Ds Filtre de Hartley 19 Nov 18 PDF [PDF]

Zitiervorschau

TSI 2

DS FILTRAGE ET ANALYSE DE FOURIER

2heures

19 nov 2018

Avant de démarrer la rédaction de votre copie vous lirez attentivement le sujet : pendant les 10 premières minutes vous ne serez autorisé qu’à surligner le sujet. LISEZ BIEN chaque question, au lieu de vous précipiter à répondre à côté de la question. Pensez à la marge à droite de 5 grands carreaux ou 5 cm de large. Il ne devra y avoir AUCUNE rature sur la première page de votre copie (et le moins de ratures possible dans la suite !). On étudie un filtre de Hartley, dont le montage est représenté ci-dessous (en sortie ouverte). Dans tout le problème, on prendra : L = 1,0 mH, C = 0,10 µF et R = 10 k. 1) Prévoir à l’aide de schémas équivalents BF et HF la nature probable du filtre. On rappellera les modèles équivalents des dipôles en basse fréquence (BF) et haute fréquence (HF).

Sa fonction de transfert complexe en sortie ouverte s’écrit : H(j) = Données numériques : √2 ≈ 1,41

1 √2

≈ 0,71

1 2𝜋√2

≈ 0,11

2) Mettre la fonction de transfert sous forme canonique : H (jx) =

s e

=

j 1+2 j

L R

log2 ≈ 0,30 H0 j 1− x2

x Q

x +j Q

L ω R

ω +2LC(jω)²

log(140) ≈ 2,15

10-2,5 ≈ 3,2 10-3

𝜔

avec x = 𝜔

0

Exprimer la pulsation propre 𝜔0 , le facteur de qualité Q et le gain H0 en fonction de R, L et C puis calculer leur valeur numérique. 3) Le diagramme de Bode en amplitude est donné ci-dessous

a) Etablir le tableau asymptotique de la fonction de transfert H H G x > 1



GdB

b) Déterminer la valeur de x (ou ) pour laquelle le gain est maximum. c) Mesurer la pente des asymptotes sur le graphe. Commenter. d) Déterminer les valeurs numériques de H0 et Q (ce dernier à partir de l’intersection des asymptotes) à partir du graphe. Commenter. e) quelle est l’expression littérale de la largeur de la bande passante ? comparer sa valeur numérique à celle du graphe. 4) Ce quadripôle peut-il servir d’intégrateur ou de dérivateur ? Si oui, dans quelle bande de fréquence ? Justifier. Quel inconvénient présente néanmoins le montage utilisé pour réaliser ces opérations ? 5) On étudie la sortie s1(t) lorsqu’on applique à l’entrée le signal 𝑒1(𝑡) = 𝐸0 + 𝐸1m𝑐𝑜𝑠(𝜔1𝑡) avec 𝜔1 = 𝜔0. a) Comment réaliser expérimentalement ce signal au laboratoire d’électronique ? b) Déterminer l’expression littérale du signal de sortie s1(t). c) Tracer l’allure de 𝑒1(𝑡) et s1(𝑡) sur un même graphe, avec 𝐸0 = 1V et 𝐸1m= 2V. 6) On applique maintenant un signal créneau e2(t), de pulsation 𝜔2 = 𝜔0 /3, et d’amplitude E2m = 1 V (figure cidessous).

a) Calculer la valeur efficace E2eff de e2(t). b) Le signal e2(t) est décomposable en série de Fourier : 4𝐸 sin((2n+1)𝜔2 t) 4𝐸 sin(𝜔2 t) sin(3𝜔2 t) sin(5𝜔2 t) 𝑒2(𝑡) = 2𝑚 ∑∞ ) = 2𝑚 ( + + + ….) 𝑛=0 π 2n+1 π 1 3 5 Tracer l’allure du spectre d’amplitude de e2(t). Préciser les valeurs numériques des pulsations des trois premiers pics d’amplitude non nulle. c) En utilisant la courbe de gain en diagramme de Bode fournie, calculer les valeurs numériques des amplitudes de ces pics dans le signal de sortie s2(t). En déduire l’expression numérique approchée du signal de sortie s2(t). Justifier alors le nom de « tripleur de fréquence » donné à ce filtre. 7) Quelles sont approximativement les caractéristiques du signal de sortie s3(t) si l’on applique un signal triangulaire e3(t) de pulsation 𝜔3 = 𝜔0 et d’amplitude E3m = 1 V ? La décomposition en série de Fourier s’écrit : e3(t) =

8𝐸3𝑚 π²

(

sin(𝜔3 t) sin(3𝜔 t) sin(5𝜔3 t) − 32 3 + 1 52

−

sin(7𝜔3 t) 72

+ ….)

Représenter l’allure de e3(t) et s3(t), en faisant attention à la parité de ces fonctions et à leur déphasage. 8) Question subsidiaire a) A partir de la fonction de transfert complexe, établir l’équation différentielle vérifiée par Vs. b) On suppose Ve = 0 pour t0 Quel est le régime de fonctionnement du circuit (apériodique, pseudopériodique, critique) ?

CORRIGE DS Filtre de Hartley 19 nov 2018 1

1. Rappelons les expressions des impédances complexes : ZC = 𝑗𝐶𝜔 et ZL = jLω ZC → ∞ (interrupt ouvert) ZL → 0 (fil)

En basse fréquence

ZC → 0 (fil) ZL → ∞ (interrupt ouvert)

En haute fréquence

Le circuit devient

Le circuit devient s=0 s=0

le filtre est un passe-bande 2. On identifie les termes des deux fonctions de transfert, sachant que toutes les deux sont de la forme (1 + …) au dénominateur L x 𝜔 (1) j R ω = H0 j Q = H0 j 𝑄 𝜔 (2) 2 j

L R

ω=j

x = Q

(3) 2LC(jω)² = - x²

𝜔 j 𝑄𝜔 0 𝜔 = (j 𝜔 )² 0

0

Le rapport (1) / (2) donne immédiatement : H0 = 1 /2 1 (3) donne immédiatement 𝜔0 = 2𝐿𝐶 = 7,1.104 rad/s √

(1) donne alors Q =

𝐻0 𝑅 𝜔0 𝐿

=R

3. a) UN GRAND CLASSIQUE

𝐶 √ 2𝐿

= 71

ON NE GARDE QU’UN TERME AU DENOMINATEUR EN BF ET HF

Equivalent de H

Equivalent de G

x > 1

x Q (jx)2

H0 j

=

𝐻0 𝑗𝑥𝑄

𝐻0 𝑥𝑄

20 log

𝐻0 𝑄

b) il vaut mieux ici mettre H sous la forme : H =

- 20 log(x) = 20 log

H0 1 x

1+jQ(x − )

𝐻0 𝑄

donc G =

- 20 log

𝜔 𝜔0

−

𝜋 2

H0 1 x

√1+Q²(x − )² 1 x

G est maximum lorsque le dénominateur est minimum, donc lorsque (x − )² = 0, donc x = 1 et Gmax = H0 c) Asymptotes : il faut les tracer avec précision sur le graphe, repérer les décades [10², 103] et [105, 106] ( SE PLACER LOIN DU MAXIMUM) et montrer que GdB varie de + ou – 20dB sur ces intervalles d) Sur le graphe : GdB est max pour une fréquence de 11 ou 12 kHz, soit une pulsation de 2..f ≈ 7,1.104 rad/s On retrouve bien la pulsation calculée précédemment La valeur max de GdB est -6, cohérente avec H0 = 0,5 (voir tableau) H H Le point d’intersection des asymptotes est tq : 20 log 0 - 20 log(x) = 20 log 0 + 20 log(x), Q

Donc les asymptotes se croisent en (abscisse x=1 ; ordonnée 20

𝐻 log( 𝑄0 ))

Q

, soit 20 log(

𝐻0 ) 𝑄

= - 45 d’où Q ≈ 70

e) Largeur de la bande passante : = 0/Q ≈ 10 rad/s ou 150 Hz : cohérent avec BP très étroite sur graphe 3

4. En BF En HF

s e s e

= =

𝐻0 𝜔0 𝑄 𝐻0 𝜔0

j donc s = donc s =

jω 𝑄

H0 ω0 Q 𝐻0 𝜔0 jω 𝑄

j e

donc en temporel s =

e

donc en temporel s =

H0 de ω0 Q dt 𝐻0 𝜔0 𝑄

le montage est dérivateur

∫ 𝑒(𝑡) 𝑑𝑡 le montage est intégrateur

5. a) le signal e1(t) est généré par un GBF sur lequel on peut choisir la fréquence du signal, sa valeur moyenne E0 (Offset), sa forme (sinus, créneau ou triangle) et l’amplitude E1m du signal alternatif b) la valeur moyenne E0 a pour pulsation ω=0 , or H(ω=0) = 0 : la valeur moyenne du signal de sortie est nulle H(j) = H0 donc le signal de sortie complexe correspondant à 𝐸1m.exp(j𝜔0𝑡) est égal à H0 𝐸1m.exp(j𝜔0𝑡) Finalement s1(t) = 0,5.𝐸1m.cos(𝜔0𝑡) c) Tracé … 1

𝑇

𝑇

1

2 2 6. a) E2eff² = 𝑇 ∫0 𝑒22 (t)𝑑𝑡 = 𝑇 ∫0 𝐸2𝑚 𝑑𝑡 = 𝐸2𝑚 4𝐸2𝑚 π

b) e2(t) a une valeur moyenne nulle 1,3

≈ 1,3

1,3/3 1,3/5       3 3 c) pulsation  = 𝜔0 /3 ≈ 24.10 rad/s d’où f2 ≈ 3.10 Hz d’après le graphe GdB (f2) = -55 dB soit H(f2) = 10-55/20 ≈ 10-3 le signal de sortie correspondant à cet harmonique sera négligeable pulsation 3 = 𝜔0

H(3) = 0,5

le signal de sortie correspondant à cet harmonique est

0,5.

4𝐸2𝑚 sin(3𝜔2 t) π 3

pulsation 5  =  𝜔0 /3 ≈ 24.103 rad/s d’où f2 ≈ 15.103 Hz d’après le graphe GdB (5f2) = - 40 dB soit H(f2) ≈ 10-40/20 ≈ 10-2 le signal de sortie correspondant à cet harmonique sera négligeable finalement s2(t) =

2𝐸2𝑚 sin(3𝜔2 t) π 3

, s2(t) a une fréquence triple de celle de e2(t), d’où le nom du montage

7. de même pour le signal e3(t), seule l’harmonique de pulsation 𝜔0 donne un signal non nul en sortie s3(t) ≈

8. a)

𝑠 𝑒

=

4𝐸3𝑚 sin(𝜔3 t) π² 1

j 1+2

L j R

amplitude

L ω R

ω +2LC(jω)²

donc

4𝐸3𝑚 π²

≈ 0,4 V

(1 + 2 j

L R

ω + 2LC(jω)²) s = j

L ds

d²s

L R

ωe

L de

s + 2 R dt + 2LC dt² = R dt b) e = cte donc à t>0

s+2

L ds R dt

+ 2LC

d²s dt²

=0 L R

on cherche s sous la forme exp(rt) avec r vérifiant l’équation caractéristique s + 2 r + 2LC r² = 0 L²

discriminant  = 4 R² – 8 LC < 0 régime pseudopériodique