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Probabilité LSDM1-ALKHWARIZMI_UM6P Devoir maison 1

Elhoucine AIT BOUGNSA [email protected]

UM6P-ALKHWARIZMI LSDM1

1

Elhoucine AIT BOUGNSA

Des sommes importantes pour l’étude des variables aléatoires Par définition

+∞ X

un = lim

N X

N →∞

n=0

un

n=0

Soit x ∈] − 1, 1[ 1. Montrer que : x

N +1

− 1 = (x − 1)

N X

xn

n=0

en déduire que : +∞ X

xn =

n=0

2. Trouver une formule de

1 1−x

N X

SN =

n.xn

n=0

Indication : si f (x) =

PN

n=0

′

xn alors SN = x.f (x) En déduire que : +∞ X

n.xn =

n=0

3. De même trouver

+∞ X

x (1 − x)2

n2 .xn

n=0

Indication : X

n2 .xn = x2

X

n(n − 1).xn−2 +

4. en admettant que : n X

Cnk ak bn−k = (a + b)n

k=0

Trouver S=

n X

k.Cnk ak bn−k

k=0 ′

Indication f (x) = (x + b)n et S = a.f (a) 5. De même Trouver trouver une formule simple de : V =

n X k=0

1

k 2 .Cnk ak bn−k

X

n.xn

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6. En admettant : eλ =

+∞ n X λ n=0

Trouver :

2

n!

+∞ +∞ X X λn λn n et n2 n! n! n=0 n=0

densité de Q dans R

L’objectif de cette partie est de démontrer que pour tout x, y ∈ R avec x ̸= y,il existe r ∈ Q tel que r est entre x et y. Dans ce cas on dit que Q est dense dans R Soit x, y ∈ R avec x ̸= y. On suppose par exemple que x < y 1. Montrer que : ∃n0 ∈ N/ (y − x)10n0 > 1 étant donné un nombre réel a, la partie entière de a, notée E(a), est le plus grand entier inférieur ou égal à a . exemple : E(3.56) = 3, E(0.9) = 0, E(−0.9) = −1 et E(−3.56) = −4 De plus : a − 1 < E(a) ≤ a < E(a + 1) 2. monter que : x10n0 ≤ E(x10n0 + 1) ≤ E(y10n0 ) ≤ y10n0 Soit r=

E(x10n0 + 1) ∈Q 10n0

Montrer que : x≤r≤y donc la densité de Q dans R est établie 3. Application ; Soit Z = {(u, v) ∈ R2 / u + v < b}. On définit Br =] − ∞, r[×] − ∞, b − r[ . Montrer que : Z = ∪ Br r∈Q

3

L’ensemble Q est dénombrable

un ensemble est dite dénombrable lorsque il est possible d’indexer ces éléments par l’ensemble N ou tous simplement lorsque il existe une application subjective de N vers cet ensemble Soit n ∈ Z. Soit pn le plus grand entier naturel tel que 2pn divise n. donc ∃bn ∈ Z / n = 2pn bn 2

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1. montrer que bn est impair. Soit bn = 2qn + 1.Exemple ; 60 = 22 (2 × 7 + 1), p60 = 2 et q60 = 7 2. Soit W :Z→Q n→ p qn+1 n

Montrer que W est bien définie et qu’elle est surjective 3. soit f : N → Z une application définie par : f (n) =

n n+1 si n est pair et f (n) = − si n est impair 2 2

Montrer que f est une bijection de N→Z 4. en déduire que W of Est une surjetion de N→Q Il est légitime d’imaginer maintenant l’ensemble Q comme un ensemble discret. C’est-à-dire de la forme Q = {xi / i ∈ N}

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R est non dénombrable

Soit E un ensemble et P (E) ensemble de sous ensembles de E. Notre objectif est de montrer qu’il n,existe pas de surjection de E dans P (E). Par l’absurde, on suppose qu’il existe une application f surjective de E → P (E) Soit A = {x ∈ E/ x ̸∈ f (x)} 1. Montrer que A n’admet pas d’antécédent par l’absurde si f (a) = A vous pouvez montrer que a ∈ A et à la fois a ̸∈ A 2. en déduire qu’il n’existe pas de surjection de N → P (N) soit W : P (N) → R Définie par X W (A) = 10−x x∈A

Exemple : W ({1, 3}) = 10−1 + 10−3 = 0.101 W (N) = 10−0 + 10−1 + ... = 1.11111... W (∅) = 0 Montrons que W est injectif : Soit A et B deux sous ensembles de N tel que A ̸= B. 3. Montrer que (A ∩ B) ∪ (B ∩ A)) ̸= ∅ 3

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4. Montrer que W (A) − W (B) = W (A ∩ B) − W (B ∩ A) Soit a = min((A ∩ B) ∪ (B ∩ A)) On suppose par exemple que a∈A∩B 5. Montrer que a ̸∈ (B ∩ A) et que x ∈ (B ∩ A) =⇒ x > a 6. Montrer que W (A ∩ B) ≥ 10−a et W (B ∩ A) ≤

10−a 9

Et que W (A) ̸= W (B) indication :

∞ X 10−a 10−n = 9 n=a+1

maintenant nous allons supposer qu’il existe une application surjective f de N dans R Soit F = W (P (N)) Soit : g : N −→ P (N) définie par : g(n) = ∅ si f (n) ̸∈ F et g(n) = W −1 (f (n)) si f (n) ∈ F 7. montrer que g est bien définie et une surjetions de N dans P (N). En déduire l’absurde 8. par l’absurde, montrer que [a, b] est non dénombrable si a ̸= b un intervalle I quelconque de R est non dénombrable, n’est pas de la forme {xi / i ∈ N}

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