Dyn Struct C1 Vibration Libre PDF [PDF]

Zitiervorschau

Médéa, Le 02 AVRIL 2012 Médéa University

CHAPITRE 1 Vibration libre Responsable de matière

Nasreddine AMOURA Maître de Conférences, Département du Génie de la Matière [email protected] Médéa University

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1

Chapitre 1 VIBRATION LIBRE

I.1 Mouvement oscillatoire L’étude vibratoire concerne le mouvement oscillatoire des corps et les forces associées aux mouvements. Tout corps possédant une masse et une élasticité est capable d’osciller (vibrer). Donc, la plus part des machines et des structures sont conçues en tenant compte de leur comportement vibratoire.

k m

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2

Chapitre 1 VIBRATION LIBRE

Caractéristiques des systèmes vibrants:

Linéaire

(Principe de superposition)

Non-Linéaire

(Méthodes itératives)

Classes des systèmes vibrants: Vibration libre (excitation interne) Fréquences du système (fs) = Fréquences naturelles Vibration forcée (excitation externe fe) Fréquences du système = Fréquences de la force excitatrice

fe= fs Médéa University

Résonnance

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Chapitre 1 VIBRATION LIBRE

I.1.1 Mouvement harmonique Quant le mouvement est répété périodiquement dans le temps, il est dit: périodique. Période des oscillations: τ

Fréquence des oscillations: f

x(t + τ ) = x(t ) f =

1

τ

Le mouvement périodique le plus simple est le mouvement harmonique.

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Chapitre 1 VIBRATION LIBRE

Exemple: x (t ) = A sin 2π

t

A: amplitude du mouvement mesurée à partir de la position initiale

τ

ω=

2π

τ

= 2π f

Fréquence circulaire

A

X(t) 1 0,5

t

0 -0,5 -1

τ La vitesse du mouvement:

L‘accélération du mouvement: Médéa University

xɺ (t ) = ω A cos(ω t ) = ω A sin(ω t +

π 2

)

ɺɺ x (t ) = −ω 2 A sin(ω t ) = ω 2 A sin(ω t + π )

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5

Chapitre 1 VIBRATION LIBRE

Forme exponentielle:

e

iωt

= cos ωt + i sin ωt

z = Aeiωt = A cos ωt + iA sin ωt = x + iy z = Ae

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− iωt

ωt

z = Aeiωt z = Ae −iωt

1 ⇒ x = ( z + z ) = A cos ωt = Re  Ae −iωt  2

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Chapitre 1 VIBRATION LIBRE I.1.2 Mouvement périodique X(t)

t

τ n a0 Décomposition du signal en série de Fourier: x (t ) = + ∑ ( ai cos ωi t + bi sin ωi t ) 2 i =1

ω

1

=

2π

ω

τ

n

= nω

1

τ

an =

2

τ

τ

2

∫ x (t ) cos ω

− τ2

n

t dt

bn =

2

τ

2

∫ x (t ) sin ω

n

t dt

− τ2

Les codes FFT permettent de décomposer le signal périodique en fonctions paires et impaires Médéa University

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Chapitre 1 VIBRATION LIBRE I.1.3 Terminologie du mouvement vibratoire Amplitude maximale: Valeur maximale atteinte par la vibration,

Amplitude moyenne:

x =

Amplitude carrée moyenne:

Exemple:

1

τ

x

2

τ

∫ x (t ) d t 0

=

1

τ

τ

∫ [x (t ) ]

2

dt

0

x(t ) = 3.0sin t

Calculer l’amplitude moyenne sur un cycle, sur un demi cycle et l’amplitude carrées moyenne,

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Chapitre 1 VIBRATION LIBRE I.2 Vibration libre Tout système, possédant une masse et une élasticité, est capable de vibrer librement (sans excitation externe). Ce qui est important dans la vibration libre sont les fréquences naturelles (propres) du système, qu’il faut évaluer en fonction de la masse et de la rigidité de ce dernier. En l’absence d’amortissement, l’énergie totale du système est conservée en même temps que l’amplitude. L’amortissement a peux d’influence sur les fréquences naturelles du système et peut être négligé lors des calculs. Remarque: seuls les types de frottements permettant une solution analytique sont traités dans ce cours.

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Chapitre 1 VIBRATION LIBRE I.2.1 Equation de mouvement et fréquence naturelle Système masse-ressort

∑F

k

ext

= mxɺɺ = W − k (∆ + x)

⇒ mxɺɺ = − kx k∆

ɺxɺ

m

∆

Equilibre statique

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mxɺɺ + kx = 0

k ω = , m 2 n

W

ɺɺ x + ω2x = 0

Ou bien:

Fréquence naturelle

x xɺ

Equation de mouvement

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Chapitre 1 VIBRATION LIBRE

Solution de l’équation différentielle: Conditions initiales:

x(t ) = A sin ωnt + B cos ωnt

x (t = 0) = x0

et

xɺ (t = 0) = xɺ 0

Solution de l’équation différentielle en introduisant les CI:

x(t ) =

ωn

sin ωnt + x0 cos ωnt

2π

Période naturelle:

m τ= = 2π ωn k

Fréquence naturelle:

ωn 1 fn = = = τ 2π 2π 1

1 fn = 2π Médéa University

xɺ0

k 1 = m 2π

g ∆

( k ∆ = mg )

9,81 15, 76 = −3 ∆ mm .10 ∆ mm

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Chapitre 1 VIBRATION LIBRE I.2.2 Méthode énergétique

Dans un système conservateur, l’énergie mécanique totale est constante et l’équation différentielle du mouvement peut être établie en considérant le principe de conservation de l’énergie mécanique. Pour un système en vibration libre sans frottement:

Em = Ec + E p = Constante

• Ec: Energie cinétique • Ep: Energie potentielle

dEm d = ( Ec + E p ) = 0 dt dt Et pour deux temps différents:

• Em: Energie mécanique

(E

c

+ E p ) = ( Ec + E p ) 1

2

( Ec )max = ( E p )max Médéa University

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Chapitre 1 VIBRATION LIBRE

Exemple du système masse-ressort:

E p = m gx = Ec =

1 2

m xɺ

2

1 2

kx 2

Em =

1 2

( kx

2

+ m xɺ 2 )

d ( E m ) = ( kx + m ɺɺx ) xɺ = 0 ⇒ m ɺɺx + kx = 0 dt

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Chapitre 1 VIBRATION LIBRE

k

Exemple de la roue oscillante:

( )

R2

E c = 12  J θɺ 2 + m r1θɺ    E p = 12 k ( r2θ )

2

R1 J

2

θ

E m = E c + E p = 12  J θɺ 2 + mr12θɺ 2 + kr22θ 2  m

dE m = θɺ  J θɺɺ + mr12θɺɺ + kr22θ  dt 2 kr 2 θɺɺ + θ =0 2 J + mr1

2 kr 2 ω n2 = J + mr12 Médéa University

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Chapitre 1 VIBRATION LIBRE I.2.3 Vibration libre amortie (frottement visqueux) Le frottement visqueux est proportionnel à la vitesse des oscillations.

Fd = cxɺ

Fd : force de frottement visqueux c: Constante de l’amortisseur

k

c kx cxɺ

Vibration libre

Mxɺɺ + kx + cxɺ = 0

m F (t )

(1.1)

Vibration forcée

Mxɺɺ + kx + cxɺ = F (t )

(1.2)

(1) Equation différentielle du second ordre, à coefficients constants et homogène. (2) Equation différentielle du second ordre, à coefficients constants et avec second ordre

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Chapitre 1 VIBRATION LIBRE

Solution générale de (1.1): On remplace dans (1.1): Ou bien:

x(t ) = e st

(1.3)

(ms 2 + cs + k )e st = 0 c k 2 s + s+ =0 m m

(1.4) (1.5)

2

Solution de (1.5):

s1,2 =

c  c  k ±   − 2m  2m  m

(1.6)

Solution générale de (1.1) est donnée par l’expression:

x(t ) = Ae s1t + Be s2t

(1.7)

Les constantes A et B sont évaluées en fonction des conditions initiales.

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Chapitre 1 VIBRATION LIBRE

En remplaçant s1 et s2 par leur valeurs:    −( c /2 m )t  x(t ) = e Ae  

( c /2 m )2 − k / m t 

+ Be

−  

( c /2 m )2 − k / m t  

 

(1.8)

Exponentielle décroissante

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Chapitre 1 VIBRATION LIBRE

Cas (c/2m)²>>k/m

Système Sur-amorti

Les termes exponentiels sont réels et les oscillations ne sont pas possibles.

Cas (c/2m)² 1 ⇒ Sur-amortissement ζ < 1 ⇒ Sous-amortissement ζ = 1 ⇒ Amortissement critique Médéa University

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Chapitre 1 VIBRATION LIBRE

Mouvement oscillatoire

x ( t ) = X e − ζ ω n t sin

(

= e − ζω n t  C 1 sin 

X , φ ou C1 et C2

x (t ) = e

−ζωnt

(ζ

< 1)

1 − ζ 2 .ω n t + φ

(

)

)

1 − ζ 2 .ω n t + C 2 cos

(

)

1 − ζ 2 .ω n t  

(1.12)

Sont déterminées en fonction des CI.

 xɺ + ζ ω x n 0 sin  0 2  ω n 1 − ζ

(

)

1 − ζ .ω n t + x 0 cos 2

(

 1 − ζ .ω n t   2

)

(1.13) La fréquence des oscillations amorties est:

ωd = Médéa University

2π

τd

= ωn 1 − ζ 2

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(1.14)

20

Chapitre 1 VIBRATION LIBRE

Mouvement oscillatoire

Médéa University

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(ζ

< 1) 21

Chapitre 1 VIBRATION LIBRE

Mouvement non-oscillant (sur-amorti)

x (t ) =

−ζ + ( Ae

A=

B=

Médéa University

)

ζ 2 −1 ω n t

(ζ

> 1)

−ζ − ( + Be

)

(

− xɺ 0 − ζ − ζ 2 − 1 ω n x0

(

)

ζ 2 −1 ω n t

(1.15)

2ω n ζ 2 − 1

)

xɺ 0 + ζ + ζ 2 − 1 ω n x0 2ω n ζ 2 − 1

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Chapitre 1 VIBRATION LIBRE

Mouvement non-oscillant (sur-amorti)

Médéa University

(ζ

> 1)

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Chapitre 1 VIBRATION LIBRE Mouvement amorti critique Dans ce cas:

s1 = s2 = −ωn Avec:

Médéa University

(ζ

= 1) et

x (t ) = C e −ω nt

(1.16)

C = ( xɺ0 + ωn x0 ) t + x0

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Chapitre 1 VIBRATION LIBRE I.2.4 Le décrément logarithmique Une autre façon de mesurer l’amortissement est de déterminer le rapport des amplitudes entre deux oscillations successives.

)

(

 e −ζωnt sin 1 − ζ 2 ωnt1 + φ δ = ln ( x1 / x2 ) = ln  − ζω ( t +τ ) 2  e n d sin 1 − ζ ωn ( t1 + τ d ) + φ 

(

)

    

Les valeurs des sinus sont égales entre t1 et t1+τd , alors:

Avec:

τd =

 e −ζωnt δ = ln  −ζωn (t +τ d ) e

2π

ωn 1 − ζ

2

⇒

δ=

2πζ 1− ζ

Remarque: Si ζ Médéa University

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