TD N°1 Thermometrie + Solution [PDF]

Zitiervorschau

TD n°1 THERMOMÉTRIE Exercice 1 On veut construire un thermomètre permettant de repérer des températures comprises entre 0°C et 250°C. On dispose d’une colonne cylindrique de 40 cm de long et de volume intérieur 32 mm3. Soit la dilatation apparente d'un liquide dans un réservoir : V = Vo (1+k ) ==> V - Vo = Vo k h s Vo : volume initial à 0°C ; température à repérer ; k : coefficient de dilatation apparente. h : hauteur de la colonne à la température  ; s : section de la colonne. Calculer le volume Vo du réservoir, la masse m du mercure nécessaire et la mobilité du thermomètre (plus petite variation de température décelable appelée aussi "résolution"). Données : Hg= 13,6 g.cm-3, k = 1 /6400 (°C)-1 : coefficient de dilatation apparente du mercure dans le verre. Mesure des températures de 0 à 250°C : le mercure affleure, au bas de la colonne, à 0°C, et en haut, à 250°C ; la colonne est entièrement remplie par le mercure à 250°C ; soit : V250 - Vo = 32 mm3. Exercice 2 La tige d'un thermomètre à mercure est divisée en parties d'égal volume. Le mercure affleure à la division -3 dans la glace fondante et à la division +103 à la température d'ébullition de l'eau, sous 750 mmHg (99,63°C). 1. Quelle est, dans l'échelle de ce thermomètre, la température correspondant au numéro n? A.N : n = 20. 2. L'échelle Hg coïncide avec l'échelle Celsius (température  ) à 0°C, 100°C et à une autre température x. Calculer x sachant que l'écart y =  - Hg est maximal pour  = 40°C. Exercice 3 Dans l'échelle de Fahrenheit, la température de la glace fondante est 32°F, celle de l'eau bouillante de 212°F, toutes deux observées sous une pression de 1 atmosphère. 1. Quelle est la température repérée par le même nombre dans les échelles de Fahrenheit et de Celsius? 2. Quelle est la température en °F d'un homme (=37,5°C), du mélange glace-NaCl (=-21°C)? Exercice 4 Lorsque la soudure de référence d'un thermocouple est à 0°C (glace fondante) et l'autre à la température  exprimée en °C, la f.e.m thermoélectrique fournie par le thermocouple est donnée par la relation : E = a + b2 avec a = 0,20 mV (°C)-1 et b = - 5,0 10-4 mV (°C)-2 Supposons que nous définissions une échelle de température par la relation linéaire  =  + en considérant la f.e.m comme étant le phénomène thermoélectrique tel que * = 0 pour la glace fondante et * = 100 à la température de l'eau bouillante sous pression atmosphérique normale. 1. Trouver les valeurs de et . 2. Exprimer l'écart  - *. Exercice 5 1. Une sonde a une constante de temps de 10 s. Au bout de combien de temps cette sonde donne-t-elle une réponse exacte à 1/1000 près en valeur relative ? 2. Un capteur initialement à 20°C est plongé dans un milieu à 100°C. Au bout de 20 s, sa température est de 80°C. Calculer sa constante de temps. 3. On dispose d'un capteur non linéaire de températures dans la gamme 0-300°C, de sensibilité moyenne +0,85 mV/°C de 0 à 80 °C, +0,79 mV/°C de 80 à 180°C, +0,70 mV/°C de 180 à 300°C. Ce capteur fournit une tension de 520 mV à 0°C. Quelle est son indication à 300 °C ?

1

Exercice 6 La résistance d’une thermistance varie avec la température Kelvin selon : avec

a = 4,0 x 103 K

et

R1 = 1,0 x 103 W

à T1 = 300 K

1. Déterminer le coefficient de température et le calculer à 300 K. Sachant que l’on mesure la résistance avec une précision de 0,1 %, quelle variation de température peuton détecter au voisinage de 300 K ? 2. Montrer que si T reste voisin de T 1 on peut se contenter d’une relation de la forme R = A + B T. Déterminer littéralement A et B, puis les calculer. Exercice 7 Une grandeur physique x est fonction de t, température Celsius. On remplace la loi x(t) par une relation linéaire affine passant par les points [ t=0 °C (fusion de la glace à pression atmosphérique normale); x = x0 ] et [ t = 100 °C (ébullition de l’eau à pression atmosphérique normale) ; x = x100 ] (échelle à deux points fixes) 1. Montrer que l’on définit ainsi une échelle de température q différente de l’échelle Celsius. 2. Soit a le coefficient de température de la grandeur physique x tel que : x = x0 (1 + a t) a) Pour un coefficient de température de la forme a = a0 + k t déterminer l’écart q – t en fonction de t. b) Pour quelle température cet écart est-il maximum ? Calculer cet écart maximum pour un liquide enfermé dans une enveloppe de verre si pour ce liquide : a = 18 x 10-5 + 1,3 x 10-8 t. .Exercice 8 a) La résistance d'une thermistance vaut 33,8 k à 273 K, 3,16 k à 333 K et 0,994 k à 373 K.  Montrer que l'on peut représenter la résistance R à la température absolue T par la relation R=A exp(B/T) ; déterminer A et B.  b) On veut utiliser cette thermistance à T0=300 K pour mesurer de très petites variations de températures.  Quelle est la plus petite variation de température que l'on puisse ainsi mettre en évidence, sachant que l'on peut mesurer une variation de résistance de 10-4 en valeur relative ?  Exercice 9 Entre 630 et 1064°C, la f.e.m. du thermocouple Pt-Rh 10% / Pt peut être reliée à la température au vingtième de degré près par la fonction simple θ = a e2 + b e + c où a = -1,225 ; b = 110,1 et c = 57,3. Dans cette formule, les f.e.m. sont en mV et les températures en °C. Quelle est la sensibilité du thermocouple Pt-Rh 10 % / Pt au voisinage de 1000 °C ? Exercice 10 On dispose d’une résistance R qui varie avec la température légale T suivant la loi : R(T) = - 2.4 x10-6 T2 + 1.624 x 10-2 T + 4 On veut l’utiliser comme thermomètre indiquant la température 0 de l’échelle Celsius (échelle à 2 points fixes). Calculer : 1. l’écart = (- t) entre l’échelle Celsius et l’échelle légale T en fonction de . 2. Pour quelle valeur de T cet écart est-il maximum ? .Enseignant : Mr BOUSHAKI .

2

Correction TD n°1 THERMOMÉTRIE

. . Correction Exercice 1 Volume Vo :

V250 - Vo = 32 mm3 et d'après (1):

mm3

V250 - Vo = Vo k 

Masse de mercure : m = Vo  = 0,819 x 13,6 = 0,01114kg = 11,138 g. Sensibilité du thermomètre :

Se = dh/d

mm/°C s h Vo k  et s = V/H Résolution du thermomètre : h/Se /1,6 = 0,32°C. (h  mm plus petite distance décelable par l’œil)

Correction Exercice 2 1- Hg = f(n) La hauteur de la colonne varie linéairement avec la température et on peut aussi écrire :  0 °C n = -3 99,63 °C n = 103 D'où :  = 0,94 n + 2,82 courbe d'étalonnage :

= an + b.

Pour n = 20,  = 21,62°C.

2- Valeur de x L'écart y entre Hg et s'annule pour 0°C, 100°C et x. Donc on peut écrire : y = K (- 0) (- 100) (- x) ; K est constant et différent de 0 Pour  = 40°C , l’écart y est maximal  dy/d =0  dy /d = K[( - x)(-60 + 40) - 60 x 40] = K[- 20( - x) - 2400] = 0  (x - 40) = 2400/20 = 120 Soit : x = 160 °C.

Correction Exercice 3 1- Point commun des deux échelles. À l'équilibre glace-eau  = 0 °C et ' = 32 °F À l'équilibre eau liquide-vapeur  = 100 °C et ' = 212 °F Entre et'on suppose une relation linéaire : '= + On en déduit : '[°F]= +°C Point commun, on pose :  = '  ' = - 40 °C = - 40 °F. 2-Températures particulières. Température, en °F, d'un homme bien portant :  = 37,5°C  ' = 98,6°F. Température, en °F, du mélange azéotropique glace-NaCl :  = - 21°C  ' = - 5,8°F.

Correction Exercice 4

1- Calcul de  et : E = a+ b2  E(0) = 0 et E(100) = 15mV. On pose * =  E + avec * = 0 et 100 dans la glace fondante et l'eau bouillante sous pression atmosphérique normale. D'où : (°C/mV)et= 0 °C. 2- Calcul de l'écart  - *. E = a+ b2  2 + a /b -E /b = 0 équation du second degré dont les racines sont :  , 2 = 200 ( 1 +/- (1 + E/20)1/2) ; La valeur recherchée est celle, positive, située entre 0 et 100, donc :  = 200 (1 + (1 + E/20)1/2) D'où l'écart :  - * = 200 (1 + (1 + E/20)1/2) - 0,033 E)

3

Correction Exercice 5 1- exp(-t/τ) = 1/1000  exp t/τ = 1000  t = τ ln 1000 = 69 s . 2- 80 exp(-t/τ) = 100 - 80 = 20  τ = 20/(ln 4) = 14,4 s . 3- 80°C  520 + 80 × 0,85 = 588 mV 180°C  588 + 100 × 0,79 = 667 mV 300°C  667 + 120 × 0,70 = 751 mV.

Correction Exercice 6 1- k (T) = - a / T2 et k (300K) = - 4,4.10-2 K-1 2- A = R1 (1 + a / T1) = 1,4.104  et

B = - a R1 / T

= - 4,4 .K-1

Correction Exercice 7 1- x=

x100 −x 0

θ+ x 0 100 k t ( t−100 ) θ 2.a- θ−t= a 0 +100 k d (θ−t ) =0 pour t = 50 °C 2.bdt

Correction Exercice 8 a) En remarquant que :  ln(R) = ln(A) + B / T On constate que les coefficients A et B peuvent être déterminés en traçant la droite ln(R) en fonction de 1/T. La pente vaut B et l'ordonnée à l'origine est ln(A).  On obtient :  B = 3 590 K          et           A = 6,6.10 k b) On évalue la dérivée de R(T) :

Par conséquent, en identifiant dR/R à ∆R/R = 10 -4, il vient que la plus petite variation de température que l'on puisse ainsi mettre en évidence est : 

Correction Exercice 9 1000°C  e = 9,58 mV (ou 80,29 mV inacceptable car hors du domaine) dθ/de = 2 ae + b = 86,63 °C/mV  s = de/dθ = 11,54 × 10-3 mV/°C soit s = 11,5 × 10-6 V/K

4