139 31 157MB
Norwegian Pages 525 Year 1979
dynamisk analyse av konstruksjoner
Ivar Langen Ragnar Sigbjornsson SINTEF, Avdeling for konstruksjonsteknikk
TAPIR
©TAPIR, 1979
ISBN 82-519-0362-9
V
INNHOLD
FORORD
XI
SYMBOLLISTE
XIII
1.
2.
INNLEDNING
1
1.1
Generelle bemerkninger
1
1.2
Den dynamiske likevektsligning
3
1.3
Diskretisering.
7
Frihetsgrader
MATRISEFORMULERING AV DYNAMISK LIKEVEKT ETTER
FORSKYVNINGSMETODEN
11
2.1
Innledning
H
2.2
Resymé av elementanalysen i forskyvningsmetoden
2.3
3.
12
Resymé av systemanalysen i forskyvningsmetoden
15
2.4
Dynamisk likevekt ved konsentrertmasse
16
2.5
Fri harmonisk svingning
19
ENERGIMETODER FOR DYNAMISKE PROBLEM
29
3.1
Innledning
3.2
Virtuelt arbeid.
3.3
Hamiltons prinsipp '
34
3.4
Lagranges ligninger
38
3.5
Rayleigh’s metode
3.6
Rayleigh-Ritz .
3.7
Elementmetoden ved forskyvningsformulering
52
3.7.1
Innledning
52
3.7.2
Diskretisering
52
3.7.3
Elementanalysen
53
3.7.4
Systemanalysen
62
3.7.5
Spenningsberegning
64
Kinetisk energi
Elementformulering
30
-42
46
VI
4.
3.7.6
Konvergens av elementmetoden
64
3.7.7
Nøyaktighet
67
FRI SVINGNING
/ o
4.1
Udempet fri svingning
73
4.2
Egenverdiproblemet
74
4.3
Egensvingeformenes ortogonalitetsegenskaper
78
4.4
Likedannethetstransformasjon
80
4.5
Rayleigh-kvotienten
81
4.6
Egenverdialgoritmer
83
4.6.1
Vektoriterasjon
83
4.6.2
Egenverdialgoritmer basert på likedannethetstransformasjoner
4.6.3
5.
6.
Valg av metode
97
102
4.7
Dempet fri svingning
105
4.8
Kommentarer om nøyaktighet
110
MASSEMATRISEN
5.1
Innledning
1P5
5.2
Konsistent massematrise
116
5.3
Konsentrert masse
5.4
Konsistent kontra konsentrert masse
121
5.5
Hydrodynamisk masse
123
'
REDUKSJON AV ANTALL FRIHETSGRADER
118
131
SUBSTRUKTURER
6.1
Innledning
331
6.2
Konsentrert masse - statisk kondensering
132
6.3
Rayleigh-Ritz kondensering
134
6.4
Master-slave-teknikk
139
6.5
Substrukturer i dynamisk analyse
145
6.5.1
Innledning
145
6.5.2
Resymé statisk analyse
145
6.5.3
Dynamisk analyse
149
6.6
Kobling av substrukturenes
svingeformer
151
VII
7.
BEREGNING AV TVUNGNE SVINGNINGER. LINEÆRE SYSTEMER
161
7.1
Innledning
161
7.2
Modal analyse
163
7.2.1
Udempede normalkoordinater
163
7.2.2
Dempede normalkoordinater
168
7.2.3
Modal superposisjon
171
7.2.4
Løsning av de ukoblede bevegelsesligningene
7.3
Frekvens-responsmetoden
7.3.1
System med en frihetsgrad
7.3.2
Den direkte frekvens-responsmetode
for systemer med flere frihetsgrader
7.4
173 175 175
182
Impuls-responsmetoden
187
7.4.1
System med en frihetsgrad
187
7.4.2
Sammenhengen mellom impuls-
responsfunksjonen og frekvensresponsfunksj onen
7.4.3
194
Den direkte impuls-responsmetode for systemer med flere fri
hetsgrader 7.5
Skrittvis numerisk integrasjon av bevegelsesligningen
8.
197
7.5.1
Innledning
197
7.5.2
Metoder basert på differanseformulering
198
7.5.3
Metoder basert på numerisk integrasjon
200
7.5.4
Stabilitet
206
7.5.5
Nøyaktighet
209
7.5.6
Direkte integrasjon av det koblede system
7.6
19 5
Modal superposisjon kontra direkte integrasjon
211
223
IKKELINEÆRE SVINGNINGER
227
8.1
Innledning
227
8.1.1
Ikkelineære systemer
227
8.1.2
Beskrivelse av ikkelineære
8.1.3
svingninger
228
Løsningsmetoder
234
VIII
8.2
Perturbasjonsmetoden
235 8.2.1
Introduksjon
8.2,2
Lindstedt-Poincare ’s metode
8.2.3
Frekvens-responsfunksjonen
8.2.4
Stabilitet og Mathieus ligning
235 238
241 245
8.3
Skrittvis numerisk integrasjon av ikkelineære
systemer 249
8.3.1
Inkrementell formulering av
bevegelsesligningen
8.3.2
249
Direkte integrasjon av den
inkremente1le bevegelsesligning
255
8.3.3
iransformasjon til normalkoordinater
260 DEMPNING
265
9.1
Innledning
9.2
Matematiske dempningsmodeIler
9.2.1
Generelt
9.2,2
Lineær viskos dempning
9.2.3
Ekvivalent viskøs dempning
9.2.4
Ikkelineær viskøs dempning
9.2.5
Strukturell dempning
9.2.6
Coulombs dempning
9.3
Typer dempning i svingesysternet
9.4
Modal dempning
9.5
Dempningsmatrisen
9.5.1
Elementformulering
9 . 5 .-2
Proporsjonal dempning
9.5.3
Caughey-rekke
9.5.4
Direkte utvikling av ortogonal dempningsmatrise
10 .
STOKASTISKE SVINGNINGER 10.1
Innledning
10.2.
Stokastiske prosesser
10.2.1
Definisjon
10.2.2
Matematisk beskrivelse
10.2.3
Momenter av stokastiske prosesser
10.2.4
Kontinuitet, derivasjon og integrasjon
265
266 266 266
271
272 274
276 277 285
2 87 287
287 290
292
297
297 298 298
301
305 307
IX
10.2.5
Stasjonære prosesser
314
10.2.6
Ergodiske prosesser
316
10.2.7
Gaussprosesser
322
10.2.8
Korrelasjonsfunksjonen
327
10.2.9
Spektraltetthet og spektral-
fordeling
10.3
10.2.10 Flerdimensjonale prosesser
345
10.2.11 Generalisert harmonisk analyse
348
10.2.12 Evolusjonære prosesser
355
10.2.13 Stokastiske differensialligninger
360
Respons av lineære systemer
362
10.3.1
Generelle bemerkninger
10.3.2
System med en frihetsgrad: Stasjonær respons
10.3c3
10.3.4 1 J ,4
10.5
331
362
362
Systemer med flere frihetsgrader: Stasjonær respons
371
Ikkestasjonær respons
376
Respons av ikkelineære systemer
386
10.4.1
Generelle bemerkninger
386
10.4.2
Stokastisk linearisering
386
10.4.3
Perturl r jonsmetoden
390
Responsstatistikk
394
10.5.1
Generelle bemerkninger
394
10.5.2
Terskeloverskridelse
394
10.5.3
Sannsynlighetsfordeling av maksima
397
10.5.4
Ekstremer
404
10.5.5
Utmatting
409
10.5.6
Analyse av usikkerhet
411
MON TE CARLO SIMULERING
417
11.1
Innledning
417
11.2
Generering av slumptall
418
11.3
Simulering av stasjonære skalarprosesser
420
11.3.1
Modeller med stokastisk fase
11.3.2
Modeller med stokastisk fase
420
og frekvens
425
11.3.3
Konvergens
431
11.3.4
Anvendelse av FFT teknikken
434
11.3.5
Respons for lineære systemer
435
X
11.4
11.5
11.6
12.
Simulering av flerdimensjonale stasjonære
437
skalarprosesser
437
Simulering av stasjonære vektor-
prosesser
433
Simulering av ikkestasjonære prosesser
439
443
BELASTNINGER
12.1
Innledning
443
12.2
Bølgelast
444
12.2.1
Havoverflaten som stokastisk prosess
444
12.2.2
Bølgenes kinematikk
448
12.2.3
Bølgekrefter basert på Morison’s ligning
12.3
Vindlast
12.3.1
12.3.2
12.4
12.4.2 13.
459
Atmosfærisk turbulens som stokastisk prosess
459
Stokastiske vindkrefter
464
Jordskjelvlast
12.4.1
451
466
Jordskjelv modellert som
stokastisk prosess
466
Jordskjelveksitasjon av konstruksjoner
469
ANVENDELSER
475
13.1
475
13.2
Innledning Bølgeinduserte svingninger av
betongplattform
476
13.3
Bølgeinduserte svingninger av flytebru
482
13.4
Vindinduserte svingninger i et høyhus
491
STIKKORDLISTE
499
XI
FORORD
Denne boken er en utvidet og omarbeidet utgave av et forelesningskompendium med samme navn skrevet av Ivar Langen våren
1975 for særkursundervisningen ved Institutt for marine konstruk
sjoner.
Senere er stoffet utvidet og brukt ved flere videreut-
danningskurs på dr.ing.-nivå for såvel skipsingeniører som
bygningsingeniører. I stoffvalget har en tatt sikte på å gi en videregående
innføring i teorien for analyse av svingninger i kompliserte konstruksjoner.
terte metoder.
Spesielt er det lagt vekt på regneriaskincri'-.
Fremstillingen forutsetter derfor kjennskap til
grunnleggende svingningsteori og sannsynlighetsregning og til kompleks analyse og Fouriertransformasjoner.
Videre forutset
tes det gode kunnskaper i statikk og spesielt i bruk av matrisemetoder og elementmetoder.
Da begge forfatterne har hatt undervisning bare som biopp-
gaver, har det vært vanskelig å finne tid til å gjennomarbeide
stoffet så godt som en skulle ønske. gitt,
Når boken likevel blir ut
skyldes det mange oppfordringer fra tidligere studenter og
den interesse det i dag er for dette stoffet.
Videre er det
direkte og indirekte gitt finansiell støtte til utarbeidelsen
fra SINTEF,
Institutt for marine konstruksjoner, NTH, og Det
norske Veritas. Når boken her presenteres i leselig form,
skyldes det ikke
minst Kirsten Østborg og Reidun Brun Hansen som har maskinskre vet manuskriptet, og Olga Hiksdal Knutsen og Guri Berge som har
utført illustrasjonene.
Trondheim, august 1979.
Ivar Langen
Ragnar Sigbjornsson
XIII
SYMBOLLISTE
Generelle regler - Matriser og vektorer betegnes med tykke bokstaver,
f.eks.
k
- Den transponerte av en matrise eller vektor betegnes ved T superindeks T, f.eks. k - Den partiell deriverte av en størrelse er delvis skrevet som
W,
_
X
3w
- -7T— 3x
W,
_ 32 w
XX
- — y dX2
- Prikk over symbolet betegner tidsderivert
Symboler Symbolene defineres når de først opptrer i teksten. viktigste symbolene og deres betydning er gitt nedenfor.
De Lokalt
i et avsnitt kan symbolene ha annen betydning.
a *1.
Konnektivitetsmatrise ,
A
Areal
se lign.
(2.7)
Belastningens potensielle energi
A
s
Skjærareal
A
Generell matrise
B
Konstant
B
Generell matrise Matrise eller vektor av tøyningsformfunksjoner, lign.
(3.83)
Influensmatrise ,
se lign.
(6.33)
se
XIV
c c
Dempningskoeffisient (h)
Hydrodynamisk dempning
Modal dempningskoeffisient,
1
se lign.
(9.63)
eller
(7.14)
C
Ekvivalent viskøs dempningskoeffisient
eq
C •
Elementdempningsmatrise
C
Konstruksjonens dempningsmatrise
C
dempningsmatrise svarende til gene raliserte koordinater
CI
inkrementell dempningsmatrise
cs
Strukturell dempningsmatrise
Q
Autokovariansfunksjon for X
CXY
Krysskovariansfunksjon for X og Y
CX
Kovariansmatrisen
CoYV(w) AI
Kospektraltetthet for X og Y
CohYW(æ) XY
Koherensspektrum for X og Y
D
Dynanu
D
Generell diagonalmatrise
e
Feilvektor
E
Elastisitetsmodul
E
Elastisitetsmatrise
EI
Bjelkeseivhet
f
Frekvens i Hz
f (x)
Funksjon av x
F
-
ft,fd FZ,Fd,FS
f orsterkningj
iktor, se lign.
(7.46)
Kraft
Treghetskraft, dempningskraft -
Vektor av treghetskrefter, dempningskrefter og elastiske krefter
XV
F
X
F(w)
-
Sannsynlighetsfordelingsfunksjon for X
-
Hydrodynamisk overføringsfunksjon for system med flere frihetsgrader
g
- Tyngdens akselerasjon
G
- Skjærmodul
G
- Ikkelineær vektorfunksjon
Gv(co)
- Spektralfordeling for X
Gy(co)
- Spektralfordelingsmatrise for
h
Skrittlengde i tid ved skrittvis integrasjon
-
h(t)
h(t)
X
- Impuls-responsfunksjon
Impuls-responsfunksjon for system med flere
-
frihetsgrader H
-
Matrise av forskyvningsmønstre,
se lign.
(6.8)
H(co)
- Frekvens-respons funksj onen
fL(lo)
- Den modale frekvens-respons f unks j on
H(æ)
- Frekvens-responsfunksjonen for system med flere frihetsgrader
Hz
- Hertz
i
- Imaginærenheten
I
- Treghetsmoment for bjelketverrsnitt
(sykler pr.
sekund) (i = /-T)
Impuls
I
-
Enhetsmatrise
k
-
Stivhetskoeffisient
k.
-
Modal stivhet
k
-
Elementstivhetsmatrise
K
-
Konstruksjonens stivhetsmatrise
K
-
Generalisert stivhetsmatrise
i
raliserte koordinater
Kt
-
Inkrementell stivhetsmatrise
svarende til gene
XVI
£
-
E leme ntlengde
L
-
Lagranges funksjonal
L
-
Nedre-triangulær
matrise dannet ved
Cholesky-faktorisering (lign.
Gauss-faktorisering
m m
(lign.
(4.11))
eller
4.62))
- Masse (h)
- Hydrodynamisk masse
nr
- Modal masse
m
- Elementmassematrise
m(z,sT)
- Antall maksima større
enn z
mm(D
- Totalt antall maksima
pr. tidsenhet
M ,M ,M x y xy
- Momentkomnonenter
M
- Konstruksjonens massematrise
M
- Generalisert massematrise svarende
i intervallet AT
tilgene
raliserte koordinater
n
- Antall frihetsgrader
n(^,AT)
- Antall opp- og nedkryssinger intervallet
n+(0,l)
avterskelen
AT
- Nullkryssingsfrekvensen
(antall oppkryssinger av null pr. N
Z i
-
tidsenhet)
Matrise eller vektor av interpolasjonsfunksjoner
( forrnfunks j oner)
p
~
Normalfordeling
-
Egenverdi i det kvadratiske egenverdiproblem
Fordelt belastning p( • )
-
Polynom
Py
-
Sannsynlighetstetthetsfunksjon
P
-
Elementlastvektor
Pr[•]
-
Sannsynlighet for at
q
-
Vektor av generalisertekoordinater
for X
XVII
Q
Lastfunksjon
X
Modal lastfunksjon
Quxy(w)
Kvadraturspektraltetthet for X og Y
Q
Konstruksjonens lastvektor
Qc
Vektor av konsentrerte knutepunktslaster
r
Forskyvning av et punkt i konstruksjonen
r
Konstruksjonens forskyvningsvektor
(frihetsgrader)
Rx
Autokorrelasjonsfunksjon for X
rxy
Krysskorrelasjonsfunksjon for X og Y
Rx
Korrelasjonsmatrisen for X
s
Overflateareal
Sv(to) X
Autospektraltetthet for X
S XY (co)
Kryss-spektraltetthet for X og Y
S
Vektor av spenningsresultanter i elementknutepunktene (to)
Spektraltetthetsmatrise for X
-4—
Tidsvariabel
T
Kinetisk energi
Tidsperiode Egenperiode
Td
Dempet egenperiode
T (x ,y)
Vektor av overflatekrefter pr.
T(co)
Faktorisert hydrodynamisk overføringsfunksjon
u
Forskyvning av massepunkt Forskyvning i x-retning
u
Forskyvningsfelt
u
Tøyningsenergi
U
Middelvindhastighet
V
Forskyvning i y-retning
arealenhet
XVIII
Elementets forskyvningsvektor
V
(frihetsgrader)
V
Volum
w
Forskyvning i z-retning
w
Vektor av hastigheter og forskyvninger, se lign.
(7.22)
w
Arbeid
wd
Energitap pga.
dempning
Romlig koordinat x(æ)
Forskyvning i frekvensrommet
x. (co) 1
Normalkoordinat i frekvensrommet
X
Stedsvektoren (romkoordinatene) Egenvekter for det spesielle egenverdiproblem
x(æ)
Forskyvningsvektor i frekvensrommet
X(t)
Stokastisk prosess
X
Vektor av volumkrefter Egenvektormatrise
X(t)
Stokastisk vektorprosess
X(co)
Lastvektor i frekvensrommet
y
Romlig koordinat
Udempet normalkoordinat
y
Vektor av udempede normalkoordinater
Y(t)
Stokastisk prosess
Y
Transformasjonsmatrise
z
Romlig koordinat
z. 1
Dempet normalkoordinat
z
Iterasjonsvektor Vektor av dempede normalkoordinater
Z z
A
(co)
Spektralprosessen til
X(t)
Matrise av iterasjonsvektorer
XIX
ZY (co)
Spektralprosessen til
a
Fasevinkel
ai ,«2
Dempningsfaktorer ved proporsjonal dempning
B
Frekvens forholdet
Y xy ’ Y yz ’ Y zx
Skjærtøyningskomponenter
6
Logaritmisk dekrement
Ar •
Forskyvningsinkrement
AT
Tidsintervall
A co
Frekvensintervall
A.
Korreksjon til forskyvningsinkrement
£
Pertubasjonsparameter
i
X(t)
(lign.
7.47)
Prosessens båndbredde Fasevinkel
£ x ,’ E y ,’ £ z
Tøyningskomponenter
£
Tøyningsvektor
n
Tapskoeffisienten Bølgeamplityden
e
Rotasjonsvinkel Fasevinkel
0
(co)
Fasespektrum
K
Bølgetallet,
K , < ,K x’ y’ xy
Krumning
X
Egenverdi
se lign.
(12.9)
DempningsforhoId
XR
Rayleigh-kvotienten
A
Diagonalmatrise av egenverdien
(spektralmatrisen)
U
Skiftverdi
Middelverdifunksjon for X
v
Poisson’s forhold (tverrkontraksjonstallet)
XX
5
Romlig avstand mellom to punkter
n
Potensiell energi
p
Masse pr.
p(-)
Spektralradius
px
Autokorrelasjonskoeffisientfunksjon for X
PXY
Krysskorrelasjonskoeffisientfunksjon for
volumenhet
X og Y a
x
,a
,o y’ z
Spenningskomponenter
ax
Standardavvik for X
°X
Variansen til X
T
Tidsvariabel Tidsforsinkelse
T
xy
ø
,T
yz
,T
zx
Skjærspenningskomponenter Vektor av formfunksjoner
Egenvekter $
Egenvektormatris en
0 o
l(x)
6
(x)
■
0
,
x < 0
2
,
X = o
0
,
x > 0
0
,
x < 0
00
,
x = 0
0
,
x > 0
Gammafunksj onen
Hearisides’
enhetsfunksjon
Dirac’s deltafunksjon
KAPITTEL
en INNLEDNING
1.1
GENERELLE BEMERKNINGER Siktemålet med dette kompendiet er å gi en videregående inn
føring i teorien for analyse av svingninger i kompliserte kon struksjoner
induserte av irregulære tidsavhengige belastninger.
Det legges hovedvekt på datamaskinerienterte metoder.
Behovet
for slike analyser er blitt aktualisert gjennom de senere års utvikling innen konstruksjonsteknikken,
en utvikling som har
brakt med seg nye konstruksjonstyper og nye materialer og ikke minst nye dimensjoneringsprinsipper med hovedvekt på optimal konstruksjonssikkerhet
[1].
2
Det forutsettes i utgangspunktet at konstruksjonene kan modelleres matematisk ved hjelp av matrisemetoder eller element metoder som et deterministisk system karakterisert ved masse,
dempning og stivhet.
Elementmetodene ble opprinnelig utviklet
som et redskap for analyse av egensvingninger og "flutter"svingninger i flykonstruksjoner.
Senere har anvendelser på sta
tiske problemer vært mest fremtredende
[3,4,5, 6,7].
I de se
nere år er det imidlertid gjort store fremskritt når det gjelder effektive metoder og programsystemer for løsning av svingningsproblemer med disse metoder. Svingningsteorien er blitt utvidet betydelig i de senere
år ved innføringen av stokastiske metoder.
Behovet for slike
metoder oppsto ut fra den erkjennelse at visse lasttyper beskri
ves mer hensiktsmessig med hjelp av stokastiske variable kastiske laster)
ke laster).
enn med deterministiske variable
At lasten er deterministisk,
entydig bestemt.
(sto
(deterministis
innebærer at den er
Karakteristisk for deterministiske laster er
at det er mulig å forutsi lastens eksakte størrelse på et vilkår
lig tidspunkt og sted.
At lasten er stokastisk,
innebærer at
den kun kan beskrives ved hjelp av statistiske gjennomsnitts
størrelser.
Karakteristisk for stokastiske laster er at det
ikke er mulig å forutsi lastens størrelse "eksakt".
På den annen
side er det, ved hjelp av teorien for stokastiske prosesser,
mulig å gi et utsagn om sannsynligheten for at lasten
ikke vil
overskride en gitt verdi. Responsen av deterministiske systemer påvirket av determinis tiske laster vil bli deterministisk.
I slike tilfeller er det
derfor mulig å forutsi responsen eksakt.
Motsatt vil responsen
av deterministiske systemer påvirket av stokastiske laster bli
stokastisk.
Da er det bare mulig å gi et statistisk utsagn om
responsens størrelse, for eksempel sannsynligheten for at respon sen ikke vil overskride en foreskrevet terskelverdi.
3
1.2
DEN DYNAMISKE LIKEVEKTSLIGNING Den dynamiske (tidsavhengige)
belastning adskiller seg fra
statisk belastning ved at den - gir tidsavhengig løsning - fremkaller treghetskrefter i konstruksjonen Den vesentlige forskjellen ligger i treghetskreftene,
STATISK
FIG. 1.1
se fig.1.1
DYNAMISK
Moment på grunn av statisk og dynamisk belastning
Vi betrakter et stivt legeme (massepunkt) med masse
en forskyvningsfrihetsgrad
u^.
m
og med
Er legemet i statisk likevekt
(massepunkt i ro), vil summen av de enkelte kraft- eller moment-
komponenter i retning
"i"
være lik null (1.1)
?Fk = 0 k 1
hvor
er kraft- eller momentkomponent i retning
"i".
Hvis nå massepunktet ikke er i likevekt, vil det akselerere i følge Mewtons lov: \Fk = m.u. fi ii k
(1.2)
VFk - m•u. = 0 f i ii k
(1.3)
eller
4
I følge d’Alemberts prinsipp kan nå lign.(1.3) betraktes som en
dynamisk likevektsligning idet treghetskraften
(14)
F iii . = - m.u.
k i.;
innføres i tillegg til de andre kraftkomponentene
F1/
på lege
met dvs .
(1.5)
ZFp + F? = 0 k 1 1
Til å formulere denne likevektsligning kan vi nå som i det sta
tiske tilfellet bruke det virtuelle arbeids prinsipp.
Eks.
1.1:
I figur 1.2 er vist et svingesystem med én frihetsgrad
FIG. 1.2 Svingesystem med en frihetsgrad
Massen er betegnet med
m,
i en fjær med fjærkonstant
tor er
c.
dens elastisitet er tenkt konsentrert k
og systemets viskøse dempningsfak-
Likevekten krever at
Q(t)
- mu - cu - ku = 0
eller mli + cu + ku = Q(t)
Denne ligning illustrerer at en deterministisk last en deterministisk respons
kastisk respons.
(1.6) Q
gir
u, mens en stokastisk last gir en sto
Det siste fremgår klart ved å se på en partiku-
5 lærløsning til ligningen som kan skrives
j Q(
t)h(m,c,k,t ,T )dT
(1.7)
0
h
hvor
er en deterministisk systemfunksjon kjent under navnet
impuls-respons-funksjonen (se Kap.7.4). Denne ligning viser at responsen kan betraktes som en lineær kombinasjon av stokastiske
variabler
Q(tt), Q(t2),
...
idet integralet utvikles som en
sum.
▼ Eks.
Bjelke med tidsavhengig last
2
FIG. 1.3
En bjelke med stivhet
Bjelke med tidsavhengig last.
EI
og statisk last
p
har differensial-
ligningen 92
(EI
3x2
(1.8)
- p (x) 3x 2
når skjærdeformasjonen neglisjeres.
Dersom den ytre last er
p(x,t)
og treghetskreftene inklu
deres etter d'Alemberts prinsipp, kan lasten skrives
p(x,t)
hvor
p
= p(x,t)
- p— 3t2
er masse for lengdeenhet.
(1.9)
Når dette innføres i
lign.(1.8) blir differensialligningen for bjelkesvingningen
6
— (EI^) + p^
3x2 a
(1.10)
± p(x,t)
3t2
3x2
Her er ikke rotasjonstreghet tatt i betraktning. Fra denne ligning ser vi at for en deterministisk last i
tid og rom
p(x,t)
vil responsen
y(x,t)
bli en deterministisk
funksjon i tid og rom,
som kan bestemmes eksakt hvis begynnelses-
betingelsene er kjent.
Tilsvarende gjelder at hvis lasten er en
stokastisk funksjon i tid og rom, vil responsen bli en stokastisk
funksjon i tid og rom, hvilket fremgår klart av løsningen som kan
skrives tl y(x,t) - jjp(C,T)h(EI,p, x , £ , t ,T )dCdT
(1.11)
00
Her er
h
en deterministisk systemfunksjon.
Det samme ville selvfølgelig være tilfelle hvis bjelken ble modellert som et diskret system med endelig antall frihets
grader.
I de foregående eksempler er det tilsynelatende antatt at
stokastiske funksjoner * )
kan behandles på samme måte som deter
ministiske funksjoner når det gjelder derivasjon og integrasjon. Det vil si, den samme dynamiske 1ikevektsligning og løsning er
brukt for stokastiske og deterministiske lastfunksjoner.
Det bør
likevel understrekes at eksistensen av differensialer og integra ler av stokastiske funksjoner nødvendigvis må følge stokastiske
kriterier som,
i følge sin natur,
er forskjellige fra tilsvaren
de deterministiske kriterier (se Kap.10).
På den annen side er
det mulig ved hjelp av generaliserte funksjoner å anvende den
stokastiske formalisme for deterministiske funksjoner.
Det er
derfor mulig å se på de deterministiske funksjoner som et spesi altilfelle av de stokastiske.
Senere brukes betegnelsen stokastisk prosess i stedet for stokastisk funksjon.
7
1.3
DISKRETISERING. FRIHETSGRADER Bjelken i figur 1.3 er eksempel på et kontinuerlig problem
med uendelig antall frihetsgrader hvor en kan etablere differen
sialligningen og løse denne.
For de fleste konstruksjoner er
imidlertid ikke denne fremgangsmåten mulig, og en må basere seg på en diskretisering av problemet ved å velge et begrenset an
tall frihetsgrader
(koordinater) og finne en løsning knyttet til
disse. I en statisk rammeanalyse med matrisemetoden benytter en seg
av kjente løsninger for bjelken i fig.
1.3 og tenker seg konstruk
sjonen sammensatt av et antall slike bjelker (elementer).
struksjonens frihetsgrader (koordinater) tasjoner i knutepunktene
Kon
er forskyvninger og ro
(bjelkeendepunktene).
Valget av frihets
grader er bestemt ut fra belastningens form, konstruksjonens form,
dens kinematikk (forskyvelighet) og i hvilke punkter vi ønsker løsning. En tilsvarende diskretisering skjer ved elementmetoden.
Her
bygger en imidlertid på energibetraktning og interpolasjon av
forskyvningene innen et element,
(se Kap.
3.7).
I dynamikken må en ta hensyn til bevegelsen av massen.
An
tall frihetsgrader må da velges slik at en tilstrekkelig nøyaktig
kan definere treghetskreftene.
Diskretiseringen av et dynamisk problem kan gjøres på to
forskjellige måter: 1.
Konsentrert masse
(diskrete frihetsgrader)
En antar at konstruksjonens masse er konsentrert i diskrete punkter.
Disse massepunktene antas å være forbundet av vektløse
elementer med fordelt elastisitet.
,---- Vektløs bjelke med fordelt elastisitet.
x------ Konsentrert masse
FIG. 1 .4
Konsentrering av masse
8
2.
Konstruksjonens deformasjonsforløp antas (generaliserte frihetsgrader)
Konstruksjonens forskyvning beskrives ved en antatt formfak-
tor
Dermed kan konstruksjonen reduseres til et system
4>(x).
q(t),
med en generalisert frihetsgrad
se fig.
1.5.
q(t)
er
her amplitydeverdien i toppunktet.
Dette er en fremgangsmåte som i prinsippet benyttes i RayleighRitz metoden og elementmetoden.
Ved denne fremgangsmåte er
selvsagt resultatet helt avhengig av hvor "god" den antatte ut-
bøyningsform er.
REFERANSER [1]
Holand,!.,
Kavlie,D., Moe,G.
Safety of Structures under Dynamic Loading,
Tapir, Trondheim, [2]
Clough,R.W.
editors
and Sigbjornsson,R.,
Vol.l,
1978.
and Penzien,J.:
Dynamics of Struetures
McGraw-Hill, New York, 1975.
9 [3]
Haslum,K.: Matrisestatikk og elementmetoder i analyse av
skipskonstruksjoner ,
[4]
Zienkiewicz,0.C.: McGraw-Hill,
[5]
Desai,C.S.
The Finite Element Method,
Element Method,
[6]
Brebbia,C.A.
Huebner,K.H.:
Srd edition
Introduction
to the Finzte
Van Nostrand Reinhold Company,
1972.
and Connor,J.J.:
Element Techniques,
[7]
1974.
London, 1977.
and Abel,J.F.:
New York,
Tapir', Trondheim,
Fundamentale of Finzte
Butterworths,
London,
1973.
The Finite Element Method for Engineers,
John Wiley & Son,
New York,
1975.
KAPITTEL
to MATRISEFORMULERING AV DYNAMISK LIKEVEKT ETTER FORSKYVNINGSMETODEN
2.1
INNLEDNING
For å legge grunnlaget for svingningsanalyse ved hjelp av
forskyvningsmetoden på matriseform,
skal en her kort rekapitu
lere denne metoden for statisk analyse.
Deretter skal en
direkte ut fra d'Alemberts prinsipp formulere den dynamiske likevektsligning for en konstruksjon.
12
2.2
RESYME AV ELEMENTANALYSEN I FORSKYVNINGSMETODEN For et bjelke-element har en følgende sammenheng mellom kref
ter og forskyvninger i knutepunktene når en bare tar hensyn til deformasjoner på grunn av moment,
FIG.
2.1
[1],[2].
Bjelkeelement med 6 frihetsgrader
eller s -
kv + P
S er en vektor bestående av snittkreftene i knutepunktene,
vektor av fastinnspenningskrefter i likevekt med ytre last,
P
k
er stivhetsmatrisen for et element og v en vektor av knutepunktsforskyvninger og rotasjoner.
Tar en i tillegg hensyn til skjærdeformasjoner, kan en skrive stivhetsmatrisen med 6 frihetsgrader som
13
EA £ 1 9FT
—-__ £3 (1 + ot)
Q
6EI
_
0
£2(1+a) °
“
- _L2EI
o
£3(l+a)
0
-
6EI
£2(l+a)
symmetrisk
(U+g)EI £(1+a) u
•6EI
¥
£2(l+a)
(2-a)EI
£(l+a)
12EI
0
£3(l+a)
6EI
Q
(f+a)EI
£2(l+a)
£(l+a)
der 12EI GA £2 o og G betegner skjærmodul og Aq skjærareal.
Stivhetsrelasjonen i lign.
(2.1)
er beskrevet i et lokalt
Koordinatsystem med en akse langs bjelkeaksen.
Når konstruk
sjonens stivhetsrelasjon skal etableres på grunnlag av element-
stivhetsrelasjonene, må elementfrihetsgradene som knyttes sammen i et knutepunkt, være referert til samme koordinatsystem.
Det
er derfor hensiktsmessig å bruke et felles globalt system for
hele konstruksjonen og refere alle stivhetsrelasjonene til dette.
Fig.
2.2 viser et plant bjelkeelement med krefter og forskyv
ninger referert til et lokalt system (x,y)
(x,y).
og et globalt system
Sammenhengen mellom forskyvningene og mellom kreftene i
de to systemene er gitt ved v = Tv
s
=
tts
(2.2a) (2.2b)
hvor transformasjonsmatrisen T kan skrives som (2.2c)
14
FIG.
2.2
Krefter og forskyvninger i lokalt og globalt system
der COSØ
sinØ
0
-s inØ
COSØ
0
0
0
(2.2d)
1
Stivhetsrelasjonen i det globale system blir dermed
S =
kv + P
k =
TkT
(2.3a)
hvor T-
(2.3b)
TP = T P
(2.3c)
og
15
2.3
RESYME AV SYSTEMANALYSEN I FORSK YVNINGSMETODEN En aktuell komplisert konstruksjon tenker en seg oppdelt i
flere enkle elementer,
for eksempel av typen beskrevet foran.
Elementene er knyttet sammen i konstruksjonens knutepunkter. Belastningen i form av ekvivalente knutepunktskrefter sam
les i vektoren
Q
og de ukjente knutepunkts forskyvninger og r.
rotasjoner i vektoren
Q
svarer til
r
slik at
T Q r - arbeid Ved å innføre kompatibilitet mellom forskyvningene
v og r og
forlange likevekt i knutepunktene kan en etablere følgende sammen
heng
Q - Kr
hvor
K
(2.4)
er konstruksjonens stivhetsmatrise dannet av elementenes
stivhetsmatriser .
Formelt kan oppbyggingen av
K
K og Q
skrives
= la^k.a.
(2.5)
1
Q x
hvor
Q
=Q - YaTP. xc .11 i
(2.6)
er konsentrerte ytre krefter i knutepunktene.
Her er kompatibilitetsbetingelsene
v . - a.r i i
(2.7)
og likevektsbetingelsene i knutepunktene
PPi = Qc
(2.8)
benyttet, a^ kalles konnektivitetsmatrisen definert ved (2.7).
a•
for element
i
og er
blir i praksis ikke etablert som mat—
16 Den er mer en symbolsk skrivemåte.
rise.
I regnemaskinen bruk
es en mer kompakt måte å beskrive kompatibilitetsbetingelsene og videre direkte innaddering av leddene fra
[1,2].
Randbetingelsen
og spalte i
inn i
k.
K,
se
innføres ved å fierne i’te linse
r-=0
K .
DYNAMISK LIKEVEKT VED KONSENTRERT MASSE
2.4
Når en konstruksjon utsettes for dynamisk belastning, vil følgende krefter virke på konstruksjonen:
treghetskrefter dempningskrefter
påtrykte tidsavhengige krefter
Hvis disse kreftene samles i lastvektoren
sjonen (2.4)
fortsatt gjelde
Q
vil stivhetsrela-
(d1Alemberts prinsipp).
Problemet
blir da a etablere den dynamiske lastvektoren Q. Ved en matrisemetode er det naturlig å bruke konsentrert
masse,
dvs.
massen knyttes til knutepunktene i konstruksjonen.
Beregning av treghetskreftene blir da meget enkel.
Den fordelte
translasjonsmasse for hvert element fordeles på elementets knute punkter ut fra likevektsbetraktning, se fig. 2. 3.
Knutepunktets
rotasjonsmasse kan imidlertid ikke bestemmes på samme enkle måte.
Som vi senere skal se,
neglisjeres den vanligvis.
vil den imidlertid bli tatt med.
vektløs bjelke med fordelt elastisitet
FIG.
2.3
Vektløs bjelke med konsentrerte masser.
I det følgende
17
Denne masse-diskretiseringen vil påvirke valget av knutepunkter
(frihetsgrader).
For bjelke-elementer ma en vanligvis velge
flere knutepunkter i en dynamisk enn i en statisk beregning om
modellen med konsentrerte treghetskrefter skal tilnærme den vir
kelige konstruksjonen med tilstrekkelig nøyaktighet.
Videre må
en ved plassering av knutepunktene ta hensyn til forventet
svingeform.
Dynamisk: É______ ___________________________ *
1
p£
2
i/ei
fr 0.39 lfø~
p £ 2____________ 9 • IT)
I I
O
|/ EI f2= 2.db \l p£4
Eksakt:
Ett element :
v] = n“,
/~EI ' p£4
*P 4
fr°-56^ f2‘3-7' S
eksakt.
FIG.
2.4
Diskretisering av utkraget bjelke.
Av fig.2.4 ser vi at mens ett element gir eksakt løsning i det
statiske tilfelle, må en bruke flere elementer for å få en bruk bar løsning av egensvingeproblemet.
På samme måte som for treghetskreftene antas her dempningskreftene og de tidsavhengige lastene å virke direkte i knute punktene .
For å konkretisere kan vi ta utgangspunkt i den plane ramme-
konstruksjonen i fig.2.5
Figuren viser også elementinndelingen.
Modellen har 3 frihetsgrader pr. knutepunkt som vist i fig.2.6. Vi vil først betrakte ett av disse knutepunktene, knutepunkt i:
18
masse = M Rotasjonstreghet = I
FIG.
Diskretisert ramme
2.5
FIG. 2.6
Knutepunkt (i) med 3 frihetsgrader
Forskyvningene i dette knutepunktet samles i vektoren = {rx , r2 , r3 h
r. i
(2.9)
og kreftene i vektoren Qg =
Oi , Q2 ,
Q3 h
(2.10)
(i) angir knutepunktet.
hvor indeks
Vi benytter så d’Alemberts prinsipp og beskriver den totale
Q.
belastning
som summen av treghetskrefter, viskøse dempnings-
krefter og tidsavhenhig last
r} + Qi (t)
+ Q2H)
Q2
= “m^2 '
c 2ø
Q3
= -Ir3 -
C3 r3 + Q3 (t)
Ligningene (2.11) kan videre skrives på formen
(2.11)
19
Betegner vi diagonalmatrisene for treghet og dempning med hen
holdsvis
C;, kan den totale belastning på knutepunktet
og
M.
skrives - C . r.
= -M. r.
Q.
i
ir
ii
+ Q.(t)
(2.13)
i
De enkelte knutepunkts vektorer
Q^.
og
r_.
kan videre settes
sammen til konstruksjonens last- og forskyvningsvektor
Q =
‘i’
r =
i
r r
i
2
ICY
____
•
■
E
r
1
Den totale belastning på konstruksjonen kan da skrives
Q = - Mr - Cr + Q(t)
hvor
M og
C
(2.14) har betydningen
i
M =
(2.14)
M
C =
i M
"c 1
(2.15)
c2
2
M
m_
cm
For et elastisk system har vi følgende sammenheng mellom krefter og forskyvninger (lign.2.14)
Q = Kr
Innsatt for
Q
fra lign.(2.14) får vi så
Mr + Cr + Kr = Q(t)
(2.16)
Dette blir dermed den dynamiske likevektsligning for systemet på matriseform.
20
2.5
FRI HARMONISK SVINGNING For en fri svingning uten dempning er
Q( t)
= 0
C = 0
og
og lign.(2.16) spesialiseres dermed til
Mr + Kr = 0
(2.17)
Ved løsning av (2.17) antar vi harmonisk svingning (en svingning hvor alle punkter svinger i fase med samme frekvens), det vil si
bevegelsen er gitt ved
r = øsinæt
Når (2.18)
innføres i (-Mco2
(2.18) (2.17),
+ K)øsinwt
får vi
- 0
eller (K-m2M)ø=0
(2.19) Dette problem er av en
Ligning (2.19) er et egenverdiproblem.
annen natur enn de ligningene en statisk analyse gir og krever
andre løsningsmetoder.
svingeform, og
æ
ø er egenvektoren som angir systemets
er egenverdien eller sirkelfrekvensen for den
fri, harmoniske svingning.
udempede,
matrise og
M
K
er systemets stivhets
en diagonal massematrise.
Egenverdiproblemet er
nærmere diskutert i kap.4.
▼Eks.
2.1
Utkraget bjelke
Vi betrakter en kort, høy bjelke og deler denne i to ele
menter.
Vi tar bare hensyn til skjærdeformasjon.
risen for hvert element er gitt ved (2.3). er vist i figuren på neste side.
Stivhetsmat-
Diskretisert masse
Merk at en ikke får bidrag
rra rotasjonsmasse ved ren skjærdeformasjon.
21
M2 = p£/2
M] = p£
fr^(y)
FIG.
2.7
Svingning
tr3(y)
av utkraget bjelke
Stivhetsmatrisen får da formen
GA K = —f
(2.20)
2y
Innføres randbetingelsen
r
=0 ,
får vi
(2.21)
r
Massematrisen for det svingende system blir
M
p£
0
0
p£/2
Egenverdiligningen ved harmonisk,
(2.22)
fri svingning blir da
0
(2.23)
22
hvor
- U2 ,
4)
}
Dette egenverdiproblem er så enkelt at løsning kan finnes ved å sette determinanten til koeffisientmatrisen lik null, dvs.
det
T 2g-w2
-B
= 0
"I
B-jco2
~B
hvor
GAq = —p £2
B
Den karakteristiske ligning blir
(2B-æ2)(B-iæ2) u?
- 4Bæ2
+
2B2
- B2
= 0
= 0
Den har røftene / 2B2' =
co2
=
w2
0 . 586 GA„ = -------- i
2B ±
(2 ± Æ)B
pr2
1
3,U14GA
o
Den tilsvarende frekvens blir f.
1
f2
x -A 2tt
= 0.122 /GAg/p^2"1
eksaRt
= 0.294 / GAg/p£2' (f2
eksakt = 0 . 376 / GAg/p£2 )'
(Kfr.
= 0.125 /GAg/pÅ2)'
fig.2.7 for betydning av £)
23
2.2
▼ Eks.
Utkraget bjelke
FIG.
2.8
Svingning av utkraget bjelke
Figur 2.8 viser en forholdsvis slank bjelke hvor det bare er nød
vendig å ta hensyn til deformasjon på grunn av moment. formasjoner og rotasjonstreghetskrefter neglisjeres.
Skjærde-
Figuren
viser bjelken, den diskretiserte massefordeling og de 6
grader som må innføres når bjelken deles i to elementer.
frihets Stiv
hetsmatrise og forskyvningsvektor får da følgende form:
K
EA 2 0
0
6EI 22
EA 2 0
0
I 1
0
1
12ET
23 0
0
0
12EI — 23
GEI — 22
|
6EI
2EI
|
22
*
0
n o
1
0
1
0
8EI -----1
1 1 1
ri o
, 0
I i
EA -s—
—
12EI
2UEI
23
23
_ lil
l2
0
1 ------------- r--------
1 1
EA - -S—
£
—--------- 4-------0
0
0
12EI _ £EI
23
22
6EI
2EI
2
22
0
0
1 0
12EI 23 6EI 1 22
6EI -----9 Z2
|
2EI
1 | '
«■
1
l
n u n
12EI
6EI
L3
22
6EI
4EI
22
2
(2.24)
24
Randbetingelsen for fast innspenning i knutepunkt 1 innføres ved
å sette
rn = r12 = r13
= 0.
Videre antas vertikal svingning,
Dermed kan også
aksialdeformasjon.
Altsa kan 1. ,
2.,
3.,
4.
og 7 .
det vi si vi har ingen r21 og r31
settes lik null.
linje og spalte i K fj ernes, og
vi får
(2.25)
Innføring av disse restriksjonene har redusert antall frihets
grader til 4.
Siden rotasjons-treghetskrefter er neglisjert, har den til svarende massematrisen formen
M
(2.26)
Ved fri harmonisk svingning får vi egenverdiligningen
2EI
l3
12
0
-6
-31
412
31
-6
31
-31
l2
0
- æ2
p1
0
0
0
l2
0
0
0
6
31
0
0
31
2 SL 2
0
0
0 pl 2 0
- 0
(2.27) 0 0
Ligningen over kan omformes på følgende form
25
2EI
ø-co 2
p£
0
0
0
3£
0
p£ 2
0
0
U£2
e
0
0
0
0
£2
2£2
0
0
0
0
12
-6
0
-3£
-6
6
3£
0
3£
-3£
3£
£3
ø = 0
(2.28)
hvor
(2.29)
De to første ligningene kan skrives som
2EI
0
-3£
ø2
-co2
p£ 0
= o
£3 3£
3£
0
(2.30)
Av de to siste ligningene får en
(2.31)
(2.32)
Setter vi inn uttrykket (2.32) verdiproblemet skrives
for
i lign.(2.30) kan egen-
26
(2.33)
Reduksjon av problemet ved neglisjering av rotasjonstregheten
foregår slik en kjenner det fra eliminasjon av indre frihets Dette vil bli behandlet nærmere
grader ved substrukturteknikk. i kap.6. Innføres
27pP to —-— 12EI
a
blir egenverdiproblemet
(2.34)
i
Når determinanten til matrisen settes lik null,
fremkommer den
karakteristiske ligning
a2
- 10a + y ~ 0
a
-
med røfter
1
0.36
Frekvensen for 1.
to i
og
=
a
2
=
svingeform
9.64
grunnfrekvensen) blir
0.737 / EI/pC
to. ,—------f = ^ = 0.125/H73F (fi eksakt = °'llt0 >
Frekvensen for 2.svingeform blir
oo2 = 4.06
VEI/pC'
27
og
^2 f2 " 2tt
0.645 /El/pP'
(f = 0.877 /EI/pp') 2 eksakt
Legg merke til den forskjell en har mellom stivhetsmatrisene (2.25) og (2.33).
Elementene i stivhetsmatrisen kan tolkes som
krefter tilsvarende enhets forskyvninger.
♦
12EI Ligning (2.25):
Setter r32 =1 og alle (3) andre frihetsgrader lik
null.
Ligning (2.33):
Setter r32 =1 og al le (1 ) andre frihetsgrader lik null.
FIG.
2.9
DeformasjonstiIstand og krafttilstand
Med to frihetsgrader finner en bare en approksimasjon av de to første svingeformene og deres frekvenser. for laveste frekvens (her 10% for 1. og ca.
kvens).
Feilen vil være minst
25% for 2.
egenfre
En forbedring av resultatene ville oppnås ved å dele
bjelken i flere elementer,
da usikkerheten i den antatte masse-
diskretisering dermed ville reduseres.
Eventuelt kunne en ut
fra erfaring endre massefordelingen mellom knutepunkt men det er ingen generelt brukbar måte.
2 og 3,
En bedre fordeling av
massen får en ved bruk av konsistent masse, se kap.5 . Når tallregninger viser at rotasjonstregheten
(2.11) er av liten betydning sammenlignet med meget gode resultater ved å sette
M,
I
i lign.
kan en oppnå
28
1 = 0
Ved dette kan antall ukjente i egenverdiproblemet seres med 1/3.
(2.19) redu
Dersom en ønsker økt beregningsnøyaktighet, er
det bedre beregningsøkonomi i å øke antall knutepunkter i det redu
serte problem enn i å inkludere rotasjonstreghet.
Massematrisen blir drøftet nærmere i kap.5.
REFERANSER [1]
Haslum,K. :
Matrises tatdkk og elementmetoder d analyse
av skdpskonstruksg oner, Tapir, Trondheim, [2]
1974.
Bergan,P.G., Horrigmoe,G. og Syvertsen,T.G.:
Matrdsestatdkk
Tapir, Trondheim, [3]
Moan,T.:
1977.
Svdngndngsanalyse av skdpskonstruksgoner,
Institutt for skipskonstruksjoner, NTH,
1973.
KAPITTEL
tre ENERGI METODE R FOR DYNAMISKE PROBLEM
3.1
INNLEDNING Vi skal i dette avsnitt se hvordan vi kan formulere dyna
misk likevekt på matriseform ved hjelp av virtuelt arbeid og energimetoder (Hamiltons prinsipp,
Rayleigh-Ritz'
metode).
bruk av generaliserte koordinater (interpolasjonspolynomer)
dette lede til ikke-diagonale massematriser (fordelt masse).
Ved vil
30
3.2
VIRTUELT ARBEID.
KINETISK ENERGI
Virtuelle forskyvningers prinsipp sier at det totale virtuelle arbeid utført av et
system i
likevekt når det utsettes for
virtuelle kompatible forskyvninger,
er
lik nul l. For et statisk system utsatt for en virtuell forskyvningstilstand
6u
som tilfredsstiller konstruksjonens geometriske rand
betingelse, har en altså
ytre virtuelt arbeid f 6uTXdV + JéuTTds+ 3rTQ
So
V
|C
I
indre virt.arb.
= J6 e^adV
(3.1)
V
kinematisk kompatible
statisk kompatible
Her er
X =
[X
T =
[Tx T
X
x
y
X
z
]
T
(3.2)
volumkrefter, y
T ]T z
(3.3)
overflatekrefter, u =
JT [u, v, w i
(3.4)
forskyvnings vektoren, E =
r J [eseYYYJ x y z xy yz zx
r3 s1 < g. o j
tøyningsvektoren og
a=[aoatTT] xyzxyyzzx
spenningsvektoren.
T
betegner volumet og
V
(o c> v J° 1 SQ
er den del av
overflaten hvor fordelte overflatekrefter virker.
tuelle tøyninger og
6r
"(x) )2dx co2
(3.60)
= j-----------------j p ( X) (ø(x) ) 2dx
0 Tilsvarende kan vi etablere Rayleigh-kvotienten for andre pro
blemer som skiver, plater etc. I Rayleighs metode antar vi tilnærmet egensvingningens form
ø(x) og bruker Rayleigh-kvotienten
nærmet verdi for egenfrekvensen.
(3.57) til å finne en til De eneste krav til ø(x) er at
formen tilfredsstiller de geometriske randbetingelser.
Hvor
nøyaktig egenfrekvensen blir bestemt, avhenger imidlertid av
hvor nær den virkelige egensvingeform vår antatte ø(x) er. Utfra Rayleighs prinsipp har vi at en korrekt ø(x) til minimumsverdi for Rayleigh-kvotienten.
svarer
Altså vil frekvensene
beregnet ved Rayleighs metode være større eller lik egenfrekvensen. Dette kan vi se intuitivt idet enhver annen form enn den riktige
svarer til at vi innfører ytre restriksjoner på svingeformen som gjør systemet stivere og dermed fører til en øket frekvens.
En annen viktig konsekvens av Rayleighs prinsipp er at en feil i egenvektoren
kvotienten, og dermed
av første orden vil gi en feil i Rayleigh-
co2,
av andre orden.
Derfor kan vi få gode estimater for egenverdien selv onq den antatte egensvingeform er beheftet med betydelige feil.
Rayleigh-kvotienten blir drøftet videre i kap.
4.5.
45
Eks.
3.5
Fritt opplagt bjelke Antar svingeformen
cf) (x)
P , EI
=
sm-j-
Formen tilfredsstiller bade geometriske og naturlige randbetingelser .
FIG.
3.6
Innsatt gir dette = jq2EI
U maks V
1
- [ sin2 (^)d>
l"
sin2(^)dx = ^£q2 pw2
= Jq2pw2
"maks
0
1 1711 Att ' = u — q EI £3
0
U maks !
w2
T1 0
EI - TT --p£4
egenfrekvens siden sinuskurven er den rik
Dette er den eksakte
tige egensvingeform . x x Alternativt vil vi anta andregradsfunksjonen ø = 4^-(l-j).
Dette er en tillatt funksjon siden de geometriske randbetingelser er oppfyllt.
De naturlige randbetingelser (null krumning på
endene) er imidlertid ikke oppfyllt.
til konstant krumning (moment) svarer til virkeligheten. £ = 2 G 2 EI j ( “ ——•)
TJ
maks
£ = jq2pw2jl6 T maks -i
cj
2 _
0 u
2dx = 32q
2EI £3
(l-j)2dx = ^q2p£a)2 £2
, nid.k s _ j_ 2 Q
EI p£lt
To ▲ Vi får en frekvens
langs bjelken, hvilket ikke
Innsatt gir dette
£2
0
Funksjonen svarer nemlig
cu
som er 11% for høy.
46
For en konstruksjon som er diskretisert f.eks. med matrise-
metoden eller elementmetoden,
U =
skrives energiuttrykkene
^rTKr
,T . T = 5r Mr
(3.61)
Beskriver vi den diskrete svingeformen med vektoren
ø
dvs.
r = (jjsinæt
får vi at Umaks =
T
T
. = co2Jø Mø maks T T
Det gir Rayleigh-kvotienten æ2
_ øTKø (3.62)
ø1 Mø
3.6
RAYLEIGH-RITZ-METODEN.
ELEMENTFORMULERING
Rayleigh-Ritz-metoden er en utvidelse av Rayleighs metode.
Vi tilnærmer her den riktige løsning med en lineær kombinasjon
av passe valgte formfunks joner
u(x,t)
=
n £ø^(x)q^(t) _L
hvor de ukjente koeffisientene
ø
(x)
samlet i vektoren
„ = $ q
q^.
(3.63)
i vektoren
som generaliserte tidsavhengige forskyvninger.
q
ø^
lineært uavhengige og tilfredsstille de geometriske
randbetingelser.
ø
kan betraktes
må være' (vesentlige)
(De geometriske randbetingelser for bjelke/
plateproblemet er randbetingelser for forskyvning w og helning -|^ , hvor n er retning normalt på randen, mens de geometriske randbetingelser for skiveproblemet bare gjelder forskyvningen
og
v).
u
47 Vi vil her demonstrere metoden for et bjelkeproblem, men
metodikken er også den samme for andre problem som f.eks.
skiver,
Vi vil også vise hvordan metoden kan brukes til å
plater etc.
etablere stivhets- og massematrisen for et bjelkeelement.
La oss betrakte en fritt opplagt bjelke med jevnt fordelt masse.
Bjelken svinger under stadig skifte mellom maksimal indre
Vi søker egenfrekvensene for
tøyningsenergi og kinetisk energi. denne konstruksjonen.
4
w I *- x
P EI
FIG.
3.7
Fritt opplagt bfelke
Da transversalsvingninger og aksialsvingninger er ukoblet, kan de
Interessen konsentreres her om transversal-
betraktes uavhengige.
Rotasjonstreghet og skjærtøyninger neglisjeres.
svingning .
Antar vi så en forskyvningsløsning på formen (3.63), kan
uttrykkene for kinetisk energi og tøyningsenergi skrives:
T =
£ £ £ p(w(x))2dx = dp(^iqi)2dx = J pqTøøTqdx
0
0
0
1
(3.64)
£
•T r t • iq ( pøørdx)q
sOq
0 £
£
l EI(x)(w")2dx
i EI (x) ( Zø-'qi) 2 dx 0
0 £ JqT( EI(x)(j)
1
(3.65)
xx
dx)q n
T
iq Kq
0 M er en generalisert massematrise gitt ved
48 1 | p 4> " d x =
M
(3.66)
0
P^.dx 0
K
er en generalisert stivhetsmatrise gitt ved
K
SL |EI(xH J } AA 0
=
>
(3.67)
SL [hl ( x ) f'.'ø'.'dx
K..=
u
Son vanlig antas at bjelken utfører harmoniske svingninger,
dvs.
q - q o sincut
(3.68)
= qo ujcoswt
q
Innsatt i energiuttrykkene
(3.64), ,(3.65) gir det følgende uttrykk
for maksimal kinetisk og potensiell energi
TmakS=
(3.69)
"maks- 2 S
Ut fra prinsippet om konservering av energi, har vi for fri svingning betingelsen
T
, = U , maks maks
(370) k 0 • 'u 7
som gir Rayleigh-kvotienten 3(IW
4>4(x) 0
- for vilkårlig
X.
Z
Lar vi nå
være en tilnærmelse til egenvektoren
setter denne inn i lign.(4.35)
X
og
får en Rayleigh-kvotienten
zTAz
(4.36)
R
z"z
For det generelle egenverdiproblem (4 . 3 ) kan Rayleighkvoti-
enten skrives (V = X
= tfa R z‘Mz
(4.37)
Vi kjenner denne igjen fra uttrykket for egenfrekvensen i Ray leighs metode, uavhengige,
kan
se lign.(3.62). z
Z = c.X. 11
Da egenvektorene er lineært
tenkes uttrykt ved egenvektorene
+ c,x, 22
n ...CX = V c.x. n n .L, 1 1 1=1
x.
(4.38)
82
og siden
Ax .
X .x . i
i
blir n n Az - V c.Ax. = ? c . X.x. • -I 1 1 • . 111 1=1 1=1
Innsatt i Rayleigh-kvotienten gir dette når en innfører ortogo-
(4.39)
Fra lign.(4.39)
får vi videre at
n
n (4.40)
Dersom
X^
er den minste egenverdien,
ser vi at uttrykket
blir positivt, det vil si at Rayleigh-kvotienten, kårlig vektor overvurderer den minste
egenverdien.
X1
er minste egenverdien.
er lik egenvektoren
for en vil
Altså er
(4.41)
R hvor
(4.40)
xx
Likhetstegnet gjelder når
(ci = 0 for i * 1).
z
Rayleighkvotienten
har dermed minimum for den fundamentale svingeform (egenvektoren
som tilsvarer minste egenverdi). Tilsvarende ser en av lign.(4.40)
største
at
Xp
undervurderer den
egenverdien.
er en god approksimasjon til x? slik k at,c_j_ er av størrelsesorden s for i t k hvor £ < < 1, og ck er av størrelsesorden 1.
Vi antar nå at
z
Høyresiden i uttrykket
siden kvotienten til c2 k
(4.40) vil da være av størrelsesorden
er lik null.
Det betyr at Rayleigh-
83
kvotientens awzk fra egenverdien er av andre orden når feilen i egenvektoren er av første orden.
stasjonær i nærheten av sn
Altså er Rayleigh-kvotienten
egenvektor,
hvilket er et uttrykk for
Rayleighs prinsipp.
4.6
EGENVERDIALGORITMER
4.6.1
Vektoriterasjon Vektoriterasjonsmetodene egner seg svært godt når en ønsker
å finne et begrenset antall egenverdier for store egenverdipro blemer som har båndstruktur .
Karakteristisk for disse metodene er
at egenverdier og egenvektorer finnes simultant.
Direkte vektoriterasjon For det spesielle egenverdiproblem kan direkte vektoritera sjon uttrykkes som
Z,
der
k
vektor
= Az,
n
k = 1,2 , . . .
er iterasjonsindeks.
og finner
ZQ
Vi starter med en vilkårlig start-
ved multiplikasjon med
Z1
Under visse forutsetninger vil
x,
(4.42)
A
osv.
konvergere mot egenvektoren
Z,
som tilsvarer høyeste egenverdi når
k
vokser.
Dette kan
vises på følgende måte: En nummererer alle egenverdiene etter voksende tallverdi
lai s in i i ••• i vU < lyi Den vilkårlige valgte startverdi
egenvektorene etter lign.
zn 0
= C. X. 11
ZQ
kan tenkes uttrykt ved
(4.38)
+ C„ X„ . . . 22
C X n n
Etter første iterasjonsskritt har en da
z;
’ Az»
= Vix>
+
c X x n n
84
og etter
k
skritt
Zk = Azk-1
= Akz0
- cxÅkxx
+
...
c Åkx n n n
eller ,kr , (—T----- )x , + zk = X n {c n x n + c n-1 X n-1 n
. . .
k C. (7—)X, } n
(4.44)
Dersom nå 1Å 1 1 n1
°g
xn
>
| Å J 1 n-11
inneholdes
i
med en koefficient
zQ
forskjellig
fra null, vil første ledd i høyre side av (4.44) dominere, og zp
vil nærme seg
x
.
Konvergensen blir bedre jo større for
skjellen er pa tallverdien av
og de øvrige egenverdiene.
A,
For at ikke tallverdien av leddene i det være nødvendig a skalere
Zo
Nar
neppe hende,
skal bli for stor
(f.eks.
x^
dersom egenvektoren
velges symmetrisk).
Zo
fast startvektor zQ .
zQ
X^.
x
n som
ZQ
Ved automatisk beregning med en
kan en komme ut for tilfellet at
Avrundingsfeilene
ikke n i beregningen vil likevel være
tilstrekkelig til å bringe inn komponenter av
størres.
er anti-
Ved håndregning vil dette
ut fra problemets fysiske betydning og kan velge en
inneholdes i
i lign.
da en som regel har en mening om formen på
har en form som ligner på
vil
under iterasjonen.
velges vilkårlig, kan det tenkes at
(4,4^ kan bli null metrisk og
z,
z,
x
n Men en kan få en meget langsom konvergens
x
som raskt for-
i de første
iterasjonssykler i slike tilfeller. Egenverdien
kan bestemmes av ligningen
(4.45)
eller med bedre nøyaktighet ved Rayleigh-kvotienten
(4.46)
Z, z
Andre egenverdier kan finnes ved:[l]
85 1.
Ortogonalisering
2 .
Deflasjon
3 .
Innføring av skift
Ortogonalisering medfører at man sørger for at iterasjons-
vektoren er ortogonal med hensyn på alle tidligere funne
Denne ortogonaliseringen,
vektorer.
egen-
som helst bør utføres for
hver iterasjonssykel, er meget sensitiv overfor avrundingsfeil.
Modifikasjon av A-matrisen ved deflasjon er også en ustabil meto Bruk av såkalte skift er derimot en mer stabil
de numerisk sett.
formulering, men den byr på en del programmeringstekniske vanske Denne siste metoden vil bli diskutert i neste avsnitt.
ligheter.
Invers iterasjon Ved beregning av egenfrekvenser er en spesielt interessert i egenverdi.
X
A
En kan da danne det inverse egenverdipro-
= Yx
(4.47)
Å
og bruke direkte iterasjon på dette:
zk = A
Største egenverdi til til A.
Åz. k k-1 k En beregner ny vektor
(4.49).
Z
ved å løse ligningssystemet
generelle egenverdiproblem ( 4.3 )
2
Mz.
, => oj2Mz, k-1 k
ai z. - z , k k-1
skrives
(4.49)
Dette kalles invers iterasjon.
KZk
(4.48)
Tilsvarende kan det
løses ved
(4.50)
(4.51)
86
K
Ligningsløsningen skjer ved vanlig tre-
må være inverterbar.
kantoppspaltning, f.eks.
etter Cholesky's metode.
K = LLT1
hvor
(4.52)
er en nedre triangulær matrise.
L
Løsningen skjer da
ved løsning av triangulære ligningssystem i to trinn: Forover substitusjon
L* k
= Mzk-1
yk
= L"1Mzk_1
som gir
(4.53)
og bakover substitusjon
LTz1 k
= y Jk
som gir zk
Da
K
=
(L
)
y.
=
K iMz
(4.54)
er konstant under iterasjonen utføres oppspaltingen
en gang.
(4.52)
For hvert iterasjonsskritt utføres dermed bare forover
og bakover substitusjonen (4.53) og (4.54) på grunn av
som blir meget enkel
L's spesielle form.
Iterasjonen konvergerer mot laveste egenverdi.
Denne be
stemmes best ved Rayleigh-kvotienten som nå blir
(4 .55a)
og (4.55b)
for henholdsvis lign.(4.49) og (4.50).
87 Skalering må utføres under iterasjonen for å unngå "overflow".
I praksis skalerer en iterasionsvektoren
hver iterasjon, vanligvis vi normaliserer
Z,
slik at normen blir lik 1.
iterasjonsvektoren .
betyr det at største leddet i
z
, J_
,
foran
Vi sier at
Ved bruk av maksimumsnorm
er lik 1 og for euklidsk
norm at
I analyse av svingninger normaliseres ofte iterasjonsvektoren (egenvektoren)
slik at
Z? Mz k-1 k-1
= 1
Konvergensen blir sen når to egenverdier ligger svært nær hverandre.
For å bedre på konvergenshastigheten og finne mer
enn én egenverdi, brukes invers iterasjon med skzft.
vi skiftverdien
p
Innfører
og skriver egenverdiproblemet som
((K - pM) - XM)ø = 0
(4.56)
ser vi at egenverdiene blir
mens egenvektorene blir de samme som for (K - Å M) 0
(svingningen vil
Den kalles derfor transzent-
løsnzngen.
Partikulærløsningen
!y
varer imidlertid så lenge lasten
Det er derfor partikulærløs varer ("steady state"-løsningen) ningen som i de fleste tilfeller er av interesse. Vi vil se på
to tilfeller:
174 a) Harmonisk belastning
Dersom den aktuelle belastning er harmonisk
Q. i
= Q
(7.42)
. sinæt 01
vil partikulærløsningen være gitt ved y . = Y.sin(cot - 0-) 7pi i i
(7.43)
og fasevinkelen
hvor amplituden
inn i differensialligningen.
0^
kan finnes ved å sette
Det gir
Y. =-- D. 1-21 m•æ• i i °S
(7.44)
2Å.Ø. 0. - arctg i—1 1-0?
(7.45)
i
hvor
er den dynamiske forsterkningsfaktor gitt ved
D.
D.
1 = -----------------------(d-ø?)2 + (2iiei)2)^
(7.46)
og (7.47)
b ) Vilkårlig belastning For en vilkårlig belastning kan partikulærløsningen finnes
ved frekvens-respoijsmetoden eller ved impulsresponsmetoden
(Duhamel-integralet).
Disse metodene er behandlet i de etter-
føfgende kapitler.
Numerisk løsning Vi kan etablere en numerisk løsning for vilkårlig belast ning ved skrittvis integrasjon.
i kap.7.$.
Forskjellige metoder er behandlet
175
7.3
FREKVENS-RESPONSMETODEN
7.3.1
System med en frihetsgrad Vi betrakter igjen løsningen for en harmonisk belastning,
Nå vil vi imidlertid representere den ved en kompleks vektor
e
icot
, , . • , = cosæt + isinwt
(7.48)
Ligningen er vist grafisk i fig. 7.4. eiæ^ kan betraktes
som en kompleks vektor som
roterer i det komplekse plan med frekvens
æ.
coscot er projeksjonen av vektoren på den reelle akse og sincot
projeksjonen på den imaginære.
FIG.
7.4
Vi ■ skriver lasten
Q = 'X e1Wt( = X coscot)
(7.49)
hvor det er underforstått at vi mener realdelen. et komplekst tall og beskriver
lasten
X
er generelt
i frekvensrommet.
Innsatt
i bevegelsesligningen får vi
mu + cu + ku = X
(7.50)
Partikulærløsningen vil som vi så i lign.(7.43), også være harmonisk
u -
xe
ICO t
rj f
\
=H(æ)Xe
ICO t
hvor igjen realdelen av xe1^ er underforstått. lign.(7.50)
får vi
(
r q \
(7.51)
Innsatt i
176
FIG.
7.5
Realdelen av H (w) som funksjon
av frekvensforholdet.
177
j 1 = 0.05 1=0.10 1=0.15
1=0.25
1 = 0.50 1= 1 .00
17
o 2
1
0
3 = w/w0
FIG.
H (co)
-
(-mco2
7.6
Imaginærdelen av H(co) som funksjon av frekvensforholdet
+ icoc + k ) *1
= — (co? -co2 + i2 Åcoco0 )-1 m 0 1_______ — k(l - B2 + i2ÅB) hvor
w
(7.52)
er frekvensforholdet
er egenfrekvensen og B
H(co) er den komplekse frekvens-respons funksjonen.
co/coQ •
Fig.7.5 og
7.6 viser henholdsvis realdelen og imaginærdelen av H(co) relativt
til statisk forskyvning H(0).
Realdelen uttrykker den kompo
nent av responsen som er i fase med eksitasjonen og imaginær
delen den komponenten som er
tt/2
ut av fase.
Vi ser at ved
resonans (B - 1) skifter realdelen fortegn og kommer i motfase til eksitasjonen for
B > 1-
Videre ser vi at ved resonans er
det imaginærdelen som er dominerende. Absoluttverdien av H(co) er gitt ved
| H (co) |
= --------------------- — k((1-B2 )2 + (2XB )2 ) 2
(7.53)
178
og kalles ofte den mekaniske overføringsfunksjon.
Den dynamiske
forsterknings faktoren er definert som forholdet mellom dynamisk
og statisk forskyvning: (u
) , max dyn (u)stat
| H(co) | H(0 )
altså samme uttrykk som i
(7.54)
((1~82)2 +
(2Å8)2K
(7.46).
Skriver vi det komplekse tallet H(co) på polar form,
får
vi
H(w)
=
| H (w ) j e
=
|H(co)|(cosØ - isinØ)
(7.55)
Det gir 9
1
- arctg
Re[H(co)]
(7.56)
= arctg -^-1 1-82
Løsningen kan dermed skrives u - X Re [ | H (co) | e
'
e
]
= X|H(co)|cos(cot - 0)
Forsterkningsfaktoren og fasevinkelen er vist i fig. Vi ser at
* æ D-
ved resonans når
Å->0.
7.7 og 7.8.
Videre ser vi at demp
ningen foruten å redusere arnplitudetoppen,
80
8 > 1
:
0
7T
når
A^O
A>0
har vi diskontinuitet i 0
Ut fra figurene 7 . 5 og 7 . 8 deler vi gjerne svingeproblemet i 3 yttertilfeller. 8 > 1
Massekontrollert svingning
svingning (resonans)
179
FIG.
FIG.
7.7
7.8
Dynamisk lastfaktor som funksjon av frekvensforholdet.
Fasevinklen som funksjon av frekvensforholdet.
180
Førsteordensproblemet
(7.32)
som fremkom ved bruk av dem
pede normalkoordinater, kan med harmonisk last skrives
az + bz = f0elæt
Her kan både a, b,
(7>
og z være komplekse.
f0
kan vi som i lign.(7.51)
Partikulærløsningen
skrive
z = f0H(æ)elæt
(7.
Innsatt gir det H (co )
hvor
= --- i---
= ----- 1----
icoa + b
a(ico - p)
(7 (
er den komplekse egenverdien gitt ved (4.94).
p
En vilkårlig periodisk belastning med periode T=— , . co skrives som en sum av harmoniske laster i en Fourierrekke
kan
OO
Q(t)
= l X elkæt k=-» k
,7 (7
hvor Fourierkoeffisientene
XR
er gitf ved
T/2
^k
- ijjQ(t)e
(7
dt
-T/2
Responsen for hver harmonisk komponent
X e^kæt
er ut fra
lign.(7.51) gitt ved
x. e k
ikcot
H(kco)X, elkæt k
(7.63)
Løsningen får vi så ved å summere bidragene fra alle frekvensene OO
,
oo
u = l x.e1 Wt = y H(kto)X, elkæt k L k k = -°° k = -o° Tilsvarende kan vi for en uperiodisk funksjon (T->°°) benytte
Fourier-trans formas j on
181
00
X (co)
[ Q(t)e
=
Z7T J — 00
(7.65) X(co)elætdco
Q(t)
X(æ) kan betraktes som en transformasjon av lasten over i fre-
Responsen på belastningen
kvensrommet.
X(oo)eiæt
er ut fra
lign.(7.51) gitt ved Z
x
TT Z
1 CO t
X XZ Z
X
1 CO t
= H (co) X (co) e
x ( co ) e
(7.66)
Løsningen i frekvensrommet kan dermed skrives
x(æ)
= H(oj)X (æ)
(7.67)
x(æ) er generelt kompleks og uttrykker både amplitydestørrelse og fasevinkel. Løsningen som funksjon av tiden får vi så ved å superponere bidraget fra alle frekvensene 00
u(t)
x(w)e^ætduo
=
(7.68)
— co
Ligning (7.68)
uttrykker Fouriertransformasjonen av x(co). Til
svarende lign.(7.65) har vi at oo
X ( CO )
1 2 7T
/, x -imf,, u(t)e dt — 00
( 7.6’9 )
182
7.3.2
Den direkte frekvens-responsmetode for systemer med flere frihetsgrader En vilkårlig komponent av en harmonisk belastning kan
skrives
Qjlt) = Qo.ei(“t+af
= Q
(7.70)
.(cosa. + isina . ) e °3 3 3
hvor
% er amplitydeverdien for j’te komponent, 10
er lastfrekvensen og
a. 3
er fasevinkelen for komponent j.
Innføres den komplekse lastvektoren
Xj
= Qo_. (cosoh + isinot^ )
med komponenter
X
+ iXj.
= XR.
(7.71)
kan den dynamiske likevektsligning med viskøs dempning skrives
(7.72)
Mr + Cr + Kr = Xe^æt
Denne ligning har en partikulærløsning ("steady-state"-løsning)
r = Xe1Ut
(7.73)
hvor den komplekse responsvektoren
x
er bestemt av lignings
systemet [K - co2M + icoC]x = X
(7.74)
Bx = X
(7.75)
eller
B
2 gir positiv kunstig dempning (amplituden avtar med voksende k)
Y < 5 gir negativ-kunstig dempning (amplituden vokser med voksende k)
Y = 2 gir ingen kunstig dempning
Derfor velges nesten alltid
Y = g.
Newmark-familien inkluderer følgende metoder:
3=0
:
Andre sentraldifferanse
h
cr
= 0.318T
205 3 = -R- : 12
Fox-Goodwins metode
3 - -r 6
:
Lineær akselerasjon J
3 = m
:
Konstant gjennomsnittlig akselerasjon
[17]
h
h
cr cr
= 0.389T =
0.551T
(trapesmetoden ) ,
ubetinget stabil
Metoden lign.
kan omskrives til eksplisitt form som vist i
3>0
(7.173) -
(7.177) i kap.
7.5.6.
Runge- Kutta metoder Dette er en familie av eksplisitte og implisitte enstegsmetoder hvor integralene
(7.148) og (7.149) blir tilnærmet med
uttrykk på følgende form: “k+1 = uk + h ,(t *
k, uk, >0, h) (7.162)
i,-, = u. + hø, (t, , u, , u. , h) k+1 k 2 k k k og
ø2 representerer gjennomsnittsverdier i tidsintervallet
for henholdsvis
u(t) og u(t).
De dannes som veide gjennomsnitt
av flere forskjellige approksimasjoner til
u og u
i intervallet.
Det finnes en rekke Runge-Kutta metoder av forskjellig nøyaktig
En populær 4.ordens eksplisitt metode kan for
hetsgrad [6].
svingeproblemet skrives
’’k+l = “k + T(ai + 2a2+ 2a3 + a- ’
(7.163) u-, - u, + ?f(b + 2b + 2b + b ) k+1 k 6 i 2 3 4
hvor
a^ og b^
er approksimasjoner til henholdsvis
begynnelsen, midten og slutten av intervallet:
a
i
= — (Q. - ku, - cu, ) m k k k
u og u
ved
206 +
■’ é(Qk+j ' k(uk+ ihbi5 ■ c(å+ ihai >>
+
= H0= 1.0 rad/s.
(8.30)
244 En ser at analogien mellom denne ligning og frekvensfunk—
sjonen for et udempet lineært system, A =
).
Lign.
Fortegnsskiftet i ampli
(8.30) er avbildet på Fig.8.10a og b. tyden A indikerer hopp i fasevinkelen.
Ved å anvende denne fremgangsmåten kan frekvensresponsfunksjonen for et dempet Duffing system bestemmes.
Dempningskraften
antas gitt som 2Åmou, hvor X er dempningsforholdet, hvilket gir
den følgende dynamiske likevektsligning
u + 2Åw0u + æ2u + su3
= eX0coswt
(8.31)
Det overlates til leseren å vise at frekvensresponsfunksjonen er gitt som
Mol______________
Xw2 + e|A2-o)2 )2 + 4Å2æJw2'
(8.32)
Ogsa i dette tilfelle er det lett å se analogien til frekvens responsfunksjonen for et lineært system (se lign.(7 . 53)) .
Lign.(8.32) er plottet i fig.8.11.
FIG.
8.11
Tilnærmet frekvens-responsfunksjon for dempet Duffing system : € = 0.1 : MAXIT,
stopp
for restart.
5.
Beregn akselerasjon, hastighet og forskyvning ved tk + 1 rk+l = a2Ark,
\+l =
\ +
rk+l =
rk + Ark
ak
+ a9r] 3 "O- 3 3 3 3 PQ Ti 32 -O
3 æ
E
H E
3 CJ ø rfe 0 Cu Cfe
3
CD
TZ3
■—'
E
Lfe
> • fe oomoooo i—s 0
= E[XY]
(10.23a)
under forutsetning av at
lj^ m* * X(t) Lo
= X
(10.23b)
1*1*m‘Y(s)
= Y
(10.23c)
Og
Vi innser riktigheten av dette ved bruk av Schwarz ulikhet Vi får nemlig at
'Schwarz ulikhet er gitt som
E[|XY|]< /e[X2]E[Y2]
'.
310
E[X(t)Y(s) - XY]
= E[X(t) - X)(Y(s) - Y) ]
+E[X(Y(s) - Y)]
+ E[(X(t)-X)Y]
< E[| (X(t) - X)(Y(s) - Y)| ]
+ E[| (X(t) - X)Y| ] + E[|X(Y(s) - Y)| ]
< /e[(X(t)-X)2]E[(Y(s)-Y)2]
+ /e[(X(t)-X)2E[Y2]
+ /e[X2]E[(Y(s)-Y)2] Ved å bruke lign.
(10.23b)
(10.23d)
ser vi at høyresiden i denne
og (c)
i denne ligningen over går mot null når hvorav lign.
følger umiddelbart.
(10.23a)
særdeles nyttig
X og Y
når
og
s
s0 ,
Ligning (10.23a) er
er ukjente.
Det er også verdt å notere at l.i.m. forventning E[ ] *
t ->-t0
og den matematiske
er kommutative operasjoner.
Fra lign.
(10.23b)
får vi nemlig at Etl^i.m^xd ) ]
= E [X]
(10.24a)
Videre gjelder at
1^;n’E[X(t)] = E[X]
(10.24b)
L o
da E[(E[X(t)] - E[X])2]
=
0
t‘>to
Ljgning (10.24a)
og (b)
E[^\1;m‘X(t) ] = o T ro r
(10.24c)
gir oss dermed at
1- 1'm* E[X(t)
]
(10.24d)
hvilket skulle 'bevises.
Kontinuitet En stokastisk prosess defineres som kontinuerlig i midlere kvadrat hvis
hi;m'X(t + At)
= X(t)
(10.25a)
311 Herav følger at
li™QE[X(t+At) - X(t))2]
= ^mn(Rv(t + At,t + At) - RY(t+At,t) - R (t,t+At) + R (t,t)) At^U A A A A =
(10.25b)
o
Det vil si hvis autokorrelasjonsfunksjonen eksisterer og er
kontinuerlig (i deterministisk forstand) ), *
er prosessen konti
nuerlig i midlere kvadrat.
Derivasjon Den deriverte prosess
av en stokastisk prosess
X(t)
X
eksisterer i midlere kvadrat hvis X(t + At) -X(t) At
l.i.m. At+0
(10.26a)
X(t)
La oss undersøke nærmere under hvilke betingelser denne ligning
Fra lign.(10.23a)
er oppfylt.
ti n rrX(t+At) - X(t) At0 EL-----7—-------As+0
ser vi at
X(s+As) - X(s), As J
eksisterer og er kontinuerlig.
lim At+0 As^-0
X(t) eksisterer hvis
(10.26b)
Fra denne ligning får vi
, Rv( t + At, s+As ) -Rv(t+At,s) r X __________________ X______________ AtL As
1
RY(t,s+As) - Ry(t,s) As
lim 1 ■At~>0 AtL
3RV(t+At,s) X 9s
82RY(t,s) X
813 s
8Rv(t,s) X
9s
(10.26c)
*)Dette innebærer at hvit-støy prosessen (se avsnitt 10.2.9) ikke uten videre bør behandles som kontinuerlig i midlere kvadrat .
312
Det vil si,
er differensierbar i midlere kvadrat hvis
X(t)
9Rx(t,s)
3Rx(t,s)
3t
5
92Rx(t,s)
’
ah
ataZ
eksisterer og er kontinuerlige for t = s. For en
(i midlere kvadrat) differensierbar prosess er den
matematiske forventning
E[•]
og derivasjon kommutative
Det vil si
operasjoner.
E[^-X(t)]
= |-E[X(t)]
(10.27)
hvilket er en følge av lign.(10.24d).
Integrasjon Riemann-integralet
h2 X(t)dt
Y =
(10.28)
ti
eksisterer i midlere kvadrat hvis
1.i.m. N *N- 00 £ X(t. )At. maxAt.+dt i = l i Fra lign.(10.23a)
i=i
eksisterer.
(10.29a)
følger at integralet eksisterer hvis
lim N *æNE[ [ X(t.)At.
M+oo
= Y
\
M y X(t.)At.]
1j=l
:
-1
Ved å endre rekkefølgen på summasjon og matematisk
forventning fås
lim N M N->æ y y E[X(t. )X(t. )]At-At . M+oo i 31 j z I 1 3 13
313
(10.29b)
R^(t,s)dtds
j t
i
Det vil si,Rieniann integralet
(10.28) eksisterer i midlere
kvadrat hvis h
(10.29c)
Rx(t,s)dtds|
j i
For en prosess som er Riemann integrerbar (i midlere kvad rat), er forventning og integrasjon kommutative -operasjoner
t f2 E[j X(t)dt]
t f2 = j E[X(t)]dt
(10.30a)
Videre har vi at
h E[(j X(t)dt) 2 ]
2 -
1 J tl
t
(10.30b)
Rx(t,s)dtds
1
i
En utvidelse av ovenstående med henblikk på anvendelser i responsanalysen er integralet
=
Y(t)
(se avsnitt 7.3)
t jx(t)h(t,t)dT
(10.31a)
0 •
hvor
er en deterministisk (kompleks)
h(-)
i integrasjonsintervallet.
|
Dette integralet eksisterer hvis
hb j Rx(t},t2)h(txj)h 0
for alle
funksjon begrenset
(t2,t2)dxidT2|
< 00
(10.31b)
0 t
og t2.
Under denne betingelsen blir middelverdi-
og autokorrelasjonsfunksjonen for
Y
gitt ved
314
uv(t) I
-
P (T)h(t,T)dT J A 0
(10.31c)
j
RY(t15t2)
=
*
Rx(t1,t2)h(t1,T1)h (t2,t2)dT,dT2
j
0
(10.31d)
o-
Bemerk at ovenstående kan også gjelde for integrasjonsintervallet ( —co ?
oo )
10.2.5 Stasjonære prosesser En viktig klasse stokastiske prosesser innen svingningsteorien er de såkalte stasjonære prosesser.
Populært kan vi
si at en prosess er stasjonær hvis dens stokastiske egenskaper
ikke endres med tiden.
Matematisk defineres en prosess
X(t)
som stasjonær hvis dens stokastiske egenskaper er tzdstnvarzante
det vil si
Px(x,t)
= Px(x,t+T)
PX(xpti;X2’t2)
= px(x,0)
(10.32a)
= Px(xx ,t x +T ;x2 ,t2+T )
- Px(xx ,t1-t2;x2 ,0)
p (x ,t
;...;x
,t ) nu
a
,t +t;...;x
= p (x a
(10.32b)
1
i
,t +t) n
(10.32n)
n
Det fremgår at -sannsynlighet stettheten av første orden er
uaVTiengig av tiden, mens sannsynlighetstettheten av annen orden avhenger kun av tidsdifferansen mellom observasjonspunktene.
Hvis kun de to første ligninger, fylte,
(10.32a) og (b) er opp
betegnes prosessen svakt stasjons eller kovarzans-
stasjonær.
Hvis alle ligningene er oppfylte, betegnes prosessen
strengt stasjonær.
315
Det er verd å legge merke til at for en kovarians-stasjonær prosess gjelder følgende for alle
er uavhengig av
E[Xn(t)]
E[Xn(tT)X(t2)]
m
og
n
t
er en funksjon av
tx - t2
Herav følger at middelverdien og variansen er konstant for en
gitt prosess, mens autokorrelasjonsfunksjonene avhenger kun av
tidsdifferansen
og kan skrives R„(t).
r = t} - 1 2
Begrepet stasjonæritet kan også anvendes på to eller flere
similtanfordelte prosesser.
Prosessene
X
og
Y
betegnes
strengt simuttant stasjonære hvis
Py y x i ’ ' i ’
Py y X1 ’ " i + ‘ ’"/1 , s i + T
i ’si
= pxy(x1 ,t 1-sT ;yT ,0)
?xy(x1’1’x2’^2
’s i
= pXY(x1,t1+T;s2,t2+T;y1,st+t)
pxyx1’pi’xi
(10.33a)
’si’y2 ,
(10.33b)
2)
= PXY(xx,t1+T;y1,S}+T;y2,s2+t)
(10.33c)
pXY( * i ’p 1 ;x 2,12; y i ,°i , y 2»2 = PXY(xT ,tx+t;x2,t2+T;yT,s1+t;y2,s2+t)
(10.33d)
PxY(x,,t,;...;x t ;y.,s.;...y ,s ) 1 ’ 1 ’ ’ n n 7 1 1 7m m
= Pxy(Xl,t[+T
,...x ,t +t ’ n n
;y,,s.+T;y ,s +t) 1 7m m
(10.33w)
Når kun de fire første ligninger er oppfylte, kalles prosessene
316
svakt simultant stasjonære.
Vi ser av lign.
korrelasjonsfunksjonen bare
blir funksjon av t = t2 -
(10.33a)
at krysssT , og kan
skrives R
(t). AX Det fremgår av ovenstående at den simultane stasjonæritet
av to eller flere prosesser innebærer stasjonæritet av de
individuelle prosesser. I det tilfelle når
t
refererer til en romkoordinat i
stedet for tid brukes betegnelsen homogenitet i stedet for
stasj onæritet.
10.2.6 Ergodiske prosesser Vi har sett at en stokastisk prosess kan visualiseres som en familie
(ensemble) av mulige utfallsfunksjoner (realisasjoner).
I de fleste tilfeller av praktisk interesse er det bare mulig
å fremskaffe^ved målinger et begrenset antall realisasjoner. Her er det spesielt verd å fremheve at for geofysiske prosesser
- slik som bølger, vind og jordskjelv - samt kontruksjonssving ninger indusert av geofysiske prosesser, er det strengt tatt bare
mulig å måle en enkel realisasjon for den aktuelle tilstand,
idet
det ikke er mulig å avgjøre om tilstanden vil gjentas.
De stokastiske egenskaper for en gitt prosess kan estimeres (teoretisk)
som ensemblegjennomsnitt, det vil si
px(t) = E[X(t)l = 11® i l
t
U) (t + tbt
er lengden på den aktuelle realisasjon
(10.35b)
x ^\t).
Bemerk at teoretisk kan tidsgjennomsnittene være forskjellige
for de forskjellige realisasjoner. Dette fører selvfølgelig bare frem hvis tidsgjennomsnittene (uansett realisasjon) er identiske med de tilsvarende ensemblegjennomsnitt
(se fig.10.6).
E E[X(t)]
Det vil si
= pY
(10.36a)
A
< X (t + t ) X (t) > ,
E E[X(t + r)X(t) ]
= Ry(t)
(10.36b)
A
L
t
= E[f(X(t),X(t + T1 ) , . . . ,X(t + Tn) ) ]
hvor
f(•)
er en funksjon av prosessen.
hvor dette er oppfylt, lign.(10.36a)
(10.36n)
En stasjonær prosess
betegnes ergodisk prosess.
Hvis kun
er oppfylt, sier vi at prosessen er ergodisk i
318
FIG.
10.6
En stokastisk prosess
a)
For en stasjonær prosess gjelder at Px(x' = P/(x' fn) for fn' n=2-3-4, • • •
b)
For en ergodisk prosess gjelder at Px(x' f) = P x(n)W for x n) ' n = l , 2, 3, . . .
319
og hvis lign.(10.35b) er oppfylt kalles den
middelverdi,
ergodisk i korrelasjonsfunksjon osv.
La oss nå se litt nærmere på under hvilke betingelser
lign.(10.36a),
er oppfylt.
(b) osv.
For at en prosess skal være
ergodisk i middelverdi, må vi forlange at lign.(10.36a) for alle realisasjoner.
gjelder
Med utgangspunkt i konvergens i midlere
kvadrat krever dette at pY = E[X(t)]
T i [x(t)dt
=
(10.37a)
0 Herav følger at
(se lign.
(10.23a))
T lim Pri- I" X(tx)X(t2)dtjdt2] T-°° hLT2 J 0 0
u
0
(10.37b)
X
Ved å bytte rekkefølge på forventningsoperasjonen
E[-] og inte
grasjonen får vi med hjelp av lign.(10.9b)
T T jcx(t1-t2)dtjdt2
lim 1 T-*" 00 m 2 T
0
Ved å innføre
(10.37c)
0
T=t1-t2 kan dobbelintegralet omskrives som
følger
T T-t2
1 j[ j T2
C^(t)dT]dt2
0
T
T-t
.
= u jcx(T)|2 | dtjdr 1
0
0
T
(10.37d)
= éi j] ( 1 - ^)C y( T )dT 1 A 0 Det vil si betingelsen (10.37c)
kan erstattes med
320
T lim 1 T+oo T
(1 - ^)C (i)dT 1 A
0
(10. 37e)
0
Denne betingelsen kan igjen erstattes med følgende uttrykk T 1 im _1 fp f T ■) T->æ T J J 0
(10.37f)
idet vi har
T T+°°
jrCx(T)dT 0
T T _ 1 i m 1 Cp z s r 1 jdt]dT T->«> T J Xm Lf 0 0 T _ lim 1 f T+co T J 0
T rl f lT J X t
t)dr]dt
< lim jL rmax (t)dT]
=
0
.
Vi innser at grenseverdien må være lik null når
grenset.
C^(t)
(10.37g)
er be
Herav følger at lign.(10.37d) er automatisk oppfylt
når lign.(10.37f) er gyldig.
Følgende betingelser skal altså være oppfylte for at en stokastisk prosess kan betegnes ergodisk i middelverdi
(basert '
på konvergens i midlere kvadrat):
(a)
Prosessen må være kovarians-stasjonær, dvs. middelverdien
må være konstant og autokovariansfunksjonen må bare være
funksjon av tidsdifferansen (b)
t
= t- t2.
Betingelsen (10.37f) må være oppfylt.
For noen av de mest typiske stokastiske prosesser innen
svingningsteorien har vi en middelverdi lik null, endelig varians og en autokorrelasjonsfunksjon hvor
321
lim
*°° T-
Rv(t) X
= 0
(10.38)
Det vil si, når tidsdifferansen er stor, blir svingningene
I dette tilfelle er lign.(10.37f)
ukorrelerte.
automatisk
oppfylt.
Ovenstående fremgangsmåte kan videre anvendes til å utlede de betingelser som skal være oppfylte for a sikre at en prosess
er ergodisk i korrelasjonsfunksjon. R (t)
Da må vi forlange at
T [x(t+r)X(t)dt
=
(10.39a)
0
Herav følger ved anvendelses av lign.(10.23a) at T T dim — [c (t -t ,T,t. - t? +T)dt dt T->æ T2 J J 4 1 2 1 0 0 hvor
er følgende 4.
ordens korrelasjonsfunksjon
Cu(t1 - t2 ,T,tx - t2 +r)
x
(X(t
2
(10.39b)
= 0
= E[(X(t} +t)X(tx)
- Rx(t))
+T)X(t ) - Rv(t))] 2
(10.39c)
A
Denne betingelsen kan omskrives som T gi- T
+t)6ti
= 0
(10.390)
0 Dette innebærer at en gitt prosess er ergodisk i korrelasjon
dersom prosessen er stasjonær av fjerde orden (eller dersom
lign.(10.39c)
avhenger bare av tidsdifferansene t1-t2 og
autokorrelasjonsfunksjonen kun av t), og lign.(10.39b)
t,
og
er oppfylt.
For de typiske stokastiske last- og responsprosesser vil avhengigheten•mellom de stokastiske variabler X(t
+t)X(t2) avta når
C4(t1,t,t1 +t)
r2
= t} - t2
= 0
X(tx +T)X(tx) og
går mot uendelig,
for alle t
slik at
(10.40)
322
Når dette er tilfellet vil prosessén uten videre kunne behandles som ergodisk i korrelasjonsfunksjonen.
Generelt kreves det at en prosess må være stasjonær av 2xn-te orden for a være ergodisk i den n-te momentfunksjon (basert på konvergens i midlere kvadrat).
Et betydningsfullt
unntak fra denne regel er Gaussprosessen.
Gaussprosesser
10.2.7
En stokastisk prosess X(t) betegnes Gaussprosess hvis XCtj),X(t2),...
er multinormalfordelte.
Sannsynlighetstettheten
er da gitt som følger
PX ••• CX(tn’tn)
er Nofaktoren til element nr.(i,j)
i C.
Den endimensjonale normalfordeling er avbildet grafisk på
fig.10.7.
Den todimensjonale normalfordeling har en klokkeformet
tetthetsfunksjon (se fig.10.4)
blir rotasjonssymmetrisk.
som i det standardiserte tilfelle
323
FIG.
10.7
Normalfordeling a) Standardisert sannsynl ighetsfordel ing F^(z) og sannsynl ighetstetthet
Pz(z) = N^(0,1) =
hvor Z = ( X - M x ) / a X
b)
exp
J
z_2
V 2
Innflytelsen fra standardavviket på sannsynlighetstettheten vist ved Nv(0,l), N (0,2) og NJ0.3) X X A
324
Til forenkling av fremstillingen vil vi videre i dette avsnitt kun betrakte stokastiske prosesser med middelverdien lik Vi ser at dette oppnås lett ved å innføre X-pv(t)
null.
en ny variabel.
som
Dette vil derfor ikke gå i nevneverdig grad ut
over våre anvendelser senere.
Vi ser at en Gaussprosess er fullstendig definert ved auto-
korrelasjonsfunksjonen,
som repreenterer de annen ordens
stokastiske egenskaper, og middelverdien.
Herav følger at
momentfunkasjonene av høyere orden kan generelt uttrykkes ved
autokorrelasjonsfunksjonen (eller autokovariansfunksjonen hvis l^X * 0 ) • Det kan bevises at følgende gjelder ) *
(se f.eks.[6]):
(1) Momenter av første orden
Her er
T(-)
0
for n= 3 , 5,7, . ..
- a^n'. / ((n/2) ’. 2n
for n=4,6,8,...
gammafunksjonen og
aY
(10.42a)
standardavviket av X.
A
(2) Momenter av n-te orden
for n = 3,5,7,. . . , E[X(t.)X(t„ 12 )...X(t n )] jE[X(t.)X(t•)]E[X(t,)X(t 0)] J K X,
for n = 4,6,8 ,...,
(10.42b)
hvor summen tas over alle tillatte kombinasjoner av i,j, k og £, dvs.
alle n!/((n/2)!2n) måter hvorpå (n/2)
verdier kan trekkes ut av idet E[X(ti)X(tj)]
n
par
verdier (n er et like tall)
= E[X(t^)X(ti)].
*) Dette bevises lettest ved bruk av den karakteristiske funksjon definert som Fouriertransformasjonen av sannsynlighetstetthetsfunksjonen.
325
(3) Forventningsverdien av en funksjon
E[X(t)f(X(t.),...,X(t i 1 n =
))]
A
n 3f(X(t ) , . . .,X(t )) V E[X(t )X(t - ) ]E[------ 5v-r+-A------ --- 1 • 1 1 O l t ■ ) 1=1 1
(10.42c)
Her er (•) en di fferensierbar funksjon for hvilken det eksi sterer to tall k og m slik at følgende er oppfylt
|f(x
,...,x )| n
n < kexp{ £ xm} i=l 1
for m < 2
(10.42d)
Bemerk at lign.(10.42b) kan utledes fra lign.(10.42c). Som nevnt tidligere har vi ofte i analysen av svingninger
bruk for simultan fordelingen av flere stokastiske prosesser
eller stokastiske vektorprosesser . En stokastisk vektorprosess T X(t) = [ X(t),Y(t),Z(t),.. .] x betegnes en Gaussprosess med middel verdien null hvis
(10.43a)
hvor
R =
{E[X(ti)XT(t. )]}
Fra lign.(10.42c) funksjon
i,j
= 1,2,.. .
(10.43b)
får vi følgende uttrykk for en vektor
som oppfyller lign.(10.42d) komponentvis ,
), * f(
E[X(t1)fTi(X(t2))]
= E[X(tx)XTi(t2)]E[VfTi(X(t2) ) ]
(10.44a)
hvor [3X
’
3Y
3 az
(10.44b)
Dette er et nyttig uttrykk som vi vil få bruk for senere.
Gaussprosessen er en av de mest anvendte stokastiske
modeller innen svingningsteorien.
Dette skyldes delvis gode
regnetekniske egenskaper og delvis det såkalte sentralgrenseteorem.
326
Sentralgrenseteoremet sier at under forholdsvis generelle betingelser vil en stokastisk variabel (i en eller flere dimen
sjoner)
som er dannet som en lineær kombinasjon (vektor sum)
av
uavhengige stokastiske variabler (som gjerne kan ha forskjellige uspesifiserte fordelinger) være asymptotisk normalfordelt.
Det
vil si når antall ledd i summen går mot uendelig, går summens fordeling mot en normalfordeling (se f.eks.[1,2 , 6 ] ) .
Dette teorem tilsier at Gaussmodellen kan være en god til nærmelse for fenomener
som turbulent vind og havbølger.
oppstår ved forstyrrelser (av en likevektstilstand)
Disse
som skyldes
bidrag fra relativt ubeslektede krefter til forskjellige tids punkter .
De gunstige regnetekniske egenskaper består i at (1)
Gaussprosessen
er fullstendig definert ved autokorre-
lasjonsfunksjon og middelverdi
(2)
Gaussprosessen
masjoner, dvs.
er invariant overfor lineære transfor en prosess som er dannet som lineær
kombinasjon av Gaussprosessen er selv en Gaussprosess [1,6] Av punkt
følger at en kovariansstasjonær Gaussprosess
(1)
også er strengt stasjonær.
Videre har vi at en Gaussprosess som
er ergodisk i middelverdi og autokorrelasjonsfunksjon også er ergodisk i strengeste forstand, hvilket innebærer at den er
ergodisk i alle momenter samt at lign.(10.36a) gjelder for en
vilkårlig funksjon. følger at hvis vi utfører en lineær operasjon
Av pkt.(2)
på en Gaussprosess blir resultatet en Gaussprosess.
Slik er den
deriverte prosessen av en Gaussprosess også en Gaussprosess (forutsatt at den eksisterer).
er også en Gaussprosess.
En konvolusjon av en Gaussprosess
Vi innser dette ved å skrive
00
Y(t)
=
h(t-T)X(T)dT — OO
i m = N+o°’m’
N l h(t-Ti)X(T . )At i=l
(10.45)
327 hvor
Y
er en deterministisk funksjon.
h(•)
Det fremgår herav at
kan oppfattes som en lineær kombinasjon av
10.2.8
X.
Korrelasjonsfunksjonen Korrelasjonsfunksjonen er en av de mest betydningsfulle stør
relser i beskrivelsen av stokastiske
Vi vil derfor
svingninger.
se nærmere på noen av dens egenskaper. Vi har sett tidligere at auto- og krysskorrelasjonsfunksjonen
er henholdsvis definert som følger (se avsnitt 10.2.3)
Rx 0
(10.49b)
—
Herav følger at diskriminanten for denne ligning
328 må være mindre eller lik null,
aksen), hvilket gir (10.49a)
(dvs.
parabelen må liege over
umiddelbart.
Da et geometrisk
middeltall ikke overskrider et tilsvarende aritmetisk middel
tall,
får vi fra (10.49a)
|Rxy(t)| 5 J(RX(O)
+ Ry(0))
(10.49c)
For autokorrelasjonsfunksjonen gjelder en tilsvarende ulik het som fås fra (10.49a)
|Rx(t)I
eller (c)
ved å sette
X=Y
< Rx(0)
Herav fremgår sammen med lign.(10.48a)
(10.49d)
at autokorrelasjonsfunk-
sjonen for en kovarians-stasjonær prosess er en like funksjon med maksimum for t=0.
Figur 10.8
viser et eksempel på en typisk auto- og kryss-
korrelasjonsfunksjon for simultane kovarians-stasjonære prosesser. Vi ser at krysskorrelasjonsfunksjonen har et maksimum svarende
til
t0|0,
hvilket er et uttrykk for faseforsinkelse mellom
og X(t).
Au tokorre las jonsfunks jon
FIG.
10.8
Krysskorrelas jonsfunks jon
Auto- og krysskorrelasionsfunksjon for simulante kovarians-stasjonære prosesser
Y(t)
329
Et enkelt mål på tap i korrelasjon er den såkalte korrelasjonslengde definert som OO tc
=( J|Rx* |dT)/a (r)-p
(10.50)
0
Vi ser at desto raskere autokorrelasjonsfunksjonen dempes ned,
desto mindre blir
. c Av spesiell betydning i svingningsteorien er krysskorrelat
sjonsfunksjonen for prosessen X(t) og X(t).
X(t)
og dens deriverte prosesser
Her vil vi forutsette at de eksisterer.
Som et eksempel på hvorledes disse krysskorrelasjonsfunksjonene kan etableres,
R«(t. ,t_Z ) AA 1
Da derivasjon og
ser vi på følgende
= E[X(t.1 )X(t2 )]
(10.51a)
forventning er kommutative, får vi
R^x(t1,t2)
E[X(ti)X(t2)]
-
i = V^-Rv(t1,t2)
(10.51b)
A
UL
1
I det tilfelle når
X(t)
er kovarians-stasjonær får vi på til
svarende vis
R?.Y(t + T,t)
= E[X(t + t)X(t)]
= E[d«t+T) dS-.xlt)! dx d(t+ t ) = -^-E[X(t+T)X(t)]
(10.51c)
dT
eller
R.-.y(t) ÅA
= — R (t) UT
(10.5Id)
A
Tabell 10.1 viser den komplette korrelasjonsmatrisen for en
kovarians-stasjonær prosess X(t) og X(t).
X(t)
og dens deriverte prosesser
Det fremgår at X, X og X er simultane
kovarians-
stasjonære, hvilket innebærer individuell kovarians-stasjonaritet
330
Til en ytterligere illustrasjon gir
for henholdsvis X og X. Fig.
10.9 et eksempel på auto- og krysskorrelasjonsfunksjonene
for X, X og X.
TABELL 10.1
Auto- og krysskorrelasjonsfunksjoner av en stasjonær prosess X(t)
X
X
X
X X
Rv ( t) X = drRX(T) 2 Rpv(T ) = ---R ( T ) XX , 2 x da RXX(t)
FIG.
og dens deriverte prosesser X(t) og X(t)
10.9
R, ’(t) = - —R (t) XX di X -2 Ra(t) = - —Ry(t) A j 2 A da a3 R" • ( T ) = Rv ( T ) XX dT3 X
X
j2 RYY(t) = —Ry(t) XX dr2 X d3 R«"(t) = —Ry(t) XX j 3 X da RY(T) = —R (T) X , 4 X dT
Auto- og krysskorrelosjonsfunksjoner for en kovorionsstasjonær prosess og dens deriverte prosesser
331
Spektraltetthet og spektralfordeling
10.2.9
Annen ordens stokastiske egenskaper hos kovarians-stasjo
nære prosesser som i tidsrommet beskrives ved hjelp av auto- og
krysskorre1asjons-funksjoner, uttrykkes ofte mer hensiktsmessig i frekvensrommet. teorien.
Særlig gjelder det anvendelser innen svingnings-
En innfører da begrepet spektraltetthet som defineres
som Fouriertransformasjonen av korrelasjonsfunksjonen.
Autospektralhetthet -Amtospektraltettheten for en kovarians-stasjonær prosess de fineres som
SvA (co)
hvor
co
, s ”Icot j ds
R v (t )o
A
er sirkelfrekvensen .
traltettheten
— co
co>0
| Aco = co> 0 i Aoo>0 og co= 0 zOO>Ao> og oo> 0 for < A co = oo = 0 ^oo^ .
N bør som diskutert i av
snitt 7.2.3, for praktiske problemer tolkes som det minste antall
svingeformer en trenger for å få tilstrekkelig nøyaktighet i beregningene.
For enkelte konstruksjoner kan N=1 være tilstrekke
lig, noe som oftest betyr at systemet hovedsakelig svinger i sin
laveste egensvingeform,
samt eventuelt i takt med enda mer lav-
frekvent dynamisk belastning.
I praksis betyr dette
375
at det i enkelte tilfeller er mulig å behandle kompliserte sys
temer som et system med en frihetsgrad ved å innføre normalko ordinater .
Den dynamiske likevektsligning i normalkoordinater kan nå
løses på samme måte som lign.(10.1 Ola) for system med en frihets Det gir,
grad.
rommet,
idet vi konsentrerer oss om løsningen i frekvens
følgende uttrykk for middelverdi og spektraltetthet for
responsen i normalkoordinater
E[y (t)]
= Hn(o)E[Qn(t)]
n=l,2,...,N
(10.119a)
og
(co)S * sy y 1
Srir.(æ) -L j
N N = £ J/im%Vw)H£U)SQ Q m-± n - _l mn
(10.121c)
j=l,2,...,N
og
i,j=l,2,..,N
(10.121d) Del er hensiktsmes s ig a oms krive den siste ligningen slik
N Sr.r,(“’ = VidjrJHnU)l2sQ C“> i ] n-1 J xn N N LØ I Q U) m-1 n-1 J årn
0-0 Kroneckers delta.
hvor
(10.1216)
Den første rekken uttrykker det
bidrag som de individuelle egensvingeformer yter til den totale respons.
Den andre rekken uttrykker det bidrag som stammer fra
korrelasjon eller overlapping mellom de forskjellige egensvinge-
former.
Hvis systemets egenfrekvenser er vel adskilte og demp
ningen er svak eller moderat,
er det ofte mulig å neglisjere
"overlappingsresponsen" uten å introdusere signifikante feil i Det gjør det mulig å beregne responsen som vektet
beregningene.
sum av responsbidrag fra de individuelle svingeformer.
annen side kan en introdusere betydelige dette bidrag,
På den
feil ved å neglisjere
selv ved beregning av autospektraltetthetene,
hvis egenfrekvensene er klumpet tett sammen eller sammenfallende.
10.3.4
Ikkestasjonær respons I avsnitt 10.3.2 og 3 er det forutsatt at belastningen kan
idealiseres som stasjonær (ergodisk) prosess.
Dette kan være en
brukbar tilnærmelse for visse typer dynamiske laster, f.eks. °g bølgelast, mens det for andre typer er utilstrekkelig, jordskjelvlast.
Vi vil derfor i
vind-
f.eks.
dette avsnitt se litt
nærmere på responsberegninger for lineære, tidsinvariante system
er belastet med ikkestasjonære lastprosesser. La oss ta utgangspunkt i
bevegelsesligningen for et
system med flere frihetsgrader (se lign.(7.1))
377
Mr(t) + Cr(t) + Kr(t) = Q(t) hvor
er en ikkestasjonær lastprosess definert i området
Q(t)
.
0 < t < °°
(10.122a)
Løsningen til denne ligning kan uttrykkes som
(10.122b)
hvis det forutsettes at
Her betegner
r(0) = r(0) = 0.
h(t)
impuls-responsfunksjon (se lign.(7.135)).
systemets
Generell ikkestasjonær lastprosess La oss anta at lastprosessen er av den generelle ikkestasjonære type som diskutert i avsnitt 10.2.8 og 10.2.9. Da følger at middelverdi- og korrelasjonsfunksjonen for responsen
er gitt som E[r(t)]
=
(10.123a)
fh(t-r)E[Q(t)]dT
0 og Rr(t1,t2)
T
E[r(t1 )r(t2 )]
=
t2
= j
I
(10.123b)
hd^ T1 )Rq(tx ,t2 )hT(t2-T2)dT1 dT2
0 0
hvor
Rq(\ ’T2 >
)QT0
0
for
t0
0
for
t0
for
t0 w, d co. d — d d
for
(10.132)
hvor ttI
u
2 Aco3m o
er systemets asymptotiske respons for t->°°.
Variansen er avbildet
på fig.10.17 for forskjellige dempningsverdier . for 1 = 0 går responsen mot uendelig når t->°°.
Det fremgår at
382
FIG.
10.17
Tidsavhengig varians av responsen for system med en frihetsgrad.
Behandling av startbetingelsene Så langt har vi forutsatt at systemet er i ro E[r(t0)]
(E[r(t
)]
= 0) når den ikkestasjonære lastprosess påføres.
Vi
vil nu se på det tilfelle hvor systemet er i bevegelse når lasten påføres og startbetingelsene er gitt som stokastiske
variabler, dvs.
det stokastiske initialverdiproblem [24], En
slik problemstilling er spesielt aktuell når lastprosessen er
giff ved en sekvens av ikkestasjonære prosesser 1.
Systemets
tilstand ved avslutningen av en sekvens behandles da som startbetingelser for neste sekvens osv. Vi antar nå at den aktuelle sekvens starter ved tiden
E _
, samt at systemets tilstand ved
den tid er gitt ved de
=
383
(hastigheter).
stokastiske vektorer r\
(forskyvninger) og rQ
Systemets respons,
løsningen til lign.(10.122a) er da
gitt
som
r(t)
=
dvs.
t jh(t-T
)Q(t)dT
+
h(t-t0)[Mr0+Cr0] +h(t-t0)MrQ
(10.133)
L 0
Herav får vi middelverdifunksj onen for responsen som t E[r(t)]
=
jh(t-T)E[Q(T)]dT t0
+
h(t-t0)(ME[r0]
+
CE[r0]
+
h(t-t0)ME[r0]
(10.134a)
Videre fås korrelasjonsfunksjonen for responsen som "f 1
Rr(t1,t2)
$2
h(tl-T1)Rq(T1,T2)h
j
=
(t2-T2)dT,dT2
U t0 T
+
h(t1-t0 )R}h
+
h(t1-t0)R2hT(t2-t0)
+
h(t1-t0 )R2h1(t2-t0)
+
h(t}-t0 )R3hT(t2-t0 )
(t2-t0)
(10.134b)
hvor
Rt
=
ME[rQr^]MT +
CE[ror^]MT
R2
=
ME[ror^]MT
CE[rør;]MT
R
=
ME[r
3
+
+
ME[rorq]CT
+
CE[rQrq]CT
E[r0Q (t)]
(10.134e)
0
T I utledningen av ovenstående har vi anvendt r[r0Q (t)] T
(10.134d)
rT]MT 0
•
(10.134c)
- 0•
-
384
▼ Eksempel 10.2
System med en frihetsgrad
Vi vil nå undersøke responsen av følgende system
mil + cu + ku = Q(t) hvor lasten Q(t) er en "evolusjonær" lastprosess gitt som (se
eks.10 . 2 >
E[Q(t)]
= 0 I
t£0
0
t>0
Variansen av forskyvningen og hastigheten for systemet i tids
intervallet fra -°° til 0 er gitt som ttI
a2 u
for
-co°° .
£im = N->°° Ry ( T ) Aco-> deo
V c
S ° (co) Aæcos (co. t X k
S0 (co) cos (cjt ) deo
)
(11.13)
423
FIG.
11.1
Diskretisering av en ensidet spektraltetthet. Konstant oppløsning i frekvens.
Til arealet Sx (wup.
er
(11.16)
Am < tt/T Ellers bør
Aco
velges slik at smale topper i spektraltett
heten blir representert på en rimelig måte.
at
Am
Dette krever normalt
er vesentlig mindre enn den effektive båndbredde av den
Det er derfor ofte nødvendig å bruke et meget
smaleste toppen.
stort antall harmoniske komponenter, hvilket fører til store regneomkostninger.
En rasjonell fremgangsmåte i slike tilfeller
diskuteres i avsnitt 11.3.4. En alternativ fremgangsmåte som vil redusere regneomkostning-
ene,
er å innføre en variabel A0m° ' [G - G°(w) ■ A v (co+dco) - GÅv(co)] = G°(æ+dæ) A A
= SåX (co)dæ Det vil si,
(11.30)
spektralfordelingen for en vilkårlig tidsrekke
simulert ved help av lign.(11.19),
(11.21)
og
i middel mot den tilsiktede spetralfordeling mot uendelig. og (11.25),
Herav følger,
(11.24) konvergerer G°(co)
sammen med lign.(11.26),
at prosessen konvergerer
når
N
går
(11.22)
(i middel) mot en ergodisk
Gaussisk prosess når N går mot uendelig. Denne simuleringsmetode har vært brukt til å simulere bølge høyder.
Resultatene er vist på fig-
11.4.
En begrensning ved denne simuleringsmetoden er at tidsrekkene vil bli periodiske.
Perioden kan anslagsvis bestemmes ut fra den
minste avstand mellom frekvensene oo, . K
En annen begrensning er at
430
TID (s)
FIG.
11.4
Simulering av havbølger
a)
Den tilsiktede bplgespektral tetthet
b)
Utsnitt av den simulerte tidsrekke
c)
Histogram for den simulerte tidsrekke
431
spektraltetthetene for de simulerte tidsrekker avviker normalt mer fra den tilsiktede spektraltetthet jo større neste avsnitt).
| co |
blir (se
Dette er mulig a rade bot på ved a dele fre-
kvensaksen inn i et passende antall intervaller hvori det plas
seres et tilnærmet likt antall frekvenser. behandles
Innen hvert interval
frekvensene som stokastiske variable gitt ved hjelp av
spektralfordelingen.
11.3.3
Konvergens Hensikten med dette avsnittet er å undersøke nærmere konver
gensen (
se avsnitt 10.2.4) av de simulerte prosessene gitt ved
henholdsvis lign.(11.19)
og (11.6).
Vi tar utgangspunkt i lign.(11.29) sesser med stokastisk fase og frekvens.
G-z- (co +doj)
i undersøkelsen av pro Den gir
Gy (co)
I N = -A II 27 [l(æ-dæ-æ K ) k=l
KlO-COy) + Kco-cw+cOy) - K(o + cok)]
(11.31)
Forventningsverdien av denne ligning er gitt som
E[G (co + dw) - G (co)] X
[Kco-dw-coy )-l(co-cok) + l((o-dw+(ok)-l(io+(ok) ]pw(tok)dæk
= 1A2NS° (co)dco/a2 X
X
= S°.(co)aæ X
Her gjør vi bruk av lign.(11.20b) og (11.24).
Tilsvarende får vi det andre moment som
(11.32)
432
E[(GJw+du) - G (æ))2 ] X-
X
=
N
N
v _ “i
n — ~i
£ E [ (ard æ-u), )-1L(lo-cu. )+ l(co-dco+u)1 )-HXæ+æ.)) A
K
A
K
x ( Kaj-daj-aj.p )-l(aj-m ) +1( w-dæ + æ 0 )-1( w+co n ) ) ] N
- g-gA4' [ a)
_ ~l
N
+
[ K w-dai-o) )-j1( lo-co, ) +1( co-dw + oj, )-lL(co + a)1 )] K
K
K
K
N
l
£ (1-6, k=l £=1
)E [ Kw-dai-at )-K aj-an ) + l(oj-dw + aj1 )-Kco+a), )] k k K K
x E [ 1( a)-dæ-w )-H/cu-an ) +1( oj-dco +w )-l(a)+a) ) ] A/
Az
- yg-A1* [ 2NS° (aOdaj/a2 + A
2
hvOr
ai) goj/I-I +
X/
(N2-N) ( 2NS° (co)da)/a2 ) A A
(S^(æ)dio)2
£im N-h» E t
(ai+cio)) A
]
- ( S° (a) )da)) 2/N
6k£ er Kronecker's delta.
(11.20b) og (11.2b).
Az
(11/33)
Igjen har vi brukt lign.
Herav følger at
(w))2]
- G
=
(So(to)daj)2
(11.34)
X
A
Anvendelse av lign.(11.32) og (11.33) gir variansen
VAR[Gx(u+dB) - G);(U)]
(o> )dw/N - (U )dU ) 2/N
=
(11.35)
Denne ligning viser at variansen går mot null når N går mot uendelig, hvilket sammen med lign.(11.3k) beviser gyldigheten av lign.(11.30).
. Av lign.(11.32)
og (11.35)
følger videre at variasjonskoef-
fisienten definert som forholdet mellom standardavvik og for-
ventningsverdi, er gitt som ♦
CV[Gx(æ+do)) - Gx(a))]
= -----------
/2NS“ (co)dæ A
+ 0(dw)
(11.36)
433
Dette resultat viser klart at simuleringsmodellen med sto
kastisk frekvens og fase gir en tidsrekke med spektraltetthet som bare er tilnærmet lik den tilsiktede spektraltetthet.
Det
er også verdt å bemerke at variasjonskoeffisienten lign.(11.36) bare er tilnærmet konstant for meget flate spektraltettheter.
I
de fleste praktiske tilfeller vil variasjonskoeffisienten vokse
når
vokser tilstrekkelig meget, hvilket skyldes at
jco|
normalt går mot null når jco|
går mot uendelig.
S^(w)
Derfor bør det
høyfrekvente halepartiet på spektraltettheten for den simulerte tidsrekke behandles med forsiktighet som påpekt i avsnittet foran.
Det fremgår videre av lign.(11. 36) at stabiliteten av spektral tettheten forbedres generelt når
N
vokser.
En tilsvarende undersøkelse for prosesser med stokastisk
fase,
lign.(11.6), starter passende med at en danner spektral
tettheten ved å Fouriertransformere lign.(11.10)•
Det gir
S (w) = V 1A2 ( 6 (eo-co. ) + 6(co + to, )) X , _ k K K K-1
(11.37)
Herav får vi
G (co + deo) — G (to ) X X N = [ [ K co-dco-cov) - Kco-co^) + Kco-dco+æ^) - Kto+co^)] k=l Sannsynlighetstettheten for
oo-^
(11.38)
er i dette tilfellet gitt
som
(co, ) - 6 (co—co, )
p
(11.39)
wk co, er en deterministisk størrelse K dermed da
Forventningsverdien blir
E [ G (co + deo ) - G ( to ) ] X X
N
[ K oo +dco-60p.) -K co-co^ ) +É( oo + dco+co^,) - il( co+co-^ ) ] 6 (w-co^ ) dw
k=l
= iA2(co) = S°(oo)doj 2 k X
(11.40)
434
hvor lign.(11.11) er blitt brukt. Det andre moment er gitt ved
E[(G (æ+dw) 4
- G (w))2] X
N T I [ ^L( w-dkJ krg4 JV
K
- K w-im ) + 1L( w-d oo+ w7 ) - f. ( K k
w
)]
k
N N 1 + Z I M^k^ n ( 1 ~ p ) E [ 1( U)-dW-W, )-1( W-w, ) + 1L( w-dw + w, )-H( æ+co, )] k=l£=l KJC k k k k
x E[l(w-dw-w£) = 1a^(M)
- l(w-æ;)
+ ICæ-dw+æ^)
- i(w+w£)]
= (S“(0>)dM)2
(11.41)
X
Det fremgår at dobbelsummen er lik null.
Variansen får vi ved å bruke lign.(11.40) og (11.41).
Det
gir VAR[Gx(æ+dw)
- Gx(æ)]
(11.42)
= 0
Følgelig blir variasjonskoeffisienten lik null.
Dette beviser
det som er antydet i det foregående avsnitt
med lign.(11.6) har en spektraltetthet som er identisk lik den tilsiktede diskretiserte spektraltetthet.
Videre ser vi at simuleringsmodellene gitt ved henholds
vis lign.(11.6) og (11.19) konvergerer på forskjellig måte, noe en bør være oppmerksom på ved valg av metode for en aktuell
simulering.
11.3.4
Anvendelse av FFT teknikken De simuleringsmetoder som vi har diskutert, krever beregning
av et stort antall cosinusledd.
Dette gjør at metodene kan bli
svært kostbare i bruk nar lange tidsrekker genereres.
Disse
vanskeligheter kan imidlertid overvinnes ved bruk av lign.(11.6) og (11.11) når Aw velges konstant.
Ligning (11.6) kan nemlig omskrives som følger
435 X(t)
= Re [ 7 (A, elcf)k)elækt ] k=l k
(11.43)
Uttrykket i de kantede parantesene kan fortolkes som den diskrete Fouriertransformasjon av rekken A.e^^^k, k=l,2...,N.
Denne transformasjonen kan utføres på en meget økonomisk måte ved å benytte den såkalte. FFT algoritme (''Fast Fourier Transform")
[7 ] .
Prosedyren blir da som følger den følgende komplekse rekke
1) Beregn
hvor
K
er uavhengige tilfeldige tall jevnt
, k = l,
fordelt mellom 0 og 2t, og S°(w) X tetthet .
2) Beregn det z(t
)
=
er den tilsiktede spektral-
(inverse) diskrete Fouriertransformasjon.
N y c(wv)e1C°k £ k=l
£=1,2,. ..,N
ved hjelp av en FFT algoritme.
3) Tidsrekken bestemmes til slutt som X(t^)
11.3.5
= Re [z( t
) ] ^Aco'
Respons for lineære systemer Responshistorien for lineære systemer indusert av stasjonær
(ergodisk) Gaussisk last kan genereres på en effektiv måte uten å gå veien om skrittvis integrasjon ved å anvende Monte Carlo
simulering.
Dette kan forklares som følger.
Generelt kan responshistorien u(t)
for et lineært system'
uttrykkes ved følgende konvolusjonsintegral når en antar stasjonære
436
forhold
(se avsnitt 7.4.1) 0°
u(t)
Her er
h(t)
ergodisk Vi
(11.44)
h(t-t)Q(t)dt
-
er en
systemets impuls-responsfunksjon og Q(t)
Gaussprosess
antar
gitt ved spektraltettheten
videre
(eller (11.6)).
Q(t)
SQ (co)
tilnærmet med lign.(11.19)
Det vil si
£ cos(o)kt + 4>k)
Q(t) =
(11.45)
Det gir ved innsetting i lign.(11.44) 00
u(t)
= °qVI j k=l
h( t-T )cos (co, t + d). )dt k k — OO
OO
OO
X
H(co)e
2 TT
iO)( t-T )
, ,
/
X ,
cos ( wkT+