Drum Optic [PDF]

Zitiervorschau

4. DRUMUIRILE OPTICE Legea lui Snell dezvoltă conceptul de rază de lumină, prin care, în continuare, vom înţelege locul geometric al unui punct de pe frontul de undă divergent emis de un punct obiect. Studiul traiectoriilor razelor de lumină care traversează sistemul optic poartă denumirea generică de drumuire. Cu alte cuvinte drumuirea reprezintă acţiunea prin care se apelează în mod iterativ setul de relaţii care simulează, în anumite ipoteze, propagarea razelor de lumină prin sistemul optic. În legătură cu ipotezele de lucru se cunosc mai multe feluri de drumuiri.

4.1. Drumuirea vectorială Pentru cei doi dioptri sferici succesivi ai unui sistem optic necentrat, prezent şi în fig. 4.1, s-au folosit următoarele notaţii:

Figura 4.1.

r n n' i

= raza dioptrului; = indicele de refracţie absolut din spaţiul obiect; = indicele de refracţie absolut din spaţiul imagine; = unghiul de incidenţă;

1

i' I(x,y,z) s L, M, N  s ' L' , M' , N' refracţiei/reflexiei; a , ,   u o, p, q  TX 0 , Y0 ,0  T 'X '0 , Y '0 ,0 

= unghiul de emergenţă; = punctul de incidenţă al razei optice cu dioptrul; = versorul razei incidente în punctul I ( x , y, z) ; = versorul razei emergente datorită = versorul normalei în punctul de incidenţă; = versorul de poziţie al centrului sferei dioptrului; = punctul unde raza incidenţă înţeapă planul Oxy ; = punctul unde raza emergentă înţeapă planul Oxy .

Pentru dioptrul considerat, datele de intrare sunt reprezentate de versorul s L, M, N  şi punctul T X 0 , Y0 , 0  , iar datele de ieşire de versorul s ' L' , M ' , N' şi punctul T 'X '0 , Y '0 , 0  , acestea din urmă participând la construcţia datelor de intrare ale dioptrului care urmează, procesul decurgând în mod iterativ până la ultimul dioptru al sistemului optic. 4.1.1. Forma vectorială a legii refracţiei Pornind de la exprimarea legii în plan meridian n  sin i ' = n sin i constatăm că produsul vectorial n s  a şi n s'  a reprezintă vectori perpendiculari pe planul meridian, având modulul egal cu componentele legii. Pentru ca aceşti vectori să fie aduşi în planul meridian, adică în planul care conţine pe s , s şi a , înmulţim vectorial la stânga cu a .

dar,

a  (n s  a ) = a  (n  s  a ) ; n  s ( a  a ) - a  ( a  n  s ) = n   s  ( a  a ) - a  ( a  n   s ) ;

(4.1) (4.2)

a  a = 1 ; a  n  s = n  cos i ; a  n   s = n   cos i ;

(4.3)

rezultând: n  s  a  n  cosi = n  s  a  n  cos i ;

(4.4)

sau după ordonare şi explicitare obţinem legea refracţiei scrisă sub forma vectorială:

2

s =

n s  a n

n    cos i'   cos i  ; n  

cu echivalenţa scalară: n   P = cos i  cos i ; 0  n   L = n  L +  P0 ;  n   M  = n  M +  P0 ;  n  n  N =  N +  P0 .  n

(4.5)

(4.6)

4.1.2. Forma vectorială a legii reflexiei Pornind de la expresia legii în plan meridian i =  i , care ne spune cum se construieşte direcţia razei reflectate faţă de normala în punctul de incidenţă, punând condiţia ca versorii s , a şi s ' să se afle într-un acelaşi plan şi apelând la observaţia legată de sensul fizic al versorilor s şi s' , adică sin i ' = sin i şi cos i ' =  cos i obţinem ecuaţia vectorială: a  (s  a ) = a  (s  a ) ;

(4.7)

s  (a  a ) - a  (a  s ) = s  (a  a ) - a  (a  s ) ;

(4.8)

a  a = 1 , a  s = cos i , a  s = cos i ' ; rezultă: s - a cos i = s - a cos i ' ; s = s + a cos i ' - a cos i ; s = s - a cos i - a cos i ; obţinem astfel legea reflexiei scrisă sub forma vectorială:

(4.9)

dar

s = s - 2 a cos i ;

(4.10) (4.11) (4.12)

(4.13)

cu echivalenţa scalară:

3

 P0 = - 2 cos i ;  L = L +  ; P0    M  = M +  P0 ;  N = N +  P0 .

(4.14)

4.1.3. Refracţia / reflexia în punctul de incidenţă Presupunând cunoscute elementele care definesc raza incidenţă, adică punctul unde aceasta intersectează planul xOy , ( X0 , Y0 ) şi versorul acesteia s (L , M , N) , observăm că pentru aplicarea legii vectoriale a refracţiei / reflexiei trebuiesc explicitate valorile cos i, cos i, , ,  funcţie de mărimile numite de intrare, X 0 , Y0 , L , M , N , r , n , n  . Notând cu  distanţa TI , coordonatele punctului de incidenţă sunt:  x = L   + X0 ;   y = M   + Y0 ;  z = N . 

(4.15)

Ecuaţia sferei cu centrul în punctul C (o r , p r , q r ) de rază r este : 2

2

2

( x - o r ) + ( y - p r ) + ( z - q r ) = r2 .

(4.16)

Înlocuind coordonatele (x , y , z ) cu expresiile funcţie de distanţa  obţinem: 2

2

2

(L   + X 0 - o r ) + (M   + Y0 - p r ) + (N   - q r ) = r 2

(4.17)

Dezvoltând această ecuaţie, ordonând-o după parametrul  , ţinând cont că 2 2 2 2 2 2 L + M + N = 1 , respectiv o + p + q = 1 şi înmulţind cu  = 1 / r obţinem:  2 - 2 L o + M p + N q -  (L X0 + M Y0 )  +  Xo2 + Y02  - 2 X0 o + Y0 p  = 0 notând:  F =   X02 + Y02  - 2  X0 o + Y0 p  ;   G = L o + M p + N q -   L X0 + M Y0  . rezultă: 4

(4.18)

 2 - 2 G  + F = 0 ;

(4.19)

cu soluţiile: G  G2 -  F = . (4.20)  Întrucât raza optică intersectează sfera dioptrului în două puncte, semnul din faţa radicalului se alege astfel încât condiţia X0  0 , Y0  0 să conducă la  = 0. Când X0  0 şi Y0  0 ; F  0 şi G  L o + M p + N q , deci:  2 (L o + M p + N q ) pentru semnul plus ;   = 0 pentru semnul minus . 

(4.21)

astfel: G  G 2  F G  G 2  F G + G 2   F = =  =   G + G2   F 2 - G2 +  F G =  G + G 2 - F





=

F G + G2 -  F

.

(4.22)

Pe de altă parte cos i  s  a  L    M    N   Pentru determinarea cosinusurilor directoare , ,   se apelează la ecuaţia vectorială a legii refracţiei/reflexiei: OI  a  r  u  r ,

(4.23)

din care rezultă: au

OI  u    OI ; r

(4.24)

  i    j    k  o  i  p  j  q  k  x  i   y  j  z  k

5

(4.25)

Prin identificare obţinem:   o   x    p   y   q   z 

(4.26)

rezultând: cos i  L o   x   M p   y   N q   z  . (4.27) Înlocuim în această expresie coordonatele punctului de incidenţă I x , y, z  , cu expresiile lor în funcţie de  . După desfacerea parantezelor, identificarea notaţiei G şi înlocuirea lui  cu ultima expresie, obţinem: cos i  L o   L L   X 0   M p   M M   Y0  N q   N N   

F

G 

2



G 2  F  G G2  F 2

G  G  F

G2  F





G2  F  G

G  G2  F



G  G  F



G2  F .

(4.28)

Dacă cantitatea de sub radical este negativă, înseamnă că raza optică nu atinge dioptrul. Astfel se poate scrie: cos i  G 2   F   F   G  cos i 

(4.29)

din legea refracţiei n  sin i  n ' sin i' rezultă: n 2 sin 2 i  n '2 sin 2 i' ;

(4.30)

n 2 1  cos 2 i   n '2 1  cos 2 i' ;

(4.31)

n2 1  cos i'  2 1  cos 2 i  ; n'

(4.32)

2

6

2

n cos i'  1  1  cos i    ;  n'  2

2

(4.33) 2

n rezultând astfel: cos i'  1  1  cos i    .  n' 



2



(4.34)

Dacă cantitatea de sub radical este negativă înseamnă că în punctul de incidenţă s-a produs reflexia totală. Apelând la legea vectorială a refracţiei obţinem: n  P  cos i '  cos i 0  n'  L'  n L  o   x   P 0  n'  M '  n M  p   y   P0  n'  n  N'  N  q   z   P0  n'

sau

(4.35)

apelând la legea vectorială a reflexiei obţinem: P0  2 cos i L'  L  o   x   P  0  M '  M  p   y   P0  N'  N  q   z   P0

(4.36)

Cu aceste valori se pot construi valorile coordonatelor X '0 , Y0'  L'  ' X 0  x  z N '  Y '  y  z M '  0 N'

(4.37)

Formulele de trecere la dioptrul care urmează.

7

Dacă dioptrului la care ne referim îi urmează un alt dioptru la distanţa d  atunci cosinusurile directoare ale razei emergente datorate noului dioptru: L   L '  M   M ' N  N'  

(4.38)

Coordonatele X 0 , Y0  pentru dioptrul următor vor fi determinate cu relaţiile geometrice: L'  '   X  X  d  0 0    N' (4.39)  M ' ' Y   Y  d  0   0  N' Succesiunea relaţiilor de calcul aplicabile în mod iterativ 1  ; r

F    X 02  Y02   2  X 0  o  Y0  p  ; G  L  o  M  p  N  q    L  X 0  M  Y0  ;

cos i  G 2    F ; 2

n cos i ' 1  1  cos 2 i    ;  n'  

F ; G  cos i

x  L    X0 ; y  M    Y0 ; z  N;

Pentru refracţie:

Pentru reflexie:

8

n  '  cos i P  cos i 0  n'  L '  n  L  ( o    x )  P 0  n'  M ' n  M  (p    y)  P0  n'  n  N '  N  (q    z)  P0  n'

P0  2 cos i L ' L  (o    x )  P  0  ' M  M  (p    y)  P0  N ' N  (q    z)  P0

Cu aceste valori se pot construi coordonatele X '0 , Y0'  L' M' X '0  x  z  ; Y0'  y  z  . N' N' Pentru dioptrul următor: L   L' ;

M   M' ;

X 0  X '0  d  

L' ; N'

N   N' ;

Y0  Y0'  d  

M' , N'

Pentru a avea valabilitate, grupul de relaţii trebuie să îndeplinească condiţia G 2   F  0 , deoarece altfel raza optică nu întâlneşte dioptrul, şi condiţia 2  n  2 1  1  cos i       0 , deoarece altfel se produce reflexia totală.  n'    Dacă totuşi una din condiţii nu este îndeplinită, se acţionează corespunzător asupra sistemului optic cu o apertură mai mică, cu un număr de deschidere mai mare, sau micşorând câmpul obiect. În aceste relaţii dacă o = 0, p = 0, q = 1 relaţiile de calcul acţionează asupra unui sistem optic centrat în lungul axei optice. Succesiunea relaţiilor de calcul pentru drumuirea vectorială prin sisteme optice necentrate, având o axă comună, este prezentată în tabelul 4.1.

9

7. LIMITAREA FASCICULELOR DE RADIAŢII 7.1. Diafragme, pupile şi lucarne. Punctele luminoase obiect emit fascicule de radiaţii divergente în toate direcţiile. O parte din razele optice ale fascicolului vor traversa sistemul optic. Razele optice care nu pot pătrunde în sistemul optic sunt oprite de obstacole inerente, cum ar fi monturile lentilelor, sau de obstacole materiale de limitare a fasciculelor de raze numite diafragme. Rolul diafragmei îl poate juca o diafragmă reală, propriu-zisă, o montură sau imaginile acestora. Forma diafragmei de cele mai multe ori este circulară. Pot exista şi forme pătrate sau dreptunghiulare. Acestea din urmă purtând numele de fantă. Constructiv diafragmele pot fi cu deschidere fixă sau cu deschidere reglabilă. În acest caz diafragma poartă numele de diafragmă reglabilă sau iris. Poziţia unei diafragme într-un subansamblu optic poate fi oriunde, având astfel o parte din sistemul optic în faţă şi cealaltă parte în spate, în consecinţă o diafragmă formează două imagini. Acestea poartă numele de pupile. Una din imagini este dată de sistemul optic de dinaintea diafragmei şi o a doua imagine dată de sistemul optic de după diafragmă. Din mulţimea imaginilor formate de sistemele optice aflate dinaintea diafragmelor una se vede din centrul câmpului obiect sub unghiul cel mai mic. Aceasta poartă numele de pupilă de intrare (Pi), iar conjugata ei dată de întreg subansamblul optic poartă numele de pupilă de ieşire (Pe). Diafragma corespunzătoare pupilei de intrare poartă numele de diafragmă principală, diafragmă de deschidere (Dd) sau diafragmă de apertură (DA). Dacă diafragma principală se află în faţa subansamblului optic ea este şi pupilă de intrare. Dacă diafragma principală se află după subansamblul optic ea este în acelaşi timp şi pupilă de ieşire. Din centrul pupilei de intrare fiecare din celelalte pupile este văzută sub un anumit unghi. Astfel pupila care din centrul pupilei de intrare se vede sub unghiul cel mai mic 2σ0 se numeşte lucarnă de intrare (Li), iar conjugata ei dată de întreg subansamblul optic se numeşte lucarnă de ieşire (Le). Diafragma corespunzătoare lucarnei de intrare poartă numele de diafragmă de câmp (DC). Lucarna de intrare limitează câmpul obiect al aparatului, iar lucarna de ieşire limitează câmpul imagine al aparatului. Unghiurile corespunzătoare 2σ0 şi respectiv 2σ΄0 se numesc câmpuri unghiulare. Diametrul câmpului obiect se numeşte câmp liniar obiect şi se notează cu 2y, iar diametrul câmpului imagine se numeşte câmp liniar imagine notându-se cu 2y΄. Diafragma de câmp se montează în planul obiect sau într-un plan în care apare o imagine reală a acestuia. În legătură cu câmpul obiect şi pupila de intrare se definesc trei raze particulare (de referinţă), care poartă nume distincte şi anume:

1

 Raza pupilară principală Rpp  Raza pupilară marginală Rpm  Raza obiectivă Ro. La sistemele optice ideale, traseele acestor raze pot fi anticipate astfel:  Raza pupilară principală pleacă de la marginea câmpului obiect, trece prin centrul pupilei de intrare, prin centrul diafragmei de deschidere, prin centrul pupilei de ieşire şi ajunge la marginea câmpului imagine.  Raza pupilară marginală pleacă de la marginea câmpului obiect, trece pe la marginea pupilei de intrare, pe la marginea diafragmei de deschidere, pe la marginea pupilei de ieşire şi ajunge la marginea câmpului imagine.  Raza obiectivă pleacă din centrul câmpului obiect, trece pe la marginea pupilei de intrare, pe la marginea diafragmei de deschidere, pe la marginea pupilei de ieşire şi ajunge în centrul câmpului imagine. La aparatele care funcţionează împreună cu ochiul, pupila de ieşire trebuie să corespundă ca mărime şi poziţie cu pupila ochiului. La unghiuri mari pupila de ieşire trebuie să se afle în centrul de rotaţie al ochiului. Totodată trebuie ca pupila de ieşire să se fie atât de depărtată faţă de ultimul dioptru încât genele ochiului să nu-l atingă (minim 10 mm pentru ochiul normal şi peste 20 mm pentru ochiul ametrop). Diafragma care nu este nici diafragmă de deschidere nici diafragmă de câmp se numeşte diafragmă de umbrire sau diafragmă de vignetare. În general există mai multe diafragme de vignetare care produc un efect de umbrire la marginea câmpului imagine (sau vignetare artificială), adică o diafragmare a fluxului luminos. Imaginile diafragmelor de umbrire se numesc lucarne de umbrire. Efectele diafragmelor de umbrire sunt nedorite, dar nu pot fi înlăturate pentru unghiuri de câmp mari. Se defineşte mărimea vignetării raportul dintre diametrul fascicolului înclinat şi diametrul fascicolului paralel cu axa optică. Valorile mărimii de umbrire trebuiesc acceptate în intervalul 0.5 ..1. Totalitatea razelor cuprinse între câmpul obiect şi pupila de intrare şi respectiv pupila de ieşire şi câmpul imagine, formează un tub luminos. Deoarece razele unuia sunt imaginile celuilalt, tuburile luminoase formează un invariant, numit fluxul luminos geometric, constant pentru un subansamblu optic. Pentru conectarea judicioasă a diferitelor subansambluri optice este necesar ca pupila de ieşire a unui subansamblu optic să reprezinte pupila de intrare pentru subansamblul care urmează. Pentru ca tuburile optice să nu fie mari în diametru, de multe ori este necesar ca în planul imagine al unui subansamblu optic să se monteze o lentilă convergentă, numită lentilă de câmp sau lentilă colectoare, cu planul principal

2

obiect suprapus peste acesta. Astfel lentila de câmp realizează o mărire transversală β= 1 şi caracteristicile paraxiale ale respectivului subansamblu sunt conservate, iar prin efectul de convergenţă al lentilei pozitive tulul luminos are un diametru mai mic. Simularea formării imaginilor create de subansamblele optice pentru aprecierea stări de corecţie a acestora înaintea realizării lor fizice este o cerinţă obligatorie în proiecteare. Complexitatea fenomenului optic, dar mai ales numărul mic de relaţii care-l descriu fac ca în ingineria subansamblelor optice să se introducă niţiunea de aberaţie care reprezintă o abatere a comportării sistemului optic real faţă de comportarea unui sistem optic echivalent ideal. Aberaţiilor optice clasice şi aberaţiile definite de proiectant au la bază o gestiune riguroasă a tuturor razelor optice care pleacă din planul obiect şi ajung în planul imagine. Mai mult decât atât aceste raze trebuiesc uniform distribuite în spaţiul definit de punctul oiect şi pupila de intrare. Un fascicol divergent, care pleacă dintr-un punct obiect şi este uniform distribuit în spaţiu este dificil de construit din punct de vedere matematic. De acea se consideră fascicolul care pleacă dintr-un punct obiect şi trece printr-un număr precizat de puncte din pupila de intrare uniform distribuite pe aceasta. Punctul obiect (de pe axa optică sau din afara ei) şi pupila de intrare se află în următoarele situaţii; 1. Abscisa obiect se află la distanţă finită şi abscisa pupilei de intrare la infinit. 2. Abscisa obiect se află la distanţă finită şi abscisa pupilei de intrare se află, de asemenea la distanţă finită. 3. Abscisa obiect se află la infinit şi abscisa pupilei de intrare se află la distanţă finită. Simularea numerică trebuie să aibă un caracter unitar şi să acopere aceste situaţii posibile. Având în vedere situaţiile de construcţie a parametrilor de intrare în drumuiri cu mijloace numerice pentru abscise infinite se va definii noţiunea de fereastra de intrare. Prin definiţie fereastra de intrare este o deschidere circulară fictivă, cu rază şi poziţie bine definită, cu ajutorul căreia se poate definii fascicolul divergent care pleacă din punctul obiect pentru toate situaţiile prezentate. În varianta 2 şi 3 fereastra de intrare se confundă cu pupila de intrare ca mărime şi ca poziţie. În varianta 1 fereastra de intrare are raza şi poziţia astfel încât să permită realizarea unghiurilor de apertură identice cu unghiurile create cu pupila de intrare.

3

7.2. Distribuţia razelor de lumină în fereastra de intrare Ideea care stă la baza construirii unui fascicol perfect gestionabil, uniform distribuit în fereastra de intrare este aceia ca fiecare punct de incidenţă al razelor optice să fie înconjurat de o suprafaţă elementară constantă. Pentru acest lucru se împarte diametrul ferestrei de intrare în 2N+1 părţi egale cu raţia: r 

2R FI R FI .  2 N  1 N  0.5

(7.1)

Suprafaţa elementară din centrul ferestrei de intrare are valoarea: 2

 r   s     r 2 2 4

(7.2)

Fiecare din cele N cercuri mai mari decât cercul de diametru r va avea raza: ri  (i  0.5)r

unde

i= 1..N

(7.3)

Fiecare rază medie rmi  ir se împarte într-un număr de părţi unghiulare astfel încât fiecare suprafaţă elementară obţinută să fie egală cu suprafaţa elementară centrală. Numărul de părţi unghiulare se obţine împărţind suprafaţa coroanei circulare la suprafaţa elementară centrală. ( ri2  ri21 ) [(i  0.5) 2 r 2  (i  1  0.5) 2 r 2 ] ni    8i  2 s r 4

(7.4)

Corespunzător acestui număr, pe cercul cu raza medie rmi , se obţine incrementul unghiular:  j 

2 8i

(7.5)

cu care construim valorile unghiulare:  j  ( j  1) j unde j=1..8i

(7.6)

4

Aceste relaţii simple pot construii coordonatele polare ale tuturor punctelor de incidenţă în fereastra de intrare a razelor optice incidente. Numărul total de părţi elementare pentru un număr precizat de cercuri N se obţine însumând numărul de suprafeţe elementare de pe fiecare cerc, astfel: N T  1  8(1  2  ...N)  1  8

N ( N  1)  4 N( N  1)  1 2

(7.7)

Numărul primei suprafeţe elementare de pe cercul Ni se poate calcula cu formula: N P  4 N i ( N i  1)  1  8N i  4 N i2  4 N i  1  4 N i ( N i  1)  1

(7.8)

iar numărul ultimei suprafeţe elementare de pe cercul Ni cu formula: (7.9)

N U  4 N i ( N i  1)

Aceste formule, simple, permit gestionarea tuturor razelor optice care vor traversa fereastra de intrare, număr care pentru N= 30 de exemplu ia valoarea NT= 3721. Pentru exemplificare în figura 7.1 se prezintă gestiunea ferestrei de intrare pentru N= 5. Din figură reiese şi sensul de construcţie al suprafeţelor elementare pe fiecare cerc. În figura 7.2 este prezentată fereastra de intrare pentru N= 10 cu razele centrate pe fiecare suprafaţă elementară. Se observă că pentru fiecare rază gestionată se pot construii elementele care o definesc. Desigur aceste informaţii sunt prezentate pentru exemplificarea formulelor, în realitate ele fiind complet gestionate automat de programele de calcul. Cu cât numărul razelor optice care traversează fereastra de intrare este mai mare cu atât relaţiile de calcul aproximează fenomenul optic mai bine. Totuşi numărul de raze trebuie să fie rezonabil ţinând cont de timpul necesar efectuării calculelor. Există fenomene care se manifestă pregnant spre marginea ferestrei de intrare. Plasarea punctului prin care este dirijată raza optică strict în centrul suprafeţei elementare face ca o parte importantă din manifestarea fenomenului să se piardă. Pentru astfel de situaţii se poate face un decalaj, radial spre exterior, al punctului de referinţă cu cantităţi proporţionale cu raza medie a fiecărei suprafeţe elementare pe care se află respectivul punct. În felul acesta punctele de dirijare a razelor optice de pe suprafeţele elementare marginale se vor afla pe cercul de rază maximă al ferestrei de intrare.

5

Figura 7.1

Figura 7.2

6

Figura 7.3 Acest lucru este arătat în figura 7.3. La ultime două figuri se indică şi suprafaţa elementară cu numărul 300 şi parametrii care o definesc. O altă problemă importantă pentru gestiunea şi a altor raze decât cele precizate până acum este aceea în care trebuie să calculăm numărul suprafeţei elementare căreia aparţine o rază oarecare la care ne referim. Presupunem că această rază înţeapă fereastra de întrare în punctul de coordonate (x,z). Acest punct se află faţă de centrul ferestrei de intrare la distanţa: d  x 2  y2

(7.10)

şi face cu axa de referinţă unghiul: x   arctan   y

(7.11)

Numărul coroanei pe care se află acest punct reprezintă partea întreagă a raportului care indică de câte ori raţia de creştere pe rază se cuprinde în distanţa d  0.5r

7

 d  0.5r  N1  int   r  

(7.12)

unde int reprezintă partea întreagă a raportului din paranteză. Pe cercul cu numărul N1 incrementul unghiular are valoarea:  

2 8 N1

(7.13)

cu car se poate calcula numărul unghiului de pe acest cerc:    0.5  N 2  int     

(7.14)

Cu cele două numere N1 şi N2 se poate calcula numărul suprafeţei elementare în interiorul căreia se află punctul de coordonate (x,z): Nr = 4 N1 (N1-1) +1+N2

(7.15)

Figura 7.4

8

Dacă modul de aşezare a suprafeţelor elementare trebuie schimbat atunci prin decalarea valorii de început a acestora cu o jumătate de pas se poate obţine o repartiţie aşa cum este prezentată în figura 7.4. Relaţiile de până acum ne permit calculul coordonatelor polare în fereastra de intrare dacă indicăm numărul de cercuri N şi cunoaştem raza acesteia RFI. Pentru calculul coordonatelor (xFI,yFI,zFI) mai trebuie să cunoaştem abscisa obiect s, mărimea obiectului yL, numărul de deschidere ND sau apertura numerică A şi mărimea distanţei focale f ΄. Prin definiţie raportul dintre diametrul pupilei de intrare şi distanţa focală se numeşte deschidere relativă, iar inversul acesteia reprezintă numărul de deschidere sau numărul de diafragmă. Pi 1   f ' ND

(7.16)

Deschiderea relativă este limitată teoretic la valoarea 0.5 Produsul dintre indicele de refracţie al mediului situat în faţa primului dioptru şi sinusul unghiului făcut de raza obiectivă cu axa optică reprezintă apertura obiect sau deschidere numerică. (7.17)

A  n 0  sin  0

Între apertura obiect şi apertura imagine există legătura: (7.18)

A    A'

Conform celor trei situaţii create de poziţia punctului obiect şi pupila de intrare se pot construii trei variante : Pentru varianta 1 (figura 7.5) cunoaştem:  abscisa pupilei de intrare s pi   ,  abscisa obiect s   ,  distanţa focală f ΄,  apertura numerică A0. Fereastra de intrare trebuie să realizeze condiţia ca raza pupilară principală să fie paralelă cu axa optică. Acest lucru se realizează matematic prin plasarea centrului ferestrei de intrare la o înălţime egală cu mărimea obiectului În acest caz se spune că propagarea lumini în spaţiul obiect este telecentrică.

9

Figura 7.5 Din figură se observă că : s FI  s  f 

(7.19)

Din definiţia aperturii numerice se poate explicita valorile: A sin   0 ; n0

n 02  A 02 cos  0  n0

(7.20)

din care se calculează expresia: tan  0 

A0

(7.21)

n 02  A 02

rezultând : R FI  f   tan  0 

f A 0

(7.22)

n 02  A 02

10

În aceste condiţii cele două seturi intrare în drumuire devin: ( x FI ) i  R FI cos  i  ( y FI ) i  R FI sin  i  y L (z )  s FI  FI i

de coordonate cu care se calculează datele de x 0  0  y 0  y L z  s  0

(7.23)

Pentru varianta 2 (figura 7.6) cunoaştem:  abscisa pupilei de intrare s pi   ,  abscisa obiect s   ,  distanţa focală f ΄,  numărul de deschidere ND. În această variantă nu există nimic deosebit întrucât fereastra de intrare coincide cu pupila de intrare iar obiectul se află la distanţă finită. Din figură observăm că: (7.24) s FI  s pi

Figura 7.6 Din relaţia de definiţie a numărului de deschidere se poate explicita direct raza ferestrei de intrare:

11

R FI 

f 2N D

(7.25)

În aceste condiţii cele două seturi de coordonate cu care se calculează datele de intrare în drumuire devin: ( x FI ) i  R FI cos  i  ( y FI ) i  R FI sin i (z )  s FI  FI i

x 0  0  y 0  y L z  s  0

(7.26)

Pentru varianta 3 (figura 7.7) cunoaştem:  abscisa pupilei de intrare s pi   ,  abscisa obiect s   ,  distanţa focală f ΄,  numărul de deschidere ND. În această situaţie obiectul se află la infinit şi deci fascicolul obiect este paralel şi face cu axa optică unghiul  . Pentru un sistem optic ideal, fascicolul obiect format cu raze paralele între ele, se transformă, după traversarea acestuia într-un fascicol convergent într-un punct din planul focal. Acest punct este imaginea punctului de la infinit şi are mărimea impusă egală cu yL. Din fascicolul paralel putem să ne imaginăm raza care trece prin punctul nodal obiect. Aceasta va ieşi prin punctul nodal imagine şi va ajunge în planul focal imagine. Din figură observăm că: (7.27) s FI  s pi Din relaţia de definiţie a numărului de deschidere se poate explicita direct raza ferestrei de intrare: f (7.28) 2N D Singurul lucru care mai trebuie făcut este să punem condiţia ca fascicolul incident ferestrei de intrare să fie un fascicol paralel ca în relaţiile care urmează: R FI 

( x FI ) i  R FI cos  i  ( y FI ) i  R FI sin i (z )  s FI  FI i

x 0  ( x FI ) i   y 0  ( y FI ) i  y L z  ( z )  f  FI i  0

12

(7.29)

Figura 7.7 Cunoscând coordonatele punctelor din fereastra de intrare (xFI, yFI, zFI)i, i=1..N şi coordonatele punctului obiect (x0, y0, z0) se pot calcula cele N raze incidente subansamblului optic. Cele N raz incidente sunt definite prin cosinusurile directoare (L,M,N)i şi punctul de incidenţă cu planul tangent primului dioptru (X0 , Y0, 0)i, i= 1..N. Ecuaţiile care permit acest calcul, în această situaţie dar şi în altele care se vor ivii sunt: - Ecuaţiile canonice ale dreptei determinate de două puncte Mo(xo,yo,zo) şi M1(x1,y1,z1) x  xo y  yo z  zo   x1  x o y1  y o z1  z o

(7.30)

- Ecuaţiile canonice ale dreptei determinate de punctul de referinţa Mo(xo,yo,zo) şi versorul v(L,M,N) x  x o y  yo z  zo   L M N

(7.31)

13

- Distanţa dintre punctul Mo(xo,yo,zo) şi punctul curent M(x,y,z) D  ( x  x o ) 2  ( y  y o ) 2  (z  z o ) 2

(7.32)

Aceste relaţii simple sunt folosite la calculul cosinusurilor directoare ale direcţiei determinate de punctul de referinţă Mo(xo,yo,zo) şi punctul curent M(x,y,z) x  xo  cos   L   D  y  yo  cos   M  D  z  zo  cos   N  D 

(7.33)

Sunt situaţii când trebuie cunoscut si semnul segmentului D care reprezintă distanta dintre doua puncte. Cu relaţia (7.29) putându-se determina numai modulul. Pentru a găsi formula de calcul scriem relaţia (7.30) sub forma: x  xo  D   L  y  yo  D  M  z  zo  D  N 

(7.34)

In relaţia (7.31) înmulţim la stânga şi la dreapta cu numitorul fiecărei ecuaţii la puterea a doua. DL2  L( x  x o )  2 DM  M ( y  y o )  2 DN  N (z  z o )

(7.35)

Daca adunam aceste ecuaţii şi ţinem cont că D  L( x  x o )  M ( y  y o )  N ( z  z o )

14

L2  M 2  N 2  1 obţinem:

(7.36)

O situaţie aparte o reprezintă sistemele catadioptrice (sisteme optice construite din lentile si oglinzi cu scopul de a micşora gabaritul longitudinal al construcţiei) la care partea centrală a ferestrei de intrare nu este funcţonală datorită însăşi conceptului sistemului optic de funcţionare şi de construcţie mecanică. La astfel de sisteme este necesar să se indice diametrul maxim şi diametrul minim al ferestrei de intrare. Numerotarea suprafeţelor elementare ale ferestrei de intrare făcându-se în acelaşi mod descris mai sus. Pentru această împărţire se procedează la fel cum se face cu fereastra de intrare a unui sistem normal, adică se împarte diametrul ferestrei de intrare într-un număr impar de părţi egale. Se reţine numărul inelului circular cu diametrul exterior cel mai apropiat de diametrul minim indicat şi se calculează numărul ultimei suprafeţei elementare, de pe această coroană circulară, cu formula 7.9, notat cu N. Prima suprafaţă elementară a ferestrei de intrare va fi prima suprafaţă de pe această coroană circulară. Numărul celorlalte suprafeţe elementare va rezulta din diferenţa dintre numărul fiecărei suprafeţe elementare şi numărul calculat N. În figura 7.8 se prezintă o exemplificare pentru un astfel de sistem catadioptric.

Figura 7.8 Cu toate că sensul de numerotare şi poziţionare a primei suprafeţe elementare nu are nici o importanţă în calculele care se fac, se recomandă ca sensul de

15

parcurgere să fie cel trigonometric iar prima suprafaţă să fie în planul în care se află şi obiectul. Această observaţie permite o standardizare a modului de prezentare şi de discuţie asupra rezultatelor. O exemplificare în acest sens este făcută în figura 7.9

Figura 7.9

16

8.2. Aberaţia frontului de undă Un concept remarcabil privind aberaţiile sistemelor optice este ceeace se cheamă funcţia caracteristică a lui Hamilton. Acest concept, chiar dacă în forma sa originală nu are o aplicaţie directă în proiectarea optică, conduce la obţinerea unor concluzii teoretice folositoare. Fie P şi P puncte în spaţiul obiect, respectiv imagine, ale unui sistem optic, care în general nu sunt conjugate (figura 8.7). În mod obişnuit nu se poate găsi decât o rază optică care să treacă prin P şi P . Funcţia caracteristică a lui Hamilton, V, este definită ca lungimea drumului optic de-a lungul acestei raze unice de la P la P . Astfel, aceasta este funcţie de coordonatele lui P şi P şi poate fi scrisă Va , a  unde a şi a  sunt vectorii de poziţie ai punctelor P şi P . Dacă P este lângă imaginea gaussiană a lui P este probabil ca două sau mai multe raze din P să treacă prin P şi drumurile optice să nu fie egale. În acest caz funcţia V are valori multiple.

Figura 8.7 Forma funcţională a lui V depinde, desigur, de sistemul optic şi nu este posibil să fie calculată decât numeric, adică nu poate fi descrisă printr-o formulă, decât în cazuri banale. Ignorând această dificultate, se presupune că V este cunoscută pentru un sistem dat. Fie r  versorul razei în P şi fie  frontul de undă din P prin P . Dacă P este un punct vecin având vectorul de poziţie a   a  şi se consideră pentru moment P ca o funcţie de a  , se obţine: Va , a   a   Va , a   a  gradV

(8.1)

Dar, membrul stâng al acestei ecuaţii este egal cu lungimea drumului optic dintre frontul de undă  şi  prin P , respectiv P , adică n  a  r  , unde n  este indicele de refracţie al mediului în care se află frontul de undă. Astfel rezultă:

n  a  r   a  gradV

(8.2) 1

şi întrucât a  este un increment arbitrar rezultă:

n  r   gradV

(8.3)

 V n  L  x   V  n  M   y   V n  N    z

(8.4)

sau

Unde L, M, N sunt cosinusurile directoare ale razei optice la care ne referim. În acelaşi mod se obţin în spaţiul obiect:

 V n L    x  V  n M   y   V n N    z

(8.5)

Astfel, funcţia caracteristică a punctului, dacă este cunoscută va da corespondenţa completă obiect-imagine. În fapt, ea poate fi obţinută numai prin calculul numeric extensiv al traiectoriei razei optice, astfel că această proprietate nu are valoare practică directă, valoarea sa este ca bază a teoriei generale. În strânsă legătură cu cea de mai sus, există o altă funcţie caracteristică numită eiconal şi care se notează cu E. Această funcţie a fost de asemenea definită şi utilizată de către Hamilton, dar a fost descoperită independent şi numită eiconal de către H. Bruns în 1895.

Figura 8.8 2

În figura 8.8, fie O şi O originile în spaţiul obiect şi imagine, nu neapărat conjugate, şi fie o rază optică care intersectează planul perpendicular pe axă prin O şi O în P şi P . Fie OP vectorul a şi OP vectorul a  ; perpendicularele din O şi O întâlnesc raza optică în Q şi Q . Eiconala E este definită ca lungimea drumului optic de la Q şi Q , fiind privită ca o funcţie de cosinusurile directoare ale segmentelor razei. Astfel, în termenii funcţiei caracteristice, se obţine:

Er , r   Va , a   n  a  r   n a r

(8.6)

Prin diferenţierea acestei ecuaţii în raport cu L se obţine:

E V x  V y x  y    n x   n  L  n  M L x  L y L L L

(8.7)

utilizând primele două ecuaţii din (8.4)

E x  y x  y  n  L  n  M  n x   n  L  n  M L L L L L

(8.8)

rezultă:

E  n x L

(8.9)

şi similar:

E   n  y M

(8.10)

Se obţin de asemenea ecuaţii corespunzătoare pentru spaţiul obiect şi, astfel, eiconala va da proprietăţile complete ale sistemului optic dacă va putea fi calculată. Se poate defini acum aberaţia frontului de undă şi cu ajutorul funcţiilor caracteristice şi se poate pune în legătură direct cu aberaţiile razei. În figura 8.9, fie O p 0,0, p centrul pupilei de ieşire a sistemului optic şi fie raza pupilară principală corespunzătoare punctului obiect P, O p ' Po nereprezentat în figură. La emergenţă raza pupilară principală înţeapă planul tangent la ultimul dioptru în punctul Pk X 0, Y 0,0 având cosinusurile directoare  L, M , N. Ecuaţia acestei raze este:



3



x  X0 y  Y0 z  0   L M N

(8.11)

 L x  X0  z  N   y  Y 0  z M   N

(8.12)

sau

Pentru z  p rezultă x = y = 0 obţinându-se astfel două ecuaţii p  X 0

N L

(8.13)

p    Y 0

N M

(8.14)

Dacă M   0 atunci abscisa pupilei de ieşire se poate calcula cu ecuaţia 8.14 sau cu ecuaţia 8.13 dacă L  0 . În situaţia când şi L  0 şi M   0 (atunci când obiectul se află pe axa optică) abscisa pupilei de ieşire se calculează cu drumuirea paraxială. Se recomandă folosirea drumuirii paraxiale în raport cu o rază înclinată, deoarece aceasta acoperă şi situaţia când sistemul optic nu este centrat.

Figura 8.9 Dacă în ecuaţiile 8.12 se pune condiţia z  s , rezultă coordonatele punctului de intersecţie al razei pupilare principale cu planul imagine:  L  o  X0  s  N    Y 0  s M   o N

(8.15)

4

În mod obişnuit se consideră axele x-y în planul pupilei de ieşire şi axele    în planul imagine dar, în cazul de faţă, nici planul pupilei de ieşire nici planul imagine nu reprezintă plane gaussiene, cu toate că ar putea fi convenabil ca, întro primă instanţă, să se considere astfel. Fie  frontul de undă al fascicolului din P care trece prin O p şi S o sferă de





referinţă cu centrul în Po  o , o , z p de rază Po O p . Se consideră o altă rază optică a fascicolului care pleacă din punctul P, având cosinusurile directoare (L,M,N), care intersectează sfera de referinţă S în punctul Q S x , y, z  , frontul de undă  în punctul Q  x  , y  , z   şi planului imagine în punctul P , , z p , unde z p  s  p .





Aberaţia frontului de undă se defineşte ca lungimea drumului optic de la Q S la, Q  adică n  Q SQ  , unde n este indicele de refracţie al mediului în spaţiul respectiv. Pentru aberaţia frontului de undă se utilizează simbolul W şi, în situaţia de faţă, aceasta reprezintă o funcţie de poziţia lui QS , un punct de pe sfera de referinţă. Astfel aberaţia frontului de undă se scrie sub forma W(x,y) întrucât z se poate determina din condiţia ca QS să se găsească pe sfera de referinţă. Este limpede că funcţia W(x,y) exprimă deformaţia frontului de undă faţă de forma sferică ideală şi este deci potrivită pentru a specifica aberaţia. Faptul că P nu coincide cu Po reprezintă o aberaţie şi astfel se pot utiliza cele două componente ale segmentului Po P .      o      o

(8.16)

Relaţiile 8.16 se numesc componentele aberaţiei transversale depinzând de x şi y. Atât aberaţia frontului de undă cât şi aberaţia transversală depind, desigur, şi de poziţia punctului obiect P, dar acesta nu interesează în momentul de faţă. Se poate folosi funcţia caracteristică pentru a obţine legătura dintre aberaţia frontului de undă şi aberaţia transversală. Mărimea drumului optic de la P la Q  este VP, Q   unde V este funcţia caracteristică definita mai sus, iar mărimea drumului optic de la P la Q S este VP, Q S  , astfel că aberaţia frontului de undă se poate scrie: W x , y   V P, Q    V P, Q S 

(8.17)

Întrucât Q  şi O p se găsesc pe acelaşi front de undă şi deci se află la aceeaşi distanţă optică de P ecuaţia 8.17 devine: 5

W x, y   V P, O p   VP, QS 

(8.18)

Diferenţiind această ecuaţie se obţine: V V z  W  x   x  z x   W   V  V z  y y z y

(8.19)

Conform cu figura 8.8 raza sferei de referinţă are expresia: R

 o  0 2  o  0 2  z p  0 2

(8.20)

şi ecuaţia sferei de referinţă poate fi scrisă sub forma:

x   o  2  y  o  2  z  z p  2  R 2

(8.21)

sau

x 2  2 o x   o2  y 2  2o y  o2  z 2  2z p z  z 2p   o2  o2  z 2p (8.22) adică

x 2  y 2  z 2  2  o x  2 o y  2 z p z  0

(8.23)

Această ecuaţie va fi privită ca o ecuaţie de gradul doi cu variabila z, care ne va permite obţinerea derivatelor parţiale ale lui z funcţie de x şi y. Soluţia z a acestei ecuaţii este:

z  z p  z 2p  x 2  y 2  2 o x  2o y

(8.24)

 2 x  2 o  x z   o x 2 z 2p  x 2  y 2  2 o x  2o y z  z p

(8.25)

 2 y  2 o  y z   o y 2 z 2p  x 2  y 2  2 o x  2o y z  z p

(8.26)

6

Introducând aceste rezultate în ecuaţia 8.19, utilizând totodată şi ecuaţiile 8.4 obţinem:

N o  x   1 W    L   n  x zp  z    1 W  M  No  y   n  y zp  z

(8.27)

 x L   QS P    y M   QS P   zp  z  N   Q S P

(8.28)

dar

Făcând înlocuirile se obţine:   x N o  x   1 W     n  x Q S P N  Q S P    1 W     y  No  y   n  y Q S P N  Q S P

(8.29)

  o  1 W  n  x   Q P  S   1 W     o  n  y Q S P

(8.30)

Sau

Relaţia 8.16 se mai poate scrie: Q S P W     n  x      Q S P W  n  y

(8.31)

7

Aceste ecuaţii care leagă aberaţia frontului de undă de aberaţia transversală sunt exacte, dar conţin distanţa necunoscută Q S P . În toate cazurile practice se poate înlocui Q S P prin R, raza sferei de referinţă, obţinându-se:

R W      n  x     R W  n  y

(8.32)

Acestea sunt expresiile componentelor aberaţiei transversale cu termenii aberaţiei frontului de undă. Trebuie încă odată menţionat că x şi y sunt coordonatele punctului de intersecţie al razei la care ne referim cu sfera de referinţă şi nu cu planul pupilei de ieşire. Cu această precizare ecuaţiile 8.31 sunt adevărate pentru orice unghi de câmp. Se întâmplă frecvent ca aberaţiile transversale să fie cunoscute din drumuiri şi să se dorească să se calculeze aberaţiile frontului de undă; astfel, se cunosc  şi  ca funcţii de x şi y pentru câteva puncte de pe sfera de referinţă, de exemplu de la A la B. Atunci, integrând ecuaţia 8.32 rezultă: B R WB  WA     dx   dy  A n

(8.33)

La integrare se foloseşte relaţia 8.32 care a fost concepută acceptând o mică eroare. Calculele exacte au la bază drumuirea vectorială care simulează fără aproximări trecerea unei raze prin sistemul optic. O metodă exactă de a obţine aberaţia frontului de undă reiese imediat din definiţia acesteia. În conformitate cu figura 8.8, aberaţia frontului de undă în punctul Q S x , z, y  pe sfera de referinţă este dată de diferenţa dintre drumurile optice de la P la QS şi de la P la O p – centrul pupilei de ieşire, aşa cum arată ecuaţia 8.18. Pentru a face aceasta, trebuie să se realizeze un transfer de la ultimul dioptru al sistemului optic la o suprafaţă sferică descentrată – sfera de referinţă – şi trebuie să se obţină lungimea drumului optic până la ea. Acest transfer se vede în figura 8.10. Raza optică la care ne referim, având cosinusurile directoare L, M, N părăseşte ultima suprafaţă (k), a sistemului optic, prin punctul Pk x k , y k , z k  în sistemul cu originea legată de această suprafaţă. Raza întâlneşte sfera de referinţă în punctul Q S x, y, z  şi planul pupilei de ieşire a sistemului optic în punctul Q p ( x p , y p ,0) .

8

Figura 8.10 Între punctul Q p şi punctul Pk , în sistemul de referinţă cu originea legată de ultimul dioptru există legătura: L     x  x  p  z  p k k  N   y   y  p  z  M  k k  p N

(8.34)

Între punctele Q S şi Q p în sistemul de coordonate cu originea în pupila de ieşire se pot scrie relaţiile: x  L  p  x p   y  M   p  y p  z  N p

(8.35)

unde  p  Q p Q S . Pentru a obţine pe  p se elimină x,y şi z între ecuaţia sferei de referinţă 8.23 şi ecuaţiile 8.35. Aceste coordonate aflându-se pe sfera de referinţă trebuie să verifice această ecuaţie. Înlocuim ecuaţiile 8.35 în ecuaţia 8.23:

L p  x p  2  M p  y p  2  N p  2  2 o L p  x p   2o M p  y p   2z p N p   0 Dezvoltăm şi ordonăm după puterile necunoscutei  p

9

(8.36)

L 2 2p  2L x p  p  x 2p  M  2 2p  2M y p  p  y 2p  N 2 2p  2  o L  p  2 o x p 

(8.37)

 2o M  p  2o y p   2 z p N  p  0

Dacă ţinem cont că L 2  M  2  N 2  1 ecuaţia devine:





2p  2 L o  x p   M o  y p   Nz p  p  x 2p  y 2p  2 o x p  2p y p  0

(8.38)

Notăm: F  x 2p  y 2p  2 o x p  2o y p G  L o  x p   M o  y p   Nz p

(8.39) (8.40)

Cu aceste notaţii ecuaţia 2.38 devine: 2p  2G p  F  0

(8.41)

Deoarece atunci când x p  0 şi y p  0 trebuie ca  p  0 soluţia ecuaţiei este:  p  G  G 2  F

(8.42)

O situaţie particulară se întâlneşte atunci când abscisa imagine este la infinit, adică atunci când obiectul se află în planul focal obiect sau atunci când se investighează un aparat (lunetă sau microscop). În această situaţie sfera de referinţă devine un plan de referinţă având ca normală versorul raze pupilare principale  L, M, N şi care conţine centrul pupilei de ieşire p . Notând cu p distanţa de la originea triedrului de referinţă, ataşat ultimului dioptru, până la acest plan se obţine ecuaţia: x L  y M   z N   p  0

(8.43)

Această ecuaţie este verifică de centrul pupilei de ieşire 0, 0, p rezultând distanţa până la centrul triedrului de referinţă ataşat ultimului dioptru.

10

p N   p

(8.44)

Astfel ecuaţia planului de referinţă devine: x L  y M   z N   p N   0

(8.45)

Ca şi la situaţia precedentă se va considera ecuaţia planului de referinţă ataşat planului pupilei de ieşire pentru a realiza transferul de la acest plan la planul de referinţă, ataşat ultimului dioptru, funcţie de mărimea  p  Q p Q S . În această situaţie ecuaţia 8.45 devine: x L  y M   z N   0

(8.46)

Făcând apel la relaţiile 8.34 şi 8.35 rezultă:

Δ

p L







  x p  L  Δ p  M   y p  M   Δ p  N  N   0

 p  L L  M  M   N N  x p  L  y p  M   0

 p 

 x p' L  y p M 

(8.46) (8.47)

(8.48)

L L   M  M   N  N 

Valoarea  p astfel calculată se introduce în relaţiile 8.35 şi vor rezulta coordonatele punctului de intersecţie a razei la care ne referim cu sfera de referinţă respectiv planul de referinţă. Totodată  p va completa transferul de la ultimul dioptru al sistemului optic la sfera/planul de referinţă. Fie Dj lungimea segmentului de rază optică între suprafeţele (j-1) şi j (separaţia oblică). Se poate vedea uşor că: Dj 

d j  z j1 Nj

(8.49)

 j

În acelaşi mod lungimea segmentului de rază de la ultimul dioptru (k) al sistemului optic până la sfera/planul de referinţă este: D p 

p  z k   p Nk

(8.50)

11

Pentru primul dioptru lungimea segmentului de rază capătă forma: D1 

s  1 N1

(8.51)

Din ecuaţia 8.18 rezultă: W x, y    n j D j  D j 

(8.52)

j

unde D se referă la raza pupilară principală iar D la raza care întâlneşte sfera de referinţă în Q S x, y, z  . Forma rezultantă arată direct dependenţa aberaţiei frontului de undă de parametrii drumului razei. Totuşi sub această formă, utilizarea practică conduce la o precizie de calcul mică deoarece fiecare din termenii din partea dreaptă a expresiei este de ordinul mărimii lungimii distanţa obiect-imagine, probabil câteva sute de mm, în timp ce diferenţa dintre termeni trebuie calculată cu precizia de fracţiune de lungime de undă, ceeace reprezintă o cerinţă dificilă pentru un calculator la care sunt admise erori de rotunjire şi la care cifrele semnificative sunt mai mici decât opt. Se poate aranja ecuaţia 8.52 sub o formă care necesită o mai mică precizie numerică. Astfel, pentru acest lucru, se scrie ecuaţia 8.50 sub forma: Dj 

d j  z j1  z j

(8.53)

Nj

Apoi  d j  z j1  z j d j  z j1  z j  Wx, y    n j D j  D j    n j    Nj Nj j j  

(8.54)

Relaţia 8.54 se va scrie sub forma:  d j d j z j  z j1 z j  z j1   W x , y    n j     N  N N N j j j j  j 

(8.55)

Acum folosim proprietăţile cosinusurilor directoare: 1 1 NN N2  N2 L2  M 2  L2  M 2     N N NN NNN  N  NNN  N 

12

(8.56)

Întrucât L şi M sunt de obicei mult mai mici decât N, aceasta micşorează pierderea de precizie. În continuare, înlocuim această expresie în ecuaţia 8.55 şi obţinem:  L2  M 2  L2  M 2 z j  z j1 z j  z j1  W x , y    n j d j    NN N  N  Nj N j  j 

(8.57)

În această expresie nu există multe diferenţe între numere mari care să conducă la rezultate foarte mici. Toţi termenii sunt de ordinul mărimii lui z, cel mult de câţiva milimetri şi astfel, cu preţul unei neânsemnate creşteri în complexitate a relaţiei de calcul, precizia numerică este îmbunătăţită într-atât încât este eficientă şi pentru un calculator cu precizia de şase cifre semnificative. Desigur, pentru calculatoarele puternice problema preciziei nu se pune şi aberaţia frontului de undă se poate calcula, direct, cu formula 8.52 scrisă sub forma: W x , y    n j D j   n j D j j

(8.58)

j

O altă formulă foarte interesantă pentru calculul aberaţiei frontrului de undă este dată de Hopkins (1952) : N  L  L X  X   M  M Y  Y   N  N Z  Z  W    j n  1  LL  MM  NN j 1  

(8.59)

În scopul folosirii rapide în operaţii matematice, cum ar fi integrarea şi derivarea, sau în reprezentarea grafică complexă, se poate construi un polinom care să aproximeze cu mare precizie aberaţia frontului de undă. 8.2.1. Aproximarea aberaţiei frontului de undă cu polinomul Jamieson T. H. Jamieson, propune pentru aproximarea aberaţiei frontului de undă un polinom care va depinde de parametrii  şi  care reprezintă coordonatele polare ale unui punct cunoscut din planul pupilei de intrare şi de valoarea  , care reprezintă ordonata din planul imagine a intersecţiei razei optice care pleacă din punctul obiect şi trece prin punctul la care ne referim din fereastra de intrare. Determinarea coeficienţilor acestui polinom se face cel mai simplu cu metoda celor mai mici pătrate, prezentata în continuare.

13

W  , ,   C1 2  C 2  cos   C 3 4  C 4 2 2 cos 2   C 5 2 2  C 6  3 cos   C 7 3 cos   C8 6  C 9 33 cos 3   C10 4 2  C112  4 

(8.60)

C12 5 cos   C134  2 cos 2   C14  5 cos   C15 2 4 cos 2   C16 3 3 cos 

În această formulă  şi  reprezintă coordonatele polare ale unui punct cunoscut din planul pupilei de ieşire, iar  reprezintă ordonata din planul imagine a intersecţiei razei optice care pleacă din punctul obiect şi trece prin punctul la care ne referim din fereastra de intrare. Determinarea coeficienţilor acestui polinom se face cel mai simplu cu metoda celor mai mici pătrate, prezentată în continuare. Presupunem o distribuţie în coordonate polare cu M puncte în fereastra de intrare. Pentru fiecare punct din această distribuţie calculăm cele N componente cunoscute ale polinomului de interpolare 2 ,  cos , . . . , 3 3 cos  , pe care le notăm cu a ij i  1..M, j  1..N . Urmează să determinăm valorile termenilor necunoscuţi C1…C16, notaţi cu x j j  1..N , în aşa fel încât diferenţa dintre valoarea aberaţiei frontului de undă calculată cu polinomul de interpolare şi valoarea calculată cu formula exactă, notată cu b i i  1..M , să reprezinte un minim indiferent de punctul din fereastra de intrare unde s-ar face investigaţia. Pentru acest lucru se defineşte diferenţa: N

d ij   a ij  x j  b i ; i  1..M

(8.61)

j1

şi funcţia 2

N  (8.62)        a ij x j  b i  i 1 i 1  j1  Valorile xj care minimizează această funcţie sunt soluţiile sistemului format prin anularea derivatelor parţiale ale funcţiei  M

d ij2

M

  MN   M   N   2  a ij x j  b i  a ik  2  a ij a ik x j  b i a ik   x k i1   j1   i1  j1  M N M  2   a ij a ik  x j   b i a ik   i 1  j1  i 1 

14

(8.63)

M

M

A kj   a ija ik

Notând:

şi

B k   b i a ik

i 1

 2 x k

se obţine :

i 1

N    A kj x j  B k   j1 

(8.64)

Egalând cu zero fiecare derivată parţială se obţine sistemul liniar de N ecuaţii cu N necunoscute din care rezultă coeficienţii polinomului de interpolare: N  A kj x j  B k  0  j1 k  1..N 

(8.65)

8.2.2. Aproximarea aberaţiei frontului de undă cu polinoamele Zernike Polinoamele Zernike reprezintă un sistem de polinoame integrale – ortogonale, cu ajutorul cărora se pot aproxima funcţiile bidimensionale pe un cerc cu raza unitară x2+y2= 1. Dacă pupila de intrare a unui sistem optic se transformă într-o pupilă unitară, atunci polinoamele Zernike pot fi folosite la aproximarea aberaţiei frontului de undă. Polinoamele Zernike se compun dintr-un termen radial de forma Rmn(r), care depinde numai de raza r şi un termen azimutal, de forma cos(m) sau sin(m) ,care depinde numai de azimut. cos(m)  Z n , m  R mn (r )   sin(m) 

(8.66)

Termenul radial este de forma:

m n

R (r) 

n m 2

 (1) s 0

s

(n  s)! r n  2s n m  nm  s!  s !  s !  2  2 

În această relaţie trebuiesc îndeplinite condiţiile:

15

(8.67)

n  m  2 0  n  m  0  n  m  i  2 m  n  2i 

(8.68)

unde n, m, trebuie să fie numere întregi iar i să fie număr întreg mai mare ca zero. Numărul n reprezintă gradul polinomului iar m reprezintă indicele dependenţei unghiulare. Polinoamele Zernike au trei proprietăţi importante pe baza cărora se poate dezvolta teoria care permite aproximarea cu mare precizie a funcţiilor.

  n  n ' , m  m'  0 Z n ,m (r, )  Z n ',m ' (r, )r  dr  d   n  1 0 n  n ' , m  m'

2 1

 0

 1  m m' 0 R n (r )  R n ' (r )  dr   2(n  1) 0  1

 cos( m  )  cos( m '  )  d    0 0

2

n  n'

(8.69)

(8.70)

m  m' m  m' m  m'

(8.71)

Folosind aceste polinoame care se bucură de proprietăţile 8.63, 8.64 şi 8.65 aberaţia frontului de undă poate fi aproximată cu polinomul: N

W (r, )   C n , m Z n , m ( r, )

(8.72)

n ,m

În această ecuaţie coeficienţii lui Zernike C n , m trebuiesc determinaţi. Din mulţimea combinaţiilor posibile dintre numerele n şi m unele au fost standardizate şi se pot reprezenta printr-o formă triunghiulară. În sistemul internaţional ISO 10110-5 termenii sunt grupaţi în clase. Clasa este dată de suma n  m  N unde N trebuie să rezulte număr par. Standardul indică termenii până la clasa 10 prezentaţi în tabelul 8.1. 16

m\n 0 1 2 3 4 5

0 Z0,0

1

2 Z2,0

Z1,1

3

4 Z4,0

5

Z3,1 Z2,2

6 Z6,0

Z5,1 Z4,2

7 Z7,1

Z6,2

Z3,3

Z5,3 Z4,4

8 Z8,0

9

10 Z10,0

Z9,1 Z8,2

Z7,3 Z6,4

Z5,5 Tabelul 8.1

Această ordonare ne permite să scriem cei 36 de termeni ai acestei dezvoltări, cum se arată în tabelul 8.2. Ordonarea prezentată în tabelul 8.2 ne permite să scriem ecuaţia 8.72 sub forma: 35

W (r, )   C i  Z i ( r, )

(8.73)

0

O reprezentare mai sugestivă a acestor polinoame este prezentată în figura 8.11 pentru polinoamele Zernike din clasa 10 pentru termenii cosinus. În figura 8.12 este prezentată proprietatea 8.69 a produsului dintre polinoamele Z33 şi Z34. În ecuaţia 8.73 coeficienţii polinoamelor Zernike Ci sunt necunoscuţi. Pentru calculul acestora ne vom folosi de proprietatea 8.69. Înmulţim ecuaţia 8.73 la stânga şi la dreapta cu polinomul Zernike Zk şi integrăm pe suprafaţa cercului unitar în ambele părţi: 2 1

  W (r, )  Z 0

0

35 k

2 1

( r, )  r  dr  d   C i   i 0



Z i (r , )  Z k ( r, )  r  dr  d

0 0

Tabelul 8.2 17

(8.74)

Conform proprietăţii 8.70 toţi termenii din partea dreaptă sunt egali cu zero în afară de termenul k, din însumare rezultând:

Figura 8.11

Figura 8.12 18

2 1

  W (r, )  Z Ck 

k

( r, )  r  dr  d

0 0

(8.75)

2 1

 Z

2 k

(r , )  r  dr  d

0 0

După cum se poate observa fiecare termen Zernike poate fi calculat separat de ceilalţi termeni. Acesta este un avantaj deoarece anumite aberaţii sunt proporţionale cu anumiţi termeni care pot fi calculaţi singular. 8.2.3. Aproximarea aberaţiei frontului de undă cu polinoame în coordonate rectangulare În această situaţie pentru aberaţia frontului de undă Welford [46] propune o serie funcţie de mărimile: x 2  y 2 , y, 2 .





W x, y,   W x 2  y 2 , y, 2 

 C x

 y 

C1 x 2  y 2  C 2 y  C 32  2

2 2









 C 5 y x 2  y 2  C 6 y 2 2  C 7 2 x 2  y 2  C8 y3  C 9 4 (8.76) Mărimile x şi y reprezintă coordonatele rectangulare a unui punct cunoscut din planul pupilei de ieşire iar  are aceeaşi semnificaţie ca la polinomul Jemieson. O altă propunere, în aceeaşi situaţie, pentru aberaţia frontului de undă este făcută de Malacara [38] sub forma polinomului: 4

Op

W x , y   

i

 C ij x j y i j

(8.77)

i 0 j0

În această formulă C ij reprezintă coeficienţii polinomului de interpolare care trebuiesc determinaţi, x şi y reprezintă coordonatele punctului de intersecţie a razei optice la care ne referim cu sfera de referinţă a sistemului optic investigat, iar Op reprezintă ordinul polinomului . Determinarea coeficienţilor acestor polinoame se face aşa cum s-a arătat în paragraful 8.2.1 sau în paragraful 2.9. 8.2.4. Metode de verificare a preciziei polinomului de interpolare Verificarea preciziei polinomului de interpolare reprezintă o garanţie pentru rezultatele obţinute cu aceste formule. Pentru eficienţa calculelor coeficienţilor polinomului de interpolare ales, se recomandă un număr relativ mic de raze optice, de exemplu se poate alege N=5 în formula 7.7 pentru care rezultă un număr de 121 suprafeţe elementare uniform distribuite în fereastra de intrare de

19

intrare. Erorile pe care polinomul de interpolare le face în nodurile de interpolare sunt întotdeauna foarte mici şi de aceia trebuie făcută verificarea în punctele dintre aceste noduri de interpolare. O primă verificare constă în calculul erorii de aproximare în punctele care rezultă, de exemplu, pentru o distribuţie corespunzătoare lui N=11 ceeace corespunde unui număr 529 de suprafeţe elementare uniform distribuite în fereastra de intrare şi care nu coincid cu punctele folosite la determinarea coeficienţilor polinomului de interpolare (figura 8.13). Diferenţa dintre valoarea frontului de undă obţinute direct prin drumuirea vectorială, în aceste puncte, şi valoarea obţinută cu polinomul de interpolare este o măsură a gradului de aproximare al acestuia.

Figura 8.13 O a doua metodă de verificare constă în calculul exact al aberaţiilor transversale cu drumuirea vectorială, şi calculul aceleiaşi aberaţii utilizând formula 8.32, pentru care trebuie să determinăm derivatele parţiale ale aberaţiei frontului de undă calculat cu polinomul de interpolare. Rădăcina medie pătrată a diferenţelor obţinute cu aceste metode şi/sau valoarea diferenţei maximă în modul reprezintă datele care vor permite aprecierea preciziei polinomului de interpolare. Pentru exemplificarea metodelor de verificare se alege polinomul dat de formula 8.77, care are derivatele parţiale date de formulele:

20

W x, y  Op  x i 1



j C ij x j1 y i  j

(8.78)

W x, y  Op  y i 1

 i  j Cij x j y i j1

(8.79)

i j1 i 1

j0

Pentru o vizualizare cât mai bună a erorilor curbei aberaţiei frontului de undă trasată cu formula polinomului de interpolare, aceasta este încadrată de două curbe obţinute prin translatarea la stânga şi la dreapta, cu o toleranţă impusă, a curbei aberaţiei frontului de undă calculată exact cu drumuirea vectorială. Deoarece diferenţele dintre cele două calcule sunt foarte mici se va scoate în evidenţă separat numai curba erorilor la o scară mărită. Alăturat vor fi prezentate investigaţiile pentru determinarea erorilor aberaţiei frontului de undă obţinut prin diferenţa dintre formulele 8.58 şi 8.77, respectiv diferenţa dintre formulele 8.16 şi 8.32 apelând la relaţiile 8.78 şi 8.79. Astfel în figura 8.14 se prezintă rezultatele pentru polinomul de interpolare dat de formula 8.78 pentru ordinul polinomului egal cu 5, iar în figura 8.15 aceleaşi rezultate obţinute pentru ordinul polinomului egal cu 10. Se vede uşor că prima alegere (Op = 5) conduce la erori foarte mari, de ne acceptat, iar a doua alegere conduce la valori foarte precise pe tot domeniul pupilei de ieşire. 8.2.5. Reprezentarea aberaţiei frontului de undă Dezvoltarea în serie se foloseşte în special atunci când vrem să avem viteză mare în reprezentări complexe, cum ar fi de exemplu grafica în 3D sau atunci când facem integrări duble. Pentru proiectare întotdeauna vom lucra cu formulele exacte 8.58 sau 8.59. În figura 8.16 este prezentată aberaţia frontului de undă pentru prima radiaţie sub forma unui grafic 3D, iar în figura 8.17 acelaşi lucru pentru a doua radiaţie. Acest mod de reprezentare are avantajul perceperii globale a aberaţiei fiind totodată şi foarte sugestivă. Singurele date pe care le putem reţine cifric sunt valorile maxime şi minime ale aberaţiei. Această reprezentare apelează la un număr mare de puncte, pentru a reţine în final doar două valori pentru prelucrările ulterioare. De asemenea nu se pot trasa pe acelaşi grafic şi efectele celorlalte radiaţii. Din aceste motive aberaţia este bine cunoscută şi foarte eficient administrată pentr-o o secţiune meridiană sau o secţiune sagitală sau o secţiune oarecare prin aberaţia frontului de undă, după cum se poate vedea în figurile 8.18 şi respectiv 8.19. Legătura dintre aberaţia frontului de undă şi aberaţia transversală a razelor optice într-o anumită secţiune a fost arătată în capitolul anterior. În figurile 8.20 şi 8.21 cel mai important lucru este raţia de modificare pentru cele două informaţii la modificarea parametrilor constructivi.

21

Figura 8.14

Figura 8.15

22

Figura 8.16

Figura 8.17

23

Figura 8.18

Figura 8.19

24

Figura 8.20 De asemenea vizualizarea distribuţiei razelor optice pe suprafaţa pupilei de ieşire este posibilă pe baza teoriei prezentate şi care permite calculul ecuaţiei frontului de undă. Totodată se cere şi o prezentare cât mai completă pentru o analiză rapidă. În acest sens în figura 8.20 se prezintă alăturat efectele frontului

25

Figura 8.21 de undă pentru cele 4 radiaţii de lucru la marginea câmpului obiect şi al centrul acestuia. Prezentarea se face cu ajutorul curbelor de nivel cu raţia impusă pentru a obţine topografia aberaţiei. Alăturat acestor topografii sunt trasate si curbele aberaţiei frontului de undă in plan radial şi în plan tangenţial pentru o înţelegere mai bună a topografiei. În figura 8.21 se prezintă acelaşi lucru diferenţierea denivelărilor fiind pusă în evidenţă prin nuanţe de gri. 26

8.4. Spot-diagrama Volumul mare de calcul necesar obţinerii distribuţiei iluminării punctului imagine nu este singurul inconvenient în folosirea acesteia la proiectarea sistemelor optice, întrucât la sistemele puternic aberante acest fenomen nu este pus în evidenţă şi deci nu avem valori care să comande modificarea parametrilor constructivi. Dacă se neglijează aspectul difracţional şi se urmăresc efectele razelor emergente sistemului optic în planul imagine, se obţin o mulţime de puncte grupate într-o zonă din apropierea intersecţiei razei pupilare principale cu planul imagine. La limită, când numărul razelor folosite tinde spre infinit, se obţine o pată de difuzie, în care se poate considera concentrată energia luminoasă care pleacă de la punctul obiect. Spre deosebire de aspectul difracţional care nu este pus în evidenţă pentru sisteme optice cu aberaţii geometrice mari, pata de difuzie este prezentă întotdeauna fiind mai mare sau mai mică, cu un aspect de cele mai multe ori atipic, funcţie de starea de corecţie a sistemului optic. Acest avantaj împreună cu un volum mai mic de calcule, fac ca această pată de difuzie să fie preferată distribuţiei iluminării punctului imagine în perioada de început a proiectării. Graficul acestei pete de difuzie poartă numele de spot-diagramă şi se obţine însemnând cu un punct sau cu un alt semn locul unde raza emergentă sistemului optic înţeapă planul imagine . Deoarece poziţia planului imagine reprezintă un parametru variabil al sistemului optic forma şi dimensiunea spot-diagramei depind de acesta. Pentru un punct obiect interesează poziţia optimă a planului imagine în care această pată de difuzie are o suprafaţă minimă. Pentru o distribuţie specifică în planul ferestrei de intrare, din punctul obiect se poate genera un fascicol divergent de raze care după traversarea sistemului optic se transformă într-un fascicol convergent de raze definit într-un plan imagine de mărimile X, Y, L, M, N i 1..k unde K reprezintă numărul de raze optice folosit în fascicol. Întrucât în teoria aberaţiilor punctul obiect se consideră în secţiunea meridiană, în planul imagine se consideră ca element de comparaţie mărimea: K

Y

i

YC 

1

(8.34)

K

numită centrul de referinţă. Pentru a descrie cu o cifră repartiţia intersecţiei fascicolului de raze cu planul imagine la care ne referim se defineşte pătratul distanţei medii a celor K puncte prin relaţia:

1

K

D 2M 

 X

 0   Yi  YC  2

i

2

1

K

K

1

2 i

 X

K

2 i

 Yi2  2YC Yi  YC2 

1



K

X

K



K

K

  Yi2  2YC  Yi   YC2 1

1

X

1



K K

K

K

 X i2   Yi2  2KYC2  KYC2 1



K

1

  Yi2  2YC KYC  KYC2

1

1



K K

 X i2   Yi2  KYC2 

K

K 2 i

1

1

K



2

 K Y  i  K k  1  2 2 X  Y  K 1 i 1 i K2  K  K Y X Y  i  1   1  1 2  K K K K

K

2 i

2

2 i

(8.35) Dacă planul de referinţă se translatează cu cantitatea z în lungul axei optice întrun sens arbitral, compararea noului set de puncte din noul plan de referinţă va fi cunoscut printr-o nouă distribuţie medie: K '2 M

D 

 K ' 1 Y  1 Yi    K K2 K

X 1

K

'2 i

2

'2 i

(8.36)

Între mărimile cunoscute iniţial şi noile valori obţinute prin translaţia planului imagine există relaţia de legătură: Li  ' X  X  z i i  Ni   Y '  Y  z M i i  i Ni

(8.37)

Astfel se poate scrie:

2

2

 L  1  X i  z Ni    D 'M2   K K

K



  X 1



i

z

Li   N i 

K

2 K



  Y 

2

2

K M   M  1  Yi  z N i  1  Yi  z N i   i   i    2 K K K

1



i

z K

Mi   N i 

2

 M    Yi  z  i  1 1 Ni   K2 K

2

(8.38)

K

Desfăcând parantezele şi făcând notaţiile : 2  K L2i  M i2  K M i      1 N 2 N 1 i  A  i  2  K K  K X i L i  Yi M i  K  K M i      Yi      1  1 N i  Ni 1  B  K K2  2 K   K Y 2 2 1 X i  Yi   1 i    C  K K2   

(8.39)

rezultă ecuaţia de gradul 2 : D 'M2  Az 2  2Bz  C

(8.40)

Valoarea z pentru care D 'M2 este minim se obţine prin anularea derivatei: dD 'M2  0 dz

(8.41)

obţinându-se: (8.42)

2Az  2B  0

cu soluţia:

3

z

B A

(8.43)

Valoarea D 'M2 pentru z astfel obţinut este: D 'M2  A

B2 B  2B  C  2 A A 2

 K Y X Y  i  2 2   B B 1 1 2    1 2   A A K K K 2 B D 2M  A K

K

2 i

2 i

(8.44)

Coeficienţii ecuaţiei care determină poziţia optimă a planului imagine sunt funcţie de punctul imagine ales şi de lungimea de undă folosită. În figura 8.23 se poate vedea efectul produs de cele patru lungimi de undă folosite. Imaginea prezintă şi calculele pentru determinarea poziţiei optime a planului imagine pentru fiecare lungime de undă folosită. Se poate observa marea diferenţă dintre aceste valori. Pentru a avea o imagine despre fenomen în figura 8.24 se prezintă acelaşi efect dar pentru planul imagine optim pentru radiaţia de bază corespunzător lui z  4.21249 mm . Această aglomeraţie de puncte poate fi înţeleasă mai bine dacă se face o corespondenţă între distribuţia punctelor de incidenţă din fereastra de intrare pentru cercurile acesteia şi punctele din graficul spot-diagramei. Astfel în figurile 8.25 şi 8.26 se prezintă traiectoria punctelor în planul gaussian respectiv în planul imagine optim pentru prima şi a treia radiaţie a cercului cu numărul 20, cu puncte având dimensiunea mai mare. Din aceste imagini se poate deduce marea complexitate a acestor distribuţii. În proiectare nu se pate controla fenomenul uşor dacă gestionăm întreaga arie a dreptunghiului care încadrează fiecare pată în parte. Se pot urmării cu uşurinţă laturile sau diagonala dreptunghiului care încadrează pata de difuzie. Acest control forţează micşorarea petei de difuzie, dar trebuie făcută corelaţia şi cu efectul deplasării planului imagine. Efectele deplasării planului imagine pentru 11 poziţii incrementale şi pentru 5 valori ale mărimii obiectului sunt prezentate în figura 8.27 pentru radiaţia de bază.

4

Figura 8.23

Figura 8.24

5

Figura 8.25

Figura 8.26

6

Figura 8.27 Cum în puţine situaţii se foloseşte numai lumină monocromatică şi având în vedere că planul de punere la punct trebuie să fie unic pentru întreg câmpul imagine, este necesar un compromis între valorile optime pentru diferitele porţiuni ale câmpului imagine şi diferitele efecte date de radiaţiile standard. În prezentările de până acum singura informaţie care poate să fie reţinută pentru proiectare este aria dreptunghiului, paralel cu axele de coordonate, care încadrează pata de difuzie. Acest lucru ar fi suficient dacă fenomenul s-ar corela şi cu distribuţia iluminării punctului imagine. Comparând cele două aberaţii se vede diferenţa prea mare dintre cele două pete. Acest lucru se poate explica prin faptul că în pata de difuzie nu se ţine cont de densitatea razelor pe unitatea de suprafaţă. Această densitate face ca influenţa diferitelor zone ale spot-diagramei să aibă însemnătate diferită. Calculul densităţii se face printr-un proces de numărare a razelor care ating fiecare suprafaţă elementară a ariei investigate. Densitatea reprezentă numărul de raze pe unitatea elementară de suprafaţă. Pentru a cunoaşte această densitate se încadrează punctul unde raza pupilară principală înţeapă planul imagine cu un pătrat cu laturile paralele cu axele de coordonate având latura cunoscută aprioric. Acest pătrat se împarte într-un număr impar M de pătrate elementare cu latura L. Identificarea oricărui pătrat elementar se face prin intermediul indicilor i  1.. int M / 2 , j  1.. int M / 2 , unde funcţia int reprezintă partea întreagă a

7

numărului din paranteză. Oricare punct Px , y  care aparţine pătratului elementar i, j este pus în evidenţă de formulele:  x  0. 5  L   i  int  L  

(8.45)

 y  0. 5  L   j  int  L  

(8.46)

În formule semnul – se ia pentru valorile pozitive ale coordonatelor x respectiv y şi semnul + pentru valorile negative ale acestora. Fiecare pătrat elementar însumează numărul de raze care-l atinge. Pentru ca valoarea însumată de fiecare pătrat elementar să nu depindă de numărul de raze folosit, se caută pătratul elementar care a acumulat cel mai mare număr de raze şi se împarte valoarea acumulată de celelalte pătrate elementare la valoarea acesteia. Se obţine astfel o distribuţie normată.

Figura 8.28

8

Figura 8.29

Figura 8.30

9

Dacă se asociază pentru diferite trepte de densitate câte o culoare se poate obţine o reprezentare care să indice topografia energetică a petei de difuzie a unui punct imagine. Considerând pragul de reprezentare grafică mai mare de 0,05 unităţi de densitate, obţinem suprafaţa petei de difuzie care concentrează circa 80% din energia care pleacă din punctul obiect aşa cum se vede în figura 8.28. Diagonala dreptunghiului care încadrează această pată de difuzie este de ordinul de mărime al distribuţiei iluminării punctului imagine fiind în concordanţă cu realitatea. Cele 0,05% procente care nu se reprezintă pe desen, sunt cauza scăderii contrastului imaginii dată de sistemul optic. O imagine mult mai sugestivă despre acest fenomen se obţine printr-o reprezentare 3D în care pentru fiecare punct de pe suprafaţa investigată se asociază densitatea relativă. Reprezentarea poate fi privită dinspre direcţia axei Oy, cum se vede în figura 8.29, sau dinspre direcţia axei Ox, cum se poate vedea în figura 8.30 unde mărimea obiectului de lucru yL=-0.45 mm. În figura 8.31 este prezentat efectul corespunzător mărimii obiectului yL= 0 mm. Poziţia optimă a planului de punere la punct în aceste situaţii nu mai poate fi făcută cu formula 8.43 deoarece aici avem o suprapunere a efectelor a unui număr mare de radiaţii din spectru folosit şi în consecinţă trebuie să se ţină cont de acest lucru.

Figura 8.31

10

8.5. Aberaţia transversală Cu toate că metoda spot-diagrama furnizează informaţii valoroase în proiectare, totuşi volumul mare de calcule o face puţin folosită în multe faze ale proiectării. O analiză amănunţită a rezultatelor finale scoate în evidenţă că numai circa 80% din energia luminoasă care pleacă de la punctul obiect se concentrează în jurul punctului de intersecţie al razei pupilare principale, restul de 20 % fiind disipat într-un fel care influenţează negativ imaginea, dar cu o pondere mică. Nu se poate stabili o legătură între distribuţia razelor în pata de difuzie şi distribuţia razelor în pupila de intrare. Investigarea care ar duce la identificarea acestor raze puţin influente, pentru a fi scoase din discuţie, ar consuma chiar mai mult timp de calcul şi deci ar fi un proces inutil. Din aceste motive este mai eficient să se reţină pentru proiectare numai razele care baleiază fie numai planul meridian, fie numai planul sagital. Dacă se ia ca rază de referinţă raza pupilară principală, atunci distanţa între punctul unde o rază oarecare înţeapă planul imagine X, Y  şi punctul unde raza pupilară principală înţeapă acelaşi plan (X, Y) , va defini aberaţia transversală. În plan meridian aberaţia transversală va fi:   Y  Y

(8.47)

iar în plan sagital:   X  X

(8.48)

În cazul în care sistemul optic este centrat, cazul cel mai des folosit,   X . Trasând  şi  funcţie de înălţimea în pupila de intrare, se obţin nişte curbe foarte adaptabile calculelor preliminare şi calculelor finale, cu influenţă foarte bună în mersul favorabil al proiectării. Pentru exemplificare se prezintă în figurile 8.32 şi 8.33 curbele aberaţiilor transversale obţinute pentru marginea câmpului imagine în plan meridian respectiv sagital, iar în figurile 8.34 şi 8.35 aceleaşi curbe pentru planul optim de punere la punct corespunzător primei radiaţii, z = -4.21249 mm. Din aceste figuri se pot selecta valorile care prin modificare să conducă la forma dorită a curbelor. Numărul de puncte pentru investigaţie este mult mai mic decât numărul de puncte necesar construcţiei spot-diagramei. Există şi posibilitatea acţiunii punctuale care permite modificarea alurii curbei cât şi valorile maxime ale acesteia.

Figura 8.32

Figura 8.33

Figura 8.34

Figura 8.35

Spot-Diagrama şi aberaţia transversală sunt aberaţii importante care pot fi luate în considerare la analiza sistemelor optice într-o fază de început, adică în situaţia când sistemul optic nu atinge o performanţă remarcabilă. Cu toate că aceste aberaţii nu descriu foarte complet performanţele sistemului optic ele se consideră ca punct de analiză iniţial deoarece aceste aberaţii există şi pentru sisteme optice slab performante. În consecinţă se impune o prezentare sintetică atât a graficelor aberaţiilor cât şi a valorilor principalelor performanţe. Interesează în mod deosebit comportarea sistemului optic la marginea câmpului obiect şi în centrul acestuia, în felul acesta se poate face o comparaţie vizuală şi valorică uşoară şi rapidă. Un exemplu în acest sens este prezentat în figura 8.35

Figura 8.35

9. METODE DE OPTIMIZARE FOLOSITE LA PROIECTAREA SISTEMELOR OPTICE 9.1. Formularea problemei de optimizare a sistemelor optice În cele mai multe ramuri ale ştiinţelor tehnice, realizarea unui anumit produs poate fi făcută în mai multe alternative, funcţie de cerinţele care stau la baza proiectării. Oricare ar fi aceste criterii, rezultatele proiectării conduc la alegerea valorilor variabilelor de proiectare, care pot fi: mărimi de natură fizică, valori pentru anumite proporţii între aceste mărimi, sau valori pentru oricare dependenţă funcţională care poate fi stabilită între mărimile aduse în discuţie. În munca proiectantului apare astfel, aspectul proiectării optime, deoarece aceste valori pot fi alese în domenii largi, chiar în prezenţa unor limitări şi restricţii. Metodele şi tehnicile aplicate pentru determinarea soluţiei optime sunt cele dezvoltate în programarea matematică, unde trebuie formulată aşa numita funcţie de merit, pentru care căutăm un extrem. Ţinând cont de specificul programării matematice, metodele de optimizare au un caracter iterativ de lucru. Metodele de optimizare nu permit, în general, obţinerea unor soluţii calitativ diferite pentru problema în studiu, ci conduc la alegerea celor mai bune soluţii ale parametrilor constructivi ai soluţiei imaginate de utilizator sau de proiectant. Cu alte cuvinte, proiectarea sistemelor optice reprezintă o strategie de modificare a parametrilor constructivi, pentru ca performanţele acestora astfel obţinute, să fie cât mai apropiate de valorile prestabilite ale unor aberaţii special alese.

9.2. Definirea funcţiei de merit O premiză fundamentală a teoriei optimizării sistemelor optice este aceea de a evalua calitatea sistemului optic într-un anumit punct, printr-un număr notat în mod curent cu  şi care, în general, poartă numele de funcţie de merit. Această funcţie nu are nici un sens fizic. Din punct de vedere matematic, e avantajos ca funcţia de merit să fie continuă şi diferenţiabilă în domeniul parametrilor constructivi, fiind definită în mod obişnuit de relaţia:    f i2

(9.1)

1

unde fi depinde în primul rând, dar nu exclusiv, de cele N aberaţii folosite pentru a descrie performanţele sistemului optic. Pentru ca fi să aibă un înalt grad de adaptabilitate se foloseşte expresia: (9.2) f i  Wi (Fi  Ti ) în care: - Wi este ponderea funcţiei i care poate să scoată mai mult în evidenţă o anumită aberaţie, potrivit scopului de utilizare al sistemului optic; - Fi este aberaţia i, curentă a sistemului optic; - Ti este valoarea dorită pentru aberaţia Fi, numită şi ţintă. Aberaţiile Fi sunt funcţii care depind de toţi parametrii constructivi x j ( j  1. . M) ai sistemului optic cum ar fi: raze de curbură, separaţii de-a lungul axei optice, indici de refracţie, etc. Funcţiile fi sunt puternic neliniare. Topografia funcţiei de merit în hiperspaţiile de definiţie este, în general, o vale adâncă foarte lungă, cu părţi abrupte. Întrucât aberaţiile sistemului optic, deci şi funcţia de merit, nu pot fi în general explicitate funcţie de parametrii constructivi, se recurge în cele mai multe cazuri la dezvoltarea în serie Taylor, în jurul unui punct de referinţă, fie a funcţiilor fi fie a funcţiei de merit  şi neglijarea termenilor acestei serii aflaţi după termenii liniari, ceea ce impune efectuarea de modificări ale parametrilor constructivi într-un spaţiu restrâns în jurul punctului de referinţă, numit spaţiu de liniaritate, în care dezvoltarea în serie este acceptată. Dezvoltând în serie funcţiile fi şi reţinem numai termenii liniari obţinem: M

f i  f oi   j1

 fi x j  x oj   x0j

(9.3)

Cu această relaţie rezultă funcţia de merit în aproximaţia liniară: M    fi  L   f oi   x j  x oj  i 1 j1  x 0 j  

2

N

(9.4)

În mod asemănător dezvoltând în serie funcţia de merit se obţine: M

L  o   j1

 x j  x oj   x0j

(9.5)

2

În aceste dezvoltări derivatele parţiale sunt calculate în punctul de referinţă x0j. De multe ori evaluarea derivatelor parţiale după formule analitice nu poate fi efectuată deoarece pentru utilizator sunt posibile numai evaluările punctuale ale funcţiilor. Există şi cazuri când determinarea derivatelor parţiale este posibilă dar foarte greu de realizat. În aceste situaţii se folosesc diferite formule de calcul numeric care aproximezează derivatelor parţiale. Dacă considerăm mărimea h un mic procent din valoarea variabilei x 0 j avem la dispoziţie următoarele formule: f i (x 0 j  h)  fi (x 0 j )  fi  D i, j   x0 j h

(9.6)

f i (x 0 j  h)  f i (x 0 j  h)  fi  D i, j   x0 j 2h

(9.7)

f i x 0 j  2h   8 f i x 0 j  h   8 f i x 0 j  h   f i x 0 j  2h   fi  D i, j   x0j 12h

(9.8) Dacă se consideră h1 şi h2 două procente neegale din valoarea x0j atunci :





h12 f x 0 j  h 2   h 22  h 12 f x 0 j   h 22 f x 0 j  h1   fi  D i, j   x0j h 1h 2 h 1  h 2 

(9.9)

Se precizează că funcţiile la care se face referire, depind de toţi parametrii constructivi, însă pentru simplificarea scrisului, în paranteză s-a scris numai parametrul care capătă o modificare. În mod analog se procedează şi pentru funcţia de merit  . Se poate observa că prima formulă de aproximare a derivatei parţiale este cea mai rapidă, dar are precizia cea mai mică. Formula a doua are o precizie mult îmbunătăţită cu un consum dublu de timp pentru evaluare, dar mult mai mic decât timpul consumat pentru celelalte formule. Se foloseşte la metodele în care precizia derivatei trebuie să fie mare, sau în etapa finală de optimizare cu oricare metodă. În rest se foloseşte prima formulă justificată şi de faptul că optimizarea este un proces iterativ şi deci micile erori pot fi atenuate pe parcurs.

3

9.3. Funcţii test pentru metodele de optimizare Metodele de optimizare reprezintă tehnici numerice complexe de dirijare a valorilor parametrilor care definesc o funcţie pentru ca aceasta să atingă un extrem, de cele mai multe ori un minim. Eficienţa metodelor de optimizare este legată în ultimă instanţă de timpul de lucru necesar atingerii optimului. Cum acest timp depinde de viteza de lucru a calculatorului folosit se preferă numărul de apeluri ale funcţiei de merit şi numărul de iteraţii consumat de o anumită metodă pentru ca aceasta să poată fi ierarhizată într-o comparaţie calitativă şi cantitativă. Procesul de optimizare al unui subansamblu optic este foarte laborios întinzându-se pe o perioadă foarte mare de timp, cu reluări repetate. Pentru testul metodelor folosite şi pentru discutarea eficienţei fiecăreia în parte, din literatura de specialitate s-a ales un număr de şase funcţii construite special pentru a avea o dificultate mare. Aceste funcţii au fost alese să depindă de doi parametrii pentru a se realiza şi graficul cu traseul evoluţiei parametrilor până în punctul de optim. Funcţiile selectate pentru teste sunt următoarele: A1  4  4.5 x 1  4 x 2  x 12  2 x 22  2 x 1 x 2  x 14  2 x 12 x 2

9.10)

A 2  x 14  3 2  x 42

9.11)

A 3  100x 2  x 12  2  1  x 1  2

9.12)

A 4  100x 2  x 13  2  1  x 1  2

9.13)

A 5  2x 1  x 2  x 12  x 22  x 1  x 22  2

9.14)

A 6  1.5  x 1 1  x 12  2  2.25  x 1 1  x 22  2  2.625  x 1 1  x 32  2

(9.15)

Unele din aceste funcţii sunt cunoscute după numele autorilor care le-au creat. Astfel funcţia A2 poartă numele autorilor ei Fiacco şi McCormick, funcţia A3 este cunoscută sub numele de funcţia banană a lui Rosenbrock, funcţia A4 poartă numele de funcţia cubică a lui Witte şi Holst iar funcţia A6 este cunoscută şi sub denumirea de funcţia lui Beale. Pentru aceste funcţii, în figura 9.1 se prezintă topografia fiecăreia.

4

Funcţia A1

Funcţia A2

Funcţia A3

Funcţia A4

Funcţia A5

Funcţia A6

Figura 9.1

5

Metode de optimizare folosite la calculul sistemelor optice Metodele de căutare a minimului unei funcţii de M variabile, pot fi împărţite funcţie de complexitatea informaţiilor pe care programul de optimizare le prelucrează, în:  Metode simple de optimizare care folosesc numai informaţii locale despre valorile aberaţiilor şi ale funcţiei de merit.  Metode complexe de optimizare, care folosesc informaţii locale despre valorile aberaţiilor şi ale funcţiilor de merit, precum şi informaţii despre derivatele parţiale ale aberaţiilor, sau ale funcţiei de merit.

9.4. Metode simple de optimizare 9.4.1. Metoda numerelor aleatoare. Această metodă are la bază generarea unor numere aleatoare în domeniul de definiţie al parametrilor constructivi, numere care se atribuie variabilelor de proiectare, urmând a calcula valoarea funcţiei de merit pentru fiecare grup de valori date componentelor. Luând un număr mare de încercări şi presupunând că numerele aleatoare au o distribuţie uniformă în domeniul de definiţie considerat, se va lua ca valoare minimă a funcţiei de merit cea mai mică valoare calculată. Restrângând domeniul de definiţie al parametrilor constructivi în jurul acestei valori şi repetând procedura până când domeniul de definiţie al parametrilor constructivi devine suficient de mic, se ajunge la găsirea soluţiei care aproximează cu o anumită precizie minimul global al domeniului de definiţie pentru parametrii constructivi ai sistemului optic. Algoritmul de optimizare cu această metodă porneşte de la vectorul iniţial X0 pentru care se generează domeniul de căutare X0 min < X0 < X0 max şi se reţine ca vector minim de început Xmin= X0 , iar ca funcţie de merit minimă  min se ia valoarea corespunzătoare acestui vector. În continuare algoritmul urmăreşte paşii: 1. În domeniul de căutare al iteraţiei K se generează vectorul aleator X K  X K min  X K max  X K min   R . În această formulă R reprezintă un număr aleator uniform distribuit între 0 şi 1. 2. Pentru vectorul XK se calculează funcţia de merit  K . 3. Dacă  K   min atunci se reţine vectorul de poziţie ca vector minim Xmin şi se iniţiază noua valoare a funcţiei de merit  min   K 4. Se repetă paşii 1..3 de un număr prestabilit de ori .

6

5. Se restrânge domeniul de căutare în jurul vectorului minim proporţional X  K 1 min  X K min  X min  X K min   r cu raţia subunitară r:  .   X  X  X  X  r   K max max k max  K 1 max 6. Se testează o condiţie de stop. Dacă condiţia de stop nu este îndeplinită se repetă paşii 1..5 până când va fi îndeplinită. La această metodă condiţia de stop se referă la numărul prestabilit de reluări a paşilor 1..6. Pentru exemplificare în figurile 9.2, 9.3, 9.4, 9.5, 9.6 şi 9.7 se prezintă evoluţia înaintării valorilor variabilelor funcţiilor selectate pentru testări către punctul de optim. La fiecare iteraţie s-a reţinut pentru analiza comparativă a eficienţei metodelor de optimizare valorile punctului iniţial de plecare, derivatele parţiale în acest punct precum şi valoarea funcţiei de merit. În mod analog s-au reţinut şi valorile omoloage obţinute la ultima iteraţie. De asemenea s-au reţinut valorile pentru numărul de apeluri ale funcţiei de merit, numărul total de iteraţii şi timpul cronometrat. Pe grafice au fost însemnate cu câte un punct perechile de valori (x1, x2) în evoluţia lor către punctul optim. Trebuie precizat că aceasta este singura metodă care, în domeniul de căutare găseşte întotdeauna minimul global, spre deosebire de toate celelalte metode cunoscute care evoluează întotdeauna către un minim local. Acest lucru este remarcabil şi se recomandă folosirea ei pentru începutul unei proiectări. Cu toate că metoda, după cum se va vedea, este foarte neeficientă găsirea minimului global din domeniul de definiţie reprezintă un mare avantaj care o recomandă pentru perioada de început a proiectării, proiectare care va fi finalizată cu o metodă de optimizare eficientă. Se mai precizează că în tot studiul care urmează vectorul parametrilor iniţiali este acelaşi pentru toate metodele care vor urma. De asemenea trebuie subliniat şi faptul că funcţiile alese pentru test sunt dificil de rezolvat în mod automat. Au în schimb soluţiile de minim uşor de evaluat analitic care permit comparaţia cu soluţiile obţinute iterativ cu programul de optimizare. Timpul necesar rezolvării oricărei funcţii test cu oricare program de optimizare este foarte scurt şi numai cronometrări foarte precise pot să scoată în evidenţă diferenţele. Există şi situaţii când timpul e atât de scurt încât nu poate fi măsurat, chiar cu precizia de o milisecundă. Acest lucru nu este esenţial deoarece studiul se referă la aprecieri cu caracter de comparaţie pentru o eventuală ierarhizare. De asemenea concluziile acestor teste trebui privite ca oricare concluzii experimentale care sunt susceptibile de modificări pe măsură ce numărul experimentărilor creşte.

7

Figura 9.2

Figura 9.3

8

Figura 9.4

Figura 9.5

9

Figura 9.6

Figura 9.7

10

9.5.6. Metoda celor mai mici pătrate amortizate Această metodă acţionează pentru minimizare nu asupra funcţiei de merit definită cu relaţia exactă: N

   f i2

(9.101)

i 1

ci asupra unei noi funcţii de merit definită de relaţia: N

M

i 1

j 1

   f i2  p 2  (x j  x oj )2

(9.102)

unde p poartă numele de factor de amortizare. Ca şi la funcţia precedentă, soluţia de minim se obţine din sistemul format din anularea derivatelor parţiale. Scrierea matricială ţinând cont de noua definiţie a funcţiei de merit, este:

 BT B  p2 I X  X0   BT F0  0

(9.103)

unde I este matricea unitară de ordinul M, soluţia sistemului fiind:



X  X 0   BT B  p 2 I



1

B T F0

(9.104)

Soluţiile acestei ecuaţii vor fi un compromis între soluţia celor mai mici pătrate şi soluţia care va ţine, în mod corespunzător, variaţia parametrilor constructivi în domeniul de liniaritate al dezvoltării în serie a funcţiei de merit. Scalarul p are rolul de a menţine lungimea pasului de schimbare a parametrilor constructivi în nişte limite normale. Lungimea pasului de schimbare a parametrilor constructivi este limitată în practică de valoarea lui p. O valoare mare pentru p micşorează schimbările parametrilor constructivi, în timp ce o valoare mică a lui p măreşte aceste schimbări. Dacă p  0 suntem în domeniul celor mai mici pătrate. Gama liniarităţii impune ca p să ia valori într-un anumit domeniu relativ mic. O anumită tehnică de selectare a factorului de amortizare menţine procesul de corecţie în domeniul liniarităţii dezvoltării în serie. În continuare se prezintă două proceduri de selectare a factorului de amortizare. Pentru înţelegerea acestui proces, se vor indica rezultatele investigaţiilor

1

experimentale care au condus la metodele de selectare a factorului de amortizare. Cunoscând valoarea funcţiei de merit şi a derivatelor parţiale, într-un punct de referinţă, se calculează modificările parametrilor constructivi pentru un factor de amortizare ales arbitrar. Modificările parametrilor constructivi produse cu acest factor de amortizare, se vor resimţi atât în valoarea funcţiei de merit, cât şi în valoarea funcţiei de merit în aproximarea liniară. Dacă factorul de amortizare se modifică continuu într-un domeniu dat, se poate trasa un grafic sugestiv, reprezentat în figura 9.27. Analiza acestui grafic arată că factorul de amortizare are efectul dorit asupra modificărilor parametrilor constructivi, dacă el se află în limitele domeniului nehaşurat. Valori mai mici ale factorului de amortizare decât pa, conduc la schimbări care violează domeniul de liniaritate al dezvoltării în serie. Valori mai mari ale factorului de amortizare decât pb vor conduce la schimbări ne economice în ceea ce priveşte viteza de convergenţă a procesului de optimizare. Practic, existenţa lui p în interiorul domeniului este pusă în evidenţă de raportul: * 1 0 0  *   *L 0  *L 1 0

(9.105)

şi anume:  dacă 0.5 <  < 0.9, se poate considera valoarea lui p ca bună;  dacă 0 <  < 0.5, va trebui să mărim valoarea lui p (de exemplu de două ori);  dacă  > 0,9, va trebui să micşorăm valoarea lui p (de exemplu la jumătate);  dacă  < 0, se vor abandona schimbările şi se va mări valoarea lui p (de exemplu de două ori).

2

Figura 9.27 Dirijarea procesului de optimizare prin selectarea factorului de amortizare după criteriul raportului  reprezintă prima modalitate de selectare care în practică a dus la rezultate bune. A doua modalitate de selectare a factorului de amortizare se conturează din analiza graficelor din figura 9.27, observând că viteza de înaintare a procesului de optimizare ar fi mai mare, dacă la fiecare iteraţie s-ar reuşi să se reţină * valoarea factorului de amortizare pentru care raportul ar îndeplini condiţia 0 de extrem:        0 0 p

(9.106)

Acest extrem se găseşte relativ uşor. Deşi necesită un timp mai îndelungat de calcul pentru o iteraţie, datorită unei mai bune alegeri a factorului de amortizare, în comparaţie cu criteriul , conduce la un număr mic de iteraţii. Dacă în final numărul de iteraţii pentru găsirea factorului de amortizare optim este mai mic decât numărul de parametri constructivi supuşi modificărilor, se

3

poate aprecia că această modalitate de selectare a factorului de amortizare are o convergenţă mai mare. Metoda celor mai mici pătrate amortizate este metoda de bază folosită la proiectarea sistemelor optice, îndeosebi datorită robusteţii ei, şi a faptului că întotdeauna găseşte un minim. Chiar şi în cazurile greşit formulate, se obţine un minim care însă nu va mai respecta soluţia de optim. În continuare se prezintă modul în care această metodă a fost utilizată. Funcţia de merit asupra căreia s-a acţionat pentru optimizare, considerând primii termeni ai dezvoltării în serie Taylor pentru funcţiile fi, este: 2

M M       f oi   D i , jx j   p 2  x 2j i 1  j1 j1  N

(9.107)

unde, pentru simplificare s-a notat x j  x j  x oj. Modificările parametrilor supuşi optimizării se vor calcula rezolvând sistemul obţinut din anularea derivatelor parţiale ale funcţiei de merit în raport cu aceşti parametrii:   0  x k  k  1. . . M

(9.108)

M  N  2 2  f oi   D i , jx j D i ,k  2p x k  0 j1  i1    k  1..M

(9.109)

adică:

Separând termenii liberi ai ecuaţiilor: N N M 2 D D  x  p  x    f oi D i,k  i , j i ,k j k i  1 j  1 i 1  k  1...M 

şi grupând convenabil, se obţine:

4

(9.110)

N M  N  2 D D  x  p  x    f oi D i,k    i , j i ,k  j k  i 1  j1  i 1 k  1...M 

(9.111)

Dacă se notează:  N B   k , j   D i , j D i ,k daca  i 1  N  B k , N1   f oi D i ,k i 1     j  1...M; k  1...M

 N j  k  sau   D i , j D i ,k  p 2   i 1

daca

 j k 

(9.112) se obţine sistemul de ecuaţii: M  B k , jx j  B k , N1  j1 k  1...M 

(9.113)

din care se calculează modificările parametrilor supuşi optimizării pentru ca sistemul optic să evolueze spre ţintele iniţial impuse, adică:  x j  x oj  x j   j  1. . . M

(9.114)

Termenii Bk,j aparţin matricei numită de bază şi care, datorită modului de generare este simetrică faţă de diagonala principală. În literatura de specialitate, marea majoritate a studiilor comparate asupra metodelor de optimizare recomandă metoda celor mai mici pătrate amortizate ca fiind cea mai adecvată pentru proiectarea sistemelor optice. Metoda se realizează în principiu cu următorii paşi:

5

1. Se calculează funcţiile supuse optimizării şi funcţia de merit corespunzătoare. 2. Se memorează funcţiile supuse optimizării, funcţia de merit şi factorul de amortizare. 3. Se calculează derivatele parţiale ale funcţiilor supuse optimizării în raport cu parametrii ce se doresc a fi optimizaţi. 4. Dacă este cazul se calculează factorul de amortizare optim. 5. Se calculează matricea de bază. 6. Se calculează modificările parametrilor constructivi supuşi optimizării. 7. Se calculează noile valori ale parametrilor constructivi supuşi optimizării. 8. Se calculează funcţiile supuse optimizării şi funcţia de merit cu noile valori ale parametrilor constructivi. 9. Se calculează funcţia de merit în aproximaţie liniară. 10. Se calculează valoarea parametrului  şi a noului factor de amortizare. 11. Se calculează condiţia de stop. Dacă condiţia de stop nu este îndeplinită se repetă paşii 2..11 până la îndeplinire. La această metodă condiţia de stop testează dacă funcţia de merit este mai mică decât o valoare impusă sau dacă cea mai mare modificare, în modul, este mai mică decât o valoare impusă sau dacă numărul de iteraţii efectuat a depăşit o valoare impusă. În continuare, în figurile 9.28, 9.29, 9.30, 9.31, 9.32 şi 9.33 este reprezentată evoluţia variabilelor funcţiilor selectate pentru testări către punctul de optim cu metoda celor mai mici pătrate amortizate folosind criteriul  pentru selectarea factorului de amortizare. În figurile 9.34, 9.35, 9.36, 9.37, 9.38 şi 9.39 este reprezentată evoluţia variabilelor funcţiilor selectate pentru testări către punctul de optim cu metoda celor mai mici pătrate amortizate folosind criteriul selectării optime pentru factorului de amortizare.

6

Figura 9.28

Figura 9.29

7

Figura 9.30

Figura 9.31

8

Figura 9.32

Figura 9.33

9

Figura 9.34

Figura 9.35

10

Figura 9.36

Figura 9.37

11

Figura 9.38

Figura 9.39

12