjonen Den vesentlige forskjellen ligger i treghetskreftene,

STATISK

FIG. 1.1

se fig.1.1

DYNAMISK

Moment på grunn av statisk og dynamisk belastning

Vi betrakter et stivt legeme (massepunkt) med masse

en forskyvningsfrihetsgrad

u^.

m

og med

Er legemet i statisk likevekt

(massepunkt i ro), vil summen av de enkelte kraft- eller moment-

komponenter i retning

"i"

være lik null (1.1)

?Fk = 0 k 1

hvor

er kraft- eller momentkomponent i retning

"i".

Hvis nå massepunktet ikke er i likevekt, vil det akselerere i følge Mewtons lov: \Fk = m.u. fi ii k

(1.2)

VFk - m•u. = 0 f i ii k

(1.3)

eller

4

I følge d’Alemberts prinsipp kan nå lign.(1.3) betraktes som en

dynamisk likevektsligning idet treghetskraften

(14)

F iii . = - m.u.

k i.;

innføres i tillegg til de andre kraftkomponentene

F1/

på lege­

met dvs .

(1.5)

ZFp + F? = 0 k 1 1

Til å formulere denne likevektsligning kan vi nå som i det sta­

tiske tilfellet bruke det virtuelle arbeids prinsipp.

Eks.

1.1:

I figur 1.2 er vist et svingesystem med én frihetsgrad

FIG. 1.2 Svingesystem med en frihetsgrad

Massen er betegnet med

m,

i en fjær med fjærkonstant

tor er

c.

dens elastisitet er tenkt konsentrert k

og systemets viskøse dempningsfak-

Likevekten krever at

Q(t)

- mu - cu - ku = 0

eller mli + cu + ku = Q(t)

Denne ligning illustrerer at en deterministisk last en deterministisk respons

kastisk respons.

(1.6) Q

gir

u, mens en stokastisk last gir en sto­

Det siste fremgår klart ved å se på en partiku-

5 lærløsning til ligningen som kan skrives

j Q(

t)h(m,c,k,t ,T )dT

(1.7)

0

h

hvor

er en deterministisk systemfunksjon kjent under navnet

impuls-respons-funksjonen (se Kap.7.4). Denne ligning viser at responsen kan betraktes som en lineær kombinasjon av stokastiske

variabler

Q(tt), Q(t2),

...

idet integralet utvikles som en

sum.

▼ Eks.

Bjelke med tidsavhengig last

2

FIG. 1.3

En bjelke med stivhet

Bjelke med tidsavhengig last.

EI

og statisk last

p

har differensial-

ligningen 92

(EI

3x2

(1.8)

- p (x) 3x 2

når skjærdeformasjonen neglisjeres.

Dersom den ytre last er

p(x,t)

og treghetskreftene inklu­

deres etter d'Alemberts prinsipp, kan lasten skrives

p(x,t)

hvor

p

= p(x,t)

- p— 3t2

er masse for lengdeenhet.

(1.9)

Når dette innføres i

lign.(1.8) blir differensialligningen for bjelkesvingningen

6

— (EI^) + p^

3x2 a

(1.10)

± p(x,t)

3t2

3x2

Her er ikke rotasjonstreghet tatt i betraktning. Fra denne ligning ser vi at for en deterministisk last i

tid og rom

p(x,t)

vil responsen

y(x,t)

bli en deterministisk

funksjon i tid og rom,

som kan bestemmes eksakt hvis begynnelses-

betingelsene er kjent.

Tilsvarende gjelder at hvis lasten er en

stokastisk funksjon i tid og rom, vil responsen bli en stokastisk

funksjon i tid og rom, hvilket fremgår klart av løsningen som kan

skrives tl y(x,t) - jjp(C,T)h(EI,p, x , £ , t ,T )dCdT

(1.11)

00

Her er

h

en deterministisk systemfunksjon.

Det samme ville selvfølgelig være tilfelle hvis bjelken ble modellert som et diskret system med endelig antall frihets­

grader.

I de foregående eksempler er det tilsynelatende antatt at

stokastiske funksjoner * )

kan behandles på samme måte som deter­

ministiske funksjoner når det gjelder derivasjon og integrasjon. Det vil si, den samme dynamiske 1ikevektsligning og løsning er

brukt for stokastiske og deterministiske lastfunksjoner.

Det bør

likevel understrekes at eksistensen av differensialer og integra­ ler av stokastiske funksjoner nødvendigvis må følge stokastiske

kriterier som,

i følge sin natur,

er forskjellige fra tilsvaren­

de deterministiske kriterier (se Kap.10).

På den annen side er

det mulig ved hjelp av generaliserte funksjoner å anvende den

stokastiske formalisme for deterministiske funksjoner.

Det er

derfor mulig å se på de deterministiske funksjoner som et spesi­ altilfelle av de stokastiske.

Senere brukes betegnelsen stokastisk prosess i stedet for stokastisk funksjon.

7

1.3

DISKRETISERING. FRIHETSGRADER Bjelken i figur 1.3 er eksempel på et kontinuerlig problem

med uendelig antall frihetsgrader hvor en kan etablere differen­

sialligningen og løse denne.

For de fleste konstruksjoner er

imidlertid ikke denne fremgangsmåten mulig, og en må basere seg på en diskretisering av problemet ved å velge et begrenset an­

tall frihetsgrader

(koordinater) og finne en løsning knyttet til

disse. I en statisk rammeanalyse med matrisemetoden benytter en seg

av kjente løsninger for bjelken i fig.

1.3 og tenker seg konstruk­

sjonen sammensatt av et antall slike bjelker (elementer).

struksjonens frihetsgrader (koordinater) tasjoner i knutepunktene

Kon­

er forskyvninger og ro­

(bjelkeendepunktene).

Valget av frihets­

grader er bestemt ut fra belastningens form, konstruksjonens form,

dens kinematikk (forskyvelighet) og i hvilke punkter vi ønsker løsning. En tilsvarende diskretisering skjer ved elementmetoden.

Her

bygger en imidlertid på energibetraktning og interpolasjon av

forskyvningene innen et element,

(se Kap.

3.7).

I dynamikken må en ta hensyn til bevegelsen av massen.

An­

tall frihetsgrader må da velges slik at en tilstrekkelig nøyaktig

kan definere treghetskreftene.

Diskretiseringen av et dynamisk problem kan gjøres på to

forskjellige måter: 1.

Konsentrert masse

(diskrete frihetsgrader)

En antar at konstruksjonens masse er konsentrert i diskrete punkter.

Disse massepunktene antas å være forbundet av vektløse

elementer med fordelt elastisitet.

,---- Vektløs bjelke med fordelt elastisitet.

x------ Konsentrert masse

FIG. 1 .4

Konsentrering av masse

8

2.

Konstruksjonens deformasjonsforløp antas (generaliserte frihetsgrader)

Konstruksjonens forskyvning beskrives ved en antatt formfak-

tor

Dermed kan konstruksjonen reduseres til et system

4>(x).

q(t),

med en generalisert frihetsgrad

se fig.

1.5.

q(t)

er

her amplitydeverdien i toppunktet.

Dette er en fremgangsmåte som i prinsippet benyttes i RayleighRitz metoden og elementmetoden.

Ved denne fremgangsmåte er

selvsagt resultatet helt avhengig av hvor "god" den antatte ut-

bøyningsform er.

REFERANSER [1]

Holand,!.,

Kavlie,D., Moe,G.

Safety of Structures under Dynamic Loading,

Tapir, Trondheim, [2]

Clough,R.W.

editors

and Sigbjornsson,R.,

Vol.l,

1978.

and Penzien,J.:

Dynamics of Struetures

McGraw-Hill, New York, 1975.

9 [3]

Haslum,K.: Matrisestatikk og elementmetoder i analyse av

skipskonstruksjoner ,

[4]

Zienkiewicz,0.C.: McGraw-Hill,

[5]

Desai,C.S.

The Finite Element Method,

Element Method,

[6]

Brebbia,C.A.

Huebner,K.H.:

Srd edition

Introduction

to the Finzte

Van Nostrand Reinhold Company,

1972.

and Connor,J.J.:

Element Techniques,

[7]

1974.

London, 1977.

and Abel,J.F.:

New York,

Tapir', Trondheim,

Fundamentale of Finzte

Butterworths,

London,

1973.

The Finite Element Method for Engineers,

John Wiley & Son,

New York,

1975.

KAPITTEL

to MATRISEFORMULERING AV DYNAMISK LIKEVEKT ETTER FORSKYVNINGSMETODEN

2.1

INNLEDNING

For å legge grunnlaget for svingningsanalyse ved hjelp av

forskyvningsmetoden på matriseform,

skal en her kort rekapitu­

lere denne metoden for statisk analyse.

Deretter skal en

direkte ut fra d'Alemberts prinsipp formulere den dynamiske likevektsligning for en konstruksjon.

12

2.2

RESYME AV ELEMENTANALYSEN I FORSKYVNINGSMETODEN For et bjelke-element har en følgende sammenheng mellom kref­

ter og forskyvninger i knutepunktene når en bare tar hensyn til deformasjoner på grunn av moment,

FIG.

2.1

[1],[2].

Bjelkeelement med 6 frihetsgrader

eller s -

kv + P

S er en vektor bestående av snittkreftene i knutepunktene,

vektor av fastinnspenningskrefter i likevekt med ytre last,

P

k

er stivhetsmatrisen for et element og v en vektor av knutepunktsforskyvninger og rotasjoner.

Tar en i tillegg hensyn til skjærdeformasjoner, kan en skrive stivhetsmatrisen med 6 frihetsgrader som

13

EA £ 1 9FT

—-__ £3 (1 + ot)

Q

6EI

_

0

£2(1+a) °

“

- _L2EI

o

£3(l+a)

0

-

6EI

£2(l+a)

symmetrisk

(U+g)EI £(1+a) u

•6EI

¥

£2(l+a)

(2-a)EI

£(l+a)

12EI

0

£3(l+a)

6EI

Q

(f+a)EI

£2(l+a)

£(l+a)

der 12EI GA £2 o og G betegner skjærmodul og Aq skjærareal.

Stivhetsrelasjonen i lign.

(2.1)

er beskrevet i et lokalt

Koordinatsystem med en akse langs bjelkeaksen.

Når konstruk­

sjonens stivhetsrelasjon skal etableres på grunnlag av element-

stivhetsrelasjonene, må elementfrihetsgradene som knyttes sammen i et knutepunkt, være referert til samme koordinatsystem.

Det

er derfor hensiktsmessig å bruke et felles globalt system for

hele konstruksjonen og refere alle stivhetsrelasjonene til dette.

Fig.

2.2 viser et plant bjelkeelement med krefter og forskyv­

ninger referert til et lokalt system (x,y)

(x,y).

og et globalt system

Sammenhengen mellom forskyvningene og mellom kreftene i

de to systemene er gitt ved v = Tv

s

=

tts

(2.2a) (2.2b)

hvor transformasjonsmatrisen T kan skrives som (2.2c)

14

FIG.

2.2

Krefter og forskyvninger i lokalt og globalt system

der COSØ

sinØ

0

-s inØ

COSØ

0

0

0

(2.2d)

1

Stivhetsrelasjonen i det globale system blir dermed

S =

kv + P

k =

TkT

(2.3a)

hvor T-

(2.3b)

TP = T P

(2.3c)

og

15

2.3

RESYME AV SYSTEMANALYSEN I FORSK YVNINGSMETODEN En aktuell komplisert konstruksjon tenker en seg oppdelt i

flere enkle elementer,

for eksempel av typen beskrevet foran.

Elementene er knyttet sammen i konstruksjonens knutepunkter. Belastningen i form av ekvivalente knutepunktskrefter sam­

les i vektoren

Q

og de ukjente knutepunkts forskyvninger og r.

rotasjoner i vektoren

Q

svarer til

r

slik at

T Q r - arbeid Ved å innføre kompatibilitet mellom forskyvningene

v og r og

forlange likevekt i knutepunktene kan en etablere følgende sammen

heng

Q - Kr

hvor

K

(2.4)

er konstruksjonens stivhetsmatrise dannet av elementenes

stivhetsmatriser .

Formelt kan oppbyggingen av

K

K og Q

skrives

= la^k.a.

(2.5)

1

Q x

hvor

Q

=Q - YaTP. xc .11 i

(2.6)

er konsentrerte ytre krefter i knutepunktene.

Her er kompatibilitetsbetingelsene

v . - a.r i i

(2.7)

og likevektsbetingelsene i knutepunktene

PPi = Qc

(2.8)

benyttet, a^ kalles konnektivitetsmatrisen definert ved (2.7).

a•

for element

i

og er

blir i praksis ikke etablert som mat—

16 Den er mer en symbolsk skrivemåte.

rise.

I regnemaskinen bruk­

es en mer kompakt måte å beskrive kompatibilitetsbetingelsene og videre direkte innaddering av leddene fra

[1,2].

Randbetingelsen

og spalte i

inn i

k.

K,

se

innføres ved å fierne i’te linse

r-=0

K .

DYNAMISK LIKEVEKT VED KONSENTRERT MASSE

2.4

Når en konstruksjon utsettes for dynamisk belastning, vil følgende krefter virke på konstruksjonen:

treghetskrefter dempningskrefter

påtrykte tidsavhengige krefter

Hvis disse kreftene samles i lastvektoren

sjonen (2.4)

fortsatt gjelde

Q

vil stivhetsrela-

(d1Alemberts prinsipp).

Problemet

blir da a etablere den dynamiske lastvektoren Q. Ved en matrisemetode er det naturlig å bruke konsentrert

masse,

dvs.

massen knyttes til knutepunktene i konstruksjonen.

Beregning av treghetskreftene blir da meget enkel.

Den fordelte

translasjonsmasse for hvert element fordeles på elementets knute­ punkter ut fra likevektsbetraktning, se fig. 2. 3.

Knutepunktets

rotasjonsmasse kan imidlertid ikke bestemmes på samme enkle måte.

Som vi senere skal se,

neglisjeres den vanligvis.

vil den imidlertid bli tatt med.

vektløs bjelke med fordelt elastisitet

FIG.

2.3

Vektløs bjelke med konsentrerte masser.

I det følgende

17

Denne masse-diskretiseringen vil påvirke valget av knutepunkter

(frihetsgrader).

For bjelke-elementer ma en vanligvis velge

flere knutepunkter i en dynamisk enn i en statisk beregning om

modellen med konsentrerte treghetskrefter skal tilnærme den vir­

kelige konstruksjonen med tilstrekkelig nøyaktighet.

Videre må

en ved plassering av knutepunktene ta hensyn til forventet

svingeform.

Dynamisk: É______ ___________________________ *

1

p£

2

i/ei

fr 0.39 lfø~

p £ 2____________ 9 • IT)

I I

O

|/ EI f2= 2.db \l p£4

Eksakt:

Ett element :

v] = n“,

/~EI ' p£4

*P 4

fr°-56^ f2‘3-7' S

eksakt.

FIG.

2.4

Diskretisering av utkraget bjelke.

Av fig.2.4 ser vi at mens ett element gir eksakt løsning i det

statiske tilfelle, må en bruke flere elementer for å få en bruk­ bar løsning av egensvingeproblemet.

På samme måte som for treghetskreftene antas her dempningskreftene og de tidsavhengige lastene å virke direkte i knute­ punktene .

For å konkretisere kan vi ta utgangspunkt i den plane ramme-

konstruksjonen i fig.2.5

Figuren viser også elementinndelingen.

Modellen har 3 frihetsgrader pr. knutepunkt som vist i fig.2.6. Vi vil først betrakte ett av disse knutepunktene, knutepunkt i:

18

masse = M Rotasjonstreghet = I

FIG.

Diskretisert ramme

2.5

FIG. 2.6

Knutepunkt (i) med 3 frihetsgrader

Forskyvningene i dette knutepunktet samles i vektoren = {rx , r2 , r3 h

r. i

(2.9)

og kreftene i vektoren Qg =

Oi , Q2 ,

Q3 h

(2.10)

(i) angir knutepunktet.

hvor indeks

Vi benytter så d’Alemberts prinsipp og beskriver den totale

Q.

belastning

som summen av treghetskrefter, viskøse dempnings-

krefter og tidsavhenhig last

r} + Qi (t)

+ Q2H)

Q2

= “m^2 '

c 2ø

Q3

= -Ir3 -

C3 r3 + Q3 (t)

Ligningene (2.11) kan videre skrives på formen

(2.11)

19

Betegner vi diagonalmatrisene for treghet og dempning med hen­

holdsvis

C;, kan den totale belastning på knutepunktet

og

M.

skrives - C . r.

= -M. r.

Q.

i

ir

ii

+ Q.(t)

(2.13)

i

De enkelte knutepunkts vektorer

Q^.

og

r_.

kan videre settes

sammen til konstruksjonens last- og forskyvningsvektor

Q =

‘i’

r =

i

r r

i

2

ICY

____

•

■

E

r

1

Den totale belastning på konstruksjonen kan da skrives

Q = - Mr - Cr + Q(t)

hvor

M og

C

(2.14) har betydningen

i

M =

(2.14)

M

C =

i M

"c 1

(2.15)

c2

2

M

m_

cm

For et elastisk system har vi følgende sammenheng mellom krefter og forskyvninger (lign.2.14)

Q = Kr

Innsatt for

Q

fra lign.(2.14) får vi så

Mr + Cr + Kr = Q(t)

(2.16)

Dette blir dermed den dynamiske likevektsligning for systemet på matriseform.

20

2.5

FRI HARMONISK SVINGNING For en fri svingning uten dempning er

Q( t)

= 0

C = 0

og

og lign.(2.16) spesialiseres dermed til

Mr + Kr = 0

(2.17)

Ved løsning av (2.17) antar vi harmonisk svingning (en svingning hvor alle punkter svinger i fase med samme frekvens), det vil si

bevegelsen er gitt ved

r = øsinæt

Når (2.18)

innføres i (-Mco2

(2.18) (2.17),

+ K)øsinwt

får vi

- 0

eller (K-m2M)ø=0

(2.19) Dette problem er av en

Ligning (2.19) er et egenverdiproblem.

annen natur enn de ligningene en statisk analyse gir og krever

andre løsningsmetoder.

svingeform, og

æ

ø er egenvektoren som angir systemets

er egenverdien eller sirkelfrekvensen for den

fri, harmoniske svingning.

udempede,

matrise og

M

K

er systemets stivhets­

en diagonal massematrise.

Egenverdiproblemet er

nærmere diskutert i kap.4.

▼Eks.

2.1

Utkraget bjelke

Vi betrakter en kort, høy bjelke og deler denne i to ele­

menter.

Vi tar bare hensyn til skjærdeformasjon.

risen for hvert element er gitt ved (2.3). er vist i figuren på neste side.

Stivhetsmat-

Diskretisert masse

Merk at en ikke får bidrag

rra rotasjonsmasse ved ren skjærdeformasjon.

21

M2 = p£/2

M] = p£

fr^(y)

FIG.

2.7

Svingning

tr3(y)

av utkraget bjelke

Stivhetsmatrisen får da formen

GA K = —f

(2.20)

2y

Innføres randbetingelsen

r

=0 ,

får vi

(2.21)

r

Massematrisen for det svingende system blir

M

p£

0

0

p£/2

Egenverdiligningen ved harmonisk,

(2.22)

fri svingning blir da

0

(2.23)

22

hvor

- U2 ,

4)

}

Dette egenverdiproblem er så enkelt at løsning kan finnes ved å sette determinanten til koeffisientmatrisen lik null, dvs.

det

T 2g-w2

-B

= 0

"I

B-jco2

~B

hvor

GAq = —p £2

B

Den karakteristiske ligning blir

(2B-æ2)(B-iæ2) u?

- 4Bæ2

+

2B2

- B2

= 0

= 0

Den har røftene / 2B2' =

co2

=

w2

0 . 586 GA„ = -------- i

2B ±

(2 ± Æ)B

pr2

1

3,U14GA

o

Den tilsvarende frekvens blir f.

1

f2

x -A 2tt

= 0.122 /GAg/p^2"1

eksaRt

= 0.294 / GAg/p£2' (f2

eksakt = 0 . 376 / GAg/p£2 )'

(Kfr.

= 0.125 /GAg/pÅ2)'

fig.2.7 for betydning av £)

23

2.2

▼ Eks.

Utkraget bjelke

FIG.

2.8

Svingning av utkraget bjelke

Figur 2.8 viser en forholdsvis slank bjelke hvor det bare er nød­

vendig å ta hensyn til deformasjon på grunn av moment. formasjoner og rotasjonstreghetskrefter neglisjeres.

Skjærde-

Figuren

viser bjelken, den diskretiserte massefordeling og de 6

grader som må innføres når bjelken deles i to elementer.

frihets­ Stiv­

hetsmatrise og forskyvningsvektor får da følgende form:

K

EA 2 0

0

6EI 22

EA 2 0

0

I 1

0

1

12ET

23 0

0

0

12EI — 23

GEI — 22

|

6EI

2EI

|

22

*

0

n o

1

0

1

0

8EI -----1

1 1 1

ri o

, 0

I i

EA -s—

—

12EI

2UEI

23

23

_ lil

l2

0

1 ------------- r--------

1 1

EA - -S—

£

—--------- 4-------0

0

0

12EI _ £EI

23

22

6EI

2EI

2

22

0

0

1 0

12EI 23 6EI 1 22

6EI -----9 Z2

|

2EI

1 | '

«■

1

l

n u n

12EI

6EI

L3

22

6EI

4EI

22

2

(2.24)

24

Randbetingelsen for fast innspenning i knutepunkt 1 innføres ved

å sette

rn = r12 = r13

= 0.

Videre antas vertikal svingning,

Dermed kan også

aksialdeformasjon.

Altsa kan 1. ,

2.,

3.,

4.

og 7 .

det vi si vi har ingen r21 og r31

settes lik null.

linje og spalte i K fj ernes, og

vi får

(2.25)

Innføring av disse restriksjonene har redusert antall frihets­

grader til 4.

Siden rotasjons-treghetskrefter er neglisjert, har den til­ svarende massematrisen formen

M

(2.26)

Ved fri harmonisk svingning får vi egenverdiligningen

2EI

l3

12

0

-6

-31

412

31

-6

31

-31

l2

0

- æ2

p1

0

0

0

l2

0

0

0

6

31

0

0

31

2 SL 2

0

0

0 pl 2 0

- 0

(2.27) 0 0

Ligningen over kan omformes på følgende form

25

2EI

ø-co 2

p£

0

0

0

3£

0

p£ 2

0

0

U£2

e

0

0

0

0

£2

2£2

0

0

0

0

12

-6

0

-3£

-6

6

3£

0

3£

-3£

3£

£3

ø = 0

(2.28)

hvor

(2.29)

De to første ligningene kan skrives som

2EI

0

-3£

ø2

-co2

p£ 0

= o

£3 3£

3£

0

(2.30)

Av de to siste ligningene får en

(2.31)

(2.32)

Setter vi inn uttrykket (2.32) verdiproblemet skrives

for

i lign.(2.30) kan egen-

26

(2.33)

Reduksjon av problemet ved neglisjering av rotasjonstregheten

foregår slik en kjenner det fra eliminasjon av indre frihets­ Dette vil bli behandlet nærmere

grader ved substrukturteknikk. i kap.6. Innføres

27pP to —-— 12EI

a

blir egenverdiproblemet

(2.34)

i

Når determinanten til matrisen settes lik null,

fremkommer den

karakteristiske ligning

a2

- 10a + y ~ 0

a

-

med røfter

1

0.36

Frekvensen for 1.

to i

og

=

a

2

=

svingeform

9.64

grunnfrekvensen) blir

0.737 / EI/pC

to. ,—------f = ^ = 0.125/H73F (fi eksakt = °'llt0 >

Frekvensen for 2.svingeform blir

oo2 = 4.06

VEI/pC'

27

og

^2 f2 " 2tt

0.645 /El/pP'

(f = 0.877 /EI/pp') 2 eksakt

Legg merke til den forskjell en har mellom stivhetsmatrisene (2.25) og (2.33).

Elementene i stivhetsmatrisen kan tolkes som

krefter tilsvarende enhets forskyvninger.

♦

12EI Ligning (2.25):

Setter r32 =1 og alle (3) andre frihetsgrader lik

null.

Ligning (2.33):

Setter r32 =1 og al le (1 ) andre frihetsgrader lik null.

FIG.

2.9

DeformasjonstiIstand og krafttilstand

Med to frihetsgrader finner en bare en approksimasjon av de to første svingeformene og deres frekvenser. for laveste frekvens (her 10% for 1. og ca.

kvens).

Feilen vil være minst

25% for 2.

egenfre­

En forbedring av resultatene ville oppnås ved å dele

bjelken i flere elementer,

da usikkerheten i den antatte masse-

diskretisering dermed ville reduseres.

Eventuelt kunne en ut

fra erfaring endre massefordelingen mellom knutepunkt men det er ingen generelt brukbar måte.

2 og 3,

En bedre fordeling av

massen får en ved bruk av konsistent masse, se kap.5 . Når tallregninger viser at rotasjonstregheten

(2.11) er av liten betydning sammenlignet med meget gode resultater ved å sette

M,

I

i lign.

kan en oppnå

28

1 = 0

Ved dette kan antall ukjente i egenverdiproblemet seres med 1/3.

(2.19) redu­

Dersom en ønsker økt beregningsnøyaktighet, er

det bedre beregningsøkonomi i å øke antall knutepunkter i det redu­

serte problem enn i å inkludere rotasjonstreghet.

Massematrisen blir drøftet nærmere i kap.5.

REFERANSER [1]

Haslum,K. :

Matrises tatdkk og elementmetoder d analyse

av skdpskonstruksg oner, Tapir, Trondheim, [2]

1974.

Bergan,P.G., Horrigmoe,G. og Syvertsen,T.G.:

Matrdsestatdkk

Tapir, Trondheim, [3]

Moan,T.:

1977.

Svdngndngsanalyse av skdpskonstruksgoner,

Institutt for skipskonstruksjoner, NTH,

1973.

KAPITTEL

tre ENERGI METODE R FOR DYNAMISKE PROBLEM

3.1

INNLEDNING Vi skal i dette avsnitt se hvordan vi kan formulere dyna­

misk likevekt på matriseform ved hjelp av virtuelt arbeid og energimetoder (Hamiltons prinsipp,

Rayleigh-Ritz'

metode).

bruk av generaliserte koordinater (interpolasjonspolynomer)

dette lede til ikke-diagonale massematriser (fordelt masse).

Ved vil

30

3.2

VIRTUELT ARBEID.

KINETISK ENERGI

Virtuelle forskyvningers prinsipp sier at det totale virtuelle arbeid utført av et

system i

likevekt når det utsettes for

virtuelle kompatible forskyvninger,

er

lik nul l. For et statisk system utsatt for en virtuell forskyvningstilstand

6u

som tilfredsstiller konstruksjonens geometriske rand­

betingelse, har en altså

ytre virtuelt arbeid f 6uTXdV + JéuTTds+ 3rTQ

So

V

|C

I

indre virt.arb.

= J6 e^adV

(3.1)

V

kinematisk kompatible

statisk kompatible

Her er

X =

[X

T =

[Tx T

X

x

y

X

z

]

T

(3.2)

volumkrefter, y

T ]T z

(3.3)

overflatekrefter, u =

JT [u, v, w i

(3.4)

forskyvnings vektoren, E =

r J [eseYYYJ x y z xy yz zx

r3 s1 < g. o j

tøyningsvektoren og

a=[aoatTT] xyzxyyzzx

spenningsvektoren.

T

betegner volumet og

V

(o c> v J° 1 SQ

er den del av

overflaten hvor fordelte overflatekrefter virker.

tuelle tøyninger og

6r

"(x) )2dx co2

(3.60)

= j-----------------j p ( X) (ø(x) ) 2dx

0 Tilsvarende kan vi etablere Rayleigh-kvotienten for andre pro­

blemer som skiver, plater etc. I Rayleighs metode antar vi tilnærmet egensvingningens form

ø(x) og bruker Rayleigh-kvotienten

nærmet verdi for egenfrekvensen.

(3.57) til å finne en til­ De eneste krav til ø(x) er at

formen tilfredsstiller de geometriske randbetingelser.

Hvor

nøyaktig egenfrekvensen blir bestemt, avhenger imidlertid av

hvor nær den virkelige egensvingeform vår antatte ø(x) er. Utfra Rayleighs prinsipp har vi at en korrekt ø(x) til minimumsverdi for Rayleigh-kvotienten.

svarer

Altså vil frekvensene

beregnet ved Rayleighs metode være større eller lik egenfrekvensen. Dette kan vi se intuitivt idet enhver annen form enn den riktige

svarer til at vi innfører ytre restriksjoner på svingeformen som gjør systemet stivere og dermed fører til en øket frekvens.

En annen viktig konsekvens av Rayleighs prinsipp er at en feil i egenvektoren

kvotienten, og dermed

av første orden vil gi en feil i Rayleigh-

co2,

av andre orden.

Derfor kan vi få gode estimater for egenverdien selv onq den antatte egensvingeform er beheftet med betydelige feil.

Rayleigh-kvotienten blir drøftet videre i kap.

4.5.

45

Eks.

3.5

Fritt opplagt bjelke Antar svingeformen

cf) (x)

P , EI

=

sm-j-

Formen tilfredsstiller bade geometriske og naturlige randbetingelser .

FIG.

3.6

Innsatt gir dette = jq2EI

U maks V

1

- [ sin2 (^)d>

l"

sin2(^)dx = ^£q2 pw2

= Jq2pw2

"maks

0

1 1711 Att ' = u — q EI £3

0

U maks !

w2

T1 0

EI - TT --p£4

egenfrekvens siden sinuskurven er den rik

Dette er den eksakte

tige egensvingeform . x x Alternativt vil vi anta andregradsfunksjonen ø = 4^-(l-j).

Dette er en tillatt funksjon siden de geometriske randbetingelser er oppfyllt.

De naturlige randbetingelser (null krumning på

endene) er imidlertid ikke oppfyllt.

til konstant krumning (moment) svarer til virkeligheten. £ = 2 G 2 EI j ( “ ——•)

TJ

maks

£ = jq2pw2jl6 T maks -i

cj

2 _

0 u

2dx = 32q

2EI £3

(l-j)2dx = ^q2p£a)2 £2

, nid.k s _ j_ 2 Q

EI p£lt

To ▲ Vi får en frekvens

langs bjelken, hvilket ikke

Innsatt gir dette

£2

0

Funksjonen svarer nemlig

cu

som er 11% for høy.

46

For en konstruksjon som er diskretisert f.eks. med matrise-

metoden eller elementmetoden,

U =

skrives energiuttrykkene

^rTKr

,T . T = 5r Mr

(3.61)

Beskriver vi den diskrete svingeformen med vektoren

ø

dvs.

r = (jjsinæt

får vi at Umaks =

T

T

. = co2Jø Mø maks T T

Det gir Rayleigh-kvotienten æ2

_ øTKø (3.62)

ø1 Mø

3.6

RAYLEIGH-RITZ-METODEN.

ELEMENTFORMULERING

Rayleigh-Ritz-metoden er en utvidelse av Rayleighs metode.

Vi tilnærmer her den riktige løsning med en lineær kombinasjon

av passe valgte formfunks joner

u(x,t)

=

n £ø^(x)q^(t) _L

hvor de ukjente koeffisientene

ø

(x)

samlet i vektoren

„ = $ q

q^.

(3.63)

i vektoren

som generaliserte tidsavhengige forskyvninger.

q

ø^

lineært uavhengige og tilfredsstille de geometriske

randbetingelser.

ø

kan betraktes

må være' (vesentlige)

(De geometriske randbetingelser for bjelke/

plateproblemet er randbetingelser for forskyvning w og helning -|^ , hvor n er retning normalt på randen, mens de geometriske randbetingelser for skiveproblemet bare gjelder forskyvningen

og

v).

u

47 Vi vil her demonstrere metoden for et bjelkeproblem, men

metodikken er også den samme for andre problem som f.eks.

skiver,

Vi vil også vise hvordan metoden kan brukes til å

plater etc.

etablere stivhets- og massematrisen for et bjelkeelement.

La oss betrakte en fritt opplagt bjelke med jevnt fordelt masse.

Bjelken svinger under stadig skifte mellom maksimal indre

Vi søker egenfrekvensene for

tøyningsenergi og kinetisk energi. denne konstruksjonen.

4

w I *- x

P EI

FIG.

3.7

Fritt opplagt bfelke

Da transversalsvingninger og aksialsvingninger er ukoblet, kan de

Interessen konsentreres her om transversal-

betraktes uavhengige.

Rotasjonstreghet og skjærtøyninger neglisjeres.

svingning .

Antar vi så en forskyvningsløsning på formen (3.63), kan

uttrykkene for kinetisk energi og tøyningsenergi skrives:

T =

£ £ £ p(w(x))2dx = dp(^iqi)2dx = J pqTøøTqdx

0

0

0

1

(3.64)

£

•T r t • iq ( pøørdx)q

sOq

0 £

£

l EI(x)(w")2dx

i EI (x) ( Zø-'qi) 2 dx 0

0 £ JqT( EI(x)(j)

1

(3.65)

xx

dx)q n

T

iq Kq

0 M er en generalisert massematrise gitt ved

48 1 | p 4> " d x =

M

(3.66)

0

P^.dx 0

K

er en generalisert stivhetsmatrise gitt ved

K

SL |EI(xH J } AA 0

=

>

(3.67)

SL [hl ( x ) f'.'ø'.'dx

K..=

u

Son vanlig antas at bjelken utfører harmoniske svingninger,

dvs.

q - q o sincut

(3.68)

= qo ujcoswt

q

Innsatt i energiuttrykkene

(3.64), ,(3.65) gir det følgende uttrykk

for maksimal kinetisk og potensiell energi

TmakS=

(3.69)

"maks- 2 S

Ut fra prinsippet om konservering av energi, har vi for fri svingning betingelsen

T

, = U , maks maks

(370) k 0 • 'u 7

som gir Rayleigh-kvotienten 3(IW

4>4(x) 0

- for vilkårlig

X.

Z

Lar vi nå

være en tilnærmelse til egenvektoren

setter denne inn i lign.(4.35)

X

og

får en Rayleigh-kvotienten

zTAz

(4.36)

R

z"z

For det generelle egenverdiproblem (4 . 3 ) kan Rayleighkvoti-

enten skrives (V = X

= tfa R z‘Mz

(4.37)

Vi kjenner denne igjen fra uttrykket for egenfrekvensen i Ray­ leighs metode, uavhengige,

kan

se lign.(3.62). z

Z = c.X. 11

Da egenvektorene er lineært

tenkes uttrykt ved egenvektorene

+ c,x, 22

n ...CX = V c.x. n n .L, 1 1 1=1

x.

(4.38)

82

og siden

Ax .

X .x . i

i

blir n n Az - V c.Ax. = ? c . X.x. • -I 1 1 • . 111 1=1 1=1

Innsatt i Rayleigh-kvotienten gir dette når en innfører ortogo-

(4.39)

Fra lign.(4.39)

får vi videre at

n

n (4.40)

Dersom

X^

er den minste egenverdien,

ser vi at uttrykket

blir positivt, det vil si at Rayleigh-kvotienten, kårlig vektor overvurderer den minste

egenverdien.

X1

er minste egenverdien.

er lik egenvektoren

for en vil­

Altså er

(4.41)

R hvor

(4.40)

xx

Likhetstegnet gjelder når

(ci = 0 for i * 1).

z

Rayleighkvotienten

har dermed minimum for den fundamentale svingeform (egenvektoren

som tilsvarer minste egenverdi). Tilsvarende ser en av lign.(4.40)

største

at

Xp

undervurderer den

egenverdien.

er en god approksimasjon til x? slik k at,c_j_ er av størrelsesorden s for i t k hvor £ < < 1, og ck er av størrelsesorden 1.

Vi antar nå at

z

Høyresiden i uttrykket

siden kvotienten til c2 k

(4.40) vil da være av størrelsesorden

er lik null.

Det betyr at Rayleigh-

83

kvotientens awzk fra egenverdien er av andre orden når feilen i egenvektoren er av første orden.

stasjonær i nærheten av sn

Altså er Rayleigh-kvotienten

egenvektor,

hvilket er et uttrykk for

Rayleighs prinsipp.

4.6

EGENVERDIALGORITMER

4.6.1

Vektoriterasjon Vektoriterasjonsmetodene egner seg svært godt når en ønsker

å finne et begrenset antall egenverdier for store egenverdipro­ blemer som har båndstruktur .

Karakteristisk for disse metodene er

at egenverdier og egenvektorer finnes simultant.

Direkte vektoriterasjon For det spesielle egenverdiproblem kan direkte vektoritera­ sjon uttrykkes som

Z,

der

k

vektor

= Az,

n

k = 1,2 , . . .

er iterasjonsindeks.

og finner

ZQ

Vi starter med en vilkårlig start-

ved multiplikasjon med

Z1

Under visse forutsetninger vil

x,

(4.42)

A

osv.

konvergere mot egenvektoren

Z,

som tilsvarer høyeste egenverdi når

k

vokser.

Dette kan

vises på følgende måte: En nummererer alle egenverdiene etter voksende tallverdi

lai s in i i ••• i vU < lyi Den vilkårlige valgte startverdi

egenvektorene etter lign.

zn 0

= C. X. 11

ZQ

kan tenkes uttrykt ved

(4.38)

+ C„ X„ . . . 22

C X n n

Etter første iterasjonsskritt har en da

z;

’ Az»

= Vix>

+

c X x n n

84

og etter

k

skritt

Zk = Azk-1

= Akz0

- cxÅkxx

+

...

c Åkx n n n

eller ,kr , (—T----- )x , + zk = X n {c n x n + c n-1 X n-1 n

. . .

k C. (7—)X, } n

(4.44)

Dersom nå 1Å 1 1 n1

°g

xn

>

| Å J 1 n-11

inneholdes

i

med en koefficient

zQ

forskjellig

fra null, vil første ledd i høyre side av (4.44) dominere, og zp

vil nærme seg

x

.

Konvergensen blir bedre jo større for­

skjellen er pa tallverdien av

og de øvrige egenverdiene.

A,

For at ikke tallverdien av leddene i det være nødvendig a skalere

Zo

Nar

neppe hende,

skal bli for stor

(f.eks.

x^

dersom egenvektoren

velges symmetrisk).

Zo

fast startvektor zQ .

zQ

X^.

x

n som

ZQ

Ved automatisk beregning med en

kan en komme ut for tilfellet at

Avrundingsfeilene

ikke n i beregningen vil likevel være

tilstrekkelig til å bringe inn komponenter av

størres.

er anti-

Ved håndregning vil dette

ut fra problemets fysiske betydning og kan velge en

inneholdes i

i lign.

da en som regel har en mening om formen på

har en form som ligner på

vil

under iterasjonen.

velges vilkårlig, kan det tenkes at

(4,4^ kan bli null metrisk og

z,

z,

x

n Men en kan få en meget langsom konvergens

x

som raskt for-

i de første

iterasjonssykler i slike tilfeller. Egenverdien

kan bestemmes av ligningen

(4.45)

eller med bedre nøyaktighet ved Rayleigh-kvotienten

(4.46)

Z, z

Andre egenverdier kan finnes ved:[l]

85 1.

Ortogonalisering

2 .

Deflasjon

3 .

Innføring av skift

Ortogonalisering medfører at man sørger for at iterasjons-

vektoren er ortogonal med hensyn på alle tidligere funne

Denne ortogonaliseringen,

vektorer.

egen-

som helst bør utføres for

hver iterasjonssykel, er meget sensitiv overfor avrundingsfeil.

Modifikasjon av A-matrisen ved deflasjon er også en ustabil meto­ Bruk av såkalte skift er derimot en mer stabil

de numerisk sett.

formulering, men den byr på en del programmeringstekniske vanske­ Denne siste metoden vil bli diskutert i neste avsnitt.

ligheter.

Invers iterasjon Ved beregning av egenfrekvenser er en spesielt interessert i egenverdi.

X

A

En kan da danne det inverse egenverdipro-

= Yx

(4.47)

Å

og bruke direkte iterasjon på dette:

zk = A

Største egenverdi til til A.

Åz. k k-1 k En beregner ny vektor

(4.49).

Z

ved å løse ligningssystemet

generelle egenverdiproblem ( 4.3 )

2

Mz.

, => oj2Mz, k-1 k

ai z. - z , k k-1

skrives

(4.49)

Dette kalles invers iterasjon.

KZk

(4.48)

Tilsvarende kan det

løses ved

(4.50)

(4.51)

86

K

Ligningsløsningen skjer ved vanlig tre-

må være inverterbar.

kantoppspaltning, f.eks.

etter Cholesky's metode.

K = LLT1

hvor

(4.52)

er en nedre triangulær matrise.

L

Løsningen skjer da

ved løsning av triangulære ligningssystem i to trinn: Forover substitusjon

L* k

= Mzk-1

yk

= L"1Mzk_1

som gir

(4.53)

og bakover substitusjon

LTz1 k

= y Jk

som gir zk

Da

K

=

(L

)

y.

=

K iMz

(4.54)

er konstant under iterasjonen utføres oppspaltingen

en gang.

(4.52)

For hvert iterasjonsskritt utføres dermed bare forover

og bakover substitusjonen (4.53) og (4.54) på grunn av

som blir meget enkel

L's spesielle form.

Iterasjonen konvergerer mot laveste egenverdi.

Denne be­

stemmes best ved Rayleigh-kvotienten som nå blir

(4 .55a)

og (4.55b)

for henholdsvis lign.(4.49) og (4.50).

87 Skalering må utføres under iterasjonen for å unngå "overflow".

I praksis skalerer en iterasionsvektoren

hver iterasjon, vanligvis vi normaliserer

Z,

slik at normen blir lik 1.

iterasjonsvektoren .

betyr det at største leddet i

z

, J_

,

foran

Vi sier at

Ved bruk av maksimumsnorm

er lik 1 og for euklidsk

norm at

I analyse av svingninger normaliseres ofte iterasjonsvektoren (egenvektoren)

slik at

Z? Mz k-1 k-1

= 1

Konvergensen blir sen når to egenverdier ligger svært nær hverandre.

For å bedre på konvergenshastigheten og finne mer

enn én egenverdi, brukes invers iterasjon med skzft.

vi skiftverdien

p

Innfører

og skriver egenverdiproblemet som

((K - pM) - XM)ø = 0

(4.56)

ser vi at egenverdiene blir

mens egenvektorene blir de samme som for (K - Å M) 0

(svingningen vil

Den kalles derfor transzent-

løsnzngen.

Partikulærløsningen

!y

varer imidlertid så lenge lasten

Det er derfor partikulærløs­ varer ("steady state"-løsningen) ningen som i de fleste tilfeller er av interesse. Vi vil se på

to tilfeller:

174 a) Harmonisk belastning

Dersom den aktuelle belastning er harmonisk

Q. i

= Q

(7.42)

. sinæt 01

vil partikulærløsningen være gitt ved y . = Y.sin(cot - 0-) 7pi i i

(7.43)

og fasevinkelen

hvor amplituden

inn i differensialligningen.

0^

kan finnes ved å sette

Det gir

Y. =-- D. 1-21 m•æ• i i °S

(7.44)

2Å.Ø. 0. - arctg i—1 1-0?

(7.45)

i

hvor

er den dynamiske forsterkningsfaktor gitt ved

D.

D.

1 = -----------------------(d-ø?)2 + (2iiei)2)^

(7.46)

og (7.47)

b ) Vilkårlig belastning For en vilkårlig belastning kan partikulærløsningen finnes

ved frekvens-respoijsmetoden eller ved impulsresponsmetoden

(Duhamel-integralet).

Disse metodene er behandlet i de etter-

føfgende kapitler.

Numerisk løsning Vi kan etablere en numerisk løsning for vilkårlig belast­ ning ved skrittvis integrasjon.

i kap.7.$.

Forskjellige metoder er behandlet

175

7.3

FREKVENS-RESPONSMETODEN

7.3.1

System med en frihetsgrad Vi betrakter igjen løsningen for en harmonisk belastning,

Nå vil vi imidlertid representere den ved en kompleks vektor

e

icot

, , . • , = cosæt + isinwt

(7.48)

Ligningen er vist grafisk i fig. 7.4. eiæ^ kan betraktes

som en kompleks vektor som

roterer i det komplekse plan med frekvens

æ.

coscot er projeksjonen av vektoren på den reelle akse og sincot

projeksjonen på den imaginære.

FIG.

7.4

Vi ■ skriver lasten

Q = 'X e1Wt( = X coscot)

(7.49)

hvor det er underforstått at vi mener realdelen. et komplekst tall og beskriver

lasten

X

er generelt

i frekvensrommet.

Innsatt

i bevegelsesligningen får vi

mu + cu + ku = X

(7.50)

Partikulærløsningen vil som vi så i lign.(7.43), også være harmonisk

u -

xe

ICO t

rj f

\

=H(æ)Xe

ICO t

hvor igjen realdelen av xe1^ er underforstått. lign.(7.50)

får vi

(

r q \

(7.51)

Innsatt i

176

FIG.

7.5

Realdelen av H (w) som funksjon

av frekvensforholdet.

177

j 1 = 0.05 1=0.10 1=0.15

1=0.25

1 = 0.50 1= 1 .00

17

o 2

1

0

3 = w/w0

FIG.

H (co)

-

(-mco2

7.6

Imaginærdelen av H(co) som funksjon av frekvensforholdet

+ icoc + k ) *1

= — (co? -co2 + i2 Åcoco0 )-1 m 0 1_______ — k(l - B2 + i2ÅB) hvor

w

(7.52)

er frekvensforholdet

er egenfrekvensen og B

H(co) er den komplekse frekvens-respons funksjonen.

co/coQ •

Fig.7.5 og

7.6 viser henholdsvis realdelen og imaginærdelen av H(co) relativt

til statisk forskyvning H(0).

Realdelen uttrykker den kompo­

nent av responsen som er i fase med eksitasjonen og imaginær­

delen den komponenten som er

tt/2

ut av fase.

Vi ser at ved

resonans (B - 1) skifter realdelen fortegn og kommer i motfase til eksitasjonen for

B > 1-

Videre ser vi at ved resonans er

det imaginærdelen som er dominerende. Absoluttverdien av H(co) er gitt ved

| H (co) |

= --------------------- — k((1-B2 )2 + (2XB )2 ) 2

(7.53)

178

og kalles ofte den mekaniske overføringsfunksjon.

Den dynamiske

forsterknings faktoren er definert som forholdet mellom dynamisk

og statisk forskyvning: (u

) , max dyn (u)stat

| H(co) | H(0 )

altså samme uttrykk som i

(7.54)

((1~82)2 +

(2Å8)2K

(7.46).

Skriver vi det komplekse tallet H(co) på polar form,

får

vi

H(w)

=

| H (w ) j e

=

|H(co)|(cosØ - isinØ)

(7.55)

Det gir 9

1

- arctg

Re[H(co)]

(7.56)

= arctg -^-1 1-82

Løsningen kan dermed skrives u - X Re [ | H (co) | e

'

e

]

= X|H(co)|cos(cot - 0)

Forsterkningsfaktoren og fasevinkelen er vist i fig. Vi ser at

* æ D-

ved resonans når

Å->0.

7.7 og 7.8.

Videre ser vi at demp­

ningen foruten å redusere arnplitudetoppen,

80

8 > 1

:

0

7T

når

A^O

A>0

har vi diskontinuitet i 0

Ut fra figurene 7 . 5 og 7 . 8 deler vi gjerne svingeproblemet i 3 yttertilfeller. 8 > 1

Massekontrollert svingning

svingning (resonans)

179

FIG.

FIG.

7.7

7.8

Dynamisk lastfaktor som funksjon av frekvensforholdet.

Fasevinklen som funksjon av frekvensforholdet.

180

Førsteordensproblemet

(7.32)

som fremkom ved bruk av dem­

pede normalkoordinater, kan med harmonisk last skrives

az + bz = f0elæt

Her kan både a, b,

(7>

og z være komplekse.

f0

kan vi som i lign.(7.51)

Partikulærløsningen

skrive

z = f0H(æ)elæt

(7.

Innsatt gir det H (co )

hvor

= --- i---

= ----- 1----

icoa + b

a(ico - p)

(7 (

er den komplekse egenverdien gitt ved (4.94).

p

En vilkårlig periodisk belastning med periode T=— , . co skrives som en sum av harmoniske laster i en Fourierrekke

kan

OO

Q(t)

= l X elkæt k=-» k

,7 (7

hvor Fourierkoeffisientene

XR

er gitf ved

T/2

^k

- ijjQ(t)e

(7

dt

-T/2

Responsen for hver harmonisk komponent

X e^kæt

er ut fra

lign.(7.51) gitt ved

x. e k

ikcot

H(kco)X, elkæt k

(7.63)

Løsningen får vi så ved å summere bidragene fra alle frekvensene OO

,

oo

u = l x.e1 Wt = y H(kto)X, elkæt k L k k = -°° k = -o° Tilsvarende kan vi for en uperiodisk funksjon (T->°°) benytte

Fourier-trans formas j on

181

00

X (co)

[ Q(t)e

=

Z7T J — 00

(7.65) X(co)elætdco

Q(t)

X(æ) kan betraktes som en transformasjon av lasten over i fre-

Responsen på belastningen

kvensrommet.

X(oo)eiæt

er ut fra

lign.(7.51) gitt ved Z

x

TT Z

1 CO t

X XZ Z

X

1 CO t

= H (co) X (co) e

x ( co ) e

(7.66)

Løsningen i frekvensrommet kan dermed skrives

x(æ)

= H(oj)X (æ)

(7.67)

x(æ) er generelt kompleks og uttrykker både amplitydestørrelse og fasevinkel. Løsningen som funksjon av tiden får vi så ved å superponere bidraget fra alle frekvensene 00

u(t)

x(w)e^ætduo

=

(7.68)

— co

Ligning (7.68)

uttrykker Fouriertransformasjonen av x(co). Til­

svarende lign.(7.65) har vi at oo

X ( CO )

1 2 7T

/, x -imf,, u(t)e dt — 00

( 7.6’9 )

182

7.3.2

Den direkte frekvens-responsmetode for systemer med flere frihetsgrader En vilkårlig komponent av en harmonisk belastning kan

skrives

Qjlt) = Qo.ei(“t+af

= Q

(7.70)

.(cosa. + isina . ) e °3 3 3

hvor

% er amplitydeverdien for j’te komponent, 10

er lastfrekvensen og

a. 3

er fasevinkelen for komponent j.

Innføres den komplekse lastvektoren

Xj

= Qo_. (cosoh + isinot^ )

med komponenter

X

+ iXj.

= XR.

(7.71)

kan den dynamiske likevektsligning med viskøs dempning skrives

(7.72)

Mr + Cr + Kr = Xe^æt

Denne ligning har en partikulærløsning ("steady-state"-løsning)

r = Xe1Ut

(7.73)

hvor den komplekse responsvektoren

x

er bestemt av lignings­

systemet [K - co2M + icoC]x = X

(7.74)

Bx = X

(7.75)

eller

B


2 gir positiv kunstig dempning (amplituden avtar med voksende k)

Y < 5 gir negativ-kunstig dempning (amplituden vokser med voksende k)

Y = 2 gir ingen kunstig dempning

Derfor velges nesten alltid

Y = g.

Newmark-familien inkluderer følgende metoder:

3=0

:

Andre sentraldifferanse

h

cr

= 0.318T

205 3 = -R- : 12

Fox-Goodwins metode

3 - -r 6

:

Lineær akselerasjon J

3 = m

:

Konstant gjennomsnittlig akselerasjon

[17]

h

h

cr cr

= 0.389T =

0.551T

(trapesmetoden ) ,

ubetinget stabil

Metoden lign.

kan omskrives til eksplisitt form som vist i

3>0

(7.173) -

(7.177) i kap.

7.5.6.

Runge- Kutta metoder Dette er en familie av eksplisitte og implisitte enstegsmetoder hvor integralene

(7.148) og (7.149) blir tilnærmet med

uttrykk på følgende form: “k+1 = uk + h ,(t *

k, uk, >0, h) (7.162)

i,-, = u. + hø, (t, , u, , u. , h) k+1 k 2 k k k og

ø2 representerer gjennomsnittsverdier i tidsintervallet

for henholdsvis

u(t) og u(t).

De dannes som veide gjennomsnitt

av flere forskjellige approksimasjoner til

u og u

i intervallet.

Det finnes en rekke Runge-Kutta metoder av forskjellig nøyaktig­

En populær 4.ordens eksplisitt metode kan for

hetsgrad [6].

svingeproblemet skrives

’’k+l = “k + T(ai + 2a2+ 2a3 + a- ’

(7.163) u-, - u, + ?f(b + 2b + 2b + b ) k+1 k 6 i 2 3 4

hvor

a^ og b^

er approksimasjoner til henholdsvis

begynnelsen, midten og slutten av intervallet:

a

i

= — (Q. - ku, - cu, ) m k k k

u og u

ved

206 +

■’ é(Qk+j ' k(uk+ ihbi5 ■ c(å+ ihai >>

+

= H0= 1.0 rad/s.

(8.30)

244 En ser at analogien mellom denne ligning og frekvensfunk—

sjonen for et udempet lineært system, A =

).

Lign.

Fortegnsskiftet i ampli­

(8.30) er avbildet på Fig.8.10a og b. tyden A indikerer hopp i fasevinkelen.

Ved å anvende denne fremgangsmåten kan frekvensresponsfunksjonen for et dempet Duffing system bestemmes.

Dempningskraften

antas gitt som 2Åmou, hvor X er dempningsforholdet, hvilket gir

den følgende dynamiske likevektsligning

u + 2Åw0u + æ2u + su3

= eX0coswt

(8.31)

Det overlates til leseren å vise at frekvensresponsfunksjonen er gitt som

Mol______________

Xw2 + e|A2-o)2 )2 + 4Å2æJw2'

(8.32)

Ogsa i dette tilfelle er det lett å se analogien til frekvens responsfunksjonen for et lineært system (se lign.(7 . 53)) .

Lign.(8.32) er plottet i fig.8.11.

FIG.

8.11

Tilnærmet frekvens-responsfunksjon for dempet Duffing system : € = 0.1 : MAXIT,

stopp

for restart.

5.

Beregn akselerasjon, hastighet og forskyvning ved tk + 1 rk+l = a2Ark,

\+l =

\ +

rk+l =

rk + Ark

ak

+ a9r] 3 "O- 3 3 3 3 PQ Ti 32 -O

3 æ

E

H E

3 CJ ø rfe 0 Cu Cfe

3

CD

TZ3

■—'

E

Lfe

> • fe oomoooo i—s 0

= E[XY]

(10.23a)

under forutsetning av at

lj^ m* * X(t) Lo

= X

(10.23b)

1*1*m‘Y(s)

= Y

(10.23c)

Og

Vi innser riktigheten av dette ved bruk av Schwarz ulikhet Vi får nemlig at

'Schwarz ulikhet er gitt som

E[|XY|]< /e[X2]E[Y2]

'.

310

E[X(t)Y(s) - XY]

= E[X(t) - X)(Y(s) - Y) ]

+E[X(Y(s) - Y)]

+ E[(X(t)-X)Y]

< E[| (X(t) - X)(Y(s) - Y)| ]

+ E[| (X(t) - X)Y| ] + E[|X(Y(s) - Y)| ]

< /e[(X(t)-X)2]E[(Y(s)-Y)2]

+ /e[(X(t)-X)2E[Y2]

+ /e[X2]E[(Y(s)-Y)2] Ved å bruke lign.

(10.23b)

(10.23d)

ser vi at høyresiden i denne

og (c)

i denne ligningen over går mot null når hvorav lign.

følger umiddelbart.

(10.23a)

særdeles nyttig

X og Y

når

og

s

s0 ,

Ligning (10.23a) er

er ukjente.

Det er også verdt å notere at l.i.m. forventning E[ ] *

t ->-t0

og den matematiske

er kommutative operasjoner.

Fra lign.

(10.23b)

får vi nemlig at Etl^i.m^xd ) ]

= E [X]

(10.24a)

Videre gjelder at

1^;n’E[X(t)] = E[X]

(10.24b)

L o

da E[(E[X(t)] - E[X])2]

=

0

t‘>to

Ljgning (10.24a)

og (b)

E[^\1;m‘X(t) ] = o T ro r

(10.24c)

gir oss dermed at

1- 1'm* E[X(t)

]

(10.24d)

hvilket skulle 'bevises.

Kontinuitet En stokastisk prosess defineres som kontinuerlig i midlere kvadrat hvis

hi;m'X(t + At)

= X(t)

(10.25a)

311 Herav følger at

li™QE[X(t+At) - X(t))2]

= ^mn(Rv(t + At,t + At) - RY(t+At,t) - R (t,t+At) + R (t,t)) At^U A A A A =

(10.25b)

o

Det vil si hvis autokorrelasjonsfunksjonen eksisterer og er

kontinuerlig (i deterministisk forstand) ), *

er prosessen konti­

nuerlig i midlere kvadrat.

Derivasjon Den deriverte prosess

av en stokastisk prosess

X(t)

X

eksisterer i midlere kvadrat hvis X(t + At) -X(t) At

l.i.m. At+0

(10.26a)

X(t)

La oss undersøke nærmere under hvilke betingelser denne ligning

Fra lign.(10.23a)

er oppfylt.

ti n rrX(t+At) - X(t) At0 EL-----7—-------As+0

ser vi at

X(s+As) - X(s), As J

eksisterer og er kontinuerlig.

lim At+0 As^-0

X(t) eksisterer hvis

(10.26b)

Fra denne ligning får vi

, Rv( t + At, s+As ) -Rv(t+At,s) r X __________________ X______________ AtL As

1

RY(t,s+As) - Ry(t,s) As

lim 1 ■At~>0 AtL

3RV(t+At,s) X 9s

82RY(t,s) X

813 s

8Rv(t,s) X

9s

(10.26c)

*)Dette innebærer at hvit-støy prosessen (se avsnitt 10.2.9) ikke uten videre bør behandles som kontinuerlig i midlere kvadrat .

312

Det vil si,

er differensierbar i midlere kvadrat hvis

X(t)

9Rx(t,s)

3Rx(t,s)

3t

5

92Rx(t,s)

’

ah

ataZ

eksisterer og er kontinuerlige for t = s. For en

(i midlere kvadrat) differensierbar prosess er den

matematiske forventning

E[•]

og derivasjon kommutative

Det vil si

operasjoner.

E[^-X(t)]

= |-E[X(t)]

(10.27)

hvilket er en følge av lign.(10.24d).

Integrasjon Riemann-integralet

h2 X(t)dt

Y =

(10.28)

ti

eksisterer i midlere kvadrat hvis

1.i.m. N *N- 00 £ X(t. )At. maxAt.+dt i = l i Fra lign.(10.23a)

i=i

eksisterer.

(10.29a)

følger at integralet eksisterer hvis

lim N *æNE[ [ X(t.)At.

M+oo

= Y

\

M y X(t.)At.]

1j=l

:

-1

Ved å endre rekkefølgen på summasjon og matematisk

forventning fås

lim N M N->æ y y E[X(t. )X(t. )]At-At . M+oo i 31 j z I 1 3 13

313

(10.29b)

R^(t,s)dtds

j t

i

Det vil si,Rieniann integralet

(10.28) eksisterer i midlere

kvadrat hvis h

(10.29c)

Rx(t,s)dtds|

j i

For en prosess som er Riemann integrerbar (i midlere kvad­ rat), er forventning og integrasjon kommutative -operasjoner

t f2 E[j X(t)dt]

t f2 = j E[X(t)]dt

(10.30a)

Videre har vi at

h E[(j X(t)dt) 2 ]

2 -

1 J tl

t

(10.30b)

Rx(t,s)dtds

1

i

En utvidelse av ovenstående med henblikk på anvendelser i responsanalysen er integralet

=

Y(t)

(se avsnitt 7.3)

t jx(t)h(t,t)dT

(10.31a)

0 •

hvor

er en deterministisk (kompleks)

h(-)

i integrasjonsintervallet.

|

Dette integralet eksisterer hvis

hb j Rx(t},t2)h(txj)h 0

for alle

funksjon begrenset

(t2,t2)dxidT2|

< 00

(10.31b)

0 t

og t2.

Under denne betingelsen blir middelverdi-

og autokorrelasjonsfunksjonen for

Y

gitt ved

314

uv(t) I

-

P (T)h(t,T)dT J A 0

(10.31c)

j

RY(t15t2)

=

*

Rx(t1,t2)h(t1,T1)h (t2,t2)dT,dT2

j

0

(10.31d)

o-

Bemerk at ovenstående kan også gjelde for integrasjonsintervallet ( —co ?

oo )

10.2.5 Stasjonære prosesser En viktig klasse stokastiske prosesser innen svingningsteorien er de såkalte stasjonære prosesser.

Populært kan vi

si at en prosess er stasjonær hvis dens stokastiske egenskaper

ikke endres med tiden.

Matematisk defineres en prosess

X(t)

som stasjonær hvis dens stokastiske egenskaper er tzdstnvarzante

det vil si

Px(x,t)

= Px(x,t+T)

PX(xpti;X2’t2)

= px(x,0)

(10.32a)

= Px(xx ,t x +T ;x2 ,t2+T )

- Px(xx ,t1-t2;x2 ,0)

p (x ,t

;...;x

,t ) nu

a

,t +t;...;x

= p (x a

(10.32b)

1

i

,t +t) n

(10.32n)

n

Det fremgår at -sannsynlighet stettheten av første orden er

uaVTiengig av tiden, mens sannsynlighetstettheten av annen orden avhenger kun av tidsdifferansen mellom observasjonspunktene.

Hvis kun de to første ligninger, fylte,

(10.32a) og (b) er opp­

betegnes prosessen svakt stasjons eller kovarzans-

stasjonær.

Hvis alle ligningene er oppfylte, betegnes prosessen

strengt stasjonær.

315

Det er verd å legge merke til at for en kovarians-stasjonær prosess gjelder følgende for alle

er uavhengig av

E[Xn(t)]

E[Xn(tT)X(t2)]

m

og

n

t

er en funksjon av

tx - t2

Herav følger at middelverdien og variansen er konstant for en

gitt prosess, mens autokorrelasjonsfunksjonene avhenger kun av

tidsdifferansen

og kan skrives R„(t).

r = t} - 1 2

Begrepet stasjonæritet kan også anvendes på to eller flere

similtanfordelte prosesser.

Prosessene

X

og

Y

betegnes

strengt simuttant stasjonære hvis

Py y x i ’ ' i ’

Py y X1 ’ " i + ‘ ’"/1 , s i + T

i ’si

= pxy(x1 ,t 1-sT ;yT ,0)

?xy(x1’1’x2’^2

’s i

= pXY(x1,t1+T;s2,t2+T;y1,st+t)

pxyx1’pi’xi

(10.33a)

’si’y2 ,

(10.33b)

2)

= PXY(xx,t1+T;y1,S}+T;y2,s2+t)

(10.33c)

pXY( * i ’p 1 ;x 2,12; y i ,°i , y 2»2 = PXY(xT ,tx+t;x2,t2+T;yT,s1+t;y2,s2+t)

(10.33d)

PxY(x,,t,;...;x t ;y.,s.;...y ,s ) 1 ’ 1 ’ ’ n n 7 1 1 7m m

= Pxy(Xl,t[+T

,...x ,t +t ’ n n

;y,,s.+T;y ,s +t) 1 7m m

(10.33w)

Når kun de fire første ligninger er oppfylte, kalles prosessene

316

svakt simultant stasjonære.

Vi ser av lign.

korrelasjonsfunksjonen bare

blir funksjon av t = t2 -

(10.33a)

at krysssT , og kan

skrives R

(t). AX Det fremgår av ovenstående at den simultane stasjonæritet

av to eller flere prosesser innebærer stasjonæritet av de

individuelle prosesser. I det tilfelle når

t

refererer til en romkoordinat i

stedet for tid brukes betegnelsen homogenitet i stedet for

stasj onæritet.

10.2.6 Ergodiske prosesser Vi har sett at en stokastisk prosess kan visualiseres som en familie

(ensemble) av mulige utfallsfunksjoner (realisasjoner).

I de fleste tilfeller av praktisk interesse er det bare mulig

å fremskaffe^ved målinger et begrenset antall realisasjoner. Her er det spesielt verd å fremheve at for geofysiske prosesser

- slik som bølger, vind og jordskjelv - samt kontruksjonssving ­ ninger indusert av geofysiske prosesser, er det strengt tatt bare

mulig å måle en enkel realisasjon for den aktuelle tilstand,

idet

det ikke er mulig å avgjøre om tilstanden vil gjentas.

De stokastiske egenskaper for en gitt prosess kan estimeres (teoretisk)

som ensemblegjennomsnitt, det vil si

px(t) = E[X(t)l = 11® i l

t

U) (t + tbt

er lengden på den aktuelle realisasjon

(10.35b)

x ^\t).

Bemerk at teoretisk kan tidsgjennomsnittene være forskjellige

for de forskjellige realisasjoner. Dette fører selvfølgelig bare frem hvis tidsgjennomsnittene (uansett realisasjon) er identiske med de tilsvarende ensemblegjennomsnitt

(se fig.10.6).

E E[X(t)]

Det vil si

= pY

(10.36a)

A

< X (t + t ) X (t) > ,

E E[X(t + r)X(t) ]

= Ry(t)

(10.36b)

A

L

t

= E[f(X(t),X(t + T1 ) , . . . ,X(t + Tn) ) ]

hvor

f(•)

er en funksjon av prosessen.

hvor dette er oppfylt, lign.(10.36a)

(10.36n)

En stasjonær prosess

betegnes ergodisk prosess.

Hvis kun

er oppfylt, sier vi at prosessen er ergodisk i

318

FIG.

10.6

En stokastisk prosess

a)

For en stasjonær prosess gjelder at Px(x' = P/(x' fn) for fn' n=2-3-4, • • •

b)

For en ergodisk prosess gjelder at Px(x' f) = P x(n)W for x n) ' n = l , 2, 3, . . .

319

og hvis lign.(10.35b) er oppfylt kalles den

middelverdi,

ergodisk i korrelasjonsfunksjon osv.

La oss nå se litt nærmere på under hvilke betingelser

lign.(10.36a),

er oppfylt.

(b) osv.

For at en prosess skal være

ergodisk i middelverdi, må vi forlange at lign.(10.36a) for alle realisasjoner.

gjelder

Med utgangspunkt i konvergens i midlere

kvadrat krever dette at pY = E[X(t)]

T i [x(t)dt

=

(10.37a)

0 Herav følger at

(se lign.

(10.23a))

T lim Pri- I" X(tx)X(t2)dtjdt2] T-°° hLT2 J 0 0

u

0

(10.37b)

X

Ved å bytte rekkefølge på forventningsoperasjonen

E[-] og inte

grasjonen får vi med hjelp av lign.(10.9b)

T T jcx(t1-t2)dtjdt2

lim 1 T-*" 00 m 2 T

0

Ved å innføre

(10.37c)

0

T=t1-t2 kan dobbelintegralet omskrives som

følger

T T-t2

1 j[ j T2

C^(t)dT]dt2

0

T

T-t

.

= u jcx(T)|2 | dtjdr 1

0

0

T

(10.37d)

= éi j] ( 1 - ^)C y( T )dT 1 A 0 Det vil si betingelsen (10.37c)

kan erstattes med

320

T lim 1 T+oo T

(1 - ^)C (i)dT 1 A

0

(10. 37e)

0

Denne betingelsen kan igjen erstattes med følgende uttrykk T 1 im _1 fp f T ■) T->æ T J J 0

(10.37f)

idet vi har

T T+°°

jrCx(T)dT 0

T T _ 1 i m 1 Cp z s r 1 jdt]dT T->«> T J Xm Lf 0 0 T _ lim 1 f T+co T J 0

T rl f lT J X t

t)dr]dt

< lim jL rmax (t)dT]

=

0

.

Vi innser at grenseverdien må være lik null når

grenset.

C^(t)

(10.37g)

er be­

Herav følger at lign.(10.37d) er automatisk oppfylt

når lign.(10.37f) er gyldig.

Følgende betingelser skal altså være oppfylte for at en stokastisk prosess kan betegnes ergodisk i middelverdi

(basert '

på konvergens i midlere kvadrat):

(a)

Prosessen må være kovarians-stasjonær, dvs. middelverdien

må være konstant og autokovariansfunksjonen må bare være

funksjon av tidsdifferansen (b)

t

= t- t2.

Betingelsen (10.37f) må være oppfylt.

For noen av de mest typiske stokastiske prosesser innen

svingningsteorien har vi en middelverdi lik null, endelig varians og en autokorrelasjonsfunksjon hvor

321

lim

*°° T-

Rv(t) X

= 0

(10.38)

Det vil si, når tidsdifferansen er stor, blir svingningene

I dette tilfelle er lign.(10.37f)

ukorrelerte.

automatisk

oppfylt.

Ovenstående fremgangsmåte kan videre anvendes til å utlede de betingelser som skal være oppfylte for a sikre at en prosess

er ergodisk i korrelasjonsfunksjon. R (t)

Da må vi forlange at

T [x(t+r)X(t)dt

=

(10.39a)

0

Herav følger ved anvendelses av lign.(10.23a) at T T dim — [c (t -t ,T,t. - t? +T)dt dt T->æ T2 J J 4 1 2 1 0 0 hvor

er følgende 4.

ordens korrelasjonsfunksjon

Cu(t1 - t2 ,T,tx - t2 +r)

x

(X(t

2

(10.39b)

= 0

= E[(X(t} +t)X(tx)

- Rx(t))

+T)X(t ) - Rv(t))] 2

(10.39c)

A

Denne betingelsen kan omskrives som T gi- T

+t)6ti

= 0

(10.390)

0 Dette innebærer at en gitt prosess er ergodisk i korrelasjon

dersom prosessen er stasjonær av fjerde orden (eller dersom

lign.(10.39c)

avhenger bare av tidsdifferansene t1-t2 og

autokorrelasjonsfunksjonen kun av t), og lign.(10.39b)

t,

og

er oppfylt.

For de typiske stokastiske last- og responsprosesser vil avhengigheten•mellom de stokastiske variabler X(t

+t)X(t2) avta når

C4(t1,t,t1 +t)

r2

= t} - t2

= 0

X(tx +T)X(tx) og

går mot uendelig,

for alle t

slik at

(10.40)

322

Når dette er tilfellet vil prosessén uten videre kunne behandles som ergodisk i korrelasjonsfunksjonen.

Generelt kreves det at en prosess må være stasjonær av 2xn-te orden for a være ergodisk i den n-te momentfunksjon (basert på konvergens i midlere kvadrat).

Et betydningsfullt

unntak fra denne regel er Gaussprosessen.

Gaussprosesser

10.2.7

En stokastisk prosess X(t) betegnes Gaussprosess hvis XCtj),X(t2),...

er multinormalfordelte.

Sannsynlighetstettheten

er da gitt som følger

PX ••• CX(tn’tn)

er Nofaktoren til element nr.(i,j)

i C.

Den endimensjonale normalfordeling er avbildet grafisk på

fig.10.7.

Den todimensjonale normalfordeling har en klokkeformet

tetthetsfunksjon (se fig.10.4)

blir rotasjonssymmetrisk.

som i det standardiserte tilfelle

323

FIG.

10.7

Normalfordeling a) Standardisert sannsynl ighetsfordel ing F^(z) og sannsynl ighetstetthet

Pz(z) = N^(0,1) =

hvor Z = ( X - M x ) / a X

b)

exp

J

z_2

V 2

Innflytelsen fra standardavviket på sannsynlighetstettheten vist ved Nv(0,l), N (0,2) og NJ0.3) X X A

324

Til forenkling av fremstillingen vil vi videre i dette avsnitt kun betrakte stokastiske prosesser med middelverdien lik Vi ser at dette oppnås lett ved å innføre X-pv(t)

null.

en ny variabel.

som

Dette vil derfor ikke gå i nevneverdig grad ut

over våre anvendelser senere.

Vi ser at en Gaussprosess er fullstendig definert ved auto-

korrelasjonsfunksjonen,

som repreenterer de annen ordens

stokastiske egenskaper, og middelverdien.

Herav følger at

momentfunkasjonene av høyere orden kan generelt uttrykkes ved

autokorrelasjonsfunksjonen (eller autokovariansfunksjonen hvis l^X * 0 ) • Det kan bevises at følgende gjelder ) *

(se f.eks.[6]):

(1) Momenter av første orden

Her er

T(-)

0

for n= 3 , 5,7, . ..

- a^n'. / ((n/2) ’. 2n

for n=4,6,8,...

gammafunksjonen og

aY

(10.42a)

standardavviket av X.

A

(2) Momenter av n-te orden

for n = 3,5,7,. . . , E[X(t.)X(t„ 12 )...X(t n )] jE[X(t.)X(t•)]E[X(t,)X(t 0)] J K X,

for n = 4,6,8 ,...,

(10.42b)

hvor summen tas over alle tillatte kombinasjoner av i,j, k og £, dvs.

alle n!/((n/2)!2n) måter hvorpå (n/2)

verdier kan trekkes ut av idet E[X(ti)X(tj)]

n

par

verdier (n er et like tall)

= E[X(t^)X(ti)].

*) Dette bevises lettest ved bruk av den karakteristiske funksjon definert som Fouriertransformasjonen av sannsynlighetstetthetsfunksjonen.

325

(3) Forventningsverdien av en funksjon

E[X(t)f(X(t.),...,X(t i 1 n =

))]

A

n 3f(X(t ) , . . .,X(t )) V E[X(t )X(t - ) ]E[------ 5v-r+-A------ --- 1 • 1 1 O l t ■ ) 1=1 1

(10.42c)

Her er (•) en di fferensierbar funksjon for hvilken det eksi­ sterer to tall k og m slik at følgende er oppfylt

|f(x

,...,x )| n

n < kexp{ £ xm} i=l 1

for m < 2

(10.42d)

Bemerk at lign.(10.42b) kan utledes fra lign.(10.42c). Som nevnt tidligere har vi ofte i analysen av svingninger

bruk for simultan fordelingen av flere stokastiske prosesser

eller stokastiske vektorprosesser . En stokastisk vektorprosess T X(t) = [ X(t),Y(t),Z(t),.. .] x betegnes en Gaussprosess med middel­ verdien null hvis

(10.43a)

hvor

R =

{E[X(ti)XT(t. )]}

Fra lign.(10.42c) funksjon

i,j

= 1,2,.. .

(10.43b)

får vi følgende uttrykk for en vektor­

som oppfyller lign.(10.42d) komponentvis ,

), * f(

E[X(t1)fTi(X(t2))]

= E[X(tx)XTi(t2)]E[VfTi(X(t2) ) ]

(10.44a)

hvor [3X

’

3Y

3 az

(10.44b)

Dette er et nyttig uttrykk som vi vil få bruk for senere.

Gaussprosessen er en av de mest anvendte stokastiske

modeller innen svingningsteorien.

Dette skyldes delvis gode

regnetekniske egenskaper og delvis det såkalte sentralgrenseteorem.

326

Sentralgrenseteoremet sier at under forholdsvis generelle betingelser vil en stokastisk variabel (i en eller flere dimen­

sjoner)

som er dannet som en lineær kombinasjon (vektor sum)

av

uavhengige stokastiske variabler (som gjerne kan ha forskjellige uspesifiserte fordelinger) være asymptotisk normalfordelt.

Det

vil si når antall ledd i summen går mot uendelig, går summens fordeling mot en normalfordeling (se f.eks.[1,2 , 6 ] ) .

Dette teorem tilsier at Gaussmodellen kan være en god til­ nærmelse for fenomener

som turbulent vind og havbølger.

oppstår ved forstyrrelser (av en likevektstilstand)

Disse

som skyldes

bidrag fra relativt ubeslektede krefter til forskjellige tids­ punkter .

De gunstige regnetekniske egenskaper består i at (1)

Gaussprosessen

er fullstendig definert ved autokorre-

lasjonsfunksjon og middelverdi

(2)

Gaussprosessen

masjoner, dvs.

er invariant overfor lineære transfor­ en prosess som er dannet som lineær

kombinasjon av Gaussprosessen er selv en Gaussprosess [1,6] Av punkt

følger at en kovariansstasjonær Gaussprosess

(1)

også er strengt stasjonær.

Videre har vi at en Gaussprosess som

er ergodisk i middelverdi og autokorrelasjonsfunksjon også er ergodisk i strengeste forstand, hvilket innebærer at den er

ergodisk i alle momenter samt at lign.(10.36a) gjelder for en

vilkårlig funksjon. følger at hvis vi utfører en lineær operasjon

Av pkt.(2)

på en Gaussprosess blir resultatet en Gaussprosess.

Slik er den

deriverte prosessen av en Gaussprosess også en Gaussprosess (forutsatt at den eksisterer).

er også en Gaussprosess.

En konvolusjon av en Gaussprosess

Vi innser dette ved å skrive

00

Y(t)

=

h(t-T)X(T)dT — OO

i m = N+o°’m’

N l h(t-Ti)X(T . )At i=l

(10.45)

327 hvor

Y

er en deterministisk funksjon.

h(•)

Det fremgår herav at

kan oppfattes som en lineær kombinasjon av

10.2.8

X.

Korrelasjonsfunksjonen Korrelasjonsfunksjonen er en av de mest betydningsfulle stør­

relser i beskrivelsen av stokastiske

Vi vil derfor

svingninger.

se nærmere på noen av dens egenskaper. Vi har sett tidligere at auto- og krysskorrelasjonsfunksjonen

er henholdsvis definert som følger (se avsnitt 10.2.3)

Rx 0

(10.49b)

—

Herav følger at diskriminanten for denne ligning

328 må være mindre eller lik null,

aksen), hvilket gir (10.49a)

(dvs.

parabelen må liege over

umiddelbart.

Da et geometrisk

middeltall ikke overskrider et tilsvarende aritmetisk middel­

tall,

får vi fra (10.49a)

|Rxy(t)| 5 J(RX(O)

+ Ry(0))

(10.49c)

For autokorrelasjonsfunksjonen gjelder en tilsvarende ulik­ het som fås fra (10.49a)

|Rx(t)I

eller (c)

ved å sette

X=Y

< Rx(0)

Herav fremgår sammen med lign.(10.48a)

(10.49d)

at autokorrelasjonsfunk-

sjonen for en kovarians-stasjonær prosess er en like funksjon med maksimum for t=0.

Figur 10.8

viser et eksempel på en typisk auto- og kryss-

korrelasjonsfunksjon for simultane kovarians-stasjonære prosesser. Vi ser at krysskorrelasjonsfunksjonen har et maksimum svarende

til

t0|0,

hvilket er et uttrykk for faseforsinkelse mellom

og X(t).

Au tokorre las jonsfunks jon

FIG.

10.8

Krysskorrelas jonsfunks jon

Auto- og krysskorrelasionsfunksjon for simulante kovarians-stasjonære prosesser

Y(t)

329

Et enkelt mål på tap i korrelasjon er den såkalte korrelasjonslengde definert som OO tc

=( J|Rx* |dT)/a (r)-p

(10.50)

0

Vi ser at desto raskere autokorrelasjonsfunksjonen dempes ned,

desto mindre blir

. c Av spesiell betydning i svingningsteorien er krysskorrelat

sjonsfunksjonen for prosessen X(t) og X(t).

X(t)

og dens deriverte prosesser

Her vil vi forutsette at de eksisterer.

Som et eksempel på hvorledes disse krysskorrelasjonsfunksjonene kan etableres,

R«(t. ,t_Z ) AA 1

Da derivasjon og

ser vi på følgende

= E[X(t.1 )X(t2 )]

(10.51a)

forventning er kommutative, får vi

R^x(t1,t2)

E[X(ti)X(t2)]

-

i = V^-Rv(t1,t2)

(10.51b)

A

UL

1

I det tilfelle når

X(t)

er kovarians-stasjonær får vi på til­

svarende vis

R?.Y(t + T,t)

= E[X(t + t)X(t)]

= E[d«t+T) dS-.xlt)! dx d(t+ t ) = -^-E[X(t+T)X(t)]

(10.51c)

dT

eller

R.-.y(t) ÅA

= — R (t) UT

(10.5Id)

A

Tabell 10.1 viser den komplette korrelasjonsmatrisen for en

kovarians-stasjonær prosess X(t) og X(t).

X(t)

og dens deriverte prosesser

Det fremgår at X, X og X er simultane

kovarians-

stasjonære, hvilket innebærer individuell kovarians-stasjonaritet

330

Til en ytterligere illustrasjon gir

for henholdsvis X og X. Fig.

10.9 et eksempel på auto- og krysskorrelasjonsfunksjonene

for X, X og X.

TABELL 10.1

Auto- og krysskorrelasjonsfunksjoner av en stasjonær prosess X(t)

X

X

X

X X

Rv ( t) X = drRX(T) 2 Rpv(T ) = ---R ( T ) XX , 2 x da RXX(t)

FIG.

og dens deriverte prosesser X(t) og X(t)

10.9

R, ’(t) = - —R (t) XX di X -2 Ra(t) = - —Ry(t) A j 2 A da a3 R" • ( T ) = Rv ( T ) XX dT3 X

X

j2 RYY(t) = —Ry(t) XX dr2 X d3 R«"(t) = —Ry(t) XX j 3 X da RY(T) = —R (T) X , 4 X dT

Auto- og krysskorrelosjonsfunksjoner for en kovorionsstasjonær prosess og dens deriverte prosesser

331

Spektraltetthet og spektralfordeling

10.2.9

Annen ordens stokastiske egenskaper hos kovarians-stasjo

nære prosesser som i tidsrommet beskrives ved hjelp av auto- og

krysskorre1asjons-funksjoner, uttrykkes ofte mer hensiktsmessig i frekvensrommet. teorien.

Særlig gjelder det anvendelser innen svingnings-

En innfører da begrepet spektraltetthet som defineres

som Fouriertransformasjonen av korrelasjonsfunksjonen.

Autospektralhetthet -Amtospektraltettheten for en kovarians-stasjonær prosess de­ fineres som

SvA (co)

hvor

co

, s ”Icot j ds

R v (t )o

A

er sirkelfrekvensen .

traltettheten

— co
co>0

| Aco = co> 0 i Aoo>0 og co= 0 zOO>Ao> og oo> 0 for < A co = oo = 0 ^oo^ .

N bør som diskutert i av­

snitt 7.2.3, for praktiske problemer tolkes som det minste antall

svingeformer en trenger for å få tilstrekkelig nøyaktighet i beregningene.

For enkelte konstruksjoner kan N=1 være tilstrekke­

lig, noe som oftest betyr at systemet hovedsakelig svinger i sin

laveste egensvingeform,

samt eventuelt i takt med enda mer lav-

frekvent dynamisk belastning.

I praksis betyr dette

375

at det i enkelte tilfeller er mulig å behandle kompliserte sys­

temer som et system med en frihetsgrad ved å innføre normalko­ ordinater .

Den dynamiske likevektsligning i normalkoordinater kan nå

løses på samme måte som lign.(10.1 Ola) for system med en frihets­ Det gir,

grad.

rommet,

idet vi konsentrerer oss om løsningen i frekvens­

følgende uttrykk for middelverdi og spektraltetthet for

responsen i normalkoordinater

E[y (t)]

= Hn(o)E[Qn(t)]

n=l,2,...,N

(10.119a)

og

(co)S * sy y 1

Srir.(æ) -L j

N N = £ J/im%Vw)H£U)SQ Q m-± n - _l mn

(10.121c)

j=l,2,...,N

og

i,j=l,2,..,N

(10.121d) Del er hensiktsmes s ig a oms krive den siste ligningen slik

N Sr.r,(“’ = VidjrJHnU)l2sQ C“> i ] n-1 J xn N N LØ I Q U) m-1 n-1 J årn

0-0 Kroneckers delta.

hvor

(10.1216)

Den første rekken uttrykker det

bidrag som de individuelle egensvingeformer yter til den totale respons.

Den andre rekken uttrykker det bidrag som stammer fra

korrelasjon eller overlapping mellom de forskjellige egensvinge-

former.

Hvis systemets egenfrekvenser er vel adskilte og demp­

ningen er svak eller moderat,

er det ofte mulig å neglisjere

"overlappingsresponsen" uten å introdusere signifikante feil i Det gjør det mulig å beregne responsen som vektet

beregningene.

sum av responsbidrag fra de individuelle svingeformer.

annen side kan en introdusere betydelige dette bidrag,

På den

feil ved å neglisjere

selv ved beregning av autospektraltetthetene,

hvis egenfrekvensene er klumpet tett sammen eller sammenfallende.

10.3.4

Ikkestasjonær respons I avsnitt 10.3.2 og 3 er det forutsatt at belastningen kan

idealiseres som stasjonær (ergodisk) prosess.

Dette kan være en

brukbar tilnærmelse for visse typer dynamiske laster, f.eks. °g bølgelast, mens det for andre typer er utilstrekkelig, jordskjelvlast.

Vi vil derfor i

vind-

f.eks.

dette avsnitt se litt

nærmere på responsberegninger for lineære, tidsinvariante system­

er belastet med ikkestasjonære lastprosesser. La oss ta utgangspunkt i

bevegelsesligningen for et

system med flere frihetsgrader (se lign.(7.1))

377

Mr(t) + Cr(t) + Kr(t) = Q(t) hvor

er en ikkestasjonær lastprosess definert i området

Q(t)

.

0 < t < °°

(10.122a)

Løsningen til denne ligning kan uttrykkes som

(10.122b)

hvis det forutsettes at

Her betegner

r(0) = r(0) = 0.

h(t)

impuls-responsfunksjon (se lign.(7.135)).

systemets

Generell ikkestasjonær lastprosess La oss anta at lastprosessen er av den generelle ikkestasjonære type som diskutert i avsnitt 10.2.8 og 10.2.9. Da følger at middelverdi- og korrelasjonsfunksjonen for responsen

er gitt som E[r(t)]

=

(10.123a)

fh(t-r)E[Q(t)]dT

0 og Rr(t1,t2)

T

E[r(t1 )r(t2 )]

=

t2

= j

I

(10.123b)

hd^ T1 )Rq(tx ,t2 )hT(t2-T2)dT1 dT2

0 0

hvor

Rq(\ ’T2 >

)QT0

0

for

t0

0

for

t0

for

t0 w, d co. d — d d

for

(10.132)

hvor ttI

u

2 Aco3m o

er systemets asymptotiske respons for t->°°.

Variansen er avbildet

på fig.10.17 for forskjellige dempningsverdier . for 1 = 0 går responsen mot uendelig når t->°°.

Det fremgår at

382

FIG.

10.17

Tidsavhengig varians av responsen for system med en frihetsgrad.

Behandling av startbetingelsene Så langt har vi forutsatt at systemet er i ro E[r(t0)]

(E[r(t

)]

= 0) når den ikkestasjonære lastprosess påføres.

Vi

vil nu se på det tilfelle hvor systemet er i bevegelse når lasten påføres og startbetingelsene er gitt som stokastiske

variabler, dvs.

det stokastiske initialverdiproblem [24], En

slik problemstilling er spesielt aktuell når lastprosessen er

giff ved en sekvens av ikkestasjonære prosesser 1.

Systemets

tilstand ved avslutningen av en sekvens behandles da som startbetingelser for neste sekvens osv. Vi antar nå at den aktuelle sekvens starter ved tiden

E _

, samt at systemets tilstand ved

den tid er gitt ved de

=

383

(hastigheter).

stokastiske vektorer r\

(forskyvninger) og rQ

Systemets respons,

løsningen til lign.(10.122a) er da

gitt

som

r(t)

=

dvs.

t jh(t-T

)Q(t)dT

+

h(t-t0)[Mr0+Cr0] +h(t-t0)MrQ

(10.133)

L 0

Herav får vi middelverdifunksj onen for responsen som t E[r(t)]

=

jh(t-T)E[Q(T)]dT t0

+

h(t-t0)(ME[r0]

+

CE[r0]

+

h(t-t0)ME[r0]

(10.134a)

Videre fås korrelasjonsfunksjonen for responsen som "f 1

Rr(t1,t2)

$2

h(tl-T1)Rq(T1,T2)h

j

=

(t2-T2)dT,dT2

U t0 T

+

h(t1-t0 )R}h

+

h(t1-t0)R2hT(t2-t0)

+

h(t1-t0 )R2h1(t2-t0)

+

h(t}-t0 )R3hT(t2-t0 )

(t2-t0)

(10.134b)

hvor

Rt

=

ME[rQr^]MT +

CE[ror^]MT

R2

=

ME[ror^]MT

CE[rør;]MT

R

=

ME[r

3

+

+

ME[rorq]CT

+

CE[rQrq]CT

E[r0Q (t)]

(10.134e)

0

T I utledningen av ovenstående har vi anvendt r[r0Q (t)] T

(10.134d)

rT]MT 0

•

(10.134c)

- 0•

-

384

▼ Eksempel 10.2

System med en frihetsgrad

Vi vil nå undersøke responsen av følgende system

mil + cu + ku = Q(t) hvor lasten Q(t) er en "evolusjonær" lastprosess gitt som (se

eks.10 . 2 >

E[Q(t)]

= 0 I

t£0

0

t>0

Variansen av forskyvningen og hastigheten for systemet i tids

intervallet fra -°° til 0 er gitt som ttI

a2 u

for

-co°° .

£im = N->°° Ry ( T ) Aco-> deo

V c

S ° (co) Aæcos (co. t X k

S0 (co) cos (cjt ) deo

)

(11.13)

423

FIG.

11.1

Diskretisering av en ensidet spektraltetthet. Konstant oppløsning i frekvens.

Til arealet Sx (wup.

er

(11.16)

Am < tt/T Ellers bør

Aco

velges slik at smale topper i spektraltett­

heten blir representert på en rimelig måte.

at

Am

Dette krever normalt

er vesentlig mindre enn den effektive båndbredde av den

Det er derfor ofte nødvendig å bruke et meget

smaleste toppen.

stort antall harmoniske komponenter, hvilket fører til store regneomkostninger.

En rasjonell fremgangsmåte i slike tilfeller

diskuteres i avsnitt 11.3.4. En alternativ fremgangsmåte som vil redusere regneomkostning-

ene,

er å innføre en variabel A0m° ' [G - G°(w) ■ A v (co+dco) - GÅv(co)] = G°(æ+dæ) A A

= SåX (co)dæ Det vil si,

(11.30)

spektralfordelingen for en vilkårlig tidsrekke

simulert ved help av lign.(11.19),

(11.21)

og

i middel mot den tilsiktede spetralfordeling mot uendelig. og (11.25),

Herav følger,

(11.24) konvergerer G°(co)

sammen med lign.(11.26),

at prosessen konvergerer

når

N

går

(11.22)

(i middel) mot en ergodisk

Gaussisk prosess når N går mot uendelig. Denne simuleringsmetode har vært brukt til å simulere bølge­ høyder.

Resultatene er vist på fig-

11.4.

En begrensning ved denne simuleringsmetoden er at tidsrekkene vil bli periodiske.

Perioden kan anslagsvis bestemmes ut fra den

minste avstand mellom frekvensene oo, . K

En annen begrensning er at

430

TID (s)

FIG.

11.4

Simulering av havbølger

a)

Den tilsiktede bplgespektral tetthet

b)

Utsnitt av den simulerte tidsrekke

c)

Histogram for den simulerte tidsrekke

431

spektraltetthetene for de simulerte tidsrekker avviker normalt mer fra den tilsiktede spektraltetthet jo større neste avsnitt).

| co |

blir (se

Dette er mulig a rade bot på ved a dele fre-

kvensaksen inn i et passende antall intervaller hvori det plas­

seres et tilnærmet likt antall frekvenser. behandles

Innen hvert interval

frekvensene som stokastiske variable gitt ved hjelp av

spektralfordelingen.

11.3.3

Konvergens Hensikten med dette avsnittet er å undersøke nærmere konver­

gensen (

se avsnitt 10.2.4) av de simulerte prosessene gitt ved

henholdsvis lign.(11.19)

og (11.6).

Vi tar utgangspunkt i lign.(11.29) sesser med stokastisk fase og frekvens.

G-z- (co +doj)

i undersøkelsen av pro­ Den gir

Gy (co)

I N = -A II 27 [l(æ-dæ-æ K ) k=l

KlO-COy) + Kco-cw+cOy) - K(o + cok)]

(11.31)

Forventningsverdien av denne ligning er gitt som

E[G (co + dw) - G (co)] X

[Kco-dw-coy )-l(co-cok) + l((o-dw+(ok)-l(io+(ok) ]pw(tok)dæk

= 1A2NS° (co)dco/a2 X

X

= S°.(co)aæ X

Her gjør vi bruk av lign.(11.20b) og (11.24).

Tilsvarende får vi det andre moment som

(11.32)

432

E[(GJw+du) - G (æ))2 ] X-

X

=

N

N

v _ “i

n — ~i

£ E [ (ard æ-u), )-1L(lo-cu. )+ l(co-dco+u)1 )-HXæ+æ.)) A

K

A

K

x ( Kaj-daj-aj.p )-l(aj-m ) +1( w-dæ + æ 0 )-1( w+co n ) ) ] N

- g-gA4' [ a)

_ ~l

N

+

[ K w-dai-o) )-j1( lo-co, ) +1( co-dw + oj, )-lL(co + a)1 )] K

K

K

K

N

l

£ (1-6, k=l £=1

)E [ Kw-dai-at )-K aj-an ) + l(oj-dw + aj1 )-Kco+a), )] k k K K

x E [ 1( a)-dæ-w )-H/cu-an ) +1( oj-dco +w )-l(a)+a) ) ] A/

Az

- yg-A1* [ 2NS° (aOdaj/a2 + A

2

hvOr

ai) goj/I-I +

X/

(N2-N) ( 2NS° (co)da)/a2 ) A A

(S^(æ)dio)2

£im N-h» E t

(ai+cio)) A

]

- ( S° (a) )da)) 2/N

6k£ er Kronecker's delta.

(11.20b) og (11.2b).

Az

(11/33)

Igjen har vi brukt lign.

Herav følger at

(w))2]

- G

=

(So(to)daj)2

(11.34)

X

A

Anvendelse av lign.(11.32) og (11.33) gir variansen

VAR[Gx(u+dB) - G);(U)]

(o> )dw/N - (U )dU ) 2/N

=

(11.35)

Denne ligning viser at variansen går mot null når N går mot uendelig, hvilket sammen med lign.(11.3k) beviser gyldigheten av lign.(11.30).

. Av lign.(11.32)

og (11.35)

følger videre at variasjonskoef-

fisienten definert som forholdet mellom standardavvik og for-

ventningsverdi, er gitt som ♦

CV[Gx(æ+do)) - Gx(a))]

= -----------

/2NS“ (co)dæ A

+ 0(dw)

(11.36)

433

Dette resultat viser klart at simuleringsmodellen med sto­

kastisk frekvens og fase gir en tidsrekke med spektraltetthet som bare er tilnærmet lik den tilsiktede spektraltetthet.

Det

er også verdt å bemerke at variasjonskoeffisienten lign.(11.36) bare er tilnærmet konstant for meget flate spektraltettheter.

I

de fleste praktiske tilfeller vil variasjonskoeffisienten vokse

når

vokser tilstrekkelig meget, hvilket skyldes at

jco|

normalt går mot null når jco|

går mot uendelig.

S^(w)

Derfor bør det

høyfrekvente halepartiet på spektraltettheten for den simulerte tidsrekke behandles med forsiktighet som påpekt i avsnittet foran.

Det fremgår videre av lign.(11. 36) at stabiliteten av spektral­ tettheten forbedres generelt når

N

vokser.

En tilsvarende undersøkelse for prosesser med stokastisk

fase,

lign.(11.6), starter passende med at en danner spektral­

tettheten ved å Fouriertransformere lign.(11.10)•

Det gir

S (w) = V 1A2 ( 6 (eo-co. ) + 6(co + to, )) X , _ k K K K-1

(11.37)

Herav får vi

G (co + deo) — G (to ) X X N = [ [ K co-dco-cov) - Kco-co^) + Kco-dco+æ^) - Kto+co^)] k=l Sannsynlighetstettheten for

oo-^

(11.38)

er i dette tilfellet gitt

som

(co, ) - 6 (co—co, )

p

(11.39)

wk co, er en deterministisk størrelse K dermed da

Forventningsverdien blir

E [ G (co + deo ) - G ( to ) ] X X

N

[ K oo +dco-60p.) -K co-co^ ) +É( oo + dco+co^,) - il( co+co-^ ) ] 6 (w-co^ ) dw

k=l

= iA2(co) = S°(oo)doj 2 k X

(11.40)

434

hvor lign.(11.11) er blitt brukt. Det andre moment er gitt ved

E[(G (æ+dw) 4

- G (w))2] X

N T I [ ^L( w-dkJ krg4 JV

K

- K w-im ) + 1L( w-d oo+ w7 ) - f. ( K k

w

)]

k

N N 1 + Z I M^k^ n ( 1 ~ p ) E [ 1( U)-dW-W, )-1( W-w, ) + 1L( w-dw + w, )-H( æ+co, )] k=l£=l KJC k k k k

x E[l(w-dw-w£) = 1a^(M)

- l(w-æ;)

+ ICæ-dw+æ^)

- i(w+w£)]

= (S“(0>)dM)2

(11.41)

X

Det fremgår at dobbelsummen er lik null.

Variansen får vi ved å bruke lign.(11.40) og (11.41).

Det

gir VAR[Gx(æ+dw)

- Gx(æ)]

(11.42)

= 0

Følgelig blir variasjonskoeffisienten lik null.

Dette beviser

det som er antydet i det foregående avsnitt

med lign.(11.6) har en spektraltetthet som er identisk lik den tilsiktede diskretiserte spektraltetthet.

Videre ser vi at simuleringsmodellene gitt ved henholds­

vis lign.(11.6) og (11.19) konvergerer på forskjellig måte, noe en bør være oppmerksom på ved valg av metode for en aktuell

simulering.

11.3.4

Anvendelse av FFT teknikken De simuleringsmetoder som vi har diskutert, krever beregning

av et stort antall cosinusledd.

Dette gjør at metodene kan bli

svært kostbare i bruk nar lange tidsrekker genereres.

Disse

vanskeligheter kan imidlertid overvinnes ved bruk av lign.(11.6) og (11.11) når Aw velges konstant.

Ligning (11.6) kan nemlig omskrives som følger

435 X(t)

= Re [ 7 (A, elcf)k)elækt ] k=l k

(11.43)

Uttrykket i de kantede parantesene kan fortolkes som den diskrete Fouriertransformasjon av rekken A.e^^^k, k=l,2...,N.

Denne transformasjonen kan utføres på en meget økonomisk måte ved å benytte den såkalte. FFT algoritme (''Fast Fourier Transform")

[7 ] .

Prosedyren blir da som følger den følgende komplekse rekke

1) Beregn

hvor

K

er uavhengige tilfeldige tall jevnt

, k = l,

fordelt mellom 0 og 2t, og S°(w) X tetthet .

2) Beregn det z(t

)

=

er den tilsiktede spektral-

(inverse) diskrete Fouriertransformasjon.

N y c(wv)e1C°k £ k=l

£=1,2,. ..,N

ved hjelp av en FFT algoritme.

3) Tidsrekken bestemmes til slutt som X(t^)

11.3.5

= Re [z( t

) ] ^Aco'

Respons for lineære systemer Responshistorien for lineære systemer indusert av stasjonær

(ergodisk) Gaussisk last kan genereres på en effektiv måte uten å gå veien om skrittvis integrasjon ved å anvende Monte Carlo

simulering.

Dette kan forklares som følger.

Generelt kan responshistorien u(t)

for et lineært system'

uttrykkes ved følgende konvolusjonsintegral når en antar stasjonære

436

forhold

(se avsnitt 7.4.1) 0°

u(t)

Her er

h(t)

ergodisk Vi

(11.44)

h(t-t)Q(t)dt

-

er en

systemets impuls-responsfunksjon og Q(t)

Gaussprosess

antar

gitt ved spektraltettheten

videre

(eller (11.6)).

Q(t)

SQ (co)

tilnærmet med lign.(11.19)

Det vil si

£ cos(o)kt + 4>k)

Q(t) =

(11.45)

Det gir ved innsetting i lign.(11.44) 00

u(t)

= °qVI j k=l

h( t-T )cos (co, t + d). )dt k k — OO

OO

OO

X

H(co)e

2 TT

iO)( t-T )

, ,

/

X ,

cos ( wkT+