Các Dạng Bài Tập Vectơ Và Hệ Tọa Độ Trong Không Gian Toán 12 Ctst [PDF]

Zitiervorschau

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

Chân Trời Sáng Tạo

CHƯƠNG 2 VECTƠ VÀ HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

BÀI 1 VECTƠ VÀ CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

1. Vectơ trong không gian Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng. Độ dài của vectơ trong không gian là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó. Chú ý: Tương tự như vectơ trong mặt phẳng, đối với vectơ trong không gian ta cũng có các kí hiệu và khái niệm sau: • Cho đoạn thẳng AB trong không gian. Nếu ta chọn điểm đầu là A , điểm cuối là B thì ta có một  vectơ, kí hiệu là AB , đọc là “vectơ AB ”.     • Khi không cần chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối của vectơ, vectơ còn được kí hiệu là a , b , u , v ,...     • Độ dài của vectơ AB được kí hiệu là AB , độ dài của vectơ a được kí hiệu là a . • Đường thẳng đi qua điểm đầu và cuối của một vectơ được gọi là giá của vectơ.

 Đường thẳng d là giá của vectơ a Tương tự như vectơ trong mặt phẳng, ta có các khái niệm sau đối với vectơ trong không gian: • Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu chúng có giá song song hoặc trùng nhau. • Nếu hai vectơ cùng phương thì chúng cùng hướng hoặc ngược hướng.     • Hai vectơ a và b được gọi là bằng nhau, kí hiệu a = b , nếu chúng có cùng độ dài và cùng hướng. Chú ý: Tương tự như vectơ trong mặt phẳng, đối với vectơ trong không gian ta cũng có các tính chất và quy ước sau:

   • Trong không gian, với mỗi điểm O và vectơ a cho trước, có duy nhất điểm sao cho OM = a .   • Các vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau, ví dụ như AA, BB,... được gọi là vectơ-không.

• Ta quy ước vectơ-không có độ dài là 0 , cùng hướng với mọi vectơ. Do đó, các vectơ-không đều  bằng nhau và được kí hiệu chung là 0 .

2. Tổng và hiệu của vectơ trong không gian

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

a. Tổng của hai vectơ

Chân Trời Sáng Tạo

       Trong không gian, cho hai vectơ a và b . Lấy một điểm A tùy ý, vẽ AB = a , BC = b . Vectơ AC          được gọi là tổng của hai vectơ a và b , kí hiệu a + b . Vậy a + b = AB + BC = AC .

Phép lấy tổng hai vectơ còn được gọi là phép cộng vectơ.

Chú ý: Tương tự như phép cộng vectơ trong mặt phẳng, phép cộng vectơ trong không gian có các tình chất sau:

    • Tính chất giao hoán: a + b = b + a .       • Tính chất kết hợp: a + b + c =a + b + c .

(

)

(

)

     • Tính chất của vectơ-không: a + 0 = 0 + a = a .

Đối với vectơ trong không gian, ta có các quy tắc sau:

   AC • Quy tắc ba điểm: Với ba điểm A, B, C ta luôn có: AB + BC =

.

   • Quy tắc hình bình hành: Nếu ABCD là hình bình hành, ta có: AB + AD = AC .

    AC ' • Quy tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD. A ' B ' C ' D ' , ta có: AB + AD + AA ' =

b. Hiệu của hai vectơ

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

Chân Trời Sáng Tạo

     Trong không gian, cho hai vectơ a và b . Hiệu của vectơ a và vectơ b là tổng vectơ a và vectơ đối

   của vectơ b , kí hiệu a − b .

Phép lấy hiệu hai vectơ còn được gọi là phép trừ vectơ.

   Chú ý: Trong không gian, với ba điểm O, A, B tùy ý, ta luôn có: OB − OA = AB .

3. Tích của một số với một vectơ trong không gian a. Định nghĩa:

    Cho số k ≠ 0 và một vectơ a ≠ 0 . Tích của vectơ a với số k là một vectơ, kí hiệu ka .     Vectơ ka cùng hướng với a nếu k > 0 , ngược hướng với a nếu k < 0 và có độ dài bằng k a . Phép lấy tích của một số với một vectơ gọi là phép nhân một số với một vectơ.     Quy ước: 0.a = 0 và k .a = 0 .

b.Tính chất:

  Với hai vectơ a , b bất kỳ, với mọi số thực h và k , ta có: 







• k ( a + b ) = ka + kb ; k ( a − b ) = ka − kb    • ( h + k ) a =ha + ka   • h ( ka ) = ( hk ) a     • 1a = a , ( −1) a = −a . Chú ý:

      • Hai vectơ a và b ( b khác 0 ) cùng phương khi và chỉ khi có số k sao cho a = kb .   • Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi có số k khác 0 sao cho AB = k AC . • Hệ thức trung điểm đoạn thẳng: Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB , M tuỳ ý, ta có:       IA + = IB 0; MA + MB = 2 MI .

• Hệ thức trọng tâm tam giác: Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC , M tuỳ ý, ta có:

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

        GA + GB + GC = 0; MA + MB + MC = 3MG

Chân Trời Sáng Tạo

• Hệ thức trọng tâm tứ diện: Cho G là trọng tâm của tứ diện ABCD , M tuỳ ý. Ta có:           GA + GB + GC = + GD 0; MA + MB + MC + = MD 4 MG c. Sự đồng phẳng của ba vectơ (tham khảo thêm) • Ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.      • Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Cho ba vectơ a , b , c , trong đó a và b không cùng phương.       c ma + nb Khi đó: a , b , c đồng phẳng khi và chỉ khi tồn tại cặp số duy nhất m, n ∈  sao cho=     • Cho ba vectơ a , b , c không đồng phẳng, x tuỳ ý.     Khi đó: ∃m, n, p ∈  : x = ma + nb + pc 4. Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian a. Góc giữa hai vectơ

     Trong không gian, cho hai vectơ a và b đều khác vectơ 0. Từ một điểm O bất kì ta vẽ OA = a và   OB = b .       Góc cho hai vectơ a và b trong không gian, kí hiệu a , b , là góc giữa hai vectơ OA, OB .

( )

Chú ý:

  • 0o ≤ a , b ≤ 180o

( )

      • Nếu a , b = 900 thì ta nói rằng a và b vuông góc với nhau, kí hiệu là a ⊥ b .

( )

 • Góc giữa hai vectơ cùng hướng và khác 0 luôn bằng 0o .  • Góc giữa hai vectơ ngược hướng và khác 0 luôn bằng 180o .

b. Tích vô hướng của hai vectơ

     Trong không gian, cho hai vectơ a và b đều khác vectơ 0. Tích vô hướng của hai vectơ a và b là       một số thực, kí hiệu a.b , được xác định bởi công thức sau: a.b = a . b cos a , b

( )

Chú ý:

    • Trường hợp có ít nhất một trong hai vectơ a và b bằng 0 , ta quy ước a.b = 0 .       0. • Với hai vectơ a và b đều khác vectơ 0 , ta có a ⊥ b ⇔ a.b =

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

Chân Trời Sáng Tạo

    • Khi a = b thì tích vô hướng a.b được kí hiệu là a 2 và được gọi là bình phương vô hướng của  vectơ a .    2 Ta có a 2 a= = . a cos 0o a . Vậy bình phương vô hướng của một vectơ luôn bằng bình phương độ dài của vectơ đó.

   • Tính chất của tích vô hướng: Với ba vectơ a , b, c bất kì và mọi số k , ta có:   a (tính chất giao hoán) + .b = b.a      (tính chất phân phối) + a b + c = a.b + a.c

(

)

     k a .b k= a.b a. kb + =

( )

( )

( )

Nhận xét: Từ các tính chất của tích vô hướng của hai vectơ ta suy ra:   2    • a + b =a 2 + 2a.b + b 2

(

  • a −b •

)

   =a 2 − 2a.b + b 2

( )   ( a + b )( a − b ) = a 2

2

 −b2

CHỦ ĐỀ 1 CÁC PHÉP VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

Chân Trời Sáng Tạo

   AC • Quy tắc ba điểm: Với ba điểm A, B, C ta luôn có: AB + BC =

   • với ba điểm O, A, B tùy ý, ta luôn có: OB − OA = AB .

   • Quy tắc hình bình hành: Nếu ABCD là hình bình hành, ta có: AB + AD = AC .

    AC ' • Quy tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD. A ' B ' C ' D ' , ta có: AB + AD + AA ' =

• Hệ thức trung điểm đoạn thẳng: Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB , M tuỳ ý, ta có:       IA + = IB 0; MA + MB = 2 MI . • Hệ thức trọng tâm tam giác: Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC , M tuỳ ý, ta có:         GA + GB + GC = 0; MA + MB + MC = 3MG • Hệ thức trọng tâm tứ diện: Cho G là trọng tâm của tứ diện ABCD , M tuỳ ý. Ta có:           GA + GB + GC = + GD 0; MA + MB + MC + = MD 4 MG   • Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi có số k khác 0 sao cho AB = k AC .

DẠNG 1 CÁC PHÉP VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

Chân Trời Sáng Tạo

PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án. Câu 1.

Cho hình tứ diện ABCD có trọng tâm G . Mệnh đề nào sau đây sai.

 2    A. AG= AB + AC + AD . 3  1     C. OG= OA + OB + OC + OD . 4

(

)

(

Câu 2.

)

(

)

Cho tứ diện ABCD . Gọi P, Q là trung điểm của AB và CD . Chọn khẳng định đúng?

 1   A.= PQ BC + AD . 4  1   C.= PQ BC − AD . 2

Câu 3.

 1    B. AG= AB + AC + AD . 4      0. D. GA + GB + GC + GD =

(

)

(

)

 1   B.= PQ BC + AD . 2    D. PQ = BC + AD .

(

)

Trong không gian cho điểm O và bốn điểm A, B, C , D không thẳng hàng. Điều kiện cần và đủ

để A, B, C , D tạo thành hình bình hành là:  1   1  A. OA + OB = OC + OD . 2 2     C. OA + OC = OB + OD .

Câu 4.

Trong không gian cho điểm O và bốn điểm A , B , C , D không thẳng hàng. Điều kiện cần và

đủ để A , B , C , D tạo thành hình bình hành là      A. OA + OB + OC + OD = 0.  1   1  C. OA + OB = OC + OD . 2 2

Câu 5.

 1   1  B. OA + OC = OB + OD . 2 2      0. D. OA + OB + OC + OD =

    B. OA + OC = OB + OD .  1   1  D. OA + OC = OB + OD . 2 2

Cho tứ diện ABCD . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB, CD và G là trung điểm

của MN . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?      4 MG A. MA + MB + MC + MD = B.      0 C. GA + GB + GC + GD = D. Câu 6.

    GA + GB + GC = GD    GM + GN = 0.

Cho tứ diện ABCD . Gọi I , J lần lượt là trung điểm của AB và CD , G là trung điểm của IJ .

Cho các đẵng thức sau, đẳng thức nào đúng?      0 A. GA + GB + GC + GD =      JI C. GA + GB + GC + GD =

     2IJ B. GA + GB + GC + GD =      −2 JI D. GA + GB + GC + GD =

Câu 7. Cho hình hộp ABCD. A1 B1C1 D1 . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?        2 AC . 0. A. AC1 + A1C = B. AC1 + CA1 + 2C1C =       AA1 . CC1 . C. AC1 + A1C = D. CA1 + AC = Câu 8. Cho hình hộp ABCD. A′B′C ′D′ với tâm O . Hãy chỉ ra đẳng thức sai trong các đẳng thức sau đây:           A. AB + BC + CC ′ = AD ′ + D ′O + OC ′ B. AB + AA′ = AD + DD ′

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

     0 C. AB + BC ′ + CD + D ′A =

    D. AC ′ = AB + AD + AA′ .

Chân Trời Sáng Tạo

Câu 9. Cho hình hộp ABCD. A1 B1C1 D1 . Chọn đẳng thức sai?         DC . A. BC + BA = B1C1 + B1 A1 . B. AD + D1C1 + D1 A1 =         BC . BD1 . C. BC + BA + BB1 = D. BA + DD1 + BD1 =         AA1 a= , AB b= , AC c= , BC d , trong các đẳng Câu 10. Cho hình lăng trụ tam giác ABC. A1 B1C1 . Đặt = thức sau, đẳng thức nào đúng?          0. d. B. a + b + c = A. a + b + c + d =

    0. C. b − c + d =

   D. a= b + c .

Câu 11. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC và BD của tứ diện ABCD . Gọi I là trung điểm đoạn MN và P là 1 điểm bất kỳ trong không gian. Tìm giá trị của k thích hợp điền vào đẳng thức      vectơ: IA + (2k − 1) IB + k IC + ID = 0 A. k = 2 .

B. k = 4 .

C. k = 1 .

D. k = 0 .

Câu 12. Cho tứ diện ABCD . Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Tìm giá trị của k thích hợp điền vào     k DG đẳng thức vectơ: DA + DB + DC = 1 A. k = . 3

B. k = 2.

C. k = 3.

D. k =

1 . 2

Câu 13. Cho hình hộp ABCD. A′B′C ′D′ . Tìm giá trị của k thích hợp điền vào đẳng thức vectơ:      AC + BA′ + k DB + C ' D = 0.

(

A. k = 0 .

)

B. k = 1 .

C. k = 4 .

D. k = 2 .

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Trong mỗi ý A), B), C), D) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai. Câu 14. Cho hình hộp ABCD. A ' B ' C ' D ' .     A. AB = A '= B ' DC = D 'C '   B. AC = A ' C '     C. AB + A ' D ' + CC ' = AC .      D. AB + BC + CC ' + C ' D ' = AD ' . Câu 15. Cho hình hộp ABCD. A ' B ' C ' D '     A. AB + B ' C ' + DD ' = AC '     B. BD − DD ' − B ' D ' = BB '      C. AC + BA ' + DB + C ' D = 0 .   D. AB ' = C ' D . Câu 16. Hãy nhận xét tính đúng hoặc sai của các mệnh đề sau đây:      O. A. Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu AB + BC + CD + DA =

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

Chân Trời Sáng Tạo

  B. Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu AB = CD .     C. Cho hình chóp S . ABCD . Nếu có SB + SD = SA + SC thì tứ giác ABCD là hình bình hành.    AD . D. Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu AB + AC =

Câu 17. Trong mặt phẳng cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O .      0. A. Nếu ABCD là hình bình hành thì OA + OB + OC + OD =      0 B. Nếu ABCD là hình thang thì OA + OB + 2OC + 2OD =      0 thì ABCD là hình bình hành. C. Nếu OA + OB + OC + OD =      0 thì ABCD là hình thang. D. Nếu OA + OB + 2OC + 2OD =       Câu 18. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Đặt SA = a ; SB = b ; SC = c ;   SD = d .     A. a + c = d + b .     B. a + b = c + d .     C. a + d = b + c .      D. a + b + c + d = 0. Câu 19. Cho hình chóp S . ABCD . Gọi O là giao điểm của AC và BD .      6 SO thì ABCD là hình thang. A. Nếu SA + SB + 2 SC + 2 SD =      4 SO . B. Nếu ABCD là hình bình hành thì SA + SB + SC + SD =      6 SO . C. Nếu ABCD là hình thang thì SA + SB + 2 SC + 2 SD =      4 SO thì ABCD là hình bình hành. D. Nếu SA + SB + SC + SD = Câu 20. Cho hình chóp S . ABCD.

    A. Nếu ABCD là hình bình hành thì SB + SD = SA + SC .     B. Nếu SB + SD = SA + SC thì ABCD là hình bình hành.     C. Nếu ABCD là hình thang thì SB + 2 SD =SA + 2 SC .     D. Nếu SB + 2 SD =SA + 2 SC thì ABCD là hình thang.

Câu 21. Cho hình hộp ABCD. A1 B1C1 D1 với tâm O .     A. AB + AA1 = AD + DD1 .     B. AC1 = AB + AD + AA1 .      0. C. AB + BC1 + CD + D1 A =       D. AB + BC + CC1 = AD1 + D1O + OC1 . PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ trả lời đáp án. Câu 22. Cho tứ diện ABCD . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD . Tìm giá trị của k    thích hợp điền vào đẳng thức vectơ:= MN k AC + BD

(

)

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

Chân Trời Sáng Tạo

Câu 23. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC và BD của tứ diện ABCD . Gọi I là trung điểm đoạn MN và P là 1 điểm bất kỳ trong không gian. Tìm giá trị của k thích hợp điền vào đẳng thức      vectơ: PI= k PA + PB + PC + PD .

(

)

Câu 24. Cho tứ diện ABCD . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tìm giá trị của k    thích hợp điền vào đẳng thức vectơ:= MN k AD + BC

(

)

Câu 25. Cho hình hộp ABCD. A′B′C ′D′ . Tìm giá trị của k thích hợp điền vào đẳng thức vectơ:     BD − D′D − B′D′ = k BB′ Câu 26. Cho hình hộp ABCD. A1 B1C1 D1 . Tìm giá trị của k thích hợp điền vào đẳng thức vectơ:     AB + B1C1 + DD1 = k AC1

DẠNG 2 PHÂN TÍCH MỘT VECTƠ THEO CÁC VECTƠ

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

Chân Trời Sáng Tạo

PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

      Câu 27. Cho tứ diện ABCD . Đặt= AB a= , AC b= , AD c, gọi G là trọng tâm của tam giác BCD .

Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?      1    A. AG = a + b + c . B. AG= C. a+b+c . 3      Câu 28. Cho tứ diện ABCD . Đặt= AB a= , AC b= , AD

(

)

khẳng định sau, khẳng định nào đúng?  1    A. DM= a + b − 2c 2  1    C. DM = a − 2b + c . 2

(

)

(

)

 1     1    AG= a + b + c . D. AG= a+b+c . 2 4  c, gọi M là trung điểm của BC. Trong các

(

)

(

 1    B. DM = −2a + b + c 2  1    D. DM = a + 2b − c 2

(

(

)

)

)

Câu 29. Cho tứ diện ABCD . Gọi M và P lần lượt là trung điểm của AB và CD . Đặt       AB = b , AC = c , AD = d . Khẳng định nào sau đây đúng.  1    A. MP= (c + d + b ) . 2  1    C. MP= (c + b − d ) . 2

 1    B. MP= (d + b − c) . 2  1    D. MP= (c + d − b ) . 2

Câu 30. Cho hình lập phương ABCD. A1 B1C1 D1 . Gọi O là tâm của hình lập phương. Chọn đẳng thức đúng?  1    A. AO= AB + AD + AA1 3  1    C. AO= AB + AD + AA1 4

 1    B. AO= AB + AD + AA1 2  2    D. AO= AB + AD + AA1 . 3       Câu 31. Cho lăng trụ tam giác ABC. A′B′C ′ có= AA′ a= , AB b= , AC c . Hãy phân tích (biểu thị) vectơ     BC ′ qua các vectơ a, b, c .                 B. BC ′ =−a + b − c C. BC ′ =−a − b + c D. BC ′ = a − b + c . A. BC ′ = a + b − c       Câu 32. Cho lăng trụ tam giác ABC. A′B′C ′ có= AA′ a= , AB b= , AC c . Hãy phân tích (biểu thị) vectơ     B′C qua các vectơ a, b, c .                 A. B′C = a + b − c. B. B′C =−a + b + c. C. B′C = a + b + c. D. B′C =−a − b + c.       Câu 33. Cho hình lăng trụ ABCA′B′C ′ , M là trung điểm của BB’ . Đặt CA = a , CB = b , AA ' = c .

(

)

(

)

(

)

(

)

Khẳng định nào sau đây đúng?    1     1  A. AM = a + c − b B. AM = b + c − a . 2 2

   1  C. AM = b − a + c . 2

   1  D. AM = a − c + b . 2

Câu 34. Cho hình hộp ABCD. A′B′C ′D′ có tâm O . Gọi I là tâm hình bình hành ABCD . Đặt         AC ′ = u , CA ' = v , BD′ = x , DB′ = y . Khẳng định nào sau đây đúng?

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

 1     A. 2OI= (u + v + x + y ) . 2  1     C. 2OI= (u + v + x + y ) . 4

 1     B. 2OI =− ( u + v + x + y ) . 2  1     D. 2OI =− ( u + v + x + y ) . 4

Chân Trời Sáng Tạo

Câu 35. Cho hình hộp ABCD. A1 B1C1 D1 . Gọi M là trung điểm AD . Chọn đẳng thức đúng.

    A. B1M = B1 B + B1 A1 + B1C1 .   1  1  C. C1M = C1C + C1 D1 + C1 B1 . 2 2

   1  B. C1M =C1C + C1 D1 + C1 B1 . 2     2 B1 D . D. BB1 + B1 A1 + B1C1 =

PHẦN II. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ trả lời đáp án.

 Câu 36. Cho tứ diện ABCD và I là trọng tâm tam giác ABC . Phân tích vectơ SI theo ba vectơ    SA, SB, SC .       Câu 37. Cho tứ diện ABCD có G là trọng tâm tam giác BCD . Đặt x = AB ; y = AC ; z = AD . Phân     tích vectơ AG theo ba vectơ x , y, z .   Câu 38. Cho tứ diện ABCD . Gọi M và P lần lượt là trung điểm của AB và CD . Đặt AB = b ,         AC = c , AD = d . Phân tích vectơ MP theo ba vectơ d , b , c .       Câu 39. Cho hình lăng trụ ABC. A′B′C ′ , M là trung điểm của BB′ . Đặt CA = a , CB = b , AA′ = c .     Phân tích vectơ AM theo ba vectơ a , b , c .

DẠNG 3 HAI VECTƠ CÙNG PHƯƠNG BA ĐIỂM THẲNG HÀNG TẬP HỢP ĐIỂM THỎA MÃN ĐẲNG THỨC VECTƠ

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

Chân Trời Sáng Tạo

PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

      Câu 40. Cho x = −6a − 3b . Chọn mệnh đề đúng nhất? 2a + b; y =   A. Hai vecto x và y là cùng phương   B. Hai vecto x và y là cùng phương và cùng hướng   C. Hai vecto x và y là cùng phương và ngược hướng   D. Hai vecto x và y là không cùng phương             Câu 41. Cho ba vectơ a, b, c không đồng phẳng. Xét các vectơ x = −4a + 2b; z = −3b − 2c . 2a − b; y =

Chọn khẳng định đúng?   A. Haivectơ y; z cùng phương.   C. Haivectơ x; z cùng phương.

  B. Haivectơ x; y cùng phương.

D. Đáp án A, B, C, đều sai.      0 ( G là trọng tâm của tứ Câu 42. Cho tứ diện ABCD và điểm G thỏa mãn GA + GB + GC + GD = diện). Gọi GO là giao điểm của GA và mp ( BCD) . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?         B. GA = 4G0G . C. GA = 3G0G . D. GA = 2G0G . A. GA = −2G0G . Câu 43. Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi G là điểm thỏa mãn:       GS + GA + GB + GC + GD = 0 . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?   A. G, S , O không thẳng hàng. B. GS = 4OG     D. GS = 3OG . C. GS = 5OG PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Trong mỗi ý A), B), C), D) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai. Câu 44. Cho hai điểm phân biệt A, B và một điểm O bất kỳ không thuộc đường thẳng AB .    = OA + OB . A. Điểm M thuộc đường thẳng AB khi và chỉ khi OM    = OB = k BA . B. Điểm M thuộc đường thẳng AB khi và chỉ khi OM    C. Điểm M thuộc đường thẳng AB khi và chỉ khi OM= kOA + (1 − k ) OB .     D. Điểm M thuộc đường thẳng AB khi và chỉ khi OM = OB = k OB − OA .

(

)

    Câu 45. Cho hình hộp ABCD. A′B′C ′D′ có tâm O . Đặt AB = a ; BC = b . M là điểm xác định bởi

 1   OM = a −b . 2

(

)

A. M là tâm hình bình hành ABB′A′ . B. M là tâm hình bình hành BCC ′B′ . C. M là trung điểm BB′ .

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

D. M là trung điểm CC ′ .

Chân Trời Sáng Tạo

Câu 46. Cho tứ diện ABCD . Người ta định nghĩa “ G là trọng tâm tứ diện ABCD khi      GA + GB + GC + GD = 0 ”. A. G là trung điểm của đoạn IJ ( I , J lần lượt là trung điểm AB và CD ). B. G là trung điểm của đoạn thẳng nối trung điểm của AC và BD . C. G là trung điểm của đoạn thẳng nối trung điểm của AD và BC . D. Chưa thể xác định được. PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ trả lời đáp án. Câu 47. Cho hình hộp ABCD. A′B′C ′D′ . M là điểm trên AC sao cho AC = 3MC . Lấy N trên đoạn

C ′D sao cho xC ′D = C ′N . Với giá trị nào của x thì MN // BD′ . Câu 48. Cho hình hộp ABCD. A ' B ' C ' D ' . Xác định vị trí các điểm M , N lần lượt trên AC và DC ' sao cho MN  BD ' . Tính tỉ số

MN . BD '

Câu 49. Cho hình hộp ABCD. A ' B ' C ' D ' . Một đường thẳng ∆ cắt các đường thẳng AA ', BC , C ' D ' lần

  MA . lượt tại M , N , P sao cho NM = 2 NP . Tính MA '

ABCD. A ' B ' C ' D ' Câu 50. Cho hình hộp và các điểm xác định bởi M , N, P       MA = k MB ' ( k ≠ 0 ) , NB = xNC ', PC = yPD ' . Hãy tính x, y theo k để ba điểm M , N , P thẳng hàng. Câu 51. Cho tứ diện ABCD . Gọi I , J lần lượt là trung điểm của AB và CD , G là trung điểm của IJ .    IJ AC + BD thì giá trị của a bằng bao nhiêu? a) Giả sử a.=     b) Xác định vị trí của M để MA + MB + MC + MD nhỏ nhất. Câu 52. Trong không gian cho tam giác

ABC . Tìm M

sao cho giá trị của biểu thức

P = MA2 + MB 2 + MC 2 đạt giá trị nhỏ nhất.

DẠNG 4 BÀI TOÁN THỰC TIỄN ỨNG DỤNG VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

Chân Trời Sáng Tạo

Câu 53. Một chiếc bàn học sinh cân đối hình chữ nhật được đặt trên mặt sàn nằm ngang, mặt bàn song song với mặt sàn và bốn chân bàn vuông góc với mặt sàn như hình vẽ. Trọng lực tác dụng lên bàn được  biểu thị bởi vectơ a phân tán đều qua bốn chân bàn và gây nên các phản lực từ mặt sàn lên các chân bàn     được biểu thị bởi các vectơ b, c, d , e .

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?   A. Vectơ d ngược hướng với vectơ a .      B. Các vectơ b, c, d , e cùng phương và ngược chiều với vectơ a .   C. Vectơ b với vectơ a đối nhau.     D. Các vectơ b, c, d , e đôi một cùng chiều và cùng độ lớn. Câu 54. Một tấm gỗ tròn được treo song song với mặt phẳng nằm ngang bởi ba sợi dây không giãn xuất phát từ điểm O trên trần nhà và lần lượt buộc vào ba điểm A, B, C trên tấm gỗ tròn sao cho các lực căng    F1 , F2 , F3 lần lượt trên mỗi dây OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và có độ lớn    F = F= F= 10 ( N ) (xem hình vẽ). 1 2 3

Tính trọng lượng P của tấm gỗ tròn đó. A. 30 3 .

B. 10 .

C. 10 2 .

D. 10 3 .

Câu 55. Một chiếc ô tô được đặt trên mặt đáy dưới một khung sắt có dạng hình hộp chữ nhật với đáy trên là hình chữ nhật ABCD , mặt phẳng ( ABCD ) song song với mặt mặt phẳng nằm ngang. Khung sắt đó được buộc vào móc E của chiến cần cẩu sao cho các đoạn dây cáp EA, EB, EC , ED có độ dài bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng ( ABCD ) một góc 600 như hình vẽ. Chiếc cần cẩu kéo khung sắt lên

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

Chân Trời Sáng Tạo

    theo phương thẳng đứng. Biết lực căng F1 , F2 , F3 , F4 đều có cường độ 5000 ( N ) và trọng lượng khung sắt là 2000 ( N ) . Trọng lượng của chiếc xe ô tô gần nhất số nào sau đây?

A. 15321( N ) .

B. 6660 ( N ) .

C. 5000 ( N ) .

D. 10000 ( N ) .

PHẦN II. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ trả lời đáp án. Câu 56. Một tấm sắt tròn được treo song song với mặt phẳng nằm ngang bởi ba sợi dây không giãn xuất phát từ điểm O trên trần nhà và lần lượt buộc vào ba điểm A, B, C trên tấm sắt tròn sao cho các lực căng    F1 , F2 , F3 lần lượt trên mỗi dây OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và có độ lớn bằng nhau    F = F= F3 . Biết trọng lượng P của tấm sắt tròn đó bằng 2024 3 ( N ) (xem hình vẽ). 1 2

Tính lực căng của dây treo tấm sắt tròn đó. Câu 57. Một chiếc đèn chùm có khối lượng m = 10 ( kg ) được thiết kế với đĩa đèn được giữ bởi bốn đoạn

ASC = 450 (xem hình vẽ). cáp SA, SB, SC , SD sao cho S . ABCD là hình chóp tứ giác đều có 

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

Chân Trời Sáng Tạo

   a) Sử dụng công thức P = mg trong đó g là vectơ gia tốc rơi tự do có độ lớn 10 m / s 2 , tìm độ lớn của

(

)

 trọng lực P tác động lên chiếc đèn chùm. b) Tìm độ lớn của lực căng của mỗi sợi dây cáp. Câu 58. Một chiếc đèn chùm được thiết kế với đĩa đèn được giữ bởi bốn đoạn cáp SA, SB, SC , SD sao

= SB = SC = SD và ABCD là hình vuông, đồng thời các cạnh SA, SB, SC , SD tạo với mặt phẳng cho SA

( ABCD ) một góc có 600 (xem hình vẽ).

 Biết độ lớn của lực căng của mỗi sợi dây cáp 4 ( N ) . Tìm độ lớn của trọng lực P tác động lên chiếc đèn chùm. Câu 59. Một chiếc cần cẩu, cẩu tấm kim loại có trọng lực 2000 ( N ) , được thiết kế với tấm kim loại

= AC = AD và BCD là tam giác đều, đồng thời các được giữ bởi ba đoạn cáp AB, AC , AD sao cho AB cạnh AB, AC , AD tạo với mặt phẳng ( BCD ) một góc có 300 (xem hình vẽ). Tìm độ lớn của lực căng của mỗi sợi dây cáp.

Câu 60. Một chiếc ô tô được đặt trên mặt đáy dưới một khung sắt có dạng hình hộp chữ nhật với đáy trên là hình vuông ABCD , mặt phẳng ( ABCD ) song song với mặt mặt phẳng nằm ngang. Khung sắt đó được buộc vào móc E của chiến cần cẩu sao cho các đoạn dây cáp EA, EB, EC , ED có độ dài bằng nhau

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

Chân Trời Sáng Tạo

và cùng tạo với mặt phẳng ( ABCD ) một góc 45 như hình vẽ. Chiếc cần cẩu kéo khung sắt lên theo 0

    = F= F= F4 , trọng lượng khung sắt là 1000 ( N ) và trọng phương thẳng đứng. Biết lực căng F 1 2 3 lượng của chiếc xe ô tô 4000 ( N ) . Tính cường độ lực căng của các đoạn dây cáp.

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

Chân Trời Sáng Tạo

CHƯƠNG 2 VECTƠ VÀ HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

BÀI 1 VECTƠ VÀ CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

1. Vectơ trong không gian Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng. Độ dài của vectơ trong không gian là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó. Chú ý: Tương tự như vectơ trong mặt phẳng, đối với vectơ trong không gian ta cũng có các kí hiệu và khái niệm sau: • Cho đoạn thẳng AB trong không gian. Nếu ta chọn điểm đầu là A , điểm cuối là B thì ta có một  vectơ, kí hiệu là AB , đọc là “vectơ AB ”.     • Khi không cần chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối của vectơ, vectơ còn được kí hiệu là a , b , u , v ,...     • Độ dài của vectơ AB được kí hiệu là AB , độ dài của vectơ a được kí hiệu là a . • Đường thẳng đi qua điểm đầu và cuối của một vectơ được gọi là giá của vectơ.

 Đường thẳng d là giá của vectơ a Tương tự như vectơ trong mặt phẳng, ta có các khái niệm sau đối với vectơ trong không gian: • Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu chúng có giá song song hoặc trùng nhau. • Nếu hai vectơ cùng phương thì chúng cùng hướng hoặc ngược hướng.     • Hai vectơ a và b được gọi là bằng nhau, kí hiệu a = b , nếu chúng có cùng độ dài và cùng hướng. Chú ý: Tương tự như vectơ trong mặt phẳng, đối với vectơ trong không gian ta cũng có các tính chất và quy ước sau:

   • Trong không gian, với mỗi điểm O và vectơ a cho trước, có duy nhất điểm sao cho OM = a .   • Các vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau, ví dụ như AA, BB,... được gọi là vectơ-không.

• Ta quy ước vectơ-không có độ dài là 0 , cùng hướng với mọi vectơ. Do đó, các vectơ-không đều  bằng nhau và được kí hiệu chung là 0 .

2. Tổng và hiệu của vectơ trong không gian

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

a. Tổng của hai vectơ

Chân Trời Sáng Tạo

       Trong không gian, cho hai vectơ a và b . Lấy một điểm A tùy ý, vẽ AB = a , BC = b . Vectơ AC          được gọi là tổng của hai vectơ a và b , kí hiệu a + b . Vậy a + b = AB + BC = AC .

Phép lấy tổng hai vectơ còn được gọi là phép cộng vectơ.

Chú ý: Tương tự như phép cộng vectơ trong mặt phẳng, phép cộng vectơ trong không gian có các tình chất sau:

    • Tính chất giao hoán: a + b = b + a .       • Tính chất kết hợp: a + b + c =a + b + c .

(

)

(

)

     • Tính chất của vectơ-không: a + 0 = 0 + a = a .

Đối với vectơ trong không gian, ta có các quy tắc sau:

   AC • Quy tắc ba điểm: Với ba điểm A, B, C ta luôn có: AB + BC =

.

   • Quy tắc hình bình hành: Nếu ABCD là hình bình hành, ta có: AB + AD = AC .

    AC ' • Quy tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD. A ' B ' C ' D ' , ta có: AB + AD + AA ' =

b. Hiệu của hai vectơ

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

Chân Trời Sáng Tạo

     Trong không gian, cho hai vectơ a và b . Hiệu của vectơ a và vectơ b là tổng vectơ a và vectơ đối

   của vectơ b , kí hiệu a − b .

Phép lấy hiệu hai vectơ còn được gọi là phép trừ vectơ.

   Chú ý: Trong không gian, với ba điểm O, A, B tùy ý, ta luôn có: OB − OA = AB .

3. Tích của một số với một vectơ trong không gian a. Định nghĩa:

    Cho số k ≠ 0 và một vectơ a ≠ 0 . Tích của vectơ a với số k là một vectơ, kí hiệu ka .     Vectơ ka cùng hướng với a nếu k > 0 , ngược hướng với a nếu k < 0 và có độ dài bằng k a . Phép lấy tích của một số với một vectơ gọi là phép nhân một số với một vectơ.     Quy ước: 0.a = 0 và k .a = 0 .

b.Tính chất:

  Với hai vectơ a , b bất kỳ, với mọi số thực h và k , ta có: 







• k ( a + b ) = ka + kb ; k ( a − b ) = ka − kb    • ( h + k ) a =ha + ka   • h ( ka ) = ( hk ) a     • 1a = a , ( −1) a = −a . Chú ý:

      • Hai vectơ a và b ( b khác 0 ) cùng phương khi và chỉ khi có số k sao cho a = kb .   • Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi có số k khác 0 sao cho AB = k AC . • Hệ thức trung điểm đoạn thẳng: Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB , M tuỳ ý, ta có:       IA + = IB 0; MA + MB = 2 MI .

• Hệ thức trọng tâm tam giác: Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC , M tuỳ ý, ta có:

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

        GA + GB + GC = 0; MA + MB + MC = 3MG

Chân Trời Sáng Tạo

• Hệ thức trọng tâm tứ diện: Cho G là trọng tâm của tứ diện ABCD , M tuỳ ý. Ta có:           GA + GB + GC = + GD 0; MA + MB + MC + = MD 4 MG c. Sự đồng phẳng của ba vectơ (tham khảo thêm) • Ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.      • Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Cho ba vectơ a , b , c , trong đó a và b không cùng phương.       c ma + nb Khi đó: a , b , c đồng phẳng khi và chỉ khi tồn tại cặp số duy nhất m, n ∈  sao cho=     • Cho ba vectơ a , b , c không đồng phẳng, x tuỳ ý.     Khi đó: ∃m, n, p ∈  : x = ma + nb + pc 4. Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian a. Góc giữa hai vectơ

     Trong không gian, cho hai vectơ a và b đều khác vectơ 0. Từ một điểm O bất kì ta vẽ OA = a và   OB = b .       Góc cho hai vectơ a và b trong không gian, kí hiệu a , b , là góc giữa hai vectơ OA, OB .

( )

Chú ý:

  • 0o ≤ a , b ≤ 180o

( )

      • Nếu a , b = 900 thì ta nói rằng a và b vuông góc với nhau, kí hiệu là a ⊥ b .

( )

 • Góc giữa hai vectơ cùng hướng và khác 0 luôn bằng 0o .  • Góc giữa hai vectơ ngược hướng và khác 0 luôn bằng 180o .

b. Tích vô hướng của hai vectơ

     Trong không gian, cho hai vectơ a và b đều khác vectơ 0. Tích vô hướng của hai vectơ a và b là       một số thực, kí hiệu a.b , được xác định bởi công thức sau: a.b = a . b cos a , b

( )

Chú ý:

    • Trường hợp có ít nhất một trong hai vectơ a và b bằng 0 , ta quy ước a.b = 0 .       0. • Với hai vectơ a và b đều khác vectơ 0 , ta có a ⊥ b ⇔ a.b =

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

Chân Trời Sáng Tạo

    • Khi a = b thì tích vô hướng a.b được kí hiệu là a 2 và được gọi là bình phương vô hướng của  vectơ a .    2 Ta có a 2 a= = . a cos 0o a . Vậy bình phương vô hướng của một vectơ luôn bằng bình phương độ dài của vectơ đó.

   • Tính chất của tích vô hướng: Với ba vectơ a , b, c bất kì và mọi số k , ta có:   a (tính chất giao hoán) + .b = b.a      (tính chất phân phối) + a b + c = a.b + a.c

(

)

     k a .b k= a.b a. kb + =

( )

( )

( )

Nhận xét: Từ các tính chất của tích vô hướng của hai vectơ ta suy ra:   2    • a + b =a 2 + 2a.b + b 2

(

  • a −b •

)

   =a 2 − 2a.b + b 2

( )   ( a + b )( a − b ) = a 2

2

 −b2

CHỦ ĐỀ 1 CÁC PHÉP VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

Chân Trời Sáng Tạo

   AC • Quy tắc ba điểm: Với ba điểm A, B, C ta luôn có: AB + BC =

   • với ba điểm O, A, B tùy ý, ta luôn có: OB − OA = AB .

   • Quy tắc hình bình hành: Nếu ABCD là hình bình hành, ta có: AB + AD = AC .

    AC ' • Quy tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD. A ' B ' C ' D ' , ta có: AB + AD + AA ' =

• Hệ thức trung điểm đoạn thẳng: Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB , M tuỳ ý, ta có:       IA + = IB 0; MA + MB = 2 MI . • Hệ thức trọng tâm tam giác: Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC , M tuỳ ý, ta có:         GA + GB + GC = 0; MA + MB + MC = 3MG • Hệ thức trọng tâm tứ diện: Cho G là trọng tâm của tứ diện ABCD , M tuỳ ý. Ta có:           GA + GB + GC = + GD 0; MA + MB + MC + = MD 4 MG   • Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi có số k khác 0 sao cho AB = k AC .

DẠNG 1 CÁC PHÉP VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

Chân Trời Sáng Tạo

PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án. Cho hình tứ diện ABCD có trọng tâm G . Mệnh đề nào sau đây sai.

Câu 1.

 1    B. AG= AB + AC + AD . 4      0. D. GA + GB + GC + GD =

 2    A. AG= AB + AC + AD . 3  1     C. OG= OA + OB + OC + OD . 4

(

)

(

(

)

)

Lời giải Chọn A.  1     Theo giả thuyết trên thì với O là một điểm bất kỳ ta luôn có: OG= OA + OB + OC + OD . 4

(

)

Ta thay điểm O bởi điểm A thì ta có:  1      1    AG= AA + AB + AC + AD ⇔ AG= AB + AC + AD 4 4  2    Do vậy AG= AB + AC + AD là sai. 3

(

(

Câu 2.

(

)

)

)

Cho tứ diện ABCD . Gọi P, Q là trung điểm của AB và CD . Chọn khẳng định đúng?

 1   A.= PQ BC + AD . 4  1   C.= PQ BC − AD . 2

(

)

(

)

 1   B.= PQ BC + AD . 2    D. PQ = BC + AD .

(

)

Lời giải Chọn B.         Ta có : PQ = PB + BC + CQ và PQ = PA + AD + DQ           1   nên 2PQ = PA + PB + BC + AD + CQ + DQ = BC + AD . Vậy= PQ BC + AD 2

(

Câu 3.

)

(

)

(

)

Trong không gian cho điểm O và bốn điểm A, B, C , D không thẳng hàng. Điều kiện cần và đủ

để A, B, C , D tạo thành hình bình hành là:  1   1  A. OA + OB = OC + OD . 2 2     C. OA + OC = OB + OD .

 1   1  B. OA + OC = OB + OD . 2 2      0. D. OA + OB + OC + OD =

Lời giải Chọn C. B

A

D

C

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

              OA + OC = OB + OD ⇔ OA + OA + AC = OA + AB + OA + BC ⇔ AC = AB + BC

Câu 4.

Chân Trời Sáng Tạo

Trong không gian cho điểm O và bốn điểm A , B , C , D không thẳng hàng. Điều kiện cần và

đủ để A , B , C , D tạo thành hình bình hành là      A. OA + OB + OC + OD = 0.

    B. OA + OC = OB + OD .

 1   1  C. OA + OB = OC + OD . 2 2

 1   1  D. OA + OC = OB + OD . 2 2

Lời giải Chọn B.

O A

D

B

C

Trước hết, điều kiện cần và đủ để ABCD là hình bình hành là:    BD = BA + BC . Với mọi điểm O bất kì khác A , B , C , D , ta có:          BD = BA + BC ⇔ OD − OB = OA − OB + OC − OB     ⇔ OA + OC = OB + OD . Câu 5.

Cho tứ diện ABCD . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB, CD và G là trung điểm

của MN . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?      4 MG A. MA + MB + MC + MD = B.      0 C. GA + GB + GC + GD = D.

    GA + GB + GC = GD    GM + GN = 0.

Lời giải Chọn B.

M , N , G lần lượt là trung điểm của AB, CD, MN theo quy tắc trung điểm :          GA += GB 2GM ; GC += GD 2GN ; GM += GN 0          0 hay GA + GB + GC = −GD . Suy ra: GA + GB + GC + GD = Câu 6.

Cho tứ diện ABCD . Gọi I , J lần lượt là trung điểm của AB và CD , G là trung điểm của IJ .

Cho các đẵng thức sau, đẳng thức nào đúng?      0 A. GA + GB + GC + GD =      JI C. GA + GB + GC + GD =

     2IJ B. GA + GB + GC + GD =      −2 JI D. GA + GB + GC + GD = Lời giải

Chọn A.

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

             GA + GB + GC + GD = GA + GB + GC + GD = 2GI + 2GJ = 2 GI + GJ = 0 .

(

)

) (

)

(

Chân Trời Sáng Tạo

Câu 7. Cho hình hộp ABCD. A1 B1C1 D1 . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?        0. 2 AC . A. AC1 + A1C = B. AC1 + CA1 + 2C1C =       AA1 . CC1 . C. AC1 + A1C = D. CA1 + AC = Lời giải Chọn A.

D

C

A

B O D1

C

A

B1

+ Gọi O là tâm của hình hộp ABCD. A1 B1C1 D1 . + Vận dụng công thức trung điểm để kiểm tra. Câu 8. Cho hình hộp ABCD. A′B′C ′D′ với tâm O . Hãy chỉ ra đẳng thức sai trong các đẳng thức sau đây:           A. AB + BC + CC ′ = AD ′ + D ′O + OC ′ B. AB + AA′ = AD + DD ′          0 C. AB + BC ′ + CD + D ′A = D. AC ′ = AB + AD + AA′ . Lời giải Chọn B.       Ta có : AB + AA′ = AD + DD ′ ⇔ AB = AD (vô lí) Câu 9. Cho hình hộp ABCD. A1 B1C1 D1 . Chọn đẳng thức sai?         DC . A. BC + BA = B1C1 + B1 A1 . B. AD + D1C1 + D1 A1 =         BD1 . BC . C. BC + BA + BB1 = D. BA + DD1 + BD1 = Lời giải Chọn D.

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

B1

Chân Trời Sáng Tạo

C1 D1

A1

C

B A

D

         Ta có : BA + DD1 + BD1 =BA + BB1 + BD1 =BA1 + BD1 ≠ BC nên D sai.         Do BC = B1C1 và BA = B1 A1 nên BC + BA = B1C1 + B1 A1 . A đúng          Do AD + D1C1 + D1 A1 =AD + D1 B1 =A1 D1 + D1 B1 =A1 B1 =DC nên     AD + D1C1 + D1 A1 = DC nên B đúng.       Do BC + BA + BB1 = BD + DD1 = BD1 nên C đúng.         AA1 a= , AB b= , AC c= , BC d , trong các đẳng Câu 10. Cho hình lăng trụ tam giác ABC. A1 B1C1 . Đặt = thức sau, đẳng thức nào đúng?          0. d. A. a + b + c + d = B. a + b + c =

   D. a= b + c .

    0. C. b − c + d = Lời giải

Chọn C. A

C

B

A1

C1

B1

        + Dễ thấy: AB + BC + CA = 0 ⇒ b + d − c = 0 . Câu 11. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC và BD của tứ diện ABCD . Gọi I là trung điểm đoạn MN và P là 1 điểm bất kỳ trong không gian. Tìm giá trị của k thích hợp điền vào đẳng thức      vectơ: IA + (2k − 1) IB + k IC + ID = 0 A. k = 2 .

B. k = 4 .

C. k = 1 . Lời giải

Chọn C.

     0 nên k = 1 Ta chứng minh được IA + IB + IC + ID =

D. k = 0 .

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

Chân Trời Sáng Tạo

Câu 12. Cho tứ diện ABCD . Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Tìm giá trị của k thích hợp điền vào     k DG đẳng thức vectơ: DA + DB + DC = 1 A. k = . 3

B. k = 2.

C. k = 3.

D. k =

1 . 2

Lời giải Chọn C.     3DG . ta có DA + DB + DC = Câu 13. Cho hình hộp ABCD. A′B′C ′D′ . Tìm giá trị của k thích hợp điền vào đẳng thức vectơ:      AC + BA′ + k DB + C ' D = 0.

(

)

A. k = 0 .

B. k = 1 .

C. k = 4 .

D. k = 2 .

Lời giải Chọn B.

            Với k = 1 ta có: AC + BA ' + 1. DB + C ' D = AC + BA ' + C 'B = AC + C 'A' = AC + CA = 0 .

(

)

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Trong mỗi ý A), B), C), D) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai. Câu 14. Cho hình hộp ABCD. A ' B ' C ' D ' .     A. AB = A '= B ' DC = D 'C '   B. AC = A ' C '     C. AB + A ' D ' + CC ' = AC .      D. AB + BC + CC ' + C ' D ' = AD ' . A. B. C. D.

Lời giải

    = A '= = D ' C ' ĐÚNG AB B ' DC   AC = A ' C ' ĐÚNG     AB + A ' D ' + CC ' = AC . ĐÚNG      AB + BC + CC ' + C ' D ' = AD ' . ĐÚNG A

B

D

C

A' D'

Ta có:     AB = A '= B ' DC = D 'C ' ,

B' C'

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

  AC = A ' C '        AB + A ' D ' + CC ' =AB + BC + CC ' =AC

Chân Trời Sáng Tạo

     AB + BC + CC ' + C ' D ' = AD '

Câu 15. Cho hình hộp ABCD. A ' B ' C ' D '     A. AB + B ' C ' + DD ' = AC '     B. BD − DD ' − B ' D ' = BB '      C. AC + BA ' + DB + C ' D = 0 .   D. AB ' = C ' D . A. B. C. D.

Lời giải

    AB + B ' C ' + DD ' = AC ' ĐÚNG     BD − DD ' − B ' D ' = BB ' ĐÚNG      AC + BA ' + DB + C ' D = 0 . ĐÚNG   AB ' = C ' D SAI

C

B A

D B'

A'

C' D'

       AB + B ' C ' + DD =' AB + AD + AA =' AC '      BD − DD ' − B ' D ' = − DD ' = BB '           AC + BA ' + DB + C ' D = AC + BA ' + C ' B = AC + C ' A ' = 0    AB =' DC ' ≠ C ' D

Câu 16. Hãy nhận xét tính đúng hoặc sai của các mệnh đề sau đây:      O. A. Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu AB + BC + CD + DA =   B. Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu AB = CD .     C. Cho hình chóp S . ABCD . Nếu có SB + SD = SA + SC thì tứ giác ABCD là hình bình hành.    AD . D. Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu AB + AC = Lời giải      O SAI A. Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu AB + BC + CD + DA =   B. Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu AB = CD . SAI     C. Cho hình chóp S . ABCD . Nếu có SB + SD = SA + SC thì tứ giác ABCD là hình bình hành. ĐÚNG

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

   AD . SAI D. Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu AB + AC =

Chân Trời Sáng Tạo

B

A

D

C

           SB + SD = SA + SC ⇔ SA + AB + SA + AD = SA + SA + AC.    ⇔ AB + AD = AC. ⇔ ABCD là hình bình hành Câu 17. Trong mặt phẳng cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O .      0. A. Nếu ABCD là hình bình hành thì OA + OB + OC + OD =      0 B. Nếu ABCD là hình thang thì OA + OB + 2OC + 2OD =      0 thì ABCD là hình bình hành. C. Nếu OA + OB + OC + OD =      0 thì ABCD là hình thang. D. Nếu OA + OB + 2OC + 2OD = A. Nếu B. Nếu C. Nếu D. Nếu

Lời giải      ABCD là hình bình hành thì OA + OB + OC + OD = 0 . SAI      ABCD là hình thang thì OA + OB + 2OC + 2OD = 0 ĐÚNG      OA + OB + OC + OD = 0 thì ABCD là hình bình hành. SAI      OA + OB + 2OC + 2OD = 0 thì ABCD là hình thang. SAI

      Câu 18. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Đặt SA = a ; SB = b ; SC = c ;   SD = d .     A. a + c = d + b .     B. a + b = c + d .     C. a + d = b + c .      D. a + b + c + d = 0.

A. B. C. D.

    a + c = d + b . ĐÚNG     a + b = c + d . SAI     a + d = b + c . SAI      a +b +c +d = 0 . SAI

Lời giải

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

S

 a

 b

A

 c

D O

B

 d

C

Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD . Ta phân tích như sau:     SA + SC = 2 SO  (do tính chất của đường trung tuyến)    2 SO  SB + SD =         ⇒ SA + SC = SB + SD ⇔ a + c = d + b . Câu 19. Cho hình chóp S . ABCD . Gọi O là giao điểm của AC và BD .      6 SO thì ABCD là hình thang. A. Nếu SA + SB + 2 SC + 2 SD =      4 SO . B. Nếu ABCD là hình bình hành thì SA + SB + SC + SD =      6 SO . C. Nếu ABCD là hình thang thì SA + SB + 2 SC + 2 SD =      4 SO thì ABCD là hình bình hành. D. Nếu SA + SB + SC + SD = Lời giải      6 SO thì ABCD là hình thang. ĐÚNG A. Nếu SA + SB + 2 SC + 2 SD =      4 SO . ĐÚNG B. Nếu ABCD là hình bình hành thì SA + SB + SC + SD =      6 SO . SAI C. Nếu ABCD là hình thang thì SA + SB + 2 SC + 2 SD =      4 SO thì ABCD là hình bình hành. ĐÚNG D. Nếu SA + SB + SC + SD = S

A D O B

C

          6 SO ⇔ OA + OB + 2OC + 2OD = 0. A. Đúng vì SA + SB + 2 SC + 2 SD =    Vì O, A, C và O, B, D thẳng hàng nên= đặt OA kOC = ; OB mOD    ⇒ ( k + 1) OC + ( m + 1) OD = 0.

Chân Trời Sáng Tạo

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

Chân Trời Sáng Tạo

  OA OB Mà OC , OD không cùng phương nên k = −2 và m = −2 ⇒ = = 2 ⇒ AB / / CD. OC OD

B. Đúng. Hs tự biến đổi bằng cách chiêm điểm O vào vế trái. C. Sai. Vì nếu ABCD là hình thang cân có 2 đáy là AD, BC thì sẽ sai. D. Đúng. Tương tự đáp án A với k =−1, m =−1 ⇒ O là trung điểm 2 đường chéo. Câu 20. Cho hình chóp S . ABCD.

    A. Nếu ABCD là hình bình hành thì SB + SD = SA + SC .     B. Nếu SB + SD = SA + SC thì ABCD là hình bình hành.     C. Nếu ABCD là hình thang thì SB + 2 SD =SA + 2 SC .     D. Nếu SB + 2 SD =SA + 2 SC thì ABCD là hình thang. A. Nếu B. Nếu C. Nếu D. Nếu

Lời giải     ABCD là hình bình hành thì SB + SD = SA + SC . ĐÚNG     SB + SD = SA + SC thì ABCD là hình bình hành. ĐÚNG     ABCD là hình thang thì SB + 2 SD =SA + 2 SC . SAI     SB + 2 SD =SA + 2 SC thì ABCD là hình thang. ĐÚNG

Đáp án C sai do nếu ABCD là hình thang có 2 đáy lần lượt là AD và BC thì ta có     SD + 2 SB =SC + 2 SA. Câu 21. Cho hình hộp ABCD. A1 B1C1 D1 với tâm O .     A. AB + AA1 = AD + DD1 .     B. AC1 = AB + AD + AA1 .      0. C. AB + BC1 + CD + D1 A =       D. AB + BC + CC1 = AD1 + D1O + OC1 . Lời giải     A. AB + AA1 = AD + DD1 . SAI     B. AC1 = AB + AD + AA1 . ĐÚNG      0 . ĐÚNG C. AB + BC1 + CD + D1 A =       D. AB + BC + CC1 = AD1 + D1O + OC1 . ĐÚNG             = AB , AD + DD = AD AB ≠ AD AB + AA1 = AD + DD1 sai. Ta có AB + AA mà nên 1 1 1 1 1 1

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ trả lời đáp án.

Chân Trời Sáng Tạo

Câu 22. Cho tứ diện ABCD . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD . Tìm giá trị của k    thích hợp điền vào đẳng thức vectơ:= MN k AC + BD

(

)

Lời giải 1 Đáp án: k = . 2  1   1     = MN MC + MD (quy tắc trung điểm)= MA + AC + MB + BD 2 2     1   0 (vì M là trung điểm AB ) ⇒ MN= Mà MA + MB = AC + BD . 2

(

)

(

)

(

)

1 Vậy k = . 2

Câu 23. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC và BD của tứ diện ABCD . Gọi I là trung điểm đoạn MN và P là 1 điểm bất kỳ trong không gian. Tìm giá trị của k thích hợp điền vào đẳng thức      vectơ: PI= k PA + PB + PC + PD .

(

)

Lời giải 1 . 4       2 PM , PB + PD = 2 PN Ta có PA + PC =

Đáp án: k =

         1 nên PA + PB + PC + PD= 2 PM + 2 PN= 2( PM + PN )= 2.2.PI= 4 PI . Vậy k = 4

Câu 24. Cho tứ diện ABCD . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tìm giá trị của k    thích hợp điền vào đẳng thức vectơ:= MN k AD + BC

(

)

Lời giải 1 2            MN = MA + AD + DN  Ta có:      ⇒ 2 MN = AD + BC + MA + MB + DN + CN MN = MB + BC + CN        Mà M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD nên MA = BM = − MB; DN = NC = −CN

Đáp án: k =

    1   Do đó 2 MN = AD + BC ⇒ MN = AD + BC . 2

(

Vậy k =

)

1 2

Câu 25. Cho hình hộp ABCD. A′B′C ′D′ . Tìm giá trị của k thích hợp điền vào đẳng thức vectơ:     BD − D′D − B′D′ = k BB′ Lời giải Đáp án: k = 1

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

B'

Chân Trời Sáng Tạo

C' D'

A'

C

B A

D

    Ta có BD + DD′ + D′B′ = BB′ nên k = 1

Câu 26. Cho hình hộp ABCD. A1 B1C1 D1 . Tìm giá trị của k thích hợp điền vào đẳng thức vectơ:     AB + B1C1 + DD1 = k AC1 Lời giải Đáp án: k = 1 . D

C

A

B

D1

C1

A1

B1

       + Ta có: AB + B1C1 + DD1 = AB + BC + CC1 = AC1 . Nên k = 1 .

DẠNG 2

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

Chân Trời Sáng Tạo

PHÂN TÍCH MỘT VECTƠ THEO CÁC VECTƠ

PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

      Câu 27. Cho tứ diện ABCD . Đặt= AB a= , AC b= , AD c, gọi G là trọng tâm của tam giác BCD .

Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?      1    A. AG = a + b + c . B. AG= a+b+c . 3

 1    C. AG= a+b+c . 2

)

(

 1    D. AG= a+b+c . 4

)

(

(

)

Lời giải Chọn C.

A

B

D G M C

Gọi M là trung điểm BC .     2   2 1   AG = AB + BG =+ a BM =+ a . BC + BD 3 3 2  1      1    1 = a + AC − AB + AD − AB = a + −2a + b + c = 3 3 3      Câu 28. Cho tứ diện ABCD . Đặt= AB a= , AC b= , AD

(

(

)

)

(

) (

khẳng định sau, khẳng định nào đúng?  1    A. DM= a + b − 2c 2  1    C. DM = a − 2b + c . 2

(

)

(

)

   a+b+c .

)

 c, gọi M là trung điểm của BC. Trong các

 1    B. DM = −2a + b + c 2  1    D. DM = a + 2b − c 2

(

)

(

Lời giải Chọn A.       1    1   Ta có: DM = DA + AB + BM = AB − AD + BC = AB − AD + BA + AC 2 2 1  1   1  1   1    = AB + AC − AD= a + b − c= a + b − 2c . 2 2 2 2 2

(

(

)

)

)

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

Chân Trời Sáng Tạo

Câu 29. Cho tứ diện ABCD . Gọi M và P lần lượt là trung điểm của AB và CD . Đặt       AB = b , AC = c , AD = d . Khẳng định nào sau đây đúng.  1    A. MP= (c + d + b ) . 2  1    C. MP= (c + b − d ) . 2

 1    B. MP= (d + b − c) . 2  1    D. MP= (c + d − b ) . 2

Lời giải Chọn D.           1    Ta có c + d − b= AC + AD − AB= 2 AP − 2 AM = 2 MP ⇔ MP= (c + d − b ) . 2

( )

Câu 30. Cho hình lập phương ABCD. A1 B1C1 D1 . Gọi O là tâm của hình lập phương. Chọn đẳng thức đúng?  1    A. AO= AB + AD + AA1 3  1    C. AO= AB + AD + AA1 4

(

)

(

)

 1    B. AO= AB + AD + AA1 2  2    D. AO= AB + AD + AA1 . 3

(

)

(

)

Lời giải Chọn B.

    Theo quy tắc hình hộp: AC1 = AB + AD + AA1  1     1  Mà AO = AC1 nên AO= AB + AD + AA1 . 2 2

(

)

      Câu 31. Cho lăng trụ tam giác ABC. A′B′C ′ có= AA′ a= , AB b= , AC c . Hãy phân tích (biểu thị) vectơ     BC ′ qua các vectơ a, b, c .                 A. BC ′ = a + b − c B. BC ′ =−a + b − c C. BC ′ =−a − b + c D. BC ′ = a − b + c .

Lời giải Chọn D. C'

A' B'

C

A

B

            Ta có: BC ′ =BA + AC ′ =− AB + AC + AA′ =−b + c + a =a − b + c .

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

Chân Trời Sáng Tạo

      Câu 32. Cho lăng trụ tam giác ABC. A′B′C ′ có= AA′ a= , AB b= , AC c . Hãy phân tích (biểu thị) vectơ     B′C qua các vectơ a, b, c .                 A. B′C = a + b − c. B. B′C =−a + b + c. C. B′C = a + b + c. D. B′C =−a − b + c.

Lời giải Chọn D. C'

A'

B' C

A

B

Theo quy tắc hình bình hành ta có:            ′C B′B + B′C ′ =− AA′ + BC =−a + AC − AB =−a − b + c. B=

      Câu 33. Cho hình lăng trụ ABCA′B′C ′ , M là trung điểm của BB’ . Đặt CA = a , CB = b , AA ' = c . Khẳng định nào sau đây đúng?    1     1  A. AM = a + c − b B. AM = b + c − a . 2 2

   1  C. AM = b − a + c . 2

   1  D. AM = a − c + b . 2

Lời giải Chọn C.

A'

C' B'

M A

C B

     1    1  Ta có AM = AB + BM = CB − CA + BB′ = b − a + c 2 2

Câu 34. Cho hình hộp ABCD. A′B′C ′D′ có tâm O . Gọi I là tâm hình bình hành ABCD . Đặt         AC ′ = u , CA ' = v , BD′ = x , DB′ = y . Khẳng định nào sau đây đúng?

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

 1     A. 2OI= (u + v + x + y ) . 2  1     C. 2OI= (u + v + x + y ) . 4

 1     B. 2OI =− ( u + v + x + y ) . 2  1     D. 2OI =− ( u + v + x + y ) . 4

Chân Trời Sáng Tạo

Lời giải Chọn D.

A' 

 x

v

B' 

y

 C' u

I

A

    x + y= BD′ + DB=′

 

D O

B Ta phân tích:     u + v= AC ′ + CA=′

D'

C  



( AC + CC′) + (CA + AA′=) 2 AA′ .      ′ ′ BD + DD + DB + BB = 2 ( ) ( ) BB=′

 2 AA′ .

       ⇒ u + v + x + y =4 AA′ =−4 A′A =−4.2OI .

 1     ⇒ 2OI =− ( u + v + x + y ) . 4

Câu 35. Cho hình hộp ABCD. A1 B1C1 D1 . Gọi M là trung điểm AD . Chọn đẳng thức đúng.

    A. B1M = B1 B + B1 A1 + B1C1 .   1  1  C. C1M = C1C + C1 D1 + C1 B1 . 2 2

   1  B. C1M =C1C + C1 D1 + C1 B1 . 2     2 B1 D . D. BB1 + B1 A1 + B1C1 =

Lời giải Chọn B.

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

Chân Trời Sáng Tạo

B

A M

C

D

B1

A1

D1

C1

    1    1   A. Sai vì B1M = B1 B + BM = BB1 + BA + BD = BB1 + B1 A1 + B1 D1 2 2  1      1  = BB1 + B1 A1 + B1 A1 + B1C1 = BB1 + B1 A1 + B1C1. 2 2     1    1   B. Đúng vì C1M = C1C + CM = C1C + CA + CD = C1C + C1 A1 + C1 D1 2 2  1      1  =C1C + C1 B1 + C1 D1 + C1 D1 =C1C + C1 D1 + C1 B1. 2 2

(

(

)

(

)

)

(

(

)

(

)

)

C. Sai. theo câu B suy ra       D. Đúng vì BB1 + B1 A1 + B1C1 = BA1 + BC = BD1 . PHẦN II. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ trả lời đáp án.

 Câu 36. Cho tứ diện ABCD và I là trọng tâm tam giác ABC . Phân tích vectơ SI theo ba vectơ    SA, SB, SC .

Lời giải  1  1  1  Đáp án: SI = SA + SB + SC . 3 3 3

     1  1  1  Vì I là trọng tâm tam giác ABC nên SA + SB + SC = 3SI ⇔ SI = SA + SB + SC . 3 3 3       Câu 37. Cho tứ diện ABCD có G là trọng tâm tam giác BCD . Đặt x = AB ; y = AC ; z = AD . Phân     tích vectơ AG theo ba vectơ x , y, z .

Lời giải  1    Đáp án: AG= ( x + y + z ) . 3

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

Chân Trời Sáng Tạo

A  x

 z

 y

B

D G C

M

Gọi M là trung điểm CD . Ta phân tích:     2   2   AG = AB + BG = AB + BM = AB + AM − AB 3 3

(

)

 2  1     1    1    AB + AC + AD = ( x + y + z ) . = AB +  AC + AD − AB = 3 2 3  3

(

)

(

)

  Câu 38. Cho tứ diện ABCD . Gọi M và P lần lượt là trung điểm của AB và CD . Đặt AB = b ,         AC = c , AD = d . Phân tích vectơ MP theo ba vectơ d , b , c . Lời giải  1    Đáp án: MP= c + d −b . 2

(

)

A

 b M

 d  c

B

D P

C Ta phân tích:  1   = MP MC + MD (tính chất đường trung tuyến) 2 1     1    = AC − AM + AD − AM = c + d − 2 AM 2 2 1    1    = c + d − AB = c + d −b . 2 2

(

)

(

(

) (

) (

)

)

      Câu 39. Cho hình lăng trụ ABC. A′B′C ′ , M là trung điểm của BB′ . Đặt CA = a , CB = b , AA′ = c .     Phân tích vectơ AM theo ba vectơ a , b , c .

Lời giải    1  Đáp án: AM = b − a + c . 2

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

A'

C'

B'

M A

C B

Ta phân tích như sau:      1    1    1  AM = AB + BM = CB − CA + BB′ = b − a + AA′ = b − a + c . 2 2 2

DẠNG 3 HAI VECTƠ CÙNG PHƯƠNG

Chân Trời Sáng Tạo

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

BA ĐIỂM THẲNG HÀNG

Chân Trời Sáng Tạo

TẬP HỢP ĐIỂM THỎA MÃN ĐẲNG THỨC VECTƠ PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

      Câu 40. Cho x = 2a + b; y = −6a − 3b . Chọn mệnh đề đúng nhất?   A. Hai vecto x và y là cùng phương   B. Hai vecto x và y là cùng phương và cùng hướng   C. Hai vecto x và y là cùng phương và ngược hướng   D. Hai vecto x và y là không cùng phương

Lời giải Chọn C.        Ta có: y = −6a − 3b = −3 2a + b ⇒ y = −3 x

(

)

  ⇒ x và y là cùng phương và ngược hướng.             Câu 41. Cho ba vectơ a, b, c không đồng phẳng. Xét các vectơ x = 2a − b; y = −4a + 2b; z = −3b − 2c . Chọn khẳng định đúng?   A. Haivectơ y; z cùng phương.   C. Haivectơ x; z cùng phương.

  B. Haivectơ x; y cùng phương.

D. Đáp án A, B, C, đều sai. Lời giải

Chọn B.

    Nhận thấy: y = −2 x nên hai vectơ x; y cùng phương.

     0 ( G là trọng tâm của tứ Câu 42. Cho tứ diện ABCD và điểm G thỏa mãn GA + GB + GC + GD = diện). Gọi GO là giao điểm của GA và mp ( BCD) . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?         A. GA = −2G0G . B. GA = 4G0G . C. GA = 3G0G . D. GA = 2G0G . Lời giải Chọn C.

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

Chân Trời Sáng Tạo

A

G

B

D

G0

M

C

Theo đề: GO là giao điểm của GA và mp ( BCD ) ⇒ G0 là trọng tâm tam giác BCD .     ⇒ G0 A + G0 B + G0C = 0      0 Ta có: GA + GB + GC + GD =           ⇒ GA = − GB + GC + GD = − 3GG0 + G0 A + G0 B + G0C = −3GG0 = 3G0G

(

) (

)

Câu 43. Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi G là điểm thỏa mãn:       GS + GA + GB + GC + GD = 0 . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?   A. G, S , O không thẳng hàng. B. GS = 4OG     C. GS = 5OG D. GS = 3OG . Lời giải Chọn B. S

C

B O A

D

             GS + GA + GB + GC + GD = 0 ⇔ GS + 4GO + OA + OB + OC + OD = 0

(

     ⇔ GS + 4GO = 0 ⇔ GS = 4OG

)

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

Chân Trời Sáng Tạo

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Trong mỗi ý A), B), C), D) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai. Câu 44. Cho hai điểm phân biệt A, B và một điểm O bất kỳ không thuộc đường thẳng AB .    = OA + OB . A. Điểm M thuộc đường thẳng AB khi và chỉ khi OM    = OB = k BA . B. Điểm M thuộc đường thẳng AB khi và chỉ khi OM    C. Điểm M thuộc đường thẳng AB khi và chỉ khi OM= kOA + (1 − k ) OB .     D. Điểm M thuộc đường thẳng AB khi và chỉ khi OM = OB = k OB − OA .

(

)

Lời giải  = A. Điểm M thuộc đường thẳng AB khi và chỉ khi OM  = B. Điểm M thuộc đường thẳng AB khi và chỉ khi OM  C. Điểm M thuộc đường thẳng AB khi và chỉ khi OM=

  OA + OB . SAI   OB = k BA . SAI   kOA + (1 − k ) OB . ĐÚNG     D. Điểm M thuộc đường thẳng AB khi và chỉ khi OM = OB = k OB − OA . SAI

(

)

     2OI ( I là trung điểm AB ) ⇒ OM = 2OI ⇒ O, M , I thẳng hàng. A. Sai vì OA + OB =     OB k BA ⇒ O, B, A thẳng hàng: vô lý B. Sai vì OM = OB ⇒ M ≡ B và =          k BA ⇒ B, A, M thẳng hàng. C. OM= kOA + (1 − k ) OB ⇔ OM − OB= k OA − OB ⇔ BM =

( )        D. Sai vì OB − OA = AB ⇒ OB = k ( OB − OA ) = k AB ⇒ O, B, A thẳng hàng: vô lý.

    Câu 45. Cho hình hộp ABCD. A′B′C ′D′ có tâm O . Đặt AB = a ; BC = b . M là điểm xác định bởi

 1   OM a −b . = 2

(

)

A. M là tâm hình bình hành ABB′A′ . B. M là tâm hình bình hành BCC ′B′ . C. M là trung điểm BB′ . D. M là trung điểm CC ′ . Lời giải A. M là tâm hình bình hành ABB′A′ . SAI B. M là tâm hình bình hành BCC ′B′ . SAI C. M là trung điểm BB′ . ĐÚNG D. M là trung điểm CC ′ . SAI

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025 A'

Chân Trời Sáng Tạo

D'

B'

C' O

A a

D

 b

B

C

Ta phân tích:  1   1   1   1  OM = a − b= AB − BC= AB − AD= DB . 2 2 2 2

(

) (

) (

)

⇒ M là trung điểm của BB′ . Câu 46. Cho tứ diện ABCD . Người ta định nghĩa “ G là trọng tâm tứ diện ABCD khi      GA + GB + GC + GD = 0 ”. A. G là trung điểm của đoạn IJ ( I , J lần lượt là trung điểm AB và CD ). B. G là trung điểm của đoạn thẳng nối trung điểm của AC và BD . C. G là trung điểm của đoạn thẳng nối trung điểm của AD và BC . D. Chưa thể xác định được. Lời giải A. G là trung điểm của đoạn IJ ( I , J lần lượt là trung điểm AB và CD ). ĐÚNG B. G là trung điểm của đoạn thẳng nối trung điểm của AC và BD . ĐÚNG C. G là trung điểm của đoạn thẳng nối trung điểm của AD và BC . ĐÚNG D. Chưa thể xác định được. SAI

A I G

B C

D J

Ta gọi I và J lần lượt là trung điểm AB và CD . Từ giả thiết, ta biến đổi như sau:            GA + GB + GC + GD =0 ⇔ 2GI + 2GJ =0 ⇔ GI + GJ =0 ⇒ G là trung điểm đoạn IJ . Bằng việc chứng minh tương tự, ta có thể chứng minh đượcphương án B và C đều là các phương án đúng, do đó phương án D sai.

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ trả lời đáp án.

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

Chân Trời Sáng Tạo

Câu 47. Cho hình hộp ABCD. A′B′C ′D′ . M là điểm trên AC sao cho AC = 3MC . Lấy N trên đoạn

C ′D sao cho xC ′D = C ′N . Với giá trị nào của x thì MN // BD′ . Lời giải Đáp án: x =

2 . 3 B'

C' D'

A'

N

B M A

C

D

Câu 48. Cho hình hộp ABCD. A ' B ' C ' D ' . Xác định vị trí các điểm M , N lần lượt trên AC và DC ' sao cho MN  BD ' . Tính tỉ số

MN . BD '

Lời giải Đáp án:

1 . 3

D'

C'

A'

D' D

N C M

A

B

      = BA a= , BC b= , BB ' c .     Giả= sử AM x= AC , DN yDC ' .        Dễ dàng có các biểu diễn BM = (1 − x ) a + xb và BN = (1 − y ) a + b + yc . Từ đó suy     ra MN = ( x − y ) a + (1 − x ) b + yc (1)

     Để MN  BD ' thì MN= zBD=' z a + b + c

(

)

( 2)

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

      Từ (1) và ( 2 ) ta có: ( x − y ) a + (1 − x ) b + yc =z a + b + c

(

)

Chân Trời Sáng Tạo

    ⇔ ( x − y − z ) a + (1 − x − z ) b + ( y − z ) c =0

2  x = 3 0 x − y − z =  1   ⇔ 1 − x − z = 0 ⇔  y = . 3 y − z =  0  1  z = 3   2   1  Vậy các điểm M , N được xác định= bởi AM = AC , DN DC ' . 3 3   1  MN 1 Ta cũng có MN = zBD ' = BD ' ⇒ = . BD ' 3 3

Câu 49. Cho hình hộp ABCD. A ' B ' C ' D ' . Một đường thẳng ∆ cắt các đường thẳng AA ', BC , C ' D ' lần

  MA lượt tại M , N , P sao cho NM = 2 NP . Tính . MA ' Lời giải Đáp án:

MA = 2. MA '

A

D C

B

N D'

A' P B'

C' M

      Đặt= AD a= AA ' c . , AB b,=    AM k= AA ' kc Vì M ∈ AA ' nên =      N ∈ BC ⇒ BN = l BC = la , P ∈ C ' D ' ⇒ C ' P = mb        Ta có NM =NB + BA + AM =−la − b + kc         NP =BN + BB ' + B ' C ' + C ' P =(1 − l )a + mb + c         Do NM = 2 NP ⇒ −la − b + kc = 2[ (1 − l ) a + mb + c]

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

l 2 (1 − l ) −=  1 ⇔ −1 =2m ⇔ k =2, m =− , l =2 . 2 k = 2 

Vậy

Chân Trời Sáng Tạo

MA = 2. MA '

ABCD. A ' B ' C ' D ' Câu 50. Cho hình hộp và các điểm xác định bởi M , N, P       MA = k MB ' ( k ≠ 0 ) , NB = xNC ', PC = yPD ' . Hãy tính x, y theo k để ba điểm M , N , P thẳng hàng. Lời giải Đáp án: x =

1+ k 1 ,y= − . 1− k k P

D'

C'

B'

A' D

C M

A

B

N

      Đặt= AD a= AA ' c . , AB b,=

Từ giả thiết ta có :  k   = AM b+c k −1

(

)

(1)

  x   AN = b+ a+c x −1

(

)



 

( 2 ) AP = a + b +

y   c − b ( 3) y −1

(

)

Từ đó ta có

   MN = AN − AM =

x  1   x k  a− b+ − c x −1 k −1  x −1 k −1 

 x y  + − c .  x −1 y −1      y 1   y k  MP = AP − AM = a−( + )b +  − c y −1 k −1  y −1 k −1 

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

  Ba điểm M , N , P thẳng hàng khi và chỉ khi tồn tại λ sao cho MN = λ MP

( *) .

Chân Trời Sáng Tạo

     1+ k 1 Thay các vec tơ MN , MP vào (*) và lưu ý a, b, c không đồng phẳng ta tính được x = ,y= − . 1− k k

Câu 51. Cho tứ diện ABCD . Gọi I , J lần lượt là trung điểm của AB và CD , G là trung điểm của IJ .    IJ AC + BD thì giá trị của a bằng bao nhiêu? a) Giả sử a.=     b) Xác định vị trí của M để MA + MB + MC + MD nhỏ nhất. Lời giải Đáp án: a) a = 2 b) vị trí của M trùng với G

A I G

B R

J

C

D

a) Chọn A.         IJ =IA + AC + CJ IJ AC + BD .      ⇒ 2=  IJ =IB + BD + DJ b) Chọn B.          Ta có MA + MB + MC + MD = 4 MG nên MA + MB + MC + MD nhỏ nhất khi M ≡ G . Câu 52. Trong không gian cho tam giác

ABC . Tìm M

sao cho giá trị của biểu thức

P = MA2 + MB 2 + MC 2 đạt giá trị nhỏ nhất.

Lời giải Đáp án: M là trọng tâm tam giác ABC .

    Gọi G là trọng tâm tam giác ABC  G cố định và GA  GB  GC  0.   2   2   2 P  MG  GA  MG  GB  MG  GC      3MG 2  2 MG. GA  GB  GC  GA2  GB 2  GC 2



  

  



 3MG 2  GA2  GB 2  GC 2  GA2  GB 2  GC 2 .

Dấu bằng xảy ra  M  G.

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

Chân Trời Sáng Tạo

Vậy Pmin  GA  GB  GC với M  G là trọng tâm tam giác ABC. 2

2

2

DẠNG 4 BÀI TOÁN THỰC TIỄN ỨNG DỤNG VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

Chân Trời Sáng Tạo

Câu 53. Một chiếc bàn học sinh cân đối hình chữ nhật được đặt trên mặt sàn nằm ngang, mặt bàn song song với mặt sàn và bốn chân bàn vuông góc với mặt sàn như hình vẽ. Trọng lực tác dụng lên bàn được  biểu thị bởi vectơ a phân tán đều qua bốn chân bàn và gây nên các phản lực từ mặt sàn lên các chân bàn     được biểu thị bởi các vectơ b, c, d , e .

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?   A. Vectơ d ngược hướng với vectơ a .      B. Các vectơ b, c, d , e cùng phương và ngược chiều với vectơ a .   C. Vectơ b với vectơ a đối nhau.     D. Các vectơ b, c, d , e đôi một cùng chiều và cùng độ lớn. Lời giải Chọn C

    Do bốn chân bàn vuông góc với mặt sàn và với mặt bàn nên các vectơ b, c, d , e cùng phương và ngược  chiều với vectơ a .  Trọng lực tác dụng lên bàn được biểu thị bởi vectơ a phân tán đều qua bốn chân bàn nên các vectơ     b, c, d , e đôi một cùng chiều và cùng độ lớn.   Vectơ b với vectơ a ngược hướng chứ không phải đối nhau vì hai vectơ đối nhgau là hai vectơ cùng ngược hướng, cùng độ dài. Đáp án C sai Câu 54. Một tấm gỗ tròn được treo song song với mặt phẳng nằm ngang bởi ba sợi dây không giãn xuất phát từ điểm O trên trần nhà và lần lượt buộc vào ba điểm A, B, C trên tấm gỗ tròn sao cho các lực căng    F1 , F2 , F3 lần lượt trên mỗi dây OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và có độ lớn    F = F= F= 10 ( N ) (xem hình vẽ). 1 2 3

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

Chân Trời Sáng Tạo

Tính trọng lượng P của tấm gỗ tròn đó. A. 30 3 .

B. 10 .

C. 10 2 .

D. 10 3 .

Lời giải Chọn D

      = OA1 F= F= F3 Gọi A1 , B1 , C1 lần lượt là các điểm sao cho 1 , OB1 2 , OC1 Lấy các điểm D1 , A1' , B1' , D1' sao cho OA1 D1 B1.C1 A1' D1' B1' là hình hộp .    ' OD1 Theo quy tắc hình hộp ta có: OA1 + OB1 + OC1 =       F= F= 10 ( N ) nên hình hộp = Do các lực căng F1 , F2 , F3 đôi một vuông góc với nhau và có độ lớn: F 1 2 3

OA1 D1 B1.C1 A1' D1' B1' có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc và bằng nhau. Vì thế OA1 D1 B1.C1 A1' D1' B1' là hình lập phương có độ dài cạnh bằng 10 , suy ra độ dài đường chéo bằng 10 3     Vì tấm gỗ tròn ở vị trí cân bằng nên: P = F1 + F2 + F3  ' P OD = 10 3 ( N ) Suy ra trọng lượng của tấm gỗ tròn:= 1 Câu 55. Một chiếc ô tô được đặt trên mặt đáy dưới một khung sắt có dạng hình hộp chữ nhật với đáy trên là hình chữ nhật ABCD , mặt phẳng ( ABCD ) song song với mặt mặt phẳng nằm ngang. Khung sắt đó được buộc vào móc E của chiến cần cẩu sao cho các đoạn dây cáp EA, EB, EC , ED có độ dài bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng ( ABCD ) một góc 600 như hình vẽ. Chiếc cần cẩu kéo khung sắt lên

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

Chân Trời Sáng Tạo

    theo phương thẳng đứng. Biết lực căng F1 , F2 , F3 , F4 đều có cường độ 5000 ( N ) và trọng lượng khung sắt là 2000 ( N ) . Trọng lượng của chiếc xe ô tô gần nhất số nào sau đây?

A. 15321( N ) .

B. 6660 ( N ) .

C. 5000 ( N ) .

D. 10000 ( N ) .

Lời giải Chọn A Gọi O là tâm hình chữ nhật ABCD , Theo bài toán thì là hình chóp E. ABCD có đường cao là EO

      + F3 2 EO; F2= + F4 2 EO Theo quy tắc hình bình hành: F1=      ⇒ F1 + F3 + F2 + F4 = 4 EO dây cáp EA, EB, EC , ED có độ dài bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng ( ABCD ) một góc 600 nên:

3 ⇒= EO EA.sin = 600 5000.= 2500 3 2       Vì chiếc xe ô tô ở vị trí cân bằng nên: P = F1 + F2 + F3 + F4 + P1    = 4 EO ⇒ P= 4.2500 3 − 2000 ≈ 15321( N ) Suy ra trọng lượng của chiếc xe ô tô: P + 2000

PHẦN II. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ trả lời đáp án.

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

Chân Trời Sáng Tạo

Câu 56. Một tấm sắt tròn được treo song song với mặt phẳng nằm ngang bởi ba sợi dây không giãn xuất phát từ điểm O trên trần nhà và lần lượt buộc vào ba điểm A, B, C trên tấm sắt tròn sao cho các lực căng    F1 , F2 , F3 lần lượt trên mỗi dây OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và có độ lớn bằng nhau    F = F= F3 . Biết trọng lượng P của tấm sắt tròn đó bằng 2024 3 ( N ) (xem hình vẽ). 1 2

Tính lực căng của dây treo tấm sắt tròn đó.

   = F= F= 2024 ( N ) Đáp án: F 1 2 3

Lời giải

      = OA1 F= F= F3 Gọi A1 , B1 , C1 lần lượt là các điểm sao cho 1 , OB1 2 , OC1 Lấy các điểm D1 , A1' , B1' , D1' sao cho OA1 D1 B1.C1 A1' D1' B1' là hình hộp .    ' OD1 Theo quy tắc hình hộp ta có: OA1 + OB1 + OC1 =       = F= F3 nên hình hộp Do các lực căng F1 , F2 , F3 đôi một vuông góc với nhau và có độ lớn: F 1 2

OA1 D1 B1.C1 A1' D1' B1' có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc và bằng nhau. Vì thế OA1 D1 B1.C1 A1' D1' B1' là    = F= F= x , suy ra độ dài đường chéo bằng 3x hình lập phương có độ dài cạnh bằng F 1 2 3

    Vì tấm gỗ tròn ở vị trí cân bằng nên: P = F1 + F2 + F3   Ta có: P= OD1' ⇔ 2024 3= 3 x ⇔ x= 2024 ( N )

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

Chân Trời Sáng Tạo

Câu 57. Một chiếc đèn chùm có khối lượng m = 10 ( kg ) được thiết kế với đĩa đèn được giữ bởi bốn đoạn

ASC = 450 (xem hình vẽ). cáp SA, SB, SC , SD sao cho S . ABCD là hình chóp tứ giác đều có 

   a) Sử dụng công thức P = mg trong đó g là vectơ gia tốc rơi tự do có độ lớn 10 m / s 2 , tìm độ lớn của

(

)

 trọng lực P tác động lên chiếc đèn chùm. b) Tìm độ lớn của lực căng của mỗi sợi dây cáp. Câu 58. Một chiếc đèn chùm được thiết kế với đĩa đèn được giữ bởi bốn đoạn cáp SA, SB, SC , SD sao

= SB = SC = SD và ABCD là hình vuông, đồng thời các cạnh SA, SB, SC , SD tạo với mặt phẳng cho SA

( ABCD ) một góc có 600 (xem hình vẽ).

 Biết độ lớn của lực căng của mỗi sợi dây cáp 4 ( N ) . Tìm độ lớn của trọng lực P tác động lên chiếc đèn

chùm. Câu 59. Một chiếc cần cẩu, cẩu tấm kim loại có trọng lực 2000 ( N ) , được thiết kế với tấm kim loại

= AC = AD và BCD là tam giác đều, đồng thời các được giữ bởi ba đoạn cáp AB, AC , AD sao cho AB cạnh AB, AC , AD tạo với mặt phẳng ( BCD ) một góc có 300 (xem hình vẽ). Tìm độ lớn của lực căng của mỗi sợi dây cáp.

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

Chân Trời Sáng Tạo

Câu 60. Một chiếc ô tô được đặt trên mặt đáy dưới một khung sắt có dạng hình hộp chữ nhật với đáy trên là hình vuông ABCD , mặt phẳng ( ABCD ) song song với mặt mặt phẳng nằm ngang. Khung sắt đó được buộc vào móc E của chiến cần cẩu sao cho các đoạn dây cáp EA, EB, EC , ED có độ dài bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng ( ABCD ) một góc 450 như hình vẽ. Chiếc cần cẩu kéo khung sắt lên theo

    = F= F= F4 , trọng lượng khung sắt là 1000 ( N ) và trọng phương thẳng đứng. Biết lực căng F 1 2 3 lượng của chiếc xe ô tô 4000 ( N ) . Tính cường độ lực căng của các đoạn dây cáp.

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

Chân Trời Sáng Tạo

CHỦ ĐỀ 2 TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ

DẠNG 1 TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ      * Dựa vào định nghĩa a.b = a . b cos a , b

( )

* Sử dụng tính chất và các hằng đẳng thức của tích vô hướng của hai vectơ   • a.b = b.a      • a b + c = a.b + a.c

(

)

     k a .b k= a.b a. kb • =

( )

( )

( )

   • a 2 ≥ 0, a 2 = 0 ⇔ a = 0

  • a +b

(

  • a −b •

)

2

   =a 2 + 2a.b + b 2    =a 2 − 2a.b + b 2

( )   ( a + b )( a − b ) = a 2

2

 −b2

PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

   Cho a và b là hai vectơ cùng hướng và đều khác vectơ 0 . Mệnh đề nào sau đây đúng?         A. a.b = a . b . B. a.b = 0 . C. a.b = −1 . D. a.b = − a . b .

Câu 1.

Câu 2.

        Cho hai vectơ a và b khác 0 . Xác định góc α giữa hai vectơ a và b khi a.b = − a . b . B. α = 0o . C. α = 90o . D. α = 45o .       Cho hai vectơ a và b thỏa mãn a = 3, b = 2 và a.b = −3. Xác định góc α giữa hai vectơ a

A. α = 180o . Câu 3.

 và b A. α = 30o .

B. α = 45o . C. α = 60o . D. α = 120o .        2   Câu 4. Cho hai vectơ a và b thỏa mãn a= b= 1 và hai vectơ = u a − 3b và v= a + b vuông góc 5   với nhau. Xác định góc α giữa hai vectơ a và b. A. α = 90o . Câu 5.

B. α = 180o . C. α = 60o . D. α = 45o .        Cho hai vectơ a và b thỏa mãn điều kiện a= b= 1 và a.b = 3. Độ dài vectơ 3a + 5b :

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

Chân Trời Sáng Tạo

B. 24. C. 8. D. 124.         Cho a , b có a + 2b vuông góc với vectơ 5a − 4b và a = b . Khi đó:

A. 5 5.

(

Câu 6.

)

)

(

    1 3 C. cos a, b = . D. cos a, b = . 2 2         Cho hai vectơ a, b thỏa mãn: a = 4; b = 3; a − b = 4 . Gọi α là góc giữa hai vectơ a, b . Chọn

  2 A. cos a, b = . 2

( )

Câu 7.

  B. cos a, b= 90° .

( )

( )

( )

khẳng định đúng? 3 1 A. cos α = . B. α = 300 . C. cos α = . 3 8      2 Câu 8. u và v là 2 vectơ đều khác 0 . Khi đó u + 2v bằng

 2  2   A. u + 2v − 4u .v .

 2  2   B. u + 4v + 4u .v .

 2  2 C. u + 4v .

D. α = 600 .

    D. 4u ⋅ v u − v .

(

)

      Cho hai vectơ a và b có a = 5 , b = 12 và a + b = 13 . Khi đó cosin của góc giữa hai vectơ

Câu 9.

    a − b và a + b bằng 119 119 . D. . 169 169             v 7 a − 5b và x= a − 4b vuông góc với = Câu 10. Cho u= a + 3b vuông góc với = y 7 a − 2b . Khi đó   góc giữa hai vectơ a và b bằng         A. a, b= 75° . B. a, b= 60° . C. a, b= 120° . D. a, b= 45° .

A.

12 . 13

B.

( )

5 . 12

C. −

( )

( )

( )

           Câu 11. Cho hai vectơ a, b thỏa mãn:= a 4;= b 3;= a.b 10 . Xét hai vectơ y= a − b x= a − 2b, . Gọi α   là góc giữa hai vectơ x, y . Chọn khẳng định đúng.

A. cos α =

−2 . 15

B. cos α =

1 . 15

C. cos α =

3 . 15

D. cos α =

        Câu 12. Cho hai vectơ a, b thỏa mãn: a= 26; b= 28; a + b= 48 . Độ dài vectơ a − b bằng?

A. 25.

B.

616 .

C. 9.

D.

2 . 15

618 .

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Trong mỗi ý A), B), C), D) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

    Câu 13. Cho= a 3,= b 5 góc giữa a và b bằng 120° .   A. a + b =19   B. a − b = 8   C. a − 2b = 139

  D. a + 2b = 9

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

Chân Trời Sáng Tạo

  Câu 14. Cho hai vectơ a và b .

( ( ( (

 1  2 2 2 A. a.b= a +b − a − b 2  1 2 2  2 B. a= .b a + b − a −b 2  1  2  2 C. a.b= a +b − a −b 2  1  2  2 D. a.b= a +b − a −b 4

) )

) )

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ trả lời đáp án.         Câu 15. Cho 2 vectơ a và b thỏa mãn= a 4,= b 3 và a + 2b = 2 7. Tính a, b .

( )

      Câu 16. Cho hai vectơ a và b tạo với nhau góc 120° và a = 3 , b = 5 . Tính a + 2b .

           Câu 17. Cho ba vectơ a , b , c thỏa mãn a = 1 , b = 2 , a − b = 3 . Tính a − 2b . 2a + b .

(

)(

)

        Câu 18. Cho hai vectơ a, b có a= b= 1 và a, b = 600. Xác định sao cho thỏa mãn xa + b =3 .

( )

          Câu 19. Cho ba véc-tơ a , b , c thỏa mãn: a = 4 , b = 1 , c = 5 và 5 b − a + 3c = 0 . Khi đó biểu thức

(

)

      M = a .b + b .c + c .a có giá trị bao nhiêu?

        1  Câu 20. Cho hai véc tơ a và b thỏa mãn các điều kiện = 15 . Đặt u= a + b và a = b 1 , a − 2b = 2      = v 2ka − b , k ∈  . Tìm tất cả các giá trị của k sao cho u , v= 60°

( )

DẠNG 2 GÓC GIỮA HAI VECTƠ

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

Chân Trời Sáng Tạo

 a.b   • cos a , b =   a .b

( )

   0. • a ⊥ b ⇔ a.b =

 • Góc giữa hai vectơ cùng hướng và khác 0 luôn bằng 0o .  • Góc giữa hai vectơ ngược hướng và khác 0 luôn bằng 180o .

PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.   = AC = AD và BAC Câu 21. Cho tứ diện ABCD có AB = BAD = 600 . Hãy xác định góc giữa cặp   vectơ AB và CD ? A. 600 .

B. 450 .

C. 1200 .

D. 900 .

  . Hãy xác định góc giữa cặp = SB = SC và  Câu 22. Cho hình chóp S . ABC có SA ASB = BSC = CSA   vectơ SA và BC ?

A. 1200 .

B. 900 .

C. 600 .

D. 450 .

Câu 23. Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh bằng a và các cạnh bên đều bằng

a . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SD . Số đo của góc ( MN , SC ) bằng: A. 45°

B. 30°

C. 90°

D. 60°

Câu 24. Cho tứ diện ABCD đều cạnh bằng a . Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD . Góc giữa AO và CD bằng bao nhiêu ? A. 00 .

B. 300 .

C. 900 .

D. 600 .

Câu 25. Cho tứ diện ABCD với AB ⊥ AC , AB ⊥ BD . Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của AB và

CD . Góc giữa PQ và AB là? A. 900.

B. 600.

C. 300.

D. 450.

   = BAD = 600 , CAD = 900 . Gọi I và J lần lượt = AC = AD và BAC Câu 26. Cho tứ diện ABCD có AB   là trung điểm của AB và CD . Hãy xác định góc giữa cặp vectơ AB và IJ ? A. 120° .

B. 90° .

C. 60° .

D. 45° .

Câu 27. Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và ABD là các tam giác đều. Khẳng định nào sau đây đúng nhất. A. AB và CD chéo nhau

B. AB và CD vuông góc với nhau

C. AB và CD đồng phẳng

D. AB và CD cắt nhau

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

Chân Trời Sáng Tạo

Câu 28. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC. A′B′C ′ có AB = a và AA′ = 2 a . Góc giữa hai đường thẳng AB′ và BC ′ bằng C

A B

C'

A'

B'

A. 60° .

B. 45° .

C. 90° .

D. 30° .

  Câu 29. Cho hình lập phương ABCD. A1 B1C1 D1 có cạnh a . Gọi M là trung điểm AD . Giá trị B1M .BD1 là: 3 2 a . 2   Câu 30. Cho hình lập phương ABCD.EFGH . Hãy xác định góc giữa cặp vectơ AB và EG ?

A.

1 2 a . 2

A. 90°

3 2 a . 4

B. a 2 .

C.

B. 60°

C. 45°

D.

D. 120°

Câu 31. Cho hình lập phương ABCD. A′B′C ′D′ . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AD , BB′. Cosin của góc hợp bởi MN và AC ' bằng A.

3 . 3

B.

2 . 3

C.

5 . 3

2 . 4

D.

Câu 32. Cho hình lăng trụ ABC. A′B′C ′ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , tam giác A′BC đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với ( ABC ) . M là trung điểm cạnh CC ′ . Tính cosin góc α giữa hai đường thẳng AA′ và BM . A. cos α =

2 22 . 11

B. cos α =

33 . 11

C. cos α =

11 . 11

D. cos α =

Câu 33. Cho tam giác ABC , thì công thức tính diện tích nào sau đây là đúng nhất. A. S =

1 AB 2 AC 2 − BC 2 2

= C. S

1 1   AB 2 AC 2 − AB. AC 2 2

(

)

2

= B. S

1 1   AB 2 AC 2 + AB. AC 2 2

= D. S

  1 AB 2 AC 2 − AB. AC 2

(

(

)

)

2

2

Câu 34. Trong không gian cho ba điểm A, B, C bất kỳ, chọn đẳng thức đúng?     A. 2 AB. AC = AB 2 + AC 2 − BC 2 B. 2 AB. AC = AB 2 + AC 2 − 2 BC 2     C. AB. AC = AB 2 + AC 2 − 2 BC 2 D. AB. AC = AB 2 + AC 2 − BC 2   Câu 35. Cho hình lập phương ABCD.EFGH có cạnh bằng a . Ta có AB.EG bằng?

22 . 11

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

A. a

2

2.

B. a .

C. a

2

2

3.

Chân Trời Sáng Tạo

a2 2 D. . 2

Câu 36. Cho hình lập phương ABCD. A′B′C ′D′ có cạnh bằng a . Hãy tìm mệnh đề sai trong những mệnh đề sau đây:      0 A. 2 AB + B ′C ′ + CD + D ′A′ =   C. AB ′.CD ′ = 0 Câu 37. Cho tứ diện ABCD với = AC

  B. AD ′. AB ′ = a 2  D. AC ′ = a 3 . 3   = DAB = 600 ,= AD, CAB CD AD . Gọi ϕ là góc giữa AB và 2

CD . Chọn khẳng định đúng ? A. cosϕ   =

3 . 4

B. ϕ = 600 .

C. ϕ = 300 .

D. cos ϕ =

1 . 4

Câu 38. Cho tứ diện đều ABCD , M là trung điểm của cạnh BC . Khi đó cos ( AB, DM ) bằng 3 1 . D. . 2 2       Câu 39. Cho tứ diện ABCD . Chứng minh rằng nếu = AB. AC . AC = . AD AD. AB thì AB ⊥ CD ,

A.

2 . 2

B.

3 . 6

C.

AC ⊥ BD , AD ⊥ BC . Điều ngược lại đúng không? Sau đây là lời giải:          Bước 1: AB. AC = . AC. AD ⇔ AC.( AB − AD) = 0 ⇔ AC.DB = 0 ⇔ AC ⊥ BD         Bước 2: Chứng minh tương tự, từ AC. AD = AD. AB ta được AD ⊥ BC và AB. AC = AD. AB ta được

AB ⊥ CD . Bước 3: Ngược lại đúng, vì quá trình chứng minh ở bước 1 và 2 là quá trình biến đổi tương đương. Bài giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai ở đâu? A. Sai ở bước 3.

B. Đúng ba bước

C. Sai ở bước 2.

D. Sai ở bước 1.

Câu 40. Trong không gian cho tam giác ABC có trọng tâm G . Chọn hệ thức đúng? A. AB 2 + AC 2 + BC 2= 2 ( GA2 + GB 2 + GC 2 ) .

B. AB 2 + AC 2 + BC 2 = GA2 + GB 2 + GC 2 .

C. AB 2 + AC 2 + BC 2= 4 ( GA2 + GB 2 + GC 2 ) .

D. AB 2 + AC 2 + BC 2= 3 ( GA2 + GB 2 + GC 2 ) .

Câu 41. Cho tứ diện ABCD có trọng tâm G . Chọn khẳng định đúng? A. AB 2 + AC 2 + AD 2 + BC 2 + BD 2 + CD 2 = 3 ( GA2 + GB 2 + GC 2 + GD 2 ) . B. AB 2 + AC 2 + AD 2 + BC 2 + BD 2 + CD 2= 4 ( GA2 + GB 2 + GC 2 + GD 2 ) . C. AB 2 + AC 2 + AD 2 + BC 2 + BD 2 + CD 2= 6 ( GA2 + GB 2 + GC 2 + GD 2 ) . D. AB 2 + AC 2 + AD 2 + BC 2 + BD 2 + CD 2= 2 ( GA2 + GB 2 + GC 2 + GD 2 ) . PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Trong mỗi ý A), B), C), D) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

Chân Trời Sáng Tạo

Câu 42. Cho hình lập phương ABCD. A1 B1C1 D1 có cạnh bằng a .   A. AB1 ; C1 D = 900

(

)

  B. A1 B.CC1 = −a 2 .     C. AC. AD = AC. A1 D1.   D. A1 D.C1 B = 0 .

AB a= , BC 2a= , AA1 3a . Câu 43. Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A1 B1C1 D1 có=   A. AB1 ; C1 D = 450

(

)

  B. A1 B.D1 D = 9a 2 .     C. AC. AD = C1 A1.C1 B1.   D. A1 D1.C1C = 0 . Câu 44. Cho tứ diện ABCD có các cạnh đều bằng a .      0 A. AD + CB + BC + DA =   a2 B. AB.BC = − . 2     C. AC. AD = AC.CD.   D. AB ⊥ CD hay AB.CD = 0 . Câu 45. Cho hình lập phương ABCD. A1 B1C1 D1 . Chọn khẳng định sai? A. Góc giữa AC và B1 D1 bằng 90° . B. Góc giữa B1 D1 và AA1 bằng 60° . C. Góc giữa AD và B1C bằng 45° . D. Góc giữa BD và A1C1 bằng 90° . Câu 46. Cho hình hộp ABCD. A′B′C ′D′ có tất cả các cạnh đều bằng nhau. A. A′C ′ ⊥ BD B. BB′ ⊥ BD C. A′B ⊥ DC ′ D. BC ′ ⊥ A′D Câu 47. Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' cạnh a . Trên các cạnh DC và BB ' lấy các điểm M và N sao cho MD= NB= x ( 0 ≤ x ≤ a ) . A. AC ' ⊥ B ' D ' B. AC’ cắt B’D’ C. AC ' ⊥ MN D. Cả A, B, C đều đúng

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

Chân Trời Sáng Tạo

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ trả lời đáp án.       Câu 48. Cho tứ diện ABCD . Tìm giá trị của k thích hợp thỏa mãn: AB.CD + AC.DB + AD.BC = k Câu 49. Trong các kết quả sau đây, kết quả nào đúng? Cho hình lập phương ABCD.EFGH có cạnh a .   Ta có AB.EG bằng bao nhiêu? Câu 50. Cho

hình

hộp

ABCD. A ' B ' C ' D '

có

các

cạnh

   B = ' A ' D ' 600 , B = ' A' A D = ' A ' A 1200 . a) Tính góc giữa các cặp đường thẳng AB với A ' D ; AC ' với B ' D . b) Tính diện tích các tứ giác A ' B ' CD và ACC ' A ' . c) Tính góc giữa đường thẳng AC ' với các đường thẳng AB, AD, AA ' .

đều

bằng

a

và

các

góc

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

Chân Trời Sáng Tạo

CHỦ ĐỀ 2 TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ

DẠNG 1 TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ      * Dựa vào định nghĩa a.b = a . b cos a , b

( )

* Sử dụng tính chất và các hằng đẳng thức của tích vô hướng của hai vectơ   • a.b = b.a      • a b + c = a.b + a.c

(

)

     k a .b k= a.b a. kb • =

( )

( )

( )

   • a 2 ≥ 0, a 2 = 0 ⇔ a = 0

  • a +b

(

)

  • a −b •

2

   =a 2 + 2a.b + b 2    =a 2 − 2a.b + b 2

( )   ( a + b )( a − b ) = a 2

2

 −b2

PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

   Cho a và b là hai vectơ cùng hướng và đều khác vectơ 0 . Mệnh đề nào sau đây đúng?         A. a.b = a . b . B. a.b = 0 . C. a.b = −1 . D. a.b = − a . b .

Câu 1.

Lời giải Chọn A       , b 00  → cos a= , b 1. Do a và b là hai vectơ cùng hướng nên a=

( )

( )

   Vậy a.b = a . b . Câu 2.

        Cho hai vectơ a và b khác 0 . Xác định góc α giữa hai vectơ a và b khi a.b = − a . b .

A. α = 180o .

C. α = 90o .

B. α = 0o .

D. α = 45o .

Lời giải Chọn A

       → a, b = 1800 Mà theo giả thiết a.b = − a . b , suy ra cos a, b = −1 

( )

Câu 3.

( )

      Cho hai vectơ a và b thỏa mãn a = 3, b = 2 và a.b = −3. Xác định góc α giữa hai vectơ a

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

Chân Trời Sáng Tạo

 và b

A. α = 30o .

B. α = 45o .

C. α = 60o .

D. α = 120o .

Lời giải Chọn D

   1 a.b −3 , b = 1200 a = = −  →   3.2 2 a .b

       Ta có a.b= a . b .cos a, b  → cos a, b =

( )

( )

( )

       2   Cho hai vectơ a và b thỏa mãn a= b= 1 và hai vectơ = u a − 3b và v= a + b vuông góc 5   với nhau. Xác định góc α giữa hai vectơ a và b. Câu 4.

A. α = 90o .

C. α = 60o .

B. α = 180o .

D. α = 45o .

Lời giải Chọn B    a= b= 1 2  2 13    2     2     Ta có u ⊥ v  .v 0 ⇔  a − 3b  a + = b 0 ⇔ a − ab − 3= b 0 → ab = −1 → u= 5 5 5        a.b Suy ra cos a, b =   = −1  → a, b = 1800 a .b

(

( )

)

( )

       Cho hai vectơ a và b thỏa mãn điều kiện a= b= 1 và a.b = 3. Độ dài vectơ 3a + 5b :

Câu 5.

A. 5 5.

B.

24.

C. 8.

D. 124.

Lời giải Chọn B.   2 2  2 3a + 5b =9a + 30ab + 25b =9 + 90 + 25 =124.

(

)

  ⇒ 3a + 5b = 124 Câu 6.

        Cho a , b có a + 2b vuông góc với vectơ 5a − 4b và a = b . Khi đó:

(

  2 A. cos a, b = . 2

( )

)

(

  B. cos a, b= 90° .

( )

)

  3 C. cos a, b = . 2

( )

Lời giải Chọn D.     +Vì a + 2b vuông góc với vectơ 5a − 4b nên:

(

(

)

)

       2 2    −5a 2 + 8b 2 . a + 2b . 5a − 4b = 0 ⇔ 5a − 8b + 6a.b = 0 ⇔ a.b = 6    2 2   3a 2 Ta có a =b ⇔ a =b . Suy ra a.b = 6

(

)(

)

  1 D. cos a, b = . 2

( )

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

 + cos a= ,b

( )

Chân Trời Sáng Tạo

2 3a  a.b 1 6 . = =  2 2 a b a

        Cho hai vectơ a, b thỏa mãn: a = 4; b = 3; a − b = 4 . Gọi α là góc giữa hai vectơ a, b . Chọn

Câu 7.

khẳng định đúng? 3 A. cos α = . 8

1 C. cos α = . 3

B. α = 300 .

D. α = 600 .

Lời giải Chọn A.   2 2   9 (a − b) 2 = a + b − 2a.b ⇒ a.b = . 2  3 a.b Do đó: cos .   = α =  a.b 8

     2 u và v là 2 vectơ đều khác 0 . Khi đó u + 2v bằng

Câu 8.

 2  2   A. u + 2v − 4u .v .

 2  2   B. u + 4v + 4u .v .

 2  2 C. u + 4v .

    D. 4u ⋅ v u − v .

(

)

Lời giải Chọn C.   2 Ta có u + 2v =





( u + 2v )

2

 2  2   =u + 4v + 4u .v .

      Cho hai vectơ a và b có a = 5 , b = 12 và a + b = 13 . Khi đó cosin của góc giữa hai vectơ

Câu 9.

    a − b và a + b bằng A.

12 . 13

B.

5 . 12

C. −

119 . 169

Lời giải Chọn C.

  52 + 122 = 13 suy ra a ⊥ b  a 5 5 Mặt khác: cos (α 2 ) =   = ⇒ α 2 = cos −1 . 13 a + b 13

Nhận thấy

    5 Do đó góc giữa hai vectơ a − b và a + b bằng α1 + α 2 = 2α 2 = 2.cos −1 13

D.

119 . 169

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

(

Chân Trời Sáng Tạo

)

    5 119  Vậy cos a − b, a + b = cos  2.cos −1  = − . 13  169              v 7 a − 5b và x= a − 4b vuông góc với = Câu 10. Cho u= a + 3b vuông góc với = y 7 a − 2b . Khi đó   góc giữa hai vectơ a và b bằng         A. a, b= 75° . B. a, b= 60° . C. a, b= 120° . D. a, b= 45° .

( )

( )

( )

( )

Lời giải Chọn B. Ta có: 







2

7 a 0 ( a + 3b ) .( 7a − 5b ) =  ⇔      0 7 a ( a − 4b ) .( 7a − 2b ) = 

     u.v = 0 ⇔       x. y = 0

2   b 2 = 2a.b  b 2 = 2a.b − 15 b = −16a.b   . 2  ⇔2  ⇔  2   = a b +8 b = 30a.b a = 2a.b  

      a.b a.b 1 Từ đó, ta có: cos a, b =   =  2 = ⇒ a, b =° 60 2 a.b b

( )

( )

           Câu 11. Cho hai vectơ a, b thỏa mãn:= a 4;= b 3;= a.b 10 . Xét hai vectơ y= a − b x= a − 2b, . Gọi α   là góc giữa hai vectơ x, y . Chọn khẳng định đúng.

A. cos α =

−2 . 15

1 . 15

B. cos α =

C. cos α =

3 . 15

D. cos α =

Lời giải Chọn D.

       2  2  Ta có x. y = a − 2b a − b = a + 2 b − 3a.b = 4 .

(

 x =

 x

2

()

 y =

( y)



2

)(

) ()

  a − 2b

)

 

2

=

(

=

(a − b)

2

=

 2  2  a + 4 b − 4a.b = 2 3 .

() 

()



( a ) + (b )

=

  x. y 4 = =  x . y 2 3. 5

cos α =

()

2

2

 − 2a.b =

5.

2 15

        Câu 12. Cho hai vectơ a, b thỏa mãn: a= 26; b= 28; a + b= 48 . Độ dài vectơ a − b bằng?

A. 25.

B.

C. 9.

616 .

Lời giải Chọn B.  2   a −b = a −b

(

)

2

(

)

 2 2   2 2   = a + b − 2a.b = 2 a + b − a + b

(

2 2  2 2 616 = 2  a + b  − a + b= 2 262 + 282 − 48 =     ⇒ a − b =616.

(

)

)

2

D.

618 .

2 . 15

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

Chân Trời Sáng Tạo

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Trong mỗi ý A), B), C), D) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

    Câu 13. Cho= a 3,= b 5 góc giữa a và b bằng 120° .   A. a + b =19   B. a − b = 8   C. a − 2b = 139   D. a + 2b = 9 Lời giải

  A. a + b =19 ĐÚNG   B. a − b = 8 SAI   C. a − 2b = 139 ĐÚNG   D. a + 2b = 9 SAI Ta có:

 2   a+b = a+b

(

)

2 2  2 2     1 = a + b + 2a.b = a + b + 2 a . b cos a.b = 9 + 25 + 2.3.5  −  = 19  2

( )

2

  ⇒ a + b = 19  2   a −b = a −b

(

)

2

2 2  2 2     1 = a + b − 2a.b = a + b − 2 a . b cos a.b = 9 + 25 − 2.3.5  −  = 49  2

( )

  ⇒ a − b = 49 = 7

 2   a − 2b = a − 2b

(

)

2

  ⇒ a − 2b = 139  2   a + 2b = a + 2b

(

  ⇒ a + 2b = 79

)

2

2 2  2 2     1 = a + 4 b − 4a.b = a + 4 b − 4 a . b cos a.b = 139 9 + 4.25 − 4.3.5  −  =  2

( )

2 2  2 2     1 =a + 4 b + 4a.b =a + 4 b + 4 a . b cos a.b =9 + 4.25 + 4.3.5  −  = 79  2

( )

  Câu 14. Cho hai vectơ a và b .  1  2 2 2 A. a.b= a +b − a − b 2  1 2 2  2 B. a= .b a + b − a −b 2  1  2  2 C. a.b= a +b − a −b 2

( ( (

)

) )

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

(

 1  2  2 D. a.b= a +b − a −b 4

( ( ( (

Chân Trời Sáng Tạo

)

Lời giải

) )

 1  2 2 2 A. a.b= ĐÚNG a +b − a − b 2  1 2 2  2 B. a= a + b − a − b ĐÚNG .b 2  1  2  2 C. a.b= SAI a +b − a −b 2  1  2  2 D. a.b= a + b − a − b ĐÚNG 4

) )

Nhận thấy C và D chỉ khác nhau về hệ số đáp án C và D.  2  2   2   Ta có a + b − a − b = a + b − a − b

(

 2   a+b • A đúng, vì a + b =

(

 2   a −b • B đúng, vì a − b =

(

)

(

)

  1  2  2 = 4ab  → a.b = a +b − a −b 4         2 2  = a + b . a + b = a.a + a.b + b.a + b.b = a + b + 2a.b

) (

)

) (

)(

2

(

1  1  2 2 2 1 và  → = a.b a + b − a − b . nên thử kiểm tra 2 4 2

 

2

)

 

   

2

) = ( a − b ) .( a − b ) = a.a − a.b − b.a + b.b = a

(

2

 1 2 2  2  = → a.b a + b − a −b 2

2  + b − 2a.b

)

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ trả lời đáp án.         Câu 15. Cho 2 vectơ a và b thỏa mãn= a 4,= b 3 và a + 2b = 2 7. Tính a, b .

( )

Lời giải

  Đáp án: a, b = 1200 .

( )

Ta có:   a + 2b = 2 7   ⇔ a + 2b

(

)

2

= 28

2 2  ⇔ a + 4b + 4ab = 28 2 2         1 ⇔ a + 4 b + 4 a b cos a, b = 28 cos a, b = − ⇒ a, b = 1200 2       Câu 16. Cho hai vectơ a và b tạo với nhau góc 120° và a = 3 , b = 5 . Tính a + 2b .

( )

  Đáp án: a + 2b = 79 . Cách 1 :

( )

( )

Lời giải

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

 2   a + 2b = a + 2b

(

)

2

  ⇒ a + 2b = 79

Chân Trời Sáng Tạo

2 2  2 2     1 =a + 4 b + 4a.b =a + 4 b + 4 a . b cos a.b =9 + 4.25 + 4.3.5  −  = 79  2

( )

Cách 2 :

    Vẽ hình bình hành ABCD sao cho: AB = a , AD = 2b .      Theo quy tắc hình bình hành ta có: a + 2b = AB + AD = AC = AC .

Áp dụng định lí hàm côsin trong tam giác ACD :

60° 79 . CD 2 + AD 2 − 2CD. AD.cos=            Câu 17. Cho ba vectơ a , b , c thỏa mãn a = 1 , b = 2 , a − b = 3 . Tính a − 2b . 2a + b .

AC =

(

)(

)

 2     Ta có: a − b = 3 ⇔ a − 2.a.b + b

()

()

2

   = 9 ⇔ 1 − 2.a.b + 4 = 9 ⇔ a.b = −2 .

     2   Ta có: a − 2b . 2a + b= 2 a − 3.a.b − 2 b

) ()

)(

(

)

Lời giải

    Đáp án: a − 2b a + 2b = 0 .

(

)(

()

2

= 2.1 − 3. ( −2 ) − 2.4 = 0 .

        Câu 18. Cho hai vectơ a, b có a= b= 1 và a, b = 600. Xác định sao cho thỏa mãn xa + b =3 .

( )

Lời giải x = 1 Đáp án:  .  x = −2 Ta có:   xa + b =

  2 3 ⇔ xa + b = 3

(

)

2   2 ⇔ x 2 a + 2 xab + b = 3 ⇔ x 2 + 2 xcos 600 + 1 = 3

x = 1 ⇔ x2 + x − 2 = 0 ⇔   x = −2           Câu 19. Cho ba véc-tơ a , b , c thỏa mãn: a = 4 , b = 1 , c = 5 và 5 b − a + 3c = 0 . Khi đó biểu thức

(

      M = a .b + b .c + c .a có giá trị bao nhiêu?

Lời giải Đáp án: M = 29 .          Ta có 5 b − a + 3c = 0 ⇔ 5 a −b = 3c ⇔ 25 a − b

(

)

(

)

(

)

2

2 = 9c

)

(

 2   2 2 4. ⇔ 25 a − 2ab + b = 9c ⇔ a.b =

        5. Tương tự: 5 b − a + 3c = 0 ⇔ 5a = 5b + 3c ⇔ b.c =

(

)

)

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

Chân Trời Sáng Tạo

        20 . 5 b − a + 3c = 0 ⇔ 5b = 5a − 3c ⇔ a.c =

(

)

Vậy M = 4 + 5 + 20 = 29 .

        1  Câu 20. Cho hai véc tơ a và b thỏa mãn các điều kiện = 15 . Đặt u= a + b và = a b 1 , a − 2b = 2      = v 2ka − b , k ∈  . Tìm tất cả các giá trị của k sao cho u , v= 60°

( )

Lời giải 3 5 . 2   2 2   a − 2b = 15 ⇔ a + 4 b − 4ab =15 ⇔ 2ab =1 .

Đáp án: k= 4 +

 uv =

 

 

2 2  2k − 1 . 2k a − b + ( 2k − 1) ab = 2k − 4 + 2 2 2  2 2      2 = a + b + 2ab 4k 2 a + b − 4k ab = 5 + 2ab 4k 2 + 4 − 4k ab 2k a − b

( a + b )( 2k a − b ) =

( u v ) =+ ( (a b) (  

2

 

  = 6 ( 4k 2 + 4 − 2k ) ⇒ = u v

))

(

)(

)

(

)(

)

6 ( 4k 2 + 4 − 2k ) .

2k − 1  2k − 4 +   1 uv 2 u , v= 60° ⇒ cos ( 60° ) =  ⇔ = ⇔ 6 ( 4k 2 + 4 − 2k ) = 6k − 9 2 2 u v 6 ( 4k + 4 − 2k )

( )

3  3  3 k ≥  ≥ k   2 k ≥ 2 ⇔ ⇔ 6 ( 4k 2 + 4 − 2k ) = 6k − 9 ⇔  ⇔ 2 12k 2 − 96k + 57 = k= 4 ± 3 5  6 ( 4k 2 + 2 − k ) = 6k − 9 0    2 ⇔ k =4 +

3 5 . 2

DẠNG 2 GÓC GIỮA HAI VECTƠ

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

 a.b   • cos a , b =   a .b

Chân Trời Sáng Tạo

( )

   0. • a ⊥ b ⇔ a.b =

 • Góc giữa hai vectơ cùng hướng và khác 0 luôn bằng 0o .  • Góc giữa hai vectơ ngược hướng và khác 0 luôn bằng 180o .

PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.   = AC = AD và BAC Câu 21. Cho tứ diện ABCD có AB = BAD = 600 . Hãy xác định góc giữa cặp   vectơ AB và CD ? A. 600 .

B. 450 .

C. 1200 .

D. 900 .

Lời giải Chọn D. A

D

B

C

Ta có          AB.CD= AB. AD − AC = AB. AD − AB. AC

(

)

= AB. AD.cos 600 − AB. AC.cos 600 = 0   ⇒ AB, CD = 900

(

)

  . Hãy xác định góc giữa cặp = SB = SC và  Câu 22. Cho hình chóp S . ABC có SA ASB = BSC = CSA   vectơ SA và BC ?

A. 1200 .

B. 900 .

C. 600 . Lời giải

Chọn B.

D. 450 .

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

Chân Trời Sáng Tạo

S

C

A

B Ta có          SA.BC= SA. SC − SB = SA.SC − SA.SB

(

)

= SA.SC.cos  ASC − SA.SB.cos  ASB = 0   900 ⇒ SA, BC =

(

)

Câu 23. Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh bằng a và các cạnh bên đều bằng

a . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SD . Số đo của góc ( MN , SC ) bằng: A. 45°

B. 30°

C. 90°

D. 60°

Lời giải Chọn C. S

N

C

B

A

D

M

Ta có: AC = a 2 ⇒ AC 2 =2a 2 =SA2 + SC 2

⇒ ∆SAC vuông tại S .   1     90° Khi đó: NM .SC = SA.SC = 0 ⇔ NM , SC = 90° ⇒ ( MN , SC ) = 2

(

)

Câu 24. Cho tứ diện ABCD đều cạnh bằng a . Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD . Góc giữa AO và CD bằng bao nhiêu ? A. 00 .

B. 300 .

C. 900 . Lời giải

D. 600 .

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

Chọn C.

Chân Trời Sáng Tạo

A

B

D

O C   Ta có AO.CD =

  

(CO − CA) CD

    = CO.CD − CA.CD = CO.CD.cos 300 − CA.CD.cos 600 =

a 3 3 1 a2 a2 .a. − a.a. = − = 0. 3 2 2 2 2

Suy ra AO ⊥ CD . Câu 25. Cho tứ diện ABCD với AB ⊥ AC , AB ⊥ BD . Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của AB và

CD . Góc giữa PQ và AB là? A. 900.

B. 600.

C. 300.

D. 450.

Lời giải Chọn A.   AB.PQ ⇒ AB ⊥ PQ

   = BAD = 600 , CAD = 900 . Gọi I và J lần lượt = AC = AD và BAC Câu 26. Cho tứ diện ABCD có AB   là trung điểm của AB và CD . Hãy xác định góc giữa cặp vectơ AB và IJ ? A. 120° .

B. 90° .

C. 60° .

D. 45° .

Lời giải Chọn B.

A I B

D J C

Xét tam giác ICD có J là trung điểm đoạn CD .

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

 1   Ta có:= IJ IC + ID 2

(

Chân Trời Sáng Tạo

)

= 60° Vì tam giác ABC có AB = AC và BAC Nên tam giác ABC đều. Suy ra: CI ⊥ AB Tương tự ta có tam giác ABD đều nên DI ⊥ AB .   1    1   1    Xét IJ . AB = IC + ID . AB = IC. AB + ID. AB = 0. 2 2 2     Suy ra I J ⊥ AB . Hay góc giữa cặp vectơ AB và IJ bằng 900 .

(

)

Câu 27. Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và ABD là các tam giác đều. Khẳng định nào sau đây đúng nhất. A. AB và CD chéo nhau

B. AB và CD vuông góc với nhau

C. AB và CD đồng phẳng

D. AB và CD cắt nhau Lời giải

Chọn B.

= AD = AC = a Đặt AB      Ta có CD.= AB AD − AC AB

(

)

    1 1 AB AD cos 600 − AB AC cos 600 = a.a. − a.a. = 0 2 2 Vậy AB ⊥ CD . Câu 28. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC. A′B′C ′ có AB = a và AA′ = 2 a . Góc giữa hai đường thẳng AB′ và BC ′ bằng C

A B

C'

A'

B'

A. 60° .

B. 45° .

C. 90° . Lời giải

Chọn A

D. 30° .

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

Chân Trời Sáng Tạo

C

A B

C'

A'

B'

              Ta có AB′.BC ′ =+ AB BB′ BC + CC ′ = AB.BC + AB.CC ′ + BB′.BC + BB′.CC ′

(

)(

)

        a2 3a 2 = AB.BC + AB.CC ′ + BB′.BC + BB′.CC ′ =− + 0 + 0 + 2a 2 = . 2 2

3a 2     1 AB′.BC ′ 2 Suy ra cos AB′, BC ′ =   = = ⇒ ( AB′, BC ′ ) = 60° . 2 AB′ . BC ′ a 3.a 3

(

)

  Câu 29. Cho hình lập phương ABCD. A1 B1C1 D1 có cạnh a . Gọi M là trung điểm AD . Giá trị B1M .BD1 là: A.

1 2 a . 2

B. a 2 .

C.

3 2 a . 4

D.

3 2 a . 2

Lời giải Chọn A.

A1

B1

D1

C1

M

A

B

D   Ta có: B1M .BD1 =

(

      B1 B + BA + AM BA + AD + DD1

)(

C

)

   2   = B1 B.DD1 + BA + AM . AD = −a 2 + a 2 + =

a2 2

a2 2

  Câu 30. Cho hình lập phương ABCD.EFGH . Hãy xác định góc giữa cặp vectơ AB và EG ?

A. 90°

B. 60°

C. 45° Lời giải

Chọn C.

D. 120°

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

E

Chân Trời Sáng Tạo

H

F

G

A

D

B

C

Ta có: EG //AC (do ACGE là hình chữ nhật)     = ⇒ AB, EG = AB, AC = BAC 45°

(

) (

)

Câu 31. Cho hình lập phương ABCD. A′B′C ′D′ . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AD , BB′. Cosin của góc hợp bởi MN và AC ' bằng A.

3 . 3

B.

2 . 3

5 . 3

C.

D.

Lời giải Chọn B B A

N

C M

D

B'

C'

A'

D'

* Xét hình lập phương ABCD. A′B′C ′D′ cạnh a .             * Đặt a = AB, b = AD, c = AA′ ⇒ a = b = c = a, a.b = b.c = a.c = 0 . * Ta có:        1  1   a 3 1 1 MN = AN − AM = AB + BN − AM = a − b + c ⇒ MN =a 2 + a 2 + a 2 = 2 2 4 4 2         AC ′ = AB + AD + AA′ = a + b + c ⇒ AC ′ = a 2 + a 2 + a 2 = a 3   1 1 AC ′.MN =a 2 − a 2 + a 2 =a 2 2 2

  cos (= MN ; AC ′ ) cos MN = ; AC ′

(

)

  MN . AC ′ =    MN . AC ′

2 . 3

2 . 4

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

Chân Trời Sáng Tạo

Câu 32. Cho hình lăng trụ ABC. A′B′C ′ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , tam giác A′BC đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với ( ABC ) . M là trung điểm cạnh CC ′ . Tính cosin góc α giữa hai đường thẳng AA′ và BM . A. cos α =

2 22 . 11

B. cos α =

33 . 11

C. cos α =

11 . 11

D. cos α =

Lời giải Chọn B A'

C'

B' M

A

C H B

′H Ta có: AH = A=

a 3 và AH ⊥ BC , A′H ⊥ BC ⇒ BC ⊥ ( AA′H ) ⇒ BC ⊥ AA′ hay 2

BC ⊥ BB′ . Do đó: BCC ′B′ là hình chữ nhật.

22 a 2 .6 a 3 a 6 2 ⇒ BM = a + =a Khi đó: CC . =′ AA =′ .= 2 16 4 2 2 2      ′.BM AA′. BC + CM = 0 + AA′.CM = 3a . = Xét: AA 4

(

Suy ra cos ( AA′, BM ) =

)

3a 2 4

=

a 6 a 22 . 2 4

33 . 11

Câu 33. Cho tam giác ABC , thì công thức tính diện tích nào sau đây là đúng nhất. A. S =

1 AB 2 AC 2 − BC 2 2

= C. S

1 1   AB 2 AC 2 − AB. AC 2 2

(

)

2

= B. S

1 1   AB 2 AC 2 + AB. AC 2 2

= D. S

  1 AB 2 AC 2 − AB. AC 2

Lời giải Chọn D.

(

(

)

2

)

2

22 . 11

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

S ABC

Chân Trời Sáng Tạo

1 1 1 2 = ABAC sin A AB= AB 2 sin 2 A AB 2 AC 2 (1 − cos 2 A ) 2 2 2

  1 AB 2 AC 2 − AB. AC 2

(

)

2

.

Câu 34. Trong không gian cho ba điểm A, B, C bất kỳ, chọn đẳng thức đúng?     A. 2 AB. AC = AB 2 + AC 2 − BC 2 B. 2 AB. AC = AB 2 + AC 2 − 2 BC 2     C. AB. AC = AB 2 + AC 2 − 2 BC 2 D. AB. AC = AB 2 + AC 2 − BC 2 Lời giải Chọn A.

  BC 2 = AB 2 + AC 2 − 2 AB. AC.cos ( AB, AC ) = AB 2 + AC 2 − 2. AB. AC

  Câu 35. Cho hình lập phương ABCD.EFGH có cạnh bằng a . Ta có AB.EG bằng? A. a 2 2 .

B. a 2 .

C. a 2 3 .

D.

a2 2 . 2

Lời giải Chọn B. B

A

C

D

F

E

G

H

         2       AB.EG= AB. EF + EH = AB.EF + AB.EH = AB + AB. AD ( EH = AD) = a 2 (Vì AB ⊥ AD )

(

)

Câu 36. Cho hình lập phương ABCD. A′B′C ′D′ có cạnh bằng a . Hãy tìm mệnh đề sai trong những mệnh đề sau đây:      0 A. 2 AB + B ′C ′ + CD + D ′A′ =   C. AB ′.CD ′ = 0

  B. AD ′. AB ′ = a 2  D. AC ′ = a 3 . Lời giải

Chọn A.

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025 D'

Chân Trời Sáng Tạo

C'

A'

B'

D

C

A

B

     Ta có : 2 AB + B ′C ′ + CD + D ′A′ = 0       ⇔ AB + AB + CD + B ′C ′ + D ′A′ = 0

(

) (

)

      ⇔ AB + 0 + 0 = 0 ⇔ AB = 0 (vô lí) Câu 37. Cho tứ diện ABCD với = AC

3   AD, CAB = DAB = 600 ,= CD AD . Gọi ϕ là góc giữa AB và 2

CD . Chọn khẳng định đúng ? A. cosϕ   =

3 . 4

B. ϕ = 600 .

C. ϕ = 300 . Lời giải

Chọn D.

A

D

B

C   Ta có cos = AB, CD

(

)

    AB.CD AB.CD =    AB . CD AB.CD

Mặt khác          AB.CD= AB AD − AC = AB. AD − AB. AC

(

)

AB. AD.cos 600 − AB. AC.cos 600 1 3 1 1 1 = AB. AD. − AB. AD. = − AB. AD = − AB.CD. 2 2 2 4 4

D. cosϕ   =

1 . 4

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

Chân Trời Sáng Tạo

1   − AB.CD 1 1 4 Do có cos= − . Suy ra cos ϕ = . = AB, CD AB.CD 4 4

)

(

Câu 38. Cho tứ diện đều ABCD , M là trung điểm của cạnh BC . Khi đó cos ( AB, DM ) bằng A.

2 . 2

B.

3 . 6

C.

1 . 2

D.

3 . 2

Lời giải Chọn B.

A

D

B M C Giả sử cạnh của tứ diện là a .       AB.DM AB.DM = AB, DM    Ta có cos = a 3 AB . DM a. 2

(

)

Mặt khác          AB.DM= AB AM − AD= AB. AM − AB. AD = AB. AM .cos 300 − AB. AD.cos 600

(

)

a 3 3 1 3a 2 a 2 a 2 . . = a. − a.a. = − = 2 2 2 4 2 4   3 3 Do có cos AB, DM = . Suy ra cos ( AB, DM ) = . 6 6

(

)

      Câu 39. Cho tứ diện ABCD . Chứng minh rằng nếu = AB. AC . AC = . AD AD. AB thì AB ⊥ CD ,

AC ⊥ BD , AD ⊥ BC . Điều ngược lại đúng không? Sau đây là lời giải:          Bước 1: AB. AC = . AC. AD ⇔ AC.( AB − AD) = 0 ⇔ AC.DB = 0 ⇔ AC ⊥ BD         Bước 2: Chứng minh tương tự, từ AC. AD = AD. AB ta được AD ⊥ BC và AB. AC = AD. AB ta được

AB ⊥ CD . Bước 3: Ngược lại đúng, vì quá trình chứng minh ở bước 1 và 2 là quá trình biến đổi tương đương. Bài giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai ở đâu? A. Sai ở bước 3.

B. Đúng ba bước

C. Sai ở bước 2. Lời giải

Chọn B.

D. Sai ở bước 1.

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

Bài giải đúng.

Chân Trời Sáng Tạo

Câu 40. Trong không gian cho tam giác ABC có trọng tâm G . Chọn hệ thức đúng? A. AB 2 + AC 2 + BC 2= 2 ( GA2 + GB 2 + GC 2 ) .

B. AB 2 + AC 2 + BC 2 = GA2 + GB 2 + GC 2 .

C. AB 2 + AC 2 + BC 2= 4 ( GA2 + GB 2 + GC 2 ) .

D. AB 2 + AC 2 + BC 2= 3 ( GA2 + GB 2 + GC 2 ) .

Lời giải Chọn D. Cách 1 Ta có    GA + GB + GC

(

)

2

0 =

      0 ⇔ GA2 + GB 2 + GC 2 + 2GA.GB + 2GA.GC + 2GB.GC =

0 ⇔ GA2 + GB 2 + GC 2 + ( GA2 + GB 2 − AB 2 ) + ( GA2 + GC 2 − AC 2 ) + ( GB 2 + GC 2 − BC 2 ) = ⇔ AB 2 + AC 2 + BC 2= 3 ( GA2 + GB 2 + GC 2 )

Cách 2: Ta có:

 2 AB 2  AC 2 BC 2 MA   2 2 2  2 4  GA2  4  AB  AC  BC .    9 2 4  2 GA MA   3  Tương tự ta suy ra được Cách 3: Chuẩn hóa giả sử tam giác ABC đều có cạnh là 1. Khi đó

 AB 2  BC 2  CA2  3   3GA2  GB 2  GC 2   AB 2  BC 2  CA2 . 2 2 2 GA  GB  GC  1  Câu 41. Cho tứ diện ABCD có trọng tâm G . Chọn khẳng định đúng? A. AB 2 + AC 2 + AD 2 + BC 2 + BD 2 + CD 2 = 3 ( GA2 + GB 2 + GC 2 + GD 2 ) . B. AB 2 + AC 2 + AD 2 + BC 2 + BD 2 + CD 2= 4 ( GA2 + GB 2 + GC 2 + GD 2 ) . C. AB 2 + AC 2 + AD 2 + BC 2 + BD 2 + CD 2= 6 ( GA2 + GB 2 + GC 2 + GD 2 ) . D. AB 2 + AC 2 + AD 2 + BC 2 + BD 2 + CD 2= 2 ( GA2 + GB 2 + GC 2 + GD 2 ) . Lời giải Chọn B.

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

Chân Trời Sáng Tạo

A I G B

D J C

AB 2 + AC 2 + AD 2 + BC 2 + BD 2 + CD 2   2   2   2   2   2   2 = AG + GB + AG + GC + AG + GD + BG + GC + BG + GD + CG + GD             = 3 AG 2 + 3BG 2 + 3CG 2 + 3DG 2 + 2 AG.GB + AG.GC + AG.GD + BG.GD + BG.GD + CG.GD (1)

(

) (

Lại có:

   

) (

(

) (

) (

) (

)

)



0 (GA + GB + GC + GD ) = ⇔ GA2 + GB 2 + GC 2 + GD 2             = 2 AG.GB + AG.GC + AG.GD + BG.GD + BG.GD + CG.GD ( 2 )

(

)

Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh.

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Trong mỗi ý A), B), C), D) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai. Câu 42. Cho hình lập phương ABCD. A1 B1C1 D1 có cạnh bằng a .   A. AB1 ; C1 D = 900

(

)

  B. A1 B.CC1 = −a 2 .     C. AC. AD = AC. A1 D1.   D. A1 D.C1 B = 0 .

  A. AB1 ; C1 D = 900

(

)

Lời giải ĐÚNG

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

  B. A1 B.CC1 = −a 2 . ĐÚNG     C. AC. AD = AC. A1 D1. ĐÚNG   D. A1 D.C1 B = 0 . ĐÚNG

A1

D1

B1

C1 A

B

D C

AB a= , BC 2a= , AA1 3a . Câu 43. Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A1 B1C1 D1 có=   A. AB1 ; C1 D = 450

(

)

  B. A1 B.D1 D = 9a 2 .     C. AC. AD = C1 A1.C1 B1.   D. A1 D1.C1C = 0 .

  A. AB1 ; C1 D = 450

(

)

Lời giải SAI

  B. A1 B.D1 D = 9a 2 . ĐÚNG     C. AC. AD = C1 A1.C1 B1. ĐÚNG   D. A1 D1.C1C = 0 . ĐÚNG

A1 B1

D1 C1

A B Câu 44. Cho tứ diện ABCD có các cạnh đều bằng a .      0 A. AD + CB + BC + DA =

D C

Chân Trời Sáng Tạo

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

  a B. AB.BC = − . 2     C. AC. AD = AC.CD.   D. AB ⊥ CD hay AB.CD = 0 . 2

Lời giải

     0 A. AD + CB + BC + DA = ĐÚNG   a2 B. AB.BC = − . ĐÚNG 2     C. AC. AD = AC.CD. SAI   D. AB ⊥ CD hay AB.CD = 0 . ĐÚNG A

C

B

D

Vì ABCD là tứ diện đều nên các tam giác ABC , BCD, CDA, ABD là các tam giác đều.          A. Đúng vì AD + CB + BC + DA = DA + AD + BC + CB = 0 .     −a 2 B. Đúng vì AB.BC = − BA.BC = − a.a.cos 600 = . 2     a 2   a2 0 0 C. Sai vì AC. AD = ; AC.CD = a.a.cos 60 = −CA.CD = −a.a.cos 60 = − . 2 2     0. D. Đúng vì AB ⊥ CD ⇒ AB.CD = Câu 45. Cho hình lập phương ABCD. A1 B1C1 D1 . Chọn khẳng định sai? A. Góc giữa AC và B1 D1 bằng 90° . B. Góc giữa B1 D1 và AA1 bằng 60° . C. Góc giữa AD và B1C bằng 45° . D. Góc giữa BD và A1C1 bằng 90° . Lời giải A. Góc giữa AC và B1 D1 bằng 90° . ĐÚNG

Chân Trời Sáng Tạo

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

B. Góc giữa B1 D1 và AA1 bằng 60° . SAI

Chân Trời Sáng Tạo

C. Góc giữa AD và B1C bằng 45° . ĐÚNG D. Góc giữa BD và A1C1 bằng 90° . ĐÚNG

A1

D1

B1

C1 A

D

B        Ta có: AA = BB = BB1. BA + BC 1 .B1 D1 1 .BD

(

    = BB1.BA + BB1.BC = 0

C

)

    (vì BB1 , BA = 900 và BB1 , BC = 900 )

(

)

(

)

  Do đó: AA1 , B1 D1 = 900 ⇒ ( AA1 , B1 D1 ) = 900

(

)

Câu 46. Cho hình hộp ABCD. A′B′C ′D′ có tất cả các cạnh đều bằng nhau. A. A′C ′ ⊥ BD B. BB′ ⊥ BD C. A′B ⊥ DC ′ D. BC ′ ⊥ A′D Lời giải A. A′C ′ ⊥ BD ĐÚNG B. BB′ ⊥ BD SAI C. A′B ⊥ DC ′ ĐÚNG D. BC ′ ⊥ A′D ĐÚNG          Ta có: BB′.BD= BB′. BA + BC = BB′.BA + BB′.BC

(

(

  ′BA + cosB ′BC BB′.BA cosB

)

)

Vì AA′B′B và ABCD là hai hình thoi bằng nhau nên     ′BA B ′BC ⇒ BB′.BD ≠ 0 suy ra BB′ không vuông góc với BD + B =       ′BA + B ′BC =⇒ ′BA = ′BC ⇒ BB′.BD = 0 suy ra BB′ ⊥ BD + B 1800 cosB −cosB   ′BC ′BA và B Nên đáp án B có thể sai vì chưa có điều kiện của góc B

Câu 47. Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' cạnh a . Trên các cạnh DC và BB ' lấy các điểm M và N sao cho MD= NB= x ( 0 ≤ x ≤ a ) . A. AC ' ⊥ B ' D '

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

B. AC’ cắt B’D’

Chân Trời Sáng Tạo

C. AC ' ⊥ MN D. Cả A, B, C đều đúng Lời giải A. AC ' ⊥ B ' D ' ĐÚNG B. AC’ cắt B’D’ SAI C. AC ' ⊥ MN ĐÚNG D. Cả A, B, C đều đúng SAI

B

A M

D

C N B'

A' C'

D'       Đặt = AA ' a= , AB b= , AD c .        Ta có AC ' = a + b + c , B ' D '= c − b nên        AC '.B ' D ' = a + b + c c − b

(

)(

)

   2 2 = a c − b + c − b = a2 − a2 = 0

(

)

⇒ AC ' ⊥ B ' D ' .          x     x   x   x    MN =AN − AM = AB + BN − AD + DM =  b + a  -  c + b  = a + 1-  b - c a   a  a   a

(

  Từ đó ta có AC '.MN = =

) (

  

)









( a + b + c )[  b + ax a  -  c + ax b  =

x   x   a + 1-  b - c] a  a

x  2  x  2 2  x a + 1 −  b − c = x.a + 1 −  a 2 − a 2 = 0 . a  a  a

Vậy AC ' ⊥ MN . PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ trả lời đáp án.       Câu 48. Cho tứ diện ABCD . Tìm giá trị của k thích hợp thỏa mãn: AB.CD + AC.DB + AD.BC = k Lời giải Đáp án: k = 0. .

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

             AB.CD + AC.DB + AD.BC =AC + CB .CD + AC.DB − AD.CB           = AC CD + DB + CB CD − AD = AC.CB + CB. AC= 0.

(

)

(

(

)

)

Chân Trời Sáng Tạo

Câu 49. Trong các kết quả sau đây, kết quả nào đúng? Cho hình lập phương ABCD.EFGH có cạnh a .   Ta có AB.EG bằng bao nhiêu? Lời giải

  Đáp án: AB.EG = a 2 .

F

G

E

H

B

C

D

A

  AB.EG =

    

( EF + EH )( AE + EF + FB )

          = EF . AE + EF 2 + EF .FB + EH . AE + EH .EF + EH .FB   = 0 + a 2 + 0 + 0 + 0 + EH .EA = a 2 + 0 = a 2

Câu 50. Cho

hình

hộp

ABCD. A ' B ' C ' D '

có

các

cạnh

   B = ' A ' D ' 600 , B = ' A' A D = ' A ' A 1200 . a) Tính góc giữa các cặp đường thẳng AB với A ' D ; AC ' với B ' D . b) Tính diện tích các tứ giác A ' B ' CD và ACC ' A ' . c) Tính góc giữa đường thẳng AC ' với các đường thẳng AB, AD, AA ' . Lời giải Đáp án:

AC ', B ' D ) = 900 AB, A ' D ) = 600 ; ( a) ( b) S A ' B 'CD = a 2 3 ; S AA 'C 'C = a 2 2

(

  AC ', AD ) ( = AC ', AA ') ) (=

 c) = AC ', AB

arccos

6 3

đều

bằng

a

và

các

góc

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

C'

D'

A'

B' D

C

A

B

a)

      Đặt = AA ' a= , A ' B ' b= , A' D ' c    Ta có A ' D= a + c nên   cos  AB, A ' D = cos AB, A ' D

(

)

(

 a  a

  AB. A ' D =    AB A ' D

)

 

( a + c) . a+c

   a2   Để ý rằng a + c = a, a a+c = . 2

( )

(

)

1 Từ đó cos  AB, A ' D = ⇒ ( AB, A ' D ) = 600 2        Ta có AC ' = b + c − a, B ' D = a − b + c , từ đó tính được        AC 'B ' D = b + c − a a − b + c = 0 ⇒ ( AC ', B ' D ) = 900 .

(

)(

)

b)                 A ' C = a + b + c , B ' D = a − b + c ⇒ A ' C .B ' D = a + b + c a − b + c = 0

(

⇒ A ' C ⊥ B ' D nên S A ' B ' DC =

)(

)

1 A ' C .B ' D . 2

1 Dễ dàng tính được A ' C = a 2, B ' D = a 2 ⇒ S A ' B 'CD = a 2a. 2 = a2 2   S AA 'C 'C = AA ' AC sin AA ', AC , = AA ' a= , Ac a 3 .

(

)

    6 Tính được sin AA ', AC = 1 − cos 2 AA ', AC = 3

(

)

(

)

  6 Vậy = S AA 'C 'C AA ' AC sin = AA ', AC a= .a 3. a2 2 . 3

(

c)

)

Chân Trời Sáng Tạo

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

(

  AC ', AD ) ( = AC ', AA ') ) (=

 ĐS: = AC ', AB

arccos

6 . 3

Chân Trời Sáng Tạo

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

Chân Trời Sáng Tạo

CHỦ ĐỀ 3 BA VECTƠ ĐỒNG PHẲNG VÀ KHÔNG ĐỒNG PHẲNG Tham khảo thêm

♦ Chứng minh ba vec tơ đồng phẳng và bốn điểm đồng phẳng, phân tích một vectơ theo ba vectơ không đồng phẳng. + Để chứng minh ba vectơ đồng phẳng, ta có thể chứng minh bằng một trong các cách: • Chứng minh các giá của ba vectơ cùng song song với một mặt phẳng.       c ma + nb thì a, b , c đồng • Dựa vào điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Nếu có m, n ∈ R: = phẳng

    + Để phân tích một vectơ x theo ba vectơ a, b , c không đồng phẳng, ta tìm các số m, n, p sao     cho: x = ma + nb + pc ♦ Tính độ dài của đoạn thẳng, véctơ. 2  2  + Để tính độ dài của một đoạn thẳng theo phương pháp vec tơ ta sử dụng cơ sở a = a ⇒ a =

2 a .

Vì vậy để tính độ dài của đoạn MN ta thực hiện theo các bước sau:    • Chọn ba vec tơ không đồng phẳng a , b , c so cho độ dài của chúng có thể tính được và góc giữa chúng có thể tính được.     • Phân tích MN = ma + nb + pc  • Khi đó MN= MN= =

 2 MN =

(

   ma + nb + pc

)

2

2 2 2       m2 a + n2 b + p 2 c + 2 mn cos a , b + 2np cos b , c + 2mp cos c , a

( )

( )

( )

♦ Sử dụng điều kiện đồng phẳng của bốn điểm để giải bài toán hình không gian. Sử dụng các kết quả







• A , B, C , D là bốn điểm đồng phẳng ⇔ DA = mDB + nDC

• A , B, C , D là bốn điểm đồng phẳng khi và chỉ khi với mọi điểm O bất kì ta có

    1. OD = xOA + yOB + zOC trong đó x + y + z =

Câu 1.

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng.

A. Ba véctơ đồng phẳng là ba véctơ cùng nằm trong một mặt phẳng.       c ma + nb với m, n là các số duy nhất. B. Ba véctơ a, b, c đồng phẳng thì có=      C. Ba véctơ không đồng phẳng khi có d = ma + nb + pc với d là véctơ bất kì. D. Ba véctơ đồng phẳng là ba véctơ có giá cùng song song với một mặt phẳng.

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

Chân Trời Sáng Tạo

Câu 2.

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?    A. Nếu giá của ba vectơ a, b, c cắt nhau từng đôi một thì ba vectơ đó đồng phẳng.     B. Nếu trong ba vectơ a, b, c có một vectơ 0 thì ba vectơ đó đồng phẳng.    C. Nếu giá của ba vectơ a, b, c cùng song song với một mặt phẳng thì ba vectơ đó đồng phẳng.    D. Nếu trong ba vectơ a, b, c có hai vectơ cùng phương thì ba vectơ đó đồng phẳng.   Câu 3. Cho ba vectơ a, b, c không đồng phẳng. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?             A. Các vectơ x =a + b + 2c; y =2a − 3b − 6c; z =−a + 3b + 6c đồng phẳng.             B. Các vectơ x =a − 2b + 4c; y =3a − 3b + 2c; z =2a − 3b − 3c đồng phẳng.             C. Các vectơ x =a + b + c; y =2a − 3b + c; z =− a + 3b + 3c đồng phẳng.             D. Các vectơ x =a + b − c; y =2a − b + 3c; z =−a − b + 2c đồng phẳng.       Câu 4. Cho ba vectơ a, b, c . Điều kiện nào sau đây khẳng định a, b, c đồng phẳng?     A. Tồn tại ba số thực m, n, p thỏa mãn m + n + p = 0. 0 và ma + nb + pc =     B. Tồn tại ba số thực m, n, p thỏa mãn m + n + p ≠ 0 và ma + nb + pc = 0.     C. Tồn tại ba số thực m, n, p sao cho ma + nb + pc = 0.    D. Giá của a, b, c đồng qui.              Câu 5. Cho ba vectơ a, b, c không đồng phẳng. Xét các vectơ x =2a + b; y =a − b − c; z =−3b − 2c . Chọn khẳng định đúng?    A. Ba vectơ x; y; z đồng phẳng.   C. Haivectơ x; b cùng phương.

  B. Haivectơ x; a cùng phương.    D. Bavectơ x; y; z đôi một cùng phương.

Câu 6.

Hãy chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau đây:    A. Ba véctơ a, b, c đồng phẳng nếu có hai trong ba véctơ đó cùng phương.     B. Ba véctơ a, b, c đồng phẳng nếu có một trong ba véctơ đó bằng véctơ 0 .       C. véctơ x = a + b + c luôn luôn đồng phẳng với hai véctơ a và b .    D. Cho hình hộp ABCD. A’B’C’D’ ba véctơ AB′, C ′A′, DA′ đồng phẳng

Câu 7.

Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào là sai?       AB 2 AC − 8 AD ta suy ra ba véctơ AB, AC , AD đồng phẳng. A. Từ hệ thức=    0 nên N là trung điểm của đoạn MP. B. Vì NM + NP =  1   C. Vì I là trung điểm của đoạn AB nên từ một điẻm O bất kì ta có OI OA + OB. = 2      0 nên bốn điểm A, B, C , D cùng thuộc một mặt phẳng. D. Vì AB + BC + CD + DA =

(

)

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

Câu 8.

Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai?

Chân Trời Sáng Tạo

 1   A. Vì I là trung điểm đoạn AB nên từ O bất kì ta có: = OI OA + OB . 2      0 nên bốn điểm A, B, C , D đồng phẳng. B. Vì AB + BC + CD + DA =    0 nên N là trung điểm đoạn NP . C. Vì NM + NP =       AB 2 AC − 8 AD ta suy ra ba vectơ AB, AC , AD đồng phẳng. D. Từ hệ thức =

(

)

Câu 9.

Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai?    A. Ba véctơ a, b, c đồng phẳng khi và chỉ khi ba véctơ đó có giá thuộc một mặt phẳng

B. Ba tia Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau từng đôi một thì ba tia đó không đồng phẳng.      C. Cho hai véctơ không cùng phương a và b . Khi đó ba véctơ a, b, c đồng phẳng khi và chỉ khi có    c ma + nb , ngoài ra cặp số m, n là duy nhất. cặp số m, n sao cho=        D. Nếu có ma + nb + pc = 0 và một trong ba số m, n, p khác 0 thì ba véctơ a, b, c đồng phẳng.    Câu 10. Cho ba vectơ a, b, c . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?        A. Nếu a, b, c không đồng phẳng thì từ ma + nb + pc = 0 ta suy ra m= n= p= 0 .        B. Nếu có ma + nb + pc = 0 , trong đó m 2 + n 2 + p 2 > 0 thì a, b, c đồng phẳng.        C. Với ba số thực m, n, p thỏa mãn m + n + p ≠ 0 ta có ma + nb + pc = 0 thì a, b, c đồng phẳng.       D. Nếu giá của a, b, c đồng qui thì a, b, c đồng phẳng. Câu 11. Cho hình hộp ABCD. A1 B1C1 D1 . Chọn khẳng định đúng.       BA1 , BD1 , BD đồng phẳng. A. BD, BD1 , BC1 đồng phẳng. B.       D. BA1 , BD1 , BC1 đồng phẳng. C. BA1 , BD1 , BC đồng phẳng. Câu 12. Cho hình hộp ABCD.EFGH . Gọi I là tâm hình bình hành ABEF và K là tâm hình bình hành BCGF . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?       A. BD, AK , GF đồng phẳng. B. BD, IK , GF đồng phẳng.       C. BD, EK , GF đồng phẳng. D. BD, IK , GC đồng phẳng. Câu 13. Cho hình hộp ABCD. A′B′C ′D′ . Gọi I và K lần lượt là tâm của hình bình hành ABB’ A’ và

BCC ′B′ . Khẳng định nào sau đây sai? A. Bốn điểm I , K , C , A đồng phẳng    C. Ba vectơ BD; IK ; B′C ′ không đồng phẳng.

 1  1  B.= IK = AC A′C ′ 2 2    2 BC D. BD + 2 IK =

Câu 14. Cho tứ diện ABCD . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AD, BC . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?    A. Các vectơ AB, DC , MN đồng phẳng.    C. Các vectơ AN , CM , MN đồng phẳng.

   B. Các vectơ AB, AC , MN không đồng phẳng.    D. Các vectơ BD, AC , MN đồng phẳng.

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

Câu 15. Cho hình hộp ABCD. A1 B1C1 D1 . Chọn khẳng định đúng?       A. BD, BD1 , BC1 đồng phẳng. B. CD1 , AD, A1 B1 đồng phẳng.       C. CD1 , AD, A1C đồng phẳng. D. AB, AD, C1 A đồng phẳng.

Chân Trời Sáng Tạo

Câu 16. Cho tứ diện ABCD . Trên các cạnh AD và BC lần lượt lấy M , N sao cho AM = 3MD ,

BN = 3 NC . Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của AD và BC . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

   A. Các vectơ BD, AC , MN đồng phẳng.    C. Các vectơ AB, DC , PQ đồng phẳng.

   B. Các vectơ MN , DC , PQ đồng phẳng.    D. Các vectơ AB, DC , MN đồng phẳng.

Câu 17. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng?     A. Từ AB = 3 AC ta suy ra BA = −3CA  1  B. Nếu AB = − BC thì B là trung điểm đoạn AC . 2    −2 AC + 5 AD nên bốn điểm A, B, C , D đồng phẳng C. Vì AB =     D. Từ AB = −3 AC ta suy ra CB = 2 AC .

Câu 18. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào là đúng?  1  A. Nếu AB = − BC thì B là trung điểm của đoạn AC . 2     B. Từ AB = −3 AC ta suy ra CB = AC.    −2 AC + 5 AD nên bốn điểm A, B, C , D cùng thuộc một mặt phẳng. C. Vì AB =     D. Từ AB = 3 AC ta suy ra BA = −3CA.     Câu 19. Cho tứ diện ABCD . Gọi E, F là các điểm thỏa nãm = EA kEB = , FD kFC còn P , Q , R là các       = PA lPD = , QE lQF = , RB lRC . Chứng minh ba điểm P , Q , R thẳng hàng.Khẳng điểm xác định bởi định nào sau đây là đúng? A. P, Q, R thẳng hàng

B. P, Q, R không đồng phẳng

C. P, Q, R không thẳng hàng

D. Cả A, B, C đều sai

Câu 20. Cho tứ diện ABCD . Lấy các điểm M , N , P, Q lần lượt thuộc AB, BC , CD, DA sao cho  1   2   1    = = AM = AB, BN BC , AQ = AD, DP k DC . Hãy xác định k để M , N , P, Q đồng phẳng. 3 3 2

A. k =

1 2

B. k =

1 3

C. k =

1 4

D. k =

1 5

Câu 21. Cho hình chóp S . ABC , mặt phẳng (α ) cắt các tia SA, SB, SC , SG ( G là trọng tâm tam giác

ABC ) lần lượt tại các điểm A ', B ', C ', G ' .Ta có A. 3

B. 4

SA SB SC SG . Hỏi k bằng bao nhiêu? + + = k SA ' SB ' SC ' SG '

C. 2

D. 1

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

Chân Trời Sáng Tạo

Câu 22. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Một mặt phẳng (α ) cắt các cạnh SA, SB, SC , SD lần lượt tại A ', B ', C ', D ' .Đẳng thức nào sau đây đúng?

A.

SA SC SB SD +2 = +2 SA ' SC ' SB ' SD '

B.

SA SC SB SD + = + SA ' 2 SC ' SB ' 2 SD '

C.

SA SC SB SD + = + SA ' SC ' SB ' SD '

D.

SA SC SB SD − = − SA ' SC ' SB ' SD '

Câu 23. Cho hình chóp S . ABC có= SA a= , SB b= , SC c . Một mặt phẳng (α ) luôn đi qua trọng tâm của tam giác ABC , cắt các cạnh SA, SB, SC lần lượt tại A ', B ', C ' . Tìm giá trị nhỏ nhất của 1 1 1 . + + 2 2 SA ' SB ' SC '2

A.

3 a + b2 + c2 2

B.

2 a + b2 + c2 2

C.

2 a + b2 + c2 2

D.

9 a + b2 + c2 2

Câu 24. Cho tứ diện ABCD , M là một điểm nằm trong tứ diện. Các đường thẳng AM , BM , CM , DM cắt các mặt ( BCD ) , ( CDA ) , ( DAB ) , ( ABC ) lần lượt tại A ', B ', C ', D ' . Mặt phẳng (α ) đi qua M và song song với ( BCD ) lần lượt cắt A ' B ', A ' C ', A ' D ' tại các điểm B1 , C1 , D1 .Khẳng định nào sau đây là đúng nhất. A. M là trọng tâm của tam giác B1C1 D1 . B. M là trực tâm của tam giác B1C1 D1 . C. M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác B1C1 D1 . D. M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác B1C1 D1 . Câu 25. Cho tứ diện ABCD có BC = DA = a , CA = DB = b , AB = DC = c . Gọi S là diện tích toàn phần ( tổng diện tích tất cả các mặt). Tính giá trị lớn nhất của A.

9 S2

B.

3 S

C.

1 1 1 + 2 2+ 2 2. ab bc ca 2 2

2 S2

D.

2 S

Câu 26. Giả sử M , N , P là ba điểm lần lượt nằm trên ba cạnh SA, SB, SC cỏa tứ diện SABC . Gọi I là giao điểm của ba mặt phẳng

( BCM ) , ( CAN ) , ( ABP )

( ANP ) , ( BPM ) , ( CMN ) . Ta được

S , I , J thẳng hàng tính đẳng thức nào sau đây đúng?

và J là giao điểm của ba mặt phẳng

A.

MS NS PS 1 JS + + + = MA NB PC 2 JI

B.

MS NS PS 1 JS + + + = MA NB PC 4 JI

C.

MS NS PS 1 JS + + + = MA NB PC 3 JI

D.

MS NS PS JS + + +1 = MA NB PC JI

  = SB = SC = a,  Câu 27. Cho hình chóp S . ABC có SA ASB = BSC = CSA = α . Gọi ( β ) là mặt phẳng đi qua A và các trung điểm của SB, SC . Tính diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng ( β ) .

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025 2

A.= S

a 2

C. S =

a2 7 cos 2 α − 6 cos α + 9 8

7 cos 2 α − 16 cos α + 9

2

B. S =

a 2

D.= S

a2 7 cos 2 α − 16 cos α + 9 8

7 cos 2 α − 6 cos α + 9

Chân Trời Sáng Tạo

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

Chân Trời Sáng Tạo

CHỦ ĐỀ 3 BA VECTƠ ĐỒNG PHẲNG VÀ KHÔNG ĐỒNG PHẲNG Tham khảo thêm

♦ Chứng minh ba vec tơ đồng phẳng và bốn điểm đồng phẳng, phân tích một vectơ theo ba vectơ không đồng phẳng. + Để chứng minh ba vectơ đồng phẳng, ta có thể chứng minh bằng một trong các cách: • Chứng minh các giá của ba vectơ cùng song song với một mặt phẳng.       c ma + nb thì a, b , c đồng • Dựa vào điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Nếu có m, n ∈ R: = phẳng

    + Để phân tích một vectơ x theo ba vectơ a, b , c không đồng phẳng, ta tìm các số m, n, p sao     cho: x = ma + nb + pc ♦ Tính độ dài của đoạn thẳng, véctơ. 2  2  + Để tính độ dài của một đoạn thẳng theo phương pháp vec tơ ta sử dụng cơ sở a = a ⇒ a =

2 a .

Vì vậy để tính độ dài của đoạn MN ta thực hiện theo các bước sau:    • Chọn ba vec tơ không đồng phẳng a , b , c so cho độ dài của chúng có thể tính được và góc giữa chúng có thể tính được.     • Phân tích MN = ma + nb + pc  • Khi đó MN= MN= =

 2 MN =

(

   ma + nb + pc

)

2

2 2 2       m2 a + n2 b + p 2 c + 2 mn cos a , b + 2np cos b , c + 2mp cos c , a

( )

( )

( )

♦ Sử dụng điều kiện đồng phẳng của bốn điểm để giải bài toán hình không gian. Sử dụng các kết quả







• A , B, C , D là bốn điểm đồng phẳng ⇔ DA = mDB + nDC

• A , B, C , D là bốn điểm đồng phẳng khi và chỉ khi với mọi điểm O bất kì ta có

    1. OD = xOA + yOB + zOC trong đó x + y + z =

Câu 1.

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng.

A. Ba véctơ đồng phẳng là ba véctơ cùng nằm trong một mặt phẳng.       c ma + nb với m, n là các số duy nhất. B. Ba véctơ a, b, c đồng phẳng thì có=      C. Ba véctơ không đồng phẳng khi có d = ma + nb + pc với d là véctơ bất kì. D. Ba véctơ đồng phẳng là ba véctơ có giá cùng song song với một mặt phẳng.

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

Lời giải

Chân Trời Sáng Tạo

Chọn D. Câu A sai vì ba véctơ đồng phẳng là ba véctơ có giá cùng song song với cùng một mặt phẳng.   Câu B sai vì thiếu điều kiện 2 véctơ a, b không cùng phương.         Câu C sai vì d = ma + nb + pc với d là véctơ bất kì không phải là điều kiện để 3 véctơ a, b, c đồng phẳng. Câu 2.

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?    A. Nếu giá của ba vectơ a, b, c cắt nhau từng đôi một thì ba vectơ đó đồng phẳng.     B. Nếu trong ba vectơ a, b, c có một vectơ 0 thì ba vectơ đó đồng phẳng.    C. Nếu giá của ba vectơ a, b, c cùng song song với một mặt phẳng thì ba vectơ đó đồng phẳng.    D. Nếu trong ba vectơ a, b, c có hai vectơ cùng phương thì ba vectơ đó đồng phẳng. Lời giải

Chọn A. + Nắm vững khái niệm ba véctơ đồng phẳng.   Câu 3. Cho ba vectơ a, b, c không đồng phẳng. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?             A. Các vectơ x =a + b + 2c; y =2a − 3b − 6c; z =−a + 3b + 6c đồng phẳng.             B. Các vectơ x =a − 2b + 4c; y =3a − 3b + 2c; z =2a − 3b − 3c đồng phẳng.             C. Các vectơ x =a + b + c; y =2a − 3b + c; z =− a + 3b + 3c đồng phẳng.             D. Các vectơ x =a + b − c; y =2a − b + 3c; z =−a − b + 2c đồng phẳng. Lời giải Chọn B.

      Các vectơ x, y, z đồng phẳng ⇔ ∃m, n := x m y + nz    Mà := x m y + nz          ⇔ a − 2b + 4= c m 3a − 3b + 2c + n 2a − 3b − 3c

(

) (

)

1 3m + 2n =  ⇔ −3m − 3n =−2 (hệ vô nghiệm) 2m − 3n = 4     Vậy không tồn tại hai số m, n := x m y + nz       Câu 4. Cho ba vectơ a, b, c . Điều kiện nào sau đây khẳng định a, b, c đồng phẳng?     A. Tồn tại ba số thực m, n, p thỏa mãn m + n + p = 0. 0 và ma + nb + pc =     B. Tồn tại ba số thực m, n, p thỏa mãn m + n + p ≠ 0 và ma + nb + pc = 0.     C. Tồn tại ba số thực m, n, p sao cho ma + nb + pc = 0.    D. Giá của a, b, c đồng qui.

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

Lời giải

Chân Trời Sáng Tạo

Chọn B. Theo giả thuyết m + n + p ≠ 0 ⇒ tồn tại ít nhất một số khác 0 .      n p Giả sử m ≠ 0 . Từ ma + nb + pc = − b− c. 0⇒a = m m    a, b, c đồng phẳng (theo định lý về sự đồng phẳng của ba véctơ).              Câu 5. Cho ba vectơ a, b, c không đồng phẳng. Xét các vectơ x =2a + b; y =a − b − c; z =−3b − 2c .

Chọn khẳng định đúng?    A. Ba vectơ x; y; z đồng phẳng.   C. Haivectơ x; b cùng phương.

  B. Haivectơ x; a cùng phương.    D. Bavectơ x; y; z đôi một cùng phương.

Lời giải Chọn A.  1      Ta có:= y x + z nên ba vectơ x; y; z đồng phẳng. 2

(

)

Câu 6.

Hãy chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau đây:    A. Ba véctơ a, b, c đồng phẳng nếu có hai trong ba véctơ đó cùng phương.     B. Ba véctơ a, b, c đồng phẳng nếu có một trong ba véctơ đó bằng véctơ 0 .       C. véctơ x = a + b + c luôn luôn đồng phẳng với hai véctơ a và b .    D. Cho hình hộp ABCD. A’B’C’D’ ba véctơ AB′, C ′A′, DA′ đồng phẳng Lời giải

Chọn C.

B'

C'

D'

A'

a

b A

A. Đúng vì theo định nghĩa đồng phẳng. B. Đúng vì theo định nghĩa đồng phẳng. C. Sai

C

B

c

D

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

Chân Trời Sáng Tạo

      DA′ = AA′ − AD =− a c           a b ⇒ AB′ = DA′ − CA ⇒ 3 vectơ AB′, C ′A′, DA′ đồng phẳng. D. Đúng vì  AB′ =+      ′ ′ C A = CA = − b −c  Câu 7.

Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào là sai?       AB 2 AC − 8 AD ta suy ra ba véctơ AB, AC , AD đồng phẳng. A. Từ hệ thức=    0 nên N là trung điểm của đoạn MP. B. Vì NM + NP =  1   C. Vì I là trung điểm của đoạn AB nên từ một điẻm O bất kì ta có = OI OA + OB. 2      0 nên bốn điểm A, B, C , D cùng thuộc một mặt phẳng. D. Vì AB + BC + CD + DA =

(

)

Lời giải Chọn D. A Đúng theo định nghĩa về sự đồng phẳng của 3 véctơ. B. Đúng

      C. Đúng vì OA + OB = OI + IA + OI + IB       0 (vì I là trung điểm AB ) ⇒ OA + OB = 2OI . Mà IA + IB = D. Sai vì không đúng theo định nghĩa sự đồng phẳng. Câu 8.

Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai?

 1   A. Vì I là trung điểm đoạn AB nên từ O bất kì ta có: = OI OA + OB . 2      0 nên bốn điểm A, B, C , D đồng phẳng. B. Vì AB + BC + CD + DA =    0 nên N là trung điểm đoạn NP . C. Vì NM + NP =       AB 2 AC − 8 AD ta suy ra ba vectơ AB, AC , AD đồng phẳng. D. Từ hệ thức =

(

)

Lời giải Chọn B.      0 đúng với mọi điểm A, B, C , D nên câu B sai. Do AB + BC + CD + DA = Câu 9.

Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai?    A. Ba véctơ a, b, c đồng phẳng khi và chỉ khi ba véctơ đó có giá thuộc một mặt phẳng

B. Ba tia Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau từng đôi một thì ba tia đó không đồng phẳng.      C. Cho hai véctơ không cùng phương a và b . Khi đó ba véctơ a, b, c đồng phẳng khi và chỉ khi có    c ma + nb , ngoài ra cặp số m, n là duy nhất. cặp số m, n sao cho=        D. Nếu có ma + nb + pc = 0 và một trong ba số m, n, p khác 0 thì ba véctơ a, b, c đồng phẳng. Lời giải Chọn A.

   Ba véctơ a, b, c đồng phẳng khi và chỉ khi ba véctơ đó có giá song song hoặc thuộc một mặt phẳng. Câu

A sai

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

Chân Trời Sáng Tạo

   Câu 10. Cho ba vectơ a, b, c . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?        A. Nếu a, b, c không đồng phẳng thì từ ma + nb + pc = 0 ta suy ra m= n= p= 0 .        B. Nếu có ma + nb + pc = 0 , trong đó m 2 + n 2 + p 2 > 0 thì a, b, c đồng phẳng.        C. Với ba số thực m, n, p thỏa mãn m + n + p ≠ 0 ta có ma + nb + pc = 0 thì a, b, c đồng phẳng.       D. Nếu giá của a, b, c đồng qui thì a, b, c đồng phẳng.

Lời giải Chọn D. Câu D sai. Ví dụ phản chứng 3 cạnh của hình chóp tam giác đồng qui tại 1 đỉnh nhưng chúng không đồng phẳng. Câu 11. Cho hình hộp ABCD. A1 B1C1 D1 . Chọn khẳng định đúng.       BA1 , BD1 , BD đồng phẳng. A. BD, BD1 , BC1 đồng phẳng. B.       D. BA1 , BD1 , BC1 đồng phẳng. C. BA1 , BD1 , BC đồng phẳng. Lời giải Chọn C.

   Ta có 3 véctơ BA1 , BD1 , BC đồng phẳng vì chúng có giá cùng nằm trên mặt phẳng ( BCD1 A1 ) . Câu 12. Cho hình hộp ABCD.EFGH . Gọi I là tâm hình bình hành ABEF và K là tâm hình bình hành BCGF . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?       A. BD, AK , GF đồng phẳng. B. BD, IK , GF đồng phẳng.       C. BD, EK , GF đồng phẳng. D. BD, IK , GC đồng phẳng. Lời giải Chọn B. D

C

A

B K I H

E

G

F

 IK //( ABCD)     + GF //( ABCD) ⇒ IK , GF , BD đồng phẳng. BD ⊂ (ABCD)  + Các bộ véctơ ở câu A, C , D không thể có giá cùng song song với một mặt phẳng.

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

Chân Trời Sáng Tạo

Câu 13. Cho hình hộp ABCD. A′B′C ′D′ . Gọi I và K lần lượt là tâm của hình bình hành ABB’ A’ và

BCC ′B′ . Khẳng định nào sau đây sai?  1  1  B.= IK = AC A′C ′ 2 2    2 BC D. BD + 2 IK =

A. Bốn điểm I , K , C , A đồng phẳng    C. Ba vectơ BD; IK ; B′C ′ không đồng phẳng.

Lời giải Chọn C.

A'

D'

B'

C' I A

K

D

B

C

  A. Đúng vì IK , AC cùng thuộc ( B′AC )

   1   1   1   1  1  B. Đúng vì IK = IB′ + B ' K = a + b + −a + c = b + c = AC = A′C ′. 2 2 2 2 2    1   1   1   C. Sai vì IK= IB′ + B ' K= a + b + −a + c = b+c . 2 2 2         ⇒ BD + 2 IK =−b + c + b + c =2c =2 B′C ′ ⇒ ba véctơ đồng phẳng.          D. Đúng vì theo câu C ⇒ BD + 2 IK =−b + c + b + c =2c =2 B′C ′ =2 BC.

(

(

) (

) (

(

)

)

)

(

)

Câu 14. Cho tứ diện ABCD . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AD, BC . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?    A. Các vectơ AB, DC , MN đồng phẳng.    C. Các vectơ AN , CM , MN đồng phẳng.

   B. Các vectơ AB, AC , MN không đồng phẳng.    D. Các vectơ BD, AC , MN đồng phẳng.

Lời giải Chọn C.

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

Chân Trời Sáng Tạo

A

M

B

D N C

 1   A. Đúng vì= MN AB + DC . 2

(

)

  B. Đúng vì từ N ta dựng véctơ bằng véctơ MN thì MN không nằm trong mặt phẳng ( ABC ) .  C. Sai. Tương tự đáp án B thì AN không nằm trong mặt phẳng ( CMN ) .  1   D. Đúng vì= MN AC + BD . 2

(

)

Câu 15. Cho hình hộp ABCD. A1 B1C1 D1 . Chọn khẳng định đúng?       B. CD1 , AD, A1 B1 đồng phẳng. A. BD, BD1 , BC1 đồng phẳng.       C. CD1 , AD, A1C đồng phẳng. D. AB, AD, C1 A đồng phẳng. Lời giải Chọn C.

D A

C B

D1 A

C B1

+ M , N , P, Q lần lượt là trung điểm của AB, AA1 , DD1 , CD .    Ta có CD1 / /( MNPQ); AD / / ( MNPQ ) ; A1C / /( MNPQ) ⇒ CD1 , AD, A1C đồng phẳng.

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

Chân Trời Sáng Tạo

Câu 16. Cho tứ diện ABCD . Trên các cạnh AD và BC lần lượt lấy M , N sao cho AM = 3MD ,

BN = 3 NC . Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của AD và BC . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

   B. Các vectơ MN , DC , PQ đồng phẳng.    D. Các vectơ AB, DC , MN đồng phẳng.

   A. Các vectơ BD, AC , MN đồng phẳng.    C. Các vectơ AB, DC , PQ đồng phẳng.

Lời giải Chọn A. A

P M B

D Q N C

  MN = A. Sai vì    MN =

        MN = MA + AC + CN MA + AC + CN    ⇒      MD + DB + BN 3MN = 3MD + 3DB + 3BN

   1     ⇒ 4 MN =AC − 3BD + BC ⇒ BD, AC , MN không đồng phẳng. 2         1    MN = MP + PQ + QN B. Đúng vì      ⇒ 2 MN = PQ + DC ⇒ MN = PQ + DC 2  MN = MD + DC + CN    ⇒ MN , DC , PQ : đồng phẳng.

(

)

 1    C. Đúng. Bằng cách biểu diễn PQ tương tự như trên ta có= PQ AB + DC . 2  1  1  D. Đúng. Biểu diễn giống đáp án A ta có = MN AB + DC . 4 4

(

Câu 17. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng?     A. Từ AB = 3 AC ta suy ra BA = −3CA  1  B. Nếu AB = − BC thì B là trung điểm đoạn AC . 2    −2 AC + 5 AD nên bốn điểm A, B, C , D đồng phẳng C. Vì AB =     D. Từ AB = −3 AC ta suy ra CB = 2 AC .

Lời giải

)

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

Chọn C.

Chân Trời Sáng Tạo

A

M

G B

D

N C

   −2 AC + 5 AD Ta có: AB =    Suy ra: AB, AC , AD hay bốn điểm A, B, C , D đồng phẳng. Câu 18. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào là đúng?  1  A. Nếu AB = − BC thì B là trung điểm của đoạn AC . 2     B. Từ AB = −3 AC ta suy ra CB = AC.    −2 AC + 5 AD nên bốn điểm A, B, C , D cùng thuộc một mặt phẳng. C. Vì AB =     D. Từ AB = 3 AC ta suy ra BA = −3CA. Lời giải Chọn C.  1  A. Sai vì AB = − BC ⇒ A là trung điểm BC . 2

C

A

B

    B. Sai vì AB − 3 AC ⇒ CB = −4 AC .

C

B

A

C. Đúng theo định lý về sự đồng phẳng của 3 véctơ.     D. Sai vì AB = 3 AC ⇒ BA = 3CA (nhân 2 vế cho −1 ).

    Câu 19. Cho tứ diện ABCD . Gọi E, F là các điểm thỏa nãm = EA kEB = , FD kFC còn P , Q , R là các       = PA lPD = , QE lQF = , RB lRC . Chứng minh ba điểm P , Q , R thẳng hàng.Khẳng điểm xác định bởi

định nào sau đây là đúng? A. P, Q, R thẳng hàng C. P, Q, R không thẳng hàng

B. P, Q, R không đồng phẳng D. Cả A, B, C đều sai

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

Chân Trời Sáng Tạo

Lời giải

Chọn C.

A E p Q

B R

D

F

C     Ta có PQ = PA + AE + EQ (1)     PQ = PD + DF + FQ ( 2 )     Từ ( 2 ) ta có l PQ = l PD + l DF + l FQ ( 3)    Lấy (1) − ( 3) theo vế ta có : (1− l ) PQ = AE − l DF  ⇒ PQ =

l  1  AE − DF 1− l 1− l  1  l  Tương = tự QR EB − FC 1− l 1− l       1  l  −k  kl  Mặt khác EA k= EB, FD k FC nên PQ = = AE − DF = EB − FC = −kQR 1− l 1− l 1− l 1− l

Vậy P, Q, R thẳng hàng. Câu 20. Cho tứ diện ABCD . Lấy các điểm M , N , P, Q lần lượt thuộc AB, BC , CD, DA sao cho  1   2   1    = = AM = AB, BN BC , AQ = AD, DP k DC . Hãy xác định k để M , N , P, Q đồng phẳng. 3 3 2

A. k =

1 2

B. k =

1 3

C. k = Lời giải

Chọn A.

1 4

D. k =

1 5

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

Chân Trời Sáng Tạo

A M

Q

D

B N

C

P

Cách 1.  1     2  1  Ta có AM =AB ⇒ BM − BA = − BA ⇒ BM = BA . 3 3 3  2  Lại có BN = BC do đó MN  AC . 3

PQ  AC Vậy Nếu M , N , P, Q đồng phẳng thì ( MNPQ ) ∩ ( ACD ) =  1  PC QA 1 . = = 1 hay DP = DC ⇒= k PD QD 2 2       Cách 2. Đặt= DA a= , DB b= , DC c thì không khó khăn ta có các biểu diễn

⇒

   2  2   2 1 1 1 MN = − a + b , MP = − a− b − a − b + kc , MN = 3 3 6 3 3 3

   Các điểm M , N , P, Q đồng phẳng khi và chỉ khi các vec tơ MN , MP, MQ đồng phẳng    ⇔ ∃x, y : = MP xMN + yMQ

 2 1  2  2   1  1  ⇔ − a − b + kc = x  − a + c  + y  − a − b  3 3 3  3   3  6   Do các vec tơ a, b,c không đồng phẳng nên điều này tương đương với

1 2  2 − − 3 x − 6 y = 3  1 3 1  1 − ⇔ x=,y= 1, k = . − y = 3 4 2  3 2 3 x = k  Câu 21. Cho hình chóp S . ABC , mặt phẳng (α ) cắt các tia SA, SB, SC , SG ( G là trọng tâm tam giác

ABC ) lần lượt tại các điểm A ', B ', C ', G ' .Ta có A. 3

B. 4

SA SB SC SG . Hỏi k bằng bao nhiêu? + + = k SA ' SB ' SC ' SG '

C. 2 Lời giải

Chọn A.

D. 1

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

Chân Trời Sáng Tạo

S

A'

B' C'

G'

B

A

G C

        Do G là trọng tâm của ∆ABC nên GA + GB + GC =0 ⇒ 3SG =SA + SB + SC ⇔3

SG  SA  SB  SC  SG ' = SA ' + SB ' + SC ' SG ' SA ' SB ' SC '

Mặt khác A ', B ', C ', G ' đồng phẳng nên:

SA SB SC SG . + + = 3 SA ' SB ' SC ' SG '

Chú ý: Ta có một kết quả quen thuộc trong hình học phẳng :     0 trong đó S a , Sb , Sc lần Nếu M là điểm thuộc miền trong tam giác ABC thì S a MA + Sb MB + Sc MC = lượt là diện tích các tam giác MBC , MCA, MAB . Vì vậy ta có bài toán tổng quát hơn như sau: Cho hình chóp S . ABC , mặt phẳng (α ) cắt các tia SA, SB, SC , SM ( M là điểm thuộc miền trong tam giác ABC ) lần lượt tại các điểm A ', B ', C ', M ' . Chứng minh:

S a SA Sb SB Sc SC S .SM + + = . ( Với S a , Sb , Sc lần lượt là diện tích các tam giác SA ' SB ' SC ' SM '

MBC , MCA, MAB và S là diện tích tam giác ABC ).

Câu 22. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Một mặt phẳng (α ) cắt các cạnh SA, SB, SC , SD lần lượt tại A ', B ', C ', D ' .Đẳng thức nào sau đây đúng?

A.

SA SC SB SD +2 = +2 SA ' SC ' SB ' SD '

B.

SA SC SB SD + = + SA ' 2 SC ' SB ' 2 SD '

C.

SA SC SB SD + = + SA ' SC ' SB ' SD '

D.

SA SC SB SD − = − SA ' SC ' SB ' SD '

Lời giải Chọn C.

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

Chân Trời Sáng Tạo

S

A'

C'

D'

B' C

D O A

B

Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD thì      SA + SC = SB + SD = 2 SO ⇔

SA  SB  SB  SC  SA ' + SC ' = SB ' + SC ' SA ' SB ' SB ' SC '

Do A ', B ', C ', D ' đồng phẳng nên đẳng thức trên ⇔

SA SC SB SD . + = + SA ' SC ' SB ' SD '

Câu 23. Cho hình chóp S . ABC có= , SB b= , SC c . Một mặt phẳng (α ) luôn đi qua trọng tâm SA a= của tam giác ABC , cắt các cạnh SA, SB, SC lần lượt tại A ', B ', C ' . Tìm giá trị nhỏ nhất của 1 1 1 . + + 2 2 SA ' SB ' SC '2

A.

3 a + b2 + c2 2

B.

2 a + b2 + c2 2

C.

2 a + b2 + c2 2

D.

Lời giải Chọn D.

    Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC . Ta có 3SG = SA + SB + SC =

SA  SB  SC  SA ' + SB ' + SC ' . SA ' SB ' SC '

Mà G, A ', B ', C ' đồng phẳng nên

SA SB SC a b c + + =⇔ 3 + + = 3 SA ' SB ' SC ' SA ' SB ' SC '

Theo BĐT Cauchy schwarz: 1 1  2 b c   1  a Ta có  + + a + b2 + c2 ) ≥  + +  2 2 2 (  SA ' SB ' SC '   SA ' SB ' SC ' 

⇔

1 1 1 9 . + + ≥ 2 2 2 2 SA ' SB ' SC ' a + b2 + c2

Đẳng thức xảy ra khi

2

9 a + b2 + c2 2

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

1 1 1 a b c kết hợp với = = + + = 3 ta được aSA ' bSB ' cSC ' SA ' SB ' SC '

SA '

Chân Trời Sáng Tạo

a 2 + b2 + c2 a 2 + b2 + c2 a 2 + b2 + c2 . = , SB ' = , SC ' 3a 3b 3c

Vậy GTNN của

9 1 1 1 là 2 . + + 2 2 2 a + b2 + c2 SA ' SB ' SC '

Câu 24. Cho tứ diện ABCD , M là một điểm nằm trong tứ diện. Các đường thẳng AM , BM , CM , DM cắt các mặt ( BCD ) , ( CDA ) , ( DAB ) , ( ABC ) lần lượt tại A ', B ', C ', D ' . Mặt phẳng (α ) đi qua M và song song với ( BCD ) lần lượt cắt A ' B ', A ' C ', A ' D ' tại các điểm B1 , C1 , D1 .Khẳng định nào sau đây là đúng nhất. A. M là trọng tâm của tam giác B1C1 D1 . B. M là trực tâm của tam giác B1C1 D1 . C. M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác B1C1 D1 . D. M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác B1C1 D1 . Lời giải Chọn D.

A

B' M B

B1

D

A' C

Vì M nằm trong tứ diện ABCD nên      tồn tại x, y, z , t > 0 sao cho xMA + yMB + zMC + tMD = 0 (1) Gọi (α ) là mặt phẳng đi qua M và song song với mặt phẳng ( BCD ) .

(α )  ( BCD )  Ta có ( BB ' A ') ∩ (α= ) MB1 ⇒ MB1  BA ' .  BA ' ( BB ' A ') ∩ ( BCD ) = Do đó

MB1 MB '  MB '  = ⇒ MB1 = BA ' BA ' BB ' BB '

( 2)

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

Chân Trời Sáng Tạo

Trong (1) , chiếu các vec tơ lên đường thẳng BB ' theo phương ( ACD ) ta được:         xMB ' + yMB + zMB ' + tMB ' = 0 ⇒ ( x + y + z ) MB ' + yMB = 0   MB ' y ⇒ ( x + y + z + t ) MB =' yBB ' ⇒ = BB ' x + y + z + t  Từ ( 2 ) suy ra MB1 =

 y BA ' x+ y+ z +t

 Tương tự ta có MC1 =  MD1 =

 z CA ' x+ y+ z +t

 z DA ' x+ y+ z +t

( 3) ( 4)

( 5)

Mặt khác chiếu các vec tơ trong (1) lên mặt phẳng ( BCD ) theo phương AA ' tì thu được     y A ' B + z A 'C + t A ' D = 0 . Vậy từ ( 3) , ( 4 ) , ( 5 ) ta có    MB1 += MC1 + MD1

    1 = ' + t DA ' 0 , hay M là trọng tâm của tam giác B1C1 D1 . yBA ' + zCA x+ y+ z +t

(

)

Câu 25. Cho tứ diện ABCD có BC = DA = a , CA = DB = b , AB = DC = c . Gọi S là diện tích toàn phần ( tổng diện tích tất cả các mặt). Tính giá trị lớn nhất của A.

9 S2

B.

3 S

C.

1 1 1 + 2 2+ 2 2. ab bc ca 2 2

2 S2

D.

2 S

Lời giải Chọn A.

∆ADC = ∆DAB = ∆CBA . Do tứ diện ABCD có BC = DA = a, CA = DB = b, AB = DC = c nên ∆BCD = Gọi S ' là diện tích và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp mỗi mặt đó thì= S 4= S' thức cần chứng minh

abc , nên bất đẳng R

1 1 1 9 + 2 2 + 2 2 ≤ 2 ⇔ a 2 + b2 + c2 ≤ 9R 2 . ab bc ca S 2 2

Theo công thức Leibbnitz: Với điểm M bất kì và G là trọng tâm của tam giác ABC thì MA2 + MB 2 + MC 2= GA2 + GB 2 + BC 2 + 3MG 2=

1 2 ( a + b2 + c 2 + 9MG 2 ) 3

Cho M trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ta được 9 R 2 = aa 2 + b 2 + c 2 + 9OG 2 ≥ a 2 + b 2 + c 2 .

Câu 26. Giả sử M , N , P là ba điểm lần lượt nằm trên ba cạnh SA, SB, SC cỏa tứ diện SABC . Gọi I là giao điểm của ba mặt phẳng

( BCM ) , ( CAN ) , ( ABP )

( ANP ) , ( BPM ) , ( CMN ) . Ta được

S , I , J thẳng hàng tính đẳng thức nào sau đây đúng?

A.

MS NS PS 1 JS + + + = MA NB PC 2 JI

B.

và J là giao điểm của ba mặt phẳng

MS NS PS 1 JS + + + = MA NB PC 4 JI

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

C.

MS NS PS 1 JS + + + = MA NB PC 3 JI

D.

MS NS PS JS + + +1 = MA NB PC JI

Chân Trời Sáng Tạo

Lời giải Chọn D.

S

M

P

F J

T N

I

A

E C

B T AN ∩ BM . Goi E = BP ∩ CN , F = CM ∩ AP,=

J. I BF ∩ CT trong ( ANP ) có NF ∩ PT = Trong ( BCM ) có=             Đặt= và SM xMA , SB b= , SC c = = , SN y= NB, Sp zPC SA a=  Ta có SM =

x   y   z  = a, SN = b, SP c ( x > 0, y > 0, z > 0 ) . x +1 y +1 z +1         = + 1 − ST α SM α SB ( ) ∈ T AN   ⇒   T AN ∩ BM nên  Do= = β SN + (1 − β ) SA   ⇒ α SM + (1 − α ) SB T ∈ BM  ST= β SN + (1 − β ) SA ⇔

αx 

 a + (1 − α= )b

βy 

 b + (1 − β ) a .

x +1

y +1

x   αx α= = 1− β       x + y + 1  x y  x +1  Vì a, b không cùng phương nên ta có  ⇔ ⇒ = ST a+ b. y x + y +1 x + y +1  β y = 1−α β =  x + y +1  y + 1

      y z z x Hoàn toàn tương tự tacó : SE = b + c, SF = c + a. y + z +1 y + z +1 z + x +1 z + x +1

I BF ∩ CT và NF ∩ PT = J ta được : Làm tương tự như trên đối với hai giao điểm=  SI

       1 1 xa + yb= + zc , SJ xa + yb + zc x + y + z +1 x+ y+z+2

(

)

 x + y + z + 1   SI ⇒ SJ = Suy ra SJ = x+ y+z+2

(



( x + y + z + 1) IJ

)

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

Vậy S , I , J thẳng hàng và

SI SM SN SP = x + y + z +1 = + + + 1. IJ MA NB PC

Chân Trời Sáng Tạo

  = SB = SC = a,  Câu 27. Cho hình chóp S . ABC có SA ASB = BSC = CSA = α . Gọi ( β ) là mặt phẳng đi qua A và các trung điểm của SB, SC . Tính diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng ( β ) . A.= S

a2 7 cos 2 α − 16 cos α + 9 2

B. = S

a2 7 cos 2 α − 6 cos α + 9 2

C. = S

a2 7 cos 2 α − 6 cos α + 9 8

D.= S

a2 7 cos 2 α − 16 cos α + 9 8

Lời giải Chọn D.

S

B' C'

A

B

C Gọi B ', C ' lần lượt là trung điểm của SB, SC . Thiết diện là tam giác AB ' C ' .

  1 AB '2 AC '2 − AB '. AC ' 2    1   Ta có AB ' = SB ' − SA = SB − SA 2

(

= S AB 'C '

⇒ AB '2=

)

2

 a 2 1 2 = SB + SA2 − SASB ( 5 − 4 cos α ) . 4 4

  a 2 Tính tương tự, ta có: AB '= AC ' ( 4 − 3cos α ) . 4 Vậy = SAB'C '

2 2 a2 1 a4 a4 7 cos 2 α − 16 cos α + 9 . 5 − 4 cos α ) − ( 4 − 3 cos α= ( ) 8 2 16 16

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

Chân Trời Sáng Tạo

BÀI 2 TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

1. Hệ trục tọa độ trong không gian Hệ trục gồm ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc nhau được gọi là hệ trục tọa độ vuông góc Oxyz trong không gian, hay đơn giản gọi là hệ trục tọa độ Oxyz .

Chú ý:

  • Ta gọi i, j , k lần lượt là các vectơ đơn vị trên các trục Ox, Oy, Oz .

• Trong không gian Oxyz , ta gọi: + Điểm O(0;0;0) là gốc tọa độ. + Trục Ox : trục hoành, Trục Oy : trục tung, Trục Oz : trục cao. + Các mặt phẳng ( Oxy ) , ( Oyz ) , ( Ozx ) là các mặt phẳng tọa độ. • Không gian với hệ trục tọa độ Oxyz còn được gọi là không gian Oxyz . • Các mặt phẳng tọa độ ( Oxy ) , ( Oyz ) , ( Ozx ) đôi một vuông góc nhau. 2. Tọa độ của điểm và vectơ a. Tọa độ của điểm

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm M . Nếu OM =xi + y j + zk thì ta gọi bộ ba số

( x; y; z ) là tọa độ của điểm M đối với hệ trục tọa độ Oxyz và viết M = ( x; y; z ) hoặc M ( x; y; z ) của

điểm M .

b. Tọa độ của vectơ

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

Chân Trời Sáng Tạo

     Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho vectơ a . Nếu a =a1 i + a2 j + a3 k thì ta gọi bộ ba số   (a1 ; a2 ; a3 ) là tọa độ của vectơ a đối với hệ trục tọa độ Oxyz và viết vectơ a = (a1 ; a2 ; a3 ) hoặc  a (a1 ; a2 ; a3 ) .

Chú ý: Trong không gian Oxyz , ta có:           • Nếu a =a1 i + a2 j + a3 k thì a = (a1 ; a2 ; a3 ) . Ngược lại, nếu a = (a1 ; a2 ; a3 ) thì a =a1 i + a2 j + a3 k .   = ( x; y; z ) ⇔ OM = ( x; y; z ) • Tọa độ của điểm M là tọa độ của vectơ OM : M x = x '      • Điều kiện hai vectơ bằng nhau: Cho a (= = x; y; z ), b ( x '; y '; z ') , khi đó a = b ⇔  y =y ' z = z '   • Vectơ đơn vị trên trục Ox có tọa độ là i = (1;0;0) .  Vectơ đơn vị trên trục Oy có tọa độ là j = (0;1;0) .  Vectơ đơn vị trên trục Oz có tọa độ là k = (0;0;1).

QUY TẮC CHIẾU ĐẶC BIỆT Chiếu điểm trên trục tọa độ Chieáu vaøo Ox • Điểm M ( xM ; yM ; zM )   M1 ( xM ;0;0) ( Giöõ nguyeân x ) Chieáu vaøo Oy • Điểm M ( xM ; yM ; zM )   M2 (0; yM ;0) ( Giöõ nguyeân y ) Chieáu vaøo Oz • Điểm M ( xM ; yM ; zM )   M3 (0;0; zM ) ( Giöõ nguyeân z )

Chiếu điểm trên mặt phẳng tọa độ Chieáu vaøo Oxy • Điểm M ( xM ; yM ; zM )   M1 ( xM ; yM ;0) ( Giöõ nguyeân x , y ) Chieáu vaøo Oyz • Điểm M ( xM ; yM ; zM )   M2 (0; yM ; zM ) ( Giöõ nguyeân y, z ) Chieáu vaøo Oxz • Điểm M ( xM ; yM ; zM )   M3 ( xM ;0; zM ) ( Giöõ nguyeân x , z )

Đối xứng điểm qua trục tọa độ Ñoái xöùng qua Ox • M ( xM ; yM ; zM )   M1 ( xM ; yM ;zM ) ( Giöõ nguyeân x; ñoåi daáu y, z ) Ñoái xöùng qua Oy • M ( xM ; yM ; zM )   M2 (xM ; yM ;zM ) ( Giöõ nguyeân y; ñoåi daáu x , z )

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

Chân Trời Sáng Tạo

• M ( xM ; yM ; zM )   M3 (xM ; yM ; zM ) Ñoái xöùng qua Oz ( Giöõ nguyeân z; ñoåi daáu x , y )

Đối xứng điểm qua mặt phẳng tọa độ Ñoái xöùng qua Oxy • M ( xM ; yM ; zM )   M1 ( xM ; yM ;zM ) ( Giöõ nguyeân x , y; ñoåi daáu z ) Ñoái xöùng qua Oxz • M ( xM ; yM ; zM )   M2 ( xM ; yM ; zM ) ( Giöõ nguyeân x , z; ñoåi daáu y ) Ñoái xöùng qua Oyz • M ( xM ; yM ; zM )   M3 (xM ; yM ; zM ) ( Giöõ nguyeân y, z; ñoåi daáu x )

PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án. 









Câu 1. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho a =−i + 2 j − 3k . Tọa độ của vectơ a là A. ( −1; 2; −3) .

B. ( 2; −3; −1) .

C. ( 2; −1; −3) . D. ( −3; 2; −1) .      Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz giả sử u = 2i + 3 j − k , khi đó tọa độ véc tơ u là A. ( −2;3;1) .

B. ( 2;3; −1) .

C. ( 2; −3; −1) . D. ( 2;3;1) .      Câu 3. Trong không gian với trục hệ tọa độ Oxyz , cho a =−i + 2 j − 3k . Tọa độ của vectơ a là:     A. a ( −1; 2; −3) . B. a ( 2; −3; −1) . C. a ( −3; 2; −1) . D. a ( 2; −1; −3) . Câu 4.

Trong không gian Oxyz , cho điểm A(−2;3;5) . Tọa độ của véctơ OA là:

A. (−2;3;5) .

B. (2; −3;5) .

C. (−2; −3;5) .

D. (2; −3; −5) .

 Câu 5. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A (1;1; − 1) và B ( 2;3; 2 ) . Vectơ AB có tọa độ là A. (1; 2; 3)

B. ( −1; − 2; 3)

C. ( 3;5;1)

D. ( 3; 4;1)

 Câu 6. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm A (1; 2; −1) , AB = (1;3;1) thì tọa độ của

điểm B là: A. B ( 2;5;0 ) .

B. B ( 0; −1; −2 ) .

C. B ( 0;1; 2 ) .

D. B ( −2; −5;0 )

Câu 7. Trong không gian Oxyz , hình chiếu vuông góc của điểm A ( 3;5; 2 ) trên trục Ox có tọa độ là A. ( 0;5; 2 ) .

B. ( 0;5;0 ) .

C. ( 3;0;0 ) .

D. ( 0;0; 2 ) .

Câu 8. Trong không gian Oxyz , hình chiếu vuông góc của điểm M ( 3;1; −1) trên trục Oy có tọa độ là A. ( 3;0; −1) .

B. ( 0;1; 0 ) .

C. ( 3; 0; 0 ) .

D. ( 0;0; −1) .

Câu 9. Trong không gian Oxyz , hình chiếu vuông góc của điểm M ( 3; −1;1) trên trục Oz có tọa độ là A. ( 3; −1;0 ) .

B. ( 0;0;1) .

C. ( 0; −1;0 ) .

D. ( 3;0;0 ) .

Câu 10. Trong không gian Oxyz , cho điểm A (1; 2; −3) . Hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng

( Oxy ) có tọa độ là A. ( 0; 2; −3) .

B. (1;0; −3) .

C. (1; 2;0 ) .

D. (1;0;0 ) .

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

Chân Trời Sáng Tạo

Câu 11. Trong không gian Oxyz , hình chiếu vuông góc của điểm M ( 2;1; −1) trên mặt phẳng ( Ozx ) có tọa độ là B. ( 2;1;0 ) .

A. ( 0;1;0 ) .

D. ( 2;0; −1) .

C. ( 0;1; −1) .

Câu 12. Trong không gian Oxyz , cho điểm A ( 3; −1;1) . Hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng ( Oyz ) là điểm A. M ( 3;0;0 )

B. N ( 0; −1;1)

C. P ( 0; −1;0 )

D. Q ( 0;0;1)

Câu 13. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , điểm nào sau đây nằm trên mặt phẳng tọa độ ( Oyz ) ? A. M ( 3; 4;0 ) .

B. P ( −2;0;3) .

C. Q ( 2;0;0 ) .

D. N ( 0; 4; −1) .

Câu 14. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho M ( 4;5;6 ) . Hình chiếu của M xuống mặt phẳng

(Oyz )

là M ′ . Xác định tọa độ M ′ .

A. M ′ ( 4;5;0 ) .

B. M ′ ( 4;0;6 ) .

C. M ′ ( 4;0;0 ) .

D. M ′ ( 0;5;6 ) .

Câu 15. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm M ( x; y; z ) . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. Nếu M ′ đối xứng với M qua mặt phẳng ( Oxz ) thì M ′ ( x; y; − z ) . B. Nếu M ′ đối xứng với M qua Oy thì M ′ ( x; y; − z ) . C. Nếu M ′ đối xứng với M qua mặt phẳng ( Oxy ) thì M ′ ( x; y; − z ) . D. Nếu M ′ đối xứng với M qua gốc tọa độ O thì M ′ ( 2 x;2 y;0 ) . Câu 16. Trong không gian Oxyz , tọa độ điểm đối xứng của M (1; 2; 3) qua mặt phẳng ( Oyz ) là A. ( 0; 2; 3) .

C. ( −1; 2; 3) .

B. ( −1; −2; −3) .

D. (1; 2;−3) .

Câu 17. Trong không gian Oxyz , cho điểm A ( 2; −3;5 ) . Tìm tọa độ A′ là điểm đối xứng với A qua trục

Oy . A. A′ ( 2;3;5 ) .

B. A′ ( 2; −3; −5 ) .

C. A′ ( −2; −3;5 ) .

(

D. A′ ( −2; −3; −5 ) .

)

Câu 18. Trong không gian tọa độ Oxyz cho điểm M 1; − 2; 3 . Tìm điểm M ' ∈ Ox sao cho độ dài đoạn thẳng MM ' ngắn nhất. A. M ' ( −1;0;0 ) .

(

B. M ' (1;0;0 ) .

)

C. M ' 1;0; 3 .

Câu 19. Trong không gian tọa độ Oxyz cho điểm M

(

(

)

D. M ' 1; − 2;0 .

)

2;0; 3 . Tìm điểm M ' ∈ Oy sao cho độ dài

đoạn thẳng MM ' ngắn nhất.

(

)

A. M ' 0; − 2;0 .

B. M '

(

)

(

Câu 20. Trong không gian tọa độ Oxyz cho điểm M 1; 2; − thẳng MM ' ngắn nhất.

D. M ' ( 0;0;0 ) . ( ) 3 ) . Tìm điểm M ' ∈ Oz sao cho độ dài đoạn

C. M ' 0;0; 3 .

2;0;0 .

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

(

)

(

)

A. M ' 1;0; − 3 .

(

B. M ' 0; 2; − 3 .

)

C. M ' 0;0; − 3 .

Chân Trời Sáng Tạo

(

)

D. M ' 0;0; 3 .

Câu 21. Trong không gian tọa độ Oxyz cho điểm A (1;1; 2 ) . Tìm điểm A ' ∈ ( Oxy ) sao cho độ dài đoạn thẳng AA ' ngắn nhất. A. A ' ( −1;1;0 ) .

B. A ' (1;1;0 ) .

C. A ' ( 2; 2;0 ) .

(

D. A ' ( 2; −1; 2 ) .

)

Câu 22. Trong không gian tọa độ Oxyz cho điểm M 1;1 − 2; 2 + 5 . Tìm điểm M ' ∈ ( Oxz ) sao cho độ dài đoạn thẳng MM ' ngắn nhất.

(

)

(

)

(

A. M ' 1;1 + 2; 2 − 5 . B. M ' 1;1 − 2;0 .

)

C. M ' 1;0; 2 + 5 .

(

(

)

D. M ' 0;1 − 2; 2 + 5 .

)

Câu 23. Trong không gian tọa độ Oxyz cho điểm M 1 + 2; 2;1 − 2 . Tìm điểm M ' ∈ ( Oyz ) sao cho độ dài đoạn thẳng MM ' ngắn nhất.

(

(

)

A. M ' 1 + 2;0;1 − 2 .

)

(

)

B. M ' 0; 2;1 − 2 . C. M ' 0; −2;1 − 2 .

(

)

D. M ' 0; −2;1 + 2 .

Câu 24. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các điểm A (1; 0;3) , B ( 2;3; − 4 ) , C ( −3;1; 2 ) . Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành. A. D ( −4; − 2;9 ) .

B. D ( −4; 2;9 ) .

C. D ( 4; − 2;9 ) .

D. D ( 4; 2; − 9 ) .

Câu 25. Trong không gian Oxyz , cho hình bình hành ABCD . Biết A = (1; 0;1) , B = ( 2;1; 2 ) và D =

(1; − 1;1) . Tọa độ điểm C A. ( 2; 0; 2 ) .

là B. ( 2; 2; 2 ) .

C. ( 2; − 2; 2 ) .

D. ( 0; − 2;0 ) .

Câu 26. Trong không gian Oxyz , cho hình hộp ABCD. A′B′C ′D′ có A (1;0;1) , B ( 2;1; 2 ) , D (1; − 1;1) ,

C ′ ( 4;5; − 5 ) . Tính tọa độ đỉnh A′ của hình hộp. A. A′ ( 4;6; − 5 ) .

B. A′ ( 2;0; 2 ) .

C. A′ ( 3;5; − 6 ) .

D. A′ ( 3; 4; − 6 ) .

Câu 27. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình hộp ABCD. A′B′C ′D′ , biết rằng A ( −3; 0; 0 ) , B ( 0; 2; 0 ) , D ( 0;0;1) , A′ (1; 2;3) . Tìm tọa độ điểm C ′ .

A. C ′ (10; 4; 4 ) .

B. C ′ ( −13; 4; 4 ) .

C. C ′ (13; 4; 4 ) .

D. C ′ ( 7; 4; 4 ) .

Câu 28. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình hộp ABCD. A′B′C ′D′ . Biết A ( 2; 4; 0 ) , B ( 4; 0; 0 ) , C ( −1; 4; − 7 ) và D′ ( 6;8;10 ) . Tọa độ điểm B′ là

A. B′ ( 8; 4;10 ) .

B. B′ ( 6;12;0 ) .

C. B′ (10;8; 6 ) .

D. B′ (13; 0;17 ) .

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Trong mỗi ý A), B), C), D) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai. Câu 29. Trong không gian Oxyz , cho hình bình hành ABCD . Biết A ( −1;1; 2 ) , B (1;0;3) , C ( 0; 2; −2 ) .  A. Tọa độ vectơ BC = ( −1; 2; −5) .

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

    B. Tọa độ vectơ AB = 2i − j + k .

Chân Trời Sáng Tạo

C. Tọa độ điểm D là D ( −2;3; − 3) .     D. Tọa độ vectơ AD =−i + 2 j + 5k . Câu 30. Trong không gian Oxyz , cho hình bình hành ABCD . Biết A ( 0;1; −2 ) , C ( 0; −2;1) , D (1;0; −1) .  A. Tọa độ vectơ OC = ( 0; −2;1) .     B. Tọa độ vectơ DA =−i + j − k . C. Tọa độ điểm B là B ( −1; − 1;0 ) .     D. Tọa độ vectơ AB =−i − 2 j − 2k . Câu 31. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình hộp ABCD. A′B′C ′D′ , biết rằng A ( 2;1; 0 ) , C ( 0;3; 0 ) , C ' ( −1; 2;1) , D ' ( 0; −2; 0 ) .

A. Tọa độ các điểm A ', B ' là A (1; 0; −1) , B ( 0; 4; 2 ) . B. Tọa độ các điểm B, D là B (1;5;1) , D (1; −1; −1) .      C. Tọa độ vectơ AB là AB =+ i 4j+k.      D. Tọa độ vectơ AB là B ' D =− i 5 j − 3k . Câu 32.

Cho hình chóp S . ABCD đáy là hình thang vuông tại A và B , = AD 2= AB 2= BC 2a , cạnh

bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy ( ABCD ) , SA = 2a . Gọi H là hình chiếu điểm C trên cạnh AD .

A. Tọa độ các điểm A, B là A ( 0; 0; 0 ) , B ( a; a; 0 ) . B. Tọa độ các điểm C , D là C ( a; a; 0 ) , D ( 2a; 0; 0 ) . C. Tọa độ điểm S là S ( 0;0; 2a ) . D. Tọa độ điểm H là H ( a ;0;0 ) . Câu 33. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông có các cạnh bằng 1 , SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng với đáy. Gọi O, M và N lần lượt là trung điểm của AD, BC và CD . Thiết lập hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ.

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

Chân Trời Sáng Tạo

1 1 A. Tọa độ các điểm A, B là A  0; − ; 0  , B 1; − ; 0  . 2   2   1 1 B. Tọa độ các điểm C , D là C 1; ; 0  , D  0; ; 0  .  2   2 

 3 C. Tọa độ điểm S là S  0;0;  . 2   1 1 D. Tọa độ các điểm M , N là M (1; 0; 0 ) , N  ; ; 0  . 2 2 

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ trả lời đáp án. Câu 34. Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 1 , cạnh bên SA = 2 và vuông góc với mặt phẳng

( ABC ) .

Thiết lập hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ, tìm tọa độ các điểm

A, B, C , S , H ( H là hình chiếu điểm S trên trục Oz ).

Câu 35. Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A và cạnh BC = 2 2 . Cạnh bên SA = 3 và vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) . Thiết lập hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ, tìm tọa độ các điểm A, B, C , S , H ( H là hình chiếu điểm S trên trục Oz ).

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

Câu 36. Cho hình chóp

S . ABC

có ba cạnh

SA ,

AB ,

AC

Chân Trời Sáng Tạo

đôi một vuông góc và

OA = OB = OC = 2024 . Thiết lập hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ, tìm tọa độ các điểm A, B, C , S

Câu 37. Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có AB = a , SA = a 2 . Thiết lập hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ, tìm tọa độ các điểm A, B, C , D, S .

Câu 38. Cho hình chóp tam giác đều S . ABC có AB = a , cạnh SA tạo với mặt phẳng ( ABC ) một góc 450 . Gọi H là hình chiếu điểm S trên mặt phẳng ( ABC ) . Thiết lập hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ,

tìm tọa độ các điểm A, B, C , S , H , K ( K là hình chiếu điểm S trên trục Oz ).

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

Chân Trời Sáng Tạo

Câu 39. Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' có cạnh bằng a . Thiết lập hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ, tìm tọa độ các đỉnh của hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' .

Câu 40. Cho hình lăng trụ đứng ABCD. A ' B ' C ' D ' có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng a và

 = 600 . Gọi O là tâm của đáy ABCD . Thiết lập hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ, tìm tọa độ các BAD đỉnh của hình lăng trụ đứng ABCD. A ' B ' C ' D ' .

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

Chân Trời Sáng Tạo

BÀI 2 TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

1. Hệ trục tọa độ trong không gian Hệ trục gồm ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc nhau được gọi là hệ trục tọa độ vuông góc Oxyz trong không gian, hay đơn giản gọi là hệ trục tọa độ Oxyz .

Chú ý:

  • Ta gọi i, j , k lần lượt là các vectơ đơn vị trên các trục Ox, Oy, Oz .

• Trong không gian Oxyz , ta gọi: + Điểm O(0;0;0) là gốc tọa độ. + Trục Ox : trục hoành, Trục Oy : trục tung, Trục Oz : trục cao. + Các mặt phẳng ( Oxy ) , ( Oyz ) , ( Ozx ) là các mặt phẳng tọa độ. • Không gian với hệ trục tọa độ Oxyz còn được gọi là không gian Oxyz . • Các mặt phẳng tọa độ ( Oxy ) , ( Oyz ) , ( Ozx ) đôi một vuông góc nhau. 2. Tọa độ của điểm và vectơ a. Tọa độ của điểm

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm M . Nếu OM =xi + y j + zk thì ta gọi bộ ba số

( x; y; z ) là tọa độ của điểm M đối với hệ trục tọa độ Oxyz và viết M = ( x; y; z ) hoặc M ( x; y; z ) của

điểm M .

b. Tọa độ của vectơ

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

Chân Trời Sáng Tạo

     Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho vectơ a . Nếu a =a1 i + a2 j + a3 k thì ta gọi bộ ba số   (a1 ; a2 ; a3 ) là tọa độ của vectơ a đối với hệ trục tọa độ Oxyz và viết vectơ a = (a1 ; a2 ; a3 ) hoặc  a (a1 ; a2 ; a3 ) .

Chú ý: Trong không gian Oxyz , ta có:           • Nếu a =a1 i + a2 j + a3 k thì a = (a1 ; a2 ; a3 ) . Ngược lại, nếu a = (a1 ; a2 ; a3 ) thì a =a1 i + a2 j + a3 k .   = ( x; y; z ) ⇔ OM = ( x; y; z ) • Tọa độ của điểm M là tọa độ của vectơ OM : M x = x '      • Điều kiện hai vectơ bằng nhau: Cho a (= = x; y; z ), b ( x '; y '; z ') , khi đó a = b ⇔  y =y ' z = z '   • Vectơ đơn vị trên trục Ox có tọa độ là i = (1;0;0) .  Vectơ đơn vị trên trục Oy có tọa độ là j = (0;1;0) .  Vectơ đơn vị trên trục Oz có tọa độ là k = (0;0;1).

QUY TẮC CHIẾU ĐẶC BIỆT Chiếu điểm trên trục tọa độ Chieáu vaøo Ox • Điểm M ( xM ; yM ; zM )   M1 ( xM ;0;0) ( Giöõ nguyeân x ) Chieáu vaøo Oy • Điểm M ( xM ; yM ; zM )   M2 (0; yM ;0) ( Giöõ nguyeân y ) Chieáu vaøo Oz • Điểm M ( xM ; yM ; zM )   M3 (0;0; zM ) ( Giöõ nguyeân z )

Chiếu điểm trên mặt phẳng tọa độ Chieáu vaøo Oxy • Điểm M ( xM ; yM ; zM )   M1 ( xM ; yM ;0) ( Giöõ nguyeân x , y ) Chieáu vaøo Oyz • Điểm M ( xM ; yM ; zM )   M2 (0; yM ; zM ) ( Giöõ nguyeân y, z ) Chieáu vaøo Oxz • Điểm M ( xM ; yM ; zM )   M3 ( xM ;0; zM ) ( Giöõ nguyeân x , z )

Đối xứng điểm qua trục tọa độ Ñoái xöùng qua Ox • M ( xM ; yM ; zM )   M1 ( xM ; yM ;zM ) ( Giöõ nguyeân x; ñoåi daáu y, z ) Ñoái xöùng qua Oy • M ( xM ; yM ; zM )   M2 (xM ; yM ;zM ) ( Giöõ nguyeân y; ñoåi daáu x , z )

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

Chân Trời Sáng Tạo

• M ( xM ; yM ; zM )   M3 (xM ; yM ; zM ) Ñoái xöùng qua Oz ( Giöõ nguyeân z; ñoåi daáu x , y )

Đối xứng điểm qua mặt phẳng tọa độ Ñoái xöùng qua Oxy • M ( xM ; yM ; zM )   M1 ( xM ; yM ;zM ) ( Giöõ nguyeân x , y; ñoåi daáu z ) Ñoái xöùng qua Oxz • M ( xM ; yM ; zM )   M2 ( xM ; yM ; zM ) ( Giöõ nguyeân x , z; ñoåi daáu y ) Ñoái xöùng qua Oyz • M ( xM ; yM ; zM )   M3 (xM ; yM ; zM ) ( Giöõ nguyeân y, z; ñoåi daáu x )

PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án. 









Câu 1. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho a =−i + 2 j − 3k . Tọa độ của vectơ a là A. ( −1; 2; −3) .

B. ( 2; −3; −1) .

C. ( 2; −1; −3) .

D. ( −3; 2; −1) .

Lời giải Chọn A.      a =−i + 2 j − 3k ⇒ a ( −1; 2; −3) .

     Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz giả sử u = 2i + 3 j − k , khi đó tọa độ véc tơ u là A. ( −2;3;1) .

B. ( 2;3; −1) .

C. ( 2; −3; −1) .

D. ( 2;3;1) .

Lời giải Chọn B.

   Theo định nghĩa ta có i = (1;0;0 ) , j = ( 0;1;0 ) và k = ( 0;0;1) .      Do đó, u = 2i + 3 j − k ⇔ u = ( 2;3; −1) .      Câu 3. Trong không gian với trục hệ tọa độ Oxyz , cho a =−i + 2 j − 3k . Tọa độ của vectơ a là:     A. a ( −1; 2; −3) . B. a ( 2; −3; −1) . C. a ( −3; 2; −1) . D. a ( 2; −1; −3) . Lời giải Chọn A.

      +) Ta có a = xi + y j + zk ⇔ a ( x; y; z ) nên a ( −1; 2; −3) . Câu 4.

Trong không gian Oxyz , cho điểm A(−2;3;5) . Tọa độ của véctơ OA là:

A. (−2;3;5) .

B. (2; −3;5) .

C. (−2; −3;5) .

D. (2; −3; −5) .

Lời giải Chọn A.  Ta có: OA =

( xA ; y A ; z A ) =

(−2;3;5)

 Câu 5. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A (1;1; − 1) và B ( 2;3; 2 ) . Vectơ AB có tọa độ là A. (1; 2; 3)

B. ( −1; − 2; 3)

C. ( 3;5;1) Lời giải

D. ( 3; 4;1)

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

Chọn A  AB = ( xB − x A ; yB − y A ; z B − z A ) = (1; 2;3)

Chân Trời Sáng Tạo

 Câu 6. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm A (1; 2; −1) , AB = (1;3;1) thì tọa độ của

điểm B là: A. B ( 2;5;0 ) .

B. B ( 0; −1; −2 ) .

C. B ( 0;1; 2 ) .

D. B ( −2; −5;0 )

Lời giải Chọn A Gọi B ( x; y; z )

x = 2   Có AB = (1;3;1) =( x − 1; y − 2; z + 1) ⇒  y =5 ⇒ B ( 2;5;0 ) z = 0  Câu 7. Trong không gian Oxyz , hình chiếu vuông góc của điểm A ( 3;5; 2 ) trên trục Ox có tọa độ là A. ( 0;5; 2 ) .

B. ( 0;5;0 ) .

C. ( 3;0;0 ) .

D. ( 0;0; 2 ) .

Lời giải Chọn C Hình chiếu vuông góc của điểm A ( 3;5; 2 ) trên trục Ox có tọa độ là ( 3;0;0 ) . Câu 8. Trong không gian Oxyz , hình chiếu vuông góc của điểm M ( 3;1; −1) trên trục Oy có tọa độ là A. ( 3;0; −1) .

B. ( 0;1; 0 ) .

C. ( 3; 0; 0 ) .

D. ( 0;0; −1) .

Lời giải Chọn B Hình chiếu vuông góc của điểm M ( 3;1; −1) trên trục Oy có tọa độ là ( 0;1;0 ) . Câu 9. Trong không gian Oxyz , hình chiếu vuông góc của điểm M ( 3; −1;1) trên trục Oz có tọa độ là A. ( 3; −1;0 ) .

B. ( 0;0;1) .

C. ( 0; −1;0 ) .

D. ( 3;0;0 ) .

Lời giải Chọn B Hình chiếu vuông góc của điểm M ( 3; −1;1) trên trục Oz có tọa độ là ( 0;0;1) Câu 10. Trong không gian Oxyz , cho điểm A (1; 2; −3) . Hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng

( Oxy ) có tọa độ là A. ( 0; 2; −3) .

B. (1;0; −3) .

C. (1; 2;0 ) . Lời giải

Chọn C.

D. (1;0;0 ) .

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

Chân Trời Sáng Tạo

Hình chiếu của điểm A ( a; b; c ) lên mặt phẳng ( Oxy ) là điểm A ' ( a; b;0 ) nên hình chiếu của điểm

A (1;2; −3) lên mặt phẳng ( Oxy ) là điểm A ' (1; 2;0 ) . Câu 11. Trong không gian Oxyz , hình chiếu vuông góc của điểm M ( 2;1; −1) trên mặt phẳng ( Ozx ) có tọa độ là A. ( 0;1;0 ) .

B. ( 2;1;0 ) .

C. ( 0;1; −1) .

D. ( 2;0; −1) .

Lời giải Chọn D Hình chiếu của M ( 2;1; −1) lên mặt phẳng ( Ozx ) là điểm có tọa độ ( 2;0; −1) . Câu 12. Trong không gian Oxyz , cho điểm A ( 3; −1;1) . Hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng ( Oyz ) là điểm A. M ( 3;0;0 )

B. N ( 0; −1;1)

C. P ( 0; −1;0 )

D. Q ( 0;0;1)

Lời giải Chọn B Khi chiếu vuông góc một điểm trong không gian lên mặt phẳng ( Oyz ) , ta giữ lại các thành phần tung độ và cao độ nên hình chiếu của A ( 3; −1;1) lên ( Oyz ) là điểm N ( 0; −1;1) . Câu 13. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , điểm nào sau đây nằm trên mặt phẳng tọa độ ( Oyz ) ? A. M ( 3; 4;0 ) .

B. P ( −2;0;3) .

C. Q ( 2;0;0 ) .

D. N ( 0; 4; −1) .

Lời giải Chọn D Mặt phẳng tọa độ ( Oyz ) có phương trình là x = 0 ⇒ N ( 0; 4; −1) ∈ ( Oyz ) . Câu 14. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho M ( 4;5;6 ) . Hình chiếu của M xuống mặt phẳng

(Oyz )

là M ′ . Xác định tọa độ M ′ .

A. M ′ ( 4;5;0 ) .

B. M ′ ( 4;0;6 ) .

C. M ′ ( 4;0;0 ) .

D. M ′ ( 0;5;6 ) .

Lời giải Chọn D Hình chiếu của M ( 4;5;6 ) xuống mặt phẳng ( Oyz ) là M ′ ( 0;5;6 ) . Câu 15. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm M ( x; y; z ) . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. Nếu M ′ đối xứng với M qua mặt phẳng ( Oxz ) thì M ′ ( x; y; − z ) . B. Nếu M ′ đối xứng với M qua Oy thì M ′ ( x; y; − z ) . C. Nếu M ′ đối xứng với M qua mặt phẳng ( Oxy ) thì M ′ ( x; y; − z ) .

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

D. Nếu M ′ đối xứng với M qua gốc tọa độ O thì M ′ ( 2 x;2 y;0 ) .

Chân Trời Sáng Tạo

Lời giải Chọn C Nếu M ′ đối xứng với M qua mặt phẳng ( Oxz ) thì M ′ ( x; − y; z ) . Do đó phương án A sai. Nếu M ′ đối xứng với M qua Oy thì M ′ ( − x; y; − z ) . Do đó phương án B sai. Nếu M ′ đối xứng với M qua gốc tọa độ O thì M ′ ( − x; − y; − z ) . Do đó phương án D sai. Câu 16. Trong không gian Oxyz , tọa độ điểm đối xứng của M (1; 2; 3) qua mặt phẳng ( Oyz ) là A. ( 0; 2; 3) .

C. ( −1; 2; 3) .

B. ( −1; −2; −3) .

D. (1; 2;−3) .

Lời giải Chọn C Gọi H là hình chiếu của M lên mặt phẳng ( Oyz ) ⇒ H ( 0; 2; 3) Gọi M ' là điểm đối xứng với M (1; 2; 3) qua mặt phẳng ( Oyz )

⇒ H là trung điểm của MM ' ⇒ M ' ( −1; 2; 3) . Câu 17. Trong không gian Oxyz , cho điểm A ( 2; −3;5 ) . Tìm tọa độ A′ là điểm đối xứng với A qua trục

Oy . B. A′ ( 2; −3; −5 ) .

A. A′ ( 2;3;5 ) .

C. A′ ( −2; −3;5 ) .

D. A′ ( −2; −3; −5 ) .

Lời giải Chọn D Gọi H là hình chiếu vuông góc của A ( 2; −3;5 ) lên Oy . Suy ra H ( 0; −3; 0 ) Khi đó H là trung điểm đoạn AA′ . 2 xH − x A = −2  x A′ =  2 yH − y A = −3 ⇒ A′ ( −2; −3; −5 ) .  y A′ = z = −5  A′ 2 z H − z A =

(

)

Câu 18. Trong không gian tọa độ Oxyz cho điểm M 1; − 2; 3 . Tìm điểm M ' ∈ Ox sao cho độ dài đoạn thẳng MM ' ngắn nhất. A. M ' ( −1;0;0 ) .

(

B. M ' (1;0;0 ) .

)

C. M ' 1;0; 3 .

(

)

D. M ' 1; − 2;0 .

Lời giải Chọn B.

MM ' ngắn nhất khi điểm M ' là hình chiếu điểm M trên trục Ox ⇒ M ' (1;0;0 ) Câu 19. Trong không gian tọa độ Oxyz cho điểm M

(

)

2;0; 3 . Tìm điểm M ' ∈ Oy sao cho độ dài

đoạn thẳng MM ' ngắn nhất.

(

)

A. M ' 0; − 2;0 .

B. M '

(

)

2;0;0 .

(

)

C. M ' 0;0; 3 .

D. M ' ( 0;0;0 ) .

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

Chân Trời Sáng Tạo

Lời giải

Chọn D. MM ' ngắn nhất khi điểm M ' là hình chiếu điểm M trên trục Oy ⇒ M ' ( 0;0;0 )

)

(

Câu 20. Trong không gian tọa độ Oxyz cho điểm M 1; 2; − 3 . Tìm điểm M ' ∈ Oz sao cho độ dài đoạn thẳng MM ' ngắn nhất.

(

)

)

(

(

B. M ' 0; 2; − 3 .

A. M ' 1;0; − 3 .

)

(

C. M ' 0;0; − 3 .

)

D. M ' 0;0; 3 .

Lời giải Chọn C.

(

MM ' ngắn nhất khi điểm M ' là hình chiếu điểm M trên trục Oz ⇒ M ' 0;0; − 3

)

Câu 21. Trong không gian tọa độ Oxyz cho điểm A (1;1; 2 ) . Tìm điểm A ' ∈ ( Oxy ) sao cho độ dài đoạn thẳng AA ' ngắn nhất. A. A ' ( −1;1;0 ) .

B. A ' (1;1;0 ) .

C. A ' ( 2; 2;0 ) .

D. A ' ( 2; −1; 2 ) .

Lời giải Chọn B. AA ' ngắn nhất khi điểm A ' là hình chiếu điểm A trên mặt phẳng ( Oxy ) ⇒ A ' (1;1;0 )

(

)

Câu 22. Trong không gian tọa độ Oxyz cho điểm M 1;1 − 2; 2 + 5 . Tìm điểm M ' ∈ ( Oxz ) sao cho độ dài đoạn thẳng MM ' ngắn nhất.

(

(

)

)

(

A. M ' 1;1 + 2; 2 − 5 . B. M ' 1;1 − 2;0 .

(

)

C. M ' 1;0; 2 + 5 .

)

D. M ' 0;1 − 2; 2 + 5 . Lời giải Chọn C.

(

MM ' ngắn nhất khi điểm M ' là hình chiếu điểm M trên mặt phẳng ( Oxz ) ⇒ M ' 1;0; 2 + 5

(

)

)

Câu 23. Trong không gian tọa độ Oxyz cho điểm M 1 + 2; 2;1 − 2 . Tìm điểm M ' ∈ ( Oyz ) sao cho độ dài đoạn thẳng MM ' ngắn nhất.

(

)

A. M ' 1 + 2;0;1 − 2 .

(

)

(

)

B. M ' 0; 2;1 − 2 . C. M ' 0; −2;1 − 2 .

(

)

D. M ' 0; −2;1 + 2 .

Lời giải Chọn B.

(

MM ' ngắn nhất khi điểm M ' là hình chiếu điểm M trên mặt phẳng ( Oyz ) ⇒ M ' 0; 2;1 − 2

)

Câu 24. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các điểm A (1; 0;3) , B ( 2;3; − 4 ) , C ( −3;1; 2 ) . Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành. A. D ( −4; − 2;9 ) .

B. D ( −4; 2;9 ) .

C. D ( 4; − 2;9 ) .

D. D ( 4; 2; − 9 ) .

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

Lời giải

Chân Trời Sáng Tạo

Chọn A Gọi D ( x; y; z ) .  x = −4    Để ABCD là hình bình hành ⇔ AB =DC ⇔ (1;3; − 7 ) =( −3 − x;1 − y; 2 − z ) ⇔  y =−2 ⇔ D ( −4; − 2;9 ) . z = 9 

Câu 25. Trong không gian Oxyz , cho hình bình hành ABCD . Biết A = (1; 0;1) , B = ( 2;1; 2 ) và D =

(1; − 1;1) . Tọa độ điểm C A. ( 2; 0; 2 ) .

là B. ( 2; 2; 2 ) .

C. ( 2; − 2; 2 ) .

D. ( 0; − 2;0 ) .

Lời giải Chọn A Gọi tọa độ điểm C là ( x ; y ; z )   Vì ABCD là hình bình hành nên DC = AB   Ta có DC =( x − 1; y + 1; z − 1 ) và AB = (1;1;1)

x −1 1 = = x 2   Suy ra  y + 1 = 1 ⇒  y = 0 = z 2 z −1 1 = 

Vậy tọa độ điểm C là ( 2; 0; 2 ) . Câu 26. Trong không gian Oxyz , cho hình hộp ABCD. A′B′C ′D′ có A (1;0;1) , B ( 2;1; 2 ) , D (1; − 1;1) ,

C ′ ( 4;5; − 5 ) . Tính tọa độ đỉnh A′ của hình hộp. A. A′ ( 4;6; − 5 ) .

B. A′ ( 2;0; 2 ) .

C. A′ ( 3;5; − 6 ) .

D. A′ ( 3; 4; − 6 ) .

Lời giải Chọn C

    AC ′ . Theo quy tắc hình hộp ta có: AB + AD + AA′ =     Suy ra AA′ = AC ′ − AB − AD .    Lại có: AC = ( 0; − 1;0 ) . =′ ( 3;5; − 6 ) , AB = (1;1;1) , AD  Do đó: = AA′ ( 2;5; − 7 ) . Suy ra A′ ( 3;5; − 6 ) . Câu 27. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình hộp ABCD. A′B′C ′D′ , biết rằng A ( −3; 0; 0 ) , B ( 0; 2; 0 ) , D ( 0;0;1) , A′ (1; 2;3) . Tìm tọa độ điểm C ′ .

A. C ′ (10; 4; 4 ) .

B. C ′ ( −13; 4; 4 ) .

C. C ′ (13; 4; 4 ) . Lời giải

Chọn C

D. C ′ ( 7; 4; 4 ) .

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

A'

Chân Trời Sáng Tạo

B'

D'

C' A

B

D

C

   Gọi C ′ ( x; y; z ) . Ta có AB = ( 3; 2;0 ) ; AD = ( 3;0;1) ; AA′ = ( 4; 2;3) .

x 10 + 3 =       Mà AC ′ = AB + AD + AA′ ⇒ AC ′ = (10; 4; 4 ) ⇒  y =4 − 0 ⇒ C ′ (13; 4; 4 ) .  z= 4 − 0 

Câu 28. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình hộp ABCD. A′B′C ′D′ . Biết A ( 2; 4; 0 ) , B ( 4; 0; 0 ) , C ( −1; 4; − 7 ) và D′ ( 6;8;10 ) . Tọa độ điểm B′ là

B. B′ ( 6;12;0 ) .

A. B′ ( 8; 4;10 ) .

C. B′ (10;8; 6 ) .

D. B′ (13; 0;17 ) .

Lời giải Chọn D A'

B' C'

D'(6; 8; 10)

A(2; 4; 0)

D

Giả sử D ( a; b; c ) , B′ ( a′; b′; c′ )

B(4; 0; 0)

O

C(-1; 4;-7)

a = −3  1 −7   Gọi = O AC ∩ BD ⇒ O  ; 4;  ⇒ b = 8 . 2   2 c = −7   Vậy DD′ = ( 9;0;17 ) , BB =′

a′ = 13    0 . ( a′ − 4; b′; c′ ) . Do ABCD. A′B′C ′D′ là hình hộp nên DD′ = BB′ ⇒ b′ = c′ = 17 

Vậy B′ (13; 0;17 ) . PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Trong mỗi ý A), B), C), D) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

Chân Trời Sáng Tạo

Câu 29. Trong không gian Oxyz , cho hình bình hành ABCD . Biết A ( −1;1; 2 ) , B (1;0;3) , C ( 0; 2; −2 ) .  A. Tọa độ vectơ BC = ( −1; 2; −5) .     B. Tọa độ vectơ AB = 2i − j + k . C. Tọa độ điểm D là D ( −2;3; − 3) .     D. Tọa độ vectơ AD =−i + 2 j + 5k .  A. Tọa độ vectơ BC = ( −1; 2; −5) . ĐÚNG     B. Tọa độ vectơ AB = 2i − j + k . ĐÚNG

Lời giải

C. Tọa độ điểm D là D ( −2;3; − 3) . ĐÚNG     D. Tọa độ vectơ AD =−i + 2 j + 5k . SAI  BC = ( −1; 2; −5)  AB = ( 2; −1;1) Gọi tọa độ điểm D là ( x ; y ; z )  AB = ( 2; −1;1)  DC = ( − x; 2 − y; −2 − z )   Vì ABCD là hình bình hành nên DC = AB

− x =2  x =−2  Suy ra 2 − y =−1 ⇔  y =3 −2 − z =1  z =−3  

Vậy tọa độ điểm D là D ( −2;3; − 3) .     AD =−i + 2 j − 5k Câu 30. Trong không gian Oxyz , cho hình bình hành ABCD . Biết A ( 0;1; −2 ) , C ( 0; −2;1) , D (1;0; −1) .  A. Tọa độ vectơ OC = ( 0; −2;1) .     B. Tọa độ vectơ DA =−i + j − k . C. Tọa độ điểm B là B ( −1; − 1;0 ) .     D. Tọa độ vectơ AB =−i − 2 j − 2k .  A. Tọa độ vectơ OC = ( 0; −2;1) . ĐÚNG     B. Tọa độ vectơ DA =−i + j − k . ĐÚNG

C. Tọa độ điểm B là B ( −1; − 1;0 ) . ĐÚNG     D. Tọa độ vectơ AB =−i − 2 j − 2k . SAI

Lời giải

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

 OC = ( 0; −2;1)     DA =−i + j − k

Chân Trời Sáng Tạo

Gọi tọa độ điểm B là ( x ; y ; z )  BA = ( − x;1 − y; −2 − z )  = (1; 2; −2 ) CD   Vì ABCD là hình bình hành nên BA = CD − x =1  x =−1   Suy ra 1 − y = 2 ⇔ y = −1 −2 − z =−2  z =0  

Vậy tọa độ điểm B là B ( −1; − 1;0 ) .     AB =−i − 2 j + 2k Câu 31. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình hộp ABCD. A′B′C ′D′ , biết rằng A ( 2;1; 0 ) , C ( 0;3; 0 ) , C ' ( −1; 2;1) , D ' ( 0; −2; 0 ) .

A. Tọa độ các điểm A ', B ' là A (1; 0; −1) , B ( 0; 4; 2 ) . B. Tọa độ các điểm B, D là B (1;5;1) , D (1; −1; −1) .      C. Tọa độ vectơ AB là AB =+ i 4j+k.      D. Tọa độ vectơ AB là B ' D =− i 5 j − 3k . Lời giải A. Tọa độ các điểm A ', B ' là A (1; 0; −1) , B ( 0; 4; 2 ) . SAI B. Tọa độ các điểm B, D là B (1;5;1) , D (1; −1; −1) . ĐÚNG      C. Tọa độ vectơ AB là AB =+ i 4 j + k . ĐÚNG      D. Tọa độ vectơ AB là B ' D =− i 5 j − 3k . ĐÚNG A'

B'

D'

C' A

D

Gọi tọa độ điểm A ' là ( x ; y ; z )  A ' C ' = ( −1 − x; 2 − y;1 − z )  AC = ( −2; 2; 0 )   Vì A ' C ' CA là hình bình hành nên A ' C ' = AC

B C

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

Chân Trời Sáng Tạo

−1 − x =−2  x =1  Suy ra 2 − y = 2 ⇔  y = 0 ⇒ A ' (1; 0;1) 1 − z 0 = z 1 =  

Làm tương tự ta có: B ' ( 0; 4; 2 ) ; B (1;5;1) ; D (1; − 1; −1)      AB = i 4j+k (1; 4;1) ⇒ AB =+      B ' D = (1; −5; −3) ⇒ B ' D = i − 5 j − 3k Câu 32.

Cho hình chóp S . ABCD đáy là hình thang vuông tại A và B , = AD 2= AB 2= BC 2a , cạnh

bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy ( ABCD ) , SA = 2a . Gọi H là hình chiếu điểm C trên cạnh AD .

A. Tọa độ các điểm A, B là A ( 0; 0; 0 ) , B ( a; a; 0 ) . B. Tọa độ các điểm C , D là C ( a; a; 0 ) , D ( 2a; 0; 0 ) . C. Tọa độ điểm S là S ( 0;0; 2a ) . D. Tọa độ điểm H là H ( a ;0;0 ) . Lời giải A. Tọa độ các điểm A, B là A ( 0; 0; 0 ) , B ( a; a; 0 ) . SAI B. Tọa độ các điểm C , D là C ( a; a; 0 ) , D ( 2a; 0; 0 ) . ĐÚNG C. Tọa độ điểm S là S ( 0;0; 2a ) . ĐÚNG D. Tọa độ điểm H là H ( a ;0;0 ) . ĐÚNG

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

Dễ tính được AB = BC = AH = a

Chân Trời Sáng Tạo

      AB i ,= AH j= , AS 2k Gắn hình chóp vào hệ trục tọa độ Oxyz với O ≡ A ,= Khi đó ta có A ( 0; 0; 0 ) , B ( a; a; 0 ) , C ( a; a; 0 ) , D ( 2a; 0; 0 ) , S ( 0; 0; 2a ) , H ( a ; 0; 0 ) Câu 33. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông có các cạnh bằng 1 , SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng với đáy. Gọi O, M và N lần lượt là trung điểm của AD, BC và CD . Thiết lập hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ.

1 1 A. Tọa độ các điểm A, B là A  0; − ; 0  , B 1; − ; 0  . 2   2   1 1 B. Tọa độ các điểm C , D là C 1; ; 0  , D  0; ; 0  .  2   2 

 3 C. Tọa độ điểm S là S  0;0; . 2   1 1 D. Tọa độ các điểm M , N là M (1; 0; 0 ) , N  ; ; 0  . 2 2 

Lời giải 1 1 A. Tọa độ các điểm A, B là A  0; − ; 0  , B 1; − ; 0  . ĐÚNG 2   2   1 1 B. Tọa độ các điểm C , D là C 1; ; 0  , D  0; ; 0  .  2   2 

ĐÚNG

 3 C. Tọa độ điểm S là S  0;0;  . ĐÚNG 2   1 1 D. Tọa độ các điểm M , N là M (1; 0; 0 ) , N  ; ; 0  . ĐÚNG 2 2 

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

Chân Trời Sáng Tạo

Chọn hệ tọa độ Oxyz như hình vẽ. SAD là tam giác đều có cạnh bằng 1 nên SO =

3 2

3 1   1   1   1    1 1  A  0; − ; 0  , B 1; − ; 0  , C 1; ; 0  , D  0; ; 0  , S  0;0;  , M (1; 0; 0 ) , N  ; ; 0  2  2   2   2   2    2 2 

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ trả lời đáp án. Câu 34. Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 1 , cạnh bên SA = 2 và vuông góc với mặt phẳng

( ABC ) .

Thiết lập hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ, tìm tọa độ các điểm

A, B, C , S , H ( H là hình chiếu điểm S trên trục Oz ).

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

Chân Trời Sáng Tạo

Câu 35. Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A và cạnh BC = 2 2 . Cạnh bên SA = 3 và vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) . Thiết lập hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ, tìm tọa độ các điểm A, B, C , S , H ( H là hình chiếu điểm S trên trục Oz ).

Câu 36. Cho hình chóp

S . ABC

có ba cạnh

SA ,

AB ,

AC

đôi một vuông góc và

OA = OB = OC = 2024 . Thiết lập hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ, tìm tọa độ các điểm A, B, C , S

Câu 37. Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có AB = a , SA = a 2 . Thiết lập hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ, tìm tọa độ các điểm A, B, C , D, S .

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

Chân Trời Sáng Tạo

Câu 38. Cho hình chóp tam giác đều S . ABC có AB = a , cạnh SA tạo với mặt phẳng ( ABC ) một góc 450 . Gọi H là hình chiếu điểm S trên mặt phẳng ( ABC ) . Thiết lập hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ,

tìm tọa độ các điểm A, B, C , S , H , K ( K là hình chiếu điểm S trên trục Oz ).

Câu 39. Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' có cạnh bằng a . Thiết lập hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ, tìm tọa độ các đỉnh của hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' .

Câu 40. Cho hình lăng trụ đứng ABCD. A ' B ' C ' D ' có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng a và

 = 600 . Gọi O là tâm của đáy ABCD . Thiết lập hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ, tìm tọa độ các BAD đỉnh của hình lăng trụ đứng ABCD. A ' B ' C ' D ' .

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

Chân Trời Sáng Tạo

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

Chân Trời Sáng Tạo

BÀI 3 BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ

1. Biểu thức tọa độ của phép cộng hai vectơ, phép trừ hai vectơ, phép nhân một số với một vectơ





Cho a (= = a1; a2 ; a3 ), b (b1; b2 ; b3 ) . Ta có:





• Tổng hai vectơ: a + b= (a1 + b1; a2 + b2 ; a3 + b3 )

 

• Hiệu hai vectơ: a − b= (a1 − b1; a2 − b2 ; a3 − b3 )



• ka = (ka1; ka2 ; ka3 ) (k ∈ R) a1 = kb1  Nhận xét: a cùng phương b (b ≠ 0) ⇔ a = kb ⇔ a2 = kb2 ( k ∈  ) a = kb 3  3





 





2. Tọa độ trung điểm đoạn thẳng và tọa độ trọng tâm tam giác Cho hai điểm A( x A ; y A ; z A ) , B( xB ; yB ; z B ) , nếu M ( xM ; yM ; zM ) là trung điểm đoạn thẳng AB thì:

= xM

x A + xB y A + yB z A + zB = = ; yM ; zM 2 2 2

Cho tam giác ABC có A( x A ; y A ; z A ) , B( xB ; yB ; z B ) , C ( xC ; yC ; zC ) , nếu G ( xG ; yG ; zG ) là trọng tâm

x A + xB + xC y A + yB + yC z A + z B + zC = ; yG = ; zG 3 3 3

ABC thì: xG của tam giác =

3. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

 





Nếu a = (a1; a2 ; a3 ) và b = (b1; b2 ; b3 ) thì a .b =a1b1 + a2 b2 + a3b3 Nhận xét:







a.a =

• Nếu a = (a1; a2 ; a3 ) thì a =

a12 + a22 + a22

• Nếu A( x A ; y A ; z A ) , B( xB ; yB ; z B ) thì AB =

 AB =

( xB − x A ) 2 + ( y B − y A ) 2 + ( z B − z A ) 2

     • Tích vô hướng 2 vectơ: a.b = a . b .cos(a; b)



 





• Cho a = (a1; a2 ; a3 ) và b = (b1; b2 ; b3 ) với a , b ≠ 0 , ta có:





+ Hai vectơ vuông góc: a ⊥ b ⇔ a1b1 + a2 b2 + a3b3 = 0

 



a.b + Góc hai vectơ: cos(a= , b ) =  a.b

a1b1 + a2 b2 + a3b3 a12 + a22 + a32 . b12 + b22 + b32

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

Chân Trời Sáng Tạo

CHỦ ĐỀ 1 BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ

DẠNG 1 CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ

1. Biểu thức tọa độ của phép cộng hai vectơ, phép trừ hai vectơ, phép nhân một số với một vectơ





Cho a (= = a1; a2 ; a3 ), b (b1; b2 ; b3 ) . Ta có:





• Tổng hai vectơ: a + b= (a1 + b1; a2 + b2 ; a3 + b3 )

 

• Hiệu hai vectơ: a − b= (a1 − b1; a2 − b2 ; a3 − b3 )



• ka = (ka1; ka2 ; ka3 ) (k ∈ R)  a1 = kb1  a kb k ∈  = ) 2 (  2        • a cùng phương b (b ≠ 0) ⇔ a = kb ⇔  a3 = kb3 a a a3 1 2 = = , (b1 , b2 , b3 ≠ 0)  b1 b2 b3     • Ba điểm A, B, C thẳng hàng ⇔ AB cùng phương AC ⇔ AB = k AC

PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án. Câu 1.

 Trong không gian Oxyz , cho hai vectơ u=

(1; −4;0 )

   và v = ( −1; −2;1) . Vectơ u + 3v có tọa độ

là C. ( −4; −8; 4 ) . D. ( −2; −10; −3) .     Trong không gian Oxyz , cho hai vectơ= v ( 2;1; −1) . Toạ độ vectơ u − v là: u (1;3; −2 ) và=

A. ( −2; −10;3) . Câu 2.

A. ( 3;4; −3) .

B. ( −2; −6;3) .

B. ( −1;2; −3) .

  Câu 3. Trong không gian Oxyz cho a = ( 2;3;2 ) và= b

A. ( 3;4;1) .

B. ( −1; − 2;3) .

C. ( −1;2; −1) .

(1;1; − 1) . Vectơ C. ( 3;5;1) .

D. (1; −2;1) .   a − b có tọa độ là

D. (1;2;3) .

   Câu 4. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba vecto a (1; 2;3) ; b ( 2; 2; −1) ; c ( 4;0; −4 ) . Tọa độ     của vecto d = a − b + 2c là     A. d ( −7;0; −4 ) B. d ( −7;0; 4 ) C. d ( 7;0; −4 ) D. d ( 7;0; 4 )

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

 Câu 5. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho = a     tọa độ của vectơ u = 2a + 3b − 2c .

A. (10; −2;13) .

B. ( −2; 2; −7 ) .

A. (10; − 2;13) .

B. ( −2; 2; − 7 ) .

A. (1; 7;2 ) .

B. (1;5;2 ) .

 , b ( 2; −3;3)=

Chân Trời Sáng Tạo



c ( 3; −1;5 ) . Tìm ( 0; 2; −1) , =

C. ( −2; −2;7 ) . D. ( −2; 2; 7 ) .    Câu 6. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho = a ( 2; − 3; 3= c ( 3; − 1; 5 ) . Tìm tọa ) , b ( 0; 2; − 1) , =     độ của vectơ u = 2a + 3b − 2c . C. ( −2; − 2; 7 ) . D. ( −2; 2; 7 ) .   Câu 7. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai vectơ= y (1;0; −1) . Tìm tọa độ x ( 2;1; −3) và=    của vectơ a= x + 2 y .     A.= B.= C.= D.= a ( 3;1; −4 ) . a ( 4;1; −5 ) . a ( 4;1; −1) . a ( 0;1; −1) .   Câu 8. Trong không gian Oxyz với i, j , k lần lượt là các vecto đơn vị trên các trục Ox, Oy, Oz. Tính tọa    độ của vecto i + j − k .             A. i + j − k =(−1; −1;1). B. i + j − k =(−1;1;1). C. i + j − k= (1;1; −1). D. i + j − k = (1; −1;1).      Câu 9. Trong không gian Oxyz , cho a = (1; 2;1) và b = ( −1;3;0 ) . Vectơ = c 2a + b có tọa độ là C. ( 3; 7;2 ) .

D. (1; 7;3) .

      Câu 10. Trong không gian Oxyz, cho a ( −2; 2;0 ) , b ( 2; 2;0 ) , c ( 2; 2; 2 ) . Giá trị của a + b + c bằng C. 2 11 . D. 2 6 .   Câu 11. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các vectơ a = ( 2; m − 1;3) , b =(1;3; −2n ) . Tìm m, n   để các vectơ a, b cùng hướng. A. 6.

B. 11 .

3 A. m = 7; n = − . 4

B. m = 4; n = −3 .

m 1;= n 0. C. =

     Câu 12. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho các véc tơ u = 2i − 2 j = +k, v

4 D. m = 7; n = − . 3

( m;2; m + 1)

với m là

  tham số thực. Có bao nhiêu giá trị của m để u = v . A. 0 .

B. 1 .

C. 2 .

3 A. m = 7 ; n = − . 4

4 B. m = 7 ; n = − . 3

C. m = 4 ; n = −3 .

D. 3 .   Câu 13. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các vectơ= b (1;3;− 2n ) . Tìm m , a ( 2;m − 1;3) ,=   n để các vectơ a , b cùng phương. D. m = 1 ; n = 0 .

Câu 14. Trong không gian với hệ trục Oxyz cho ba điểm A1; 2; 3 , B 1;0; 2 , C  x; y; 2 thẳng hàng. Khi đó x  y bằng A. x  y  1 .

B. x  y  17 .

C. x  y  

11 . 5

D. x  y 

11 . 5

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

Chân Trời Sáng Tạo

Câu 15. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A ( 2; −1;5 ) , B ( 5; −5; 7 ) , M ( x; y;1) . Với giá trị nào của x, y thì A, B, M thẳng hàng.

x 4;= y 7 A.=

−4; y = −7 B. x =

C. x = 4; y = −7

−4; y = 7 D. x =

Câu 16. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A ( 2; − 2;1) , B ( 0;1; 2 ) . Tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng ( Oxy ) sao cho ba điểm A , B , M thẳng hàng là A. M ( 4; − 5;0 ) .

B. M ( 2; − 3;0 ) .

C. M ( 0;0;1) .

D. M ( 4;5;0 ) .

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Trong mỗi ý A), B), C), D) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.  Câu 17. Trong không gian Oxyz , cho vectơ a =   A. a + b = ( 3; −3; −3)   B. a và b cùng phương  C. b = 3



( 2; −2; −4 ) , b = (1; −1;1) .

    D. a = 2i − 2 j − 4k

  Câu 18. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho a = ( 2;3;1) , b =  x = ( −3; 22;5 ) .     A. x = 2 a − 3 b − c .     −2 a + 3 b + c . B. x =     C. x = 2 a + 3 b − c .     D. x = 2 a − 3 b + c .



= , cho a Câu 19. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz 

 



( −1;5; 2 ) ,





 C. v=  D. y=



1 4 115 7     a − b − 2c với x =  −1; − ;−  . 2 3 6 6        a + b với v = 2i − 3 j + 2k .       b − c với y =−i + 5 j − 3k .

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ trả lời đáp án.











Câu 20. Tìm tọa độ vectơ x , biết rằng: a + 2 x = = a b với

( 4; − 1;3)

 ( 2= ; −5; 3) , b ( 0= ; 2; −1) , c (1; 7; 2 ) .

A. u = 3a − b + 5c với u = (11; 22;18 ) . B. x =

 = c



b ( 2; −5; 3) ( 5; 4; −1) , =

và

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

Chân Trời Sáng Tạo

   Câu 21. Cho vectơ a= (1; −1;0) , xác định k để vectơ = u (2; 2k − 1;0) cùng phương với vectơ a .         Câu 22. Cho hai vectơ a =− (3; 2;1), b = (2;1; −1) . Tìm m để = v 3a + 2mb cùng u ma − 3b và = phương.









(1; −7; 9 ) , b = ( 3; −6;1) , c = ( 2;1; −7 ) . Biểu diễn vectơ u = (−4;13; −6) theo các Câu 23. Cho ba vectơ a =   

vectơ a , b , c .









(1; −1;1) , b = ( 0;1; 2 ) , c = ( 4; 2; 3) . Biểu diễn vectơ= Câu 24. Cho ba vectơ a = u (1; 2; −2) theo các vectơ   

a, b , c .







Câu 25. Cho 3 vectơ a = ( 2; 5; 4 ) , b = ( 6; 0; −3) , c = ( 3; 2; −1) . Xác định các số thực m, n để    ma − 3nb = c.







Câu 26. Cho 3 vectơ : a = (2; −1; 3), b = (1; −3; 2), c = (3; 2; −4) . Xác định các số thực m, n để  1 m a − nb =c . 3 2 Câu 27. Trong không gian tọa độ Oxyz cho ba điểm A(4; 2; 3), B(−2;1; −1), C (3; 8; 7) . a) Chứng minh ba điểm A, B, C không thẳng hàng. b) Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành. Câu 28. Trong không gian tọa độ Oxyz cho A ( 2; 5; 3) , B ( 3;7; 4 ) , C ( x; y; 6 ) . Tìm x; y để ba điểm

A, B, C thẳng hàng.

DẠNG 2 TÍCH VÔ HƯỚNG HAI VECTƠ

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025







a.a =

• Nếu a = (a1; a2 ; a3 ) thì a =

Chân Trời Sáng Tạo

a12 + a22 + a22



• Tích vô hướng 2 vectơ: a.b =a1.b1 + a2 .b2 + a3 .b3 ;





• Hai vectơ vuông góc: a ⊥ b ⇔ a1b1 + a2 b2 + a3b3 = 0



 

a.b • Góc hai vectơ: cos(a= , b ) =  a.b

a1b1 + a2 b2 + a3b3 a12 + a22 + a32 . b12 + b22 + b32

PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

  Câu 29. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho vectơ u = ( 3;0;1) và v = ( 2;1;0 ) . Tính tích vô  hướng u.v .     A. u.v = 8 . B. u.v = 6 . C. u.v = 0 . D. u.v = −6 .      Câu 30. Trong hệ tọa độ Oxy , cho u = i + 3 j và = v ( 2; −1) . Tính u.v .  A. u.v = −1 .  Câu 31. Cho hai véc tơ a= A. 12 .



 B. u.v = 1 .

 D. u.v = 5 2 .

( 2; −3) .

.v C. u=

  



(1; −2;3) , b = ( −2;1; 2 ) . Khi đó, tích vô hướng ( a + b ) .b B. 2 .

C. 11 .   Câu 32. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho = u ( 2; −1;1) và v =  sao cho tích vô hướng u.v = 1 . A. m = 4 .

bằng

D. 10 .

( 0; −3; −m ) . Tìm số thực

m

B. m = 2 .

C. m = 3 . D. m = −2 .     Câu 33. Trong không gian Oxyz , cho hai vectơ u và v tạo với nhau một góc 120° và u = 2 , v = 5 .   Tính u + v

C. 7 .

A. 19 .

B. −5 .

  2 A. cos a , b = − 25

  2 B. cos a , b = − 5

D.

39 .

  ( −1; 0; −2 ) . Tính Câu 34. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai vectơ a = ( 2;1; 0 ) và b =   cos ( a , b ) .

  2 C. cos a , b = 25   Câu 35. Trong không gian Oxyz , góc giữa hai vectơ i và u = − 3; 0;1 là

( )

( )

( )

(

A. 120° .

B. 60° .

 Câu 36. Trong không gian Oxyz , cho a = A.

3 . 13

B.

5 . 6

  2 D. cos a , b = 5

( )

)

C. 150° . D. 30° .    ( −3; 4;0 ) , b = ( 5;0;12 ) . Côsin của góc giữa a và b bằng

5 C. − . 6

D. −

3 . 13

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

Chân Trời Sáng Tạo

Câu 37. Cho u = (− 1;1;0 ) , v = (0;−1;0 ) , góc giữa hai véctơ u và v là A. 120° .

B. 45° .

C. 135° . D. 60° .     Câu 38. Trong không gian Oxyz cho 2 véc tơ= a (2;1; −1) ; b = (1; 3; m) . Tìm m để a; b= 90° .

( )

A. m = −5 .

B. m = 5 .

C. m = 1 . D. m = −2   Câu 39. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho véc tơ u =(1;1; −2 ) , v =(1;0; m ) . Tìm tất cả giá trị

  của m để góc giữa u , v bằng 45° . A. m = 2 .

B. m= 2 ± 6 .

C. m= 2 − 6 . D. m= 2 + 6 .   Câu 40. Trong không gian Oxyz , cho các vec tơ= a ( 5;3; −2 ) và b = ( m; −1; m + 3) . Có bao nhiêu giá   trị nguyên dương của m để góc giữa hai vec tơ a và b là góc tù? A. 2.

B. 3.

D. 5.

C. 1.

Câu 41. Trên mặt phẳng toạ độ Oxy , cho tam giác ABC biết A (1; 3 ) , B ( −2; −2 ) , C ( 3;1) . Tính cosin góc A của tam giác. A. cos A =

2 17

B. cos A =

1 17

C. cos A = −

2 17

D. cos A = −

1 17

 là Câu 42. Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A(−1; −2;3) B(0;3;1) , C (4; 2; 2) . Cosin của góc BAC A.

9 . 35

B. −

9 . 35

C. −

9 . 2 35

D.

9 . 2 35

  Câu 43. Trong không gian Oxyz cho A (1;2;3) ; B ( −1;2;1) ; C ( 3; −1; −2 ) . Tính tích vô hướng AB. AC .

B. −14 .

A. −6 .

C. 14 .

D. 6 .

Câu 44. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm M ( 2;3; − 1) , N ( −1;1;1) và P (1; m − 1; 2 ) . Tìm m để tam giác MNP vuông tại N . B. m = −6

A. m = 2

D. m = −4

C. m = 0

Câu 45. Trong không gian tọa độ Oxyz , cho A ( 2;0;0 ) , B ( 0; 2;0 ) , C ( 0;0; 2 ) . Có tất cả bao nhiêu điểm

M

trong

không

gian

thỏa

mãn

M

không

trùng

với

các

điểm

A, B ,C

và

 = CMA = 90° AMB= BMC A. 0 .

B. 1 .

C. 2 .

D. 3 .

Câu 46. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC , biết A(5;3; −1) , B(2;3; −4) , C (3;1; −2) . Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC bằng:

A. 9 − 2 6.

B. 9 − 3 6.

C. 9 + 3 6.

D. 9 + 2 6.

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Trong mỗi ý A), B), C), D) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

 Câu 47. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho hai vectơ = a



( 2;1 ; − 3) , b =( −4; − 2 ;6 ) .

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

A. B. C. D.

Chân Trời Sáng Tạo

  b = −2a .  a. b = 0 .   a ngược hướng với b .   b =2a .

 Câu 48. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho a=



b (1;1; −1) . (1; −2;3) và=

  A. a + b = 2.

 B. a.b = −4 .   5. C. a − b =

  D. a ⊥ b .

    Câu 49. Biết c = ( x; y; z ) khác 0 và vuông góc với cả hai vectơ a = (1;3; 4 ) , b =

( −1; 2;3) .

0. A. 5 z − x = 0. B. 7 x − y = 0. C. 5 y + 7 z =

0. D. 7 x + y = Câu 50. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho tứ diện ABCD với A ( 0; 0; 3) , B ( 0; 0; − 1) , C (1; 0; − 1) , D ( 0; 1; − 1) .

A. AB ⊥ BD . B. AB ⊥ BC . C. AB ⊥ AC . D. AB ⊥ CD . PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ trả lời đáp án.    1    Câu 51. Trong hệ tọa độ Oxyz cho a= (1; −2; ) , b = (−2;1;1) , c = 3i + 2 j + 4k 4   a) Tính các tích vô hướng a.b , c.b . Trong ba véctơ trên có các cặp véctơ nào vuông góc ?    b) Tính cos(a, b) , cos(a, i )







Câu 52. Trong hệ tọa độ Oxyz , cho 3 vectơ a = ( 2; 5; 4 ) , b = ( 6; 0; −3) , c = ( 3; 2; −1)

 

a) Tính ( a.b ) c .





b) Tính góc giữa 2 vectơ a và b .



(

)



Câu 53. Trong hệ tọa độ Oxyz , cho 3 vectơ a = 3; 2; 2 3 , b =







a) Tính 4a.c + b 2 − 5c 2 .





b) Tính góc giữa 2 vectơ a và b .

(

)



3; 2 3; −1 , c = ( 3; 2; −1)

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025













Chân Trời Sáng Tạo

Câu 54. Trong hệ tọa độ Oxyz cho ba vectơ a = (2; 3; −1), b = (1; −2; 3), c = (2; −1;1) . Tìm tọa độ vectơ





 

 

u , biết rằng: u ⊥ a , u ⊥ b , u.c = −6 .

Câu 55. Trong hệ tọa độ Oxyz cho ba vectơ a = (2; −1; 3), b = (1; −3; 2), c = (3; 2; −4) . Tìm tọa độ vectơ









u , biết rằng: a.u = −5, u.b = −11, u.c = 20 . Câu 56. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho 4 điểm A(2; 4; −1) , B (1; 4; −1) , C (2; 4;3) D(2; 2; −1) . Biết M ( x; y; z ) , để MA2 + MB 2 + MC 2 + MD 2 đạt giá trị nhỏ nhất thì x + y + z bằng bao nhiêu? Câu 57. Trong

không

gian

với

hệ

trục

tọa

độ

Oxyz ,

cho

ba

điểm

A (1;1;1) , B ( −2;1;0 ) , C ( 2; −3;1) .Điểm S ( a; b; c ) sao cho SA2 + 2 SB 2 + 3SC 2 đạt giá trị nhỏ nhất. Tính

T = a+b+c Câu 58. Trong không gian tọa độ Oxyz cho ba điểm A ( 2;5;1) , B ( −2; −6; 2 ) , C (1; 2; −1) và điểm M ( m; m; m ) , để MA2 − MB 2 − MC 2 đạt giá trị lớn nhất thì m bằng bao nhiêu?

Câu 59. Trong không gian tọa độ Oxyz cho ba điểm A ( 2;5;1) , B ( −2; −6; 2 ) , C (1; 2; −1) và điểm   M ( m; m; m ) , để MB − 2 AC đạt giá trị nhỏ nhất thì m bằng bao nhiêu? Câu 60. Trong không gian tọa độ Oxyz cho điểm A (1; 2;3) , B ( 2; 2;1) , M ∈ Ox . Tìm điểm M sao cho   biểu thức= T MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất. Câu 61. Trong không gian tọa độ Oxyz cho điểm A ( −1; 2; −3) , B ( 0; 2;1) , C ( −1; 2;1) , M ∈ Oy . Tìm giá trị    nhỏ nhất của biểu thức T = MA + MB + MC để T đạt giá trị nhỏ nhất. Câu 62. Trong không gian tọa độ Oxyz cho điểm A ( 0; 2;3) , B ( 2;1;1) , C (1; 2;3) , M ∈ Oz . Tìm điểm M    sao cho biểu thức T = MA − 2 MB + 3MC đạt giá trị nhỏ nhất. Câu 63. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A ( 2; 2;0 ) , B ( 2;0; −2 ) và điểm M ( a, b, c ) với a, b, c là các số thực thay đổi thỏa mãn a + 2b − c − 1 =0 . Biết MA = MB và góc  AMB có số đo lớn nhất. Tính S =a + 2b + 3c .

DẠNG 3 ĐỘ DÀI ĐƯỜNG THẲNG TÌM TỌA ĐỘ ĐIỂM

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

• AB =

 AB =

Chân Trời Sáng Tạo

( xB − x A ) 2 + ( y B − y A ) 2 + ( z B − z A ) 2

• M ( xM ; yM ; zM ) là trung điểm đoạn thẳng AB thì: xM =

x A + xB y A + yB z A + zB = ; yM = ; zM 2 2 2

• G ( xG ; yG ; zG ) là trọng tâm của tam giác ABC thì:

= xG

x A + xB + xC y A + yB + yC z A + z B + zC = = ; yG ; zG 3 3 3

• Cho tam giác ABC có D là chân đường phân giác trong góc B của tam giác ABC . Khi đó ta có:

 BA  DA BA = ⇒ DA = DC DC BC BC B

A

C

D

PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án. Câu 64. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm A ( 2; 2;1) . Tính độ dài đoạn thẳng OA . A. OA = 5

B. OA = 5

C. OA = 3

D. OA = 9

Câu 65. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A (1; −3;1) , B ( 3;0; −2 ) . Tính độ dài AB . A. 26.

B. 22.

C.

26 .

D.

22.

Câu 66. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A (1;1; 2 ) và B ( 3;1;0 ) . Trung điểm của đoạn thẳng AB có tọa độ là A. ( 4; 2; 2 ) .

B. ( 2;1;1) .

C. ( 2;0; −2 ) .

D. (1;0; −1) .

Câu 67. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A ( −1;5;3) và M ( 2;1; − 2 ) . Tọa độ điểm B biết M là trung điểm của AB là 1 1 A. B  ;3;  . 2 2

B. B ( −4;9;8 ) .

C. B ( 5;3; −7 ) .

D. B ( 5; −3; −7 ) .

Câu 68. Trong không gian cho hệ trục toạ độ Oxyz , cho ba điểm A (1; −2;3) , B ( −1; 2;5 ) , C ( 0; 0;1) . Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC . A. G ( 0;0;3) .

B. G ( 0;0;9 ) .

C. G ( −1;0;3) .

D. G ( 0;0;1) .

Câu 69. Cho bốn điểm S (1, 2,3) ; A ( 2, 2,3) ; B (1,3,3) ; C (1, 2, 4 ) . Xác định tọa độ trọng tâm G của hình chóp SABC.

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

A. ( 5;9;13) .

 5 13  B.  ;3;  . 3 3

 7 9 C. 1; ;  .  4 4

Chân Trời Sáng Tạo

 5 9 13  D.  ; ;  4 4 4 

Câu 70. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho 2 điểm B (1; 2; −3) , C ( 7; 4; −2 ) Nếu điểm E thỏa   mãn đẳng thức CE = 2EB thì tọa độ điểm E là:  8 8 A.  3; ; −   3 3

8 8 B.  ;3; −  . 3 3

8  C.  3;3; −  3 

1  D. 1; 2;  3 

Câu 71. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A ( 3;1; − 2 ) , B ( 2; − 3;5 ) . Điểm M thuộc đoạn AB sao cho MA = 2 MB , tọa độ điểm M là 7 5 8 A.  ; − ;  .  3 3 3

17  3 C.  ; − 5;  . 2 2

B. ( 4;5; − 9 ) .

D. (1; −7;12 ) .

Câu 72. Trong hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm là A (1;3; −1) , B ( 3; −1;5 ) . Tìm tọa độ của điểm M   thỏa mãn hệ thức MA = 3MB .

 5 13  A. M  ; ;1 . 3 3 

7 1  B. M  ; ;3  . 3 3 

7 1  C. M  ; ;3  . 3 3 

D. M ( 4; −3;8 ) .

Câu 73. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A ( 4; 2; 1) , B ( −2; − 1; 4 ) . Tìm tọa độ điểm   M thỏa mãn đẳng thức AM = 2 MB . A. M ( 0; 0;3) .

B. M (0;0; −3) .

C. M (−8; −4;7) .

D. M (8; 4; −7) .

Câu 74. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các điểm A ( 3; −4;0 ) , B ( −1;1;3) , C ( 3,1, 0 ) . Tìm tọa độ điểm D trên trục hoành sao cho AD = BC . A. D ( 6;0;0 ) , D (12;0;0 )

B. D ( 0;0;0 ) , D ( 6;0;0 )

C. D ( −2;1;0 ) , D ( −4;0;0 )

D. D ( 0;0;0 ) , D ( −6;0;0 )

Câu 75. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A ( −2;3;1) và B ( 5; 6; 2 ) . Đường thẳng

AB cắt mặt phẳng ( Oxz ) tại điểm M . Tính tỉ số AM . BM

A. AM = 1 BM

2

B. AM = 2 BM

C. AM = 1 BM

3

D. AM = 3 BM

Câu 76. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình hộp ABCD. A′B′C ′D′ có A ( 0; 0; 0 ) , B ( a; 0; 0 ) ; D ( 0; 2a;0 ) , A′ ( 0; 0; 2a ) với a ≠ 0 . Độ dài đoạn thẳng AC ′ là

A. a .

B. 2 a .

C. 3 a .

D.

3 a. 2

Câu 77. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình vuông ABCD, B ( 3; 0;8 ) , D ( −5; −4; 0 ) . Biết   đỉnh A thuộc mặt phẳng ( Oxy ) và có tọa độ là những số nguyên, khi đó CA + CB bằng: A. 10 5 .

B. 6 10 .

C. 10 6 .

D. 5 10 .

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

Chân Trời Sáng Tạo

Câu 78. Trong không gian Oxyz cho các điểm A ( 5;1;5 ) ; B ( 4;3; 2 ) ; C ( −3; −2;1) . Điểm I ( a; b; c ) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Tính a + 2b + c ? A. 1 .

B. 3.

C. 6. D. −9.     Câu 79. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho OA = 2i + 2 j + 2k , B ( −2; 2; 0 ) và C ( 4;1; − 1) . Trên mặt phẳng ( Oxz ) , điểm nào dưới đây cách đều ba điểm A , B , C .

1 3 A. M  ; 0;  . 2 4

−1   −3 B. N  ; 0; . 2   4

−1  3 C. P  ; 0; . 2  4

1  −3 D. Q  ; 0;  . 2  4

Câu 80. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC có A 1; 2; 1 , B 2; 1;3 ,

C 4;7;5 . Gọi D a; b; c  là chân đường phân giác trong góc B của tam giác ABC . Giá trị của

a  b  2c bằng A. 5 .

B. 4 .

C. 14 .

D. 15 .

8 4 8 Câu 81. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A (1; 2; − 2 ) và B  ; ;  . Biết 3 3 3

I ( a; b; c ) là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác OAB . Giá trị a − b + c bằng A. 1

B. 3

C. 2

D. 0

 8 4 8 Câu 82. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm M (2; 2;1) , N  ; ;  . Tìm tọa độ tâm đường tròn  3 3 3  nội tiếp tam giác OMN . A. I (1;1;1) .

B. I (0;1;1) .

C. I (0; 1; 1) .

D. I (1;0;1) .

Câu 83. Trong không gian tọa độ Oxyz , cho A ( 2;0;0 ) , B ( 0; 2;0 ) , C ( 0;0; 2 ) . Có tất cả bao nhiêu điểm

= CMA = 90° ? M trong không gian thỏa mãn M không trùng với các điểm A, B, C và  AMB= BMC A. 0 .

B. 1 .

C. 2 .

D. 3 .

Câu 84. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho ba điểm A ( −2;3;1) , B ( 2;1;0 ) , C ( −3; − 1;1) . Tìm tất cả các điểm D sao cho ABCD là hình thang có đáy AD và diện tích tứ giác ABCD bằng 3 lần diện tích tam giác ABC . A. D ( −12; − 1;3) .

 D ( −8; − 7;1) B.  .  D (12;1; − 3)

C. D ( 8;7; − 1) .

 D ( 8;7; −1) D.  .  D ( −12; −1;3)

Câu 85. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hình thang ABCD vuông tại A và B . Ba đỉnh

A(1;2;1) , B(2;0;− 1) , C (6;1;0) Hình thang có diện tích bằng 6 2 . Giả sử đỉnh D(a; b; c) , tìm mệnh đề đúng? A. a + b + c = 6.

B. a + b + c = 5.

C. a + b + c = 8.

D. a + b + c = 7.

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Trong mỗi ý A), B), C), D) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

Chân Trời Sáng Tạo

Câu 86. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxyz , tam giác ABC với A (1; −3;3) ; B ( 2; −4;5 ) , C ( a; −2; b ) nhận điểm G (1; c;3) làm trọng tâm của nó.

3 7  A. Nếu M là trung điểm đoạn thẳng AB thì tọa độ điểm là M  ; − ; 4  . 2 2      B. Tọa độ vectơ là AB =i − j − 2k C. 2024a + 2025b = 2025 D. a + b + c =−2 Câu 87. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm A ( 0;1; −2 ) và B ( 3; −1;1) . Tọa độ   điểm M ( x; y; z ) thỏa mãn AM = 3 AB . 1. A. x + 2 y = 1. B. 3 y + z = −15 . C. x + 2 y − 2 z = 11 . D. x + y + z = Câu 88. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hình hộp ABCD. A′B′C ′D′ có A ( 0; 0; 0 ) , B ( 3; 0; 0 ) , D ( 0; 3; 0 ) , D′ ( 0; 3; − 3) . Toạ độ trọng tâm tam giác A′B′C là G ( xG ; yG ; zG ) .

A. xG + yG + zG = 1. B. 2 xG − yG = 3. C. 2 xG + yG − 3 zG = −1 . D. xG − 2 yG − 3 zG = −6 . Câu 89. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A (1; 2; − 1) , B ( 2; − 1;3) , C ( −4; 7;5 ) . Tọa độ chân đường phân giác trong góc B của tam giác ABC là D ( a; b; c ) . A. a + b =. 3 5 B. a + c = . 3 C. a + b − 2c =. 1 D. a + b + c = 4. PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ trả lời đáp án. Câu 90. Trong hệ tọa độ Oxyz cho: A (1; −1;1) , B ( 2; −3;2 ) , C ( 4; −2;2 ) . a) Tìm tọa độ trung điểm của đoạn AB . b) Tìm tọa độ trong tâm tam giác ABC .  1   c) Tìm tọa độ điểm M thỏa MA + MC = 3MB 2 Câu 91. Trong hệ tọa độ Oxyz cho: A (1; −1;1) , B ( 2; −3;2 ) , C ( 4; −2;2 ) , D ( 3;0;1) , E (1;2;3)

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

a) Chứng tỏ rằng ABCD là hình chữ nhật. Tính diện tích của nó.

Chân Trời Sáng Tạo

b) Tính cos các góc của tam giác ABC c) Tìm trên đường thẳng Oy điểm cách đều hai điểm AB     d) Tìm tọa độ điểm M thỏa MA + MB − 3MC = 0 Câu 92. Trong hệ tọa độ Oxyz cho A(4; −1;2) ; B(7;3;2) . a) Tìm tọa độ điểm M ∈ Ox và cách đều hai điểm A, B . b) Tìm M trên mặt phẳng ( Oyz ) sao cho tam giác ABM vuông cân tại A . Câu 93. Trong không gian tọa độ Oxyz cho ba điểm A(1; 2; −3), B(0; 3; 7), C (2; 5; 0) . a) Chứng minh ba điểm A, B, C không thẳng hàng. b) Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành. c) Tính góc  ABC . d) Tính diện tích ∆ABC . Từ đó suy ra độ dài đường cao AH của ∆ABC . Câu 94. Trong không gian tọa độ Oxyz cho ba điểm A(3; −4; 7), B(−5; 3; −2), C (1; 2; −3) . a) Chứng minh ba điểm A, B, C tạo thành ∆ABC . b) Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành c) Tìm tọa độ trọng tâm của ∆ABC . d) Tính góc  ABC . e) Tính độ dài đường cao BH của ∆ABC Câu 95. Cho hình hộp ABCD. A ' B ' C ' D ' .Biết rằng: A (1;2; −1) , B ( −1;1;3) ,  C ( −1; −1;2 ) ,D’ ( 2; −2; −3) a) Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp. b) Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng BD ' và B ' D . c) Tìm tọa độ trọng tâm của ∆AA ' C . Câu 96. Cho hình hộp ABCD. A ' B ' C ' D ' .Biết rằng: A(0; 2; 2), B(0;1; 2), C (−1;1;1), C '(1; −2; −1) a) Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp. b) Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng AC ' và A ' C . c) Tìm tọa độ trọng tâm của ∆B ' DD ' .

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

Chân Trời Sáng Tạo

BÀI 3 BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ

1. Biểu thức tọa độ của phép cộng hai vectơ, phép trừ hai vectơ, phép nhân một số với một vectơ





Cho a (= = a1; a2 ; a3 ), b (b1; b2 ; b3 ) . Ta có:





• Tổng hai vectơ: a + b= (a1 + b1; a2 + b2 ; a3 + b3 )

 

• Hiệu hai vectơ: a − b= (a1 − b1; a2 − b2 ; a3 − b3 )



• ka = (ka1; ka2 ; ka3 ) (k ∈ R) a1 = kb1  Nhận xét: a cùng phương b (b ≠ 0) ⇔ a = kb ⇔ a2 = kb2 ( k ∈  ) a = kb 3  3





 





2. Tọa độ trung điểm đoạn thẳng và tọa độ trọng tâm tam giác Cho hai điểm A( x A ; y A ; z A ) , B( xB ; yB ; z B ) , nếu M ( xM ; yM ; zM ) là trung điểm đoạn thẳng AB thì:

= xM

x A + xB y A + yB z A + zB = = ; yM ; zM 2 2 2

Cho tam giác ABC có A( x A ; y A ; z A ) , B( xB ; yB ; z B ) , C ( xC ; yC ; zC ) , nếu G ( xG ; yG ; zG ) là trọng tâm

x A + xB + xC y A + yB + yC z A + z B + zC = ; yG = ; zG 3 3 3

ABC thì: xG của tam giác =

3. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

 





Nếu a = (a1; a2 ; a3 ) và b = (b1; b2 ; b3 ) thì a .b =a1b1 + a2 b2 + a3b3 Nhận xét:







a.a =

• Nếu a = (a1; a2 ; a3 ) thì a =

a12 + a22 + a22

• Nếu A( x A ; y A ; z A ) , B( xB ; yB ; z B ) thì AB =

 AB =

( xB − x A ) 2 + ( y B − y A ) 2 + ( z B − z A ) 2

     • Tích vô hướng 2 vectơ: a.b = a . b .cos(a; b)



 





• Cho a = (a1; a2 ; a3 ) và b = (b1; b2 ; b3 ) với a , b ≠ 0 , ta có:





+ Hai vectơ vuông góc: a ⊥ b ⇔ a1b1 + a2 b2 + a3b3 = 0

 



a.b + Góc hai vectơ: cos(a= , b ) =  a.b

a1b1 + a2 b2 + a3b3 a12 + a22 + a32 . b12 + b22 + b32

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

Chân Trời Sáng Tạo

CHỦ ĐỀ 1 BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ

DẠNG 1 CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ

1. Biểu thức tọa độ của phép cộng hai vectơ, phép trừ hai vectơ, phép nhân một số với một vectơ





Cho a (= = a1; a2 ; a3 ), b (b1; b2 ; b3 ) . Ta có:





• Tổng hai vectơ: a + b= (a1 + b1; a2 + b2 ; a3 + b3 )

 

• Hiệu hai vectơ: a − b= (a1 − b1; a2 − b2 ; a3 − b3 )



• ka = (ka1; ka2 ; ka3 ) (k ∈ R)  a1 = kb1  a kb k ∈  = ) 2 (  2        • a cùng phương b (b ≠ 0) ⇔ a = kb ⇔  a3 = kb3 a a a3 1 2 = = , (b1 , b2 , b3 ≠ 0)  b1 b2 b3     • Ba điểm A, B, C thẳng hàng ⇔ AB cùng phương AC ⇔ AB = k AC

PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án. Câu 1.

 Trong không gian Oxyz , cho hai vectơ u=

(1; −4;0 )

   và v = ( −1; −2;1) . Vectơ u + 3v có tọa độ

là A. ( −2; −10;3) .

C. ( −4; −8; 4 ) .

B. ( −2; −6;3) .

D. ( −2; −10; −3) .

Lời giải Chọn A.  Ta có 3v =( −3; −6;3) .   Do đó u + 3v =( −2; −10;3) . Câu 2.

 Trong không gian Oxyz , cho hai vectơ= u

A. ( 3;4; −3) .

B. ( −1;2; −3) .

(1;3; −2 )

 

( 2;1; −1) . Toạ độ vectơ u − v

C. ( −1;2; −1) . Lời giải

Chọn C.   u − v =( −1; 2; −1)

 và= v

D. (1; −2;1) .

là:

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

  Câu 3. Trong không gian Oxyz cho a = ( 2;3;2 ) và= b

A. ( 3;4;1) .

C. ( 3;5;1) .

B. ( −1; − 2;3) .

Chân Trời Sáng Tạo

  (1;1; − 1) . Vectơ a − b có tọa độ là

D. (1;2;3) .

Lời giải Chọn D.   Ta có: a − b = ( 2 − 1;3 − 1; 2 + 1) = (1; 2;3) .    Câu 4. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba vecto a (1; 2;3) ; b ( 2; 2; −1) ; c ( 4;0; −4 ) . Tọa độ     của vecto d = a − b + 2c là     A. d ( −7;0; −4 ) B. d ( −7;0; 4 ) C. d ( 7;0; −4 ) D. d ( 7;0; 4 ) Lời giải Chọn C.     Ta có: d = a − b + 2c = (1 − 2 + 2.4; 2 − 2 + 2.0;3 + 1 + 2.(−4) ) = ( 7;0; −4 ) .  Câu 5. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho = a     tọa độ của vectơ u = 2a + 3b − 2c .

A. (10; −2;13) .

B. ( −2; 2; −7 ) .





, b ( 0; 2; −1) , = c ( 3; −1;5 ) . Tìm ( 2; −3;3)=

C. ( −2; −2;7 ) .

D. ( −2; 2; 7 ) .

Lời giải Chọn B.



     −2c =− ( 6; 2; −10 ) ⇒ u =2a + 3b − 2c =( −2; 2; −7 ) .    Câu 6. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho = a ( 2; − 3; 3= c ( 3; − 1; 5 ) . Tìm tọa ) , b ( 0; 2; − 1) , =     độ của vectơ u = 2a + 3b − 2c .  Ta có: 2= a

3b ( 0;6; −3) , ( 4; −6; 6 ) ,=

A. (10; − 2;13) .

B. ( −2; 2; − 7 ) .

C. ( −2; − 2; 7 ) .

D. ( −2; 2; 7 ) .

Lời giải Chọn B.    Có 2a = ( 6; 2; −10 ) . ( 4; −6;6 ) ; 3b =( 0;6; −3) ; − 2c =−     Khi đó: u =2a + 3b − 2c =− ( 2; 2; − 7 ) .   Câu 7. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai vectơ= x ( 2;1; −3) và= y (1;0; −1) . Tìm tọa độ    của vectơ a= x + 2 y .     A.= B.= C.= D.= a ( 4;1; −1) . a ( 3;1; −4 ) . a ( 0;1; −1) . a ( 4;1; −5 ) .

Lời giải Chọn D.  Ta có:= 2 y ( 2;0; −2 ) .    a = x + 2 y = ( 2 + 2;1 + 0; −3 − 2 ) = ( 4;1; −5 ) .

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

Chân Trời Sáng Tạo

  Câu 8. Trong không gian Oxyz với i, j , k lần lượt là các vecto đơn vị trên các trục Ox, Oy, Oz. Tính tọa    độ của vecto i + j − k .             A. i + j − k =(−1; −1;1). B. i + j − k =(−1;1;1). C. i + j − k= (1;1; −1). D. i + j − k = (1; −1;1).

Lời giải Chọn D.    Ta có i (1;0;0), = = j (0;1;0), = k (0;0;1).    Do đó, i + j − k= (1;1; −1).   Câu 9. Trong không gian Oxyz , cho a = (1; 2;1) và b = A. (1; 7;2 ) .

B. (1;5;2 ) .



c ( −1;3;0 ) . Vectơ =

C. ( 3; 7;2 ) .

  2a + b có tọa độ là

D. (1; 7;3) .

Lời giải Chọn A.     Có = c 2a + b , gọi c = ( c1 ; c2 ; c3 ) c1= 2.1 + ( −1)= 1  ⇒ c2 = 2.2 + 3= 7 c = 2.1 + 0 = 2  3  Vậy c = (1;7; 2 )

      Câu 10. Trong không gian Oxyz, cho a ( −2; 2;0 ) , b ( 2; 2;0 ) , c ( 2; 2; 2 ) . Giá trị của a + b + c bằng A. 6.

B. 11 .

C. 2 11 .

D. 2 6 .

Lời giải Chọn C.    Ta có: a + b + c = ( 2;6; 2 ) .    Vậy a + b + c = 2 11 .   Câu 11. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các vectơ a = ( 2; m − 1;3) , b =(1;3; −2n ) . Tìm m, n   để các vectơ a, b cùng hướng.

3 A. m = 7; n = − . 4

B. m = 4; n = −3 .

m 1;= n 0. C. =

4 D. m = 7; n = − . 3

Lời giải Chọn A.

 k 2 2 k= =     3   1 3k ⇔ m= 7 . Vậy m = 7; n = − a và b cùng hướng ⇔ a = kb ( k > 0 ) ⇔ m −= 4 3 k −2n ( ) n = − 3 = 4 

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

Chân Trời Sáng Tạo

     Câu 12. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho các véc tơ u = 2i − 2 j = +k, v

( m;2; m + 1)

với m là

  tham số thực. Có bao nhiêu giá trị của m để u = v . B. 1 .

A. 0 .

C. 2 .

D. 3 .

Lời giải Chọn C.  Ta có = u ( 2; − 2;1)  Khi đó u=

 2 2 22 + ( −2 ) + 1= 3 và v=

m 2 + 22 + ( m + 1) = 2

2m 2 + 2m + 5

  m = 1 Do đó u = v ⇔ 9 = 2m 2 + 2m + 5 ⇔ m 2 + m − 2 = 0 ⇔   m = −2 Vậy có 2 giá trị của m thỏa yêu cầu bài toán.  Câu 13. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các vectơ= a   n để các vectơ a , b cùng phương.

3 A. m = 7 ; n = − . 4

4 B. m = 7 ; n = − . 3



b (1;3;− 2n ) . Tìm ( 2;m − 1;3) ,=

C. m = 4 ; n = −3 .

m,

D. m = 1 ; n = 0 .

Lời giải Chọn A.

    Các vectơ a , b cùng phương khi và chỉ khi tồn tại số thực dương k sao cho a = kb  2 = k 2 = k 2 = k    7 . ⇔ m − 1 =3k ⇔ m − 1 =6 ⇔ m =  = = −3 3 2 ( −2n ) 3 k ( −2n ) n = 4  Câu 14. Trong không gian với hệ trục Oxyz cho ba điểm A1; 2; 3 , B 1;0; 2 , C  x; y; 2 thẳng hàng. Khi đó x  y bằng A. x  y  1 .

B. x  y  17 .

C. x  y  

11 . 5

D. x  y 

11 . 5

Lời giải Chọn A.   Có AB  2; 2;5 , AC   x  1; y  2;1 .

 3  x     x 1 y  2 1  5     x  y 1. A, B, C thẳng hàng  AB, AC cùng phương  8 2 2 5   y  5  Câu 15. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A ( 2; −1;5 ) , B ( 5; −5; 7 ) , M ( x; y;1) . Với giá trị nào của x, y thì A, B, M thẳng hàng.

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

x 4;= y 7 A.=

−4; y = −7 B. x =

C. x = 4; y = −7

Chân Trời Sáng Tạo

−4; y = 7 D. x =

Lời giải Chọn A  Ta có AB =



( 3; −4; 2 ) , AM = ( x − 2; y + 1; −4 )

   x = −4 x − 2 y + 1 −4 = = ⇔ A, B, M thẳng hàng ⇔ AB, AM cùng phương ⇔ . 3 −4 2 y = 7

Câu 16. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A ( 2; − 2;1) , B ( 0;1; 2 ) . Tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng ( Oxy ) sao cho ba điểm A , B , M thẳng hàng là A. M ( 4; − 5;0 ) .

B. M ( 2; − 3;0 ) .

C. M ( 0;0;1) .

D. M ( 4;5;0 ) .

Lời giải Chọn A

  Ta có M ∈ ( Oxy ) ⇒ M ( x ; y ;0 ) ; AB =− ( 2;3;1) ; AM =( x − 2; y + 2; − 1) .   x = 4 x − 2 y + 2 −1 ⇔ Để A , B , M thẳng hàng thì AB và AM cùng phương, khi đó: = = . 3 1 −2  y = −5

Vậy M ( 4; − 5;0 ) . PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Trong mỗi ý A), B), C), D) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.  Câu 17. Trong không gian Oxyz , cho vectơ a =   A. a + b = ( 3; −3; −3)   B. a và b cùng phương  C. b = 3



( 2; −2; −4 ) , b = (1; −1;1) .

    D. a = 2i − 2 j − 4k   A. a + b =

Lời giải

( 3; −3; −3)

ĐÚNG

  B. a và b cùng phương SAI  C. b = 3 ĐÚNG     D. a = 2i − 2 j − 4k ĐÚNG    Xét đáp án A: a + b = ( 3; −3; −3) đúng.      Xét đáp án B: a = 2 (1; −1; −2 ) ≠ b = (1; −1;1) . Suy ra a và b không cùng phương. Đáp án B sai.   b = 3 đúng.

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

     a = 2i − 2 j − 4k đúng.

  Câu 18. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho a = ( 2;3;1) , b =  x = ( −3; 22;5 ) .     A. x = 2 a − 3 b − c .     −2 a + 3 b + c . B. x =     C. x = 2 a + 3 b − c .     D. x = 2 a − 3 b + c .

Chân Trời Sáng Tạo

( −1;5; 2 ) ,

 = c

( 4; − 1;3)

Lời giải

    SAI A. x = 2 a − 3 b − c .     −2 a + 3 b + c . SAI B. x =     C. x = 2 a + 3 b − c . ĐÚNG     D. x = 2 a − 3 b + c . SAI     Đặt: x = m. a + n. b + p. c , m, n, p ∈  .

2m − n + 4 p =−3  22;5 ) m. ( 2;3;1) + n. ( −1;5; 2 ) + p. ( 4; − 1;3) ⇒ 3m + 5n − p = ⇒ ( −3;= 22 ( I ) .  m + 2n + 3 p = 5  m = 2  Giải hệ phương trình ( I ) ta được: n = 3 .  p = −1      Vậy x = 2 a + 3 b − c .



Câu 19. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho a =

 







A. u = 3a − b + 5c với u = (11; 22;18 ) .



B. x =

 C. v=  D. y=



115 7  1 4    ;−  . a − b − 2c với x =  −1; − 6 6 2 3        a + b với v = 2i − 3 j + 2k .       b − c với y =−i + 5 j − 3k .

 

Lời giải





A. u = 3a − b + 5c với u = (11; 22;18 ) . ĐÚNG

 3= a ( 6; −15; 9 )     + Ta có: b = ( 0; −2;1) ⇒ 3a − b + 5c = 5c = ( 5; 35;10 ) 

(11; 22;18) =



u



 ( 2= ; −5; 3) , b ( 0= ; 2; −1) , c (1; 7; 2 ) .

và

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

Chân Trời Sáng Tạo

1 4 115 7     ; −  . ĐÚNG a − b − 2c với x =  −1; − 6 6 2 3 



B. x =

1   5 3 a 1; − ;   = 2 2  2  4  8 4 1 4 115 7     ;−  = x + Ta có:  b =  0; ; −  ⇒ a − b − 2c =  −1; − 2 3 6 6   3  3 3  2c = ( 2;14; 4 )          C. v= a + b với v = 2i − 3 j + 2k . ĐÚNG         v = a + b ⇒ v = ( 2; −3; 2 ) ⇒ v = 2i − 3 j + 2k        D. y= b − c với y =−i + 5 j − 3k . SAI         y =− b c⇒ y = −i − 5 j − 3k ( −1; −5; −3) ⇒ y = PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ trả lời đáp án.











Câu 20. Tìm tọa độ vectơ x , biết rằng: a + 2 x = = a b với



b ( 2; −5; 3) ( 5; 4; −1) , =

Lời giải

 3 9  Đáp án:= x  ;− ;2 2 2  



+ Gọi vectơ x có tọa độ:= x

( x; y; z ) ⇒ 2=x ( 2 x; 2 y; 2z )

  a + 2 x = ( 5 + 2 x; 4 + 2 y; −1 + 2 z ) + Ta có:  b ( 2; −5; 3) =  3 x = 2 5 + 2 x = 2  9  3 9       + Vì a + 2 x = b nên: 4 + 2 y =−5 ⇔  y =− ⇒ x = ; − ; 2  2 2 2  −1 + 2 z =3  z = 2      Câu 21. Cho vectơ a= (1; −1;0) , xác định k để vectơ = u (2; 2k − 1;0) cùng phương với vectơ a .

















a =− (3; 2;1), b = (2;1; −1) . Tìm m để = v 3a + 2mb cùng u ma − 3b và =

Câu 22. Cho hai vectơ phương.









(1; −7; 9 ) , b = ( 3; −6;1) , c = ( 2;1; −7 ) . Biểu diễn vectơ u = (−4;13; −6) theo các Câu 23. Cho ba vectơ a =   

vectơ a , b , c .









(1; −1;1) , b = ( 0;1; 2 ) , c = ( 4; 2; 3) . Biểu diễn vectơ= Câu 24. Cho ba vectơ a = u (1; 2; −2) theo các vectơ   

a, b , c .







Câu 25. Cho 3 vectơ a = ( 2; 5; 4 ) , b = ( 6; 0; −3) , c = ( 3; 2; −1) . Xác định các số thực m, n để

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

   ma − 3nb = c.





Chân Trời Sáng Tạo



(2; −1; 3), b = (1; −3; 2), c = (3; 2; −4) . Xác định các số thực m, n để Câu 26. Cho 3 vectơ : a =

 1 m a − nb =c . 3 2 Câu 27. Trong không gian tọa độ Oxyz cho ba điểm A(4; 2; 3), B(−2;1; −1), C (3; 8; 7) . a) Chứng minh ba điểm A, B, C không thẳng hàng. b) Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành. Câu 28. Trong không gian tọa độ Oxyz cho A ( 2; 5; 3) , B ( 3;7; 4 ) , C ( x; y; 6 ) . Tìm x; y để ba điểm

A, B, C thẳng hàng.

DẠNG 2 TÍCH VÔ HƯỚNG HAI VECTƠ







a.a =

• Nếu a = (a1; a2 ; a3 ) thì a =

a12 + a22 + a22



• Tích vô hướng 2 vectơ: a.b =a1.b1 + a2 .b2 + a3 .b3 ;





• Hai vectơ vuông góc: a ⊥ b ⇔ a1b1 + a2 b2 + a3b3 = 0

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

 a.b   • Góc hai vectơ: cos(a= , b ) =  a.b

Chân Trời Sáng Tạo

a1b1 + a2 b2 + a3b3 a12 + a22 + a32 . b12 + b22 + b32

PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

  Câu 29. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho vectơ u = ( 3;0;1) và v = ( 2;1;0 ) . Tính tích vô  hướng u.v .     A. u.v = 8 . B. u.v = 6 . C. u.v = 0 . D. u.v = −6 . Lời giải Chọn B.  Ta có u.v = 3.2 + 0.1 + 1.0 = 6 .

    Câu 30. Trong hệ tọa độ Oxy , cho u = i + 3 j và = v  A. u.v = −1 .

 B. u.v = 1 .



( 2; −1) . Tính u.v . 

.v C. u=

( 2; −3) .

 D. u.v = 5 2 .

Lời giải Chọn A.     Từ u =i + 3 j ⇒ u =(1;3) .  Do đó, u.v = 1.2 + 3. ( −1) = −1 .  Câu 31. Cho hai véc tơ a= A. 12 .

  



(1; −2;3) , b = ( −2;1; 2 ) . Khi đó, tích vô hướng ( a + b ) .b C. 11 .

B. 2 .

bằng

D. 10 .

Lời giải Chọn C.      a + b =( −1; −1;5 ) ⇒ a + b .b =−1. ( −2 ) + ( −1) .1 + 5.2 =11 .

(

)

 Câu 32. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho = u  sao cho tích vô hướng u.v = 1 .

A. m = 4 .

B. m = 2 .

( 2; −1;1)

C. m = 3 .

 và v =

( 0; −3; −m ) . Tìm số thực

m

D. m = −2 .

Lời giải Chọn B.  Ta có: u.v = 1 ⇔ 3 − m = 1 ⇔ m = 2 .

    Câu 33. Trong không gian Oxyz , cho hai vectơ u và v tạo với nhau một góc 120° và u = 2 , v = 5 .   Tính u + v

A. 19 .

B. −5 .

C. 7 . Lời giải

D.

39 .

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

Chọn A.

  2 Ta có : u + v =

(

 

) (u + v )

2

Chân Trời Sáng Tạo

2   2  2     2 u + 2 u . v cos u; v + v =u + 2uv + v =

( )

 1 = 22 + 2.2.5.  −  + 52 = 19 .  2   Suy ra u + v =19 .   ( −1; 0; −2 ) . Tính Câu 34. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai vectơ a = ( 2;1; 0 ) và b =   cos ( a , b ) .

  2 B. cos a , b = − 5

  2 A. cos a , b = − 25

  2 C. cos a , b = 25

( )

( )

( )

  2 D. cos a , b = 5

( )

Lời giải Chọn B.

   a.b Ta có: cos ( a , b ) =   = a.b

−2

2 = − . 5 5. 5

  Câu 35. Trong không gian Oxyz , góc giữa hai vectơ i và u = A. 120° .

(−

C. 150° .

B. 60° .

)

3; 0;1 là D. 30° .

Lời giải Chọn C.  Ta có i = (1; 0; 0 ) .

(

)

 1. − 3 + 0.0 + 0.1 − 3     i.u = Vậy: cos i, u =   = ⇒ i, u = 150° . 2 i . u 1. − 3 2 + 02 + 12

( )

(

( )

)

 Câu 36. Trong không gian Oxyz , cho a = A.

3 . 13

B.



( −3; 4;0 ) , b = ( 5;0;12 ) . Côsin của góc giữa

5 . 6

5 C. − . 6

D. −

  a và b bằng

3 . 13

Lời giải Chọn D.   Ta có: cos = a; b

(

)

 a.b =  a. b

−3.5 + 4.0 + 0.12

−3 . = ( −3) + 42 + 02 . 52 + 02 + 122 13 2

Câu 37. Cho u = (− 1;1;0 ) , v = (0;−1;0 ) , góc giữa hai véctơ u và v là A. 120° .

B. 45° .

C. 135° . Lời giải

Chọn C.

D. 60° .

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

     −1 u.v u, v Ta có cos = ⇒ u, v = 135° . =  2 u.v

( )

Chân Trời Sáng Tạo

( )

    Câu 38. Trong không gian Oxyz cho 2 véc tơ= a (2;1; −1) ; b = (1; 3; m) . Tìm m để a; b= 90° .

( )

A. m = −5 .

B. m = 5 .

C. m = 1 .

D. m = −2

Lời giải Chọn B.    0 ⇔ m = 5. a; b= 90° ⇔ a.b = 0 ⇔ 5 − m =

( )

  Câu 39. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho véc tơ u =(1;1; −2 ) , v =(1;0; m ) . Tìm tất cả giá trị   của m để góc giữa u , v bằng 45° . A. m = 2 .

B. m= 2 ± 6 .

C. m= 2 − 6 .

D. m= 2 + 6 .

Lời giải Chọn C.     + u , v = 45° ⇔ cos u , v =

( )

( )

 u.v 2 2 ⇔   = ⇔ 2 2 u.v

1 − 2m

1 = ⇔ 3 ( m 2 + 1) =1 − 2m 2 2 6. 1 + m

1  1 − 2m ≥ 0 m ≤ ⇔ ⇔ 2 ⇔ m =2 − 6 . 2 2 3m + 3 =1 − 4m + 4m  m 2 − 4m − 2 = 0    Câu 40. Trong không gian Oxyz , cho các vec tơ= a ( 5;3; −2 ) và b = ( m; −1; m + 3) . Có bao nhiêu giá   trị nguyên dương của m để góc giữa hai vec tơ a và b là góc tù? A. 2.

B. 3.

C. 1.

D. 5.

Lời giải Chọn A.   Ta có cos a= ; b

(

)

  a. b =  a.b

3m − 9 38. 2m 2 + 6m + 10

.

    Góc giữa hai vec tơ a và b là góc tù khi và chỉ khi cos a; b < 0 ⇔ 3m − 9 < 0 ⇔ m < 3 .

(

)

Vì m nguyên dương nên m ∈ {1; 2} . Vậy có 2 giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 41. Trên mặt phẳng toạ độ Oxy , cho tam giác ABC biết A (1; 3 ) , B ( −2; −2 ) , C ( 3;1) . Tính cosin góc A của tam giác. A. cos A =

2 17

B. cos A =

1 17

C. cos A = − Lời giải

Chọn B

2 17

D. cos A = −

1 17

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

  = Ta có: AB =( −3; − 5 ) , AC

( 2; − 2 ) .

    AB. AC −3.2 + 5.2 cos A cos AB ; AC = = = Khi đó:= AB. AC 34.2 2

(

Chân Trời Sáng Tạo

)

1 . 17

 là Câu 42. Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A(−1; −2;3) B(0;3;1) , C (4; 2; 2) . Cosin của góc BAC 9 . 35

A.

B. −

9 . 35

C. −

9 . 2 35

D.

9 . 2 35

Lời giải Chọn D   Ta có AB (1;5; −2 ) ; AC ( 5; 4; −1) .   5 + 20 + 2 9 AB. AC   = cosBAC = = .   30. 42 2 35 AB . AC   Câu 43. Trong không gian Oxyz cho A (1;2;3) ; B ( −1;2;1) ; C ( 3; −1; −2 ) . Tính tích vô hướng AB. AC .

B. −14 .

A. −6 .

C. 14 .

D. 6 .

Lời giải Chọn D     Ta có: AB = ( −2;0; −2 ) ; AC = ( 2; −3; −5) ⇒ AB. AC = 6 Câu 44. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm M ( 2;3; − 1) , N ( −1;1;1) và P (1; m − 1; 2 ) . Tìm m để tam giác MNP vuông tại N . A. m = 2

B. m = −6

C. m = 0

D. m = −4

Lời giải Chọn C   MN ( −3; −2; 2 ) ; NP ( 2; m − 2;1) .   Tam giác MNP vuông tại N ⇔ MN .NP = 0 ⇔ −6 − 2 ( m − 2 ) + 2 = 0 ⇔ m − 2 = −2 ⇔ m = 0 .

Câu 45. Trong không gian tọa độ Oxyz , cho A ( 2;0;0 ) , B ( 0; 2;0 ) , C ( 0;0; 2 ) . Có tất cả bao nhiêu điểm

M

trong

không

gian

thỏa

mãn

M

không

trùng

với

các

điểm

 = CMA = 90° AMB= BMC A. 0 .

B. 1 .

C. 2 . Lời giải

Chọn C

   AM .BM = 0    = CMA = 90° ⇔  BM .CM = 0 Gọi M ( x ; y ; z ) .Ta có:  AMB= BMC       CM . AM = 0

D. 3 .

A, B ,C

và

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

Chân Trời Sáng Tạo

 x ( x − 2) + y ( y − 2) + z = 0  x2 + y 2 + z 2 − 2x − 2 y = 0  x2 + y 2 + z 2 − 2x − 2 y = 0  2  2  0 ⇔  x + y 2 + z 2 − 2 y − 2 z =0 ⇔  x =z ⇔  x + y ( y − 2) + z ( z − 2) =   x2 + y 2 + z 2 − 2x − 2 z =  2 0 0 y = z  x ( x − 2 ) + y + z ( z − 2 ) =  2

 M ( 0;0;0 ) 3 x 2 − 4 x = 0  ⇔ ⇔  4 4 4. ; ; M  x= y= z   3 3 3 

Câu 46. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC , biết A(5;3; −1) , B(2;3; −4) , C (3;1; −2) . Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC bằng: A. 9 − 2 6.

B. 9 − 3 6.

C. 9 + 3 6.

D. 9 + 2 6.

Lời giải Chọn B Ta có AC 2 + BC 2 = 9 + 9 = AB 2 ⇒ tam giác ABC vuông tại C . Suy ra: r=

1 CA.CB 2

S ABC 3.3 2 = = = 9−3 6 1 p + + 3 2 3 3 AB + BC + CA ( ) 2

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Trong mỗi ý A), B), C), D) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.



 Câu 47. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho hai vectơ = a   A. b = −2a .  B. a. b = 0 .   C. a ngược hướng với b .   D. b = 2 a .

A. B. C. D.

  b = −2a . ĐÚNG  a. b = 0 . SAI   a ngược hướng với b . ĐÚNG   b = 2 a . ĐÚNG

( 2;1 ; − 3) , b =( −4; − 2 ;6 ) .

Lời giải

      Dễ thấy b = −2a . Từ đó suy ra vectơ a ngược hướng với vectơ b và b = 2 a .  a. b = 2. ( −4 ) + 1. ( −2 ) + ( −3) .6 = −28 ≠ 0 .

Do đó đáp án B sai.

 Câu 48. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho a=



b (1;1; −1) . (1; −2;3) và=

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

Chân Trời Sáng Tạo

  A. a + b = 2.

 B. a.b = −4 .   5. C. a − b =

  D. a ⊥ b . Lời giải

  A. a + b = 2 . SAI

 B. a.b = −4 . ĐÚNG   5 . ĐÚNG C. a − b =

  D. a ⊥ b . ĐÚNG Ta có    a+b = u =

(1 + 1) + ( −2 + 1) + ( 3 − 1) 2

2

2

=

4 + 1 + 4 = 3 ≠ 2 (SAI).

 a.b =1.1 + ( −2 ) .1 + 3. ( −1) =1 − 2 − 3 =−4 (đúng).    a −b = u =

(1 − 1) + ( −2 − 1) + ( 3 + 1) 2

2

2

= 0 + 9 + 16 = 5 (đúng).

  a ⊥ b = 1.1 + ( 2 )1 + 3. ( −1) = 0 (đúng).     Câu 49. Biết c = ( x; y; z ) khác 0 và vuông góc với cả hai vectơ a = (1;3; 4 ) , b =

( −1; 2;3) .

0. A. 5 z − x = 0. B. 7 x − y = 0. C. 5 y + 7 z =

0. D. 7 x + y = Lời giải

0 . SAI A. 5 z − x = 0 . SAI B. 7 x − y = 0 .ĐÚNG C. 5 y + 7 z =

0 . ĐÚNG D. 7 x + y =     Theo giả thiết ta có c = ( x; y; z ) khác 0 và vuông góc với cả hai vectơ a = (1;3; 4 ) , b =

( −1; 2;3)

nên

−5    1 x + 3 y + 4. y = 0 c= +y 0 . a 0 1 x + 3 y += 4z 0 4 z 0  1 x + 3 y += 7 x= 7 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔      3 z 0 5 y += 7z 0 7z 0 5 y +=  z = −5 y c . b = 0 −1 x + 2 y +=  7

Câu 50. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho tứ diện ABCD với A ( 0; 0; 3) , B ( 0; 0; − 1) , C (1; 0; − 1) , D ( 0; 1; − 1) .

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

Chân Trời Sáng Tạo

A. AB ⊥ BD . B. AB ⊥ BC .

C. AB ⊥ AC . D. AB ⊥ CD . Lời giải A. AB ⊥ BD . ĐÚNG B. AB ⊥ BC . ĐÚNG C. AB ⊥ AC . SAI D. AB ⊥ CD . ĐÚNG

A

D

B  Ta có= AB

 AC ( 0; 0; − 4 ) , =

C

  (1; 0; − 4 ) ⇒ AB. AC= 16 ≠ 0 ⇒ AB và AC không vuông góc.

Làm tương tự ta có:

AB ⊥ BD AB ⊥ BC

AB ⊥ CD PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ trả lời đáp án.    1    Câu 51. Trong hệ tọa độ Oxyz cho a= (1; −2; ) , b = (−2;1;1) , c = 3i + 2 j + 4k 4   a) Tính các tích vô hướng a.b , c.b . Trong ba véctơ trên có các cặp véctơ nào vuông góc ?    b) Tính cos(a, b) , cos(a, i )







Câu 52. Trong hệ tọa độ Oxyz , cho 3 vectơ a = ( 2; 5; 4 ) , b = ( 6; 0; −3) , c = ( 3; 2; −1)

 

a) Tính ( a.b ) c .





b) Tính góc giữa 2 vectơ a và b .



(

)



Câu 53. Trong hệ tọa độ Oxyz , cho 3 vectơ a = 3; 2; 2 3 , b =





(

)



3; 2 3; −1 , c = ( 3; 2; −1)



a) Tính 4a.c + b 2 − 5c 2 .





b) Tính góc giữa 2 vectơ a và b .







(2; 3; −1), b = (1; −2; 3), c = (2; −1;1) . Tìm tọa độ vectơ Câu 54. Trong hệ tọa độ Oxyz cho ba vectơ a =





 

 

u , biết rằng: u ⊥ a , u ⊥ b , u.c = −6 .

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025





Chân Trời Sáng Tạo



Câu 55. Trong hệ tọa độ Oxyz cho ba vectơ a = (2; −1; 3), b = (1; −3; 2), c = (3; 2; −4) . Tìm tọa độ vectơ









u , biết rằng: a.u = −5, u.b = −11, u.c = 20 .

Câu 56. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho 4 điểm A(2; 4; −1) , B(1; 4; −1) , C (2; 4;3) D(2; 2; −1) . Biết M ( x; y; z ) , để MA2 + MB 2 + MC 2 + MD 2 đạt giá trị nhỏ nhất thì x + y + z bằng bao nhiêu? Lời giải 7 Đáp án: x + y + z =  7 14  Gọi G là trọng tâm của ABCD ta có: G  ; ;0  . 3 3  Ta có: MA2 + MB 2 + MC 2 + MD 2= 4 MG 2 + GA2 + GB 2 + GC 2 + GD 2 ≥ GA2 + GB 2 + GC 2 + GD 2 .  7 14  Dấu bằng xảy ra khi M ≡ G  ; ;0  ⇒ x + y + z = 7. 3 3  Câu 57. Trong

không

gian

với

hệ

trục

tọa

độ

Oxyz ,

cho

ba

điểm

A (1;1;1) , B ( −2;1;0 ) , C ( 2; −3;1) .Điểm S ( a; b; c ) sao cho SA2 + 2 SB 2 + 3SC 2 đạt giá trị nhỏ nhất. Tính

T = a+b+c Lời giải Đáp án: T =a + b + c =−

5 6









−1  1  3  2  2  2  2   2   SA2 + 2 SB 2 + 3SC 2 =SA + 2 SB + 3SC = SG + GA + 2 SG + GB

Gọi G là điểm sao cho GA + 2GB + 3GC = 0 ⇔ G  ; −1;

(

)

(

)

2

  + 3 SG + GC

(

)

2

= 6 SG 2 + GA2 + 2GB 2 + 3GC 2 −1  1 SA2 + SB 2 + SC 2 nhỏ nhất khi S ≡ G hay S  ; −1;  . 3  2 5 Nên T =a + b + c =− . 6 Câu 58. Trong không gian tọa độ Oxyz cho ba điểm A ( 2;5;1) , B ( −2; −6; 2 ) , C (1; 2; −1) và điểm M ( m; m; m ) , để MA2 − MB 2 − MC 2 đạt giá trị lớn nhất thì m bằng bao nhiêu? Lời giải Đáp án: m = 4    MA = ( 2 − m;5 − m;1 − m ) , MB = ( −2 − m; −6 − m; 2 − m ) , MC = (1 − m; 2 − m; −1 − m )

MA2 − MB 2 − MC 2 = −3m 2 − 24m − 20 = 28 − 3 ( m − 4 ) ≤ 28 2

Để MA2 − MB 2 − MC 2 đạt giá trị lớn nhất thì m = 4 Câu 59. Trong không gian tọa độ Oxyz cho ba điểm A ( 2;5;1) , B ( −2; −6; 2 ) , C (1; 2; −1) và điểm   M ( m; m; m ) , để MB − 2 AC đạt giá trị nhỏ nhất thì m bằng bao nhiêu?

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

Lời giải

Chân Trời Sáng Tạo

Đáp án: m = 2   AC ( −1; −3; −2 ) , MB ( −2 − m; − 6 − m; 2 − m )   MB − 2 AC =

m2 + m2 + ( m − 6 ) = 2

3m 2 − 12m + 36 =

3 ( m − 2 ) + 24 2

  Để MB − 2 AC nhỏ nhất thì m = 2 Câu 60. Trong không gian tọa độ Oxyz cho điểm A (1; 2;3) , B ( 2; 2;1) , M ∈ Ox . Tìm điểm M sao cho   biểu thức= T MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất. Lời giải

3  Đáp án: M  ;0;0  2  Câu 61. Trong không gian tọa độ Oxyz cho điểm A ( −1; 2; −3) , B ( 0; 2;1) , C ( −1; 2;1) , M ∈ Oy . Tìm giá trị    nhỏ nhất của biểu thức T = MA + MB + MC để T đạt giá trị nhỏ nhất. Lời giải Đáp án: Tmin = 5 Câu 62. Trong không gian tọa độ Oxyz cho điểm A ( 0; 2;3) , B ( 2;1;1) , C (1; 2;3) , M ∈ Oz . Tìm điểm M    sao cho biểu thức T = MA − 2 MB + 3MC đạt giá trị nhỏ nhất. Lời giải 7  Đáp án: M  0;0;  2  Câu 63. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A ( 2; 2;0 ) , B ( 2;0; −2 ) và điểm M ( a, b, c ) với a, b, c là các số thực thay đổi thỏa mãn a + 2b − c − 1 =0 . Biết MA = MB và góc  AMB có số đo lớn nhất. Tính S =a + 2b + 3c . Lời giải

15 Đáp án: S =a + 2b + 3c = 11 Vì MA = MB nên M thuộc mặt phẳng trung trực ( P ) của đoạn AB . b + c =0 c =−b 0 nên  Ta có ( P ) : y + z = . ⇔ a + 2b − c − 1 = 0 a = 1 − 3b   MA = (1 + 3b; 2 − b; b ) , MB = (1 + 3b; −b; −2 + b )   MA .MB ⇒ cos  AMB =   = MA . MB

(1 + 3b ) + 2b ( b − 2 ) 2 2 2 2 (1 + 3b ) + ( b − 2 ) + b2 . (1 + 3b ) + ( b − 2 ) + b 2 2

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025 2

2

2

9b + 6b + 1 + 2b − 4b 11b + 2b + 1 = 2 2 9b + 6b + 1 + 2b − 4b + 4 11b 2 + 2b + 5 Xét f ( b ) =

4 ( 22b + 2 ) 11b 2 + 2b + 1 −1 có f ′ ( b ) = =0⇒b= . 2 2 11b + 2b + 5 11 11b + 2b + 5

Nhận thấy f ( b ) nhỏ nhất tại b = − Nên a + 2b + 3c =

1 14 1 ⇒ a = ,c = 11 11 11

14 2 3 15 − + = 11 11 11 11

DẠNG 3 ĐỘ DÀI ĐƯỜNG THẲNG TÌM TỌA ĐỘ ĐIỂM

• AB =

 AB =

( xB − x A ) 2 + ( y B − y A ) 2 + ( z B − z A ) 2

Chân Trời Sáng Tạo

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

• M ( xM ; yM ; zM ) là trung điểm đoạn thẳng AB thì: xM =

Chân Trời Sáng Tạo

x A + xB y A + yB z A + zB ; yM ; zM = = 2 2 2

• G ( xG ; yG ; zG ) là trọng tâm của tam giác ABC thì:

= xG

x A + xB + xC y A + yB + yC z A + z B + zC = = ; yG ; zG 3 3 3

• Cho tam giác ABC có D là chân đường phân giác trong góc B của tam giác ABC . Khi đó ta có:

 BA  DA BA = ⇒ DA = DC DC BC BC B

A

C

D

PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án. Câu 64. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm A ( 2; 2;1) . Tính độ dài đoạn thẳng OA . A. OA = 5

C. OA = 3

B. OA = 5

D. OA = 9

Lời giải Chọn C OA=

22 + 22 + 12 = 3 .

Câu 65. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A (1; −3;1) , B ( 3;0; −2 ) . Tính độ dài AB . A. 26.

B. 22.

C.

26 .

D.

22.

Lời giải Chọn D  AB = (2;3; −3) ⇒ AB =

2 22 + 32 + (−3)=

22.

Câu 66. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A (1;1; 2 ) và B ( 3;1;0 ) . Trung điểm của đoạn thẳng AB có tọa độ là A. ( 4; 2; 2 ) .

B. ( 2;1;1) .

C. ( 2;0; −2 ) . Lời giải

Chọn B

D. (1;0; −1) .

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

Chân Trời Sáng Tạo

x A + xB 1 + 3  xM = = 2 = 2 2  y A + yB 1 + 1  Gọi M là trung điểm của AB ta có: = yM = = 1. 2 2  z A + zB 2 + 0  = = = 1  zM 2 2 

Vậy M ( 2;1;1) . Câu 67. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A ( −1;5;3) và M ( 2;1; − 2 ) . Tọa độ điểm B biết M là trung điểm của AB là 1 1 A. B  ;3;  . 2 2

B. B ( −4;9;8 ) .

C. B ( 5;3; −7 ) .

D. B ( 5; −3; −7 ) .

Lời giải Chọn D Giả sử B ( xB ; yB ; z B ) . x A + xB −1 + xB   2 = =  xM  2 2  xB = 5   y A + yB   5 + yB  Vì M là trung điểm của AB nên ta có:  yM = ⇔ 1 = ⇔  yB = −3 . 2 2    z = −7  B 3 + zM z A + zB   z 2 = = −  M  2 2  

Vậy B ( 5; −3; −7 ) . Câu 68. Trong không gian cho hệ trục toạ độ Oxyz , cho ba điểm A (1; −2;3) , B ( −1; 2;5 ) , C ( 0; 0;1) . Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC . A. G ( 0;0;3) .

B. G ( 0;0;9 ) .

C. G ( −1;0;3) .

D. G ( 0;0;1) .

Lời giải Chọn A

x A + xB + xC  = =  xG 3  y + yB + yC  = Toạ độ trong tâm G của tam giác ABC bằng:  yG= A 3  z A + z B + zC  = =  zG 3 

1−1+ 0 = 0 3 −2 + 2 + 0 = 0 ⇒ G ( 0;0;3) 3 3 + 5 +1 = 3 3

Câu 69. Cho bốn điểm S (1, 2,3) ; A ( 2, 2,3) ; B (1,3,3) ; C (1, 2, 4 ) . Xác định tọa độ trọng tâm G của hình chóp SABC. A. ( 5;9;13) .

 5 13  B.  ;3;  . 3 3

 7 9 C. 1; ;  .  4 4

Lời giải Chọn D

 5 9 13  D.  ; ;  4 4 4 

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

Gọi G ( x, y, z ) là trọng tâm của hình chóp SABC suy ra

x A + xB + xC + xS   = x x =  4   y A + yB + yC + yS   = ⇔ y Ta = có:  y 4   + + z z zC + zS   A B = z z =  4  

Chân Trời Sáng Tạo

2 +1+1+1 5 = 4 4 2+3+ 2+ 2 9 = 4 4 3 + 3 + 4 + 3 13 = 4 4

Câu 70. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho 2 điểm B (1; 2; −3) , C ( 7; 4; −2 ) Nếu điểm E thỏa   mãn đẳng thức CE = 2EB thì tọa độ điểm E là:  8 8 A.  3; ; −   3 3

8  C.  3;3; −  3 

8 8 B.  ;3; −  . 3 3

1  D. 1; 2;  3 

Lời giải Chọn A Gọi E ( x; y; z )   Ta có: CE =( x − 7; y − 4; z + 2 ) ; 2 EB =

( 2 − 2 x; 4 − 2 y; −6 − 2 z )

 x = 3  x − 7 = 2 − 2x    8   CE = 2EB ⇔  y − 4 = 4 − 2 y ⇔  y = 3  z + 2 =−6 − 2z   8   z = − 3 Câu 71. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A ( 3;1; − 2 ) , B ( 2; − 3;5 ) . Điểm M thuộc đoạn AB sao cho MA = 2 MB , tọa độ điểm M là 7 5 8 A.  ; − ;  .  3 3 3

17  3 C.  ; − 5;  . 2 2

B. ( 4;5; − 9 ) .

D. (1; −7;12 ) .

Lời giải Chọn A Gọi M ( x; y; z ) . Vì M thuộc đoạn AB nên:

7  x =  3 3 − x =−2 ( 2 − x )     5  MA =−2 MB ⇔ 1 − y =−2 ( −3 − y ) ⇔  y =− 3   2 z 2 5 z − − =− − ( )  8  z = 3  Câu 72. Trong hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm là A (1;3; −1) , B ( 3; −1;5 ) . Tìm tọa độ của điểm M   thỏa mãn hệ thức MA = 3MB .

 5 13  A. M  ; ;1 . 3 3 

7 1  B. M  ; ;3  . 3 3 

7 1  C. M  ; ;3  . 3 3 

D. M ( 4; −3;8 ) .

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

Lời giải

Chân Trời Sáng Tạo

Chọn D

x A − 3 xB  = = 4  xM 1− 3    y − 3 yB =−3 ⇒ M ( 4; −3;8 ) . Ta có MA =3MB ⇒  yM = A 1− 3  z A − 3zB  = = 8  zM 1− 3  Câu 73. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A ( 4; 2; 1) , B ( −2; − 1; 4 ) . Tìm tọa độ điểm   M thỏa mãn đẳng thức AM = 2 MB . A. M ( 0; 0;3) .

B. M (0;0; −3) .

C. M (−8; −4;7) .

D. M (8; 4; −7) .

Lời giải Chọn A  x − 4 = 2 ( −2 − x ) x = 0     Gọi điểm M ( x; y; z ) . Khi đó: AM = 2 MB ⇔  y − 2 = 2 ( −1 − y ) ⇔  y = 0. z = 3  1 2(4 − z)  z −=

Vậy M ( 0; 0;3) . Câu 74. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các điểm A ( 3; −4;0 ) , B ( −1;1;3) , C ( 3,1, 0 ) . Tìm tọa độ điểm D trên trục hoành sao cho AD = BC . A. D ( 6;0;0 ) , D (12;0;0 )

B. D ( 0;0;0 ) , D ( 6;0;0 )

C. D ( −2;1;0 ) , D ( −4;0;0 )

D. D ( 0;0;0 ) , D ( −6;0;0 ) Lời giải

Chọn B Gọi D ( x;0;0 ) ∈ Ox

( x − 3)

AD =BC ⇔

2

x = 0 + 16 =5 ⇔  . x = 6

Câu 75. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A ( −2;3;1) và B ( 5; 6; 2 ) . Đường thẳng

AB cắt mặt phẳng ( Oxz ) tại điểm M . Tính tỉ số AM . BM

A. AM = 1 BM

2

B. AM = 2 BM

C. AM = 1 BM

3

Lời giải Chọn A

 M ∈ ( Oxz ) ⇒ M ( x;0;z ) ; AB= ( 7;3;1) ⇒ AB=

 59 ; AM = ( x + 2; − 3;z − 1) và

D. AM = 3 BM

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

  ⇒ AM = k . AB A, B, M thẳng hàng

Chân Trời Sáng Tạo

 x + 2 =7 k  x =−9   ( k ∈  ) ⇔ −=3 3k ⇔ −=1 k ⇒ M ( −9;0;0 ) . z −1 k = z 0 =  

  BM =( −14; − 6; − 2 ) ; AM =( −7; − 3; − 1) ⇒ BM =2 AB.

Câu 76. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình hộp ABCD. A′B′C ′D′ có A ( 0; 0; 0 ) , B ( a; 0; 0 ) ; D ( 0; 2a;0 ) , A′ ( 0; 0; 2a ) với a ≠ 0 . Độ dài đoạn thẳng AC ′ là

A. a .

B. 2 a .

C. 3 a .

D.

3 a. 2

Lời giải Chọn C

   Ta có AB = ( a;0;0 ) ; AD = ( 0;2a;0 ) ; AA′ = ( 0;0;2a ) .      AC ′ ⇔ AC ′ = Theo quy tắc hình hộp ta có AB + AD + AA′ = ( a;2a;2a ) .

 2 2 Suy ra AC = AC = a 2 + ( 2a ) + ( 2a ) =3 a . Vậy độ dài đoạn thẳng AC ′ = 3 a . Câu 77. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình vuông ABCD, B ( 3; 0;8 ) , D ( −5; −4; 0 ) . Biết   đỉnh A thuộc mặt phẳng ( Oxy ) và có tọa độ là những số nguyên, khi đó CA + CB bằng: A. 10 5 .

B. 6 10 .

C. 10 6 . Lời giải

Chọn B

D. 5 10 .

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

Chân Trời Sáng Tạo

 12 12 ⇒ AB = = 6 2 . BD =( −8; −4; −8 ) ⇒ BD = 2

Gọi M là trung điểm AB ⇒ MC = 3 10 .    CA + CB = 2CM = 2CM = 6 10 . Câu 78. Trong không gian Oxyz cho các điểm A ( 5;1;5 ) ; B ( 4;3; 2 ) ; C ( −3; −2;1) . Điểm I ( a; b; c ) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Tính a + 2b + c ? A. 1 .

B. 3.

C. 6.

D. −9.

Lời giải Chọn B   AB =   ( −1; 2; −3) Ta có   ⇒ AB.BC = 0 ⇒ tam giác ABC vuông tại B . BC = − 7; − 5; − 1 ( ) 

⇒ tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là trung điểm của cạnh huyền AC . 1   ⇒ I 1; − ;3  . Vậy a + 2b + c = 3. 2  

    Câu 79. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho OA = 2i + 2 j + 2k , B ( −2; 2; 0 ) và C ( 4;1; − 1) . Trên mặt phẳng ( Oxz ) , điểm nào dưới đây cách đều ba điểm A , B , C .

1 3 A. M  ; 0;  . 2 4

−1   −3 B. N  ; 0; . 2   4

−1  3 C. P  ; 0; . 2  4

Lời giải Chọn C

= PB = PC = Ta có: A ( 2; 2; 2 ) và PA

3 21 . 4

1  −3 D. Q  ; 0;  . 2  4

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

Chân Trời Sáng Tạo

Câu 80. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC có A1; 2; 1 , B 2; 1;3 ,

C 4;7;5 . Gọi D a; b; c  là chân đường phân giác trong góc B của tam giác ABC . Giá trị của

a  b  2c bằng B. 4 .

A. 5 .

C. 14 .

D. 15 .

Lời giải Chọn A B

A

C

D

Ta có AB  26 , BC  104  2 26 . Gọi D  x; y; z  , theo tính chất phân giác ta có

 1  DA BA 1   . Suy ra DA   DC * . 2 DC BC 2

  Ta có DA  1 x; 2  y; 1 z  và DC  4  x;7  y;5  z  .

  2 1   1 x   4  x   x      3 2     2 11    1 11 Do đó *  2  y   7  y    y   D  ; ;1  a  b  2c  5 .    3 3  2 3      z  1 1  1 z   5  z       2    8 4 8 Câu 81. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A (1; 2; − 2 ) và B  ; ;  . Biết 3 3 3

I ( a; b; c ) là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác OAB . Giá trị a − b + c bằng B. 3

A. 1

D. 0

C. 2 Lời giải

Chọn D

O I A  Ta có= OA



D

8 4 8 ; ;  , do đó= OA 3,= OB 4 . 3 3 3

(1; 2; − 2 ) , OB = 

B

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

Chân Trời Sáng Tạo

 DA  OA  Gọi D là chân đường phân giác trong kẻ từ O , ta có DA = − .DB = − .DB , suy ra DB OB    3   4.OA + 3.OB  12 12  . Do đó D  ; ; 0  . DA = − DB ⇒ OD = 4 7 7 7 

  5 2 Ta có AD =  ; − ; 7 7

15  . 2  ⇒ AD = 7 

 7   AD  5  = OD ⇒ D (1; 1; 0 ) ID = − − IO ⇒ OI .IO = 12 AO 7

0. Do đó a − b + c =  8 4 8 Câu 82. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm M (2; 2;1) , N  ; ;  . Tìm tọa độ tâm đường tròn  3 3 3  nội tiếp tam giác OMN . A. I (1;1;1) .

C. I (0; 1; 1) .

B. I (0;1;1) .

D. I (1;0;1) .

Lời giải Chọn B Ta có bài toán bài toán sau

    Trong tam giác ABC , I là tâm đường tròn nột tiếp ABC ta có: a .IA  b.IB  c.IC  0 .

với BC  a; AC  b; AB  c . Thật vậy: A

I

B

A'

Gọi A là chân đường phân giác trong kẻ từ A .  c      BA  A C  bBA  cCA  0 1 b     c  c  b  c  IA  A I  A I  A I  aIA  b  c  IA  0 ac A' B a bc            aIA  bIB  cIC  bBA  cCA  0  aIA  bIB  cIC  0 Áp dụng công thức trong tam giác OMN     ta được OM .IN  ON .IM  MN .IO  0

C

do 1 .

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

Chân Trời Sáng Tạo

OM .xN  ON .xM  MN .xO  0  xI  OM  ON  MN   OM . y N  ON . y M  MN . yO   yI   1.  OM  ON  MN   z  OM .z N  ON .z M  MN .z O  1  I OM  ON  MN  Vậy điểm I (0;1;1) là điểm cần tìm. Câu 83. Trong không gian tọa độ Oxyz , cho A ( 2;0;0 ) , B ( 0; 2;0 ) , C ( 0;0; 2 ) . Có tất cả bao nhiêu điểm

= CMA = 90° ? AMB= BMC M trong không gian thỏa mãn M không trùng với các điểm A, B, C và  B. 1 .

A. 0 .

C. 2 .

D. 3 .

Lời giải Chọn C Gọi I , J , K lần lượt là trung điểm của AB, BC , CA .

= CMA = 90° nên các tam giác ∆AMB, ∆BMC , ∆CMA vuông tại M . AMB= BMC Do  Khi= đó IM

AB BC AC ; JM ; KM = = . Mặt khác AB = BC = AC = 2 2. 2 2 2

Vậy MI = MJ = MK = khoảng không đổi là

2 . Khi đó M thuộc trục của đường tròn ngoại tiếp đáy IJK và cách ( IJK ) một 2 . Khi đó có hai điểm M thỏa mãn điều kiện trên.

Câu 84. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho ba điểm A ( −2;3;1) , B ( 2;1;0 ) , C ( −3; − 1;1) . Tìm tất cả các điểm D sao cho ABCD là hình thang có đáy AD và diện tích tứ giác ABCD bằng 3 lần diện tích tam giác ABC . A. D ( −12; − 1;3) .

 D ( −8; − 7;1) B.  .  D (12;1; − 3)

C. D ( 8;7; − 1) . Lời giải

Chọn A

S ABCD Ta có: =

2S 1 1 ( AD + BC ) .d ( A, BC ) ⇔ S ABCD = ( AD + BC ) . ∆ABC . 2 2 BC

( AD + BC ) .S∆ABC ⇔ 3BC =AD + BC ⇔ AD = 2 BC . ⇔ 3S ∆ABC = BC   Mà ABCD là hình thang có đáy AD nên AD = 2 BC (1) .   BC =( −5; − 2;1) , AD =( xD + 2; yD − 3; z D − 1) .

 D ( 8;7; −1) D.  .  D ( −12; −1;3)

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

Chân Trời Sáng Tạo

 xD = −12  xD + 2 =−10   −1 . (1) ⇔  yD − 3 =−4 ⇔  yD = z = 3  z − 1 =2  D  D Vậy D ( −12; − 1;3) . Câu 85. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hình thang ABCD vuông tại A và B . Ba đỉnh

A(1;2;1) , B(2;0;− 1) , C (6;1;0) Hình thang có diện tích bằng 6 2 . Giả sử đỉnh D(a; b; c) , tìm mệnh đề đúng? A. a + b + c = 6.

B. a + b + c = 5.

C. a + b + c = 8.

D. a + b + c = 7.

Lời giải Chọn A     Ta có AB = (1; −2; −2 ) ⇒ AB = 3 2. 3 ; BC = ( 4;1;1) ⇒ BC = Theo giả thiết ABCD là hình thang vuông tại A và B và có diện tích bằng 6 2 nên

1 1 1 AB ( AD + BC ) = 6 2 ⇔ .3. AD + 3 2 = 6 2 ⇒ AD = BC . 2 ⇒ AD = 2 2 3  1  Do ABCD là hình thang vuông tại A và B nên AD = BC . 3

(

)

7 4   a = 3 a − 1 =3   7 1   Giả sử D(a; b; c) khi đó ta có b − 2 = ⇔ b =⇒ a + b + c = 6. 3 3   4 1   c = 3 c − 1 =3   PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Trong mỗi ý A), B), C), D) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai. Câu 86. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxyz , tam giác ABC với A (1; −3;3) ; B ( 2; −4;5 ) , C ( a; −2; b ) nhận điểm G (1; c;3) làm trọng tâm của nó.

3 7  A. Nếu M là trung điểm đoạn thẳng AB thì tọa độ điểm là M  ; − ; 4  . 2 2      B. Tọa độ vectơ là AB =i − j − 2k C. 2024a + 2025b = 2025 D. a + b + c =−2 Lời giải

3 7  A. Nếu M là trung điểm đoạn thẳng AB thì tọa độ điểm là M  ; − ; 4  . 2 2      B. Tọa độ vectơ là AB =i − j − 2k SAI

ĐÚNG

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

C. 2024a + 2025b = 2025 ĐÚNG

Chân Trời Sáng Tạo

D. a + b + c =−2 ĐÚNG 3 7  M là trung điểm đoạn thẳng AB nên M  ; − ; 4  . 2 2      Tọa độ vectơ là AB =i − j + 2k  1+ 2 + a 1 = 3 a = 0  −3 − 4 − 2   G (1; c;3) làm trọng tâm tam giác ABC nên = ⇔ = c b 1 3  c = −3  3+5+b  3 =  3 

Vậy 2024a + 2025b = 2025

a + b + c =−2 Câu 87. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm A ( 0;1; −2 ) và B ( 3; −1;1) . Tọa độ   điểm M ( x; y; z ) thỏa mãn AM = 3 AB . A. x + 2 y = 1. B. 3 y + z = 1. C. x + 2 y − 2 z = −15 . D. x + y + z = 11 . Lời giải A. x + 2 y = 1 . ĐÚNG B. 3 y + z = 1 . SAI C. x + 2 y − 2 z = −15 .

ĐÚNG

D. x + y + z = 11 . ĐÚNG   Gọi M ( x; y; z ) . Ta có: AM = ( x; y − 1; z + 2 ) ; AB = ( 3; −2;3) .

=  x 9= x 9     AM =3 AB ⇔  y − 1 =−6 ⇔  y =−5 . = z 7 z + 2 9 =  Vậy x + 2y = 1. 3 y + z =−8 . x + 2 y − 2z = −15 .

x+ y+z = 11 .

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

Chân Trời Sáng Tạo

Câu 88. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hình hộp ABCD. A′B′C ′D′ có A ( 0; 0; 0 ) , B ( 3; 0; 0 ) , D ( 0; 3; 0 ) , D′ ( 0; 3; − 3) . Toạ độ trọng tâm tam giác A′B′C là G ( xG ; yG ; zG ) .

A. xG + yG + zG = 1. B. 2 xG − yG = 3. C. 2 xG + yG − 3 zG = −1 . D. xG − 2 yG − 3 zG = −6 . Lời giải A. xG + yG + zG = 1 . ĐÚNG B. 2 xG − yG = 3 . ĐÚNG C. 2 xG + yG − 3 zG = −1 . SAI D. xG − 2 yG − 3 zG = −6 . SAI D′

A′

C′

B′ D

C

A B   Cách 1: Ta có AB = ( 3; 0; 0 ) . Gọi C ( x; y; z ) ⇒ DC = ( x; y − 3; z )   ABCD là hình bình hành ⇒ AB = DC ⇒ ( x; y; z ) = ( 3; 3; 0) ⇒ C ( 3; 3; 0 )   Ta có AD = ( 0; 3; 0 ) . Gọi A′ ( x′; y′; z ′ ) ⇒ A′D′ = ( − x′; 3 − y′; − 3 − z ′ )   ADD′A′ là hình bình hành ⇒ AD= A′D′ ⇒ ( x′; y′; z ′= ) ( 0; 0; − 3) ⇒ A′ ( 0; 0; − 3)  ′B′ ( x0 ; y0 ; z0 + 3) Gọi B′ ( x0 ; y0 ; z0 ) ⇒ A=   ABB′A′ là hình bình hành ⇒ AB= A′B′ ⇒ ( x0 ; y0 ; z0 )= ( 3; 0; − 3) ⇒ B′ ( 3; 0; − 3)

0+3+3  = 2  xG = 3  0+0+3  G là trọng tâm tam giác ABC ⇒  yG = =1 ⇒ G ( 2; 1; − 2 ) . 3  −3 − 3 + 0  = −2  zG = 3 

xG + yG + zG = 1. 2 xG − yG = 3. 2 xG + yG − 3 zG = 11 . xG − 2 yG − 3 zG = 6.

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

Chân Trời Sáng Tạo

3 3 3 Cách 2: Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng BD′ .Ta có I  ; ; −  .Gọi G ( a; b; c ) là trọng tâm tam 2 2 2

giác A′B′C

3 3  3 a −  =  2 2     3 3 3   a = 2 = − − DI ; ;       3 3    2 2 2 Ta có: DI = 3IG với  . Do đó: − = 3  b −  ⇔ b= 1 .  2   2 c = −2  IG = a − 3 ; b − 3 ; c + 3       2 2 2 3 3    − = 3  c +  2   2 Vậy G ( 2;1; − 2 ) . Câu 89. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A (1; 2; − 1) , B ( 2; − 1;3) , C ( −4; 7;5 ) . Tọa độ chân đường phân giác trong góc B của tam giác ABC là D ( a; b; c ) . A. a + b =. 3 5 B. a + c = . 3 C. a + b − 2c =. 1 D. a + b + c = 4. Lời giải A. a + b = 3 . ĐÚNG

5 B. a + c = . SAI 3 C. a + b − 2c =. 1 ĐÚNG D. a + b + c = 4 . ĐÚNG     Ta có: BA = ( −1; − 3; 4 ) ⇒ BA = 26; BC = ( −6;8; 2 ) ⇒ BC = 2 26 . Gọi D là chân đường phân giác trong kẻ từ B lên AC của tam giác ABC Suy ra :

  DA BA  2 11  ⇒ DC = −2 DA ⇒ D  − ; ;1 . = DC BC  3 3 

a+b = 3.

1 a + c =. 3 a + b − 2c =. 1 a+b+c = 4.

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ trả lời đáp án.

Chân Trời Sáng Tạo

Câu 90. Trong hệ tọa độ Oxyz cho: A (1; −1;1) , B ( 2; −3;2 ) , C ( 4; −2;2 ) . a) Tìm tọa độ trung điểm của đoạn AB . b) Tìm tọa độ trong tâm tam giác ABC .

 1   c) Tìm tọa độ điểm M thỏa MA + MC = 3MB 2 Câu 91. Trong hệ tọa độ Oxyz cho: A (1; −1;1) , B ( 2; −3;2 ) , C ( 4; −2;2 ) , D ( 3;0;1) , E (1;2;3) a) Chứng tỏ rằng ABCD là hình chữ nhật. Tính diện tích của nó. b) Tính cos các góc của tam giác ABC c) Tìm trên đường thẳng Oy điểm cách đều hai điểm AB     d) Tìm tọa độ điểm M thỏa MA + MB − 3MC = 0 Câu 92. Trong hệ tọa độ Oxyz cho A(4; −1;2) ; B(7;3;2) . a) Tìm tọa độ điểm M ∈ Ox và cách đều hai điểm A, B . b) Tìm M trên mặt phẳng ( Oyz ) sao cho tam giác ABM vuông cân tại A . Câu 93. Trong không gian tọa độ Oxyz cho ba điểm A(1; 2; −3), B(0; 3; 7), C (2; 5; 0) . a) Chứng minh ba điểm A, B, C không thẳng hàng. b) Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành. c) Tính góc  ABC . d) Tính diện tích ∆ABC . Từ đó suy ra độ dài đường cao AH của ∆ABC . Câu 94. Trong không gian tọa độ Oxyz cho ba điểm A(3; −4; 7), B(−5; 3; −2), C (1; 2; −3) . a) Chứng minh ba điểm A, B, C tạo thành ∆ABC . b) Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành c) Tìm tọa độ trọng tâm của ∆ABC . d) Tính góc  ABC . e) Tính độ dài đường cao BH của ∆ABC Câu 95. Cho hình hộp ABCD. A ' B ' C ' D ' .Biết rằng: A (1;2; −1) , B ( −1;1;3) ,  C ( −1; −1;2 ) ,D’ ( 2; −2; −3) a) Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp. b) Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng BD ' và B ' D . c) Tìm tọa độ trọng tâm của ∆AA ' C . Câu 96. Cho hình hộp ABCD. A ' B ' C ' D ' .Biết rằng: A(0; 2; 2), B(0;1; 2), C (−1;1;1), C '(1; −2; −1) a) Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp. b) Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng AC ' và A ' C . c) Tìm tọa độ trọng tâm của ∆B ' DD ' .

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

Chân Trời Sáng Tạo

CHỦ ĐỀ 2 ỨNG DỤNG THỰC TIỄN VÀ ỨNG DỤNG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

DẠNG 1 ỨNG DỤNG THỰC TIỄN Câu 1.

Trong không gian chọn hệ trục tọa độ cho trước, đơn vị đo lấy kilômét, ra đa phát hiện một máy

bay chiến đấu của Nga di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm M ( 500; 200;8 ) đến điểm N ( 800;300;10 ) trong 20 phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì tọa độ của

máy bay sau 5 phút tiếp theo bằng bao nhiêu?

Câu 2.

Trong không gian chọn hệ trục tọa độ cho trước, đơn vị đo lấy kilômét, ra đa phát hiện một máy

bay chiến đấu của Mỹ di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm M (1000;600;14 ) đến điểm N trong 30 phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì tọa độ của máy bay sau 10 phút tiếp theo bằng Q (1400;800;16 ) . Xác định tọa độ vị trí điểm N .

Câu 3.

Một chiếc khinh khí cầu bay lên tại điểm. Sau một thời gian bay, chiếc khinh khí cầu cách điểm

xuất phát về phía Đông 10 ( km ) và về phía Nam 5 ( km ) , đồng thời cách mặt đất 400 ( m ) . Chọn hệ trục tọa độ Oxyz , với gốc đặt tại điểm xuất phát của khinh khí cầu, mặt phẳng ( Oxy ) trùng với mặt đất, trục Ox hướng về phía Nam, trục Oy hướng về phía Đông, trục Oz hướng thẳng đứng lên trời, đơn vị đo lấy theo kilômét (xem hình vẽ). a) Tìm tọa độ của chiếc khinh khí cầu đối với hệ trục tọa độ đã chọn. b) Xác định khoảng cách của chiếc khinh khí cầu với vị trí tại điểm xuất phát của nó.

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

Câu 4.

Chân Trời Sáng Tạo

Một chiếc máy bay không người lái bay lên tại điểm. Sau một thời gian bay, chiếc máy bay

cách điểm xuất phát về phía Bắc 50 ( km ) và về phía Tây 20 ( km ) , đồng thời cách mặt đất 1( km ) . Chọn hệ trục tọa độ Oxyz , với gốc đặt tại điểm xuất phát của chiếc máy bay, mặt phẳng ( Oxy ) trùng với mặt đất, trục Ox hướng về phía Bắc, trục Oy hướng về phía Tây, trục Oz hướng thẳng đứng lên trời, đơn vị đo lấy theo kilômét (xem hình vẽ). a) Tìm tọa độ của chiếc khinh khí cầu đối với hệ trục tọa độ đã chọn. b) Xác định khoảng cách của chiếc máy bay với vị trí tại điểm xuất phát của nó.

Câu 5.

Hai chiếc máy bay không người lái cùng bay lên tại một địa điểm. Sau một thời gian bay, chiếc

máy bay thứ nhất cách điểm xuất phát về phía Bắc 20 ( km ) và về phía Tây 10 ( km ) , đồng thời cách mặt đất 0, 7 ( km ) . Chiếc máy bay thứ hai cách điểm xuất phát về phía Đông 30 ( km ) và về phía Nam 25 ( km ) , đồng thời cách mặt đất 1( km ) . Xác định khoảng cách giữa hai chiếc máy bay.

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

Câu 6.

Chân Trời Sáng Tạo

Hai chiếc khinh khí cầu cùng bay lên tại một địa điểm. Sau một thời gian bay, chiếc khinh khí

cầu thứ nhất cách điểm xuất phát về phía Đông 100 ( km ) và về phía Nam 80 ( km ) , đồng thời cách mặt đất 1( km ) . Chiếc khinh khí cầu thứ hai cách điểm xuất phát về phía Bắc 70 ( km ) và về phía Tây 60 ( km ) , đồng thời cách mặt đất 0,8 ( km ) .

a) Xác định khoảng cách của chiếc khinh khí cầu thứ nhất với vị trí tại điểm xuất phát của nó. b) Xác định khoảng cách giữa chiếc khinh khí cầu thứ nhất và chiếc khinh khí cầu thứ hai. Câu 7.

Ba chiếc máy bay không người lái cùng bay lên tại một địa điểm. Sau một thời gian bay, chiếc

máy bay thứ nhất cách điểm xuất phát về phía Đông 60 ( km ) và về phía Nam 40 ( km ) , đồng thời cách mặt đất 2 ( km ) . Chiếc máy bay thứ hai cách điểm xuất phát về phía Bắc 80 ( km ) và về phía Tây 50 ( km ) , đồng thời cách mặt đất 4 ( km ) . Chiếc máy bay thứ ba nằm chính giữa của chiếc máy bay thứ nhất và thứ hai, đồng thời ba chiếc máy bay này thẳng hàng.

a) Xác định khoảng cách giữa chiếc máy bay thứ nhất và chiếc máy bay thứ hai. b) Xác định khoảng cách của chiếc máy bay thứ ba với vị trí tại điểm xuất phát của nó.

DẠNG 2

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

ỨNG DỤNG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

Chân Trời Sáng Tạo

I. Gắn tọa độ đối với hình chóp 1. Hình chóp có cạnh bên (SA) vuông góc với mặt đáy: Đáy là tam giác đều



Gọi O là trung điểm BC. Chọn

hệ trục như hình vẽ, AB= a= 1 . 

Tọa độ các điểm là:

 3   1  O(0;0;0), A  0; ;0  , B  − ;0;0  ,   2   2  3 1   ; OH C  ;0;0  , S  0;   . 2   2 = SA 

Đáy là tam giác cân tại A



Chọn hệ trục như hình vẽ,

a = 1.



Tọa độ các điểm:



Gọi O là trung điểm AC. Chọn

Chọn hệ trục như hình vẽ,

hệ trục như hình vẽ, a = 1 .

a = 1.





Tọa độ các điểm là:

O(0;0;0), A ( 0; OA;0 ) , B ( −OB;0;0   C ( OC ;0;0 ) , S  0; OA; OH . = SA  

Đáy là tam giác vuông tại B



Gọi O là trung điểm BC.

Đáy là tam giác cân tại B

A ( −OA;0;0 ) , B ( 0, OB;0 ) ,

  C ( OC ;0;0 ) , S  −OA;0; OH . = SA  

Đáy là tam giác vuông tại A



Chọn hệ trục như hình vẽ,

Đáy là tam giác thường



Dựng đường cao BO của

∆ABC. Chọn hệ trục như hình vẽ,

a = 1.



Tọa độ các điểm: O ( 0;0;0 ) ,

Tọa độ các điểm:

a = 1.

B ≡ O ( 0;0;0 ) ,

A ≡ O ( 0;0;0 ) ,



A ( 0; AB;0 ) , C ( BC , 0;0 ) ,

B ( 0; OB;0 ) , C ( AC ;0;0 ) ,

A ( −OA;0;0 ) , B ( 0, OB;0 ) ,

  S  0; AB;  BH  . = SA  

S ( 0;0; SA ) .

  C ( OC ;0;0 ) , S  −OA;0; OH . = SA  

Đáy hình vuông, hình chữ nhật

Đáy là hình thoi

Tọa độ các điểm: O ( 0;0;0 ) ,

Đáy là hình thang vuông

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025



Chọn hệ trục như hình vẽ,

a = 1.





Chọn hệ trục như hình vẽ,



a = 1.

Tọa độ



A ≡ O ( 0;0;0 ) , B ( 0; AB;0 ) , C ( AD; AB;0 ) , D ( AD;0;0 ) , S ( 0;0; SA) .

Chân Trời Sáng Tạo

Chọn hệ trục như hình vẽ,

a = 1.

Tọa độ O ( 0;0;0 ) ,



Tọa độ

A ≡ O ( 0;0;0 ) ,

A ( OA;0;0 ) ,

B ( 0; AB;0 ) , C ( AH ; AB;0 ) ,

B ( 0; OB;0 ) , C ( −OC ;0;0 )

  D ( 0; −OD;0 ) , S  OA;0; OH . = SA  

D ( AD;0;0 ) , S ( 0;0; SA ) .

2. Hình chóp có mặt bên (SAB) vuông góc với mặt đáy Đáy là tam giác, mặt bên là tam

Đáy là tam giác cân tại C

Đáy là hình vuông-hình chữ nhật

giác thường

(hoặc đều), mặt bên là tam giác cân tại S (hoặc đều)



Vẽ đường cao CO trong ∆ABC . 

Chọn hệ trục như hình, a = 1. 

Ta có:

Ta có: O ( 0;0;0 ) , A ( 0; OA;0 ) ,

B ( 0; −OB;0 ) , C ( OC ;0;0 ) , S ( 0;0; SO

  C ( OC ;0;0 ) , S  0; OH ; OK  = SH  

Dựng hệ trục như hình, chọn a

= 1.

chọn hệ trục như hình, a = 1. 

O ( 0;0;0 ) , A ( 0; OA;0 ) , B ( 0; −OB;0 ) ,



Gọi O là trung điểm BC,



Ta có:

A ≡ O ( 0;0;0 ) , B ( AB;0;0 ) , C ( AB; AD;0 ) ,   D ( 0; AD;0 ) , S  AH ;0;  AK  = SH  

3. Hình chóp đều Hình chóp tam giác đều

Hình chóp tứ giác đều

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

Chân Trời Sáng Tạo

Gọi O là trung điểm một cạnh đáy. Dựng hệ trục

Chọn hệ trục như hình với a = 1.

như hình vẽ và a = 1.

Tọa độ điểm:

Tọa độ điểm:

     AB 2   AB 2  ;0  , ;0;0  , B  0; O ( 0;0;0 ) , A  2 2       =OB   =OA  

 AB 3   BC  ;0  , B  − ;0;0  , O ( 0;0;0 ) , A  0; 2     2

 BC  C ;0;0  ,  2 

    AB 2    AB 2  ;0  ; S ( 0;0; SO ) . ;0;0  , D  0; − C− 2 2       =OB    = − OA 

   AB 3  S  0; ; OK . 6 = SH    =OH  

II. Gắn tọa độ đối với hình lăng trụ 1. Lăng trụ đứng Hình lập phương, hình hộp chữ nhật

Lăng trụ đứng đáy là hình thoi

Dựng hệ trục như hình vẽ với a = 1. Tọa độ điểm:

Gọi O là tâm hình thoi đáy, ta dựng hệ trục như hình

A ≡ O ( 0;0;0 ) ,

với

B ( 0; AB;0 ) , C ( AD; AB;0 ) , D ( AD;0;0 ) ,

O ( 0;0;0 ) , A ( −OA;0;0 ) , B ( 0; OB;0 ) , C ( OC ;0;0 ) ,

D ( 0; −OD;0 ) , A′ ( −OA;0; AA′ ) , B′ ( 0; OB; AA′ ) , C ′ ( OC ;0; CC ′ ) , D′ ( 0; −OD; DD′ )

A′ ( 0;0; AA′ ) , B′ ( 0; AB; AA′ ) , C ′ ( AD; AB; AA′ ) , D′ ( AD;0; AA′ ) . Lăng trụ tam giác đều

Lăng trụ đứng có đáy tam giác thường

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

Chân Trời Sáng Tạo

Gọi O là trung điểm một cạnh đáy, chọn hệ trục như

Vẽ đường cao CO trong tam giác ABC và chọn hệ

hình vẽ với a = 1. Ta có:

trục như hình vẽ với a = 1.

  AB   AB O ( 0;0;0 ) , A  ;0;0  , B  − ;0;0  , C ( 0; OC ;0 ) ,   2   2  AB  A′ ( OA;0; AA′ ) , B′  − ;0; BB′  , C ′ ( 0; OC ; CC ′ ) .  2 

Tọa độ điểm là:

O ( 0;0;0 ) , A ( OA;0;0 ) , B ( −OB;0;0 ) , C ( 0; OC ;0 ) , A′ ( OA;0; AA′ ) , B′ ( −OB;0; BB′ ) , C ′ ( 0; OC ; CC ′ ) .

2. Lăng trụ xiên: Lăng trụ xiên có đáy là tam giác đều, hình chiếu

Lăng trụ xiên có đáy là hình vuông hoặc hình

của đỉnh trên mặt phẳng đối diện là trung điểm

chữ nhật, hình chiếu của một đỉnh là một điểm

một cạnh tam giác đáy

thuộc cạnh đáy không chứa đỉnh đó



Dựng hệ trục như hình vẽ, ta dễ dàng xác định



Dựng hệ trục như hình vẽ, ta dễ dàng xác định

được các điểm O, A′, B′, C ′, A .

được các điểm O, A′, B′, C ′, D′, A .

Tìm tọa độ các điểm còn lại thông qua hệ thức    =′ BB =′ CC ′ . vectơ bằng nhau: AA





Tìm tọa độ các điểm còn lại thông qua hệ thức     =′ BB =′ CC =′ DD′ . vectơ bằng nhau: AA

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

Chân Trời Sáng Tạo

PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án. Câu 8.

Cho hình lập phương ABCD. A′B′C ′D′ có độ dài cạnh bằng 1 . Gọi M , N , P, Q lần lượt là

trung điểm của AB, BC , C ′D′, DD′ . Chọn hệ tọa độ Oxyz như hình vẽ, xác định tọa độ các điểm

M , N , P, Q .

 1   1  1   1  A. M  0; ;1 , N  ;0;1 , P 1; ;0  , Q 1; ;1 .  2  2   2   2  1  1   1  B. M  0; ;1 , N  ;0;1 , P (1;1;0 ) , Q 1;1;  . 2  2   2  1   1  1   1  C. M  0; ;1 , N  ;0;1 , P 1; ;0  , Q 1;1;  . 2  2   2   2  1  1   1 1 1  1  D. M  0; ;1 , N  ; ;  , P 1; ;0  , Q 1;1;  . 2  2   2 2 2  2  Câu 9.

Cho tứ diện đều ABCD cạnh a . Gọi K là trung điểm AB , gọi M , N lần lượt là hình chiếu

vuông góc của K lên AD , AC . Chọn hệ tọa độ Oxyz như hình vẽ, xác định tọa độ các điểm K , M , N theo a . a 3 a 6   a 3 3a  A. K ( 0;0;0 ) , M  ;0; ; ;0  . , N  12   2 2   24 a 3 a 6   a 3 3a  B. K ( 0;0;0 ) , M  ;0; ; ;0  .  , N  6 3 8 8     a 3 a 6   a 3 3a  C. K ( 0;0;0 ) , M  ;0; ; ;0  . , N  3   2 2   6

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

Chân Trời Sáng Tạo

a 3 a 6   a 3 3a  D. K ( 0;0;0 ) , M  ;0; ; ;0  . , N  12   8 8   24

Câu 10. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng với đáy. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BC và CD . Chọn hệ tọa độ Oxyz như hình vẽ dưới.

Xác định tọa độ các điểm S , M , N theo a .

.

 a 3 a a  A. S  0;0;  ; M ( a ;0;0 ) ; N  ; ;0  . 2  2 2  

a a a B. S 0;0; a 3 ; M ( a ;0;0 ) ; N  ; ;  2 2 2

 a 3 a a C. S  0;0;  ; M ( a ;0;0 ) ; N  ;0;  . 2  2 2 

 a 3 a  a a ;  ; M ( a ;0;0 ) ; N  0; ;  . D. S  0; 2 2  2 2 

(

)

OA 5,= OB 2,= OC 4 . Gọi M , N Câu 11. Cho tứ diện OABC , có OA, OB, OC đôi một vuông góc và= lần lượt là trung điểm của OB và OC . Gọi G, K lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và AMN . Khoảng cách từ G đến K là: A. GK =

5 3

B. GK =

3 2

C. GK =

1 2

D. GK =

2 3

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

Chân Trời Sáng Tạo

Câu 12. Cho hình chóp S . ABCD đáy là hình thang vuông tại A và D , SA ⊥ ( ABCD ) . Góc giữa SB

= DC = a . Gọi G là trọng tâm của và mặt phẳng đáy bằng 45o , E là trung điểm của SD , AB = 2a , AD tam giác ACE . Độ dài BG là: A. BG =

a 89 . 6

B. BG =

a 113 . 6

C. BG =

a 89 . 2

D. BG =

a 89 . 3

Câu 13. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình chóp S . ABCD , đáy ABCD là hình chữ nhật. Biết A ( 0;0;0 ) , D ( 2;0;0 ) , B ( 0; 4;0 ) , S ( 0;0; 4 ) . Gọi M là trung điểm của SB và G là trọng tâm của tam giác SCD . Độ dài MG là: A. MG =

6 . 3

B. MG =

6 . 2

C. MG =

2 3 . 3

D. MG =

2 6 . 3

Câu 14. Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A′B′C ′D′ có các kích thước= AB 4,= AD 3,= AA′ 5 . Gọi G là trọng tâm của tam giác ACB ' . Độ dài BG là: A. BG =

2 . 3

B. BG =

2 5 . 3

C. BG =

5 2 . 2

D. BG =

5 2 . 3

PHẦN II. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ trả lời đáp án. Câu 15. Cho tứ diện ABCD có AB , AC , AD đôi một vuông góc với nhau và AD = 2, AB = AC = 1. Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng BC và G là trọng tâm của tam giác ABD . Tính độ dài BI . Câu 16. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA = a và vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SB và SD và G là trọng tâm của tam giác AMN . Tính tọa độ điểm G .

Câu 17.

Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' có cạnh bằng a . Gọi G là trọng tâm của tam giác

A ' BD . Tính độ dài C ' G .

Câu 18. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a , BC = a 3 , SA = a và SA vuông góc với đáy ABCD . Gọi G là trọng tâm của tam giác SBD . Tính độ dài CG . Câu 19. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông có độ dài đường chéo bằng a 2 và SA vuông góc với mặt phẳng

( ABCD ) .

Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng

( SBD )

và

( ABCD ) .

Nếu

tan α = 2 thì tọa độ điểm I là bao nhiêu? Biết= I AC ∩ BD và chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ

dưới.

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

Chân Trời Sáng Tạo

Câu 20. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ( ABCD ) . Gọi G là trọng tâm của tam giác SAB và

M , N lần lượt là trung điểm của SC , SD . Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ dưới, Tính tọa độ các điểm G, M , N theo a .

= OB = OC = a. Câu 21. Cho hình chóp O. ABC có ba cạnh OA , OB , OC đôi một vuông góc và OA   Gọi M là trung điểm cạnh AB . Tính góc tạo bởi hai vectơ BC và OM . Câu 22. Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có AB = a , SA = a 2 . Gọi G là trọng tâm tam giác SCD . Tính cosin góc giữa đường thẳng BG với đường thẳng SA .

Câu 23. Cho hình chóp S . ABCD có đáy hình vuông. Cho tam giác SAB vuông tại S và góc SBA bằng

300 . Mặt phẳng ( SAB ) vuông góc mặt phẳng đáy. Gọi M , N là trung điểm AB, BC . Tìm cosin góc tạo bởi hai đường thẳng ( SM , DN ) .

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

Chân Trời Sáng Tạo

CHỦ ĐỀ 2 ỨNG DỤNG THỰC TIỄN VÀ ỨNG DỤNG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

DẠNG 1 ỨNG DỤNG THỰC TIỄN Câu 1.

Trong không gian chọn hệ trục tọa độ cho trước, đơn vị đo lấy kilômét, ra đa phát hiện một máy

bay chiến đấu của Nga di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm M ( 500; 200;8 ) đến điểm N ( 800;300;10 ) trong 20 phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì tọa độ của

máy bay sau 5 phút tiếp theo bằng bao nhiêu?

Lời giải Gọi Q ( x; y; z ) là tọa độ của máy bay sau 5 phút tiếp theo.  MN = ( 300;100; 2 )  NQ =− ( x 800; y − 300; z − 10 )   Vì máy bay giữ nguyên hướng bay nên MN và NQ cùng hướng. Do máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và thời gian bay từ M → N gấp 4 lần thời gian bay từ N → Q nên MN = 4 NQ = 4 ( x − 800 ) 300  x = 875     Suy ra MN = 4 NQ ⇔ 100 = 4 ( y − 300 ) ⇔  y = 325 ⇒ Q ( 875;325;10,5 )   =  z = 10,5 2 4 ( z − 10 ) Tọa độ của máy bay sau 5 phút tiếp theo là ( 875;325;10,5 ) Câu 2.

Trong không gian chọn hệ trục tọa độ cho trước, đơn vị đo lấy kilômét, ra đa phát hiện một máy

bay chiến đấu của Mỹ di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm M (1000;600;14 ) đến điểm N trong 30 phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì tọa độ của máy bay sau 10 phút tiếp theo bằng Q (1400;800;16 ) . Xác định tọa độ vị trí điểm N .

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

Chân Trời Sáng Tạo

Lời giải Gọi N ( x; y; z ) là tọa độ của máy bay sau 10 phút tiếp theo.  MQ = ( 400; 200; 2 )  NQ = (1400 − x;800 − y;16 − z )   Vì máy bay giữ nguyên hướng bay nên MQ và NQ cùng hướng. Do máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và thời gian bay từ M → Q gấp 4 lần thời gian bay từ N → Q nên MQ = 4 NQ = 400 4 (1400 − x )  x = 1300     Suy ra MQ = 4 NQ ⇔ 200 = 4 ( 800 − y ) ⇔  y = 750 ⇒ N (1300;750;15,5 )   z = 15,5 =  2 4 (16 − z ) Tọa độ vị trí điểm N là (1300;750;15,5 ) Câu 3.

Một chiếc khinh khí cầu bay lên tại điểm. Sau một thời gian bay, chiếc khinh khí cầu cách điểm

xuất phát về phía Đông 10 ( km ) và về phía Nam 5 ( km ) , đồng thời cách mặt đất 400 ( m ) . Chọn hệ trục tọa độ Oxyz , với gốc đặt tại điểm xuất phát của khinh khí cầu, mặt phẳng ( Oxy ) trùng với mặt đất, trục Ox hướng về phía Nam, trục Oy hướng về phía Đông, trục Oz hướng thẳng đứng lên trời, đơn vị đo lấy theo kilômét (xem hình vẽ). a) Tìm tọa độ của chiếc khinh khí cầu đối với hệ trục tọa độ đã chọn. b) Xác định khoảng cách của chiếc khinh khí cầu với vị trí tại điểm xuất phát của nó.

Lời giải

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

a) Chiếc khinh khí cầu có tọa độ ( 5;10;0, 4 ) .

b) Khoảng cách của chiếc khinh khí cầu với vị trí tại điểm xuất phát là: Câu 4.

Chân Trời Sáng Tạo

52 + 102 + ( 0, 4 ) ≈ 11, 2 ( km ) 2

Một chiếc máy bay không người lái bay lên tại điểm. Sau một thời gian bay, chiếc máy bay

cách điểm xuất phát về phía Bắc 50 ( km ) và về phía Tây 20 ( km ) , đồng thời cách mặt đất 1( km ) . Chọn hệ trục tọa độ Oxyz , với gốc đặt tại điểm xuất phát của chiếc máy bay, mặt phẳng ( Oxy ) trùng với mặt đất, trục Ox hướng về phía Bắc, trục Oy hướng về phía Tây, trục Oz hướng thẳng đứng lên trời, đơn vị đo lấy theo kilômét (xem hình vẽ). a) Tìm tọa độ của chiếc khinh khí cầu đối với hệ trục tọa độ đã chọn. b) Xác định khoảng cách của chiếc máy bay với vị trí tại điểm xuất phát của nó.

Lời giải a) Chiếc máy bay có tọa độ ( 50; 20;1) . b) Khoảng cách của chiếc máy bay với vị trí tại điểm xuất phát là: Câu 5.

502 + 202 + 12 ≈ 53,9 ( km )

Hai chiếc máy bay không người lái cùng bay lên tại một địa điểm. Sau một thời gian bay, chiếc

máy bay thứ nhất cách điểm xuất phát về phía Bắc 20 ( km ) và về phía Tây 10 ( km ) , đồng thời cách mặt đất 0, 7 ( km ) . Chiếc máy bay thứ hai cách điểm xuất phát về phía Đông 30 ( km ) và về phía Nam 25 ( km ) , đồng thời cách mặt đất 1( km ) . Xác định khoảng cách giữa hai chiếc máy bay.

Lời giải

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

Chân Trời Sáng Tạo

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz , với gốc đặt tại điểm xuất phát của hai chiếc máy bay, mặt phẳng ( Oxy )

trùng với mặt đất, trục Ox hướng về phía Bắc, trục Oy hướng về phía Tây, trục Oz hướng thẳng đứng lên trời, đơn vị đo lấy theo kilômét (xem hình vẽ).

Chiếc máy bay thứ nhất có tọa độ ( 20;10;0, 7 ) . Chiếc máy bay thứ hai có tọa độ ( −30; −25;1) . Do đó khoảng cách giữa hai chiếc máy bay là: Câu 6.

( 20 + 30 ) + (10 + 25) + ( 0, 7 − 1) 2

2

2

≈ 61( km )

Hai chiếc khinh khí cầu cùng bay lên tại một địa điểm. Sau một thời gian bay, chiếc khinh khí

cầu thứ nhất cách điểm xuất phát về phía Đông 100 ( km ) và về phía Nam 80 ( km ) , đồng thời cách mặt đất 1( km ) . Chiếc khinh khí cầu thứ hai cách điểm xuất phát về phía Bắc 70 ( km ) và về phía Tây 60 ( km ) , đồng thời cách mặt đất 0,8 ( km ) .

a) Xác định khoảng cách của chiếc khinh khí cầu thứ nhất với vị trí tại điểm xuất phát của nó. b) Xác định khoảng cách giữa chiếc khinh khí cầu thứ nhất và chiếc khinh khí cầu thứ hai. Lời giải Chọn hệ trục tọa độ Oxyz , với gốc đặt tại điểm xuất phát của hai chiếc khinh khí cầu, mặt phẳng

( Oxy )

trùng với mặt đất, trục Ox hướng về phía Bắc, trục Oy hướng về phía Tây, trục Oz hướng thẳng

đứng lên trời, đơn vị đo lấy theo kilômét (xem hình vẽ).

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

Chân Trời Sáng Tạo

Chiếc khinh khí cầu thứ nhất có tọa độ ( −100; −80;1) . Chiếc khinh khí cầu thứ hai có tọa độ ( 70;60;0,8 ) . a) khoảng cách của chiếc khinh khí cầu thứ nhất với vị trí tại điểm xuất phát của nó là:

( −100 ) + ( −80 ) 2

2

+ 12 ≈ 128 ( km )

b) khoảng cách giữa chiếc khinh khí cầu thứ nhất và chiếc khinh khí cầu thứ hai là:

( −100 − 70 ) + ( −80 − 60 ) + (1 − 0,8) 2

Câu 7.

2

2

≈ 220 ( km )

Ba chiếc máy bay không người lái cùng bay lên tại một địa điểm. Sau một thời gian bay, chiếc

máy bay thứ nhất cách điểm xuất phát về phía Đông 60 ( km ) và về phía Nam 40 ( km ) , đồng thời cách mặt đất 2 ( km ) . Chiếc máy bay thứ hai cách điểm xuất phát về phía Bắc 80 ( km ) và về phía Tây 50 ( km ) , đồng thời cách mặt đất 4 ( km ) . Chiếc máy bay thứ ba nằm chính giữa của chiếc máy bay thứ nhất và thứ hai, đồng thời ba chiếc máy bay này thẳng hàng.

a) Xác định khoảng cách giữa chiếc máy bay thứ nhất và chiếc máy bay thứ hai. b) Xác định khoảng cách của chiếc máy bay thứ ba với vị trí tại điểm xuất phát của nó. Lời giải Chọn hệ trục tọa độ Oxyz , với gốc đặt tại điểm xuất phát của hai chiếc máy bay, mặt phẳng ( Oxy ) trùng với mặt đất, trục Ox hướng về phía Bắc, trục Oy hướng về phía Tây, trục Oz hướng thẳng đứng lên trời, đơn vị đo lấy theo kilômét (xem hình vẽ).

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

Chân Trời Sáng Tạo

Chiếc máy bay thứ nhất có tọa độ ( −60; −40; 2 ) . Chiếc máy bay thứ hai có tọa độ ( 80;50; 4 ) . Do chiếc máy bay thứ ba nằm chính giữa của chiếc máy bay thứ nhất và thứ hai, đồng thời ba chiếc máy bay này thẳng hàng nên ở vị trí trung điểm, suy ra chiếc máy bay thứ ba có tọa độ

 −60 + 80 −40 + 50 2 + 4  ; ;   = (10;5;3) . 2 2 2   a) khoảng cách giữa chiếc máy bay thứ nhất và chiếc máy bay thứ hai:

( −60 − 80 ) + ( −40 − 50 ) + ( 2 − 4 ) 2

2

2

≈ 166, 4 ( km )

b) khoảng cách của chiếc máy bay thứ ba với vị trí tại điểm xuất phát của nó là: 102 + 52 + 32 ≈ 11, 6 ( km )

DẠNG 2 ỨNG DỤNG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

Chân Trời Sáng Tạo

I. Gắn tọa độ đối với hình chóp 1. Hình chóp có cạnh bên (SA) vuông góc với mặt đáy: Đáy là tam giác đều



Gọi O là trung điểm BC. Chọn

hệ trục như hình vẽ, AB= a= 1 . 

Tọa độ các điểm là:

 3   1  O(0;0;0), A  0; ;0  , B  − ;0;0  ,   2   2  3 1   ; OH C  ;0;0  , S  0;   . 2   2 = SA 

Đáy là tam giác cân tại A



Chọn hệ trục như hình vẽ,

a = 1.



Tọa độ các điểm:



Gọi O là trung điểm AC. Chọn

Chọn hệ trục như hình vẽ,

hệ trục như hình vẽ, a = 1 .

a = 1.





Tọa độ các điểm là:

O(0;0;0), A ( 0; OA;0 ) , B ( −OB;0;0   C ( OC ;0;0 ) , S  0; OA; OH . = SA  

Đáy là tam giác vuông tại B



Gọi O là trung điểm BC.

Đáy là tam giác cân tại B

A ( −OA;0;0 ) , B ( 0, OB;0 ) ,

  C ( OC ;0;0 ) , S  −OA;0; OH . = SA  

Đáy là tam giác vuông tại A



Chọn hệ trục như hình vẽ,

Đáy là tam giác thường



Dựng đường cao BO của

∆ABC. Chọn hệ trục như hình vẽ,

a = 1.



Tọa độ các điểm: O ( 0;0;0 ) ,

Tọa độ các điểm:

a = 1.

B ≡ O ( 0;0;0 ) ,

A ≡ O ( 0;0;0 ) ,



A ( 0; AB;0 ) , C ( BC , 0;0 ) ,

B ( 0; OB;0 ) , C ( AC ;0;0 ) ,

A ( −OA;0;0 ) , B ( 0, OB;0 ) ,

  S  0; AB;  BH  . = SA  

S ( 0;0; SA ) .

  C ( OC ;0;0 ) , S  −OA;0; OH . = SA  

Đáy hình vuông, hình chữ nhật

Đáy là hình thoi

Tọa độ các điểm: O ( 0;0;0 ) ,

Đáy là hình thang vuông

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025



Chọn hệ trục như hình vẽ,

a = 1.





Chọn hệ trục như hình vẽ,



a = 1.

Tọa độ



A ≡ O ( 0;0;0 ) , B ( 0; AB;0 ) , C ( AD; AB;0 ) , D ( AD;0;0 ) , S ( 0;0; SA) .

Chân Trời Sáng Tạo

Chọn hệ trục như hình vẽ,

a = 1.

Tọa độ O ( 0;0;0 ) ,



Tọa độ

A ≡ O ( 0;0;0 ) ,

A ( OA;0;0 ) ,

B ( 0; AB;0 ) , C ( AH ; AB;0 ) ,

B ( 0; OB;0 ) , C ( −OC ;0;0 )

  D ( 0; −OD;0 ) , S  OA;0; OH . = SA  

D ( AD;0;0 ) , S ( 0;0; SA ) .

2. Hình chóp có mặt bên (SAB) vuông góc với mặt đáy Đáy là tam giác, mặt bên là tam

Đáy là tam giác cân tại C

Đáy là hình vuông-hình chữ nhật

giác thường

(hoặc đều), mặt bên là tam giác cân tại S (hoặc đều)



Vẽ đường cao CO trong ∆ABC . 

Chọn hệ trục như hình, a = 1. 

Ta có:

Ta có: O ( 0;0;0 ) , A ( 0; OA;0 ) ,

B ( 0; −OB;0 ) , C ( OC ;0;0 ) , S ( 0;0; SO

  C ( OC ;0;0 ) , S  0; OH ; OK  = SH  

Dựng hệ trục như hình, chọn a

= 1.

chọn hệ trục như hình, a = 1. 

O ( 0;0;0 ) , A ( 0; OA;0 ) , B ( 0; −OB;0 ) ,



Gọi O là trung điểm BC,



Ta có:

A ≡ O ( 0;0;0 ) , B ( AB;0;0 ) , C ( AB; AD;0 ) ,   D ( 0; AD;0 ) , S  AH ;0;  AK  = SH  

3. Hình chóp đều Hình chóp tam giác đều

Hình chóp tứ giác đều

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

Chân Trời Sáng Tạo

Gọi O là trung điểm một cạnh đáy. Dựng hệ trục

Chọn hệ trục như hình với a = 1.

như hình vẽ và a = 1.

Tọa độ điểm:

Tọa độ điểm:

     AB 2   AB 2  ;0  , ;0;0  , B  0; O ( 0;0;0 ) , A  2 2       =OB  =OA   

 AB 3   BC  ;0  , B  − ;0;0  , O ( 0;0;0 ) , A  0; 2     2

 BC  C ;0;0  ,  2 

    AB 2    AB 2  ;0  ; S ( 0;0; SO ) . ;0;0  , D  0; − C− 2 2       =OB    = − OA 

   AB 3  S  0; ; OK . 6 = SH    =OH  

II. Gắn tọa độ đối với hình lăng trụ 1. Lăng trụ đứng Hình lập phương, hình hộp chữ nhật

Lăng trụ đứng đáy là hình thoi

Dựng hệ trục như hình vẽ với a = 1. Tọa độ điểm:

Gọi O là tâm hình thoi đáy, ta dựng hệ trục như hình

A ≡ O ( 0;0;0 ) ,

với

B ( 0; AB;0 ) , C ( AD; AB;0 ) , D ( AD;0;0 ) ,

O ( 0;0;0 ) , A ( −OA;0;0 ) , B ( 0; OB;0 ) , C ( OC ;0;0 ) ,

D ( 0; −OD;0 ) , A′ ( −OA;0; AA′ ) , B′ ( 0; OB; AA′ ) , C ′ ( OC ;0; CC ′ ) , D′ ( 0; −OD; DD′ )

A′ ( 0;0; AA′ ) , B′ ( 0; AB; AA′ ) , C ′ ( AD; AB; AA′ ) , D′ ( AD;0; AA′ ) . Lăng trụ tam giác đều

Lăng trụ đứng có đáy tam giác thường

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

Chân Trời Sáng Tạo

Gọi O là trung điểm một cạnh đáy, chọn hệ trục như

Vẽ đường cao CO trong tam giác ABC và chọn hệ

hình vẽ với a = 1. Ta có:

trục như hình vẽ với a = 1.

 AB   AB  O ( 0;0;0 ) , A  ;0;0  , B  − ;0;0  , C ( 0; OC ;0 ) ,  2   2   AB  A′ ( OA;0; AA′ ) , B′  − ;0; BB′  , C ′ ( 0; OC ; CC ′ ) .  2 

Tọa độ điểm là:

O ( 0;0;0 ) , A ( OA;0;0 ) , B ( −OB;0;0 ) , C ( 0; OC ;0 ) , A′ ( OA;0; AA′ ) , B′ ( −OB;0; BB′ ) , C ′ ( 0; OC ; CC ′ ) .

2. Lăng trụ xiên: Lăng trụ xiên có đáy là tam giác đều, hình chiếu

Lăng trụ xiên có đáy là hình vuông hoặc hình

của đỉnh trên mặt phẳng đối diện là trung điểm

chữ nhật, hình chiếu của một đỉnh là một điểm

một cạnh tam giác đáy

thuộc cạnh đáy không chứa đỉnh đó



Dựng hệ trục như hình vẽ, ta dễ dàng xác định



Dựng hệ trục như hình vẽ, ta dễ dàng xác định

được các điểm O, A′, B′, C ′, A .

được các điểm O, A′, B′, C ′, D′, A .

Tìm tọa độ các điểm còn lại thông qua hệ thức    =′ BB =′ CC ′ . vectơ bằng nhau: AA





Tìm tọa độ các điểm còn lại thông qua hệ thức     =′ BB =′ CC =′ DD′ . vectơ bằng nhau: AA

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

Chân Trời Sáng Tạo

PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án. Câu 8.

Cho hình lập phương ABCD. A′B′C ′D′ có độ dài cạnh bằng 1 . Gọi M , N , P, Q lần lượt là

trung điểm của AB, BC , C ′D′, DD′ . Chọn hệ tọa độ Oxyz như hình vẽ, xác định tọa độ các điểm

M , N , P, Q .

 1   1   1  1  A. M  0; ;1 , N  ;0;1 , P 1; ;0  , Q 1; ;1 .  2   2   2  2  1   1  1  B. M  0; ;1 , N  ;0;1 , P (1;1;0 ) , Q 1;1;  . 2   2  2  1  1    1  1  C. M  0; ;1 , N  ;0;1 , P 1; ;0  , Q 1;1;  . 2  2    2  2  1  1   1 1 1  1  D. M  0; ;1 , N  ; ;  , P 1; ;0  , Q 1;1;  . 2  2   2 2 2  2  Lời giải Chọn C

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

Chân Trời Sáng Tạo

Thiết lập hệ tọa độ Oxyz như hình vẽ, gốc O ≡ B′ .

1   1   1  1  Khi đó: M  0; ;1 , N  ;0;1 , P 1; ;0  , Q 1;1;  . 2  2   2   2  Câu 9.

Cho tứ diện đều ABCD cạnh a . Gọi K là trung điểm AB , gọi M , N lần lượt là hình chiếu

vuông góc của K lên AD , AC . Chọn hệ tọa độ Oxyz như hình vẽ, xác định tọa độ các điểm K , M , N theo a .

a 3 a 6   a 3 3a  A. K ( 0;0;0 ) , M  ;0; ; ;0  .  , N  24 12 2 2     a 3 a 6   a 3 3a  B. K ( 0;0;0 ) , M  ;0; ; ;0  . , N  3   8 8   6

a 3 a 6   a 3 3a  C. K ( 0;0;0 ) , M  ;0; ; ;0  . , N  3   2 2   6 a 3 a 6   a 3 3a  D. K ( 0;0;0 ) , M  ;0; ; ;0  .  , N  24 12 8 8    

Lời giải

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

Chọn D

ta= có: KC = AN

3 = a ; DH 2

6 = a ; HK 3

Chân Trời Sáng Tạo

3 a. 6

1 1 = AC ; AM AD 4 4

 a 3 a 6  a  a 3 Chọn hệ trục Oxyz sao cho K ≡ O ( 0;0;0 ) , A  0; ;0  , C  ;0;0  , D  ;0; . 3   2   2   6  1   a 3 3a  Ta có:= AN AC ⇒ N  ; ;0  . 4 8 8  

 1  a 3 a 6 = AM AD ⇒ M  ;0;  4 12   24 a 3 a 6   a 3 3a  Vậy K ( 0;0;0 ) , M  ;0; ; ;0  , N  12   8 8   24

Câu 10. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng với đáy. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BC và CD . Chọn hệ tọa độ Oxyz như hình vẽ dưới.

Xác định tọa độ các điểm S , M , N theo a .

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

.

Chân Trời Sáng Tạo

 a 3 a a  A. S  0;0;  ; M ( a ;0;0 ) ; N  ; ;0  . 2  2 2  

a a a B. S 0;0; a 3 ; M ( a ;0;0 ) ; N  ; ;  2 2 2

 a 3 a a C. S  0;0;  ; M ( a ;0;0 ) ; N  ;0;  . 2  2 2 

 a 3 a  a a ;  ; M ( a ;0;0 ) ; N  0; ;  . D. S  0; 2 2  2 2 

(

)

Lời giải Chọn A

Chọn hệ tọa độ Oxyz như hình vẽ.

 a 3 a a  S  0;0;  ; M ( a ;0;0 ) ; N  ; ;0  . . 2  2 2  

OA 5,= OB 2,= OC 4 . Gọi M , N Câu 11. Cho tứ diện OABC , có OA, OB, OC đôi một vuông góc và= lần lượt là trung điểm của OB và OC . Gọi G, K lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và AMN . Khoảng cách từ G đến K là: A. GK =

5 3

B. GK =

3 2

C. GK = Lời giải

Chọn A Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ.

1 2

D. GK =

2 3

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

AO 5,= OB 2,= OC 4 Ta có O ( 0;0;0 ) , A ∈ Oz, B ∈ Ox, C ∈ Oy sao cho=

Chân Trời Sáng Tạo

⇒ A ( 0;0;5 ) , B ( 2;0;0 ) , C ( 0; 4;0 ) .

 2 4 5 Khi đó: G là trọng tâm tam giác ABC nên G  ; ;   3 3 3

M là trung điểm OB nên M (1;0;0 ) N là trung điểm OC nên N ( 0; 2;0 ) .

1 2 5 3 3 3

K là trọng tâm tam giác AMN nên K  ; ;  2

Khoảng cách từ G đến K là: GK =

2

2

5 1 2  2 4 5 5  −  + −  + −  = 3 3 3  3 3 3 3

Câu 12. Cho hình chóp S . ABCD đáy là hình thang vuông tại A và D , SA ⊥ ( ABCD ) . Góc giữa SB

= DC = a . Gọi G là trọng tâm của và mặt phẳng đáy bằng 45o , E là trung điểm của SD , AB = 2a , AD tam giác ACE . Độ dài BG là: A. BG =

a 89 . 6

B. BG =

a 113 . 6

C. BG =

a 89 . 2

D. BG =

a 89 . 3

Lời giải Chọn B

Hình chiếu của SB trên mặt phẳng ( ABCD ) là AB ⇒ Góc giữa SB và mặt đáy là góc giữa SB và

 = 45o . AB và bằng góc SBA 2a . Tam giác SAB vuông cân tại A ⇒ SA = Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ ta có: A ( 0;0;0 ) , B ( 0; 2a;0 ) , C ( a; a;0 ) , D ( a;0;0 ) , S ( 0;0; 2a ) ,

a  E  ;0; a  . 2  a a a Gọi G là trọng tâm của tam giác ACE ⇒ G  ; ;  2 3 3

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025 2

Độ dài BG là: BG =

2

Chân Trời Sáng Tạo

2

a 113 a  a  a   − 0  +  − 2a  +  − 0  = 6 2  3  3 

Câu 13. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình chóp S . ABCD , đáy ABCD là hình chữ nhật. Biết A ( 0;0;0 ) , D ( 2;0;0 ) , B ( 0; 4;0 ) , S ( 0;0; 4 ) . Gọi M là trung điểm của SB và G là trọng tâm của tam giác SCD . Độ dài MG là: A. MG =

6 . 3

B. MG =

6 . 2

C. MG =

2 3 . 3

D. MG =

2 6 . 3

Lời giải Chọn D

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ : A ( 0;0;0 ) , D ( 2;0;0 ) , B ( 0; 4;0 ) , S ( 0;0; 4 ) . M là trung điểm của SB ⇒ M ( 0; 2; 2 ) .

 xC = 2  x A + xC = xB + xD   4 ⇒ C ( 2; 4;0 ) . Tứ giác ABCD là hình chữ nhật nên  y A + yC = yB + yD ⇒  yC = z = 0 z + z = z + z B D  C  A C 4 4 4 G là trọng tâm của tam giác SCD ⇒ G  ; ;  3 3 3 2

Độ dài MG là: MG =

2

2

2 6 4  4  4   − 0 +  − 2 +  − 2 = 3 3  3  3 

Câu 14. Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A′B′C ′D′ có các kích thước= AB 4,= AD 3,= AA′ 5 . Gọi G là trọng tâm của tam giác ACB ' . Độ dài BG là: A. BG =

2 . 3

B. BG =

2 5 . 3

C. BG = Lời giải

Chọn D

5 2 . 2

D. BG =

5 2 . 3

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

z

Chân Trời Sáng Tạo

B'

A' D'

C' 5

D

3

4

A

B

x

C

y

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Có A ( 0 0;0 ) , C ( 4;3;0 ) , B ' ( 4;0;5 ) , B ( 4;0;0 ) , 8 5 G là trọng tâm của tam giác ACB ' ⇒ G  ;1;  3 3 2

Độ dài BG là: BG=

2

5 2 2 8  5   − 4  + (1 − 0 ) +  − 0  = 3 3  3 

PHẦN II. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ trả lời đáp án. Câu 15. Cho tứ diện ABCD có AB , AC , AD đôi một vuông góc với nhau và AD = 2, AB = AC = 1. Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng BC và G là trọng tâm của tam giác ABD . Tính độ dài BI . Lời giải Đáp án: BI =

1 3

Vì tứ diện ABCD có AB , AC , AD đôi một vuông góc với nhau, nên ta chọn hệ trục tọa độ Axyz như hình vẽ (với A là gốc tọa độ, đường thằng AC nằm trên trục Ax , AD nằm trên trục Ay và AB nằm trên trục Az ). Từ đó suy ra: A ( 0;0;0 ) , B ( 0;0;1) vì B ∈ Az , C (1;0;0 ) vì C ∈ Ax , D ( 0; 2;0 ) vì D ∈ Ay .

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

Chân Trời Sáng Tạo

1 1 Vì I là trung điểm của BC nên I  ;0;  . 2 2 1 1 G là trọng tâm của tam giác ABD ⇒ G  ; 0;  2 6 2

Độ dài BI là: BI=

2

1 2 1 1 1 1  −  + ( 0 − 0) +  −  = 3 2 6 2 2

Câu 16. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA = a và vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SB và SD và G là trọng tâm của tam giác AMN . Tính tọa độ điểm G .

Lời giải a a a Đáp án: G  ; ;  6 6 3

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz thỏa mãn: A ≡ O, B ( a;0;0 ) , D ( 0; a;0 ) , S ( 0;0; a ) (như minh họa hình vẽ), a a  a a suy ra M  ;0;  và N  0; ;  . 2 2  2 2 a a a G là trọng tâm của tam giác AMN ⇒ G  ; ;  6 6 3

Câu 17.

Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' có cạnh bằng a . Gọi G là trọng tâm của tam giác

A ' BD . Tính độ dài C ' G .

Lời giải Đáp án: C ' G =

2a 3 3

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

Chân Trời Sáng Tạo

z

A'

D'

C'

B'

O A

D

y

B C x

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz với A ≡ O ( 0;0;0 ) , B ( a;0;0 ) , C ( a; a;0 ) , D ( 0; a;0 ) , A ' ( 0;0; a ) , B ' ( a;0; a ) , C ' ( a; a; a ) , D ' ( 0; a; a ) .

a a a G là trọng tâm của tam giác A ' BD ⇒ G  ; ;  3 3 3 2

2

2

2a 3 a  a  a   − a + − a + − a = 3 3  3  3 

Độ dài C ' G là: C ' G =

Câu 18. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a , BC = a 3 , SA = a và SA vuông góc với đáy ABCD . Gọi G là trọng tâm của tam giác SBD . Tính độ dài CG . Lời giải Đáp án: CG =

a 17 3 z S

D

O A

y

B

C

x

Đặt hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ. Khi đó, ta có:

(

) (

)

A ( 0; 0; 0 ) , B ( a; 0; 0 ) , C a; a 3; 0 , D 0; a 3;0 , S ( 0;0; a ) .

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

Chân Trời Sáng Tạo

a a 3 a G là trọng tâm của tam giác SBD ⇒ G  ;  3 3 ; 3    2

Độ dài CG là: CG =

2 2  a a 17 a  a 3  − a 3  +  − 0  =  − a  +  3 3   3   3

Câu 19. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông có độ dài đường chéo bằng a 2 và SA vuông góc với mặt phẳng

( ABCD ) .

Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng

( SBD )

và

( ABCD ) .

Nếu

tan α = 2 thì tọa độ điểm I là bao nhiêu? Biết= I AC ∩ BD và chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ

dưới.

Lời giải a a Đáp án: I  ;0;  2 2

Gọi= I AC ∩ BD .

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

Chân Trời Sáng Tạo

Hình vuông ABCD có độ dài đường chéo bằng a 2 suy ra hình vuông đó có cạnh bằng a . BD ( SBD ) ∩ ( ABCD ) =  . Ta có  SI ⊥ BD ⇒ ( SI ; AI ) = SIA ( ( SBD ) ; ( ABCD ) ) =   AI ⊥ BD

= Ta có tan α = tan SIA

SA ⇔ SA = a . AI

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ. Ta có A ( 0;0;0 ) , B ( a;0;0 ) , C ( a; a;0 ) , S ( 0;0; a ) . a a ⇒ I  ; 0;  2 2

Câu 20. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ( ABCD ) . Gọi G là trọng tâm của tam giác SAB và

M , N lần lượt là trung điểm của SC , SD . Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ dưới, Tính tọa độ các điểm G, M , N theo a .

Lời giải

 a a a 3  a a a 3 a 3 Đáp án: G  0;0;  ; M  ; ;   ; N  − ; ; 6   4 2 4   4 2 4 

C

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ. Khi đó

Chân Trời Sáng Tạo

 3  a  a  −a   −a  S  0;0;  ; A  ;0;0  ; B  ;0;0  ; C  ; a;0  ; D  ; a;0  2   2  2  2   2    a a a 3  a a a 3 a 3 suy ra G  0;0;   ; M  ; ;  ; N  − ; ; 6   4 2 4   4 2 4 

= OB = OC = a. Câu 21. Cho hình chóp O. ABC có ba cạnh OA , OB , OC đôi một vuông góc và OA   Gọi M là trung điểm cạnh AB . Tính góc tạo bởi hai vectơ BC và OM . Lời giải

  Đáp án: BC ; OM= 120°

(

)

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ. a a  Ta có: O ( 0;0;0 ) , A ( 0; a ;0 ) , B ( a ;0;0 ) , C ( 0;0; a ) , M  ; ;0  . 2 2 

 Khi đó ta có: BC =

(

 

⇒ cos BC ; OM

)



a a  ; ;0  2 2 

( −a ;0; a ) , OM =    BC.OM = = BC.OM

a2   1 2 = − ⇒ BC ; OM= 120° . 2 a 2 a. 2. 2 −

(

)

Câu 22. Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có AB = a , SA = a 2 . Gọi G là trọng tâm tam giác SCD . Tính cosin góc giữa đường thẳng BG với đường thẳng SA .

Lời giải Đáp án: cos ( BG; SA ) =

5 5

Gọi = O AC ∩ BD . Tam giác SAO vuông : SO = Gắn tọa độ như hình vẽ

SA2 − AO 2 =

a 6 2

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

Chân Trời Sáng Tạo

a a  a a a 6 A ( 0;0;0 ) , B ( a;0;0 ) , C ( a; a;0 ) , D ( 0; a;0 ) , O  ; ;0  , S  ; ; .  2 2   2 2 2   a 5a a 6  Vì G là trọng tâm tam giác SCD nên G  ; ; . 2 6 6     −a 5a a 6  a   a a a 6  a BG =  ; ; = −3;5; 6 . = 1;1; 6 Ta có : AS =  ; ; ,    2 6 6  6 2 2 2  2

(

)

(

)

Góc giữa đường thẳng BG với đường thẳng SA bằng:   BG. AS −3 + 5 + 6 5 . cos ( BG ; SA ) = = = 5 BG. AS 40. 8 Câu 23. Cho hình chóp S . ABCD có đáy hình vuông. Cho tam giác SAB vuông tại S và góc SBA bằng

300 . Mặt phẳng ( SAB ) vuông góc mặt phẳng đáy. Gọi M , N là trung điểm AB, BC . Tìm cosin góc tạo bởi hai đường thẳng ( SM , DN ) . Lời giải Đáp án: cos ( SM , DN ) =

1 5

( SAB ) ⊥ ( ABCD )  Trong ( SAB ) , kẻ SH ⊥ AB tại H . Ta có: ( SAB ) ∩ ( ABCD ) = AB ⇒ SH ⊥ ( ABCD ) .   SH ⊂ ( SAB ) , SH ⊥ AB

Kẻ tia Az // SH và chọn hệ trục tọa độ Axyz như hình vẽ sau đây. z

S

D A H

B y

x

M N

C

a 3  a= = SBA .cos 300 S , SB AB.cos Trong tam giác SAB vuông tại= . 2

Hình học 12 - Chương 2 – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian - Bài tập theo CT mới 2025

Chân Trời Sáng Tạo

3a  =  a 3. .cos SBH = = .sin SBA = Trong tam giác SBH vuông tại và SH BH H , BH SB 4 4 AH =AB − BH =a −

 a a 3 3a a  a  = ⇒ H  0; ;0  ⇒ S  0; ;  . 4 4 4 4  4   

 a  a  M  0; ;0  , D ( a; 0; 0 ) , N  ; a;0  .  2  2    a a 3    a  SM  0; ; − , DN ) Ta có:=  , DN =  − ; a;0  ⇒ cos ( SM= 4 4 2    

  a2 SM .DN 4 = = SN .DN a a 5 . 2 2

1 . 5