DS2 BTPGM 1617 [PDF]

Zitiervorschau

Jeudi 29 décembre 2016 8h à 9h45mn

Mme El Kyal Université Ibn Zohr

ère année G.M. et G.C.

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Ensa, 1

D. S. n 2

Analyse Numérique Durée 1h 45mn

Exercice 1

1. En vous servant des développements de Taylor appropriés, donner l'ordre de précision de l'approximation de la dérivée : f ”(x) ≃

−f (x + 2h) + 16f (x + h) − 30f (x) + 16f (x − h) − f (x − 2h) 12h2

2. On souhaite résoudre le problème suivant : 

u′′ (t) + u(t) = f (t) pour t ∈ [a, b] u(a) = α, u(b) = β

On construit un problème approché par une méthode de diérences nies.Pour cela, l'intervalle [a, b] est subdivisé avec un pas constanth = Nb−a +1 . On appelle t = (t0 , ..., tN +1 ) le vecteur tel que ti = a + ih pour i = 0, ..., N + 1. (a) Montrer qu'au point t1 , la valeur u′′ (t1 ) est approchée par le quotient u(t2 ) − 2u(t1 ) + u(t0 ) h2

et qu'au point tN , la valeur u′′ (tN ) est approchée par le quotient u(tN +1 ) − 2u(tN ) + u(tN −1 ) h2

(b) En posant ui l'approximation de u(xi ) écrire l'équation venant de la discrétisation par diérences nies du probléme en tout point ti pour i = 1, ..., N sachant que pour i = 2, ..., N − 1, La dérivée seconde de u est approchée par la formule donnée en 1. (c) Ecrire le système correspondant. Exercice 2

Soit le système suivant :



 1 α α  α 1 α  α α 1

où α est un paramètre réel. 1. Pour quelles valeurs de α la matrice A est elle inversible ? 2. Pour quelles valeurs de α la convergence de la méthode de Jacobi est-elle assurée ? 3. Donner la matrice d'itérations TJ de la méthode de Jacobi, pour quelles valeurs de α la méthode de Jacobi converge pour ce système linéaire ? 4. Pour quelles valeurs de α la convergence de la méthode de Gauss-Seidel est-elle assurée ? 5. Donner la matrice d'itérations TGS de la méthode de Gauss-Seidel.

1

On considère le système linéaire Ax = b où la matrice A est dénie de la façon suivante : 

1  0  1  − 4 − 41

− 14 − 14 1 0

0 1 − 14 − 14

 − 14 − 14   0  1

et b = 21 , 12 , 12 , 21 t , la solution exacte est x∗ = (1, 1, 1, 1). On cherche à résoudre Ax = b en utilisant la méthodes itératives de Jacobi et de Gauss-Siedel. 1. Sans calculer les matrices d'itérations, la méthode de Jacobi est elle convergente ? 2. Calculer la matrices d'itération TJ et les 3 premères itérations de la méthode de Jacobi en → − partant de x(0) = 0 . 3. Montrer que


x(k) =

2k − 1 x∗ 2k

où x∗ est la solution exacte du système. 4. Sans calculer les matrices d'itérations, la méthode de Gauss-Seidel est elle convergente ? 5. Calculer la matrices d'itération TGS et les 3 premères itérations de la méthode de Gauss-Seidel → − en partant de x(0) = 0 . 6. Montrer que x(k) =

22k−1 − 1 22k − 1 c + d 22k−1 22k

où c = (1, 1, 0, 0)t et d = (0, 0, 1, 1)t . 7. Déterminer ∥x(k) − x ∗ ∥∞ pour les deux méthodes. Que peut-on en conclure ?

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